calcolo differenzialee integrale

Enrico Gregorio

Edizione ottobre 2015

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IND ICE

elenco delle figure 5

elenco delle tabelle 5

0 nozioni di base 701 Numeri reali 702 Funzioni 1003 Induzione 11

1 curve e tangenti 1311 Il metodo di Fermat 1312 Come giustificare il metodo di Fermat 1613 Il logaritmo e lrsquoesponenziale 1814 Derivata e tangente 1915 Curve algebriche 2016 Seno e coseno 2217 Problemi 24

2 continuitagrave 2721 Teoremi sulla continuitagrave 3022 Limiti 3423 Il teorema di Bolzano sugli zeri 4124 Tecniche di calcolo dei limiti 4525 Funzioni composte 48

3 funzioni derivabili 5131 I teoremi sulle funzioni derivabili 5232 I teoremi di Cauchy e di lrsquoHocircpital 5633 Derivata della funzione inversa 60

4 limiti 6541 Limiti infiniti 6542 Limiti allrsquoinfinito 7143 Forme indeterminate 7544 Ordini di infinitesimo 77

5 studi di funzione 7951 Equazioni non algebriche 7952 Procedura per lo studio di una funzione 8253 Asintoti 8354 Esempi 8655 Unrsquoapplicazione 8856 Convessitagrave e derivata seconda 9157 Successioni 9658 La formula di Taylor 10259 Calcolo di limiti con gli sviluppi di Taylor 107510 Curvatura 109

3

4 indice

6 integrali 11161 Calcolo delle aree 11162 Integrazione 11463 Il logaritmo e lrsquoesponenziale 11864 Tecniche di integrazione 12365 Le funzioni iperboliche 12866 Esistenza dellrsquooperatore integrale 13067 Disuguaglianze 13368 Frazioni algebriche e integrali 13669 Integrali e aree 139610 Integrali impropri 141611 La funzione Gamma 144612 Integrazione numerica 146

7 serie 14971 Integrali e successioni 14972 Altre successioni 15173 Definizione di serie 15274 Criteri di convergenza 15475 Serie a termini positivi 15676 Convergenza assoluta 15877 Serie di potenze 15978 La serie binomiale 16379 Una serie migliore per il calcolo del logaritmo 165710 La serie armonica e i logaritmi 165

8 i numeri reali 16781 Gli assiomi 16782 Lrsquoassioma di continuitagrave 16883 Il teorema di unicitagrave 17084 La costruzione di Dedekind 17185 La costruzione di Weierstrass 17286 La costruzione di Cantor 173

9 i numeri complessi 17591 Operazioni sui numeri complessi 17792 Coniugato di un numero complesso 17893 Forma trigonometrica 17994 Interpretazione geometrica 18195 Il teorema fondamentale 18396 Lrsquoesponenziale e il logaritmo complesso 18497 Serie di Taylor 185

indice dei nomi 189

ELENCO DELLE F IGURE

Figura 1 Grafico di 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 14Figura 2 Definizioni di log119886 tramite la curva 119909119910 = 1 le due aree colorate sono uguali

e valgono log119886 per definizione 18Figura 3 Il calcolo del rapporto di Fermat per log119909 18Figura 4 Definizione di seno e coseno 23Figura 5 Calcolo di lim

119911rarr0119911 log119911 46

ELENCO DELLE TABELLE

Tabella 1 Approssimazione di 4radic12 27Tabella 2 Tabella delle regole di derivazione e delle derivate delle principali funzio-

ni 63Tabella 3 Procedura per il calcolo del limite di una frazione algebrica a una radice del

denominatore 69

5

0NOZ ION I D I BASE

01 numeri reali

Lrsquoinsieme numerico che useremo saragrave quello dei numeri reali che saranno descrittipiugrave in dettaglio nel capitolo 8 In questo capitolo introduttivo ne esporremo le piugraveimportanti proprietagrave in base a quello che ci serviragrave in seguito

I numeri reali sono la controparte algebrica della retta geometrica e di quello chegli antichi geometri chiamavano grandezza riferendosi alla misura dei segmenti Lateoria delle grandezze si basa su due assunti fondamentali

1 date due grandezze (omogenee) diverse esiste un multiplo della minore che supera lamaggiore

2 date due serie di grandezze 1198861 1198862hellip e 1198871 1198872hellip la prima crescente e la seconda de-crescente in cui ogni 119886119896 egrave minore di ogni 119887119896 e tali che per ogni altra grandezza 119889 siha 119887119896 minus 119886119896 lt 119888 per qualche 119896 allora esiste una grandezza 119888 tale che 119886119896 le 119888 le 119887119896 perogni 119896

In realtagrave la prima proprietagrave veniva assunta come definizione di grandezze omoge-nee dopo aver chiarito che cosa significa ldquomultiplordquo (si pensi solo ai segmenti per nonandare in cerca di complicazioni) La seconda proprietagrave egrave quella che permise ad Archi-mede di confrontare la misura della circonferenza con lrsquoarea del cerchio trovando lafamosa relazione secondo la quale il rapporto fra circonferenza e diametro egrave ugualeal rapporto fra area del cerchio e quadrato del raggio il numero che oggi si denotauniversalmente con 120587

Gli antichi consideravano solo grandezze positive non egrave un vero problema aggiun-gere lo zero e i numeri negativi anzi egrave un arricchimento delle proprietagrave algebriche Ilsucco del discorso egrave che i numeri reali forniscono un sistema di coordinate sulla rettaogni punto della retta puograve essere fatto corrispondere a un numero reale e viceversarispettando lrsquoordinamento una volta che sulla retta si fissi unrsquoorigine e unrsquounitagrave dimisura cioegrave due punti corrispondenti rispettivamente a 0 e 1

Il problema che avevano Archimede Euclide e gli altri geometri greci era quello chealcune coppie di grandezze sono commensurabili cioegrave hanno un sottomultiplo comunee altre no Non ci porremo il problema se non per sottolineare che questo dagrave origine alladistinzione fra numeri razionali e irrazionali Fissato un sistema di coordinate su unaretta un punto corrisponde a un numero razionale se il segmento con estremi lrsquooriginee il punto stesso egrave commensurabile con lrsquounitagrave di misura altrimenti corrisponde a unnumero irrazionale I numeri razionali sono i rapporti tra numeri interi comrsquoegrave chiarodalla definizione stessa di commensurabilitagrave Lrsquoesistenza di numeri irrazionali egrave bennota non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia 2 ma un segmento cheabbia una tale lunghezza egrave facilmente costruibile con il teorema di Pitagora applicatoa un triangolo rettangolo isoscele

Nella trattazionemoderna la distinzione non ha piugravemolta importanza se non a livellofilosofico ed epistemologico visto che le misure effettive dei fenomeni fisici sono solonumeri razionali Percheacute la matematica delle grandezze ldquocontinuerdquo (cioegrave i numeri reali)possa essere applicata in fisica e funzioni egrave un problema filosofico e non matematico

In notazioni usuali la prima proprietagrave (assioma di Eudosso-Archimede) si puograve scri-vere dati i numeri reali 119886 e 119887 con 0 lt 119886 lt 119887 esiste un intero positivo 119899 tale che 119899119886 gt 119887La seconda proprietagrave si puograve esprimere come assioma degli ldquointervalli inscatolatirdquo datauna successione [119886119899 119887119899] di intervalli tali che per ogni 119899

[119886119899+1 119887119899+1] sube [119886119899 119887119899]

7

8 nozioni di base

esiste un numero reale 119888 che appartiene a tutti gli intervalliCon la notazione [119886 119887] intendiamo lrsquoinsieme di tutti i numeri reali 119903 tali che 119886 le

119903 le 119887 La parentesi tonda invece di quella quadra (a sinistra o a destra o entrambe)significa sostituire le con lt Si noti che nellrsquoenunciato precedente le parentesi quadrenon possono essere sostituite dalle parentesi tonde se consideriamo 119886119899 = 0 e 119887119899 =1119899 per 119899 gt 0 (con 1198870 = 1) non esiste alcun numero reale che appartiene a tutti gliintervalli della forma (0 1119899)

Se esistesse un tale numero 119903 dovremmo avere 119903 gt 0 e anche 119903 lt 1119899 per ogni119899 gt 0 contraddicendo lrsquoassioma di Eudosso-Archimede In altre parole non potremmoprendere 119903 come unitagrave di misura per impostare un altro sistema di coordinate sullaretta

La proprietagrave degli intervalli inscatolati si puograve esprimere in modo diverso ma primadovremo introdurre un porsquo di terminologia Dato un insieme (non vuoto) 119860 di numerireali diremo che un numero reale 119903 egrave il massimo di 119860 se 119903 isin 119860 e 119886 le 119903 per ogni 119886 isin 119860Fin qui niente di difficile Ma anche insiemi molto ben educati come (0 1) non hannomassimo se 119903 fosse il massimo avremmo subito una contraddizione percheacute

119903 lt 119903+ 12 lt 1

e il numero (119903 + 1)2 certamente appartiene allrsquointervallo (0 1)Esiste un concetto molto piugrave flessibile di quello di massimo quello di estremo supe-

riore Un numero 119903 egrave lrsquoestremo superiore di 119860 se

1 119886 le 119903 per ogni 119886 isin 119860

2 per ogni 120576 gt 0 esiste 119886 isin 119860 tale che 119903minus 120576 lt 119886

Si noti che il massimo di un insieme ne egrave anche lrsquoestremo superiore percheacute possiamoscegliere proprio il massimo come elemento 119886 nella seconda clausola Invece 1 egrave lrsquoe-stremo superiore di (0 1) non egrave affatto richiesto che lrsquoestremo superiore appartengaallrsquoinsieme Che 119886 le 1 per ogni 119886 isin (0 1) egrave chiaro Supponiamo che 120576 gt 0 alloraabbiamo certamente

1 minus 120576 lt 1+ (1 minus 120576)2 = 2minus 120576

2 lt 1

e quindi anche la seconda clausola egrave soddisfattaSi lascia come esercizio la definizione di minimo e di estremo inferioreDimostriamo ora il fatto importante che lrsquoestremo superiore se esiste egrave unico Sup-

poniamo infatti che 119903 e 119904 con 119903 lt 119904 abbiano entrambi diritto di chiamarsi estremosuperiore di 119860 Per la definizione usando 120576 = 119904 minus 119903 sappiamo che esiste 119886 isin 119860 taleche

119904 minus (119904 minus 119903) lt 119886

cioegrave 119903 lt 119886 che contraddice la prima clausola per 119903Qual egrave una condizione necessaria per lrsquoesistenza dellrsquoestremo superiore Che lrsquoinsie-

me 119860 abbia un maggiorante cioegrave un numero 119898 tale che 119886 le 119898 per ogni 119886 isin 119860 (primaclausola) La condizione egrave sufficiente Sigrave e la risposta egrave nella proprietagrave degli intervalliinscatolati

Partiamo da un elemento 1198860 isin 119860 e prendiamo un maggiorante 1198980 di 119860 Definiamo 1198870 =(1198860 +1198980)2 Ci sono due possibilitagrave che 1198870 sia un maggiorante di 119860 o che non lo sia Nel primocaso definiamo 1198981 = 1198870 e 1198861 = 1198860 nel secondo caso esiste 1198861 isin 119860 con 1198861 gt 1198870 e definiamo1198981 = 1198980

A questo punto possiamo procedere allo stesso modo se siamo arrivati al passo 119896 abbiamodue casi che 119887119896 = (119886119896+119898119896)2 sia unmaggiorante di119860 o che non lo sia Nel primo caso definiamo119898119896+1 = 119887119896 e 119886119896+1 = 119886119896 nel secondo esiste 119886119896+1 isin 119860 con 119886119896+1 gt 119887119896 e definiamo 119898119896+1 = 119898119896

01 numeri reali 9

Si noti che 1198981 minus1198861 le (1198980 minus1198860)2 e piugrave in generale che

119898119896+1 minus119886119896+1 le 119898119896 minus1198861198962

e quindi 119898119896 minus119886119896 le (1198980 minus1198860)2119896Per costruzione si ha [119886119896+1 119898119896+1] sube [119886119896 119898119896] e quindi sappiamo che esiste 119903 appartenente

a tutti gli intervalli Vogliamo dimostrare che 119903 egrave un maggiorante di 119860 Se non lo egrave troviamo119886 isin 119860 con 119886 gt 119903 Tuttavia possiamo trovare 119896 tale che 119898119896 lt 119886 percheacute 119898119896 minus 119903 le (1198980 minus 1198860)2119896

(si completi) e questa egrave una contraddizione visto che 119898119896 egrave un maggiorante di 119860Analogamente se 120576 gt 0 esiste 119896 tale che (1198980minus1198860)2119896 lt 120576 e dunque 119903minus120576 non egrave unmaggiorante

di 119860 (si completi)Abbiamo usato lrsquoassioma di Eudosso-Archimede piugrave lrsquoovvia disuguaglianza 2119896 gt 119896

Una caratterizzazione dellrsquoestremo superiore di un insieme dotato di un maggioran-te egrave ldquolrsquoestremo superiore di un insieme con un maggiorante egrave il minimo maggioranterdquoLa si dimostri per esercizio Lrsquoesistenza del minimo maggiorante (ammesso che lrsquoin-sieme dei maggioranti non sia vuoto) egrave proprio lrsquooggetto del ragionamento che stiamoseguendo

Non crsquoegrave bisogno di rifare tutto per lrsquoestremo inferiore Se 119860 egrave un insieme non vuotocon un minorante 119898 allora lrsquoinsieme 119860prime degli opposti degli elementi di 119860 ha minus119898 co-me maggiorante e quindi ha estremo superiore 119903 egrave davvero facile verificare che minus119903 egravelrsquoestremo inferiore di 119860

La proprietagrave dellrsquoestremo superiore egrave in effetti equivalente a quella degli intervalliinscatolati basta prendere come 119886 lrsquoestremo superiore degli 119886119896 e 119887 lrsquoestremo inferioredei 119887119896 verificando che lrsquointervallo [119886 119887] egrave contenuto in tutti gli intervalli inscatolati[119886119896 119887119896]

A pagina 170 si puograve trovare una dimostrazione dellrsquoesistenza delle radici quadrate deinumeri reali positivi Piugrave avanti scopriremo un metodo che non solo fornisce le radiciquadrate ma anche le cubiche quarte e cosigrave via senza far uso di queste proprietagrave senon in modo implicito

Per finire le notazioni Dato un insieme non vuoto di numeri reali 119860 denoteremocon

max119860 sup119860 min119860 inf 119860rispettivamente massimo estremo superiore minimo ed estremo inferiore di 119860 nelcaso esistano Talvolta si trova sup119860 = +infin se 119860 non ha un maggiorante e inf 119860 = minusinfinse non ha un minorante Si tratta solo di notazione ritroveremo questi simboli piugraveavanti

Estenderemo il campionario degli intervalli anche a quelli illimitati se 119886 egrave un numeroreale (119886 rarr) denota lrsquoinsieme dei reali maggiori di 119886 [119886 rarr) quello di prima con inpiugrave 119886 Similmente per (larr 119886) e (larr 119886] Molti scrivono +infin invece di rarr e minusinfin per larr

Si noti che non sono gli unici insiemi senza maggioranti o minoranti Lrsquoinsieme deinumeri razionali non ha neacute maggioranti neacute minoranti ma si guarda bene dallrsquoessereun intervallo percheacute tra due razionali distinti esiste almeno un numero irrazionale (difatto infiniti)

Lrsquoinsieme dei reali si denoteragrave con ℝ (potrebbe anche essere (larr rarr)) quello deirazionali con ℚ e quello dei naturali con ℕ

Vediamo una dimostrazione relativa allrsquoestremo superiore Supponiamo che 119860 e 119861 siano in-siemi non vuoti di numeri reali e definiamo 119860+119861 come lrsquoinsieme che contiene tutte le somme dielementi di 119860 con elementi di 119861 Per esempio se 119860 = 1 2 e 119861 = 0 3 avremo

119860+119861 = 1+ 0 1 + 3 2 + 0 2 + 3 = 1 2 4 5

ma neacute 119860 neacute 119861 saranno necessariamente finiti Proviamo che se 119860 e 119861 hanno un maggioranteallora anche 119860+119861 ha un maggiorante e che sup(119860+ 119861) = sup119860+ sup119861

10 nozioni di base

La prima parte egrave facile se 119909 egrave un maggiorante di 119860 e 119910 egrave un maggiorante di 119861 allora 119909+119910 egraveun maggiorante di 119860+119861 infatti se 119886 isin 119860 e 119887 isin 119861 avremo 119886 le 119909 e 119887 le 119910 da cui 119886+119887 le 119909+119910Dunque sappiamo che esiste lrsquoestremo superiore di 119860+119861 Poniamo 119906 = sup119860 e 119907 = sup119861 allora119906+119907 egrave per la stessa ragione di 119909+119910 un maggiorante di 119860+119861 e quindi sup(119860+119861) le 119906+119907 Cimanca solo mostrare che per ogni 120576 gt 0 esiste 119888 isin 119860+119861 tale che 119888 gt 119906+119907minus 120576

Siccome 119906 = sup119860 sappiamo che esiste 119886 isin 119860 con 119886gt119906minus 1205762 analogamente esiste 119887 isin 119861 con

119887gt119907minus 1205762 Allora se 119888 = 119886+ 119887 isin 119860+119861 avremo

119888 = 119886+ 119887 gt 119906minus 1205762 + 119907minus 120576

2 = 119906+119907minus 120576

e abbiamo terminatoSi dimostri il risultato analogo per lrsquoestremo inferiore Si calcolino lrsquoestremo superiore e

lrsquoestremo inferiore dellrsquoinsieme

1119898 + 1

119899 ∶ 119898119899 isin ℕ119898 gt 0119899 gt 0

02 funzioni

In tutto il corso una funzione avragrave come dominio un insieme di numeri reali e codominioi numeri reali Senza entrare nel dettaglio una funzione egrave una ldquoregolardquo che permette diassociare a un numero reale sul quale la funzione sia definita un altro numero Regolesemplici sono ldquoelevare al quadratordquo ldquosommare uno al doppiordquo che si traducono nellanotazione 119909 ↦ 1199092 o 119909 ↦ 2119909 + 1 Non ci si deve aspettare che tutte le funzioni sianodefinite tramite regole cosigrave semplici anche

119909 ↦⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

3119909minus 2 se 0 lt 119909 lt 37 se 3 lt 119909 lt 4minus1199092 se 119909 ge 4

egrave una funzione Come si indichi la variabile egrave del tutto irrilevante Se chiamiamo 119891questrsquoultima funzione con 119891(119909) si intende il valore di 119891 in 119909 per esempio

119891(1) = 3 sdot 1 minus 2 = 1 119891(72) = 7 119891(4) = minus16

Viceversa 119891(3) non ha senso percheacute la regola data non associa alcun valore a 3Spesso si parleragrave di casi come ldquola funzione 119891(119909) = 1119909rdquo o ldquola funzione 119892(119911) =

radic119911minus 1rdquo senza dare esplicitamente il dominio Volendo essere pignoli si tratta di unrsquoim-precisione ma quando il dominio si puograve desumere dal contesto o dalla regola stessaintenderemo che si tratta del ldquopiugrave grande insiemerdquo in cui la formula o lrsquoinsieme di for-mule abbia senso Per esempio il dominio di 119892 saragrave lrsquoinsieme dei numeri reali ge 1quello di 119891 lrsquoinsieme dei reali diversi da zero Con simboli

119863(119891) = 119909 isin ℝ ∶ 119909 ne 0 = (larr 0) cup (0 rarr)119863(119892) = 119909 isin ℝ ∶ 119909 ge 1 = [1 rarr)

Le funzioni di cui parleremo saranno solo funzioni a valori reali definite su insiemi dinumeri reali sebbene il concetto di funzione sia molto piugrave generale In questo contestopotremo parlare di somma prodotto e quoziente di funzioni purcheacute definite su undominio comune

Date due funzioni 119891 e 119892 la funzione somma 119891+119892 egrave 119909 ↦ 119891(119909)+119892(119909) (dove entrambesiano definite) mentre 119891119892 egrave 119909 ↦ 119891(119909)119892(119909) Per il quoziente definito in modo analogooccorreragrave ovviamente che il denominatore sia non nullo nel punto considerato

Alcune funzioni hanno la proprietagrave di essere periodiche una funzione 119891 egrave periodicaesiste un numero positivo 119879 il periodo tale che per ogni 119909 isin 119863(119891) valga anche

03 induzione 11

119909+119879119909minus119879 isin 119863(119891) e 119891(119909+119879) = 119891(119909) = 119891(119909minus119879) Lrsquoesempio canonico egrave quello dellefunzioni trigonometriche seno e coseno il cui periodo egrave 2120587 la tangente ha periodo 120587Notiamo che anche 2120587 egrave un periodo per la tangente e 4120587 per il seno spesso il periodosi riferisce al minimo periodo

Un esempio non trigonometrico si puograve costruire con la funzione pavimento (in ingle-se floor) se 119909 egrave un numero reale lfloor119909rfloor indica il massimo intero 119899 tale che 119899 le 119909 Peresempio lfloor2rfloor = 2 lfloorradic2rfloor = 1 lfloorminus120587rfloor = minus4 La funzione parte frazionaria definita da119891(119909) = 119909minus lfloor119909rfloor egrave periodica di minimo periodo 1 Infatti lfloor119909+ 1rfloor = lfloor119909rfloor + 1 e perciograve

119891(119909+ 1) = (119909+ 1) minus lfloor119909+ 1rfloor = 119909+ 1minus lfloor119909rfloor minus 1 = 119891(119909)

e si puograve dimostrare per esercizio che se 119879 gt 0 e 119891(119909+119879) = 119891(119909) per ogni 119909 allora 119879egrave intero in altre parole ogni periodo egrave intero e quindi il minimo periodo egrave 1

Esiste anche la funzione soffitto (in inglese ceiling) lceil119909rceil indica il minimo intero 119899 taleche 119909 le 119899 Si dimostri che lceil119909rceil = minuslfloorminus119909rfloor

03 induzione

Uno dei metodi piugrave ingegnosi escogitati dai matematici per dimostrare fatti che riguar-dano i numeri naturali egrave quello dellrsquoinduzione Lrsquoidea non sembra molto promettentese voglio salire una scala devo esserci davanti e saper salire da un gradino allrsquoaltro

Un porsquo piugrave formalmente supponiamo di dover dimostrare che per ogni numero na-turale 119896 gt 0 si ha 2119896 gt 119896 Mettiamoci davanti alla scala cioegrave nel caso 119896 = 1 ovviamente21 gt 1 percheacute 21 = 2 Supponiamo ora di essere arrivati al gradino 119896 cioegrave di sapereche 2119896 gt 119896 saragrave vero che 2119896+1 gt 119896+ 1 Proviamo

2119896+1 = 2 sdot 2119896 gt 2119896 ge 119896+ 1

percheacute 2119896 lt 119896 + 1 solo per 119896 = 0 Dunque la nostra asserzione egrave dimostrata (eovviamente vale anche per 119896 = 0)

Una delle prime asserzioni per la cui dimostrazione si adoperograve lrsquoinduzione egrave la co-siddetta disuguaglianza di Bernoulli se 119909 ge minus1 allora (1 + 119909)119896 ge 1 + 119896119909 per ogninaturale 119896

Il gradino iniziale in termine piugrave tecnico il passo base egrave quello di 119896 = 0 che egrave ovviopercheacute 1198860 = 1 per ogni 119886 per definizione La salita da un gradino allrsquoaltro (il passoinduttivo) puograve essere trattato cosigrave

(1 + 119909)119896+1 = (1+119909)(1 +119909)119896

ge (1+119909)(1 + 119896119909)= 1+119909+ 119896119909+ 1198961199092

= 1+ (119896+ 1)119909+ 1198961199092

ge 1+ (119896+ 1)119909

dove nella prima disuguaglianza si adopera in modo essenziale lrsquoipotesi che 119909 ge minus1cioegrave che 1 + 119909 ge 0 oltre che lrsquoipotesi induttiva Nellrsquoultima si trascura il termine nonnegativo 1198961199092 Dallrsquoipotesi induttiva (cioegrave che siamo arrivati al gradino 119896) ricaviamo chela disuguaglianza vale anche al gradino successivo perciograve la disuguaglianza vale perogni 119896

Se proprio si vuole una giustificazione piugrave dettagliata domandiamoci se puograve esistere un nu-mero naturale 119899 per il quale non valga (1 + 119909)119899 ge 1 + 119899119909 Questo numero non puograve essere 0percheacute il passo base egrave vero allora 119899 gt 0 e dunque la disuguaglianza non puograve valere nemmenoper 119899minus1 percheacute abbiamo dimostrato che sappiamo salire da un gradino al successivo Ma allorain un numero finito di passi scenderemmo a 0 contraddizione

12 nozioni di base

Per esercizio si dimostri che (1 + 119909)119896 gt 1+ 119896119909 per ogni naturale 119896 ge 2 e ogni reale119909 gt minus1 purcheacute 119909 ne 0 Il passo base dovragrave essere quello di 119896 = 2 ovviamente

Per 119909 = 1 la disuguaglianza ci dice che 2119896 = (1 + 1)119896 ge 1 + 119896 e siccome 1 + 119896 gt 119896abbiamo dimostrato in un altro modo che 2119896 gt 119896 Unrsquoaltra applicazione supponiamo119905 gt 1 e scriviamo 119905 = 1 + 119909 cioegrave 119909 = 119905 minus 1 Siccome 119909 ge 0 la disuguaglianza diBernoulli ci dice che

119905119896 = (1+119909)119896 ge 1+ 119896119909 = 1+ 119896(119905 minus 1)

In particolare lrsquoinsieme delle potenze di 119905 non ha maggioranti se 119898 fosse un mag-giorante si avrebbe 119896(119905 minus 1) le 119898 minus 1 per ogni naturale 119896 contro la proprietagrave diEudosso-Archimede

Se 0 lt 119905 lt 1 sappiamo che 1119905 gt 1 e quindi che

1119905119896 ge 1+ 119896(1

119905 minus 1) = 119905+ 119896(1 minus 119905)119905

da cui ricaviamo119905119896 le 119905

119905 + 119896(1 minus 119905)

Applicheremo questa disuguaglianza in seguitoLrsquoinduzione egrave legata alla ricorsione Non sono esattamente la stessa cosa ma non egrave

questo il luogo per discuterne Possiamo definire concetti per ricorsione adoperandola stessa idea dellrsquoinduzione per esempio

1198860 = 1 119886119899+1 = 119886119899 sdot 119886

egrave la definizione ricorsiva delle potenze Qui si suppone tacitamente che 119899 sia un natu-rale e il succo egrave che per calcolare 1198863 si parte da 1 si moltiplica per 119886 (cioegrave si calcola1198861 = 1198860+1 = 1198860 sdot 119886 = 1 sdot119886 = 119886) si moltiplica per 119886 (cioegrave si calcola 1198862 = 1198861+1 = 1198861 sdot 119886 =119886 sdot 119886) e si moltiplica ancora per 119886 ottenendo finalmente (119886 sdot 119886) sdot 119886

Quanto fa 00 Se lo chiedete in giro otterrete risposte apparentemente contraddittorie Pernoi 00 = 1 Non si confonda questo con la cosiddetta ldquoforma indeterminata zero alla zerordquoche qualcuno potrebbe avere sentito nominare Quella saragrave indicata qui con unrsquoabbreviazionespeciale cioegrave ⟦00⟧

Una semplice disuguaglianza tra numeri reali ci saragrave utile in seguito Prima di tuttodefiniamo per 119909 reale

|119909| =⎧⎨⎩

119909 se 119909 ge 0minus119909 se 119909 lt 0

Si noti che |minus119909| = |119909| e 1199092 = |119909|2 inoltre |119909| le 119910 se e solo se minus119910 le 119909 le 119910Allora vale la disuguaglianza triangolare |119886+119887| le |119886|+|119887| Infatti la disuguaglianza

equivale a|119886 + 119887|2 le (|119886| + |119887|)2

che diventa 1198862 + 2119886119887 + 1198872 le 1198862 + 2|119886||119887| + 1198872 cioegrave 119886119887 le |119886119887| percheacute ovviamente|119886||119887| = |119886119887| La disuguaglianza 119909 le |119909| egrave ovvia dalla definizione

Una forma diversa egrave ||119886| minus |119887|| le |119886minus 119887| che equivale a

minus|119886minus 119887| le |119886| minus |119887| le |119886minus 119887|

La disuguaglianza di sinistra si puograve scrivere |(119887 minus 119886) + 119886| le |119887 minus 119886| + |119886| che egrave ladisuguaglianza triangolare Similmente la disuguaglianza di destra egrave |(119886 minus 119887) + 119887| le|119886minus 119887| + |119887|

1CURVE E TANGENT I

Il metodo semplice per determinare lrsquoequazione della retta tangente a una conica egravequello di scrivere lrsquoequazione di un fascio di rette e trovare quelle in cui lrsquointersezionecon la conica dia origine a unrsquoequazione di secondo grado con discriminante nullo

Vorremmo perograve capirci di piugrave percheacute il metodo non puograve funzionare cosigrave comrsquoegrave pertrovare le tangenti a curve piugrave complicate

11 il metodo di fermat

Forse il primo ad accorgersi della proprietagrave che permette di trovare le tangenti fu Pierrede Fermat (1607()ndash1685) il famoso magistrato matematico per passatempo osservograveche la variazione di una curva in prossimitagrave di un massimo o minimo egrave minore chenegli altri punti

Facciamo lrsquoesempio della funzione 119891(119909) = 1199094 che ha evidentemente un minimo in 0Consideriamo il valore in ℎ con ℎ gt 0 lsquopiccolorsquo la differenza tra i valori di 119891 in ℎ e in0 egrave allora ℎ4 Facciamo lo stesso considerando la differenza tra i valori di 119891 in 1 e in1 + ℎ

119891(1 + ℎ) minus 119891(1) = (1 + ℎ)4 minus1= 1+ 4ℎ+ 6ℎ2 + 4ℎ3 +ℎ4 minus 1= ℎ4 + 4ℎ3 + 6ℎ2 +4ℎ

La differenza tra le differenze egrave dunque

4ℎ3 +6ℎ2 + 4ℎ = 2ℎ(ℎ2 + 3ℎ+ 1) gt 0

Spostandoci di poco da un punto non di minimo il valore della funzione cresce di piugravedi quando ci spostiamo della stessa quantitagrave da un punto di minimo

Lrsquoidea di Fermat per trovare massimi e minimi egrave dunque di cercare i punti dove lavariazione sia lsquopiccolarsquo Facciamo un altro esempio se si fa tracciare a un programmadi calcolo come GeoGebra il grafico della funzione 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 sembra evidenteche essa ha un massimo in minus1 e un minimo in 1 (figura 1) Proviamo a fare i conti comeFermat

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) = 1199093 +3ℎ1199092 + 3ℎ2119909+ℎ3 minus 3119909minus 3ℎminus1199093 +3119909= ℎ(31199092 + 3ℎ119909+ℎ2 minus3)

e da questo possiamo vedere che la differenza egrave piccola quando spariscono i terminisenza ℎ nella parentesi cioegrave quando 31199092 minus 3 = 0 che dagrave proprio i valori minus1 e 1

Il senso egrave che le differenze diventano piccole con ℎ senza dipendere troppo dal valo-re di 119909 proprio percheacute crsquoegrave il fattore ℎ in evidenza Intuitivamente i punti di massimo eminimo sono quelli in cui la tangente egrave orizzontale cioegrave parallela allrsquoasse delle ascisse

Adesso facciamo una cosa simile per trovare le tangenti consideriamo un punto delgrafico della funzione e il fascio di rette per esso Per ogni retta calcoliamo la differenzadei valori spostandoci sulla retta o sul grafico Piugrave precisamente calcoliamo per la retta119910 = 119898119909+119902 la differenza

119891(119905 + ℎ) minus119898(119905 + ℎ) minus 119902

dove 119905 egrave unrsquoascissa arbitraria e vediamo che succede Intanto determiniamo 119902 la rettadeve passare per il punto di coordinate (119905119891(119905)) quindi

119891(119905) = 119898119905+ 119902

13

14 curve e tangenti

minus3 minus2 minus1 1 2 3

minus3

minus2

minus1

1

2

3

0

figura 1 Grafico di 119891(119909) = 1199093 minus3119909

cioegrave 119902 = 119891(119905) minus119898119905 Per cominciare supponiamo 119891(119909) = 1199093

119891(119905 + ℎ) minus (119898(119905 + ℎ) + 119891(119905) minus119898119905) = (119905 + ℎ)3 minus119898ℎminus 1199053

= 3ℎ1199052 +3ℎ2119905 minus119898ℎ= ℎ(31199052 minus119898+3ℎ119905)

che diventa piccolo con ℎ quando 119898 = 31199052 Lrsquoespressione precedente ha una formapiuttosto interessante quando la guardiamo in generale

119891(119905 + ℎ) minus (119898(119905 + ℎ) + 119891(119905) minus119898119905) = (119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)) minus119898ℎ

Questo suggerisce di guardare solo 119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) vedere se si puograve raccogliere ℎ aquel punto il fattore ℎ si elimina ottenendo un valore che indicheremo con 119891prime(119905) e latangente si avragrave quando 119898 = 119891prime(119905) O almeno cosigrave ragionava Fermat

Proviamo con le curve che conosciamo cioegrave le coniche cominciamo con la parabola119891(119909) = 1198861199092 +119887119909+ 119888 e applichiamo la ricetta

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) = 1198861199052 + 2119886ℎ119905 + 119886ℎ2 +119887119905+ 119887ℎ+ 119888minus 1198861199052 minus119887119905minus 119888= ℎ(2119886119905 + 119887)

Il coefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa 119905 risulta 119891prime(119905) = 2119886119905 + 119887Verifichiamolo con il metodo del discriminante considerando il sistema

⎧⎨⎩

119910 = 1198861199092 +119887119909+ 119888119910minus (1198861199052 +119887119905+ 119888) = 119898(119909minus 119905)

che porta allrsquoequazione risolvente

1198861199092 + (119887minus119898)119909minus1198861199052 minus119887119905+119898119905 = 0

il cui discriminante egrave

Δ(119898) = (119887minus119898)2 minus 4119886(minus1198861199052 minus119887119905+119898119905)

cioegrave

Δ(119898) = 1198872 minus 2119887119898+1198982 +411988621199052 +4119886119887119905 minus 4119886119905119898= 1198982 minus 2(2119886119905 + 119887)119898+ 411988621199052 + 4119886119887119905 + 1198872

= 1198982 minus 2(2119886119905 + 119887)119898+ (2119886119905 + 119887)2

= (119898minus (2119886119905 + 119887))2

11 il metodo di fermat 15

Lrsquoequazione in 119898 data da Δ(119898) = 0 ha una sola soluzione che egrave proprio

119898 = 2119886119905+ 119887

Almeno nel caso della parabola i due metodi coincidonoProviamone uno piugrave complicato lrsquoiperbole grafico di 119891(119909) = 1119909 Il metodo di

Fermat dice di calcolare 119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) cioegrave

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) = 1119905 + ℎ minus 1

119905 = minusℎ119905(119905 + ℎ)

Qui il problema sembra piugrave difficile allora facciamo come Fermat eliminiamo il fattoreℎ e in quello che rimane poniamo ℎ = 0 Otteniamo 119891prime(119905) = minus11199052

Proviamo con il metodo del discriminante il sistema

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

119910 = 1119909

119910minus 1119905 = 119898(119909minus 119905)

ha come equazione risolvente

1198981199051199092 minus (1198981199052 minus 1)119909minus 119905 = 0

e il discriminante egrave

Δ(119898) = 11989821199054 minus 21198981199052 + 1+ 41198981199052 = (1199052119898+1)2

che si annulla per 119898 = minus11199052 esattamente come primaRimane da discutere la circonferenza Con una traslazione si puograve supporre che la

circonferenza abbia centro nellrsquoorigine e prendendo come unitagrave di misura il raggio lrsquoe-quazione della semicirconferenza lsquosuperiorersquo egrave il grafico di 119891(119909) = radic1minus1199092 Dobbiamodunque calcolare

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) = radic1minus (119905 + ℎ)2 minusradic1minus 1199052

= (1minus (119905 + ℎ)2) minus (1 minus 1199052)radic1minus (119905 + ℎ)2 +radic1minus 1199052

= ℎ(minus2119905 minus ℎ)radic1minus (119905 + ℎ)2 +radic1minus 1199052

Eliminando il fattore ℎ e ponendo ℎ = 0 in quello che rimane si ottiene

119891prime(119905) = minus119905radic1minus 1199052

Proviamo con il metodo geometrico il fascio di rette per il punto (119905119906) dove 119906 =radic1minus 1199052 consiste delle rette di equazione 119910 minus 119906 = 119898(119909 minus 119905) e di queste dobbiamocalcolare la distanza dal centro per determinare quella con distanza 1 se scriviamo laretta nella forma 119898119909minus119910minus119898119905+119906 = 0 lrsquoequazione diventa

|1198980minus 0minus119898119905+119906|radic1198982 + 1

= 1

cioegrave elevando al quadrato

11989821199052 minus 2119898119905119906+1199062 = 1198982 + 1

che diventa(1199052 minus 1)1198982 minus 2119898119905119906+1199062 minus 1 = 0

Questa ha certamente discriminante nullo e quindi la soluzione egrave

119898 = 21199051199062(1199052 minus 1) = 119905119906

minus1199062 = minus119905radic1minus 1199052

16 curve e tangenti

12 come giustificare il metodo di fermat

Consideriamo una funzione facile 119891(119909) = 1199094 supponiamo ℎ ne 0 e calcoliamo

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)ℎ = 1199054 +4ℎ1199053 + 6ℎ21199052 + 4ℎ3119905 + ℎ4 minus 1199054

ℎ

= ℎ(41199053 +6ℎ1199052 + 4ℎ2119905 + ℎ3)ℎ

= 41199053 +6ℎ1199052 + 4ℎ2119905 + ℎ3

Quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto il valore dellrsquoespressione diventa semprepiugrave vicino a 41199053 Se facciamo i conti con 119891(119909) = 1199093 con lo stesso metodo otteniamo31199052

Piugrave in generale con 119891(119909) = 119909119899 possiamo usare lo sviluppo del binomio ma senzascriverlo tutto Ricordiamo che per 119899 gt 1

(119886 + 119887)119899 = 119886119899 +119899119886119899minus1119887+ 1198872119870119899(119886119887)

dove 119870119899(119886119887) egrave unrsquoespressione algebrica in 119886 e 119887 senza frazioni

Se 119899 = 2 (119886 + 119887)2 = 1198862 + 2119886119887 + 1198872 e 1198702(119886 119887) = 1 Supponiamo di conoscere lrsquoespressione119870119899(119886119887) allora

(119886 + 119887)119899+1 = (119886+ 119887)(119886119899 +119899119886119899minus1119887+ 1198872119870119899(119886119887))= 119886119899+1 +119886119899119887+119899119886119899119887+119899119886119899minus11198872 + (119886+ 119887)1198872119870119899(119886119887)= 119886119899+1 + (119899+ 1)119886119899119887+ 1198872(119899119886119899minus1 + (119886+ 119887)119870119899(119886119887))

e quindi 119870119899+1(119886 119887) = 119899119886119899minus1 + (119886+ 119887)119870119899(119886119887)

Tenendo conto di quanto appena detto possiamo scrivere

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)ℎ = 119905119899 +119899ℎ119905119899minus1 +ℎ2119870119899(119905ℎ) minus 119905119899

ℎ= 119899119905119899minus1 +ℎ119870119899(119905ℎ)

e quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto il valore dellrsquoespressione si avvicinasempre di piugrave a 119899119905119899minus1

Esprimiamo lrsquoaffermazione che il valore dellrsquoespressione 119865(ℎ) si avvicina al valore 119897quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto con la notazione tradizionale

limℎrarr0

119865(ℎ) = 119897

senza per ora definirne formalmente il significato preciso Lrsquoimportante egrave che si arrivia unrsquoespressione 119892(ℎ) la piugrave semplice possibile nellrsquoipotesi che ℎ ne 0

Quello che abbiamo dimostrato egrave se 119891(119909) = 119909119899 allora 119891prime(119909) = 119899119909119899minus1 almeno nelcaso 119899 gt 1 Per 119899 = 1 la faccenda egrave ovvia se 119891(119909) = 119909 allora

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ = 119909+ℎminus119909

ℎ = 1

e quindi certamente 119891prime(119909) = 1 = 11199090 Per 119899 = 0 la formula non ha significato percheacutesi dovrebbe considerare 119909minus1 che egrave definita solo per 119909 ne 0 Ma egrave certo che se 119891(119909) =1199090 = 1 si ha 119891prime(119909) = 0

Come facciamo per i polinomi in genere E per le frazioni Abbiamo bisogno diqualche strumento in piugrave

12 come giustificare il metodo di fermat 17

Date le funzioni 119891 e 119892 entrambe definite almeno sullrsquointervallo (119901 119902) possiamosommarle e moltiplicarle per numeri il rapporto di Fermat per la funzione119909 ↦ 119886119891(119909)+119887119892(119909) egrave allora

(119886119891(119909+ℎ) + 119887119892(119909+ℎ)) minus (119886119891(119909) + 119887119892(119909))ℎ =

119886 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ + 119887 119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)

ℎ

e dunque se poniamo 119865(119909) = 119886119891(119909) + 119887119892(119909) abbiamo

119865prime(119909) = 119886119891prime(119909) + 119887119892prime(119909)

Ne segue facilmente che per il polinomio 119891(119909) = 1198860 +1198861119909+⋯+119886119899119909119899 si ha

119891prime(119909) = 1198861 +21198862119909+⋯+119899119886119899119909119899minus1

Questo torna con il conto per la tangente alla parabolaUn porsquo piugrave complicato quando 119865(119909) = 119891(119909)119892(119909) ma nemmeno tanto

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)

ℎ

= 119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909+ℎ)ℎ

+ 119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)ℎ

= 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ 119892(119909+ℎ) + 119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)

ℎ

e perciograve119865prime(119909) = 119891prime(119909)119892(119909) + 119891(119909)119892prime(119909)

Questrsquoultima formula fu scoperta da Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646ndash1716) parec-chio tempo dopo che Fermat aveva compiuto i suoi studi La possiamo usare per calco-lare le tangenti alla circonferenza consideriamo 119891(119909) = radic1minus1199092 e 119892(119909) = 119891(119909) nellaformula precedente Allora

119865prime(119909) = 119891prime(119909)119891(119909) + 119891(119909)119891prime(119909) = 2119891prime(119909)119891(119909)

Ma 119865(119909) = 1minus1199092 e quindi conosciamo giagrave 119865prime(119909) = minus2119909 Dunque

119891prime(119909) = 119865prime(119909)2119891(119909) = minus 119909

radic1minus1199092

Questo egrave in accordo con quanto giagrave visto a pagina 15 Lrsquoespressione non ha senso per119909 = minus1 e 119909 = 1 e del resto sappiamo che in quei punti la tangente egrave verticale quindinon ha coefficiente angolare

Facciamo qualche altro trucco del genere se 119891(119909) = 119909119899 con 119899 lt 0 e 119892(119909) = 119909minus119899abbiamo 119865(119909) = 119891(119909)119892(119909) = 1 e quindi essendo 119865prime(119909) = 0 (per 119909 ne 0) abbiamo

0 = 119891prime(119909)119892(119909) + 119891(119909)119892prime(119909) 119891prime(119909) = minus119891(119909)119892prime(119909)

119892(119909)

e sostituendo

119891prime(119909) = minus119909119899 (minus119899)119909minus119899minus1

119909minus119899 = 119899119909119899minus1

e dunque la formula egrave esattamente la stessa

18 curve e tangenti

Con un trucco analogo possiamo eseguire il calcolo per qualsiasi frazione algebricaconsideriamo 119865(119909) = 119891(119909)119892(119909) allora 119891(119909) = 119865(119909)119892(119909) e quindi

119891prime(119909) = 119865prime(119909)119892(119909) + 119865(119909)119892prime(119909)

da cui

119865prime(119909) = 119891prime(119909) minus 119865(119909)119892prime(119909)119892(119909)

che con una facile manipolazione diventa

119865prime(119909) = 119891prime(119909)119892(119909) minus 119891(119909)119892prime(119909)(119892(119909))2

13 il logaritmo e lrsquoesponenziale

Per definizione il logaritmo di 119886 egrave per 119886 gt 0 come lrsquoarea delimitata dal segmento(1 0)_(119886 0) sullrsquoasse delle ascisse dai segmenti (1 0)_(1 1) e (119886 0)_(119886 1119886) e dallrsquoarcodi iperbole di equazione 119910 = 1119909 fra i punti (1 1) e (119886 1119886) Se 0 lt 119886 lt 1 lrsquoarea vienepresa con segno negativo se 119886 gt 1 con segno positivo si veda la figura 2 dove vienepresentata anche una definizione alternativa e piugrave lsquogeometricarsquo

119909

119910

(11)(1198861119886)

119909

119910

1 119886

figura 2 Definizioni di log119886 tramite la curva 119909119910 = 1 le due aree colorate sono uguali evalgono log119886 per definizione

119909

119891(119909)

1 119909 119909+ℎ

figura 3 Il calcolo del rapporto di Fermat per log119909

Vogliamo ora valutare lrsquoespressione log(119909 + ℎ) minus log119909 supponendo prima ℎ gt 0 e119909 gt 1 Si tratta ancora per differenza di aree di unrsquoarea delimitata da tre segmenti

14 derivata e tangente 19

e un arco dellrsquoiperbole Ma possiamo considerare i rettangoli lsquoinscrittorsquo e lsquocircoscrittorsquocome si vede nella figura 3 avremo allora

ℎ119909+ℎ le log(119909 +ℎ) minus log119909 le ℎ

119909

e dunque1

119909+ℎ le log(119909 + ℎ) minus log119909ℎ le 1

119909

Se ℎ si avvicina a 0 abbiamo che 1(119909 + ℎ) si avvicina a 1119909 e dunque possiamoconcludere che

logprime 119909 = 1119909

Gli altri casi (cioegrave ℎ lt 0 e 0 lt 119909 lt 1) si trattano infatti in modo simileLa tangente alla curva di equazione 119910 = log119909 nel punto di ascissa 119905 ha dunque

equazione 119910 minus log 119905 = (119909 minus 119905)119905 Scambiando i due assi la curva diventa quella diequazione 119910 = exp119909 e dunque la tangente nel punto di ordinata 119905 ha equazione 119909 minuslog 119905 = (119910minus 119905)119905 se 119905 = exp119906 otteniamo lrsquoequazione 119910minus exp119906 = (119909minus119906) exp119906 cioegrave ilcoefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa 119906 egrave exp119906 e questo equivale a

expprime 119909 = exp119909

Vedremo piugrave avanti un metodo meno lsquogeometricorsquo per eseguire i calcoli sulle funzioniinverse

14 derivata e tangente

Cerchiamo di essere un poco piugrave formali La funzione 119891 definita nellrsquointervallo (119901 119902)egrave derivabile in 119909 isin (119901 119902) se possiamo scrivere secondo quanto detto prima

limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ = 119891prime(119909)

cioegrave nel caso in cui il rapporto di Fermat si avvicina a un valore che denotiamo con119891prime(119909) quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto Non cerchiamo per ora il pelonellrsquouovo nel dire per bene che cosa significhi avvicinarsi quando ℎ diventa piccolo difatto egrave uno dei concetti piugrave complicati del calcolo differenziale

Il valore119891prime(119909) si chiama la derivata di119891 nel punto119909 e secondo lrsquointuizione di Fermatdovrebbe essere uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva 119910 = 119891(119909) nelpunto di coordinate (119909119891(119909)) Abbiamo visto che nel caso di alcune curve note questocalcolo determina effettivamente la tangente

Non sempre le cose vanno come ci si aspetta per esempio con la funzione119891(119909) = |119909|se calcoliamo il rapporto di Fermat in 0 abbiamo

119891(0 + ℎ) minus 119891(0)ℎ = |ℎ|

ℎ

e questo vale 1 quando ℎ gt 0 ma vale minus1 quando ℎ lt 0 Dunque il rapporto di Fermatnon si avvicina a un valore quando ℎ diventa piccolo e ne concludiamo che il graficodella funzione non ha una tangente nel punto di ascissa 0 E possiamo effettivamenteconcordare che non ha molto senso parlare di tangente in quel punto

Ma come definiamo la tangente in generale Facile se per la funzione 119891 definitanellrsquointervallo (119901 119902) e per 119905 isin (119901 119902) possiamo scrivere

limℎrarr0

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)ℎ = 119891prime(119905)

20 curve e tangenti

allora la tangente alla curva 119910 = 119891(119909) nel punto di ascissa 119905 egrave proprio la retta diequazione

119910minus119891(119905) = (119909minus 119905)119891prime(119905)

cioegrave la retta passante per (119905119891(119905)) di coefficiente angolare 119891prime(119905) In altre parole pren-diamo lrsquointuizione di Fermat come definizione della tangente

Generalizziamo la notazione scriveremo

limℎrarr0

120593(ℎ) = 119897

dove 120593 egrave una qualsiasi funzione se 120593(ℎ) si avvicina a 119897 quando ℎ diventa piccolo invalore assoluto (piugrave avanti sostituiremo questo concetto intuitivo con una formulazionerigorosa per ora accetteremo il linguaggio informale) Possiamo allora riscrivere lanozione di derivata nel modo seguente 119891prime(119909) egrave la derivata di 119891 nel punto 119909 se e solose

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ)

dove 120593(ℎ) = (119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus ℎ119891prime(119909))ℎ e

limℎrarr0

120593(ℎ) = 0

Infatti se 119891prime(119909) egrave la derivata sappiamo che

0 = limℎrarr0

(119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ minus119891prime(119909))

= limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus ℎ119891prime(119909)ℎ

= limℎrarr0

120593(ℎ)

Il viceversa egrave del tutto analogo basta seguire le uguaglianze alla rovesciaChe cosrsquoegrave dunque la tangente Egrave la retta che meglio approssima la curva nelle vi-

cinanze del punto Chiaramente non possiamo definire come tangente una retta cheabbia un solo punto in comune con la curva lrsquoesempio di 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 egrave chiaro latangente in 1 egrave orizzontale e ha equazione 119910 = minus2 ma questa retta incontra la curvain un altro punto Infatti da 1199093 minus 3119909 = minus2 segue 119909 = 1 oppure 119909 = minus2 Un altroesempio egrave la parabola di equazione 119910 = 1199092 nessuna retta verticale egrave tangente eppuretutte queste rette incontrano la curva in un solo punto

Lrsquoidea di Fermat se la riguardiamo dopo queste ultime riflessioni egrave esattamentequesta la tangente (se esiste) egrave quella retta che piugrave si avvicina al grafico della funzionequando ci avviciniamo al punto che stiamo considerando

15 curve algebriche

Descartes pose il problema che considerava assai difficile di determinare le tangentialla curva di equazione

1199093 +1199103 = 3119886119909119910

e Fermat lo risolse in un modo tale che perfino Descartes dovette riconoscere la supe-rioritagrave rispetto al suo metodo

Se (119906119907) sono le coordinate di un punto della curva il fascio di rette con centro inquel punto egrave dato dalle rette di equazione

119910 = 119898(119909minus119906)+ 119907

15 curve algebriche 21

(sempre con lrsquoeccezione della retta verticale) Proviamo a sostituire nellrsquoequazione dellacurva ottenendo

1199093 + (119898(119909minus119906)+ 119907)3 minus 3119886119909(119898(119909minus119906)+ 119907) = 0

che porta allrsquoequazione

1199093 +1198983(119909 minus119906)3 + 31198982(119909 minus119906)2119907+ 3119898(119909minus119906)1199072 +1199073 minus3119886119898119909(119909minus119906)minus 3119886119907119909 = 0

e semplificando a1198601199093 +1198611199092 +119862119909+119863 = 0

dove abbiamo indicato i coefficienti con 119860 119861 119862 e 119863

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

119860 = 1+1198983

119861 = minus31199061198983 +31198982119907minus 3119886119898119862 = 311989831199062 minus 61198982119906119907+ 31198981199072 + 3119886119898119906minus 3119886119907119863 = minus11989831199063 + 311989821199062119907minus 31198981199061199072 +1199073

per non portarci dietro troppe cose complicateNel caso delle coniche il metodo usuale egrave di annullare il discriminante Possiamo

fare qualcosa di simile qui Lrsquoidea egrave che119906 deve essere una radice doppia dellrsquoequazionecioegrave che il polinomio (119909 minus119906)2 divida il polinomio 1198601199093 +1198611199092 +119862119909+119863

Vediamo il caso generale abbiamo un polinomio 119875(119909) e vogliamo trovare una con-dizione necessaria e sufficiente affincheacute 119875(119909) sia divisibile per (119909 minus 119906)2 Supponiamodunque che 119875(119909) = (119909minus119906)2119876(119909) e calcoliamo la derivata di ambo i membri

119875prime(119909) = (2119909minus 2119906)119876(119909) + (119909minus119906)2119876prime(119909)

Egrave chiaro che in questo caso 119875prime(119906) = 0 cioegrave 119906 egrave radice anche della derivata Proviamoa verificare che vale anche il viceversa supponiamo perciograve che 119875prime(119906) = 0 dove anche119875(119906) = 0 Se eseguiamo la divisione di 119875(119909) per (119909 minus119906)2 abbiamo

119875(119909) = (119909minus119906)2119876(119909) + 119886119909+ 119887

e possiamo di nuovo calcolare le derivate

119875prime(119909) = (2119909minus 2119906)119876(119909) + (119909minus119906)2119876prime(119909) + 119886

Applicando lrsquoipotesi che 119875prime(119906) = 0 otteniamo 119886 = 0 Applicando lrsquoipotesi che 119875(119906) = 0troviamo anche 119887 = 0 e dunque il resto della divisione egrave zero

Abbiamo trovato il trucco che ci permette di calcolare le tangenti Se pensiamo alcaso delle coniche sembra proprio di sigrave Perciograve nel caso di Fermat e del folium diDescartes basta verificare quando 119906 egrave radice anche del polinomio

31198601199092 + 2119861119909+119862

Lrsquoequazione diventa allora

3(1 +1198983)1199062 +2(minus31199061198983 +31198982119907minus 3119886119898)119906+ (311989831199062 minus 61198982119906119907+ 31198981199072 + 3119886119898119906minus 3119886119907) = 0

che a sua volta si semplifica in

1199062 minus119886119898119906+1198981199072 minus119886119907 = 0

22 curve e tangenti

cioegrave119898 = 1199062 minus119886119907

119886119906minus1199072

eccetto nel caso in cui 119886119906 = 1199072 Questo caso con la condizione

1199063 +1199073 minus 3119886119906119907 = 0

corrisponde a1199076

1198863 +1199073 minus 31199073 = 0

cioegrave a 119907 = 0 oppure 119907 = 119886 3radic2 Il caso di 119907 = 119886 3radic2 corrisponde a 119906 = 119886 3radic4 che egraveesattamente il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo quadrante del punto in cuila tangente egrave orizzontale (119898 = 0 cioegrave 119886119907 = 1199062)

Il caso di 119907 = 0 corrisponde naturalmente a 119906 = 0 dove lrsquoequazione originale vastudiata a parte Siccome il caso egrave semplice lo trattiamo da capo intersechiamo lacurva con una retta di equazione 119910 = 119898119909

1199093(1 +1198983) minus 31198861198981199092 = 0

Qui sembra che ogni retta sia tangente ma un disegno della curva prova che cosigrave non egravein realtagrave qui le tangenti sono due precisamente gli assi cartesiani Si tratta di un puntodoppio concetto sul quale non indagheremo piugrave a fondo

Quello che abbiamo imparato egrave che la derivata non dagrave solo le tangenti per esempiofornisce un criterio affincheacute un polinomio abbia radici multiple

Vediamo il caso del polinomio 119875(119909) = 1199093 + 119901119909+ 119902 con 119875prime(119909) = 31199092 + 119901 Dunquenon ci possono essere radici multiple se 119901 gt 0 se invece 119901 le 0 i numeri candidati aessere radice multipla sono 119903 = radicminus1199013 e minus119903 Proviamo a sostituire

119875(119903) = 1199033 +119901119903+ 119902 = 119903(1199032 +119901)+ 119902 = 23119901119903+ 119902

mentre119875(minus119903) = minus1199033 minus119901119903+ 119902 = minus119903(1199032 +119901)+ 119902 = minus2

3119901119903+ 119902

e uno di questi valori egrave zero quando 91199022 = 411990121199032 cioegrave scritto in altro modo

1199013

27 + 1199022

4 = 0

Nel caso del polinomio 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909+ 119888 si ha ovviamente 119875prime(119909) = 2119886119909+ 119887 esi ha una radice multipla solo quando minus1198872119886 egrave radice di 119875(119909) cioegrave quando

119886 1198872

41198862 minus 1198872

2119886 + 119888 = 0

che si semplifica in 4119886119888minus 1198872 = 0 condizione ben nota

16 seno e coseno

Cerchiamo di ampliare la nostra conoscenza di derivate trattando le importanti fun-zioni trigonometriche Proviamo dunque a scrivere il rapporto di Fermat per il seno

sin(119909+ℎ) minus sin119909ℎ = sin119909 cosℎ+ cos119909 sinℎminus sin119909

ℎ

= sinℎℎ cos119909+ cosℎminus 1

ℎ sin119909

16 seno e coseno 23

119874119909

119910

119860

119863

119861

119862

ℎ

figura 4 Definizione di seno e coseno

Sembra evidente che dobbiamo calcolare i due limiti

limℎrarr0

sinℎℎ e lim

ℎrarr0

cosℎminus 1ℎ

Il problema qui egrave di confrontare sinℎ con ℎ naturalmente la misura degli angoli egrave inradianti come si fa sempre in matematica teorica Egrave proprio la definizione di radianteinsieme a quella di seno e coseno ad aiutarci la rivediamo nella figura 4 Supponiamoper cominciare che 0 lt ℎ lt 1205872

Con un porsquo di trigonometria elementare riconosciamo che con 119874119860 = 1 si ha

119874119861 = cosℎ 119861119862 = sinℎ 119860119863 = tanℎ

Egrave anche evidente che lrsquoarea del triangolo 119874119861119862 egrave minore dellrsquoarea del settore circolare119874119860119862 che a sua volta egrave minore dellrsquoarea del triangolo 119874119860119863 La lunghezza dellrsquoarco119860119862 egrave per definizione ℎ e quindi lrsquoarea 119904 del settore circolare egrave ℎ2 infatti vale laproporzione

119904 ∶ 120587 = ℎ ∶ 2120587

Lrsquoarea del triangolo119874119861119862 egrave (sinℎ cosℎ)2 quella del triangolo119874119860119863 egrave (tanℎ)2 Dunquepossiamo scrivere

sinℎ cosℎ le ℎ le tanℎ

Dalla disuguaglianza di sinistra ricordando che 0 lt ℎ lt 1205872 otteniamo

sinℎℎ le 1

cosℎ

da quella di destra abbiamo

cosℎ le sinℎℎ

e perciograve possiamo scrivere

cosℎ le sinℎℎ le 1

cosℎ ()

Questo per 0 lt ℎ lt 1205872 Se invece minus1205872 lt ℎ lt 0 avremo 0 lt minusℎ lt 1205872 e quindi

cos(minusℎ) le sin(minusℎ)minusℎ le 1

cos(minusℎ)

che si trasforma esattamente nella () che quindi vale per ogni ℎ tale che minus1205872 lt ℎ lt1205872 ℎ ne 0

24 curve e tangenti

Se ora facciamo diventare piccolo ℎ sia cosℎ sia 1 cosℎ si avvicinano a 1 dunqueabbiamo provato che

limℎrarr0

sinℎℎ = 1

Molto bene siamo a metagrave dellrsquoopera Per valutare lrsquoaltra espressione usiamo un altrotrucco che torna spesso utile

cosℎminus 1ℎ = cosℎminus 1

ℎcosℎ+ 1cosℎ+ 1

= minus sin2 ℎℎ(cosℎ+ 1)

= sinℎℎ

minus sinℎcosℎ+ 1

Abbiamo spezzato la frazione in due parti la prima ha limite 1 e la seconda si avvicinaa 0 dunque il prodotto si avvicina a 0 Ecco qui il risultato finale

sinprime 119909 = cos119909

Possiamo provare con il coseno adesso con la formula di addizione e raccogliendoopportunamente abbiamo

cos(119909+ ℎ) minus cos119909ℎ = cosℎminus 1

ℎ cos119909minus sinℎℎ sin119909

e usando i risultati di prima possiamo scrivere

cosprime 119909 = minus sin119909

Per la funzione tangente non egrave un problema tan119909 = sin119909 cos119909 e dunque possiamoapplicare la formula giagrave vista

tanprime 119909 = sinprime 119909 cos119909minus sin119909 cosprime 119909(cos119909)2

= cos119909 cos119909minus sin119909(minus sin119909)cos2 119909

= cos2 119909+ sin2 119909cos2 119909

= 1cos2 119909 = 1+ tan2 119909

Questa naturalmente vale dove sia definita la tangente (trigonometrica) cioegrave la fun-zione lsquotanrsquo

17 problemi

Tutto quanto abbiamo visto sembra ragionevole e cosigrave infatti pensavano i matematicifino a che qualcosa cominciograve ad andare storto Non tanto per il fatto che ogni tanto cisi imbatteva in funzioni che non ammettono la derivata in qualche punto la funzione119891(119909) = 3radic119909 egrave un esempio Si provi a calcolarne la derivata in 119909 e si veda che lrsquoespressio-ne non ha senso per 119909 = 0 infatti la tangente in quel punto egrave verticale (Suggerimentola radice cubica egrave lrsquoinversa di elevare al cubo)

Ma che dire quando Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805ndash1859) propose la seguentefunzione

119863(119909) =⎧⎨⎩

0 se 119909 egrave razionale1 se 119909 egrave irrazionale

17 problemi 25

per la quale il rapporto di Fermat egrave

119863(119909+ℎ) minus119863(119909)ℎ

che perograve quando ℎ diventa piccolo continua a saltare tra 0 e 1 quando 119909 egrave razionaletra minus1 e 0 quando 119909 egrave irrazionale Questo percheacute tra due numeri reali distinti ci sonosempre sia razionali sia irrazionali

Si potrebbe ovviare al problema dicendo che facciamo diventare ℎ piccolo solo usan-do valori razionali In questo modo il rapporto di Fermat per 119863 si avvicinerebbe a 0per ogni 119909 Ma questo va contro un altro importante risultato se la derivata di unafunzione egrave 0 in ogni punto la funzione egrave costante Lo vedremo piugrave avanti dando le op-portune ipotesi affincheacute sia davvero valido certamente perograve la funzione di Dirichletnon egrave costante

Vediamo il vero motivo per il quale la funzione di Dirichlet non puograve ammetterederivata in alcun punto Abbiamo giagrave visto che se 119891 egrave derivabile in 119909 possiamo scrivere

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ)

dove limℎrarr0 120593(ℎ) = 0 Ma allora ℎ120593(ℎ) si deve avvicinare a 0 quando ℎ diventa piccoloDalla formula segue dunque che 119891(119909 + ℎ) deve avvicinarsi a 119891(119909) quando ℎ diventapiccolo E questo non egrave certamente vero per la funzione di Dirichlet qualunque viausiamo per ldquofar diventare piccolo ℎrdquo

Ci sono altri problemi che perograve furono riconosciuti solo piugrave tardi un esempio egrave pro-prio il calcolo della derivata di seno e coseno nella quale si deve adoperare il concetto diarea di una figura delimitata da una linea curva Si potrebbe evitare il concetto di areama solo trasferendo il problema sulla lunghezza dellrsquoarco 119860119862 nella figura 4 intuitiva-mente questa lunghezza egrave maggiore di quella del segmento 119861119862 e minore di quella delsegmento 119860119863 ma la lunghezza dellrsquoarco o della circonferenza stessa egrave ben definitaRenderemo piugrave avanti del tutto rigoroso il concetto di area e quindi il problema saragravesuperato

2CONT INU ITAgrave

Nella prima metagrave del xix secolo i problemi a cui abbiamo accennato diventarono sem-pre piugrave evidenti giagrave prima che Dirichlet proponesse la sua funzione strana La solu-zione fu trovata prima da Augustin-Louis Cauchy (1789ndash1857) in termini non del tuttorigorosi Heinrich Eduard Heine (1821ndash1881) la migliorograve e la versione definitiva fu datada Karl Weierstraszlig (1815ndash1897) occorre essere piugrave cauti nel trattare le funzioni e nonsaltare a conclusioni affrettate La funzione di Dirichlet egrave strana percheacute non soddisfala condizione di continuitagrave

se ℎ diventa piccolo 119891(119909+ℎ) si avvicina a 119891(119909)

Il grande contributo di Cauchy Heine e Weierstraszlig fu di rendere preciso il significatodella frase che dovrebbe definire la continuitagrave La loro idea puograve essere illustrata pen-sando alle approssimazioni se vogliamo calcolare la radice quarta di 12 possiamoprendere un valore approssimato della radice quadrata di 12 e di questo calcolare laradice quadrata Naturalmente piugrave cifre decimali esatte consideriamo per lrsquoapprossi-mazione di radic12 piugrave cifre decimali esatte avremo per il valore approssimato di 4radic12per averne per esempio cinque non ci bastano altrettante cifre esatte per radic12

Con un programma di calcolo possiamo verificare che con 20 cifre esatte

4radic12 asymp 104663513939210555578

Vediamo nella tabella 1 i valori che si ottengono calcolando la radice quadrata delle varieapprossimazioni di radic12 nellrsquoultima riga riportiamo per controllo il valore scrittoprima

radic12 asymp 109544511501033222691

Approssimazione di radic12 Radice quadrata

1 111 1048808848170151546991095 10464224768228174866310954 104661358676447536360109545 1046637473053587929861095445 1046635084449207636054radic12 104663513939210555578

tabella 1 Approssimazione di 4radic12

Questo funziona percheacute la nostra intuizione dice che la radice quadrata soddisfala condizione di continuitagrave Lrsquoesempio ci dice che se vogliamo un valore abbastanzapreciso della radice quarta dobbiamo avvicinarci a sufficienza al valore vero della varia-bile e questo grado di avvicinamento dipenderagrave dalla tolleranza che imponiamo Unafunzione che soddisfa questa condizione si diragrave continua

La simbologia tradizionale indica con 120576 la tolleranza per il valore finale e con 120575 larestrizione che risulta per la variabile Per dire che il valore si discosta da quello veroentro la tolleranza 120576 si scriveragrave

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

e dunque la definizione segue in modo naturale

27

28 continuitagrave

d e f i n i z i o n e La funzione 119891 si dice continua in 119909 se qualunque sia la tolleran-za 120576 gt 0 si puograve trovare un grado di avvicinamento 120575 gt 0 in modo che ogni voltache |ℎ| le 120575 si abbia |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

Ora non ci resta che trovare funzioni continue Il primo esempio egrave facile e quasiovvio 119891(119909) = 119909 Prendiamo una tolleranza 120576 gt 0 e consideriamo la disequazione

|(119909 + ℎ) minus119909| le 120576

le cui soluzioni sono evidentemente |ℎ| le 120576 In questo caso ed era ovvio fin dalprincipio il grado di avvicinamento egrave uguale alla tolleranza

Proviamo con qualcosa di piugrave complicato 119891(119909) = 1199092 La disequazione da esaminareegrave

|(119909 + ℎ)2 minus1199092| le 120576

che diventa|2119909ℎ+ℎ2| le 120576

Una disuguaglianza del genere equivale al sistema di disequazioni

minus120576 le 2119909ℎ+ℎ2 le 120576

cioegrave al sistema⎧⎨⎩

ℎ2 + 2119909ℎminus 120576 le 0ℎ2 + 2119909ℎ+ 120576 ge 0

che possiamo risolvere nel modo usuale La prima disequazione ha discriminantepositivo 41199092 +4120576 ed egrave soddisfatta per valori interni allrsquointervallo delle radici

minus119909minusradic1199092 + 120576 lt ℎ lt minus119909+radic1199092 + 120576

La seconda egrave soddisfatta per ogni ℎ quando il discriminante 41199092 minus 4120576 non egrave positivocioegrave per 120576 ge 1199092 altrimenti egrave soddisfatta per valori esterni allrsquointervallo delle radiciQuindi se 0 lt 120576 lt 1199092 le soluzioni sono date da

ℎ le minus119909minusradic1199092 minus 120576 oppure ℎ ge minus119909+radic1199092 minus 120576

Dobbiamo preoccuparci di quando 120576 ge 1199092 No almeno se119909 ne 0 se riusciamo a trovareun grado di avvicinamento che produca la tolleranza richiesta quando 0 lt 120576 lt 1199092questo andragrave bene anche per valori maggiori di 120576 Saremo piugrave restrittivi del necessarioma a noi interessa trovare un opportuno grado di avvicinamento Dunque possiamosupporre 0 lt 120576 lt 1199092 percheacute nel caso di 119909 = 0 le due disequazioni sono ℎ2 minus 120576 le 0e ℎ2 + 120576 ge 0 la seconda egrave verificata per ogni ℎ la prima per minusradic120576 le ℎ le radic120576 e si puograveprendere 120575 = radic120576

Un produttore di ingranaggi sa che tarando i suoi strumenti in un certo modo i pezzi cheproduce rispettano la tolleranza richiesta dallrsquoindustria che ha commissionato gli ingranaggiunrsquoaltra industria fa unrsquoordinazione chiedendo una tolleranza meno rigorosa il produttore puogravebenissimo mantenere la taratura allo stesso livello Forse spenderagrave di piugrave ma di certo forniscepezzi adeguati alle richieste

Trasponendo al nostro caso la questione del costo non si pone i numeri reali sono gratis

Facciamoci unrsquoidea della situazione con la calcolatrice troviamo i valori delle quan-titagrave in gioco quando 119909 = 1

continuitagrave 29

120576 = 001

minus1minusradic1+ 120576 minus200498756211208902702minus1+radic1+ 120576 000498756211208902702minus1minusradic1minus 120576 minus199498743710661995473minus1+radic1minus 120576 minus000501256289338004527

119909minus1minusradic1+120576 minus1+radic1+120576

minus1minusradic1minus120576 minus1+radic1minus120576

0

Si noti che il grafico delle soluzioni non egrave in scala Lrsquointuizione guardando i valori dellatabella egrave che la tolleranza richiesta sia 120575 = minus119909+radic1199092 + 120576 quando 119909 gt 0 Ci basta ineffetti vedere che

minus119909+radic1199092 + 120576 le | minus119909+radic1199092 minus 120576 |

Con evidenti passaggi la disuguaglianza si trasforma in altre equivalenti

minus119909+radic1199092 + 120576 le 119909minusradic1199092 minus 120576

radic1199092 + 120576 le 2119909minusradic1199092 minus 120576

1199092 + 120576 le 41199092 minus 4119909radic1199092 minus 120576+1199092 minus 120576

4119909radic1199092 minus 120576 le 41199092 minus 120576161199094 minus 161199092120576 le 161199094 minus81199092120576 + 1205762

0 le 81199092120576 + 1205762

e lrsquoultima egrave certamente soddisfatta Abbiamo dunque dimostrato che ponendo 120575 =minus119909 + radic1199092 + 120576 quando |ℎ| le 120575 si avragrave |(119909 + ℎ)2 minus 1199092| le 120576 Per il caso 119909 lt 0 nonoccorre rifare i calcoli percheacute basta cambiare 119909 in minus119909

Non saragrave necessario eseguire questi calcoli in futuro soprattutto quelli finali perdeterminare 120575 Quello che conta egrave scoprire che lrsquoinsieme delle soluzioni della disequa-zione

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

forma un intorno di 0 cioegrave un insieme che include un intervallo aperto contenente 0Con questo linguaggio la definizione di continuitagrave diventa piugrave facile

d e f i n i z i o n e La funzione 119891 egrave continua in 119909 se data una qualsiasi tolleranza120576 gt 0 lrsquoinsieme delle soluzioni della disequazione

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

forma un intorno di 0

Naturalmente in quella disequazione lrsquoincognita egrave ℎ Egrave importare notare che la condi-zione deve valere per ogni tolleranza Per questo quando si imposta la verifica occorretenere 120576 indicato e non si puograve dare solo un valore per quanto piccolo Tuttavia egrave am-messo per quanto giagrave visto considerare 0 lt 120576 lt 119896 dove 119896 gt 0 egrave un valore qualsiasi checi renda piugrave facile trattare il caso senza dover fare scomode distinzioni Nellrsquoesempiodi prima abbiamo infatti preso 0 lt 120576 lt 1199092 (per 119909 ne 0) che appunto non egrave restrittivodal momento che 119909 egrave fisso

Diremo che una funzione egrave continua se egrave tale in ogni punto del suo dominioNel seguito ci serviragrave questa semplice osservazione lrsquointersezione di due intorni di 0

egrave un intorno di 0 Infatti se il primo intorno include lrsquointervallo aperto (minus1205751 1205751) e il

30 continuitagrave

secondo lrsquointervallo aperto (minus1205752 1205752) egrave chiaro che ponendo 120575 = min1205751 1205752 lrsquointer-sezione dei due intorni include lrsquointervallo aperto (minus120575 120575) Adesso basta osservareche ogni intervallo aperto che contiene 0 include un intervallo aperto simmetrico

Egrave evidente anche che ogni insieme che include un intorno di 0 egrave anchrsquoesso un intornodi 0 e che anche lrsquointersezione di 119899 intorni egrave un intorno (119899 naturale positivo)

Le funzioni non sono necessariamente continue altrimenti non ci sarebbe alcun bi-sogno di dare la definizione Un esempio drammatico egrave proprio la funzione di Dirichletche non egrave continua in alcun punto Infatti se 119909 egrave un reale qualsiasi in ogni suo intornocadono punti razionali e irrazionali perciograve non egrave possibile soddisfare alcuna tolleran-za 120576 lt 1 Un esempio meno patologico egrave la funzione pavimento che non egrave continuasugli interi ma lo egrave in ogni numero non intero Se 119909 egrave intero ogni suo intorno contienenumeri minori di 119909 se 119909 minus 1 lt 119910 lt 119909 allora lfloor119910rfloor = lfloor119909rfloor minus 1 e quindi non puograve esseresoddisfatta alcuna tolleranza 120576 lt 1 Viceversa se 119909 non egrave intero esiste un intorno di119909 in cui la funzione egrave costante quindi certamente continua

21 teoremi sulla continuitagrave

Abbiamo parlato di intorni di 0 ma possiamo allo stesso modo parlare di intorni diun punto qualsiasi un intorno di 119909 egrave un insieme che include un intervallo apertocontenente 119909 Lrsquointervallo aperto si puograve sempre prendere simmetrico rispetto a 119909

Egrave facile vedere che se 119880 egrave un intorno di 0 lrsquoinsieme dei numeri della forma 119909 + ℎper ℎ isin 119880 egrave un intorno di 119909 Questo egrave un fatto che useremo piugrave volte

Per ora supporremo che le funzioni siano definite in tutto un intorno del punto con-siderato Possiamo allora considerare la somma e il prodotto di due funzioni che sa-ragrave ancora definita in un intorno del punto percheacute lrsquointersezione di due intorni egrave unintorno

t e o r ema La somma di due funzioni continue nel punto 119909 egrave continua in 119909

Siano 119891 e 119892 le due funzioni dobbiamo risolvere le disequazioni

|119891(119909+ℎ) + 119892(119909+ℎ) minus (119891(119909) + 119892(119909))| le 120576

Ci ricordiamo della disuguaglianza fondamentale

|119886 + 119887| le |119886| + |119887|

e applichiamo lrsquoipotesi le soluzioni della disequazione

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 1205762

formano un intorno di 0 chiamiamolo 119880 Anche le soluzioni di

|119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 1205762

formano un intorno di 0 chiamiamolo 119881 Se dunque ℎ isin 119880cap119881 abbiamo

|119891(119909+ℎ) + 119892(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus 119892(119909)|le |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| + |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)|

le 1205762 + 120576

2 = 120576

Allora lrsquoinsieme delle soluzioni della nostra disequazione include119880cap119881 che egrave un intornodi 0 e dunque egrave a sua volta un intorno di 0

21 teoremi sulla continuitagrave 31

Si noti la comoditagrave di non dover risolvere esattamente la disequazione ci interessasolo che lrsquoinsieme delle soluzioni sia un intorno di 0 se troviamo che questo insiemeinclude un intorno di 0 determinato in qualche modo abbiamo finito

Percheacute quella scelta di 1205762 Qui entrano in gioco altri fattori esperienza e intuizio-ne Lrsquoidea era di usare la disuguaglianza sul valore assoluto di una somma fissiamotolleranze piugrave strette per 119891 e 119892 di quella che ci interessa per la somma e siccome nonabbiamo preferenze per 119891 e 119892 proviamo con la tolleranza metagrave di quella data Egrave im-portante ricordare che la continuitagrave richiede che le soluzioni di ogni disuguaglianza|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576 formino un intorno di 0

Unrsquoapplicazione Siccome la funzione pavimento non egrave continua sugli interi nemmeno lafunzione parte frazionaria lo egrave se 119891(119909) = 119909minus lfloor119909rfloor allora lfloor119909rfloor = 119909minus119891(119909) e se 119891 fosse continuasugli interi lo sarebbe anche ldquopavimentordquo percheacute certamente 119909 ↦ 119909 egrave una funzione continua

t e o r ema Se 119891 egrave continua in 119909 e 119886 egrave un numero qualsiasi allora 119886119891 egrave continuain 119909

La disuguaglianza da trattare egrave |119886119891(119909+ ℎ) minus 119886119891(119909)| le 120576 Se 119886 = 0 non crsquoegrave proprioniente da dimostrare ogni funzione costante egrave evidentemente continua (data qualsiasitolleranza possiamo prendere come grado di avvicinamento qualsiasi numero positivo)Quindi possiamo assumere 119886 ne 0 Allora la disuguaglianza egrave equivalente a

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576|119886|

e per ipotesi sappiamo che lrsquoinsieme delle soluzioni di questa egrave un intorno di 0 percheacutepossiamo prendere 120576|119886| come tolleranza

t e o r ema Se 119891 egrave continua in 119909 allora |119891| egrave continua in 119909

Qui usiamo la disuguaglianza | |119886|minus|119887|| le |119886minus119887| Data la tolleranza 120576 gt 0 dobbiamorisolvere

| |119891(119909+ℎ)| minus |119891(119909)|| le 120576

Sia 119880 un intorno di 0 tale che per ℎ isin 119880 valga

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

Per la disuguaglianza di prima abbiamo la tesi

t e o r ema La funzione prodotto di due funzioni continue in 119909 egrave una funzionecontinua in 119909

Se 119891 e 119892 sono le nostre due funzioni la disuguaglianza egrave

|119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)| le 120576

Il trucco di aggiungere e togliere sembra promettente possiamo di certo scrivere

|119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|= |119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909+ℎ) + 119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|le |119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909+ℎ)| + |119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|= |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ)| + |119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)|

Il problema egrave che 119892(119909+ℎ) varia al variare di ℎ se fosse possibile delimitarlo saremmo quasi aposto Ci occorre un lemma

32 continuitagrave

l emma Se 119892 egrave continua in 119909 allora esistono 119897 gt 0 e un intorno 119880 di 0 tali che per ogniℎ isin 119880 si abbia |119892(119909+ℎ)| le 119897

Fissiamo 120576 gt 0 in modo che |119892(119909)| lt 120576 allora esiste un intorno 119880 di 0 tale che se ℎ isin 119880 siabbia |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 120576 In altre parole per ℎ isin 119880 si ha

minus120576+119892(119909) le 119892(119909+ℎ) le 120576+ 119892(119909)

Se 119897 = max120576 minus 119892(119909) 120576 + 119892(119909) abbiamo per la scelta di 120576 119897 gt 0 e inoltre che se ℎ isin 119880 |119892(119909 +ℎ)| le 119897 Armati di questo lemma possiamo proseguire la nostra dimostrazione supponendoche 119891(119909) ne 0 Esistono intorni 119880 119881 e 119882 di 0 tali che

|119892(119909+ℎ)| le 119897 ℎ isin 119880

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 1205762119897 ℎ isin 119881

|119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 1205762|119891(119909)| ℎ isin 119882

dove 119897 gt 0 egrave quello determinato con il lemma Allora se ℎ isin 119880cap119881cap119882 abbiamo

|119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|

le |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ)| + |119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)|

le 1205762119897 119897 + |119891(119909)| 120576

2|119891(119909)|

= 1205762 + 120576

2 = 120576

esattamente come si voleva Nel caso in cui 119891(119909) = 0 la dimostrazione egrave ancora piugrave semplice lasi completi

Il teorema che segue si chiama teorema della permanenza del segno

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave continua in 119909 e 119891(119909) gt 0 allora esiste un intorno119880 di 0 tale che per ℎ isin 119880 vale 119891(119909+ℎ) gt 0

Basta prendere come tolleranza 120576 = 119891(119909)2 esiste un intorno 119880 di 0 tale che |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576 e quindi

minus120576+119891(119909) le 119891(119909+ℎ) le 120576+119891(119909)

e considerando la disuguaglianza di sinistra abbiamo

119891(119909+ℎ) ge minus119891(119909)2 + 119891(119909) = 119891(119909)

2 gt 0

Enunciamo esplicitamente due corollari del teorema Si noti che il primo enunciatoegrave equivalente al teorema ci riferiremo spesso a questo con il nome di lsquoteorema dellapermanenza del segnorsquo

c o r o l l a r i o Supponiamo che 119891 sia continua in 119909 e che esista un intorno 119880 di0 tale che per ℎ isin 119880 e ℎ ne 0 sia 119891(119909+ℎ) ge 0 Allora 119891(119909) ge 0

Se fosse 119891(119909) lt 0 ci sarebbe un intorno119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881 119891(119909) lt 0 questocontraddice lrsquoipotesi per 0 ne ℎ isin 119880cap119881

c o ro l l a r i o Se 119891 egrave continua in 119909 e 119891(119909) ne 0 allora esiste un intorno di 119909 nelquale 119891 non si annulla

Se 119891(119909) gt 0 si ha 119891(119911) gt 0 in tutto un intorno di 119909 Analogamente se 119891(119909) lt 0prendendo minus119891

21 teoremi sulla continuitagrave 33

Naturalmente il teorema e i corollari ammettono anche la versione con 119891(119909) lt 0basta considerare 119892 = minus119891 come nella dimostrazione precedente

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave continua in 119909 e 119891(119909) ne 0 allora la funzione 119911 ↦119892(119911) = 1119891(119911) egrave continua in 119909

Per quanto visto 119892 egrave effettivamente definita in un intorno di 119909 La disequazione darisolvere egrave

|119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 120576

che diventa

| 1119891(119909+ℎ) minus 1

119891(119909) | le 120576

cioegrave sviluppando|119891(119909) minus 119891(119909+ℎ)| le 120576|119891(119909)119891(119909+ℎ)|

Questa volta ci occorre limitare i valori |119891(119909+ℎ)| dal basso cioegrave trovare un intorno 119880di 0 e un numero 119897 gt 0 tali che per ℎ isin 119880 si abbia |119891(119909 + ℎ)| gt 119897 Ma lrsquoabbiamo giagravefatto dimostrando il teorema della permanenza del segno crsquoegrave un intorno 119880 di 0 taleche per ℎ isin 119880 |119891(119909+ℎ)| gt |119891(119909)|2 A questo punto possiamo prendere un intorno119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881

|119891(119909) minus 119891(119909+ℎ)| le 120576|119891(119909)|22

e quindi per ℎ isin 119880cap119881

|119891(119909) minus 119891(119909+ℎ)| le 120576|119891(119909)|22

= 120576|119891(119909)| |119891(119909)|2

le 120576|119891(119909)| sdot |119891(119909+ℎ)|

che egrave esattamente la disuguaglianza che ci serve

Da tutto questo lavoro astratto possiamo trarre una conseguenza molto importante

t e o r ema Se 119875 egrave un polinomio allora la funzione 119909 ↦ 119875(119909) egrave continua

Un polinomio si ottiene infatti combinando con somme e prodotti le funzioni costantie la funzione 119909 ↦ 119909 (cioegrave il polinomio 119909) Quindi una funzione polinomiale egrave continuaNon crsquoegrave dunque bisogno di risolvere disequazioni complicate per verificare la continuitagravedi 119891(119909) = 1199092 come abbiamo fatto prima La disequazione sarebbe intimidente nel casodi 119891(119909) = 31199095 minus 71199092 + 2119909minus 4 ma appunto non crsquoegrave bisogno nemmeno di scriverla

Rimandiamo a piugrave avanti la questione se le funzioni log exp sin e cos siano continueCi rimane un ultimo risultato importante

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave continua in 119909 e la funzione 119892 egrave continua in 119910 =119891(119909) allora la funzione 119911 ↦ 119865(119911) = 119892(119891(119911)) egrave continua in 119909

In certe situazioni come questa egrave piugrave comodo scrivere diversamente la definizionedi continuitagrave in un punto Si verifichi che la seguente asserzione egrave equivalente alladefinizione data 119891 egrave continua in 119909 se per ogni tolleranza 120576 gt 0 crsquoegrave un intorno 119880 di 119909tale che per 119911 isin 119880 |119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

Con questa caratterizzazione la dimostrazione diventa piugrave semplice Fissiamo unatolleranza 120576 allora esiste un intorno 119880 di 119910 tale che per 119911 isin 119880 |119892(119911) minus 119892(119910)| le 120576

34 continuitagrave

Dal momento che 119880 egrave un intorno di 119910 possiamo individuare 120575 gt 0 tale che ogni 119911con |119911 minus 119910| lt 120575 appartenga a 119880 Possiamo allora usare 1205752 come tolleranza per 119891esiste un intorno 119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881 |119891(119909 + ℎ) minus 119891(119909)| le 1205752 in particolare119891(119909+ℎ) isin 119880 e perciograve |119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))| le 120576

Questo risultato si puograve ricordare brevemente come ldquola composizione di funzionicontinue egrave continuardquo Il teorema precedente sulla continuitagrave di 119911 ↦ 119865(119911) = 1119891(119911)si puograve dimostrare facilmente considerando la funzione 119911 ↦ 1119911 nel teorema sullacomposizione Abbiamo anche unrsquoaltra conseguenza importante

t e o r ema Se 119875 e 119876 sono polinomi allora la funzione 119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) egravecontinua su tutto il suo dominio che consiste dei punti 119909 dove 119876(119909) ne 0

Si noti che la funzione 119891(119909) = 119909119909 non egrave definita in 0 Questo non vuol dire che igno-riamo la possibile semplificazione lo scopo della prossima sezione egrave proprio rendererigorosa lrsquointuizione che 119891 puograve essere estesa anche con un valore in 0

22 limiti

Una delle conseguenze della continuitagrave di 119891 in 119909 egrave che il valore 119891(119909) egrave determinato daivalori 119891(119909+ℎ) con ℎ ne 0 preso in un opportuno intorno di 0 Supponiamo infatti che119891 e 119892 siano funzioni continue in 119909 e che esista un intorno 119880 di 0 tale che per ℎ isin 119880ℎ ne 0 sia 119891(119909+ℎ) = 119892(119909+ℎ) Dimostriamo che in tali ipotesi 119891(119909) = 119892(119909)

Se 119891(119909) ne 119892(119909) la funzione 119865 = |119891minus119892| egrave continua in 119909 e 119865(119909) gt 0 esiste allora unintorno 119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881 119865(119909 + ℎ) gt 0 Ma dalla definizione segue che perℎ ne 0 119865(119909+ ℎ) = 0 Dunque dovremmo avere 119880cap119881 = 0 che egrave impossibile percheacutelrsquointersezione di due intorni di 0 egrave un intorno di 0 e 0 non lo egrave

In molte situazioni alcune le abbiamo giagrave viste egrave data una funzione che egrave definitain tutto un intorno di un punto 119909 ma non in 119909 Il caso tipico egrave quello del rapporto diFermat in 119909 visto come funzione di ℎ

119907(ℎ) = 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ

egrave una funzione definita in un intorno di 0 ma non in 0 dove lrsquoespressione perde signi-ficato Il nostro problema egrave appunto vedere se la funzione 119907 puograve essere estesa a unafunzione definita anche in 0 che sia continua in 0

Come si fa spesso si suppone che il problema sia risolto Fissiamo dunque le nota-zioni abbiamo una funzione 119891 definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 e supponiamodi saperla estendere a una funzione 119891 definita su tutto 119882 cioegrave

119891(119911) =⎧⎨⎩

119891(119911) se 119911 isin 119882 119911 ne 119909119897 se 119911 = 119909

Quindi la funzione 119891 assume gli stessi valori di 119891 in tutti i punti di 119882 escluso 119909 ma haun valore anche in 119909 Siccome supponiamo che la funzione sia continua in 119909 data unatolleranza 120576 gt 0 sappiamo trovare un intorno 119880 di 119909 tale che si abbia per 119911 isin 119880

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

che quando 119911 ne 119909 si puograve anche scrivere

|119891(119911) minus 119897| le 120576

22 limiti 35

Nel caso di 119911 = 119909 la disuguaglianza egrave automaticamente verificata quindi ci basta trat-tarla per 119911 ne 119909 Per quello che abbiamo visto prima il valore 119897 egrave determinato dallarichiesta che 119891 sia continua in 119909 perciograve il problema ha al piugrave una soluzione

Ecco che abbiamo giustificato lrsquoimportante definizione che segue dovuta in sostanzaa Cauchy ma resa precisa da Weierstraszlig

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 Di-remo che il numero 119897 egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 se data una qualsiasitolleranza 120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 119911 ne 119909 si abbia

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

In tal caso la notazione usata saragrave

lim119911rarr119909

119891(119911) = 119897

La terminologia lsquolimitersquo e lsquotendersquo risale ai primi tempi dello sviluppo del calcolo dif-ferenziale quando si parlava di variabili lsquotendenti a valori limitersquo avendo unrsquoidea di-namica della questione che perograve non trova posto nella sistemazione rigorosa data daWeierstraszlig Continuiamo a usare i termini tradizionali basta ricordarsi che sono solonomi senza farsi ingannare dal loro suono o meglio dal loro significato nel linguaggiocomune

Il limite se esiste egrave quellrsquounico valore 119897 che assegnato come valore alla funzione119891 in 119909 cioegrave se si pone 119891(119909) = 119897 la rende continua in 119909 Perciograve ogni teorema sullefunzioni continue diventa un teorema sui limiti

Useremo la stessa notazione anche quando la funzione sia definita in 119909 con la ta-cita convenzione che in tale contesto il valore assunto da 119891 in 119909 non ci interessa lalsquosdefiniamorsquo in 119909

t e o r ema Siano 119891 e 119892 funzioni definite in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 e sup-poniamo che esistano lim119911rarr119909 119891(119911) = 119897 e lim119911rarr119909 119892(119911) = 119898 Sia poi 119886 un numeroqualsiasi Allora esistono i limiti seguenti e hanno i valori indicati

lim119911rarr119909

(119891(119911) + 119892(119911)) = 119897 +119898 lim119911rarr119909

(119891(119911)119892(119911)) = 119897119898

lim119911rarr119909

|119891(119909)| = |119897| lim119911rarr119909

119886119891(119911) = 119886119897

lim119911rarr119909

1119891(119911) = 1

119897 (se 119897 ne 0)

Si faccia attenzione che non egrave affatto detto che un limite esista sempre Lrsquoesempio classico egravequello della funzione 119891(119909) = cos(1119909) che egrave definita ovunque eccetto che in 0 Dimostriamo cheper nessun 119897 si puograve avere

lim119909rarr0

cos 1119909 = 119897

Sia infatti 119897 gt 0 In ogni intorno di 0 ci sono punti 119909 nei quali cos(1119909) lt 0 per esempiotutti i numeri della forma 1(120587 + 2119896120587) per 119896 intero abbastanza grande se lrsquointorno 119880 includelrsquointervallo aperto (minus120575 120575) ci basta prendere

0 lt 1120587+ 2119896120587 lt 120575

cioegrave (2119896 + 1)120587 gt 1120575 che equivale a

119896 gt 12( 1

120587120575 minus 1)

e quindi lrsquointorno non soddisfa alla tolleranza 120576 = 1198974 Analogamente se 119897 lt 0 allrsquointornoappartengono tutti i numeri della forma 1(2119896120587) per 119896 gt 1(2120587120575) dove il coseno vale 1 e quindi

36 continuitagrave

lrsquointorno non soddisfa la tolleranza 120576 = minus1198974 Lo stesso per 119897 = 0 allrsquointorno appartengono ipunti 1(2119896120587) ancora per 119896 gt 1(2120587120575) e lrsquointorno non soddisfa la tolleranza 120576 = 14

Il teorema sui limiti di maggiore utilitagrave fornisce una tecnica che abbiamo giagrave adope-rato nella sua forma intuitiva e che chiameremo teorema del confronto di limiti

t e o r ema Siano 119865 119866 e 119891 funzioni definite in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 esupponiamo che per 119911 isin 119882 119911 ne 119909 si abbia

119865(119911) le 119891(119911) le 119866(119911)

Se esistonolim119911rarr119909

119865(119911) = lim119911rarr119909

119866(119911) = 119897

allora esiste anchelim119911rarr119909

119891(119911) = 119897

Fissiamo una tolleranza 120576 gt 0 allora esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880119911 ne 119909 si abbia

|119865(119911) minus 119897| le 1205763 e |119866(119911) minus 119897| le 120576

3

In effetti dovremmo distinguere lrsquointorno in cui vale la disuguaglianza per 119865 e quelloin cui vale la disuguaglianza per 119866 se ne prendiamo lrsquointersezione ne abbiamo uno incui valgono entrambe Ora osserviamo che da 119865(119911) le 119891(119911) le 119866(119911) segue

0 le 119866(119911) minus 119891(119911) le 119866(119911) minus 119865(119911)

che possiamo anche scrivere tra valore assoluto dunque per 119911 isin 119880 119911 ne 119909

|119866(119911) minus 119891(119911)| le |119866(119911) minus 119865(119911)|= |119866(119911) minus 119897 + 119897 minus 119865(119911)|le |119866(119911) minus 119897| + |119897 minus 119865(119911)|

le 1205763 + 120576

3 = 23120576

Con questa disuguaglianza possiamo adesso scriverne unrsquoaltra sempre per 119911 isin 119880119911 ne 119909

|119891(119911) minus 119897| = |119891(119911) minus119866(119911) +119866(119911) minus 119897|le |119891(119911) minus119866(119911)| + |119866(119911) minus 119897|

le 23120576 + 1

3120576 = 120576

Questa volta le funzioni erano tre quindi abbiamo considerato 1205763 ma non lo siprenda come guida assoluta in realtagrave si scrivono le dimostrazioni mettendo valorigenerici che poi si aggiustano quando la dimostrazione egrave completa

Si possono riesaminare i due casi in cui abbiamo usato questo teorema cioegrave quandoabbiamo calcolato la derivata del logaritmo e delle funzioni trigonometriche Per illogaritmo dalle disuguaglianze

1119909+ℎ le log(119909 +ℎ) minus log119909

ℎ le 1119909

abbiamo lsquodedottorsquo che limℎrarr0(log(119909 +ℎ) minus log119909)ℎ = 1119909 percheacute

limℎrarr0

1119909+ℎ = lim

ℎrarr0

1119909 = 1

119909

22 limiti 37

dal momento che le funzioni ℎ rarr 1(119909+ℎ) e ℎ rarr 1119909 sono continueIn realtagrave dovremmo considerare la funzione ℎ rarr 1(119909+ℎ) definita in un intorno di

0 escluso 0 ma siccome ne conosciamo giagrave unrsquoestensione continua in 0 lrsquoesistenza eil valore del limite non sono un problema

Crsquoegrave un problema piugrave serio invece queste disuguaglianze valgono solo per ℎ gt 0 perℎ lt 0 abbiamo

1119909 le log(119909 +ℎ) minus log119909

ℎ le 1119909+ℎ

Egrave giunto il momento di dare una definizione piugrave generale di limite che ci possa essereutile in situazioni del genere

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione di dominio 119863(119891) e sia 119909 isin 119863(119891) diremo che119891 egrave continua in 119909 se per ogni tolleranza 120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di 119909 tale cheper 119911 isin 119880cap119863(119891)

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

Lrsquounica differenza rispetto a prima ma decisiva egrave di limitare i valori di 119911 a quelli cheappartengono sia allrsquointorno 119880 di 119909 sia al dominio di 119891 Ovviamente se 119863(119891) includeun intorno di 119909 la definizione coincide con la precedente a parte lrsquouso di 119911 isin 119880 invecedi 119909+ℎ con ℎ in un intorno di 0

Si puograve verificare facilmente che i teoremi sulla continuitagrave dimostrati prima continua-no a valere secondo la nuova definizione quando le funzioni invece di essere definitein un intorno 119882 di 119909 sono tutte definite in un insieme qualunque a cui 119909 appartiene

Vediamo subito un esempio importante la funzione 119891(119909) = radic119909 di cui vogliamodimostrare la continuitagrave in ogni punto del dominio 119863(119891) = [0 rarr) Dato 120576 gt 0dobbiamo risolvere la disequazione

|radic119911minusradic119909| le 120576

nellrsquoincognita 119911 e scoprire che lrsquoinsieme delle soluzioni egrave lrsquointersezione di un intorno di119909 con 119863(119891) La disequazione egrave equivalente a quella che si ottiene elevando al quadrato

119911minus 2radic119909119911+119909 le 1205762119911 + (119909minus 1205762) le 2radic119909119911

Nel caso di 119909 gt 0 possiamo supporre 0 lt 120576 lt radic119909 e quindi elevare di nuovo al quadrato

1199112 + 2(119909minus 1205762)119911 + (119909minus 1205762)2 le 41199091199111199112 minus 2(119909+ 1205762)119911 + (119909minus 1205762)2 le 0

il cui discriminante egrave

Δ4 = (119909+ 1205762)2 minus (119909minus 1205762)2

= (119909+ 1205762 +119909minus 1205762)(119909 + 1205762 minus119909+ 1205762)= 41199091205762

Dunque le radici del polinomio in 119911 sono 119909+1205762minus2120576radic119909 = (radic119909minus120576)2 e 119909+1205762+2120576radic119909 =(radic119909+ 120576)2 Lrsquoinsieme delle soluzioni egrave dunque

(radic119909minus 120576)2 le 119911 le (radic119909+ 120576)2

che egrave un intorno di 119909 dal momento che

(radic119909minus 120576)2 lt 119909 lt (radic119909+ 120576)2

38 continuitagrave

come si verifica facilmente usando lrsquoipotesi che 0 lt 120576 lt radic119909 Dunque la funzione egravecontinua in ogni 119909 gt 0 Nel caso di 119909 = 0 la disequazione diventa

|radic119911| le 120576

le cui soluzioni sono date da 0 le 119911 le 1205762 questo insieme coincide con

(minus1205762 1205762) cap119863(119891)

e quindi abbiamo dimostrato anche la continuitagrave in 0Ci sono casi in cui il dominio non include un intorno di ogni punto Consideriamo

la funzione119891(119909) = radic1199092(119909 minus 2)

definita nel piugrave ampio insieme dove lrsquoespressione abbia senso cioegrave

119863(119891) = 0 cup [2 rarr)

cioegrave la funzione egrave definita in 0 e nei punti 119909 tali che 119909 ge 2 Che possiamo dire riguardoalla continuitagrave in 0 Applichiamo la definizione riusciamo dato 120576 gt 0 a trovare unintorno 119880 di 0 tale che per 119911 isin 119880cap119863(119891) si abbia |119891(119911)minus119891(0)| le 120576 Certo lrsquointervalloaperto 119880 = (minus1 1) egrave un intorno di 0 e 119880 cap 119863(119891) = 0 quindi se 119911 isin 119880 cap 119863(119891) egravevero che |119891(119911) minus 119891(0)| = |0 minus 0| = 0 le 120576

Si tratta certamente di un caso molto particolare in effetti ci si accorge che ognifunzione egrave continua in un punto isolato del suo dominio cioegrave un punto 119909 per il qualeesiste un intorno 119880 di 119909 tale che 119880cap119863(119891) = 119909 percheacute questo intorno saragrave sempreadatto per qualsiasi tolleranza 120576 gt 0 Come se al produttore di oggetti di metallo fosseordinato lsquoun pezzo di ferrorsquo senza altre specificazioni qualsiasi cosa andragrave bene

d e f i n i z i o n e Siano 119878 un insieme di numeri e 119886 un numero diremo che 119886 egrave unpunto di accumulazione per 119878 se per ogni intorno 119880 di 119886 lrsquoinsieme 119880cap119878 contienealmeno un punto diverso da 119886

Nel caso precedente 0 non egrave un punto di accumulazione di 119863(119891) tutti gli altri ele-menti di119863(119891) sono punti di accumulazione Nel caso dellrsquointervallo aperto 119878 = (2 3)quali sono i punti di accumulazione Tutti gli elementi di 119878 ma anche gli estremi del-lrsquointervallo Per esempio nellrsquointorno (2 minus 120575 2 + 120575) con 120575 gt 0 di 2 cadono infinitipunti di 119878 tutti gli 119909 tali che 2 lt 119909 lt 2 + 120575 Siccome ogni intorno di 2 include unintervallo aperto di questo tipo abbiamo dimostrato la tesi Si scriva la dimostrazioneper 3

La discussione appena fatta mostra che un punto di accumulazione di 119878 puograve nonappartenere a 119878 Egrave proprio il caso del rapporto di Fermat per una funzione 119891 definitain un intorno di 119909 il dominio della funzione ℎ ↦ 119907(ℎ) dove

119907(ℎ) = 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ

egrave un intorno di 0 escluso 0 ma allora 0 egrave un punto di accumulazione del dominio di 119907Ci accorgiamo allora che questo egrave quanto serve per poter parlare di limite esattamentesecondo la nuova definizione di continuitagrave piugrave generale

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione definita in un insieme 119878 e sia 119909 un punto diaccumulazione di 119878 Diremo che il numero 119897 egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 sedata una qualsiasi tolleranza 120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880cap119878119911 ne 119909 si abbia

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

22 limiti 39

Useremo sempre la notazione di prima ma talvolta vorremo mettere in evidenzalrsquoinsieme 119878 magari percheacute la funzione potrebbe avere un dominio lsquonaturalersquo piugrave ampiodellrsquoinsieme che vogliamo considerare in quel caso scriveremo

lim119911rarr119909119911isin119878

119891(119911) = 119897

In genere non useremo insiemi 119878 complicati anzi di solito come 119878 prenderemo proprioil dominio della funzione Il caso piugrave importante in cui useremo insiemi diversi egrave quellodei limiti lsquodestrorsquo e lsquosinistrorsquo

Supponiamo che 119891 sia definita in un intorno119882 di119909 escluso 119909 possiamo considerarela funzione 119891119909+ che coincide con 119891 ma che ha come dominio 119882cap (119909 rarr) di cui 119909 egravecertamente un punto di accumulazione Invece di usare la notazione complicatissima

lim119911rarr119909

119911isin119882cap(119909 rarr)119891119909+(119911)

ricorreremo al piugrave semplicelim

119911rarr119909+119891(119911)

che chiameremo limite per 119911 che tende a 119909 da destra Analogo discorso si puograve fare peril limite per 119911 che tende a 119909 da sinistra che ci si puograve esercitare a definire esplicitamenteper questo useremo la notazione

lim119911rarr119909minus

119891(119911)

Percheacute ci interessano i limiti da destra e da sinistra La risposta egrave quasi ovvia

t e o r ema La funzione 119891 sia definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 Allora

lim119911rarr119909

119891(119911)

esiste se e solo se esistono e sono uguali

lim119911rarr119909+

119891(119911) e lim119911rarr119909minus

119891(119911)

La dimostrazione egrave facile in un senso e la lasciamo per esercizio se 119878 egrave un sot-toinsieme di 119863(119891) di cui 119909 egrave un punto di accumulazione e lim119911rarr119909 119891(119911) esiste alloraesiste

lim119911rarr119909119911isin119878

119892(119911) = lim119911rarr119909

119891(119911)

dove con 119892 denotiamo la funzione 119891 ristretta a 119878 Questo vale in particolare se 119878 =119863(119891) cap (119909 rarr) cosigrave che 119892 = 119891119909+ e analogamente per il limite da sinistra

Vediamo la parte importante supponiamo che sia lim119911rarr119909+ 119891(119911) sia lim119911rarr119909minus 119891(119911)esistano e che siano uguali a 119897 Fissiamo una tolleranza 120576 gt 0 e cerchiamo lrsquoinsiemedelle soluzioni di

|119891(119911) minus 119897| le 120576

(con 119911 ne 119909 naturalmente) Poniamo per semplicitagrave 119878+ = 119882 cap (119909 rarr) e 119878minus = 119882 cap(larr 119909) Per ipotesi le funzioni 119891119909+ e 119891119909minus definite rispettivamente su 119878+ e 119878minus hannolimite 119897 Dunque esiste un intorno 119880+ di 119909 tale che per 119911 isin 119880+ cap119878+

|119891119909+(119911) minus 119897| = |119891(119911) minus 119897| le 120576

Esiste anche un intorno 119880minus di 119909 tale che per 119911 isin 119880minus cap119878minus

|119891119909minus(119911) minus 119897| = |119891(119911) minus 119897| le 120576

40 continuitagrave

Ma allora se poniamo 119880 = 119880+ cap119880minus 119880 egrave un intorno di 119909 e per 119911 isin 119880 119911 ne 119909 si ha

|119891(119911) minus 119897| le 120576

usando la disuguaglianza per 119891119909+ se 119911 gt 119909 quella per 119891119909minus se 119911 lt 119909

A questo punto la nostra dimostrazione rigorosa della derivabilitagrave del logaritmo egravequasi conclusa poniamo 119907(ℎ) = (log(119909+ ℎ) minus log119909)ℎ per ℎ gt 0 abbiamo

1119909+ℎ le 119907(ℎ) le 1

119909

e quindi per il teorema del confronto di limiti possiamo dire che

limℎrarr0+

119907(ℎ) = 1119909

Per ℎ lt 0 abbiamo1119909 le 119907(ℎ) le 1

119909+ℎe ancora per il teorema di confronto di limiti possiamo dire che

limℎrarr0minus

119907(ℎ) = 1119909

Dunque limℎrarr0 119907(ℎ) = 1119909Non possiamo dire altrettanto sulla rigorositagrave della dimostrazione per la derivata di

seno e coseno dal momento che lagrave abbiamo assunto la continuitagrave delle due funzioniSta di fatto che le funzioni seno e coseno sono continue

t e o r ema La funzione 119909 ↦ sin119909 e la funzione 119909 ↦ cos119909 sono continue

Ci ricordiamo della famosa formula di prostaferesi

sin120572minus sin120573 = 2 cos 120572+1205732 sin 120572minus120573

2

dalla quale ricaviamo

sin(119909+ ℎ) minus sin119909 = 2 cos 2119909+ℎ2 sin ℎ

2

Fissiamo la tolleranza 120576 gt 0 La disequazione da risolvere diventa allora

|cos(119909+ ℎ2 ) sin ℎ

2 | le 1205762

Ora |cos(119909 + (ℎ2))| le 1 e perciograve cominciamo a risolvere la disequazione |sin(ℎ2)| le 1205762 Setroviamo un intorno119880 di 0 tale che per ℎ isin 119880 si abbia questa disuguaglianza per ℎ isin 119880 avremoanche la piugrave restrittiva

|cos(119909+ ℎ2 )| sdot |sin ℎ

2 | le |sin ℎ2 | le 120576

2

Poniamo 120576prime = 1205762 e ℎ = 2119896 Dobbiamo quindi risolvere |sin119896| le 120576prime alla fine ci siamo ridotti adimostrare che la funzione seno egrave continua in 0

Ritorniamo alla figura 4 dove supponiamo che lrsquoangolo 119860119874119862 sia di misura 0 lt 119896 lt 1205872 econsideriamo la corda 119860119862 la sua lunghezza egrave certamente minore della lunghezza dellrsquoarco dicirconferenza 119860119862 e vale 2 sin(1198962) Proviamo che

sin119896 lt 2 sin(1198962)

Infatti sin119896 = 2 sin(1198962) cos(1198962) le 2 sin(1198962) percheacute 0 le cos(1198962) le 1 Ma allora 119861119862 lt 119860119862 eperciograve sin119896 lt 119896 Per il teorema di confronto dei limiti dalla disuguaglianza

0 le sin119896 le 119896 (119896 gt 0)

23 il teorema di bolzano sugli zeri 41

possiamo concludere che lim119896rarr0+ sin119896 = 0 Se minus1205872 lt 119896 lt 0 abbiamo sin(minus119896) lt minus119896 e quindi119896 lt sin119896 lt 0 ma ancora questo ci dice che lim119896rarr0minus sin119896 = 0 Ne deduciamo che lim119896rarr0 sin119909 = 0e perciograve la funzione 119909 ↦ sin119909 egrave continua in 0 percheacute sin0 = 0

Ora egrave facile ritornare indietro esiste un intorno 119880 di 0 che possiamo prendere simmetricocioegrave 119880 = (minus120575120575) tale che per 119896 isin 119880 |sin119896| le 120576prime Allora per ℎ isin 119880prime = (minus2120575 2120575) avremoℎ2 isin 119880 e quindi

|sin ℎ2 | le 120576

2come voluto

Dobbiamo fare la stessa fatica per il coseno No siccome cos119909 = sin(119909 + (1205872)) sappiamoche 119909 ↦ cos119909 egrave continua percheacute composizione di due funzioni continue

23 il teorema di bolzano sugli zeri

Bernard Bolzano matematico e filosofo praghese (1781ndash1848) fu tra i primi con Cauchyad affrontare il problema del rigore nellrsquoanalisi matematica che si stava sempre piugravesviluppando a opera dei successori di Leibniz cioegrave i Bernoulli1 Leonhard Euler (1707ndash1783) Giuseppe Luigi Lagrange (1736ndash1813) e altri Fino ai suoi studi si dava come ovvioche una funzione che assuma sia valori positivi che negativi assume anche il valorezero In realtagrave questo egrave tuttrsquoaltro che ovvio e dipende dalla struttura profonda deinumeri reali

t e o r ema d i b o l z a no s u g l i z e r i Sia 119891 una funzione continua definitanellrsquointervallo chiuso [119901 119902] Se 119891(119901) lt 0 e 119891(119902) gt 0 esiste un punto 119888 internoallrsquointervallo [119901 119902] tale che 119891(119888) = 0

Lrsquoidea di Bolzano egrave semplice Poniamo 1199010 = 119901 e 1199020 = 119902 dividiamo lrsquointervallo[1199010 119902119900] a metagrave e sia 1199030 il punto medio Ci sono tre casi (1) 119891(1199030) = 0 (2) 119891(1199030) lt 0(3) 119891(1199030) gt 0

Nel primo caso abbiamo finito e poniamo 119888 = 1199030 Nel secondo caso poniamo 1199011 = 1199030e 1199021 = 1199020 Nel terzo caso poniamo 1199011 = 1199010 e 1199021 = 1199030 Cosigrave se 119891(1199030) ne 0 possiamoconsiderare 119891 definita sullrsquointervallo [1199011 1199021] con 119891(1199011) lt 0 e 119891(1199021) gt 0

A questo punto possiamo far partire il meccanismo se supponiamo di essere arrivatial passo 119899 gt 0 con la stessa tecnica troviamo o un punto 119903119899+1 tale che 119891(119903119899+1) = 0oppure un intervallo [119901119899+1 119902119899+1] tale che 119891(119901119899+1) lt 0 e 119891(119902119899+1) gt 0

Se il meccanismo arriva a una fine cioegrave a un passo 119899 in cui 119891(119903119899) = 0 il teoremaper 119891 egrave dimostrato In caso contrario abbiamo la successione inscatolata di intervalli[119901119899 119902119899] che hanno lunghezze decrescenti indefinitamente infatti se 119897 = 119902 minus 119901 lalunghezza dellrsquo119899-esimo intervallo egrave 1198972119899 Dunque esiste un unico punto 119888 comune atutti gli intervalli come si intuisce e come vedremo con precisione nel capitolo 8

Qui arrivava Bolzano e concludeva che 119891(119888) = 0 lasciando perograve un buco nelladimostrazione Noi abbiamo alle spalle Weierstraszlig e possiamo colmarlo

Chiamiamo 119878minus lrsquoinsieme dei punti 119901119899 e 119878+ lrsquoinsieme dei punti 119902119899 Allora 119888 egrave un puntodi accumulazione sia di 119878minus sia di 119878+ Siccome 119891 egrave continua lo egrave in particolare in 119888 equindi

119891(119888) = lim119911rarr119888

119891(119911) = lim119911rarr119888119911isin119878minus

119891(119911) = lim119911rarr119888119911isin119878+

119891(119911)

Siccome su 119878minus si ha 119891(119911) lt 0 e su 119878+ si ha 119891(119911) gt 0 egrave immediato verificare che

119891(119888) = lim119911rarr119888119911isin119878minus

119891(119911) le 0 e 119891(119888) = lim119911rarr119888119911isin119878+

119891(119911) ge 0

1 I matematici della famiglia furono Jakob Bernoulli (1654ndash1705) Nicolaus Bernoulli (1687ndash1759) Johann Ber-noulli (1667ndash1748) Nicolaus Bernoulli II (1695ndash1726) Daniel Bernoulli (1700ndash1782) Johann Bernoulli II (1710ndash1790) Johann Bernoulli III (1744ndash1807) Jakob Bernoulli II (1759ndash1789) I maggiori furono Jakob Nicolaus eDaniel

42 continuitagrave

per il teorema della permanenza del segno Lrsquounico numero che soddisfa entrambe ledisuguaglianze egrave 119891(119888) = 0

Le ipotesi sui valori di 119891 agli estremi non sono poi cosigrave stringenti vale lo stesso se119891(119901) gt 0 e 119891(119902) lt 0 basta applicare il teorema alla funzione 119909 ↦ minus119891(119909) Ma possiamodire molto di piugrave

Vediamo unrsquoapplicazione Vogliamo vedere se lrsquoequazione 119909 minus 1 = log10(119909 + 2) hasoluzioni Consideriamo la funzione 119891(119909) = 119909 minus 1 minus log10(119909 + 2) Allora 119891(0) =minus1 minus log10 2 lt 0 mentre 119891(8) = 7 minus log10(10) = 7 minus 1 = 6 gt 0 Dunque lrsquoequazioneammette soluzione sebbene non abbiamo alcun metodo per determinarla ldquoesattamen-terdquo Analogamente lrsquoequazione 119909 = cos119909 ha soluzione infatti se 119891(119909) = 119909 minus cos119909abbiamo 119891(0) = minus1 lt 0 e 119891(1205872) = 1205872 gt 0

Piugrave avanti vedremo metodi piugrave potenti che ci potranno anche dire il numero disoluzioni

t e o r ema d e i v a l o r i i n t e rm ed i Sia 119891 definita su un intervallo 119868 e con-tinua Se 119886 e 119887 con 119886 lt 119887 sono valori assunti da 119891 allora 119891 assume anche ognivalore 119910 con 119886 lt 119910 lt 119887

Per ipotesi esistono punti 119901119902 isin 119868 tali che 119891(119901) = 119886 e 119891(119902) = 119887 Supponiamo che119901 lt 119902 la dimostrazione nel caso 119902 lt 119901 egrave identica La funzione

119909 ↦ 119892(119909) = 119891(119909) minus119910

egrave continua in [119901 119902] e 119892(119901) = 119891(119901) minus 119910 = 119886 minus 119910 lt 0 mentre 119892(119902) = 119891(119902) minus 119910 =119887 minus 119910 gt 0 Per il teorema sugli zeri esiste un punto 119888 nellrsquointervallo [119901 119902] tale che119892(119888) = 0 Ma allora 119891(119888) = 119910

Lrsquoipotesi che 119891 sia definita su un intervallo egrave essenziale la funzione 119891(119909) = 1119909egrave continua 119891(minus1) = minus1 lt 0 119891(1) = 1 gt 0 ma non esiste alcun punto 119888 in cui119891(119888) = 0 Questo non contraddice il teorema percheacute questa funzione non egrave definitasu un intervallo

Il teorema sugli zeri non egrave lrsquounico contributo di Bolzano che enunciograve anche unrisultato poi reso rigoroso da Weierstraszlig

t e o r ema Sia 119891 una funzione definita sullrsquointervallo chiuso [119901 119902] e continuaAllora 119891 assume un valore massimo e un valore minimo

La dimostrazione di questo teorema egrave piuttosto difficile sebbene usi ancora lrsquoidea della bise-zione per un risultato preliminare esistono numeri 119896 e 119870 tali che per 119909 isin [119901 119902] 119896 le 119891(119909) le 119870Si esprime questo dicendo che 119891 egrave limitata Supponiamo dapprima che per 119909 isin [119901 119902]119891(119909) ge 0 Perciograve 119891 non egrave limitata se per qualsiasi 119904 gt 0 esiste 119909119904 tale che 119891(119909119904) ge 119904 Ladimostrazione saragrave per assurdo quindi supponiamo che 119891 non sia limitata

Come nella dimostrazione del teorema precedente poniamo 1199010 = 119901 e 1199020 = 119902 e dividiamolrsquointervallo a metagrave con il punto medio 1199030 La funzione saragrave non limitata in almeno una delle duemetagrave dellrsquointervallo quindi possiamo definire

1199011 = 1199010 1199021 = 1199030 se 119891 non egrave limitata in [1199011 1199021]1199011 = 1199030 1199021 = 1199020 se 119891 non egrave limitata in [1199011 1199021]

Conveniamo che se la funzione non egrave limitata in entrambe le metagrave scegliamo quella di sinistra(andrebbe bene anche scegliere quella di destra naturalmente lrsquoimportante egrave fissare una regola)

Anche qui possiamo dare il via al meccanismo percheacute la funzione 119891 pensata come definitasullrsquointervallo [1199011 1199021] soddisfa le stesse ipotesi Quindi possiamo supporre di avere una suc-cessione inscatolata e indefinitamente decrescente di intervalli [119901119899 119902119899] in ciascuno dei qualila funzione non egrave limitata

23 il teorema di bolzano sugli zeri 43

Esiste un unico punto 119888 che appartiene a tutti questi intervalli e 119891 egrave continua in 119888 Quindiesiste un intorno 119880 di 119888 tale che per 119911 isin 119880 |119891(119911) minus 119891(119888)| le 1 (prendiamo come tolleranza1 andrebbe bene un numero positivo qualsiasi) Siccome 119880 contiene un intervallo aperto dellaforma (119888 minus 120575 119888 + 120575) con 120575 gt 0 possiamo trovare 119898 tale che 1198972119898 lt 120575 Allora [119901119898 119902119898] sube 119880e perciograve per 119911 isin [119901119898 119902119898]

0 le 119891(119911) le 119891(119888) + 1

contro lrsquoipotesi che 119891 non sia limitata in [119901119898 119902119898] contraddizione Dunque 119891 egrave limitataA questo punto possiamo passare a funzioni qualsiasi la funzione 119892 = |119891| soddisfa la con-

dizione 119892(119909) ge 0 per 119909 isin [119901 119902] e quindi esiste 119870 tale che 0 le 119892(119909) le 119870 Ne segue cheminus119870 le 119891(119909) le 119870 e quindi 119891 egrave limitata

Ora possiamo dimostrare lrsquoesistenza di un punto nellrsquointervallo [119901 119902] dove 119891 assume il va-lore massimo Siccome lrsquoinsieme dei valori assunti da 119891 egrave limitato esso ha un estremo superiore119872 Se dimostriamo che 119891 assume il valore 119872 siamo a posto Ancora per assurdo supponiamoche 119891(119909) ne 119872 per ogni 119909 isin [119901 119902] Consideriamo la funzione

119892(119909) = 1119872minus119891(119909)

Per definizione di 119872 e per lrsquoipotesi di contraddizione abbiamo 119891(119909) lt 119872 per 119909 isin [119901 119902] quindi119892 egrave continua Dimostriamo che 119892 non egrave limitata da cui deriveragrave lrsquoassurdo percheacute violeremmociograve che abbiamo appena dimostrato

Sia 119904 gt 0 dobbiamo dimostrare che possiamo trovare 119909119904 isin [119901 119902] tale che 119892(119909119904) ge 119904 Perdefinizione di estremo superiore esiste un valore della funzione 119891 che appartiene allrsquointervallo[119872minus (1119904) 119872] cioegrave troviamo 119909119904 isin [119901 119902] tale che

119872minus 1119904 le 119891(119909119904) lt 119872

quindi

0 lt 119872minus119891(119909119904) le1119904

e dunque prendendo i reciproci1

119872minus119891(119909119904)ge 119904

cioegrave proprio 119892(119909119904) ge 119904 Dunque la possibilitagrave di definire 119892 conduce a un assurdo e ne segue che119891 deve assumere il valore 119872

Per lrsquoesistenza del minimo si procede in modo analogo (o si prende minus119891)

Si possono notare fondamentali differenze tra due dimostrazioni che usano la stessa idea inquella del teorema sugli zeri si dagrave una procedura ldquoeffettivardquo che permette almeno in linea diprincipio di trovare unrsquoapprossimazione del punto 119888 tale che 119891(119888) = 0 La dimostrazione delsecondo teorema invece consiste di due dimostrazioni per assurdo non dagrave alcuna proceduraeffettiva per determinare dove sia il punto di massimo (o quello di minimo)

Il problema di trovare uno zero di funzione si puograve affrontare con il calcolo approssimato conil metodo di bisezione o altri piugrave raffinati Quello di trovare i punti di massimo e minimo egraveinvece piugrave complesso Per funzioni derivabili invece si possono dare metodi numerici comevedremo

Il teorema dei valori intermedi ha conseguenze molto importanti Una funzione 119891si dice strettamente crescente quando per 1199091 1199092 isin 119863(119891) se 1199091 lt 1199092 allora 119891(1199091) lt119891(1199092) Si dice strettamente decrescente quando per 1199091 1199092 isin 119863(119891) se 1199091 lt 1199092 allora119891(1199091) gt 119891(1199092) Il termine strettamente monotona significa che 119891 egrave strettamente cre-scente o strettamente decrescente Notiamo che una funzione strettamente monotonaegrave iniettiva e quindi considerando come codominio lrsquoimmagine invertibile

t e o r ema Se una funzione continua 119891 definita su un intervallo egrave strettamentemonotona allora 119891 egrave invertibile e la sua inversa egrave definita su un intervallo

44 continuitagrave

Quello che ci interessa egrave che lrsquoimmagine sia un intervallo Ma per il teorema deivalori intermedi lrsquoimmagine egrave un insieme 119868 di numeri reali tale che se 119886119887 isin 119868 allora[119886 119887] sube 119868 Dunque 119868 egrave un intervallo la dimostrazione completa richiede di esaminareun buon numero di casi ne tratteremo alcuni lasciando il resto per esercizio

Poniamo 119901 = inf 119868 e 119902 = sup 119868 e ammettiamo per il momento che nessuno dei due siainfinito Se 119901 isin 119868 e 119902 isin 119868 egrave evidente che 119868 = [119901 119902] infatti [119901 119902] sube 119868 per quantovisto prima se poi 119910 isin 119868 abbiamo 119901 le 119910 le 119902 e quindi 119910 isin [119901 119902]

Supponiamo che 119901 notin 119868 119902 isin 119868 vogliamo vedere che 119868 = (119901 119902] Se 119901 lt 119910 le 119902 dalladefinizione di estremo inferiore segue che esiste 119911 isin 119868 tale che 0 lt 119911minus119901 lt (119910minus119901)2perciograve 119910 isin [119911 119902] e [119911 119902] sub 119868 da cui 119910 isin 119868 Dunque (119901 119902] sube 119868 Viceversa se119910 isin 119868 abbiamo [119910 119902] sube 119868 e dunque 119910 gt 119901 (non puograve essere 119910 = 119901 percheacute 119901 notin 119868)Dunque 119910 isin (119901 119902]

Si procede analogamente nel caso in cui 119901 isin 119868 e 119902 notin 119868 Nel caso in cui 119901 notin 119868 e 119902 notin 119868si tratta di adattare le due dimostrazioni precedenti

Lasciamo come esercizio i casi in cui 119901 = minusinfin oppure 119902 = +infin

t e o r ema Se una funzione continua 119891 definita su un intervallo egrave invertibileallora egrave strettamente monotona

Supponiamo che 119891 non sia strettamente monotona Allora esistono tre punti deldominio di 119891 1199091 1199092 1199093 isin 119863(119891) con 1199091 lt 1199092 lt 1199093 tali che valga una delle condizioniseguenti

1 119891(1199091) lt 119891(1199092) 119891(1199092) gt 119891(1199093) 119891(1199091) lt 119891(1199093)2 119891(1199091) lt 119891(1199092) 119891(1199092) gt 119891(1199093) 119891(1199091) ge 119891(1199093)3 119891(1199091) gt 119891(1199092) 119891(1199092) lt 119891(1199093) 119891(1199091) lt 119891(1199093)4 119891(1199091) gt 119891(1199092) 119891(1199092) lt 119891(1199093) 119891(1199091) ge 119891(1199093)

Svolgiamo la dimostrazione nel primo caso gli altri si trattano in modo analogo Peril teorema dei valori intermedi esiste 119888 isin [1199091 1199092] tale che 119891(119888) = 119891(1199093) dunque 119891non egrave iniettiva

l emma Se 119891 egrave una funzione monotona definita sullrsquointervallo chiuso [119901 119902] e119901 lt 119909 lt 119902 allora esistono

lim119911rarr119909minus

119891(119911) e lim119911rarr119909+

119891(119911)

e si ha lim119911rarr119909minus 119891(119911) le lim119911rarr119909+ 119891(119911) Esistono anche lim119911rarr119901 119891(119911) e lim119911rarr119902 119891(119911)

Scriviamo la dimostrazione solo per lim119911rarr119909+ 119891(119911) gli altri casi sono del tutto analo-ghi

Siccome 119891 egrave monotona abbiamo 119891(119901) le 119891(119911) per ogni 119911 isin [119901 119902] Se 120575 gt 0e 119909 + 120575 le 119902 lrsquoinsieme dei valori assunti da 119891 nellrsquointervallo (119909 119909 + 120575) egrave limitatoinferiormente quindi ne esiste lrsquoestremo inferiore 119897 Il nostro scopo egrave di dimostrareproprio che lim119911rarr119909+ 119891(119911) = 119897

Sia data la tolleranza 120576 gt 0 per le proprietagrave dellrsquoestremo inferiore esiste 1199110 isin(119909 119909 + 120575) tale che 119891(1199110) minus 119897 le 120576 Se 119911 isin (119909 1199110) avremo 119891(119911) le 119891(1199110) e quindi119891(119911) minus 119897 le 120576 abbiamo trovato lrsquointorno nel quale egrave soddisfatta la tolleranza richiesta

La dimostrazione che lim119911rarr119909minus 119891(119911) le lim119911rarr119909+ 119891(119911) egrave lasciata per esercizio

Notiamo unrsquoimportantissima conseguenza se per un certo 119909 si ha

119897 = lim119911rarr119909minus

119891(119911) lt lim119911rarr119909+

119891(119911) = 119898

24 tecniche di calcolo dei limiti 45

allora nessun punto interno allrsquointervallo [119897 119898] puograve appartenere allrsquoimmagine di 119891 equindi 119891 non egrave continua Siccome egrave evidente che lrsquoinversa di una funzione strettamentemonotona egrave anchrsquoessa strettamente monotona abbiamo il teorema seguente

t e o r ema Se 119891 egrave una funzione continua definita su un intervallo e strettamen-te monotona allora 119891 egrave invertibile e la sua inversa egrave continua e definita su unintervallo

Che 119891 sia invertibile egrave giagrave stato dimostrato Inoltre sappiamo che lrsquoinversa 119892 egrave defi-nita su un intervallo Il problema egrave di applicare il lemma che parla di intervalli chiusiSe 119910 egrave un punto dellrsquoimmagine di 119892 abbiamo tre casi (1) 119910 egrave il minimo dellrsquoimmagine(2) 119910 egrave un punto interno allrsquoimmagine (3) 119910 egrave il massimo dellrsquoimmagine In alcun caso119910 egrave lrsquounico punto dellrsquoimmagine percheacute 119891 egrave iniettiva e il dominio egrave un intervallo (chenon egrave formato per definizione da un solo punto) Possiamo applicare il lemma nelprimo caso a un qualsiasi intervallo del tipo [1199101199102] con 1199102 appartenente allrsquoimmagi-ne 119910 lt 1199102 nel secondo caso a un qualsiasi intervallo del tipo [11991011199102] con 1199101 e 1199102nellrsquoimmagine e 1199101 lt 119910 lt 1199102 nel terzo caso a un qualsiasi intervallo [1199101119910] con 1199101nellrsquoimmagine 1199101 lt 119910

In tutti i casi abbiamo che 119892 egrave continua in 119910

Con questo ci saremmo potuti risparmiare il lavoro di dimostrare che la funzione119909 ↦ radic119909 egrave continua percheacute egrave lrsquoinversa di 119909 ↦ 1199092 definita su [0 rarr) Torneremosullrsquoargomento

24 tecniche di calcolo dei limiti

In genere non egrave possibile lsquocalcolare un limitersquo spesso si riesce solo a dimostrare cheesiste Tuttavia qualche trucco a volte funziona

t e o r ema Sia 119892 una funzione continua in 119910 e sia 119891 una funzione tale che lacomposizione 119892 ∘ 119891 sia definita in un intorno di 119909 Se

lim119911rarr119909

119891(119911) = 119910

alloralim119911rarr119909

119892(119891(119911)) = 119892(119910)

Dire che lim119911rarr119909 119891(119911) = 119910 significa che la funzione 119891 definita da

119891(119911) =⎧⎨⎩

119891(119911) se 119911 ne 119909119910 se 119911 = 119909

egrave continua in 119909 Dunque la composizione 119909 ↦ 119892(119891(119909)) egrave continua in 119909

Diamo un esempio di applicazione di questo teorema per calcolare

lim119911rarr1

sin 1 minus 1199111minusradic119911

Ci basta calcolare119897 = lim

119911rarr1

1minus 1199111minusradic119911

46 continuitagrave

(se esiste) percheacute allora il limite cercato vale sin 119897 Il limite della frazione egrave

lim119911rarr1

1 minus 1199111minusradic119911 = lim

119911rarr1

(1 minusradic119911)(1 +radic119911)1 minusradic119911

= lim119911rarr1

(1 +radic119911) = 2

La semplificazione si puograve eseguire percheacute in tutto il calcolo si assume 119911 ne 1 e in questomodo ci si riduce alla funzione continua 119911 ↦ 1 +radic119911 Dunque il limite proposto valesin2

119909

119910

119860prime

119860

119861prime

119861

119862prime

119862

figura 5 Calcolo di lim119911rarr0

119911 log119911

Possiamo provare a calcolare un limite piugrave difficile lim119911rarr0 119911119911 Siccome 119911119911 = exp(119911 log119911)possiamo ridurci a calcolare lim119911rarr0 119911 log119911 se questo limite egrave 119897 quello richiesto saragrave exp(119897) Quiusiamo la continuitagrave di log e di exp anche se non egrave stata ancora ufficialmente dimostrata

Per 0 lt 119911 lt 1 che egrave quanto ci interessa log119911 si puograve vedere come lrsquoopposto dellrsquoarea indicatanella figura 5 dal lsquotrapeziorsquo con lato obliquo curvo 119860119860prime119861prime119861 che maggioriamo con la somma dellearee dei due trapezi (con lato obliquo rettilineo) 119860119860prime119862prime119862 e 119862119862prime119861prime119861 Il punto 119861 egrave dunque quellodi coordinate (119911 0) mentre 119861prime ha coordinate (119911 1119911) Come 119862 scegliamo il punto di coordinate(radic119911 0) e perciograve 119862prime ha coordinate (radic119911 1radic119911) Chiamiamo 1198781 e 1198782 le aree di 119860119860prime119862prime119862 e 119862119862prime119861prime119861rispettivamente allora

1198781 = 12(1 minusradic119911)(1+ 1

radic119911) = 12( 1

radic119911 minusradic119911)

1198782 = 12(radic119911minus 119911)( 1

radic119911 + 1119911) = 1

2( 1radic119911 minusradic119911)

cioegrave le aree dei due trapezi sono uguali Dunque

minus log119911 le 1radic119911 minusradic119911

e perciograve

119911(radic119911minus 1radic119911) le 119911 log119911 le 0

da cui otteniamo che119911radic119911minusradic119911 le 119911 log119911 le 0

e per il teorema sul confronto dei limiti abbiamo che

lim119911rarr0

119911 log119911 = 0

dal quale finalmente otteniamolim119911rarr0

119911119911 = 1

24 tecniche di calcolo dei limiti 47

Risultato che tutto sommato ci attendevamo ma che non egrave affatto ovvio Con i metodi piugrave potentiche studieremo piugrave avanti non saragrave necessaria tutta questa fatica per dimostrare che

lim119911rarr0

119911119899 log119899 = 0

per ogni 119899 gt 0

Il risultato precedente ci permette di ldquoportar fuorirdquo dal limite una funzione continuail prossimo ci permetteragrave di ldquocambiare la variabilerdquo

t e o r ema Sia 119891 una funzione continua definita su un intervallo e invertibileSe 119909 appartiene allrsquoimmagine di 119891 e 119892 egrave una funzione definita in un intorno di 119909escluso 119909 allora

lim119911rarr119909

119892(119911) = lim119905rarr119891minus1(119909)

119892(119891(119905))

nel senso che uno esiste se e solo se esiste lrsquoaltro e in tal caso sono uguali

La dimostrazione consiste nel ricordare che una funzione continua definita su unintervallo e invertibile ha inversa con le stesse proprietagrave Quindi si riduce a scrive-re una camionata di disuguaglianze e perciograve la omettiamo Vediamo invece qualcheinteressante applicazione

Cominciamo con uno facilelim119909rarr0

1199091minusradic1minus119909

Possiamo considerare come 119891 la funzione 119905 ↦ 1minus119905 che soddisfa certamente le ipotesiAl posto di 119909 metteremo dunque (1 minus 119905) e siccome 119891minus1(0) = 1 dovremo calcolare

lim119905rarr1

1 minus 1199051 minusradic119905

che abbiamo giagrave calcolato e vale 2Come si fa in pratica Vogliamo togliere di mezzo 1minus119909 sostituendolo con qualcosa

di piugrave semplice allora scriviamo formalmente 119905 = 1minus119909 e cerchiamo di risolvere rispettoa 119909 ottenendo 119909 = 1minus 119905 La funzione 119905 ↦ (1minus 119905) egrave di quelle buone e quindi possiamoeseguire la sostituzione Un esempio piugrave complicato

lim119909rarr1205872

sin119909minus cos119909minus 1cos119909

Il trucco che qui funziona egrave la sostituzione 119905 = tan(1199092) che trasforma lrsquoespressionedata in una frazione algebrica La possiamo usare percheacute la funzione 119909 ↦ tan(1199092)egrave invertibile se si limita il dominio allrsquointervallo (minus120587 120587) lrsquoinversa dagrave allora 119909 =2 arctan 119905 e quando 119909 = 1205872 avremo 119905 = tan(1205874) = 1 Ricordiamo poi che

sin119909 = 21199051 + 1199052 cos119909 = 1minus 1199052

1 + 1199052

e perciograve

sin119909minus cos119909minus 1 = 2119905 minus (1 minus 1199052) minus (1 + 1199052)1 + 1199052

= 2(119905 minus 1)1 + 1199052

Allora dobbiamo calcolare

lim119905rarr1

2(119905 minus 1)1 + 1199052

1 + 11990521 minus 1199052 = lim

119905rarr1

2(119905 minus 1)1 minus 1199052 = lim

119905rarr1

minus21+ 119905 = minus1

48 continuitagrave

Potremmo anche usare la sostituzione 119906 = 1205872 minus 119909 cioegrave 119909 = 1205872 minus 119906 che porta illimite nella forma

lim119906rarr0

cos119906minus sin119906minus 1sin119906 = lim

119906rarr0(cos119906minus 1

sin119906 minus 1) = minus1+ lim119906rarr0

cos119906minus 1119906

119906sin119906 = minus1

percheacute sappiamo giagrave che lim119906rarr0(1 minus cos119906)119906 = 0

25 funzioni composte

Supponiamo di voler calcolare la derivata della funzione 119909 ↦ log(119909 + 1) Lrsquointuizioneci dice che la funzione egrave derivabile percheacute il suo grafico non egrave altro che la traslazionedel grafico del logaritmo se questo ha tangente in ogni punto anche ogni traslatodeve averlo Ancora abbiamo ldquocalcolatordquo la derivata di 119909 ↦ (1minus1199092)12 con un trucconel quale supponevamo fin dallrsquoinizio che la funzione fosse derivabile Questo mododi procedere comune nei primi tempi dellrsquoanalisi puograve condurre a risultati scorretti oaddirittura paradossali

Supponiamo che abbia senso la somma di infiniti termini

119878 = 1+ 2+ 4+⋯+ 2119899 +⋯

e che per queste espressioni valgano le regole usuali Allora

2119878 = 2+ 4+ 8+⋯+ 2119899+1 +⋯ = (minus1) + 1+ 2+ 4+⋯ = minus1+ 119878

Dunque 2119878 = 119878minus1 da cui 119878 = minus12 Difficile crederci pare Eppure Euler sosteneva sulla basedi questi conti che i numeri negativi fossero da considerare maggiori di ldquoinfinitordquo

Occorre perciograve qualcosa di piugrave rigoroso Non che sia del tutto illecito il metodo diporre

119865(119909) = radic1minus1199092

e notare che 119865(119909)2 = 1 minus 1199092 da cui derivando ambo i membri e usando al primo laregola di Leibniz

119865prime(119909)119865(119909) + 119865(119909)119865prime(119909) = minus2119909

119865prime(119909) = minus119909119865(119909) = minus 119909

radic1minus1199092(119909 ne minus1 119909 ne 1)

Egrave illecito se prima non dimostriamo la derivabilitagrave di 119865La risposta ci egrave data dal concetto di composizione di funzioni Nel nostro caso pos-

siamo scrivere 119865(119909) = 119892(119891(119909)) dove 119891∶ 119909 ↦ 1 minus 1199092 e 119892∶ 119910 ↦ radic119910 Usiamo simbolidiversi per le variabili in modo da distinguere meglio le due funzioni Entrambe lefunzioni componenti sono derivabili nel loro dominio a parte che la seconda non lo egravein 0 Proviamo a ragionare in modo intuitivo e poi a rendere rigorosa la dimostrazione

Dobbiamo calcolare il rapporto di Fermat di 119865

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))

ℎ

Lrsquoidea egrave che per ℎ piccolo 119891(119909+ℎ) egrave approssimabile con 119891(119909)+ℎ119891prime(119909) e 119896 = ℎ119891prime(119909)egrave piccolo quindi 119892(119891(119909)+ℎ119891prime(119909)) = 119892(119910+119896) egrave approssimabile con 119892(119910)+119896119892prime(119910) =119892(119910) + ℎ119892prime(119910)119891prime(119909) e dunque

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

25 funzioni composte 49

Con le funzioni scritte si ha

119891prime(119909) = minus2119909 119892prime(119910) = 12radic119910

A dire il vero non avevamo ancora calcolato la derivata di 119892 lo si faccia per esercizioPer 119910 = 119891(119909) si ha proprio

119865prime(119909) = 119892prime(119910)119891prime(119909) = 12radic119910(minus2119909) = minus2119909

2radic1minus1199092= minus119909

radic1minus1199092

che coincide con il valore ldquocalcolatordquo con lrsquoaltro metodo

t e o r ema Sia119891 definita e continua in un intorno di119909 e derivabile in119909 La funzio-ne 119892 sia definita in un intorno di 119910 = 119891(119909) e derivabile in 119910 = 119891(119909) Supponiamoinfine che la composizione 119865∶ 119911 ↦ 119892(119891(119911)) sia definita in un intorno di 119909 Allora 119865egrave derivabile in 119909 e

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

Le ipotesi che abbiamo scritto non sono le meno restrittive possibili ma questesaranno sufficienti per le applicazioni

Dobbiamo trattare il rapporto di Fermat di 119865

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))

ℎ

Sappiamo scrivere 119891(119909+ℎ) = 119891(119909)+ℎ119891prime(119909)+ℎ120593(ℎ) dove limℎrarr0 120593(ℎ) = 0 siccome119891 egrave continua in 119909 per ℎ piccolo anche 119896 = ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ) saragrave piccolo e quindipotremo calcolare 119892(119910+ 119896) dunque la nostra espressione diventa

119892(119891(119909) + 119896) minus 119892(119891(119909))ℎ = 119892(119891(119909)) + 119896119892prime(119891(119909)) +120595(119896) minus 119892(119891(119909))

ℎ

dove abbiamo usato la formula analoga per 119892 119892(119910+119896) = 119892(119910)+119896119892prime(119910)+119896120595(119896) conlim119896rarr0 120595(119896) = 0 e 119910 = 119891(119909) Andiamo avanti

119896119892prime(119891(119909)) + 119896120595(119896)ℎ = (119892prime(119891(119909)) +120595(119896)) 119896ℎ

= (119892prime(119891(119909)) +120595(119896))(119891prime(119909) +120593(ℎ))

A questo punto prendiamo il limite per ℎ rarr 0 e otteniamo

limℎrarr0

119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))ℎ = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

Abbiamo naturalmente usato il fatto che

limℎrarr0

119896 = limℎrarr0

ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ) = 0

non abbiamo scritto 119896(ℎ) solo per evitare di complicare la formula ma la definizione119896 = ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ) rende chiaro che si tratta di una funzione che ha limite 0 perℎ rarr 0 Come si vede lrsquoidea di considerare la tangente come la retta che approssimameglio il grafico della funzione vicino al punto considerato egrave vincente

Questo teorema permette di calcolare la derivata di moltissime funzioni che ancoranon sapevamo trattare Per esempio siccome

119909119903 = exp(119903 log119909)

50 continuitagrave

se consideriamo 119865(119909) = 119909119903 (definita per 119909 gt 0) avremo

119891(119909) = 119903 log119909 119892(119910) = exp119910

e perciograve

119891prime(119909) = 119903119909 119892prime(119910) = exp119910

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909) = exp(119903 log119909)119903119909 = 119903119909119903 1119909 = 119903119909119903minus1

esattamente come nel caso di 119909 ↦ 119909119899 con 119899 intero positivo Il ragionamento non valeper 119903 = 0 ma non occorre scomodare tanta teoria per derivare la funzione 119909 ↦ 1 Per119903 = 12 si ha proprio che la derivata di 119892∶ 119910 ↦ radic119910 egrave

119892prime(119910) = 12radic119910

Nel caso della funzione 119865∶ 119909 ↦ 119899radic119909 che per 119899 gt 0 intero dispari egrave definita ancheper 119909 le 0 possiamo usare un trucco se 119909 gt 0 si ha 119899radic119909 = 1199091119899 e quindi la derivata sipuograve calcolare come prima Nel caso di 119909 lt 0 si ha

119899radic119909 = minus(minus119909)1119899

Quindi per 119909 lt 0 ponendo per comoditagrave 119903 = 1119899 si ha

119865prime(119909) = 119903(minus119909)119903minus1 sdot (minus1)

dove abbiamo usato 119891(119909) = minus119909 e 119892(119910) = 1199101119899 Perciograve

119865prime(119909) = 119903(minus(minus119909)119903)119909 =

119899radic119909119899119909

che egrave la stessa espressione valida anche quando 119909 gt 0 Si noti che la formula non valeper 119909 = 0 e infatti 119909 ↦ 119899radic119909 non egrave derivabile in 0 Lo si verifichi esplicitamente

3FUNZ ION I DER IVAB I L I

Diamo la definizione formale di derivabilitagrave alla luce della teoria dei limiti Sia 119909 unpunto di accumulazione appartenente al dominio 119863(119891) della funzione 119891 Diremo che119891 egrave derivabile in 119909 se esiste

limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ = 119891prime(119909)

Questa espressione si scrive anche in modo del tutto equivalente

lim119911rarr119909

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 = 119891prime(119909)

dal momento che la funzione continua ℎ ↦ 119909 + ℎ egrave invertibile In altre parole lafunzione

119907119891119909(ℎ) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ se ℎ ne 0

119891prime(119909) se ℎ = 0

egrave continua in 0 precisamente quando 119891 egrave derivabile in 119909 e la sua derivata egrave il numero119891prime(119909)

Diremo che 119891 egrave derivabile se egrave tale in ogni punto di accumulazione del dominio (laderivata non ha senso nei punti isolati)

t e o r ema Se 119891 egrave derivabile in 119909 allora 119891 egrave continua in 119909

Per ℎ ne 0 possiamo evidentemente scrivere

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + ℎ119907119891119909(ℎ)

e quindi per i teoremi sui limiti visto che 119907119891119909 egrave continua in 0

limℎrarr0

119891(119909+ℎ) = limℎrarr0

(119891(119909) + ℎ119907119891119909(ℎ)) = 119891(119909) + 0119891prime(119909) = 119891(119909)

Una prima applicazione egrave alla continuitagrave di log dal momento che ne abbiamo giagrave di-mostrato la derivabilitagrave inoltre sappiamo giagrave che log egrave strettamente crescente e definitain (0 rarr)

t e o r ema La funzione 119909 ↦ log119909 egrave continua Di conseguenza anche 119909 ↦ exp119909egrave continua

Abbiamo infatti visto che logprime esiste in ogni punto del dominio

d e f i n i z i o n e Sia data una funzione 119891 Un punto 119909 di 119863(119891) si dice un puntodi massimo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119891(119911) le 119891(119909)Un punto 119909 di 119863(119891) si dice un punto di minimo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale cheper 119911 isin 119880cap119863(119891) 119891(119911) ge 119891(119909)

Egrave evidente che un punto isolato del dominio egrave sia di massimo che di minimo ciinteressano di piugrave ovviamente i punti di massimo e di minimo che siano punti diaccumulazione del dominio In caso di dubbio parleremo di massimo e minimo locale(si dice spesso anche relativo) se dobbiamo distinguere dal valore massimo o minimoassunti dalla funzione

t e o r ema Se 119891 egrave definita in un intervallo aperto (119901 119902) e 119909 isin (119901 119902) egrave unpunto di massimo o di minimo locale in cui 119891 egrave derivabile allora 119891prime(119909) = 0

51

52 funzioni derivabili

Dimostriamo la tesi nel caso in cui 119909 sia un punto di massimo per un punto diminimo basta considerare minus119891 Sia 119880 un intorno di 119909 tale che per 119911 isin 119880 119891(119911) le 119891(119909)Allora per 119911 isin 119880 119911 gt 119909 si ha

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 le 0

mentre per 119911 isin 119880 119911 lt 119909 si ha

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 le 0

Per il teorema della permanenza del segno per i due limiti seguenti che esistono percheacute119891 egrave derivabile in 119909 vale

119891prime(119909) = lim119911rarr119909+

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 le 0 119891prime(119909) = lim

119911rarr119909minus119891(119911) minus 119891(119909)

119911 minus119909 ge 0

e dunque 119891prime(119909) = 0

31 i teoremi sulle funzioni derivabili

Il primo teorema importante sulle funzioni derivabili egrave quello tradizionalmente attri-buito a Michel Rolle (1652ndash1719) che perograve non ne diede che una vaga giustificazione

In molti di questi teoremi le ipotesi sulle funzioni si scrivono in un modo complicatoche cercheremo di riassumere con una locuzione

d e f i n i z i o n e La funzione 119891 si dice una funzione di Lagrange in [119901 119902] se egravedefinita e continua su [119901 119902] ed egrave derivabile su (119901 119902)

Un esempio di funzione di Lagrange egrave 119909 ↦ radic1minus1199092 sullrsquointervallo [minus1 1] Egrave con-tinua e derivabile in ogni punto del dominio esclusi proprio gli estremi Chiaramentela funzione puograve essere derivabile anche agli estremi dellrsquointervallo per essere una fun-zione di Lagrange egrave solo che la derivabilitagrave agli estremi non fa parte delle richieste Inparticolare una funzione derivabile in un intervallo (119901 119902) egrave una funzione di Lagrangesu ogni sottointervallo chiuso

t e o r ema d i r o l l e Sia 119891 una funzione di Lagrange su [119901 119902] tale che119891(119901) = 119891(119902) Allora esiste 119888 isin (119901 119902) tale che 119891prime(119888) = 0

Per il teorema di Weierstraszlig sui valori estremi 119891 assume il valore massimo e ilminimo Siccome 119891(119901) = 119891(119902) egrave evidente che uno fra massimo e minimo dovragrave cadereallrsquointerno dellrsquointervallo (ci sarebbe il caso in cui stanno entrambi agli estremi maallora la funzione sarebbe costante e la tesi sarebbe comunque verificata) dunque saragraveun massimo o minimo locale In un punto di massimo o di minimo interno la derivatache esiste per ipotesi vale 0

Il teorema di Rolle di per seacute non serve a molto Lo si enuncia percheacute la dimostrazio-ne egrave molto semplice e con esso possiamo dimostrare teoremi piugrave generali

t e o r ema d i l a g r ang e Sia 119891 una funzione di Lagrange su [119901 119902] Alloraesiste un punto 119888 isin (119901 119902) tale che

119891prime(119888) = 119891(119902) minus 119891(119901)119902 minus 119901

31 i teoremi sulle funzioni derivabili 53

Per dimostrare questo teorema vogliamo usare quello di Rolle Ci serve una funzione119892 definita in termini di 119891 che abbia le proprietagrave richieste La cerchiamo della forma

119892(119909) = 119891(119909) minus 119886119909

dove 119886 egrave un opportuno numero reale che egrave certamente una funzione di Lagrange su[119901 119902] Dobbiamo allora avere 119892(119901) = 119892(119902) cioegrave

119891(119901) minus 119886119901 = 119891(119902) minus 119886119902

che dagrave119886 = 119891(119902) minus 119891(119901)

119902 minus 119901

In base al teorema di Rolle esiste un punto 119888 tale che 119892prime(119888) = 0 cioegrave essendo 119892prime(119909) =119891prime(119909) minus 119886

119891prime(119888) minus 119886 = 0

che si traduce nellrsquouguaglianza richiesta

Il valore (119891(119902) minus 119891(119901))(119902 minus 119901) si chiama valore medio di 119891 in [119901 119902] il teoremadi Lagrange dice quindi che la derivata di una funzione di Lagrange in un intervalloassume il valore medio della funzione in quellrsquointervallo Si pensi a qualche situazionefisica in cui questo valore egrave proprio comunemente noto come lsquovalore mediorsquo

La terminologia funzione di Lagrange non egrave diffusa ma riassume bene le ipotesi (con-tinuitagrave in un intervallo chiuso e derivabilitagrave allrsquointerno non egrave richiesta la derivabilitagraveagli estremi) a una funzione di Lagrange si puograve applicare lrsquoomonimo teorema che hadue conseguenze importantissime

Il teorema di Lagrange egrave legato a unrsquoimportante concetto Data la funzione 119891 definita sul-lrsquointervallo [119901 119902] possiamo considerare la retta per i due punti (119901119891(119901)) e (119902119891(119902)) che haequazione

119910minus119891(119901) = 119891(119902) minus 119891(119901)119902 minus 119901 (119909minus119901)

Cerchiamo il punto sulla curva definita da 119891 che abbia distanza massima da questa retta Perevitare notazioni complicate chiamiamo 119898 il coefficiente angolare della retta La distanza delpunto (119905119891(119905)) da questa retta egrave

|119891(119905) minus 119891(119901) minus119898(119905 minus 119901)|radic1+1198982

e per trovare la distanza massima ci basta considerare il numeratore e togliere il modulo cioegravela funzione

119892(119905) = 119891(119905) minus 119891(119901) minus119898(119905 minus 119901)

Di questa cercheremo il minimo e il massimo poi ne calcoleremo il modulo e potremo sceglierequale sia il piugrave grande Se la funzione 119891 egrave una funzione di Lagrange possiamo essere certi cheil minimo e il massimo di 119892 siano allrsquointerno dellrsquointervallo [119901 119902] percheacute 119892(119901) = 119892(119902) = 0questo purcheacute il grafico di 119891 non sia la retta stessa ma in tal caso il problema non si porrebbenemmeno Inoltre 119892 egrave derivabile in (119901 119902) e dunque troveremo minimo e massimo dove 119892prime siannulla

119892prime(119905) = 119891prime(119905) minus119898

Dunque 119892prime(119905) = 0 se e solo se 119891prime(119905) = 119898 cioegrave 119905 egrave proprio uno dei punti la cui esistenza egrave notadal teorema di Lagrange

Vediamo in un caso semplice quello di 119891(119909) = 1198861199092 con 119886 gt 0 Cerchiamo dunque i punti119905 isin (119901 119902) in cui

119891prime(119905) = 119891(119902) minus 119891(119901)119902minus 119901 = 1198861199022 minus1198861199012

119902minus 119901 = 119886(119902+ 119901)

54 funzioni derivabili

Evidentemente si ha 119891prime(119905) = 2119886119905 e quindi 119905 = (119902 + 119901)2 La distanza massima egrave dunque

|1198861199052 minus1198861199012 minus119898(119905 minus 119901)|radic1+1198982

= |(119905 minus 119901)(119886119905 + 119886119901minus119898)|radic1+1198982

Qui 119898 = (1198861199022 minus1198861199012)(119902 minus 119901) = 119886(119902+ 119901) e dunque abbiamo

119905 minus 119901 = 119902minus1199012 119886119905 + 119886119901minus119898 = 119886119902+119901

2 +119886119901minus119886(119902+ 119901) = 1198862 (119901minus 119902)

da cui togliendo il modulo otteniamo come distanza massima

1198864

(119902 minus 119901)2

radic1+1198862(119902 + 119901)2

Per 119891(119909) = 1119909 sempre nellrsquointervallo [119901 119902] (con 119902 gt 119901 gt 0) abbiamo

119898 = 119891(119902) minus 119891(119901)119902minus 119901 = minus 1

119901119902

e dunque dobbiamo risolvere lrsquoequazione

minus 11199052 = minus 1

119901119902

che dagrave come punto di massima distanza 119905 = radic119901119902 che egrave la media geometrica tra 119901 e 119902 Da questosegue che 119901 lt radic119901119902 lt 119902 se 0 lt 119901 lt 119902 risultato dimostrabile senza passare per il teorema diLagrange naturalmente

Nel caso di 119891(119909) = sin119909 e prendendo 0 le 119901 lt 119902 le 120587 si ha

119898 = sin119902minus sin119901119902minus119901

e lrsquoequazione egravecos 119905 = sin119902minus sin119901

119902minus119901

Il teorema di Lagrange in questo caso ci garantisce che

minus1 le sin119902minus sin119901119902minus119901 le 1

percheacute lrsquoequazione ha soluzioneAnalogamente il teorema applicato a 119891(119909) = exp119909 nellrsquointervallo [0 119887] dice che lrsquoequazione

exp119887minus 1119887 = exp119888

ha soluzione in questo intervallo (percheacute 119891prime(119909) = exp119909) e essendo 119891 crescente abbiamo le duedisuguaglianze

1 le exp119887minus 1119887 le exp119887

La prima si puograve anche scrivere 1+119887 le exp119887 mentre la seconda dice che exp119887minus1 le 119887 exp119887 cioegravein altro modo (1 minus 119887) exp119887 le 1 Per 0 lt 119887 lt 1 abbiamo dunque

exp119887 le 11minus 119887

Una delle principali conseguenze del teorema di Lagrange egrave un criterio spesso utileper determinare se una funzione egrave crescente o decrescente

t e o r ema Se la funzione119891 egrave definita e derivabile in un intervallo e vale119891prime(119909) gt 0per ogni 119909 isin 119863(119891) allora 119891 egrave strettamente crescente

Consideriamo 1199091 1199092 isin 119863(119891) con 1199091 lt 1199092 allora 119891 egrave certamente una funzione diLagrange su [1199091 1199092] e quindi possiamo scrivere

119891(1199092) minus 119891(1199091) = (1199092 minus1199091)119891prime(119888) gt 0

per un opportuno 119888 isin (1199091 1199092) dunque 119891(1199091) lt 119891(1199092)

31 i teoremi sulle funzioni derivabili 55

Egrave evidente che supponendo 119891prime(119909) lt 0 la conclusione diventa che 119891 egrave strettamentedecrescente

Notiamo che la condizione appena scritta egrave solo sufficiente affincheacute una funzionederivabile sia strettamente crescente Lrsquoesempio piugrave semplice al riguardo egrave 119909 ↦ 1199093 cheegrave strettamente crescente ma ha derivata nulla in 0

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave definita in un intervallo derivabile e 119891prime(119909) = 0 perogni 119909 isin 119863(119891) allora 119891 egrave costante

Di nuovo se 1199091 1199092 isin 119863(119891) e 1199091 lt 1199092 possiamo scrivere

119891(1199092) minus 119891(1199091) = (1199092 minus1199091)119891prime(119888) = 0

per un opportuno 119888 isin (1199091 1199092) Questo prova che il valore della funzione 119891 egrave lostesso su qualsiasi coppia di punti del dominio dunque 119891 assume lo stesso valore suogni punto

Indebolendo le ipotesi si ottiene una conclusione piugrave debole se 119891 egrave derivabile inun intervallo e 119891prime(119909) ge 0 in esso allora 119891 egrave (debolmente) crescente cioegrave se 1199091 lt 1199092allora 119891(1199091) le 119891(1199092) Lo si dimostri per esercizio Si dimostri anche che se lrsquoinsiemedei punti dove 119891prime si annulla non ha punti di accumulazione allora 119891 egrave strettamentecrescente

Vediamo un importante esempio Della funzione 119891 si sa che egrave definita ovunque eche 119891prime(119909) = 119891(119909) per ogni 119909 Che possiamo dire della funzione 119891

Conosciamo giagrave una funzione che ha queste proprietagrave la funzione esponenzialeabbiamo giagrave visto infatti che expprime 119909 = exp119909 (Non del tutto rigorosamente per la veritagrave)Siccome exp119909 ne 0 possiamo considerare la funzione

119892(119909) = 119891(119909)exp119909

che egrave definita ovunque ne calcoliamo la derivata

119892prime(119909) = 119891prime(119909) exp119909minus119891(119909) expprime 119909(exp119909)2 = 119891(119909) exp119909minus119891(119909) exp119909

(exp119909)2 = 0

per lrsquoipotesi 119891prime(119909) = 119891(119909) Dunque 119892 egrave costante se poniamo 119886 = 119892(0) avremo alloraper ogni 119909

119891(119909) = 119886 exp119909

Consideriamo ora una funzione 119865 definita in (0 rarr) tale che 119865prime(119909) = 1119909 per ogni119909 gt 0 Se consideriamo 119892(119909) = 119865(119909) minus log119909 abbiamo che

119892prime(119909) = 119865prime(119909) minus logprime 119909 = 1119909 minus 1

119909 = 0

e dunque 119892 egrave costante Poniamo 119886 = 119892(1) cioegrave 119886 = 119865(1) minus log1 = 119865(1) Allora per119909 gt 0

119865(119909) = 119865(1) + log119909

Se poniamo 119865(1) = log119896 che egrave possibile abbiamo unrsquoespressione ancora piugrave interes-sante

119865(119909) = log(119896119909)

Si provi che se 119865 egrave una funzione definita e derivabile in (0 rarr) per la quale per 119909 gt 0

119865(119909) = 119887119909 119865(1) = 0

56 funzioni derivabili

con 119887 ne 0 allora esiste un unico 119886 tale che 119865(119909) = log119886 119909 per ogni 119909 gt 0Il teorema di Lagrange e le sue conseguenze sono uno strumento insostituibile per

lo studio di funzioni percheacute spesso permettono di trovare gli ldquointervalli di crescenza edecrescenzardquo quindi di ottenere informazioni utili sullrsquoandamento di una funzione

Consideriamo per esempio 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 allora 119891prime(119909) = 31199092 minus 3 ed egrave facilestudiarne la variazione

119909 lt minus1 119891prime(119909) gt 0 la funzione egrave crescente in (larr minus1]minus1 lt 119909 lt 1 119891prime(119909) lt 0 la funzione egrave decrescente in [minus1 1]

119909 gt 1 119891prime(119909) gt 0 la funzione egrave crescente in [1 rarr)

Di conseguenza minus1 egrave un punto di massimo e 1 egrave un punto di minimoVediamo unrsquoapplicazione di questo studio Ci ricordiamo che lrsquoequazione 119909 = cos119909

ha soluzione ma quante ne ha Consideriamo di nuovo la funzione 119891(119909) = 119909minus cos119909che egrave derivabile in ogni punto Ne calcolamo la derivata 119891prime(119909) = 1 + sin119909 che siannulla solo per sin119909 = minus1 cioegrave 119909 = 31205872 + 2119896120587 (119896 intero) In tutti gli altri punti siha 119891prime(119909) gt 0 quindi la funzione egrave strettamente crescente e perciograve puograve annullarsi in alpiugrave un punto La soluzione di 119909 = cos119909 egrave dunque unica

Facciamo qualcosa di piugrave complicato cerchiamo i valori di119898 e 119902 per i quali exp119909 = 119898119909+119902 ab-bia soluzioni e vogliamo anche discutere il numero di soluzioni al variare di119898 e 119902 Consideriamodunque 119891(119909) = exp119909minus119898119909minus119902 e studiamo la crescenza e decrescenza di 119891

119891prime(119909) = exp119909minus119898

che egrave positiva per exp119909 gt 119898 Se 119898 gt 0 la funzione egrave decrescente in (larr log119898] e crescente in[log119898 rarr) e quindi ha un minimo assoluto in log119898

Siccome 119891(log119898) = 119898 minus 119898 log119898 minus 119902 avremo una soluzione quando 119891(log119898) = 0 cioegrave119902 = 119898(1 minus log119898) percheacute il grafico di 119891 egrave tangente allrsquoasse delle ascisse due soluzioni quando119891(log119898) lt 0 cioegrave 119902 gt 119898(1 minus log119898) nessuna soluzione quando 119891(log119898) gt 0 cioegrave 119902 lt 119898(1 minuslog119898) Che ci siano soluzioni quando 119902 gt 119898(1minus log119898) si basa sui limiti

lim119909rarrminusinfin

exp119909minus119898119909minus119902 = +infin lim119909rarr+infin

exp119909minus119898119909minus119902 = +infin

che discuteremo piugrave avantiSe 119898 le 0 la disuguaglianza expminus119898 gt 0 egrave certamente soddisfatta e quindi 119891 in questo caso

egrave crescente dunque crsquoegrave al piugrave una soluzione Se 119898 = 0 lrsquoequazione diventa exp119909 = 119902 che hasoluzione solo per 119902 gt 0

Vediamo per 119898 lt 0 quello che ci interessa egrave scoprire lrsquoimmagine della funzione 119892(119909) =exp119909minus119898119909 Usando concetti che vedremo piugrave avanti possiamo dire che

lim119909rarrminusinfin

exp119909minus119898119909 = minusinfin lim119909rarr+infin

exp119909minus119898119909 = +infin

e quindi che per 119898 lt 0 si ha una soluzione qualunque sia 119902

32 i teoremi di cauchy e di lrsquohocircpital

Con una tecnica analoga a quella usata per il teorema di Lagrange si puograve dimostrare unrisultato piugrave generale dovuto a Cauchy

t e o r ema d i c a u ch y Siano 119891 e 119892 funzioni di Lagrange su [119901 119902] e suppo-niamo che 119892(119909) ne 0 per 119909 isin [119901 119902] e 119892prime(119909) ne 0 per 119909 isin (119901 119902) Allora esisteun punto 119888 isin (119901 119902) tale che

119891prime(119888)119892prime(119888) = 119891(119902) minus 119891(119901)

119892(119902) minus 119892(119901)

32 i teoremi di cauchy e di lrsquohocircpital 57

Il teorema di Lagrange egrave un caso speciale di questo con 119892(119909) = 119909 cosigrave come ilteorema di Rolle egrave un caso speciale di quello di Lagrange quando 119891(119901) = 119891(119902) cosigrave chein effetti dicono la stessa cosa

La tecnica della dimostrazione egrave simile a quella usata in precedenza cerchiamo119886 in modo che alla funzione 119865(119909) = 119891(119909) minus 119886119892(119909) si possa applicare il teorema diRolle percheacute 119865 egrave certamente una funzione di Lagrange su [119901 119902] Siccome 119865(119901) =119891(119901) minus 119886119892(119901) e 119865(119902) = 119891(119902) minus 119886119892(119902) troviamo

119886(119892(119902) minus 119892(119901)) = 119891(119902) minus 119891(119901)

Notiamo che 119892(119902) ne 119892(119901) se non fosse cosigrave per il teorema di Rolle esisterebbe un pun-to 119889 isin (119901 119902) tale che 119892prime(119889) = 0 che egrave escluso dallrsquoipotesi Quindi 119886 egrave univocamentedeterminato

Ora il punto 119888 isin (119901 119902) fornito dal teorema di Rolle cioegrave tale che 119865prime(119888) = 0 egrave quellodesiderato

119891prime(119888) minus 119886119892prime(119888) = 0e quindi essendo 119892prime(119888) ne 0 per ipotesi

119891prime(119888)119892prime(119888) = 119886 = 119891(119902) minus 119891(119901)

119892(119902) minus 119892(119901)

Il teorema di Cauchy serve essenzialmente per dimostrare un teorema assai utile peri calcoli Egrave dovuto probabilmente a Johan Bernoulli ma apparve per la prima volta senzaattribuzioni nel libro Analyse des Infiniment Petits pour lrsquoIntelligence des Lignes Courbesdel marchese Guillaume Franccedilois Antoine de lrsquoHocircpital (1661ndash1704) a cui Bernoulli avevainsegnato il calcolo

Enunceremo il teorema in un caso particolare lo estenderemo in seguito ma primavogliamo capire da dove Bernoulli ha avuto lrsquoidea Consideriamo due funzioni 119891 e 119892definite in un intorno di 119909 e derivabili in 119909 supponiamo anche che 119891(119909) = 119892(119909) = 0ma che 119892 non assuma il valore 0 se non in 119909 Se vogliamo calcolare il

lim119911rarr119909

119891(119911)119892(119911)

possiamo sfruttare il trucco di ldquodividere numeratore e denominatore per 119911minus119909rdquo

lim119911rarr119909119891(119911)119892(119911) = lim

119911rarr119909

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909

119892(119911) minus 119892(119909)119911 minus119909

= 119891prime(119909)119892prime(119909)

purcheacute 119892prime(119909) ne 0 Il primo passaggio usa ovviamente il fatto che119891(119909) = 119892(119909) = 0 Chesuccede perograve se 119891prime(119909) = 119892prime(119909) = 0 Saremmo di nuovo in un caso di indeterminazioneBernoulli (o lrsquoHocircpital) esaminograve proprio questo e ne dedusse un teorema davvero utilePiugrave tardi Cauchy dimostrograve il teorema che porta il suo nome e da questo egrave piugrave facile ediretto dedurre il teorema che ora tratteremo

t e o r ema d i l rsquo h ocirc p i t a l Siano 119891 e 119892 funzioni definite in un intorno 119882 di 119909escluso 119909 e derivabili con 119892prime(119911) ne 0 per 119911 isin 119882 119911 ne 119909 Supponiamo che

lim119911rarr119909

119891(119911) = 0 lim119911rarr119909

119892(119911) = 0

Se esiste

lim119911rarr119909

119891prime(119911)119892prime(119911) = 119897

allora si ha anche

lim119911rarr119909

119891(119911)119892(119911) = 119897

58 funzioni derivabili

Diamo solo unrsquoidea della dimostrazione Verifichiamo prima di tutto la questioneper il limite da destra si potragrave fare in modo analogo per il limite da sinistra Le funzioni119891 e che si ottengono estendendo 119891 e 119892 ponendo 119891(119909) = 0 e (119909) = 0 sono continue equindi funzioni di Lagrange nellrsquointervallo [119909 119911] per qualsiasi 119911 isin 119882 119911 gt 119909 percheacutecoincidono con 119891 e 119892 Le due funzioni dunque soddisfano le ipotesi del teorema diCauchy e quindi per ogni 119911 isin 119882 119911 gt 119909 esiste 119905119911 isin (119909 119911) con

119891prime(119905119911)prime(119905119911)

= 119891(119911) minus 119891(119909)(119911) minus (119909)

cioegrave119891prime(119905119911)119892prime(119905119911)

= 119891(119911)119892(119911)

Via via che 119911 si avvicina a119909 anche 119905119911 si avvicina a119909 (la parte difficile della dimostrazioneegrave rendere rigoroso questo passaggio) e si puograve concludere adoperando lrsquoesistenza dilim119911rarr119909 119891prime(119911)119892prime(119911)

Un paio di esempi di applicazione del teorema Consideriamo

lim119909rarr1205872

sin119909minus cos119909minus 1cos119909

Le funzioni soddisfano le ipotesi del teorema quindi possiamo scrivere

lim119909rarr1205872

sin119909minus cos119909minus 1cos119909

H= lim119909rarr1205872

cos119909+ sin119909minus sin119909 = 0+ 1

minus1 = minus1

dove il simboloH= va interpretato come ldquolrsquouguaglianza vale purcheacute il limite che segue

esistardquo e indica lrsquoapplicazione del teorema

In certi casi lrsquoapplicazione del teorema di lrsquoHocircpital non ha molto senso si pensi al caso

limℎrarr0

sinℎℎ

H= limℎrarr0

cosℎ1 = cos0 = 1

in cui il calcolo richiederebbe la derivata della funzione seno che egrave stata ottenuta tramite il limiterichiesto Anche la funzione precedente in effetti potrebbe ricadere in questo circolo viziosoTuttavia siccome la derivata di seno e coseno egrave nota non egrave proibito adoperare il teorema dilrsquoHocircpital anche qui

Il teorema di lrsquoHocircpital si puograve usare anche piugrave volte

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093

H= lim119909rarr0

1 minus cos11990931199092

H= lim119909rarr0

sin1199096119909 = 1

6 lim119909rarr0

sin119909119909 = 1

6

Dopo il primo passaggio alle derivate si ottiene un limite al quale il teorema egrave ancoraapplicabile Lrsquoultimo limite esiste quindi esiste anche il secondo quindi anche il primo

Altro esempio nel quale egrave bene eseguire qualche semplificazione prima di procederecon la seconda applicazione del teorema

lim119909rarr1

log119909minus119909+ 11199092 minus2119909+ 1

H= lim119909rarr1

1119909 minus 1

2119909minus 2

= lim119909rarr1

12

1 minus119909119909(119909minus 1)

= lim119909rarr1

12minus1119909 = minus1

2

32 i teoremi di cauchy e di lrsquohocircpital 59

Si potrebbe anche applicare il teorema allrsquoespressione ottenuta dopo la prima applica-zione senza eseguire la semplificazione ottenendo in questo caso di dover calcolareil limite di minus1(21199092) In generale perograve egrave meglio prima di tutto eseguire le possibilisemplificazioni

Si faccia anche attenzione a servirsi del teorema solo quando le funzioni soddisfa-no le ipotesi per non incorrere in gravi errori Se infatti applicassimo il teorema percalcolare lim119909rarr1(119909 minus 1)119909 otterremmo lim119909rarr1 11 = 1 che non egrave certamente il limiterichiesto

Vediamo una delle principali conseguenze del teorema Se la funzione 119891 egrave continuain 119909 il rapporto di Fermat fornisce proprio unrsquoespressione del tipo trattato dal teoremadi lrsquoHocircpital in

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909

il numeratore ha limite 0 per 119911 rarr 119909 se e solo se 119891 egrave continua in 119909 Se 119891 egrave derivabile inun intorno di 119909 possiamo applicare il teorema di lrsquoHocircpital la derivata del numeratoreegrave 119891prime(119911) quella del denominatore egrave 1

t e o r ema Se 119891 egrave continua in 119909 e derivabile in un intorno di 119909 escluso al piugrave 119909allora 119891 egrave derivabile in 119909 se e solo se lim119911rarr119909 119891prime(119911) esiste e in tal caso

119891prime(119909) = lim119911rarr119909

119891prime(119911)

Spesso il teorema si usa per dimostrare che 119891 non egrave derivabile in 119909 Consideriamola funzione 119891(119909) = radic1199092 minus1199093 la cui derivata per 119909 lt 1 ma 119909 ne 0 egrave

119891prime(119909) = 2119909minus 31199092

2radic1199092 minus1199093

La funzione non egrave allora derivabile in 1 come si vede facilmente per trattare la deri-vabilitagrave in 0 consideriamo il limite da destra e quello da sinistra della derivata Pertrattarlo dobbiamo portare il numeratore sotto il segno di radice quadrata ma per que-sto occorre stabilire se egrave positivo o negativo Con ovvi calcoli si vede che 2119909minus31199092 gt 0per 0 lt 119909 lt 23 Quindi per 0 lt 119909 lt 23 si puograve scrivere

119891prime(119909) = 12radic

(2119909minus 31199092)21199092 minus1199093

mentre per 119909 lt 0 si ha

119891prime(119909) = minus12radic

(2119909minus 31199092)21199092 minus1199093

Chiamiamo 119892 lrsquoespressione sotto radice

lim119909rarr0

119892(119909) = lim119909rarr0

(2 minus 3119909)21 minus119909 = 1

da cui deduciamo che

lim119909rarr0minus

119891prime(119909) = minus1 lim119909rarr0+

119891prime(119909) = 1

Quindi 119891 non egrave derivabile in 0Consideriamo la funzione 119891(119909) = 119909119899 log119909 definita e continua in (0 rarr) Il limite

a +infin non dagrave problemi vediamo quello in 0 scrivendo 119891(119909) = log119909119909minus119899 alla quale sipuograve applicare il teorema di lrsquoHocircpital

lim119909rarr0

log119909119909minus119899

H= lim119909rarr0

1119909minus119899119909minus119899minus1 = lim

119909rarr0

minus1119899 119909119899 = 0

60 funzioni derivabili

Non occorre il teorema per calcolare il limite di 119909119899(log119909)119898 con 119899 ge 119898 gt 0 percheacuteabbiamo

lim119909rarr0

119909119899(log119909)119898 = lim119909rarr0

119909119899minus119898120576(119909120576 log119909)119898

e basta scegliere 120576 gt 0 tale che 119899minus119898120576 gt 0 cioegrave 0 lt 120576 lt 119899119898 Siccome 119899119898 ge 1 untale 120576 esiste e i teoremi sui limiti permettono di concludere

33 derivata della funzione inversa

In un punto precedente abbiamo barato abbiamo infatti usato lrsquoespressione per laderivata della funzione esponenziale avendola ricavata da considerazioni geometricheMa ora abbiamo tutti gli strumenti per trattare il problema generale

Supponiamo dunque che 119891 sia una funzione strettamente monotona definita in unintervallo 119868 e derivabile Sia 119909 un punto dellrsquointervallo 119868 tale che 119891prime(119909) ne 0 Allora lafunzione 119892 = 119891minus1 egrave derivabile in 119910 = 119891(119909) e si ha

119892prime(119910) = 1119891prime(119909) = 1

119891prime(119892(119910))

Si noti che questa egrave proprio la relazione che lega i coefficienti angolari dellrsquoequazione diuna retta prima e dopo lo scambio degli assi la retta 119910 = 119898119909+119902 per 119898 ne 0 diventa119909 = 119898119910+119902 e quindi 119910 = (1119898)119909+ (119902119898)

Per dimostrare la formula precedente consideriamo il rapporto di Fermat

lim119905rarr119910

119892(119905) minus 119892(119910)119905 minus119910

e usiamo il cambiamento di variabile nel limite dato da 119891 cioegrave scriviamo 119905 = 119891(119911)

lim119905rarr119910

119892(119905) minus 119892(119910)119905 minus119910 = lim

119911rarr119891minus1(119910)

119892(119891(119911)) minus 119892(119910)119891(119911) minus119910

Ora sappiamo che 119892(119891(119911)) = 119911 e siccome 119910 = 119891(119909) possiamo scrivere 119909 = 119892(119910)quindi

lim119905rarr119910

119892(119905) minus 119892(119910)119905 minus119910 = lim

119911rarr119909119911minus119909

119891(119911) minus 119891(119909) = 1119891prime(119909)

come si volevaSi noti che la funzione 119892 non egrave derivabile nei punti 119910 in cui 119891prime(119892(119910)) = 0 Infatti

se lo fosse e la derivata valesse 119897 ne 0 la derivata di 119891 in 119892(119910) sarebbe 1119897 ne 0 per lostesso motivo se 119892 egrave la funzione inversa di 119891 allora 119891 egrave la funzione inversa di 119892 Siverifichi che non puograve nemmeno essere 119897 = 0

In pratica una volta noto che lrsquoinversa di una funzione derivabile egrave derivabile sipuograve eseguire il calcolo in modo meno complicato usando il teorema sulle funzionicomposte Vediamo nel caso dellrsquoesponenziale Scriviamo lrsquoidentitagrave fondamentale chelega la funzione al logaritmo e deriviamo ambo i membri

log(exp119909) = 119909

1exp119909 expprime 119909 = 1

expprime 119909 = exp119909

33 derivata della funzione inversa 61

Proviamo con funzioni piugrave complicate la funzione seno purcheacute ristretta allrsquointerval-lo [minus1205872 1205872] egrave invertibile e la sua inversa si denota con arcsin

sin(arcsin119909) = 119909

cos(arcsin119909) arcsinprime 119909 = 1

arcsinprime 119909 = 1cos(arcsin119909)

arcsinprime 119909 = 1radic1minus1199092

Infatti per 120572 isin [minus1205872 1205872] vale lrsquouguaglianza

cos120572 = radic1minus sin2 120572

Notiamo che sinprime(minus1205872) = sinprime(1205872) = 0 e quindi arcsin non egrave derivabile in minus1 =sin(minus1205872) e in 1 = sin(1205872) cioegrave agli estremi dellrsquointervallo di definizione Tuttavia egraveuna funzione di Lagrange in [minus1 1] Analogamente si ottiene

arccosprime 119909 = minus 1radic1minus1199092

Per la tangente abbiamo unrsquoespressione molto interessante

tanprime 119909 = 1+ tan2 119909

e quindi possiamo scrivere

tan(arctan119909) = 119909

(1 + tan2(arctan119909)) arctanprime 119909 = 1

arctanprime 119909 = 11+1199092

Quindi arctan che egrave definita ovunque egrave anche derivabile ovunque Abbiamo scopertounrsquoaltra funzione la cui derivata egrave una frazione algebrica

Lrsquoarcotangente pone un problemino interessante consideriamo la funzione

119865(119909) = arctan 1119909

che egrave definita per 119909 ne 0 La sua derivata si calcola ponendo 119891(119909) = 1119909 e 119892(119910) =arctan119910

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909) = 11+ (119891(119909))2

minus11199092

che con una facile semplificazione dagrave

119865prime(119909) = minus11+1199092

Consideriamo allora la funzione

119866(119909) = arctan119909+ arctan 1119909

la cui derivata egrave allora la somma delle derivate degli addendi

119866prime(119909) = 11+1199092 + minus1

1+1199092 = 0

62 funzioni derivabili

e per la conseguenza del teorema di Lagrange dovremmo dedurre che 119866 egrave costanteInvece non lo egrave Infatti

119866(1) = arctan1 + arctan(11) = 1205874 + 120587

4 = 1205872

119866(minus1) = arctan(minus1) + arctan(minus1) = minus1205874 minus 120587

4 = minus1205872

Dovrsquoegrave il problema Naturalmente nel fatto che 119866 non egrave definita su un intervallo Invecedal teorema di Lagrange si puograve correttamente dedurre che

arctan119909+ arctan 1119909 =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

1205872 se 119909 gt 0

minus1205872 se 119909 lt 0

Egrave giunto il momento di riassumere tutte le principali derivate nella tabella 2 Nellacolonna ldquoCondizionirdquo sono riportate eventuali limitazioni a cui devono essere sottopo-ste le quantitagrave nella riga Dove non altrimenti scritto la funzione egrave derivabile in ognipunto del suo dominio

33 derivata della funzione inversa 63

119865(119909) 119865prime(119909) Condizioni

119886119891(119909) 119886119891prime(119909)

119891(119909) + 119892(119909) 119891prime(119909) + 119892prime(119909)

119891(119909)119892(119909) 119891prime(119909)119892(119909) + 119891(119909)119892prime(119909)

119891(119909)119892(119909)

119891prime(119909)119892(119909) minus 119891(119909)119892prime(119909)(119892(119909))2

119892(119891(119909)) 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

119909119899 119899119909119899minus1 119899 intero

119899radic119909119899radic119909119899119909 119909 ne 0 119899 intero positivo

log119909 1119909

exp119909 exp119909

119909119903 119903119909119903minus1 119903 reale 119903 ne 0

sin119909 cos119909

cos119909 minus sin119909

tan119909 1+ tan2 119909

arcsin119909 1radic1minus1199092

119909 isin (minus1 1)

arccos119909 minus 1radic1minus1199092

119909 isin (minus1 1)

arctan119909 11+1199092

tabella 2 Tabella delle regole di derivazione e delle derivate delle principali funzioni Sinoti che la funzione 119909 ↦ 119909119903 con 119903 non intero va considerata come definita per119909 gt 0 La funzione 119909 ↦ 119899radic119909 egrave definita per 119909 ge 0 quando 119899 egrave pari per ogni 119909quando 119899 egrave dispari

4L IM IT I

La nozione di limite che abbiamo dato non egrave sufficiente per rendere conto del com-portamento delle funzioni in casi molto importanti Lrsquoesempio tipico egrave 119891(119909) = 11199092che discuteremo per primo vogliamo rendere preciso che cosa intendiamo per ldquoaverelimite infinitordquo

41 limiti infiniti

Consideriamo la funzione 119909 ↦ 11199092 che egrave definita per 119909 ne 0 Il punto 0 egrave un punto diaccumulazione del dominio ed egrave sensato domandarsi se esista

lim119909rarr0

11199092

Se perograve facciamo tracciare la curva a GeoGebra ci accorgiamo che piugrave la 119909 si avvicinaa 0 piugrave 11199092 diventa grande Del resto egrave evidente che quando 119909 = 10minus15 (poco piugravedel raggio di un protone in metri) 11199092 = 1030 (il numero stimato di batteri sullaterra) e che se facciamo diminuire il valore di 119909 quello di 11199092 cresceragrave senza alcunalimitazione

Come possiamo esprimere precisamente questa nozione Non egrave cosigrave complicatodopo tutto 11199092 egrave il reciproco di 1199092 Lrsquoidea egrave dunque questa e la possiamo rendereprecisa cosigrave come abbiamo fatto per quella di limite finito Fissiamo unamaggiorazione119872 allora esiste un intorno 119880 di 0 tale che che per 119911 isin 119880 119911 ne 0 si abbia 11199112 gt 119872Qualsiasi maggiorazione fissiamo la possiamo superare stando opportunamente vicinoa 0 Diamo allora la definizione ufficiale

d e f i n i z i o n e Sia 119909 un punto di accumulazione del dominio di una funzione 119891Diremo che +infin egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 se data una qualsiasi mag-giorazione 119872 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119911 ne 119909 siabbia

119891(119911) ge 119872

In tal caso la notazione usata saragrave

lim119911rarr119909

119891(119911) = +infin

Il simbolo +infin si legge ldquopiugrave infinitordquo

Vediamo che la definizione si applica al caso in esame cioegrave 119909 ↦ 11199092 Fissiamo 119872dobbiamo risolvere la disequazione

11199112 gt 119872 119911 ne 0

le cui soluzioni sono date per 119872 gt 0 da

minusradic

1119872 lt 119911 lt

radic1119872 119911 ne 0

e lrsquoinsieme delle soluzioni egrave proprio un intorno di 0 escluso 0 Se 119872 le 0 il proble-ma non si pone nemmeno tutti i numeri non nulli sono soluzione Anche qui comenel caso delle tolleranze che possono essere limitate verso lrsquoalto possiamo fissare unminorante delle maggiorazioni richieste se riusciamo a soddisfare il problema permag-giorazioni piugrave grandi di 1 per esempio lo riusciamo a soddisfare per maggiorazioniqualsiasi

65

66 limiti

Nel caso della funzione 119891(119909) = 1119909 non possiamo dire la stessa cosa per 119909 lt 0 siha 1119909 lt 0 e quindi la funzione non egrave positiva in 119880cap119863(119891) per qualsiasi intorno 119880 di0 Tuttavia egrave chiaro che per la funzione ristretta allrsquointervallo (0 rarr) il limite egrave +infin

lim119909rarr0+

1119909 = +infin

Infatti per 119911 isin (minus1119872 1119872)cap119863(1198910+) si ha effettivamente 119891(119911) ge 119872 quando 119872 gt 0Non dovrebbe sorprendere la seguente definizione

d e f i n i z i o n e Sia 119909 un punto di accumulazione del dominio di una funzione 119891Diremo che minusinfin egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 se data una qualsiasi mag-giorazione 119872 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119911 ne 119909 siabbia

119891(119911) le minus119872

In tal caso la notazione usata saragrave

lim119911rarr119909

119891(119911) = minusinfin

Il simbolo minusinfin si legge ldquopiugrave infinitordquo

Non dovrebbe sorprendere nemmeno che

lim119911rarr0

minus 11199112 = minusinfin lim

119911rarr0minus

1119911 = minusinfin

Nella definizione si usa minus119872 percheacute cosigrave egrave chiaro che

lim119911rarr119909

119891(119911) = minusinfin se e solo se lim119911rarr119909

minus119891(119911) = +infin

Un esempio importante egrave quello del logaritmo

lim119909rarr0

log119909 = minusinfin

Infatti la disequazionelog119909 le minus119872

egrave soddisfatta per 0 lt 119909 le exp(minus119872) e questo insieme egrave

(minus exp(minus119872) exp(119872)) cap119863(log)

Proviamo con qualcosa di piugrave complicato

lim119909rarr0+

exp(1119909) = +infin

Per una maggiorazione 119872 gt 1 la disequazione

exp(1119909) ge 119872

diventa 1119909 ge log119872

cioegrave0 lt 119909 le 1

log119872

Se poniamo 120575 = 1 log119872 e 119880 = (minus120575 120575) abbiamo che la disequazione egrave soddisfattaper 119909 isin 119880 119909 gt 0 come richiesto

41 limiti infiniti 67

Tanto per vedere che le funzioni possono essere bizzarre dimostriamo che

lim119909rarr0minus

exp(1119909) = 0

Infatti per la tolleranza 0 lt 120576 lt 1 la disequazione

|exp(1119909)| le 120576 (119909 lt 0)

diventa 1119909 le log 120576 (119909 lt 0)

che essendo 119909 lt 0 e log 120576 lt 0 diventa

119909 ge 1log 120576 (119909 lt 0)

Dunque tutti i numeri nellrsquoinsieme

( 1log 120576 minus 1

log 120576)cap (larr 0)

sono soluzioni della disequazione e la tesi egrave provataNon preoccupiamoci troppo di questi conti ci sono varie tecniche che permettono

di evitarli Vediamone una

t e o r ema Sia 119909 un punto di accumulazione del dominio di 119891 Allora

lim119911rarr119909

119891(119911) = +infin

se e solo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119911 ne 119909 si abbia119891(119911) gt 0 e inoltre

lim119911rarr119909

1119891(119911) = 0

Nel caso utile di limiti da destra e da sinistra si puograve operare in modo analogo Loenunceremo solo per funzioni definite in un intorno di 119909 escluso 119909 che egrave il caso in cuisi puograve parlare di limiti da destra e da sinistra

t e o r ema Sia 119891 definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 Allora

lim119911rarr119909+

119891(119911) = +infin

se e solo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 119911 gt 119909 si abbia 119891(119911) gt 0 einoltre

lim119911rarr119909+

1119891(119911) = 0

Le versioni di questi teoremi per il limite minusinfin sono ovvie e anche le dimostrazionilo sono Si noti perograve che non ci basta sapere che lim119911rarr119909 1119891(119911) = 0 per concluderequalcosa su lim119911rarr119909 119891(119911)

Vediamo unrsquoapplicazione al caso delle frazioni algebriche Siano 119875 e 119876 polinomiAllora sappiamo che la funzione

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909)

egrave continua ovunque sia definita Il suo dominio egrave costituito da tutti i numeri realiescluse le radici di 119876 Supponiamo che 119888 sia una radice di 119876 di molteplicitagrave 119889

68 limiti

Primo caso 119888 egrave una radice anche di 119875 di molteplicitagrave119899 ge 119889 In questo caso possiamoscrivere per 119909 ne 119888

119891(119909) = 1198751(119909)1198761(119909)

(119909minus 119888)119899(119909minus 119888)119889 = 1198751(119909)

1198761(119909)(119909minus 119888)119899minus119889

dove 119888 non egrave una radice neacute di 1198751 neacute di 1198761 quindi avremo evidentemente

lim119909rarr119888

119891(119909) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1198751(119888)1198761(119888)

se 119899 = 119889

0 se 119899 gt 119889

Secondo caso 119888 egrave una radice di 119875 di molteplicitagrave 119899 lt 119889 (non escludiamo il caso di119899 = 0 cioegrave che 119888 non egrave radice di 119875) In questo caso possiamo scrivere per 119909 ne 119888

119891(119909) = 1198751(119909)1198761(119909)

1(119909minus 119888)119889minus119899

dove 119888 non egrave una radice neacute di 1198751 neacute di 1198761 Ci siamo dunque ridotti a considerare ilseguente caso

119891(119909) = 119892(119909)(119909minus 119888)119898

dove 119892 egrave una funzione definita e continua in un intorno di 119888 con 119892(119888) ne 0 e 119898 gt 0(intero) Egrave del tutto ovvio che

lim119909rarr119888

1119891(119909) = lim

119909rarr119888(119909 minus 119888)119898

119892(119909) = 0

percheacute la funzione 119909 ↦ (119909minus 119888)119898119892(119909) egrave certamente continua in un intorno di 119888Poniamo adesso 119870 = 119892(119888) e consideriamo dapprima quando 119870 gt 0 Per 119909 gt 119888

abbiamo (119909 minus 119888)119898 gt 0 e dunque 119891(119909) gt 0 Dal teorema precedente segue che

lim119909rarr119888

119891(119909) = +infin

Il limite egrave minusinfin se 119870 lt 0La faccenda egrave piugrave complicata per il limite da sinistra Se 119898 egrave pari si ha per 119909 lt 119888

(119909 minus 119888)119898 gt 0 se 119898 egrave dispari si ha per 119909 lt 119888 (119909 minus 119888)119898 lt 0 Da questo mettendoinsieme con il valore di 119870 si ottiene applicando il teorema il limite da sinistra

Imparare a memoria la casistica egrave del tutto inutile Meglio dare un criterio piugrave maneg-gevole che troviamo nella tabella 3 nella quale le notazioni formali ldquo+infinsdot119870rdquo e ldquominusinfinsdot119870rdquostanno per non si cambia segno davanti a infin se 119870 gt 0 si cambia se 119870 lt 0 Useremoancora questa notazione

Vediamo qualche esempio Consideriamo la funzione

119891(119909) = 1199093 minus 21199092 minus119909+ 21199092 minus 1

che si puograve scrivere come

119891(119909) = 1199092 minus119909minus 2119909+ 1

119909minus 1119909minus 1

e quindi

lim119909rarr1

119891(119909) = 12 minus 1minus 21+ 1 = minus2

2 = minus1

Consideriamo invece

119891(119909) = 1199093 minus 21199092 minus119909+ 2(1199094 minus 21199092 + 1)2

41 limiti infiniti 69

Sia 119888 una radice del polinomio 119876 e si consideri la funzione

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909)

dove 119875 egrave un altro polinomio Si vogliono calcolare

lim119909rarr119888+

119891(119909) e lim119909rarr119888minus

119891(119909)

1 Si scrive la funzione nella forma

119891(119909) = 1198751(119909)1198761(119909)

(119909minus 119888)119899(119909minus 119888)119889

dove 119888 non egrave radice neacute di 1198751 neacute di 1198761 (puograve essere 119899 = 0)

2 Se 119899 = 119889 il limite egrave 1198751(119888)1198761(119888)

3 Se 119899 gt 119889 il limite egrave 0

4 Se 119899 lt 119889 si pone 119898 = 119889minus119899 e si calcola 119870 = 1198751(119888)1198761(119888)

41 se 119898 egrave pari 119891 si comporta come la funzione 119909 ↦ 1198701199092 in 0

42 se 119898 egrave dispari 119891 si comporta come la funzione 119909 ↦ 119870119909 in 0

Valgono inoltre i seguenti limiti

lim119909rarr0

1198701199092 = +infin sdot 119870

lim119909rarr0+

119870119909 = +infin sdot 119870

lim119909rarr0minus

119870119909 = minusinfin sdot 119870

Si noti che egrave sufficiente decidere se 119870 gt 0 o 119870 lt 0 e non serve calcolarloesplicitamente tranne ovviamente nel passo 2

tabella 3 Procedura per il calcolo del limite di una frazione algebrica a una radice deldenominatore

70 limiti

che si puograve scrivere come

119891(119909) = 1199092 minus119909minus 2(119909+ 1)4

119909minus 1(119909minus 1)4 = 1199092 minus119909minus 2

(119909+ 1)41

(119909minus 1)3

Nelle notazioni precedenti si ha

119892(119909) = 1199092 minus119909minus 2(119909+ 1)4

e quindi 119870 = 119892(1) = minus216 = minus18 lt 0 Con le notazioni della tabella si ha 119898 = 3che egrave dispari Quindi

lim119909rarr1+

119891(119909) = +infin sdot (minus18) = minusinfin lim119909rarr1minus

119891(119909) = minusinfin sdot (minus18) = +infin

Vogliamo in effetti definire risultati di ldquooperazionirdquo dove compaiano questi nuovisimboli Ciograve non significa che +infin e minusinfin siano da considerare numeri reali di fattoqueste ldquooperazionirdquo saranno solo scorciatoie mnemoniche per ricordarsi le regole dicalcolo dei limiti che enunceremo piugrave avanti nella tabella 119886 e 119887 denotano numeri

119886+ (+infin) = +infin 119886minus (+infin) = minusinfin119886+ (minusinfin) = minusinfin 119886minus (minusinfin) = +infin

119887 gt 0 119887 sdot (+infin) = +infin 119887 sdot (minusinfin) = minusinfin119887 lt 0 119887 sdot (+infin) = minusinfin 119887 sdot (minusinfin) = +infin

+infin+ (+infin) = +infin minusinfin+ (minusinfin) = minusinfin+infin sdot (+infin) = +infin +infin sdot (minusinfin) = minusinfinminusinfin sdot (+infin) = minusinfin minusinfin sdot (minusinfin) = +infin

119886(+infin) = 0 119886(minusinfin) = 0

Vanno ovviamente comprese quelle che si ottengono permutando i termini Notiamoche mancano alcuni casi non daremo alcun significato alle espressioni formali 0sdot(+infin)0 sdot (minusinfin) +infin + (minusinfin) e +infin minus (+infin) Di fatto quelle che ci sono non sono poi cosigravecomplicate da ricostruire moltiplicare un numero positivo per un numero grande dagraveun numero grande egrave la traduzione intuitiva di 119887sdot(+infin) = +infin per 119887 gt 0 Se si ricordanole lsquoregole dei segnirsquo non ci si puograve sbagliare e quindi basta dare una forma intuitiva soloalle regolette che coinvolgono +infin

bull sommare a un numero un numero grande dagrave un numero grande

bull moltiplicare un numero positivo per un numero grande dagrave un numero grande

bull sommare o moltiplicare due numeri grandi dagrave un numero grande

I teoremi sulle operazioni sui limiti giagrave visti si estendono ai casi in cui il limite diuna o entrambe le funzioni siano +infin o minusinfin e le ldquooperazionirdquo relative compaiano nellatabella

Dunque per esempiolim

119909rarr0minus

1119909 minus 1

119909+ 1 = minusinfin

percheacutelim

119909rarr0minus

1119909 = minusinfin lim

119909rarr0minus

1119909+ 1 = 1

e minusinfinminus1 = minusinfinViceversa non possiamo usare la tabella per valutare un limite come

lim119909rarr0+

1119909 minus 1

1199092

42 limiti allrsquoinfinito 71

che corrisponderebbe a una non definita operazione +infin minus infin Per calcolare questolimite occorre procedere come delineato per le frazioni algebriche

1119909 minus 1

1199092 = 119909minus 11199092 = 119909minus 1

111199092

Qui 119870 = (0minus 1)1 = minus1 e quindi possiamo applicare minus1 sdot (+infin) = minusinfin Si noti che

lim119909rarr0+

11199092 minus 1

119909

corrisponderebbe alla stessa espressione +infin minus infin e il limite egrave esattamente lrsquooppostodi prima cioegrave +infin Egrave proprio per questo che non egrave possibile dare un senso a quellaespressione

Un altro esempio di +infinminusinfin

lim119909rarr1+

119909radic119909minus 1

minus 1radic119909minus 1

che quindi non si puograve trattare senza qualche manipolazione ma

119909radic119909minus 1

minus 1radic119909minus 1

= 119909minus 1radic119909minus 1

= radic119909minus 1

e quindi il limite richiesto vale 0 Diremo che un limite che si presenti in questo modoegrave della forma indeterminata ⟦ +infin minus infin⟧ ne troveremo altre Il nome egrave tradizionale enon significa affatto che il limite non si puograve calcolare ma solo che cosigrave comrsquoegrave scrittala funzione (in questo caso come somma) non abbiamo elementi per dedurre il limiteda quello degli addendi Ciograve non esclude che con opportune trasformazioni si possaarrivare a un calcolo esplicito

42 limiti allrsquoinfinito

Risulta spesso utile capire il comportamento di una funzione quando diamo alla variabi-le valori sempre piugrave grandi Un esempio ovvio egrave quello di 119891(119909) = 1 log119909 che quando 119909diventa sempre piugrave grande assume valori sempre piugrave vicini a 0 Come facciamo a dirlocon precisione Al solito andiamo a rovescio e cerchiamo di risolvere la disequazione|1 log119909| le 120576 dove 120576 gt 0 egrave una tolleranza Troviamo le soluzioni distinguendo primail caso di 119909 gt 1

minus120576 le 1log119909 le 120576

log119909 ge 1120576

119909 ge exp(1120576)

Non egrave restrittivo prendere 0 lt 120576 lt 1 Nel caso di 0 lt 119909 lt 1 la disequazione diventa

minus1120576 ge log119909

119909 ge exp(minus1120576)

Dunque lrsquoinsieme delle soluzioni egrave

(exp(minus1120576) 1) cup (exp(1120576) rarr)

che egrave un insieme contenente numeri ldquoarbitrariamente grandirdquo In altre parole riusciamoa soddisfare la tolleranza prendendo numeri piugrave grandi di un numero fissato in questocaso exp(1120576)

72 limiti

Un intorno di +infin egrave un insieme che include un intervallo aperto della forma (119886 rarr)Diremo che +infin egrave un punto di accumulazione di un insieme 119878 se per ogni 119872 esiste unpunto 119909 isin 119878 con 119909 gt 119872 Ciograve non significa che +infin sia un elemento dei numeri realistiamo solo descrivendo una proprietagrave dellrsquoinsieme 119878

d e f i n i z i o n e Supponiamo che +infin sia un punto di accumulazione di 119863(119891)Allora il numero 119897 egrave il limite per 119909 che tende a +infin di 119891(119909) se per ogni tolleranza120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di +infin tale che per 119909 isin 119880cap119863(119891) si abbia

|119891(119909) minus 119897| le 120576

In tal caso si scrivelim

119909rarr+infin119891(119909) = 119897

Lasciamo come esercizio scrivere la definizione di intorno di minusinfin e quella di limitea minusinfin Possiamo scrivere facilmente che cosa intendiamo per limite infinito a infinitomodificando una definizione precedente

d e f i n i z i o n e Supponiamo che +infin sia un punto di accumulazione di 119863(119891)Allora +infin egrave il limite per 119909 che tende a +infin di 119891(119909) se per ogni maggiorazione 119872esiste un intorno 119880 di +infin tale che per 119909 isin 119880cap119863(119891) si abbia

119891(119909) ge 119872

In tal caso si scrivelim

119909rarr+infin119891(119909) = +infin

Altre definizioni simili sono facili da scrivereOccorre dare qualche altro esempio e dimostriamo subito alcune uguaglianze fonda-

mentalilim

119909rarr+infinexp119909 = +infin lim

119909rarrminusinfinexp119909 = 0

La disuguaglianza da risolvere per la seconda data la tolleranza 120576 egrave

|exp119909| le 120576

che equivale a 119909 lt log 120576 cioegrave lrsquointervallo (larr log 120576) che egrave un intorno di minusinfin Per laprima dobbiamo risolvere data la maggiorazione 119872 gt 0

exp119909 ge 119872

che equivale a 119909 ge log119872 e lrsquointervallo (log119872 rarr) egrave un intorno di +infin

Verifichiamo un altro limite molto importante

lim119909rarr+infin

exp119909119909 = +infin

prendendolo piuttosto alla larga Sappiamo che

(1 + 119886)119899 = 1+119899119886+ 119899(119899minus 1)2 1198862 +119887

dove 119887 egrave un certo numero positivo quando 119886 gt 0 Se dividiamo per 119899 otteniamo

(1 + 119886)119899119899 = 1

119899 +119886+ 119899minus 12 119886+ 119887

119899

42 limiti allrsquoinfinito 73

La funzione 119892∶ 119899 ↦ (1 + 119886)119899119899 egrave definita sui numeri interi positivi e quindi +infin egrave un punto diaccumulazione di 119863(119892) Applicando le proprietagrave dei limiti possiamo dire che

lim119899rarr+infin

( 1119899 +119886+ 119899minus 1

2 119886) = 0+119886+infin = +infin

e quindi lo stesso possiamo dire per 119892 visto che per ottenerla sommiamo 119887119899 allrsquoespressioneprecedente e 119887119899 gt 0

Ora poniamo 1 + 119886 = 119890 = exp1 e possiamo concludere che

lim119899rarr+infin

119890119899

119899 = +infin

Consideriamo ora la funzione119891(119909) = exp119909

119909la cui derivata egrave

119891prime(119909) = 119909 expprime 119909minus 1 exp1199091199092 = exp119909

1199092 (119909 minus 1)

Dunque 119891 egrave crescente per119909 gt 1 Se calcoliamo 119891(119899) con119899 intero abbiamo 119891(119899) = 119890119899119899 = 119892(119899)Se fissiamo una maggiorazione 119872 sappiamo che esiste un intervallo 119868 = (119896 rarr) tale che per

119899 isin 119868 si abbia 119892(119899) ge 119872 Se 119899 egrave il minimo intero maggiore di 119896 e di 1 abbiamo che 119892(119899) ge 119872Adesso se 119909 gt 119899 abbiamo evidentemente 119891(119909) gt 119891(119899) = 119892(119899) ge 119872 Dunque per 119909 isin (119899 rarr)si ha 119891(119909) ge 119872 come richiesto

Siccome tra le funzioni importanti ci sono le frazioni algebriche vediamo subitocome trattarle Il caso piugrave semplice egrave quello in cui numeratore e denominatore hannolo stesso grado 119898

119891(119909) = 1198860 +1198861119909+⋯+119886119898minus1119909119898minus1 +119886119898119909119898

1198870 +1198871119909+⋯+119887119898minus1119909119898minus1 +119887119898119909119898

con 119886119898 ne 0 119887119898 ne 0 Vogliamo calcolare lim119909rarr+infin 119891(119909) Ovviamente possiamo restrin-gere 119909 in un intorno di +infin per esempio 119868 = (0 rarr) dunque possiamo supporre119909 ne 0 e scrivere per 119909 isin 119868

119891(119909) =

1198860119909119898 + 1198861

119909119898minus1 +⋯+ 119886119898minus1119909 +119886119898

1198870119909119898 + 1198871

119909119898minus1 +⋯+ 119887119898minus1119909 +119887119898

ed egrave evidente dal fatto che lim119909rarr+infin 1119909 = 0 che

lim119909rarr+infin

1198860119909119898 + 1198861

119909119898minus1 +⋯+ 119886119898minus1119909 +119886119898 = 119886119898

e analogamente il limite del denominatore egrave 119887119898 Dunque

lim119909rarr+infin

1198860 +1198861119909+⋯+119886119898minus1119909119898minus1 +119886119898119909119898

1198870 +1198871119909+⋯+119887119898minus1119909119898minus1 +119887119898119909119898 = 119886119898119887119898

Si verifichi che vale anche

lim119909rarrminusinfin

1198860 +1198861119909+⋯+119886119898minus1119909119898minus1 +119886119898119909119898

1198870 +1198871119909+⋯+119887119898minus1119909119898minus1 +119887119898119909119898 = 119886119898119887119898

Vediamo ora il caso generale in cui 119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) Chiamiamo 119898 il grado di 119875e 119899 il grado di 119876 119886119898 e 119887119899 i rispettivi coefficienti principali

Primo caso 119898 lt 119899 Allora possiamo scrivere

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) = 119909119899minus119898119875(119909)

119876(119909)1

119909119899minus119898

74 limiti

Nel primo fattore numeratore e denominatore hanno lo stesso grado e coefficientiprincipali 119886119898 e 119887119899 quindi

lim119909rarr+infin

119891(119909) = ( lim119909rarr+infin

119909119899minus119898119875(119909)119876(119909) )( lim

119909rarr+infin

1119909119899minus119898 ) = 119886119898

1198871198990 = 0

Lo stesso per il limite a minusinfinSecondo caso 119898 gt 119899 Possiamo scrivere

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) = 119875(119909)

119909119898minus119899119876(119909)119909119898minus119899

1

e ragionando come prima

lim119909rarr+infin

119891(119909) = 119886119898119887119899

sdot (+infin)

Lo stesso per il limite a minusinfin Non egrave importante ricordare a memoria la tabellina quel-lo che conta di piugrave egrave il trucco ldquodividere per la potenza di 119909 di grado massimordquo chefunziona anche in altre situazioni Consideriamo per esempio

lim119909rarr+infin

radic41199092 + 2119909119909

Come prima possiamo maneggiare lrsquoespressione supponendo la funzione definita per119909 gt 0 visto che ci interessa rispettare una tolleranza (se il limite egrave finito) o una mag-giorazione (se il limite egrave infinito) solo in un intorno di +infin Dunque possiamo supporre119909 gt 0 e portarlo dentro la radice quadrata

radic41199092 + 2119909119909 =

radic41199092 + 2119909

1199092 =radic

4+ 2119909

Il limite egrave dunque radic4 = 2Diverso egrave il caso se ci interessa il limite a minusinfin non egrave restrittivo supporre 119909 le minus2 (la

funzione egrave definita per 119909 gt 0 e 119909 le minus2) perciograve la trasformazione egrave

radic41199092 +2119909119909 = minusradic41199092 +2119909

|119909| = minusradic

41199092 +21199091199092 = minus

radic4+ 2

119909

e il limite egrave minusradic4 = minus2 Ci si deve ricordare che se 119905 lt 0 vale lrsquoidentitagrave

119905 = minusradic1199052

e non 119905 = radic1199052Abbiamo usato qui un risultato ancora non presentato ufficialmente

t e o r ema Sia lim119911rarr119909 119891(119911) = 119897 con 119897 finito o infinito Se 119892 egrave definita e continuain un intorno di 119897 allora

lim119911rarr119909

119892(119891(119911)) = 119892(119897) se 119897 egrave finito

lim119911rarr119909

119892(119891(119911)) = lim119905rarr119897

119892(119905) se 119897 egrave infinito

La dimostrazione egrave un interessante esercizio Vediamone unrsquoapplicazione per il cal-colo di lim119909rarr0+ exp(1119909) Siccome lim119909rarr0+ 1119909 = +infin il limite cercato coincide conlim119905rarr+infin exp 119905 = +infin Nel caso di lim119909rarr0minus exp(1119909) siccome lim119909rarr0minus 1119909 = minusinfin illimite egrave lim119905rarrminusinfin exp 119905 = 0 Dunque

lim119909rarr0+

exp(1119909) = +infin lim119909rarr0minus

exp(1119909) = 0

43 forme indeterminate 75

43 forme indeterminate

Lrsquoargomento delle forme indeterminate egrave temuto Ma non crsquoegrave da prendere paura sitratta di funzioni che molto spesso possono essere domate facilmente Lrsquoesempio di119891(119909) = radic1199092 + 2119909119909 di cui volevamo calcolare il limite a +infin si presenta come un quo-ziente di due funzioni che vanno entrambe a +infin Giagrave nel caso delle frazioni algebricheabbiamo visto che un limite di questo tipo dipende dal numeratore e dal denominatore

lim119909rarr+infin

1 + 119886119909119909 = 119886 lim

119909rarr+infin

1 +1199092

119909 = +infin

lim119909rarr+infin

1 minus1199092

119909 = minusinfin lim119909rarr+infin

1 +1199091199092 = 0

Cambiando numeratore e denominatore mantenendo il limite infinito per entrambi ilquoziente puograve avere un limite qualsiasi (o anche non averlo) Si noti che il primo egrave informa indeterminata solo per 119886 ne 0

Unrsquoaltra forma indeterminata lrsquoabbiamo incontrata parlando di derivate Il rapportodi Fermat egrave sempre una frazione in cui sia numeratore che denominatore hanno limite 0Visto poi che una frazione del tipo infininfin come le frazioni algebriche puograve sempre esserevista come un prodotto 0 sdot infin scrivendo 119875(119909)119876(119909) = 119875(119909) sdot (1119876(119909)) abbiamo giagraveun buon numero di forme indeterminate

⟦ 00⟧ ⟦ infininfin⟧ ⟦ 0 sdotinfin⟧ ⟦ +infinminusinfin⟧

Ricordiamo che non sono operazioni tra numeri e per questo usiamo una notazione spe-ciale sono solo artifici mnemonici per ricordarci di non saltare a conclusioni avventatequando si deve calcolare un limite che si presenti in uno di questi tipi

Alcuni testi ne menzionano altre due ⟦ 00⟧ e ⟦ 1infin⟧ Si tratta di un inutile appesanti-mento percheacute una funzione del tipo

119865(119909) = (119891(119909))119892(119909)

si tratta sempre scrivendola come 119865(119909) = exp(119892(119909) log119891(119909)) e calcolando

lim119909rarr119888

119892(119909) log119891(119909)

percheacute poi possiamo usare i noti fatti su exp e lrsquoultimo teorema enunciato Se secondola terminologia appesantita la forma originale egrave ⟦00⟧ il limite da calcolare egrave nella forma⟦ 0 sdotinfin⟧ se egrave della forma ⟦ 1infin⟧ lo si riduce a uno della stessa forma ⟦ infinsdot0⟧ Dunque leforme indeterminate che studieremo saranno solo le quattro giagrave messe in evidenza

Si faccia attenzione che questo ha solo una vaga connessione con il fatto che la divisione di0 per 0 non egrave definita qui non si sta parlando di operazioni su numeri ma di limiti di funzioniLe forme messe in evidenza sono quelle nelle quali non egrave possibile applicare alcuno dei teoremigenerali sui limiti senza trasformarle in qualche modo

Uno degli strumenti fondamentali per affrontare le forme indeterminate egrave il teore-ma di lrsquoHocircpital che si puograve estendere in vari modi Ma si badi bene a non abusarne esoprattutto a non continuare a derivare senza semplificare dove sia possibile

Consideriamo per esempio lim119909rarr0 119909 log119909 che si presenta come forma indeterminata⟦ 0 sdotinfin⟧ lo possiamo trasformare in modo da avere una forma ⟦00⟧

lim119909rarr0

119909 log119909 = lim119909rarr0

1199091 log119909

H= lim119909rarr0

1(minus1(log119909)2)(1119909)

= lim119909rarr0

minus119909(log119909)2

76 limiti

che egrave peggio di prima Potremmo invece trasformarlo nella forma ⟦ infininfin⟧ come

lim119909rarr0

119909 log119909 = lim119909rarr0

log1199091119909

H= lim119909rarr0

1119909minus11199092

= lim119909rarr0

minus119909 = 0

se non fosse che abbiamo applicato il teorema di lrsquoHocircpital in un caso che non sarebbeammesso Lrsquoenunciato che segue dove scriveremo plusmninfin per indicare uno fra +infin e minusinfinci dice proprio che invece si puograve

t e o r ema d i l rsquo h ocirc p i t a l g e n e r a l i z z a t o Siano 119891 e 119892 derivabili in unintorno di 119888 (finito o infinito) escluso al piugrave 119888 con 119892prime(119909) ne 0 in un intorno di 119888 Se

lim119909rarr119888

119891(119909) = 0 e lim119909rarr119888

119892(119909) = 0

oppurelim119909rarr119888

119891(119909) = plusmninfin e lim119909rarr119888

119892(119909) = plusmninfin

ed esiste (finito o infinito)

lim119909rarr119888

119891prime(119909)119892prime(119909)

allora si ha

lim119909rarr119888

119891(119909)119892(119909) = lim

119909rarr119888119891prime(119909)119892prime(119909)

Ecco lrsquoesempio Consideriamo lim119909rarrminusinfin(1119909) exp(119909) Questo limite si presenta nellaforma indeterminata ⟦ 00⟧ se applicassimo il teorema di lrsquoHocircpital in modo avventatoavremmo

lim119909rarrminusinfin

1119909exp119909

H= lim119909rarrminusinfin

minus11199092

exp119909

che egrave ancora nella forma ⟦ 00⟧ ma unrsquoaltra applicazione del teorema ci porterebbe auna situazione peggiore Invece

lim119909rarrminusinfin

1119909exp119909 = lim

119909rarrminusinfin

exp(minus119909)119909

H= lim119909rarrminusinfin

minus exp(minus119909)1 = minusinfin

Infatti lim119909rarrminusinfin exp(minus119909) = lim119905rarr+infin exp 119905 = +infinEgrave facile allora calcolare per 119898 ge 0 intero

lim119909rarr+infin

exp119909119909119898

riducendo via via il grado del denominatore per 119898 = 0 abbiamo

lim119909rarr+infin

exp1199091 = +infin

Per usare lrsquoinduzione scriviamo

lim119909rarr+infin

exp119909119909119898+1

H= lim119909rarr+infin

exp119909(119898+ 1)119909119898 = 1

119898+1 lim119909rarr+infin

exp119909119909119898

Per ipotesi induttiva possiamo supporre che lrsquoultimo limite sia +infin e abbiamo dunqueper ogni 119898 ge 0 intero

lim119909rarr+infin

exp119909119909119898 = +infin

44 ordini di infinitesimo 77

Se ora 119903 gt 0 egrave un numero reale qualsiasi sappiamo che 119898 le 119903 le 119898 + 1 per unopportuno 119898 ge 0 intero Per 119909 gt 1 si ha allora

119898 log119909 le 119903 log119909 le (119898+ 1) log119909

e dunque 119909119898 le 119909119903 le 119909119898+1 e finalmente

exp119909119909119898+1 le exp119909

119909119903 le exp119909119909119898

da cui possiamo dedurre per il teorema di confronto dei limiti (opportunamente efacilmente esteso) che per 119903 ge 0

lim119909rarr+infin

exp119909119909119903 = +infin

Che crsquoegrave di scorretto nella seguente applicazione del teorema di lrsquoHocircpital

lim119909rarrminusinfin

exp119909119909

H= lim119909rarrminusinfin

exp1199091 = 0

nella quale si ottiene comunque il risultato corretto Si verifichino per bene le ipotesi del teoremageneralizzato

Se consideriamo invece lim119909rarr0 119909(log119909)119899 possiamo scrivere

lim119909rarr0

119909(log119909)119899 = lim119909rarr0

(log119909)1198991119909

H= lim119909rarr0

119899(log119909)119899minus1119909minus11199092

= minus119899 lim119909rarr0

119909(log119909)119899minus1

Siccome sappiamo giagrave che per 119899 = 1 il limite egrave 0 per induzione abbiamo

lim119909rarr0

119909(log119909)119899 = 0

Con la solita tecnica di prendere 119899 le 119903 le 119899+1 con 119899 intero e il teorema del confrontoabbiamo lim119909rarr0 119909(log119909)119903 = 0 per ogni 119903 gt 0 Per 119903 le 0 vale la stessa cosa ma non crsquoegravebisogno di dimostrarlo con particolari tecniche

Possiamo anche affrontare lim119909rarr+infin 1199091119909 calcolando

lim119909rarr+infin

log119909119909

H= lim119909rarr+infin

11199091 = 0

e perciograve lim119909rarr+infin 1199091119909 = 1

44 ordini di infinitesimo

Quando si deve studiare un limite in 0 in cui ci sia un fattore sin119909 al denominatore oal numeratore egrave sempre possibile sostituirlo con 119909 infatti si ha

lim119909rarr0

119891(119909)sin119909 = lim

119909rarr0

119909sin119909

119891(119909)119909 = lim

119909rarr0

119891(119909)119909

ammesso che questrsquoultimo esista per i teoremi sui limiti Puograve essere piugrave complicatose il denominatore egrave sin119909 minus 119909 cos119909 che non appare cosigrave immediato Ma ci viene insoccorso il teorema di lrsquoHocircpital proviamo a calcolare se esiste lrsquoesponente 119896 tale che

lim119909rarr0

sin119909minus119909 cos119909119909119896

78 limiti

sia finito e non nullo Trattandosi di una forma indeterminata possiamo semplicemen-te derivare il numeratore un numero sufficiente di volte per togliere lrsquoindeterminazionePiugrave precisamente consideriamo il seguente schema

lim119909rarr0

sin119909minus119909 cos119909119909119896

H= lim119909rarr0

cos119909minus cos119909+119909 sin119909119896119909119896minus1

= lim119909rarr0

119909 sin119909119896119909119896minus1

= lim119909rarr0

sin119909119896119909119896minus2

H= lim119909rarr0

cos119909119896(119896 minus 2)119909119896minus3

dove quando applichiamo il teorema di lrsquoHocircpital procediamo assumendo sempre chegli esponenti al denominatore diano una forma indeterminata Al passo finale il nume-ratore ha come limite 1 e quindi per 119896 = 3 il limite vale 13 In conclusione ogni limitedella forma

lim119909rarr0

119891(119909)sin119909minus119909 cos119909

puograve essere trasformato come prima

lim119909rarr0

119891(119909)sin119909minus119909 cos119909 = lim

119909rarr0

1199093

sin119909minus119909 cos119909119891(119909)1199093 = 3 lim

119909rarr0

119891(119909)1199093

Qui abbiamo studiato limiti a 0 ma egrave irrilevante per i limiti a 119888 si useranno le potenzedi 119909minus 119888 si possono anche considerare limiti da destra e da sinistra

Nel caso di (sin119909minus119909 cos119909)119909119896 si puograve anche scrivere cos119909(tan119909minus119909)119909119896 percheacute latangente egrave definita in un intorno di 0 il fattore cos119909 non influisce sul limite perciogravepossiamo agire anche con

lim119909rarr0

tan119909minus119909119909119896

H= lim119909rarr0

1 + tan2 119909119896119909119896minus1 = 1

3

molto piugrave brevementeNon sempre questa tecnica funziona Se vogliamo studiare

lim119909rarr0+

exp(minus1119909)119909119896

e cerchiamo un esponente 119896 che lo renda finito e non nullo facciamo una fatica inutileInfatti con la sostituzione 119910 = 1119909 otteniamo

lim119910rarr+infin

119910119896

exp119910

e per quante volte applichiamo il teorema di lrsquoHocircpital questo limite egrave 0

5STUD I D I FUNZ IONE

Che differenza crsquoegrave tra le funzioni 119891(119909) = 1199092 e 119892(119909) = 1199094 Piugrave in generale che infor-mazioni si possono avere sulla variazione dei valori di una funzione quando variamoil punto in cui sono calcolate Lo studio di funzione risponde a queste domande ed egraveessenziale per analizzare problemi dove i metodi puramente algebrici non arrivano

51 equazioni non algebriche

Spesso egrave utile conoscere in dettaglio lrsquoandamento di una funzione per esempio pertrovare il numero di soluzioni di unrsquoequazione

Vediamo un caso curioso Si vuole trovare al variare di 119886 gt 0 il numero di soluzionidella bizzarra equazione 119909119909 = 119886 Prima di tutto la si trasforma in

119909 log119909 = log119886

e poi si considera la funzione

119891(119909) = 119909 log119909minus log119886

che egrave definita e continua nellrsquointervallo (0 rarr) Un utile punto di partenza egrave trovare ilimiti nei punti di accumulazione del dominio che non appartengano al dominio stessoin questo caso 0 e +infin Il limite a +infin non dagrave problemi percheacute

lim119909rarr+infin

119909 log119909minus log119886 = (+infin) sdot (+infin)minus log119886 = +infin

Si ricordi che queste operazioni hanno senso solo per esprimere applicazioni di teoremisui limiti

Il limite a 0 si presenta sotto la forma indeterminata ⟦ 0 sdot infin⟧ lo trasformiamo nellaforma ⟦ infininfin⟧

lim119909rarr0

119909 log119909 = lim119909rarr0

log1199091119909

H= lim119909rarr0

1119909minus11199092 = lim

119909rarr0minus119909 = 0

Dunque lim119909rarr0 119891(119909) = minus log119886Ora possiamo calcolare la derivata

119891prime(119909) = log119909+119909 1119909 = log119909+ 1

che egrave negativa per 0 lt 119909 lt 1119890 e positiva per 119909 gt 1119890 Dunque 119891 ha un minimo in 1119890dove vale

119891(1119890) = 1119890 log 1

119890 minus log119886 = minus1119890 minus log119886

Se 119891(1119890) gt 0 il grafico della funzione non incontra lrsquoasse delle ascisse e quindilrsquoequazione non ha soluzione Dunque lrsquoequazione non ha soluzione se

minus1119890 minus log119886 gt 0

cioegrave log119886 lt minus1119890 quindi in definitiva

0 lt 119886 lt exp(minus1119890)

Per 119891(1119890) = 0 cioegrave 119886 = exp(minus1119890) il grafico della funzione egrave tangente allrsquoasse delleascisse e quindi lrsquoequazione ha una sola soluzione precisamente 1119890

Per 119891(1119890) gt 0 il grafico incontra lrsquoasse delle ascisse una sola volta se minus log119886 le 0due volte se minus log119886 gt 0 dunque riassumendo

79

80 studi di funzione

lrsquoequazione 119909119909 = 119886

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

non ha soluzione per 0 lt 119886 lt exp(minus1119890)ha una soluzione per 119886 = exp(minus1119890)ha due soluzioni per exp(minus1119890) lt 119886 lt 1ha una soluzione per 119886 ge 1

In particolare esiste un solo numero 119909 tale che 119909119909 = 27 Infatti 27 ge 1 quindi lrsquoequa-zione ha una sola soluzione Siccome 33 = 27 3 egrave lrsquounica soluzione Non avremmoalcun metodo per determinarla ldquoesattamenterdquo se 119886 = 10 per esempio

Si puograve operare in modo diverso e considerare la funzione 119892(119909) = 119909 log119909 Come laprecedente essa ha un minimo in 1119890 e 119892(1119890) = minus1119890 Inoltre

lim119909rarr0

119892(119909) = 0 lim119909rarr+infin

119892(119909) = +infin

Possiamo interpretare lrsquoequazione 119909 log119909 = log119886 come ldquointersecare il grafico di 119892 conrette orizzontali 119910 = log119886 Dallrsquoandamento del grafico egrave chiaro che quando log119886 lt119892(1119890) non crsquoegrave alcuna intersezione quando log119886 = 119892(1119890) la retta egrave tangente (unasoluzione) quando 119892(1119890) lt log119886 lt 0 ci sono due intersezioni quando log119886 ge 0 crsquoegraveuna sola intersezione Ritroviamo quindi lo stesso risultato precedente forse conmenofatica

Consideriamo 119891(119909) = 119909 exp119909 e studiamone il comportamento La funzione egrave definita ovun-que con

lim119909rarrminusinfin

119891(119909) = lim119909rarrminusinfin

119909exp(minus119909)

H= lim119909rarrminusinfin

1minus exp(minus119909) = 0 lim

119909rarr+infin119891(119909) = +infin

La derivata egrave 119891prime(119909) = exp119909+119909 exp119909 = (1+119909) exp119909 che egrave positiva per 119909 gt minus1 Possiamo dunqueinvertire la funzione nellrsquointervallo [minus1 rarr) e lrsquoinversa si chiama tradizionalmente 119882 il primoa studiare questa funzione fu Johann Heinrich Lambert (1728ndash1777) La funzione 119882 egrave definitadunque sullrsquointervallo [minus1119890 rarr) e soddisfa per 119909 in quellrsquointervallo lrsquouguaglianza

119882(119909) exp(119882(119909)) = 119909

La derivata di 119882 si calcola con il solito trucco di derivare ambo i membri

119882prime(119909) exp(119882(119909)) +119882(119909)119882prime(119909) exp(119882(119909)) = 1

e quindi raccogliendo119882prime(119909) = 1

(1 +119882(119909)) exp(119882(119909))

Ritorniamo alla nostra equazione 119909119909 = 119886 che abbiamo giagrave modificato in 119909 log119909 = log119886 Sepotessimo scrivere 119909 = exp(119882(119905)) avremmo

log119886 = exp(119882(119905)) log exp(119882(119905)) = 119882(119905) exp(119882(119905)) = 119905

Dunque possiamo scrivere la ldquosoluzionerdquo della nostra equazione originale come

119909 = exp(119882(log119886))

ma solo per certi 119886 Si determini per quali valori di 119886 questo egrave ammissibileSi puograve anche invertire la funzione 119891 nellrsquointervallo (larr minus1] ottenendo una funzione 1198821

che ha proprietagrave analoghe e ci puograve servire per scrivere formalmente le soluzioni dellrsquoequazione119909119909 = 119886 per ogni 119886 ge 1119890

Riprendiamo lrsquoequazione exp119909 = 119898119909 + 119902 che trasformiamo in exp119909 minus 119898119909 = 119902Consideriamo quindi la funzione 119891(119909) = exp119909 minus 119898119909 Poicheacute lim119909rarrminusinfin exp119909 = 0avremo

lim119909rarrminusinfin

119891(119909) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

+infin se 119898 lt 00 se 119898 = 0

minusinfin se 119898 gt 0

51 equazioni non algebriche 81

Inoltrelim

119909rarr+infin119891(119909) = lim

119909rarr+infin(exp119909

119909 minus119898)119909 = (+infinminus119898) sdot (+infin) = +infin

Calcoliamo la derivata119891prime(119909) = exp119909minus119898

che egrave ovunque positiva per 119898 le 0 Per 119898 gt 0 la funzione egrave decrescente nellrsquointervallo(larr log119898] e crescente in [log119898 rarr) Il minimo di 119891 vale 119891(log119898) = 119898minus119898 log119898 =119898(1minus log119898) Abbiamo tutti i dati e possiamo riassumerli cosigrave

Soluzioni di exp119909 = 119898119909+119902

119898 lt 0 una soluzione per 119902 qualsiasi

119898 = 0 nessuna soluzione per 119902 le 0una soluzione per 119902 gt 0

119898 gt 0 nessuna soluzione per 119902 lt 119898(1minus log119898)una soluzione per 119902 = 119898(1minus log119898)due soluzioni per 119902 gt 119898(1minus log119898)

Vogliamo studiare la disequazione sin119909 lt 119909 Ancora consideriamo la funzione119891(119909) = sin119909minus119909 che perograve non ha limiti a minusinfin e +infin Poco male la derivata egrave

119891prime(119909) = cos119909minus 1

che egrave negativa tranne per 119909 = 2119896120587 (119896 intero) dove si annulla Dunque 119891 egrave decrescentee perciograve si annulla in al piugrave un punto a sinistra di esso saragrave positiva a destra di essosaragrave negativa Siccome sin0 = 0 cioegrave 119891(0) = 0 abbiamo che sin119909 lt 119909 per 119909 gt 0

Si provi in modo analogo che lrsquoequazione 119909 = tan119909 ha una e una sola soluzione inciascuno degli intervalli 119868119896 = (minus1205872 + 119896120587 1205872 + 119896120587) (119896 intero) Se denotiamo con119888(119896) la soluzione nellrsquointervallo 119868119896 si provi che lim119896rarr+infin(119888(119896) minus 119896120587) = 1205872

Un altro problema interessante egrave quello di trovare le soluzioni negli interi positivi dellrsquoequa-zione 119910119909 = 119909119910 in cui sia 119909 ne 119910 Egrave evidente che una soluzione egrave 119909 = 2 119910 = 4 (o viceversa) nonaltrettanto ovvio egrave decidere se ce ne siano altre

Decidiamo perciograve di considerare 119886 gt 0 (anche non intero) e di trovare tutti i valori 119909 gt 119886 peri quali si abbia 119886119909 = 119909119886 Ci basta porre 119909 gt 119886 percheacute evidentemente la situazione egrave del tuttosimmetrica Lrsquoequazione egrave equivalente a 119909 log119886 = 119886 log119909 e dunque consideriamo la funzione

119891(119909) = 119909 log119886minus119886 log119909 119909 isin (119886 rarr)

in modo da evitare gli esponenziali Abbiamo

119891prime(119909) = log119886minus 119886119909

e lrsquoespressione 119909 log119886 minus 119886 si annulla per 119909 = 119886 log119886 Dobbiamo domandarci quando questovalore appartiene al dominio cioegrave quando 119886 log119886 gt 119886 che avviene per log119886 gt 0 e log119886 lt 1quindi per 1 lt 119886 lt 119890

Teniamo da parte questo caso ed esaminiamo gli altri Siccome lim119909rarr+infin 119891prime(119909) = log119886 neicasi in cui la derivata non si annulla nel dominio sappiamo che la funzione egrave crescente oppuredecrescente Egrave crescente per 119886 ge 119890 e decrescente per 119886 lt 1 inoltre lim119909rarr119886 119891(119909) = 0 e perciograveabbiamo 119891(119909) ne 0 per ogni 119909 gt 119886 quando 0 lt 119886 lt 1 oppure 119886 ge 119890 Nel caso di 119886 = 1 lrsquoequazionediventa 1119909 = 1199091 che ha evidentemente lrsquounica soluzione 119909 = 1

Studiamo dunque il caso 1 lt 119886 lt 119890 La derivata 119891prime(119909) egrave negativa per 0 lt 119909 lt 119886 log119886 e positivaper 119909 gt 119886 log119886 quindi 119886 log119886 egrave un punto di minimo Sappiamo anche che lim119909rarr119886 119891(119909) = 0 eperciograve questo limite egrave negativo inoltre lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin (verificarlo) dunque la funzione siannulla in un unico punto nellrsquointervallo (119886 log119886 rarr)

82 studi di funzione

Le soluzioni intere non banali dellrsquoequazione 119886119909 = 119909119886 (con 119909 gt 119886) dunque possono esisteresolo per 119886 nellrsquointervallo (1 119890) e lrsquounico intero egrave 2 Perciograve la soluzione 119886 = 2 119909 = 4 egrave lrsquounica innumeri interi Se 119886 gt 2 egrave intero abbiamo anche 119886 gt 119890 e le considerazioni precedenti ci diconoche per 119909 gt 119886 si ha 119891(119909) gt 0 cioegrave 119886119909 gt 119909119886 (per esempio 34 = 81 gt 43 = 64) Nel caso di 119886 = 2che egrave lrsquounico con incertezza abbiamo 23 lt 32 24 = 42 e 2119909 gt 1199092 per 119909 gt 4 Il caso di 119886 = 1 egravedel tutto banale

Se esaminiamo invece lrsquoanaloga equazione 119909radic119886 = 119886radic119909 siamo condotti a considerare lrsquoequazio-ne

1119909 log119886 = 1

119886 log119909

cioegrave 119909 log119909 = 119886 log119886 Per simmetria possiamo sempre assumere 119909 gt 119886 se vogliamo le soluzioninon banali Consideriamo allora

119891(119909) = 119909 log119909minus119886 log119886

la cui derivata egrave 119891prime(119909) = 1 + log119909 che si annulla solo eventualmente per 119909 = 1119890 Per 119886 ge1119890 abbiamo dunque 119891prime(119909) gt 0 in (119886 rarr) e dunque 119891 egrave crescente essendo lim119909rarr119886 119891(119909) = 0possiamo dire che 119891 non si annulla in alcun punto del dominio e lrsquoequazione non ha soluzioni

Per 0 lt 119886 lt 1119890 la situazione egrave diversa La funzione egrave decrescente in (119886 1119890] e crescente in[1119890 rarr) e il minimo egrave

119891(1119890) = minus1119890 minus 119886 log119886

Valgono ancora lim119909rarr119886 119891(119909) = 0 e lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin quindi crsquoegrave esattamente un punto internoal dominio in cui 119891 si annulla Non ci sono naturalmente soluzioni intere percheacute nessun interocade nellrsquointervallo (0 1119890)

52 procedura per lo studio di una funzione

Come si imposta uno studio di funzione Egrave bene aver presente uno schema che ciricordi quali sono i punti principali su cui fissare lrsquoattenzione Tuttavia non egrave semprenecessario o conveniente seguire tutti i passi egrave uno schema generale che va adattatoalle situazioni particolari

primo passo determinare il dominio della funzione Se il problema non ha imposi-zioni particolari si considera come dominio il piugrave grande insieme di numeri realiin cui lrsquoespressione con cui egrave data la funzione ha senso

secondo passo decidere in quali punti del dominio la funzione egrave sicuramente con-tinua

terzo passo identificare i punti di accumulazione del dominio che non appartengo-no al dominio stesso (compresi se il dominio egrave illimitato +infin o minusinfin)

quarto passo calcolare il limite nei punti del dominio in cui non egrave sicuro che lafunzione sia continua e nei punti determinati nel terzo passo distinguendo senecessario fra limite da destra e limite da sinistra

quinto passo determinare gli asintoti

sesto passo calcolare dove esiste la derivata della funzione e se possibile deter-minare gli intervalli di crescenza e decrescenza dedurre da queste informazionii punti di massimo e di minimo

settimo passo se le informazioni ottenute non sono sufficienti a tracciare un grafi-co indicativo dellrsquoandamento della funzione determinare gli intervalli di conca-vitagrave e convessitagrave

53 asintoti 83

53 asintoti

Nella lista della spesa precedente ci sono alcuni termini non ancora descritti con preci-sione Il primo termine egrave asintoto che perograve egrave giagrave stato incontrato nel caso dellrsquoiperbole

Consideriamo lrsquoiperbole di equazione 119909119910 = 1 La retta 119903 di equazione 119909 = 0 ha laproprietagrave che non incontra lrsquoiperbole ma la distanza dai punti dellrsquoiperbole alla retta119903 puograve essere resa piccola quanto si vuole data una tolleranza 120576 gt 0 esiste un punto 119875dellrsquoiperbole tale che la distanza di 119875 da 119903 egrave minore di 120576 In effetti il punto 119875 di coor-dinate (1205762 2120576) ha questa proprietagrave percheacute la distanza di 119875 da 119903 egrave il valore assolutodellrsquoascissa di 119875

Questo non succede per la retta 119904 di equazione 119909+119910 = 0 il sistema

⎧⎨⎩

119909119910 = 1119909+119910 = 0

ha come equazione risolventeminus1199092 = 1

e dunque il sistema non ha soluzioni cioegrave la retta non incontra lrsquoiperbole Sia (119905 1119905)un punto dellrsquoiperbole e determiniamo la distanza di questo punto da 119904 il quadratodella distanza egrave

119891(119905) = (119905 + 1119905)21 + 1 = 1199054 +21199052 +1

21199052 = 11990522 + 1+ 1

21199052

Si tratta di una funzione che vale la pena di studiare Sappiamo che

lim119905rarrminusinfin

119891(119905) = +infin lim119905rarr0

119891(119905) = +infin lim119905rarr+infin

119891(119905) = +infin

La derivata di 119891 egrave

119891prime(119905) = 119905 minus 11199053 = 1199054 minus 1

1199053che egrave negativa nellrsquointervallo (larr minus1) e in (0 1) positiva in (minus1 0) e in (1 rarr)Dunque 119891 ha punti di minimo in minus1 e 1 con 119891(1) = 119891(minus1) = 2 Quindi esiste unaminima distanza dei punti dellrsquoiperbole dalla retta

Se una retta incontra lrsquoiperbole evidentemente la minima distanza esiste ed egrave nullaSi puograve verificare che le rette di equazione 119909 = 0 e 119910 = 0 sono le uniche che nonincontrano lrsquoiperbole e per le quali la distanza non abbia minimo Queste rette sonodette asintoti

Lrsquounica retta verticale che non incontra il grafico dellrsquoiperbole 119909119910 = 1 egrave lrsquoasse delle ordina-te per il quale egrave evidente che la distanza non ha minimo Discorso analogo vale per le retteorizzontali

Supponiamo dunque che la retta abbia equazione 119910 = 119898119909 + 119902 con 119898 ne 0 Lrsquoequazionerisolvente del sistema con lrsquoiperbole egrave

119909(119898119909+119902) = 1

che ha discriminante negativo per 1199022 + 4119898 lt 0 Quando infatti il discriminante egrave non negativola retta incontra lrsquoiperbole e il minimo della distanza egrave zero Per trovare il minimo della distanzaconsideriamo dunque

119891(119905) = (1119905 minus119898119905minus 119902)

2

La distanza vera si otterrebbe dividendo per 1+1198982 e prendendo la radice quadrata ma la radicequadrata egrave crescente e il divisore non puograve cambiare il punto di minimo La derivata di 119891 egrave

119891prime(119905) = 2(1119905 minus119898119905minus 119902)(minus 1

1199052 minus119898)

84 studi di funzione

Il primo fattore non si annulla percheacute per ipotesi 1199022 + 4119898 lt 0 Il secondo fattore si annullaper 1198981199052 + 1 = 0 si ottengono dunque due punti entrambi di minimo quando 119898 lt 0 Ineffetti abbiamo visto che le rette che non incontrano lrsquoiperbole sono gli assi e quelle di equazione119910 = 119898119909+119902 con 4119898 lt minus1199022

Si ha per questi punti

119891(minusradic1119898) = (minusradic119898+radic119898minus119902)2 = 1199022 119891(radic1119898) = (radic119898minusradic119898minus119902)2 = 1199022

e perciograve la distanza minima egrave |119902| radic1+1198982 Si noti che la condizione 1199022+4119898 = 0 caratterizza lerette tangenti se scriviamo la retta nella forma 119886119909+119887119910+119888 = 0 abbiamo 119898 = minus119886119887 119902 = minus119888119887e la condizione diventa 1198882+4119886119887 = 0 fra queste rette ci sono anche gli assi Infatti per 119886 = 119888 = 0e 119887 ne 0 otteniamo lrsquoasse delle ascisse per 119887 = 119888 = 0 e 119886 ne 0 otteniamo lrsquoasse delle ordinate Ildiscorso ci porterebbe troppo in lagrave ma da questo capiamo che non egrave cosigrave peregrino consideraregli asintoti come tangenti lsquoimpropriersquo allrsquoiperbole

La nozione di asintoto si estende ai grafici di funzioni arbitrarie Diremo che laretta 119909 = 119888 egrave un asintoto verticale del grafico di 119891 se vale almeno una delle condizioniseguenti

bull 119891 egrave definita nellrsquointervallo (119888 119888 + 120575) per un 120575 gt 0 e lim119909rarr119888+ 119891(119909) = plusmninfin

bull 119891 egrave definita nellrsquointervallo (119888 minus 120575 119888) per un 120575 gt 0 e lim119909rarr119888minus 119891(119909) = plusmninfin

Non facciamo alcuna richiesta che la retta non incontri il grafico della funzione in altripunti (succede se la funzione egrave definita in 119888)

Diremo che la retta 119910 = 119889 egrave un asintoto orizzontale del grafico di 119891 se vale almenouna delle condizioni seguenti

bull 119891 egrave definita in un intorno di +infin e lim119909rarr+infin 119891(119909) = 119889bull 119891 egrave definita in un intorno di minusinfin e lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = 119889

Anche qui non chiediamo che il grafico di 119891 non incontri la rettaEsiste un terzo tipo di asintoto Consideriamo la funzione

119891(119909) = 1+radic1199092 +2119909

che consideriamo definita per 119909 gt 0 Cerchiamo unrsquoequazione che sia soddisfatta datutti i punti del grafico di 119891 lrsquoequazione ovvia

119910 = 1+radic1199092 +2119909

puograve essere manipolata liberamente scegliamo di portare il termine noto a sinistra e dielevare al quadrato

(119910minus 1)2 = 1199092 + 2119909+ 1minus 1 = (119909+ 1)2 minus 1

e quindi i punti del grafico di 119891 appartengono tutti allrsquoiperbole di equazione

(119909+ 1)2 minus (119910minus 1)2 = 1

i cui asintoti sono (119909 + 1) = (119910 minus 1) e (119909 + 1) = minus(119910 minus 1) Quello che ci interessa egraveil primo come si vede chiaramente facendo tracciare il grafico di 119891 a un programmacome GeoGebra Ci si accorge che piugrave 119909 diventa grande piugrave la distanza del punto dicoordinate (119909119891(119909)) dalla retta 119903 di equazione 119909minus119910+ 2 = 0 diventa piccola

Proviamo a vederlo senza calcolare effettivamente la distanza invece calcoleremole distanze in orizzontale e verticale se queste diventano piccole anche la distanzaeffettiva diventa piccola e viceversa

53 asintoti 85

Consideriamo dunque il punto di coordinate (119905119891(119905)) la distanza in orizzontale 119889119909da questo punto alla retta egrave il valore assoluto della differenza delle ascisse tra i punti(119905 (119891(119905)) e (119891(119905)+2119891(119905)) mentre la distanza in verticale 119889119910 egrave il valore assoluto delladifferenza delle ordinate tra i punti (119905119891(119905)) e (119905 119905 + 2) Dunque

119889119909 = |119905 minus (119891(119905) + 2)| 119889119910 = |119891(119905) minus (119905 + 2)|

Quindi 119889119909 = 119889119910 Poniamo 119889(119905) = 119891(119905) minus 119905 minus 2 = radic1199052 + 2119905 minus 119905 minus 1 e calcoliamolim119905rarr+infin 119889(119905)

lim119905rarr+infin

radic1199052 +2119905 minus 119905minus 1 = lim119905rarr+infin

(1199052 + 2119905) minus (119905 + 1)2

radic1199052 + 2119905+ 119905+ 1

= lim119905rarr+infin

minus1radic1199052 + 2119905+ 119905 + 1

= minus1+infin = 0

Perciograve anche lim119905rarr+infin|119889(119905)| = 0 proprio come ci aspettavamoIl calcolo egrave esattamente lo stesso anche in altre situazioni il rapporto tra la distan-

za in verticale e quella in orizzontale egrave fisso (due opportuni triangoli sono simili) equindi una tende a 0 se e solo se tende a 0 lrsquoaltra Dunque possiamo dare la seguentedefinizione

d e f i n i z i o n e La retta di equazione119910 = 119898119909+119902 con119898 ne 0 si dice un asintotoobliquo del grafico di 119891 se egrave soddisfatta almeno una delle seguenti condizioni

bull +infin egrave un punto di accumulazione del dominio di 119891 e

lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus119898119909minus119902) = 0

bull minusinfin egrave un punto di accumulazione del dominio di 119891 e

lim119909rarrminusinfin

(119891(119909) minus119898119909minus119902) = 0

Data la definizione occorre un metodo per calcolare119898 e 119902 Vediamo nel caso di+infinin quello di minusinfin si opera allo stesso modo Supponiamo dunque che la retta di equa-zione 119910 = 119898119909+119902 sia un asintoto obliquo a +infin Allora per ipotesi lim119909rarr+infin(119891(119909) minus119898119909minus119902) = 0 e quindi anche

lim119909rarr+infin

119891(119909) minus119898119909minus119902119909 = 0

Siccome lim119909rarr+infin 119902119909 = 0 avremo anche

119898 = 119898+ lim119909rarr+infin

119891(119909) minus119898119909minus119902119909 + lim

119909rarr+infin

119902119909

= 119898+ lim119909rarr+infin

(119891(119909)119909 minus119898)

= lim119909rarr+infin

119891(119909)119909

Questo determina se esiste il coefficiente angolare 119898 A questo punto abbiamo

119902 = 119902+ lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus119898119909minus119902) = lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus119898119909)

86 studi di funzione

e questo determina 119902 Se uno dei due limiti non esiste o egrave infinito lrsquoasintoto obliquo noncrsquoegrave Non crsquoegrave nemmeno se lim119909rarr+infin 119891(119909)119909 = 0 percheacute in tal caso lrsquoasintoto dovrebbeessere orizzontale e lrsquoabbiamo giagrave escluso

Per esempio con 119891(119909) = 119909minus log119909 si ha

lim119909rarr+infin

119891(119909)119909 = lim

119909rarr+infin1 minus log119909

119909 = 1minus 0 = 1

ma passando al calcolo di 119902 si ottiene

lim119909rarr+infin

(119909minus log119909) minus119909 = lim119909rarr+infin

minus log119909 = minusinfin

e quindi il grafico di 119891 non ha asintoti obliquiVerifichiamo che nel caso del ramo di iperbole di prima i conti danno effettivamente

lrsquoasintoto obliquo previsto

lim119909rarr+infin

119891(119909)119909 = lim

119909rarr+infin

1 +radic1199092 + 2119909119909 = lim

119909rarr+infin

1119909 +

radic1+ 2

119909 = 0+ 1 = 1

e perciograve 119898 = 1 abbiamo poi

lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus 119909) = lim119909rarr+infin

1 +radic1199092 + 2119909minus119909 ⟦ infinminusinfin⟧

= lim119909rarr+infin

(1199092 + 2119909) minus (119909minus 1)2

radic1199092 + 2119909+ (119909minus 1)

= lim119909rarr+infin

4119909minus 1radic1199092 + 2119909+ (119909minus 1)

⟦ infininfin⟧

= lim119909rarr+infin

4 minus 1119909

radic1+ 2

119909 + 1minus 1119909

= 4radic1+ 1

= 42 = 2

e dunque lrsquoasintoto ha equazione 119910 = 119909+ 2Si consideri ora la funzione 119891(119909) = 1 + radic1199092 +2119909 definita anche per 119909 le minus2 e si

determini lrsquoeventuale asintoto obliquo a minusinfin

54 esempi

Diamo ora qualche esempio di studio di funzione lasciando da parte per ora la que-stione sulla concavitagrave e convessitagrave

Sia 119891(119909) = exp(minus1199092)

primo passo la funzione 119891 egrave definita ovunque

secondo passo la funzione 119891 egrave continua su tutto il dominio essendo composizionedi due funzioni continue Notiamo poi che 119891(minus119909) = 119891(119909) e che 119891(119909) gt 0 perogni 119909

terzo passo i punti di accumulazione del dominio da considerare sono solo minusinfin e+infin

quarto passo Calcoliamo lim119909rarr+infin 119891(119909) Siccome lim119909rarr+infin minus1199092 = minusinfin avremo

lim119909rarr+infin

119891(119909) = lim119905rarrminusinfin

exp 119905 = 0

e dal fatto che 119891(minus119909) = 119891(119909) deduciamo che lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = 0

54 esempi 87

quinto passo lrsquounico asintoto egrave la retta di equazione 119910 = 0

sesto passo la derivata egrave

119891prime(119909) = exp(minus1199092)(minus2119909) = minus2119909 exp(minus1199092)

che egrave negativa per119909 lt 0 e positiva per119909 gt 0 Dunque119891 ha unmassimo (assoluto)in 0 e 119891(0) = exp0 = 1

Gli elementi necessari per avere unrsquoidea del grafico ci sono tutti Manca qualche det-taglio percheacute egrave evidente che nel procedere da 0 verso destra la lsquocurvaturarsquo del graficodeve cambiare

Vediamo la funzione 119891(119909) = radic1199092 minus1199093

primo passo il dominio 119863(119891) egrave lrsquoinsieme delle soluzioni della disequazione 1199092 minus1199093 ge 0 cioegrave lrsquointervallo (larr 1]

secondo passo la funzione egrave continua in tutto il dominio e 119891(119909) ge 0 per ogni119909 isin 119863(119891)

terzo passo lrsquounico punto di accumulazione del dominio da considerare egrave minusinfin

quarto passo lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = +infin

quinto passo Vediamo se esiste un asintoto obliquo

lim119909rarrminusinfin

119891(119909)119909 = lim

119909rarrminusinfinminusradic

1199092 minus1199093

1199092 = lim119909rarrminusinfin

minusradic1minus119909 = minusinfin

Il grafico della funzione non ha asintoti

sesto passo calcoliamo la derivata

119891prime(119909) = 12radic1199092 minus1199093

(2119909minus 31199092)

La funzione non egrave derivabile in 0 e in 1 (si veda un esempio giagrave svolto)

lim119909rarr0minus

119891prime(119909) = minus1 lim119909rarr0+

119891prime(119909) = 1 lim119909rarr1

119891prime(119909) = minusinfin

La derivata egrave negativa nellrsquointervallo (larr 0) positiva in (0 23) negativa in(23 1)

Dunque abbiamo le seguenti informazioni

119891 egrave decrescente in (larr 0]0 egrave un punto di minimo 119891(0) = 0119891 egrave crescente in [0 23]

23 egrave un punto di massimo 119891(23) = 2(3radic3)119891 egrave decrescente in [23 1]1 egrave un punto di minimo 119891(1) = 0

Si faccia attenzione a non scrivere radic1199092 minus1199093 = 119909radic1minus119909 percheacute questa uguaglianzavale solo per 0 le 119909 le 1 Infatti la funzione 119892(119909) = 119909radic1minus119909 ha un grafico moltodiverso da quello di 119891 Molto diverso

88 studi di funzione

55 unrsquoapplicazione

Dati due numeri positivi119886 e 119887 le loromedia aritmetica emedia geometrica sono definiterispettivamente come

120572 = 119886+1198872 e 120574 = radic119886119887

Egrave piuttosto facile verificare che 120574 le 120572 e che si ha lrsquouguaglianza se e solo se 119886 = 119887Infatti possiamo impostare una catena di disuguglianze equivalenti fra loro

radic119886119887 119886+ 1198872

4119886119887 (119886 + 119887)2

0 1198862 minus 2119886119887+ 1198872

0 le (119886minus 119887)2

e perciograve lo stesso verso di disuguaglianza vale anche nelle precedenti Lrsquouguaglianza siha appunto solo quando 119886minus 119887 = 0

Si puograve generalizzare il concetto a piugrave numeri positivi la media aritmetica di 11990911199092 hellip 119909119899 egrave

120572(1199091 1199092hellip 119909119899) =1199091 +1199092 +⋯+119909119899

119899mentre la loro media geometrica egrave

120574(1199091 1199092hellip 119909119899) = (11990911199092 hellip119909119899)1119899

Possiamo usare i metodi dello studio di funzione per dimostrare attraverso lrsquoinduzioneche vale la disuguaglianza

120574(1199091 1199092hellip 119909119899) le 120572(1199091 1199092hellip 119909119899)

Nel caso di 119899 = 1 si pone ovviamente 120572(1199091) = 120574(1199091) = 1199091 e la disuguaglianza egraveevidente Supponiamo dunque di sapere che questa disuguaglianza vale per 119899 numeriDobbiamo perciograve ricavare da questa ipotesi la disuguaglianza per 119899 + 1 numeri chescriveremo

120574(1199091 1199092hellip 119909119899 119909) le 120572(1199091 1199092hellip 119909119899 119909)

e che possiamo trasformare in quella equivalente

(119899+ 1)119899+1120574(1199091 1199092hellip 119909119899 119909)119899+1 le 120572(1199091 1199092hellip 119909119899 119909)119899+1

Per semplificare la notazione scriviamo 119875 = (11990911199092 hellip119909119899)1119899 e 119878 = 1199091 +1199092 +⋯+119909119899 inmodo che la tesi diventa

(119899+ 1)119899+1119875119899119909 le (119878+119909)119899+1

e lrsquoipotesi induttiva egrave 119899119875119899 le 119878 Consideriamo dunque la funzione definita in (0 rarr)

119891(119909) = (119878+119909)119899+1 minus (119899+ 1)119899+1119875119899119909

Per i risultati che conosciamo sui polinomi abbiamo che lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin mentrelim119909rarr0+ 119891(119909) = 119878119899+1 gt 0 Ne segue che 119891 ha almeno un punto di minimo Calcoliamola derivata

119891prime(119909) = (119899+ 1)(119878 +119909)119899 minus (119899+ 1)119899+1119875119899

55 unrsquoapplicazione 89

che si annulla solo per 119878+119909 = (119899+ 1)119875 cioegrave in (119899+ 1)119875minus 119878 Se (119899+ 1)119875minus 119878 le 0 lafunzione 119891 egrave crescente quindi ovunque positiva Supponiamo dunque (119899+1)119875minus119878 gt 0questo saragrave il punto di minimo Calcoliamo il valore minimo

119891((119899+ 1)119875minus 119878) = (119899+ 1)119899+1119875119899+1 minus (119899+ 1)119899+1119875119899(119899119875+119875minus 119878)= (119899+ 1)119899+1119875119899(119875 minus119899119875minus119875+ 119878)= (119899+ 1)119899+1119875119899(119878 minus119899119875) ge 0

percheacute il fattore 119878 minus 119899119875 egrave non negativo per ipotesi Siccome il valore minimo non egravenegativo abbiamo 119891(119909) ge 0 per ogni 119909 come richiesto

Ci domandiamo ora quando puograve valere lrsquouguaglianza e procediamo di nuovo perinduzione il caso 119899 = 1 egrave ovvio percheacute lrsquouguaglianza crsquoegrave per definizione La nostraipotesi induttiva egrave allora

120574(1199091 1199092hellip 119909119899) = 120572(1199091 1199092hellip 119909119899) se e solo se 1199091 = 1199092 = ⋯ = 119909119899

cioegrave nelle notazioni precedenti 119878 = 119899119875Nel caso di 119899+1 numeri 1199091 1199092 hellip 119909119899 119909 possiamo avere lrsquouguaglianza solo se 119891 si

annulla Ma naturalmente questo puograve avvenire solo se il valore minimo di 119891 egrave 0 cioegrave119878 minus 119899119875 = 0 (con (119899 + 1)119875 minus 119878 gt 0) Lrsquoipotesi induttiva dice allora che 1199091 = ⋯ = 119909119899 eche 119909 = (119899+ 1)119875 minus 119878 = 119899119875+ 119875minus 119878 = 119875 ma essendo 119875 = 1199091 si ha anche 119909 = 1199091 e latesi egrave dimostrata

Esiste anche un terzo tipo di media la media armonica Per due numeri positivi 119886 e 119887 sidefinisce la media armonica 120578 con la formula

2120578 = 1

119886 + 1119887

Con un porsquo di attenzione si vede che il reciproco della media armonica egrave la media aritmetica deireciproci dei numeri Siccome prendere il reciproco rovescia il verso delle disuguaglianze (stiamoparlando di numeri positivi) viene il sospetto che la media armonica sia in generale minore dellamedia geometrica Proviamolo con la catena di disuguaglianze

120578 radic1198861198872119886119887119886+ 119887 radic119886119887

4119886119887 (119886+ 119887)2

0 1198862 minus2119886119887+ 1198872

0 le (119886minus 119887)2

e la tesi egrave dimostrata Di nuovo si ha lrsquouguaglianza fra le medie se e solo se 119886 = 119887In generale definiamo la media armonica dei numeri positivi 1199091 1199092 hellip 119909119899 con

119899120578(1199091 1199092hellip 119909119899)

= 11199091

+ 11199092

+⋯+ 1119909119899

La disuguaglianza da dimostrare egrave allora

119899( 11199091

+ 11199092

+⋯+ 1119909119899

)minus1

le (11990911199092 hellip119909119899)1119899

Se poniamo 119910119896 = 1119909119896 (per 119896 = 1 2hellip 119899) possiamo scriverla come

119899(1199101 +1199102 +⋯+119910119899)minus1 le 1(11991011199102 hellip119910119899)1119899

cioegrave1

120572(11991011199102hellip 119910119899)le 1

120574(11991011199102hellip 119910119899)che equivale alla

120574(11991011199102hellip 119910119899) le 120572(11991011199102hellip 119910119899)appena dimostrata Si ha lrsquouguaglianza solo quando 1199101 = 1199102 = ⋯ = 119910119899 cioegrave 1199091 = 1199092 = ⋯ = 119909119899

90 studi di funzione

Le tre medie che abbiamo introdotto possono essere viste come casi particolari diuna forma generale di lsquomediarsquo Consideriamo due numeri positivi 119886 e 119887 e la funzione

120583(119886119887119909) = (119886119909 +119887119909

2 )1119909

Indichiamo anche i due parametri 119886 e 119887 per motivi che diventeranno chiari piugrave avantiLa funzione egrave definita e continua per 119909 ne 0 e perciograve ci interessano i limiti nei punti diaccumulazione del dominio Cominciamo con +infin dove abbiamo

lim119909rarr+infin

log(119886119909 +119887119909) minus log2119909

che non egrave necessariamente una forma indeterminata e dovremmo esaminare i vari casicon 119886 lt 1 119886 = 1 119886 gt 1 e 119887 lt 1 119887 = 1 e 119887 gt 1 Si puograve fare di meglio supponendo che119886 le 119887 e perciograve 119887119886 ge 1 Scriviamo allora

119886119909 +119887119909 = 119886119909(1 + (119887119886)119909)

e poniamo per semplicitagrave 119887119886 = 119888 il nostro limite diventa allora

lim119909rarr+infin

log(119886119909 +119887119909) minus log2119909 = lim

119909rarr+infin

119909 log119886+ log(1 + 119888119909) minus log2119909

= log119886+ lim119909rarr+infin

log(1 + 119888119909) minus log2119909

H= log119886+ lim119909rarr+infin

119888119909 log1198881 + 119888119909

= log119886+ log119888 = log(119886119888) = log119887

e dunque lim119909rarr+infin 120583(119886119887119909) = 119887 Se invece 119886 gt 119887 il limite egrave 119886 infatti 120583(119886119887119909) =120583(119887119886119909) In generale dunque

lim119909rarr+infin

120583(119886119887119909) = max(119886119887)

Per il limite a 0 consideriamo sempre log120583(119886119887119909)

lim119909rarr0

log(119886119909 +119887119909) minus log2119909

H= lim119909rarr0

119886119909 log119886+ 119887119909 log119887119886119909 +119887119909 = log119886+ log119887

2e perciograve

lim119909rarr0

120583(119886119887119909) = exp( log119886+ log1198872 ) = radic119886119887

Possiamo allora estendere per continuitagrave la definizione di 120583

120583(119886119887119909) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

(119886119909 +119887119909

2 )1119909

se 119909 ne 0

radic119886119887 se 119909 = 0

ottenendo cosigrave che 120583(119886119887 1) 120583(119886119887 0) e 120583(119886119887minus1) sono rispettivamente la mediaaritmetica geometrica e armonica di 119886 e 119887

Non occorre calcolare il limite a minusinfin infatti

120583(119886119887minus119909) = (119886minus119909 +119887minus119909

2 )minus1119909

= ((1119886)119909 + (1119887)1199092 )

minus1119909= (120583(1119886 1119887119909))minus1

e dunque

lim119909rarrminusinfin

120583(119886119887119909) = lim119909rarr+infin

120583(1119886 1119887119909)minus1 = (max(1119886 1119887))minus1 = min(119886119887)

Tutto quanto fatto per due numeri si puograve estendere a 119899 numeri positivi definendo

120583(1198861 1198862hellip 119886119899 119909) = (1198861199091 +119886119909

2 +⋯+119886119909119899

119899 )1119909

per 119909 ne 0 e 120583(1198861 1198862hellip 119886119899 119909) = (11988611198862 hellip119886119899)1119899

56 convessitagrave e derivata seconda 91

56 convessitagrave e derivata seconda

Supponiamo che 119891 sia definita in un intervallo aperto (119901 119902) Diremo che 119891 egrave convessain (119901 119902) se per ogni 119886119887 isin (119901 119902) con 119886 lt 119887 quando consideriamo la retta 119903passante per i punti 119860 e 119861 di coordinate (119886119891(119886)) e (119887119891(119887)) diciamo 119910 = 119898119909 + 119896si ha per ogni 119905 con 119886 lt 119905 lt 119887 119891(119905) le 119898119905 + 119896 Quando con le stesse notazionivale 119891(119905) ge 119898119905+119896 la funzione si diragrave concava In qualche testo si dice con linguaggiopoco felice che 119891 ha la concavitagrave rivolta verso lrsquoalto quando egrave convessa e verso il bassoquando egrave concava

La definizione sembra di quelle fatte apposta per intimidire Ma se facciamo undisegno ci rendiamo conto che significa una cosa semplice il grafico di 119891 sta tuttosotto il segmento 119860119861

Vediamo il caso piugrave facile 119891(119909) = 1199092 La retta che passa per (1198861198862) (119887 1198872) haequazione

119910minus1198862 = 1198872 minus1198862

119887minus 119886 (119909minus119886)

cioegrave119910minus1198862 = (119887+ 119886)(119909minus 119886)

che diventa 119910 = (119886+ 119887)119909minus 119886119887 Se 119886 lt 119905 lt 119887 dobbiamo verificare che

1199052 le (119886+ 119887)119905 minus 119886119887

cioegrave1199052 minus (119886+ 119887)119905 + 119886119887 le 0

che diventa(119905 minus 119886)(119905 minus 119887) le 0

che egrave effettivamente soddisfattaConsideriamo invece 119891(119909) = 1199093 prendiamo 119887 gt 0 La retta che ci interessa ha

equazione

119910minus1198863 = 1198873 minus1198863

119887minus 119886 (119909minus119886)

che diventa119910 = (1198862 +119886119887+ 1198872)119909 minus 119886119887(119886+ 119887)

Per 119886 lt 119905 lt 119887 dobbiamo vedere se

1199053 le (1198862 +119886119887+ 1198872)119905 minus 119886119887(119886+ 119887)

Poniamo per fare i conti 119904 = 119886+119887 119901 = 119886119887 allora1198862+119886119887+1198872 = 1199042minus119901 e la disequazioneegrave

1199053 minus (1199042 minus119901)119905 + 119904119901 le 0

Si vede subito che 119905 = minus119904 egrave una radice e quindi

1199053 minus (1199042 minus119901)119905 + 119904119901 = (119905 + 119904)(1199052 minus 119904119905 + 119901) = (119905 + 119904)(119905 minus 119886)(119905 minus 119887)

Siccome (119905 minus 119886)(119905 minus 119887) lt 0 la nostra disequazione saragrave soddisfatta per 119905 + 119886+ 119887 ge 0Se 119886 ge 0 la condizione egrave certamente soddisfatta 119905 gt 119886 ge 0 e minus(119886+119887) lt 0 Dunque lafunzione egrave convessa nellrsquointervallo (0 rarr) Se invece 119886 = minus1 e 119887 = 4 la disequazioneegrave 119905 gt minus1+ 3 = 2 che non egrave soddisfatta per ogni 119905 isin (minus1 4) Perciograve la funzione nonegrave convessa su tutto il dominio

92 studi di funzione

La convessitagrave egrave una proprietagrave molto forte per esempio se 119891 egrave convessa nellrsquointervallo aperto(119901 119902) allora 119891 egrave continua

Dato 119909 isin (119901 119902) prendiamo ℎ gt 0 tale che 119909minus ℎ gt 119901 e 119909+ ℎ lt 119902 Se 119909minus ℎ lt 119911 lt 119909 dalledisuguaglianze della convessitagrave otteniamo

119891(119909) minus 119891(119909minusℎ)119909minus (119909minusℎ) le 119891(119911) minus 119891(119909)

119911minus119909 le 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)(119909+ℎ) minus119909

e analogamente se prendiamo 119909 lt 119911 lt 119909+ℎ Se 119862 egrave il massimo tra

|119891(119909) minus 119891(119909minusℎ)ℎ | e |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)

ℎ |

abbiamo allora che|119891(119911) minus 119891(119909)

119911minus119909 | le 119862

e perciograve che|119891(119911) minus 119891(119909)| le 119862|119911 minus119909|

per 119911 isin (119909 minus ℎ 119909 + ℎ) Ora la continuitagrave in 119909 egrave evidente se prendiamo una tolleranza 120576 gt 0ci basteragrave prendere

120575 = minℎ 120576119862

e se |119911 minus 119909| lt 120575 avremo

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 119862|119911 minus119909| le 119862120575 le 119862 120576119862 = 120576

cioegrave la continuitagrave in 119909Se 119891 egrave definita e convessa in un intervallo chiuso non egrave detto che sia continua agli estremi

basta considerare la funzione

119891(119909) =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

4 se 119909 = minus11199092 se minus1 lt 119909 lt 14 se 119909 = 1

La funzione egrave evidentemente convessa ma non egrave continua in minus1 e in 1

Vediamo ora piugrave in dettaglio come si puograve caratterizzare la convessitagrave nel caso in cuila funzione 119891 sia derivabile nellrsquointervallo (119901 119902)

Prima di tutto scriviamo lrsquoequazione della retta per (119886119891(119886)) e (119887119891(119887)) dove 119901 lt119886 lt 119887 lt 119902 ci sono due modi equivalenti e ci serviranno entrambi

119910 = 119891(119887) minus 119891(119886)119887 minus 119886 (119909minus 119886) + 119891(119886)

119910 = 119891(119887) minus 119891(119886)119887 minus 119886 (119909minus 119887) + 119891(119887)

Siccome la funzione 119891 egrave per ipotesi una funzione di Lagrange in [119886 119887] possiamoscrivere il coefficiente angolare come 119891prime(119888) per un opportuno 119888 isin (119886 119887) Allora lacondizione di convessitagrave si scrive

119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119886) + 119891(119886)

ma anche119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119887) + 119891(119887)

La relazione egrave la stessa sia chiaro ma da queste ricaviamo

119891(119905) minus 119891(119886)119905 minus 119886 le 119891prime(119888)

119891(119905) minus 119891(119887)119905 minus 119887 ge 119891prime(119888)

56 convessitagrave e derivata seconda 93

per ogni 119905 isin (119886 119887) quindi

119891(119905) minus 119891(119886)119905 minus 119886 le 119891(119905) minus 119891(119887)

119905 minus 119887

Se prendiamo il limite per 119905 rarr 119886 otteniamo per il teorema della permanenza del segno

119891prime(119886) le 119891(119886) minus 119891(119887)119886minus 119887

Se invece prendiamo il limite per 119905 rarr 119887 otteniamo

119891(119887) minus 119891(119886)119887minus 119886 le 119891prime(119887)

e dunque 119891prime(119886) le 119891prime(119887)Viceversa supponiamo che per 119886119887 isin (119901 119902) 119886 lt 119887 si abbia 119891prime(119886) le 119891prime(119887)

Vogliamo dimostrare che 119891 egrave convessa Di nuovo dati 119886 e 119887 con 119886 lt 119887 per il teoremadi Lagrange si ha

119891prime(119888) = 119891(119887) minus 119891(119886)119887minus 119886

con 119886 lt 119888 lt 119887 Prendiamo 119905 isin (119886 119887) dobbiamo verificare la condizione di conves-sitagrave I casi sono due 119905 le 119888 oppure 119888 lt 119905 Nel primo caso scriviamo la condizione diconvessitagrave come

119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119886) + 119891(119886)

che equivale a119891(119905) minus 119891(119886)

119905 minus 119886 le 119891prime(119888)

Ma 119891 egrave una funzione di Lagrange in [119886 119905] e quindi il primo membro si scrive come119891prime(120574) per un 120574 isin (119886 119905) Siccome 120574 lt 119905 le 119888 avremo per ipotesi 119891prime(120574) le 119891prime(119888) equindi la disuguaglianza di convessitagrave egrave soddisfatta

Nel secondo caso scriviamo la condizione di convessitagrave come

119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119887) + 119891(119887)

che equivale a

119891prime(119888) le 119891(119887) minus 119891(119905)119887 minus 119905

Applicando di nuovo il teorema di Lagrange a 119891 nellrsquointervallo (119905 119887) il secondo mem-bro si scrive 119891prime(120575) con 120575 isin (119905 119887) Ora perograve 119888 lt 119905 lt 120575 e quindi 119891prime(119888) le 119891prime(120575) e ladisuguaglianza egrave ancora soddisfatta

In definitiva abbiamo dimostrato il seguente teorema

t e o r ema La funzione 119891 definita e derivabile su (119901 119902) egrave convessa se e solo sela funzione 119909 ↦ 119891prime(119909) egrave crescente

La funzione 119909 ↦ 119891prime(119909) si chiama la funzione derivata di 119891 e si denota ovviamen-te con 119891prime Questa funzione potragrave ancora essere derivabile diamo un nome a questaldquoderivata della derivatardquo

d e f i n i z i o n e Se 119909 egrave un punto del dominio di 119891 e ha senso scrivere

limℎrarr0

119891prime(119909 +ℎ) minus 119891prime(119909)ℎ = 119897

con 119897 finito diremo che 119897 egrave la derivata seconda di 119891 in 119909 e scriveremo 119897 = 119891Prime(119909)

94 studi di funzione

Diremo che 119891 egrave derivabile due volte in un certo insieme 119878 se in ogni punto di 119878 esistela derivata seconda di 119891

t e o r ema Sia 119891 una funzione derivabile due volte nellrsquointervallo (119901 119902) Allora119891 egrave convessa in (119901 119902) se e solo se 119891Prime(119909) ge 0 per ogni 119909 isin (119901 119902)

Sappiamo che una funzione derivabile definita su un intervallo egrave crescente se e solose la sua derivata egrave non negativa La funzione che ci interessa egrave in questo caso 119891prime

Questo egrave lo strumento principale per trovare gli intervalli di convessitagrave e quelli diconcavitagrave che egrave esattamente il contrario una funzione 119891 si dice concava se minus119891 egraveconvessa

Lrsquoesempio egrave quello di 119891∶ 119909 ↦ 1199093 la derivata egrave 119891prime(119909) = 31199092 mentre 119891Prime(119909) = 6119909Dunque la derivata seconda egrave positiva per 119909 gt 0 e negativa per 119909 lt 0 la funzione egraveconcava in (larr 0] e convessa in [0 rarr)

Consideriamo la funzione 119891(119909) = 119909119909 = exp(119909 log119909) la cui derivata egrave

119891prime(119909) = exp(119909 log119909)(log119909+119909 logprime 119909) = (log119909+ 1)119891(119909)

Dunque possiamo scrivere

119891Prime(119909) = 1119909119891(119909) + (log119909+ 1)119891prime(119909) = 1

119909119891(119909) + (log119909+ 1)2119891(119909)

Ne segue che 119891Prime(119909) gt 0 per 119909 isin 119863(119891) e quindi 119891 egrave convessaTorniamo alla funzione 119891(119909) = exp(minus1199092) si ha 119891prime(119909) = minus2119909 exp(minus1199092) e quindi

119891Prime(119909) = minus2 exp(minus1199092) + 41199092 exp(minus1199092) = 2(21199092 minus 1) exp(minus1199092)

che egrave negativa in (minus1radic2 1radic2) e positiva in (larr minus1radic2) e (1radic2 rarr) Questodetermina gli intervalli di concavitagrave e convessitagrave

I punti che separano un intervallo di concavitagrave da uno di convessitagrave e in cui la curvaha tangente si chiamano punti di flesso in essi intuitivamente la tangente attraversail grafico Lo studio della derivata seconda dagrave informazioni molto utili per tracciare ilgrafico ma non sempre egrave agevole La funzione appena studiata ha perciograve due punti diflesso analogamente la funzione 119909 ↦ 1199093 ha un punto di flesso

Consideriamo una funzione piugrave complicata 119891(119909) = 1199091119909 = exp((log119909)119909) Il dominio egrave119863(119891) = (0 rarr) Poicheacute

lim119909rarr0

log119909119909 = minusinfin lim

119909rarr+infin

log119909119909 = 0

si halim119909rarr0

119891(119909) = 0 lim119909rarr+infin

119891(119909) = 1

Inoltre119891prime(119909) = 119891(119909)119909 sdot (1119909) minus log119909

1199092 = 119891(119909)1 minus log1199091199092

La funzione egrave crescente in (0 119890] e decrescente in [119890 rarr) Crsquoegrave un punto di massimo in 119890 e119891(119890) = 1198901119890 asymp 144467 Dal fatto che il grafico ha un asintoto orizzontale di equazione 119910 = 1sembra evidente che ci deve essere un punto di flesso 119888 con 119888 gt 119890

Proviamo a calcolare la derivata seconda

119891Prime(119909) = 119891prime(119909)1 minus log1199091199092 +119891(119909)119909

2 sdot (minus1119909) minus 2119909(1 minus log119909)1199094

che semplificando diventa

119891Prime(119909) = 119891(119909)1 minus 2 log119909+ (log119909)2 minus3119909+ 2119909 log1199091199094

56 convessitagrave e derivata seconda 95

Come fare Lrsquoespressione sembra intrattabile Siccome perograve il segno di 119891Prime(119909) dipende solo dalnumeratore della frazione poniamo

119892(119909) = (log119909)2 minus 2(1 minus119909) log119909minus 3119909+ 1

Abbiamo 119892(1) = 1minus3 = minus2 lt 0 inoltre lim119909rarr+infin 119892(119909) = +infin il teorema sugli zeri dice che esiste(almeno) un punto 119888 gt 1 in cui 119892(119888) = 0 che corrisponderagrave al flesso cercato Analogamentesiccome lim119909rarr0 119892(119909) = +infin ci saragrave (almeno) un flesso anche tra 0 e 1 Proviamo a scrivere119892(119909) = 0 e poniamo 119910 = log119909 ottenendo la curva di equazione

1199102 minus 2(1 minus119909)119910minus 3119909+ 1 = 0

che rappresenta unrsquoiperbole Se la si disegna e si cercano le intersezioni con la curva 119910 = log119909si vede che le intersezioni sono esattamente due 047 lt 1199091 lt 048 e 31 lt 1199092 lt 32

Egrave immediato vedere che 119891(119909) = sin119909 egrave concava dove sin119909 gt 0 e convessa dovesin119909 lt 0 dal momento che 119891Prime(119909) = minus sin119909

Si puograve dimostrare che una funzione 119891 definita ovunque derivabile due volte stret-tamente crescente per la quale lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = minusinfin e lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin non puograveessere convessa (E nemmeno concava) Rimane solo da sottolineare che occorre moltacautela quando la funzione non sia derivabile due volte in tutto il dominio

Le funzioni convesse danno origine a molte disuguaglianze che possono essere ado-perate al posto di calcoli piugrave complicati Torniamo alle funzioni 119909 ↦ 120583(119886119887119909) (ce nrsquoegraveuna per ogni paio di numeri 119886119887 gt 0) dove

120583(119886119887119909) = (119886119909 +119887119909

2 )1119909

(119909 ne 0) 120583(119886119887 0) = radic119886119887

per dimostrare che sono crescenti Provando a calcolare la derivata ci si accorge che ilproblema sembra piuttosto arduo Tuttavia il nostro scopo egrave dimostrare che se 119901 lt 119902allora 120583(119886119887119901) le 120583(119886119887 119902) Ci limitiamo per il momento a 0 lt 119901 lt 119902 in tal caso ladisuguaglianza voluta cioegrave

(119886119901 +119887119901

2 )1119901

le (119886119902 +119887119902

2 )1119902

si puograve scrivere elevando alla 119902 come

(119886119901 +119887119901

2 )119902119901

le 119886119902 +119887119902

2

Se poniamo 119886119901 = 119906 e 119887119901 = 119907 abbiamo 119886119902 = 119906119902119901 e 119887119902 = 119907119902119901 se consideriamo lafunzione 119891(119909) = 119909119902119901 la disuguaglianza diventa allora

119891(119906+1199072 ) le 119891(119906) + 119891(119907)

2

che egrave vera percheacute 12 + 1

2 = 1 e la funzione 119909 ↦ 119891(119909) = 119909119902119901 (definita per 119909 gt 0) egraveconvessa Infatti la sua derivata seconda egrave

119891Prime(119909) = 119902119901(119902

119901 minus 1)119909 119902119901minus2

che egrave positiva essendo per ipotesi 119902 gt 119901 gt 0Questa dimostra la crescenza su (0 rarr) Non crsquoegrave bisogno perograve di altro percheacute

quando 119901 lt 119902 lt 0 possiamo usare il trucco

120583(119886119887119909) = 120583( 1119886 1119887 minus119909)

minus1

96 studi di funzione

e la crescenza giagrave dimostrata insieme al fatto che 0 lt minus119902 lt minus119901 dice che

120583( 1119886 1119887 minus119902) le 120583(1

119886 1119887 minus119901)

da cui prendendo i reciproci si ottiene la disuguaglianza cercata Dal momento poiche 120583 egrave continua in 0 abbiamo provato che per ogni 119901 e 119902 da 119901 lt 119902 segue che

120583(119886119887119901) le 120583(119886119887 119902)

Si provi a verificare che lrsquouguaglianza vale solo se 119886 = 119887 si torni alla disuguaglianzadella convessitagrave per stabilire quando puograve valere lrsquouguaglianza

Vediamo una funzione periodica 119891(119909) = arctan sin119909 siccome sin119909 isin [minus1 1]avremo 119891(119909) isin [minus1205874 1205874] Il dominio di 119891 egrave tutto lrsquoinsieme dei reali e la periodicitagraveimpedisce che ci siano asintoti Calcoliamo la derivata

119891prime(119909) = cos1199091+ sin2 119909

che egrave positiva esattamente dove egrave positivo il coseno La derivata seconda egrave

119891Prime(119909) = minus sin119909(1 + sin2 119909) minus 2 sin119909 cos2 119909(1 + sin2 119909)2 = minus sin119909(3 minus sin2 119909)

(1 + sin2 119909)2

Il segno di 119891Prime(119909) egrave lo stesso di quello di minus sin119909 in conclusione il grafico di 119891 egrave moltosimile a quello di sin119909 avendo gli stessi massimi e minimi e gli stessi intervalli diconvessitagrave e concavitagrave La disuguaglianza della concavitagrave in [0 120587] dice che per0 le 119886 lt 119905 lt 119887 le 120587

arctan sin 119905 minus arctan sin119886 ge arctan sin119887minus arctan sin119886119887minus119886 119905

Ora possiamo dire che (arctan sin119887 minus arctan sin119886) isin (minus1205872 1205872) dal momento chearctan sin119909 isin (minus1205874 1205874) e perciograve

arctan sin119887minus arctan sin119886 = sin119887minus sin1198861+ sin119887 sin119886

Dunque otteniamosin 119905 minus sin1198861+ sin 119905 sin119886 ge sin119887minus sin119886

1+ sin119887 sin1198861

119887minus 119886

Nel caso 119886 = 0 questa diventa

sin 119905 le sin119887119887

che conosciamo giagrave

57 successioni

Una successione egrave per definizione una funzione il cui dominio sia lrsquoinsieme dei nume-ri naturali Dal momento che il dominio egrave costituito di punti isolati egrave evidente che lacontinuitagrave e la derivabilitagrave di una successione sono fuori discussione la continuitagrave egraveautomatica la derivabilitagrave non ha senso Tuttavia il dominio ha un punto di accumula-zione secondo il nostro linguaggio piugrave propriamente egrave sensato domandarsi il limitea +infin

Parlando di successioni egrave tradizionale scrivere il valore in 119899 con 119886119899 invece che 119886(119899)se 119886 egrave il nome della funzione Esplicitiamo allora la definizione che perograve egrave solo lrsquoappli-cazione al caso particolare della definizione piugrave generale giagrave data

57 successioni 97

d e f i n i z i o n e Se 119886 egrave una successione e 119897 un numero allora

lim119899rarr+infin

119886119899 = 119897

quando per ogni tolleranza 120576 gt 0 esiste un naturale 119896 tale che per 119899 gt 119896 si abbia|119886119899 minus 119897| le 120576 Analogamente

lim119899rarr+infin

119886119899 = +infin

quando per ogni maggiorazione 119872 esiste un naturale 119896 tale che per 119899 gt 119896 siabbia 119886119899 ge 119872

Dovrebbe essere ovvio il significato di lim119899rarr+infin 119886119899 = minusinfinNaturalmente non egrave detto che ogni successione abbia limite se consideriamo

119886119899 =⎧⎨⎩

0 se 119899 egrave pari1 se 119899 egrave dispari

il limite non esiste Secondo una terminologia abbastanza diffusa una successione 119886 egrave

bull convergente a 119897 (dove 119897 egrave finito) se lim119899rarr+infin 119886119899 = 119897

bull divergente se lim119899rarr+infin 119886119899 = +infin (o minusinfin)

bull oscillante se il limite non esiste neacute finito neacute infinito

Possiamo adoperare il teorema del confronto di limiti per calcolare un paio di limitiimportanti Se 0 lt 119905 lt 1 allora

lim119899rarr+infin

119905119899 = 0

Infatti la disuguaglianza di Bernoulli ci dice che

0 lt 119905119899 lt 1199051+119899(119905 minus 1)

ma sappiamo giagrave chelim

119909rarr+infin

1199051 + 119909(119905 minus 1) = 0

e quindi abbiamo la tesi Se non ci si fida si verifichi lrsquoasserzione con le disuguaglianzee 120576 gt 0 Analogamente per 119905 gt 1 da

119905119899 gt 1+119899(119905 minus 1)

ricaviamolim

119899rarr+infin119905119899 = +infin

percheacute lim119909rarr+infin 119909(119905 minus 1) = +infinSi tratta di unrsquoosservazione importante se una successione puograve essere vista come

la restrizione ai naturali di una funzione definita su un opportuno insieme di numerireali della quale si conosce il limite a +infin lo stesso saragrave il limite della successione

Vediamo la successione 119886119899 = 119899radic119899 Se ricordiamo che lim119909rarr0 119909 log119909 = 0 abbiamoanche (con la sostituzione 119909 rarr 1119909)

lim119909rarr+infin

minus 1119909 log119909 = 0

e quindilim

119899rarr+infin

1119899 log119899 = 0

98 studi di funzione

cioegrave lim119899rarr+infin log 119899radic119899 = 0 quindi che

lim119899rarr+infin

119899radic119899 = 1

Lrsquoutilitagrave principale delle successioni risiede nel seguente risultato

t e o r ema Se la successione 119886 egrave crescente e limitata allora egrave convergente

Poniamo 119897 = sup119886119899 ∶ 119899 isin ℕ 119897 egrave lrsquoestremo superiore dei valori della funzione 119886siccome per ipotesi 119886 egrave limitata lrsquoestremo superiore esiste Fissiamo una tolleranza120576 gt 0 per definizione di estremo superiore esiste 119896 tale che 119886119896 ge 119897 minus 120576 Ma la suc-cessione 119886 egrave crescente quindi 119897 minus 120576 le 119886119899 anche per ogni 119899 gt 119896 e quindi vale anche|119886119899 minus 119897| le 120576 come richiesto

Ovviamente vale anche lrsquoasserzione analoga per successioni decrescenti se 119899 ↦ 119886119899egrave decrescente e limitata allora 119899 ↦ minus119886119899 egrave crescente e limitata

Come si puograve usare questo risultato A volte si riesce a dimostrare che un certolimite esiste senza perograve poterlo esprimere in termini ldquoesplicitirdquo Se si riesce a trovareuna successione che converge a quel limite potremo dare approssimazioni del valore

Come esempio consideriamo la successione cosigrave definita

1198860 = 1 119886119899+1 = 3119886119899 + 42119886119899 + 3

e dimostriamo che egrave crescente e limitata Per la crescenza basta ovviamente vedere che119886119899 le 119886119899+1 per ogni 119899 Maneggiamo come sempre le disuguaglianze tenendo contoche per definizione 119886119899 gt 0

119886119899 le 3119886119899 + 42119886119899 + 3

21198862119899 +3119886119899 le 3119886119899 +4

1198862119899 le 2

Dunque per verificare la disuguaglianza iniziale ci basta dimostrare lrsquoultima e lo fac-ciamo per induzione Egrave evidente che 1198862

0 le 2 Supponiamo che 1198862119899 le 2 e vediamo come

si trasforma la disuguaglianza 1198862119899+1 le 2

(3119886119899 +42119886119899 +3)

2le 2

91198862119899 + 24119886119899 +16 le 81198862

119899 + 24119886119899 + 181198862

119899 le 2

Ne segue che la tesi egrave verificata Dunque la successione 119886 converge come possiamocalcolare il limite Facile se 119897 egrave questo limite possiamo partire dallrsquoovvia uguaglianza

lim119899rarr+infin

119886119899+1 = lim119899rarr+infin

119886119899

e quindi

119897 = 3119897 + 42119897 + 3

che dagrave facilmente 1198972 = 2 e dunque essendo 119897 gt 0 percheacute certamente 119897 gt 1198860 119897 = radic2

Per essere pedanti lim119899rarr+infin 119886119899+1 andrebbe scritto come lim119899rarr+infin 119887119899 dove si sia definito 119887119899 =119886119899+1 Non ci preoccuperemo piugrave di questi problemini

57 successioni 99

Siamo in una situazione in cui il limite puograve essere espresso in ldquotermini esplicitirdquo econ la successione possiamo ottenere valori approssimati sempre meglio piugrave grandeprendiamo 119899 Vediamo i primi termini

1198860 = 1 1198861 = 3 sdot 1 + 42 sdot 1 + 3 = 7

5

1198862 = 3 sdot (75) + 42 sdot (75) + 3 = 41

29 1198863 = 3 sdot (4129) + 42 sdot (4129) + 3 = 239

169

Se calcoliamo i valori approssimati abbiamo

1198860 = 11198861 = 141198862 asymp 14137931198863 asymp 1414201

e vediamo che giagrave 1198863 egrave una buona approssimazione di radic2 con quattro cifre decimaliesatte

Resta da capire come abbiamo ottenuto la successione Si parte dallrsquouguaglianza

radic2minus 1 = 1radic2+ 1

o radic2 = 1radic2+ 1

+ 1

e si avvia un procedimento iterativo si pone

119888119899+1 = 1119888119899 + 1 + 1 = 119888119899 + 2

119888119899 + 1

partendo da 1198880 = 1 Tuttavia ci si accorge che la successione che si ottiene non egravecrescente

1198880 = 1 1198881 = 1+ 21+ 1 = 3

2 1198882 = 32+ 232 + 1 = 7

5

1198883 = 75+ 275 + 1 = 17

12 1198884 = 1712 + 21712 + 1 = 41

29

e viene lrsquoidea di considerare 119886119899 = 1198882119899 che dagrave effettivamente la successione crescenteda cui siamo partiti

119886119899+1 = 1198882119899+2 = 1198882119899+1 + 21198882119899+1 + 1 =

1198882119899 +21198882119899 +1 + 21198882119899 +21198882119899 +1 + 1

= 3119886119899 + 42119886119899 + 3

Si provi con unmetodo analogo a determinare una successione crescente che convergea radic3 o radic5

Quello che occorrerebbe egrave una stima dellrsquoerrore che si commette arrestando i calcolia un certo termine Se consideriamo la successione con termini 119887119899 = 1198882119899+1 si puogravevedere che egrave decrescente e che converge a radic2 con calcoli del tutto analoghi Alloraabbiamo 1198863 le radic2 le 1198873 perciograve lrsquoerrore saragrave inferiore a 1198873 minus1198863 = 1198887 minus 1198886

1198887 minus 1198886 = 577408 minus 239

169 = 168592 lt 0000015

e quindi siamo sicuri di avere tre cifre decimali esatte anche senza conoscere in anti-cipo (con la calcolatrice) un valore approssimato di radic2 Ai tempi in cui le calcolatricinon esistevano le tavole numeriche si compilavano con metodi analoghi a questi

100 studi di funzione

Vediamo un altro esempio per il calcolo di log 119905 con 119905 gt 1 Dividiamo lrsquointervallo[1 119905] in 119899 parti in progressione geometrica i punti di suddivisione saranno

1 = 119899radic1199050 119899radic1199051 119899radic1199052 hellip 119899radic119905119899minus1 119899radic119905119899 = 119886

Per semplicitagrave poniamo 119903 = 119899radic119905 Lrsquoarea che dagrave il logaritmo saragrave maggiore della sommadelle aree dei rettangoli inscritti che si ottengono a partire dalla suddivisione lrsquoarea delrettangolo con base lrsquointervallo [119903119896 119903119896+1] e altezza 1119903119896+1 egrave

(119903119896+1 minus119903119896) 1119903119896+1 = 1minus 1

119903 = 1minus 1119899radic119905

Quindi tutti i rettangoli hanno la stessa area e dunque

119899(1minus 1119899radic119905

) lt log119886

Non occorre fare i conti per verificare che la successione

119886119899 = 119899(1minus 1119899radic119905

)

egrave crescente PercheacuteCerchiamo ora di maggiorare log119886 Siccome 119891(119909) = 1119909 egrave convessa possiamo con-

siderare la stessa suddivisione e i trapezi che si ottengono congiungendo uno con ilsuccessivo i punti del grafico di 119891(119909) = 1119909 corrispondenti a quelle ascisse Lrsquoarea deltrapezio con altezza corrispondente allrsquointervallo [119903119896 119903119896+1] egrave

12( 1

119903119896 + 1119903119896+1 )(119903

119896+1 minus119903119896) = 12(1+ 1

119903)(119903minus 1) = 12(119903minus 1

119903)

e quindi anche qui tutti i trapezi hanno la stessa area La successione

119887119899 = 1198992 ( 119899radic119905minus 1

119899radic119905)

egrave decrescente e abbiamo per ogni 119899 ge 1

119886119899 lt log 119905 lt 119887119899

e quindi 119887119899 minus 119886119899 dagrave una stima dellrsquoerrore commesso quando si prenda 119886119899 oppure 119887119899come valore approssimato di log 119905

119887119899 minus119886119899 = 1198992 119899radic119905

( 119899radic119905minus 1)2

Possiamo scrivere una tabella dei valori approssimati quando 119905 = 2

119899 119886119899 119887119899 119887119899 minus119886119899

1 0500000000000000 0750000000000000 02500000000000002 0585786437626904 0707106781186547 01213203435596424 0636414338985141 0696621399498013 00602070605128718 0663967654362630 0694014757842345 0030047103479715

16 0678347508822821 0693364013830721 001501650500789932 0685694013193595 0693201385062664 000750737186906964 0689407155585569 0693160731447199 0003753575861630

128 0691273794094953 0693150568266857 0001876774171903256 0692209642119647 0693148027485741 0000938385366094512 0692678199823271 0693147392291336 0000469192468065

57 successioni 101

Non egrave grancheacute come velocitagrave di convergenza ma il valore almeno per le prime due cifredecimali egrave esatto infatti log2 asymp 0693147180559945 Il metodo non egrave certamente ilmigliore possibile ma come primo tentativo non possiamo lamentarci Notiamo checi occorre solo calcolare radici quadrate successive se come valori di 119899 prendiamopotenze di 2 Egrave evidente anche geometricamente che i valori 119887119899 sono approssimazionimigliori 119887512 ha la sesta cifra decimale esatta In effetti egrave la stima dellrsquoerrore il puntopiugrave debole

Come potremmo calcolare il valore di 119890 cioegrave del numero tale che log 119890 = 1Napier definigrave inizialmente i logaritmi considerando un numero molto vicino a 1 che possiamo

scrivere come 119887 = 1 + 1119896 (con 119896 abbastanza grande) Dato un numero 119909 cercava allora unesponente 119892(119909) tale che

(1+ 1119896)

119892(119909)asymp 119909

e chiamava 119897(119909) = 119892(119909)119896 il logaritmo di 119909 Il suo ragionamento era che

11990911199092 = 119887119892(1199091)119887119892(1199092) = 119887119892(1199091)+119892(1199092)

e dunque 119897(119909119910) = 119897(119909) + 119897(119910) almeno approssimativamente Con una base vicina a 1 le po-tenze successive non sono troppo lontane lrsquouna dallrsquoaltra e si poteva cosigrave interpolare ottenendouna discreta precisione Per essere rigorosi dal punto di vista storico Napier usava una baseleggermente piugrave piccola di 1 che non cambia sostanzialmente le cose

Aumentando 119896 si dovrebbe ottenere un valore sempre piugrave preciso del logaritmo ma egrave davverocosigrave Chiamiamo 119897119896(119909) il valore che si ottiene usando 119896 dovremmo avere

lim119896rarr+infin

(1+ 1119896)

119896119897119896(119909)= 119909

Prendiamo il vero logaritmo

log(1+ 1119896)

119896119897119896(119909)= log119909

da cui otteniamo chelog119909119897119896(119909) = 119896 log(1+ 1

119896)

e quindi la nostra asserzione egrave equivalente a

lim119896rarr+infin

119896 log(1+ 1119896) = 1

Eseguiamo la sostituzione 119896 = 1ℎ

lim119896rarr+infin

119896 log(1+ 1119896) = lim

ℎrarr0+

log(1 + ℎ)ℎ = logprime 1 = 1

Lrsquoasserzione egrave dunque vera I numeri di Napier sono una buona approssimazione del logarit-mo naturale Ovviamente la definizione moderna egrave piugrave rigorosa piugrave avanti daremo quella lsquouf-ficialersquo che non richiede il concetto intuitivo di area Ma lo scopo di Napier era di evitare lemoltiplicazioni nei calcoli approssimati e lo raggiunse con successo

Conseguenza del limite che abbiamo scritto egrave che

lim119899rarr+infin

(1+ 1119899)

119899= 119890

cioegrave la successione 119886119899 = (1 + 1119899)119899 converge a 119890 Possiamo usarla per ottenere unrsquoapprossi-mazione di 119890 Non precisamente se calcoliamo con molta pazienza 11988610 000 otteniamo il valore271814 che ha solo tre cifre decimali esatte Vedremo piugrave avanti che la successione crescentedefinita da

1198860 = 1 119886119899+1 = 119886119899 + 1(119899+ 1)

converge proprio a 119890

102 studi di funzione

58 la formula di taylor

La nostra definizione di derivata egrave sostanzialmente il coefficiente angolare della rettaper (119909119891(119909)) che meglio approssima il grafico di 119891 vicino al punto dato Che succede-rebbe se volessimo approssimare il grafico con una parabola Ci servirebbe determina-re due coefficienti 119886 e 119887 in modo che

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 119886ℎ+ 119887ℎ2 +ℎ2120595(ℎ)

dove limℎrarr0 120595(ℎ) = 0 in analogia a quanto fatto per la tangente Vediamo un porsquousando il teorema di lrsquoHocircpital senza preoccuparci dei dettagli che sistemeremo inseguito

limℎrarr0

120595(ℎ) = limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus 119886ℎminus 119887ℎ2

ℎ2H= lim

ℎrarr0

119891prime(119909 +ℎ) minus 119886minus 2119887ℎ2ℎ

e affincheacute il limite sia nella forma indeterminata ⟦00⟧ dobbiamo avere 119886 = 119891prime(119909) edunque possiamo procedere

limℎrarr0

120595(ℎ) H= limℎrarr0

119891prime(119909 +ℎ) minus 119891prime(119909) minus 2119887ℎ2ℎ

H= limℎrarr0

119891Prime(119909+ℎ) minus 21198872

e lrsquoultimo limite egrave 0 quando 119887 = 119891Prime(119909)2Ora occupiamoci del rigore stiamo evidentemente supponendo che non solo 119891 sia

derivabile due volte in un intorno di119909 ma anche che la derivata seconda sia continua Ineffetti come abbiamo definito la funzione derivata possiamo anche definire la funzionederivata seconda e cosigrave via Diremo che 119891 egrave derivabile 119899 volte con continuitagrave in unintorno di 119909 se la funzione derivata 119899-esima esiste in un intorno di 119909 ed egrave continuain 119909 Siccome ogni funzione derivabile egrave continua avremo in particolare che in unintorno di 119909 le funzioni derivate fino a quella di ordine 119899minus 1 sono continue

Per avere una notazione uniforme la derivata119899-esima in119909 di119891 si denota con119891(119899)(119909)cosigrave che 119891prime(119909) = 119891(1)(119909) e 119891Prime(119909) = 119891(2)(119909) Poniamo anche per estensione 119891(0)(119909) =119891(119909)

t e o r ema d i t a y l o r Se la funzione 119891 egrave derivabile 119899 volte con continuitagrave in119909 allora esiste un intorno 119880 di 0 tale che se ℎ isin 119880

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 119891prime(119909)1 ℎ + 119891Prime(119909)

2 ℎ2 +⋯+ 119891(119899)(119909)119899 ℎ119899 +120593119899(ℎ)ℎ119899

dove limℎrarr0 120593119899(ℎ) = 0

La tesi egrave vera per 119899 = 1 Supponiamo di averla dimostrata per 119899minus1 Per brevitagrave po-niamo 119886119896 = 119891(119896)(119909)119896 e cerchiamo di vedere che 119886119899 = 119891(119899)119899 egrave proprio il coefficientegiusto in modo che

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 1198861ℎ+⋯+119886119899minus1ℎ119899minus1 +119886119899ℎ119899 +ℎ119899120593119899(ℎ)

e limℎrarr0 120593119899(ℎ) = 0 Possiamo applicare il teorema di lrsquoHocircpital

limℎrarr0

120593119899(ℎ) = limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus (119891(119909) + 1198861ℎ+1198862ℎ2 +⋯+119886119899minus1ℎ119899minus1 +119886119899ℎ119899)ℎ119899

H= limℎrarr0

119891prime(119909+ ℎ) minus (1198861 +21198862ℎ+⋯+ (119899minus 1)119886119899minus1ℎ119899minus2 +119899119886119899ℎ119899minus1)119899ℎ119899minus1

58 la formula di taylor 103

Ma la funzione 119892 = 119891prime soddisfa lrsquoipotesi del teorema per119899minus1 quindi per essa possiamodare per valida la tesi

119892(119909+ℎ) = 119892(119909) + ℎ119892prime(119909)1 + ℎ2119892Prime(119909)

2 +⋯+ℎ119899minus1119892119899minus1(119909)(119899minus 1) + ℎ119899minus1120595(ℎ)

con limℎrarr0 120595(ℎ) = 0 Ma allora

119892(119896minus1)(119909)(119896 minus 1) = 119891(119896)(119909)

(119896 minus 1) = 119896119891(119896)(119909)119896 = 119896119886119896

e quindi

119891prime(119909 + ℎ) minus (1198861 + 21198862ℎ+⋯+ (119899minus 1)119886119899minus1ℎ119899minus2 +119899119886119899ℎ119899minus1) = ℎ119899minus1120595(ℎ)

Perciograve tornando al limite di partenza

limℎrarr0

120593119899(ℎ) = limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus (119891(119909) + 1198861ℎ+1198862ℎ2 +⋯+119886119899minus1ℎ119899minus1 +119886119899ℎ119899)ℎ119899

H= limℎrarr0

119891prime(119909+ ℎ) minus (1198861 +21198862ℎ+⋯+ (119899minus 1)119886119899minus1ℎ119899minus2 +119899119886119899ℎ119899minus1)119899ℎ119899minus1

= limℎrarr0

ℎ119899minus1120595(ℎ)119899ℎ119899minus1 = lim

ℎrarr0

120595(ℎ)119899 = 0

esattamente come richiesto

Vediamo una possibile applicazione di questo teorema Vogliamo calcolare

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093

senza usare il teorema di lrsquoHocircpital Scriviamo lo sviluppo di Taylor di sin119909 con 119899 = 3

sin119909 = sin(0 + 119909)

= sin0 +119909 sinprime 01 + 1199092 sinPrime 0

2 + 1199093 sin 03 + 11990931205933(119909)

= 119909minus 161199093 +11990931205933(119909)

e dunque il nostro limite egrave

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093 = lim

119909rarr0

119909minus119909+11990936 minus11990931205933(119909)1199093 = lim

119909rarr0

16 minus1205933(119909) = 1

6

Con il teorema di lrsquoHocircpital avremmo dovuto operare due volte

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093

H= 1minus cos11990931199092

H= sin1199096119909 = 1

6

Molto spesso il teorema di Taylor evita lrsquoapplicazione ripetuta del teorema di lrsquoHocirc-pital per meglio dire egrave una conseguenza del teorema di lrsquoHocircpital e ne semplificalrsquoapplicazione

La funzione che ha lo sviluppo di Taylor piugrave semplice a parte i polinomi egrave lrsquoespo-nenziale

exp119909 = exp0 +119909expprime 01 + 1199092 expPrime 0

2 +⋯+119909119899 exp(119899) 0119899 + 119909119899120593119899(119909)

= 1+119909+ 1199092

2 +⋯+ 119909119899

119899 + 119909119899120593119899(119909)

104 studi di funzione

(Notiamo che qui crsquoegrave 119909 dove prima abbiamo usato ℎ ovviamente non cambia nulla)Ci interessa almeno in qualche caso particolare studiare il comportamento di120593119899(119909)

t e o r ema d i t a y l o r - l a g r ang e Supponiamo che la funzione 119891 sia deri-vabile 119899 + 1 volte con continuitagrave in un intervallo 119868 Allora se 119909119909 + ℎ isin 119868 siha

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 119891prime(119909)1 ℎ + 119891Prime(119909)

2 ℎ2 +⋯+ 119891(119899)(119909)119899 ℎ119899 + 119891(119899+1)(119888)

(119899+ 1) ℎ119899+1

per un opportuno 119888 tra 119909 e 119909+ℎ

Poniamo

119901(ℎ) = 119891(119909) + ℎ119891prime(119909) + ℎ2

2 119891Prime(119909) +⋯+ ℎ119899

119899 119891(119899)(119909)

Allora 119901(0) = 119891(119909) e se deriviamo (rispetto a ℎ) scopriamo che 119901prime(0) = 119891prime(119909) 119901Prime(0) = 119891Prime(119909)e cosigrave via Se poniamo

119892(ℎ) = 119891(119909+ℎ) minus 119901(ℎ)

per la funzione 119892 vale119892(0) = 119892prime(0) = 119892Prime(0) = ⋯ = 119892(119899)(0) = 0

e ognuna delle funzioni 119892 119892prime 119892Prime hellip 119892(119899) egrave una funzione di LagrangeLo stesso possiamo dire della funzione 119866(ℎ) = ℎ119899+1

119866(0) = 119866prime(0) = 119866Prime(0) = ⋯ = 119866(119899)(0) = 0

e inoltre queste funzioni si annullano solo in 0 Perciograve possiamo applicare il teorema di Cauchy

119892(ℎ)119866(ℎ) = 119892(ℎ) minus 119892(0)

119866(ℎ) minus119866(0) = 119892prime(ℎ1)119866(ℎ1)

per un opportuno ℎ1 tra 0 e ℎ Ma possiamo andare avanti

119892prime(ℎ1)119866(ℎ1)

= 119892prime(ℎ1) minus 119892prime(0)119866(ℎ1) minus 119866prime(0) = 119892Prime(ℎ2)

119866(ℎ2)

per un opportuno ℎ2 tra 0 e ℎ1 e cosigrave via fino a

119892(119899)(ℎ119899)119866(119899)(ℎ119899)

= 119892(119899)(ℎ119899) minus 119892(119899)(0)119866(119899)(ℎ119899) minus 119866(119899)(0) = 119892(119899+1)(ℎ119899+1)

119866(119899+1)(ℎ119899+1)

per un opportuno ℎ119899+1 tra 0 e ℎ119899 Ora 119866(119899)(ℎ119899+1) = (119899+ 1) mentre 119892(119899+1)(ℎ119899+1) = 119891(119899+1)(119909+ℎ119899+1) dunque per 119888 = 119909+ℎ119899+1 abbiamo proprio

119891(119909+ℎ) = 119901(ℎ) + 119891(119899+1)(119888)(119899+ 1) ℎ

119899+1

In certi casi questo teorema ci dagrave informazioni molto utili sulla funzione 119891 peresempio per lrsquoesponenziale abbiamo

exp(119899+1) 119888 = exp119888 lt 3119888

e dunque prendendo 119909 = 0 e ℎ = 1

119890 = exp1 = 1+ 11 +

12 +⋯+ 1

119899 +exp119888

(119899+ 1)

con 0 lt 119888 lt 1 da cui otteniamo che

119890 minus (1+ 11 +

12 +⋯+ 1

119899) = exp119888(119899+ 1) lt

3119888

(119899+ 1) lt3

(119899+ 1)

58 la formula di taylor 105

Dunque lrsquoerrore che si commette prendendo come valore approssimato di 119890 lrsquoespres-sione tra parentesi egrave minore di 3(119899+ 1) Per 119899 = 7 si ha 38asymp 00000744 e dunquelrsquoespressione dagrave il valore di 119890 con tre cifre decimali esatte

1 + 11 +⋯+ 1

7 asymp 271825

mentre 119890 asymp 271828 Le cifre esatte sono in realtagrave quattroCon questa rappresentazione possiamo anche dimostrare che 119890 egrave irrazionale Sup-

poniamo infatti per assurdo che 119890 = 119886119887 con 119886 e 119887 interi Prendiamo 119899 gt 119887 allora

0 lt (119890 minus (1+ 11 +

12 +⋯+ 1

119899))119899= exp119888(119899+ 1)119899= exp119888

119899+ 1 lt 3119899+ 1

Ma lrsquoespressione iniziale egrave per ipotesi un numero intero mentre 3(119899 + 1) lt 1 se119899+1 gt 3 contraddizione Dimostrare che 119890 egrave trascendente cioegrave non egrave radice di alcunpolinomio a coefficienti interi egrave molto piugrave complicato

Non sempre lo sviluppo di Taylor dagrave buoni risultati due funzioni diverse possono avere ameno del resto lo stesso sviluppo di Taylor cioegrave le stesse derivate in un punto

Un esempio che puograve illustrare bene questo fenomeno egrave di una funzione che ha tutte le derivatein un certo punto nulle ma non egrave la funzione nulla Partiamo un porsquo da distante e consideriamola funzione

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) exp(minus 1

1199092 )

dove 119875 e 119876 sono polinomi (non nulli) La funzione 119891 egrave definita in un intorno di 0 escluso 0 e ciproponiamo di calcolare

lim119909rarr0+

119891(119909) = lim119905rarr+infin

119875(1119905)119876(1119905) exp(minus1199052)

Facciamo lrsquoesempio di 119875(119909) = 3+119909+1199092 119876(119909) = 1+ 2119909minus1199092 +1199093 allora

119875(1119905)119876(1119905) =

3+ 1119905 + 1

1199052

1 + 2119905 minus 1

1199052 + 11199053

= 11990531199052

31199052 + 119905+ 11199053 + 21199052 minus 119905+ 1

e ne ricaviamo che119875(1119905)119876(1119905) = 1198751(119905)

1198761(119905)dove 1198751 e 1198761 sono polinomi Piugrave in generale se il grado di 119875 egrave 119898 e quello di 119876 egrave 119899 la stessaprocedura ci daragrave

119875(1119905)119876(1119905) = 119905119899

1199051198981198750(119905)1198760(119905)

= 1198751(119905)1198761(119905)

e abbiamo ottenuto quello che volevamo Il nostro limite allora se 1198751 ha grado maggiore di 0diventa della forma ⟦ infininfin⟧ e quindi

lim119905rarr+infin

1198751(119905)1198761(119905) exp(1199052)

H= lim119905rarr+infin

119875prime1(119905)

(119876prime1(119905) + 21199051198761(119905)) exp(1199052)

Il numeratore ha grado minore del grado di 1198751 il denominatore egrave exp(1199052)moltiplicato per un poli-nomio che ha grado maggiore di 1198761 Applicando ancora il teorema di lrsquoHocircpital possiamo via viadiminuire il grado del numeratore fino ad arrivare a 0 a quel punto il limite egrave evidentemente 0Non ci sarebbe bisogno di nulla di ciograve se il grado di 1198751 fosse 0

In modo del tutto analogo possiamo procedere con il limite da sinistra e perciograve abbiamodimostrato che

lim119909rarr0

119875(119909)119876(119909) exp(minus 1

1199092 ) = 0

quando 119875 e 119876 sono polinomi non nulliConsideriamo allora la funzione cosigrave definita

119865(119909) =⎧⎨⎩

0 se 119909 = 0exp(minus11199092) se 119909 ne 0

106 studi di funzione

La funzione egrave continua per quanto appena visto basta prendere 119875 = 119876 = 1 Possiamo calcolarela derivata 119865(119909) per 119909 ne 0

119865prime(119909) = 21199093 exp(minus11199092)

e lo stesso conto precedente dice che

119865prime(0) = lim119909rarr0

119865prime(119909) = 0

Dunque abbiamo che la derivata di 119865 esiste in 0 e che 119865prime egrave continua Vediamo la derivata secondasempre per 119909 ne 0

119865Prime(119909) = minus61199094 exp(minus11199092) + 2

119909321199093 exp(minus11199092)

= minus61199092 +41199096 exp(minus11199092)

e quindi 119865Prime(0) = lim119909rarr0 119865Prime(119909) = 0 ancora per il limite precedente Non egrave difficile dimostrareper induzione che ogni derivata successiva ha per 119909 ne 0 la forma del limite di prima e quindile derivate di 119865 in 0 si annullano tutte se la derivata 119899-esima egrave

119865(119899)(119909) = 119875(119909)119876(119909) exp(minus11199092)

allora

119865(119899+1)(119909) = 119875prime(119909)119876(119909) minus 119875(119909)119876prime(119909)119876(119909)2 exp(minus11199092) + 119875(119909)

119876(119909)21199093 exp(minus11199092)

= 1198750(119909)1198760(119909) exp(minus11199092)

per opportuni polinomi 1198750 e 1198760 la dimostrazione egrave completaIn definitiva la funzione non nulla 119865 ha tutte le derivate ovunque e 119865(119899)(0) = 0 per ogni 119899

Crsquoegrave unrsquoaltra importante applicazione della formula di Taylor che riguarda i massimie i minimi Talvolta egrave complicato studiare quando la derivata egrave positiva o negativamentre puograve essere piugrave comodo calcolare la derivata seconda ammesso che la funzio-ne sia derivabile due volte con continuitagrave Egrave chiaro dalla discussione su concavitagrave econvessitagrave che se 119891 (derivabile due volte con continuitagrave) ha in 119909 un punto di massimointerno al dominio allora deve essere concava in un intorno di 119909 saragrave convessa in unintorno di ciascun punto di minimo interno al dominio Perciograve nel caso in cui sappia-mo che 119891prime(119909) = 0 e 119891Prime(119909) gt 0 (sempre supponendo che 119891 sia derivabile due volte concontinuitagrave) possiamo affermare che 119909 egrave un punto di minimo

Puograve perograve accadere che 119891prime(119909) = 119891Prime(119909) = 0 e il metodo precedente non permette diconcludere lrsquoesempio usuale egrave 119891(119909) = 1199094 Egrave ovvio che 0 egrave un punto di minimo ma119891prime(0) = 119891Prime(0) = 0 Qui certamente lo studio della derivata egrave facile 119891prime(119909) = 41199093quindi 119891 egrave decrescente in (larr 0] e crescente in [0 rarr)

c r i t e r i o p e r ma s s i m i e m i n i m i Supponiamo che la funzione 119891 siaderivabile 119899 volte con continuitagrave in 119909 e che

119891prime(119909) = 119891Prime(119909) = ⋯ = 119891(119899minus1)(119909) = 0 119891(119899)(119909) ne 0

Se 119899 egrave dispari 119891 ha un flesso in 119909 se 119899 egrave pari 119909 egrave un punto di massimo se 119891(119899)(119909) lt0 e un punto di minimo se 119891(119899)(119909) gt 0

Possiamo scrivere per ℎ in un opportuno intorno 119880 di zero

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) = (119891(119899)(119909)119899 +120593119899(ℎ))ℎ119899

59 calcolo di limiti con gli sviluppi di taylor 107

e siccome limℎrarr0 120593119899(ℎ) = 0 esiste un intorno 119881 di zero tale che per ℎ isin 119881 si abbia

|120593119899(ℎ)| lt |119891(119899)(119909)119899 |

Nel caso di 119899 pari abbiamo dunque che per ℎ isin 119881 119891(119909 + ℎ) minus 119891(119909) egrave concorde con119891(119899)(119909) quindi maggiore di zero oppure minore di zero e dunque 119909 egrave rispettivamenteun punto di minimo o un punto di massimo

Nel caso di 119899 dispari avremo che 119891(119909 + ℎ) assume segno opposto per ℎ lt 0 e perℎ gt 0

Un esempio semplice egrave quello di 119891(119909) = 1199094 minus 141199092 + 24119909+ 1 si ha 119891prime(119909) = 41199093 minus28119909+24 che si annulla inminus3 1 e 2 Si puograve studiare il segno della derivata ma possiamoanche calcolare 119891Prime(119909) = 4(31199092 minus 7) e quindi

119891Prime(minus3) = 4(27 minus 7) gt 0 119891Prime(1) = 4(3 minus 7) lt 0 119891Prime(2) = 4(12 minus 7) gt 0

Perciograve minus3 egrave un punto di minimo 1 un punto di massimo e 2 un punto di minimoIl criterio egrave forse piugrave utile quando non si possono determinare in modo lsquoesattorsquo i

punti dove si annulla la derivata Consideriamo per esempio 119891(119909) = 119890119909 + 1199092 Laderivata 119891prime(119909) = 119890119909 +2119909 si annulla in un punto 119903 dove 119890119903 = minus2119903 La derivata secondaegrave 119891Prime(119909) = 119890119909 + 2 gt 0 quindi 119903 egrave certamente un punto di minimo

59 calcolo di limiti con gli sviluppi di taylor

Abbiamo giagrave visto qualche esempio di calcolo di limiti la tecnica egrave spesso presentata inunmodo leggermente diverso con una notazione un porsquo strana mamolto maneggevole

Tratteremo qui solo limiti a 0 gli altri casi si gestiscono con una semplice sostituzio-ne 119911 = 119909minus 119888 per i limiti a 119888 119911 = 1119909 per i limiti a infinito

Il teorema di Taylor ci dice che data una funzione 119891 derivabile119899 volte con continuitagravein 0 si puograve scrivere

119891(119909) = 119891(0) + 119891prime(0)1 119909 + 119891Prime(0)

2 +⋯+ 119891(119899)(0)119899 119909119899 +120593119899(119909)119909119899

ed egrave comune indicare il termine 120593119899(119909)119909119899 con 119900(119909119899) Piugrave precisamente con 119900(119909119899) siintende una funzione di 119909 con la proprietagrave che

lim119909rarr0

119900(119909119899)119909119899 = 0

Si faccia molta attenzione al fatto che 119900(119909119899) minus 119900(119909119899) = 119900(119909119899) non si possono sempli-ficare gli ldquoo piccolirdquo Prendendo a prestito un termine della programmazione si trattadi una ldquovariabile senza nomerdquo della funzione sappiamo che esiste e che ha una certaproprietagrave Possiamo scrivere alcune relazioni utili

1 119900(119909119898)119909119899 = 119900(119909119898+119899)

2 se 119898 ge 119899 119900(119909119898)119909119899 = 119900(119909119898minus119899)

3 se 119898 le 119899 allora 119900(119909119898) + 119900(119909119899) = 119900(119909119898)

La definizione di 119900(119909119899) egrave piugrave complicata ma quando usata negli sviluppi di Taylor egrave equiva-lente a quella data

108 studi di funzione

Supponiamo di dover calcolare un limite alquanto complicato come

lim119909rarr1

3radic21199092 minus 1minusradic119909119909minus 1

che per prima cosa trasformiamo con la sostituzione 119909 = 119905+ 1 in

lim119905rarr0

3radic21199052 + 4119905+ 1minusradic119905+ 1119905

Possiamo provare con lo sviluppo di Taylor al primo ordine

3radic1+ 4119905 + 21199052 = 1+ 13(4119905 + 21199052) + 119900(119905)

Percheacute 119900(119905) e non 119900(4119905 + 21199052) Percheacute 119900(2119905) = 119900(119905) e 119900(2 + 119905) = 119900(1) = 119900(1199050)Similmente

radic1+ 119905 = 1+ 12119905 + 119900(119905)

e quindi il limite puograve essere scritto come

lim119905rarr0

1 + 13 (4119905 + 21199052) + 119900(119905) minus (1 + 1

2119905 + 119900(119905)) 119905 = lim

119905rarr0

56119905 + 2

31199052 + 119900(119905)119905 = 5

6

Per la veritagrave non egrave necessario tutto questo macchinario percheacute la funzione 119891(119909) =3radic21199092 minus1minusradic119909 soddisfa 119891(1) = 0 e quindi il limite da calcolare egrave 119891prime(1) siccome

119891prime(119909) = 41199093 3radic(21199092 minus 1)2

minus 12radic119909

e quindi119891prime(1) = 4

3 minus 12 = 5

6ma lrsquoidea era proprio di verificare che si giunge alla stessa conclusione

La tecnica egrave benvenuta in situazioni piugrave complicate in cui il calcolo di derivatesuccessive egrave complicato Consideriamo

lim119909rarr0

log(1 + 119909 arctan119909) + 1minus 1198901199092

radic1+ 21199094 minus 1

e calcoliamo con pazienza gli sviluppi di Taylor Il denominatore sembra piugrave semplicee infatti

radic1+ 21199094 = 1+ 21199094

2 + 119900(1199094) minus 1 = 1199094 + 119900(1199094)

che dice di calcolare sviluppi fino al quarto ordine anche nel numeratore Abbiamo

log(1 + 119909 arctan119909) = 119909 arctan119909minus 12(119909 arctan119909)2 + 119900((119909 arctan119909)2)

= 119909(119909minus 131199093 + 119900(1199093)) minus 1199092

2 (119909+ 119900(1199092))2 + 119900(1199094)

= 1199092 minus 431199094 + 119900(1199094)

e per finire1198901199092 = 1+1199092 + 1

21199094 + 119900(1199094)

che ci dagrave il limite nella forma

lim119909rarr0

minus431199094 + 119900(1199094)1199094 + 119900(1199094) = lim

119909rarr0

minus43 + 119900(1199094)

1199094

1 + 119900(1199094)1199094

= minus43

510 curvatura 109

Il passaggio intermedio puograve certamente essere omesso Un ultimo esempio

lim119909rarr+infin

( 119909minus1199092 log(1 + sin 1119909)) = lim

119905rarr0+

119905 minus log(1 + sin 119905)1199052

= lim119905rarr0+

119905 minus sin 119905 + 12 sin2 119905 + 119900(sin3 119905)

1199052

= lim119905rarr0+

119905 minus 119905 + 121199052 + 119900(1199053)1199052

= 12

510 curvatura

Lrsquoidea di approssimare una curva con la tangente puograve essere generalizzata in modo di-verso rispetto a quanto abbiamo fatto con lo sviluppo di Taylor ci interessa per esem-pio dare una misura di quanto un grafico ldquosia curvordquo in un punto Come la retta puograveessere presa per lrsquoapprossimazione la circonferenza puograve essere presa come indicatricedella curvatura piugrave precisamente una semicirconferenza che quindi egrave il grafico di unafunzione 120574 Ci domandiamo che proprietagrave deve avere 120574 per rappresentare la semicir-conferenza che meglio approssima una funzione vicino a un suo punto Se la funzioneegrave 119891 definita in un intorno del punto 119888 che ci interessa dovremo evidentemente avere

120574(119888) = 119891(119888) 120574prime(119888) = 119891prime(119888)

cioegrave la curva e la semicirconferenza devono avere in comune la tangente Lrsquoidea tenen-do conto degli sviluppi di Taylor si suggerisce da sola una circonferenza egrave determinatada tre dati e ne abbiamo giagrave due Come terzo imporremo che

120574Prime(119888) = 119891Prime(119888)

naturalmente supponendo che 119891 abbia la derivata seconda in 119888 Non crsquoegrave bisogno discrivere esplicitamente la funzione 120574 anche se saremmo in grado di farlo Ricordiamoinvece che dovragrave soddisfare lrsquoequazione

1199092 +120574(119909)2 minus 2119886119909minus 2119887120574(119909) + 1198862 +1198872 minus1199032 = 0

dove (119886119887) egrave il centro e 119903 il raggio 119886 119887 e 119903 sono le nostre incogniteTrattiamo prima un caso speciale trovare il cerchio osculatore (cioegrave la circonferenza

che meglio approssima la curva) alla funzione 119865 nel punto di ascissa 0 e supponiamoanche che 119865(0) = 0 La nostra funzione 120574 dovragrave allora soddisfare

1198832 +120574(119883)2 minus 2119886119883minus 2119887120574(119883) = 0

e capiremo fra poco percheacute usiamo 119883 come variabile Possiamo derivare rispetto a 119883la relazione ottenendo

2119883+ 2120574(119883)120574prime(119883) minus 2119886minus 2119887120574prime(119883) = 0

e derivare unrsquoaltra volta dopo aver diviso per 2

1 + 120574prime(119883)2 +120574(119883)120574Prime(119883) minus 119887120574Prime(119883) = 0

Possiamo allora sostituire 119883 = 0 in entrambe le relazioni ottenute ricordando chevogliamo

120574(0) = 119865(0) = 0 120574prime(0) = 119865prime(0) = 119898 120574Prime(0) = 119865Prime(0) = 119899

110 studi di funzione

Abbiamo quindi le due condizioni

⎧⎨⎩

119886+ 119887119898 = 01+1198982 minus119887119899 = 0

che danno evidentemente⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

119886 = minus119898(1+1198982)119899

119887 = 1+1198982

119899

purcheacute ovviamente 119899 ne 0 In questo caso il raggio 119903 si ottiene come distanza delcentro da un punto della circonferenza cioegrave (0 0)

1199032 = (1+1198982)31198992

La quantitagrave120594 = 119899

radic(1+1198982)3si chiama curvatura Nel caso di 119899 = 0 la curvatura egrave nulla altrimenti il modulo delreciproco della curvatura egrave il raggio di curvatura

Come facciamo a passare al caso generale Con una traslazione Se la nostra funzio-ne egrave 119891 e il punto che ci interessa egrave 119888 possiamo considerare la funzione

119865(119909) = 119891(119909+ 119888) minus 119891(119888)

e vediamo subito che 119865(0) = 0 119865prime(0) = 119891prime(119888) e 119865Prime(0) = 119891Prime(119888) Dunque il centro dicurvatura ha coordinate

(119888minus 119891prime(119888)(1 + 119891prime(119888)2)119891Prime(119888) 119891(119888) + 1+119891prime(119888)2

119891Prime(119888) )

e la curvatura egrave120594119891(119888) =

119891Prime(119888)(1 + 119891prime(119888)2)32

Il luogo dei centri di curvatura di una curva data si chiama la sua evolutaVediamone un paio di esempi Il primo egrave lrsquoevoluta della parabola di equazione 119910 =

1199092 che possiamo pensare come il grafico di 119891(119909) = 1199092 Allora i centri di curvaturahanno coordinate

119909 = 119888minus 119891prime(119888)(1 + 119891prime(119888)2)119891Prime(119888) = 119888minus 2119888(1 + 41198882)

2

119910 = 119891(119888) + 1+119891prime(119888)2119891Prime(119888) = 1198882 + (1+ 41198882)

2

Dalla seconda otteniamo2119910 = 1+ 61198882

quindi 1198882 = (2119910minus 1)6 La prima equazione diventa

119909 = minus41198883

da cui 119888 = minus 3radic1199094 e sostituendo nellrsquoaltra

6 3

radic1199092

16 = 2119910minus 1

che puograve essere studiata come il grafico di una funzioneIn un punto di flesso (dove la derivata seconda si annulla) la curvatura egrave 0 come

del resto ci si attende Tuttavia la curvatura puograve essere nulla anche in punti che nonsono flessi per 119891(119909) = 1199094 abbiamo 120594119891(0) = 0 ma evidentemente questo egrave un puntodi minimo

6INTEGRAL I

61 calcolo delle aree

Il problema di calcolare le aree di figure delimitate da linee curve egrave molto antico la lo-cuzione ldquoquadratura del cerchiordquo si riferisce a un problema che i geometri greci comin-ciarono a studiare venticinque secoli fa Archimede (Ἀρχιμήδης 287 aCndash212 aC) diedeuna soluzione del problema dellrsquoarea dimostrando che il rapporto tra lrsquoarea del cerchioe il quadrato del raggio egrave uguale al rapporto tra la lunghezza della circonferenza e ildiametro Continuava perograve a sfuggire la quadratura con riga e compasso costruire conriga e compasso un quadrato avente area uguale a quella di un cerchio dato o comesegue dal risultato di Archimede costruire con riga e compasso un segmento lungoquanto una circonferenza data

Questo problema non ha soluzione ma si dovette aspettare fino al 1882 per stabilirloFerdinand von Lindemann (1852ndash1939) dimostrograve che 120587 non egrave radice di alcun polinomioa coefficienti interi nel 1837 Pierre Wantzel (1814ndash1848) aveva dimostrato che affincheacutela quadratura del cerchio sia possibile egrave necessario che 120587 sia radice di un polinomio acoefficienti interi Wantzel aveva dimostrato ben di piugrave in realtagrave trovando un metodoper decidere se una certa costruzione con riga e compasso egrave possibile Non che sia rile-vante la costruibilitagrave con riga e compasso fin dagli studi di Reacuteneacute Descartes (1596ndash1650)la matematica aveva cominciato a svincolarsi da questa limitazione e non va dimen-ticato che anche gli antichi greci studiavano curve che non potevano essere tracciateneppure per punti con riga e compasso

Archimede fu il primo a dare una quadratura di unrsquoarea delimitata da una sezione co-nica quella del settore parabolico Si prenda una corda di una parabola questa delimitaunrsquoarea finita che Archimede calcolograve come due terzi del rettangolo che ha come basela corda e altezza uguale al massimo dei segmenti perpendicolari alla corda da essaallrsquoarco di parabola Dimostrograve anche che lrsquoarea di unrsquoellisse di semiassi 119886 e 119887 egrave 120587119886119887 Ilmetodo usato da Archimede per questi calcoli fu detto di esaustione cioegrave esaurimentosi inseriscono nellrsquoarea rettangoli o triangoli opportunamente scelti in modo che dimi-nuendo via via lrsquoarea di ciascun rettangolo o triangolo ci si possa discostare dallrsquoareavera meno di qualsiasi tolleranza prefissata Non occorre conoscere giagrave lrsquoarea percheacute sipossono anche costruire rettangoli o triangoli che coprono lrsquoarea stessa sbordando main modo che la differenza tra le aree esterne e quelle interne sia piugrave piccola di qualsiasitolleranza prefissata Abbiamo giagrave usato un metodo simile quando abbiamo calcolatoun valore approssimato di log2 Archimede si servigrave di questo metodo per calcolareinnumerevoli aree e anche volumi generalizzandolo alle tre dimensioni Il metodo perla veritagrave era stato inventato da Eudosso (Ὁ Εὔδοξος ὁ Κνίδος 408 aCndash355 aC) ma fuArchimede a portarlo ai massimi livelli

Vediamo come fece Archimede a calcolare lrsquoarea del settore parabolico Chiamati 119860e 119861 i vertici della corda cercograve di inscrivere nel settore il massimo triangolo che abbiavertici in 119860 e 119861 e il terzo vertice sullrsquoarco 119860119861 di parabola chiamiamo 1198620 questo ver-tice Archimede scoprigrave che proiettando sulla direttrice i tre punti in 119860prime 119861prime e 119862prime

0 119862prime0 egrave

il punto medio di 119860prime119861prime Si accorse poi che i massimi triangoli inscritti nei due settoriparabolici che avanzano hanno la stessa area la costruzione si puograve ripetere indefinita-mente ottenendo approssimazioni sempre piugrave precise dellrsquoarea del settore parabolicoAccompagnograve poi con la costruzione di corrispondenti aree lsquoesternersquo e poteacute dimostrarerigorosamente la sua formula

Noi abbiamo a disposizione la geometria analitica e possiamo fare a meno delle dif-ficili dimostrazioni geometriche di Archimede Consideriamo dunque la parabola di

111

112 integrali

equazione 119910 = 1198861199092 con 119886 gt 0 e consideriamo il settore parabolico delimitato dallacorda avente vertici in 119860(1199011198861199012) e 119861(1199021198861199022) (119901 lt 119902)

Dobbiamo trovare per prima cosa il massimo triangolo inscritto Questo avragrave vertice119862(1199091198861199092) per 0 lt 119909 lt 119902 Sappiamo calcolare lrsquoarea di un triangolo date le coordinatedei vertici

Area(119860119861119862) = 12

||||||||det⎡⎢⎢

⎣

1 119901 1198861199012

1 119909 1198861199092

1 119902 1198861199022

⎤⎥⎥⎦

||||||||= 1

2119886(119902 minus 119901)(119909minus 119901)(119902 minus119909)

Se consideriamo la funzione 119891(119909) = (119909 minus 119901)(119902 minus 119909) definita in [119901 119902] lrsquoarea saragravemassima quando questa funzione assume il valore massimo Il problema egrave banale (ilgrafico di 119891 egrave un arco di parabola) ma visto che abbiamo a disposizione il calcololo usiamo la derivata egrave 119891prime(119909) = 119902 minus 119909 minus (119909 minus 119901) = 119901 + 119902 minus 2119909 che egrave positiva per119901 le 119909 lt (119901 + 119902)2 e negativa per (119901 + 119902)2 lt 119909 le 119902 Dunque il punto di massimo egrave(119901 + 119902)2 esattamente come dimostrato da Archimede

Il punto 1198620 ha dunque ascissa (119901 + 119902)2 e lrsquoarea del triangolo 1198601198611198620 egrave

12119886(119902minus 119901)119891(119901+ 119902

2 ) = 1198868 (119902 minus 119901)3

e vediamo che questrsquoarea dipende solo dalla differenza delle ascisse di 119860 e di 119861 Proce-diamo dunque come Archimede valutando i settori rimanenti

Poniamo 119889 = 119902 minus 119901 I due settori parabolici che rimangono corrispondono a proie-zioni sulla direttrice (o sullrsquoasse delle ascisse che egrave lo stesso) metagrave della precedenteproiezione quindi le aree dei due triangoli massimi saranno

11988681198893

23

Ci avanzeranno quattro settori parabolici in cui i triangoli massimi hanno la stessa areae corrispondono a proiezioni lunghe 1198894 quindi hanno ciascuno area

1198868

1198893

(22)3

Lrsquoarea coperta fino a questo punto egrave a parte il fattore moltiplicativo 11988611988938 che nonscriviamo

20 1(20)3 +21 1

(21)3 + 22 1(22)3

Procediamo allo stesso modo con 23 settori 24 settori e cosigrave via fino a 2119899 settoriottenendo

119886119899 = 140 + 1

41 + 142 +hellip 1

4119899minus1 + 14119899 =

1minus 14119899+1

1minus 14

Siccome lim119899rarr+infin 4119899+1 = +infin egrave evidente che

lim119899rarr+infin

119886119899 = 43

Occorrerebbe costruire i poligoni circoscritti che completano il metodo di esaustionema sembra intuitivamente chiaro che lrsquoarea del settore parabolico egrave

1198861198893

843 = 1198861198893

6

61 calcolo delle aree 113

Non ci resta che calcolare la base del settore e lrsquoaltezza per ritrovare la formula diArchimede La base egrave 119860119861 la cui lunghezza egrave

119887 = radic(119902minus 119901)2 + (1198861199022 minus1198861199012)2 = 119889radic1+ 1198862(119901 + 119902)2

mentre lrsquoaltezza egrave evidentemente

ℎ = 2Area(1198601198611198620)119887 = 2119886

81198893

119887 = 1198861198893

4119887

e si ha23119887ℎ = 2

31198871198861198893

4119887 = 1198861198893

6

come dimostrato da Archimede Il metodo usato a parte dettagli rispecchia proprioquello di Archimede

Con unrsquoesaustione complicata basata sui poligoni regolari inscritti e circoscritti Ar-chimede dimostrograve la sua lsquoquadraturarsquo del cerchio e riuscigrave anche a dare un valore ap-prossimato piuttosto buono di 120587 cioegrave 227

Il problema fondamentale del metodo di esaustione egrave che richiede una soluzionelsquofurbarsquo per ogni problema qualche volta triangoli qualche volta poligoni regolari qual-che volta rettangoli Nel diciassettesimo secolo Bonaventura Cavalieri (1598ndash1647) e isuoi allievi e collaboratori fra cui Evangelista Torricelli (1608ndash1647) che era stato an-che allievo di Galileo Galilei (1564ndash1642) idearono il cosiddetto metodo degli indivisibiliche dava risultati coincidenti con quelli classici evitando le costruzioni complicate Pa-re da recenti ritrovamenti che lo stesso Archimede adoperasse un metodo simile pervalutare le aree e i volumi che poi giustificava rigorosamente con lrsquoesaustione

Qual era lrsquoobiezione principale al metodo degli indivisibili Che non aveva alcunabase teorica Tuttavia non ce lrsquoavevano nemmeno le derivate di Fermat e scarsamentefondato era anche il calcolo di Isaac Newton (16421643ndash1727) e Leibniz Fincheacute con ilmetodo di Cavalieri si ritrovavano risultati classici il problema non si poneva ma eraammissibile usarlo per dimostrare nuove cose

Fermat si interessograve al problema cercando un metodo diverso Consideriamo la pa-rabola generalizzata di equazione 119910 = 119886119909119896 con 119896 intero vogliamo trovare lrsquoarea com-presa tra il segmento di estremi (0 0) e (119902 0) quello di estremi (119902 0) e (119902 119902119896) dove119902 gt 0 e lrsquoarco corrispondente della curva Fissiamo un numero 119864 con 0 lt 119864 lt 1 e peril momento i punti sullrsquoasse delle ascisse 1199030 = 119902 1199031 = 119902119864 1199032 = 1199021198642 hellip 119903119899 = 119902119864119899Costruiamo i rettangoli lsquoesternirsquo di vertici (in senso antiorario)

(119903119895 0) (119903119895 119886119903119896119895 ) (119903119895+1 119886119903119896

119895 ) (119903119895+1 0)

(per 119895 = 0 1hellip 119899minus 1) Lrsquoarea del 119895-esimo rettangolo egrave

(119903119895+1 minus119903119895)119886119903119896119895 = (119902119864119895 minus119902119864119895+1)119886119902119896119864119896119895

= 119886119902119896+1(1 minus 119864)119864119895119864119896119895

= 119886119902119896+1(1 minus 119864)119864(119896+1)119895

e dunque possiamo scrivere la somma delle aree come

119886(119864)119899 = 119886119902119896

119864 (119864minus 1)(1 + 119865+ 1198652 +⋯+119865119899minus1)

dove 119865 = 119864119896+1 Il trucco di Fermat egrave di far diventare 119899 grande in modo che

1 + 119865+ 1198652 +⋯+119865119899 +⋯ = 11minus 119865

114 integrali

e quindi di poter considerare lrsquoapprossimazione con lsquoinfinitirsquo rettangoli esterni come

119886(119864) = 119886119902119896+1 1minus 1198641minus 119864119896+1 = 119886119902119896+1

1+ 119864+ 1198642 +⋯+119864119896

Facendo avvicinare 119864 a 1 i rettangoli si stringono sempre di piugrave approssimando sempremeglio lrsquoarea e perciograve Fermat concludeva che lrsquoarea cercata egrave

119878(119902) = 119886119902119896+1

119896+ 1

Se adesso vogliamo lrsquoarea del settore lsquoparabolicorsquo compreso tra i punti di ascissa 119901 e 119902con 0 lt 119901 lt 119902 basta una differenza il trapezio ha area (119902 minus 119901)(119886119902119896 + 119886119901119896)2 lrsquoareache dobbiamo trascurare egrave 119878(119902) minus 119878(119901) e quindi si ottiene

119860119896(119901 119902) = (119902minus 119901)119886119902119896 +119886119901119896

2 minus 119886119902119896+1 minus119886119901119896+1

119896+ 1

Nel caso di 119896 pari si puograve usare questa formula anche per valori negativi di 119901 e 119902 purcheacutesia sempre 119901 lt 119902 Ne caso di 119896 = 2 abbiamo

1198602(119901 119902) = (119902minus 119901)1198861199022 +1198861199012

2 minus 1198861199023 minus1198861199013

3

= 119886(119902minus 119901)6 (31199022 + 31199012 minus 21199022 minus 2119901119902minus 21199012)

= 119886(119902minus 119901)36

esattamente come nella quadratura archimedeaNel caso di 119896 = 4 possiamo scrivere

1198604 = 119886(119902minus 119901)4 (1199024 minus1199011199023 minus11990121199022 minus1199013119902+ 1199014)

= 119886(119902minus 119901)4 ( (119902 minus 119901)4 + 3119901119902(119902minus 119901)2 minus11990121199022)

che non sembra cosigrave promettente e non indagheremo oltre in cerca di qualche interpre-tazione geometrica

Tuttavia una cosa dovrebbe balzare subito agli occhi se poniamo 119901 = 0 e 119902 = 119909otteniamo una funzione

119878(119909) = 119886119909119896+1

119896+ 1la cui derivata egrave 119878prime(119909) = 119886119909119896 cioegrave proprio la funzione da cui siamo partiti

Il ragionamento di Fermat non egrave facilmente giustificabile abbiamo diviso lrsquointervallo[0 119902] in infinite parti e ldquosommato infinite areerdquo Tuttavia la nostra definizione di log 119905lrsquoarea delimitata dal grafico di 119891(119909) = 1119909 dallrsquoasse delle ascisse dalla retta verticalepassante per (1 0) e dalla retta verticale passante per (119905 0) porta a una funzione 119909 ↦log119909 la cui derivata egrave proprio la funzione che ci egrave servita per dare la definizione

La somiglianza tra la funzione rispetto alla quale si vogliono calcolare aree e lrsquoareastessa non sfuggigrave ai creatori del calcolo Leibniz e Newton questrsquoultimo aveva appresodella faccenda da Isaac Barrow (1630ndash1677) di cui fu allievo e che sostituigrave sulla cattedraa Cambridge

62 integrazione

Lrsquoidea di Fermat si rivelograve molto fruttuosa Occorse parecchio tempo percheacute la tecni-ca fosse sistemata in modo rigoroso da Bernhard Riemann (1826ndash1866) Allrsquoinizio del

62 integrazione 115

ventesimo secolo ci fu poi una svolta molto importante nellrsquoargomento ma non ce neoccuperemo percheacute la moderna integrazione introdotta da Henri Lebesgue (1875ndash1941)coincide con quella di Riemann per le funzioni continue in un intervallo [119901 119902]

Non si fa grancheacute di diverso da come abbiamo fatto per il logaritmo e da comeragionava Fermat solo che la teoria egrave stata resa inappuntabile dal punto di vista logico

Quello che cerchiamo egrave un modo di associare un numero a una funzione definita suun intervallo in modo che questo numero rappresenti lrsquoarea compresa tra lrsquointervallo(visto sullrsquoasse delle ascisse) e il grafico della funzione Ci limiteremo a funzioni con-tinue definite su [119901 119902] dati 119886 e 119887 con 119901 le 119886 lt 119887 le 119902 questa associazione si puogravevedere come una funzione

(119886119887) ↦ Int119887119886(119891)

che ha come dominio certe coppie di elementi di [119901 119902] In questo caso si parla spessodi un operatore la funzione 119891 si pensa fissata ma siccome egrave del tutto arbitraria purcheacutesia continua in [119901 119902] avremo un operatore per ciascuna funzione Ci serve qualcheproprietagrave che sia ragionevole per le aree Assumeremo queste dove con 119891 indichiamouna funzione continua su [119901 119902] e con 119896 un numero qualsiasi

(119887 minus 119886)m119887119886(119891) le Int119887119886(119891) (119901 le 119886 lt 119887 le 119902)

Int119887119886(119891) le (119887minus 119886)M119887119886(119891) (119901 le 119886 lt 119887 le 119902)

Int119888119886(119891) = Int119887119886(119891) + Int119888119887(119891) (119901 le 119886 lt 119887 lt 119888 le 119902)

dove con m119887119886(119891) e M119887

119886(119891) indichiamo il valore minimo e massimo di 119891 nellrsquointervallo[119886 119887] Queste proprietagrave sono intuitivamente evidenti almeno per le funzioni cheassumono solo valori positivi

Vediamo qualche conseguenza Se 120783 egrave la funzione che vale costantemente 1 dobbia-mo avere

119887minus 119886 le Int119887119886(120783) le 119887minus 119886

e quindi Int119887119886(120783) = 119887 minus 119886 Analogamente se 119891 assume solo valori positivi dovremoavere Int119887119886(119891) gt 0 percheacute in tal caso m119887

119886(119891) gt 0Rimandiamo a dopo la questione se un operatore del genere esista per ogni funzione

continua 119891 Intanto vediamo qualche proprietagrave che ci serviragrave in seguito Prima di tuttoestendiamo la notazione se 119901 le 119887 lt 119886 le 119902 poniamo

Int119887119886(119891) = minus Int119886119887(119891)

e ancheInt119886119886(119891) = 0

in modo che la terza proprietagrave continui a valere per ogni 119886119887 119888 isin [119901 119902] come sivede subito Anche per m119887

119886(119891) e M119887119886(119891) non faremo piugrave distinzione fra 119886 lt 119887 e 119887 lt 119886

Egrave naturale anche porre m119886119886(119891) = M119886

119886(119891) = 119891(119886) il motivo appare chiaro dallrsquoenunciatoseguente

t e o r ema Se 119891 egrave continua in [119901 119902] e 119909 isin [119901 119902] allora

limℎrarr0

m119909+ℎ119909 (119891) = 119891(119909) lim

ℎrarr0M119909+ℎ

119909 (119891) = 119891(119909)

Scriviamo la dimostrazione solo dellrsquoenunciato

limℎrarr0+

M119909+ℎ119909 (119891) = 119891(119909)

per 119901 le 119909 lt 119902 Gli altri casi sono del tutto simili

116 integrali

Poniamo 119892(ℎ) = M119909+ℎ119909 (119891) questa funzione egrave definita per 0 lt ℎ lt 119902 minus 119909 ed egrave

crescente infatti se ℎ1 lt ℎ2 abbiamo

[119909 119909 + ℎ1] sube [119909 119909 + ℎ2]

e il massimo di 119891 in un intervallo piugrave ampio non puograve essere minore Dunque 119892(ℎ1) le119892(ℎ2)

Basta ora chiamare 119897 lrsquoestremo inferiore dei valori di 119892 per avere come nel caso dellesuccessioni che limℎrarr0+ 119892(ℎ) = 119897 Si noti che certamente 119891(119909) le 119897

Si tratta dunque di vedere che 119891(119909) = 119897 supponiamo per assurdo che 119897 gt 119891(119909)Allora esiste 120575 gt 0 tale che 119909+ 120575 lt 119902 e per 0 lt ℎ lt 120575

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 119897 minus 119891(119909)2

in particolare

119891(119909+ℎ) le 119897 minus 119891(119909)2 + 119891(119909) = 119897 + 119891(119909)

2 lt 119897 + 1198972 = 119897

Ne segue119892(1205752) = M119909+(1205752)

119909 (119891) lt 119897 le 119892(1205752)

che egrave assurdo

Questo teorema esprime un fatto intuitivamente chiaro se si restringe lrsquointervalloattorno a 119909 il massimo e il minimo di 119891 in questo intervallo si avvicinano a 119891(119909) mala continuitagrave di 119891 egrave essenziale percheacute la proprietagrave valga anche sostituendo massimoe minimo con estremo superiore ed estremo inferiore supponendo 119891 limitata Perciogravetratteremo solo funzioni continue Abbiamo adesso gli strumenti per dimostrare ilteorema piugrave importante

t e o r ema f ondam en t a l e d e l c a l c o l o Se 119891 egrave una funzione continuain [119901 119902] e poniamo

119865(119909) = Int119909119886(119891)

dove 119886 isin [119901 119902] allora 119865 egrave derivabile e 119865prime = 119891

Per le proprietagrave dellrsquooperatore Int possiamo scrivere

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909) = Int119909+ℎ119886 (119891) minus Int119909119886(119891)

= Int119909119886(119891) + Int119909+ℎ119909 (119891) minus Int119909119886(119891)

= Int119909+ℎ119909 (119891)

e quindi ancora per le proprietagrave di Int

m119909+ℎ119909 (119891) le 119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)

ℎ le M119909+ℎ119909 (119891)

Si faccia attenzione a quando ℎ gt 0 e quando ℎ lt 0 ma in entrambi i casi si ottiene lastessa disuguaglianza

Per il teorema di confronto dei limiti e per il teorema precedente

119865prime(119909) = limℎrarr0

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119891(119909)

t e o r ema d i u n i c i t agrave d e l l rsquo i n t e g r a l e Se un operatore Int con leproprietagrave enunciate esiste allora egrave unico

62 integrazione 117

Supponiamo che Φ sia un operatore con le stesse proprietagrave di Int Allora possiamodimostrare il teorema fondamentale per Φ e dunque abbiamo che per ogni funzionecontinua 119891 su [119901 119902] le funzioni

119865(119909) = Int119909119886(119891) e 119866(119909) = Φ119887119886(119891)

hanno entrambe la proprietagrave che 119865prime = 119891 e 119866prime = 119891 e dunque (119865minus119866)prime egrave la funzione nullaPer la conseguenza del teorema di Lagrange esiste un 119896 tale che per ogni 119909 isin [119901 119902]si abbia

119865(119909) minus119866(119909) = 119896

Ma per definizione 119865(119886) = Int119886119886(119891) = 0 e 119866(119886) = Φ119886119886(119891) = 0 dunque 119896 = 0 Perciograve

per ogni 119887 isin [119901 119902] si ha anche

Int119887119886(119891) = 119865(119887) = 119866(119887) = Φ119887119886(119891)

Resta quindi solo il problema di dimostrare lrsquoesistenza dellrsquooperatore Int lo riman-diamo a piugrave tardi se siamo arrivati fin qui con la teoria egrave ovvio che la soluzione alproblema egrave giagrave stata trovata da qualcuno

La notazione tradizionale per Int119887119886(119891) egrave

int119887

119886119891(119909)119889119909

che si legge lsquointegrale tra 119886 e 119887 di 119891rsquo La variabile 119909 egrave ovviamente sostituibile conqualsiasi lettera e non ha un significato proprio

La notazione per gli integrali risale a Leibniz Il suo punto di partenza era proprio la sud-divisione dellrsquointervallo [119886 119887] in parti e di considerare i rettangoli come faceva Fermat maconsiderando questi intervalli come aventi base lsquoinfinitesimarsquo e facendo la somma di tutte questearee lsquoinfinitesimersquo Il simbolo int egrave infatti una lsquoSrsquo per lsquosommarsquo

Tuttavia gli sviluppi rigorosi del calcolo vietano di usare questo concetto intuitivo di grandez-za infinitesima percheacute contraddittorio se non inquadrato in unrsquoapposita teoria si egrave scoperto intempi abbastanza recenti che gli infinitesimi si possono trattare ma non certo nel modo inge-nuo di Leibniz Il 119889119909 rimane nella notazione principalmente percheacute egrave comodo come vedremoSi potrebbe benissimo scrivere

int119887

119886119891

dopo tutto sarebbe esattamente lo stesso di Int119887119886(119891) e non ci sarebbe alcuna difficoltagrave La nota-zione tradizionale mette in evidenza il nome della variabile e questo puograve essere utile per casiparticolari (distinguere la variabile da un parametro per esempio) ma soprattutto ricorda comeoperare con le sostituzioni lo descriveremo in seguito

Abbiamo una conseguenza importante sappiamo calcolare molti integrali Data unafunzione 119891 di cui calcolare lrsquointegrale ci basta conoscere unrsquoaltra funzione 119866 di cui 119891sia la derivata

d e f i n i z i o n e Data una funzione 119891 continua su un intervallo 119868 si chiamaprimitiva di 119891 una qualsiasi funzione definita su 119868 la cui derivata sia 119891

Ci basta conoscere una primitiva per conoscerle tutte visto che funzioni che hanno lastessa derivata differiscono per una costante se 119865prime = 119866prime allora (119865 minus119866)prime egrave la funzionenulla e quindi 119865 minus 119866 egrave costante Si ricordi che parliamo di funzioni definite su unintervallo su questo intervallo una (quindi ogni) primitiva di una funzione continua egravecertamente una funzione di Lagrange

Talvolta si parla di primitiva anche per funzioni definite su unrsquounione di intervalli intal caso due primitive differiscono su ogni intervallo contenuto nel dominio per una

118 integrali

costante ma queste costanti possono essere diverse da intervallo a intervallo Si pensiallrsquoesempio di 119909 ↦ arctan119909+ arctan(1119909)

t e o r ema d i c a l c o l o d e g l i i n t e g r a l i Se 119891 egrave continua su [119886 119887] e119866 egrave una primitiva di 119891 allora

int119887

119886119891(119909)119889119909 = 119866(119887) minus119866(119886)

La funzione 119865(119909) = Int119909119886(119891) egrave una primitiva di 119891 dunque esiste 119896 tale che 119865(119909) =119866(119909) + 119896 per ogni 119909 isin [119886 119887] Ma allora 0 = 119865(119886) = 119866(119886) + 119896 e dunque 119896 = minus119866(119886)Perciograve

int119887

119886119891(119909)119889119909 = 119865(119887) = 119866(119887) + 119896 = 119866(119887) minus119866(119886)

Un modo di scrivere spesso usato egrave con le notazioni precedenti

int119887

119886119891(119909)119889119909 = [ 119866(119909)] 119909=119887

119909=119886= 119866(119887) minus119866(119886)

Vediamo qualche semplice applicazione La derivata di 119891(119909) = 119909119899 egrave 119891prime(119909) = 119899119909119899minus1perciograve la derivata di 119892(119909) = 119909119896+1(119896 + 1) (per 119896 ne minus1) egrave 119892prime(119909) = 119909119896 Dunque 119892 egrave unaprimitiva di 119909 ↦ 119909119896 (sempre per 119896 ne minus1) e abbiamo

int119902

119901119909119896 119889119909 = [ 119909119896+1

119896+ 1]119909=119902

119909=119901= 119902119896+1

119896+ 1 minus 119901119896+1

119896+ 1

esattamente come ottenuto da Fermat Egrave evidente che la tabella delle derivate (tabella 2a pagina 63) fornisce anche una tabella di primitive che perograve non egrave sufficiente nemmenoper le esigenze piugrave comuni

La derivata di una funzione elementare (una di quelle che compaiono nella tabella 2) egrave ancorauna funzione elementare Questo non accade con le primitive si puograve dimostrare per esempioche una primitiva di 119909 ↦ exp(minus1199092) non si puograve esprimere in termini di funzioni elementari Mauna sua primitiva la conosciamo

119865(119909) = int119909

0exp(minus1199052)119889119905

e questo ci permette di calcolare i valori della primitiva scelta con il grado di approssimazionerichiesto (con le serie o con metodi di integrazione approssimata)

63 il logaritmo e lrsquoesponenziale

Per 119896 = minus1 la formula per la primitiva di 119909 ↦ 119909119896 non si puograve applicare A questo puntodunque non possiamo piugrave barare e siamo costretti a dare finalmente la definizioneufficiale di logaritmo Non che quella precedente sia ldquosbagliatardquo il fatto egrave che appoggiaalla vaga nozione di ldquoarea delimitata da archi di curverdquo Il grande successo dellrsquoanalisiegrave che ha potuto svincolarsi da considerazioni geometriche basate sullrsquointuizione Piugraveavanti studieremo come definire anche le funzioni trigonometriche senza appoggiarsialla geometria lrsquoimportante egrave che queste definizioni analitiche diano gli stessi risultatiottenuti con lrsquointuizione geometrica

d e f i n i z i o n e Se 119909 gt 0 poniamo

log119909 = int119909

1

1119905 119889119905

Il valore log119909 si chiama logaritmo di 119909

63 il logaritmo e lrsquoesponenziale 119

Alcuni testi chiamano questo valore ldquologaritmo naturalerdquo e indicano la funzione conil simbolo lsquolnrsquo I matematici invece preferiscono in genere lsquologrsquo lrsquoimportante egrave che leconvenzioni adottate in un testo siano chiarite e usate in modo uniforme

t e o r ema La funzione log definita in (0 rarr) egrave strettamente crescente e assumetutti i valori La sua inversa definita ovunque si denota con exp Allora expprime = expe si ha per ogni 119886119887 gt 0

log(119886119887) = log119886+ log119887

e per ogni 119909 e 119910exp(119909+119910) = (exp119909)(exp119910)

Inoltre log1 = 0 e exp0 = 1 Se 119890 = exp1 allora per 119899 intero si ha exp119899 = 119890119899

La funzione 119909 ↦ 1119909 egrave continua nellrsquointervallo (0 rarr) quindi anche log egrave definitain quellrsquointervallo Per il teorema fondamentale del calcolo logprime 119909 = 1119909 in ogni punto119909 del dominio Quindi log egrave una funzione strettamente crescente

Per le proprietagrave dellrsquointegrale si ha

12 = m2

1(119909 ↦ 1119909) sdot (2 minus 1) le int2

1

1119905 119889119905 = log2

In particolare log2 ge 12Consideriamo la funzione 119892 definita da

119892(119909) = int119886119909

1

1119905 119889119905 = log(119886119909)

Allora119892prime(119909) = 1

119886119909119886 = 1119909 = logprime 119909

e dunque la funzione 119892 e la funzione log differiscono per una costante Siccome 119892(1) =log119886 e log1 = int11 (1119905)119889119905 = 0 la costante egrave proprio log119886 Dunque

log(119886119909) = 119892(119909) = log119909+ log119886

e lrsquouguaglianza fondamentale del logaritmo egrave dimostrataUna conseguenza egrave che log(119886119899) = 119899 log119886 in particolare log2119899 = 119899 log2 Siccome log

egrave crescente dobbiamo averelim

119909rarr+infinlog119909 = +infin

Infatti lim119899rarr+infin log2119899 = lim119899rarr+infin 119899 log2 = +infin ed egrave facile dedurre da questo lrsquoaltrolimite (esercizio)

Dallrsquouguaglianza fondamentale segue che per 119909 gt 0

0 = log1 = log(119909 1119909) = log119909+ log(1119909)

e dunque log(1119909) = minus log119909 Dunque

lim119909rarr0

log119909 = lim119905rarr+infin

log(1119905) = lim119905rarr+infin

minus log 119905 = minusinfin

I valori di log esauriscono perciograve tutta la retta reale per il teorema sui valori intermediDunque la funzione inversa di log egrave definita ovunque e assume tutti i valori in (0 rarr)La denotiamo con exp lrsquouguaglianza expprime = exp si deduce come giagrave abbiamo visto

log(exp119909) = 119909 1exp119909 expprime 119909 = 1 expprime 119909 = exp119909

120 integrali

La proprietagrave di exp equivale a quella di log

log(exp(119909 +119910)) = 119909+119910 = log(exp119909)+ log(exp119910) = log((exp119909)(exp119910))

e quindi essendo log iniettiva abbiamo exp(119909+119910) = (exp119909)(exp119910) Inoltre si ha

exp2 = exp(1 + 1) = (exp1)(exp1) = 1198902

Egrave facile vedere per induzione che per 119899 gt 0 intero exp119899 = 119890119899 Se 119899 lt 0 si ha minus119899 gt 0e dunque

1 = exp0 = exp(119899minus119899) = (exp119899)(exp(minus119899)) = (exp119899)119890minus119899

da cui exp119899 = 119890119899

Una volta definito il logaritmo in modo del tutto rigoroso senza fare ricorso al con-cetto intuitivo di area possiamo procedere come giagrave noto per le definizioni di 119909 ↦ 119886119909

(per 119886 gt 0) e log119887 (per 119887 gt 0 ma 119887 ne 1)

119886119909 = exp(119909 log119886)

(vedremo fra poco che per 119899 intero la scrittura 119886119899 non egrave ambigua) Per 119887 gt 0 119887 ne 1abbiamo da 119910 = 119887119909

log119910 = log(119887119909) = log(exp(119909 log119887)) = 119909 log119887

e dunque 119909 = (log119910)(log119887) 119909 egrave lrsquoesponente da dare a 119887 per ottenere 119910 Quindiponiamo

log119887 119910 = log119910log119887

La definizione della funzione esponenziale exp ci ha permesso di definire in modoveloce e rigoroso le potenze con esponente reale qualsiasi Ripetiamo la definizione inmodo piugrave ufficiale

d e f i n i z i o n e Se 119886 gt 0 poniamo 119886119909 = exp(119909 log119886) dove 119909 egrave un numero realequalsiasi

Il problema che nasce con questa notazione egrave che potrebbe entrare in conflitto conla notazione delle potenze che si puograve introdurre senza fare ricorso allrsquoesponenzialegenerale nel caso di esponenti interi se 119899 gt 1 si indica infatti con 119886119899 il prodotto di119899 fattori uguali ad 119886 e si estende la definizione con 1198861 = 119886 1198860 = 1 e per 119886 ne 0119886119899 = 1119886minus119899 Le proprietagrave fondamentali sono che 119886119898+119899 = 119886119898119886119899 e (119886119898)119899 = 119886119898119899 per119898 e 119899 interi qualsiasi (non negativi se 119886 = 0) In questo caso non egrave un problemaavere anche 119886 lt 0 ma nel caso generale che vogliamo studiare questo non egrave possibilelrsquoesponenziale con esponenti reali egrave definito solo se la base egrave positiva

La prima cosa da osservare egrave che le due definizioni di 119886119899 con 119899 intero non dannorisultati diversi Nellrsquoargomentazione che segue riserviamo il simbolo 119886119899 per la poten-za definita con le moltiplicazioni Abbiamo exp(0 log119886) = exp0 = 1 = 1198860 se valeexp(119899 log119886) = 119886119899 con 119899 ge 0 abbiamo anche

exp((119899+ 1) log119886) = exp(119899 log119886+ log119886) = exp(119899 log119886) exp(log119886) = 119886119899119886 = 119886119899+1

e cosigrave la dimostrazione di exp(119899 log119886) = 119886119899 per 119899 intero non negativo egrave conclusa Se119899 lt 0 abbiamo perograve

1 = exp0 = exp(119899 log119886+ (minus119899) log119886)= exp(119899 log119886) exp((minus119899) log119886)= exp(119899 log119886)119886minus119899

63 il logaritmo e lrsquoesponenziale 121

da cui exp(119899 log119886) = 1119886minus119899 come richiesto percheacute per definizione 119886119899 = 1119886minus119899

quando 119899 lt 0Ora possiamo dunque scrivere senza problemi 119886119909 invece di exp(119909 log119886) percheacute il

simbolo non egrave ambiguo quando 119909 egrave intero Egrave un esercizio interessante dimostrare che1198861119899 egrave lrsquounico numero positivo 119910 tale che 119910119899 = 119886 Inoltre per 119886 ne 1

119886log119886 119909 = 119909

percheacute prendendo il logaritmo del termine di sinistra

log(119886log119886 119909) = log119886 119909 log119886 = log119909log119886 log119886 = log119909

e abbiamo la tesi percheacute la funzione logaritmo egrave invertibile In altre parole la funzionelog119886 soddisfa la definizione intuitiva del logaritmo in base 119886 di 119909 come dellrsquoesponenteda assegnare ad 119886 per ottenere 119909 In informatica egrave molto utile considerare il logaritmoin base 2 percheacute fornisce immediatamente il numero di cifre binarie di un intero unnumero intero 119899 gt 0 ha 119896 cifre binarie se e solo se 2119896minus1 le 119899 lt 2119896 che si puograve anchescrivere 2119896minus1 lt 119899+ 1 le 2119896 cioegrave se e solo se

119896minus 1 lt log2(119899+ 1) le 119896

e quindi il numero di cifre binarie di 119899 egrave precisamente lceillog2(119899 + 1)rceil (relazione validaanche per 119899 = 0)

Si raccomanda di usare notazioni come 11988613 solo per 119886 gt 0 per evitare argomentazionibizzarre come

minus1 = (minus1) 13 = (minus1) 2

6 = ((minus1)2) 16 = 1 1

6 = 1

che sono evidentemente assurde (e sbagliate) Per 119899 intero dispari si pone

119899radic119886 =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

1198861119899 se 119886 gt 00 se 119886 = 0minus(minus119886)1119899 se 119886 lt 0

Solo per 119899 dispari egrave possibile definire la radice 119899-esima in modo coerente anche per numerinegativi ma si deve sempre fare attenzione a non adoperare scorrettamente le semplificazionicon i radicali Qualche testo adotta convenzioni complicate ma quasi sempre inutili per ampliareil numero di identitagrave che perograve non compaiono praticamente mai nella vita reale Per 119899 intero e119886 gt 0 le notazioni 119899radic119886 e 1198861119899 sono equivalenti

Per ultimo vediamo che la derivata di119891(119909) = 119909119903 (definita per119909 gt 0) egrave119891prime(119909) = 119903119909119903minus1infatti 119909119903 = exp(119903 log119909) e quindi

119891prime(119909) = expprime(119903 log119909) sdot 119903119909 = 119903119909119903

119909 = 119903119909119903minus1

Come si vede lrsquointegrale puograve essere usato per definire nuove funzioni che si possonostudiare senza bisogno di averne lsquoespressioni esplicitersquo La funzione

120590(119909) = int119909

0exp(minus1199052)119889119905

egrave molto importante in probabilitagrave e statistica percheacute compare nelle cosiddette distri-buzioni normali o gaussiane La funzione egrave definita ovunque inoltre

120590prime(119909) = exp(minus1199092) gt 0

122 integrali

cosiccheacute 119892 egrave crescente Per 119905 gt 0 vale la disuguaglianza

exp 119905 ge 119905

Consideriamo infatti la funzione 120593(119905) = minus119905 + exp 119905 Allora 120593prime(119905) = minus1 + exp 119905 che egravepositiva per exp119909 gt 1 cioegrave 119905 gt log1 = 0 Siccome 120593(0) = exp0 = 1 gt 0 avremo120593(119905) gt 0 per 119905 gt 0

Ne concludiamo che exp(1199052) ge 1199052 e quindi trattandosi di numeri positivi

0 lt exp(minus1199052) le 11199052

t e o r ema Se 119891 e 119892 sono funzioni continue nellrsquointervallo [119886 119887] e si ha per119905 isin [119886 119887]

0 le 119891(119905) le 119892(119905)

allora

0 le int119887

119886119891(119905)119889119905 le int

119887

119886119892(119905)119889119905

La funzione 119892minus119891 assume solo valori non negativi quindi per le proprietagrave dellrsquointe-grale

0 le m119887119886(119887 minus 119886) le int

119887

119886(119892(119905) minus 119891(119905))119889119905 = int

119887

119886119892(119905)119889119905 minus int

119887

119886119891(119905)119889119905

Da questo teorema segue dunque che per ogni 119909 gt 1 si ha

int119909

0exp(minus1199052)119889119905 = int

1

0exp(minus1199052)119889119905 + int

119909

1exp(minus1199052)119889119905

le int1

0exp(minus1199052)119889119905 + int

119909

1

11199052 119889119905

Indichiamo con 119870 il primo dei due integrali Conosciamo una primitiva di 119905 ↦ 11199052 egrave119905 ↦ minus1119905 quindi il secondo integrale puograve essere scritto esplicitamente

int119909

1

11199052 119889119905 = [minus1

119905 ]119905=119909

119905=1= minus 1

119909 + 1 le 1

Perciograve abbiamo per 119909 gt 1120590(119909) le 119870+ 1

e quindi 119871 = lim119909rarr+infin

120590(119909) egrave finito Siccome

120590prime(minus119909) = minus exp(minus(minus119909)2) = minus120590(119909)

la funzione 119909 ↦ minus120590(minus119909) differisce da 120590 per una costante 119896 minus120590(minus119909) = 120590(119909)+119896 perogni 119909 Ma per 119909 = 0 questo dagrave minus120590(0) = 120590(0) + 119896 e per definizione 120590(0) = 0 Perciograve120590(minus119909) = minus120590(119909) e

lim119909rarrminusinfin

120590(119909) = lim119905rarr+infin

120590(minus119905) = lim119905rarr+infin

minus120590(119905) = minus119871

Si puograve dimostrare ma non egrave affatto facile che 119871 = radic1205872 Si puograve dimostrare anche chela funzione 120590 non egrave esprimibile tramite funzioni elementari

Per tornare a funzioni di cui si puograve calcolare lrsquointegrale proviamo a calcolare lrsquoareasotto lrsquoarco di sinusoide tra 0 e 120587 una primitiva di sin egrave 119909 ↦ minus cos119909 quindi

int120587

0sin 119905119889119905 = [ minus cos 119905] 119905=120587

119905=0= minus cos120587+ cos0 = 2

64 tecniche di integrazione 123

64 tecniche di integrazione

Qui useremo una notazione speciale se 119891 egrave definita su un intervallo con

119909 ↦ int119909119891(119905)119889119905

indicheremo una qualsiasi primitiva di 119891 si potrebbe precisare che viene indicata la pri-mitiva ottenuta usando come limite inferiore di integrazione un certo elemento dellrsquoin-tervallo di definizione di 119891 ma non egrave importante Del resto per il calcolo degli integralinon egrave necessario sapere quale primitiva si stia adoperando Saremo sempre attentiperograve che il dominio della nostra funzione sia un intervallo si rischia di cadere in gravierrori se non si prende questa precauzione Scriveremo anche piugrave semplicemente

int119891

quando non ci serva dare un nome alla variabileLa prima regola egrave molto semplice

int(119891+119892) = int119891+int119892

percheacute la derivata di una somma egrave la somma delle derivate Analogamente se 119896 egrave unnumero e 119891 una funzione

int119896119891 = 119896int119891

Attenzione queste uguaglianze significano solo che lrsquooperazione indicata a destra for-nisce una primitiva della funzione indicata sotto il segno di integrale a sinistra Macome le operazioni con limiti infiniti queste convenzioni non danno problemi purcheacutesi sia consapevoli di ciograve che significano

Veniamo alle primitive piugrave complicate

int119909119905119899 119889119905 = 119909119899+1

119899+ 1 (119899 ne minus1)

int119909 1119905 119889119905 = log|119909|

int119909

exp 119905119889119905 = exp119909

int119909

sin 119905119889119905 = minus cos119909

int119909

cos 119905119889119905 = sin119909

int119909 1radic1minus 1199052

119889119905 = arcsin119909

int119909 11+ 1199052 119889119905 = arctan119909

La primitiva di 119891(119909) = 1radic1minus1199092 egrave proprio una di quelle che possono dare problemiInfatti possiamo calcolare

int119909 1radic1minus 1199052

119889119905 = minusint119909minus 1

radic1minus 1199052119889119905 = minus arccos119909

Possiamo da questo concludere che arcsin119909 = minus arccos119909 Certamente no ma solo chequeste due funzioni differiscono per una costante Infatti dallrsquouguaglianza arcsinprime 119909 =minus arccosprime 119909 (per ogni 119909 isin (minus1 1) dove le due funzioni sono derivabili) deduciamo

124 integrali

solo che esiste 119896 tale che arcsin119909 = 119896 minus arccos119909 per 119909 = 0 abbiamo arcsin0 = 119896 minusarccos0 cioegrave 0 = 119896minus1205872

arcsin119909 = 1205872 minus arccos119909

egrave infatti una relazione corretta Anche la primitiva riportata nella tabella per 119909 ↦ 1119909merita un commento Secondo le nostre convenzioni la funzione da integrare deveessere definita in un intervallo quindi possiamo scegliere (0 rarr) oppure (larr 0) (oun qualsiasi intervallo contenuto in uno di questi due) Se pensiamo 119909 ↦ 1119909 definitaper 119909 gt 0 una primitiva egrave 119909 ↦ log119909 se la pensiamo definita per 119909 lt 0 una primitivaegrave 119909 ↦ log(minus119909) come si verifica derivando Scrivere la primitiva come 119909 ↦ log|119909|evita di dover specificare in quale intervallo consideriamo definita la funzione Ma ciogravenon ci autorizza a considerare lecito int1minus1(1119909)119889119909 percheacute la funzione non egrave definitanellrsquointervallo [minus1 1]

Anche la formula per la derivata di una funzione composta dagrave una tecnica di inte-grazione Vediamo prima la teoria e poi la pratica Supponiamo che la funzione 120593 siascritta come

120593(119905) = 119892(119891(119905))119891prime(119905)

Se 119866 egrave una primitiva di 119892 e poniamo 120595(119905) = 119866(119891(119905)) allora abbiamo

120595prime(119905) = 119866prime(119891(119905))119891prime(119905) = 119892(119891(119905))119891prime(119905) = 120593(119905)

e quindi 120595 egrave una primitiva di 120593 Per esempio volendo calcolare

int119909 21199051 + 1199052 119889119905

si puograve considerare 119891(119905) = 1+ 1199052 e 119892(119906) = 1119906 allora se 120593(119905) = 2119905(1 + 1199052) abbiamoproprio

120593(119905) = 119892(119891(119905))119891prime(119905)

Una primitiva di 119906 ↦ 119892(119906) = 1119906 egrave log119906 (percheacute 119891(119905) gt 0) e quindi una primitiva di120593 egrave proprio log(1 + 1199052) Crsquoegrave un modo piugrave pratico per eseguire questo calcolo con lestesse notazioni

int119909119892(119891(119905))119891prime(119905)119889119905 = int

119891(119909)119892(119906)119889119906

e scriveremo qualcosa come

int119909 21199051 + 1199052 119889119905 = (hellip)[ 119906 = 1+ 1199052 119889119906 = 2119905119889119905]

= int1+1199092 1

119906 119889119906

= [ log119906]119906=1+1199092

= log(1 + 1199092)

In questo contesto la scrittura119906 = 1+1199052 sostituisce la piugrave lunga posizione119891(119905) = 1+1199052e il calcolo di 119891prime(119905) = 2119905 Scriveremo piugrave semplicemente in generale 119906 = 119891(119905) e

119889119906 = 119891prime(119905)119889119905

Questo egrave il motivo principale percheacute si mantiene 119889119905 nella notazione dellrsquointegrale Siusa formalmente la notazione di Leibniz per la derivata

119889119906119889119905 = 119891prime(119905)

64 tecniche di integrazione 125

e lsquosi moltiplicano ambo imembri per119889119905rsquo Si ricordi perograve che questa egrave solo una notazionemnemonica per eseguire la giusta sostituzione

Altro esempio calcolare una primitiva di 120593(119909) = cos119909(1 + sin119909)2 Abbiamo

int119909 cos 119905(1 + sin 119905)2 119889119905 = (hellip)[ 119906 = 1+ sin 119905 119889119906 = cos 119905119889119905]

= int1+sin119909 1

1199062 119889119906

= [minus 1119906]

119906=1+sin119909

= minus 11+ sin119909

In altre situazioni non egrave cosigrave agevole trovare la sostituzione giusta e si puograve adattarela tecnica purcheacute ci si assicuri di usare funzioni invertibili Un esempio vale piugrave di tanteformule Consideriamo

int119909119905radic1minus 119905119889119905 = (hellip)[ 119906 = radic1minus 119905 119905 = 1minus1199062 119889119905 = minus2119906119889119906]

= intradic1minus119909

(1 minus 1199062)119906(minus2119906)119889119906

= 2intradic1minus119909

(1199064 minus1199062)119889119906

= 2[1199065

5 minus 1199063

3 ]119906=radic1minus119909

= 2((1 minus119909)25 minus 1minus119909

3 )radic1minus119909

dove la sostituzione 119906 = radic1minus 119905 egrave ammessa in quanto invertibile nel dominio dellafunzione da integrare Di fatto non serve scrivere esplicitamente la primitiva se si devecalcolare lrsquointegrale

int1

0119905radic1minus 119905119889119905 = (hellip)[ 119906 = radic1minus 119905 119905 = 1minus1199062 119889119905 = minus2119906119889119906]

= intradic1minus1

radic1minus0(1 minus 1199062)119906(minus2119906)119889119906

= 2int0

1(1199064 minus1199062)119889119906

= 2[1199065

5 minus 1199063

3 ]0

1

= 2(0minus 15 + 1

3) = 415

Lrsquoesempio classico e complicato egrave il calcolo dellrsquoarea del cerchio La funzione daconsiderare egrave 119891(119909) = radic1minus1199092 e lrsquoarea saragrave il doppio di

int1

minus1radic1minus 1199052 119889119905

Potremmo considerare la sostituzione 119906 = radic1minus 1199052 ma questa non egrave invertibile Meglioinvece usare 119906 = arccos 119905 percheacute questa egrave invertibile e si ha 119905 = cos119906 da cui radic1minus 1199052 =

126 integrali

radic1minus cos2 119906 = sin119906 percheacute arccos prende valori nellrsquointervallo [0 120587] dove il seno egravenon negativo Allora

int1

minus1radic1minus 1199052 119889119905 = (hellip)[ 119906 = arccos 119905 119905 = cos119906 119889119905 = minus sin119906119889119906]

= intarccos1

arccos(minus1)minus sin2 119906119889119906

= int0

120587

cos(2119906) minus 12 119889119906

= (hellip)[ 119906 = 1199072 119889119906 = (12)119889119907]

= 14 int

0

2120587(cos119907minus 1)119889119907

= 14[ sin119907minus 119907] 0

2120587= 120587

2da cui concludiamo che lrsquoarea del cerchio di raggio 1 egrave 120587 come certo ci aspettavamoPer lrsquoarea del cerchio di raggio 119903 la funzione da integrare egrave 119891(119909) = radic1199032 minus1199092 e lasostituzione saragrave 119906 = arccos(119905119903) che dagrave radic1199032 minus 1199052 = 119903 sin119906 Un altro fattore 119903 vienedalla derivata e 1199032 rimane fino in fondo cosigrave che lrsquointegrale si calcola allo stesso mododando lrsquoarea 1205871199032 Cosigrave scrisse Archimede Πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳοἶ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μιᾷ τῶν περί τέν ὀρθέν ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει ldquoOgnicerchio egrave uguale a un triangolo rettangolo avente come cateti il raggio del cerchio e ilsuo perimetrordquo

Volendo calcolare una primitiva si possono fare le sostituzioni a ritroso nella fun-zione finale

14(sin119907minus 119907) = 1

4(sin(2119906) minus 2119906) = 12(sin119906 cos119906minus119906) = 1

2(119905radic1minus 1199052 minus arccos 119905)

e quindiint

119909radic1minus 1199052 119889119905 = 1

2(119909radic1minus1199092 minus arccos119909)

Il trucco di scrivere sin2 119906 in termini di cos(2119906) egrave usato spesso durante questi calcoliRimane unrsquoultima tecnica fondamentale da descrivere lrsquointegrazione per parti che

deriva dalla formula della derivata di un prodotto Supponiamo che120593 si possa scriverecome prodotto di due funzioni 120593(119909) = 119891(119909)119892(119909) e che di una di esse si conosca unaprimitiva per esempio 119866 tale che 119866prime = 119892 In tal caso si puograve considerare la derivata di120595(119909) = 119891(119909)119866(119909)

120595prime(119909) = 119891prime(119909)119866(119909) + 119891(119909)119866prime(119909) = 119891prime(119909)119866(119909) + 119891(119909)119892(119909)

da cui abbiamo119891(119909)119892(119909) = 120595prime(119909) minus 119891prime(119909)119866(119909)

e passando alle primitive

int119909119891(119905)119892(119905)119889119905 = 119891(119909)119866(119909) minusint

119909119891prime(119905)119866(119905)119889119905

Secondo la terminologia usuale 119891 si chiama fattore finito e 119892 si chiama fattore differen-ziale Nellrsquointegrale che rimane da calcolare compare la derivata del fattore finito chepotrebbe rendere piugrave semplice il calcolo Esempio

int119909119905 exp 119905119889119905 = 119909 exp119909minusint

119909exp 119905119889119905 = 119909 exp119909minus exp119909

prendendo 119891(119909) = 119909 come fattore finito (e 119891prime(119909) = 1) mentre 119892(119909) = exp119909 egrave il fattoredifferenziale con int119909 exp 119905119889119905 = exp119909 Vedremo oltre un caso piugrave generale

64 tecniche di integrazione 127

Altro esempio degno di nota in int119909 log 119905119889119905 si prende come fattore finito 119891(119909) = log119909e come fattore differenziale 119892(119909) = 1 questo percheacute la derivata del logaritmo egrave unafrazione algebrica e lo stesso una primitiva di 119892 int119909 1119889119905 = 119909 Allora

int119909

log 119905119889119905 = 119909 log|119909| minus int1199091199051119905 119889119905 = 119909 log|119909| minus 119909 = 119909(log|119909| minus 1)

Con lrsquointegrazione per parti si puograve calcolare una primitiva di 119891(119909) = radic1minus1199092 pren-dendo di nuovo come fattore finito 119892(119909) = 1

int119909radic1minus 1199052 119889119905 = 119909radic1minus1199092 minusint

119909119905 minus119905radic1minus 1199052

119889119905

= 119909radic1minus1199092 minusint119909 1 minus 1199052 minus1

radic1minus 1199052119889119905

= 119909radic1minus1199092 minusint119909radic1minus 1199052 119889119905 +int

119909 1radic1minus 1199052

119889119905

Sembra di essere a un punto morto dovremmo calcolare proprio la primitiva chestiamo cercando Ma noi sappiamo che la primitiva esiste quindi possiamo portarelrsquointegrale di mezzo al primo membro

2int119909radic1minus 1199052 119889119905 = 119909radic1minus1199092 + arcsin119909

che torna con il conto precedente O no Avevamo ottenuto

int119909radic1minus 1199052 119889119905 = 1

2(119909radic1minus1199092 minus arccos119909)

dovrsquoegrave lrsquoinghippoPossiamo anche calcolare per parti una primitiva di cos2

119865(119909) = int119909

cos2 119905119889119905 = int119909

cos 119905 sdot cos 119905119889119905

= sin119909 cos119909minusint119909

sin 119905(minus sin 119905)119889119905

= sin119909 cos119909+int119909(1 minus cos2 119905)119889119905

= 119909+ sin119909 cos119909minusint119909

cos2 119905119889119905

= 119909+ sin119909 cos119909minus119865(119909) + 119888

dove 119888 egrave una costante Sembra che siamo di nuovo arrivati in un vicolo cieco masappiamo che 119865 esiste e quindi possiamo operare algebricamente ottenendo

int119909

cos2 119905119889119905 = 12(119909+ sin119909 cos119909)

(la costante si omette come sempre) Analogamente

int119909

sin2 119905119889119905 = 12(119909minus sin119909 cos119909)

Con lrsquointegrazione per parti egrave possibile anche calcolare

int119909119875(119905)119890119905 119889119905

dove 119875 egrave un polinomio Si prende come fattore differenziale lrsquoesponenziale e quindi

int119909119875(119905)119890119905 119889119905 = 119875(119909)119890119909 minusint

119909119875prime(119905)119890119905 119889119905

128 integrali

che abbassa di grado il polinomio In sostanza vediamo che la primitiva cercata egrave dellaforma 119876(119909)119890119909 dove 119876 ha lo stesso grado di 119875 Perciograve invece di lunghe integrazioni perparti possiamo piugrave semplicemente impostare coefficienti indeterminati

int119909(1199052 + 119905+ 1)119890119905 119889119905 = (1198861199092 +119887119909+ 119888)119890119909

e derivare ottenendo

(2119886119909+ 119887)119890119909 + (1198861199092 +119887119909+ 119888)119890119909 = (1199092 +119909+ 1)119890119909

che equivale al sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

119886 = 12119886+ 119887 = 1119887+ 119888 = 1

cioegrave 119886 = 1 119887 = minus1 e 119888 = 2

65 le funzioni iperboliche

Lrsquoiperbole equilatera ha parecchie somiglianze con la circonferenza lo dice subito lasua equazione lsquocanonicarsquo

1199092 minus1199102 = 1

e possiamo dunque considerare la funzione

119891(119909) = radic1199092 minus 1

definita nellrsquointervallo [1 rarr) Possiamo dunque provare a calcolare lrsquoarea di un ldquoset-tore iperbolicordquo cioegrave la regione di piano delimitata da un ramo dellrsquoiperbole e una rettaparallela allrsquoasse delle ordinate in altre parole vogliamo calcolare

2int119909

1radic1199052 minus 1119889119905

e per questo trovare la migliore sostituzione possibile La strategia piugrave efficiente egrave lasostituzione

radic1199052 minus1 = 119905minus119906

percheacute cosigrave quando si eleva al quadrato i termini 1199052 spariscono minus1 = minus2119905119906 + 1199062Secondo le nostre convenzioni avremo

119905 = 1199062 +12119906 = 119906

2 + 12119906 119889119905 = (1

2 minus 121199062 )119889119906

Dunque lrsquointegrale da calcolare egrave

2int119909minusradic1199092minus1

1(1199062 + 1

2119906 minus119906)(12 minus 1

21199062 )119889119906 = minus12 int

119909minusradic1199092minus1

1

(1199062 minus1)21199063 119889119906

La funzione di cui calcolare una primitiva egrave

119891(119906) = 119906minus 2119906 + 1

1199063

e questo egrave banale una primitiva egrave

119865(119906) = 12(1199062 minus 1

1199062 )minus 2 log|119906|

65 le funzioni iperboliche 129

Dobbiamo dunque calcolare 119865(1) = 0 e 119865(119909minusradic1199092 minus1) ma egrave facile osservare che

1119909minusradic1199092 minus 1

= 119909+radic1199092 minus 1

e dunque scrivendo provvisoriamente 119910 = radic1199092 minus1 abbiamo

119865(119909minus119910) = 12(119909minus119910minus 1

119909minus119910)(119909minus119910+ 1119909minus119910)minus 2 log|119909 minus119910|

= (119909minus119910minus119909minus119910)(119909minus119910+119909minus119910)minus 2 log|119909 minus119910|

= minus2119909radic1199092 minus 1minus 2 log|119909 minus119910|

e dunque lrsquoarea cercata egrave

119909radic1199092 minus 1+ log|119909 minusradic1199092 minus 1|

Se ora consideriamo il triangolo di vertici (0 0) (119909 0) e (119909radic1199092 minus 1) e ne sottraiamola parte di settore iperbolico che egrave contenuta (cioegrave la metagrave) scopriamo che il triangolocurvilineo con vertici in (0 0) (1 0) e (119909radic1199092 minus 1) (il lato fra gli ultimi due vertici egrave ilramo di iperbole) ha area

minus12 log(119909 minusradic1199092 minus1) = 1

2 log(119909 +radic1199092 minus 1)

Questo va confrontato con lrsquoanaloga situazione della circonferenza di raggio unitariolrsquoarea del settore circolare con vertici in (0 0) (1 0) e (119909radic1minus1199092) ha come area 1205722dove 120572 egrave lrsquoangolo al centro del settore

Nel caso della circonferenza si ha dunque con le notazioni di prima

119909 = cos120572 119910 = radic1minus1199092 = sin120572

e siamo giustificati a porre nel caso dellrsquoiperbole

119909 = cosh 119905 119910 = radic1199092 minus1 = sinh 119905

dove119905 = log(119909 +radic1199092 minus1)

Non egrave difficile ricavare la definizione di cosh e sinh (coseno e seno iperbolici)

cosh 119905 = 119890119905 + 119890minus119905

2 sinh 119905 = 119890119905 minus 119890minus119905

2

Per definizione vale lrsquoidentitagrave iperbolica

cosh2 119905 minus sinh2 119905 = 1

(sono le coordinate di un punto del ramo di iperbole di equazione 1199092 minus1199102 = 1)Le funzioni iperboliche hanno proprietagrave molto simili a quelle circolari

cosh(119905 + 119906) = cosh 119905 cosh119906+ sinh 119905 sinh119906sinh(119905 + 119906) = sinh 119905 cosh119906+ cosh 119905 sinh119906

Si noti che crsquoegrave un lsquo+rsquo nella formula di addizione del coseno iperbolico

130 integrali

La formula di triplicazione del seno iperbolico egrave con facili calcoli

sinh3119905 = 4 sinh3 119905 + 3 sinh 119905

e la si puograve usare nella soluzione dellrsquoequazione di terzo grado 1199093+119901119909+119902 = 0 dove 119901 gt 0 Infattibasta porre 119909 = 119896 sinh 119905 e fare in modo che

1198963

119896119901 = 43

cioegrave 1198962 = 41199013 Ne otteniamo lrsquoequazione

4119896 sinh3 119905 + 3119896 sinh 119905 + 119902 = 0

che diventa dunquesinh(3119905) = minus119902

119896

Per esempio da 1199093 + 3119909minus 4 = 0 otteniamo 1198962 = 4 e quindi con 119896 = 2 lrsquoequazione

sinh(3119905) = 2

Con la calcolatrice otteniamo3119905 = 144363547517881

cioegrave 119905 = 0481211825059603 che dagrave

119909 = 119896 sinh 119905 = 2 sdot 05 = 1

come del resto ci aspettavamo (lrsquoarrotondamento della calcolatrice egrave davvero fortunato)

66 esistenza dellrsquooperatore integrale

La lunga dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquointegrale egrave proprio come sognava Cavalieriunrsquoastrazione del procedimento di esaustione di Eudosso e Archimede La dobbiamoprincipalmente a Cauchy e Riemann qui useremo una variante delle argomentazioni diRiemann dovuta a Darboux

Dato un intervallo [119886 119887] una sua suddivisione egrave un sottoinsieme finito 119878 tale che119886119887 isin 119878 Possiamo allora elencare gli elementi di una suddivisione come

119886 = 1199090 lt 1199091 lt ⋯ lt 119909119899minus1 lt 119909119899 = 119887

Data una suddivisione 119878 e una funzione 119891 continua su [119886 119887] porremo

m119909119895119909119895minus1(119891) = 119898119878119895(119891) e M119909119895

119909119895minus1(119891) = 119872119878119895(119891)

Chiameremo 119878-somma superiore per 119891 il numero

Σ119878(119891) = (1199091 minus1199090)1198721198781(119891) + (1199092 minus1199091)1198721198782(119891) +⋯+ (119909119899 minus119909119899minus1)119872119878119899(119891)

Nel caso di 119891 a valori positivi staremmo considerando la somma delle aree dei rettan-goli lsquoesternirsquo relativi alla suddivisione 119878 Analogamente chiamiamo 119878-somma inferioreper 119891 il numero

120590119878(119891) = (1199091 minus1199090)1198981198781(119891) + (1199092 minus1199091)1198981198782(119891) +⋯+ (119909119899 minus119909119899minus1)119898119878119899(119891)

che nel caso di 119891 a valori positivi corrisponde alla somma delle aree dei rettangolilsquointernirsquo relativi alla suddivisione

Per costruzione egrave 119898119878119895 le 119872119878119895 e perciograve egrave evidente che

120590119878(119891) le Σ119878(119891)

66 esistenza dellrsquooperatore integrale 131

Dimostriamo adesso che se 119878 sube 119879 allora

120590119878(119891) le 120590119879(119891) le Σ119879(119891) le Σ119878(119891)

Possiamo limitarci al caso speciale in cui 119879 si ottenga aggiungendo un solo elementoa 119878 percheacute il caso generale discende ripetendo il ragionamento per un certo numero(finito) di volte Verifichiamo solo lrsquoultima disuguaglianza la prima egrave analoga (oppuresi applichi il ragionamento a minus119891)

Possiamo dunque supporre che 119879 contenga esattamente un elemento in piugrave di 119878 se119878 egrave dato da

119886 = 1199090 lt 1199091 lt ⋯ lt 119909119899minus1 lt 119909119899 = 119887

avremo che 119879 contiene un elemento 119909 che sta diciamo tra 119909119895minus1 e 119909119895 Dunque ladifferenza tra la 119878-somma superiore e la 119879-somma superiore egrave

Σ119878(119891) minus Σ119879(119891) = (119909119895 minus119909119895minus1)M119909119895119909119895minus1(119891) minus ((119909 minus119909119895minus1)M119909

119909119895minus1(119891) minus (119909119895 minus119909)M119909119895

119909(119891))

Per evitare tanta barbarie di simboli poniamo

119903 = 119909119895minus1

119904 = 119909119895

1198720 = M119909119895119909119895minus1(119891)

1198721 = M119909119909119895minus1(119891)

1198722 = M119909119895

119909(119891)

e osserviamo che 1198721 le 1198720 e 1198722 le 1198720 per uno dei due deve valere lrsquouguaglianzaAbbiamo allora

Σ119878(119891) minus Σ119879(119891) = (119904 minus 119903)1198720 minus ( (119909 minus 119903)1198721 + (119904 minus119909)1198722)

ge (119904 minus 119903)1198720 minus ( (119909 minus 119903)1198720 + (119904 minus119909)1198720) = 0

esattamente come richiestoSiamo a buon punto consideriamo lrsquoinsieme 119984119887

119886(119891) delle 119878-somme superiori e lrsquoin-sieme ℒ119887

119886(119891) delle 119878-somme inferiori cioegrave quelli dei valori ottenuti prendendo tutte lepossibili suddivisioni di [119886 119887] Dimostriamo che che ogni numero in ℒ119887

119886(119891) egrave minore(o uguale) di ogni numero in 119984119887

119886(119891) Infatti se prendiamo 120590119878(119891) e Σ119879(119891) abbiamo

120590119878(119891) le 120590119878cup119879(119891) le Σ119878cup119879(119891) le Σ119879(119891)

Ci viene dunque spontaneo considerare lrsquoestremo superiore L119887119886(119891) di ℒ119887

119886(119891) e lrsquoestremoinferiore U119887

119886(119891) di 119984119887119886(119891) Di sicuro

L119887119886(119891) le U119887

119886(119891)

e vogliamo dimostrare che in realtagrave sono uguali Come possiamo fare La rispostaegrave abbastanza semplice ci basta verificare che lrsquooperatore (119886119887) ↦ U119887

119886(119891) soddisfa leproprietagrave richieste per lrsquooperatore (119886119887) ↦ Int119887119886(119891) La stessa dimostrazione varragrave conle facili modifiche necessarie per lrsquooperatore (119886 119887) ↦ L119887

119886(119891) Siccome sappiamo giagraveche quellrsquooperatore se esiste egrave unico avremo terminato

La prima proprietagrave egrave davvero banale infatti se consideriamo la suddivisione 1198780 incui ci sono solo 119886 e 119887 abbiamo

(119887 minus 119886)m119887119886(119891) = 1205901198780(119891) le U119887

119886(119891) le Σ1198780(119891) = (119887minus 119886)M119887119886(119891)

Dobbiamo dunque dimostrare la seconda proprietagrave cioegrave che per 119901 le 119886 lt 119887 lt 119888 le 119902 siha

U119888119886(119891) = U119887

119886(119891) + U119888119887(119891)

132 integrali

Se prendiamo una suddivisione 119878 di [119886 119888] possiamo considerare la suddivisione119878prime = 119878cup 119887 perciograve per quanto abbiamo visto

Σ119878prime(119891) le Σ119878(119891)

Che cosa ci dice questo Che lrsquoestremo inferiore di 119984119888119886(119891) egrave lrsquoestremo inferiore di

un insieme piugrave piccolo quello delle somme inferiori calcolate sulle suddivisioni a cuiappartiene 119887 Ora se 119878 egrave una suddivisione di [119886 119888] a cui appartiene 119887 possiamoda questa ottenere una suddivisione 119878larr di [119886 119887] e una suddivisione 119878rarr di [119887 119888]Chiaramente dalla definizione di Σ119878 abbiamo

Σ119878(119891) = Σ119878larr(119891) + Σ119878rarr(119891)

Viceversa se 1198791 egrave una suddivisione di [119886 119887] e 1198792 egrave una suddivisione di [119887 119888]119879 = 1198791 cup1198792 egrave una suddivisione di [119886 119888] a cui appartiene 119887

Quindi ci siamo ridotti a verificare una condizione su insiemi di numeri

l e mma Siano 119860 e 119861 insiemi di numeri e sia 119862 lrsquoinsieme a cui appartengono tuttele possibili somme di numeri in 119860 con numeri in 119861 Se 119860 e 119861 hanno estremo inferiore119886 e 119887 allora 119862 ha estremo inferiore 119888 = 119886+ 119887

Se 119886 isin 119860 e 119887 isin 119861 allora 119886 le 119886 e 119887 le 119887 dunque 119888 = 119886+119887 le 119886+119887 e 119888 egrave un minorantedi 119862 e quindi 119862 ha estremo inferiore in particolare 119888 le inf 119862 Supponiamo che 119888 lt inf 119862Per definizione di estremo inferiore esistono 119886 isin 119860 e 119887 isin 119861 tali che

119886minus119886 le inf 119862minus 1198884 119887 minus 119887 le inf 119862minus 119888

4

Allora

119886+ 119887minus 119888 le inf 119862minus 1198882 lt inf 119862minus 119888

da cui 119886+ 119887 lt inf 119862 che egrave assurdo in quanto 119886+ 119887 isin 119862 per definizione di 119862

A che ci serve questo lemma Se prendiamo 119860 = 119984119887119886(119891) e 119861 = 119984119888

119887(119891) lrsquoinsieme 119862 egraveproprio lrsquoinsieme delle somme superiori calcolate sulle suddivisioni che contengono 119887Ma abbiamo giagrave osservato che inf 119862 = U119888

119886(119891) e il lemma ci dice allora che

U119888119886(119891) = inf 119862 = inf 119860+ inf 119861 = inf 119984119887

119886(119891) + inf 119984119888119887(119891) = U119887

119886(119891) + U119888119887(119891)

Per gli stessi motivi avremo anche

m119887119886(119891) le L119887

119886(119891) le M119887119886(119891)

L119888119886(119891) = L119888

119887(119891) + L119888119887(119891)

la prima per 119901 le 119886 lt 119887 le 119902 la seconda per 119901 le 119886 lt 119887 lt 119888 le 119902Ci sarebbe un modo piugrave veloce per dimostrarlo basta rendersi conto che

L119887119886(119891) = minusU119887

119886(minus119891)

e osservare che in quanto abbiamo fatto la funzione119891 non entra inmodo particolare neabbiamo solo usato la continuitagrave per verificare lrsquounicitagrave dellrsquooperatore (119886 119887) ↦ Int119887119886(119891)

La dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquooperatore Int egrave cosigrave conclusa

67 disuguaglianze 133

67 disuguaglianze

Qui supporremo sempre che le funzioni siano continue sullrsquointervallo [119886 119887] e quindiche 119886 lt 119887

La prima disuguaglianza per gli integrali egrave piuttosto facile se 119891 egrave una funzione nonnegativa che assume un valore positivo in [119886 119887] allora

int119887

119886119891(119905)119889119905 gt 0

Infatti deve essere 119891(119909) gt 0 per un 119909 isin (119886 119887) e possiamo trovare un intorno di 119909in cui 119891(119909) gt 0 se questo intorno contiene lrsquointervallo (119909 minus 120575 119909 + 120575) abbiamo che119891(119888) gt 0 e 119891(119889) gt 0 dove 119888 = 119909minus 1205752 e 119889 = 119909+1205752 Dunque

int119887

119886119891(119905)119889119905 = int

119888

119886119891(119905)119889119905 + int

119889

119888119891(119905)119889119905 + int

119887

119889119891(119905)119889119905 ge m119888

119886(119891) + m119889119888 (119891) + m119887

119889(119891)

con m119888119886(119891) ge 0 m119889

119888 (119891) gt 0 e m119887119889(119891) ge 0

Non egrave difficile vedere anche che se 119891(119909) le 119892(119909) per ogni 119909 allora

int119887

119886119891(119905)119889119905 le int

119887

119886119892(119905)119889119905

Infatti se 119865 = 119892minus119891 si ha 119865(119909) ge 0 per ogni 119909 e quindi m119887119886(119865) ge 0 Dunque

0 le (119887minus 119886)m119887119886(119865) le int

119887

119886119865(119905)119889119905 = int

119887

119886119892(119905)119889119905 minus int

119887

119886119891(119905)119889119905

In questo caso scriveremo 119891 le 119892Prendiamo una funzione 119891 e consideriamo le due funzioni cosigrave definite

119891+(119909) = 12( |119891(119909)| + 119891(119909))

119891minus(119909) = 12( |119891(119909)| minus 119891(119909))

Allora

119891+(119909) =⎧⎨⎩

119891(119909) se 119891(119909) ge 00 se 119891(119909) lt 0

119891minus(119909) =⎧⎨⎩

0 se 119891(119909) ge 0minus119891(119909) se 119891(119909) lt 0

e abbiamo chiaramente 119891(119909) = 119891+(119909) minus 119891minus(119909) Il vantaggio di aver definito 119891+ e 119891minuscon la formula algebrica egrave che questa dimostra che le due funzioni sono continue (edentrambe a valori non negativi) su [119886 119887] se tale egrave 119891 In piugrave abbiamo che

|119891(119909)| = 119891+(119909) + 119891minus(119909)

Indicheremo brevemente con |119891| la funzione 119909 ↦ |119891(119909)| che ha lo stesso dominiodi 119891 Per una funzione qualsiasi abbiamo minus|119891| le 119891 le |119891| e quindi per la disuguaglian-za precedente

int119887

119886minus|119891(119905)|119889119905 le int

119887

119886119891(119905)119889119905 le int

119887

119886|119891(119905)|119889119905

e ne segue lrsquoaltra fondamentale disuguaglianza

|int119887

119886119891(119905)119889119905| le int

119887

119886|119891(119905)|119889119905

134 integrali

Ne ricaviamo subito una conseguenza importante

se int119887

119886|119891(119905)|119889119905 = 0 allora 119891(119909) = 0 per ogni 119909 isin [119886 119887]

Infatti se fosse 119891(119909) ne 0 avremmo |119891(119909)| gt 0 e quindi lrsquointegrale di |119891| sarebbepositivo

t e o r ema Se 119891 egrave una funzione continua e crescente su [1 rarr) allora per ogniintero 119899 gt 1

119891(1) + 119891(2) +⋯+119891(119899minus 2) + 119891(119899minus 1) le int119899

1119891(119905)119889119905

int119899

1119891(119905)119889119905 le 119891(2) + 119891(3) +⋯+119891(119899minus 1) + 119891(119899)

Poicheacute 119891 egrave crescente si ha m119887119886(119891) = 119891(119886) e M119887

119886(119891) = 119891(119887) Perciograve 119891(1)+⋯+119891(119899minus1)e 119891(2) + ⋯ + 119891(119899) sono rispettivamente la somma inferiore e la somma superiorerispetto alla suddivisione 1 2hellip 119899minus 1119899

Vediamo un esempio Sia 119891(119909) = 1199092 il teorema ci dagrave un modo di valutare la somma119878119899minus1 = 12 + 22 +⋯+ (119899minus 1)2 infatti 119891 egrave crescente su [1 rarr) e perciograve

119878119899minus1 le int119899

11199052 119889119905 = [1199053

3 ]119905=119899

119905=1le 119878119899 minus 1

Dunque

119878119899minus1 le 1198993 minus 13 le 119878119899 minus1

Per lo stesso motivo1198993

3 + 23 le 119878119899 le (119899+ 1)3

3 minus 13

e possiamo dividere per 1198993

13 + 2

31198993 le 1198781198991198993 le 1

3 + 1119899 + 1

1198992

e per il teorema di confronto dei limiti

lim119899rarr+infin

1198781198991198993 = 1

3

Con la stessa tecnica si dimostri che se

119878(119896)119899 = 1119896 + 2119896 +⋯+119899119896

allora

lim119899rarr+infin

119878(119896)119899

119899119896+1 = 1119896+ 1

Per funzioni decrescenti vale ovviamente una coppia di disuguaglianze analoghe

t e o r ema Se 119891 egrave una funzione continua e decrescente su [1 rarr) allora perogni intero 119899 gt 1

119891(1) + 119891(2) +⋯+119891(119899minus 2) + 119891(119899minus 1) ge int119899

1119891(119905)119889119905

int119899

1119891(119905)119889119905 ge 119891(2) + 119891(3) +⋯+119891(119899minus 1) + 119891(119899)

67 disuguaglianze 135

Se prendiamo 119891(119909) = 11199092 definita su (0 rarr) essa egrave descrescente Se poniamo119860(2)119899 = 119891(1) +⋯+119891(119899) abbiamo per 119899 gt 1

119860(2)119899minus1 ge int119899

1

11199052 119889119905 = [minus1

119905 ]119905=119899

119905=1ge 119860(2)119899 minus 1

quindi calcolando lrsquointegrale

119860(2)119899 minus 1 le 1minus 1119899

che quindi dagrave

119860(2)119899 le 2minus 1119899

In particolare la successione 119860(2) che egrave crescente converge Alla stessa conclusionesi giunge con 119860(119904) definita da

119860(119904)119899 = 1+ 12119904 +⋯+ 1

119899119904

per 119904 gt 1 percheacute lrsquointegrale corrispondente vale

int119899

1

1119905119904 119889119905 = [minus 1

(119904 minus 1)119905119904minus1 ]119905=119899

119905=1= 1

119904minus 1 minus 1(119904 minus 1)119899119904minus1

e quindi 119860(119904)119899 le 1(119904 minus 1) + 1 = 119904(119904 minus 1)Per 119904 = 1 invece si ha

119860(1)119899minus1 ge int119899

1

1119905 119889119905 = [ log 119905]119905=119899

119905=1= log119899

e perciograve lim119899rarr+infin 119860(1)119899 = +infin

Usualmente si pone per 119904 gt 1 120577(119904) = lim119899rarr+infin 119860(119904)119899 La funzione che cosigrave si ottiene si chiamafunzione zeta di Riemann sebbene sia stata studiata inizialmente da Euler Riemann ne estesela definizione e dimostrograve importanti connessioni della funzione zeta piugrave generale con i numeriprimi Una congettura di Riemann sulla funzione zeta egrave uno dei piugrave importanti problemi apertidella matematica e non solo per il premio da un milione di dollari promesso da un istituto diricerca

Euler dimostrograve che lim119899rarr+infin 119860(2)119899 = 120577(2) = 12058726 chiudendo cosigrave una questione nota comeproblema di Basilea percheacute fu ripreso da Johan Bernoulli sebbene fosse stato posto da PietroMengoli (1626ndash1686) In effetti sulla dimostrazione di Euler ci sarebbero parecchi rilievi da farema lrsquoidea di fondo era corretta

Crsquoegrave un altro modo di dimostrare che la successione 119860(1) non converge Osserviamo che se119899 isin ℕ esiste un119898 isin ℕ tale che 2119898minus1 le 119899 lt 2119898+1minus1 quindi se dimostriamo che la successione119887 definita da 119887119898 = 119860(1)2119898minus1 non converge nemmeno lrsquoaltra converge I numeri naturali da 1 a2119898minus1 sono quelli che in notazione binaria si scrivono con al massimo 119898 cifre Quindi abbiamo

1198871 = 112

1198872 = 112

+( 1102

+ 1112

)

1198873 = 112

+( 1102

+ 1112

)+ ( 11002

+ 11012

+ 11102

+ 11112

)

e cosigrave via (non usiamo il sistema binario per gli indici) Se al posto delle frazioni con un denomi-natore di 119896 cifre binarie scriviamo 12119896+1 otteniamo un numero minore di 119887119898 che indichiamo

136 integrali

con 119887prime119898 Ogni gruppo in parentesi racchiude le frazioni il cui denominatore ha lo stesso numero

di cifre binarie se le cifre sono 119896 i numeri del gruppo sono esattamente 2119896 Perciograve

119887prime1 = 20 1

2 = 12

119887prime2 = 20 1

2 + 21 122 = 2

2

119887prime3 = 20 1

2 + 21 122 + 22 1

23 = 32

hellip

119887prime119898 = 20 1

2 +⋯+ 2119898minus1 12119898 = 119898

2

Dunque egrave chiaro che lim119898rarr+infin 119887prime119898 = +infin e perciograve anche lim119898rarr+infin 119887119898 = +infin

Egrave interessante notare che con una tecnica analoga si dimostra la convergenza di 119860(2) Scrivia-mo ancora 119888119898 = 119860(2)2119898minus1 e vediamo i primi termini

1198881 = 1(12)2

1198882 =1

(12)2+( 1

(102)2+ 1

(112)2)

1198883 = 1(12)2

+( 1(102)2

+ 1(112)2

)+ ( 1(1002)2

+ 1(1012)2

+ 1(1102)2

+ 1(1112)2

)

ma questa volta pensiamo di sostituire ogni frazione con denominatore di 119896 cifre con 12119896 Se 119897egrave un numero che nel sistema binario si scrive con 119896 cifre allora 2119896 le 119897 da cui 12119896 ge 1119897 Perciogravecon queste sostituzioni otteniamo un numero 119888prime

119898 ge 119888119898 e

119888prime1 = 20 1

12 = 1

119888prime2 = 20 1

12 +21 1(21)2 = 1+ 1

2

119888prime3 = 20 1

12 +21 1(21)2 +22 1

(22)2 = 1+ 12 + 1

4

hellip

119888prime119898 = 1+ 1

2 + 14 +⋯+ 1

2119898minus1

Ma questa egrave unrsquoespressione che sappiamo trattare se 119909 ne 1

1 +119909+1199092 +⋯+119909119898minus1 = 1minus119909119898

1minus119909

e per 119909 = 12 abbiamo119888prime119898 = 2(1minus 1

2119898 ) lt 2

Dunque la successione 119888prime egrave crescente e limitata allora anche 119888 egrave crescente e limitata e cosigrave per119860(2) Si noti come il ragionamento con gli integrali sia molto piugrave diretto e non richieda trucchiingegnosi

Se si prova a usare il secondo trucco con 119860(1) si ottiene solo la maggiorazione

119887119898 le 119898

che non dagrave alcuna informazione sulla convergenza di 119887

68 frazioni algebriche e integrali

Se 119875 e119876 sono polinomi in linea di principio egrave possibile trovare una primitiva di 119891(119909) =119875(119909)119876(119909) Infatti lrsquounico ostacolo egrave la fattorizzazione di 119876 come prodotto di fattoriirriducibili Egrave noto anche se non facile da dimostrare che i polinomi irriducibili sui realisono solo quelli di grado 1 e quelli di grado 2 con discriminante negativo La ricerca di

68 frazioni algebriche e integrali 137

una primitiva di una frazione algebrica poggia sul seguente risultato ma anche sulleosservazioni che (1) non egrave restrittivo supporre che il grado di 119875 sia minore del grado di119876 percheacute si puograve eseguire la divisione con resto (2) non egrave restrittivo supporre che 119875 e119876 non abbiano fattori comuni percheacute il massimo comune divisore si puograve determinarecon lrsquoalgoritmo di Euclide

Un fattore irriducibile 119877 del polinomio 119876 si dice di molteplicitagrave 119898 se 119877119898 divide 119876ma 119877119898+1 non divide 119876

t e o r ema Siano 119875 e 119876 polinomi senza fattori comuni con il grado di 119875 minoredel grado di 119876 Se 119877 egrave un fattore irriducibile di 119876 di molteplicitagrave 119898 allora si puogravescrivere

119875(119909)119876(119909) = 1198781(119909)

119877(119909) + 1198782(119909)119877(119909)2 +⋯+ 119878119898(119909)

119877(119909)119898 + 1198751(119909)1198761(119909)

dove 1198761 non egrave divisibile per 119877 e i polinomi 1198781 1198782 hellip 119878119898 hanno grado minore delgrado di 119877

Non daremo la dimostrazione che richiede conti piuttosto complicati Come si puogravefare in pratica Si applica il teorema ripetutamente fincheacute si esauriscono i fattori irri-ducibili di 119876 infatti il teorema vale anche per la frazione 11987511198761 A questo punto nonoccorre aver giagrave calcolato i numeratori 119878 percheacute si puograve usare ilmetodo dei coefficienti in-determinati Supponiamo per esempio che119876(119909) = 119909(119909minus1)3(1199092+1)2 Lrsquoapplicazioneripetuta del teorema ci dice che possiamo scrivere

119875(119909)119876(119909) = 119860

119909 + 119861119909minus 1 + 119862

(119909minus 1)2 + 119863(119909minus 1)3 + 119864119909+119865

1199092 + 1 + 119866119909+119867(1199092 + 1)2

Le incognite sono otto e il grado di 119875 egrave al massimo sette quindi i coefficienti nonnulli di 119875 sono al massimo otto e riscrivendo il membro di destra come unica frazionealgebrica possiamo adoperare il principio di identitagrave dei polinomi Ma non occorrenemmeno eseguire troppi calcoli con le frazioni basta usare il valore delle funzioni inpunti opportuni

Supponiamo per esempio 119875(119909) = 1199093 minus 21199092 + 3 Calcoliamo 119875(2)119876(2) = 350quindi anche

1198602 + 119861

1 + 11986212 + 119863

13 + 2119864+ 1198655 + 2119866+119867

52 = 350

Si possono usare altri punti per ottenere le sette equazioni ancora necessarie Lrsquoimpor-tante egrave vedere che si ottiene un sistema lineare

Vediamo un esempio certamente piugrave semplice con la funzione

119891(119909) = 1199094 + 31199092 + 1119909(119909minus 1)2(1199092 +1)

che ammette la decomposizione

119891(119909) = 119860119909 + 119861

119909minus 1 + 119862(119909minus 1)2 + 119863119909+119864

1199092 + 1

Qui forse egrave piugrave semplice scrivere ciograve che si ottiene mettendo tutto allo stesso denomi-natore

119891(119909)(119909(119909minus 1)2(1199092 +1) = 119860(119909minus 1)2(1199092 +1) + 119861119909(119909minus 1)(1199092 + 1)+119862119909(1199092 + 1) + (119863119909+119864)119909(119909minus 1)2

138 integrali

= (119860+119861+119863)1199094

+ (minus2119860minus119861+119862minus 2119863+119864)1199093

+ (2119860+ 119861+119863minus119864)1199092

+ (minus2119860minus119861+119862+119864)119909+119860

e il principio di uguaglianza dei polinomi dice

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

119860 = 1minus2119860minus119861+119862+119864 = 02119860+ 119861+119863minus119864 = 3minus2119860minus119861+119862minus 2119863+119864 = 0119860+119861+119863 = 1

da cui si ottiene119860 = 1 119861 = minus1 119862 = 2 119863 = 1 119864 = minus1

e quindi119891(119909) = 1

119909 minus 1119909minus 1 + 2

(119909minus 1)2 + 119909minus 11199092 +1

Egrave facile a questo punto calcolare una primitiva di 119891

int119909119891(119905)119889119905 = log|119909| minus log|119909 minus 1| minus 2

119909minus 1 +int119909 119905 minus 11199052 + 1 119889119905

dove teniamo da parte lrsquoultima frazione parziale unica che richiede un trattamento piugraveattento

int119909( 1199051199052 +1 minus 1

1199052 + 1)119889119905 = 12 int

119909 21199051199052 + 1 119889119905minusint

119909 11199052 + 1 119889119905

= 12 log(1199092 +1) minus arctan119909

Piugrave in generale quando si deve calcolare la primitiva della funzione 119891(119909) = (119860119909 +119861)(1198861199092 + 119887119909 + 119888) occorre procedere in questo modo Prima di tutto si vede se ildenominatore ha radici e in tal caso si puograve trovare la decomposizione in frazioniparziali come prima Dunque supponiamo che Δ = 1198872 minus 4119886119888 lt 0 la solita tecnica dicompletamento del quadrato ci permette di scrivere

1198861199092 +119887119909+ 119888 = 14119886(411988621199092 + 4119886119887119909+ 1198872 minusΔ) = 1

4119886((2119886119909+ 119887)2 minusΔ)

Poniamo allora 120575 = radicminusΔ e calcoliamo la primitiva

int119909 119860119905+ 1198611198861199052 +119887119905+ 119888 119889119905 = int

119909 4119886(119860119905 + 119861)(2119886119905 + 119887)2 +1205752 119889119905

= (hellip)[120575119906 = 2119886119905 + 119887 119889119906 = 2119886120575 119889119905]

= int(120575119909minus119887)(2119886) 119862119906+119863

1199062 + 1 119889119906

dove 119862 e 119863 sono opportuni coefficienti A questo punto il calcolo egrave facile

int119909 119862119905+119863

1199052 +1 119889119905 = 1198622 int

119909 21199051199052 +1 119889119905+119863int

119909 11199052 + 1 119889119905

che egrave del tutto simile al precedente Inutile scrivere la formula esplicita molto megliolavorare a un esempio

int119909 3119905 + 11199052 + 4119905 + 20 119889119905

69 integrali e aree 139

Completiamo il quadrato al denominatore

1199052 + 4119905+ 20 = 1199052 + 4119905 + 4+ 16 = (119905 + 2)2 +42

e quindi la sostituzione da eseguire egrave 2119906 = 119905+ 2 quindi 119889119905 = 2119889119906 e

3119905 + 1 = 3(1199062 minus 2+ 1) = 3

2(119906minus 2)

Perciograve lrsquointegrale diventa

int119909 3119905 + 11199052 + 4119905+ 20 119889119905 = 23

214 int

(119909+2)2 119906minus 21199062 + 1 119889119906

= 38 int

(119909+2)2 21199061199062 + 1 119889119906+ 3

4 int(119909+2)2 1

1199062 +1 119889119906

= 38[ log(1199062 +1)] 119906=(119909+2)2 + 3

4[arctan119906] 119906=(119909+2)2

e si puograve scrivere lrsquoespressione esplicita senza alcuna difficoltagravePiugrave complicato egrave trovare una primitiva di 119891(119909) = 1(1199092 + 1)2 a cui si riduce con

sostituzioni analoghe a quelle precedenti il calcolo quando nel denominatore dellafrazione originale ci sia il quadrato di un polinomio di secondo grado con discriminantenegativo Il trucco egrave di scrivere

1(1199092 +1)2 = 1+1199092 minus1199092

(1199092 + 1)2 = 11199092 + 1 minus 1199092

(1199092 + 1)2

Una primitiva del primo addendo egrave nota esaminiamo il secondo integrando per partiprendiamo 120593(119909) = 1199092 come fattore finito e 120595(119909) = 2119909(1199092 + 1)2 come fattore diffe-renziale Infatti una primitiva di 120595 egrave Ψ(119909) = minus1(1199092 + 1) percheacute al numeratore crsquoegrave laderivata di 119909 ↦ 1199092 +1 Dunque

int119909 1199052

2119905(1199052 + 1)2 119889119905 = 119909

2minus1

1199092 + 1 + 12 int

119909 11199052 +1 119889119905 = minus 119909

2(1199092 + 1) + 12 arctan119909

come si puograve controllare derivando e per la primitiva che stavamo cercando

int119909 1(1199052 + 1)2 119889119905 = int

119909 11199052 + 1 119889119905 minusint

119909 11990521199052 + 1 119889119905

= arctan119909minus (minus 1199092(1199092 + 1) + 1

2 arctan119909)

= 12( 119909

1199092 +1 + arctan119909)

Per le potenze superiori ci si deve armare di pazienza e ripetere il trucco piugrave volteOppure consultare httpintegralswolframcom dove si possono ottenere tuttigli integrali che si desiderano (quasi)

69 integrali e aree

Consideriamo un triangolo rettangolo prendiamo la retta di uno dei cateti come assedelle ascisse come origine il vertice dellrsquoangolo non retto Stabiliamo che i versi positividellrsquoasse delle ascisse e delle ordinate siano in modo che il vertice dellrsquoaltro angolo nonretto sia nel primo quadrante La retta che passa per i due vertici degli angoli non rettiavragrave cosigrave equazione

119910 = 119887119886119909

140 integrali

se con 119886 indichiamo la misura del cateto sullrsquoasse delle ascisse e con 119887 la misuradellrsquoaltro cateto Allora

int119886

0

119887119886119905119889119905 = 119887

119886[11990522 ]

119905=119886

119905=0= 119887

1198861198862

2 = 12119886119887

come era facile attendersiQual egrave il succo di questo discorso Che nei casi in cui lrsquoarea egrave facilmente definibile

cioegrave per i poligoni lrsquointegrale fornisce esattamente lo stesso risultato A questo puntoil passo egrave quasi ovvio invece di lunghe contorsioni per definire in modo lsquogeometricorsquolrsquoarea delle figure delimitate da curve usiamo lrsquointegrale

Supponiamo per esempio di voler calcolare lrsquoarea della parte di piano delimitatadalle due parabole di equazioni

119910 = 51199092 119910 = minus31199092 + 2

Le due parabole si incontrano nei punti di coordinate

(minus12 54) (1

2 54)

e un semplice raffronto mostra che lrsquoarea deve essere la differenza degli integrali

int12

minus12(minus31199052 + 2)119889119905 minusint

12

minus1251199052 119889119905 = int

12

minus12(minus81199052 + 2)119889119905

= [minus811990533 + 2119905]

119905=12

119905=minus12

= (13 minus 1)minus (minus1

3 + 1)

= 23

come si potrebbe calcolare anche dalla formula di Archimede Giagrave che ci siamo ve-diamo che anchrsquoessa funziona Lrsquoarea del settore definito sulla parabola di equazione119910 = 1198861199092 (con 119886 gt 0) dai punti (1199011198861199012) e (1199021198861199022) con 119901 lt 119902 egrave la differenza tra lrsquoarealdquosotto la rettardquo e quella ldquosotto la parabolardquo naturalmente delimitate entrambe dallrsquoassedelle ascisse Lrsquoarea ldquosotto la rettardquo egrave calcolabile senza integrali dal momento che lafigura egrave un poligono in particolare un trapezio rettangolo

12(1198861199012 +1198861199022)(119902 minus 119901)

mentre quella ldquosotto la parabolardquo egrave per definizione

int119902

1199011198861199052 119889119905 = [1198861199053

3 ]119905=119902

119905=119901= 119886

3 (1199023 minus1199013)

La differenza egrave dunque

1198866 (119902 minus 119901)( 3(1199012 +1199022) minus 2(1199022 +119901119902+1199012)) = 119886

6 (119902minus 119901)3

esattamente come calcolato in precedenzaAbbiamo giagrave visto come lrsquointegrale fornisca il valore ldquocorrettordquo per lrsquoarea del cerchio

non solo anche il procedimento che ha dimostrato lrsquoesistenza dellrsquointegrale si basa-va sullrsquoidea dellrsquoesaustione Dunque egrave perfettamente sensato definire lrsquoarea tramitelrsquointegrale e dimenticarsi di tutti i complicati procedimenti per calcolare aree strane

610 integrali impropri 141

Non egrave difficile generalizzare lrsquoesempio precedente diamo la regola pratica suppo-nendo di dover calcolare lrsquoarea compresa tra archi di curve esprimibili come grafici difunzioni Si numerano i punti di intersezione come

1198600(11990901199100) 1198601(11990911199101) hellip 119860119899minus1(119909119899minus1119910119899) 119860119899 = 1198600

girando attorno alla regione di piano in senso orario Chiamiamo 119891119896 (119896 = 1hellip 119899)la funzione il cui grafico costituisce il ldquolatordquo della figura da 119860119896minus1 a 119860119896 Allora lrsquoarearichiesta si ottiene con

int1199091

11990901198911(119905)119889119905 + int

1199092

11990911198912(119905)119889119905 +⋯+int

119909119899

119909119899minus1119891119899(119905)119889119905

Se per caso fra i ldquolatirdquo della figura ci fossero segmenti verticali lrsquointegrale non avrebbesenso e semplicemente lo si omette Si noti che certamente alcuni di quegli integralisaranno su intervalli ldquorovescirdquo ma questo non ci dagrave alcun problema

Facciamo un esempio Sono date 119891(119909) = log119909 e 119892(119909) = 1199092 e si vuole calcolare lrsquoareadeterminata dalle due curve dallrsquoasse delle ascisse e dalla retta di equazione119910 = 3minus2119909I punti da considerare sono 1198600(0 0) 1198601(1 1) 1198602(119903 3 minus 2119903) e 1198603(1 0) con 1198604 = 1198600Qui 119903 egrave la soluzione dellrsquoequazione log119909 = 3minus 2119909 La regola pratica dice dunque chelrsquoarea cercata egrave

int1

01199052 119889119905 +int

119903

1(3 minus 2119905)119889119905 + int

1

119903log 119905119889119905 + int

0

10119889119905

e calcoleremo gli integrali uno alla volta (escluso naturalmente lrsquoultimo)

int1

01199052 119889119905 = 1

3

int119903

1(3 minus 2119905)119889119905 = [ 3119905 minus 1199052] 119905=119903

119905=1= (3119903minus 1199032) minus (3 minus 1) = 3119903minus 1199032 minus 2

int1

119903log 119905119889119905 = [ (119905 minus 1) log 119905]119905=1

119905=119903= minus(119903minus 1) log119903 = minus(119903minus 1)(3 minus 2119903)

Perciograve lrsquoarea richiesta egrave

13 + 3119903minus 1199032 minus 2minus 3119903+ 3+ 21199032 minus 2119903 = 1199032 minus2119903+ 4

3

Se invece lrsquoarea da calcolare egrave quella delimitata dai grafici delle due funzioni e dallerette di equazioni 119909 = 1 e 119909 = 2 si puograve fare allo stesso modo i punti sono 1198600(1 1)1198601(2 4) 1198602(2 log2) 1198603(1 0) e 1198604 = 1198600 Lrsquoarea egrave dunque

int2

11199052 119889119905 +int

1

2log 119905119889119905 = [ 11990533] 119905=2

119905=1+ [ 119905(log 119905 minus 1)] 119905=1

119905=2

= (83 minus 1

3)+ (minus1minus 2 log2 + 2)

= 103 minus 2 log2

610 integrali impropri

In certi casi succede un fatto curioso consideriamo la funzione 119891(119909) = 1radic119909 che egravedefinita in (0 rarr) e fissiamo 119909 con 0 lt 119909 lt 1 allora

119865(119909) = int1

119909

1radic119905

119889119905 = [2radic119905]119905=1119905=119909

= 2minusradic119909

e lim119909rarr0 119865(119909) = 2 Intuitivamente lrsquoarea sottostante la curva 119910 = 1radic119909 compresa tralrsquoasse delle ordinate lrsquoasse delle ascisse e la retta di equazione 119909 = 1 egrave ldquofinitardquo pur se la

142 integrali

figura non egrave limitata nel piano Dobbiamo prendere molto sul serio questa asserzioneNo ma possiamo semplicemente definire

int1

0

1radic119905

119889119905 = lim119909rarr0

int1

119909

1radic119905

119889119905

senza preoccuparci di darne una ldquogiustificazione geometricardquo

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione continua nellrsquointervallo (119886 119887] Se esistefinito il

lim119909rarr119886

int119887

119909119891(119905)119889119905

allora si dice che lrsquointegrale improprio int119887119886 119891(119905)119889119905 converge e si pone

int119887

119886119891(119905)119889119905 = lim

119909rarr119886int

119887

119909119891(119905)119889119905

Analoga definizione si dagrave per una funzione continua in [119886 119887) Egrave chiaro da quantoabbiamo visto che se per caso 119891 egrave continua su [119886 119887] allora di sicuro

int119887

119886119891(119905)119889119905 = lim

119909rarr119887int

119909

119886119891(119905)119889119905

(finito) percheacute sotto il limite crsquoegrave proprio la funzione integrale che egrave derivabile e quindicontinua Analogamente per il limite verso lrsquoestremo sinistro dellrsquointervallo Quindi ledue nozioni non danno risultati diversi quando la funzione sia effettivamente continuain [119886 119887] oppure anche sia definita e continua in [119886 119887) e lim119909rarr119887 119891(119909) sia finito

Consideriamo ora 119891(119909) = exp(minus119909) che consideriamo definita su [0 rarr) allora

lim119909rarr+infin

int119909

0exp(minus119905)119889119905 = lim

119909rarr+infin[ minus exp(minus119905)] 119905=119909

119905=0

= lim119909rarr+infin

(minus exp(minus119909) + exp0) = 1

e ci ritroviamo in una situazione del tutto simile a prima Anche qui daremo la defini-zione di integrale improprio

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione continua nellrsquointervallo [119886 rarr) se esistefinito il

lim119909rarr+infin

int119909

119886119891(119905)119889119905

allora si dice che lrsquointegrale improprio int+infin119886 119891(119905)119889119905 converge e si pone

int+infin

119886119891(119905)119889119905 = lim

119909rarr+infinint

119909

119886119891(119905)119889119905

In molti casi non egrave possibile calcolare esplicitamente un integrale ma nel caso difunzioni continue su un intervallo chiuso sappiamo comunque che ha un certo valoreSi possono usare criteri di vario tipo per determinare se un integrale improprio conver-ge Ne enunceremo uno molto utile e spesso conclusivo lrsquoenunciato saragrave per funzionicontinue su [119886 rarr) ma vale anche per gli integrali impropri ldquoal finitordquo come si puogravevedere per esercizio apportando le dovute modifiche alla dimostrazione La scrittura119891 le 119892 significa 119891(119909) ge 119892(119909) per ogni 119909 del dominio di 119891 e 119892 che si suppone uguale0 le 119891 significa dunque che 119891(119909) ge 0 per ogni 119909 del dominio di 119891 (con 0 denotiamoanche la funzione costante nulla)

610 integrali impropri 143

t e o r ema Siano 119891 e 119892 funzioni continue su [119886 rarr) tali che 0 le 119891 le 119892 Se

int+infin

119886119892(119905)119889119905

converge allora converge anche

int+infin

119886119891(119905)119889119905

Le funzioni integrali 119865(119909) = int119909119886 119891(119905)119889119905 e 119866(119909) = int119909119886 119892(119905)119889119905 sono crescenti e per ledisuguaglianze tra gli integrali si ha

119865(119909) le 119866(119909)

Siccome per ipotesi lim119909rarr+infin 119866(119909) egrave finito 119865 egrave limitata e perciograve necessariamente anchelim119909rarr+infin 119865(119909) egrave finito

Nel caso in cui la funzione 119891 sia continua su (119886 rarr) daremo un senso anche allascrittura int+infin

119886 119891(119905)119889119905 ma solo quando entrambi i limiti

lim119909rarr119886

int119886+1

119909119891(119905)119889119905 e lim

119909rarr+infinint

119909

119886+1119891(119905)119889119905

esistono finiti e lrsquointegrale improprio saragrave la somma dei due limiti Al posto di 119886+1 sipuograve ovviamente usare qualsiasi 119887 isin (119886 rarr)

Vediamo un esempio abbastanza bizzarro lrsquointegrale su (0 rarr) di 119891(119909) = (sin119909)119909 conver-ge Per

int1205872

0

sin 119905119905 119889119905

il problema non si pone dal momento che 119891 puograve essere estesa a una funzione continua su[0 1205872] Dunque ci rimane lrsquointegrale sulla parte illimitata che studieremo integrando perparti

int119909

1205872

sin 119905119905 119889119905 = [(minus cos 119905)1119905 ]

119905=119909

119905=1205872minusint

119909

1205872(minus cos 119905)minus1

1199052 119889119905

= minus cos119909119909 +int

119909

1205872

minus cos 1199051199052 119889119905

Ci serve dunque calcolare il limite dellrsquointegrale che rimane Consideriamo

minus cos 1199051199052 = minus 1

1199052 + 1minus cos 1199051199052

Sappiamo che int+infin1205872 (11199052)119889119905 converge quindi ci basteragrave vedere che converge

int+infin

1205872

1minus cos 1199051199052 119889119905

Ora si ha 0 le (1 minus cos 119905)1199052 le 21199052 dal momento che 1 minus cos 119905 le 2 Per il teorema sullaconvergenza abbiamo allora che siccome int+infin

1205872 (21199052)119889119905 converge converge anche lrsquointegrale checi interessa

Dirichlet dimostrograve che int+infin0 (sin 119905)119905119889119905 = 1205872 La funzione

Si119909 = int119909

0

sin 119905119905 119889119905

ha proprietagrave molto interessanti e si chiama lsquoseno integralersquo Quanto dimostrato da Dirichletequivale a dire che lim119909rarr+infin Si119909 = 1205872 ed egrave immediato verificare che lim119909rarrminusinfin Si119909 = minus1205872

Per il teorema fondamentale si ha Siprime 119909 = (sin119909)119909 e quindi la derivata si annulla nei punti119896120587 per 119896 intero 119896 ne 0 La derivata seconda egrave

SiPrime 119909 = 119909 cos119909minus sin1199091199092

144 integrali

e conviene usare questa per stabilire quali siano i punti di massimo e di minimo di Si Infattiper 119896 = 2119899 pari (119899 ne 0) si ha

SiPrime(2119899120587) = 2119899120587 cos(2119899120587)minus sin(2119899120587)(2119899120587)2 = 1

2119899120587 gt 0

mentre per 119896 = 2119899+ 1 dispari si ha

SiPrime((2119899+ 1)120587) = (2119899+ 1)120587 cos((2119899+ 1)120587) minus sin((2119899+ 1)120587)((2119899+ 1)120587)2 = minus 1

(2119899+ 1)120587 lt 0

Dunque Si egrave convessa in un intorno dei punti 2119899120587 (119899 ne 0) e concava in un intorno dei punti(2119899+ 1)120587 quindi i primi sono punti di minimo i secondi punti di massimo In 0 crsquoegrave un flesso

SiPrime 0 = lim119909rarr0

SiPrime 119909 = lim119909rarr0

119909 cos119909minus sin1199091199092

H= lim119909rarr0

119909 sin1199092119909 = lim

119909rarr0

sin1199092 = 0

Gli altri flessi sono le soluzioni non nulle di tan119909 = 119909 Il grafico attraversa ciascuno dei dueasintoti infinite volte

611 la funzione gamma

Ci proponiamo di vedere che per ogni 119911 gt 0 lrsquointegrale

int+infin

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

converge La funzione 119891119911(119909) = 119909119911minus1 exp(minus119909) egrave continua in (0 rarr) e positiva Spez-ziamo in due lrsquointegrale improprio

int1

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905 + int

+infin

1119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

e valutiamo la convergenza separatamente Vediamo il secondo dando una maggiora-zione se 119899 egrave un intero con 119899 gt 119911minus 1 abbiamo per 119909 ge 1

119909119911minus1 exp(minus119909) le 119909119899 exp(minus119909)

e quindi ci basta dimostrare che

int+infin

1119905119899 exp(minus119905)119889119905

converge Dimostriamo per induzione su 119899 che una primitiva della funzione 119892119899(119909) =119909119899 exp(minus119909) egrave della forma 119866119899(119909) = 119875119899(119909) exp(minus119909) dove 119875119899 egrave un polinomio di grado alpiugrave 119899 Lrsquoasserzione egrave vera per 119899 = 0 infatti 1198660(119909) = (minus1) exp(minus119909) Ora calcoliamoper parti

int119909119905(119905119899 exp(minus119905))119889119905 = 119909119875119899(119909) exp(minus119909) minusint

119909119875119899(119905) exp(minus119905)119889119905

e esplicitando 119875119899 possiamo usare lrsquoipotesi induttiva su tutti gli addendi che si ot-tengono Quindi una primitiva di 119909 ↦ 119875119899(119909) exp(minus119909) egrave una funzione del tipo 119909 ↦119876119899(119909) exp(minus119909) con 119876119899 polinomio di grado al piugrave 119899 e in definitiva

int119909119905119899+1 exp(minus119905)119889119905 = (119909119875119899(119909) minus119876119899(119909)) exp(minus119909)

611 la funzione gamma 145

come si desiderava Adesso possiamo calcolare il limite

int+infin

1119905119899 exp(minus119905)119889119905 = lim

119909rarr+infinint

119909

1119905119899 exp(minus119905)119889119905

= lim119909rarr+infin

[119875119899(119905)exp 119905 ]

119905=119909

119905=1

= lim119909rarr+infin

119875119899(119909)exp119909 minus 119875119899(1)

119890

= minus119875119899(1)119890

percheacute lim119909rarr+infin 119909119896 exp119909 = 0 per ogni 119896 gt 0 come si vede applicando 119896 volte il teo-rema di lrsquoHocircpital Naturalmente questo prova anche che 119875119899(1) lt 0 ma non ha alcunaimportanza

Affrontiamo lrsquoaltro integrale per 119911 ge 1 la funzione 119909 ↦ 119909119911minus1 exp(minus119909) egrave definita econtinua in [0 1] quindi lrsquointegrale non ci dagrave alcun problema Il caso dubbio quindiegrave quello di 0 lt 119911 lt 1 Ma in tal caso per 119909 isin (0 1) si ha

119909119911minus1 exp(minus119909) le 119909119911minus1

e abbiamoint

1

0119905119911minus1 119889119905 = lim

119909rarr0119905119911minus1 119889119905 = lim

119909rarr0[119905119911119911 ]

119905=1

119905=119909= lim

119909rarr01 minus 119909119911

119911 = 1

e quindi anche il nostro integrale converge Secondo la notazione introdotta da Adrien-Marie Legendre (1752ndash1833) si pone

Γ(119911) = int+infin

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

Per 119911 = 1 lrsquointegrale egrave facile

Γ(1) = int+infin

0exp(minus119905)119889119905 = 1

Per fare i conti scriviamo anche

Γ(119911119909) = int119909

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

che consideriamo come funzione di 119909 per definizione lim119909rarr+infin Γ(119911119909) = Γ(119911) Suppo-niamo 119911 ge 1 e proviamo a integrare per parti

int119909

0119905119911 exp(minus119905)119889119905 = [ minus119905119911 exp(minus119905)]119905=119909

119905=0+int

119909

0119911119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

= minus119909119911 exp(minus119909) + 119911Γ(119911119909)

Passando al limite per 119909 rarr +infin otteniamo

Γ(119911 + 1) = int+infin

0119905119911 exp(minus119905)119889119905 = lim

119909rarr+infin(minus119909119911 exp(minus119909) + 119911Γ(119911119909)) = 119911Γ(119911)

percheacute il primo addendo nel limite va a 0 Questa egrave chiamata la relazione funzionaledella funzione gamma

Γ(119911 + 1) = 119911Γ(119911)

Noi lrsquoabbiamo verificata solo per 119911 ge 1 ma si puograve vedere (con due limiti invece di uno)anche per 0 lt 119911 lt 1 In particolare si ha

Γ(1) = 1 = 0 Γ(2) = 1Γ(1) = 1 sdot 0= 1 Γ(3) = 2Γ(2) = 2 sdot 1= 2

146 integrali

e piugrave in generale Γ(119899 + 1) = 119899 e questa egrave una delle proprietagrave che rendono moltointeressante la funzione gamma

La relazione funzionale puograve essere usata per estendere la funzione stessa se minus1 lt119911 lt 0 abbiamo 0 lt 119911+ 1 lt 1 e possiamo porre per definizione

Γ(119911) = Γ(119911 + 1)119911

ma naturalmente non possiamo farlo per 119911 = minus1 neacute per 119911 = 0 infatti per 119911 = minus1abbiamo che Γ(119911 + 1) non ha senso e per 119911 = 0 non ha senso la frazione (nemmenocon un passaggio al limite percheacute Γ(1) = 1)

Se minus2 lt 119911 lt minus1 possiamo usare la stessa relazione e procedere allo stesso mododefinendo Γ su tutti i numeri negativi purcheacute non interi

La funzione Γ egrave anche legata a 120587 consideriamo

Γ(12119909) = int119909

0119905minus12 exp(minus119905)119889119905

= (hellip)[119906 = 11990512 119905 = 1199062 119889119905 = 2119906119889119906]

= 2intradic119909

0exp(minus1199062)119889119906

e perciograve

Γ(12) = int+infin

0119905minus12 exp(minus119905)119889119905 = 2int

+infin

0exp(minus1199062)119889119906 = 2radic120587

2 = radic120587

Crsquoegrave anche un interessante legame con la funzione zeta di Riemann per 119911 gt 1 si ha

120577(119911)Γ(119911) = int+infin

0

119905119911119890119905 minus1 119889119905

che non proveremo nemmeno a dimostrare

612 integrazione numerica

La stessa dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquooperatore Int ci permette di ottenere valoriapprossimati di un integrale Tuttavia ha un grave limite occorrerebbe calcolare inogni sottointervallo di una suddivisione il valore minimo e massimo della funzioneEgrave chiaro che questo egrave un ostacolo troppo grande percheacute renderebbe i calcoli davverocomplicati La valutazione numerica degli integrali parte dalla seguente osservazionenon occorre conoscere il massimo e il minimo Vediamo percheacute

Data una suddivisione 119878 dellrsquointervallo [119886 119887] che pensiamo data come 119886 = 1199090 lt1199091 lt ⋯ lt 119909119899minus1 lt 119909119899 = 119887 consideriamo per 119895 = 1 2hellip 119899 un numero 119911119895 isin [119909119895minus1 119909119895]Avremo perciograve 1199111 le 1199112 le hellip le 119911119899 e possiamo eseguire la seguente operazione

Ψ119878119885(119891) = (1199091 minus1199090)119891(1199111) + (1199092 minus1199091)119891(1199112) +⋯+ (119909119899 minus119909119899minus1)119891(119911119899)

dove con 119885 denotiamo la successione 1199111 le hellip le 119911119899 Siccome per definizione si ha conle stesse notazioni usate nella dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquooperatore integrale

1198981198781 le 119891(1199111) le 1198721198781 1198981198782 le 119891(1199112) le 1198721198782 hellip 119898119878119899 le 119891(119911119899) le 119872119878119899

avremo dunque120590119878(119891) le Ψ119878119885(119891) le Σ119878(119891)

Poicheacute per suddivisioni abbastanza fitte la differenza Σ119878(119891) minus 120590119878(119891) diventa minoredi qualsiasi tolleranza prefissata possiamo usare Ψ119878119885(119891) come valore approssimatodellrsquointegrale

612 integrazione numerica 147

Il metodo che viene subito alla mente egrave quello cosiddetto dei rettangoli si scegliesempre 119911119895 = 119909119895 Vediamo che succede con una suddivisione in quattro parti tanto pernon complicare troppo i conti

Ψ119878+(119891) = (1199091 minus1199090)119891(1199091) + (1199092 minus1199091)119891(1199092) + (1199093 minus1199092)119891(1199093) + (1199094 minus1199093)119891(1199094)

Con + indichiamo questa particolare scelta di 119911119895 Non egrave difficile arrivare alla formulagenerale

Ψ119878+(119891) =119899

sum119895=1

(119909119895 minus119909119895minus1)119891(119909119895)

Egrave chiaro che lrsquoapprossimazione cosigrave ottenuta saragrave per difetto se la funzione egrave decre-scente in [119886 119887] e per eccesso se 119891 egrave crescente Egrave chiaro anche che si puograve fare lascelta opposta cioegrave di considerare sempre 119911119895 = 119909119895minus1 proviamo a vedere come diventala formula nel caso di quattro punti

Ψ119878minus(119891) = (1199091 minus1199090)119891(1199090) + (1199092 minus1199091)119891(1199091) + (1199093 minus1199092)119891(1199092) + (1199094 minus1199093)119891(1199093)

e in generale

Ψ119878minus(119891) =119899

sum119895=1

(119909119895 minus119909119895minus1)119891(119909119895minus1)

Se prendiamo la media di queste due approssimazioni in molti casi otteniamo unrsquoap-prossimazione migliore egrave il cosiddetto metodo dei trapezi si cerchi di capire il percheacutedel nome Avremo

119868(1)119878 (119891) =119899

sum119895=1

(119909119895 minus119909119895minus1)119891(119909119895minus1) + 119891(119909119895)

2

Vediamo un esempio il calcolo di 120587 con questo metodo Sapendo che

1205874 = int

1

0

11 +1199092 119889119909

suddividiamo lrsquointervallo [0 1] in quattro parti uguali facendo una tabella dei valoriche ci servono

119909119895 119891(119909119895) (119891(119909119895minus1 +119891(119909119895))2

119895 = 0 000 100000000000000000000119895 = 1 025 094117647058823529411 097058823529411764705119895 = 2 050 080000000000000000000 087058823529411764705119895 = 3 075 064000000000000000000 072000000000000000000119895 = 4 100 050000000000000000000 057000000000000000000

Ne deriviamo il valore approssimato

1205874 asymp 078279411764705882352

cioegrave 120587 asymp 313117647058823529408 che non egrave molto buono Se ripetiamo il contodividendo in otto parti otteniamo

1205874 asymp 078474712362277225232

che darebbe 120587 asymp 313898849449108900928 ancora lontano dal valore lsquoverorsquo Dividen-do in venti parti uguali avremmo 1205874 asymp 078529399673853211585 che corrisponde a

148 integrali

120587 asymp 314117598695412846340 con sole tre cifre decimali esatte Per calcoli del genereun foglio di lavoro egrave molto utile con cento parti avremmo 1205874 asymp 314157598692313quattro cifre decimali esatte

Se proviamo con lrsquointegrale int21 (1119909)119889119909 con la divisione in cento parti abbiamolog2 asymp 0693153430481824 che ha quattro cifre decimali esatte Egrave chiaro che lrsquoappros-simazione egrave tantomigliore quantomeno il grafico della funzione si discosta poco fra unpunto e lrsquoaltro della suddivisione dal segmento che congiunge i punti (119909119895minus1 119891(119909119895minus1))e (119909119895 119891(119909119895))

Quando decidiamo di suddividere lrsquointervallo [119886 119887] in 119899 parti uguali la formula sisemplifica parecchio infatti 119909119895 minus119909119895minus1 = (119887minus 119886)119899 e quindi avremo

119868(1)119878 (119891) = 119887minus119886119899 (119891(119886) + 119891(119887)

2 +119899minus1

sum119895=1

119891( 119886+ 119887minus119886119899 119895))

Si scriva questa somma nel caso di 119899 = 4 per convincersene tutti i termini del tipo119891(119909119895) compaiono due volte tranne quello con 119895 = 0 e 119895 = 119899 In questo caso abbiamoanche ponendo 119896 = (119887minus 119886)119899

Ψ119878minus(119891) = 119896119899minus1

sum119895=0

119891(119886+ 119895119896)

e quindi

119868(1)119878 (119891) minusΨ119878minus(119891) = 119896119891(119887) minus 119891(119886)2 = Ψ119878+(119891) minus 119868(1)119878 (119891)

che mostra come non si ha un grande guadagno usando questo metodo invece di quellodei rettangoli Naturalmente un trucco efficiente per usarlo egrave di raddoppiare i puntidella suddivisione in modo da non dover buttar via i dati giagrave raccolti dovendo calcolaresolo i valori di 119891 nei punti di mezzo degli intervalli precedenti

7SER I E

Il concetto di serie egrave entrato nella matematica molto tempo fa dapprima in modo con-fuso e impreciso lrsquoidea era di eseguire somme di infiniti termini costruiti in modolsquouniformersquo Newton basograve i suoi metodi di lsquocalcolo delle fluenti e delle flussionirsquo cioegrave cal-colo di derivate e integrali proprio sulle serie uno dei suoi attrezzi era per esempiola serie binomiale che incontreremo piugrave avanti Fin dallrsquoantichitagrave ci si era accorti che lesomme 1

2 + 14 +⋯+ 1

2119899

si avvicinano sempre piugrave a 1 Uno dei famosi paradossi di Zenone si basava proprio suquesto il corridore non puograve arrivare al traguardo percheacute deve percorrere metagrave dellapista poi la metagrave della metagrave poi ancora la metagrave di ciograve che resta e cosigrave via Archimedeavrebbe risolto la questione dimostrando che qualsiasi distanza gli avesse propostoZenone il corridore avrebbe percorso piugrave di quella distanza in un tempo finito e dun-que sarebbe arrivato al traguardo percheacute egrave impossibile che non ci arrivi Dal punto divista strettamente matematico le questioni filosofiche di Zenone sono irrilevanti lrsquoim-portante egrave che un concetto sia definito con precisione e venga usato con le regole dellalogica e della matematica che non tratta di stadi di corridori di Achille e di tartarugheDal punto di vista filosofico i paradossi di Zenone sullrsquoimpossibilitagrave del moto si risol-vono come fece il filosofo Diogene mettendosi a camminare Solvitur ambulando erauno dei modi di dire dei filosofi posteriori per indicare un problema solo apparente

71 integrali e successioni

Abbiamo dimostrato che definendo per induzione

1198860 = 0 119886119899+1 = 119886119899 + 1119899+ 1

la successione 119886 non converge Curiosamente se invece di sommare sempre il termineseguente alternativamente sommiamo e sottraiamo la successione che risulta convergese

1198870 = 0 119887119899+1 = 119887119899 + (minus1)119899119899+ 1

allora la successione 119887 converge a log2 i primi termini sono

0 1 1 minus 12 1 minus 1

2 + 13

e cosigrave via Consideriamo lrsquoidentitagrave

1minus 119905119899+1

1 minus 119905 = 1+ 119905+ 1199052 +⋯+ 119905119899

(valida per 119905 ne 1) che possiamo anche scrivere

11minus 119905 = 1+ 119905+ 1199052 +⋯+ 119905119899 + 119905119899+1

1 minus 119905oppure cambiando 119905 in minus119905

11 + 119905 = 1minus 119905+ 1199052 minus 1199053 +⋯+ (minus1)119899119905119899 + (minus1)119899+1119905119899+1

1 + 119905

Se proviamo a calcolare lrsquointegrale su [0 1] di ambo i membri otteniamo ricordandoche

int1

0119905119899 119889119905 = 1

119899+ 1

149

150 serie

e cheint

1

0

11+ 119905 119889119905 = [log(1 + 119905)] 119905=1

119905=0= log2

la nuova identitagravelog2 = 119887119899 +int

1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1 + 119905 119889119905

Se dimostriamo chelim

119899rarr+infinint

1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1+ 119905 119889119905 = 0

avremo proprio la nostra tesi Ora

|int1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1+ 119905 119889119905| le int1

0| 119905

119899+1

1+ 119905|119889119905

e la funzione da integrare a destra egrave non negativa Siccome 1+119905 ge 119905 quando 119905 isin [0 1]possiamo scrivere le disuguaglianze

0 le 119905119899+1

1 + 119905 le 119905119899+1

119905 = 119905119899

e perciograve

0 le |int1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1 + 119905 119889119905| le int1

0119905119899 119889119905 = 1

119899+ 1

Quindi possiamo concludere per il teorema sul confronto dei limiti dal momento chelim119899rarr+infin 1(119899 + 1) = 0 Basta infatti ricordare che da lim119911rarr119909|119891(119911)| = 0 segue chelim119911rarr119909 119891(119911) = 0

La convergenza della successione 119887 a log2 fu lsquodimostratarsquo per la prima volta da Niko-laus Kauffmann (1620ndash1687) piugrave noto come Mercator (non va confuso con il cartografo)La lsquodimostrazionersquo di Mercator era ovviamente diversa e non rigorosa

Limiti di successioni come questa si indicano spesso come lsquosomme infinitersquo

log2 = 1minus 12 + 1

3 minus 14 +⋯

quando naturalmente sia chiaro quali sono i termini che seguono o piugrave propriamentequando sia data la formula ricorsiva della successione

Unrsquoaltra lsquosomma infinitarsquo era stata giagrave scoperta da Mengoli

1 + 13 + 1

6 + 110 +⋯

cioegrave la lsquosommarsquo dei reciproci dei numeri triangolari quelli della forma 119899(119899+1)2 bennoti fin dai tempi di Pitagora (Ὁ Πυθαγόρας ὁ Σάμιος 575 aCndash495 aC) La successioneegrave

1198880 = 0 119888119899+1 = 1198880 +2

119899(119899+ 1)che Mengoli trattava in questo modo

2119899(119899+ 1) = 2

119899 minus 2119899+ 1

e quindi la lsquosomma infinitarsquo diventa

21 minus 2

2 + 22 minus 2

3 + 23 minus 2

4 +⋯

e ciascun termine a parte il primo si cancella con il successivo dunque la lsquosommarsquo egrave 2Ovviamente questa non egrave affatto una dimostrazione percheacute non abbiamo la minimaidea di che cosa sia una lsquosomma infinitarsquo

72 altre successioni 151

Unrsquoaltra lsquosomma infinitarsquo calcolata con trucchi molto ingegnosi egrave dovuta a Leibniz

1205874 = 1minus 1

3 + 15 minus 1

7 +⋯

cioegrave la somma a segni alterni dei reciproci dei numeri dispari Possiamo dimostrarlocon un trucco del tutto analogo al precedente nellrsquoidentitagrave per 1(1 minus 119905) poniamo119905 = minus1199062 trovando

11 +1199062 = 1minus1199062 +1199064 minus1199066 +⋯+ (minus1)1198991199062119899 + (minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062

Se integriamo sullrsquointervallo [0 1] lrsquoidentitagrave

1205874 = 119897119899 +int

1

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906 1198971 = 1 119897119899+1 = 119897119899 + (minus1)1198992119899+ 1

ricordando cheint

1

0

11+1199062 119889119906 = [ arctan119906] 119906=1

119906=0= arctan1 = 120587

4

abbiamo esattamente come prima che

lim119899rarr+infin

int1

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906 = 0

e quindi lim119899rarr+infin 119897119899 = 1205874 come lsquodimostratorsquo da Leibniz

72 altre successioni

Consideriamo di nuovo il modo in cui abbiamo calcolato la somma di Leibniz questavolta invece di integrare su [0 1] calcoleremo gli integrali tra 0 e119909 per un119909 qualsiasi

arctan119909 = int119909

0

11 +1199062 119889119906

= int119909

0(1 minus 1199062 +⋯+ (minus1)1198991199062119899)119889119906+int

1

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906

= 119909minus 1199093

3 +⋯+ (minus1)119899 1199092119899+1

2119899+ 1 +int119909

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906

Il problema qui egrave di nuovo di far tendere a zero lrsquointegrale che rimane in modo che lasuccessione che rimane abbia proprio come limite lrsquoarcotangente

La maggiorazione di prima si puograve ancora calcolare allo stesso modo

|int119909

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1+1199062 119889119906| le int|119909|

0

1199062119899+2

1+1199062 119889119906

le int|119909|

0

1199062119899+2

1199062 119889119906

le |119909|2119899+1

2119899+ 1

ma ora crsquoegrave un problema non possiamo dire che

lim119899rarr+infin

|119909|2119899+1

2119899+ 1 = 0

qualunque sia 119909 Infatti per 119886 ge 0

lim119899rarr+infin

119886119899 =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

0 se 0 le 119886 lt 11 se 119886 = 1+infin se 119886 gt 1

152 serie

come egrave facile verificare Perciograve fincheacute minus1 le 119909 le 1 abbiamo che

lim119899rarr+infin

|119909|2119899+1

2119899+ 1 = 0

ma ciograve non egrave piugrave vero per |119909| gt 1 Poco male abbiamo calcolato la lsquosomma infinitarsquo

arctan119909 = 119909minus 1199093

3 + 1199095

5 minus 1199097

7 +⋯ (minus1 le 119909 le 1)

che egrave nota come serie di Gregory da James Gregory (1638ndash1675) Analogamente avremo

log(1 + 119909) = 119909minus 1199092

2 + 1199093

3 minus 1199094

4 +⋯ (minus1 lt 119909 le 1)

Qui non possiamo considerare valida la lsquosommarsquo per 119909 = minus1 percheacute lrsquoidentitagrave da cuipartiamo non ha senso 1(1 + 119905) non egrave definita per 119905 = minus1

Che succede quando |119909| gt 1 Vedremo piugrave avanti che non egrave possibile dare un sensoa quelle somme infinite in questo caso

73 definizione di serie

Molte delle successioni di cui abbiamo trattato la convergenza sono della forma

1198870 = 1198860 119887119899+1 = 119887119899 +119886119899+1

dove 119886 egrave una successionePer esempio la serie di Leibniz si ottiene con 119886119899 = (minus1)119899(2119899+ 1)

d e f i n i z i o n e Si dice che la serie associata alla successione 119886 converge se esistefinito il limite della successione 119886 definita da

1198860 = 1198860 119886119899+1 = 119886119899 +119886119899+1

Se lim119899rarr+infin 119886119899 = 119897 si ponesum119899ge0

119886119899 = 119897

e 119897 si chiama somma della serie di termine generale 119886119899

Abbiamo giagrave visto parecchie serie convergenti

sum119899ge0

(minus1)1198992119899+ 1 = 120587

4

sum119899ge0

(minus1)119899119899 = log2

sum119899ge0

(minus1)1198991199092119899+1

2119899+ 1 = arctan119909 (minus1 le 119909 le 1)

sum119899ge0

(minus1)119899119909119899

119899+ 1 = log(1 + 119909) (minus1 lt 119909 le 1)

sum119899ge1

11198992 = 1205872

6

sum119899ge1

1119899119904 = 120577(119904) (119904 gt 1)

Dellrsquoultima non si puograve scrivere la somma in termini di funzioni lsquonotersquo

73 definizione di serie 153

Ne vediamo subito unrsquoaltra ricordiamo che lo sviluppo di Taylor per la funzioneesponenziale exp egrave

exp119909 = 1+ 1199091 +

1199092

2 +⋯+ 119909119899

119899 + 119877119899(119909)

e che sappiamo scrivere

119877119899(119909) = exp119888119899(119899+ 1)

per un opportuno 119888119899 tra 0 e 119909 qui vogliamo far variare 119899 e quindi varieragrave anche 119888119899 Seconsideriamo 119886119899 = 119909119899119899 (naturalmente ricordando che 1199090 = 1 e 0= 1) ci accorgiamoche siamo proprio nella situazione di prima ma sappiamo che

lim119899rarr+infin

exp119909119899 = 0

e quindi anche lim119899rarr+infin exp119888119899119899= 0 dunque

exp119909 = sum119899ge0

119909119899

119899

senza alcuna limitazione su 119909Possiamo trovare serie analoghe per sin e cos percheacute gli sviluppi di Taylor sono facili

da calcolare essendo sinprime 119909 = cos119909 e cosprime 119909 = minus sin119909 dunque

sin(119899) 0 =⎧⎨⎩

0 se 119899 egrave pari(minus1)119896 se 119899 = 2119896+ 1 egrave dispari

cos(119899) 0 =⎧⎨⎩

0 se 119899 egrave dispari(minus1)119896 se 119899 = 2119896 egrave dispari

Perciograve possiamo scrivere

sin119909 = 119909minus 1199093

3 + 1199095

5 minus 1199097

7 +⋯+ (minus1119896) 1199092119896+1

(2119896 + 1) + 1198772119896+1(119909)

e simile a prima

1198772119896+1(119909) = sin(2119896+2) 119888(2119896 + 2)

quindi il resto ha limite 0 per ogni 119909 Analogamente per il coseno e dunque

sin119909 = sum119896ge0

(minus1)119896 1199092119896+1

(2119896 + 1)

cos119909 = sum119896ge0

(minus1)119896 1199092119896

(2119896)

A questo tipo di serie si dagrave il nome di serie di potenze sono le serie della forma

sum119899ge0

119886119899119909119899

di cui le serie di Gregory di Leibniz generalizzata dellrsquoesponenziale del seno e delcoseno sono casi particolari

154 serie

74 criteri di convergenza

Quando vogliamo vedere se una serie converge la prima cosa da osservare egrave il limitedella successione Useremo il simbolo sum119899ge0 119886119899 anche per indicare la serie indipen-dentemente dal fatto se converga o no ma il segno di uguaglianza o le operazionicoinvolgenti questo simbolo hanno senso solo se prima si sia verificata la convergenza

t e o r ema Se la serie sum119899ge0 119886119899 converge allora lim119899rarr+infin 119886119899 = 0

Se lim119899rarr+infin 119886119899 = 119897 allora anche lim119899rarr+infin 119886119899minus1 = 119897 e quindi da 119886119899 = 119886119899minus 119886119899minus1 segue

lim119899rarr+infin

119886119899 = lim119899rarr+infin

119886119899 minus lim119899rarr+infin

119886119899minus1 = 119897minus 119897 = 0

Va osservato che si tratta di una condizione necessaria abbiamo infatti giagrave dimo-strato che sum119899ge0 1(119899+ 1) non converge

Diremo che due successioni 119886 e 119887 (o le serie che definiscono) sono quasi uguali se119886119899 = 119887119899 per ogni 119899 maggiore di un certo numero 119896 in altre parole se i termini dellesuccessioni sono diversi solo su un insieme finito di naturali

t e o r ema Se le serie sum119899ge0 119886119899 e sum119899ge0 119887119899 sono quasi uguali allora entrambeconvergono o non convergono

Per ipotesi abbiamo 119886119899 = 119887119899 per 119899 gt 119896 Supponiamo che sum119899ge0 119886119899 convergaponiamo 119888 = 1198860 +⋯+119886119896 e 119889 = 1198870 +⋯+119887119896 Allora per 119899 gt 119896

119899 = 119889+119887119896+1 +⋯+119887119899 = (119889minus 119888) + 119888+ 119886119896+1 +⋯+119886119899 = (119889minus 119888) + 119886119899

e dunque lim119899rarr+infin 119899 = (119889minus 119888) + lim119899rarr+infin 119886119899 Ovviamente egrave lo stesso se supponiamoche sum119899ge0 119887119899 converga

Questrsquoultimo teorema permette di essere molto flessibili nella trattazione delle serieper esempio possiamo tranquillamente scrivere che

sum119899ge3

1119899

converge sottintendendo che i termini ldquomancantirdquo sono nulli Anche in vari teoremi cheseguiranno si useragrave la stessa idea ciograve che conta per la convergenza egrave il comportamentoldquoda un certo punto in poirdquo

I teoremi sui limiti ci danno subito varie conseguenze per le serie

t e o r ema Se sum119899ge0 119886119899 e sum119899ge0 119887119899 convergono allora convergono anche le seriesum119899ge0(119886119899 +119887119899) e sum119899ge0(119888119886119899) per ogni numero 119888 inoltre

sum119899ge0

(119886119899 +119887119899) = sum119899ge0

119886119899 + sum119899ge0

119887119899 e sum119899ge0

(119888119886119899) = 119888 sum119899ge0

119886119899

Useremo spesso questo risultato non occorre dare una dimostrazione formale per-cheacute si tratta sempre e solo di limiti la si scriva per esercizio Un risultato da dimostrareegrave invece il seguente

c r i t e r i o d i l e i b n i z Data una successione decrescente 119886 con terminipositivi per la quale valga anche lim119899rarr+infin 119886119899 = 0 la serie

sum119899ge0

(minus1)119899119886119899

converge Inoltre se 119897 egrave la somma si ha

|1198860 minus1198861 +⋯+ (minus1)119899119886119899 minus 119897| le 119886119899+1

74 criteri di convergenza 155

Dalle ipotesi su 119886 segue che per ogni 119899 119886119899 ge 0 (teorema della permanenza del segno edecrescenza) Consideriamo dunque 119887119899 = (minus1)119899119886119899 e le due successioni

119888119899 = 2119899 119889119899 = 2119899+1 = 119888119899 +1198872119899+1 = 119888119899 minus1198862119899+1

Siccome 119889119899 = 119888119899 +1198872119899+1 = 119888119899 minus1198862119899+1 abbiamo che 119889119899 le 119888119899 Inoltre

119888119899+1 = 2119899+2 = 2119899 +1198872119899+1 +1198872119899+2 = 119888119899 + (1198862119899+2 minus1198862119899+1) le 119888119899

Analogamente 119889119899+1 ge 119889119899 Dunque le due successioni sono monotone e limitate quindi hannolimite Se 119897 = lim119899rarr+infin 119888119899 e 119898 = lim119899rarr+infin 119889119899 abbiamo 119898 le 119897 e anche per ogni 119899

119888119899 minus119889119899 ge 119897minus119898

Ma119888119899 minus119889119899 = 2119899 minus 2119899+1 = minus1198872119899+1 = minus(minus1)2119899+11198862119899+1 = 1198862119899+1

Quindi 1198860 ge 1198861 ge 119897 minus 119898 1198862 ge 1198863 ge 119897 minus 119898 e cosigrave via in altre parole 119886119899 ge 119897 minus 119898 per ogni 119899Passando al limite abbiamo

119897 minus119898 le lim119899rarr+infin

119886119899 = 0

e perciograve 119897 le 119898 che insieme a 119897 ge 119898 dagrave 119897 = 119898Adesso si tratta di verificare che data una tolleranza 120576 gt 0 abbiamo |119899 minus 119897| le 120576 quando

119899 gt 119896 per un opportuno 119896 Siccome lim119899rarr+infin 119888119899 = 119897 = lim119899rarr+infin 119889119899 possiamo trovare 119896 tale cheper 119899 gt 119896

|119888119899 minus 119897| le 120576 |119889119899 minus 119897| le 120576

Ma allora per 119899 gt 1198962 abbiamo|119899 minus 119897| le 120576

Rimane da verificare lrsquoultima asserzione Siccome 119897minus119889119899 ge 0 abbiamo 119897minus 119888119899 +1198862119899+1 ge 0 da cui1198872119899 minus 119897 le 1198862119899+1 Analogamente da 119888119899+1 minus 119897 ge 0 deduciamo che

119889119899 +1198872119899+2 minus 119897 ge 0

cioegrave 2119899+1 +1198862119899+2 minus 119897 ge 0 quindi 119897 minus 2119899+1 le 1198862119899+2

Notiamo che una serie che soddisfa queste ipotesi ha una proprietagrave importante lesomme parziali con numero pari di addendi sono approssimazioni per eccesso dellasomma quelle con un numero dispari di addendi sono approssimazioni per difettoIn ogni caso lrsquoerrore che si commette egrave al massimo lrsquoultimo termine trascurato Nonche questo aiuti a scrivere unrsquoapprossimazione decente di 1205874 nel caso della seriedi Leibniz occorrono 5000 termini per ottenere unrsquoapprossimazione con la terza cifradecimale sicuramente esatta

Una somma parziale della serie sum119899ge0 119886119899 egrave ovviamente una delle somme (finite)

119886119899 = 1198860 +1198861 +⋯+119886119899

e un modo spesso usato per dire che la serie converge egrave che la successione delle sommeparziali converge cioegrave la nostra stessa definizione

Crsquoegrave da osservare che non occorre veramente che la successione 119886 sia decrescentebasta che sia quasi decrescente cioegrave che la condizione 119886119899 ge 119886119899+1 valga da un certopunto in poi diciamo per 119899 gt 119896 infatti possiamo sostituire i primi 119896 termini con 119886119896+1e avere una successione decrescente che egrave quasi uguale alla successione data

156 serie

75 serie a termini positivi

In tutta questa sezione supporremo quasi sempre che le successioni 119886 che tratteremoabbiano la proprietagrave 119886119899 ge 0 per ogni 119899 Ma tratteremo anche serie con termini anchenon negativi e il contesto lo chiariragrave Per queste serie ci sono numerosi criteri di con-vergenza Notiamo subito che per una serie di questo tipo la successione delle sommeparziali 119886 egrave crescente e quindi la convergenza equivale alla limitatezza Le chiameremosuccessioni positive se vale 119886119899 gt 0 per ogni 119899

Si potrebbero considerare allo stesso modo le successioni non negative semplice-mente trascurando gli eventuali termini nulli

t e o r ema Siano 119886 e 119887 successioni positive con 119886119899 le 119887119899 per ogni 119899 Se sum119899ge0 119887119899converge anche sum119899ge0 119886119899 converge se sum119899ge0 119886119899 non converge anche sum119899ge0 119887119899 nonconverge

Ci basta vedere che se sum119899ge0 119887119899 converge converge anche sum119899ge0 119886119899 Se 119897 = sum119899ge0 119887119899allora

119886119899 le 119899 le 119897

e quindi 119886 egrave crescente e limitata

Egrave chiaro che questo criterio non dagrave alcuna informazione sulla somma della serierelativa ad 119886 nemmeno conoscendo la somma della serie relativa a 119887 Notiamo ancheche la condizione 119886119899 le 119887119899 puograve valere da un certo punto in poi e il risultato non cambia

Una serie spesso utile per questi confronti egrave la serie geometrica (che non egrave a termininon negativi)

t e o r ema La serie sum119899ge0 119909119899 converge per minus1 lt 119909 lt 1 e si ha

sum119899ge0

119909119899 = 11minus119909

Se |119909| ge 1 la serie sum119899ge0 119909119899 non converge

Conosciamo giagrave lrsquoidentitagrave

1 +119909+⋯+119909119899 = 1minus119909119899+1

1 minus119909

e sappiamo anche che lim119899rarr+infin 119909119899+1 = 0 se e solo se |119909| lt 1 Se |119909| ge 1 egrave falso chelim119899rarr+infin 119909119899 = 0

La serie geometrica fornisce alcuni criteri che spesso sono sufficienti a determinareil carattere di una serie

c r i t e r i o d e l r a p p o r t o Se per la successione positiva 119886 esistono un intero119896 e un numero 119888 lt 1 tali che per ogni 119899 ge 119896

119886119899+1119886119899

le 119888

allora la serie sum119899ge0 119886119899 convergeIn particolare questo accade se lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 = 119897 lt 1

Non egrave restrittivo supporre che 119896 = 0 basta modificare i primi termini della succes-sione cosa che non ha rilevanza sulla convergenza Da 11988611198860 le 119888 segue 1198861 le 1198881198860 da11988621198861 le 119888 segue

1198862 le 1198881198861 le 11988821198860

75 serie a termini positivi 157

Con una facile induzione otteniamo allora

119886119899 le 1198860119888119899

per ogni 119899 La serie sum119899ge0 1198860119888119899 convergePer il teorema della permanenza del segno da lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 = 119897 lt 1 segue che

da un certo punto in poi vale119886119899+1119886119899 le 119897+120576 dove possiamo prendere 0 lt 120576 lt 1minus119897

Il criterio ha una controparte riguardante la non convergenza se esistono un intero119896 e un numero 119888 gt 1 tali che per 119899 ge 119896 sia

119886119899+1119886119899

ge 119888

allora la serie sum119899ge0 119886119899 non converge In particolare questo accade in analogia conquanto visto per la convergenza se lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 gt 1

Vediamo alcuni esempi Per la serie esponenziale sum119899ge0 119909119899119899 (quando 119909 gt 0) si devecalcolare

119909119899+1(119899+ 1)119909119899119899 = 119909

119899+ 1il cui limite per 119899 rarr +infin egrave evidentemente 0 Dunque questo conferma che la serieconverge per ogni 119909 gt 0 Vedremo piugrave avanti che il criterio si puograve applicare anche aserie con termini qualsiasi cioegrave non necessariamente positivi

In alcuni casi il criterio non dagrave risultati conclusivi Per la serie di Mengoli

sum119899ge1

2119899(119899+ 1)

si ha2

(119899+ 1)(119899+ 2)119899(119899+ 1)

2 = 119899119899+ 2

che ha limite 1 e quindi il rapporto non si mantiene neacute ldquosotto 1rdquo neacute ldquosopra 1rdquo impeden-doci di applicare il criterio Tuttavia sappiamo che converge infatti il ragionamento diMengoli diventa ponendo 119886119899 = 2(119899(119899+ 1))

119886119899 = 21 minus 2

2 + 22 minus 2

3 +⋯+ 2119899minus 1 minus 2

119899 + 2119899 minus 2

119899+ 1

= 21 minus 2

119899+ 1

e dunque sum119899ge1 119886119899 = lim119899rarr+infin 119886119899 = 2Si ha lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 = 1 anche per la serie armonica in cui 119886119899 = 1119899 Ma questa

serie non converge come abbiamo giagrave vistoEsiste un criterio molto simile a quello del rapporto talvolta piugrave facile tecnicamente

da applicare

c r i t e r i o d e l l a r ad i c e Se per la serie positiva sum119899ge0 119886119899 esistono un intero119896 e un 119888 lt 1 tali che per 119899 ge 119896 si abbia

119899radic119886119899 le 119888

allora la serie sum119899ge0 119886119899 converge In particolare ciograve accade se lim119899rarr+infin119899radic119886119899 lt 1

Qui supponiamo che 119896 = 1 (visto che 0radic1198860 non ha senso ma trascurare un termineiniziale non ha alcuna importanza) Allora 1198861 le 119888 1198862 le 1198882 e in generale 119886119899 le 119888119899 ecosigrave possiamo concludere come prima

158 serie

Anche questo ha la controparte sulla non convergenza Egrave chiaro che i due criteri nonsonomolto potenti percheacute confrontano la serie data con una serie geometrica Tuttaviali vedremo allrsquoopera con le serie di potenze dove danno quasi tutte le informazioninecessarie

76 convergenza assoluta

La convergenza assoluta egrave un genere ristretto di convergenza alcune serie non conver-gono assolutamente ma convergono Perograve la convergenza assoluta puograve essere verifica-ta piugrave facilmente e quindi diventa un criterio molto utile

d e f i n i z i o n e La serie sum119899ge0 119886119899 converge assolutamente se converge la seriesum119899ge0|119886119899|

Dobbiamo dimostrare per prima cosa che la convergenza assoluta implica la con-vergenza infatti una volta visto questo potremo adoperare i criteri della sezioneprecedente anche per serie con termini qualsiasi

t e o r ema Se la serie sum119899ge0 119886119899 converge assolutamente allora converge

Dato un numero 119903 poniamo 119903+ = 119903 se 119903 ge 0 altrimenti 119903+ = 0 Analogamente119903minus = minus119903 se 119903 le 0 altrimenti 119903minus = 0 Allora

119903 = 119903+ minus119903minus |119903| = 119903+ +119903minus

Le serie sum119899ge0 119886+119899 e sum119899ge0 119886minus

119899 sono non negative e vale

119886+119899 le |119886119899| 119886minus

119899 le |119886119899|

da cui deduciamo che entrambe convergono percheacute converge sum119899ge0|119886119899| Ora possiamoscrivere

119886119899 = 119886+119899 minus119886minus119899

e quindilim

119899rarr+infin119886119899 = lim

119899rarr+infin119886+119899 minus lim

119899rarr+infin119886minus119899

per i teoremi sui limiti e abbiamo finito

Possiamo dunque usare il criterio del rapporto anche per la serie di Gregory dellrsquoar-cotangente sum119899ge0(minus1)1198991199092119899+1(2119899+ 1) per esempio basta prendere i valori assoluti

lim119899rarr+infin

| (minus1)119899+11199092119899+3

2119899+ 32119899+ 1

(minus1)1198991199092119899+1 | = lim119899rarr+infin

2119899+ 12119899+ 3|119909| = |119909|

e perciograve sappiamo che la serie converge quando |119909| lt 1 e non converge quando |119909| gt 1Non possiamo concludere nulla riguardo alla convergenza per 119909 = minus1 o 119909 = 1 conquesto criterio Analogamente la serie di Mercator (generalizzata)

sum119899ge1

(minus1)119899minus1119909119899

119899

converge assolutamente per |119909| lt 1 e non converge se |119909| gt 1Notiamo una differenza fondamentale tra questo metodo di verifica della conver-

genza e il precedente con il quale avevamo stabilito che le serie di Gregory e Mercatorconvergono rispettivamente a arctan119909 e a log(1 + 119909) (con certe condizioni su 119909) Con

77 serie di potenze 159

il criterio del rapporto stabiliamo solo che la serie converge senza avere alcuna infor-mazione sulla somma In realtagrave questo non egrave un male se abbiamo una successione 119886tale che

lim119899rarr+infin

119899radic|119886119899| = 119897 (finito)

allora la seriesum119899ge0

119886119899119909119899

converge per |119909| lt 119897 se 119897 ne 0 se 119897 = 0 la serie converge per ogni 119909 Quindi possiamodefinire una funzione

119891(119909) = sum119899ge0

119886119899119909119899

che ha come dominio gli intervalli specificatiVediamo altre proprietagrave delle serie assolutamente convergenti le dimostrazioni sono

semplici

1 se sum119899ge0 119886119899 egrave assolutamente convergente anche sum119899ge0 119896119886119899 egrave assolutamente convergen-te

2 se sum119899ge0 119886119899 e sum119899ge0 119887119899 sono serie assolutamente convergenti anche la serie ldquosommardquosum119899ge0(119886119899 +119887119899) egrave assolutamente convergente

3 se sum119899ge0 119886119899 egrave assolutamente convergente allora

| sum119899ge0

119886119899| le sum119899ge0

|119886119899|

77 serie di potenze

Una serie di potenze egrave definita da una successione 119886 considerando

sum119899ge0

119886119899119909119899

che ricorda molto gli sviluppi di Taylor Mostriamo subito una proprietagrave importante

t e o r ema Per la serie di potenzesum119899ge0 119886119899119909119899 vale una e una sola delle condizioniseguenti

1 la serie converge solo per 119909 = 0

2 esiste 119903 gt 0 tale che la serie converge assolutamente per |119909| lt 119903 e non convergeper |119909| gt 119903

3 la serie converge assolutamente per ogni 119909

Dimostriamo che se la serie converge assolutamente per 119909 = 119888 gt 0 e |119887| lt 119888 allorala serie converge assolutamente anche per 119909 = 119887 Infatti

|119886119899119887119899| le |119886119899119888119899|

e quindi possiamomaggiorare la seriesum119899ge0|119886119899119887119899| con la serie convergente (per ipotesi)sum119899ge0|119886119899119888119899|

A questo punto si hanno due casi se lrsquoinsieme dei valori 119888 tali che la serie convergeper 119909 = 119888 egrave illimitato la serie converge per ogni 119909 altrimenti questo insieme egrave limitatoe possiamo prendere come 119903 il suo estremo superiore (che puograve essere 0)

160 serie

Il numero 119903 del teorema precedente si chiama raggio di convergenza e nel caso incui la serie converge per ogni 119909 diremo che il raggio di convergenza egrave +infin Nel seguitoconsidereremo solo serie con raggio di convergenza gt 0 che quindi definiscono unafunzione 119891119886 con dominio (minus119903 119903) (che egrave tutta la retta nel caso 119903 = +infin) Agli estre-mi dellrsquointervallo di convergenza si puograve avere ancora convergenza oppure no comeabbiamo visto per la serie di Gregory e quella di Mercator

Il fatto che una serie di potenze ricordi uno sviluppo di Taylor ci suggerisce cheldquotroncandordquo una serie di potenze si ottenga proprio lo sviluppo di Taylor della funzione119891119886 che quindi dovrebbe avere tutte le derivate in 0 Dimostreremo molto di piugrave lafunzione 119891119886 ha tutte le derivate in ogni punto dellrsquointervallo di convergenza e si ha

119891prime119886(119909) = sum

119899ge1119899119886119899119909119899minus1

cioegrave la derivata si ottiene derivando ciascun termine della serie e considerando la se-rie di potenze che cosigrave si ottiene una volta dimostrato questo il passaggio alle deri-vate successive egrave ovvio La prima cosa da vedere egrave dunque che le serie sum119899ge0 119886119899119909119899 esum119899 119899119886119899119909119899minus1 hanno lo stesso raggio di convergenza Ci basteragrave consideraresum119899 119899119886119899119909119899percheacute la convergenza di una e dellrsquoaltra sono equivalenti Lo si dimostri per esercizio

t e o r ema La serie di potenze sum119899ge0 119886119899119909119899 e sum119899ge1 119899119886119899119909119899minus1 hanno lo stessoraggio di convergenza

Partiamo dalla considerazione di lim119899rarr+infin119899radic119899 = 1 allora fissata la tolleranza 120576 gt 0

esiste 119896 tale che per 119899 gt 119896 si abbia 119899radic119899 le 1 + 120576 cioegrave 119899 le (1 + 120576)119899 Supponiamo cheil raggio di convergenza di sum119899ge0 119886119899119909119899 sia 119903 gt 0 e prendiamo 119909 con |119909| lt 119903 possiamoprendere 120576 gt 0 tale che |119909|(1 + 120576) lt 119903 e perciograve la serie

sum119899ge1

119886119899119909119899(1 + 120576)119899

converge assolutamente Per 119899 gt 119896 abbiamo allora

|119899119886119899119909119899| le |119909119899|(1 + 120576)119899

e quindi abbiamomaggiorato la nostra serie con una serie convergente come volevamoSe per caso 119903 = +infin possiamo prendere 120576 gt 0 del tutto arbitrario

Il viceversa egrave invece molto piugrave facile se sum119899ge1 119899119886119899119909119899 converge assolutamente ab-biamo |119886119899119909119899| le |119899119886119899119909119899| e quindi anche sum119899ge0 119886119899119909119899 converge assolutamente

La serie cosigrave costruita si chiama serie derivata il motivo egrave reso evidente dal prossimoteorema

t e o r ema d i d e r i v a z i o n e d e l l e s e r i e d i p o t e n z e Se la serie dipotenze sum119899ge0 119886119899119909119899 ha raggio di convergenza 119903 gt 0 e 119891119886 egrave la sua somma allora119891119886 egrave derivabile in ogni punto dellrsquointervallo di convergenza e

119891prime119886(119909) = sum

119899ge1119899119886119899119909119899minus1

In particolare 119886119899 = 119891(119899)(0)119899

Si tratta di una dimostrazione piuttosto difficile ma solo per questioni tecniche Vogliamocalcolare prima di tutto il rapporto di Fermat

119907(ℎ) = 119891119886(119909+ℎ) minus 119891119886(119909)ℎ = sum

119899ge1119886119899

(119909 +ℎ)119899 minus119909119899

ℎ

77 serie di potenze 161

Prenderemo 120575 gt 0 tale che [119909 119909 + 120575] sube (minus119903 119903) e se 119909 lt 0 vogliamo anche 119909 + 120575 lt 0 Cilimiteremo a 0 lt ℎ lt 120575 che non egrave restrittivo per calcolare la derivata il caso di ℎ lt 0 si tratta inmodo del tutto analogo e quindi non ci soffermeremo

Nelle ipotesi fatte possiamo scrivere per il teorema di Lagrange

(119909 + ℎ)119899 minus119909119899

ℎ = 119899119910119899minus1119899

dove 119909 lt 119910119899 lt 119909+ℎ Ci serve verificare che

limℎrarr0+

119907(ℎ) = sum119899ge1

119899119886119899119909119899

o che egrave lo stessolim

ℎrarr0+| 119907(ℎ) minus sum

119899ge1119899119886119899119909119899| = 0

Siccome sappiamo esprimere 119907(ℎ) come serie assolutamente convergente sappiamo che

| 119907(ℎ) minus sum119899ge1

119899119886119899119909119899| le | sum119899ge1

119899119886119899(119910119899minus1119899 minus119909119899minus1)|

le sum119899ge1

|119899119886119899(119910119899minus1119899 minus119909119899minus1)|

Ancora per il teorema di Lagrange per 119899 ge 2 esiste 119911119899 isin (119909 119910119899) tale che

119910119899minus1119899 minus119909119899minus1 = (119899minus 1)119911119899minus2(119910119899 minus119909)

quindi abbiamo

|119899119886119899(119910119899minus1119899 minus119909119899minus1)| le |119899(119899minus 1)119886119899119911119899minus2

119899 | sdot ℎ le |119899(119899minus 1)119886119899(119909 + 120575)119899minus2| sdot ℎ

(percheacute |119911119899| le |119909+ 120575| con le ipotesi fatte) La serie di potenze

sum119899ge2

119899(119899minus 1)119886119899119909119899minus2

ha lo stesso raggio di convergenza di quella da cui siamo partiti quindi la serie

sum119899ge2

119899(119899minus 1)119886119899(119909 + 120575)119899minus2

egrave assolutamente convergente se poniamo 119904 = sum119899ge2|119899(119899minus 1)119886119899(119909 + 120575)119899minus2| abbiamo

|119907(ℎ) minus sum119899ge1

119899119886119899119909119899minus1| le 119904ℎ

e dunque prendendo il limite per ℎ rarr 0 abbiamo la tesiPer lrsquoidentitagrave 119886119899 = 119891(119899)

119886 (0) basta quindi derivare successivamente

Data una successione 119886 poniamo

119887119899 = sup119886119898 ∶ 119898 ge 119899

dove questo estremo superiore puograve anche essere +infin La successione 119887119899 egrave decrescente e quindiesiste lim119899rarr+infin 119887119899 (finito o infinito) che si denota con il simbolo

lim sup119899rarr+infin

119886119899

Jacques Hadamard (1865ndash1963) dimostrograve che per il raggio di convergenza 119903 della serie di potenzesum119899ge0 119886119899119909119899 vale

1119903 = lim sup

119899rarr+infin

119899radic|119886119899|

(con lrsquoovvio 119903 = 0 se il limite superiore egrave +infin mentre la serie converge ovunque se il limitesuperiore egrave 0) Nel caso in cui esista 119904 = lim119899rarr+infin

119899radic|119886119899| non egrave difficile vedere che 119903 = 1119904 Ilcriterio del rapporto dagrave spesso il raggio di convergenza senza dover calcolare questi limiti

Il succo di questo egrave che se limsup119899rarr+infin119899radic|119886119899| egrave finito la funzione 119891119886 egrave definita in un intorno

di zero quindi egrave possibile costruire in modo quasi arbitrario funzioni assegnando le derivatesuccessive in 0

162 serie

In modo del tutto analogo al caso della serie derivata possiamo definire la serie pri-mitiva che con dimostrazione del tutto simile ha lo stesso raggio di convergenza laserie primitiva di sum119899ge0 119886119899119909119899 egrave

sum119899ge0

119886119899119899+ 1119909119899+1

e sappiamo dal teorema di derivazione che la somma di questa serie egrave una primitivadi 119891119886 (nellrsquointervallo di convergenza) Potremmo usare questa serie per calcolare valoriapprossimati di integrali che non sappiamo trattare lsquoanaliticamentersquo Per esempio

exp(minus1199092) = 1minus 1199092

1 + 1199094

2 minus 1199096

3 +hellip

e quindi una primitiva di 119909 ↦ exp(minus1199092) egrave

119909minus 1199093

3 sdot 1 +1199095

5 sdot 2 minus1199097

7 sdot 3 +hellip

e per valori lsquopiccolirsquo di 119909 possiamo usare pochi termini per avere un valore approssima-to di int1199090 exp(minus1199052)119889119905

Piugrave importante egrave che siccome le serie che scriveremo convergono ovunque possiamodefinire le funzioni

C(119909) = sum119899ge0

(minus1)1198991199092119899

(2119899)

S(119909) = sum119899ge0

(minus1)1198991199092119899+1

(2119899+ 1)

e dal teorema di derivazione segue che Sprime(119909) = C(119909) e Cprime(119909) = minusS(119909) Inoltre C(0) =1 e S(0) = 0 Dunque abbiamo a disposizione una definizione puramente analiticadelle funzioni trigonometriche

Supponiamo di avere due funzioni 119891 e 119892 definite ovunque e derivabili con le proprietagrave

119891prime(119909) = minus119892(119909) 119892prime(119909) = 119891(119909) 119891(0) = 1 119892(0) = 0

La considerazione diC e S ci dice che funzioni con queste proprietagrave esistono proviamo a dedurrealtre proprietagrave

Definiamo 119896(119909) = 119891(119909)2 +119892(119909)2 e calcoliamo la derivata

119896prime(119909) = 2119891(119909)119891prime(119909) + 2119892(119909)119892prime(119909) = 2119891(119909)119892(119909) minus 2119892(119909)119891(119909) = 0

e quindi 119896 egrave costante siccome 119896(0) = 1 abbiamo

119891(119909)2 +119892(119909)2 = 1

per ogni 119909 Supponiamo che 120593 e 120595 siano funzioni tali che 120593prime = minus120595 e 120595prime = 120593 Proviamo amettere insieme queste funzioni e poniamo

119860(119909) = 119891(119909)120593(119909) + 119892(119909)120595(119909) 119861(119909) = 119891(119909)120595(119909) minus 119892(119909)120593(119909)

Calcoliamo le derivate

119860prime(119909) = 119891prime(119909)120593(119909) + 119891(119909)120593prime(119909) minus 119892prime(119909)120595(119909) minus 119892(119909)120595prime(119909)= minus119892(119909)120593(119909) minus 119891(119909)120595(119909) + 119891(119909)120595(119909) + 119892(119909)120593(119909) = 0

119861prime(119909) = 119891prime(119909)120595(119909) + 119891(119909)120595prime(119909) minus 119892prime(119909)120593(119909) minus 119892(119909)120593prime(119909)= 119892(119909)120595(119909) minus 119891(119909)120593(119909) + 119891(119909)120593(119909) minus 119892(119909)120595(119909) = 0

78 la serie binomiale 163

da cui segue che 119860 e 119861 sono funzioni costanti

119886 = 119860(0) = 119891(0)120593(0) + 119892(0)120595(0) = 120593(0) 119887 = 119861(0) = 119891(0)120595(0) + 119892(0)120593(0) = 120595(0)

Dunque abbiamo 119891120593+ 119892120595 = 119886 119891120595minus 119892120593 = 119887 (evitiamo di continuare a scrivere 119891(119909) e similiper brevitagrave) Ne otteniamo altre identitagrave

1198912120593+119891119892120595 = 119886119891 119891119892120595minus1198922120593 = 119887119892

che possiamo sottrarre(1198912 +1198922)120593 = 119886119891minus 119887119892

e quindi120593(119909) = 120593(0)119891(119909) minus120595(0)119892(119909)

In modo del tutto analogo moltiplicando la prima per 119892 e la seconda per 119891 otteniamo

120595(119909) = 120595(0)119891(119909) +120593(0)119892(119909)

Se in particolare 120593(0) = 1 e 120595(0) = 0 abbiamo 120593 = 119891 e 120595 = 119892Dunque le funzioniC eS sono le uniche con quella proprietagrave Si puograve dimostrare analiticamente

che sono periodiche con uguale minimo periodo che possiamo indicare con 2120587 (che sarebbe ladefinizione analitica di 120587) Non lo facciamo limitandoci a scoprire le formule di addizione Sefissiamo 119910 e consideriamo

120593(119909) = 119891(119909+119910) 120595(119909) = 119892(119909+119910)

abbiamo 120593prime(119909) = 119891prime(119909 + 119910) = 119892(119909 + 119910) = 120595(119909) e analogamente 120595prime(119909) = minus120593(119909) dunquepossiamo scrivere

120593(119909) = 120593(0)119891(119909) minus120595(0)119892(119909) = 119891(119910)119891(119909) minus 119892(119910)119892(119909)120595(119909) = 120595(0)119891(119909) +120593(0)119892(119909) = 119892(119910)119891(119909) + 119891(119910)119892(119909)

cioegrave in altri termini

C(119909 +119910) = C(119909)C(119910) minus S(119909)S(119910)S(119909 +119910) = S(119909)C(119910) +C(119909)S(119910)

cioegrave le note formule di addizione

78 la serie binomiale

Consideriamo 119891(119909) = (1 + 119909)119903 dove 119903 egrave un numero qualsiasi definita per 119909 gt minus1 Sene vogliamo trovare uno sviluppo in serie di potenze ci serve calcolare 119891(119899)(0) perogni 119899 Ma

119891prime(119909) = 119903(1 +119909)119903minus1 119891Prime(119909) = 119903(119903minus 1)(1 +119909)119903minus2

e piugrave in generale

119891(119899)(119909) = 119903(119903minus 1)hellip(119903minus119899+ 1)(1 +119909)119903minus119899

come si vede facilmente per induzione derivando unrsquoaltra volta Perciograve

119891(119899)(0)119899 = 119903(119903minus 1)hellip(119903minus119899+ 1)

119899

e la somiglianza con i coefficienti binomiali

(119898119899) = 119898(119898minus1)hellip(119898minus119899+ 1)119899

164 serie

(con 119898 intero positivo) egrave evidente tanto che porremo per analogia

(1199030) = 1 (119903119899) = 119903(119903minus 1)hellip(119903minus119899+ 1)119899 (119899 gt 0)

Si noti che se 119903 non egrave intero (119903119899) ne 0 per ogni 119899 Se 119903 = 119898 egrave intero il valore coincidecon quello usuale in piugrave (119898119899) = 0 per 119899 gt 119898 Si vede anche che (119903119899) assume valorialternativamente positivi e negativi quando 119899 gt 119903 se 119899 egrave il minimo intero maggiore di119903 allora (119903119899) gt 0 ( 119903

119899+1) lt 0 e cosigrave viaOtteniamo allora come sviluppo in serie

(1 + 119909)119903 = sum119899ge0

(119903119899)119909119899

e ci domandiamo quale sia il raggio di convergenza Adoperiamo il criterio del rapportoprima di tutto calcoliamo

( 119903119899+ 1) (119903119899) = 119903minus119899

119899+ 1e quindi

| (119903

119899+1)119909119899+1

(119903119899)119909119899 | = | (119903 minus119899)119909119899+ 1 |

e il limite per 119899 rarr +infin egrave |119909| Dunque il raggio di convergenza egrave 1Va notato che Newton scoprigrave la formula della potenza di un binomio proprio svilup-

pando in serie (1+119909)119903 a lui interessava in particolare il caso di 119903 = 12 che ottenevaelevando formalmente al quadrato un ldquopolinomio con infiniti terminirdquo e uguagliando ilrisultato a 1 +119909 con il principio di identitagrave dei polinomi

La convergenza per 119909 = 1 si deve valutare con il criterio di Leibniz occorre vederese la successione

119887119899 = |(119903119899)|

egrave decrescente (almeno da un certo punto in poi) e con limite 0 Si ha per 119899 gt 119903

119887119899+1119887119899

= |119903minus119899119899+ 1 | = 119899minus119903

119899+ 1

e la disequazione 119899minus119903119899+ 1 lt 1

egrave soddisfatta per minus119903 lt 1 cioegrave 119903 gt minus1 In tal caso si ha anche lim119899rarr+infin 119887119899 = 0 e perciogravela serie binomiale converge anche per 119909 = 1 In particolare un valore approssimato perradic2 si ottiene con

(120 ) + (121 ) + (122 ) + (123 ) +⋯ = 1+ 12 minus 1

4 + 116 minus 5

128 +⋯

ma la convergenza egrave molto lenta Troncando ai termini indicati si ottiene

179128 = 13984375

con un errore di piugrave dellrsquo1 Meglio va con

1radic2

= (1minus 12)

12= 1minus 1

4 minus 132 minus 1

128 minus 52048 minus⋯

che troncando ai termini indicati dagrave

14512048 = 70849609375

con un errore per eccesso inferiore allo 02

79 una serie migliore per il calcolo del logaritmo 165

79 una serie migliore per il calcolo del logaritmo

Consideriamo la serie di Mercator e scriviamo quella che si ottiene cambiando 119909 in minus119909abbiamo allora le serie

log(1 + 119909) = sum119899ge1

(minus1)119899minus1119909119899

119899 = 119909minus 1199092

2 + 1199093

3 minus 1199094

4 +⋯

log(1 minus 119909) = sum119899ge1

minus119909119899

119899 = minus119909minus 1199092

2 minus 1199093

3 minus 1199094

4 minus⋯

che convergono assolutamente nellrsquointervallo (minus1 1) Se le sottraiamo ottenia-mo una serie assolutamente convergente i termini con le potenze pari spariscono eabbiamo

log(1 + 119909) minus log(1 minus 119909) = 2 sum119899ge0

1199092119899+1

2119899+ 1

che converge molto piugrave rapidamente quando 119909 egrave abbastanza piccolo Il vantaggio egraveche

log(1 + 119909) minus log(1 minus 119909) = log 1+1199091minus119909

e se vogliamo calcolare log2 ci basta trovare 119909 tale che

1 +1199091minus119909 = 2

cioegrave 119909 = 13 Per esempio vogliamo usare i primi quattro termini

log2 asymp 2(13 + 1

3127 + 1

51

243) asymp 0693004

che ha tre cifre decimali esatte Si verifichi che lrsquoequazione

1+1199091minus119909 = 119896

ha una soluzione in (minus1 1) per ogni 119896 gt 0

710 la serie armonica e i logaritmi

La serie armonica sum119899gt0 1119899 non converge Tuttavia le somme parziali

ℎ119899 = 1+ 12 + 1

3 +⋯+ 1119899

(per 119899 gt 0) sono assai interessanti e possiedono un importante legame con il logaritmoIl teorema sulle funzioni decrescenti e gli integrali ci dice nel caso di 119891(119909) = 1119909 che

1 + 12 +⋯+ 1

119899minus 1 ge int119899

1

1119905 119889119905 ge 1

2 +⋯+ 1119899minus 1 + 1

119899

cioegraveℎ119899minus1 ge log119899 ge ℎ119899 minus 1

o maneggiando un porsquo1119899 le ℎ119899 minus log119899 le 1

Dunque la successione 120583119899 = ℎ119899 minus log119899 egrave limitata Mostriamo che egrave decrescente consi-derando la differenza 120575119899 = 120583119899minus1 minus120583119899 (per 119899 gt 0) Abbiamo evidentemente

120575119899 = ℎ119899minus1 minus log(119899minus 1) minus ℎ119899 + log119899 = minus log(1minus 1119899)minus 1

119899

166 serie

e viene naturale considerare la funzione 119891(119909) = minus119909minus log(1minus119909) nellrsquointervallo (0 1)La derivata egrave 119891prime(119909) = minus1+1(1minus119909) = 119909(1minus119909) gt 0 e dunque 119891 egrave crescente Siccomelim119909rarr0 119891(119909) = 0 abbiamo come conseguenza che 119891(119909) gt 0 per 119909 isin (0 1) e inparticolare che 120575119899 = 119891(1119899) gt 0

Abbiamo dunque dimostrato che esiste 120574 = lim119899rarr+infin(ℎ119899 minus log119899) questo numerosi chiama tradizionalmente costante di Euler-Mascheroni percheacute il primo a studiarlafu Euler Lorenzo Mascheroni (1750ndash1800) ne riprese lo studio La costante si trova inmolti altri casi per esempio si puograve dimostrare che

120574 = int+infin

0119890minus119909 log119909119889119909

Egrave tuttora aperta la questione se 120574 sia razionale o irrazionale Si sa perograve che se 120574 egraverazionale il suo denominatore minimo deve avere piugrave di 248 cifre decimali

In sostanza la serie armonica non converge ma il suo comportamento egrave simile aquello del logaritmo cioegrave la divergenza egrave molto lenta

Possiamo usare la costante 120574 per dimostrare in modo diverso un risultato giagrave notoPoniamo

119897119899 = 1minus 12 + 1

3 minus 14 +⋯+ (minus1)119899minus1 1

119899per 119899 gt 0 Dal criterio di Leibniz sappiamo che 119897119899 converge e quindi possiamo usarlaper calcolare limiti Consideriamo allora lrsquouguaglianza

ℎ2119899 minus 1198972119899 = ℎ119899

che si puograve verificare a occhio o meglio per induzione Il caso di 119899 = 1 egrave ovvio ℎ2 =1+ 12 1198972 = 1minus 12 e ℎ2 minus 1198972 = 1 = ℎ1 Supponiamo lrsquoidentitagrave valida per 119899 allora

ℎ2(119899+1) minus 1198972(119899+1) = (ℎ2119899 minus 1198972119899) + ( 12119899+ 1 + 1

2119899+ 2 minus 12119899+ 1 + 1

2119899+ 2)

= ℎ119899 + 1119899+ 1

= ℎ119899+1

Dunque possiamo dire anche che 1198972119899 = ℎ2119899 minusℎ119899 e quindi che

1198972119899 = (ℎ2119899 minus log(2119899)) minus (ℎ119899 minus log119899)+ log2 = 1205832119899 minus120583119899 + log2

e passando al limite

lim119899rarr+infin

1198972119899 = log2 + lim119899rarr+infin

1205832119899 minus lim119899rarr+infin

120583119899 = log2+ 120574minus120574

e dunque lim119899rarr+infin 119897119899 = log2

8I NUMER I REAL I

Lrsquointuizione dei numeri reali ha guidato i matematici fin dal sedicesimo secolo non cisi ponevano dubbi sullrsquoesistenza degli irrazionali necessari per parlare delle soluzionidi equazioni algebriche La nascita dellrsquoanalisi perograve i problemi li pose come esserecerti dellrsquoesistenza del limite di una successione crescente e limitata che non si potessecalcolare esplicitamente

La soluzione al problema fu data intorno alla metagrave del diciannovesimo secolo aopera di Weierstraszlig Georg Cantor (1845ndash1918) e Richard Dedekind (1831ndash1916) i primidue usarono idee giagrave presenti in Cauchy e Joseph Liouville (1809ndash1882) il terzo invecetrovograve una strada completamente nuova

Tutto ciograve che ci serve perograve egrave un insieme di ldquonumerirdquo che abbia certe proprietagrave essen-ziali devono essere definite due operazioni dobbiamo saper distinguere quando unnumero egrave piugrave grande di un altro e per finire vogliamo che la proprietagrave che ci garantiscelrsquoesistenza del limite di una successione crescente e limitata valga

Introduciamo una notazione per insiemi ordinati se 119878 e 119879 sono sottoinsiemi diremoche 119878 le 119879 quando per ogni 119904 isin 119878 e ogni 119905 isin 119879 si ha 119904 le 119905 Analogamente scriveremo119903 le 119879 o 119878 le 119903 quando 119903 le 119879 o rispettivamente 119878 le 119903

81 gli assiomi

La struttura dei numeri reali puograve essere descritta da un sistema di assiomi e vedremopoi che questi assiomi possono essere realizzati in un opportuno sistema Tuttavialrsquoaspetto importante egrave che non ci interessa davvero sapere che cosa siano i numeri realipercheacute due sistemi che realizzano gli assiomi sono sostanzialmente identici

a s s i om i d e i n um e r i r e a l i Nellrsquoinsieme dei numeri reali sono definitelrsquooperazione di addizione (119886119887) ↦ 119886+119887 lrsquooperazione di moltiplicazione (119886119887) ↦119886119887 e una relazione drsquoordine lt con le proprietagrave descritte di seguito

a s s i om i p e r l rsquo a d d i z i o n eA1 (119886 + 119887) + 119888 = 119886+ (119887+ 119888)A2 esiste 0 tale che 119886+ 0 = 119886A3 dato 119886 esiste 119887 tale che 119886+ 119887 = 0A4 119886+ 119887 = 119887+119886

a s s i om i p e r l a mo l t i p l i c a z i o n eM1 (119886119887)119888 = 119886(119887119888)M2 esiste 1 tale che 1198861 = 119886 e 1 ne 0M3 se 119886 ne 0 esiste 119887 tale che 119886119887 = 1M4 119886119887 = 119887119886

a s s i oma d i d i s t r i b u t i v i t agraveD 119886(119887+ 119888) = 119886119887+119886119888

a s s i om i p e r l rsquo o r d i n eO1 se 119886 lt 119887 allora 119886+ 119888 lt 119887+ 119888O2 se 119886 lt 119887 e 119888 gt 0 allora 119886119888 lt 119887119888

a s s i oma d i c on t i n u i t agraveC se 119878 e 119879 sono insiemi non vuoti tali che 119878 le 119879 allora esiste 119903 tale che 119878 le 119903 le 119879

167

168 i numeri reali

Le prime undici proprietagrave permettono di eseguire i calcoli con le solite regole lrsquoele-mento 119887 tale che 119886+ 119887 = 0 si denota con minus119886 lrsquoelemento 119887 tale che 119886119887 = 1 (per 119886 ne 0)si denota con 119886minus1 Si pone poi come sempre 119886 minus 119887 = 119886 + (minus119887) e 119886119887 = 119886119887minus1 (per119887 ne 0)

Egrave lrsquoultima proprietagrave che non vale per i numeri razionali Consideriamo la successione119904 cosigrave definita

1199041 = 01 1199042 = 0121199043 = 01211 1199044 = 01211221199045 = 0121122111 1199046 = 0121122111222hellip

aumentando via via il numero di cifre che si ripetono e poniamo

119905119899 = 119904119899 + 10minus119896

dove 119896 egrave il numero di cifre decimali di 119904119899 egrave chiaro che lrsquounico ldquonumerordquo che sta inmezzo alle due successioni egrave il numero

012112211122211112222hellip

che non ha uno sviluppo decimale periodico e quindi non egrave razionale Qui ovviamentefacciamo lo stesso atto di fede di Euler e degli altri che non si ponevano il problemadellrsquoesistenza di un insieme di ldquonumerirdquo dove gli sviluppi decimali qualsiasi fosseroleciti

In effetti Weierstraszlig definigrave i numeri reali proprio cosigrave allineamenti di cifre un nu-mero finito prima della virgola una successione infinita dopo la virgola purcheacute nonfosse costantemente 9 da un certo punto in poi Sullrsquoinsieme di questi oggetti definigravedue operazioni e una relazione per le quali valgono gli assiomi enunciati prima

82 lrsquoassioma di continuitagrave

Lrsquoassioma lsquoCrsquo si chiama assioma di continuitagrave Vediamone la conseguenza principale

t e o r ema Ogni insieme di numeri naturali che ha un maggiorante ha estremosuperiore

Supponiamo che lrsquoinsieme 119878 abbia un maggiorante Allora lrsquoinsieme 119879 dei maggio-ranti di 119878 non egrave vuoto e per definizione 119878 le 119879 Prendiamo 119903 tale che 119878 le 119903 le 119879 allora119903 egrave un maggiorante di 119878 e quindi 119903 isin 119879 dire che 119903 le 119879 e 119903 isin 119879 egrave esattamente dire che119903 egrave il minimo di 119879

Egrave chiaro che vale la conclusione analoga per insiemi di numeri reali che abbiano unminorante la dimostrazione egrave perfettamente simmetrica Da questo vediamo che datauna successione di intervalli inscatolati cioegrave intervalli

[1199010 1199020] supe [1199011 1199021] supe hellip supe [119901119899 119902119899] supe ⋯

ciascuno incluso nel precedente crsquoegrave un numero reale che appartiene a tutti gli intervalliLe condizioni sono infatti equivalenti a dire che per ogni 119899

119901119899+1 ge 119901119899 119901119899 le 119902119899 119902119899+1 le 119902119899

Perciograve se 119901 egrave lrsquoestremo superiore dellrsquoinsieme 119901119899 ∶ 119899 isin ℕ e 119902 egrave lrsquoestremo inferioredellrsquoinsieme 119902119899 ∶ 119899 isin ℕ abbiamo evidentemente 119901 le 119902

82 lrsquoassioma di continuitagrave 169

Nel caso in cui le ampiezze degli intervalli si riducono come accade nella dimostra-zione del teorema degli zeri si deve avere 119901 = 119902 La condizione infatti si esprimerigorosamente cosigrave per ogni tolleranza 120576 gt 0 esiste 119899 tale che 119902119899 minus 119901119899 lt 120576 Se fosse119901 lt 119902 basta prendere 119899 per il quale 119902119899 minus119901119899 lt 119902minus119901 per ottenere una contraddizione

Vediamo adesso che i numeri reali lsquocontengonorsquo i naturali nel senso che li possiamoidentificare con certi numeri reali precisamente i multipli di 1 Cosigrave in particolare 1puograve indicare sia il numero reale che realizza lrsquoassioma M2 sia il numero naturale 1 ele regole di calcolo dicono che tutto torna Nellrsquoenunciato seguente dove cominciamoa stabilire questa identificazione indichiamo con 120783 lrsquoelemento dato dallrsquoassioma M2 econ 120782 quello dato dallrsquoassioma A2 Per essere un porsquo pedanti ricordiamo che quando119899 egrave un numero naturale definiamo 119899119909 = 120782 per 119899 = 0 e (119899+ 1)119909 = 119899119909+119909

t e o r ema Se 119899 ne 0 allora 119899120783 ne 120782 Se 119898120783 = 119899120783 allora 119898 = 119899

Sia 119899 il minimo naturale positivo tale che 119899120783 = 0 Allora esiste il predecessore 119898 di119899 e 119898120783 ne 120782 Ma 119898120783 = 120783+⋯+120783 (119898 volte) e quindi 119898120783 gt 120782 Ma allora 119898120783+120783 = 119899120783 gt 120782che egrave assurdo Quindi 119899 non esiste

La seconda parte segue dalla prima se 119898 ne 119899 allora 119898 gt 119899 oppure 119899 gt 119898 nelprimo caso abbiamo lrsquoassurdo che (119898minus119899)120783 = 120782 nel secondo che (119899minus119898)120783 = 120782

In base a questo teorema possiamo scrivere 119899 al posto di 1198991 e confondere lrsquouno deinaturali con 120783 e lo stesso per lo zero percheacute non ci sono ambiguitagrave

Il seguente enunciato sembra evidente ma si capisce dalla dimostrazione che non loegrave affatto Lo si puograve vedere come una versione astratta del procedimento di misura bennoto dalla geometria

t e o r ema Se 119886 gt 0 allora esiste un naturale 119899 tale che 119899 ge 119886

Sia 119879 lrsquoinsieme dei reali 119905 tali che 119899 lt 119905 per ogni 119899 naturale Vogliamo dimostrareche 119879 egrave vuoto Se non lo fosse possiamo scrivere 119878 le 119879 dove 119878 egrave lrsquoinsieme dei naturalie trovare 119903 tale che 119878 le 119903 le 119879

Dimostriamo che 119903 isin 119879 se infatti 119903 notin 119879 esiste 119899 tale che 119899 ge 119903 ma allora 119899+1 gt 119903contro il fatto che 119878 le 119903 Perciograve 119903 egrave il minimo di 119879 ma allora 119903minus1 notin 119879 e quindi esiste119899 tale che 119899 ge 119903minus 1 e questo egrave assurdo percheacute avremmo 119899+ 1 ge 119903 da cui 119899+ 2 gt 119903contro il fatto che 119878 le 119903

La connessione con la misura egrave evidente se si vuole misurare 119886 gt 0 rispetto a 119887 gt 0cerchiamo un multiplo 119899119887 tale che 119899119887 le 119886 ma (119899 + 1)119887 gt 119886 Fatto questo abbiamoridotto il problema a misurare 119886minus119899119887 (con un sottomultiplo di 119887) Egrave chiaro che senzala proprietagrave appena dimostrata questo potrebbe non accadere

Avendo identificato i naturali con i multipli di 1 possiamo anche parlare di interi edi razionali fra i reali

c o r o l l a r i o Se 119886 lt 119887 allora esiste 119902 razionale con 119886 lt 119902 lt 119887

Se 119886 lt 0 e 119887 gt 0 non crsquoegrave nulla da dimostrare ci basta dunque vederlo per 119886 gt 0percheacute se 119887 lt 0 abbiamo anche 0 lt minus119887 lt minus119886

Prendiamo 119899 naturale tale che 119899 gt 1(119887 minus 119886) cioegrave 119899(119887 minus 119886) gt 1 Se 119898 egrave il minimonaturale tale che 119898 gt 119899119886 avremo 119898 minus 119899119886 lt 1 e quindi 119898 lt 119899119887 Perciograve 119886 lt 119898119899 lt119887

t e o r ema Dato il numero reale 119903 indichiamo con 119876(119903) lrsquoinsieme dei razionaliminori di 119903 Allora 119903 egrave lrsquoestremo superiore di 119876(119903)

170 i numeri reali

Lrsquoestremo superiore di119876(119903) esiste percheacute 119903 egrave unmaggiorante Se 119904 egrave questo estremosuperiore allora 119904 le 119903 Se fosse 119904 lt 119903 esisterebbe 119902 razionale con 119904 lt 119902 lt 119903 e dunque119902 isin 119876(119903) contro il fatto che 119904 egrave lrsquoestremo superiore di 119876(119903)

t e o r ema Per ogni numero reale 119903 gt 0 esiste un numero reale 119905 gt 0 tale che1199052 = 119903

Supponiamo dapprima che 119903 gt 1 e consideriamo lrsquoinsieme 119878 dei numeri 119904 tali che119904 ge 1 e 1199042 le 119903 Se 119904 soddisfa queste condizioni allora 119904 lt 119903 percheacute da 119904 ge 119903 seguirebbe1199042 ge 119904119903 ge 1199032 ge 119903 Dunque 119878 ha estremo superiore 119905

Dimostriamo che 1199052 le 119903 Se fosse 1199052 gt 119903 preso 119904 isin 119878 avremmo 1199052 minus 1199042 ge 1199052 minus119903 dacui

119905 minus 119904 ge 1199052 minus119903119905+ 119904 ge 1199052 minus119903

2119905percheacute 1 le 119904 le 119905 questo egrave in contraddizione con lrsquoipotesi che 119905 sia lrsquoestremo superioreCi basta allora vedere che per ogni 119904 isin 119878 se 1199042 lt 119903 esiste 119886 con 0 lt 119886 le 1 tale che(119904 + 119886)2 lt 119903 Ora (119904 + 119886)2 = 1199042 + 2119886119904+ 1198862 e se 119886 le 1 abbiamo

1199042 + 2119886119904+ 1198862 le 1199042 +2119886119904+ 119886

cosiccheacute ci basta che sia 1199042 + 2119886119904+ 119886 lt 119903 cioegrave

119886 lt 119903minus 11990422119904 + 1

che ha evidentemente soluzione Perciograve un 119904 isin 119878 con 1199042 lt 119903 non egrave lrsquoestremo superioredi 119878 Ne segue che 1199052 = 119903

Rimane da dimostrare lrsquoasserzione per 0 lt 119903 lt 1 ma in tal caso 1119903 gt 1 e quindi1119903 = 1199052 per un certo 119905 e 119903 = (1119905)2

Se guardiamo meglio la dimostrazione precedente ci accorgiamo che si tratta di una versioneastratta del metodo di esaustione Il numero 119905 che otteniamo non puograve essere maggiore dellaradice quadrata che cerchiamo (la parte in cui si vede che 1199052 gt 119903 conduce a un assurdo) neacutepuograve essere minore (percheacute troveremmo un numero 119904 piugrave grande che ha ancora la proprietagrave 1199042 lt119903) Archimede postulava senza perograve renderlo esplicito che due ldquoclassi di grandezze contiguerdquoavessero un unico elemento separatore egrave esattamente il nostro assioma lsquoCrsquo

I risultati precedenti sono i passi necessari per dimostrare il teorema di unicitagrave

83 il teorema di unicitagrave

I dodici assiomi caratterizzano i reali qualsiasi struttura che abbia quelle proprietagraveegrave lsquoidenticarsquo ai reali gli elementi possono essere diversi ma tutto ciograve che possiamodimostrare in una vale in ciascunrsquoaltra a patto di lsquotradurrersquo gli enunciati nella lsquolinguarsquogiusta La traduzione egrave univoca mediante una funzione biiettiva

t e o r ema d i u n i c i t agrave d e i r e a l i Siano 1198771 e 1198772 strutture per le quali valga-no gli assiomi dei numeri reali Allora esiste unrsquounica funzione biiettiva 119891∶ 1198771 rarr 1198772tale che per ogni 119886119887 isin 1198771 si abbia 119891(119886+119887) = 119891(119886)+119891(119887) e 119891(119886119887) = 119891(119886)119891(119887)

Definiamo119891(1) = 1 e partiamo da questo per definire119891 su tutto1198771 Dalla proprietagrave119891(119886+119887) =119891(119886)+119891(119887) segue che dobbiamo porre 119891(119898) = 119898 (qui usiamo sia in 1198771 sia in 1198772 lrsquoidentificazionegiagrave fatta) per ogni 119898 intero Se 119899 gt 0 dobbiamo avere

119899119891(119898119899 ) = 119891(119899119898

119899 ) = 119891(119898) = 119898

84 la costruzione di dedekind 171

e quindi occorre porre 119891(119898119899) = 119898119899Dimostriamo che le proprietagrave richieste per 119891 hanno come conseguenza che 119891 egrave monotona

crescente cioegrave che 119886 lt 119887 implica 119891(119886) lt 119891(119887) Basta in realtagrave dimostrare che 0 lt 119887 implica0 lt 119891(119887) Ma questo egrave evidente dallrsquoesistenza delle radici quadrate se 119887 gt 0 esiste 119904 tale che1199042 = 119887 e dunque 119891(119887) = 119891(1199042) = 119891(119904)2 gt 0

Il resto della dimostrazione egrave solo una noiosa verifica delle proprietagrave dopo aver definito 119891 suun numero reale 119903 qualunque usando il fatto che 119903 egrave lrsquoestremo superiore di un ben determinatoinsieme di numeri razionali

Il succo di questo teorema egrave che non importa come determiniamo un insieme soddi-sfacente le richieste gli assiomi sia che usiamo la costruzione di Weierstraszlig sia cheusiamo quella di Cantor sia che usiamo quella di Dedekind otteniamo due struttureche hanno le stesse proprietagrave In particolare ogni proprietagrave dei reali puograve essere dedot-ta unicamente dagli assiomi e non dal modo con cui li abbiamo costruiti Non stiamodiscutendo del nulla percheacute le costruzioni dei numeri reali che abbiamo menzionatosono corrette dal punto di vista logico I matematici hanno lavorato con i numeri realifino alla metagrave del diciannovesimo secolo senza sapere che ldquoesistesserordquo ma siccomehanno implicitamente usato solo i dodici assiomi i risultati che hanno ottenuto sonocorretti

84 la costruzione di dedekind

Lrsquoidea di Dedekind egrave quella di formalizzare lrsquoassenza di buchi se si cammina lungoi numeri reali non si cade mai in un buco Perciograve se dividiamo i numeri reali in dueinsiemi non vuoti119860 e 119861 tali che119860 lt 119861 (cioegrave ogni elemento di119860 egraveminore di ogni elementodi 119861) allora 119860 ha massimo oppure 119861 ha minimo se cosigrave non fosse fra 119860 e 119861 ci sarebbeun buco

Il problema egrave come possiamo usare questa idea per costruire i numeri reali a partiredai razionali

Una delle proprietagrave che vogliamo egrave che ogni numero reale sia minore di almeno unnumero razionale Cosigrave ogni numero razionale porta con seacute tutti i numeri reali minoriin un certo senso Dunque una suddivisione dei razionali in due sottoinsiemi nonvuoti 119860 e 119861 in modo che 119860 lt 119861 corrisponde a una delle suddivisioni precedenti bastaprendere 119860prime come lrsquoinsieme dei reali 119903 tali che almeno un elemento di 119860 sia maggioredi 119903 e come 119861prime lrsquoinsieme dei reali 119903 tali che almeno un elemento di 119861 sia minore di 119903

Vediamo che 119860prime lt 119861prime se prendiamo 119903 isin 119860prime e 119904 isin 119861prime sappiamo che esistono 119886 isin 119860e 119887 isin 119861 tali che 119903 lt 119886 e 119887 lt 119904 Ma allora

119903 lt 119886 lt 119887 lt 119904

percheacute 119860 lt 119861 e dunque 119903 lt 119904 come si volevaEcco allora lrsquoidea di Dedekind un numero reale 119903 egrave un qualsiasi insieme di numeri

razionali con le seguenti proprietagrave

bull se 119886 isin 119903 e 119887 lt 119886 allora 119887 isin 119903

bull esiste 119888 razionale tale che 119888 notin 119903

bull 119903 non ha massimo

Ogni numero razionale 119902 definisce allora un numero reale 119902 dove 119902 egrave lrsquoinsieme di tuttii razionali 119886 tali che 119886 lt 119902 Infatti la prima proprietagrave egrave ovvia per la seconda egrave evidenteche 119902 + 1 notin 119902 per la terza questo massimo dovrebbe essere un numero 119886 lt 119902 maavremmo un assurdo da 119886 lt (119886+ 119902)2 lt 119902

172 i numeri reali

Egrave facile definire la relazione drsquoordine fra i numeri reali cosigrave definiti 119903 lt 119904 esattamentequando 119903 sub 119904 Se 1199021 lt 1199022 sono numeri razionali egrave chiaro che 1199021 sub 1199022

Lrsquoassioma di continuitagrave egrave piuttosto facile da verificare Se 119878 e 119879 sono insiemi di realicon 119878 le 119879 possiamo considerare lrsquoinsieme 119903 di tutti i razionali che appartengono aqualche numero in 119878

Per trovare un razionale che non appartiene a 119903 basta prendere un numero 119905 isin 119879 e un ra-zionale 119902 notin 119905 Allora 119905 lt 119902 e quindi 119902 notin 119878 percheacute 119878 le 119879 in particolare 119902 notin 119903 se fosse 119902 isin 119877dovremmo avere 119902 isin 119904 per un 119904 isin 119878 e quindi lrsquoassurdo 119902 lt 119904 le 119905 lt 119902

Siano 119886 isin 119903 e 119887 lt 119886 Allora 119886 isin 119904 per un certo 119904 isin 119878 quindi da 119887 lt 119886 segue che 119887 isin 119904 eperciograve 119887 isin 119903

Se 119888 fosse il massimo di 119903 avremmo 119888 isin 119904 per qualche 119904 isin 119878 Ora quando 119902 isin 119904 egrave anche119902 isin 119903 e perciograve 119902 le 119888 Dunque 119888 sarebbe il massimo di 119904 assurdo

La definizione di addizione fra questi lsquoinsiemi di Dedekindrsquo egrave quasi immediata in119903+119904 mettiamo tutti i numeri razionali della forma 119886+119887 con 119886 isin 119903 e 119887 isin 119904 La verificadelle proprietagrave richieste egrave lunga e noiosa

Vediamo per esempio che 119903+0 = 119903 Se 119886 isin 119903 e 119887 isin 0 allora 119887 lt 0 e quindi 119886+119887 lt 119886 da cui119886+ 119887 isin 119903 119903+ 0 sube 119903 Se 119886 isin 119903 dal momento che 119903 non ha massimo possiamo prendere 119888 isin 119903con 119888 gt 119886 allora 119886 = 119888+ (119886minus 119888) e 119886minus 119888 lt 0 quindi 119886minus 119888 isin 0

Piugrave complicato egrave dimostrare le altre proprietagrave dellrsquoaddizione e non egrave affatto semplicedefinire la moltiplicazione

85 la costruzione di weierstrass

Un modo diverso di costruire i numeri reali deriva dallrsquoidea che ogni numero reale sipuograve approssimare con numeri decimali (finiti) per ogni 119896 gt 0 prendiamo come lsquo119896-esimacifra decimalersquo del numero reale 119903 con 0 le 119903 lt 1 lrsquounica cifra 119886119896 tale che

0 le 119903minus (119886110 + 1198862

102 +⋯+ 119886119896minus110119896minus1 + 119886119896

10119896 ) lt 110119896

Lrsquoesempio classico di 119903 = radic2minus 1 = 014142hellip puograve venirci in aiuto

119903minus 0 gt 110

0 le 119903minus 01 lt 110 ()

119903 minus 02 lt 0

119903minus 013 gt 1100

0 lt 119903minus 014 lt 1100 ()

119903 minus 015 lt 0hellip

Come si vede si tratta di un procedimento ricorsivo quando si conoscono le prime 119896cifre dello sviluppo decimale si puograve calcolare la successiva Per i numeri 119903 che nonsono nellrsquointervallo [0 1) si trova prima la parte intera cioegrave il massimo numerointero 119899 tale che 119899 le 119903 e si applica il procedimento a 119903minus119899

Fissiamo qualche notazione Con 1199030 indichiamo la parte intera di 119903 e con 119903119896 la 119896-esimacifra decimale (119896 gt 0)

86 la costruzione di cantor 173

Non egrave possibile che tutte le cifre da un certo punto in poi siano uguali a 9 Lo verifichiamonel caso piugrave semplice cioegrave 1199030 = 0 e 119903119896 = 9 per 119896 gt 0 Dalla definizione segue che per ogni 119896 gt 0

910 + 9

100 +⋯+ 910119896 le 119903 lt 1

cioegrave1minus 1

10119896 le 119903 lt 1

che egrave come dire 0 lt 1 minus 119903 le 10minus119896 Ma questo egrave assurdo ogni numero positivo egrave maggiore di10minus119899 per qualche intero positivo 119899

Dati due numeri 119903 e 119904 abbiamo che 119903 lt 119904 se e solo se

1199030 = 1199040 1199031 lt 1199041 hellip119903119896minus1 = 119904119896minus1 119903119896 lt 119904119896

In altre parole si guarda per prima cosa la parte intera se i due numeri hanno partiintere diverse egrave chiaro qual egrave il piugrave grande Se le parti intere sono uguali si guarda laprima cifra decimale e cosigrave via

Come funziona lrsquoaddizione Non possiamo certo cominciare dalla cifra piugrave a destra percheacutenon crsquoegrave Ma anche lrsquoaddizione usuale fra gli interi si puograve eseguire partendo da sinistra proviamocon 634+ 197 Abbiamo 6+ 1 = 7 e ci spostiamo a destra ora 3+ 9 = 12 e quindi spostiamo 1alla colonna precedente che diventa 8 dunque abbiamo 82 ci spostiamo a destra dove troviamo4+ 7 = 11 quindi spostiamo 1 sulla colonna precedente e troviamo 831

Di solito si comincia da destra percheacute cosigrave non abbiamo ldquoriporti multiplirdquoNel caso degli allineamenti decimali perograve crsquoegrave una complicazione se sviluppiamo 23 otte-

niamo lrsquoallineamento 0666hellip e da 13 otteniamo 0333hellip Lrsquoaddizione partendo da sinistraproduce 0999hellip ma questo numero per quanto visto prima egrave 1

Abbiamo dato per noti i numeri reali Ma quello che si puograve trarre da questi discorsiegrave che gli allineamenti decimali danno una costruzione dei numeri reali

86 la costruzione di cantor

Una condizione necessaria affincheacute una successione (119886119899) converga egrave che per ogni 120576 gt 0esista un tale che quando 119898119899 gt si abbia |119886119898 minus119886119899| lt 120576 Infatti se (119886119899) convergea 119897 possiamo trovare tale che per 119899 gt si abbia |119886119899minus119897| lt 1205762 Se 119898119899 gt avremo

|119886119898 minus119886119899| = |119886119898 minus 119897+ (119897 minus 119886119899)| le |119886119898 minus 119897| + |119897 minus 119886119899| lt1205762 + 120576

2 = 120576

Lrsquoassioma di continuitagrave garantisce che una successione che ha questa proprietagrave chia-mata proprietagrave di Cauchy converge

Vediamo per prima cosa che una successione di Cauchy egrave limitata Basta prendere lrsquoindice relativo a 120576 = 1 per avere che per ogni 119898 gt

minus1+119886+1 lt 119886119898 lt 1+119886+1

da cui ovviamente abbiamo che |119886119898| lt 1 + |119886+1| e quindi

|119886119899| le max |1198860| |1198861|hellip |119886| 1 + |119886+1|

Sia 119903 le 119886119899 le 119904 per ogni 119899 Se consideriamo la successione 119887119899 = (119886119899 minus 119903)(119904 minus 119903) abbiamoche 0 le 119887119899 le 1 egrave facile vedere che anche (119887119899) egrave una successione di Cauchy e che (119887119899) convergese e solo se (119886119899) converge

Infiniti termini della successione cadono o in [0 12] oppure in [12 1] chiamiamo 1198680 unodei due intervalli scegliendone uno in cui cadano infiniti termini sia 1198880 il primo termine 119887119899 che

174 i numeri reali

cade in 1198680 Ora dividiamo a metagrave 1198680 e scegliamo una metagrave 1198681 nella quale cadano infiniti terminisia 1198881 il primo termine successivo a 1198880 che cade in 1198681

Proseguendo cosigrave otteniamo una successione (119888119899) i cui termini cadono in una successione diintervalli inscatolati e che dunque converge a 119888 Ci basta ora vedere che anche (119887119899) converge a 119888

Sia 120576 gt 0 Allora abbiamo per 119898119899 gt sia |119887119898 minus 119887119899| lt 1205762 sia |119888119899 minus 119888| lt 1205762 Ora bastaprendere anche 119888119899 in modo che 119888119899 venga dopo 119887 (che egrave possibile per costruzione di 119888119899) e siamoa posto

Due successioni di Cauchy determinano lo stesso numero reale se la loro differenza egraveuna successione convergente a zero La costruzione di Cantor egrave essenzialmente questai numeri reali sono le successioni di Cauchy di numeri razionali identificando due diesse quando la differenza egrave zero

Da un allineamento decimale egrave facile ottenere una successione di Cauchy di numerirazionali basta considerare i successivi troncamenti Il viceversa egrave un porsquo piugrave complica-to ma solo tecnicamente Come tecnicamente egrave complicato ma non difficile dimostra-re che gli oggetti cosigrave ottenuti soddisfano gli assiomi dei numeri reali lrsquoaddizione e lamoltiplicazione si eseguono semplicemente sommando o moltiplicando le successionitermine a termine

9I NUMER I COMPLESS I

Nel sedicesimo secolo vari autori riuscirono nellrsquoimpresa di trovare una tecnica riso-lutiva delle equazioni di terzo grado Scipione del Ferro (1465ndash1526) Nicolograve Tartaglia(c 1499ndash1557) Lodovico Ferrari (1522ndash1565) Girolamo Cardano (1501ndash1576) sono i nomiche compaiono nella famosa disputa sulla prioritagrave della scoperta con tanto di disfidee insulti

Questa egrave la tecnica risolutiva di Tartaglia che comparve nellrsquoArs Magna di CardanoConsideriamo lrsquoequazione

1199103 +1198861199102 +119887119910+ 119888 = 0

a cui si puograve ridurre ogni equazione di terzo grado Con la sostituzione

119910 = 119909minus 1198863

egrave un facile calcolo ridurla ancora allrsquoequazione

1199093 +119901119909+119902 = 0

Giagrave prima di Tartaglia si sapeva che minus1198863 egrave la media delle soluzioni dellrsquoequazionequindi la sostituzione non egrave altro che una traslazione per fare in modo che la mediadelle soluzioni sia 0

A questo punto Tartaglia propone la nuova sostituzione

119909 = 119906minus 1199013119906

che porta lrsquoequazione nella forma

1199063 minus119901119906+ 1199012

3119906 minus 1199013

271199063 +119901119906minus 1199012

3119906 + 119902 = 0

cioegrave1199063 minus 1199013

271199063 +119902 = 0

che puograve essere trattata come unrsquoequazione di secondo grado in 1199063

(1199063)2 +1199021199063 minus 1199013

27 = 0

il cui discriminante egrave

Δ = 4(1199013

27 + 1199022

4 )

Se il discriminante egrave positivo otteniamo un solo valore di 119909 se infatti 1205752 = Δ le duesoluzioni per 1199063 sono

12(minus119902+ 120575) 1

2(minus119902minus 120575)

e sostituendo le radici cubiche si ottiene lo stesso valore per 119909Tuttavia crsquoegrave un problema se consideriamo lrsquoequazione

1199093 minus 7119909+ 6 = 0

il discriminante che otteniamo egrave

Δ = 4(minus73

27 + 62

4 ) = 427(minus343+ 9 sdot 27) = minus400

27 lt 0

175

176 i numeri complessi

quando la nostra equazione ha tre soluzioni Egrave ovvio infatti che 1 egrave una soluzione econ la divisione si trovano le altre due cioegrave 2 e minus3

Un altro modo di affrontare la questione fu trovato dal francese Franccedilois Viegravete (1540ndash1603) La sua idea fu di introdurre una nuova incognita 119910 legata alla 119909 da

1199102 +119909119910 = 1199013

Se in 1199093 +119901119909+119902 = 0 sostituiamo 119909 = (119901minus 31199102)(3119910) otteniamo

271199106 minus271199021199103 minus1199013 = 0

Questa egrave una lsquobicubicarsquo il cui discriminante egrave 27(271199022+41199013) dove si riconosce la stessalimitazione di prima

Per uscire dal dilemma ci sono due strade Una di Viegravete che riportava in modo moltoastuto le equazioni di terzo grado con discriminante negativo alla formula di triplica-zione del coseno lrsquoaltra di Cardano e dei successori che non si spaventarono al pensierodi maneggiare radici quadrate di numeri negativi

La tecnica di Viegravete usa la formula di triplicazione del coseno cos(3120572) = 4 cos3 120572 minus 3 cos120572Cerchiamo dunque di scrivere lrsquoespressione 1199093 + 119901119909 in una forma simile ponendo 119909 = 119886 cos120572otteniamo

1199093 +119901119909 = 1198863 cos3 120572+119886119901 cos120572e quindi ci serve 1198863 = 4119887 119886119901 = minus3119887 cioegrave

1198863

4 = minus1198861199013

da cui 1198862 = minus41199013 che naturalmente egrave possibile solo quando 119901 lt 0 Con questo valore di 119886abbiamo lrsquoequazione

4119887 cos3 120572minus 3119887 cos120572+119902 = 0cioegrave

119887 cos(3120572) + 119902 = 0che ammette soluzione quando minus1 le 119902119887 le 1 cioegrave 1199022 le 1198872 che equivale a

1199022 le 11988621199012

9 = minus41199013

27cioegrave

1199013

27 + 1199022

4 le 0

che egrave esattamente la condizione che porta al problema delle radici quadrate di numeri negativiNel caso di 119901 = minus7 e 119902 = 6 abbiamo 1198862 = 283 e

119887 = 1198863

4 = 14283 radic

283 = 14

3 radic73

e quindi lrsquoequazione finale egrave

cos3120572 = minus119902119887 = minus9

7radic37 asymp minus08417

quindi3120572 asymp 257122 + 2119896120587 (0 le 119896 le 2)

e abbiamo le tre soluzioni (approssimate)

1205721 asymp 085707 1205722 asymp 295147 1205723 asymp 504586

Siccome 119886 asymp 305505 avremo

1199091 = 119886 cos1205721 asymp 2000001199092 = 119886 cos1205722 asymp minus3000001199093 = 119886 cos1205723 asymp 099999

che sono effettivamente i risultati attesi

91 operazioni sui numeri complessi 177

Decidiamo di non spaventarci neppure noi ignorando la connotazione peggiorativadellrsquoaggettivo immaginario che Descartes affibbiograve a questi ldquonumerirdquo Secondo lrsquousointrodotto da Euler indichiamo con 119894 un numero tale che 1198942 = minus1 non egrave tanto diversoda indicare con radic2 un numero che elevato al quadrato dia 2

Giagrave con questi nuovi numeri possiamo trovare radici quadrate di tutti i numeri realise 119886 gt 0 non crsquoegrave problema se 119886 lt 0 possiamo scrivere

(119894radicminus119886)2 = 1198942(minus119886) = 119886

Naturalmente una volta che abbiamo aggiunto questo numero dobbiamo aggiungereanche tutti quelli della forma

119886+ 119887119894

con 119886 e 119887 reali Siccome siamo giagrave abituati a maneggiare espressioni del tipo 3 + 2radic2non ci facciamo problemi e proviamo a supporre che 119886 + 119887119894 = 0 Allora anche (119886 +119887119894)(119886 minus 119887119894) = 0 cioegrave

0 = (119886+ 119887119894)(119886 minus 119887119894) = 1198862 minus (119887119894)2 = 1198862 minus (minus1)1198872 = 1198862 +1198872

Qui la faccenda egrave diversa 119886 e 119887 sono numeri reali e quellrsquouguaglianza significa che119886 = 119887 = 0 Dunque da 119886+119887119894 = 0 segue 119886 = 119887 = 0 Puograve succedere che 119886+119887119894 = 119888+119889119894Certo ma in tal caso

(119886 minus 119888) + (119887minus 119889)119894 = 0

e quindi 119886 = 119888 e 119887 = 119889

91 operazioni sui numeri complessi

Un numero complesso egrave unrsquoespressione della forma 119886 + 119887119894 dove 119886 e 119887 sono numerireali Per quanto visto prima 119886 e 119887 sono univocamente determinati e si chiamanorispettivamente parte reale e parte immaginaria del numero complesso Le operazionisi eseguono usando le note proprietagrave

(119886 + 119887119894) + (119888 + 119889119894) = (119886+ 119888) + (119887+ 119889)119894(119886 + 119887119894)(119888 + 119889119894) = 119886119888+ 119886119889119894 + 119887119888119894 + 1198871198891198942 = (119886119888minus 119887119889) + (119886119889+ 119887119888)119894

Non occorre memorizzare formule basta operare come al solito con le espressionialgebriche e ricordare che 1198942 = minus1 Esattamente come quando si deve razionalizzare3(radic2 minus 1) si moltiplica numeratore e denominatore per radic2 + 1 usando il fatto che(radic2)2 = 2

In particolare (119886+119887119894)2 = 1198862 minus1198872 +2119886119887119894 Tanto per esercizio cerchiamo di trovarei numeri complessi che elevati al quadrato danno 119894 dovremo avere

⎧⎨⎩

1198862 minus1198872 = 02119886119887 = 1

uguagliando la parte reale e quella immaginaria Dalla prima otteniamo 119886 = 119887 oppure119886 = minus119887 sostituendo nella seconda vediamo che 119886 = minus119887 porta a minus21198862 = 1 che non hasoluzioni Dunque abbiamo 119886 = 119887 e 21198862 = 1 quindi 119886 = 119887 = 1radic2 oppure 119886 = 119887 =minus1radic2

Piugrave in generale vediamo che ogni numero complesso diverso da 0 ha due radiciquadrate Se il numero egrave ℎ+ 119896119894 la tecnica di prima ci porta al sistema

⎧⎨⎩

1198862 minus1198872 = ℎ2119886119887 = 119896

178 i numeri complessi

che possiamo risolvere ricavando 119887 dalla seconda equazione almeno nel caso in cui119896 ne 0 ma se 119896 = 0 sappiamo giagrave trovare 119886 e 119887 Dunque possiamo scrivere 119887 = 119896(2119886)e sostituire nella prima equazione trovando una risolvente biquadratica

41198864 minus 4ℎ1198862 minus1198962 = 0

che dagrave

1198862 = radicℎ2 +1198962 +ℎ2

Lrsquoaltra ldquosoluzionerdquo egrave da scartare percheacute negativa Ogni valore trovato di 119886 egrave legato a unvalore di 119887 e quindi abbiamo dimostrato lrsquoasserzione fatta Si ha infatti 1198872 = 1198962(41198862)e quindi

1198872 = 1198962

42

radicℎ2 +1198962 +ℎ= 1198962

2radicℎ2 +1198962 minusℎ

1198962 = radicℎ2 +1198962 minusℎ2

Le soluzioni effettive si trovano scegliendo i valori positivi e negativi in modo che valga2119886119887 = 119896 Si noti che queste espressioni valgono anche per il caso prima escluso di119896 = 0

92 coniugato di un numero complesso

Se 119906 = 119886+119887119894 con 119886 e 119887 reali il coniugato di 119906 egrave il numero complesso

119906 = 119886minus119887119894

Si tratta di un ausilio molto importante infatti sommando e sottraendo si trova

2119886 = 119906+119906 2119887119894 = 119906minus119906

e quindi la conoscenza di 119906 ci permette di trovare la parte reale e la parte immaginariaLe proprietagrave del coniugato rispetto alle operazioni si verificano semplicemente

119906+119907 = 119906+119907 119906119907 = 119906119907

Particolarmente importante egrave lrsquoespressione 119906119906 = 1198862 +1198872 In effetti

(119906119907)(119906119907) = (119906119906)(119907119907)

e inoltre esiste un unico numero reale non negativo che elevato al quadrato dia 119906119906Questo numero si chiama modulo di 119906

|119906| = radic119906119906

Per esempio il modulo di 119894 egrave 1 il modulo di 2+119894 egrave radic5 Nel caso in cui 119906 sia reale cioegrave119906 = 119906 il modulo egrave esattamente quello usuale

Egrave interessante notare che la disuguaglianza |119906+119907| le |119906|+|119907| vale anche nei numericomplessi Siccome si tratta di numeri reali non negativi la disuguaglianza puograve essereverificata elevando al quadrato siccome |119908|2 = 119908119908 dobbiamo verificare

(119906+ 119907)(119906+ 119907) le 119906119906+ 2|119906| |119907| + 119907119907

che equivale cancellando i termini uguali a

119907119906+119906119907 le 2|119906| |119907|

93 forma trigonometrica 179

Questa disuguaglianza egrave ovvia se il termine di sinistra egrave negativo Se il termine disinistra egrave non negativo possiamo di nuovo elevare al quadrato e la disuguaglianza daverificare egrave

11990721199062 + 2119906119906119907119907+11990621199072 le 4119906119906119907119907

che diventa(119907119906minus119906119907)2 le 0

Questa disuguaglianza egrave vera anche se ciograve sembra paradossale se poniamo 119908 = 119907119906 iltermine da elevare al quadrato egrave 119908minus119908 che ha parte reale nulla e quindi il suo quadratoegrave effettivamente le 0

Notiamo subito che non egrave possibile stabilire una relazione drsquoordine sui numeri com-plessi in modo che valgano proprietagrave analoghe a quelle sui numeri reali Non egrave unproblema in tutte le disuguaglianze che abbiamo scritto ambo i membri erano numerireali non egrave reale 119907119906minus119906119907 ma il suo quadrato sigrave

Che succede ai numeri complessi di modulo 1 Egrave evidente |119906| = 1 equivale a

119906119906 = 1

e quindi 119906 egrave lrsquoinverso di 119906 Come facciamo a trovare lrsquoinverso di un numero complessoqualsiasi diverso da 0 Semplice razionalizziamo

1119886+ 119887119894 = 119886minus 119887119894

1198862 +1198872 = 1198861198862 +1198872 + minus119887

1198862 +1198872 119894

e siccome 119886 + 119887119894 ne 0 lrsquoinverso esiste Se lo vogliamo scrivere senza far ricorso allaparte reale e alla parte immaginaria abbiamo

119906minus1 = |119906|minus2119906

Infatti119906(|119906|minus2119906) = |119906|minus2119906119906 = |119906|minus2|119906|2 = 1

Per ultimo osserviamo che| |119906|minus1119906| = 1

e quindi ogni numero complesso non nullo si puograve scrivere (in modo unico) come pro-dotto di un numero reale positivo il modulo per un numero complesso di modulo 1

93 forma trigonometrica

Vediamomeglio che cosa possiamo fare con i numeri complessi di modulo 1 se |119906| = 1con 119906 = 119886+ 119887119894 abbiamo evidentemente 1198862 + 1198872 = 1 e quindi sappiamo che esiste unnumero reale 120572 determinato a meno di multipli interi di 2120587 tale che

119886 = cos120572 119887 = sin120572

Quindi 119906 = cos120572+119894 sin120572 e questo numero 120572 si chiama argomento di 119906 Il fatto che nonsia determinato univocamente non dagrave problemi Proviamo a moltiplicare due numericomplessi di modulo 1

(cos120572+ 119894 sin120572)(cos120573+ 119894 sin120573) = (cos120572 cos120573minus sin120572 sin120573)+ 119894(sin120572 cos120573+ cos120572 sin120573)

= cos(120572+ 120573) + 119894 sin(120572+ 120573)

180 i numeri complessi

I numeri complessi di modulo 1 si moltiplicano semplicemente sommando gli argo-menti Se ci ricordiamo di questo fatto non occorre nemmeno ricordare le formule diaddizione di seno e coseno

Se 120573 = 120572 troviamo la formula di duplicazione o piugrave in generale la formula permultipli qualsiasi che si chiama formula di De Moivre

(cos120572+ 119894 sin120572)119899 = cos(119899120572) + 119894 sin(119899120572)

Per esempio possiamo sviluppare la potenza per 119899 = 3 e trovare la formula di triplica-zione

cos3120572+ 119894 sin3120572 = (cos120572+ 119894 sin120572)3

= cos3 120572+ 3119894 cos2 120572 sin120572+ 31198942 cos120572 sin2 120572+ 1198943 sin3 120572= (cos3 120572minus 3 cos120572 sin2 120572)+ 119894(3 cos2 120572 sin120572minus sin3 120572)

che possono anche essere lette come

cos3120572 = cos3 120572minus 3 cos120572 sin2 120572sin3120572 = 3 cos2 120572 sin120572minus sin3 120572

La forma trovata per i numeri di modulo 1 puograve essere estesa a tutti i numeri com-plessi diversi da 0 Infatti come abbiamo visto |119906|minus1119906 ha modulo 1 se 119906 ne 0 perciograve

119906 = |119906|(cos120572+ 119894 sin120572)

dove 120572 egrave determinato a meno di multipli interi di 2120587 Questa egrave la cosiddetta formatrigonometrica dei numeri complessi

Il classico problema di trovare le radici 119899-esime dei numeri complessi si risolve fa-cilmente dato 119906 = 120588(cos120572 + 119894 sin120572) dove 120588 = |119906| gt 0 vogliamo trovare i numericomplessi 119907 = 120590(cos120573 + 119894 sin120573) tali che 119907119899 = 119906 La formula di De Morgan dice allorache deve valere

120590119899(cos(119899120573) + 119894 sin(119899120573)) = 120588(cos120572+ 119894 sin120572)

cioegrave 120590 = 119899radic120588 e119899120573 = 120572+ 2119896120587 (119896 intero)

Se vogliamo trovare le radici 119899-esime distinte ci basteragrave far variare 119896 tra 0 e 119899 minus 1percheacute le altre lsquosoluzionirsquo corrispondono ad angoli che differiscono da quelli giagrave trovatiper multipli interi di 2120587 e quindi avremo

120572119899 120572+ 2120587

119899 120572+ 4120587119899 hellip 120572+ 2(119899minus 1)120587

119899

dimostrando che ogni numero complesso diverso da 0 ha esattamente 119899 radici 119899-esimedistinte

La notazione cos120572 + 119894 sin120572 egrave pesante cosigrave spesso si abbrevia in cis120572 Si noti lasomiglianza non casuale di questa funzione con lrsquoesponenziale

cis(120572+ 120573) = cis120572 cis120573

Vogliamo risolvere il seguente problema trovare una formula per

119886119899 = sin120572+ sin(2120572) +⋯+ sin(119899120572)119887119899 = 1+ cos120572+ cos(2120572) +⋯+ cos(119899120572)

94 interpretazione geometrica 181

Se moltiplichiamo la prima per 119894 e sommiamo le due troviamo

119887119899 + 119894119886119899 = cis(0120572) + cis(1120572) +⋯+ cis(119899120572)

che egrave la somma di una progressione geometrica

119887119899 + 119894119886119899 = (cis120572)0 + (cis120572)1 + (cis120572)2 +⋯+ (cis120572)119899

= (cis120572)119899+1 minus 1cis120572minus 1

= cis((119899+ 1)120572) minus 1cis120572minus 1

naturalmente quando cis120572 ne 1 cioegrave 120572 ne 0 (o multipli interi di 2120587) ma in questo caso la sommada cercare egrave banale

Una forma molto interessante si trova raccogliendo cis((119899+ 1)1205722) al numeratore e cis(1205722)al denominatore per evitare notazioni pesanti poniamo 120573 = 1205722 e 120574 = (119899+ 1)120573

119887119899 + 119894119886119899 = cis120574cis120573

cis120574minus cis120574cis120573minus cis120573

Egrave facile dunque scrivere le espressioni per 119886119899 e 119887119899 ricordando che cis120575minus cis120575 = 2119894 sin120575

119887119899 = sin((119899+ 1)1205722)sin(1205722) cos 119899120572

2

119886119899 = sin((119899+ 1)1205722)sin(1205722) sin 119899120572

2

94 interpretazione geometrica

I numeri complessi rimasero unrsquoentitagrave vista con molto sospetto fino a che Argand eGauszlig ne diedero unrsquoevidente interpretazione geometrica se vediamo un numero com-plesso come un punto del piano adoperandone la parte reale e la parte immaginariacome coordinate in un sistema di riferimento cartesiano lrsquoaddizione corrisponde allanota regola del parallelogramma e la moltiplicazione a una rotazione attorno allrsquoorigineseguita da un allungamento o una contrazione

Supponiamo di voler calcolare le coordinate del punto simmetrico rispetto a un assedel punto di coordinate (119904 119905) Facciamo lrsquoipotesi semplificatrice che lrsquoasse passi perlrsquoorigine e che non sia lrsquoasse delle ordinate (in questo caso non crsquoegrave alcuna difficoltagrave)

Se la retta ha equazione 119910 = 119898119909 sappiamo che 119898 = tan120572 dove 120572 egrave lrsquoangolo for-mato con il semiasse positivo delle ascisse Possiamo allora ruotare il punto attornoallrsquoorigine di un angolo minus120572 calcolare il simmetrico rispetto allrsquoasse delle ascisse e ruo-tare di un angolo 120572 Siccome il simmetrico rispetto allrsquoasse delle ascisse egrave il coniugatole operazioni da eseguire sono ponendo 119906 = 119904+ 119905119894

119906 ↦ 119906 cis(minus120572) ↦ 119906 cis(minus120572) = 119906 cis120572 ↦ 119906 cis120572 cis120572 = 119906 cis(2120572)

Quindi il simmetrico egrave

(119904 minus 119905119894) cis(2120572) = 119904 cos(2120572) + 119905 sin(2120572) + 119894(119904 sin(2120572) minus 119905 cos(2120572))

Allora ricordando le note formule e che 119898 = tan120572

cos(2120572) = 1minus1198982

1 +1198982 sin(2120572) = 21198981+1198982

possiamo scrivere che il simmetrico di (119904 119905) ha coordinate

(119904(1 minus1198982) + 21198981199051+1198982 2119898119904minus 119905(1 minus1198982)

1 +1198982 )

182 i numeri complessi

formula decisamente piugrave complicataSe vogliamo calcolare la semidistanza 119889 tra un punto e il suo simmetrico ci basta

calcolare il modulo della differenza

2119889 = |119906minus119906 cis(2120572)|

Ricordando che |cis(minus120572)| = 1

2119889 = |119906minus119906 cis(2120572)| sdot |cis(minus120572)|= |119906 cis(minus120572) minus119906 cis120572|= |119906 cis(minus120572) minus119906 cis(minus120572)|

e il termine dentro il modulo egrave il doppio della parte immaginaria di

(119904 + 119905119894)(cos120572minus 119894 sin120572)

cioegrave

119889 = |minus119904 sin120572+ 119905 cos120572|= |cos120572| |119905 minus119898119904|

= |119905 minus119898119904|radic1+1198982

come ben noto dalla formula della distanza di un punto da una rettaIl caso generale in cui la retta ha equazione 119910 = 119898119909 + 119902 si tratta eseguendo una

traslazione iniziale (119906 ↦ 119906minus119902119894) che poi viene eseguita a rovescio alla fine

119906 ↦ (119906minus 119902119894) cis(2120572) + 119902119894

e il calcolo della distanza egrave molto simile Si puograve anche traslare rispetto a un qualsiasi119908che corrisponda a un punto della retta e cosigrave la formula funziona anche quando la rettaegrave parallela allrsquoasse delle ordinate se prendiamo la retta di equazione 119909 = 119886 abbiamo120572 = 1205872 e per esempio 119908 = 119886 allora il corrispondente di 119906 egrave il punto

(119906minus 119886) cis120587+119886 = minus(119906minus119886) + 119886 = minus119906+ 2119886

come ci si attendePer la simmetria centrale rispetto allrsquoorigine la trasformazione egrave 119906 ↦ minus119906 per la

simmetria centrale rispetto al punto di coordinate (119886119887) poniamo 119908 = 119886+119887119894 e quindila trasformazione egrave

119906 ↦ minus(119906minus119908)+119908 = minus119906+ 2119908Se vogliamo invece una rotazione di un angolo 120572 rispetto allrsquoorigine la trasformazio-ne egrave 119906 ↦ 119906 cis120572 che per la rotazione attorno a 119908 inteso come punto del piano latrasformazione egrave

119906 ↦ (119906minus119908) cis120572+119908Proviamo come semplice applicazione a calcolare la composizione di due simmetrie

assiali rispetto a due rette incidenti Se la prima ha coefficiente angolare 119898 = tan120572 laseconda coefficiente angolare 119899 = tan120573 e il punto di intersezione egrave 119908 il risultato finaledella composizione applicata al punto 119906 egrave

(119907 minus119908) cis2120573+119908 = 119907 cis2120573minus119908 cis2120573+119908

dove 119907 = (119906minus119908) cis2120572+119908 Quindi otteniamo

119906 ↦ (119906minus119908)cis2120572 cis2120573+119908 cis2120573minus119908 cis2120573+119908= (119906minus119908) cis(2120573 minus 2120572) +119908

che egrave evidentemente una rotazione con centro 119908 Si provi che invece la composizionedi due simmetrie assiali rispetto a due rette parallele egrave una traslazione

95 il teorema fondamentale 183

95 il teorema fondamentale

I numeri complessi sono importanti per una proprietagrave che fu intuita fin dal sedicesimosecolo e dimostrata seppure in modo incompleto da Jean-Baptiste Le Rond DrsquoAlembert(1717ndash1783) la prima dimostrazione rigorosa fu data da Carl Friedrich Gauszlig (1777ndash1855)nella sua tesi di laurea (1799)

Siccome nei complessi si puograve parlare di somme emoltiplicazioni ha senso il concettodi polinomio a coefficienti complessi una funzione del tipo

119911 ↦ 1198860 +1198861119911+⋯+119886119899119911119899

dove 1198860 1198861 hellip 119886119899 sono numeri complessi

t e o r ema f ondam en t a l e Ogni polinomio di grado maggiore di zero acoefficienti complessi ha una radice complessa

La dimostrazione richiede tecniche fuori dalla portata di queste note ne vediamosolo qualche conseguenza

La prima conseguenza egrave che ogni polinomio di grado 119899 gt 0 si scrive come

119886119899(119911 minus 1199061)(119911 minus 1199062)hellip(119911minus119906119899)

dove le radici 119906119895 possono anche essere ripetute Infatti il teorema fondamentale diceche una radice 1199061 esiste quindi il polinomio egrave divisibile per 119911 minus 1199061 con quoziente digrado 119899 minus 1 e si puograve ripetere il procedimento fino a che il grado del quoziente egrave 1In effetti egrave chiaro che la dimostrazione del cosiddetto teorema di Ruffini si estende apolinomi a coefficienti complessi

Seconda conseguenza se un polinomio a coefficienti reali egrave irriducibile allora hagrado 1 oppure 2

l e mma Se 119906 egrave una radice complessa del polinomio 119875(119911) = 1198860 +1198861119911+⋯+119886119899119911119899

a coefficienti reali allora anche 119906 egrave radice di 119875

Per ipotesi si ha 1198860 +1198861119906+⋯+119886119899119906119899 = 0 allora abbiamo

0 = 0 = 1198860 +1198861119906+⋯+119886119899119906119899 = 1198860 +1198861119906+⋯+119886119899119906119899

che egrave esattamente la tesi Si noti che abbiamo usato il fatto che 119886119895 = 119886119895 percheacute icoefficienti sono reali

t e o r ema Se 119875 egrave un polinomio irriducibile a coefficienti reali di grado maggioredi 1 allora 119875 ha grado 2 e discriminante negativo

Se 119875 ha una radice reale ed egrave irriducibile allora ha grado 1 per il teorema di RuffiniQuindi possiamo supporre che 119875 non abbia radici reali Ma siccome 119875 ha una radicecomplessa 119906 ha anche la radice 119906 e quindi egrave divisibile sia per 119909minus119906 (con 119909 indichiamola variabile del polinomio) sia per 119909minus119906 che sono polinomi irriducibili distinti quindi119875 egrave divisibile per

(119909 minus119906)(119909minus119906) = 1199092 minus (119906+119906)119909+119906119906che egrave a coefficienti reali Dunque il quoziente egrave un polinomio di grado 0 altrimenti 119875non sarebbe irriducibile Il discriminante di 119875 egrave negativo percheacute 119875 non ha radici realiDel resto a parte il quoziente di grado 0 il discriminante del polinomio appena scrittoegrave

1199062 + 2119906119906+1199062 minus 4119906119906 = (119906minus119906)2 lt 0

Questo naturalmente non significa che sappiamo calcolare la decomposizione in ognicaso egrave piugrave un risultato teorico che pratico che dice lrsquoimportanza di considerare i com-plessi come strumenti effettivi per la matematica e non solo come passaggi intermedida eliminare e nascondere

184 i numeri complessi

96 lrsquoesponenziale e il logaritmo complesso

Proviamo a calcolare la ldquoderivatardquo della funzione cis

cisprime 119905 = cosprime 119905 + 119894 sinprime 119905 = minus sin 119905 + 119894 cos 119905 = 119894(cos 119905 + 119894 sin 119905) = 119894 cis 119905

Si tratta solo di un calcolo formale che per ora non tenteremo di giustificare SeguendoEuler possiamo scrivere allora

cis 119905 = exp(119894119905)

percheacute sappiamo che se una funzione 119891 ha la proprietagrave che 119891prime = 119888119891 con 119888 costanteallora 119891(119909) = exp(119888119909) Euler allora definigrave la funzione esponenziale su un numerocomplesso come

exp(119909 +119910119894) = exp119909 cis119910

e osservograve che vale lrsquousuale proprietagrave

exp(119906+ 119907) = exp119906 exp119907

per numeri complessi qualsiasi 119906 e 119907 In particolare

cos119910 = 12(cis119910+ cis(minus119910)) = exp(119894119910) + exp(minus119894119910)

2

119894 sin119910 = 12(cis119910minus cis(minus119910)) = exp(119894119910) minus exp(minus119894119910)

2

Egrave molto utile definire due funzioni che hanno un comportamento molto simile allefunzioni trigonometriche

cosh 119905 = exp 119905 + exp(minus119905)2 sinh 119905 = exp 119905 minus exp(minus119905)

2

che si chiamano coseno iperbolico e seno iperbolico rispettivamente La relazione eule-riana dice che si possono definire coseno e seno su ogni complesso con

cos119906 = cosh(119894119906) sin119906 = 1119894 sinh(119894119906)

ottenendo funzioni che hanno le stesse proprietagrave formali per esempio le stesse formuledi addizione e periodo 2120587

La relazione che scrisse cioegrave exp(120587119894) = minus1 si puograve anche scrivere

119890120587119894 + 1 = 0

che egrave molto suggestiva Si puograve obiettare che non ha senso elevare 119890 a un lsquonumero im-maginariorsquo ma ha senso elevarlo a 120587 Egrave esattamente la stessa cosa fincheacute ci limitiamoa ubbidire alle definizioni non facciamo nulla di proibito e insensato

Ci poniamo il problema di trovare un numero complesso 119909+119910119894 con 119909 e 119910 reali taliche

exp(119909+119910119894) = 120588 cis120572

dove 119911 = 120588 cis120572 egrave un numero complesso non nullo fissato Lrsquoequazione diventa allora

exp119909 cis119910 = 120588 cis120572

che ha come soluzioni

119909 = log120588 119910 = 120572+ 2119896120587 (119896 intero)

97 serie di taylor 185

Quindi 119909 = log120588 e119910 egrave una qualsiasi delle determinazioni dellrsquoargomento di 119911 I numeriche hanno ldquologaritmo complessordquo puramente immaginario sono allora quelli per i quali119909 = 0 cioegrave 120588 = 1 i numeri complessi di modulo 1 Quelli che hanno (almeno un)ldquologaritmo complessordquo reale sono i numeri con 120572 = 0 cioegrave i numeri reali positivi Unnumero reale negativo ha come argomento120572 = 120587 se119909 egrave reale e119909 lt 0 un suo logaritmocomplesso egrave

log|119909| +120587119894

Il sogno di Johan Bernoulli che argomentava dicendo

log119909 = 12 log(1199092) = 1

2 log(|119909|2) = log|119909|

non si egrave avverato Purtroppo non si egrave avverato nemmeno il sogno di Euler che spe-rava di estendere le proprietagrave del logaritmo ai numeri complessi lrsquoindeterminazionedellrsquoargomento non permette di fare calcoli

Una potenza119886119887 puograve rappresentare un numero reale anche se119886 e 119887 non sono reali perdefinizione i valori assunti da 119886119887 sono quelli assunti da exp(119887 log119886) Occorre dunqueche 119887 log119886 assuma almeno un valore reale Per esempio i logaritmi complessi di minus1sono i numeri complessi della forma 119894(120587+2119896120587) quindi i valori di (minus1)minus119894 sono i numeridella forma 119890120587+2119896120587 Quanto fa 119894119894

97 serie di taylor

Supponiamo di avere una successione (119888119899) a valori complessi Siccome sappiamo scri-vere 119888119899 = 119886119899+119894119887119899 con 119886119899 e 119887119899 reali possiamo definire il limite della successione come119888 = 119886+ 119894119887 dove 119886 e 119887 sono i limiti delle due successioni trovate ammesso che esista-no La cosa interessante egrave che potremmo definire il limite in modo del tutto analogo aquanto fatto per le successioni a valori reali

t e o r ema Il limite della successione complessa (119888119899) vale 119888 se e solo se per ognitolleranza 120576 gt 0 esiste un 119896 tale che per ogni 119899 ge 119896 si abbia

|119888119899 minus 119888| lt 120576

Supponiamo che il limite valga 119888 = 119886 + 119894119887 secondo la definizione data e fissiamouna tolleranza 120576 gt 0 Allora sappiamo che esiste 119896 tale che per 119899 ge 119896 si abbia

|119886119899 minus119886| lt 1205762 e |119887119899 minus119887| lt 120576

2

Se 119911 = 119909+ 119894119910 sappiamo che

|119911| le |119909| + |119894119910| = |119909| + |119910|

e dunque per 119899 ge 119896 abbiamo

|119888119899 minus 119888| = |(119886119899 minus119886)+ 119894(119887119899 minus119887)| le |119886119899 minus119886| + |119887119899 minus119887| le 1205762 + 120576

2 = 120576

Viceversa supponiamo che la condizione dellrsquoenunciato valga Qui usiamo il fattoquasi ovvio che |119909| le |119911| e |119910| le |119911| per 119911 = 119909+ 119894119910 Allora da |119888119899 minus 119888| lt 120576 seguonole disuguaglianze richieste

|119886119899 minus119886| lt 120576 e |119887119899 minus119887| lt 120576

che provano la tesi

186 i numeri complessi

Una volta che sappiamo dare un senso al limite di una successione possiamo ancheparlare di serie Si puograve anche definire la convergenza assoluta allo stesso modo diprima la serie di termine generale (119888119899) converge assolutamente quando la serie ditermine generale (|119888119899|) converge Egrave un facile esercizio dimostrare che la convergenzaassoluta implica la convergenza

In particolare possiamo asserire che la serie di potenze sum119899ge0 119911119899119899 converge perogni 119911 complesso e quindi definire lrsquoesponenziale come

exp119911 = sum119899ge0

119911119899

119899

Se 119911 = 119894119910 abbiamo

exp(119894119910) = sum119899ge0

(119894119910)119899119899

= sum119899ge0

(minus1)119899 1199102119899

(2119899) + 119894 sum119899ge0

(minus1)119899 1199102119899+1

(2119899+ 1)

= cos119910+ 119894 sin119910 = cis119910

separando parte reale e parte immaginaria Si puograve anche dimostrare la relazione fon-damentale

exp(1199111 +1199112) = exp1199111 exp1199112

che perograve richiede alcuni calcoli piuttosto complicati sebbene non difficili

La regola dello sviluppo del binomio vale anche per i numeri complessi essendo basata solosulle regole formali delle operazioni

(119886 + 119887)119899 =119899

sum119896=0

(119899119896)119886119896119887119899minus119896

Possiamo dimostrarla considerando la funzione

119891(119909) = (119909+ 119887)119899 minus119899

sum119896=0

(119899119896)119909119896119887119899minus119896

che ha come derivata

119891prime(119909) = 119899(119909+ 119887)119899minus1 minus119899

sum119896=1

119896(119899119896)119909119896minus1119887119899minus119896

(il termine per 119896 = 0 sparisce) Nella somma cambiamo lrsquoindice 119896 ponendo 119896 = 119895+ 1

119891prime(119909) = 119899(119909+ 119887)119899minus1 minus119899minus1

sum119895=0

(119895 + 1)( 119899119895+ 1)119909

119895119887119899minus1minus119895

Ora consideriamo

(119895 + 1)( 119899119895+ 1) = (119895 + 1) 119899

(119895 + 1) (119899 minus 1minus 119895) = 119899 (119899minus 1)119895 (119899 minus 1minus 119895) = 119899(119899minus 1

119895 )

e dunque

119891prime(119909) = 119899(119909+ 119887)119899minus1 minus119899119899minus1

sum119895=0

(119899minus 1119895 )119909119895119887119899minus1minus119895

e per ipotesi induttiva possiamo supporre che

119899minus1

sum119895=0

(119899minus 1119895 )119909119895119887119899minus1minus119895 = (119909+ 119887)119899minus1

Dunque 119891prime(119909) = 0 cioegrave 119891 egrave costante Siccome 119891(0) = 119887119899 minus 119887119899 = 0 abbiamo lrsquouguaglianzarichiesta Il passo base dellrsquoinduzione cioegrave il caso di 119899 = 0 egrave ovvio

97 serie di taylor 187

Estendiamo la definizione del coefficiente binomiale (119899119896) anche per 119896 gt 119899 ponendo (119899119896) = 0 Inquesto modo possiamo scrivere (119886+119887)119899 = sum119896ge0 (119899119896)119886119896119887119899minus119896 come se fosse una serie almeno nelcaso di 119887 ne 0 Siccome vogliamo provare che exp(119886 + 119887) = exp119886 exp119887 il caso di 119887 = 0 non ci dagraveproblemi e quindi non egrave restrittivo assumere 119887 ne 0 Consideriamo dunque

119898

sum119899=0

(119886 + 119887)119899119899 =

119898

sum119899=0

1119899 sum119896ge0

(119899119896)119886119896119887119899minus119896 = sum

119896ge0119886119896

119898

sum119899=0

1119899 (

119899119896)119887

119899minus119896

La somma interna puograve essere scritta come

119898

sum119899=119896

1119899

119899119896 (119899 minus 119896)119887

119899minus119896 = 1119896

119898

sum119899=119896

1(119899minus 119896)119887

119899minus119896 = 1119896

119898minus119896

sum119897=0

119887119897

119897

La convenzione che funziona egrave che una somma in cui lrsquoindice inferiore egrave maggiore dellrsquoindicesuperiore vale 0 Dunque otteniamo

119898

sum119899=0

(119886 + 119887)119899119899 = sum

119896ge0

119886119896

119896 (119898minus119896

sum119897=0

119887119897

119897 )

Se ora calcoliamo il limite per 119898 rarr +infin la parentesi interna diventa exp119887 e quindi abbiamoesattamente lrsquouguaglianza richiesta In alcuni passaggi occorrerebbe maggiore cautela ma ciaccontentiamo

Questa nuova definizione dellrsquoesponenziale egrave del tutto equivalente a quella dataprima visto che per le proprietagrave appena esaminate si ottiene

exp(119909 + 119894119910) = exp119909 cis119910

Si usa definire tramite questa funzione anche le funzioni trigonometriche

cos119911 = exp(119894119911) + exp(minus119894119911)2 sin119911 = exp(119894119911) minus exp(minus119894119911)

2119894

per ogni 119911 complesso Quando 119911 egrave reale infatti si hanno proprio le identitagrave chederivano da exp(119894119910) = cis119910 Si definisce di solito anche

cosh119911 = exp(119911) + exp(minus119911)2 sinh119911 = exp(119911) minus exp(minus119911)

2

cosiccheacutecos119911 = cosh(119894119911) sin119911 = 1

119894 sinh(119894119911)

IND ICE DE I NOMI

Archimede 111

Barrow Isaac 114Bernoulli Daniel 41Bernoulli Jakob 41Bernoulli Jakob II 41Bernoulli Johann 41Bernoulli Johann II 41Bernoulli Johann III 41Bernoulli Nicolaus 41Bernoulli Nicolaus II 41Bolzano Bernard 41

Cantor Georg 167Cardano Girolamo 175Cartesio vedi DescartesCauchy Augustin-Louis 27Cavalieri Bonaventura 113

DrsquoAlembert Jean-Baptiste Le Rond 183Dedekind Richard 167del Ferro Scipione 175Descartes Reacuteneacute 111Dirichlet Peter Gustav Lejeune 24

Eudosso 111Euler Leonhard 41

Fermat Pierre de 13Ferrari Lodovico 175Fontana Nicolograve vedi Tartaglia

Galilei Galileo 113Gauszlig Carl Friedrich 183Gregory James 152

Hadamard Jacques 161Heine Heinrich Eduard 27Hocircpital Guillaume Franccedilois Antoine

de lrsquo 57

Kauffmann Nikolaus 150

lrsquoHocircpital vedi HocircpitalLagrange Giuseppe Luigi

(Joseph-Louis) 41Lambert Johann Heinrich 80Lebesgue Henri 115Legendre Adrien-Marie 145Leibniz Gottfried Wilhelm von 17Lindemann Ferdinand von 111Liouville Joseph 167

Mascheroni Lorenzo 166Mengoli Pietro 135Mercator vedi Kauffmann

Newton Isaac 113

Pitagora 150

Riemann Bernhard 114Rolle Michel 52

Tartaglia Nicolograve 175Torricelli Evangelista 113

Viegravete Franccedilois 176

Wantzel Pierre 111Weierstraszlig Karl 27

189

• Indice
• Elenco delle figure
• Elenco delle tabelle
• 0 Nozioni di base
• • 01 Numeri reali
  • 02 Funzioni
  • 03 Induzione
  • • 1 Curve e tangenti
    • • 11 Il metodo di Fermat
      • 12 Come giustificare il metodo di Fermat
      • 13 Il logaritmo e lesponenziale
      • 14 Derivata e tangente
      • 15 Curve algebriche
      • 16 Seno e coseno
      • 17 Problemi
      • • 2 Continuitagrave
        • • 21 Teoremi sulla continuitagrave
          • 22 Limiti
          • 23 Il teorema di Bolzano sugli zeri
          • 24 Tecniche di calcolo dei limiti
          • 25 Funzioni composte
          • • 3 Funzioni derivabili
            • • 31 I teoremi sulle funzioni derivabili
              • 32 I teoremi di Cauchy e di lHocircpital
              • 33 Derivata della funzione inversa
              • • 4 Limiti
                • • 41 Limiti infiniti
                  • 42 Limiti allinfinito
                  • 43 Forme indeterminate
                  • 44 Ordini di infinitesimo
                  • • 5 Studi di funzione
                    • • 51 Equazioni non algebriche
                      • 52 Procedura per lo studio di una funzione
                      • 53 Asintoti
                      • 54 Esempi
                      • 55 Unapplicazione
                      • 56 Convessitagrave e derivata seconda
                      • 57 Successioni
                      • 58 La formula di Taylor
                      • 59 Calcolo di limiti con gli sviluppi di Taylor
                      • 510 Curvatura
                      • • 6 Integrali
                        • • 61 Calcolo delle aree
                          • 62 Integrazione
                          • 63 Il logaritmo e lesponenziale
                          • 64 Tecniche di integrazione
                          • 65 Le funzioni iperboliche
                          • 66 Esistenza delloperatore integrale
                          • 67 Disuguaglianze
                          • 68 Frazioni algebriche e integrali
                          • 69 Integrali e aree
                          • 610 Integrali impropri
                          • 611 La funzione Gamma
                          • 612 Integrazione numerica
                          • • 7 Serie
                            • • 71 Integrali e successioni
                              • 72 Altre successioni
                              • 73 Definizione di serie
                              • 74 Criteri di convergenza
                              • 75 Serie a termini positivi
                              • 76 Convergenza assoluta
                              • 77 Serie di potenze
                              • 78 La serie binomiale
                              • 79 Una serie migliore per il calcolo del logaritmo
                              • 710 La serie armonica e i logaritmi
                              • • 8 I numeri reali
                                • • 81 Gli assiomi
                                  • 82 Lassioma di continuitagrave
                                  • 83 Il teorema di unicitagrave
                                  • 84 La costruzione di Dedekind
                                  • 85 La costruzione di Weierstrass
                                  • 86 La costruzione di Cantor
                                  • • 9 I numeri complessi
                                    • • 91 Operazioni sui numeri complessi
                                      • 92 Coniugato di un numero complesso
                                      • 93 Forma trigonometrica
                                      • 94 Interpretazione geometrica
                                      • 95 Il teorema fondamentale
                                      • 96 Lesponenziale e il logaritmo complesso
                                      • 97 Serie di Taylor
                                      • • Indice dei nomi

Questo testo egrave pubblicato secondo la licenza Creative Commons CC BY-NC-ND

httpscreativecommonsorglicenseslang=it

IND ICE

elenco delle figure 5

elenco delle tabelle 5

0 nozioni di base 701 Numeri reali 702 Funzioni 1003 Induzione 11

1 curve e tangenti 1311 Il metodo di Fermat 1312 Come giustificare il metodo di Fermat 1613 Il logaritmo e lrsquoesponenziale 1814 Derivata e tangente 1915 Curve algebriche 2016 Seno e coseno 2217 Problemi 24

2 continuitagrave 2721 Teoremi sulla continuitagrave 3022 Limiti 3423 Il teorema di Bolzano sugli zeri 4124 Tecniche di calcolo dei limiti 4525 Funzioni composte 48

3 funzioni derivabili 5131 I teoremi sulle funzioni derivabili 5232 I teoremi di Cauchy e di lrsquoHocircpital 5633 Derivata della funzione inversa 60

4 limiti 6541 Limiti infiniti 6542 Limiti allrsquoinfinito 7143 Forme indeterminate 7544 Ordini di infinitesimo 77

5 studi di funzione 7951 Equazioni non algebriche 7952 Procedura per lo studio di una funzione 8253 Asintoti 8354 Esempi 8655 Unrsquoapplicazione 8856 Convessitagrave e derivata seconda 9157 Successioni 9658 La formula di Taylor 10259 Calcolo di limiti con gli sviluppi di Taylor 107510 Curvatura 109

3

4 indice

6 integrali 11161 Calcolo delle aree 11162 Integrazione 11463 Il logaritmo e lrsquoesponenziale 11864 Tecniche di integrazione 12365 Le funzioni iperboliche 12866 Esistenza dellrsquooperatore integrale 13067 Disuguaglianze 13368 Frazioni algebriche e integrali 13669 Integrali e aree 139610 Integrali impropri 141611 La funzione Gamma 144612 Integrazione numerica 146

7 serie 14971 Integrali e successioni 14972 Altre successioni 15173 Definizione di serie 15274 Criteri di convergenza 15475 Serie a termini positivi 15676 Convergenza assoluta 15877 Serie di potenze 15978 La serie binomiale 16379 Una serie migliore per il calcolo del logaritmo 165710 La serie armonica e i logaritmi 165

8 i numeri reali 16781 Gli assiomi 16782 Lrsquoassioma di continuitagrave 16883 Il teorema di unicitagrave 17084 La costruzione di Dedekind 17185 La costruzione di Weierstrass 17286 La costruzione di Cantor 173

9 i numeri complessi 17591 Operazioni sui numeri complessi 17792 Coniugato di un numero complesso 17893 Forma trigonometrica 17994 Interpretazione geometrica 18195 Il teorema fondamentale 18396 Lrsquoesponenziale e il logaritmo complesso 18497 Serie di Taylor 185

indice dei nomi 189

ELENCO DELLE F IGURE

Figura 1 Grafico di 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 14Figura 2 Definizioni di log119886 tramite la curva 119909119910 = 1 le due aree colorate sono uguali

e valgono log119886 per definizione 18Figura 3 Il calcolo del rapporto di Fermat per log119909 18Figura 4 Definizione di seno e coseno 23Figura 5 Calcolo di lim

119911rarr0119911 log119911 46

ELENCO DELLE TABELLE

Tabella 1 Approssimazione di 4radic12 27Tabella 2 Tabella delle regole di derivazione e delle derivate delle principali funzio-

ni 63Tabella 3 Procedura per il calcolo del limite di una frazione algebrica a una radice del

denominatore 69

5

0NOZ ION I D I BASE

01 numeri reali

Lrsquoinsieme numerico che useremo saragrave quello dei numeri reali che saranno descrittipiugrave in dettaglio nel capitolo 8 In questo capitolo introduttivo ne esporremo le piugraveimportanti proprietagrave in base a quello che ci serviragrave in seguito

I numeri reali sono la controparte algebrica della retta geometrica e di quello chegli antichi geometri chiamavano grandezza riferendosi alla misura dei segmenti Lateoria delle grandezze si basa su due assunti fondamentali

1 date due grandezze (omogenee) diverse esiste un multiplo della minore che supera lamaggiore

2 date due serie di grandezze 1198861 1198862hellip e 1198871 1198872hellip la prima crescente e la seconda de-crescente in cui ogni 119886119896 egrave minore di ogni 119887119896 e tali che per ogni altra grandezza 119889 siha 119887119896 minus 119886119896 lt 119888 per qualche 119896 allora esiste una grandezza 119888 tale che 119886119896 le 119888 le 119887119896 perogni 119896

In realtagrave la prima proprietagrave veniva assunta come definizione di grandezze omoge-nee dopo aver chiarito che cosa significa ldquomultiplordquo (si pensi solo ai segmenti per nonandare in cerca di complicazioni) La seconda proprietagrave egrave quella che permise ad Archi-mede di confrontare la misura della circonferenza con lrsquoarea del cerchio trovando lafamosa relazione secondo la quale il rapporto fra circonferenza e diametro egrave ugualeal rapporto fra area del cerchio e quadrato del raggio il numero che oggi si denotauniversalmente con 120587

Gli antichi consideravano solo grandezze positive non egrave un vero problema aggiun-gere lo zero e i numeri negativi anzi egrave un arricchimento delle proprietagrave algebriche Ilsucco del discorso egrave che i numeri reali forniscono un sistema di coordinate sulla rettaogni punto della retta puograve essere fatto corrispondere a un numero reale e viceversarispettando lrsquoordinamento una volta che sulla retta si fissi unrsquoorigine e unrsquounitagrave dimisura cioegrave due punti corrispondenti rispettivamente a 0 e 1

Il problema che avevano Archimede Euclide e gli altri geometri greci era quello chealcune coppie di grandezze sono commensurabili cioegrave hanno un sottomultiplo comunee altre no Non ci porremo il problema se non per sottolineare che questo dagrave origine alladistinzione fra numeri razionali e irrazionali Fissato un sistema di coordinate su unaretta un punto corrisponde a un numero razionale se il segmento con estremi lrsquooriginee il punto stesso egrave commensurabile con lrsquounitagrave di misura altrimenti corrisponde a unnumero irrazionale I numeri razionali sono i rapporti tra numeri interi comrsquoegrave chiarodalla definizione stessa di commensurabilitagrave Lrsquoesistenza di numeri irrazionali egrave bennota non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia 2 ma un segmento cheabbia una tale lunghezza egrave facilmente costruibile con il teorema di Pitagora applicatoa un triangolo rettangolo isoscele

Nella trattazionemoderna la distinzione non ha piugravemolta importanza se non a livellofilosofico ed epistemologico visto che le misure effettive dei fenomeni fisici sono solonumeri razionali Percheacute la matematica delle grandezze ldquocontinuerdquo (cioegrave i numeri reali)possa essere applicata in fisica e funzioni egrave un problema filosofico e non matematico

In notazioni usuali la prima proprietagrave (assioma di Eudosso-Archimede) si puograve scri-vere dati i numeri reali 119886 e 119887 con 0 lt 119886 lt 119887 esiste un intero positivo 119899 tale che 119899119886 gt 119887La seconda proprietagrave si puograve esprimere come assioma degli ldquointervalli inscatolatirdquo datauna successione [119886119899 119887119899] di intervalli tali che per ogni 119899

[119886119899+1 119887119899+1] sube [119886119899 119887119899]

7

8 nozioni di base

esiste un numero reale 119888 che appartiene a tutti gli intervalliCon la notazione [119886 119887] intendiamo lrsquoinsieme di tutti i numeri reali 119903 tali che 119886 le

119903 le 119887 La parentesi tonda invece di quella quadra (a sinistra o a destra o entrambe)significa sostituire le con lt Si noti che nellrsquoenunciato precedente le parentesi quadrenon possono essere sostituite dalle parentesi tonde se consideriamo 119886119899 = 0 e 119887119899 =1119899 per 119899 gt 0 (con 1198870 = 1) non esiste alcun numero reale che appartiene a tutti gliintervalli della forma (0 1119899)

Se esistesse un tale numero 119903 dovremmo avere 119903 gt 0 e anche 119903 lt 1119899 per ogni119899 gt 0 contraddicendo lrsquoassioma di Eudosso-Archimede In altre parole non potremmoprendere 119903 come unitagrave di misura per impostare un altro sistema di coordinate sullaretta

La proprietagrave degli intervalli inscatolati si puograve esprimere in modo diverso ma primadovremo introdurre un porsquo di terminologia Dato un insieme (non vuoto) 119860 di numerireali diremo che un numero reale 119903 egrave il massimo di 119860 se 119903 isin 119860 e 119886 le 119903 per ogni 119886 isin 119860Fin qui niente di difficile Ma anche insiemi molto ben educati come (0 1) non hannomassimo se 119903 fosse il massimo avremmo subito una contraddizione percheacute

119903 lt 119903+ 12 lt 1

e il numero (119903 + 1)2 certamente appartiene allrsquointervallo (0 1)Esiste un concetto molto piugrave flessibile di quello di massimo quello di estremo supe-

riore Un numero 119903 egrave lrsquoestremo superiore di 119860 se

1 119886 le 119903 per ogni 119886 isin 119860

2 per ogni 120576 gt 0 esiste 119886 isin 119860 tale che 119903minus 120576 lt 119886

Si noti che il massimo di un insieme ne egrave anche lrsquoestremo superiore percheacute possiamoscegliere proprio il massimo come elemento 119886 nella seconda clausola Invece 1 egrave lrsquoe-stremo superiore di (0 1) non egrave affatto richiesto che lrsquoestremo superiore appartengaallrsquoinsieme Che 119886 le 1 per ogni 119886 isin (0 1) egrave chiaro Supponiamo che 120576 gt 0 alloraabbiamo certamente

1 minus 120576 lt 1+ (1 minus 120576)2 = 2minus 120576

2 lt 1

e quindi anche la seconda clausola egrave soddisfattaSi lascia come esercizio la definizione di minimo e di estremo inferioreDimostriamo ora il fatto importante che lrsquoestremo superiore se esiste egrave unico Sup-

poniamo infatti che 119903 e 119904 con 119903 lt 119904 abbiano entrambi diritto di chiamarsi estremosuperiore di 119860 Per la definizione usando 120576 = 119904 minus 119903 sappiamo che esiste 119886 isin 119860 taleche

119904 minus (119904 minus 119903) lt 119886

cioegrave 119903 lt 119886 che contraddice la prima clausola per 119903Qual egrave una condizione necessaria per lrsquoesistenza dellrsquoestremo superiore Che lrsquoinsie-

me 119860 abbia un maggiorante cioegrave un numero 119898 tale che 119886 le 119898 per ogni 119886 isin 119860 (primaclausola) La condizione egrave sufficiente Sigrave e la risposta egrave nella proprietagrave degli intervalliinscatolati

Partiamo da un elemento 1198860 isin 119860 e prendiamo un maggiorante 1198980 di 119860 Definiamo 1198870 =(1198860 +1198980)2 Ci sono due possibilitagrave che 1198870 sia un maggiorante di 119860 o che non lo sia Nel primocaso definiamo 1198981 = 1198870 e 1198861 = 1198860 nel secondo caso esiste 1198861 isin 119860 con 1198861 gt 1198870 e definiamo1198981 = 1198980

A questo punto possiamo procedere allo stesso modo se siamo arrivati al passo 119896 abbiamodue casi che 119887119896 = (119886119896+119898119896)2 sia unmaggiorante di119860 o che non lo sia Nel primo caso definiamo119898119896+1 = 119887119896 e 119886119896+1 = 119886119896 nel secondo esiste 119886119896+1 isin 119860 con 119886119896+1 gt 119887119896 e definiamo 119898119896+1 = 119898119896

01 numeri reali 9

Si noti che 1198981 minus1198861 le (1198980 minus1198860)2 e piugrave in generale che

119898119896+1 minus119886119896+1 le 119898119896 minus1198861198962

e quindi 119898119896 minus119886119896 le (1198980 minus1198860)2119896Per costruzione si ha [119886119896+1 119898119896+1] sube [119886119896 119898119896] e quindi sappiamo che esiste 119903 appartenente

a tutti gli intervalli Vogliamo dimostrare che 119903 egrave un maggiorante di 119860 Se non lo egrave troviamo119886 isin 119860 con 119886 gt 119903 Tuttavia possiamo trovare 119896 tale che 119898119896 lt 119886 percheacute 119898119896 minus 119903 le (1198980 minus 1198860)2119896

(si completi) e questa egrave una contraddizione visto che 119898119896 egrave un maggiorante di 119860Analogamente se 120576 gt 0 esiste 119896 tale che (1198980minus1198860)2119896 lt 120576 e dunque 119903minus120576 non egrave unmaggiorante

di 119860 (si completi)Abbiamo usato lrsquoassioma di Eudosso-Archimede piugrave lrsquoovvia disuguaglianza 2119896 gt 119896

Una caratterizzazione dellrsquoestremo superiore di un insieme dotato di un maggioran-te egrave ldquolrsquoestremo superiore di un insieme con un maggiorante egrave il minimo maggioranterdquoLa si dimostri per esercizio Lrsquoesistenza del minimo maggiorante (ammesso che lrsquoin-sieme dei maggioranti non sia vuoto) egrave proprio lrsquooggetto del ragionamento che stiamoseguendo

Non crsquoegrave bisogno di rifare tutto per lrsquoestremo inferiore Se 119860 egrave un insieme non vuotocon un minorante 119898 allora lrsquoinsieme 119860prime degli opposti degli elementi di 119860 ha minus119898 co-me maggiorante e quindi ha estremo superiore 119903 egrave davvero facile verificare che minus119903 egravelrsquoestremo inferiore di 119860

La proprietagrave dellrsquoestremo superiore egrave in effetti equivalente a quella degli intervalliinscatolati basta prendere come 119886 lrsquoestremo superiore degli 119886119896 e 119887 lrsquoestremo inferioredei 119887119896 verificando che lrsquointervallo [119886 119887] egrave contenuto in tutti gli intervalli inscatolati[119886119896 119887119896]

A pagina 170 si puograve trovare una dimostrazione dellrsquoesistenza delle radici quadrate deinumeri reali positivi Piugrave avanti scopriremo un metodo che non solo fornisce le radiciquadrate ma anche le cubiche quarte e cosigrave via senza far uso di queste proprietagrave senon in modo implicito

Per finire le notazioni Dato un insieme non vuoto di numeri reali 119860 denoteremocon

max119860 sup119860 min119860 inf 119860rispettivamente massimo estremo superiore minimo ed estremo inferiore di 119860 nelcaso esistano Talvolta si trova sup119860 = +infin se 119860 non ha un maggiorante e inf 119860 = minusinfinse non ha un minorante Si tratta solo di notazione ritroveremo questi simboli piugraveavanti

Estenderemo il campionario degli intervalli anche a quelli illimitati se 119886 egrave un numeroreale (119886 rarr) denota lrsquoinsieme dei reali maggiori di 119886 [119886 rarr) quello di prima con inpiugrave 119886 Similmente per (larr 119886) e (larr 119886] Molti scrivono +infin invece di rarr e minusinfin per larr

Si noti che non sono gli unici insiemi senza maggioranti o minoranti Lrsquoinsieme deinumeri razionali non ha neacute maggioranti neacute minoranti ma si guarda bene dallrsquoessereun intervallo percheacute tra due razionali distinti esiste almeno un numero irrazionale (difatto infiniti)

Lrsquoinsieme dei reali si denoteragrave con ℝ (potrebbe anche essere (larr rarr)) quello deirazionali con ℚ e quello dei naturali con ℕ

Vediamo una dimostrazione relativa allrsquoestremo superiore Supponiamo che 119860 e 119861 siano in-siemi non vuoti di numeri reali e definiamo 119860+119861 come lrsquoinsieme che contiene tutte le somme dielementi di 119860 con elementi di 119861 Per esempio se 119860 = 1 2 e 119861 = 0 3 avremo

119860+119861 = 1+ 0 1 + 3 2 + 0 2 + 3 = 1 2 4 5

ma neacute 119860 neacute 119861 saranno necessariamente finiti Proviamo che se 119860 e 119861 hanno un maggioranteallora anche 119860+119861 ha un maggiorante e che sup(119860+ 119861) = sup119860+ sup119861

10 nozioni di base

La prima parte egrave facile se 119909 egrave un maggiorante di 119860 e 119910 egrave un maggiorante di 119861 allora 119909+119910 egraveun maggiorante di 119860+119861 infatti se 119886 isin 119860 e 119887 isin 119861 avremo 119886 le 119909 e 119887 le 119910 da cui 119886+119887 le 119909+119910Dunque sappiamo che esiste lrsquoestremo superiore di 119860+119861 Poniamo 119906 = sup119860 e 119907 = sup119861 allora119906+119907 egrave per la stessa ragione di 119909+119910 un maggiorante di 119860+119861 e quindi sup(119860+119861) le 119906+119907 Cimanca solo mostrare che per ogni 120576 gt 0 esiste 119888 isin 119860+119861 tale che 119888 gt 119906+119907minus 120576

Siccome 119906 = sup119860 sappiamo che esiste 119886 isin 119860 con 119886gt119906minus 1205762 analogamente esiste 119887 isin 119861 con

119887gt119907minus 1205762 Allora se 119888 = 119886+ 119887 isin 119860+119861 avremo

119888 = 119886+ 119887 gt 119906minus 1205762 + 119907minus 120576

2 = 119906+119907minus 120576

e abbiamo terminatoSi dimostri il risultato analogo per lrsquoestremo inferiore Si calcolino lrsquoestremo superiore e

lrsquoestremo inferiore dellrsquoinsieme

1119898 + 1

119899 ∶ 119898119899 isin ℕ119898 gt 0119899 gt 0

02 funzioni

In tutto il corso una funzione avragrave come dominio un insieme di numeri reali e codominioi numeri reali Senza entrare nel dettaglio una funzione egrave una ldquoregolardquo che permette diassociare a un numero reale sul quale la funzione sia definita un altro numero Regolesemplici sono ldquoelevare al quadratordquo ldquosommare uno al doppiordquo che si traducono nellanotazione 119909 ↦ 1199092 o 119909 ↦ 2119909 + 1 Non ci si deve aspettare che tutte le funzioni sianodefinite tramite regole cosigrave semplici anche

119909 ↦⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

3119909minus 2 se 0 lt 119909 lt 37 se 3 lt 119909 lt 4minus1199092 se 119909 ge 4

egrave una funzione Come si indichi la variabile egrave del tutto irrilevante Se chiamiamo 119891questrsquoultima funzione con 119891(119909) si intende il valore di 119891 in 119909 per esempio

119891(1) = 3 sdot 1 minus 2 = 1 119891(72) = 7 119891(4) = minus16

Viceversa 119891(3) non ha senso percheacute la regola data non associa alcun valore a 3Spesso si parleragrave di casi come ldquola funzione 119891(119909) = 1119909rdquo o ldquola funzione 119892(119911) =

radic119911minus 1rdquo senza dare esplicitamente il dominio Volendo essere pignoli si tratta di unrsquoim-precisione ma quando il dominio si puograve desumere dal contesto o dalla regola stessaintenderemo che si tratta del ldquopiugrave grande insiemerdquo in cui la formula o lrsquoinsieme di for-mule abbia senso Per esempio il dominio di 119892 saragrave lrsquoinsieme dei numeri reali ge 1quello di 119891 lrsquoinsieme dei reali diversi da zero Con simboli

119863(119891) = 119909 isin ℝ ∶ 119909 ne 0 = (larr 0) cup (0 rarr)119863(119892) = 119909 isin ℝ ∶ 119909 ge 1 = [1 rarr)

Le funzioni di cui parleremo saranno solo funzioni a valori reali definite su insiemi dinumeri reali sebbene il concetto di funzione sia molto piugrave generale In questo contestopotremo parlare di somma prodotto e quoziente di funzioni purcheacute definite su undominio comune

Date due funzioni 119891 e 119892 la funzione somma 119891+119892 egrave 119909 ↦ 119891(119909)+119892(119909) (dove entrambesiano definite) mentre 119891119892 egrave 119909 ↦ 119891(119909)119892(119909) Per il quoziente definito in modo analogooccorreragrave ovviamente che il denominatore sia non nullo nel punto considerato

Alcune funzioni hanno la proprietagrave di essere periodiche una funzione 119891 egrave periodicaesiste un numero positivo 119879 il periodo tale che per ogni 119909 isin 119863(119891) valga anche

03 induzione 11

119909+119879119909minus119879 isin 119863(119891) e 119891(119909+119879) = 119891(119909) = 119891(119909minus119879) Lrsquoesempio canonico egrave quello dellefunzioni trigonometriche seno e coseno il cui periodo egrave 2120587 la tangente ha periodo 120587Notiamo che anche 2120587 egrave un periodo per la tangente e 4120587 per il seno spesso il periodosi riferisce al minimo periodo

Un esempio non trigonometrico si puograve costruire con la funzione pavimento (in ingle-se floor) se 119909 egrave un numero reale lfloor119909rfloor indica il massimo intero 119899 tale che 119899 le 119909 Peresempio lfloor2rfloor = 2 lfloorradic2rfloor = 1 lfloorminus120587rfloor = minus4 La funzione parte frazionaria definita da119891(119909) = 119909minus lfloor119909rfloor egrave periodica di minimo periodo 1 Infatti lfloor119909+ 1rfloor = lfloor119909rfloor + 1 e perciograve

119891(119909+ 1) = (119909+ 1) minus lfloor119909+ 1rfloor = 119909+ 1minus lfloor119909rfloor minus 1 = 119891(119909)

e si puograve dimostrare per esercizio che se 119879 gt 0 e 119891(119909+119879) = 119891(119909) per ogni 119909 allora 119879egrave intero in altre parole ogni periodo egrave intero e quindi il minimo periodo egrave 1

Esiste anche la funzione soffitto (in inglese ceiling) lceil119909rceil indica il minimo intero 119899 taleche 119909 le 119899 Si dimostri che lceil119909rceil = minuslfloorminus119909rfloor

03 induzione

Uno dei metodi piugrave ingegnosi escogitati dai matematici per dimostrare fatti che riguar-dano i numeri naturali egrave quello dellrsquoinduzione Lrsquoidea non sembra molto promettentese voglio salire una scala devo esserci davanti e saper salire da un gradino allrsquoaltro

Un porsquo piugrave formalmente supponiamo di dover dimostrare che per ogni numero na-turale 119896 gt 0 si ha 2119896 gt 119896 Mettiamoci davanti alla scala cioegrave nel caso 119896 = 1 ovviamente21 gt 1 percheacute 21 = 2 Supponiamo ora di essere arrivati al gradino 119896 cioegrave di sapereche 2119896 gt 119896 saragrave vero che 2119896+1 gt 119896+ 1 Proviamo

2119896+1 = 2 sdot 2119896 gt 2119896 ge 119896+ 1

percheacute 2119896 lt 119896 + 1 solo per 119896 = 0 Dunque la nostra asserzione egrave dimostrata (eovviamente vale anche per 119896 = 0)

Una delle prime asserzioni per la cui dimostrazione si adoperograve lrsquoinduzione egrave la co-siddetta disuguaglianza di Bernoulli se 119909 ge minus1 allora (1 + 119909)119896 ge 1 + 119896119909 per ogninaturale 119896

Il gradino iniziale in termine piugrave tecnico il passo base egrave quello di 119896 = 0 che egrave ovviopercheacute 1198860 = 1 per ogni 119886 per definizione La salita da un gradino allrsquoaltro (il passoinduttivo) puograve essere trattato cosigrave

(1 + 119909)119896+1 = (1+119909)(1 +119909)119896

ge (1+119909)(1 + 119896119909)= 1+119909+ 119896119909+ 1198961199092

= 1+ (119896+ 1)119909+ 1198961199092

ge 1+ (119896+ 1)119909

dove nella prima disuguaglianza si adopera in modo essenziale lrsquoipotesi che 119909 ge minus1cioegrave che 1 + 119909 ge 0 oltre che lrsquoipotesi induttiva Nellrsquoultima si trascura il termine nonnegativo 1198961199092 Dallrsquoipotesi induttiva (cioegrave che siamo arrivati al gradino 119896) ricaviamo chela disuguaglianza vale anche al gradino successivo perciograve la disuguaglianza vale perogni 119896

Se proprio si vuole una giustificazione piugrave dettagliata domandiamoci se puograve esistere un nu-mero naturale 119899 per il quale non valga (1 + 119909)119899 ge 1 + 119899119909 Questo numero non puograve essere 0percheacute il passo base egrave vero allora 119899 gt 0 e dunque la disuguaglianza non puograve valere nemmenoper 119899minus1 percheacute abbiamo dimostrato che sappiamo salire da un gradino al successivo Ma allorain un numero finito di passi scenderemmo a 0 contraddizione

12 nozioni di base

Per esercizio si dimostri che (1 + 119909)119896 gt 1+ 119896119909 per ogni naturale 119896 ge 2 e ogni reale119909 gt minus1 purcheacute 119909 ne 0 Il passo base dovragrave essere quello di 119896 = 2 ovviamente

Per 119909 = 1 la disuguaglianza ci dice che 2119896 = (1 + 1)119896 ge 1 + 119896 e siccome 1 + 119896 gt 119896abbiamo dimostrato in un altro modo che 2119896 gt 119896 Unrsquoaltra applicazione supponiamo119905 gt 1 e scriviamo 119905 = 1 + 119909 cioegrave 119909 = 119905 minus 1 Siccome 119909 ge 0 la disuguaglianza diBernoulli ci dice che

119905119896 = (1+119909)119896 ge 1+ 119896119909 = 1+ 119896(119905 minus 1)

In particolare lrsquoinsieme delle potenze di 119905 non ha maggioranti se 119898 fosse un mag-giorante si avrebbe 119896(119905 minus 1) le 119898 minus 1 per ogni naturale 119896 contro la proprietagrave diEudosso-Archimede

Se 0 lt 119905 lt 1 sappiamo che 1119905 gt 1 e quindi che

1119905119896 ge 1+ 119896(1

119905 minus 1) = 119905+ 119896(1 minus 119905)119905

da cui ricaviamo119905119896 le 119905

119905 + 119896(1 minus 119905)

Applicheremo questa disuguaglianza in seguitoLrsquoinduzione egrave legata alla ricorsione Non sono esattamente la stessa cosa ma non egrave

questo il luogo per discuterne Possiamo definire concetti per ricorsione adoperandola stessa idea dellrsquoinduzione per esempio

1198860 = 1 119886119899+1 = 119886119899 sdot 119886

egrave la definizione ricorsiva delle potenze Qui si suppone tacitamente che 119899 sia un natu-rale e il succo egrave che per calcolare 1198863 si parte da 1 si moltiplica per 119886 (cioegrave si calcola1198861 = 1198860+1 = 1198860 sdot 119886 = 1 sdot119886 = 119886) si moltiplica per 119886 (cioegrave si calcola 1198862 = 1198861+1 = 1198861 sdot 119886 =119886 sdot 119886) e si moltiplica ancora per 119886 ottenendo finalmente (119886 sdot 119886) sdot 119886

Quanto fa 00 Se lo chiedete in giro otterrete risposte apparentemente contraddittorie Pernoi 00 = 1 Non si confonda questo con la cosiddetta ldquoforma indeterminata zero alla zerordquoche qualcuno potrebbe avere sentito nominare Quella saragrave indicata qui con unrsquoabbreviazionespeciale cioegrave ⟦00⟧

Una semplice disuguaglianza tra numeri reali ci saragrave utile in seguito Prima di tuttodefiniamo per 119909 reale

|119909| =⎧⎨⎩

119909 se 119909 ge 0minus119909 se 119909 lt 0

Si noti che |minus119909| = |119909| e 1199092 = |119909|2 inoltre |119909| le 119910 se e solo se minus119910 le 119909 le 119910Allora vale la disuguaglianza triangolare |119886+119887| le |119886|+|119887| Infatti la disuguaglianza

equivale a|119886 + 119887|2 le (|119886| + |119887|)2

che diventa 1198862 + 2119886119887 + 1198872 le 1198862 + 2|119886||119887| + 1198872 cioegrave 119886119887 le |119886119887| percheacute ovviamente|119886||119887| = |119886119887| La disuguaglianza 119909 le |119909| egrave ovvia dalla definizione

Una forma diversa egrave ||119886| minus |119887|| le |119886minus 119887| che equivale a

minus|119886minus 119887| le |119886| minus |119887| le |119886minus 119887|

La disuguaglianza di sinistra si puograve scrivere |(119887 minus 119886) + 119886| le |119887 minus 119886| + |119886| che egrave ladisuguaglianza triangolare Similmente la disuguaglianza di destra egrave |(119886 minus 119887) + 119887| le|119886minus 119887| + |119887|

1CURVE E TANGENT I

Il metodo semplice per determinare lrsquoequazione della retta tangente a una conica egravequello di scrivere lrsquoequazione di un fascio di rette e trovare quelle in cui lrsquointersezionecon la conica dia origine a unrsquoequazione di secondo grado con discriminante nullo

Vorremmo perograve capirci di piugrave percheacute il metodo non puograve funzionare cosigrave comrsquoegrave pertrovare le tangenti a curve piugrave complicate

11 il metodo di fermat

Forse il primo ad accorgersi della proprietagrave che permette di trovare le tangenti fu Pierrede Fermat (1607()ndash1685) il famoso magistrato matematico per passatempo osservograveche la variazione di una curva in prossimitagrave di un massimo o minimo egrave minore chenegli altri punti

Facciamo lrsquoesempio della funzione 119891(119909) = 1199094 che ha evidentemente un minimo in 0Consideriamo il valore in ℎ con ℎ gt 0 lsquopiccolorsquo la differenza tra i valori di 119891 in ℎ e in0 egrave allora ℎ4 Facciamo lo stesso considerando la differenza tra i valori di 119891 in 1 e in1 + ℎ

119891(1 + ℎ) minus 119891(1) = (1 + ℎ)4 minus1= 1+ 4ℎ+ 6ℎ2 + 4ℎ3 +ℎ4 minus 1= ℎ4 + 4ℎ3 + 6ℎ2 +4ℎ

La differenza tra le differenze egrave dunque

4ℎ3 +6ℎ2 + 4ℎ = 2ℎ(ℎ2 + 3ℎ+ 1) gt 0

Spostandoci di poco da un punto non di minimo il valore della funzione cresce di piugravedi quando ci spostiamo della stessa quantitagrave da un punto di minimo

Lrsquoidea di Fermat per trovare massimi e minimi egrave dunque di cercare i punti dove lavariazione sia lsquopiccolarsquo Facciamo un altro esempio se si fa tracciare a un programmadi calcolo come GeoGebra il grafico della funzione 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 sembra evidenteche essa ha un massimo in minus1 e un minimo in 1 (figura 1) Proviamo a fare i conti comeFermat

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) = 1199093 +3ℎ1199092 + 3ℎ2119909+ℎ3 minus 3119909minus 3ℎminus1199093 +3119909= ℎ(31199092 + 3ℎ119909+ℎ2 minus3)

e da questo possiamo vedere che la differenza egrave piccola quando spariscono i terminisenza ℎ nella parentesi cioegrave quando 31199092 minus 3 = 0 che dagrave proprio i valori minus1 e 1

Il senso egrave che le differenze diventano piccole con ℎ senza dipendere troppo dal valo-re di 119909 proprio percheacute crsquoegrave il fattore ℎ in evidenza Intuitivamente i punti di massimo eminimo sono quelli in cui la tangente egrave orizzontale cioegrave parallela allrsquoasse delle ascisse

Adesso facciamo una cosa simile per trovare le tangenti consideriamo un punto delgrafico della funzione e il fascio di rette per esso Per ogni retta calcoliamo la differenzadei valori spostandoci sulla retta o sul grafico Piugrave precisamente calcoliamo per la retta119910 = 119898119909+119902 la differenza

119891(119905 + ℎ) minus119898(119905 + ℎ) minus 119902

dove 119905 egrave unrsquoascissa arbitraria e vediamo che succede Intanto determiniamo 119902 la rettadeve passare per il punto di coordinate (119905119891(119905)) quindi

119891(119905) = 119898119905+ 119902

13

14 curve e tangenti

minus3 minus2 minus1 1 2 3

minus3

minus2

minus1

1

2

3

0

figura 1 Grafico di 119891(119909) = 1199093 minus3119909

cioegrave 119902 = 119891(119905) minus119898119905 Per cominciare supponiamo 119891(119909) = 1199093

119891(119905 + ℎ) minus (119898(119905 + ℎ) + 119891(119905) minus119898119905) = (119905 + ℎ)3 minus119898ℎminus 1199053

= 3ℎ1199052 +3ℎ2119905 minus119898ℎ= ℎ(31199052 minus119898+3ℎ119905)

che diventa piccolo con ℎ quando 119898 = 31199052 Lrsquoespressione precedente ha una formapiuttosto interessante quando la guardiamo in generale

119891(119905 + ℎ) minus (119898(119905 + ℎ) + 119891(119905) minus119898119905) = (119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)) minus119898ℎ

Questo suggerisce di guardare solo 119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) vedere se si puograve raccogliere ℎ aquel punto il fattore ℎ si elimina ottenendo un valore che indicheremo con 119891prime(119905) e latangente si avragrave quando 119898 = 119891prime(119905) O almeno cosigrave ragionava Fermat

Proviamo con le curve che conosciamo cioegrave le coniche cominciamo con la parabola119891(119909) = 1198861199092 +119887119909+ 119888 e applichiamo la ricetta

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) = 1198861199052 + 2119886ℎ119905 + 119886ℎ2 +119887119905+ 119887ℎ+ 119888minus 1198861199052 minus119887119905minus 119888= ℎ(2119886119905 + 119887)

Il coefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa 119905 risulta 119891prime(119905) = 2119886119905 + 119887Verifichiamolo con il metodo del discriminante considerando il sistema

⎧⎨⎩

119910 = 1198861199092 +119887119909+ 119888119910minus (1198861199052 +119887119905+ 119888) = 119898(119909minus 119905)

che porta allrsquoequazione risolvente

1198861199092 + (119887minus119898)119909minus1198861199052 minus119887119905+119898119905 = 0

il cui discriminante egrave

Δ(119898) = (119887minus119898)2 minus 4119886(minus1198861199052 minus119887119905+119898119905)

cioegrave

Δ(119898) = 1198872 minus 2119887119898+1198982 +411988621199052 +4119886119887119905 minus 4119886119905119898= 1198982 minus 2(2119886119905 + 119887)119898+ 411988621199052 + 4119886119887119905 + 1198872

= 1198982 minus 2(2119886119905 + 119887)119898+ (2119886119905 + 119887)2

= (119898minus (2119886119905 + 119887))2

11 il metodo di fermat 15

Lrsquoequazione in 119898 data da Δ(119898) = 0 ha una sola soluzione che egrave proprio

119898 = 2119886119905+ 119887

Almeno nel caso della parabola i due metodi coincidonoProviamone uno piugrave complicato lrsquoiperbole grafico di 119891(119909) = 1119909 Il metodo di

Fermat dice di calcolare 119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) cioegrave

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) = 1119905 + ℎ minus 1

119905 = minusℎ119905(119905 + ℎ)

Qui il problema sembra piugrave difficile allora facciamo come Fermat eliminiamo il fattoreℎ e in quello che rimane poniamo ℎ = 0 Otteniamo 119891prime(119905) = minus11199052

Proviamo con il metodo del discriminante il sistema

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

119910 = 1119909

119910minus 1119905 = 119898(119909minus 119905)

ha come equazione risolvente

1198981199051199092 minus (1198981199052 minus 1)119909minus 119905 = 0

e il discriminante egrave

Δ(119898) = 11989821199054 minus 21198981199052 + 1+ 41198981199052 = (1199052119898+1)2

che si annulla per 119898 = minus11199052 esattamente come primaRimane da discutere la circonferenza Con una traslazione si puograve supporre che la

circonferenza abbia centro nellrsquoorigine e prendendo come unitagrave di misura il raggio lrsquoe-quazione della semicirconferenza lsquosuperiorersquo egrave il grafico di 119891(119909) = radic1minus1199092 Dobbiamodunque calcolare

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) = radic1minus (119905 + ℎ)2 minusradic1minus 1199052

= (1minus (119905 + ℎ)2) minus (1 minus 1199052)radic1minus (119905 + ℎ)2 +radic1minus 1199052

= ℎ(minus2119905 minus ℎ)radic1minus (119905 + ℎ)2 +radic1minus 1199052

Eliminando il fattore ℎ e ponendo ℎ = 0 in quello che rimane si ottiene

119891prime(119905) = minus119905radic1minus 1199052

Proviamo con il metodo geometrico il fascio di rette per il punto (119905119906) dove 119906 =radic1minus 1199052 consiste delle rette di equazione 119910 minus 119906 = 119898(119909 minus 119905) e di queste dobbiamocalcolare la distanza dal centro per determinare quella con distanza 1 se scriviamo laretta nella forma 119898119909minus119910minus119898119905+119906 = 0 lrsquoequazione diventa

|1198980minus 0minus119898119905+119906|radic1198982 + 1

= 1

cioegrave elevando al quadrato

11989821199052 minus 2119898119905119906+1199062 = 1198982 + 1

che diventa(1199052 minus 1)1198982 minus 2119898119905119906+1199062 minus 1 = 0

Questa ha certamente discriminante nullo e quindi la soluzione egrave

119898 = 21199051199062(1199052 minus 1) = 119905119906

minus1199062 = minus119905radic1minus 1199052

16 curve e tangenti

12 come giustificare il metodo di fermat

Consideriamo una funzione facile 119891(119909) = 1199094 supponiamo ℎ ne 0 e calcoliamo

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)ℎ = 1199054 +4ℎ1199053 + 6ℎ21199052 + 4ℎ3119905 + ℎ4 minus 1199054

ℎ

= ℎ(41199053 +6ℎ1199052 + 4ℎ2119905 + ℎ3)ℎ

= 41199053 +6ℎ1199052 + 4ℎ2119905 + ℎ3

Quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto il valore dellrsquoespressione diventa semprepiugrave vicino a 41199053 Se facciamo i conti con 119891(119909) = 1199093 con lo stesso metodo otteniamo31199052

Piugrave in generale con 119891(119909) = 119909119899 possiamo usare lo sviluppo del binomio ma senzascriverlo tutto Ricordiamo che per 119899 gt 1

(119886 + 119887)119899 = 119886119899 +119899119886119899minus1119887+ 1198872119870119899(119886119887)

dove 119870119899(119886119887) egrave unrsquoespressione algebrica in 119886 e 119887 senza frazioni

Se 119899 = 2 (119886 + 119887)2 = 1198862 + 2119886119887 + 1198872 e 1198702(119886 119887) = 1 Supponiamo di conoscere lrsquoespressione119870119899(119886119887) allora

(119886 + 119887)119899+1 = (119886+ 119887)(119886119899 +119899119886119899minus1119887+ 1198872119870119899(119886119887))= 119886119899+1 +119886119899119887+119899119886119899119887+119899119886119899minus11198872 + (119886+ 119887)1198872119870119899(119886119887)= 119886119899+1 + (119899+ 1)119886119899119887+ 1198872(119899119886119899minus1 + (119886+ 119887)119870119899(119886119887))

e quindi 119870119899+1(119886 119887) = 119899119886119899minus1 + (119886+ 119887)119870119899(119886119887)

Tenendo conto di quanto appena detto possiamo scrivere

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)ℎ = 119905119899 +119899ℎ119905119899minus1 +ℎ2119870119899(119905ℎ) minus 119905119899

ℎ= 119899119905119899minus1 +ℎ119870119899(119905ℎ)

e quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto il valore dellrsquoespressione si avvicinasempre di piugrave a 119899119905119899minus1

Esprimiamo lrsquoaffermazione che il valore dellrsquoespressione 119865(ℎ) si avvicina al valore 119897quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto con la notazione tradizionale

limℎrarr0

119865(ℎ) = 119897

senza per ora definirne formalmente il significato preciso Lrsquoimportante egrave che si arrivia unrsquoespressione 119892(ℎ) la piugrave semplice possibile nellrsquoipotesi che ℎ ne 0

Quello che abbiamo dimostrato egrave se 119891(119909) = 119909119899 allora 119891prime(119909) = 119899119909119899minus1 almeno nelcaso 119899 gt 1 Per 119899 = 1 la faccenda egrave ovvia se 119891(119909) = 119909 allora

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ = 119909+ℎminus119909

ℎ = 1

e quindi certamente 119891prime(119909) = 1 = 11199090 Per 119899 = 0 la formula non ha significato percheacutesi dovrebbe considerare 119909minus1 che egrave definita solo per 119909 ne 0 Ma egrave certo che se 119891(119909) =1199090 = 1 si ha 119891prime(119909) = 0

Come facciamo per i polinomi in genere E per le frazioni Abbiamo bisogno diqualche strumento in piugrave

12 come giustificare il metodo di fermat 17

Date le funzioni 119891 e 119892 entrambe definite almeno sullrsquointervallo (119901 119902) possiamosommarle e moltiplicarle per numeri il rapporto di Fermat per la funzione119909 ↦ 119886119891(119909)+119887119892(119909) egrave allora

(119886119891(119909+ℎ) + 119887119892(119909+ℎ)) minus (119886119891(119909) + 119887119892(119909))ℎ =

119886 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ + 119887 119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)

ℎ

e dunque se poniamo 119865(119909) = 119886119891(119909) + 119887119892(119909) abbiamo

119865prime(119909) = 119886119891prime(119909) + 119887119892prime(119909)

Ne segue facilmente che per il polinomio 119891(119909) = 1198860 +1198861119909+⋯+119886119899119909119899 si ha

119891prime(119909) = 1198861 +21198862119909+⋯+119899119886119899119909119899minus1

Questo torna con il conto per la tangente alla parabolaUn porsquo piugrave complicato quando 119865(119909) = 119891(119909)119892(119909) ma nemmeno tanto

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)

ℎ

= 119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909+ℎ)ℎ

+ 119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)ℎ

= 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ 119892(119909+ℎ) + 119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)

ℎ

e perciograve119865prime(119909) = 119891prime(119909)119892(119909) + 119891(119909)119892prime(119909)

Questrsquoultima formula fu scoperta da Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646ndash1716) parec-chio tempo dopo che Fermat aveva compiuto i suoi studi La possiamo usare per calco-lare le tangenti alla circonferenza consideriamo 119891(119909) = radic1minus1199092 e 119892(119909) = 119891(119909) nellaformula precedente Allora

119865prime(119909) = 119891prime(119909)119891(119909) + 119891(119909)119891prime(119909) = 2119891prime(119909)119891(119909)

Ma 119865(119909) = 1minus1199092 e quindi conosciamo giagrave 119865prime(119909) = minus2119909 Dunque

119891prime(119909) = 119865prime(119909)2119891(119909) = minus 119909

radic1minus1199092

Questo egrave in accordo con quanto giagrave visto a pagina 15 Lrsquoespressione non ha senso per119909 = minus1 e 119909 = 1 e del resto sappiamo che in quei punti la tangente egrave verticale quindinon ha coefficiente angolare

Facciamo qualche altro trucco del genere se 119891(119909) = 119909119899 con 119899 lt 0 e 119892(119909) = 119909minus119899abbiamo 119865(119909) = 119891(119909)119892(119909) = 1 e quindi essendo 119865prime(119909) = 0 (per 119909 ne 0) abbiamo

0 = 119891prime(119909)119892(119909) + 119891(119909)119892prime(119909) 119891prime(119909) = minus119891(119909)119892prime(119909)

119892(119909)

e sostituendo

119891prime(119909) = minus119909119899 (minus119899)119909minus119899minus1

119909minus119899 = 119899119909119899minus1

e dunque la formula egrave esattamente la stessa

18 curve e tangenti

Con un trucco analogo possiamo eseguire il calcolo per qualsiasi frazione algebricaconsideriamo 119865(119909) = 119891(119909)119892(119909) allora 119891(119909) = 119865(119909)119892(119909) e quindi

119891prime(119909) = 119865prime(119909)119892(119909) + 119865(119909)119892prime(119909)

da cui

119865prime(119909) = 119891prime(119909) minus 119865(119909)119892prime(119909)119892(119909)

che con una facile manipolazione diventa

119865prime(119909) = 119891prime(119909)119892(119909) minus 119891(119909)119892prime(119909)(119892(119909))2

13 il logaritmo e lrsquoesponenziale

Per definizione il logaritmo di 119886 egrave per 119886 gt 0 come lrsquoarea delimitata dal segmento(1 0)_(119886 0) sullrsquoasse delle ascisse dai segmenti (1 0)_(1 1) e (119886 0)_(119886 1119886) e dallrsquoarcodi iperbole di equazione 119910 = 1119909 fra i punti (1 1) e (119886 1119886) Se 0 lt 119886 lt 1 lrsquoarea vienepresa con segno negativo se 119886 gt 1 con segno positivo si veda la figura 2 dove vienepresentata anche una definizione alternativa e piugrave lsquogeometricarsquo

119909

119910

(11)(1198861119886)

119909

119910

1 119886

figura 2 Definizioni di log119886 tramite la curva 119909119910 = 1 le due aree colorate sono uguali evalgono log119886 per definizione

119909

119891(119909)

1 119909 119909+ℎ

figura 3 Il calcolo del rapporto di Fermat per log119909

Vogliamo ora valutare lrsquoespressione log(119909 + ℎ) minus log119909 supponendo prima ℎ gt 0 e119909 gt 1 Si tratta ancora per differenza di aree di unrsquoarea delimitata da tre segmenti

14 derivata e tangente 19

e un arco dellrsquoiperbole Ma possiamo considerare i rettangoli lsquoinscrittorsquo e lsquocircoscrittorsquocome si vede nella figura 3 avremo allora

ℎ119909+ℎ le log(119909 +ℎ) minus log119909 le ℎ

119909

e dunque1

119909+ℎ le log(119909 + ℎ) minus log119909ℎ le 1

119909

Se ℎ si avvicina a 0 abbiamo che 1(119909 + ℎ) si avvicina a 1119909 e dunque possiamoconcludere che

logprime 119909 = 1119909

Gli altri casi (cioegrave ℎ lt 0 e 0 lt 119909 lt 1) si trattano infatti in modo simileLa tangente alla curva di equazione 119910 = log119909 nel punto di ascissa 119905 ha dunque

equazione 119910 minus log 119905 = (119909 minus 119905)119905 Scambiando i due assi la curva diventa quella diequazione 119910 = exp119909 e dunque la tangente nel punto di ordinata 119905 ha equazione 119909 minuslog 119905 = (119910minus 119905)119905 se 119905 = exp119906 otteniamo lrsquoequazione 119910minus exp119906 = (119909minus119906) exp119906 cioegrave ilcoefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa 119906 egrave exp119906 e questo equivale a

expprime 119909 = exp119909

Vedremo piugrave avanti un metodo meno lsquogeometricorsquo per eseguire i calcoli sulle funzioniinverse

14 derivata e tangente

Cerchiamo di essere un poco piugrave formali La funzione 119891 definita nellrsquointervallo (119901 119902)egrave derivabile in 119909 isin (119901 119902) se possiamo scrivere secondo quanto detto prima

limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ = 119891prime(119909)

cioegrave nel caso in cui il rapporto di Fermat si avvicina a un valore che denotiamo con119891prime(119909) quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto Non cerchiamo per ora il pelonellrsquouovo nel dire per bene che cosa significhi avvicinarsi quando ℎ diventa piccolo difatto egrave uno dei concetti piugrave complicati del calcolo differenziale

Il valore119891prime(119909) si chiama la derivata di119891 nel punto119909 e secondo lrsquointuizione di Fermatdovrebbe essere uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva 119910 = 119891(119909) nelpunto di coordinate (119909119891(119909)) Abbiamo visto che nel caso di alcune curve note questocalcolo determina effettivamente la tangente

Non sempre le cose vanno come ci si aspetta per esempio con la funzione119891(119909) = |119909|se calcoliamo il rapporto di Fermat in 0 abbiamo

119891(0 + ℎ) minus 119891(0)ℎ = |ℎ|

ℎ

e questo vale 1 quando ℎ gt 0 ma vale minus1 quando ℎ lt 0 Dunque il rapporto di Fermatnon si avvicina a un valore quando ℎ diventa piccolo e ne concludiamo che il graficodella funzione non ha una tangente nel punto di ascissa 0 E possiamo effettivamenteconcordare che non ha molto senso parlare di tangente in quel punto

Ma come definiamo la tangente in generale Facile se per la funzione 119891 definitanellrsquointervallo (119901 119902) e per 119905 isin (119901 119902) possiamo scrivere

limℎrarr0

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)ℎ = 119891prime(119905)

20 curve e tangenti

allora la tangente alla curva 119910 = 119891(119909) nel punto di ascissa 119905 egrave proprio la retta diequazione

119910minus119891(119905) = (119909minus 119905)119891prime(119905)

cioegrave la retta passante per (119905119891(119905)) di coefficiente angolare 119891prime(119905) In altre parole pren-diamo lrsquointuizione di Fermat come definizione della tangente

Generalizziamo la notazione scriveremo

limℎrarr0

120593(ℎ) = 119897

dove 120593 egrave una qualsiasi funzione se 120593(ℎ) si avvicina a 119897 quando ℎ diventa piccolo invalore assoluto (piugrave avanti sostituiremo questo concetto intuitivo con una formulazionerigorosa per ora accetteremo il linguaggio informale) Possiamo allora riscrivere lanozione di derivata nel modo seguente 119891prime(119909) egrave la derivata di 119891 nel punto 119909 se e solose

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ)

dove 120593(ℎ) = (119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus ℎ119891prime(119909))ℎ e

limℎrarr0

120593(ℎ) = 0

Infatti se 119891prime(119909) egrave la derivata sappiamo che

0 = limℎrarr0

(119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ minus119891prime(119909))

= limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus ℎ119891prime(119909)ℎ

= limℎrarr0

120593(ℎ)

Il viceversa egrave del tutto analogo basta seguire le uguaglianze alla rovesciaChe cosrsquoegrave dunque la tangente Egrave la retta che meglio approssima la curva nelle vi-

cinanze del punto Chiaramente non possiamo definire come tangente una retta cheabbia un solo punto in comune con la curva lrsquoesempio di 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 egrave chiaro latangente in 1 egrave orizzontale e ha equazione 119910 = minus2 ma questa retta incontra la curvain un altro punto Infatti da 1199093 minus 3119909 = minus2 segue 119909 = 1 oppure 119909 = minus2 Un altroesempio egrave la parabola di equazione 119910 = 1199092 nessuna retta verticale egrave tangente eppuretutte queste rette incontrano la curva in un solo punto

Lrsquoidea di Fermat se la riguardiamo dopo queste ultime riflessioni egrave esattamentequesta la tangente (se esiste) egrave quella retta che piugrave si avvicina al grafico della funzionequando ci avviciniamo al punto che stiamo considerando

15 curve algebriche

Descartes pose il problema che considerava assai difficile di determinare le tangentialla curva di equazione

1199093 +1199103 = 3119886119909119910

e Fermat lo risolse in un modo tale che perfino Descartes dovette riconoscere la supe-rioritagrave rispetto al suo metodo

Se (119906119907) sono le coordinate di un punto della curva il fascio di rette con centro inquel punto egrave dato dalle rette di equazione

119910 = 119898(119909minus119906)+ 119907

15 curve algebriche 21

(sempre con lrsquoeccezione della retta verticale) Proviamo a sostituire nellrsquoequazione dellacurva ottenendo

1199093 + (119898(119909minus119906)+ 119907)3 minus 3119886119909(119898(119909minus119906)+ 119907) = 0

che porta allrsquoequazione

1199093 +1198983(119909 minus119906)3 + 31198982(119909 minus119906)2119907+ 3119898(119909minus119906)1199072 +1199073 minus3119886119898119909(119909minus119906)minus 3119886119907119909 = 0

e semplificando a1198601199093 +1198611199092 +119862119909+119863 = 0

dove abbiamo indicato i coefficienti con 119860 119861 119862 e 119863

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

119860 = 1+1198983

119861 = minus31199061198983 +31198982119907minus 3119886119898119862 = 311989831199062 minus 61198982119906119907+ 31198981199072 + 3119886119898119906minus 3119886119907119863 = minus11989831199063 + 311989821199062119907minus 31198981199061199072 +1199073

per non portarci dietro troppe cose complicateNel caso delle coniche il metodo usuale egrave di annullare il discriminante Possiamo

fare qualcosa di simile qui Lrsquoidea egrave che119906 deve essere una radice doppia dellrsquoequazionecioegrave che il polinomio (119909 minus119906)2 divida il polinomio 1198601199093 +1198611199092 +119862119909+119863

Vediamo il caso generale abbiamo un polinomio 119875(119909) e vogliamo trovare una con-dizione necessaria e sufficiente affincheacute 119875(119909) sia divisibile per (119909 minus 119906)2 Supponiamodunque che 119875(119909) = (119909minus119906)2119876(119909) e calcoliamo la derivata di ambo i membri

119875prime(119909) = (2119909minus 2119906)119876(119909) + (119909minus119906)2119876prime(119909)

Egrave chiaro che in questo caso 119875prime(119906) = 0 cioegrave 119906 egrave radice anche della derivata Proviamoa verificare che vale anche il viceversa supponiamo perciograve che 119875prime(119906) = 0 dove anche119875(119906) = 0 Se eseguiamo la divisione di 119875(119909) per (119909 minus119906)2 abbiamo

119875(119909) = (119909minus119906)2119876(119909) + 119886119909+ 119887

e possiamo di nuovo calcolare le derivate

119875prime(119909) = (2119909minus 2119906)119876(119909) + (119909minus119906)2119876prime(119909) + 119886

Applicando lrsquoipotesi che 119875prime(119906) = 0 otteniamo 119886 = 0 Applicando lrsquoipotesi che 119875(119906) = 0troviamo anche 119887 = 0 e dunque il resto della divisione egrave zero

Abbiamo trovato il trucco che ci permette di calcolare le tangenti Se pensiamo alcaso delle coniche sembra proprio di sigrave Perciograve nel caso di Fermat e del folium diDescartes basta verificare quando 119906 egrave radice anche del polinomio

31198601199092 + 2119861119909+119862

Lrsquoequazione diventa allora

3(1 +1198983)1199062 +2(minus31199061198983 +31198982119907minus 3119886119898)119906+ (311989831199062 minus 61198982119906119907+ 31198981199072 + 3119886119898119906minus 3119886119907) = 0

che a sua volta si semplifica in

1199062 minus119886119898119906+1198981199072 minus119886119907 = 0

22 curve e tangenti

cioegrave119898 = 1199062 minus119886119907

119886119906minus1199072

eccetto nel caso in cui 119886119906 = 1199072 Questo caso con la condizione

1199063 +1199073 minus 3119886119906119907 = 0

corrisponde a1199076

1198863 +1199073 minus 31199073 = 0

cioegrave a 119907 = 0 oppure 119907 = 119886 3radic2 Il caso di 119907 = 119886 3radic2 corrisponde a 119906 = 119886 3radic4 che egraveesattamente il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo quadrante del punto in cuila tangente egrave orizzontale (119898 = 0 cioegrave 119886119907 = 1199062)

Il caso di 119907 = 0 corrisponde naturalmente a 119906 = 0 dove lrsquoequazione originale vastudiata a parte Siccome il caso egrave semplice lo trattiamo da capo intersechiamo lacurva con una retta di equazione 119910 = 119898119909

1199093(1 +1198983) minus 31198861198981199092 = 0

Qui sembra che ogni retta sia tangente ma un disegno della curva prova che cosigrave non egravein realtagrave qui le tangenti sono due precisamente gli assi cartesiani Si tratta di un puntodoppio concetto sul quale non indagheremo piugrave a fondo

Quello che abbiamo imparato egrave che la derivata non dagrave solo le tangenti per esempiofornisce un criterio affincheacute un polinomio abbia radici multiple

Vediamo il caso del polinomio 119875(119909) = 1199093 + 119901119909+ 119902 con 119875prime(119909) = 31199092 + 119901 Dunquenon ci possono essere radici multiple se 119901 gt 0 se invece 119901 le 0 i numeri candidati aessere radice multipla sono 119903 = radicminus1199013 e minus119903 Proviamo a sostituire

119875(119903) = 1199033 +119901119903+ 119902 = 119903(1199032 +119901)+ 119902 = 23119901119903+ 119902

mentre119875(minus119903) = minus1199033 minus119901119903+ 119902 = minus119903(1199032 +119901)+ 119902 = minus2

3119901119903+ 119902

e uno di questi valori egrave zero quando 91199022 = 411990121199032 cioegrave scritto in altro modo

1199013

27 + 1199022

4 = 0

Nel caso del polinomio 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909+ 119888 si ha ovviamente 119875prime(119909) = 2119886119909+ 119887 esi ha una radice multipla solo quando minus1198872119886 egrave radice di 119875(119909) cioegrave quando

119886 1198872

41198862 minus 1198872

2119886 + 119888 = 0

che si semplifica in 4119886119888minus 1198872 = 0 condizione ben nota

16 seno e coseno

Cerchiamo di ampliare la nostra conoscenza di derivate trattando le importanti fun-zioni trigonometriche Proviamo dunque a scrivere il rapporto di Fermat per il seno

sin(119909+ℎ) minus sin119909ℎ = sin119909 cosℎ+ cos119909 sinℎminus sin119909

ℎ

= sinℎℎ cos119909+ cosℎminus 1

ℎ sin119909

16 seno e coseno 23

119874119909

119910

119860

119863

119861

119862

ℎ

figura 4 Definizione di seno e coseno

Sembra evidente che dobbiamo calcolare i due limiti

limℎrarr0

sinℎℎ e lim

ℎrarr0

cosℎminus 1ℎ

Il problema qui egrave di confrontare sinℎ con ℎ naturalmente la misura degli angoli egrave inradianti come si fa sempre in matematica teorica Egrave proprio la definizione di radianteinsieme a quella di seno e coseno ad aiutarci la rivediamo nella figura 4 Supponiamoper cominciare che 0 lt ℎ lt 1205872

Con un porsquo di trigonometria elementare riconosciamo che con 119874119860 = 1 si ha

119874119861 = cosℎ 119861119862 = sinℎ 119860119863 = tanℎ

Egrave anche evidente che lrsquoarea del triangolo 119874119861119862 egrave minore dellrsquoarea del settore circolare119874119860119862 che a sua volta egrave minore dellrsquoarea del triangolo 119874119860119863 La lunghezza dellrsquoarco119860119862 egrave per definizione ℎ e quindi lrsquoarea 119904 del settore circolare egrave ℎ2 infatti vale laproporzione

119904 ∶ 120587 = ℎ ∶ 2120587

Lrsquoarea del triangolo119874119861119862 egrave (sinℎ cosℎ)2 quella del triangolo119874119860119863 egrave (tanℎ)2 Dunquepossiamo scrivere

sinℎ cosℎ le ℎ le tanℎ

Dalla disuguaglianza di sinistra ricordando che 0 lt ℎ lt 1205872 otteniamo

sinℎℎ le 1

cosℎ

da quella di destra abbiamo

cosℎ le sinℎℎ

e perciograve possiamo scrivere

cosℎ le sinℎℎ le 1

cosℎ ()

Questo per 0 lt ℎ lt 1205872 Se invece minus1205872 lt ℎ lt 0 avremo 0 lt minusℎ lt 1205872 e quindi

cos(minusℎ) le sin(minusℎ)minusℎ le 1

cos(minusℎ)

che si trasforma esattamente nella () che quindi vale per ogni ℎ tale che minus1205872 lt ℎ lt1205872 ℎ ne 0

24 curve e tangenti

Se ora facciamo diventare piccolo ℎ sia cosℎ sia 1 cosℎ si avvicinano a 1 dunqueabbiamo provato che

limℎrarr0

sinℎℎ = 1

Molto bene siamo a metagrave dellrsquoopera Per valutare lrsquoaltra espressione usiamo un altrotrucco che torna spesso utile

cosℎminus 1ℎ = cosℎminus 1

ℎcosℎ+ 1cosℎ+ 1

= minus sin2 ℎℎ(cosℎ+ 1)

= sinℎℎ

minus sinℎcosℎ+ 1

Abbiamo spezzato la frazione in due parti la prima ha limite 1 e la seconda si avvicinaa 0 dunque il prodotto si avvicina a 0 Ecco qui il risultato finale

sinprime 119909 = cos119909

Possiamo provare con il coseno adesso con la formula di addizione e raccogliendoopportunamente abbiamo

cos(119909+ ℎ) minus cos119909ℎ = cosℎminus 1

ℎ cos119909minus sinℎℎ sin119909

e usando i risultati di prima possiamo scrivere

cosprime 119909 = minus sin119909

Per la funzione tangente non egrave un problema tan119909 = sin119909 cos119909 e dunque possiamoapplicare la formula giagrave vista

tanprime 119909 = sinprime 119909 cos119909minus sin119909 cosprime 119909(cos119909)2

= cos119909 cos119909minus sin119909(minus sin119909)cos2 119909

= cos2 119909+ sin2 119909cos2 119909

= 1cos2 119909 = 1+ tan2 119909

Questa naturalmente vale dove sia definita la tangente (trigonometrica) cioegrave la fun-zione lsquotanrsquo

17 problemi

Tutto quanto abbiamo visto sembra ragionevole e cosigrave infatti pensavano i matematicifino a che qualcosa cominciograve ad andare storto Non tanto per il fatto che ogni tanto cisi imbatteva in funzioni che non ammettono la derivata in qualche punto la funzione119891(119909) = 3radic119909 egrave un esempio Si provi a calcolarne la derivata in 119909 e si veda che lrsquoespressio-ne non ha senso per 119909 = 0 infatti la tangente in quel punto egrave verticale (Suggerimentola radice cubica egrave lrsquoinversa di elevare al cubo)

Ma che dire quando Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805ndash1859) propose la seguentefunzione

119863(119909) =⎧⎨⎩

0 se 119909 egrave razionale1 se 119909 egrave irrazionale

17 problemi 25

per la quale il rapporto di Fermat egrave

119863(119909+ℎ) minus119863(119909)ℎ

che perograve quando ℎ diventa piccolo continua a saltare tra 0 e 1 quando 119909 egrave razionaletra minus1 e 0 quando 119909 egrave irrazionale Questo percheacute tra due numeri reali distinti ci sonosempre sia razionali sia irrazionali

Si potrebbe ovviare al problema dicendo che facciamo diventare ℎ piccolo solo usan-do valori razionali In questo modo il rapporto di Fermat per 119863 si avvicinerebbe a 0per ogni 119909 Ma questo va contro un altro importante risultato se la derivata di unafunzione egrave 0 in ogni punto la funzione egrave costante Lo vedremo piugrave avanti dando le op-portune ipotesi affincheacute sia davvero valido certamente perograve la funzione di Dirichletnon egrave costante

Vediamo il vero motivo per il quale la funzione di Dirichlet non puograve ammetterederivata in alcun punto Abbiamo giagrave visto che se 119891 egrave derivabile in 119909 possiamo scrivere

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ)

dove limℎrarr0 120593(ℎ) = 0 Ma allora ℎ120593(ℎ) si deve avvicinare a 0 quando ℎ diventa piccoloDalla formula segue dunque che 119891(119909 + ℎ) deve avvicinarsi a 119891(119909) quando ℎ diventapiccolo E questo non egrave certamente vero per la funzione di Dirichlet qualunque viausiamo per ldquofar diventare piccolo ℎrdquo

Ci sono altri problemi che perograve furono riconosciuti solo piugrave tardi un esempio egrave pro-prio il calcolo della derivata di seno e coseno nella quale si deve adoperare il concetto diarea di una figura delimitata da una linea curva Si potrebbe evitare il concetto di areama solo trasferendo il problema sulla lunghezza dellrsquoarco 119860119862 nella figura 4 intuitiva-mente questa lunghezza egrave maggiore di quella del segmento 119861119862 e minore di quella delsegmento 119860119863 ma la lunghezza dellrsquoarco o della circonferenza stessa egrave ben definitaRenderemo piugrave avanti del tutto rigoroso il concetto di area e quindi il problema saragravesuperato

2CONT INU ITAgrave

Nella prima metagrave del xix secolo i problemi a cui abbiamo accennato diventarono sem-pre piugrave evidenti giagrave prima che Dirichlet proponesse la sua funzione strana La solu-zione fu trovata prima da Augustin-Louis Cauchy (1789ndash1857) in termini non del tuttorigorosi Heinrich Eduard Heine (1821ndash1881) la migliorograve e la versione definitiva fu datada Karl Weierstraszlig (1815ndash1897) occorre essere piugrave cauti nel trattare le funzioni e nonsaltare a conclusioni affrettate La funzione di Dirichlet egrave strana percheacute non soddisfala condizione di continuitagrave

se ℎ diventa piccolo 119891(119909+ℎ) si avvicina a 119891(119909)

Il grande contributo di Cauchy Heine e Weierstraszlig fu di rendere preciso il significatodella frase che dovrebbe definire la continuitagrave La loro idea puograve essere illustrata pen-sando alle approssimazioni se vogliamo calcolare la radice quarta di 12 possiamoprendere un valore approssimato della radice quadrata di 12 e di questo calcolare laradice quadrata Naturalmente piugrave cifre decimali esatte consideriamo per lrsquoapprossi-mazione di radic12 piugrave cifre decimali esatte avremo per il valore approssimato di 4radic12per averne per esempio cinque non ci bastano altrettante cifre esatte per radic12

Con un programma di calcolo possiamo verificare che con 20 cifre esatte

4radic12 asymp 104663513939210555578

Vediamo nella tabella 1 i valori che si ottengono calcolando la radice quadrata delle varieapprossimazioni di radic12 nellrsquoultima riga riportiamo per controllo il valore scrittoprima

radic12 asymp 109544511501033222691

Approssimazione di radic12 Radice quadrata

1 111 1048808848170151546991095 10464224768228174866310954 104661358676447536360109545 1046637473053587929861095445 1046635084449207636054radic12 104663513939210555578

tabella 1 Approssimazione di 4radic12

Questo funziona percheacute la nostra intuizione dice che la radice quadrata soddisfala condizione di continuitagrave Lrsquoesempio ci dice che se vogliamo un valore abbastanzapreciso della radice quarta dobbiamo avvicinarci a sufficienza al valore vero della varia-bile e questo grado di avvicinamento dipenderagrave dalla tolleranza che imponiamo Unafunzione che soddisfa questa condizione si diragrave continua

La simbologia tradizionale indica con 120576 la tolleranza per il valore finale e con 120575 larestrizione che risulta per la variabile Per dire che il valore si discosta da quello veroentro la tolleranza 120576 si scriveragrave

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

e dunque la definizione segue in modo naturale

27

28 continuitagrave

d e f i n i z i o n e La funzione 119891 si dice continua in 119909 se qualunque sia la tolleran-za 120576 gt 0 si puograve trovare un grado di avvicinamento 120575 gt 0 in modo che ogni voltache |ℎ| le 120575 si abbia |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

Ora non ci resta che trovare funzioni continue Il primo esempio egrave facile e quasiovvio 119891(119909) = 119909 Prendiamo una tolleranza 120576 gt 0 e consideriamo la disequazione

|(119909 + ℎ) minus119909| le 120576

le cui soluzioni sono evidentemente |ℎ| le 120576 In questo caso ed era ovvio fin dalprincipio il grado di avvicinamento egrave uguale alla tolleranza

Proviamo con qualcosa di piugrave complicato 119891(119909) = 1199092 La disequazione da esaminareegrave

|(119909 + ℎ)2 minus1199092| le 120576

che diventa|2119909ℎ+ℎ2| le 120576

Una disuguaglianza del genere equivale al sistema di disequazioni

minus120576 le 2119909ℎ+ℎ2 le 120576

cioegrave al sistema⎧⎨⎩

ℎ2 + 2119909ℎminus 120576 le 0ℎ2 + 2119909ℎ+ 120576 ge 0

che possiamo risolvere nel modo usuale La prima disequazione ha discriminantepositivo 41199092 +4120576 ed egrave soddisfatta per valori interni allrsquointervallo delle radici

minus119909minusradic1199092 + 120576 lt ℎ lt minus119909+radic1199092 + 120576

La seconda egrave soddisfatta per ogni ℎ quando il discriminante 41199092 minus 4120576 non egrave positivocioegrave per 120576 ge 1199092 altrimenti egrave soddisfatta per valori esterni allrsquointervallo delle radiciQuindi se 0 lt 120576 lt 1199092 le soluzioni sono date da

ℎ le minus119909minusradic1199092 minus 120576 oppure ℎ ge minus119909+radic1199092 minus 120576

Dobbiamo preoccuparci di quando 120576 ge 1199092 No almeno se119909 ne 0 se riusciamo a trovareun grado di avvicinamento che produca la tolleranza richiesta quando 0 lt 120576 lt 1199092questo andragrave bene anche per valori maggiori di 120576 Saremo piugrave restrittivi del necessarioma a noi interessa trovare un opportuno grado di avvicinamento Dunque possiamosupporre 0 lt 120576 lt 1199092 percheacute nel caso di 119909 = 0 le due disequazioni sono ℎ2 minus 120576 le 0e ℎ2 + 120576 ge 0 la seconda egrave verificata per ogni ℎ la prima per minusradic120576 le ℎ le radic120576 e si puograveprendere 120575 = radic120576

Un produttore di ingranaggi sa che tarando i suoi strumenti in un certo modo i pezzi cheproduce rispettano la tolleranza richiesta dallrsquoindustria che ha commissionato gli ingranaggiunrsquoaltra industria fa unrsquoordinazione chiedendo una tolleranza meno rigorosa il produttore puogravebenissimo mantenere la taratura allo stesso livello Forse spenderagrave di piugrave ma di certo forniscepezzi adeguati alle richieste

Trasponendo al nostro caso la questione del costo non si pone i numeri reali sono gratis

Facciamoci unrsquoidea della situazione con la calcolatrice troviamo i valori delle quan-titagrave in gioco quando 119909 = 1

continuitagrave 29

120576 = 001

minus1minusradic1+ 120576 minus200498756211208902702minus1+radic1+ 120576 000498756211208902702minus1minusradic1minus 120576 minus199498743710661995473minus1+radic1minus 120576 minus000501256289338004527

119909minus1minusradic1+120576 minus1+radic1+120576

minus1minusradic1minus120576 minus1+radic1minus120576

0

Si noti che il grafico delle soluzioni non egrave in scala Lrsquointuizione guardando i valori dellatabella egrave che la tolleranza richiesta sia 120575 = minus119909+radic1199092 + 120576 quando 119909 gt 0 Ci basta ineffetti vedere che

minus119909+radic1199092 + 120576 le | minus119909+radic1199092 minus 120576 |

Con evidenti passaggi la disuguaglianza si trasforma in altre equivalenti

minus119909+radic1199092 + 120576 le 119909minusradic1199092 minus 120576

radic1199092 + 120576 le 2119909minusradic1199092 minus 120576

1199092 + 120576 le 41199092 minus 4119909radic1199092 minus 120576+1199092 minus 120576

4119909radic1199092 minus 120576 le 41199092 minus 120576161199094 minus 161199092120576 le 161199094 minus81199092120576 + 1205762

0 le 81199092120576 + 1205762

e lrsquoultima egrave certamente soddisfatta Abbiamo dunque dimostrato che ponendo 120575 =minus119909 + radic1199092 + 120576 quando |ℎ| le 120575 si avragrave |(119909 + ℎ)2 minus 1199092| le 120576 Per il caso 119909 lt 0 nonoccorre rifare i calcoli percheacute basta cambiare 119909 in minus119909

Non saragrave necessario eseguire questi calcoli in futuro soprattutto quelli finali perdeterminare 120575 Quello che conta egrave scoprire che lrsquoinsieme delle soluzioni della disequa-zione

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

forma un intorno di 0 cioegrave un insieme che include un intervallo aperto contenente 0Con questo linguaggio la definizione di continuitagrave diventa piugrave facile

d e f i n i z i o n e La funzione 119891 egrave continua in 119909 se data una qualsiasi tolleranza120576 gt 0 lrsquoinsieme delle soluzioni della disequazione

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

forma un intorno di 0

Naturalmente in quella disequazione lrsquoincognita egrave ℎ Egrave importare notare che la condi-zione deve valere per ogni tolleranza Per questo quando si imposta la verifica occorretenere 120576 indicato e non si puograve dare solo un valore per quanto piccolo Tuttavia egrave am-messo per quanto giagrave visto considerare 0 lt 120576 lt 119896 dove 119896 gt 0 egrave un valore qualsiasi checi renda piugrave facile trattare il caso senza dover fare scomode distinzioni Nellrsquoesempiodi prima abbiamo infatti preso 0 lt 120576 lt 1199092 (per 119909 ne 0) che appunto non egrave restrittivodal momento che 119909 egrave fisso

Diremo che una funzione egrave continua se egrave tale in ogni punto del suo dominioNel seguito ci serviragrave questa semplice osservazione lrsquointersezione di due intorni di 0

egrave un intorno di 0 Infatti se il primo intorno include lrsquointervallo aperto (minus1205751 1205751) e il

30 continuitagrave

secondo lrsquointervallo aperto (minus1205752 1205752) egrave chiaro che ponendo 120575 = min1205751 1205752 lrsquointer-sezione dei due intorni include lrsquointervallo aperto (minus120575 120575) Adesso basta osservareche ogni intervallo aperto che contiene 0 include un intervallo aperto simmetrico

Egrave evidente anche che ogni insieme che include un intorno di 0 egrave anchrsquoesso un intornodi 0 e che anche lrsquointersezione di 119899 intorni egrave un intorno (119899 naturale positivo)

Le funzioni non sono necessariamente continue altrimenti non ci sarebbe alcun bi-sogno di dare la definizione Un esempio drammatico egrave proprio la funzione di Dirichletche non egrave continua in alcun punto Infatti se 119909 egrave un reale qualsiasi in ogni suo intornocadono punti razionali e irrazionali perciograve non egrave possibile soddisfare alcuna tolleran-za 120576 lt 1 Un esempio meno patologico egrave la funzione pavimento che non egrave continuasugli interi ma lo egrave in ogni numero non intero Se 119909 egrave intero ogni suo intorno contienenumeri minori di 119909 se 119909 minus 1 lt 119910 lt 119909 allora lfloor119910rfloor = lfloor119909rfloor minus 1 e quindi non puograve esseresoddisfatta alcuna tolleranza 120576 lt 1 Viceversa se 119909 non egrave intero esiste un intorno di119909 in cui la funzione egrave costante quindi certamente continua

21 teoremi sulla continuitagrave

Abbiamo parlato di intorni di 0 ma possiamo allo stesso modo parlare di intorni diun punto qualsiasi un intorno di 119909 egrave un insieme che include un intervallo apertocontenente 119909 Lrsquointervallo aperto si puograve sempre prendere simmetrico rispetto a 119909

Egrave facile vedere che se 119880 egrave un intorno di 0 lrsquoinsieme dei numeri della forma 119909 + ℎper ℎ isin 119880 egrave un intorno di 119909 Questo egrave un fatto che useremo piugrave volte

Per ora supporremo che le funzioni siano definite in tutto un intorno del punto con-siderato Possiamo allora considerare la somma e il prodotto di due funzioni che sa-ragrave ancora definita in un intorno del punto percheacute lrsquointersezione di due intorni egrave unintorno

t e o r ema La somma di due funzioni continue nel punto 119909 egrave continua in 119909

Siano 119891 e 119892 le due funzioni dobbiamo risolvere le disequazioni

|119891(119909+ℎ) + 119892(119909+ℎ) minus (119891(119909) + 119892(119909))| le 120576

Ci ricordiamo della disuguaglianza fondamentale

|119886 + 119887| le |119886| + |119887|

e applichiamo lrsquoipotesi le soluzioni della disequazione

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 1205762

formano un intorno di 0 chiamiamolo 119880 Anche le soluzioni di

|119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 1205762

formano un intorno di 0 chiamiamolo 119881 Se dunque ℎ isin 119880cap119881 abbiamo

|119891(119909+ℎ) + 119892(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus 119892(119909)|le |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| + |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)|

le 1205762 + 120576

2 = 120576

Allora lrsquoinsieme delle soluzioni della nostra disequazione include119880cap119881 che egrave un intornodi 0 e dunque egrave a sua volta un intorno di 0

21 teoremi sulla continuitagrave 31

Si noti la comoditagrave di non dover risolvere esattamente la disequazione ci interessasolo che lrsquoinsieme delle soluzioni sia un intorno di 0 se troviamo che questo insiemeinclude un intorno di 0 determinato in qualche modo abbiamo finito

Percheacute quella scelta di 1205762 Qui entrano in gioco altri fattori esperienza e intuizio-ne Lrsquoidea era di usare la disuguaglianza sul valore assoluto di una somma fissiamotolleranze piugrave strette per 119891 e 119892 di quella che ci interessa per la somma e siccome nonabbiamo preferenze per 119891 e 119892 proviamo con la tolleranza metagrave di quella data Egrave im-portante ricordare che la continuitagrave richiede che le soluzioni di ogni disuguaglianza|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576 formino un intorno di 0

Unrsquoapplicazione Siccome la funzione pavimento non egrave continua sugli interi nemmeno lafunzione parte frazionaria lo egrave se 119891(119909) = 119909minus lfloor119909rfloor allora lfloor119909rfloor = 119909minus119891(119909) e se 119891 fosse continuasugli interi lo sarebbe anche ldquopavimentordquo percheacute certamente 119909 ↦ 119909 egrave una funzione continua

t e o r ema Se 119891 egrave continua in 119909 e 119886 egrave un numero qualsiasi allora 119886119891 egrave continuain 119909

La disuguaglianza da trattare egrave |119886119891(119909+ ℎ) minus 119886119891(119909)| le 120576 Se 119886 = 0 non crsquoegrave proprioniente da dimostrare ogni funzione costante egrave evidentemente continua (data qualsiasitolleranza possiamo prendere come grado di avvicinamento qualsiasi numero positivo)Quindi possiamo assumere 119886 ne 0 Allora la disuguaglianza egrave equivalente a

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576|119886|

e per ipotesi sappiamo che lrsquoinsieme delle soluzioni di questa egrave un intorno di 0 percheacutepossiamo prendere 120576|119886| come tolleranza

t e o r ema Se 119891 egrave continua in 119909 allora |119891| egrave continua in 119909

Qui usiamo la disuguaglianza | |119886|minus|119887|| le |119886minus119887| Data la tolleranza 120576 gt 0 dobbiamorisolvere

| |119891(119909+ℎ)| minus |119891(119909)|| le 120576

Sia 119880 un intorno di 0 tale che per ℎ isin 119880 valga

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

Per la disuguaglianza di prima abbiamo la tesi

t e o r ema La funzione prodotto di due funzioni continue in 119909 egrave una funzionecontinua in 119909

Se 119891 e 119892 sono le nostre due funzioni la disuguaglianza egrave

|119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)| le 120576

Il trucco di aggiungere e togliere sembra promettente possiamo di certo scrivere

|119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|= |119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909+ℎ) + 119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|le |119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909+ℎ)| + |119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|= |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ)| + |119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)|

Il problema egrave che 119892(119909+ℎ) varia al variare di ℎ se fosse possibile delimitarlo saremmo quasi aposto Ci occorre un lemma

32 continuitagrave

l emma Se 119892 egrave continua in 119909 allora esistono 119897 gt 0 e un intorno 119880 di 0 tali che per ogniℎ isin 119880 si abbia |119892(119909+ℎ)| le 119897

Fissiamo 120576 gt 0 in modo che |119892(119909)| lt 120576 allora esiste un intorno 119880 di 0 tale che se ℎ isin 119880 siabbia |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 120576 In altre parole per ℎ isin 119880 si ha

minus120576+119892(119909) le 119892(119909+ℎ) le 120576+ 119892(119909)

Se 119897 = max120576 minus 119892(119909) 120576 + 119892(119909) abbiamo per la scelta di 120576 119897 gt 0 e inoltre che se ℎ isin 119880 |119892(119909 +ℎ)| le 119897 Armati di questo lemma possiamo proseguire la nostra dimostrazione supponendoche 119891(119909) ne 0 Esistono intorni 119880 119881 e 119882 di 0 tali che

|119892(119909+ℎ)| le 119897 ℎ isin 119880

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 1205762119897 ℎ isin 119881

|119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 1205762|119891(119909)| ℎ isin 119882

dove 119897 gt 0 egrave quello determinato con il lemma Allora se ℎ isin 119880cap119881cap119882 abbiamo

|119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|

le |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ)| + |119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)|

le 1205762119897 119897 + |119891(119909)| 120576

2|119891(119909)|

= 1205762 + 120576

2 = 120576

esattamente come si voleva Nel caso in cui 119891(119909) = 0 la dimostrazione egrave ancora piugrave semplice lasi completi

Il teorema che segue si chiama teorema della permanenza del segno

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave continua in 119909 e 119891(119909) gt 0 allora esiste un intorno119880 di 0 tale che per ℎ isin 119880 vale 119891(119909+ℎ) gt 0

Basta prendere come tolleranza 120576 = 119891(119909)2 esiste un intorno 119880 di 0 tale che |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576 e quindi

minus120576+119891(119909) le 119891(119909+ℎ) le 120576+119891(119909)

e considerando la disuguaglianza di sinistra abbiamo

119891(119909+ℎ) ge minus119891(119909)2 + 119891(119909) = 119891(119909)

2 gt 0

Enunciamo esplicitamente due corollari del teorema Si noti che il primo enunciatoegrave equivalente al teorema ci riferiremo spesso a questo con il nome di lsquoteorema dellapermanenza del segnorsquo

c o r o l l a r i o Supponiamo che 119891 sia continua in 119909 e che esista un intorno 119880 di0 tale che per ℎ isin 119880 e ℎ ne 0 sia 119891(119909+ℎ) ge 0 Allora 119891(119909) ge 0

Se fosse 119891(119909) lt 0 ci sarebbe un intorno119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881 119891(119909) lt 0 questocontraddice lrsquoipotesi per 0 ne ℎ isin 119880cap119881

c o ro l l a r i o Se 119891 egrave continua in 119909 e 119891(119909) ne 0 allora esiste un intorno di 119909 nelquale 119891 non si annulla

Se 119891(119909) gt 0 si ha 119891(119911) gt 0 in tutto un intorno di 119909 Analogamente se 119891(119909) lt 0prendendo minus119891

21 teoremi sulla continuitagrave 33

Naturalmente il teorema e i corollari ammettono anche la versione con 119891(119909) lt 0basta considerare 119892 = minus119891 come nella dimostrazione precedente

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave continua in 119909 e 119891(119909) ne 0 allora la funzione 119911 ↦119892(119911) = 1119891(119911) egrave continua in 119909

Per quanto visto 119892 egrave effettivamente definita in un intorno di 119909 La disequazione darisolvere egrave

|119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 120576

che diventa

| 1119891(119909+ℎ) minus 1

119891(119909) | le 120576

cioegrave sviluppando|119891(119909) minus 119891(119909+ℎ)| le 120576|119891(119909)119891(119909+ℎ)|

Questa volta ci occorre limitare i valori |119891(119909+ℎ)| dal basso cioegrave trovare un intorno 119880di 0 e un numero 119897 gt 0 tali che per ℎ isin 119880 si abbia |119891(119909 + ℎ)| gt 119897 Ma lrsquoabbiamo giagravefatto dimostrando il teorema della permanenza del segno crsquoegrave un intorno 119880 di 0 taleche per ℎ isin 119880 |119891(119909+ℎ)| gt |119891(119909)|2 A questo punto possiamo prendere un intorno119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881

|119891(119909) minus 119891(119909+ℎ)| le 120576|119891(119909)|22

e quindi per ℎ isin 119880cap119881

|119891(119909) minus 119891(119909+ℎ)| le 120576|119891(119909)|22

= 120576|119891(119909)| |119891(119909)|2

le 120576|119891(119909)| sdot |119891(119909+ℎ)|

che egrave esattamente la disuguaglianza che ci serve

Da tutto questo lavoro astratto possiamo trarre una conseguenza molto importante

t e o r ema Se 119875 egrave un polinomio allora la funzione 119909 ↦ 119875(119909) egrave continua

Un polinomio si ottiene infatti combinando con somme e prodotti le funzioni costantie la funzione 119909 ↦ 119909 (cioegrave il polinomio 119909) Quindi una funzione polinomiale egrave continuaNon crsquoegrave dunque bisogno di risolvere disequazioni complicate per verificare la continuitagravedi 119891(119909) = 1199092 come abbiamo fatto prima La disequazione sarebbe intimidente nel casodi 119891(119909) = 31199095 minus 71199092 + 2119909minus 4 ma appunto non crsquoegrave bisogno nemmeno di scriverla

Rimandiamo a piugrave avanti la questione se le funzioni log exp sin e cos siano continueCi rimane un ultimo risultato importante

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave continua in 119909 e la funzione 119892 egrave continua in 119910 =119891(119909) allora la funzione 119911 ↦ 119865(119911) = 119892(119891(119911)) egrave continua in 119909

In certe situazioni come questa egrave piugrave comodo scrivere diversamente la definizionedi continuitagrave in un punto Si verifichi che la seguente asserzione egrave equivalente alladefinizione data 119891 egrave continua in 119909 se per ogni tolleranza 120576 gt 0 crsquoegrave un intorno 119880 di 119909tale che per 119911 isin 119880 |119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

Con questa caratterizzazione la dimostrazione diventa piugrave semplice Fissiamo unatolleranza 120576 allora esiste un intorno 119880 di 119910 tale che per 119911 isin 119880 |119892(119911) minus 119892(119910)| le 120576

34 continuitagrave

Dal momento che 119880 egrave un intorno di 119910 possiamo individuare 120575 gt 0 tale che ogni 119911con |119911 minus 119910| lt 120575 appartenga a 119880 Possiamo allora usare 1205752 come tolleranza per 119891esiste un intorno 119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881 |119891(119909 + ℎ) minus 119891(119909)| le 1205752 in particolare119891(119909+ℎ) isin 119880 e perciograve |119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))| le 120576

Questo risultato si puograve ricordare brevemente come ldquola composizione di funzionicontinue egrave continuardquo Il teorema precedente sulla continuitagrave di 119911 ↦ 119865(119911) = 1119891(119911)si puograve dimostrare facilmente considerando la funzione 119911 ↦ 1119911 nel teorema sullacomposizione Abbiamo anche unrsquoaltra conseguenza importante

t e o r ema Se 119875 e 119876 sono polinomi allora la funzione 119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) egravecontinua su tutto il suo dominio che consiste dei punti 119909 dove 119876(119909) ne 0

Si noti che la funzione 119891(119909) = 119909119909 non egrave definita in 0 Questo non vuol dire che igno-riamo la possibile semplificazione lo scopo della prossima sezione egrave proprio rendererigorosa lrsquointuizione che 119891 puograve essere estesa anche con un valore in 0

22 limiti

Una delle conseguenze della continuitagrave di 119891 in 119909 egrave che il valore 119891(119909) egrave determinato daivalori 119891(119909+ℎ) con ℎ ne 0 preso in un opportuno intorno di 0 Supponiamo infatti che119891 e 119892 siano funzioni continue in 119909 e che esista un intorno 119880 di 0 tale che per ℎ isin 119880ℎ ne 0 sia 119891(119909+ℎ) = 119892(119909+ℎ) Dimostriamo che in tali ipotesi 119891(119909) = 119892(119909)

Se 119891(119909) ne 119892(119909) la funzione 119865 = |119891minus119892| egrave continua in 119909 e 119865(119909) gt 0 esiste allora unintorno 119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881 119865(119909 + ℎ) gt 0 Ma dalla definizione segue che perℎ ne 0 119865(119909+ ℎ) = 0 Dunque dovremmo avere 119880cap119881 = 0 che egrave impossibile percheacutelrsquointersezione di due intorni di 0 egrave un intorno di 0 e 0 non lo egrave

In molte situazioni alcune le abbiamo giagrave viste egrave data una funzione che egrave definitain tutto un intorno di un punto 119909 ma non in 119909 Il caso tipico egrave quello del rapporto diFermat in 119909 visto come funzione di ℎ

119907(ℎ) = 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ

egrave una funzione definita in un intorno di 0 ma non in 0 dove lrsquoespressione perde signi-ficato Il nostro problema egrave appunto vedere se la funzione 119907 puograve essere estesa a unafunzione definita anche in 0 che sia continua in 0

Come si fa spesso si suppone che il problema sia risolto Fissiamo dunque le nota-zioni abbiamo una funzione 119891 definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 e supponiamodi saperla estendere a una funzione 119891 definita su tutto 119882 cioegrave

119891(119911) =⎧⎨⎩

119891(119911) se 119911 isin 119882 119911 ne 119909119897 se 119911 = 119909

Quindi la funzione 119891 assume gli stessi valori di 119891 in tutti i punti di 119882 escluso 119909 ma haun valore anche in 119909 Siccome supponiamo che la funzione sia continua in 119909 data unatolleranza 120576 gt 0 sappiamo trovare un intorno 119880 di 119909 tale che si abbia per 119911 isin 119880

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

che quando 119911 ne 119909 si puograve anche scrivere

|119891(119911) minus 119897| le 120576

22 limiti 35

Nel caso di 119911 = 119909 la disuguaglianza egrave automaticamente verificata quindi ci basta trat-tarla per 119911 ne 119909 Per quello che abbiamo visto prima il valore 119897 egrave determinato dallarichiesta che 119891 sia continua in 119909 perciograve il problema ha al piugrave una soluzione

Ecco che abbiamo giustificato lrsquoimportante definizione che segue dovuta in sostanzaa Cauchy ma resa precisa da Weierstraszlig

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 Di-remo che il numero 119897 egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 se data una qualsiasitolleranza 120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 119911 ne 119909 si abbia

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

In tal caso la notazione usata saragrave

lim119911rarr119909

119891(119911) = 119897

La terminologia lsquolimitersquo e lsquotendersquo risale ai primi tempi dello sviluppo del calcolo dif-ferenziale quando si parlava di variabili lsquotendenti a valori limitersquo avendo unrsquoidea di-namica della questione che perograve non trova posto nella sistemazione rigorosa data daWeierstraszlig Continuiamo a usare i termini tradizionali basta ricordarsi che sono solonomi senza farsi ingannare dal loro suono o meglio dal loro significato nel linguaggiocomune

Il limite se esiste egrave quellrsquounico valore 119897 che assegnato come valore alla funzione119891 in 119909 cioegrave se si pone 119891(119909) = 119897 la rende continua in 119909 Perciograve ogni teorema sullefunzioni continue diventa un teorema sui limiti

Useremo la stessa notazione anche quando la funzione sia definita in 119909 con la ta-cita convenzione che in tale contesto il valore assunto da 119891 in 119909 non ci interessa lalsquosdefiniamorsquo in 119909

t e o r ema Siano 119891 e 119892 funzioni definite in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 e sup-poniamo che esistano lim119911rarr119909 119891(119911) = 119897 e lim119911rarr119909 119892(119911) = 119898 Sia poi 119886 un numeroqualsiasi Allora esistono i limiti seguenti e hanno i valori indicati

lim119911rarr119909

(119891(119911) + 119892(119911)) = 119897 +119898 lim119911rarr119909

(119891(119911)119892(119911)) = 119897119898

lim119911rarr119909

|119891(119909)| = |119897| lim119911rarr119909

119886119891(119911) = 119886119897

lim119911rarr119909

1119891(119911) = 1

119897 (se 119897 ne 0)

Si faccia attenzione che non egrave affatto detto che un limite esista sempre Lrsquoesempio classico egravequello della funzione 119891(119909) = cos(1119909) che egrave definita ovunque eccetto che in 0 Dimostriamo cheper nessun 119897 si puograve avere

lim119909rarr0

cos 1119909 = 119897

Sia infatti 119897 gt 0 In ogni intorno di 0 ci sono punti 119909 nei quali cos(1119909) lt 0 per esempiotutti i numeri della forma 1(120587 + 2119896120587) per 119896 intero abbastanza grande se lrsquointorno 119880 includelrsquointervallo aperto (minus120575 120575) ci basta prendere

0 lt 1120587+ 2119896120587 lt 120575

cioegrave (2119896 + 1)120587 gt 1120575 che equivale a

119896 gt 12( 1

120587120575 minus 1)

e quindi lrsquointorno non soddisfa alla tolleranza 120576 = 1198974 Analogamente se 119897 lt 0 allrsquointornoappartengono tutti i numeri della forma 1(2119896120587) per 119896 gt 1(2120587120575) dove il coseno vale 1 e quindi

36 continuitagrave

lrsquointorno non soddisfa la tolleranza 120576 = minus1198974 Lo stesso per 119897 = 0 allrsquointorno appartengono ipunti 1(2119896120587) ancora per 119896 gt 1(2120587120575) e lrsquointorno non soddisfa la tolleranza 120576 = 14

Il teorema sui limiti di maggiore utilitagrave fornisce una tecnica che abbiamo giagrave adope-rato nella sua forma intuitiva e che chiameremo teorema del confronto di limiti

t e o r ema Siano 119865 119866 e 119891 funzioni definite in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 esupponiamo che per 119911 isin 119882 119911 ne 119909 si abbia

119865(119911) le 119891(119911) le 119866(119911)

Se esistonolim119911rarr119909

119865(119911) = lim119911rarr119909

119866(119911) = 119897

allora esiste anchelim119911rarr119909

119891(119911) = 119897

Fissiamo una tolleranza 120576 gt 0 allora esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880119911 ne 119909 si abbia

|119865(119911) minus 119897| le 1205763 e |119866(119911) minus 119897| le 120576

3

In effetti dovremmo distinguere lrsquointorno in cui vale la disuguaglianza per 119865 e quelloin cui vale la disuguaglianza per 119866 se ne prendiamo lrsquointersezione ne abbiamo uno incui valgono entrambe Ora osserviamo che da 119865(119911) le 119891(119911) le 119866(119911) segue

0 le 119866(119911) minus 119891(119911) le 119866(119911) minus 119865(119911)

che possiamo anche scrivere tra valore assoluto dunque per 119911 isin 119880 119911 ne 119909

|119866(119911) minus 119891(119911)| le |119866(119911) minus 119865(119911)|= |119866(119911) minus 119897 + 119897 minus 119865(119911)|le |119866(119911) minus 119897| + |119897 minus 119865(119911)|

le 1205763 + 120576

3 = 23120576

Con questa disuguaglianza possiamo adesso scriverne unrsquoaltra sempre per 119911 isin 119880119911 ne 119909

|119891(119911) minus 119897| = |119891(119911) minus119866(119911) +119866(119911) minus 119897|le |119891(119911) minus119866(119911)| + |119866(119911) minus 119897|

le 23120576 + 1

3120576 = 120576

Questa volta le funzioni erano tre quindi abbiamo considerato 1205763 ma non lo siprenda come guida assoluta in realtagrave si scrivono le dimostrazioni mettendo valorigenerici che poi si aggiustano quando la dimostrazione egrave completa

Si possono riesaminare i due casi in cui abbiamo usato questo teorema cioegrave quandoabbiamo calcolato la derivata del logaritmo e delle funzioni trigonometriche Per illogaritmo dalle disuguaglianze

1119909+ℎ le log(119909 +ℎ) minus log119909

ℎ le 1119909

abbiamo lsquodedottorsquo che limℎrarr0(log(119909 +ℎ) minus log119909)ℎ = 1119909 percheacute

limℎrarr0

1119909+ℎ = lim

ℎrarr0

1119909 = 1

119909

22 limiti 37

dal momento che le funzioni ℎ rarr 1(119909+ℎ) e ℎ rarr 1119909 sono continueIn realtagrave dovremmo considerare la funzione ℎ rarr 1(119909+ℎ) definita in un intorno di

0 escluso 0 ma siccome ne conosciamo giagrave unrsquoestensione continua in 0 lrsquoesistenza eil valore del limite non sono un problema

Crsquoegrave un problema piugrave serio invece queste disuguaglianze valgono solo per ℎ gt 0 perℎ lt 0 abbiamo

1119909 le log(119909 +ℎ) minus log119909

ℎ le 1119909+ℎ

Egrave giunto il momento di dare una definizione piugrave generale di limite che ci possa essereutile in situazioni del genere

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione di dominio 119863(119891) e sia 119909 isin 119863(119891) diremo che119891 egrave continua in 119909 se per ogni tolleranza 120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di 119909 tale cheper 119911 isin 119880cap119863(119891)

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

Lrsquounica differenza rispetto a prima ma decisiva egrave di limitare i valori di 119911 a quelli cheappartengono sia allrsquointorno 119880 di 119909 sia al dominio di 119891 Ovviamente se 119863(119891) includeun intorno di 119909 la definizione coincide con la precedente a parte lrsquouso di 119911 isin 119880 invecedi 119909+ℎ con ℎ in un intorno di 0

Si puograve verificare facilmente che i teoremi sulla continuitagrave dimostrati prima continua-no a valere secondo la nuova definizione quando le funzioni invece di essere definitein un intorno 119882 di 119909 sono tutte definite in un insieme qualunque a cui 119909 appartiene

Vediamo subito un esempio importante la funzione 119891(119909) = radic119909 di cui vogliamodimostrare la continuitagrave in ogni punto del dominio 119863(119891) = [0 rarr) Dato 120576 gt 0dobbiamo risolvere la disequazione

|radic119911minusradic119909| le 120576

nellrsquoincognita 119911 e scoprire che lrsquoinsieme delle soluzioni egrave lrsquointersezione di un intorno di119909 con 119863(119891) La disequazione egrave equivalente a quella che si ottiene elevando al quadrato

119911minus 2radic119909119911+119909 le 1205762119911 + (119909minus 1205762) le 2radic119909119911

Nel caso di 119909 gt 0 possiamo supporre 0 lt 120576 lt radic119909 e quindi elevare di nuovo al quadrato

1199112 + 2(119909minus 1205762)119911 + (119909minus 1205762)2 le 41199091199111199112 minus 2(119909+ 1205762)119911 + (119909minus 1205762)2 le 0

il cui discriminante egrave

Δ4 = (119909+ 1205762)2 minus (119909minus 1205762)2

= (119909+ 1205762 +119909minus 1205762)(119909 + 1205762 minus119909+ 1205762)= 41199091205762

Dunque le radici del polinomio in 119911 sono 119909+1205762minus2120576radic119909 = (radic119909minus120576)2 e 119909+1205762+2120576radic119909 =(radic119909+ 120576)2 Lrsquoinsieme delle soluzioni egrave dunque

(radic119909minus 120576)2 le 119911 le (radic119909+ 120576)2

che egrave un intorno di 119909 dal momento che

(radic119909minus 120576)2 lt 119909 lt (radic119909+ 120576)2

38 continuitagrave

come si verifica facilmente usando lrsquoipotesi che 0 lt 120576 lt radic119909 Dunque la funzione egravecontinua in ogni 119909 gt 0 Nel caso di 119909 = 0 la disequazione diventa

|radic119911| le 120576

le cui soluzioni sono date da 0 le 119911 le 1205762 questo insieme coincide con

(minus1205762 1205762) cap119863(119891)

e quindi abbiamo dimostrato anche la continuitagrave in 0Ci sono casi in cui il dominio non include un intorno di ogni punto Consideriamo

la funzione119891(119909) = radic1199092(119909 minus 2)

definita nel piugrave ampio insieme dove lrsquoespressione abbia senso cioegrave

119863(119891) = 0 cup [2 rarr)

cioegrave la funzione egrave definita in 0 e nei punti 119909 tali che 119909 ge 2 Che possiamo dire riguardoalla continuitagrave in 0 Applichiamo la definizione riusciamo dato 120576 gt 0 a trovare unintorno 119880 di 0 tale che per 119911 isin 119880cap119863(119891) si abbia |119891(119911)minus119891(0)| le 120576 Certo lrsquointervalloaperto 119880 = (minus1 1) egrave un intorno di 0 e 119880 cap 119863(119891) = 0 quindi se 119911 isin 119880 cap 119863(119891) egravevero che |119891(119911) minus 119891(0)| = |0 minus 0| = 0 le 120576

Si tratta certamente di un caso molto particolare in effetti ci si accorge che ognifunzione egrave continua in un punto isolato del suo dominio cioegrave un punto 119909 per il qualeesiste un intorno 119880 di 119909 tale che 119880cap119863(119891) = 119909 percheacute questo intorno saragrave sempreadatto per qualsiasi tolleranza 120576 gt 0 Come se al produttore di oggetti di metallo fosseordinato lsquoun pezzo di ferrorsquo senza altre specificazioni qualsiasi cosa andragrave bene

d e f i n i z i o n e Siano 119878 un insieme di numeri e 119886 un numero diremo che 119886 egrave unpunto di accumulazione per 119878 se per ogni intorno 119880 di 119886 lrsquoinsieme 119880cap119878 contienealmeno un punto diverso da 119886

Nel caso precedente 0 non egrave un punto di accumulazione di 119863(119891) tutti gli altri ele-menti di119863(119891) sono punti di accumulazione Nel caso dellrsquointervallo aperto 119878 = (2 3)quali sono i punti di accumulazione Tutti gli elementi di 119878 ma anche gli estremi del-lrsquointervallo Per esempio nellrsquointorno (2 minus 120575 2 + 120575) con 120575 gt 0 di 2 cadono infinitipunti di 119878 tutti gli 119909 tali che 2 lt 119909 lt 2 + 120575 Siccome ogni intorno di 2 include unintervallo aperto di questo tipo abbiamo dimostrato la tesi Si scriva la dimostrazioneper 3

La discussione appena fatta mostra che un punto di accumulazione di 119878 puograve nonappartenere a 119878 Egrave proprio il caso del rapporto di Fermat per una funzione 119891 definitain un intorno di 119909 il dominio della funzione ℎ ↦ 119907(ℎ) dove

119907(ℎ) = 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ

egrave un intorno di 0 escluso 0 ma allora 0 egrave un punto di accumulazione del dominio di 119907Ci accorgiamo allora che questo egrave quanto serve per poter parlare di limite esattamentesecondo la nuova definizione di continuitagrave piugrave generale

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione definita in un insieme 119878 e sia 119909 un punto diaccumulazione di 119878 Diremo che il numero 119897 egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 sedata una qualsiasi tolleranza 120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880cap119878119911 ne 119909 si abbia

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

22 limiti 39

Useremo sempre la notazione di prima ma talvolta vorremo mettere in evidenzalrsquoinsieme 119878 magari percheacute la funzione potrebbe avere un dominio lsquonaturalersquo piugrave ampiodellrsquoinsieme che vogliamo considerare in quel caso scriveremo

lim119911rarr119909119911isin119878

119891(119911) = 119897

In genere non useremo insiemi 119878 complicati anzi di solito come 119878 prenderemo proprioil dominio della funzione Il caso piugrave importante in cui useremo insiemi diversi egrave quellodei limiti lsquodestrorsquo e lsquosinistrorsquo

Supponiamo che 119891 sia definita in un intorno119882 di119909 escluso 119909 possiamo considerarela funzione 119891119909+ che coincide con 119891 ma che ha come dominio 119882cap (119909 rarr) di cui 119909 egravecertamente un punto di accumulazione Invece di usare la notazione complicatissima

lim119911rarr119909

119911isin119882cap(119909 rarr)119891119909+(119911)

ricorreremo al piugrave semplicelim

119911rarr119909+119891(119911)

che chiameremo limite per 119911 che tende a 119909 da destra Analogo discorso si puograve fare peril limite per 119911 che tende a 119909 da sinistra che ci si puograve esercitare a definire esplicitamenteper questo useremo la notazione

lim119911rarr119909minus

119891(119911)

Percheacute ci interessano i limiti da destra e da sinistra La risposta egrave quasi ovvia

t e o r ema La funzione 119891 sia definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 Allora

lim119911rarr119909

119891(119911)

esiste se e solo se esistono e sono uguali

lim119911rarr119909+

119891(119911) e lim119911rarr119909minus

119891(119911)

La dimostrazione egrave facile in un senso e la lasciamo per esercizio se 119878 egrave un sot-toinsieme di 119863(119891) di cui 119909 egrave un punto di accumulazione e lim119911rarr119909 119891(119911) esiste alloraesiste

lim119911rarr119909119911isin119878

119892(119911) = lim119911rarr119909

119891(119911)

dove con 119892 denotiamo la funzione 119891 ristretta a 119878 Questo vale in particolare se 119878 =119863(119891) cap (119909 rarr) cosigrave che 119892 = 119891119909+ e analogamente per il limite da sinistra

Vediamo la parte importante supponiamo che sia lim119911rarr119909+ 119891(119911) sia lim119911rarr119909minus 119891(119911)esistano e che siano uguali a 119897 Fissiamo una tolleranza 120576 gt 0 e cerchiamo lrsquoinsiemedelle soluzioni di

|119891(119911) minus 119897| le 120576

(con 119911 ne 119909 naturalmente) Poniamo per semplicitagrave 119878+ = 119882 cap (119909 rarr) e 119878minus = 119882 cap(larr 119909) Per ipotesi le funzioni 119891119909+ e 119891119909minus definite rispettivamente su 119878+ e 119878minus hannolimite 119897 Dunque esiste un intorno 119880+ di 119909 tale che per 119911 isin 119880+ cap119878+

|119891119909+(119911) minus 119897| = |119891(119911) minus 119897| le 120576

Esiste anche un intorno 119880minus di 119909 tale che per 119911 isin 119880minus cap119878minus

|119891119909minus(119911) minus 119897| = |119891(119911) minus 119897| le 120576

40 continuitagrave

Ma allora se poniamo 119880 = 119880+ cap119880minus 119880 egrave un intorno di 119909 e per 119911 isin 119880 119911 ne 119909 si ha

|119891(119911) minus 119897| le 120576

usando la disuguaglianza per 119891119909+ se 119911 gt 119909 quella per 119891119909minus se 119911 lt 119909

A questo punto la nostra dimostrazione rigorosa della derivabilitagrave del logaritmo egravequasi conclusa poniamo 119907(ℎ) = (log(119909+ ℎ) minus log119909)ℎ per ℎ gt 0 abbiamo

1119909+ℎ le 119907(ℎ) le 1

119909

e quindi per il teorema del confronto di limiti possiamo dire che

limℎrarr0+

119907(ℎ) = 1119909

Per ℎ lt 0 abbiamo1119909 le 119907(ℎ) le 1

119909+ℎe ancora per il teorema di confronto di limiti possiamo dire che

limℎrarr0minus

119907(ℎ) = 1119909

Dunque limℎrarr0 119907(ℎ) = 1119909Non possiamo dire altrettanto sulla rigorositagrave della dimostrazione per la derivata di

seno e coseno dal momento che lagrave abbiamo assunto la continuitagrave delle due funzioniSta di fatto che le funzioni seno e coseno sono continue

t e o r ema La funzione 119909 ↦ sin119909 e la funzione 119909 ↦ cos119909 sono continue

Ci ricordiamo della famosa formula di prostaferesi

sin120572minus sin120573 = 2 cos 120572+1205732 sin 120572minus120573

2

dalla quale ricaviamo

sin(119909+ ℎ) minus sin119909 = 2 cos 2119909+ℎ2 sin ℎ

2

Fissiamo la tolleranza 120576 gt 0 La disequazione da risolvere diventa allora

|cos(119909+ ℎ2 ) sin ℎ

2 | le 1205762

Ora |cos(119909 + (ℎ2))| le 1 e perciograve cominciamo a risolvere la disequazione |sin(ℎ2)| le 1205762 Setroviamo un intorno119880 di 0 tale che per ℎ isin 119880 si abbia questa disuguaglianza per ℎ isin 119880 avremoanche la piugrave restrittiva

|cos(119909+ ℎ2 )| sdot |sin ℎ

2 | le |sin ℎ2 | le 120576

2

Poniamo 120576prime = 1205762 e ℎ = 2119896 Dobbiamo quindi risolvere |sin119896| le 120576prime alla fine ci siamo ridotti adimostrare che la funzione seno egrave continua in 0

Ritorniamo alla figura 4 dove supponiamo che lrsquoangolo 119860119874119862 sia di misura 0 lt 119896 lt 1205872 econsideriamo la corda 119860119862 la sua lunghezza egrave certamente minore della lunghezza dellrsquoarco dicirconferenza 119860119862 e vale 2 sin(1198962) Proviamo che

sin119896 lt 2 sin(1198962)

Infatti sin119896 = 2 sin(1198962) cos(1198962) le 2 sin(1198962) percheacute 0 le cos(1198962) le 1 Ma allora 119861119862 lt 119860119862 eperciograve sin119896 lt 119896 Per il teorema di confronto dei limiti dalla disuguaglianza

0 le sin119896 le 119896 (119896 gt 0)

23 il teorema di bolzano sugli zeri 41

possiamo concludere che lim119896rarr0+ sin119896 = 0 Se minus1205872 lt 119896 lt 0 abbiamo sin(minus119896) lt minus119896 e quindi119896 lt sin119896 lt 0 ma ancora questo ci dice che lim119896rarr0minus sin119896 = 0 Ne deduciamo che lim119896rarr0 sin119909 = 0e perciograve la funzione 119909 ↦ sin119909 egrave continua in 0 percheacute sin0 = 0

Ora egrave facile ritornare indietro esiste un intorno 119880 di 0 che possiamo prendere simmetricocioegrave 119880 = (minus120575120575) tale che per 119896 isin 119880 |sin119896| le 120576prime Allora per ℎ isin 119880prime = (minus2120575 2120575) avremoℎ2 isin 119880 e quindi

|sin ℎ2 | le 120576

2come voluto

Dobbiamo fare la stessa fatica per il coseno No siccome cos119909 = sin(119909 + (1205872)) sappiamoche 119909 ↦ cos119909 egrave continua percheacute composizione di due funzioni continue

23 il teorema di bolzano sugli zeri

Bernard Bolzano matematico e filosofo praghese (1781ndash1848) fu tra i primi con Cauchyad affrontare il problema del rigore nellrsquoanalisi matematica che si stava sempre piugravesviluppando a opera dei successori di Leibniz cioegrave i Bernoulli1 Leonhard Euler (1707ndash1783) Giuseppe Luigi Lagrange (1736ndash1813) e altri Fino ai suoi studi si dava come ovvioche una funzione che assuma sia valori positivi che negativi assume anche il valorezero In realtagrave questo egrave tuttrsquoaltro che ovvio e dipende dalla struttura profonda deinumeri reali

t e o r ema d i b o l z a no s u g l i z e r i Sia 119891 una funzione continua definitanellrsquointervallo chiuso [119901 119902] Se 119891(119901) lt 0 e 119891(119902) gt 0 esiste un punto 119888 internoallrsquointervallo [119901 119902] tale che 119891(119888) = 0

Lrsquoidea di Bolzano egrave semplice Poniamo 1199010 = 119901 e 1199020 = 119902 dividiamo lrsquointervallo[1199010 119902119900] a metagrave e sia 1199030 il punto medio Ci sono tre casi (1) 119891(1199030) = 0 (2) 119891(1199030) lt 0(3) 119891(1199030) gt 0

Nel primo caso abbiamo finito e poniamo 119888 = 1199030 Nel secondo caso poniamo 1199011 = 1199030e 1199021 = 1199020 Nel terzo caso poniamo 1199011 = 1199010 e 1199021 = 1199030 Cosigrave se 119891(1199030) ne 0 possiamoconsiderare 119891 definita sullrsquointervallo [1199011 1199021] con 119891(1199011) lt 0 e 119891(1199021) gt 0

A questo punto possiamo far partire il meccanismo se supponiamo di essere arrivatial passo 119899 gt 0 con la stessa tecnica troviamo o un punto 119903119899+1 tale che 119891(119903119899+1) = 0oppure un intervallo [119901119899+1 119902119899+1] tale che 119891(119901119899+1) lt 0 e 119891(119902119899+1) gt 0

Se il meccanismo arriva a una fine cioegrave a un passo 119899 in cui 119891(119903119899) = 0 il teoremaper 119891 egrave dimostrato In caso contrario abbiamo la successione inscatolata di intervalli[119901119899 119902119899] che hanno lunghezze decrescenti indefinitamente infatti se 119897 = 119902 minus 119901 lalunghezza dellrsquo119899-esimo intervallo egrave 1198972119899 Dunque esiste un unico punto 119888 comune atutti gli intervalli come si intuisce e come vedremo con precisione nel capitolo 8

Qui arrivava Bolzano e concludeva che 119891(119888) = 0 lasciando perograve un buco nelladimostrazione Noi abbiamo alle spalle Weierstraszlig e possiamo colmarlo

Chiamiamo 119878minus lrsquoinsieme dei punti 119901119899 e 119878+ lrsquoinsieme dei punti 119902119899 Allora 119888 egrave un puntodi accumulazione sia di 119878minus sia di 119878+ Siccome 119891 egrave continua lo egrave in particolare in 119888 equindi

119891(119888) = lim119911rarr119888

119891(119911) = lim119911rarr119888119911isin119878minus

119891(119911) = lim119911rarr119888119911isin119878+

119891(119911)

Siccome su 119878minus si ha 119891(119911) lt 0 e su 119878+ si ha 119891(119911) gt 0 egrave immediato verificare che

119891(119888) = lim119911rarr119888119911isin119878minus

119891(119911) le 0 e 119891(119888) = lim119911rarr119888119911isin119878+

119891(119911) ge 0

1 I matematici della famiglia furono Jakob Bernoulli (1654ndash1705) Nicolaus Bernoulli (1687ndash1759) Johann Ber-noulli (1667ndash1748) Nicolaus Bernoulli II (1695ndash1726) Daniel Bernoulli (1700ndash1782) Johann Bernoulli II (1710ndash1790) Johann Bernoulli III (1744ndash1807) Jakob Bernoulli II (1759ndash1789) I maggiori furono Jakob Nicolaus eDaniel

42 continuitagrave

per il teorema della permanenza del segno Lrsquounico numero che soddisfa entrambe ledisuguaglianze egrave 119891(119888) = 0

Le ipotesi sui valori di 119891 agli estremi non sono poi cosigrave stringenti vale lo stesso se119891(119901) gt 0 e 119891(119902) lt 0 basta applicare il teorema alla funzione 119909 ↦ minus119891(119909) Ma possiamodire molto di piugrave

Vediamo unrsquoapplicazione Vogliamo vedere se lrsquoequazione 119909 minus 1 = log10(119909 + 2) hasoluzioni Consideriamo la funzione 119891(119909) = 119909 minus 1 minus log10(119909 + 2) Allora 119891(0) =minus1 minus log10 2 lt 0 mentre 119891(8) = 7 minus log10(10) = 7 minus 1 = 6 gt 0 Dunque lrsquoequazioneammette soluzione sebbene non abbiamo alcun metodo per determinarla ldquoesattamen-terdquo Analogamente lrsquoequazione 119909 = cos119909 ha soluzione infatti se 119891(119909) = 119909 minus cos119909abbiamo 119891(0) = minus1 lt 0 e 119891(1205872) = 1205872 gt 0

Piugrave avanti vedremo metodi piugrave potenti che ci potranno anche dire il numero disoluzioni

t e o r ema d e i v a l o r i i n t e rm ed i Sia 119891 definita su un intervallo 119868 e con-tinua Se 119886 e 119887 con 119886 lt 119887 sono valori assunti da 119891 allora 119891 assume anche ognivalore 119910 con 119886 lt 119910 lt 119887

Per ipotesi esistono punti 119901119902 isin 119868 tali che 119891(119901) = 119886 e 119891(119902) = 119887 Supponiamo che119901 lt 119902 la dimostrazione nel caso 119902 lt 119901 egrave identica La funzione

119909 ↦ 119892(119909) = 119891(119909) minus119910

egrave continua in [119901 119902] e 119892(119901) = 119891(119901) minus 119910 = 119886 minus 119910 lt 0 mentre 119892(119902) = 119891(119902) minus 119910 =119887 minus 119910 gt 0 Per il teorema sugli zeri esiste un punto 119888 nellrsquointervallo [119901 119902] tale che119892(119888) = 0 Ma allora 119891(119888) = 119910

Lrsquoipotesi che 119891 sia definita su un intervallo egrave essenziale la funzione 119891(119909) = 1119909egrave continua 119891(minus1) = minus1 lt 0 119891(1) = 1 gt 0 ma non esiste alcun punto 119888 in cui119891(119888) = 0 Questo non contraddice il teorema percheacute questa funzione non egrave definitasu un intervallo

Il teorema sugli zeri non egrave lrsquounico contributo di Bolzano che enunciograve anche unrisultato poi reso rigoroso da Weierstraszlig

t e o r ema Sia 119891 una funzione definita sullrsquointervallo chiuso [119901 119902] e continuaAllora 119891 assume un valore massimo e un valore minimo

La dimostrazione di questo teorema egrave piuttosto difficile sebbene usi ancora lrsquoidea della bise-zione per un risultato preliminare esistono numeri 119896 e 119870 tali che per 119909 isin [119901 119902] 119896 le 119891(119909) le 119870Si esprime questo dicendo che 119891 egrave limitata Supponiamo dapprima che per 119909 isin [119901 119902]119891(119909) ge 0 Perciograve 119891 non egrave limitata se per qualsiasi 119904 gt 0 esiste 119909119904 tale che 119891(119909119904) ge 119904 Ladimostrazione saragrave per assurdo quindi supponiamo che 119891 non sia limitata

Come nella dimostrazione del teorema precedente poniamo 1199010 = 119901 e 1199020 = 119902 e dividiamolrsquointervallo a metagrave con il punto medio 1199030 La funzione saragrave non limitata in almeno una delle duemetagrave dellrsquointervallo quindi possiamo definire

1199011 = 1199010 1199021 = 1199030 se 119891 non egrave limitata in [1199011 1199021]1199011 = 1199030 1199021 = 1199020 se 119891 non egrave limitata in [1199011 1199021]

Conveniamo che se la funzione non egrave limitata in entrambe le metagrave scegliamo quella di sinistra(andrebbe bene anche scegliere quella di destra naturalmente lrsquoimportante egrave fissare una regola)

Anche qui possiamo dare il via al meccanismo percheacute la funzione 119891 pensata come definitasullrsquointervallo [1199011 1199021] soddisfa le stesse ipotesi Quindi possiamo supporre di avere una suc-cessione inscatolata e indefinitamente decrescente di intervalli [119901119899 119902119899] in ciascuno dei qualila funzione non egrave limitata

23 il teorema di bolzano sugli zeri 43

Esiste un unico punto 119888 che appartiene a tutti questi intervalli e 119891 egrave continua in 119888 Quindiesiste un intorno 119880 di 119888 tale che per 119911 isin 119880 |119891(119911) minus 119891(119888)| le 1 (prendiamo come tolleranza1 andrebbe bene un numero positivo qualsiasi) Siccome 119880 contiene un intervallo aperto dellaforma (119888 minus 120575 119888 + 120575) con 120575 gt 0 possiamo trovare 119898 tale che 1198972119898 lt 120575 Allora [119901119898 119902119898] sube 119880e perciograve per 119911 isin [119901119898 119902119898]

0 le 119891(119911) le 119891(119888) + 1

contro lrsquoipotesi che 119891 non sia limitata in [119901119898 119902119898] contraddizione Dunque 119891 egrave limitataA questo punto possiamo passare a funzioni qualsiasi la funzione 119892 = |119891| soddisfa la con-

dizione 119892(119909) ge 0 per 119909 isin [119901 119902] e quindi esiste 119870 tale che 0 le 119892(119909) le 119870 Ne segue cheminus119870 le 119891(119909) le 119870 e quindi 119891 egrave limitata

Ora possiamo dimostrare lrsquoesistenza di un punto nellrsquointervallo [119901 119902] dove 119891 assume il va-lore massimo Siccome lrsquoinsieme dei valori assunti da 119891 egrave limitato esso ha un estremo superiore119872 Se dimostriamo che 119891 assume il valore 119872 siamo a posto Ancora per assurdo supponiamoche 119891(119909) ne 119872 per ogni 119909 isin [119901 119902] Consideriamo la funzione

119892(119909) = 1119872minus119891(119909)

Per definizione di 119872 e per lrsquoipotesi di contraddizione abbiamo 119891(119909) lt 119872 per 119909 isin [119901 119902] quindi119892 egrave continua Dimostriamo che 119892 non egrave limitata da cui deriveragrave lrsquoassurdo percheacute violeremmociograve che abbiamo appena dimostrato

Sia 119904 gt 0 dobbiamo dimostrare che possiamo trovare 119909119904 isin [119901 119902] tale che 119892(119909119904) ge 119904 Perdefinizione di estremo superiore esiste un valore della funzione 119891 che appartiene allrsquointervallo[119872minus (1119904) 119872] cioegrave troviamo 119909119904 isin [119901 119902] tale che

119872minus 1119904 le 119891(119909119904) lt 119872

quindi

0 lt 119872minus119891(119909119904) le1119904

e dunque prendendo i reciproci1

119872minus119891(119909119904)ge 119904

cioegrave proprio 119892(119909119904) ge 119904 Dunque la possibilitagrave di definire 119892 conduce a un assurdo e ne segue che119891 deve assumere il valore 119872

Per lrsquoesistenza del minimo si procede in modo analogo (o si prende minus119891)

Si possono notare fondamentali differenze tra due dimostrazioni che usano la stessa idea inquella del teorema sugli zeri si dagrave una procedura ldquoeffettivardquo che permette almeno in linea diprincipio di trovare unrsquoapprossimazione del punto 119888 tale che 119891(119888) = 0 La dimostrazione delsecondo teorema invece consiste di due dimostrazioni per assurdo non dagrave alcuna proceduraeffettiva per determinare dove sia il punto di massimo (o quello di minimo)

Il problema di trovare uno zero di funzione si puograve affrontare con il calcolo approssimato conil metodo di bisezione o altri piugrave raffinati Quello di trovare i punti di massimo e minimo egraveinvece piugrave complesso Per funzioni derivabili invece si possono dare metodi numerici comevedremo

Il teorema dei valori intermedi ha conseguenze molto importanti Una funzione 119891si dice strettamente crescente quando per 1199091 1199092 isin 119863(119891) se 1199091 lt 1199092 allora 119891(1199091) lt119891(1199092) Si dice strettamente decrescente quando per 1199091 1199092 isin 119863(119891) se 1199091 lt 1199092 allora119891(1199091) gt 119891(1199092) Il termine strettamente monotona significa che 119891 egrave strettamente cre-scente o strettamente decrescente Notiamo che una funzione strettamente monotonaegrave iniettiva e quindi considerando come codominio lrsquoimmagine invertibile

t e o r ema Se una funzione continua 119891 definita su un intervallo egrave strettamentemonotona allora 119891 egrave invertibile e la sua inversa egrave definita su un intervallo

44 continuitagrave

Quello che ci interessa egrave che lrsquoimmagine sia un intervallo Ma per il teorema deivalori intermedi lrsquoimmagine egrave un insieme 119868 di numeri reali tale che se 119886119887 isin 119868 allora[119886 119887] sube 119868 Dunque 119868 egrave un intervallo la dimostrazione completa richiede di esaminareun buon numero di casi ne tratteremo alcuni lasciando il resto per esercizio

Poniamo 119901 = inf 119868 e 119902 = sup 119868 e ammettiamo per il momento che nessuno dei due siainfinito Se 119901 isin 119868 e 119902 isin 119868 egrave evidente che 119868 = [119901 119902] infatti [119901 119902] sube 119868 per quantovisto prima se poi 119910 isin 119868 abbiamo 119901 le 119910 le 119902 e quindi 119910 isin [119901 119902]

Supponiamo che 119901 notin 119868 119902 isin 119868 vogliamo vedere che 119868 = (119901 119902] Se 119901 lt 119910 le 119902 dalladefinizione di estremo inferiore segue che esiste 119911 isin 119868 tale che 0 lt 119911minus119901 lt (119910minus119901)2perciograve 119910 isin [119911 119902] e [119911 119902] sub 119868 da cui 119910 isin 119868 Dunque (119901 119902] sube 119868 Viceversa se119910 isin 119868 abbiamo [119910 119902] sube 119868 e dunque 119910 gt 119901 (non puograve essere 119910 = 119901 percheacute 119901 notin 119868)Dunque 119910 isin (119901 119902]

Si procede analogamente nel caso in cui 119901 isin 119868 e 119902 notin 119868 Nel caso in cui 119901 notin 119868 e 119902 notin 119868si tratta di adattare le due dimostrazioni precedenti

Lasciamo come esercizio i casi in cui 119901 = minusinfin oppure 119902 = +infin

t e o r ema Se una funzione continua 119891 definita su un intervallo egrave invertibileallora egrave strettamente monotona

Supponiamo che 119891 non sia strettamente monotona Allora esistono tre punti deldominio di 119891 1199091 1199092 1199093 isin 119863(119891) con 1199091 lt 1199092 lt 1199093 tali che valga una delle condizioniseguenti

1 119891(1199091) lt 119891(1199092) 119891(1199092) gt 119891(1199093) 119891(1199091) lt 119891(1199093)2 119891(1199091) lt 119891(1199092) 119891(1199092) gt 119891(1199093) 119891(1199091) ge 119891(1199093)3 119891(1199091) gt 119891(1199092) 119891(1199092) lt 119891(1199093) 119891(1199091) lt 119891(1199093)4 119891(1199091) gt 119891(1199092) 119891(1199092) lt 119891(1199093) 119891(1199091) ge 119891(1199093)

Svolgiamo la dimostrazione nel primo caso gli altri si trattano in modo analogo Peril teorema dei valori intermedi esiste 119888 isin [1199091 1199092] tale che 119891(119888) = 119891(1199093) dunque 119891non egrave iniettiva

l emma Se 119891 egrave una funzione monotona definita sullrsquointervallo chiuso [119901 119902] e119901 lt 119909 lt 119902 allora esistono

lim119911rarr119909minus

119891(119911) e lim119911rarr119909+

119891(119911)

e si ha lim119911rarr119909minus 119891(119911) le lim119911rarr119909+ 119891(119911) Esistono anche lim119911rarr119901 119891(119911) e lim119911rarr119902 119891(119911)

Scriviamo la dimostrazione solo per lim119911rarr119909+ 119891(119911) gli altri casi sono del tutto analo-ghi

Siccome 119891 egrave monotona abbiamo 119891(119901) le 119891(119911) per ogni 119911 isin [119901 119902] Se 120575 gt 0e 119909 + 120575 le 119902 lrsquoinsieme dei valori assunti da 119891 nellrsquointervallo (119909 119909 + 120575) egrave limitatoinferiormente quindi ne esiste lrsquoestremo inferiore 119897 Il nostro scopo egrave di dimostrareproprio che lim119911rarr119909+ 119891(119911) = 119897

Sia data la tolleranza 120576 gt 0 per le proprietagrave dellrsquoestremo inferiore esiste 1199110 isin(119909 119909 + 120575) tale che 119891(1199110) minus 119897 le 120576 Se 119911 isin (119909 1199110) avremo 119891(119911) le 119891(1199110) e quindi119891(119911) minus 119897 le 120576 abbiamo trovato lrsquointorno nel quale egrave soddisfatta la tolleranza richiesta

La dimostrazione che lim119911rarr119909minus 119891(119911) le lim119911rarr119909+ 119891(119911) egrave lasciata per esercizio

Notiamo unrsquoimportantissima conseguenza se per un certo 119909 si ha

119897 = lim119911rarr119909minus

119891(119911) lt lim119911rarr119909+

119891(119911) = 119898

24 tecniche di calcolo dei limiti 45

allora nessun punto interno allrsquointervallo [119897 119898] puograve appartenere allrsquoimmagine di 119891 equindi 119891 non egrave continua Siccome egrave evidente che lrsquoinversa di una funzione strettamentemonotona egrave anchrsquoessa strettamente monotona abbiamo il teorema seguente

t e o r ema Se 119891 egrave una funzione continua definita su un intervallo e strettamen-te monotona allora 119891 egrave invertibile e la sua inversa egrave continua e definita su unintervallo

Che 119891 sia invertibile egrave giagrave stato dimostrato Inoltre sappiamo che lrsquoinversa 119892 egrave defi-nita su un intervallo Il problema egrave di applicare il lemma che parla di intervalli chiusiSe 119910 egrave un punto dellrsquoimmagine di 119892 abbiamo tre casi (1) 119910 egrave il minimo dellrsquoimmagine(2) 119910 egrave un punto interno allrsquoimmagine (3) 119910 egrave il massimo dellrsquoimmagine In alcun caso119910 egrave lrsquounico punto dellrsquoimmagine percheacute 119891 egrave iniettiva e il dominio egrave un intervallo (chenon egrave formato per definizione da un solo punto) Possiamo applicare il lemma nelprimo caso a un qualsiasi intervallo del tipo [1199101199102] con 1199102 appartenente allrsquoimmagi-ne 119910 lt 1199102 nel secondo caso a un qualsiasi intervallo del tipo [11991011199102] con 1199101 e 1199102nellrsquoimmagine e 1199101 lt 119910 lt 1199102 nel terzo caso a un qualsiasi intervallo [1199101119910] con 1199101nellrsquoimmagine 1199101 lt 119910

In tutti i casi abbiamo che 119892 egrave continua in 119910

Con questo ci saremmo potuti risparmiare il lavoro di dimostrare che la funzione119909 ↦ radic119909 egrave continua percheacute egrave lrsquoinversa di 119909 ↦ 1199092 definita su [0 rarr) Torneremosullrsquoargomento

24 tecniche di calcolo dei limiti

In genere non egrave possibile lsquocalcolare un limitersquo spesso si riesce solo a dimostrare cheesiste Tuttavia qualche trucco a volte funziona

t e o r ema Sia 119892 una funzione continua in 119910 e sia 119891 una funzione tale che lacomposizione 119892 ∘ 119891 sia definita in un intorno di 119909 Se

lim119911rarr119909

119891(119911) = 119910

alloralim119911rarr119909

119892(119891(119911)) = 119892(119910)

Dire che lim119911rarr119909 119891(119911) = 119910 significa che la funzione 119891 definita da

119891(119911) =⎧⎨⎩

119891(119911) se 119911 ne 119909119910 se 119911 = 119909

egrave continua in 119909 Dunque la composizione 119909 ↦ 119892(119891(119909)) egrave continua in 119909

Diamo un esempio di applicazione di questo teorema per calcolare

lim119911rarr1

sin 1 minus 1199111minusradic119911

Ci basta calcolare119897 = lim

119911rarr1

1minus 1199111minusradic119911

46 continuitagrave

(se esiste) percheacute allora il limite cercato vale sin 119897 Il limite della frazione egrave

lim119911rarr1

1 minus 1199111minusradic119911 = lim

119911rarr1

(1 minusradic119911)(1 +radic119911)1 minusradic119911

= lim119911rarr1

(1 +radic119911) = 2

La semplificazione si puograve eseguire percheacute in tutto il calcolo si assume 119911 ne 1 e in questomodo ci si riduce alla funzione continua 119911 ↦ 1 +radic119911 Dunque il limite proposto valesin2

119909

119910

119860prime

119860

119861prime

119861

119862prime

119862

figura 5 Calcolo di lim119911rarr0

119911 log119911

Possiamo provare a calcolare un limite piugrave difficile lim119911rarr0 119911119911 Siccome 119911119911 = exp(119911 log119911)possiamo ridurci a calcolare lim119911rarr0 119911 log119911 se questo limite egrave 119897 quello richiesto saragrave exp(119897) Quiusiamo la continuitagrave di log e di exp anche se non egrave stata ancora ufficialmente dimostrata

Per 0 lt 119911 lt 1 che egrave quanto ci interessa log119911 si puograve vedere come lrsquoopposto dellrsquoarea indicatanella figura 5 dal lsquotrapeziorsquo con lato obliquo curvo 119860119860prime119861prime119861 che maggioriamo con la somma dellearee dei due trapezi (con lato obliquo rettilineo) 119860119860prime119862prime119862 e 119862119862prime119861prime119861 Il punto 119861 egrave dunque quellodi coordinate (119911 0) mentre 119861prime ha coordinate (119911 1119911) Come 119862 scegliamo il punto di coordinate(radic119911 0) e perciograve 119862prime ha coordinate (radic119911 1radic119911) Chiamiamo 1198781 e 1198782 le aree di 119860119860prime119862prime119862 e 119862119862prime119861prime119861rispettivamente allora

1198781 = 12(1 minusradic119911)(1+ 1

radic119911) = 12( 1

radic119911 minusradic119911)

1198782 = 12(radic119911minus 119911)( 1

radic119911 + 1119911) = 1

2( 1radic119911 minusradic119911)

cioegrave le aree dei due trapezi sono uguali Dunque

minus log119911 le 1radic119911 minusradic119911

e perciograve

119911(radic119911minus 1radic119911) le 119911 log119911 le 0

da cui otteniamo che119911radic119911minusradic119911 le 119911 log119911 le 0

e per il teorema sul confronto dei limiti abbiamo che

lim119911rarr0

119911 log119911 = 0

dal quale finalmente otteniamolim119911rarr0

119911119911 = 1

24 tecniche di calcolo dei limiti 47

Risultato che tutto sommato ci attendevamo ma che non egrave affatto ovvio Con i metodi piugrave potentiche studieremo piugrave avanti non saragrave necessaria tutta questa fatica per dimostrare che

lim119911rarr0

119911119899 log119899 = 0

per ogni 119899 gt 0

Il risultato precedente ci permette di ldquoportar fuorirdquo dal limite una funzione continuail prossimo ci permetteragrave di ldquocambiare la variabilerdquo

t e o r ema Sia 119891 una funzione continua definita su un intervallo e invertibileSe 119909 appartiene allrsquoimmagine di 119891 e 119892 egrave una funzione definita in un intorno di 119909escluso 119909 allora

lim119911rarr119909

119892(119911) = lim119905rarr119891minus1(119909)

119892(119891(119905))

nel senso che uno esiste se e solo se esiste lrsquoaltro e in tal caso sono uguali

La dimostrazione consiste nel ricordare che una funzione continua definita su unintervallo e invertibile ha inversa con le stesse proprietagrave Quindi si riduce a scrive-re una camionata di disuguaglianze e perciograve la omettiamo Vediamo invece qualcheinteressante applicazione

Cominciamo con uno facilelim119909rarr0

1199091minusradic1minus119909

Possiamo considerare come 119891 la funzione 119905 ↦ 1minus119905 che soddisfa certamente le ipotesiAl posto di 119909 metteremo dunque (1 minus 119905) e siccome 119891minus1(0) = 1 dovremo calcolare

lim119905rarr1

1 minus 1199051 minusradic119905

che abbiamo giagrave calcolato e vale 2Come si fa in pratica Vogliamo togliere di mezzo 1minus119909 sostituendolo con qualcosa

di piugrave semplice allora scriviamo formalmente 119905 = 1minus119909 e cerchiamo di risolvere rispettoa 119909 ottenendo 119909 = 1minus 119905 La funzione 119905 ↦ (1minus 119905) egrave di quelle buone e quindi possiamoeseguire la sostituzione Un esempio piugrave complicato

lim119909rarr1205872

sin119909minus cos119909minus 1cos119909

Il trucco che qui funziona egrave la sostituzione 119905 = tan(1199092) che trasforma lrsquoespressionedata in una frazione algebrica La possiamo usare percheacute la funzione 119909 ↦ tan(1199092)egrave invertibile se si limita il dominio allrsquointervallo (minus120587 120587) lrsquoinversa dagrave allora 119909 =2 arctan 119905 e quando 119909 = 1205872 avremo 119905 = tan(1205874) = 1 Ricordiamo poi che

sin119909 = 21199051 + 1199052 cos119909 = 1minus 1199052

1 + 1199052

e perciograve

sin119909minus cos119909minus 1 = 2119905 minus (1 minus 1199052) minus (1 + 1199052)1 + 1199052

= 2(119905 minus 1)1 + 1199052

Allora dobbiamo calcolare

lim119905rarr1

2(119905 minus 1)1 + 1199052

1 + 11990521 minus 1199052 = lim

119905rarr1

2(119905 minus 1)1 minus 1199052 = lim

119905rarr1

minus21+ 119905 = minus1

48 continuitagrave

Potremmo anche usare la sostituzione 119906 = 1205872 minus 119909 cioegrave 119909 = 1205872 minus 119906 che porta illimite nella forma

lim119906rarr0

cos119906minus sin119906minus 1sin119906 = lim

119906rarr0(cos119906minus 1

sin119906 minus 1) = minus1+ lim119906rarr0

cos119906minus 1119906

119906sin119906 = minus1

percheacute sappiamo giagrave che lim119906rarr0(1 minus cos119906)119906 = 0

25 funzioni composte

Supponiamo di voler calcolare la derivata della funzione 119909 ↦ log(119909 + 1) Lrsquointuizioneci dice che la funzione egrave derivabile percheacute il suo grafico non egrave altro che la traslazionedel grafico del logaritmo se questo ha tangente in ogni punto anche ogni traslatodeve averlo Ancora abbiamo ldquocalcolatordquo la derivata di 119909 ↦ (1minus1199092)12 con un trucconel quale supponevamo fin dallrsquoinizio che la funzione fosse derivabile Questo mododi procedere comune nei primi tempi dellrsquoanalisi puograve condurre a risultati scorretti oaddirittura paradossali

Supponiamo che abbia senso la somma di infiniti termini

119878 = 1+ 2+ 4+⋯+ 2119899 +⋯

e che per queste espressioni valgano le regole usuali Allora

2119878 = 2+ 4+ 8+⋯+ 2119899+1 +⋯ = (minus1) + 1+ 2+ 4+⋯ = minus1+ 119878

Dunque 2119878 = 119878minus1 da cui 119878 = minus12 Difficile crederci pare Eppure Euler sosteneva sulla basedi questi conti che i numeri negativi fossero da considerare maggiori di ldquoinfinitordquo

Occorre perciograve qualcosa di piugrave rigoroso Non che sia del tutto illecito il metodo diporre

119865(119909) = radic1minus1199092

e notare che 119865(119909)2 = 1 minus 1199092 da cui derivando ambo i membri e usando al primo laregola di Leibniz

119865prime(119909)119865(119909) + 119865(119909)119865prime(119909) = minus2119909

119865prime(119909) = minus119909119865(119909) = minus 119909

radic1minus1199092(119909 ne minus1 119909 ne 1)

Egrave illecito se prima non dimostriamo la derivabilitagrave di 119865La risposta ci egrave data dal concetto di composizione di funzioni Nel nostro caso pos-

siamo scrivere 119865(119909) = 119892(119891(119909)) dove 119891∶ 119909 ↦ 1 minus 1199092 e 119892∶ 119910 ↦ radic119910 Usiamo simbolidiversi per le variabili in modo da distinguere meglio le due funzioni Entrambe lefunzioni componenti sono derivabili nel loro dominio a parte che la seconda non lo egravein 0 Proviamo a ragionare in modo intuitivo e poi a rendere rigorosa la dimostrazione

Dobbiamo calcolare il rapporto di Fermat di 119865

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))

ℎ

Lrsquoidea egrave che per ℎ piccolo 119891(119909+ℎ) egrave approssimabile con 119891(119909)+ℎ119891prime(119909) e 119896 = ℎ119891prime(119909)egrave piccolo quindi 119892(119891(119909)+ℎ119891prime(119909)) = 119892(119910+119896) egrave approssimabile con 119892(119910)+119896119892prime(119910) =119892(119910) + ℎ119892prime(119910)119891prime(119909) e dunque

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

25 funzioni composte 49

Con le funzioni scritte si ha

119891prime(119909) = minus2119909 119892prime(119910) = 12radic119910

A dire il vero non avevamo ancora calcolato la derivata di 119892 lo si faccia per esercizioPer 119910 = 119891(119909) si ha proprio

119865prime(119909) = 119892prime(119910)119891prime(119909) = 12radic119910(minus2119909) = minus2119909

2radic1minus1199092= minus119909

radic1minus1199092

che coincide con il valore ldquocalcolatordquo con lrsquoaltro metodo

t e o r ema Sia119891 definita e continua in un intorno di119909 e derivabile in119909 La funzio-ne 119892 sia definita in un intorno di 119910 = 119891(119909) e derivabile in 119910 = 119891(119909) Supponiamoinfine che la composizione 119865∶ 119911 ↦ 119892(119891(119911)) sia definita in un intorno di 119909 Allora 119865egrave derivabile in 119909 e

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

Le ipotesi che abbiamo scritto non sono le meno restrittive possibili ma questesaranno sufficienti per le applicazioni

Dobbiamo trattare il rapporto di Fermat di 119865

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))

ℎ

Sappiamo scrivere 119891(119909+ℎ) = 119891(119909)+ℎ119891prime(119909)+ℎ120593(ℎ) dove limℎrarr0 120593(ℎ) = 0 siccome119891 egrave continua in 119909 per ℎ piccolo anche 119896 = ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ) saragrave piccolo e quindipotremo calcolare 119892(119910+ 119896) dunque la nostra espressione diventa

119892(119891(119909) + 119896) minus 119892(119891(119909))ℎ = 119892(119891(119909)) + 119896119892prime(119891(119909)) +120595(119896) minus 119892(119891(119909))

ℎ

dove abbiamo usato la formula analoga per 119892 119892(119910+119896) = 119892(119910)+119896119892prime(119910)+119896120595(119896) conlim119896rarr0 120595(119896) = 0 e 119910 = 119891(119909) Andiamo avanti

119896119892prime(119891(119909)) + 119896120595(119896)ℎ = (119892prime(119891(119909)) +120595(119896)) 119896ℎ

= (119892prime(119891(119909)) +120595(119896))(119891prime(119909) +120593(ℎ))

A questo punto prendiamo il limite per ℎ rarr 0 e otteniamo

limℎrarr0

119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))ℎ = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

Abbiamo naturalmente usato il fatto che

limℎrarr0

119896 = limℎrarr0

ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ) = 0

non abbiamo scritto 119896(ℎ) solo per evitare di complicare la formula ma la definizione119896 = ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ) rende chiaro che si tratta di una funzione che ha limite 0 perℎ rarr 0 Come si vede lrsquoidea di considerare la tangente come la retta che approssimameglio il grafico della funzione vicino al punto considerato egrave vincente

Questo teorema permette di calcolare la derivata di moltissime funzioni che ancoranon sapevamo trattare Per esempio siccome

119909119903 = exp(119903 log119909)

50 continuitagrave

se consideriamo 119865(119909) = 119909119903 (definita per 119909 gt 0) avremo

119891(119909) = 119903 log119909 119892(119910) = exp119910

e perciograve

119891prime(119909) = 119903119909 119892prime(119910) = exp119910

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909) = exp(119903 log119909)119903119909 = 119903119909119903 1119909 = 119903119909119903minus1

esattamente come nel caso di 119909 ↦ 119909119899 con 119899 intero positivo Il ragionamento non valeper 119903 = 0 ma non occorre scomodare tanta teoria per derivare la funzione 119909 ↦ 1 Per119903 = 12 si ha proprio che la derivata di 119892∶ 119910 ↦ radic119910 egrave

119892prime(119910) = 12radic119910

Nel caso della funzione 119865∶ 119909 ↦ 119899radic119909 che per 119899 gt 0 intero dispari egrave definita ancheper 119909 le 0 possiamo usare un trucco se 119909 gt 0 si ha 119899radic119909 = 1199091119899 e quindi la derivata sipuograve calcolare come prima Nel caso di 119909 lt 0 si ha

119899radic119909 = minus(minus119909)1119899

Quindi per 119909 lt 0 ponendo per comoditagrave 119903 = 1119899 si ha

119865prime(119909) = 119903(minus119909)119903minus1 sdot (minus1)

dove abbiamo usato 119891(119909) = minus119909 e 119892(119910) = 1199101119899 Perciograve

119865prime(119909) = 119903(minus(minus119909)119903)119909 =

119899radic119909119899119909

che egrave la stessa espressione valida anche quando 119909 gt 0 Si noti che la formula non valeper 119909 = 0 e infatti 119909 ↦ 119899radic119909 non egrave derivabile in 0 Lo si verifichi esplicitamente

3FUNZ ION I DER IVAB I L I

Diamo la definizione formale di derivabilitagrave alla luce della teoria dei limiti Sia 119909 unpunto di accumulazione appartenente al dominio 119863(119891) della funzione 119891 Diremo che119891 egrave derivabile in 119909 se esiste

limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ = 119891prime(119909)

Questa espressione si scrive anche in modo del tutto equivalente

lim119911rarr119909

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 = 119891prime(119909)

dal momento che la funzione continua ℎ ↦ 119909 + ℎ egrave invertibile In altre parole lafunzione

119907119891119909(ℎ) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ se ℎ ne 0

119891prime(119909) se ℎ = 0

egrave continua in 0 precisamente quando 119891 egrave derivabile in 119909 e la sua derivata egrave il numero119891prime(119909)

Diremo che 119891 egrave derivabile se egrave tale in ogni punto di accumulazione del dominio (laderivata non ha senso nei punti isolati)

t e o r ema Se 119891 egrave derivabile in 119909 allora 119891 egrave continua in 119909

Per ℎ ne 0 possiamo evidentemente scrivere

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + ℎ119907119891119909(ℎ)

e quindi per i teoremi sui limiti visto che 119907119891119909 egrave continua in 0

limℎrarr0

119891(119909+ℎ) = limℎrarr0

(119891(119909) + ℎ119907119891119909(ℎ)) = 119891(119909) + 0119891prime(119909) = 119891(119909)

Una prima applicazione egrave alla continuitagrave di log dal momento che ne abbiamo giagrave di-mostrato la derivabilitagrave inoltre sappiamo giagrave che log egrave strettamente crescente e definitain (0 rarr)

t e o r ema La funzione 119909 ↦ log119909 egrave continua Di conseguenza anche 119909 ↦ exp119909egrave continua

Abbiamo infatti visto che logprime esiste in ogni punto del dominio

d e f i n i z i o n e Sia data una funzione 119891 Un punto 119909 di 119863(119891) si dice un puntodi massimo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119891(119911) le 119891(119909)Un punto 119909 di 119863(119891) si dice un punto di minimo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale cheper 119911 isin 119880cap119863(119891) 119891(119911) ge 119891(119909)

Egrave evidente che un punto isolato del dominio egrave sia di massimo che di minimo ciinteressano di piugrave ovviamente i punti di massimo e di minimo che siano punti diaccumulazione del dominio In caso di dubbio parleremo di massimo e minimo locale(si dice spesso anche relativo) se dobbiamo distinguere dal valore massimo o minimoassunti dalla funzione

t e o r ema Se 119891 egrave definita in un intervallo aperto (119901 119902) e 119909 isin (119901 119902) egrave unpunto di massimo o di minimo locale in cui 119891 egrave derivabile allora 119891prime(119909) = 0

51

52 funzioni derivabili

Dimostriamo la tesi nel caso in cui 119909 sia un punto di massimo per un punto diminimo basta considerare minus119891 Sia 119880 un intorno di 119909 tale che per 119911 isin 119880 119891(119911) le 119891(119909)Allora per 119911 isin 119880 119911 gt 119909 si ha

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 le 0

mentre per 119911 isin 119880 119911 lt 119909 si ha

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 le 0

Per il teorema della permanenza del segno per i due limiti seguenti che esistono percheacute119891 egrave derivabile in 119909 vale

119891prime(119909) = lim119911rarr119909+

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 le 0 119891prime(119909) = lim

119911rarr119909minus119891(119911) minus 119891(119909)

119911 minus119909 ge 0

e dunque 119891prime(119909) = 0

31 i teoremi sulle funzioni derivabili

Il primo teorema importante sulle funzioni derivabili egrave quello tradizionalmente attri-buito a Michel Rolle (1652ndash1719) che perograve non ne diede che una vaga giustificazione

In molti di questi teoremi le ipotesi sulle funzioni si scrivono in un modo complicatoche cercheremo di riassumere con una locuzione

d e f i n i z i o n e La funzione 119891 si dice una funzione di Lagrange in [119901 119902] se egravedefinita e continua su [119901 119902] ed egrave derivabile su (119901 119902)

Un esempio di funzione di Lagrange egrave 119909 ↦ radic1minus1199092 sullrsquointervallo [minus1 1] Egrave con-tinua e derivabile in ogni punto del dominio esclusi proprio gli estremi Chiaramentela funzione puograve essere derivabile anche agli estremi dellrsquointervallo per essere una fun-zione di Lagrange egrave solo che la derivabilitagrave agli estremi non fa parte delle richieste Inparticolare una funzione derivabile in un intervallo (119901 119902) egrave una funzione di Lagrangesu ogni sottointervallo chiuso

t e o r ema d i r o l l e Sia 119891 una funzione di Lagrange su [119901 119902] tale che119891(119901) = 119891(119902) Allora esiste 119888 isin (119901 119902) tale che 119891prime(119888) = 0

Per il teorema di Weierstraszlig sui valori estremi 119891 assume il valore massimo e ilminimo Siccome 119891(119901) = 119891(119902) egrave evidente che uno fra massimo e minimo dovragrave cadereallrsquointerno dellrsquointervallo (ci sarebbe il caso in cui stanno entrambi agli estremi maallora la funzione sarebbe costante e la tesi sarebbe comunque verificata) dunque saragraveun massimo o minimo locale In un punto di massimo o di minimo interno la derivatache esiste per ipotesi vale 0

Il teorema di Rolle di per seacute non serve a molto Lo si enuncia percheacute la dimostrazio-ne egrave molto semplice e con esso possiamo dimostrare teoremi piugrave generali

t e o r ema d i l a g r ang e Sia 119891 una funzione di Lagrange su [119901 119902] Alloraesiste un punto 119888 isin (119901 119902) tale che

119891prime(119888) = 119891(119902) minus 119891(119901)119902 minus 119901

31 i teoremi sulle funzioni derivabili 53

Per dimostrare questo teorema vogliamo usare quello di Rolle Ci serve una funzione119892 definita in termini di 119891 che abbia le proprietagrave richieste La cerchiamo della forma

119892(119909) = 119891(119909) minus 119886119909

dove 119886 egrave un opportuno numero reale che egrave certamente una funzione di Lagrange su[119901 119902] Dobbiamo allora avere 119892(119901) = 119892(119902) cioegrave

119891(119901) minus 119886119901 = 119891(119902) minus 119886119902

che dagrave119886 = 119891(119902) minus 119891(119901)

119902 minus 119901

In base al teorema di Rolle esiste un punto 119888 tale che 119892prime(119888) = 0 cioegrave essendo 119892prime(119909) =119891prime(119909) minus 119886

119891prime(119888) minus 119886 = 0

che si traduce nellrsquouguaglianza richiesta

Il valore (119891(119902) minus 119891(119901))(119902 minus 119901) si chiama valore medio di 119891 in [119901 119902] il teoremadi Lagrange dice quindi che la derivata di una funzione di Lagrange in un intervalloassume il valore medio della funzione in quellrsquointervallo Si pensi a qualche situazionefisica in cui questo valore egrave proprio comunemente noto come lsquovalore mediorsquo

La terminologia funzione di Lagrange non egrave diffusa ma riassume bene le ipotesi (con-tinuitagrave in un intervallo chiuso e derivabilitagrave allrsquointerno non egrave richiesta la derivabilitagraveagli estremi) a una funzione di Lagrange si puograve applicare lrsquoomonimo teorema che hadue conseguenze importantissime

Il teorema di Lagrange egrave legato a unrsquoimportante concetto Data la funzione 119891 definita sul-lrsquointervallo [119901 119902] possiamo considerare la retta per i due punti (119901119891(119901)) e (119902119891(119902)) che haequazione

119910minus119891(119901) = 119891(119902) minus 119891(119901)119902 minus 119901 (119909minus119901)

Cerchiamo il punto sulla curva definita da 119891 che abbia distanza massima da questa retta Perevitare notazioni complicate chiamiamo 119898 il coefficiente angolare della retta La distanza delpunto (119905119891(119905)) da questa retta egrave

|119891(119905) minus 119891(119901) minus119898(119905 minus 119901)|radic1+1198982

e per trovare la distanza massima ci basta considerare il numeratore e togliere il modulo cioegravela funzione

119892(119905) = 119891(119905) minus 119891(119901) minus119898(119905 minus 119901)

Di questa cercheremo il minimo e il massimo poi ne calcoleremo il modulo e potremo sceglierequale sia il piugrave grande Se la funzione 119891 egrave una funzione di Lagrange possiamo essere certi cheil minimo e il massimo di 119892 siano allrsquointerno dellrsquointervallo [119901 119902] percheacute 119892(119901) = 119892(119902) = 0questo purcheacute il grafico di 119891 non sia la retta stessa ma in tal caso il problema non si porrebbenemmeno Inoltre 119892 egrave derivabile in (119901 119902) e dunque troveremo minimo e massimo dove 119892prime siannulla

119892prime(119905) = 119891prime(119905) minus119898

Dunque 119892prime(119905) = 0 se e solo se 119891prime(119905) = 119898 cioegrave 119905 egrave proprio uno dei punti la cui esistenza egrave notadal teorema di Lagrange

Vediamo in un caso semplice quello di 119891(119909) = 1198861199092 con 119886 gt 0 Cerchiamo dunque i punti119905 isin (119901 119902) in cui

119891prime(119905) = 119891(119902) minus 119891(119901)119902minus 119901 = 1198861199022 minus1198861199012

119902minus 119901 = 119886(119902+ 119901)

54 funzioni derivabili

Evidentemente si ha 119891prime(119905) = 2119886119905 e quindi 119905 = (119902 + 119901)2 La distanza massima egrave dunque

|1198861199052 minus1198861199012 minus119898(119905 minus 119901)|radic1+1198982

= |(119905 minus 119901)(119886119905 + 119886119901minus119898)|radic1+1198982

Qui 119898 = (1198861199022 minus1198861199012)(119902 minus 119901) = 119886(119902+ 119901) e dunque abbiamo

119905 minus 119901 = 119902minus1199012 119886119905 + 119886119901minus119898 = 119886119902+119901

2 +119886119901minus119886(119902+ 119901) = 1198862 (119901minus 119902)

da cui togliendo il modulo otteniamo come distanza massima

1198864

(119902 minus 119901)2

radic1+1198862(119902 + 119901)2

Per 119891(119909) = 1119909 sempre nellrsquointervallo [119901 119902] (con 119902 gt 119901 gt 0) abbiamo

119898 = 119891(119902) minus 119891(119901)119902minus 119901 = minus 1

119901119902

e dunque dobbiamo risolvere lrsquoequazione

minus 11199052 = minus 1

119901119902

che dagrave come punto di massima distanza 119905 = radic119901119902 che egrave la media geometrica tra 119901 e 119902 Da questosegue che 119901 lt radic119901119902 lt 119902 se 0 lt 119901 lt 119902 risultato dimostrabile senza passare per il teorema diLagrange naturalmente

Nel caso di 119891(119909) = sin119909 e prendendo 0 le 119901 lt 119902 le 120587 si ha

119898 = sin119902minus sin119901119902minus119901

e lrsquoequazione egravecos 119905 = sin119902minus sin119901

119902minus119901

Il teorema di Lagrange in questo caso ci garantisce che

minus1 le sin119902minus sin119901119902minus119901 le 1

percheacute lrsquoequazione ha soluzioneAnalogamente il teorema applicato a 119891(119909) = exp119909 nellrsquointervallo [0 119887] dice che lrsquoequazione

exp119887minus 1119887 = exp119888

ha soluzione in questo intervallo (percheacute 119891prime(119909) = exp119909) e essendo 119891 crescente abbiamo le duedisuguaglianze

1 le exp119887minus 1119887 le exp119887

La prima si puograve anche scrivere 1+119887 le exp119887 mentre la seconda dice che exp119887minus1 le 119887 exp119887 cioegravein altro modo (1 minus 119887) exp119887 le 1 Per 0 lt 119887 lt 1 abbiamo dunque

exp119887 le 11minus 119887

Una delle principali conseguenze del teorema di Lagrange egrave un criterio spesso utileper determinare se una funzione egrave crescente o decrescente

t e o r ema Se la funzione119891 egrave definita e derivabile in un intervallo e vale119891prime(119909) gt 0per ogni 119909 isin 119863(119891) allora 119891 egrave strettamente crescente

Consideriamo 1199091 1199092 isin 119863(119891) con 1199091 lt 1199092 allora 119891 egrave certamente una funzione diLagrange su [1199091 1199092] e quindi possiamo scrivere

119891(1199092) minus 119891(1199091) = (1199092 minus1199091)119891prime(119888) gt 0

per un opportuno 119888 isin (1199091 1199092) dunque 119891(1199091) lt 119891(1199092)

31 i teoremi sulle funzioni derivabili 55

Egrave evidente che supponendo 119891prime(119909) lt 0 la conclusione diventa che 119891 egrave strettamentedecrescente

Notiamo che la condizione appena scritta egrave solo sufficiente affincheacute una funzionederivabile sia strettamente crescente Lrsquoesempio piugrave semplice al riguardo egrave 119909 ↦ 1199093 cheegrave strettamente crescente ma ha derivata nulla in 0

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave definita in un intervallo derivabile e 119891prime(119909) = 0 perogni 119909 isin 119863(119891) allora 119891 egrave costante

Di nuovo se 1199091 1199092 isin 119863(119891) e 1199091 lt 1199092 possiamo scrivere

119891(1199092) minus 119891(1199091) = (1199092 minus1199091)119891prime(119888) = 0

per un opportuno 119888 isin (1199091 1199092) Questo prova che il valore della funzione 119891 egrave lostesso su qualsiasi coppia di punti del dominio dunque 119891 assume lo stesso valore suogni punto

Indebolendo le ipotesi si ottiene una conclusione piugrave debole se 119891 egrave derivabile inun intervallo e 119891prime(119909) ge 0 in esso allora 119891 egrave (debolmente) crescente cioegrave se 1199091 lt 1199092allora 119891(1199091) le 119891(1199092) Lo si dimostri per esercizio Si dimostri anche che se lrsquoinsiemedei punti dove 119891prime si annulla non ha punti di accumulazione allora 119891 egrave strettamentecrescente

Vediamo un importante esempio Della funzione 119891 si sa che egrave definita ovunque eche 119891prime(119909) = 119891(119909) per ogni 119909 Che possiamo dire della funzione 119891

Conosciamo giagrave una funzione che ha queste proprietagrave la funzione esponenzialeabbiamo giagrave visto infatti che expprime 119909 = exp119909 (Non del tutto rigorosamente per la veritagrave)Siccome exp119909 ne 0 possiamo considerare la funzione

119892(119909) = 119891(119909)exp119909

che egrave definita ovunque ne calcoliamo la derivata

119892prime(119909) = 119891prime(119909) exp119909minus119891(119909) expprime 119909(exp119909)2 = 119891(119909) exp119909minus119891(119909) exp119909

(exp119909)2 = 0

per lrsquoipotesi 119891prime(119909) = 119891(119909) Dunque 119892 egrave costante se poniamo 119886 = 119892(0) avremo alloraper ogni 119909

119891(119909) = 119886 exp119909

Consideriamo ora una funzione 119865 definita in (0 rarr) tale che 119865prime(119909) = 1119909 per ogni119909 gt 0 Se consideriamo 119892(119909) = 119865(119909) minus log119909 abbiamo che

119892prime(119909) = 119865prime(119909) minus logprime 119909 = 1119909 minus 1

119909 = 0

e dunque 119892 egrave costante Poniamo 119886 = 119892(1) cioegrave 119886 = 119865(1) minus log1 = 119865(1) Allora per119909 gt 0

119865(119909) = 119865(1) + log119909

Se poniamo 119865(1) = log119896 che egrave possibile abbiamo unrsquoespressione ancora piugrave interes-sante

119865(119909) = log(119896119909)

Si provi che se 119865 egrave una funzione definita e derivabile in (0 rarr) per la quale per 119909 gt 0

119865(119909) = 119887119909 119865(1) = 0

56 funzioni derivabili

con 119887 ne 0 allora esiste un unico 119886 tale che 119865(119909) = log119886 119909 per ogni 119909 gt 0Il teorema di Lagrange e le sue conseguenze sono uno strumento insostituibile per

lo studio di funzioni percheacute spesso permettono di trovare gli ldquointervalli di crescenza edecrescenzardquo quindi di ottenere informazioni utili sullrsquoandamento di una funzione

Consideriamo per esempio 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 allora 119891prime(119909) = 31199092 minus 3 ed egrave facilestudiarne la variazione

119909 lt minus1 119891prime(119909) gt 0 la funzione egrave crescente in (larr minus1]minus1 lt 119909 lt 1 119891prime(119909) lt 0 la funzione egrave decrescente in [minus1 1]

119909 gt 1 119891prime(119909) gt 0 la funzione egrave crescente in [1 rarr)

Di conseguenza minus1 egrave un punto di massimo e 1 egrave un punto di minimoVediamo unrsquoapplicazione di questo studio Ci ricordiamo che lrsquoequazione 119909 = cos119909

ha soluzione ma quante ne ha Consideriamo di nuovo la funzione 119891(119909) = 119909minus cos119909che egrave derivabile in ogni punto Ne calcolamo la derivata 119891prime(119909) = 1 + sin119909 che siannulla solo per sin119909 = minus1 cioegrave 119909 = 31205872 + 2119896120587 (119896 intero) In tutti gli altri punti siha 119891prime(119909) gt 0 quindi la funzione egrave strettamente crescente e perciograve puograve annullarsi in alpiugrave un punto La soluzione di 119909 = cos119909 egrave dunque unica

Facciamo qualcosa di piugrave complicato cerchiamo i valori di119898 e 119902 per i quali exp119909 = 119898119909+119902 ab-bia soluzioni e vogliamo anche discutere il numero di soluzioni al variare di119898 e 119902 Consideriamodunque 119891(119909) = exp119909minus119898119909minus119902 e studiamo la crescenza e decrescenza di 119891

119891prime(119909) = exp119909minus119898

che egrave positiva per exp119909 gt 119898 Se 119898 gt 0 la funzione egrave decrescente in (larr log119898] e crescente in[log119898 rarr) e quindi ha un minimo assoluto in log119898

Siccome 119891(log119898) = 119898 minus 119898 log119898 minus 119902 avremo una soluzione quando 119891(log119898) = 0 cioegrave119902 = 119898(1 minus log119898) percheacute il grafico di 119891 egrave tangente allrsquoasse delle ascisse due soluzioni quando119891(log119898) lt 0 cioegrave 119902 gt 119898(1 minus log119898) nessuna soluzione quando 119891(log119898) gt 0 cioegrave 119902 lt 119898(1 minuslog119898) Che ci siano soluzioni quando 119902 gt 119898(1minus log119898) si basa sui limiti

lim119909rarrminusinfin

exp119909minus119898119909minus119902 = +infin lim119909rarr+infin

exp119909minus119898119909minus119902 = +infin

che discuteremo piugrave avantiSe 119898 le 0 la disuguaglianza expminus119898 gt 0 egrave certamente soddisfatta e quindi 119891 in questo caso

egrave crescente dunque crsquoegrave al piugrave una soluzione Se 119898 = 0 lrsquoequazione diventa exp119909 = 119902 che hasoluzione solo per 119902 gt 0

Vediamo per 119898 lt 0 quello che ci interessa egrave scoprire lrsquoimmagine della funzione 119892(119909) =exp119909minus119898119909 Usando concetti che vedremo piugrave avanti possiamo dire che

lim119909rarrminusinfin

exp119909minus119898119909 = minusinfin lim119909rarr+infin

exp119909minus119898119909 = +infin

e quindi che per 119898 lt 0 si ha una soluzione qualunque sia 119902

32 i teoremi di cauchy e di lrsquohocircpital

Con una tecnica analoga a quella usata per il teorema di Lagrange si puograve dimostrare unrisultato piugrave generale dovuto a Cauchy

t e o r ema d i c a u ch y Siano 119891 e 119892 funzioni di Lagrange su [119901 119902] e suppo-niamo che 119892(119909) ne 0 per 119909 isin [119901 119902] e 119892prime(119909) ne 0 per 119909 isin (119901 119902) Allora esisteun punto 119888 isin (119901 119902) tale che

119891prime(119888)119892prime(119888) = 119891(119902) minus 119891(119901)

119892(119902) minus 119892(119901)

32 i teoremi di cauchy e di lrsquohocircpital 57

Il teorema di Lagrange egrave un caso speciale di questo con 119892(119909) = 119909 cosigrave come ilteorema di Rolle egrave un caso speciale di quello di Lagrange quando 119891(119901) = 119891(119902) cosigrave chein effetti dicono la stessa cosa

La tecnica della dimostrazione egrave simile a quella usata in precedenza cerchiamo119886 in modo che alla funzione 119865(119909) = 119891(119909) minus 119886119892(119909) si possa applicare il teorema diRolle percheacute 119865 egrave certamente una funzione di Lagrange su [119901 119902] Siccome 119865(119901) =119891(119901) minus 119886119892(119901) e 119865(119902) = 119891(119902) minus 119886119892(119902) troviamo

119886(119892(119902) minus 119892(119901)) = 119891(119902) minus 119891(119901)

Notiamo che 119892(119902) ne 119892(119901) se non fosse cosigrave per il teorema di Rolle esisterebbe un pun-to 119889 isin (119901 119902) tale che 119892prime(119889) = 0 che egrave escluso dallrsquoipotesi Quindi 119886 egrave univocamentedeterminato

Ora il punto 119888 isin (119901 119902) fornito dal teorema di Rolle cioegrave tale che 119865prime(119888) = 0 egrave quellodesiderato

119891prime(119888) minus 119886119892prime(119888) = 0e quindi essendo 119892prime(119888) ne 0 per ipotesi

119891prime(119888)119892prime(119888) = 119886 = 119891(119902) minus 119891(119901)

119892(119902) minus 119892(119901)

Il teorema di Cauchy serve essenzialmente per dimostrare un teorema assai utile peri calcoli Egrave dovuto probabilmente a Johan Bernoulli ma apparve per la prima volta senzaattribuzioni nel libro Analyse des Infiniment Petits pour lrsquoIntelligence des Lignes Courbesdel marchese Guillaume Franccedilois Antoine de lrsquoHocircpital (1661ndash1704) a cui Bernoulli avevainsegnato il calcolo

Enunceremo il teorema in un caso particolare lo estenderemo in seguito ma primavogliamo capire da dove Bernoulli ha avuto lrsquoidea Consideriamo due funzioni 119891 e 119892definite in un intorno di 119909 e derivabili in 119909 supponiamo anche che 119891(119909) = 119892(119909) = 0ma che 119892 non assuma il valore 0 se non in 119909 Se vogliamo calcolare il

lim119911rarr119909

119891(119911)119892(119911)

possiamo sfruttare il trucco di ldquodividere numeratore e denominatore per 119911minus119909rdquo

lim119911rarr119909119891(119911)119892(119911) = lim

119911rarr119909

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909

119892(119911) minus 119892(119909)119911 minus119909

= 119891prime(119909)119892prime(119909)

purcheacute 119892prime(119909) ne 0 Il primo passaggio usa ovviamente il fatto che119891(119909) = 119892(119909) = 0 Chesuccede perograve se 119891prime(119909) = 119892prime(119909) = 0 Saremmo di nuovo in un caso di indeterminazioneBernoulli (o lrsquoHocircpital) esaminograve proprio questo e ne dedusse un teorema davvero utilePiugrave tardi Cauchy dimostrograve il teorema che porta il suo nome e da questo egrave piugrave facile ediretto dedurre il teorema che ora tratteremo

t e o r ema d i l rsquo h ocirc p i t a l Siano 119891 e 119892 funzioni definite in un intorno 119882 di 119909escluso 119909 e derivabili con 119892prime(119911) ne 0 per 119911 isin 119882 119911 ne 119909 Supponiamo che

lim119911rarr119909

119891(119911) = 0 lim119911rarr119909

119892(119911) = 0

Se esiste

lim119911rarr119909

119891prime(119911)119892prime(119911) = 119897

allora si ha anche

lim119911rarr119909

119891(119911)119892(119911) = 119897

58 funzioni derivabili

Diamo solo unrsquoidea della dimostrazione Verifichiamo prima di tutto la questioneper il limite da destra si potragrave fare in modo analogo per il limite da sinistra Le funzioni119891 e che si ottengono estendendo 119891 e 119892 ponendo 119891(119909) = 0 e (119909) = 0 sono continue equindi funzioni di Lagrange nellrsquointervallo [119909 119911] per qualsiasi 119911 isin 119882 119911 gt 119909 percheacutecoincidono con 119891 e 119892 Le due funzioni dunque soddisfano le ipotesi del teorema diCauchy e quindi per ogni 119911 isin 119882 119911 gt 119909 esiste 119905119911 isin (119909 119911) con

119891prime(119905119911)prime(119905119911)

= 119891(119911) minus 119891(119909)(119911) minus (119909)

cioegrave119891prime(119905119911)119892prime(119905119911)

= 119891(119911)119892(119911)

Via via che 119911 si avvicina a119909 anche 119905119911 si avvicina a119909 (la parte difficile della dimostrazioneegrave rendere rigoroso questo passaggio) e si puograve concludere adoperando lrsquoesistenza dilim119911rarr119909 119891prime(119911)119892prime(119911)

Un paio di esempi di applicazione del teorema Consideriamo

lim119909rarr1205872

sin119909minus cos119909minus 1cos119909

Le funzioni soddisfano le ipotesi del teorema quindi possiamo scrivere

lim119909rarr1205872

sin119909minus cos119909minus 1cos119909

H= lim119909rarr1205872

cos119909+ sin119909minus sin119909 = 0+ 1

minus1 = minus1

dove il simboloH= va interpretato come ldquolrsquouguaglianza vale purcheacute il limite che segue

esistardquo e indica lrsquoapplicazione del teorema

In certi casi lrsquoapplicazione del teorema di lrsquoHocircpital non ha molto senso si pensi al caso

limℎrarr0

sinℎℎ

H= limℎrarr0

cosℎ1 = cos0 = 1

in cui il calcolo richiederebbe la derivata della funzione seno che egrave stata ottenuta tramite il limiterichiesto Anche la funzione precedente in effetti potrebbe ricadere in questo circolo viziosoTuttavia siccome la derivata di seno e coseno egrave nota non egrave proibito adoperare il teorema dilrsquoHocircpital anche qui

Il teorema di lrsquoHocircpital si puograve usare anche piugrave volte

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093

H= lim119909rarr0

1 minus cos11990931199092

H= lim119909rarr0

sin1199096119909 = 1

6 lim119909rarr0

sin119909119909 = 1

6

Dopo il primo passaggio alle derivate si ottiene un limite al quale il teorema egrave ancoraapplicabile Lrsquoultimo limite esiste quindi esiste anche il secondo quindi anche il primo

Altro esempio nel quale egrave bene eseguire qualche semplificazione prima di procederecon la seconda applicazione del teorema

lim119909rarr1

log119909minus119909+ 11199092 minus2119909+ 1

H= lim119909rarr1

1119909 minus 1

2119909minus 2

= lim119909rarr1

12

1 minus119909119909(119909minus 1)

= lim119909rarr1

12minus1119909 = minus1

2

32 i teoremi di cauchy e di lrsquohocircpital 59

Si potrebbe anche applicare il teorema allrsquoespressione ottenuta dopo la prima applica-zione senza eseguire la semplificazione ottenendo in questo caso di dover calcolareil limite di minus1(21199092) In generale perograve egrave meglio prima di tutto eseguire le possibilisemplificazioni

Si faccia anche attenzione a servirsi del teorema solo quando le funzioni soddisfa-no le ipotesi per non incorrere in gravi errori Se infatti applicassimo il teorema percalcolare lim119909rarr1(119909 minus 1)119909 otterremmo lim119909rarr1 11 = 1 che non egrave certamente il limiterichiesto

Vediamo una delle principali conseguenze del teorema Se la funzione 119891 egrave continuain 119909 il rapporto di Fermat fornisce proprio unrsquoespressione del tipo trattato dal teoremadi lrsquoHocircpital in

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909

il numeratore ha limite 0 per 119911 rarr 119909 se e solo se 119891 egrave continua in 119909 Se 119891 egrave derivabile inun intorno di 119909 possiamo applicare il teorema di lrsquoHocircpital la derivata del numeratoreegrave 119891prime(119911) quella del denominatore egrave 1

t e o r ema Se 119891 egrave continua in 119909 e derivabile in un intorno di 119909 escluso al piugrave 119909allora 119891 egrave derivabile in 119909 se e solo se lim119911rarr119909 119891prime(119911) esiste e in tal caso

119891prime(119909) = lim119911rarr119909

119891prime(119911)

Spesso il teorema si usa per dimostrare che 119891 non egrave derivabile in 119909 Consideriamola funzione 119891(119909) = radic1199092 minus1199093 la cui derivata per 119909 lt 1 ma 119909 ne 0 egrave

119891prime(119909) = 2119909minus 31199092

2radic1199092 minus1199093

La funzione non egrave allora derivabile in 1 come si vede facilmente per trattare la deri-vabilitagrave in 0 consideriamo il limite da destra e quello da sinistra della derivata Pertrattarlo dobbiamo portare il numeratore sotto il segno di radice quadrata ma per que-sto occorre stabilire se egrave positivo o negativo Con ovvi calcoli si vede che 2119909minus31199092 gt 0per 0 lt 119909 lt 23 Quindi per 0 lt 119909 lt 23 si puograve scrivere

119891prime(119909) = 12radic

(2119909minus 31199092)21199092 minus1199093

mentre per 119909 lt 0 si ha

119891prime(119909) = minus12radic

(2119909minus 31199092)21199092 minus1199093

Chiamiamo 119892 lrsquoespressione sotto radice

lim119909rarr0

119892(119909) = lim119909rarr0

(2 minus 3119909)21 minus119909 = 1

da cui deduciamo che

lim119909rarr0minus

119891prime(119909) = minus1 lim119909rarr0+

119891prime(119909) = 1

Quindi 119891 non egrave derivabile in 0Consideriamo la funzione 119891(119909) = 119909119899 log119909 definita e continua in (0 rarr) Il limite

a +infin non dagrave problemi vediamo quello in 0 scrivendo 119891(119909) = log119909119909minus119899 alla quale sipuograve applicare il teorema di lrsquoHocircpital

lim119909rarr0

log119909119909minus119899

H= lim119909rarr0

1119909minus119899119909minus119899minus1 = lim

119909rarr0

minus1119899 119909119899 = 0

60 funzioni derivabili

Non occorre il teorema per calcolare il limite di 119909119899(log119909)119898 con 119899 ge 119898 gt 0 percheacuteabbiamo

lim119909rarr0

119909119899(log119909)119898 = lim119909rarr0

119909119899minus119898120576(119909120576 log119909)119898

e basta scegliere 120576 gt 0 tale che 119899minus119898120576 gt 0 cioegrave 0 lt 120576 lt 119899119898 Siccome 119899119898 ge 1 untale 120576 esiste e i teoremi sui limiti permettono di concludere

33 derivata della funzione inversa

In un punto precedente abbiamo barato abbiamo infatti usato lrsquoespressione per laderivata della funzione esponenziale avendola ricavata da considerazioni geometricheMa ora abbiamo tutti gli strumenti per trattare il problema generale

Supponiamo dunque che 119891 sia una funzione strettamente monotona definita in unintervallo 119868 e derivabile Sia 119909 un punto dellrsquointervallo 119868 tale che 119891prime(119909) ne 0 Allora lafunzione 119892 = 119891minus1 egrave derivabile in 119910 = 119891(119909) e si ha

119892prime(119910) = 1119891prime(119909) = 1

119891prime(119892(119910))

Si noti che questa egrave proprio la relazione che lega i coefficienti angolari dellrsquoequazione diuna retta prima e dopo lo scambio degli assi la retta 119910 = 119898119909+119902 per 119898 ne 0 diventa119909 = 119898119910+119902 e quindi 119910 = (1119898)119909+ (119902119898)

Per dimostrare la formula precedente consideriamo il rapporto di Fermat

lim119905rarr119910

119892(119905) minus 119892(119910)119905 minus119910

e usiamo il cambiamento di variabile nel limite dato da 119891 cioegrave scriviamo 119905 = 119891(119911)

lim119905rarr119910

119892(119905) minus 119892(119910)119905 minus119910 = lim

119911rarr119891minus1(119910)

119892(119891(119911)) minus 119892(119910)119891(119911) minus119910

Ora sappiamo che 119892(119891(119911)) = 119911 e siccome 119910 = 119891(119909) possiamo scrivere 119909 = 119892(119910)quindi

lim119905rarr119910

119892(119905) minus 119892(119910)119905 minus119910 = lim

119911rarr119909119911minus119909

119891(119911) minus 119891(119909) = 1119891prime(119909)

come si volevaSi noti che la funzione 119892 non egrave derivabile nei punti 119910 in cui 119891prime(119892(119910)) = 0 Infatti

se lo fosse e la derivata valesse 119897 ne 0 la derivata di 119891 in 119892(119910) sarebbe 1119897 ne 0 per lostesso motivo se 119892 egrave la funzione inversa di 119891 allora 119891 egrave la funzione inversa di 119892 Siverifichi che non puograve nemmeno essere 119897 = 0

In pratica una volta noto che lrsquoinversa di una funzione derivabile egrave derivabile sipuograve eseguire il calcolo in modo meno complicato usando il teorema sulle funzionicomposte Vediamo nel caso dellrsquoesponenziale Scriviamo lrsquoidentitagrave fondamentale chelega la funzione al logaritmo e deriviamo ambo i membri

log(exp119909) = 119909

1exp119909 expprime 119909 = 1

expprime 119909 = exp119909

33 derivata della funzione inversa 61

Proviamo con funzioni piugrave complicate la funzione seno purcheacute ristretta allrsquointerval-lo [minus1205872 1205872] egrave invertibile e la sua inversa si denota con arcsin

sin(arcsin119909) = 119909

cos(arcsin119909) arcsinprime 119909 = 1

arcsinprime 119909 = 1cos(arcsin119909)

arcsinprime 119909 = 1radic1minus1199092

Infatti per 120572 isin [minus1205872 1205872] vale lrsquouguaglianza

cos120572 = radic1minus sin2 120572

Notiamo che sinprime(minus1205872) = sinprime(1205872) = 0 e quindi arcsin non egrave derivabile in minus1 =sin(minus1205872) e in 1 = sin(1205872) cioegrave agli estremi dellrsquointervallo di definizione Tuttavia egraveuna funzione di Lagrange in [minus1 1] Analogamente si ottiene

arccosprime 119909 = minus 1radic1minus1199092

Per la tangente abbiamo unrsquoespressione molto interessante

tanprime 119909 = 1+ tan2 119909

e quindi possiamo scrivere

tan(arctan119909) = 119909

(1 + tan2(arctan119909)) arctanprime 119909 = 1

arctanprime 119909 = 11+1199092

Quindi arctan che egrave definita ovunque egrave anche derivabile ovunque Abbiamo scopertounrsquoaltra funzione la cui derivata egrave una frazione algebrica

Lrsquoarcotangente pone un problemino interessante consideriamo la funzione

119865(119909) = arctan 1119909

che egrave definita per 119909 ne 0 La sua derivata si calcola ponendo 119891(119909) = 1119909 e 119892(119910) =arctan119910

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909) = 11+ (119891(119909))2

minus11199092

che con una facile semplificazione dagrave

119865prime(119909) = minus11+1199092

Consideriamo allora la funzione

119866(119909) = arctan119909+ arctan 1119909

la cui derivata egrave allora la somma delle derivate degli addendi

119866prime(119909) = 11+1199092 + minus1

1+1199092 = 0

62 funzioni derivabili

e per la conseguenza del teorema di Lagrange dovremmo dedurre che 119866 egrave costanteInvece non lo egrave Infatti

119866(1) = arctan1 + arctan(11) = 1205874 + 120587

4 = 1205872

119866(minus1) = arctan(minus1) + arctan(minus1) = minus1205874 minus 120587

4 = minus1205872

Dovrsquoegrave il problema Naturalmente nel fatto che 119866 non egrave definita su un intervallo Invecedal teorema di Lagrange si puograve correttamente dedurre che

arctan119909+ arctan 1119909 =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

1205872 se 119909 gt 0

minus1205872 se 119909 lt 0

Egrave giunto il momento di riassumere tutte le principali derivate nella tabella 2 Nellacolonna ldquoCondizionirdquo sono riportate eventuali limitazioni a cui devono essere sottopo-ste le quantitagrave nella riga Dove non altrimenti scritto la funzione egrave derivabile in ognipunto del suo dominio

33 derivata della funzione inversa 63

119865(119909) 119865prime(119909) Condizioni

119886119891(119909) 119886119891prime(119909)

119891(119909) + 119892(119909) 119891prime(119909) + 119892prime(119909)

119891(119909)119892(119909) 119891prime(119909)119892(119909) + 119891(119909)119892prime(119909)

119891(119909)119892(119909)

119891prime(119909)119892(119909) minus 119891(119909)119892prime(119909)(119892(119909))2

119892(119891(119909)) 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

119909119899 119899119909119899minus1 119899 intero

119899radic119909119899radic119909119899119909 119909 ne 0 119899 intero positivo

log119909 1119909

exp119909 exp119909

119909119903 119903119909119903minus1 119903 reale 119903 ne 0

sin119909 cos119909

cos119909 minus sin119909

tan119909 1+ tan2 119909

arcsin119909 1radic1minus1199092

119909 isin (minus1 1)

arccos119909 minus 1radic1minus1199092

119909 isin (minus1 1)

arctan119909 11+1199092

tabella 2 Tabella delle regole di derivazione e delle derivate delle principali funzioni Sinoti che la funzione 119909 ↦ 119909119903 con 119903 non intero va considerata come definita per119909 gt 0 La funzione 119909 ↦ 119899radic119909 egrave definita per 119909 ge 0 quando 119899 egrave pari per ogni 119909quando 119899 egrave dispari

4L IM IT I

La nozione di limite che abbiamo dato non egrave sufficiente per rendere conto del com-portamento delle funzioni in casi molto importanti Lrsquoesempio tipico egrave 119891(119909) = 11199092che discuteremo per primo vogliamo rendere preciso che cosa intendiamo per ldquoaverelimite infinitordquo

41 limiti infiniti

Consideriamo la funzione 119909 ↦ 11199092 che egrave definita per 119909 ne 0 Il punto 0 egrave un punto diaccumulazione del dominio ed egrave sensato domandarsi se esista

lim119909rarr0

11199092

Se perograve facciamo tracciare la curva a GeoGebra ci accorgiamo che piugrave la 119909 si avvicinaa 0 piugrave 11199092 diventa grande Del resto egrave evidente che quando 119909 = 10minus15 (poco piugravedel raggio di un protone in metri) 11199092 = 1030 (il numero stimato di batteri sullaterra) e che se facciamo diminuire il valore di 119909 quello di 11199092 cresceragrave senza alcunalimitazione

Come possiamo esprimere precisamente questa nozione Non egrave cosigrave complicatodopo tutto 11199092 egrave il reciproco di 1199092 Lrsquoidea egrave dunque questa e la possiamo rendereprecisa cosigrave come abbiamo fatto per quella di limite finito Fissiamo unamaggiorazione119872 allora esiste un intorno 119880 di 0 tale che che per 119911 isin 119880 119911 ne 0 si abbia 11199112 gt 119872Qualsiasi maggiorazione fissiamo la possiamo superare stando opportunamente vicinoa 0 Diamo allora la definizione ufficiale

d e f i n i z i o n e Sia 119909 un punto di accumulazione del dominio di una funzione 119891Diremo che +infin egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 se data una qualsiasi mag-giorazione 119872 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119911 ne 119909 siabbia

119891(119911) ge 119872

In tal caso la notazione usata saragrave

lim119911rarr119909

119891(119911) = +infin

Il simbolo +infin si legge ldquopiugrave infinitordquo

Vediamo che la definizione si applica al caso in esame cioegrave 119909 ↦ 11199092 Fissiamo 119872dobbiamo risolvere la disequazione

11199112 gt 119872 119911 ne 0

le cui soluzioni sono date per 119872 gt 0 da

minusradic

1119872 lt 119911 lt

radic1119872 119911 ne 0

e lrsquoinsieme delle soluzioni egrave proprio un intorno di 0 escluso 0 Se 119872 le 0 il proble-ma non si pone nemmeno tutti i numeri non nulli sono soluzione Anche qui comenel caso delle tolleranze che possono essere limitate verso lrsquoalto possiamo fissare unminorante delle maggiorazioni richieste se riusciamo a soddisfare il problema permag-giorazioni piugrave grandi di 1 per esempio lo riusciamo a soddisfare per maggiorazioniqualsiasi

65

66 limiti

Nel caso della funzione 119891(119909) = 1119909 non possiamo dire la stessa cosa per 119909 lt 0 siha 1119909 lt 0 e quindi la funzione non egrave positiva in 119880cap119863(119891) per qualsiasi intorno 119880 di0 Tuttavia egrave chiaro che per la funzione ristretta allrsquointervallo (0 rarr) il limite egrave +infin

lim119909rarr0+

1119909 = +infin

Infatti per 119911 isin (minus1119872 1119872)cap119863(1198910+) si ha effettivamente 119891(119911) ge 119872 quando 119872 gt 0Non dovrebbe sorprendere la seguente definizione

d e f i n i z i o n e Sia 119909 un punto di accumulazione del dominio di una funzione 119891Diremo che minusinfin egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 se data una qualsiasi mag-giorazione 119872 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119911 ne 119909 siabbia

119891(119911) le minus119872

In tal caso la notazione usata saragrave

lim119911rarr119909

119891(119911) = minusinfin

Il simbolo minusinfin si legge ldquopiugrave infinitordquo

Non dovrebbe sorprendere nemmeno che

lim119911rarr0

minus 11199112 = minusinfin lim

119911rarr0minus

1119911 = minusinfin

Nella definizione si usa minus119872 percheacute cosigrave egrave chiaro che

lim119911rarr119909

119891(119911) = minusinfin se e solo se lim119911rarr119909

minus119891(119911) = +infin

Un esempio importante egrave quello del logaritmo

lim119909rarr0

log119909 = minusinfin

Infatti la disequazionelog119909 le minus119872

egrave soddisfatta per 0 lt 119909 le exp(minus119872) e questo insieme egrave

(minus exp(minus119872) exp(119872)) cap119863(log)

Proviamo con qualcosa di piugrave complicato

lim119909rarr0+

exp(1119909) = +infin

Per una maggiorazione 119872 gt 1 la disequazione

exp(1119909) ge 119872

diventa 1119909 ge log119872

cioegrave0 lt 119909 le 1

log119872

Se poniamo 120575 = 1 log119872 e 119880 = (minus120575 120575) abbiamo che la disequazione egrave soddisfattaper 119909 isin 119880 119909 gt 0 come richiesto

41 limiti infiniti 67

Tanto per vedere che le funzioni possono essere bizzarre dimostriamo che

lim119909rarr0minus

exp(1119909) = 0

Infatti per la tolleranza 0 lt 120576 lt 1 la disequazione

|exp(1119909)| le 120576 (119909 lt 0)

diventa 1119909 le log 120576 (119909 lt 0)

che essendo 119909 lt 0 e log 120576 lt 0 diventa

119909 ge 1log 120576 (119909 lt 0)

Dunque tutti i numeri nellrsquoinsieme

( 1log 120576 minus 1

log 120576)cap (larr 0)

sono soluzioni della disequazione e la tesi egrave provataNon preoccupiamoci troppo di questi conti ci sono varie tecniche che permettono

di evitarli Vediamone una

t e o r ema Sia 119909 un punto di accumulazione del dominio di 119891 Allora

lim119911rarr119909

119891(119911) = +infin

se e solo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119911 ne 119909 si abbia119891(119911) gt 0 e inoltre

lim119911rarr119909

1119891(119911) = 0

Nel caso utile di limiti da destra e da sinistra si puograve operare in modo analogo Loenunceremo solo per funzioni definite in un intorno di 119909 escluso 119909 che egrave il caso in cuisi puograve parlare di limiti da destra e da sinistra

t e o r ema Sia 119891 definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 Allora

lim119911rarr119909+

119891(119911) = +infin

se e solo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 119911 gt 119909 si abbia 119891(119911) gt 0 einoltre

lim119911rarr119909+

1119891(119911) = 0

Le versioni di questi teoremi per il limite minusinfin sono ovvie e anche le dimostrazionilo sono Si noti perograve che non ci basta sapere che lim119911rarr119909 1119891(119911) = 0 per concluderequalcosa su lim119911rarr119909 119891(119911)

Vediamo unrsquoapplicazione al caso delle frazioni algebriche Siano 119875 e 119876 polinomiAllora sappiamo che la funzione

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909)

egrave continua ovunque sia definita Il suo dominio egrave costituito da tutti i numeri realiescluse le radici di 119876 Supponiamo che 119888 sia una radice di 119876 di molteplicitagrave 119889

68 limiti

Primo caso 119888 egrave una radice anche di 119875 di molteplicitagrave119899 ge 119889 In questo caso possiamoscrivere per 119909 ne 119888

119891(119909) = 1198751(119909)1198761(119909)

(119909minus 119888)119899(119909minus 119888)119889 = 1198751(119909)

1198761(119909)(119909minus 119888)119899minus119889

dove 119888 non egrave una radice neacute di 1198751 neacute di 1198761 quindi avremo evidentemente

lim119909rarr119888

119891(119909) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1198751(119888)1198761(119888)

se 119899 = 119889

0 se 119899 gt 119889

Secondo caso 119888 egrave una radice di 119875 di molteplicitagrave 119899 lt 119889 (non escludiamo il caso di119899 = 0 cioegrave che 119888 non egrave radice di 119875) In questo caso possiamo scrivere per 119909 ne 119888

119891(119909) = 1198751(119909)1198761(119909)

1(119909minus 119888)119889minus119899

dove 119888 non egrave una radice neacute di 1198751 neacute di 1198761 Ci siamo dunque ridotti a considerare ilseguente caso

119891(119909) = 119892(119909)(119909minus 119888)119898

dove 119892 egrave una funzione definita e continua in un intorno di 119888 con 119892(119888) ne 0 e 119898 gt 0(intero) Egrave del tutto ovvio che

lim119909rarr119888

1119891(119909) = lim

119909rarr119888(119909 minus 119888)119898

119892(119909) = 0

percheacute la funzione 119909 ↦ (119909minus 119888)119898119892(119909) egrave certamente continua in un intorno di 119888Poniamo adesso 119870 = 119892(119888) e consideriamo dapprima quando 119870 gt 0 Per 119909 gt 119888

abbiamo (119909 minus 119888)119898 gt 0 e dunque 119891(119909) gt 0 Dal teorema precedente segue che

lim119909rarr119888

119891(119909) = +infin

Il limite egrave minusinfin se 119870 lt 0La faccenda egrave piugrave complicata per il limite da sinistra Se 119898 egrave pari si ha per 119909 lt 119888

(119909 minus 119888)119898 gt 0 se 119898 egrave dispari si ha per 119909 lt 119888 (119909 minus 119888)119898 lt 0 Da questo mettendoinsieme con il valore di 119870 si ottiene applicando il teorema il limite da sinistra

Imparare a memoria la casistica egrave del tutto inutile Meglio dare un criterio piugrave maneg-gevole che troviamo nella tabella 3 nella quale le notazioni formali ldquo+infinsdot119870rdquo e ldquominusinfinsdot119870rdquostanno per non si cambia segno davanti a infin se 119870 gt 0 si cambia se 119870 lt 0 Useremoancora questa notazione

Vediamo qualche esempio Consideriamo la funzione

119891(119909) = 1199093 minus 21199092 minus119909+ 21199092 minus 1

che si puograve scrivere come

119891(119909) = 1199092 minus119909minus 2119909+ 1

119909minus 1119909minus 1

e quindi

lim119909rarr1

119891(119909) = 12 minus 1minus 21+ 1 = minus2

2 = minus1

Consideriamo invece

119891(119909) = 1199093 minus 21199092 minus119909+ 2(1199094 minus 21199092 + 1)2

41 limiti infiniti 69

Sia 119888 una radice del polinomio 119876 e si consideri la funzione

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909)

dove 119875 egrave un altro polinomio Si vogliono calcolare

lim119909rarr119888+

119891(119909) e lim119909rarr119888minus

119891(119909)

1 Si scrive la funzione nella forma

119891(119909) = 1198751(119909)1198761(119909)

(119909minus 119888)119899(119909minus 119888)119889

dove 119888 non egrave radice neacute di 1198751 neacute di 1198761 (puograve essere 119899 = 0)

2 Se 119899 = 119889 il limite egrave 1198751(119888)1198761(119888)

3 Se 119899 gt 119889 il limite egrave 0

4 Se 119899 lt 119889 si pone 119898 = 119889minus119899 e si calcola 119870 = 1198751(119888)1198761(119888)

41 se 119898 egrave pari 119891 si comporta come la funzione 119909 ↦ 1198701199092 in 0

42 se 119898 egrave dispari 119891 si comporta come la funzione 119909 ↦ 119870119909 in 0

Valgono inoltre i seguenti limiti

lim119909rarr0

1198701199092 = +infin sdot 119870

lim119909rarr0+

119870119909 = +infin sdot 119870

lim119909rarr0minus

119870119909 = minusinfin sdot 119870

Si noti che egrave sufficiente decidere se 119870 gt 0 o 119870 lt 0 e non serve calcolarloesplicitamente tranne ovviamente nel passo 2

tabella 3 Procedura per il calcolo del limite di una frazione algebrica a una radice deldenominatore

70 limiti

che si puograve scrivere come

119891(119909) = 1199092 minus119909minus 2(119909+ 1)4

119909minus 1(119909minus 1)4 = 1199092 minus119909minus 2

(119909+ 1)41

(119909minus 1)3

Nelle notazioni precedenti si ha

119892(119909) = 1199092 minus119909minus 2(119909+ 1)4

e quindi 119870 = 119892(1) = minus216 = minus18 lt 0 Con le notazioni della tabella si ha 119898 = 3che egrave dispari Quindi

lim119909rarr1+

119891(119909) = +infin sdot (minus18) = minusinfin lim119909rarr1minus

119891(119909) = minusinfin sdot (minus18) = +infin

Vogliamo in effetti definire risultati di ldquooperazionirdquo dove compaiano questi nuovisimboli Ciograve non significa che +infin e minusinfin siano da considerare numeri reali di fattoqueste ldquooperazionirdquo saranno solo scorciatoie mnemoniche per ricordarsi le regole dicalcolo dei limiti che enunceremo piugrave avanti nella tabella 119886 e 119887 denotano numeri

119886+ (+infin) = +infin 119886minus (+infin) = minusinfin119886+ (minusinfin) = minusinfin 119886minus (minusinfin) = +infin

119887 gt 0 119887 sdot (+infin) = +infin 119887 sdot (minusinfin) = minusinfin119887 lt 0 119887 sdot (+infin) = minusinfin 119887 sdot (minusinfin) = +infin

+infin+ (+infin) = +infin minusinfin+ (minusinfin) = minusinfin+infin sdot (+infin) = +infin +infin sdot (minusinfin) = minusinfinminusinfin sdot (+infin) = minusinfin minusinfin sdot (minusinfin) = +infin

119886(+infin) = 0 119886(minusinfin) = 0

Vanno ovviamente comprese quelle che si ottengono permutando i termini Notiamoche mancano alcuni casi non daremo alcun significato alle espressioni formali 0sdot(+infin)0 sdot (minusinfin) +infin + (minusinfin) e +infin minus (+infin) Di fatto quelle che ci sono non sono poi cosigravecomplicate da ricostruire moltiplicare un numero positivo per un numero grande dagraveun numero grande egrave la traduzione intuitiva di 119887sdot(+infin) = +infin per 119887 gt 0 Se si ricordanole lsquoregole dei segnirsquo non ci si puograve sbagliare e quindi basta dare una forma intuitiva soloalle regolette che coinvolgono +infin

bull sommare a un numero un numero grande dagrave un numero grande

bull moltiplicare un numero positivo per un numero grande dagrave un numero grande

bull sommare o moltiplicare due numeri grandi dagrave un numero grande

I teoremi sulle operazioni sui limiti giagrave visti si estendono ai casi in cui il limite diuna o entrambe le funzioni siano +infin o minusinfin e le ldquooperazionirdquo relative compaiano nellatabella

Dunque per esempiolim

119909rarr0minus

1119909 minus 1

119909+ 1 = minusinfin

percheacutelim

119909rarr0minus

1119909 = minusinfin lim

119909rarr0minus

1119909+ 1 = 1

e minusinfinminus1 = minusinfinViceversa non possiamo usare la tabella per valutare un limite come

lim119909rarr0+

1119909 minus 1

1199092

42 limiti allrsquoinfinito 71

che corrisponderebbe a una non definita operazione +infin minus infin Per calcolare questolimite occorre procedere come delineato per le frazioni algebriche

1119909 minus 1

1199092 = 119909minus 11199092 = 119909minus 1

111199092

Qui 119870 = (0minus 1)1 = minus1 e quindi possiamo applicare minus1 sdot (+infin) = minusinfin Si noti che

lim119909rarr0+

11199092 minus 1

119909

corrisponderebbe alla stessa espressione +infin minus infin e il limite egrave esattamente lrsquooppostodi prima cioegrave +infin Egrave proprio per questo che non egrave possibile dare un senso a quellaespressione

Un altro esempio di +infinminusinfin

lim119909rarr1+

119909radic119909minus 1

minus 1radic119909minus 1

che quindi non si puograve trattare senza qualche manipolazione ma

119909radic119909minus 1

minus 1radic119909minus 1

= 119909minus 1radic119909minus 1

= radic119909minus 1

e quindi il limite richiesto vale 0 Diremo che un limite che si presenti in questo modoegrave della forma indeterminata ⟦ +infin minus infin⟧ ne troveremo altre Il nome egrave tradizionale enon significa affatto che il limite non si puograve calcolare ma solo che cosigrave comrsquoegrave scrittala funzione (in questo caso come somma) non abbiamo elementi per dedurre il limiteda quello degli addendi Ciograve non esclude che con opportune trasformazioni si possaarrivare a un calcolo esplicito

42 limiti allrsquoinfinito

Risulta spesso utile capire il comportamento di una funzione quando diamo alla variabi-le valori sempre piugrave grandi Un esempio ovvio egrave quello di 119891(119909) = 1 log119909 che quando 119909diventa sempre piugrave grande assume valori sempre piugrave vicini a 0 Come facciamo a dirlocon precisione Al solito andiamo a rovescio e cerchiamo di risolvere la disequazione|1 log119909| le 120576 dove 120576 gt 0 egrave una tolleranza Troviamo le soluzioni distinguendo primail caso di 119909 gt 1

minus120576 le 1log119909 le 120576

log119909 ge 1120576

119909 ge exp(1120576)

Non egrave restrittivo prendere 0 lt 120576 lt 1 Nel caso di 0 lt 119909 lt 1 la disequazione diventa

minus1120576 ge log119909

119909 ge exp(minus1120576)

Dunque lrsquoinsieme delle soluzioni egrave

(exp(minus1120576) 1) cup (exp(1120576) rarr)

che egrave un insieme contenente numeri ldquoarbitrariamente grandirdquo In altre parole riusciamoa soddisfare la tolleranza prendendo numeri piugrave grandi di un numero fissato in questocaso exp(1120576)

72 limiti

Un intorno di +infin egrave un insieme che include un intervallo aperto della forma (119886 rarr)Diremo che +infin egrave un punto di accumulazione di un insieme 119878 se per ogni 119872 esiste unpunto 119909 isin 119878 con 119909 gt 119872 Ciograve non significa che +infin sia un elemento dei numeri realistiamo solo descrivendo una proprietagrave dellrsquoinsieme 119878

d e f i n i z i o n e Supponiamo che +infin sia un punto di accumulazione di 119863(119891)Allora il numero 119897 egrave il limite per 119909 che tende a +infin di 119891(119909) se per ogni tolleranza120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di +infin tale che per 119909 isin 119880cap119863(119891) si abbia

|119891(119909) minus 119897| le 120576

In tal caso si scrivelim

119909rarr+infin119891(119909) = 119897

Lasciamo come esercizio scrivere la definizione di intorno di minusinfin e quella di limitea minusinfin Possiamo scrivere facilmente che cosa intendiamo per limite infinito a infinitomodificando una definizione precedente

d e f i n i z i o n e Supponiamo che +infin sia un punto di accumulazione di 119863(119891)Allora +infin egrave il limite per 119909 che tende a +infin di 119891(119909) se per ogni maggiorazione 119872esiste un intorno 119880 di +infin tale che per 119909 isin 119880cap119863(119891) si abbia

119891(119909) ge 119872

In tal caso si scrivelim

119909rarr+infin119891(119909) = +infin

Altre definizioni simili sono facili da scrivereOccorre dare qualche altro esempio e dimostriamo subito alcune uguaglianze fonda-

mentalilim

119909rarr+infinexp119909 = +infin lim

119909rarrminusinfinexp119909 = 0

La disuguaglianza da risolvere per la seconda data la tolleranza 120576 egrave

|exp119909| le 120576

che equivale a 119909 lt log 120576 cioegrave lrsquointervallo (larr log 120576) che egrave un intorno di minusinfin Per laprima dobbiamo risolvere data la maggiorazione 119872 gt 0

exp119909 ge 119872

che equivale a 119909 ge log119872 e lrsquointervallo (log119872 rarr) egrave un intorno di +infin

Verifichiamo un altro limite molto importante

lim119909rarr+infin

exp119909119909 = +infin

prendendolo piuttosto alla larga Sappiamo che

(1 + 119886)119899 = 1+119899119886+ 119899(119899minus 1)2 1198862 +119887

dove 119887 egrave un certo numero positivo quando 119886 gt 0 Se dividiamo per 119899 otteniamo

(1 + 119886)119899119899 = 1

119899 +119886+ 119899minus 12 119886+ 119887

119899

42 limiti allrsquoinfinito 73

La funzione 119892∶ 119899 ↦ (1 + 119886)119899119899 egrave definita sui numeri interi positivi e quindi +infin egrave un punto diaccumulazione di 119863(119892) Applicando le proprietagrave dei limiti possiamo dire che

lim119899rarr+infin

( 1119899 +119886+ 119899minus 1

2 119886) = 0+119886+infin = +infin

e quindi lo stesso possiamo dire per 119892 visto che per ottenerla sommiamo 119887119899 allrsquoespressioneprecedente e 119887119899 gt 0

Ora poniamo 1 + 119886 = 119890 = exp1 e possiamo concludere che

lim119899rarr+infin

119890119899

119899 = +infin

Consideriamo ora la funzione119891(119909) = exp119909

119909la cui derivata egrave

119891prime(119909) = 119909 expprime 119909minus 1 exp1199091199092 = exp119909

1199092 (119909 minus 1)

Dunque 119891 egrave crescente per119909 gt 1 Se calcoliamo 119891(119899) con119899 intero abbiamo 119891(119899) = 119890119899119899 = 119892(119899)Se fissiamo una maggiorazione 119872 sappiamo che esiste un intervallo 119868 = (119896 rarr) tale che per

119899 isin 119868 si abbia 119892(119899) ge 119872 Se 119899 egrave il minimo intero maggiore di 119896 e di 1 abbiamo che 119892(119899) ge 119872Adesso se 119909 gt 119899 abbiamo evidentemente 119891(119909) gt 119891(119899) = 119892(119899) ge 119872 Dunque per 119909 isin (119899 rarr)si ha 119891(119909) ge 119872 come richiesto

Siccome tra le funzioni importanti ci sono le frazioni algebriche vediamo subitocome trattarle Il caso piugrave semplice egrave quello in cui numeratore e denominatore hannolo stesso grado 119898

119891(119909) = 1198860 +1198861119909+⋯+119886119898minus1119909119898minus1 +119886119898119909119898

1198870 +1198871119909+⋯+119887119898minus1119909119898minus1 +119887119898119909119898

con 119886119898 ne 0 119887119898 ne 0 Vogliamo calcolare lim119909rarr+infin 119891(119909) Ovviamente possiamo restrin-gere 119909 in un intorno di +infin per esempio 119868 = (0 rarr) dunque possiamo supporre119909 ne 0 e scrivere per 119909 isin 119868

119891(119909) =

1198860119909119898 + 1198861

119909119898minus1 +⋯+ 119886119898minus1119909 +119886119898

1198870119909119898 + 1198871

119909119898minus1 +⋯+ 119887119898minus1119909 +119887119898

ed egrave evidente dal fatto che lim119909rarr+infin 1119909 = 0 che

lim119909rarr+infin

1198860119909119898 + 1198861

119909119898minus1 +⋯+ 119886119898minus1119909 +119886119898 = 119886119898

e analogamente il limite del denominatore egrave 119887119898 Dunque

lim119909rarr+infin

1198860 +1198861119909+⋯+119886119898minus1119909119898minus1 +119886119898119909119898

1198870 +1198871119909+⋯+119887119898minus1119909119898minus1 +119887119898119909119898 = 119886119898119887119898

Si verifichi che vale anche

lim119909rarrminusinfin

1198860 +1198861119909+⋯+119886119898minus1119909119898minus1 +119886119898119909119898

1198870 +1198871119909+⋯+119887119898minus1119909119898minus1 +119887119898119909119898 = 119886119898119887119898

Vediamo ora il caso generale in cui 119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) Chiamiamo 119898 il grado di 119875e 119899 il grado di 119876 119886119898 e 119887119899 i rispettivi coefficienti principali

Primo caso 119898 lt 119899 Allora possiamo scrivere

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) = 119909119899minus119898119875(119909)

119876(119909)1

119909119899minus119898

74 limiti

Nel primo fattore numeratore e denominatore hanno lo stesso grado e coefficientiprincipali 119886119898 e 119887119899 quindi

lim119909rarr+infin

119891(119909) = ( lim119909rarr+infin

119909119899minus119898119875(119909)119876(119909) )( lim

119909rarr+infin

1119909119899minus119898 ) = 119886119898

1198871198990 = 0

Lo stesso per il limite a minusinfinSecondo caso 119898 gt 119899 Possiamo scrivere

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) = 119875(119909)

119909119898minus119899119876(119909)119909119898minus119899

1

e ragionando come prima

lim119909rarr+infin

119891(119909) = 119886119898119887119899

sdot (+infin)

Lo stesso per il limite a minusinfin Non egrave importante ricordare a memoria la tabellina quel-lo che conta di piugrave egrave il trucco ldquodividere per la potenza di 119909 di grado massimordquo chefunziona anche in altre situazioni Consideriamo per esempio

lim119909rarr+infin

radic41199092 + 2119909119909

Come prima possiamo maneggiare lrsquoespressione supponendo la funzione definita per119909 gt 0 visto che ci interessa rispettare una tolleranza (se il limite egrave finito) o una mag-giorazione (se il limite egrave infinito) solo in un intorno di +infin Dunque possiamo supporre119909 gt 0 e portarlo dentro la radice quadrata

radic41199092 + 2119909119909 =

radic41199092 + 2119909

1199092 =radic

4+ 2119909

Il limite egrave dunque radic4 = 2Diverso egrave il caso se ci interessa il limite a minusinfin non egrave restrittivo supporre 119909 le minus2 (la

funzione egrave definita per 119909 gt 0 e 119909 le minus2) perciograve la trasformazione egrave

radic41199092 +2119909119909 = minusradic41199092 +2119909

|119909| = minusradic

41199092 +21199091199092 = minus

radic4+ 2

119909

e il limite egrave minusradic4 = minus2 Ci si deve ricordare che se 119905 lt 0 vale lrsquoidentitagrave

119905 = minusradic1199052

e non 119905 = radic1199052Abbiamo usato qui un risultato ancora non presentato ufficialmente

t e o r ema Sia lim119911rarr119909 119891(119911) = 119897 con 119897 finito o infinito Se 119892 egrave definita e continuain un intorno di 119897 allora

lim119911rarr119909

119892(119891(119911)) = 119892(119897) se 119897 egrave finito

lim119911rarr119909

119892(119891(119911)) = lim119905rarr119897

119892(119905) se 119897 egrave infinito

La dimostrazione egrave un interessante esercizio Vediamone unrsquoapplicazione per il cal-colo di lim119909rarr0+ exp(1119909) Siccome lim119909rarr0+ 1119909 = +infin il limite cercato coincide conlim119905rarr+infin exp 119905 = +infin Nel caso di lim119909rarr0minus exp(1119909) siccome lim119909rarr0minus 1119909 = minusinfin illimite egrave lim119905rarrminusinfin exp 119905 = 0 Dunque

lim119909rarr0+

exp(1119909) = +infin lim119909rarr0minus

exp(1119909) = 0

43 forme indeterminate 75

43 forme indeterminate

Lrsquoargomento delle forme indeterminate egrave temuto Ma non crsquoegrave da prendere paura sitratta di funzioni che molto spesso possono essere domate facilmente Lrsquoesempio di119891(119909) = radic1199092 + 2119909119909 di cui volevamo calcolare il limite a +infin si presenta come un quo-ziente di due funzioni che vanno entrambe a +infin Giagrave nel caso delle frazioni algebricheabbiamo visto che un limite di questo tipo dipende dal numeratore e dal denominatore

lim119909rarr+infin

1 + 119886119909119909 = 119886 lim

119909rarr+infin

1 +1199092

119909 = +infin

lim119909rarr+infin

1 minus1199092

119909 = minusinfin lim119909rarr+infin

1 +1199091199092 = 0

Cambiando numeratore e denominatore mantenendo il limite infinito per entrambi ilquoziente puograve avere un limite qualsiasi (o anche non averlo) Si noti che il primo egrave informa indeterminata solo per 119886 ne 0

Unrsquoaltra forma indeterminata lrsquoabbiamo incontrata parlando di derivate Il rapportodi Fermat egrave sempre una frazione in cui sia numeratore che denominatore hanno limite 0Visto poi che una frazione del tipo infininfin come le frazioni algebriche puograve sempre esserevista come un prodotto 0 sdot infin scrivendo 119875(119909)119876(119909) = 119875(119909) sdot (1119876(119909)) abbiamo giagraveun buon numero di forme indeterminate

⟦ 00⟧ ⟦ infininfin⟧ ⟦ 0 sdotinfin⟧ ⟦ +infinminusinfin⟧

Ricordiamo che non sono operazioni tra numeri e per questo usiamo una notazione spe-ciale sono solo artifici mnemonici per ricordarci di non saltare a conclusioni avventatequando si deve calcolare un limite che si presenti in uno di questi tipi

Alcuni testi ne menzionano altre due ⟦ 00⟧ e ⟦ 1infin⟧ Si tratta di un inutile appesanti-mento percheacute una funzione del tipo

119865(119909) = (119891(119909))119892(119909)

si tratta sempre scrivendola come 119865(119909) = exp(119892(119909) log119891(119909)) e calcolando

lim119909rarr119888

119892(119909) log119891(119909)

percheacute poi possiamo usare i noti fatti su exp e lrsquoultimo teorema enunciato Se secondola terminologia appesantita la forma originale egrave ⟦00⟧ il limite da calcolare egrave nella forma⟦ 0 sdotinfin⟧ se egrave della forma ⟦ 1infin⟧ lo si riduce a uno della stessa forma ⟦ infinsdot0⟧ Dunque leforme indeterminate che studieremo saranno solo le quattro giagrave messe in evidenza

Si faccia attenzione che questo ha solo una vaga connessione con il fatto che la divisione di0 per 0 non egrave definita qui non si sta parlando di operazioni su numeri ma di limiti di funzioniLe forme messe in evidenza sono quelle nelle quali non egrave possibile applicare alcuno dei teoremigenerali sui limiti senza trasformarle in qualche modo

Uno degli strumenti fondamentali per affrontare le forme indeterminate egrave il teore-ma di lrsquoHocircpital che si puograve estendere in vari modi Ma si badi bene a non abusarne esoprattutto a non continuare a derivare senza semplificare dove sia possibile

Consideriamo per esempio lim119909rarr0 119909 log119909 che si presenta come forma indeterminata⟦ 0 sdotinfin⟧ lo possiamo trasformare in modo da avere una forma ⟦00⟧

lim119909rarr0

119909 log119909 = lim119909rarr0

1199091 log119909

H= lim119909rarr0

1(minus1(log119909)2)(1119909)

= lim119909rarr0

minus119909(log119909)2

76 limiti

che egrave peggio di prima Potremmo invece trasformarlo nella forma ⟦ infininfin⟧ come

lim119909rarr0

119909 log119909 = lim119909rarr0

log1199091119909

H= lim119909rarr0

1119909minus11199092

= lim119909rarr0

minus119909 = 0

se non fosse che abbiamo applicato il teorema di lrsquoHocircpital in un caso che non sarebbeammesso Lrsquoenunciato che segue dove scriveremo plusmninfin per indicare uno fra +infin e minusinfinci dice proprio che invece si puograve

t e o r ema d i l rsquo h ocirc p i t a l g e n e r a l i z z a t o Siano 119891 e 119892 derivabili in unintorno di 119888 (finito o infinito) escluso al piugrave 119888 con 119892prime(119909) ne 0 in un intorno di 119888 Se

lim119909rarr119888

119891(119909) = 0 e lim119909rarr119888

119892(119909) = 0

oppurelim119909rarr119888

119891(119909) = plusmninfin e lim119909rarr119888

119892(119909) = plusmninfin

ed esiste (finito o infinito)

lim119909rarr119888

119891prime(119909)119892prime(119909)

allora si ha

lim119909rarr119888

119891(119909)119892(119909) = lim

119909rarr119888119891prime(119909)119892prime(119909)

Ecco lrsquoesempio Consideriamo lim119909rarrminusinfin(1119909) exp(119909) Questo limite si presenta nellaforma indeterminata ⟦ 00⟧ se applicassimo il teorema di lrsquoHocircpital in modo avventatoavremmo

lim119909rarrminusinfin

1119909exp119909

H= lim119909rarrminusinfin

minus11199092

exp119909

che egrave ancora nella forma ⟦ 00⟧ ma unrsquoaltra applicazione del teorema ci porterebbe auna situazione peggiore Invece

lim119909rarrminusinfin

1119909exp119909 = lim

119909rarrminusinfin

exp(minus119909)119909

H= lim119909rarrminusinfin

minus exp(minus119909)1 = minusinfin

Infatti lim119909rarrminusinfin exp(minus119909) = lim119905rarr+infin exp 119905 = +infinEgrave facile allora calcolare per 119898 ge 0 intero

lim119909rarr+infin

exp119909119909119898

riducendo via via il grado del denominatore per 119898 = 0 abbiamo

lim119909rarr+infin

exp1199091 = +infin

Per usare lrsquoinduzione scriviamo

lim119909rarr+infin

exp119909119909119898+1

H= lim119909rarr+infin

exp119909(119898+ 1)119909119898 = 1

119898+1 lim119909rarr+infin

exp119909119909119898

Per ipotesi induttiva possiamo supporre che lrsquoultimo limite sia +infin e abbiamo dunqueper ogni 119898 ge 0 intero

lim119909rarr+infin

exp119909119909119898 = +infin

44 ordini di infinitesimo 77

Se ora 119903 gt 0 egrave un numero reale qualsiasi sappiamo che 119898 le 119903 le 119898 + 1 per unopportuno 119898 ge 0 intero Per 119909 gt 1 si ha allora

119898 log119909 le 119903 log119909 le (119898+ 1) log119909

e dunque 119909119898 le 119909119903 le 119909119898+1 e finalmente

exp119909119909119898+1 le exp119909

119909119903 le exp119909119909119898

da cui possiamo dedurre per il teorema di confronto dei limiti (opportunamente efacilmente esteso) che per 119903 ge 0

lim119909rarr+infin

exp119909119909119903 = +infin

Che crsquoegrave di scorretto nella seguente applicazione del teorema di lrsquoHocircpital

lim119909rarrminusinfin

exp119909119909

H= lim119909rarrminusinfin

exp1199091 = 0

nella quale si ottiene comunque il risultato corretto Si verifichino per bene le ipotesi del teoremageneralizzato

Se consideriamo invece lim119909rarr0 119909(log119909)119899 possiamo scrivere

lim119909rarr0

119909(log119909)119899 = lim119909rarr0

(log119909)1198991119909

H= lim119909rarr0

119899(log119909)119899minus1119909minus11199092

= minus119899 lim119909rarr0

119909(log119909)119899minus1

Siccome sappiamo giagrave che per 119899 = 1 il limite egrave 0 per induzione abbiamo

lim119909rarr0

119909(log119909)119899 = 0

Con la solita tecnica di prendere 119899 le 119903 le 119899+1 con 119899 intero e il teorema del confrontoabbiamo lim119909rarr0 119909(log119909)119903 = 0 per ogni 119903 gt 0 Per 119903 le 0 vale la stessa cosa ma non crsquoegravebisogno di dimostrarlo con particolari tecniche

Possiamo anche affrontare lim119909rarr+infin 1199091119909 calcolando

lim119909rarr+infin

log119909119909

H= lim119909rarr+infin

11199091 = 0

e perciograve lim119909rarr+infin 1199091119909 = 1

44 ordini di infinitesimo

Quando si deve studiare un limite in 0 in cui ci sia un fattore sin119909 al denominatore oal numeratore egrave sempre possibile sostituirlo con 119909 infatti si ha

lim119909rarr0

119891(119909)sin119909 = lim

119909rarr0

119909sin119909

119891(119909)119909 = lim

119909rarr0

119891(119909)119909

ammesso che questrsquoultimo esista per i teoremi sui limiti Puograve essere piugrave complicatose il denominatore egrave sin119909 minus 119909 cos119909 che non appare cosigrave immediato Ma ci viene insoccorso il teorema di lrsquoHocircpital proviamo a calcolare se esiste lrsquoesponente 119896 tale che

lim119909rarr0

sin119909minus119909 cos119909119909119896

78 limiti

sia finito e non nullo Trattandosi di una forma indeterminata possiamo semplicemen-te derivare il numeratore un numero sufficiente di volte per togliere lrsquoindeterminazionePiugrave precisamente consideriamo il seguente schema

lim119909rarr0

sin119909minus119909 cos119909119909119896

H= lim119909rarr0

cos119909minus cos119909+119909 sin119909119896119909119896minus1

= lim119909rarr0

119909 sin119909119896119909119896minus1

= lim119909rarr0

sin119909119896119909119896minus2

H= lim119909rarr0

cos119909119896(119896 minus 2)119909119896minus3

dove quando applichiamo il teorema di lrsquoHocircpital procediamo assumendo sempre chegli esponenti al denominatore diano una forma indeterminata Al passo finale il nume-ratore ha come limite 1 e quindi per 119896 = 3 il limite vale 13 In conclusione ogni limitedella forma

lim119909rarr0

119891(119909)sin119909minus119909 cos119909

puograve essere trasformato come prima

lim119909rarr0

119891(119909)sin119909minus119909 cos119909 = lim

119909rarr0

1199093

sin119909minus119909 cos119909119891(119909)1199093 = 3 lim

119909rarr0

119891(119909)1199093

Qui abbiamo studiato limiti a 0 ma egrave irrilevante per i limiti a 119888 si useranno le potenzedi 119909minus 119888 si possono anche considerare limiti da destra e da sinistra

Nel caso di (sin119909minus119909 cos119909)119909119896 si puograve anche scrivere cos119909(tan119909minus119909)119909119896 percheacute latangente egrave definita in un intorno di 0 il fattore cos119909 non influisce sul limite perciogravepossiamo agire anche con

lim119909rarr0

tan119909minus119909119909119896

H= lim119909rarr0

1 + tan2 119909119896119909119896minus1 = 1

3

molto piugrave brevementeNon sempre questa tecnica funziona Se vogliamo studiare

lim119909rarr0+

exp(minus1119909)119909119896

e cerchiamo un esponente 119896 che lo renda finito e non nullo facciamo una fatica inutileInfatti con la sostituzione 119910 = 1119909 otteniamo

lim119910rarr+infin

119910119896

exp119910

e per quante volte applichiamo il teorema di lrsquoHocircpital questo limite egrave 0

5STUD I D I FUNZ IONE

Che differenza crsquoegrave tra le funzioni 119891(119909) = 1199092 e 119892(119909) = 1199094 Piugrave in generale che infor-mazioni si possono avere sulla variazione dei valori di una funzione quando variamoil punto in cui sono calcolate Lo studio di funzione risponde a queste domande ed egraveessenziale per analizzare problemi dove i metodi puramente algebrici non arrivano

51 equazioni non algebriche

Spesso egrave utile conoscere in dettaglio lrsquoandamento di una funzione per esempio pertrovare il numero di soluzioni di unrsquoequazione

Vediamo un caso curioso Si vuole trovare al variare di 119886 gt 0 il numero di soluzionidella bizzarra equazione 119909119909 = 119886 Prima di tutto la si trasforma in

119909 log119909 = log119886

e poi si considera la funzione

119891(119909) = 119909 log119909minus log119886

che egrave definita e continua nellrsquointervallo (0 rarr) Un utile punto di partenza egrave trovare ilimiti nei punti di accumulazione del dominio che non appartengano al dominio stessoin questo caso 0 e +infin Il limite a +infin non dagrave problemi percheacute

lim119909rarr+infin

119909 log119909minus log119886 = (+infin) sdot (+infin)minus log119886 = +infin

Si ricordi che queste operazioni hanno senso solo per esprimere applicazioni di teoremisui limiti

Il limite a 0 si presenta sotto la forma indeterminata ⟦ 0 sdot infin⟧ lo trasformiamo nellaforma ⟦ infininfin⟧

lim119909rarr0

119909 log119909 = lim119909rarr0

log1199091119909

H= lim119909rarr0

1119909minus11199092 = lim

119909rarr0minus119909 = 0

Dunque lim119909rarr0 119891(119909) = minus log119886Ora possiamo calcolare la derivata

119891prime(119909) = log119909+119909 1119909 = log119909+ 1

che egrave negativa per 0 lt 119909 lt 1119890 e positiva per 119909 gt 1119890 Dunque 119891 ha un minimo in 1119890dove vale

119891(1119890) = 1119890 log 1

119890 minus log119886 = minus1119890 minus log119886

Se 119891(1119890) gt 0 il grafico della funzione non incontra lrsquoasse delle ascisse e quindilrsquoequazione non ha soluzione Dunque lrsquoequazione non ha soluzione se

minus1119890 minus log119886 gt 0

cioegrave log119886 lt minus1119890 quindi in definitiva

0 lt 119886 lt exp(minus1119890)

Per 119891(1119890) = 0 cioegrave 119886 = exp(minus1119890) il grafico della funzione egrave tangente allrsquoasse delleascisse e quindi lrsquoequazione ha una sola soluzione precisamente 1119890

Per 119891(1119890) gt 0 il grafico incontra lrsquoasse delle ascisse una sola volta se minus log119886 le 0due volte se minus log119886 gt 0 dunque riassumendo

79

80 studi di funzione

lrsquoequazione 119909119909 = 119886

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

non ha soluzione per 0 lt 119886 lt exp(minus1119890)ha una soluzione per 119886 = exp(minus1119890)ha due soluzioni per exp(minus1119890) lt 119886 lt 1ha una soluzione per 119886 ge 1

In particolare esiste un solo numero 119909 tale che 119909119909 = 27 Infatti 27 ge 1 quindi lrsquoequa-zione ha una sola soluzione Siccome 33 = 27 3 egrave lrsquounica soluzione Non avremmoalcun metodo per determinarla ldquoesattamenterdquo se 119886 = 10 per esempio

Si puograve operare in modo diverso e considerare la funzione 119892(119909) = 119909 log119909 Come laprecedente essa ha un minimo in 1119890 e 119892(1119890) = minus1119890 Inoltre

lim119909rarr0

119892(119909) = 0 lim119909rarr+infin

119892(119909) = +infin

Possiamo interpretare lrsquoequazione 119909 log119909 = log119886 come ldquointersecare il grafico di 119892 conrette orizzontali 119910 = log119886 Dallrsquoandamento del grafico egrave chiaro che quando log119886 lt119892(1119890) non crsquoegrave alcuna intersezione quando log119886 = 119892(1119890) la retta egrave tangente (unasoluzione) quando 119892(1119890) lt log119886 lt 0 ci sono due intersezioni quando log119886 ge 0 crsquoegraveuna sola intersezione Ritroviamo quindi lo stesso risultato precedente forse conmenofatica

Consideriamo 119891(119909) = 119909 exp119909 e studiamone il comportamento La funzione egrave definita ovun-que con

lim119909rarrminusinfin

119891(119909) = lim119909rarrminusinfin

119909exp(minus119909)

H= lim119909rarrminusinfin

1minus exp(minus119909) = 0 lim

119909rarr+infin119891(119909) = +infin

La derivata egrave 119891prime(119909) = exp119909+119909 exp119909 = (1+119909) exp119909 che egrave positiva per 119909 gt minus1 Possiamo dunqueinvertire la funzione nellrsquointervallo [minus1 rarr) e lrsquoinversa si chiama tradizionalmente 119882 il primoa studiare questa funzione fu Johann Heinrich Lambert (1728ndash1777) La funzione 119882 egrave definitadunque sullrsquointervallo [minus1119890 rarr) e soddisfa per 119909 in quellrsquointervallo lrsquouguaglianza

119882(119909) exp(119882(119909)) = 119909

La derivata di 119882 si calcola con il solito trucco di derivare ambo i membri

119882prime(119909) exp(119882(119909)) +119882(119909)119882prime(119909) exp(119882(119909)) = 1

e quindi raccogliendo119882prime(119909) = 1

(1 +119882(119909)) exp(119882(119909))

Ritorniamo alla nostra equazione 119909119909 = 119886 che abbiamo giagrave modificato in 119909 log119909 = log119886 Sepotessimo scrivere 119909 = exp(119882(119905)) avremmo

log119886 = exp(119882(119905)) log exp(119882(119905)) = 119882(119905) exp(119882(119905)) = 119905

Dunque possiamo scrivere la ldquosoluzionerdquo della nostra equazione originale come

119909 = exp(119882(log119886))

ma solo per certi 119886 Si determini per quali valori di 119886 questo egrave ammissibileSi puograve anche invertire la funzione 119891 nellrsquointervallo (larr minus1] ottenendo una funzione 1198821

che ha proprietagrave analoghe e ci puograve servire per scrivere formalmente le soluzioni dellrsquoequazione119909119909 = 119886 per ogni 119886 ge 1119890

Riprendiamo lrsquoequazione exp119909 = 119898119909 + 119902 che trasformiamo in exp119909 minus 119898119909 = 119902Consideriamo quindi la funzione 119891(119909) = exp119909 minus 119898119909 Poicheacute lim119909rarrminusinfin exp119909 = 0avremo

lim119909rarrminusinfin

119891(119909) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

+infin se 119898 lt 00 se 119898 = 0

minusinfin se 119898 gt 0

51 equazioni non algebriche 81

Inoltrelim

119909rarr+infin119891(119909) = lim

119909rarr+infin(exp119909

119909 minus119898)119909 = (+infinminus119898) sdot (+infin) = +infin

Calcoliamo la derivata119891prime(119909) = exp119909minus119898

che egrave ovunque positiva per 119898 le 0 Per 119898 gt 0 la funzione egrave decrescente nellrsquointervallo(larr log119898] e crescente in [log119898 rarr) Il minimo di 119891 vale 119891(log119898) = 119898minus119898 log119898 =119898(1minus log119898) Abbiamo tutti i dati e possiamo riassumerli cosigrave

Soluzioni di exp119909 = 119898119909+119902

119898 lt 0 una soluzione per 119902 qualsiasi

119898 = 0 nessuna soluzione per 119902 le 0una soluzione per 119902 gt 0

119898 gt 0 nessuna soluzione per 119902 lt 119898(1minus log119898)una soluzione per 119902 = 119898(1minus log119898)due soluzioni per 119902 gt 119898(1minus log119898)

Vogliamo studiare la disequazione sin119909 lt 119909 Ancora consideriamo la funzione119891(119909) = sin119909minus119909 che perograve non ha limiti a minusinfin e +infin Poco male la derivata egrave

119891prime(119909) = cos119909minus 1

che egrave negativa tranne per 119909 = 2119896120587 (119896 intero) dove si annulla Dunque 119891 egrave decrescentee perciograve si annulla in al piugrave un punto a sinistra di esso saragrave positiva a destra di essosaragrave negativa Siccome sin0 = 0 cioegrave 119891(0) = 0 abbiamo che sin119909 lt 119909 per 119909 gt 0

Si provi in modo analogo che lrsquoequazione 119909 = tan119909 ha una e una sola soluzione inciascuno degli intervalli 119868119896 = (minus1205872 + 119896120587 1205872 + 119896120587) (119896 intero) Se denotiamo con119888(119896) la soluzione nellrsquointervallo 119868119896 si provi che lim119896rarr+infin(119888(119896) minus 119896120587) = 1205872

Un altro problema interessante egrave quello di trovare le soluzioni negli interi positivi dellrsquoequa-zione 119910119909 = 119909119910 in cui sia 119909 ne 119910 Egrave evidente che una soluzione egrave 119909 = 2 119910 = 4 (o viceversa) nonaltrettanto ovvio egrave decidere se ce ne siano altre

Decidiamo perciograve di considerare 119886 gt 0 (anche non intero) e di trovare tutti i valori 119909 gt 119886 peri quali si abbia 119886119909 = 119909119886 Ci basta porre 119909 gt 119886 percheacute evidentemente la situazione egrave del tuttosimmetrica Lrsquoequazione egrave equivalente a 119909 log119886 = 119886 log119909 e dunque consideriamo la funzione

119891(119909) = 119909 log119886minus119886 log119909 119909 isin (119886 rarr)

in modo da evitare gli esponenziali Abbiamo

119891prime(119909) = log119886minus 119886119909

e lrsquoespressione 119909 log119886 minus 119886 si annulla per 119909 = 119886 log119886 Dobbiamo domandarci quando questovalore appartiene al dominio cioegrave quando 119886 log119886 gt 119886 che avviene per log119886 gt 0 e log119886 lt 1quindi per 1 lt 119886 lt 119890

Teniamo da parte questo caso ed esaminiamo gli altri Siccome lim119909rarr+infin 119891prime(119909) = log119886 neicasi in cui la derivata non si annulla nel dominio sappiamo che la funzione egrave crescente oppuredecrescente Egrave crescente per 119886 ge 119890 e decrescente per 119886 lt 1 inoltre lim119909rarr119886 119891(119909) = 0 e perciograveabbiamo 119891(119909) ne 0 per ogni 119909 gt 119886 quando 0 lt 119886 lt 1 oppure 119886 ge 119890 Nel caso di 119886 = 1 lrsquoequazionediventa 1119909 = 1199091 che ha evidentemente lrsquounica soluzione 119909 = 1

Studiamo dunque il caso 1 lt 119886 lt 119890 La derivata 119891prime(119909) egrave negativa per 0 lt 119909 lt 119886 log119886 e positivaper 119909 gt 119886 log119886 quindi 119886 log119886 egrave un punto di minimo Sappiamo anche che lim119909rarr119886 119891(119909) = 0 eperciograve questo limite egrave negativo inoltre lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin (verificarlo) dunque la funzione siannulla in un unico punto nellrsquointervallo (119886 log119886 rarr)

82 studi di funzione

Le soluzioni intere non banali dellrsquoequazione 119886119909 = 119909119886 (con 119909 gt 119886) dunque possono esisteresolo per 119886 nellrsquointervallo (1 119890) e lrsquounico intero egrave 2 Perciograve la soluzione 119886 = 2 119909 = 4 egrave lrsquounica innumeri interi Se 119886 gt 2 egrave intero abbiamo anche 119886 gt 119890 e le considerazioni precedenti ci diconoche per 119909 gt 119886 si ha 119891(119909) gt 0 cioegrave 119886119909 gt 119909119886 (per esempio 34 = 81 gt 43 = 64) Nel caso di 119886 = 2che egrave lrsquounico con incertezza abbiamo 23 lt 32 24 = 42 e 2119909 gt 1199092 per 119909 gt 4 Il caso di 119886 = 1 egravedel tutto banale

Se esaminiamo invece lrsquoanaloga equazione 119909radic119886 = 119886radic119909 siamo condotti a considerare lrsquoequazio-ne

1119909 log119886 = 1

119886 log119909

cioegrave 119909 log119909 = 119886 log119886 Per simmetria possiamo sempre assumere 119909 gt 119886 se vogliamo le soluzioninon banali Consideriamo allora

119891(119909) = 119909 log119909minus119886 log119886

la cui derivata egrave 119891prime(119909) = 1 + log119909 che si annulla solo eventualmente per 119909 = 1119890 Per 119886 ge1119890 abbiamo dunque 119891prime(119909) gt 0 in (119886 rarr) e dunque 119891 egrave crescente essendo lim119909rarr119886 119891(119909) = 0possiamo dire che 119891 non si annulla in alcun punto del dominio e lrsquoequazione non ha soluzioni

Per 0 lt 119886 lt 1119890 la situazione egrave diversa La funzione egrave decrescente in (119886 1119890] e crescente in[1119890 rarr) e il minimo egrave

119891(1119890) = minus1119890 minus 119886 log119886

Valgono ancora lim119909rarr119886 119891(119909) = 0 e lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin quindi crsquoegrave esattamente un punto internoal dominio in cui 119891 si annulla Non ci sono naturalmente soluzioni intere percheacute nessun interocade nellrsquointervallo (0 1119890)

52 procedura per lo studio di una funzione

Come si imposta uno studio di funzione Egrave bene aver presente uno schema che ciricordi quali sono i punti principali su cui fissare lrsquoattenzione Tuttavia non egrave semprenecessario o conveniente seguire tutti i passi egrave uno schema generale che va adattatoalle situazioni particolari

primo passo determinare il dominio della funzione Se il problema non ha imposi-zioni particolari si considera come dominio il piugrave grande insieme di numeri realiin cui lrsquoespressione con cui egrave data la funzione ha senso

secondo passo decidere in quali punti del dominio la funzione egrave sicuramente con-tinua

terzo passo identificare i punti di accumulazione del dominio che non appartengo-no al dominio stesso (compresi se il dominio egrave illimitato +infin o minusinfin)

quarto passo calcolare il limite nei punti del dominio in cui non egrave sicuro che lafunzione sia continua e nei punti determinati nel terzo passo distinguendo senecessario fra limite da destra e limite da sinistra

quinto passo determinare gli asintoti

sesto passo calcolare dove esiste la derivata della funzione e se possibile deter-minare gli intervalli di crescenza e decrescenza dedurre da queste informazionii punti di massimo e di minimo

settimo passo se le informazioni ottenute non sono sufficienti a tracciare un grafi-co indicativo dellrsquoandamento della funzione determinare gli intervalli di conca-vitagrave e convessitagrave

53 asintoti 83

53 asintoti

Nella lista della spesa precedente ci sono alcuni termini non ancora descritti con preci-sione Il primo termine egrave asintoto che perograve egrave giagrave stato incontrato nel caso dellrsquoiperbole

Consideriamo lrsquoiperbole di equazione 119909119910 = 1 La retta 119903 di equazione 119909 = 0 ha laproprietagrave che non incontra lrsquoiperbole ma la distanza dai punti dellrsquoiperbole alla retta119903 puograve essere resa piccola quanto si vuole data una tolleranza 120576 gt 0 esiste un punto 119875dellrsquoiperbole tale che la distanza di 119875 da 119903 egrave minore di 120576 In effetti il punto 119875 di coor-dinate (1205762 2120576) ha questa proprietagrave percheacute la distanza di 119875 da 119903 egrave il valore assolutodellrsquoascissa di 119875

Questo non succede per la retta 119904 di equazione 119909+119910 = 0 il sistema

⎧⎨⎩

119909119910 = 1119909+119910 = 0

ha come equazione risolventeminus1199092 = 1

e dunque il sistema non ha soluzioni cioegrave la retta non incontra lrsquoiperbole Sia (119905 1119905)un punto dellrsquoiperbole e determiniamo la distanza di questo punto da 119904 il quadratodella distanza egrave

119891(119905) = (119905 + 1119905)21 + 1 = 1199054 +21199052 +1

21199052 = 11990522 + 1+ 1

21199052

Si tratta di una funzione che vale la pena di studiare Sappiamo che

lim119905rarrminusinfin

119891(119905) = +infin lim119905rarr0

119891(119905) = +infin lim119905rarr+infin

119891(119905) = +infin

La derivata di 119891 egrave

119891prime(119905) = 119905 minus 11199053 = 1199054 minus 1

1199053che egrave negativa nellrsquointervallo (larr minus1) e in (0 1) positiva in (minus1 0) e in (1 rarr)Dunque 119891 ha punti di minimo in minus1 e 1 con 119891(1) = 119891(minus1) = 2 Quindi esiste unaminima distanza dei punti dellrsquoiperbole dalla retta

Se una retta incontra lrsquoiperbole evidentemente la minima distanza esiste ed egrave nullaSi puograve verificare che le rette di equazione 119909 = 0 e 119910 = 0 sono le uniche che nonincontrano lrsquoiperbole e per le quali la distanza non abbia minimo Queste rette sonodette asintoti

Lrsquounica retta verticale che non incontra il grafico dellrsquoiperbole 119909119910 = 1 egrave lrsquoasse delle ordina-te per il quale egrave evidente che la distanza non ha minimo Discorso analogo vale per le retteorizzontali

Supponiamo dunque che la retta abbia equazione 119910 = 119898119909 + 119902 con 119898 ne 0 Lrsquoequazionerisolvente del sistema con lrsquoiperbole egrave

119909(119898119909+119902) = 1

che ha discriminante negativo per 1199022 + 4119898 lt 0 Quando infatti il discriminante egrave non negativola retta incontra lrsquoiperbole e il minimo della distanza egrave zero Per trovare il minimo della distanzaconsideriamo dunque

119891(119905) = (1119905 minus119898119905minus 119902)

2

La distanza vera si otterrebbe dividendo per 1+1198982 e prendendo la radice quadrata ma la radicequadrata egrave crescente e il divisore non puograve cambiare il punto di minimo La derivata di 119891 egrave

119891prime(119905) = 2(1119905 minus119898119905minus 119902)(minus 1

1199052 minus119898)

84 studi di funzione

Il primo fattore non si annulla percheacute per ipotesi 1199022 + 4119898 lt 0 Il secondo fattore si annullaper 1198981199052 + 1 = 0 si ottengono dunque due punti entrambi di minimo quando 119898 lt 0 Ineffetti abbiamo visto che le rette che non incontrano lrsquoiperbole sono gli assi e quelle di equazione119910 = 119898119909+119902 con 4119898 lt minus1199022

Si ha per questi punti

119891(minusradic1119898) = (minusradic119898+radic119898minus119902)2 = 1199022 119891(radic1119898) = (radic119898minusradic119898minus119902)2 = 1199022

e perciograve la distanza minima egrave |119902| radic1+1198982 Si noti che la condizione 1199022+4119898 = 0 caratterizza lerette tangenti se scriviamo la retta nella forma 119886119909+119887119910+119888 = 0 abbiamo 119898 = minus119886119887 119902 = minus119888119887e la condizione diventa 1198882+4119886119887 = 0 fra queste rette ci sono anche gli assi Infatti per 119886 = 119888 = 0e 119887 ne 0 otteniamo lrsquoasse delle ascisse per 119887 = 119888 = 0 e 119886 ne 0 otteniamo lrsquoasse delle ordinate Ildiscorso ci porterebbe troppo in lagrave ma da questo capiamo che non egrave cosigrave peregrino consideraregli asintoti come tangenti lsquoimpropriersquo allrsquoiperbole

La nozione di asintoto si estende ai grafici di funzioni arbitrarie Diremo che laretta 119909 = 119888 egrave un asintoto verticale del grafico di 119891 se vale almeno una delle condizioniseguenti

bull 119891 egrave definita nellrsquointervallo (119888 119888 + 120575) per un 120575 gt 0 e lim119909rarr119888+ 119891(119909) = plusmninfin

bull 119891 egrave definita nellrsquointervallo (119888 minus 120575 119888) per un 120575 gt 0 e lim119909rarr119888minus 119891(119909) = plusmninfin

Non facciamo alcuna richiesta che la retta non incontri il grafico della funzione in altripunti (succede se la funzione egrave definita in 119888)

Diremo che la retta 119910 = 119889 egrave un asintoto orizzontale del grafico di 119891 se vale almenouna delle condizioni seguenti

bull 119891 egrave definita in un intorno di +infin e lim119909rarr+infin 119891(119909) = 119889bull 119891 egrave definita in un intorno di minusinfin e lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = 119889

Anche qui non chiediamo che il grafico di 119891 non incontri la rettaEsiste un terzo tipo di asintoto Consideriamo la funzione

119891(119909) = 1+radic1199092 +2119909

che consideriamo definita per 119909 gt 0 Cerchiamo unrsquoequazione che sia soddisfatta datutti i punti del grafico di 119891 lrsquoequazione ovvia

119910 = 1+radic1199092 +2119909

puograve essere manipolata liberamente scegliamo di portare il termine noto a sinistra e dielevare al quadrato

(119910minus 1)2 = 1199092 + 2119909+ 1minus 1 = (119909+ 1)2 minus 1

e quindi i punti del grafico di 119891 appartengono tutti allrsquoiperbole di equazione

(119909+ 1)2 minus (119910minus 1)2 = 1

i cui asintoti sono (119909 + 1) = (119910 minus 1) e (119909 + 1) = minus(119910 minus 1) Quello che ci interessa egraveil primo come si vede chiaramente facendo tracciare il grafico di 119891 a un programmacome GeoGebra Ci si accorge che piugrave 119909 diventa grande piugrave la distanza del punto dicoordinate (119909119891(119909)) dalla retta 119903 di equazione 119909minus119910+ 2 = 0 diventa piccola

Proviamo a vederlo senza calcolare effettivamente la distanza invece calcoleremole distanze in orizzontale e verticale se queste diventano piccole anche la distanzaeffettiva diventa piccola e viceversa

53 asintoti 85

Consideriamo dunque il punto di coordinate (119905119891(119905)) la distanza in orizzontale 119889119909da questo punto alla retta egrave il valore assoluto della differenza delle ascisse tra i punti(119905 (119891(119905)) e (119891(119905)+2119891(119905)) mentre la distanza in verticale 119889119910 egrave il valore assoluto delladifferenza delle ordinate tra i punti (119905119891(119905)) e (119905 119905 + 2) Dunque

119889119909 = |119905 minus (119891(119905) + 2)| 119889119910 = |119891(119905) minus (119905 + 2)|

Quindi 119889119909 = 119889119910 Poniamo 119889(119905) = 119891(119905) minus 119905 minus 2 = radic1199052 + 2119905 minus 119905 minus 1 e calcoliamolim119905rarr+infin 119889(119905)

lim119905rarr+infin

radic1199052 +2119905 minus 119905minus 1 = lim119905rarr+infin

(1199052 + 2119905) minus (119905 + 1)2

radic1199052 + 2119905+ 119905+ 1

= lim119905rarr+infin

minus1radic1199052 + 2119905+ 119905 + 1

= minus1+infin = 0

Perciograve anche lim119905rarr+infin|119889(119905)| = 0 proprio come ci aspettavamoIl calcolo egrave esattamente lo stesso anche in altre situazioni il rapporto tra la distan-

za in verticale e quella in orizzontale egrave fisso (due opportuni triangoli sono simili) equindi una tende a 0 se e solo se tende a 0 lrsquoaltra Dunque possiamo dare la seguentedefinizione

d e f i n i z i o n e La retta di equazione119910 = 119898119909+119902 con119898 ne 0 si dice un asintotoobliquo del grafico di 119891 se egrave soddisfatta almeno una delle seguenti condizioni

bull +infin egrave un punto di accumulazione del dominio di 119891 e

lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus119898119909minus119902) = 0

bull minusinfin egrave un punto di accumulazione del dominio di 119891 e

lim119909rarrminusinfin

(119891(119909) minus119898119909minus119902) = 0

Data la definizione occorre un metodo per calcolare119898 e 119902 Vediamo nel caso di+infinin quello di minusinfin si opera allo stesso modo Supponiamo dunque che la retta di equa-zione 119910 = 119898119909+119902 sia un asintoto obliquo a +infin Allora per ipotesi lim119909rarr+infin(119891(119909) minus119898119909minus119902) = 0 e quindi anche

lim119909rarr+infin

119891(119909) minus119898119909minus119902119909 = 0

Siccome lim119909rarr+infin 119902119909 = 0 avremo anche

119898 = 119898+ lim119909rarr+infin

119891(119909) minus119898119909minus119902119909 + lim

119909rarr+infin

119902119909

= 119898+ lim119909rarr+infin

(119891(119909)119909 minus119898)

= lim119909rarr+infin

119891(119909)119909

Questo determina se esiste il coefficiente angolare 119898 A questo punto abbiamo

119902 = 119902+ lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus119898119909minus119902) = lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus119898119909)

86 studi di funzione

e questo determina 119902 Se uno dei due limiti non esiste o egrave infinito lrsquoasintoto obliquo noncrsquoegrave Non crsquoegrave nemmeno se lim119909rarr+infin 119891(119909)119909 = 0 percheacute in tal caso lrsquoasintoto dovrebbeessere orizzontale e lrsquoabbiamo giagrave escluso

Per esempio con 119891(119909) = 119909minus log119909 si ha

lim119909rarr+infin

119891(119909)119909 = lim

119909rarr+infin1 minus log119909

119909 = 1minus 0 = 1

ma passando al calcolo di 119902 si ottiene

lim119909rarr+infin

(119909minus log119909) minus119909 = lim119909rarr+infin

minus log119909 = minusinfin

e quindi il grafico di 119891 non ha asintoti obliquiVerifichiamo che nel caso del ramo di iperbole di prima i conti danno effettivamente

lrsquoasintoto obliquo previsto

lim119909rarr+infin

119891(119909)119909 = lim

119909rarr+infin

1 +radic1199092 + 2119909119909 = lim

119909rarr+infin

1119909 +

radic1+ 2

119909 = 0+ 1 = 1

e perciograve 119898 = 1 abbiamo poi

lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus 119909) = lim119909rarr+infin

1 +radic1199092 + 2119909minus119909 ⟦ infinminusinfin⟧

= lim119909rarr+infin

(1199092 + 2119909) minus (119909minus 1)2

radic1199092 + 2119909+ (119909minus 1)

= lim119909rarr+infin

4119909minus 1radic1199092 + 2119909+ (119909minus 1)

⟦ infininfin⟧

= lim119909rarr+infin

4 minus 1119909

radic1+ 2

119909 + 1minus 1119909

= 4radic1+ 1

= 42 = 2

e dunque lrsquoasintoto ha equazione 119910 = 119909+ 2Si consideri ora la funzione 119891(119909) = 1 + radic1199092 +2119909 definita anche per 119909 le minus2 e si

determini lrsquoeventuale asintoto obliquo a minusinfin

54 esempi

Diamo ora qualche esempio di studio di funzione lasciando da parte per ora la que-stione sulla concavitagrave e convessitagrave

Sia 119891(119909) = exp(minus1199092)

primo passo la funzione 119891 egrave definita ovunque

secondo passo la funzione 119891 egrave continua su tutto il dominio essendo composizionedi due funzioni continue Notiamo poi che 119891(minus119909) = 119891(119909) e che 119891(119909) gt 0 perogni 119909

terzo passo i punti di accumulazione del dominio da considerare sono solo minusinfin e+infin

quarto passo Calcoliamo lim119909rarr+infin 119891(119909) Siccome lim119909rarr+infin minus1199092 = minusinfin avremo

lim119909rarr+infin

119891(119909) = lim119905rarrminusinfin

exp 119905 = 0

e dal fatto che 119891(minus119909) = 119891(119909) deduciamo che lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = 0

54 esempi 87

quinto passo lrsquounico asintoto egrave la retta di equazione 119910 = 0

sesto passo la derivata egrave

119891prime(119909) = exp(minus1199092)(minus2119909) = minus2119909 exp(minus1199092)

che egrave negativa per119909 lt 0 e positiva per119909 gt 0 Dunque119891 ha unmassimo (assoluto)in 0 e 119891(0) = exp0 = 1

Gli elementi necessari per avere unrsquoidea del grafico ci sono tutti Manca qualche det-taglio percheacute egrave evidente che nel procedere da 0 verso destra la lsquocurvaturarsquo del graficodeve cambiare

Vediamo la funzione 119891(119909) = radic1199092 minus1199093

primo passo il dominio 119863(119891) egrave lrsquoinsieme delle soluzioni della disequazione 1199092 minus1199093 ge 0 cioegrave lrsquointervallo (larr 1]

secondo passo la funzione egrave continua in tutto il dominio e 119891(119909) ge 0 per ogni119909 isin 119863(119891)

terzo passo lrsquounico punto di accumulazione del dominio da considerare egrave minusinfin

quarto passo lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = +infin

quinto passo Vediamo se esiste un asintoto obliquo

lim119909rarrminusinfin

119891(119909)119909 = lim

119909rarrminusinfinminusradic

1199092 minus1199093

1199092 = lim119909rarrminusinfin

minusradic1minus119909 = minusinfin

Il grafico della funzione non ha asintoti

sesto passo calcoliamo la derivata

119891prime(119909) = 12radic1199092 minus1199093

(2119909minus 31199092)

La funzione non egrave derivabile in 0 e in 1 (si veda un esempio giagrave svolto)

lim119909rarr0minus

119891prime(119909) = minus1 lim119909rarr0+

119891prime(119909) = 1 lim119909rarr1

119891prime(119909) = minusinfin

La derivata egrave negativa nellrsquointervallo (larr 0) positiva in (0 23) negativa in(23 1)

Dunque abbiamo le seguenti informazioni

119891 egrave decrescente in (larr 0]0 egrave un punto di minimo 119891(0) = 0119891 egrave crescente in [0 23]

23 egrave un punto di massimo 119891(23) = 2(3radic3)119891 egrave decrescente in [23 1]1 egrave un punto di minimo 119891(1) = 0

Si faccia attenzione a non scrivere radic1199092 minus1199093 = 119909radic1minus119909 percheacute questa uguaglianzavale solo per 0 le 119909 le 1 Infatti la funzione 119892(119909) = 119909radic1minus119909 ha un grafico moltodiverso da quello di 119891 Molto diverso

88 studi di funzione

55 unrsquoapplicazione

Dati due numeri positivi119886 e 119887 le loromedia aritmetica emedia geometrica sono definiterispettivamente come

120572 = 119886+1198872 e 120574 = radic119886119887

Egrave piuttosto facile verificare che 120574 le 120572 e che si ha lrsquouguaglianza se e solo se 119886 = 119887Infatti possiamo impostare una catena di disuguglianze equivalenti fra loro

radic119886119887 119886+ 1198872

4119886119887 (119886 + 119887)2

0 1198862 minus 2119886119887+ 1198872

0 le (119886minus 119887)2

e perciograve lo stesso verso di disuguaglianza vale anche nelle precedenti Lrsquouguaglianza siha appunto solo quando 119886minus 119887 = 0

Si puograve generalizzare il concetto a piugrave numeri positivi la media aritmetica di 11990911199092 hellip 119909119899 egrave

120572(1199091 1199092hellip 119909119899) =1199091 +1199092 +⋯+119909119899

119899mentre la loro media geometrica egrave

120574(1199091 1199092hellip 119909119899) = (11990911199092 hellip119909119899)1119899

Possiamo usare i metodi dello studio di funzione per dimostrare attraverso lrsquoinduzioneche vale la disuguaglianza

120574(1199091 1199092hellip 119909119899) le 120572(1199091 1199092hellip 119909119899)

Nel caso di 119899 = 1 si pone ovviamente 120572(1199091) = 120574(1199091) = 1199091 e la disuguaglianza egraveevidente Supponiamo dunque di sapere che questa disuguaglianza vale per 119899 numeriDobbiamo perciograve ricavare da questa ipotesi la disuguaglianza per 119899 + 1 numeri chescriveremo

120574(1199091 1199092hellip 119909119899 119909) le 120572(1199091 1199092hellip 119909119899 119909)

e che possiamo trasformare in quella equivalente

(119899+ 1)119899+1120574(1199091 1199092hellip 119909119899 119909)119899+1 le 120572(1199091 1199092hellip 119909119899 119909)119899+1

Per semplificare la notazione scriviamo 119875 = (11990911199092 hellip119909119899)1119899 e 119878 = 1199091 +1199092 +⋯+119909119899 inmodo che la tesi diventa

(119899+ 1)119899+1119875119899119909 le (119878+119909)119899+1

e lrsquoipotesi induttiva egrave 119899119875119899 le 119878 Consideriamo dunque la funzione definita in (0 rarr)

119891(119909) = (119878+119909)119899+1 minus (119899+ 1)119899+1119875119899119909

Per i risultati che conosciamo sui polinomi abbiamo che lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin mentrelim119909rarr0+ 119891(119909) = 119878119899+1 gt 0 Ne segue che 119891 ha almeno un punto di minimo Calcoliamola derivata

119891prime(119909) = (119899+ 1)(119878 +119909)119899 minus (119899+ 1)119899+1119875119899

55 unrsquoapplicazione 89

che si annulla solo per 119878+119909 = (119899+ 1)119875 cioegrave in (119899+ 1)119875minus 119878 Se (119899+ 1)119875minus 119878 le 0 lafunzione 119891 egrave crescente quindi ovunque positiva Supponiamo dunque (119899+1)119875minus119878 gt 0questo saragrave il punto di minimo Calcoliamo il valore minimo

119891((119899+ 1)119875minus 119878) = (119899+ 1)119899+1119875119899+1 minus (119899+ 1)119899+1119875119899(119899119875+119875minus 119878)= (119899+ 1)119899+1119875119899(119875 minus119899119875minus119875+ 119878)= (119899+ 1)119899+1119875119899(119878 minus119899119875) ge 0

percheacute il fattore 119878 minus 119899119875 egrave non negativo per ipotesi Siccome il valore minimo non egravenegativo abbiamo 119891(119909) ge 0 per ogni 119909 come richiesto

Ci domandiamo ora quando puograve valere lrsquouguaglianza e procediamo di nuovo perinduzione il caso 119899 = 1 egrave ovvio percheacute lrsquouguaglianza crsquoegrave per definizione La nostraipotesi induttiva egrave allora

120574(1199091 1199092hellip 119909119899) = 120572(1199091 1199092hellip 119909119899) se e solo se 1199091 = 1199092 = ⋯ = 119909119899

cioegrave nelle notazioni precedenti 119878 = 119899119875Nel caso di 119899+1 numeri 1199091 1199092 hellip 119909119899 119909 possiamo avere lrsquouguaglianza solo se 119891 si

annulla Ma naturalmente questo puograve avvenire solo se il valore minimo di 119891 egrave 0 cioegrave119878 minus 119899119875 = 0 (con (119899 + 1)119875 minus 119878 gt 0) Lrsquoipotesi induttiva dice allora che 1199091 = ⋯ = 119909119899 eche 119909 = (119899+ 1)119875 minus 119878 = 119899119875+ 119875minus 119878 = 119875 ma essendo 119875 = 1199091 si ha anche 119909 = 1199091 e latesi egrave dimostrata

Esiste anche un terzo tipo di media la media armonica Per due numeri positivi 119886 e 119887 sidefinisce la media armonica 120578 con la formula

2120578 = 1

119886 + 1119887

Con un porsquo di attenzione si vede che il reciproco della media armonica egrave la media aritmetica deireciproci dei numeri Siccome prendere il reciproco rovescia il verso delle disuguaglianze (stiamoparlando di numeri positivi) viene il sospetto che la media armonica sia in generale minore dellamedia geometrica Proviamolo con la catena di disuguaglianze

120578 radic1198861198872119886119887119886+ 119887 radic119886119887

4119886119887 (119886+ 119887)2

0 1198862 minus2119886119887+ 1198872

0 le (119886minus 119887)2

e la tesi egrave dimostrata Di nuovo si ha lrsquouguaglianza fra le medie se e solo se 119886 = 119887In generale definiamo la media armonica dei numeri positivi 1199091 1199092 hellip 119909119899 con

119899120578(1199091 1199092hellip 119909119899)

= 11199091

+ 11199092

+⋯+ 1119909119899

La disuguaglianza da dimostrare egrave allora

119899( 11199091

+ 11199092

+⋯+ 1119909119899

)minus1

le (11990911199092 hellip119909119899)1119899

Se poniamo 119910119896 = 1119909119896 (per 119896 = 1 2hellip 119899) possiamo scriverla come

119899(1199101 +1199102 +⋯+119910119899)minus1 le 1(11991011199102 hellip119910119899)1119899

cioegrave1

120572(11991011199102hellip 119910119899)le 1

120574(11991011199102hellip 119910119899)che equivale alla

120574(11991011199102hellip 119910119899) le 120572(11991011199102hellip 119910119899)appena dimostrata Si ha lrsquouguaglianza solo quando 1199101 = 1199102 = ⋯ = 119910119899 cioegrave 1199091 = 1199092 = ⋯ = 119909119899

90 studi di funzione

Le tre medie che abbiamo introdotto possono essere viste come casi particolari diuna forma generale di lsquomediarsquo Consideriamo due numeri positivi 119886 e 119887 e la funzione

120583(119886119887119909) = (119886119909 +119887119909

2 )1119909

Indichiamo anche i due parametri 119886 e 119887 per motivi che diventeranno chiari piugrave avantiLa funzione egrave definita e continua per 119909 ne 0 e perciograve ci interessano i limiti nei punti diaccumulazione del dominio Cominciamo con +infin dove abbiamo

lim119909rarr+infin

log(119886119909 +119887119909) minus log2119909

che non egrave necessariamente una forma indeterminata e dovremmo esaminare i vari casicon 119886 lt 1 119886 = 1 119886 gt 1 e 119887 lt 1 119887 = 1 e 119887 gt 1 Si puograve fare di meglio supponendo che119886 le 119887 e perciograve 119887119886 ge 1 Scriviamo allora

119886119909 +119887119909 = 119886119909(1 + (119887119886)119909)

e poniamo per semplicitagrave 119887119886 = 119888 il nostro limite diventa allora

lim119909rarr+infin

log(119886119909 +119887119909) minus log2119909 = lim

119909rarr+infin

119909 log119886+ log(1 + 119888119909) minus log2119909

= log119886+ lim119909rarr+infin

log(1 + 119888119909) minus log2119909

H= log119886+ lim119909rarr+infin

119888119909 log1198881 + 119888119909

= log119886+ log119888 = log(119886119888) = log119887

e dunque lim119909rarr+infin 120583(119886119887119909) = 119887 Se invece 119886 gt 119887 il limite egrave 119886 infatti 120583(119886119887119909) =120583(119887119886119909) In generale dunque

lim119909rarr+infin

120583(119886119887119909) = max(119886119887)

Per il limite a 0 consideriamo sempre log120583(119886119887119909)

lim119909rarr0

log(119886119909 +119887119909) minus log2119909

H= lim119909rarr0

119886119909 log119886+ 119887119909 log119887119886119909 +119887119909 = log119886+ log119887

2e perciograve

lim119909rarr0

120583(119886119887119909) = exp( log119886+ log1198872 ) = radic119886119887

Possiamo allora estendere per continuitagrave la definizione di 120583

120583(119886119887119909) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

(119886119909 +119887119909

2 )1119909

se 119909 ne 0

radic119886119887 se 119909 = 0

ottenendo cosigrave che 120583(119886119887 1) 120583(119886119887 0) e 120583(119886119887minus1) sono rispettivamente la mediaaritmetica geometrica e armonica di 119886 e 119887

Non occorre calcolare il limite a minusinfin infatti

120583(119886119887minus119909) = (119886minus119909 +119887minus119909

2 )minus1119909

= ((1119886)119909 + (1119887)1199092 )

minus1119909= (120583(1119886 1119887119909))minus1

e dunque

lim119909rarrminusinfin

120583(119886119887119909) = lim119909rarr+infin

120583(1119886 1119887119909)minus1 = (max(1119886 1119887))minus1 = min(119886119887)

Tutto quanto fatto per due numeri si puograve estendere a 119899 numeri positivi definendo

120583(1198861 1198862hellip 119886119899 119909) = (1198861199091 +119886119909

2 +⋯+119886119909119899

119899 )1119909

per 119909 ne 0 e 120583(1198861 1198862hellip 119886119899 119909) = (11988611198862 hellip119886119899)1119899

56 convessitagrave e derivata seconda 91

56 convessitagrave e derivata seconda

Supponiamo che 119891 sia definita in un intervallo aperto (119901 119902) Diremo che 119891 egrave convessain (119901 119902) se per ogni 119886119887 isin (119901 119902) con 119886 lt 119887 quando consideriamo la retta 119903passante per i punti 119860 e 119861 di coordinate (119886119891(119886)) e (119887119891(119887)) diciamo 119910 = 119898119909 + 119896si ha per ogni 119905 con 119886 lt 119905 lt 119887 119891(119905) le 119898119905 + 119896 Quando con le stesse notazionivale 119891(119905) ge 119898119905+119896 la funzione si diragrave concava In qualche testo si dice con linguaggiopoco felice che 119891 ha la concavitagrave rivolta verso lrsquoalto quando egrave convessa e verso il bassoquando egrave concava

La definizione sembra di quelle fatte apposta per intimidire Ma se facciamo undisegno ci rendiamo conto che significa una cosa semplice il grafico di 119891 sta tuttosotto il segmento 119860119861

Vediamo il caso piugrave facile 119891(119909) = 1199092 La retta che passa per (1198861198862) (119887 1198872) haequazione

119910minus1198862 = 1198872 minus1198862

119887minus 119886 (119909minus119886)

cioegrave119910minus1198862 = (119887+ 119886)(119909minus 119886)

che diventa 119910 = (119886+ 119887)119909minus 119886119887 Se 119886 lt 119905 lt 119887 dobbiamo verificare che

1199052 le (119886+ 119887)119905 minus 119886119887

cioegrave1199052 minus (119886+ 119887)119905 + 119886119887 le 0

che diventa(119905 minus 119886)(119905 minus 119887) le 0

che egrave effettivamente soddisfattaConsideriamo invece 119891(119909) = 1199093 prendiamo 119887 gt 0 La retta che ci interessa ha

equazione

119910minus1198863 = 1198873 minus1198863

119887minus 119886 (119909minus119886)

che diventa119910 = (1198862 +119886119887+ 1198872)119909 minus 119886119887(119886+ 119887)

Per 119886 lt 119905 lt 119887 dobbiamo vedere se

1199053 le (1198862 +119886119887+ 1198872)119905 minus 119886119887(119886+ 119887)

Poniamo per fare i conti 119904 = 119886+119887 119901 = 119886119887 allora1198862+119886119887+1198872 = 1199042minus119901 e la disequazioneegrave

1199053 minus (1199042 minus119901)119905 + 119904119901 le 0

Si vede subito che 119905 = minus119904 egrave una radice e quindi

1199053 minus (1199042 minus119901)119905 + 119904119901 = (119905 + 119904)(1199052 minus 119904119905 + 119901) = (119905 + 119904)(119905 minus 119886)(119905 minus 119887)

Siccome (119905 minus 119886)(119905 minus 119887) lt 0 la nostra disequazione saragrave soddisfatta per 119905 + 119886+ 119887 ge 0Se 119886 ge 0 la condizione egrave certamente soddisfatta 119905 gt 119886 ge 0 e minus(119886+119887) lt 0 Dunque lafunzione egrave convessa nellrsquointervallo (0 rarr) Se invece 119886 = minus1 e 119887 = 4 la disequazioneegrave 119905 gt minus1+ 3 = 2 che non egrave soddisfatta per ogni 119905 isin (minus1 4) Perciograve la funzione nonegrave convessa su tutto il dominio

92 studi di funzione

La convessitagrave egrave una proprietagrave molto forte per esempio se 119891 egrave convessa nellrsquointervallo aperto(119901 119902) allora 119891 egrave continua

Dato 119909 isin (119901 119902) prendiamo ℎ gt 0 tale che 119909minus ℎ gt 119901 e 119909+ ℎ lt 119902 Se 119909minus ℎ lt 119911 lt 119909 dalledisuguaglianze della convessitagrave otteniamo

119891(119909) minus 119891(119909minusℎ)119909minus (119909minusℎ) le 119891(119911) minus 119891(119909)

119911minus119909 le 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)(119909+ℎ) minus119909

e analogamente se prendiamo 119909 lt 119911 lt 119909+ℎ Se 119862 egrave il massimo tra

|119891(119909) minus 119891(119909minusℎ)ℎ | e |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)

ℎ |

abbiamo allora che|119891(119911) minus 119891(119909)

119911minus119909 | le 119862

e perciograve che|119891(119911) minus 119891(119909)| le 119862|119911 minus119909|

per 119911 isin (119909 minus ℎ 119909 + ℎ) Ora la continuitagrave in 119909 egrave evidente se prendiamo una tolleranza 120576 gt 0ci basteragrave prendere

120575 = minℎ 120576119862

e se |119911 minus 119909| lt 120575 avremo

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 119862|119911 minus119909| le 119862120575 le 119862 120576119862 = 120576

cioegrave la continuitagrave in 119909Se 119891 egrave definita e convessa in un intervallo chiuso non egrave detto che sia continua agli estremi

basta considerare la funzione

119891(119909) =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

4 se 119909 = minus11199092 se minus1 lt 119909 lt 14 se 119909 = 1

La funzione egrave evidentemente convessa ma non egrave continua in minus1 e in 1

Vediamo ora piugrave in dettaglio come si puograve caratterizzare la convessitagrave nel caso in cuila funzione 119891 sia derivabile nellrsquointervallo (119901 119902)

Prima di tutto scriviamo lrsquoequazione della retta per (119886119891(119886)) e (119887119891(119887)) dove 119901 lt119886 lt 119887 lt 119902 ci sono due modi equivalenti e ci serviranno entrambi

119910 = 119891(119887) minus 119891(119886)119887 minus 119886 (119909minus 119886) + 119891(119886)

119910 = 119891(119887) minus 119891(119886)119887 minus 119886 (119909minus 119887) + 119891(119887)

Siccome la funzione 119891 egrave per ipotesi una funzione di Lagrange in [119886 119887] possiamoscrivere il coefficiente angolare come 119891prime(119888) per un opportuno 119888 isin (119886 119887) Allora lacondizione di convessitagrave si scrive

119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119886) + 119891(119886)

ma anche119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119887) + 119891(119887)

La relazione egrave la stessa sia chiaro ma da queste ricaviamo

119891(119905) minus 119891(119886)119905 minus 119886 le 119891prime(119888)

119891(119905) minus 119891(119887)119905 minus 119887 ge 119891prime(119888)

56 convessitagrave e derivata seconda 93

per ogni 119905 isin (119886 119887) quindi

119891(119905) minus 119891(119886)119905 minus 119886 le 119891(119905) minus 119891(119887)

119905 minus 119887

Se prendiamo il limite per 119905 rarr 119886 otteniamo per il teorema della permanenza del segno

119891prime(119886) le 119891(119886) minus 119891(119887)119886minus 119887

Se invece prendiamo il limite per 119905 rarr 119887 otteniamo

119891(119887) minus 119891(119886)119887minus 119886 le 119891prime(119887)

e dunque 119891prime(119886) le 119891prime(119887)Viceversa supponiamo che per 119886119887 isin (119901 119902) 119886 lt 119887 si abbia 119891prime(119886) le 119891prime(119887)

Vogliamo dimostrare che 119891 egrave convessa Di nuovo dati 119886 e 119887 con 119886 lt 119887 per il teoremadi Lagrange si ha

119891prime(119888) = 119891(119887) minus 119891(119886)119887minus 119886

con 119886 lt 119888 lt 119887 Prendiamo 119905 isin (119886 119887) dobbiamo verificare la condizione di conves-sitagrave I casi sono due 119905 le 119888 oppure 119888 lt 119905 Nel primo caso scriviamo la condizione diconvessitagrave come

119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119886) + 119891(119886)

che equivale a119891(119905) minus 119891(119886)

119905 minus 119886 le 119891prime(119888)

Ma 119891 egrave una funzione di Lagrange in [119886 119905] e quindi il primo membro si scrive come119891prime(120574) per un 120574 isin (119886 119905) Siccome 120574 lt 119905 le 119888 avremo per ipotesi 119891prime(120574) le 119891prime(119888) equindi la disuguaglianza di convessitagrave egrave soddisfatta

Nel secondo caso scriviamo la condizione di convessitagrave come

119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119887) + 119891(119887)

che equivale a

119891prime(119888) le 119891(119887) minus 119891(119905)119887 minus 119905

Applicando di nuovo il teorema di Lagrange a 119891 nellrsquointervallo (119905 119887) il secondo mem-bro si scrive 119891prime(120575) con 120575 isin (119905 119887) Ora perograve 119888 lt 119905 lt 120575 e quindi 119891prime(119888) le 119891prime(120575) e ladisuguaglianza egrave ancora soddisfatta

In definitiva abbiamo dimostrato il seguente teorema

t e o r ema La funzione 119891 definita e derivabile su (119901 119902) egrave convessa se e solo sela funzione 119909 ↦ 119891prime(119909) egrave crescente

La funzione 119909 ↦ 119891prime(119909) si chiama la funzione derivata di 119891 e si denota ovviamen-te con 119891prime Questa funzione potragrave ancora essere derivabile diamo un nome a questaldquoderivata della derivatardquo

d e f i n i z i o n e Se 119909 egrave un punto del dominio di 119891 e ha senso scrivere

limℎrarr0

119891prime(119909 +ℎ) minus 119891prime(119909)ℎ = 119897

con 119897 finito diremo che 119897 egrave la derivata seconda di 119891 in 119909 e scriveremo 119897 = 119891Prime(119909)

94 studi di funzione

Diremo che 119891 egrave derivabile due volte in un certo insieme 119878 se in ogni punto di 119878 esistela derivata seconda di 119891

t e o r ema Sia 119891 una funzione derivabile due volte nellrsquointervallo (119901 119902) Allora119891 egrave convessa in (119901 119902) se e solo se 119891Prime(119909) ge 0 per ogni 119909 isin (119901 119902)

Sappiamo che una funzione derivabile definita su un intervallo egrave crescente se e solose la sua derivata egrave non negativa La funzione che ci interessa egrave in questo caso 119891prime

Questo egrave lo strumento principale per trovare gli intervalli di convessitagrave e quelli diconcavitagrave che egrave esattamente il contrario una funzione 119891 si dice concava se minus119891 egraveconvessa

Lrsquoesempio egrave quello di 119891∶ 119909 ↦ 1199093 la derivata egrave 119891prime(119909) = 31199092 mentre 119891Prime(119909) = 6119909Dunque la derivata seconda egrave positiva per 119909 gt 0 e negativa per 119909 lt 0 la funzione egraveconcava in (larr 0] e convessa in [0 rarr)

Consideriamo la funzione 119891(119909) = 119909119909 = exp(119909 log119909) la cui derivata egrave

119891prime(119909) = exp(119909 log119909)(log119909+119909 logprime 119909) = (log119909+ 1)119891(119909)

Dunque possiamo scrivere

119891Prime(119909) = 1119909119891(119909) + (log119909+ 1)119891prime(119909) = 1

119909119891(119909) + (log119909+ 1)2119891(119909)

Ne segue che 119891Prime(119909) gt 0 per 119909 isin 119863(119891) e quindi 119891 egrave convessaTorniamo alla funzione 119891(119909) = exp(minus1199092) si ha 119891prime(119909) = minus2119909 exp(minus1199092) e quindi

119891Prime(119909) = minus2 exp(minus1199092) + 41199092 exp(minus1199092) = 2(21199092 minus 1) exp(minus1199092)

che egrave negativa in (minus1radic2 1radic2) e positiva in (larr minus1radic2) e (1radic2 rarr) Questodetermina gli intervalli di concavitagrave e convessitagrave

I punti che separano un intervallo di concavitagrave da uno di convessitagrave e in cui la curvaha tangente si chiamano punti di flesso in essi intuitivamente la tangente attraversail grafico Lo studio della derivata seconda dagrave informazioni molto utili per tracciare ilgrafico ma non sempre egrave agevole La funzione appena studiata ha perciograve due punti diflesso analogamente la funzione 119909 ↦ 1199093 ha un punto di flesso

Consideriamo una funzione piugrave complicata 119891(119909) = 1199091119909 = exp((log119909)119909) Il dominio egrave119863(119891) = (0 rarr) Poicheacute

lim119909rarr0

log119909119909 = minusinfin lim

119909rarr+infin

log119909119909 = 0

si halim119909rarr0

119891(119909) = 0 lim119909rarr+infin

119891(119909) = 1

Inoltre119891prime(119909) = 119891(119909)119909 sdot (1119909) minus log119909

1199092 = 119891(119909)1 minus log1199091199092

La funzione egrave crescente in (0 119890] e decrescente in [119890 rarr) Crsquoegrave un punto di massimo in 119890 e119891(119890) = 1198901119890 asymp 144467 Dal fatto che il grafico ha un asintoto orizzontale di equazione 119910 = 1sembra evidente che ci deve essere un punto di flesso 119888 con 119888 gt 119890

Proviamo a calcolare la derivata seconda

119891Prime(119909) = 119891prime(119909)1 minus log1199091199092 +119891(119909)119909

2 sdot (minus1119909) minus 2119909(1 minus log119909)1199094

che semplificando diventa

119891Prime(119909) = 119891(119909)1 minus 2 log119909+ (log119909)2 minus3119909+ 2119909 log1199091199094

56 convessitagrave e derivata seconda 95

Come fare Lrsquoespressione sembra intrattabile Siccome perograve il segno di 119891Prime(119909) dipende solo dalnumeratore della frazione poniamo

119892(119909) = (log119909)2 minus 2(1 minus119909) log119909minus 3119909+ 1

Abbiamo 119892(1) = 1minus3 = minus2 lt 0 inoltre lim119909rarr+infin 119892(119909) = +infin il teorema sugli zeri dice che esiste(almeno) un punto 119888 gt 1 in cui 119892(119888) = 0 che corrisponderagrave al flesso cercato Analogamentesiccome lim119909rarr0 119892(119909) = +infin ci saragrave (almeno) un flesso anche tra 0 e 1 Proviamo a scrivere119892(119909) = 0 e poniamo 119910 = log119909 ottenendo la curva di equazione

1199102 minus 2(1 minus119909)119910minus 3119909+ 1 = 0

che rappresenta unrsquoiperbole Se la si disegna e si cercano le intersezioni con la curva 119910 = log119909si vede che le intersezioni sono esattamente due 047 lt 1199091 lt 048 e 31 lt 1199092 lt 32

Egrave immediato vedere che 119891(119909) = sin119909 egrave concava dove sin119909 gt 0 e convessa dovesin119909 lt 0 dal momento che 119891Prime(119909) = minus sin119909

Si puograve dimostrare che una funzione 119891 definita ovunque derivabile due volte stret-tamente crescente per la quale lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = minusinfin e lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin non puograveessere convessa (E nemmeno concava) Rimane solo da sottolineare che occorre moltacautela quando la funzione non sia derivabile due volte in tutto il dominio

Le funzioni convesse danno origine a molte disuguaglianze che possono essere ado-perate al posto di calcoli piugrave complicati Torniamo alle funzioni 119909 ↦ 120583(119886119887119909) (ce nrsquoegraveuna per ogni paio di numeri 119886119887 gt 0) dove

120583(119886119887119909) = (119886119909 +119887119909

2 )1119909

(119909 ne 0) 120583(119886119887 0) = radic119886119887

per dimostrare che sono crescenti Provando a calcolare la derivata ci si accorge che ilproblema sembra piuttosto arduo Tuttavia il nostro scopo egrave dimostrare che se 119901 lt 119902allora 120583(119886119887119901) le 120583(119886119887 119902) Ci limitiamo per il momento a 0 lt 119901 lt 119902 in tal caso ladisuguaglianza voluta cioegrave

(119886119901 +119887119901

2 )1119901

le (119886119902 +119887119902

2 )1119902

si puograve scrivere elevando alla 119902 come

(119886119901 +119887119901

2 )119902119901

le 119886119902 +119887119902

2

Se poniamo 119886119901 = 119906 e 119887119901 = 119907 abbiamo 119886119902 = 119906119902119901 e 119887119902 = 119907119902119901 se consideriamo lafunzione 119891(119909) = 119909119902119901 la disuguaglianza diventa allora

119891(119906+1199072 ) le 119891(119906) + 119891(119907)

2

che egrave vera percheacute 12 + 1

2 = 1 e la funzione 119909 ↦ 119891(119909) = 119909119902119901 (definita per 119909 gt 0) egraveconvessa Infatti la sua derivata seconda egrave

119891Prime(119909) = 119902119901(119902

119901 minus 1)119909 119902119901minus2

che egrave positiva essendo per ipotesi 119902 gt 119901 gt 0Questa dimostra la crescenza su (0 rarr) Non crsquoegrave bisogno perograve di altro percheacute

quando 119901 lt 119902 lt 0 possiamo usare il trucco

120583(119886119887119909) = 120583( 1119886 1119887 minus119909)

minus1

96 studi di funzione

e la crescenza giagrave dimostrata insieme al fatto che 0 lt minus119902 lt minus119901 dice che

120583( 1119886 1119887 minus119902) le 120583(1

119886 1119887 minus119901)

da cui prendendo i reciproci si ottiene la disuguaglianza cercata Dal momento poiche 120583 egrave continua in 0 abbiamo provato che per ogni 119901 e 119902 da 119901 lt 119902 segue che

120583(119886119887119901) le 120583(119886119887 119902)

Si provi a verificare che lrsquouguaglianza vale solo se 119886 = 119887 si torni alla disuguaglianzadella convessitagrave per stabilire quando puograve valere lrsquouguaglianza

Vediamo una funzione periodica 119891(119909) = arctan sin119909 siccome sin119909 isin [minus1 1]avremo 119891(119909) isin [minus1205874 1205874] Il dominio di 119891 egrave tutto lrsquoinsieme dei reali e la periodicitagraveimpedisce che ci siano asintoti Calcoliamo la derivata

119891prime(119909) = cos1199091+ sin2 119909

che egrave positiva esattamente dove egrave positivo il coseno La derivata seconda egrave

119891Prime(119909) = minus sin119909(1 + sin2 119909) minus 2 sin119909 cos2 119909(1 + sin2 119909)2 = minus sin119909(3 minus sin2 119909)

(1 + sin2 119909)2

Il segno di 119891Prime(119909) egrave lo stesso di quello di minus sin119909 in conclusione il grafico di 119891 egrave moltosimile a quello di sin119909 avendo gli stessi massimi e minimi e gli stessi intervalli diconvessitagrave e concavitagrave La disuguaglianza della concavitagrave in [0 120587] dice che per0 le 119886 lt 119905 lt 119887 le 120587

arctan sin 119905 minus arctan sin119886 ge arctan sin119887minus arctan sin119886119887minus119886 119905

Ora possiamo dire che (arctan sin119887 minus arctan sin119886) isin (minus1205872 1205872) dal momento chearctan sin119909 isin (minus1205874 1205874) e perciograve

arctan sin119887minus arctan sin119886 = sin119887minus sin1198861+ sin119887 sin119886

Dunque otteniamosin 119905 minus sin1198861+ sin 119905 sin119886 ge sin119887minus sin119886

1+ sin119887 sin1198861

119887minus 119886

Nel caso 119886 = 0 questa diventa

sin 119905 le sin119887119887

che conosciamo giagrave

57 successioni

Una successione egrave per definizione una funzione il cui dominio sia lrsquoinsieme dei nume-ri naturali Dal momento che il dominio egrave costituito di punti isolati egrave evidente che lacontinuitagrave e la derivabilitagrave di una successione sono fuori discussione la continuitagrave egraveautomatica la derivabilitagrave non ha senso Tuttavia il dominio ha un punto di accumula-zione secondo il nostro linguaggio piugrave propriamente egrave sensato domandarsi il limitea +infin

Parlando di successioni egrave tradizionale scrivere il valore in 119899 con 119886119899 invece che 119886(119899)se 119886 egrave il nome della funzione Esplicitiamo allora la definizione che perograve egrave solo lrsquoappli-cazione al caso particolare della definizione piugrave generale giagrave data

57 successioni 97

d e f i n i z i o n e Se 119886 egrave una successione e 119897 un numero allora

lim119899rarr+infin

119886119899 = 119897

quando per ogni tolleranza 120576 gt 0 esiste un naturale 119896 tale che per 119899 gt 119896 si abbia|119886119899 minus 119897| le 120576 Analogamente

lim119899rarr+infin

119886119899 = +infin

quando per ogni maggiorazione 119872 esiste un naturale 119896 tale che per 119899 gt 119896 siabbia 119886119899 ge 119872

Dovrebbe essere ovvio il significato di lim119899rarr+infin 119886119899 = minusinfinNaturalmente non egrave detto che ogni successione abbia limite se consideriamo

119886119899 =⎧⎨⎩

0 se 119899 egrave pari1 se 119899 egrave dispari

il limite non esiste Secondo una terminologia abbastanza diffusa una successione 119886 egrave

bull convergente a 119897 (dove 119897 egrave finito) se lim119899rarr+infin 119886119899 = 119897

bull divergente se lim119899rarr+infin 119886119899 = +infin (o minusinfin)

bull oscillante se il limite non esiste neacute finito neacute infinito

Possiamo adoperare il teorema del confronto di limiti per calcolare un paio di limitiimportanti Se 0 lt 119905 lt 1 allora

lim119899rarr+infin

119905119899 = 0

Infatti la disuguaglianza di Bernoulli ci dice che

0 lt 119905119899 lt 1199051+119899(119905 minus 1)

ma sappiamo giagrave chelim

119909rarr+infin

1199051 + 119909(119905 minus 1) = 0

e quindi abbiamo la tesi Se non ci si fida si verifichi lrsquoasserzione con le disuguaglianzee 120576 gt 0 Analogamente per 119905 gt 1 da

119905119899 gt 1+119899(119905 minus 1)

ricaviamolim

119899rarr+infin119905119899 = +infin

percheacute lim119909rarr+infin 119909(119905 minus 1) = +infinSi tratta di unrsquoosservazione importante se una successione puograve essere vista come

la restrizione ai naturali di una funzione definita su un opportuno insieme di numerireali della quale si conosce il limite a +infin lo stesso saragrave il limite della successione

Vediamo la successione 119886119899 = 119899radic119899 Se ricordiamo che lim119909rarr0 119909 log119909 = 0 abbiamoanche (con la sostituzione 119909 rarr 1119909)

lim119909rarr+infin

minus 1119909 log119909 = 0

e quindilim

119899rarr+infin

1119899 log119899 = 0

98 studi di funzione

cioegrave lim119899rarr+infin log 119899radic119899 = 0 quindi che

lim119899rarr+infin

119899radic119899 = 1

Lrsquoutilitagrave principale delle successioni risiede nel seguente risultato

t e o r ema Se la successione 119886 egrave crescente e limitata allora egrave convergente

Poniamo 119897 = sup119886119899 ∶ 119899 isin ℕ 119897 egrave lrsquoestremo superiore dei valori della funzione 119886siccome per ipotesi 119886 egrave limitata lrsquoestremo superiore esiste Fissiamo una tolleranza120576 gt 0 per definizione di estremo superiore esiste 119896 tale che 119886119896 ge 119897 minus 120576 Ma la suc-cessione 119886 egrave crescente quindi 119897 minus 120576 le 119886119899 anche per ogni 119899 gt 119896 e quindi vale anche|119886119899 minus 119897| le 120576 come richiesto

Ovviamente vale anche lrsquoasserzione analoga per successioni decrescenti se 119899 ↦ 119886119899egrave decrescente e limitata allora 119899 ↦ minus119886119899 egrave crescente e limitata

Come si puograve usare questo risultato A volte si riesce a dimostrare che un certolimite esiste senza perograve poterlo esprimere in termini ldquoesplicitirdquo Se si riesce a trovareuna successione che converge a quel limite potremo dare approssimazioni del valore

Come esempio consideriamo la successione cosigrave definita

1198860 = 1 119886119899+1 = 3119886119899 + 42119886119899 + 3

e dimostriamo che egrave crescente e limitata Per la crescenza basta ovviamente vedere che119886119899 le 119886119899+1 per ogni 119899 Maneggiamo come sempre le disuguaglianze tenendo contoche per definizione 119886119899 gt 0

119886119899 le 3119886119899 + 42119886119899 + 3

21198862119899 +3119886119899 le 3119886119899 +4

1198862119899 le 2

Dunque per verificare la disuguaglianza iniziale ci basta dimostrare lrsquoultima e lo fac-ciamo per induzione Egrave evidente che 1198862

0 le 2 Supponiamo che 1198862119899 le 2 e vediamo come

si trasforma la disuguaglianza 1198862119899+1 le 2

(3119886119899 +42119886119899 +3)

2le 2

91198862119899 + 24119886119899 +16 le 81198862

119899 + 24119886119899 + 181198862

119899 le 2

Ne segue che la tesi egrave verificata Dunque la successione 119886 converge come possiamocalcolare il limite Facile se 119897 egrave questo limite possiamo partire dallrsquoovvia uguaglianza

lim119899rarr+infin

119886119899+1 = lim119899rarr+infin

119886119899

e quindi

119897 = 3119897 + 42119897 + 3

che dagrave facilmente 1198972 = 2 e dunque essendo 119897 gt 0 percheacute certamente 119897 gt 1198860 119897 = radic2

Per essere pedanti lim119899rarr+infin 119886119899+1 andrebbe scritto come lim119899rarr+infin 119887119899 dove si sia definito 119887119899 =119886119899+1 Non ci preoccuperemo piugrave di questi problemini

57 successioni 99

Siamo in una situazione in cui il limite puograve essere espresso in ldquotermini esplicitirdquo econ la successione possiamo ottenere valori approssimati sempre meglio piugrave grandeprendiamo 119899 Vediamo i primi termini

1198860 = 1 1198861 = 3 sdot 1 + 42 sdot 1 + 3 = 7

5

1198862 = 3 sdot (75) + 42 sdot (75) + 3 = 41

29 1198863 = 3 sdot (4129) + 42 sdot (4129) + 3 = 239

169

Se calcoliamo i valori approssimati abbiamo

1198860 = 11198861 = 141198862 asymp 14137931198863 asymp 1414201

e vediamo che giagrave 1198863 egrave una buona approssimazione di radic2 con quattro cifre decimaliesatte

Resta da capire come abbiamo ottenuto la successione Si parte dallrsquouguaglianza

radic2minus 1 = 1radic2+ 1

o radic2 = 1radic2+ 1

+ 1

e si avvia un procedimento iterativo si pone

119888119899+1 = 1119888119899 + 1 + 1 = 119888119899 + 2

119888119899 + 1

partendo da 1198880 = 1 Tuttavia ci si accorge che la successione che si ottiene non egravecrescente

1198880 = 1 1198881 = 1+ 21+ 1 = 3

2 1198882 = 32+ 232 + 1 = 7

5

1198883 = 75+ 275 + 1 = 17

12 1198884 = 1712 + 21712 + 1 = 41

29

e viene lrsquoidea di considerare 119886119899 = 1198882119899 che dagrave effettivamente la successione crescenteda cui siamo partiti

119886119899+1 = 1198882119899+2 = 1198882119899+1 + 21198882119899+1 + 1 =

1198882119899 +21198882119899 +1 + 21198882119899 +21198882119899 +1 + 1

= 3119886119899 + 42119886119899 + 3

Si provi con unmetodo analogo a determinare una successione crescente che convergea radic3 o radic5

Quello che occorrerebbe egrave una stima dellrsquoerrore che si commette arrestando i calcolia un certo termine Se consideriamo la successione con termini 119887119899 = 1198882119899+1 si puogravevedere che egrave decrescente e che converge a radic2 con calcoli del tutto analoghi Alloraabbiamo 1198863 le radic2 le 1198873 perciograve lrsquoerrore saragrave inferiore a 1198873 minus1198863 = 1198887 minus 1198886

1198887 minus 1198886 = 577408 minus 239

169 = 168592 lt 0000015

e quindi siamo sicuri di avere tre cifre decimali esatte anche senza conoscere in anti-cipo (con la calcolatrice) un valore approssimato di radic2 Ai tempi in cui le calcolatricinon esistevano le tavole numeriche si compilavano con metodi analoghi a questi

100 studi di funzione

Vediamo un altro esempio per il calcolo di log 119905 con 119905 gt 1 Dividiamo lrsquointervallo[1 119905] in 119899 parti in progressione geometrica i punti di suddivisione saranno

1 = 119899radic1199050 119899radic1199051 119899radic1199052 hellip 119899radic119905119899minus1 119899radic119905119899 = 119886

Per semplicitagrave poniamo 119903 = 119899radic119905 Lrsquoarea che dagrave il logaritmo saragrave maggiore della sommadelle aree dei rettangoli inscritti che si ottengono a partire dalla suddivisione lrsquoarea delrettangolo con base lrsquointervallo [119903119896 119903119896+1] e altezza 1119903119896+1 egrave

(119903119896+1 minus119903119896) 1119903119896+1 = 1minus 1

119903 = 1minus 1119899radic119905

Quindi tutti i rettangoli hanno la stessa area e dunque

119899(1minus 1119899radic119905

) lt log119886

Non occorre fare i conti per verificare che la successione

119886119899 = 119899(1minus 1119899radic119905

)

egrave crescente PercheacuteCerchiamo ora di maggiorare log119886 Siccome 119891(119909) = 1119909 egrave convessa possiamo con-

siderare la stessa suddivisione e i trapezi che si ottengono congiungendo uno con ilsuccessivo i punti del grafico di 119891(119909) = 1119909 corrispondenti a quelle ascisse Lrsquoarea deltrapezio con altezza corrispondente allrsquointervallo [119903119896 119903119896+1] egrave

12( 1

119903119896 + 1119903119896+1 )(119903

119896+1 minus119903119896) = 12(1+ 1

119903)(119903minus 1) = 12(119903minus 1

119903)

e quindi anche qui tutti i trapezi hanno la stessa area La successione

119887119899 = 1198992 ( 119899radic119905minus 1

119899radic119905)

egrave decrescente e abbiamo per ogni 119899 ge 1

119886119899 lt log 119905 lt 119887119899

e quindi 119887119899 minus 119886119899 dagrave una stima dellrsquoerrore commesso quando si prenda 119886119899 oppure 119887119899come valore approssimato di log 119905

119887119899 minus119886119899 = 1198992 119899radic119905

( 119899radic119905minus 1)2

Possiamo scrivere una tabella dei valori approssimati quando 119905 = 2

119899 119886119899 119887119899 119887119899 minus119886119899

1 0500000000000000 0750000000000000 02500000000000002 0585786437626904 0707106781186547 01213203435596424 0636414338985141 0696621399498013 00602070605128718 0663967654362630 0694014757842345 0030047103479715

16 0678347508822821 0693364013830721 001501650500789932 0685694013193595 0693201385062664 000750737186906964 0689407155585569 0693160731447199 0003753575861630

128 0691273794094953 0693150568266857 0001876774171903256 0692209642119647 0693148027485741 0000938385366094512 0692678199823271 0693147392291336 0000469192468065

57 successioni 101

Non egrave grancheacute come velocitagrave di convergenza ma il valore almeno per le prime due cifredecimali egrave esatto infatti log2 asymp 0693147180559945 Il metodo non egrave certamente ilmigliore possibile ma come primo tentativo non possiamo lamentarci Notiamo checi occorre solo calcolare radici quadrate successive se come valori di 119899 prendiamopotenze di 2 Egrave evidente anche geometricamente che i valori 119887119899 sono approssimazionimigliori 119887512 ha la sesta cifra decimale esatta In effetti egrave la stima dellrsquoerrore il puntopiugrave debole

Come potremmo calcolare il valore di 119890 cioegrave del numero tale che log 119890 = 1Napier definigrave inizialmente i logaritmi considerando un numero molto vicino a 1 che possiamo

scrivere come 119887 = 1 + 1119896 (con 119896 abbastanza grande) Dato un numero 119909 cercava allora unesponente 119892(119909) tale che

(1+ 1119896)

119892(119909)asymp 119909

e chiamava 119897(119909) = 119892(119909)119896 il logaritmo di 119909 Il suo ragionamento era che

11990911199092 = 119887119892(1199091)119887119892(1199092) = 119887119892(1199091)+119892(1199092)

e dunque 119897(119909119910) = 119897(119909) + 119897(119910) almeno approssimativamente Con una base vicina a 1 le po-tenze successive non sono troppo lontane lrsquouna dallrsquoaltra e si poteva cosigrave interpolare ottenendouna discreta precisione Per essere rigorosi dal punto di vista storico Napier usava una baseleggermente piugrave piccola di 1 che non cambia sostanzialmente le cose

Aumentando 119896 si dovrebbe ottenere un valore sempre piugrave preciso del logaritmo ma egrave davverocosigrave Chiamiamo 119897119896(119909) il valore che si ottiene usando 119896 dovremmo avere

lim119896rarr+infin

(1+ 1119896)

119896119897119896(119909)= 119909

Prendiamo il vero logaritmo

log(1+ 1119896)

119896119897119896(119909)= log119909

da cui otteniamo chelog119909119897119896(119909) = 119896 log(1+ 1

119896)

e quindi la nostra asserzione egrave equivalente a

lim119896rarr+infin

119896 log(1+ 1119896) = 1

Eseguiamo la sostituzione 119896 = 1ℎ

lim119896rarr+infin

119896 log(1+ 1119896) = lim

ℎrarr0+

log(1 + ℎ)ℎ = logprime 1 = 1

Lrsquoasserzione egrave dunque vera I numeri di Napier sono una buona approssimazione del logarit-mo naturale Ovviamente la definizione moderna egrave piugrave rigorosa piugrave avanti daremo quella lsquouf-ficialersquo che non richiede il concetto intuitivo di area Ma lo scopo di Napier era di evitare lemoltiplicazioni nei calcoli approssimati e lo raggiunse con successo

Conseguenza del limite che abbiamo scritto egrave che

lim119899rarr+infin

(1+ 1119899)

119899= 119890

cioegrave la successione 119886119899 = (1 + 1119899)119899 converge a 119890 Possiamo usarla per ottenere unrsquoapprossi-mazione di 119890 Non precisamente se calcoliamo con molta pazienza 11988610 000 otteniamo il valore271814 che ha solo tre cifre decimali esatte Vedremo piugrave avanti che la successione crescentedefinita da

1198860 = 1 119886119899+1 = 119886119899 + 1(119899+ 1)

converge proprio a 119890

102 studi di funzione

58 la formula di taylor

La nostra definizione di derivata egrave sostanzialmente il coefficiente angolare della rettaper (119909119891(119909)) che meglio approssima il grafico di 119891 vicino al punto dato Che succede-rebbe se volessimo approssimare il grafico con una parabola Ci servirebbe determina-re due coefficienti 119886 e 119887 in modo che

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 119886ℎ+ 119887ℎ2 +ℎ2120595(ℎ)

dove limℎrarr0 120595(ℎ) = 0 in analogia a quanto fatto per la tangente Vediamo un porsquousando il teorema di lrsquoHocircpital senza preoccuparci dei dettagli che sistemeremo inseguito

limℎrarr0

120595(ℎ) = limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus 119886ℎminus 119887ℎ2

ℎ2H= lim

ℎrarr0

119891prime(119909 +ℎ) minus 119886minus 2119887ℎ2ℎ

e affincheacute il limite sia nella forma indeterminata ⟦00⟧ dobbiamo avere 119886 = 119891prime(119909) edunque possiamo procedere

limℎrarr0

120595(ℎ) H= limℎrarr0

119891prime(119909 +ℎ) minus 119891prime(119909) minus 2119887ℎ2ℎ

H= limℎrarr0

119891Prime(119909+ℎ) minus 21198872

e lrsquoultimo limite egrave 0 quando 119887 = 119891Prime(119909)2Ora occupiamoci del rigore stiamo evidentemente supponendo che non solo 119891 sia

derivabile due volte in un intorno di119909 ma anche che la derivata seconda sia continua Ineffetti come abbiamo definito la funzione derivata possiamo anche definire la funzionederivata seconda e cosigrave via Diremo che 119891 egrave derivabile 119899 volte con continuitagrave in unintorno di 119909 se la funzione derivata 119899-esima esiste in un intorno di 119909 ed egrave continuain 119909 Siccome ogni funzione derivabile egrave continua avremo in particolare che in unintorno di 119909 le funzioni derivate fino a quella di ordine 119899minus 1 sono continue

Per avere una notazione uniforme la derivata119899-esima in119909 di119891 si denota con119891(119899)(119909)cosigrave che 119891prime(119909) = 119891(1)(119909) e 119891Prime(119909) = 119891(2)(119909) Poniamo anche per estensione 119891(0)(119909) =119891(119909)

t e o r ema d i t a y l o r Se la funzione 119891 egrave derivabile 119899 volte con continuitagrave in119909 allora esiste un intorno 119880 di 0 tale che se ℎ isin 119880

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 119891prime(119909)1 ℎ + 119891Prime(119909)

2 ℎ2 +⋯+ 119891(119899)(119909)119899 ℎ119899 +120593119899(ℎ)ℎ119899

dove limℎrarr0 120593119899(ℎ) = 0

La tesi egrave vera per 119899 = 1 Supponiamo di averla dimostrata per 119899minus1 Per brevitagrave po-niamo 119886119896 = 119891(119896)(119909)119896 e cerchiamo di vedere che 119886119899 = 119891(119899)119899 egrave proprio il coefficientegiusto in modo che

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 1198861ℎ+⋯+119886119899minus1ℎ119899minus1 +119886119899ℎ119899 +ℎ119899120593119899(ℎ)

e limℎrarr0 120593119899(ℎ) = 0 Possiamo applicare il teorema di lrsquoHocircpital

limℎrarr0

120593119899(ℎ) = limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus (119891(119909) + 1198861ℎ+1198862ℎ2 +⋯+119886119899minus1ℎ119899minus1 +119886119899ℎ119899)ℎ119899

H= limℎrarr0

119891prime(119909+ ℎ) minus (1198861 +21198862ℎ+⋯+ (119899minus 1)119886119899minus1ℎ119899minus2 +119899119886119899ℎ119899minus1)119899ℎ119899minus1

58 la formula di taylor 103

Ma la funzione 119892 = 119891prime soddisfa lrsquoipotesi del teorema per119899minus1 quindi per essa possiamodare per valida la tesi

119892(119909+ℎ) = 119892(119909) + ℎ119892prime(119909)1 + ℎ2119892Prime(119909)

2 +⋯+ℎ119899minus1119892119899minus1(119909)(119899minus 1) + ℎ119899minus1120595(ℎ)

con limℎrarr0 120595(ℎ) = 0 Ma allora

119892(119896minus1)(119909)(119896 minus 1) = 119891(119896)(119909)

(119896 minus 1) = 119896119891(119896)(119909)119896 = 119896119886119896

e quindi

119891prime(119909 + ℎ) minus (1198861 + 21198862ℎ+⋯+ (119899minus 1)119886119899minus1ℎ119899minus2 +119899119886119899ℎ119899minus1) = ℎ119899minus1120595(ℎ)

Perciograve tornando al limite di partenza

limℎrarr0

120593119899(ℎ) = limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus (119891(119909) + 1198861ℎ+1198862ℎ2 +⋯+119886119899minus1ℎ119899minus1 +119886119899ℎ119899)ℎ119899

H= limℎrarr0

119891prime(119909+ ℎ) minus (1198861 +21198862ℎ+⋯+ (119899minus 1)119886119899minus1ℎ119899minus2 +119899119886119899ℎ119899minus1)119899ℎ119899minus1

= limℎrarr0

ℎ119899minus1120595(ℎ)119899ℎ119899minus1 = lim

ℎrarr0

120595(ℎ)119899 = 0

esattamente come richiesto

Vediamo una possibile applicazione di questo teorema Vogliamo calcolare

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093

senza usare il teorema di lrsquoHocircpital Scriviamo lo sviluppo di Taylor di sin119909 con 119899 = 3

sin119909 = sin(0 + 119909)

= sin0 +119909 sinprime 01 + 1199092 sinPrime 0

2 + 1199093 sin 03 + 11990931205933(119909)

= 119909minus 161199093 +11990931205933(119909)

e dunque il nostro limite egrave

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093 = lim

119909rarr0

119909minus119909+11990936 minus11990931205933(119909)1199093 = lim

119909rarr0

16 minus1205933(119909) = 1

6

Con il teorema di lrsquoHocircpital avremmo dovuto operare due volte

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093

H= 1minus cos11990931199092

H= sin1199096119909 = 1

6

Molto spesso il teorema di Taylor evita lrsquoapplicazione ripetuta del teorema di lrsquoHocirc-pital per meglio dire egrave una conseguenza del teorema di lrsquoHocircpital e ne semplificalrsquoapplicazione

La funzione che ha lo sviluppo di Taylor piugrave semplice a parte i polinomi egrave lrsquoespo-nenziale

exp119909 = exp0 +119909expprime 01 + 1199092 expPrime 0

2 +⋯+119909119899 exp(119899) 0119899 + 119909119899120593119899(119909)

= 1+119909+ 1199092

2 +⋯+ 119909119899

119899 + 119909119899120593119899(119909)

104 studi di funzione

(Notiamo che qui crsquoegrave 119909 dove prima abbiamo usato ℎ ovviamente non cambia nulla)Ci interessa almeno in qualche caso particolare studiare il comportamento di120593119899(119909)

t e o r ema d i t a y l o r - l a g r ang e Supponiamo che la funzione 119891 sia deri-vabile 119899 + 1 volte con continuitagrave in un intervallo 119868 Allora se 119909119909 + ℎ isin 119868 siha

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 119891prime(119909)1 ℎ + 119891Prime(119909)

2 ℎ2 +⋯+ 119891(119899)(119909)119899 ℎ119899 + 119891(119899+1)(119888)

(119899+ 1) ℎ119899+1

per un opportuno 119888 tra 119909 e 119909+ℎ

Poniamo

119901(ℎ) = 119891(119909) + ℎ119891prime(119909) + ℎ2

2 119891Prime(119909) +⋯+ ℎ119899

119899 119891(119899)(119909)

Allora 119901(0) = 119891(119909) e se deriviamo (rispetto a ℎ) scopriamo che 119901prime(0) = 119891prime(119909) 119901Prime(0) = 119891Prime(119909)e cosigrave via Se poniamo

119892(ℎ) = 119891(119909+ℎ) minus 119901(ℎ)

per la funzione 119892 vale119892(0) = 119892prime(0) = 119892Prime(0) = ⋯ = 119892(119899)(0) = 0

e ognuna delle funzioni 119892 119892prime 119892Prime hellip 119892(119899) egrave una funzione di LagrangeLo stesso possiamo dire della funzione 119866(ℎ) = ℎ119899+1

119866(0) = 119866prime(0) = 119866Prime(0) = ⋯ = 119866(119899)(0) = 0

e inoltre queste funzioni si annullano solo in 0 Perciograve possiamo applicare il teorema di Cauchy

119892(ℎ)119866(ℎ) = 119892(ℎ) minus 119892(0)

119866(ℎ) minus119866(0) = 119892prime(ℎ1)119866(ℎ1)

per un opportuno ℎ1 tra 0 e ℎ Ma possiamo andare avanti

119892prime(ℎ1)119866(ℎ1)

= 119892prime(ℎ1) minus 119892prime(0)119866(ℎ1) minus 119866prime(0) = 119892Prime(ℎ2)

119866(ℎ2)

per un opportuno ℎ2 tra 0 e ℎ1 e cosigrave via fino a

119892(119899)(ℎ119899)119866(119899)(ℎ119899)

= 119892(119899)(ℎ119899) minus 119892(119899)(0)119866(119899)(ℎ119899) minus 119866(119899)(0) = 119892(119899+1)(ℎ119899+1)

119866(119899+1)(ℎ119899+1)

per un opportuno ℎ119899+1 tra 0 e ℎ119899 Ora 119866(119899)(ℎ119899+1) = (119899+ 1) mentre 119892(119899+1)(ℎ119899+1) = 119891(119899+1)(119909+ℎ119899+1) dunque per 119888 = 119909+ℎ119899+1 abbiamo proprio

119891(119909+ℎ) = 119901(ℎ) + 119891(119899+1)(119888)(119899+ 1) ℎ

119899+1

In certi casi questo teorema ci dagrave informazioni molto utili sulla funzione 119891 peresempio per lrsquoesponenziale abbiamo

exp(119899+1) 119888 = exp119888 lt 3119888

e dunque prendendo 119909 = 0 e ℎ = 1

119890 = exp1 = 1+ 11 +

12 +⋯+ 1

119899 +exp119888

(119899+ 1)

con 0 lt 119888 lt 1 da cui otteniamo che

119890 minus (1+ 11 +

12 +⋯+ 1

119899) = exp119888(119899+ 1) lt

3119888

(119899+ 1) lt3

(119899+ 1)

58 la formula di taylor 105

Dunque lrsquoerrore che si commette prendendo come valore approssimato di 119890 lrsquoespres-sione tra parentesi egrave minore di 3(119899+ 1) Per 119899 = 7 si ha 38asymp 00000744 e dunquelrsquoespressione dagrave il valore di 119890 con tre cifre decimali esatte

1 + 11 +⋯+ 1

7 asymp 271825

mentre 119890 asymp 271828 Le cifre esatte sono in realtagrave quattroCon questa rappresentazione possiamo anche dimostrare che 119890 egrave irrazionale Sup-

poniamo infatti per assurdo che 119890 = 119886119887 con 119886 e 119887 interi Prendiamo 119899 gt 119887 allora

0 lt (119890 minus (1+ 11 +

12 +⋯+ 1

119899))119899= exp119888(119899+ 1)119899= exp119888

119899+ 1 lt 3119899+ 1

Ma lrsquoespressione iniziale egrave per ipotesi un numero intero mentre 3(119899 + 1) lt 1 se119899+1 gt 3 contraddizione Dimostrare che 119890 egrave trascendente cioegrave non egrave radice di alcunpolinomio a coefficienti interi egrave molto piugrave complicato

Non sempre lo sviluppo di Taylor dagrave buoni risultati due funzioni diverse possono avere ameno del resto lo stesso sviluppo di Taylor cioegrave le stesse derivate in un punto

Un esempio che puograve illustrare bene questo fenomeno egrave di una funzione che ha tutte le derivatein un certo punto nulle ma non egrave la funzione nulla Partiamo un porsquo da distante e consideriamola funzione

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) exp(minus 1

1199092 )

dove 119875 e 119876 sono polinomi (non nulli) La funzione 119891 egrave definita in un intorno di 0 escluso 0 e ciproponiamo di calcolare

lim119909rarr0+

119891(119909) = lim119905rarr+infin

119875(1119905)119876(1119905) exp(minus1199052)

Facciamo lrsquoesempio di 119875(119909) = 3+119909+1199092 119876(119909) = 1+ 2119909minus1199092 +1199093 allora

119875(1119905)119876(1119905) =

3+ 1119905 + 1

1199052

1 + 2119905 minus 1

1199052 + 11199053

= 11990531199052

31199052 + 119905+ 11199053 + 21199052 minus 119905+ 1

e ne ricaviamo che119875(1119905)119876(1119905) = 1198751(119905)

1198761(119905)dove 1198751 e 1198761 sono polinomi Piugrave in generale se il grado di 119875 egrave 119898 e quello di 119876 egrave 119899 la stessaprocedura ci daragrave

119875(1119905)119876(1119905) = 119905119899

1199051198981198750(119905)1198760(119905)

= 1198751(119905)1198761(119905)

e abbiamo ottenuto quello che volevamo Il nostro limite allora se 1198751 ha grado maggiore di 0diventa della forma ⟦ infininfin⟧ e quindi

lim119905rarr+infin

1198751(119905)1198761(119905) exp(1199052)

H= lim119905rarr+infin

119875prime1(119905)

(119876prime1(119905) + 21199051198761(119905)) exp(1199052)

Il numeratore ha grado minore del grado di 1198751 il denominatore egrave exp(1199052)moltiplicato per un poli-nomio che ha grado maggiore di 1198761 Applicando ancora il teorema di lrsquoHocircpital possiamo via viadiminuire il grado del numeratore fino ad arrivare a 0 a quel punto il limite egrave evidentemente 0Non ci sarebbe bisogno di nulla di ciograve se il grado di 1198751 fosse 0

In modo del tutto analogo possiamo procedere con il limite da sinistra e perciograve abbiamodimostrato che

lim119909rarr0

119875(119909)119876(119909) exp(minus 1

1199092 ) = 0

quando 119875 e 119876 sono polinomi non nulliConsideriamo allora la funzione cosigrave definita

119865(119909) =⎧⎨⎩

0 se 119909 = 0exp(minus11199092) se 119909 ne 0

106 studi di funzione

La funzione egrave continua per quanto appena visto basta prendere 119875 = 119876 = 1 Possiamo calcolarela derivata 119865(119909) per 119909 ne 0

119865prime(119909) = 21199093 exp(minus11199092)

e lo stesso conto precedente dice che

119865prime(0) = lim119909rarr0

119865prime(119909) = 0

Dunque abbiamo che la derivata di 119865 esiste in 0 e che 119865prime egrave continua Vediamo la derivata secondasempre per 119909 ne 0

119865Prime(119909) = minus61199094 exp(minus11199092) + 2

119909321199093 exp(minus11199092)

= minus61199092 +41199096 exp(minus11199092)

e quindi 119865Prime(0) = lim119909rarr0 119865Prime(119909) = 0 ancora per il limite precedente Non egrave difficile dimostrareper induzione che ogni derivata successiva ha per 119909 ne 0 la forma del limite di prima e quindile derivate di 119865 in 0 si annullano tutte se la derivata 119899-esima egrave

119865(119899)(119909) = 119875(119909)119876(119909) exp(minus11199092)

allora

119865(119899+1)(119909) = 119875prime(119909)119876(119909) minus 119875(119909)119876prime(119909)119876(119909)2 exp(minus11199092) + 119875(119909)

119876(119909)21199093 exp(minus11199092)

= 1198750(119909)1198760(119909) exp(minus11199092)

per opportuni polinomi 1198750 e 1198760 la dimostrazione egrave completaIn definitiva la funzione non nulla 119865 ha tutte le derivate ovunque e 119865(119899)(0) = 0 per ogni 119899

Crsquoegrave unrsquoaltra importante applicazione della formula di Taylor che riguarda i massimie i minimi Talvolta egrave complicato studiare quando la derivata egrave positiva o negativamentre puograve essere piugrave comodo calcolare la derivata seconda ammesso che la funzio-ne sia derivabile due volte con continuitagrave Egrave chiaro dalla discussione su concavitagrave econvessitagrave che se 119891 (derivabile due volte con continuitagrave) ha in 119909 un punto di massimointerno al dominio allora deve essere concava in un intorno di 119909 saragrave convessa in unintorno di ciascun punto di minimo interno al dominio Perciograve nel caso in cui sappia-mo che 119891prime(119909) = 0 e 119891Prime(119909) gt 0 (sempre supponendo che 119891 sia derivabile due volte concontinuitagrave) possiamo affermare che 119909 egrave un punto di minimo

Puograve perograve accadere che 119891prime(119909) = 119891Prime(119909) = 0 e il metodo precedente non permette diconcludere lrsquoesempio usuale egrave 119891(119909) = 1199094 Egrave ovvio che 0 egrave un punto di minimo ma119891prime(0) = 119891Prime(0) = 0 Qui certamente lo studio della derivata egrave facile 119891prime(119909) = 41199093quindi 119891 egrave decrescente in (larr 0] e crescente in [0 rarr)

c r i t e r i o p e r ma s s i m i e m i n i m i Supponiamo che la funzione 119891 siaderivabile 119899 volte con continuitagrave in 119909 e che

119891prime(119909) = 119891Prime(119909) = ⋯ = 119891(119899minus1)(119909) = 0 119891(119899)(119909) ne 0

Se 119899 egrave dispari 119891 ha un flesso in 119909 se 119899 egrave pari 119909 egrave un punto di massimo se 119891(119899)(119909) lt0 e un punto di minimo se 119891(119899)(119909) gt 0

Possiamo scrivere per ℎ in un opportuno intorno 119880 di zero

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) = (119891(119899)(119909)119899 +120593119899(ℎ))ℎ119899

59 calcolo di limiti con gli sviluppi di taylor 107

e siccome limℎrarr0 120593119899(ℎ) = 0 esiste un intorno 119881 di zero tale che per ℎ isin 119881 si abbia

|120593119899(ℎ)| lt |119891(119899)(119909)119899 |

Nel caso di 119899 pari abbiamo dunque che per ℎ isin 119881 119891(119909 + ℎ) minus 119891(119909) egrave concorde con119891(119899)(119909) quindi maggiore di zero oppure minore di zero e dunque 119909 egrave rispettivamenteun punto di minimo o un punto di massimo

Nel caso di 119899 dispari avremo che 119891(119909 + ℎ) assume segno opposto per ℎ lt 0 e perℎ gt 0

Un esempio semplice egrave quello di 119891(119909) = 1199094 minus 141199092 + 24119909+ 1 si ha 119891prime(119909) = 41199093 minus28119909+24 che si annulla inminus3 1 e 2 Si puograve studiare il segno della derivata ma possiamoanche calcolare 119891Prime(119909) = 4(31199092 minus 7) e quindi

119891Prime(minus3) = 4(27 minus 7) gt 0 119891Prime(1) = 4(3 minus 7) lt 0 119891Prime(2) = 4(12 minus 7) gt 0

Perciograve minus3 egrave un punto di minimo 1 un punto di massimo e 2 un punto di minimoIl criterio egrave forse piugrave utile quando non si possono determinare in modo lsquoesattorsquo i

punti dove si annulla la derivata Consideriamo per esempio 119891(119909) = 119890119909 + 1199092 Laderivata 119891prime(119909) = 119890119909 +2119909 si annulla in un punto 119903 dove 119890119903 = minus2119903 La derivata secondaegrave 119891Prime(119909) = 119890119909 + 2 gt 0 quindi 119903 egrave certamente un punto di minimo

59 calcolo di limiti con gli sviluppi di taylor

Abbiamo giagrave visto qualche esempio di calcolo di limiti la tecnica egrave spesso presentata inunmodo leggermente diverso con una notazione un porsquo strana mamolto maneggevole

Tratteremo qui solo limiti a 0 gli altri casi si gestiscono con una semplice sostituzio-ne 119911 = 119909minus 119888 per i limiti a 119888 119911 = 1119909 per i limiti a infinito

Il teorema di Taylor ci dice che data una funzione 119891 derivabile119899 volte con continuitagravein 0 si puograve scrivere

119891(119909) = 119891(0) + 119891prime(0)1 119909 + 119891Prime(0)

2 +⋯+ 119891(119899)(0)119899 119909119899 +120593119899(119909)119909119899

ed egrave comune indicare il termine 120593119899(119909)119909119899 con 119900(119909119899) Piugrave precisamente con 119900(119909119899) siintende una funzione di 119909 con la proprietagrave che

lim119909rarr0

119900(119909119899)119909119899 = 0

Si faccia molta attenzione al fatto che 119900(119909119899) minus 119900(119909119899) = 119900(119909119899) non si possono sempli-ficare gli ldquoo piccolirdquo Prendendo a prestito un termine della programmazione si trattadi una ldquovariabile senza nomerdquo della funzione sappiamo che esiste e che ha una certaproprietagrave Possiamo scrivere alcune relazioni utili

1 119900(119909119898)119909119899 = 119900(119909119898+119899)

2 se 119898 ge 119899 119900(119909119898)119909119899 = 119900(119909119898minus119899)

3 se 119898 le 119899 allora 119900(119909119898) + 119900(119909119899) = 119900(119909119898)

La definizione di 119900(119909119899) egrave piugrave complicata ma quando usata negli sviluppi di Taylor egrave equiva-lente a quella data

108 studi di funzione

Supponiamo di dover calcolare un limite alquanto complicato come

lim119909rarr1

3radic21199092 minus 1minusradic119909119909minus 1

che per prima cosa trasformiamo con la sostituzione 119909 = 119905+ 1 in

lim119905rarr0

3radic21199052 + 4119905+ 1minusradic119905+ 1119905

Possiamo provare con lo sviluppo di Taylor al primo ordine

3radic1+ 4119905 + 21199052 = 1+ 13(4119905 + 21199052) + 119900(119905)

Percheacute 119900(119905) e non 119900(4119905 + 21199052) Percheacute 119900(2119905) = 119900(119905) e 119900(2 + 119905) = 119900(1) = 119900(1199050)Similmente

radic1+ 119905 = 1+ 12119905 + 119900(119905)

e quindi il limite puograve essere scritto come

lim119905rarr0

1 + 13 (4119905 + 21199052) + 119900(119905) minus (1 + 1

2119905 + 119900(119905)) 119905 = lim

119905rarr0

56119905 + 2

31199052 + 119900(119905)119905 = 5

6

Per la veritagrave non egrave necessario tutto questo macchinario percheacute la funzione 119891(119909) =3radic21199092 minus1minusradic119909 soddisfa 119891(1) = 0 e quindi il limite da calcolare egrave 119891prime(1) siccome

119891prime(119909) = 41199093 3radic(21199092 minus 1)2

minus 12radic119909

e quindi119891prime(1) = 4

3 minus 12 = 5

6ma lrsquoidea era proprio di verificare che si giunge alla stessa conclusione

La tecnica egrave benvenuta in situazioni piugrave complicate in cui il calcolo di derivatesuccessive egrave complicato Consideriamo

lim119909rarr0

log(1 + 119909 arctan119909) + 1minus 1198901199092

radic1+ 21199094 minus 1

e calcoliamo con pazienza gli sviluppi di Taylor Il denominatore sembra piugrave semplicee infatti

radic1+ 21199094 = 1+ 21199094

2 + 119900(1199094) minus 1 = 1199094 + 119900(1199094)

che dice di calcolare sviluppi fino al quarto ordine anche nel numeratore Abbiamo

log(1 + 119909 arctan119909) = 119909 arctan119909minus 12(119909 arctan119909)2 + 119900((119909 arctan119909)2)

= 119909(119909minus 131199093 + 119900(1199093)) minus 1199092

2 (119909+ 119900(1199092))2 + 119900(1199094)

= 1199092 minus 431199094 + 119900(1199094)

e per finire1198901199092 = 1+1199092 + 1

21199094 + 119900(1199094)

che ci dagrave il limite nella forma

lim119909rarr0

minus431199094 + 119900(1199094)1199094 + 119900(1199094) = lim

119909rarr0

minus43 + 119900(1199094)

1199094

1 + 119900(1199094)1199094

= minus43

510 curvatura 109

Il passaggio intermedio puograve certamente essere omesso Un ultimo esempio

lim119909rarr+infin

( 119909minus1199092 log(1 + sin 1119909)) = lim

119905rarr0+

119905 minus log(1 + sin 119905)1199052

= lim119905rarr0+

119905 minus sin 119905 + 12 sin2 119905 + 119900(sin3 119905)

1199052

= lim119905rarr0+

119905 minus 119905 + 121199052 + 119900(1199053)1199052

= 12

510 curvatura

Lrsquoidea di approssimare una curva con la tangente puograve essere generalizzata in modo di-verso rispetto a quanto abbiamo fatto con lo sviluppo di Taylor ci interessa per esem-pio dare una misura di quanto un grafico ldquosia curvordquo in un punto Come la retta puograveessere presa per lrsquoapprossimazione la circonferenza puograve essere presa come indicatricedella curvatura piugrave precisamente una semicirconferenza che quindi egrave il grafico di unafunzione 120574 Ci domandiamo che proprietagrave deve avere 120574 per rappresentare la semicir-conferenza che meglio approssima una funzione vicino a un suo punto Se la funzioneegrave 119891 definita in un intorno del punto 119888 che ci interessa dovremo evidentemente avere

120574(119888) = 119891(119888) 120574prime(119888) = 119891prime(119888)

cioegrave la curva e la semicirconferenza devono avere in comune la tangente Lrsquoidea tenen-do conto degli sviluppi di Taylor si suggerisce da sola una circonferenza egrave determinatada tre dati e ne abbiamo giagrave due Come terzo imporremo che

120574Prime(119888) = 119891Prime(119888)

naturalmente supponendo che 119891 abbia la derivata seconda in 119888 Non crsquoegrave bisogno discrivere esplicitamente la funzione 120574 anche se saremmo in grado di farlo Ricordiamoinvece che dovragrave soddisfare lrsquoequazione

1199092 +120574(119909)2 minus 2119886119909minus 2119887120574(119909) + 1198862 +1198872 minus1199032 = 0

dove (119886119887) egrave il centro e 119903 il raggio 119886 119887 e 119903 sono le nostre incogniteTrattiamo prima un caso speciale trovare il cerchio osculatore (cioegrave la circonferenza

che meglio approssima la curva) alla funzione 119865 nel punto di ascissa 0 e supponiamoanche che 119865(0) = 0 La nostra funzione 120574 dovragrave allora soddisfare

1198832 +120574(119883)2 minus 2119886119883minus 2119887120574(119883) = 0

e capiremo fra poco percheacute usiamo 119883 come variabile Possiamo derivare rispetto a 119883la relazione ottenendo

2119883+ 2120574(119883)120574prime(119883) minus 2119886minus 2119887120574prime(119883) = 0

e derivare unrsquoaltra volta dopo aver diviso per 2

1 + 120574prime(119883)2 +120574(119883)120574Prime(119883) minus 119887120574Prime(119883) = 0

Possiamo allora sostituire 119883 = 0 in entrambe le relazioni ottenute ricordando chevogliamo

120574(0) = 119865(0) = 0 120574prime(0) = 119865prime(0) = 119898 120574Prime(0) = 119865Prime(0) = 119899

110 studi di funzione

Abbiamo quindi le due condizioni

⎧⎨⎩

119886+ 119887119898 = 01+1198982 minus119887119899 = 0

che danno evidentemente⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

119886 = minus119898(1+1198982)119899

119887 = 1+1198982

119899

purcheacute ovviamente 119899 ne 0 In questo caso il raggio 119903 si ottiene come distanza delcentro da un punto della circonferenza cioegrave (0 0)

1199032 = (1+1198982)31198992

La quantitagrave120594 = 119899

radic(1+1198982)3si chiama curvatura Nel caso di 119899 = 0 la curvatura egrave nulla altrimenti il modulo delreciproco della curvatura egrave il raggio di curvatura

Come facciamo a passare al caso generale Con una traslazione Se la nostra funzio-ne egrave 119891 e il punto che ci interessa egrave 119888 possiamo considerare la funzione

119865(119909) = 119891(119909+ 119888) minus 119891(119888)

e vediamo subito che 119865(0) = 0 119865prime(0) = 119891prime(119888) e 119865Prime(0) = 119891Prime(119888) Dunque il centro dicurvatura ha coordinate

(119888minus 119891prime(119888)(1 + 119891prime(119888)2)119891Prime(119888) 119891(119888) + 1+119891prime(119888)2

119891Prime(119888) )

e la curvatura egrave120594119891(119888) =

119891Prime(119888)(1 + 119891prime(119888)2)32

Il luogo dei centri di curvatura di una curva data si chiama la sua evolutaVediamone un paio di esempi Il primo egrave lrsquoevoluta della parabola di equazione 119910 =

1199092 che possiamo pensare come il grafico di 119891(119909) = 1199092 Allora i centri di curvaturahanno coordinate

119909 = 119888minus 119891prime(119888)(1 + 119891prime(119888)2)119891Prime(119888) = 119888minus 2119888(1 + 41198882)

2

119910 = 119891(119888) + 1+119891prime(119888)2119891Prime(119888) = 1198882 + (1+ 41198882)

2

Dalla seconda otteniamo2119910 = 1+ 61198882

quindi 1198882 = (2119910minus 1)6 La prima equazione diventa

119909 = minus41198883

da cui 119888 = minus 3radic1199094 e sostituendo nellrsquoaltra

6 3

radic1199092

16 = 2119910minus 1

che puograve essere studiata come il grafico di una funzioneIn un punto di flesso (dove la derivata seconda si annulla) la curvatura egrave 0 come

del resto ci si attende Tuttavia la curvatura puograve essere nulla anche in punti che nonsono flessi per 119891(119909) = 1199094 abbiamo 120594119891(0) = 0 ma evidentemente questo egrave un puntodi minimo

6INTEGRAL I

61 calcolo delle aree

Il problema di calcolare le aree di figure delimitate da linee curve egrave molto antico la lo-cuzione ldquoquadratura del cerchiordquo si riferisce a un problema che i geometri greci comin-ciarono a studiare venticinque secoli fa Archimede (Ἀρχιμήδης 287 aCndash212 aC) diedeuna soluzione del problema dellrsquoarea dimostrando che il rapporto tra lrsquoarea del cerchioe il quadrato del raggio egrave uguale al rapporto tra la lunghezza della circonferenza e ildiametro Continuava perograve a sfuggire la quadratura con riga e compasso costruire conriga e compasso un quadrato avente area uguale a quella di un cerchio dato o comesegue dal risultato di Archimede costruire con riga e compasso un segmento lungoquanto una circonferenza data

Questo problema non ha soluzione ma si dovette aspettare fino al 1882 per stabilirloFerdinand von Lindemann (1852ndash1939) dimostrograve che 120587 non egrave radice di alcun polinomioa coefficienti interi nel 1837 Pierre Wantzel (1814ndash1848) aveva dimostrato che affincheacutela quadratura del cerchio sia possibile egrave necessario che 120587 sia radice di un polinomio acoefficienti interi Wantzel aveva dimostrato ben di piugrave in realtagrave trovando un metodoper decidere se una certa costruzione con riga e compasso egrave possibile Non che sia rile-vante la costruibilitagrave con riga e compasso fin dagli studi di Reacuteneacute Descartes (1596ndash1650)la matematica aveva cominciato a svincolarsi da questa limitazione e non va dimen-ticato che anche gli antichi greci studiavano curve che non potevano essere tracciateneppure per punti con riga e compasso

Archimede fu il primo a dare una quadratura di unrsquoarea delimitata da una sezione co-nica quella del settore parabolico Si prenda una corda di una parabola questa delimitaunrsquoarea finita che Archimede calcolograve come due terzi del rettangolo che ha come basela corda e altezza uguale al massimo dei segmenti perpendicolari alla corda da essaallrsquoarco di parabola Dimostrograve anche che lrsquoarea di unrsquoellisse di semiassi 119886 e 119887 egrave 120587119886119887 Ilmetodo usato da Archimede per questi calcoli fu detto di esaustione cioegrave esaurimentosi inseriscono nellrsquoarea rettangoli o triangoli opportunamente scelti in modo che dimi-nuendo via via lrsquoarea di ciascun rettangolo o triangolo ci si possa discostare dallrsquoareavera meno di qualsiasi tolleranza prefissata Non occorre conoscere giagrave lrsquoarea percheacute sipossono anche costruire rettangoli o triangoli che coprono lrsquoarea stessa sbordando main modo che la differenza tra le aree esterne e quelle interne sia piugrave piccola di qualsiasitolleranza prefissata Abbiamo giagrave usato un metodo simile quando abbiamo calcolatoun valore approssimato di log2 Archimede si servigrave di questo metodo per calcolareinnumerevoli aree e anche volumi generalizzandolo alle tre dimensioni Il metodo perla veritagrave era stato inventato da Eudosso (Ὁ Εὔδοξος ὁ Κνίδος 408 aCndash355 aC) ma fuArchimede a portarlo ai massimi livelli

Vediamo come fece Archimede a calcolare lrsquoarea del settore parabolico Chiamati 119860e 119861 i vertici della corda cercograve di inscrivere nel settore il massimo triangolo che abbiavertici in 119860 e 119861 e il terzo vertice sullrsquoarco 119860119861 di parabola chiamiamo 1198620 questo ver-tice Archimede scoprigrave che proiettando sulla direttrice i tre punti in 119860prime 119861prime e 119862prime

0 119862prime0 egrave

il punto medio di 119860prime119861prime Si accorse poi che i massimi triangoli inscritti nei due settoriparabolici che avanzano hanno la stessa area la costruzione si puograve ripetere indefinita-mente ottenendo approssimazioni sempre piugrave precise dellrsquoarea del settore parabolicoAccompagnograve poi con la costruzione di corrispondenti aree lsquoesternersquo e poteacute dimostrarerigorosamente la sua formula

Noi abbiamo a disposizione la geometria analitica e possiamo fare a meno delle dif-ficili dimostrazioni geometriche di Archimede Consideriamo dunque la parabola di

111

112 integrali

equazione 119910 = 1198861199092 con 119886 gt 0 e consideriamo il settore parabolico delimitato dallacorda avente vertici in 119860(1199011198861199012) e 119861(1199021198861199022) (119901 lt 119902)

Dobbiamo trovare per prima cosa il massimo triangolo inscritto Questo avragrave vertice119862(1199091198861199092) per 0 lt 119909 lt 119902 Sappiamo calcolare lrsquoarea di un triangolo date le coordinatedei vertici

Area(119860119861119862) = 12

||||||||det⎡⎢⎢

⎣

1 119901 1198861199012

1 119909 1198861199092

1 119902 1198861199022

⎤⎥⎥⎦

||||||||= 1

2119886(119902 minus 119901)(119909minus 119901)(119902 minus119909)

Se consideriamo la funzione 119891(119909) = (119909 minus 119901)(119902 minus 119909) definita in [119901 119902] lrsquoarea saragravemassima quando questa funzione assume il valore massimo Il problema egrave banale (ilgrafico di 119891 egrave un arco di parabola) ma visto che abbiamo a disposizione il calcololo usiamo la derivata egrave 119891prime(119909) = 119902 minus 119909 minus (119909 minus 119901) = 119901 + 119902 minus 2119909 che egrave positiva per119901 le 119909 lt (119901 + 119902)2 e negativa per (119901 + 119902)2 lt 119909 le 119902 Dunque il punto di massimo egrave(119901 + 119902)2 esattamente come dimostrato da Archimede

Il punto 1198620 ha dunque ascissa (119901 + 119902)2 e lrsquoarea del triangolo 1198601198611198620 egrave

12119886(119902minus 119901)119891(119901+ 119902

2 ) = 1198868 (119902 minus 119901)3

e vediamo che questrsquoarea dipende solo dalla differenza delle ascisse di 119860 e di 119861 Proce-diamo dunque come Archimede valutando i settori rimanenti

Poniamo 119889 = 119902 minus 119901 I due settori parabolici che rimangono corrispondono a proie-zioni sulla direttrice (o sullrsquoasse delle ascisse che egrave lo stesso) metagrave della precedenteproiezione quindi le aree dei due triangoli massimi saranno

11988681198893

23

Ci avanzeranno quattro settori parabolici in cui i triangoli massimi hanno la stessa areae corrispondono a proiezioni lunghe 1198894 quindi hanno ciascuno area

1198868

1198893

(22)3

Lrsquoarea coperta fino a questo punto egrave a parte il fattore moltiplicativo 11988611988938 che nonscriviamo

20 1(20)3 +21 1

(21)3 + 22 1(22)3

Procediamo allo stesso modo con 23 settori 24 settori e cosigrave via fino a 2119899 settoriottenendo

119886119899 = 140 + 1

41 + 142 +hellip 1

4119899minus1 + 14119899 =

1minus 14119899+1

1minus 14

Siccome lim119899rarr+infin 4119899+1 = +infin egrave evidente che

lim119899rarr+infin

119886119899 = 43

Occorrerebbe costruire i poligoni circoscritti che completano il metodo di esaustionema sembra intuitivamente chiaro che lrsquoarea del settore parabolico egrave

1198861198893

843 = 1198861198893

6

61 calcolo delle aree 113

Non ci resta che calcolare la base del settore e lrsquoaltezza per ritrovare la formula diArchimede La base egrave 119860119861 la cui lunghezza egrave

119887 = radic(119902minus 119901)2 + (1198861199022 minus1198861199012)2 = 119889radic1+ 1198862(119901 + 119902)2

mentre lrsquoaltezza egrave evidentemente

ℎ = 2Area(1198601198611198620)119887 = 2119886

81198893

119887 = 1198861198893

4119887

e si ha23119887ℎ = 2

31198871198861198893

4119887 = 1198861198893

6

come dimostrato da Archimede Il metodo usato a parte dettagli rispecchia proprioquello di Archimede

Con unrsquoesaustione complicata basata sui poligoni regolari inscritti e circoscritti Ar-chimede dimostrograve la sua lsquoquadraturarsquo del cerchio e riuscigrave anche a dare un valore ap-prossimato piuttosto buono di 120587 cioegrave 227

Il problema fondamentale del metodo di esaustione egrave che richiede una soluzionelsquofurbarsquo per ogni problema qualche volta triangoli qualche volta poligoni regolari qual-che volta rettangoli Nel diciassettesimo secolo Bonaventura Cavalieri (1598ndash1647) e isuoi allievi e collaboratori fra cui Evangelista Torricelli (1608ndash1647) che era stato an-che allievo di Galileo Galilei (1564ndash1642) idearono il cosiddetto metodo degli indivisibiliche dava risultati coincidenti con quelli classici evitando le costruzioni complicate Pa-re da recenti ritrovamenti che lo stesso Archimede adoperasse un metodo simile pervalutare le aree e i volumi che poi giustificava rigorosamente con lrsquoesaustione

Qual era lrsquoobiezione principale al metodo degli indivisibili Che non aveva alcunabase teorica Tuttavia non ce lrsquoavevano nemmeno le derivate di Fermat e scarsamentefondato era anche il calcolo di Isaac Newton (16421643ndash1727) e Leibniz Fincheacute con ilmetodo di Cavalieri si ritrovavano risultati classici il problema non si poneva ma eraammissibile usarlo per dimostrare nuove cose

Fermat si interessograve al problema cercando un metodo diverso Consideriamo la pa-rabola generalizzata di equazione 119910 = 119886119909119896 con 119896 intero vogliamo trovare lrsquoarea com-presa tra il segmento di estremi (0 0) e (119902 0) quello di estremi (119902 0) e (119902 119902119896) dove119902 gt 0 e lrsquoarco corrispondente della curva Fissiamo un numero 119864 con 0 lt 119864 lt 1 e peril momento i punti sullrsquoasse delle ascisse 1199030 = 119902 1199031 = 119902119864 1199032 = 1199021198642 hellip 119903119899 = 119902119864119899Costruiamo i rettangoli lsquoesternirsquo di vertici (in senso antiorario)

(119903119895 0) (119903119895 119886119903119896119895 ) (119903119895+1 119886119903119896

119895 ) (119903119895+1 0)

(per 119895 = 0 1hellip 119899minus 1) Lrsquoarea del 119895-esimo rettangolo egrave

(119903119895+1 minus119903119895)119886119903119896119895 = (119902119864119895 minus119902119864119895+1)119886119902119896119864119896119895

= 119886119902119896+1(1 minus 119864)119864119895119864119896119895

= 119886119902119896+1(1 minus 119864)119864(119896+1)119895

e dunque possiamo scrivere la somma delle aree come

119886(119864)119899 = 119886119902119896

119864 (119864minus 1)(1 + 119865+ 1198652 +⋯+119865119899minus1)

dove 119865 = 119864119896+1 Il trucco di Fermat egrave di far diventare 119899 grande in modo che

1 + 119865+ 1198652 +⋯+119865119899 +⋯ = 11minus 119865

114 integrali

e quindi di poter considerare lrsquoapprossimazione con lsquoinfinitirsquo rettangoli esterni come

119886(119864) = 119886119902119896+1 1minus 1198641minus 119864119896+1 = 119886119902119896+1

1+ 119864+ 1198642 +⋯+119864119896

Facendo avvicinare 119864 a 1 i rettangoli si stringono sempre di piugrave approssimando sempremeglio lrsquoarea e perciograve Fermat concludeva che lrsquoarea cercata egrave

119878(119902) = 119886119902119896+1

119896+ 1

Se adesso vogliamo lrsquoarea del settore lsquoparabolicorsquo compreso tra i punti di ascissa 119901 e 119902con 0 lt 119901 lt 119902 basta una differenza il trapezio ha area (119902 minus 119901)(119886119902119896 + 119886119901119896)2 lrsquoareache dobbiamo trascurare egrave 119878(119902) minus 119878(119901) e quindi si ottiene

119860119896(119901 119902) = (119902minus 119901)119886119902119896 +119886119901119896

2 minus 119886119902119896+1 minus119886119901119896+1

119896+ 1

Nel caso di 119896 pari si puograve usare questa formula anche per valori negativi di 119901 e 119902 purcheacutesia sempre 119901 lt 119902 Ne caso di 119896 = 2 abbiamo

1198602(119901 119902) = (119902minus 119901)1198861199022 +1198861199012

2 minus 1198861199023 minus1198861199013

3

= 119886(119902minus 119901)6 (31199022 + 31199012 minus 21199022 minus 2119901119902minus 21199012)

= 119886(119902minus 119901)36

esattamente come nella quadratura archimedeaNel caso di 119896 = 4 possiamo scrivere

1198604 = 119886(119902minus 119901)4 (1199024 minus1199011199023 minus11990121199022 minus1199013119902+ 1199014)

= 119886(119902minus 119901)4 ( (119902 minus 119901)4 + 3119901119902(119902minus 119901)2 minus11990121199022)

che non sembra cosigrave promettente e non indagheremo oltre in cerca di qualche interpre-tazione geometrica

Tuttavia una cosa dovrebbe balzare subito agli occhi se poniamo 119901 = 0 e 119902 = 119909otteniamo una funzione

119878(119909) = 119886119909119896+1

119896+ 1la cui derivata egrave 119878prime(119909) = 119886119909119896 cioegrave proprio la funzione da cui siamo partiti

Il ragionamento di Fermat non egrave facilmente giustificabile abbiamo diviso lrsquointervallo[0 119902] in infinite parti e ldquosommato infinite areerdquo Tuttavia la nostra definizione di log 119905lrsquoarea delimitata dal grafico di 119891(119909) = 1119909 dallrsquoasse delle ascisse dalla retta verticalepassante per (1 0) e dalla retta verticale passante per (119905 0) porta a una funzione 119909 ↦log119909 la cui derivata egrave proprio la funzione che ci egrave servita per dare la definizione

La somiglianza tra la funzione rispetto alla quale si vogliono calcolare aree e lrsquoareastessa non sfuggigrave ai creatori del calcolo Leibniz e Newton questrsquoultimo aveva appresodella faccenda da Isaac Barrow (1630ndash1677) di cui fu allievo e che sostituigrave sulla cattedraa Cambridge

62 integrazione

Lrsquoidea di Fermat si rivelograve molto fruttuosa Occorse parecchio tempo percheacute la tecni-ca fosse sistemata in modo rigoroso da Bernhard Riemann (1826ndash1866) Allrsquoinizio del

62 integrazione 115

ventesimo secolo ci fu poi una svolta molto importante nellrsquoargomento ma non ce neoccuperemo percheacute la moderna integrazione introdotta da Henri Lebesgue (1875ndash1941)coincide con quella di Riemann per le funzioni continue in un intervallo [119901 119902]

Non si fa grancheacute di diverso da come abbiamo fatto per il logaritmo e da comeragionava Fermat solo che la teoria egrave stata resa inappuntabile dal punto di vista logico

Quello che cerchiamo egrave un modo di associare un numero a una funzione definita suun intervallo in modo che questo numero rappresenti lrsquoarea compresa tra lrsquointervallo(visto sullrsquoasse delle ascisse) e il grafico della funzione Ci limiteremo a funzioni con-tinue definite su [119901 119902] dati 119886 e 119887 con 119901 le 119886 lt 119887 le 119902 questa associazione si puogravevedere come una funzione

(119886119887) ↦ Int119887119886(119891)

che ha come dominio certe coppie di elementi di [119901 119902] In questo caso si parla spessodi un operatore la funzione 119891 si pensa fissata ma siccome egrave del tutto arbitraria purcheacutesia continua in [119901 119902] avremo un operatore per ciascuna funzione Ci serve qualcheproprietagrave che sia ragionevole per le aree Assumeremo queste dove con 119891 indichiamouna funzione continua su [119901 119902] e con 119896 un numero qualsiasi

(119887 minus 119886)m119887119886(119891) le Int119887119886(119891) (119901 le 119886 lt 119887 le 119902)

Int119887119886(119891) le (119887minus 119886)M119887119886(119891) (119901 le 119886 lt 119887 le 119902)

Int119888119886(119891) = Int119887119886(119891) + Int119888119887(119891) (119901 le 119886 lt 119887 lt 119888 le 119902)

dove con m119887119886(119891) e M119887

119886(119891) indichiamo il valore minimo e massimo di 119891 nellrsquointervallo[119886 119887] Queste proprietagrave sono intuitivamente evidenti almeno per le funzioni cheassumono solo valori positivi

Vediamo qualche conseguenza Se 120783 egrave la funzione che vale costantemente 1 dobbia-mo avere

119887minus 119886 le Int119887119886(120783) le 119887minus 119886

e quindi Int119887119886(120783) = 119887 minus 119886 Analogamente se 119891 assume solo valori positivi dovremoavere Int119887119886(119891) gt 0 percheacute in tal caso m119887

119886(119891) gt 0Rimandiamo a dopo la questione se un operatore del genere esista per ogni funzione

continua 119891 Intanto vediamo qualche proprietagrave che ci serviragrave in seguito Prima di tuttoestendiamo la notazione se 119901 le 119887 lt 119886 le 119902 poniamo

Int119887119886(119891) = minus Int119886119887(119891)

e ancheInt119886119886(119891) = 0

in modo che la terza proprietagrave continui a valere per ogni 119886119887 119888 isin [119901 119902] come sivede subito Anche per m119887

119886(119891) e M119887119886(119891) non faremo piugrave distinzione fra 119886 lt 119887 e 119887 lt 119886

Egrave naturale anche porre m119886119886(119891) = M119886

119886(119891) = 119891(119886) il motivo appare chiaro dallrsquoenunciatoseguente

t e o r ema Se 119891 egrave continua in [119901 119902] e 119909 isin [119901 119902] allora

limℎrarr0

m119909+ℎ119909 (119891) = 119891(119909) lim

ℎrarr0M119909+ℎ

119909 (119891) = 119891(119909)

Scriviamo la dimostrazione solo dellrsquoenunciato

limℎrarr0+

M119909+ℎ119909 (119891) = 119891(119909)

per 119901 le 119909 lt 119902 Gli altri casi sono del tutto simili

116 integrali

Poniamo 119892(ℎ) = M119909+ℎ119909 (119891) questa funzione egrave definita per 0 lt ℎ lt 119902 minus 119909 ed egrave

crescente infatti se ℎ1 lt ℎ2 abbiamo

[119909 119909 + ℎ1] sube [119909 119909 + ℎ2]

e il massimo di 119891 in un intervallo piugrave ampio non puograve essere minore Dunque 119892(ℎ1) le119892(ℎ2)

Basta ora chiamare 119897 lrsquoestremo inferiore dei valori di 119892 per avere come nel caso dellesuccessioni che limℎrarr0+ 119892(ℎ) = 119897 Si noti che certamente 119891(119909) le 119897

Si tratta dunque di vedere che 119891(119909) = 119897 supponiamo per assurdo che 119897 gt 119891(119909)Allora esiste 120575 gt 0 tale che 119909+ 120575 lt 119902 e per 0 lt ℎ lt 120575

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 119897 minus 119891(119909)2

in particolare

119891(119909+ℎ) le 119897 minus 119891(119909)2 + 119891(119909) = 119897 + 119891(119909)

2 lt 119897 + 1198972 = 119897

Ne segue119892(1205752) = M119909+(1205752)

119909 (119891) lt 119897 le 119892(1205752)

che egrave assurdo

Questo teorema esprime un fatto intuitivamente chiaro se si restringe lrsquointervalloattorno a 119909 il massimo e il minimo di 119891 in questo intervallo si avvicinano a 119891(119909) mala continuitagrave di 119891 egrave essenziale percheacute la proprietagrave valga anche sostituendo massimoe minimo con estremo superiore ed estremo inferiore supponendo 119891 limitata Perciogravetratteremo solo funzioni continue Abbiamo adesso gli strumenti per dimostrare ilteorema piugrave importante

t e o r ema f ondam en t a l e d e l c a l c o l o Se 119891 egrave una funzione continuain [119901 119902] e poniamo

119865(119909) = Int119909119886(119891)

dove 119886 isin [119901 119902] allora 119865 egrave derivabile e 119865prime = 119891

Per le proprietagrave dellrsquooperatore Int possiamo scrivere

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909) = Int119909+ℎ119886 (119891) minus Int119909119886(119891)

= Int119909119886(119891) + Int119909+ℎ119909 (119891) minus Int119909119886(119891)

= Int119909+ℎ119909 (119891)

e quindi ancora per le proprietagrave di Int

m119909+ℎ119909 (119891) le 119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)

ℎ le M119909+ℎ119909 (119891)

Si faccia attenzione a quando ℎ gt 0 e quando ℎ lt 0 ma in entrambi i casi si ottiene lastessa disuguaglianza

Per il teorema di confronto dei limiti e per il teorema precedente

119865prime(119909) = limℎrarr0

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119891(119909)

t e o r ema d i u n i c i t agrave d e l l rsquo i n t e g r a l e Se un operatore Int con leproprietagrave enunciate esiste allora egrave unico

62 integrazione 117

Supponiamo che Φ sia un operatore con le stesse proprietagrave di Int Allora possiamodimostrare il teorema fondamentale per Φ e dunque abbiamo che per ogni funzionecontinua 119891 su [119901 119902] le funzioni

119865(119909) = Int119909119886(119891) e 119866(119909) = Φ119887119886(119891)

hanno entrambe la proprietagrave che 119865prime = 119891 e 119866prime = 119891 e dunque (119865minus119866)prime egrave la funzione nullaPer la conseguenza del teorema di Lagrange esiste un 119896 tale che per ogni 119909 isin [119901 119902]si abbia

119865(119909) minus119866(119909) = 119896

Ma per definizione 119865(119886) = Int119886119886(119891) = 0 e 119866(119886) = Φ119886119886(119891) = 0 dunque 119896 = 0 Perciograve

per ogni 119887 isin [119901 119902] si ha anche

Int119887119886(119891) = 119865(119887) = 119866(119887) = Φ119887119886(119891)

Resta quindi solo il problema di dimostrare lrsquoesistenza dellrsquooperatore Int lo riman-diamo a piugrave tardi se siamo arrivati fin qui con la teoria egrave ovvio che la soluzione alproblema egrave giagrave stata trovata da qualcuno

La notazione tradizionale per Int119887119886(119891) egrave

int119887

119886119891(119909)119889119909

che si legge lsquointegrale tra 119886 e 119887 di 119891rsquo La variabile 119909 egrave ovviamente sostituibile conqualsiasi lettera e non ha un significato proprio

La notazione per gli integrali risale a Leibniz Il suo punto di partenza era proprio la sud-divisione dellrsquointervallo [119886 119887] in parti e di considerare i rettangoli come faceva Fermat maconsiderando questi intervalli come aventi base lsquoinfinitesimarsquo e facendo la somma di tutte questearee lsquoinfinitesimersquo Il simbolo int egrave infatti una lsquoSrsquo per lsquosommarsquo

Tuttavia gli sviluppi rigorosi del calcolo vietano di usare questo concetto intuitivo di grandez-za infinitesima percheacute contraddittorio se non inquadrato in unrsquoapposita teoria si egrave scoperto intempi abbastanza recenti che gli infinitesimi si possono trattare ma non certo nel modo inge-nuo di Leibniz Il 119889119909 rimane nella notazione principalmente percheacute egrave comodo come vedremoSi potrebbe benissimo scrivere

int119887

119886119891

dopo tutto sarebbe esattamente lo stesso di Int119887119886(119891) e non ci sarebbe alcuna difficoltagrave La nota-zione tradizionale mette in evidenza il nome della variabile e questo puograve essere utile per casiparticolari (distinguere la variabile da un parametro per esempio) ma soprattutto ricorda comeoperare con le sostituzioni lo descriveremo in seguito

Abbiamo una conseguenza importante sappiamo calcolare molti integrali Data unafunzione 119891 di cui calcolare lrsquointegrale ci basta conoscere unrsquoaltra funzione 119866 di cui 119891sia la derivata

d e f i n i z i o n e Data una funzione 119891 continua su un intervallo 119868 si chiamaprimitiva di 119891 una qualsiasi funzione definita su 119868 la cui derivata sia 119891

Ci basta conoscere una primitiva per conoscerle tutte visto che funzioni che hanno lastessa derivata differiscono per una costante se 119865prime = 119866prime allora (119865 minus119866)prime egrave la funzionenulla e quindi 119865 minus 119866 egrave costante Si ricordi che parliamo di funzioni definite su unintervallo su questo intervallo una (quindi ogni) primitiva di una funzione continua egravecertamente una funzione di Lagrange

Talvolta si parla di primitiva anche per funzioni definite su unrsquounione di intervalli intal caso due primitive differiscono su ogni intervallo contenuto nel dominio per una

118 integrali

costante ma queste costanti possono essere diverse da intervallo a intervallo Si pensiallrsquoesempio di 119909 ↦ arctan119909+ arctan(1119909)

t e o r ema d i c a l c o l o d e g l i i n t e g r a l i Se 119891 egrave continua su [119886 119887] e119866 egrave una primitiva di 119891 allora

int119887

119886119891(119909)119889119909 = 119866(119887) minus119866(119886)

La funzione 119865(119909) = Int119909119886(119891) egrave una primitiva di 119891 dunque esiste 119896 tale che 119865(119909) =119866(119909) + 119896 per ogni 119909 isin [119886 119887] Ma allora 0 = 119865(119886) = 119866(119886) + 119896 e dunque 119896 = minus119866(119886)Perciograve

int119887

119886119891(119909)119889119909 = 119865(119887) = 119866(119887) + 119896 = 119866(119887) minus119866(119886)

Un modo di scrivere spesso usato egrave con le notazioni precedenti

int119887

119886119891(119909)119889119909 = [ 119866(119909)] 119909=119887

119909=119886= 119866(119887) minus119866(119886)

Vediamo qualche semplice applicazione La derivata di 119891(119909) = 119909119899 egrave 119891prime(119909) = 119899119909119899minus1perciograve la derivata di 119892(119909) = 119909119896+1(119896 + 1) (per 119896 ne minus1) egrave 119892prime(119909) = 119909119896 Dunque 119892 egrave unaprimitiva di 119909 ↦ 119909119896 (sempre per 119896 ne minus1) e abbiamo

int119902

119901119909119896 119889119909 = [ 119909119896+1

119896+ 1]119909=119902

119909=119901= 119902119896+1

119896+ 1 minus 119901119896+1

119896+ 1

esattamente come ottenuto da Fermat Egrave evidente che la tabella delle derivate (tabella 2a pagina 63) fornisce anche una tabella di primitive che perograve non egrave sufficiente nemmenoper le esigenze piugrave comuni

La derivata di una funzione elementare (una di quelle che compaiono nella tabella 2) egrave ancorauna funzione elementare Questo non accade con le primitive si puograve dimostrare per esempioche una primitiva di 119909 ↦ exp(minus1199092) non si puograve esprimere in termini di funzioni elementari Mauna sua primitiva la conosciamo

119865(119909) = int119909

0exp(minus1199052)119889119905

e questo ci permette di calcolare i valori della primitiva scelta con il grado di approssimazionerichiesto (con le serie o con metodi di integrazione approssimata)

63 il logaritmo e lrsquoesponenziale

Per 119896 = minus1 la formula per la primitiva di 119909 ↦ 119909119896 non si puograve applicare A questo puntodunque non possiamo piugrave barare e siamo costretti a dare finalmente la definizioneufficiale di logaritmo Non che quella precedente sia ldquosbagliatardquo il fatto egrave che appoggiaalla vaga nozione di ldquoarea delimitata da archi di curverdquo Il grande successo dellrsquoanalisiegrave che ha potuto svincolarsi da considerazioni geometriche basate sullrsquointuizione Piugraveavanti studieremo come definire anche le funzioni trigonometriche senza appoggiarsialla geometria lrsquoimportante egrave che queste definizioni analitiche diano gli stessi risultatiottenuti con lrsquointuizione geometrica

d e f i n i z i o n e Se 119909 gt 0 poniamo

log119909 = int119909

1

1119905 119889119905

Il valore log119909 si chiama logaritmo di 119909

63 il logaritmo e lrsquoesponenziale 119

Alcuni testi chiamano questo valore ldquologaritmo naturalerdquo e indicano la funzione conil simbolo lsquolnrsquo I matematici invece preferiscono in genere lsquologrsquo lrsquoimportante egrave che leconvenzioni adottate in un testo siano chiarite e usate in modo uniforme

t e o r ema La funzione log definita in (0 rarr) egrave strettamente crescente e assumetutti i valori La sua inversa definita ovunque si denota con exp Allora expprime = expe si ha per ogni 119886119887 gt 0

log(119886119887) = log119886+ log119887

e per ogni 119909 e 119910exp(119909+119910) = (exp119909)(exp119910)

Inoltre log1 = 0 e exp0 = 1 Se 119890 = exp1 allora per 119899 intero si ha exp119899 = 119890119899

La funzione 119909 ↦ 1119909 egrave continua nellrsquointervallo (0 rarr) quindi anche log egrave definitain quellrsquointervallo Per il teorema fondamentale del calcolo logprime 119909 = 1119909 in ogni punto119909 del dominio Quindi log egrave una funzione strettamente crescente

Per le proprietagrave dellrsquointegrale si ha

12 = m2

1(119909 ↦ 1119909) sdot (2 minus 1) le int2

1

1119905 119889119905 = log2

In particolare log2 ge 12Consideriamo la funzione 119892 definita da

119892(119909) = int119886119909

1

1119905 119889119905 = log(119886119909)

Allora119892prime(119909) = 1

119886119909119886 = 1119909 = logprime 119909

e dunque la funzione 119892 e la funzione log differiscono per una costante Siccome 119892(1) =log119886 e log1 = int11 (1119905)119889119905 = 0 la costante egrave proprio log119886 Dunque

log(119886119909) = 119892(119909) = log119909+ log119886

e lrsquouguaglianza fondamentale del logaritmo egrave dimostrataUna conseguenza egrave che log(119886119899) = 119899 log119886 in particolare log2119899 = 119899 log2 Siccome log

egrave crescente dobbiamo averelim

119909rarr+infinlog119909 = +infin

Infatti lim119899rarr+infin log2119899 = lim119899rarr+infin 119899 log2 = +infin ed egrave facile dedurre da questo lrsquoaltrolimite (esercizio)

Dallrsquouguaglianza fondamentale segue che per 119909 gt 0

0 = log1 = log(119909 1119909) = log119909+ log(1119909)

e dunque log(1119909) = minus log119909 Dunque

lim119909rarr0

log119909 = lim119905rarr+infin

log(1119905) = lim119905rarr+infin

minus log 119905 = minusinfin

I valori di log esauriscono perciograve tutta la retta reale per il teorema sui valori intermediDunque la funzione inversa di log egrave definita ovunque e assume tutti i valori in (0 rarr)La denotiamo con exp lrsquouguaglianza expprime = exp si deduce come giagrave abbiamo visto

log(exp119909) = 119909 1exp119909 expprime 119909 = 1 expprime 119909 = exp119909

120 integrali

La proprietagrave di exp equivale a quella di log

log(exp(119909 +119910)) = 119909+119910 = log(exp119909)+ log(exp119910) = log((exp119909)(exp119910))

e quindi essendo log iniettiva abbiamo exp(119909+119910) = (exp119909)(exp119910) Inoltre si ha

exp2 = exp(1 + 1) = (exp1)(exp1) = 1198902

Egrave facile vedere per induzione che per 119899 gt 0 intero exp119899 = 119890119899 Se 119899 lt 0 si ha minus119899 gt 0e dunque

1 = exp0 = exp(119899minus119899) = (exp119899)(exp(minus119899)) = (exp119899)119890minus119899

da cui exp119899 = 119890119899

Una volta definito il logaritmo in modo del tutto rigoroso senza fare ricorso al con-cetto intuitivo di area possiamo procedere come giagrave noto per le definizioni di 119909 ↦ 119886119909

(per 119886 gt 0) e log119887 (per 119887 gt 0 ma 119887 ne 1)

119886119909 = exp(119909 log119886)

(vedremo fra poco che per 119899 intero la scrittura 119886119899 non egrave ambigua) Per 119887 gt 0 119887 ne 1abbiamo da 119910 = 119887119909

log119910 = log(119887119909) = log(exp(119909 log119887)) = 119909 log119887

e dunque 119909 = (log119910)(log119887) 119909 egrave lrsquoesponente da dare a 119887 per ottenere 119910 Quindiponiamo

log119887 119910 = log119910log119887

La definizione della funzione esponenziale exp ci ha permesso di definire in modoveloce e rigoroso le potenze con esponente reale qualsiasi Ripetiamo la definizione inmodo piugrave ufficiale

d e f i n i z i o n e Se 119886 gt 0 poniamo 119886119909 = exp(119909 log119886) dove 119909 egrave un numero realequalsiasi

Il problema che nasce con questa notazione egrave che potrebbe entrare in conflitto conla notazione delle potenze che si puograve introdurre senza fare ricorso allrsquoesponenzialegenerale nel caso di esponenti interi se 119899 gt 1 si indica infatti con 119886119899 il prodotto di119899 fattori uguali ad 119886 e si estende la definizione con 1198861 = 119886 1198860 = 1 e per 119886 ne 0119886119899 = 1119886minus119899 Le proprietagrave fondamentali sono che 119886119898+119899 = 119886119898119886119899 e (119886119898)119899 = 119886119898119899 per119898 e 119899 interi qualsiasi (non negativi se 119886 = 0) In questo caso non egrave un problemaavere anche 119886 lt 0 ma nel caso generale che vogliamo studiare questo non egrave possibilelrsquoesponenziale con esponenti reali egrave definito solo se la base egrave positiva

La prima cosa da osservare egrave che le due definizioni di 119886119899 con 119899 intero non dannorisultati diversi Nellrsquoargomentazione che segue riserviamo il simbolo 119886119899 per la poten-za definita con le moltiplicazioni Abbiamo exp(0 log119886) = exp0 = 1 = 1198860 se valeexp(119899 log119886) = 119886119899 con 119899 ge 0 abbiamo anche

exp((119899+ 1) log119886) = exp(119899 log119886+ log119886) = exp(119899 log119886) exp(log119886) = 119886119899119886 = 119886119899+1

e cosigrave la dimostrazione di exp(119899 log119886) = 119886119899 per 119899 intero non negativo egrave conclusa Se119899 lt 0 abbiamo perograve

1 = exp0 = exp(119899 log119886+ (minus119899) log119886)= exp(119899 log119886) exp((minus119899) log119886)= exp(119899 log119886)119886minus119899

63 il logaritmo e lrsquoesponenziale 121

da cui exp(119899 log119886) = 1119886minus119899 come richiesto percheacute per definizione 119886119899 = 1119886minus119899

quando 119899 lt 0Ora possiamo dunque scrivere senza problemi 119886119909 invece di exp(119909 log119886) percheacute il

simbolo non egrave ambiguo quando 119909 egrave intero Egrave un esercizio interessante dimostrare che1198861119899 egrave lrsquounico numero positivo 119910 tale che 119910119899 = 119886 Inoltre per 119886 ne 1

119886log119886 119909 = 119909

percheacute prendendo il logaritmo del termine di sinistra

log(119886log119886 119909) = log119886 119909 log119886 = log119909log119886 log119886 = log119909

e abbiamo la tesi percheacute la funzione logaritmo egrave invertibile In altre parole la funzionelog119886 soddisfa la definizione intuitiva del logaritmo in base 119886 di 119909 come dellrsquoesponenteda assegnare ad 119886 per ottenere 119909 In informatica egrave molto utile considerare il logaritmoin base 2 percheacute fornisce immediatamente il numero di cifre binarie di un intero unnumero intero 119899 gt 0 ha 119896 cifre binarie se e solo se 2119896minus1 le 119899 lt 2119896 che si puograve anchescrivere 2119896minus1 lt 119899+ 1 le 2119896 cioegrave se e solo se

119896minus 1 lt log2(119899+ 1) le 119896

e quindi il numero di cifre binarie di 119899 egrave precisamente lceillog2(119899 + 1)rceil (relazione validaanche per 119899 = 0)

Si raccomanda di usare notazioni come 11988613 solo per 119886 gt 0 per evitare argomentazionibizzarre come

minus1 = (minus1) 13 = (minus1) 2

6 = ((minus1)2) 16 = 1 1

6 = 1

che sono evidentemente assurde (e sbagliate) Per 119899 intero dispari si pone

119899radic119886 =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

1198861119899 se 119886 gt 00 se 119886 = 0minus(minus119886)1119899 se 119886 lt 0

Solo per 119899 dispari egrave possibile definire la radice 119899-esima in modo coerente anche per numerinegativi ma si deve sempre fare attenzione a non adoperare scorrettamente le semplificazionicon i radicali Qualche testo adotta convenzioni complicate ma quasi sempre inutili per ampliareil numero di identitagrave che perograve non compaiono praticamente mai nella vita reale Per 119899 intero e119886 gt 0 le notazioni 119899radic119886 e 1198861119899 sono equivalenti

Per ultimo vediamo che la derivata di119891(119909) = 119909119903 (definita per119909 gt 0) egrave119891prime(119909) = 119903119909119903minus1infatti 119909119903 = exp(119903 log119909) e quindi

119891prime(119909) = expprime(119903 log119909) sdot 119903119909 = 119903119909119903

119909 = 119903119909119903minus1

Come si vede lrsquointegrale puograve essere usato per definire nuove funzioni che si possonostudiare senza bisogno di averne lsquoespressioni esplicitersquo La funzione

120590(119909) = int119909

0exp(minus1199052)119889119905

egrave molto importante in probabilitagrave e statistica percheacute compare nelle cosiddette distri-buzioni normali o gaussiane La funzione egrave definita ovunque inoltre

120590prime(119909) = exp(minus1199092) gt 0

122 integrali

cosiccheacute 119892 egrave crescente Per 119905 gt 0 vale la disuguaglianza

exp 119905 ge 119905

Consideriamo infatti la funzione 120593(119905) = minus119905 + exp 119905 Allora 120593prime(119905) = minus1 + exp 119905 che egravepositiva per exp119909 gt 1 cioegrave 119905 gt log1 = 0 Siccome 120593(0) = exp0 = 1 gt 0 avremo120593(119905) gt 0 per 119905 gt 0

Ne concludiamo che exp(1199052) ge 1199052 e quindi trattandosi di numeri positivi

0 lt exp(minus1199052) le 11199052

t e o r ema Se 119891 e 119892 sono funzioni continue nellrsquointervallo [119886 119887] e si ha per119905 isin [119886 119887]

0 le 119891(119905) le 119892(119905)

allora

0 le int119887

119886119891(119905)119889119905 le int

119887

119886119892(119905)119889119905

La funzione 119892minus119891 assume solo valori non negativi quindi per le proprietagrave dellrsquointe-grale

0 le m119887119886(119887 minus 119886) le int

119887

119886(119892(119905) minus 119891(119905))119889119905 = int

119887

119886119892(119905)119889119905 minus int

119887

119886119891(119905)119889119905

Da questo teorema segue dunque che per ogni 119909 gt 1 si ha

int119909

0exp(minus1199052)119889119905 = int

1

0exp(minus1199052)119889119905 + int

119909

1exp(minus1199052)119889119905

le int1

0exp(minus1199052)119889119905 + int

119909

1

11199052 119889119905

Indichiamo con 119870 il primo dei due integrali Conosciamo una primitiva di 119905 ↦ 11199052 egrave119905 ↦ minus1119905 quindi il secondo integrale puograve essere scritto esplicitamente

int119909

1

11199052 119889119905 = [minus1

119905 ]119905=119909

119905=1= minus 1

119909 + 1 le 1

Perciograve abbiamo per 119909 gt 1120590(119909) le 119870+ 1

e quindi 119871 = lim119909rarr+infin

120590(119909) egrave finito Siccome

120590prime(minus119909) = minus exp(minus(minus119909)2) = minus120590(119909)

la funzione 119909 ↦ minus120590(minus119909) differisce da 120590 per una costante 119896 minus120590(minus119909) = 120590(119909)+119896 perogni 119909 Ma per 119909 = 0 questo dagrave minus120590(0) = 120590(0) + 119896 e per definizione 120590(0) = 0 Perciograve120590(minus119909) = minus120590(119909) e

lim119909rarrminusinfin

120590(119909) = lim119905rarr+infin

120590(minus119905) = lim119905rarr+infin

minus120590(119905) = minus119871

Si puograve dimostrare ma non egrave affatto facile che 119871 = radic1205872 Si puograve dimostrare anche chela funzione 120590 non egrave esprimibile tramite funzioni elementari

Per tornare a funzioni di cui si puograve calcolare lrsquointegrale proviamo a calcolare lrsquoareasotto lrsquoarco di sinusoide tra 0 e 120587 una primitiva di sin egrave 119909 ↦ minus cos119909 quindi

int120587

0sin 119905119889119905 = [ minus cos 119905] 119905=120587

119905=0= minus cos120587+ cos0 = 2

64 tecniche di integrazione 123

64 tecniche di integrazione

Qui useremo una notazione speciale se 119891 egrave definita su un intervallo con

119909 ↦ int119909119891(119905)119889119905

indicheremo una qualsiasi primitiva di 119891 si potrebbe precisare che viene indicata la pri-mitiva ottenuta usando come limite inferiore di integrazione un certo elemento dellrsquoin-tervallo di definizione di 119891 ma non egrave importante Del resto per il calcolo degli integralinon egrave necessario sapere quale primitiva si stia adoperando Saremo sempre attentiperograve che il dominio della nostra funzione sia un intervallo si rischia di cadere in gravierrori se non si prende questa precauzione Scriveremo anche piugrave semplicemente

int119891

quando non ci serva dare un nome alla variabileLa prima regola egrave molto semplice

int(119891+119892) = int119891+int119892

percheacute la derivata di una somma egrave la somma delle derivate Analogamente se 119896 egrave unnumero e 119891 una funzione

int119896119891 = 119896int119891

Attenzione queste uguaglianze significano solo che lrsquooperazione indicata a destra for-nisce una primitiva della funzione indicata sotto il segno di integrale a sinistra Macome le operazioni con limiti infiniti queste convenzioni non danno problemi purcheacutesi sia consapevoli di ciograve che significano

Veniamo alle primitive piugrave complicate

int119909119905119899 119889119905 = 119909119899+1

119899+ 1 (119899 ne minus1)

int119909 1119905 119889119905 = log|119909|

int119909

exp 119905119889119905 = exp119909

int119909

sin 119905119889119905 = minus cos119909

int119909

cos 119905119889119905 = sin119909

int119909 1radic1minus 1199052

119889119905 = arcsin119909

int119909 11+ 1199052 119889119905 = arctan119909

La primitiva di 119891(119909) = 1radic1minus1199092 egrave proprio una di quelle che possono dare problemiInfatti possiamo calcolare

int119909 1radic1minus 1199052

119889119905 = minusint119909minus 1

radic1minus 1199052119889119905 = minus arccos119909

Possiamo da questo concludere che arcsin119909 = minus arccos119909 Certamente no ma solo chequeste due funzioni differiscono per una costante Infatti dallrsquouguaglianza arcsinprime 119909 =minus arccosprime 119909 (per ogni 119909 isin (minus1 1) dove le due funzioni sono derivabili) deduciamo

124 integrali

solo che esiste 119896 tale che arcsin119909 = 119896 minus arccos119909 per 119909 = 0 abbiamo arcsin0 = 119896 minusarccos0 cioegrave 0 = 119896minus1205872

arcsin119909 = 1205872 minus arccos119909

egrave infatti una relazione corretta Anche la primitiva riportata nella tabella per 119909 ↦ 1119909merita un commento Secondo le nostre convenzioni la funzione da integrare deveessere definita in un intervallo quindi possiamo scegliere (0 rarr) oppure (larr 0) (oun qualsiasi intervallo contenuto in uno di questi due) Se pensiamo 119909 ↦ 1119909 definitaper 119909 gt 0 una primitiva egrave 119909 ↦ log119909 se la pensiamo definita per 119909 lt 0 una primitivaegrave 119909 ↦ log(minus119909) come si verifica derivando Scrivere la primitiva come 119909 ↦ log|119909|evita di dover specificare in quale intervallo consideriamo definita la funzione Ma ciogravenon ci autorizza a considerare lecito int1minus1(1119909)119889119909 percheacute la funzione non egrave definitanellrsquointervallo [minus1 1]

Anche la formula per la derivata di una funzione composta dagrave una tecnica di inte-grazione Vediamo prima la teoria e poi la pratica Supponiamo che la funzione 120593 siascritta come

120593(119905) = 119892(119891(119905))119891prime(119905)

Se 119866 egrave una primitiva di 119892 e poniamo 120595(119905) = 119866(119891(119905)) allora abbiamo

120595prime(119905) = 119866prime(119891(119905))119891prime(119905) = 119892(119891(119905))119891prime(119905) = 120593(119905)

e quindi 120595 egrave una primitiva di 120593 Per esempio volendo calcolare

int119909 21199051 + 1199052 119889119905

si puograve considerare 119891(119905) = 1+ 1199052 e 119892(119906) = 1119906 allora se 120593(119905) = 2119905(1 + 1199052) abbiamoproprio

120593(119905) = 119892(119891(119905))119891prime(119905)

Una primitiva di 119906 ↦ 119892(119906) = 1119906 egrave log119906 (percheacute 119891(119905) gt 0) e quindi una primitiva di120593 egrave proprio log(1 + 1199052) Crsquoegrave un modo piugrave pratico per eseguire questo calcolo con lestesse notazioni

int119909119892(119891(119905))119891prime(119905)119889119905 = int

119891(119909)119892(119906)119889119906

e scriveremo qualcosa come

int119909 21199051 + 1199052 119889119905 = (hellip)[ 119906 = 1+ 1199052 119889119906 = 2119905119889119905]

= int1+1199092 1

119906 119889119906

= [ log119906]119906=1+1199092

= log(1 + 1199092)

In questo contesto la scrittura119906 = 1+1199052 sostituisce la piugrave lunga posizione119891(119905) = 1+1199052e il calcolo di 119891prime(119905) = 2119905 Scriveremo piugrave semplicemente in generale 119906 = 119891(119905) e

119889119906 = 119891prime(119905)119889119905

Questo egrave il motivo principale percheacute si mantiene 119889119905 nella notazione dellrsquointegrale Siusa formalmente la notazione di Leibniz per la derivata

119889119906119889119905 = 119891prime(119905)

64 tecniche di integrazione 125

e lsquosi moltiplicano ambo imembri per119889119905rsquo Si ricordi perograve che questa egrave solo una notazionemnemonica per eseguire la giusta sostituzione

Altro esempio calcolare una primitiva di 120593(119909) = cos119909(1 + sin119909)2 Abbiamo

int119909 cos 119905(1 + sin 119905)2 119889119905 = (hellip)[ 119906 = 1+ sin 119905 119889119906 = cos 119905119889119905]

= int1+sin119909 1

1199062 119889119906

= [minus 1119906]

119906=1+sin119909

= minus 11+ sin119909

In altre situazioni non egrave cosigrave agevole trovare la sostituzione giusta e si puograve adattarela tecnica purcheacute ci si assicuri di usare funzioni invertibili Un esempio vale piugrave di tanteformule Consideriamo

int119909119905radic1minus 119905119889119905 = (hellip)[ 119906 = radic1minus 119905 119905 = 1minus1199062 119889119905 = minus2119906119889119906]

= intradic1minus119909

(1 minus 1199062)119906(minus2119906)119889119906

= 2intradic1minus119909

(1199064 minus1199062)119889119906

= 2[1199065

5 minus 1199063

3 ]119906=radic1minus119909

= 2((1 minus119909)25 minus 1minus119909

3 )radic1minus119909

dove la sostituzione 119906 = radic1minus 119905 egrave ammessa in quanto invertibile nel dominio dellafunzione da integrare Di fatto non serve scrivere esplicitamente la primitiva se si devecalcolare lrsquointegrale

int1

0119905radic1minus 119905119889119905 = (hellip)[ 119906 = radic1minus 119905 119905 = 1minus1199062 119889119905 = minus2119906119889119906]

= intradic1minus1

radic1minus0(1 minus 1199062)119906(minus2119906)119889119906

= 2int0

1(1199064 minus1199062)119889119906

= 2[1199065

5 minus 1199063

3 ]0

1

= 2(0minus 15 + 1

3) = 415

Lrsquoesempio classico e complicato egrave il calcolo dellrsquoarea del cerchio La funzione daconsiderare egrave 119891(119909) = radic1minus1199092 e lrsquoarea saragrave il doppio di

int1

minus1radic1minus 1199052 119889119905

Potremmo considerare la sostituzione 119906 = radic1minus 1199052 ma questa non egrave invertibile Meglioinvece usare 119906 = arccos 119905 percheacute questa egrave invertibile e si ha 119905 = cos119906 da cui radic1minus 1199052 =

126 integrali

radic1minus cos2 119906 = sin119906 percheacute arccos prende valori nellrsquointervallo [0 120587] dove il seno egravenon negativo Allora

int1

minus1radic1minus 1199052 119889119905 = (hellip)[ 119906 = arccos 119905 119905 = cos119906 119889119905 = minus sin119906119889119906]

= intarccos1

arccos(minus1)minus sin2 119906119889119906

= int0

120587

cos(2119906) minus 12 119889119906

= (hellip)[ 119906 = 1199072 119889119906 = (12)119889119907]

= 14 int

0

2120587(cos119907minus 1)119889119907

= 14[ sin119907minus 119907] 0

2120587= 120587

2da cui concludiamo che lrsquoarea del cerchio di raggio 1 egrave 120587 come certo ci aspettavamoPer lrsquoarea del cerchio di raggio 119903 la funzione da integrare egrave 119891(119909) = radic1199032 minus1199092 e lasostituzione saragrave 119906 = arccos(119905119903) che dagrave radic1199032 minus 1199052 = 119903 sin119906 Un altro fattore 119903 vienedalla derivata e 1199032 rimane fino in fondo cosigrave che lrsquointegrale si calcola allo stesso mododando lrsquoarea 1205871199032 Cosigrave scrisse Archimede Πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳοἶ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μιᾷ τῶν περί τέν ὀρθέν ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει ldquoOgnicerchio egrave uguale a un triangolo rettangolo avente come cateti il raggio del cerchio e ilsuo perimetrordquo

Volendo calcolare una primitiva si possono fare le sostituzioni a ritroso nella fun-zione finale

14(sin119907minus 119907) = 1

4(sin(2119906) minus 2119906) = 12(sin119906 cos119906minus119906) = 1

2(119905radic1minus 1199052 minus arccos 119905)

e quindiint

119909radic1minus 1199052 119889119905 = 1

2(119909radic1minus1199092 minus arccos119909)

Il trucco di scrivere sin2 119906 in termini di cos(2119906) egrave usato spesso durante questi calcoliRimane unrsquoultima tecnica fondamentale da descrivere lrsquointegrazione per parti che

deriva dalla formula della derivata di un prodotto Supponiamo che120593 si possa scriverecome prodotto di due funzioni 120593(119909) = 119891(119909)119892(119909) e che di una di esse si conosca unaprimitiva per esempio 119866 tale che 119866prime = 119892 In tal caso si puograve considerare la derivata di120595(119909) = 119891(119909)119866(119909)

120595prime(119909) = 119891prime(119909)119866(119909) + 119891(119909)119866prime(119909) = 119891prime(119909)119866(119909) + 119891(119909)119892(119909)

da cui abbiamo119891(119909)119892(119909) = 120595prime(119909) minus 119891prime(119909)119866(119909)

e passando alle primitive

int119909119891(119905)119892(119905)119889119905 = 119891(119909)119866(119909) minusint

119909119891prime(119905)119866(119905)119889119905

Secondo la terminologia usuale 119891 si chiama fattore finito e 119892 si chiama fattore differen-ziale Nellrsquointegrale che rimane da calcolare compare la derivata del fattore finito chepotrebbe rendere piugrave semplice il calcolo Esempio

int119909119905 exp 119905119889119905 = 119909 exp119909minusint

119909exp 119905119889119905 = 119909 exp119909minus exp119909

prendendo 119891(119909) = 119909 come fattore finito (e 119891prime(119909) = 1) mentre 119892(119909) = exp119909 egrave il fattoredifferenziale con int119909 exp 119905119889119905 = exp119909 Vedremo oltre un caso piugrave generale

64 tecniche di integrazione 127

Altro esempio degno di nota in int119909 log 119905119889119905 si prende come fattore finito 119891(119909) = log119909e come fattore differenziale 119892(119909) = 1 questo percheacute la derivata del logaritmo egrave unafrazione algebrica e lo stesso una primitiva di 119892 int119909 1119889119905 = 119909 Allora

int119909

log 119905119889119905 = 119909 log|119909| minus int1199091199051119905 119889119905 = 119909 log|119909| minus 119909 = 119909(log|119909| minus 1)

Con lrsquointegrazione per parti si puograve calcolare una primitiva di 119891(119909) = radic1minus1199092 pren-dendo di nuovo come fattore finito 119892(119909) = 1

int119909radic1minus 1199052 119889119905 = 119909radic1minus1199092 minusint

119909119905 minus119905radic1minus 1199052

119889119905

= 119909radic1minus1199092 minusint119909 1 minus 1199052 minus1

radic1minus 1199052119889119905

= 119909radic1minus1199092 minusint119909radic1minus 1199052 119889119905 +int

119909 1radic1minus 1199052

119889119905

Sembra di essere a un punto morto dovremmo calcolare proprio la primitiva chestiamo cercando Ma noi sappiamo che la primitiva esiste quindi possiamo portarelrsquointegrale di mezzo al primo membro

2int119909radic1minus 1199052 119889119905 = 119909radic1minus1199092 + arcsin119909

che torna con il conto precedente O no Avevamo ottenuto

int119909radic1minus 1199052 119889119905 = 1

2(119909radic1minus1199092 minus arccos119909)

dovrsquoegrave lrsquoinghippoPossiamo anche calcolare per parti una primitiva di cos2

119865(119909) = int119909

cos2 119905119889119905 = int119909

cos 119905 sdot cos 119905119889119905

= sin119909 cos119909minusint119909

sin 119905(minus sin 119905)119889119905

= sin119909 cos119909+int119909(1 minus cos2 119905)119889119905

= 119909+ sin119909 cos119909minusint119909

cos2 119905119889119905

= 119909+ sin119909 cos119909minus119865(119909) + 119888

dove 119888 egrave una costante Sembra che siamo di nuovo arrivati in un vicolo cieco masappiamo che 119865 esiste e quindi possiamo operare algebricamente ottenendo

int119909

cos2 119905119889119905 = 12(119909+ sin119909 cos119909)

(la costante si omette come sempre) Analogamente

int119909

sin2 119905119889119905 = 12(119909minus sin119909 cos119909)

Con lrsquointegrazione per parti egrave possibile anche calcolare

int119909119875(119905)119890119905 119889119905

dove 119875 egrave un polinomio Si prende come fattore differenziale lrsquoesponenziale e quindi

int119909119875(119905)119890119905 119889119905 = 119875(119909)119890119909 minusint

119909119875prime(119905)119890119905 119889119905

128 integrali

che abbassa di grado il polinomio In sostanza vediamo che la primitiva cercata egrave dellaforma 119876(119909)119890119909 dove 119876 ha lo stesso grado di 119875 Perciograve invece di lunghe integrazioni perparti possiamo piugrave semplicemente impostare coefficienti indeterminati

int119909(1199052 + 119905+ 1)119890119905 119889119905 = (1198861199092 +119887119909+ 119888)119890119909

e derivare ottenendo

(2119886119909+ 119887)119890119909 + (1198861199092 +119887119909+ 119888)119890119909 = (1199092 +119909+ 1)119890119909

che equivale al sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

119886 = 12119886+ 119887 = 1119887+ 119888 = 1

cioegrave 119886 = 1 119887 = minus1 e 119888 = 2

65 le funzioni iperboliche

Lrsquoiperbole equilatera ha parecchie somiglianze con la circonferenza lo dice subito lasua equazione lsquocanonicarsquo

1199092 minus1199102 = 1

e possiamo dunque considerare la funzione

119891(119909) = radic1199092 minus 1

definita nellrsquointervallo [1 rarr) Possiamo dunque provare a calcolare lrsquoarea di un ldquoset-tore iperbolicordquo cioegrave la regione di piano delimitata da un ramo dellrsquoiperbole e una rettaparallela allrsquoasse delle ordinate in altre parole vogliamo calcolare

2int119909

1radic1199052 minus 1119889119905

e per questo trovare la migliore sostituzione possibile La strategia piugrave efficiente egrave lasostituzione

radic1199052 minus1 = 119905minus119906

percheacute cosigrave quando si eleva al quadrato i termini 1199052 spariscono minus1 = minus2119905119906 + 1199062Secondo le nostre convenzioni avremo

119905 = 1199062 +12119906 = 119906

2 + 12119906 119889119905 = (1

2 minus 121199062 )119889119906

Dunque lrsquointegrale da calcolare egrave

2int119909minusradic1199092minus1

1(1199062 + 1

2119906 minus119906)(12 minus 1

21199062 )119889119906 = minus12 int

119909minusradic1199092minus1

1

(1199062 minus1)21199063 119889119906

La funzione di cui calcolare una primitiva egrave

119891(119906) = 119906minus 2119906 + 1

1199063

e questo egrave banale una primitiva egrave

119865(119906) = 12(1199062 minus 1

1199062 )minus 2 log|119906|

65 le funzioni iperboliche 129

Dobbiamo dunque calcolare 119865(1) = 0 e 119865(119909minusradic1199092 minus1) ma egrave facile osservare che

1119909minusradic1199092 minus 1

= 119909+radic1199092 minus 1

e dunque scrivendo provvisoriamente 119910 = radic1199092 minus1 abbiamo

119865(119909minus119910) = 12(119909minus119910minus 1

119909minus119910)(119909minus119910+ 1119909minus119910)minus 2 log|119909 minus119910|

= (119909minus119910minus119909minus119910)(119909minus119910+119909minus119910)minus 2 log|119909 minus119910|

= minus2119909radic1199092 minus 1minus 2 log|119909 minus119910|

e dunque lrsquoarea cercata egrave

119909radic1199092 minus 1+ log|119909 minusradic1199092 minus 1|

Se ora consideriamo il triangolo di vertici (0 0) (119909 0) e (119909radic1199092 minus 1) e ne sottraiamola parte di settore iperbolico che egrave contenuta (cioegrave la metagrave) scopriamo che il triangolocurvilineo con vertici in (0 0) (1 0) e (119909radic1199092 minus 1) (il lato fra gli ultimi due vertici egrave ilramo di iperbole) ha area

minus12 log(119909 minusradic1199092 minus1) = 1

2 log(119909 +radic1199092 minus 1)

Questo va confrontato con lrsquoanaloga situazione della circonferenza di raggio unitariolrsquoarea del settore circolare con vertici in (0 0) (1 0) e (119909radic1minus1199092) ha come area 1205722dove 120572 egrave lrsquoangolo al centro del settore

Nel caso della circonferenza si ha dunque con le notazioni di prima

119909 = cos120572 119910 = radic1minus1199092 = sin120572

e siamo giustificati a porre nel caso dellrsquoiperbole

119909 = cosh 119905 119910 = radic1199092 minus1 = sinh 119905

dove119905 = log(119909 +radic1199092 minus1)

Non egrave difficile ricavare la definizione di cosh e sinh (coseno e seno iperbolici)

cosh 119905 = 119890119905 + 119890minus119905

2 sinh 119905 = 119890119905 minus 119890minus119905

2

Per definizione vale lrsquoidentitagrave iperbolica

cosh2 119905 minus sinh2 119905 = 1

(sono le coordinate di un punto del ramo di iperbole di equazione 1199092 minus1199102 = 1)Le funzioni iperboliche hanno proprietagrave molto simili a quelle circolari

cosh(119905 + 119906) = cosh 119905 cosh119906+ sinh 119905 sinh119906sinh(119905 + 119906) = sinh 119905 cosh119906+ cosh 119905 sinh119906

Si noti che crsquoegrave un lsquo+rsquo nella formula di addizione del coseno iperbolico

130 integrali

La formula di triplicazione del seno iperbolico egrave con facili calcoli

sinh3119905 = 4 sinh3 119905 + 3 sinh 119905

e la si puograve usare nella soluzione dellrsquoequazione di terzo grado 1199093+119901119909+119902 = 0 dove 119901 gt 0 Infattibasta porre 119909 = 119896 sinh 119905 e fare in modo che

1198963

119896119901 = 43

cioegrave 1198962 = 41199013 Ne otteniamo lrsquoequazione

4119896 sinh3 119905 + 3119896 sinh 119905 + 119902 = 0

che diventa dunquesinh(3119905) = minus119902

119896

Per esempio da 1199093 + 3119909minus 4 = 0 otteniamo 1198962 = 4 e quindi con 119896 = 2 lrsquoequazione

sinh(3119905) = 2

Con la calcolatrice otteniamo3119905 = 144363547517881

cioegrave 119905 = 0481211825059603 che dagrave

119909 = 119896 sinh 119905 = 2 sdot 05 = 1

come del resto ci aspettavamo (lrsquoarrotondamento della calcolatrice egrave davvero fortunato)

66 esistenza dellrsquooperatore integrale

La lunga dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquointegrale egrave proprio come sognava Cavalieriunrsquoastrazione del procedimento di esaustione di Eudosso e Archimede La dobbiamoprincipalmente a Cauchy e Riemann qui useremo una variante delle argomentazioni diRiemann dovuta a Darboux

Dato un intervallo [119886 119887] una sua suddivisione egrave un sottoinsieme finito 119878 tale che119886119887 isin 119878 Possiamo allora elencare gli elementi di una suddivisione come

119886 = 1199090 lt 1199091 lt ⋯ lt 119909119899minus1 lt 119909119899 = 119887

Data una suddivisione 119878 e una funzione 119891 continua su [119886 119887] porremo

m119909119895119909119895minus1(119891) = 119898119878119895(119891) e M119909119895

119909119895minus1(119891) = 119872119878119895(119891)

Chiameremo 119878-somma superiore per 119891 il numero

Σ119878(119891) = (1199091 minus1199090)1198721198781(119891) + (1199092 minus1199091)1198721198782(119891) +⋯+ (119909119899 minus119909119899minus1)119872119878119899(119891)

Nel caso di 119891 a valori positivi staremmo considerando la somma delle aree dei rettan-goli lsquoesternirsquo relativi alla suddivisione 119878 Analogamente chiamiamo 119878-somma inferioreper 119891 il numero

120590119878(119891) = (1199091 minus1199090)1198981198781(119891) + (1199092 minus1199091)1198981198782(119891) +⋯+ (119909119899 minus119909119899minus1)119898119878119899(119891)

che nel caso di 119891 a valori positivi corrisponde alla somma delle aree dei rettangolilsquointernirsquo relativi alla suddivisione

Per costruzione egrave 119898119878119895 le 119872119878119895 e perciograve egrave evidente che

120590119878(119891) le Σ119878(119891)

66 esistenza dellrsquooperatore integrale 131

Dimostriamo adesso che se 119878 sube 119879 allora

120590119878(119891) le 120590119879(119891) le Σ119879(119891) le Σ119878(119891)

Possiamo limitarci al caso speciale in cui 119879 si ottenga aggiungendo un solo elementoa 119878 percheacute il caso generale discende ripetendo il ragionamento per un certo numero(finito) di volte Verifichiamo solo lrsquoultima disuguaglianza la prima egrave analoga (oppuresi applichi il ragionamento a minus119891)

Possiamo dunque supporre che 119879 contenga esattamente un elemento in piugrave di 119878 se119878 egrave dato da

119886 = 1199090 lt 1199091 lt ⋯ lt 119909119899minus1 lt 119909119899 = 119887

avremo che 119879 contiene un elemento 119909 che sta diciamo tra 119909119895minus1 e 119909119895 Dunque ladifferenza tra la 119878-somma superiore e la 119879-somma superiore egrave

Σ119878(119891) minus Σ119879(119891) = (119909119895 minus119909119895minus1)M119909119895119909119895minus1(119891) minus ((119909 minus119909119895minus1)M119909

119909119895minus1(119891) minus (119909119895 minus119909)M119909119895

119909(119891))

Per evitare tanta barbarie di simboli poniamo

119903 = 119909119895minus1

119904 = 119909119895

1198720 = M119909119895119909119895minus1(119891)

1198721 = M119909119909119895minus1(119891)

1198722 = M119909119895

119909(119891)

e osserviamo che 1198721 le 1198720 e 1198722 le 1198720 per uno dei due deve valere lrsquouguaglianzaAbbiamo allora

Σ119878(119891) minus Σ119879(119891) = (119904 minus 119903)1198720 minus ( (119909 minus 119903)1198721 + (119904 minus119909)1198722)

ge (119904 minus 119903)1198720 minus ( (119909 minus 119903)1198720 + (119904 minus119909)1198720) = 0

esattamente come richiestoSiamo a buon punto consideriamo lrsquoinsieme 119984119887

119886(119891) delle 119878-somme superiori e lrsquoin-sieme ℒ119887

119886(119891) delle 119878-somme inferiori cioegrave quelli dei valori ottenuti prendendo tutte lepossibili suddivisioni di [119886 119887] Dimostriamo che che ogni numero in ℒ119887

119886(119891) egrave minore(o uguale) di ogni numero in 119984119887

119886(119891) Infatti se prendiamo 120590119878(119891) e Σ119879(119891) abbiamo

120590119878(119891) le 120590119878cup119879(119891) le Σ119878cup119879(119891) le Σ119879(119891)

Ci viene dunque spontaneo considerare lrsquoestremo superiore L119887119886(119891) di ℒ119887

119886(119891) e lrsquoestremoinferiore U119887

119886(119891) di 119984119887119886(119891) Di sicuro

L119887119886(119891) le U119887

119886(119891)

e vogliamo dimostrare che in realtagrave sono uguali Come possiamo fare La rispostaegrave abbastanza semplice ci basta verificare che lrsquooperatore (119886119887) ↦ U119887

119886(119891) soddisfa leproprietagrave richieste per lrsquooperatore (119886119887) ↦ Int119887119886(119891) La stessa dimostrazione varragrave conle facili modifiche necessarie per lrsquooperatore (119886 119887) ↦ L119887

119886(119891) Siccome sappiamo giagraveche quellrsquooperatore se esiste egrave unico avremo terminato

La prima proprietagrave egrave davvero banale infatti se consideriamo la suddivisione 1198780 incui ci sono solo 119886 e 119887 abbiamo

(119887 minus 119886)m119887119886(119891) = 1205901198780(119891) le U119887

119886(119891) le Σ1198780(119891) = (119887minus 119886)M119887119886(119891)

Dobbiamo dunque dimostrare la seconda proprietagrave cioegrave che per 119901 le 119886 lt 119887 lt 119888 le 119902 siha

U119888119886(119891) = U119887

119886(119891) + U119888119887(119891)

132 integrali

Se prendiamo una suddivisione 119878 di [119886 119888] possiamo considerare la suddivisione119878prime = 119878cup 119887 perciograve per quanto abbiamo visto

Σ119878prime(119891) le Σ119878(119891)

Che cosa ci dice questo Che lrsquoestremo inferiore di 119984119888119886(119891) egrave lrsquoestremo inferiore di

un insieme piugrave piccolo quello delle somme inferiori calcolate sulle suddivisioni a cuiappartiene 119887 Ora se 119878 egrave una suddivisione di [119886 119888] a cui appartiene 119887 possiamoda questa ottenere una suddivisione 119878larr di [119886 119887] e una suddivisione 119878rarr di [119887 119888]Chiaramente dalla definizione di Σ119878 abbiamo

Σ119878(119891) = Σ119878larr(119891) + Σ119878rarr(119891)

Viceversa se 1198791 egrave una suddivisione di [119886 119887] e 1198792 egrave una suddivisione di [119887 119888]119879 = 1198791 cup1198792 egrave una suddivisione di [119886 119888] a cui appartiene 119887

Quindi ci siamo ridotti a verificare una condizione su insiemi di numeri

l e mma Siano 119860 e 119861 insiemi di numeri e sia 119862 lrsquoinsieme a cui appartengono tuttele possibili somme di numeri in 119860 con numeri in 119861 Se 119860 e 119861 hanno estremo inferiore119886 e 119887 allora 119862 ha estremo inferiore 119888 = 119886+ 119887

Se 119886 isin 119860 e 119887 isin 119861 allora 119886 le 119886 e 119887 le 119887 dunque 119888 = 119886+119887 le 119886+119887 e 119888 egrave un minorantedi 119862 e quindi 119862 ha estremo inferiore in particolare 119888 le inf 119862 Supponiamo che 119888 lt inf 119862Per definizione di estremo inferiore esistono 119886 isin 119860 e 119887 isin 119861 tali che

119886minus119886 le inf 119862minus 1198884 119887 minus 119887 le inf 119862minus 119888

4

Allora

119886+ 119887minus 119888 le inf 119862minus 1198882 lt inf 119862minus 119888

da cui 119886+ 119887 lt inf 119862 che egrave assurdo in quanto 119886+ 119887 isin 119862 per definizione di 119862

A che ci serve questo lemma Se prendiamo 119860 = 119984119887119886(119891) e 119861 = 119984119888

119887(119891) lrsquoinsieme 119862 egraveproprio lrsquoinsieme delle somme superiori calcolate sulle suddivisioni che contengono 119887Ma abbiamo giagrave osservato che inf 119862 = U119888

119886(119891) e il lemma ci dice allora che

U119888119886(119891) = inf 119862 = inf 119860+ inf 119861 = inf 119984119887

119886(119891) + inf 119984119888119887(119891) = U119887

119886(119891) + U119888119887(119891)

Per gli stessi motivi avremo anche

m119887119886(119891) le L119887

119886(119891) le M119887119886(119891)

L119888119886(119891) = L119888

119887(119891) + L119888119887(119891)

la prima per 119901 le 119886 lt 119887 le 119902 la seconda per 119901 le 119886 lt 119887 lt 119888 le 119902Ci sarebbe un modo piugrave veloce per dimostrarlo basta rendersi conto che

L119887119886(119891) = minusU119887

119886(minus119891)

e osservare che in quanto abbiamo fatto la funzione119891 non entra inmodo particolare neabbiamo solo usato la continuitagrave per verificare lrsquounicitagrave dellrsquooperatore (119886 119887) ↦ Int119887119886(119891)

La dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquooperatore Int egrave cosigrave conclusa

67 disuguaglianze 133

67 disuguaglianze

Qui supporremo sempre che le funzioni siano continue sullrsquointervallo [119886 119887] e quindiche 119886 lt 119887

La prima disuguaglianza per gli integrali egrave piuttosto facile se 119891 egrave una funzione nonnegativa che assume un valore positivo in [119886 119887] allora

int119887

119886119891(119905)119889119905 gt 0

Infatti deve essere 119891(119909) gt 0 per un 119909 isin (119886 119887) e possiamo trovare un intorno di 119909in cui 119891(119909) gt 0 se questo intorno contiene lrsquointervallo (119909 minus 120575 119909 + 120575) abbiamo che119891(119888) gt 0 e 119891(119889) gt 0 dove 119888 = 119909minus 1205752 e 119889 = 119909+1205752 Dunque

int119887

119886119891(119905)119889119905 = int

119888

119886119891(119905)119889119905 + int

119889

119888119891(119905)119889119905 + int

119887

119889119891(119905)119889119905 ge m119888

119886(119891) + m119889119888 (119891) + m119887

119889(119891)

con m119888119886(119891) ge 0 m119889

119888 (119891) gt 0 e m119887119889(119891) ge 0

Non egrave difficile vedere anche che se 119891(119909) le 119892(119909) per ogni 119909 allora

int119887

119886119891(119905)119889119905 le int

119887

119886119892(119905)119889119905

Infatti se 119865 = 119892minus119891 si ha 119865(119909) ge 0 per ogni 119909 e quindi m119887119886(119865) ge 0 Dunque

0 le (119887minus 119886)m119887119886(119865) le int

119887

119886119865(119905)119889119905 = int

119887

119886119892(119905)119889119905 minus int

119887

119886119891(119905)119889119905

In questo caso scriveremo 119891 le 119892Prendiamo una funzione 119891 e consideriamo le due funzioni cosigrave definite

119891+(119909) = 12( |119891(119909)| + 119891(119909))

119891minus(119909) = 12( |119891(119909)| minus 119891(119909))

Allora

119891+(119909) =⎧⎨⎩

119891(119909) se 119891(119909) ge 00 se 119891(119909) lt 0

119891minus(119909) =⎧⎨⎩

0 se 119891(119909) ge 0minus119891(119909) se 119891(119909) lt 0

e abbiamo chiaramente 119891(119909) = 119891+(119909) minus 119891minus(119909) Il vantaggio di aver definito 119891+ e 119891minuscon la formula algebrica egrave che questa dimostra che le due funzioni sono continue (edentrambe a valori non negativi) su [119886 119887] se tale egrave 119891 In piugrave abbiamo che

|119891(119909)| = 119891+(119909) + 119891minus(119909)

Indicheremo brevemente con |119891| la funzione 119909 ↦ |119891(119909)| che ha lo stesso dominiodi 119891 Per una funzione qualsiasi abbiamo minus|119891| le 119891 le |119891| e quindi per la disuguaglian-za precedente

int119887

119886minus|119891(119905)|119889119905 le int

119887

119886119891(119905)119889119905 le int

119887

119886|119891(119905)|119889119905

e ne segue lrsquoaltra fondamentale disuguaglianza

|int119887

119886119891(119905)119889119905| le int

119887

119886|119891(119905)|119889119905

134 integrali

Ne ricaviamo subito una conseguenza importante

se int119887

119886|119891(119905)|119889119905 = 0 allora 119891(119909) = 0 per ogni 119909 isin [119886 119887]

Infatti se fosse 119891(119909) ne 0 avremmo |119891(119909)| gt 0 e quindi lrsquointegrale di |119891| sarebbepositivo

t e o r ema Se 119891 egrave una funzione continua e crescente su [1 rarr) allora per ogniintero 119899 gt 1

119891(1) + 119891(2) +⋯+119891(119899minus 2) + 119891(119899minus 1) le int119899

1119891(119905)119889119905

int119899

1119891(119905)119889119905 le 119891(2) + 119891(3) +⋯+119891(119899minus 1) + 119891(119899)

Poicheacute 119891 egrave crescente si ha m119887119886(119891) = 119891(119886) e M119887

119886(119891) = 119891(119887) Perciograve 119891(1)+⋯+119891(119899minus1)e 119891(2) + ⋯ + 119891(119899) sono rispettivamente la somma inferiore e la somma superiorerispetto alla suddivisione 1 2hellip 119899minus 1119899

Vediamo un esempio Sia 119891(119909) = 1199092 il teorema ci dagrave un modo di valutare la somma119878119899minus1 = 12 + 22 +⋯+ (119899minus 1)2 infatti 119891 egrave crescente su [1 rarr) e perciograve

119878119899minus1 le int119899

11199052 119889119905 = [1199053

3 ]119905=119899

119905=1le 119878119899 minus 1

Dunque

119878119899minus1 le 1198993 minus 13 le 119878119899 minus1

Per lo stesso motivo1198993

3 + 23 le 119878119899 le (119899+ 1)3

3 minus 13

e possiamo dividere per 1198993

13 + 2

31198993 le 1198781198991198993 le 1

3 + 1119899 + 1

1198992

e per il teorema di confronto dei limiti

lim119899rarr+infin

1198781198991198993 = 1

3

Con la stessa tecnica si dimostri che se

119878(119896)119899 = 1119896 + 2119896 +⋯+119899119896

allora

lim119899rarr+infin

119878(119896)119899

119899119896+1 = 1119896+ 1

Per funzioni decrescenti vale ovviamente una coppia di disuguaglianze analoghe

t e o r ema Se 119891 egrave una funzione continua e decrescente su [1 rarr) allora perogni intero 119899 gt 1

119891(1) + 119891(2) +⋯+119891(119899minus 2) + 119891(119899minus 1) ge int119899

1119891(119905)119889119905

int119899

1119891(119905)119889119905 ge 119891(2) + 119891(3) +⋯+119891(119899minus 1) + 119891(119899)

67 disuguaglianze 135

Se prendiamo 119891(119909) = 11199092 definita su (0 rarr) essa egrave descrescente Se poniamo119860(2)119899 = 119891(1) +⋯+119891(119899) abbiamo per 119899 gt 1

119860(2)119899minus1 ge int119899

1

11199052 119889119905 = [minus1

119905 ]119905=119899

119905=1ge 119860(2)119899 minus 1

quindi calcolando lrsquointegrale

119860(2)119899 minus 1 le 1minus 1119899

che quindi dagrave

119860(2)119899 le 2minus 1119899

In particolare la successione 119860(2) che egrave crescente converge Alla stessa conclusionesi giunge con 119860(119904) definita da

119860(119904)119899 = 1+ 12119904 +⋯+ 1

119899119904

per 119904 gt 1 percheacute lrsquointegrale corrispondente vale

int119899

1

1119905119904 119889119905 = [minus 1

(119904 minus 1)119905119904minus1 ]119905=119899

119905=1= 1

119904minus 1 minus 1(119904 minus 1)119899119904minus1

e quindi 119860(119904)119899 le 1(119904 minus 1) + 1 = 119904(119904 minus 1)Per 119904 = 1 invece si ha

119860(1)119899minus1 ge int119899

1

1119905 119889119905 = [ log 119905]119905=119899

119905=1= log119899

e perciograve lim119899rarr+infin 119860(1)119899 = +infin

Usualmente si pone per 119904 gt 1 120577(119904) = lim119899rarr+infin 119860(119904)119899 La funzione che cosigrave si ottiene si chiamafunzione zeta di Riemann sebbene sia stata studiata inizialmente da Euler Riemann ne estesela definizione e dimostrograve importanti connessioni della funzione zeta piugrave generale con i numeriprimi Una congettura di Riemann sulla funzione zeta egrave uno dei piugrave importanti problemi apertidella matematica e non solo per il premio da un milione di dollari promesso da un istituto diricerca

Euler dimostrograve che lim119899rarr+infin 119860(2)119899 = 120577(2) = 12058726 chiudendo cosigrave una questione nota comeproblema di Basilea percheacute fu ripreso da Johan Bernoulli sebbene fosse stato posto da PietroMengoli (1626ndash1686) In effetti sulla dimostrazione di Euler ci sarebbero parecchi rilievi da farema lrsquoidea di fondo era corretta

Crsquoegrave un altro modo di dimostrare che la successione 119860(1) non converge Osserviamo che se119899 isin ℕ esiste un119898 isin ℕ tale che 2119898minus1 le 119899 lt 2119898+1minus1 quindi se dimostriamo che la successione119887 definita da 119887119898 = 119860(1)2119898minus1 non converge nemmeno lrsquoaltra converge I numeri naturali da 1 a2119898minus1 sono quelli che in notazione binaria si scrivono con al massimo 119898 cifre Quindi abbiamo

1198871 = 112

1198872 = 112

+( 1102

+ 1112

)

1198873 = 112

+( 1102

+ 1112

)+ ( 11002

+ 11012

+ 11102

+ 11112

)

e cosigrave via (non usiamo il sistema binario per gli indici) Se al posto delle frazioni con un denomi-natore di 119896 cifre binarie scriviamo 12119896+1 otteniamo un numero minore di 119887119898 che indichiamo

136 integrali

con 119887prime119898 Ogni gruppo in parentesi racchiude le frazioni il cui denominatore ha lo stesso numero

di cifre binarie se le cifre sono 119896 i numeri del gruppo sono esattamente 2119896 Perciograve

119887prime1 = 20 1

2 = 12

119887prime2 = 20 1

2 + 21 122 = 2

2

119887prime3 = 20 1

2 + 21 122 + 22 1

23 = 32

hellip

119887prime119898 = 20 1

2 +⋯+ 2119898minus1 12119898 = 119898

2

Dunque egrave chiaro che lim119898rarr+infin 119887prime119898 = +infin e perciograve anche lim119898rarr+infin 119887119898 = +infin

Egrave interessante notare che con una tecnica analoga si dimostra la convergenza di 119860(2) Scrivia-mo ancora 119888119898 = 119860(2)2119898minus1 e vediamo i primi termini

1198881 = 1(12)2

1198882 =1

(12)2+( 1

(102)2+ 1

(112)2)

1198883 = 1(12)2

+( 1(102)2

+ 1(112)2

)+ ( 1(1002)2

+ 1(1012)2

+ 1(1102)2

+ 1(1112)2

)

ma questa volta pensiamo di sostituire ogni frazione con denominatore di 119896 cifre con 12119896 Se 119897egrave un numero che nel sistema binario si scrive con 119896 cifre allora 2119896 le 119897 da cui 12119896 ge 1119897 Perciogravecon queste sostituzioni otteniamo un numero 119888prime

119898 ge 119888119898 e

119888prime1 = 20 1

12 = 1

119888prime2 = 20 1

12 +21 1(21)2 = 1+ 1

2

119888prime3 = 20 1

12 +21 1(21)2 +22 1

(22)2 = 1+ 12 + 1

4

hellip

119888prime119898 = 1+ 1

2 + 14 +⋯+ 1

2119898minus1

Ma questa egrave unrsquoespressione che sappiamo trattare se 119909 ne 1

1 +119909+1199092 +⋯+119909119898minus1 = 1minus119909119898

1minus119909

e per 119909 = 12 abbiamo119888prime119898 = 2(1minus 1

2119898 ) lt 2

Dunque la successione 119888prime egrave crescente e limitata allora anche 119888 egrave crescente e limitata e cosigrave per119860(2) Si noti come il ragionamento con gli integrali sia molto piugrave diretto e non richieda trucchiingegnosi

Se si prova a usare il secondo trucco con 119860(1) si ottiene solo la maggiorazione

119887119898 le 119898

che non dagrave alcuna informazione sulla convergenza di 119887

68 frazioni algebriche e integrali

Se 119875 e119876 sono polinomi in linea di principio egrave possibile trovare una primitiva di 119891(119909) =119875(119909)119876(119909) Infatti lrsquounico ostacolo egrave la fattorizzazione di 119876 come prodotto di fattoriirriducibili Egrave noto anche se non facile da dimostrare che i polinomi irriducibili sui realisono solo quelli di grado 1 e quelli di grado 2 con discriminante negativo La ricerca di

68 frazioni algebriche e integrali 137

una primitiva di una frazione algebrica poggia sul seguente risultato ma anche sulleosservazioni che (1) non egrave restrittivo supporre che il grado di 119875 sia minore del grado di119876 percheacute si puograve eseguire la divisione con resto (2) non egrave restrittivo supporre che 119875 e119876 non abbiano fattori comuni percheacute il massimo comune divisore si puograve determinarecon lrsquoalgoritmo di Euclide

Un fattore irriducibile 119877 del polinomio 119876 si dice di molteplicitagrave 119898 se 119877119898 divide 119876ma 119877119898+1 non divide 119876

t e o r ema Siano 119875 e 119876 polinomi senza fattori comuni con il grado di 119875 minoredel grado di 119876 Se 119877 egrave un fattore irriducibile di 119876 di molteplicitagrave 119898 allora si puogravescrivere

119875(119909)119876(119909) = 1198781(119909)

119877(119909) + 1198782(119909)119877(119909)2 +⋯+ 119878119898(119909)

119877(119909)119898 + 1198751(119909)1198761(119909)

dove 1198761 non egrave divisibile per 119877 e i polinomi 1198781 1198782 hellip 119878119898 hanno grado minore delgrado di 119877

Non daremo la dimostrazione che richiede conti piuttosto complicati Come si puogravefare in pratica Si applica il teorema ripetutamente fincheacute si esauriscono i fattori irri-ducibili di 119876 infatti il teorema vale anche per la frazione 11987511198761 A questo punto nonoccorre aver giagrave calcolato i numeratori 119878 percheacute si puograve usare ilmetodo dei coefficienti in-determinati Supponiamo per esempio che119876(119909) = 119909(119909minus1)3(1199092+1)2 Lrsquoapplicazioneripetuta del teorema ci dice che possiamo scrivere

119875(119909)119876(119909) = 119860

119909 + 119861119909minus 1 + 119862

(119909minus 1)2 + 119863(119909minus 1)3 + 119864119909+119865

1199092 + 1 + 119866119909+119867(1199092 + 1)2

Le incognite sono otto e il grado di 119875 egrave al massimo sette quindi i coefficienti nonnulli di 119875 sono al massimo otto e riscrivendo il membro di destra come unica frazionealgebrica possiamo adoperare il principio di identitagrave dei polinomi Ma non occorrenemmeno eseguire troppi calcoli con le frazioni basta usare il valore delle funzioni inpunti opportuni

Supponiamo per esempio 119875(119909) = 1199093 minus 21199092 + 3 Calcoliamo 119875(2)119876(2) = 350quindi anche

1198602 + 119861

1 + 11986212 + 119863

13 + 2119864+ 1198655 + 2119866+119867

52 = 350

Si possono usare altri punti per ottenere le sette equazioni ancora necessarie Lrsquoimpor-tante egrave vedere che si ottiene un sistema lineare

Vediamo un esempio certamente piugrave semplice con la funzione

119891(119909) = 1199094 + 31199092 + 1119909(119909minus 1)2(1199092 +1)

che ammette la decomposizione

119891(119909) = 119860119909 + 119861

119909minus 1 + 119862(119909minus 1)2 + 119863119909+119864

1199092 + 1

Qui forse egrave piugrave semplice scrivere ciograve che si ottiene mettendo tutto allo stesso denomi-natore

119891(119909)(119909(119909minus 1)2(1199092 +1) = 119860(119909minus 1)2(1199092 +1) + 119861119909(119909minus 1)(1199092 + 1)+119862119909(1199092 + 1) + (119863119909+119864)119909(119909minus 1)2

138 integrali

= (119860+119861+119863)1199094

+ (minus2119860minus119861+119862minus 2119863+119864)1199093

+ (2119860+ 119861+119863minus119864)1199092

+ (minus2119860minus119861+119862+119864)119909+119860

e il principio di uguaglianza dei polinomi dice

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

119860 = 1minus2119860minus119861+119862+119864 = 02119860+ 119861+119863minus119864 = 3minus2119860minus119861+119862minus 2119863+119864 = 0119860+119861+119863 = 1

da cui si ottiene119860 = 1 119861 = minus1 119862 = 2 119863 = 1 119864 = minus1

e quindi119891(119909) = 1

119909 minus 1119909minus 1 + 2

(119909minus 1)2 + 119909minus 11199092 +1

Egrave facile a questo punto calcolare una primitiva di 119891

int119909119891(119905)119889119905 = log|119909| minus log|119909 minus 1| minus 2

119909minus 1 +int119909 119905 minus 11199052 + 1 119889119905

dove teniamo da parte lrsquoultima frazione parziale unica che richiede un trattamento piugraveattento

int119909( 1199051199052 +1 minus 1

1199052 + 1)119889119905 = 12 int

119909 21199051199052 + 1 119889119905minusint

119909 11199052 + 1 119889119905

= 12 log(1199092 +1) minus arctan119909

Piugrave in generale quando si deve calcolare la primitiva della funzione 119891(119909) = (119860119909 +119861)(1198861199092 + 119887119909 + 119888) occorre procedere in questo modo Prima di tutto si vede se ildenominatore ha radici e in tal caso si puograve trovare la decomposizione in frazioniparziali come prima Dunque supponiamo che Δ = 1198872 minus 4119886119888 lt 0 la solita tecnica dicompletamento del quadrato ci permette di scrivere

1198861199092 +119887119909+ 119888 = 14119886(411988621199092 + 4119886119887119909+ 1198872 minusΔ) = 1

4119886((2119886119909+ 119887)2 minusΔ)

Poniamo allora 120575 = radicminusΔ e calcoliamo la primitiva

int119909 119860119905+ 1198611198861199052 +119887119905+ 119888 119889119905 = int

119909 4119886(119860119905 + 119861)(2119886119905 + 119887)2 +1205752 119889119905

= (hellip)[120575119906 = 2119886119905 + 119887 119889119906 = 2119886120575 119889119905]

= int(120575119909minus119887)(2119886) 119862119906+119863

1199062 + 1 119889119906

dove 119862 e 119863 sono opportuni coefficienti A questo punto il calcolo egrave facile

int119909 119862119905+119863

1199052 +1 119889119905 = 1198622 int

119909 21199051199052 +1 119889119905+119863int

119909 11199052 + 1 119889119905

che egrave del tutto simile al precedente Inutile scrivere la formula esplicita molto megliolavorare a un esempio

int119909 3119905 + 11199052 + 4119905 + 20 119889119905

69 integrali e aree 139

Completiamo il quadrato al denominatore

1199052 + 4119905+ 20 = 1199052 + 4119905 + 4+ 16 = (119905 + 2)2 +42

e quindi la sostituzione da eseguire egrave 2119906 = 119905+ 2 quindi 119889119905 = 2119889119906 e

3119905 + 1 = 3(1199062 minus 2+ 1) = 3

2(119906minus 2)

Perciograve lrsquointegrale diventa

int119909 3119905 + 11199052 + 4119905+ 20 119889119905 = 23

214 int

(119909+2)2 119906minus 21199062 + 1 119889119906

= 38 int

(119909+2)2 21199061199062 + 1 119889119906+ 3

4 int(119909+2)2 1

1199062 +1 119889119906

= 38[ log(1199062 +1)] 119906=(119909+2)2 + 3

4[arctan119906] 119906=(119909+2)2

e si puograve scrivere lrsquoespressione esplicita senza alcuna difficoltagravePiugrave complicato egrave trovare una primitiva di 119891(119909) = 1(1199092 + 1)2 a cui si riduce con

sostituzioni analoghe a quelle precedenti il calcolo quando nel denominatore dellafrazione originale ci sia il quadrato di un polinomio di secondo grado con discriminantenegativo Il trucco egrave di scrivere

1(1199092 +1)2 = 1+1199092 minus1199092

(1199092 + 1)2 = 11199092 + 1 minus 1199092

(1199092 + 1)2

Una primitiva del primo addendo egrave nota esaminiamo il secondo integrando per partiprendiamo 120593(119909) = 1199092 come fattore finito e 120595(119909) = 2119909(1199092 + 1)2 come fattore diffe-renziale Infatti una primitiva di 120595 egrave Ψ(119909) = minus1(1199092 + 1) percheacute al numeratore crsquoegrave laderivata di 119909 ↦ 1199092 +1 Dunque

int119909 1199052

2119905(1199052 + 1)2 119889119905 = 119909

2minus1

1199092 + 1 + 12 int

119909 11199052 +1 119889119905 = minus 119909

2(1199092 + 1) + 12 arctan119909

come si puograve controllare derivando e per la primitiva che stavamo cercando

int119909 1(1199052 + 1)2 119889119905 = int

119909 11199052 + 1 119889119905 minusint

119909 11990521199052 + 1 119889119905

= arctan119909minus (minus 1199092(1199092 + 1) + 1

2 arctan119909)

= 12( 119909

1199092 +1 + arctan119909)

Per le potenze superiori ci si deve armare di pazienza e ripetere il trucco piugrave volteOppure consultare httpintegralswolframcom dove si possono ottenere tuttigli integrali che si desiderano (quasi)

69 integrali e aree

Consideriamo un triangolo rettangolo prendiamo la retta di uno dei cateti come assedelle ascisse come origine il vertice dellrsquoangolo non retto Stabiliamo che i versi positividellrsquoasse delle ascisse e delle ordinate siano in modo che il vertice dellrsquoaltro angolo nonretto sia nel primo quadrante La retta che passa per i due vertici degli angoli non rettiavragrave cosigrave equazione

119910 = 119887119886119909

140 integrali

se con 119886 indichiamo la misura del cateto sullrsquoasse delle ascisse e con 119887 la misuradellrsquoaltro cateto Allora

int119886

0

119887119886119905119889119905 = 119887

119886[11990522 ]

119905=119886

119905=0= 119887

1198861198862

2 = 12119886119887

come era facile attendersiQual egrave il succo di questo discorso Che nei casi in cui lrsquoarea egrave facilmente definibile

cioegrave per i poligoni lrsquointegrale fornisce esattamente lo stesso risultato A questo puntoil passo egrave quasi ovvio invece di lunghe contorsioni per definire in modo lsquogeometricorsquolrsquoarea delle figure delimitate da curve usiamo lrsquointegrale

Supponiamo per esempio di voler calcolare lrsquoarea della parte di piano delimitatadalle due parabole di equazioni

119910 = 51199092 119910 = minus31199092 + 2

Le due parabole si incontrano nei punti di coordinate

(minus12 54) (1

2 54)

e un semplice raffronto mostra che lrsquoarea deve essere la differenza degli integrali

int12

minus12(minus31199052 + 2)119889119905 minusint

12

minus1251199052 119889119905 = int

12

minus12(minus81199052 + 2)119889119905

= [minus811990533 + 2119905]

119905=12

119905=minus12

= (13 minus 1)minus (minus1

3 + 1)

= 23

come si potrebbe calcolare anche dalla formula di Archimede Giagrave che ci siamo ve-diamo che anchrsquoessa funziona Lrsquoarea del settore definito sulla parabola di equazione119910 = 1198861199092 (con 119886 gt 0) dai punti (1199011198861199012) e (1199021198861199022) con 119901 lt 119902 egrave la differenza tra lrsquoarealdquosotto la rettardquo e quella ldquosotto la parabolardquo naturalmente delimitate entrambe dallrsquoassedelle ascisse Lrsquoarea ldquosotto la rettardquo egrave calcolabile senza integrali dal momento che lafigura egrave un poligono in particolare un trapezio rettangolo

12(1198861199012 +1198861199022)(119902 minus 119901)

mentre quella ldquosotto la parabolardquo egrave per definizione

int119902

1199011198861199052 119889119905 = [1198861199053

3 ]119905=119902

119905=119901= 119886

3 (1199023 minus1199013)

La differenza egrave dunque

1198866 (119902 minus 119901)( 3(1199012 +1199022) minus 2(1199022 +119901119902+1199012)) = 119886

6 (119902minus 119901)3

esattamente come calcolato in precedenzaAbbiamo giagrave visto come lrsquointegrale fornisca il valore ldquocorrettordquo per lrsquoarea del cerchio

non solo anche il procedimento che ha dimostrato lrsquoesistenza dellrsquointegrale si basa-va sullrsquoidea dellrsquoesaustione Dunque egrave perfettamente sensato definire lrsquoarea tramitelrsquointegrale e dimenticarsi di tutti i complicati procedimenti per calcolare aree strane

610 integrali impropri 141

Non egrave difficile generalizzare lrsquoesempio precedente diamo la regola pratica suppo-nendo di dover calcolare lrsquoarea compresa tra archi di curve esprimibili come grafici difunzioni Si numerano i punti di intersezione come

1198600(11990901199100) 1198601(11990911199101) hellip 119860119899minus1(119909119899minus1119910119899) 119860119899 = 1198600

girando attorno alla regione di piano in senso orario Chiamiamo 119891119896 (119896 = 1hellip 119899)la funzione il cui grafico costituisce il ldquolatordquo della figura da 119860119896minus1 a 119860119896 Allora lrsquoarearichiesta si ottiene con

int1199091

11990901198911(119905)119889119905 + int

1199092

11990911198912(119905)119889119905 +⋯+int

119909119899

119909119899minus1119891119899(119905)119889119905

Se per caso fra i ldquolatirdquo della figura ci fossero segmenti verticali lrsquointegrale non avrebbesenso e semplicemente lo si omette Si noti che certamente alcuni di quegli integralisaranno su intervalli ldquorovescirdquo ma questo non ci dagrave alcun problema

Facciamo un esempio Sono date 119891(119909) = log119909 e 119892(119909) = 1199092 e si vuole calcolare lrsquoareadeterminata dalle due curve dallrsquoasse delle ascisse e dalla retta di equazione119910 = 3minus2119909I punti da considerare sono 1198600(0 0) 1198601(1 1) 1198602(119903 3 minus 2119903) e 1198603(1 0) con 1198604 = 1198600Qui 119903 egrave la soluzione dellrsquoequazione log119909 = 3minus 2119909 La regola pratica dice dunque chelrsquoarea cercata egrave

int1

01199052 119889119905 +int

119903

1(3 minus 2119905)119889119905 + int

1

119903log 119905119889119905 + int

0

10119889119905

e calcoleremo gli integrali uno alla volta (escluso naturalmente lrsquoultimo)

int1

01199052 119889119905 = 1

3

int119903

1(3 minus 2119905)119889119905 = [ 3119905 minus 1199052] 119905=119903

119905=1= (3119903minus 1199032) minus (3 minus 1) = 3119903minus 1199032 minus 2

int1

119903log 119905119889119905 = [ (119905 minus 1) log 119905]119905=1

119905=119903= minus(119903minus 1) log119903 = minus(119903minus 1)(3 minus 2119903)

Perciograve lrsquoarea richiesta egrave

13 + 3119903minus 1199032 minus 2minus 3119903+ 3+ 21199032 minus 2119903 = 1199032 minus2119903+ 4

3

Se invece lrsquoarea da calcolare egrave quella delimitata dai grafici delle due funzioni e dallerette di equazioni 119909 = 1 e 119909 = 2 si puograve fare allo stesso modo i punti sono 1198600(1 1)1198601(2 4) 1198602(2 log2) 1198603(1 0) e 1198604 = 1198600 Lrsquoarea egrave dunque

int2

11199052 119889119905 +int

1

2log 119905119889119905 = [ 11990533] 119905=2

119905=1+ [ 119905(log 119905 minus 1)] 119905=1

119905=2

= (83 minus 1

3)+ (minus1minus 2 log2 + 2)

= 103 minus 2 log2

610 integrali impropri

In certi casi succede un fatto curioso consideriamo la funzione 119891(119909) = 1radic119909 che egravedefinita in (0 rarr) e fissiamo 119909 con 0 lt 119909 lt 1 allora

119865(119909) = int1

119909

1radic119905

119889119905 = [2radic119905]119905=1119905=119909

= 2minusradic119909

e lim119909rarr0 119865(119909) = 2 Intuitivamente lrsquoarea sottostante la curva 119910 = 1radic119909 compresa tralrsquoasse delle ordinate lrsquoasse delle ascisse e la retta di equazione 119909 = 1 egrave ldquofinitardquo pur se la

142 integrali

figura non egrave limitata nel piano Dobbiamo prendere molto sul serio questa asserzioneNo ma possiamo semplicemente definire

int1

0

1radic119905

119889119905 = lim119909rarr0

int1

119909

1radic119905

119889119905

senza preoccuparci di darne una ldquogiustificazione geometricardquo

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione continua nellrsquointervallo (119886 119887] Se esistefinito il

lim119909rarr119886

int119887

119909119891(119905)119889119905

allora si dice che lrsquointegrale improprio int119887119886 119891(119905)119889119905 converge e si pone

int119887

119886119891(119905)119889119905 = lim

119909rarr119886int

119887

119909119891(119905)119889119905

Analoga definizione si dagrave per una funzione continua in [119886 119887) Egrave chiaro da quantoabbiamo visto che se per caso 119891 egrave continua su [119886 119887] allora di sicuro

int119887

119886119891(119905)119889119905 = lim

119909rarr119887int

119909

119886119891(119905)119889119905

(finito) percheacute sotto il limite crsquoegrave proprio la funzione integrale che egrave derivabile e quindicontinua Analogamente per il limite verso lrsquoestremo sinistro dellrsquointervallo Quindi ledue nozioni non danno risultati diversi quando la funzione sia effettivamente continuain [119886 119887] oppure anche sia definita e continua in [119886 119887) e lim119909rarr119887 119891(119909) sia finito

Consideriamo ora 119891(119909) = exp(minus119909) che consideriamo definita su [0 rarr) allora

lim119909rarr+infin

int119909

0exp(minus119905)119889119905 = lim

119909rarr+infin[ minus exp(minus119905)] 119905=119909

119905=0

= lim119909rarr+infin

(minus exp(minus119909) + exp0) = 1

e ci ritroviamo in una situazione del tutto simile a prima Anche qui daremo la defini-zione di integrale improprio

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione continua nellrsquointervallo [119886 rarr) se esistefinito il

lim119909rarr+infin

int119909

119886119891(119905)119889119905

allora si dice che lrsquointegrale improprio int+infin119886 119891(119905)119889119905 converge e si pone

int+infin

119886119891(119905)119889119905 = lim

119909rarr+infinint

119909

119886119891(119905)119889119905

In molti casi non egrave possibile calcolare esplicitamente un integrale ma nel caso difunzioni continue su un intervallo chiuso sappiamo comunque che ha un certo valoreSi possono usare criteri di vario tipo per determinare se un integrale improprio conver-ge Ne enunceremo uno molto utile e spesso conclusivo lrsquoenunciato saragrave per funzionicontinue su [119886 rarr) ma vale anche per gli integrali impropri ldquoal finitordquo come si puogravevedere per esercizio apportando le dovute modifiche alla dimostrazione La scrittura119891 le 119892 significa 119891(119909) ge 119892(119909) per ogni 119909 del dominio di 119891 e 119892 che si suppone uguale0 le 119891 significa dunque che 119891(119909) ge 0 per ogni 119909 del dominio di 119891 (con 0 denotiamoanche la funzione costante nulla)

610 integrali impropri 143

t e o r ema Siano 119891 e 119892 funzioni continue su [119886 rarr) tali che 0 le 119891 le 119892 Se

int+infin

119886119892(119905)119889119905

converge allora converge anche

int+infin

119886119891(119905)119889119905

Le funzioni integrali 119865(119909) = int119909119886 119891(119905)119889119905 e 119866(119909) = int119909119886 119892(119905)119889119905 sono crescenti e per ledisuguaglianze tra gli integrali si ha

119865(119909) le 119866(119909)

Siccome per ipotesi lim119909rarr+infin 119866(119909) egrave finito 119865 egrave limitata e perciograve necessariamente anchelim119909rarr+infin 119865(119909) egrave finito

Nel caso in cui la funzione 119891 sia continua su (119886 rarr) daremo un senso anche allascrittura int+infin

119886 119891(119905)119889119905 ma solo quando entrambi i limiti

lim119909rarr119886

int119886+1

119909119891(119905)119889119905 e lim

119909rarr+infinint

119909

119886+1119891(119905)119889119905

esistono finiti e lrsquointegrale improprio saragrave la somma dei due limiti Al posto di 119886+1 sipuograve ovviamente usare qualsiasi 119887 isin (119886 rarr)

Vediamo un esempio abbastanza bizzarro lrsquointegrale su (0 rarr) di 119891(119909) = (sin119909)119909 conver-ge Per

int1205872

0

sin 119905119905 119889119905

il problema non si pone dal momento che 119891 puograve essere estesa a una funzione continua su[0 1205872] Dunque ci rimane lrsquointegrale sulla parte illimitata che studieremo integrando perparti

int119909

1205872

sin 119905119905 119889119905 = [(minus cos 119905)1119905 ]

119905=119909

119905=1205872minusint

119909

1205872(minus cos 119905)minus1

1199052 119889119905

= minus cos119909119909 +int

119909

1205872

minus cos 1199051199052 119889119905

Ci serve dunque calcolare il limite dellrsquointegrale che rimane Consideriamo

minus cos 1199051199052 = minus 1

1199052 + 1minus cos 1199051199052

Sappiamo che int+infin1205872 (11199052)119889119905 converge quindi ci basteragrave vedere che converge

int+infin

1205872

1minus cos 1199051199052 119889119905

Ora si ha 0 le (1 minus cos 119905)1199052 le 21199052 dal momento che 1 minus cos 119905 le 2 Per il teorema sullaconvergenza abbiamo allora che siccome int+infin

1205872 (21199052)119889119905 converge converge anche lrsquointegrale checi interessa

Dirichlet dimostrograve che int+infin0 (sin 119905)119905119889119905 = 1205872 La funzione

Si119909 = int119909

0

sin 119905119905 119889119905

ha proprietagrave molto interessanti e si chiama lsquoseno integralersquo Quanto dimostrato da Dirichletequivale a dire che lim119909rarr+infin Si119909 = 1205872 ed egrave immediato verificare che lim119909rarrminusinfin Si119909 = minus1205872

Per il teorema fondamentale si ha Siprime 119909 = (sin119909)119909 e quindi la derivata si annulla nei punti119896120587 per 119896 intero 119896 ne 0 La derivata seconda egrave

SiPrime 119909 = 119909 cos119909minus sin1199091199092

144 integrali

e conviene usare questa per stabilire quali siano i punti di massimo e di minimo di Si Infattiper 119896 = 2119899 pari (119899 ne 0) si ha

SiPrime(2119899120587) = 2119899120587 cos(2119899120587)minus sin(2119899120587)(2119899120587)2 = 1

2119899120587 gt 0

mentre per 119896 = 2119899+ 1 dispari si ha

SiPrime((2119899+ 1)120587) = (2119899+ 1)120587 cos((2119899+ 1)120587) minus sin((2119899+ 1)120587)((2119899+ 1)120587)2 = minus 1

(2119899+ 1)120587 lt 0

Dunque Si egrave convessa in un intorno dei punti 2119899120587 (119899 ne 0) e concava in un intorno dei punti(2119899+ 1)120587 quindi i primi sono punti di minimo i secondi punti di massimo In 0 crsquoegrave un flesso

SiPrime 0 = lim119909rarr0

SiPrime 119909 = lim119909rarr0

119909 cos119909minus sin1199091199092

H= lim119909rarr0

119909 sin1199092119909 = lim

119909rarr0

sin1199092 = 0

Gli altri flessi sono le soluzioni non nulle di tan119909 = 119909 Il grafico attraversa ciascuno dei dueasintoti infinite volte

611 la funzione gamma

Ci proponiamo di vedere che per ogni 119911 gt 0 lrsquointegrale

int+infin

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

converge La funzione 119891119911(119909) = 119909119911minus1 exp(minus119909) egrave continua in (0 rarr) e positiva Spez-ziamo in due lrsquointegrale improprio

int1

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905 + int

+infin

1119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

e valutiamo la convergenza separatamente Vediamo il secondo dando una maggiora-zione se 119899 egrave un intero con 119899 gt 119911minus 1 abbiamo per 119909 ge 1

119909119911minus1 exp(minus119909) le 119909119899 exp(minus119909)

e quindi ci basta dimostrare che

int+infin

1119905119899 exp(minus119905)119889119905

converge Dimostriamo per induzione su 119899 che una primitiva della funzione 119892119899(119909) =119909119899 exp(minus119909) egrave della forma 119866119899(119909) = 119875119899(119909) exp(minus119909) dove 119875119899 egrave un polinomio di grado alpiugrave 119899 Lrsquoasserzione egrave vera per 119899 = 0 infatti 1198660(119909) = (minus1) exp(minus119909) Ora calcoliamoper parti

int119909119905(119905119899 exp(minus119905))119889119905 = 119909119875119899(119909) exp(minus119909) minusint

119909119875119899(119905) exp(minus119905)119889119905

e esplicitando 119875119899 possiamo usare lrsquoipotesi induttiva su tutti gli addendi che si ot-tengono Quindi una primitiva di 119909 ↦ 119875119899(119909) exp(minus119909) egrave una funzione del tipo 119909 ↦119876119899(119909) exp(minus119909) con 119876119899 polinomio di grado al piugrave 119899 e in definitiva

int119909119905119899+1 exp(minus119905)119889119905 = (119909119875119899(119909) minus119876119899(119909)) exp(minus119909)

611 la funzione gamma 145

come si desiderava Adesso possiamo calcolare il limite

int+infin

1119905119899 exp(minus119905)119889119905 = lim

119909rarr+infinint

119909

1119905119899 exp(minus119905)119889119905

= lim119909rarr+infin

[119875119899(119905)exp 119905 ]

119905=119909

119905=1

= lim119909rarr+infin

119875119899(119909)exp119909 minus 119875119899(1)

119890

= minus119875119899(1)119890

percheacute lim119909rarr+infin 119909119896 exp119909 = 0 per ogni 119896 gt 0 come si vede applicando 119896 volte il teo-rema di lrsquoHocircpital Naturalmente questo prova anche che 119875119899(1) lt 0 ma non ha alcunaimportanza

Affrontiamo lrsquoaltro integrale per 119911 ge 1 la funzione 119909 ↦ 119909119911minus1 exp(minus119909) egrave definita econtinua in [0 1] quindi lrsquointegrale non ci dagrave alcun problema Il caso dubbio quindiegrave quello di 0 lt 119911 lt 1 Ma in tal caso per 119909 isin (0 1) si ha

119909119911minus1 exp(minus119909) le 119909119911minus1

e abbiamoint

1

0119905119911minus1 119889119905 = lim

119909rarr0119905119911minus1 119889119905 = lim

119909rarr0[119905119911119911 ]

119905=1

119905=119909= lim

119909rarr01 minus 119909119911

119911 = 1

e quindi anche il nostro integrale converge Secondo la notazione introdotta da Adrien-Marie Legendre (1752ndash1833) si pone

Γ(119911) = int+infin

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

Per 119911 = 1 lrsquointegrale egrave facile

Γ(1) = int+infin

0exp(minus119905)119889119905 = 1

Per fare i conti scriviamo anche

Γ(119911119909) = int119909

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

che consideriamo come funzione di 119909 per definizione lim119909rarr+infin Γ(119911119909) = Γ(119911) Suppo-niamo 119911 ge 1 e proviamo a integrare per parti

int119909

0119905119911 exp(minus119905)119889119905 = [ minus119905119911 exp(minus119905)]119905=119909

119905=0+int

119909

0119911119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

= minus119909119911 exp(minus119909) + 119911Γ(119911119909)

Passando al limite per 119909 rarr +infin otteniamo

Γ(119911 + 1) = int+infin

0119905119911 exp(minus119905)119889119905 = lim

119909rarr+infin(minus119909119911 exp(minus119909) + 119911Γ(119911119909)) = 119911Γ(119911)

percheacute il primo addendo nel limite va a 0 Questa egrave chiamata la relazione funzionaledella funzione gamma

Γ(119911 + 1) = 119911Γ(119911)

Noi lrsquoabbiamo verificata solo per 119911 ge 1 ma si puograve vedere (con due limiti invece di uno)anche per 0 lt 119911 lt 1 In particolare si ha

Γ(1) = 1 = 0 Γ(2) = 1Γ(1) = 1 sdot 0= 1 Γ(3) = 2Γ(2) = 2 sdot 1= 2

146 integrali

e piugrave in generale Γ(119899 + 1) = 119899 e questa egrave una delle proprietagrave che rendono moltointeressante la funzione gamma

La relazione funzionale puograve essere usata per estendere la funzione stessa se minus1 lt119911 lt 0 abbiamo 0 lt 119911+ 1 lt 1 e possiamo porre per definizione

Γ(119911) = Γ(119911 + 1)119911

ma naturalmente non possiamo farlo per 119911 = minus1 neacute per 119911 = 0 infatti per 119911 = minus1abbiamo che Γ(119911 + 1) non ha senso e per 119911 = 0 non ha senso la frazione (nemmenocon un passaggio al limite percheacute Γ(1) = 1)

Se minus2 lt 119911 lt minus1 possiamo usare la stessa relazione e procedere allo stesso mododefinendo Γ su tutti i numeri negativi purcheacute non interi

La funzione Γ egrave anche legata a 120587 consideriamo

Γ(12119909) = int119909

0119905minus12 exp(minus119905)119889119905

= (hellip)[119906 = 11990512 119905 = 1199062 119889119905 = 2119906119889119906]

= 2intradic119909

0exp(minus1199062)119889119906

e perciograve

Γ(12) = int+infin

0119905minus12 exp(minus119905)119889119905 = 2int

+infin

0exp(minus1199062)119889119906 = 2radic120587

2 = radic120587

Crsquoegrave anche un interessante legame con la funzione zeta di Riemann per 119911 gt 1 si ha

120577(119911)Γ(119911) = int+infin

0

119905119911119890119905 minus1 119889119905

che non proveremo nemmeno a dimostrare

612 integrazione numerica

La stessa dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquooperatore Int ci permette di ottenere valoriapprossimati di un integrale Tuttavia ha un grave limite occorrerebbe calcolare inogni sottointervallo di una suddivisione il valore minimo e massimo della funzioneEgrave chiaro che questo egrave un ostacolo troppo grande percheacute renderebbe i calcoli davverocomplicati La valutazione numerica degli integrali parte dalla seguente osservazionenon occorre conoscere il massimo e il minimo Vediamo percheacute

Data una suddivisione 119878 dellrsquointervallo [119886 119887] che pensiamo data come 119886 = 1199090 lt1199091 lt ⋯ lt 119909119899minus1 lt 119909119899 = 119887 consideriamo per 119895 = 1 2hellip 119899 un numero 119911119895 isin [119909119895minus1 119909119895]Avremo perciograve 1199111 le 1199112 le hellip le 119911119899 e possiamo eseguire la seguente operazione

Ψ119878119885(119891) = (1199091 minus1199090)119891(1199111) + (1199092 minus1199091)119891(1199112) +⋯+ (119909119899 minus119909119899minus1)119891(119911119899)

dove con 119885 denotiamo la successione 1199111 le hellip le 119911119899 Siccome per definizione si ha conle stesse notazioni usate nella dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquooperatore integrale

1198981198781 le 119891(1199111) le 1198721198781 1198981198782 le 119891(1199112) le 1198721198782 hellip 119898119878119899 le 119891(119911119899) le 119872119878119899

avremo dunque120590119878(119891) le Ψ119878119885(119891) le Σ119878(119891)

Poicheacute per suddivisioni abbastanza fitte la differenza Σ119878(119891) minus 120590119878(119891) diventa minoredi qualsiasi tolleranza prefissata possiamo usare Ψ119878119885(119891) come valore approssimatodellrsquointegrale

612 integrazione numerica 147

Il metodo che viene subito alla mente egrave quello cosiddetto dei rettangoli si scegliesempre 119911119895 = 119909119895 Vediamo che succede con una suddivisione in quattro parti tanto pernon complicare troppo i conti

Ψ119878+(119891) = (1199091 minus1199090)119891(1199091) + (1199092 minus1199091)119891(1199092) + (1199093 minus1199092)119891(1199093) + (1199094 minus1199093)119891(1199094)

Con + indichiamo questa particolare scelta di 119911119895 Non egrave difficile arrivare alla formulagenerale

Ψ119878+(119891) =119899

sum119895=1

(119909119895 minus119909119895minus1)119891(119909119895)

Egrave chiaro che lrsquoapprossimazione cosigrave ottenuta saragrave per difetto se la funzione egrave decre-scente in [119886 119887] e per eccesso se 119891 egrave crescente Egrave chiaro anche che si puograve fare lascelta opposta cioegrave di considerare sempre 119911119895 = 119909119895minus1 proviamo a vedere come diventala formula nel caso di quattro punti

Ψ119878minus(119891) = (1199091 minus1199090)119891(1199090) + (1199092 minus1199091)119891(1199091) + (1199093 minus1199092)119891(1199092) + (1199094 minus1199093)119891(1199093)

e in generale

Ψ119878minus(119891) =119899

sum119895=1

(119909119895 minus119909119895minus1)119891(119909119895minus1)

Se prendiamo la media di queste due approssimazioni in molti casi otteniamo unrsquoap-prossimazione migliore egrave il cosiddetto metodo dei trapezi si cerchi di capire il percheacutedel nome Avremo

119868(1)119878 (119891) =119899

sum119895=1

(119909119895 minus119909119895minus1)119891(119909119895minus1) + 119891(119909119895)

2

Vediamo un esempio il calcolo di 120587 con questo metodo Sapendo che

1205874 = int

1

0

11 +1199092 119889119909

suddividiamo lrsquointervallo [0 1] in quattro parti uguali facendo una tabella dei valoriche ci servono

119909119895 119891(119909119895) (119891(119909119895minus1 +119891(119909119895))2

119895 = 0 000 100000000000000000000119895 = 1 025 094117647058823529411 097058823529411764705119895 = 2 050 080000000000000000000 087058823529411764705119895 = 3 075 064000000000000000000 072000000000000000000119895 = 4 100 050000000000000000000 057000000000000000000

Ne deriviamo il valore approssimato

1205874 asymp 078279411764705882352

cioegrave 120587 asymp 313117647058823529408 che non egrave molto buono Se ripetiamo il contodividendo in otto parti otteniamo

1205874 asymp 078474712362277225232

che darebbe 120587 asymp 313898849449108900928 ancora lontano dal valore lsquoverorsquo Dividen-do in venti parti uguali avremmo 1205874 asymp 078529399673853211585 che corrisponde a

148 integrali

120587 asymp 314117598695412846340 con sole tre cifre decimali esatte Per calcoli del genereun foglio di lavoro egrave molto utile con cento parti avremmo 1205874 asymp 314157598692313quattro cifre decimali esatte

Se proviamo con lrsquointegrale int21 (1119909)119889119909 con la divisione in cento parti abbiamolog2 asymp 0693153430481824 che ha quattro cifre decimali esatte Egrave chiaro che lrsquoappros-simazione egrave tantomigliore quantomeno il grafico della funzione si discosta poco fra unpunto e lrsquoaltro della suddivisione dal segmento che congiunge i punti (119909119895minus1 119891(119909119895minus1))e (119909119895 119891(119909119895))

Quando decidiamo di suddividere lrsquointervallo [119886 119887] in 119899 parti uguali la formula sisemplifica parecchio infatti 119909119895 minus119909119895minus1 = (119887minus 119886)119899 e quindi avremo

119868(1)119878 (119891) = 119887minus119886119899 (119891(119886) + 119891(119887)

2 +119899minus1

sum119895=1

119891( 119886+ 119887minus119886119899 119895))

Si scriva questa somma nel caso di 119899 = 4 per convincersene tutti i termini del tipo119891(119909119895) compaiono due volte tranne quello con 119895 = 0 e 119895 = 119899 In questo caso abbiamoanche ponendo 119896 = (119887minus 119886)119899

Ψ119878minus(119891) = 119896119899minus1

sum119895=0

119891(119886+ 119895119896)

e quindi

119868(1)119878 (119891) minusΨ119878minus(119891) = 119896119891(119887) minus 119891(119886)2 = Ψ119878+(119891) minus 119868(1)119878 (119891)

che mostra come non si ha un grande guadagno usando questo metodo invece di quellodei rettangoli Naturalmente un trucco efficiente per usarlo egrave di raddoppiare i puntidella suddivisione in modo da non dover buttar via i dati giagrave raccolti dovendo calcolaresolo i valori di 119891 nei punti di mezzo degli intervalli precedenti

7SER I E

Il concetto di serie egrave entrato nella matematica molto tempo fa dapprima in modo con-fuso e impreciso lrsquoidea era di eseguire somme di infiniti termini costruiti in modolsquouniformersquo Newton basograve i suoi metodi di lsquocalcolo delle fluenti e delle flussionirsquo cioegrave cal-colo di derivate e integrali proprio sulle serie uno dei suoi attrezzi era per esempiola serie binomiale che incontreremo piugrave avanti Fin dallrsquoantichitagrave ci si era accorti che lesomme 1

2 + 14 +⋯+ 1

2119899

si avvicinano sempre piugrave a 1 Uno dei famosi paradossi di Zenone si basava proprio suquesto il corridore non puograve arrivare al traguardo percheacute deve percorrere metagrave dellapista poi la metagrave della metagrave poi ancora la metagrave di ciograve che resta e cosigrave via Archimedeavrebbe risolto la questione dimostrando che qualsiasi distanza gli avesse propostoZenone il corridore avrebbe percorso piugrave di quella distanza in un tempo finito e dun-que sarebbe arrivato al traguardo percheacute egrave impossibile che non ci arrivi Dal punto divista strettamente matematico le questioni filosofiche di Zenone sono irrilevanti lrsquoim-portante egrave che un concetto sia definito con precisione e venga usato con le regole dellalogica e della matematica che non tratta di stadi di corridori di Achille e di tartarugheDal punto di vista filosofico i paradossi di Zenone sullrsquoimpossibilitagrave del moto si risol-vono come fece il filosofo Diogene mettendosi a camminare Solvitur ambulando erauno dei modi di dire dei filosofi posteriori per indicare un problema solo apparente

71 integrali e successioni

Abbiamo dimostrato che definendo per induzione

1198860 = 0 119886119899+1 = 119886119899 + 1119899+ 1

la successione 119886 non converge Curiosamente se invece di sommare sempre il termineseguente alternativamente sommiamo e sottraiamo la successione che risulta convergese

1198870 = 0 119887119899+1 = 119887119899 + (minus1)119899119899+ 1

allora la successione 119887 converge a log2 i primi termini sono

0 1 1 minus 12 1 minus 1

2 + 13

e cosigrave via Consideriamo lrsquoidentitagrave

1minus 119905119899+1

1 minus 119905 = 1+ 119905+ 1199052 +⋯+ 119905119899

(valida per 119905 ne 1) che possiamo anche scrivere

11minus 119905 = 1+ 119905+ 1199052 +⋯+ 119905119899 + 119905119899+1

1 minus 119905oppure cambiando 119905 in minus119905

11 + 119905 = 1minus 119905+ 1199052 minus 1199053 +⋯+ (minus1)119899119905119899 + (minus1)119899+1119905119899+1

1 + 119905

Se proviamo a calcolare lrsquointegrale su [0 1] di ambo i membri otteniamo ricordandoche

int1

0119905119899 119889119905 = 1

119899+ 1

149

150 serie

e cheint

1

0

11+ 119905 119889119905 = [log(1 + 119905)] 119905=1

119905=0= log2

la nuova identitagravelog2 = 119887119899 +int

1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1 + 119905 119889119905

Se dimostriamo chelim

119899rarr+infinint

1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1+ 119905 119889119905 = 0

avremo proprio la nostra tesi Ora

|int1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1+ 119905 119889119905| le int1

0| 119905

119899+1

1+ 119905|119889119905

e la funzione da integrare a destra egrave non negativa Siccome 1+119905 ge 119905 quando 119905 isin [0 1]possiamo scrivere le disuguaglianze

0 le 119905119899+1

1 + 119905 le 119905119899+1

119905 = 119905119899

e perciograve

0 le |int1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1 + 119905 119889119905| le int1

0119905119899 119889119905 = 1

119899+ 1

Quindi possiamo concludere per il teorema sul confronto dei limiti dal momento chelim119899rarr+infin 1(119899 + 1) = 0 Basta infatti ricordare che da lim119911rarr119909|119891(119911)| = 0 segue chelim119911rarr119909 119891(119911) = 0

La convergenza della successione 119887 a log2 fu lsquodimostratarsquo per la prima volta da Niko-laus Kauffmann (1620ndash1687) piugrave noto come Mercator (non va confuso con il cartografo)La lsquodimostrazionersquo di Mercator era ovviamente diversa e non rigorosa

Limiti di successioni come questa si indicano spesso come lsquosomme infinitersquo

log2 = 1minus 12 + 1

3 minus 14 +⋯

quando naturalmente sia chiaro quali sono i termini che seguono o piugrave propriamentequando sia data la formula ricorsiva della successione

Unrsquoaltra lsquosomma infinitarsquo era stata giagrave scoperta da Mengoli

1 + 13 + 1

6 + 110 +⋯

cioegrave la lsquosommarsquo dei reciproci dei numeri triangolari quelli della forma 119899(119899+1)2 bennoti fin dai tempi di Pitagora (Ὁ Πυθαγόρας ὁ Σάμιος 575 aCndash495 aC) La successioneegrave

1198880 = 0 119888119899+1 = 1198880 +2

119899(119899+ 1)che Mengoli trattava in questo modo

2119899(119899+ 1) = 2

119899 minus 2119899+ 1

e quindi la lsquosomma infinitarsquo diventa

21 minus 2

2 + 22 minus 2

3 + 23 minus 2

4 +⋯

e ciascun termine a parte il primo si cancella con il successivo dunque la lsquosommarsquo egrave 2Ovviamente questa non egrave affatto una dimostrazione percheacute non abbiamo la minimaidea di che cosa sia una lsquosomma infinitarsquo

72 altre successioni 151

Unrsquoaltra lsquosomma infinitarsquo calcolata con trucchi molto ingegnosi egrave dovuta a Leibniz

1205874 = 1minus 1

3 + 15 minus 1

7 +⋯

cioegrave la somma a segni alterni dei reciproci dei numeri dispari Possiamo dimostrarlocon un trucco del tutto analogo al precedente nellrsquoidentitagrave per 1(1 minus 119905) poniamo119905 = minus1199062 trovando

11 +1199062 = 1minus1199062 +1199064 minus1199066 +⋯+ (minus1)1198991199062119899 + (minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062

Se integriamo sullrsquointervallo [0 1] lrsquoidentitagrave

1205874 = 119897119899 +int

1

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906 1198971 = 1 119897119899+1 = 119897119899 + (minus1)1198992119899+ 1

ricordando cheint

1

0

11+1199062 119889119906 = [ arctan119906] 119906=1

119906=0= arctan1 = 120587

4

abbiamo esattamente come prima che

lim119899rarr+infin

int1

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906 = 0

e quindi lim119899rarr+infin 119897119899 = 1205874 come lsquodimostratorsquo da Leibniz

72 altre successioni

Consideriamo di nuovo il modo in cui abbiamo calcolato la somma di Leibniz questavolta invece di integrare su [0 1] calcoleremo gli integrali tra 0 e119909 per un119909 qualsiasi

arctan119909 = int119909

0

11 +1199062 119889119906

= int119909

0(1 minus 1199062 +⋯+ (minus1)1198991199062119899)119889119906+int

1

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906

= 119909minus 1199093

3 +⋯+ (minus1)119899 1199092119899+1

2119899+ 1 +int119909

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906

Il problema qui egrave di nuovo di far tendere a zero lrsquointegrale che rimane in modo che lasuccessione che rimane abbia proprio come limite lrsquoarcotangente

La maggiorazione di prima si puograve ancora calcolare allo stesso modo

|int119909

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1+1199062 119889119906| le int|119909|

0

1199062119899+2

1+1199062 119889119906

le int|119909|

0

1199062119899+2

1199062 119889119906

le |119909|2119899+1

2119899+ 1

ma ora crsquoegrave un problema non possiamo dire che

lim119899rarr+infin

|119909|2119899+1

2119899+ 1 = 0

qualunque sia 119909 Infatti per 119886 ge 0

lim119899rarr+infin

119886119899 =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

0 se 0 le 119886 lt 11 se 119886 = 1+infin se 119886 gt 1

152 serie

come egrave facile verificare Perciograve fincheacute minus1 le 119909 le 1 abbiamo che

lim119899rarr+infin

|119909|2119899+1

2119899+ 1 = 0

ma ciograve non egrave piugrave vero per |119909| gt 1 Poco male abbiamo calcolato la lsquosomma infinitarsquo

arctan119909 = 119909minus 1199093

3 + 1199095

5 minus 1199097

7 +⋯ (minus1 le 119909 le 1)

che egrave nota come serie di Gregory da James Gregory (1638ndash1675) Analogamente avremo

log(1 + 119909) = 119909minus 1199092

2 + 1199093

3 minus 1199094

4 +⋯ (minus1 lt 119909 le 1)

Qui non possiamo considerare valida la lsquosommarsquo per 119909 = minus1 percheacute lrsquoidentitagrave da cuipartiamo non ha senso 1(1 + 119905) non egrave definita per 119905 = minus1

Che succede quando |119909| gt 1 Vedremo piugrave avanti che non egrave possibile dare un sensoa quelle somme infinite in questo caso

73 definizione di serie

Molte delle successioni di cui abbiamo trattato la convergenza sono della forma

1198870 = 1198860 119887119899+1 = 119887119899 +119886119899+1

dove 119886 egrave una successionePer esempio la serie di Leibniz si ottiene con 119886119899 = (minus1)119899(2119899+ 1)

d e f i n i z i o n e Si dice che la serie associata alla successione 119886 converge se esistefinito il limite della successione 119886 definita da

1198860 = 1198860 119886119899+1 = 119886119899 +119886119899+1

Se lim119899rarr+infin 119886119899 = 119897 si ponesum119899ge0

119886119899 = 119897

e 119897 si chiama somma della serie di termine generale 119886119899

Abbiamo giagrave visto parecchie serie convergenti

sum119899ge0

(minus1)1198992119899+ 1 = 120587

4

sum119899ge0

(minus1)119899119899 = log2

sum119899ge0

(minus1)1198991199092119899+1

2119899+ 1 = arctan119909 (minus1 le 119909 le 1)

sum119899ge0

(minus1)119899119909119899

119899+ 1 = log(1 + 119909) (minus1 lt 119909 le 1)

sum119899ge1

11198992 = 1205872

6

sum119899ge1

1119899119904 = 120577(119904) (119904 gt 1)

Dellrsquoultima non si puograve scrivere la somma in termini di funzioni lsquonotersquo

73 definizione di serie 153

Ne vediamo subito unrsquoaltra ricordiamo che lo sviluppo di Taylor per la funzioneesponenziale exp egrave

exp119909 = 1+ 1199091 +

1199092

2 +⋯+ 119909119899

119899 + 119877119899(119909)

e che sappiamo scrivere

119877119899(119909) = exp119888119899(119899+ 1)

per un opportuno 119888119899 tra 0 e 119909 qui vogliamo far variare 119899 e quindi varieragrave anche 119888119899 Seconsideriamo 119886119899 = 119909119899119899 (naturalmente ricordando che 1199090 = 1 e 0= 1) ci accorgiamoche siamo proprio nella situazione di prima ma sappiamo che

lim119899rarr+infin

exp119909119899 = 0

e quindi anche lim119899rarr+infin exp119888119899119899= 0 dunque

exp119909 = sum119899ge0

119909119899

119899

senza alcuna limitazione su 119909Possiamo trovare serie analoghe per sin e cos percheacute gli sviluppi di Taylor sono facili

da calcolare essendo sinprime 119909 = cos119909 e cosprime 119909 = minus sin119909 dunque

sin(119899) 0 =⎧⎨⎩

0 se 119899 egrave pari(minus1)119896 se 119899 = 2119896+ 1 egrave dispari

cos(119899) 0 =⎧⎨⎩

0 se 119899 egrave dispari(minus1)119896 se 119899 = 2119896 egrave dispari

Perciograve possiamo scrivere

sin119909 = 119909minus 1199093

3 + 1199095

5 minus 1199097

7 +⋯+ (minus1119896) 1199092119896+1

(2119896 + 1) + 1198772119896+1(119909)

e simile a prima

1198772119896+1(119909) = sin(2119896+2) 119888(2119896 + 2)

quindi il resto ha limite 0 per ogni 119909 Analogamente per il coseno e dunque

sin119909 = sum119896ge0

(minus1)119896 1199092119896+1

(2119896 + 1)

cos119909 = sum119896ge0

(minus1)119896 1199092119896

(2119896)

A questo tipo di serie si dagrave il nome di serie di potenze sono le serie della forma

sum119899ge0

119886119899119909119899

di cui le serie di Gregory di Leibniz generalizzata dellrsquoesponenziale del seno e delcoseno sono casi particolari

154 serie

74 criteri di convergenza

Quando vogliamo vedere se una serie converge la prima cosa da osservare egrave il limitedella successione Useremo il simbolo sum119899ge0 119886119899 anche per indicare la serie indipen-dentemente dal fatto se converga o no ma il segno di uguaglianza o le operazionicoinvolgenti questo simbolo hanno senso solo se prima si sia verificata la convergenza

t e o r ema Se la serie sum119899ge0 119886119899 converge allora lim119899rarr+infin 119886119899 = 0

Se lim119899rarr+infin 119886119899 = 119897 allora anche lim119899rarr+infin 119886119899minus1 = 119897 e quindi da 119886119899 = 119886119899minus 119886119899minus1 segue

lim119899rarr+infin

119886119899 = lim119899rarr+infin

119886119899 minus lim119899rarr+infin

119886119899minus1 = 119897minus 119897 = 0

Va osservato che si tratta di una condizione necessaria abbiamo infatti giagrave dimo-strato che sum119899ge0 1(119899+ 1) non converge

Diremo che due successioni 119886 e 119887 (o le serie che definiscono) sono quasi uguali se119886119899 = 119887119899 per ogni 119899 maggiore di un certo numero 119896 in altre parole se i termini dellesuccessioni sono diversi solo su un insieme finito di naturali

t e o r ema Se le serie sum119899ge0 119886119899 e sum119899ge0 119887119899 sono quasi uguali allora entrambeconvergono o non convergono

Per ipotesi abbiamo 119886119899 = 119887119899 per 119899 gt 119896 Supponiamo che sum119899ge0 119886119899 convergaponiamo 119888 = 1198860 +⋯+119886119896 e 119889 = 1198870 +⋯+119887119896 Allora per 119899 gt 119896

119899 = 119889+119887119896+1 +⋯+119887119899 = (119889minus 119888) + 119888+ 119886119896+1 +⋯+119886119899 = (119889minus 119888) + 119886119899

e dunque lim119899rarr+infin 119899 = (119889minus 119888) + lim119899rarr+infin 119886119899 Ovviamente egrave lo stesso se supponiamoche sum119899ge0 119887119899 converga

Questrsquoultimo teorema permette di essere molto flessibili nella trattazione delle serieper esempio possiamo tranquillamente scrivere che

sum119899ge3

1119899

converge sottintendendo che i termini ldquomancantirdquo sono nulli Anche in vari teoremi cheseguiranno si useragrave la stessa idea ciograve che conta per la convergenza egrave il comportamentoldquoda un certo punto in poirdquo

I teoremi sui limiti ci danno subito varie conseguenze per le serie

t e o r ema Se sum119899ge0 119886119899 e sum119899ge0 119887119899 convergono allora convergono anche le seriesum119899ge0(119886119899 +119887119899) e sum119899ge0(119888119886119899) per ogni numero 119888 inoltre

sum119899ge0

(119886119899 +119887119899) = sum119899ge0

119886119899 + sum119899ge0

119887119899 e sum119899ge0

(119888119886119899) = 119888 sum119899ge0

119886119899

Useremo spesso questo risultato non occorre dare una dimostrazione formale per-cheacute si tratta sempre e solo di limiti la si scriva per esercizio Un risultato da dimostrareegrave invece il seguente

c r i t e r i o d i l e i b n i z Data una successione decrescente 119886 con terminipositivi per la quale valga anche lim119899rarr+infin 119886119899 = 0 la serie

sum119899ge0

(minus1)119899119886119899

converge Inoltre se 119897 egrave la somma si ha

|1198860 minus1198861 +⋯+ (minus1)119899119886119899 minus 119897| le 119886119899+1

74 criteri di convergenza 155

Dalle ipotesi su 119886 segue che per ogni 119899 119886119899 ge 0 (teorema della permanenza del segno edecrescenza) Consideriamo dunque 119887119899 = (minus1)119899119886119899 e le due successioni

119888119899 = 2119899 119889119899 = 2119899+1 = 119888119899 +1198872119899+1 = 119888119899 minus1198862119899+1

Siccome 119889119899 = 119888119899 +1198872119899+1 = 119888119899 minus1198862119899+1 abbiamo che 119889119899 le 119888119899 Inoltre

119888119899+1 = 2119899+2 = 2119899 +1198872119899+1 +1198872119899+2 = 119888119899 + (1198862119899+2 minus1198862119899+1) le 119888119899

Analogamente 119889119899+1 ge 119889119899 Dunque le due successioni sono monotone e limitate quindi hannolimite Se 119897 = lim119899rarr+infin 119888119899 e 119898 = lim119899rarr+infin 119889119899 abbiamo 119898 le 119897 e anche per ogni 119899

119888119899 minus119889119899 ge 119897minus119898

Ma119888119899 minus119889119899 = 2119899 minus 2119899+1 = minus1198872119899+1 = minus(minus1)2119899+11198862119899+1 = 1198862119899+1

Quindi 1198860 ge 1198861 ge 119897 minus 119898 1198862 ge 1198863 ge 119897 minus 119898 e cosigrave via in altre parole 119886119899 ge 119897 minus 119898 per ogni 119899Passando al limite abbiamo

119897 minus119898 le lim119899rarr+infin

119886119899 = 0

e perciograve 119897 le 119898 che insieme a 119897 ge 119898 dagrave 119897 = 119898Adesso si tratta di verificare che data una tolleranza 120576 gt 0 abbiamo |119899 minus 119897| le 120576 quando

119899 gt 119896 per un opportuno 119896 Siccome lim119899rarr+infin 119888119899 = 119897 = lim119899rarr+infin 119889119899 possiamo trovare 119896 tale cheper 119899 gt 119896

|119888119899 minus 119897| le 120576 |119889119899 minus 119897| le 120576

Ma allora per 119899 gt 1198962 abbiamo|119899 minus 119897| le 120576

Rimane da verificare lrsquoultima asserzione Siccome 119897minus119889119899 ge 0 abbiamo 119897minus 119888119899 +1198862119899+1 ge 0 da cui1198872119899 minus 119897 le 1198862119899+1 Analogamente da 119888119899+1 minus 119897 ge 0 deduciamo che

119889119899 +1198872119899+2 minus 119897 ge 0

cioegrave 2119899+1 +1198862119899+2 minus 119897 ge 0 quindi 119897 minus 2119899+1 le 1198862119899+2

Notiamo che una serie che soddisfa queste ipotesi ha una proprietagrave importante lesomme parziali con numero pari di addendi sono approssimazioni per eccesso dellasomma quelle con un numero dispari di addendi sono approssimazioni per difettoIn ogni caso lrsquoerrore che si commette egrave al massimo lrsquoultimo termine trascurato Nonche questo aiuti a scrivere unrsquoapprossimazione decente di 1205874 nel caso della seriedi Leibniz occorrono 5000 termini per ottenere unrsquoapprossimazione con la terza cifradecimale sicuramente esatta

Una somma parziale della serie sum119899ge0 119886119899 egrave ovviamente una delle somme (finite)

119886119899 = 1198860 +1198861 +⋯+119886119899

e un modo spesso usato per dire che la serie converge egrave che la successione delle sommeparziali converge cioegrave la nostra stessa definizione

Crsquoegrave da osservare che non occorre veramente che la successione 119886 sia decrescentebasta che sia quasi decrescente cioegrave che la condizione 119886119899 ge 119886119899+1 valga da un certopunto in poi diciamo per 119899 gt 119896 infatti possiamo sostituire i primi 119896 termini con 119886119896+1e avere una successione decrescente che egrave quasi uguale alla successione data

156 serie

75 serie a termini positivi

In tutta questa sezione supporremo quasi sempre che le successioni 119886 che tratteremoabbiano la proprietagrave 119886119899 ge 0 per ogni 119899 Ma tratteremo anche serie con termini anchenon negativi e il contesto lo chiariragrave Per queste serie ci sono numerosi criteri di con-vergenza Notiamo subito che per una serie di questo tipo la successione delle sommeparziali 119886 egrave crescente e quindi la convergenza equivale alla limitatezza Le chiameremosuccessioni positive se vale 119886119899 gt 0 per ogni 119899

Si potrebbero considerare allo stesso modo le successioni non negative semplice-mente trascurando gli eventuali termini nulli

t e o r ema Siano 119886 e 119887 successioni positive con 119886119899 le 119887119899 per ogni 119899 Se sum119899ge0 119887119899converge anche sum119899ge0 119886119899 converge se sum119899ge0 119886119899 non converge anche sum119899ge0 119887119899 nonconverge

Ci basta vedere che se sum119899ge0 119887119899 converge converge anche sum119899ge0 119886119899 Se 119897 = sum119899ge0 119887119899allora

119886119899 le 119899 le 119897

e quindi 119886 egrave crescente e limitata

Egrave chiaro che questo criterio non dagrave alcuna informazione sulla somma della serierelativa ad 119886 nemmeno conoscendo la somma della serie relativa a 119887 Notiamo ancheche la condizione 119886119899 le 119887119899 puograve valere da un certo punto in poi e il risultato non cambia

Una serie spesso utile per questi confronti egrave la serie geometrica (che non egrave a termininon negativi)

t e o r ema La serie sum119899ge0 119909119899 converge per minus1 lt 119909 lt 1 e si ha

sum119899ge0

119909119899 = 11minus119909

Se |119909| ge 1 la serie sum119899ge0 119909119899 non converge

Conosciamo giagrave lrsquoidentitagrave

1 +119909+⋯+119909119899 = 1minus119909119899+1

1 minus119909

e sappiamo anche che lim119899rarr+infin 119909119899+1 = 0 se e solo se |119909| lt 1 Se |119909| ge 1 egrave falso chelim119899rarr+infin 119909119899 = 0

La serie geometrica fornisce alcuni criteri che spesso sono sufficienti a determinareil carattere di una serie

c r i t e r i o d e l r a p p o r t o Se per la successione positiva 119886 esistono un intero119896 e un numero 119888 lt 1 tali che per ogni 119899 ge 119896

119886119899+1119886119899

le 119888

allora la serie sum119899ge0 119886119899 convergeIn particolare questo accade se lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 = 119897 lt 1

Non egrave restrittivo supporre che 119896 = 0 basta modificare i primi termini della succes-sione cosa che non ha rilevanza sulla convergenza Da 11988611198860 le 119888 segue 1198861 le 1198881198860 da11988621198861 le 119888 segue

1198862 le 1198881198861 le 11988821198860

75 serie a termini positivi 157

Con una facile induzione otteniamo allora

119886119899 le 1198860119888119899

per ogni 119899 La serie sum119899ge0 1198860119888119899 convergePer il teorema della permanenza del segno da lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 = 119897 lt 1 segue che

da un certo punto in poi vale119886119899+1119886119899 le 119897+120576 dove possiamo prendere 0 lt 120576 lt 1minus119897

Il criterio ha una controparte riguardante la non convergenza se esistono un intero119896 e un numero 119888 gt 1 tali che per 119899 ge 119896 sia

119886119899+1119886119899

ge 119888

allora la serie sum119899ge0 119886119899 non converge In particolare questo accade in analogia conquanto visto per la convergenza se lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 gt 1

Vediamo alcuni esempi Per la serie esponenziale sum119899ge0 119909119899119899 (quando 119909 gt 0) si devecalcolare

119909119899+1(119899+ 1)119909119899119899 = 119909

119899+ 1il cui limite per 119899 rarr +infin egrave evidentemente 0 Dunque questo conferma che la serieconverge per ogni 119909 gt 0 Vedremo piugrave avanti che il criterio si puograve applicare anche aserie con termini qualsiasi cioegrave non necessariamente positivi

In alcuni casi il criterio non dagrave risultati conclusivi Per la serie di Mengoli

sum119899ge1

2119899(119899+ 1)

si ha2

(119899+ 1)(119899+ 2)119899(119899+ 1)

2 = 119899119899+ 2

che ha limite 1 e quindi il rapporto non si mantiene neacute ldquosotto 1rdquo neacute ldquosopra 1rdquo impeden-doci di applicare il criterio Tuttavia sappiamo che converge infatti il ragionamento diMengoli diventa ponendo 119886119899 = 2(119899(119899+ 1))

119886119899 = 21 minus 2

2 + 22 minus 2

3 +⋯+ 2119899minus 1 minus 2

119899 + 2119899 minus 2

119899+ 1

= 21 minus 2

119899+ 1

e dunque sum119899ge1 119886119899 = lim119899rarr+infin 119886119899 = 2Si ha lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 = 1 anche per la serie armonica in cui 119886119899 = 1119899 Ma questa

serie non converge come abbiamo giagrave vistoEsiste un criterio molto simile a quello del rapporto talvolta piugrave facile tecnicamente

da applicare

c r i t e r i o d e l l a r ad i c e Se per la serie positiva sum119899ge0 119886119899 esistono un intero119896 e un 119888 lt 1 tali che per 119899 ge 119896 si abbia

119899radic119886119899 le 119888

allora la serie sum119899ge0 119886119899 converge In particolare ciograve accade se lim119899rarr+infin119899radic119886119899 lt 1

Qui supponiamo che 119896 = 1 (visto che 0radic1198860 non ha senso ma trascurare un termineiniziale non ha alcuna importanza) Allora 1198861 le 119888 1198862 le 1198882 e in generale 119886119899 le 119888119899 ecosigrave possiamo concludere come prima

158 serie

Anche questo ha la controparte sulla non convergenza Egrave chiaro che i due criteri nonsonomolto potenti percheacute confrontano la serie data con una serie geometrica Tuttaviali vedremo allrsquoopera con le serie di potenze dove danno quasi tutte le informazioninecessarie

76 convergenza assoluta

La convergenza assoluta egrave un genere ristretto di convergenza alcune serie non conver-gono assolutamente ma convergono Perograve la convergenza assoluta puograve essere verifica-ta piugrave facilmente e quindi diventa un criterio molto utile

d e f i n i z i o n e La serie sum119899ge0 119886119899 converge assolutamente se converge la seriesum119899ge0|119886119899|

Dobbiamo dimostrare per prima cosa che la convergenza assoluta implica la con-vergenza infatti una volta visto questo potremo adoperare i criteri della sezioneprecedente anche per serie con termini qualsiasi

t e o r ema Se la serie sum119899ge0 119886119899 converge assolutamente allora converge

Dato un numero 119903 poniamo 119903+ = 119903 se 119903 ge 0 altrimenti 119903+ = 0 Analogamente119903minus = minus119903 se 119903 le 0 altrimenti 119903minus = 0 Allora

119903 = 119903+ minus119903minus |119903| = 119903+ +119903minus

Le serie sum119899ge0 119886+119899 e sum119899ge0 119886minus

119899 sono non negative e vale

119886+119899 le |119886119899| 119886minus

119899 le |119886119899|

da cui deduciamo che entrambe convergono percheacute converge sum119899ge0|119886119899| Ora possiamoscrivere

119886119899 = 119886+119899 minus119886minus119899

e quindilim

119899rarr+infin119886119899 = lim

119899rarr+infin119886+119899 minus lim

119899rarr+infin119886minus119899

per i teoremi sui limiti e abbiamo finito

Possiamo dunque usare il criterio del rapporto anche per la serie di Gregory dellrsquoar-cotangente sum119899ge0(minus1)1198991199092119899+1(2119899+ 1) per esempio basta prendere i valori assoluti

lim119899rarr+infin

| (minus1)119899+11199092119899+3

2119899+ 32119899+ 1

(minus1)1198991199092119899+1 | = lim119899rarr+infin

2119899+ 12119899+ 3|119909| = |119909|

e perciograve sappiamo che la serie converge quando |119909| lt 1 e non converge quando |119909| gt 1Non possiamo concludere nulla riguardo alla convergenza per 119909 = minus1 o 119909 = 1 conquesto criterio Analogamente la serie di Mercator (generalizzata)

sum119899ge1

(minus1)119899minus1119909119899

119899

converge assolutamente per |119909| lt 1 e non converge se |119909| gt 1Notiamo una differenza fondamentale tra questo metodo di verifica della conver-

genza e il precedente con il quale avevamo stabilito che le serie di Gregory e Mercatorconvergono rispettivamente a arctan119909 e a log(1 + 119909) (con certe condizioni su 119909) Con

77 serie di potenze 159

il criterio del rapporto stabiliamo solo che la serie converge senza avere alcuna infor-mazione sulla somma In realtagrave questo non egrave un male se abbiamo una successione 119886tale che

lim119899rarr+infin

119899radic|119886119899| = 119897 (finito)

allora la seriesum119899ge0

119886119899119909119899

converge per |119909| lt 119897 se 119897 ne 0 se 119897 = 0 la serie converge per ogni 119909 Quindi possiamodefinire una funzione

119891(119909) = sum119899ge0

119886119899119909119899

che ha come dominio gli intervalli specificatiVediamo altre proprietagrave delle serie assolutamente convergenti le dimostrazioni sono

semplici

1 se sum119899ge0 119886119899 egrave assolutamente convergente anche sum119899ge0 119896119886119899 egrave assolutamente convergen-te

2 se sum119899ge0 119886119899 e sum119899ge0 119887119899 sono serie assolutamente convergenti anche la serie ldquosommardquosum119899ge0(119886119899 +119887119899) egrave assolutamente convergente

3 se sum119899ge0 119886119899 egrave assolutamente convergente allora

| sum119899ge0

119886119899| le sum119899ge0

|119886119899|

77 serie di potenze

Una serie di potenze egrave definita da una successione 119886 considerando

sum119899ge0

119886119899119909119899

che ricorda molto gli sviluppi di Taylor Mostriamo subito una proprietagrave importante

t e o r ema Per la serie di potenzesum119899ge0 119886119899119909119899 vale una e una sola delle condizioniseguenti

1 la serie converge solo per 119909 = 0

2 esiste 119903 gt 0 tale che la serie converge assolutamente per |119909| lt 119903 e non convergeper |119909| gt 119903

3 la serie converge assolutamente per ogni 119909

Dimostriamo che se la serie converge assolutamente per 119909 = 119888 gt 0 e |119887| lt 119888 allorala serie converge assolutamente anche per 119909 = 119887 Infatti

|119886119899119887119899| le |119886119899119888119899|

e quindi possiamomaggiorare la seriesum119899ge0|119886119899119887119899| con la serie convergente (per ipotesi)sum119899ge0|119886119899119888119899|

A questo punto si hanno due casi se lrsquoinsieme dei valori 119888 tali che la serie convergeper 119909 = 119888 egrave illimitato la serie converge per ogni 119909 altrimenti questo insieme egrave limitatoe possiamo prendere come 119903 il suo estremo superiore (che puograve essere 0)

160 serie

Il numero 119903 del teorema precedente si chiama raggio di convergenza e nel caso incui la serie converge per ogni 119909 diremo che il raggio di convergenza egrave +infin Nel seguitoconsidereremo solo serie con raggio di convergenza gt 0 che quindi definiscono unafunzione 119891119886 con dominio (minus119903 119903) (che egrave tutta la retta nel caso 119903 = +infin) Agli estre-mi dellrsquointervallo di convergenza si puograve avere ancora convergenza oppure no comeabbiamo visto per la serie di Gregory e quella di Mercator

Il fatto che una serie di potenze ricordi uno sviluppo di Taylor ci suggerisce cheldquotroncandordquo una serie di potenze si ottenga proprio lo sviluppo di Taylor della funzione119891119886 che quindi dovrebbe avere tutte le derivate in 0 Dimostreremo molto di piugrave lafunzione 119891119886 ha tutte le derivate in ogni punto dellrsquointervallo di convergenza e si ha

119891prime119886(119909) = sum

119899ge1119899119886119899119909119899minus1

cioegrave la derivata si ottiene derivando ciascun termine della serie e considerando la se-rie di potenze che cosigrave si ottiene una volta dimostrato questo il passaggio alle deri-vate successive egrave ovvio La prima cosa da vedere egrave dunque che le serie sum119899ge0 119886119899119909119899 esum119899 119899119886119899119909119899minus1 hanno lo stesso raggio di convergenza Ci basteragrave consideraresum119899 119899119886119899119909119899percheacute la convergenza di una e dellrsquoaltra sono equivalenti Lo si dimostri per esercizio

t e o r ema La serie di potenze sum119899ge0 119886119899119909119899 e sum119899ge1 119899119886119899119909119899minus1 hanno lo stessoraggio di convergenza

Partiamo dalla considerazione di lim119899rarr+infin119899radic119899 = 1 allora fissata la tolleranza 120576 gt 0

esiste 119896 tale che per 119899 gt 119896 si abbia 119899radic119899 le 1 + 120576 cioegrave 119899 le (1 + 120576)119899 Supponiamo cheil raggio di convergenza di sum119899ge0 119886119899119909119899 sia 119903 gt 0 e prendiamo 119909 con |119909| lt 119903 possiamoprendere 120576 gt 0 tale che |119909|(1 + 120576) lt 119903 e perciograve la serie

sum119899ge1

119886119899119909119899(1 + 120576)119899

converge assolutamente Per 119899 gt 119896 abbiamo allora

|119899119886119899119909119899| le |119909119899|(1 + 120576)119899

e quindi abbiamomaggiorato la nostra serie con una serie convergente come volevamoSe per caso 119903 = +infin possiamo prendere 120576 gt 0 del tutto arbitrario

Il viceversa egrave invece molto piugrave facile se sum119899ge1 119899119886119899119909119899 converge assolutamente ab-biamo |119886119899119909119899| le |119899119886119899119909119899| e quindi anche sum119899ge0 119886119899119909119899 converge assolutamente

La serie cosigrave costruita si chiama serie derivata il motivo egrave reso evidente dal prossimoteorema

t e o r ema d i d e r i v a z i o n e d e l l e s e r i e d i p o t e n z e Se la serie dipotenze sum119899ge0 119886119899119909119899 ha raggio di convergenza 119903 gt 0 e 119891119886 egrave la sua somma allora119891119886 egrave derivabile in ogni punto dellrsquointervallo di convergenza e

119891prime119886(119909) = sum

119899ge1119899119886119899119909119899minus1

In particolare 119886119899 = 119891(119899)(0)119899

Si tratta di una dimostrazione piuttosto difficile ma solo per questioni tecniche Vogliamocalcolare prima di tutto il rapporto di Fermat

119907(ℎ) = 119891119886(119909+ℎ) minus 119891119886(119909)ℎ = sum

119899ge1119886119899

(119909 +ℎ)119899 minus119909119899

ℎ

77 serie di potenze 161

Prenderemo 120575 gt 0 tale che [119909 119909 + 120575] sube (minus119903 119903) e se 119909 lt 0 vogliamo anche 119909 + 120575 lt 0 Cilimiteremo a 0 lt ℎ lt 120575 che non egrave restrittivo per calcolare la derivata il caso di ℎ lt 0 si tratta inmodo del tutto analogo e quindi non ci soffermeremo

Nelle ipotesi fatte possiamo scrivere per il teorema di Lagrange

(119909 + ℎ)119899 minus119909119899

ℎ = 119899119910119899minus1119899

dove 119909 lt 119910119899 lt 119909+ℎ Ci serve verificare che

limℎrarr0+

119907(ℎ) = sum119899ge1

119899119886119899119909119899

o che egrave lo stessolim

ℎrarr0+| 119907(ℎ) minus sum

119899ge1119899119886119899119909119899| = 0

Siccome sappiamo esprimere 119907(ℎ) come serie assolutamente convergente sappiamo che

| 119907(ℎ) minus sum119899ge1

119899119886119899119909119899| le | sum119899ge1

119899119886119899(119910119899minus1119899 minus119909119899minus1)|

le sum119899ge1

|119899119886119899(119910119899minus1119899 minus119909119899minus1)|

Ancora per il teorema di Lagrange per 119899 ge 2 esiste 119911119899 isin (119909 119910119899) tale che

119910119899minus1119899 minus119909119899minus1 = (119899minus 1)119911119899minus2(119910119899 minus119909)

quindi abbiamo

|119899119886119899(119910119899minus1119899 minus119909119899minus1)| le |119899(119899minus 1)119886119899119911119899minus2

119899 | sdot ℎ le |119899(119899minus 1)119886119899(119909 + 120575)119899minus2| sdot ℎ

(percheacute |119911119899| le |119909+ 120575| con le ipotesi fatte) La serie di potenze

sum119899ge2

119899(119899minus 1)119886119899119909119899minus2

ha lo stesso raggio di convergenza di quella da cui siamo partiti quindi la serie

sum119899ge2

119899(119899minus 1)119886119899(119909 + 120575)119899minus2

egrave assolutamente convergente se poniamo 119904 = sum119899ge2|119899(119899minus 1)119886119899(119909 + 120575)119899minus2| abbiamo

|119907(ℎ) minus sum119899ge1

119899119886119899119909119899minus1| le 119904ℎ

e dunque prendendo il limite per ℎ rarr 0 abbiamo la tesiPer lrsquoidentitagrave 119886119899 = 119891(119899)

119886 (0) basta quindi derivare successivamente

Data una successione 119886 poniamo

119887119899 = sup119886119898 ∶ 119898 ge 119899

dove questo estremo superiore puograve anche essere +infin La successione 119887119899 egrave decrescente e quindiesiste lim119899rarr+infin 119887119899 (finito o infinito) che si denota con il simbolo

lim sup119899rarr+infin

119886119899

Jacques Hadamard (1865ndash1963) dimostrograve che per il raggio di convergenza 119903 della serie di potenzesum119899ge0 119886119899119909119899 vale

1119903 = lim sup

119899rarr+infin

119899radic|119886119899|

(con lrsquoovvio 119903 = 0 se il limite superiore egrave +infin mentre la serie converge ovunque se il limitesuperiore egrave 0) Nel caso in cui esista 119904 = lim119899rarr+infin

119899radic|119886119899| non egrave difficile vedere che 119903 = 1119904 Ilcriterio del rapporto dagrave spesso il raggio di convergenza senza dover calcolare questi limiti

Il succo di questo egrave che se limsup119899rarr+infin119899radic|119886119899| egrave finito la funzione 119891119886 egrave definita in un intorno

di zero quindi egrave possibile costruire in modo quasi arbitrario funzioni assegnando le derivatesuccessive in 0

162 serie

In modo del tutto analogo al caso della serie derivata possiamo definire la serie pri-mitiva che con dimostrazione del tutto simile ha lo stesso raggio di convergenza laserie primitiva di sum119899ge0 119886119899119909119899 egrave

sum119899ge0

119886119899119899+ 1119909119899+1

e sappiamo dal teorema di derivazione che la somma di questa serie egrave una primitivadi 119891119886 (nellrsquointervallo di convergenza) Potremmo usare questa serie per calcolare valoriapprossimati di integrali che non sappiamo trattare lsquoanaliticamentersquo Per esempio

exp(minus1199092) = 1minus 1199092

1 + 1199094

2 minus 1199096

3 +hellip

e quindi una primitiva di 119909 ↦ exp(minus1199092) egrave

119909minus 1199093

3 sdot 1 +1199095

5 sdot 2 minus1199097

7 sdot 3 +hellip

e per valori lsquopiccolirsquo di 119909 possiamo usare pochi termini per avere un valore approssima-to di int1199090 exp(minus1199052)119889119905

Piugrave importante egrave che siccome le serie che scriveremo convergono ovunque possiamodefinire le funzioni

C(119909) = sum119899ge0

(minus1)1198991199092119899

(2119899)

S(119909) = sum119899ge0

(minus1)1198991199092119899+1

(2119899+ 1)

e dal teorema di derivazione segue che Sprime(119909) = C(119909) e Cprime(119909) = minusS(119909) Inoltre C(0) =1 e S(0) = 0 Dunque abbiamo a disposizione una definizione puramente analiticadelle funzioni trigonometriche

Supponiamo di avere due funzioni 119891 e 119892 definite ovunque e derivabili con le proprietagrave

119891prime(119909) = minus119892(119909) 119892prime(119909) = 119891(119909) 119891(0) = 1 119892(0) = 0

La considerazione diC e S ci dice che funzioni con queste proprietagrave esistono proviamo a dedurrealtre proprietagrave

Definiamo 119896(119909) = 119891(119909)2 +119892(119909)2 e calcoliamo la derivata

119896prime(119909) = 2119891(119909)119891prime(119909) + 2119892(119909)119892prime(119909) = 2119891(119909)119892(119909) minus 2119892(119909)119891(119909) = 0

e quindi 119896 egrave costante siccome 119896(0) = 1 abbiamo

119891(119909)2 +119892(119909)2 = 1

per ogni 119909 Supponiamo che 120593 e 120595 siano funzioni tali che 120593prime = minus120595 e 120595prime = 120593 Proviamo amettere insieme queste funzioni e poniamo

119860(119909) = 119891(119909)120593(119909) + 119892(119909)120595(119909) 119861(119909) = 119891(119909)120595(119909) minus 119892(119909)120593(119909)

Calcoliamo le derivate

119860prime(119909) = 119891prime(119909)120593(119909) + 119891(119909)120593prime(119909) minus 119892prime(119909)120595(119909) minus 119892(119909)120595prime(119909)= minus119892(119909)120593(119909) minus 119891(119909)120595(119909) + 119891(119909)120595(119909) + 119892(119909)120593(119909) = 0

119861prime(119909) = 119891prime(119909)120595(119909) + 119891(119909)120595prime(119909) minus 119892prime(119909)120593(119909) minus 119892(119909)120593prime(119909)= 119892(119909)120595(119909) minus 119891(119909)120593(119909) + 119891(119909)120593(119909) minus 119892(119909)120595(119909) = 0

78 la serie binomiale 163

da cui segue che 119860 e 119861 sono funzioni costanti

119886 = 119860(0) = 119891(0)120593(0) + 119892(0)120595(0) = 120593(0) 119887 = 119861(0) = 119891(0)120595(0) + 119892(0)120593(0) = 120595(0)

Dunque abbiamo 119891120593+ 119892120595 = 119886 119891120595minus 119892120593 = 119887 (evitiamo di continuare a scrivere 119891(119909) e similiper brevitagrave) Ne otteniamo altre identitagrave

1198912120593+119891119892120595 = 119886119891 119891119892120595minus1198922120593 = 119887119892

che possiamo sottrarre(1198912 +1198922)120593 = 119886119891minus 119887119892

e quindi120593(119909) = 120593(0)119891(119909) minus120595(0)119892(119909)

In modo del tutto analogo moltiplicando la prima per 119892 e la seconda per 119891 otteniamo

120595(119909) = 120595(0)119891(119909) +120593(0)119892(119909)

Se in particolare 120593(0) = 1 e 120595(0) = 0 abbiamo 120593 = 119891 e 120595 = 119892Dunque le funzioniC eS sono le uniche con quella proprietagrave Si puograve dimostrare analiticamente

che sono periodiche con uguale minimo periodo che possiamo indicare con 2120587 (che sarebbe ladefinizione analitica di 120587) Non lo facciamo limitandoci a scoprire le formule di addizione Sefissiamo 119910 e consideriamo

120593(119909) = 119891(119909+119910) 120595(119909) = 119892(119909+119910)

abbiamo 120593prime(119909) = 119891prime(119909 + 119910) = 119892(119909 + 119910) = 120595(119909) e analogamente 120595prime(119909) = minus120593(119909) dunquepossiamo scrivere

120593(119909) = 120593(0)119891(119909) minus120595(0)119892(119909) = 119891(119910)119891(119909) minus 119892(119910)119892(119909)120595(119909) = 120595(0)119891(119909) +120593(0)119892(119909) = 119892(119910)119891(119909) + 119891(119910)119892(119909)

cioegrave in altri termini

C(119909 +119910) = C(119909)C(119910) minus S(119909)S(119910)S(119909 +119910) = S(119909)C(119910) +C(119909)S(119910)

cioegrave le note formule di addizione

78 la serie binomiale

Consideriamo 119891(119909) = (1 + 119909)119903 dove 119903 egrave un numero qualsiasi definita per 119909 gt minus1 Sene vogliamo trovare uno sviluppo in serie di potenze ci serve calcolare 119891(119899)(0) perogni 119899 Ma

119891prime(119909) = 119903(1 +119909)119903minus1 119891Prime(119909) = 119903(119903minus 1)(1 +119909)119903minus2

e piugrave in generale

119891(119899)(119909) = 119903(119903minus 1)hellip(119903minus119899+ 1)(1 +119909)119903minus119899

come si vede facilmente per induzione derivando unrsquoaltra volta Perciograve

119891(119899)(0)119899 = 119903(119903minus 1)hellip(119903minus119899+ 1)

119899

e la somiglianza con i coefficienti binomiali

(119898119899) = 119898(119898minus1)hellip(119898minus119899+ 1)119899

164 serie

(con 119898 intero positivo) egrave evidente tanto che porremo per analogia

(1199030) = 1 (119903119899) = 119903(119903minus 1)hellip(119903minus119899+ 1)119899 (119899 gt 0)

Si noti che se 119903 non egrave intero (119903119899) ne 0 per ogni 119899 Se 119903 = 119898 egrave intero il valore coincidecon quello usuale in piugrave (119898119899) = 0 per 119899 gt 119898 Si vede anche che (119903119899) assume valorialternativamente positivi e negativi quando 119899 gt 119903 se 119899 egrave il minimo intero maggiore di119903 allora (119903119899) gt 0 ( 119903

119899+1) lt 0 e cosigrave viaOtteniamo allora come sviluppo in serie

(1 + 119909)119903 = sum119899ge0

(119903119899)119909119899

e ci domandiamo quale sia il raggio di convergenza Adoperiamo il criterio del rapportoprima di tutto calcoliamo

( 119903119899+ 1) (119903119899) = 119903minus119899

119899+ 1e quindi

| (119903

119899+1)119909119899+1

(119903119899)119909119899 | = | (119903 minus119899)119909119899+ 1 |

e il limite per 119899 rarr +infin egrave |119909| Dunque il raggio di convergenza egrave 1Va notato che Newton scoprigrave la formula della potenza di un binomio proprio svilup-

pando in serie (1+119909)119903 a lui interessava in particolare il caso di 119903 = 12 che ottenevaelevando formalmente al quadrato un ldquopolinomio con infiniti terminirdquo e uguagliando ilrisultato a 1 +119909 con il principio di identitagrave dei polinomi

La convergenza per 119909 = 1 si deve valutare con il criterio di Leibniz occorre vederese la successione

119887119899 = |(119903119899)|

egrave decrescente (almeno da un certo punto in poi) e con limite 0 Si ha per 119899 gt 119903

119887119899+1119887119899

= |119903minus119899119899+ 1 | = 119899minus119903

119899+ 1

e la disequazione 119899minus119903119899+ 1 lt 1

egrave soddisfatta per minus119903 lt 1 cioegrave 119903 gt minus1 In tal caso si ha anche lim119899rarr+infin 119887119899 = 0 e perciogravela serie binomiale converge anche per 119909 = 1 In particolare un valore approssimato perradic2 si ottiene con

(120 ) + (121 ) + (122 ) + (123 ) +⋯ = 1+ 12 minus 1

4 + 116 minus 5

128 +⋯

ma la convergenza egrave molto lenta Troncando ai termini indicati si ottiene

179128 = 13984375

con un errore di piugrave dellrsquo1 Meglio va con

1radic2

= (1minus 12)

12= 1minus 1

4 minus 132 minus 1

128 minus 52048 minus⋯

che troncando ai termini indicati dagrave

14512048 = 70849609375

con un errore per eccesso inferiore allo 02

79 una serie migliore per il calcolo del logaritmo 165

79 una serie migliore per il calcolo del logaritmo

Consideriamo la serie di Mercator e scriviamo quella che si ottiene cambiando 119909 in minus119909abbiamo allora le serie

log(1 + 119909) = sum119899ge1

(minus1)119899minus1119909119899

119899 = 119909minus 1199092

2 + 1199093

3 minus 1199094

4 +⋯

log(1 minus 119909) = sum119899ge1

minus119909119899

119899 = minus119909minus 1199092

2 minus 1199093

3 minus 1199094

4 minus⋯

che convergono assolutamente nellrsquointervallo (minus1 1) Se le sottraiamo ottenia-mo una serie assolutamente convergente i termini con le potenze pari spariscono eabbiamo

log(1 + 119909) minus log(1 minus 119909) = 2 sum119899ge0

1199092119899+1

2119899+ 1

che converge molto piugrave rapidamente quando 119909 egrave abbastanza piccolo Il vantaggio egraveche

log(1 + 119909) minus log(1 minus 119909) = log 1+1199091minus119909

e se vogliamo calcolare log2 ci basta trovare 119909 tale che

1 +1199091minus119909 = 2

cioegrave 119909 = 13 Per esempio vogliamo usare i primi quattro termini

log2 asymp 2(13 + 1

3127 + 1

51

243) asymp 0693004

che ha tre cifre decimali esatte Si verifichi che lrsquoequazione

1+1199091minus119909 = 119896

ha una soluzione in (minus1 1) per ogni 119896 gt 0

710 la serie armonica e i logaritmi

La serie armonica sum119899gt0 1119899 non converge Tuttavia le somme parziali

ℎ119899 = 1+ 12 + 1

3 +⋯+ 1119899

(per 119899 gt 0) sono assai interessanti e possiedono un importante legame con il logaritmoIl teorema sulle funzioni decrescenti e gli integrali ci dice nel caso di 119891(119909) = 1119909 che

1 + 12 +⋯+ 1

119899minus 1 ge int119899

1

1119905 119889119905 ge 1

2 +⋯+ 1119899minus 1 + 1

119899

cioegraveℎ119899minus1 ge log119899 ge ℎ119899 minus 1

o maneggiando un porsquo1119899 le ℎ119899 minus log119899 le 1

Dunque la successione 120583119899 = ℎ119899 minus log119899 egrave limitata Mostriamo che egrave decrescente consi-derando la differenza 120575119899 = 120583119899minus1 minus120583119899 (per 119899 gt 0) Abbiamo evidentemente

120575119899 = ℎ119899minus1 minus log(119899minus 1) minus ℎ119899 + log119899 = minus log(1minus 1119899)minus 1

119899

166 serie

e viene naturale considerare la funzione 119891(119909) = minus119909minus log(1minus119909) nellrsquointervallo (0 1)La derivata egrave 119891prime(119909) = minus1+1(1minus119909) = 119909(1minus119909) gt 0 e dunque 119891 egrave crescente Siccomelim119909rarr0 119891(119909) = 0 abbiamo come conseguenza che 119891(119909) gt 0 per 119909 isin (0 1) e inparticolare che 120575119899 = 119891(1119899) gt 0

Abbiamo dunque dimostrato che esiste 120574 = lim119899rarr+infin(ℎ119899 minus log119899) questo numerosi chiama tradizionalmente costante di Euler-Mascheroni percheacute il primo a studiarlafu Euler Lorenzo Mascheroni (1750ndash1800) ne riprese lo studio La costante si trova inmolti altri casi per esempio si puograve dimostrare che

120574 = int+infin

0119890minus119909 log119909119889119909

Egrave tuttora aperta la questione se 120574 sia razionale o irrazionale Si sa perograve che se 120574 egraverazionale il suo denominatore minimo deve avere piugrave di 248 cifre decimali

In sostanza la serie armonica non converge ma il suo comportamento egrave simile aquello del logaritmo cioegrave la divergenza egrave molto lenta

Possiamo usare la costante 120574 per dimostrare in modo diverso un risultato giagrave notoPoniamo

119897119899 = 1minus 12 + 1

3 minus 14 +⋯+ (minus1)119899minus1 1

119899per 119899 gt 0 Dal criterio di Leibniz sappiamo che 119897119899 converge e quindi possiamo usarlaper calcolare limiti Consideriamo allora lrsquouguaglianza

ℎ2119899 minus 1198972119899 = ℎ119899

che si puograve verificare a occhio o meglio per induzione Il caso di 119899 = 1 egrave ovvio ℎ2 =1+ 12 1198972 = 1minus 12 e ℎ2 minus 1198972 = 1 = ℎ1 Supponiamo lrsquoidentitagrave valida per 119899 allora

ℎ2(119899+1) minus 1198972(119899+1) = (ℎ2119899 minus 1198972119899) + ( 12119899+ 1 + 1

2119899+ 2 minus 12119899+ 1 + 1

2119899+ 2)

= ℎ119899 + 1119899+ 1

= ℎ119899+1

Dunque possiamo dire anche che 1198972119899 = ℎ2119899 minusℎ119899 e quindi che

1198972119899 = (ℎ2119899 minus log(2119899)) minus (ℎ119899 minus log119899)+ log2 = 1205832119899 minus120583119899 + log2

e passando al limite

lim119899rarr+infin

1198972119899 = log2 + lim119899rarr+infin

1205832119899 minus lim119899rarr+infin

120583119899 = log2+ 120574minus120574

e dunque lim119899rarr+infin 119897119899 = log2

8I NUMER I REAL I

Lrsquointuizione dei numeri reali ha guidato i matematici fin dal sedicesimo secolo non cisi ponevano dubbi sullrsquoesistenza degli irrazionali necessari per parlare delle soluzionidi equazioni algebriche La nascita dellrsquoanalisi perograve i problemi li pose come esserecerti dellrsquoesistenza del limite di una successione crescente e limitata che non si potessecalcolare esplicitamente

La soluzione al problema fu data intorno alla metagrave del diciannovesimo secolo aopera di Weierstraszlig Georg Cantor (1845ndash1918) e Richard Dedekind (1831ndash1916) i primidue usarono idee giagrave presenti in Cauchy e Joseph Liouville (1809ndash1882) il terzo invecetrovograve una strada completamente nuova

Tutto ciograve che ci serve perograve egrave un insieme di ldquonumerirdquo che abbia certe proprietagrave essen-ziali devono essere definite due operazioni dobbiamo saper distinguere quando unnumero egrave piugrave grande di un altro e per finire vogliamo che la proprietagrave che ci garantiscelrsquoesistenza del limite di una successione crescente e limitata valga

Introduciamo una notazione per insiemi ordinati se 119878 e 119879 sono sottoinsiemi diremoche 119878 le 119879 quando per ogni 119904 isin 119878 e ogni 119905 isin 119879 si ha 119904 le 119905 Analogamente scriveremo119903 le 119879 o 119878 le 119903 quando 119903 le 119879 o rispettivamente 119878 le 119903

81 gli assiomi

La struttura dei numeri reali puograve essere descritta da un sistema di assiomi e vedremopoi che questi assiomi possono essere realizzati in un opportuno sistema Tuttavialrsquoaspetto importante egrave che non ci interessa davvero sapere che cosa siano i numeri realipercheacute due sistemi che realizzano gli assiomi sono sostanzialmente identici

a s s i om i d e i n um e r i r e a l i Nellrsquoinsieme dei numeri reali sono definitelrsquooperazione di addizione (119886119887) ↦ 119886+119887 lrsquooperazione di moltiplicazione (119886119887) ↦119886119887 e una relazione drsquoordine lt con le proprietagrave descritte di seguito

a s s i om i p e r l rsquo a d d i z i o n eA1 (119886 + 119887) + 119888 = 119886+ (119887+ 119888)A2 esiste 0 tale che 119886+ 0 = 119886A3 dato 119886 esiste 119887 tale che 119886+ 119887 = 0A4 119886+ 119887 = 119887+119886

a s s i om i p e r l a mo l t i p l i c a z i o n eM1 (119886119887)119888 = 119886(119887119888)M2 esiste 1 tale che 1198861 = 119886 e 1 ne 0M3 se 119886 ne 0 esiste 119887 tale che 119886119887 = 1M4 119886119887 = 119887119886

a s s i oma d i d i s t r i b u t i v i t agraveD 119886(119887+ 119888) = 119886119887+119886119888

a s s i om i p e r l rsquo o r d i n eO1 se 119886 lt 119887 allora 119886+ 119888 lt 119887+ 119888O2 se 119886 lt 119887 e 119888 gt 0 allora 119886119888 lt 119887119888

a s s i oma d i c on t i n u i t agraveC se 119878 e 119879 sono insiemi non vuoti tali che 119878 le 119879 allora esiste 119903 tale che 119878 le 119903 le 119879

167

168 i numeri reali

Le prime undici proprietagrave permettono di eseguire i calcoli con le solite regole lrsquoele-mento 119887 tale che 119886+ 119887 = 0 si denota con minus119886 lrsquoelemento 119887 tale che 119886119887 = 1 (per 119886 ne 0)si denota con 119886minus1 Si pone poi come sempre 119886 minus 119887 = 119886 + (minus119887) e 119886119887 = 119886119887minus1 (per119887 ne 0)

Egrave lrsquoultima proprietagrave che non vale per i numeri razionali Consideriamo la successione119904 cosigrave definita

1199041 = 01 1199042 = 0121199043 = 01211 1199044 = 01211221199045 = 0121122111 1199046 = 0121122111222hellip

aumentando via via il numero di cifre che si ripetono e poniamo

119905119899 = 119904119899 + 10minus119896

dove 119896 egrave il numero di cifre decimali di 119904119899 egrave chiaro che lrsquounico ldquonumerordquo che sta inmezzo alle due successioni egrave il numero

012112211122211112222hellip

che non ha uno sviluppo decimale periodico e quindi non egrave razionale Qui ovviamentefacciamo lo stesso atto di fede di Euler e degli altri che non si ponevano il problemadellrsquoesistenza di un insieme di ldquonumerirdquo dove gli sviluppi decimali qualsiasi fosseroleciti

In effetti Weierstraszlig definigrave i numeri reali proprio cosigrave allineamenti di cifre un nu-mero finito prima della virgola una successione infinita dopo la virgola purcheacute nonfosse costantemente 9 da un certo punto in poi Sullrsquoinsieme di questi oggetti definigravedue operazioni e una relazione per le quali valgono gli assiomi enunciati prima

82 lrsquoassioma di continuitagrave

Lrsquoassioma lsquoCrsquo si chiama assioma di continuitagrave Vediamone la conseguenza principale

t e o r ema Ogni insieme di numeri naturali che ha un maggiorante ha estremosuperiore

Supponiamo che lrsquoinsieme 119878 abbia un maggiorante Allora lrsquoinsieme 119879 dei maggio-ranti di 119878 non egrave vuoto e per definizione 119878 le 119879 Prendiamo 119903 tale che 119878 le 119903 le 119879 allora119903 egrave un maggiorante di 119878 e quindi 119903 isin 119879 dire che 119903 le 119879 e 119903 isin 119879 egrave esattamente dire che119903 egrave il minimo di 119879

Egrave chiaro che vale la conclusione analoga per insiemi di numeri reali che abbiano unminorante la dimostrazione egrave perfettamente simmetrica Da questo vediamo che datauna successione di intervalli inscatolati cioegrave intervalli

[1199010 1199020] supe [1199011 1199021] supe hellip supe [119901119899 119902119899] supe ⋯

ciascuno incluso nel precedente crsquoegrave un numero reale che appartiene a tutti gli intervalliLe condizioni sono infatti equivalenti a dire che per ogni 119899

119901119899+1 ge 119901119899 119901119899 le 119902119899 119902119899+1 le 119902119899

Perciograve se 119901 egrave lrsquoestremo superiore dellrsquoinsieme 119901119899 ∶ 119899 isin ℕ e 119902 egrave lrsquoestremo inferioredellrsquoinsieme 119902119899 ∶ 119899 isin ℕ abbiamo evidentemente 119901 le 119902

82 lrsquoassioma di continuitagrave 169

Nel caso in cui le ampiezze degli intervalli si riducono come accade nella dimostra-zione del teorema degli zeri si deve avere 119901 = 119902 La condizione infatti si esprimerigorosamente cosigrave per ogni tolleranza 120576 gt 0 esiste 119899 tale che 119902119899 minus 119901119899 lt 120576 Se fosse119901 lt 119902 basta prendere 119899 per il quale 119902119899 minus119901119899 lt 119902minus119901 per ottenere una contraddizione

Vediamo adesso che i numeri reali lsquocontengonorsquo i naturali nel senso che li possiamoidentificare con certi numeri reali precisamente i multipli di 1 Cosigrave in particolare 1puograve indicare sia il numero reale che realizza lrsquoassioma M2 sia il numero naturale 1 ele regole di calcolo dicono che tutto torna Nellrsquoenunciato seguente dove cominciamoa stabilire questa identificazione indichiamo con 120783 lrsquoelemento dato dallrsquoassioma M2 econ 120782 quello dato dallrsquoassioma A2 Per essere un porsquo pedanti ricordiamo che quando119899 egrave un numero naturale definiamo 119899119909 = 120782 per 119899 = 0 e (119899+ 1)119909 = 119899119909+119909

t e o r ema Se 119899 ne 0 allora 119899120783 ne 120782 Se 119898120783 = 119899120783 allora 119898 = 119899

Sia 119899 il minimo naturale positivo tale che 119899120783 = 0 Allora esiste il predecessore 119898 di119899 e 119898120783 ne 120782 Ma 119898120783 = 120783+⋯+120783 (119898 volte) e quindi 119898120783 gt 120782 Ma allora 119898120783+120783 = 119899120783 gt 120782che egrave assurdo Quindi 119899 non esiste

La seconda parte segue dalla prima se 119898 ne 119899 allora 119898 gt 119899 oppure 119899 gt 119898 nelprimo caso abbiamo lrsquoassurdo che (119898minus119899)120783 = 120782 nel secondo che (119899minus119898)120783 = 120782

In base a questo teorema possiamo scrivere 119899 al posto di 1198991 e confondere lrsquouno deinaturali con 120783 e lo stesso per lo zero percheacute non ci sono ambiguitagrave

Il seguente enunciato sembra evidente ma si capisce dalla dimostrazione che non loegrave affatto Lo si puograve vedere come una versione astratta del procedimento di misura bennoto dalla geometria

t e o r ema Se 119886 gt 0 allora esiste un naturale 119899 tale che 119899 ge 119886

Sia 119879 lrsquoinsieme dei reali 119905 tali che 119899 lt 119905 per ogni 119899 naturale Vogliamo dimostrareche 119879 egrave vuoto Se non lo fosse possiamo scrivere 119878 le 119879 dove 119878 egrave lrsquoinsieme dei naturalie trovare 119903 tale che 119878 le 119903 le 119879

Dimostriamo che 119903 isin 119879 se infatti 119903 notin 119879 esiste 119899 tale che 119899 ge 119903 ma allora 119899+1 gt 119903contro il fatto che 119878 le 119903 Perciograve 119903 egrave il minimo di 119879 ma allora 119903minus1 notin 119879 e quindi esiste119899 tale che 119899 ge 119903minus 1 e questo egrave assurdo percheacute avremmo 119899+ 1 ge 119903 da cui 119899+ 2 gt 119903contro il fatto che 119878 le 119903

La connessione con la misura egrave evidente se si vuole misurare 119886 gt 0 rispetto a 119887 gt 0cerchiamo un multiplo 119899119887 tale che 119899119887 le 119886 ma (119899 + 1)119887 gt 119886 Fatto questo abbiamoridotto il problema a misurare 119886minus119899119887 (con un sottomultiplo di 119887) Egrave chiaro che senzala proprietagrave appena dimostrata questo potrebbe non accadere

Avendo identificato i naturali con i multipli di 1 possiamo anche parlare di interi edi razionali fra i reali

c o r o l l a r i o Se 119886 lt 119887 allora esiste 119902 razionale con 119886 lt 119902 lt 119887

Se 119886 lt 0 e 119887 gt 0 non crsquoegrave nulla da dimostrare ci basta dunque vederlo per 119886 gt 0percheacute se 119887 lt 0 abbiamo anche 0 lt minus119887 lt minus119886

Prendiamo 119899 naturale tale che 119899 gt 1(119887 minus 119886) cioegrave 119899(119887 minus 119886) gt 1 Se 119898 egrave il minimonaturale tale che 119898 gt 119899119886 avremo 119898 minus 119899119886 lt 1 e quindi 119898 lt 119899119887 Perciograve 119886 lt 119898119899 lt119887

t e o r ema Dato il numero reale 119903 indichiamo con 119876(119903) lrsquoinsieme dei razionaliminori di 119903 Allora 119903 egrave lrsquoestremo superiore di 119876(119903)

170 i numeri reali

Lrsquoestremo superiore di119876(119903) esiste percheacute 119903 egrave unmaggiorante Se 119904 egrave questo estremosuperiore allora 119904 le 119903 Se fosse 119904 lt 119903 esisterebbe 119902 razionale con 119904 lt 119902 lt 119903 e dunque119902 isin 119876(119903) contro il fatto che 119904 egrave lrsquoestremo superiore di 119876(119903)

t e o r ema Per ogni numero reale 119903 gt 0 esiste un numero reale 119905 gt 0 tale che1199052 = 119903

Supponiamo dapprima che 119903 gt 1 e consideriamo lrsquoinsieme 119878 dei numeri 119904 tali che119904 ge 1 e 1199042 le 119903 Se 119904 soddisfa queste condizioni allora 119904 lt 119903 percheacute da 119904 ge 119903 seguirebbe1199042 ge 119904119903 ge 1199032 ge 119903 Dunque 119878 ha estremo superiore 119905

Dimostriamo che 1199052 le 119903 Se fosse 1199052 gt 119903 preso 119904 isin 119878 avremmo 1199052 minus 1199042 ge 1199052 minus119903 dacui

119905 minus 119904 ge 1199052 minus119903119905+ 119904 ge 1199052 minus119903

2119905percheacute 1 le 119904 le 119905 questo egrave in contraddizione con lrsquoipotesi che 119905 sia lrsquoestremo superioreCi basta allora vedere che per ogni 119904 isin 119878 se 1199042 lt 119903 esiste 119886 con 0 lt 119886 le 1 tale che(119904 + 119886)2 lt 119903 Ora (119904 + 119886)2 = 1199042 + 2119886119904+ 1198862 e se 119886 le 1 abbiamo

1199042 + 2119886119904+ 1198862 le 1199042 +2119886119904+ 119886

cosiccheacute ci basta che sia 1199042 + 2119886119904+ 119886 lt 119903 cioegrave

119886 lt 119903minus 11990422119904 + 1

che ha evidentemente soluzione Perciograve un 119904 isin 119878 con 1199042 lt 119903 non egrave lrsquoestremo superioredi 119878 Ne segue che 1199052 = 119903

Rimane da dimostrare lrsquoasserzione per 0 lt 119903 lt 1 ma in tal caso 1119903 gt 1 e quindi1119903 = 1199052 per un certo 119905 e 119903 = (1119905)2

Se guardiamo meglio la dimostrazione precedente ci accorgiamo che si tratta di una versioneastratta del metodo di esaustione Il numero 119905 che otteniamo non puograve essere maggiore dellaradice quadrata che cerchiamo (la parte in cui si vede che 1199052 gt 119903 conduce a un assurdo) neacutepuograve essere minore (percheacute troveremmo un numero 119904 piugrave grande che ha ancora la proprietagrave 1199042 lt119903) Archimede postulava senza perograve renderlo esplicito che due ldquoclassi di grandezze contiguerdquoavessero un unico elemento separatore egrave esattamente il nostro assioma lsquoCrsquo

I risultati precedenti sono i passi necessari per dimostrare il teorema di unicitagrave

83 il teorema di unicitagrave

I dodici assiomi caratterizzano i reali qualsiasi struttura che abbia quelle proprietagraveegrave lsquoidenticarsquo ai reali gli elementi possono essere diversi ma tutto ciograve che possiamodimostrare in una vale in ciascunrsquoaltra a patto di lsquotradurrersquo gli enunciati nella lsquolinguarsquogiusta La traduzione egrave univoca mediante una funzione biiettiva

t e o r ema d i u n i c i t agrave d e i r e a l i Siano 1198771 e 1198772 strutture per le quali valga-no gli assiomi dei numeri reali Allora esiste unrsquounica funzione biiettiva 119891∶ 1198771 rarr 1198772tale che per ogni 119886119887 isin 1198771 si abbia 119891(119886+119887) = 119891(119886)+119891(119887) e 119891(119886119887) = 119891(119886)119891(119887)

Definiamo119891(1) = 1 e partiamo da questo per definire119891 su tutto1198771 Dalla proprietagrave119891(119886+119887) =119891(119886)+119891(119887) segue che dobbiamo porre 119891(119898) = 119898 (qui usiamo sia in 1198771 sia in 1198772 lrsquoidentificazionegiagrave fatta) per ogni 119898 intero Se 119899 gt 0 dobbiamo avere

119899119891(119898119899 ) = 119891(119899119898

119899 ) = 119891(119898) = 119898

84 la costruzione di dedekind 171

e quindi occorre porre 119891(119898119899) = 119898119899Dimostriamo che le proprietagrave richieste per 119891 hanno come conseguenza che 119891 egrave monotona

crescente cioegrave che 119886 lt 119887 implica 119891(119886) lt 119891(119887) Basta in realtagrave dimostrare che 0 lt 119887 implica0 lt 119891(119887) Ma questo egrave evidente dallrsquoesistenza delle radici quadrate se 119887 gt 0 esiste 119904 tale che1199042 = 119887 e dunque 119891(119887) = 119891(1199042) = 119891(119904)2 gt 0

Il resto della dimostrazione egrave solo una noiosa verifica delle proprietagrave dopo aver definito 119891 suun numero reale 119903 qualunque usando il fatto che 119903 egrave lrsquoestremo superiore di un ben determinatoinsieme di numeri razionali

Il succo di questo teorema egrave che non importa come determiniamo un insieme soddi-sfacente le richieste gli assiomi sia che usiamo la costruzione di Weierstraszlig sia cheusiamo quella di Cantor sia che usiamo quella di Dedekind otteniamo due struttureche hanno le stesse proprietagrave In particolare ogni proprietagrave dei reali puograve essere dedot-ta unicamente dagli assiomi e non dal modo con cui li abbiamo costruiti Non stiamodiscutendo del nulla percheacute le costruzioni dei numeri reali che abbiamo menzionatosono corrette dal punto di vista logico I matematici hanno lavorato con i numeri realifino alla metagrave del diciannovesimo secolo senza sapere che ldquoesistesserordquo ma siccomehanno implicitamente usato solo i dodici assiomi i risultati che hanno ottenuto sonocorretti

84 la costruzione di dedekind

Lrsquoidea di Dedekind egrave quella di formalizzare lrsquoassenza di buchi se si cammina lungoi numeri reali non si cade mai in un buco Perciograve se dividiamo i numeri reali in dueinsiemi non vuoti119860 e 119861 tali che119860 lt 119861 (cioegrave ogni elemento di119860 egraveminore di ogni elementodi 119861) allora 119860 ha massimo oppure 119861 ha minimo se cosigrave non fosse fra 119860 e 119861 ci sarebbeun buco

Il problema egrave come possiamo usare questa idea per costruire i numeri reali a partiredai razionali

Una delle proprietagrave che vogliamo egrave che ogni numero reale sia minore di almeno unnumero razionale Cosigrave ogni numero razionale porta con seacute tutti i numeri reali minoriin un certo senso Dunque una suddivisione dei razionali in due sottoinsiemi nonvuoti 119860 e 119861 in modo che 119860 lt 119861 corrisponde a una delle suddivisioni precedenti bastaprendere 119860prime come lrsquoinsieme dei reali 119903 tali che almeno un elemento di 119860 sia maggioredi 119903 e come 119861prime lrsquoinsieme dei reali 119903 tali che almeno un elemento di 119861 sia minore di 119903

Vediamo che 119860prime lt 119861prime se prendiamo 119903 isin 119860prime e 119904 isin 119861prime sappiamo che esistono 119886 isin 119860e 119887 isin 119861 tali che 119903 lt 119886 e 119887 lt 119904 Ma allora

119903 lt 119886 lt 119887 lt 119904

percheacute 119860 lt 119861 e dunque 119903 lt 119904 come si volevaEcco allora lrsquoidea di Dedekind un numero reale 119903 egrave un qualsiasi insieme di numeri

razionali con le seguenti proprietagrave

bull se 119886 isin 119903 e 119887 lt 119886 allora 119887 isin 119903

bull esiste 119888 razionale tale che 119888 notin 119903

bull 119903 non ha massimo

Ogni numero razionale 119902 definisce allora un numero reale 119902 dove 119902 egrave lrsquoinsieme di tuttii razionali 119886 tali che 119886 lt 119902 Infatti la prima proprietagrave egrave ovvia per la seconda egrave evidenteche 119902 + 1 notin 119902 per la terza questo massimo dovrebbe essere un numero 119886 lt 119902 maavremmo un assurdo da 119886 lt (119886+ 119902)2 lt 119902

172 i numeri reali

Egrave facile definire la relazione drsquoordine fra i numeri reali cosigrave definiti 119903 lt 119904 esattamentequando 119903 sub 119904 Se 1199021 lt 1199022 sono numeri razionali egrave chiaro che 1199021 sub 1199022

Lrsquoassioma di continuitagrave egrave piuttosto facile da verificare Se 119878 e 119879 sono insiemi di realicon 119878 le 119879 possiamo considerare lrsquoinsieme 119903 di tutti i razionali che appartengono aqualche numero in 119878

Per trovare un razionale che non appartiene a 119903 basta prendere un numero 119905 isin 119879 e un ra-zionale 119902 notin 119905 Allora 119905 lt 119902 e quindi 119902 notin 119878 percheacute 119878 le 119879 in particolare 119902 notin 119903 se fosse 119902 isin 119877dovremmo avere 119902 isin 119904 per un 119904 isin 119878 e quindi lrsquoassurdo 119902 lt 119904 le 119905 lt 119902

Siano 119886 isin 119903 e 119887 lt 119886 Allora 119886 isin 119904 per un certo 119904 isin 119878 quindi da 119887 lt 119886 segue che 119887 isin 119904 eperciograve 119887 isin 119903

Se 119888 fosse il massimo di 119903 avremmo 119888 isin 119904 per qualche 119904 isin 119878 Ora quando 119902 isin 119904 egrave anche119902 isin 119903 e perciograve 119902 le 119888 Dunque 119888 sarebbe il massimo di 119904 assurdo

La definizione di addizione fra questi lsquoinsiemi di Dedekindrsquo egrave quasi immediata in119903+119904 mettiamo tutti i numeri razionali della forma 119886+119887 con 119886 isin 119903 e 119887 isin 119904 La verificadelle proprietagrave richieste egrave lunga e noiosa

Vediamo per esempio che 119903+0 = 119903 Se 119886 isin 119903 e 119887 isin 0 allora 119887 lt 0 e quindi 119886+119887 lt 119886 da cui119886+ 119887 isin 119903 119903+ 0 sube 119903 Se 119886 isin 119903 dal momento che 119903 non ha massimo possiamo prendere 119888 isin 119903con 119888 gt 119886 allora 119886 = 119888+ (119886minus 119888) e 119886minus 119888 lt 0 quindi 119886minus 119888 isin 0

Piugrave complicato egrave dimostrare le altre proprietagrave dellrsquoaddizione e non egrave affatto semplicedefinire la moltiplicazione

85 la costruzione di weierstrass

Un modo diverso di costruire i numeri reali deriva dallrsquoidea che ogni numero reale sipuograve approssimare con numeri decimali (finiti) per ogni 119896 gt 0 prendiamo come lsquo119896-esimacifra decimalersquo del numero reale 119903 con 0 le 119903 lt 1 lrsquounica cifra 119886119896 tale che

0 le 119903minus (119886110 + 1198862

102 +⋯+ 119886119896minus110119896minus1 + 119886119896

10119896 ) lt 110119896

Lrsquoesempio classico di 119903 = radic2minus 1 = 014142hellip puograve venirci in aiuto

119903minus 0 gt 110

0 le 119903minus 01 lt 110 ()

119903 minus 02 lt 0

119903minus 013 gt 1100

0 lt 119903minus 014 lt 1100 ()

119903 minus 015 lt 0hellip

Come si vede si tratta di un procedimento ricorsivo quando si conoscono le prime 119896cifre dello sviluppo decimale si puograve calcolare la successiva Per i numeri 119903 che nonsono nellrsquointervallo [0 1) si trova prima la parte intera cioegrave il massimo numerointero 119899 tale che 119899 le 119903 e si applica il procedimento a 119903minus119899

Fissiamo qualche notazione Con 1199030 indichiamo la parte intera di 119903 e con 119903119896 la 119896-esimacifra decimale (119896 gt 0)

86 la costruzione di cantor 173

Non egrave possibile che tutte le cifre da un certo punto in poi siano uguali a 9 Lo verifichiamonel caso piugrave semplice cioegrave 1199030 = 0 e 119903119896 = 9 per 119896 gt 0 Dalla definizione segue che per ogni 119896 gt 0

910 + 9

100 +⋯+ 910119896 le 119903 lt 1

cioegrave1minus 1

10119896 le 119903 lt 1

che egrave come dire 0 lt 1 minus 119903 le 10minus119896 Ma questo egrave assurdo ogni numero positivo egrave maggiore di10minus119899 per qualche intero positivo 119899

Dati due numeri 119903 e 119904 abbiamo che 119903 lt 119904 se e solo se

1199030 = 1199040 1199031 lt 1199041 hellip119903119896minus1 = 119904119896minus1 119903119896 lt 119904119896

In altre parole si guarda per prima cosa la parte intera se i due numeri hanno partiintere diverse egrave chiaro qual egrave il piugrave grande Se le parti intere sono uguali si guarda laprima cifra decimale e cosigrave via

Come funziona lrsquoaddizione Non possiamo certo cominciare dalla cifra piugrave a destra percheacutenon crsquoegrave Ma anche lrsquoaddizione usuale fra gli interi si puograve eseguire partendo da sinistra proviamocon 634+ 197 Abbiamo 6+ 1 = 7 e ci spostiamo a destra ora 3+ 9 = 12 e quindi spostiamo 1alla colonna precedente che diventa 8 dunque abbiamo 82 ci spostiamo a destra dove troviamo4+ 7 = 11 quindi spostiamo 1 sulla colonna precedente e troviamo 831

Di solito si comincia da destra percheacute cosigrave non abbiamo ldquoriporti multiplirdquoNel caso degli allineamenti decimali perograve crsquoegrave una complicazione se sviluppiamo 23 otte-

niamo lrsquoallineamento 0666hellip e da 13 otteniamo 0333hellip Lrsquoaddizione partendo da sinistraproduce 0999hellip ma questo numero per quanto visto prima egrave 1

Abbiamo dato per noti i numeri reali Ma quello che si puograve trarre da questi discorsiegrave che gli allineamenti decimali danno una costruzione dei numeri reali

86 la costruzione di cantor

Una condizione necessaria affincheacute una successione (119886119899) converga egrave che per ogni 120576 gt 0esista un tale che quando 119898119899 gt si abbia |119886119898 minus119886119899| lt 120576 Infatti se (119886119899) convergea 119897 possiamo trovare tale che per 119899 gt si abbia |119886119899minus119897| lt 1205762 Se 119898119899 gt avremo

|119886119898 minus119886119899| = |119886119898 minus 119897+ (119897 minus 119886119899)| le |119886119898 minus 119897| + |119897 minus 119886119899| lt1205762 + 120576

2 = 120576

Lrsquoassioma di continuitagrave garantisce che una successione che ha questa proprietagrave chia-mata proprietagrave di Cauchy converge

Vediamo per prima cosa che una successione di Cauchy egrave limitata Basta prendere lrsquoindice relativo a 120576 = 1 per avere che per ogni 119898 gt

minus1+119886+1 lt 119886119898 lt 1+119886+1

da cui ovviamente abbiamo che |119886119898| lt 1 + |119886+1| e quindi

|119886119899| le max |1198860| |1198861|hellip |119886| 1 + |119886+1|

Sia 119903 le 119886119899 le 119904 per ogni 119899 Se consideriamo la successione 119887119899 = (119886119899 minus 119903)(119904 minus 119903) abbiamoche 0 le 119887119899 le 1 egrave facile vedere che anche (119887119899) egrave una successione di Cauchy e che (119887119899) convergese e solo se (119886119899) converge

Infiniti termini della successione cadono o in [0 12] oppure in [12 1] chiamiamo 1198680 unodei due intervalli scegliendone uno in cui cadano infiniti termini sia 1198880 il primo termine 119887119899 che

174 i numeri reali

cade in 1198680 Ora dividiamo a metagrave 1198680 e scegliamo una metagrave 1198681 nella quale cadano infiniti terminisia 1198881 il primo termine successivo a 1198880 che cade in 1198681

Proseguendo cosigrave otteniamo una successione (119888119899) i cui termini cadono in una successione diintervalli inscatolati e che dunque converge a 119888 Ci basta ora vedere che anche (119887119899) converge a 119888

Sia 120576 gt 0 Allora abbiamo per 119898119899 gt sia |119887119898 minus 119887119899| lt 1205762 sia |119888119899 minus 119888| lt 1205762 Ora bastaprendere anche 119888119899 in modo che 119888119899 venga dopo 119887 (che egrave possibile per costruzione di 119888119899) e siamoa posto

Due successioni di Cauchy determinano lo stesso numero reale se la loro differenza egraveuna successione convergente a zero La costruzione di Cantor egrave essenzialmente questai numeri reali sono le successioni di Cauchy di numeri razionali identificando due diesse quando la differenza egrave zero

Da un allineamento decimale egrave facile ottenere una successione di Cauchy di numerirazionali basta considerare i successivi troncamenti Il viceversa egrave un porsquo piugrave complica-to ma solo tecnicamente Come tecnicamente egrave complicato ma non difficile dimostra-re che gli oggetti cosigrave ottenuti soddisfano gli assiomi dei numeri reali lrsquoaddizione e lamoltiplicazione si eseguono semplicemente sommando o moltiplicando le successionitermine a termine

9I NUMER I COMPLESS I

Nel sedicesimo secolo vari autori riuscirono nellrsquoimpresa di trovare una tecnica riso-lutiva delle equazioni di terzo grado Scipione del Ferro (1465ndash1526) Nicolograve Tartaglia(c 1499ndash1557) Lodovico Ferrari (1522ndash1565) Girolamo Cardano (1501ndash1576) sono i nomiche compaiono nella famosa disputa sulla prioritagrave della scoperta con tanto di disfidee insulti

Questa egrave la tecnica risolutiva di Tartaglia che comparve nellrsquoArs Magna di CardanoConsideriamo lrsquoequazione

1199103 +1198861199102 +119887119910+ 119888 = 0

a cui si puograve ridurre ogni equazione di terzo grado Con la sostituzione

119910 = 119909minus 1198863

egrave un facile calcolo ridurla ancora allrsquoequazione

1199093 +119901119909+119902 = 0

Giagrave prima di Tartaglia si sapeva che minus1198863 egrave la media delle soluzioni dellrsquoequazionequindi la sostituzione non egrave altro che una traslazione per fare in modo che la mediadelle soluzioni sia 0

A questo punto Tartaglia propone la nuova sostituzione

119909 = 119906minus 1199013119906

che porta lrsquoequazione nella forma

1199063 minus119901119906+ 1199012

3119906 minus 1199013

271199063 +119901119906minus 1199012

3119906 + 119902 = 0

cioegrave1199063 minus 1199013

271199063 +119902 = 0

che puograve essere trattata come unrsquoequazione di secondo grado in 1199063

(1199063)2 +1199021199063 minus 1199013

27 = 0

il cui discriminante egrave

Δ = 4(1199013

27 + 1199022

4 )

Se il discriminante egrave positivo otteniamo un solo valore di 119909 se infatti 1205752 = Δ le duesoluzioni per 1199063 sono

12(minus119902+ 120575) 1

2(minus119902minus 120575)

e sostituendo le radici cubiche si ottiene lo stesso valore per 119909Tuttavia crsquoegrave un problema se consideriamo lrsquoequazione

1199093 minus 7119909+ 6 = 0

il discriminante che otteniamo egrave

Δ = 4(minus73

27 + 62

4 ) = 427(minus343+ 9 sdot 27) = minus400

27 lt 0

175

176 i numeri complessi

quando la nostra equazione ha tre soluzioni Egrave ovvio infatti che 1 egrave una soluzione econ la divisione si trovano le altre due cioegrave 2 e minus3

Un altro modo di affrontare la questione fu trovato dal francese Franccedilois Viegravete (1540ndash1603) La sua idea fu di introdurre una nuova incognita 119910 legata alla 119909 da

1199102 +119909119910 = 1199013

Se in 1199093 +119901119909+119902 = 0 sostituiamo 119909 = (119901minus 31199102)(3119910) otteniamo

271199106 minus271199021199103 minus1199013 = 0

Questa egrave una lsquobicubicarsquo il cui discriminante egrave 27(271199022+41199013) dove si riconosce la stessalimitazione di prima

Per uscire dal dilemma ci sono due strade Una di Viegravete che riportava in modo moltoastuto le equazioni di terzo grado con discriminante negativo alla formula di triplica-zione del coseno lrsquoaltra di Cardano e dei successori che non si spaventarono al pensierodi maneggiare radici quadrate di numeri negativi

La tecnica di Viegravete usa la formula di triplicazione del coseno cos(3120572) = 4 cos3 120572 minus 3 cos120572Cerchiamo dunque di scrivere lrsquoespressione 1199093 + 119901119909 in una forma simile ponendo 119909 = 119886 cos120572otteniamo

1199093 +119901119909 = 1198863 cos3 120572+119886119901 cos120572e quindi ci serve 1198863 = 4119887 119886119901 = minus3119887 cioegrave

1198863

4 = minus1198861199013

da cui 1198862 = minus41199013 che naturalmente egrave possibile solo quando 119901 lt 0 Con questo valore di 119886abbiamo lrsquoequazione

4119887 cos3 120572minus 3119887 cos120572+119902 = 0cioegrave

119887 cos(3120572) + 119902 = 0che ammette soluzione quando minus1 le 119902119887 le 1 cioegrave 1199022 le 1198872 che equivale a

1199022 le 11988621199012

9 = minus41199013

27cioegrave

1199013

27 + 1199022

4 le 0

che egrave esattamente la condizione che porta al problema delle radici quadrate di numeri negativiNel caso di 119901 = minus7 e 119902 = 6 abbiamo 1198862 = 283 e

119887 = 1198863

4 = 14283 radic

283 = 14

3 radic73

e quindi lrsquoequazione finale egrave

cos3120572 = minus119902119887 = minus9

7radic37 asymp minus08417

quindi3120572 asymp 257122 + 2119896120587 (0 le 119896 le 2)

e abbiamo le tre soluzioni (approssimate)

1205721 asymp 085707 1205722 asymp 295147 1205723 asymp 504586

Siccome 119886 asymp 305505 avremo

1199091 = 119886 cos1205721 asymp 2000001199092 = 119886 cos1205722 asymp minus3000001199093 = 119886 cos1205723 asymp 099999

che sono effettivamente i risultati attesi

91 operazioni sui numeri complessi 177

Decidiamo di non spaventarci neppure noi ignorando la connotazione peggiorativadellrsquoaggettivo immaginario che Descartes affibbiograve a questi ldquonumerirdquo Secondo lrsquousointrodotto da Euler indichiamo con 119894 un numero tale che 1198942 = minus1 non egrave tanto diversoda indicare con radic2 un numero che elevato al quadrato dia 2

Giagrave con questi nuovi numeri possiamo trovare radici quadrate di tutti i numeri realise 119886 gt 0 non crsquoegrave problema se 119886 lt 0 possiamo scrivere

(119894radicminus119886)2 = 1198942(minus119886) = 119886

Naturalmente una volta che abbiamo aggiunto questo numero dobbiamo aggiungereanche tutti quelli della forma

119886+ 119887119894

con 119886 e 119887 reali Siccome siamo giagrave abituati a maneggiare espressioni del tipo 3 + 2radic2non ci facciamo problemi e proviamo a supporre che 119886 + 119887119894 = 0 Allora anche (119886 +119887119894)(119886 minus 119887119894) = 0 cioegrave

0 = (119886+ 119887119894)(119886 minus 119887119894) = 1198862 minus (119887119894)2 = 1198862 minus (minus1)1198872 = 1198862 +1198872

Qui la faccenda egrave diversa 119886 e 119887 sono numeri reali e quellrsquouguaglianza significa che119886 = 119887 = 0 Dunque da 119886+119887119894 = 0 segue 119886 = 119887 = 0 Puograve succedere che 119886+119887119894 = 119888+119889119894Certo ma in tal caso

(119886 minus 119888) + (119887minus 119889)119894 = 0

e quindi 119886 = 119888 e 119887 = 119889

91 operazioni sui numeri complessi

Un numero complesso egrave unrsquoespressione della forma 119886 + 119887119894 dove 119886 e 119887 sono numerireali Per quanto visto prima 119886 e 119887 sono univocamente determinati e si chiamanorispettivamente parte reale e parte immaginaria del numero complesso Le operazionisi eseguono usando le note proprietagrave

(119886 + 119887119894) + (119888 + 119889119894) = (119886+ 119888) + (119887+ 119889)119894(119886 + 119887119894)(119888 + 119889119894) = 119886119888+ 119886119889119894 + 119887119888119894 + 1198871198891198942 = (119886119888minus 119887119889) + (119886119889+ 119887119888)119894

Non occorre memorizzare formule basta operare come al solito con le espressionialgebriche e ricordare che 1198942 = minus1 Esattamente come quando si deve razionalizzare3(radic2 minus 1) si moltiplica numeratore e denominatore per radic2 + 1 usando il fatto che(radic2)2 = 2

In particolare (119886+119887119894)2 = 1198862 minus1198872 +2119886119887119894 Tanto per esercizio cerchiamo di trovarei numeri complessi che elevati al quadrato danno 119894 dovremo avere

⎧⎨⎩

1198862 minus1198872 = 02119886119887 = 1

uguagliando la parte reale e quella immaginaria Dalla prima otteniamo 119886 = 119887 oppure119886 = minus119887 sostituendo nella seconda vediamo che 119886 = minus119887 porta a minus21198862 = 1 che non hasoluzioni Dunque abbiamo 119886 = 119887 e 21198862 = 1 quindi 119886 = 119887 = 1radic2 oppure 119886 = 119887 =minus1radic2

Piugrave in generale vediamo che ogni numero complesso diverso da 0 ha due radiciquadrate Se il numero egrave ℎ+ 119896119894 la tecnica di prima ci porta al sistema

⎧⎨⎩

1198862 minus1198872 = ℎ2119886119887 = 119896

178 i numeri complessi

che possiamo risolvere ricavando 119887 dalla seconda equazione almeno nel caso in cui119896 ne 0 ma se 119896 = 0 sappiamo giagrave trovare 119886 e 119887 Dunque possiamo scrivere 119887 = 119896(2119886)e sostituire nella prima equazione trovando una risolvente biquadratica

41198864 minus 4ℎ1198862 minus1198962 = 0

che dagrave

1198862 = radicℎ2 +1198962 +ℎ2

Lrsquoaltra ldquosoluzionerdquo egrave da scartare percheacute negativa Ogni valore trovato di 119886 egrave legato a unvalore di 119887 e quindi abbiamo dimostrato lrsquoasserzione fatta Si ha infatti 1198872 = 1198962(41198862)e quindi

1198872 = 1198962

42

radicℎ2 +1198962 +ℎ= 1198962

2radicℎ2 +1198962 minusℎ

1198962 = radicℎ2 +1198962 minusℎ2

Le soluzioni effettive si trovano scegliendo i valori positivi e negativi in modo che valga2119886119887 = 119896 Si noti che queste espressioni valgono anche per il caso prima escluso di119896 = 0

92 coniugato di un numero complesso

Se 119906 = 119886+119887119894 con 119886 e 119887 reali il coniugato di 119906 egrave il numero complesso

119906 = 119886minus119887119894

Si tratta di un ausilio molto importante infatti sommando e sottraendo si trova

2119886 = 119906+119906 2119887119894 = 119906minus119906

e quindi la conoscenza di 119906 ci permette di trovare la parte reale e la parte immaginariaLe proprietagrave del coniugato rispetto alle operazioni si verificano semplicemente

119906+119907 = 119906+119907 119906119907 = 119906119907

Particolarmente importante egrave lrsquoespressione 119906119906 = 1198862 +1198872 In effetti

(119906119907)(119906119907) = (119906119906)(119907119907)

e inoltre esiste un unico numero reale non negativo che elevato al quadrato dia 119906119906Questo numero si chiama modulo di 119906

|119906| = radic119906119906

Per esempio il modulo di 119894 egrave 1 il modulo di 2+119894 egrave radic5 Nel caso in cui 119906 sia reale cioegrave119906 = 119906 il modulo egrave esattamente quello usuale

Egrave interessante notare che la disuguaglianza |119906+119907| le |119906|+|119907| vale anche nei numericomplessi Siccome si tratta di numeri reali non negativi la disuguaglianza puograve essereverificata elevando al quadrato siccome |119908|2 = 119908119908 dobbiamo verificare

(119906+ 119907)(119906+ 119907) le 119906119906+ 2|119906| |119907| + 119907119907

che equivale cancellando i termini uguali a

119907119906+119906119907 le 2|119906| |119907|

93 forma trigonometrica 179

Questa disuguaglianza egrave ovvia se il termine di sinistra egrave negativo Se il termine disinistra egrave non negativo possiamo di nuovo elevare al quadrato e la disuguaglianza daverificare egrave

11990721199062 + 2119906119906119907119907+11990621199072 le 4119906119906119907119907

che diventa(119907119906minus119906119907)2 le 0

Questa disuguaglianza egrave vera anche se ciograve sembra paradossale se poniamo 119908 = 119907119906 iltermine da elevare al quadrato egrave 119908minus119908 che ha parte reale nulla e quindi il suo quadratoegrave effettivamente le 0

Notiamo subito che non egrave possibile stabilire una relazione drsquoordine sui numeri com-plessi in modo che valgano proprietagrave analoghe a quelle sui numeri reali Non egrave unproblema in tutte le disuguaglianze che abbiamo scritto ambo i membri erano numerireali non egrave reale 119907119906minus119906119907 ma il suo quadrato sigrave

Che succede ai numeri complessi di modulo 1 Egrave evidente |119906| = 1 equivale a

119906119906 = 1

e quindi 119906 egrave lrsquoinverso di 119906 Come facciamo a trovare lrsquoinverso di un numero complessoqualsiasi diverso da 0 Semplice razionalizziamo

1119886+ 119887119894 = 119886minus 119887119894

1198862 +1198872 = 1198861198862 +1198872 + minus119887

1198862 +1198872 119894

e siccome 119886 + 119887119894 ne 0 lrsquoinverso esiste Se lo vogliamo scrivere senza far ricorso allaparte reale e alla parte immaginaria abbiamo

119906minus1 = |119906|minus2119906

Infatti119906(|119906|minus2119906) = |119906|minus2119906119906 = |119906|minus2|119906|2 = 1

Per ultimo osserviamo che| |119906|minus1119906| = 1

e quindi ogni numero complesso non nullo si puograve scrivere (in modo unico) come pro-dotto di un numero reale positivo il modulo per un numero complesso di modulo 1

93 forma trigonometrica

Vediamomeglio che cosa possiamo fare con i numeri complessi di modulo 1 se |119906| = 1con 119906 = 119886+ 119887119894 abbiamo evidentemente 1198862 + 1198872 = 1 e quindi sappiamo che esiste unnumero reale 120572 determinato a meno di multipli interi di 2120587 tale che

119886 = cos120572 119887 = sin120572

Quindi 119906 = cos120572+119894 sin120572 e questo numero 120572 si chiama argomento di 119906 Il fatto che nonsia determinato univocamente non dagrave problemi Proviamo a moltiplicare due numericomplessi di modulo 1

(cos120572+ 119894 sin120572)(cos120573+ 119894 sin120573) = (cos120572 cos120573minus sin120572 sin120573)+ 119894(sin120572 cos120573+ cos120572 sin120573)

= cos(120572+ 120573) + 119894 sin(120572+ 120573)

180 i numeri complessi

I numeri complessi di modulo 1 si moltiplicano semplicemente sommando gli argo-menti Se ci ricordiamo di questo fatto non occorre nemmeno ricordare le formule diaddizione di seno e coseno

Se 120573 = 120572 troviamo la formula di duplicazione o piugrave in generale la formula permultipli qualsiasi che si chiama formula di De Moivre

(cos120572+ 119894 sin120572)119899 = cos(119899120572) + 119894 sin(119899120572)

Per esempio possiamo sviluppare la potenza per 119899 = 3 e trovare la formula di triplica-zione

cos3120572+ 119894 sin3120572 = (cos120572+ 119894 sin120572)3

= cos3 120572+ 3119894 cos2 120572 sin120572+ 31198942 cos120572 sin2 120572+ 1198943 sin3 120572= (cos3 120572minus 3 cos120572 sin2 120572)+ 119894(3 cos2 120572 sin120572minus sin3 120572)

che possono anche essere lette come

cos3120572 = cos3 120572minus 3 cos120572 sin2 120572sin3120572 = 3 cos2 120572 sin120572minus sin3 120572

La forma trovata per i numeri di modulo 1 puograve essere estesa a tutti i numeri com-plessi diversi da 0 Infatti come abbiamo visto |119906|minus1119906 ha modulo 1 se 119906 ne 0 perciograve

119906 = |119906|(cos120572+ 119894 sin120572)

dove 120572 egrave determinato a meno di multipli interi di 2120587 Questa egrave la cosiddetta formatrigonometrica dei numeri complessi

Il classico problema di trovare le radici 119899-esime dei numeri complessi si risolve fa-cilmente dato 119906 = 120588(cos120572 + 119894 sin120572) dove 120588 = |119906| gt 0 vogliamo trovare i numericomplessi 119907 = 120590(cos120573 + 119894 sin120573) tali che 119907119899 = 119906 La formula di De Morgan dice allorache deve valere

120590119899(cos(119899120573) + 119894 sin(119899120573)) = 120588(cos120572+ 119894 sin120572)

cioegrave 120590 = 119899radic120588 e119899120573 = 120572+ 2119896120587 (119896 intero)

Se vogliamo trovare le radici 119899-esime distinte ci basteragrave far variare 119896 tra 0 e 119899 minus 1percheacute le altre lsquosoluzionirsquo corrispondono ad angoli che differiscono da quelli giagrave trovatiper multipli interi di 2120587 e quindi avremo

120572119899 120572+ 2120587

119899 120572+ 4120587119899 hellip 120572+ 2(119899minus 1)120587

119899

dimostrando che ogni numero complesso diverso da 0 ha esattamente 119899 radici 119899-esimedistinte

La notazione cos120572 + 119894 sin120572 egrave pesante cosigrave spesso si abbrevia in cis120572 Si noti lasomiglianza non casuale di questa funzione con lrsquoesponenziale

cis(120572+ 120573) = cis120572 cis120573

Vogliamo risolvere il seguente problema trovare una formula per

119886119899 = sin120572+ sin(2120572) +⋯+ sin(119899120572)119887119899 = 1+ cos120572+ cos(2120572) +⋯+ cos(119899120572)

94 interpretazione geometrica 181

Se moltiplichiamo la prima per 119894 e sommiamo le due troviamo

119887119899 + 119894119886119899 = cis(0120572) + cis(1120572) +⋯+ cis(119899120572)

che egrave la somma di una progressione geometrica

119887119899 + 119894119886119899 = (cis120572)0 + (cis120572)1 + (cis120572)2 +⋯+ (cis120572)119899

= (cis120572)119899+1 minus 1cis120572minus 1

= cis((119899+ 1)120572) minus 1cis120572minus 1

naturalmente quando cis120572 ne 1 cioegrave 120572 ne 0 (o multipli interi di 2120587) ma in questo caso la sommada cercare egrave banale

Una forma molto interessante si trova raccogliendo cis((119899+ 1)1205722) al numeratore e cis(1205722)al denominatore per evitare notazioni pesanti poniamo 120573 = 1205722 e 120574 = (119899+ 1)120573

119887119899 + 119894119886119899 = cis120574cis120573

cis120574minus cis120574cis120573minus cis120573

Egrave facile dunque scrivere le espressioni per 119886119899 e 119887119899 ricordando che cis120575minus cis120575 = 2119894 sin120575

119887119899 = sin((119899+ 1)1205722)sin(1205722) cos 119899120572

2

119886119899 = sin((119899+ 1)1205722)sin(1205722) sin 119899120572

2

94 interpretazione geometrica

I numeri complessi rimasero unrsquoentitagrave vista con molto sospetto fino a che Argand eGauszlig ne diedero unrsquoevidente interpretazione geometrica se vediamo un numero com-plesso come un punto del piano adoperandone la parte reale e la parte immaginariacome coordinate in un sistema di riferimento cartesiano lrsquoaddizione corrisponde allanota regola del parallelogramma e la moltiplicazione a una rotazione attorno allrsquoorigineseguita da un allungamento o una contrazione

Supponiamo di voler calcolare le coordinate del punto simmetrico rispetto a un assedel punto di coordinate (119904 119905) Facciamo lrsquoipotesi semplificatrice che lrsquoasse passi perlrsquoorigine e che non sia lrsquoasse delle ordinate (in questo caso non crsquoegrave alcuna difficoltagrave)

Se la retta ha equazione 119910 = 119898119909 sappiamo che 119898 = tan120572 dove 120572 egrave lrsquoangolo for-mato con il semiasse positivo delle ascisse Possiamo allora ruotare il punto attornoallrsquoorigine di un angolo minus120572 calcolare il simmetrico rispetto allrsquoasse delle ascisse e ruo-tare di un angolo 120572 Siccome il simmetrico rispetto allrsquoasse delle ascisse egrave il coniugatole operazioni da eseguire sono ponendo 119906 = 119904+ 119905119894

119906 ↦ 119906 cis(minus120572) ↦ 119906 cis(minus120572) = 119906 cis120572 ↦ 119906 cis120572 cis120572 = 119906 cis(2120572)

Quindi il simmetrico egrave

(119904 minus 119905119894) cis(2120572) = 119904 cos(2120572) + 119905 sin(2120572) + 119894(119904 sin(2120572) minus 119905 cos(2120572))

Allora ricordando le note formule e che 119898 = tan120572

cos(2120572) = 1minus1198982

1 +1198982 sin(2120572) = 21198981+1198982

possiamo scrivere che il simmetrico di (119904 119905) ha coordinate

(119904(1 minus1198982) + 21198981199051+1198982 2119898119904minus 119905(1 minus1198982)

1 +1198982 )

182 i numeri complessi

formula decisamente piugrave complicataSe vogliamo calcolare la semidistanza 119889 tra un punto e il suo simmetrico ci basta

calcolare il modulo della differenza

2119889 = |119906minus119906 cis(2120572)|

Ricordando che |cis(minus120572)| = 1

2119889 = |119906minus119906 cis(2120572)| sdot |cis(minus120572)|= |119906 cis(minus120572) minus119906 cis120572|= |119906 cis(minus120572) minus119906 cis(minus120572)|

e il termine dentro il modulo egrave il doppio della parte immaginaria di

(119904 + 119905119894)(cos120572minus 119894 sin120572)

cioegrave

119889 = |minus119904 sin120572+ 119905 cos120572|= |cos120572| |119905 minus119898119904|

= |119905 minus119898119904|radic1+1198982

come ben noto dalla formula della distanza di un punto da una rettaIl caso generale in cui la retta ha equazione 119910 = 119898119909 + 119902 si tratta eseguendo una

traslazione iniziale (119906 ↦ 119906minus119902119894) che poi viene eseguita a rovescio alla fine

119906 ↦ (119906minus 119902119894) cis(2120572) + 119902119894

e il calcolo della distanza egrave molto simile Si puograve anche traslare rispetto a un qualsiasi119908che corrisponda a un punto della retta e cosigrave la formula funziona anche quando la rettaegrave parallela allrsquoasse delle ordinate se prendiamo la retta di equazione 119909 = 119886 abbiamo120572 = 1205872 e per esempio 119908 = 119886 allora il corrispondente di 119906 egrave il punto

(119906minus 119886) cis120587+119886 = minus(119906minus119886) + 119886 = minus119906+ 2119886

come ci si attendePer la simmetria centrale rispetto allrsquoorigine la trasformazione egrave 119906 ↦ minus119906 per la

simmetria centrale rispetto al punto di coordinate (119886119887) poniamo 119908 = 119886+119887119894 e quindila trasformazione egrave

119906 ↦ minus(119906minus119908)+119908 = minus119906+ 2119908Se vogliamo invece una rotazione di un angolo 120572 rispetto allrsquoorigine la trasformazio-ne egrave 119906 ↦ 119906 cis120572 che per la rotazione attorno a 119908 inteso come punto del piano latrasformazione egrave

119906 ↦ (119906minus119908) cis120572+119908Proviamo come semplice applicazione a calcolare la composizione di due simmetrie

assiali rispetto a due rette incidenti Se la prima ha coefficiente angolare 119898 = tan120572 laseconda coefficiente angolare 119899 = tan120573 e il punto di intersezione egrave 119908 il risultato finaledella composizione applicata al punto 119906 egrave

(119907 minus119908) cis2120573+119908 = 119907 cis2120573minus119908 cis2120573+119908

dove 119907 = (119906minus119908) cis2120572+119908 Quindi otteniamo

119906 ↦ (119906minus119908)cis2120572 cis2120573+119908 cis2120573minus119908 cis2120573+119908= (119906minus119908) cis(2120573 minus 2120572) +119908

che egrave evidentemente una rotazione con centro 119908 Si provi che invece la composizionedi due simmetrie assiali rispetto a due rette parallele egrave una traslazione

95 il teorema fondamentale 183

95 il teorema fondamentale

I numeri complessi sono importanti per una proprietagrave che fu intuita fin dal sedicesimosecolo e dimostrata seppure in modo incompleto da Jean-Baptiste Le Rond DrsquoAlembert(1717ndash1783) la prima dimostrazione rigorosa fu data da Carl Friedrich Gauszlig (1777ndash1855)nella sua tesi di laurea (1799)

Siccome nei complessi si puograve parlare di somme emoltiplicazioni ha senso il concettodi polinomio a coefficienti complessi una funzione del tipo

119911 ↦ 1198860 +1198861119911+⋯+119886119899119911119899

dove 1198860 1198861 hellip 119886119899 sono numeri complessi

t e o r ema f ondam en t a l e Ogni polinomio di grado maggiore di zero acoefficienti complessi ha una radice complessa

La dimostrazione richiede tecniche fuori dalla portata di queste note ne vediamosolo qualche conseguenza

La prima conseguenza egrave che ogni polinomio di grado 119899 gt 0 si scrive come

119886119899(119911 minus 1199061)(119911 minus 1199062)hellip(119911minus119906119899)

dove le radici 119906119895 possono anche essere ripetute Infatti il teorema fondamentale diceche una radice 1199061 esiste quindi il polinomio egrave divisibile per 119911 minus 1199061 con quoziente digrado 119899 minus 1 e si puograve ripetere il procedimento fino a che il grado del quoziente egrave 1In effetti egrave chiaro che la dimostrazione del cosiddetto teorema di Ruffini si estende apolinomi a coefficienti complessi

Seconda conseguenza se un polinomio a coefficienti reali egrave irriducibile allora hagrado 1 oppure 2

l e mma Se 119906 egrave una radice complessa del polinomio 119875(119911) = 1198860 +1198861119911+⋯+119886119899119911119899

a coefficienti reali allora anche 119906 egrave radice di 119875

Per ipotesi si ha 1198860 +1198861119906+⋯+119886119899119906119899 = 0 allora abbiamo

0 = 0 = 1198860 +1198861119906+⋯+119886119899119906119899 = 1198860 +1198861119906+⋯+119886119899119906119899

che egrave esattamente la tesi Si noti che abbiamo usato il fatto che 119886119895 = 119886119895 percheacute icoefficienti sono reali

t e o r ema Se 119875 egrave un polinomio irriducibile a coefficienti reali di grado maggioredi 1 allora 119875 ha grado 2 e discriminante negativo

Se 119875 ha una radice reale ed egrave irriducibile allora ha grado 1 per il teorema di RuffiniQuindi possiamo supporre che 119875 non abbia radici reali Ma siccome 119875 ha una radicecomplessa 119906 ha anche la radice 119906 e quindi egrave divisibile sia per 119909minus119906 (con 119909 indichiamola variabile del polinomio) sia per 119909minus119906 che sono polinomi irriducibili distinti quindi119875 egrave divisibile per

(119909 minus119906)(119909minus119906) = 1199092 minus (119906+119906)119909+119906119906che egrave a coefficienti reali Dunque il quoziente egrave un polinomio di grado 0 altrimenti 119875non sarebbe irriducibile Il discriminante di 119875 egrave negativo percheacute 119875 non ha radici realiDel resto a parte il quoziente di grado 0 il discriminante del polinomio appena scrittoegrave

1199062 + 2119906119906+1199062 minus 4119906119906 = (119906minus119906)2 lt 0

Questo naturalmente non significa che sappiamo calcolare la decomposizione in ognicaso egrave piugrave un risultato teorico che pratico che dice lrsquoimportanza di considerare i com-plessi come strumenti effettivi per la matematica e non solo come passaggi intermedida eliminare e nascondere

184 i numeri complessi

96 lrsquoesponenziale e il logaritmo complesso

Proviamo a calcolare la ldquoderivatardquo della funzione cis

cisprime 119905 = cosprime 119905 + 119894 sinprime 119905 = minus sin 119905 + 119894 cos 119905 = 119894(cos 119905 + 119894 sin 119905) = 119894 cis 119905

Si tratta solo di un calcolo formale che per ora non tenteremo di giustificare SeguendoEuler possiamo scrivere allora

cis 119905 = exp(119894119905)

percheacute sappiamo che se una funzione 119891 ha la proprietagrave che 119891prime = 119888119891 con 119888 costanteallora 119891(119909) = exp(119888119909) Euler allora definigrave la funzione esponenziale su un numerocomplesso come

exp(119909 +119910119894) = exp119909 cis119910

e osservograve che vale lrsquousuale proprietagrave

exp(119906+ 119907) = exp119906 exp119907

per numeri complessi qualsiasi 119906 e 119907 In particolare

cos119910 = 12(cis119910+ cis(minus119910)) = exp(119894119910) + exp(minus119894119910)

2

119894 sin119910 = 12(cis119910minus cis(minus119910)) = exp(119894119910) minus exp(minus119894119910)

2

Egrave molto utile definire due funzioni che hanno un comportamento molto simile allefunzioni trigonometriche

cosh 119905 = exp 119905 + exp(minus119905)2 sinh 119905 = exp 119905 minus exp(minus119905)

2

che si chiamano coseno iperbolico e seno iperbolico rispettivamente La relazione eule-riana dice che si possono definire coseno e seno su ogni complesso con

cos119906 = cosh(119894119906) sin119906 = 1119894 sinh(119894119906)

ottenendo funzioni che hanno le stesse proprietagrave formali per esempio le stesse formuledi addizione e periodo 2120587

La relazione che scrisse cioegrave exp(120587119894) = minus1 si puograve anche scrivere

119890120587119894 + 1 = 0

che egrave molto suggestiva Si puograve obiettare che non ha senso elevare 119890 a un lsquonumero im-maginariorsquo ma ha senso elevarlo a 120587 Egrave esattamente la stessa cosa fincheacute ci limitiamoa ubbidire alle definizioni non facciamo nulla di proibito e insensato

Ci poniamo il problema di trovare un numero complesso 119909+119910119894 con 119909 e 119910 reali taliche

exp(119909+119910119894) = 120588 cis120572

dove 119911 = 120588 cis120572 egrave un numero complesso non nullo fissato Lrsquoequazione diventa allora

exp119909 cis119910 = 120588 cis120572

che ha come soluzioni

119909 = log120588 119910 = 120572+ 2119896120587 (119896 intero)

97 serie di taylor 185

Quindi 119909 = log120588 e119910 egrave una qualsiasi delle determinazioni dellrsquoargomento di 119911 I numeriche hanno ldquologaritmo complessordquo puramente immaginario sono allora quelli per i quali119909 = 0 cioegrave 120588 = 1 i numeri complessi di modulo 1 Quelli che hanno (almeno un)ldquologaritmo complessordquo reale sono i numeri con 120572 = 0 cioegrave i numeri reali positivi Unnumero reale negativo ha come argomento120572 = 120587 se119909 egrave reale e119909 lt 0 un suo logaritmocomplesso egrave

log|119909| +120587119894

Il sogno di Johan Bernoulli che argomentava dicendo

log119909 = 12 log(1199092) = 1

2 log(|119909|2) = log|119909|

non si egrave avverato Purtroppo non si egrave avverato nemmeno il sogno di Euler che spe-rava di estendere le proprietagrave del logaritmo ai numeri complessi lrsquoindeterminazionedellrsquoargomento non permette di fare calcoli

Una potenza119886119887 puograve rappresentare un numero reale anche se119886 e 119887 non sono reali perdefinizione i valori assunti da 119886119887 sono quelli assunti da exp(119887 log119886) Occorre dunqueche 119887 log119886 assuma almeno un valore reale Per esempio i logaritmi complessi di minus1sono i numeri complessi della forma 119894(120587+2119896120587) quindi i valori di (minus1)minus119894 sono i numeridella forma 119890120587+2119896120587 Quanto fa 119894119894

97 serie di taylor

Supponiamo di avere una successione (119888119899) a valori complessi Siccome sappiamo scri-vere 119888119899 = 119886119899+119894119887119899 con 119886119899 e 119887119899 reali possiamo definire il limite della successione come119888 = 119886+ 119894119887 dove 119886 e 119887 sono i limiti delle due successioni trovate ammesso che esista-no La cosa interessante egrave che potremmo definire il limite in modo del tutto analogo aquanto fatto per le successioni a valori reali

t e o r ema Il limite della successione complessa (119888119899) vale 119888 se e solo se per ognitolleranza 120576 gt 0 esiste un 119896 tale che per ogni 119899 ge 119896 si abbia

|119888119899 minus 119888| lt 120576

Supponiamo che il limite valga 119888 = 119886 + 119894119887 secondo la definizione data e fissiamouna tolleranza 120576 gt 0 Allora sappiamo che esiste 119896 tale che per 119899 ge 119896 si abbia

|119886119899 minus119886| lt 1205762 e |119887119899 minus119887| lt 120576

2

Se 119911 = 119909+ 119894119910 sappiamo che

|119911| le |119909| + |119894119910| = |119909| + |119910|

e dunque per 119899 ge 119896 abbiamo

|119888119899 minus 119888| = |(119886119899 minus119886)+ 119894(119887119899 minus119887)| le |119886119899 minus119886| + |119887119899 minus119887| le 1205762 + 120576

2 = 120576

Viceversa supponiamo che la condizione dellrsquoenunciato valga Qui usiamo il fattoquasi ovvio che |119909| le |119911| e |119910| le |119911| per 119911 = 119909+ 119894119910 Allora da |119888119899 minus 119888| lt 120576 seguonole disuguaglianze richieste

|119886119899 minus119886| lt 120576 e |119887119899 minus119887| lt 120576

che provano la tesi

186 i numeri complessi

Una volta che sappiamo dare un senso al limite di una successione possiamo ancheparlare di serie Si puograve anche definire la convergenza assoluta allo stesso modo diprima la serie di termine generale (119888119899) converge assolutamente quando la serie ditermine generale (|119888119899|) converge Egrave un facile esercizio dimostrare che la convergenzaassoluta implica la convergenza

In particolare possiamo asserire che la serie di potenze sum119899ge0 119911119899119899 converge perogni 119911 complesso e quindi definire lrsquoesponenziale come

exp119911 = sum119899ge0

119911119899

119899

Se 119911 = 119894119910 abbiamo

exp(119894119910) = sum119899ge0

(119894119910)119899119899

= sum119899ge0

(minus1)119899 1199102119899

(2119899) + 119894 sum119899ge0

(minus1)119899 1199102119899+1

(2119899+ 1)

= cos119910+ 119894 sin119910 = cis119910

separando parte reale e parte immaginaria Si puograve anche dimostrare la relazione fon-damentale

exp(1199111 +1199112) = exp1199111 exp1199112

che perograve richiede alcuni calcoli piuttosto complicati sebbene non difficili

La regola dello sviluppo del binomio vale anche per i numeri complessi essendo basata solosulle regole formali delle operazioni

(119886 + 119887)119899 =119899

sum119896=0

(119899119896)119886119896119887119899minus119896

Possiamo dimostrarla considerando la funzione

119891(119909) = (119909+ 119887)119899 minus119899

sum119896=0

(119899119896)119909119896119887119899minus119896

che ha come derivata

119891prime(119909) = 119899(119909+ 119887)119899minus1 minus119899

sum119896=1

119896(119899119896)119909119896minus1119887119899minus119896

(il termine per 119896 = 0 sparisce) Nella somma cambiamo lrsquoindice 119896 ponendo 119896 = 119895+ 1

119891prime(119909) = 119899(119909+ 119887)119899minus1 minus119899minus1

sum119895=0

(119895 + 1)( 119899119895+ 1)119909

119895119887119899minus1minus119895

Ora consideriamo

(119895 + 1)( 119899119895+ 1) = (119895 + 1) 119899

(119895 + 1) (119899 minus 1minus 119895) = 119899 (119899minus 1)119895 (119899 minus 1minus 119895) = 119899(119899minus 1

119895 )

e dunque

119891prime(119909) = 119899(119909+ 119887)119899minus1 minus119899119899minus1

sum119895=0

(119899minus 1119895 )119909119895119887119899minus1minus119895

e per ipotesi induttiva possiamo supporre che

119899minus1

sum119895=0

(119899minus 1119895 )119909119895119887119899minus1minus119895 = (119909+ 119887)119899minus1

Dunque 119891prime(119909) = 0 cioegrave 119891 egrave costante Siccome 119891(0) = 119887119899 minus 119887119899 = 0 abbiamo lrsquouguaglianzarichiesta Il passo base dellrsquoinduzione cioegrave il caso di 119899 = 0 egrave ovvio

97 serie di taylor 187

Estendiamo la definizione del coefficiente binomiale (119899119896) anche per 119896 gt 119899 ponendo (119899119896) = 0 Inquesto modo possiamo scrivere (119886+119887)119899 = sum119896ge0 (119899119896)119886119896119887119899minus119896 come se fosse una serie almeno nelcaso di 119887 ne 0 Siccome vogliamo provare che exp(119886 + 119887) = exp119886 exp119887 il caso di 119887 = 0 non ci dagraveproblemi e quindi non egrave restrittivo assumere 119887 ne 0 Consideriamo dunque

119898

sum119899=0

(119886 + 119887)119899119899 =

119898

sum119899=0

1119899 sum119896ge0

(119899119896)119886119896119887119899minus119896 = sum

119896ge0119886119896

119898

sum119899=0

1119899 (

119899119896)119887

119899minus119896

La somma interna puograve essere scritta come

119898

sum119899=119896

1119899

119899119896 (119899 minus 119896)119887

119899minus119896 = 1119896

119898

sum119899=119896

1(119899minus 119896)119887

119899minus119896 = 1119896

119898minus119896

sum119897=0

119887119897

119897

La convenzione che funziona egrave che una somma in cui lrsquoindice inferiore egrave maggiore dellrsquoindicesuperiore vale 0 Dunque otteniamo

119898

sum119899=0

(119886 + 119887)119899119899 = sum

119896ge0

119886119896

119896 (119898minus119896

sum119897=0

119887119897

119897 )

Se ora calcoliamo il limite per 119898 rarr +infin la parentesi interna diventa exp119887 e quindi abbiamoesattamente lrsquouguaglianza richiesta In alcuni passaggi occorrerebbe maggiore cautela ma ciaccontentiamo

Questa nuova definizione dellrsquoesponenziale egrave del tutto equivalente a quella dataprima visto che per le proprietagrave appena esaminate si ottiene

exp(119909 + 119894119910) = exp119909 cis119910

Si usa definire tramite questa funzione anche le funzioni trigonometriche

cos119911 = exp(119894119911) + exp(minus119894119911)2 sin119911 = exp(119894119911) minus exp(minus119894119911)

2119894

per ogni 119911 complesso Quando 119911 egrave reale infatti si hanno proprio le identitagrave chederivano da exp(119894119910) = cis119910 Si definisce di solito anche

cosh119911 = exp(119911) + exp(minus119911)2 sinh119911 = exp(119911) minus exp(minus119911)

2

cosiccheacutecos119911 = cosh(119894119911) sin119911 = 1

119894 sinh(119894119911)

IND ICE DE I NOMI

Archimede 111

Barrow Isaac 114Bernoulli Daniel 41Bernoulli Jakob 41Bernoulli Jakob II 41Bernoulli Johann 41Bernoulli Johann II 41Bernoulli Johann III 41Bernoulli Nicolaus 41Bernoulli Nicolaus II 41Bolzano Bernard 41

Cantor Georg 167Cardano Girolamo 175Cartesio vedi DescartesCauchy Augustin-Louis 27Cavalieri Bonaventura 113

DrsquoAlembert Jean-Baptiste Le Rond 183Dedekind Richard 167del Ferro Scipione 175Descartes Reacuteneacute 111Dirichlet Peter Gustav Lejeune 24

Eudosso 111Euler Leonhard 41

Fermat Pierre de 13Ferrari Lodovico 175Fontana Nicolograve vedi Tartaglia

Galilei Galileo 113Gauszlig Carl Friedrich 183Gregory James 152

Hadamard Jacques 161Heine Heinrich Eduard 27Hocircpital Guillaume Franccedilois Antoine

de lrsquo 57

Kauffmann Nikolaus 150

lrsquoHocircpital vedi HocircpitalLagrange Giuseppe Luigi

(Joseph-Louis) 41Lambert Johann Heinrich 80Lebesgue Henri 115Legendre Adrien-Marie 145Leibniz Gottfried Wilhelm von 17Lindemann Ferdinand von 111Liouville Joseph 167

Mascheroni Lorenzo 166Mengoli Pietro 135Mercator vedi Kauffmann

Newton Isaac 113

Pitagora 150

Riemann Bernhard 114Rolle Michel 52

Tartaglia Nicolograve 175Torricelli Evangelista 113

Viegravete Franccedilois 176

Wantzel Pierre 111Weierstraszlig Karl 27

189

• Indice
• Elenco delle figure
• Elenco delle tabelle
• 0 Nozioni di base
• • 01 Numeri reali
  • 02 Funzioni
  • 03 Induzione
  • • 1 Curve e tangenti
    • • 11 Il metodo di Fermat
      • 12 Come giustificare il metodo di Fermat
      • 13 Il logaritmo e lesponenziale
      • 14 Derivata e tangente
      • 15 Curve algebriche
      • 16 Seno e coseno
      • 17 Problemi
      • • 2 Continuitagrave
        • • 21 Teoremi sulla continuitagrave
          • 22 Limiti
          • 23 Il teorema di Bolzano sugli zeri
          • 24 Tecniche di calcolo dei limiti
          • 25 Funzioni composte
          • • 3 Funzioni derivabili
            • • 31 I teoremi sulle funzioni derivabili
              • 32 I teoremi di Cauchy e di lHocircpital
              • 33 Derivata della funzione inversa
              • • 4 Limiti
                • • 41 Limiti infiniti
                  • 42 Limiti allinfinito
                  • 43 Forme indeterminate
                  • 44 Ordini di infinitesimo
                  • • 5 Studi di funzione
                    • • 51 Equazioni non algebriche
                      • 52 Procedura per lo studio di una funzione
                      • 53 Asintoti
                      • 54 Esempi
                      • 55 Unapplicazione
                      • 56 Convessitagrave e derivata seconda
                      • 57 Successioni
                      • 58 La formula di Taylor
                      • 59 Calcolo di limiti con gli sviluppi di Taylor
                      • 510 Curvatura
                      • • 6 Integrali
                        • • 61 Calcolo delle aree
                          • 62 Integrazione
                          • 63 Il logaritmo e lesponenziale
                          • 64 Tecniche di integrazione
                          • 65 Le funzioni iperboliche
                          • 66 Esistenza delloperatore integrale
                          • 67 Disuguaglianze
                          • 68 Frazioni algebriche e integrali
                          • 69 Integrali e aree
                          • 610 Integrali impropri
                          • 611 La funzione Gamma
                          • 612 Integrazione numerica
                          • • 7 Serie
                            • • 71 Integrali e successioni
                              • 72 Altre successioni
                              • 73 Definizione di serie
                              • 74 Criteri di convergenza
                              • 75 Serie a termini positivi
                              • 76 Convergenza assoluta
                              • 77 Serie di potenze
                              • 78 La serie binomiale
                              • 79 Una serie migliore per il calcolo del logaritmo
                              • 710 La serie armonica e i logaritmi
                              • • 8 I numeri reali
                                • • 81 Gli assiomi
                                  • 82 Lassioma di continuitagrave
                                  • 83 Il teorema di unicitagrave
                                  • 84 La costruzione di Dedekind
                                  • 85 La costruzione di Weierstrass
                                  • 86 La costruzione di Cantor
                                  • • 9 I numeri complessi
                                    • • 91 Operazioni sui numeri complessi
                                      • 92 Coniugato di un numero complesso
                                      • 93 Forma trigonometrica
                                      • 94 Interpretazione geometrica
                                      • 95 Il teorema fondamentale
                                      • 96 Lesponenziale e il logaritmo complesso
                                      • 97 Serie di Taylor
                                      • • Indice dei nomi

IND ICE

elenco delle figure 5

elenco delle tabelle 5

0 nozioni di base 701 Numeri reali 702 Funzioni 1003 Induzione 11

1 curve e tangenti 1311 Il metodo di Fermat 1312 Come giustificare il metodo di Fermat 1613 Il logaritmo e lrsquoesponenziale 1814 Derivata e tangente 1915 Curve algebriche 2016 Seno e coseno 2217 Problemi 24

2 continuitagrave 2721 Teoremi sulla continuitagrave 3022 Limiti 3423 Il teorema di Bolzano sugli zeri 4124 Tecniche di calcolo dei limiti 4525 Funzioni composte 48

3 funzioni derivabili 5131 I teoremi sulle funzioni derivabili 5232 I teoremi di Cauchy e di lrsquoHocircpital 5633 Derivata della funzione inversa 60

4 limiti 6541 Limiti infiniti 6542 Limiti allrsquoinfinito 7143 Forme indeterminate 7544 Ordini di infinitesimo 77

5 studi di funzione 7951 Equazioni non algebriche 7952 Procedura per lo studio di una funzione 8253 Asintoti 8354 Esempi 8655 Unrsquoapplicazione 8856 Convessitagrave e derivata seconda 9157 Successioni 9658 La formula di Taylor 10259 Calcolo di limiti con gli sviluppi di Taylor 107510 Curvatura 109

3

4 indice

6 integrali 11161 Calcolo delle aree 11162 Integrazione 11463 Il logaritmo e lrsquoesponenziale 11864 Tecniche di integrazione 12365 Le funzioni iperboliche 12866 Esistenza dellrsquooperatore integrale 13067 Disuguaglianze 13368 Frazioni algebriche e integrali 13669 Integrali e aree 139610 Integrali impropri 141611 La funzione Gamma 144612 Integrazione numerica 146

7 serie 14971 Integrali e successioni 14972 Altre successioni 15173 Definizione di serie 15274 Criteri di convergenza 15475 Serie a termini positivi 15676 Convergenza assoluta 15877 Serie di potenze 15978 La serie binomiale 16379 Una serie migliore per il calcolo del logaritmo 165710 La serie armonica e i logaritmi 165

8 i numeri reali 16781 Gli assiomi 16782 Lrsquoassioma di continuitagrave 16883 Il teorema di unicitagrave 17084 La costruzione di Dedekind 17185 La costruzione di Weierstrass 17286 La costruzione di Cantor 173

9 i numeri complessi 17591 Operazioni sui numeri complessi 17792 Coniugato di un numero complesso 17893 Forma trigonometrica 17994 Interpretazione geometrica 18195 Il teorema fondamentale 18396 Lrsquoesponenziale e il logaritmo complesso 18497 Serie di Taylor 185

indice dei nomi 189

ELENCO DELLE F IGURE

Figura 1 Grafico di 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 14Figura 2 Definizioni di log119886 tramite la curva 119909119910 = 1 le due aree colorate sono uguali

e valgono log119886 per definizione 18Figura 3 Il calcolo del rapporto di Fermat per log119909 18Figura 4 Definizione di seno e coseno 23Figura 5 Calcolo di lim

119911rarr0119911 log119911 46

ELENCO DELLE TABELLE

Tabella 1 Approssimazione di 4radic12 27Tabella 2 Tabella delle regole di derivazione e delle derivate delle principali funzio-

ni 63Tabella 3 Procedura per il calcolo del limite di una frazione algebrica a una radice del

denominatore 69

5

0NOZ ION I D I BASE

01 numeri reali

Lrsquoinsieme numerico che useremo saragrave quello dei numeri reali che saranno descrittipiugrave in dettaglio nel capitolo 8 In questo capitolo introduttivo ne esporremo le piugraveimportanti proprietagrave in base a quello che ci serviragrave in seguito

I numeri reali sono la controparte algebrica della retta geometrica e di quello chegli antichi geometri chiamavano grandezza riferendosi alla misura dei segmenti Lateoria delle grandezze si basa su due assunti fondamentali

1 date due grandezze (omogenee) diverse esiste un multiplo della minore che supera lamaggiore

2 date due serie di grandezze 1198861 1198862hellip e 1198871 1198872hellip la prima crescente e la seconda de-crescente in cui ogni 119886119896 egrave minore di ogni 119887119896 e tali che per ogni altra grandezza 119889 siha 119887119896 minus 119886119896 lt 119888 per qualche 119896 allora esiste una grandezza 119888 tale che 119886119896 le 119888 le 119887119896 perogni 119896

In realtagrave la prima proprietagrave veniva assunta come definizione di grandezze omoge-nee dopo aver chiarito che cosa significa ldquomultiplordquo (si pensi solo ai segmenti per nonandare in cerca di complicazioni) La seconda proprietagrave egrave quella che permise ad Archi-mede di confrontare la misura della circonferenza con lrsquoarea del cerchio trovando lafamosa relazione secondo la quale il rapporto fra circonferenza e diametro egrave ugualeal rapporto fra area del cerchio e quadrato del raggio il numero che oggi si denotauniversalmente con 120587

Gli antichi consideravano solo grandezze positive non egrave un vero problema aggiun-gere lo zero e i numeri negativi anzi egrave un arricchimento delle proprietagrave algebriche Ilsucco del discorso egrave che i numeri reali forniscono un sistema di coordinate sulla rettaogni punto della retta puograve essere fatto corrispondere a un numero reale e viceversarispettando lrsquoordinamento una volta che sulla retta si fissi unrsquoorigine e unrsquounitagrave dimisura cioegrave due punti corrispondenti rispettivamente a 0 e 1

Il problema che avevano Archimede Euclide e gli altri geometri greci era quello chealcune coppie di grandezze sono commensurabili cioegrave hanno un sottomultiplo comunee altre no Non ci porremo il problema se non per sottolineare che questo dagrave origine alladistinzione fra numeri razionali e irrazionali Fissato un sistema di coordinate su unaretta un punto corrisponde a un numero razionale se il segmento con estremi lrsquooriginee il punto stesso egrave commensurabile con lrsquounitagrave di misura altrimenti corrisponde a unnumero irrazionale I numeri razionali sono i rapporti tra numeri interi comrsquoegrave chiarodalla definizione stessa di commensurabilitagrave Lrsquoesistenza di numeri irrazionali egrave bennota non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia 2 ma un segmento cheabbia una tale lunghezza egrave facilmente costruibile con il teorema di Pitagora applicatoa un triangolo rettangolo isoscele

Nella trattazionemoderna la distinzione non ha piugravemolta importanza se non a livellofilosofico ed epistemologico visto che le misure effettive dei fenomeni fisici sono solonumeri razionali Percheacute la matematica delle grandezze ldquocontinuerdquo (cioegrave i numeri reali)possa essere applicata in fisica e funzioni egrave un problema filosofico e non matematico

In notazioni usuali la prima proprietagrave (assioma di Eudosso-Archimede) si puograve scri-vere dati i numeri reali 119886 e 119887 con 0 lt 119886 lt 119887 esiste un intero positivo 119899 tale che 119899119886 gt 119887La seconda proprietagrave si puograve esprimere come assioma degli ldquointervalli inscatolatirdquo datauna successione [119886119899 119887119899] di intervalli tali che per ogni 119899

[119886119899+1 119887119899+1] sube [119886119899 119887119899]

7

8 nozioni di base

esiste un numero reale 119888 che appartiene a tutti gli intervalliCon la notazione [119886 119887] intendiamo lrsquoinsieme di tutti i numeri reali 119903 tali che 119886 le

119903 le 119887 La parentesi tonda invece di quella quadra (a sinistra o a destra o entrambe)significa sostituire le con lt Si noti che nellrsquoenunciato precedente le parentesi quadrenon possono essere sostituite dalle parentesi tonde se consideriamo 119886119899 = 0 e 119887119899 =1119899 per 119899 gt 0 (con 1198870 = 1) non esiste alcun numero reale che appartiene a tutti gliintervalli della forma (0 1119899)

Se esistesse un tale numero 119903 dovremmo avere 119903 gt 0 e anche 119903 lt 1119899 per ogni119899 gt 0 contraddicendo lrsquoassioma di Eudosso-Archimede In altre parole non potremmoprendere 119903 come unitagrave di misura per impostare un altro sistema di coordinate sullaretta

La proprietagrave degli intervalli inscatolati si puograve esprimere in modo diverso ma primadovremo introdurre un porsquo di terminologia Dato un insieme (non vuoto) 119860 di numerireali diremo che un numero reale 119903 egrave il massimo di 119860 se 119903 isin 119860 e 119886 le 119903 per ogni 119886 isin 119860Fin qui niente di difficile Ma anche insiemi molto ben educati come (0 1) non hannomassimo se 119903 fosse il massimo avremmo subito una contraddizione percheacute

119903 lt 119903+ 12 lt 1

e il numero (119903 + 1)2 certamente appartiene allrsquointervallo (0 1)Esiste un concetto molto piugrave flessibile di quello di massimo quello di estremo supe-

riore Un numero 119903 egrave lrsquoestremo superiore di 119860 se

1 119886 le 119903 per ogni 119886 isin 119860

2 per ogni 120576 gt 0 esiste 119886 isin 119860 tale che 119903minus 120576 lt 119886

Si noti che il massimo di un insieme ne egrave anche lrsquoestremo superiore percheacute possiamoscegliere proprio il massimo come elemento 119886 nella seconda clausola Invece 1 egrave lrsquoe-stremo superiore di (0 1) non egrave affatto richiesto che lrsquoestremo superiore appartengaallrsquoinsieme Che 119886 le 1 per ogni 119886 isin (0 1) egrave chiaro Supponiamo che 120576 gt 0 alloraabbiamo certamente

1 minus 120576 lt 1+ (1 minus 120576)2 = 2minus 120576

2 lt 1

e quindi anche la seconda clausola egrave soddisfattaSi lascia come esercizio la definizione di minimo e di estremo inferioreDimostriamo ora il fatto importante che lrsquoestremo superiore se esiste egrave unico Sup-

poniamo infatti che 119903 e 119904 con 119903 lt 119904 abbiano entrambi diritto di chiamarsi estremosuperiore di 119860 Per la definizione usando 120576 = 119904 minus 119903 sappiamo che esiste 119886 isin 119860 taleche

119904 minus (119904 minus 119903) lt 119886

cioegrave 119903 lt 119886 che contraddice la prima clausola per 119903Qual egrave una condizione necessaria per lrsquoesistenza dellrsquoestremo superiore Che lrsquoinsie-

me 119860 abbia un maggiorante cioegrave un numero 119898 tale che 119886 le 119898 per ogni 119886 isin 119860 (primaclausola) La condizione egrave sufficiente Sigrave e la risposta egrave nella proprietagrave degli intervalliinscatolati

Partiamo da un elemento 1198860 isin 119860 e prendiamo un maggiorante 1198980 di 119860 Definiamo 1198870 =(1198860 +1198980)2 Ci sono due possibilitagrave che 1198870 sia un maggiorante di 119860 o che non lo sia Nel primocaso definiamo 1198981 = 1198870 e 1198861 = 1198860 nel secondo caso esiste 1198861 isin 119860 con 1198861 gt 1198870 e definiamo1198981 = 1198980

A questo punto possiamo procedere allo stesso modo se siamo arrivati al passo 119896 abbiamodue casi che 119887119896 = (119886119896+119898119896)2 sia unmaggiorante di119860 o che non lo sia Nel primo caso definiamo119898119896+1 = 119887119896 e 119886119896+1 = 119886119896 nel secondo esiste 119886119896+1 isin 119860 con 119886119896+1 gt 119887119896 e definiamo 119898119896+1 = 119898119896

01 numeri reali 9

Si noti che 1198981 minus1198861 le (1198980 minus1198860)2 e piugrave in generale che

119898119896+1 minus119886119896+1 le 119898119896 minus1198861198962

e quindi 119898119896 minus119886119896 le (1198980 minus1198860)2119896Per costruzione si ha [119886119896+1 119898119896+1] sube [119886119896 119898119896] e quindi sappiamo che esiste 119903 appartenente

a tutti gli intervalli Vogliamo dimostrare che 119903 egrave un maggiorante di 119860 Se non lo egrave troviamo119886 isin 119860 con 119886 gt 119903 Tuttavia possiamo trovare 119896 tale che 119898119896 lt 119886 percheacute 119898119896 minus 119903 le (1198980 minus 1198860)2119896

(si completi) e questa egrave una contraddizione visto che 119898119896 egrave un maggiorante di 119860Analogamente se 120576 gt 0 esiste 119896 tale che (1198980minus1198860)2119896 lt 120576 e dunque 119903minus120576 non egrave unmaggiorante

di 119860 (si completi)Abbiamo usato lrsquoassioma di Eudosso-Archimede piugrave lrsquoovvia disuguaglianza 2119896 gt 119896

Una caratterizzazione dellrsquoestremo superiore di un insieme dotato di un maggioran-te egrave ldquolrsquoestremo superiore di un insieme con un maggiorante egrave il minimo maggioranterdquoLa si dimostri per esercizio Lrsquoesistenza del minimo maggiorante (ammesso che lrsquoin-sieme dei maggioranti non sia vuoto) egrave proprio lrsquooggetto del ragionamento che stiamoseguendo

Non crsquoegrave bisogno di rifare tutto per lrsquoestremo inferiore Se 119860 egrave un insieme non vuotocon un minorante 119898 allora lrsquoinsieme 119860prime degli opposti degli elementi di 119860 ha minus119898 co-me maggiorante e quindi ha estremo superiore 119903 egrave davvero facile verificare che minus119903 egravelrsquoestremo inferiore di 119860

La proprietagrave dellrsquoestremo superiore egrave in effetti equivalente a quella degli intervalliinscatolati basta prendere come 119886 lrsquoestremo superiore degli 119886119896 e 119887 lrsquoestremo inferioredei 119887119896 verificando che lrsquointervallo [119886 119887] egrave contenuto in tutti gli intervalli inscatolati[119886119896 119887119896]

A pagina 170 si puograve trovare una dimostrazione dellrsquoesistenza delle radici quadrate deinumeri reali positivi Piugrave avanti scopriremo un metodo che non solo fornisce le radiciquadrate ma anche le cubiche quarte e cosigrave via senza far uso di queste proprietagrave senon in modo implicito

Per finire le notazioni Dato un insieme non vuoto di numeri reali 119860 denoteremocon

max119860 sup119860 min119860 inf 119860rispettivamente massimo estremo superiore minimo ed estremo inferiore di 119860 nelcaso esistano Talvolta si trova sup119860 = +infin se 119860 non ha un maggiorante e inf 119860 = minusinfinse non ha un minorante Si tratta solo di notazione ritroveremo questi simboli piugraveavanti

Estenderemo il campionario degli intervalli anche a quelli illimitati se 119886 egrave un numeroreale (119886 rarr) denota lrsquoinsieme dei reali maggiori di 119886 [119886 rarr) quello di prima con inpiugrave 119886 Similmente per (larr 119886) e (larr 119886] Molti scrivono +infin invece di rarr e minusinfin per larr

Si noti che non sono gli unici insiemi senza maggioranti o minoranti Lrsquoinsieme deinumeri razionali non ha neacute maggioranti neacute minoranti ma si guarda bene dallrsquoessereun intervallo percheacute tra due razionali distinti esiste almeno un numero irrazionale (difatto infiniti)

Lrsquoinsieme dei reali si denoteragrave con ℝ (potrebbe anche essere (larr rarr)) quello deirazionali con ℚ e quello dei naturali con ℕ

Vediamo una dimostrazione relativa allrsquoestremo superiore Supponiamo che 119860 e 119861 siano in-siemi non vuoti di numeri reali e definiamo 119860+119861 come lrsquoinsieme che contiene tutte le somme dielementi di 119860 con elementi di 119861 Per esempio se 119860 = 1 2 e 119861 = 0 3 avremo

119860+119861 = 1+ 0 1 + 3 2 + 0 2 + 3 = 1 2 4 5

ma neacute 119860 neacute 119861 saranno necessariamente finiti Proviamo che se 119860 e 119861 hanno un maggioranteallora anche 119860+119861 ha un maggiorante e che sup(119860+ 119861) = sup119860+ sup119861

10 nozioni di base

La prima parte egrave facile se 119909 egrave un maggiorante di 119860 e 119910 egrave un maggiorante di 119861 allora 119909+119910 egraveun maggiorante di 119860+119861 infatti se 119886 isin 119860 e 119887 isin 119861 avremo 119886 le 119909 e 119887 le 119910 da cui 119886+119887 le 119909+119910Dunque sappiamo che esiste lrsquoestremo superiore di 119860+119861 Poniamo 119906 = sup119860 e 119907 = sup119861 allora119906+119907 egrave per la stessa ragione di 119909+119910 un maggiorante di 119860+119861 e quindi sup(119860+119861) le 119906+119907 Cimanca solo mostrare che per ogni 120576 gt 0 esiste 119888 isin 119860+119861 tale che 119888 gt 119906+119907minus 120576

Siccome 119906 = sup119860 sappiamo che esiste 119886 isin 119860 con 119886gt119906minus 1205762 analogamente esiste 119887 isin 119861 con

119887gt119907minus 1205762 Allora se 119888 = 119886+ 119887 isin 119860+119861 avremo

119888 = 119886+ 119887 gt 119906minus 1205762 + 119907minus 120576

2 = 119906+119907minus 120576

e abbiamo terminatoSi dimostri il risultato analogo per lrsquoestremo inferiore Si calcolino lrsquoestremo superiore e

lrsquoestremo inferiore dellrsquoinsieme

1119898 + 1

119899 ∶ 119898119899 isin ℕ119898 gt 0119899 gt 0

02 funzioni

In tutto il corso una funzione avragrave come dominio un insieme di numeri reali e codominioi numeri reali Senza entrare nel dettaglio una funzione egrave una ldquoregolardquo che permette diassociare a un numero reale sul quale la funzione sia definita un altro numero Regolesemplici sono ldquoelevare al quadratordquo ldquosommare uno al doppiordquo che si traducono nellanotazione 119909 ↦ 1199092 o 119909 ↦ 2119909 + 1 Non ci si deve aspettare che tutte le funzioni sianodefinite tramite regole cosigrave semplici anche

119909 ↦⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

3119909minus 2 se 0 lt 119909 lt 37 se 3 lt 119909 lt 4minus1199092 se 119909 ge 4

egrave una funzione Come si indichi la variabile egrave del tutto irrilevante Se chiamiamo 119891questrsquoultima funzione con 119891(119909) si intende il valore di 119891 in 119909 per esempio

119891(1) = 3 sdot 1 minus 2 = 1 119891(72) = 7 119891(4) = minus16

Viceversa 119891(3) non ha senso percheacute la regola data non associa alcun valore a 3Spesso si parleragrave di casi come ldquola funzione 119891(119909) = 1119909rdquo o ldquola funzione 119892(119911) =

radic119911minus 1rdquo senza dare esplicitamente il dominio Volendo essere pignoli si tratta di unrsquoim-precisione ma quando il dominio si puograve desumere dal contesto o dalla regola stessaintenderemo che si tratta del ldquopiugrave grande insiemerdquo in cui la formula o lrsquoinsieme di for-mule abbia senso Per esempio il dominio di 119892 saragrave lrsquoinsieme dei numeri reali ge 1quello di 119891 lrsquoinsieme dei reali diversi da zero Con simboli

119863(119891) = 119909 isin ℝ ∶ 119909 ne 0 = (larr 0) cup (0 rarr)119863(119892) = 119909 isin ℝ ∶ 119909 ge 1 = [1 rarr)

Le funzioni di cui parleremo saranno solo funzioni a valori reali definite su insiemi dinumeri reali sebbene il concetto di funzione sia molto piugrave generale In questo contestopotremo parlare di somma prodotto e quoziente di funzioni purcheacute definite su undominio comune

Date due funzioni 119891 e 119892 la funzione somma 119891+119892 egrave 119909 ↦ 119891(119909)+119892(119909) (dove entrambesiano definite) mentre 119891119892 egrave 119909 ↦ 119891(119909)119892(119909) Per il quoziente definito in modo analogooccorreragrave ovviamente che il denominatore sia non nullo nel punto considerato

Alcune funzioni hanno la proprietagrave di essere periodiche una funzione 119891 egrave periodicaesiste un numero positivo 119879 il periodo tale che per ogni 119909 isin 119863(119891) valga anche

03 induzione 11

119909+119879119909minus119879 isin 119863(119891) e 119891(119909+119879) = 119891(119909) = 119891(119909minus119879) Lrsquoesempio canonico egrave quello dellefunzioni trigonometriche seno e coseno il cui periodo egrave 2120587 la tangente ha periodo 120587Notiamo che anche 2120587 egrave un periodo per la tangente e 4120587 per il seno spesso il periodosi riferisce al minimo periodo

Un esempio non trigonometrico si puograve costruire con la funzione pavimento (in ingle-se floor) se 119909 egrave un numero reale lfloor119909rfloor indica il massimo intero 119899 tale che 119899 le 119909 Peresempio lfloor2rfloor = 2 lfloorradic2rfloor = 1 lfloorminus120587rfloor = minus4 La funzione parte frazionaria definita da119891(119909) = 119909minus lfloor119909rfloor egrave periodica di minimo periodo 1 Infatti lfloor119909+ 1rfloor = lfloor119909rfloor + 1 e perciograve

119891(119909+ 1) = (119909+ 1) minus lfloor119909+ 1rfloor = 119909+ 1minus lfloor119909rfloor minus 1 = 119891(119909)

e si puograve dimostrare per esercizio che se 119879 gt 0 e 119891(119909+119879) = 119891(119909) per ogni 119909 allora 119879egrave intero in altre parole ogni periodo egrave intero e quindi il minimo periodo egrave 1

Esiste anche la funzione soffitto (in inglese ceiling) lceil119909rceil indica il minimo intero 119899 taleche 119909 le 119899 Si dimostri che lceil119909rceil = minuslfloorminus119909rfloor

03 induzione

Uno dei metodi piugrave ingegnosi escogitati dai matematici per dimostrare fatti che riguar-dano i numeri naturali egrave quello dellrsquoinduzione Lrsquoidea non sembra molto promettentese voglio salire una scala devo esserci davanti e saper salire da un gradino allrsquoaltro

Un porsquo piugrave formalmente supponiamo di dover dimostrare che per ogni numero na-turale 119896 gt 0 si ha 2119896 gt 119896 Mettiamoci davanti alla scala cioegrave nel caso 119896 = 1 ovviamente21 gt 1 percheacute 21 = 2 Supponiamo ora di essere arrivati al gradino 119896 cioegrave di sapereche 2119896 gt 119896 saragrave vero che 2119896+1 gt 119896+ 1 Proviamo

2119896+1 = 2 sdot 2119896 gt 2119896 ge 119896+ 1

percheacute 2119896 lt 119896 + 1 solo per 119896 = 0 Dunque la nostra asserzione egrave dimostrata (eovviamente vale anche per 119896 = 0)

Una delle prime asserzioni per la cui dimostrazione si adoperograve lrsquoinduzione egrave la co-siddetta disuguaglianza di Bernoulli se 119909 ge minus1 allora (1 + 119909)119896 ge 1 + 119896119909 per ogninaturale 119896

Il gradino iniziale in termine piugrave tecnico il passo base egrave quello di 119896 = 0 che egrave ovviopercheacute 1198860 = 1 per ogni 119886 per definizione La salita da un gradino allrsquoaltro (il passoinduttivo) puograve essere trattato cosigrave

(1 + 119909)119896+1 = (1+119909)(1 +119909)119896

ge (1+119909)(1 + 119896119909)= 1+119909+ 119896119909+ 1198961199092

= 1+ (119896+ 1)119909+ 1198961199092

ge 1+ (119896+ 1)119909

dove nella prima disuguaglianza si adopera in modo essenziale lrsquoipotesi che 119909 ge minus1cioegrave che 1 + 119909 ge 0 oltre che lrsquoipotesi induttiva Nellrsquoultima si trascura il termine nonnegativo 1198961199092 Dallrsquoipotesi induttiva (cioegrave che siamo arrivati al gradino 119896) ricaviamo chela disuguaglianza vale anche al gradino successivo perciograve la disuguaglianza vale perogni 119896

Se proprio si vuole una giustificazione piugrave dettagliata domandiamoci se puograve esistere un nu-mero naturale 119899 per il quale non valga (1 + 119909)119899 ge 1 + 119899119909 Questo numero non puograve essere 0percheacute il passo base egrave vero allora 119899 gt 0 e dunque la disuguaglianza non puograve valere nemmenoper 119899minus1 percheacute abbiamo dimostrato che sappiamo salire da un gradino al successivo Ma allorain un numero finito di passi scenderemmo a 0 contraddizione

12 nozioni di base

Per esercizio si dimostri che (1 + 119909)119896 gt 1+ 119896119909 per ogni naturale 119896 ge 2 e ogni reale119909 gt minus1 purcheacute 119909 ne 0 Il passo base dovragrave essere quello di 119896 = 2 ovviamente

Per 119909 = 1 la disuguaglianza ci dice che 2119896 = (1 + 1)119896 ge 1 + 119896 e siccome 1 + 119896 gt 119896abbiamo dimostrato in un altro modo che 2119896 gt 119896 Unrsquoaltra applicazione supponiamo119905 gt 1 e scriviamo 119905 = 1 + 119909 cioegrave 119909 = 119905 minus 1 Siccome 119909 ge 0 la disuguaglianza diBernoulli ci dice che

119905119896 = (1+119909)119896 ge 1+ 119896119909 = 1+ 119896(119905 minus 1)

In particolare lrsquoinsieme delle potenze di 119905 non ha maggioranti se 119898 fosse un mag-giorante si avrebbe 119896(119905 minus 1) le 119898 minus 1 per ogni naturale 119896 contro la proprietagrave diEudosso-Archimede

Se 0 lt 119905 lt 1 sappiamo che 1119905 gt 1 e quindi che

1119905119896 ge 1+ 119896(1

119905 minus 1) = 119905+ 119896(1 minus 119905)119905

da cui ricaviamo119905119896 le 119905

119905 + 119896(1 minus 119905)

Applicheremo questa disuguaglianza in seguitoLrsquoinduzione egrave legata alla ricorsione Non sono esattamente la stessa cosa ma non egrave

questo il luogo per discuterne Possiamo definire concetti per ricorsione adoperandola stessa idea dellrsquoinduzione per esempio

1198860 = 1 119886119899+1 = 119886119899 sdot 119886

egrave la definizione ricorsiva delle potenze Qui si suppone tacitamente che 119899 sia un natu-rale e il succo egrave che per calcolare 1198863 si parte da 1 si moltiplica per 119886 (cioegrave si calcola1198861 = 1198860+1 = 1198860 sdot 119886 = 1 sdot119886 = 119886) si moltiplica per 119886 (cioegrave si calcola 1198862 = 1198861+1 = 1198861 sdot 119886 =119886 sdot 119886) e si moltiplica ancora per 119886 ottenendo finalmente (119886 sdot 119886) sdot 119886

Quanto fa 00 Se lo chiedete in giro otterrete risposte apparentemente contraddittorie Pernoi 00 = 1 Non si confonda questo con la cosiddetta ldquoforma indeterminata zero alla zerordquoche qualcuno potrebbe avere sentito nominare Quella saragrave indicata qui con unrsquoabbreviazionespeciale cioegrave ⟦00⟧

Una semplice disuguaglianza tra numeri reali ci saragrave utile in seguito Prima di tuttodefiniamo per 119909 reale

|119909| =⎧⎨⎩

119909 se 119909 ge 0minus119909 se 119909 lt 0

Si noti che |minus119909| = |119909| e 1199092 = |119909|2 inoltre |119909| le 119910 se e solo se minus119910 le 119909 le 119910Allora vale la disuguaglianza triangolare |119886+119887| le |119886|+|119887| Infatti la disuguaglianza

equivale a|119886 + 119887|2 le (|119886| + |119887|)2

che diventa 1198862 + 2119886119887 + 1198872 le 1198862 + 2|119886||119887| + 1198872 cioegrave 119886119887 le |119886119887| percheacute ovviamente|119886||119887| = |119886119887| La disuguaglianza 119909 le |119909| egrave ovvia dalla definizione

Una forma diversa egrave ||119886| minus |119887|| le |119886minus 119887| che equivale a

minus|119886minus 119887| le |119886| minus |119887| le |119886minus 119887|

La disuguaglianza di sinistra si puograve scrivere |(119887 minus 119886) + 119886| le |119887 minus 119886| + |119886| che egrave ladisuguaglianza triangolare Similmente la disuguaglianza di destra egrave |(119886 minus 119887) + 119887| le|119886minus 119887| + |119887|

1CURVE E TANGENT I

Il metodo semplice per determinare lrsquoequazione della retta tangente a una conica egravequello di scrivere lrsquoequazione di un fascio di rette e trovare quelle in cui lrsquointersezionecon la conica dia origine a unrsquoequazione di secondo grado con discriminante nullo

Vorremmo perograve capirci di piugrave percheacute il metodo non puograve funzionare cosigrave comrsquoegrave pertrovare le tangenti a curve piugrave complicate

11 il metodo di fermat

Forse il primo ad accorgersi della proprietagrave che permette di trovare le tangenti fu Pierrede Fermat (1607()ndash1685) il famoso magistrato matematico per passatempo osservograveche la variazione di una curva in prossimitagrave di un massimo o minimo egrave minore chenegli altri punti

Facciamo lrsquoesempio della funzione 119891(119909) = 1199094 che ha evidentemente un minimo in 0Consideriamo il valore in ℎ con ℎ gt 0 lsquopiccolorsquo la differenza tra i valori di 119891 in ℎ e in0 egrave allora ℎ4 Facciamo lo stesso considerando la differenza tra i valori di 119891 in 1 e in1 + ℎ

119891(1 + ℎ) minus 119891(1) = (1 + ℎ)4 minus1= 1+ 4ℎ+ 6ℎ2 + 4ℎ3 +ℎ4 minus 1= ℎ4 + 4ℎ3 + 6ℎ2 +4ℎ

La differenza tra le differenze egrave dunque

4ℎ3 +6ℎ2 + 4ℎ = 2ℎ(ℎ2 + 3ℎ+ 1) gt 0

Spostandoci di poco da un punto non di minimo il valore della funzione cresce di piugravedi quando ci spostiamo della stessa quantitagrave da un punto di minimo

Lrsquoidea di Fermat per trovare massimi e minimi egrave dunque di cercare i punti dove lavariazione sia lsquopiccolarsquo Facciamo un altro esempio se si fa tracciare a un programmadi calcolo come GeoGebra il grafico della funzione 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 sembra evidenteche essa ha un massimo in minus1 e un minimo in 1 (figura 1) Proviamo a fare i conti comeFermat

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) = 1199093 +3ℎ1199092 + 3ℎ2119909+ℎ3 minus 3119909minus 3ℎminus1199093 +3119909= ℎ(31199092 + 3ℎ119909+ℎ2 minus3)

e da questo possiamo vedere che la differenza egrave piccola quando spariscono i terminisenza ℎ nella parentesi cioegrave quando 31199092 minus 3 = 0 che dagrave proprio i valori minus1 e 1

Il senso egrave che le differenze diventano piccole con ℎ senza dipendere troppo dal valo-re di 119909 proprio percheacute crsquoegrave il fattore ℎ in evidenza Intuitivamente i punti di massimo eminimo sono quelli in cui la tangente egrave orizzontale cioegrave parallela allrsquoasse delle ascisse

Adesso facciamo una cosa simile per trovare le tangenti consideriamo un punto delgrafico della funzione e il fascio di rette per esso Per ogni retta calcoliamo la differenzadei valori spostandoci sulla retta o sul grafico Piugrave precisamente calcoliamo per la retta119910 = 119898119909+119902 la differenza

119891(119905 + ℎ) minus119898(119905 + ℎ) minus 119902

dove 119905 egrave unrsquoascissa arbitraria e vediamo che succede Intanto determiniamo 119902 la rettadeve passare per il punto di coordinate (119905119891(119905)) quindi

119891(119905) = 119898119905+ 119902

13

14 curve e tangenti

minus3 minus2 minus1 1 2 3

minus3

minus2

minus1

1

2

3

0

figura 1 Grafico di 119891(119909) = 1199093 minus3119909

cioegrave 119902 = 119891(119905) minus119898119905 Per cominciare supponiamo 119891(119909) = 1199093

119891(119905 + ℎ) minus (119898(119905 + ℎ) + 119891(119905) minus119898119905) = (119905 + ℎ)3 minus119898ℎminus 1199053

= 3ℎ1199052 +3ℎ2119905 minus119898ℎ= ℎ(31199052 minus119898+3ℎ119905)

che diventa piccolo con ℎ quando 119898 = 31199052 Lrsquoespressione precedente ha una formapiuttosto interessante quando la guardiamo in generale

119891(119905 + ℎ) minus (119898(119905 + ℎ) + 119891(119905) minus119898119905) = (119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)) minus119898ℎ

Questo suggerisce di guardare solo 119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) vedere se si puograve raccogliere ℎ aquel punto il fattore ℎ si elimina ottenendo un valore che indicheremo con 119891prime(119905) e latangente si avragrave quando 119898 = 119891prime(119905) O almeno cosigrave ragionava Fermat

Proviamo con le curve che conosciamo cioegrave le coniche cominciamo con la parabola119891(119909) = 1198861199092 +119887119909+ 119888 e applichiamo la ricetta

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) = 1198861199052 + 2119886ℎ119905 + 119886ℎ2 +119887119905+ 119887ℎ+ 119888minus 1198861199052 minus119887119905minus 119888= ℎ(2119886119905 + 119887)

Il coefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa 119905 risulta 119891prime(119905) = 2119886119905 + 119887Verifichiamolo con il metodo del discriminante considerando il sistema

⎧⎨⎩

119910 = 1198861199092 +119887119909+ 119888119910minus (1198861199052 +119887119905+ 119888) = 119898(119909minus 119905)

che porta allrsquoequazione risolvente

1198861199092 + (119887minus119898)119909minus1198861199052 minus119887119905+119898119905 = 0

il cui discriminante egrave

Δ(119898) = (119887minus119898)2 minus 4119886(minus1198861199052 minus119887119905+119898119905)

cioegrave

Δ(119898) = 1198872 minus 2119887119898+1198982 +411988621199052 +4119886119887119905 minus 4119886119905119898= 1198982 minus 2(2119886119905 + 119887)119898+ 411988621199052 + 4119886119887119905 + 1198872

= 1198982 minus 2(2119886119905 + 119887)119898+ (2119886119905 + 119887)2

= (119898minus (2119886119905 + 119887))2

11 il metodo di fermat 15

Lrsquoequazione in 119898 data da Δ(119898) = 0 ha una sola soluzione che egrave proprio

119898 = 2119886119905+ 119887

Almeno nel caso della parabola i due metodi coincidonoProviamone uno piugrave complicato lrsquoiperbole grafico di 119891(119909) = 1119909 Il metodo di

Fermat dice di calcolare 119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) cioegrave

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) = 1119905 + ℎ minus 1

119905 = minusℎ119905(119905 + ℎ)

Qui il problema sembra piugrave difficile allora facciamo come Fermat eliminiamo il fattoreℎ e in quello che rimane poniamo ℎ = 0 Otteniamo 119891prime(119905) = minus11199052

Proviamo con il metodo del discriminante il sistema

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

119910 = 1119909

119910minus 1119905 = 119898(119909minus 119905)

ha come equazione risolvente

1198981199051199092 minus (1198981199052 minus 1)119909minus 119905 = 0

e il discriminante egrave

Δ(119898) = 11989821199054 minus 21198981199052 + 1+ 41198981199052 = (1199052119898+1)2

che si annulla per 119898 = minus11199052 esattamente come primaRimane da discutere la circonferenza Con una traslazione si puograve supporre che la

circonferenza abbia centro nellrsquoorigine e prendendo come unitagrave di misura il raggio lrsquoe-quazione della semicirconferenza lsquosuperiorersquo egrave il grafico di 119891(119909) = radic1minus1199092 Dobbiamodunque calcolare

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) = radic1minus (119905 + ℎ)2 minusradic1minus 1199052

= (1minus (119905 + ℎ)2) minus (1 minus 1199052)radic1minus (119905 + ℎ)2 +radic1minus 1199052

= ℎ(minus2119905 minus ℎ)radic1minus (119905 + ℎ)2 +radic1minus 1199052

Eliminando il fattore ℎ e ponendo ℎ = 0 in quello che rimane si ottiene

119891prime(119905) = minus119905radic1minus 1199052

Proviamo con il metodo geometrico il fascio di rette per il punto (119905119906) dove 119906 =radic1minus 1199052 consiste delle rette di equazione 119910 minus 119906 = 119898(119909 minus 119905) e di queste dobbiamocalcolare la distanza dal centro per determinare quella con distanza 1 se scriviamo laretta nella forma 119898119909minus119910minus119898119905+119906 = 0 lrsquoequazione diventa

|1198980minus 0minus119898119905+119906|radic1198982 + 1

= 1

cioegrave elevando al quadrato

11989821199052 minus 2119898119905119906+1199062 = 1198982 + 1

che diventa(1199052 minus 1)1198982 minus 2119898119905119906+1199062 minus 1 = 0

Questa ha certamente discriminante nullo e quindi la soluzione egrave

119898 = 21199051199062(1199052 minus 1) = 119905119906

minus1199062 = minus119905radic1minus 1199052

16 curve e tangenti

12 come giustificare il metodo di fermat

Consideriamo una funzione facile 119891(119909) = 1199094 supponiamo ℎ ne 0 e calcoliamo

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)ℎ = 1199054 +4ℎ1199053 + 6ℎ21199052 + 4ℎ3119905 + ℎ4 minus 1199054

ℎ

= ℎ(41199053 +6ℎ1199052 + 4ℎ2119905 + ℎ3)ℎ

= 41199053 +6ℎ1199052 + 4ℎ2119905 + ℎ3

Quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto il valore dellrsquoespressione diventa semprepiugrave vicino a 41199053 Se facciamo i conti con 119891(119909) = 1199093 con lo stesso metodo otteniamo31199052

Piugrave in generale con 119891(119909) = 119909119899 possiamo usare lo sviluppo del binomio ma senzascriverlo tutto Ricordiamo che per 119899 gt 1

(119886 + 119887)119899 = 119886119899 +119899119886119899minus1119887+ 1198872119870119899(119886119887)

dove 119870119899(119886119887) egrave unrsquoespressione algebrica in 119886 e 119887 senza frazioni

Se 119899 = 2 (119886 + 119887)2 = 1198862 + 2119886119887 + 1198872 e 1198702(119886 119887) = 1 Supponiamo di conoscere lrsquoespressione119870119899(119886119887) allora

(119886 + 119887)119899+1 = (119886+ 119887)(119886119899 +119899119886119899minus1119887+ 1198872119870119899(119886119887))= 119886119899+1 +119886119899119887+119899119886119899119887+119899119886119899minus11198872 + (119886+ 119887)1198872119870119899(119886119887)= 119886119899+1 + (119899+ 1)119886119899119887+ 1198872(119899119886119899minus1 + (119886+ 119887)119870119899(119886119887))

e quindi 119870119899+1(119886 119887) = 119899119886119899minus1 + (119886+ 119887)119870119899(119886119887)

Tenendo conto di quanto appena detto possiamo scrivere

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)ℎ = 119905119899 +119899ℎ119905119899minus1 +ℎ2119870119899(119905ℎ) minus 119905119899

ℎ= 119899119905119899minus1 +ℎ119870119899(119905ℎ)

e quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto il valore dellrsquoespressione si avvicinasempre di piugrave a 119899119905119899minus1

Esprimiamo lrsquoaffermazione che il valore dellrsquoespressione 119865(ℎ) si avvicina al valore 119897quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto con la notazione tradizionale

limℎrarr0

119865(ℎ) = 119897

senza per ora definirne formalmente il significato preciso Lrsquoimportante egrave che si arrivia unrsquoespressione 119892(ℎ) la piugrave semplice possibile nellrsquoipotesi che ℎ ne 0

Quello che abbiamo dimostrato egrave se 119891(119909) = 119909119899 allora 119891prime(119909) = 119899119909119899minus1 almeno nelcaso 119899 gt 1 Per 119899 = 1 la faccenda egrave ovvia se 119891(119909) = 119909 allora

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ = 119909+ℎminus119909

ℎ = 1

e quindi certamente 119891prime(119909) = 1 = 11199090 Per 119899 = 0 la formula non ha significato percheacutesi dovrebbe considerare 119909minus1 che egrave definita solo per 119909 ne 0 Ma egrave certo che se 119891(119909) =1199090 = 1 si ha 119891prime(119909) = 0

Come facciamo per i polinomi in genere E per le frazioni Abbiamo bisogno diqualche strumento in piugrave

12 come giustificare il metodo di fermat 17

Date le funzioni 119891 e 119892 entrambe definite almeno sullrsquointervallo (119901 119902) possiamosommarle e moltiplicarle per numeri il rapporto di Fermat per la funzione119909 ↦ 119886119891(119909)+119887119892(119909) egrave allora

(119886119891(119909+ℎ) + 119887119892(119909+ℎ)) minus (119886119891(119909) + 119887119892(119909))ℎ =

119886 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ + 119887 119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)

ℎ

e dunque se poniamo 119865(119909) = 119886119891(119909) + 119887119892(119909) abbiamo

119865prime(119909) = 119886119891prime(119909) + 119887119892prime(119909)

Ne segue facilmente che per il polinomio 119891(119909) = 1198860 +1198861119909+⋯+119886119899119909119899 si ha

119891prime(119909) = 1198861 +21198862119909+⋯+119899119886119899119909119899minus1

Questo torna con il conto per la tangente alla parabolaUn porsquo piugrave complicato quando 119865(119909) = 119891(119909)119892(119909) ma nemmeno tanto

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)

ℎ

= 119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909+ℎ)ℎ

+ 119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)ℎ

= 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ 119892(119909+ℎ) + 119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)

ℎ

e perciograve119865prime(119909) = 119891prime(119909)119892(119909) + 119891(119909)119892prime(119909)

Questrsquoultima formula fu scoperta da Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646ndash1716) parec-chio tempo dopo che Fermat aveva compiuto i suoi studi La possiamo usare per calco-lare le tangenti alla circonferenza consideriamo 119891(119909) = radic1minus1199092 e 119892(119909) = 119891(119909) nellaformula precedente Allora

119865prime(119909) = 119891prime(119909)119891(119909) + 119891(119909)119891prime(119909) = 2119891prime(119909)119891(119909)

Ma 119865(119909) = 1minus1199092 e quindi conosciamo giagrave 119865prime(119909) = minus2119909 Dunque

119891prime(119909) = 119865prime(119909)2119891(119909) = minus 119909

radic1minus1199092

Questo egrave in accordo con quanto giagrave visto a pagina 15 Lrsquoespressione non ha senso per119909 = minus1 e 119909 = 1 e del resto sappiamo che in quei punti la tangente egrave verticale quindinon ha coefficiente angolare

Facciamo qualche altro trucco del genere se 119891(119909) = 119909119899 con 119899 lt 0 e 119892(119909) = 119909minus119899abbiamo 119865(119909) = 119891(119909)119892(119909) = 1 e quindi essendo 119865prime(119909) = 0 (per 119909 ne 0) abbiamo

0 = 119891prime(119909)119892(119909) + 119891(119909)119892prime(119909) 119891prime(119909) = minus119891(119909)119892prime(119909)

119892(119909)

e sostituendo

119891prime(119909) = minus119909119899 (minus119899)119909minus119899minus1

119909minus119899 = 119899119909119899minus1

e dunque la formula egrave esattamente la stessa

18 curve e tangenti

Con un trucco analogo possiamo eseguire il calcolo per qualsiasi frazione algebricaconsideriamo 119865(119909) = 119891(119909)119892(119909) allora 119891(119909) = 119865(119909)119892(119909) e quindi

119891prime(119909) = 119865prime(119909)119892(119909) + 119865(119909)119892prime(119909)

da cui

119865prime(119909) = 119891prime(119909) minus 119865(119909)119892prime(119909)119892(119909)

che con una facile manipolazione diventa

119865prime(119909) = 119891prime(119909)119892(119909) minus 119891(119909)119892prime(119909)(119892(119909))2

13 il logaritmo e lrsquoesponenziale

Per definizione il logaritmo di 119886 egrave per 119886 gt 0 come lrsquoarea delimitata dal segmento(1 0)_(119886 0) sullrsquoasse delle ascisse dai segmenti (1 0)_(1 1) e (119886 0)_(119886 1119886) e dallrsquoarcodi iperbole di equazione 119910 = 1119909 fra i punti (1 1) e (119886 1119886) Se 0 lt 119886 lt 1 lrsquoarea vienepresa con segno negativo se 119886 gt 1 con segno positivo si veda la figura 2 dove vienepresentata anche una definizione alternativa e piugrave lsquogeometricarsquo

119909

119910

(11)(1198861119886)

119909

119910

1 119886

figura 2 Definizioni di log119886 tramite la curva 119909119910 = 1 le due aree colorate sono uguali evalgono log119886 per definizione

119909

119891(119909)

1 119909 119909+ℎ

figura 3 Il calcolo del rapporto di Fermat per log119909

Vogliamo ora valutare lrsquoespressione log(119909 + ℎ) minus log119909 supponendo prima ℎ gt 0 e119909 gt 1 Si tratta ancora per differenza di aree di unrsquoarea delimitata da tre segmenti

14 derivata e tangente 19

e un arco dellrsquoiperbole Ma possiamo considerare i rettangoli lsquoinscrittorsquo e lsquocircoscrittorsquocome si vede nella figura 3 avremo allora

ℎ119909+ℎ le log(119909 +ℎ) minus log119909 le ℎ

119909

e dunque1

119909+ℎ le log(119909 + ℎ) minus log119909ℎ le 1

119909

Se ℎ si avvicina a 0 abbiamo che 1(119909 + ℎ) si avvicina a 1119909 e dunque possiamoconcludere che

logprime 119909 = 1119909

Gli altri casi (cioegrave ℎ lt 0 e 0 lt 119909 lt 1) si trattano infatti in modo simileLa tangente alla curva di equazione 119910 = log119909 nel punto di ascissa 119905 ha dunque

equazione 119910 minus log 119905 = (119909 minus 119905)119905 Scambiando i due assi la curva diventa quella diequazione 119910 = exp119909 e dunque la tangente nel punto di ordinata 119905 ha equazione 119909 minuslog 119905 = (119910minus 119905)119905 se 119905 = exp119906 otteniamo lrsquoequazione 119910minus exp119906 = (119909minus119906) exp119906 cioegrave ilcoefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa 119906 egrave exp119906 e questo equivale a

expprime 119909 = exp119909

Vedremo piugrave avanti un metodo meno lsquogeometricorsquo per eseguire i calcoli sulle funzioniinverse

14 derivata e tangente

Cerchiamo di essere un poco piugrave formali La funzione 119891 definita nellrsquointervallo (119901 119902)egrave derivabile in 119909 isin (119901 119902) se possiamo scrivere secondo quanto detto prima

limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ = 119891prime(119909)

cioegrave nel caso in cui il rapporto di Fermat si avvicina a un valore che denotiamo con119891prime(119909) quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto Non cerchiamo per ora il pelonellrsquouovo nel dire per bene che cosa significhi avvicinarsi quando ℎ diventa piccolo difatto egrave uno dei concetti piugrave complicati del calcolo differenziale

Il valore119891prime(119909) si chiama la derivata di119891 nel punto119909 e secondo lrsquointuizione di Fermatdovrebbe essere uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva 119910 = 119891(119909) nelpunto di coordinate (119909119891(119909)) Abbiamo visto che nel caso di alcune curve note questocalcolo determina effettivamente la tangente

Non sempre le cose vanno come ci si aspetta per esempio con la funzione119891(119909) = |119909|se calcoliamo il rapporto di Fermat in 0 abbiamo

119891(0 + ℎ) minus 119891(0)ℎ = |ℎ|

ℎ

e questo vale 1 quando ℎ gt 0 ma vale minus1 quando ℎ lt 0 Dunque il rapporto di Fermatnon si avvicina a un valore quando ℎ diventa piccolo e ne concludiamo che il graficodella funzione non ha una tangente nel punto di ascissa 0 E possiamo effettivamenteconcordare che non ha molto senso parlare di tangente in quel punto

Ma come definiamo la tangente in generale Facile se per la funzione 119891 definitanellrsquointervallo (119901 119902) e per 119905 isin (119901 119902) possiamo scrivere

limℎrarr0

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)ℎ = 119891prime(119905)

20 curve e tangenti

allora la tangente alla curva 119910 = 119891(119909) nel punto di ascissa 119905 egrave proprio la retta diequazione

119910minus119891(119905) = (119909minus 119905)119891prime(119905)

cioegrave la retta passante per (119905119891(119905)) di coefficiente angolare 119891prime(119905) In altre parole pren-diamo lrsquointuizione di Fermat come definizione della tangente

Generalizziamo la notazione scriveremo

limℎrarr0

120593(ℎ) = 119897

dove 120593 egrave una qualsiasi funzione se 120593(ℎ) si avvicina a 119897 quando ℎ diventa piccolo invalore assoluto (piugrave avanti sostituiremo questo concetto intuitivo con una formulazionerigorosa per ora accetteremo il linguaggio informale) Possiamo allora riscrivere lanozione di derivata nel modo seguente 119891prime(119909) egrave la derivata di 119891 nel punto 119909 se e solose

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ)

dove 120593(ℎ) = (119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus ℎ119891prime(119909))ℎ e

limℎrarr0

120593(ℎ) = 0

Infatti se 119891prime(119909) egrave la derivata sappiamo che

0 = limℎrarr0

(119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ minus119891prime(119909))

= limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus ℎ119891prime(119909)ℎ

= limℎrarr0

120593(ℎ)

Il viceversa egrave del tutto analogo basta seguire le uguaglianze alla rovesciaChe cosrsquoegrave dunque la tangente Egrave la retta che meglio approssima la curva nelle vi-

cinanze del punto Chiaramente non possiamo definire come tangente una retta cheabbia un solo punto in comune con la curva lrsquoesempio di 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 egrave chiaro latangente in 1 egrave orizzontale e ha equazione 119910 = minus2 ma questa retta incontra la curvain un altro punto Infatti da 1199093 minus 3119909 = minus2 segue 119909 = 1 oppure 119909 = minus2 Un altroesempio egrave la parabola di equazione 119910 = 1199092 nessuna retta verticale egrave tangente eppuretutte queste rette incontrano la curva in un solo punto

Lrsquoidea di Fermat se la riguardiamo dopo queste ultime riflessioni egrave esattamentequesta la tangente (se esiste) egrave quella retta che piugrave si avvicina al grafico della funzionequando ci avviciniamo al punto che stiamo considerando

15 curve algebriche

Descartes pose il problema che considerava assai difficile di determinare le tangentialla curva di equazione

1199093 +1199103 = 3119886119909119910

e Fermat lo risolse in un modo tale che perfino Descartes dovette riconoscere la supe-rioritagrave rispetto al suo metodo

Se (119906119907) sono le coordinate di un punto della curva il fascio di rette con centro inquel punto egrave dato dalle rette di equazione

119910 = 119898(119909minus119906)+ 119907

15 curve algebriche 21

(sempre con lrsquoeccezione della retta verticale) Proviamo a sostituire nellrsquoequazione dellacurva ottenendo

1199093 + (119898(119909minus119906)+ 119907)3 minus 3119886119909(119898(119909minus119906)+ 119907) = 0

che porta allrsquoequazione

1199093 +1198983(119909 minus119906)3 + 31198982(119909 minus119906)2119907+ 3119898(119909minus119906)1199072 +1199073 minus3119886119898119909(119909minus119906)minus 3119886119907119909 = 0

e semplificando a1198601199093 +1198611199092 +119862119909+119863 = 0

dove abbiamo indicato i coefficienti con 119860 119861 119862 e 119863

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

119860 = 1+1198983

119861 = minus31199061198983 +31198982119907minus 3119886119898119862 = 311989831199062 minus 61198982119906119907+ 31198981199072 + 3119886119898119906minus 3119886119907119863 = minus11989831199063 + 311989821199062119907minus 31198981199061199072 +1199073

per non portarci dietro troppe cose complicateNel caso delle coniche il metodo usuale egrave di annullare il discriminante Possiamo

fare qualcosa di simile qui Lrsquoidea egrave che119906 deve essere una radice doppia dellrsquoequazionecioegrave che il polinomio (119909 minus119906)2 divida il polinomio 1198601199093 +1198611199092 +119862119909+119863

Vediamo il caso generale abbiamo un polinomio 119875(119909) e vogliamo trovare una con-dizione necessaria e sufficiente affincheacute 119875(119909) sia divisibile per (119909 minus 119906)2 Supponiamodunque che 119875(119909) = (119909minus119906)2119876(119909) e calcoliamo la derivata di ambo i membri

119875prime(119909) = (2119909minus 2119906)119876(119909) + (119909minus119906)2119876prime(119909)

Egrave chiaro che in questo caso 119875prime(119906) = 0 cioegrave 119906 egrave radice anche della derivata Proviamoa verificare che vale anche il viceversa supponiamo perciograve che 119875prime(119906) = 0 dove anche119875(119906) = 0 Se eseguiamo la divisione di 119875(119909) per (119909 minus119906)2 abbiamo

119875(119909) = (119909minus119906)2119876(119909) + 119886119909+ 119887

e possiamo di nuovo calcolare le derivate

119875prime(119909) = (2119909minus 2119906)119876(119909) + (119909minus119906)2119876prime(119909) + 119886

Applicando lrsquoipotesi che 119875prime(119906) = 0 otteniamo 119886 = 0 Applicando lrsquoipotesi che 119875(119906) = 0troviamo anche 119887 = 0 e dunque il resto della divisione egrave zero

Abbiamo trovato il trucco che ci permette di calcolare le tangenti Se pensiamo alcaso delle coniche sembra proprio di sigrave Perciograve nel caso di Fermat e del folium diDescartes basta verificare quando 119906 egrave radice anche del polinomio

31198601199092 + 2119861119909+119862

Lrsquoequazione diventa allora

3(1 +1198983)1199062 +2(minus31199061198983 +31198982119907minus 3119886119898)119906+ (311989831199062 minus 61198982119906119907+ 31198981199072 + 3119886119898119906minus 3119886119907) = 0

che a sua volta si semplifica in

1199062 minus119886119898119906+1198981199072 minus119886119907 = 0

22 curve e tangenti

cioegrave119898 = 1199062 minus119886119907

119886119906minus1199072

eccetto nel caso in cui 119886119906 = 1199072 Questo caso con la condizione

1199063 +1199073 minus 3119886119906119907 = 0

corrisponde a1199076

1198863 +1199073 minus 31199073 = 0

cioegrave a 119907 = 0 oppure 119907 = 119886 3radic2 Il caso di 119907 = 119886 3radic2 corrisponde a 119906 = 119886 3radic4 che egraveesattamente il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo quadrante del punto in cuila tangente egrave orizzontale (119898 = 0 cioegrave 119886119907 = 1199062)

Il caso di 119907 = 0 corrisponde naturalmente a 119906 = 0 dove lrsquoequazione originale vastudiata a parte Siccome il caso egrave semplice lo trattiamo da capo intersechiamo lacurva con una retta di equazione 119910 = 119898119909

1199093(1 +1198983) minus 31198861198981199092 = 0

Qui sembra che ogni retta sia tangente ma un disegno della curva prova che cosigrave non egravein realtagrave qui le tangenti sono due precisamente gli assi cartesiani Si tratta di un puntodoppio concetto sul quale non indagheremo piugrave a fondo

Quello che abbiamo imparato egrave che la derivata non dagrave solo le tangenti per esempiofornisce un criterio affincheacute un polinomio abbia radici multiple

Vediamo il caso del polinomio 119875(119909) = 1199093 + 119901119909+ 119902 con 119875prime(119909) = 31199092 + 119901 Dunquenon ci possono essere radici multiple se 119901 gt 0 se invece 119901 le 0 i numeri candidati aessere radice multipla sono 119903 = radicminus1199013 e minus119903 Proviamo a sostituire

119875(119903) = 1199033 +119901119903+ 119902 = 119903(1199032 +119901)+ 119902 = 23119901119903+ 119902

mentre119875(minus119903) = minus1199033 minus119901119903+ 119902 = minus119903(1199032 +119901)+ 119902 = minus2

3119901119903+ 119902

e uno di questi valori egrave zero quando 91199022 = 411990121199032 cioegrave scritto in altro modo

1199013

27 + 1199022

4 = 0

Nel caso del polinomio 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909+ 119888 si ha ovviamente 119875prime(119909) = 2119886119909+ 119887 esi ha una radice multipla solo quando minus1198872119886 egrave radice di 119875(119909) cioegrave quando

119886 1198872

41198862 minus 1198872

2119886 + 119888 = 0

che si semplifica in 4119886119888minus 1198872 = 0 condizione ben nota

16 seno e coseno

Cerchiamo di ampliare la nostra conoscenza di derivate trattando le importanti fun-zioni trigonometriche Proviamo dunque a scrivere il rapporto di Fermat per il seno

sin(119909+ℎ) minus sin119909ℎ = sin119909 cosℎ+ cos119909 sinℎminus sin119909

ℎ

= sinℎℎ cos119909+ cosℎminus 1

ℎ sin119909

16 seno e coseno 23

119874119909

119910

119860

119863

119861

119862

ℎ

figura 4 Definizione di seno e coseno

Sembra evidente che dobbiamo calcolare i due limiti

limℎrarr0

sinℎℎ e lim

ℎrarr0

cosℎminus 1ℎ

Il problema qui egrave di confrontare sinℎ con ℎ naturalmente la misura degli angoli egrave inradianti come si fa sempre in matematica teorica Egrave proprio la definizione di radianteinsieme a quella di seno e coseno ad aiutarci la rivediamo nella figura 4 Supponiamoper cominciare che 0 lt ℎ lt 1205872

Con un porsquo di trigonometria elementare riconosciamo che con 119874119860 = 1 si ha

119874119861 = cosℎ 119861119862 = sinℎ 119860119863 = tanℎ

Egrave anche evidente che lrsquoarea del triangolo 119874119861119862 egrave minore dellrsquoarea del settore circolare119874119860119862 che a sua volta egrave minore dellrsquoarea del triangolo 119874119860119863 La lunghezza dellrsquoarco119860119862 egrave per definizione ℎ e quindi lrsquoarea 119904 del settore circolare egrave ℎ2 infatti vale laproporzione

119904 ∶ 120587 = ℎ ∶ 2120587

Lrsquoarea del triangolo119874119861119862 egrave (sinℎ cosℎ)2 quella del triangolo119874119860119863 egrave (tanℎ)2 Dunquepossiamo scrivere

sinℎ cosℎ le ℎ le tanℎ

Dalla disuguaglianza di sinistra ricordando che 0 lt ℎ lt 1205872 otteniamo

sinℎℎ le 1

cosℎ

da quella di destra abbiamo

cosℎ le sinℎℎ

e perciograve possiamo scrivere

cosℎ le sinℎℎ le 1

cosℎ ()

Questo per 0 lt ℎ lt 1205872 Se invece minus1205872 lt ℎ lt 0 avremo 0 lt minusℎ lt 1205872 e quindi

cos(minusℎ) le sin(minusℎ)minusℎ le 1

cos(minusℎ)

che si trasforma esattamente nella () che quindi vale per ogni ℎ tale che minus1205872 lt ℎ lt1205872 ℎ ne 0

24 curve e tangenti

Se ora facciamo diventare piccolo ℎ sia cosℎ sia 1 cosℎ si avvicinano a 1 dunqueabbiamo provato che

limℎrarr0

sinℎℎ = 1

Molto bene siamo a metagrave dellrsquoopera Per valutare lrsquoaltra espressione usiamo un altrotrucco che torna spesso utile

cosℎminus 1ℎ = cosℎminus 1

ℎcosℎ+ 1cosℎ+ 1

= minus sin2 ℎℎ(cosℎ+ 1)

= sinℎℎ

minus sinℎcosℎ+ 1

Abbiamo spezzato la frazione in due parti la prima ha limite 1 e la seconda si avvicinaa 0 dunque il prodotto si avvicina a 0 Ecco qui il risultato finale

sinprime 119909 = cos119909

Possiamo provare con il coseno adesso con la formula di addizione e raccogliendoopportunamente abbiamo

cos(119909+ ℎ) minus cos119909ℎ = cosℎminus 1

ℎ cos119909minus sinℎℎ sin119909

e usando i risultati di prima possiamo scrivere

cosprime 119909 = minus sin119909

Per la funzione tangente non egrave un problema tan119909 = sin119909 cos119909 e dunque possiamoapplicare la formula giagrave vista

tanprime 119909 = sinprime 119909 cos119909minus sin119909 cosprime 119909(cos119909)2

= cos119909 cos119909minus sin119909(minus sin119909)cos2 119909

= cos2 119909+ sin2 119909cos2 119909

= 1cos2 119909 = 1+ tan2 119909

Questa naturalmente vale dove sia definita la tangente (trigonometrica) cioegrave la fun-zione lsquotanrsquo

17 problemi

Tutto quanto abbiamo visto sembra ragionevole e cosigrave infatti pensavano i matematicifino a che qualcosa cominciograve ad andare storto Non tanto per il fatto che ogni tanto cisi imbatteva in funzioni che non ammettono la derivata in qualche punto la funzione119891(119909) = 3radic119909 egrave un esempio Si provi a calcolarne la derivata in 119909 e si veda che lrsquoespressio-ne non ha senso per 119909 = 0 infatti la tangente in quel punto egrave verticale (Suggerimentola radice cubica egrave lrsquoinversa di elevare al cubo)

Ma che dire quando Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805ndash1859) propose la seguentefunzione

119863(119909) =⎧⎨⎩

0 se 119909 egrave razionale1 se 119909 egrave irrazionale

17 problemi 25

per la quale il rapporto di Fermat egrave

119863(119909+ℎ) minus119863(119909)ℎ

che perograve quando ℎ diventa piccolo continua a saltare tra 0 e 1 quando 119909 egrave razionaletra minus1 e 0 quando 119909 egrave irrazionale Questo percheacute tra due numeri reali distinti ci sonosempre sia razionali sia irrazionali

Si potrebbe ovviare al problema dicendo che facciamo diventare ℎ piccolo solo usan-do valori razionali In questo modo il rapporto di Fermat per 119863 si avvicinerebbe a 0per ogni 119909 Ma questo va contro un altro importante risultato se la derivata di unafunzione egrave 0 in ogni punto la funzione egrave costante Lo vedremo piugrave avanti dando le op-portune ipotesi affincheacute sia davvero valido certamente perograve la funzione di Dirichletnon egrave costante

Vediamo il vero motivo per il quale la funzione di Dirichlet non puograve ammetterederivata in alcun punto Abbiamo giagrave visto che se 119891 egrave derivabile in 119909 possiamo scrivere

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ)

dove limℎrarr0 120593(ℎ) = 0 Ma allora ℎ120593(ℎ) si deve avvicinare a 0 quando ℎ diventa piccoloDalla formula segue dunque che 119891(119909 + ℎ) deve avvicinarsi a 119891(119909) quando ℎ diventapiccolo E questo non egrave certamente vero per la funzione di Dirichlet qualunque viausiamo per ldquofar diventare piccolo ℎrdquo

Ci sono altri problemi che perograve furono riconosciuti solo piugrave tardi un esempio egrave pro-prio il calcolo della derivata di seno e coseno nella quale si deve adoperare il concetto diarea di una figura delimitata da una linea curva Si potrebbe evitare il concetto di areama solo trasferendo il problema sulla lunghezza dellrsquoarco 119860119862 nella figura 4 intuitiva-mente questa lunghezza egrave maggiore di quella del segmento 119861119862 e minore di quella delsegmento 119860119863 ma la lunghezza dellrsquoarco o della circonferenza stessa egrave ben definitaRenderemo piugrave avanti del tutto rigoroso il concetto di area e quindi il problema saragravesuperato

2CONT INU ITAgrave

Nella prima metagrave del xix secolo i problemi a cui abbiamo accennato diventarono sem-pre piugrave evidenti giagrave prima che Dirichlet proponesse la sua funzione strana La solu-zione fu trovata prima da Augustin-Louis Cauchy (1789ndash1857) in termini non del tuttorigorosi Heinrich Eduard Heine (1821ndash1881) la migliorograve e la versione definitiva fu datada Karl Weierstraszlig (1815ndash1897) occorre essere piugrave cauti nel trattare le funzioni e nonsaltare a conclusioni affrettate La funzione di Dirichlet egrave strana percheacute non soddisfala condizione di continuitagrave

se ℎ diventa piccolo 119891(119909+ℎ) si avvicina a 119891(119909)

Il grande contributo di Cauchy Heine e Weierstraszlig fu di rendere preciso il significatodella frase che dovrebbe definire la continuitagrave La loro idea puograve essere illustrata pen-sando alle approssimazioni se vogliamo calcolare la radice quarta di 12 possiamoprendere un valore approssimato della radice quadrata di 12 e di questo calcolare laradice quadrata Naturalmente piugrave cifre decimali esatte consideriamo per lrsquoapprossi-mazione di radic12 piugrave cifre decimali esatte avremo per il valore approssimato di 4radic12per averne per esempio cinque non ci bastano altrettante cifre esatte per radic12

Con un programma di calcolo possiamo verificare che con 20 cifre esatte

4radic12 asymp 104663513939210555578

Vediamo nella tabella 1 i valori che si ottengono calcolando la radice quadrata delle varieapprossimazioni di radic12 nellrsquoultima riga riportiamo per controllo il valore scrittoprima

radic12 asymp 109544511501033222691

Approssimazione di radic12 Radice quadrata

1 111 1048808848170151546991095 10464224768228174866310954 104661358676447536360109545 1046637473053587929861095445 1046635084449207636054radic12 104663513939210555578

tabella 1 Approssimazione di 4radic12

Questo funziona percheacute la nostra intuizione dice che la radice quadrata soddisfala condizione di continuitagrave Lrsquoesempio ci dice che se vogliamo un valore abbastanzapreciso della radice quarta dobbiamo avvicinarci a sufficienza al valore vero della varia-bile e questo grado di avvicinamento dipenderagrave dalla tolleranza che imponiamo Unafunzione che soddisfa questa condizione si diragrave continua

La simbologia tradizionale indica con 120576 la tolleranza per il valore finale e con 120575 larestrizione che risulta per la variabile Per dire che il valore si discosta da quello veroentro la tolleranza 120576 si scriveragrave

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

e dunque la definizione segue in modo naturale

27

28 continuitagrave

d e f i n i z i o n e La funzione 119891 si dice continua in 119909 se qualunque sia la tolleran-za 120576 gt 0 si puograve trovare un grado di avvicinamento 120575 gt 0 in modo che ogni voltache |ℎ| le 120575 si abbia |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

Ora non ci resta che trovare funzioni continue Il primo esempio egrave facile e quasiovvio 119891(119909) = 119909 Prendiamo una tolleranza 120576 gt 0 e consideriamo la disequazione

|(119909 + ℎ) minus119909| le 120576

le cui soluzioni sono evidentemente |ℎ| le 120576 In questo caso ed era ovvio fin dalprincipio il grado di avvicinamento egrave uguale alla tolleranza

Proviamo con qualcosa di piugrave complicato 119891(119909) = 1199092 La disequazione da esaminareegrave

|(119909 + ℎ)2 minus1199092| le 120576

che diventa|2119909ℎ+ℎ2| le 120576

Una disuguaglianza del genere equivale al sistema di disequazioni

minus120576 le 2119909ℎ+ℎ2 le 120576

cioegrave al sistema⎧⎨⎩

ℎ2 + 2119909ℎminus 120576 le 0ℎ2 + 2119909ℎ+ 120576 ge 0

che possiamo risolvere nel modo usuale La prima disequazione ha discriminantepositivo 41199092 +4120576 ed egrave soddisfatta per valori interni allrsquointervallo delle radici

minus119909minusradic1199092 + 120576 lt ℎ lt minus119909+radic1199092 + 120576

La seconda egrave soddisfatta per ogni ℎ quando il discriminante 41199092 minus 4120576 non egrave positivocioegrave per 120576 ge 1199092 altrimenti egrave soddisfatta per valori esterni allrsquointervallo delle radiciQuindi se 0 lt 120576 lt 1199092 le soluzioni sono date da

ℎ le minus119909minusradic1199092 minus 120576 oppure ℎ ge minus119909+radic1199092 minus 120576

Dobbiamo preoccuparci di quando 120576 ge 1199092 No almeno se119909 ne 0 se riusciamo a trovareun grado di avvicinamento che produca la tolleranza richiesta quando 0 lt 120576 lt 1199092questo andragrave bene anche per valori maggiori di 120576 Saremo piugrave restrittivi del necessarioma a noi interessa trovare un opportuno grado di avvicinamento Dunque possiamosupporre 0 lt 120576 lt 1199092 percheacute nel caso di 119909 = 0 le due disequazioni sono ℎ2 minus 120576 le 0e ℎ2 + 120576 ge 0 la seconda egrave verificata per ogni ℎ la prima per minusradic120576 le ℎ le radic120576 e si puograveprendere 120575 = radic120576

Un produttore di ingranaggi sa che tarando i suoi strumenti in un certo modo i pezzi cheproduce rispettano la tolleranza richiesta dallrsquoindustria che ha commissionato gli ingranaggiunrsquoaltra industria fa unrsquoordinazione chiedendo una tolleranza meno rigorosa il produttore puogravebenissimo mantenere la taratura allo stesso livello Forse spenderagrave di piugrave ma di certo forniscepezzi adeguati alle richieste

Trasponendo al nostro caso la questione del costo non si pone i numeri reali sono gratis

Facciamoci unrsquoidea della situazione con la calcolatrice troviamo i valori delle quan-titagrave in gioco quando 119909 = 1

continuitagrave 29

120576 = 001

minus1minusradic1+ 120576 minus200498756211208902702minus1+radic1+ 120576 000498756211208902702minus1minusradic1minus 120576 minus199498743710661995473minus1+radic1minus 120576 minus000501256289338004527

119909minus1minusradic1+120576 minus1+radic1+120576

minus1minusradic1minus120576 minus1+radic1minus120576

0

Si noti che il grafico delle soluzioni non egrave in scala Lrsquointuizione guardando i valori dellatabella egrave che la tolleranza richiesta sia 120575 = minus119909+radic1199092 + 120576 quando 119909 gt 0 Ci basta ineffetti vedere che

minus119909+radic1199092 + 120576 le | minus119909+radic1199092 minus 120576 |

Con evidenti passaggi la disuguaglianza si trasforma in altre equivalenti

minus119909+radic1199092 + 120576 le 119909minusradic1199092 minus 120576

radic1199092 + 120576 le 2119909minusradic1199092 minus 120576

1199092 + 120576 le 41199092 minus 4119909radic1199092 minus 120576+1199092 minus 120576

4119909radic1199092 minus 120576 le 41199092 minus 120576161199094 minus 161199092120576 le 161199094 minus81199092120576 + 1205762

0 le 81199092120576 + 1205762

e lrsquoultima egrave certamente soddisfatta Abbiamo dunque dimostrato che ponendo 120575 =minus119909 + radic1199092 + 120576 quando |ℎ| le 120575 si avragrave |(119909 + ℎ)2 minus 1199092| le 120576 Per il caso 119909 lt 0 nonoccorre rifare i calcoli percheacute basta cambiare 119909 in minus119909

Non saragrave necessario eseguire questi calcoli in futuro soprattutto quelli finali perdeterminare 120575 Quello che conta egrave scoprire che lrsquoinsieme delle soluzioni della disequa-zione

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

forma un intorno di 0 cioegrave un insieme che include un intervallo aperto contenente 0Con questo linguaggio la definizione di continuitagrave diventa piugrave facile

d e f i n i z i o n e La funzione 119891 egrave continua in 119909 se data una qualsiasi tolleranza120576 gt 0 lrsquoinsieme delle soluzioni della disequazione

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

forma un intorno di 0

Naturalmente in quella disequazione lrsquoincognita egrave ℎ Egrave importare notare che la condi-zione deve valere per ogni tolleranza Per questo quando si imposta la verifica occorretenere 120576 indicato e non si puograve dare solo un valore per quanto piccolo Tuttavia egrave am-messo per quanto giagrave visto considerare 0 lt 120576 lt 119896 dove 119896 gt 0 egrave un valore qualsiasi checi renda piugrave facile trattare il caso senza dover fare scomode distinzioni Nellrsquoesempiodi prima abbiamo infatti preso 0 lt 120576 lt 1199092 (per 119909 ne 0) che appunto non egrave restrittivodal momento che 119909 egrave fisso

Diremo che una funzione egrave continua se egrave tale in ogni punto del suo dominioNel seguito ci serviragrave questa semplice osservazione lrsquointersezione di due intorni di 0

egrave un intorno di 0 Infatti se il primo intorno include lrsquointervallo aperto (minus1205751 1205751) e il

30 continuitagrave

secondo lrsquointervallo aperto (minus1205752 1205752) egrave chiaro che ponendo 120575 = min1205751 1205752 lrsquointer-sezione dei due intorni include lrsquointervallo aperto (minus120575 120575) Adesso basta osservareche ogni intervallo aperto che contiene 0 include un intervallo aperto simmetrico

Egrave evidente anche che ogni insieme che include un intorno di 0 egrave anchrsquoesso un intornodi 0 e che anche lrsquointersezione di 119899 intorni egrave un intorno (119899 naturale positivo)

Le funzioni non sono necessariamente continue altrimenti non ci sarebbe alcun bi-sogno di dare la definizione Un esempio drammatico egrave proprio la funzione di Dirichletche non egrave continua in alcun punto Infatti se 119909 egrave un reale qualsiasi in ogni suo intornocadono punti razionali e irrazionali perciograve non egrave possibile soddisfare alcuna tolleran-za 120576 lt 1 Un esempio meno patologico egrave la funzione pavimento che non egrave continuasugli interi ma lo egrave in ogni numero non intero Se 119909 egrave intero ogni suo intorno contienenumeri minori di 119909 se 119909 minus 1 lt 119910 lt 119909 allora lfloor119910rfloor = lfloor119909rfloor minus 1 e quindi non puograve esseresoddisfatta alcuna tolleranza 120576 lt 1 Viceversa se 119909 non egrave intero esiste un intorno di119909 in cui la funzione egrave costante quindi certamente continua

21 teoremi sulla continuitagrave

Abbiamo parlato di intorni di 0 ma possiamo allo stesso modo parlare di intorni diun punto qualsiasi un intorno di 119909 egrave un insieme che include un intervallo apertocontenente 119909 Lrsquointervallo aperto si puograve sempre prendere simmetrico rispetto a 119909

Egrave facile vedere che se 119880 egrave un intorno di 0 lrsquoinsieme dei numeri della forma 119909 + ℎper ℎ isin 119880 egrave un intorno di 119909 Questo egrave un fatto che useremo piugrave volte

Per ora supporremo che le funzioni siano definite in tutto un intorno del punto con-siderato Possiamo allora considerare la somma e il prodotto di due funzioni che sa-ragrave ancora definita in un intorno del punto percheacute lrsquointersezione di due intorni egrave unintorno

t e o r ema La somma di due funzioni continue nel punto 119909 egrave continua in 119909

Siano 119891 e 119892 le due funzioni dobbiamo risolvere le disequazioni

|119891(119909+ℎ) + 119892(119909+ℎ) minus (119891(119909) + 119892(119909))| le 120576

Ci ricordiamo della disuguaglianza fondamentale

|119886 + 119887| le |119886| + |119887|

e applichiamo lrsquoipotesi le soluzioni della disequazione

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 1205762

formano un intorno di 0 chiamiamolo 119880 Anche le soluzioni di

|119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 1205762

formano un intorno di 0 chiamiamolo 119881 Se dunque ℎ isin 119880cap119881 abbiamo

|119891(119909+ℎ) + 119892(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus 119892(119909)|le |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| + |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)|

le 1205762 + 120576

2 = 120576

Allora lrsquoinsieme delle soluzioni della nostra disequazione include119880cap119881 che egrave un intornodi 0 e dunque egrave a sua volta un intorno di 0

21 teoremi sulla continuitagrave 31

Si noti la comoditagrave di non dover risolvere esattamente la disequazione ci interessasolo che lrsquoinsieme delle soluzioni sia un intorno di 0 se troviamo che questo insiemeinclude un intorno di 0 determinato in qualche modo abbiamo finito

Percheacute quella scelta di 1205762 Qui entrano in gioco altri fattori esperienza e intuizio-ne Lrsquoidea era di usare la disuguaglianza sul valore assoluto di una somma fissiamotolleranze piugrave strette per 119891 e 119892 di quella che ci interessa per la somma e siccome nonabbiamo preferenze per 119891 e 119892 proviamo con la tolleranza metagrave di quella data Egrave im-portante ricordare che la continuitagrave richiede che le soluzioni di ogni disuguaglianza|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576 formino un intorno di 0

Unrsquoapplicazione Siccome la funzione pavimento non egrave continua sugli interi nemmeno lafunzione parte frazionaria lo egrave se 119891(119909) = 119909minus lfloor119909rfloor allora lfloor119909rfloor = 119909minus119891(119909) e se 119891 fosse continuasugli interi lo sarebbe anche ldquopavimentordquo percheacute certamente 119909 ↦ 119909 egrave una funzione continua

t e o r ema Se 119891 egrave continua in 119909 e 119886 egrave un numero qualsiasi allora 119886119891 egrave continuain 119909

La disuguaglianza da trattare egrave |119886119891(119909+ ℎ) minus 119886119891(119909)| le 120576 Se 119886 = 0 non crsquoegrave proprioniente da dimostrare ogni funzione costante egrave evidentemente continua (data qualsiasitolleranza possiamo prendere come grado di avvicinamento qualsiasi numero positivo)Quindi possiamo assumere 119886 ne 0 Allora la disuguaglianza egrave equivalente a

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576|119886|

e per ipotesi sappiamo che lrsquoinsieme delle soluzioni di questa egrave un intorno di 0 percheacutepossiamo prendere 120576|119886| come tolleranza

t e o r ema Se 119891 egrave continua in 119909 allora |119891| egrave continua in 119909

Qui usiamo la disuguaglianza | |119886|minus|119887|| le |119886minus119887| Data la tolleranza 120576 gt 0 dobbiamorisolvere

| |119891(119909+ℎ)| minus |119891(119909)|| le 120576

Sia 119880 un intorno di 0 tale che per ℎ isin 119880 valga

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

Per la disuguaglianza di prima abbiamo la tesi

t e o r ema La funzione prodotto di due funzioni continue in 119909 egrave una funzionecontinua in 119909

Se 119891 e 119892 sono le nostre due funzioni la disuguaglianza egrave

|119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)| le 120576

Il trucco di aggiungere e togliere sembra promettente possiamo di certo scrivere

|119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|= |119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909+ℎ) + 119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|le |119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909+ℎ)| + |119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|= |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ)| + |119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)|

Il problema egrave che 119892(119909+ℎ) varia al variare di ℎ se fosse possibile delimitarlo saremmo quasi aposto Ci occorre un lemma

32 continuitagrave

l emma Se 119892 egrave continua in 119909 allora esistono 119897 gt 0 e un intorno 119880 di 0 tali che per ogniℎ isin 119880 si abbia |119892(119909+ℎ)| le 119897

Fissiamo 120576 gt 0 in modo che |119892(119909)| lt 120576 allora esiste un intorno 119880 di 0 tale che se ℎ isin 119880 siabbia |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 120576 In altre parole per ℎ isin 119880 si ha

minus120576+119892(119909) le 119892(119909+ℎ) le 120576+ 119892(119909)

Se 119897 = max120576 minus 119892(119909) 120576 + 119892(119909) abbiamo per la scelta di 120576 119897 gt 0 e inoltre che se ℎ isin 119880 |119892(119909 +ℎ)| le 119897 Armati di questo lemma possiamo proseguire la nostra dimostrazione supponendoche 119891(119909) ne 0 Esistono intorni 119880 119881 e 119882 di 0 tali che

|119892(119909+ℎ)| le 119897 ℎ isin 119880

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 1205762119897 ℎ isin 119881

|119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 1205762|119891(119909)| ℎ isin 119882

dove 119897 gt 0 egrave quello determinato con il lemma Allora se ℎ isin 119880cap119881cap119882 abbiamo

|119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|

le |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ)| + |119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)|

le 1205762119897 119897 + |119891(119909)| 120576

2|119891(119909)|

= 1205762 + 120576

2 = 120576

esattamente come si voleva Nel caso in cui 119891(119909) = 0 la dimostrazione egrave ancora piugrave semplice lasi completi

Il teorema che segue si chiama teorema della permanenza del segno

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave continua in 119909 e 119891(119909) gt 0 allora esiste un intorno119880 di 0 tale che per ℎ isin 119880 vale 119891(119909+ℎ) gt 0

Basta prendere come tolleranza 120576 = 119891(119909)2 esiste un intorno 119880 di 0 tale che |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576 e quindi

minus120576+119891(119909) le 119891(119909+ℎ) le 120576+119891(119909)

e considerando la disuguaglianza di sinistra abbiamo

119891(119909+ℎ) ge minus119891(119909)2 + 119891(119909) = 119891(119909)

2 gt 0

Enunciamo esplicitamente due corollari del teorema Si noti che il primo enunciatoegrave equivalente al teorema ci riferiremo spesso a questo con il nome di lsquoteorema dellapermanenza del segnorsquo

c o r o l l a r i o Supponiamo che 119891 sia continua in 119909 e che esista un intorno 119880 di0 tale che per ℎ isin 119880 e ℎ ne 0 sia 119891(119909+ℎ) ge 0 Allora 119891(119909) ge 0

Se fosse 119891(119909) lt 0 ci sarebbe un intorno119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881 119891(119909) lt 0 questocontraddice lrsquoipotesi per 0 ne ℎ isin 119880cap119881

c o ro l l a r i o Se 119891 egrave continua in 119909 e 119891(119909) ne 0 allora esiste un intorno di 119909 nelquale 119891 non si annulla

Se 119891(119909) gt 0 si ha 119891(119911) gt 0 in tutto un intorno di 119909 Analogamente se 119891(119909) lt 0prendendo minus119891

21 teoremi sulla continuitagrave 33

Naturalmente il teorema e i corollari ammettono anche la versione con 119891(119909) lt 0basta considerare 119892 = minus119891 come nella dimostrazione precedente

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave continua in 119909 e 119891(119909) ne 0 allora la funzione 119911 ↦119892(119911) = 1119891(119911) egrave continua in 119909

Per quanto visto 119892 egrave effettivamente definita in un intorno di 119909 La disequazione darisolvere egrave

|119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 120576

che diventa

| 1119891(119909+ℎ) minus 1

119891(119909) | le 120576

cioegrave sviluppando|119891(119909) minus 119891(119909+ℎ)| le 120576|119891(119909)119891(119909+ℎ)|

Questa volta ci occorre limitare i valori |119891(119909+ℎ)| dal basso cioegrave trovare un intorno 119880di 0 e un numero 119897 gt 0 tali che per ℎ isin 119880 si abbia |119891(119909 + ℎ)| gt 119897 Ma lrsquoabbiamo giagravefatto dimostrando il teorema della permanenza del segno crsquoegrave un intorno 119880 di 0 taleche per ℎ isin 119880 |119891(119909+ℎ)| gt |119891(119909)|2 A questo punto possiamo prendere un intorno119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881

|119891(119909) minus 119891(119909+ℎ)| le 120576|119891(119909)|22

e quindi per ℎ isin 119880cap119881

|119891(119909) minus 119891(119909+ℎ)| le 120576|119891(119909)|22

= 120576|119891(119909)| |119891(119909)|2

le 120576|119891(119909)| sdot |119891(119909+ℎ)|

che egrave esattamente la disuguaglianza che ci serve

Da tutto questo lavoro astratto possiamo trarre una conseguenza molto importante

t e o r ema Se 119875 egrave un polinomio allora la funzione 119909 ↦ 119875(119909) egrave continua

Un polinomio si ottiene infatti combinando con somme e prodotti le funzioni costantie la funzione 119909 ↦ 119909 (cioegrave il polinomio 119909) Quindi una funzione polinomiale egrave continuaNon crsquoegrave dunque bisogno di risolvere disequazioni complicate per verificare la continuitagravedi 119891(119909) = 1199092 come abbiamo fatto prima La disequazione sarebbe intimidente nel casodi 119891(119909) = 31199095 minus 71199092 + 2119909minus 4 ma appunto non crsquoegrave bisogno nemmeno di scriverla

Rimandiamo a piugrave avanti la questione se le funzioni log exp sin e cos siano continueCi rimane un ultimo risultato importante

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave continua in 119909 e la funzione 119892 egrave continua in 119910 =119891(119909) allora la funzione 119911 ↦ 119865(119911) = 119892(119891(119911)) egrave continua in 119909

In certe situazioni come questa egrave piugrave comodo scrivere diversamente la definizionedi continuitagrave in un punto Si verifichi che la seguente asserzione egrave equivalente alladefinizione data 119891 egrave continua in 119909 se per ogni tolleranza 120576 gt 0 crsquoegrave un intorno 119880 di 119909tale che per 119911 isin 119880 |119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

Con questa caratterizzazione la dimostrazione diventa piugrave semplice Fissiamo unatolleranza 120576 allora esiste un intorno 119880 di 119910 tale che per 119911 isin 119880 |119892(119911) minus 119892(119910)| le 120576

34 continuitagrave

Dal momento che 119880 egrave un intorno di 119910 possiamo individuare 120575 gt 0 tale che ogni 119911con |119911 minus 119910| lt 120575 appartenga a 119880 Possiamo allora usare 1205752 come tolleranza per 119891esiste un intorno 119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881 |119891(119909 + ℎ) minus 119891(119909)| le 1205752 in particolare119891(119909+ℎ) isin 119880 e perciograve |119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))| le 120576

Questo risultato si puograve ricordare brevemente come ldquola composizione di funzionicontinue egrave continuardquo Il teorema precedente sulla continuitagrave di 119911 ↦ 119865(119911) = 1119891(119911)si puograve dimostrare facilmente considerando la funzione 119911 ↦ 1119911 nel teorema sullacomposizione Abbiamo anche unrsquoaltra conseguenza importante

t e o r ema Se 119875 e 119876 sono polinomi allora la funzione 119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) egravecontinua su tutto il suo dominio che consiste dei punti 119909 dove 119876(119909) ne 0

Si noti che la funzione 119891(119909) = 119909119909 non egrave definita in 0 Questo non vuol dire che igno-riamo la possibile semplificazione lo scopo della prossima sezione egrave proprio rendererigorosa lrsquointuizione che 119891 puograve essere estesa anche con un valore in 0

22 limiti

Una delle conseguenze della continuitagrave di 119891 in 119909 egrave che il valore 119891(119909) egrave determinato daivalori 119891(119909+ℎ) con ℎ ne 0 preso in un opportuno intorno di 0 Supponiamo infatti che119891 e 119892 siano funzioni continue in 119909 e che esista un intorno 119880 di 0 tale che per ℎ isin 119880ℎ ne 0 sia 119891(119909+ℎ) = 119892(119909+ℎ) Dimostriamo che in tali ipotesi 119891(119909) = 119892(119909)

Se 119891(119909) ne 119892(119909) la funzione 119865 = |119891minus119892| egrave continua in 119909 e 119865(119909) gt 0 esiste allora unintorno 119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881 119865(119909 + ℎ) gt 0 Ma dalla definizione segue che perℎ ne 0 119865(119909+ ℎ) = 0 Dunque dovremmo avere 119880cap119881 = 0 che egrave impossibile percheacutelrsquointersezione di due intorni di 0 egrave un intorno di 0 e 0 non lo egrave

In molte situazioni alcune le abbiamo giagrave viste egrave data una funzione che egrave definitain tutto un intorno di un punto 119909 ma non in 119909 Il caso tipico egrave quello del rapporto diFermat in 119909 visto come funzione di ℎ

119907(ℎ) = 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ

egrave una funzione definita in un intorno di 0 ma non in 0 dove lrsquoespressione perde signi-ficato Il nostro problema egrave appunto vedere se la funzione 119907 puograve essere estesa a unafunzione definita anche in 0 che sia continua in 0

Come si fa spesso si suppone che il problema sia risolto Fissiamo dunque le nota-zioni abbiamo una funzione 119891 definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 e supponiamodi saperla estendere a una funzione 119891 definita su tutto 119882 cioegrave

119891(119911) =⎧⎨⎩

119891(119911) se 119911 isin 119882 119911 ne 119909119897 se 119911 = 119909

Quindi la funzione 119891 assume gli stessi valori di 119891 in tutti i punti di 119882 escluso 119909 ma haun valore anche in 119909 Siccome supponiamo che la funzione sia continua in 119909 data unatolleranza 120576 gt 0 sappiamo trovare un intorno 119880 di 119909 tale che si abbia per 119911 isin 119880

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

che quando 119911 ne 119909 si puograve anche scrivere

|119891(119911) minus 119897| le 120576

22 limiti 35

Nel caso di 119911 = 119909 la disuguaglianza egrave automaticamente verificata quindi ci basta trat-tarla per 119911 ne 119909 Per quello che abbiamo visto prima il valore 119897 egrave determinato dallarichiesta che 119891 sia continua in 119909 perciograve il problema ha al piugrave una soluzione

Ecco che abbiamo giustificato lrsquoimportante definizione che segue dovuta in sostanzaa Cauchy ma resa precisa da Weierstraszlig

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 Di-remo che il numero 119897 egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 se data una qualsiasitolleranza 120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 119911 ne 119909 si abbia

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

In tal caso la notazione usata saragrave

lim119911rarr119909

119891(119911) = 119897

La terminologia lsquolimitersquo e lsquotendersquo risale ai primi tempi dello sviluppo del calcolo dif-ferenziale quando si parlava di variabili lsquotendenti a valori limitersquo avendo unrsquoidea di-namica della questione che perograve non trova posto nella sistemazione rigorosa data daWeierstraszlig Continuiamo a usare i termini tradizionali basta ricordarsi che sono solonomi senza farsi ingannare dal loro suono o meglio dal loro significato nel linguaggiocomune

Il limite se esiste egrave quellrsquounico valore 119897 che assegnato come valore alla funzione119891 in 119909 cioegrave se si pone 119891(119909) = 119897 la rende continua in 119909 Perciograve ogni teorema sullefunzioni continue diventa un teorema sui limiti

Useremo la stessa notazione anche quando la funzione sia definita in 119909 con la ta-cita convenzione che in tale contesto il valore assunto da 119891 in 119909 non ci interessa lalsquosdefiniamorsquo in 119909

t e o r ema Siano 119891 e 119892 funzioni definite in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 e sup-poniamo che esistano lim119911rarr119909 119891(119911) = 119897 e lim119911rarr119909 119892(119911) = 119898 Sia poi 119886 un numeroqualsiasi Allora esistono i limiti seguenti e hanno i valori indicati

lim119911rarr119909

(119891(119911) + 119892(119911)) = 119897 +119898 lim119911rarr119909

(119891(119911)119892(119911)) = 119897119898

lim119911rarr119909

|119891(119909)| = |119897| lim119911rarr119909

119886119891(119911) = 119886119897

lim119911rarr119909

1119891(119911) = 1

119897 (se 119897 ne 0)

Si faccia attenzione che non egrave affatto detto che un limite esista sempre Lrsquoesempio classico egravequello della funzione 119891(119909) = cos(1119909) che egrave definita ovunque eccetto che in 0 Dimostriamo cheper nessun 119897 si puograve avere

lim119909rarr0

cos 1119909 = 119897

Sia infatti 119897 gt 0 In ogni intorno di 0 ci sono punti 119909 nei quali cos(1119909) lt 0 per esempiotutti i numeri della forma 1(120587 + 2119896120587) per 119896 intero abbastanza grande se lrsquointorno 119880 includelrsquointervallo aperto (minus120575 120575) ci basta prendere

0 lt 1120587+ 2119896120587 lt 120575

cioegrave (2119896 + 1)120587 gt 1120575 che equivale a

119896 gt 12( 1

120587120575 minus 1)

e quindi lrsquointorno non soddisfa alla tolleranza 120576 = 1198974 Analogamente se 119897 lt 0 allrsquointornoappartengono tutti i numeri della forma 1(2119896120587) per 119896 gt 1(2120587120575) dove il coseno vale 1 e quindi

36 continuitagrave

lrsquointorno non soddisfa la tolleranza 120576 = minus1198974 Lo stesso per 119897 = 0 allrsquointorno appartengono ipunti 1(2119896120587) ancora per 119896 gt 1(2120587120575) e lrsquointorno non soddisfa la tolleranza 120576 = 14

Il teorema sui limiti di maggiore utilitagrave fornisce una tecnica che abbiamo giagrave adope-rato nella sua forma intuitiva e che chiameremo teorema del confronto di limiti

t e o r ema Siano 119865 119866 e 119891 funzioni definite in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 esupponiamo che per 119911 isin 119882 119911 ne 119909 si abbia

119865(119911) le 119891(119911) le 119866(119911)

Se esistonolim119911rarr119909

119865(119911) = lim119911rarr119909

119866(119911) = 119897

allora esiste anchelim119911rarr119909

119891(119911) = 119897

Fissiamo una tolleranza 120576 gt 0 allora esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880119911 ne 119909 si abbia

|119865(119911) minus 119897| le 1205763 e |119866(119911) minus 119897| le 120576

3

In effetti dovremmo distinguere lrsquointorno in cui vale la disuguaglianza per 119865 e quelloin cui vale la disuguaglianza per 119866 se ne prendiamo lrsquointersezione ne abbiamo uno incui valgono entrambe Ora osserviamo che da 119865(119911) le 119891(119911) le 119866(119911) segue

0 le 119866(119911) minus 119891(119911) le 119866(119911) minus 119865(119911)

che possiamo anche scrivere tra valore assoluto dunque per 119911 isin 119880 119911 ne 119909

|119866(119911) minus 119891(119911)| le |119866(119911) minus 119865(119911)|= |119866(119911) minus 119897 + 119897 minus 119865(119911)|le |119866(119911) minus 119897| + |119897 minus 119865(119911)|

le 1205763 + 120576

3 = 23120576

Con questa disuguaglianza possiamo adesso scriverne unrsquoaltra sempre per 119911 isin 119880119911 ne 119909

|119891(119911) minus 119897| = |119891(119911) minus119866(119911) +119866(119911) minus 119897|le |119891(119911) minus119866(119911)| + |119866(119911) minus 119897|

le 23120576 + 1

3120576 = 120576

Questa volta le funzioni erano tre quindi abbiamo considerato 1205763 ma non lo siprenda come guida assoluta in realtagrave si scrivono le dimostrazioni mettendo valorigenerici che poi si aggiustano quando la dimostrazione egrave completa

Si possono riesaminare i due casi in cui abbiamo usato questo teorema cioegrave quandoabbiamo calcolato la derivata del logaritmo e delle funzioni trigonometriche Per illogaritmo dalle disuguaglianze

1119909+ℎ le log(119909 +ℎ) minus log119909

ℎ le 1119909

abbiamo lsquodedottorsquo che limℎrarr0(log(119909 +ℎ) minus log119909)ℎ = 1119909 percheacute

limℎrarr0

1119909+ℎ = lim

ℎrarr0

1119909 = 1

119909

22 limiti 37

dal momento che le funzioni ℎ rarr 1(119909+ℎ) e ℎ rarr 1119909 sono continueIn realtagrave dovremmo considerare la funzione ℎ rarr 1(119909+ℎ) definita in un intorno di

0 escluso 0 ma siccome ne conosciamo giagrave unrsquoestensione continua in 0 lrsquoesistenza eil valore del limite non sono un problema

Crsquoegrave un problema piugrave serio invece queste disuguaglianze valgono solo per ℎ gt 0 perℎ lt 0 abbiamo

1119909 le log(119909 +ℎ) minus log119909

ℎ le 1119909+ℎ

Egrave giunto il momento di dare una definizione piugrave generale di limite che ci possa essereutile in situazioni del genere

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione di dominio 119863(119891) e sia 119909 isin 119863(119891) diremo che119891 egrave continua in 119909 se per ogni tolleranza 120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di 119909 tale cheper 119911 isin 119880cap119863(119891)

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

Lrsquounica differenza rispetto a prima ma decisiva egrave di limitare i valori di 119911 a quelli cheappartengono sia allrsquointorno 119880 di 119909 sia al dominio di 119891 Ovviamente se 119863(119891) includeun intorno di 119909 la definizione coincide con la precedente a parte lrsquouso di 119911 isin 119880 invecedi 119909+ℎ con ℎ in un intorno di 0

Si puograve verificare facilmente che i teoremi sulla continuitagrave dimostrati prima continua-no a valere secondo la nuova definizione quando le funzioni invece di essere definitein un intorno 119882 di 119909 sono tutte definite in un insieme qualunque a cui 119909 appartiene

Vediamo subito un esempio importante la funzione 119891(119909) = radic119909 di cui vogliamodimostrare la continuitagrave in ogni punto del dominio 119863(119891) = [0 rarr) Dato 120576 gt 0dobbiamo risolvere la disequazione

|radic119911minusradic119909| le 120576

nellrsquoincognita 119911 e scoprire che lrsquoinsieme delle soluzioni egrave lrsquointersezione di un intorno di119909 con 119863(119891) La disequazione egrave equivalente a quella che si ottiene elevando al quadrato

119911minus 2radic119909119911+119909 le 1205762119911 + (119909minus 1205762) le 2radic119909119911

Nel caso di 119909 gt 0 possiamo supporre 0 lt 120576 lt radic119909 e quindi elevare di nuovo al quadrato

1199112 + 2(119909minus 1205762)119911 + (119909minus 1205762)2 le 41199091199111199112 minus 2(119909+ 1205762)119911 + (119909minus 1205762)2 le 0

il cui discriminante egrave

Δ4 = (119909+ 1205762)2 minus (119909minus 1205762)2

= (119909+ 1205762 +119909minus 1205762)(119909 + 1205762 minus119909+ 1205762)= 41199091205762

Dunque le radici del polinomio in 119911 sono 119909+1205762minus2120576radic119909 = (radic119909minus120576)2 e 119909+1205762+2120576radic119909 =(radic119909+ 120576)2 Lrsquoinsieme delle soluzioni egrave dunque

(radic119909minus 120576)2 le 119911 le (radic119909+ 120576)2

che egrave un intorno di 119909 dal momento che

(radic119909minus 120576)2 lt 119909 lt (radic119909+ 120576)2

38 continuitagrave

come si verifica facilmente usando lrsquoipotesi che 0 lt 120576 lt radic119909 Dunque la funzione egravecontinua in ogni 119909 gt 0 Nel caso di 119909 = 0 la disequazione diventa

|radic119911| le 120576

le cui soluzioni sono date da 0 le 119911 le 1205762 questo insieme coincide con

(minus1205762 1205762) cap119863(119891)

e quindi abbiamo dimostrato anche la continuitagrave in 0Ci sono casi in cui il dominio non include un intorno di ogni punto Consideriamo

la funzione119891(119909) = radic1199092(119909 minus 2)

definita nel piugrave ampio insieme dove lrsquoespressione abbia senso cioegrave

119863(119891) = 0 cup [2 rarr)

cioegrave la funzione egrave definita in 0 e nei punti 119909 tali che 119909 ge 2 Che possiamo dire riguardoalla continuitagrave in 0 Applichiamo la definizione riusciamo dato 120576 gt 0 a trovare unintorno 119880 di 0 tale che per 119911 isin 119880cap119863(119891) si abbia |119891(119911)minus119891(0)| le 120576 Certo lrsquointervalloaperto 119880 = (minus1 1) egrave un intorno di 0 e 119880 cap 119863(119891) = 0 quindi se 119911 isin 119880 cap 119863(119891) egravevero che |119891(119911) minus 119891(0)| = |0 minus 0| = 0 le 120576

Si tratta certamente di un caso molto particolare in effetti ci si accorge che ognifunzione egrave continua in un punto isolato del suo dominio cioegrave un punto 119909 per il qualeesiste un intorno 119880 di 119909 tale che 119880cap119863(119891) = 119909 percheacute questo intorno saragrave sempreadatto per qualsiasi tolleranza 120576 gt 0 Come se al produttore di oggetti di metallo fosseordinato lsquoun pezzo di ferrorsquo senza altre specificazioni qualsiasi cosa andragrave bene

d e f i n i z i o n e Siano 119878 un insieme di numeri e 119886 un numero diremo che 119886 egrave unpunto di accumulazione per 119878 se per ogni intorno 119880 di 119886 lrsquoinsieme 119880cap119878 contienealmeno un punto diverso da 119886

Nel caso precedente 0 non egrave un punto di accumulazione di 119863(119891) tutti gli altri ele-menti di119863(119891) sono punti di accumulazione Nel caso dellrsquointervallo aperto 119878 = (2 3)quali sono i punti di accumulazione Tutti gli elementi di 119878 ma anche gli estremi del-lrsquointervallo Per esempio nellrsquointorno (2 minus 120575 2 + 120575) con 120575 gt 0 di 2 cadono infinitipunti di 119878 tutti gli 119909 tali che 2 lt 119909 lt 2 + 120575 Siccome ogni intorno di 2 include unintervallo aperto di questo tipo abbiamo dimostrato la tesi Si scriva la dimostrazioneper 3

La discussione appena fatta mostra che un punto di accumulazione di 119878 puograve nonappartenere a 119878 Egrave proprio il caso del rapporto di Fermat per una funzione 119891 definitain un intorno di 119909 il dominio della funzione ℎ ↦ 119907(ℎ) dove

119907(ℎ) = 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ

egrave un intorno di 0 escluso 0 ma allora 0 egrave un punto di accumulazione del dominio di 119907Ci accorgiamo allora che questo egrave quanto serve per poter parlare di limite esattamentesecondo la nuova definizione di continuitagrave piugrave generale

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione definita in un insieme 119878 e sia 119909 un punto diaccumulazione di 119878 Diremo che il numero 119897 egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 sedata una qualsiasi tolleranza 120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880cap119878119911 ne 119909 si abbia

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

22 limiti 39

Useremo sempre la notazione di prima ma talvolta vorremo mettere in evidenzalrsquoinsieme 119878 magari percheacute la funzione potrebbe avere un dominio lsquonaturalersquo piugrave ampiodellrsquoinsieme che vogliamo considerare in quel caso scriveremo

lim119911rarr119909119911isin119878

119891(119911) = 119897

In genere non useremo insiemi 119878 complicati anzi di solito come 119878 prenderemo proprioil dominio della funzione Il caso piugrave importante in cui useremo insiemi diversi egrave quellodei limiti lsquodestrorsquo e lsquosinistrorsquo

Supponiamo che 119891 sia definita in un intorno119882 di119909 escluso 119909 possiamo considerarela funzione 119891119909+ che coincide con 119891 ma che ha come dominio 119882cap (119909 rarr) di cui 119909 egravecertamente un punto di accumulazione Invece di usare la notazione complicatissima

lim119911rarr119909

119911isin119882cap(119909 rarr)119891119909+(119911)

ricorreremo al piugrave semplicelim

119911rarr119909+119891(119911)

che chiameremo limite per 119911 che tende a 119909 da destra Analogo discorso si puograve fare peril limite per 119911 che tende a 119909 da sinistra che ci si puograve esercitare a definire esplicitamenteper questo useremo la notazione

lim119911rarr119909minus

119891(119911)

Percheacute ci interessano i limiti da destra e da sinistra La risposta egrave quasi ovvia

t e o r ema La funzione 119891 sia definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 Allora

lim119911rarr119909

119891(119911)

esiste se e solo se esistono e sono uguali

lim119911rarr119909+

119891(119911) e lim119911rarr119909minus

119891(119911)

La dimostrazione egrave facile in un senso e la lasciamo per esercizio se 119878 egrave un sot-toinsieme di 119863(119891) di cui 119909 egrave un punto di accumulazione e lim119911rarr119909 119891(119911) esiste alloraesiste

lim119911rarr119909119911isin119878

119892(119911) = lim119911rarr119909

119891(119911)

dove con 119892 denotiamo la funzione 119891 ristretta a 119878 Questo vale in particolare se 119878 =119863(119891) cap (119909 rarr) cosigrave che 119892 = 119891119909+ e analogamente per il limite da sinistra

Vediamo la parte importante supponiamo che sia lim119911rarr119909+ 119891(119911) sia lim119911rarr119909minus 119891(119911)esistano e che siano uguali a 119897 Fissiamo una tolleranza 120576 gt 0 e cerchiamo lrsquoinsiemedelle soluzioni di

|119891(119911) minus 119897| le 120576

(con 119911 ne 119909 naturalmente) Poniamo per semplicitagrave 119878+ = 119882 cap (119909 rarr) e 119878minus = 119882 cap(larr 119909) Per ipotesi le funzioni 119891119909+ e 119891119909minus definite rispettivamente su 119878+ e 119878minus hannolimite 119897 Dunque esiste un intorno 119880+ di 119909 tale che per 119911 isin 119880+ cap119878+

|119891119909+(119911) minus 119897| = |119891(119911) minus 119897| le 120576

Esiste anche un intorno 119880minus di 119909 tale che per 119911 isin 119880minus cap119878minus

|119891119909minus(119911) minus 119897| = |119891(119911) minus 119897| le 120576

40 continuitagrave

Ma allora se poniamo 119880 = 119880+ cap119880minus 119880 egrave un intorno di 119909 e per 119911 isin 119880 119911 ne 119909 si ha

|119891(119911) minus 119897| le 120576

usando la disuguaglianza per 119891119909+ se 119911 gt 119909 quella per 119891119909minus se 119911 lt 119909

A questo punto la nostra dimostrazione rigorosa della derivabilitagrave del logaritmo egravequasi conclusa poniamo 119907(ℎ) = (log(119909+ ℎ) minus log119909)ℎ per ℎ gt 0 abbiamo

1119909+ℎ le 119907(ℎ) le 1

119909

e quindi per il teorema del confronto di limiti possiamo dire che

limℎrarr0+

119907(ℎ) = 1119909

Per ℎ lt 0 abbiamo1119909 le 119907(ℎ) le 1

119909+ℎe ancora per il teorema di confronto di limiti possiamo dire che

limℎrarr0minus

119907(ℎ) = 1119909

Dunque limℎrarr0 119907(ℎ) = 1119909Non possiamo dire altrettanto sulla rigorositagrave della dimostrazione per la derivata di

seno e coseno dal momento che lagrave abbiamo assunto la continuitagrave delle due funzioniSta di fatto che le funzioni seno e coseno sono continue

t e o r ema La funzione 119909 ↦ sin119909 e la funzione 119909 ↦ cos119909 sono continue

Ci ricordiamo della famosa formula di prostaferesi

sin120572minus sin120573 = 2 cos 120572+1205732 sin 120572minus120573

2

dalla quale ricaviamo

sin(119909+ ℎ) minus sin119909 = 2 cos 2119909+ℎ2 sin ℎ

2

Fissiamo la tolleranza 120576 gt 0 La disequazione da risolvere diventa allora

|cos(119909+ ℎ2 ) sin ℎ

2 | le 1205762

Ora |cos(119909 + (ℎ2))| le 1 e perciograve cominciamo a risolvere la disequazione |sin(ℎ2)| le 1205762 Setroviamo un intorno119880 di 0 tale che per ℎ isin 119880 si abbia questa disuguaglianza per ℎ isin 119880 avremoanche la piugrave restrittiva

|cos(119909+ ℎ2 )| sdot |sin ℎ

2 | le |sin ℎ2 | le 120576

2

Poniamo 120576prime = 1205762 e ℎ = 2119896 Dobbiamo quindi risolvere |sin119896| le 120576prime alla fine ci siamo ridotti adimostrare che la funzione seno egrave continua in 0

Ritorniamo alla figura 4 dove supponiamo che lrsquoangolo 119860119874119862 sia di misura 0 lt 119896 lt 1205872 econsideriamo la corda 119860119862 la sua lunghezza egrave certamente minore della lunghezza dellrsquoarco dicirconferenza 119860119862 e vale 2 sin(1198962) Proviamo che

sin119896 lt 2 sin(1198962)

Infatti sin119896 = 2 sin(1198962) cos(1198962) le 2 sin(1198962) percheacute 0 le cos(1198962) le 1 Ma allora 119861119862 lt 119860119862 eperciograve sin119896 lt 119896 Per il teorema di confronto dei limiti dalla disuguaglianza

0 le sin119896 le 119896 (119896 gt 0)

23 il teorema di bolzano sugli zeri 41

possiamo concludere che lim119896rarr0+ sin119896 = 0 Se minus1205872 lt 119896 lt 0 abbiamo sin(minus119896) lt minus119896 e quindi119896 lt sin119896 lt 0 ma ancora questo ci dice che lim119896rarr0minus sin119896 = 0 Ne deduciamo che lim119896rarr0 sin119909 = 0e perciograve la funzione 119909 ↦ sin119909 egrave continua in 0 percheacute sin0 = 0

Ora egrave facile ritornare indietro esiste un intorno 119880 di 0 che possiamo prendere simmetricocioegrave 119880 = (minus120575120575) tale che per 119896 isin 119880 |sin119896| le 120576prime Allora per ℎ isin 119880prime = (minus2120575 2120575) avremoℎ2 isin 119880 e quindi

|sin ℎ2 | le 120576

2come voluto

Dobbiamo fare la stessa fatica per il coseno No siccome cos119909 = sin(119909 + (1205872)) sappiamoche 119909 ↦ cos119909 egrave continua percheacute composizione di due funzioni continue

23 il teorema di bolzano sugli zeri

Bernard Bolzano matematico e filosofo praghese (1781ndash1848) fu tra i primi con Cauchyad affrontare il problema del rigore nellrsquoanalisi matematica che si stava sempre piugravesviluppando a opera dei successori di Leibniz cioegrave i Bernoulli1 Leonhard Euler (1707ndash1783) Giuseppe Luigi Lagrange (1736ndash1813) e altri Fino ai suoi studi si dava come ovvioche una funzione che assuma sia valori positivi che negativi assume anche il valorezero In realtagrave questo egrave tuttrsquoaltro che ovvio e dipende dalla struttura profonda deinumeri reali

t e o r ema d i b o l z a no s u g l i z e r i Sia 119891 una funzione continua definitanellrsquointervallo chiuso [119901 119902] Se 119891(119901) lt 0 e 119891(119902) gt 0 esiste un punto 119888 internoallrsquointervallo [119901 119902] tale che 119891(119888) = 0

Lrsquoidea di Bolzano egrave semplice Poniamo 1199010 = 119901 e 1199020 = 119902 dividiamo lrsquointervallo[1199010 119902119900] a metagrave e sia 1199030 il punto medio Ci sono tre casi (1) 119891(1199030) = 0 (2) 119891(1199030) lt 0(3) 119891(1199030) gt 0

Nel primo caso abbiamo finito e poniamo 119888 = 1199030 Nel secondo caso poniamo 1199011 = 1199030e 1199021 = 1199020 Nel terzo caso poniamo 1199011 = 1199010 e 1199021 = 1199030 Cosigrave se 119891(1199030) ne 0 possiamoconsiderare 119891 definita sullrsquointervallo [1199011 1199021] con 119891(1199011) lt 0 e 119891(1199021) gt 0

A questo punto possiamo far partire il meccanismo se supponiamo di essere arrivatial passo 119899 gt 0 con la stessa tecnica troviamo o un punto 119903119899+1 tale che 119891(119903119899+1) = 0oppure un intervallo [119901119899+1 119902119899+1] tale che 119891(119901119899+1) lt 0 e 119891(119902119899+1) gt 0

Se il meccanismo arriva a una fine cioegrave a un passo 119899 in cui 119891(119903119899) = 0 il teoremaper 119891 egrave dimostrato In caso contrario abbiamo la successione inscatolata di intervalli[119901119899 119902119899] che hanno lunghezze decrescenti indefinitamente infatti se 119897 = 119902 minus 119901 lalunghezza dellrsquo119899-esimo intervallo egrave 1198972119899 Dunque esiste un unico punto 119888 comune atutti gli intervalli come si intuisce e come vedremo con precisione nel capitolo 8

Qui arrivava Bolzano e concludeva che 119891(119888) = 0 lasciando perograve un buco nelladimostrazione Noi abbiamo alle spalle Weierstraszlig e possiamo colmarlo

Chiamiamo 119878minus lrsquoinsieme dei punti 119901119899 e 119878+ lrsquoinsieme dei punti 119902119899 Allora 119888 egrave un puntodi accumulazione sia di 119878minus sia di 119878+ Siccome 119891 egrave continua lo egrave in particolare in 119888 equindi

119891(119888) = lim119911rarr119888

119891(119911) = lim119911rarr119888119911isin119878minus

119891(119911) = lim119911rarr119888119911isin119878+

119891(119911)

Siccome su 119878minus si ha 119891(119911) lt 0 e su 119878+ si ha 119891(119911) gt 0 egrave immediato verificare che

119891(119888) = lim119911rarr119888119911isin119878minus

119891(119911) le 0 e 119891(119888) = lim119911rarr119888119911isin119878+

119891(119911) ge 0

1 I matematici della famiglia furono Jakob Bernoulli (1654ndash1705) Nicolaus Bernoulli (1687ndash1759) Johann Ber-noulli (1667ndash1748) Nicolaus Bernoulli II (1695ndash1726) Daniel Bernoulli (1700ndash1782) Johann Bernoulli II (1710ndash1790) Johann Bernoulli III (1744ndash1807) Jakob Bernoulli II (1759ndash1789) I maggiori furono Jakob Nicolaus eDaniel

42 continuitagrave

per il teorema della permanenza del segno Lrsquounico numero che soddisfa entrambe ledisuguaglianze egrave 119891(119888) = 0

Le ipotesi sui valori di 119891 agli estremi non sono poi cosigrave stringenti vale lo stesso se119891(119901) gt 0 e 119891(119902) lt 0 basta applicare il teorema alla funzione 119909 ↦ minus119891(119909) Ma possiamodire molto di piugrave

Vediamo unrsquoapplicazione Vogliamo vedere se lrsquoequazione 119909 minus 1 = log10(119909 + 2) hasoluzioni Consideriamo la funzione 119891(119909) = 119909 minus 1 minus log10(119909 + 2) Allora 119891(0) =minus1 minus log10 2 lt 0 mentre 119891(8) = 7 minus log10(10) = 7 minus 1 = 6 gt 0 Dunque lrsquoequazioneammette soluzione sebbene non abbiamo alcun metodo per determinarla ldquoesattamen-terdquo Analogamente lrsquoequazione 119909 = cos119909 ha soluzione infatti se 119891(119909) = 119909 minus cos119909abbiamo 119891(0) = minus1 lt 0 e 119891(1205872) = 1205872 gt 0

Piugrave avanti vedremo metodi piugrave potenti che ci potranno anche dire il numero disoluzioni

t e o r ema d e i v a l o r i i n t e rm ed i Sia 119891 definita su un intervallo 119868 e con-tinua Se 119886 e 119887 con 119886 lt 119887 sono valori assunti da 119891 allora 119891 assume anche ognivalore 119910 con 119886 lt 119910 lt 119887

Per ipotesi esistono punti 119901119902 isin 119868 tali che 119891(119901) = 119886 e 119891(119902) = 119887 Supponiamo che119901 lt 119902 la dimostrazione nel caso 119902 lt 119901 egrave identica La funzione

119909 ↦ 119892(119909) = 119891(119909) minus119910

egrave continua in [119901 119902] e 119892(119901) = 119891(119901) minus 119910 = 119886 minus 119910 lt 0 mentre 119892(119902) = 119891(119902) minus 119910 =119887 minus 119910 gt 0 Per il teorema sugli zeri esiste un punto 119888 nellrsquointervallo [119901 119902] tale che119892(119888) = 0 Ma allora 119891(119888) = 119910

Lrsquoipotesi che 119891 sia definita su un intervallo egrave essenziale la funzione 119891(119909) = 1119909egrave continua 119891(minus1) = minus1 lt 0 119891(1) = 1 gt 0 ma non esiste alcun punto 119888 in cui119891(119888) = 0 Questo non contraddice il teorema percheacute questa funzione non egrave definitasu un intervallo

Il teorema sugli zeri non egrave lrsquounico contributo di Bolzano che enunciograve anche unrisultato poi reso rigoroso da Weierstraszlig

t e o r ema Sia 119891 una funzione definita sullrsquointervallo chiuso [119901 119902] e continuaAllora 119891 assume un valore massimo e un valore minimo

La dimostrazione di questo teorema egrave piuttosto difficile sebbene usi ancora lrsquoidea della bise-zione per un risultato preliminare esistono numeri 119896 e 119870 tali che per 119909 isin [119901 119902] 119896 le 119891(119909) le 119870Si esprime questo dicendo che 119891 egrave limitata Supponiamo dapprima che per 119909 isin [119901 119902]119891(119909) ge 0 Perciograve 119891 non egrave limitata se per qualsiasi 119904 gt 0 esiste 119909119904 tale che 119891(119909119904) ge 119904 Ladimostrazione saragrave per assurdo quindi supponiamo che 119891 non sia limitata

Come nella dimostrazione del teorema precedente poniamo 1199010 = 119901 e 1199020 = 119902 e dividiamolrsquointervallo a metagrave con il punto medio 1199030 La funzione saragrave non limitata in almeno una delle duemetagrave dellrsquointervallo quindi possiamo definire

1199011 = 1199010 1199021 = 1199030 se 119891 non egrave limitata in [1199011 1199021]1199011 = 1199030 1199021 = 1199020 se 119891 non egrave limitata in [1199011 1199021]

Conveniamo che se la funzione non egrave limitata in entrambe le metagrave scegliamo quella di sinistra(andrebbe bene anche scegliere quella di destra naturalmente lrsquoimportante egrave fissare una regola)

Anche qui possiamo dare il via al meccanismo percheacute la funzione 119891 pensata come definitasullrsquointervallo [1199011 1199021] soddisfa le stesse ipotesi Quindi possiamo supporre di avere una suc-cessione inscatolata e indefinitamente decrescente di intervalli [119901119899 119902119899] in ciascuno dei qualila funzione non egrave limitata

23 il teorema di bolzano sugli zeri 43

Esiste un unico punto 119888 che appartiene a tutti questi intervalli e 119891 egrave continua in 119888 Quindiesiste un intorno 119880 di 119888 tale che per 119911 isin 119880 |119891(119911) minus 119891(119888)| le 1 (prendiamo come tolleranza1 andrebbe bene un numero positivo qualsiasi) Siccome 119880 contiene un intervallo aperto dellaforma (119888 minus 120575 119888 + 120575) con 120575 gt 0 possiamo trovare 119898 tale che 1198972119898 lt 120575 Allora [119901119898 119902119898] sube 119880e perciograve per 119911 isin [119901119898 119902119898]

0 le 119891(119911) le 119891(119888) + 1

contro lrsquoipotesi che 119891 non sia limitata in [119901119898 119902119898] contraddizione Dunque 119891 egrave limitataA questo punto possiamo passare a funzioni qualsiasi la funzione 119892 = |119891| soddisfa la con-

dizione 119892(119909) ge 0 per 119909 isin [119901 119902] e quindi esiste 119870 tale che 0 le 119892(119909) le 119870 Ne segue cheminus119870 le 119891(119909) le 119870 e quindi 119891 egrave limitata

Ora possiamo dimostrare lrsquoesistenza di un punto nellrsquointervallo [119901 119902] dove 119891 assume il va-lore massimo Siccome lrsquoinsieme dei valori assunti da 119891 egrave limitato esso ha un estremo superiore119872 Se dimostriamo che 119891 assume il valore 119872 siamo a posto Ancora per assurdo supponiamoche 119891(119909) ne 119872 per ogni 119909 isin [119901 119902] Consideriamo la funzione

119892(119909) = 1119872minus119891(119909)

Per definizione di 119872 e per lrsquoipotesi di contraddizione abbiamo 119891(119909) lt 119872 per 119909 isin [119901 119902] quindi119892 egrave continua Dimostriamo che 119892 non egrave limitata da cui deriveragrave lrsquoassurdo percheacute violeremmociograve che abbiamo appena dimostrato

Sia 119904 gt 0 dobbiamo dimostrare che possiamo trovare 119909119904 isin [119901 119902] tale che 119892(119909119904) ge 119904 Perdefinizione di estremo superiore esiste un valore della funzione 119891 che appartiene allrsquointervallo[119872minus (1119904) 119872] cioegrave troviamo 119909119904 isin [119901 119902] tale che

119872minus 1119904 le 119891(119909119904) lt 119872

quindi

0 lt 119872minus119891(119909119904) le1119904

e dunque prendendo i reciproci1

119872minus119891(119909119904)ge 119904

cioegrave proprio 119892(119909119904) ge 119904 Dunque la possibilitagrave di definire 119892 conduce a un assurdo e ne segue che119891 deve assumere il valore 119872

Per lrsquoesistenza del minimo si procede in modo analogo (o si prende minus119891)

Si possono notare fondamentali differenze tra due dimostrazioni che usano la stessa idea inquella del teorema sugli zeri si dagrave una procedura ldquoeffettivardquo che permette almeno in linea diprincipio di trovare unrsquoapprossimazione del punto 119888 tale che 119891(119888) = 0 La dimostrazione delsecondo teorema invece consiste di due dimostrazioni per assurdo non dagrave alcuna proceduraeffettiva per determinare dove sia il punto di massimo (o quello di minimo)

Il problema di trovare uno zero di funzione si puograve affrontare con il calcolo approssimato conil metodo di bisezione o altri piugrave raffinati Quello di trovare i punti di massimo e minimo egraveinvece piugrave complesso Per funzioni derivabili invece si possono dare metodi numerici comevedremo

Il teorema dei valori intermedi ha conseguenze molto importanti Una funzione 119891si dice strettamente crescente quando per 1199091 1199092 isin 119863(119891) se 1199091 lt 1199092 allora 119891(1199091) lt119891(1199092) Si dice strettamente decrescente quando per 1199091 1199092 isin 119863(119891) se 1199091 lt 1199092 allora119891(1199091) gt 119891(1199092) Il termine strettamente monotona significa che 119891 egrave strettamente cre-scente o strettamente decrescente Notiamo che una funzione strettamente monotonaegrave iniettiva e quindi considerando come codominio lrsquoimmagine invertibile

t e o r ema Se una funzione continua 119891 definita su un intervallo egrave strettamentemonotona allora 119891 egrave invertibile e la sua inversa egrave definita su un intervallo

44 continuitagrave

Quello che ci interessa egrave che lrsquoimmagine sia un intervallo Ma per il teorema deivalori intermedi lrsquoimmagine egrave un insieme 119868 di numeri reali tale che se 119886119887 isin 119868 allora[119886 119887] sube 119868 Dunque 119868 egrave un intervallo la dimostrazione completa richiede di esaminareun buon numero di casi ne tratteremo alcuni lasciando il resto per esercizio

Poniamo 119901 = inf 119868 e 119902 = sup 119868 e ammettiamo per il momento che nessuno dei due siainfinito Se 119901 isin 119868 e 119902 isin 119868 egrave evidente che 119868 = [119901 119902] infatti [119901 119902] sube 119868 per quantovisto prima se poi 119910 isin 119868 abbiamo 119901 le 119910 le 119902 e quindi 119910 isin [119901 119902]

Supponiamo che 119901 notin 119868 119902 isin 119868 vogliamo vedere che 119868 = (119901 119902] Se 119901 lt 119910 le 119902 dalladefinizione di estremo inferiore segue che esiste 119911 isin 119868 tale che 0 lt 119911minus119901 lt (119910minus119901)2perciograve 119910 isin [119911 119902] e [119911 119902] sub 119868 da cui 119910 isin 119868 Dunque (119901 119902] sube 119868 Viceversa se119910 isin 119868 abbiamo [119910 119902] sube 119868 e dunque 119910 gt 119901 (non puograve essere 119910 = 119901 percheacute 119901 notin 119868)Dunque 119910 isin (119901 119902]

Si procede analogamente nel caso in cui 119901 isin 119868 e 119902 notin 119868 Nel caso in cui 119901 notin 119868 e 119902 notin 119868si tratta di adattare le due dimostrazioni precedenti

Lasciamo come esercizio i casi in cui 119901 = minusinfin oppure 119902 = +infin

t e o r ema Se una funzione continua 119891 definita su un intervallo egrave invertibileallora egrave strettamente monotona

Supponiamo che 119891 non sia strettamente monotona Allora esistono tre punti deldominio di 119891 1199091 1199092 1199093 isin 119863(119891) con 1199091 lt 1199092 lt 1199093 tali che valga una delle condizioniseguenti

1 119891(1199091) lt 119891(1199092) 119891(1199092) gt 119891(1199093) 119891(1199091) lt 119891(1199093)2 119891(1199091) lt 119891(1199092) 119891(1199092) gt 119891(1199093) 119891(1199091) ge 119891(1199093)3 119891(1199091) gt 119891(1199092) 119891(1199092) lt 119891(1199093) 119891(1199091) lt 119891(1199093)4 119891(1199091) gt 119891(1199092) 119891(1199092) lt 119891(1199093) 119891(1199091) ge 119891(1199093)

Svolgiamo la dimostrazione nel primo caso gli altri si trattano in modo analogo Peril teorema dei valori intermedi esiste 119888 isin [1199091 1199092] tale che 119891(119888) = 119891(1199093) dunque 119891non egrave iniettiva

l emma Se 119891 egrave una funzione monotona definita sullrsquointervallo chiuso [119901 119902] e119901 lt 119909 lt 119902 allora esistono

lim119911rarr119909minus

119891(119911) e lim119911rarr119909+

119891(119911)

e si ha lim119911rarr119909minus 119891(119911) le lim119911rarr119909+ 119891(119911) Esistono anche lim119911rarr119901 119891(119911) e lim119911rarr119902 119891(119911)

Scriviamo la dimostrazione solo per lim119911rarr119909+ 119891(119911) gli altri casi sono del tutto analo-ghi

Siccome 119891 egrave monotona abbiamo 119891(119901) le 119891(119911) per ogni 119911 isin [119901 119902] Se 120575 gt 0e 119909 + 120575 le 119902 lrsquoinsieme dei valori assunti da 119891 nellrsquointervallo (119909 119909 + 120575) egrave limitatoinferiormente quindi ne esiste lrsquoestremo inferiore 119897 Il nostro scopo egrave di dimostrareproprio che lim119911rarr119909+ 119891(119911) = 119897

Sia data la tolleranza 120576 gt 0 per le proprietagrave dellrsquoestremo inferiore esiste 1199110 isin(119909 119909 + 120575) tale che 119891(1199110) minus 119897 le 120576 Se 119911 isin (119909 1199110) avremo 119891(119911) le 119891(1199110) e quindi119891(119911) minus 119897 le 120576 abbiamo trovato lrsquointorno nel quale egrave soddisfatta la tolleranza richiesta

La dimostrazione che lim119911rarr119909minus 119891(119911) le lim119911rarr119909+ 119891(119911) egrave lasciata per esercizio

Notiamo unrsquoimportantissima conseguenza se per un certo 119909 si ha

119897 = lim119911rarr119909minus

119891(119911) lt lim119911rarr119909+

119891(119911) = 119898

24 tecniche di calcolo dei limiti 45

allora nessun punto interno allrsquointervallo [119897 119898] puograve appartenere allrsquoimmagine di 119891 equindi 119891 non egrave continua Siccome egrave evidente che lrsquoinversa di una funzione strettamentemonotona egrave anchrsquoessa strettamente monotona abbiamo il teorema seguente

t e o r ema Se 119891 egrave una funzione continua definita su un intervallo e strettamen-te monotona allora 119891 egrave invertibile e la sua inversa egrave continua e definita su unintervallo

Che 119891 sia invertibile egrave giagrave stato dimostrato Inoltre sappiamo che lrsquoinversa 119892 egrave defi-nita su un intervallo Il problema egrave di applicare il lemma che parla di intervalli chiusiSe 119910 egrave un punto dellrsquoimmagine di 119892 abbiamo tre casi (1) 119910 egrave il minimo dellrsquoimmagine(2) 119910 egrave un punto interno allrsquoimmagine (3) 119910 egrave il massimo dellrsquoimmagine In alcun caso119910 egrave lrsquounico punto dellrsquoimmagine percheacute 119891 egrave iniettiva e il dominio egrave un intervallo (chenon egrave formato per definizione da un solo punto) Possiamo applicare il lemma nelprimo caso a un qualsiasi intervallo del tipo [1199101199102] con 1199102 appartenente allrsquoimmagi-ne 119910 lt 1199102 nel secondo caso a un qualsiasi intervallo del tipo [11991011199102] con 1199101 e 1199102nellrsquoimmagine e 1199101 lt 119910 lt 1199102 nel terzo caso a un qualsiasi intervallo [1199101119910] con 1199101nellrsquoimmagine 1199101 lt 119910

In tutti i casi abbiamo che 119892 egrave continua in 119910

Con questo ci saremmo potuti risparmiare il lavoro di dimostrare che la funzione119909 ↦ radic119909 egrave continua percheacute egrave lrsquoinversa di 119909 ↦ 1199092 definita su [0 rarr) Torneremosullrsquoargomento

24 tecniche di calcolo dei limiti

In genere non egrave possibile lsquocalcolare un limitersquo spesso si riesce solo a dimostrare cheesiste Tuttavia qualche trucco a volte funziona

t e o r ema Sia 119892 una funzione continua in 119910 e sia 119891 una funzione tale che lacomposizione 119892 ∘ 119891 sia definita in un intorno di 119909 Se

lim119911rarr119909

119891(119911) = 119910

alloralim119911rarr119909

119892(119891(119911)) = 119892(119910)

Dire che lim119911rarr119909 119891(119911) = 119910 significa che la funzione 119891 definita da

119891(119911) =⎧⎨⎩

119891(119911) se 119911 ne 119909119910 se 119911 = 119909

egrave continua in 119909 Dunque la composizione 119909 ↦ 119892(119891(119909)) egrave continua in 119909

Diamo un esempio di applicazione di questo teorema per calcolare

lim119911rarr1

sin 1 minus 1199111minusradic119911

Ci basta calcolare119897 = lim

119911rarr1

1minus 1199111minusradic119911

46 continuitagrave

(se esiste) percheacute allora il limite cercato vale sin 119897 Il limite della frazione egrave

lim119911rarr1

1 minus 1199111minusradic119911 = lim

119911rarr1

(1 minusradic119911)(1 +radic119911)1 minusradic119911

= lim119911rarr1

(1 +radic119911) = 2

La semplificazione si puograve eseguire percheacute in tutto il calcolo si assume 119911 ne 1 e in questomodo ci si riduce alla funzione continua 119911 ↦ 1 +radic119911 Dunque il limite proposto valesin2

119909

119910

119860prime

119860

119861prime

119861

119862prime

119862

figura 5 Calcolo di lim119911rarr0

119911 log119911

Possiamo provare a calcolare un limite piugrave difficile lim119911rarr0 119911119911 Siccome 119911119911 = exp(119911 log119911)possiamo ridurci a calcolare lim119911rarr0 119911 log119911 se questo limite egrave 119897 quello richiesto saragrave exp(119897) Quiusiamo la continuitagrave di log e di exp anche se non egrave stata ancora ufficialmente dimostrata

Per 0 lt 119911 lt 1 che egrave quanto ci interessa log119911 si puograve vedere come lrsquoopposto dellrsquoarea indicatanella figura 5 dal lsquotrapeziorsquo con lato obliquo curvo 119860119860prime119861prime119861 che maggioriamo con la somma dellearee dei due trapezi (con lato obliquo rettilineo) 119860119860prime119862prime119862 e 119862119862prime119861prime119861 Il punto 119861 egrave dunque quellodi coordinate (119911 0) mentre 119861prime ha coordinate (119911 1119911) Come 119862 scegliamo il punto di coordinate(radic119911 0) e perciograve 119862prime ha coordinate (radic119911 1radic119911) Chiamiamo 1198781 e 1198782 le aree di 119860119860prime119862prime119862 e 119862119862prime119861prime119861rispettivamente allora

1198781 = 12(1 minusradic119911)(1+ 1

radic119911) = 12( 1

radic119911 minusradic119911)

1198782 = 12(radic119911minus 119911)( 1

radic119911 + 1119911) = 1

2( 1radic119911 minusradic119911)

cioegrave le aree dei due trapezi sono uguali Dunque

minus log119911 le 1radic119911 minusradic119911

e perciograve

119911(radic119911minus 1radic119911) le 119911 log119911 le 0

da cui otteniamo che119911radic119911minusradic119911 le 119911 log119911 le 0

e per il teorema sul confronto dei limiti abbiamo che

lim119911rarr0

119911 log119911 = 0

dal quale finalmente otteniamolim119911rarr0

119911119911 = 1

24 tecniche di calcolo dei limiti 47

Risultato che tutto sommato ci attendevamo ma che non egrave affatto ovvio Con i metodi piugrave potentiche studieremo piugrave avanti non saragrave necessaria tutta questa fatica per dimostrare che

lim119911rarr0

119911119899 log119899 = 0

per ogni 119899 gt 0

Il risultato precedente ci permette di ldquoportar fuorirdquo dal limite una funzione continuail prossimo ci permetteragrave di ldquocambiare la variabilerdquo

t e o r ema Sia 119891 una funzione continua definita su un intervallo e invertibileSe 119909 appartiene allrsquoimmagine di 119891 e 119892 egrave una funzione definita in un intorno di 119909escluso 119909 allora

lim119911rarr119909

119892(119911) = lim119905rarr119891minus1(119909)

119892(119891(119905))

nel senso che uno esiste se e solo se esiste lrsquoaltro e in tal caso sono uguali

La dimostrazione consiste nel ricordare che una funzione continua definita su unintervallo e invertibile ha inversa con le stesse proprietagrave Quindi si riduce a scrive-re una camionata di disuguaglianze e perciograve la omettiamo Vediamo invece qualcheinteressante applicazione

Cominciamo con uno facilelim119909rarr0

1199091minusradic1minus119909

Possiamo considerare come 119891 la funzione 119905 ↦ 1minus119905 che soddisfa certamente le ipotesiAl posto di 119909 metteremo dunque (1 minus 119905) e siccome 119891minus1(0) = 1 dovremo calcolare

lim119905rarr1

1 minus 1199051 minusradic119905

che abbiamo giagrave calcolato e vale 2Come si fa in pratica Vogliamo togliere di mezzo 1minus119909 sostituendolo con qualcosa

di piugrave semplice allora scriviamo formalmente 119905 = 1minus119909 e cerchiamo di risolvere rispettoa 119909 ottenendo 119909 = 1minus 119905 La funzione 119905 ↦ (1minus 119905) egrave di quelle buone e quindi possiamoeseguire la sostituzione Un esempio piugrave complicato

lim119909rarr1205872

sin119909minus cos119909minus 1cos119909

Il trucco che qui funziona egrave la sostituzione 119905 = tan(1199092) che trasforma lrsquoespressionedata in una frazione algebrica La possiamo usare percheacute la funzione 119909 ↦ tan(1199092)egrave invertibile se si limita il dominio allrsquointervallo (minus120587 120587) lrsquoinversa dagrave allora 119909 =2 arctan 119905 e quando 119909 = 1205872 avremo 119905 = tan(1205874) = 1 Ricordiamo poi che

sin119909 = 21199051 + 1199052 cos119909 = 1minus 1199052

1 + 1199052

e perciograve

sin119909minus cos119909minus 1 = 2119905 minus (1 minus 1199052) minus (1 + 1199052)1 + 1199052

= 2(119905 minus 1)1 + 1199052

Allora dobbiamo calcolare

lim119905rarr1

2(119905 minus 1)1 + 1199052

1 + 11990521 minus 1199052 = lim

119905rarr1

2(119905 minus 1)1 minus 1199052 = lim

119905rarr1

minus21+ 119905 = minus1

48 continuitagrave

Potremmo anche usare la sostituzione 119906 = 1205872 minus 119909 cioegrave 119909 = 1205872 minus 119906 che porta illimite nella forma

lim119906rarr0

cos119906minus sin119906minus 1sin119906 = lim

119906rarr0(cos119906minus 1

sin119906 minus 1) = minus1+ lim119906rarr0

cos119906minus 1119906

119906sin119906 = minus1

percheacute sappiamo giagrave che lim119906rarr0(1 minus cos119906)119906 = 0

25 funzioni composte

Supponiamo di voler calcolare la derivata della funzione 119909 ↦ log(119909 + 1) Lrsquointuizioneci dice che la funzione egrave derivabile percheacute il suo grafico non egrave altro che la traslazionedel grafico del logaritmo se questo ha tangente in ogni punto anche ogni traslatodeve averlo Ancora abbiamo ldquocalcolatordquo la derivata di 119909 ↦ (1minus1199092)12 con un trucconel quale supponevamo fin dallrsquoinizio che la funzione fosse derivabile Questo mododi procedere comune nei primi tempi dellrsquoanalisi puograve condurre a risultati scorretti oaddirittura paradossali

Supponiamo che abbia senso la somma di infiniti termini

119878 = 1+ 2+ 4+⋯+ 2119899 +⋯

e che per queste espressioni valgano le regole usuali Allora

2119878 = 2+ 4+ 8+⋯+ 2119899+1 +⋯ = (minus1) + 1+ 2+ 4+⋯ = minus1+ 119878

Dunque 2119878 = 119878minus1 da cui 119878 = minus12 Difficile crederci pare Eppure Euler sosteneva sulla basedi questi conti che i numeri negativi fossero da considerare maggiori di ldquoinfinitordquo

Occorre perciograve qualcosa di piugrave rigoroso Non che sia del tutto illecito il metodo diporre

119865(119909) = radic1minus1199092

e notare che 119865(119909)2 = 1 minus 1199092 da cui derivando ambo i membri e usando al primo laregola di Leibniz

119865prime(119909)119865(119909) + 119865(119909)119865prime(119909) = minus2119909

119865prime(119909) = minus119909119865(119909) = minus 119909

radic1minus1199092(119909 ne minus1 119909 ne 1)

Egrave illecito se prima non dimostriamo la derivabilitagrave di 119865La risposta ci egrave data dal concetto di composizione di funzioni Nel nostro caso pos-

siamo scrivere 119865(119909) = 119892(119891(119909)) dove 119891∶ 119909 ↦ 1 minus 1199092 e 119892∶ 119910 ↦ radic119910 Usiamo simbolidiversi per le variabili in modo da distinguere meglio le due funzioni Entrambe lefunzioni componenti sono derivabili nel loro dominio a parte che la seconda non lo egravein 0 Proviamo a ragionare in modo intuitivo e poi a rendere rigorosa la dimostrazione

Dobbiamo calcolare il rapporto di Fermat di 119865

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))

ℎ

Lrsquoidea egrave che per ℎ piccolo 119891(119909+ℎ) egrave approssimabile con 119891(119909)+ℎ119891prime(119909) e 119896 = ℎ119891prime(119909)egrave piccolo quindi 119892(119891(119909)+ℎ119891prime(119909)) = 119892(119910+119896) egrave approssimabile con 119892(119910)+119896119892prime(119910) =119892(119910) + ℎ119892prime(119910)119891prime(119909) e dunque

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

25 funzioni composte 49

Con le funzioni scritte si ha

119891prime(119909) = minus2119909 119892prime(119910) = 12radic119910

A dire il vero non avevamo ancora calcolato la derivata di 119892 lo si faccia per esercizioPer 119910 = 119891(119909) si ha proprio

119865prime(119909) = 119892prime(119910)119891prime(119909) = 12radic119910(minus2119909) = minus2119909

2radic1minus1199092= minus119909

radic1minus1199092

che coincide con il valore ldquocalcolatordquo con lrsquoaltro metodo

t e o r ema Sia119891 definita e continua in un intorno di119909 e derivabile in119909 La funzio-ne 119892 sia definita in un intorno di 119910 = 119891(119909) e derivabile in 119910 = 119891(119909) Supponiamoinfine che la composizione 119865∶ 119911 ↦ 119892(119891(119911)) sia definita in un intorno di 119909 Allora 119865egrave derivabile in 119909 e

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

Le ipotesi che abbiamo scritto non sono le meno restrittive possibili ma questesaranno sufficienti per le applicazioni

Dobbiamo trattare il rapporto di Fermat di 119865

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))

ℎ

Sappiamo scrivere 119891(119909+ℎ) = 119891(119909)+ℎ119891prime(119909)+ℎ120593(ℎ) dove limℎrarr0 120593(ℎ) = 0 siccome119891 egrave continua in 119909 per ℎ piccolo anche 119896 = ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ) saragrave piccolo e quindipotremo calcolare 119892(119910+ 119896) dunque la nostra espressione diventa

119892(119891(119909) + 119896) minus 119892(119891(119909))ℎ = 119892(119891(119909)) + 119896119892prime(119891(119909)) +120595(119896) minus 119892(119891(119909))

ℎ

dove abbiamo usato la formula analoga per 119892 119892(119910+119896) = 119892(119910)+119896119892prime(119910)+119896120595(119896) conlim119896rarr0 120595(119896) = 0 e 119910 = 119891(119909) Andiamo avanti

119896119892prime(119891(119909)) + 119896120595(119896)ℎ = (119892prime(119891(119909)) +120595(119896)) 119896ℎ

= (119892prime(119891(119909)) +120595(119896))(119891prime(119909) +120593(ℎ))

A questo punto prendiamo il limite per ℎ rarr 0 e otteniamo

limℎrarr0

119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))ℎ = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

Abbiamo naturalmente usato il fatto che

limℎrarr0

119896 = limℎrarr0

ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ) = 0

non abbiamo scritto 119896(ℎ) solo per evitare di complicare la formula ma la definizione119896 = ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ) rende chiaro che si tratta di una funzione che ha limite 0 perℎ rarr 0 Come si vede lrsquoidea di considerare la tangente come la retta che approssimameglio il grafico della funzione vicino al punto considerato egrave vincente

Questo teorema permette di calcolare la derivata di moltissime funzioni che ancoranon sapevamo trattare Per esempio siccome

119909119903 = exp(119903 log119909)

50 continuitagrave

se consideriamo 119865(119909) = 119909119903 (definita per 119909 gt 0) avremo

119891(119909) = 119903 log119909 119892(119910) = exp119910

e perciograve

119891prime(119909) = 119903119909 119892prime(119910) = exp119910

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909) = exp(119903 log119909)119903119909 = 119903119909119903 1119909 = 119903119909119903minus1

esattamente come nel caso di 119909 ↦ 119909119899 con 119899 intero positivo Il ragionamento non valeper 119903 = 0 ma non occorre scomodare tanta teoria per derivare la funzione 119909 ↦ 1 Per119903 = 12 si ha proprio che la derivata di 119892∶ 119910 ↦ radic119910 egrave

119892prime(119910) = 12radic119910

Nel caso della funzione 119865∶ 119909 ↦ 119899radic119909 che per 119899 gt 0 intero dispari egrave definita ancheper 119909 le 0 possiamo usare un trucco se 119909 gt 0 si ha 119899radic119909 = 1199091119899 e quindi la derivata sipuograve calcolare come prima Nel caso di 119909 lt 0 si ha

119899radic119909 = minus(minus119909)1119899

Quindi per 119909 lt 0 ponendo per comoditagrave 119903 = 1119899 si ha

119865prime(119909) = 119903(minus119909)119903minus1 sdot (minus1)

dove abbiamo usato 119891(119909) = minus119909 e 119892(119910) = 1199101119899 Perciograve

119865prime(119909) = 119903(minus(minus119909)119903)119909 =

119899radic119909119899119909

che egrave la stessa espressione valida anche quando 119909 gt 0 Si noti che la formula non valeper 119909 = 0 e infatti 119909 ↦ 119899radic119909 non egrave derivabile in 0 Lo si verifichi esplicitamente

3FUNZ ION I DER IVAB I L I

Diamo la definizione formale di derivabilitagrave alla luce della teoria dei limiti Sia 119909 unpunto di accumulazione appartenente al dominio 119863(119891) della funzione 119891 Diremo che119891 egrave derivabile in 119909 se esiste

limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ = 119891prime(119909)

Questa espressione si scrive anche in modo del tutto equivalente

lim119911rarr119909

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 = 119891prime(119909)

dal momento che la funzione continua ℎ ↦ 119909 + ℎ egrave invertibile In altre parole lafunzione

119907119891119909(ℎ) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ se ℎ ne 0

119891prime(119909) se ℎ = 0

egrave continua in 0 precisamente quando 119891 egrave derivabile in 119909 e la sua derivata egrave il numero119891prime(119909)

Diremo che 119891 egrave derivabile se egrave tale in ogni punto di accumulazione del dominio (laderivata non ha senso nei punti isolati)

t e o r ema Se 119891 egrave derivabile in 119909 allora 119891 egrave continua in 119909

Per ℎ ne 0 possiamo evidentemente scrivere

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + ℎ119907119891119909(ℎ)

e quindi per i teoremi sui limiti visto che 119907119891119909 egrave continua in 0

limℎrarr0

119891(119909+ℎ) = limℎrarr0

(119891(119909) + ℎ119907119891119909(ℎ)) = 119891(119909) + 0119891prime(119909) = 119891(119909)

Una prima applicazione egrave alla continuitagrave di log dal momento che ne abbiamo giagrave di-mostrato la derivabilitagrave inoltre sappiamo giagrave che log egrave strettamente crescente e definitain (0 rarr)

t e o r ema La funzione 119909 ↦ log119909 egrave continua Di conseguenza anche 119909 ↦ exp119909egrave continua

Abbiamo infatti visto che logprime esiste in ogni punto del dominio

d e f i n i z i o n e Sia data una funzione 119891 Un punto 119909 di 119863(119891) si dice un puntodi massimo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119891(119911) le 119891(119909)Un punto 119909 di 119863(119891) si dice un punto di minimo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale cheper 119911 isin 119880cap119863(119891) 119891(119911) ge 119891(119909)

Egrave evidente che un punto isolato del dominio egrave sia di massimo che di minimo ciinteressano di piugrave ovviamente i punti di massimo e di minimo che siano punti diaccumulazione del dominio In caso di dubbio parleremo di massimo e minimo locale(si dice spesso anche relativo) se dobbiamo distinguere dal valore massimo o minimoassunti dalla funzione

t e o r ema Se 119891 egrave definita in un intervallo aperto (119901 119902) e 119909 isin (119901 119902) egrave unpunto di massimo o di minimo locale in cui 119891 egrave derivabile allora 119891prime(119909) = 0

51

52 funzioni derivabili

Dimostriamo la tesi nel caso in cui 119909 sia un punto di massimo per un punto diminimo basta considerare minus119891 Sia 119880 un intorno di 119909 tale che per 119911 isin 119880 119891(119911) le 119891(119909)Allora per 119911 isin 119880 119911 gt 119909 si ha

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 le 0

mentre per 119911 isin 119880 119911 lt 119909 si ha

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 le 0

Per il teorema della permanenza del segno per i due limiti seguenti che esistono percheacute119891 egrave derivabile in 119909 vale

119891prime(119909) = lim119911rarr119909+

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 le 0 119891prime(119909) = lim

119911rarr119909minus119891(119911) minus 119891(119909)

119911 minus119909 ge 0

e dunque 119891prime(119909) = 0

31 i teoremi sulle funzioni derivabili

Il primo teorema importante sulle funzioni derivabili egrave quello tradizionalmente attri-buito a Michel Rolle (1652ndash1719) che perograve non ne diede che una vaga giustificazione

In molti di questi teoremi le ipotesi sulle funzioni si scrivono in un modo complicatoche cercheremo di riassumere con una locuzione

d e f i n i z i o n e La funzione 119891 si dice una funzione di Lagrange in [119901 119902] se egravedefinita e continua su [119901 119902] ed egrave derivabile su (119901 119902)

Un esempio di funzione di Lagrange egrave 119909 ↦ radic1minus1199092 sullrsquointervallo [minus1 1] Egrave con-tinua e derivabile in ogni punto del dominio esclusi proprio gli estremi Chiaramentela funzione puograve essere derivabile anche agli estremi dellrsquointervallo per essere una fun-zione di Lagrange egrave solo che la derivabilitagrave agli estremi non fa parte delle richieste Inparticolare una funzione derivabile in un intervallo (119901 119902) egrave una funzione di Lagrangesu ogni sottointervallo chiuso

t e o r ema d i r o l l e Sia 119891 una funzione di Lagrange su [119901 119902] tale che119891(119901) = 119891(119902) Allora esiste 119888 isin (119901 119902) tale che 119891prime(119888) = 0

Per il teorema di Weierstraszlig sui valori estremi 119891 assume il valore massimo e ilminimo Siccome 119891(119901) = 119891(119902) egrave evidente che uno fra massimo e minimo dovragrave cadereallrsquointerno dellrsquointervallo (ci sarebbe il caso in cui stanno entrambi agli estremi maallora la funzione sarebbe costante e la tesi sarebbe comunque verificata) dunque saragraveun massimo o minimo locale In un punto di massimo o di minimo interno la derivatache esiste per ipotesi vale 0

Il teorema di Rolle di per seacute non serve a molto Lo si enuncia percheacute la dimostrazio-ne egrave molto semplice e con esso possiamo dimostrare teoremi piugrave generali

t e o r ema d i l a g r ang e Sia 119891 una funzione di Lagrange su [119901 119902] Alloraesiste un punto 119888 isin (119901 119902) tale che

119891prime(119888) = 119891(119902) minus 119891(119901)119902 minus 119901

31 i teoremi sulle funzioni derivabili 53

Per dimostrare questo teorema vogliamo usare quello di Rolle Ci serve una funzione119892 definita in termini di 119891 che abbia le proprietagrave richieste La cerchiamo della forma

119892(119909) = 119891(119909) minus 119886119909

dove 119886 egrave un opportuno numero reale che egrave certamente una funzione di Lagrange su[119901 119902] Dobbiamo allora avere 119892(119901) = 119892(119902) cioegrave

119891(119901) minus 119886119901 = 119891(119902) minus 119886119902

che dagrave119886 = 119891(119902) minus 119891(119901)

119902 minus 119901

In base al teorema di Rolle esiste un punto 119888 tale che 119892prime(119888) = 0 cioegrave essendo 119892prime(119909) =119891prime(119909) minus 119886

119891prime(119888) minus 119886 = 0

che si traduce nellrsquouguaglianza richiesta

Il valore (119891(119902) minus 119891(119901))(119902 minus 119901) si chiama valore medio di 119891 in [119901 119902] il teoremadi Lagrange dice quindi che la derivata di una funzione di Lagrange in un intervalloassume il valore medio della funzione in quellrsquointervallo Si pensi a qualche situazionefisica in cui questo valore egrave proprio comunemente noto come lsquovalore mediorsquo

La terminologia funzione di Lagrange non egrave diffusa ma riassume bene le ipotesi (con-tinuitagrave in un intervallo chiuso e derivabilitagrave allrsquointerno non egrave richiesta la derivabilitagraveagli estremi) a una funzione di Lagrange si puograve applicare lrsquoomonimo teorema che hadue conseguenze importantissime

Il teorema di Lagrange egrave legato a unrsquoimportante concetto Data la funzione 119891 definita sul-lrsquointervallo [119901 119902] possiamo considerare la retta per i due punti (119901119891(119901)) e (119902119891(119902)) che haequazione

119910minus119891(119901) = 119891(119902) minus 119891(119901)119902 minus 119901 (119909minus119901)

Cerchiamo il punto sulla curva definita da 119891 che abbia distanza massima da questa retta Perevitare notazioni complicate chiamiamo 119898 il coefficiente angolare della retta La distanza delpunto (119905119891(119905)) da questa retta egrave

|119891(119905) minus 119891(119901) minus119898(119905 minus 119901)|radic1+1198982

e per trovare la distanza massima ci basta considerare il numeratore e togliere il modulo cioegravela funzione

119892(119905) = 119891(119905) minus 119891(119901) minus119898(119905 minus 119901)

Di questa cercheremo il minimo e il massimo poi ne calcoleremo il modulo e potremo sceglierequale sia il piugrave grande Se la funzione 119891 egrave una funzione di Lagrange possiamo essere certi cheil minimo e il massimo di 119892 siano allrsquointerno dellrsquointervallo [119901 119902] percheacute 119892(119901) = 119892(119902) = 0questo purcheacute il grafico di 119891 non sia la retta stessa ma in tal caso il problema non si porrebbenemmeno Inoltre 119892 egrave derivabile in (119901 119902) e dunque troveremo minimo e massimo dove 119892prime siannulla

119892prime(119905) = 119891prime(119905) minus119898

Dunque 119892prime(119905) = 0 se e solo se 119891prime(119905) = 119898 cioegrave 119905 egrave proprio uno dei punti la cui esistenza egrave notadal teorema di Lagrange

Vediamo in un caso semplice quello di 119891(119909) = 1198861199092 con 119886 gt 0 Cerchiamo dunque i punti119905 isin (119901 119902) in cui

119891prime(119905) = 119891(119902) minus 119891(119901)119902minus 119901 = 1198861199022 minus1198861199012

119902minus 119901 = 119886(119902+ 119901)

54 funzioni derivabili

Evidentemente si ha 119891prime(119905) = 2119886119905 e quindi 119905 = (119902 + 119901)2 La distanza massima egrave dunque

|1198861199052 minus1198861199012 minus119898(119905 minus 119901)|radic1+1198982

= |(119905 minus 119901)(119886119905 + 119886119901minus119898)|radic1+1198982

Qui 119898 = (1198861199022 minus1198861199012)(119902 minus 119901) = 119886(119902+ 119901) e dunque abbiamo

119905 minus 119901 = 119902minus1199012 119886119905 + 119886119901minus119898 = 119886119902+119901

2 +119886119901minus119886(119902+ 119901) = 1198862 (119901minus 119902)

da cui togliendo il modulo otteniamo come distanza massima

1198864

(119902 minus 119901)2

radic1+1198862(119902 + 119901)2

Per 119891(119909) = 1119909 sempre nellrsquointervallo [119901 119902] (con 119902 gt 119901 gt 0) abbiamo

119898 = 119891(119902) minus 119891(119901)119902minus 119901 = minus 1

119901119902

e dunque dobbiamo risolvere lrsquoequazione

minus 11199052 = minus 1

119901119902

che dagrave come punto di massima distanza 119905 = radic119901119902 che egrave la media geometrica tra 119901 e 119902 Da questosegue che 119901 lt radic119901119902 lt 119902 se 0 lt 119901 lt 119902 risultato dimostrabile senza passare per il teorema diLagrange naturalmente

Nel caso di 119891(119909) = sin119909 e prendendo 0 le 119901 lt 119902 le 120587 si ha

119898 = sin119902minus sin119901119902minus119901

e lrsquoequazione egravecos 119905 = sin119902minus sin119901

119902minus119901

Il teorema di Lagrange in questo caso ci garantisce che

minus1 le sin119902minus sin119901119902minus119901 le 1

percheacute lrsquoequazione ha soluzioneAnalogamente il teorema applicato a 119891(119909) = exp119909 nellrsquointervallo [0 119887] dice che lrsquoequazione

exp119887minus 1119887 = exp119888

ha soluzione in questo intervallo (percheacute 119891prime(119909) = exp119909) e essendo 119891 crescente abbiamo le duedisuguaglianze

1 le exp119887minus 1119887 le exp119887

La prima si puograve anche scrivere 1+119887 le exp119887 mentre la seconda dice che exp119887minus1 le 119887 exp119887 cioegravein altro modo (1 minus 119887) exp119887 le 1 Per 0 lt 119887 lt 1 abbiamo dunque

exp119887 le 11minus 119887

Una delle principali conseguenze del teorema di Lagrange egrave un criterio spesso utileper determinare se una funzione egrave crescente o decrescente

t e o r ema Se la funzione119891 egrave definita e derivabile in un intervallo e vale119891prime(119909) gt 0per ogni 119909 isin 119863(119891) allora 119891 egrave strettamente crescente

Consideriamo 1199091 1199092 isin 119863(119891) con 1199091 lt 1199092 allora 119891 egrave certamente una funzione diLagrange su [1199091 1199092] e quindi possiamo scrivere

119891(1199092) minus 119891(1199091) = (1199092 minus1199091)119891prime(119888) gt 0

per un opportuno 119888 isin (1199091 1199092) dunque 119891(1199091) lt 119891(1199092)

31 i teoremi sulle funzioni derivabili 55

Egrave evidente che supponendo 119891prime(119909) lt 0 la conclusione diventa che 119891 egrave strettamentedecrescente

Notiamo che la condizione appena scritta egrave solo sufficiente affincheacute una funzionederivabile sia strettamente crescente Lrsquoesempio piugrave semplice al riguardo egrave 119909 ↦ 1199093 cheegrave strettamente crescente ma ha derivata nulla in 0

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave definita in un intervallo derivabile e 119891prime(119909) = 0 perogni 119909 isin 119863(119891) allora 119891 egrave costante

Di nuovo se 1199091 1199092 isin 119863(119891) e 1199091 lt 1199092 possiamo scrivere

119891(1199092) minus 119891(1199091) = (1199092 minus1199091)119891prime(119888) = 0

per un opportuno 119888 isin (1199091 1199092) Questo prova che il valore della funzione 119891 egrave lostesso su qualsiasi coppia di punti del dominio dunque 119891 assume lo stesso valore suogni punto

Indebolendo le ipotesi si ottiene una conclusione piugrave debole se 119891 egrave derivabile inun intervallo e 119891prime(119909) ge 0 in esso allora 119891 egrave (debolmente) crescente cioegrave se 1199091 lt 1199092allora 119891(1199091) le 119891(1199092) Lo si dimostri per esercizio Si dimostri anche che se lrsquoinsiemedei punti dove 119891prime si annulla non ha punti di accumulazione allora 119891 egrave strettamentecrescente

Vediamo un importante esempio Della funzione 119891 si sa che egrave definita ovunque eche 119891prime(119909) = 119891(119909) per ogni 119909 Che possiamo dire della funzione 119891

Conosciamo giagrave una funzione che ha queste proprietagrave la funzione esponenzialeabbiamo giagrave visto infatti che expprime 119909 = exp119909 (Non del tutto rigorosamente per la veritagrave)Siccome exp119909 ne 0 possiamo considerare la funzione

119892(119909) = 119891(119909)exp119909

che egrave definita ovunque ne calcoliamo la derivata

119892prime(119909) = 119891prime(119909) exp119909minus119891(119909) expprime 119909(exp119909)2 = 119891(119909) exp119909minus119891(119909) exp119909

(exp119909)2 = 0

per lrsquoipotesi 119891prime(119909) = 119891(119909) Dunque 119892 egrave costante se poniamo 119886 = 119892(0) avremo alloraper ogni 119909

119891(119909) = 119886 exp119909

Consideriamo ora una funzione 119865 definita in (0 rarr) tale che 119865prime(119909) = 1119909 per ogni119909 gt 0 Se consideriamo 119892(119909) = 119865(119909) minus log119909 abbiamo che

119892prime(119909) = 119865prime(119909) minus logprime 119909 = 1119909 minus 1

119909 = 0

e dunque 119892 egrave costante Poniamo 119886 = 119892(1) cioegrave 119886 = 119865(1) minus log1 = 119865(1) Allora per119909 gt 0

119865(119909) = 119865(1) + log119909

Se poniamo 119865(1) = log119896 che egrave possibile abbiamo unrsquoespressione ancora piugrave interes-sante

119865(119909) = log(119896119909)

Si provi che se 119865 egrave una funzione definita e derivabile in (0 rarr) per la quale per 119909 gt 0

119865(119909) = 119887119909 119865(1) = 0

56 funzioni derivabili

con 119887 ne 0 allora esiste un unico 119886 tale che 119865(119909) = log119886 119909 per ogni 119909 gt 0Il teorema di Lagrange e le sue conseguenze sono uno strumento insostituibile per

lo studio di funzioni percheacute spesso permettono di trovare gli ldquointervalli di crescenza edecrescenzardquo quindi di ottenere informazioni utili sullrsquoandamento di una funzione

Consideriamo per esempio 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 allora 119891prime(119909) = 31199092 minus 3 ed egrave facilestudiarne la variazione

119909 lt minus1 119891prime(119909) gt 0 la funzione egrave crescente in (larr minus1]minus1 lt 119909 lt 1 119891prime(119909) lt 0 la funzione egrave decrescente in [minus1 1]

119909 gt 1 119891prime(119909) gt 0 la funzione egrave crescente in [1 rarr)

Di conseguenza minus1 egrave un punto di massimo e 1 egrave un punto di minimoVediamo unrsquoapplicazione di questo studio Ci ricordiamo che lrsquoequazione 119909 = cos119909

ha soluzione ma quante ne ha Consideriamo di nuovo la funzione 119891(119909) = 119909minus cos119909che egrave derivabile in ogni punto Ne calcolamo la derivata 119891prime(119909) = 1 + sin119909 che siannulla solo per sin119909 = minus1 cioegrave 119909 = 31205872 + 2119896120587 (119896 intero) In tutti gli altri punti siha 119891prime(119909) gt 0 quindi la funzione egrave strettamente crescente e perciograve puograve annullarsi in alpiugrave un punto La soluzione di 119909 = cos119909 egrave dunque unica

Facciamo qualcosa di piugrave complicato cerchiamo i valori di119898 e 119902 per i quali exp119909 = 119898119909+119902 ab-bia soluzioni e vogliamo anche discutere il numero di soluzioni al variare di119898 e 119902 Consideriamodunque 119891(119909) = exp119909minus119898119909minus119902 e studiamo la crescenza e decrescenza di 119891

119891prime(119909) = exp119909minus119898

che egrave positiva per exp119909 gt 119898 Se 119898 gt 0 la funzione egrave decrescente in (larr log119898] e crescente in[log119898 rarr) e quindi ha un minimo assoluto in log119898

Siccome 119891(log119898) = 119898 minus 119898 log119898 minus 119902 avremo una soluzione quando 119891(log119898) = 0 cioegrave119902 = 119898(1 minus log119898) percheacute il grafico di 119891 egrave tangente allrsquoasse delle ascisse due soluzioni quando119891(log119898) lt 0 cioegrave 119902 gt 119898(1 minus log119898) nessuna soluzione quando 119891(log119898) gt 0 cioegrave 119902 lt 119898(1 minuslog119898) Che ci siano soluzioni quando 119902 gt 119898(1minus log119898) si basa sui limiti

lim119909rarrminusinfin

exp119909minus119898119909minus119902 = +infin lim119909rarr+infin

exp119909minus119898119909minus119902 = +infin

che discuteremo piugrave avantiSe 119898 le 0 la disuguaglianza expminus119898 gt 0 egrave certamente soddisfatta e quindi 119891 in questo caso

egrave crescente dunque crsquoegrave al piugrave una soluzione Se 119898 = 0 lrsquoequazione diventa exp119909 = 119902 che hasoluzione solo per 119902 gt 0

Vediamo per 119898 lt 0 quello che ci interessa egrave scoprire lrsquoimmagine della funzione 119892(119909) =exp119909minus119898119909 Usando concetti che vedremo piugrave avanti possiamo dire che

lim119909rarrminusinfin

exp119909minus119898119909 = minusinfin lim119909rarr+infin

exp119909minus119898119909 = +infin

e quindi che per 119898 lt 0 si ha una soluzione qualunque sia 119902

32 i teoremi di cauchy e di lrsquohocircpital

Con una tecnica analoga a quella usata per il teorema di Lagrange si puograve dimostrare unrisultato piugrave generale dovuto a Cauchy

t e o r ema d i c a u ch y Siano 119891 e 119892 funzioni di Lagrange su [119901 119902] e suppo-niamo che 119892(119909) ne 0 per 119909 isin [119901 119902] e 119892prime(119909) ne 0 per 119909 isin (119901 119902) Allora esisteun punto 119888 isin (119901 119902) tale che

119891prime(119888)119892prime(119888) = 119891(119902) minus 119891(119901)

119892(119902) minus 119892(119901)

32 i teoremi di cauchy e di lrsquohocircpital 57

Il teorema di Lagrange egrave un caso speciale di questo con 119892(119909) = 119909 cosigrave come ilteorema di Rolle egrave un caso speciale di quello di Lagrange quando 119891(119901) = 119891(119902) cosigrave chein effetti dicono la stessa cosa

La tecnica della dimostrazione egrave simile a quella usata in precedenza cerchiamo119886 in modo che alla funzione 119865(119909) = 119891(119909) minus 119886119892(119909) si possa applicare il teorema diRolle percheacute 119865 egrave certamente una funzione di Lagrange su [119901 119902] Siccome 119865(119901) =119891(119901) minus 119886119892(119901) e 119865(119902) = 119891(119902) minus 119886119892(119902) troviamo

119886(119892(119902) minus 119892(119901)) = 119891(119902) minus 119891(119901)

Notiamo che 119892(119902) ne 119892(119901) se non fosse cosigrave per il teorema di Rolle esisterebbe un pun-to 119889 isin (119901 119902) tale che 119892prime(119889) = 0 che egrave escluso dallrsquoipotesi Quindi 119886 egrave univocamentedeterminato

Ora il punto 119888 isin (119901 119902) fornito dal teorema di Rolle cioegrave tale che 119865prime(119888) = 0 egrave quellodesiderato

119891prime(119888) minus 119886119892prime(119888) = 0e quindi essendo 119892prime(119888) ne 0 per ipotesi

119891prime(119888)119892prime(119888) = 119886 = 119891(119902) minus 119891(119901)

119892(119902) minus 119892(119901)

Il teorema di Cauchy serve essenzialmente per dimostrare un teorema assai utile peri calcoli Egrave dovuto probabilmente a Johan Bernoulli ma apparve per la prima volta senzaattribuzioni nel libro Analyse des Infiniment Petits pour lrsquoIntelligence des Lignes Courbesdel marchese Guillaume Franccedilois Antoine de lrsquoHocircpital (1661ndash1704) a cui Bernoulli avevainsegnato il calcolo

Enunceremo il teorema in un caso particolare lo estenderemo in seguito ma primavogliamo capire da dove Bernoulli ha avuto lrsquoidea Consideriamo due funzioni 119891 e 119892definite in un intorno di 119909 e derivabili in 119909 supponiamo anche che 119891(119909) = 119892(119909) = 0ma che 119892 non assuma il valore 0 se non in 119909 Se vogliamo calcolare il

lim119911rarr119909

119891(119911)119892(119911)

possiamo sfruttare il trucco di ldquodividere numeratore e denominatore per 119911minus119909rdquo

lim119911rarr119909119891(119911)119892(119911) = lim

119911rarr119909

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909

119892(119911) minus 119892(119909)119911 minus119909

= 119891prime(119909)119892prime(119909)

purcheacute 119892prime(119909) ne 0 Il primo passaggio usa ovviamente il fatto che119891(119909) = 119892(119909) = 0 Chesuccede perograve se 119891prime(119909) = 119892prime(119909) = 0 Saremmo di nuovo in un caso di indeterminazioneBernoulli (o lrsquoHocircpital) esaminograve proprio questo e ne dedusse un teorema davvero utilePiugrave tardi Cauchy dimostrograve il teorema che porta il suo nome e da questo egrave piugrave facile ediretto dedurre il teorema che ora tratteremo

t e o r ema d i l rsquo h ocirc p i t a l Siano 119891 e 119892 funzioni definite in un intorno 119882 di 119909escluso 119909 e derivabili con 119892prime(119911) ne 0 per 119911 isin 119882 119911 ne 119909 Supponiamo che

lim119911rarr119909

119891(119911) = 0 lim119911rarr119909

119892(119911) = 0

Se esiste

lim119911rarr119909

119891prime(119911)119892prime(119911) = 119897

allora si ha anche

lim119911rarr119909

119891(119911)119892(119911) = 119897

58 funzioni derivabili

Diamo solo unrsquoidea della dimostrazione Verifichiamo prima di tutto la questioneper il limite da destra si potragrave fare in modo analogo per il limite da sinistra Le funzioni119891 e che si ottengono estendendo 119891 e 119892 ponendo 119891(119909) = 0 e (119909) = 0 sono continue equindi funzioni di Lagrange nellrsquointervallo [119909 119911] per qualsiasi 119911 isin 119882 119911 gt 119909 percheacutecoincidono con 119891 e 119892 Le due funzioni dunque soddisfano le ipotesi del teorema diCauchy e quindi per ogni 119911 isin 119882 119911 gt 119909 esiste 119905119911 isin (119909 119911) con

119891prime(119905119911)prime(119905119911)

= 119891(119911) minus 119891(119909)(119911) minus (119909)

cioegrave119891prime(119905119911)119892prime(119905119911)

= 119891(119911)119892(119911)

Via via che 119911 si avvicina a119909 anche 119905119911 si avvicina a119909 (la parte difficile della dimostrazioneegrave rendere rigoroso questo passaggio) e si puograve concludere adoperando lrsquoesistenza dilim119911rarr119909 119891prime(119911)119892prime(119911)

Un paio di esempi di applicazione del teorema Consideriamo

lim119909rarr1205872

sin119909minus cos119909minus 1cos119909

Le funzioni soddisfano le ipotesi del teorema quindi possiamo scrivere

lim119909rarr1205872

sin119909minus cos119909minus 1cos119909

H= lim119909rarr1205872

cos119909+ sin119909minus sin119909 = 0+ 1

minus1 = minus1

dove il simboloH= va interpretato come ldquolrsquouguaglianza vale purcheacute il limite che segue

esistardquo e indica lrsquoapplicazione del teorema

In certi casi lrsquoapplicazione del teorema di lrsquoHocircpital non ha molto senso si pensi al caso

limℎrarr0

sinℎℎ

H= limℎrarr0

cosℎ1 = cos0 = 1

in cui il calcolo richiederebbe la derivata della funzione seno che egrave stata ottenuta tramite il limiterichiesto Anche la funzione precedente in effetti potrebbe ricadere in questo circolo viziosoTuttavia siccome la derivata di seno e coseno egrave nota non egrave proibito adoperare il teorema dilrsquoHocircpital anche qui

Il teorema di lrsquoHocircpital si puograve usare anche piugrave volte

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093

H= lim119909rarr0

1 minus cos11990931199092

H= lim119909rarr0

sin1199096119909 = 1

6 lim119909rarr0

sin119909119909 = 1

6

Dopo il primo passaggio alle derivate si ottiene un limite al quale il teorema egrave ancoraapplicabile Lrsquoultimo limite esiste quindi esiste anche il secondo quindi anche il primo

Altro esempio nel quale egrave bene eseguire qualche semplificazione prima di procederecon la seconda applicazione del teorema

lim119909rarr1

log119909minus119909+ 11199092 minus2119909+ 1

H= lim119909rarr1

1119909 minus 1

2119909minus 2

= lim119909rarr1

12

1 minus119909119909(119909minus 1)

= lim119909rarr1

12minus1119909 = minus1

2

32 i teoremi di cauchy e di lrsquohocircpital 59

Si potrebbe anche applicare il teorema allrsquoespressione ottenuta dopo la prima applica-zione senza eseguire la semplificazione ottenendo in questo caso di dover calcolareil limite di minus1(21199092) In generale perograve egrave meglio prima di tutto eseguire le possibilisemplificazioni

Si faccia anche attenzione a servirsi del teorema solo quando le funzioni soddisfa-no le ipotesi per non incorrere in gravi errori Se infatti applicassimo il teorema percalcolare lim119909rarr1(119909 minus 1)119909 otterremmo lim119909rarr1 11 = 1 che non egrave certamente il limiterichiesto

Vediamo una delle principali conseguenze del teorema Se la funzione 119891 egrave continuain 119909 il rapporto di Fermat fornisce proprio unrsquoespressione del tipo trattato dal teoremadi lrsquoHocircpital in

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909

il numeratore ha limite 0 per 119911 rarr 119909 se e solo se 119891 egrave continua in 119909 Se 119891 egrave derivabile inun intorno di 119909 possiamo applicare il teorema di lrsquoHocircpital la derivata del numeratoreegrave 119891prime(119911) quella del denominatore egrave 1

t e o r ema Se 119891 egrave continua in 119909 e derivabile in un intorno di 119909 escluso al piugrave 119909allora 119891 egrave derivabile in 119909 se e solo se lim119911rarr119909 119891prime(119911) esiste e in tal caso

119891prime(119909) = lim119911rarr119909

119891prime(119911)

Spesso il teorema si usa per dimostrare che 119891 non egrave derivabile in 119909 Consideriamola funzione 119891(119909) = radic1199092 minus1199093 la cui derivata per 119909 lt 1 ma 119909 ne 0 egrave

119891prime(119909) = 2119909minus 31199092

2radic1199092 minus1199093

La funzione non egrave allora derivabile in 1 come si vede facilmente per trattare la deri-vabilitagrave in 0 consideriamo il limite da destra e quello da sinistra della derivata Pertrattarlo dobbiamo portare il numeratore sotto il segno di radice quadrata ma per que-sto occorre stabilire se egrave positivo o negativo Con ovvi calcoli si vede che 2119909minus31199092 gt 0per 0 lt 119909 lt 23 Quindi per 0 lt 119909 lt 23 si puograve scrivere

119891prime(119909) = 12radic

(2119909minus 31199092)21199092 minus1199093

mentre per 119909 lt 0 si ha

119891prime(119909) = minus12radic

(2119909minus 31199092)21199092 minus1199093

Chiamiamo 119892 lrsquoespressione sotto radice

lim119909rarr0

119892(119909) = lim119909rarr0

(2 minus 3119909)21 minus119909 = 1

da cui deduciamo che

lim119909rarr0minus

119891prime(119909) = minus1 lim119909rarr0+

119891prime(119909) = 1

Quindi 119891 non egrave derivabile in 0Consideriamo la funzione 119891(119909) = 119909119899 log119909 definita e continua in (0 rarr) Il limite

a +infin non dagrave problemi vediamo quello in 0 scrivendo 119891(119909) = log119909119909minus119899 alla quale sipuograve applicare il teorema di lrsquoHocircpital

lim119909rarr0

log119909119909minus119899

H= lim119909rarr0

1119909minus119899119909minus119899minus1 = lim

119909rarr0

minus1119899 119909119899 = 0

60 funzioni derivabili

Non occorre il teorema per calcolare il limite di 119909119899(log119909)119898 con 119899 ge 119898 gt 0 percheacuteabbiamo

lim119909rarr0

119909119899(log119909)119898 = lim119909rarr0

119909119899minus119898120576(119909120576 log119909)119898

e basta scegliere 120576 gt 0 tale che 119899minus119898120576 gt 0 cioegrave 0 lt 120576 lt 119899119898 Siccome 119899119898 ge 1 untale 120576 esiste e i teoremi sui limiti permettono di concludere

33 derivata della funzione inversa

In un punto precedente abbiamo barato abbiamo infatti usato lrsquoespressione per laderivata della funzione esponenziale avendola ricavata da considerazioni geometricheMa ora abbiamo tutti gli strumenti per trattare il problema generale

Supponiamo dunque che 119891 sia una funzione strettamente monotona definita in unintervallo 119868 e derivabile Sia 119909 un punto dellrsquointervallo 119868 tale che 119891prime(119909) ne 0 Allora lafunzione 119892 = 119891minus1 egrave derivabile in 119910 = 119891(119909) e si ha

119892prime(119910) = 1119891prime(119909) = 1

119891prime(119892(119910))

Si noti che questa egrave proprio la relazione che lega i coefficienti angolari dellrsquoequazione diuna retta prima e dopo lo scambio degli assi la retta 119910 = 119898119909+119902 per 119898 ne 0 diventa119909 = 119898119910+119902 e quindi 119910 = (1119898)119909+ (119902119898)

Per dimostrare la formula precedente consideriamo il rapporto di Fermat

lim119905rarr119910

119892(119905) minus 119892(119910)119905 minus119910

e usiamo il cambiamento di variabile nel limite dato da 119891 cioegrave scriviamo 119905 = 119891(119911)

lim119905rarr119910

119892(119905) minus 119892(119910)119905 minus119910 = lim

119911rarr119891minus1(119910)

119892(119891(119911)) minus 119892(119910)119891(119911) minus119910

Ora sappiamo che 119892(119891(119911)) = 119911 e siccome 119910 = 119891(119909) possiamo scrivere 119909 = 119892(119910)quindi

lim119905rarr119910

119892(119905) minus 119892(119910)119905 minus119910 = lim

119911rarr119909119911minus119909

119891(119911) minus 119891(119909) = 1119891prime(119909)

come si volevaSi noti che la funzione 119892 non egrave derivabile nei punti 119910 in cui 119891prime(119892(119910)) = 0 Infatti

se lo fosse e la derivata valesse 119897 ne 0 la derivata di 119891 in 119892(119910) sarebbe 1119897 ne 0 per lostesso motivo se 119892 egrave la funzione inversa di 119891 allora 119891 egrave la funzione inversa di 119892 Siverifichi che non puograve nemmeno essere 119897 = 0

In pratica una volta noto che lrsquoinversa di una funzione derivabile egrave derivabile sipuograve eseguire il calcolo in modo meno complicato usando il teorema sulle funzionicomposte Vediamo nel caso dellrsquoesponenziale Scriviamo lrsquoidentitagrave fondamentale chelega la funzione al logaritmo e deriviamo ambo i membri

log(exp119909) = 119909

1exp119909 expprime 119909 = 1

expprime 119909 = exp119909

33 derivata della funzione inversa 61

Proviamo con funzioni piugrave complicate la funzione seno purcheacute ristretta allrsquointerval-lo [minus1205872 1205872] egrave invertibile e la sua inversa si denota con arcsin

sin(arcsin119909) = 119909

cos(arcsin119909) arcsinprime 119909 = 1

arcsinprime 119909 = 1cos(arcsin119909)

arcsinprime 119909 = 1radic1minus1199092

Infatti per 120572 isin [minus1205872 1205872] vale lrsquouguaglianza

cos120572 = radic1minus sin2 120572

Notiamo che sinprime(minus1205872) = sinprime(1205872) = 0 e quindi arcsin non egrave derivabile in minus1 =sin(minus1205872) e in 1 = sin(1205872) cioegrave agli estremi dellrsquointervallo di definizione Tuttavia egraveuna funzione di Lagrange in [minus1 1] Analogamente si ottiene

arccosprime 119909 = minus 1radic1minus1199092

Per la tangente abbiamo unrsquoespressione molto interessante

tanprime 119909 = 1+ tan2 119909

e quindi possiamo scrivere

tan(arctan119909) = 119909

(1 + tan2(arctan119909)) arctanprime 119909 = 1

arctanprime 119909 = 11+1199092

Quindi arctan che egrave definita ovunque egrave anche derivabile ovunque Abbiamo scopertounrsquoaltra funzione la cui derivata egrave una frazione algebrica

Lrsquoarcotangente pone un problemino interessante consideriamo la funzione

119865(119909) = arctan 1119909

che egrave definita per 119909 ne 0 La sua derivata si calcola ponendo 119891(119909) = 1119909 e 119892(119910) =arctan119910

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909) = 11+ (119891(119909))2

minus11199092

che con una facile semplificazione dagrave

119865prime(119909) = minus11+1199092

Consideriamo allora la funzione

119866(119909) = arctan119909+ arctan 1119909

la cui derivata egrave allora la somma delle derivate degli addendi

119866prime(119909) = 11+1199092 + minus1

1+1199092 = 0

62 funzioni derivabili

e per la conseguenza del teorema di Lagrange dovremmo dedurre che 119866 egrave costanteInvece non lo egrave Infatti

119866(1) = arctan1 + arctan(11) = 1205874 + 120587

4 = 1205872

119866(minus1) = arctan(minus1) + arctan(minus1) = minus1205874 minus 120587

4 = minus1205872

Dovrsquoegrave il problema Naturalmente nel fatto che 119866 non egrave definita su un intervallo Invecedal teorema di Lagrange si puograve correttamente dedurre che

arctan119909+ arctan 1119909 =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

1205872 se 119909 gt 0

minus1205872 se 119909 lt 0

Egrave giunto il momento di riassumere tutte le principali derivate nella tabella 2 Nellacolonna ldquoCondizionirdquo sono riportate eventuali limitazioni a cui devono essere sottopo-ste le quantitagrave nella riga Dove non altrimenti scritto la funzione egrave derivabile in ognipunto del suo dominio

33 derivata della funzione inversa 63

119865(119909) 119865prime(119909) Condizioni

119886119891(119909) 119886119891prime(119909)

119891(119909) + 119892(119909) 119891prime(119909) + 119892prime(119909)

119891(119909)119892(119909) 119891prime(119909)119892(119909) + 119891(119909)119892prime(119909)

119891(119909)119892(119909)

119891prime(119909)119892(119909) minus 119891(119909)119892prime(119909)(119892(119909))2

119892(119891(119909)) 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

119909119899 119899119909119899minus1 119899 intero

119899radic119909119899radic119909119899119909 119909 ne 0 119899 intero positivo

log119909 1119909

exp119909 exp119909

119909119903 119903119909119903minus1 119903 reale 119903 ne 0

sin119909 cos119909

cos119909 minus sin119909

tan119909 1+ tan2 119909

arcsin119909 1radic1minus1199092

119909 isin (minus1 1)

arccos119909 minus 1radic1minus1199092

119909 isin (minus1 1)

arctan119909 11+1199092

tabella 2 Tabella delle regole di derivazione e delle derivate delle principali funzioni Sinoti che la funzione 119909 ↦ 119909119903 con 119903 non intero va considerata come definita per119909 gt 0 La funzione 119909 ↦ 119899radic119909 egrave definita per 119909 ge 0 quando 119899 egrave pari per ogni 119909quando 119899 egrave dispari

4L IM IT I

La nozione di limite che abbiamo dato non egrave sufficiente per rendere conto del com-portamento delle funzioni in casi molto importanti Lrsquoesempio tipico egrave 119891(119909) = 11199092che discuteremo per primo vogliamo rendere preciso che cosa intendiamo per ldquoaverelimite infinitordquo

41 limiti infiniti

Consideriamo la funzione 119909 ↦ 11199092 che egrave definita per 119909 ne 0 Il punto 0 egrave un punto diaccumulazione del dominio ed egrave sensato domandarsi se esista

lim119909rarr0

11199092

Se perograve facciamo tracciare la curva a GeoGebra ci accorgiamo che piugrave la 119909 si avvicinaa 0 piugrave 11199092 diventa grande Del resto egrave evidente che quando 119909 = 10minus15 (poco piugravedel raggio di un protone in metri) 11199092 = 1030 (il numero stimato di batteri sullaterra) e che se facciamo diminuire il valore di 119909 quello di 11199092 cresceragrave senza alcunalimitazione

Come possiamo esprimere precisamente questa nozione Non egrave cosigrave complicatodopo tutto 11199092 egrave il reciproco di 1199092 Lrsquoidea egrave dunque questa e la possiamo rendereprecisa cosigrave come abbiamo fatto per quella di limite finito Fissiamo unamaggiorazione119872 allora esiste un intorno 119880 di 0 tale che che per 119911 isin 119880 119911 ne 0 si abbia 11199112 gt 119872Qualsiasi maggiorazione fissiamo la possiamo superare stando opportunamente vicinoa 0 Diamo allora la definizione ufficiale

d e f i n i z i o n e Sia 119909 un punto di accumulazione del dominio di una funzione 119891Diremo che +infin egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 se data una qualsiasi mag-giorazione 119872 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119911 ne 119909 siabbia

119891(119911) ge 119872

In tal caso la notazione usata saragrave

lim119911rarr119909

119891(119911) = +infin

Il simbolo +infin si legge ldquopiugrave infinitordquo

Vediamo che la definizione si applica al caso in esame cioegrave 119909 ↦ 11199092 Fissiamo 119872dobbiamo risolvere la disequazione

11199112 gt 119872 119911 ne 0

le cui soluzioni sono date per 119872 gt 0 da

minusradic

1119872 lt 119911 lt

radic1119872 119911 ne 0

e lrsquoinsieme delle soluzioni egrave proprio un intorno di 0 escluso 0 Se 119872 le 0 il proble-ma non si pone nemmeno tutti i numeri non nulli sono soluzione Anche qui comenel caso delle tolleranze che possono essere limitate verso lrsquoalto possiamo fissare unminorante delle maggiorazioni richieste se riusciamo a soddisfare il problema permag-giorazioni piugrave grandi di 1 per esempio lo riusciamo a soddisfare per maggiorazioniqualsiasi

65

66 limiti

Nel caso della funzione 119891(119909) = 1119909 non possiamo dire la stessa cosa per 119909 lt 0 siha 1119909 lt 0 e quindi la funzione non egrave positiva in 119880cap119863(119891) per qualsiasi intorno 119880 di0 Tuttavia egrave chiaro che per la funzione ristretta allrsquointervallo (0 rarr) il limite egrave +infin

lim119909rarr0+

1119909 = +infin

Infatti per 119911 isin (minus1119872 1119872)cap119863(1198910+) si ha effettivamente 119891(119911) ge 119872 quando 119872 gt 0Non dovrebbe sorprendere la seguente definizione

d e f i n i z i o n e Sia 119909 un punto di accumulazione del dominio di una funzione 119891Diremo che minusinfin egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 se data una qualsiasi mag-giorazione 119872 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119911 ne 119909 siabbia

119891(119911) le minus119872

In tal caso la notazione usata saragrave

lim119911rarr119909

119891(119911) = minusinfin

Il simbolo minusinfin si legge ldquopiugrave infinitordquo

Non dovrebbe sorprendere nemmeno che

lim119911rarr0

minus 11199112 = minusinfin lim

119911rarr0minus

1119911 = minusinfin

Nella definizione si usa minus119872 percheacute cosigrave egrave chiaro che

lim119911rarr119909

119891(119911) = minusinfin se e solo se lim119911rarr119909

minus119891(119911) = +infin

Un esempio importante egrave quello del logaritmo

lim119909rarr0

log119909 = minusinfin

Infatti la disequazionelog119909 le minus119872

egrave soddisfatta per 0 lt 119909 le exp(minus119872) e questo insieme egrave

(minus exp(minus119872) exp(119872)) cap119863(log)

Proviamo con qualcosa di piugrave complicato

lim119909rarr0+

exp(1119909) = +infin

Per una maggiorazione 119872 gt 1 la disequazione

exp(1119909) ge 119872

diventa 1119909 ge log119872

cioegrave0 lt 119909 le 1

log119872

Se poniamo 120575 = 1 log119872 e 119880 = (minus120575 120575) abbiamo che la disequazione egrave soddisfattaper 119909 isin 119880 119909 gt 0 come richiesto

41 limiti infiniti 67

Tanto per vedere che le funzioni possono essere bizzarre dimostriamo che

lim119909rarr0minus

exp(1119909) = 0

Infatti per la tolleranza 0 lt 120576 lt 1 la disequazione

|exp(1119909)| le 120576 (119909 lt 0)

diventa 1119909 le log 120576 (119909 lt 0)

che essendo 119909 lt 0 e log 120576 lt 0 diventa

119909 ge 1log 120576 (119909 lt 0)

Dunque tutti i numeri nellrsquoinsieme

( 1log 120576 minus 1

log 120576)cap (larr 0)

sono soluzioni della disequazione e la tesi egrave provataNon preoccupiamoci troppo di questi conti ci sono varie tecniche che permettono

di evitarli Vediamone una

t e o r ema Sia 119909 un punto di accumulazione del dominio di 119891 Allora

lim119911rarr119909

119891(119911) = +infin

se e solo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119911 ne 119909 si abbia119891(119911) gt 0 e inoltre

lim119911rarr119909

1119891(119911) = 0

Nel caso utile di limiti da destra e da sinistra si puograve operare in modo analogo Loenunceremo solo per funzioni definite in un intorno di 119909 escluso 119909 che egrave il caso in cuisi puograve parlare di limiti da destra e da sinistra

t e o r ema Sia 119891 definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 Allora

lim119911rarr119909+

119891(119911) = +infin

se e solo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 119911 gt 119909 si abbia 119891(119911) gt 0 einoltre

lim119911rarr119909+

1119891(119911) = 0

Le versioni di questi teoremi per il limite minusinfin sono ovvie e anche le dimostrazionilo sono Si noti perograve che non ci basta sapere che lim119911rarr119909 1119891(119911) = 0 per concluderequalcosa su lim119911rarr119909 119891(119911)

Vediamo unrsquoapplicazione al caso delle frazioni algebriche Siano 119875 e 119876 polinomiAllora sappiamo che la funzione

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909)

egrave continua ovunque sia definita Il suo dominio egrave costituito da tutti i numeri realiescluse le radici di 119876 Supponiamo che 119888 sia una radice di 119876 di molteplicitagrave 119889

68 limiti

Primo caso 119888 egrave una radice anche di 119875 di molteplicitagrave119899 ge 119889 In questo caso possiamoscrivere per 119909 ne 119888

119891(119909) = 1198751(119909)1198761(119909)

(119909minus 119888)119899(119909minus 119888)119889 = 1198751(119909)

1198761(119909)(119909minus 119888)119899minus119889

dove 119888 non egrave una radice neacute di 1198751 neacute di 1198761 quindi avremo evidentemente

lim119909rarr119888

119891(119909) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1198751(119888)1198761(119888)

se 119899 = 119889

0 se 119899 gt 119889

Secondo caso 119888 egrave una radice di 119875 di molteplicitagrave 119899 lt 119889 (non escludiamo il caso di119899 = 0 cioegrave che 119888 non egrave radice di 119875) In questo caso possiamo scrivere per 119909 ne 119888

119891(119909) = 1198751(119909)1198761(119909)

1(119909minus 119888)119889minus119899

dove 119888 non egrave una radice neacute di 1198751 neacute di 1198761 Ci siamo dunque ridotti a considerare ilseguente caso

119891(119909) = 119892(119909)(119909minus 119888)119898

dove 119892 egrave una funzione definita e continua in un intorno di 119888 con 119892(119888) ne 0 e 119898 gt 0(intero) Egrave del tutto ovvio che

lim119909rarr119888

1119891(119909) = lim

119909rarr119888(119909 minus 119888)119898

119892(119909) = 0

percheacute la funzione 119909 ↦ (119909minus 119888)119898119892(119909) egrave certamente continua in un intorno di 119888Poniamo adesso 119870 = 119892(119888) e consideriamo dapprima quando 119870 gt 0 Per 119909 gt 119888

abbiamo (119909 minus 119888)119898 gt 0 e dunque 119891(119909) gt 0 Dal teorema precedente segue che

lim119909rarr119888

119891(119909) = +infin

Il limite egrave minusinfin se 119870 lt 0La faccenda egrave piugrave complicata per il limite da sinistra Se 119898 egrave pari si ha per 119909 lt 119888

(119909 minus 119888)119898 gt 0 se 119898 egrave dispari si ha per 119909 lt 119888 (119909 minus 119888)119898 lt 0 Da questo mettendoinsieme con il valore di 119870 si ottiene applicando il teorema il limite da sinistra

Imparare a memoria la casistica egrave del tutto inutile Meglio dare un criterio piugrave maneg-gevole che troviamo nella tabella 3 nella quale le notazioni formali ldquo+infinsdot119870rdquo e ldquominusinfinsdot119870rdquostanno per non si cambia segno davanti a infin se 119870 gt 0 si cambia se 119870 lt 0 Useremoancora questa notazione

Vediamo qualche esempio Consideriamo la funzione

119891(119909) = 1199093 minus 21199092 minus119909+ 21199092 minus 1

che si puograve scrivere come

119891(119909) = 1199092 minus119909minus 2119909+ 1

119909minus 1119909minus 1

e quindi

lim119909rarr1

119891(119909) = 12 minus 1minus 21+ 1 = minus2

2 = minus1

Consideriamo invece

119891(119909) = 1199093 minus 21199092 minus119909+ 2(1199094 minus 21199092 + 1)2

41 limiti infiniti 69

Sia 119888 una radice del polinomio 119876 e si consideri la funzione

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909)

dove 119875 egrave un altro polinomio Si vogliono calcolare

lim119909rarr119888+

119891(119909) e lim119909rarr119888minus

119891(119909)

1 Si scrive la funzione nella forma

119891(119909) = 1198751(119909)1198761(119909)

(119909minus 119888)119899(119909minus 119888)119889

dove 119888 non egrave radice neacute di 1198751 neacute di 1198761 (puograve essere 119899 = 0)

2 Se 119899 = 119889 il limite egrave 1198751(119888)1198761(119888)

3 Se 119899 gt 119889 il limite egrave 0

4 Se 119899 lt 119889 si pone 119898 = 119889minus119899 e si calcola 119870 = 1198751(119888)1198761(119888)

41 se 119898 egrave pari 119891 si comporta come la funzione 119909 ↦ 1198701199092 in 0

42 se 119898 egrave dispari 119891 si comporta come la funzione 119909 ↦ 119870119909 in 0

Valgono inoltre i seguenti limiti

lim119909rarr0

1198701199092 = +infin sdot 119870

lim119909rarr0+

119870119909 = +infin sdot 119870

lim119909rarr0minus

119870119909 = minusinfin sdot 119870

Si noti che egrave sufficiente decidere se 119870 gt 0 o 119870 lt 0 e non serve calcolarloesplicitamente tranne ovviamente nel passo 2

tabella 3 Procedura per il calcolo del limite di una frazione algebrica a una radice deldenominatore

70 limiti

che si puograve scrivere come

119891(119909) = 1199092 minus119909minus 2(119909+ 1)4

119909minus 1(119909minus 1)4 = 1199092 minus119909minus 2

(119909+ 1)41

(119909minus 1)3

Nelle notazioni precedenti si ha

119892(119909) = 1199092 minus119909minus 2(119909+ 1)4

e quindi 119870 = 119892(1) = minus216 = minus18 lt 0 Con le notazioni della tabella si ha 119898 = 3che egrave dispari Quindi

lim119909rarr1+

119891(119909) = +infin sdot (minus18) = minusinfin lim119909rarr1minus

119891(119909) = minusinfin sdot (minus18) = +infin

Vogliamo in effetti definire risultati di ldquooperazionirdquo dove compaiano questi nuovisimboli Ciograve non significa che +infin e minusinfin siano da considerare numeri reali di fattoqueste ldquooperazionirdquo saranno solo scorciatoie mnemoniche per ricordarsi le regole dicalcolo dei limiti che enunceremo piugrave avanti nella tabella 119886 e 119887 denotano numeri

119886+ (+infin) = +infin 119886minus (+infin) = minusinfin119886+ (minusinfin) = minusinfin 119886minus (minusinfin) = +infin

119887 gt 0 119887 sdot (+infin) = +infin 119887 sdot (minusinfin) = minusinfin119887 lt 0 119887 sdot (+infin) = minusinfin 119887 sdot (minusinfin) = +infin

+infin+ (+infin) = +infin minusinfin+ (minusinfin) = minusinfin+infin sdot (+infin) = +infin +infin sdot (minusinfin) = minusinfinminusinfin sdot (+infin) = minusinfin minusinfin sdot (minusinfin) = +infin

119886(+infin) = 0 119886(minusinfin) = 0

Vanno ovviamente comprese quelle che si ottengono permutando i termini Notiamoche mancano alcuni casi non daremo alcun significato alle espressioni formali 0sdot(+infin)0 sdot (minusinfin) +infin + (minusinfin) e +infin minus (+infin) Di fatto quelle che ci sono non sono poi cosigravecomplicate da ricostruire moltiplicare un numero positivo per un numero grande dagraveun numero grande egrave la traduzione intuitiva di 119887sdot(+infin) = +infin per 119887 gt 0 Se si ricordanole lsquoregole dei segnirsquo non ci si puograve sbagliare e quindi basta dare una forma intuitiva soloalle regolette che coinvolgono +infin

bull sommare a un numero un numero grande dagrave un numero grande

bull moltiplicare un numero positivo per un numero grande dagrave un numero grande

bull sommare o moltiplicare due numeri grandi dagrave un numero grande

I teoremi sulle operazioni sui limiti giagrave visti si estendono ai casi in cui il limite diuna o entrambe le funzioni siano +infin o minusinfin e le ldquooperazionirdquo relative compaiano nellatabella

Dunque per esempiolim

119909rarr0minus

1119909 minus 1

119909+ 1 = minusinfin

percheacutelim

119909rarr0minus

1119909 = minusinfin lim

119909rarr0minus

1119909+ 1 = 1

e minusinfinminus1 = minusinfinViceversa non possiamo usare la tabella per valutare un limite come

lim119909rarr0+

1119909 minus 1

1199092

42 limiti allrsquoinfinito 71

che corrisponderebbe a una non definita operazione +infin minus infin Per calcolare questolimite occorre procedere come delineato per le frazioni algebriche

1119909 minus 1

1199092 = 119909minus 11199092 = 119909minus 1

111199092

Qui 119870 = (0minus 1)1 = minus1 e quindi possiamo applicare minus1 sdot (+infin) = minusinfin Si noti che

lim119909rarr0+

11199092 minus 1

119909

corrisponderebbe alla stessa espressione +infin minus infin e il limite egrave esattamente lrsquooppostodi prima cioegrave +infin Egrave proprio per questo che non egrave possibile dare un senso a quellaespressione

Un altro esempio di +infinminusinfin

lim119909rarr1+

119909radic119909minus 1

minus 1radic119909minus 1

che quindi non si puograve trattare senza qualche manipolazione ma

119909radic119909minus 1

minus 1radic119909minus 1

= 119909minus 1radic119909minus 1

= radic119909minus 1

e quindi il limite richiesto vale 0 Diremo che un limite che si presenti in questo modoegrave della forma indeterminata ⟦ +infin minus infin⟧ ne troveremo altre Il nome egrave tradizionale enon significa affatto che il limite non si puograve calcolare ma solo che cosigrave comrsquoegrave scrittala funzione (in questo caso come somma) non abbiamo elementi per dedurre il limiteda quello degli addendi Ciograve non esclude che con opportune trasformazioni si possaarrivare a un calcolo esplicito

42 limiti allrsquoinfinito

Risulta spesso utile capire il comportamento di una funzione quando diamo alla variabi-le valori sempre piugrave grandi Un esempio ovvio egrave quello di 119891(119909) = 1 log119909 che quando 119909diventa sempre piugrave grande assume valori sempre piugrave vicini a 0 Come facciamo a dirlocon precisione Al solito andiamo a rovescio e cerchiamo di risolvere la disequazione|1 log119909| le 120576 dove 120576 gt 0 egrave una tolleranza Troviamo le soluzioni distinguendo primail caso di 119909 gt 1

minus120576 le 1log119909 le 120576

log119909 ge 1120576

119909 ge exp(1120576)

Non egrave restrittivo prendere 0 lt 120576 lt 1 Nel caso di 0 lt 119909 lt 1 la disequazione diventa

minus1120576 ge log119909

119909 ge exp(minus1120576)

Dunque lrsquoinsieme delle soluzioni egrave

(exp(minus1120576) 1) cup (exp(1120576) rarr)

che egrave un insieme contenente numeri ldquoarbitrariamente grandirdquo In altre parole riusciamoa soddisfare la tolleranza prendendo numeri piugrave grandi di un numero fissato in questocaso exp(1120576)

72 limiti

Un intorno di +infin egrave un insieme che include un intervallo aperto della forma (119886 rarr)Diremo che +infin egrave un punto di accumulazione di un insieme 119878 se per ogni 119872 esiste unpunto 119909 isin 119878 con 119909 gt 119872 Ciograve non significa che +infin sia un elemento dei numeri realistiamo solo descrivendo una proprietagrave dellrsquoinsieme 119878

d e f i n i z i o n e Supponiamo che +infin sia un punto di accumulazione di 119863(119891)Allora il numero 119897 egrave il limite per 119909 che tende a +infin di 119891(119909) se per ogni tolleranza120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di +infin tale che per 119909 isin 119880cap119863(119891) si abbia

|119891(119909) minus 119897| le 120576

In tal caso si scrivelim

119909rarr+infin119891(119909) = 119897

Lasciamo come esercizio scrivere la definizione di intorno di minusinfin e quella di limitea minusinfin Possiamo scrivere facilmente che cosa intendiamo per limite infinito a infinitomodificando una definizione precedente

d e f i n i z i o n e Supponiamo che +infin sia un punto di accumulazione di 119863(119891)Allora +infin egrave il limite per 119909 che tende a +infin di 119891(119909) se per ogni maggiorazione 119872esiste un intorno 119880 di +infin tale che per 119909 isin 119880cap119863(119891) si abbia

119891(119909) ge 119872

In tal caso si scrivelim

119909rarr+infin119891(119909) = +infin

Altre definizioni simili sono facili da scrivereOccorre dare qualche altro esempio e dimostriamo subito alcune uguaglianze fonda-

mentalilim

119909rarr+infinexp119909 = +infin lim

119909rarrminusinfinexp119909 = 0

La disuguaglianza da risolvere per la seconda data la tolleranza 120576 egrave

|exp119909| le 120576

che equivale a 119909 lt log 120576 cioegrave lrsquointervallo (larr log 120576) che egrave un intorno di minusinfin Per laprima dobbiamo risolvere data la maggiorazione 119872 gt 0

exp119909 ge 119872

che equivale a 119909 ge log119872 e lrsquointervallo (log119872 rarr) egrave un intorno di +infin

Verifichiamo un altro limite molto importante

lim119909rarr+infin

exp119909119909 = +infin

prendendolo piuttosto alla larga Sappiamo che

(1 + 119886)119899 = 1+119899119886+ 119899(119899minus 1)2 1198862 +119887

dove 119887 egrave un certo numero positivo quando 119886 gt 0 Se dividiamo per 119899 otteniamo

(1 + 119886)119899119899 = 1

119899 +119886+ 119899minus 12 119886+ 119887

119899

42 limiti allrsquoinfinito 73

La funzione 119892∶ 119899 ↦ (1 + 119886)119899119899 egrave definita sui numeri interi positivi e quindi +infin egrave un punto diaccumulazione di 119863(119892) Applicando le proprietagrave dei limiti possiamo dire che

lim119899rarr+infin

( 1119899 +119886+ 119899minus 1

2 119886) = 0+119886+infin = +infin

e quindi lo stesso possiamo dire per 119892 visto che per ottenerla sommiamo 119887119899 allrsquoespressioneprecedente e 119887119899 gt 0

Ora poniamo 1 + 119886 = 119890 = exp1 e possiamo concludere che

lim119899rarr+infin

119890119899

119899 = +infin

Consideriamo ora la funzione119891(119909) = exp119909

119909la cui derivata egrave

119891prime(119909) = 119909 expprime 119909minus 1 exp1199091199092 = exp119909

1199092 (119909 minus 1)

Dunque 119891 egrave crescente per119909 gt 1 Se calcoliamo 119891(119899) con119899 intero abbiamo 119891(119899) = 119890119899119899 = 119892(119899)Se fissiamo una maggiorazione 119872 sappiamo che esiste un intervallo 119868 = (119896 rarr) tale che per

119899 isin 119868 si abbia 119892(119899) ge 119872 Se 119899 egrave il minimo intero maggiore di 119896 e di 1 abbiamo che 119892(119899) ge 119872Adesso se 119909 gt 119899 abbiamo evidentemente 119891(119909) gt 119891(119899) = 119892(119899) ge 119872 Dunque per 119909 isin (119899 rarr)si ha 119891(119909) ge 119872 come richiesto

Siccome tra le funzioni importanti ci sono le frazioni algebriche vediamo subitocome trattarle Il caso piugrave semplice egrave quello in cui numeratore e denominatore hannolo stesso grado 119898

119891(119909) = 1198860 +1198861119909+⋯+119886119898minus1119909119898minus1 +119886119898119909119898

1198870 +1198871119909+⋯+119887119898minus1119909119898minus1 +119887119898119909119898

con 119886119898 ne 0 119887119898 ne 0 Vogliamo calcolare lim119909rarr+infin 119891(119909) Ovviamente possiamo restrin-gere 119909 in un intorno di +infin per esempio 119868 = (0 rarr) dunque possiamo supporre119909 ne 0 e scrivere per 119909 isin 119868

119891(119909) =

1198860119909119898 + 1198861

119909119898minus1 +⋯+ 119886119898minus1119909 +119886119898

1198870119909119898 + 1198871

119909119898minus1 +⋯+ 119887119898minus1119909 +119887119898

ed egrave evidente dal fatto che lim119909rarr+infin 1119909 = 0 che

lim119909rarr+infin

1198860119909119898 + 1198861

119909119898minus1 +⋯+ 119886119898minus1119909 +119886119898 = 119886119898

e analogamente il limite del denominatore egrave 119887119898 Dunque

lim119909rarr+infin

1198860 +1198861119909+⋯+119886119898minus1119909119898minus1 +119886119898119909119898

1198870 +1198871119909+⋯+119887119898minus1119909119898minus1 +119887119898119909119898 = 119886119898119887119898

Si verifichi che vale anche

lim119909rarrminusinfin

1198860 +1198861119909+⋯+119886119898minus1119909119898minus1 +119886119898119909119898

1198870 +1198871119909+⋯+119887119898minus1119909119898minus1 +119887119898119909119898 = 119886119898119887119898

Vediamo ora il caso generale in cui 119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) Chiamiamo 119898 il grado di 119875e 119899 il grado di 119876 119886119898 e 119887119899 i rispettivi coefficienti principali

Primo caso 119898 lt 119899 Allora possiamo scrivere

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) = 119909119899minus119898119875(119909)

119876(119909)1

119909119899minus119898

74 limiti

Nel primo fattore numeratore e denominatore hanno lo stesso grado e coefficientiprincipali 119886119898 e 119887119899 quindi

lim119909rarr+infin

119891(119909) = ( lim119909rarr+infin

119909119899minus119898119875(119909)119876(119909) )( lim

119909rarr+infin

1119909119899minus119898 ) = 119886119898

1198871198990 = 0

Lo stesso per il limite a minusinfinSecondo caso 119898 gt 119899 Possiamo scrivere

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) = 119875(119909)

119909119898minus119899119876(119909)119909119898minus119899

1

e ragionando come prima

lim119909rarr+infin

119891(119909) = 119886119898119887119899

sdot (+infin)

Lo stesso per il limite a minusinfin Non egrave importante ricordare a memoria la tabellina quel-lo che conta di piugrave egrave il trucco ldquodividere per la potenza di 119909 di grado massimordquo chefunziona anche in altre situazioni Consideriamo per esempio

lim119909rarr+infin

radic41199092 + 2119909119909

Come prima possiamo maneggiare lrsquoespressione supponendo la funzione definita per119909 gt 0 visto che ci interessa rispettare una tolleranza (se il limite egrave finito) o una mag-giorazione (se il limite egrave infinito) solo in un intorno di +infin Dunque possiamo supporre119909 gt 0 e portarlo dentro la radice quadrata

radic41199092 + 2119909119909 =

radic41199092 + 2119909

1199092 =radic

4+ 2119909

Il limite egrave dunque radic4 = 2Diverso egrave il caso se ci interessa il limite a minusinfin non egrave restrittivo supporre 119909 le minus2 (la

funzione egrave definita per 119909 gt 0 e 119909 le minus2) perciograve la trasformazione egrave

radic41199092 +2119909119909 = minusradic41199092 +2119909

|119909| = minusradic

41199092 +21199091199092 = minus

radic4+ 2

119909

e il limite egrave minusradic4 = minus2 Ci si deve ricordare che se 119905 lt 0 vale lrsquoidentitagrave

119905 = minusradic1199052

e non 119905 = radic1199052Abbiamo usato qui un risultato ancora non presentato ufficialmente

t e o r ema Sia lim119911rarr119909 119891(119911) = 119897 con 119897 finito o infinito Se 119892 egrave definita e continuain un intorno di 119897 allora

lim119911rarr119909

119892(119891(119911)) = 119892(119897) se 119897 egrave finito

lim119911rarr119909

119892(119891(119911)) = lim119905rarr119897

119892(119905) se 119897 egrave infinito

La dimostrazione egrave un interessante esercizio Vediamone unrsquoapplicazione per il cal-colo di lim119909rarr0+ exp(1119909) Siccome lim119909rarr0+ 1119909 = +infin il limite cercato coincide conlim119905rarr+infin exp 119905 = +infin Nel caso di lim119909rarr0minus exp(1119909) siccome lim119909rarr0minus 1119909 = minusinfin illimite egrave lim119905rarrminusinfin exp 119905 = 0 Dunque

lim119909rarr0+

exp(1119909) = +infin lim119909rarr0minus

exp(1119909) = 0

43 forme indeterminate 75

43 forme indeterminate

Lrsquoargomento delle forme indeterminate egrave temuto Ma non crsquoegrave da prendere paura sitratta di funzioni che molto spesso possono essere domate facilmente Lrsquoesempio di119891(119909) = radic1199092 + 2119909119909 di cui volevamo calcolare il limite a +infin si presenta come un quo-ziente di due funzioni che vanno entrambe a +infin Giagrave nel caso delle frazioni algebricheabbiamo visto che un limite di questo tipo dipende dal numeratore e dal denominatore

lim119909rarr+infin

1 + 119886119909119909 = 119886 lim

119909rarr+infin

1 +1199092

119909 = +infin

lim119909rarr+infin

1 minus1199092

119909 = minusinfin lim119909rarr+infin

1 +1199091199092 = 0

Cambiando numeratore e denominatore mantenendo il limite infinito per entrambi ilquoziente puograve avere un limite qualsiasi (o anche non averlo) Si noti che il primo egrave informa indeterminata solo per 119886 ne 0

Unrsquoaltra forma indeterminata lrsquoabbiamo incontrata parlando di derivate Il rapportodi Fermat egrave sempre una frazione in cui sia numeratore che denominatore hanno limite 0Visto poi che una frazione del tipo infininfin come le frazioni algebriche puograve sempre esserevista come un prodotto 0 sdot infin scrivendo 119875(119909)119876(119909) = 119875(119909) sdot (1119876(119909)) abbiamo giagraveun buon numero di forme indeterminate

⟦ 00⟧ ⟦ infininfin⟧ ⟦ 0 sdotinfin⟧ ⟦ +infinminusinfin⟧

Ricordiamo che non sono operazioni tra numeri e per questo usiamo una notazione spe-ciale sono solo artifici mnemonici per ricordarci di non saltare a conclusioni avventatequando si deve calcolare un limite che si presenti in uno di questi tipi

Alcuni testi ne menzionano altre due ⟦ 00⟧ e ⟦ 1infin⟧ Si tratta di un inutile appesanti-mento percheacute una funzione del tipo

119865(119909) = (119891(119909))119892(119909)

si tratta sempre scrivendola come 119865(119909) = exp(119892(119909) log119891(119909)) e calcolando

lim119909rarr119888

119892(119909) log119891(119909)

percheacute poi possiamo usare i noti fatti su exp e lrsquoultimo teorema enunciato Se secondola terminologia appesantita la forma originale egrave ⟦00⟧ il limite da calcolare egrave nella forma⟦ 0 sdotinfin⟧ se egrave della forma ⟦ 1infin⟧ lo si riduce a uno della stessa forma ⟦ infinsdot0⟧ Dunque leforme indeterminate che studieremo saranno solo le quattro giagrave messe in evidenza

Si faccia attenzione che questo ha solo una vaga connessione con il fatto che la divisione di0 per 0 non egrave definita qui non si sta parlando di operazioni su numeri ma di limiti di funzioniLe forme messe in evidenza sono quelle nelle quali non egrave possibile applicare alcuno dei teoremigenerali sui limiti senza trasformarle in qualche modo

Uno degli strumenti fondamentali per affrontare le forme indeterminate egrave il teore-ma di lrsquoHocircpital che si puograve estendere in vari modi Ma si badi bene a non abusarne esoprattutto a non continuare a derivare senza semplificare dove sia possibile

Consideriamo per esempio lim119909rarr0 119909 log119909 che si presenta come forma indeterminata⟦ 0 sdotinfin⟧ lo possiamo trasformare in modo da avere una forma ⟦00⟧

lim119909rarr0

119909 log119909 = lim119909rarr0

1199091 log119909

H= lim119909rarr0

1(minus1(log119909)2)(1119909)

= lim119909rarr0

minus119909(log119909)2

76 limiti

che egrave peggio di prima Potremmo invece trasformarlo nella forma ⟦ infininfin⟧ come

lim119909rarr0

119909 log119909 = lim119909rarr0

log1199091119909

H= lim119909rarr0

1119909minus11199092

= lim119909rarr0

minus119909 = 0

se non fosse che abbiamo applicato il teorema di lrsquoHocircpital in un caso che non sarebbeammesso Lrsquoenunciato che segue dove scriveremo plusmninfin per indicare uno fra +infin e minusinfinci dice proprio che invece si puograve

t e o r ema d i l rsquo h ocirc p i t a l g e n e r a l i z z a t o Siano 119891 e 119892 derivabili in unintorno di 119888 (finito o infinito) escluso al piugrave 119888 con 119892prime(119909) ne 0 in un intorno di 119888 Se

lim119909rarr119888

119891(119909) = 0 e lim119909rarr119888

119892(119909) = 0

oppurelim119909rarr119888

119891(119909) = plusmninfin e lim119909rarr119888

119892(119909) = plusmninfin

ed esiste (finito o infinito)

lim119909rarr119888

119891prime(119909)119892prime(119909)

allora si ha

lim119909rarr119888

119891(119909)119892(119909) = lim

119909rarr119888119891prime(119909)119892prime(119909)

Ecco lrsquoesempio Consideriamo lim119909rarrminusinfin(1119909) exp(119909) Questo limite si presenta nellaforma indeterminata ⟦ 00⟧ se applicassimo il teorema di lrsquoHocircpital in modo avventatoavremmo

lim119909rarrminusinfin

1119909exp119909

H= lim119909rarrminusinfin

minus11199092

exp119909

che egrave ancora nella forma ⟦ 00⟧ ma unrsquoaltra applicazione del teorema ci porterebbe auna situazione peggiore Invece

lim119909rarrminusinfin

1119909exp119909 = lim

119909rarrminusinfin

exp(minus119909)119909

H= lim119909rarrminusinfin

minus exp(minus119909)1 = minusinfin

Infatti lim119909rarrminusinfin exp(minus119909) = lim119905rarr+infin exp 119905 = +infinEgrave facile allora calcolare per 119898 ge 0 intero

lim119909rarr+infin

exp119909119909119898

riducendo via via il grado del denominatore per 119898 = 0 abbiamo

lim119909rarr+infin

exp1199091 = +infin

Per usare lrsquoinduzione scriviamo

lim119909rarr+infin

exp119909119909119898+1

H= lim119909rarr+infin

exp119909(119898+ 1)119909119898 = 1

119898+1 lim119909rarr+infin

exp119909119909119898

Per ipotesi induttiva possiamo supporre che lrsquoultimo limite sia +infin e abbiamo dunqueper ogni 119898 ge 0 intero

lim119909rarr+infin

exp119909119909119898 = +infin

44 ordini di infinitesimo 77

Se ora 119903 gt 0 egrave un numero reale qualsiasi sappiamo che 119898 le 119903 le 119898 + 1 per unopportuno 119898 ge 0 intero Per 119909 gt 1 si ha allora

119898 log119909 le 119903 log119909 le (119898+ 1) log119909

e dunque 119909119898 le 119909119903 le 119909119898+1 e finalmente

exp119909119909119898+1 le exp119909

119909119903 le exp119909119909119898

da cui possiamo dedurre per il teorema di confronto dei limiti (opportunamente efacilmente esteso) che per 119903 ge 0

lim119909rarr+infin

exp119909119909119903 = +infin

Che crsquoegrave di scorretto nella seguente applicazione del teorema di lrsquoHocircpital

lim119909rarrminusinfin

exp119909119909

H= lim119909rarrminusinfin

exp1199091 = 0

nella quale si ottiene comunque il risultato corretto Si verifichino per bene le ipotesi del teoremageneralizzato

Se consideriamo invece lim119909rarr0 119909(log119909)119899 possiamo scrivere

lim119909rarr0

119909(log119909)119899 = lim119909rarr0

(log119909)1198991119909

H= lim119909rarr0

119899(log119909)119899minus1119909minus11199092

= minus119899 lim119909rarr0

119909(log119909)119899minus1

Siccome sappiamo giagrave che per 119899 = 1 il limite egrave 0 per induzione abbiamo

lim119909rarr0

119909(log119909)119899 = 0

Con la solita tecnica di prendere 119899 le 119903 le 119899+1 con 119899 intero e il teorema del confrontoabbiamo lim119909rarr0 119909(log119909)119903 = 0 per ogni 119903 gt 0 Per 119903 le 0 vale la stessa cosa ma non crsquoegravebisogno di dimostrarlo con particolari tecniche

Possiamo anche affrontare lim119909rarr+infin 1199091119909 calcolando

lim119909rarr+infin

log119909119909

H= lim119909rarr+infin

11199091 = 0

e perciograve lim119909rarr+infin 1199091119909 = 1

44 ordini di infinitesimo

Quando si deve studiare un limite in 0 in cui ci sia un fattore sin119909 al denominatore oal numeratore egrave sempre possibile sostituirlo con 119909 infatti si ha

lim119909rarr0

119891(119909)sin119909 = lim

119909rarr0

119909sin119909

119891(119909)119909 = lim

119909rarr0

119891(119909)119909

ammesso che questrsquoultimo esista per i teoremi sui limiti Puograve essere piugrave complicatose il denominatore egrave sin119909 minus 119909 cos119909 che non appare cosigrave immediato Ma ci viene insoccorso il teorema di lrsquoHocircpital proviamo a calcolare se esiste lrsquoesponente 119896 tale che

lim119909rarr0

sin119909minus119909 cos119909119909119896

78 limiti

sia finito e non nullo Trattandosi di una forma indeterminata possiamo semplicemen-te derivare il numeratore un numero sufficiente di volte per togliere lrsquoindeterminazionePiugrave precisamente consideriamo il seguente schema

lim119909rarr0

sin119909minus119909 cos119909119909119896

H= lim119909rarr0

cos119909minus cos119909+119909 sin119909119896119909119896minus1

= lim119909rarr0

119909 sin119909119896119909119896minus1

= lim119909rarr0

sin119909119896119909119896minus2

H= lim119909rarr0

cos119909119896(119896 minus 2)119909119896minus3

dove quando applichiamo il teorema di lrsquoHocircpital procediamo assumendo sempre chegli esponenti al denominatore diano una forma indeterminata Al passo finale il nume-ratore ha come limite 1 e quindi per 119896 = 3 il limite vale 13 In conclusione ogni limitedella forma

lim119909rarr0

119891(119909)sin119909minus119909 cos119909

puograve essere trasformato come prima

lim119909rarr0

119891(119909)sin119909minus119909 cos119909 = lim

119909rarr0

1199093

sin119909minus119909 cos119909119891(119909)1199093 = 3 lim

119909rarr0

119891(119909)1199093

Qui abbiamo studiato limiti a 0 ma egrave irrilevante per i limiti a 119888 si useranno le potenzedi 119909minus 119888 si possono anche considerare limiti da destra e da sinistra

Nel caso di (sin119909minus119909 cos119909)119909119896 si puograve anche scrivere cos119909(tan119909minus119909)119909119896 percheacute latangente egrave definita in un intorno di 0 il fattore cos119909 non influisce sul limite perciogravepossiamo agire anche con

lim119909rarr0

tan119909minus119909119909119896

H= lim119909rarr0

1 + tan2 119909119896119909119896minus1 = 1

3

molto piugrave brevementeNon sempre questa tecnica funziona Se vogliamo studiare

lim119909rarr0+

exp(minus1119909)119909119896

e cerchiamo un esponente 119896 che lo renda finito e non nullo facciamo una fatica inutileInfatti con la sostituzione 119910 = 1119909 otteniamo

lim119910rarr+infin

119910119896

exp119910

e per quante volte applichiamo il teorema di lrsquoHocircpital questo limite egrave 0

5STUD I D I FUNZ IONE

Che differenza crsquoegrave tra le funzioni 119891(119909) = 1199092 e 119892(119909) = 1199094 Piugrave in generale che infor-mazioni si possono avere sulla variazione dei valori di una funzione quando variamoil punto in cui sono calcolate Lo studio di funzione risponde a queste domande ed egraveessenziale per analizzare problemi dove i metodi puramente algebrici non arrivano

51 equazioni non algebriche

Spesso egrave utile conoscere in dettaglio lrsquoandamento di una funzione per esempio pertrovare il numero di soluzioni di unrsquoequazione

Vediamo un caso curioso Si vuole trovare al variare di 119886 gt 0 il numero di soluzionidella bizzarra equazione 119909119909 = 119886 Prima di tutto la si trasforma in

119909 log119909 = log119886

e poi si considera la funzione

119891(119909) = 119909 log119909minus log119886

che egrave definita e continua nellrsquointervallo (0 rarr) Un utile punto di partenza egrave trovare ilimiti nei punti di accumulazione del dominio che non appartengano al dominio stessoin questo caso 0 e +infin Il limite a +infin non dagrave problemi percheacute

lim119909rarr+infin

119909 log119909minus log119886 = (+infin) sdot (+infin)minus log119886 = +infin

Si ricordi che queste operazioni hanno senso solo per esprimere applicazioni di teoremisui limiti

Il limite a 0 si presenta sotto la forma indeterminata ⟦ 0 sdot infin⟧ lo trasformiamo nellaforma ⟦ infininfin⟧

lim119909rarr0

119909 log119909 = lim119909rarr0

log1199091119909

H= lim119909rarr0

1119909minus11199092 = lim

119909rarr0minus119909 = 0

Dunque lim119909rarr0 119891(119909) = minus log119886Ora possiamo calcolare la derivata

119891prime(119909) = log119909+119909 1119909 = log119909+ 1

che egrave negativa per 0 lt 119909 lt 1119890 e positiva per 119909 gt 1119890 Dunque 119891 ha un minimo in 1119890dove vale

119891(1119890) = 1119890 log 1

119890 minus log119886 = minus1119890 minus log119886

Se 119891(1119890) gt 0 il grafico della funzione non incontra lrsquoasse delle ascisse e quindilrsquoequazione non ha soluzione Dunque lrsquoequazione non ha soluzione se

minus1119890 minus log119886 gt 0

cioegrave log119886 lt minus1119890 quindi in definitiva

0 lt 119886 lt exp(minus1119890)

Per 119891(1119890) = 0 cioegrave 119886 = exp(minus1119890) il grafico della funzione egrave tangente allrsquoasse delleascisse e quindi lrsquoequazione ha una sola soluzione precisamente 1119890

Per 119891(1119890) gt 0 il grafico incontra lrsquoasse delle ascisse una sola volta se minus log119886 le 0due volte se minus log119886 gt 0 dunque riassumendo

79

80 studi di funzione

lrsquoequazione 119909119909 = 119886

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

non ha soluzione per 0 lt 119886 lt exp(minus1119890)ha una soluzione per 119886 = exp(minus1119890)ha due soluzioni per exp(minus1119890) lt 119886 lt 1ha una soluzione per 119886 ge 1

In particolare esiste un solo numero 119909 tale che 119909119909 = 27 Infatti 27 ge 1 quindi lrsquoequa-zione ha una sola soluzione Siccome 33 = 27 3 egrave lrsquounica soluzione Non avremmoalcun metodo per determinarla ldquoesattamenterdquo se 119886 = 10 per esempio

Si puograve operare in modo diverso e considerare la funzione 119892(119909) = 119909 log119909 Come laprecedente essa ha un minimo in 1119890 e 119892(1119890) = minus1119890 Inoltre

lim119909rarr0

119892(119909) = 0 lim119909rarr+infin

119892(119909) = +infin

Possiamo interpretare lrsquoequazione 119909 log119909 = log119886 come ldquointersecare il grafico di 119892 conrette orizzontali 119910 = log119886 Dallrsquoandamento del grafico egrave chiaro che quando log119886 lt119892(1119890) non crsquoegrave alcuna intersezione quando log119886 = 119892(1119890) la retta egrave tangente (unasoluzione) quando 119892(1119890) lt log119886 lt 0 ci sono due intersezioni quando log119886 ge 0 crsquoegraveuna sola intersezione Ritroviamo quindi lo stesso risultato precedente forse conmenofatica

Consideriamo 119891(119909) = 119909 exp119909 e studiamone il comportamento La funzione egrave definita ovun-que con

lim119909rarrminusinfin

119891(119909) = lim119909rarrminusinfin

119909exp(minus119909)

H= lim119909rarrminusinfin

1minus exp(minus119909) = 0 lim

119909rarr+infin119891(119909) = +infin

La derivata egrave 119891prime(119909) = exp119909+119909 exp119909 = (1+119909) exp119909 che egrave positiva per 119909 gt minus1 Possiamo dunqueinvertire la funzione nellrsquointervallo [minus1 rarr) e lrsquoinversa si chiama tradizionalmente 119882 il primoa studiare questa funzione fu Johann Heinrich Lambert (1728ndash1777) La funzione 119882 egrave definitadunque sullrsquointervallo [minus1119890 rarr) e soddisfa per 119909 in quellrsquointervallo lrsquouguaglianza

119882(119909) exp(119882(119909)) = 119909

La derivata di 119882 si calcola con il solito trucco di derivare ambo i membri

119882prime(119909) exp(119882(119909)) +119882(119909)119882prime(119909) exp(119882(119909)) = 1

e quindi raccogliendo119882prime(119909) = 1

(1 +119882(119909)) exp(119882(119909))

Ritorniamo alla nostra equazione 119909119909 = 119886 che abbiamo giagrave modificato in 119909 log119909 = log119886 Sepotessimo scrivere 119909 = exp(119882(119905)) avremmo

log119886 = exp(119882(119905)) log exp(119882(119905)) = 119882(119905) exp(119882(119905)) = 119905

Dunque possiamo scrivere la ldquosoluzionerdquo della nostra equazione originale come

119909 = exp(119882(log119886))

ma solo per certi 119886 Si determini per quali valori di 119886 questo egrave ammissibileSi puograve anche invertire la funzione 119891 nellrsquointervallo (larr minus1] ottenendo una funzione 1198821

che ha proprietagrave analoghe e ci puograve servire per scrivere formalmente le soluzioni dellrsquoequazione119909119909 = 119886 per ogni 119886 ge 1119890

Riprendiamo lrsquoequazione exp119909 = 119898119909 + 119902 che trasformiamo in exp119909 minus 119898119909 = 119902Consideriamo quindi la funzione 119891(119909) = exp119909 minus 119898119909 Poicheacute lim119909rarrminusinfin exp119909 = 0avremo

lim119909rarrminusinfin

119891(119909) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

+infin se 119898 lt 00 se 119898 = 0

minusinfin se 119898 gt 0

51 equazioni non algebriche 81

Inoltrelim

119909rarr+infin119891(119909) = lim

119909rarr+infin(exp119909

119909 minus119898)119909 = (+infinminus119898) sdot (+infin) = +infin

Calcoliamo la derivata119891prime(119909) = exp119909minus119898

che egrave ovunque positiva per 119898 le 0 Per 119898 gt 0 la funzione egrave decrescente nellrsquointervallo(larr log119898] e crescente in [log119898 rarr) Il minimo di 119891 vale 119891(log119898) = 119898minus119898 log119898 =119898(1minus log119898) Abbiamo tutti i dati e possiamo riassumerli cosigrave

Soluzioni di exp119909 = 119898119909+119902

119898 lt 0 una soluzione per 119902 qualsiasi

119898 = 0 nessuna soluzione per 119902 le 0una soluzione per 119902 gt 0

119898 gt 0 nessuna soluzione per 119902 lt 119898(1minus log119898)una soluzione per 119902 = 119898(1minus log119898)due soluzioni per 119902 gt 119898(1minus log119898)

Vogliamo studiare la disequazione sin119909 lt 119909 Ancora consideriamo la funzione119891(119909) = sin119909minus119909 che perograve non ha limiti a minusinfin e +infin Poco male la derivata egrave

119891prime(119909) = cos119909minus 1

che egrave negativa tranne per 119909 = 2119896120587 (119896 intero) dove si annulla Dunque 119891 egrave decrescentee perciograve si annulla in al piugrave un punto a sinistra di esso saragrave positiva a destra di essosaragrave negativa Siccome sin0 = 0 cioegrave 119891(0) = 0 abbiamo che sin119909 lt 119909 per 119909 gt 0

Si provi in modo analogo che lrsquoequazione 119909 = tan119909 ha una e una sola soluzione inciascuno degli intervalli 119868119896 = (minus1205872 + 119896120587 1205872 + 119896120587) (119896 intero) Se denotiamo con119888(119896) la soluzione nellrsquointervallo 119868119896 si provi che lim119896rarr+infin(119888(119896) minus 119896120587) = 1205872

Un altro problema interessante egrave quello di trovare le soluzioni negli interi positivi dellrsquoequa-zione 119910119909 = 119909119910 in cui sia 119909 ne 119910 Egrave evidente che una soluzione egrave 119909 = 2 119910 = 4 (o viceversa) nonaltrettanto ovvio egrave decidere se ce ne siano altre

Decidiamo perciograve di considerare 119886 gt 0 (anche non intero) e di trovare tutti i valori 119909 gt 119886 peri quali si abbia 119886119909 = 119909119886 Ci basta porre 119909 gt 119886 percheacute evidentemente la situazione egrave del tuttosimmetrica Lrsquoequazione egrave equivalente a 119909 log119886 = 119886 log119909 e dunque consideriamo la funzione

119891(119909) = 119909 log119886minus119886 log119909 119909 isin (119886 rarr)

in modo da evitare gli esponenziali Abbiamo

119891prime(119909) = log119886minus 119886119909

e lrsquoespressione 119909 log119886 minus 119886 si annulla per 119909 = 119886 log119886 Dobbiamo domandarci quando questovalore appartiene al dominio cioegrave quando 119886 log119886 gt 119886 che avviene per log119886 gt 0 e log119886 lt 1quindi per 1 lt 119886 lt 119890

Teniamo da parte questo caso ed esaminiamo gli altri Siccome lim119909rarr+infin 119891prime(119909) = log119886 neicasi in cui la derivata non si annulla nel dominio sappiamo che la funzione egrave crescente oppuredecrescente Egrave crescente per 119886 ge 119890 e decrescente per 119886 lt 1 inoltre lim119909rarr119886 119891(119909) = 0 e perciograveabbiamo 119891(119909) ne 0 per ogni 119909 gt 119886 quando 0 lt 119886 lt 1 oppure 119886 ge 119890 Nel caso di 119886 = 1 lrsquoequazionediventa 1119909 = 1199091 che ha evidentemente lrsquounica soluzione 119909 = 1

Studiamo dunque il caso 1 lt 119886 lt 119890 La derivata 119891prime(119909) egrave negativa per 0 lt 119909 lt 119886 log119886 e positivaper 119909 gt 119886 log119886 quindi 119886 log119886 egrave un punto di minimo Sappiamo anche che lim119909rarr119886 119891(119909) = 0 eperciograve questo limite egrave negativo inoltre lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin (verificarlo) dunque la funzione siannulla in un unico punto nellrsquointervallo (119886 log119886 rarr)

82 studi di funzione

Le soluzioni intere non banali dellrsquoequazione 119886119909 = 119909119886 (con 119909 gt 119886) dunque possono esisteresolo per 119886 nellrsquointervallo (1 119890) e lrsquounico intero egrave 2 Perciograve la soluzione 119886 = 2 119909 = 4 egrave lrsquounica innumeri interi Se 119886 gt 2 egrave intero abbiamo anche 119886 gt 119890 e le considerazioni precedenti ci diconoche per 119909 gt 119886 si ha 119891(119909) gt 0 cioegrave 119886119909 gt 119909119886 (per esempio 34 = 81 gt 43 = 64) Nel caso di 119886 = 2che egrave lrsquounico con incertezza abbiamo 23 lt 32 24 = 42 e 2119909 gt 1199092 per 119909 gt 4 Il caso di 119886 = 1 egravedel tutto banale

Se esaminiamo invece lrsquoanaloga equazione 119909radic119886 = 119886radic119909 siamo condotti a considerare lrsquoequazio-ne

1119909 log119886 = 1

119886 log119909

cioegrave 119909 log119909 = 119886 log119886 Per simmetria possiamo sempre assumere 119909 gt 119886 se vogliamo le soluzioninon banali Consideriamo allora

119891(119909) = 119909 log119909minus119886 log119886

la cui derivata egrave 119891prime(119909) = 1 + log119909 che si annulla solo eventualmente per 119909 = 1119890 Per 119886 ge1119890 abbiamo dunque 119891prime(119909) gt 0 in (119886 rarr) e dunque 119891 egrave crescente essendo lim119909rarr119886 119891(119909) = 0possiamo dire che 119891 non si annulla in alcun punto del dominio e lrsquoequazione non ha soluzioni

Per 0 lt 119886 lt 1119890 la situazione egrave diversa La funzione egrave decrescente in (119886 1119890] e crescente in[1119890 rarr) e il minimo egrave

119891(1119890) = minus1119890 minus 119886 log119886

Valgono ancora lim119909rarr119886 119891(119909) = 0 e lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin quindi crsquoegrave esattamente un punto internoal dominio in cui 119891 si annulla Non ci sono naturalmente soluzioni intere percheacute nessun interocade nellrsquointervallo (0 1119890)

52 procedura per lo studio di una funzione

Come si imposta uno studio di funzione Egrave bene aver presente uno schema che ciricordi quali sono i punti principali su cui fissare lrsquoattenzione Tuttavia non egrave semprenecessario o conveniente seguire tutti i passi egrave uno schema generale che va adattatoalle situazioni particolari

primo passo determinare il dominio della funzione Se il problema non ha imposi-zioni particolari si considera come dominio il piugrave grande insieme di numeri realiin cui lrsquoespressione con cui egrave data la funzione ha senso

secondo passo decidere in quali punti del dominio la funzione egrave sicuramente con-tinua

terzo passo identificare i punti di accumulazione del dominio che non appartengo-no al dominio stesso (compresi se il dominio egrave illimitato +infin o minusinfin)

quarto passo calcolare il limite nei punti del dominio in cui non egrave sicuro che lafunzione sia continua e nei punti determinati nel terzo passo distinguendo senecessario fra limite da destra e limite da sinistra

quinto passo determinare gli asintoti

sesto passo calcolare dove esiste la derivata della funzione e se possibile deter-minare gli intervalli di crescenza e decrescenza dedurre da queste informazionii punti di massimo e di minimo

settimo passo se le informazioni ottenute non sono sufficienti a tracciare un grafi-co indicativo dellrsquoandamento della funzione determinare gli intervalli di conca-vitagrave e convessitagrave

53 asintoti 83

53 asintoti

Nella lista della spesa precedente ci sono alcuni termini non ancora descritti con preci-sione Il primo termine egrave asintoto che perograve egrave giagrave stato incontrato nel caso dellrsquoiperbole

Consideriamo lrsquoiperbole di equazione 119909119910 = 1 La retta 119903 di equazione 119909 = 0 ha laproprietagrave che non incontra lrsquoiperbole ma la distanza dai punti dellrsquoiperbole alla retta119903 puograve essere resa piccola quanto si vuole data una tolleranza 120576 gt 0 esiste un punto 119875dellrsquoiperbole tale che la distanza di 119875 da 119903 egrave minore di 120576 In effetti il punto 119875 di coor-dinate (1205762 2120576) ha questa proprietagrave percheacute la distanza di 119875 da 119903 egrave il valore assolutodellrsquoascissa di 119875

Questo non succede per la retta 119904 di equazione 119909+119910 = 0 il sistema

⎧⎨⎩

119909119910 = 1119909+119910 = 0

ha come equazione risolventeminus1199092 = 1

e dunque il sistema non ha soluzioni cioegrave la retta non incontra lrsquoiperbole Sia (119905 1119905)un punto dellrsquoiperbole e determiniamo la distanza di questo punto da 119904 il quadratodella distanza egrave

119891(119905) = (119905 + 1119905)21 + 1 = 1199054 +21199052 +1

21199052 = 11990522 + 1+ 1

21199052

Si tratta di una funzione che vale la pena di studiare Sappiamo che

lim119905rarrminusinfin

119891(119905) = +infin lim119905rarr0

119891(119905) = +infin lim119905rarr+infin

119891(119905) = +infin

La derivata di 119891 egrave

119891prime(119905) = 119905 minus 11199053 = 1199054 minus 1

1199053che egrave negativa nellrsquointervallo (larr minus1) e in (0 1) positiva in (minus1 0) e in (1 rarr)Dunque 119891 ha punti di minimo in minus1 e 1 con 119891(1) = 119891(minus1) = 2 Quindi esiste unaminima distanza dei punti dellrsquoiperbole dalla retta

Se una retta incontra lrsquoiperbole evidentemente la minima distanza esiste ed egrave nullaSi puograve verificare che le rette di equazione 119909 = 0 e 119910 = 0 sono le uniche che nonincontrano lrsquoiperbole e per le quali la distanza non abbia minimo Queste rette sonodette asintoti

Lrsquounica retta verticale che non incontra il grafico dellrsquoiperbole 119909119910 = 1 egrave lrsquoasse delle ordina-te per il quale egrave evidente che la distanza non ha minimo Discorso analogo vale per le retteorizzontali

Supponiamo dunque che la retta abbia equazione 119910 = 119898119909 + 119902 con 119898 ne 0 Lrsquoequazionerisolvente del sistema con lrsquoiperbole egrave

119909(119898119909+119902) = 1

che ha discriminante negativo per 1199022 + 4119898 lt 0 Quando infatti il discriminante egrave non negativola retta incontra lrsquoiperbole e il minimo della distanza egrave zero Per trovare il minimo della distanzaconsideriamo dunque

119891(119905) = (1119905 minus119898119905minus 119902)

2

La distanza vera si otterrebbe dividendo per 1+1198982 e prendendo la radice quadrata ma la radicequadrata egrave crescente e il divisore non puograve cambiare il punto di minimo La derivata di 119891 egrave

119891prime(119905) = 2(1119905 minus119898119905minus 119902)(minus 1

1199052 minus119898)

84 studi di funzione

Il primo fattore non si annulla percheacute per ipotesi 1199022 + 4119898 lt 0 Il secondo fattore si annullaper 1198981199052 + 1 = 0 si ottengono dunque due punti entrambi di minimo quando 119898 lt 0 Ineffetti abbiamo visto che le rette che non incontrano lrsquoiperbole sono gli assi e quelle di equazione119910 = 119898119909+119902 con 4119898 lt minus1199022

Si ha per questi punti

119891(minusradic1119898) = (minusradic119898+radic119898minus119902)2 = 1199022 119891(radic1119898) = (radic119898minusradic119898minus119902)2 = 1199022

e perciograve la distanza minima egrave |119902| radic1+1198982 Si noti che la condizione 1199022+4119898 = 0 caratterizza lerette tangenti se scriviamo la retta nella forma 119886119909+119887119910+119888 = 0 abbiamo 119898 = minus119886119887 119902 = minus119888119887e la condizione diventa 1198882+4119886119887 = 0 fra queste rette ci sono anche gli assi Infatti per 119886 = 119888 = 0e 119887 ne 0 otteniamo lrsquoasse delle ascisse per 119887 = 119888 = 0 e 119886 ne 0 otteniamo lrsquoasse delle ordinate Ildiscorso ci porterebbe troppo in lagrave ma da questo capiamo che non egrave cosigrave peregrino consideraregli asintoti come tangenti lsquoimpropriersquo allrsquoiperbole

La nozione di asintoto si estende ai grafici di funzioni arbitrarie Diremo che laretta 119909 = 119888 egrave un asintoto verticale del grafico di 119891 se vale almeno una delle condizioniseguenti

bull 119891 egrave definita nellrsquointervallo (119888 119888 + 120575) per un 120575 gt 0 e lim119909rarr119888+ 119891(119909) = plusmninfin

bull 119891 egrave definita nellrsquointervallo (119888 minus 120575 119888) per un 120575 gt 0 e lim119909rarr119888minus 119891(119909) = plusmninfin

Non facciamo alcuna richiesta che la retta non incontri il grafico della funzione in altripunti (succede se la funzione egrave definita in 119888)

Diremo che la retta 119910 = 119889 egrave un asintoto orizzontale del grafico di 119891 se vale almenouna delle condizioni seguenti

bull 119891 egrave definita in un intorno di +infin e lim119909rarr+infin 119891(119909) = 119889bull 119891 egrave definita in un intorno di minusinfin e lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = 119889

Anche qui non chiediamo che il grafico di 119891 non incontri la rettaEsiste un terzo tipo di asintoto Consideriamo la funzione

119891(119909) = 1+radic1199092 +2119909

che consideriamo definita per 119909 gt 0 Cerchiamo unrsquoequazione che sia soddisfatta datutti i punti del grafico di 119891 lrsquoequazione ovvia

119910 = 1+radic1199092 +2119909

puograve essere manipolata liberamente scegliamo di portare il termine noto a sinistra e dielevare al quadrato

(119910minus 1)2 = 1199092 + 2119909+ 1minus 1 = (119909+ 1)2 minus 1

e quindi i punti del grafico di 119891 appartengono tutti allrsquoiperbole di equazione

(119909+ 1)2 minus (119910minus 1)2 = 1

i cui asintoti sono (119909 + 1) = (119910 minus 1) e (119909 + 1) = minus(119910 minus 1) Quello che ci interessa egraveil primo come si vede chiaramente facendo tracciare il grafico di 119891 a un programmacome GeoGebra Ci si accorge che piugrave 119909 diventa grande piugrave la distanza del punto dicoordinate (119909119891(119909)) dalla retta 119903 di equazione 119909minus119910+ 2 = 0 diventa piccola

Proviamo a vederlo senza calcolare effettivamente la distanza invece calcoleremole distanze in orizzontale e verticale se queste diventano piccole anche la distanzaeffettiva diventa piccola e viceversa

53 asintoti 85

Consideriamo dunque il punto di coordinate (119905119891(119905)) la distanza in orizzontale 119889119909da questo punto alla retta egrave il valore assoluto della differenza delle ascisse tra i punti(119905 (119891(119905)) e (119891(119905)+2119891(119905)) mentre la distanza in verticale 119889119910 egrave il valore assoluto delladifferenza delle ordinate tra i punti (119905119891(119905)) e (119905 119905 + 2) Dunque

119889119909 = |119905 minus (119891(119905) + 2)| 119889119910 = |119891(119905) minus (119905 + 2)|

Quindi 119889119909 = 119889119910 Poniamo 119889(119905) = 119891(119905) minus 119905 minus 2 = radic1199052 + 2119905 minus 119905 minus 1 e calcoliamolim119905rarr+infin 119889(119905)

lim119905rarr+infin

radic1199052 +2119905 minus 119905minus 1 = lim119905rarr+infin

(1199052 + 2119905) minus (119905 + 1)2

radic1199052 + 2119905+ 119905+ 1

= lim119905rarr+infin

minus1radic1199052 + 2119905+ 119905 + 1

= minus1+infin = 0

Perciograve anche lim119905rarr+infin|119889(119905)| = 0 proprio come ci aspettavamoIl calcolo egrave esattamente lo stesso anche in altre situazioni il rapporto tra la distan-

za in verticale e quella in orizzontale egrave fisso (due opportuni triangoli sono simili) equindi una tende a 0 se e solo se tende a 0 lrsquoaltra Dunque possiamo dare la seguentedefinizione

d e f i n i z i o n e La retta di equazione119910 = 119898119909+119902 con119898 ne 0 si dice un asintotoobliquo del grafico di 119891 se egrave soddisfatta almeno una delle seguenti condizioni

bull +infin egrave un punto di accumulazione del dominio di 119891 e

lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus119898119909minus119902) = 0

bull minusinfin egrave un punto di accumulazione del dominio di 119891 e

lim119909rarrminusinfin

(119891(119909) minus119898119909minus119902) = 0

Data la definizione occorre un metodo per calcolare119898 e 119902 Vediamo nel caso di+infinin quello di minusinfin si opera allo stesso modo Supponiamo dunque che la retta di equa-zione 119910 = 119898119909+119902 sia un asintoto obliquo a +infin Allora per ipotesi lim119909rarr+infin(119891(119909) minus119898119909minus119902) = 0 e quindi anche

lim119909rarr+infin

119891(119909) minus119898119909minus119902119909 = 0

Siccome lim119909rarr+infin 119902119909 = 0 avremo anche

119898 = 119898+ lim119909rarr+infin

119891(119909) minus119898119909minus119902119909 + lim

119909rarr+infin

119902119909

= 119898+ lim119909rarr+infin

(119891(119909)119909 minus119898)

= lim119909rarr+infin

119891(119909)119909

Questo determina se esiste il coefficiente angolare 119898 A questo punto abbiamo

119902 = 119902+ lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus119898119909minus119902) = lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus119898119909)

86 studi di funzione

e questo determina 119902 Se uno dei due limiti non esiste o egrave infinito lrsquoasintoto obliquo noncrsquoegrave Non crsquoegrave nemmeno se lim119909rarr+infin 119891(119909)119909 = 0 percheacute in tal caso lrsquoasintoto dovrebbeessere orizzontale e lrsquoabbiamo giagrave escluso

Per esempio con 119891(119909) = 119909minus log119909 si ha

lim119909rarr+infin

119891(119909)119909 = lim

119909rarr+infin1 minus log119909

119909 = 1minus 0 = 1

ma passando al calcolo di 119902 si ottiene

lim119909rarr+infin

(119909minus log119909) minus119909 = lim119909rarr+infin

minus log119909 = minusinfin

e quindi il grafico di 119891 non ha asintoti obliquiVerifichiamo che nel caso del ramo di iperbole di prima i conti danno effettivamente

lrsquoasintoto obliquo previsto

lim119909rarr+infin

119891(119909)119909 = lim

119909rarr+infin

1 +radic1199092 + 2119909119909 = lim

119909rarr+infin

1119909 +

radic1+ 2

119909 = 0+ 1 = 1

e perciograve 119898 = 1 abbiamo poi

lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus 119909) = lim119909rarr+infin

1 +radic1199092 + 2119909minus119909 ⟦ infinminusinfin⟧

= lim119909rarr+infin

(1199092 + 2119909) minus (119909minus 1)2

radic1199092 + 2119909+ (119909minus 1)

= lim119909rarr+infin

4119909minus 1radic1199092 + 2119909+ (119909minus 1)

⟦ infininfin⟧

= lim119909rarr+infin

4 minus 1119909

radic1+ 2

119909 + 1minus 1119909

= 4radic1+ 1

= 42 = 2

e dunque lrsquoasintoto ha equazione 119910 = 119909+ 2Si consideri ora la funzione 119891(119909) = 1 + radic1199092 +2119909 definita anche per 119909 le minus2 e si

determini lrsquoeventuale asintoto obliquo a minusinfin

54 esempi

Diamo ora qualche esempio di studio di funzione lasciando da parte per ora la que-stione sulla concavitagrave e convessitagrave

Sia 119891(119909) = exp(minus1199092)

primo passo la funzione 119891 egrave definita ovunque

secondo passo la funzione 119891 egrave continua su tutto il dominio essendo composizionedi due funzioni continue Notiamo poi che 119891(minus119909) = 119891(119909) e che 119891(119909) gt 0 perogni 119909

terzo passo i punti di accumulazione del dominio da considerare sono solo minusinfin e+infin

quarto passo Calcoliamo lim119909rarr+infin 119891(119909) Siccome lim119909rarr+infin minus1199092 = minusinfin avremo

lim119909rarr+infin

119891(119909) = lim119905rarrminusinfin

exp 119905 = 0

e dal fatto che 119891(minus119909) = 119891(119909) deduciamo che lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = 0

54 esempi 87

quinto passo lrsquounico asintoto egrave la retta di equazione 119910 = 0

sesto passo la derivata egrave

119891prime(119909) = exp(minus1199092)(minus2119909) = minus2119909 exp(minus1199092)

che egrave negativa per119909 lt 0 e positiva per119909 gt 0 Dunque119891 ha unmassimo (assoluto)in 0 e 119891(0) = exp0 = 1

Gli elementi necessari per avere unrsquoidea del grafico ci sono tutti Manca qualche det-taglio percheacute egrave evidente che nel procedere da 0 verso destra la lsquocurvaturarsquo del graficodeve cambiare

Vediamo la funzione 119891(119909) = radic1199092 minus1199093

primo passo il dominio 119863(119891) egrave lrsquoinsieme delle soluzioni della disequazione 1199092 minus1199093 ge 0 cioegrave lrsquointervallo (larr 1]

secondo passo la funzione egrave continua in tutto il dominio e 119891(119909) ge 0 per ogni119909 isin 119863(119891)

terzo passo lrsquounico punto di accumulazione del dominio da considerare egrave minusinfin

quarto passo lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = +infin

quinto passo Vediamo se esiste un asintoto obliquo

lim119909rarrminusinfin

119891(119909)119909 = lim

119909rarrminusinfinminusradic

1199092 minus1199093

1199092 = lim119909rarrminusinfin

minusradic1minus119909 = minusinfin

Il grafico della funzione non ha asintoti

sesto passo calcoliamo la derivata

119891prime(119909) = 12radic1199092 minus1199093

(2119909minus 31199092)

La funzione non egrave derivabile in 0 e in 1 (si veda un esempio giagrave svolto)

lim119909rarr0minus

119891prime(119909) = minus1 lim119909rarr0+

119891prime(119909) = 1 lim119909rarr1

119891prime(119909) = minusinfin

La derivata egrave negativa nellrsquointervallo (larr 0) positiva in (0 23) negativa in(23 1)

Dunque abbiamo le seguenti informazioni

119891 egrave decrescente in (larr 0]0 egrave un punto di minimo 119891(0) = 0119891 egrave crescente in [0 23]

23 egrave un punto di massimo 119891(23) = 2(3radic3)119891 egrave decrescente in [23 1]1 egrave un punto di minimo 119891(1) = 0

Si faccia attenzione a non scrivere radic1199092 minus1199093 = 119909radic1minus119909 percheacute questa uguaglianzavale solo per 0 le 119909 le 1 Infatti la funzione 119892(119909) = 119909radic1minus119909 ha un grafico moltodiverso da quello di 119891 Molto diverso

88 studi di funzione

55 unrsquoapplicazione

Dati due numeri positivi119886 e 119887 le loromedia aritmetica emedia geometrica sono definiterispettivamente come

120572 = 119886+1198872 e 120574 = radic119886119887

Egrave piuttosto facile verificare che 120574 le 120572 e che si ha lrsquouguaglianza se e solo se 119886 = 119887Infatti possiamo impostare una catena di disuguglianze equivalenti fra loro

radic119886119887 119886+ 1198872

4119886119887 (119886 + 119887)2

0 1198862 minus 2119886119887+ 1198872

0 le (119886minus 119887)2

e perciograve lo stesso verso di disuguaglianza vale anche nelle precedenti Lrsquouguaglianza siha appunto solo quando 119886minus 119887 = 0

Si puograve generalizzare il concetto a piugrave numeri positivi la media aritmetica di 11990911199092 hellip 119909119899 egrave

120572(1199091 1199092hellip 119909119899) =1199091 +1199092 +⋯+119909119899

119899mentre la loro media geometrica egrave

120574(1199091 1199092hellip 119909119899) = (11990911199092 hellip119909119899)1119899

Possiamo usare i metodi dello studio di funzione per dimostrare attraverso lrsquoinduzioneche vale la disuguaglianza

120574(1199091 1199092hellip 119909119899) le 120572(1199091 1199092hellip 119909119899)

Nel caso di 119899 = 1 si pone ovviamente 120572(1199091) = 120574(1199091) = 1199091 e la disuguaglianza egraveevidente Supponiamo dunque di sapere che questa disuguaglianza vale per 119899 numeriDobbiamo perciograve ricavare da questa ipotesi la disuguaglianza per 119899 + 1 numeri chescriveremo

120574(1199091 1199092hellip 119909119899 119909) le 120572(1199091 1199092hellip 119909119899 119909)

e che possiamo trasformare in quella equivalente

(119899+ 1)119899+1120574(1199091 1199092hellip 119909119899 119909)119899+1 le 120572(1199091 1199092hellip 119909119899 119909)119899+1

Per semplificare la notazione scriviamo 119875 = (11990911199092 hellip119909119899)1119899 e 119878 = 1199091 +1199092 +⋯+119909119899 inmodo che la tesi diventa

(119899+ 1)119899+1119875119899119909 le (119878+119909)119899+1

e lrsquoipotesi induttiva egrave 119899119875119899 le 119878 Consideriamo dunque la funzione definita in (0 rarr)

119891(119909) = (119878+119909)119899+1 minus (119899+ 1)119899+1119875119899119909

Per i risultati che conosciamo sui polinomi abbiamo che lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin mentrelim119909rarr0+ 119891(119909) = 119878119899+1 gt 0 Ne segue che 119891 ha almeno un punto di minimo Calcoliamola derivata

119891prime(119909) = (119899+ 1)(119878 +119909)119899 minus (119899+ 1)119899+1119875119899

55 unrsquoapplicazione 89

che si annulla solo per 119878+119909 = (119899+ 1)119875 cioegrave in (119899+ 1)119875minus 119878 Se (119899+ 1)119875minus 119878 le 0 lafunzione 119891 egrave crescente quindi ovunque positiva Supponiamo dunque (119899+1)119875minus119878 gt 0questo saragrave il punto di minimo Calcoliamo il valore minimo

119891((119899+ 1)119875minus 119878) = (119899+ 1)119899+1119875119899+1 minus (119899+ 1)119899+1119875119899(119899119875+119875minus 119878)= (119899+ 1)119899+1119875119899(119875 minus119899119875minus119875+ 119878)= (119899+ 1)119899+1119875119899(119878 minus119899119875) ge 0

percheacute il fattore 119878 minus 119899119875 egrave non negativo per ipotesi Siccome il valore minimo non egravenegativo abbiamo 119891(119909) ge 0 per ogni 119909 come richiesto

Ci domandiamo ora quando puograve valere lrsquouguaglianza e procediamo di nuovo perinduzione il caso 119899 = 1 egrave ovvio percheacute lrsquouguaglianza crsquoegrave per definizione La nostraipotesi induttiva egrave allora

120574(1199091 1199092hellip 119909119899) = 120572(1199091 1199092hellip 119909119899) se e solo se 1199091 = 1199092 = ⋯ = 119909119899

cioegrave nelle notazioni precedenti 119878 = 119899119875Nel caso di 119899+1 numeri 1199091 1199092 hellip 119909119899 119909 possiamo avere lrsquouguaglianza solo se 119891 si

annulla Ma naturalmente questo puograve avvenire solo se il valore minimo di 119891 egrave 0 cioegrave119878 minus 119899119875 = 0 (con (119899 + 1)119875 minus 119878 gt 0) Lrsquoipotesi induttiva dice allora che 1199091 = ⋯ = 119909119899 eche 119909 = (119899+ 1)119875 minus 119878 = 119899119875+ 119875minus 119878 = 119875 ma essendo 119875 = 1199091 si ha anche 119909 = 1199091 e latesi egrave dimostrata

Esiste anche un terzo tipo di media la media armonica Per due numeri positivi 119886 e 119887 sidefinisce la media armonica 120578 con la formula

2120578 = 1

119886 + 1119887

Con un porsquo di attenzione si vede che il reciproco della media armonica egrave la media aritmetica deireciproci dei numeri Siccome prendere il reciproco rovescia il verso delle disuguaglianze (stiamoparlando di numeri positivi) viene il sospetto che la media armonica sia in generale minore dellamedia geometrica Proviamolo con la catena di disuguaglianze

120578 radic1198861198872119886119887119886+ 119887 radic119886119887

4119886119887 (119886+ 119887)2

0 1198862 minus2119886119887+ 1198872

0 le (119886minus 119887)2

e la tesi egrave dimostrata Di nuovo si ha lrsquouguaglianza fra le medie se e solo se 119886 = 119887In generale definiamo la media armonica dei numeri positivi 1199091 1199092 hellip 119909119899 con

119899120578(1199091 1199092hellip 119909119899)

= 11199091

+ 11199092

+⋯+ 1119909119899

La disuguaglianza da dimostrare egrave allora

119899( 11199091

+ 11199092

+⋯+ 1119909119899

)minus1

le (11990911199092 hellip119909119899)1119899

Se poniamo 119910119896 = 1119909119896 (per 119896 = 1 2hellip 119899) possiamo scriverla come

119899(1199101 +1199102 +⋯+119910119899)minus1 le 1(11991011199102 hellip119910119899)1119899

cioegrave1

120572(11991011199102hellip 119910119899)le 1

120574(11991011199102hellip 119910119899)che equivale alla

120574(11991011199102hellip 119910119899) le 120572(11991011199102hellip 119910119899)appena dimostrata Si ha lrsquouguaglianza solo quando 1199101 = 1199102 = ⋯ = 119910119899 cioegrave 1199091 = 1199092 = ⋯ = 119909119899

90 studi di funzione

Le tre medie che abbiamo introdotto possono essere viste come casi particolari diuna forma generale di lsquomediarsquo Consideriamo due numeri positivi 119886 e 119887 e la funzione

120583(119886119887119909) = (119886119909 +119887119909

2 )1119909

Indichiamo anche i due parametri 119886 e 119887 per motivi che diventeranno chiari piugrave avantiLa funzione egrave definita e continua per 119909 ne 0 e perciograve ci interessano i limiti nei punti diaccumulazione del dominio Cominciamo con +infin dove abbiamo

lim119909rarr+infin

log(119886119909 +119887119909) minus log2119909

che non egrave necessariamente una forma indeterminata e dovremmo esaminare i vari casicon 119886 lt 1 119886 = 1 119886 gt 1 e 119887 lt 1 119887 = 1 e 119887 gt 1 Si puograve fare di meglio supponendo che119886 le 119887 e perciograve 119887119886 ge 1 Scriviamo allora

119886119909 +119887119909 = 119886119909(1 + (119887119886)119909)

e poniamo per semplicitagrave 119887119886 = 119888 il nostro limite diventa allora

lim119909rarr+infin

log(119886119909 +119887119909) minus log2119909 = lim

119909rarr+infin

119909 log119886+ log(1 + 119888119909) minus log2119909

= log119886+ lim119909rarr+infin

log(1 + 119888119909) minus log2119909

H= log119886+ lim119909rarr+infin

119888119909 log1198881 + 119888119909

= log119886+ log119888 = log(119886119888) = log119887

e dunque lim119909rarr+infin 120583(119886119887119909) = 119887 Se invece 119886 gt 119887 il limite egrave 119886 infatti 120583(119886119887119909) =120583(119887119886119909) In generale dunque

lim119909rarr+infin

120583(119886119887119909) = max(119886119887)

Per il limite a 0 consideriamo sempre log120583(119886119887119909)

lim119909rarr0

log(119886119909 +119887119909) minus log2119909

H= lim119909rarr0

119886119909 log119886+ 119887119909 log119887119886119909 +119887119909 = log119886+ log119887

2e perciograve

lim119909rarr0

120583(119886119887119909) = exp( log119886+ log1198872 ) = radic119886119887

Possiamo allora estendere per continuitagrave la definizione di 120583

120583(119886119887119909) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

(119886119909 +119887119909

2 )1119909

se 119909 ne 0

radic119886119887 se 119909 = 0

ottenendo cosigrave che 120583(119886119887 1) 120583(119886119887 0) e 120583(119886119887minus1) sono rispettivamente la mediaaritmetica geometrica e armonica di 119886 e 119887

Non occorre calcolare il limite a minusinfin infatti

120583(119886119887minus119909) = (119886minus119909 +119887minus119909

2 )minus1119909

= ((1119886)119909 + (1119887)1199092 )

minus1119909= (120583(1119886 1119887119909))minus1

e dunque

lim119909rarrminusinfin

120583(119886119887119909) = lim119909rarr+infin

120583(1119886 1119887119909)minus1 = (max(1119886 1119887))minus1 = min(119886119887)

Tutto quanto fatto per due numeri si puograve estendere a 119899 numeri positivi definendo

120583(1198861 1198862hellip 119886119899 119909) = (1198861199091 +119886119909

2 +⋯+119886119909119899

119899 )1119909

per 119909 ne 0 e 120583(1198861 1198862hellip 119886119899 119909) = (11988611198862 hellip119886119899)1119899

56 convessitagrave e derivata seconda 91

56 convessitagrave e derivata seconda

Supponiamo che 119891 sia definita in un intervallo aperto (119901 119902) Diremo che 119891 egrave convessain (119901 119902) se per ogni 119886119887 isin (119901 119902) con 119886 lt 119887 quando consideriamo la retta 119903passante per i punti 119860 e 119861 di coordinate (119886119891(119886)) e (119887119891(119887)) diciamo 119910 = 119898119909 + 119896si ha per ogni 119905 con 119886 lt 119905 lt 119887 119891(119905) le 119898119905 + 119896 Quando con le stesse notazionivale 119891(119905) ge 119898119905+119896 la funzione si diragrave concava In qualche testo si dice con linguaggiopoco felice che 119891 ha la concavitagrave rivolta verso lrsquoalto quando egrave convessa e verso il bassoquando egrave concava

La definizione sembra di quelle fatte apposta per intimidire Ma se facciamo undisegno ci rendiamo conto che significa una cosa semplice il grafico di 119891 sta tuttosotto il segmento 119860119861

Vediamo il caso piugrave facile 119891(119909) = 1199092 La retta che passa per (1198861198862) (119887 1198872) haequazione

119910minus1198862 = 1198872 minus1198862

119887minus 119886 (119909minus119886)

cioegrave119910minus1198862 = (119887+ 119886)(119909minus 119886)

che diventa 119910 = (119886+ 119887)119909minus 119886119887 Se 119886 lt 119905 lt 119887 dobbiamo verificare che

1199052 le (119886+ 119887)119905 minus 119886119887

cioegrave1199052 minus (119886+ 119887)119905 + 119886119887 le 0

che diventa(119905 minus 119886)(119905 minus 119887) le 0

che egrave effettivamente soddisfattaConsideriamo invece 119891(119909) = 1199093 prendiamo 119887 gt 0 La retta che ci interessa ha

equazione

119910minus1198863 = 1198873 minus1198863

119887minus 119886 (119909minus119886)

che diventa119910 = (1198862 +119886119887+ 1198872)119909 minus 119886119887(119886+ 119887)

Per 119886 lt 119905 lt 119887 dobbiamo vedere se

1199053 le (1198862 +119886119887+ 1198872)119905 minus 119886119887(119886+ 119887)

Poniamo per fare i conti 119904 = 119886+119887 119901 = 119886119887 allora1198862+119886119887+1198872 = 1199042minus119901 e la disequazioneegrave

1199053 minus (1199042 minus119901)119905 + 119904119901 le 0

Si vede subito che 119905 = minus119904 egrave una radice e quindi

1199053 minus (1199042 minus119901)119905 + 119904119901 = (119905 + 119904)(1199052 minus 119904119905 + 119901) = (119905 + 119904)(119905 minus 119886)(119905 minus 119887)

Siccome (119905 minus 119886)(119905 minus 119887) lt 0 la nostra disequazione saragrave soddisfatta per 119905 + 119886+ 119887 ge 0Se 119886 ge 0 la condizione egrave certamente soddisfatta 119905 gt 119886 ge 0 e minus(119886+119887) lt 0 Dunque lafunzione egrave convessa nellrsquointervallo (0 rarr) Se invece 119886 = minus1 e 119887 = 4 la disequazioneegrave 119905 gt minus1+ 3 = 2 che non egrave soddisfatta per ogni 119905 isin (minus1 4) Perciograve la funzione nonegrave convessa su tutto il dominio

92 studi di funzione

La convessitagrave egrave una proprietagrave molto forte per esempio se 119891 egrave convessa nellrsquointervallo aperto(119901 119902) allora 119891 egrave continua

Dato 119909 isin (119901 119902) prendiamo ℎ gt 0 tale che 119909minus ℎ gt 119901 e 119909+ ℎ lt 119902 Se 119909minus ℎ lt 119911 lt 119909 dalledisuguaglianze della convessitagrave otteniamo

119891(119909) minus 119891(119909minusℎ)119909minus (119909minusℎ) le 119891(119911) minus 119891(119909)

119911minus119909 le 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)(119909+ℎ) minus119909

e analogamente se prendiamo 119909 lt 119911 lt 119909+ℎ Se 119862 egrave il massimo tra

|119891(119909) minus 119891(119909minusℎ)ℎ | e |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)

ℎ |

abbiamo allora che|119891(119911) minus 119891(119909)

119911minus119909 | le 119862

e perciograve che|119891(119911) minus 119891(119909)| le 119862|119911 minus119909|

per 119911 isin (119909 minus ℎ 119909 + ℎ) Ora la continuitagrave in 119909 egrave evidente se prendiamo una tolleranza 120576 gt 0ci basteragrave prendere

120575 = minℎ 120576119862

e se |119911 minus 119909| lt 120575 avremo

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 119862|119911 minus119909| le 119862120575 le 119862 120576119862 = 120576

cioegrave la continuitagrave in 119909Se 119891 egrave definita e convessa in un intervallo chiuso non egrave detto che sia continua agli estremi

basta considerare la funzione

119891(119909) =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

4 se 119909 = minus11199092 se minus1 lt 119909 lt 14 se 119909 = 1

La funzione egrave evidentemente convessa ma non egrave continua in minus1 e in 1

Vediamo ora piugrave in dettaglio come si puograve caratterizzare la convessitagrave nel caso in cuila funzione 119891 sia derivabile nellrsquointervallo (119901 119902)

Prima di tutto scriviamo lrsquoequazione della retta per (119886119891(119886)) e (119887119891(119887)) dove 119901 lt119886 lt 119887 lt 119902 ci sono due modi equivalenti e ci serviranno entrambi

119910 = 119891(119887) minus 119891(119886)119887 minus 119886 (119909minus 119886) + 119891(119886)

119910 = 119891(119887) minus 119891(119886)119887 minus 119886 (119909minus 119887) + 119891(119887)

Siccome la funzione 119891 egrave per ipotesi una funzione di Lagrange in [119886 119887] possiamoscrivere il coefficiente angolare come 119891prime(119888) per un opportuno 119888 isin (119886 119887) Allora lacondizione di convessitagrave si scrive

119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119886) + 119891(119886)

ma anche119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119887) + 119891(119887)

La relazione egrave la stessa sia chiaro ma da queste ricaviamo

119891(119905) minus 119891(119886)119905 minus 119886 le 119891prime(119888)

119891(119905) minus 119891(119887)119905 minus 119887 ge 119891prime(119888)

56 convessitagrave e derivata seconda 93

per ogni 119905 isin (119886 119887) quindi

119891(119905) minus 119891(119886)119905 minus 119886 le 119891(119905) minus 119891(119887)

119905 minus 119887

Se prendiamo il limite per 119905 rarr 119886 otteniamo per il teorema della permanenza del segno

119891prime(119886) le 119891(119886) minus 119891(119887)119886minus 119887

Se invece prendiamo il limite per 119905 rarr 119887 otteniamo

119891(119887) minus 119891(119886)119887minus 119886 le 119891prime(119887)

e dunque 119891prime(119886) le 119891prime(119887)Viceversa supponiamo che per 119886119887 isin (119901 119902) 119886 lt 119887 si abbia 119891prime(119886) le 119891prime(119887)

Vogliamo dimostrare che 119891 egrave convessa Di nuovo dati 119886 e 119887 con 119886 lt 119887 per il teoremadi Lagrange si ha

119891prime(119888) = 119891(119887) minus 119891(119886)119887minus 119886

con 119886 lt 119888 lt 119887 Prendiamo 119905 isin (119886 119887) dobbiamo verificare la condizione di conves-sitagrave I casi sono due 119905 le 119888 oppure 119888 lt 119905 Nel primo caso scriviamo la condizione diconvessitagrave come

119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119886) + 119891(119886)

che equivale a119891(119905) minus 119891(119886)

119905 minus 119886 le 119891prime(119888)

Ma 119891 egrave una funzione di Lagrange in [119886 119905] e quindi il primo membro si scrive come119891prime(120574) per un 120574 isin (119886 119905) Siccome 120574 lt 119905 le 119888 avremo per ipotesi 119891prime(120574) le 119891prime(119888) equindi la disuguaglianza di convessitagrave egrave soddisfatta

Nel secondo caso scriviamo la condizione di convessitagrave come

119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119887) + 119891(119887)

che equivale a

119891prime(119888) le 119891(119887) minus 119891(119905)119887 minus 119905

Applicando di nuovo il teorema di Lagrange a 119891 nellrsquointervallo (119905 119887) il secondo mem-bro si scrive 119891prime(120575) con 120575 isin (119905 119887) Ora perograve 119888 lt 119905 lt 120575 e quindi 119891prime(119888) le 119891prime(120575) e ladisuguaglianza egrave ancora soddisfatta

In definitiva abbiamo dimostrato il seguente teorema

t e o r ema La funzione 119891 definita e derivabile su (119901 119902) egrave convessa se e solo sela funzione 119909 ↦ 119891prime(119909) egrave crescente

La funzione 119909 ↦ 119891prime(119909) si chiama la funzione derivata di 119891 e si denota ovviamen-te con 119891prime Questa funzione potragrave ancora essere derivabile diamo un nome a questaldquoderivata della derivatardquo

d e f i n i z i o n e Se 119909 egrave un punto del dominio di 119891 e ha senso scrivere

limℎrarr0

119891prime(119909 +ℎ) minus 119891prime(119909)ℎ = 119897

con 119897 finito diremo che 119897 egrave la derivata seconda di 119891 in 119909 e scriveremo 119897 = 119891Prime(119909)

94 studi di funzione

Diremo che 119891 egrave derivabile due volte in un certo insieme 119878 se in ogni punto di 119878 esistela derivata seconda di 119891

t e o r ema Sia 119891 una funzione derivabile due volte nellrsquointervallo (119901 119902) Allora119891 egrave convessa in (119901 119902) se e solo se 119891Prime(119909) ge 0 per ogni 119909 isin (119901 119902)

Sappiamo che una funzione derivabile definita su un intervallo egrave crescente se e solose la sua derivata egrave non negativa La funzione che ci interessa egrave in questo caso 119891prime

Questo egrave lo strumento principale per trovare gli intervalli di convessitagrave e quelli diconcavitagrave che egrave esattamente il contrario una funzione 119891 si dice concava se minus119891 egraveconvessa

Lrsquoesempio egrave quello di 119891∶ 119909 ↦ 1199093 la derivata egrave 119891prime(119909) = 31199092 mentre 119891Prime(119909) = 6119909Dunque la derivata seconda egrave positiva per 119909 gt 0 e negativa per 119909 lt 0 la funzione egraveconcava in (larr 0] e convessa in [0 rarr)

Consideriamo la funzione 119891(119909) = 119909119909 = exp(119909 log119909) la cui derivata egrave

119891prime(119909) = exp(119909 log119909)(log119909+119909 logprime 119909) = (log119909+ 1)119891(119909)

Dunque possiamo scrivere

119891Prime(119909) = 1119909119891(119909) + (log119909+ 1)119891prime(119909) = 1

119909119891(119909) + (log119909+ 1)2119891(119909)

Ne segue che 119891Prime(119909) gt 0 per 119909 isin 119863(119891) e quindi 119891 egrave convessaTorniamo alla funzione 119891(119909) = exp(minus1199092) si ha 119891prime(119909) = minus2119909 exp(minus1199092) e quindi

119891Prime(119909) = minus2 exp(minus1199092) + 41199092 exp(minus1199092) = 2(21199092 minus 1) exp(minus1199092)

che egrave negativa in (minus1radic2 1radic2) e positiva in (larr minus1radic2) e (1radic2 rarr) Questodetermina gli intervalli di concavitagrave e convessitagrave

I punti che separano un intervallo di concavitagrave da uno di convessitagrave e in cui la curvaha tangente si chiamano punti di flesso in essi intuitivamente la tangente attraversail grafico Lo studio della derivata seconda dagrave informazioni molto utili per tracciare ilgrafico ma non sempre egrave agevole La funzione appena studiata ha perciograve due punti diflesso analogamente la funzione 119909 ↦ 1199093 ha un punto di flesso

Consideriamo una funzione piugrave complicata 119891(119909) = 1199091119909 = exp((log119909)119909) Il dominio egrave119863(119891) = (0 rarr) Poicheacute

lim119909rarr0

log119909119909 = minusinfin lim

119909rarr+infin

log119909119909 = 0

si halim119909rarr0

119891(119909) = 0 lim119909rarr+infin

119891(119909) = 1

Inoltre119891prime(119909) = 119891(119909)119909 sdot (1119909) minus log119909

1199092 = 119891(119909)1 minus log1199091199092

La funzione egrave crescente in (0 119890] e decrescente in [119890 rarr) Crsquoegrave un punto di massimo in 119890 e119891(119890) = 1198901119890 asymp 144467 Dal fatto che il grafico ha un asintoto orizzontale di equazione 119910 = 1sembra evidente che ci deve essere un punto di flesso 119888 con 119888 gt 119890

Proviamo a calcolare la derivata seconda

119891Prime(119909) = 119891prime(119909)1 minus log1199091199092 +119891(119909)119909

2 sdot (minus1119909) minus 2119909(1 minus log119909)1199094

che semplificando diventa

119891Prime(119909) = 119891(119909)1 minus 2 log119909+ (log119909)2 minus3119909+ 2119909 log1199091199094

56 convessitagrave e derivata seconda 95

Come fare Lrsquoespressione sembra intrattabile Siccome perograve il segno di 119891Prime(119909) dipende solo dalnumeratore della frazione poniamo

119892(119909) = (log119909)2 minus 2(1 minus119909) log119909minus 3119909+ 1

Abbiamo 119892(1) = 1minus3 = minus2 lt 0 inoltre lim119909rarr+infin 119892(119909) = +infin il teorema sugli zeri dice che esiste(almeno) un punto 119888 gt 1 in cui 119892(119888) = 0 che corrisponderagrave al flesso cercato Analogamentesiccome lim119909rarr0 119892(119909) = +infin ci saragrave (almeno) un flesso anche tra 0 e 1 Proviamo a scrivere119892(119909) = 0 e poniamo 119910 = log119909 ottenendo la curva di equazione

1199102 minus 2(1 minus119909)119910minus 3119909+ 1 = 0

che rappresenta unrsquoiperbole Se la si disegna e si cercano le intersezioni con la curva 119910 = log119909si vede che le intersezioni sono esattamente due 047 lt 1199091 lt 048 e 31 lt 1199092 lt 32

Egrave immediato vedere che 119891(119909) = sin119909 egrave concava dove sin119909 gt 0 e convessa dovesin119909 lt 0 dal momento che 119891Prime(119909) = minus sin119909

Si puograve dimostrare che una funzione 119891 definita ovunque derivabile due volte stret-tamente crescente per la quale lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = minusinfin e lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin non puograveessere convessa (E nemmeno concava) Rimane solo da sottolineare che occorre moltacautela quando la funzione non sia derivabile due volte in tutto il dominio

Le funzioni convesse danno origine a molte disuguaglianze che possono essere ado-perate al posto di calcoli piugrave complicati Torniamo alle funzioni 119909 ↦ 120583(119886119887119909) (ce nrsquoegraveuna per ogni paio di numeri 119886119887 gt 0) dove

120583(119886119887119909) = (119886119909 +119887119909

2 )1119909

(119909 ne 0) 120583(119886119887 0) = radic119886119887

per dimostrare che sono crescenti Provando a calcolare la derivata ci si accorge che ilproblema sembra piuttosto arduo Tuttavia il nostro scopo egrave dimostrare che se 119901 lt 119902allora 120583(119886119887119901) le 120583(119886119887 119902) Ci limitiamo per il momento a 0 lt 119901 lt 119902 in tal caso ladisuguaglianza voluta cioegrave

(119886119901 +119887119901

2 )1119901

le (119886119902 +119887119902

2 )1119902

si puograve scrivere elevando alla 119902 come

(119886119901 +119887119901

2 )119902119901

le 119886119902 +119887119902

2

Se poniamo 119886119901 = 119906 e 119887119901 = 119907 abbiamo 119886119902 = 119906119902119901 e 119887119902 = 119907119902119901 se consideriamo lafunzione 119891(119909) = 119909119902119901 la disuguaglianza diventa allora

119891(119906+1199072 ) le 119891(119906) + 119891(119907)

2

che egrave vera percheacute 12 + 1

2 = 1 e la funzione 119909 ↦ 119891(119909) = 119909119902119901 (definita per 119909 gt 0) egraveconvessa Infatti la sua derivata seconda egrave

119891Prime(119909) = 119902119901(119902

119901 minus 1)119909 119902119901minus2

che egrave positiva essendo per ipotesi 119902 gt 119901 gt 0Questa dimostra la crescenza su (0 rarr) Non crsquoegrave bisogno perograve di altro percheacute

quando 119901 lt 119902 lt 0 possiamo usare il trucco

120583(119886119887119909) = 120583( 1119886 1119887 minus119909)

minus1

96 studi di funzione

e la crescenza giagrave dimostrata insieme al fatto che 0 lt minus119902 lt minus119901 dice che

120583( 1119886 1119887 minus119902) le 120583(1

119886 1119887 minus119901)

da cui prendendo i reciproci si ottiene la disuguaglianza cercata Dal momento poiche 120583 egrave continua in 0 abbiamo provato che per ogni 119901 e 119902 da 119901 lt 119902 segue che

120583(119886119887119901) le 120583(119886119887 119902)

Si provi a verificare che lrsquouguaglianza vale solo se 119886 = 119887 si torni alla disuguaglianzadella convessitagrave per stabilire quando puograve valere lrsquouguaglianza

Vediamo una funzione periodica 119891(119909) = arctan sin119909 siccome sin119909 isin [minus1 1]avremo 119891(119909) isin [minus1205874 1205874] Il dominio di 119891 egrave tutto lrsquoinsieme dei reali e la periodicitagraveimpedisce che ci siano asintoti Calcoliamo la derivata

119891prime(119909) = cos1199091+ sin2 119909

che egrave positiva esattamente dove egrave positivo il coseno La derivata seconda egrave

119891Prime(119909) = minus sin119909(1 + sin2 119909) minus 2 sin119909 cos2 119909(1 + sin2 119909)2 = minus sin119909(3 minus sin2 119909)

(1 + sin2 119909)2

Il segno di 119891Prime(119909) egrave lo stesso di quello di minus sin119909 in conclusione il grafico di 119891 egrave moltosimile a quello di sin119909 avendo gli stessi massimi e minimi e gli stessi intervalli diconvessitagrave e concavitagrave La disuguaglianza della concavitagrave in [0 120587] dice che per0 le 119886 lt 119905 lt 119887 le 120587

arctan sin 119905 minus arctan sin119886 ge arctan sin119887minus arctan sin119886119887minus119886 119905

Ora possiamo dire che (arctan sin119887 minus arctan sin119886) isin (minus1205872 1205872) dal momento chearctan sin119909 isin (minus1205874 1205874) e perciograve

arctan sin119887minus arctan sin119886 = sin119887minus sin1198861+ sin119887 sin119886

Dunque otteniamosin 119905 minus sin1198861+ sin 119905 sin119886 ge sin119887minus sin119886

1+ sin119887 sin1198861

119887minus 119886

Nel caso 119886 = 0 questa diventa

sin 119905 le sin119887119887

che conosciamo giagrave

57 successioni

Una successione egrave per definizione una funzione il cui dominio sia lrsquoinsieme dei nume-ri naturali Dal momento che il dominio egrave costituito di punti isolati egrave evidente che lacontinuitagrave e la derivabilitagrave di una successione sono fuori discussione la continuitagrave egraveautomatica la derivabilitagrave non ha senso Tuttavia il dominio ha un punto di accumula-zione secondo il nostro linguaggio piugrave propriamente egrave sensato domandarsi il limitea +infin

Parlando di successioni egrave tradizionale scrivere il valore in 119899 con 119886119899 invece che 119886(119899)se 119886 egrave il nome della funzione Esplicitiamo allora la definizione che perograve egrave solo lrsquoappli-cazione al caso particolare della definizione piugrave generale giagrave data

57 successioni 97

d e f i n i z i o n e Se 119886 egrave una successione e 119897 un numero allora

lim119899rarr+infin

119886119899 = 119897

quando per ogni tolleranza 120576 gt 0 esiste un naturale 119896 tale che per 119899 gt 119896 si abbia|119886119899 minus 119897| le 120576 Analogamente

lim119899rarr+infin

119886119899 = +infin

quando per ogni maggiorazione 119872 esiste un naturale 119896 tale che per 119899 gt 119896 siabbia 119886119899 ge 119872

Dovrebbe essere ovvio il significato di lim119899rarr+infin 119886119899 = minusinfinNaturalmente non egrave detto che ogni successione abbia limite se consideriamo

119886119899 =⎧⎨⎩

0 se 119899 egrave pari1 se 119899 egrave dispari

il limite non esiste Secondo una terminologia abbastanza diffusa una successione 119886 egrave

bull convergente a 119897 (dove 119897 egrave finito) se lim119899rarr+infin 119886119899 = 119897

bull divergente se lim119899rarr+infin 119886119899 = +infin (o minusinfin)

bull oscillante se il limite non esiste neacute finito neacute infinito

Possiamo adoperare il teorema del confronto di limiti per calcolare un paio di limitiimportanti Se 0 lt 119905 lt 1 allora

lim119899rarr+infin

119905119899 = 0

Infatti la disuguaglianza di Bernoulli ci dice che

0 lt 119905119899 lt 1199051+119899(119905 minus 1)

ma sappiamo giagrave chelim

119909rarr+infin

1199051 + 119909(119905 minus 1) = 0

e quindi abbiamo la tesi Se non ci si fida si verifichi lrsquoasserzione con le disuguaglianzee 120576 gt 0 Analogamente per 119905 gt 1 da

119905119899 gt 1+119899(119905 minus 1)

ricaviamolim

119899rarr+infin119905119899 = +infin

percheacute lim119909rarr+infin 119909(119905 minus 1) = +infinSi tratta di unrsquoosservazione importante se una successione puograve essere vista come

la restrizione ai naturali di una funzione definita su un opportuno insieme di numerireali della quale si conosce il limite a +infin lo stesso saragrave il limite della successione

Vediamo la successione 119886119899 = 119899radic119899 Se ricordiamo che lim119909rarr0 119909 log119909 = 0 abbiamoanche (con la sostituzione 119909 rarr 1119909)

lim119909rarr+infin

minus 1119909 log119909 = 0

e quindilim

119899rarr+infin

1119899 log119899 = 0

98 studi di funzione

cioegrave lim119899rarr+infin log 119899radic119899 = 0 quindi che

lim119899rarr+infin

119899radic119899 = 1

Lrsquoutilitagrave principale delle successioni risiede nel seguente risultato

t e o r ema Se la successione 119886 egrave crescente e limitata allora egrave convergente

Poniamo 119897 = sup119886119899 ∶ 119899 isin ℕ 119897 egrave lrsquoestremo superiore dei valori della funzione 119886siccome per ipotesi 119886 egrave limitata lrsquoestremo superiore esiste Fissiamo una tolleranza120576 gt 0 per definizione di estremo superiore esiste 119896 tale che 119886119896 ge 119897 minus 120576 Ma la suc-cessione 119886 egrave crescente quindi 119897 minus 120576 le 119886119899 anche per ogni 119899 gt 119896 e quindi vale anche|119886119899 minus 119897| le 120576 come richiesto

Ovviamente vale anche lrsquoasserzione analoga per successioni decrescenti se 119899 ↦ 119886119899egrave decrescente e limitata allora 119899 ↦ minus119886119899 egrave crescente e limitata

Come si puograve usare questo risultato A volte si riesce a dimostrare che un certolimite esiste senza perograve poterlo esprimere in termini ldquoesplicitirdquo Se si riesce a trovareuna successione che converge a quel limite potremo dare approssimazioni del valore

Come esempio consideriamo la successione cosigrave definita

1198860 = 1 119886119899+1 = 3119886119899 + 42119886119899 + 3

e dimostriamo che egrave crescente e limitata Per la crescenza basta ovviamente vedere che119886119899 le 119886119899+1 per ogni 119899 Maneggiamo come sempre le disuguaglianze tenendo contoche per definizione 119886119899 gt 0

119886119899 le 3119886119899 + 42119886119899 + 3

21198862119899 +3119886119899 le 3119886119899 +4

1198862119899 le 2

Dunque per verificare la disuguaglianza iniziale ci basta dimostrare lrsquoultima e lo fac-ciamo per induzione Egrave evidente che 1198862

0 le 2 Supponiamo che 1198862119899 le 2 e vediamo come

si trasforma la disuguaglianza 1198862119899+1 le 2

(3119886119899 +42119886119899 +3)

2le 2

91198862119899 + 24119886119899 +16 le 81198862

119899 + 24119886119899 + 181198862

119899 le 2

Ne segue che la tesi egrave verificata Dunque la successione 119886 converge come possiamocalcolare il limite Facile se 119897 egrave questo limite possiamo partire dallrsquoovvia uguaglianza

lim119899rarr+infin

119886119899+1 = lim119899rarr+infin

119886119899

e quindi

119897 = 3119897 + 42119897 + 3

che dagrave facilmente 1198972 = 2 e dunque essendo 119897 gt 0 percheacute certamente 119897 gt 1198860 119897 = radic2

Per essere pedanti lim119899rarr+infin 119886119899+1 andrebbe scritto come lim119899rarr+infin 119887119899 dove si sia definito 119887119899 =119886119899+1 Non ci preoccuperemo piugrave di questi problemini

57 successioni 99

Siamo in una situazione in cui il limite puograve essere espresso in ldquotermini esplicitirdquo econ la successione possiamo ottenere valori approssimati sempre meglio piugrave grandeprendiamo 119899 Vediamo i primi termini

1198860 = 1 1198861 = 3 sdot 1 + 42 sdot 1 + 3 = 7

5

1198862 = 3 sdot (75) + 42 sdot (75) + 3 = 41

29 1198863 = 3 sdot (4129) + 42 sdot (4129) + 3 = 239

169

Se calcoliamo i valori approssimati abbiamo

1198860 = 11198861 = 141198862 asymp 14137931198863 asymp 1414201

e vediamo che giagrave 1198863 egrave una buona approssimazione di radic2 con quattro cifre decimaliesatte

Resta da capire come abbiamo ottenuto la successione Si parte dallrsquouguaglianza

radic2minus 1 = 1radic2+ 1

o radic2 = 1radic2+ 1

+ 1

e si avvia un procedimento iterativo si pone

119888119899+1 = 1119888119899 + 1 + 1 = 119888119899 + 2

119888119899 + 1

partendo da 1198880 = 1 Tuttavia ci si accorge che la successione che si ottiene non egravecrescente

1198880 = 1 1198881 = 1+ 21+ 1 = 3

2 1198882 = 32+ 232 + 1 = 7

5

1198883 = 75+ 275 + 1 = 17

12 1198884 = 1712 + 21712 + 1 = 41

29

e viene lrsquoidea di considerare 119886119899 = 1198882119899 che dagrave effettivamente la successione crescenteda cui siamo partiti

119886119899+1 = 1198882119899+2 = 1198882119899+1 + 21198882119899+1 + 1 =

1198882119899 +21198882119899 +1 + 21198882119899 +21198882119899 +1 + 1

= 3119886119899 + 42119886119899 + 3

Si provi con unmetodo analogo a determinare una successione crescente che convergea radic3 o radic5

Quello che occorrerebbe egrave una stima dellrsquoerrore che si commette arrestando i calcolia un certo termine Se consideriamo la successione con termini 119887119899 = 1198882119899+1 si puogravevedere che egrave decrescente e che converge a radic2 con calcoli del tutto analoghi Alloraabbiamo 1198863 le radic2 le 1198873 perciograve lrsquoerrore saragrave inferiore a 1198873 minus1198863 = 1198887 minus 1198886

1198887 minus 1198886 = 577408 minus 239

169 = 168592 lt 0000015

e quindi siamo sicuri di avere tre cifre decimali esatte anche senza conoscere in anti-cipo (con la calcolatrice) un valore approssimato di radic2 Ai tempi in cui le calcolatricinon esistevano le tavole numeriche si compilavano con metodi analoghi a questi

100 studi di funzione

Vediamo un altro esempio per il calcolo di log 119905 con 119905 gt 1 Dividiamo lrsquointervallo[1 119905] in 119899 parti in progressione geometrica i punti di suddivisione saranno

1 = 119899radic1199050 119899radic1199051 119899radic1199052 hellip 119899radic119905119899minus1 119899radic119905119899 = 119886

Per semplicitagrave poniamo 119903 = 119899radic119905 Lrsquoarea che dagrave il logaritmo saragrave maggiore della sommadelle aree dei rettangoli inscritti che si ottengono a partire dalla suddivisione lrsquoarea delrettangolo con base lrsquointervallo [119903119896 119903119896+1] e altezza 1119903119896+1 egrave

(119903119896+1 minus119903119896) 1119903119896+1 = 1minus 1

119903 = 1minus 1119899radic119905

Quindi tutti i rettangoli hanno la stessa area e dunque

119899(1minus 1119899radic119905

) lt log119886

Non occorre fare i conti per verificare che la successione

119886119899 = 119899(1minus 1119899radic119905

)

egrave crescente PercheacuteCerchiamo ora di maggiorare log119886 Siccome 119891(119909) = 1119909 egrave convessa possiamo con-

siderare la stessa suddivisione e i trapezi che si ottengono congiungendo uno con ilsuccessivo i punti del grafico di 119891(119909) = 1119909 corrispondenti a quelle ascisse Lrsquoarea deltrapezio con altezza corrispondente allrsquointervallo [119903119896 119903119896+1] egrave

12( 1

119903119896 + 1119903119896+1 )(119903

119896+1 minus119903119896) = 12(1+ 1

119903)(119903minus 1) = 12(119903minus 1

119903)

e quindi anche qui tutti i trapezi hanno la stessa area La successione

119887119899 = 1198992 ( 119899radic119905minus 1

119899radic119905)

egrave decrescente e abbiamo per ogni 119899 ge 1

119886119899 lt log 119905 lt 119887119899

e quindi 119887119899 minus 119886119899 dagrave una stima dellrsquoerrore commesso quando si prenda 119886119899 oppure 119887119899come valore approssimato di log 119905

119887119899 minus119886119899 = 1198992 119899radic119905

( 119899radic119905minus 1)2

Possiamo scrivere una tabella dei valori approssimati quando 119905 = 2

119899 119886119899 119887119899 119887119899 minus119886119899

1 0500000000000000 0750000000000000 02500000000000002 0585786437626904 0707106781186547 01213203435596424 0636414338985141 0696621399498013 00602070605128718 0663967654362630 0694014757842345 0030047103479715

16 0678347508822821 0693364013830721 001501650500789932 0685694013193595 0693201385062664 000750737186906964 0689407155585569 0693160731447199 0003753575861630

128 0691273794094953 0693150568266857 0001876774171903256 0692209642119647 0693148027485741 0000938385366094512 0692678199823271 0693147392291336 0000469192468065

57 successioni 101

Non egrave grancheacute come velocitagrave di convergenza ma il valore almeno per le prime due cifredecimali egrave esatto infatti log2 asymp 0693147180559945 Il metodo non egrave certamente ilmigliore possibile ma come primo tentativo non possiamo lamentarci Notiamo checi occorre solo calcolare radici quadrate successive se come valori di 119899 prendiamopotenze di 2 Egrave evidente anche geometricamente che i valori 119887119899 sono approssimazionimigliori 119887512 ha la sesta cifra decimale esatta In effetti egrave la stima dellrsquoerrore il puntopiugrave debole

Come potremmo calcolare il valore di 119890 cioegrave del numero tale che log 119890 = 1Napier definigrave inizialmente i logaritmi considerando un numero molto vicino a 1 che possiamo

scrivere come 119887 = 1 + 1119896 (con 119896 abbastanza grande) Dato un numero 119909 cercava allora unesponente 119892(119909) tale che

(1+ 1119896)

119892(119909)asymp 119909

e chiamava 119897(119909) = 119892(119909)119896 il logaritmo di 119909 Il suo ragionamento era che

11990911199092 = 119887119892(1199091)119887119892(1199092) = 119887119892(1199091)+119892(1199092)

e dunque 119897(119909119910) = 119897(119909) + 119897(119910) almeno approssimativamente Con una base vicina a 1 le po-tenze successive non sono troppo lontane lrsquouna dallrsquoaltra e si poteva cosigrave interpolare ottenendouna discreta precisione Per essere rigorosi dal punto di vista storico Napier usava una baseleggermente piugrave piccola di 1 che non cambia sostanzialmente le cose

Aumentando 119896 si dovrebbe ottenere un valore sempre piugrave preciso del logaritmo ma egrave davverocosigrave Chiamiamo 119897119896(119909) il valore che si ottiene usando 119896 dovremmo avere

lim119896rarr+infin

(1+ 1119896)

119896119897119896(119909)= 119909

Prendiamo il vero logaritmo

log(1+ 1119896)

119896119897119896(119909)= log119909

da cui otteniamo chelog119909119897119896(119909) = 119896 log(1+ 1

119896)

e quindi la nostra asserzione egrave equivalente a

lim119896rarr+infin

119896 log(1+ 1119896) = 1

Eseguiamo la sostituzione 119896 = 1ℎ

lim119896rarr+infin

119896 log(1+ 1119896) = lim

ℎrarr0+

log(1 + ℎ)ℎ = logprime 1 = 1

Lrsquoasserzione egrave dunque vera I numeri di Napier sono una buona approssimazione del logarit-mo naturale Ovviamente la definizione moderna egrave piugrave rigorosa piugrave avanti daremo quella lsquouf-ficialersquo che non richiede il concetto intuitivo di area Ma lo scopo di Napier era di evitare lemoltiplicazioni nei calcoli approssimati e lo raggiunse con successo

Conseguenza del limite che abbiamo scritto egrave che

lim119899rarr+infin

(1+ 1119899)

119899= 119890

cioegrave la successione 119886119899 = (1 + 1119899)119899 converge a 119890 Possiamo usarla per ottenere unrsquoapprossi-mazione di 119890 Non precisamente se calcoliamo con molta pazienza 11988610 000 otteniamo il valore271814 che ha solo tre cifre decimali esatte Vedremo piugrave avanti che la successione crescentedefinita da

1198860 = 1 119886119899+1 = 119886119899 + 1(119899+ 1)

converge proprio a 119890

102 studi di funzione

58 la formula di taylor

La nostra definizione di derivata egrave sostanzialmente il coefficiente angolare della rettaper (119909119891(119909)) che meglio approssima il grafico di 119891 vicino al punto dato Che succede-rebbe se volessimo approssimare il grafico con una parabola Ci servirebbe determina-re due coefficienti 119886 e 119887 in modo che

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 119886ℎ+ 119887ℎ2 +ℎ2120595(ℎ)

dove limℎrarr0 120595(ℎ) = 0 in analogia a quanto fatto per la tangente Vediamo un porsquousando il teorema di lrsquoHocircpital senza preoccuparci dei dettagli che sistemeremo inseguito

limℎrarr0

120595(ℎ) = limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus 119886ℎminus 119887ℎ2

ℎ2H= lim

ℎrarr0

119891prime(119909 +ℎ) minus 119886minus 2119887ℎ2ℎ

e affincheacute il limite sia nella forma indeterminata ⟦00⟧ dobbiamo avere 119886 = 119891prime(119909) edunque possiamo procedere

limℎrarr0

120595(ℎ) H= limℎrarr0

119891prime(119909 +ℎ) minus 119891prime(119909) minus 2119887ℎ2ℎ

H= limℎrarr0

119891Prime(119909+ℎ) minus 21198872

e lrsquoultimo limite egrave 0 quando 119887 = 119891Prime(119909)2Ora occupiamoci del rigore stiamo evidentemente supponendo che non solo 119891 sia

derivabile due volte in un intorno di119909 ma anche che la derivata seconda sia continua Ineffetti come abbiamo definito la funzione derivata possiamo anche definire la funzionederivata seconda e cosigrave via Diremo che 119891 egrave derivabile 119899 volte con continuitagrave in unintorno di 119909 se la funzione derivata 119899-esima esiste in un intorno di 119909 ed egrave continuain 119909 Siccome ogni funzione derivabile egrave continua avremo in particolare che in unintorno di 119909 le funzioni derivate fino a quella di ordine 119899minus 1 sono continue

Per avere una notazione uniforme la derivata119899-esima in119909 di119891 si denota con119891(119899)(119909)cosigrave che 119891prime(119909) = 119891(1)(119909) e 119891Prime(119909) = 119891(2)(119909) Poniamo anche per estensione 119891(0)(119909) =119891(119909)

t e o r ema d i t a y l o r Se la funzione 119891 egrave derivabile 119899 volte con continuitagrave in119909 allora esiste un intorno 119880 di 0 tale che se ℎ isin 119880

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 119891prime(119909)1 ℎ + 119891Prime(119909)

2 ℎ2 +⋯+ 119891(119899)(119909)119899 ℎ119899 +120593119899(ℎ)ℎ119899

dove limℎrarr0 120593119899(ℎ) = 0

La tesi egrave vera per 119899 = 1 Supponiamo di averla dimostrata per 119899minus1 Per brevitagrave po-niamo 119886119896 = 119891(119896)(119909)119896 e cerchiamo di vedere che 119886119899 = 119891(119899)119899 egrave proprio il coefficientegiusto in modo che

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 1198861ℎ+⋯+119886119899minus1ℎ119899minus1 +119886119899ℎ119899 +ℎ119899120593119899(ℎ)

e limℎrarr0 120593119899(ℎ) = 0 Possiamo applicare il teorema di lrsquoHocircpital

limℎrarr0

120593119899(ℎ) = limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus (119891(119909) + 1198861ℎ+1198862ℎ2 +⋯+119886119899minus1ℎ119899minus1 +119886119899ℎ119899)ℎ119899

H= limℎrarr0

119891prime(119909+ ℎ) minus (1198861 +21198862ℎ+⋯+ (119899minus 1)119886119899minus1ℎ119899minus2 +119899119886119899ℎ119899minus1)119899ℎ119899minus1

58 la formula di taylor 103

Ma la funzione 119892 = 119891prime soddisfa lrsquoipotesi del teorema per119899minus1 quindi per essa possiamodare per valida la tesi

119892(119909+ℎ) = 119892(119909) + ℎ119892prime(119909)1 + ℎ2119892Prime(119909)

2 +⋯+ℎ119899minus1119892119899minus1(119909)(119899minus 1) + ℎ119899minus1120595(ℎ)

con limℎrarr0 120595(ℎ) = 0 Ma allora

119892(119896minus1)(119909)(119896 minus 1) = 119891(119896)(119909)

(119896 minus 1) = 119896119891(119896)(119909)119896 = 119896119886119896

e quindi

119891prime(119909 + ℎ) minus (1198861 + 21198862ℎ+⋯+ (119899minus 1)119886119899minus1ℎ119899minus2 +119899119886119899ℎ119899minus1) = ℎ119899minus1120595(ℎ)

Perciograve tornando al limite di partenza

limℎrarr0

120593119899(ℎ) = limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus (119891(119909) + 1198861ℎ+1198862ℎ2 +⋯+119886119899minus1ℎ119899minus1 +119886119899ℎ119899)ℎ119899

H= limℎrarr0

119891prime(119909+ ℎ) minus (1198861 +21198862ℎ+⋯+ (119899minus 1)119886119899minus1ℎ119899minus2 +119899119886119899ℎ119899minus1)119899ℎ119899minus1

= limℎrarr0

ℎ119899minus1120595(ℎ)119899ℎ119899minus1 = lim

ℎrarr0

120595(ℎ)119899 = 0

esattamente come richiesto

Vediamo una possibile applicazione di questo teorema Vogliamo calcolare

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093

senza usare il teorema di lrsquoHocircpital Scriviamo lo sviluppo di Taylor di sin119909 con 119899 = 3

sin119909 = sin(0 + 119909)

= sin0 +119909 sinprime 01 + 1199092 sinPrime 0

2 + 1199093 sin 03 + 11990931205933(119909)

= 119909minus 161199093 +11990931205933(119909)

e dunque il nostro limite egrave

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093 = lim

119909rarr0

119909minus119909+11990936 minus11990931205933(119909)1199093 = lim

119909rarr0

16 minus1205933(119909) = 1

6

Con il teorema di lrsquoHocircpital avremmo dovuto operare due volte

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093

H= 1minus cos11990931199092

H= sin1199096119909 = 1

6

Molto spesso il teorema di Taylor evita lrsquoapplicazione ripetuta del teorema di lrsquoHocirc-pital per meglio dire egrave una conseguenza del teorema di lrsquoHocircpital e ne semplificalrsquoapplicazione

La funzione che ha lo sviluppo di Taylor piugrave semplice a parte i polinomi egrave lrsquoespo-nenziale

exp119909 = exp0 +119909expprime 01 + 1199092 expPrime 0

2 +⋯+119909119899 exp(119899) 0119899 + 119909119899120593119899(119909)

= 1+119909+ 1199092

2 +⋯+ 119909119899

119899 + 119909119899120593119899(119909)

104 studi di funzione

(Notiamo che qui crsquoegrave 119909 dove prima abbiamo usato ℎ ovviamente non cambia nulla)Ci interessa almeno in qualche caso particolare studiare il comportamento di120593119899(119909)

t e o r ema d i t a y l o r - l a g r ang e Supponiamo che la funzione 119891 sia deri-vabile 119899 + 1 volte con continuitagrave in un intervallo 119868 Allora se 119909119909 + ℎ isin 119868 siha

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 119891prime(119909)1 ℎ + 119891Prime(119909)

2 ℎ2 +⋯+ 119891(119899)(119909)119899 ℎ119899 + 119891(119899+1)(119888)

(119899+ 1) ℎ119899+1

per un opportuno 119888 tra 119909 e 119909+ℎ

Poniamo

119901(ℎ) = 119891(119909) + ℎ119891prime(119909) + ℎ2

2 119891Prime(119909) +⋯+ ℎ119899

119899 119891(119899)(119909)

Allora 119901(0) = 119891(119909) e se deriviamo (rispetto a ℎ) scopriamo che 119901prime(0) = 119891prime(119909) 119901Prime(0) = 119891Prime(119909)e cosigrave via Se poniamo

119892(ℎ) = 119891(119909+ℎ) minus 119901(ℎ)

per la funzione 119892 vale119892(0) = 119892prime(0) = 119892Prime(0) = ⋯ = 119892(119899)(0) = 0

e ognuna delle funzioni 119892 119892prime 119892Prime hellip 119892(119899) egrave una funzione di LagrangeLo stesso possiamo dire della funzione 119866(ℎ) = ℎ119899+1

119866(0) = 119866prime(0) = 119866Prime(0) = ⋯ = 119866(119899)(0) = 0

e inoltre queste funzioni si annullano solo in 0 Perciograve possiamo applicare il teorema di Cauchy

119892(ℎ)119866(ℎ) = 119892(ℎ) minus 119892(0)

119866(ℎ) minus119866(0) = 119892prime(ℎ1)119866(ℎ1)

per un opportuno ℎ1 tra 0 e ℎ Ma possiamo andare avanti

119892prime(ℎ1)119866(ℎ1)

= 119892prime(ℎ1) minus 119892prime(0)119866(ℎ1) minus 119866prime(0) = 119892Prime(ℎ2)

119866(ℎ2)

per un opportuno ℎ2 tra 0 e ℎ1 e cosigrave via fino a

119892(119899)(ℎ119899)119866(119899)(ℎ119899)

= 119892(119899)(ℎ119899) minus 119892(119899)(0)119866(119899)(ℎ119899) minus 119866(119899)(0) = 119892(119899+1)(ℎ119899+1)

119866(119899+1)(ℎ119899+1)

per un opportuno ℎ119899+1 tra 0 e ℎ119899 Ora 119866(119899)(ℎ119899+1) = (119899+ 1) mentre 119892(119899+1)(ℎ119899+1) = 119891(119899+1)(119909+ℎ119899+1) dunque per 119888 = 119909+ℎ119899+1 abbiamo proprio

119891(119909+ℎ) = 119901(ℎ) + 119891(119899+1)(119888)(119899+ 1) ℎ

119899+1

In certi casi questo teorema ci dagrave informazioni molto utili sulla funzione 119891 peresempio per lrsquoesponenziale abbiamo

exp(119899+1) 119888 = exp119888 lt 3119888

e dunque prendendo 119909 = 0 e ℎ = 1

119890 = exp1 = 1+ 11 +

12 +⋯+ 1

119899 +exp119888

(119899+ 1)

con 0 lt 119888 lt 1 da cui otteniamo che

119890 minus (1+ 11 +

12 +⋯+ 1

119899) = exp119888(119899+ 1) lt

3119888

(119899+ 1) lt3

(119899+ 1)

58 la formula di taylor 105

Dunque lrsquoerrore che si commette prendendo come valore approssimato di 119890 lrsquoespres-sione tra parentesi egrave minore di 3(119899+ 1) Per 119899 = 7 si ha 38asymp 00000744 e dunquelrsquoespressione dagrave il valore di 119890 con tre cifre decimali esatte

1 + 11 +⋯+ 1

7 asymp 271825

mentre 119890 asymp 271828 Le cifre esatte sono in realtagrave quattroCon questa rappresentazione possiamo anche dimostrare che 119890 egrave irrazionale Sup-

poniamo infatti per assurdo che 119890 = 119886119887 con 119886 e 119887 interi Prendiamo 119899 gt 119887 allora

0 lt (119890 minus (1+ 11 +

12 +⋯+ 1

119899))119899= exp119888(119899+ 1)119899= exp119888

119899+ 1 lt 3119899+ 1

Ma lrsquoespressione iniziale egrave per ipotesi un numero intero mentre 3(119899 + 1) lt 1 se119899+1 gt 3 contraddizione Dimostrare che 119890 egrave trascendente cioegrave non egrave radice di alcunpolinomio a coefficienti interi egrave molto piugrave complicato

Non sempre lo sviluppo di Taylor dagrave buoni risultati due funzioni diverse possono avere ameno del resto lo stesso sviluppo di Taylor cioegrave le stesse derivate in un punto

Un esempio che puograve illustrare bene questo fenomeno egrave di una funzione che ha tutte le derivatein un certo punto nulle ma non egrave la funzione nulla Partiamo un porsquo da distante e consideriamola funzione

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) exp(minus 1

1199092 )

dove 119875 e 119876 sono polinomi (non nulli) La funzione 119891 egrave definita in un intorno di 0 escluso 0 e ciproponiamo di calcolare

lim119909rarr0+

119891(119909) = lim119905rarr+infin

119875(1119905)119876(1119905) exp(minus1199052)

Facciamo lrsquoesempio di 119875(119909) = 3+119909+1199092 119876(119909) = 1+ 2119909minus1199092 +1199093 allora

119875(1119905)119876(1119905) =

3+ 1119905 + 1

1199052

1 + 2119905 minus 1

1199052 + 11199053

= 11990531199052

31199052 + 119905+ 11199053 + 21199052 minus 119905+ 1

e ne ricaviamo che119875(1119905)119876(1119905) = 1198751(119905)

1198761(119905)dove 1198751 e 1198761 sono polinomi Piugrave in generale se il grado di 119875 egrave 119898 e quello di 119876 egrave 119899 la stessaprocedura ci daragrave

119875(1119905)119876(1119905) = 119905119899

1199051198981198750(119905)1198760(119905)

= 1198751(119905)1198761(119905)

e abbiamo ottenuto quello che volevamo Il nostro limite allora se 1198751 ha grado maggiore di 0diventa della forma ⟦ infininfin⟧ e quindi

lim119905rarr+infin

1198751(119905)1198761(119905) exp(1199052)

H= lim119905rarr+infin

119875prime1(119905)

(119876prime1(119905) + 21199051198761(119905)) exp(1199052)

Il numeratore ha grado minore del grado di 1198751 il denominatore egrave exp(1199052)moltiplicato per un poli-nomio che ha grado maggiore di 1198761 Applicando ancora il teorema di lrsquoHocircpital possiamo via viadiminuire il grado del numeratore fino ad arrivare a 0 a quel punto il limite egrave evidentemente 0Non ci sarebbe bisogno di nulla di ciograve se il grado di 1198751 fosse 0

In modo del tutto analogo possiamo procedere con il limite da sinistra e perciograve abbiamodimostrato che

lim119909rarr0

119875(119909)119876(119909) exp(minus 1

1199092 ) = 0

quando 119875 e 119876 sono polinomi non nulliConsideriamo allora la funzione cosigrave definita

119865(119909) =⎧⎨⎩

0 se 119909 = 0exp(minus11199092) se 119909 ne 0

106 studi di funzione

La funzione egrave continua per quanto appena visto basta prendere 119875 = 119876 = 1 Possiamo calcolarela derivata 119865(119909) per 119909 ne 0

119865prime(119909) = 21199093 exp(minus11199092)

e lo stesso conto precedente dice che

119865prime(0) = lim119909rarr0

119865prime(119909) = 0

Dunque abbiamo che la derivata di 119865 esiste in 0 e che 119865prime egrave continua Vediamo la derivata secondasempre per 119909 ne 0

119865Prime(119909) = minus61199094 exp(minus11199092) + 2

119909321199093 exp(minus11199092)

= minus61199092 +41199096 exp(minus11199092)

e quindi 119865Prime(0) = lim119909rarr0 119865Prime(119909) = 0 ancora per il limite precedente Non egrave difficile dimostrareper induzione che ogni derivata successiva ha per 119909 ne 0 la forma del limite di prima e quindile derivate di 119865 in 0 si annullano tutte se la derivata 119899-esima egrave

119865(119899)(119909) = 119875(119909)119876(119909) exp(minus11199092)

allora

119865(119899+1)(119909) = 119875prime(119909)119876(119909) minus 119875(119909)119876prime(119909)119876(119909)2 exp(minus11199092) + 119875(119909)

119876(119909)21199093 exp(minus11199092)

= 1198750(119909)1198760(119909) exp(minus11199092)

per opportuni polinomi 1198750 e 1198760 la dimostrazione egrave completaIn definitiva la funzione non nulla 119865 ha tutte le derivate ovunque e 119865(119899)(0) = 0 per ogni 119899

Crsquoegrave unrsquoaltra importante applicazione della formula di Taylor che riguarda i massimie i minimi Talvolta egrave complicato studiare quando la derivata egrave positiva o negativamentre puograve essere piugrave comodo calcolare la derivata seconda ammesso che la funzio-ne sia derivabile due volte con continuitagrave Egrave chiaro dalla discussione su concavitagrave econvessitagrave che se 119891 (derivabile due volte con continuitagrave) ha in 119909 un punto di massimointerno al dominio allora deve essere concava in un intorno di 119909 saragrave convessa in unintorno di ciascun punto di minimo interno al dominio Perciograve nel caso in cui sappia-mo che 119891prime(119909) = 0 e 119891Prime(119909) gt 0 (sempre supponendo che 119891 sia derivabile due volte concontinuitagrave) possiamo affermare che 119909 egrave un punto di minimo

Puograve perograve accadere che 119891prime(119909) = 119891Prime(119909) = 0 e il metodo precedente non permette diconcludere lrsquoesempio usuale egrave 119891(119909) = 1199094 Egrave ovvio che 0 egrave un punto di minimo ma119891prime(0) = 119891Prime(0) = 0 Qui certamente lo studio della derivata egrave facile 119891prime(119909) = 41199093quindi 119891 egrave decrescente in (larr 0] e crescente in [0 rarr)

c r i t e r i o p e r ma s s i m i e m i n i m i Supponiamo che la funzione 119891 siaderivabile 119899 volte con continuitagrave in 119909 e che

119891prime(119909) = 119891Prime(119909) = ⋯ = 119891(119899minus1)(119909) = 0 119891(119899)(119909) ne 0

Se 119899 egrave dispari 119891 ha un flesso in 119909 se 119899 egrave pari 119909 egrave un punto di massimo se 119891(119899)(119909) lt0 e un punto di minimo se 119891(119899)(119909) gt 0

Possiamo scrivere per ℎ in un opportuno intorno 119880 di zero

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) = (119891(119899)(119909)119899 +120593119899(ℎ))ℎ119899

59 calcolo di limiti con gli sviluppi di taylor 107

e siccome limℎrarr0 120593119899(ℎ) = 0 esiste un intorno 119881 di zero tale che per ℎ isin 119881 si abbia

|120593119899(ℎ)| lt |119891(119899)(119909)119899 |

Nel caso di 119899 pari abbiamo dunque che per ℎ isin 119881 119891(119909 + ℎ) minus 119891(119909) egrave concorde con119891(119899)(119909) quindi maggiore di zero oppure minore di zero e dunque 119909 egrave rispettivamenteun punto di minimo o un punto di massimo

Nel caso di 119899 dispari avremo che 119891(119909 + ℎ) assume segno opposto per ℎ lt 0 e perℎ gt 0

Un esempio semplice egrave quello di 119891(119909) = 1199094 minus 141199092 + 24119909+ 1 si ha 119891prime(119909) = 41199093 minus28119909+24 che si annulla inminus3 1 e 2 Si puograve studiare il segno della derivata ma possiamoanche calcolare 119891Prime(119909) = 4(31199092 minus 7) e quindi

119891Prime(minus3) = 4(27 minus 7) gt 0 119891Prime(1) = 4(3 minus 7) lt 0 119891Prime(2) = 4(12 minus 7) gt 0

Perciograve minus3 egrave un punto di minimo 1 un punto di massimo e 2 un punto di minimoIl criterio egrave forse piugrave utile quando non si possono determinare in modo lsquoesattorsquo i

punti dove si annulla la derivata Consideriamo per esempio 119891(119909) = 119890119909 + 1199092 Laderivata 119891prime(119909) = 119890119909 +2119909 si annulla in un punto 119903 dove 119890119903 = minus2119903 La derivata secondaegrave 119891Prime(119909) = 119890119909 + 2 gt 0 quindi 119903 egrave certamente un punto di minimo

59 calcolo di limiti con gli sviluppi di taylor

Abbiamo giagrave visto qualche esempio di calcolo di limiti la tecnica egrave spesso presentata inunmodo leggermente diverso con una notazione un porsquo strana mamolto maneggevole

Tratteremo qui solo limiti a 0 gli altri casi si gestiscono con una semplice sostituzio-ne 119911 = 119909minus 119888 per i limiti a 119888 119911 = 1119909 per i limiti a infinito

Il teorema di Taylor ci dice che data una funzione 119891 derivabile119899 volte con continuitagravein 0 si puograve scrivere

119891(119909) = 119891(0) + 119891prime(0)1 119909 + 119891Prime(0)

2 +⋯+ 119891(119899)(0)119899 119909119899 +120593119899(119909)119909119899

ed egrave comune indicare il termine 120593119899(119909)119909119899 con 119900(119909119899) Piugrave precisamente con 119900(119909119899) siintende una funzione di 119909 con la proprietagrave che

lim119909rarr0

119900(119909119899)119909119899 = 0

Si faccia molta attenzione al fatto che 119900(119909119899) minus 119900(119909119899) = 119900(119909119899) non si possono sempli-ficare gli ldquoo piccolirdquo Prendendo a prestito un termine della programmazione si trattadi una ldquovariabile senza nomerdquo della funzione sappiamo che esiste e che ha una certaproprietagrave Possiamo scrivere alcune relazioni utili

1 119900(119909119898)119909119899 = 119900(119909119898+119899)

2 se 119898 ge 119899 119900(119909119898)119909119899 = 119900(119909119898minus119899)

3 se 119898 le 119899 allora 119900(119909119898) + 119900(119909119899) = 119900(119909119898)

La definizione di 119900(119909119899) egrave piugrave complicata ma quando usata negli sviluppi di Taylor egrave equiva-lente a quella data

108 studi di funzione

Supponiamo di dover calcolare un limite alquanto complicato come

lim119909rarr1

3radic21199092 minus 1minusradic119909119909minus 1

che per prima cosa trasformiamo con la sostituzione 119909 = 119905+ 1 in

lim119905rarr0

3radic21199052 + 4119905+ 1minusradic119905+ 1119905

Possiamo provare con lo sviluppo di Taylor al primo ordine

3radic1+ 4119905 + 21199052 = 1+ 13(4119905 + 21199052) + 119900(119905)

Percheacute 119900(119905) e non 119900(4119905 + 21199052) Percheacute 119900(2119905) = 119900(119905) e 119900(2 + 119905) = 119900(1) = 119900(1199050)Similmente

radic1+ 119905 = 1+ 12119905 + 119900(119905)

e quindi il limite puograve essere scritto come

lim119905rarr0

1 + 13 (4119905 + 21199052) + 119900(119905) minus (1 + 1

2119905 + 119900(119905)) 119905 = lim

119905rarr0

56119905 + 2

31199052 + 119900(119905)119905 = 5

6

Per la veritagrave non egrave necessario tutto questo macchinario percheacute la funzione 119891(119909) =3radic21199092 minus1minusradic119909 soddisfa 119891(1) = 0 e quindi il limite da calcolare egrave 119891prime(1) siccome

119891prime(119909) = 41199093 3radic(21199092 minus 1)2

minus 12radic119909

e quindi119891prime(1) = 4

3 minus 12 = 5

6ma lrsquoidea era proprio di verificare che si giunge alla stessa conclusione

La tecnica egrave benvenuta in situazioni piugrave complicate in cui il calcolo di derivatesuccessive egrave complicato Consideriamo

lim119909rarr0

log(1 + 119909 arctan119909) + 1minus 1198901199092

radic1+ 21199094 minus 1

e calcoliamo con pazienza gli sviluppi di Taylor Il denominatore sembra piugrave semplicee infatti

radic1+ 21199094 = 1+ 21199094

2 + 119900(1199094) minus 1 = 1199094 + 119900(1199094)

che dice di calcolare sviluppi fino al quarto ordine anche nel numeratore Abbiamo

log(1 + 119909 arctan119909) = 119909 arctan119909minus 12(119909 arctan119909)2 + 119900((119909 arctan119909)2)

= 119909(119909minus 131199093 + 119900(1199093)) minus 1199092

2 (119909+ 119900(1199092))2 + 119900(1199094)

= 1199092 minus 431199094 + 119900(1199094)

e per finire1198901199092 = 1+1199092 + 1

21199094 + 119900(1199094)

che ci dagrave il limite nella forma

lim119909rarr0

minus431199094 + 119900(1199094)1199094 + 119900(1199094) = lim

119909rarr0

minus43 + 119900(1199094)

1199094

1 + 119900(1199094)1199094

= minus43

510 curvatura 109

Il passaggio intermedio puograve certamente essere omesso Un ultimo esempio

lim119909rarr+infin

( 119909minus1199092 log(1 + sin 1119909)) = lim

119905rarr0+

119905 minus log(1 + sin 119905)1199052

= lim119905rarr0+

119905 minus sin 119905 + 12 sin2 119905 + 119900(sin3 119905)

1199052

= lim119905rarr0+

119905 minus 119905 + 121199052 + 119900(1199053)1199052

= 12

510 curvatura

Lrsquoidea di approssimare una curva con la tangente puograve essere generalizzata in modo di-verso rispetto a quanto abbiamo fatto con lo sviluppo di Taylor ci interessa per esem-pio dare una misura di quanto un grafico ldquosia curvordquo in un punto Come la retta puograveessere presa per lrsquoapprossimazione la circonferenza puograve essere presa come indicatricedella curvatura piugrave precisamente una semicirconferenza che quindi egrave il grafico di unafunzione 120574 Ci domandiamo che proprietagrave deve avere 120574 per rappresentare la semicir-conferenza che meglio approssima una funzione vicino a un suo punto Se la funzioneegrave 119891 definita in un intorno del punto 119888 che ci interessa dovremo evidentemente avere

120574(119888) = 119891(119888) 120574prime(119888) = 119891prime(119888)

cioegrave la curva e la semicirconferenza devono avere in comune la tangente Lrsquoidea tenen-do conto degli sviluppi di Taylor si suggerisce da sola una circonferenza egrave determinatada tre dati e ne abbiamo giagrave due Come terzo imporremo che

120574Prime(119888) = 119891Prime(119888)

naturalmente supponendo che 119891 abbia la derivata seconda in 119888 Non crsquoegrave bisogno discrivere esplicitamente la funzione 120574 anche se saremmo in grado di farlo Ricordiamoinvece che dovragrave soddisfare lrsquoequazione

1199092 +120574(119909)2 minus 2119886119909minus 2119887120574(119909) + 1198862 +1198872 minus1199032 = 0

dove (119886119887) egrave il centro e 119903 il raggio 119886 119887 e 119903 sono le nostre incogniteTrattiamo prima un caso speciale trovare il cerchio osculatore (cioegrave la circonferenza

che meglio approssima la curva) alla funzione 119865 nel punto di ascissa 0 e supponiamoanche che 119865(0) = 0 La nostra funzione 120574 dovragrave allora soddisfare

1198832 +120574(119883)2 minus 2119886119883minus 2119887120574(119883) = 0

e capiremo fra poco percheacute usiamo 119883 come variabile Possiamo derivare rispetto a 119883la relazione ottenendo

2119883+ 2120574(119883)120574prime(119883) minus 2119886minus 2119887120574prime(119883) = 0

e derivare unrsquoaltra volta dopo aver diviso per 2

1 + 120574prime(119883)2 +120574(119883)120574Prime(119883) minus 119887120574Prime(119883) = 0

Possiamo allora sostituire 119883 = 0 in entrambe le relazioni ottenute ricordando chevogliamo

120574(0) = 119865(0) = 0 120574prime(0) = 119865prime(0) = 119898 120574Prime(0) = 119865Prime(0) = 119899

110 studi di funzione

Abbiamo quindi le due condizioni

⎧⎨⎩

119886+ 119887119898 = 01+1198982 minus119887119899 = 0

che danno evidentemente⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

119886 = minus119898(1+1198982)119899

119887 = 1+1198982

119899

purcheacute ovviamente 119899 ne 0 In questo caso il raggio 119903 si ottiene come distanza delcentro da un punto della circonferenza cioegrave (0 0)

1199032 = (1+1198982)31198992

La quantitagrave120594 = 119899

radic(1+1198982)3si chiama curvatura Nel caso di 119899 = 0 la curvatura egrave nulla altrimenti il modulo delreciproco della curvatura egrave il raggio di curvatura

Come facciamo a passare al caso generale Con una traslazione Se la nostra funzio-ne egrave 119891 e il punto che ci interessa egrave 119888 possiamo considerare la funzione

119865(119909) = 119891(119909+ 119888) minus 119891(119888)

e vediamo subito che 119865(0) = 0 119865prime(0) = 119891prime(119888) e 119865Prime(0) = 119891Prime(119888) Dunque il centro dicurvatura ha coordinate

(119888minus 119891prime(119888)(1 + 119891prime(119888)2)119891Prime(119888) 119891(119888) + 1+119891prime(119888)2

119891Prime(119888) )

e la curvatura egrave120594119891(119888) =

119891Prime(119888)(1 + 119891prime(119888)2)32

Il luogo dei centri di curvatura di una curva data si chiama la sua evolutaVediamone un paio di esempi Il primo egrave lrsquoevoluta della parabola di equazione 119910 =

1199092 che possiamo pensare come il grafico di 119891(119909) = 1199092 Allora i centri di curvaturahanno coordinate

119909 = 119888minus 119891prime(119888)(1 + 119891prime(119888)2)119891Prime(119888) = 119888minus 2119888(1 + 41198882)

2

119910 = 119891(119888) + 1+119891prime(119888)2119891Prime(119888) = 1198882 + (1+ 41198882)

2

Dalla seconda otteniamo2119910 = 1+ 61198882

quindi 1198882 = (2119910minus 1)6 La prima equazione diventa

119909 = minus41198883

da cui 119888 = minus 3radic1199094 e sostituendo nellrsquoaltra

6 3

radic1199092

16 = 2119910minus 1

che puograve essere studiata come il grafico di una funzioneIn un punto di flesso (dove la derivata seconda si annulla) la curvatura egrave 0 come

del resto ci si attende Tuttavia la curvatura puograve essere nulla anche in punti che nonsono flessi per 119891(119909) = 1199094 abbiamo 120594119891(0) = 0 ma evidentemente questo egrave un puntodi minimo

6INTEGRAL I

61 calcolo delle aree

Il problema di calcolare le aree di figure delimitate da linee curve egrave molto antico la lo-cuzione ldquoquadratura del cerchiordquo si riferisce a un problema che i geometri greci comin-ciarono a studiare venticinque secoli fa Archimede (Ἀρχιμήδης 287 aCndash212 aC) diedeuna soluzione del problema dellrsquoarea dimostrando che il rapporto tra lrsquoarea del cerchioe il quadrato del raggio egrave uguale al rapporto tra la lunghezza della circonferenza e ildiametro Continuava perograve a sfuggire la quadratura con riga e compasso costruire conriga e compasso un quadrato avente area uguale a quella di un cerchio dato o comesegue dal risultato di Archimede costruire con riga e compasso un segmento lungoquanto una circonferenza data

Questo problema non ha soluzione ma si dovette aspettare fino al 1882 per stabilirloFerdinand von Lindemann (1852ndash1939) dimostrograve che 120587 non egrave radice di alcun polinomioa coefficienti interi nel 1837 Pierre Wantzel (1814ndash1848) aveva dimostrato che affincheacutela quadratura del cerchio sia possibile egrave necessario che 120587 sia radice di un polinomio acoefficienti interi Wantzel aveva dimostrato ben di piugrave in realtagrave trovando un metodoper decidere se una certa costruzione con riga e compasso egrave possibile Non che sia rile-vante la costruibilitagrave con riga e compasso fin dagli studi di Reacuteneacute Descartes (1596ndash1650)la matematica aveva cominciato a svincolarsi da questa limitazione e non va dimen-ticato che anche gli antichi greci studiavano curve che non potevano essere tracciateneppure per punti con riga e compasso

Archimede fu il primo a dare una quadratura di unrsquoarea delimitata da una sezione co-nica quella del settore parabolico Si prenda una corda di una parabola questa delimitaunrsquoarea finita che Archimede calcolograve come due terzi del rettangolo che ha come basela corda e altezza uguale al massimo dei segmenti perpendicolari alla corda da essaallrsquoarco di parabola Dimostrograve anche che lrsquoarea di unrsquoellisse di semiassi 119886 e 119887 egrave 120587119886119887 Ilmetodo usato da Archimede per questi calcoli fu detto di esaustione cioegrave esaurimentosi inseriscono nellrsquoarea rettangoli o triangoli opportunamente scelti in modo che dimi-nuendo via via lrsquoarea di ciascun rettangolo o triangolo ci si possa discostare dallrsquoareavera meno di qualsiasi tolleranza prefissata Non occorre conoscere giagrave lrsquoarea percheacute sipossono anche costruire rettangoli o triangoli che coprono lrsquoarea stessa sbordando main modo che la differenza tra le aree esterne e quelle interne sia piugrave piccola di qualsiasitolleranza prefissata Abbiamo giagrave usato un metodo simile quando abbiamo calcolatoun valore approssimato di log2 Archimede si servigrave di questo metodo per calcolareinnumerevoli aree e anche volumi generalizzandolo alle tre dimensioni Il metodo perla veritagrave era stato inventato da Eudosso (Ὁ Εὔδοξος ὁ Κνίδος 408 aCndash355 aC) ma fuArchimede a portarlo ai massimi livelli

Vediamo come fece Archimede a calcolare lrsquoarea del settore parabolico Chiamati 119860e 119861 i vertici della corda cercograve di inscrivere nel settore il massimo triangolo che abbiavertici in 119860 e 119861 e il terzo vertice sullrsquoarco 119860119861 di parabola chiamiamo 1198620 questo ver-tice Archimede scoprigrave che proiettando sulla direttrice i tre punti in 119860prime 119861prime e 119862prime

0 119862prime0 egrave

il punto medio di 119860prime119861prime Si accorse poi che i massimi triangoli inscritti nei due settoriparabolici che avanzano hanno la stessa area la costruzione si puograve ripetere indefinita-mente ottenendo approssimazioni sempre piugrave precise dellrsquoarea del settore parabolicoAccompagnograve poi con la costruzione di corrispondenti aree lsquoesternersquo e poteacute dimostrarerigorosamente la sua formula

Noi abbiamo a disposizione la geometria analitica e possiamo fare a meno delle dif-ficili dimostrazioni geometriche di Archimede Consideriamo dunque la parabola di

111

112 integrali

equazione 119910 = 1198861199092 con 119886 gt 0 e consideriamo il settore parabolico delimitato dallacorda avente vertici in 119860(1199011198861199012) e 119861(1199021198861199022) (119901 lt 119902)

Dobbiamo trovare per prima cosa il massimo triangolo inscritto Questo avragrave vertice119862(1199091198861199092) per 0 lt 119909 lt 119902 Sappiamo calcolare lrsquoarea di un triangolo date le coordinatedei vertici

Area(119860119861119862) = 12

||||||||det⎡⎢⎢

⎣

1 119901 1198861199012

1 119909 1198861199092

1 119902 1198861199022

⎤⎥⎥⎦

||||||||= 1

2119886(119902 minus 119901)(119909minus 119901)(119902 minus119909)

Se consideriamo la funzione 119891(119909) = (119909 minus 119901)(119902 minus 119909) definita in [119901 119902] lrsquoarea saragravemassima quando questa funzione assume il valore massimo Il problema egrave banale (ilgrafico di 119891 egrave un arco di parabola) ma visto che abbiamo a disposizione il calcololo usiamo la derivata egrave 119891prime(119909) = 119902 minus 119909 minus (119909 minus 119901) = 119901 + 119902 minus 2119909 che egrave positiva per119901 le 119909 lt (119901 + 119902)2 e negativa per (119901 + 119902)2 lt 119909 le 119902 Dunque il punto di massimo egrave(119901 + 119902)2 esattamente come dimostrato da Archimede

Il punto 1198620 ha dunque ascissa (119901 + 119902)2 e lrsquoarea del triangolo 1198601198611198620 egrave

12119886(119902minus 119901)119891(119901+ 119902

2 ) = 1198868 (119902 minus 119901)3

e vediamo che questrsquoarea dipende solo dalla differenza delle ascisse di 119860 e di 119861 Proce-diamo dunque come Archimede valutando i settori rimanenti

Poniamo 119889 = 119902 minus 119901 I due settori parabolici che rimangono corrispondono a proie-zioni sulla direttrice (o sullrsquoasse delle ascisse che egrave lo stesso) metagrave della precedenteproiezione quindi le aree dei due triangoli massimi saranno

11988681198893

23

Ci avanzeranno quattro settori parabolici in cui i triangoli massimi hanno la stessa areae corrispondono a proiezioni lunghe 1198894 quindi hanno ciascuno area

1198868

1198893

(22)3

Lrsquoarea coperta fino a questo punto egrave a parte il fattore moltiplicativo 11988611988938 che nonscriviamo

20 1(20)3 +21 1

(21)3 + 22 1(22)3

Procediamo allo stesso modo con 23 settori 24 settori e cosigrave via fino a 2119899 settoriottenendo

119886119899 = 140 + 1

41 + 142 +hellip 1

4119899minus1 + 14119899 =

1minus 14119899+1

1minus 14

Siccome lim119899rarr+infin 4119899+1 = +infin egrave evidente che

lim119899rarr+infin

119886119899 = 43

Occorrerebbe costruire i poligoni circoscritti che completano il metodo di esaustionema sembra intuitivamente chiaro che lrsquoarea del settore parabolico egrave

1198861198893

843 = 1198861198893

6

61 calcolo delle aree 113

Non ci resta che calcolare la base del settore e lrsquoaltezza per ritrovare la formula diArchimede La base egrave 119860119861 la cui lunghezza egrave

119887 = radic(119902minus 119901)2 + (1198861199022 minus1198861199012)2 = 119889radic1+ 1198862(119901 + 119902)2

mentre lrsquoaltezza egrave evidentemente

ℎ = 2Area(1198601198611198620)119887 = 2119886

81198893

119887 = 1198861198893

4119887

e si ha23119887ℎ = 2

31198871198861198893

4119887 = 1198861198893

6

come dimostrato da Archimede Il metodo usato a parte dettagli rispecchia proprioquello di Archimede

Con unrsquoesaustione complicata basata sui poligoni regolari inscritti e circoscritti Ar-chimede dimostrograve la sua lsquoquadraturarsquo del cerchio e riuscigrave anche a dare un valore ap-prossimato piuttosto buono di 120587 cioegrave 227

Il problema fondamentale del metodo di esaustione egrave che richiede una soluzionelsquofurbarsquo per ogni problema qualche volta triangoli qualche volta poligoni regolari qual-che volta rettangoli Nel diciassettesimo secolo Bonaventura Cavalieri (1598ndash1647) e isuoi allievi e collaboratori fra cui Evangelista Torricelli (1608ndash1647) che era stato an-che allievo di Galileo Galilei (1564ndash1642) idearono il cosiddetto metodo degli indivisibiliche dava risultati coincidenti con quelli classici evitando le costruzioni complicate Pa-re da recenti ritrovamenti che lo stesso Archimede adoperasse un metodo simile pervalutare le aree e i volumi che poi giustificava rigorosamente con lrsquoesaustione

Qual era lrsquoobiezione principale al metodo degli indivisibili Che non aveva alcunabase teorica Tuttavia non ce lrsquoavevano nemmeno le derivate di Fermat e scarsamentefondato era anche il calcolo di Isaac Newton (16421643ndash1727) e Leibniz Fincheacute con ilmetodo di Cavalieri si ritrovavano risultati classici il problema non si poneva ma eraammissibile usarlo per dimostrare nuove cose

Fermat si interessograve al problema cercando un metodo diverso Consideriamo la pa-rabola generalizzata di equazione 119910 = 119886119909119896 con 119896 intero vogliamo trovare lrsquoarea com-presa tra il segmento di estremi (0 0) e (119902 0) quello di estremi (119902 0) e (119902 119902119896) dove119902 gt 0 e lrsquoarco corrispondente della curva Fissiamo un numero 119864 con 0 lt 119864 lt 1 e peril momento i punti sullrsquoasse delle ascisse 1199030 = 119902 1199031 = 119902119864 1199032 = 1199021198642 hellip 119903119899 = 119902119864119899Costruiamo i rettangoli lsquoesternirsquo di vertici (in senso antiorario)

(119903119895 0) (119903119895 119886119903119896119895 ) (119903119895+1 119886119903119896

119895 ) (119903119895+1 0)

(per 119895 = 0 1hellip 119899minus 1) Lrsquoarea del 119895-esimo rettangolo egrave

(119903119895+1 minus119903119895)119886119903119896119895 = (119902119864119895 minus119902119864119895+1)119886119902119896119864119896119895

= 119886119902119896+1(1 minus 119864)119864119895119864119896119895

= 119886119902119896+1(1 minus 119864)119864(119896+1)119895

e dunque possiamo scrivere la somma delle aree come

119886(119864)119899 = 119886119902119896

119864 (119864minus 1)(1 + 119865+ 1198652 +⋯+119865119899minus1)

dove 119865 = 119864119896+1 Il trucco di Fermat egrave di far diventare 119899 grande in modo che

1 + 119865+ 1198652 +⋯+119865119899 +⋯ = 11minus 119865

114 integrali

e quindi di poter considerare lrsquoapprossimazione con lsquoinfinitirsquo rettangoli esterni come

119886(119864) = 119886119902119896+1 1minus 1198641minus 119864119896+1 = 119886119902119896+1

1+ 119864+ 1198642 +⋯+119864119896

Facendo avvicinare 119864 a 1 i rettangoli si stringono sempre di piugrave approssimando sempremeglio lrsquoarea e perciograve Fermat concludeva che lrsquoarea cercata egrave

119878(119902) = 119886119902119896+1

119896+ 1

Se adesso vogliamo lrsquoarea del settore lsquoparabolicorsquo compreso tra i punti di ascissa 119901 e 119902con 0 lt 119901 lt 119902 basta una differenza il trapezio ha area (119902 minus 119901)(119886119902119896 + 119886119901119896)2 lrsquoareache dobbiamo trascurare egrave 119878(119902) minus 119878(119901) e quindi si ottiene

119860119896(119901 119902) = (119902minus 119901)119886119902119896 +119886119901119896

2 minus 119886119902119896+1 minus119886119901119896+1

119896+ 1

Nel caso di 119896 pari si puograve usare questa formula anche per valori negativi di 119901 e 119902 purcheacutesia sempre 119901 lt 119902 Ne caso di 119896 = 2 abbiamo

1198602(119901 119902) = (119902minus 119901)1198861199022 +1198861199012

2 minus 1198861199023 minus1198861199013

3

= 119886(119902minus 119901)6 (31199022 + 31199012 minus 21199022 minus 2119901119902minus 21199012)

= 119886(119902minus 119901)36

esattamente come nella quadratura archimedeaNel caso di 119896 = 4 possiamo scrivere

1198604 = 119886(119902minus 119901)4 (1199024 minus1199011199023 minus11990121199022 minus1199013119902+ 1199014)

= 119886(119902minus 119901)4 ( (119902 minus 119901)4 + 3119901119902(119902minus 119901)2 minus11990121199022)

che non sembra cosigrave promettente e non indagheremo oltre in cerca di qualche interpre-tazione geometrica

Tuttavia una cosa dovrebbe balzare subito agli occhi se poniamo 119901 = 0 e 119902 = 119909otteniamo una funzione

119878(119909) = 119886119909119896+1

119896+ 1la cui derivata egrave 119878prime(119909) = 119886119909119896 cioegrave proprio la funzione da cui siamo partiti

Il ragionamento di Fermat non egrave facilmente giustificabile abbiamo diviso lrsquointervallo[0 119902] in infinite parti e ldquosommato infinite areerdquo Tuttavia la nostra definizione di log 119905lrsquoarea delimitata dal grafico di 119891(119909) = 1119909 dallrsquoasse delle ascisse dalla retta verticalepassante per (1 0) e dalla retta verticale passante per (119905 0) porta a una funzione 119909 ↦log119909 la cui derivata egrave proprio la funzione che ci egrave servita per dare la definizione

La somiglianza tra la funzione rispetto alla quale si vogliono calcolare aree e lrsquoareastessa non sfuggigrave ai creatori del calcolo Leibniz e Newton questrsquoultimo aveva appresodella faccenda da Isaac Barrow (1630ndash1677) di cui fu allievo e che sostituigrave sulla cattedraa Cambridge

62 integrazione

Lrsquoidea di Fermat si rivelograve molto fruttuosa Occorse parecchio tempo percheacute la tecni-ca fosse sistemata in modo rigoroso da Bernhard Riemann (1826ndash1866) Allrsquoinizio del

62 integrazione 115

ventesimo secolo ci fu poi una svolta molto importante nellrsquoargomento ma non ce neoccuperemo percheacute la moderna integrazione introdotta da Henri Lebesgue (1875ndash1941)coincide con quella di Riemann per le funzioni continue in un intervallo [119901 119902]

Non si fa grancheacute di diverso da come abbiamo fatto per il logaritmo e da comeragionava Fermat solo che la teoria egrave stata resa inappuntabile dal punto di vista logico

Quello che cerchiamo egrave un modo di associare un numero a una funzione definita suun intervallo in modo che questo numero rappresenti lrsquoarea compresa tra lrsquointervallo(visto sullrsquoasse delle ascisse) e il grafico della funzione Ci limiteremo a funzioni con-tinue definite su [119901 119902] dati 119886 e 119887 con 119901 le 119886 lt 119887 le 119902 questa associazione si puogravevedere come una funzione

(119886119887) ↦ Int119887119886(119891)

che ha come dominio certe coppie di elementi di [119901 119902] In questo caso si parla spessodi un operatore la funzione 119891 si pensa fissata ma siccome egrave del tutto arbitraria purcheacutesia continua in [119901 119902] avremo un operatore per ciascuna funzione Ci serve qualcheproprietagrave che sia ragionevole per le aree Assumeremo queste dove con 119891 indichiamouna funzione continua su [119901 119902] e con 119896 un numero qualsiasi

(119887 minus 119886)m119887119886(119891) le Int119887119886(119891) (119901 le 119886 lt 119887 le 119902)

Int119887119886(119891) le (119887minus 119886)M119887119886(119891) (119901 le 119886 lt 119887 le 119902)

Int119888119886(119891) = Int119887119886(119891) + Int119888119887(119891) (119901 le 119886 lt 119887 lt 119888 le 119902)

dove con m119887119886(119891) e M119887

119886(119891) indichiamo il valore minimo e massimo di 119891 nellrsquointervallo[119886 119887] Queste proprietagrave sono intuitivamente evidenti almeno per le funzioni cheassumono solo valori positivi

Vediamo qualche conseguenza Se 120783 egrave la funzione che vale costantemente 1 dobbia-mo avere

119887minus 119886 le Int119887119886(120783) le 119887minus 119886

e quindi Int119887119886(120783) = 119887 minus 119886 Analogamente se 119891 assume solo valori positivi dovremoavere Int119887119886(119891) gt 0 percheacute in tal caso m119887

119886(119891) gt 0Rimandiamo a dopo la questione se un operatore del genere esista per ogni funzione

continua 119891 Intanto vediamo qualche proprietagrave che ci serviragrave in seguito Prima di tuttoestendiamo la notazione se 119901 le 119887 lt 119886 le 119902 poniamo

Int119887119886(119891) = minus Int119886119887(119891)

e ancheInt119886119886(119891) = 0

in modo che la terza proprietagrave continui a valere per ogni 119886119887 119888 isin [119901 119902] come sivede subito Anche per m119887

119886(119891) e M119887119886(119891) non faremo piugrave distinzione fra 119886 lt 119887 e 119887 lt 119886

Egrave naturale anche porre m119886119886(119891) = M119886

119886(119891) = 119891(119886) il motivo appare chiaro dallrsquoenunciatoseguente

t e o r ema Se 119891 egrave continua in [119901 119902] e 119909 isin [119901 119902] allora

limℎrarr0

m119909+ℎ119909 (119891) = 119891(119909) lim

ℎrarr0M119909+ℎ

119909 (119891) = 119891(119909)

Scriviamo la dimostrazione solo dellrsquoenunciato

limℎrarr0+

M119909+ℎ119909 (119891) = 119891(119909)

per 119901 le 119909 lt 119902 Gli altri casi sono del tutto simili

116 integrali

Poniamo 119892(ℎ) = M119909+ℎ119909 (119891) questa funzione egrave definita per 0 lt ℎ lt 119902 minus 119909 ed egrave

crescente infatti se ℎ1 lt ℎ2 abbiamo

[119909 119909 + ℎ1] sube [119909 119909 + ℎ2]

e il massimo di 119891 in un intervallo piugrave ampio non puograve essere minore Dunque 119892(ℎ1) le119892(ℎ2)

Basta ora chiamare 119897 lrsquoestremo inferiore dei valori di 119892 per avere come nel caso dellesuccessioni che limℎrarr0+ 119892(ℎ) = 119897 Si noti che certamente 119891(119909) le 119897

Si tratta dunque di vedere che 119891(119909) = 119897 supponiamo per assurdo che 119897 gt 119891(119909)Allora esiste 120575 gt 0 tale che 119909+ 120575 lt 119902 e per 0 lt ℎ lt 120575

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 119897 minus 119891(119909)2

in particolare

119891(119909+ℎ) le 119897 minus 119891(119909)2 + 119891(119909) = 119897 + 119891(119909)

2 lt 119897 + 1198972 = 119897

Ne segue119892(1205752) = M119909+(1205752)

119909 (119891) lt 119897 le 119892(1205752)

che egrave assurdo

Questo teorema esprime un fatto intuitivamente chiaro se si restringe lrsquointervalloattorno a 119909 il massimo e il minimo di 119891 in questo intervallo si avvicinano a 119891(119909) mala continuitagrave di 119891 egrave essenziale percheacute la proprietagrave valga anche sostituendo massimoe minimo con estremo superiore ed estremo inferiore supponendo 119891 limitata Perciogravetratteremo solo funzioni continue Abbiamo adesso gli strumenti per dimostrare ilteorema piugrave importante

t e o r ema f ondam en t a l e d e l c a l c o l o Se 119891 egrave una funzione continuain [119901 119902] e poniamo

119865(119909) = Int119909119886(119891)

dove 119886 isin [119901 119902] allora 119865 egrave derivabile e 119865prime = 119891

Per le proprietagrave dellrsquooperatore Int possiamo scrivere

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909) = Int119909+ℎ119886 (119891) minus Int119909119886(119891)

= Int119909119886(119891) + Int119909+ℎ119909 (119891) minus Int119909119886(119891)

= Int119909+ℎ119909 (119891)

e quindi ancora per le proprietagrave di Int

m119909+ℎ119909 (119891) le 119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)

ℎ le M119909+ℎ119909 (119891)

Si faccia attenzione a quando ℎ gt 0 e quando ℎ lt 0 ma in entrambi i casi si ottiene lastessa disuguaglianza

Per il teorema di confronto dei limiti e per il teorema precedente

119865prime(119909) = limℎrarr0

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119891(119909)

t e o r ema d i u n i c i t agrave d e l l rsquo i n t e g r a l e Se un operatore Int con leproprietagrave enunciate esiste allora egrave unico

62 integrazione 117

Supponiamo che Φ sia un operatore con le stesse proprietagrave di Int Allora possiamodimostrare il teorema fondamentale per Φ e dunque abbiamo che per ogni funzionecontinua 119891 su [119901 119902] le funzioni

119865(119909) = Int119909119886(119891) e 119866(119909) = Φ119887119886(119891)

hanno entrambe la proprietagrave che 119865prime = 119891 e 119866prime = 119891 e dunque (119865minus119866)prime egrave la funzione nullaPer la conseguenza del teorema di Lagrange esiste un 119896 tale che per ogni 119909 isin [119901 119902]si abbia

119865(119909) minus119866(119909) = 119896

Ma per definizione 119865(119886) = Int119886119886(119891) = 0 e 119866(119886) = Φ119886119886(119891) = 0 dunque 119896 = 0 Perciograve

per ogni 119887 isin [119901 119902] si ha anche

Int119887119886(119891) = 119865(119887) = 119866(119887) = Φ119887119886(119891)

Resta quindi solo il problema di dimostrare lrsquoesistenza dellrsquooperatore Int lo riman-diamo a piugrave tardi se siamo arrivati fin qui con la teoria egrave ovvio che la soluzione alproblema egrave giagrave stata trovata da qualcuno

La notazione tradizionale per Int119887119886(119891) egrave

int119887

119886119891(119909)119889119909

che si legge lsquointegrale tra 119886 e 119887 di 119891rsquo La variabile 119909 egrave ovviamente sostituibile conqualsiasi lettera e non ha un significato proprio

La notazione per gli integrali risale a Leibniz Il suo punto di partenza era proprio la sud-divisione dellrsquointervallo [119886 119887] in parti e di considerare i rettangoli come faceva Fermat maconsiderando questi intervalli come aventi base lsquoinfinitesimarsquo e facendo la somma di tutte questearee lsquoinfinitesimersquo Il simbolo int egrave infatti una lsquoSrsquo per lsquosommarsquo

Tuttavia gli sviluppi rigorosi del calcolo vietano di usare questo concetto intuitivo di grandez-za infinitesima percheacute contraddittorio se non inquadrato in unrsquoapposita teoria si egrave scoperto intempi abbastanza recenti che gli infinitesimi si possono trattare ma non certo nel modo inge-nuo di Leibniz Il 119889119909 rimane nella notazione principalmente percheacute egrave comodo come vedremoSi potrebbe benissimo scrivere

int119887

119886119891

dopo tutto sarebbe esattamente lo stesso di Int119887119886(119891) e non ci sarebbe alcuna difficoltagrave La nota-zione tradizionale mette in evidenza il nome della variabile e questo puograve essere utile per casiparticolari (distinguere la variabile da un parametro per esempio) ma soprattutto ricorda comeoperare con le sostituzioni lo descriveremo in seguito

Abbiamo una conseguenza importante sappiamo calcolare molti integrali Data unafunzione 119891 di cui calcolare lrsquointegrale ci basta conoscere unrsquoaltra funzione 119866 di cui 119891sia la derivata

d e f i n i z i o n e Data una funzione 119891 continua su un intervallo 119868 si chiamaprimitiva di 119891 una qualsiasi funzione definita su 119868 la cui derivata sia 119891

Ci basta conoscere una primitiva per conoscerle tutte visto che funzioni che hanno lastessa derivata differiscono per una costante se 119865prime = 119866prime allora (119865 minus119866)prime egrave la funzionenulla e quindi 119865 minus 119866 egrave costante Si ricordi che parliamo di funzioni definite su unintervallo su questo intervallo una (quindi ogni) primitiva di una funzione continua egravecertamente una funzione di Lagrange

Talvolta si parla di primitiva anche per funzioni definite su unrsquounione di intervalli intal caso due primitive differiscono su ogni intervallo contenuto nel dominio per una

118 integrali

costante ma queste costanti possono essere diverse da intervallo a intervallo Si pensiallrsquoesempio di 119909 ↦ arctan119909+ arctan(1119909)

t e o r ema d i c a l c o l o d e g l i i n t e g r a l i Se 119891 egrave continua su [119886 119887] e119866 egrave una primitiva di 119891 allora

int119887

119886119891(119909)119889119909 = 119866(119887) minus119866(119886)

La funzione 119865(119909) = Int119909119886(119891) egrave una primitiva di 119891 dunque esiste 119896 tale che 119865(119909) =119866(119909) + 119896 per ogni 119909 isin [119886 119887] Ma allora 0 = 119865(119886) = 119866(119886) + 119896 e dunque 119896 = minus119866(119886)Perciograve

int119887

119886119891(119909)119889119909 = 119865(119887) = 119866(119887) + 119896 = 119866(119887) minus119866(119886)

Un modo di scrivere spesso usato egrave con le notazioni precedenti

int119887

119886119891(119909)119889119909 = [ 119866(119909)] 119909=119887

119909=119886= 119866(119887) minus119866(119886)

Vediamo qualche semplice applicazione La derivata di 119891(119909) = 119909119899 egrave 119891prime(119909) = 119899119909119899minus1perciograve la derivata di 119892(119909) = 119909119896+1(119896 + 1) (per 119896 ne minus1) egrave 119892prime(119909) = 119909119896 Dunque 119892 egrave unaprimitiva di 119909 ↦ 119909119896 (sempre per 119896 ne minus1) e abbiamo

int119902

119901119909119896 119889119909 = [ 119909119896+1

119896+ 1]119909=119902

119909=119901= 119902119896+1

119896+ 1 minus 119901119896+1

119896+ 1

esattamente come ottenuto da Fermat Egrave evidente che la tabella delle derivate (tabella 2a pagina 63) fornisce anche una tabella di primitive che perograve non egrave sufficiente nemmenoper le esigenze piugrave comuni

La derivata di una funzione elementare (una di quelle che compaiono nella tabella 2) egrave ancorauna funzione elementare Questo non accade con le primitive si puograve dimostrare per esempioche una primitiva di 119909 ↦ exp(minus1199092) non si puograve esprimere in termini di funzioni elementari Mauna sua primitiva la conosciamo

119865(119909) = int119909

0exp(minus1199052)119889119905

e questo ci permette di calcolare i valori della primitiva scelta con il grado di approssimazionerichiesto (con le serie o con metodi di integrazione approssimata)

63 il logaritmo e lrsquoesponenziale

Per 119896 = minus1 la formula per la primitiva di 119909 ↦ 119909119896 non si puograve applicare A questo puntodunque non possiamo piugrave barare e siamo costretti a dare finalmente la definizioneufficiale di logaritmo Non che quella precedente sia ldquosbagliatardquo il fatto egrave che appoggiaalla vaga nozione di ldquoarea delimitata da archi di curverdquo Il grande successo dellrsquoanalisiegrave che ha potuto svincolarsi da considerazioni geometriche basate sullrsquointuizione Piugraveavanti studieremo come definire anche le funzioni trigonometriche senza appoggiarsialla geometria lrsquoimportante egrave che queste definizioni analitiche diano gli stessi risultatiottenuti con lrsquointuizione geometrica

d e f i n i z i o n e Se 119909 gt 0 poniamo

log119909 = int119909

1

1119905 119889119905

Il valore log119909 si chiama logaritmo di 119909

63 il logaritmo e lrsquoesponenziale 119

Alcuni testi chiamano questo valore ldquologaritmo naturalerdquo e indicano la funzione conil simbolo lsquolnrsquo I matematici invece preferiscono in genere lsquologrsquo lrsquoimportante egrave che leconvenzioni adottate in un testo siano chiarite e usate in modo uniforme

t e o r ema La funzione log definita in (0 rarr) egrave strettamente crescente e assumetutti i valori La sua inversa definita ovunque si denota con exp Allora expprime = expe si ha per ogni 119886119887 gt 0

log(119886119887) = log119886+ log119887

e per ogni 119909 e 119910exp(119909+119910) = (exp119909)(exp119910)

Inoltre log1 = 0 e exp0 = 1 Se 119890 = exp1 allora per 119899 intero si ha exp119899 = 119890119899

La funzione 119909 ↦ 1119909 egrave continua nellrsquointervallo (0 rarr) quindi anche log egrave definitain quellrsquointervallo Per il teorema fondamentale del calcolo logprime 119909 = 1119909 in ogni punto119909 del dominio Quindi log egrave una funzione strettamente crescente

Per le proprietagrave dellrsquointegrale si ha

12 = m2

1(119909 ↦ 1119909) sdot (2 minus 1) le int2

1

1119905 119889119905 = log2

In particolare log2 ge 12Consideriamo la funzione 119892 definita da

119892(119909) = int119886119909

1

1119905 119889119905 = log(119886119909)

Allora119892prime(119909) = 1

119886119909119886 = 1119909 = logprime 119909

e dunque la funzione 119892 e la funzione log differiscono per una costante Siccome 119892(1) =log119886 e log1 = int11 (1119905)119889119905 = 0 la costante egrave proprio log119886 Dunque

log(119886119909) = 119892(119909) = log119909+ log119886

e lrsquouguaglianza fondamentale del logaritmo egrave dimostrataUna conseguenza egrave che log(119886119899) = 119899 log119886 in particolare log2119899 = 119899 log2 Siccome log

egrave crescente dobbiamo averelim

119909rarr+infinlog119909 = +infin

Infatti lim119899rarr+infin log2119899 = lim119899rarr+infin 119899 log2 = +infin ed egrave facile dedurre da questo lrsquoaltrolimite (esercizio)

Dallrsquouguaglianza fondamentale segue che per 119909 gt 0

0 = log1 = log(119909 1119909) = log119909+ log(1119909)

e dunque log(1119909) = minus log119909 Dunque

lim119909rarr0

log119909 = lim119905rarr+infin

log(1119905) = lim119905rarr+infin

minus log 119905 = minusinfin

I valori di log esauriscono perciograve tutta la retta reale per il teorema sui valori intermediDunque la funzione inversa di log egrave definita ovunque e assume tutti i valori in (0 rarr)La denotiamo con exp lrsquouguaglianza expprime = exp si deduce come giagrave abbiamo visto

log(exp119909) = 119909 1exp119909 expprime 119909 = 1 expprime 119909 = exp119909

120 integrali

La proprietagrave di exp equivale a quella di log

log(exp(119909 +119910)) = 119909+119910 = log(exp119909)+ log(exp119910) = log((exp119909)(exp119910))

e quindi essendo log iniettiva abbiamo exp(119909+119910) = (exp119909)(exp119910) Inoltre si ha

exp2 = exp(1 + 1) = (exp1)(exp1) = 1198902

Egrave facile vedere per induzione che per 119899 gt 0 intero exp119899 = 119890119899 Se 119899 lt 0 si ha minus119899 gt 0e dunque

1 = exp0 = exp(119899minus119899) = (exp119899)(exp(minus119899)) = (exp119899)119890minus119899

da cui exp119899 = 119890119899

Una volta definito il logaritmo in modo del tutto rigoroso senza fare ricorso al con-cetto intuitivo di area possiamo procedere come giagrave noto per le definizioni di 119909 ↦ 119886119909

(per 119886 gt 0) e log119887 (per 119887 gt 0 ma 119887 ne 1)

119886119909 = exp(119909 log119886)

(vedremo fra poco che per 119899 intero la scrittura 119886119899 non egrave ambigua) Per 119887 gt 0 119887 ne 1abbiamo da 119910 = 119887119909

log119910 = log(119887119909) = log(exp(119909 log119887)) = 119909 log119887

e dunque 119909 = (log119910)(log119887) 119909 egrave lrsquoesponente da dare a 119887 per ottenere 119910 Quindiponiamo

log119887 119910 = log119910log119887

La definizione della funzione esponenziale exp ci ha permesso di definire in modoveloce e rigoroso le potenze con esponente reale qualsiasi Ripetiamo la definizione inmodo piugrave ufficiale

d e f i n i z i o n e Se 119886 gt 0 poniamo 119886119909 = exp(119909 log119886) dove 119909 egrave un numero realequalsiasi

Il problema che nasce con questa notazione egrave che potrebbe entrare in conflitto conla notazione delle potenze che si puograve introdurre senza fare ricorso allrsquoesponenzialegenerale nel caso di esponenti interi se 119899 gt 1 si indica infatti con 119886119899 il prodotto di119899 fattori uguali ad 119886 e si estende la definizione con 1198861 = 119886 1198860 = 1 e per 119886 ne 0119886119899 = 1119886minus119899 Le proprietagrave fondamentali sono che 119886119898+119899 = 119886119898119886119899 e (119886119898)119899 = 119886119898119899 per119898 e 119899 interi qualsiasi (non negativi se 119886 = 0) In questo caso non egrave un problemaavere anche 119886 lt 0 ma nel caso generale che vogliamo studiare questo non egrave possibilelrsquoesponenziale con esponenti reali egrave definito solo se la base egrave positiva

La prima cosa da osservare egrave che le due definizioni di 119886119899 con 119899 intero non dannorisultati diversi Nellrsquoargomentazione che segue riserviamo il simbolo 119886119899 per la poten-za definita con le moltiplicazioni Abbiamo exp(0 log119886) = exp0 = 1 = 1198860 se valeexp(119899 log119886) = 119886119899 con 119899 ge 0 abbiamo anche

exp((119899+ 1) log119886) = exp(119899 log119886+ log119886) = exp(119899 log119886) exp(log119886) = 119886119899119886 = 119886119899+1

e cosigrave la dimostrazione di exp(119899 log119886) = 119886119899 per 119899 intero non negativo egrave conclusa Se119899 lt 0 abbiamo perograve

1 = exp0 = exp(119899 log119886+ (minus119899) log119886)= exp(119899 log119886) exp((minus119899) log119886)= exp(119899 log119886)119886minus119899

63 il logaritmo e lrsquoesponenziale 121

da cui exp(119899 log119886) = 1119886minus119899 come richiesto percheacute per definizione 119886119899 = 1119886minus119899

quando 119899 lt 0Ora possiamo dunque scrivere senza problemi 119886119909 invece di exp(119909 log119886) percheacute il

simbolo non egrave ambiguo quando 119909 egrave intero Egrave un esercizio interessante dimostrare che1198861119899 egrave lrsquounico numero positivo 119910 tale che 119910119899 = 119886 Inoltre per 119886 ne 1

119886log119886 119909 = 119909

percheacute prendendo il logaritmo del termine di sinistra

log(119886log119886 119909) = log119886 119909 log119886 = log119909log119886 log119886 = log119909

e abbiamo la tesi percheacute la funzione logaritmo egrave invertibile In altre parole la funzionelog119886 soddisfa la definizione intuitiva del logaritmo in base 119886 di 119909 come dellrsquoesponenteda assegnare ad 119886 per ottenere 119909 In informatica egrave molto utile considerare il logaritmoin base 2 percheacute fornisce immediatamente il numero di cifre binarie di un intero unnumero intero 119899 gt 0 ha 119896 cifre binarie se e solo se 2119896minus1 le 119899 lt 2119896 che si puograve anchescrivere 2119896minus1 lt 119899+ 1 le 2119896 cioegrave se e solo se

119896minus 1 lt log2(119899+ 1) le 119896

e quindi il numero di cifre binarie di 119899 egrave precisamente lceillog2(119899 + 1)rceil (relazione validaanche per 119899 = 0)

Si raccomanda di usare notazioni come 11988613 solo per 119886 gt 0 per evitare argomentazionibizzarre come

minus1 = (minus1) 13 = (minus1) 2

6 = ((minus1)2) 16 = 1 1

6 = 1

che sono evidentemente assurde (e sbagliate) Per 119899 intero dispari si pone

119899radic119886 =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

1198861119899 se 119886 gt 00 se 119886 = 0minus(minus119886)1119899 se 119886 lt 0

Solo per 119899 dispari egrave possibile definire la radice 119899-esima in modo coerente anche per numerinegativi ma si deve sempre fare attenzione a non adoperare scorrettamente le semplificazionicon i radicali Qualche testo adotta convenzioni complicate ma quasi sempre inutili per ampliareil numero di identitagrave che perograve non compaiono praticamente mai nella vita reale Per 119899 intero e119886 gt 0 le notazioni 119899radic119886 e 1198861119899 sono equivalenti

Per ultimo vediamo che la derivata di119891(119909) = 119909119903 (definita per119909 gt 0) egrave119891prime(119909) = 119903119909119903minus1infatti 119909119903 = exp(119903 log119909) e quindi

119891prime(119909) = expprime(119903 log119909) sdot 119903119909 = 119903119909119903

119909 = 119903119909119903minus1

Come si vede lrsquointegrale puograve essere usato per definire nuove funzioni che si possonostudiare senza bisogno di averne lsquoespressioni esplicitersquo La funzione

120590(119909) = int119909

0exp(minus1199052)119889119905

egrave molto importante in probabilitagrave e statistica percheacute compare nelle cosiddette distri-buzioni normali o gaussiane La funzione egrave definita ovunque inoltre

120590prime(119909) = exp(minus1199092) gt 0

122 integrali

cosiccheacute 119892 egrave crescente Per 119905 gt 0 vale la disuguaglianza

exp 119905 ge 119905

Consideriamo infatti la funzione 120593(119905) = minus119905 + exp 119905 Allora 120593prime(119905) = minus1 + exp 119905 che egravepositiva per exp119909 gt 1 cioegrave 119905 gt log1 = 0 Siccome 120593(0) = exp0 = 1 gt 0 avremo120593(119905) gt 0 per 119905 gt 0

Ne concludiamo che exp(1199052) ge 1199052 e quindi trattandosi di numeri positivi

0 lt exp(minus1199052) le 11199052

t e o r ema Se 119891 e 119892 sono funzioni continue nellrsquointervallo [119886 119887] e si ha per119905 isin [119886 119887]

0 le 119891(119905) le 119892(119905)

allora

0 le int119887

119886119891(119905)119889119905 le int

119887

119886119892(119905)119889119905

La funzione 119892minus119891 assume solo valori non negativi quindi per le proprietagrave dellrsquointe-grale

0 le m119887119886(119887 minus 119886) le int

119887

119886(119892(119905) minus 119891(119905))119889119905 = int

119887

119886119892(119905)119889119905 minus int

119887

119886119891(119905)119889119905

Da questo teorema segue dunque che per ogni 119909 gt 1 si ha

int119909

0exp(minus1199052)119889119905 = int

1

0exp(minus1199052)119889119905 + int

119909

1exp(minus1199052)119889119905

le int1

0exp(minus1199052)119889119905 + int

119909

1

11199052 119889119905

Indichiamo con 119870 il primo dei due integrali Conosciamo una primitiva di 119905 ↦ 11199052 egrave119905 ↦ minus1119905 quindi il secondo integrale puograve essere scritto esplicitamente

int119909

1

11199052 119889119905 = [minus1

119905 ]119905=119909

119905=1= minus 1

119909 + 1 le 1

Perciograve abbiamo per 119909 gt 1120590(119909) le 119870+ 1

e quindi 119871 = lim119909rarr+infin

120590(119909) egrave finito Siccome

120590prime(minus119909) = minus exp(minus(minus119909)2) = minus120590(119909)

la funzione 119909 ↦ minus120590(minus119909) differisce da 120590 per una costante 119896 minus120590(minus119909) = 120590(119909)+119896 perogni 119909 Ma per 119909 = 0 questo dagrave minus120590(0) = 120590(0) + 119896 e per definizione 120590(0) = 0 Perciograve120590(minus119909) = minus120590(119909) e

lim119909rarrminusinfin

120590(119909) = lim119905rarr+infin

120590(minus119905) = lim119905rarr+infin

minus120590(119905) = minus119871

Si puograve dimostrare ma non egrave affatto facile che 119871 = radic1205872 Si puograve dimostrare anche chela funzione 120590 non egrave esprimibile tramite funzioni elementari

Per tornare a funzioni di cui si puograve calcolare lrsquointegrale proviamo a calcolare lrsquoareasotto lrsquoarco di sinusoide tra 0 e 120587 una primitiva di sin egrave 119909 ↦ minus cos119909 quindi

int120587

0sin 119905119889119905 = [ minus cos 119905] 119905=120587

119905=0= minus cos120587+ cos0 = 2

64 tecniche di integrazione 123

64 tecniche di integrazione

Qui useremo una notazione speciale se 119891 egrave definita su un intervallo con

119909 ↦ int119909119891(119905)119889119905

indicheremo una qualsiasi primitiva di 119891 si potrebbe precisare che viene indicata la pri-mitiva ottenuta usando come limite inferiore di integrazione un certo elemento dellrsquoin-tervallo di definizione di 119891 ma non egrave importante Del resto per il calcolo degli integralinon egrave necessario sapere quale primitiva si stia adoperando Saremo sempre attentiperograve che il dominio della nostra funzione sia un intervallo si rischia di cadere in gravierrori se non si prende questa precauzione Scriveremo anche piugrave semplicemente

int119891

quando non ci serva dare un nome alla variabileLa prima regola egrave molto semplice

int(119891+119892) = int119891+int119892

percheacute la derivata di una somma egrave la somma delle derivate Analogamente se 119896 egrave unnumero e 119891 una funzione

int119896119891 = 119896int119891

Attenzione queste uguaglianze significano solo che lrsquooperazione indicata a destra for-nisce una primitiva della funzione indicata sotto il segno di integrale a sinistra Macome le operazioni con limiti infiniti queste convenzioni non danno problemi purcheacutesi sia consapevoli di ciograve che significano

Veniamo alle primitive piugrave complicate

int119909119905119899 119889119905 = 119909119899+1

119899+ 1 (119899 ne minus1)

int119909 1119905 119889119905 = log|119909|

int119909

exp 119905119889119905 = exp119909

int119909

sin 119905119889119905 = minus cos119909

int119909

cos 119905119889119905 = sin119909

int119909 1radic1minus 1199052

119889119905 = arcsin119909

int119909 11+ 1199052 119889119905 = arctan119909

La primitiva di 119891(119909) = 1radic1minus1199092 egrave proprio una di quelle che possono dare problemiInfatti possiamo calcolare

int119909 1radic1minus 1199052

119889119905 = minusint119909minus 1

radic1minus 1199052119889119905 = minus arccos119909

Possiamo da questo concludere che arcsin119909 = minus arccos119909 Certamente no ma solo chequeste due funzioni differiscono per una costante Infatti dallrsquouguaglianza arcsinprime 119909 =minus arccosprime 119909 (per ogni 119909 isin (minus1 1) dove le due funzioni sono derivabili) deduciamo

124 integrali

solo che esiste 119896 tale che arcsin119909 = 119896 minus arccos119909 per 119909 = 0 abbiamo arcsin0 = 119896 minusarccos0 cioegrave 0 = 119896minus1205872

arcsin119909 = 1205872 minus arccos119909

egrave infatti una relazione corretta Anche la primitiva riportata nella tabella per 119909 ↦ 1119909merita un commento Secondo le nostre convenzioni la funzione da integrare deveessere definita in un intervallo quindi possiamo scegliere (0 rarr) oppure (larr 0) (oun qualsiasi intervallo contenuto in uno di questi due) Se pensiamo 119909 ↦ 1119909 definitaper 119909 gt 0 una primitiva egrave 119909 ↦ log119909 se la pensiamo definita per 119909 lt 0 una primitivaegrave 119909 ↦ log(minus119909) come si verifica derivando Scrivere la primitiva come 119909 ↦ log|119909|evita di dover specificare in quale intervallo consideriamo definita la funzione Ma ciogravenon ci autorizza a considerare lecito int1minus1(1119909)119889119909 percheacute la funzione non egrave definitanellrsquointervallo [minus1 1]

Anche la formula per la derivata di una funzione composta dagrave una tecnica di inte-grazione Vediamo prima la teoria e poi la pratica Supponiamo che la funzione 120593 siascritta come

120593(119905) = 119892(119891(119905))119891prime(119905)

Se 119866 egrave una primitiva di 119892 e poniamo 120595(119905) = 119866(119891(119905)) allora abbiamo

120595prime(119905) = 119866prime(119891(119905))119891prime(119905) = 119892(119891(119905))119891prime(119905) = 120593(119905)

e quindi 120595 egrave una primitiva di 120593 Per esempio volendo calcolare

int119909 21199051 + 1199052 119889119905

si puograve considerare 119891(119905) = 1+ 1199052 e 119892(119906) = 1119906 allora se 120593(119905) = 2119905(1 + 1199052) abbiamoproprio

120593(119905) = 119892(119891(119905))119891prime(119905)

Una primitiva di 119906 ↦ 119892(119906) = 1119906 egrave log119906 (percheacute 119891(119905) gt 0) e quindi una primitiva di120593 egrave proprio log(1 + 1199052) Crsquoegrave un modo piugrave pratico per eseguire questo calcolo con lestesse notazioni

int119909119892(119891(119905))119891prime(119905)119889119905 = int

119891(119909)119892(119906)119889119906

e scriveremo qualcosa come

int119909 21199051 + 1199052 119889119905 = (hellip)[ 119906 = 1+ 1199052 119889119906 = 2119905119889119905]

= int1+1199092 1

119906 119889119906

= [ log119906]119906=1+1199092

= log(1 + 1199092)

In questo contesto la scrittura119906 = 1+1199052 sostituisce la piugrave lunga posizione119891(119905) = 1+1199052e il calcolo di 119891prime(119905) = 2119905 Scriveremo piugrave semplicemente in generale 119906 = 119891(119905) e

119889119906 = 119891prime(119905)119889119905

Questo egrave il motivo principale percheacute si mantiene 119889119905 nella notazione dellrsquointegrale Siusa formalmente la notazione di Leibniz per la derivata

119889119906119889119905 = 119891prime(119905)

64 tecniche di integrazione 125

e lsquosi moltiplicano ambo imembri per119889119905rsquo Si ricordi perograve che questa egrave solo una notazionemnemonica per eseguire la giusta sostituzione

Altro esempio calcolare una primitiva di 120593(119909) = cos119909(1 + sin119909)2 Abbiamo

int119909 cos 119905(1 + sin 119905)2 119889119905 = (hellip)[ 119906 = 1+ sin 119905 119889119906 = cos 119905119889119905]

= int1+sin119909 1

1199062 119889119906

= [minus 1119906]

119906=1+sin119909

= minus 11+ sin119909

In altre situazioni non egrave cosigrave agevole trovare la sostituzione giusta e si puograve adattarela tecnica purcheacute ci si assicuri di usare funzioni invertibili Un esempio vale piugrave di tanteformule Consideriamo

int119909119905radic1minus 119905119889119905 = (hellip)[ 119906 = radic1minus 119905 119905 = 1minus1199062 119889119905 = minus2119906119889119906]

= intradic1minus119909

(1 minus 1199062)119906(minus2119906)119889119906

= 2intradic1minus119909

(1199064 minus1199062)119889119906

= 2[1199065

5 minus 1199063

3 ]119906=radic1minus119909

= 2((1 minus119909)25 minus 1minus119909

3 )radic1minus119909

dove la sostituzione 119906 = radic1minus 119905 egrave ammessa in quanto invertibile nel dominio dellafunzione da integrare Di fatto non serve scrivere esplicitamente la primitiva se si devecalcolare lrsquointegrale

int1

0119905radic1minus 119905119889119905 = (hellip)[ 119906 = radic1minus 119905 119905 = 1minus1199062 119889119905 = minus2119906119889119906]

= intradic1minus1

radic1minus0(1 minus 1199062)119906(minus2119906)119889119906

= 2int0

1(1199064 minus1199062)119889119906

= 2[1199065

5 minus 1199063

3 ]0

1

= 2(0minus 15 + 1

3) = 415

Lrsquoesempio classico e complicato egrave il calcolo dellrsquoarea del cerchio La funzione daconsiderare egrave 119891(119909) = radic1minus1199092 e lrsquoarea saragrave il doppio di

int1

minus1radic1minus 1199052 119889119905

Potremmo considerare la sostituzione 119906 = radic1minus 1199052 ma questa non egrave invertibile Meglioinvece usare 119906 = arccos 119905 percheacute questa egrave invertibile e si ha 119905 = cos119906 da cui radic1minus 1199052 =

126 integrali

radic1minus cos2 119906 = sin119906 percheacute arccos prende valori nellrsquointervallo [0 120587] dove il seno egravenon negativo Allora

int1

minus1radic1minus 1199052 119889119905 = (hellip)[ 119906 = arccos 119905 119905 = cos119906 119889119905 = minus sin119906119889119906]

= intarccos1

arccos(minus1)minus sin2 119906119889119906

= int0

120587

cos(2119906) minus 12 119889119906

= (hellip)[ 119906 = 1199072 119889119906 = (12)119889119907]

= 14 int

0

2120587(cos119907minus 1)119889119907

= 14[ sin119907minus 119907] 0

2120587= 120587

2da cui concludiamo che lrsquoarea del cerchio di raggio 1 egrave 120587 come certo ci aspettavamoPer lrsquoarea del cerchio di raggio 119903 la funzione da integrare egrave 119891(119909) = radic1199032 minus1199092 e lasostituzione saragrave 119906 = arccos(119905119903) che dagrave radic1199032 minus 1199052 = 119903 sin119906 Un altro fattore 119903 vienedalla derivata e 1199032 rimane fino in fondo cosigrave che lrsquointegrale si calcola allo stesso mododando lrsquoarea 1205871199032 Cosigrave scrisse Archimede Πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳοἶ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μιᾷ τῶν περί τέν ὀρθέν ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει ldquoOgnicerchio egrave uguale a un triangolo rettangolo avente come cateti il raggio del cerchio e ilsuo perimetrordquo

Volendo calcolare una primitiva si possono fare le sostituzioni a ritroso nella fun-zione finale

14(sin119907minus 119907) = 1

4(sin(2119906) minus 2119906) = 12(sin119906 cos119906minus119906) = 1

2(119905radic1minus 1199052 minus arccos 119905)

e quindiint

119909radic1minus 1199052 119889119905 = 1

2(119909radic1minus1199092 minus arccos119909)

Il trucco di scrivere sin2 119906 in termini di cos(2119906) egrave usato spesso durante questi calcoliRimane unrsquoultima tecnica fondamentale da descrivere lrsquointegrazione per parti che

deriva dalla formula della derivata di un prodotto Supponiamo che120593 si possa scriverecome prodotto di due funzioni 120593(119909) = 119891(119909)119892(119909) e che di una di esse si conosca unaprimitiva per esempio 119866 tale che 119866prime = 119892 In tal caso si puograve considerare la derivata di120595(119909) = 119891(119909)119866(119909)

120595prime(119909) = 119891prime(119909)119866(119909) + 119891(119909)119866prime(119909) = 119891prime(119909)119866(119909) + 119891(119909)119892(119909)

da cui abbiamo119891(119909)119892(119909) = 120595prime(119909) minus 119891prime(119909)119866(119909)

e passando alle primitive

int119909119891(119905)119892(119905)119889119905 = 119891(119909)119866(119909) minusint

119909119891prime(119905)119866(119905)119889119905

Secondo la terminologia usuale 119891 si chiama fattore finito e 119892 si chiama fattore differen-ziale Nellrsquointegrale che rimane da calcolare compare la derivata del fattore finito chepotrebbe rendere piugrave semplice il calcolo Esempio

int119909119905 exp 119905119889119905 = 119909 exp119909minusint

119909exp 119905119889119905 = 119909 exp119909minus exp119909

prendendo 119891(119909) = 119909 come fattore finito (e 119891prime(119909) = 1) mentre 119892(119909) = exp119909 egrave il fattoredifferenziale con int119909 exp 119905119889119905 = exp119909 Vedremo oltre un caso piugrave generale

64 tecniche di integrazione 127

Altro esempio degno di nota in int119909 log 119905119889119905 si prende come fattore finito 119891(119909) = log119909e come fattore differenziale 119892(119909) = 1 questo percheacute la derivata del logaritmo egrave unafrazione algebrica e lo stesso una primitiva di 119892 int119909 1119889119905 = 119909 Allora

int119909

log 119905119889119905 = 119909 log|119909| minus int1199091199051119905 119889119905 = 119909 log|119909| minus 119909 = 119909(log|119909| minus 1)

Con lrsquointegrazione per parti si puograve calcolare una primitiva di 119891(119909) = radic1minus1199092 pren-dendo di nuovo come fattore finito 119892(119909) = 1

int119909radic1minus 1199052 119889119905 = 119909radic1minus1199092 minusint

119909119905 minus119905radic1minus 1199052

119889119905

= 119909radic1minus1199092 minusint119909 1 minus 1199052 minus1

radic1minus 1199052119889119905

= 119909radic1minus1199092 minusint119909radic1minus 1199052 119889119905 +int

119909 1radic1minus 1199052

119889119905

Sembra di essere a un punto morto dovremmo calcolare proprio la primitiva chestiamo cercando Ma noi sappiamo che la primitiva esiste quindi possiamo portarelrsquointegrale di mezzo al primo membro

2int119909radic1minus 1199052 119889119905 = 119909radic1minus1199092 + arcsin119909

che torna con il conto precedente O no Avevamo ottenuto

int119909radic1minus 1199052 119889119905 = 1

2(119909radic1minus1199092 minus arccos119909)

dovrsquoegrave lrsquoinghippoPossiamo anche calcolare per parti una primitiva di cos2

119865(119909) = int119909

cos2 119905119889119905 = int119909

cos 119905 sdot cos 119905119889119905

= sin119909 cos119909minusint119909

sin 119905(minus sin 119905)119889119905

= sin119909 cos119909+int119909(1 minus cos2 119905)119889119905

= 119909+ sin119909 cos119909minusint119909

cos2 119905119889119905

= 119909+ sin119909 cos119909minus119865(119909) + 119888

dove 119888 egrave una costante Sembra che siamo di nuovo arrivati in un vicolo cieco masappiamo che 119865 esiste e quindi possiamo operare algebricamente ottenendo

int119909

cos2 119905119889119905 = 12(119909+ sin119909 cos119909)

(la costante si omette come sempre) Analogamente

int119909

sin2 119905119889119905 = 12(119909minus sin119909 cos119909)

Con lrsquointegrazione per parti egrave possibile anche calcolare

int119909119875(119905)119890119905 119889119905

dove 119875 egrave un polinomio Si prende come fattore differenziale lrsquoesponenziale e quindi

int119909119875(119905)119890119905 119889119905 = 119875(119909)119890119909 minusint

119909119875prime(119905)119890119905 119889119905

128 integrali

che abbassa di grado il polinomio In sostanza vediamo che la primitiva cercata egrave dellaforma 119876(119909)119890119909 dove 119876 ha lo stesso grado di 119875 Perciograve invece di lunghe integrazioni perparti possiamo piugrave semplicemente impostare coefficienti indeterminati

int119909(1199052 + 119905+ 1)119890119905 119889119905 = (1198861199092 +119887119909+ 119888)119890119909

e derivare ottenendo

(2119886119909+ 119887)119890119909 + (1198861199092 +119887119909+ 119888)119890119909 = (1199092 +119909+ 1)119890119909

che equivale al sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

119886 = 12119886+ 119887 = 1119887+ 119888 = 1

cioegrave 119886 = 1 119887 = minus1 e 119888 = 2

65 le funzioni iperboliche

Lrsquoiperbole equilatera ha parecchie somiglianze con la circonferenza lo dice subito lasua equazione lsquocanonicarsquo

1199092 minus1199102 = 1

e possiamo dunque considerare la funzione

119891(119909) = radic1199092 minus 1

definita nellrsquointervallo [1 rarr) Possiamo dunque provare a calcolare lrsquoarea di un ldquoset-tore iperbolicordquo cioegrave la regione di piano delimitata da un ramo dellrsquoiperbole e una rettaparallela allrsquoasse delle ordinate in altre parole vogliamo calcolare

2int119909

1radic1199052 minus 1119889119905

e per questo trovare la migliore sostituzione possibile La strategia piugrave efficiente egrave lasostituzione

radic1199052 minus1 = 119905minus119906

percheacute cosigrave quando si eleva al quadrato i termini 1199052 spariscono minus1 = minus2119905119906 + 1199062Secondo le nostre convenzioni avremo

119905 = 1199062 +12119906 = 119906

2 + 12119906 119889119905 = (1

2 minus 121199062 )119889119906

Dunque lrsquointegrale da calcolare egrave

2int119909minusradic1199092minus1

1(1199062 + 1

2119906 minus119906)(12 minus 1

21199062 )119889119906 = minus12 int

119909minusradic1199092minus1

1

(1199062 minus1)21199063 119889119906

La funzione di cui calcolare una primitiva egrave

119891(119906) = 119906minus 2119906 + 1

1199063

e questo egrave banale una primitiva egrave

119865(119906) = 12(1199062 minus 1

1199062 )minus 2 log|119906|

65 le funzioni iperboliche 129

Dobbiamo dunque calcolare 119865(1) = 0 e 119865(119909minusradic1199092 minus1) ma egrave facile osservare che

1119909minusradic1199092 minus 1

= 119909+radic1199092 minus 1

e dunque scrivendo provvisoriamente 119910 = radic1199092 minus1 abbiamo

119865(119909minus119910) = 12(119909minus119910minus 1

119909minus119910)(119909minus119910+ 1119909minus119910)minus 2 log|119909 minus119910|

= (119909minus119910minus119909minus119910)(119909minus119910+119909minus119910)minus 2 log|119909 minus119910|

= minus2119909radic1199092 minus 1minus 2 log|119909 minus119910|

e dunque lrsquoarea cercata egrave

119909radic1199092 minus 1+ log|119909 minusradic1199092 minus 1|

Se ora consideriamo il triangolo di vertici (0 0) (119909 0) e (119909radic1199092 minus 1) e ne sottraiamola parte di settore iperbolico che egrave contenuta (cioegrave la metagrave) scopriamo che il triangolocurvilineo con vertici in (0 0) (1 0) e (119909radic1199092 minus 1) (il lato fra gli ultimi due vertici egrave ilramo di iperbole) ha area

minus12 log(119909 minusradic1199092 minus1) = 1

2 log(119909 +radic1199092 minus 1)

Questo va confrontato con lrsquoanaloga situazione della circonferenza di raggio unitariolrsquoarea del settore circolare con vertici in (0 0) (1 0) e (119909radic1minus1199092) ha come area 1205722dove 120572 egrave lrsquoangolo al centro del settore

Nel caso della circonferenza si ha dunque con le notazioni di prima

119909 = cos120572 119910 = radic1minus1199092 = sin120572

e siamo giustificati a porre nel caso dellrsquoiperbole

119909 = cosh 119905 119910 = radic1199092 minus1 = sinh 119905

dove119905 = log(119909 +radic1199092 minus1)

Non egrave difficile ricavare la definizione di cosh e sinh (coseno e seno iperbolici)

cosh 119905 = 119890119905 + 119890minus119905

2 sinh 119905 = 119890119905 minus 119890minus119905

2

Per definizione vale lrsquoidentitagrave iperbolica

cosh2 119905 minus sinh2 119905 = 1

(sono le coordinate di un punto del ramo di iperbole di equazione 1199092 minus1199102 = 1)Le funzioni iperboliche hanno proprietagrave molto simili a quelle circolari

cosh(119905 + 119906) = cosh 119905 cosh119906+ sinh 119905 sinh119906sinh(119905 + 119906) = sinh 119905 cosh119906+ cosh 119905 sinh119906

Si noti che crsquoegrave un lsquo+rsquo nella formula di addizione del coseno iperbolico

130 integrali

La formula di triplicazione del seno iperbolico egrave con facili calcoli

sinh3119905 = 4 sinh3 119905 + 3 sinh 119905

e la si puograve usare nella soluzione dellrsquoequazione di terzo grado 1199093+119901119909+119902 = 0 dove 119901 gt 0 Infattibasta porre 119909 = 119896 sinh 119905 e fare in modo che

1198963

119896119901 = 43

cioegrave 1198962 = 41199013 Ne otteniamo lrsquoequazione

4119896 sinh3 119905 + 3119896 sinh 119905 + 119902 = 0

che diventa dunquesinh(3119905) = minus119902

119896

Per esempio da 1199093 + 3119909minus 4 = 0 otteniamo 1198962 = 4 e quindi con 119896 = 2 lrsquoequazione

sinh(3119905) = 2

Con la calcolatrice otteniamo3119905 = 144363547517881

cioegrave 119905 = 0481211825059603 che dagrave

119909 = 119896 sinh 119905 = 2 sdot 05 = 1

come del resto ci aspettavamo (lrsquoarrotondamento della calcolatrice egrave davvero fortunato)

66 esistenza dellrsquooperatore integrale

La lunga dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquointegrale egrave proprio come sognava Cavalieriunrsquoastrazione del procedimento di esaustione di Eudosso e Archimede La dobbiamoprincipalmente a Cauchy e Riemann qui useremo una variante delle argomentazioni diRiemann dovuta a Darboux

Dato un intervallo [119886 119887] una sua suddivisione egrave un sottoinsieme finito 119878 tale che119886119887 isin 119878 Possiamo allora elencare gli elementi di una suddivisione come

119886 = 1199090 lt 1199091 lt ⋯ lt 119909119899minus1 lt 119909119899 = 119887

Data una suddivisione 119878 e una funzione 119891 continua su [119886 119887] porremo

m119909119895119909119895minus1(119891) = 119898119878119895(119891) e M119909119895

119909119895minus1(119891) = 119872119878119895(119891)

Chiameremo 119878-somma superiore per 119891 il numero

Σ119878(119891) = (1199091 minus1199090)1198721198781(119891) + (1199092 minus1199091)1198721198782(119891) +⋯+ (119909119899 minus119909119899minus1)119872119878119899(119891)

Nel caso di 119891 a valori positivi staremmo considerando la somma delle aree dei rettan-goli lsquoesternirsquo relativi alla suddivisione 119878 Analogamente chiamiamo 119878-somma inferioreper 119891 il numero

120590119878(119891) = (1199091 minus1199090)1198981198781(119891) + (1199092 minus1199091)1198981198782(119891) +⋯+ (119909119899 minus119909119899minus1)119898119878119899(119891)

che nel caso di 119891 a valori positivi corrisponde alla somma delle aree dei rettangolilsquointernirsquo relativi alla suddivisione

Per costruzione egrave 119898119878119895 le 119872119878119895 e perciograve egrave evidente che

120590119878(119891) le Σ119878(119891)

66 esistenza dellrsquooperatore integrale 131

Dimostriamo adesso che se 119878 sube 119879 allora

120590119878(119891) le 120590119879(119891) le Σ119879(119891) le Σ119878(119891)

Possiamo limitarci al caso speciale in cui 119879 si ottenga aggiungendo un solo elementoa 119878 percheacute il caso generale discende ripetendo il ragionamento per un certo numero(finito) di volte Verifichiamo solo lrsquoultima disuguaglianza la prima egrave analoga (oppuresi applichi il ragionamento a minus119891)

Possiamo dunque supporre che 119879 contenga esattamente un elemento in piugrave di 119878 se119878 egrave dato da

119886 = 1199090 lt 1199091 lt ⋯ lt 119909119899minus1 lt 119909119899 = 119887

avremo che 119879 contiene un elemento 119909 che sta diciamo tra 119909119895minus1 e 119909119895 Dunque ladifferenza tra la 119878-somma superiore e la 119879-somma superiore egrave

Σ119878(119891) minus Σ119879(119891) = (119909119895 minus119909119895minus1)M119909119895119909119895minus1(119891) minus ((119909 minus119909119895minus1)M119909

119909119895minus1(119891) minus (119909119895 minus119909)M119909119895

119909(119891))

Per evitare tanta barbarie di simboli poniamo

119903 = 119909119895minus1

119904 = 119909119895

1198720 = M119909119895119909119895minus1(119891)

1198721 = M119909119909119895minus1(119891)

1198722 = M119909119895

119909(119891)

e osserviamo che 1198721 le 1198720 e 1198722 le 1198720 per uno dei due deve valere lrsquouguaglianzaAbbiamo allora

Σ119878(119891) minus Σ119879(119891) = (119904 minus 119903)1198720 minus ( (119909 minus 119903)1198721 + (119904 minus119909)1198722)

ge (119904 minus 119903)1198720 minus ( (119909 minus 119903)1198720 + (119904 minus119909)1198720) = 0

esattamente come richiestoSiamo a buon punto consideriamo lrsquoinsieme 119984119887

119886(119891) delle 119878-somme superiori e lrsquoin-sieme ℒ119887

119886(119891) delle 119878-somme inferiori cioegrave quelli dei valori ottenuti prendendo tutte lepossibili suddivisioni di [119886 119887] Dimostriamo che che ogni numero in ℒ119887

119886(119891) egrave minore(o uguale) di ogni numero in 119984119887

119886(119891) Infatti se prendiamo 120590119878(119891) e Σ119879(119891) abbiamo

120590119878(119891) le 120590119878cup119879(119891) le Σ119878cup119879(119891) le Σ119879(119891)

Ci viene dunque spontaneo considerare lrsquoestremo superiore L119887119886(119891) di ℒ119887

119886(119891) e lrsquoestremoinferiore U119887

119886(119891) di 119984119887119886(119891) Di sicuro

L119887119886(119891) le U119887

119886(119891)

e vogliamo dimostrare che in realtagrave sono uguali Come possiamo fare La rispostaegrave abbastanza semplice ci basta verificare che lrsquooperatore (119886119887) ↦ U119887

119886(119891) soddisfa leproprietagrave richieste per lrsquooperatore (119886119887) ↦ Int119887119886(119891) La stessa dimostrazione varragrave conle facili modifiche necessarie per lrsquooperatore (119886 119887) ↦ L119887

119886(119891) Siccome sappiamo giagraveche quellrsquooperatore se esiste egrave unico avremo terminato

La prima proprietagrave egrave davvero banale infatti se consideriamo la suddivisione 1198780 incui ci sono solo 119886 e 119887 abbiamo

(119887 minus 119886)m119887119886(119891) = 1205901198780(119891) le U119887

119886(119891) le Σ1198780(119891) = (119887minus 119886)M119887119886(119891)

Dobbiamo dunque dimostrare la seconda proprietagrave cioegrave che per 119901 le 119886 lt 119887 lt 119888 le 119902 siha

U119888119886(119891) = U119887

119886(119891) + U119888119887(119891)

132 integrali

Se prendiamo una suddivisione 119878 di [119886 119888] possiamo considerare la suddivisione119878prime = 119878cup 119887 perciograve per quanto abbiamo visto

Σ119878prime(119891) le Σ119878(119891)

Che cosa ci dice questo Che lrsquoestremo inferiore di 119984119888119886(119891) egrave lrsquoestremo inferiore di

un insieme piugrave piccolo quello delle somme inferiori calcolate sulle suddivisioni a cuiappartiene 119887 Ora se 119878 egrave una suddivisione di [119886 119888] a cui appartiene 119887 possiamoda questa ottenere una suddivisione 119878larr di [119886 119887] e una suddivisione 119878rarr di [119887 119888]Chiaramente dalla definizione di Σ119878 abbiamo

Σ119878(119891) = Σ119878larr(119891) + Σ119878rarr(119891)

Viceversa se 1198791 egrave una suddivisione di [119886 119887] e 1198792 egrave una suddivisione di [119887 119888]119879 = 1198791 cup1198792 egrave una suddivisione di [119886 119888] a cui appartiene 119887

Quindi ci siamo ridotti a verificare una condizione su insiemi di numeri

l e mma Siano 119860 e 119861 insiemi di numeri e sia 119862 lrsquoinsieme a cui appartengono tuttele possibili somme di numeri in 119860 con numeri in 119861 Se 119860 e 119861 hanno estremo inferiore119886 e 119887 allora 119862 ha estremo inferiore 119888 = 119886+ 119887

Se 119886 isin 119860 e 119887 isin 119861 allora 119886 le 119886 e 119887 le 119887 dunque 119888 = 119886+119887 le 119886+119887 e 119888 egrave un minorantedi 119862 e quindi 119862 ha estremo inferiore in particolare 119888 le inf 119862 Supponiamo che 119888 lt inf 119862Per definizione di estremo inferiore esistono 119886 isin 119860 e 119887 isin 119861 tali che

119886minus119886 le inf 119862minus 1198884 119887 minus 119887 le inf 119862minus 119888

4

Allora

119886+ 119887minus 119888 le inf 119862minus 1198882 lt inf 119862minus 119888

da cui 119886+ 119887 lt inf 119862 che egrave assurdo in quanto 119886+ 119887 isin 119862 per definizione di 119862

A che ci serve questo lemma Se prendiamo 119860 = 119984119887119886(119891) e 119861 = 119984119888

119887(119891) lrsquoinsieme 119862 egraveproprio lrsquoinsieme delle somme superiori calcolate sulle suddivisioni che contengono 119887Ma abbiamo giagrave osservato che inf 119862 = U119888

119886(119891) e il lemma ci dice allora che

U119888119886(119891) = inf 119862 = inf 119860+ inf 119861 = inf 119984119887

119886(119891) + inf 119984119888119887(119891) = U119887

119886(119891) + U119888119887(119891)

Per gli stessi motivi avremo anche

m119887119886(119891) le L119887

119886(119891) le M119887119886(119891)

L119888119886(119891) = L119888

119887(119891) + L119888119887(119891)

la prima per 119901 le 119886 lt 119887 le 119902 la seconda per 119901 le 119886 lt 119887 lt 119888 le 119902Ci sarebbe un modo piugrave veloce per dimostrarlo basta rendersi conto che

L119887119886(119891) = minusU119887

119886(minus119891)

e osservare che in quanto abbiamo fatto la funzione119891 non entra inmodo particolare neabbiamo solo usato la continuitagrave per verificare lrsquounicitagrave dellrsquooperatore (119886 119887) ↦ Int119887119886(119891)

La dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquooperatore Int egrave cosigrave conclusa

67 disuguaglianze 133

67 disuguaglianze

Qui supporremo sempre che le funzioni siano continue sullrsquointervallo [119886 119887] e quindiche 119886 lt 119887

La prima disuguaglianza per gli integrali egrave piuttosto facile se 119891 egrave una funzione nonnegativa che assume un valore positivo in [119886 119887] allora

int119887

119886119891(119905)119889119905 gt 0

Infatti deve essere 119891(119909) gt 0 per un 119909 isin (119886 119887) e possiamo trovare un intorno di 119909in cui 119891(119909) gt 0 se questo intorno contiene lrsquointervallo (119909 minus 120575 119909 + 120575) abbiamo che119891(119888) gt 0 e 119891(119889) gt 0 dove 119888 = 119909minus 1205752 e 119889 = 119909+1205752 Dunque

int119887

119886119891(119905)119889119905 = int

119888

119886119891(119905)119889119905 + int

119889

119888119891(119905)119889119905 + int

119887

119889119891(119905)119889119905 ge m119888

119886(119891) + m119889119888 (119891) + m119887

119889(119891)

con m119888119886(119891) ge 0 m119889

119888 (119891) gt 0 e m119887119889(119891) ge 0

Non egrave difficile vedere anche che se 119891(119909) le 119892(119909) per ogni 119909 allora

int119887

119886119891(119905)119889119905 le int

119887

119886119892(119905)119889119905

Infatti se 119865 = 119892minus119891 si ha 119865(119909) ge 0 per ogni 119909 e quindi m119887119886(119865) ge 0 Dunque

0 le (119887minus 119886)m119887119886(119865) le int

119887

119886119865(119905)119889119905 = int

119887

119886119892(119905)119889119905 minus int

119887

119886119891(119905)119889119905

In questo caso scriveremo 119891 le 119892Prendiamo una funzione 119891 e consideriamo le due funzioni cosigrave definite

119891+(119909) = 12( |119891(119909)| + 119891(119909))

119891minus(119909) = 12( |119891(119909)| minus 119891(119909))

Allora

119891+(119909) =⎧⎨⎩

119891(119909) se 119891(119909) ge 00 se 119891(119909) lt 0

119891minus(119909) =⎧⎨⎩

0 se 119891(119909) ge 0minus119891(119909) se 119891(119909) lt 0

e abbiamo chiaramente 119891(119909) = 119891+(119909) minus 119891minus(119909) Il vantaggio di aver definito 119891+ e 119891minuscon la formula algebrica egrave che questa dimostra che le due funzioni sono continue (edentrambe a valori non negativi) su [119886 119887] se tale egrave 119891 In piugrave abbiamo che

|119891(119909)| = 119891+(119909) + 119891minus(119909)

Indicheremo brevemente con |119891| la funzione 119909 ↦ |119891(119909)| che ha lo stesso dominiodi 119891 Per una funzione qualsiasi abbiamo minus|119891| le 119891 le |119891| e quindi per la disuguaglian-za precedente

int119887

119886minus|119891(119905)|119889119905 le int

119887

119886119891(119905)119889119905 le int

119887

119886|119891(119905)|119889119905

e ne segue lrsquoaltra fondamentale disuguaglianza

|int119887

119886119891(119905)119889119905| le int

119887

119886|119891(119905)|119889119905

134 integrali

Ne ricaviamo subito una conseguenza importante

se int119887

119886|119891(119905)|119889119905 = 0 allora 119891(119909) = 0 per ogni 119909 isin [119886 119887]

Infatti se fosse 119891(119909) ne 0 avremmo |119891(119909)| gt 0 e quindi lrsquointegrale di |119891| sarebbepositivo

t e o r ema Se 119891 egrave una funzione continua e crescente su [1 rarr) allora per ogniintero 119899 gt 1

119891(1) + 119891(2) +⋯+119891(119899minus 2) + 119891(119899minus 1) le int119899

1119891(119905)119889119905

int119899

1119891(119905)119889119905 le 119891(2) + 119891(3) +⋯+119891(119899minus 1) + 119891(119899)

Poicheacute 119891 egrave crescente si ha m119887119886(119891) = 119891(119886) e M119887

119886(119891) = 119891(119887) Perciograve 119891(1)+⋯+119891(119899minus1)e 119891(2) + ⋯ + 119891(119899) sono rispettivamente la somma inferiore e la somma superiorerispetto alla suddivisione 1 2hellip 119899minus 1119899

Vediamo un esempio Sia 119891(119909) = 1199092 il teorema ci dagrave un modo di valutare la somma119878119899minus1 = 12 + 22 +⋯+ (119899minus 1)2 infatti 119891 egrave crescente su [1 rarr) e perciograve

119878119899minus1 le int119899

11199052 119889119905 = [1199053

3 ]119905=119899

119905=1le 119878119899 minus 1

Dunque

119878119899minus1 le 1198993 minus 13 le 119878119899 minus1

Per lo stesso motivo1198993

3 + 23 le 119878119899 le (119899+ 1)3

3 minus 13

e possiamo dividere per 1198993

13 + 2

31198993 le 1198781198991198993 le 1

3 + 1119899 + 1

1198992

e per il teorema di confronto dei limiti

lim119899rarr+infin

1198781198991198993 = 1

3

Con la stessa tecnica si dimostri che se

119878(119896)119899 = 1119896 + 2119896 +⋯+119899119896

allora

lim119899rarr+infin

119878(119896)119899

119899119896+1 = 1119896+ 1

Per funzioni decrescenti vale ovviamente una coppia di disuguaglianze analoghe

t e o r ema Se 119891 egrave una funzione continua e decrescente su [1 rarr) allora perogni intero 119899 gt 1

119891(1) + 119891(2) +⋯+119891(119899minus 2) + 119891(119899minus 1) ge int119899

1119891(119905)119889119905

int119899

1119891(119905)119889119905 ge 119891(2) + 119891(3) +⋯+119891(119899minus 1) + 119891(119899)

67 disuguaglianze 135

Se prendiamo 119891(119909) = 11199092 definita su (0 rarr) essa egrave descrescente Se poniamo119860(2)119899 = 119891(1) +⋯+119891(119899) abbiamo per 119899 gt 1

119860(2)119899minus1 ge int119899

1

11199052 119889119905 = [minus1

119905 ]119905=119899

119905=1ge 119860(2)119899 minus 1

quindi calcolando lrsquointegrale

119860(2)119899 minus 1 le 1minus 1119899

che quindi dagrave

119860(2)119899 le 2minus 1119899

In particolare la successione 119860(2) che egrave crescente converge Alla stessa conclusionesi giunge con 119860(119904) definita da

119860(119904)119899 = 1+ 12119904 +⋯+ 1

119899119904

per 119904 gt 1 percheacute lrsquointegrale corrispondente vale

int119899

1

1119905119904 119889119905 = [minus 1

(119904 minus 1)119905119904minus1 ]119905=119899

119905=1= 1

119904minus 1 minus 1(119904 minus 1)119899119904minus1

e quindi 119860(119904)119899 le 1(119904 minus 1) + 1 = 119904(119904 minus 1)Per 119904 = 1 invece si ha

119860(1)119899minus1 ge int119899

1

1119905 119889119905 = [ log 119905]119905=119899

119905=1= log119899

e perciograve lim119899rarr+infin 119860(1)119899 = +infin

Usualmente si pone per 119904 gt 1 120577(119904) = lim119899rarr+infin 119860(119904)119899 La funzione che cosigrave si ottiene si chiamafunzione zeta di Riemann sebbene sia stata studiata inizialmente da Euler Riemann ne estesela definizione e dimostrograve importanti connessioni della funzione zeta piugrave generale con i numeriprimi Una congettura di Riemann sulla funzione zeta egrave uno dei piugrave importanti problemi apertidella matematica e non solo per il premio da un milione di dollari promesso da un istituto diricerca

Euler dimostrograve che lim119899rarr+infin 119860(2)119899 = 120577(2) = 12058726 chiudendo cosigrave una questione nota comeproblema di Basilea percheacute fu ripreso da Johan Bernoulli sebbene fosse stato posto da PietroMengoli (1626ndash1686) In effetti sulla dimostrazione di Euler ci sarebbero parecchi rilievi da farema lrsquoidea di fondo era corretta

Crsquoegrave un altro modo di dimostrare che la successione 119860(1) non converge Osserviamo che se119899 isin ℕ esiste un119898 isin ℕ tale che 2119898minus1 le 119899 lt 2119898+1minus1 quindi se dimostriamo che la successione119887 definita da 119887119898 = 119860(1)2119898minus1 non converge nemmeno lrsquoaltra converge I numeri naturali da 1 a2119898minus1 sono quelli che in notazione binaria si scrivono con al massimo 119898 cifre Quindi abbiamo

1198871 = 112

1198872 = 112

+( 1102

+ 1112

)

1198873 = 112

+( 1102

+ 1112

)+ ( 11002

+ 11012

+ 11102

+ 11112

)

e cosigrave via (non usiamo il sistema binario per gli indici) Se al posto delle frazioni con un denomi-natore di 119896 cifre binarie scriviamo 12119896+1 otteniamo un numero minore di 119887119898 che indichiamo

136 integrali

con 119887prime119898 Ogni gruppo in parentesi racchiude le frazioni il cui denominatore ha lo stesso numero

di cifre binarie se le cifre sono 119896 i numeri del gruppo sono esattamente 2119896 Perciograve

119887prime1 = 20 1

2 = 12

119887prime2 = 20 1

2 + 21 122 = 2

2

119887prime3 = 20 1

2 + 21 122 + 22 1

23 = 32

hellip

119887prime119898 = 20 1

2 +⋯+ 2119898minus1 12119898 = 119898

2

Dunque egrave chiaro che lim119898rarr+infin 119887prime119898 = +infin e perciograve anche lim119898rarr+infin 119887119898 = +infin

Egrave interessante notare che con una tecnica analoga si dimostra la convergenza di 119860(2) Scrivia-mo ancora 119888119898 = 119860(2)2119898minus1 e vediamo i primi termini

1198881 = 1(12)2

1198882 =1

(12)2+( 1

(102)2+ 1

(112)2)

1198883 = 1(12)2

+( 1(102)2

+ 1(112)2

)+ ( 1(1002)2

+ 1(1012)2

+ 1(1102)2

+ 1(1112)2

)

ma questa volta pensiamo di sostituire ogni frazione con denominatore di 119896 cifre con 12119896 Se 119897egrave un numero che nel sistema binario si scrive con 119896 cifre allora 2119896 le 119897 da cui 12119896 ge 1119897 Perciogravecon queste sostituzioni otteniamo un numero 119888prime

119898 ge 119888119898 e

119888prime1 = 20 1

12 = 1

119888prime2 = 20 1

12 +21 1(21)2 = 1+ 1

2

119888prime3 = 20 1

12 +21 1(21)2 +22 1

(22)2 = 1+ 12 + 1

4

hellip

119888prime119898 = 1+ 1

2 + 14 +⋯+ 1

2119898minus1

Ma questa egrave unrsquoespressione che sappiamo trattare se 119909 ne 1

1 +119909+1199092 +⋯+119909119898minus1 = 1minus119909119898

1minus119909

e per 119909 = 12 abbiamo119888prime119898 = 2(1minus 1

2119898 ) lt 2

Dunque la successione 119888prime egrave crescente e limitata allora anche 119888 egrave crescente e limitata e cosigrave per119860(2) Si noti come il ragionamento con gli integrali sia molto piugrave diretto e non richieda trucchiingegnosi

Se si prova a usare il secondo trucco con 119860(1) si ottiene solo la maggiorazione

119887119898 le 119898

che non dagrave alcuna informazione sulla convergenza di 119887

68 frazioni algebriche e integrali

Se 119875 e119876 sono polinomi in linea di principio egrave possibile trovare una primitiva di 119891(119909) =119875(119909)119876(119909) Infatti lrsquounico ostacolo egrave la fattorizzazione di 119876 come prodotto di fattoriirriducibili Egrave noto anche se non facile da dimostrare che i polinomi irriducibili sui realisono solo quelli di grado 1 e quelli di grado 2 con discriminante negativo La ricerca di

68 frazioni algebriche e integrali 137

una primitiva di una frazione algebrica poggia sul seguente risultato ma anche sulleosservazioni che (1) non egrave restrittivo supporre che il grado di 119875 sia minore del grado di119876 percheacute si puograve eseguire la divisione con resto (2) non egrave restrittivo supporre che 119875 e119876 non abbiano fattori comuni percheacute il massimo comune divisore si puograve determinarecon lrsquoalgoritmo di Euclide

Un fattore irriducibile 119877 del polinomio 119876 si dice di molteplicitagrave 119898 se 119877119898 divide 119876ma 119877119898+1 non divide 119876

t e o r ema Siano 119875 e 119876 polinomi senza fattori comuni con il grado di 119875 minoredel grado di 119876 Se 119877 egrave un fattore irriducibile di 119876 di molteplicitagrave 119898 allora si puogravescrivere

119875(119909)119876(119909) = 1198781(119909)

119877(119909) + 1198782(119909)119877(119909)2 +⋯+ 119878119898(119909)

119877(119909)119898 + 1198751(119909)1198761(119909)

dove 1198761 non egrave divisibile per 119877 e i polinomi 1198781 1198782 hellip 119878119898 hanno grado minore delgrado di 119877

Non daremo la dimostrazione che richiede conti piuttosto complicati Come si puogravefare in pratica Si applica il teorema ripetutamente fincheacute si esauriscono i fattori irri-ducibili di 119876 infatti il teorema vale anche per la frazione 11987511198761 A questo punto nonoccorre aver giagrave calcolato i numeratori 119878 percheacute si puograve usare ilmetodo dei coefficienti in-determinati Supponiamo per esempio che119876(119909) = 119909(119909minus1)3(1199092+1)2 Lrsquoapplicazioneripetuta del teorema ci dice che possiamo scrivere

119875(119909)119876(119909) = 119860

119909 + 119861119909minus 1 + 119862

(119909minus 1)2 + 119863(119909minus 1)3 + 119864119909+119865

1199092 + 1 + 119866119909+119867(1199092 + 1)2

Le incognite sono otto e il grado di 119875 egrave al massimo sette quindi i coefficienti nonnulli di 119875 sono al massimo otto e riscrivendo il membro di destra come unica frazionealgebrica possiamo adoperare il principio di identitagrave dei polinomi Ma non occorrenemmeno eseguire troppi calcoli con le frazioni basta usare il valore delle funzioni inpunti opportuni

Supponiamo per esempio 119875(119909) = 1199093 minus 21199092 + 3 Calcoliamo 119875(2)119876(2) = 350quindi anche

1198602 + 119861

1 + 11986212 + 119863

13 + 2119864+ 1198655 + 2119866+119867

52 = 350

Si possono usare altri punti per ottenere le sette equazioni ancora necessarie Lrsquoimpor-tante egrave vedere che si ottiene un sistema lineare

Vediamo un esempio certamente piugrave semplice con la funzione

119891(119909) = 1199094 + 31199092 + 1119909(119909minus 1)2(1199092 +1)

che ammette la decomposizione

119891(119909) = 119860119909 + 119861

119909minus 1 + 119862(119909minus 1)2 + 119863119909+119864

1199092 + 1

Qui forse egrave piugrave semplice scrivere ciograve che si ottiene mettendo tutto allo stesso denomi-natore

119891(119909)(119909(119909minus 1)2(1199092 +1) = 119860(119909minus 1)2(1199092 +1) + 119861119909(119909minus 1)(1199092 + 1)+119862119909(1199092 + 1) + (119863119909+119864)119909(119909minus 1)2

138 integrali

= (119860+119861+119863)1199094

+ (minus2119860minus119861+119862minus 2119863+119864)1199093

+ (2119860+ 119861+119863minus119864)1199092

+ (minus2119860minus119861+119862+119864)119909+119860

e il principio di uguaglianza dei polinomi dice

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

119860 = 1minus2119860minus119861+119862+119864 = 02119860+ 119861+119863minus119864 = 3minus2119860minus119861+119862minus 2119863+119864 = 0119860+119861+119863 = 1

da cui si ottiene119860 = 1 119861 = minus1 119862 = 2 119863 = 1 119864 = minus1

e quindi119891(119909) = 1

119909 minus 1119909minus 1 + 2

(119909minus 1)2 + 119909minus 11199092 +1

Egrave facile a questo punto calcolare una primitiva di 119891

int119909119891(119905)119889119905 = log|119909| minus log|119909 minus 1| minus 2

119909minus 1 +int119909 119905 minus 11199052 + 1 119889119905

dove teniamo da parte lrsquoultima frazione parziale unica che richiede un trattamento piugraveattento

int119909( 1199051199052 +1 minus 1

1199052 + 1)119889119905 = 12 int

119909 21199051199052 + 1 119889119905minusint

119909 11199052 + 1 119889119905

= 12 log(1199092 +1) minus arctan119909

Piugrave in generale quando si deve calcolare la primitiva della funzione 119891(119909) = (119860119909 +119861)(1198861199092 + 119887119909 + 119888) occorre procedere in questo modo Prima di tutto si vede se ildenominatore ha radici e in tal caso si puograve trovare la decomposizione in frazioniparziali come prima Dunque supponiamo che Δ = 1198872 minus 4119886119888 lt 0 la solita tecnica dicompletamento del quadrato ci permette di scrivere

1198861199092 +119887119909+ 119888 = 14119886(411988621199092 + 4119886119887119909+ 1198872 minusΔ) = 1

4119886((2119886119909+ 119887)2 minusΔ)

Poniamo allora 120575 = radicminusΔ e calcoliamo la primitiva

int119909 119860119905+ 1198611198861199052 +119887119905+ 119888 119889119905 = int

119909 4119886(119860119905 + 119861)(2119886119905 + 119887)2 +1205752 119889119905

= (hellip)[120575119906 = 2119886119905 + 119887 119889119906 = 2119886120575 119889119905]

= int(120575119909minus119887)(2119886) 119862119906+119863

1199062 + 1 119889119906

dove 119862 e 119863 sono opportuni coefficienti A questo punto il calcolo egrave facile

int119909 119862119905+119863

1199052 +1 119889119905 = 1198622 int

119909 21199051199052 +1 119889119905+119863int

119909 11199052 + 1 119889119905

che egrave del tutto simile al precedente Inutile scrivere la formula esplicita molto megliolavorare a un esempio

int119909 3119905 + 11199052 + 4119905 + 20 119889119905

69 integrali e aree 139

Completiamo il quadrato al denominatore

1199052 + 4119905+ 20 = 1199052 + 4119905 + 4+ 16 = (119905 + 2)2 +42

e quindi la sostituzione da eseguire egrave 2119906 = 119905+ 2 quindi 119889119905 = 2119889119906 e

3119905 + 1 = 3(1199062 minus 2+ 1) = 3

2(119906minus 2)

Perciograve lrsquointegrale diventa

int119909 3119905 + 11199052 + 4119905+ 20 119889119905 = 23

214 int

(119909+2)2 119906minus 21199062 + 1 119889119906

= 38 int

(119909+2)2 21199061199062 + 1 119889119906+ 3

4 int(119909+2)2 1

1199062 +1 119889119906

= 38[ log(1199062 +1)] 119906=(119909+2)2 + 3

4[arctan119906] 119906=(119909+2)2

e si puograve scrivere lrsquoespressione esplicita senza alcuna difficoltagravePiugrave complicato egrave trovare una primitiva di 119891(119909) = 1(1199092 + 1)2 a cui si riduce con

sostituzioni analoghe a quelle precedenti il calcolo quando nel denominatore dellafrazione originale ci sia il quadrato di un polinomio di secondo grado con discriminantenegativo Il trucco egrave di scrivere

1(1199092 +1)2 = 1+1199092 minus1199092

(1199092 + 1)2 = 11199092 + 1 minus 1199092

(1199092 + 1)2

Una primitiva del primo addendo egrave nota esaminiamo il secondo integrando per partiprendiamo 120593(119909) = 1199092 come fattore finito e 120595(119909) = 2119909(1199092 + 1)2 come fattore diffe-renziale Infatti una primitiva di 120595 egrave Ψ(119909) = minus1(1199092 + 1) percheacute al numeratore crsquoegrave laderivata di 119909 ↦ 1199092 +1 Dunque

int119909 1199052

2119905(1199052 + 1)2 119889119905 = 119909

2minus1

1199092 + 1 + 12 int

119909 11199052 +1 119889119905 = minus 119909

2(1199092 + 1) + 12 arctan119909

come si puograve controllare derivando e per la primitiva che stavamo cercando

int119909 1(1199052 + 1)2 119889119905 = int

119909 11199052 + 1 119889119905 minusint

119909 11990521199052 + 1 119889119905

= arctan119909minus (minus 1199092(1199092 + 1) + 1

2 arctan119909)

= 12( 119909

1199092 +1 + arctan119909)

Per le potenze superiori ci si deve armare di pazienza e ripetere il trucco piugrave volteOppure consultare httpintegralswolframcom dove si possono ottenere tuttigli integrali che si desiderano (quasi)

69 integrali e aree

Consideriamo un triangolo rettangolo prendiamo la retta di uno dei cateti come assedelle ascisse come origine il vertice dellrsquoangolo non retto Stabiliamo che i versi positividellrsquoasse delle ascisse e delle ordinate siano in modo che il vertice dellrsquoaltro angolo nonretto sia nel primo quadrante La retta che passa per i due vertici degli angoli non rettiavragrave cosigrave equazione

119910 = 119887119886119909

140 integrali

se con 119886 indichiamo la misura del cateto sullrsquoasse delle ascisse e con 119887 la misuradellrsquoaltro cateto Allora

int119886

0

119887119886119905119889119905 = 119887

119886[11990522 ]

119905=119886

119905=0= 119887

1198861198862

2 = 12119886119887

come era facile attendersiQual egrave il succo di questo discorso Che nei casi in cui lrsquoarea egrave facilmente definibile

cioegrave per i poligoni lrsquointegrale fornisce esattamente lo stesso risultato A questo puntoil passo egrave quasi ovvio invece di lunghe contorsioni per definire in modo lsquogeometricorsquolrsquoarea delle figure delimitate da curve usiamo lrsquointegrale

Supponiamo per esempio di voler calcolare lrsquoarea della parte di piano delimitatadalle due parabole di equazioni

119910 = 51199092 119910 = minus31199092 + 2

Le due parabole si incontrano nei punti di coordinate

(minus12 54) (1

2 54)

e un semplice raffronto mostra che lrsquoarea deve essere la differenza degli integrali

int12

minus12(minus31199052 + 2)119889119905 minusint

12

minus1251199052 119889119905 = int

12

minus12(minus81199052 + 2)119889119905

= [minus811990533 + 2119905]

119905=12

119905=minus12

= (13 minus 1)minus (minus1

3 + 1)

= 23

come si potrebbe calcolare anche dalla formula di Archimede Giagrave che ci siamo ve-diamo che anchrsquoessa funziona Lrsquoarea del settore definito sulla parabola di equazione119910 = 1198861199092 (con 119886 gt 0) dai punti (1199011198861199012) e (1199021198861199022) con 119901 lt 119902 egrave la differenza tra lrsquoarealdquosotto la rettardquo e quella ldquosotto la parabolardquo naturalmente delimitate entrambe dallrsquoassedelle ascisse Lrsquoarea ldquosotto la rettardquo egrave calcolabile senza integrali dal momento che lafigura egrave un poligono in particolare un trapezio rettangolo

12(1198861199012 +1198861199022)(119902 minus 119901)

mentre quella ldquosotto la parabolardquo egrave per definizione

int119902

1199011198861199052 119889119905 = [1198861199053

3 ]119905=119902

119905=119901= 119886

3 (1199023 minus1199013)

La differenza egrave dunque

1198866 (119902 minus 119901)( 3(1199012 +1199022) minus 2(1199022 +119901119902+1199012)) = 119886

6 (119902minus 119901)3

esattamente come calcolato in precedenzaAbbiamo giagrave visto come lrsquointegrale fornisca il valore ldquocorrettordquo per lrsquoarea del cerchio

non solo anche il procedimento che ha dimostrato lrsquoesistenza dellrsquointegrale si basa-va sullrsquoidea dellrsquoesaustione Dunque egrave perfettamente sensato definire lrsquoarea tramitelrsquointegrale e dimenticarsi di tutti i complicati procedimenti per calcolare aree strane

610 integrali impropri 141

Non egrave difficile generalizzare lrsquoesempio precedente diamo la regola pratica suppo-nendo di dover calcolare lrsquoarea compresa tra archi di curve esprimibili come grafici difunzioni Si numerano i punti di intersezione come

1198600(11990901199100) 1198601(11990911199101) hellip 119860119899minus1(119909119899minus1119910119899) 119860119899 = 1198600

girando attorno alla regione di piano in senso orario Chiamiamo 119891119896 (119896 = 1hellip 119899)la funzione il cui grafico costituisce il ldquolatordquo della figura da 119860119896minus1 a 119860119896 Allora lrsquoarearichiesta si ottiene con

int1199091

11990901198911(119905)119889119905 + int

1199092

11990911198912(119905)119889119905 +⋯+int

119909119899

119909119899minus1119891119899(119905)119889119905

Se per caso fra i ldquolatirdquo della figura ci fossero segmenti verticali lrsquointegrale non avrebbesenso e semplicemente lo si omette Si noti che certamente alcuni di quegli integralisaranno su intervalli ldquorovescirdquo ma questo non ci dagrave alcun problema

Facciamo un esempio Sono date 119891(119909) = log119909 e 119892(119909) = 1199092 e si vuole calcolare lrsquoareadeterminata dalle due curve dallrsquoasse delle ascisse e dalla retta di equazione119910 = 3minus2119909I punti da considerare sono 1198600(0 0) 1198601(1 1) 1198602(119903 3 minus 2119903) e 1198603(1 0) con 1198604 = 1198600Qui 119903 egrave la soluzione dellrsquoequazione log119909 = 3minus 2119909 La regola pratica dice dunque chelrsquoarea cercata egrave

int1

01199052 119889119905 +int

119903

1(3 minus 2119905)119889119905 + int

1

119903log 119905119889119905 + int

0

10119889119905

e calcoleremo gli integrali uno alla volta (escluso naturalmente lrsquoultimo)

int1

01199052 119889119905 = 1

3

int119903

1(3 minus 2119905)119889119905 = [ 3119905 minus 1199052] 119905=119903

119905=1= (3119903minus 1199032) minus (3 minus 1) = 3119903minus 1199032 minus 2

int1

119903log 119905119889119905 = [ (119905 minus 1) log 119905]119905=1

119905=119903= minus(119903minus 1) log119903 = minus(119903minus 1)(3 minus 2119903)

Perciograve lrsquoarea richiesta egrave

13 + 3119903minus 1199032 minus 2minus 3119903+ 3+ 21199032 minus 2119903 = 1199032 minus2119903+ 4

3

Se invece lrsquoarea da calcolare egrave quella delimitata dai grafici delle due funzioni e dallerette di equazioni 119909 = 1 e 119909 = 2 si puograve fare allo stesso modo i punti sono 1198600(1 1)1198601(2 4) 1198602(2 log2) 1198603(1 0) e 1198604 = 1198600 Lrsquoarea egrave dunque

int2

11199052 119889119905 +int

1

2log 119905119889119905 = [ 11990533] 119905=2

119905=1+ [ 119905(log 119905 minus 1)] 119905=1

119905=2

= (83 minus 1

3)+ (minus1minus 2 log2 + 2)

= 103 minus 2 log2

610 integrali impropri

In certi casi succede un fatto curioso consideriamo la funzione 119891(119909) = 1radic119909 che egravedefinita in (0 rarr) e fissiamo 119909 con 0 lt 119909 lt 1 allora

119865(119909) = int1

119909

1radic119905

119889119905 = [2radic119905]119905=1119905=119909

= 2minusradic119909

e lim119909rarr0 119865(119909) = 2 Intuitivamente lrsquoarea sottostante la curva 119910 = 1radic119909 compresa tralrsquoasse delle ordinate lrsquoasse delle ascisse e la retta di equazione 119909 = 1 egrave ldquofinitardquo pur se la

142 integrali

figura non egrave limitata nel piano Dobbiamo prendere molto sul serio questa asserzioneNo ma possiamo semplicemente definire

int1

0

1radic119905

119889119905 = lim119909rarr0

int1

119909

1radic119905

119889119905

senza preoccuparci di darne una ldquogiustificazione geometricardquo

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione continua nellrsquointervallo (119886 119887] Se esistefinito il

lim119909rarr119886

int119887

119909119891(119905)119889119905

allora si dice che lrsquointegrale improprio int119887119886 119891(119905)119889119905 converge e si pone

int119887

119886119891(119905)119889119905 = lim

119909rarr119886int

119887

119909119891(119905)119889119905

Analoga definizione si dagrave per una funzione continua in [119886 119887) Egrave chiaro da quantoabbiamo visto che se per caso 119891 egrave continua su [119886 119887] allora di sicuro

int119887

119886119891(119905)119889119905 = lim

119909rarr119887int

119909

119886119891(119905)119889119905

(finito) percheacute sotto il limite crsquoegrave proprio la funzione integrale che egrave derivabile e quindicontinua Analogamente per il limite verso lrsquoestremo sinistro dellrsquointervallo Quindi ledue nozioni non danno risultati diversi quando la funzione sia effettivamente continuain [119886 119887] oppure anche sia definita e continua in [119886 119887) e lim119909rarr119887 119891(119909) sia finito

Consideriamo ora 119891(119909) = exp(minus119909) che consideriamo definita su [0 rarr) allora

lim119909rarr+infin

int119909

0exp(minus119905)119889119905 = lim

119909rarr+infin[ minus exp(minus119905)] 119905=119909

119905=0

= lim119909rarr+infin

(minus exp(minus119909) + exp0) = 1

e ci ritroviamo in una situazione del tutto simile a prima Anche qui daremo la defini-zione di integrale improprio

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione continua nellrsquointervallo [119886 rarr) se esistefinito il

lim119909rarr+infin

int119909

119886119891(119905)119889119905

allora si dice che lrsquointegrale improprio int+infin119886 119891(119905)119889119905 converge e si pone

int+infin

119886119891(119905)119889119905 = lim

119909rarr+infinint

119909

119886119891(119905)119889119905

In molti casi non egrave possibile calcolare esplicitamente un integrale ma nel caso difunzioni continue su un intervallo chiuso sappiamo comunque che ha un certo valoreSi possono usare criteri di vario tipo per determinare se un integrale improprio conver-ge Ne enunceremo uno molto utile e spesso conclusivo lrsquoenunciato saragrave per funzionicontinue su [119886 rarr) ma vale anche per gli integrali impropri ldquoal finitordquo come si puogravevedere per esercizio apportando le dovute modifiche alla dimostrazione La scrittura119891 le 119892 significa 119891(119909) ge 119892(119909) per ogni 119909 del dominio di 119891 e 119892 che si suppone uguale0 le 119891 significa dunque che 119891(119909) ge 0 per ogni 119909 del dominio di 119891 (con 0 denotiamoanche la funzione costante nulla)

610 integrali impropri 143

t e o r ema Siano 119891 e 119892 funzioni continue su [119886 rarr) tali che 0 le 119891 le 119892 Se

int+infin

119886119892(119905)119889119905

converge allora converge anche

int+infin

119886119891(119905)119889119905

Le funzioni integrali 119865(119909) = int119909119886 119891(119905)119889119905 e 119866(119909) = int119909119886 119892(119905)119889119905 sono crescenti e per ledisuguaglianze tra gli integrali si ha

119865(119909) le 119866(119909)

Siccome per ipotesi lim119909rarr+infin 119866(119909) egrave finito 119865 egrave limitata e perciograve necessariamente anchelim119909rarr+infin 119865(119909) egrave finito

Nel caso in cui la funzione 119891 sia continua su (119886 rarr) daremo un senso anche allascrittura int+infin

119886 119891(119905)119889119905 ma solo quando entrambi i limiti

lim119909rarr119886

int119886+1

119909119891(119905)119889119905 e lim

119909rarr+infinint

119909

119886+1119891(119905)119889119905

esistono finiti e lrsquointegrale improprio saragrave la somma dei due limiti Al posto di 119886+1 sipuograve ovviamente usare qualsiasi 119887 isin (119886 rarr)

Vediamo un esempio abbastanza bizzarro lrsquointegrale su (0 rarr) di 119891(119909) = (sin119909)119909 conver-ge Per

int1205872

0

sin 119905119905 119889119905

il problema non si pone dal momento che 119891 puograve essere estesa a una funzione continua su[0 1205872] Dunque ci rimane lrsquointegrale sulla parte illimitata che studieremo integrando perparti

int119909

1205872

sin 119905119905 119889119905 = [(minus cos 119905)1119905 ]

119905=119909

119905=1205872minusint

119909

1205872(minus cos 119905)minus1

1199052 119889119905

= minus cos119909119909 +int

119909

1205872

minus cos 1199051199052 119889119905

Ci serve dunque calcolare il limite dellrsquointegrale che rimane Consideriamo

minus cos 1199051199052 = minus 1

1199052 + 1minus cos 1199051199052

Sappiamo che int+infin1205872 (11199052)119889119905 converge quindi ci basteragrave vedere che converge

int+infin

1205872

1minus cos 1199051199052 119889119905

Ora si ha 0 le (1 minus cos 119905)1199052 le 21199052 dal momento che 1 minus cos 119905 le 2 Per il teorema sullaconvergenza abbiamo allora che siccome int+infin

1205872 (21199052)119889119905 converge converge anche lrsquointegrale checi interessa

Dirichlet dimostrograve che int+infin0 (sin 119905)119905119889119905 = 1205872 La funzione

Si119909 = int119909

0

sin 119905119905 119889119905

ha proprietagrave molto interessanti e si chiama lsquoseno integralersquo Quanto dimostrato da Dirichletequivale a dire che lim119909rarr+infin Si119909 = 1205872 ed egrave immediato verificare che lim119909rarrminusinfin Si119909 = minus1205872

Per il teorema fondamentale si ha Siprime 119909 = (sin119909)119909 e quindi la derivata si annulla nei punti119896120587 per 119896 intero 119896 ne 0 La derivata seconda egrave

SiPrime 119909 = 119909 cos119909minus sin1199091199092

144 integrali

e conviene usare questa per stabilire quali siano i punti di massimo e di minimo di Si Infattiper 119896 = 2119899 pari (119899 ne 0) si ha

SiPrime(2119899120587) = 2119899120587 cos(2119899120587)minus sin(2119899120587)(2119899120587)2 = 1

2119899120587 gt 0

mentre per 119896 = 2119899+ 1 dispari si ha

SiPrime((2119899+ 1)120587) = (2119899+ 1)120587 cos((2119899+ 1)120587) minus sin((2119899+ 1)120587)((2119899+ 1)120587)2 = minus 1

(2119899+ 1)120587 lt 0

Dunque Si egrave convessa in un intorno dei punti 2119899120587 (119899 ne 0) e concava in un intorno dei punti(2119899+ 1)120587 quindi i primi sono punti di minimo i secondi punti di massimo In 0 crsquoegrave un flesso

SiPrime 0 = lim119909rarr0

SiPrime 119909 = lim119909rarr0

119909 cos119909minus sin1199091199092

H= lim119909rarr0

119909 sin1199092119909 = lim

119909rarr0

sin1199092 = 0

Gli altri flessi sono le soluzioni non nulle di tan119909 = 119909 Il grafico attraversa ciascuno dei dueasintoti infinite volte

611 la funzione gamma

Ci proponiamo di vedere che per ogni 119911 gt 0 lrsquointegrale

int+infin

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

converge La funzione 119891119911(119909) = 119909119911minus1 exp(minus119909) egrave continua in (0 rarr) e positiva Spez-ziamo in due lrsquointegrale improprio

int1

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905 + int

+infin

1119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

e valutiamo la convergenza separatamente Vediamo il secondo dando una maggiora-zione se 119899 egrave un intero con 119899 gt 119911minus 1 abbiamo per 119909 ge 1

119909119911minus1 exp(minus119909) le 119909119899 exp(minus119909)

e quindi ci basta dimostrare che

int+infin

1119905119899 exp(minus119905)119889119905

converge Dimostriamo per induzione su 119899 che una primitiva della funzione 119892119899(119909) =119909119899 exp(minus119909) egrave della forma 119866119899(119909) = 119875119899(119909) exp(minus119909) dove 119875119899 egrave un polinomio di grado alpiugrave 119899 Lrsquoasserzione egrave vera per 119899 = 0 infatti 1198660(119909) = (minus1) exp(minus119909) Ora calcoliamoper parti

int119909119905(119905119899 exp(minus119905))119889119905 = 119909119875119899(119909) exp(minus119909) minusint

119909119875119899(119905) exp(minus119905)119889119905

e esplicitando 119875119899 possiamo usare lrsquoipotesi induttiva su tutti gli addendi che si ot-tengono Quindi una primitiva di 119909 ↦ 119875119899(119909) exp(minus119909) egrave una funzione del tipo 119909 ↦119876119899(119909) exp(minus119909) con 119876119899 polinomio di grado al piugrave 119899 e in definitiva

int119909119905119899+1 exp(minus119905)119889119905 = (119909119875119899(119909) minus119876119899(119909)) exp(minus119909)

611 la funzione gamma 145

come si desiderava Adesso possiamo calcolare il limite

int+infin

1119905119899 exp(minus119905)119889119905 = lim

119909rarr+infinint

119909

1119905119899 exp(minus119905)119889119905

= lim119909rarr+infin

[119875119899(119905)exp 119905 ]

119905=119909

119905=1

= lim119909rarr+infin

119875119899(119909)exp119909 minus 119875119899(1)

119890

= minus119875119899(1)119890

percheacute lim119909rarr+infin 119909119896 exp119909 = 0 per ogni 119896 gt 0 come si vede applicando 119896 volte il teo-rema di lrsquoHocircpital Naturalmente questo prova anche che 119875119899(1) lt 0 ma non ha alcunaimportanza

Affrontiamo lrsquoaltro integrale per 119911 ge 1 la funzione 119909 ↦ 119909119911minus1 exp(minus119909) egrave definita econtinua in [0 1] quindi lrsquointegrale non ci dagrave alcun problema Il caso dubbio quindiegrave quello di 0 lt 119911 lt 1 Ma in tal caso per 119909 isin (0 1) si ha

119909119911minus1 exp(minus119909) le 119909119911minus1

e abbiamoint

1

0119905119911minus1 119889119905 = lim

119909rarr0119905119911minus1 119889119905 = lim

119909rarr0[119905119911119911 ]

119905=1

119905=119909= lim

119909rarr01 minus 119909119911

119911 = 1

e quindi anche il nostro integrale converge Secondo la notazione introdotta da Adrien-Marie Legendre (1752ndash1833) si pone

Γ(119911) = int+infin

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

Per 119911 = 1 lrsquointegrale egrave facile

Γ(1) = int+infin

0exp(minus119905)119889119905 = 1

Per fare i conti scriviamo anche

Γ(119911119909) = int119909

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

che consideriamo come funzione di 119909 per definizione lim119909rarr+infin Γ(119911119909) = Γ(119911) Suppo-niamo 119911 ge 1 e proviamo a integrare per parti

int119909

0119905119911 exp(minus119905)119889119905 = [ minus119905119911 exp(minus119905)]119905=119909

119905=0+int

119909

0119911119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

= minus119909119911 exp(minus119909) + 119911Γ(119911119909)

Passando al limite per 119909 rarr +infin otteniamo

Γ(119911 + 1) = int+infin

0119905119911 exp(minus119905)119889119905 = lim

119909rarr+infin(minus119909119911 exp(minus119909) + 119911Γ(119911119909)) = 119911Γ(119911)

percheacute il primo addendo nel limite va a 0 Questa egrave chiamata la relazione funzionaledella funzione gamma

Γ(119911 + 1) = 119911Γ(119911)

Noi lrsquoabbiamo verificata solo per 119911 ge 1 ma si puograve vedere (con due limiti invece di uno)anche per 0 lt 119911 lt 1 In particolare si ha

Γ(1) = 1 = 0 Γ(2) = 1Γ(1) = 1 sdot 0= 1 Γ(3) = 2Γ(2) = 2 sdot 1= 2

146 integrali

e piugrave in generale Γ(119899 + 1) = 119899 e questa egrave una delle proprietagrave che rendono moltointeressante la funzione gamma

La relazione funzionale puograve essere usata per estendere la funzione stessa se minus1 lt119911 lt 0 abbiamo 0 lt 119911+ 1 lt 1 e possiamo porre per definizione

Γ(119911) = Γ(119911 + 1)119911

ma naturalmente non possiamo farlo per 119911 = minus1 neacute per 119911 = 0 infatti per 119911 = minus1abbiamo che Γ(119911 + 1) non ha senso e per 119911 = 0 non ha senso la frazione (nemmenocon un passaggio al limite percheacute Γ(1) = 1)

Se minus2 lt 119911 lt minus1 possiamo usare la stessa relazione e procedere allo stesso mododefinendo Γ su tutti i numeri negativi purcheacute non interi

La funzione Γ egrave anche legata a 120587 consideriamo

Γ(12119909) = int119909

0119905minus12 exp(minus119905)119889119905

= (hellip)[119906 = 11990512 119905 = 1199062 119889119905 = 2119906119889119906]

= 2intradic119909

0exp(minus1199062)119889119906

e perciograve

Γ(12) = int+infin

0119905minus12 exp(minus119905)119889119905 = 2int

+infin

0exp(minus1199062)119889119906 = 2radic120587

2 = radic120587

Crsquoegrave anche un interessante legame con la funzione zeta di Riemann per 119911 gt 1 si ha

120577(119911)Γ(119911) = int+infin

0

119905119911119890119905 minus1 119889119905

che non proveremo nemmeno a dimostrare

612 integrazione numerica

La stessa dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquooperatore Int ci permette di ottenere valoriapprossimati di un integrale Tuttavia ha un grave limite occorrerebbe calcolare inogni sottointervallo di una suddivisione il valore minimo e massimo della funzioneEgrave chiaro che questo egrave un ostacolo troppo grande percheacute renderebbe i calcoli davverocomplicati La valutazione numerica degli integrali parte dalla seguente osservazionenon occorre conoscere il massimo e il minimo Vediamo percheacute

Data una suddivisione 119878 dellrsquointervallo [119886 119887] che pensiamo data come 119886 = 1199090 lt1199091 lt ⋯ lt 119909119899minus1 lt 119909119899 = 119887 consideriamo per 119895 = 1 2hellip 119899 un numero 119911119895 isin [119909119895minus1 119909119895]Avremo perciograve 1199111 le 1199112 le hellip le 119911119899 e possiamo eseguire la seguente operazione

Ψ119878119885(119891) = (1199091 minus1199090)119891(1199111) + (1199092 minus1199091)119891(1199112) +⋯+ (119909119899 minus119909119899minus1)119891(119911119899)

dove con 119885 denotiamo la successione 1199111 le hellip le 119911119899 Siccome per definizione si ha conle stesse notazioni usate nella dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquooperatore integrale

1198981198781 le 119891(1199111) le 1198721198781 1198981198782 le 119891(1199112) le 1198721198782 hellip 119898119878119899 le 119891(119911119899) le 119872119878119899

avremo dunque120590119878(119891) le Ψ119878119885(119891) le Σ119878(119891)

Poicheacute per suddivisioni abbastanza fitte la differenza Σ119878(119891) minus 120590119878(119891) diventa minoredi qualsiasi tolleranza prefissata possiamo usare Ψ119878119885(119891) come valore approssimatodellrsquointegrale

612 integrazione numerica 147

Il metodo che viene subito alla mente egrave quello cosiddetto dei rettangoli si scegliesempre 119911119895 = 119909119895 Vediamo che succede con una suddivisione in quattro parti tanto pernon complicare troppo i conti

Ψ119878+(119891) = (1199091 minus1199090)119891(1199091) + (1199092 minus1199091)119891(1199092) + (1199093 minus1199092)119891(1199093) + (1199094 minus1199093)119891(1199094)

Con + indichiamo questa particolare scelta di 119911119895 Non egrave difficile arrivare alla formulagenerale

Ψ119878+(119891) =119899

sum119895=1

(119909119895 minus119909119895minus1)119891(119909119895)

Egrave chiaro che lrsquoapprossimazione cosigrave ottenuta saragrave per difetto se la funzione egrave decre-scente in [119886 119887] e per eccesso se 119891 egrave crescente Egrave chiaro anche che si puograve fare lascelta opposta cioegrave di considerare sempre 119911119895 = 119909119895minus1 proviamo a vedere come diventala formula nel caso di quattro punti

Ψ119878minus(119891) = (1199091 minus1199090)119891(1199090) + (1199092 minus1199091)119891(1199091) + (1199093 minus1199092)119891(1199092) + (1199094 minus1199093)119891(1199093)

e in generale

Ψ119878minus(119891) =119899

sum119895=1

(119909119895 minus119909119895minus1)119891(119909119895minus1)

Se prendiamo la media di queste due approssimazioni in molti casi otteniamo unrsquoap-prossimazione migliore egrave il cosiddetto metodo dei trapezi si cerchi di capire il percheacutedel nome Avremo

119868(1)119878 (119891) =119899

sum119895=1

(119909119895 minus119909119895minus1)119891(119909119895minus1) + 119891(119909119895)

2

Vediamo un esempio il calcolo di 120587 con questo metodo Sapendo che

1205874 = int

1

0

11 +1199092 119889119909

suddividiamo lrsquointervallo [0 1] in quattro parti uguali facendo una tabella dei valoriche ci servono

119909119895 119891(119909119895) (119891(119909119895minus1 +119891(119909119895))2

119895 = 0 000 100000000000000000000119895 = 1 025 094117647058823529411 097058823529411764705119895 = 2 050 080000000000000000000 087058823529411764705119895 = 3 075 064000000000000000000 072000000000000000000119895 = 4 100 050000000000000000000 057000000000000000000

Ne deriviamo il valore approssimato

1205874 asymp 078279411764705882352

cioegrave 120587 asymp 313117647058823529408 che non egrave molto buono Se ripetiamo il contodividendo in otto parti otteniamo

1205874 asymp 078474712362277225232

che darebbe 120587 asymp 313898849449108900928 ancora lontano dal valore lsquoverorsquo Dividen-do in venti parti uguali avremmo 1205874 asymp 078529399673853211585 che corrisponde a

148 integrali

120587 asymp 314117598695412846340 con sole tre cifre decimali esatte Per calcoli del genereun foglio di lavoro egrave molto utile con cento parti avremmo 1205874 asymp 314157598692313quattro cifre decimali esatte

Se proviamo con lrsquointegrale int21 (1119909)119889119909 con la divisione in cento parti abbiamolog2 asymp 0693153430481824 che ha quattro cifre decimali esatte Egrave chiaro che lrsquoappros-simazione egrave tantomigliore quantomeno il grafico della funzione si discosta poco fra unpunto e lrsquoaltro della suddivisione dal segmento che congiunge i punti (119909119895minus1 119891(119909119895minus1))e (119909119895 119891(119909119895))

Quando decidiamo di suddividere lrsquointervallo [119886 119887] in 119899 parti uguali la formula sisemplifica parecchio infatti 119909119895 minus119909119895minus1 = (119887minus 119886)119899 e quindi avremo

119868(1)119878 (119891) = 119887minus119886119899 (119891(119886) + 119891(119887)

2 +119899minus1

sum119895=1

119891( 119886+ 119887minus119886119899 119895))

Si scriva questa somma nel caso di 119899 = 4 per convincersene tutti i termini del tipo119891(119909119895) compaiono due volte tranne quello con 119895 = 0 e 119895 = 119899 In questo caso abbiamoanche ponendo 119896 = (119887minus 119886)119899

Ψ119878minus(119891) = 119896119899minus1

sum119895=0

119891(119886+ 119895119896)

e quindi

119868(1)119878 (119891) minusΨ119878minus(119891) = 119896119891(119887) minus 119891(119886)2 = Ψ119878+(119891) minus 119868(1)119878 (119891)

che mostra come non si ha un grande guadagno usando questo metodo invece di quellodei rettangoli Naturalmente un trucco efficiente per usarlo egrave di raddoppiare i puntidella suddivisione in modo da non dover buttar via i dati giagrave raccolti dovendo calcolaresolo i valori di 119891 nei punti di mezzo degli intervalli precedenti

7SER I E

Il concetto di serie egrave entrato nella matematica molto tempo fa dapprima in modo con-fuso e impreciso lrsquoidea era di eseguire somme di infiniti termini costruiti in modolsquouniformersquo Newton basograve i suoi metodi di lsquocalcolo delle fluenti e delle flussionirsquo cioegrave cal-colo di derivate e integrali proprio sulle serie uno dei suoi attrezzi era per esempiola serie binomiale che incontreremo piugrave avanti Fin dallrsquoantichitagrave ci si era accorti che lesomme 1

2 + 14 +⋯+ 1

2119899

si avvicinano sempre piugrave a 1 Uno dei famosi paradossi di Zenone si basava proprio suquesto il corridore non puograve arrivare al traguardo percheacute deve percorrere metagrave dellapista poi la metagrave della metagrave poi ancora la metagrave di ciograve che resta e cosigrave via Archimedeavrebbe risolto la questione dimostrando che qualsiasi distanza gli avesse propostoZenone il corridore avrebbe percorso piugrave di quella distanza in un tempo finito e dun-que sarebbe arrivato al traguardo percheacute egrave impossibile che non ci arrivi Dal punto divista strettamente matematico le questioni filosofiche di Zenone sono irrilevanti lrsquoim-portante egrave che un concetto sia definito con precisione e venga usato con le regole dellalogica e della matematica che non tratta di stadi di corridori di Achille e di tartarugheDal punto di vista filosofico i paradossi di Zenone sullrsquoimpossibilitagrave del moto si risol-vono come fece il filosofo Diogene mettendosi a camminare Solvitur ambulando erauno dei modi di dire dei filosofi posteriori per indicare un problema solo apparente

71 integrali e successioni

Abbiamo dimostrato che definendo per induzione

1198860 = 0 119886119899+1 = 119886119899 + 1119899+ 1

la successione 119886 non converge Curiosamente se invece di sommare sempre il termineseguente alternativamente sommiamo e sottraiamo la successione che risulta convergese

1198870 = 0 119887119899+1 = 119887119899 + (minus1)119899119899+ 1

allora la successione 119887 converge a log2 i primi termini sono

0 1 1 minus 12 1 minus 1

2 + 13

e cosigrave via Consideriamo lrsquoidentitagrave

1minus 119905119899+1

1 minus 119905 = 1+ 119905+ 1199052 +⋯+ 119905119899

(valida per 119905 ne 1) che possiamo anche scrivere

11minus 119905 = 1+ 119905+ 1199052 +⋯+ 119905119899 + 119905119899+1

1 minus 119905oppure cambiando 119905 in minus119905

11 + 119905 = 1minus 119905+ 1199052 minus 1199053 +⋯+ (minus1)119899119905119899 + (minus1)119899+1119905119899+1

1 + 119905

Se proviamo a calcolare lrsquointegrale su [0 1] di ambo i membri otteniamo ricordandoche

int1

0119905119899 119889119905 = 1

119899+ 1

149

150 serie

e cheint

1

0

11+ 119905 119889119905 = [log(1 + 119905)] 119905=1

119905=0= log2

la nuova identitagravelog2 = 119887119899 +int

1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1 + 119905 119889119905

Se dimostriamo chelim

119899rarr+infinint

1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1+ 119905 119889119905 = 0

avremo proprio la nostra tesi Ora

|int1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1+ 119905 119889119905| le int1

0| 119905

119899+1

1+ 119905|119889119905

e la funzione da integrare a destra egrave non negativa Siccome 1+119905 ge 119905 quando 119905 isin [0 1]possiamo scrivere le disuguaglianze

0 le 119905119899+1

1 + 119905 le 119905119899+1

119905 = 119905119899

e perciograve

0 le |int1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1 + 119905 119889119905| le int1

0119905119899 119889119905 = 1

119899+ 1

Quindi possiamo concludere per il teorema sul confronto dei limiti dal momento chelim119899rarr+infin 1(119899 + 1) = 0 Basta infatti ricordare che da lim119911rarr119909|119891(119911)| = 0 segue chelim119911rarr119909 119891(119911) = 0

La convergenza della successione 119887 a log2 fu lsquodimostratarsquo per la prima volta da Niko-laus Kauffmann (1620ndash1687) piugrave noto come Mercator (non va confuso con il cartografo)La lsquodimostrazionersquo di Mercator era ovviamente diversa e non rigorosa

Limiti di successioni come questa si indicano spesso come lsquosomme infinitersquo

log2 = 1minus 12 + 1

3 minus 14 +⋯

quando naturalmente sia chiaro quali sono i termini che seguono o piugrave propriamentequando sia data la formula ricorsiva della successione

Unrsquoaltra lsquosomma infinitarsquo era stata giagrave scoperta da Mengoli

1 + 13 + 1

6 + 110 +⋯

cioegrave la lsquosommarsquo dei reciproci dei numeri triangolari quelli della forma 119899(119899+1)2 bennoti fin dai tempi di Pitagora (Ὁ Πυθαγόρας ὁ Σάμιος 575 aCndash495 aC) La successioneegrave

1198880 = 0 119888119899+1 = 1198880 +2

119899(119899+ 1)che Mengoli trattava in questo modo

2119899(119899+ 1) = 2

119899 minus 2119899+ 1

e quindi la lsquosomma infinitarsquo diventa

21 minus 2

2 + 22 minus 2

3 + 23 minus 2

4 +⋯

e ciascun termine a parte il primo si cancella con il successivo dunque la lsquosommarsquo egrave 2Ovviamente questa non egrave affatto una dimostrazione percheacute non abbiamo la minimaidea di che cosa sia una lsquosomma infinitarsquo

72 altre successioni 151

Unrsquoaltra lsquosomma infinitarsquo calcolata con trucchi molto ingegnosi egrave dovuta a Leibniz

1205874 = 1minus 1

3 + 15 minus 1

7 +⋯

cioegrave la somma a segni alterni dei reciproci dei numeri dispari Possiamo dimostrarlocon un trucco del tutto analogo al precedente nellrsquoidentitagrave per 1(1 minus 119905) poniamo119905 = minus1199062 trovando

11 +1199062 = 1minus1199062 +1199064 minus1199066 +⋯+ (minus1)1198991199062119899 + (minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062

Se integriamo sullrsquointervallo [0 1] lrsquoidentitagrave

1205874 = 119897119899 +int

1

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906 1198971 = 1 119897119899+1 = 119897119899 + (minus1)1198992119899+ 1

ricordando cheint

1

0

11+1199062 119889119906 = [ arctan119906] 119906=1

119906=0= arctan1 = 120587

4

abbiamo esattamente come prima che

lim119899rarr+infin

int1

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906 = 0

e quindi lim119899rarr+infin 119897119899 = 1205874 come lsquodimostratorsquo da Leibniz

72 altre successioni

Consideriamo di nuovo il modo in cui abbiamo calcolato la somma di Leibniz questavolta invece di integrare su [0 1] calcoleremo gli integrali tra 0 e119909 per un119909 qualsiasi

arctan119909 = int119909

0

11 +1199062 119889119906

= int119909

0(1 minus 1199062 +⋯+ (minus1)1198991199062119899)119889119906+int

1

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906

= 119909minus 1199093

3 +⋯+ (minus1)119899 1199092119899+1

2119899+ 1 +int119909

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906

Il problema qui egrave di nuovo di far tendere a zero lrsquointegrale che rimane in modo che lasuccessione che rimane abbia proprio come limite lrsquoarcotangente

La maggiorazione di prima si puograve ancora calcolare allo stesso modo

|int119909

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1+1199062 119889119906| le int|119909|

0

1199062119899+2

1+1199062 119889119906

le int|119909|

0

1199062119899+2

1199062 119889119906

le |119909|2119899+1

2119899+ 1

ma ora crsquoegrave un problema non possiamo dire che

lim119899rarr+infin

|119909|2119899+1

2119899+ 1 = 0

qualunque sia 119909 Infatti per 119886 ge 0

lim119899rarr+infin

119886119899 =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

0 se 0 le 119886 lt 11 se 119886 = 1+infin se 119886 gt 1

152 serie

come egrave facile verificare Perciograve fincheacute minus1 le 119909 le 1 abbiamo che

lim119899rarr+infin

|119909|2119899+1

2119899+ 1 = 0

ma ciograve non egrave piugrave vero per |119909| gt 1 Poco male abbiamo calcolato la lsquosomma infinitarsquo

arctan119909 = 119909minus 1199093

3 + 1199095

5 minus 1199097

7 +⋯ (minus1 le 119909 le 1)

che egrave nota come serie di Gregory da James Gregory (1638ndash1675) Analogamente avremo

log(1 + 119909) = 119909minus 1199092

2 + 1199093

3 minus 1199094

4 +⋯ (minus1 lt 119909 le 1)

Qui non possiamo considerare valida la lsquosommarsquo per 119909 = minus1 percheacute lrsquoidentitagrave da cuipartiamo non ha senso 1(1 + 119905) non egrave definita per 119905 = minus1

Che succede quando |119909| gt 1 Vedremo piugrave avanti che non egrave possibile dare un sensoa quelle somme infinite in questo caso

73 definizione di serie

Molte delle successioni di cui abbiamo trattato la convergenza sono della forma

1198870 = 1198860 119887119899+1 = 119887119899 +119886119899+1

dove 119886 egrave una successionePer esempio la serie di Leibniz si ottiene con 119886119899 = (minus1)119899(2119899+ 1)

d e f i n i z i o n e Si dice che la serie associata alla successione 119886 converge se esistefinito il limite della successione 119886 definita da

1198860 = 1198860 119886119899+1 = 119886119899 +119886119899+1

Se lim119899rarr+infin 119886119899 = 119897 si ponesum119899ge0

119886119899 = 119897

e 119897 si chiama somma della serie di termine generale 119886119899

Abbiamo giagrave visto parecchie serie convergenti

sum119899ge0

(minus1)1198992119899+ 1 = 120587

4

sum119899ge0

(minus1)119899119899 = log2

sum119899ge0

(minus1)1198991199092119899+1

2119899+ 1 = arctan119909 (minus1 le 119909 le 1)

sum119899ge0

(minus1)119899119909119899

119899+ 1 = log(1 + 119909) (minus1 lt 119909 le 1)

sum119899ge1

11198992 = 1205872

6

sum119899ge1

1119899119904 = 120577(119904) (119904 gt 1)

Dellrsquoultima non si puograve scrivere la somma in termini di funzioni lsquonotersquo

73 definizione di serie 153

Ne vediamo subito unrsquoaltra ricordiamo che lo sviluppo di Taylor per la funzioneesponenziale exp egrave

exp119909 = 1+ 1199091 +

1199092

2 +⋯+ 119909119899

119899 + 119877119899(119909)

e che sappiamo scrivere

119877119899(119909) = exp119888119899(119899+ 1)

per un opportuno 119888119899 tra 0 e 119909 qui vogliamo far variare 119899 e quindi varieragrave anche 119888119899 Seconsideriamo 119886119899 = 119909119899119899 (naturalmente ricordando che 1199090 = 1 e 0= 1) ci accorgiamoche siamo proprio nella situazione di prima ma sappiamo che

lim119899rarr+infin

exp119909119899 = 0

e quindi anche lim119899rarr+infin exp119888119899119899= 0 dunque

exp119909 = sum119899ge0

119909119899

119899

senza alcuna limitazione su 119909Possiamo trovare serie analoghe per sin e cos percheacute gli sviluppi di Taylor sono facili

da calcolare essendo sinprime 119909 = cos119909 e cosprime 119909 = minus sin119909 dunque

sin(119899) 0 =⎧⎨⎩

0 se 119899 egrave pari(minus1)119896 se 119899 = 2119896+ 1 egrave dispari

cos(119899) 0 =⎧⎨⎩

0 se 119899 egrave dispari(minus1)119896 se 119899 = 2119896 egrave dispari

Perciograve possiamo scrivere

sin119909 = 119909minus 1199093

3 + 1199095

5 minus 1199097

7 +⋯+ (minus1119896) 1199092119896+1

(2119896 + 1) + 1198772119896+1(119909)

e simile a prima

1198772119896+1(119909) = sin(2119896+2) 119888(2119896 + 2)

quindi il resto ha limite 0 per ogni 119909 Analogamente per il coseno e dunque

sin119909 = sum119896ge0

(minus1)119896 1199092119896+1

(2119896 + 1)

cos119909 = sum119896ge0

(minus1)119896 1199092119896

(2119896)

A questo tipo di serie si dagrave il nome di serie di potenze sono le serie della forma

sum119899ge0

119886119899119909119899

di cui le serie di Gregory di Leibniz generalizzata dellrsquoesponenziale del seno e delcoseno sono casi particolari

154 serie

74 criteri di convergenza

Quando vogliamo vedere se una serie converge la prima cosa da osservare egrave il limitedella successione Useremo il simbolo sum119899ge0 119886119899 anche per indicare la serie indipen-dentemente dal fatto se converga o no ma il segno di uguaglianza o le operazionicoinvolgenti questo simbolo hanno senso solo se prima si sia verificata la convergenza

t e o r ema Se la serie sum119899ge0 119886119899 converge allora lim119899rarr+infin 119886119899 = 0

Se lim119899rarr+infin 119886119899 = 119897 allora anche lim119899rarr+infin 119886119899minus1 = 119897 e quindi da 119886119899 = 119886119899minus 119886119899minus1 segue

lim119899rarr+infin

119886119899 = lim119899rarr+infin

119886119899 minus lim119899rarr+infin

119886119899minus1 = 119897minus 119897 = 0

Va osservato che si tratta di una condizione necessaria abbiamo infatti giagrave dimo-strato che sum119899ge0 1(119899+ 1) non converge

Diremo che due successioni 119886 e 119887 (o le serie che definiscono) sono quasi uguali se119886119899 = 119887119899 per ogni 119899 maggiore di un certo numero 119896 in altre parole se i termini dellesuccessioni sono diversi solo su un insieme finito di naturali

t e o r ema Se le serie sum119899ge0 119886119899 e sum119899ge0 119887119899 sono quasi uguali allora entrambeconvergono o non convergono

Per ipotesi abbiamo 119886119899 = 119887119899 per 119899 gt 119896 Supponiamo che sum119899ge0 119886119899 convergaponiamo 119888 = 1198860 +⋯+119886119896 e 119889 = 1198870 +⋯+119887119896 Allora per 119899 gt 119896

119899 = 119889+119887119896+1 +⋯+119887119899 = (119889minus 119888) + 119888+ 119886119896+1 +⋯+119886119899 = (119889minus 119888) + 119886119899

e dunque lim119899rarr+infin 119899 = (119889minus 119888) + lim119899rarr+infin 119886119899 Ovviamente egrave lo stesso se supponiamoche sum119899ge0 119887119899 converga

Questrsquoultimo teorema permette di essere molto flessibili nella trattazione delle serieper esempio possiamo tranquillamente scrivere che

sum119899ge3

1119899

converge sottintendendo che i termini ldquomancantirdquo sono nulli Anche in vari teoremi cheseguiranno si useragrave la stessa idea ciograve che conta per la convergenza egrave il comportamentoldquoda un certo punto in poirdquo

I teoremi sui limiti ci danno subito varie conseguenze per le serie

t e o r ema Se sum119899ge0 119886119899 e sum119899ge0 119887119899 convergono allora convergono anche le seriesum119899ge0(119886119899 +119887119899) e sum119899ge0(119888119886119899) per ogni numero 119888 inoltre

sum119899ge0

(119886119899 +119887119899) = sum119899ge0

119886119899 + sum119899ge0

119887119899 e sum119899ge0

(119888119886119899) = 119888 sum119899ge0

119886119899

Useremo spesso questo risultato non occorre dare una dimostrazione formale per-cheacute si tratta sempre e solo di limiti la si scriva per esercizio Un risultato da dimostrareegrave invece il seguente

c r i t e r i o d i l e i b n i z Data una successione decrescente 119886 con terminipositivi per la quale valga anche lim119899rarr+infin 119886119899 = 0 la serie

sum119899ge0

(minus1)119899119886119899

converge Inoltre se 119897 egrave la somma si ha

|1198860 minus1198861 +⋯+ (minus1)119899119886119899 minus 119897| le 119886119899+1

74 criteri di convergenza 155

Dalle ipotesi su 119886 segue che per ogni 119899 119886119899 ge 0 (teorema della permanenza del segno edecrescenza) Consideriamo dunque 119887119899 = (minus1)119899119886119899 e le due successioni

119888119899 = 2119899 119889119899 = 2119899+1 = 119888119899 +1198872119899+1 = 119888119899 minus1198862119899+1

Siccome 119889119899 = 119888119899 +1198872119899+1 = 119888119899 minus1198862119899+1 abbiamo che 119889119899 le 119888119899 Inoltre

119888119899+1 = 2119899+2 = 2119899 +1198872119899+1 +1198872119899+2 = 119888119899 + (1198862119899+2 minus1198862119899+1) le 119888119899

Analogamente 119889119899+1 ge 119889119899 Dunque le due successioni sono monotone e limitate quindi hannolimite Se 119897 = lim119899rarr+infin 119888119899 e 119898 = lim119899rarr+infin 119889119899 abbiamo 119898 le 119897 e anche per ogni 119899

119888119899 minus119889119899 ge 119897minus119898

Ma119888119899 minus119889119899 = 2119899 minus 2119899+1 = minus1198872119899+1 = minus(minus1)2119899+11198862119899+1 = 1198862119899+1

Quindi 1198860 ge 1198861 ge 119897 minus 119898 1198862 ge 1198863 ge 119897 minus 119898 e cosigrave via in altre parole 119886119899 ge 119897 minus 119898 per ogni 119899Passando al limite abbiamo

119897 minus119898 le lim119899rarr+infin

119886119899 = 0

e perciograve 119897 le 119898 che insieme a 119897 ge 119898 dagrave 119897 = 119898Adesso si tratta di verificare che data una tolleranza 120576 gt 0 abbiamo |119899 minus 119897| le 120576 quando

119899 gt 119896 per un opportuno 119896 Siccome lim119899rarr+infin 119888119899 = 119897 = lim119899rarr+infin 119889119899 possiamo trovare 119896 tale cheper 119899 gt 119896

|119888119899 minus 119897| le 120576 |119889119899 minus 119897| le 120576

Ma allora per 119899 gt 1198962 abbiamo|119899 minus 119897| le 120576

Rimane da verificare lrsquoultima asserzione Siccome 119897minus119889119899 ge 0 abbiamo 119897minus 119888119899 +1198862119899+1 ge 0 da cui1198872119899 minus 119897 le 1198862119899+1 Analogamente da 119888119899+1 minus 119897 ge 0 deduciamo che

119889119899 +1198872119899+2 minus 119897 ge 0

cioegrave 2119899+1 +1198862119899+2 minus 119897 ge 0 quindi 119897 minus 2119899+1 le 1198862119899+2

Notiamo che una serie che soddisfa queste ipotesi ha una proprietagrave importante lesomme parziali con numero pari di addendi sono approssimazioni per eccesso dellasomma quelle con un numero dispari di addendi sono approssimazioni per difettoIn ogni caso lrsquoerrore che si commette egrave al massimo lrsquoultimo termine trascurato Nonche questo aiuti a scrivere unrsquoapprossimazione decente di 1205874 nel caso della seriedi Leibniz occorrono 5000 termini per ottenere unrsquoapprossimazione con la terza cifradecimale sicuramente esatta

Una somma parziale della serie sum119899ge0 119886119899 egrave ovviamente una delle somme (finite)

119886119899 = 1198860 +1198861 +⋯+119886119899

e un modo spesso usato per dire che la serie converge egrave che la successione delle sommeparziali converge cioegrave la nostra stessa definizione

Crsquoegrave da osservare che non occorre veramente che la successione 119886 sia decrescentebasta che sia quasi decrescente cioegrave che la condizione 119886119899 ge 119886119899+1 valga da un certopunto in poi diciamo per 119899 gt 119896 infatti possiamo sostituire i primi 119896 termini con 119886119896+1e avere una successione decrescente che egrave quasi uguale alla successione data

156 serie

75 serie a termini positivi

In tutta questa sezione supporremo quasi sempre che le successioni 119886 che tratteremoabbiano la proprietagrave 119886119899 ge 0 per ogni 119899 Ma tratteremo anche serie con termini anchenon negativi e il contesto lo chiariragrave Per queste serie ci sono numerosi criteri di con-vergenza Notiamo subito che per una serie di questo tipo la successione delle sommeparziali 119886 egrave crescente e quindi la convergenza equivale alla limitatezza Le chiameremosuccessioni positive se vale 119886119899 gt 0 per ogni 119899

Si potrebbero considerare allo stesso modo le successioni non negative semplice-mente trascurando gli eventuali termini nulli

t e o r ema Siano 119886 e 119887 successioni positive con 119886119899 le 119887119899 per ogni 119899 Se sum119899ge0 119887119899converge anche sum119899ge0 119886119899 converge se sum119899ge0 119886119899 non converge anche sum119899ge0 119887119899 nonconverge

Ci basta vedere che se sum119899ge0 119887119899 converge converge anche sum119899ge0 119886119899 Se 119897 = sum119899ge0 119887119899allora

119886119899 le 119899 le 119897

e quindi 119886 egrave crescente e limitata

Egrave chiaro che questo criterio non dagrave alcuna informazione sulla somma della serierelativa ad 119886 nemmeno conoscendo la somma della serie relativa a 119887 Notiamo ancheche la condizione 119886119899 le 119887119899 puograve valere da un certo punto in poi e il risultato non cambia

Una serie spesso utile per questi confronti egrave la serie geometrica (che non egrave a termininon negativi)

t e o r ema La serie sum119899ge0 119909119899 converge per minus1 lt 119909 lt 1 e si ha

sum119899ge0

119909119899 = 11minus119909

Se |119909| ge 1 la serie sum119899ge0 119909119899 non converge

Conosciamo giagrave lrsquoidentitagrave

1 +119909+⋯+119909119899 = 1minus119909119899+1

1 minus119909

e sappiamo anche che lim119899rarr+infin 119909119899+1 = 0 se e solo se |119909| lt 1 Se |119909| ge 1 egrave falso chelim119899rarr+infin 119909119899 = 0

La serie geometrica fornisce alcuni criteri che spesso sono sufficienti a determinareil carattere di una serie

c r i t e r i o d e l r a p p o r t o Se per la successione positiva 119886 esistono un intero119896 e un numero 119888 lt 1 tali che per ogni 119899 ge 119896

119886119899+1119886119899

le 119888

allora la serie sum119899ge0 119886119899 convergeIn particolare questo accade se lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 = 119897 lt 1

Non egrave restrittivo supporre che 119896 = 0 basta modificare i primi termini della succes-sione cosa che non ha rilevanza sulla convergenza Da 11988611198860 le 119888 segue 1198861 le 1198881198860 da11988621198861 le 119888 segue

1198862 le 1198881198861 le 11988821198860

75 serie a termini positivi 157

Con una facile induzione otteniamo allora

119886119899 le 1198860119888119899

per ogni 119899 La serie sum119899ge0 1198860119888119899 convergePer il teorema della permanenza del segno da lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 = 119897 lt 1 segue che

da un certo punto in poi vale119886119899+1119886119899 le 119897+120576 dove possiamo prendere 0 lt 120576 lt 1minus119897

Il criterio ha una controparte riguardante la non convergenza se esistono un intero119896 e un numero 119888 gt 1 tali che per 119899 ge 119896 sia

119886119899+1119886119899

ge 119888

allora la serie sum119899ge0 119886119899 non converge In particolare questo accade in analogia conquanto visto per la convergenza se lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 gt 1

Vediamo alcuni esempi Per la serie esponenziale sum119899ge0 119909119899119899 (quando 119909 gt 0) si devecalcolare

119909119899+1(119899+ 1)119909119899119899 = 119909

119899+ 1il cui limite per 119899 rarr +infin egrave evidentemente 0 Dunque questo conferma che la serieconverge per ogni 119909 gt 0 Vedremo piugrave avanti che il criterio si puograve applicare anche aserie con termini qualsiasi cioegrave non necessariamente positivi

In alcuni casi il criterio non dagrave risultati conclusivi Per la serie di Mengoli

sum119899ge1

2119899(119899+ 1)

si ha2

(119899+ 1)(119899+ 2)119899(119899+ 1)

2 = 119899119899+ 2

che ha limite 1 e quindi il rapporto non si mantiene neacute ldquosotto 1rdquo neacute ldquosopra 1rdquo impeden-doci di applicare il criterio Tuttavia sappiamo che converge infatti il ragionamento diMengoli diventa ponendo 119886119899 = 2(119899(119899+ 1))

119886119899 = 21 minus 2

2 + 22 minus 2

3 +⋯+ 2119899minus 1 minus 2

119899 + 2119899 minus 2

119899+ 1

= 21 minus 2

119899+ 1

e dunque sum119899ge1 119886119899 = lim119899rarr+infin 119886119899 = 2Si ha lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 = 1 anche per la serie armonica in cui 119886119899 = 1119899 Ma questa

serie non converge come abbiamo giagrave vistoEsiste un criterio molto simile a quello del rapporto talvolta piugrave facile tecnicamente

da applicare

c r i t e r i o d e l l a r ad i c e Se per la serie positiva sum119899ge0 119886119899 esistono un intero119896 e un 119888 lt 1 tali che per 119899 ge 119896 si abbia

119899radic119886119899 le 119888

allora la serie sum119899ge0 119886119899 converge In particolare ciograve accade se lim119899rarr+infin119899radic119886119899 lt 1

Qui supponiamo che 119896 = 1 (visto che 0radic1198860 non ha senso ma trascurare un termineiniziale non ha alcuna importanza) Allora 1198861 le 119888 1198862 le 1198882 e in generale 119886119899 le 119888119899 ecosigrave possiamo concludere come prima

158 serie

Anche questo ha la controparte sulla non convergenza Egrave chiaro che i due criteri nonsonomolto potenti percheacute confrontano la serie data con una serie geometrica Tuttaviali vedremo allrsquoopera con le serie di potenze dove danno quasi tutte le informazioninecessarie

76 convergenza assoluta

La convergenza assoluta egrave un genere ristretto di convergenza alcune serie non conver-gono assolutamente ma convergono Perograve la convergenza assoluta puograve essere verifica-ta piugrave facilmente e quindi diventa un criterio molto utile

d e f i n i z i o n e La serie sum119899ge0 119886119899 converge assolutamente se converge la seriesum119899ge0|119886119899|

Dobbiamo dimostrare per prima cosa che la convergenza assoluta implica la con-vergenza infatti una volta visto questo potremo adoperare i criteri della sezioneprecedente anche per serie con termini qualsiasi

t e o r ema Se la serie sum119899ge0 119886119899 converge assolutamente allora converge

Dato un numero 119903 poniamo 119903+ = 119903 se 119903 ge 0 altrimenti 119903+ = 0 Analogamente119903minus = minus119903 se 119903 le 0 altrimenti 119903minus = 0 Allora

119903 = 119903+ minus119903minus |119903| = 119903+ +119903minus

Le serie sum119899ge0 119886+119899 e sum119899ge0 119886minus

119899 sono non negative e vale

119886+119899 le |119886119899| 119886minus

119899 le |119886119899|

da cui deduciamo che entrambe convergono percheacute converge sum119899ge0|119886119899| Ora possiamoscrivere

119886119899 = 119886+119899 minus119886minus119899

e quindilim

119899rarr+infin119886119899 = lim

119899rarr+infin119886+119899 minus lim

119899rarr+infin119886minus119899

per i teoremi sui limiti e abbiamo finito

Possiamo dunque usare il criterio del rapporto anche per la serie di Gregory dellrsquoar-cotangente sum119899ge0(minus1)1198991199092119899+1(2119899+ 1) per esempio basta prendere i valori assoluti

lim119899rarr+infin

| (minus1)119899+11199092119899+3

2119899+ 32119899+ 1

(minus1)1198991199092119899+1 | = lim119899rarr+infin

2119899+ 12119899+ 3|119909| = |119909|

e perciograve sappiamo che la serie converge quando |119909| lt 1 e non converge quando |119909| gt 1Non possiamo concludere nulla riguardo alla convergenza per 119909 = minus1 o 119909 = 1 conquesto criterio Analogamente la serie di Mercator (generalizzata)

sum119899ge1

(minus1)119899minus1119909119899

119899

converge assolutamente per |119909| lt 1 e non converge se |119909| gt 1Notiamo una differenza fondamentale tra questo metodo di verifica della conver-

genza e il precedente con il quale avevamo stabilito che le serie di Gregory e Mercatorconvergono rispettivamente a arctan119909 e a log(1 + 119909) (con certe condizioni su 119909) Con

77 serie di potenze 159

il criterio del rapporto stabiliamo solo che la serie converge senza avere alcuna infor-mazione sulla somma In realtagrave questo non egrave un male se abbiamo una successione 119886tale che

lim119899rarr+infin

119899radic|119886119899| = 119897 (finito)

allora la seriesum119899ge0

119886119899119909119899

converge per |119909| lt 119897 se 119897 ne 0 se 119897 = 0 la serie converge per ogni 119909 Quindi possiamodefinire una funzione

119891(119909) = sum119899ge0

119886119899119909119899

che ha come dominio gli intervalli specificatiVediamo altre proprietagrave delle serie assolutamente convergenti le dimostrazioni sono

semplici

1 se sum119899ge0 119886119899 egrave assolutamente convergente anche sum119899ge0 119896119886119899 egrave assolutamente convergen-te

2 se sum119899ge0 119886119899 e sum119899ge0 119887119899 sono serie assolutamente convergenti anche la serie ldquosommardquosum119899ge0(119886119899 +119887119899) egrave assolutamente convergente

3 se sum119899ge0 119886119899 egrave assolutamente convergente allora

| sum119899ge0

119886119899| le sum119899ge0

|119886119899|

77 serie di potenze

Una serie di potenze egrave definita da una successione 119886 considerando

sum119899ge0

119886119899119909119899

che ricorda molto gli sviluppi di Taylor Mostriamo subito una proprietagrave importante

t e o r ema Per la serie di potenzesum119899ge0 119886119899119909119899 vale una e una sola delle condizioniseguenti

1 la serie converge solo per 119909 = 0

2 esiste 119903 gt 0 tale che la serie converge assolutamente per |119909| lt 119903 e non convergeper |119909| gt 119903

3 la serie converge assolutamente per ogni 119909

Dimostriamo che se la serie converge assolutamente per 119909 = 119888 gt 0 e |119887| lt 119888 allorala serie converge assolutamente anche per 119909 = 119887 Infatti

|119886119899119887119899| le |119886119899119888119899|

e quindi possiamomaggiorare la seriesum119899ge0|119886119899119887119899| con la serie convergente (per ipotesi)sum119899ge0|119886119899119888119899|

A questo punto si hanno due casi se lrsquoinsieme dei valori 119888 tali che la serie convergeper 119909 = 119888 egrave illimitato la serie converge per ogni 119909 altrimenti questo insieme egrave limitatoe possiamo prendere come 119903 il suo estremo superiore (che puograve essere 0)

160 serie

Il numero 119903 del teorema precedente si chiama raggio di convergenza e nel caso incui la serie converge per ogni 119909 diremo che il raggio di convergenza egrave +infin Nel seguitoconsidereremo solo serie con raggio di convergenza gt 0 che quindi definiscono unafunzione 119891119886 con dominio (minus119903 119903) (che egrave tutta la retta nel caso 119903 = +infin) Agli estre-mi dellrsquointervallo di convergenza si puograve avere ancora convergenza oppure no comeabbiamo visto per la serie di Gregory e quella di Mercator

Il fatto che una serie di potenze ricordi uno sviluppo di Taylor ci suggerisce cheldquotroncandordquo una serie di potenze si ottenga proprio lo sviluppo di Taylor della funzione119891119886 che quindi dovrebbe avere tutte le derivate in 0 Dimostreremo molto di piugrave lafunzione 119891119886 ha tutte le derivate in ogni punto dellrsquointervallo di convergenza e si ha

119891prime119886(119909) = sum

119899ge1119899119886119899119909119899minus1

cioegrave la derivata si ottiene derivando ciascun termine della serie e considerando la se-rie di potenze che cosigrave si ottiene una volta dimostrato questo il passaggio alle deri-vate successive egrave ovvio La prima cosa da vedere egrave dunque che le serie sum119899ge0 119886119899119909119899 esum119899 119899119886119899119909119899minus1 hanno lo stesso raggio di convergenza Ci basteragrave consideraresum119899 119899119886119899119909119899percheacute la convergenza di una e dellrsquoaltra sono equivalenti Lo si dimostri per esercizio

t e o r ema La serie di potenze sum119899ge0 119886119899119909119899 e sum119899ge1 119899119886119899119909119899minus1 hanno lo stessoraggio di convergenza

Partiamo dalla considerazione di lim119899rarr+infin119899radic119899 = 1 allora fissata la tolleranza 120576 gt 0

esiste 119896 tale che per 119899 gt 119896 si abbia 119899radic119899 le 1 + 120576 cioegrave 119899 le (1 + 120576)119899 Supponiamo cheil raggio di convergenza di sum119899ge0 119886119899119909119899 sia 119903 gt 0 e prendiamo 119909 con |119909| lt 119903 possiamoprendere 120576 gt 0 tale che |119909|(1 + 120576) lt 119903 e perciograve la serie

sum119899ge1

119886119899119909119899(1 + 120576)119899

converge assolutamente Per 119899 gt 119896 abbiamo allora

|119899119886119899119909119899| le |119909119899|(1 + 120576)119899

e quindi abbiamomaggiorato la nostra serie con una serie convergente come volevamoSe per caso 119903 = +infin possiamo prendere 120576 gt 0 del tutto arbitrario

Il viceversa egrave invece molto piugrave facile se sum119899ge1 119899119886119899119909119899 converge assolutamente ab-biamo |119886119899119909119899| le |119899119886119899119909119899| e quindi anche sum119899ge0 119886119899119909119899 converge assolutamente

La serie cosigrave costruita si chiama serie derivata il motivo egrave reso evidente dal prossimoteorema

t e o r ema d i d e r i v a z i o n e d e l l e s e r i e d i p o t e n z e Se la serie dipotenze sum119899ge0 119886119899119909119899 ha raggio di convergenza 119903 gt 0 e 119891119886 egrave la sua somma allora119891119886 egrave derivabile in ogni punto dellrsquointervallo di convergenza e

119891prime119886(119909) = sum

119899ge1119899119886119899119909119899minus1

In particolare 119886119899 = 119891(119899)(0)119899

Si tratta di una dimostrazione piuttosto difficile ma solo per questioni tecniche Vogliamocalcolare prima di tutto il rapporto di Fermat

119907(ℎ) = 119891119886(119909+ℎ) minus 119891119886(119909)ℎ = sum

119899ge1119886119899

(119909 +ℎ)119899 minus119909119899

ℎ

77 serie di potenze 161

Prenderemo 120575 gt 0 tale che [119909 119909 + 120575] sube (minus119903 119903) e se 119909 lt 0 vogliamo anche 119909 + 120575 lt 0 Cilimiteremo a 0 lt ℎ lt 120575 che non egrave restrittivo per calcolare la derivata il caso di ℎ lt 0 si tratta inmodo del tutto analogo e quindi non ci soffermeremo

Nelle ipotesi fatte possiamo scrivere per il teorema di Lagrange

(119909 + ℎ)119899 minus119909119899

ℎ = 119899119910119899minus1119899

dove 119909 lt 119910119899 lt 119909+ℎ Ci serve verificare che

limℎrarr0+

119907(ℎ) = sum119899ge1

119899119886119899119909119899

o che egrave lo stessolim

ℎrarr0+| 119907(ℎ) minus sum

119899ge1119899119886119899119909119899| = 0

Siccome sappiamo esprimere 119907(ℎ) come serie assolutamente convergente sappiamo che

| 119907(ℎ) minus sum119899ge1

119899119886119899119909119899| le | sum119899ge1

119899119886119899(119910119899minus1119899 minus119909119899minus1)|

le sum119899ge1

|119899119886119899(119910119899minus1119899 minus119909119899minus1)|

Ancora per il teorema di Lagrange per 119899 ge 2 esiste 119911119899 isin (119909 119910119899) tale che

119910119899minus1119899 minus119909119899minus1 = (119899minus 1)119911119899minus2(119910119899 minus119909)

quindi abbiamo

|119899119886119899(119910119899minus1119899 minus119909119899minus1)| le |119899(119899minus 1)119886119899119911119899minus2

119899 | sdot ℎ le |119899(119899minus 1)119886119899(119909 + 120575)119899minus2| sdot ℎ

(percheacute |119911119899| le |119909+ 120575| con le ipotesi fatte) La serie di potenze

sum119899ge2

119899(119899minus 1)119886119899119909119899minus2

ha lo stesso raggio di convergenza di quella da cui siamo partiti quindi la serie

sum119899ge2

119899(119899minus 1)119886119899(119909 + 120575)119899minus2

egrave assolutamente convergente se poniamo 119904 = sum119899ge2|119899(119899minus 1)119886119899(119909 + 120575)119899minus2| abbiamo

|119907(ℎ) minus sum119899ge1

119899119886119899119909119899minus1| le 119904ℎ

e dunque prendendo il limite per ℎ rarr 0 abbiamo la tesiPer lrsquoidentitagrave 119886119899 = 119891(119899)

119886 (0) basta quindi derivare successivamente

Data una successione 119886 poniamo

119887119899 = sup119886119898 ∶ 119898 ge 119899

dove questo estremo superiore puograve anche essere +infin La successione 119887119899 egrave decrescente e quindiesiste lim119899rarr+infin 119887119899 (finito o infinito) che si denota con il simbolo

lim sup119899rarr+infin

119886119899

Jacques Hadamard (1865ndash1963) dimostrograve che per il raggio di convergenza 119903 della serie di potenzesum119899ge0 119886119899119909119899 vale

1119903 = lim sup

119899rarr+infin

119899radic|119886119899|

(con lrsquoovvio 119903 = 0 se il limite superiore egrave +infin mentre la serie converge ovunque se il limitesuperiore egrave 0) Nel caso in cui esista 119904 = lim119899rarr+infin

119899radic|119886119899| non egrave difficile vedere che 119903 = 1119904 Ilcriterio del rapporto dagrave spesso il raggio di convergenza senza dover calcolare questi limiti

Il succo di questo egrave che se limsup119899rarr+infin119899radic|119886119899| egrave finito la funzione 119891119886 egrave definita in un intorno

di zero quindi egrave possibile costruire in modo quasi arbitrario funzioni assegnando le derivatesuccessive in 0

162 serie

In modo del tutto analogo al caso della serie derivata possiamo definire la serie pri-mitiva che con dimostrazione del tutto simile ha lo stesso raggio di convergenza laserie primitiva di sum119899ge0 119886119899119909119899 egrave

sum119899ge0

119886119899119899+ 1119909119899+1

e sappiamo dal teorema di derivazione che la somma di questa serie egrave una primitivadi 119891119886 (nellrsquointervallo di convergenza) Potremmo usare questa serie per calcolare valoriapprossimati di integrali che non sappiamo trattare lsquoanaliticamentersquo Per esempio

exp(minus1199092) = 1minus 1199092

1 + 1199094

2 minus 1199096

3 +hellip

e quindi una primitiva di 119909 ↦ exp(minus1199092) egrave

119909minus 1199093

3 sdot 1 +1199095

5 sdot 2 minus1199097

7 sdot 3 +hellip

e per valori lsquopiccolirsquo di 119909 possiamo usare pochi termini per avere un valore approssima-to di int1199090 exp(minus1199052)119889119905

Piugrave importante egrave che siccome le serie che scriveremo convergono ovunque possiamodefinire le funzioni

C(119909) = sum119899ge0

(minus1)1198991199092119899

(2119899)

S(119909) = sum119899ge0

(minus1)1198991199092119899+1

(2119899+ 1)

e dal teorema di derivazione segue che Sprime(119909) = C(119909) e Cprime(119909) = minusS(119909) Inoltre C(0) =1 e S(0) = 0 Dunque abbiamo a disposizione una definizione puramente analiticadelle funzioni trigonometriche

Supponiamo di avere due funzioni 119891 e 119892 definite ovunque e derivabili con le proprietagrave

119891prime(119909) = minus119892(119909) 119892prime(119909) = 119891(119909) 119891(0) = 1 119892(0) = 0

La considerazione diC e S ci dice che funzioni con queste proprietagrave esistono proviamo a dedurrealtre proprietagrave

Definiamo 119896(119909) = 119891(119909)2 +119892(119909)2 e calcoliamo la derivata

119896prime(119909) = 2119891(119909)119891prime(119909) + 2119892(119909)119892prime(119909) = 2119891(119909)119892(119909) minus 2119892(119909)119891(119909) = 0

e quindi 119896 egrave costante siccome 119896(0) = 1 abbiamo

119891(119909)2 +119892(119909)2 = 1

per ogni 119909 Supponiamo che 120593 e 120595 siano funzioni tali che 120593prime = minus120595 e 120595prime = 120593 Proviamo amettere insieme queste funzioni e poniamo

119860(119909) = 119891(119909)120593(119909) + 119892(119909)120595(119909) 119861(119909) = 119891(119909)120595(119909) minus 119892(119909)120593(119909)

Calcoliamo le derivate

119860prime(119909) = 119891prime(119909)120593(119909) + 119891(119909)120593prime(119909) minus 119892prime(119909)120595(119909) minus 119892(119909)120595prime(119909)= minus119892(119909)120593(119909) minus 119891(119909)120595(119909) + 119891(119909)120595(119909) + 119892(119909)120593(119909) = 0

119861prime(119909) = 119891prime(119909)120595(119909) + 119891(119909)120595prime(119909) minus 119892prime(119909)120593(119909) minus 119892(119909)120593prime(119909)= 119892(119909)120595(119909) minus 119891(119909)120593(119909) + 119891(119909)120593(119909) minus 119892(119909)120595(119909) = 0

78 la serie binomiale 163

da cui segue che 119860 e 119861 sono funzioni costanti

119886 = 119860(0) = 119891(0)120593(0) + 119892(0)120595(0) = 120593(0) 119887 = 119861(0) = 119891(0)120595(0) + 119892(0)120593(0) = 120595(0)

Dunque abbiamo 119891120593+ 119892120595 = 119886 119891120595minus 119892120593 = 119887 (evitiamo di continuare a scrivere 119891(119909) e similiper brevitagrave) Ne otteniamo altre identitagrave

1198912120593+119891119892120595 = 119886119891 119891119892120595minus1198922120593 = 119887119892

che possiamo sottrarre(1198912 +1198922)120593 = 119886119891minus 119887119892

e quindi120593(119909) = 120593(0)119891(119909) minus120595(0)119892(119909)

In modo del tutto analogo moltiplicando la prima per 119892 e la seconda per 119891 otteniamo

120595(119909) = 120595(0)119891(119909) +120593(0)119892(119909)

Se in particolare 120593(0) = 1 e 120595(0) = 0 abbiamo 120593 = 119891 e 120595 = 119892Dunque le funzioniC eS sono le uniche con quella proprietagrave Si puograve dimostrare analiticamente

che sono periodiche con uguale minimo periodo che possiamo indicare con 2120587 (che sarebbe ladefinizione analitica di 120587) Non lo facciamo limitandoci a scoprire le formule di addizione Sefissiamo 119910 e consideriamo

120593(119909) = 119891(119909+119910) 120595(119909) = 119892(119909+119910)

abbiamo 120593prime(119909) = 119891prime(119909 + 119910) = 119892(119909 + 119910) = 120595(119909) e analogamente 120595prime(119909) = minus120593(119909) dunquepossiamo scrivere

120593(119909) = 120593(0)119891(119909) minus120595(0)119892(119909) = 119891(119910)119891(119909) minus 119892(119910)119892(119909)120595(119909) = 120595(0)119891(119909) +120593(0)119892(119909) = 119892(119910)119891(119909) + 119891(119910)119892(119909)

cioegrave in altri termini

C(119909 +119910) = C(119909)C(119910) minus S(119909)S(119910)S(119909 +119910) = S(119909)C(119910) +C(119909)S(119910)

cioegrave le note formule di addizione

78 la serie binomiale

Consideriamo 119891(119909) = (1 + 119909)119903 dove 119903 egrave un numero qualsiasi definita per 119909 gt minus1 Sene vogliamo trovare uno sviluppo in serie di potenze ci serve calcolare 119891(119899)(0) perogni 119899 Ma

119891prime(119909) = 119903(1 +119909)119903minus1 119891Prime(119909) = 119903(119903minus 1)(1 +119909)119903minus2

e piugrave in generale

119891(119899)(119909) = 119903(119903minus 1)hellip(119903minus119899+ 1)(1 +119909)119903minus119899

come si vede facilmente per induzione derivando unrsquoaltra volta Perciograve

119891(119899)(0)119899 = 119903(119903minus 1)hellip(119903minus119899+ 1)

119899

e la somiglianza con i coefficienti binomiali

(119898119899) = 119898(119898minus1)hellip(119898minus119899+ 1)119899

164 serie

(con 119898 intero positivo) egrave evidente tanto che porremo per analogia

(1199030) = 1 (119903119899) = 119903(119903minus 1)hellip(119903minus119899+ 1)119899 (119899 gt 0)

Si noti che se 119903 non egrave intero (119903119899) ne 0 per ogni 119899 Se 119903 = 119898 egrave intero il valore coincidecon quello usuale in piugrave (119898119899) = 0 per 119899 gt 119898 Si vede anche che (119903119899) assume valorialternativamente positivi e negativi quando 119899 gt 119903 se 119899 egrave il minimo intero maggiore di119903 allora (119903119899) gt 0 ( 119903

119899+1) lt 0 e cosigrave viaOtteniamo allora come sviluppo in serie

(1 + 119909)119903 = sum119899ge0

(119903119899)119909119899

e ci domandiamo quale sia il raggio di convergenza Adoperiamo il criterio del rapportoprima di tutto calcoliamo

( 119903119899+ 1) (119903119899) = 119903minus119899

119899+ 1e quindi

| (119903

119899+1)119909119899+1

(119903119899)119909119899 | = | (119903 minus119899)119909119899+ 1 |

e il limite per 119899 rarr +infin egrave |119909| Dunque il raggio di convergenza egrave 1Va notato che Newton scoprigrave la formula della potenza di un binomio proprio svilup-

pando in serie (1+119909)119903 a lui interessava in particolare il caso di 119903 = 12 che ottenevaelevando formalmente al quadrato un ldquopolinomio con infiniti terminirdquo e uguagliando ilrisultato a 1 +119909 con il principio di identitagrave dei polinomi

La convergenza per 119909 = 1 si deve valutare con il criterio di Leibniz occorre vederese la successione

119887119899 = |(119903119899)|

egrave decrescente (almeno da un certo punto in poi) e con limite 0 Si ha per 119899 gt 119903

119887119899+1119887119899

= |119903minus119899119899+ 1 | = 119899minus119903

119899+ 1

e la disequazione 119899minus119903119899+ 1 lt 1

egrave soddisfatta per minus119903 lt 1 cioegrave 119903 gt minus1 In tal caso si ha anche lim119899rarr+infin 119887119899 = 0 e perciogravela serie binomiale converge anche per 119909 = 1 In particolare un valore approssimato perradic2 si ottiene con

(120 ) + (121 ) + (122 ) + (123 ) +⋯ = 1+ 12 minus 1

4 + 116 minus 5

128 +⋯

ma la convergenza egrave molto lenta Troncando ai termini indicati si ottiene

179128 = 13984375

con un errore di piugrave dellrsquo1 Meglio va con

1radic2

= (1minus 12)

12= 1minus 1

4 minus 132 minus 1

128 minus 52048 minus⋯

che troncando ai termini indicati dagrave

14512048 = 70849609375

con un errore per eccesso inferiore allo 02

79 una serie migliore per il calcolo del logaritmo 165

79 una serie migliore per il calcolo del logaritmo

Consideriamo la serie di Mercator e scriviamo quella che si ottiene cambiando 119909 in minus119909abbiamo allora le serie

log(1 + 119909) = sum119899ge1

(minus1)119899minus1119909119899

119899 = 119909minus 1199092

2 + 1199093

3 minus 1199094

4 +⋯

log(1 minus 119909) = sum119899ge1

minus119909119899

119899 = minus119909minus 1199092

2 minus 1199093

3 minus 1199094

4 minus⋯

che convergono assolutamente nellrsquointervallo (minus1 1) Se le sottraiamo ottenia-mo una serie assolutamente convergente i termini con le potenze pari spariscono eabbiamo

log(1 + 119909) minus log(1 minus 119909) = 2 sum119899ge0

1199092119899+1

2119899+ 1

che converge molto piugrave rapidamente quando 119909 egrave abbastanza piccolo Il vantaggio egraveche

log(1 + 119909) minus log(1 minus 119909) = log 1+1199091minus119909

e se vogliamo calcolare log2 ci basta trovare 119909 tale che

1 +1199091minus119909 = 2

cioegrave 119909 = 13 Per esempio vogliamo usare i primi quattro termini

log2 asymp 2(13 + 1

3127 + 1

51

243) asymp 0693004

che ha tre cifre decimali esatte Si verifichi che lrsquoequazione

1+1199091minus119909 = 119896

ha una soluzione in (minus1 1) per ogni 119896 gt 0

710 la serie armonica e i logaritmi

La serie armonica sum119899gt0 1119899 non converge Tuttavia le somme parziali

ℎ119899 = 1+ 12 + 1

3 +⋯+ 1119899

(per 119899 gt 0) sono assai interessanti e possiedono un importante legame con il logaritmoIl teorema sulle funzioni decrescenti e gli integrali ci dice nel caso di 119891(119909) = 1119909 che

1 + 12 +⋯+ 1

119899minus 1 ge int119899

1

1119905 119889119905 ge 1

2 +⋯+ 1119899minus 1 + 1

119899

cioegraveℎ119899minus1 ge log119899 ge ℎ119899 minus 1

o maneggiando un porsquo1119899 le ℎ119899 minus log119899 le 1

Dunque la successione 120583119899 = ℎ119899 minus log119899 egrave limitata Mostriamo che egrave decrescente consi-derando la differenza 120575119899 = 120583119899minus1 minus120583119899 (per 119899 gt 0) Abbiamo evidentemente

120575119899 = ℎ119899minus1 minus log(119899minus 1) minus ℎ119899 + log119899 = minus log(1minus 1119899)minus 1

119899

166 serie

e viene naturale considerare la funzione 119891(119909) = minus119909minus log(1minus119909) nellrsquointervallo (0 1)La derivata egrave 119891prime(119909) = minus1+1(1minus119909) = 119909(1minus119909) gt 0 e dunque 119891 egrave crescente Siccomelim119909rarr0 119891(119909) = 0 abbiamo come conseguenza che 119891(119909) gt 0 per 119909 isin (0 1) e inparticolare che 120575119899 = 119891(1119899) gt 0

Abbiamo dunque dimostrato che esiste 120574 = lim119899rarr+infin(ℎ119899 minus log119899) questo numerosi chiama tradizionalmente costante di Euler-Mascheroni percheacute il primo a studiarlafu Euler Lorenzo Mascheroni (1750ndash1800) ne riprese lo studio La costante si trova inmolti altri casi per esempio si puograve dimostrare che

120574 = int+infin

0119890minus119909 log119909119889119909

Egrave tuttora aperta la questione se 120574 sia razionale o irrazionale Si sa perograve che se 120574 egraverazionale il suo denominatore minimo deve avere piugrave di 248 cifre decimali

In sostanza la serie armonica non converge ma il suo comportamento egrave simile aquello del logaritmo cioegrave la divergenza egrave molto lenta

Possiamo usare la costante 120574 per dimostrare in modo diverso un risultato giagrave notoPoniamo

119897119899 = 1minus 12 + 1

3 minus 14 +⋯+ (minus1)119899minus1 1

119899per 119899 gt 0 Dal criterio di Leibniz sappiamo che 119897119899 converge e quindi possiamo usarlaper calcolare limiti Consideriamo allora lrsquouguaglianza

ℎ2119899 minus 1198972119899 = ℎ119899

che si puograve verificare a occhio o meglio per induzione Il caso di 119899 = 1 egrave ovvio ℎ2 =1+ 12 1198972 = 1minus 12 e ℎ2 minus 1198972 = 1 = ℎ1 Supponiamo lrsquoidentitagrave valida per 119899 allora

ℎ2(119899+1) minus 1198972(119899+1) = (ℎ2119899 minus 1198972119899) + ( 12119899+ 1 + 1

2119899+ 2 minus 12119899+ 1 + 1

2119899+ 2)

= ℎ119899 + 1119899+ 1

= ℎ119899+1

Dunque possiamo dire anche che 1198972119899 = ℎ2119899 minusℎ119899 e quindi che

1198972119899 = (ℎ2119899 minus log(2119899)) minus (ℎ119899 minus log119899)+ log2 = 1205832119899 minus120583119899 + log2

e passando al limite

lim119899rarr+infin

1198972119899 = log2 + lim119899rarr+infin

1205832119899 minus lim119899rarr+infin

120583119899 = log2+ 120574minus120574

e dunque lim119899rarr+infin 119897119899 = log2

8I NUMER I REAL I

Lrsquointuizione dei numeri reali ha guidato i matematici fin dal sedicesimo secolo non cisi ponevano dubbi sullrsquoesistenza degli irrazionali necessari per parlare delle soluzionidi equazioni algebriche La nascita dellrsquoanalisi perograve i problemi li pose come esserecerti dellrsquoesistenza del limite di una successione crescente e limitata che non si potessecalcolare esplicitamente

La soluzione al problema fu data intorno alla metagrave del diciannovesimo secolo aopera di Weierstraszlig Georg Cantor (1845ndash1918) e Richard Dedekind (1831ndash1916) i primidue usarono idee giagrave presenti in Cauchy e Joseph Liouville (1809ndash1882) il terzo invecetrovograve una strada completamente nuova

Tutto ciograve che ci serve perograve egrave un insieme di ldquonumerirdquo che abbia certe proprietagrave essen-ziali devono essere definite due operazioni dobbiamo saper distinguere quando unnumero egrave piugrave grande di un altro e per finire vogliamo che la proprietagrave che ci garantiscelrsquoesistenza del limite di una successione crescente e limitata valga

Introduciamo una notazione per insiemi ordinati se 119878 e 119879 sono sottoinsiemi diremoche 119878 le 119879 quando per ogni 119904 isin 119878 e ogni 119905 isin 119879 si ha 119904 le 119905 Analogamente scriveremo119903 le 119879 o 119878 le 119903 quando 119903 le 119879 o rispettivamente 119878 le 119903

81 gli assiomi

La struttura dei numeri reali puograve essere descritta da un sistema di assiomi e vedremopoi che questi assiomi possono essere realizzati in un opportuno sistema Tuttavialrsquoaspetto importante egrave che non ci interessa davvero sapere che cosa siano i numeri realipercheacute due sistemi che realizzano gli assiomi sono sostanzialmente identici

a s s i om i d e i n um e r i r e a l i Nellrsquoinsieme dei numeri reali sono definitelrsquooperazione di addizione (119886119887) ↦ 119886+119887 lrsquooperazione di moltiplicazione (119886119887) ↦119886119887 e una relazione drsquoordine lt con le proprietagrave descritte di seguito

a s s i om i p e r l rsquo a d d i z i o n eA1 (119886 + 119887) + 119888 = 119886+ (119887+ 119888)A2 esiste 0 tale che 119886+ 0 = 119886A3 dato 119886 esiste 119887 tale che 119886+ 119887 = 0A4 119886+ 119887 = 119887+119886

a s s i om i p e r l a mo l t i p l i c a z i o n eM1 (119886119887)119888 = 119886(119887119888)M2 esiste 1 tale che 1198861 = 119886 e 1 ne 0M3 se 119886 ne 0 esiste 119887 tale che 119886119887 = 1M4 119886119887 = 119887119886

a s s i oma d i d i s t r i b u t i v i t agraveD 119886(119887+ 119888) = 119886119887+119886119888

a s s i om i p e r l rsquo o r d i n eO1 se 119886 lt 119887 allora 119886+ 119888 lt 119887+ 119888O2 se 119886 lt 119887 e 119888 gt 0 allora 119886119888 lt 119887119888

a s s i oma d i c on t i n u i t agraveC se 119878 e 119879 sono insiemi non vuoti tali che 119878 le 119879 allora esiste 119903 tale che 119878 le 119903 le 119879

167

168 i numeri reali

Le prime undici proprietagrave permettono di eseguire i calcoli con le solite regole lrsquoele-mento 119887 tale che 119886+ 119887 = 0 si denota con minus119886 lrsquoelemento 119887 tale che 119886119887 = 1 (per 119886 ne 0)si denota con 119886minus1 Si pone poi come sempre 119886 minus 119887 = 119886 + (minus119887) e 119886119887 = 119886119887minus1 (per119887 ne 0)

Egrave lrsquoultima proprietagrave che non vale per i numeri razionali Consideriamo la successione119904 cosigrave definita

1199041 = 01 1199042 = 0121199043 = 01211 1199044 = 01211221199045 = 0121122111 1199046 = 0121122111222hellip

aumentando via via il numero di cifre che si ripetono e poniamo

119905119899 = 119904119899 + 10minus119896

dove 119896 egrave il numero di cifre decimali di 119904119899 egrave chiaro che lrsquounico ldquonumerordquo che sta inmezzo alle due successioni egrave il numero

012112211122211112222hellip

che non ha uno sviluppo decimale periodico e quindi non egrave razionale Qui ovviamentefacciamo lo stesso atto di fede di Euler e degli altri che non si ponevano il problemadellrsquoesistenza di un insieme di ldquonumerirdquo dove gli sviluppi decimali qualsiasi fosseroleciti

In effetti Weierstraszlig definigrave i numeri reali proprio cosigrave allineamenti di cifre un nu-mero finito prima della virgola una successione infinita dopo la virgola purcheacute nonfosse costantemente 9 da un certo punto in poi Sullrsquoinsieme di questi oggetti definigravedue operazioni e una relazione per le quali valgono gli assiomi enunciati prima

82 lrsquoassioma di continuitagrave

Lrsquoassioma lsquoCrsquo si chiama assioma di continuitagrave Vediamone la conseguenza principale

t e o r ema Ogni insieme di numeri naturali che ha un maggiorante ha estremosuperiore

Supponiamo che lrsquoinsieme 119878 abbia un maggiorante Allora lrsquoinsieme 119879 dei maggio-ranti di 119878 non egrave vuoto e per definizione 119878 le 119879 Prendiamo 119903 tale che 119878 le 119903 le 119879 allora119903 egrave un maggiorante di 119878 e quindi 119903 isin 119879 dire che 119903 le 119879 e 119903 isin 119879 egrave esattamente dire che119903 egrave il minimo di 119879

Egrave chiaro che vale la conclusione analoga per insiemi di numeri reali che abbiano unminorante la dimostrazione egrave perfettamente simmetrica Da questo vediamo che datauna successione di intervalli inscatolati cioegrave intervalli

[1199010 1199020] supe [1199011 1199021] supe hellip supe [119901119899 119902119899] supe ⋯

ciascuno incluso nel precedente crsquoegrave un numero reale che appartiene a tutti gli intervalliLe condizioni sono infatti equivalenti a dire che per ogni 119899

119901119899+1 ge 119901119899 119901119899 le 119902119899 119902119899+1 le 119902119899

Perciograve se 119901 egrave lrsquoestremo superiore dellrsquoinsieme 119901119899 ∶ 119899 isin ℕ e 119902 egrave lrsquoestremo inferioredellrsquoinsieme 119902119899 ∶ 119899 isin ℕ abbiamo evidentemente 119901 le 119902

82 lrsquoassioma di continuitagrave 169

Nel caso in cui le ampiezze degli intervalli si riducono come accade nella dimostra-zione del teorema degli zeri si deve avere 119901 = 119902 La condizione infatti si esprimerigorosamente cosigrave per ogni tolleranza 120576 gt 0 esiste 119899 tale che 119902119899 minus 119901119899 lt 120576 Se fosse119901 lt 119902 basta prendere 119899 per il quale 119902119899 minus119901119899 lt 119902minus119901 per ottenere una contraddizione

Vediamo adesso che i numeri reali lsquocontengonorsquo i naturali nel senso che li possiamoidentificare con certi numeri reali precisamente i multipli di 1 Cosigrave in particolare 1puograve indicare sia il numero reale che realizza lrsquoassioma M2 sia il numero naturale 1 ele regole di calcolo dicono che tutto torna Nellrsquoenunciato seguente dove cominciamoa stabilire questa identificazione indichiamo con 120783 lrsquoelemento dato dallrsquoassioma M2 econ 120782 quello dato dallrsquoassioma A2 Per essere un porsquo pedanti ricordiamo che quando119899 egrave un numero naturale definiamo 119899119909 = 120782 per 119899 = 0 e (119899+ 1)119909 = 119899119909+119909

t e o r ema Se 119899 ne 0 allora 119899120783 ne 120782 Se 119898120783 = 119899120783 allora 119898 = 119899

Sia 119899 il minimo naturale positivo tale che 119899120783 = 0 Allora esiste il predecessore 119898 di119899 e 119898120783 ne 120782 Ma 119898120783 = 120783+⋯+120783 (119898 volte) e quindi 119898120783 gt 120782 Ma allora 119898120783+120783 = 119899120783 gt 120782che egrave assurdo Quindi 119899 non esiste

La seconda parte segue dalla prima se 119898 ne 119899 allora 119898 gt 119899 oppure 119899 gt 119898 nelprimo caso abbiamo lrsquoassurdo che (119898minus119899)120783 = 120782 nel secondo che (119899minus119898)120783 = 120782

In base a questo teorema possiamo scrivere 119899 al posto di 1198991 e confondere lrsquouno deinaturali con 120783 e lo stesso per lo zero percheacute non ci sono ambiguitagrave

Il seguente enunciato sembra evidente ma si capisce dalla dimostrazione che non loegrave affatto Lo si puograve vedere come una versione astratta del procedimento di misura bennoto dalla geometria

t e o r ema Se 119886 gt 0 allora esiste un naturale 119899 tale che 119899 ge 119886

Sia 119879 lrsquoinsieme dei reali 119905 tali che 119899 lt 119905 per ogni 119899 naturale Vogliamo dimostrareche 119879 egrave vuoto Se non lo fosse possiamo scrivere 119878 le 119879 dove 119878 egrave lrsquoinsieme dei naturalie trovare 119903 tale che 119878 le 119903 le 119879

Dimostriamo che 119903 isin 119879 se infatti 119903 notin 119879 esiste 119899 tale che 119899 ge 119903 ma allora 119899+1 gt 119903contro il fatto che 119878 le 119903 Perciograve 119903 egrave il minimo di 119879 ma allora 119903minus1 notin 119879 e quindi esiste119899 tale che 119899 ge 119903minus 1 e questo egrave assurdo percheacute avremmo 119899+ 1 ge 119903 da cui 119899+ 2 gt 119903contro il fatto che 119878 le 119903

La connessione con la misura egrave evidente se si vuole misurare 119886 gt 0 rispetto a 119887 gt 0cerchiamo un multiplo 119899119887 tale che 119899119887 le 119886 ma (119899 + 1)119887 gt 119886 Fatto questo abbiamoridotto il problema a misurare 119886minus119899119887 (con un sottomultiplo di 119887) Egrave chiaro che senzala proprietagrave appena dimostrata questo potrebbe non accadere

Avendo identificato i naturali con i multipli di 1 possiamo anche parlare di interi edi razionali fra i reali

c o r o l l a r i o Se 119886 lt 119887 allora esiste 119902 razionale con 119886 lt 119902 lt 119887

Se 119886 lt 0 e 119887 gt 0 non crsquoegrave nulla da dimostrare ci basta dunque vederlo per 119886 gt 0percheacute se 119887 lt 0 abbiamo anche 0 lt minus119887 lt minus119886

Prendiamo 119899 naturale tale che 119899 gt 1(119887 minus 119886) cioegrave 119899(119887 minus 119886) gt 1 Se 119898 egrave il minimonaturale tale che 119898 gt 119899119886 avremo 119898 minus 119899119886 lt 1 e quindi 119898 lt 119899119887 Perciograve 119886 lt 119898119899 lt119887

t e o r ema Dato il numero reale 119903 indichiamo con 119876(119903) lrsquoinsieme dei razionaliminori di 119903 Allora 119903 egrave lrsquoestremo superiore di 119876(119903)

170 i numeri reali

Lrsquoestremo superiore di119876(119903) esiste percheacute 119903 egrave unmaggiorante Se 119904 egrave questo estremosuperiore allora 119904 le 119903 Se fosse 119904 lt 119903 esisterebbe 119902 razionale con 119904 lt 119902 lt 119903 e dunque119902 isin 119876(119903) contro il fatto che 119904 egrave lrsquoestremo superiore di 119876(119903)

t e o r ema Per ogni numero reale 119903 gt 0 esiste un numero reale 119905 gt 0 tale che1199052 = 119903

Supponiamo dapprima che 119903 gt 1 e consideriamo lrsquoinsieme 119878 dei numeri 119904 tali che119904 ge 1 e 1199042 le 119903 Se 119904 soddisfa queste condizioni allora 119904 lt 119903 percheacute da 119904 ge 119903 seguirebbe1199042 ge 119904119903 ge 1199032 ge 119903 Dunque 119878 ha estremo superiore 119905

Dimostriamo che 1199052 le 119903 Se fosse 1199052 gt 119903 preso 119904 isin 119878 avremmo 1199052 minus 1199042 ge 1199052 minus119903 dacui

119905 minus 119904 ge 1199052 minus119903119905+ 119904 ge 1199052 minus119903

2119905percheacute 1 le 119904 le 119905 questo egrave in contraddizione con lrsquoipotesi che 119905 sia lrsquoestremo superioreCi basta allora vedere che per ogni 119904 isin 119878 se 1199042 lt 119903 esiste 119886 con 0 lt 119886 le 1 tale che(119904 + 119886)2 lt 119903 Ora (119904 + 119886)2 = 1199042 + 2119886119904+ 1198862 e se 119886 le 1 abbiamo

1199042 + 2119886119904+ 1198862 le 1199042 +2119886119904+ 119886

cosiccheacute ci basta che sia 1199042 + 2119886119904+ 119886 lt 119903 cioegrave

119886 lt 119903minus 11990422119904 + 1

che ha evidentemente soluzione Perciograve un 119904 isin 119878 con 1199042 lt 119903 non egrave lrsquoestremo superioredi 119878 Ne segue che 1199052 = 119903

Rimane da dimostrare lrsquoasserzione per 0 lt 119903 lt 1 ma in tal caso 1119903 gt 1 e quindi1119903 = 1199052 per un certo 119905 e 119903 = (1119905)2

Se guardiamo meglio la dimostrazione precedente ci accorgiamo che si tratta di una versioneastratta del metodo di esaustione Il numero 119905 che otteniamo non puograve essere maggiore dellaradice quadrata che cerchiamo (la parte in cui si vede che 1199052 gt 119903 conduce a un assurdo) neacutepuograve essere minore (percheacute troveremmo un numero 119904 piugrave grande che ha ancora la proprietagrave 1199042 lt119903) Archimede postulava senza perograve renderlo esplicito che due ldquoclassi di grandezze contiguerdquoavessero un unico elemento separatore egrave esattamente il nostro assioma lsquoCrsquo

I risultati precedenti sono i passi necessari per dimostrare il teorema di unicitagrave

83 il teorema di unicitagrave

I dodici assiomi caratterizzano i reali qualsiasi struttura che abbia quelle proprietagraveegrave lsquoidenticarsquo ai reali gli elementi possono essere diversi ma tutto ciograve che possiamodimostrare in una vale in ciascunrsquoaltra a patto di lsquotradurrersquo gli enunciati nella lsquolinguarsquogiusta La traduzione egrave univoca mediante una funzione biiettiva

t e o r ema d i u n i c i t agrave d e i r e a l i Siano 1198771 e 1198772 strutture per le quali valga-no gli assiomi dei numeri reali Allora esiste unrsquounica funzione biiettiva 119891∶ 1198771 rarr 1198772tale che per ogni 119886119887 isin 1198771 si abbia 119891(119886+119887) = 119891(119886)+119891(119887) e 119891(119886119887) = 119891(119886)119891(119887)

Definiamo119891(1) = 1 e partiamo da questo per definire119891 su tutto1198771 Dalla proprietagrave119891(119886+119887) =119891(119886)+119891(119887) segue che dobbiamo porre 119891(119898) = 119898 (qui usiamo sia in 1198771 sia in 1198772 lrsquoidentificazionegiagrave fatta) per ogni 119898 intero Se 119899 gt 0 dobbiamo avere

119899119891(119898119899 ) = 119891(119899119898

119899 ) = 119891(119898) = 119898

84 la costruzione di dedekind 171

e quindi occorre porre 119891(119898119899) = 119898119899Dimostriamo che le proprietagrave richieste per 119891 hanno come conseguenza che 119891 egrave monotona

crescente cioegrave che 119886 lt 119887 implica 119891(119886) lt 119891(119887) Basta in realtagrave dimostrare che 0 lt 119887 implica0 lt 119891(119887) Ma questo egrave evidente dallrsquoesistenza delle radici quadrate se 119887 gt 0 esiste 119904 tale che1199042 = 119887 e dunque 119891(119887) = 119891(1199042) = 119891(119904)2 gt 0

Il resto della dimostrazione egrave solo una noiosa verifica delle proprietagrave dopo aver definito 119891 suun numero reale 119903 qualunque usando il fatto che 119903 egrave lrsquoestremo superiore di un ben determinatoinsieme di numeri razionali

Il succo di questo teorema egrave che non importa come determiniamo un insieme soddi-sfacente le richieste gli assiomi sia che usiamo la costruzione di Weierstraszlig sia cheusiamo quella di Cantor sia che usiamo quella di Dedekind otteniamo due struttureche hanno le stesse proprietagrave In particolare ogni proprietagrave dei reali puograve essere dedot-ta unicamente dagli assiomi e non dal modo con cui li abbiamo costruiti Non stiamodiscutendo del nulla percheacute le costruzioni dei numeri reali che abbiamo menzionatosono corrette dal punto di vista logico I matematici hanno lavorato con i numeri realifino alla metagrave del diciannovesimo secolo senza sapere che ldquoesistesserordquo ma siccomehanno implicitamente usato solo i dodici assiomi i risultati che hanno ottenuto sonocorretti

84 la costruzione di dedekind

Lrsquoidea di Dedekind egrave quella di formalizzare lrsquoassenza di buchi se si cammina lungoi numeri reali non si cade mai in un buco Perciograve se dividiamo i numeri reali in dueinsiemi non vuoti119860 e 119861 tali che119860 lt 119861 (cioegrave ogni elemento di119860 egraveminore di ogni elementodi 119861) allora 119860 ha massimo oppure 119861 ha minimo se cosigrave non fosse fra 119860 e 119861 ci sarebbeun buco

Il problema egrave come possiamo usare questa idea per costruire i numeri reali a partiredai razionali

Una delle proprietagrave che vogliamo egrave che ogni numero reale sia minore di almeno unnumero razionale Cosigrave ogni numero razionale porta con seacute tutti i numeri reali minoriin un certo senso Dunque una suddivisione dei razionali in due sottoinsiemi nonvuoti 119860 e 119861 in modo che 119860 lt 119861 corrisponde a una delle suddivisioni precedenti bastaprendere 119860prime come lrsquoinsieme dei reali 119903 tali che almeno un elemento di 119860 sia maggioredi 119903 e come 119861prime lrsquoinsieme dei reali 119903 tali che almeno un elemento di 119861 sia minore di 119903

Vediamo che 119860prime lt 119861prime se prendiamo 119903 isin 119860prime e 119904 isin 119861prime sappiamo che esistono 119886 isin 119860e 119887 isin 119861 tali che 119903 lt 119886 e 119887 lt 119904 Ma allora

119903 lt 119886 lt 119887 lt 119904

percheacute 119860 lt 119861 e dunque 119903 lt 119904 come si volevaEcco allora lrsquoidea di Dedekind un numero reale 119903 egrave un qualsiasi insieme di numeri

razionali con le seguenti proprietagrave

bull se 119886 isin 119903 e 119887 lt 119886 allora 119887 isin 119903

bull esiste 119888 razionale tale che 119888 notin 119903

bull 119903 non ha massimo

Ogni numero razionale 119902 definisce allora un numero reale 119902 dove 119902 egrave lrsquoinsieme di tuttii razionali 119886 tali che 119886 lt 119902 Infatti la prima proprietagrave egrave ovvia per la seconda egrave evidenteche 119902 + 1 notin 119902 per la terza questo massimo dovrebbe essere un numero 119886 lt 119902 maavremmo un assurdo da 119886 lt (119886+ 119902)2 lt 119902

172 i numeri reali

Egrave facile definire la relazione drsquoordine fra i numeri reali cosigrave definiti 119903 lt 119904 esattamentequando 119903 sub 119904 Se 1199021 lt 1199022 sono numeri razionali egrave chiaro che 1199021 sub 1199022

Lrsquoassioma di continuitagrave egrave piuttosto facile da verificare Se 119878 e 119879 sono insiemi di realicon 119878 le 119879 possiamo considerare lrsquoinsieme 119903 di tutti i razionali che appartengono aqualche numero in 119878

Per trovare un razionale che non appartiene a 119903 basta prendere un numero 119905 isin 119879 e un ra-zionale 119902 notin 119905 Allora 119905 lt 119902 e quindi 119902 notin 119878 percheacute 119878 le 119879 in particolare 119902 notin 119903 se fosse 119902 isin 119877dovremmo avere 119902 isin 119904 per un 119904 isin 119878 e quindi lrsquoassurdo 119902 lt 119904 le 119905 lt 119902

Siano 119886 isin 119903 e 119887 lt 119886 Allora 119886 isin 119904 per un certo 119904 isin 119878 quindi da 119887 lt 119886 segue che 119887 isin 119904 eperciograve 119887 isin 119903

Se 119888 fosse il massimo di 119903 avremmo 119888 isin 119904 per qualche 119904 isin 119878 Ora quando 119902 isin 119904 egrave anche119902 isin 119903 e perciograve 119902 le 119888 Dunque 119888 sarebbe il massimo di 119904 assurdo

La definizione di addizione fra questi lsquoinsiemi di Dedekindrsquo egrave quasi immediata in119903+119904 mettiamo tutti i numeri razionali della forma 119886+119887 con 119886 isin 119903 e 119887 isin 119904 La verificadelle proprietagrave richieste egrave lunga e noiosa

Vediamo per esempio che 119903+0 = 119903 Se 119886 isin 119903 e 119887 isin 0 allora 119887 lt 0 e quindi 119886+119887 lt 119886 da cui119886+ 119887 isin 119903 119903+ 0 sube 119903 Se 119886 isin 119903 dal momento che 119903 non ha massimo possiamo prendere 119888 isin 119903con 119888 gt 119886 allora 119886 = 119888+ (119886minus 119888) e 119886minus 119888 lt 0 quindi 119886minus 119888 isin 0

Piugrave complicato egrave dimostrare le altre proprietagrave dellrsquoaddizione e non egrave affatto semplicedefinire la moltiplicazione

85 la costruzione di weierstrass

Un modo diverso di costruire i numeri reali deriva dallrsquoidea che ogni numero reale sipuograve approssimare con numeri decimali (finiti) per ogni 119896 gt 0 prendiamo come lsquo119896-esimacifra decimalersquo del numero reale 119903 con 0 le 119903 lt 1 lrsquounica cifra 119886119896 tale che

0 le 119903minus (119886110 + 1198862

102 +⋯+ 119886119896minus110119896minus1 + 119886119896

10119896 ) lt 110119896

Lrsquoesempio classico di 119903 = radic2minus 1 = 014142hellip puograve venirci in aiuto

119903minus 0 gt 110

0 le 119903minus 01 lt 110 ()

119903 minus 02 lt 0

119903minus 013 gt 1100

0 lt 119903minus 014 lt 1100 ()

119903 minus 015 lt 0hellip

Come si vede si tratta di un procedimento ricorsivo quando si conoscono le prime 119896cifre dello sviluppo decimale si puograve calcolare la successiva Per i numeri 119903 che nonsono nellrsquointervallo [0 1) si trova prima la parte intera cioegrave il massimo numerointero 119899 tale che 119899 le 119903 e si applica il procedimento a 119903minus119899

Fissiamo qualche notazione Con 1199030 indichiamo la parte intera di 119903 e con 119903119896 la 119896-esimacifra decimale (119896 gt 0)

86 la costruzione di cantor 173

Non egrave possibile che tutte le cifre da un certo punto in poi siano uguali a 9 Lo verifichiamonel caso piugrave semplice cioegrave 1199030 = 0 e 119903119896 = 9 per 119896 gt 0 Dalla definizione segue che per ogni 119896 gt 0

910 + 9

100 +⋯+ 910119896 le 119903 lt 1

cioegrave1minus 1

10119896 le 119903 lt 1

che egrave come dire 0 lt 1 minus 119903 le 10minus119896 Ma questo egrave assurdo ogni numero positivo egrave maggiore di10minus119899 per qualche intero positivo 119899

Dati due numeri 119903 e 119904 abbiamo che 119903 lt 119904 se e solo se

1199030 = 1199040 1199031 lt 1199041 hellip119903119896minus1 = 119904119896minus1 119903119896 lt 119904119896

In altre parole si guarda per prima cosa la parte intera se i due numeri hanno partiintere diverse egrave chiaro qual egrave il piugrave grande Se le parti intere sono uguali si guarda laprima cifra decimale e cosigrave via

Come funziona lrsquoaddizione Non possiamo certo cominciare dalla cifra piugrave a destra percheacutenon crsquoegrave Ma anche lrsquoaddizione usuale fra gli interi si puograve eseguire partendo da sinistra proviamocon 634+ 197 Abbiamo 6+ 1 = 7 e ci spostiamo a destra ora 3+ 9 = 12 e quindi spostiamo 1alla colonna precedente che diventa 8 dunque abbiamo 82 ci spostiamo a destra dove troviamo4+ 7 = 11 quindi spostiamo 1 sulla colonna precedente e troviamo 831

Di solito si comincia da destra percheacute cosigrave non abbiamo ldquoriporti multiplirdquoNel caso degli allineamenti decimali perograve crsquoegrave una complicazione se sviluppiamo 23 otte-

niamo lrsquoallineamento 0666hellip e da 13 otteniamo 0333hellip Lrsquoaddizione partendo da sinistraproduce 0999hellip ma questo numero per quanto visto prima egrave 1

Abbiamo dato per noti i numeri reali Ma quello che si puograve trarre da questi discorsiegrave che gli allineamenti decimali danno una costruzione dei numeri reali

86 la costruzione di cantor

Una condizione necessaria affincheacute una successione (119886119899) converga egrave che per ogni 120576 gt 0esista un tale che quando 119898119899 gt si abbia |119886119898 minus119886119899| lt 120576 Infatti se (119886119899) convergea 119897 possiamo trovare tale che per 119899 gt si abbia |119886119899minus119897| lt 1205762 Se 119898119899 gt avremo

|119886119898 minus119886119899| = |119886119898 minus 119897+ (119897 minus 119886119899)| le |119886119898 minus 119897| + |119897 minus 119886119899| lt1205762 + 120576

2 = 120576

Lrsquoassioma di continuitagrave garantisce che una successione che ha questa proprietagrave chia-mata proprietagrave di Cauchy converge

Vediamo per prima cosa che una successione di Cauchy egrave limitata Basta prendere lrsquoindice relativo a 120576 = 1 per avere che per ogni 119898 gt

minus1+119886+1 lt 119886119898 lt 1+119886+1

da cui ovviamente abbiamo che |119886119898| lt 1 + |119886+1| e quindi

|119886119899| le max |1198860| |1198861|hellip |119886| 1 + |119886+1|

Sia 119903 le 119886119899 le 119904 per ogni 119899 Se consideriamo la successione 119887119899 = (119886119899 minus 119903)(119904 minus 119903) abbiamoche 0 le 119887119899 le 1 egrave facile vedere che anche (119887119899) egrave una successione di Cauchy e che (119887119899) convergese e solo se (119886119899) converge

Infiniti termini della successione cadono o in [0 12] oppure in [12 1] chiamiamo 1198680 unodei due intervalli scegliendone uno in cui cadano infiniti termini sia 1198880 il primo termine 119887119899 che

174 i numeri reali

cade in 1198680 Ora dividiamo a metagrave 1198680 e scegliamo una metagrave 1198681 nella quale cadano infiniti terminisia 1198881 il primo termine successivo a 1198880 che cade in 1198681

Proseguendo cosigrave otteniamo una successione (119888119899) i cui termini cadono in una successione diintervalli inscatolati e che dunque converge a 119888 Ci basta ora vedere che anche (119887119899) converge a 119888

Sia 120576 gt 0 Allora abbiamo per 119898119899 gt sia |119887119898 minus 119887119899| lt 1205762 sia |119888119899 minus 119888| lt 1205762 Ora bastaprendere anche 119888119899 in modo che 119888119899 venga dopo 119887 (che egrave possibile per costruzione di 119888119899) e siamoa posto

Due successioni di Cauchy determinano lo stesso numero reale se la loro differenza egraveuna successione convergente a zero La costruzione di Cantor egrave essenzialmente questai numeri reali sono le successioni di Cauchy di numeri razionali identificando due diesse quando la differenza egrave zero

Da un allineamento decimale egrave facile ottenere una successione di Cauchy di numerirazionali basta considerare i successivi troncamenti Il viceversa egrave un porsquo piugrave complica-to ma solo tecnicamente Come tecnicamente egrave complicato ma non difficile dimostra-re che gli oggetti cosigrave ottenuti soddisfano gli assiomi dei numeri reali lrsquoaddizione e lamoltiplicazione si eseguono semplicemente sommando o moltiplicando le successionitermine a termine

9I NUMER I COMPLESS I

Nel sedicesimo secolo vari autori riuscirono nellrsquoimpresa di trovare una tecnica riso-lutiva delle equazioni di terzo grado Scipione del Ferro (1465ndash1526) Nicolograve Tartaglia(c 1499ndash1557) Lodovico Ferrari (1522ndash1565) Girolamo Cardano (1501ndash1576) sono i nomiche compaiono nella famosa disputa sulla prioritagrave della scoperta con tanto di disfidee insulti

Questa egrave la tecnica risolutiva di Tartaglia che comparve nellrsquoArs Magna di CardanoConsideriamo lrsquoequazione

1199103 +1198861199102 +119887119910+ 119888 = 0

a cui si puograve ridurre ogni equazione di terzo grado Con la sostituzione

119910 = 119909minus 1198863

egrave un facile calcolo ridurla ancora allrsquoequazione

1199093 +119901119909+119902 = 0

Giagrave prima di Tartaglia si sapeva che minus1198863 egrave la media delle soluzioni dellrsquoequazionequindi la sostituzione non egrave altro che una traslazione per fare in modo che la mediadelle soluzioni sia 0

A questo punto Tartaglia propone la nuova sostituzione

119909 = 119906minus 1199013119906

che porta lrsquoequazione nella forma

1199063 minus119901119906+ 1199012

3119906 minus 1199013

271199063 +119901119906minus 1199012

3119906 + 119902 = 0

cioegrave1199063 minus 1199013

271199063 +119902 = 0

che puograve essere trattata come unrsquoequazione di secondo grado in 1199063

(1199063)2 +1199021199063 minus 1199013

27 = 0

il cui discriminante egrave

Δ = 4(1199013

27 + 1199022

4 )

Se il discriminante egrave positivo otteniamo un solo valore di 119909 se infatti 1205752 = Δ le duesoluzioni per 1199063 sono

12(minus119902+ 120575) 1

2(minus119902minus 120575)

e sostituendo le radici cubiche si ottiene lo stesso valore per 119909Tuttavia crsquoegrave un problema se consideriamo lrsquoequazione

1199093 minus 7119909+ 6 = 0

il discriminante che otteniamo egrave

Δ = 4(minus73

27 + 62

4 ) = 427(minus343+ 9 sdot 27) = minus400

27 lt 0

175

176 i numeri complessi

quando la nostra equazione ha tre soluzioni Egrave ovvio infatti che 1 egrave una soluzione econ la divisione si trovano le altre due cioegrave 2 e minus3

Un altro modo di affrontare la questione fu trovato dal francese Franccedilois Viegravete (1540ndash1603) La sua idea fu di introdurre una nuova incognita 119910 legata alla 119909 da

1199102 +119909119910 = 1199013

Se in 1199093 +119901119909+119902 = 0 sostituiamo 119909 = (119901minus 31199102)(3119910) otteniamo

271199106 minus271199021199103 minus1199013 = 0

Questa egrave una lsquobicubicarsquo il cui discriminante egrave 27(271199022+41199013) dove si riconosce la stessalimitazione di prima

Per uscire dal dilemma ci sono due strade Una di Viegravete che riportava in modo moltoastuto le equazioni di terzo grado con discriminante negativo alla formula di triplica-zione del coseno lrsquoaltra di Cardano e dei successori che non si spaventarono al pensierodi maneggiare radici quadrate di numeri negativi

La tecnica di Viegravete usa la formula di triplicazione del coseno cos(3120572) = 4 cos3 120572 minus 3 cos120572Cerchiamo dunque di scrivere lrsquoespressione 1199093 + 119901119909 in una forma simile ponendo 119909 = 119886 cos120572otteniamo

1199093 +119901119909 = 1198863 cos3 120572+119886119901 cos120572e quindi ci serve 1198863 = 4119887 119886119901 = minus3119887 cioegrave

1198863

4 = minus1198861199013

da cui 1198862 = minus41199013 che naturalmente egrave possibile solo quando 119901 lt 0 Con questo valore di 119886abbiamo lrsquoequazione

4119887 cos3 120572minus 3119887 cos120572+119902 = 0cioegrave

119887 cos(3120572) + 119902 = 0che ammette soluzione quando minus1 le 119902119887 le 1 cioegrave 1199022 le 1198872 che equivale a

1199022 le 11988621199012

9 = minus41199013

27cioegrave

1199013

27 + 1199022

4 le 0

che egrave esattamente la condizione che porta al problema delle radici quadrate di numeri negativiNel caso di 119901 = minus7 e 119902 = 6 abbiamo 1198862 = 283 e

119887 = 1198863

4 = 14283 radic

283 = 14

3 radic73

e quindi lrsquoequazione finale egrave

cos3120572 = minus119902119887 = minus9

7radic37 asymp minus08417

quindi3120572 asymp 257122 + 2119896120587 (0 le 119896 le 2)

e abbiamo le tre soluzioni (approssimate)

1205721 asymp 085707 1205722 asymp 295147 1205723 asymp 504586

Siccome 119886 asymp 305505 avremo

1199091 = 119886 cos1205721 asymp 2000001199092 = 119886 cos1205722 asymp minus3000001199093 = 119886 cos1205723 asymp 099999

che sono effettivamente i risultati attesi

91 operazioni sui numeri complessi 177

Decidiamo di non spaventarci neppure noi ignorando la connotazione peggiorativadellrsquoaggettivo immaginario che Descartes affibbiograve a questi ldquonumerirdquo Secondo lrsquousointrodotto da Euler indichiamo con 119894 un numero tale che 1198942 = minus1 non egrave tanto diversoda indicare con radic2 un numero che elevato al quadrato dia 2

Giagrave con questi nuovi numeri possiamo trovare radici quadrate di tutti i numeri realise 119886 gt 0 non crsquoegrave problema se 119886 lt 0 possiamo scrivere

(119894radicminus119886)2 = 1198942(minus119886) = 119886

Naturalmente una volta che abbiamo aggiunto questo numero dobbiamo aggiungereanche tutti quelli della forma

119886+ 119887119894

con 119886 e 119887 reali Siccome siamo giagrave abituati a maneggiare espressioni del tipo 3 + 2radic2non ci facciamo problemi e proviamo a supporre che 119886 + 119887119894 = 0 Allora anche (119886 +119887119894)(119886 minus 119887119894) = 0 cioegrave

0 = (119886+ 119887119894)(119886 minus 119887119894) = 1198862 minus (119887119894)2 = 1198862 minus (minus1)1198872 = 1198862 +1198872

Qui la faccenda egrave diversa 119886 e 119887 sono numeri reali e quellrsquouguaglianza significa che119886 = 119887 = 0 Dunque da 119886+119887119894 = 0 segue 119886 = 119887 = 0 Puograve succedere che 119886+119887119894 = 119888+119889119894Certo ma in tal caso

(119886 minus 119888) + (119887minus 119889)119894 = 0

e quindi 119886 = 119888 e 119887 = 119889

91 operazioni sui numeri complessi

Un numero complesso egrave unrsquoespressione della forma 119886 + 119887119894 dove 119886 e 119887 sono numerireali Per quanto visto prima 119886 e 119887 sono univocamente determinati e si chiamanorispettivamente parte reale e parte immaginaria del numero complesso Le operazionisi eseguono usando le note proprietagrave

(119886 + 119887119894) + (119888 + 119889119894) = (119886+ 119888) + (119887+ 119889)119894(119886 + 119887119894)(119888 + 119889119894) = 119886119888+ 119886119889119894 + 119887119888119894 + 1198871198891198942 = (119886119888minus 119887119889) + (119886119889+ 119887119888)119894

Non occorre memorizzare formule basta operare come al solito con le espressionialgebriche e ricordare che 1198942 = minus1 Esattamente come quando si deve razionalizzare3(radic2 minus 1) si moltiplica numeratore e denominatore per radic2 + 1 usando il fatto che(radic2)2 = 2

In particolare (119886+119887119894)2 = 1198862 minus1198872 +2119886119887119894 Tanto per esercizio cerchiamo di trovarei numeri complessi che elevati al quadrato danno 119894 dovremo avere

⎧⎨⎩

1198862 minus1198872 = 02119886119887 = 1

uguagliando la parte reale e quella immaginaria Dalla prima otteniamo 119886 = 119887 oppure119886 = minus119887 sostituendo nella seconda vediamo che 119886 = minus119887 porta a minus21198862 = 1 che non hasoluzioni Dunque abbiamo 119886 = 119887 e 21198862 = 1 quindi 119886 = 119887 = 1radic2 oppure 119886 = 119887 =minus1radic2

Piugrave in generale vediamo che ogni numero complesso diverso da 0 ha due radiciquadrate Se il numero egrave ℎ+ 119896119894 la tecnica di prima ci porta al sistema

⎧⎨⎩

1198862 minus1198872 = ℎ2119886119887 = 119896

178 i numeri complessi

che possiamo risolvere ricavando 119887 dalla seconda equazione almeno nel caso in cui119896 ne 0 ma se 119896 = 0 sappiamo giagrave trovare 119886 e 119887 Dunque possiamo scrivere 119887 = 119896(2119886)e sostituire nella prima equazione trovando una risolvente biquadratica

41198864 minus 4ℎ1198862 minus1198962 = 0

che dagrave

1198862 = radicℎ2 +1198962 +ℎ2

Lrsquoaltra ldquosoluzionerdquo egrave da scartare percheacute negativa Ogni valore trovato di 119886 egrave legato a unvalore di 119887 e quindi abbiamo dimostrato lrsquoasserzione fatta Si ha infatti 1198872 = 1198962(41198862)e quindi

1198872 = 1198962

42

radicℎ2 +1198962 +ℎ= 1198962

2radicℎ2 +1198962 minusℎ

1198962 = radicℎ2 +1198962 minusℎ2

Le soluzioni effettive si trovano scegliendo i valori positivi e negativi in modo che valga2119886119887 = 119896 Si noti che queste espressioni valgono anche per il caso prima escluso di119896 = 0

92 coniugato di un numero complesso

Se 119906 = 119886+119887119894 con 119886 e 119887 reali il coniugato di 119906 egrave il numero complesso

119906 = 119886minus119887119894

Si tratta di un ausilio molto importante infatti sommando e sottraendo si trova

2119886 = 119906+119906 2119887119894 = 119906minus119906

e quindi la conoscenza di 119906 ci permette di trovare la parte reale e la parte immaginariaLe proprietagrave del coniugato rispetto alle operazioni si verificano semplicemente

119906+119907 = 119906+119907 119906119907 = 119906119907

Particolarmente importante egrave lrsquoespressione 119906119906 = 1198862 +1198872 In effetti

(119906119907)(119906119907) = (119906119906)(119907119907)

e inoltre esiste un unico numero reale non negativo che elevato al quadrato dia 119906119906Questo numero si chiama modulo di 119906

|119906| = radic119906119906

Per esempio il modulo di 119894 egrave 1 il modulo di 2+119894 egrave radic5 Nel caso in cui 119906 sia reale cioegrave119906 = 119906 il modulo egrave esattamente quello usuale

Egrave interessante notare che la disuguaglianza |119906+119907| le |119906|+|119907| vale anche nei numericomplessi Siccome si tratta di numeri reali non negativi la disuguaglianza puograve essereverificata elevando al quadrato siccome |119908|2 = 119908119908 dobbiamo verificare

(119906+ 119907)(119906+ 119907) le 119906119906+ 2|119906| |119907| + 119907119907

che equivale cancellando i termini uguali a

119907119906+119906119907 le 2|119906| |119907|

93 forma trigonometrica 179

Questa disuguaglianza egrave ovvia se il termine di sinistra egrave negativo Se il termine disinistra egrave non negativo possiamo di nuovo elevare al quadrato e la disuguaglianza daverificare egrave

11990721199062 + 2119906119906119907119907+11990621199072 le 4119906119906119907119907

che diventa(119907119906minus119906119907)2 le 0

Questa disuguaglianza egrave vera anche se ciograve sembra paradossale se poniamo 119908 = 119907119906 iltermine da elevare al quadrato egrave 119908minus119908 che ha parte reale nulla e quindi il suo quadratoegrave effettivamente le 0

Notiamo subito che non egrave possibile stabilire una relazione drsquoordine sui numeri com-plessi in modo che valgano proprietagrave analoghe a quelle sui numeri reali Non egrave unproblema in tutte le disuguaglianze che abbiamo scritto ambo i membri erano numerireali non egrave reale 119907119906minus119906119907 ma il suo quadrato sigrave

Che succede ai numeri complessi di modulo 1 Egrave evidente |119906| = 1 equivale a

119906119906 = 1

e quindi 119906 egrave lrsquoinverso di 119906 Come facciamo a trovare lrsquoinverso di un numero complessoqualsiasi diverso da 0 Semplice razionalizziamo

1119886+ 119887119894 = 119886minus 119887119894

1198862 +1198872 = 1198861198862 +1198872 + minus119887

1198862 +1198872 119894

e siccome 119886 + 119887119894 ne 0 lrsquoinverso esiste Se lo vogliamo scrivere senza far ricorso allaparte reale e alla parte immaginaria abbiamo

119906minus1 = |119906|minus2119906

Infatti119906(|119906|minus2119906) = |119906|minus2119906119906 = |119906|minus2|119906|2 = 1

Per ultimo osserviamo che| |119906|minus1119906| = 1

e quindi ogni numero complesso non nullo si puograve scrivere (in modo unico) come pro-dotto di un numero reale positivo il modulo per un numero complesso di modulo 1

93 forma trigonometrica

Vediamomeglio che cosa possiamo fare con i numeri complessi di modulo 1 se |119906| = 1con 119906 = 119886+ 119887119894 abbiamo evidentemente 1198862 + 1198872 = 1 e quindi sappiamo che esiste unnumero reale 120572 determinato a meno di multipli interi di 2120587 tale che

119886 = cos120572 119887 = sin120572

Quindi 119906 = cos120572+119894 sin120572 e questo numero 120572 si chiama argomento di 119906 Il fatto che nonsia determinato univocamente non dagrave problemi Proviamo a moltiplicare due numericomplessi di modulo 1

(cos120572+ 119894 sin120572)(cos120573+ 119894 sin120573) = (cos120572 cos120573minus sin120572 sin120573)+ 119894(sin120572 cos120573+ cos120572 sin120573)

= cos(120572+ 120573) + 119894 sin(120572+ 120573)

180 i numeri complessi

I numeri complessi di modulo 1 si moltiplicano semplicemente sommando gli argo-menti Se ci ricordiamo di questo fatto non occorre nemmeno ricordare le formule diaddizione di seno e coseno

Se 120573 = 120572 troviamo la formula di duplicazione o piugrave in generale la formula permultipli qualsiasi che si chiama formula di De Moivre

(cos120572+ 119894 sin120572)119899 = cos(119899120572) + 119894 sin(119899120572)

Per esempio possiamo sviluppare la potenza per 119899 = 3 e trovare la formula di triplica-zione

cos3120572+ 119894 sin3120572 = (cos120572+ 119894 sin120572)3

= cos3 120572+ 3119894 cos2 120572 sin120572+ 31198942 cos120572 sin2 120572+ 1198943 sin3 120572= (cos3 120572minus 3 cos120572 sin2 120572)+ 119894(3 cos2 120572 sin120572minus sin3 120572)

che possono anche essere lette come

cos3120572 = cos3 120572minus 3 cos120572 sin2 120572sin3120572 = 3 cos2 120572 sin120572minus sin3 120572

La forma trovata per i numeri di modulo 1 puograve essere estesa a tutti i numeri com-plessi diversi da 0 Infatti come abbiamo visto |119906|minus1119906 ha modulo 1 se 119906 ne 0 perciograve

119906 = |119906|(cos120572+ 119894 sin120572)

dove 120572 egrave determinato a meno di multipli interi di 2120587 Questa egrave la cosiddetta formatrigonometrica dei numeri complessi

Il classico problema di trovare le radici 119899-esime dei numeri complessi si risolve fa-cilmente dato 119906 = 120588(cos120572 + 119894 sin120572) dove 120588 = |119906| gt 0 vogliamo trovare i numericomplessi 119907 = 120590(cos120573 + 119894 sin120573) tali che 119907119899 = 119906 La formula di De Morgan dice allorache deve valere

120590119899(cos(119899120573) + 119894 sin(119899120573)) = 120588(cos120572+ 119894 sin120572)

cioegrave 120590 = 119899radic120588 e119899120573 = 120572+ 2119896120587 (119896 intero)

Se vogliamo trovare le radici 119899-esime distinte ci basteragrave far variare 119896 tra 0 e 119899 minus 1percheacute le altre lsquosoluzionirsquo corrispondono ad angoli che differiscono da quelli giagrave trovatiper multipli interi di 2120587 e quindi avremo

120572119899 120572+ 2120587

119899 120572+ 4120587119899 hellip 120572+ 2(119899minus 1)120587

119899

dimostrando che ogni numero complesso diverso da 0 ha esattamente 119899 radici 119899-esimedistinte

La notazione cos120572 + 119894 sin120572 egrave pesante cosigrave spesso si abbrevia in cis120572 Si noti lasomiglianza non casuale di questa funzione con lrsquoesponenziale

cis(120572+ 120573) = cis120572 cis120573

Vogliamo risolvere il seguente problema trovare una formula per

119886119899 = sin120572+ sin(2120572) +⋯+ sin(119899120572)119887119899 = 1+ cos120572+ cos(2120572) +⋯+ cos(119899120572)

94 interpretazione geometrica 181

Se moltiplichiamo la prima per 119894 e sommiamo le due troviamo

119887119899 + 119894119886119899 = cis(0120572) + cis(1120572) +⋯+ cis(119899120572)

che egrave la somma di una progressione geometrica

119887119899 + 119894119886119899 = (cis120572)0 + (cis120572)1 + (cis120572)2 +⋯+ (cis120572)119899

= (cis120572)119899+1 minus 1cis120572minus 1

= cis((119899+ 1)120572) minus 1cis120572minus 1

naturalmente quando cis120572 ne 1 cioegrave 120572 ne 0 (o multipli interi di 2120587) ma in questo caso la sommada cercare egrave banale

Una forma molto interessante si trova raccogliendo cis((119899+ 1)1205722) al numeratore e cis(1205722)al denominatore per evitare notazioni pesanti poniamo 120573 = 1205722 e 120574 = (119899+ 1)120573

119887119899 + 119894119886119899 = cis120574cis120573

cis120574minus cis120574cis120573minus cis120573

Egrave facile dunque scrivere le espressioni per 119886119899 e 119887119899 ricordando che cis120575minus cis120575 = 2119894 sin120575

119887119899 = sin((119899+ 1)1205722)sin(1205722) cos 119899120572

2

119886119899 = sin((119899+ 1)1205722)sin(1205722) sin 119899120572

2

94 interpretazione geometrica

I numeri complessi rimasero unrsquoentitagrave vista con molto sospetto fino a che Argand eGauszlig ne diedero unrsquoevidente interpretazione geometrica se vediamo un numero com-plesso come un punto del piano adoperandone la parte reale e la parte immaginariacome coordinate in un sistema di riferimento cartesiano lrsquoaddizione corrisponde allanota regola del parallelogramma e la moltiplicazione a una rotazione attorno allrsquoorigineseguita da un allungamento o una contrazione

Supponiamo di voler calcolare le coordinate del punto simmetrico rispetto a un assedel punto di coordinate (119904 119905) Facciamo lrsquoipotesi semplificatrice che lrsquoasse passi perlrsquoorigine e che non sia lrsquoasse delle ordinate (in questo caso non crsquoegrave alcuna difficoltagrave)

Se la retta ha equazione 119910 = 119898119909 sappiamo che 119898 = tan120572 dove 120572 egrave lrsquoangolo for-mato con il semiasse positivo delle ascisse Possiamo allora ruotare il punto attornoallrsquoorigine di un angolo minus120572 calcolare il simmetrico rispetto allrsquoasse delle ascisse e ruo-tare di un angolo 120572 Siccome il simmetrico rispetto allrsquoasse delle ascisse egrave il coniugatole operazioni da eseguire sono ponendo 119906 = 119904+ 119905119894

119906 ↦ 119906 cis(minus120572) ↦ 119906 cis(minus120572) = 119906 cis120572 ↦ 119906 cis120572 cis120572 = 119906 cis(2120572)

Quindi il simmetrico egrave

(119904 minus 119905119894) cis(2120572) = 119904 cos(2120572) + 119905 sin(2120572) + 119894(119904 sin(2120572) minus 119905 cos(2120572))

Allora ricordando le note formule e che 119898 = tan120572

cos(2120572) = 1minus1198982

1 +1198982 sin(2120572) = 21198981+1198982

possiamo scrivere che il simmetrico di (119904 119905) ha coordinate

(119904(1 minus1198982) + 21198981199051+1198982 2119898119904minus 119905(1 minus1198982)

1 +1198982 )

182 i numeri complessi

formula decisamente piugrave complicataSe vogliamo calcolare la semidistanza 119889 tra un punto e il suo simmetrico ci basta

calcolare il modulo della differenza

2119889 = |119906minus119906 cis(2120572)|

Ricordando che |cis(minus120572)| = 1

2119889 = |119906minus119906 cis(2120572)| sdot |cis(minus120572)|= |119906 cis(minus120572) minus119906 cis120572|= |119906 cis(minus120572) minus119906 cis(minus120572)|

e il termine dentro il modulo egrave il doppio della parte immaginaria di

(119904 + 119905119894)(cos120572minus 119894 sin120572)

cioegrave

119889 = |minus119904 sin120572+ 119905 cos120572|= |cos120572| |119905 minus119898119904|

= |119905 minus119898119904|radic1+1198982

come ben noto dalla formula della distanza di un punto da una rettaIl caso generale in cui la retta ha equazione 119910 = 119898119909 + 119902 si tratta eseguendo una

traslazione iniziale (119906 ↦ 119906minus119902119894) che poi viene eseguita a rovescio alla fine

119906 ↦ (119906minus 119902119894) cis(2120572) + 119902119894

e il calcolo della distanza egrave molto simile Si puograve anche traslare rispetto a un qualsiasi119908che corrisponda a un punto della retta e cosigrave la formula funziona anche quando la rettaegrave parallela allrsquoasse delle ordinate se prendiamo la retta di equazione 119909 = 119886 abbiamo120572 = 1205872 e per esempio 119908 = 119886 allora il corrispondente di 119906 egrave il punto

(119906minus 119886) cis120587+119886 = minus(119906minus119886) + 119886 = minus119906+ 2119886

come ci si attendePer la simmetria centrale rispetto allrsquoorigine la trasformazione egrave 119906 ↦ minus119906 per la

simmetria centrale rispetto al punto di coordinate (119886119887) poniamo 119908 = 119886+119887119894 e quindila trasformazione egrave

119906 ↦ minus(119906minus119908)+119908 = minus119906+ 2119908Se vogliamo invece una rotazione di un angolo 120572 rispetto allrsquoorigine la trasformazio-ne egrave 119906 ↦ 119906 cis120572 che per la rotazione attorno a 119908 inteso come punto del piano latrasformazione egrave

119906 ↦ (119906minus119908) cis120572+119908Proviamo come semplice applicazione a calcolare la composizione di due simmetrie

assiali rispetto a due rette incidenti Se la prima ha coefficiente angolare 119898 = tan120572 laseconda coefficiente angolare 119899 = tan120573 e il punto di intersezione egrave 119908 il risultato finaledella composizione applicata al punto 119906 egrave

(119907 minus119908) cis2120573+119908 = 119907 cis2120573minus119908 cis2120573+119908

dove 119907 = (119906minus119908) cis2120572+119908 Quindi otteniamo

119906 ↦ (119906minus119908)cis2120572 cis2120573+119908 cis2120573minus119908 cis2120573+119908= (119906minus119908) cis(2120573 minus 2120572) +119908

che egrave evidentemente una rotazione con centro 119908 Si provi che invece la composizionedi due simmetrie assiali rispetto a due rette parallele egrave una traslazione

95 il teorema fondamentale 183

95 il teorema fondamentale

I numeri complessi sono importanti per una proprietagrave che fu intuita fin dal sedicesimosecolo e dimostrata seppure in modo incompleto da Jean-Baptiste Le Rond DrsquoAlembert(1717ndash1783) la prima dimostrazione rigorosa fu data da Carl Friedrich Gauszlig (1777ndash1855)nella sua tesi di laurea (1799)

Siccome nei complessi si puograve parlare di somme emoltiplicazioni ha senso il concettodi polinomio a coefficienti complessi una funzione del tipo

119911 ↦ 1198860 +1198861119911+⋯+119886119899119911119899

dove 1198860 1198861 hellip 119886119899 sono numeri complessi

t e o r ema f ondam en t a l e Ogni polinomio di grado maggiore di zero acoefficienti complessi ha una radice complessa

La dimostrazione richiede tecniche fuori dalla portata di queste note ne vediamosolo qualche conseguenza

La prima conseguenza egrave che ogni polinomio di grado 119899 gt 0 si scrive come

119886119899(119911 minus 1199061)(119911 minus 1199062)hellip(119911minus119906119899)

dove le radici 119906119895 possono anche essere ripetute Infatti il teorema fondamentale diceche una radice 1199061 esiste quindi il polinomio egrave divisibile per 119911 minus 1199061 con quoziente digrado 119899 minus 1 e si puograve ripetere il procedimento fino a che il grado del quoziente egrave 1In effetti egrave chiaro che la dimostrazione del cosiddetto teorema di Ruffini si estende apolinomi a coefficienti complessi

Seconda conseguenza se un polinomio a coefficienti reali egrave irriducibile allora hagrado 1 oppure 2

l e mma Se 119906 egrave una radice complessa del polinomio 119875(119911) = 1198860 +1198861119911+⋯+119886119899119911119899

a coefficienti reali allora anche 119906 egrave radice di 119875

Per ipotesi si ha 1198860 +1198861119906+⋯+119886119899119906119899 = 0 allora abbiamo

0 = 0 = 1198860 +1198861119906+⋯+119886119899119906119899 = 1198860 +1198861119906+⋯+119886119899119906119899

che egrave esattamente la tesi Si noti che abbiamo usato il fatto che 119886119895 = 119886119895 percheacute icoefficienti sono reali

t e o r ema Se 119875 egrave un polinomio irriducibile a coefficienti reali di grado maggioredi 1 allora 119875 ha grado 2 e discriminante negativo

Se 119875 ha una radice reale ed egrave irriducibile allora ha grado 1 per il teorema di RuffiniQuindi possiamo supporre che 119875 non abbia radici reali Ma siccome 119875 ha una radicecomplessa 119906 ha anche la radice 119906 e quindi egrave divisibile sia per 119909minus119906 (con 119909 indichiamola variabile del polinomio) sia per 119909minus119906 che sono polinomi irriducibili distinti quindi119875 egrave divisibile per

(119909 minus119906)(119909minus119906) = 1199092 minus (119906+119906)119909+119906119906che egrave a coefficienti reali Dunque il quoziente egrave un polinomio di grado 0 altrimenti 119875non sarebbe irriducibile Il discriminante di 119875 egrave negativo percheacute 119875 non ha radici realiDel resto a parte il quoziente di grado 0 il discriminante del polinomio appena scrittoegrave

1199062 + 2119906119906+1199062 minus 4119906119906 = (119906minus119906)2 lt 0

Questo naturalmente non significa che sappiamo calcolare la decomposizione in ognicaso egrave piugrave un risultato teorico che pratico che dice lrsquoimportanza di considerare i com-plessi come strumenti effettivi per la matematica e non solo come passaggi intermedida eliminare e nascondere

184 i numeri complessi

96 lrsquoesponenziale e il logaritmo complesso

Proviamo a calcolare la ldquoderivatardquo della funzione cis

cisprime 119905 = cosprime 119905 + 119894 sinprime 119905 = minus sin 119905 + 119894 cos 119905 = 119894(cos 119905 + 119894 sin 119905) = 119894 cis 119905

Si tratta solo di un calcolo formale che per ora non tenteremo di giustificare SeguendoEuler possiamo scrivere allora

cis 119905 = exp(119894119905)

percheacute sappiamo che se una funzione 119891 ha la proprietagrave che 119891prime = 119888119891 con 119888 costanteallora 119891(119909) = exp(119888119909) Euler allora definigrave la funzione esponenziale su un numerocomplesso come

exp(119909 +119910119894) = exp119909 cis119910

e osservograve che vale lrsquousuale proprietagrave

exp(119906+ 119907) = exp119906 exp119907

per numeri complessi qualsiasi 119906 e 119907 In particolare

cos119910 = 12(cis119910+ cis(minus119910)) = exp(119894119910) + exp(minus119894119910)

2

119894 sin119910 = 12(cis119910minus cis(minus119910)) = exp(119894119910) minus exp(minus119894119910)

2

Egrave molto utile definire due funzioni che hanno un comportamento molto simile allefunzioni trigonometriche

cosh 119905 = exp 119905 + exp(minus119905)2 sinh 119905 = exp 119905 minus exp(minus119905)

2

che si chiamano coseno iperbolico e seno iperbolico rispettivamente La relazione eule-riana dice che si possono definire coseno e seno su ogni complesso con

cos119906 = cosh(119894119906) sin119906 = 1119894 sinh(119894119906)

ottenendo funzioni che hanno le stesse proprietagrave formali per esempio le stesse formuledi addizione e periodo 2120587

La relazione che scrisse cioegrave exp(120587119894) = minus1 si puograve anche scrivere

119890120587119894 + 1 = 0

che egrave molto suggestiva Si puograve obiettare che non ha senso elevare 119890 a un lsquonumero im-maginariorsquo ma ha senso elevarlo a 120587 Egrave esattamente la stessa cosa fincheacute ci limitiamoa ubbidire alle definizioni non facciamo nulla di proibito e insensato

Ci poniamo il problema di trovare un numero complesso 119909+119910119894 con 119909 e 119910 reali taliche

exp(119909+119910119894) = 120588 cis120572

dove 119911 = 120588 cis120572 egrave un numero complesso non nullo fissato Lrsquoequazione diventa allora

exp119909 cis119910 = 120588 cis120572

che ha come soluzioni

119909 = log120588 119910 = 120572+ 2119896120587 (119896 intero)

97 serie di taylor 185

Quindi 119909 = log120588 e119910 egrave una qualsiasi delle determinazioni dellrsquoargomento di 119911 I numeriche hanno ldquologaritmo complessordquo puramente immaginario sono allora quelli per i quali119909 = 0 cioegrave 120588 = 1 i numeri complessi di modulo 1 Quelli che hanno (almeno un)ldquologaritmo complessordquo reale sono i numeri con 120572 = 0 cioegrave i numeri reali positivi Unnumero reale negativo ha come argomento120572 = 120587 se119909 egrave reale e119909 lt 0 un suo logaritmocomplesso egrave

log|119909| +120587119894

Il sogno di Johan Bernoulli che argomentava dicendo

log119909 = 12 log(1199092) = 1

2 log(|119909|2) = log|119909|

non si egrave avverato Purtroppo non si egrave avverato nemmeno il sogno di Euler che spe-rava di estendere le proprietagrave del logaritmo ai numeri complessi lrsquoindeterminazionedellrsquoargomento non permette di fare calcoli

Una potenza119886119887 puograve rappresentare un numero reale anche se119886 e 119887 non sono reali perdefinizione i valori assunti da 119886119887 sono quelli assunti da exp(119887 log119886) Occorre dunqueche 119887 log119886 assuma almeno un valore reale Per esempio i logaritmi complessi di minus1sono i numeri complessi della forma 119894(120587+2119896120587) quindi i valori di (minus1)minus119894 sono i numeridella forma 119890120587+2119896120587 Quanto fa 119894119894

97 serie di taylor

Supponiamo di avere una successione (119888119899) a valori complessi Siccome sappiamo scri-vere 119888119899 = 119886119899+119894119887119899 con 119886119899 e 119887119899 reali possiamo definire il limite della successione come119888 = 119886+ 119894119887 dove 119886 e 119887 sono i limiti delle due successioni trovate ammesso che esista-no La cosa interessante egrave che potremmo definire il limite in modo del tutto analogo aquanto fatto per le successioni a valori reali

t e o r ema Il limite della successione complessa (119888119899) vale 119888 se e solo se per ognitolleranza 120576 gt 0 esiste un 119896 tale che per ogni 119899 ge 119896 si abbia

|119888119899 minus 119888| lt 120576

Supponiamo che il limite valga 119888 = 119886 + 119894119887 secondo la definizione data e fissiamouna tolleranza 120576 gt 0 Allora sappiamo che esiste 119896 tale che per 119899 ge 119896 si abbia

|119886119899 minus119886| lt 1205762 e |119887119899 minus119887| lt 120576

2

Se 119911 = 119909+ 119894119910 sappiamo che

|119911| le |119909| + |119894119910| = |119909| + |119910|

e dunque per 119899 ge 119896 abbiamo

|119888119899 minus 119888| = |(119886119899 minus119886)+ 119894(119887119899 minus119887)| le |119886119899 minus119886| + |119887119899 minus119887| le 1205762 + 120576

2 = 120576

Viceversa supponiamo che la condizione dellrsquoenunciato valga Qui usiamo il fattoquasi ovvio che |119909| le |119911| e |119910| le |119911| per 119911 = 119909+ 119894119910 Allora da |119888119899 minus 119888| lt 120576 seguonole disuguaglianze richieste

|119886119899 minus119886| lt 120576 e |119887119899 minus119887| lt 120576

che provano la tesi

186 i numeri complessi

Una volta che sappiamo dare un senso al limite di una successione possiamo ancheparlare di serie Si puograve anche definire la convergenza assoluta allo stesso modo diprima la serie di termine generale (119888119899) converge assolutamente quando la serie ditermine generale (|119888119899|) converge Egrave un facile esercizio dimostrare che la convergenzaassoluta implica la convergenza

In particolare possiamo asserire che la serie di potenze sum119899ge0 119911119899119899 converge perogni 119911 complesso e quindi definire lrsquoesponenziale come

exp119911 = sum119899ge0

119911119899

119899

Se 119911 = 119894119910 abbiamo

exp(119894119910) = sum119899ge0

(119894119910)119899119899

= sum119899ge0

(minus1)119899 1199102119899

(2119899) + 119894 sum119899ge0

(minus1)119899 1199102119899+1

(2119899+ 1)

= cos119910+ 119894 sin119910 = cis119910

separando parte reale e parte immaginaria Si puograve anche dimostrare la relazione fon-damentale

exp(1199111 +1199112) = exp1199111 exp1199112

che perograve richiede alcuni calcoli piuttosto complicati sebbene non difficili

La regola dello sviluppo del binomio vale anche per i numeri complessi essendo basata solosulle regole formali delle operazioni

(119886 + 119887)119899 =119899

sum119896=0

(119899119896)119886119896119887119899minus119896

Possiamo dimostrarla considerando la funzione

119891(119909) = (119909+ 119887)119899 minus119899

sum119896=0

(119899119896)119909119896119887119899minus119896

che ha come derivata

119891prime(119909) = 119899(119909+ 119887)119899minus1 minus119899

sum119896=1

119896(119899119896)119909119896minus1119887119899minus119896

(il termine per 119896 = 0 sparisce) Nella somma cambiamo lrsquoindice 119896 ponendo 119896 = 119895+ 1

119891prime(119909) = 119899(119909+ 119887)119899minus1 minus119899minus1

sum119895=0

(119895 + 1)( 119899119895+ 1)119909

119895119887119899minus1minus119895

Ora consideriamo

(119895 + 1)( 119899119895+ 1) = (119895 + 1) 119899

(119895 + 1) (119899 minus 1minus 119895) = 119899 (119899minus 1)119895 (119899 minus 1minus 119895) = 119899(119899minus 1

119895 )

e dunque

119891prime(119909) = 119899(119909+ 119887)119899minus1 minus119899119899minus1

sum119895=0

(119899minus 1119895 )119909119895119887119899minus1minus119895

e per ipotesi induttiva possiamo supporre che

119899minus1

sum119895=0

(119899minus 1119895 )119909119895119887119899minus1minus119895 = (119909+ 119887)119899minus1

Dunque 119891prime(119909) = 0 cioegrave 119891 egrave costante Siccome 119891(0) = 119887119899 minus 119887119899 = 0 abbiamo lrsquouguaglianzarichiesta Il passo base dellrsquoinduzione cioegrave il caso di 119899 = 0 egrave ovvio

97 serie di taylor 187

Estendiamo la definizione del coefficiente binomiale (119899119896) anche per 119896 gt 119899 ponendo (119899119896) = 0 Inquesto modo possiamo scrivere (119886+119887)119899 = sum119896ge0 (119899119896)119886119896119887119899minus119896 come se fosse una serie almeno nelcaso di 119887 ne 0 Siccome vogliamo provare che exp(119886 + 119887) = exp119886 exp119887 il caso di 119887 = 0 non ci dagraveproblemi e quindi non egrave restrittivo assumere 119887 ne 0 Consideriamo dunque

119898

sum119899=0

(119886 + 119887)119899119899 =

119898

sum119899=0

1119899 sum119896ge0

(119899119896)119886119896119887119899minus119896 = sum

119896ge0119886119896

119898

sum119899=0

1119899 (

119899119896)119887

119899minus119896

La somma interna puograve essere scritta come

119898

sum119899=119896

1119899

119899119896 (119899 minus 119896)119887

119899minus119896 = 1119896

119898

sum119899=119896

1(119899minus 119896)119887

119899minus119896 = 1119896

119898minus119896

sum119897=0

119887119897

119897

La convenzione che funziona egrave che una somma in cui lrsquoindice inferiore egrave maggiore dellrsquoindicesuperiore vale 0 Dunque otteniamo

119898

sum119899=0

(119886 + 119887)119899119899 = sum

119896ge0

119886119896

119896 (119898minus119896

sum119897=0

119887119897

119897 )

Se ora calcoliamo il limite per 119898 rarr +infin la parentesi interna diventa exp119887 e quindi abbiamoesattamente lrsquouguaglianza richiesta In alcuni passaggi occorrerebbe maggiore cautela ma ciaccontentiamo

Questa nuova definizione dellrsquoesponenziale egrave del tutto equivalente a quella dataprima visto che per le proprietagrave appena esaminate si ottiene

exp(119909 + 119894119910) = exp119909 cis119910

Si usa definire tramite questa funzione anche le funzioni trigonometriche

cos119911 = exp(119894119911) + exp(minus119894119911)2 sin119911 = exp(119894119911) minus exp(minus119894119911)

2119894

per ogni 119911 complesso Quando 119911 egrave reale infatti si hanno proprio le identitagrave chederivano da exp(119894119910) = cis119910 Si definisce di solito anche

cosh119911 = exp(119911) + exp(minus119911)2 sinh119911 = exp(119911) minus exp(minus119911)

2

cosiccheacutecos119911 = cosh(119894119911) sin119911 = 1

119894 sinh(119894119911)

IND ICE DE I NOMI

Archimede 111

Barrow Isaac 114Bernoulli Daniel 41Bernoulli Jakob 41Bernoulli Jakob II 41Bernoulli Johann 41Bernoulli Johann II 41Bernoulli Johann III 41Bernoulli Nicolaus 41Bernoulli Nicolaus II 41Bolzano Bernard 41

Cantor Georg 167Cardano Girolamo 175Cartesio vedi DescartesCauchy Augustin-Louis 27Cavalieri Bonaventura 113

DrsquoAlembert Jean-Baptiste Le Rond 183Dedekind Richard 167del Ferro Scipione 175Descartes Reacuteneacute 111Dirichlet Peter Gustav Lejeune 24

Eudosso 111Euler Leonhard 41

Fermat Pierre de 13Ferrari Lodovico 175Fontana Nicolograve vedi Tartaglia

Galilei Galileo 113Gauszlig Carl Friedrich 183Gregory James 152

Hadamard Jacques 161Heine Heinrich Eduard 27Hocircpital Guillaume Franccedilois Antoine

de lrsquo 57

Kauffmann Nikolaus 150

lrsquoHocircpital vedi HocircpitalLagrange Giuseppe Luigi

(Joseph-Louis) 41Lambert Johann Heinrich 80Lebesgue Henri 115Legendre Adrien-Marie 145Leibniz Gottfried Wilhelm von 17Lindemann Ferdinand von 111Liouville Joseph 167

Mascheroni Lorenzo 166Mengoli Pietro 135Mercator vedi Kauffmann

Newton Isaac 113

Pitagora 150

Riemann Bernhard 114Rolle Michel 52

Tartaglia Nicolograve 175Torricelli Evangelista 113

Viegravete Franccedilois 176

Wantzel Pierre 111Weierstraszlig Karl 27

189

• Indice
• Elenco delle figure
• Elenco delle tabelle
• 0 Nozioni di base
• • 01 Numeri reali
  • 02 Funzioni
  • 03 Induzione
  • • 1 Curve e tangenti
    • • 11 Il metodo di Fermat
      • 12 Come giustificare il metodo di Fermat
      • 13 Il logaritmo e lesponenziale
      • 14 Derivata e tangente
      • 15 Curve algebriche
      • 16 Seno e coseno
      • 17 Problemi
      • • 2 Continuitagrave
        • • 21 Teoremi sulla continuitagrave
          • 22 Limiti
          • 23 Il teorema di Bolzano sugli zeri
          • 24 Tecniche di calcolo dei limiti
          • 25 Funzioni composte
          • • 3 Funzioni derivabili
            • • 31 I teoremi sulle funzioni derivabili
              • 32 I teoremi di Cauchy e di lHocircpital
              • 33 Derivata della funzione inversa
              • • 4 Limiti
                • • 41 Limiti infiniti
                  • 42 Limiti allinfinito
                  • 43 Forme indeterminate
                  • 44 Ordini di infinitesimo
                  • • 5 Studi di funzione
                    • • 51 Equazioni non algebriche
                      • 52 Procedura per lo studio di una funzione
                      • 53 Asintoti
                      • 54 Esempi
                      • 55 Unapplicazione
                      • 56 Convessitagrave e derivata seconda
                      • 57 Successioni
                      • 58 La formula di Taylor
                      • 59 Calcolo di limiti con gli sviluppi di Taylor
                      • 510 Curvatura
                      • • 6 Integrali
                        • • 61 Calcolo delle aree
                          • 62 Integrazione
                          • 63 Il logaritmo e lesponenziale
                          • 64 Tecniche di integrazione
                          • 65 Le funzioni iperboliche
                          • 66 Esistenza delloperatore integrale
                          • 67 Disuguaglianze
                          • 68 Frazioni algebriche e integrali
                          • 69 Integrali e aree
                          • 610 Integrali impropri
                          • 611 La funzione Gamma
                          • 612 Integrazione numerica
                          • • 7 Serie
                            • • 71 Integrali e successioni
                              • 72 Altre successioni
                              • 73 Definizione di serie
                              • 74 Criteri di convergenza
                              • 75 Serie a termini positivi
                              • 76 Convergenza assoluta
                              • 77 Serie di potenze
                              • 78 La serie binomiale
                              • 79 Una serie migliore per il calcolo del logaritmo
                              • 710 La serie armonica e i logaritmi
                              • • 8 I numeri reali
                                • • 81 Gli assiomi
                                  • 82 Lassioma di continuitagrave
                                  • 83 Il teorema di unicitagrave
                                  • 84 La costruzione di Dedekind
                                  • 85 La costruzione di Weierstrass
                                  • 86 La costruzione di Cantor
                                  • • 9 I numeri complessi
                                    • • 91 Operazioni sui numeri complessi
                                      • 92 Coniugato di un numero complesso
                                      • 93 Forma trigonometrica
                                      • 94 Interpretazione geometrica
                                      • 95 Il teorema fondamentale
                                      • 96 Lesponenziale e il logaritmo complesso
                                      • 97 Serie di Taylor
                                      • • Indice dei nomi

4 indice

6 integrali 11161 Calcolo delle aree 11162 Integrazione 11463 Il logaritmo e lrsquoesponenziale 11864 Tecniche di integrazione 12365 Le funzioni iperboliche 12866 Esistenza dellrsquooperatore integrale 13067 Disuguaglianze 13368 Frazioni algebriche e integrali 13669 Integrali e aree 139610 Integrali impropri 141611 La funzione Gamma 144612 Integrazione numerica 146

7 serie 14971 Integrali e successioni 14972 Altre successioni 15173 Definizione di serie 15274 Criteri di convergenza 15475 Serie a termini positivi 15676 Convergenza assoluta 15877 Serie di potenze 15978 La serie binomiale 16379 Una serie migliore per il calcolo del logaritmo 165710 La serie armonica e i logaritmi 165

8 i numeri reali 16781 Gli assiomi 16782 Lrsquoassioma di continuitagrave 16883 Il teorema di unicitagrave 17084 La costruzione di Dedekind 17185 La costruzione di Weierstrass 17286 La costruzione di Cantor 173

9 i numeri complessi 17591 Operazioni sui numeri complessi 17792 Coniugato di un numero complesso 17893 Forma trigonometrica 17994 Interpretazione geometrica 18195 Il teorema fondamentale 18396 Lrsquoesponenziale e il logaritmo complesso 18497 Serie di Taylor 185

indice dei nomi 189

ELENCO DELLE F IGURE

Figura 1 Grafico di 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 14Figura 2 Definizioni di log119886 tramite la curva 119909119910 = 1 le due aree colorate sono uguali

e valgono log119886 per definizione 18Figura 3 Il calcolo del rapporto di Fermat per log119909 18Figura 4 Definizione di seno e coseno 23Figura 5 Calcolo di lim

119911rarr0119911 log119911 46

ELENCO DELLE TABELLE

Tabella 1 Approssimazione di 4radic12 27Tabella 2 Tabella delle regole di derivazione e delle derivate delle principali funzio-

ni 63Tabella 3 Procedura per il calcolo del limite di una frazione algebrica a una radice del

denominatore 69

5

0NOZ ION I D I BASE

01 numeri reali

Lrsquoinsieme numerico che useremo saragrave quello dei numeri reali che saranno descrittipiugrave in dettaglio nel capitolo 8 In questo capitolo introduttivo ne esporremo le piugraveimportanti proprietagrave in base a quello che ci serviragrave in seguito

I numeri reali sono la controparte algebrica della retta geometrica e di quello chegli antichi geometri chiamavano grandezza riferendosi alla misura dei segmenti Lateoria delle grandezze si basa su due assunti fondamentali

1 date due grandezze (omogenee) diverse esiste un multiplo della minore che supera lamaggiore

2 date due serie di grandezze 1198861 1198862hellip e 1198871 1198872hellip la prima crescente e la seconda de-crescente in cui ogni 119886119896 egrave minore di ogni 119887119896 e tali che per ogni altra grandezza 119889 siha 119887119896 minus 119886119896 lt 119888 per qualche 119896 allora esiste una grandezza 119888 tale che 119886119896 le 119888 le 119887119896 perogni 119896

In realtagrave la prima proprietagrave veniva assunta come definizione di grandezze omoge-nee dopo aver chiarito che cosa significa ldquomultiplordquo (si pensi solo ai segmenti per nonandare in cerca di complicazioni) La seconda proprietagrave egrave quella che permise ad Archi-mede di confrontare la misura della circonferenza con lrsquoarea del cerchio trovando lafamosa relazione secondo la quale il rapporto fra circonferenza e diametro egrave ugualeal rapporto fra area del cerchio e quadrato del raggio il numero che oggi si denotauniversalmente con 120587

Gli antichi consideravano solo grandezze positive non egrave un vero problema aggiun-gere lo zero e i numeri negativi anzi egrave un arricchimento delle proprietagrave algebriche Ilsucco del discorso egrave che i numeri reali forniscono un sistema di coordinate sulla rettaogni punto della retta puograve essere fatto corrispondere a un numero reale e viceversarispettando lrsquoordinamento una volta che sulla retta si fissi unrsquoorigine e unrsquounitagrave dimisura cioegrave due punti corrispondenti rispettivamente a 0 e 1

Il problema che avevano Archimede Euclide e gli altri geometri greci era quello chealcune coppie di grandezze sono commensurabili cioegrave hanno un sottomultiplo comunee altre no Non ci porremo il problema se non per sottolineare che questo dagrave origine alladistinzione fra numeri razionali e irrazionali Fissato un sistema di coordinate su unaretta un punto corrisponde a un numero razionale se il segmento con estremi lrsquooriginee il punto stesso egrave commensurabile con lrsquounitagrave di misura altrimenti corrisponde a unnumero irrazionale I numeri razionali sono i rapporti tra numeri interi comrsquoegrave chiarodalla definizione stessa di commensurabilitagrave Lrsquoesistenza di numeri irrazionali egrave bennota non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia 2 ma un segmento cheabbia una tale lunghezza egrave facilmente costruibile con il teorema di Pitagora applicatoa un triangolo rettangolo isoscele

Nella trattazionemoderna la distinzione non ha piugravemolta importanza se non a livellofilosofico ed epistemologico visto che le misure effettive dei fenomeni fisici sono solonumeri razionali Percheacute la matematica delle grandezze ldquocontinuerdquo (cioegrave i numeri reali)possa essere applicata in fisica e funzioni egrave un problema filosofico e non matematico

In notazioni usuali la prima proprietagrave (assioma di Eudosso-Archimede) si puograve scri-vere dati i numeri reali 119886 e 119887 con 0 lt 119886 lt 119887 esiste un intero positivo 119899 tale che 119899119886 gt 119887La seconda proprietagrave si puograve esprimere come assioma degli ldquointervalli inscatolatirdquo datauna successione [119886119899 119887119899] di intervalli tali che per ogni 119899

[119886119899+1 119887119899+1] sube [119886119899 119887119899]

7

8 nozioni di base

esiste un numero reale 119888 che appartiene a tutti gli intervalliCon la notazione [119886 119887] intendiamo lrsquoinsieme di tutti i numeri reali 119903 tali che 119886 le

119903 le 119887 La parentesi tonda invece di quella quadra (a sinistra o a destra o entrambe)significa sostituire le con lt Si noti che nellrsquoenunciato precedente le parentesi quadrenon possono essere sostituite dalle parentesi tonde se consideriamo 119886119899 = 0 e 119887119899 =1119899 per 119899 gt 0 (con 1198870 = 1) non esiste alcun numero reale che appartiene a tutti gliintervalli della forma (0 1119899)

Se esistesse un tale numero 119903 dovremmo avere 119903 gt 0 e anche 119903 lt 1119899 per ogni119899 gt 0 contraddicendo lrsquoassioma di Eudosso-Archimede In altre parole non potremmoprendere 119903 come unitagrave di misura per impostare un altro sistema di coordinate sullaretta

La proprietagrave degli intervalli inscatolati si puograve esprimere in modo diverso ma primadovremo introdurre un porsquo di terminologia Dato un insieme (non vuoto) 119860 di numerireali diremo che un numero reale 119903 egrave il massimo di 119860 se 119903 isin 119860 e 119886 le 119903 per ogni 119886 isin 119860Fin qui niente di difficile Ma anche insiemi molto ben educati come (0 1) non hannomassimo se 119903 fosse il massimo avremmo subito una contraddizione percheacute

119903 lt 119903+ 12 lt 1

e il numero (119903 + 1)2 certamente appartiene allrsquointervallo (0 1)Esiste un concetto molto piugrave flessibile di quello di massimo quello di estremo supe-

riore Un numero 119903 egrave lrsquoestremo superiore di 119860 se

1 119886 le 119903 per ogni 119886 isin 119860

2 per ogni 120576 gt 0 esiste 119886 isin 119860 tale che 119903minus 120576 lt 119886

Si noti che il massimo di un insieme ne egrave anche lrsquoestremo superiore percheacute possiamoscegliere proprio il massimo come elemento 119886 nella seconda clausola Invece 1 egrave lrsquoe-stremo superiore di (0 1) non egrave affatto richiesto che lrsquoestremo superiore appartengaallrsquoinsieme Che 119886 le 1 per ogni 119886 isin (0 1) egrave chiaro Supponiamo che 120576 gt 0 alloraabbiamo certamente

1 minus 120576 lt 1+ (1 minus 120576)2 = 2minus 120576

2 lt 1

e quindi anche la seconda clausola egrave soddisfattaSi lascia come esercizio la definizione di minimo e di estremo inferioreDimostriamo ora il fatto importante che lrsquoestremo superiore se esiste egrave unico Sup-

poniamo infatti che 119903 e 119904 con 119903 lt 119904 abbiano entrambi diritto di chiamarsi estremosuperiore di 119860 Per la definizione usando 120576 = 119904 minus 119903 sappiamo che esiste 119886 isin 119860 taleche

119904 minus (119904 minus 119903) lt 119886

cioegrave 119903 lt 119886 che contraddice la prima clausola per 119903Qual egrave una condizione necessaria per lrsquoesistenza dellrsquoestremo superiore Che lrsquoinsie-

me 119860 abbia un maggiorante cioegrave un numero 119898 tale che 119886 le 119898 per ogni 119886 isin 119860 (primaclausola) La condizione egrave sufficiente Sigrave e la risposta egrave nella proprietagrave degli intervalliinscatolati

Partiamo da un elemento 1198860 isin 119860 e prendiamo un maggiorante 1198980 di 119860 Definiamo 1198870 =(1198860 +1198980)2 Ci sono due possibilitagrave che 1198870 sia un maggiorante di 119860 o che non lo sia Nel primocaso definiamo 1198981 = 1198870 e 1198861 = 1198860 nel secondo caso esiste 1198861 isin 119860 con 1198861 gt 1198870 e definiamo1198981 = 1198980

A questo punto possiamo procedere allo stesso modo se siamo arrivati al passo 119896 abbiamodue casi che 119887119896 = (119886119896+119898119896)2 sia unmaggiorante di119860 o che non lo sia Nel primo caso definiamo119898119896+1 = 119887119896 e 119886119896+1 = 119886119896 nel secondo esiste 119886119896+1 isin 119860 con 119886119896+1 gt 119887119896 e definiamo 119898119896+1 = 119898119896

01 numeri reali 9

Si noti che 1198981 minus1198861 le (1198980 minus1198860)2 e piugrave in generale che

119898119896+1 minus119886119896+1 le 119898119896 minus1198861198962

e quindi 119898119896 minus119886119896 le (1198980 minus1198860)2119896Per costruzione si ha [119886119896+1 119898119896+1] sube [119886119896 119898119896] e quindi sappiamo che esiste 119903 appartenente

a tutti gli intervalli Vogliamo dimostrare che 119903 egrave un maggiorante di 119860 Se non lo egrave troviamo119886 isin 119860 con 119886 gt 119903 Tuttavia possiamo trovare 119896 tale che 119898119896 lt 119886 percheacute 119898119896 minus 119903 le (1198980 minus 1198860)2119896

(si completi) e questa egrave una contraddizione visto che 119898119896 egrave un maggiorante di 119860Analogamente se 120576 gt 0 esiste 119896 tale che (1198980minus1198860)2119896 lt 120576 e dunque 119903minus120576 non egrave unmaggiorante

di 119860 (si completi)Abbiamo usato lrsquoassioma di Eudosso-Archimede piugrave lrsquoovvia disuguaglianza 2119896 gt 119896

Una caratterizzazione dellrsquoestremo superiore di un insieme dotato di un maggioran-te egrave ldquolrsquoestremo superiore di un insieme con un maggiorante egrave il minimo maggioranterdquoLa si dimostri per esercizio Lrsquoesistenza del minimo maggiorante (ammesso che lrsquoin-sieme dei maggioranti non sia vuoto) egrave proprio lrsquooggetto del ragionamento che stiamoseguendo

Non crsquoegrave bisogno di rifare tutto per lrsquoestremo inferiore Se 119860 egrave un insieme non vuotocon un minorante 119898 allora lrsquoinsieme 119860prime degli opposti degli elementi di 119860 ha minus119898 co-me maggiorante e quindi ha estremo superiore 119903 egrave davvero facile verificare che minus119903 egravelrsquoestremo inferiore di 119860

La proprietagrave dellrsquoestremo superiore egrave in effetti equivalente a quella degli intervalliinscatolati basta prendere come 119886 lrsquoestremo superiore degli 119886119896 e 119887 lrsquoestremo inferioredei 119887119896 verificando che lrsquointervallo [119886 119887] egrave contenuto in tutti gli intervalli inscatolati[119886119896 119887119896]

A pagina 170 si puograve trovare una dimostrazione dellrsquoesistenza delle radici quadrate deinumeri reali positivi Piugrave avanti scopriremo un metodo che non solo fornisce le radiciquadrate ma anche le cubiche quarte e cosigrave via senza far uso di queste proprietagrave senon in modo implicito

Per finire le notazioni Dato un insieme non vuoto di numeri reali 119860 denoteremocon

max119860 sup119860 min119860 inf 119860rispettivamente massimo estremo superiore minimo ed estremo inferiore di 119860 nelcaso esistano Talvolta si trova sup119860 = +infin se 119860 non ha un maggiorante e inf 119860 = minusinfinse non ha un minorante Si tratta solo di notazione ritroveremo questi simboli piugraveavanti

Estenderemo il campionario degli intervalli anche a quelli illimitati se 119886 egrave un numeroreale (119886 rarr) denota lrsquoinsieme dei reali maggiori di 119886 [119886 rarr) quello di prima con inpiugrave 119886 Similmente per (larr 119886) e (larr 119886] Molti scrivono +infin invece di rarr e minusinfin per larr

Si noti che non sono gli unici insiemi senza maggioranti o minoranti Lrsquoinsieme deinumeri razionali non ha neacute maggioranti neacute minoranti ma si guarda bene dallrsquoessereun intervallo percheacute tra due razionali distinti esiste almeno un numero irrazionale (difatto infiniti)

Lrsquoinsieme dei reali si denoteragrave con ℝ (potrebbe anche essere (larr rarr)) quello deirazionali con ℚ e quello dei naturali con ℕ

Vediamo una dimostrazione relativa allrsquoestremo superiore Supponiamo che 119860 e 119861 siano in-siemi non vuoti di numeri reali e definiamo 119860+119861 come lrsquoinsieme che contiene tutte le somme dielementi di 119860 con elementi di 119861 Per esempio se 119860 = 1 2 e 119861 = 0 3 avremo

119860+119861 = 1+ 0 1 + 3 2 + 0 2 + 3 = 1 2 4 5

ma neacute 119860 neacute 119861 saranno necessariamente finiti Proviamo che se 119860 e 119861 hanno un maggioranteallora anche 119860+119861 ha un maggiorante e che sup(119860+ 119861) = sup119860+ sup119861

10 nozioni di base

La prima parte egrave facile se 119909 egrave un maggiorante di 119860 e 119910 egrave un maggiorante di 119861 allora 119909+119910 egraveun maggiorante di 119860+119861 infatti se 119886 isin 119860 e 119887 isin 119861 avremo 119886 le 119909 e 119887 le 119910 da cui 119886+119887 le 119909+119910Dunque sappiamo che esiste lrsquoestremo superiore di 119860+119861 Poniamo 119906 = sup119860 e 119907 = sup119861 allora119906+119907 egrave per la stessa ragione di 119909+119910 un maggiorante di 119860+119861 e quindi sup(119860+119861) le 119906+119907 Cimanca solo mostrare che per ogni 120576 gt 0 esiste 119888 isin 119860+119861 tale che 119888 gt 119906+119907minus 120576

Siccome 119906 = sup119860 sappiamo che esiste 119886 isin 119860 con 119886gt119906minus 1205762 analogamente esiste 119887 isin 119861 con

119887gt119907minus 1205762 Allora se 119888 = 119886+ 119887 isin 119860+119861 avremo

119888 = 119886+ 119887 gt 119906minus 1205762 + 119907minus 120576

2 = 119906+119907minus 120576

e abbiamo terminatoSi dimostri il risultato analogo per lrsquoestremo inferiore Si calcolino lrsquoestremo superiore e

lrsquoestremo inferiore dellrsquoinsieme

1119898 + 1

119899 ∶ 119898119899 isin ℕ119898 gt 0119899 gt 0

02 funzioni

In tutto il corso una funzione avragrave come dominio un insieme di numeri reali e codominioi numeri reali Senza entrare nel dettaglio una funzione egrave una ldquoregolardquo che permette diassociare a un numero reale sul quale la funzione sia definita un altro numero Regolesemplici sono ldquoelevare al quadratordquo ldquosommare uno al doppiordquo che si traducono nellanotazione 119909 ↦ 1199092 o 119909 ↦ 2119909 + 1 Non ci si deve aspettare che tutte le funzioni sianodefinite tramite regole cosigrave semplici anche

119909 ↦⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

3119909minus 2 se 0 lt 119909 lt 37 se 3 lt 119909 lt 4minus1199092 se 119909 ge 4

egrave una funzione Come si indichi la variabile egrave del tutto irrilevante Se chiamiamo 119891questrsquoultima funzione con 119891(119909) si intende il valore di 119891 in 119909 per esempio

119891(1) = 3 sdot 1 minus 2 = 1 119891(72) = 7 119891(4) = minus16

Viceversa 119891(3) non ha senso percheacute la regola data non associa alcun valore a 3Spesso si parleragrave di casi come ldquola funzione 119891(119909) = 1119909rdquo o ldquola funzione 119892(119911) =

radic119911minus 1rdquo senza dare esplicitamente il dominio Volendo essere pignoli si tratta di unrsquoim-precisione ma quando il dominio si puograve desumere dal contesto o dalla regola stessaintenderemo che si tratta del ldquopiugrave grande insiemerdquo in cui la formula o lrsquoinsieme di for-mule abbia senso Per esempio il dominio di 119892 saragrave lrsquoinsieme dei numeri reali ge 1quello di 119891 lrsquoinsieme dei reali diversi da zero Con simboli

119863(119891) = 119909 isin ℝ ∶ 119909 ne 0 = (larr 0) cup (0 rarr)119863(119892) = 119909 isin ℝ ∶ 119909 ge 1 = [1 rarr)

Le funzioni di cui parleremo saranno solo funzioni a valori reali definite su insiemi dinumeri reali sebbene il concetto di funzione sia molto piugrave generale In questo contestopotremo parlare di somma prodotto e quoziente di funzioni purcheacute definite su undominio comune

Date due funzioni 119891 e 119892 la funzione somma 119891+119892 egrave 119909 ↦ 119891(119909)+119892(119909) (dove entrambesiano definite) mentre 119891119892 egrave 119909 ↦ 119891(119909)119892(119909) Per il quoziente definito in modo analogooccorreragrave ovviamente che il denominatore sia non nullo nel punto considerato

Alcune funzioni hanno la proprietagrave di essere periodiche una funzione 119891 egrave periodicaesiste un numero positivo 119879 il periodo tale che per ogni 119909 isin 119863(119891) valga anche

03 induzione 11

119909+119879119909minus119879 isin 119863(119891) e 119891(119909+119879) = 119891(119909) = 119891(119909minus119879) Lrsquoesempio canonico egrave quello dellefunzioni trigonometriche seno e coseno il cui periodo egrave 2120587 la tangente ha periodo 120587Notiamo che anche 2120587 egrave un periodo per la tangente e 4120587 per il seno spesso il periodosi riferisce al minimo periodo

Un esempio non trigonometrico si puograve costruire con la funzione pavimento (in ingle-se floor) se 119909 egrave un numero reale lfloor119909rfloor indica il massimo intero 119899 tale che 119899 le 119909 Peresempio lfloor2rfloor = 2 lfloorradic2rfloor = 1 lfloorminus120587rfloor = minus4 La funzione parte frazionaria definita da119891(119909) = 119909minus lfloor119909rfloor egrave periodica di minimo periodo 1 Infatti lfloor119909+ 1rfloor = lfloor119909rfloor + 1 e perciograve

119891(119909+ 1) = (119909+ 1) minus lfloor119909+ 1rfloor = 119909+ 1minus lfloor119909rfloor minus 1 = 119891(119909)

e si puograve dimostrare per esercizio che se 119879 gt 0 e 119891(119909+119879) = 119891(119909) per ogni 119909 allora 119879egrave intero in altre parole ogni periodo egrave intero e quindi il minimo periodo egrave 1

Esiste anche la funzione soffitto (in inglese ceiling) lceil119909rceil indica il minimo intero 119899 taleche 119909 le 119899 Si dimostri che lceil119909rceil = minuslfloorminus119909rfloor

03 induzione

Uno dei metodi piugrave ingegnosi escogitati dai matematici per dimostrare fatti che riguar-dano i numeri naturali egrave quello dellrsquoinduzione Lrsquoidea non sembra molto promettentese voglio salire una scala devo esserci davanti e saper salire da un gradino allrsquoaltro

Un porsquo piugrave formalmente supponiamo di dover dimostrare che per ogni numero na-turale 119896 gt 0 si ha 2119896 gt 119896 Mettiamoci davanti alla scala cioegrave nel caso 119896 = 1 ovviamente21 gt 1 percheacute 21 = 2 Supponiamo ora di essere arrivati al gradino 119896 cioegrave di sapereche 2119896 gt 119896 saragrave vero che 2119896+1 gt 119896+ 1 Proviamo

2119896+1 = 2 sdot 2119896 gt 2119896 ge 119896+ 1

percheacute 2119896 lt 119896 + 1 solo per 119896 = 0 Dunque la nostra asserzione egrave dimostrata (eovviamente vale anche per 119896 = 0)

Una delle prime asserzioni per la cui dimostrazione si adoperograve lrsquoinduzione egrave la co-siddetta disuguaglianza di Bernoulli se 119909 ge minus1 allora (1 + 119909)119896 ge 1 + 119896119909 per ogninaturale 119896

Il gradino iniziale in termine piugrave tecnico il passo base egrave quello di 119896 = 0 che egrave ovviopercheacute 1198860 = 1 per ogni 119886 per definizione La salita da un gradino allrsquoaltro (il passoinduttivo) puograve essere trattato cosigrave

(1 + 119909)119896+1 = (1+119909)(1 +119909)119896

ge (1+119909)(1 + 119896119909)= 1+119909+ 119896119909+ 1198961199092

= 1+ (119896+ 1)119909+ 1198961199092

ge 1+ (119896+ 1)119909

dove nella prima disuguaglianza si adopera in modo essenziale lrsquoipotesi che 119909 ge minus1cioegrave che 1 + 119909 ge 0 oltre che lrsquoipotesi induttiva Nellrsquoultima si trascura il termine nonnegativo 1198961199092 Dallrsquoipotesi induttiva (cioegrave che siamo arrivati al gradino 119896) ricaviamo chela disuguaglianza vale anche al gradino successivo perciograve la disuguaglianza vale perogni 119896

Se proprio si vuole una giustificazione piugrave dettagliata domandiamoci se puograve esistere un nu-mero naturale 119899 per il quale non valga (1 + 119909)119899 ge 1 + 119899119909 Questo numero non puograve essere 0percheacute il passo base egrave vero allora 119899 gt 0 e dunque la disuguaglianza non puograve valere nemmenoper 119899minus1 percheacute abbiamo dimostrato che sappiamo salire da un gradino al successivo Ma allorain un numero finito di passi scenderemmo a 0 contraddizione

12 nozioni di base

Per esercizio si dimostri che (1 + 119909)119896 gt 1+ 119896119909 per ogni naturale 119896 ge 2 e ogni reale119909 gt minus1 purcheacute 119909 ne 0 Il passo base dovragrave essere quello di 119896 = 2 ovviamente

Per 119909 = 1 la disuguaglianza ci dice che 2119896 = (1 + 1)119896 ge 1 + 119896 e siccome 1 + 119896 gt 119896abbiamo dimostrato in un altro modo che 2119896 gt 119896 Unrsquoaltra applicazione supponiamo119905 gt 1 e scriviamo 119905 = 1 + 119909 cioegrave 119909 = 119905 minus 1 Siccome 119909 ge 0 la disuguaglianza diBernoulli ci dice che

119905119896 = (1+119909)119896 ge 1+ 119896119909 = 1+ 119896(119905 minus 1)

In particolare lrsquoinsieme delle potenze di 119905 non ha maggioranti se 119898 fosse un mag-giorante si avrebbe 119896(119905 minus 1) le 119898 minus 1 per ogni naturale 119896 contro la proprietagrave diEudosso-Archimede

Se 0 lt 119905 lt 1 sappiamo che 1119905 gt 1 e quindi che

1119905119896 ge 1+ 119896(1

119905 minus 1) = 119905+ 119896(1 minus 119905)119905

da cui ricaviamo119905119896 le 119905

119905 + 119896(1 minus 119905)

Applicheremo questa disuguaglianza in seguitoLrsquoinduzione egrave legata alla ricorsione Non sono esattamente la stessa cosa ma non egrave

questo il luogo per discuterne Possiamo definire concetti per ricorsione adoperandola stessa idea dellrsquoinduzione per esempio

1198860 = 1 119886119899+1 = 119886119899 sdot 119886

egrave la definizione ricorsiva delle potenze Qui si suppone tacitamente che 119899 sia un natu-rale e il succo egrave che per calcolare 1198863 si parte da 1 si moltiplica per 119886 (cioegrave si calcola1198861 = 1198860+1 = 1198860 sdot 119886 = 1 sdot119886 = 119886) si moltiplica per 119886 (cioegrave si calcola 1198862 = 1198861+1 = 1198861 sdot 119886 =119886 sdot 119886) e si moltiplica ancora per 119886 ottenendo finalmente (119886 sdot 119886) sdot 119886

Quanto fa 00 Se lo chiedete in giro otterrete risposte apparentemente contraddittorie Pernoi 00 = 1 Non si confonda questo con la cosiddetta ldquoforma indeterminata zero alla zerordquoche qualcuno potrebbe avere sentito nominare Quella saragrave indicata qui con unrsquoabbreviazionespeciale cioegrave ⟦00⟧

Una semplice disuguaglianza tra numeri reali ci saragrave utile in seguito Prima di tuttodefiniamo per 119909 reale

|119909| =⎧⎨⎩

119909 se 119909 ge 0minus119909 se 119909 lt 0

Si noti che |minus119909| = |119909| e 1199092 = |119909|2 inoltre |119909| le 119910 se e solo se minus119910 le 119909 le 119910Allora vale la disuguaglianza triangolare |119886+119887| le |119886|+|119887| Infatti la disuguaglianza

equivale a|119886 + 119887|2 le (|119886| + |119887|)2

che diventa 1198862 + 2119886119887 + 1198872 le 1198862 + 2|119886||119887| + 1198872 cioegrave 119886119887 le |119886119887| percheacute ovviamente|119886||119887| = |119886119887| La disuguaglianza 119909 le |119909| egrave ovvia dalla definizione

Una forma diversa egrave ||119886| minus |119887|| le |119886minus 119887| che equivale a

minus|119886minus 119887| le |119886| minus |119887| le |119886minus 119887|

La disuguaglianza di sinistra si puograve scrivere |(119887 minus 119886) + 119886| le |119887 minus 119886| + |119886| che egrave ladisuguaglianza triangolare Similmente la disuguaglianza di destra egrave |(119886 minus 119887) + 119887| le|119886minus 119887| + |119887|

1CURVE E TANGENT I

Il metodo semplice per determinare lrsquoequazione della retta tangente a una conica egravequello di scrivere lrsquoequazione di un fascio di rette e trovare quelle in cui lrsquointersezionecon la conica dia origine a unrsquoequazione di secondo grado con discriminante nullo

Vorremmo perograve capirci di piugrave percheacute il metodo non puograve funzionare cosigrave comrsquoegrave pertrovare le tangenti a curve piugrave complicate

11 il metodo di fermat

Forse il primo ad accorgersi della proprietagrave che permette di trovare le tangenti fu Pierrede Fermat (1607()ndash1685) il famoso magistrato matematico per passatempo osservograveche la variazione di una curva in prossimitagrave di un massimo o minimo egrave minore chenegli altri punti

Facciamo lrsquoesempio della funzione 119891(119909) = 1199094 che ha evidentemente un minimo in 0Consideriamo il valore in ℎ con ℎ gt 0 lsquopiccolorsquo la differenza tra i valori di 119891 in ℎ e in0 egrave allora ℎ4 Facciamo lo stesso considerando la differenza tra i valori di 119891 in 1 e in1 + ℎ

119891(1 + ℎ) minus 119891(1) = (1 + ℎ)4 minus1= 1+ 4ℎ+ 6ℎ2 + 4ℎ3 +ℎ4 minus 1= ℎ4 + 4ℎ3 + 6ℎ2 +4ℎ

La differenza tra le differenze egrave dunque

4ℎ3 +6ℎ2 + 4ℎ = 2ℎ(ℎ2 + 3ℎ+ 1) gt 0

Spostandoci di poco da un punto non di minimo il valore della funzione cresce di piugravedi quando ci spostiamo della stessa quantitagrave da un punto di minimo

Lrsquoidea di Fermat per trovare massimi e minimi egrave dunque di cercare i punti dove lavariazione sia lsquopiccolarsquo Facciamo un altro esempio se si fa tracciare a un programmadi calcolo come GeoGebra il grafico della funzione 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 sembra evidenteche essa ha un massimo in minus1 e un minimo in 1 (figura 1) Proviamo a fare i conti comeFermat

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) = 1199093 +3ℎ1199092 + 3ℎ2119909+ℎ3 minus 3119909minus 3ℎminus1199093 +3119909= ℎ(31199092 + 3ℎ119909+ℎ2 minus3)

e da questo possiamo vedere che la differenza egrave piccola quando spariscono i terminisenza ℎ nella parentesi cioegrave quando 31199092 minus 3 = 0 che dagrave proprio i valori minus1 e 1

Il senso egrave che le differenze diventano piccole con ℎ senza dipendere troppo dal valo-re di 119909 proprio percheacute crsquoegrave il fattore ℎ in evidenza Intuitivamente i punti di massimo eminimo sono quelli in cui la tangente egrave orizzontale cioegrave parallela allrsquoasse delle ascisse

Adesso facciamo una cosa simile per trovare le tangenti consideriamo un punto delgrafico della funzione e il fascio di rette per esso Per ogni retta calcoliamo la differenzadei valori spostandoci sulla retta o sul grafico Piugrave precisamente calcoliamo per la retta119910 = 119898119909+119902 la differenza

119891(119905 + ℎ) minus119898(119905 + ℎ) minus 119902

dove 119905 egrave unrsquoascissa arbitraria e vediamo che succede Intanto determiniamo 119902 la rettadeve passare per il punto di coordinate (119905119891(119905)) quindi

119891(119905) = 119898119905+ 119902

13

14 curve e tangenti

minus3 minus2 minus1 1 2 3

minus3

minus2

minus1

1

2

3

0

figura 1 Grafico di 119891(119909) = 1199093 minus3119909

cioegrave 119902 = 119891(119905) minus119898119905 Per cominciare supponiamo 119891(119909) = 1199093

119891(119905 + ℎ) minus (119898(119905 + ℎ) + 119891(119905) minus119898119905) = (119905 + ℎ)3 minus119898ℎminus 1199053

= 3ℎ1199052 +3ℎ2119905 minus119898ℎ= ℎ(31199052 minus119898+3ℎ119905)

che diventa piccolo con ℎ quando 119898 = 31199052 Lrsquoespressione precedente ha una formapiuttosto interessante quando la guardiamo in generale

119891(119905 + ℎ) minus (119898(119905 + ℎ) + 119891(119905) minus119898119905) = (119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)) minus119898ℎ

Questo suggerisce di guardare solo 119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) vedere se si puograve raccogliere ℎ aquel punto il fattore ℎ si elimina ottenendo un valore che indicheremo con 119891prime(119905) e latangente si avragrave quando 119898 = 119891prime(119905) O almeno cosigrave ragionava Fermat

Proviamo con le curve che conosciamo cioegrave le coniche cominciamo con la parabola119891(119909) = 1198861199092 +119887119909+ 119888 e applichiamo la ricetta

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) = 1198861199052 + 2119886ℎ119905 + 119886ℎ2 +119887119905+ 119887ℎ+ 119888minus 1198861199052 minus119887119905minus 119888= ℎ(2119886119905 + 119887)

Il coefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa 119905 risulta 119891prime(119905) = 2119886119905 + 119887Verifichiamolo con il metodo del discriminante considerando il sistema

⎧⎨⎩

119910 = 1198861199092 +119887119909+ 119888119910minus (1198861199052 +119887119905+ 119888) = 119898(119909minus 119905)

che porta allrsquoequazione risolvente

1198861199092 + (119887minus119898)119909minus1198861199052 minus119887119905+119898119905 = 0

il cui discriminante egrave

Δ(119898) = (119887minus119898)2 minus 4119886(minus1198861199052 minus119887119905+119898119905)

cioegrave

Δ(119898) = 1198872 minus 2119887119898+1198982 +411988621199052 +4119886119887119905 minus 4119886119905119898= 1198982 minus 2(2119886119905 + 119887)119898+ 411988621199052 + 4119886119887119905 + 1198872

= 1198982 minus 2(2119886119905 + 119887)119898+ (2119886119905 + 119887)2

= (119898minus (2119886119905 + 119887))2

11 il metodo di fermat 15

Lrsquoequazione in 119898 data da Δ(119898) = 0 ha una sola soluzione che egrave proprio

119898 = 2119886119905+ 119887

Almeno nel caso della parabola i due metodi coincidonoProviamone uno piugrave complicato lrsquoiperbole grafico di 119891(119909) = 1119909 Il metodo di

Fermat dice di calcolare 119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) cioegrave

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) = 1119905 + ℎ minus 1

119905 = minusℎ119905(119905 + ℎ)

Qui il problema sembra piugrave difficile allora facciamo come Fermat eliminiamo il fattoreℎ e in quello che rimane poniamo ℎ = 0 Otteniamo 119891prime(119905) = minus11199052

Proviamo con il metodo del discriminante il sistema

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

119910 = 1119909

119910minus 1119905 = 119898(119909minus 119905)

ha come equazione risolvente

1198981199051199092 minus (1198981199052 minus 1)119909minus 119905 = 0

e il discriminante egrave

Δ(119898) = 11989821199054 minus 21198981199052 + 1+ 41198981199052 = (1199052119898+1)2

che si annulla per 119898 = minus11199052 esattamente come primaRimane da discutere la circonferenza Con una traslazione si puograve supporre che la

circonferenza abbia centro nellrsquoorigine e prendendo come unitagrave di misura il raggio lrsquoe-quazione della semicirconferenza lsquosuperiorersquo egrave il grafico di 119891(119909) = radic1minus1199092 Dobbiamodunque calcolare

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905) = radic1minus (119905 + ℎ)2 minusradic1minus 1199052

= (1minus (119905 + ℎ)2) minus (1 minus 1199052)radic1minus (119905 + ℎ)2 +radic1minus 1199052

= ℎ(minus2119905 minus ℎ)radic1minus (119905 + ℎ)2 +radic1minus 1199052

Eliminando il fattore ℎ e ponendo ℎ = 0 in quello che rimane si ottiene

119891prime(119905) = minus119905radic1minus 1199052

Proviamo con il metodo geometrico il fascio di rette per il punto (119905119906) dove 119906 =radic1minus 1199052 consiste delle rette di equazione 119910 minus 119906 = 119898(119909 minus 119905) e di queste dobbiamocalcolare la distanza dal centro per determinare quella con distanza 1 se scriviamo laretta nella forma 119898119909minus119910minus119898119905+119906 = 0 lrsquoequazione diventa

|1198980minus 0minus119898119905+119906|radic1198982 + 1

= 1

cioegrave elevando al quadrato

11989821199052 minus 2119898119905119906+1199062 = 1198982 + 1

che diventa(1199052 minus 1)1198982 minus 2119898119905119906+1199062 minus 1 = 0

Questa ha certamente discriminante nullo e quindi la soluzione egrave

119898 = 21199051199062(1199052 minus 1) = 119905119906

minus1199062 = minus119905radic1minus 1199052

16 curve e tangenti

12 come giustificare il metodo di fermat

Consideriamo una funzione facile 119891(119909) = 1199094 supponiamo ℎ ne 0 e calcoliamo

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)ℎ = 1199054 +4ℎ1199053 + 6ℎ21199052 + 4ℎ3119905 + ℎ4 minus 1199054

ℎ

= ℎ(41199053 +6ℎ1199052 + 4ℎ2119905 + ℎ3)ℎ

= 41199053 +6ℎ1199052 + 4ℎ2119905 + ℎ3

Quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto il valore dellrsquoespressione diventa semprepiugrave vicino a 41199053 Se facciamo i conti con 119891(119909) = 1199093 con lo stesso metodo otteniamo31199052

Piugrave in generale con 119891(119909) = 119909119899 possiamo usare lo sviluppo del binomio ma senzascriverlo tutto Ricordiamo che per 119899 gt 1

(119886 + 119887)119899 = 119886119899 +119899119886119899minus1119887+ 1198872119870119899(119886119887)

dove 119870119899(119886119887) egrave unrsquoespressione algebrica in 119886 e 119887 senza frazioni

Se 119899 = 2 (119886 + 119887)2 = 1198862 + 2119886119887 + 1198872 e 1198702(119886 119887) = 1 Supponiamo di conoscere lrsquoespressione119870119899(119886119887) allora

(119886 + 119887)119899+1 = (119886+ 119887)(119886119899 +119899119886119899minus1119887+ 1198872119870119899(119886119887))= 119886119899+1 +119886119899119887+119899119886119899119887+119899119886119899minus11198872 + (119886+ 119887)1198872119870119899(119886119887)= 119886119899+1 + (119899+ 1)119886119899119887+ 1198872(119899119886119899minus1 + (119886+ 119887)119870119899(119886119887))

e quindi 119870119899+1(119886 119887) = 119899119886119899minus1 + (119886+ 119887)119870119899(119886119887)

Tenendo conto di quanto appena detto possiamo scrivere

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)ℎ = 119905119899 +119899ℎ119905119899minus1 +ℎ2119870119899(119905ℎ) minus 119905119899

ℎ= 119899119905119899minus1 +ℎ119870119899(119905ℎ)

e quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto il valore dellrsquoespressione si avvicinasempre di piugrave a 119899119905119899minus1

Esprimiamo lrsquoaffermazione che il valore dellrsquoespressione 119865(ℎ) si avvicina al valore 119897quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto con la notazione tradizionale

limℎrarr0

119865(ℎ) = 119897

senza per ora definirne formalmente il significato preciso Lrsquoimportante egrave che si arrivia unrsquoespressione 119892(ℎ) la piugrave semplice possibile nellrsquoipotesi che ℎ ne 0

Quello che abbiamo dimostrato egrave se 119891(119909) = 119909119899 allora 119891prime(119909) = 119899119909119899minus1 almeno nelcaso 119899 gt 1 Per 119899 = 1 la faccenda egrave ovvia se 119891(119909) = 119909 allora

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ = 119909+ℎminus119909

ℎ = 1

e quindi certamente 119891prime(119909) = 1 = 11199090 Per 119899 = 0 la formula non ha significato percheacutesi dovrebbe considerare 119909minus1 che egrave definita solo per 119909 ne 0 Ma egrave certo che se 119891(119909) =1199090 = 1 si ha 119891prime(119909) = 0

Come facciamo per i polinomi in genere E per le frazioni Abbiamo bisogno diqualche strumento in piugrave

12 come giustificare il metodo di fermat 17

Date le funzioni 119891 e 119892 entrambe definite almeno sullrsquointervallo (119901 119902) possiamosommarle e moltiplicarle per numeri il rapporto di Fermat per la funzione119909 ↦ 119886119891(119909)+119887119892(119909) egrave allora

(119886119891(119909+ℎ) + 119887119892(119909+ℎ)) minus (119886119891(119909) + 119887119892(119909))ℎ =

119886 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ + 119887 119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)

ℎ

e dunque se poniamo 119865(119909) = 119886119891(119909) + 119887119892(119909) abbiamo

119865prime(119909) = 119886119891prime(119909) + 119887119892prime(119909)

Ne segue facilmente che per il polinomio 119891(119909) = 1198860 +1198861119909+⋯+119886119899119909119899 si ha

119891prime(119909) = 1198861 +21198862119909+⋯+119899119886119899119909119899minus1

Questo torna con il conto per la tangente alla parabolaUn porsquo piugrave complicato quando 119865(119909) = 119891(119909)119892(119909) ma nemmeno tanto

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)

ℎ

= 119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909+ℎ)ℎ

+ 119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)ℎ

= 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ 119892(119909+ℎ) + 119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)

ℎ

e perciograve119865prime(119909) = 119891prime(119909)119892(119909) + 119891(119909)119892prime(119909)

Questrsquoultima formula fu scoperta da Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646ndash1716) parec-chio tempo dopo che Fermat aveva compiuto i suoi studi La possiamo usare per calco-lare le tangenti alla circonferenza consideriamo 119891(119909) = radic1minus1199092 e 119892(119909) = 119891(119909) nellaformula precedente Allora

119865prime(119909) = 119891prime(119909)119891(119909) + 119891(119909)119891prime(119909) = 2119891prime(119909)119891(119909)

Ma 119865(119909) = 1minus1199092 e quindi conosciamo giagrave 119865prime(119909) = minus2119909 Dunque

119891prime(119909) = 119865prime(119909)2119891(119909) = minus 119909

radic1minus1199092

Questo egrave in accordo con quanto giagrave visto a pagina 15 Lrsquoespressione non ha senso per119909 = minus1 e 119909 = 1 e del resto sappiamo che in quei punti la tangente egrave verticale quindinon ha coefficiente angolare

Facciamo qualche altro trucco del genere se 119891(119909) = 119909119899 con 119899 lt 0 e 119892(119909) = 119909minus119899abbiamo 119865(119909) = 119891(119909)119892(119909) = 1 e quindi essendo 119865prime(119909) = 0 (per 119909 ne 0) abbiamo

0 = 119891prime(119909)119892(119909) + 119891(119909)119892prime(119909) 119891prime(119909) = minus119891(119909)119892prime(119909)

119892(119909)

e sostituendo

119891prime(119909) = minus119909119899 (minus119899)119909minus119899minus1

119909minus119899 = 119899119909119899minus1

e dunque la formula egrave esattamente la stessa

18 curve e tangenti

Con un trucco analogo possiamo eseguire il calcolo per qualsiasi frazione algebricaconsideriamo 119865(119909) = 119891(119909)119892(119909) allora 119891(119909) = 119865(119909)119892(119909) e quindi

119891prime(119909) = 119865prime(119909)119892(119909) + 119865(119909)119892prime(119909)

da cui

119865prime(119909) = 119891prime(119909) minus 119865(119909)119892prime(119909)119892(119909)

che con una facile manipolazione diventa

119865prime(119909) = 119891prime(119909)119892(119909) minus 119891(119909)119892prime(119909)(119892(119909))2

13 il logaritmo e lrsquoesponenziale

Per definizione il logaritmo di 119886 egrave per 119886 gt 0 come lrsquoarea delimitata dal segmento(1 0)_(119886 0) sullrsquoasse delle ascisse dai segmenti (1 0)_(1 1) e (119886 0)_(119886 1119886) e dallrsquoarcodi iperbole di equazione 119910 = 1119909 fra i punti (1 1) e (119886 1119886) Se 0 lt 119886 lt 1 lrsquoarea vienepresa con segno negativo se 119886 gt 1 con segno positivo si veda la figura 2 dove vienepresentata anche una definizione alternativa e piugrave lsquogeometricarsquo

119909

119910

(11)(1198861119886)

119909

119910

1 119886

figura 2 Definizioni di log119886 tramite la curva 119909119910 = 1 le due aree colorate sono uguali evalgono log119886 per definizione

119909

119891(119909)

1 119909 119909+ℎ

figura 3 Il calcolo del rapporto di Fermat per log119909

Vogliamo ora valutare lrsquoespressione log(119909 + ℎ) minus log119909 supponendo prima ℎ gt 0 e119909 gt 1 Si tratta ancora per differenza di aree di unrsquoarea delimitata da tre segmenti

14 derivata e tangente 19

e un arco dellrsquoiperbole Ma possiamo considerare i rettangoli lsquoinscrittorsquo e lsquocircoscrittorsquocome si vede nella figura 3 avremo allora

ℎ119909+ℎ le log(119909 +ℎ) minus log119909 le ℎ

119909

e dunque1

119909+ℎ le log(119909 + ℎ) minus log119909ℎ le 1

119909

Se ℎ si avvicina a 0 abbiamo che 1(119909 + ℎ) si avvicina a 1119909 e dunque possiamoconcludere che

logprime 119909 = 1119909

Gli altri casi (cioegrave ℎ lt 0 e 0 lt 119909 lt 1) si trattano infatti in modo simileLa tangente alla curva di equazione 119910 = log119909 nel punto di ascissa 119905 ha dunque

equazione 119910 minus log 119905 = (119909 minus 119905)119905 Scambiando i due assi la curva diventa quella diequazione 119910 = exp119909 e dunque la tangente nel punto di ordinata 119905 ha equazione 119909 minuslog 119905 = (119910minus 119905)119905 se 119905 = exp119906 otteniamo lrsquoequazione 119910minus exp119906 = (119909minus119906) exp119906 cioegrave ilcoefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa 119906 egrave exp119906 e questo equivale a

expprime 119909 = exp119909

Vedremo piugrave avanti un metodo meno lsquogeometricorsquo per eseguire i calcoli sulle funzioniinverse

14 derivata e tangente

Cerchiamo di essere un poco piugrave formali La funzione 119891 definita nellrsquointervallo (119901 119902)egrave derivabile in 119909 isin (119901 119902) se possiamo scrivere secondo quanto detto prima

limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ = 119891prime(119909)

cioegrave nel caso in cui il rapporto di Fermat si avvicina a un valore che denotiamo con119891prime(119909) quando ℎ diventa piccolo in valore assoluto Non cerchiamo per ora il pelonellrsquouovo nel dire per bene che cosa significhi avvicinarsi quando ℎ diventa piccolo difatto egrave uno dei concetti piugrave complicati del calcolo differenziale

Il valore119891prime(119909) si chiama la derivata di119891 nel punto119909 e secondo lrsquointuizione di Fermatdovrebbe essere uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva 119910 = 119891(119909) nelpunto di coordinate (119909119891(119909)) Abbiamo visto che nel caso di alcune curve note questocalcolo determina effettivamente la tangente

Non sempre le cose vanno come ci si aspetta per esempio con la funzione119891(119909) = |119909|se calcoliamo il rapporto di Fermat in 0 abbiamo

119891(0 + ℎ) minus 119891(0)ℎ = |ℎ|

ℎ

e questo vale 1 quando ℎ gt 0 ma vale minus1 quando ℎ lt 0 Dunque il rapporto di Fermatnon si avvicina a un valore quando ℎ diventa piccolo e ne concludiamo che il graficodella funzione non ha una tangente nel punto di ascissa 0 E possiamo effettivamenteconcordare che non ha molto senso parlare di tangente in quel punto

Ma come definiamo la tangente in generale Facile se per la funzione 119891 definitanellrsquointervallo (119901 119902) e per 119905 isin (119901 119902) possiamo scrivere

limℎrarr0

119891(119905 + ℎ) minus 119891(119905)ℎ = 119891prime(119905)

20 curve e tangenti

allora la tangente alla curva 119910 = 119891(119909) nel punto di ascissa 119905 egrave proprio la retta diequazione

119910minus119891(119905) = (119909minus 119905)119891prime(119905)

cioegrave la retta passante per (119905119891(119905)) di coefficiente angolare 119891prime(119905) In altre parole pren-diamo lrsquointuizione di Fermat come definizione della tangente

Generalizziamo la notazione scriveremo

limℎrarr0

120593(ℎ) = 119897

dove 120593 egrave una qualsiasi funzione se 120593(ℎ) si avvicina a 119897 quando ℎ diventa piccolo invalore assoluto (piugrave avanti sostituiremo questo concetto intuitivo con una formulazionerigorosa per ora accetteremo il linguaggio informale) Possiamo allora riscrivere lanozione di derivata nel modo seguente 119891prime(119909) egrave la derivata di 119891 nel punto 119909 se e solose

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ)

dove 120593(ℎ) = (119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus ℎ119891prime(119909))ℎ e

limℎrarr0

120593(ℎ) = 0

Infatti se 119891prime(119909) egrave la derivata sappiamo che

0 = limℎrarr0

(119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ minus119891prime(119909))

= limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus ℎ119891prime(119909)ℎ

= limℎrarr0

120593(ℎ)

Il viceversa egrave del tutto analogo basta seguire le uguaglianze alla rovesciaChe cosrsquoegrave dunque la tangente Egrave la retta che meglio approssima la curva nelle vi-

cinanze del punto Chiaramente non possiamo definire come tangente una retta cheabbia un solo punto in comune con la curva lrsquoesempio di 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 egrave chiaro latangente in 1 egrave orizzontale e ha equazione 119910 = minus2 ma questa retta incontra la curvain un altro punto Infatti da 1199093 minus 3119909 = minus2 segue 119909 = 1 oppure 119909 = minus2 Un altroesempio egrave la parabola di equazione 119910 = 1199092 nessuna retta verticale egrave tangente eppuretutte queste rette incontrano la curva in un solo punto

Lrsquoidea di Fermat se la riguardiamo dopo queste ultime riflessioni egrave esattamentequesta la tangente (se esiste) egrave quella retta che piugrave si avvicina al grafico della funzionequando ci avviciniamo al punto che stiamo considerando

15 curve algebriche

Descartes pose il problema che considerava assai difficile di determinare le tangentialla curva di equazione

1199093 +1199103 = 3119886119909119910

e Fermat lo risolse in un modo tale che perfino Descartes dovette riconoscere la supe-rioritagrave rispetto al suo metodo

Se (119906119907) sono le coordinate di un punto della curva il fascio di rette con centro inquel punto egrave dato dalle rette di equazione

119910 = 119898(119909minus119906)+ 119907

15 curve algebriche 21

(sempre con lrsquoeccezione della retta verticale) Proviamo a sostituire nellrsquoequazione dellacurva ottenendo

1199093 + (119898(119909minus119906)+ 119907)3 minus 3119886119909(119898(119909minus119906)+ 119907) = 0

che porta allrsquoequazione

1199093 +1198983(119909 minus119906)3 + 31198982(119909 minus119906)2119907+ 3119898(119909minus119906)1199072 +1199073 minus3119886119898119909(119909minus119906)minus 3119886119907119909 = 0

e semplificando a1198601199093 +1198611199092 +119862119909+119863 = 0

dove abbiamo indicato i coefficienti con 119860 119861 119862 e 119863

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

119860 = 1+1198983

119861 = minus31199061198983 +31198982119907minus 3119886119898119862 = 311989831199062 minus 61198982119906119907+ 31198981199072 + 3119886119898119906minus 3119886119907119863 = minus11989831199063 + 311989821199062119907minus 31198981199061199072 +1199073

per non portarci dietro troppe cose complicateNel caso delle coniche il metodo usuale egrave di annullare il discriminante Possiamo

fare qualcosa di simile qui Lrsquoidea egrave che119906 deve essere una radice doppia dellrsquoequazionecioegrave che il polinomio (119909 minus119906)2 divida il polinomio 1198601199093 +1198611199092 +119862119909+119863

Vediamo il caso generale abbiamo un polinomio 119875(119909) e vogliamo trovare una con-dizione necessaria e sufficiente affincheacute 119875(119909) sia divisibile per (119909 minus 119906)2 Supponiamodunque che 119875(119909) = (119909minus119906)2119876(119909) e calcoliamo la derivata di ambo i membri

119875prime(119909) = (2119909minus 2119906)119876(119909) + (119909minus119906)2119876prime(119909)

Egrave chiaro che in questo caso 119875prime(119906) = 0 cioegrave 119906 egrave radice anche della derivata Proviamoa verificare che vale anche il viceversa supponiamo perciograve che 119875prime(119906) = 0 dove anche119875(119906) = 0 Se eseguiamo la divisione di 119875(119909) per (119909 minus119906)2 abbiamo

119875(119909) = (119909minus119906)2119876(119909) + 119886119909+ 119887

e possiamo di nuovo calcolare le derivate

119875prime(119909) = (2119909minus 2119906)119876(119909) + (119909minus119906)2119876prime(119909) + 119886

Applicando lrsquoipotesi che 119875prime(119906) = 0 otteniamo 119886 = 0 Applicando lrsquoipotesi che 119875(119906) = 0troviamo anche 119887 = 0 e dunque il resto della divisione egrave zero

Abbiamo trovato il trucco che ci permette di calcolare le tangenti Se pensiamo alcaso delle coniche sembra proprio di sigrave Perciograve nel caso di Fermat e del folium diDescartes basta verificare quando 119906 egrave radice anche del polinomio

31198601199092 + 2119861119909+119862

Lrsquoequazione diventa allora

3(1 +1198983)1199062 +2(minus31199061198983 +31198982119907minus 3119886119898)119906+ (311989831199062 minus 61198982119906119907+ 31198981199072 + 3119886119898119906minus 3119886119907) = 0

che a sua volta si semplifica in

1199062 minus119886119898119906+1198981199072 minus119886119907 = 0

22 curve e tangenti

cioegrave119898 = 1199062 minus119886119907

119886119906minus1199072

eccetto nel caso in cui 119886119906 = 1199072 Questo caso con la condizione

1199063 +1199073 minus 3119886119906119907 = 0

corrisponde a1199076

1198863 +1199073 minus 31199073 = 0

cioegrave a 119907 = 0 oppure 119907 = 119886 3radic2 Il caso di 119907 = 119886 3radic2 corrisponde a 119906 = 119886 3radic4 che egraveesattamente il simmetrico rispetto alla bisettrice del primo quadrante del punto in cuila tangente egrave orizzontale (119898 = 0 cioegrave 119886119907 = 1199062)

Il caso di 119907 = 0 corrisponde naturalmente a 119906 = 0 dove lrsquoequazione originale vastudiata a parte Siccome il caso egrave semplice lo trattiamo da capo intersechiamo lacurva con una retta di equazione 119910 = 119898119909

1199093(1 +1198983) minus 31198861198981199092 = 0

Qui sembra che ogni retta sia tangente ma un disegno della curva prova che cosigrave non egravein realtagrave qui le tangenti sono due precisamente gli assi cartesiani Si tratta di un puntodoppio concetto sul quale non indagheremo piugrave a fondo

Quello che abbiamo imparato egrave che la derivata non dagrave solo le tangenti per esempiofornisce un criterio affincheacute un polinomio abbia radici multiple

Vediamo il caso del polinomio 119875(119909) = 1199093 + 119901119909+ 119902 con 119875prime(119909) = 31199092 + 119901 Dunquenon ci possono essere radici multiple se 119901 gt 0 se invece 119901 le 0 i numeri candidati aessere radice multipla sono 119903 = radicminus1199013 e minus119903 Proviamo a sostituire

119875(119903) = 1199033 +119901119903+ 119902 = 119903(1199032 +119901)+ 119902 = 23119901119903+ 119902

mentre119875(minus119903) = minus1199033 minus119901119903+ 119902 = minus119903(1199032 +119901)+ 119902 = minus2

3119901119903+ 119902

e uno di questi valori egrave zero quando 91199022 = 411990121199032 cioegrave scritto in altro modo

1199013

27 + 1199022

4 = 0

Nel caso del polinomio 119875(119909) = 1198861199092 + 119887119909+ 119888 si ha ovviamente 119875prime(119909) = 2119886119909+ 119887 esi ha una radice multipla solo quando minus1198872119886 egrave radice di 119875(119909) cioegrave quando

119886 1198872

41198862 minus 1198872

2119886 + 119888 = 0

che si semplifica in 4119886119888minus 1198872 = 0 condizione ben nota

16 seno e coseno

Cerchiamo di ampliare la nostra conoscenza di derivate trattando le importanti fun-zioni trigonometriche Proviamo dunque a scrivere il rapporto di Fermat per il seno

sin(119909+ℎ) minus sin119909ℎ = sin119909 cosℎ+ cos119909 sinℎminus sin119909

ℎ

= sinℎℎ cos119909+ cosℎminus 1

ℎ sin119909

16 seno e coseno 23

119874119909

119910

119860

119863

119861

119862

ℎ

figura 4 Definizione di seno e coseno

Sembra evidente che dobbiamo calcolare i due limiti

limℎrarr0

sinℎℎ e lim

ℎrarr0

cosℎminus 1ℎ

Il problema qui egrave di confrontare sinℎ con ℎ naturalmente la misura degli angoli egrave inradianti come si fa sempre in matematica teorica Egrave proprio la definizione di radianteinsieme a quella di seno e coseno ad aiutarci la rivediamo nella figura 4 Supponiamoper cominciare che 0 lt ℎ lt 1205872

Con un porsquo di trigonometria elementare riconosciamo che con 119874119860 = 1 si ha

119874119861 = cosℎ 119861119862 = sinℎ 119860119863 = tanℎ

Egrave anche evidente che lrsquoarea del triangolo 119874119861119862 egrave minore dellrsquoarea del settore circolare119874119860119862 che a sua volta egrave minore dellrsquoarea del triangolo 119874119860119863 La lunghezza dellrsquoarco119860119862 egrave per definizione ℎ e quindi lrsquoarea 119904 del settore circolare egrave ℎ2 infatti vale laproporzione

119904 ∶ 120587 = ℎ ∶ 2120587

Lrsquoarea del triangolo119874119861119862 egrave (sinℎ cosℎ)2 quella del triangolo119874119860119863 egrave (tanℎ)2 Dunquepossiamo scrivere

sinℎ cosℎ le ℎ le tanℎ

Dalla disuguaglianza di sinistra ricordando che 0 lt ℎ lt 1205872 otteniamo

sinℎℎ le 1

cosℎ

da quella di destra abbiamo

cosℎ le sinℎℎ

e perciograve possiamo scrivere

cosℎ le sinℎℎ le 1

cosℎ ()

Questo per 0 lt ℎ lt 1205872 Se invece minus1205872 lt ℎ lt 0 avremo 0 lt minusℎ lt 1205872 e quindi

cos(minusℎ) le sin(minusℎ)minusℎ le 1

cos(minusℎ)

che si trasforma esattamente nella () che quindi vale per ogni ℎ tale che minus1205872 lt ℎ lt1205872 ℎ ne 0

24 curve e tangenti

Se ora facciamo diventare piccolo ℎ sia cosℎ sia 1 cosℎ si avvicinano a 1 dunqueabbiamo provato che

limℎrarr0

sinℎℎ = 1

Molto bene siamo a metagrave dellrsquoopera Per valutare lrsquoaltra espressione usiamo un altrotrucco che torna spesso utile

cosℎminus 1ℎ = cosℎminus 1

ℎcosℎ+ 1cosℎ+ 1

= minus sin2 ℎℎ(cosℎ+ 1)

= sinℎℎ

minus sinℎcosℎ+ 1

Abbiamo spezzato la frazione in due parti la prima ha limite 1 e la seconda si avvicinaa 0 dunque il prodotto si avvicina a 0 Ecco qui il risultato finale

sinprime 119909 = cos119909

Possiamo provare con il coseno adesso con la formula di addizione e raccogliendoopportunamente abbiamo

cos(119909+ ℎ) minus cos119909ℎ = cosℎminus 1

ℎ cos119909minus sinℎℎ sin119909

e usando i risultati di prima possiamo scrivere

cosprime 119909 = minus sin119909

Per la funzione tangente non egrave un problema tan119909 = sin119909 cos119909 e dunque possiamoapplicare la formula giagrave vista

tanprime 119909 = sinprime 119909 cos119909minus sin119909 cosprime 119909(cos119909)2

= cos119909 cos119909minus sin119909(minus sin119909)cos2 119909

= cos2 119909+ sin2 119909cos2 119909

= 1cos2 119909 = 1+ tan2 119909

Questa naturalmente vale dove sia definita la tangente (trigonometrica) cioegrave la fun-zione lsquotanrsquo

17 problemi

Tutto quanto abbiamo visto sembra ragionevole e cosigrave infatti pensavano i matematicifino a che qualcosa cominciograve ad andare storto Non tanto per il fatto che ogni tanto cisi imbatteva in funzioni che non ammettono la derivata in qualche punto la funzione119891(119909) = 3radic119909 egrave un esempio Si provi a calcolarne la derivata in 119909 e si veda che lrsquoespressio-ne non ha senso per 119909 = 0 infatti la tangente in quel punto egrave verticale (Suggerimentola radice cubica egrave lrsquoinversa di elevare al cubo)

Ma che dire quando Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805ndash1859) propose la seguentefunzione

119863(119909) =⎧⎨⎩

0 se 119909 egrave razionale1 se 119909 egrave irrazionale

17 problemi 25

per la quale il rapporto di Fermat egrave

119863(119909+ℎ) minus119863(119909)ℎ

che perograve quando ℎ diventa piccolo continua a saltare tra 0 e 1 quando 119909 egrave razionaletra minus1 e 0 quando 119909 egrave irrazionale Questo percheacute tra due numeri reali distinti ci sonosempre sia razionali sia irrazionali

Si potrebbe ovviare al problema dicendo che facciamo diventare ℎ piccolo solo usan-do valori razionali In questo modo il rapporto di Fermat per 119863 si avvicinerebbe a 0per ogni 119909 Ma questo va contro un altro importante risultato se la derivata di unafunzione egrave 0 in ogni punto la funzione egrave costante Lo vedremo piugrave avanti dando le op-portune ipotesi affincheacute sia davvero valido certamente perograve la funzione di Dirichletnon egrave costante

Vediamo il vero motivo per il quale la funzione di Dirichlet non puograve ammetterederivata in alcun punto Abbiamo giagrave visto che se 119891 egrave derivabile in 119909 possiamo scrivere

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ)

dove limℎrarr0 120593(ℎ) = 0 Ma allora ℎ120593(ℎ) si deve avvicinare a 0 quando ℎ diventa piccoloDalla formula segue dunque che 119891(119909 + ℎ) deve avvicinarsi a 119891(119909) quando ℎ diventapiccolo E questo non egrave certamente vero per la funzione di Dirichlet qualunque viausiamo per ldquofar diventare piccolo ℎrdquo

Ci sono altri problemi che perograve furono riconosciuti solo piugrave tardi un esempio egrave pro-prio il calcolo della derivata di seno e coseno nella quale si deve adoperare il concetto diarea di una figura delimitata da una linea curva Si potrebbe evitare il concetto di areama solo trasferendo il problema sulla lunghezza dellrsquoarco 119860119862 nella figura 4 intuitiva-mente questa lunghezza egrave maggiore di quella del segmento 119861119862 e minore di quella delsegmento 119860119863 ma la lunghezza dellrsquoarco o della circonferenza stessa egrave ben definitaRenderemo piugrave avanti del tutto rigoroso il concetto di area e quindi il problema saragravesuperato

2CONT INU ITAgrave

Nella prima metagrave del xix secolo i problemi a cui abbiamo accennato diventarono sem-pre piugrave evidenti giagrave prima che Dirichlet proponesse la sua funzione strana La solu-zione fu trovata prima da Augustin-Louis Cauchy (1789ndash1857) in termini non del tuttorigorosi Heinrich Eduard Heine (1821ndash1881) la migliorograve e la versione definitiva fu datada Karl Weierstraszlig (1815ndash1897) occorre essere piugrave cauti nel trattare le funzioni e nonsaltare a conclusioni affrettate La funzione di Dirichlet egrave strana percheacute non soddisfala condizione di continuitagrave

se ℎ diventa piccolo 119891(119909+ℎ) si avvicina a 119891(119909)

Il grande contributo di Cauchy Heine e Weierstraszlig fu di rendere preciso il significatodella frase che dovrebbe definire la continuitagrave La loro idea puograve essere illustrata pen-sando alle approssimazioni se vogliamo calcolare la radice quarta di 12 possiamoprendere un valore approssimato della radice quadrata di 12 e di questo calcolare laradice quadrata Naturalmente piugrave cifre decimali esatte consideriamo per lrsquoapprossi-mazione di radic12 piugrave cifre decimali esatte avremo per il valore approssimato di 4radic12per averne per esempio cinque non ci bastano altrettante cifre esatte per radic12

Con un programma di calcolo possiamo verificare che con 20 cifre esatte

4radic12 asymp 104663513939210555578

Vediamo nella tabella 1 i valori che si ottengono calcolando la radice quadrata delle varieapprossimazioni di radic12 nellrsquoultima riga riportiamo per controllo il valore scrittoprima

radic12 asymp 109544511501033222691

Approssimazione di radic12 Radice quadrata

1 111 1048808848170151546991095 10464224768228174866310954 104661358676447536360109545 1046637473053587929861095445 1046635084449207636054radic12 104663513939210555578

tabella 1 Approssimazione di 4radic12

Questo funziona percheacute la nostra intuizione dice che la radice quadrata soddisfala condizione di continuitagrave Lrsquoesempio ci dice che se vogliamo un valore abbastanzapreciso della radice quarta dobbiamo avvicinarci a sufficienza al valore vero della varia-bile e questo grado di avvicinamento dipenderagrave dalla tolleranza che imponiamo Unafunzione che soddisfa questa condizione si diragrave continua

La simbologia tradizionale indica con 120576 la tolleranza per il valore finale e con 120575 larestrizione che risulta per la variabile Per dire che il valore si discosta da quello veroentro la tolleranza 120576 si scriveragrave

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

e dunque la definizione segue in modo naturale

27

28 continuitagrave

d e f i n i z i o n e La funzione 119891 si dice continua in 119909 se qualunque sia la tolleran-za 120576 gt 0 si puograve trovare un grado di avvicinamento 120575 gt 0 in modo che ogni voltache |ℎ| le 120575 si abbia |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

Ora non ci resta che trovare funzioni continue Il primo esempio egrave facile e quasiovvio 119891(119909) = 119909 Prendiamo una tolleranza 120576 gt 0 e consideriamo la disequazione

|(119909 + ℎ) minus119909| le 120576

le cui soluzioni sono evidentemente |ℎ| le 120576 In questo caso ed era ovvio fin dalprincipio il grado di avvicinamento egrave uguale alla tolleranza

Proviamo con qualcosa di piugrave complicato 119891(119909) = 1199092 La disequazione da esaminareegrave

|(119909 + ℎ)2 minus1199092| le 120576

che diventa|2119909ℎ+ℎ2| le 120576

Una disuguaglianza del genere equivale al sistema di disequazioni

minus120576 le 2119909ℎ+ℎ2 le 120576

cioegrave al sistema⎧⎨⎩

ℎ2 + 2119909ℎminus 120576 le 0ℎ2 + 2119909ℎ+ 120576 ge 0

che possiamo risolvere nel modo usuale La prima disequazione ha discriminantepositivo 41199092 +4120576 ed egrave soddisfatta per valori interni allrsquointervallo delle radici

minus119909minusradic1199092 + 120576 lt ℎ lt minus119909+radic1199092 + 120576

La seconda egrave soddisfatta per ogni ℎ quando il discriminante 41199092 minus 4120576 non egrave positivocioegrave per 120576 ge 1199092 altrimenti egrave soddisfatta per valori esterni allrsquointervallo delle radiciQuindi se 0 lt 120576 lt 1199092 le soluzioni sono date da

ℎ le minus119909minusradic1199092 minus 120576 oppure ℎ ge minus119909+radic1199092 minus 120576

Dobbiamo preoccuparci di quando 120576 ge 1199092 No almeno se119909 ne 0 se riusciamo a trovareun grado di avvicinamento che produca la tolleranza richiesta quando 0 lt 120576 lt 1199092questo andragrave bene anche per valori maggiori di 120576 Saremo piugrave restrittivi del necessarioma a noi interessa trovare un opportuno grado di avvicinamento Dunque possiamosupporre 0 lt 120576 lt 1199092 percheacute nel caso di 119909 = 0 le due disequazioni sono ℎ2 minus 120576 le 0e ℎ2 + 120576 ge 0 la seconda egrave verificata per ogni ℎ la prima per minusradic120576 le ℎ le radic120576 e si puograveprendere 120575 = radic120576

Un produttore di ingranaggi sa che tarando i suoi strumenti in un certo modo i pezzi cheproduce rispettano la tolleranza richiesta dallrsquoindustria che ha commissionato gli ingranaggiunrsquoaltra industria fa unrsquoordinazione chiedendo una tolleranza meno rigorosa il produttore puogravebenissimo mantenere la taratura allo stesso livello Forse spenderagrave di piugrave ma di certo forniscepezzi adeguati alle richieste

Trasponendo al nostro caso la questione del costo non si pone i numeri reali sono gratis

Facciamoci unrsquoidea della situazione con la calcolatrice troviamo i valori delle quan-titagrave in gioco quando 119909 = 1

continuitagrave 29

120576 = 001

minus1minusradic1+ 120576 minus200498756211208902702minus1+radic1+ 120576 000498756211208902702minus1minusradic1minus 120576 minus199498743710661995473minus1+radic1minus 120576 minus000501256289338004527

119909minus1minusradic1+120576 minus1+radic1+120576

minus1minusradic1minus120576 minus1+radic1minus120576

0

Si noti che il grafico delle soluzioni non egrave in scala Lrsquointuizione guardando i valori dellatabella egrave che la tolleranza richiesta sia 120575 = minus119909+radic1199092 + 120576 quando 119909 gt 0 Ci basta ineffetti vedere che

minus119909+radic1199092 + 120576 le | minus119909+radic1199092 minus 120576 |

Con evidenti passaggi la disuguaglianza si trasforma in altre equivalenti

minus119909+radic1199092 + 120576 le 119909minusradic1199092 minus 120576

radic1199092 + 120576 le 2119909minusradic1199092 minus 120576

1199092 + 120576 le 41199092 minus 4119909radic1199092 minus 120576+1199092 minus 120576

4119909radic1199092 minus 120576 le 41199092 minus 120576161199094 minus 161199092120576 le 161199094 minus81199092120576 + 1205762

0 le 81199092120576 + 1205762

e lrsquoultima egrave certamente soddisfatta Abbiamo dunque dimostrato che ponendo 120575 =minus119909 + radic1199092 + 120576 quando |ℎ| le 120575 si avragrave |(119909 + ℎ)2 minus 1199092| le 120576 Per il caso 119909 lt 0 nonoccorre rifare i calcoli percheacute basta cambiare 119909 in minus119909

Non saragrave necessario eseguire questi calcoli in futuro soprattutto quelli finali perdeterminare 120575 Quello che conta egrave scoprire che lrsquoinsieme delle soluzioni della disequa-zione

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

forma un intorno di 0 cioegrave un insieme che include un intervallo aperto contenente 0Con questo linguaggio la definizione di continuitagrave diventa piugrave facile

d e f i n i z i o n e La funzione 119891 egrave continua in 119909 se data una qualsiasi tolleranza120576 gt 0 lrsquoinsieme delle soluzioni della disequazione

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

forma un intorno di 0

Naturalmente in quella disequazione lrsquoincognita egrave ℎ Egrave importare notare che la condi-zione deve valere per ogni tolleranza Per questo quando si imposta la verifica occorretenere 120576 indicato e non si puograve dare solo un valore per quanto piccolo Tuttavia egrave am-messo per quanto giagrave visto considerare 0 lt 120576 lt 119896 dove 119896 gt 0 egrave un valore qualsiasi checi renda piugrave facile trattare il caso senza dover fare scomode distinzioni Nellrsquoesempiodi prima abbiamo infatti preso 0 lt 120576 lt 1199092 (per 119909 ne 0) che appunto non egrave restrittivodal momento che 119909 egrave fisso

Diremo che una funzione egrave continua se egrave tale in ogni punto del suo dominioNel seguito ci serviragrave questa semplice osservazione lrsquointersezione di due intorni di 0

egrave un intorno di 0 Infatti se il primo intorno include lrsquointervallo aperto (minus1205751 1205751) e il

30 continuitagrave

secondo lrsquointervallo aperto (minus1205752 1205752) egrave chiaro che ponendo 120575 = min1205751 1205752 lrsquointer-sezione dei due intorni include lrsquointervallo aperto (minus120575 120575) Adesso basta osservareche ogni intervallo aperto che contiene 0 include un intervallo aperto simmetrico

Egrave evidente anche che ogni insieme che include un intorno di 0 egrave anchrsquoesso un intornodi 0 e che anche lrsquointersezione di 119899 intorni egrave un intorno (119899 naturale positivo)

Le funzioni non sono necessariamente continue altrimenti non ci sarebbe alcun bi-sogno di dare la definizione Un esempio drammatico egrave proprio la funzione di Dirichletche non egrave continua in alcun punto Infatti se 119909 egrave un reale qualsiasi in ogni suo intornocadono punti razionali e irrazionali perciograve non egrave possibile soddisfare alcuna tolleran-za 120576 lt 1 Un esempio meno patologico egrave la funzione pavimento che non egrave continuasugli interi ma lo egrave in ogni numero non intero Se 119909 egrave intero ogni suo intorno contienenumeri minori di 119909 se 119909 minus 1 lt 119910 lt 119909 allora lfloor119910rfloor = lfloor119909rfloor minus 1 e quindi non puograve esseresoddisfatta alcuna tolleranza 120576 lt 1 Viceversa se 119909 non egrave intero esiste un intorno di119909 in cui la funzione egrave costante quindi certamente continua

21 teoremi sulla continuitagrave

Abbiamo parlato di intorni di 0 ma possiamo allo stesso modo parlare di intorni diun punto qualsiasi un intorno di 119909 egrave un insieme che include un intervallo apertocontenente 119909 Lrsquointervallo aperto si puograve sempre prendere simmetrico rispetto a 119909

Egrave facile vedere che se 119880 egrave un intorno di 0 lrsquoinsieme dei numeri della forma 119909 + ℎper ℎ isin 119880 egrave un intorno di 119909 Questo egrave un fatto che useremo piugrave volte

Per ora supporremo che le funzioni siano definite in tutto un intorno del punto con-siderato Possiamo allora considerare la somma e il prodotto di due funzioni che sa-ragrave ancora definita in un intorno del punto percheacute lrsquointersezione di due intorni egrave unintorno

t e o r ema La somma di due funzioni continue nel punto 119909 egrave continua in 119909

Siano 119891 e 119892 le due funzioni dobbiamo risolvere le disequazioni

|119891(119909+ℎ) + 119892(119909+ℎ) minus (119891(119909) + 119892(119909))| le 120576

Ci ricordiamo della disuguaglianza fondamentale

|119886 + 119887| le |119886| + |119887|

e applichiamo lrsquoipotesi le soluzioni della disequazione

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 1205762

formano un intorno di 0 chiamiamolo 119880 Anche le soluzioni di

|119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 1205762

formano un intorno di 0 chiamiamolo 119881 Se dunque ℎ isin 119880cap119881 abbiamo

|119891(119909+ℎ) + 119892(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus 119892(119909)|le |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| + |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)|

le 1205762 + 120576

2 = 120576

Allora lrsquoinsieme delle soluzioni della nostra disequazione include119880cap119881 che egrave un intornodi 0 e dunque egrave a sua volta un intorno di 0

21 teoremi sulla continuitagrave 31

Si noti la comoditagrave di non dover risolvere esattamente la disequazione ci interessasolo che lrsquoinsieme delle soluzioni sia un intorno di 0 se troviamo che questo insiemeinclude un intorno di 0 determinato in qualche modo abbiamo finito

Percheacute quella scelta di 1205762 Qui entrano in gioco altri fattori esperienza e intuizio-ne Lrsquoidea era di usare la disuguaglianza sul valore assoluto di una somma fissiamotolleranze piugrave strette per 119891 e 119892 di quella che ci interessa per la somma e siccome nonabbiamo preferenze per 119891 e 119892 proviamo con la tolleranza metagrave di quella data Egrave im-portante ricordare che la continuitagrave richiede che le soluzioni di ogni disuguaglianza|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576 formino un intorno di 0

Unrsquoapplicazione Siccome la funzione pavimento non egrave continua sugli interi nemmeno lafunzione parte frazionaria lo egrave se 119891(119909) = 119909minus lfloor119909rfloor allora lfloor119909rfloor = 119909minus119891(119909) e se 119891 fosse continuasugli interi lo sarebbe anche ldquopavimentordquo percheacute certamente 119909 ↦ 119909 egrave una funzione continua

t e o r ema Se 119891 egrave continua in 119909 e 119886 egrave un numero qualsiasi allora 119886119891 egrave continuain 119909

La disuguaglianza da trattare egrave |119886119891(119909+ ℎ) minus 119886119891(119909)| le 120576 Se 119886 = 0 non crsquoegrave proprioniente da dimostrare ogni funzione costante egrave evidentemente continua (data qualsiasitolleranza possiamo prendere come grado di avvicinamento qualsiasi numero positivo)Quindi possiamo assumere 119886 ne 0 Allora la disuguaglianza egrave equivalente a

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576|119886|

e per ipotesi sappiamo che lrsquoinsieme delle soluzioni di questa egrave un intorno di 0 percheacutepossiamo prendere 120576|119886| come tolleranza

t e o r ema Se 119891 egrave continua in 119909 allora |119891| egrave continua in 119909

Qui usiamo la disuguaglianza | |119886|minus|119887|| le |119886minus119887| Data la tolleranza 120576 gt 0 dobbiamorisolvere

| |119891(119909+ℎ)| minus |119891(119909)|| le 120576

Sia 119880 un intorno di 0 tale che per ℎ isin 119880 valga

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576

Per la disuguaglianza di prima abbiamo la tesi

t e o r ema La funzione prodotto di due funzioni continue in 119909 egrave una funzionecontinua in 119909

Se 119891 e 119892 sono le nostre due funzioni la disuguaglianza egrave

|119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)| le 120576

Il trucco di aggiungere e togliere sembra promettente possiamo di certo scrivere

|119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|= |119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909+ℎ) + 119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|le |119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909+ℎ)| + |119891(119909)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|= |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ)| + |119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)|

Il problema egrave che 119892(119909+ℎ) varia al variare di ℎ se fosse possibile delimitarlo saremmo quasi aposto Ci occorre un lemma

32 continuitagrave

l emma Se 119892 egrave continua in 119909 allora esistono 119897 gt 0 e un intorno 119880 di 0 tali che per ogniℎ isin 119880 si abbia |119892(119909+ℎ)| le 119897

Fissiamo 120576 gt 0 in modo che |119892(119909)| lt 120576 allora esiste un intorno 119880 di 0 tale che se ℎ isin 119880 siabbia |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 120576 In altre parole per ℎ isin 119880 si ha

minus120576+119892(119909) le 119892(119909+ℎ) le 120576+ 119892(119909)

Se 119897 = max120576 minus 119892(119909) 120576 + 119892(119909) abbiamo per la scelta di 120576 119897 gt 0 e inoltre che se ℎ isin 119880 |119892(119909 +ℎ)| le 119897 Armati di questo lemma possiamo proseguire la nostra dimostrazione supponendoche 119891(119909) ne 0 Esistono intorni 119880 119881 e 119882 di 0 tali che

|119892(119909+ℎ)| le 119897 ℎ isin 119880

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 1205762119897 ℎ isin 119881

|119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 1205762|119891(119909)| ℎ isin 119882

dove 119897 gt 0 egrave quello determinato con il lemma Allora se ℎ isin 119880cap119881cap119882 abbiamo

|119891(119909+ℎ)119892(119909+ℎ) minus 119891(119909)119892(119909)|

le |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ)| + |119891(119909)| sdot |119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)|

le 1205762119897 119897 + |119891(119909)| 120576

2|119891(119909)|

= 1205762 + 120576

2 = 120576

esattamente come si voleva Nel caso in cui 119891(119909) = 0 la dimostrazione egrave ancora piugrave semplice lasi completi

Il teorema che segue si chiama teorema della permanenza del segno

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave continua in 119909 e 119891(119909) gt 0 allora esiste un intorno119880 di 0 tale che per ℎ isin 119880 vale 119891(119909+ℎ) gt 0

Basta prendere come tolleranza 120576 = 119891(119909)2 esiste un intorno 119880 di 0 tale che |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 120576 e quindi

minus120576+119891(119909) le 119891(119909+ℎ) le 120576+119891(119909)

e considerando la disuguaglianza di sinistra abbiamo

119891(119909+ℎ) ge minus119891(119909)2 + 119891(119909) = 119891(119909)

2 gt 0

Enunciamo esplicitamente due corollari del teorema Si noti che il primo enunciatoegrave equivalente al teorema ci riferiremo spesso a questo con il nome di lsquoteorema dellapermanenza del segnorsquo

c o r o l l a r i o Supponiamo che 119891 sia continua in 119909 e che esista un intorno 119880 di0 tale che per ℎ isin 119880 e ℎ ne 0 sia 119891(119909+ℎ) ge 0 Allora 119891(119909) ge 0

Se fosse 119891(119909) lt 0 ci sarebbe un intorno119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881 119891(119909) lt 0 questocontraddice lrsquoipotesi per 0 ne ℎ isin 119880cap119881

c o ro l l a r i o Se 119891 egrave continua in 119909 e 119891(119909) ne 0 allora esiste un intorno di 119909 nelquale 119891 non si annulla

Se 119891(119909) gt 0 si ha 119891(119911) gt 0 in tutto un intorno di 119909 Analogamente se 119891(119909) lt 0prendendo minus119891

21 teoremi sulla continuitagrave 33

Naturalmente il teorema e i corollari ammettono anche la versione con 119891(119909) lt 0basta considerare 119892 = minus119891 come nella dimostrazione precedente

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave continua in 119909 e 119891(119909) ne 0 allora la funzione 119911 ↦119892(119911) = 1119891(119911) egrave continua in 119909

Per quanto visto 119892 egrave effettivamente definita in un intorno di 119909 La disequazione darisolvere egrave

|119892(119909+ℎ) minus 119892(119909)| le 120576

che diventa

| 1119891(119909+ℎ) minus 1

119891(119909) | le 120576

cioegrave sviluppando|119891(119909) minus 119891(119909+ℎ)| le 120576|119891(119909)119891(119909+ℎ)|

Questa volta ci occorre limitare i valori |119891(119909+ℎ)| dal basso cioegrave trovare un intorno 119880di 0 e un numero 119897 gt 0 tali che per ℎ isin 119880 si abbia |119891(119909 + ℎ)| gt 119897 Ma lrsquoabbiamo giagravefatto dimostrando il teorema della permanenza del segno crsquoegrave un intorno 119880 di 0 taleche per ℎ isin 119880 |119891(119909+ℎ)| gt |119891(119909)|2 A questo punto possiamo prendere un intorno119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881

|119891(119909) minus 119891(119909+ℎ)| le 120576|119891(119909)|22

e quindi per ℎ isin 119880cap119881

|119891(119909) minus 119891(119909+ℎ)| le 120576|119891(119909)|22

= 120576|119891(119909)| |119891(119909)|2

le 120576|119891(119909)| sdot |119891(119909+ℎ)|

che egrave esattamente la disuguaglianza che ci serve

Da tutto questo lavoro astratto possiamo trarre una conseguenza molto importante

t e o r ema Se 119875 egrave un polinomio allora la funzione 119909 ↦ 119875(119909) egrave continua

Un polinomio si ottiene infatti combinando con somme e prodotti le funzioni costantie la funzione 119909 ↦ 119909 (cioegrave il polinomio 119909) Quindi una funzione polinomiale egrave continuaNon crsquoegrave dunque bisogno di risolvere disequazioni complicate per verificare la continuitagravedi 119891(119909) = 1199092 come abbiamo fatto prima La disequazione sarebbe intimidente nel casodi 119891(119909) = 31199095 minus 71199092 + 2119909minus 4 ma appunto non crsquoegrave bisogno nemmeno di scriverla

Rimandiamo a piugrave avanti la questione se le funzioni log exp sin e cos siano continueCi rimane un ultimo risultato importante

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave continua in 119909 e la funzione 119892 egrave continua in 119910 =119891(119909) allora la funzione 119911 ↦ 119865(119911) = 119892(119891(119911)) egrave continua in 119909

In certe situazioni come questa egrave piugrave comodo scrivere diversamente la definizionedi continuitagrave in un punto Si verifichi che la seguente asserzione egrave equivalente alladefinizione data 119891 egrave continua in 119909 se per ogni tolleranza 120576 gt 0 crsquoegrave un intorno 119880 di 119909tale che per 119911 isin 119880 |119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

Con questa caratterizzazione la dimostrazione diventa piugrave semplice Fissiamo unatolleranza 120576 allora esiste un intorno 119880 di 119910 tale che per 119911 isin 119880 |119892(119911) minus 119892(119910)| le 120576

34 continuitagrave

Dal momento che 119880 egrave un intorno di 119910 possiamo individuare 120575 gt 0 tale che ogni 119911con |119911 minus 119910| lt 120575 appartenga a 119880 Possiamo allora usare 1205752 come tolleranza per 119891esiste un intorno 119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881 |119891(119909 + ℎ) minus 119891(119909)| le 1205752 in particolare119891(119909+ℎ) isin 119880 e perciograve |119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))| le 120576

Questo risultato si puograve ricordare brevemente come ldquola composizione di funzionicontinue egrave continuardquo Il teorema precedente sulla continuitagrave di 119911 ↦ 119865(119911) = 1119891(119911)si puograve dimostrare facilmente considerando la funzione 119911 ↦ 1119911 nel teorema sullacomposizione Abbiamo anche unrsquoaltra conseguenza importante

t e o r ema Se 119875 e 119876 sono polinomi allora la funzione 119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) egravecontinua su tutto il suo dominio che consiste dei punti 119909 dove 119876(119909) ne 0

Si noti che la funzione 119891(119909) = 119909119909 non egrave definita in 0 Questo non vuol dire che igno-riamo la possibile semplificazione lo scopo della prossima sezione egrave proprio rendererigorosa lrsquointuizione che 119891 puograve essere estesa anche con un valore in 0

22 limiti

Una delle conseguenze della continuitagrave di 119891 in 119909 egrave che il valore 119891(119909) egrave determinato daivalori 119891(119909+ℎ) con ℎ ne 0 preso in un opportuno intorno di 0 Supponiamo infatti che119891 e 119892 siano funzioni continue in 119909 e che esista un intorno 119880 di 0 tale che per ℎ isin 119880ℎ ne 0 sia 119891(119909+ℎ) = 119892(119909+ℎ) Dimostriamo che in tali ipotesi 119891(119909) = 119892(119909)

Se 119891(119909) ne 119892(119909) la funzione 119865 = |119891minus119892| egrave continua in 119909 e 119865(119909) gt 0 esiste allora unintorno 119881 di 0 tale che per ℎ isin 119881 119865(119909 + ℎ) gt 0 Ma dalla definizione segue che perℎ ne 0 119865(119909+ ℎ) = 0 Dunque dovremmo avere 119880cap119881 = 0 che egrave impossibile percheacutelrsquointersezione di due intorni di 0 egrave un intorno di 0 e 0 non lo egrave

In molte situazioni alcune le abbiamo giagrave viste egrave data una funzione che egrave definitain tutto un intorno di un punto 119909 ma non in 119909 Il caso tipico egrave quello del rapporto diFermat in 119909 visto come funzione di ℎ

119907(ℎ) = 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ

egrave una funzione definita in un intorno di 0 ma non in 0 dove lrsquoespressione perde signi-ficato Il nostro problema egrave appunto vedere se la funzione 119907 puograve essere estesa a unafunzione definita anche in 0 che sia continua in 0

Come si fa spesso si suppone che il problema sia risolto Fissiamo dunque le nota-zioni abbiamo una funzione 119891 definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 e supponiamodi saperla estendere a una funzione 119891 definita su tutto 119882 cioegrave

119891(119911) =⎧⎨⎩

119891(119911) se 119911 isin 119882 119911 ne 119909119897 se 119911 = 119909

Quindi la funzione 119891 assume gli stessi valori di 119891 in tutti i punti di 119882 escluso 119909 ma haun valore anche in 119909 Siccome supponiamo che la funzione sia continua in 119909 data unatolleranza 120576 gt 0 sappiamo trovare un intorno 119880 di 119909 tale che si abbia per 119911 isin 119880

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

che quando 119911 ne 119909 si puograve anche scrivere

|119891(119911) minus 119897| le 120576

22 limiti 35

Nel caso di 119911 = 119909 la disuguaglianza egrave automaticamente verificata quindi ci basta trat-tarla per 119911 ne 119909 Per quello che abbiamo visto prima il valore 119897 egrave determinato dallarichiesta che 119891 sia continua in 119909 perciograve il problema ha al piugrave una soluzione

Ecco che abbiamo giustificato lrsquoimportante definizione che segue dovuta in sostanzaa Cauchy ma resa precisa da Weierstraszlig

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 Di-remo che il numero 119897 egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 se data una qualsiasitolleranza 120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 119911 ne 119909 si abbia

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

In tal caso la notazione usata saragrave

lim119911rarr119909

119891(119911) = 119897

La terminologia lsquolimitersquo e lsquotendersquo risale ai primi tempi dello sviluppo del calcolo dif-ferenziale quando si parlava di variabili lsquotendenti a valori limitersquo avendo unrsquoidea di-namica della questione che perograve non trova posto nella sistemazione rigorosa data daWeierstraszlig Continuiamo a usare i termini tradizionali basta ricordarsi che sono solonomi senza farsi ingannare dal loro suono o meglio dal loro significato nel linguaggiocomune

Il limite se esiste egrave quellrsquounico valore 119897 che assegnato come valore alla funzione119891 in 119909 cioegrave se si pone 119891(119909) = 119897 la rende continua in 119909 Perciograve ogni teorema sullefunzioni continue diventa un teorema sui limiti

Useremo la stessa notazione anche quando la funzione sia definita in 119909 con la ta-cita convenzione che in tale contesto il valore assunto da 119891 in 119909 non ci interessa lalsquosdefiniamorsquo in 119909

t e o r ema Siano 119891 e 119892 funzioni definite in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 e sup-poniamo che esistano lim119911rarr119909 119891(119911) = 119897 e lim119911rarr119909 119892(119911) = 119898 Sia poi 119886 un numeroqualsiasi Allora esistono i limiti seguenti e hanno i valori indicati

lim119911rarr119909

(119891(119911) + 119892(119911)) = 119897 +119898 lim119911rarr119909

(119891(119911)119892(119911)) = 119897119898

lim119911rarr119909

|119891(119909)| = |119897| lim119911rarr119909

119886119891(119911) = 119886119897

lim119911rarr119909

1119891(119911) = 1

119897 (se 119897 ne 0)

Si faccia attenzione che non egrave affatto detto che un limite esista sempre Lrsquoesempio classico egravequello della funzione 119891(119909) = cos(1119909) che egrave definita ovunque eccetto che in 0 Dimostriamo cheper nessun 119897 si puograve avere

lim119909rarr0

cos 1119909 = 119897

Sia infatti 119897 gt 0 In ogni intorno di 0 ci sono punti 119909 nei quali cos(1119909) lt 0 per esempiotutti i numeri della forma 1(120587 + 2119896120587) per 119896 intero abbastanza grande se lrsquointorno 119880 includelrsquointervallo aperto (minus120575 120575) ci basta prendere

0 lt 1120587+ 2119896120587 lt 120575

cioegrave (2119896 + 1)120587 gt 1120575 che equivale a

119896 gt 12( 1

120587120575 minus 1)

e quindi lrsquointorno non soddisfa alla tolleranza 120576 = 1198974 Analogamente se 119897 lt 0 allrsquointornoappartengono tutti i numeri della forma 1(2119896120587) per 119896 gt 1(2120587120575) dove il coseno vale 1 e quindi

36 continuitagrave

lrsquointorno non soddisfa la tolleranza 120576 = minus1198974 Lo stesso per 119897 = 0 allrsquointorno appartengono ipunti 1(2119896120587) ancora per 119896 gt 1(2120587120575) e lrsquointorno non soddisfa la tolleranza 120576 = 14

Il teorema sui limiti di maggiore utilitagrave fornisce una tecnica che abbiamo giagrave adope-rato nella sua forma intuitiva e che chiameremo teorema del confronto di limiti

t e o r ema Siano 119865 119866 e 119891 funzioni definite in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 esupponiamo che per 119911 isin 119882 119911 ne 119909 si abbia

119865(119911) le 119891(119911) le 119866(119911)

Se esistonolim119911rarr119909

119865(119911) = lim119911rarr119909

119866(119911) = 119897

allora esiste anchelim119911rarr119909

119891(119911) = 119897

Fissiamo una tolleranza 120576 gt 0 allora esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880119911 ne 119909 si abbia

|119865(119911) minus 119897| le 1205763 e |119866(119911) minus 119897| le 120576

3

In effetti dovremmo distinguere lrsquointorno in cui vale la disuguaglianza per 119865 e quelloin cui vale la disuguaglianza per 119866 se ne prendiamo lrsquointersezione ne abbiamo uno incui valgono entrambe Ora osserviamo che da 119865(119911) le 119891(119911) le 119866(119911) segue

0 le 119866(119911) minus 119891(119911) le 119866(119911) minus 119865(119911)

che possiamo anche scrivere tra valore assoluto dunque per 119911 isin 119880 119911 ne 119909

|119866(119911) minus 119891(119911)| le |119866(119911) minus 119865(119911)|= |119866(119911) minus 119897 + 119897 minus 119865(119911)|le |119866(119911) minus 119897| + |119897 minus 119865(119911)|

le 1205763 + 120576

3 = 23120576

Con questa disuguaglianza possiamo adesso scriverne unrsquoaltra sempre per 119911 isin 119880119911 ne 119909

|119891(119911) minus 119897| = |119891(119911) minus119866(119911) +119866(119911) minus 119897|le |119891(119911) minus119866(119911)| + |119866(119911) minus 119897|

le 23120576 + 1

3120576 = 120576

Questa volta le funzioni erano tre quindi abbiamo considerato 1205763 ma non lo siprenda come guida assoluta in realtagrave si scrivono le dimostrazioni mettendo valorigenerici che poi si aggiustano quando la dimostrazione egrave completa

Si possono riesaminare i due casi in cui abbiamo usato questo teorema cioegrave quandoabbiamo calcolato la derivata del logaritmo e delle funzioni trigonometriche Per illogaritmo dalle disuguaglianze

1119909+ℎ le log(119909 +ℎ) minus log119909

ℎ le 1119909

abbiamo lsquodedottorsquo che limℎrarr0(log(119909 +ℎ) minus log119909)ℎ = 1119909 percheacute

limℎrarr0

1119909+ℎ = lim

ℎrarr0

1119909 = 1

119909

22 limiti 37

dal momento che le funzioni ℎ rarr 1(119909+ℎ) e ℎ rarr 1119909 sono continueIn realtagrave dovremmo considerare la funzione ℎ rarr 1(119909+ℎ) definita in un intorno di

0 escluso 0 ma siccome ne conosciamo giagrave unrsquoestensione continua in 0 lrsquoesistenza eil valore del limite non sono un problema

Crsquoegrave un problema piugrave serio invece queste disuguaglianze valgono solo per ℎ gt 0 perℎ lt 0 abbiamo

1119909 le log(119909 +ℎ) minus log119909

ℎ le 1119909+ℎ

Egrave giunto il momento di dare una definizione piugrave generale di limite che ci possa essereutile in situazioni del genere

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione di dominio 119863(119891) e sia 119909 isin 119863(119891) diremo che119891 egrave continua in 119909 se per ogni tolleranza 120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di 119909 tale cheper 119911 isin 119880cap119863(119891)

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

Lrsquounica differenza rispetto a prima ma decisiva egrave di limitare i valori di 119911 a quelli cheappartengono sia allrsquointorno 119880 di 119909 sia al dominio di 119891 Ovviamente se 119863(119891) includeun intorno di 119909 la definizione coincide con la precedente a parte lrsquouso di 119911 isin 119880 invecedi 119909+ℎ con ℎ in un intorno di 0

Si puograve verificare facilmente che i teoremi sulla continuitagrave dimostrati prima continua-no a valere secondo la nuova definizione quando le funzioni invece di essere definitein un intorno 119882 di 119909 sono tutte definite in un insieme qualunque a cui 119909 appartiene

Vediamo subito un esempio importante la funzione 119891(119909) = radic119909 di cui vogliamodimostrare la continuitagrave in ogni punto del dominio 119863(119891) = [0 rarr) Dato 120576 gt 0dobbiamo risolvere la disequazione

|radic119911minusradic119909| le 120576

nellrsquoincognita 119911 e scoprire che lrsquoinsieme delle soluzioni egrave lrsquointersezione di un intorno di119909 con 119863(119891) La disequazione egrave equivalente a quella che si ottiene elevando al quadrato

119911minus 2radic119909119911+119909 le 1205762119911 + (119909minus 1205762) le 2radic119909119911

Nel caso di 119909 gt 0 possiamo supporre 0 lt 120576 lt radic119909 e quindi elevare di nuovo al quadrato

1199112 + 2(119909minus 1205762)119911 + (119909minus 1205762)2 le 41199091199111199112 minus 2(119909+ 1205762)119911 + (119909minus 1205762)2 le 0

il cui discriminante egrave

Δ4 = (119909+ 1205762)2 minus (119909minus 1205762)2

= (119909+ 1205762 +119909minus 1205762)(119909 + 1205762 minus119909+ 1205762)= 41199091205762

Dunque le radici del polinomio in 119911 sono 119909+1205762minus2120576radic119909 = (radic119909minus120576)2 e 119909+1205762+2120576radic119909 =(radic119909+ 120576)2 Lrsquoinsieme delle soluzioni egrave dunque

(radic119909minus 120576)2 le 119911 le (radic119909+ 120576)2

che egrave un intorno di 119909 dal momento che

(radic119909minus 120576)2 lt 119909 lt (radic119909+ 120576)2

38 continuitagrave

come si verifica facilmente usando lrsquoipotesi che 0 lt 120576 lt radic119909 Dunque la funzione egravecontinua in ogni 119909 gt 0 Nel caso di 119909 = 0 la disequazione diventa

|radic119911| le 120576

le cui soluzioni sono date da 0 le 119911 le 1205762 questo insieme coincide con

(minus1205762 1205762) cap119863(119891)

e quindi abbiamo dimostrato anche la continuitagrave in 0Ci sono casi in cui il dominio non include un intorno di ogni punto Consideriamo

la funzione119891(119909) = radic1199092(119909 minus 2)

definita nel piugrave ampio insieme dove lrsquoespressione abbia senso cioegrave

119863(119891) = 0 cup [2 rarr)

cioegrave la funzione egrave definita in 0 e nei punti 119909 tali che 119909 ge 2 Che possiamo dire riguardoalla continuitagrave in 0 Applichiamo la definizione riusciamo dato 120576 gt 0 a trovare unintorno 119880 di 0 tale che per 119911 isin 119880cap119863(119891) si abbia |119891(119911)minus119891(0)| le 120576 Certo lrsquointervalloaperto 119880 = (minus1 1) egrave un intorno di 0 e 119880 cap 119863(119891) = 0 quindi se 119911 isin 119880 cap 119863(119891) egravevero che |119891(119911) minus 119891(0)| = |0 minus 0| = 0 le 120576

Si tratta certamente di un caso molto particolare in effetti ci si accorge che ognifunzione egrave continua in un punto isolato del suo dominio cioegrave un punto 119909 per il qualeesiste un intorno 119880 di 119909 tale che 119880cap119863(119891) = 119909 percheacute questo intorno saragrave sempreadatto per qualsiasi tolleranza 120576 gt 0 Come se al produttore di oggetti di metallo fosseordinato lsquoun pezzo di ferrorsquo senza altre specificazioni qualsiasi cosa andragrave bene

d e f i n i z i o n e Siano 119878 un insieme di numeri e 119886 un numero diremo che 119886 egrave unpunto di accumulazione per 119878 se per ogni intorno 119880 di 119886 lrsquoinsieme 119880cap119878 contienealmeno un punto diverso da 119886

Nel caso precedente 0 non egrave un punto di accumulazione di 119863(119891) tutti gli altri ele-menti di119863(119891) sono punti di accumulazione Nel caso dellrsquointervallo aperto 119878 = (2 3)quali sono i punti di accumulazione Tutti gli elementi di 119878 ma anche gli estremi del-lrsquointervallo Per esempio nellrsquointorno (2 minus 120575 2 + 120575) con 120575 gt 0 di 2 cadono infinitipunti di 119878 tutti gli 119909 tali che 2 lt 119909 lt 2 + 120575 Siccome ogni intorno di 2 include unintervallo aperto di questo tipo abbiamo dimostrato la tesi Si scriva la dimostrazioneper 3

La discussione appena fatta mostra che un punto di accumulazione di 119878 puograve nonappartenere a 119878 Egrave proprio il caso del rapporto di Fermat per una funzione 119891 definitain un intorno di 119909 il dominio della funzione ℎ ↦ 119907(ℎ) dove

119907(ℎ) = 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ

egrave un intorno di 0 escluso 0 ma allora 0 egrave un punto di accumulazione del dominio di 119907Ci accorgiamo allora che questo egrave quanto serve per poter parlare di limite esattamentesecondo la nuova definizione di continuitagrave piugrave generale

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione definita in un insieme 119878 e sia 119909 un punto diaccumulazione di 119878 Diremo che il numero 119897 egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 sedata una qualsiasi tolleranza 120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880cap119878119911 ne 119909 si abbia

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 120576

22 limiti 39

Useremo sempre la notazione di prima ma talvolta vorremo mettere in evidenzalrsquoinsieme 119878 magari percheacute la funzione potrebbe avere un dominio lsquonaturalersquo piugrave ampiodellrsquoinsieme che vogliamo considerare in quel caso scriveremo

lim119911rarr119909119911isin119878

119891(119911) = 119897

In genere non useremo insiemi 119878 complicati anzi di solito come 119878 prenderemo proprioil dominio della funzione Il caso piugrave importante in cui useremo insiemi diversi egrave quellodei limiti lsquodestrorsquo e lsquosinistrorsquo

Supponiamo che 119891 sia definita in un intorno119882 di119909 escluso 119909 possiamo considerarela funzione 119891119909+ che coincide con 119891 ma che ha come dominio 119882cap (119909 rarr) di cui 119909 egravecertamente un punto di accumulazione Invece di usare la notazione complicatissima

lim119911rarr119909

119911isin119882cap(119909 rarr)119891119909+(119911)

ricorreremo al piugrave semplicelim

119911rarr119909+119891(119911)

che chiameremo limite per 119911 che tende a 119909 da destra Analogo discorso si puograve fare peril limite per 119911 che tende a 119909 da sinistra che ci si puograve esercitare a definire esplicitamenteper questo useremo la notazione

lim119911rarr119909minus

119891(119911)

Percheacute ci interessano i limiti da destra e da sinistra La risposta egrave quasi ovvia

t e o r ema La funzione 119891 sia definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 Allora

lim119911rarr119909

119891(119911)

esiste se e solo se esistono e sono uguali

lim119911rarr119909+

119891(119911) e lim119911rarr119909minus

119891(119911)

La dimostrazione egrave facile in un senso e la lasciamo per esercizio se 119878 egrave un sot-toinsieme di 119863(119891) di cui 119909 egrave un punto di accumulazione e lim119911rarr119909 119891(119911) esiste alloraesiste

lim119911rarr119909119911isin119878

119892(119911) = lim119911rarr119909

119891(119911)

dove con 119892 denotiamo la funzione 119891 ristretta a 119878 Questo vale in particolare se 119878 =119863(119891) cap (119909 rarr) cosigrave che 119892 = 119891119909+ e analogamente per il limite da sinistra

Vediamo la parte importante supponiamo che sia lim119911rarr119909+ 119891(119911) sia lim119911rarr119909minus 119891(119911)esistano e che siano uguali a 119897 Fissiamo una tolleranza 120576 gt 0 e cerchiamo lrsquoinsiemedelle soluzioni di

|119891(119911) minus 119897| le 120576

(con 119911 ne 119909 naturalmente) Poniamo per semplicitagrave 119878+ = 119882 cap (119909 rarr) e 119878minus = 119882 cap(larr 119909) Per ipotesi le funzioni 119891119909+ e 119891119909minus definite rispettivamente su 119878+ e 119878minus hannolimite 119897 Dunque esiste un intorno 119880+ di 119909 tale che per 119911 isin 119880+ cap119878+

|119891119909+(119911) minus 119897| = |119891(119911) minus 119897| le 120576

Esiste anche un intorno 119880minus di 119909 tale che per 119911 isin 119880minus cap119878minus

|119891119909minus(119911) minus 119897| = |119891(119911) minus 119897| le 120576

40 continuitagrave

Ma allora se poniamo 119880 = 119880+ cap119880minus 119880 egrave un intorno di 119909 e per 119911 isin 119880 119911 ne 119909 si ha

|119891(119911) minus 119897| le 120576

usando la disuguaglianza per 119891119909+ se 119911 gt 119909 quella per 119891119909minus se 119911 lt 119909

A questo punto la nostra dimostrazione rigorosa della derivabilitagrave del logaritmo egravequasi conclusa poniamo 119907(ℎ) = (log(119909+ ℎ) minus log119909)ℎ per ℎ gt 0 abbiamo

1119909+ℎ le 119907(ℎ) le 1

119909

e quindi per il teorema del confronto di limiti possiamo dire che

limℎrarr0+

119907(ℎ) = 1119909

Per ℎ lt 0 abbiamo1119909 le 119907(ℎ) le 1

119909+ℎe ancora per il teorema di confronto di limiti possiamo dire che

limℎrarr0minus

119907(ℎ) = 1119909

Dunque limℎrarr0 119907(ℎ) = 1119909Non possiamo dire altrettanto sulla rigorositagrave della dimostrazione per la derivata di

seno e coseno dal momento che lagrave abbiamo assunto la continuitagrave delle due funzioniSta di fatto che le funzioni seno e coseno sono continue

t e o r ema La funzione 119909 ↦ sin119909 e la funzione 119909 ↦ cos119909 sono continue

Ci ricordiamo della famosa formula di prostaferesi

sin120572minus sin120573 = 2 cos 120572+1205732 sin 120572minus120573

2

dalla quale ricaviamo

sin(119909+ ℎ) minus sin119909 = 2 cos 2119909+ℎ2 sin ℎ

2

Fissiamo la tolleranza 120576 gt 0 La disequazione da risolvere diventa allora

|cos(119909+ ℎ2 ) sin ℎ

2 | le 1205762

Ora |cos(119909 + (ℎ2))| le 1 e perciograve cominciamo a risolvere la disequazione |sin(ℎ2)| le 1205762 Setroviamo un intorno119880 di 0 tale che per ℎ isin 119880 si abbia questa disuguaglianza per ℎ isin 119880 avremoanche la piugrave restrittiva

|cos(119909+ ℎ2 )| sdot |sin ℎ

2 | le |sin ℎ2 | le 120576

2

Poniamo 120576prime = 1205762 e ℎ = 2119896 Dobbiamo quindi risolvere |sin119896| le 120576prime alla fine ci siamo ridotti adimostrare che la funzione seno egrave continua in 0

Ritorniamo alla figura 4 dove supponiamo che lrsquoangolo 119860119874119862 sia di misura 0 lt 119896 lt 1205872 econsideriamo la corda 119860119862 la sua lunghezza egrave certamente minore della lunghezza dellrsquoarco dicirconferenza 119860119862 e vale 2 sin(1198962) Proviamo che

sin119896 lt 2 sin(1198962)

Infatti sin119896 = 2 sin(1198962) cos(1198962) le 2 sin(1198962) percheacute 0 le cos(1198962) le 1 Ma allora 119861119862 lt 119860119862 eperciograve sin119896 lt 119896 Per il teorema di confronto dei limiti dalla disuguaglianza

0 le sin119896 le 119896 (119896 gt 0)

23 il teorema di bolzano sugli zeri 41

possiamo concludere che lim119896rarr0+ sin119896 = 0 Se minus1205872 lt 119896 lt 0 abbiamo sin(minus119896) lt minus119896 e quindi119896 lt sin119896 lt 0 ma ancora questo ci dice che lim119896rarr0minus sin119896 = 0 Ne deduciamo che lim119896rarr0 sin119909 = 0e perciograve la funzione 119909 ↦ sin119909 egrave continua in 0 percheacute sin0 = 0

Ora egrave facile ritornare indietro esiste un intorno 119880 di 0 che possiamo prendere simmetricocioegrave 119880 = (minus120575120575) tale che per 119896 isin 119880 |sin119896| le 120576prime Allora per ℎ isin 119880prime = (minus2120575 2120575) avremoℎ2 isin 119880 e quindi

|sin ℎ2 | le 120576

2come voluto

Dobbiamo fare la stessa fatica per il coseno No siccome cos119909 = sin(119909 + (1205872)) sappiamoche 119909 ↦ cos119909 egrave continua percheacute composizione di due funzioni continue

23 il teorema di bolzano sugli zeri

Bernard Bolzano matematico e filosofo praghese (1781ndash1848) fu tra i primi con Cauchyad affrontare il problema del rigore nellrsquoanalisi matematica che si stava sempre piugravesviluppando a opera dei successori di Leibniz cioegrave i Bernoulli1 Leonhard Euler (1707ndash1783) Giuseppe Luigi Lagrange (1736ndash1813) e altri Fino ai suoi studi si dava come ovvioche una funzione che assuma sia valori positivi che negativi assume anche il valorezero In realtagrave questo egrave tuttrsquoaltro che ovvio e dipende dalla struttura profonda deinumeri reali

t e o r ema d i b o l z a no s u g l i z e r i Sia 119891 una funzione continua definitanellrsquointervallo chiuso [119901 119902] Se 119891(119901) lt 0 e 119891(119902) gt 0 esiste un punto 119888 internoallrsquointervallo [119901 119902] tale che 119891(119888) = 0

Lrsquoidea di Bolzano egrave semplice Poniamo 1199010 = 119901 e 1199020 = 119902 dividiamo lrsquointervallo[1199010 119902119900] a metagrave e sia 1199030 il punto medio Ci sono tre casi (1) 119891(1199030) = 0 (2) 119891(1199030) lt 0(3) 119891(1199030) gt 0

Nel primo caso abbiamo finito e poniamo 119888 = 1199030 Nel secondo caso poniamo 1199011 = 1199030e 1199021 = 1199020 Nel terzo caso poniamo 1199011 = 1199010 e 1199021 = 1199030 Cosigrave se 119891(1199030) ne 0 possiamoconsiderare 119891 definita sullrsquointervallo [1199011 1199021] con 119891(1199011) lt 0 e 119891(1199021) gt 0

A questo punto possiamo far partire il meccanismo se supponiamo di essere arrivatial passo 119899 gt 0 con la stessa tecnica troviamo o un punto 119903119899+1 tale che 119891(119903119899+1) = 0oppure un intervallo [119901119899+1 119902119899+1] tale che 119891(119901119899+1) lt 0 e 119891(119902119899+1) gt 0

Se il meccanismo arriva a una fine cioegrave a un passo 119899 in cui 119891(119903119899) = 0 il teoremaper 119891 egrave dimostrato In caso contrario abbiamo la successione inscatolata di intervalli[119901119899 119902119899] che hanno lunghezze decrescenti indefinitamente infatti se 119897 = 119902 minus 119901 lalunghezza dellrsquo119899-esimo intervallo egrave 1198972119899 Dunque esiste un unico punto 119888 comune atutti gli intervalli come si intuisce e come vedremo con precisione nel capitolo 8

Qui arrivava Bolzano e concludeva che 119891(119888) = 0 lasciando perograve un buco nelladimostrazione Noi abbiamo alle spalle Weierstraszlig e possiamo colmarlo

Chiamiamo 119878minus lrsquoinsieme dei punti 119901119899 e 119878+ lrsquoinsieme dei punti 119902119899 Allora 119888 egrave un puntodi accumulazione sia di 119878minus sia di 119878+ Siccome 119891 egrave continua lo egrave in particolare in 119888 equindi

119891(119888) = lim119911rarr119888

119891(119911) = lim119911rarr119888119911isin119878minus

119891(119911) = lim119911rarr119888119911isin119878+

119891(119911)

Siccome su 119878minus si ha 119891(119911) lt 0 e su 119878+ si ha 119891(119911) gt 0 egrave immediato verificare che

119891(119888) = lim119911rarr119888119911isin119878minus

119891(119911) le 0 e 119891(119888) = lim119911rarr119888119911isin119878+

119891(119911) ge 0

1 I matematici della famiglia furono Jakob Bernoulli (1654ndash1705) Nicolaus Bernoulli (1687ndash1759) Johann Ber-noulli (1667ndash1748) Nicolaus Bernoulli II (1695ndash1726) Daniel Bernoulli (1700ndash1782) Johann Bernoulli II (1710ndash1790) Johann Bernoulli III (1744ndash1807) Jakob Bernoulli II (1759ndash1789) I maggiori furono Jakob Nicolaus eDaniel

42 continuitagrave

per il teorema della permanenza del segno Lrsquounico numero che soddisfa entrambe ledisuguaglianze egrave 119891(119888) = 0

Le ipotesi sui valori di 119891 agli estremi non sono poi cosigrave stringenti vale lo stesso se119891(119901) gt 0 e 119891(119902) lt 0 basta applicare il teorema alla funzione 119909 ↦ minus119891(119909) Ma possiamodire molto di piugrave

Vediamo unrsquoapplicazione Vogliamo vedere se lrsquoequazione 119909 minus 1 = log10(119909 + 2) hasoluzioni Consideriamo la funzione 119891(119909) = 119909 minus 1 minus log10(119909 + 2) Allora 119891(0) =minus1 minus log10 2 lt 0 mentre 119891(8) = 7 minus log10(10) = 7 minus 1 = 6 gt 0 Dunque lrsquoequazioneammette soluzione sebbene non abbiamo alcun metodo per determinarla ldquoesattamen-terdquo Analogamente lrsquoequazione 119909 = cos119909 ha soluzione infatti se 119891(119909) = 119909 minus cos119909abbiamo 119891(0) = minus1 lt 0 e 119891(1205872) = 1205872 gt 0

Piugrave avanti vedremo metodi piugrave potenti che ci potranno anche dire il numero disoluzioni

t e o r ema d e i v a l o r i i n t e rm ed i Sia 119891 definita su un intervallo 119868 e con-tinua Se 119886 e 119887 con 119886 lt 119887 sono valori assunti da 119891 allora 119891 assume anche ognivalore 119910 con 119886 lt 119910 lt 119887

Per ipotesi esistono punti 119901119902 isin 119868 tali che 119891(119901) = 119886 e 119891(119902) = 119887 Supponiamo che119901 lt 119902 la dimostrazione nel caso 119902 lt 119901 egrave identica La funzione

119909 ↦ 119892(119909) = 119891(119909) minus119910

egrave continua in [119901 119902] e 119892(119901) = 119891(119901) minus 119910 = 119886 minus 119910 lt 0 mentre 119892(119902) = 119891(119902) minus 119910 =119887 minus 119910 gt 0 Per il teorema sugli zeri esiste un punto 119888 nellrsquointervallo [119901 119902] tale che119892(119888) = 0 Ma allora 119891(119888) = 119910

Lrsquoipotesi che 119891 sia definita su un intervallo egrave essenziale la funzione 119891(119909) = 1119909egrave continua 119891(minus1) = minus1 lt 0 119891(1) = 1 gt 0 ma non esiste alcun punto 119888 in cui119891(119888) = 0 Questo non contraddice il teorema percheacute questa funzione non egrave definitasu un intervallo

Il teorema sugli zeri non egrave lrsquounico contributo di Bolzano che enunciograve anche unrisultato poi reso rigoroso da Weierstraszlig

t e o r ema Sia 119891 una funzione definita sullrsquointervallo chiuso [119901 119902] e continuaAllora 119891 assume un valore massimo e un valore minimo

La dimostrazione di questo teorema egrave piuttosto difficile sebbene usi ancora lrsquoidea della bise-zione per un risultato preliminare esistono numeri 119896 e 119870 tali che per 119909 isin [119901 119902] 119896 le 119891(119909) le 119870Si esprime questo dicendo che 119891 egrave limitata Supponiamo dapprima che per 119909 isin [119901 119902]119891(119909) ge 0 Perciograve 119891 non egrave limitata se per qualsiasi 119904 gt 0 esiste 119909119904 tale che 119891(119909119904) ge 119904 Ladimostrazione saragrave per assurdo quindi supponiamo che 119891 non sia limitata

Come nella dimostrazione del teorema precedente poniamo 1199010 = 119901 e 1199020 = 119902 e dividiamolrsquointervallo a metagrave con il punto medio 1199030 La funzione saragrave non limitata in almeno una delle duemetagrave dellrsquointervallo quindi possiamo definire

1199011 = 1199010 1199021 = 1199030 se 119891 non egrave limitata in [1199011 1199021]1199011 = 1199030 1199021 = 1199020 se 119891 non egrave limitata in [1199011 1199021]

Conveniamo che se la funzione non egrave limitata in entrambe le metagrave scegliamo quella di sinistra(andrebbe bene anche scegliere quella di destra naturalmente lrsquoimportante egrave fissare una regola)

Anche qui possiamo dare il via al meccanismo percheacute la funzione 119891 pensata come definitasullrsquointervallo [1199011 1199021] soddisfa le stesse ipotesi Quindi possiamo supporre di avere una suc-cessione inscatolata e indefinitamente decrescente di intervalli [119901119899 119902119899] in ciascuno dei qualila funzione non egrave limitata

23 il teorema di bolzano sugli zeri 43

Esiste un unico punto 119888 che appartiene a tutti questi intervalli e 119891 egrave continua in 119888 Quindiesiste un intorno 119880 di 119888 tale che per 119911 isin 119880 |119891(119911) minus 119891(119888)| le 1 (prendiamo come tolleranza1 andrebbe bene un numero positivo qualsiasi) Siccome 119880 contiene un intervallo aperto dellaforma (119888 minus 120575 119888 + 120575) con 120575 gt 0 possiamo trovare 119898 tale che 1198972119898 lt 120575 Allora [119901119898 119902119898] sube 119880e perciograve per 119911 isin [119901119898 119902119898]

0 le 119891(119911) le 119891(119888) + 1

contro lrsquoipotesi che 119891 non sia limitata in [119901119898 119902119898] contraddizione Dunque 119891 egrave limitataA questo punto possiamo passare a funzioni qualsiasi la funzione 119892 = |119891| soddisfa la con-

dizione 119892(119909) ge 0 per 119909 isin [119901 119902] e quindi esiste 119870 tale che 0 le 119892(119909) le 119870 Ne segue cheminus119870 le 119891(119909) le 119870 e quindi 119891 egrave limitata

Ora possiamo dimostrare lrsquoesistenza di un punto nellrsquointervallo [119901 119902] dove 119891 assume il va-lore massimo Siccome lrsquoinsieme dei valori assunti da 119891 egrave limitato esso ha un estremo superiore119872 Se dimostriamo che 119891 assume il valore 119872 siamo a posto Ancora per assurdo supponiamoche 119891(119909) ne 119872 per ogni 119909 isin [119901 119902] Consideriamo la funzione

119892(119909) = 1119872minus119891(119909)

Per definizione di 119872 e per lrsquoipotesi di contraddizione abbiamo 119891(119909) lt 119872 per 119909 isin [119901 119902] quindi119892 egrave continua Dimostriamo che 119892 non egrave limitata da cui deriveragrave lrsquoassurdo percheacute violeremmociograve che abbiamo appena dimostrato

Sia 119904 gt 0 dobbiamo dimostrare che possiamo trovare 119909119904 isin [119901 119902] tale che 119892(119909119904) ge 119904 Perdefinizione di estremo superiore esiste un valore della funzione 119891 che appartiene allrsquointervallo[119872minus (1119904) 119872] cioegrave troviamo 119909119904 isin [119901 119902] tale che

119872minus 1119904 le 119891(119909119904) lt 119872

quindi

0 lt 119872minus119891(119909119904) le1119904

e dunque prendendo i reciproci1

119872minus119891(119909119904)ge 119904

cioegrave proprio 119892(119909119904) ge 119904 Dunque la possibilitagrave di definire 119892 conduce a un assurdo e ne segue che119891 deve assumere il valore 119872

Per lrsquoesistenza del minimo si procede in modo analogo (o si prende minus119891)

Si possono notare fondamentali differenze tra due dimostrazioni che usano la stessa idea inquella del teorema sugli zeri si dagrave una procedura ldquoeffettivardquo che permette almeno in linea diprincipio di trovare unrsquoapprossimazione del punto 119888 tale che 119891(119888) = 0 La dimostrazione delsecondo teorema invece consiste di due dimostrazioni per assurdo non dagrave alcuna proceduraeffettiva per determinare dove sia il punto di massimo (o quello di minimo)

Il problema di trovare uno zero di funzione si puograve affrontare con il calcolo approssimato conil metodo di bisezione o altri piugrave raffinati Quello di trovare i punti di massimo e minimo egraveinvece piugrave complesso Per funzioni derivabili invece si possono dare metodi numerici comevedremo

Il teorema dei valori intermedi ha conseguenze molto importanti Una funzione 119891si dice strettamente crescente quando per 1199091 1199092 isin 119863(119891) se 1199091 lt 1199092 allora 119891(1199091) lt119891(1199092) Si dice strettamente decrescente quando per 1199091 1199092 isin 119863(119891) se 1199091 lt 1199092 allora119891(1199091) gt 119891(1199092) Il termine strettamente monotona significa che 119891 egrave strettamente cre-scente o strettamente decrescente Notiamo che una funzione strettamente monotonaegrave iniettiva e quindi considerando come codominio lrsquoimmagine invertibile

t e o r ema Se una funzione continua 119891 definita su un intervallo egrave strettamentemonotona allora 119891 egrave invertibile e la sua inversa egrave definita su un intervallo

44 continuitagrave

Quello che ci interessa egrave che lrsquoimmagine sia un intervallo Ma per il teorema deivalori intermedi lrsquoimmagine egrave un insieme 119868 di numeri reali tale che se 119886119887 isin 119868 allora[119886 119887] sube 119868 Dunque 119868 egrave un intervallo la dimostrazione completa richiede di esaminareun buon numero di casi ne tratteremo alcuni lasciando il resto per esercizio

Poniamo 119901 = inf 119868 e 119902 = sup 119868 e ammettiamo per il momento che nessuno dei due siainfinito Se 119901 isin 119868 e 119902 isin 119868 egrave evidente che 119868 = [119901 119902] infatti [119901 119902] sube 119868 per quantovisto prima se poi 119910 isin 119868 abbiamo 119901 le 119910 le 119902 e quindi 119910 isin [119901 119902]

Supponiamo che 119901 notin 119868 119902 isin 119868 vogliamo vedere che 119868 = (119901 119902] Se 119901 lt 119910 le 119902 dalladefinizione di estremo inferiore segue che esiste 119911 isin 119868 tale che 0 lt 119911minus119901 lt (119910minus119901)2perciograve 119910 isin [119911 119902] e [119911 119902] sub 119868 da cui 119910 isin 119868 Dunque (119901 119902] sube 119868 Viceversa se119910 isin 119868 abbiamo [119910 119902] sube 119868 e dunque 119910 gt 119901 (non puograve essere 119910 = 119901 percheacute 119901 notin 119868)Dunque 119910 isin (119901 119902]

Si procede analogamente nel caso in cui 119901 isin 119868 e 119902 notin 119868 Nel caso in cui 119901 notin 119868 e 119902 notin 119868si tratta di adattare le due dimostrazioni precedenti

Lasciamo come esercizio i casi in cui 119901 = minusinfin oppure 119902 = +infin

t e o r ema Se una funzione continua 119891 definita su un intervallo egrave invertibileallora egrave strettamente monotona

Supponiamo che 119891 non sia strettamente monotona Allora esistono tre punti deldominio di 119891 1199091 1199092 1199093 isin 119863(119891) con 1199091 lt 1199092 lt 1199093 tali che valga una delle condizioniseguenti

1 119891(1199091) lt 119891(1199092) 119891(1199092) gt 119891(1199093) 119891(1199091) lt 119891(1199093)2 119891(1199091) lt 119891(1199092) 119891(1199092) gt 119891(1199093) 119891(1199091) ge 119891(1199093)3 119891(1199091) gt 119891(1199092) 119891(1199092) lt 119891(1199093) 119891(1199091) lt 119891(1199093)4 119891(1199091) gt 119891(1199092) 119891(1199092) lt 119891(1199093) 119891(1199091) ge 119891(1199093)

Svolgiamo la dimostrazione nel primo caso gli altri si trattano in modo analogo Peril teorema dei valori intermedi esiste 119888 isin [1199091 1199092] tale che 119891(119888) = 119891(1199093) dunque 119891non egrave iniettiva

l emma Se 119891 egrave una funzione monotona definita sullrsquointervallo chiuso [119901 119902] e119901 lt 119909 lt 119902 allora esistono

lim119911rarr119909minus

119891(119911) e lim119911rarr119909+

119891(119911)

e si ha lim119911rarr119909minus 119891(119911) le lim119911rarr119909+ 119891(119911) Esistono anche lim119911rarr119901 119891(119911) e lim119911rarr119902 119891(119911)

Scriviamo la dimostrazione solo per lim119911rarr119909+ 119891(119911) gli altri casi sono del tutto analo-ghi

Siccome 119891 egrave monotona abbiamo 119891(119901) le 119891(119911) per ogni 119911 isin [119901 119902] Se 120575 gt 0e 119909 + 120575 le 119902 lrsquoinsieme dei valori assunti da 119891 nellrsquointervallo (119909 119909 + 120575) egrave limitatoinferiormente quindi ne esiste lrsquoestremo inferiore 119897 Il nostro scopo egrave di dimostrareproprio che lim119911rarr119909+ 119891(119911) = 119897

Sia data la tolleranza 120576 gt 0 per le proprietagrave dellrsquoestremo inferiore esiste 1199110 isin(119909 119909 + 120575) tale che 119891(1199110) minus 119897 le 120576 Se 119911 isin (119909 1199110) avremo 119891(119911) le 119891(1199110) e quindi119891(119911) minus 119897 le 120576 abbiamo trovato lrsquointorno nel quale egrave soddisfatta la tolleranza richiesta

La dimostrazione che lim119911rarr119909minus 119891(119911) le lim119911rarr119909+ 119891(119911) egrave lasciata per esercizio

Notiamo unrsquoimportantissima conseguenza se per un certo 119909 si ha

119897 = lim119911rarr119909minus

119891(119911) lt lim119911rarr119909+

119891(119911) = 119898

24 tecniche di calcolo dei limiti 45

allora nessun punto interno allrsquointervallo [119897 119898] puograve appartenere allrsquoimmagine di 119891 equindi 119891 non egrave continua Siccome egrave evidente che lrsquoinversa di una funzione strettamentemonotona egrave anchrsquoessa strettamente monotona abbiamo il teorema seguente

t e o r ema Se 119891 egrave una funzione continua definita su un intervallo e strettamen-te monotona allora 119891 egrave invertibile e la sua inversa egrave continua e definita su unintervallo

Che 119891 sia invertibile egrave giagrave stato dimostrato Inoltre sappiamo che lrsquoinversa 119892 egrave defi-nita su un intervallo Il problema egrave di applicare il lemma che parla di intervalli chiusiSe 119910 egrave un punto dellrsquoimmagine di 119892 abbiamo tre casi (1) 119910 egrave il minimo dellrsquoimmagine(2) 119910 egrave un punto interno allrsquoimmagine (3) 119910 egrave il massimo dellrsquoimmagine In alcun caso119910 egrave lrsquounico punto dellrsquoimmagine percheacute 119891 egrave iniettiva e il dominio egrave un intervallo (chenon egrave formato per definizione da un solo punto) Possiamo applicare il lemma nelprimo caso a un qualsiasi intervallo del tipo [1199101199102] con 1199102 appartenente allrsquoimmagi-ne 119910 lt 1199102 nel secondo caso a un qualsiasi intervallo del tipo [11991011199102] con 1199101 e 1199102nellrsquoimmagine e 1199101 lt 119910 lt 1199102 nel terzo caso a un qualsiasi intervallo [1199101119910] con 1199101nellrsquoimmagine 1199101 lt 119910

In tutti i casi abbiamo che 119892 egrave continua in 119910

Con questo ci saremmo potuti risparmiare il lavoro di dimostrare che la funzione119909 ↦ radic119909 egrave continua percheacute egrave lrsquoinversa di 119909 ↦ 1199092 definita su [0 rarr) Torneremosullrsquoargomento

24 tecniche di calcolo dei limiti

In genere non egrave possibile lsquocalcolare un limitersquo spesso si riesce solo a dimostrare cheesiste Tuttavia qualche trucco a volte funziona

t e o r ema Sia 119892 una funzione continua in 119910 e sia 119891 una funzione tale che lacomposizione 119892 ∘ 119891 sia definita in un intorno di 119909 Se

lim119911rarr119909

119891(119911) = 119910

alloralim119911rarr119909

119892(119891(119911)) = 119892(119910)

Dire che lim119911rarr119909 119891(119911) = 119910 significa che la funzione 119891 definita da

119891(119911) =⎧⎨⎩

119891(119911) se 119911 ne 119909119910 se 119911 = 119909

egrave continua in 119909 Dunque la composizione 119909 ↦ 119892(119891(119909)) egrave continua in 119909

Diamo un esempio di applicazione di questo teorema per calcolare

lim119911rarr1

sin 1 minus 1199111minusradic119911

Ci basta calcolare119897 = lim

119911rarr1

1minus 1199111minusradic119911

46 continuitagrave

(se esiste) percheacute allora il limite cercato vale sin 119897 Il limite della frazione egrave

lim119911rarr1

1 minus 1199111minusradic119911 = lim

119911rarr1

(1 minusradic119911)(1 +radic119911)1 minusradic119911

= lim119911rarr1

(1 +radic119911) = 2

La semplificazione si puograve eseguire percheacute in tutto il calcolo si assume 119911 ne 1 e in questomodo ci si riduce alla funzione continua 119911 ↦ 1 +radic119911 Dunque il limite proposto valesin2

119909

119910

119860prime

119860

119861prime

119861

119862prime

119862

figura 5 Calcolo di lim119911rarr0

119911 log119911

Possiamo provare a calcolare un limite piugrave difficile lim119911rarr0 119911119911 Siccome 119911119911 = exp(119911 log119911)possiamo ridurci a calcolare lim119911rarr0 119911 log119911 se questo limite egrave 119897 quello richiesto saragrave exp(119897) Quiusiamo la continuitagrave di log e di exp anche se non egrave stata ancora ufficialmente dimostrata

Per 0 lt 119911 lt 1 che egrave quanto ci interessa log119911 si puograve vedere come lrsquoopposto dellrsquoarea indicatanella figura 5 dal lsquotrapeziorsquo con lato obliquo curvo 119860119860prime119861prime119861 che maggioriamo con la somma dellearee dei due trapezi (con lato obliquo rettilineo) 119860119860prime119862prime119862 e 119862119862prime119861prime119861 Il punto 119861 egrave dunque quellodi coordinate (119911 0) mentre 119861prime ha coordinate (119911 1119911) Come 119862 scegliamo il punto di coordinate(radic119911 0) e perciograve 119862prime ha coordinate (radic119911 1radic119911) Chiamiamo 1198781 e 1198782 le aree di 119860119860prime119862prime119862 e 119862119862prime119861prime119861rispettivamente allora

1198781 = 12(1 minusradic119911)(1+ 1

radic119911) = 12( 1

radic119911 minusradic119911)

1198782 = 12(radic119911minus 119911)( 1

radic119911 + 1119911) = 1

2( 1radic119911 minusradic119911)

cioegrave le aree dei due trapezi sono uguali Dunque

minus log119911 le 1radic119911 minusradic119911

e perciograve

119911(radic119911minus 1radic119911) le 119911 log119911 le 0

da cui otteniamo che119911radic119911minusradic119911 le 119911 log119911 le 0

e per il teorema sul confronto dei limiti abbiamo che

lim119911rarr0

119911 log119911 = 0

dal quale finalmente otteniamolim119911rarr0

119911119911 = 1

24 tecniche di calcolo dei limiti 47

Risultato che tutto sommato ci attendevamo ma che non egrave affatto ovvio Con i metodi piugrave potentiche studieremo piugrave avanti non saragrave necessaria tutta questa fatica per dimostrare che

lim119911rarr0

119911119899 log119899 = 0

per ogni 119899 gt 0

Il risultato precedente ci permette di ldquoportar fuorirdquo dal limite una funzione continuail prossimo ci permetteragrave di ldquocambiare la variabilerdquo

t e o r ema Sia 119891 una funzione continua definita su un intervallo e invertibileSe 119909 appartiene allrsquoimmagine di 119891 e 119892 egrave una funzione definita in un intorno di 119909escluso 119909 allora

lim119911rarr119909

119892(119911) = lim119905rarr119891minus1(119909)

119892(119891(119905))

nel senso che uno esiste se e solo se esiste lrsquoaltro e in tal caso sono uguali

La dimostrazione consiste nel ricordare che una funzione continua definita su unintervallo e invertibile ha inversa con le stesse proprietagrave Quindi si riduce a scrive-re una camionata di disuguaglianze e perciograve la omettiamo Vediamo invece qualcheinteressante applicazione

Cominciamo con uno facilelim119909rarr0

1199091minusradic1minus119909

Possiamo considerare come 119891 la funzione 119905 ↦ 1minus119905 che soddisfa certamente le ipotesiAl posto di 119909 metteremo dunque (1 minus 119905) e siccome 119891minus1(0) = 1 dovremo calcolare

lim119905rarr1

1 minus 1199051 minusradic119905

che abbiamo giagrave calcolato e vale 2Come si fa in pratica Vogliamo togliere di mezzo 1minus119909 sostituendolo con qualcosa

di piugrave semplice allora scriviamo formalmente 119905 = 1minus119909 e cerchiamo di risolvere rispettoa 119909 ottenendo 119909 = 1minus 119905 La funzione 119905 ↦ (1minus 119905) egrave di quelle buone e quindi possiamoeseguire la sostituzione Un esempio piugrave complicato

lim119909rarr1205872

sin119909minus cos119909minus 1cos119909

Il trucco che qui funziona egrave la sostituzione 119905 = tan(1199092) che trasforma lrsquoespressionedata in una frazione algebrica La possiamo usare percheacute la funzione 119909 ↦ tan(1199092)egrave invertibile se si limita il dominio allrsquointervallo (minus120587 120587) lrsquoinversa dagrave allora 119909 =2 arctan 119905 e quando 119909 = 1205872 avremo 119905 = tan(1205874) = 1 Ricordiamo poi che

sin119909 = 21199051 + 1199052 cos119909 = 1minus 1199052

1 + 1199052

e perciograve

sin119909minus cos119909minus 1 = 2119905 minus (1 minus 1199052) minus (1 + 1199052)1 + 1199052

= 2(119905 minus 1)1 + 1199052

Allora dobbiamo calcolare

lim119905rarr1

2(119905 minus 1)1 + 1199052

1 + 11990521 minus 1199052 = lim

119905rarr1

2(119905 minus 1)1 minus 1199052 = lim

119905rarr1

minus21+ 119905 = minus1

48 continuitagrave

Potremmo anche usare la sostituzione 119906 = 1205872 minus 119909 cioegrave 119909 = 1205872 minus 119906 che porta illimite nella forma

lim119906rarr0

cos119906minus sin119906minus 1sin119906 = lim

119906rarr0(cos119906minus 1

sin119906 minus 1) = minus1+ lim119906rarr0

cos119906minus 1119906

119906sin119906 = minus1

percheacute sappiamo giagrave che lim119906rarr0(1 minus cos119906)119906 = 0

25 funzioni composte

Supponiamo di voler calcolare la derivata della funzione 119909 ↦ log(119909 + 1) Lrsquointuizioneci dice che la funzione egrave derivabile percheacute il suo grafico non egrave altro che la traslazionedel grafico del logaritmo se questo ha tangente in ogni punto anche ogni traslatodeve averlo Ancora abbiamo ldquocalcolatordquo la derivata di 119909 ↦ (1minus1199092)12 con un trucconel quale supponevamo fin dallrsquoinizio che la funzione fosse derivabile Questo mododi procedere comune nei primi tempi dellrsquoanalisi puograve condurre a risultati scorretti oaddirittura paradossali

Supponiamo che abbia senso la somma di infiniti termini

119878 = 1+ 2+ 4+⋯+ 2119899 +⋯

e che per queste espressioni valgano le regole usuali Allora

2119878 = 2+ 4+ 8+⋯+ 2119899+1 +⋯ = (minus1) + 1+ 2+ 4+⋯ = minus1+ 119878

Dunque 2119878 = 119878minus1 da cui 119878 = minus12 Difficile crederci pare Eppure Euler sosteneva sulla basedi questi conti che i numeri negativi fossero da considerare maggiori di ldquoinfinitordquo

Occorre perciograve qualcosa di piugrave rigoroso Non che sia del tutto illecito il metodo diporre

119865(119909) = radic1minus1199092

e notare che 119865(119909)2 = 1 minus 1199092 da cui derivando ambo i membri e usando al primo laregola di Leibniz

119865prime(119909)119865(119909) + 119865(119909)119865prime(119909) = minus2119909

119865prime(119909) = minus119909119865(119909) = minus 119909

radic1minus1199092(119909 ne minus1 119909 ne 1)

Egrave illecito se prima non dimostriamo la derivabilitagrave di 119865La risposta ci egrave data dal concetto di composizione di funzioni Nel nostro caso pos-

siamo scrivere 119865(119909) = 119892(119891(119909)) dove 119891∶ 119909 ↦ 1 minus 1199092 e 119892∶ 119910 ↦ radic119910 Usiamo simbolidiversi per le variabili in modo da distinguere meglio le due funzioni Entrambe lefunzioni componenti sono derivabili nel loro dominio a parte che la seconda non lo egravein 0 Proviamo a ragionare in modo intuitivo e poi a rendere rigorosa la dimostrazione

Dobbiamo calcolare il rapporto di Fermat di 119865

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))

ℎ

Lrsquoidea egrave che per ℎ piccolo 119891(119909+ℎ) egrave approssimabile con 119891(119909)+ℎ119891prime(119909) e 119896 = ℎ119891prime(119909)egrave piccolo quindi 119892(119891(119909)+ℎ119891prime(119909)) = 119892(119910+119896) egrave approssimabile con 119892(119910)+119896119892prime(119910) =119892(119910) + ℎ119892prime(119910)119891prime(119909) e dunque

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

25 funzioni composte 49

Con le funzioni scritte si ha

119891prime(119909) = minus2119909 119892prime(119910) = 12radic119910

A dire il vero non avevamo ancora calcolato la derivata di 119892 lo si faccia per esercizioPer 119910 = 119891(119909) si ha proprio

119865prime(119909) = 119892prime(119910)119891prime(119909) = 12radic119910(minus2119909) = minus2119909

2radic1minus1199092= minus119909

radic1minus1199092

che coincide con il valore ldquocalcolatordquo con lrsquoaltro metodo

t e o r ema Sia119891 definita e continua in un intorno di119909 e derivabile in119909 La funzio-ne 119892 sia definita in un intorno di 119910 = 119891(119909) e derivabile in 119910 = 119891(119909) Supponiamoinfine che la composizione 119865∶ 119911 ↦ 119892(119891(119911)) sia definita in un intorno di 119909 Allora 119865egrave derivabile in 119909 e

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

Le ipotesi che abbiamo scritto non sono le meno restrittive possibili ma questesaranno sufficienti per le applicazioni

Dobbiamo trattare il rapporto di Fermat di 119865

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))

ℎ

Sappiamo scrivere 119891(119909+ℎ) = 119891(119909)+ℎ119891prime(119909)+ℎ120593(ℎ) dove limℎrarr0 120593(ℎ) = 0 siccome119891 egrave continua in 119909 per ℎ piccolo anche 119896 = ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ) saragrave piccolo e quindipotremo calcolare 119892(119910+ 119896) dunque la nostra espressione diventa

119892(119891(119909) + 119896) minus 119892(119891(119909))ℎ = 119892(119891(119909)) + 119896119892prime(119891(119909)) +120595(119896) minus 119892(119891(119909))

ℎ

dove abbiamo usato la formula analoga per 119892 119892(119910+119896) = 119892(119910)+119896119892prime(119910)+119896120595(119896) conlim119896rarr0 120595(119896) = 0 e 119910 = 119891(119909) Andiamo avanti

119896119892prime(119891(119909)) + 119896120595(119896)ℎ = (119892prime(119891(119909)) +120595(119896)) 119896ℎ

= (119892prime(119891(119909)) +120595(119896))(119891prime(119909) +120593(ℎ))

A questo punto prendiamo il limite per ℎ rarr 0 e otteniamo

limℎrarr0

119892(119891(119909+ℎ)) minus 119892(119891(119909))ℎ = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

Abbiamo naturalmente usato il fatto che

limℎrarr0

119896 = limℎrarr0

ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ) = 0

non abbiamo scritto 119896(ℎ) solo per evitare di complicare la formula ma la definizione119896 = ℎ119891prime(119909) + ℎ120593(ℎ) rende chiaro che si tratta di una funzione che ha limite 0 perℎ rarr 0 Come si vede lrsquoidea di considerare la tangente come la retta che approssimameglio il grafico della funzione vicino al punto considerato egrave vincente

Questo teorema permette di calcolare la derivata di moltissime funzioni che ancoranon sapevamo trattare Per esempio siccome

119909119903 = exp(119903 log119909)

50 continuitagrave

se consideriamo 119865(119909) = 119909119903 (definita per 119909 gt 0) avremo

119891(119909) = 119903 log119909 119892(119910) = exp119910

e perciograve

119891prime(119909) = 119903119909 119892prime(119910) = exp119910

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909) = exp(119903 log119909)119903119909 = 119903119909119903 1119909 = 119903119909119903minus1

esattamente come nel caso di 119909 ↦ 119909119899 con 119899 intero positivo Il ragionamento non valeper 119903 = 0 ma non occorre scomodare tanta teoria per derivare la funzione 119909 ↦ 1 Per119903 = 12 si ha proprio che la derivata di 119892∶ 119910 ↦ radic119910 egrave

119892prime(119910) = 12radic119910

Nel caso della funzione 119865∶ 119909 ↦ 119899radic119909 che per 119899 gt 0 intero dispari egrave definita ancheper 119909 le 0 possiamo usare un trucco se 119909 gt 0 si ha 119899radic119909 = 1199091119899 e quindi la derivata sipuograve calcolare come prima Nel caso di 119909 lt 0 si ha

119899radic119909 = minus(minus119909)1119899

Quindi per 119909 lt 0 ponendo per comoditagrave 119903 = 1119899 si ha

119865prime(119909) = 119903(minus119909)119903minus1 sdot (minus1)

dove abbiamo usato 119891(119909) = minus119909 e 119892(119910) = 1199101119899 Perciograve

119865prime(119909) = 119903(minus(minus119909)119903)119909 =

119899radic119909119899119909

che egrave la stessa espressione valida anche quando 119909 gt 0 Si noti che la formula non valeper 119909 = 0 e infatti 119909 ↦ 119899radic119909 non egrave derivabile in 0 Lo si verifichi esplicitamente

3FUNZ ION I DER IVAB I L I

Diamo la definizione formale di derivabilitagrave alla luce della teoria dei limiti Sia 119909 unpunto di accumulazione appartenente al dominio 119863(119891) della funzione 119891 Diremo che119891 egrave derivabile in 119909 se esiste

limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ = 119891prime(119909)

Questa espressione si scrive anche in modo del tutto equivalente

lim119911rarr119909

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 = 119891prime(119909)

dal momento che la funzione continua ℎ ↦ 119909 + ℎ egrave invertibile In altre parole lafunzione

119907119891119909(ℎ) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)ℎ se ℎ ne 0

119891prime(119909) se ℎ = 0

egrave continua in 0 precisamente quando 119891 egrave derivabile in 119909 e la sua derivata egrave il numero119891prime(119909)

Diremo che 119891 egrave derivabile se egrave tale in ogni punto di accumulazione del dominio (laderivata non ha senso nei punti isolati)

t e o r ema Se 119891 egrave derivabile in 119909 allora 119891 egrave continua in 119909

Per ℎ ne 0 possiamo evidentemente scrivere

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + ℎ119907119891119909(ℎ)

e quindi per i teoremi sui limiti visto che 119907119891119909 egrave continua in 0

limℎrarr0

119891(119909+ℎ) = limℎrarr0

(119891(119909) + ℎ119907119891119909(ℎ)) = 119891(119909) + 0119891prime(119909) = 119891(119909)

Una prima applicazione egrave alla continuitagrave di log dal momento che ne abbiamo giagrave di-mostrato la derivabilitagrave inoltre sappiamo giagrave che log egrave strettamente crescente e definitain (0 rarr)

t e o r ema La funzione 119909 ↦ log119909 egrave continua Di conseguenza anche 119909 ↦ exp119909egrave continua

Abbiamo infatti visto che logprime esiste in ogni punto del dominio

d e f i n i z i o n e Sia data una funzione 119891 Un punto 119909 di 119863(119891) si dice un puntodi massimo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119891(119911) le 119891(119909)Un punto 119909 di 119863(119891) si dice un punto di minimo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale cheper 119911 isin 119880cap119863(119891) 119891(119911) ge 119891(119909)

Egrave evidente che un punto isolato del dominio egrave sia di massimo che di minimo ciinteressano di piugrave ovviamente i punti di massimo e di minimo che siano punti diaccumulazione del dominio In caso di dubbio parleremo di massimo e minimo locale(si dice spesso anche relativo) se dobbiamo distinguere dal valore massimo o minimoassunti dalla funzione

t e o r ema Se 119891 egrave definita in un intervallo aperto (119901 119902) e 119909 isin (119901 119902) egrave unpunto di massimo o di minimo locale in cui 119891 egrave derivabile allora 119891prime(119909) = 0

51

52 funzioni derivabili

Dimostriamo la tesi nel caso in cui 119909 sia un punto di massimo per un punto diminimo basta considerare minus119891 Sia 119880 un intorno di 119909 tale che per 119911 isin 119880 119891(119911) le 119891(119909)Allora per 119911 isin 119880 119911 gt 119909 si ha

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 le 0

mentre per 119911 isin 119880 119911 lt 119909 si ha

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 le 0

Per il teorema della permanenza del segno per i due limiti seguenti che esistono percheacute119891 egrave derivabile in 119909 vale

119891prime(119909) = lim119911rarr119909+

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909 le 0 119891prime(119909) = lim

119911rarr119909minus119891(119911) minus 119891(119909)

119911 minus119909 ge 0

e dunque 119891prime(119909) = 0

31 i teoremi sulle funzioni derivabili

Il primo teorema importante sulle funzioni derivabili egrave quello tradizionalmente attri-buito a Michel Rolle (1652ndash1719) che perograve non ne diede che una vaga giustificazione

In molti di questi teoremi le ipotesi sulle funzioni si scrivono in un modo complicatoche cercheremo di riassumere con una locuzione

d e f i n i z i o n e La funzione 119891 si dice una funzione di Lagrange in [119901 119902] se egravedefinita e continua su [119901 119902] ed egrave derivabile su (119901 119902)

Un esempio di funzione di Lagrange egrave 119909 ↦ radic1minus1199092 sullrsquointervallo [minus1 1] Egrave con-tinua e derivabile in ogni punto del dominio esclusi proprio gli estremi Chiaramentela funzione puograve essere derivabile anche agli estremi dellrsquointervallo per essere una fun-zione di Lagrange egrave solo che la derivabilitagrave agli estremi non fa parte delle richieste Inparticolare una funzione derivabile in un intervallo (119901 119902) egrave una funzione di Lagrangesu ogni sottointervallo chiuso

t e o r ema d i r o l l e Sia 119891 una funzione di Lagrange su [119901 119902] tale che119891(119901) = 119891(119902) Allora esiste 119888 isin (119901 119902) tale che 119891prime(119888) = 0

Per il teorema di Weierstraszlig sui valori estremi 119891 assume il valore massimo e ilminimo Siccome 119891(119901) = 119891(119902) egrave evidente che uno fra massimo e minimo dovragrave cadereallrsquointerno dellrsquointervallo (ci sarebbe il caso in cui stanno entrambi agli estremi maallora la funzione sarebbe costante e la tesi sarebbe comunque verificata) dunque saragraveun massimo o minimo locale In un punto di massimo o di minimo interno la derivatache esiste per ipotesi vale 0

Il teorema di Rolle di per seacute non serve a molto Lo si enuncia percheacute la dimostrazio-ne egrave molto semplice e con esso possiamo dimostrare teoremi piugrave generali

t e o r ema d i l a g r ang e Sia 119891 una funzione di Lagrange su [119901 119902] Alloraesiste un punto 119888 isin (119901 119902) tale che

119891prime(119888) = 119891(119902) minus 119891(119901)119902 minus 119901

31 i teoremi sulle funzioni derivabili 53

Per dimostrare questo teorema vogliamo usare quello di Rolle Ci serve una funzione119892 definita in termini di 119891 che abbia le proprietagrave richieste La cerchiamo della forma

119892(119909) = 119891(119909) minus 119886119909

dove 119886 egrave un opportuno numero reale che egrave certamente una funzione di Lagrange su[119901 119902] Dobbiamo allora avere 119892(119901) = 119892(119902) cioegrave

119891(119901) minus 119886119901 = 119891(119902) minus 119886119902

che dagrave119886 = 119891(119902) minus 119891(119901)

119902 minus 119901

In base al teorema di Rolle esiste un punto 119888 tale che 119892prime(119888) = 0 cioegrave essendo 119892prime(119909) =119891prime(119909) minus 119886

119891prime(119888) minus 119886 = 0

che si traduce nellrsquouguaglianza richiesta

Il valore (119891(119902) minus 119891(119901))(119902 minus 119901) si chiama valore medio di 119891 in [119901 119902] il teoremadi Lagrange dice quindi che la derivata di una funzione di Lagrange in un intervalloassume il valore medio della funzione in quellrsquointervallo Si pensi a qualche situazionefisica in cui questo valore egrave proprio comunemente noto come lsquovalore mediorsquo

La terminologia funzione di Lagrange non egrave diffusa ma riassume bene le ipotesi (con-tinuitagrave in un intervallo chiuso e derivabilitagrave allrsquointerno non egrave richiesta la derivabilitagraveagli estremi) a una funzione di Lagrange si puograve applicare lrsquoomonimo teorema che hadue conseguenze importantissime

Il teorema di Lagrange egrave legato a unrsquoimportante concetto Data la funzione 119891 definita sul-lrsquointervallo [119901 119902] possiamo considerare la retta per i due punti (119901119891(119901)) e (119902119891(119902)) che haequazione

119910minus119891(119901) = 119891(119902) minus 119891(119901)119902 minus 119901 (119909minus119901)

Cerchiamo il punto sulla curva definita da 119891 che abbia distanza massima da questa retta Perevitare notazioni complicate chiamiamo 119898 il coefficiente angolare della retta La distanza delpunto (119905119891(119905)) da questa retta egrave

|119891(119905) minus 119891(119901) minus119898(119905 minus 119901)|radic1+1198982

e per trovare la distanza massima ci basta considerare il numeratore e togliere il modulo cioegravela funzione

119892(119905) = 119891(119905) minus 119891(119901) minus119898(119905 minus 119901)

Di questa cercheremo il minimo e il massimo poi ne calcoleremo il modulo e potremo sceglierequale sia il piugrave grande Se la funzione 119891 egrave una funzione di Lagrange possiamo essere certi cheil minimo e il massimo di 119892 siano allrsquointerno dellrsquointervallo [119901 119902] percheacute 119892(119901) = 119892(119902) = 0questo purcheacute il grafico di 119891 non sia la retta stessa ma in tal caso il problema non si porrebbenemmeno Inoltre 119892 egrave derivabile in (119901 119902) e dunque troveremo minimo e massimo dove 119892prime siannulla

119892prime(119905) = 119891prime(119905) minus119898

Dunque 119892prime(119905) = 0 se e solo se 119891prime(119905) = 119898 cioegrave 119905 egrave proprio uno dei punti la cui esistenza egrave notadal teorema di Lagrange

Vediamo in un caso semplice quello di 119891(119909) = 1198861199092 con 119886 gt 0 Cerchiamo dunque i punti119905 isin (119901 119902) in cui

119891prime(119905) = 119891(119902) minus 119891(119901)119902minus 119901 = 1198861199022 minus1198861199012

119902minus 119901 = 119886(119902+ 119901)

54 funzioni derivabili

Evidentemente si ha 119891prime(119905) = 2119886119905 e quindi 119905 = (119902 + 119901)2 La distanza massima egrave dunque

|1198861199052 minus1198861199012 minus119898(119905 minus 119901)|radic1+1198982

= |(119905 minus 119901)(119886119905 + 119886119901minus119898)|radic1+1198982

Qui 119898 = (1198861199022 minus1198861199012)(119902 minus 119901) = 119886(119902+ 119901) e dunque abbiamo

119905 minus 119901 = 119902minus1199012 119886119905 + 119886119901minus119898 = 119886119902+119901

2 +119886119901minus119886(119902+ 119901) = 1198862 (119901minus 119902)

da cui togliendo il modulo otteniamo come distanza massima

1198864

(119902 minus 119901)2

radic1+1198862(119902 + 119901)2

Per 119891(119909) = 1119909 sempre nellrsquointervallo [119901 119902] (con 119902 gt 119901 gt 0) abbiamo

119898 = 119891(119902) minus 119891(119901)119902minus 119901 = minus 1

119901119902

e dunque dobbiamo risolvere lrsquoequazione

minus 11199052 = minus 1

119901119902

che dagrave come punto di massima distanza 119905 = radic119901119902 che egrave la media geometrica tra 119901 e 119902 Da questosegue che 119901 lt radic119901119902 lt 119902 se 0 lt 119901 lt 119902 risultato dimostrabile senza passare per il teorema diLagrange naturalmente

Nel caso di 119891(119909) = sin119909 e prendendo 0 le 119901 lt 119902 le 120587 si ha

119898 = sin119902minus sin119901119902minus119901

e lrsquoequazione egravecos 119905 = sin119902minus sin119901

119902minus119901

Il teorema di Lagrange in questo caso ci garantisce che

minus1 le sin119902minus sin119901119902minus119901 le 1

percheacute lrsquoequazione ha soluzioneAnalogamente il teorema applicato a 119891(119909) = exp119909 nellrsquointervallo [0 119887] dice che lrsquoequazione

exp119887minus 1119887 = exp119888

ha soluzione in questo intervallo (percheacute 119891prime(119909) = exp119909) e essendo 119891 crescente abbiamo le duedisuguaglianze

1 le exp119887minus 1119887 le exp119887

La prima si puograve anche scrivere 1+119887 le exp119887 mentre la seconda dice che exp119887minus1 le 119887 exp119887 cioegravein altro modo (1 minus 119887) exp119887 le 1 Per 0 lt 119887 lt 1 abbiamo dunque

exp119887 le 11minus 119887

Una delle principali conseguenze del teorema di Lagrange egrave un criterio spesso utileper determinare se una funzione egrave crescente o decrescente

t e o r ema Se la funzione119891 egrave definita e derivabile in un intervallo e vale119891prime(119909) gt 0per ogni 119909 isin 119863(119891) allora 119891 egrave strettamente crescente

Consideriamo 1199091 1199092 isin 119863(119891) con 1199091 lt 1199092 allora 119891 egrave certamente una funzione diLagrange su [1199091 1199092] e quindi possiamo scrivere

119891(1199092) minus 119891(1199091) = (1199092 minus1199091)119891prime(119888) gt 0

per un opportuno 119888 isin (1199091 1199092) dunque 119891(1199091) lt 119891(1199092)

31 i teoremi sulle funzioni derivabili 55

Egrave evidente che supponendo 119891prime(119909) lt 0 la conclusione diventa che 119891 egrave strettamentedecrescente

Notiamo che la condizione appena scritta egrave solo sufficiente affincheacute una funzionederivabile sia strettamente crescente Lrsquoesempio piugrave semplice al riguardo egrave 119909 ↦ 1199093 cheegrave strettamente crescente ma ha derivata nulla in 0

t e o r ema Se la funzione 119891 egrave definita in un intervallo derivabile e 119891prime(119909) = 0 perogni 119909 isin 119863(119891) allora 119891 egrave costante

Di nuovo se 1199091 1199092 isin 119863(119891) e 1199091 lt 1199092 possiamo scrivere

119891(1199092) minus 119891(1199091) = (1199092 minus1199091)119891prime(119888) = 0

per un opportuno 119888 isin (1199091 1199092) Questo prova che il valore della funzione 119891 egrave lostesso su qualsiasi coppia di punti del dominio dunque 119891 assume lo stesso valore suogni punto

Indebolendo le ipotesi si ottiene una conclusione piugrave debole se 119891 egrave derivabile inun intervallo e 119891prime(119909) ge 0 in esso allora 119891 egrave (debolmente) crescente cioegrave se 1199091 lt 1199092allora 119891(1199091) le 119891(1199092) Lo si dimostri per esercizio Si dimostri anche che se lrsquoinsiemedei punti dove 119891prime si annulla non ha punti di accumulazione allora 119891 egrave strettamentecrescente

Vediamo un importante esempio Della funzione 119891 si sa che egrave definita ovunque eche 119891prime(119909) = 119891(119909) per ogni 119909 Che possiamo dire della funzione 119891

Conosciamo giagrave una funzione che ha queste proprietagrave la funzione esponenzialeabbiamo giagrave visto infatti che expprime 119909 = exp119909 (Non del tutto rigorosamente per la veritagrave)Siccome exp119909 ne 0 possiamo considerare la funzione

119892(119909) = 119891(119909)exp119909

che egrave definita ovunque ne calcoliamo la derivata

119892prime(119909) = 119891prime(119909) exp119909minus119891(119909) expprime 119909(exp119909)2 = 119891(119909) exp119909minus119891(119909) exp119909

(exp119909)2 = 0

per lrsquoipotesi 119891prime(119909) = 119891(119909) Dunque 119892 egrave costante se poniamo 119886 = 119892(0) avremo alloraper ogni 119909

119891(119909) = 119886 exp119909

Consideriamo ora una funzione 119865 definita in (0 rarr) tale che 119865prime(119909) = 1119909 per ogni119909 gt 0 Se consideriamo 119892(119909) = 119865(119909) minus log119909 abbiamo che

119892prime(119909) = 119865prime(119909) minus logprime 119909 = 1119909 minus 1

119909 = 0

e dunque 119892 egrave costante Poniamo 119886 = 119892(1) cioegrave 119886 = 119865(1) minus log1 = 119865(1) Allora per119909 gt 0

119865(119909) = 119865(1) + log119909

Se poniamo 119865(1) = log119896 che egrave possibile abbiamo unrsquoespressione ancora piugrave interes-sante

119865(119909) = log(119896119909)

Si provi che se 119865 egrave una funzione definita e derivabile in (0 rarr) per la quale per 119909 gt 0

119865(119909) = 119887119909 119865(1) = 0

56 funzioni derivabili

con 119887 ne 0 allora esiste un unico 119886 tale che 119865(119909) = log119886 119909 per ogni 119909 gt 0Il teorema di Lagrange e le sue conseguenze sono uno strumento insostituibile per

lo studio di funzioni percheacute spesso permettono di trovare gli ldquointervalli di crescenza edecrescenzardquo quindi di ottenere informazioni utili sullrsquoandamento di una funzione

Consideriamo per esempio 119891(119909) = 1199093 minus 3119909 allora 119891prime(119909) = 31199092 minus 3 ed egrave facilestudiarne la variazione

119909 lt minus1 119891prime(119909) gt 0 la funzione egrave crescente in (larr minus1]minus1 lt 119909 lt 1 119891prime(119909) lt 0 la funzione egrave decrescente in [minus1 1]

119909 gt 1 119891prime(119909) gt 0 la funzione egrave crescente in [1 rarr)

Di conseguenza minus1 egrave un punto di massimo e 1 egrave un punto di minimoVediamo unrsquoapplicazione di questo studio Ci ricordiamo che lrsquoequazione 119909 = cos119909

ha soluzione ma quante ne ha Consideriamo di nuovo la funzione 119891(119909) = 119909minus cos119909che egrave derivabile in ogni punto Ne calcolamo la derivata 119891prime(119909) = 1 + sin119909 che siannulla solo per sin119909 = minus1 cioegrave 119909 = 31205872 + 2119896120587 (119896 intero) In tutti gli altri punti siha 119891prime(119909) gt 0 quindi la funzione egrave strettamente crescente e perciograve puograve annullarsi in alpiugrave un punto La soluzione di 119909 = cos119909 egrave dunque unica

Facciamo qualcosa di piugrave complicato cerchiamo i valori di119898 e 119902 per i quali exp119909 = 119898119909+119902 ab-bia soluzioni e vogliamo anche discutere il numero di soluzioni al variare di119898 e 119902 Consideriamodunque 119891(119909) = exp119909minus119898119909minus119902 e studiamo la crescenza e decrescenza di 119891

119891prime(119909) = exp119909minus119898

che egrave positiva per exp119909 gt 119898 Se 119898 gt 0 la funzione egrave decrescente in (larr log119898] e crescente in[log119898 rarr) e quindi ha un minimo assoluto in log119898

Siccome 119891(log119898) = 119898 minus 119898 log119898 minus 119902 avremo una soluzione quando 119891(log119898) = 0 cioegrave119902 = 119898(1 minus log119898) percheacute il grafico di 119891 egrave tangente allrsquoasse delle ascisse due soluzioni quando119891(log119898) lt 0 cioegrave 119902 gt 119898(1 minus log119898) nessuna soluzione quando 119891(log119898) gt 0 cioegrave 119902 lt 119898(1 minuslog119898) Che ci siano soluzioni quando 119902 gt 119898(1minus log119898) si basa sui limiti

lim119909rarrminusinfin

exp119909minus119898119909minus119902 = +infin lim119909rarr+infin

exp119909minus119898119909minus119902 = +infin

che discuteremo piugrave avantiSe 119898 le 0 la disuguaglianza expminus119898 gt 0 egrave certamente soddisfatta e quindi 119891 in questo caso

egrave crescente dunque crsquoegrave al piugrave una soluzione Se 119898 = 0 lrsquoequazione diventa exp119909 = 119902 che hasoluzione solo per 119902 gt 0

Vediamo per 119898 lt 0 quello che ci interessa egrave scoprire lrsquoimmagine della funzione 119892(119909) =exp119909minus119898119909 Usando concetti che vedremo piugrave avanti possiamo dire che

lim119909rarrminusinfin

exp119909minus119898119909 = minusinfin lim119909rarr+infin

exp119909minus119898119909 = +infin

e quindi che per 119898 lt 0 si ha una soluzione qualunque sia 119902

32 i teoremi di cauchy e di lrsquohocircpital

Con una tecnica analoga a quella usata per il teorema di Lagrange si puograve dimostrare unrisultato piugrave generale dovuto a Cauchy

t e o r ema d i c a u ch y Siano 119891 e 119892 funzioni di Lagrange su [119901 119902] e suppo-niamo che 119892(119909) ne 0 per 119909 isin [119901 119902] e 119892prime(119909) ne 0 per 119909 isin (119901 119902) Allora esisteun punto 119888 isin (119901 119902) tale che

119891prime(119888)119892prime(119888) = 119891(119902) minus 119891(119901)

119892(119902) minus 119892(119901)

32 i teoremi di cauchy e di lrsquohocircpital 57

Il teorema di Lagrange egrave un caso speciale di questo con 119892(119909) = 119909 cosigrave come ilteorema di Rolle egrave un caso speciale di quello di Lagrange quando 119891(119901) = 119891(119902) cosigrave chein effetti dicono la stessa cosa

La tecnica della dimostrazione egrave simile a quella usata in precedenza cerchiamo119886 in modo che alla funzione 119865(119909) = 119891(119909) minus 119886119892(119909) si possa applicare il teorema diRolle percheacute 119865 egrave certamente una funzione di Lagrange su [119901 119902] Siccome 119865(119901) =119891(119901) minus 119886119892(119901) e 119865(119902) = 119891(119902) minus 119886119892(119902) troviamo

119886(119892(119902) minus 119892(119901)) = 119891(119902) minus 119891(119901)

Notiamo che 119892(119902) ne 119892(119901) se non fosse cosigrave per il teorema di Rolle esisterebbe un pun-to 119889 isin (119901 119902) tale che 119892prime(119889) = 0 che egrave escluso dallrsquoipotesi Quindi 119886 egrave univocamentedeterminato

Ora il punto 119888 isin (119901 119902) fornito dal teorema di Rolle cioegrave tale che 119865prime(119888) = 0 egrave quellodesiderato

119891prime(119888) minus 119886119892prime(119888) = 0e quindi essendo 119892prime(119888) ne 0 per ipotesi

119891prime(119888)119892prime(119888) = 119886 = 119891(119902) minus 119891(119901)

119892(119902) minus 119892(119901)

Il teorema di Cauchy serve essenzialmente per dimostrare un teorema assai utile peri calcoli Egrave dovuto probabilmente a Johan Bernoulli ma apparve per la prima volta senzaattribuzioni nel libro Analyse des Infiniment Petits pour lrsquoIntelligence des Lignes Courbesdel marchese Guillaume Franccedilois Antoine de lrsquoHocircpital (1661ndash1704) a cui Bernoulli avevainsegnato il calcolo

Enunceremo il teorema in un caso particolare lo estenderemo in seguito ma primavogliamo capire da dove Bernoulli ha avuto lrsquoidea Consideriamo due funzioni 119891 e 119892definite in un intorno di 119909 e derivabili in 119909 supponiamo anche che 119891(119909) = 119892(119909) = 0ma che 119892 non assuma il valore 0 se non in 119909 Se vogliamo calcolare il

lim119911rarr119909

119891(119911)119892(119911)

possiamo sfruttare il trucco di ldquodividere numeratore e denominatore per 119911minus119909rdquo

lim119911rarr119909119891(119911)119892(119911) = lim

119911rarr119909

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909

119892(119911) minus 119892(119909)119911 minus119909

= 119891prime(119909)119892prime(119909)

purcheacute 119892prime(119909) ne 0 Il primo passaggio usa ovviamente il fatto che119891(119909) = 119892(119909) = 0 Chesuccede perograve se 119891prime(119909) = 119892prime(119909) = 0 Saremmo di nuovo in un caso di indeterminazioneBernoulli (o lrsquoHocircpital) esaminograve proprio questo e ne dedusse un teorema davvero utilePiugrave tardi Cauchy dimostrograve il teorema che porta il suo nome e da questo egrave piugrave facile ediretto dedurre il teorema che ora tratteremo

t e o r ema d i l rsquo h ocirc p i t a l Siano 119891 e 119892 funzioni definite in un intorno 119882 di 119909escluso 119909 e derivabili con 119892prime(119911) ne 0 per 119911 isin 119882 119911 ne 119909 Supponiamo che

lim119911rarr119909

119891(119911) = 0 lim119911rarr119909

119892(119911) = 0

Se esiste

lim119911rarr119909

119891prime(119911)119892prime(119911) = 119897

allora si ha anche

lim119911rarr119909

119891(119911)119892(119911) = 119897

58 funzioni derivabili

Diamo solo unrsquoidea della dimostrazione Verifichiamo prima di tutto la questioneper il limite da destra si potragrave fare in modo analogo per il limite da sinistra Le funzioni119891 e che si ottengono estendendo 119891 e 119892 ponendo 119891(119909) = 0 e (119909) = 0 sono continue equindi funzioni di Lagrange nellrsquointervallo [119909 119911] per qualsiasi 119911 isin 119882 119911 gt 119909 percheacutecoincidono con 119891 e 119892 Le due funzioni dunque soddisfano le ipotesi del teorema diCauchy e quindi per ogni 119911 isin 119882 119911 gt 119909 esiste 119905119911 isin (119909 119911) con

119891prime(119905119911)prime(119905119911)

= 119891(119911) minus 119891(119909)(119911) minus (119909)

cioegrave119891prime(119905119911)119892prime(119905119911)

= 119891(119911)119892(119911)

Via via che 119911 si avvicina a119909 anche 119905119911 si avvicina a119909 (la parte difficile della dimostrazioneegrave rendere rigoroso questo passaggio) e si puograve concludere adoperando lrsquoesistenza dilim119911rarr119909 119891prime(119911)119892prime(119911)

Un paio di esempi di applicazione del teorema Consideriamo

lim119909rarr1205872

sin119909minus cos119909minus 1cos119909

Le funzioni soddisfano le ipotesi del teorema quindi possiamo scrivere

lim119909rarr1205872

sin119909minus cos119909minus 1cos119909

H= lim119909rarr1205872

cos119909+ sin119909minus sin119909 = 0+ 1

minus1 = minus1

dove il simboloH= va interpretato come ldquolrsquouguaglianza vale purcheacute il limite che segue

esistardquo e indica lrsquoapplicazione del teorema

In certi casi lrsquoapplicazione del teorema di lrsquoHocircpital non ha molto senso si pensi al caso

limℎrarr0

sinℎℎ

H= limℎrarr0

cosℎ1 = cos0 = 1

in cui il calcolo richiederebbe la derivata della funzione seno che egrave stata ottenuta tramite il limiterichiesto Anche la funzione precedente in effetti potrebbe ricadere in questo circolo viziosoTuttavia siccome la derivata di seno e coseno egrave nota non egrave proibito adoperare il teorema dilrsquoHocircpital anche qui

Il teorema di lrsquoHocircpital si puograve usare anche piugrave volte

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093

H= lim119909rarr0

1 minus cos11990931199092

H= lim119909rarr0

sin1199096119909 = 1

6 lim119909rarr0

sin119909119909 = 1

6

Dopo il primo passaggio alle derivate si ottiene un limite al quale il teorema egrave ancoraapplicabile Lrsquoultimo limite esiste quindi esiste anche il secondo quindi anche il primo

Altro esempio nel quale egrave bene eseguire qualche semplificazione prima di procederecon la seconda applicazione del teorema

lim119909rarr1

log119909minus119909+ 11199092 minus2119909+ 1

H= lim119909rarr1

1119909 minus 1

2119909minus 2

= lim119909rarr1

12

1 minus119909119909(119909minus 1)

= lim119909rarr1

12minus1119909 = minus1

2

32 i teoremi di cauchy e di lrsquohocircpital 59

Si potrebbe anche applicare il teorema allrsquoespressione ottenuta dopo la prima applica-zione senza eseguire la semplificazione ottenendo in questo caso di dover calcolareil limite di minus1(21199092) In generale perograve egrave meglio prima di tutto eseguire le possibilisemplificazioni

Si faccia anche attenzione a servirsi del teorema solo quando le funzioni soddisfa-no le ipotesi per non incorrere in gravi errori Se infatti applicassimo il teorema percalcolare lim119909rarr1(119909 minus 1)119909 otterremmo lim119909rarr1 11 = 1 che non egrave certamente il limiterichiesto

Vediamo una delle principali conseguenze del teorema Se la funzione 119891 egrave continuain 119909 il rapporto di Fermat fornisce proprio unrsquoespressione del tipo trattato dal teoremadi lrsquoHocircpital in

119891(119911) minus 119891(119909)119911 minus119909

il numeratore ha limite 0 per 119911 rarr 119909 se e solo se 119891 egrave continua in 119909 Se 119891 egrave derivabile inun intorno di 119909 possiamo applicare il teorema di lrsquoHocircpital la derivata del numeratoreegrave 119891prime(119911) quella del denominatore egrave 1

t e o r ema Se 119891 egrave continua in 119909 e derivabile in un intorno di 119909 escluso al piugrave 119909allora 119891 egrave derivabile in 119909 se e solo se lim119911rarr119909 119891prime(119911) esiste e in tal caso

119891prime(119909) = lim119911rarr119909

119891prime(119911)

Spesso il teorema si usa per dimostrare che 119891 non egrave derivabile in 119909 Consideriamola funzione 119891(119909) = radic1199092 minus1199093 la cui derivata per 119909 lt 1 ma 119909 ne 0 egrave

119891prime(119909) = 2119909minus 31199092

2radic1199092 minus1199093

La funzione non egrave allora derivabile in 1 come si vede facilmente per trattare la deri-vabilitagrave in 0 consideriamo il limite da destra e quello da sinistra della derivata Pertrattarlo dobbiamo portare il numeratore sotto il segno di radice quadrata ma per que-sto occorre stabilire se egrave positivo o negativo Con ovvi calcoli si vede che 2119909minus31199092 gt 0per 0 lt 119909 lt 23 Quindi per 0 lt 119909 lt 23 si puograve scrivere

119891prime(119909) = 12radic

(2119909minus 31199092)21199092 minus1199093

mentre per 119909 lt 0 si ha

119891prime(119909) = minus12radic

(2119909minus 31199092)21199092 minus1199093

Chiamiamo 119892 lrsquoespressione sotto radice

lim119909rarr0

119892(119909) = lim119909rarr0

(2 minus 3119909)21 minus119909 = 1

da cui deduciamo che

lim119909rarr0minus

119891prime(119909) = minus1 lim119909rarr0+

119891prime(119909) = 1

Quindi 119891 non egrave derivabile in 0Consideriamo la funzione 119891(119909) = 119909119899 log119909 definita e continua in (0 rarr) Il limite

a +infin non dagrave problemi vediamo quello in 0 scrivendo 119891(119909) = log119909119909minus119899 alla quale sipuograve applicare il teorema di lrsquoHocircpital

lim119909rarr0

log119909119909minus119899

H= lim119909rarr0

1119909minus119899119909minus119899minus1 = lim

119909rarr0

minus1119899 119909119899 = 0

60 funzioni derivabili

Non occorre il teorema per calcolare il limite di 119909119899(log119909)119898 con 119899 ge 119898 gt 0 percheacuteabbiamo

lim119909rarr0

119909119899(log119909)119898 = lim119909rarr0

119909119899minus119898120576(119909120576 log119909)119898

e basta scegliere 120576 gt 0 tale che 119899minus119898120576 gt 0 cioegrave 0 lt 120576 lt 119899119898 Siccome 119899119898 ge 1 untale 120576 esiste e i teoremi sui limiti permettono di concludere

33 derivata della funzione inversa

In un punto precedente abbiamo barato abbiamo infatti usato lrsquoespressione per laderivata della funzione esponenziale avendola ricavata da considerazioni geometricheMa ora abbiamo tutti gli strumenti per trattare il problema generale

Supponiamo dunque che 119891 sia una funzione strettamente monotona definita in unintervallo 119868 e derivabile Sia 119909 un punto dellrsquointervallo 119868 tale che 119891prime(119909) ne 0 Allora lafunzione 119892 = 119891minus1 egrave derivabile in 119910 = 119891(119909) e si ha

119892prime(119910) = 1119891prime(119909) = 1

119891prime(119892(119910))

Si noti che questa egrave proprio la relazione che lega i coefficienti angolari dellrsquoequazione diuna retta prima e dopo lo scambio degli assi la retta 119910 = 119898119909+119902 per 119898 ne 0 diventa119909 = 119898119910+119902 e quindi 119910 = (1119898)119909+ (119902119898)

Per dimostrare la formula precedente consideriamo il rapporto di Fermat

lim119905rarr119910

119892(119905) minus 119892(119910)119905 minus119910

e usiamo il cambiamento di variabile nel limite dato da 119891 cioegrave scriviamo 119905 = 119891(119911)

lim119905rarr119910

119892(119905) minus 119892(119910)119905 minus119910 = lim

119911rarr119891minus1(119910)

119892(119891(119911)) minus 119892(119910)119891(119911) minus119910

Ora sappiamo che 119892(119891(119911)) = 119911 e siccome 119910 = 119891(119909) possiamo scrivere 119909 = 119892(119910)quindi

lim119905rarr119910

119892(119905) minus 119892(119910)119905 minus119910 = lim

119911rarr119909119911minus119909

119891(119911) minus 119891(119909) = 1119891prime(119909)

come si volevaSi noti che la funzione 119892 non egrave derivabile nei punti 119910 in cui 119891prime(119892(119910)) = 0 Infatti

se lo fosse e la derivata valesse 119897 ne 0 la derivata di 119891 in 119892(119910) sarebbe 1119897 ne 0 per lostesso motivo se 119892 egrave la funzione inversa di 119891 allora 119891 egrave la funzione inversa di 119892 Siverifichi che non puograve nemmeno essere 119897 = 0

In pratica una volta noto che lrsquoinversa di una funzione derivabile egrave derivabile sipuograve eseguire il calcolo in modo meno complicato usando il teorema sulle funzionicomposte Vediamo nel caso dellrsquoesponenziale Scriviamo lrsquoidentitagrave fondamentale chelega la funzione al logaritmo e deriviamo ambo i membri

log(exp119909) = 119909

1exp119909 expprime 119909 = 1

expprime 119909 = exp119909

33 derivata della funzione inversa 61

Proviamo con funzioni piugrave complicate la funzione seno purcheacute ristretta allrsquointerval-lo [minus1205872 1205872] egrave invertibile e la sua inversa si denota con arcsin

sin(arcsin119909) = 119909

cos(arcsin119909) arcsinprime 119909 = 1

arcsinprime 119909 = 1cos(arcsin119909)

arcsinprime 119909 = 1radic1minus1199092

Infatti per 120572 isin [minus1205872 1205872] vale lrsquouguaglianza

cos120572 = radic1minus sin2 120572

Notiamo che sinprime(minus1205872) = sinprime(1205872) = 0 e quindi arcsin non egrave derivabile in minus1 =sin(minus1205872) e in 1 = sin(1205872) cioegrave agli estremi dellrsquointervallo di definizione Tuttavia egraveuna funzione di Lagrange in [minus1 1] Analogamente si ottiene

arccosprime 119909 = minus 1radic1minus1199092

Per la tangente abbiamo unrsquoespressione molto interessante

tanprime 119909 = 1+ tan2 119909

e quindi possiamo scrivere

tan(arctan119909) = 119909

(1 + tan2(arctan119909)) arctanprime 119909 = 1

arctanprime 119909 = 11+1199092

Quindi arctan che egrave definita ovunque egrave anche derivabile ovunque Abbiamo scopertounrsquoaltra funzione la cui derivata egrave una frazione algebrica

Lrsquoarcotangente pone un problemino interessante consideriamo la funzione

119865(119909) = arctan 1119909

che egrave definita per 119909 ne 0 La sua derivata si calcola ponendo 119891(119909) = 1119909 e 119892(119910) =arctan119910

119865prime(119909) = 119892prime(119891(119909))119891prime(119909) = 11+ (119891(119909))2

minus11199092

che con una facile semplificazione dagrave

119865prime(119909) = minus11+1199092

Consideriamo allora la funzione

119866(119909) = arctan119909+ arctan 1119909

la cui derivata egrave allora la somma delle derivate degli addendi

119866prime(119909) = 11+1199092 + minus1

1+1199092 = 0

62 funzioni derivabili

e per la conseguenza del teorema di Lagrange dovremmo dedurre che 119866 egrave costanteInvece non lo egrave Infatti

119866(1) = arctan1 + arctan(11) = 1205874 + 120587

4 = 1205872

119866(minus1) = arctan(minus1) + arctan(minus1) = minus1205874 minus 120587

4 = minus1205872

Dovrsquoegrave il problema Naturalmente nel fatto che 119866 non egrave definita su un intervallo Invecedal teorema di Lagrange si puograve correttamente dedurre che

arctan119909+ arctan 1119909 =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

1205872 se 119909 gt 0

minus1205872 se 119909 lt 0

Egrave giunto il momento di riassumere tutte le principali derivate nella tabella 2 Nellacolonna ldquoCondizionirdquo sono riportate eventuali limitazioni a cui devono essere sottopo-ste le quantitagrave nella riga Dove non altrimenti scritto la funzione egrave derivabile in ognipunto del suo dominio

33 derivata della funzione inversa 63

119865(119909) 119865prime(119909) Condizioni

119886119891(119909) 119886119891prime(119909)

119891(119909) + 119892(119909) 119891prime(119909) + 119892prime(119909)

119891(119909)119892(119909) 119891prime(119909)119892(119909) + 119891(119909)119892prime(119909)

119891(119909)119892(119909)

119891prime(119909)119892(119909) minus 119891(119909)119892prime(119909)(119892(119909))2

119892(119891(119909)) 119892prime(119891(119909))119891prime(119909)

119909119899 119899119909119899minus1 119899 intero

119899radic119909119899radic119909119899119909 119909 ne 0 119899 intero positivo

log119909 1119909

exp119909 exp119909

119909119903 119903119909119903minus1 119903 reale 119903 ne 0

sin119909 cos119909

cos119909 minus sin119909

tan119909 1+ tan2 119909

arcsin119909 1radic1minus1199092

119909 isin (minus1 1)

arccos119909 minus 1radic1minus1199092

119909 isin (minus1 1)

arctan119909 11+1199092

tabella 2 Tabella delle regole di derivazione e delle derivate delle principali funzioni Sinoti che la funzione 119909 ↦ 119909119903 con 119903 non intero va considerata come definita per119909 gt 0 La funzione 119909 ↦ 119899radic119909 egrave definita per 119909 ge 0 quando 119899 egrave pari per ogni 119909quando 119899 egrave dispari

4L IM IT I

La nozione di limite che abbiamo dato non egrave sufficiente per rendere conto del com-portamento delle funzioni in casi molto importanti Lrsquoesempio tipico egrave 119891(119909) = 11199092che discuteremo per primo vogliamo rendere preciso che cosa intendiamo per ldquoaverelimite infinitordquo

41 limiti infiniti

Consideriamo la funzione 119909 ↦ 11199092 che egrave definita per 119909 ne 0 Il punto 0 egrave un punto diaccumulazione del dominio ed egrave sensato domandarsi se esista

lim119909rarr0

11199092

Se perograve facciamo tracciare la curva a GeoGebra ci accorgiamo che piugrave la 119909 si avvicinaa 0 piugrave 11199092 diventa grande Del resto egrave evidente che quando 119909 = 10minus15 (poco piugravedel raggio di un protone in metri) 11199092 = 1030 (il numero stimato di batteri sullaterra) e che se facciamo diminuire il valore di 119909 quello di 11199092 cresceragrave senza alcunalimitazione

Come possiamo esprimere precisamente questa nozione Non egrave cosigrave complicatodopo tutto 11199092 egrave il reciproco di 1199092 Lrsquoidea egrave dunque questa e la possiamo rendereprecisa cosigrave come abbiamo fatto per quella di limite finito Fissiamo unamaggiorazione119872 allora esiste un intorno 119880 di 0 tale che che per 119911 isin 119880 119911 ne 0 si abbia 11199112 gt 119872Qualsiasi maggiorazione fissiamo la possiamo superare stando opportunamente vicinoa 0 Diamo allora la definizione ufficiale

d e f i n i z i o n e Sia 119909 un punto di accumulazione del dominio di una funzione 119891Diremo che +infin egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 se data una qualsiasi mag-giorazione 119872 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119911 ne 119909 siabbia

119891(119911) ge 119872

In tal caso la notazione usata saragrave

lim119911rarr119909

119891(119911) = +infin

Il simbolo +infin si legge ldquopiugrave infinitordquo

Vediamo che la definizione si applica al caso in esame cioegrave 119909 ↦ 11199092 Fissiamo 119872dobbiamo risolvere la disequazione

11199112 gt 119872 119911 ne 0

le cui soluzioni sono date per 119872 gt 0 da

minusradic

1119872 lt 119911 lt

radic1119872 119911 ne 0

e lrsquoinsieme delle soluzioni egrave proprio un intorno di 0 escluso 0 Se 119872 le 0 il proble-ma non si pone nemmeno tutti i numeri non nulli sono soluzione Anche qui comenel caso delle tolleranze che possono essere limitate verso lrsquoalto possiamo fissare unminorante delle maggiorazioni richieste se riusciamo a soddisfare il problema permag-giorazioni piugrave grandi di 1 per esempio lo riusciamo a soddisfare per maggiorazioniqualsiasi

65

66 limiti

Nel caso della funzione 119891(119909) = 1119909 non possiamo dire la stessa cosa per 119909 lt 0 siha 1119909 lt 0 e quindi la funzione non egrave positiva in 119880cap119863(119891) per qualsiasi intorno 119880 di0 Tuttavia egrave chiaro che per la funzione ristretta allrsquointervallo (0 rarr) il limite egrave +infin

lim119909rarr0+

1119909 = +infin

Infatti per 119911 isin (minus1119872 1119872)cap119863(1198910+) si ha effettivamente 119891(119911) ge 119872 quando 119872 gt 0Non dovrebbe sorprendere la seguente definizione

d e f i n i z i o n e Sia 119909 un punto di accumulazione del dominio di una funzione 119891Diremo che minusinfin egrave il limite di 119891 per 119911 che tende a 119909 se data una qualsiasi mag-giorazione 119872 esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119911 ne 119909 siabbia

119891(119911) le minus119872

In tal caso la notazione usata saragrave

lim119911rarr119909

119891(119911) = minusinfin

Il simbolo minusinfin si legge ldquopiugrave infinitordquo

Non dovrebbe sorprendere nemmeno che

lim119911rarr0

minus 11199112 = minusinfin lim

119911rarr0minus

1119911 = minusinfin

Nella definizione si usa minus119872 percheacute cosigrave egrave chiaro che

lim119911rarr119909

119891(119911) = minusinfin se e solo se lim119911rarr119909

minus119891(119911) = +infin

Un esempio importante egrave quello del logaritmo

lim119909rarr0

log119909 = minusinfin

Infatti la disequazionelog119909 le minus119872

egrave soddisfatta per 0 lt 119909 le exp(minus119872) e questo insieme egrave

(minus exp(minus119872) exp(119872)) cap119863(log)

Proviamo con qualcosa di piugrave complicato

lim119909rarr0+

exp(1119909) = +infin

Per una maggiorazione 119872 gt 1 la disequazione

exp(1119909) ge 119872

diventa 1119909 ge log119872

cioegrave0 lt 119909 le 1

log119872

Se poniamo 120575 = 1 log119872 e 119880 = (minus120575 120575) abbiamo che la disequazione egrave soddisfattaper 119909 isin 119880 119909 gt 0 come richiesto

41 limiti infiniti 67

Tanto per vedere che le funzioni possono essere bizzarre dimostriamo che

lim119909rarr0minus

exp(1119909) = 0

Infatti per la tolleranza 0 lt 120576 lt 1 la disequazione

|exp(1119909)| le 120576 (119909 lt 0)

diventa 1119909 le log 120576 (119909 lt 0)

che essendo 119909 lt 0 e log 120576 lt 0 diventa

119909 ge 1log 120576 (119909 lt 0)

Dunque tutti i numeri nellrsquoinsieme

( 1log 120576 minus 1

log 120576)cap (larr 0)

sono soluzioni della disequazione e la tesi egrave provataNon preoccupiamoci troppo di questi conti ci sono varie tecniche che permettono

di evitarli Vediamone una

t e o r ema Sia 119909 un punto di accumulazione del dominio di 119891 Allora

lim119911rarr119909

119891(119911) = +infin

se e solo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 cap 119863(119891) 119911 ne 119909 si abbia119891(119911) gt 0 e inoltre

lim119911rarr119909

1119891(119911) = 0

Nel caso utile di limiti da destra e da sinistra si puograve operare in modo analogo Loenunceremo solo per funzioni definite in un intorno di 119909 escluso 119909 che egrave il caso in cuisi puograve parlare di limiti da destra e da sinistra

t e o r ema Sia 119891 definita in un intorno 119882 di 119909 escluso 119909 Allora

lim119911rarr119909+

119891(119911) = +infin

se e solo se esiste un intorno 119880 di 119909 tale che per 119911 isin 119880 119911 gt 119909 si abbia 119891(119911) gt 0 einoltre

lim119911rarr119909+

1119891(119911) = 0

Le versioni di questi teoremi per il limite minusinfin sono ovvie e anche le dimostrazionilo sono Si noti perograve che non ci basta sapere che lim119911rarr119909 1119891(119911) = 0 per concluderequalcosa su lim119911rarr119909 119891(119911)

Vediamo unrsquoapplicazione al caso delle frazioni algebriche Siano 119875 e 119876 polinomiAllora sappiamo che la funzione

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909)

egrave continua ovunque sia definita Il suo dominio egrave costituito da tutti i numeri realiescluse le radici di 119876 Supponiamo che 119888 sia una radice di 119876 di molteplicitagrave 119889

68 limiti

Primo caso 119888 egrave una radice anche di 119875 di molteplicitagrave119899 ge 119889 In questo caso possiamoscrivere per 119909 ne 119888

119891(119909) = 1198751(119909)1198761(119909)

(119909minus 119888)119899(119909minus 119888)119889 = 1198751(119909)

1198761(119909)(119909minus 119888)119899minus119889

dove 119888 non egrave una radice neacute di 1198751 neacute di 1198761 quindi avremo evidentemente

lim119909rarr119888

119891(119909) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1198751(119888)1198761(119888)

se 119899 = 119889

0 se 119899 gt 119889

Secondo caso 119888 egrave una radice di 119875 di molteplicitagrave 119899 lt 119889 (non escludiamo il caso di119899 = 0 cioegrave che 119888 non egrave radice di 119875) In questo caso possiamo scrivere per 119909 ne 119888

119891(119909) = 1198751(119909)1198761(119909)

1(119909minus 119888)119889minus119899

dove 119888 non egrave una radice neacute di 1198751 neacute di 1198761 Ci siamo dunque ridotti a considerare ilseguente caso

119891(119909) = 119892(119909)(119909minus 119888)119898

dove 119892 egrave una funzione definita e continua in un intorno di 119888 con 119892(119888) ne 0 e 119898 gt 0(intero) Egrave del tutto ovvio che

lim119909rarr119888

1119891(119909) = lim

119909rarr119888(119909 minus 119888)119898

119892(119909) = 0

percheacute la funzione 119909 ↦ (119909minus 119888)119898119892(119909) egrave certamente continua in un intorno di 119888Poniamo adesso 119870 = 119892(119888) e consideriamo dapprima quando 119870 gt 0 Per 119909 gt 119888

abbiamo (119909 minus 119888)119898 gt 0 e dunque 119891(119909) gt 0 Dal teorema precedente segue che

lim119909rarr119888

119891(119909) = +infin

Il limite egrave minusinfin se 119870 lt 0La faccenda egrave piugrave complicata per il limite da sinistra Se 119898 egrave pari si ha per 119909 lt 119888

(119909 minus 119888)119898 gt 0 se 119898 egrave dispari si ha per 119909 lt 119888 (119909 minus 119888)119898 lt 0 Da questo mettendoinsieme con il valore di 119870 si ottiene applicando il teorema il limite da sinistra

Imparare a memoria la casistica egrave del tutto inutile Meglio dare un criterio piugrave maneg-gevole che troviamo nella tabella 3 nella quale le notazioni formali ldquo+infinsdot119870rdquo e ldquominusinfinsdot119870rdquostanno per non si cambia segno davanti a infin se 119870 gt 0 si cambia se 119870 lt 0 Useremoancora questa notazione

Vediamo qualche esempio Consideriamo la funzione

119891(119909) = 1199093 minus 21199092 minus119909+ 21199092 minus 1

che si puograve scrivere come

119891(119909) = 1199092 minus119909minus 2119909+ 1

119909minus 1119909minus 1

e quindi

lim119909rarr1

119891(119909) = 12 minus 1minus 21+ 1 = minus2

2 = minus1

Consideriamo invece

119891(119909) = 1199093 minus 21199092 minus119909+ 2(1199094 minus 21199092 + 1)2

41 limiti infiniti 69

Sia 119888 una radice del polinomio 119876 e si consideri la funzione

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909)

dove 119875 egrave un altro polinomio Si vogliono calcolare

lim119909rarr119888+

119891(119909) e lim119909rarr119888minus

119891(119909)

1 Si scrive la funzione nella forma

119891(119909) = 1198751(119909)1198761(119909)

(119909minus 119888)119899(119909minus 119888)119889

dove 119888 non egrave radice neacute di 1198751 neacute di 1198761 (puograve essere 119899 = 0)

2 Se 119899 = 119889 il limite egrave 1198751(119888)1198761(119888)

3 Se 119899 gt 119889 il limite egrave 0

4 Se 119899 lt 119889 si pone 119898 = 119889minus119899 e si calcola 119870 = 1198751(119888)1198761(119888)

41 se 119898 egrave pari 119891 si comporta come la funzione 119909 ↦ 1198701199092 in 0

42 se 119898 egrave dispari 119891 si comporta come la funzione 119909 ↦ 119870119909 in 0

Valgono inoltre i seguenti limiti

lim119909rarr0

1198701199092 = +infin sdot 119870

lim119909rarr0+

119870119909 = +infin sdot 119870

lim119909rarr0minus

119870119909 = minusinfin sdot 119870

Si noti che egrave sufficiente decidere se 119870 gt 0 o 119870 lt 0 e non serve calcolarloesplicitamente tranne ovviamente nel passo 2

tabella 3 Procedura per il calcolo del limite di una frazione algebrica a una radice deldenominatore

70 limiti

che si puograve scrivere come

119891(119909) = 1199092 minus119909minus 2(119909+ 1)4

119909minus 1(119909minus 1)4 = 1199092 minus119909minus 2

(119909+ 1)41

(119909minus 1)3

Nelle notazioni precedenti si ha

119892(119909) = 1199092 minus119909minus 2(119909+ 1)4

e quindi 119870 = 119892(1) = minus216 = minus18 lt 0 Con le notazioni della tabella si ha 119898 = 3che egrave dispari Quindi

lim119909rarr1+

119891(119909) = +infin sdot (minus18) = minusinfin lim119909rarr1minus

119891(119909) = minusinfin sdot (minus18) = +infin

Vogliamo in effetti definire risultati di ldquooperazionirdquo dove compaiano questi nuovisimboli Ciograve non significa che +infin e minusinfin siano da considerare numeri reali di fattoqueste ldquooperazionirdquo saranno solo scorciatoie mnemoniche per ricordarsi le regole dicalcolo dei limiti che enunceremo piugrave avanti nella tabella 119886 e 119887 denotano numeri

119886+ (+infin) = +infin 119886minus (+infin) = minusinfin119886+ (minusinfin) = minusinfin 119886minus (minusinfin) = +infin

119887 gt 0 119887 sdot (+infin) = +infin 119887 sdot (minusinfin) = minusinfin119887 lt 0 119887 sdot (+infin) = minusinfin 119887 sdot (minusinfin) = +infin

+infin+ (+infin) = +infin minusinfin+ (minusinfin) = minusinfin+infin sdot (+infin) = +infin +infin sdot (minusinfin) = minusinfinminusinfin sdot (+infin) = minusinfin minusinfin sdot (minusinfin) = +infin

119886(+infin) = 0 119886(minusinfin) = 0

Vanno ovviamente comprese quelle che si ottengono permutando i termini Notiamoche mancano alcuni casi non daremo alcun significato alle espressioni formali 0sdot(+infin)0 sdot (minusinfin) +infin + (minusinfin) e +infin minus (+infin) Di fatto quelle che ci sono non sono poi cosigravecomplicate da ricostruire moltiplicare un numero positivo per un numero grande dagraveun numero grande egrave la traduzione intuitiva di 119887sdot(+infin) = +infin per 119887 gt 0 Se si ricordanole lsquoregole dei segnirsquo non ci si puograve sbagliare e quindi basta dare una forma intuitiva soloalle regolette che coinvolgono +infin

bull sommare a un numero un numero grande dagrave un numero grande

bull moltiplicare un numero positivo per un numero grande dagrave un numero grande

bull sommare o moltiplicare due numeri grandi dagrave un numero grande

I teoremi sulle operazioni sui limiti giagrave visti si estendono ai casi in cui il limite diuna o entrambe le funzioni siano +infin o minusinfin e le ldquooperazionirdquo relative compaiano nellatabella

Dunque per esempiolim

119909rarr0minus

1119909 minus 1

119909+ 1 = minusinfin

percheacutelim

119909rarr0minus

1119909 = minusinfin lim

119909rarr0minus

1119909+ 1 = 1

e minusinfinminus1 = minusinfinViceversa non possiamo usare la tabella per valutare un limite come

lim119909rarr0+

1119909 minus 1

1199092

42 limiti allrsquoinfinito 71

che corrisponderebbe a una non definita operazione +infin minus infin Per calcolare questolimite occorre procedere come delineato per le frazioni algebriche

1119909 minus 1

1199092 = 119909minus 11199092 = 119909minus 1

111199092

Qui 119870 = (0minus 1)1 = minus1 e quindi possiamo applicare minus1 sdot (+infin) = minusinfin Si noti che

lim119909rarr0+

11199092 minus 1

119909

corrisponderebbe alla stessa espressione +infin minus infin e il limite egrave esattamente lrsquooppostodi prima cioegrave +infin Egrave proprio per questo che non egrave possibile dare un senso a quellaespressione

Un altro esempio di +infinminusinfin

lim119909rarr1+

119909radic119909minus 1

minus 1radic119909minus 1

che quindi non si puograve trattare senza qualche manipolazione ma

119909radic119909minus 1

minus 1radic119909minus 1

= 119909minus 1radic119909minus 1

= radic119909minus 1

e quindi il limite richiesto vale 0 Diremo che un limite che si presenti in questo modoegrave della forma indeterminata ⟦ +infin minus infin⟧ ne troveremo altre Il nome egrave tradizionale enon significa affatto che il limite non si puograve calcolare ma solo che cosigrave comrsquoegrave scrittala funzione (in questo caso come somma) non abbiamo elementi per dedurre il limiteda quello degli addendi Ciograve non esclude che con opportune trasformazioni si possaarrivare a un calcolo esplicito

42 limiti allrsquoinfinito

Risulta spesso utile capire il comportamento di una funzione quando diamo alla variabi-le valori sempre piugrave grandi Un esempio ovvio egrave quello di 119891(119909) = 1 log119909 che quando 119909diventa sempre piugrave grande assume valori sempre piugrave vicini a 0 Come facciamo a dirlocon precisione Al solito andiamo a rovescio e cerchiamo di risolvere la disequazione|1 log119909| le 120576 dove 120576 gt 0 egrave una tolleranza Troviamo le soluzioni distinguendo primail caso di 119909 gt 1

minus120576 le 1log119909 le 120576

log119909 ge 1120576

119909 ge exp(1120576)

Non egrave restrittivo prendere 0 lt 120576 lt 1 Nel caso di 0 lt 119909 lt 1 la disequazione diventa

minus1120576 ge log119909

119909 ge exp(minus1120576)

Dunque lrsquoinsieme delle soluzioni egrave

(exp(minus1120576) 1) cup (exp(1120576) rarr)

che egrave un insieme contenente numeri ldquoarbitrariamente grandirdquo In altre parole riusciamoa soddisfare la tolleranza prendendo numeri piugrave grandi di un numero fissato in questocaso exp(1120576)

72 limiti

Un intorno di +infin egrave un insieme che include un intervallo aperto della forma (119886 rarr)Diremo che +infin egrave un punto di accumulazione di un insieme 119878 se per ogni 119872 esiste unpunto 119909 isin 119878 con 119909 gt 119872 Ciograve non significa che +infin sia un elemento dei numeri realistiamo solo descrivendo una proprietagrave dellrsquoinsieme 119878

d e f i n i z i o n e Supponiamo che +infin sia un punto di accumulazione di 119863(119891)Allora il numero 119897 egrave il limite per 119909 che tende a +infin di 119891(119909) se per ogni tolleranza120576 gt 0 esiste un intorno 119880 di +infin tale che per 119909 isin 119880cap119863(119891) si abbia

|119891(119909) minus 119897| le 120576

In tal caso si scrivelim

119909rarr+infin119891(119909) = 119897

Lasciamo come esercizio scrivere la definizione di intorno di minusinfin e quella di limitea minusinfin Possiamo scrivere facilmente che cosa intendiamo per limite infinito a infinitomodificando una definizione precedente

d e f i n i z i o n e Supponiamo che +infin sia un punto di accumulazione di 119863(119891)Allora +infin egrave il limite per 119909 che tende a +infin di 119891(119909) se per ogni maggiorazione 119872esiste un intorno 119880 di +infin tale che per 119909 isin 119880cap119863(119891) si abbia

119891(119909) ge 119872

In tal caso si scrivelim

119909rarr+infin119891(119909) = +infin

Altre definizioni simili sono facili da scrivereOccorre dare qualche altro esempio e dimostriamo subito alcune uguaglianze fonda-

mentalilim

119909rarr+infinexp119909 = +infin lim

119909rarrminusinfinexp119909 = 0

La disuguaglianza da risolvere per la seconda data la tolleranza 120576 egrave

|exp119909| le 120576

che equivale a 119909 lt log 120576 cioegrave lrsquointervallo (larr log 120576) che egrave un intorno di minusinfin Per laprima dobbiamo risolvere data la maggiorazione 119872 gt 0

exp119909 ge 119872

che equivale a 119909 ge log119872 e lrsquointervallo (log119872 rarr) egrave un intorno di +infin

Verifichiamo un altro limite molto importante

lim119909rarr+infin

exp119909119909 = +infin

prendendolo piuttosto alla larga Sappiamo che

(1 + 119886)119899 = 1+119899119886+ 119899(119899minus 1)2 1198862 +119887

dove 119887 egrave un certo numero positivo quando 119886 gt 0 Se dividiamo per 119899 otteniamo

(1 + 119886)119899119899 = 1

119899 +119886+ 119899minus 12 119886+ 119887

119899

42 limiti allrsquoinfinito 73

La funzione 119892∶ 119899 ↦ (1 + 119886)119899119899 egrave definita sui numeri interi positivi e quindi +infin egrave un punto diaccumulazione di 119863(119892) Applicando le proprietagrave dei limiti possiamo dire che

lim119899rarr+infin

( 1119899 +119886+ 119899minus 1

2 119886) = 0+119886+infin = +infin

e quindi lo stesso possiamo dire per 119892 visto che per ottenerla sommiamo 119887119899 allrsquoespressioneprecedente e 119887119899 gt 0

Ora poniamo 1 + 119886 = 119890 = exp1 e possiamo concludere che

lim119899rarr+infin

119890119899

119899 = +infin

Consideriamo ora la funzione119891(119909) = exp119909

119909la cui derivata egrave

119891prime(119909) = 119909 expprime 119909minus 1 exp1199091199092 = exp119909

1199092 (119909 minus 1)

Dunque 119891 egrave crescente per119909 gt 1 Se calcoliamo 119891(119899) con119899 intero abbiamo 119891(119899) = 119890119899119899 = 119892(119899)Se fissiamo una maggiorazione 119872 sappiamo che esiste un intervallo 119868 = (119896 rarr) tale che per

119899 isin 119868 si abbia 119892(119899) ge 119872 Se 119899 egrave il minimo intero maggiore di 119896 e di 1 abbiamo che 119892(119899) ge 119872Adesso se 119909 gt 119899 abbiamo evidentemente 119891(119909) gt 119891(119899) = 119892(119899) ge 119872 Dunque per 119909 isin (119899 rarr)si ha 119891(119909) ge 119872 come richiesto

Siccome tra le funzioni importanti ci sono le frazioni algebriche vediamo subitocome trattarle Il caso piugrave semplice egrave quello in cui numeratore e denominatore hannolo stesso grado 119898

119891(119909) = 1198860 +1198861119909+⋯+119886119898minus1119909119898minus1 +119886119898119909119898

1198870 +1198871119909+⋯+119887119898minus1119909119898minus1 +119887119898119909119898

con 119886119898 ne 0 119887119898 ne 0 Vogliamo calcolare lim119909rarr+infin 119891(119909) Ovviamente possiamo restrin-gere 119909 in un intorno di +infin per esempio 119868 = (0 rarr) dunque possiamo supporre119909 ne 0 e scrivere per 119909 isin 119868

119891(119909) =

1198860119909119898 + 1198861

119909119898minus1 +⋯+ 119886119898minus1119909 +119886119898

1198870119909119898 + 1198871

119909119898minus1 +⋯+ 119887119898minus1119909 +119887119898

ed egrave evidente dal fatto che lim119909rarr+infin 1119909 = 0 che

lim119909rarr+infin

1198860119909119898 + 1198861

119909119898minus1 +⋯+ 119886119898minus1119909 +119886119898 = 119886119898

e analogamente il limite del denominatore egrave 119887119898 Dunque

lim119909rarr+infin

1198860 +1198861119909+⋯+119886119898minus1119909119898minus1 +119886119898119909119898

1198870 +1198871119909+⋯+119887119898minus1119909119898minus1 +119887119898119909119898 = 119886119898119887119898

Si verifichi che vale anche

lim119909rarrminusinfin

1198860 +1198861119909+⋯+119886119898minus1119909119898minus1 +119886119898119909119898

1198870 +1198871119909+⋯+119887119898minus1119909119898minus1 +119887119898119909119898 = 119886119898119887119898

Vediamo ora il caso generale in cui 119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) Chiamiamo 119898 il grado di 119875e 119899 il grado di 119876 119886119898 e 119887119899 i rispettivi coefficienti principali

Primo caso 119898 lt 119899 Allora possiamo scrivere

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) = 119909119899minus119898119875(119909)

119876(119909)1

119909119899minus119898

74 limiti

Nel primo fattore numeratore e denominatore hanno lo stesso grado e coefficientiprincipali 119886119898 e 119887119899 quindi

lim119909rarr+infin

119891(119909) = ( lim119909rarr+infin

119909119899minus119898119875(119909)119876(119909) )( lim

119909rarr+infin

1119909119899minus119898 ) = 119886119898

1198871198990 = 0

Lo stesso per il limite a minusinfinSecondo caso 119898 gt 119899 Possiamo scrivere

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) = 119875(119909)

119909119898minus119899119876(119909)119909119898minus119899

1

e ragionando come prima

lim119909rarr+infin

119891(119909) = 119886119898119887119899

sdot (+infin)

Lo stesso per il limite a minusinfin Non egrave importante ricordare a memoria la tabellina quel-lo che conta di piugrave egrave il trucco ldquodividere per la potenza di 119909 di grado massimordquo chefunziona anche in altre situazioni Consideriamo per esempio

lim119909rarr+infin

radic41199092 + 2119909119909

Come prima possiamo maneggiare lrsquoespressione supponendo la funzione definita per119909 gt 0 visto che ci interessa rispettare una tolleranza (se il limite egrave finito) o una mag-giorazione (se il limite egrave infinito) solo in un intorno di +infin Dunque possiamo supporre119909 gt 0 e portarlo dentro la radice quadrata

radic41199092 + 2119909119909 =

radic41199092 + 2119909

1199092 =radic

4+ 2119909

Il limite egrave dunque radic4 = 2Diverso egrave il caso se ci interessa il limite a minusinfin non egrave restrittivo supporre 119909 le minus2 (la

funzione egrave definita per 119909 gt 0 e 119909 le minus2) perciograve la trasformazione egrave

radic41199092 +2119909119909 = minusradic41199092 +2119909

|119909| = minusradic

41199092 +21199091199092 = minus

radic4+ 2

119909

e il limite egrave minusradic4 = minus2 Ci si deve ricordare che se 119905 lt 0 vale lrsquoidentitagrave

119905 = minusradic1199052

e non 119905 = radic1199052Abbiamo usato qui un risultato ancora non presentato ufficialmente

t e o r ema Sia lim119911rarr119909 119891(119911) = 119897 con 119897 finito o infinito Se 119892 egrave definita e continuain un intorno di 119897 allora

lim119911rarr119909

119892(119891(119911)) = 119892(119897) se 119897 egrave finito

lim119911rarr119909

119892(119891(119911)) = lim119905rarr119897

119892(119905) se 119897 egrave infinito

La dimostrazione egrave un interessante esercizio Vediamone unrsquoapplicazione per il cal-colo di lim119909rarr0+ exp(1119909) Siccome lim119909rarr0+ 1119909 = +infin il limite cercato coincide conlim119905rarr+infin exp 119905 = +infin Nel caso di lim119909rarr0minus exp(1119909) siccome lim119909rarr0minus 1119909 = minusinfin illimite egrave lim119905rarrminusinfin exp 119905 = 0 Dunque

lim119909rarr0+

exp(1119909) = +infin lim119909rarr0minus

exp(1119909) = 0

43 forme indeterminate 75

43 forme indeterminate

Lrsquoargomento delle forme indeterminate egrave temuto Ma non crsquoegrave da prendere paura sitratta di funzioni che molto spesso possono essere domate facilmente Lrsquoesempio di119891(119909) = radic1199092 + 2119909119909 di cui volevamo calcolare il limite a +infin si presenta come un quo-ziente di due funzioni che vanno entrambe a +infin Giagrave nel caso delle frazioni algebricheabbiamo visto che un limite di questo tipo dipende dal numeratore e dal denominatore

lim119909rarr+infin

1 + 119886119909119909 = 119886 lim

119909rarr+infin

1 +1199092

119909 = +infin

lim119909rarr+infin

1 minus1199092

119909 = minusinfin lim119909rarr+infin

1 +1199091199092 = 0

Cambiando numeratore e denominatore mantenendo il limite infinito per entrambi ilquoziente puograve avere un limite qualsiasi (o anche non averlo) Si noti che il primo egrave informa indeterminata solo per 119886 ne 0

Unrsquoaltra forma indeterminata lrsquoabbiamo incontrata parlando di derivate Il rapportodi Fermat egrave sempre una frazione in cui sia numeratore che denominatore hanno limite 0Visto poi che una frazione del tipo infininfin come le frazioni algebriche puograve sempre esserevista come un prodotto 0 sdot infin scrivendo 119875(119909)119876(119909) = 119875(119909) sdot (1119876(119909)) abbiamo giagraveun buon numero di forme indeterminate

⟦ 00⟧ ⟦ infininfin⟧ ⟦ 0 sdotinfin⟧ ⟦ +infinminusinfin⟧

Ricordiamo che non sono operazioni tra numeri e per questo usiamo una notazione spe-ciale sono solo artifici mnemonici per ricordarci di non saltare a conclusioni avventatequando si deve calcolare un limite che si presenti in uno di questi tipi

Alcuni testi ne menzionano altre due ⟦ 00⟧ e ⟦ 1infin⟧ Si tratta di un inutile appesanti-mento percheacute una funzione del tipo

119865(119909) = (119891(119909))119892(119909)

si tratta sempre scrivendola come 119865(119909) = exp(119892(119909) log119891(119909)) e calcolando

lim119909rarr119888

119892(119909) log119891(119909)

percheacute poi possiamo usare i noti fatti su exp e lrsquoultimo teorema enunciato Se secondola terminologia appesantita la forma originale egrave ⟦00⟧ il limite da calcolare egrave nella forma⟦ 0 sdotinfin⟧ se egrave della forma ⟦ 1infin⟧ lo si riduce a uno della stessa forma ⟦ infinsdot0⟧ Dunque leforme indeterminate che studieremo saranno solo le quattro giagrave messe in evidenza

Si faccia attenzione che questo ha solo una vaga connessione con il fatto che la divisione di0 per 0 non egrave definita qui non si sta parlando di operazioni su numeri ma di limiti di funzioniLe forme messe in evidenza sono quelle nelle quali non egrave possibile applicare alcuno dei teoremigenerali sui limiti senza trasformarle in qualche modo

Uno degli strumenti fondamentali per affrontare le forme indeterminate egrave il teore-ma di lrsquoHocircpital che si puograve estendere in vari modi Ma si badi bene a non abusarne esoprattutto a non continuare a derivare senza semplificare dove sia possibile

Consideriamo per esempio lim119909rarr0 119909 log119909 che si presenta come forma indeterminata⟦ 0 sdotinfin⟧ lo possiamo trasformare in modo da avere una forma ⟦00⟧

lim119909rarr0

119909 log119909 = lim119909rarr0

1199091 log119909

H= lim119909rarr0

1(minus1(log119909)2)(1119909)

= lim119909rarr0

minus119909(log119909)2

76 limiti

che egrave peggio di prima Potremmo invece trasformarlo nella forma ⟦ infininfin⟧ come

lim119909rarr0

119909 log119909 = lim119909rarr0

log1199091119909

H= lim119909rarr0

1119909minus11199092

= lim119909rarr0

minus119909 = 0

se non fosse che abbiamo applicato il teorema di lrsquoHocircpital in un caso che non sarebbeammesso Lrsquoenunciato che segue dove scriveremo plusmninfin per indicare uno fra +infin e minusinfinci dice proprio che invece si puograve

t e o r ema d i l rsquo h ocirc p i t a l g e n e r a l i z z a t o Siano 119891 e 119892 derivabili in unintorno di 119888 (finito o infinito) escluso al piugrave 119888 con 119892prime(119909) ne 0 in un intorno di 119888 Se

lim119909rarr119888

119891(119909) = 0 e lim119909rarr119888

119892(119909) = 0

oppurelim119909rarr119888

119891(119909) = plusmninfin e lim119909rarr119888

119892(119909) = plusmninfin

ed esiste (finito o infinito)

lim119909rarr119888

119891prime(119909)119892prime(119909)

allora si ha

lim119909rarr119888

119891(119909)119892(119909) = lim

119909rarr119888119891prime(119909)119892prime(119909)

Ecco lrsquoesempio Consideriamo lim119909rarrminusinfin(1119909) exp(119909) Questo limite si presenta nellaforma indeterminata ⟦ 00⟧ se applicassimo il teorema di lrsquoHocircpital in modo avventatoavremmo

lim119909rarrminusinfin

1119909exp119909

H= lim119909rarrminusinfin

minus11199092

exp119909

che egrave ancora nella forma ⟦ 00⟧ ma unrsquoaltra applicazione del teorema ci porterebbe auna situazione peggiore Invece

lim119909rarrminusinfin

1119909exp119909 = lim

119909rarrminusinfin

exp(minus119909)119909

H= lim119909rarrminusinfin

minus exp(minus119909)1 = minusinfin

Infatti lim119909rarrminusinfin exp(minus119909) = lim119905rarr+infin exp 119905 = +infinEgrave facile allora calcolare per 119898 ge 0 intero

lim119909rarr+infin

exp119909119909119898

riducendo via via il grado del denominatore per 119898 = 0 abbiamo

lim119909rarr+infin

exp1199091 = +infin

Per usare lrsquoinduzione scriviamo

lim119909rarr+infin

exp119909119909119898+1

H= lim119909rarr+infin

exp119909(119898+ 1)119909119898 = 1

119898+1 lim119909rarr+infin

exp119909119909119898

Per ipotesi induttiva possiamo supporre che lrsquoultimo limite sia +infin e abbiamo dunqueper ogni 119898 ge 0 intero

lim119909rarr+infin

exp119909119909119898 = +infin

44 ordini di infinitesimo 77

Se ora 119903 gt 0 egrave un numero reale qualsiasi sappiamo che 119898 le 119903 le 119898 + 1 per unopportuno 119898 ge 0 intero Per 119909 gt 1 si ha allora

119898 log119909 le 119903 log119909 le (119898+ 1) log119909

e dunque 119909119898 le 119909119903 le 119909119898+1 e finalmente

exp119909119909119898+1 le exp119909

119909119903 le exp119909119909119898

da cui possiamo dedurre per il teorema di confronto dei limiti (opportunamente efacilmente esteso) che per 119903 ge 0

lim119909rarr+infin

exp119909119909119903 = +infin

Che crsquoegrave di scorretto nella seguente applicazione del teorema di lrsquoHocircpital

lim119909rarrminusinfin

exp119909119909

H= lim119909rarrminusinfin

exp1199091 = 0

nella quale si ottiene comunque il risultato corretto Si verifichino per bene le ipotesi del teoremageneralizzato

Se consideriamo invece lim119909rarr0 119909(log119909)119899 possiamo scrivere

lim119909rarr0

119909(log119909)119899 = lim119909rarr0

(log119909)1198991119909

H= lim119909rarr0

119899(log119909)119899minus1119909minus11199092

= minus119899 lim119909rarr0

119909(log119909)119899minus1

Siccome sappiamo giagrave che per 119899 = 1 il limite egrave 0 per induzione abbiamo

lim119909rarr0

119909(log119909)119899 = 0

Con la solita tecnica di prendere 119899 le 119903 le 119899+1 con 119899 intero e il teorema del confrontoabbiamo lim119909rarr0 119909(log119909)119903 = 0 per ogni 119903 gt 0 Per 119903 le 0 vale la stessa cosa ma non crsquoegravebisogno di dimostrarlo con particolari tecniche

Possiamo anche affrontare lim119909rarr+infin 1199091119909 calcolando

lim119909rarr+infin

log119909119909

H= lim119909rarr+infin

11199091 = 0

e perciograve lim119909rarr+infin 1199091119909 = 1

44 ordini di infinitesimo

Quando si deve studiare un limite in 0 in cui ci sia un fattore sin119909 al denominatore oal numeratore egrave sempre possibile sostituirlo con 119909 infatti si ha

lim119909rarr0

119891(119909)sin119909 = lim

119909rarr0

119909sin119909

119891(119909)119909 = lim

119909rarr0

119891(119909)119909

ammesso che questrsquoultimo esista per i teoremi sui limiti Puograve essere piugrave complicatose il denominatore egrave sin119909 minus 119909 cos119909 che non appare cosigrave immediato Ma ci viene insoccorso il teorema di lrsquoHocircpital proviamo a calcolare se esiste lrsquoesponente 119896 tale che

lim119909rarr0

sin119909minus119909 cos119909119909119896

78 limiti

sia finito e non nullo Trattandosi di una forma indeterminata possiamo semplicemen-te derivare il numeratore un numero sufficiente di volte per togliere lrsquoindeterminazionePiugrave precisamente consideriamo il seguente schema

lim119909rarr0

sin119909minus119909 cos119909119909119896

H= lim119909rarr0

cos119909minus cos119909+119909 sin119909119896119909119896minus1

= lim119909rarr0

119909 sin119909119896119909119896minus1

= lim119909rarr0

sin119909119896119909119896minus2

H= lim119909rarr0

cos119909119896(119896 minus 2)119909119896minus3

dove quando applichiamo il teorema di lrsquoHocircpital procediamo assumendo sempre chegli esponenti al denominatore diano una forma indeterminata Al passo finale il nume-ratore ha come limite 1 e quindi per 119896 = 3 il limite vale 13 In conclusione ogni limitedella forma

lim119909rarr0

119891(119909)sin119909minus119909 cos119909

puograve essere trasformato come prima

lim119909rarr0

119891(119909)sin119909minus119909 cos119909 = lim

119909rarr0

1199093

sin119909minus119909 cos119909119891(119909)1199093 = 3 lim

119909rarr0

119891(119909)1199093

Qui abbiamo studiato limiti a 0 ma egrave irrilevante per i limiti a 119888 si useranno le potenzedi 119909minus 119888 si possono anche considerare limiti da destra e da sinistra

Nel caso di (sin119909minus119909 cos119909)119909119896 si puograve anche scrivere cos119909(tan119909minus119909)119909119896 percheacute latangente egrave definita in un intorno di 0 il fattore cos119909 non influisce sul limite perciogravepossiamo agire anche con

lim119909rarr0

tan119909minus119909119909119896

H= lim119909rarr0

1 + tan2 119909119896119909119896minus1 = 1

3

molto piugrave brevementeNon sempre questa tecnica funziona Se vogliamo studiare

lim119909rarr0+

exp(minus1119909)119909119896

e cerchiamo un esponente 119896 che lo renda finito e non nullo facciamo una fatica inutileInfatti con la sostituzione 119910 = 1119909 otteniamo

lim119910rarr+infin

119910119896

exp119910

e per quante volte applichiamo il teorema di lrsquoHocircpital questo limite egrave 0

5STUD I D I FUNZ IONE

Che differenza crsquoegrave tra le funzioni 119891(119909) = 1199092 e 119892(119909) = 1199094 Piugrave in generale che infor-mazioni si possono avere sulla variazione dei valori di una funzione quando variamoil punto in cui sono calcolate Lo studio di funzione risponde a queste domande ed egraveessenziale per analizzare problemi dove i metodi puramente algebrici non arrivano

51 equazioni non algebriche

Spesso egrave utile conoscere in dettaglio lrsquoandamento di una funzione per esempio pertrovare il numero di soluzioni di unrsquoequazione

Vediamo un caso curioso Si vuole trovare al variare di 119886 gt 0 il numero di soluzionidella bizzarra equazione 119909119909 = 119886 Prima di tutto la si trasforma in

119909 log119909 = log119886

e poi si considera la funzione

119891(119909) = 119909 log119909minus log119886

che egrave definita e continua nellrsquointervallo (0 rarr) Un utile punto di partenza egrave trovare ilimiti nei punti di accumulazione del dominio che non appartengano al dominio stessoin questo caso 0 e +infin Il limite a +infin non dagrave problemi percheacute

lim119909rarr+infin

119909 log119909minus log119886 = (+infin) sdot (+infin)minus log119886 = +infin

Si ricordi che queste operazioni hanno senso solo per esprimere applicazioni di teoremisui limiti

Il limite a 0 si presenta sotto la forma indeterminata ⟦ 0 sdot infin⟧ lo trasformiamo nellaforma ⟦ infininfin⟧

lim119909rarr0

119909 log119909 = lim119909rarr0

log1199091119909

H= lim119909rarr0

1119909minus11199092 = lim

119909rarr0minus119909 = 0

Dunque lim119909rarr0 119891(119909) = minus log119886Ora possiamo calcolare la derivata

119891prime(119909) = log119909+119909 1119909 = log119909+ 1

che egrave negativa per 0 lt 119909 lt 1119890 e positiva per 119909 gt 1119890 Dunque 119891 ha un minimo in 1119890dove vale

119891(1119890) = 1119890 log 1

119890 minus log119886 = minus1119890 minus log119886

Se 119891(1119890) gt 0 il grafico della funzione non incontra lrsquoasse delle ascisse e quindilrsquoequazione non ha soluzione Dunque lrsquoequazione non ha soluzione se

minus1119890 minus log119886 gt 0

cioegrave log119886 lt minus1119890 quindi in definitiva

0 lt 119886 lt exp(minus1119890)

Per 119891(1119890) = 0 cioegrave 119886 = exp(minus1119890) il grafico della funzione egrave tangente allrsquoasse delleascisse e quindi lrsquoequazione ha una sola soluzione precisamente 1119890

Per 119891(1119890) gt 0 il grafico incontra lrsquoasse delle ascisse una sola volta se minus log119886 le 0due volte se minus log119886 gt 0 dunque riassumendo

79

80 studi di funzione

lrsquoequazione 119909119909 = 119886

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

non ha soluzione per 0 lt 119886 lt exp(minus1119890)ha una soluzione per 119886 = exp(minus1119890)ha due soluzioni per exp(minus1119890) lt 119886 lt 1ha una soluzione per 119886 ge 1

In particolare esiste un solo numero 119909 tale che 119909119909 = 27 Infatti 27 ge 1 quindi lrsquoequa-zione ha una sola soluzione Siccome 33 = 27 3 egrave lrsquounica soluzione Non avremmoalcun metodo per determinarla ldquoesattamenterdquo se 119886 = 10 per esempio

Si puograve operare in modo diverso e considerare la funzione 119892(119909) = 119909 log119909 Come laprecedente essa ha un minimo in 1119890 e 119892(1119890) = minus1119890 Inoltre

lim119909rarr0

119892(119909) = 0 lim119909rarr+infin

119892(119909) = +infin

Possiamo interpretare lrsquoequazione 119909 log119909 = log119886 come ldquointersecare il grafico di 119892 conrette orizzontali 119910 = log119886 Dallrsquoandamento del grafico egrave chiaro che quando log119886 lt119892(1119890) non crsquoegrave alcuna intersezione quando log119886 = 119892(1119890) la retta egrave tangente (unasoluzione) quando 119892(1119890) lt log119886 lt 0 ci sono due intersezioni quando log119886 ge 0 crsquoegraveuna sola intersezione Ritroviamo quindi lo stesso risultato precedente forse conmenofatica

Consideriamo 119891(119909) = 119909 exp119909 e studiamone il comportamento La funzione egrave definita ovun-que con

lim119909rarrminusinfin

119891(119909) = lim119909rarrminusinfin

119909exp(minus119909)

H= lim119909rarrminusinfin

1minus exp(minus119909) = 0 lim

119909rarr+infin119891(119909) = +infin

La derivata egrave 119891prime(119909) = exp119909+119909 exp119909 = (1+119909) exp119909 che egrave positiva per 119909 gt minus1 Possiamo dunqueinvertire la funzione nellrsquointervallo [minus1 rarr) e lrsquoinversa si chiama tradizionalmente 119882 il primoa studiare questa funzione fu Johann Heinrich Lambert (1728ndash1777) La funzione 119882 egrave definitadunque sullrsquointervallo [minus1119890 rarr) e soddisfa per 119909 in quellrsquointervallo lrsquouguaglianza

119882(119909) exp(119882(119909)) = 119909

La derivata di 119882 si calcola con il solito trucco di derivare ambo i membri

119882prime(119909) exp(119882(119909)) +119882(119909)119882prime(119909) exp(119882(119909)) = 1

e quindi raccogliendo119882prime(119909) = 1

(1 +119882(119909)) exp(119882(119909))

Ritorniamo alla nostra equazione 119909119909 = 119886 che abbiamo giagrave modificato in 119909 log119909 = log119886 Sepotessimo scrivere 119909 = exp(119882(119905)) avremmo

log119886 = exp(119882(119905)) log exp(119882(119905)) = 119882(119905) exp(119882(119905)) = 119905

Dunque possiamo scrivere la ldquosoluzionerdquo della nostra equazione originale come

119909 = exp(119882(log119886))

ma solo per certi 119886 Si determini per quali valori di 119886 questo egrave ammissibileSi puograve anche invertire la funzione 119891 nellrsquointervallo (larr minus1] ottenendo una funzione 1198821

che ha proprietagrave analoghe e ci puograve servire per scrivere formalmente le soluzioni dellrsquoequazione119909119909 = 119886 per ogni 119886 ge 1119890

Riprendiamo lrsquoequazione exp119909 = 119898119909 + 119902 che trasformiamo in exp119909 minus 119898119909 = 119902Consideriamo quindi la funzione 119891(119909) = exp119909 minus 119898119909 Poicheacute lim119909rarrminusinfin exp119909 = 0avremo

lim119909rarrminusinfin

119891(119909) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

+infin se 119898 lt 00 se 119898 = 0

minusinfin se 119898 gt 0

51 equazioni non algebriche 81

Inoltrelim

119909rarr+infin119891(119909) = lim

119909rarr+infin(exp119909

119909 minus119898)119909 = (+infinminus119898) sdot (+infin) = +infin

Calcoliamo la derivata119891prime(119909) = exp119909minus119898

che egrave ovunque positiva per 119898 le 0 Per 119898 gt 0 la funzione egrave decrescente nellrsquointervallo(larr log119898] e crescente in [log119898 rarr) Il minimo di 119891 vale 119891(log119898) = 119898minus119898 log119898 =119898(1minus log119898) Abbiamo tutti i dati e possiamo riassumerli cosigrave

Soluzioni di exp119909 = 119898119909+119902

119898 lt 0 una soluzione per 119902 qualsiasi

119898 = 0 nessuna soluzione per 119902 le 0una soluzione per 119902 gt 0

119898 gt 0 nessuna soluzione per 119902 lt 119898(1minus log119898)una soluzione per 119902 = 119898(1minus log119898)due soluzioni per 119902 gt 119898(1minus log119898)

Vogliamo studiare la disequazione sin119909 lt 119909 Ancora consideriamo la funzione119891(119909) = sin119909minus119909 che perograve non ha limiti a minusinfin e +infin Poco male la derivata egrave

119891prime(119909) = cos119909minus 1

che egrave negativa tranne per 119909 = 2119896120587 (119896 intero) dove si annulla Dunque 119891 egrave decrescentee perciograve si annulla in al piugrave un punto a sinistra di esso saragrave positiva a destra di essosaragrave negativa Siccome sin0 = 0 cioegrave 119891(0) = 0 abbiamo che sin119909 lt 119909 per 119909 gt 0

Si provi in modo analogo che lrsquoequazione 119909 = tan119909 ha una e una sola soluzione inciascuno degli intervalli 119868119896 = (minus1205872 + 119896120587 1205872 + 119896120587) (119896 intero) Se denotiamo con119888(119896) la soluzione nellrsquointervallo 119868119896 si provi che lim119896rarr+infin(119888(119896) minus 119896120587) = 1205872

Un altro problema interessante egrave quello di trovare le soluzioni negli interi positivi dellrsquoequa-zione 119910119909 = 119909119910 in cui sia 119909 ne 119910 Egrave evidente che una soluzione egrave 119909 = 2 119910 = 4 (o viceversa) nonaltrettanto ovvio egrave decidere se ce ne siano altre

Decidiamo perciograve di considerare 119886 gt 0 (anche non intero) e di trovare tutti i valori 119909 gt 119886 peri quali si abbia 119886119909 = 119909119886 Ci basta porre 119909 gt 119886 percheacute evidentemente la situazione egrave del tuttosimmetrica Lrsquoequazione egrave equivalente a 119909 log119886 = 119886 log119909 e dunque consideriamo la funzione

119891(119909) = 119909 log119886minus119886 log119909 119909 isin (119886 rarr)

in modo da evitare gli esponenziali Abbiamo

119891prime(119909) = log119886minus 119886119909

e lrsquoespressione 119909 log119886 minus 119886 si annulla per 119909 = 119886 log119886 Dobbiamo domandarci quando questovalore appartiene al dominio cioegrave quando 119886 log119886 gt 119886 che avviene per log119886 gt 0 e log119886 lt 1quindi per 1 lt 119886 lt 119890

Teniamo da parte questo caso ed esaminiamo gli altri Siccome lim119909rarr+infin 119891prime(119909) = log119886 neicasi in cui la derivata non si annulla nel dominio sappiamo che la funzione egrave crescente oppuredecrescente Egrave crescente per 119886 ge 119890 e decrescente per 119886 lt 1 inoltre lim119909rarr119886 119891(119909) = 0 e perciograveabbiamo 119891(119909) ne 0 per ogni 119909 gt 119886 quando 0 lt 119886 lt 1 oppure 119886 ge 119890 Nel caso di 119886 = 1 lrsquoequazionediventa 1119909 = 1199091 che ha evidentemente lrsquounica soluzione 119909 = 1

Studiamo dunque il caso 1 lt 119886 lt 119890 La derivata 119891prime(119909) egrave negativa per 0 lt 119909 lt 119886 log119886 e positivaper 119909 gt 119886 log119886 quindi 119886 log119886 egrave un punto di minimo Sappiamo anche che lim119909rarr119886 119891(119909) = 0 eperciograve questo limite egrave negativo inoltre lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin (verificarlo) dunque la funzione siannulla in un unico punto nellrsquointervallo (119886 log119886 rarr)

82 studi di funzione

Le soluzioni intere non banali dellrsquoequazione 119886119909 = 119909119886 (con 119909 gt 119886) dunque possono esisteresolo per 119886 nellrsquointervallo (1 119890) e lrsquounico intero egrave 2 Perciograve la soluzione 119886 = 2 119909 = 4 egrave lrsquounica innumeri interi Se 119886 gt 2 egrave intero abbiamo anche 119886 gt 119890 e le considerazioni precedenti ci diconoche per 119909 gt 119886 si ha 119891(119909) gt 0 cioegrave 119886119909 gt 119909119886 (per esempio 34 = 81 gt 43 = 64) Nel caso di 119886 = 2che egrave lrsquounico con incertezza abbiamo 23 lt 32 24 = 42 e 2119909 gt 1199092 per 119909 gt 4 Il caso di 119886 = 1 egravedel tutto banale

Se esaminiamo invece lrsquoanaloga equazione 119909radic119886 = 119886radic119909 siamo condotti a considerare lrsquoequazio-ne

1119909 log119886 = 1

119886 log119909

cioegrave 119909 log119909 = 119886 log119886 Per simmetria possiamo sempre assumere 119909 gt 119886 se vogliamo le soluzioninon banali Consideriamo allora

119891(119909) = 119909 log119909minus119886 log119886

la cui derivata egrave 119891prime(119909) = 1 + log119909 che si annulla solo eventualmente per 119909 = 1119890 Per 119886 ge1119890 abbiamo dunque 119891prime(119909) gt 0 in (119886 rarr) e dunque 119891 egrave crescente essendo lim119909rarr119886 119891(119909) = 0possiamo dire che 119891 non si annulla in alcun punto del dominio e lrsquoequazione non ha soluzioni

Per 0 lt 119886 lt 1119890 la situazione egrave diversa La funzione egrave decrescente in (119886 1119890] e crescente in[1119890 rarr) e il minimo egrave

119891(1119890) = minus1119890 minus 119886 log119886

Valgono ancora lim119909rarr119886 119891(119909) = 0 e lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin quindi crsquoegrave esattamente un punto internoal dominio in cui 119891 si annulla Non ci sono naturalmente soluzioni intere percheacute nessun interocade nellrsquointervallo (0 1119890)

52 procedura per lo studio di una funzione

Come si imposta uno studio di funzione Egrave bene aver presente uno schema che ciricordi quali sono i punti principali su cui fissare lrsquoattenzione Tuttavia non egrave semprenecessario o conveniente seguire tutti i passi egrave uno schema generale che va adattatoalle situazioni particolari

primo passo determinare il dominio della funzione Se il problema non ha imposi-zioni particolari si considera come dominio il piugrave grande insieme di numeri realiin cui lrsquoespressione con cui egrave data la funzione ha senso

secondo passo decidere in quali punti del dominio la funzione egrave sicuramente con-tinua

terzo passo identificare i punti di accumulazione del dominio che non appartengo-no al dominio stesso (compresi se il dominio egrave illimitato +infin o minusinfin)

quarto passo calcolare il limite nei punti del dominio in cui non egrave sicuro che lafunzione sia continua e nei punti determinati nel terzo passo distinguendo senecessario fra limite da destra e limite da sinistra

quinto passo determinare gli asintoti

sesto passo calcolare dove esiste la derivata della funzione e se possibile deter-minare gli intervalli di crescenza e decrescenza dedurre da queste informazionii punti di massimo e di minimo

settimo passo se le informazioni ottenute non sono sufficienti a tracciare un grafi-co indicativo dellrsquoandamento della funzione determinare gli intervalli di conca-vitagrave e convessitagrave

53 asintoti 83

53 asintoti

Nella lista della spesa precedente ci sono alcuni termini non ancora descritti con preci-sione Il primo termine egrave asintoto che perograve egrave giagrave stato incontrato nel caso dellrsquoiperbole

Consideriamo lrsquoiperbole di equazione 119909119910 = 1 La retta 119903 di equazione 119909 = 0 ha laproprietagrave che non incontra lrsquoiperbole ma la distanza dai punti dellrsquoiperbole alla retta119903 puograve essere resa piccola quanto si vuole data una tolleranza 120576 gt 0 esiste un punto 119875dellrsquoiperbole tale che la distanza di 119875 da 119903 egrave minore di 120576 In effetti il punto 119875 di coor-dinate (1205762 2120576) ha questa proprietagrave percheacute la distanza di 119875 da 119903 egrave il valore assolutodellrsquoascissa di 119875

Questo non succede per la retta 119904 di equazione 119909+119910 = 0 il sistema

⎧⎨⎩

119909119910 = 1119909+119910 = 0

ha come equazione risolventeminus1199092 = 1

e dunque il sistema non ha soluzioni cioegrave la retta non incontra lrsquoiperbole Sia (119905 1119905)un punto dellrsquoiperbole e determiniamo la distanza di questo punto da 119904 il quadratodella distanza egrave

119891(119905) = (119905 + 1119905)21 + 1 = 1199054 +21199052 +1

21199052 = 11990522 + 1+ 1

21199052

Si tratta di una funzione che vale la pena di studiare Sappiamo che

lim119905rarrminusinfin

119891(119905) = +infin lim119905rarr0

119891(119905) = +infin lim119905rarr+infin

119891(119905) = +infin

La derivata di 119891 egrave

119891prime(119905) = 119905 minus 11199053 = 1199054 minus 1

1199053che egrave negativa nellrsquointervallo (larr minus1) e in (0 1) positiva in (minus1 0) e in (1 rarr)Dunque 119891 ha punti di minimo in minus1 e 1 con 119891(1) = 119891(minus1) = 2 Quindi esiste unaminima distanza dei punti dellrsquoiperbole dalla retta

Se una retta incontra lrsquoiperbole evidentemente la minima distanza esiste ed egrave nullaSi puograve verificare che le rette di equazione 119909 = 0 e 119910 = 0 sono le uniche che nonincontrano lrsquoiperbole e per le quali la distanza non abbia minimo Queste rette sonodette asintoti

Lrsquounica retta verticale che non incontra il grafico dellrsquoiperbole 119909119910 = 1 egrave lrsquoasse delle ordina-te per il quale egrave evidente che la distanza non ha minimo Discorso analogo vale per le retteorizzontali

Supponiamo dunque che la retta abbia equazione 119910 = 119898119909 + 119902 con 119898 ne 0 Lrsquoequazionerisolvente del sistema con lrsquoiperbole egrave

119909(119898119909+119902) = 1

che ha discriminante negativo per 1199022 + 4119898 lt 0 Quando infatti il discriminante egrave non negativola retta incontra lrsquoiperbole e il minimo della distanza egrave zero Per trovare il minimo della distanzaconsideriamo dunque

119891(119905) = (1119905 minus119898119905minus 119902)

2

La distanza vera si otterrebbe dividendo per 1+1198982 e prendendo la radice quadrata ma la radicequadrata egrave crescente e il divisore non puograve cambiare il punto di minimo La derivata di 119891 egrave

119891prime(119905) = 2(1119905 minus119898119905minus 119902)(minus 1

1199052 minus119898)

84 studi di funzione

Il primo fattore non si annulla percheacute per ipotesi 1199022 + 4119898 lt 0 Il secondo fattore si annullaper 1198981199052 + 1 = 0 si ottengono dunque due punti entrambi di minimo quando 119898 lt 0 Ineffetti abbiamo visto che le rette che non incontrano lrsquoiperbole sono gli assi e quelle di equazione119910 = 119898119909+119902 con 4119898 lt minus1199022

Si ha per questi punti

119891(minusradic1119898) = (minusradic119898+radic119898minus119902)2 = 1199022 119891(radic1119898) = (radic119898minusradic119898minus119902)2 = 1199022

e perciograve la distanza minima egrave |119902| radic1+1198982 Si noti che la condizione 1199022+4119898 = 0 caratterizza lerette tangenti se scriviamo la retta nella forma 119886119909+119887119910+119888 = 0 abbiamo 119898 = minus119886119887 119902 = minus119888119887e la condizione diventa 1198882+4119886119887 = 0 fra queste rette ci sono anche gli assi Infatti per 119886 = 119888 = 0e 119887 ne 0 otteniamo lrsquoasse delle ascisse per 119887 = 119888 = 0 e 119886 ne 0 otteniamo lrsquoasse delle ordinate Ildiscorso ci porterebbe troppo in lagrave ma da questo capiamo che non egrave cosigrave peregrino consideraregli asintoti come tangenti lsquoimpropriersquo allrsquoiperbole

La nozione di asintoto si estende ai grafici di funzioni arbitrarie Diremo che laretta 119909 = 119888 egrave un asintoto verticale del grafico di 119891 se vale almeno una delle condizioniseguenti

bull 119891 egrave definita nellrsquointervallo (119888 119888 + 120575) per un 120575 gt 0 e lim119909rarr119888+ 119891(119909) = plusmninfin

bull 119891 egrave definita nellrsquointervallo (119888 minus 120575 119888) per un 120575 gt 0 e lim119909rarr119888minus 119891(119909) = plusmninfin

Non facciamo alcuna richiesta che la retta non incontri il grafico della funzione in altripunti (succede se la funzione egrave definita in 119888)

Diremo che la retta 119910 = 119889 egrave un asintoto orizzontale del grafico di 119891 se vale almenouna delle condizioni seguenti

bull 119891 egrave definita in un intorno di +infin e lim119909rarr+infin 119891(119909) = 119889bull 119891 egrave definita in un intorno di minusinfin e lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = 119889

Anche qui non chiediamo che il grafico di 119891 non incontri la rettaEsiste un terzo tipo di asintoto Consideriamo la funzione

119891(119909) = 1+radic1199092 +2119909

che consideriamo definita per 119909 gt 0 Cerchiamo unrsquoequazione che sia soddisfatta datutti i punti del grafico di 119891 lrsquoequazione ovvia

119910 = 1+radic1199092 +2119909

puograve essere manipolata liberamente scegliamo di portare il termine noto a sinistra e dielevare al quadrato

(119910minus 1)2 = 1199092 + 2119909+ 1minus 1 = (119909+ 1)2 minus 1

e quindi i punti del grafico di 119891 appartengono tutti allrsquoiperbole di equazione

(119909+ 1)2 minus (119910minus 1)2 = 1

i cui asintoti sono (119909 + 1) = (119910 minus 1) e (119909 + 1) = minus(119910 minus 1) Quello che ci interessa egraveil primo come si vede chiaramente facendo tracciare il grafico di 119891 a un programmacome GeoGebra Ci si accorge che piugrave 119909 diventa grande piugrave la distanza del punto dicoordinate (119909119891(119909)) dalla retta 119903 di equazione 119909minus119910+ 2 = 0 diventa piccola

Proviamo a vederlo senza calcolare effettivamente la distanza invece calcoleremole distanze in orizzontale e verticale se queste diventano piccole anche la distanzaeffettiva diventa piccola e viceversa

53 asintoti 85

Consideriamo dunque il punto di coordinate (119905119891(119905)) la distanza in orizzontale 119889119909da questo punto alla retta egrave il valore assoluto della differenza delle ascisse tra i punti(119905 (119891(119905)) e (119891(119905)+2119891(119905)) mentre la distanza in verticale 119889119910 egrave il valore assoluto delladifferenza delle ordinate tra i punti (119905119891(119905)) e (119905 119905 + 2) Dunque

119889119909 = |119905 minus (119891(119905) + 2)| 119889119910 = |119891(119905) minus (119905 + 2)|

Quindi 119889119909 = 119889119910 Poniamo 119889(119905) = 119891(119905) minus 119905 minus 2 = radic1199052 + 2119905 minus 119905 minus 1 e calcoliamolim119905rarr+infin 119889(119905)

lim119905rarr+infin

radic1199052 +2119905 minus 119905minus 1 = lim119905rarr+infin

(1199052 + 2119905) minus (119905 + 1)2

radic1199052 + 2119905+ 119905+ 1

= lim119905rarr+infin

minus1radic1199052 + 2119905+ 119905 + 1

= minus1+infin = 0

Perciograve anche lim119905rarr+infin|119889(119905)| = 0 proprio come ci aspettavamoIl calcolo egrave esattamente lo stesso anche in altre situazioni il rapporto tra la distan-

za in verticale e quella in orizzontale egrave fisso (due opportuni triangoli sono simili) equindi una tende a 0 se e solo se tende a 0 lrsquoaltra Dunque possiamo dare la seguentedefinizione

d e f i n i z i o n e La retta di equazione119910 = 119898119909+119902 con119898 ne 0 si dice un asintotoobliquo del grafico di 119891 se egrave soddisfatta almeno una delle seguenti condizioni

bull +infin egrave un punto di accumulazione del dominio di 119891 e

lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus119898119909minus119902) = 0

bull minusinfin egrave un punto di accumulazione del dominio di 119891 e

lim119909rarrminusinfin

(119891(119909) minus119898119909minus119902) = 0

Data la definizione occorre un metodo per calcolare119898 e 119902 Vediamo nel caso di+infinin quello di minusinfin si opera allo stesso modo Supponiamo dunque che la retta di equa-zione 119910 = 119898119909+119902 sia un asintoto obliquo a +infin Allora per ipotesi lim119909rarr+infin(119891(119909) minus119898119909minus119902) = 0 e quindi anche

lim119909rarr+infin

119891(119909) minus119898119909minus119902119909 = 0

Siccome lim119909rarr+infin 119902119909 = 0 avremo anche

119898 = 119898+ lim119909rarr+infin

119891(119909) minus119898119909minus119902119909 + lim

119909rarr+infin

119902119909

= 119898+ lim119909rarr+infin

(119891(119909)119909 minus119898)

= lim119909rarr+infin

119891(119909)119909

Questo determina se esiste il coefficiente angolare 119898 A questo punto abbiamo

119902 = 119902+ lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus119898119909minus119902) = lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus119898119909)

86 studi di funzione

e questo determina 119902 Se uno dei due limiti non esiste o egrave infinito lrsquoasintoto obliquo noncrsquoegrave Non crsquoegrave nemmeno se lim119909rarr+infin 119891(119909)119909 = 0 percheacute in tal caso lrsquoasintoto dovrebbeessere orizzontale e lrsquoabbiamo giagrave escluso

Per esempio con 119891(119909) = 119909minus log119909 si ha

lim119909rarr+infin

119891(119909)119909 = lim

119909rarr+infin1 minus log119909

119909 = 1minus 0 = 1

ma passando al calcolo di 119902 si ottiene

lim119909rarr+infin

(119909minus log119909) minus119909 = lim119909rarr+infin

minus log119909 = minusinfin

e quindi il grafico di 119891 non ha asintoti obliquiVerifichiamo che nel caso del ramo di iperbole di prima i conti danno effettivamente

lrsquoasintoto obliquo previsto

lim119909rarr+infin

119891(119909)119909 = lim

119909rarr+infin

1 +radic1199092 + 2119909119909 = lim

119909rarr+infin

1119909 +

radic1+ 2

119909 = 0+ 1 = 1

e perciograve 119898 = 1 abbiamo poi

lim119909rarr+infin

(119891(119909) minus 119909) = lim119909rarr+infin

1 +radic1199092 + 2119909minus119909 ⟦ infinminusinfin⟧

= lim119909rarr+infin

(1199092 + 2119909) minus (119909minus 1)2

radic1199092 + 2119909+ (119909minus 1)

= lim119909rarr+infin

4119909minus 1radic1199092 + 2119909+ (119909minus 1)

⟦ infininfin⟧

= lim119909rarr+infin

4 minus 1119909

radic1+ 2

119909 + 1minus 1119909

= 4radic1+ 1

= 42 = 2

e dunque lrsquoasintoto ha equazione 119910 = 119909+ 2Si consideri ora la funzione 119891(119909) = 1 + radic1199092 +2119909 definita anche per 119909 le minus2 e si

determini lrsquoeventuale asintoto obliquo a minusinfin

54 esempi

Diamo ora qualche esempio di studio di funzione lasciando da parte per ora la que-stione sulla concavitagrave e convessitagrave

Sia 119891(119909) = exp(minus1199092)

primo passo la funzione 119891 egrave definita ovunque

secondo passo la funzione 119891 egrave continua su tutto il dominio essendo composizionedi due funzioni continue Notiamo poi che 119891(minus119909) = 119891(119909) e che 119891(119909) gt 0 perogni 119909

terzo passo i punti di accumulazione del dominio da considerare sono solo minusinfin e+infin

quarto passo Calcoliamo lim119909rarr+infin 119891(119909) Siccome lim119909rarr+infin minus1199092 = minusinfin avremo

lim119909rarr+infin

119891(119909) = lim119905rarrminusinfin

exp 119905 = 0

e dal fatto che 119891(minus119909) = 119891(119909) deduciamo che lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = 0

54 esempi 87

quinto passo lrsquounico asintoto egrave la retta di equazione 119910 = 0

sesto passo la derivata egrave

119891prime(119909) = exp(minus1199092)(minus2119909) = minus2119909 exp(minus1199092)

che egrave negativa per119909 lt 0 e positiva per119909 gt 0 Dunque119891 ha unmassimo (assoluto)in 0 e 119891(0) = exp0 = 1

Gli elementi necessari per avere unrsquoidea del grafico ci sono tutti Manca qualche det-taglio percheacute egrave evidente che nel procedere da 0 verso destra la lsquocurvaturarsquo del graficodeve cambiare

Vediamo la funzione 119891(119909) = radic1199092 minus1199093

primo passo il dominio 119863(119891) egrave lrsquoinsieme delle soluzioni della disequazione 1199092 minus1199093 ge 0 cioegrave lrsquointervallo (larr 1]

secondo passo la funzione egrave continua in tutto il dominio e 119891(119909) ge 0 per ogni119909 isin 119863(119891)

terzo passo lrsquounico punto di accumulazione del dominio da considerare egrave minusinfin

quarto passo lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = +infin

quinto passo Vediamo se esiste un asintoto obliquo

lim119909rarrminusinfin

119891(119909)119909 = lim

119909rarrminusinfinminusradic

1199092 minus1199093

1199092 = lim119909rarrminusinfin

minusradic1minus119909 = minusinfin

Il grafico della funzione non ha asintoti

sesto passo calcoliamo la derivata

119891prime(119909) = 12radic1199092 minus1199093

(2119909minus 31199092)

La funzione non egrave derivabile in 0 e in 1 (si veda un esempio giagrave svolto)

lim119909rarr0minus

119891prime(119909) = minus1 lim119909rarr0+

119891prime(119909) = 1 lim119909rarr1

119891prime(119909) = minusinfin

La derivata egrave negativa nellrsquointervallo (larr 0) positiva in (0 23) negativa in(23 1)

Dunque abbiamo le seguenti informazioni

119891 egrave decrescente in (larr 0]0 egrave un punto di minimo 119891(0) = 0119891 egrave crescente in [0 23]

23 egrave un punto di massimo 119891(23) = 2(3radic3)119891 egrave decrescente in [23 1]1 egrave un punto di minimo 119891(1) = 0

Si faccia attenzione a non scrivere radic1199092 minus1199093 = 119909radic1minus119909 percheacute questa uguaglianzavale solo per 0 le 119909 le 1 Infatti la funzione 119892(119909) = 119909radic1minus119909 ha un grafico moltodiverso da quello di 119891 Molto diverso

88 studi di funzione

55 unrsquoapplicazione

Dati due numeri positivi119886 e 119887 le loromedia aritmetica emedia geometrica sono definiterispettivamente come

120572 = 119886+1198872 e 120574 = radic119886119887

Egrave piuttosto facile verificare che 120574 le 120572 e che si ha lrsquouguaglianza se e solo se 119886 = 119887Infatti possiamo impostare una catena di disuguglianze equivalenti fra loro

radic119886119887 119886+ 1198872

4119886119887 (119886 + 119887)2

0 1198862 minus 2119886119887+ 1198872

0 le (119886minus 119887)2

e perciograve lo stesso verso di disuguaglianza vale anche nelle precedenti Lrsquouguaglianza siha appunto solo quando 119886minus 119887 = 0

Si puograve generalizzare il concetto a piugrave numeri positivi la media aritmetica di 11990911199092 hellip 119909119899 egrave

120572(1199091 1199092hellip 119909119899) =1199091 +1199092 +⋯+119909119899

119899mentre la loro media geometrica egrave

120574(1199091 1199092hellip 119909119899) = (11990911199092 hellip119909119899)1119899

Possiamo usare i metodi dello studio di funzione per dimostrare attraverso lrsquoinduzioneche vale la disuguaglianza

120574(1199091 1199092hellip 119909119899) le 120572(1199091 1199092hellip 119909119899)

Nel caso di 119899 = 1 si pone ovviamente 120572(1199091) = 120574(1199091) = 1199091 e la disuguaglianza egraveevidente Supponiamo dunque di sapere che questa disuguaglianza vale per 119899 numeriDobbiamo perciograve ricavare da questa ipotesi la disuguaglianza per 119899 + 1 numeri chescriveremo

120574(1199091 1199092hellip 119909119899 119909) le 120572(1199091 1199092hellip 119909119899 119909)

e che possiamo trasformare in quella equivalente

(119899+ 1)119899+1120574(1199091 1199092hellip 119909119899 119909)119899+1 le 120572(1199091 1199092hellip 119909119899 119909)119899+1

Per semplificare la notazione scriviamo 119875 = (11990911199092 hellip119909119899)1119899 e 119878 = 1199091 +1199092 +⋯+119909119899 inmodo che la tesi diventa

(119899+ 1)119899+1119875119899119909 le (119878+119909)119899+1

e lrsquoipotesi induttiva egrave 119899119875119899 le 119878 Consideriamo dunque la funzione definita in (0 rarr)

119891(119909) = (119878+119909)119899+1 minus (119899+ 1)119899+1119875119899119909

Per i risultati che conosciamo sui polinomi abbiamo che lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin mentrelim119909rarr0+ 119891(119909) = 119878119899+1 gt 0 Ne segue che 119891 ha almeno un punto di minimo Calcoliamola derivata

119891prime(119909) = (119899+ 1)(119878 +119909)119899 minus (119899+ 1)119899+1119875119899

55 unrsquoapplicazione 89

che si annulla solo per 119878+119909 = (119899+ 1)119875 cioegrave in (119899+ 1)119875minus 119878 Se (119899+ 1)119875minus 119878 le 0 lafunzione 119891 egrave crescente quindi ovunque positiva Supponiamo dunque (119899+1)119875minus119878 gt 0questo saragrave il punto di minimo Calcoliamo il valore minimo

119891((119899+ 1)119875minus 119878) = (119899+ 1)119899+1119875119899+1 minus (119899+ 1)119899+1119875119899(119899119875+119875minus 119878)= (119899+ 1)119899+1119875119899(119875 minus119899119875minus119875+ 119878)= (119899+ 1)119899+1119875119899(119878 minus119899119875) ge 0

percheacute il fattore 119878 minus 119899119875 egrave non negativo per ipotesi Siccome il valore minimo non egravenegativo abbiamo 119891(119909) ge 0 per ogni 119909 come richiesto

Ci domandiamo ora quando puograve valere lrsquouguaglianza e procediamo di nuovo perinduzione il caso 119899 = 1 egrave ovvio percheacute lrsquouguaglianza crsquoegrave per definizione La nostraipotesi induttiva egrave allora

120574(1199091 1199092hellip 119909119899) = 120572(1199091 1199092hellip 119909119899) se e solo se 1199091 = 1199092 = ⋯ = 119909119899

cioegrave nelle notazioni precedenti 119878 = 119899119875Nel caso di 119899+1 numeri 1199091 1199092 hellip 119909119899 119909 possiamo avere lrsquouguaglianza solo se 119891 si

annulla Ma naturalmente questo puograve avvenire solo se il valore minimo di 119891 egrave 0 cioegrave119878 minus 119899119875 = 0 (con (119899 + 1)119875 minus 119878 gt 0) Lrsquoipotesi induttiva dice allora che 1199091 = ⋯ = 119909119899 eche 119909 = (119899+ 1)119875 minus 119878 = 119899119875+ 119875minus 119878 = 119875 ma essendo 119875 = 1199091 si ha anche 119909 = 1199091 e latesi egrave dimostrata

Esiste anche un terzo tipo di media la media armonica Per due numeri positivi 119886 e 119887 sidefinisce la media armonica 120578 con la formula

2120578 = 1

119886 + 1119887

Con un porsquo di attenzione si vede che il reciproco della media armonica egrave la media aritmetica deireciproci dei numeri Siccome prendere il reciproco rovescia il verso delle disuguaglianze (stiamoparlando di numeri positivi) viene il sospetto che la media armonica sia in generale minore dellamedia geometrica Proviamolo con la catena di disuguaglianze

120578 radic1198861198872119886119887119886+ 119887 radic119886119887

4119886119887 (119886+ 119887)2

0 1198862 minus2119886119887+ 1198872

0 le (119886minus 119887)2

e la tesi egrave dimostrata Di nuovo si ha lrsquouguaglianza fra le medie se e solo se 119886 = 119887In generale definiamo la media armonica dei numeri positivi 1199091 1199092 hellip 119909119899 con

119899120578(1199091 1199092hellip 119909119899)

= 11199091

+ 11199092

+⋯+ 1119909119899

La disuguaglianza da dimostrare egrave allora

119899( 11199091

+ 11199092

+⋯+ 1119909119899

)minus1

le (11990911199092 hellip119909119899)1119899

Se poniamo 119910119896 = 1119909119896 (per 119896 = 1 2hellip 119899) possiamo scriverla come

119899(1199101 +1199102 +⋯+119910119899)minus1 le 1(11991011199102 hellip119910119899)1119899

cioegrave1

120572(11991011199102hellip 119910119899)le 1

120574(11991011199102hellip 119910119899)che equivale alla

120574(11991011199102hellip 119910119899) le 120572(11991011199102hellip 119910119899)appena dimostrata Si ha lrsquouguaglianza solo quando 1199101 = 1199102 = ⋯ = 119910119899 cioegrave 1199091 = 1199092 = ⋯ = 119909119899

90 studi di funzione

Le tre medie che abbiamo introdotto possono essere viste come casi particolari diuna forma generale di lsquomediarsquo Consideriamo due numeri positivi 119886 e 119887 e la funzione

120583(119886119887119909) = (119886119909 +119887119909

2 )1119909

Indichiamo anche i due parametri 119886 e 119887 per motivi che diventeranno chiari piugrave avantiLa funzione egrave definita e continua per 119909 ne 0 e perciograve ci interessano i limiti nei punti diaccumulazione del dominio Cominciamo con +infin dove abbiamo

lim119909rarr+infin

log(119886119909 +119887119909) minus log2119909

che non egrave necessariamente una forma indeterminata e dovremmo esaminare i vari casicon 119886 lt 1 119886 = 1 119886 gt 1 e 119887 lt 1 119887 = 1 e 119887 gt 1 Si puograve fare di meglio supponendo che119886 le 119887 e perciograve 119887119886 ge 1 Scriviamo allora

119886119909 +119887119909 = 119886119909(1 + (119887119886)119909)

e poniamo per semplicitagrave 119887119886 = 119888 il nostro limite diventa allora

lim119909rarr+infin

log(119886119909 +119887119909) minus log2119909 = lim

119909rarr+infin

119909 log119886+ log(1 + 119888119909) minus log2119909

= log119886+ lim119909rarr+infin

log(1 + 119888119909) minus log2119909

H= log119886+ lim119909rarr+infin

119888119909 log1198881 + 119888119909

= log119886+ log119888 = log(119886119888) = log119887

e dunque lim119909rarr+infin 120583(119886119887119909) = 119887 Se invece 119886 gt 119887 il limite egrave 119886 infatti 120583(119886119887119909) =120583(119887119886119909) In generale dunque

lim119909rarr+infin

120583(119886119887119909) = max(119886119887)

Per il limite a 0 consideriamo sempre log120583(119886119887119909)

lim119909rarr0

log(119886119909 +119887119909) minus log2119909

H= lim119909rarr0

119886119909 log119886+ 119887119909 log119887119886119909 +119887119909 = log119886+ log119887

2e perciograve

lim119909rarr0

120583(119886119887119909) = exp( log119886+ log1198872 ) = radic119886119887

Possiamo allora estendere per continuitagrave la definizione di 120583

120583(119886119887119909) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

(119886119909 +119887119909

2 )1119909

se 119909 ne 0

radic119886119887 se 119909 = 0

ottenendo cosigrave che 120583(119886119887 1) 120583(119886119887 0) e 120583(119886119887minus1) sono rispettivamente la mediaaritmetica geometrica e armonica di 119886 e 119887

Non occorre calcolare il limite a minusinfin infatti

120583(119886119887minus119909) = (119886minus119909 +119887minus119909

2 )minus1119909

= ((1119886)119909 + (1119887)1199092 )

minus1119909= (120583(1119886 1119887119909))minus1

e dunque

lim119909rarrminusinfin

120583(119886119887119909) = lim119909rarr+infin

120583(1119886 1119887119909)minus1 = (max(1119886 1119887))minus1 = min(119886119887)

Tutto quanto fatto per due numeri si puograve estendere a 119899 numeri positivi definendo

120583(1198861 1198862hellip 119886119899 119909) = (1198861199091 +119886119909

2 +⋯+119886119909119899

119899 )1119909

per 119909 ne 0 e 120583(1198861 1198862hellip 119886119899 119909) = (11988611198862 hellip119886119899)1119899

56 convessitagrave e derivata seconda 91

56 convessitagrave e derivata seconda

Supponiamo che 119891 sia definita in un intervallo aperto (119901 119902) Diremo che 119891 egrave convessain (119901 119902) se per ogni 119886119887 isin (119901 119902) con 119886 lt 119887 quando consideriamo la retta 119903passante per i punti 119860 e 119861 di coordinate (119886119891(119886)) e (119887119891(119887)) diciamo 119910 = 119898119909 + 119896si ha per ogni 119905 con 119886 lt 119905 lt 119887 119891(119905) le 119898119905 + 119896 Quando con le stesse notazionivale 119891(119905) ge 119898119905+119896 la funzione si diragrave concava In qualche testo si dice con linguaggiopoco felice che 119891 ha la concavitagrave rivolta verso lrsquoalto quando egrave convessa e verso il bassoquando egrave concava

La definizione sembra di quelle fatte apposta per intimidire Ma se facciamo undisegno ci rendiamo conto che significa una cosa semplice il grafico di 119891 sta tuttosotto il segmento 119860119861

Vediamo il caso piugrave facile 119891(119909) = 1199092 La retta che passa per (1198861198862) (119887 1198872) haequazione

119910minus1198862 = 1198872 minus1198862

119887minus 119886 (119909minus119886)

cioegrave119910minus1198862 = (119887+ 119886)(119909minus 119886)

che diventa 119910 = (119886+ 119887)119909minus 119886119887 Se 119886 lt 119905 lt 119887 dobbiamo verificare che

1199052 le (119886+ 119887)119905 minus 119886119887

cioegrave1199052 minus (119886+ 119887)119905 + 119886119887 le 0

che diventa(119905 minus 119886)(119905 minus 119887) le 0

che egrave effettivamente soddisfattaConsideriamo invece 119891(119909) = 1199093 prendiamo 119887 gt 0 La retta che ci interessa ha

equazione

119910minus1198863 = 1198873 minus1198863

119887minus 119886 (119909minus119886)

che diventa119910 = (1198862 +119886119887+ 1198872)119909 minus 119886119887(119886+ 119887)

Per 119886 lt 119905 lt 119887 dobbiamo vedere se

1199053 le (1198862 +119886119887+ 1198872)119905 minus 119886119887(119886+ 119887)

Poniamo per fare i conti 119904 = 119886+119887 119901 = 119886119887 allora1198862+119886119887+1198872 = 1199042minus119901 e la disequazioneegrave

1199053 minus (1199042 minus119901)119905 + 119904119901 le 0

Si vede subito che 119905 = minus119904 egrave una radice e quindi

1199053 minus (1199042 minus119901)119905 + 119904119901 = (119905 + 119904)(1199052 minus 119904119905 + 119901) = (119905 + 119904)(119905 minus 119886)(119905 minus 119887)

Siccome (119905 minus 119886)(119905 minus 119887) lt 0 la nostra disequazione saragrave soddisfatta per 119905 + 119886+ 119887 ge 0Se 119886 ge 0 la condizione egrave certamente soddisfatta 119905 gt 119886 ge 0 e minus(119886+119887) lt 0 Dunque lafunzione egrave convessa nellrsquointervallo (0 rarr) Se invece 119886 = minus1 e 119887 = 4 la disequazioneegrave 119905 gt minus1+ 3 = 2 che non egrave soddisfatta per ogni 119905 isin (minus1 4) Perciograve la funzione nonegrave convessa su tutto il dominio

92 studi di funzione

La convessitagrave egrave una proprietagrave molto forte per esempio se 119891 egrave convessa nellrsquointervallo aperto(119901 119902) allora 119891 egrave continua

Dato 119909 isin (119901 119902) prendiamo ℎ gt 0 tale che 119909minus ℎ gt 119901 e 119909+ ℎ lt 119902 Se 119909minus ℎ lt 119911 lt 119909 dalledisuguaglianze della convessitagrave otteniamo

119891(119909) minus 119891(119909minusℎ)119909minus (119909minusℎ) le 119891(119911) minus 119891(119909)

119911minus119909 le 119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)(119909+ℎ) minus119909

e analogamente se prendiamo 119909 lt 119911 lt 119909+ℎ Se 119862 egrave il massimo tra

|119891(119909) minus 119891(119909minusℎ)ℎ | e |119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)

ℎ |

abbiamo allora che|119891(119911) minus 119891(119909)

119911minus119909 | le 119862

e perciograve che|119891(119911) minus 119891(119909)| le 119862|119911 minus119909|

per 119911 isin (119909 minus ℎ 119909 + ℎ) Ora la continuitagrave in 119909 egrave evidente se prendiamo una tolleranza 120576 gt 0ci basteragrave prendere

120575 = minℎ 120576119862

e se |119911 minus 119909| lt 120575 avremo

|119891(119911) minus 119891(119909)| le 119862|119911 minus119909| le 119862120575 le 119862 120576119862 = 120576

cioegrave la continuitagrave in 119909Se 119891 egrave definita e convessa in un intervallo chiuso non egrave detto che sia continua agli estremi

basta considerare la funzione

119891(119909) =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

4 se 119909 = minus11199092 se minus1 lt 119909 lt 14 se 119909 = 1

La funzione egrave evidentemente convessa ma non egrave continua in minus1 e in 1

Vediamo ora piugrave in dettaglio come si puograve caratterizzare la convessitagrave nel caso in cuila funzione 119891 sia derivabile nellrsquointervallo (119901 119902)

Prima di tutto scriviamo lrsquoequazione della retta per (119886119891(119886)) e (119887119891(119887)) dove 119901 lt119886 lt 119887 lt 119902 ci sono due modi equivalenti e ci serviranno entrambi

119910 = 119891(119887) minus 119891(119886)119887 minus 119886 (119909minus 119886) + 119891(119886)

119910 = 119891(119887) minus 119891(119886)119887 minus 119886 (119909minus 119887) + 119891(119887)

Siccome la funzione 119891 egrave per ipotesi una funzione di Lagrange in [119886 119887] possiamoscrivere il coefficiente angolare come 119891prime(119888) per un opportuno 119888 isin (119886 119887) Allora lacondizione di convessitagrave si scrive

119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119886) + 119891(119886)

ma anche119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119887) + 119891(119887)

La relazione egrave la stessa sia chiaro ma da queste ricaviamo

119891(119905) minus 119891(119886)119905 minus 119886 le 119891prime(119888)

119891(119905) minus 119891(119887)119905 minus 119887 ge 119891prime(119888)

56 convessitagrave e derivata seconda 93

per ogni 119905 isin (119886 119887) quindi

119891(119905) minus 119891(119886)119905 minus 119886 le 119891(119905) minus 119891(119887)

119905 minus 119887

Se prendiamo il limite per 119905 rarr 119886 otteniamo per il teorema della permanenza del segno

119891prime(119886) le 119891(119886) minus 119891(119887)119886minus 119887

Se invece prendiamo il limite per 119905 rarr 119887 otteniamo

119891(119887) minus 119891(119886)119887minus 119886 le 119891prime(119887)

e dunque 119891prime(119886) le 119891prime(119887)Viceversa supponiamo che per 119886119887 isin (119901 119902) 119886 lt 119887 si abbia 119891prime(119886) le 119891prime(119887)

Vogliamo dimostrare che 119891 egrave convessa Di nuovo dati 119886 e 119887 con 119886 lt 119887 per il teoremadi Lagrange si ha

119891prime(119888) = 119891(119887) minus 119891(119886)119887minus 119886

con 119886 lt 119888 lt 119887 Prendiamo 119905 isin (119886 119887) dobbiamo verificare la condizione di conves-sitagrave I casi sono due 119905 le 119888 oppure 119888 lt 119905 Nel primo caso scriviamo la condizione diconvessitagrave come

119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119886) + 119891(119886)

che equivale a119891(119905) minus 119891(119886)

119905 minus 119886 le 119891prime(119888)

Ma 119891 egrave una funzione di Lagrange in [119886 119905] e quindi il primo membro si scrive come119891prime(120574) per un 120574 isin (119886 119905) Siccome 120574 lt 119905 le 119888 avremo per ipotesi 119891prime(120574) le 119891prime(119888) equindi la disuguaglianza di convessitagrave egrave soddisfatta

Nel secondo caso scriviamo la condizione di convessitagrave come

119891(119905) le 119891prime(119888)(119905 minus 119887) + 119891(119887)

che equivale a

119891prime(119888) le 119891(119887) minus 119891(119905)119887 minus 119905

Applicando di nuovo il teorema di Lagrange a 119891 nellrsquointervallo (119905 119887) il secondo mem-bro si scrive 119891prime(120575) con 120575 isin (119905 119887) Ora perograve 119888 lt 119905 lt 120575 e quindi 119891prime(119888) le 119891prime(120575) e ladisuguaglianza egrave ancora soddisfatta

In definitiva abbiamo dimostrato il seguente teorema

t e o r ema La funzione 119891 definita e derivabile su (119901 119902) egrave convessa se e solo sela funzione 119909 ↦ 119891prime(119909) egrave crescente

La funzione 119909 ↦ 119891prime(119909) si chiama la funzione derivata di 119891 e si denota ovviamen-te con 119891prime Questa funzione potragrave ancora essere derivabile diamo un nome a questaldquoderivata della derivatardquo

d e f i n i z i o n e Se 119909 egrave un punto del dominio di 119891 e ha senso scrivere

limℎrarr0

119891prime(119909 +ℎ) minus 119891prime(119909)ℎ = 119897

con 119897 finito diremo che 119897 egrave la derivata seconda di 119891 in 119909 e scriveremo 119897 = 119891Prime(119909)

94 studi di funzione

Diremo che 119891 egrave derivabile due volte in un certo insieme 119878 se in ogni punto di 119878 esistela derivata seconda di 119891

t e o r ema Sia 119891 una funzione derivabile due volte nellrsquointervallo (119901 119902) Allora119891 egrave convessa in (119901 119902) se e solo se 119891Prime(119909) ge 0 per ogni 119909 isin (119901 119902)

Sappiamo che una funzione derivabile definita su un intervallo egrave crescente se e solose la sua derivata egrave non negativa La funzione che ci interessa egrave in questo caso 119891prime

Questo egrave lo strumento principale per trovare gli intervalli di convessitagrave e quelli diconcavitagrave che egrave esattamente il contrario una funzione 119891 si dice concava se minus119891 egraveconvessa

Lrsquoesempio egrave quello di 119891∶ 119909 ↦ 1199093 la derivata egrave 119891prime(119909) = 31199092 mentre 119891Prime(119909) = 6119909Dunque la derivata seconda egrave positiva per 119909 gt 0 e negativa per 119909 lt 0 la funzione egraveconcava in (larr 0] e convessa in [0 rarr)

Consideriamo la funzione 119891(119909) = 119909119909 = exp(119909 log119909) la cui derivata egrave

119891prime(119909) = exp(119909 log119909)(log119909+119909 logprime 119909) = (log119909+ 1)119891(119909)

Dunque possiamo scrivere

119891Prime(119909) = 1119909119891(119909) + (log119909+ 1)119891prime(119909) = 1

119909119891(119909) + (log119909+ 1)2119891(119909)

Ne segue che 119891Prime(119909) gt 0 per 119909 isin 119863(119891) e quindi 119891 egrave convessaTorniamo alla funzione 119891(119909) = exp(minus1199092) si ha 119891prime(119909) = minus2119909 exp(minus1199092) e quindi

119891Prime(119909) = minus2 exp(minus1199092) + 41199092 exp(minus1199092) = 2(21199092 minus 1) exp(minus1199092)

che egrave negativa in (minus1radic2 1radic2) e positiva in (larr minus1radic2) e (1radic2 rarr) Questodetermina gli intervalli di concavitagrave e convessitagrave

I punti che separano un intervallo di concavitagrave da uno di convessitagrave e in cui la curvaha tangente si chiamano punti di flesso in essi intuitivamente la tangente attraversail grafico Lo studio della derivata seconda dagrave informazioni molto utili per tracciare ilgrafico ma non sempre egrave agevole La funzione appena studiata ha perciograve due punti diflesso analogamente la funzione 119909 ↦ 1199093 ha un punto di flesso

Consideriamo una funzione piugrave complicata 119891(119909) = 1199091119909 = exp((log119909)119909) Il dominio egrave119863(119891) = (0 rarr) Poicheacute

lim119909rarr0

log119909119909 = minusinfin lim

119909rarr+infin

log119909119909 = 0

si halim119909rarr0

119891(119909) = 0 lim119909rarr+infin

119891(119909) = 1

Inoltre119891prime(119909) = 119891(119909)119909 sdot (1119909) minus log119909

1199092 = 119891(119909)1 minus log1199091199092

La funzione egrave crescente in (0 119890] e decrescente in [119890 rarr) Crsquoegrave un punto di massimo in 119890 e119891(119890) = 1198901119890 asymp 144467 Dal fatto che il grafico ha un asintoto orizzontale di equazione 119910 = 1sembra evidente che ci deve essere un punto di flesso 119888 con 119888 gt 119890

Proviamo a calcolare la derivata seconda

119891Prime(119909) = 119891prime(119909)1 minus log1199091199092 +119891(119909)119909

2 sdot (minus1119909) minus 2119909(1 minus log119909)1199094

che semplificando diventa

119891Prime(119909) = 119891(119909)1 minus 2 log119909+ (log119909)2 minus3119909+ 2119909 log1199091199094

56 convessitagrave e derivata seconda 95

Come fare Lrsquoespressione sembra intrattabile Siccome perograve il segno di 119891Prime(119909) dipende solo dalnumeratore della frazione poniamo

119892(119909) = (log119909)2 minus 2(1 minus119909) log119909minus 3119909+ 1

Abbiamo 119892(1) = 1minus3 = minus2 lt 0 inoltre lim119909rarr+infin 119892(119909) = +infin il teorema sugli zeri dice che esiste(almeno) un punto 119888 gt 1 in cui 119892(119888) = 0 che corrisponderagrave al flesso cercato Analogamentesiccome lim119909rarr0 119892(119909) = +infin ci saragrave (almeno) un flesso anche tra 0 e 1 Proviamo a scrivere119892(119909) = 0 e poniamo 119910 = log119909 ottenendo la curva di equazione

1199102 minus 2(1 minus119909)119910minus 3119909+ 1 = 0

che rappresenta unrsquoiperbole Se la si disegna e si cercano le intersezioni con la curva 119910 = log119909si vede che le intersezioni sono esattamente due 047 lt 1199091 lt 048 e 31 lt 1199092 lt 32

Egrave immediato vedere che 119891(119909) = sin119909 egrave concava dove sin119909 gt 0 e convessa dovesin119909 lt 0 dal momento che 119891Prime(119909) = minus sin119909

Si puograve dimostrare che una funzione 119891 definita ovunque derivabile due volte stret-tamente crescente per la quale lim119909rarrminusinfin 119891(119909) = minusinfin e lim119909rarr+infin 119891(119909) = +infin non puograveessere convessa (E nemmeno concava) Rimane solo da sottolineare che occorre moltacautela quando la funzione non sia derivabile due volte in tutto il dominio

Le funzioni convesse danno origine a molte disuguaglianze che possono essere ado-perate al posto di calcoli piugrave complicati Torniamo alle funzioni 119909 ↦ 120583(119886119887119909) (ce nrsquoegraveuna per ogni paio di numeri 119886119887 gt 0) dove

120583(119886119887119909) = (119886119909 +119887119909

2 )1119909

(119909 ne 0) 120583(119886119887 0) = radic119886119887

per dimostrare che sono crescenti Provando a calcolare la derivata ci si accorge che ilproblema sembra piuttosto arduo Tuttavia il nostro scopo egrave dimostrare che se 119901 lt 119902allora 120583(119886119887119901) le 120583(119886119887 119902) Ci limitiamo per il momento a 0 lt 119901 lt 119902 in tal caso ladisuguaglianza voluta cioegrave

(119886119901 +119887119901

2 )1119901

le (119886119902 +119887119902

2 )1119902

si puograve scrivere elevando alla 119902 come

(119886119901 +119887119901

2 )119902119901

le 119886119902 +119887119902

2

Se poniamo 119886119901 = 119906 e 119887119901 = 119907 abbiamo 119886119902 = 119906119902119901 e 119887119902 = 119907119902119901 se consideriamo lafunzione 119891(119909) = 119909119902119901 la disuguaglianza diventa allora

119891(119906+1199072 ) le 119891(119906) + 119891(119907)

2

che egrave vera percheacute 12 + 1

2 = 1 e la funzione 119909 ↦ 119891(119909) = 119909119902119901 (definita per 119909 gt 0) egraveconvessa Infatti la sua derivata seconda egrave

119891Prime(119909) = 119902119901(119902

119901 minus 1)119909 119902119901minus2

che egrave positiva essendo per ipotesi 119902 gt 119901 gt 0Questa dimostra la crescenza su (0 rarr) Non crsquoegrave bisogno perograve di altro percheacute

quando 119901 lt 119902 lt 0 possiamo usare il trucco

120583(119886119887119909) = 120583( 1119886 1119887 minus119909)

minus1

96 studi di funzione

e la crescenza giagrave dimostrata insieme al fatto che 0 lt minus119902 lt minus119901 dice che

120583( 1119886 1119887 minus119902) le 120583(1

119886 1119887 minus119901)

da cui prendendo i reciproci si ottiene la disuguaglianza cercata Dal momento poiche 120583 egrave continua in 0 abbiamo provato che per ogni 119901 e 119902 da 119901 lt 119902 segue che

120583(119886119887119901) le 120583(119886119887 119902)

Si provi a verificare che lrsquouguaglianza vale solo se 119886 = 119887 si torni alla disuguaglianzadella convessitagrave per stabilire quando puograve valere lrsquouguaglianza

Vediamo una funzione periodica 119891(119909) = arctan sin119909 siccome sin119909 isin [minus1 1]avremo 119891(119909) isin [minus1205874 1205874] Il dominio di 119891 egrave tutto lrsquoinsieme dei reali e la periodicitagraveimpedisce che ci siano asintoti Calcoliamo la derivata

119891prime(119909) = cos1199091+ sin2 119909

che egrave positiva esattamente dove egrave positivo il coseno La derivata seconda egrave

119891Prime(119909) = minus sin119909(1 + sin2 119909) minus 2 sin119909 cos2 119909(1 + sin2 119909)2 = minus sin119909(3 minus sin2 119909)

(1 + sin2 119909)2

Il segno di 119891Prime(119909) egrave lo stesso di quello di minus sin119909 in conclusione il grafico di 119891 egrave moltosimile a quello di sin119909 avendo gli stessi massimi e minimi e gli stessi intervalli diconvessitagrave e concavitagrave La disuguaglianza della concavitagrave in [0 120587] dice che per0 le 119886 lt 119905 lt 119887 le 120587

arctan sin 119905 minus arctan sin119886 ge arctan sin119887minus arctan sin119886119887minus119886 119905

Ora possiamo dire che (arctan sin119887 minus arctan sin119886) isin (minus1205872 1205872) dal momento chearctan sin119909 isin (minus1205874 1205874) e perciograve

arctan sin119887minus arctan sin119886 = sin119887minus sin1198861+ sin119887 sin119886

Dunque otteniamosin 119905 minus sin1198861+ sin 119905 sin119886 ge sin119887minus sin119886

1+ sin119887 sin1198861

119887minus 119886

Nel caso 119886 = 0 questa diventa

sin 119905 le sin119887119887

che conosciamo giagrave

57 successioni

Una successione egrave per definizione una funzione il cui dominio sia lrsquoinsieme dei nume-ri naturali Dal momento che il dominio egrave costituito di punti isolati egrave evidente che lacontinuitagrave e la derivabilitagrave di una successione sono fuori discussione la continuitagrave egraveautomatica la derivabilitagrave non ha senso Tuttavia il dominio ha un punto di accumula-zione secondo il nostro linguaggio piugrave propriamente egrave sensato domandarsi il limitea +infin

Parlando di successioni egrave tradizionale scrivere il valore in 119899 con 119886119899 invece che 119886(119899)se 119886 egrave il nome della funzione Esplicitiamo allora la definizione che perograve egrave solo lrsquoappli-cazione al caso particolare della definizione piugrave generale giagrave data

57 successioni 97

d e f i n i z i o n e Se 119886 egrave una successione e 119897 un numero allora

lim119899rarr+infin

119886119899 = 119897

quando per ogni tolleranza 120576 gt 0 esiste un naturale 119896 tale che per 119899 gt 119896 si abbia|119886119899 minus 119897| le 120576 Analogamente

lim119899rarr+infin

119886119899 = +infin

quando per ogni maggiorazione 119872 esiste un naturale 119896 tale che per 119899 gt 119896 siabbia 119886119899 ge 119872

Dovrebbe essere ovvio il significato di lim119899rarr+infin 119886119899 = minusinfinNaturalmente non egrave detto che ogni successione abbia limite se consideriamo

119886119899 =⎧⎨⎩

0 se 119899 egrave pari1 se 119899 egrave dispari

il limite non esiste Secondo una terminologia abbastanza diffusa una successione 119886 egrave

bull convergente a 119897 (dove 119897 egrave finito) se lim119899rarr+infin 119886119899 = 119897

bull divergente se lim119899rarr+infin 119886119899 = +infin (o minusinfin)

bull oscillante se il limite non esiste neacute finito neacute infinito

Possiamo adoperare il teorema del confronto di limiti per calcolare un paio di limitiimportanti Se 0 lt 119905 lt 1 allora

lim119899rarr+infin

119905119899 = 0

Infatti la disuguaglianza di Bernoulli ci dice che

0 lt 119905119899 lt 1199051+119899(119905 minus 1)

ma sappiamo giagrave chelim

119909rarr+infin

1199051 + 119909(119905 minus 1) = 0

e quindi abbiamo la tesi Se non ci si fida si verifichi lrsquoasserzione con le disuguaglianzee 120576 gt 0 Analogamente per 119905 gt 1 da

119905119899 gt 1+119899(119905 minus 1)

ricaviamolim

119899rarr+infin119905119899 = +infin

percheacute lim119909rarr+infin 119909(119905 minus 1) = +infinSi tratta di unrsquoosservazione importante se una successione puograve essere vista come

la restrizione ai naturali di una funzione definita su un opportuno insieme di numerireali della quale si conosce il limite a +infin lo stesso saragrave il limite della successione

Vediamo la successione 119886119899 = 119899radic119899 Se ricordiamo che lim119909rarr0 119909 log119909 = 0 abbiamoanche (con la sostituzione 119909 rarr 1119909)

lim119909rarr+infin

minus 1119909 log119909 = 0

e quindilim

119899rarr+infin

1119899 log119899 = 0

98 studi di funzione

cioegrave lim119899rarr+infin log 119899radic119899 = 0 quindi che

lim119899rarr+infin

119899radic119899 = 1

Lrsquoutilitagrave principale delle successioni risiede nel seguente risultato

t e o r ema Se la successione 119886 egrave crescente e limitata allora egrave convergente

Poniamo 119897 = sup119886119899 ∶ 119899 isin ℕ 119897 egrave lrsquoestremo superiore dei valori della funzione 119886siccome per ipotesi 119886 egrave limitata lrsquoestremo superiore esiste Fissiamo una tolleranza120576 gt 0 per definizione di estremo superiore esiste 119896 tale che 119886119896 ge 119897 minus 120576 Ma la suc-cessione 119886 egrave crescente quindi 119897 minus 120576 le 119886119899 anche per ogni 119899 gt 119896 e quindi vale anche|119886119899 minus 119897| le 120576 come richiesto

Ovviamente vale anche lrsquoasserzione analoga per successioni decrescenti se 119899 ↦ 119886119899egrave decrescente e limitata allora 119899 ↦ minus119886119899 egrave crescente e limitata

Come si puograve usare questo risultato A volte si riesce a dimostrare che un certolimite esiste senza perograve poterlo esprimere in termini ldquoesplicitirdquo Se si riesce a trovareuna successione che converge a quel limite potremo dare approssimazioni del valore

Come esempio consideriamo la successione cosigrave definita

1198860 = 1 119886119899+1 = 3119886119899 + 42119886119899 + 3

e dimostriamo che egrave crescente e limitata Per la crescenza basta ovviamente vedere che119886119899 le 119886119899+1 per ogni 119899 Maneggiamo come sempre le disuguaglianze tenendo contoche per definizione 119886119899 gt 0

119886119899 le 3119886119899 + 42119886119899 + 3

21198862119899 +3119886119899 le 3119886119899 +4

1198862119899 le 2

Dunque per verificare la disuguaglianza iniziale ci basta dimostrare lrsquoultima e lo fac-ciamo per induzione Egrave evidente che 1198862

0 le 2 Supponiamo che 1198862119899 le 2 e vediamo come

si trasforma la disuguaglianza 1198862119899+1 le 2

(3119886119899 +42119886119899 +3)

2le 2

91198862119899 + 24119886119899 +16 le 81198862

119899 + 24119886119899 + 181198862

119899 le 2

Ne segue che la tesi egrave verificata Dunque la successione 119886 converge come possiamocalcolare il limite Facile se 119897 egrave questo limite possiamo partire dallrsquoovvia uguaglianza

lim119899rarr+infin

119886119899+1 = lim119899rarr+infin

119886119899

e quindi

119897 = 3119897 + 42119897 + 3

che dagrave facilmente 1198972 = 2 e dunque essendo 119897 gt 0 percheacute certamente 119897 gt 1198860 119897 = radic2

Per essere pedanti lim119899rarr+infin 119886119899+1 andrebbe scritto come lim119899rarr+infin 119887119899 dove si sia definito 119887119899 =119886119899+1 Non ci preoccuperemo piugrave di questi problemini

57 successioni 99

Siamo in una situazione in cui il limite puograve essere espresso in ldquotermini esplicitirdquo econ la successione possiamo ottenere valori approssimati sempre meglio piugrave grandeprendiamo 119899 Vediamo i primi termini

1198860 = 1 1198861 = 3 sdot 1 + 42 sdot 1 + 3 = 7

5

1198862 = 3 sdot (75) + 42 sdot (75) + 3 = 41

29 1198863 = 3 sdot (4129) + 42 sdot (4129) + 3 = 239

169

Se calcoliamo i valori approssimati abbiamo

1198860 = 11198861 = 141198862 asymp 14137931198863 asymp 1414201

e vediamo che giagrave 1198863 egrave una buona approssimazione di radic2 con quattro cifre decimaliesatte

Resta da capire come abbiamo ottenuto la successione Si parte dallrsquouguaglianza

radic2minus 1 = 1radic2+ 1

o radic2 = 1radic2+ 1

+ 1

e si avvia un procedimento iterativo si pone

119888119899+1 = 1119888119899 + 1 + 1 = 119888119899 + 2

119888119899 + 1

partendo da 1198880 = 1 Tuttavia ci si accorge che la successione che si ottiene non egravecrescente

1198880 = 1 1198881 = 1+ 21+ 1 = 3

2 1198882 = 32+ 232 + 1 = 7

5

1198883 = 75+ 275 + 1 = 17

12 1198884 = 1712 + 21712 + 1 = 41

29

e viene lrsquoidea di considerare 119886119899 = 1198882119899 che dagrave effettivamente la successione crescenteda cui siamo partiti

119886119899+1 = 1198882119899+2 = 1198882119899+1 + 21198882119899+1 + 1 =

1198882119899 +21198882119899 +1 + 21198882119899 +21198882119899 +1 + 1

= 3119886119899 + 42119886119899 + 3

Si provi con unmetodo analogo a determinare una successione crescente che convergea radic3 o radic5

Quello che occorrerebbe egrave una stima dellrsquoerrore che si commette arrestando i calcolia un certo termine Se consideriamo la successione con termini 119887119899 = 1198882119899+1 si puogravevedere che egrave decrescente e che converge a radic2 con calcoli del tutto analoghi Alloraabbiamo 1198863 le radic2 le 1198873 perciograve lrsquoerrore saragrave inferiore a 1198873 minus1198863 = 1198887 minus 1198886

1198887 minus 1198886 = 577408 minus 239

169 = 168592 lt 0000015

e quindi siamo sicuri di avere tre cifre decimali esatte anche senza conoscere in anti-cipo (con la calcolatrice) un valore approssimato di radic2 Ai tempi in cui le calcolatricinon esistevano le tavole numeriche si compilavano con metodi analoghi a questi

100 studi di funzione

Vediamo un altro esempio per il calcolo di log 119905 con 119905 gt 1 Dividiamo lrsquointervallo[1 119905] in 119899 parti in progressione geometrica i punti di suddivisione saranno

1 = 119899radic1199050 119899radic1199051 119899radic1199052 hellip 119899radic119905119899minus1 119899radic119905119899 = 119886

Per semplicitagrave poniamo 119903 = 119899radic119905 Lrsquoarea che dagrave il logaritmo saragrave maggiore della sommadelle aree dei rettangoli inscritti che si ottengono a partire dalla suddivisione lrsquoarea delrettangolo con base lrsquointervallo [119903119896 119903119896+1] e altezza 1119903119896+1 egrave

(119903119896+1 minus119903119896) 1119903119896+1 = 1minus 1

119903 = 1minus 1119899radic119905

Quindi tutti i rettangoli hanno la stessa area e dunque

119899(1minus 1119899radic119905

) lt log119886

Non occorre fare i conti per verificare che la successione

119886119899 = 119899(1minus 1119899radic119905

)

egrave crescente PercheacuteCerchiamo ora di maggiorare log119886 Siccome 119891(119909) = 1119909 egrave convessa possiamo con-

siderare la stessa suddivisione e i trapezi che si ottengono congiungendo uno con ilsuccessivo i punti del grafico di 119891(119909) = 1119909 corrispondenti a quelle ascisse Lrsquoarea deltrapezio con altezza corrispondente allrsquointervallo [119903119896 119903119896+1] egrave

12( 1

119903119896 + 1119903119896+1 )(119903

119896+1 minus119903119896) = 12(1+ 1

119903)(119903minus 1) = 12(119903minus 1

119903)

e quindi anche qui tutti i trapezi hanno la stessa area La successione

119887119899 = 1198992 ( 119899radic119905minus 1

119899radic119905)

egrave decrescente e abbiamo per ogni 119899 ge 1

119886119899 lt log 119905 lt 119887119899

e quindi 119887119899 minus 119886119899 dagrave una stima dellrsquoerrore commesso quando si prenda 119886119899 oppure 119887119899come valore approssimato di log 119905

119887119899 minus119886119899 = 1198992 119899radic119905

( 119899radic119905minus 1)2

Possiamo scrivere una tabella dei valori approssimati quando 119905 = 2

119899 119886119899 119887119899 119887119899 minus119886119899

1 0500000000000000 0750000000000000 02500000000000002 0585786437626904 0707106781186547 01213203435596424 0636414338985141 0696621399498013 00602070605128718 0663967654362630 0694014757842345 0030047103479715

16 0678347508822821 0693364013830721 001501650500789932 0685694013193595 0693201385062664 000750737186906964 0689407155585569 0693160731447199 0003753575861630

128 0691273794094953 0693150568266857 0001876774171903256 0692209642119647 0693148027485741 0000938385366094512 0692678199823271 0693147392291336 0000469192468065

57 successioni 101

Non egrave grancheacute come velocitagrave di convergenza ma il valore almeno per le prime due cifredecimali egrave esatto infatti log2 asymp 0693147180559945 Il metodo non egrave certamente ilmigliore possibile ma come primo tentativo non possiamo lamentarci Notiamo checi occorre solo calcolare radici quadrate successive se come valori di 119899 prendiamopotenze di 2 Egrave evidente anche geometricamente che i valori 119887119899 sono approssimazionimigliori 119887512 ha la sesta cifra decimale esatta In effetti egrave la stima dellrsquoerrore il puntopiugrave debole

Come potremmo calcolare il valore di 119890 cioegrave del numero tale che log 119890 = 1Napier definigrave inizialmente i logaritmi considerando un numero molto vicino a 1 che possiamo

scrivere come 119887 = 1 + 1119896 (con 119896 abbastanza grande) Dato un numero 119909 cercava allora unesponente 119892(119909) tale che

(1+ 1119896)

119892(119909)asymp 119909

e chiamava 119897(119909) = 119892(119909)119896 il logaritmo di 119909 Il suo ragionamento era che

11990911199092 = 119887119892(1199091)119887119892(1199092) = 119887119892(1199091)+119892(1199092)

e dunque 119897(119909119910) = 119897(119909) + 119897(119910) almeno approssimativamente Con una base vicina a 1 le po-tenze successive non sono troppo lontane lrsquouna dallrsquoaltra e si poteva cosigrave interpolare ottenendouna discreta precisione Per essere rigorosi dal punto di vista storico Napier usava una baseleggermente piugrave piccola di 1 che non cambia sostanzialmente le cose

Aumentando 119896 si dovrebbe ottenere un valore sempre piugrave preciso del logaritmo ma egrave davverocosigrave Chiamiamo 119897119896(119909) il valore che si ottiene usando 119896 dovremmo avere

lim119896rarr+infin

(1+ 1119896)

119896119897119896(119909)= 119909

Prendiamo il vero logaritmo

log(1+ 1119896)

119896119897119896(119909)= log119909

da cui otteniamo chelog119909119897119896(119909) = 119896 log(1+ 1

119896)

e quindi la nostra asserzione egrave equivalente a

lim119896rarr+infin

119896 log(1+ 1119896) = 1

Eseguiamo la sostituzione 119896 = 1ℎ

lim119896rarr+infin

119896 log(1+ 1119896) = lim

ℎrarr0+

log(1 + ℎ)ℎ = logprime 1 = 1

Lrsquoasserzione egrave dunque vera I numeri di Napier sono una buona approssimazione del logarit-mo naturale Ovviamente la definizione moderna egrave piugrave rigorosa piugrave avanti daremo quella lsquouf-ficialersquo che non richiede il concetto intuitivo di area Ma lo scopo di Napier era di evitare lemoltiplicazioni nei calcoli approssimati e lo raggiunse con successo

Conseguenza del limite che abbiamo scritto egrave che

lim119899rarr+infin

(1+ 1119899)

119899= 119890

cioegrave la successione 119886119899 = (1 + 1119899)119899 converge a 119890 Possiamo usarla per ottenere unrsquoapprossi-mazione di 119890 Non precisamente se calcoliamo con molta pazienza 11988610 000 otteniamo il valore271814 che ha solo tre cifre decimali esatte Vedremo piugrave avanti che la successione crescentedefinita da

1198860 = 1 119886119899+1 = 119886119899 + 1(119899+ 1)

converge proprio a 119890

102 studi di funzione

58 la formula di taylor

La nostra definizione di derivata egrave sostanzialmente il coefficiente angolare della rettaper (119909119891(119909)) che meglio approssima il grafico di 119891 vicino al punto dato Che succede-rebbe se volessimo approssimare il grafico con una parabola Ci servirebbe determina-re due coefficienti 119886 e 119887 in modo che

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 119886ℎ+ 119887ℎ2 +ℎ2120595(ℎ)

dove limℎrarr0 120595(ℎ) = 0 in analogia a quanto fatto per la tangente Vediamo un porsquousando il teorema di lrsquoHocircpital senza preoccuparci dei dettagli che sistemeremo inseguito

limℎrarr0

120595(ℎ) = limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) minus 119886ℎminus 119887ℎ2

ℎ2H= lim

ℎrarr0

119891prime(119909 +ℎ) minus 119886minus 2119887ℎ2ℎ

e affincheacute il limite sia nella forma indeterminata ⟦00⟧ dobbiamo avere 119886 = 119891prime(119909) edunque possiamo procedere

limℎrarr0

120595(ℎ) H= limℎrarr0

119891prime(119909 +ℎ) minus 119891prime(119909) minus 2119887ℎ2ℎ

H= limℎrarr0

119891Prime(119909+ℎ) minus 21198872

e lrsquoultimo limite egrave 0 quando 119887 = 119891Prime(119909)2Ora occupiamoci del rigore stiamo evidentemente supponendo che non solo 119891 sia

derivabile due volte in un intorno di119909 ma anche che la derivata seconda sia continua Ineffetti come abbiamo definito la funzione derivata possiamo anche definire la funzionederivata seconda e cosigrave via Diremo che 119891 egrave derivabile 119899 volte con continuitagrave in unintorno di 119909 se la funzione derivata 119899-esima esiste in un intorno di 119909 ed egrave continuain 119909 Siccome ogni funzione derivabile egrave continua avremo in particolare che in unintorno di 119909 le funzioni derivate fino a quella di ordine 119899minus 1 sono continue

Per avere una notazione uniforme la derivata119899-esima in119909 di119891 si denota con119891(119899)(119909)cosigrave che 119891prime(119909) = 119891(1)(119909) e 119891Prime(119909) = 119891(2)(119909) Poniamo anche per estensione 119891(0)(119909) =119891(119909)

t e o r ema d i t a y l o r Se la funzione 119891 egrave derivabile 119899 volte con continuitagrave in119909 allora esiste un intorno 119880 di 0 tale che se ℎ isin 119880

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 119891prime(119909)1 ℎ + 119891Prime(119909)

2 ℎ2 +⋯+ 119891(119899)(119909)119899 ℎ119899 +120593119899(ℎ)ℎ119899

dove limℎrarr0 120593119899(ℎ) = 0

La tesi egrave vera per 119899 = 1 Supponiamo di averla dimostrata per 119899minus1 Per brevitagrave po-niamo 119886119896 = 119891(119896)(119909)119896 e cerchiamo di vedere che 119886119899 = 119891(119899)119899 egrave proprio il coefficientegiusto in modo che

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 1198861ℎ+⋯+119886119899minus1ℎ119899minus1 +119886119899ℎ119899 +ℎ119899120593119899(ℎ)

e limℎrarr0 120593119899(ℎ) = 0 Possiamo applicare il teorema di lrsquoHocircpital

limℎrarr0

120593119899(ℎ) = limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus (119891(119909) + 1198861ℎ+1198862ℎ2 +⋯+119886119899minus1ℎ119899minus1 +119886119899ℎ119899)ℎ119899

H= limℎrarr0

119891prime(119909+ ℎ) minus (1198861 +21198862ℎ+⋯+ (119899minus 1)119886119899minus1ℎ119899minus2 +119899119886119899ℎ119899minus1)119899ℎ119899minus1

58 la formula di taylor 103

Ma la funzione 119892 = 119891prime soddisfa lrsquoipotesi del teorema per119899minus1 quindi per essa possiamodare per valida la tesi

119892(119909+ℎ) = 119892(119909) + ℎ119892prime(119909)1 + ℎ2119892Prime(119909)

2 +⋯+ℎ119899minus1119892119899minus1(119909)(119899minus 1) + ℎ119899minus1120595(ℎ)

con limℎrarr0 120595(ℎ) = 0 Ma allora

119892(119896minus1)(119909)(119896 minus 1) = 119891(119896)(119909)

(119896 minus 1) = 119896119891(119896)(119909)119896 = 119896119886119896

e quindi

119891prime(119909 + ℎ) minus (1198861 + 21198862ℎ+⋯+ (119899minus 1)119886119899minus1ℎ119899minus2 +119899119886119899ℎ119899minus1) = ℎ119899minus1120595(ℎ)

Perciograve tornando al limite di partenza

limℎrarr0

120593119899(ℎ) = limℎrarr0

119891(119909+ℎ) minus (119891(119909) + 1198861ℎ+1198862ℎ2 +⋯+119886119899minus1ℎ119899minus1 +119886119899ℎ119899)ℎ119899

H= limℎrarr0

119891prime(119909+ ℎ) minus (1198861 +21198862ℎ+⋯+ (119899minus 1)119886119899minus1ℎ119899minus2 +119899119886119899ℎ119899minus1)119899ℎ119899minus1

= limℎrarr0

ℎ119899minus1120595(ℎ)119899ℎ119899minus1 = lim

ℎrarr0

120595(ℎ)119899 = 0

esattamente come richiesto

Vediamo una possibile applicazione di questo teorema Vogliamo calcolare

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093

senza usare il teorema di lrsquoHocircpital Scriviamo lo sviluppo di Taylor di sin119909 con 119899 = 3

sin119909 = sin(0 + 119909)

= sin0 +119909 sinprime 01 + 1199092 sinPrime 0

2 + 1199093 sin 03 + 11990931205933(119909)

= 119909minus 161199093 +11990931205933(119909)

e dunque il nostro limite egrave

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093 = lim

119909rarr0

119909minus119909+11990936 minus11990931205933(119909)1199093 = lim

119909rarr0

16 minus1205933(119909) = 1

6

Con il teorema di lrsquoHocircpital avremmo dovuto operare due volte

lim119909rarr0

119909minus sin1199091199093

H= 1minus cos11990931199092

H= sin1199096119909 = 1

6

Molto spesso il teorema di Taylor evita lrsquoapplicazione ripetuta del teorema di lrsquoHocirc-pital per meglio dire egrave una conseguenza del teorema di lrsquoHocircpital e ne semplificalrsquoapplicazione

La funzione che ha lo sviluppo di Taylor piugrave semplice a parte i polinomi egrave lrsquoespo-nenziale

exp119909 = exp0 +119909expprime 01 + 1199092 expPrime 0

2 +⋯+119909119899 exp(119899) 0119899 + 119909119899120593119899(119909)

= 1+119909+ 1199092

2 +⋯+ 119909119899

119899 + 119909119899120593119899(119909)

104 studi di funzione

(Notiamo che qui crsquoegrave 119909 dove prima abbiamo usato ℎ ovviamente non cambia nulla)Ci interessa almeno in qualche caso particolare studiare il comportamento di120593119899(119909)

t e o r ema d i t a y l o r - l a g r ang e Supponiamo che la funzione 119891 sia deri-vabile 119899 + 1 volte con continuitagrave in un intervallo 119868 Allora se 119909119909 + ℎ isin 119868 siha

119891(119909+ℎ) = 119891(119909) + 119891prime(119909)1 ℎ + 119891Prime(119909)

2 ℎ2 +⋯+ 119891(119899)(119909)119899 ℎ119899 + 119891(119899+1)(119888)

(119899+ 1) ℎ119899+1

per un opportuno 119888 tra 119909 e 119909+ℎ

Poniamo

119901(ℎ) = 119891(119909) + ℎ119891prime(119909) + ℎ2

2 119891Prime(119909) +⋯+ ℎ119899

119899 119891(119899)(119909)

Allora 119901(0) = 119891(119909) e se deriviamo (rispetto a ℎ) scopriamo che 119901prime(0) = 119891prime(119909) 119901Prime(0) = 119891Prime(119909)e cosigrave via Se poniamo

119892(ℎ) = 119891(119909+ℎ) minus 119901(ℎ)

per la funzione 119892 vale119892(0) = 119892prime(0) = 119892Prime(0) = ⋯ = 119892(119899)(0) = 0

e ognuna delle funzioni 119892 119892prime 119892Prime hellip 119892(119899) egrave una funzione di LagrangeLo stesso possiamo dire della funzione 119866(ℎ) = ℎ119899+1

119866(0) = 119866prime(0) = 119866Prime(0) = ⋯ = 119866(119899)(0) = 0

e inoltre queste funzioni si annullano solo in 0 Perciograve possiamo applicare il teorema di Cauchy

119892(ℎ)119866(ℎ) = 119892(ℎ) minus 119892(0)

119866(ℎ) minus119866(0) = 119892prime(ℎ1)119866(ℎ1)

per un opportuno ℎ1 tra 0 e ℎ Ma possiamo andare avanti

119892prime(ℎ1)119866(ℎ1)

= 119892prime(ℎ1) minus 119892prime(0)119866(ℎ1) minus 119866prime(0) = 119892Prime(ℎ2)

119866(ℎ2)

per un opportuno ℎ2 tra 0 e ℎ1 e cosigrave via fino a

119892(119899)(ℎ119899)119866(119899)(ℎ119899)

= 119892(119899)(ℎ119899) minus 119892(119899)(0)119866(119899)(ℎ119899) minus 119866(119899)(0) = 119892(119899+1)(ℎ119899+1)

119866(119899+1)(ℎ119899+1)

per un opportuno ℎ119899+1 tra 0 e ℎ119899 Ora 119866(119899)(ℎ119899+1) = (119899+ 1) mentre 119892(119899+1)(ℎ119899+1) = 119891(119899+1)(119909+ℎ119899+1) dunque per 119888 = 119909+ℎ119899+1 abbiamo proprio

119891(119909+ℎ) = 119901(ℎ) + 119891(119899+1)(119888)(119899+ 1) ℎ

119899+1

In certi casi questo teorema ci dagrave informazioni molto utili sulla funzione 119891 peresempio per lrsquoesponenziale abbiamo

exp(119899+1) 119888 = exp119888 lt 3119888

e dunque prendendo 119909 = 0 e ℎ = 1

119890 = exp1 = 1+ 11 +

12 +⋯+ 1

119899 +exp119888

(119899+ 1)

con 0 lt 119888 lt 1 da cui otteniamo che

119890 minus (1+ 11 +

12 +⋯+ 1

119899) = exp119888(119899+ 1) lt

3119888

(119899+ 1) lt3

(119899+ 1)

58 la formula di taylor 105

Dunque lrsquoerrore che si commette prendendo come valore approssimato di 119890 lrsquoespres-sione tra parentesi egrave minore di 3(119899+ 1) Per 119899 = 7 si ha 38asymp 00000744 e dunquelrsquoespressione dagrave il valore di 119890 con tre cifre decimali esatte

1 + 11 +⋯+ 1

7 asymp 271825

mentre 119890 asymp 271828 Le cifre esatte sono in realtagrave quattroCon questa rappresentazione possiamo anche dimostrare che 119890 egrave irrazionale Sup-

poniamo infatti per assurdo che 119890 = 119886119887 con 119886 e 119887 interi Prendiamo 119899 gt 119887 allora

0 lt (119890 minus (1+ 11 +

12 +⋯+ 1

119899))119899= exp119888(119899+ 1)119899= exp119888

119899+ 1 lt 3119899+ 1

Ma lrsquoespressione iniziale egrave per ipotesi un numero intero mentre 3(119899 + 1) lt 1 se119899+1 gt 3 contraddizione Dimostrare che 119890 egrave trascendente cioegrave non egrave radice di alcunpolinomio a coefficienti interi egrave molto piugrave complicato

Non sempre lo sviluppo di Taylor dagrave buoni risultati due funzioni diverse possono avere ameno del resto lo stesso sviluppo di Taylor cioegrave le stesse derivate in un punto

Un esempio che puograve illustrare bene questo fenomeno egrave di una funzione che ha tutte le derivatein un certo punto nulle ma non egrave la funzione nulla Partiamo un porsquo da distante e consideriamola funzione

119891(119909) = 119875(119909)119876(119909) exp(minus 1

1199092 )

dove 119875 e 119876 sono polinomi (non nulli) La funzione 119891 egrave definita in un intorno di 0 escluso 0 e ciproponiamo di calcolare

lim119909rarr0+

119891(119909) = lim119905rarr+infin

119875(1119905)119876(1119905) exp(minus1199052)

Facciamo lrsquoesempio di 119875(119909) = 3+119909+1199092 119876(119909) = 1+ 2119909minus1199092 +1199093 allora

119875(1119905)119876(1119905) =

3+ 1119905 + 1

1199052

1 + 2119905 minus 1

1199052 + 11199053

= 11990531199052

31199052 + 119905+ 11199053 + 21199052 minus 119905+ 1

e ne ricaviamo che119875(1119905)119876(1119905) = 1198751(119905)

1198761(119905)dove 1198751 e 1198761 sono polinomi Piugrave in generale se il grado di 119875 egrave 119898 e quello di 119876 egrave 119899 la stessaprocedura ci daragrave

119875(1119905)119876(1119905) = 119905119899

1199051198981198750(119905)1198760(119905)

= 1198751(119905)1198761(119905)

e abbiamo ottenuto quello che volevamo Il nostro limite allora se 1198751 ha grado maggiore di 0diventa della forma ⟦ infininfin⟧ e quindi

lim119905rarr+infin

1198751(119905)1198761(119905) exp(1199052)

H= lim119905rarr+infin

119875prime1(119905)

(119876prime1(119905) + 21199051198761(119905)) exp(1199052)

Il numeratore ha grado minore del grado di 1198751 il denominatore egrave exp(1199052)moltiplicato per un poli-nomio che ha grado maggiore di 1198761 Applicando ancora il teorema di lrsquoHocircpital possiamo via viadiminuire il grado del numeratore fino ad arrivare a 0 a quel punto il limite egrave evidentemente 0Non ci sarebbe bisogno di nulla di ciograve se il grado di 1198751 fosse 0

In modo del tutto analogo possiamo procedere con il limite da sinistra e perciograve abbiamodimostrato che

lim119909rarr0

119875(119909)119876(119909) exp(minus 1

1199092 ) = 0

quando 119875 e 119876 sono polinomi non nulliConsideriamo allora la funzione cosigrave definita

119865(119909) =⎧⎨⎩

0 se 119909 = 0exp(minus11199092) se 119909 ne 0

106 studi di funzione

La funzione egrave continua per quanto appena visto basta prendere 119875 = 119876 = 1 Possiamo calcolarela derivata 119865(119909) per 119909 ne 0

119865prime(119909) = 21199093 exp(minus11199092)

e lo stesso conto precedente dice che

119865prime(0) = lim119909rarr0

119865prime(119909) = 0

Dunque abbiamo che la derivata di 119865 esiste in 0 e che 119865prime egrave continua Vediamo la derivata secondasempre per 119909 ne 0

119865Prime(119909) = minus61199094 exp(minus11199092) + 2

119909321199093 exp(minus11199092)

= minus61199092 +41199096 exp(minus11199092)

e quindi 119865Prime(0) = lim119909rarr0 119865Prime(119909) = 0 ancora per il limite precedente Non egrave difficile dimostrareper induzione che ogni derivata successiva ha per 119909 ne 0 la forma del limite di prima e quindile derivate di 119865 in 0 si annullano tutte se la derivata 119899-esima egrave

119865(119899)(119909) = 119875(119909)119876(119909) exp(minus11199092)

allora

119865(119899+1)(119909) = 119875prime(119909)119876(119909) minus 119875(119909)119876prime(119909)119876(119909)2 exp(minus11199092) + 119875(119909)

119876(119909)21199093 exp(minus11199092)

= 1198750(119909)1198760(119909) exp(minus11199092)

per opportuni polinomi 1198750 e 1198760 la dimostrazione egrave completaIn definitiva la funzione non nulla 119865 ha tutte le derivate ovunque e 119865(119899)(0) = 0 per ogni 119899

Crsquoegrave unrsquoaltra importante applicazione della formula di Taylor che riguarda i massimie i minimi Talvolta egrave complicato studiare quando la derivata egrave positiva o negativamentre puograve essere piugrave comodo calcolare la derivata seconda ammesso che la funzio-ne sia derivabile due volte con continuitagrave Egrave chiaro dalla discussione su concavitagrave econvessitagrave che se 119891 (derivabile due volte con continuitagrave) ha in 119909 un punto di massimointerno al dominio allora deve essere concava in un intorno di 119909 saragrave convessa in unintorno di ciascun punto di minimo interno al dominio Perciograve nel caso in cui sappia-mo che 119891prime(119909) = 0 e 119891Prime(119909) gt 0 (sempre supponendo che 119891 sia derivabile due volte concontinuitagrave) possiamo affermare che 119909 egrave un punto di minimo

Puograve perograve accadere che 119891prime(119909) = 119891Prime(119909) = 0 e il metodo precedente non permette diconcludere lrsquoesempio usuale egrave 119891(119909) = 1199094 Egrave ovvio che 0 egrave un punto di minimo ma119891prime(0) = 119891Prime(0) = 0 Qui certamente lo studio della derivata egrave facile 119891prime(119909) = 41199093quindi 119891 egrave decrescente in (larr 0] e crescente in [0 rarr)

c r i t e r i o p e r ma s s i m i e m i n i m i Supponiamo che la funzione 119891 siaderivabile 119899 volte con continuitagrave in 119909 e che

119891prime(119909) = 119891Prime(119909) = ⋯ = 119891(119899minus1)(119909) = 0 119891(119899)(119909) ne 0

Se 119899 egrave dispari 119891 ha un flesso in 119909 se 119899 egrave pari 119909 egrave un punto di massimo se 119891(119899)(119909) lt0 e un punto di minimo se 119891(119899)(119909) gt 0

Possiamo scrivere per ℎ in un opportuno intorno 119880 di zero

119891(119909+ℎ) minus 119891(119909) = (119891(119899)(119909)119899 +120593119899(ℎ))ℎ119899

59 calcolo di limiti con gli sviluppi di taylor 107

e siccome limℎrarr0 120593119899(ℎ) = 0 esiste un intorno 119881 di zero tale che per ℎ isin 119881 si abbia

|120593119899(ℎ)| lt |119891(119899)(119909)119899 |

Nel caso di 119899 pari abbiamo dunque che per ℎ isin 119881 119891(119909 + ℎ) minus 119891(119909) egrave concorde con119891(119899)(119909) quindi maggiore di zero oppure minore di zero e dunque 119909 egrave rispettivamenteun punto di minimo o un punto di massimo

Nel caso di 119899 dispari avremo che 119891(119909 + ℎ) assume segno opposto per ℎ lt 0 e perℎ gt 0

Un esempio semplice egrave quello di 119891(119909) = 1199094 minus 141199092 + 24119909+ 1 si ha 119891prime(119909) = 41199093 minus28119909+24 che si annulla inminus3 1 e 2 Si puograve studiare il segno della derivata ma possiamoanche calcolare 119891Prime(119909) = 4(31199092 minus 7) e quindi

119891Prime(minus3) = 4(27 minus 7) gt 0 119891Prime(1) = 4(3 minus 7) lt 0 119891Prime(2) = 4(12 minus 7) gt 0

Perciograve minus3 egrave un punto di minimo 1 un punto di massimo e 2 un punto di minimoIl criterio egrave forse piugrave utile quando non si possono determinare in modo lsquoesattorsquo i

punti dove si annulla la derivata Consideriamo per esempio 119891(119909) = 119890119909 + 1199092 Laderivata 119891prime(119909) = 119890119909 +2119909 si annulla in un punto 119903 dove 119890119903 = minus2119903 La derivata secondaegrave 119891Prime(119909) = 119890119909 + 2 gt 0 quindi 119903 egrave certamente un punto di minimo

59 calcolo di limiti con gli sviluppi di taylor

Abbiamo giagrave visto qualche esempio di calcolo di limiti la tecnica egrave spesso presentata inunmodo leggermente diverso con una notazione un porsquo strana mamolto maneggevole

Tratteremo qui solo limiti a 0 gli altri casi si gestiscono con una semplice sostituzio-ne 119911 = 119909minus 119888 per i limiti a 119888 119911 = 1119909 per i limiti a infinito

Il teorema di Taylor ci dice che data una funzione 119891 derivabile119899 volte con continuitagravein 0 si puograve scrivere

119891(119909) = 119891(0) + 119891prime(0)1 119909 + 119891Prime(0)

2 +⋯+ 119891(119899)(0)119899 119909119899 +120593119899(119909)119909119899

ed egrave comune indicare il termine 120593119899(119909)119909119899 con 119900(119909119899) Piugrave precisamente con 119900(119909119899) siintende una funzione di 119909 con la proprietagrave che

lim119909rarr0

119900(119909119899)119909119899 = 0

Si faccia molta attenzione al fatto che 119900(119909119899) minus 119900(119909119899) = 119900(119909119899) non si possono sempli-ficare gli ldquoo piccolirdquo Prendendo a prestito un termine della programmazione si trattadi una ldquovariabile senza nomerdquo della funzione sappiamo che esiste e che ha una certaproprietagrave Possiamo scrivere alcune relazioni utili

1 119900(119909119898)119909119899 = 119900(119909119898+119899)

2 se 119898 ge 119899 119900(119909119898)119909119899 = 119900(119909119898minus119899)

3 se 119898 le 119899 allora 119900(119909119898) + 119900(119909119899) = 119900(119909119898)

La definizione di 119900(119909119899) egrave piugrave complicata ma quando usata negli sviluppi di Taylor egrave equiva-lente a quella data

108 studi di funzione

Supponiamo di dover calcolare un limite alquanto complicato come

lim119909rarr1

3radic21199092 minus 1minusradic119909119909minus 1

che per prima cosa trasformiamo con la sostituzione 119909 = 119905+ 1 in

lim119905rarr0

3radic21199052 + 4119905+ 1minusradic119905+ 1119905

Possiamo provare con lo sviluppo di Taylor al primo ordine

3radic1+ 4119905 + 21199052 = 1+ 13(4119905 + 21199052) + 119900(119905)

Percheacute 119900(119905) e non 119900(4119905 + 21199052) Percheacute 119900(2119905) = 119900(119905) e 119900(2 + 119905) = 119900(1) = 119900(1199050)Similmente

radic1+ 119905 = 1+ 12119905 + 119900(119905)

e quindi il limite puograve essere scritto come

lim119905rarr0

1 + 13 (4119905 + 21199052) + 119900(119905) minus (1 + 1

2119905 + 119900(119905)) 119905 = lim

119905rarr0

56119905 + 2

31199052 + 119900(119905)119905 = 5

6

Per la veritagrave non egrave necessario tutto questo macchinario percheacute la funzione 119891(119909) =3radic21199092 minus1minusradic119909 soddisfa 119891(1) = 0 e quindi il limite da calcolare egrave 119891prime(1) siccome

119891prime(119909) = 41199093 3radic(21199092 minus 1)2

minus 12radic119909

e quindi119891prime(1) = 4

3 minus 12 = 5

6ma lrsquoidea era proprio di verificare che si giunge alla stessa conclusione

La tecnica egrave benvenuta in situazioni piugrave complicate in cui il calcolo di derivatesuccessive egrave complicato Consideriamo

lim119909rarr0

log(1 + 119909 arctan119909) + 1minus 1198901199092

radic1+ 21199094 minus 1

e calcoliamo con pazienza gli sviluppi di Taylor Il denominatore sembra piugrave semplicee infatti

radic1+ 21199094 = 1+ 21199094

2 + 119900(1199094) minus 1 = 1199094 + 119900(1199094)

che dice di calcolare sviluppi fino al quarto ordine anche nel numeratore Abbiamo

log(1 + 119909 arctan119909) = 119909 arctan119909minus 12(119909 arctan119909)2 + 119900((119909 arctan119909)2)

= 119909(119909minus 131199093 + 119900(1199093)) minus 1199092

2 (119909+ 119900(1199092))2 + 119900(1199094)

= 1199092 minus 431199094 + 119900(1199094)

e per finire1198901199092 = 1+1199092 + 1

21199094 + 119900(1199094)

che ci dagrave il limite nella forma

lim119909rarr0

minus431199094 + 119900(1199094)1199094 + 119900(1199094) = lim

119909rarr0

minus43 + 119900(1199094)

1199094

1 + 119900(1199094)1199094

= minus43

510 curvatura 109

Il passaggio intermedio puograve certamente essere omesso Un ultimo esempio

lim119909rarr+infin

( 119909minus1199092 log(1 + sin 1119909)) = lim

119905rarr0+

119905 minus log(1 + sin 119905)1199052

= lim119905rarr0+

119905 minus sin 119905 + 12 sin2 119905 + 119900(sin3 119905)

1199052

= lim119905rarr0+

119905 minus 119905 + 121199052 + 119900(1199053)1199052

= 12

510 curvatura

Lrsquoidea di approssimare una curva con la tangente puograve essere generalizzata in modo di-verso rispetto a quanto abbiamo fatto con lo sviluppo di Taylor ci interessa per esem-pio dare una misura di quanto un grafico ldquosia curvordquo in un punto Come la retta puograveessere presa per lrsquoapprossimazione la circonferenza puograve essere presa come indicatricedella curvatura piugrave precisamente una semicirconferenza che quindi egrave il grafico di unafunzione 120574 Ci domandiamo che proprietagrave deve avere 120574 per rappresentare la semicir-conferenza che meglio approssima una funzione vicino a un suo punto Se la funzioneegrave 119891 definita in un intorno del punto 119888 che ci interessa dovremo evidentemente avere

120574(119888) = 119891(119888) 120574prime(119888) = 119891prime(119888)

cioegrave la curva e la semicirconferenza devono avere in comune la tangente Lrsquoidea tenen-do conto degli sviluppi di Taylor si suggerisce da sola una circonferenza egrave determinatada tre dati e ne abbiamo giagrave due Come terzo imporremo che

120574Prime(119888) = 119891Prime(119888)

naturalmente supponendo che 119891 abbia la derivata seconda in 119888 Non crsquoegrave bisogno discrivere esplicitamente la funzione 120574 anche se saremmo in grado di farlo Ricordiamoinvece che dovragrave soddisfare lrsquoequazione

1199092 +120574(119909)2 minus 2119886119909minus 2119887120574(119909) + 1198862 +1198872 minus1199032 = 0

dove (119886119887) egrave il centro e 119903 il raggio 119886 119887 e 119903 sono le nostre incogniteTrattiamo prima un caso speciale trovare il cerchio osculatore (cioegrave la circonferenza

che meglio approssima la curva) alla funzione 119865 nel punto di ascissa 0 e supponiamoanche che 119865(0) = 0 La nostra funzione 120574 dovragrave allora soddisfare

1198832 +120574(119883)2 minus 2119886119883minus 2119887120574(119883) = 0

e capiremo fra poco percheacute usiamo 119883 come variabile Possiamo derivare rispetto a 119883la relazione ottenendo

2119883+ 2120574(119883)120574prime(119883) minus 2119886minus 2119887120574prime(119883) = 0

e derivare unrsquoaltra volta dopo aver diviso per 2

1 + 120574prime(119883)2 +120574(119883)120574Prime(119883) minus 119887120574Prime(119883) = 0

Possiamo allora sostituire 119883 = 0 in entrambe le relazioni ottenute ricordando chevogliamo

120574(0) = 119865(0) = 0 120574prime(0) = 119865prime(0) = 119898 120574Prime(0) = 119865Prime(0) = 119899

110 studi di funzione

Abbiamo quindi le due condizioni

⎧⎨⎩

119886+ 119887119898 = 01+1198982 minus119887119899 = 0

che danno evidentemente⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

119886 = minus119898(1+1198982)119899

119887 = 1+1198982

119899

purcheacute ovviamente 119899 ne 0 In questo caso il raggio 119903 si ottiene come distanza delcentro da un punto della circonferenza cioegrave (0 0)

1199032 = (1+1198982)31198992

La quantitagrave120594 = 119899

radic(1+1198982)3si chiama curvatura Nel caso di 119899 = 0 la curvatura egrave nulla altrimenti il modulo delreciproco della curvatura egrave il raggio di curvatura

Come facciamo a passare al caso generale Con una traslazione Se la nostra funzio-ne egrave 119891 e il punto che ci interessa egrave 119888 possiamo considerare la funzione

119865(119909) = 119891(119909+ 119888) minus 119891(119888)

e vediamo subito che 119865(0) = 0 119865prime(0) = 119891prime(119888) e 119865Prime(0) = 119891Prime(119888) Dunque il centro dicurvatura ha coordinate

(119888minus 119891prime(119888)(1 + 119891prime(119888)2)119891Prime(119888) 119891(119888) + 1+119891prime(119888)2

119891Prime(119888) )

e la curvatura egrave120594119891(119888) =

119891Prime(119888)(1 + 119891prime(119888)2)32

Il luogo dei centri di curvatura di una curva data si chiama la sua evolutaVediamone un paio di esempi Il primo egrave lrsquoevoluta della parabola di equazione 119910 =

1199092 che possiamo pensare come il grafico di 119891(119909) = 1199092 Allora i centri di curvaturahanno coordinate

119909 = 119888minus 119891prime(119888)(1 + 119891prime(119888)2)119891Prime(119888) = 119888minus 2119888(1 + 41198882)

2

119910 = 119891(119888) + 1+119891prime(119888)2119891Prime(119888) = 1198882 + (1+ 41198882)

2

Dalla seconda otteniamo2119910 = 1+ 61198882

quindi 1198882 = (2119910minus 1)6 La prima equazione diventa

119909 = minus41198883

da cui 119888 = minus 3radic1199094 e sostituendo nellrsquoaltra

6 3

radic1199092

16 = 2119910minus 1

che puograve essere studiata come il grafico di una funzioneIn un punto di flesso (dove la derivata seconda si annulla) la curvatura egrave 0 come

del resto ci si attende Tuttavia la curvatura puograve essere nulla anche in punti che nonsono flessi per 119891(119909) = 1199094 abbiamo 120594119891(0) = 0 ma evidentemente questo egrave un puntodi minimo

6INTEGRAL I

61 calcolo delle aree

Il problema di calcolare le aree di figure delimitate da linee curve egrave molto antico la lo-cuzione ldquoquadratura del cerchiordquo si riferisce a un problema che i geometri greci comin-ciarono a studiare venticinque secoli fa Archimede (Ἀρχιμήδης 287 aCndash212 aC) diedeuna soluzione del problema dellrsquoarea dimostrando che il rapporto tra lrsquoarea del cerchioe il quadrato del raggio egrave uguale al rapporto tra la lunghezza della circonferenza e ildiametro Continuava perograve a sfuggire la quadratura con riga e compasso costruire conriga e compasso un quadrato avente area uguale a quella di un cerchio dato o comesegue dal risultato di Archimede costruire con riga e compasso un segmento lungoquanto una circonferenza data

Questo problema non ha soluzione ma si dovette aspettare fino al 1882 per stabilirloFerdinand von Lindemann (1852ndash1939) dimostrograve che 120587 non egrave radice di alcun polinomioa coefficienti interi nel 1837 Pierre Wantzel (1814ndash1848) aveva dimostrato che affincheacutela quadratura del cerchio sia possibile egrave necessario che 120587 sia radice di un polinomio acoefficienti interi Wantzel aveva dimostrato ben di piugrave in realtagrave trovando un metodoper decidere se una certa costruzione con riga e compasso egrave possibile Non che sia rile-vante la costruibilitagrave con riga e compasso fin dagli studi di Reacuteneacute Descartes (1596ndash1650)la matematica aveva cominciato a svincolarsi da questa limitazione e non va dimen-ticato che anche gli antichi greci studiavano curve che non potevano essere tracciateneppure per punti con riga e compasso

Archimede fu il primo a dare una quadratura di unrsquoarea delimitata da una sezione co-nica quella del settore parabolico Si prenda una corda di una parabola questa delimitaunrsquoarea finita che Archimede calcolograve come due terzi del rettangolo che ha come basela corda e altezza uguale al massimo dei segmenti perpendicolari alla corda da essaallrsquoarco di parabola Dimostrograve anche che lrsquoarea di unrsquoellisse di semiassi 119886 e 119887 egrave 120587119886119887 Ilmetodo usato da Archimede per questi calcoli fu detto di esaustione cioegrave esaurimentosi inseriscono nellrsquoarea rettangoli o triangoli opportunamente scelti in modo che dimi-nuendo via via lrsquoarea di ciascun rettangolo o triangolo ci si possa discostare dallrsquoareavera meno di qualsiasi tolleranza prefissata Non occorre conoscere giagrave lrsquoarea percheacute sipossono anche costruire rettangoli o triangoli che coprono lrsquoarea stessa sbordando main modo che la differenza tra le aree esterne e quelle interne sia piugrave piccola di qualsiasitolleranza prefissata Abbiamo giagrave usato un metodo simile quando abbiamo calcolatoun valore approssimato di log2 Archimede si servigrave di questo metodo per calcolareinnumerevoli aree e anche volumi generalizzandolo alle tre dimensioni Il metodo perla veritagrave era stato inventato da Eudosso (Ὁ Εὔδοξος ὁ Κνίδος 408 aCndash355 aC) ma fuArchimede a portarlo ai massimi livelli

Vediamo come fece Archimede a calcolare lrsquoarea del settore parabolico Chiamati 119860e 119861 i vertici della corda cercograve di inscrivere nel settore il massimo triangolo che abbiavertici in 119860 e 119861 e il terzo vertice sullrsquoarco 119860119861 di parabola chiamiamo 1198620 questo ver-tice Archimede scoprigrave che proiettando sulla direttrice i tre punti in 119860prime 119861prime e 119862prime

0 119862prime0 egrave

il punto medio di 119860prime119861prime Si accorse poi che i massimi triangoli inscritti nei due settoriparabolici che avanzano hanno la stessa area la costruzione si puograve ripetere indefinita-mente ottenendo approssimazioni sempre piugrave precise dellrsquoarea del settore parabolicoAccompagnograve poi con la costruzione di corrispondenti aree lsquoesternersquo e poteacute dimostrarerigorosamente la sua formula

Noi abbiamo a disposizione la geometria analitica e possiamo fare a meno delle dif-ficili dimostrazioni geometriche di Archimede Consideriamo dunque la parabola di

111

112 integrali

equazione 119910 = 1198861199092 con 119886 gt 0 e consideriamo il settore parabolico delimitato dallacorda avente vertici in 119860(1199011198861199012) e 119861(1199021198861199022) (119901 lt 119902)

Dobbiamo trovare per prima cosa il massimo triangolo inscritto Questo avragrave vertice119862(1199091198861199092) per 0 lt 119909 lt 119902 Sappiamo calcolare lrsquoarea di un triangolo date le coordinatedei vertici

Area(119860119861119862) = 12

||||||||det⎡⎢⎢

⎣

1 119901 1198861199012

1 119909 1198861199092

1 119902 1198861199022

⎤⎥⎥⎦

||||||||= 1

2119886(119902 minus 119901)(119909minus 119901)(119902 minus119909)

Se consideriamo la funzione 119891(119909) = (119909 minus 119901)(119902 minus 119909) definita in [119901 119902] lrsquoarea saragravemassima quando questa funzione assume il valore massimo Il problema egrave banale (ilgrafico di 119891 egrave un arco di parabola) ma visto che abbiamo a disposizione il calcololo usiamo la derivata egrave 119891prime(119909) = 119902 minus 119909 minus (119909 minus 119901) = 119901 + 119902 minus 2119909 che egrave positiva per119901 le 119909 lt (119901 + 119902)2 e negativa per (119901 + 119902)2 lt 119909 le 119902 Dunque il punto di massimo egrave(119901 + 119902)2 esattamente come dimostrato da Archimede

Il punto 1198620 ha dunque ascissa (119901 + 119902)2 e lrsquoarea del triangolo 1198601198611198620 egrave

12119886(119902minus 119901)119891(119901+ 119902

2 ) = 1198868 (119902 minus 119901)3

e vediamo che questrsquoarea dipende solo dalla differenza delle ascisse di 119860 e di 119861 Proce-diamo dunque come Archimede valutando i settori rimanenti

Poniamo 119889 = 119902 minus 119901 I due settori parabolici che rimangono corrispondono a proie-zioni sulla direttrice (o sullrsquoasse delle ascisse che egrave lo stesso) metagrave della precedenteproiezione quindi le aree dei due triangoli massimi saranno

11988681198893

23

Ci avanzeranno quattro settori parabolici in cui i triangoli massimi hanno la stessa areae corrispondono a proiezioni lunghe 1198894 quindi hanno ciascuno area

1198868

1198893

(22)3

Lrsquoarea coperta fino a questo punto egrave a parte il fattore moltiplicativo 11988611988938 che nonscriviamo

20 1(20)3 +21 1

(21)3 + 22 1(22)3

Procediamo allo stesso modo con 23 settori 24 settori e cosigrave via fino a 2119899 settoriottenendo

119886119899 = 140 + 1

41 + 142 +hellip 1

4119899minus1 + 14119899 =

1minus 14119899+1

1minus 14

Siccome lim119899rarr+infin 4119899+1 = +infin egrave evidente che

lim119899rarr+infin

119886119899 = 43

Occorrerebbe costruire i poligoni circoscritti che completano il metodo di esaustionema sembra intuitivamente chiaro che lrsquoarea del settore parabolico egrave

1198861198893

843 = 1198861198893

6

61 calcolo delle aree 113

Non ci resta che calcolare la base del settore e lrsquoaltezza per ritrovare la formula diArchimede La base egrave 119860119861 la cui lunghezza egrave

119887 = radic(119902minus 119901)2 + (1198861199022 minus1198861199012)2 = 119889radic1+ 1198862(119901 + 119902)2

mentre lrsquoaltezza egrave evidentemente

ℎ = 2Area(1198601198611198620)119887 = 2119886

81198893

119887 = 1198861198893

4119887

e si ha23119887ℎ = 2

31198871198861198893

4119887 = 1198861198893

6

come dimostrato da Archimede Il metodo usato a parte dettagli rispecchia proprioquello di Archimede

Con unrsquoesaustione complicata basata sui poligoni regolari inscritti e circoscritti Ar-chimede dimostrograve la sua lsquoquadraturarsquo del cerchio e riuscigrave anche a dare un valore ap-prossimato piuttosto buono di 120587 cioegrave 227

Il problema fondamentale del metodo di esaustione egrave che richiede una soluzionelsquofurbarsquo per ogni problema qualche volta triangoli qualche volta poligoni regolari qual-che volta rettangoli Nel diciassettesimo secolo Bonaventura Cavalieri (1598ndash1647) e isuoi allievi e collaboratori fra cui Evangelista Torricelli (1608ndash1647) che era stato an-che allievo di Galileo Galilei (1564ndash1642) idearono il cosiddetto metodo degli indivisibiliche dava risultati coincidenti con quelli classici evitando le costruzioni complicate Pa-re da recenti ritrovamenti che lo stesso Archimede adoperasse un metodo simile pervalutare le aree e i volumi che poi giustificava rigorosamente con lrsquoesaustione

Qual era lrsquoobiezione principale al metodo degli indivisibili Che non aveva alcunabase teorica Tuttavia non ce lrsquoavevano nemmeno le derivate di Fermat e scarsamentefondato era anche il calcolo di Isaac Newton (16421643ndash1727) e Leibniz Fincheacute con ilmetodo di Cavalieri si ritrovavano risultati classici il problema non si poneva ma eraammissibile usarlo per dimostrare nuove cose

Fermat si interessograve al problema cercando un metodo diverso Consideriamo la pa-rabola generalizzata di equazione 119910 = 119886119909119896 con 119896 intero vogliamo trovare lrsquoarea com-presa tra il segmento di estremi (0 0) e (119902 0) quello di estremi (119902 0) e (119902 119902119896) dove119902 gt 0 e lrsquoarco corrispondente della curva Fissiamo un numero 119864 con 0 lt 119864 lt 1 e peril momento i punti sullrsquoasse delle ascisse 1199030 = 119902 1199031 = 119902119864 1199032 = 1199021198642 hellip 119903119899 = 119902119864119899Costruiamo i rettangoli lsquoesternirsquo di vertici (in senso antiorario)

(119903119895 0) (119903119895 119886119903119896119895 ) (119903119895+1 119886119903119896

119895 ) (119903119895+1 0)

(per 119895 = 0 1hellip 119899minus 1) Lrsquoarea del 119895-esimo rettangolo egrave

(119903119895+1 minus119903119895)119886119903119896119895 = (119902119864119895 minus119902119864119895+1)119886119902119896119864119896119895

= 119886119902119896+1(1 minus 119864)119864119895119864119896119895

= 119886119902119896+1(1 minus 119864)119864(119896+1)119895

e dunque possiamo scrivere la somma delle aree come

119886(119864)119899 = 119886119902119896

119864 (119864minus 1)(1 + 119865+ 1198652 +⋯+119865119899minus1)

dove 119865 = 119864119896+1 Il trucco di Fermat egrave di far diventare 119899 grande in modo che

1 + 119865+ 1198652 +⋯+119865119899 +⋯ = 11minus 119865

114 integrali

e quindi di poter considerare lrsquoapprossimazione con lsquoinfinitirsquo rettangoli esterni come

119886(119864) = 119886119902119896+1 1minus 1198641minus 119864119896+1 = 119886119902119896+1

1+ 119864+ 1198642 +⋯+119864119896

Facendo avvicinare 119864 a 1 i rettangoli si stringono sempre di piugrave approssimando sempremeglio lrsquoarea e perciograve Fermat concludeva che lrsquoarea cercata egrave

119878(119902) = 119886119902119896+1

119896+ 1

Se adesso vogliamo lrsquoarea del settore lsquoparabolicorsquo compreso tra i punti di ascissa 119901 e 119902con 0 lt 119901 lt 119902 basta una differenza il trapezio ha area (119902 minus 119901)(119886119902119896 + 119886119901119896)2 lrsquoareache dobbiamo trascurare egrave 119878(119902) minus 119878(119901) e quindi si ottiene

119860119896(119901 119902) = (119902minus 119901)119886119902119896 +119886119901119896

2 minus 119886119902119896+1 minus119886119901119896+1

119896+ 1

Nel caso di 119896 pari si puograve usare questa formula anche per valori negativi di 119901 e 119902 purcheacutesia sempre 119901 lt 119902 Ne caso di 119896 = 2 abbiamo

1198602(119901 119902) = (119902minus 119901)1198861199022 +1198861199012

2 minus 1198861199023 minus1198861199013

3

= 119886(119902minus 119901)6 (31199022 + 31199012 minus 21199022 minus 2119901119902minus 21199012)

= 119886(119902minus 119901)36

esattamente come nella quadratura archimedeaNel caso di 119896 = 4 possiamo scrivere

1198604 = 119886(119902minus 119901)4 (1199024 minus1199011199023 minus11990121199022 minus1199013119902+ 1199014)

= 119886(119902minus 119901)4 ( (119902 minus 119901)4 + 3119901119902(119902minus 119901)2 minus11990121199022)

che non sembra cosigrave promettente e non indagheremo oltre in cerca di qualche interpre-tazione geometrica

Tuttavia una cosa dovrebbe balzare subito agli occhi se poniamo 119901 = 0 e 119902 = 119909otteniamo una funzione

119878(119909) = 119886119909119896+1

119896+ 1la cui derivata egrave 119878prime(119909) = 119886119909119896 cioegrave proprio la funzione da cui siamo partiti

Il ragionamento di Fermat non egrave facilmente giustificabile abbiamo diviso lrsquointervallo[0 119902] in infinite parti e ldquosommato infinite areerdquo Tuttavia la nostra definizione di log 119905lrsquoarea delimitata dal grafico di 119891(119909) = 1119909 dallrsquoasse delle ascisse dalla retta verticalepassante per (1 0) e dalla retta verticale passante per (119905 0) porta a una funzione 119909 ↦log119909 la cui derivata egrave proprio la funzione che ci egrave servita per dare la definizione

La somiglianza tra la funzione rispetto alla quale si vogliono calcolare aree e lrsquoareastessa non sfuggigrave ai creatori del calcolo Leibniz e Newton questrsquoultimo aveva appresodella faccenda da Isaac Barrow (1630ndash1677) di cui fu allievo e che sostituigrave sulla cattedraa Cambridge

62 integrazione

Lrsquoidea di Fermat si rivelograve molto fruttuosa Occorse parecchio tempo percheacute la tecni-ca fosse sistemata in modo rigoroso da Bernhard Riemann (1826ndash1866) Allrsquoinizio del

62 integrazione 115

ventesimo secolo ci fu poi una svolta molto importante nellrsquoargomento ma non ce neoccuperemo percheacute la moderna integrazione introdotta da Henri Lebesgue (1875ndash1941)coincide con quella di Riemann per le funzioni continue in un intervallo [119901 119902]

Non si fa grancheacute di diverso da come abbiamo fatto per il logaritmo e da comeragionava Fermat solo che la teoria egrave stata resa inappuntabile dal punto di vista logico

Quello che cerchiamo egrave un modo di associare un numero a una funzione definita suun intervallo in modo che questo numero rappresenti lrsquoarea compresa tra lrsquointervallo(visto sullrsquoasse delle ascisse) e il grafico della funzione Ci limiteremo a funzioni con-tinue definite su [119901 119902] dati 119886 e 119887 con 119901 le 119886 lt 119887 le 119902 questa associazione si puogravevedere come una funzione

(119886119887) ↦ Int119887119886(119891)

che ha come dominio certe coppie di elementi di [119901 119902] In questo caso si parla spessodi un operatore la funzione 119891 si pensa fissata ma siccome egrave del tutto arbitraria purcheacutesia continua in [119901 119902] avremo un operatore per ciascuna funzione Ci serve qualcheproprietagrave che sia ragionevole per le aree Assumeremo queste dove con 119891 indichiamouna funzione continua su [119901 119902] e con 119896 un numero qualsiasi

(119887 minus 119886)m119887119886(119891) le Int119887119886(119891) (119901 le 119886 lt 119887 le 119902)

Int119887119886(119891) le (119887minus 119886)M119887119886(119891) (119901 le 119886 lt 119887 le 119902)

Int119888119886(119891) = Int119887119886(119891) + Int119888119887(119891) (119901 le 119886 lt 119887 lt 119888 le 119902)

dove con m119887119886(119891) e M119887

119886(119891) indichiamo il valore minimo e massimo di 119891 nellrsquointervallo[119886 119887] Queste proprietagrave sono intuitivamente evidenti almeno per le funzioni cheassumono solo valori positivi

Vediamo qualche conseguenza Se 120783 egrave la funzione che vale costantemente 1 dobbia-mo avere

119887minus 119886 le Int119887119886(120783) le 119887minus 119886

e quindi Int119887119886(120783) = 119887 minus 119886 Analogamente se 119891 assume solo valori positivi dovremoavere Int119887119886(119891) gt 0 percheacute in tal caso m119887

119886(119891) gt 0Rimandiamo a dopo la questione se un operatore del genere esista per ogni funzione

continua 119891 Intanto vediamo qualche proprietagrave che ci serviragrave in seguito Prima di tuttoestendiamo la notazione se 119901 le 119887 lt 119886 le 119902 poniamo

Int119887119886(119891) = minus Int119886119887(119891)

e ancheInt119886119886(119891) = 0

in modo che la terza proprietagrave continui a valere per ogni 119886119887 119888 isin [119901 119902] come sivede subito Anche per m119887

119886(119891) e M119887119886(119891) non faremo piugrave distinzione fra 119886 lt 119887 e 119887 lt 119886

Egrave naturale anche porre m119886119886(119891) = M119886

119886(119891) = 119891(119886) il motivo appare chiaro dallrsquoenunciatoseguente

t e o r ema Se 119891 egrave continua in [119901 119902] e 119909 isin [119901 119902] allora

limℎrarr0

m119909+ℎ119909 (119891) = 119891(119909) lim

ℎrarr0M119909+ℎ

119909 (119891) = 119891(119909)

Scriviamo la dimostrazione solo dellrsquoenunciato

limℎrarr0+

M119909+ℎ119909 (119891) = 119891(119909)

per 119901 le 119909 lt 119902 Gli altri casi sono del tutto simili

116 integrali

Poniamo 119892(ℎ) = M119909+ℎ119909 (119891) questa funzione egrave definita per 0 lt ℎ lt 119902 minus 119909 ed egrave

crescente infatti se ℎ1 lt ℎ2 abbiamo

[119909 119909 + ℎ1] sube [119909 119909 + ℎ2]

e il massimo di 119891 in un intervallo piugrave ampio non puograve essere minore Dunque 119892(ℎ1) le119892(ℎ2)

Basta ora chiamare 119897 lrsquoestremo inferiore dei valori di 119892 per avere come nel caso dellesuccessioni che limℎrarr0+ 119892(ℎ) = 119897 Si noti che certamente 119891(119909) le 119897

Si tratta dunque di vedere che 119891(119909) = 119897 supponiamo per assurdo che 119897 gt 119891(119909)Allora esiste 120575 gt 0 tale che 119909+ 120575 lt 119902 e per 0 lt ℎ lt 120575

|119891(119909+ℎ) minus 119891(119909)| le 119897 minus 119891(119909)2

in particolare

119891(119909+ℎ) le 119897 minus 119891(119909)2 + 119891(119909) = 119897 + 119891(119909)

2 lt 119897 + 1198972 = 119897

Ne segue119892(1205752) = M119909+(1205752)

119909 (119891) lt 119897 le 119892(1205752)

che egrave assurdo

Questo teorema esprime un fatto intuitivamente chiaro se si restringe lrsquointervalloattorno a 119909 il massimo e il minimo di 119891 in questo intervallo si avvicinano a 119891(119909) mala continuitagrave di 119891 egrave essenziale percheacute la proprietagrave valga anche sostituendo massimoe minimo con estremo superiore ed estremo inferiore supponendo 119891 limitata Perciogravetratteremo solo funzioni continue Abbiamo adesso gli strumenti per dimostrare ilteorema piugrave importante

t e o r ema f ondam en t a l e d e l c a l c o l o Se 119891 egrave una funzione continuain [119901 119902] e poniamo

119865(119909) = Int119909119886(119891)

dove 119886 isin [119901 119902] allora 119865 egrave derivabile e 119865prime = 119891

Per le proprietagrave dellrsquooperatore Int possiamo scrivere

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909) = Int119909+ℎ119886 (119891) minus Int119909119886(119891)

= Int119909119886(119891) + Int119909+ℎ119909 (119891) minus Int119909119886(119891)

= Int119909+ℎ119909 (119891)

e quindi ancora per le proprietagrave di Int

m119909+ℎ119909 (119891) le 119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)

ℎ le M119909+ℎ119909 (119891)

Si faccia attenzione a quando ℎ gt 0 e quando ℎ lt 0 ma in entrambi i casi si ottiene lastessa disuguaglianza

Per il teorema di confronto dei limiti e per il teorema precedente

119865prime(119909) = limℎrarr0

119865(119909+ℎ) minus 119865(119909)ℎ = 119891(119909)

t e o r ema d i u n i c i t agrave d e l l rsquo i n t e g r a l e Se un operatore Int con leproprietagrave enunciate esiste allora egrave unico

62 integrazione 117

Supponiamo che Φ sia un operatore con le stesse proprietagrave di Int Allora possiamodimostrare il teorema fondamentale per Φ e dunque abbiamo che per ogni funzionecontinua 119891 su [119901 119902] le funzioni

119865(119909) = Int119909119886(119891) e 119866(119909) = Φ119887119886(119891)

hanno entrambe la proprietagrave che 119865prime = 119891 e 119866prime = 119891 e dunque (119865minus119866)prime egrave la funzione nullaPer la conseguenza del teorema di Lagrange esiste un 119896 tale che per ogni 119909 isin [119901 119902]si abbia

119865(119909) minus119866(119909) = 119896

Ma per definizione 119865(119886) = Int119886119886(119891) = 0 e 119866(119886) = Φ119886119886(119891) = 0 dunque 119896 = 0 Perciograve

per ogni 119887 isin [119901 119902] si ha anche

Int119887119886(119891) = 119865(119887) = 119866(119887) = Φ119887119886(119891)

Resta quindi solo il problema di dimostrare lrsquoesistenza dellrsquooperatore Int lo riman-diamo a piugrave tardi se siamo arrivati fin qui con la teoria egrave ovvio che la soluzione alproblema egrave giagrave stata trovata da qualcuno

La notazione tradizionale per Int119887119886(119891) egrave

int119887

119886119891(119909)119889119909

che si legge lsquointegrale tra 119886 e 119887 di 119891rsquo La variabile 119909 egrave ovviamente sostituibile conqualsiasi lettera e non ha un significato proprio

La notazione per gli integrali risale a Leibniz Il suo punto di partenza era proprio la sud-divisione dellrsquointervallo [119886 119887] in parti e di considerare i rettangoli come faceva Fermat maconsiderando questi intervalli come aventi base lsquoinfinitesimarsquo e facendo la somma di tutte questearee lsquoinfinitesimersquo Il simbolo int egrave infatti una lsquoSrsquo per lsquosommarsquo

Tuttavia gli sviluppi rigorosi del calcolo vietano di usare questo concetto intuitivo di grandez-za infinitesima percheacute contraddittorio se non inquadrato in unrsquoapposita teoria si egrave scoperto intempi abbastanza recenti che gli infinitesimi si possono trattare ma non certo nel modo inge-nuo di Leibniz Il 119889119909 rimane nella notazione principalmente percheacute egrave comodo come vedremoSi potrebbe benissimo scrivere

int119887

119886119891

dopo tutto sarebbe esattamente lo stesso di Int119887119886(119891) e non ci sarebbe alcuna difficoltagrave La nota-zione tradizionale mette in evidenza il nome della variabile e questo puograve essere utile per casiparticolari (distinguere la variabile da un parametro per esempio) ma soprattutto ricorda comeoperare con le sostituzioni lo descriveremo in seguito

Abbiamo una conseguenza importante sappiamo calcolare molti integrali Data unafunzione 119891 di cui calcolare lrsquointegrale ci basta conoscere unrsquoaltra funzione 119866 di cui 119891sia la derivata

d e f i n i z i o n e Data una funzione 119891 continua su un intervallo 119868 si chiamaprimitiva di 119891 una qualsiasi funzione definita su 119868 la cui derivata sia 119891

Ci basta conoscere una primitiva per conoscerle tutte visto che funzioni che hanno lastessa derivata differiscono per una costante se 119865prime = 119866prime allora (119865 minus119866)prime egrave la funzionenulla e quindi 119865 minus 119866 egrave costante Si ricordi che parliamo di funzioni definite su unintervallo su questo intervallo una (quindi ogni) primitiva di una funzione continua egravecertamente una funzione di Lagrange

Talvolta si parla di primitiva anche per funzioni definite su unrsquounione di intervalli intal caso due primitive differiscono su ogni intervallo contenuto nel dominio per una

118 integrali

costante ma queste costanti possono essere diverse da intervallo a intervallo Si pensiallrsquoesempio di 119909 ↦ arctan119909+ arctan(1119909)

t e o r ema d i c a l c o l o d e g l i i n t e g r a l i Se 119891 egrave continua su [119886 119887] e119866 egrave una primitiva di 119891 allora

int119887

119886119891(119909)119889119909 = 119866(119887) minus119866(119886)

La funzione 119865(119909) = Int119909119886(119891) egrave una primitiva di 119891 dunque esiste 119896 tale che 119865(119909) =119866(119909) + 119896 per ogni 119909 isin [119886 119887] Ma allora 0 = 119865(119886) = 119866(119886) + 119896 e dunque 119896 = minus119866(119886)Perciograve

int119887

119886119891(119909)119889119909 = 119865(119887) = 119866(119887) + 119896 = 119866(119887) minus119866(119886)

Un modo di scrivere spesso usato egrave con le notazioni precedenti

int119887

119886119891(119909)119889119909 = [ 119866(119909)] 119909=119887

119909=119886= 119866(119887) minus119866(119886)

Vediamo qualche semplice applicazione La derivata di 119891(119909) = 119909119899 egrave 119891prime(119909) = 119899119909119899minus1perciograve la derivata di 119892(119909) = 119909119896+1(119896 + 1) (per 119896 ne minus1) egrave 119892prime(119909) = 119909119896 Dunque 119892 egrave unaprimitiva di 119909 ↦ 119909119896 (sempre per 119896 ne minus1) e abbiamo

int119902

119901119909119896 119889119909 = [ 119909119896+1

119896+ 1]119909=119902

119909=119901= 119902119896+1

119896+ 1 minus 119901119896+1

119896+ 1

esattamente come ottenuto da Fermat Egrave evidente che la tabella delle derivate (tabella 2a pagina 63) fornisce anche una tabella di primitive che perograve non egrave sufficiente nemmenoper le esigenze piugrave comuni

La derivata di una funzione elementare (una di quelle che compaiono nella tabella 2) egrave ancorauna funzione elementare Questo non accade con le primitive si puograve dimostrare per esempioche una primitiva di 119909 ↦ exp(minus1199092) non si puograve esprimere in termini di funzioni elementari Mauna sua primitiva la conosciamo

119865(119909) = int119909

0exp(minus1199052)119889119905

e questo ci permette di calcolare i valori della primitiva scelta con il grado di approssimazionerichiesto (con le serie o con metodi di integrazione approssimata)

63 il logaritmo e lrsquoesponenziale

Per 119896 = minus1 la formula per la primitiva di 119909 ↦ 119909119896 non si puograve applicare A questo puntodunque non possiamo piugrave barare e siamo costretti a dare finalmente la definizioneufficiale di logaritmo Non che quella precedente sia ldquosbagliatardquo il fatto egrave che appoggiaalla vaga nozione di ldquoarea delimitata da archi di curverdquo Il grande successo dellrsquoanalisiegrave che ha potuto svincolarsi da considerazioni geometriche basate sullrsquointuizione Piugraveavanti studieremo come definire anche le funzioni trigonometriche senza appoggiarsialla geometria lrsquoimportante egrave che queste definizioni analitiche diano gli stessi risultatiottenuti con lrsquointuizione geometrica

d e f i n i z i o n e Se 119909 gt 0 poniamo

log119909 = int119909

1

1119905 119889119905

Il valore log119909 si chiama logaritmo di 119909

63 il logaritmo e lrsquoesponenziale 119

Alcuni testi chiamano questo valore ldquologaritmo naturalerdquo e indicano la funzione conil simbolo lsquolnrsquo I matematici invece preferiscono in genere lsquologrsquo lrsquoimportante egrave che leconvenzioni adottate in un testo siano chiarite e usate in modo uniforme

t e o r ema La funzione log definita in (0 rarr) egrave strettamente crescente e assumetutti i valori La sua inversa definita ovunque si denota con exp Allora expprime = expe si ha per ogni 119886119887 gt 0

log(119886119887) = log119886+ log119887

e per ogni 119909 e 119910exp(119909+119910) = (exp119909)(exp119910)

Inoltre log1 = 0 e exp0 = 1 Se 119890 = exp1 allora per 119899 intero si ha exp119899 = 119890119899

La funzione 119909 ↦ 1119909 egrave continua nellrsquointervallo (0 rarr) quindi anche log egrave definitain quellrsquointervallo Per il teorema fondamentale del calcolo logprime 119909 = 1119909 in ogni punto119909 del dominio Quindi log egrave una funzione strettamente crescente

Per le proprietagrave dellrsquointegrale si ha

12 = m2

1(119909 ↦ 1119909) sdot (2 minus 1) le int2

1

1119905 119889119905 = log2

In particolare log2 ge 12Consideriamo la funzione 119892 definita da

119892(119909) = int119886119909

1

1119905 119889119905 = log(119886119909)

Allora119892prime(119909) = 1

119886119909119886 = 1119909 = logprime 119909

e dunque la funzione 119892 e la funzione log differiscono per una costante Siccome 119892(1) =log119886 e log1 = int11 (1119905)119889119905 = 0 la costante egrave proprio log119886 Dunque

log(119886119909) = 119892(119909) = log119909+ log119886

e lrsquouguaglianza fondamentale del logaritmo egrave dimostrataUna conseguenza egrave che log(119886119899) = 119899 log119886 in particolare log2119899 = 119899 log2 Siccome log

egrave crescente dobbiamo averelim

119909rarr+infinlog119909 = +infin

Infatti lim119899rarr+infin log2119899 = lim119899rarr+infin 119899 log2 = +infin ed egrave facile dedurre da questo lrsquoaltrolimite (esercizio)

Dallrsquouguaglianza fondamentale segue che per 119909 gt 0

0 = log1 = log(119909 1119909) = log119909+ log(1119909)

e dunque log(1119909) = minus log119909 Dunque

lim119909rarr0

log119909 = lim119905rarr+infin

log(1119905) = lim119905rarr+infin

minus log 119905 = minusinfin

I valori di log esauriscono perciograve tutta la retta reale per il teorema sui valori intermediDunque la funzione inversa di log egrave definita ovunque e assume tutti i valori in (0 rarr)La denotiamo con exp lrsquouguaglianza expprime = exp si deduce come giagrave abbiamo visto

log(exp119909) = 119909 1exp119909 expprime 119909 = 1 expprime 119909 = exp119909

120 integrali

La proprietagrave di exp equivale a quella di log

log(exp(119909 +119910)) = 119909+119910 = log(exp119909)+ log(exp119910) = log((exp119909)(exp119910))

e quindi essendo log iniettiva abbiamo exp(119909+119910) = (exp119909)(exp119910) Inoltre si ha

exp2 = exp(1 + 1) = (exp1)(exp1) = 1198902

Egrave facile vedere per induzione che per 119899 gt 0 intero exp119899 = 119890119899 Se 119899 lt 0 si ha minus119899 gt 0e dunque

1 = exp0 = exp(119899minus119899) = (exp119899)(exp(minus119899)) = (exp119899)119890minus119899

da cui exp119899 = 119890119899

Una volta definito il logaritmo in modo del tutto rigoroso senza fare ricorso al con-cetto intuitivo di area possiamo procedere come giagrave noto per le definizioni di 119909 ↦ 119886119909

(per 119886 gt 0) e log119887 (per 119887 gt 0 ma 119887 ne 1)

119886119909 = exp(119909 log119886)

(vedremo fra poco che per 119899 intero la scrittura 119886119899 non egrave ambigua) Per 119887 gt 0 119887 ne 1abbiamo da 119910 = 119887119909

log119910 = log(119887119909) = log(exp(119909 log119887)) = 119909 log119887

e dunque 119909 = (log119910)(log119887) 119909 egrave lrsquoesponente da dare a 119887 per ottenere 119910 Quindiponiamo

log119887 119910 = log119910log119887

La definizione della funzione esponenziale exp ci ha permesso di definire in modoveloce e rigoroso le potenze con esponente reale qualsiasi Ripetiamo la definizione inmodo piugrave ufficiale

d e f i n i z i o n e Se 119886 gt 0 poniamo 119886119909 = exp(119909 log119886) dove 119909 egrave un numero realequalsiasi

Il problema che nasce con questa notazione egrave che potrebbe entrare in conflitto conla notazione delle potenze che si puograve introdurre senza fare ricorso allrsquoesponenzialegenerale nel caso di esponenti interi se 119899 gt 1 si indica infatti con 119886119899 il prodotto di119899 fattori uguali ad 119886 e si estende la definizione con 1198861 = 119886 1198860 = 1 e per 119886 ne 0119886119899 = 1119886minus119899 Le proprietagrave fondamentali sono che 119886119898+119899 = 119886119898119886119899 e (119886119898)119899 = 119886119898119899 per119898 e 119899 interi qualsiasi (non negativi se 119886 = 0) In questo caso non egrave un problemaavere anche 119886 lt 0 ma nel caso generale che vogliamo studiare questo non egrave possibilelrsquoesponenziale con esponenti reali egrave definito solo se la base egrave positiva

La prima cosa da osservare egrave che le due definizioni di 119886119899 con 119899 intero non dannorisultati diversi Nellrsquoargomentazione che segue riserviamo il simbolo 119886119899 per la poten-za definita con le moltiplicazioni Abbiamo exp(0 log119886) = exp0 = 1 = 1198860 se valeexp(119899 log119886) = 119886119899 con 119899 ge 0 abbiamo anche

exp((119899+ 1) log119886) = exp(119899 log119886+ log119886) = exp(119899 log119886) exp(log119886) = 119886119899119886 = 119886119899+1

e cosigrave la dimostrazione di exp(119899 log119886) = 119886119899 per 119899 intero non negativo egrave conclusa Se119899 lt 0 abbiamo perograve

1 = exp0 = exp(119899 log119886+ (minus119899) log119886)= exp(119899 log119886) exp((minus119899) log119886)= exp(119899 log119886)119886minus119899

63 il logaritmo e lrsquoesponenziale 121

da cui exp(119899 log119886) = 1119886minus119899 come richiesto percheacute per definizione 119886119899 = 1119886minus119899

quando 119899 lt 0Ora possiamo dunque scrivere senza problemi 119886119909 invece di exp(119909 log119886) percheacute il

simbolo non egrave ambiguo quando 119909 egrave intero Egrave un esercizio interessante dimostrare che1198861119899 egrave lrsquounico numero positivo 119910 tale che 119910119899 = 119886 Inoltre per 119886 ne 1

119886log119886 119909 = 119909

percheacute prendendo il logaritmo del termine di sinistra

log(119886log119886 119909) = log119886 119909 log119886 = log119909log119886 log119886 = log119909

e abbiamo la tesi percheacute la funzione logaritmo egrave invertibile In altre parole la funzionelog119886 soddisfa la definizione intuitiva del logaritmo in base 119886 di 119909 come dellrsquoesponenteda assegnare ad 119886 per ottenere 119909 In informatica egrave molto utile considerare il logaritmoin base 2 percheacute fornisce immediatamente il numero di cifre binarie di un intero unnumero intero 119899 gt 0 ha 119896 cifre binarie se e solo se 2119896minus1 le 119899 lt 2119896 che si puograve anchescrivere 2119896minus1 lt 119899+ 1 le 2119896 cioegrave se e solo se

119896minus 1 lt log2(119899+ 1) le 119896

e quindi il numero di cifre binarie di 119899 egrave precisamente lceillog2(119899 + 1)rceil (relazione validaanche per 119899 = 0)

Si raccomanda di usare notazioni come 11988613 solo per 119886 gt 0 per evitare argomentazionibizzarre come

minus1 = (minus1) 13 = (minus1) 2

6 = ((minus1)2) 16 = 1 1

6 = 1

che sono evidentemente assurde (e sbagliate) Per 119899 intero dispari si pone

119899radic119886 =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

1198861119899 se 119886 gt 00 se 119886 = 0minus(minus119886)1119899 se 119886 lt 0

Solo per 119899 dispari egrave possibile definire la radice 119899-esima in modo coerente anche per numerinegativi ma si deve sempre fare attenzione a non adoperare scorrettamente le semplificazionicon i radicali Qualche testo adotta convenzioni complicate ma quasi sempre inutili per ampliareil numero di identitagrave che perograve non compaiono praticamente mai nella vita reale Per 119899 intero e119886 gt 0 le notazioni 119899radic119886 e 1198861119899 sono equivalenti

Per ultimo vediamo che la derivata di119891(119909) = 119909119903 (definita per119909 gt 0) egrave119891prime(119909) = 119903119909119903minus1infatti 119909119903 = exp(119903 log119909) e quindi

119891prime(119909) = expprime(119903 log119909) sdot 119903119909 = 119903119909119903

119909 = 119903119909119903minus1

Come si vede lrsquointegrale puograve essere usato per definire nuove funzioni che si possonostudiare senza bisogno di averne lsquoespressioni esplicitersquo La funzione

120590(119909) = int119909

0exp(minus1199052)119889119905

egrave molto importante in probabilitagrave e statistica percheacute compare nelle cosiddette distri-buzioni normali o gaussiane La funzione egrave definita ovunque inoltre

120590prime(119909) = exp(minus1199092) gt 0

122 integrali

cosiccheacute 119892 egrave crescente Per 119905 gt 0 vale la disuguaglianza

exp 119905 ge 119905

Consideriamo infatti la funzione 120593(119905) = minus119905 + exp 119905 Allora 120593prime(119905) = minus1 + exp 119905 che egravepositiva per exp119909 gt 1 cioegrave 119905 gt log1 = 0 Siccome 120593(0) = exp0 = 1 gt 0 avremo120593(119905) gt 0 per 119905 gt 0

Ne concludiamo che exp(1199052) ge 1199052 e quindi trattandosi di numeri positivi

0 lt exp(minus1199052) le 11199052

t e o r ema Se 119891 e 119892 sono funzioni continue nellrsquointervallo [119886 119887] e si ha per119905 isin [119886 119887]

0 le 119891(119905) le 119892(119905)

allora

0 le int119887

119886119891(119905)119889119905 le int

119887

119886119892(119905)119889119905

La funzione 119892minus119891 assume solo valori non negativi quindi per le proprietagrave dellrsquointe-grale

0 le m119887119886(119887 minus 119886) le int

119887

119886(119892(119905) minus 119891(119905))119889119905 = int

119887

119886119892(119905)119889119905 minus int

119887

119886119891(119905)119889119905

Da questo teorema segue dunque che per ogni 119909 gt 1 si ha

int119909

0exp(minus1199052)119889119905 = int

1

0exp(minus1199052)119889119905 + int

119909

1exp(minus1199052)119889119905

le int1

0exp(minus1199052)119889119905 + int

119909

1

11199052 119889119905

Indichiamo con 119870 il primo dei due integrali Conosciamo una primitiva di 119905 ↦ 11199052 egrave119905 ↦ minus1119905 quindi il secondo integrale puograve essere scritto esplicitamente

int119909

1

11199052 119889119905 = [minus1

119905 ]119905=119909

119905=1= minus 1

119909 + 1 le 1

Perciograve abbiamo per 119909 gt 1120590(119909) le 119870+ 1

e quindi 119871 = lim119909rarr+infin

120590(119909) egrave finito Siccome

120590prime(minus119909) = minus exp(minus(minus119909)2) = minus120590(119909)

la funzione 119909 ↦ minus120590(minus119909) differisce da 120590 per una costante 119896 minus120590(minus119909) = 120590(119909)+119896 perogni 119909 Ma per 119909 = 0 questo dagrave minus120590(0) = 120590(0) + 119896 e per definizione 120590(0) = 0 Perciograve120590(minus119909) = minus120590(119909) e

lim119909rarrminusinfin

120590(119909) = lim119905rarr+infin

120590(minus119905) = lim119905rarr+infin

minus120590(119905) = minus119871

Si puograve dimostrare ma non egrave affatto facile che 119871 = radic1205872 Si puograve dimostrare anche chela funzione 120590 non egrave esprimibile tramite funzioni elementari

Per tornare a funzioni di cui si puograve calcolare lrsquointegrale proviamo a calcolare lrsquoareasotto lrsquoarco di sinusoide tra 0 e 120587 una primitiva di sin egrave 119909 ↦ minus cos119909 quindi

int120587

0sin 119905119889119905 = [ minus cos 119905] 119905=120587

119905=0= minus cos120587+ cos0 = 2

64 tecniche di integrazione 123

64 tecniche di integrazione

Qui useremo una notazione speciale se 119891 egrave definita su un intervallo con

119909 ↦ int119909119891(119905)119889119905

indicheremo una qualsiasi primitiva di 119891 si potrebbe precisare che viene indicata la pri-mitiva ottenuta usando come limite inferiore di integrazione un certo elemento dellrsquoin-tervallo di definizione di 119891 ma non egrave importante Del resto per il calcolo degli integralinon egrave necessario sapere quale primitiva si stia adoperando Saremo sempre attentiperograve che il dominio della nostra funzione sia un intervallo si rischia di cadere in gravierrori se non si prende questa precauzione Scriveremo anche piugrave semplicemente

int119891

quando non ci serva dare un nome alla variabileLa prima regola egrave molto semplice

int(119891+119892) = int119891+int119892

percheacute la derivata di una somma egrave la somma delle derivate Analogamente se 119896 egrave unnumero e 119891 una funzione

int119896119891 = 119896int119891

Attenzione queste uguaglianze significano solo che lrsquooperazione indicata a destra for-nisce una primitiva della funzione indicata sotto il segno di integrale a sinistra Macome le operazioni con limiti infiniti queste convenzioni non danno problemi purcheacutesi sia consapevoli di ciograve che significano

Veniamo alle primitive piugrave complicate

int119909119905119899 119889119905 = 119909119899+1

119899+ 1 (119899 ne minus1)

int119909 1119905 119889119905 = log|119909|

int119909

exp 119905119889119905 = exp119909

int119909

sin 119905119889119905 = minus cos119909

int119909

cos 119905119889119905 = sin119909

int119909 1radic1minus 1199052

119889119905 = arcsin119909

int119909 11+ 1199052 119889119905 = arctan119909

La primitiva di 119891(119909) = 1radic1minus1199092 egrave proprio una di quelle che possono dare problemiInfatti possiamo calcolare

int119909 1radic1minus 1199052

119889119905 = minusint119909minus 1

radic1minus 1199052119889119905 = minus arccos119909

Possiamo da questo concludere che arcsin119909 = minus arccos119909 Certamente no ma solo chequeste due funzioni differiscono per una costante Infatti dallrsquouguaglianza arcsinprime 119909 =minus arccosprime 119909 (per ogni 119909 isin (minus1 1) dove le due funzioni sono derivabili) deduciamo

124 integrali

solo che esiste 119896 tale che arcsin119909 = 119896 minus arccos119909 per 119909 = 0 abbiamo arcsin0 = 119896 minusarccos0 cioegrave 0 = 119896minus1205872

arcsin119909 = 1205872 minus arccos119909

egrave infatti una relazione corretta Anche la primitiva riportata nella tabella per 119909 ↦ 1119909merita un commento Secondo le nostre convenzioni la funzione da integrare deveessere definita in un intervallo quindi possiamo scegliere (0 rarr) oppure (larr 0) (oun qualsiasi intervallo contenuto in uno di questi due) Se pensiamo 119909 ↦ 1119909 definitaper 119909 gt 0 una primitiva egrave 119909 ↦ log119909 se la pensiamo definita per 119909 lt 0 una primitivaegrave 119909 ↦ log(minus119909) come si verifica derivando Scrivere la primitiva come 119909 ↦ log|119909|evita di dover specificare in quale intervallo consideriamo definita la funzione Ma ciogravenon ci autorizza a considerare lecito int1minus1(1119909)119889119909 percheacute la funzione non egrave definitanellrsquointervallo [minus1 1]

Anche la formula per la derivata di una funzione composta dagrave una tecnica di inte-grazione Vediamo prima la teoria e poi la pratica Supponiamo che la funzione 120593 siascritta come

120593(119905) = 119892(119891(119905))119891prime(119905)

Se 119866 egrave una primitiva di 119892 e poniamo 120595(119905) = 119866(119891(119905)) allora abbiamo

120595prime(119905) = 119866prime(119891(119905))119891prime(119905) = 119892(119891(119905))119891prime(119905) = 120593(119905)

e quindi 120595 egrave una primitiva di 120593 Per esempio volendo calcolare

int119909 21199051 + 1199052 119889119905

si puograve considerare 119891(119905) = 1+ 1199052 e 119892(119906) = 1119906 allora se 120593(119905) = 2119905(1 + 1199052) abbiamoproprio

120593(119905) = 119892(119891(119905))119891prime(119905)

Una primitiva di 119906 ↦ 119892(119906) = 1119906 egrave log119906 (percheacute 119891(119905) gt 0) e quindi una primitiva di120593 egrave proprio log(1 + 1199052) Crsquoegrave un modo piugrave pratico per eseguire questo calcolo con lestesse notazioni

int119909119892(119891(119905))119891prime(119905)119889119905 = int

119891(119909)119892(119906)119889119906

e scriveremo qualcosa come

int119909 21199051 + 1199052 119889119905 = (hellip)[ 119906 = 1+ 1199052 119889119906 = 2119905119889119905]

= int1+1199092 1

119906 119889119906

= [ log119906]119906=1+1199092

= log(1 + 1199092)

In questo contesto la scrittura119906 = 1+1199052 sostituisce la piugrave lunga posizione119891(119905) = 1+1199052e il calcolo di 119891prime(119905) = 2119905 Scriveremo piugrave semplicemente in generale 119906 = 119891(119905) e

119889119906 = 119891prime(119905)119889119905

Questo egrave il motivo principale percheacute si mantiene 119889119905 nella notazione dellrsquointegrale Siusa formalmente la notazione di Leibniz per la derivata

119889119906119889119905 = 119891prime(119905)

64 tecniche di integrazione 125

e lsquosi moltiplicano ambo imembri per119889119905rsquo Si ricordi perograve che questa egrave solo una notazionemnemonica per eseguire la giusta sostituzione

Altro esempio calcolare una primitiva di 120593(119909) = cos119909(1 + sin119909)2 Abbiamo

int119909 cos 119905(1 + sin 119905)2 119889119905 = (hellip)[ 119906 = 1+ sin 119905 119889119906 = cos 119905119889119905]

= int1+sin119909 1

1199062 119889119906

= [minus 1119906]

119906=1+sin119909

= minus 11+ sin119909

In altre situazioni non egrave cosigrave agevole trovare la sostituzione giusta e si puograve adattarela tecnica purcheacute ci si assicuri di usare funzioni invertibili Un esempio vale piugrave di tanteformule Consideriamo

int119909119905radic1minus 119905119889119905 = (hellip)[ 119906 = radic1minus 119905 119905 = 1minus1199062 119889119905 = minus2119906119889119906]

= intradic1minus119909

(1 minus 1199062)119906(minus2119906)119889119906

= 2intradic1minus119909

(1199064 minus1199062)119889119906

= 2[1199065

5 minus 1199063

3 ]119906=radic1minus119909

= 2((1 minus119909)25 minus 1minus119909

3 )radic1minus119909

dove la sostituzione 119906 = radic1minus 119905 egrave ammessa in quanto invertibile nel dominio dellafunzione da integrare Di fatto non serve scrivere esplicitamente la primitiva se si devecalcolare lrsquointegrale

int1

0119905radic1minus 119905119889119905 = (hellip)[ 119906 = radic1minus 119905 119905 = 1minus1199062 119889119905 = minus2119906119889119906]

= intradic1minus1

radic1minus0(1 minus 1199062)119906(minus2119906)119889119906

= 2int0

1(1199064 minus1199062)119889119906

= 2[1199065

5 minus 1199063

3 ]0

1

= 2(0minus 15 + 1

3) = 415

Lrsquoesempio classico e complicato egrave il calcolo dellrsquoarea del cerchio La funzione daconsiderare egrave 119891(119909) = radic1minus1199092 e lrsquoarea saragrave il doppio di

int1

minus1radic1minus 1199052 119889119905

Potremmo considerare la sostituzione 119906 = radic1minus 1199052 ma questa non egrave invertibile Meglioinvece usare 119906 = arccos 119905 percheacute questa egrave invertibile e si ha 119905 = cos119906 da cui radic1minus 1199052 =

126 integrali

radic1minus cos2 119906 = sin119906 percheacute arccos prende valori nellrsquointervallo [0 120587] dove il seno egravenon negativo Allora

int1

minus1radic1minus 1199052 119889119905 = (hellip)[ 119906 = arccos 119905 119905 = cos119906 119889119905 = minus sin119906119889119906]

= intarccos1

arccos(minus1)minus sin2 119906119889119906

= int0

120587

cos(2119906) minus 12 119889119906

= (hellip)[ 119906 = 1199072 119889119906 = (12)119889119907]

= 14 int

0

2120587(cos119907minus 1)119889119907

= 14[ sin119907minus 119907] 0

2120587= 120587

2da cui concludiamo che lrsquoarea del cerchio di raggio 1 egrave 120587 come certo ci aspettavamoPer lrsquoarea del cerchio di raggio 119903 la funzione da integrare egrave 119891(119909) = radic1199032 minus1199092 e lasostituzione saragrave 119906 = arccos(119905119903) che dagrave radic1199032 minus 1199052 = 119903 sin119906 Un altro fattore 119903 vienedalla derivata e 1199032 rimane fino in fondo cosigrave che lrsquointegrale si calcola allo stesso mododando lrsquoarea 1205871199032 Cosigrave scrisse Archimede Πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳοἶ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μιᾷ τῶν περί τέν ὀρθέν ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει ldquoOgnicerchio egrave uguale a un triangolo rettangolo avente come cateti il raggio del cerchio e ilsuo perimetrordquo

Volendo calcolare una primitiva si possono fare le sostituzioni a ritroso nella fun-zione finale

14(sin119907minus 119907) = 1

4(sin(2119906) minus 2119906) = 12(sin119906 cos119906minus119906) = 1

2(119905radic1minus 1199052 minus arccos 119905)

e quindiint

119909radic1minus 1199052 119889119905 = 1

2(119909radic1minus1199092 minus arccos119909)

Il trucco di scrivere sin2 119906 in termini di cos(2119906) egrave usato spesso durante questi calcoliRimane unrsquoultima tecnica fondamentale da descrivere lrsquointegrazione per parti che

deriva dalla formula della derivata di un prodotto Supponiamo che120593 si possa scriverecome prodotto di due funzioni 120593(119909) = 119891(119909)119892(119909) e che di una di esse si conosca unaprimitiva per esempio 119866 tale che 119866prime = 119892 In tal caso si puograve considerare la derivata di120595(119909) = 119891(119909)119866(119909)

120595prime(119909) = 119891prime(119909)119866(119909) + 119891(119909)119866prime(119909) = 119891prime(119909)119866(119909) + 119891(119909)119892(119909)

da cui abbiamo119891(119909)119892(119909) = 120595prime(119909) minus 119891prime(119909)119866(119909)

e passando alle primitive

int119909119891(119905)119892(119905)119889119905 = 119891(119909)119866(119909) minusint

119909119891prime(119905)119866(119905)119889119905

Secondo la terminologia usuale 119891 si chiama fattore finito e 119892 si chiama fattore differen-ziale Nellrsquointegrale che rimane da calcolare compare la derivata del fattore finito chepotrebbe rendere piugrave semplice il calcolo Esempio

int119909119905 exp 119905119889119905 = 119909 exp119909minusint

119909exp 119905119889119905 = 119909 exp119909minus exp119909

prendendo 119891(119909) = 119909 come fattore finito (e 119891prime(119909) = 1) mentre 119892(119909) = exp119909 egrave il fattoredifferenziale con int119909 exp 119905119889119905 = exp119909 Vedremo oltre un caso piugrave generale

64 tecniche di integrazione 127

Altro esempio degno di nota in int119909 log 119905119889119905 si prende come fattore finito 119891(119909) = log119909e come fattore differenziale 119892(119909) = 1 questo percheacute la derivata del logaritmo egrave unafrazione algebrica e lo stesso una primitiva di 119892 int119909 1119889119905 = 119909 Allora

int119909

log 119905119889119905 = 119909 log|119909| minus int1199091199051119905 119889119905 = 119909 log|119909| minus 119909 = 119909(log|119909| minus 1)

Con lrsquointegrazione per parti si puograve calcolare una primitiva di 119891(119909) = radic1minus1199092 pren-dendo di nuovo come fattore finito 119892(119909) = 1

int119909radic1minus 1199052 119889119905 = 119909radic1minus1199092 minusint

119909119905 minus119905radic1minus 1199052

119889119905

= 119909radic1minus1199092 minusint119909 1 minus 1199052 minus1

radic1minus 1199052119889119905

= 119909radic1minus1199092 minusint119909radic1minus 1199052 119889119905 +int

119909 1radic1minus 1199052

119889119905

Sembra di essere a un punto morto dovremmo calcolare proprio la primitiva chestiamo cercando Ma noi sappiamo che la primitiva esiste quindi possiamo portarelrsquointegrale di mezzo al primo membro

2int119909radic1minus 1199052 119889119905 = 119909radic1minus1199092 + arcsin119909

che torna con il conto precedente O no Avevamo ottenuto

int119909radic1minus 1199052 119889119905 = 1

2(119909radic1minus1199092 minus arccos119909)

dovrsquoegrave lrsquoinghippoPossiamo anche calcolare per parti una primitiva di cos2

119865(119909) = int119909

cos2 119905119889119905 = int119909

cos 119905 sdot cos 119905119889119905

= sin119909 cos119909minusint119909

sin 119905(minus sin 119905)119889119905

= sin119909 cos119909+int119909(1 minus cos2 119905)119889119905

= 119909+ sin119909 cos119909minusint119909

cos2 119905119889119905

= 119909+ sin119909 cos119909minus119865(119909) + 119888

dove 119888 egrave una costante Sembra che siamo di nuovo arrivati in un vicolo cieco masappiamo che 119865 esiste e quindi possiamo operare algebricamente ottenendo

int119909

cos2 119905119889119905 = 12(119909+ sin119909 cos119909)

(la costante si omette come sempre) Analogamente

int119909

sin2 119905119889119905 = 12(119909minus sin119909 cos119909)

Con lrsquointegrazione per parti egrave possibile anche calcolare

int119909119875(119905)119890119905 119889119905

dove 119875 egrave un polinomio Si prende come fattore differenziale lrsquoesponenziale e quindi

int119909119875(119905)119890119905 119889119905 = 119875(119909)119890119909 minusint

119909119875prime(119905)119890119905 119889119905

128 integrali

che abbassa di grado il polinomio In sostanza vediamo che la primitiva cercata egrave dellaforma 119876(119909)119890119909 dove 119876 ha lo stesso grado di 119875 Perciograve invece di lunghe integrazioni perparti possiamo piugrave semplicemente impostare coefficienti indeterminati

int119909(1199052 + 119905+ 1)119890119905 119889119905 = (1198861199092 +119887119909+ 119888)119890119909

e derivare ottenendo

(2119886119909+ 119887)119890119909 + (1198861199092 +119887119909+ 119888)119890119909 = (1199092 +119909+ 1)119890119909

che equivale al sistema⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

119886 = 12119886+ 119887 = 1119887+ 119888 = 1

cioegrave 119886 = 1 119887 = minus1 e 119888 = 2

65 le funzioni iperboliche

Lrsquoiperbole equilatera ha parecchie somiglianze con la circonferenza lo dice subito lasua equazione lsquocanonicarsquo

1199092 minus1199102 = 1

e possiamo dunque considerare la funzione

119891(119909) = radic1199092 minus 1

definita nellrsquointervallo [1 rarr) Possiamo dunque provare a calcolare lrsquoarea di un ldquoset-tore iperbolicordquo cioegrave la regione di piano delimitata da un ramo dellrsquoiperbole e una rettaparallela allrsquoasse delle ordinate in altre parole vogliamo calcolare

2int119909

1radic1199052 minus 1119889119905

e per questo trovare la migliore sostituzione possibile La strategia piugrave efficiente egrave lasostituzione

radic1199052 minus1 = 119905minus119906

percheacute cosigrave quando si eleva al quadrato i termini 1199052 spariscono minus1 = minus2119905119906 + 1199062Secondo le nostre convenzioni avremo

119905 = 1199062 +12119906 = 119906

2 + 12119906 119889119905 = (1

2 minus 121199062 )119889119906

Dunque lrsquointegrale da calcolare egrave

2int119909minusradic1199092minus1

1(1199062 + 1

2119906 minus119906)(12 minus 1

21199062 )119889119906 = minus12 int

119909minusradic1199092minus1

1

(1199062 minus1)21199063 119889119906

La funzione di cui calcolare una primitiva egrave

119891(119906) = 119906minus 2119906 + 1

1199063

e questo egrave banale una primitiva egrave

119865(119906) = 12(1199062 minus 1

1199062 )minus 2 log|119906|

65 le funzioni iperboliche 129

Dobbiamo dunque calcolare 119865(1) = 0 e 119865(119909minusradic1199092 minus1) ma egrave facile osservare che

1119909minusradic1199092 minus 1

= 119909+radic1199092 minus 1

e dunque scrivendo provvisoriamente 119910 = radic1199092 minus1 abbiamo

119865(119909minus119910) = 12(119909minus119910minus 1

119909minus119910)(119909minus119910+ 1119909minus119910)minus 2 log|119909 minus119910|

= (119909minus119910minus119909minus119910)(119909minus119910+119909minus119910)minus 2 log|119909 minus119910|

= minus2119909radic1199092 minus 1minus 2 log|119909 minus119910|

e dunque lrsquoarea cercata egrave

119909radic1199092 minus 1+ log|119909 minusradic1199092 minus 1|

Se ora consideriamo il triangolo di vertici (0 0) (119909 0) e (119909radic1199092 minus 1) e ne sottraiamola parte di settore iperbolico che egrave contenuta (cioegrave la metagrave) scopriamo che il triangolocurvilineo con vertici in (0 0) (1 0) e (119909radic1199092 minus 1) (il lato fra gli ultimi due vertici egrave ilramo di iperbole) ha area

minus12 log(119909 minusradic1199092 minus1) = 1

2 log(119909 +radic1199092 minus 1)

Questo va confrontato con lrsquoanaloga situazione della circonferenza di raggio unitariolrsquoarea del settore circolare con vertici in (0 0) (1 0) e (119909radic1minus1199092) ha come area 1205722dove 120572 egrave lrsquoangolo al centro del settore

Nel caso della circonferenza si ha dunque con le notazioni di prima

119909 = cos120572 119910 = radic1minus1199092 = sin120572

e siamo giustificati a porre nel caso dellrsquoiperbole

119909 = cosh 119905 119910 = radic1199092 minus1 = sinh 119905

dove119905 = log(119909 +radic1199092 minus1)

Non egrave difficile ricavare la definizione di cosh e sinh (coseno e seno iperbolici)

cosh 119905 = 119890119905 + 119890minus119905

2 sinh 119905 = 119890119905 minus 119890minus119905

2

Per definizione vale lrsquoidentitagrave iperbolica

cosh2 119905 minus sinh2 119905 = 1

(sono le coordinate di un punto del ramo di iperbole di equazione 1199092 minus1199102 = 1)Le funzioni iperboliche hanno proprietagrave molto simili a quelle circolari

cosh(119905 + 119906) = cosh 119905 cosh119906+ sinh 119905 sinh119906sinh(119905 + 119906) = sinh 119905 cosh119906+ cosh 119905 sinh119906

Si noti che crsquoegrave un lsquo+rsquo nella formula di addizione del coseno iperbolico

130 integrali

La formula di triplicazione del seno iperbolico egrave con facili calcoli

sinh3119905 = 4 sinh3 119905 + 3 sinh 119905

e la si puograve usare nella soluzione dellrsquoequazione di terzo grado 1199093+119901119909+119902 = 0 dove 119901 gt 0 Infattibasta porre 119909 = 119896 sinh 119905 e fare in modo che

1198963

119896119901 = 43

cioegrave 1198962 = 41199013 Ne otteniamo lrsquoequazione

4119896 sinh3 119905 + 3119896 sinh 119905 + 119902 = 0

che diventa dunquesinh(3119905) = minus119902

119896

Per esempio da 1199093 + 3119909minus 4 = 0 otteniamo 1198962 = 4 e quindi con 119896 = 2 lrsquoequazione

sinh(3119905) = 2

Con la calcolatrice otteniamo3119905 = 144363547517881

cioegrave 119905 = 0481211825059603 che dagrave

119909 = 119896 sinh 119905 = 2 sdot 05 = 1

come del resto ci aspettavamo (lrsquoarrotondamento della calcolatrice egrave davvero fortunato)

66 esistenza dellrsquooperatore integrale

La lunga dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquointegrale egrave proprio come sognava Cavalieriunrsquoastrazione del procedimento di esaustione di Eudosso e Archimede La dobbiamoprincipalmente a Cauchy e Riemann qui useremo una variante delle argomentazioni diRiemann dovuta a Darboux

Dato un intervallo [119886 119887] una sua suddivisione egrave un sottoinsieme finito 119878 tale che119886119887 isin 119878 Possiamo allora elencare gli elementi di una suddivisione come

119886 = 1199090 lt 1199091 lt ⋯ lt 119909119899minus1 lt 119909119899 = 119887

Data una suddivisione 119878 e una funzione 119891 continua su [119886 119887] porremo

m119909119895119909119895minus1(119891) = 119898119878119895(119891) e M119909119895

119909119895minus1(119891) = 119872119878119895(119891)

Chiameremo 119878-somma superiore per 119891 il numero

Σ119878(119891) = (1199091 minus1199090)1198721198781(119891) + (1199092 minus1199091)1198721198782(119891) +⋯+ (119909119899 minus119909119899minus1)119872119878119899(119891)

Nel caso di 119891 a valori positivi staremmo considerando la somma delle aree dei rettan-goli lsquoesternirsquo relativi alla suddivisione 119878 Analogamente chiamiamo 119878-somma inferioreper 119891 il numero

120590119878(119891) = (1199091 minus1199090)1198981198781(119891) + (1199092 minus1199091)1198981198782(119891) +⋯+ (119909119899 minus119909119899minus1)119898119878119899(119891)

che nel caso di 119891 a valori positivi corrisponde alla somma delle aree dei rettangolilsquointernirsquo relativi alla suddivisione

Per costruzione egrave 119898119878119895 le 119872119878119895 e perciograve egrave evidente che

120590119878(119891) le Σ119878(119891)

66 esistenza dellrsquooperatore integrale 131

Dimostriamo adesso che se 119878 sube 119879 allora

120590119878(119891) le 120590119879(119891) le Σ119879(119891) le Σ119878(119891)

Possiamo limitarci al caso speciale in cui 119879 si ottenga aggiungendo un solo elementoa 119878 percheacute il caso generale discende ripetendo il ragionamento per un certo numero(finito) di volte Verifichiamo solo lrsquoultima disuguaglianza la prima egrave analoga (oppuresi applichi il ragionamento a minus119891)

Possiamo dunque supporre che 119879 contenga esattamente un elemento in piugrave di 119878 se119878 egrave dato da

119886 = 1199090 lt 1199091 lt ⋯ lt 119909119899minus1 lt 119909119899 = 119887

avremo che 119879 contiene un elemento 119909 che sta diciamo tra 119909119895minus1 e 119909119895 Dunque ladifferenza tra la 119878-somma superiore e la 119879-somma superiore egrave

Σ119878(119891) minus Σ119879(119891) = (119909119895 minus119909119895minus1)M119909119895119909119895minus1(119891) minus ((119909 minus119909119895minus1)M119909

119909119895minus1(119891) minus (119909119895 minus119909)M119909119895

119909(119891))

Per evitare tanta barbarie di simboli poniamo

119903 = 119909119895minus1

119904 = 119909119895

1198720 = M119909119895119909119895minus1(119891)

1198721 = M119909119909119895minus1(119891)

1198722 = M119909119895

119909(119891)

e osserviamo che 1198721 le 1198720 e 1198722 le 1198720 per uno dei due deve valere lrsquouguaglianzaAbbiamo allora

Σ119878(119891) minus Σ119879(119891) = (119904 minus 119903)1198720 minus ( (119909 minus 119903)1198721 + (119904 minus119909)1198722)

ge (119904 minus 119903)1198720 minus ( (119909 minus 119903)1198720 + (119904 minus119909)1198720) = 0

esattamente come richiestoSiamo a buon punto consideriamo lrsquoinsieme 119984119887

119886(119891) delle 119878-somme superiori e lrsquoin-sieme ℒ119887

119886(119891) delle 119878-somme inferiori cioegrave quelli dei valori ottenuti prendendo tutte lepossibili suddivisioni di [119886 119887] Dimostriamo che che ogni numero in ℒ119887

119886(119891) egrave minore(o uguale) di ogni numero in 119984119887

119886(119891) Infatti se prendiamo 120590119878(119891) e Σ119879(119891) abbiamo

120590119878(119891) le 120590119878cup119879(119891) le Σ119878cup119879(119891) le Σ119879(119891)

Ci viene dunque spontaneo considerare lrsquoestremo superiore L119887119886(119891) di ℒ119887

119886(119891) e lrsquoestremoinferiore U119887

119886(119891) di 119984119887119886(119891) Di sicuro

L119887119886(119891) le U119887

119886(119891)

e vogliamo dimostrare che in realtagrave sono uguali Come possiamo fare La rispostaegrave abbastanza semplice ci basta verificare che lrsquooperatore (119886119887) ↦ U119887

119886(119891) soddisfa leproprietagrave richieste per lrsquooperatore (119886119887) ↦ Int119887119886(119891) La stessa dimostrazione varragrave conle facili modifiche necessarie per lrsquooperatore (119886 119887) ↦ L119887

119886(119891) Siccome sappiamo giagraveche quellrsquooperatore se esiste egrave unico avremo terminato

La prima proprietagrave egrave davvero banale infatti se consideriamo la suddivisione 1198780 incui ci sono solo 119886 e 119887 abbiamo

(119887 minus 119886)m119887119886(119891) = 1205901198780(119891) le U119887

119886(119891) le Σ1198780(119891) = (119887minus 119886)M119887119886(119891)

Dobbiamo dunque dimostrare la seconda proprietagrave cioegrave che per 119901 le 119886 lt 119887 lt 119888 le 119902 siha

U119888119886(119891) = U119887

119886(119891) + U119888119887(119891)

132 integrali

Se prendiamo una suddivisione 119878 di [119886 119888] possiamo considerare la suddivisione119878prime = 119878cup 119887 perciograve per quanto abbiamo visto

Σ119878prime(119891) le Σ119878(119891)

Che cosa ci dice questo Che lrsquoestremo inferiore di 119984119888119886(119891) egrave lrsquoestremo inferiore di

un insieme piugrave piccolo quello delle somme inferiori calcolate sulle suddivisioni a cuiappartiene 119887 Ora se 119878 egrave una suddivisione di [119886 119888] a cui appartiene 119887 possiamoda questa ottenere una suddivisione 119878larr di [119886 119887] e una suddivisione 119878rarr di [119887 119888]Chiaramente dalla definizione di Σ119878 abbiamo

Σ119878(119891) = Σ119878larr(119891) + Σ119878rarr(119891)

Viceversa se 1198791 egrave una suddivisione di [119886 119887] e 1198792 egrave una suddivisione di [119887 119888]119879 = 1198791 cup1198792 egrave una suddivisione di [119886 119888] a cui appartiene 119887

Quindi ci siamo ridotti a verificare una condizione su insiemi di numeri

l e mma Siano 119860 e 119861 insiemi di numeri e sia 119862 lrsquoinsieme a cui appartengono tuttele possibili somme di numeri in 119860 con numeri in 119861 Se 119860 e 119861 hanno estremo inferiore119886 e 119887 allora 119862 ha estremo inferiore 119888 = 119886+ 119887

Se 119886 isin 119860 e 119887 isin 119861 allora 119886 le 119886 e 119887 le 119887 dunque 119888 = 119886+119887 le 119886+119887 e 119888 egrave un minorantedi 119862 e quindi 119862 ha estremo inferiore in particolare 119888 le inf 119862 Supponiamo che 119888 lt inf 119862Per definizione di estremo inferiore esistono 119886 isin 119860 e 119887 isin 119861 tali che

119886minus119886 le inf 119862minus 1198884 119887 minus 119887 le inf 119862minus 119888

4

Allora

119886+ 119887minus 119888 le inf 119862minus 1198882 lt inf 119862minus 119888

da cui 119886+ 119887 lt inf 119862 che egrave assurdo in quanto 119886+ 119887 isin 119862 per definizione di 119862

A che ci serve questo lemma Se prendiamo 119860 = 119984119887119886(119891) e 119861 = 119984119888

119887(119891) lrsquoinsieme 119862 egraveproprio lrsquoinsieme delle somme superiori calcolate sulle suddivisioni che contengono 119887Ma abbiamo giagrave osservato che inf 119862 = U119888

119886(119891) e il lemma ci dice allora che

U119888119886(119891) = inf 119862 = inf 119860+ inf 119861 = inf 119984119887

119886(119891) + inf 119984119888119887(119891) = U119887

119886(119891) + U119888119887(119891)

Per gli stessi motivi avremo anche

m119887119886(119891) le L119887

119886(119891) le M119887119886(119891)

L119888119886(119891) = L119888

119887(119891) + L119888119887(119891)

la prima per 119901 le 119886 lt 119887 le 119902 la seconda per 119901 le 119886 lt 119887 lt 119888 le 119902Ci sarebbe un modo piugrave veloce per dimostrarlo basta rendersi conto che

L119887119886(119891) = minusU119887

119886(minus119891)

e osservare che in quanto abbiamo fatto la funzione119891 non entra inmodo particolare neabbiamo solo usato la continuitagrave per verificare lrsquounicitagrave dellrsquooperatore (119886 119887) ↦ Int119887119886(119891)

La dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquooperatore Int egrave cosigrave conclusa

67 disuguaglianze 133

67 disuguaglianze

Qui supporremo sempre che le funzioni siano continue sullrsquointervallo [119886 119887] e quindiche 119886 lt 119887

La prima disuguaglianza per gli integrali egrave piuttosto facile se 119891 egrave una funzione nonnegativa che assume un valore positivo in [119886 119887] allora

int119887

119886119891(119905)119889119905 gt 0

Infatti deve essere 119891(119909) gt 0 per un 119909 isin (119886 119887) e possiamo trovare un intorno di 119909in cui 119891(119909) gt 0 se questo intorno contiene lrsquointervallo (119909 minus 120575 119909 + 120575) abbiamo che119891(119888) gt 0 e 119891(119889) gt 0 dove 119888 = 119909minus 1205752 e 119889 = 119909+1205752 Dunque

int119887

119886119891(119905)119889119905 = int

119888

119886119891(119905)119889119905 + int

119889

119888119891(119905)119889119905 + int

119887

119889119891(119905)119889119905 ge m119888

119886(119891) + m119889119888 (119891) + m119887

119889(119891)

con m119888119886(119891) ge 0 m119889

119888 (119891) gt 0 e m119887119889(119891) ge 0

Non egrave difficile vedere anche che se 119891(119909) le 119892(119909) per ogni 119909 allora

int119887

119886119891(119905)119889119905 le int

119887

119886119892(119905)119889119905

Infatti se 119865 = 119892minus119891 si ha 119865(119909) ge 0 per ogni 119909 e quindi m119887119886(119865) ge 0 Dunque

0 le (119887minus 119886)m119887119886(119865) le int

119887

119886119865(119905)119889119905 = int

119887

119886119892(119905)119889119905 minus int

119887

119886119891(119905)119889119905

In questo caso scriveremo 119891 le 119892Prendiamo una funzione 119891 e consideriamo le due funzioni cosigrave definite

119891+(119909) = 12( |119891(119909)| + 119891(119909))

119891minus(119909) = 12( |119891(119909)| minus 119891(119909))

Allora

119891+(119909) =⎧⎨⎩

119891(119909) se 119891(119909) ge 00 se 119891(119909) lt 0

119891minus(119909) =⎧⎨⎩

0 se 119891(119909) ge 0minus119891(119909) se 119891(119909) lt 0

e abbiamo chiaramente 119891(119909) = 119891+(119909) minus 119891minus(119909) Il vantaggio di aver definito 119891+ e 119891minuscon la formula algebrica egrave che questa dimostra che le due funzioni sono continue (edentrambe a valori non negativi) su [119886 119887] se tale egrave 119891 In piugrave abbiamo che

|119891(119909)| = 119891+(119909) + 119891minus(119909)

Indicheremo brevemente con |119891| la funzione 119909 ↦ |119891(119909)| che ha lo stesso dominiodi 119891 Per una funzione qualsiasi abbiamo minus|119891| le 119891 le |119891| e quindi per la disuguaglian-za precedente

int119887

119886minus|119891(119905)|119889119905 le int

119887

119886119891(119905)119889119905 le int

119887

119886|119891(119905)|119889119905

e ne segue lrsquoaltra fondamentale disuguaglianza

|int119887

119886119891(119905)119889119905| le int

119887

119886|119891(119905)|119889119905

134 integrali

Ne ricaviamo subito una conseguenza importante

se int119887

119886|119891(119905)|119889119905 = 0 allora 119891(119909) = 0 per ogni 119909 isin [119886 119887]

Infatti se fosse 119891(119909) ne 0 avremmo |119891(119909)| gt 0 e quindi lrsquointegrale di |119891| sarebbepositivo

t e o r ema Se 119891 egrave una funzione continua e crescente su [1 rarr) allora per ogniintero 119899 gt 1

119891(1) + 119891(2) +⋯+119891(119899minus 2) + 119891(119899minus 1) le int119899

1119891(119905)119889119905

int119899

1119891(119905)119889119905 le 119891(2) + 119891(3) +⋯+119891(119899minus 1) + 119891(119899)

Poicheacute 119891 egrave crescente si ha m119887119886(119891) = 119891(119886) e M119887

119886(119891) = 119891(119887) Perciograve 119891(1)+⋯+119891(119899minus1)e 119891(2) + ⋯ + 119891(119899) sono rispettivamente la somma inferiore e la somma superiorerispetto alla suddivisione 1 2hellip 119899minus 1119899

Vediamo un esempio Sia 119891(119909) = 1199092 il teorema ci dagrave un modo di valutare la somma119878119899minus1 = 12 + 22 +⋯+ (119899minus 1)2 infatti 119891 egrave crescente su [1 rarr) e perciograve

119878119899minus1 le int119899

11199052 119889119905 = [1199053

3 ]119905=119899

119905=1le 119878119899 minus 1

Dunque

119878119899minus1 le 1198993 minus 13 le 119878119899 minus1

Per lo stesso motivo1198993

3 + 23 le 119878119899 le (119899+ 1)3

3 minus 13

e possiamo dividere per 1198993

13 + 2

31198993 le 1198781198991198993 le 1

3 + 1119899 + 1

1198992

e per il teorema di confronto dei limiti

lim119899rarr+infin

1198781198991198993 = 1

3

Con la stessa tecnica si dimostri che se

119878(119896)119899 = 1119896 + 2119896 +⋯+119899119896

allora

lim119899rarr+infin

119878(119896)119899

119899119896+1 = 1119896+ 1

Per funzioni decrescenti vale ovviamente una coppia di disuguaglianze analoghe

t e o r ema Se 119891 egrave una funzione continua e decrescente su [1 rarr) allora perogni intero 119899 gt 1

119891(1) + 119891(2) +⋯+119891(119899minus 2) + 119891(119899minus 1) ge int119899

1119891(119905)119889119905

int119899

1119891(119905)119889119905 ge 119891(2) + 119891(3) +⋯+119891(119899minus 1) + 119891(119899)

67 disuguaglianze 135

Se prendiamo 119891(119909) = 11199092 definita su (0 rarr) essa egrave descrescente Se poniamo119860(2)119899 = 119891(1) +⋯+119891(119899) abbiamo per 119899 gt 1

119860(2)119899minus1 ge int119899

1

11199052 119889119905 = [minus1

119905 ]119905=119899

119905=1ge 119860(2)119899 minus 1

quindi calcolando lrsquointegrale

119860(2)119899 minus 1 le 1minus 1119899

che quindi dagrave

119860(2)119899 le 2minus 1119899

In particolare la successione 119860(2) che egrave crescente converge Alla stessa conclusionesi giunge con 119860(119904) definita da

119860(119904)119899 = 1+ 12119904 +⋯+ 1

119899119904

per 119904 gt 1 percheacute lrsquointegrale corrispondente vale

int119899

1

1119905119904 119889119905 = [minus 1

(119904 minus 1)119905119904minus1 ]119905=119899

119905=1= 1

119904minus 1 minus 1(119904 minus 1)119899119904minus1

e quindi 119860(119904)119899 le 1(119904 minus 1) + 1 = 119904(119904 minus 1)Per 119904 = 1 invece si ha

119860(1)119899minus1 ge int119899

1

1119905 119889119905 = [ log 119905]119905=119899

119905=1= log119899

e perciograve lim119899rarr+infin 119860(1)119899 = +infin

Usualmente si pone per 119904 gt 1 120577(119904) = lim119899rarr+infin 119860(119904)119899 La funzione che cosigrave si ottiene si chiamafunzione zeta di Riemann sebbene sia stata studiata inizialmente da Euler Riemann ne estesela definizione e dimostrograve importanti connessioni della funzione zeta piugrave generale con i numeriprimi Una congettura di Riemann sulla funzione zeta egrave uno dei piugrave importanti problemi apertidella matematica e non solo per il premio da un milione di dollari promesso da un istituto diricerca

Euler dimostrograve che lim119899rarr+infin 119860(2)119899 = 120577(2) = 12058726 chiudendo cosigrave una questione nota comeproblema di Basilea percheacute fu ripreso da Johan Bernoulli sebbene fosse stato posto da PietroMengoli (1626ndash1686) In effetti sulla dimostrazione di Euler ci sarebbero parecchi rilievi da farema lrsquoidea di fondo era corretta

Crsquoegrave un altro modo di dimostrare che la successione 119860(1) non converge Osserviamo che se119899 isin ℕ esiste un119898 isin ℕ tale che 2119898minus1 le 119899 lt 2119898+1minus1 quindi se dimostriamo che la successione119887 definita da 119887119898 = 119860(1)2119898minus1 non converge nemmeno lrsquoaltra converge I numeri naturali da 1 a2119898minus1 sono quelli che in notazione binaria si scrivono con al massimo 119898 cifre Quindi abbiamo

1198871 = 112

1198872 = 112

+( 1102

+ 1112

)

1198873 = 112

+( 1102

+ 1112

)+ ( 11002

+ 11012

+ 11102

+ 11112

)

e cosigrave via (non usiamo il sistema binario per gli indici) Se al posto delle frazioni con un denomi-natore di 119896 cifre binarie scriviamo 12119896+1 otteniamo un numero minore di 119887119898 che indichiamo

136 integrali

con 119887prime119898 Ogni gruppo in parentesi racchiude le frazioni il cui denominatore ha lo stesso numero

di cifre binarie se le cifre sono 119896 i numeri del gruppo sono esattamente 2119896 Perciograve

119887prime1 = 20 1

2 = 12

119887prime2 = 20 1

2 + 21 122 = 2

2

119887prime3 = 20 1

2 + 21 122 + 22 1

23 = 32

hellip

119887prime119898 = 20 1

2 +⋯+ 2119898minus1 12119898 = 119898

2

Dunque egrave chiaro che lim119898rarr+infin 119887prime119898 = +infin e perciograve anche lim119898rarr+infin 119887119898 = +infin

Egrave interessante notare che con una tecnica analoga si dimostra la convergenza di 119860(2) Scrivia-mo ancora 119888119898 = 119860(2)2119898minus1 e vediamo i primi termini

1198881 = 1(12)2

1198882 =1

(12)2+( 1

(102)2+ 1

(112)2)

1198883 = 1(12)2

+( 1(102)2

+ 1(112)2

)+ ( 1(1002)2

+ 1(1012)2

+ 1(1102)2

+ 1(1112)2

)

ma questa volta pensiamo di sostituire ogni frazione con denominatore di 119896 cifre con 12119896 Se 119897egrave un numero che nel sistema binario si scrive con 119896 cifre allora 2119896 le 119897 da cui 12119896 ge 1119897 Perciogravecon queste sostituzioni otteniamo un numero 119888prime

119898 ge 119888119898 e

119888prime1 = 20 1

12 = 1

119888prime2 = 20 1

12 +21 1(21)2 = 1+ 1

2

119888prime3 = 20 1

12 +21 1(21)2 +22 1

(22)2 = 1+ 12 + 1

4

hellip

119888prime119898 = 1+ 1

2 + 14 +⋯+ 1

2119898minus1

Ma questa egrave unrsquoespressione che sappiamo trattare se 119909 ne 1

1 +119909+1199092 +⋯+119909119898minus1 = 1minus119909119898

1minus119909

e per 119909 = 12 abbiamo119888prime119898 = 2(1minus 1

2119898 ) lt 2

Dunque la successione 119888prime egrave crescente e limitata allora anche 119888 egrave crescente e limitata e cosigrave per119860(2) Si noti come il ragionamento con gli integrali sia molto piugrave diretto e non richieda trucchiingegnosi

Se si prova a usare il secondo trucco con 119860(1) si ottiene solo la maggiorazione

119887119898 le 119898

che non dagrave alcuna informazione sulla convergenza di 119887

68 frazioni algebriche e integrali

Se 119875 e119876 sono polinomi in linea di principio egrave possibile trovare una primitiva di 119891(119909) =119875(119909)119876(119909) Infatti lrsquounico ostacolo egrave la fattorizzazione di 119876 come prodotto di fattoriirriducibili Egrave noto anche se non facile da dimostrare che i polinomi irriducibili sui realisono solo quelli di grado 1 e quelli di grado 2 con discriminante negativo La ricerca di

68 frazioni algebriche e integrali 137

una primitiva di una frazione algebrica poggia sul seguente risultato ma anche sulleosservazioni che (1) non egrave restrittivo supporre che il grado di 119875 sia minore del grado di119876 percheacute si puograve eseguire la divisione con resto (2) non egrave restrittivo supporre che 119875 e119876 non abbiano fattori comuni percheacute il massimo comune divisore si puograve determinarecon lrsquoalgoritmo di Euclide

Un fattore irriducibile 119877 del polinomio 119876 si dice di molteplicitagrave 119898 se 119877119898 divide 119876ma 119877119898+1 non divide 119876

t e o r ema Siano 119875 e 119876 polinomi senza fattori comuni con il grado di 119875 minoredel grado di 119876 Se 119877 egrave un fattore irriducibile di 119876 di molteplicitagrave 119898 allora si puogravescrivere

119875(119909)119876(119909) = 1198781(119909)

119877(119909) + 1198782(119909)119877(119909)2 +⋯+ 119878119898(119909)

119877(119909)119898 + 1198751(119909)1198761(119909)

dove 1198761 non egrave divisibile per 119877 e i polinomi 1198781 1198782 hellip 119878119898 hanno grado minore delgrado di 119877

Non daremo la dimostrazione che richiede conti piuttosto complicati Come si puogravefare in pratica Si applica il teorema ripetutamente fincheacute si esauriscono i fattori irri-ducibili di 119876 infatti il teorema vale anche per la frazione 11987511198761 A questo punto nonoccorre aver giagrave calcolato i numeratori 119878 percheacute si puograve usare ilmetodo dei coefficienti in-determinati Supponiamo per esempio che119876(119909) = 119909(119909minus1)3(1199092+1)2 Lrsquoapplicazioneripetuta del teorema ci dice che possiamo scrivere

119875(119909)119876(119909) = 119860

119909 + 119861119909minus 1 + 119862

(119909minus 1)2 + 119863(119909minus 1)3 + 119864119909+119865

1199092 + 1 + 119866119909+119867(1199092 + 1)2

Le incognite sono otto e il grado di 119875 egrave al massimo sette quindi i coefficienti nonnulli di 119875 sono al massimo otto e riscrivendo il membro di destra come unica frazionealgebrica possiamo adoperare il principio di identitagrave dei polinomi Ma non occorrenemmeno eseguire troppi calcoli con le frazioni basta usare il valore delle funzioni inpunti opportuni

Supponiamo per esempio 119875(119909) = 1199093 minus 21199092 + 3 Calcoliamo 119875(2)119876(2) = 350quindi anche

1198602 + 119861

1 + 11986212 + 119863

13 + 2119864+ 1198655 + 2119866+119867

52 = 350

Si possono usare altri punti per ottenere le sette equazioni ancora necessarie Lrsquoimpor-tante egrave vedere che si ottiene un sistema lineare

Vediamo un esempio certamente piugrave semplice con la funzione

119891(119909) = 1199094 + 31199092 + 1119909(119909minus 1)2(1199092 +1)

che ammette la decomposizione

119891(119909) = 119860119909 + 119861

119909minus 1 + 119862(119909minus 1)2 + 119863119909+119864

1199092 + 1

Qui forse egrave piugrave semplice scrivere ciograve che si ottiene mettendo tutto allo stesso denomi-natore

119891(119909)(119909(119909minus 1)2(1199092 +1) = 119860(119909minus 1)2(1199092 +1) + 119861119909(119909minus 1)(1199092 + 1)+119862119909(1199092 + 1) + (119863119909+119864)119909(119909minus 1)2

138 integrali

= (119860+119861+119863)1199094

+ (minus2119860minus119861+119862minus 2119863+119864)1199093

+ (2119860+ 119861+119863minus119864)1199092

+ (minus2119860minus119861+119862+119864)119909+119860

e il principio di uguaglianza dei polinomi dice

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

119860 = 1minus2119860minus119861+119862+119864 = 02119860+ 119861+119863minus119864 = 3minus2119860minus119861+119862minus 2119863+119864 = 0119860+119861+119863 = 1

da cui si ottiene119860 = 1 119861 = minus1 119862 = 2 119863 = 1 119864 = minus1

e quindi119891(119909) = 1

119909 minus 1119909minus 1 + 2

(119909minus 1)2 + 119909minus 11199092 +1

Egrave facile a questo punto calcolare una primitiva di 119891

int119909119891(119905)119889119905 = log|119909| minus log|119909 minus 1| minus 2

119909minus 1 +int119909 119905 minus 11199052 + 1 119889119905

dove teniamo da parte lrsquoultima frazione parziale unica che richiede un trattamento piugraveattento

int119909( 1199051199052 +1 minus 1

1199052 + 1)119889119905 = 12 int

119909 21199051199052 + 1 119889119905minusint

119909 11199052 + 1 119889119905

= 12 log(1199092 +1) minus arctan119909

Piugrave in generale quando si deve calcolare la primitiva della funzione 119891(119909) = (119860119909 +119861)(1198861199092 + 119887119909 + 119888) occorre procedere in questo modo Prima di tutto si vede se ildenominatore ha radici e in tal caso si puograve trovare la decomposizione in frazioniparziali come prima Dunque supponiamo che Δ = 1198872 minus 4119886119888 lt 0 la solita tecnica dicompletamento del quadrato ci permette di scrivere

1198861199092 +119887119909+ 119888 = 14119886(411988621199092 + 4119886119887119909+ 1198872 minusΔ) = 1

4119886((2119886119909+ 119887)2 minusΔ)

Poniamo allora 120575 = radicminusΔ e calcoliamo la primitiva

int119909 119860119905+ 1198611198861199052 +119887119905+ 119888 119889119905 = int

119909 4119886(119860119905 + 119861)(2119886119905 + 119887)2 +1205752 119889119905

= (hellip)[120575119906 = 2119886119905 + 119887 119889119906 = 2119886120575 119889119905]

= int(120575119909minus119887)(2119886) 119862119906+119863

1199062 + 1 119889119906

dove 119862 e 119863 sono opportuni coefficienti A questo punto il calcolo egrave facile

int119909 119862119905+119863

1199052 +1 119889119905 = 1198622 int

119909 21199051199052 +1 119889119905+119863int

119909 11199052 + 1 119889119905

che egrave del tutto simile al precedente Inutile scrivere la formula esplicita molto megliolavorare a un esempio

int119909 3119905 + 11199052 + 4119905 + 20 119889119905

69 integrali e aree 139

Completiamo il quadrato al denominatore

1199052 + 4119905+ 20 = 1199052 + 4119905 + 4+ 16 = (119905 + 2)2 +42

e quindi la sostituzione da eseguire egrave 2119906 = 119905+ 2 quindi 119889119905 = 2119889119906 e

3119905 + 1 = 3(1199062 minus 2+ 1) = 3

2(119906minus 2)

Perciograve lrsquointegrale diventa

int119909 3119905 + 11199052 + 4119905+ 20 119889119905 = 23

214 int

(119909+2)2 119906minus 21199062 + 1 119889119906

= 38 int

(119909+2)2 21199061199062 + 1 119889119906+ 3

4 int(119909+2)2 1

1199062 +1 119889119906

= 38[ log(1199062 +1)] 119906=(119909+2)2 + 3

4[arctan119906] 119906=(119909+2)2

e si puograve scrivere lrsquoespressione esplicita senza alcuna difficoltagravePiugrave complicato egrave trovare una primitiva di 119891(119909) = 1(1199092 + 1)2 a cui si riduce con

sostituzioni analoghe a quelle precedenti il calcolo quando nel denominatore dellafrazione originale ci sia il quadrato di un polinomio di secondo grado con discriminantenegativo Il trucco egrave di scrivere

1(1199092 +1)2 = 1+1199092 minus1199092

(1199092 + 1)2 = 11199092 + 1 minus 1199092

(1199092 + 1)2

Una primitiva del primo addendo egrave nota esaminiamo il secondo integrando per partiprendiamo 120593(119909) = 1199092 come fattore finito e 120595(119909) = 2119909(1199092 + 1)2 come fattore diffe-renziale Infatti una primitiva di 120595 egrave Ψ(119909) = minus1(1199092 + 1) percheacute al numeratore crsquoegrave laderivata di 119909 ↦ 1199092 +1 Dunque

int119909 1199052

2119905(1199052 + 1)2 119889119905 = 119909

2minus1

1199092 + 1 + 12 int

119909 11199052 +1 119889119905 = minus 119909

2(1199092 + 1) + 12 arctan119909

come si puograve controllare derivando e per la primitiva che stavamo cercando

int119909 1(1199052 + 1)2 119889119905 = int

119909 11199052 + 1 119889119905 minusint

119909 11990521199052 + 1 119889119905

= arctan119909minus (minus 1199092(1199092 + 1) + 1

2 arctan119909)

= 12( 119909

1199092 +1 + arctan119909)

Per le potenze superiori ci si deve armare di pazienza e ripetere il trucco piugrave volteOppure consultare httpintegralswolframcom dove si possono ottenere tuttigli integrali che si desiderano (quasi)

69 integrali e aree

Consideriamo un triangolo rettangolo prendiamo la retta di uno dei cateti come assedelle ascisse come origine il vertice dellrsquoangolo non retto Stabiliamo che i versi positividellrsquoasse delle ascisse e delle ordinate siano in modo che il vertice dellrsquoaltro angolo nonretto sia nel primo quadrante La retta che passa per i due vertici degli angoli non rettiavragrave cosigrave equazione

119910 = 119887119886119909

140 integrali

se con 119886 indichiamo la misura del cateto sullrsquoasse delle ascisse e con 119887 la misuradellrsquoaltro cateto Allora

int119886

0

119887119886119905119889119905 = 119887

119886[11990522 ]

119905=119886

119905=0= 119887

1198861198862

2 = 12119886119887

come era facile attendersiQual egrave il succo di questo discorso Che nei casi in cui lrsquoarea egrave facilmente definibile

cioegrave per i poligoni lrsquointegrale fornisce esattamente lo stesso risultato A questo puntoil passo egrave quasi ovvio invece di lunghe contorsioni per definire in modo lsquogeometricorsquolrsquoarea delle figure delimitate da curve usiamo lrsquointegrale

Supponiamo per esempio di voler calcolare lrsquoarea della parte di piano delimitatadalle due parabole di equazioni

119910 = 51199092 119910 = minus31199092 + 2

Le due parabole si incontrano nei punti di coordinate

(minus12 54) (1

2 54)

e un semplice raffronto mostra che lrsquoarea deve essere la differenza degli integrali

int12

minus12(minus31199052 + 2)119889119905 minusint

12

minus1251199052 119889119905 = int

12

minus12(minus81199052 + 2)119889119905

= [minus811990533 + 2119905]

119905=12

119905=minus12

= (13 minus 1)minus (minus1

3 + 1)

= 23

come si potrebbe calcolare anche dalla formula di Archimede Giagrave che ci siamo ve-diamo che anchrsquoessa funziona Lrsquoarea del settore definito sulla parabola di equazione119910 = 1198861199092 (con 119886 gt 0) dai punti (1199011198861199012) e (1199021198861199022) con 119901 lt 119902 egrave la differenza tra lrsquoarealdquosotto la rettardquo e quella ldquosotto la parabolardquo naturalmente delimitate entrambe dallrsquoassedelle ascisse Lrsquoarea ldquosotto la rettardquo egrave calcolabile senza integrali dal momento che lafigura egrave un poligono in particolare un trapezio rettangolo

12(1198861199012 +1198861199022)(119902 minus 119901)

mentre quella ldquosotto la parabolardquo egrave per definizione

int119902

1199011198861199052 119889119905 = [1198861199053

3 ]119905=119902

119905=119901= 119886

3 (1199023 minus1199013)

La differenza egrave dunque

1198866 (119902 minus 119901)( 3(1199012 +1199022) minus 2(1199022 +119901119902+1199012)) = 119886

6 (119902minus 119901)3

esattamente come calcolato in precedenzaAbbiamo giagrave visto come lrsquointegrale fornisca il valore ldquocorrettordquo per lrsquoarea del cerchio

non solo anche il procedimento che ha dimostrato lrsquoesistenza dellrsquointegrale si basa-va sullrsquoidea dellrsquoesaustione Dunque egrave perfettamente sensato definire lrsquoarea tramitelrsquointegrale e dimenticarsi di tutti i complicati procedimenti per calcolare aree strane

610 integrali impropri 141

Non egrave difficile generalizzare lrsquoesempio precedente diamo la regola pratica suppo-nendo di dover calcolare lrsquoarea compresa tra archi di curve esprimibili come grafici difunzioni Si numerano i punti di intersezione come

1198600(11990901199100) 1198601(11990911199101) hellip 119860119899minus1(119909119899minus1119910119899) 119860119899 = 1198600

girando attorno alla regione di piano in senso orario Chiamiamo 119891119896 (119896 = 1hellip 119899)la funzione il cui grafico costituisce il ldquolatordquo della figura da 119860119896minus1 a 119860119896 Allora lrsquoarearichiesta si ottiene con

int1199091

11990901198911(119905)119889119905 + int

1199092

11990911198912(119905)119889119905 +⋯+int

119909119899

119909119899minus1119891119899(119905)119889119905

Se per caso fra i ldquolatirdquo della figura ci fossero segmenti verticali lrsquointegrale non avrebbesenso e semplicemente lo si omette Si noti che certamente alcuni di quegli integralisaranno su intervalli ldquorovescirdquo ma questo non ci dagrave alcun problema

Facciamo un esempio Sono date 119891(119909) = log119909 e 119892(119909) = 1199092 e si vuole calcolare lrsquoareadeterminata dalle due curve dallrsquoasse delle ascisse e dalla retta di equazione119910 = 3minus2119909I punti da considerare sono 1198600(0 0) 1198601(1 1) 1198602(119903 3 minus 2119903) e 1198603(1 0) con 1198604 = 1198600Qui 119903 egrave la soluzione dellrsquoequazione log119909 = 3minus 2119909 La regola pratica dice dunque chelrsquoarea cercata egrave

int1

01199052 119889119905 +int

119903

1(3 minus 2119905)119889119905 + int

1

119903log 119905119889119905 + int

0

10119889119905

e calcoleremo gli integrali uno alla volta (escluso naturalmente lrsquoultimo)

int1

01199052 119889119905 = 1

3

int119903

1(3 minus 2119905)119889119905 = [ 3119905 minus 1199052] 119905=119903

119905=1= (3119903minus 1199032) minus (3 minus 1) = 3119903minus 1199032 minus 2

int1

119903log 119905119889119905 = [ (119905 minus 1) log 119905]119905=1

119905=119903= minus(119903minus 1) log119903 = minus(119903minus 1)(3 minus 2119903)

Perciograve lrsquoarea richiesta egrave

13 + 3119903minus 1199032 minus 2minus 3119903+ 3+ 21199032 minus 2119903 = 1199032 minus2119903+ 4

3

Se invece lrsquoarea da calcolare egrave quella delimitata dai grafici delle due funzioni e dallerette di equazioni 119909 = 1 e 119909 = 2 si puograve fare allo stesso modo i punti sono 1198600(1 1)1198601(2 4) 1198602(2 log2) 1198603(1 0) e 1198604 = 1198600 Lrsquoarea egrave dunque

int2

11199052 119889119905 +int

1

2log 119905119889119905 = [ 11990533] 119905=2

119905=1+ [ 119905(log 119905 minus 1)] 119905=1

119905=2

= (83 minus 1

3)+ (minus1minus 2 log2 + 2)

= 103 minus 2 log2

610 integrali impropri

In certi casi succede un fatto curioso consideriamo la funzione 119891(119909) = 1radic119909 che egravedefinita in (0 rarr) e fissiamo 119909 con 0 lt 119909 lt 1 allora

119865(119909) = int1

119909

1radic119905

119889119905 = [2radic119905]119905=1119905=119909

= 2minusradic119909

e lim119909rarr0 119865(119909) = 2 Intuitivamente lrsquoarea sottostante la curva 119910 = 1radic119909 compresa tralrsquoasse delle ordinate lrsquoasse delle ascisse e la retta di equazione 119909 = 1 egrave ldquofinitardquo pur se la

142 integrali

figura non egrave limitata nel piano Dobbiamo prendere molto sul serio questa asserzioneNo ma possiamo semplicemente definire

int1

0

1radic119905

119889119905 = lim119909rarr0

int1

119909

1radic119905

119889119905

senza preoccuparci di darne una ldquogiustificazione geometricardquo

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione continua nellrsquointervallo (119886 119887] Se esistefinito il

lim119909rarr119886

int119887

119909119891(119905)119889119905

allora si dice che lrsquointegrale improprio int119887119886 119891(119905)119889119905 converge e si pone

int119887

119886119891(119905)119889119905 = lim

119909rarr119886int

119887

119909119891(119905)119889119905

Analoga definizione si dagrave per una funzione continua in [119886 119887) Egrave chiaro da quantoabbiamo visto che se per caso 119891 egrave continua su [119886 119887] allora di sicuro

int119887

119886119891(119905)119889119905 = lim

119909rarr119887int

119909

119886119891(119905)119889119905

(finito) percheacute sotto il limite crsquoegrave proprio la funzione integrale che egrave derivabile e quindicontinua Analogamente per il limite verso lrsquoestremo sinistro dellrsquointervallo Quindi ledue nozioni non danno risultati diversi quando la funzione sia effettivamente continuain [119886 119887] oppure anche sia definita e continua in [119886 119887) e lim119909rarr119887 119891(119909) sia finito

Consideriamo ora 119891(119909) = exp(minus119909) che consideriamo definita su [0 rarr) allora

lim119909rarr+infin

int119909

0exp(minus119905)119889119905 = lim

119909rarr+infin[ minus exp(minus119905)] 119905=119909

119905=0

= lim119909rarr+infin

(minus exp(minus119909) + exp0) = 1

e ci ritroviamo in una situazione del tutto simile a prima Anche qui daremo la defini-zione di integrale improprio

d e f i n i z i o n e Sia 119891 una funzione continua nellrsquointervallo [119886 rarr) se esistefinito il

lim119909rarr+infin

int119909

119886119891(119905)119889119905

allora si dice che lrsquointegrale improprio int+infin119886 119891(119905)119889119905 converge e si pone

int+infin

119886119891(119905)119889119905 = lim

119909rarr+infinint

119909

119886119891(119905)119889119905

In molti casi non egrave possibile calcolare esplicitamente un integrale ma nel caso difunzioni continue su un intervallo chiuso sappiamo comunque che ha un certo valoreSi possono usare criteri di vario tipo per determinare se un integrale improprio conver-ge Ne enunceremo uno molto utile e spesso conclusivo lrsquoenunciato saragrave per funzionicontinue su [119886 rarr) ma vale anche per gli integrali impropri ldquoal finitordquo come si puogravevedere per esercizio apportando le dovute modifiche alla dimostrazione La scrittura119891 le 119892 significa 119891(119909) ge 119892(119909) per ogni 119909 del dominio di 119891 e 119892 che si suppone uguale0 le 119891 significa dunque che 119891(119909) ge 0 per ogni 119909 del dominio di 119891 (con 0 denotiamoanche la funzione costante nulla)

610 integrali impropri 143

t e o r ema Siano 119891 e 119892 funzioni continue su [119886 rarr) tali che 0 le 119891 le 119892 Se

int+infin

119886119892(119905)119889119905

converge allora converge anche

int+infin

119886119891(119905)119889119905

Le funzioni integrali 119865(119909) = int119909119886 119891(119905)119889119905 e 119866(119909) = int119909119886 119892(119905)119889119905 sono crescenti e per ledisuguaglianze tra gli integrali si ha

119865(119909) le 119866(119909)

Siccome per ipotesi lim119909rarr+infin 119866(119909) egrave finito 119865 egrave limitata e perciograve necessariamente anchelim119909rarr+infin 119865(119909) egrave finito

Nel caso in cui la funzione 119891 sia continua su (119886 rarr) daremo un senso anche allascrittura int+infin

119886 119891(119905)119889119905 ma solo quando entrambi i limiti

lim119909rarr119886

int119886+1

119909119891(119905)119889119905 e lim

119909rarr+infinint

119909

119886+1119891(119905)119889119905

esistono finiti e lrsquointegrale improprio saragrave la somma dei due limiti Al posto di 119886+1 sipuograve ovviamente usare qualsiasi 119887 isin (119886 rarr)

Vediamo un esempio abbastanza bizzarro lrsquointegrale su (0 rarr) di 119891(119909) = (sin119909)119909 conver-ge Per

int1205872

0

sin 119905119905 119889119905

il problema non si pone dal momento che 119891 puograve essere estesa a una funzione continua su[0 1205872] Dunque ci rimane lrsquointegrale sulla parte illimitata che studieremo integrando perparti

int119909

1205872

sin 119905119905 119889119905 = [(minus cos 119905)1119905 ]

119905=119909

119905=1205872minusint

119909

1205872(minus cos 119905)minus1

1199052 119889119905

= minus cos119909119909 +int

119909

1205872

minus cos 1199051199052 119889119905

Ci serve dunque calcolare il limite dellrsquointegrale che rimane Consideriamo

minus cos 1199051199052 = minus 1

1199052 + 1minus cos 1199051199052

Sappiamo che int+infin1205872 (11199052)119889119905 converge quindi ci basteragrave vedere che converge

int+infin

1205872

1minus cos 1199051199052 119889119905

Ora si ha 0 le (1 minus cos 119905)1199052 le 21199052 dal momento che 1 minus cos 119905 le 2 Per il teorema sullaconvergenza abbiamo allora che siccome int+infin

1205872 (21199052)119889119905 converge converge anche lrsquointegrale checi interessa

Dirichlet dimostrograve che int+infin0 (sin 119905)119905119889119905 = 1205872 La funzione

Si119909 = int119909

0

sin 119905119905 119889119905

ha proprietagrave molto interessanti e si chiama lsquoseno integralersquo Quanto dimostrato da Dirichletequivale a dire che lim119909rarr+infin Si119909 = 1205872 ed egrave immediato verificare che lim119909rarrminusinfin Si119909 = minus1205872

Per il teorema fondamentale si ha Siprime 119909 = (sin119909)119909 e quindi la derivata si annulla nei punti119896120587 per 119896 intero 119896 ne 0 La derivata seconda egrave

SiPrime 119909 = 119909 cos119909minus sin1199091199092

144 integrali

e conviene usare questa per stabilire quali siano i punti di massimo e di minimo di Si Infattiper 119896 = 2119899 pari (119899 ne 0) si ha

SiPrime(2119899120587) = 2119899120587 cos(2119899120587)minus sin(2119899120587)(2119899120587)2 = 1

2119899120587 gt 0

mentre per 119896 = 2119899+ 1 dispari si ha

SiPrime((2119899+ 1)120587) = (2119899+ 1)120587 cos((2119899+ 1)120587) minus sin((2119899+ 1)120587)((2119899+ 1)120587)2 = minus 1

(2119899+ 1)120587 lt 0

Dunque Si egrave convessa in un intorno dei punti 2119899120587 (119899 ne 0) e concava in un intorno dei punti(2119899+ 1)120587 quindi i primi sono punti di minimo i secondi punti di massimo In 0 crsquoegrave un flesso

SiPrime 0 = lim119909rarr0

SiPrime 119909 = lim119909rarr0

119909 cos119909minus sin1199091199092

H= lim119909rarr0

119909 sin1199092119909 = lim

119909rarr0

sin1199092 = 0

Gli altri flessi sono le soluzioni non nulle di tan119909 = 119909 Il grafico attraversa ciascuno dei dueasintoti infinite volte

611 la funzione gamma

Ci proponiamo di vedere che per ogni 119911 gt 0 lrsquointegrale

int+infin

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

converge La funzione 119891119911(119909) = 119909119911minus1 exp(minus119909) egrave continua in (0 rarr) e positiva Spez-ziamo in due lrsquointegrale improprio

int1

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905 + int

+infin

1119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

e valutiamo la convergenza separatamente Vediamo il secondo dando una maggiora-zione se 119899 egrave un intero con 119899 gt 119911minus 1 abbiamo per 119909 ge 1

119909119911minus1 exp(minus119909) le 119909119899 exp(minus119909)

e quindi ci basta dimostrare che

int+infin

1119905119899 exp(minus119905)119889119905

converge Dimostriamo per induzione su 119899 che una primitiva della funzione 119892119899(119909) =119909119899 exp(minus119909) egrave della forma 119866119899(119909) = 119875119899(119909) exp(minus119909) dove 119875119899 egrave un polinomio di grado alpiugrave 119899 Lrsquoasserzione egrave vera per 119899 = 0 infatti 1198660(119909) = (minus1) exp(minus119909) Ora calcoliamoper parti

int119909119905(119905119899 exp(minus119905))119889119905 = 119909119875119899(119909) exp(minus119909) minusint

119909119875119899(119905) exp(minus119905)119889119905

e esplicitando 119875119899 possiamo usare lrsquoipotesi induttiva su tutti gli addendi che si ot-tengono Quindi una primitiva di 119909 ↦ 119875119899(119909) exp(minus119909) egrave una funzione del tipo 119909 ↦119876119899(119909) exp(minus119909) con 119876119899 polinomio di grado al piugrave 119899 e in definitiva

int119909119905119899+1 exp(minus119905)119889119905 = (119909119875119899(119909) minus119876119899(119909)) exp(minus119909)

611 la funzione gamma 145

come si desiderava Adesso possiamo calcolare il limite

int+infin

1119905119899 exp(minus119905)119889119905 = lim

119909rarr+infinint

119909

1119905119899 exp(minus119905)119889119905

= lim119909rarr+infin

[119875119899(119905)exp 119905 ]

119905=119909

119905=1

= lim119909rarr+infin

119875119899(119909)exp119909 minus 119875119899(1)

119890

= minus119875119899(1)119890

percheacute lim119909rarr+infin 119909119896 exp119909 = 0 per ogni 119896 gt 0 come si vede applicando 119896 volte il teo-rema di lrsquoHocircpital Naturalmente questo prova anche che 119875119899(1) lt 0 ma non ha alcunaimportanza

Affrontiamo lrsquoaltro integrale per 119911 ge 1 la funzione 119909 ↦ 119909119911minus1 exp(minus119909) egrave definita econtinua in [0 1] quindi lrsquointegrale non ci dagrave alcun problema Il caso dubbio quindiegrave quello di 0 lt 119911 lt 1 Ma in tal caso per 119909 isin (0 1) si ha

119909119911minus1 exp(minus119909) le 119909119911minus1

e abbiamoint

1

0119905119911minus1 119889119905 = lim

119909rarr0119905119911minus1 119889119905 = lim

119909rarr0[119905119911119911 ]

119905=1

119905=119909= lim

119909rarr01 minus 119909119911

119911 = 1

e quindi anche il nostro integrale converge Secondo la notazione introdotta da Adrien-Marie Legendre (1752ndash1833) si pone

Γ(119911) = int+infin

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

Per 119911 = 1 lrsquointegrale egrave facile

Γ(1) = int+infin

0exp(minus119905)119889119905 = 1

Per fare i conti scriviamo anche

Γ(119911119909) = int119909

0119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

che consideriamo come funzione di 119909 per definizione lim119909rarr+infin Γ(119911119909) = Γ(119911) Suppo-niamo 119911 ge 1 e proviamo a integrare per parti

int119909

0119905119911 exp(minus119905)119889119905 = [ minus119905119911 exp(minus119905)]119905=119909

119905=0+int

119909

0119911119905119911minus1 exp(minus119905)119889119905

= minus119909119911 exp(minus119909) + 119911Γ(119911119909)

Passando al limite per 119909 rarr +infin otteniamo

Γ(119911 + 1) = int+infin

0119905119911 exp(minus119905)119889119905 = lim

119909rarr+infin(minus119909119911 exp(minus119909) + 119911Γ(119911119909)) = 119911Γ(119911)

percheacute il primo addendo nel limite va a 0 Questa egrave chiamata la relazione funzionaledella funzione gamma

Γ(119911 + 1) = 119911Γ(119911)

Noi lrsquoabbiamo verificata solo per 119911 ge 1 ma si puograve vedere (con due limiti invece di uno)anche per 0 lt 119911 lt 1 In particolare si ha

Γ(1) = 1 = 0 Γ(2) = 1Γ(1) = 1 sdot 0= 1 Γ(3) = 2Γ(2) = 2 sdot 1= 2

146 integrali

e piugrave in generale Γ(119899 + 1) = 119899 e questa egrave una delle proprietagrave che rendono moltointeressante la funzione gamma

La relazione funzionale puograve essere usata per estendere la funzione stessa se minus1 lt119911 lt 0 abbiamo 0 lt 119911+ 1 lt 1 e possiamo porre per definizione

Γ(119911) = Γ(119911 + 1)119911

ma naturalmente non possiamo farlo per 119911 = minus1 neacute per 119911 = 0 infatti per 119911 = minus1abbiamo che Γ(119911 + 1) non ha senso e per 119911 = 0 non ha senso la frazione (nemmenocon un passaggio al limite percheacute Γ(1) = 1)

Se minus2 lt 119911 lt minus1 possiamo usare la stessa relazione e procedere allo stesso mododefinendo Γ su tutti i numeri negativi purcheacute non interi

La funzione Γ egrave anche legata a 120587 consideriamo

Γ(12119909) = int119909

0119905minus12 exp(minus119905)119889119905

= (hellip)[119906 = 11990512 119905 = 1199062 119889119905 = 2119906119889119906]

= 2intradic119909

0exp(minus1199062)119889119906

e perciograve

Γ(12) = int+infin

0119905minus12 exp(minus119905)119889119905 = 2int

+infin

0exp(minus1199062)119889119906 = 2radic120587

2 = radic120587

Crsquoegrave anche un interessante legame con la funzione zeta di Riemann per 119911 gt 1 si ha

120577(119911)Γ(119911) = int+infin

0

119905119911119890119905 minus1 119889119905

che non proveremo nemmeno a dimostrare

612 integrazione numerica

La stessa dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquooperatore Int ci permette di ottenere valoriapprossimati di un integrale Tuttavia ha un grave limite occorrerebbe calcolare inogni sottointervallo di una suddivisione il valore minimo e massimo della funzioneEgrave chiaro che questo egrave un ostacolo troppo grande percheacute renderebbe i calcoli davverocomplicati La valutazione numerica degli integrali parte dalla seguente osservazionenon occorre conoscere il massimo e il minimo Vediamo percheacute

Data una suddivisione 119878 dellrsquointervallo [119886 119887] che pensiamo data come 119886 = 1199090 lt1199091 lt ⋯ lt 119909119899minus1 lt 119909119899 = 119887 consideriamo per 119895 = 1 2hellip 119899 un numero 119911119895 isin [119909119895minus1 119909119895]Avremo perciograve 1199111 le 1199112 le hellip le 119911119899 e possiamo eseguire la seguente operazione

Ψ119878119885(119891) = (1199091 minus1199090)119891(1199111) + (1199092 minus1199091)119891(1199112) +⋯+ (119909119899 minus119909119899minus1)119891(119911119899)

dove con 119885 denotiamo la successione 1199111 le hellip le 119911119899 Siccome per definizione si ha conle stesse notazioni usate nella dimostrazione dellrsquoesistenza dellrsquooperatore integrale

1198981198781 le 119891(1199111) le 1198721198781 1198981198782 le 119891(1199112) le 1198721198782 hellip 119898119878119899 le 119891(119911119899) le 119872119878119899

avremo dunque120590119878(119891) le Ψ119878119885(119891) le Σ119878(119891)

Poicheacute per suddivisioni abbastanza fitte la differenza Σ119878(119891) minus 120590119878(119891) diventa minoredi qualsiasi tolleranza prefissata possiamo usare Ψ119878119885(119891) come valore approssimatodellrsquointegrale

612 integrazione numerica 147

Il metodo che viene subito alla mente egrave quello cosiddetto dei rettangoli si scegliesempre 119911119895 = 119909119895 Vediamo che succede con una suddivisione in quattro parti tanto pernon complicare troppo i conti

Ψ119878+(119891) = (1199091 minus1199090)119891(1199091) + (1199092 minus1199091)119891(1199092) + (1199093 minus1199092)119891(1199093) + (1199094 minus1199093)119891(1199094)

Con + indichiamo questa particolare scelta di 119911119895 Non egrave difficile arrivare alla formulagenerale

Ψ119878+(119891) =119899

sum119895=1

(119909119895 minus119909119895minus1)119891(119909119895)

Egrave chiaro che lrsquoapprossimazione cosigrave ottenuta saragrave per difetto se la funzione egrave decre-scente in [119886 119887] e per eccesso se 119891 egrave crescente Egrave chiaro anche che si puograve fare lascelta opposta cioegrave di considerare sempre 119911119895 = 119909119895minus1 proviamo a vedere come diventala formula nel caso di quattro punti

Ψ119878minus(119891) = (1199091 minus1199090)119891(1199090) + (1199092 minus1199091)119891(1199091) + (1199093 minus1199092)119891(1199092) + (1199094 minus1199093)119891(1199093)

e in generale

Ψ119878minus(119891) =119899

sum119895=1

(119909119895 minus119909119895minus1)119891(119909119895minus1)

Se prendiamo la media di queste due approssimazioni in molti casi otteniamo unrsquoap-prossimazione migliore egrave il cosiddetto metodo dei trapezi si cerchi di capire il percheacutedel nome Avremo

119868(1)119878 (119891) =119899

sum119895=1

(119909119895 minus119909119895minus1)119891(119909119895minus1) + 119891(119909119895)

2

Vediamo un esempio il calcolo di 120587 con questo metodo Sapendo che

1205874 = int

1

0

11 +1199092 119889119909

suddividiamo lrsquointervallo [0 1] in quattro parti uguali facendo una tabella dei valoriche ci servono

119909119895 119891(119909119895) (119891(119909119895minus1 +119891(119909119895))2

119895 = 0 000 100000000000000000000119895 = 1 025 094117647058823529411 097058823529411764705119895 = 2 050 080000000000000000000 087058823529411764705119895 = 3 075 064000000000000000000 072000000000000000000119895 = 4 100 050000000000000000000 057000000000000000000

Ne deriviamo il valore approssimato

1205874 asymp 078279411764705882352

cioegrave 120587 asymp 313117647058823529408 che non egrave molto buono Se ripetiamo il contodividendo in otto parti otteniamo

1205874 asymp 078474712362277225232

che darebbe 120587 asymp 313898849449108900928 ancora lontano dal valore lsquoverorsquo Dividen-do in venti parti uguali avremmo 1205874 asymp 078529399673853211585 che corrisponde a

148 integrali

120587 asymp 314117598695412846340 con sole tre cifre decimali esatte Per calcoli del genereun foglio di lavoro egrave molto utile con cento parti avremmo 1205874 asymp 314157598692313quattro cifre decimali esatte

Se proviamo con lrsquointegrale int21 (1119909)119889119909 con la divisione in cento parti abbiamolog2 asymp 0693153430481824 che ha quattro cifre decimali esatte Egrave chiaro che lrsquoappros-simazione egrave tantomigliore quantomeno il grafico della funzione si discosta poco fra unpunto e lrsquoaltro della suddivisione dal segmento che congiunge i punti (119909119895minus1 119891(119909119895minus1))e (119909119895 119891(119909119895))

Quando decidiamo di suddividere lrsquointervallo [119886 119887] in 119899 parti uguali la formula sisemplifica parecchio infatti 119909119895 minus119909119895minus1 = (119887minus 119886)119899 e quindi avremo

119868(1)119878 (119891) = 119887minus119886119899 (119891(119886) + 119891(119887)

2 +119899minus1

sum119895=1

119891( 119886+ 119887minus119886119899 119895))

Si scriva questa somma nel caso di 119899 = 4 per convincersene tutti i termini del tipo119891(119909119895) compaiono due volte tranne quello con 119895 = 0 e 119895 = 119899 In questo caso abbiamoanche ponendo 119896 = (119887minus 119886)119899

Ψ119878minus(119891) = 119896119899minus1

sum119895=0

119891(119886+ 119895119896)

e quindi

119868(1)119878 (119891) minusΨ119878minus(119891) = 119896119891(119887) minus 119891(119886)2 = Ψ119878+(119891) minus 119868(1)119878 (119891)

che mostra come non si ha un grande guadagno usando questo metodo invece di quellodei rettangoli Naturalmente un trucco efficiente per usarlo egrave di raddoppiare i puntidella suddivisione in modo da non dover buttar via i dati giagrave raccolti dovendo calcolaresolo i valori di 119891 nei punti di mezzo degli intervalli precedenti

7SER I E

Il concetto di serie egrave entrato nella matematica molto tempo fa dapprima in modo con-fuso e impreciso lrsquoidea era di eseguire somme di infiniti termini costruiti in modolsquouniformersquo Newton basograve i suoi metodi di lsquocalcolo delle fluenti e delle flussionirsquo cioegrave cal-colo di derivate e integrali proprio sulle serie uno dei suoi attrezzi era per esempiola serie binomiale che incontreremo piugrave avanti Fin dallrsquoantichitagrave ci si era accorti che lesomme 1

2 + 14 +⋯+ 1

2119899

si avvicinano sempre piugrave a 1 Uno dei famosi paradossi di Zenone si basava proprio suquesto il corridore non puograve arrivare al traguardo percheacute deve percorrere metagrave dellapista poi la metagrave della metagrave poi ancora la metagrave di ciograve che resta e cosigrave via Archimedeavrebbe risolto la questione dimostrando che qualsiasi distanza gli avesse propostoZenone il corridore avrebbe percorso piugrave di quella distanza in un tempo finito e dun-que sarebbe arrivato al traguardo percheacute egrave impossibile che non ci arrivi Dal punto divista strettamente matematico le questioni filosofiche di Zenone sono irrilevanti lrsquoim-portante egrave che un concetto sia definito con precisione e venga usato con le regole dellalogica e della matematica che non tratta di stadi di corridori di Achille e di tartarugheDal punto di vista filosofico i paradossi di Zenone sullrsquoimpossibilitagrave del moto si risol-vono come fece il filosofo Diogene mettendosi a camminare Solvitur ambulando erauno dei modi di dire dei filosofi posteriori per indicare un problema solo apparente

71 integrali e successioni

Abbiamo dimostrato che definendo per induzione

1198860 = 0 119886119899+1 = 119886119899 + 1119899+ 1

la successione 119886 non converge Curiosamente se invece di sommare sempre il termineseguente alternativamente sommiamo e sottraiamo la successione che risulta convergese

1198870 = 0 119887119899+1 = 119887119899 + (minus1)119899119899+ 1

allora la successione 119887 converge a log2 i primi termini sono

0 1 1 minus 12 1 minus 1

2 + 13

e cosigrave via Consideriamo lrsquoidentitagrave

1minus 119905119899+1

1 minus 119905 = 1+ 119905+ 1199052 +⋯+ 119905119899

(valida per 119905 ne 1) che possiamo anche scrivere

11minus 119905 = 1+ 119905+ 1199052 +⋯+ 119905119899 + 119905119899+1

1 minus 119905oppure cambiando 119905 in minus119905

11 + 119905 = 1minus 119905+ 1199052 minus 1199053 +⋯+ (minus1)119899119905119899 + (minus1)119899+1119905119899+1

1 + 119905

Se proviamo a calcolare lrsquointegrale su [0 1] di ambo i membri otteniamo ricordandoche

int1

0119905119899 119889119905 = 1

119899+ 1

149

150 serie

e cheint

1

0

11+ 119905 119889119905 = [log(1 + 119905)] 119905=1

119905=0= log2

la nuova identitagravelog2 = 119887119899 +int

1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1 + 119905 119889119905

Se dimostriamo chelim

119899rarr+infinint

1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1+ 119905 119889119905 = 0

avremo proprio la nostra tesi Ora

|int1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1+ 119905 119889119905| le int1

0| 119905

119899+1

1+ 119905|119889119905

e la funzione da integrare a destra egrave non negativa Siccome 1+119905 ge 119905 quando 119905 isin [0 1]possiamo scrivere le disuguaglianze

0 le 119905119899+1

1 + 119905 le 119905119899+1

119905 = 119905119899

e perciograve

0 le |int1

0

(minus1)119899+1119905119899+1

1 + 119905 119889119905| le int1

0119905119899 119889119905 = 1

119899+ 1

Quindi possiamo concludere per il teorema sul confronto dei limiti dal momento chelim119899rarr+infin 1(119899 + 1) = 0 Basta infatti ricordare che da lim119911rarr119909|119891(119911)| = 0 segue chelim119911rarr119909 119891(119911) = 0

La convergenza della successione 119887 a log2 fu lsquodimostratarsquo per la prima volta da Niko-laus Kauffmann (1620ndash1687) piugrave noto come Mercator (non va confuso con il cartografo)La lsquodimostrazionersquo di Mercator era ovviamente diversa e non rigorosa

Limiti di successioni come questa si indicano spesso come lsquosomme infinitersquo

log2 = 1minus 12 + 1

3 minus 14 +⋯

quando naturalmente sia chiaro quali sono i termini che seguono o piugrave propriamentequando sia data la formula ricorsiva della successione

Unrsquoaltra lsquosomma infinitarsquo era stata giagrave scoperta da Mengoli

1 + 13 + 1

6 + 110 +⋯

cioegrave la lsquosommarsquo dei reciproci dei numeri triangolari quelli della forma 119899(119899+1)2 bennoti fin dai tempi di Pitagora (Ὁ Πυθαγόρας ὁ Σάμιος 575 aCndash495 aC) La successioneegrave

1198880 = 0 119888119899+1 = 1198880 +2

119899(119899+ 1)che Mengoli trattava in questo modo

2119899(119899+ 1) = 2

119899 minus 2119899+ 1

e quindi la lsquosomma infinitarsquo diventa

21 minus 2

2 + 22 minus 2

3 + 23 minus 2

4 +⋯

e ciascun termine a parte il primo si cancella con il successivo dunque la lsquosommarsquo egrave 2Ovviamente questa non egrave affatto una dimostrazione percheacute non abbiamo la minimaidea di che cosa sia una lsquosomma infinitarsquo

72 altre successioni 151

Unrsquoaltra lsquosomma infinitarsquo calcolata con trucchi molto ingegnosi egrave dovuta a Leibniz

1205874 = 1minus 1

3 + 15 minus 1

7 +⋯

cioegrave la somma a segni alterni dei reciproci dei numeri dispari Possiamo dimostrarlocon un trucco del tutto analogo al precedente nellrsquoidentitagrave per 1(1 minus 119905) poniamo119905 = minus1199062 trovando

11 +1199062 = 1minus1199062 +1199064 minus1199066 +⋯+ (minus1)1198991199062119899 + (minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062

Se integriamo sullrsquointervallo [0 1] lrsquoidentitagrave

1205874 = 119897119899 +int

1

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906 1198971 = 1 119897119899+1 = 119897119899 + (minus1)1198992119899+ 1

ricordando cheint

1

0

11+1199062 119889119906 = [ arctan119906] 119906=1

119906=0= arctan1 = 120587

4

abbiamo esattamente come prima che

lim119899rarr+infin

int1

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906 = 0

e quindi lim119899rarr+infin 119897119899 = 1205874 come lsquodimostratorsquo da Leibniz

72 altre successioni

Consideriamo di nuovo il modo in cui abbiamo calcolato la somma di Leibniz questavolta invece di integrare su [0 1] calcoleremo gli integrali tra 0 e119909 per un119909 qualsiasi

arctan119909 = int119909

0

11 +1199062 119889119906

= int119909

0(1 minus 1199062 +⋯+ (minus1)1198991199062119899)119889119906+int

1

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906

= 119909minus 1199093

3 +⋯+ (minus1)119899 1199092119899+1

2119899+ 1 +int119909

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1 +1199062 119889119906

Il problema qui egrave di nuovo di far tendere a zero lrsquointegrale che rimane in modo che lasuccessione che rimane abbia proprio come limite lrsquoarcotangente

La maggiorazione di prima si puograve ancora calcolare allo stesso modo

|int119909

0

(minus1)119899+11199062119899+2

1+1199062 119889119906| le int|119909|

0

1199062119899+2

1+1199062 119889119906

le int|119909|

0

1199062119899+2

1199062 119889119906

le |119909|2119899+1

2119899+ 1

ma ora crsquoegrave un problema non possiamo dire che

lim119899rarr+infin

|119909|2119899+1

2119899+ 1 = 0

qualunque sia 119909 Infatti per 119886 ge 0

lim119899rarr+infin

119886119899 =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

0 se 0 le 119886 lt 11 se 119886 = 1+infin se 119886 gt 1

152 serie

come egrave facile verificare Perciograve fincheacute minus1 le 119909 le 1 abbiamo che

lim119899rarr+infin

|119909|2119899+1

2119899+ 1 = 0

ma ciograve non egrave piugrave vero per |119909| gt 1 Poco male abbiamo calcolato la lsquosomma infinitarsquo

arctan119909 = 119909minus 1199093

3 + 1199095

5 minus 1199097

7 +⋯ (minus1 le 119909 le 1)

che egrave nota come serie di Gregory da James Gregory (1638ndash1675) Analogamente avremo

log(1 + 119909) = 119909minus 1199092

2 + 1199093

3 minus 1199094

4 +⋯ (minus1 lt 119909 le 1)

Qui non possiamo considerare valida la lsquosommarsquo per 119909 = minus1 percheacute lrsquoidentitagrave da cuipartiamo non ha senso 1(1 + 119905) non egrave definita per 119905 = minus1

Che succede quando |119909| gt 1 Vedremo piugrave avanti che non egrave possibile dare un sensoa quelle somme infinite in questo caso

73 definizione di serie

Molte delle successioni di cui abbiamo trattato la convergenza sono della forma

1198870 = 1198860 119887119899+1 = 119887119899 +119886119899+1

dove 119886 egrave una successionePer esempio la serie di Leibniz si ottiene con 119886119899 = (minus1)119899(2119899+ 1)

d e f i n i z i o n e Si dice che la serie associata alla successione 119886 converge se esistefinito il limite della successione 119886 definita da

1198860 = 1198860 119886119899+1 = 119886119899 +119886119899+1

Se lim119899rarr+infin 119886119899 = 119897 si ponesum119899ge0

119886119899 = 119897

e 119897 si chiama somma della serie di termine generale 119886119899

Abbiamo giagrave visto parecchie serie convergenti

sum119899ge0

(minus1)1198992119899+ 1 = 120587

4

sum119899ge0

(minus1)119899119899 = log2

sum119899ge0

(minus1)1198991199092119899+1

2119899+ 1 = arctan119909 (minus1 le 119909 le 1)

sum119899ge0

(minus1)119899119909119899

119899+ 1 = log(1 + 119909) (minus1 lt 119909 le 1)

sum119899ge1

11198992 = 1205872

6

sum119899ge1

1119899119904 = 120577(119904) (119904 gt 1)

Dellrsquoultima non si puograve scrivere la somma in termini di funzioni lsquonotersquo

73 definizione di serie 153

Ne vediamo subito unrsquoaltra ricordiamo che lo sviluppo di Taylor per la funzioneesponenziale exp egrave

exp119909 = 1+ 1199091 +

1199092

2 +⋯+ 119909119899

119899 + 119877119899(119909)

e che sappiamo scrivere

119877119899(119909) = exp119888119899(119899+ 1)

per un opportuno 119888119899 tra 0 e 119909 qui vogliamo far variare 119899 e quindi varieragrave anche 119888119899 Seconsideriamo 119886119899 = 119909119899119899 (naturalmente ricordando che 1199090 = 1 e 0= 1) ci accorgiamoche siamo proprio nella situazione di prima ma sappiamo che

lim119899rarr+infin

exp119909119899 = 0

e quindi anche lim119899rarr+infin exp119888119899119899= 0 dunque

exp119909 = sum119899ge0

119909119899

119899

senza alcuna limitazione su 119909Possiamo trovare serie analoghe per sin e cos percheacute gli sviluppi di Taylor sono facili

da calcolare essendo sinprime 119909 = cos119909 e cosprime 119909 = minus sin119909 dunque

sin(119899) 0 =⎧⎨⎩

0 se 119899 egrave pari(minus1)119896 se 119899 = 2119896+ 1 egrave dispari

cos(119899) 0 =⎧⎨⎩

0 se 119899 egrave dispari(minus1)119896 se 119899 = 2119896 egrave dispari

Perciograve possiamo scrivere

sin119909 = 119909minus 1199093

3 + 1199095

5 minus 1199097

7 +⋯+ (minus1119896) 1199092119896+1

(2119896 + 1) + 1198772119896+1(119909)

e simile a prima

1198772119896+1(119909) = sin(2119896+2) 119888(2119896 + 2)

quindi il resto ha limite 0 per ogni 119909 Analogamente per il coseno e dunque

sin119909 = sum119896ge0

(minus1)119896 1199092119896+1

(2119896 + 1)

cos119909 = sum119896ge0

(minus1)119896 1199092119896

(2119896)

A questo tipo di serie si dagrave il nome di serie di potenze sono le serie della forma

sum119899ge0

119886119899119909119899

di cui le serie di Gregory di Leibniz generalizzata dellrsquoesponenziale del seno e delcoseno sono casi particolari

154 serie

74 criteri di convergenza

Quando vogliamo vedere se una serie converge la prima cosa da osservare egrave il limitedella successione Useremo il simbolo sum119899ge0 119886119899 anche per indicare la serie indipen-dentemente dal fatto se converga o no ma il segno di uguaglianza o le operazionicoinvolgenti questo simbolo hanno senso solo se prima si sia verificata la convergenza

t e o r ema Se la serie sum119899ge0 119886119899 converge allora lim119899rarr+infin 119886119899 = 0

Se lim119899rarr+infin 119886119899 = 119897 allora anche lim119899rarr+infin 119886119899minus1 = 119897 e quindi da 119886119899 = 119886119899minus 119886119899minus1 segue

lim119899rarr+infin

119886119899 = lim119899rarr+infin

119886119899 minus lim119899rarr+infin

119886119899minus1 = 119897minus 119897 = 0

Va osservato che si tratta di una condizione necessaria abbiamo infatti giagrave dimo-strato che sum119899ge0 1(119899+ 1) non converge

Diremo che due successioni 119886 e 119887 (o le serie che definiscono) sono quasi uguali se119886119899 = 119887119899 per ogni 119899 maggiore di un certo numero 119896 in altre parole se i termini dellesuccessioni sono diversi solo su un insieme finito di naturali

t e o r ema Se le serie sum119899ge0 119886119899 e sum119899ge0 119887119899 sono quasi uguali allora entrambeconvergono o non convergono

Per ipotesi abbiamo 119886119899 = 119887119899 per 119899 gt 119896 Supponiamo che sum119899ge0 119886119899 convergaponiamo 119888 = 1198860 +⋯+119886119896 e 119889 = 1198870 +⋯+119887119896 Allora per 119899 gt 119896

119899 = 119889+119887119896+1 +⋯+119887119899 = (119889minus 119888) + 119888+ 119886119896+1 +⋯+119886119899 = (119889minus 119888) + 119886119899

e dunque lim119899rarr+infin 119899 = (119889minus 119888) + lim119899rarr+infin 119886119899 Ovviamente egrave lo stesso se supponiamoche sum119899ge0 119887119899 converga

Questrsquoultimo teorema permette di essere molto flessibili nella trattazione delle serieper esempio possiamo tranquillamente scrivere che

sum119899ge3

1119899

converge sottintendendo che i termini ldquomancantirdquo sono nulli Anche in vari teoremi cheseguiranno si useragrave la stessa idea ciograve che conta per la convergenza egrave il comportamentoldquoda un certo punto in poirdquo

I teoremi sui limiti ci danno subito varie conseguenze per le serie

t e o r ema Se sum119899ge0 119886119899 e sum119899ge0 119887119899 convergono allora convergono anche le seriesum119899ge0(119886119899 +119887119899) e sum119899ge0(119888119886119899) per ogni numero 119888 inoltre

sum119899ge0

(119886119899 +119887119899) = sum119899ge0

119886119899 + sum119899ge0

119887119899 e sum119899ge0

(119888119886119899) = 119888 sum119899ge0

119886119899

Useremo spesso questo risultato non occorre dare una dimostrazione formale per-cheacute si tratta sempre e solo di limiti la si scriva per esercizio Un risultato da dimostrareegrave invece il seguente

c r i t e r i o d i l e i b n i z Data una successione decrescente 119886 con terminipositivi per la quale valga anche lim119899rarr+infin 119886119899 = 0 la serie

sum119899ge0

(minus1)119899119886119899

converge Inoltre se 119897 egrave la somma si ha

|1198860 minus1198861 +⋯+ (minus1)119899119886119899 minus 119897| le 119886119899+1

74 criteri di convergenza 155

Dalle ipotesi su 119886 segue che per ogni 119899 119886119899 ge 0 (teorema della permanenza del segno edecrescenza) Consideriamo dunque 119887119899 = (minus1)119899119886119899 e le due successioni

119888119899 = 2119899 119889119899 = 2119899+1 = 119888119899 +1198872119899+1 = 119888119899 minus1198862119899+1

Siccome 119889119899 = 119888119899 +1198872119899+1 = 119888119899 minus1198862119899+1 abbiamo che 119889119899 le 119888119899 Inoltre

119888119899+1 = 2119899+2 = 2119899 +1198872119899+1 +1198872119899+2 = 119888119899 + (1198862119899+2 minus1198862119899+1) le 119888119899

Analogamente 119889119899+1 ge 119889119899 Dunque le due successioni sono monotone e limitate quindi hannolimite Se 119897 = lim119899rarr+infin 119888119899 e 119898 = lim119899rarr+infin 119889119899 abbiamo 119898 le 119897 e anche per ogni 119899

119888119899 minus119889119899 ge 119897minus119898

Ma119888119899 minus119889119899 = 2119899 minus 2119899+1 = minus1198872119899+1 = minus(minus1)2119899+11198862119899+1 = 1198862119899+1

Quindi 1198860 ge 1198861 ge 119897 minus 119898 1198862 ge 1198863 ge 119897 minus 119898 e cosigrave via in altre parole 119886119899 ge 119897 minus 119898 per ogni 119899Passando al limite abbiamo

119897 minus119898 le lim119899rarr+infin

119886119899 = 0

e perciograve 119897 le 119898 che insieme a 119897 ge 119898 dagrave 119897 = 119898Adesso si tratta di verificare che data una tolleranza 120576 gt 0 abbiamo |119899 minus 119897| le 120576 quando

119899 gt 119896 per un opportuno 119896 Siccome lim119899rarr+infin 119888119899 = 119897 = lim119899rarr+infin 119889119899 possiamo trovare 119896 tale cheper 119899 gt 119896

|119888119899 minus 119897| le 120576 |119889119899 minus 119897| le 120576

Ma allora per 119899 gt 1198962 abbiamo|119899 minus 119897| le 120576

Rimane da verificare lrsquoultima asserzione Siccome 119897minus119889119899 ge 0 abbiamo 119897minus 119888119899 +1198862119899+1 ge 0 da cui1198872119899 minus 119897 le 1198862119899+1 Analogamente da 119888119899+1 minus 119897 ge 0 deduciamo che

119889119899 +1198872119899+2 minus 119897 ge 0

cioegrave 2119899+1 +1198862119899+2 minus 119897 ge 0 quindi 119897 minus 2119899+1 le 1198862119899+2

Notiamo che una serie che soddisfa queste ipotesi ha una proprietagrave importante lesomme parziali con numero pari di addendi sono approssimazioni per eccesso dellasomma quelle con un numero dispari di addendi sono approssimazioni per difettoIn ogni caso lrsquoerrore che si commette egrave al massimo lrsquoultimo termine trascurato Nonche questo aiuti a scrivere unrsquoapprossimazione decente di 1205874 nel caso della seriedi Leibniz occorrono 5000 termini per ottenere unrsquoapprossimazione con la terza cifradecimale sicuramente esatta

Una somma parziale della serie sum119899ge0 119886119899 egrave ovviamente una delle somme (finite)

119886119899 = 1198860 +1198861 +⋯+119886119899

e un modo spesso usato per dire che la serie converge egrave che la successione delle sommeparziali converge cioegrave la nostra stessa definizione

Crsquoegrave da osservare che non occorre veramente che la successione 119886 sia decrescentebasta che sia quasi decrescente cioegrave che la condizione 119886119899 ge 119886119899+1 valga da un certopunto in poi diciamo per 119899 gt 119896 infatti possiamo sostituire i primi 119896 termini con 119886119896+1e avere una successione decrescente che egrave quasi uguale alla successione data

156 serie

75 serie a termini positivi

In tutta questa sezione supporremo quasi sempre che le successioni 119886 che tratteremoabbiano la proprietagrave 119886119899 ge 0 per ogni 119899 Ma tratteremo anche serie con termini anchenon negativi e il contesto lo chiariragrave Per queste serie ci sono numerosi criteri di con-vergenza Notiamo subito che per una serie di questo tipo la successione delle sommeparziali 119886 egrave crescente e quindi la convergenza equivale alla limitatezza Le chiameremosuccessioni positive se vale 119886119899 gt 0 per ogni 119899

Si potrebbero considerare allo stesso modo le successioni non negative semplice-mente trascurando gli eventuali termini nulli

t e o r ema Siano 119886 e 119887 successioni positive con 119886119899 le 119887119899 per ogni 119899 Se sum119899ge0 119887119899converge anche sum119899ge0 119886119899 converge se sum119899ge0 119886119899 non converge anche sum119899ge0 119887119899 nonconverge

Ci basta vedere che se sum119899ge0 119887119899 converge converge anche sum119899ge0 119886119899 Se 119897 = sum119899ge0 119887119899allora

119886119899 le 119899 le 119897

e quindi 119886 egrave crescente e limitata

Egrave chiaro che questo criterio non dagrave alcuna informazione sulla somma della serierelativa ad 119886 nemmeno conoscendo la somma della serie relativa a 119887 Notiamo ancheche la condizione 119886119899 le 119887119899 puograve valere da un certo punto in poi e il risultato non cambia

Una serie spesso utile per questi confronti egrave la serie geometrica (che non egrave a termininon negativi)

t e o r ema La serie sum119899ge0 119909119899 converge per minus1 lt 119909 lt 1 e si ha

sum119899ge0

119909119899 = 11minus119909

Se |119909| ge 1 la serie sum119899ge0 119909119899 non converge

Conosciamo giagrave lrsquoidentitagrave

1 +119909+⋯+119909119899 = 1minus119909119899+1

1 minus119909

e sappiamo anche che lim119899rarr+infin 119909119899+1 = 0 se e solo se |119909| lt 1 Se |119909| ge 1 egrave falso chelim119899rarr+infin 119909119899 = 0

La serie geometrica fornisce alcuni criteri che spesso sono sufficienti a determinareil carattere di una serie

c r i t e r i o d e l r a p p o r t o Se per la successione positiva 119886 esistono un intero119896 e un numero 119888 lt 1 tali che per ogni 119899 ge 119896

119886119899+1119886119899

le 119888

allora la serie sum119899ge0 119886119899 convergeIn particolare questo accade se lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 = 119897 lt 1

Non egrave restrittivo supporre che 119896 = 0 basta modificare i primi termini della succes-sione cosa che non ha rilevanza sulla convergenza Da 11988611198860 le 119888 segue 1198861 le 1198881198860 da11988621198861 le 119888 segue

1198862 le 1198881198861 le 11988821198860

75 serie a termini positivi 157

Con una facile induzione otteniamo allora

119886119899 le 1198860119888119899

per ogni 119899 La serie sum119899ge0 1198860119888119899 convergePer il teorema della permanenza del segno da lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 = 119897 lt 1 segue che

da un certo punto in poi vale119886119899+1119886119899 le 119897+120576 dove possiamo prendere 0 lt 120576 lt 1minus119897

Il criterio ha una controparte riguardante la non convergenza se esistono un intero119896 e un numero 119888 gt 1 tali che per 119899 ge 119896 sia

119886119899+1119886119899

ge 119888

allora la serie sum119899ge0 119886119899 non converge In particolare questo accade in analogia conquanto visto per la convergenza se lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 gt 1

Vediamo alcuni esempi Per la serie esponenziale sum119899ge0 119909119899119899 (quando 119909 gt 0) si devecalcolare

119909119899+1(119899+ 1)119909119899119899 = 119909

119899+ 1il cui limite per 119899 rarr +infin egrave evidentemente 0 Dunque questo conferma che la serieconverge per ogni 119909 gt 0 Vedremo piugrave avanti che il criterio si puograve applicare anche aserie con termini qualsiasi cioegrave non necessariamente positivi

In alcuni casi il criterio non dagrave risultati conclusivi Per la serie di Mengoli

sum119899ge1

2119899(119899+ 1)

si ha2

(119899+ 1)(119899+ 2)119899(119899+ 1)

2 = 119899119899+ 2

che ha limite 1 e quindi il rapporto non si mantiene neacute ldquosotto 1rdquo neacute ldquosopra 1rdquo impeden-doci di applicare il criterio Tuttavia sappiamo che converge infatti il ragionamento diMengoli diventa ponendo 119886119899 = 2(119899(119899+ 1))

119886119899 = 21 minus 2

2 + 22 minus 2

3 +⋯+ 2119899minus 1 minus 2

119899 + 2119899 minus 2

119899+ 1

= 21 minus 2

119899+ 1

e dunque sum119899ge1 119886119899 = lim119899rarr+infin 119886119899 = 2Si ha lim119899rarr+infin 119886119899+1119886119899 = 1 anche per la serie armonica in cui 119886119899 = 1119899 Ma questa

serie non converge come abbiamo giagrave vistoEsiste un criterio molto simile a quello del rapporto talvolta piugrave facile tecnicamente

da applicare

c r i t e r i o d e l l a r ad i c e Se per la serie positiva sum119899ge0 119886119899 esistono un intero119896 e un 119888 lt 1 tali che per 119899 ge 119896 si abbia

119899radic119886119899 le 119888

allora la serie sum119899ge0 119886119899 converge In particolare ciograve accade se lim119899rarr+infin119899radic119886119899 lt 1

Qui supponiamo che 119896 = 1 (visto che 0radic1198860 non ha senso ma trascurare un termineiniziale non ha alcuna importanza) Allora 1198861 le 119888 1198862 le 1198882 e in generale 119886119899 le 119888119899 ecosigrave possiamo concludere come prima

158 serie

Anche questo ha la controparte sulla non convergenza Egrave chiaro che i due criteri nonsonomolto potenti percheacute confrontano la serie data con una serie geometrica Tuttaviali vedremo allrsquoopera con le serie di potenze dove danno quasi tutte le informazioninecessarie

76 convergenza assoluta

La convergenza assoluta egrave un genere ristretto di convergenza alcune serie non conver-gono assolutamente ma convergono Perograve la convergenza assoluta puograve essere verifica-ta piugrave facilmente e quindi diventa un criterio molto utile

d e f i n i z i o n e La serie sum119899ge0 119886119899 converge assolutamente se converge la seriesum119899ge0|119886119899|

Dobbiamo dimostrare per prima cosa che la convergenza assoluta implica la con-vergenza infatti una volta visto questo potremo adoperare i criteri della sezioneprecedente anche per serie con termini qualsiasi

t e o r ema Se la serie sum119899ge0 119886119899 converge assolutamente allora converge

Dato un numero 119903 poniamo 119903+ = 119903 se 119903 ge 0 altrimenti 119903+ = 0 Analogamente119903minus = minus119903 se 119903 le 0 altrimenti 119903minus = 0 Allora

119903 = 119903+ minus119903minus |119903| = 119903+ +119903minus

Le serie sum119899ge0 119886+119899 e sum119899ge0 119886minus

119899 sono non negative e vale

119886+119899 le |119886119899| 119886minus

119899 le |119886119899|

da cui deduciamo che entrambe convergono percheacute converge sum119899ge0|119886119899| Ora possiamoscrivere

119886119899 = 119886+119899 minus119886minus119899

e quindilim

119899rarr+infin119886119899 = lim

119899rarr+infin119886+119899 minus lim

119899rarr+infin119886minus119899

per i teoremi sui limiti e abbiamo finito

Possiamo dunque usare il criterio del rapporto anche per la serie di Gregory dellrsquoar-cotangente sum119899ge0(minus1)1198991199092119899+1(2119899+ 1) per esempio basta prendere i valori assoluti

lim119899rarr+infin

| (minus1)119899+11199092119899+3

2119899+ 32119899+ 1

(minus1)1198991199092119899+1 | = lim119899rarr+infin

2119899+ 12119899+ 3|119909| = |119909|

e perciograve sappiamo che la serie converge quando |119909| lt 1 e non converge quando |119909| gt 1Non possiamo concludere nulla riguardo alla convergenza per 119909 = minus1 o 119909 = 1 conquesto criterio Analogamente la serie di Mercator (generalizzata)

sum119899ge1

(minus1)119899minus1119909119899

119899

converge assolutamente per |119909| lt 1 e non converge se |119909| gt 1Notiamo una differenza fondamentale tra questo metodo di verifica della conver-

genza e il precedente con il quale avevamo stabilito che le serie di Gregory e Mercatorconvergono rispettivamente a arctan119909 e a log(1 + 119909) (con certe condizioni su 119909) Con

77 serie di potenze 159

il criterio del rapporto stabiliamo solo che la serie converge senza avere alcuna infor-mazione sulla somma In realtagrave questo non egrave un male se abbiamo una successione 119886tale che

lim119899rarr+infin

119899radic|119886119899| = 119897 (finito)

allora la seriesum119899ge0

119886119899119909119899

converge per |119909| lt 119897 se 119897 ne 0 se 119897 = 0 la serie converge per ogni 119909 Quindi possiamodefinire una funzione

119891(119909) = sum119899ge0

119886119899119909119899

che ha come dominio gli intervalli specificatiVediamo altre proprietagrave delle serie assolutamente convergenti le dimostrazioni sono

semplici

1 se sum119899ge0 119886119899 egrave assolutamente convergente anche sum119899ge0 119896119886119899 egrave assolutamente convergen-te

2 se sum119899ge0 119886119899 e sum119899ge0 119887119899 sono serie assolutamente convergenti anche la serie ldquosommardquosum119899ge0(119886119899 +119887119899) egrave assolutamente convergente

3 se sum119899ge0 119886119899 egrave assolutamente convergente allora

| sum119899ge0

119886119899| le sum119899ge0

|119886119899|

77 serie di potenze

Una serie di potenze egrave definita da una successione 119886 considerando

sum119899ge0

119886119899119909119899

che ricorda molto gli sviluppi di Taylor Mostriamo subito una proprietagrave importante

t e o r ema Per la serie di potenzesum119899ge0 119886119899119909119899 vale una e una sola delle condizioniseguenti

1 la serie converge solo per 119909 = 0

2 esiste 119903 gt 0 tale che la serie converge assolutamente per |119909| lt 119903 e non convergeper |119909| gt 119903

3 la serie converge assolutamente per ogni 119909

Dimostriamo che se la serie converge assolutamente per 119909 = 119888 gt 0 e |119887| lt 119888 allorala serie converge assolutamente anche per 119909 = 119887 Infatti

|119886119899119887119899| le |119886119899119888119899|

e quindi possiamomaggiorare la seriesum119899ge0|119886119899119887119899| con la serie convergente (per ipotesi)sum119899ge0|119886119899119888119899|

A questo punto si hanno due casi se lrsquoinsieme dei valori 119888 tali che la serie convergeper 119909 = 119888 egrave illimitato la serie converge per ogni 119909 altrimenti questo insieme egrave limitatoe possiamo prendere come 119903 il suo estremo superiore (che puograve essere 0)

160 serie

Il numero 119903 del teorema precedente si chiama raggio di convergenza e nel caso incui la serie converge per ogni 119909 diremo che il raggio di convergenza egrave +infin Nel seguitoconsidereremo solo serie con raggio di convergenza gt 0 che quindi definiscono unafunzione 119891119886 con dominio (minus119903 119903) (che egrave tutta la retta nel caso 119903 = +infin) Agli estre-mi dellrsquointervallo di convergenza si puograve avere ancora convergenza oppure no comeabbiamo visto per la serie di Gregory e quella di Mercator

Il fatto che una serie di potenze ricordi uno sviluppo di Taylor ci suggerisce cheldquotroncandordquo una serie di potenze si ottenga proprio lo sviluppo di Taylor della funzione119891119886 che quindi dovrebbe avere tutte le derivate in 0 Dimostreremo molto di piugrave lafunzione 119891119886 ha tutte le derivate in ogni punto dellrsquointervallo di convergenza e si ha

119891prime119886(119909) = sum

119899ge1119899119886119899119909119899minus1

cioegrave la derivata si ottiene derivando ciascun termine della serie e considerando la se-rie di potenze che cosigrave si ottiene una volta dimostrato questo il passaggio alle deri-vate successive egrave ovvio La prima cosa da vedere egrave dunque che le serie sum119899ge0 119886119899119909119899 esum119899 119899119886119899119909119899minus1 hanno lo stesso raggio di convergenza Ci basteragrave consideraresum119899 119899119886119899119909119899percheacute la convergenza di una e dellrsquoaltra sono equivalenti Lo si dimostri per esercizio

t e o r ema La serie di potenze sum119899ge0 119886119899119909119899 e sum119899ge1 119899119886119899119909119899minus1 hanno lo stessoraggio di convergenza

Partiamo dalla considerazione di lim119899rarr+infin119899radic119899 = 1 allora fissata la tolleranza 120576 gt 0

esiste 119896 tale che per 119899 gt 119896 si abbia 119899radic119899 le 1 + 120576 cioegrave 119899 le (1 + 120576)119899 Supponiamo cheil raggio di convergenza di sum119899ge0 119886119899119909119899 sia 119903 gt 0 e prendiamo 119909 con |119909| lt 119903 possiamoprendere 120576 gt 0 tale che |119909|(1 + 120576) lt 119903 e perciograve la serie

sum119899ge1

119886119899119909119899(1 + 120576)119899

converge assolutamente Per 119899 gt 119896 abbiamo allora

|119899119886119899119909119899| le |119909119899|(1 + 120576)119899

e quindi abbiamomaggiorato la nostra serie con una serie convergente come volevamoSe per caso 119903 = +infin possiamo prendere 120576 gt 0 del tutto arbitrario

Il viceversa egrave invece molto piugrave facile se sum119899ge1 119899119886119899119909119899 converge assolutamente ab-biamo |119886119899119909119899| le |119899119886119899119909119899| e quindi anche sum119899ge0 119886119899119909119899 converge assolutamente

La serie cosigrave costruita si chiama serie derivata il motivo egrave reso evidente dal prossimoteorema

t e o r ema d i d e r i v a z i o n e d e l l e s e r i e d i p o t e n z e Se la serie dipotenze sum119899ge0 119886119899119909119899 ha raggio di convergenza 119903 gt 0 e 119891119886 egrave la sua somma allora119891119886 egrave derivabile in ogni punto dellrsquointervallo di convergenza e

119891prime119886(119909) = sum

119899ge1119899119886119899119909119899minus1

In particolare 119886119899 = 119891(119899)(0)119899

Si tratta di una dimostrazione piuttosto difficile ma solo per questioni tecniche Vogliamocalcolare prima di tutto il rapporto di Fermat

119907(ℎ) = 119891119886(119909+ℎ) minus 119891119886(119909)ℎ = sum

119899ge1119886119899

(119909 +ℎ)119899 minus119909119899

ℎ

77 serie di potenze 161

Prenderemo 120575 gt 0 tale che [119909 119909 + 120575] sube (minus119903 119903) e se 119909 lt 0 vogliamo anche 119909 + 120575 lt 0 Cilimiteremo a 0 lt ℎ lt 120575 che non egrave restrittivo per calcolare la derivata il caso di ℎ lt 0 si tratta inmodo del tutto analogo e quindi non ci soffermeremo

Nelle ipotesi fatte possiamo scrivere per il teorema di Lagrange

(119909 + ℎ)119899 minus119909119899

ℎ = 119899119910119899minus1119899

dove 119909 lt 119910119899 lt 119909+ℎ Ci serve verificare che

limℎrarr0+

119907(ℎ) = sum119899ge1

119899119886119899119909119899

o che egrave lo stessolim

ℎrarr0+| 119907(ℎ) minus sum

119899ge1119899119886119899119909119899| = 0

Siccome sappiamo esprimere 119907(ℎ) come serie assolutamente convergente sappiamo che

| 119907(ℎ) minus sum119899ge1

119899119886119899119909119899| le | sum119899ge1

119899119886119899(119910119899minus1119899 minus119909119899minus1)|

le sum119899ge1

|119899119886119899(119910119899minus1119899 minus119909119899minus1)|

Ancora per il teorema di Lagrange per 119899 ge 2 esiste 119911119899 isin (119909 119910119899) tale che

119910119899minus1119899 minus119909119899minus1 = (119899minus 1)119911119899minus2(119910119899 minus119909)

quindi abbiamo

|119899119886119899(119910119899minus1119899 minus119909119899minus1)| le |119899(119899minus 1)119886119899119911119899minus2

119899 | sdot ℎ le |119899(119899minus 1)119886119899(119909 + 120575)119899minus2| sdot ℎ

(percheacute |119911119899| le |119909+ 120575| con le ipotesi fatte) La serie di potenze

sum119899ge2

119899(119899minus 1)119886119899119909119899minus2

ha lo stesso raggio di convergenza di quella da cui siamo partiti quindi la serie

sum119899ge2

119899(119899minus 1)119886119899(119909 + 120575)119899minus2

egrave assolutamente convergente se poniamo 119904 = sum119899ge2|119899(119899minus 1)119886119899(119909 + 120575)119899minus2| abbiamo

|119907(ℎ) minus sum119899ge1

119899119886119899119909119899minus1| le 119904ℎ

e dunque prendendo il limite per ℎ rarr 0 abbiamo la tesiPer lrsquoidentitagrave 119886119899 = 119891(119899)

119886 (0) basta quindi derivare successivamente

Data una successione 119886 poniamo

119887119899 = sup119886119898 ∶ 119898 ge 119899

dove questo estremo superiore puograve anche essere +infin La successione 119887119899 egrave decrescente e quindiesiste lim119899rarr+infin 119887119899 (finito o infinito) che si denota con il simbolo

lim sup119899rarr+infin

119886119899

Jacques Hadamard (1865ndash1963) dimostrograve che per il raggio di convergenza 119903 della serie di potenzesum119899ge0 119886119899119909119899 vale

1119903 = lim sup

119899rarr+infin

119899radic|119886119899|

(con lrsquoovvio 119903 = 0 se il limite superiore egrave +infin mentre la serie converge ovunque se il limitesuperiore egrave 0) Nel caso in cui esista 119904 = lim119899rarr+infin

119899radic|119886119899| non egrave difficile vedere che 119903 = 1119904 Ilcriterio del rapporto dagrave spesso il raggio di convergenza senza dover calcolare questi limiti

Il succo di questo egrave che se limsup119899rarr+infin119899radic|119886119899| egrave finito la funzione 119891119886 egrave definita in un intorno

di zero quindi egrave possibile costruire in modo quasi arbitrario funzioni assegnando le derivatesuccessive in 0

162 serie

In modo del tutto analogo al caso della serie derivata possiamo definire la serie pri-mitiva che con dimostrazione del tutto simile ha lo stesso raggio di convergenza laserie primitiva di sum119899ge0 119886119899119909119899 egrave

sum119899ge0

119886119899119899+ 1119909119899+1

e sappiamo dal teorema di derivazione che la somma di questa serie egrave una primitivadi 119891119886 (nellrsquointervallo di convergenza) Potremmo usare questa serie per calcolare valoriapprossimati di integrali che non sappiamo trattare lsquoanaliticamentersquo Per esempio

exp(minus1199092) = 1minus 1199092

1 + 1199094

2 minus 1199096

3 +hellip

e quindi una primitiva di 119909 ↦ exp(minus1199092) egrave

119909minus 1199093

3 sdot 1 +1199095

5 sdot 2 minus1199097

7 sdot 3 +hellip

e per valori lsquopiccolirsquo di 119909 possiamo usare pochi termini per avere un valore approssima-to di int1199090 exp(minus1199052)119889119905

Piugrave importante egrave che siccome le serie che scriveremo convergono ovunque possiamodefinire le funzioni

C(119909) = sum119899ge0

(minus1)1198991199092119899

(2119899)

S(119909) = sum119899ge0

(minus1)1198991199092119899+1

(2119899+ 1)

e dal teorema di derivazione segue che Sprime(119909) = C(119909) e Cprime(119909) = minusS(119909) Inoltre C(0) =1 e S(0) = 0 Dunque abbiamo a disposizione una definizione puramente analiticadelle funzioni trigonometriche

Supponiamo di avere due funzioni 119891 e 119892 definite ovunque e derivabili con le proprietagrave

119891prime(119909) = minus119892(119909) 119892prime(119909) = 119891(119909) 119891(0) = 1 119892(0) = 0

La considerazione diC e S ci dice che funzioni con queste proprietagrave esistono proviamo a dedurrealtre proprietagrave

Definiamo 119896(119909) = 119891(119909)2 +119892(119909)2 e calcoliamo la derivata

119896prime(119909) = 2119891(119909)119891prime(119909) + 2119892(119909)119892prime(119909) = 2119891(119909)119892(119909) minus 2119892(119909)119891(119909) = 0

e quindi 119896 egrave costante siccome 119896(0) = 1 abbiamo

119891(119909)2 +119892(119909)2 = 1

per ogni 119909 Supponiamo che 120593 e 120595 siano funzioni tali che 120593prime = minus120595 e 120595prime = 120593 Proviamo amettere insieme queste funzioni e poniamo

119860(119909) = 119891(119909)120593(119909) + 119892(119909)120595(119909) 119861(119909) = 119891(119909)120595(119909) minus 119892(119909)120593(119909)

Calcoliamo le derivate

119860prime(119909) = 119891prime(119909)120593(119909) + 119891(119909)120593prime(119909) minus 119892prime(119909)120595(119909) minus 119892(119909)120595prime(119909)= minus119892(119909)120593(119909) minus 119891(119909)120595(119909) + 119891(119909)120595(119909) + 119892(119909)120593(119909) = 0

119861prime(119909) = 119891prime(119909)120595(119909) + 119891(119909)120595prime(119909) minus 119892prime(119909)120593(119909) minus 119892(119909)120593prime(119909)= 119892(119909)120595(119909) minus 119891(119909)120593(119909) + 119891(119909)120593(119909) minus 119892(119909)120595(119909) = 0

78 la serie binomiale 163

da cui segue che 119860 e 119861 sono funzioni costanti

119886 = 119860(0) = 119891(0)120593(0) + 119892(0)120595(0) = 120593(0) 119887 = 119861(0) = 119891(0)120595(0) + 119892(0)120593(0) = 120595(0)

Dunque abbiamo 119891120593+ 119892120595 = 119886 119891120595minus 119892120593 = 119887 (evitiamo di continuare a scrivere 119891(119909) e similiper brevitagrave) Ne otteniamo altre identitagrave

1198912120593+119891119892120595 = 119886119891 119891119892120595minus1198922120593 = 119887119892

che possiamo sottrarre(1198912 +1198922)120593 = 119886119891minus 119887119892

e quindi120593(119909) = 120593(0)119891(119909) minus120595(0)119892(119909)

In modo del tutto analogo moltiplicando la prima per 119892 e la seconda per 119891 otteniamo

120595(119909) = 120595(0)119891(119909) +120593(0)119892(119909)

Se in particolare 120593(0) = 1 e 120595(0) = 0 abbiamo 120593 = 119891 e 120595 = 119892Dunque le funzioniC eS sono le uniche con quella proprietagrave Si puograve dimostrare analiticamente

che sono periodiche con uguale minimo periodo che possiamo indicare con 2120587 (che sarebbe ladefinizione analitica di 120587) Non lo facciamo limitandoci a scoprire le formule di addizione Sefissiamo 119910 e consideriamo

120593(119909) = 119891(119909+119910) 120595(119909) = 119892(119909+119910)

abbiamo 120593prime(119909) = 119891prime(119909 + 119910) = 119892(119909 + 119910) = 120595(119909) e analogamente 120595prime(119909) = minus120593(119909) dunquepossiamo scrivere

120593(119909) = 120593(0)119891(119909) minus120595(0)119892(119909) = 119891(119910)119891(119909) minus 119892(119910)119892(119909)120595(119909) = 120595(0)119891(119909) +120593(0)119892(119909) = 119892(119910)119891(119909) + 119891(119910)119892(119909)

cioegrave in altri termini

C(119909 +119910) = C(119909)C(119910) minus S(119909)S(119910)S(119909 +119910) = S(119909)C(119910) +C(119909)S(119910)

cioegrave le note formule di addizione

78 la serie binomiale

Consideriamo 119891(119909) = (1 + 119909)119903 dove 119903 egrave un numero qualsiasi definita per 119909 gt minus1 Sene vogliamo trovare uno sviluppo in serie di potenze ci serve calcolare 119891(119899)(0) perogni 119899 Ma

119891prime(119909) = 119903(1 +119909)119903minus1 119891Prime(119909) = 119903(119903minus 1)(1 +119909)119903minus2

e piugrave in generale

119891(119899)(119909) = 119903(119903minus 1)hellip(119903minus119899+ 1)(1 +119909)119903minus119899

come si vede facilmente per induzione derivando unrsquoaltra volta Perciograve

119891(119899)(0)119899 = 119903(119903minus 1)hellip(119903minus119899+ 1)

119899

e la somiglianza con i coefficienti binomiali

(119898119899) = 119898(119898minus1)hellip(119898minus119899+ 1)119899

164 serie

(con 119898 intero positivo) egrave evidente tanto che porremo per analogia

(1199030) = 1 (119903119899) = 119903(119903minus 1)hellip(119903minus119899+ 1)119899 (119899 gt 0)

Si noti che se 119903 non egrave intero (119903119899) ne 0 per ogni 119899 Se 119903 = 119898 egrave intero il valore coincidecon quello usuale in piugrave (119898119899) = 0 per 119899 gt 119898 Si vede anche che (119903119899) assume valorialternativamente positivi e negativi quando 119899 gt 119903 se 119899 egrave il minimo intero maggiore di119903 allora (119903119899) gt 0 ( 119903

119899+1) lt 0 e cosigrave viaOtteniamo allora come sviluppo in serie

(1 + 119909)119903 = sum119899ge0

(119903119899)119909119899

e ci domandiamo quale sia il raggio di convergenza Adoperiamo il criterio del rapportoprima di tutto calcoliamo

( 119903119899+ 1) (119903119899) = 119903minus119899

119899+ 1e quindi

| (119903

119899+1)119909119899+1

(119903119899)119909119899 | = | (119903 minus119899)119909119899+ 1 |

e il limite per 119899 rarr +infin egrave |119909| Dunque il raggio di convergenza egrave 1Va notato che Newton scoprigrave la formula della potenza di un binomio proprio svilup-

pando in serie (1+119909)119903 a lui interessava in particolare il caso di 119903 = 12 che ottenevaelevando formalmente al quadrato un ldquopolinomio con infiniti terminirdquo e uguagliando ilrisultato a 1 +119909 con il principio di identitagrave dei polinomi

La convergenza per 119909 = 1 si deve valutare con il criterio di Leibniz occorre vederese la successione

119887119899 = |(119903119899)|

egrave decrescente (almeno da un certo punto in poi) e con limite 0 Si ha per 119899 gt 119903

119887119899+1119887119899

= |119903minus119899119899+ 1 | = 119899minus119903

119899+ 1

e la disequazione 119899minus119903119899+ 1 lt 1

egrave soddisfatta per minus119903 lt 1 cioegrave 119903 gt minus1 In tal caso si ha anche lim119899rarr+infin 119887119899 = 0 e perciogravela serie binomiale converge anche per 119909 = 1 In particolare un valore approssimato perradic2 si ottiene con

(120 ) + (121 ) + (122 ) + (123 ) +⋯ = 1+ 12 minus 1

4 + 116 minus 5

128 +⋯

ma la convergenza egrave molto lenta Troncando ai termini indicati si ottiene

179128 = 13984375

con un errore di piugrave dellrsquo1 Meglio va con

1radic2

= (1minus 12)

12= 1minus 1

4 minus 132 minus 1

128 minus 52048 minus⋯

che troncando ai termini indicati dagrave

14512048 = 70849609375

con un errore per eccesso inferiore allo 02

79 una serie migliore per il calcolo del logaritmo 165

79 una serie migliore per il calcolo del logaritmo

Consideriamo la serie di Mercator e scriviamo quella che si ottiene cambiando 119909 in minus119909abbiamo allora le serie

log(1 + 119909) = sum119899ge1

(minus1)119899minus1119909119899

119899 = 119909minus 1199092

2 + 1199093

3 minus 1199094

4 +⋯

log(1 minus 119909) = sum119899ge1

minus119909119899

119899 = minus119909minus 1199092

2 minus 1199093

3 minus 1199094

4 minus⋯

che convergono assolutamente nellrsquointervallo (minus1 1) Se le sottraiamo ottenia-mo una serie assolutamente convergente i termini con le potenze pari spariscono eabbiamo

log(1 + 119909) minus log(1 minus 119909) = 2 sum119899ge0

1199092119899+1

2119899+ 1

che converge molto piugrave rapidamente quando 119909 egrave abbastanza piccolo Il vantaggio egraveche

log(1 + 119909) minus log(1 minus 119909) = log 1+1199091minus119909

e se vogliamo calcolare log2 ci basta trovare 119909 tale che

1 +1199091minus119909 = 2

cioegrave 119909 = 13 Per esempio vogliamo usare i primi quattro termini

log2 asymp 2(13 + 1

3127 + 1

51

243) asymp 0693004

che ha tre cifre decimali esatte Si verifichi che lrsquoequazione

1+1199091minus119909 = 119896

ha una soluzione in (minus1 1) per ogni 119896 gt 0

710 la serie armonica e i logaritmi

La serie armonica sum119899gt0 1119899 non converge Tuttavia le somme parziali

ℎ119899 = 1+ 12 + 1

3 +⋯+ 1119899

(per 119899 gt 0) sono assai interessanti e possiedono un importante legame con il logaritmoIl teorema sulle funzioni decrescenti e gli integrali ci dice nel caso di 119891(119909) = 1119909 che

1 + 12 +⋯+ 1

119899minus 1 ge int119899

1

1119905 119889119905 ge 1

2 +⋯+ 1119899minus 1 + 1

119899

cioegraveℎ119899minus1 ge log119899 ge ℎ119899 minus 1

o maneggiando un porsquo1119899 le ℎ119899 minus log119899 le 1

Dunque la successione 120583119899 = ℎ119899 minus log119899 egrave limitata Mostriamo che egrave decrescente consi-derando la differenza 120575119899 = 120583119899minus1 minus120583119899 (per 119899 gt 0) Abbiamo evidentemente

120575119899 = ℎ119899minus1 minus log(119899minus 1) minus ℎ119899 + log119899 = minus log(1minus 1119899)minus 1

119899

166 serie

e viene naturale considerare la funzione 119891(119909) = minus119909minus log(1minus119909) nellrsquointervallo (0 1)La derivata egrave 119891prime(119909) = minus1+1(1minus119909) = 119909(1minus119909) gt 0 e dunque 119891 egrave crescente Siccomelim119909rarr0 119891(119909) = 0 abbiamo come conseguenza che 119891(119909) gt 0 per 119909 isin (0 1) e inparticolare che 120575119899 = 119891(1119899) gt 0

Abbiamo dunque dimostrato che esiste 120574 = lim119899rarr+infin(ℎ119899 minus log119899) questo numerosi chiama tradizionalmente costante di Euler-Mascheroni percheacute il primo a studiarlafu Euler Lorenzo Mascheroni (1750ndash1800) ne riprese lo studio La costante si trova inmolti altri casi per esempio si puograve dimostrare che

120574 = int+infin

0119890minus119909 log119909119889119909

Egrave tuttora aperta la questione se 120574 sia razionale o irrazionale Si sa perograve che se 120574 egraverazionale il suo denominatore minimo deve avere piugrave di 248 cifre decimali

In sostanza la serie armonica non converge ma il suo comportamento egrave simile aquello del logaritmo cioegrave la divergenza egrave molto lenta

Possiamo usare la costante 120574 per dimostrare in modo diverso un risultato giagrave notoPoniamo

119897119899 = 1minus 12 + 1

3 minus 14 +⋯+ (minus1)119899minus1 1

119899per 119899 gt 0 Dal criterio di Leibniz sappiamo che 119897119899 converge e quindi possiamo usarlaper calcolare limiti Consideriamo allora lrsquouguaglianza

ℎ2119899 minus 1198972119899 = ℎ119899

che si puograve verificare a occhio o meglio per induzione Il caso di 119899 = 1 egrave ovvio ℎ2 =1+ 12 1198972 = 1minus 12 e ℎ2 minus 1198972 = 1 = ℎ1 Supponiamo lrsquoidentitagrave valida per 119899 allora

ℎ2(119899+1) minus 1198972(119899+1) = (ℎ2119899 minus 1198972119899) + ( 12119899+ 1 + 1

2119899+ 2 minus 12119899+ 1 + 1

2119899+ 2)

= ℎ119899 + 1119899+ 1

= ℎ119899+1

Dunque possiamo dire anche che 1198972119899 = ℎ2119899 minusℎ119899 e quindi che

1198972119899 = (ℎ2119899 minus log(2119899)) minus (ℎ119899 minus log119899)+ log2 = 1205832119899 minus120583119899 + log2

e passando al limite

lim119899rarr+infin

1198972119899 = log2 + lim119899rarr+infin

1205832119899 minus lim119899rarr+infin

120583119899 = log2+ 120574minus120574

e dunque lim119899rarr+infin 119897119899 = log2

8I NUMER I REAL I

Lrsquointuizione dei numeri reali ha guidato i matematici fin dal sedicesimo secolo non cisi ponevano dubbi sullrsquoesistenza degli irrazionali necessari per parlare delle soluzionidi equazioni algebriche La nascita dellrsquoanalisi perograve i problemi li pose come esserecerti dellrsquoesistenza del limite di una successione crescente e limitata che non si potessecalcolare esplicitamente

La soluzione al problema fu data intorno alla metagrave del diciannovesimo secolo aopera di Weierstraszlig Georg Cantor (1845ndash1918) e Richard Dedekind (1831ndash1916) i primidue usarono idee giagrave presenti in Cauchy e Joseph Liouville (1809ndash1882) il terzo invecetrovograve una strada completamente nuova

Tutto ciograve che ci serve perograve egrave un insieme di ldquonumerirdquo che abbia certe proprietagrave essen-ziali devono essere definite due operazioni dobbiamo saper distinguere quando unnumero egrave piugrave grande di un altro e per finire vogliamo che la proprietagrave che ci garantiscelrsquoesistenza del limite di una successione crescente e limitata valga

Introduciamo una notazione per insiemi ordinati se 119878 e 119879 sono sottoinsiemi diremoche 119878 le 119879 quando per ogni 119904 isin 119878 e ogni 119905 isin 119879 si ha 119904 le 119905 Analogamente scriveremo119903 le 119879 o 119878 le 119903 quando 119903 le 119879 o rispettivamente 119878 le 119903

81 gli assiomi

La struttura dei numeri reali puograve essere descritta da un sistema di assiomi e vedremopoi che questi assiomi possono essere realizzati in un opportuno sistema Tuttavialrsquoaspetto importante egrave che non ci interessa davvero sapere che cosa siano i numeri realipercheacute due sistemi che realizzano gli assiomi sono sostanzialmente identici

a s s i om i d e i n um e r i r e a l i Nellrsquoinsieme dei numeri reali sono definitelrsquooperazione di addizione (119886119887) ↦ 119886+119887 lrsquooperazione di moltiplicazione (119886119887) ↦119886119887 e una relazione drsquoordine lt con le proprietagrave descritte di seguito

a s s i om i p e r l rsquo a d d i z i o n eA1 (119886 + 119887) + 119888 = 119886+ (119887+ 119888)A2 esiste 0 tale che 119886+ 0 = 119886A3 dato 119886 esiste 119887 tale che 119886+ 119887 = 0A4 119886+ 119887 = 119887+119886

a s s i om i p e r l a mo l t i p l i c a z i o n eM1 (119886119887)119888 = 119886(119887119888)M2 esiste 1 tale che 1198861 = 119886 e 1 ne 0M3 se 119886 ne 0 esiste 119887 tale che 119886119887 = 1M4 119886119887 = 119887119886

a s s i oma d i d i s t r i b u t i v i t agraveD 119886(119887+ 119888) = 119886119887+119886119888

a s s i om i p e r l rsquo o r d i n eO1 se 119886 lt 119887 allora 119886+ 119888 lt 119887+ 119888O2 se 119886 lt 119887 e 119888 gt 0 allora 119886119888 lt 119887119888

a s s i oma d i c on t i n u i t agraveC se 119878 e 119879 sono insiemi non vuoti tali che 119878 le 119879 allora esiste 119903 tale che 119878 le 119903 le 119879

167

168 i numeri reali

Le prime undici proprietagrave permettono di eseguire i calcoli con le solite regole lrsquoele-mento 119887 tale che 119886+ 119887 = 0 si denota con minus119886 lrsquoelemento 119887 tale che 119886119887 = 1 (per 119886 ne 0)si denota con 119886minus1 Si pone poi come sempre 119886 minus 119887 = 119886 + (minus119887) e 119886119887 = 119886119887minus1 (per119887 ne 0)

Egrave lrsquoultima proprietagrave che non vale per i numeri razionali Consideriamo la successione119904 cosigrave definita

1199041 = 01 1199042 = 0121199043 = 01211 1199044 = 01211221199045 = 0121122111 1199046 = 0121122111222hellip

aumentando via via il numero di cifre che si ripetono e poniamo

119905119899 = 119904119899 + 10minus119896

dove 119896 egrave il numero di cifre decimali di 119904119899 egrave chiaro che lrsquounico ldquonumerordquo che sta inmezzo alle due successioni egrave il numero

012112211122211112222hellip

che non ha uno sviluppo decimale periodico e quindi non egrave razionale Qui ovviamentefacciamo lo stesso atto di fede di Euler e degli altri che non si ponevano il problemadellrsquoesistenza di un insieme di ldquonumerirdquo dove gli sviluppi decimali qualsiasi fosseroleciti

In effetti Weierstraszlig definigrave i numeri reali proprio cosigrave allineamenti di cifre un nu-mero finito prima della virgola una successione infinita dopo la virgola purcheacute nonfosse costantemente 9 da un certo punto in poi Sullrsquoinsieme di questi oggetti definigravedue operazioni e una relazione per le quali valgono gli assiomi enunciati prima

82 lrsquoassioma di continuitagrave

Lrsquoassioma lsquoCrsquo si chiama assioma di continuitagrave Vediamone la conseguenza principale

t e o r ema Ogni insieme di numeri naturali che ha un maggiorante ha estremosuperiore

Supponiamo che lrsquoinsieme 119878 abbia un maggiorante Allora lrsquoinsieme 119879 dei maggio-ranti di 119878 non egrave vuoto e per definizione 119878 le 119879 Prendiamo 119903 tale che 119878 le 119903 le 119879 allora119903 egrave un maggiorante di 119878 e quindi 119903 isin 119879 dire che 119903 le 119879 e 119903 isin 119879 egrave esattamente dire che119903 egrave il minimo di 119879

Egrave chiaro che vale la conclusione analoga per insiemi di numeri reali che abbiano unminorante la dimostrazione egrave perfettamente simmetrica Da questo vediamo che datauna successione di intervalli inscatolati cioegrave intervalli

[1199010 1199020] supe [1199011 1199021] supe hellip supe [119901119899 119902119899] supe ⋯

ciascuno incluso nel precedente crsquoegrave un numero reale che appartiene a tutti gli intervalliLe condizioni sono infatti equivalenti a dire che per ogni 119899

119901119899+1 ge 119901119899 119901119899 le 119902119899 119902119899+1 le 119902119899

Perciograve se 119901 egrave lrsquoestremo superiore dellrsquoinsieme 119901119899 ∶ 119899 isin ℕ e 119902 egrave lrsquoestremo inferioredellrsquoinsieme 119902119899 ∶ 119899 isin ℕ abbiamo evidentemente 119901 le 119902

82 lrsquoassioma di continuitagrave 169

Nel caso in cui le ampiezze degli intervalli si riducono come accade nella dimostra-zione del teorema degli zeri si deve avere 119901 = 119902 La condizione infatti si esprimerigorosamente cosigrave per ogni tolleranza 120576 gt 0 esiste 119899 tale che 119902119899 minus 119901119899 lt 120576 Se fosse119901 lt 119902 basta prendere 119899 per il quale 119902119899 minus119901119899 lt 119902minus119901 per ottenere una contraddizione

Vediamo adesso che i numeri reali lsquocontengonorsquo i naturali nel senso che li possiamoidentificare con certi numeri reali precisamente i multipli di 1 Cosigrave in particolare 1puograve indicare sia il numero reale che realizza lrsquoassioma M2 sia il numero naturale 1 ele regole di calcolo dicono che tutto torna Nellrsquoenunciato seguente dove cominciamoa stabilire questa identificazione indichiamo con 120783 lrsquoelemento dato dallrsquoassioma M2 econ 120782 quello dato dallrsquoassioma A2 Per essere un porsquo pedanti ricordiamo che quando119899 egrave un numero naturale definiamo 119899119909 = 120782 per 119899 = 0 e (119899+ 1)119909 = 119899119909+119909

t e o r ema Se 119899 ne 0 allora 119899120783 ne 120782 Se 119898120783 = 119899120783 allora 119898 = 119899

Sia 119899 il minimo naturale positivo tale che 119899120783 = 0 Allora esiste il predecessore 119898 di119899 e 119898120783 ne 120782 Ma 119898120783 = 120783+⋯+120783 (119898 volte) e quindi 119898120783 gt 120782 Ma allora 119898120783+120783 = 119899120783 gt 120782che egrave assurdo Quindi 119899 non esiste

La seconda parte segue dalla prima se 119898 ne 119899 allora 119898 gt 119899 oppure 119899 gt 119898 nelprimo caso abbiamo lrsquoassurdo che (119898minus119899)120783 = 120782 nel secondo che (119899minus119898)120783 = 120782

In base a questo teorema possiamo scrivere 119899 al posto di 1198991 e confondere lrsquouno deinaturali con 120783 e lo stesso per lo zero percheacute non ci sono ambiguitagrave

Il seguente enunciato sembra evidente ma si capisce dalla dimostrazione che non loegrave affatto Lo si puograve vedere come una versione astratta del procedimento di misura bennoto dalla geometria

t e o r ema Se 119886 gt 0 allora esiste un naturale 119899 tale che 119899 ge 119886

Sia 119879 lrsquoinsieme dei reali 119905 tali che 119899 lt 119905 per ogni 119899 naturale Vogliamo dimostrareche 119879 egrave vuoto Se non lo fosse possiamo scrivere 119878 le 119879 dove 119878 egrave lrsquoinsieme dei naturalie trovare 119903 tale che 119878 le 119903 le 119879

Dimostriamo che 119903 isin 119879 se infatti 119903 notin 119879 esiste 119899 tale che 119899 ge 119903 ma allora 119899+1 gt 119903contro il fatto che 119878 le 119903 Perciograve 119903 egrave il minimo di 119879 ma allora 119903minus1 notin 119879 e quindi esiste119899 tale che 119899 ge 119903minus 1 e questo egrave assurdo percheacute avremmo 119899+ 1 ge 119903 da cui 119899+ 2 gt 119903contro il fatto che 119878 le 119903

La connessione con la misura egrave evidente se si vuole misurare 119886 gt 0 rispetto a 119887 gt 0cerchiamo un multiplo 119899119887 tale che 119899119887 le 119886 ma (119899 + 1)119887 gt 119886 Fatto questo abbiamoridotto il problema a misurare 119886minus119899119887 (con un sottomultiplo di 119887) Egrave chiaro che senzala proprietagrave appena dimostrata questo potrebbe non accadere

Avendo identificato i naturali con i multipli di 1 possiamo anche parlare di interi edi razionali fra i reali

c o r o l l a r i o Se 119886 lt 119887 allora esiste 119902 razionale con 119886 lt 119902 lt 119887

Se 119886 lt 0 e 119887 gt 0 non crsquoegrave nulla da dimostrare ci basta dunque vederlo per 119886 gt 0percheacute se 119887 lt 0 abbiamo anche 0 lt minus119887 lt minus119886

Prendiamo 119899 naturale tale che 119899 gt 1(119887 minus 119886) cioegrave 119899(119887 minus 119886) gt 1 Se 119898 egrave il minimonaturale tale che 119898 gt 119899119886 avremo 119898 minus 119899119886 lt 1 e quindi 119898 lt 119899119887 Perciograve 119886 lt 119898119899 lt119887

t e o r ema Dato il numero reale 119903 indichiamo con 119876(119903) lrsquoinsieme dei razionaliminori di 119903 Allora 119903 egrave lrsquoestremo superiore di 119876(119903)

170 i numeri reali

Lrsquoestremo superiore di119876(119903) esiste percheacute 119903 egrave unmaggiorante Se 119904 egrave questo estremosuperiore allora 119904 le 119903 Se fosse 119904 lt 119903 esisterebbe 119902 razionale con 119904 lt 119902 lt 119903 e dunque119902 isin 119876(119903) contro il fatto che 119904 egrave lrsquoestremo superiore di 119876(119903)

t e o r ema Per ogni numero reale 119903 gt 0 esiste un numero reale 119905 gt 0 tale che1199052 = 119903

Supponiamo dapprima che 119903 gt 1 e consideriamo lrsquoinsieme 119878 dei numeri 119904 tali che119904 ge 1 e 1199042 le 119903 Se 119904 soddisfa queste condizioni allora 119904 lt 119903 percheacute da 119904 ge 119903 seguirebbe1199042 ge 119904119903 ge 1199032 ge 119903 Dunque 119878 ha estremo superiore 119905

Dimostriamo che 1199052 le 119903 Se fosse 1199052 gt 119903 preso 119904 isin 119878 avremmo 1199052 minus 1199042 ge 1199052 minus119903 dacui

119905 minus 119904 ge 1199052 minus119903119905+ 119904 ge 1199052 minus119903

2119905percheacute 1 le 119904 le 119905 questo egrave in contraddizione con lrsquoipotesi che 119905 sia lrsquoestremo superioreCi basta allora vedere che per ogni 119904 isin 119878 se 1199042 lt 119903 esiste 119886 con 0 lt 119886 le 1 tale che(119904 + 119886)2 lt 119903 Ora (119904 + 119886)2 = 1199042 + 2119886119904+ 1198862 e se 119886 le 1 abbiamo

1199042 + 2119886119904+ 1198862 le 1199042 +2119886119904+ 119886

cosiccheacute ci basta che sia 1199042 + 2119886119904+ 119886 lt 119903 cioegrave

119886 lt 119903minus 11990422119904 + 1

che ha evidentemente soluzione Perciograve un 119904 isin 119878 con 1199042 lt 119903 non egrave lrsquoestremo superioredi 119878 Ne segue che 1199052 = 119903

Rimane da dimostrare lrsquoasserzione per 0 lt 119903 lt 1 ma in tal caso 1119903 gt 1 e quindi1119903 = 1199052 per un certo 119905 e 119903 = (1119905)2

Se guardiamo meglio la dimostrazione precedente ci accorgiamo che si tratta di una versioneastratta del metodo di esaustione Il numero 119905 che otteniamo non puograve essere maggiore dellaradice quadrata che cerchiamo (la parte in cui si vede che 1199052 gt 119903 conduce a un assurdo) neacutepuograve essere minore (percheacute troveremmo un numero 119904 piugrave grande che ha ancora la proprietagrave 1199042 lt119903) Archimede postulava senza perograve renderlo esplicito che due ldquoclassi di grandezze contiguerdquoavessero un unico elemento separatore egrave esattamente il nostro assioma lsquoCrsquo

I risultati precedenti sono i passi necessari per dimostrare il teorema di unicitagrave

83 il teorema di unicitagrave

I dodici assiomi caratterizzano i reali qualsiasi struttura che abbia quelle proprietagraveegrave lsquoidenticarsquo ai reali gli elementi possono essere diversi ma tutto ciograve che possiamodimostrare in una vale in ciascunrsquoaltra a patto di lsquotradurrersquo gli enunciati nella lsquolinguarsquogiusta La traduzione egrave univoca mediante una funzione biiettiva

t e o r ema d i u n i c i t agrave d e i r e a l i Siano 1198771 e 1198772 strutture per le quali valga-no gli assiomi dei numeri reali Allora esiste unrsquounica funzione biiettiva 119891∶ 1198771 rarr 1198772tale che per ogni 119886119887 isin 1198771 si abbia 119891(119886+119887) = 119891(119886)+119891(119887) e 119891(119886119887) = 119891(119886)119891(119887)

Definiamo119891(1) = 1 e partiamo da questo per definire119891 su tutto1198771 Dalla proprietagrave119891(119886+119887) =119891(119886)+119891(119887) segue che dobbiamo porre 119891(119898) = 119898 (qui usiamo sia in 1198771 sia in 1198772 lrsquoidentificazionegiagrave fatta) per ogni 119898 intero Se 119899 gt 0 dobbiamo avere

119899119891(119898119899 ) = 119891(119899119898

119899 ) = 119891(119898) = 119898

84 la costruzione di dedekind 171

e quindi occorre porre 119891(119898119899) = 119898119899Dimostriamo che le proprietagrave richieste per 119891 hanno come conseguenza che 119891 egrave monotona

crescente cioegrave che 119886 lt 119887 implica 119891(119886) lt 119891(119887) Basta in realtagrave dimostrare che 0 lt 119887 implica0 lt 119891(119887) Ma questo egrave evidente dallrsquoesistenza delle radici quadrate se 119887 gt 0 esiste 119904 tale che1199042 = 119887 e dunque 119891(119887) = 119891(1199042) = 119891(119904)2 gt 0

Il resto della dimostrazione egrave solo una noiosa verifica delle proprietagrave dopo aver definito 119891 suun numero reale 119903 qualunque usando il fatto che 119903 egrave lrsquoestremo superiore di un ben determinatoinsieme di numeri razionali

Il succo di questo teorema egrave che non importa come determiniamo un insieme soddi-sfacente le richieste gli assiomi sia che usiamo la costruzione di Weierstraszlig sia cheusiamo quella di Cantor sia che usiamo quella di Dedekind otteniamo due struttureche hanno le stesse proprietagrave In particolare ogni proprietagrave dei reali puograve essere dedot-ta unicamente dagli assiomi e non dal modo con cui li abbiamo costruiti Non stiamodiscutendo del nulla percheacute le costruzioni dei numeri reali che abbiamo menzionatosono corrette dal punto di vista logico I matematici hanno lavorato con i numeri realifino alla metagrave del diciannovesimo secolo senza sapere che ldquoesistesserordquo ma siccomehanno implicitamente usato solo i dodici assiomi i risultati che hanno ottenuto sonocorretti

84 la costruzione di dedekind

Lrsquoidea di Dedekind egrave quella di formalizzare lrsquoassenza di buchi se si cammina lungoi numeri reali non si cade mai in un buco Perciograve se dividiamo i numeri reali in dueinsiemi non vuoti119860 e 119861 tali che119860 lt 119861 (cioegrave ogni elemento di119860 egraveminore di ogni elementodi 119861) allora 119860 ha massimo oppure 119861 ha minimo se cosigrave non fosse fra 119860 e 119861 ci sarebbeun buco

Il problema egrave come possiamo usare questa idea per costruire i numeri reali a partiredai razionali

Una delle proprietagrave che vogliamo egrave che ogni numero reale sia minore di almeno unnumero razionale Cosigrave ogni numero razionale porta con seacute tutti i numeri reali minoriin un certo senso Dunque una suddivisione dei razionali in due sottoinsiemi nonvuoti 119860 e 119861 in modo che 119860 lt 119861 corrisponde a una delle suddivisioni precedenti bastaprendere 119860prime come lrsquoinsieme dei reali 119903 tali che almeno un elemento di 119860 sia maggioredi 119903 e come 119861prime lrsquoinsieme dei reali 119903 tali che almeno un elemento di 119861 sia minore di 119903

Vediamo che 119860prime lt 119861prime se prendiamo 119903 isin 119860prime e 119904 isin 119861prime sappiamo che esistono 119886 isin 119860e 119887 isin 119861 tali che 119903 lt 119886 e 119887 lt 119904 Ma allora

119903 lt 119886 lt 119887 lt 119904

percheacute 119860 lt 119861 e dunque 119903 lt 119904 come si volevaEcco allora lrsquoidea di Dedekind un numero reale 119903 egrave un qualsiasi insieme di numeri

razionali con le seguenti proprietagrave

bull se 119886 isin 119903 e 119887 lt 119886 allora 119887 isin 119903

bull esiste 119888 razionale tale che 119888 notin 119903

bull 119903 non ha massimo

Ogni numero razionale 119902 definisce allora un numero reale 119902 dove 119902 egrave lrsquoinsieme di tuttii razionali 119886 tali che 119886 lt 119902 Infatti la prima proprietagrave egrave ovvia per la seconda egrave evidenteche 119902 + 1 notin 119902 per la terza questo massimo dovrebbe essere un numero 119886 lt 119902 maavremmo un assurdo da 119886 lt (119886+ 119902)2 lt 119902

172 i numeri reali

Egrave facile definire la relazione drsquoordine fra i numeri reali cosigrave definiti 119903 lt 119904 esattamentequando 119903 sub 119904 Se 1199021 lt 1199022 sono numeri razionali egrave chiaro che 1199021 sub 1199022

Lrsquoassioma di continuitagrave egrave piuttosto facile da verificare Se 119878 e 119879 sono insiemi di realicon 119878 le 119879 possiamo considerare lrsquoinsieme 119903 di tutti i razionali che appartengono aqualche numero in 119878

Per trovare un razionale che non appartiene a 119903 basta prendere un numero 119905 isin 119879 e un ra-zionale 119902 notin 119905 Allora 119905 lt 119902 e quindi 119902 notin 119878 percheacute 119878 le 119879 in particolare 119902 notin 119903 se fosse 119902 isin 119877dovremmo avere 119902 isin 119904 per un 119904 isin 119878 e quindi lrsquoassurdo 119902 lt 119904 le 119905 lt 119902

Siano 119886 isin 119903 e 119887 lt 119886 Allora 119886 isin 119904 per un certo 119904 isin 119878 quindi da 119887 lt 119886 segue che 119887 isin 119904 eperciograve 119887 isin 119903

Se 119888 fosse il massimo di 119903 avremmo 119888 isin 119904 per qualche 119904 isin 119878 Ora quando 119902 isin 119904 egrave anche119902 isin 119903 e perciograve 119902 le 119888 Dunque 119888 sarebbe il massimo di 119904 assurdo

La definizione di addizione fra questi lsquoinsiemi di Dedekindrsquo egrave quasi immediata in119903+119904 mettiamo tutti i numeri razionali della forma 119886+119887 con 119886 isin 119903 e 119887 isin 119904 La verificadelle proprietagrave richieste egrave lunga e noiosa

Vediamo per esempio che 119903+0 = 119903 Se 119886 isin 119903 e 119887 isin 0 allora 119887 lt 0 e quindi 119886+119887 lt 119886 da cui119886+ 119887 isin 119903 119903+ 0 sube 119903 Se 119886 isin 119903 dal momento che 119903 non ha massimo possiamo prendere 119888 isin 119903con 119888 gt 119886 allora 119886 = 119888+ (119886minus 119888) e 119886minus 119888 lt 0 quindi 119886minus 119888 isin 0

Piugrave complicato egrave dimostrare le altre proprietagrave dellrsquoaddizione e non egrave affatto semplicedefinire la moltiplicazione

85 la costruzione di weierstrass

Un modo diverso di costruire i numeri reali deriva dallrsquoidea che ogni numero reale sipuograve approssimare con numeri decimali (finiti) per ogni 119896 gt 0 prendiamo come lsquo119896-esimacifra decimalersquo del numero reale 119903 con 0 le 119903 lt 1 lrsquounica cifra 119886119896 tale che

0 le 119903minus (119886110 + 1198862

102 +⋯+ 119886119896minus110119896minus1 + 119886119896

10119896 ) lt 110119896

Lrsquoesempio classico di 119903 = radic2minus 1 = 014142hellip puograve venirci in aiuto

119903minus 0 gt 110

0 le 119903minus 01 lt 110 ()

119903 minus 02 lt 0

119903minus 013 gt 1100

0 lt 119903minus 014 lt 1100 ()

119903 minus 015 lt 0hellip

Come si vede si tratta di un procedimento ricorsivo quando si conoscono le prime 119896cifre dello sviluppo decimale si puograve calcolare la successiva Per i numeri 119903 che nonsono nellrsquointervallo [0 1) si trova prima la parte intera cioegrave il massimo numerointero 119899 tale che 119899 le 119903 e si applica il procedimento a 119903minus119899

Fissiamo qualche notazione Con 1199030 indichiamo la parte intera di 119903 e con 119903119896 la 119896-esimacifra decimale (119896 gt 0)

86 la costruzione di cantor 173

Non egrave possibile che tutte le cifre da un certo punto in poi siano uguali a 9 Lo verifichiamonel caso piugrave semplice cioegrave 1199030 = 0 e 119903119896 = 9 per 119896 gt 0 Dalla definizione segue che per ogni 119896 gt 0

910 + 9

100 +⋯+ 910119896 le 119903 lt 1

cioegrave1minus 1

10119896 le 119903 lt 1

che egrave come dire 0 lt 1 minus 119903 le 10minus119896 Ma questo egrave assurdo ogni numero positivo egrave maggiore di10minus119899 per qualche intero positivo 119899

Dati due numeri 119903 e 119904 abbiamo che 119903 lt 119904 se e solo se

1199030 = 1199040 1199031 lt 1199041 hellip119903119896minus1 = 119904119896minus1 119903119896 lt 119904119896

In altre parole si guarda per prima cosa la parte intera se i due numeri hanno partiintere diverse egrave chiaro qual egrave il piugrave grande Se le parti intere sono uguali si guarda laprima cifra decimale e cosigrave via

Come funziona lrsquoaddizione Non possiamo certo cominciare dalla cifra piugrave a destra percheacutenon crsquoegrave Ma anche lrsquoaddizione usuale fra gli interi si puograve eseguire partendo da sinistra proviamocon 634+ 197 Abbiamo 6+ 1 = 7 e ci spostiamo a destra ora 3+ 9 = 12 e quindi spostiamo 1alla colonna precedente che diventa 8 dunque abbiamo 82 ci spostiamo a destra dove troviamo4+ 7 = 11 quindi spostiamo 1 sulla colonna precedente e troviamo 831

Di solito si comincia da destra percheacute cosigrave non abbiamo ldquoriporti multiplirdquoNel caso degli allineamenti decimali perograve crsquoegrave una complicazione se sviluppiamo 23 otte-

niamo lrsquoallineamento 0666hellip e da 13 otteniamo 0333hellip Lrsquoaddizione partendo da sinistraproduce 0999hellip ma questo numero per quanto visto prima egrave 1

Abbiamo dato per noti i numeri reali Ma quello che si puograve trarre da questi discorsiegrave che gli allineamenti decimali danno una costruzione dei numeri reali

86 la costruzione di cantor

Una condizione necessaria affincheacute una successione (119886119899) converga egrave che per ogni 120576 gt 0esista un tale che quando 119898119899 gt si abbia |119886119898 minus119886119899| lt 120576 Infatti se (119886119899) convergea 119897 possiamo trovare tale che per 119899 gt si abbia |119886119899minus119897| lt 1205762 Se 119898119899 gt avremo

|119886119898 minus119886119899| = |119886119898 minus 119897+ (119897 minus 119886119899)| le |119886119898 minus 119897| + |119897 minus 119886119899| lt1205762 + 120576

2 = 120576

Lrsquoassioma di continuitagrave garantisce che una successione che ha questa proprietagrave chia-mata proprietagrave di Cauchy converge

Vediamo per prima cosa che una successione di Cauchy egrave limitata Basta prendere lrsquoindice relativo a 120576 = 1 per avere che per ogni 119898 gt

minus1+119886+1 lt 119886119898 lt 1+119886+1

da cui ovviamente abbiamo che |119886119898| lt 1 + |119886+1| e quindi

|119886119899| le max |1198860| |1198861|hellip |119886| 1 + |119886+1|

Sia 119903 le 119886119899 le 119904 per ogni 119899 Se consideriamo la successione 119887119899 = (119886119899 minus 119903)(119904 minus 119903) abbiamoche 0 le 119887119899 le 1 egrave facile vedere che anche (119887119899) egrave una successione di Cauchy e che (119887119899) convergese e solo se (119886119899) converge

Infiniti termini della successione cadono o in [0 12] oppure in [12 1] chiamiamo 1198680 unodei due intervalli scegliendone uno in cui cadano infiniti termini sia 1198880 il primo termine 119887119899 che

174 i numeri reali

cade in 1198680 Ora dividiamo a metagrave 1198680 e scegliamo una metagrave 1198681 nella quale cadano infiniti terminisia 1198881 il primo termine successivo a 1198880 che cade in 1198681

Proseguendo cosigrave otteniamo una successione (119888119899) i cui termini cadono in una successione diintervalli inscatolati e che dunque converge a 119888 Ci basta ora vedere che anche (119887119899) converge a 119888

Sia 120576 gt 0 Allora abbiamo per 119898119899 gt sia |119887119898 minus 119887119899| lt 1205762 sia |119888119899 minus 119888| lt 1205762 Ora bastaprendere anche 119888119899 in modo che 119888119899 venga dopo 119887 (che egrave possibile per costruzione di 119888119899) e siamoa posto

Due successioni di Cauchy determinano lo stesso numero reale se la loro differenza egraveuna successione convergente a zero La costruzione di Cantor egrave essenzialmente questai numeri reali sono le successioni di Cauchy di numeri razionali identificando due diesse quando la differenza egrave zero

Da un allineamento decimale egrave facile ottenere una successione di Cauchy di numerirazionali basta considerare i successivi troncamenti Il viceversa egrave un porsquo piugrave complica-to ma solo tecnicamente Come tecnicamente egrave complicato ma non difficile dimostra-re che gli oggetti cosigrave ottenuti soddisfano gli assiomi dei numeri reali lrsquoaddizione e lamoltiplicazione si eseguono semplicemente sommando o moltiplicando le successionitermine a termine

9I NUMER I COMPLESS I

Nel sedicesimo secolo vari autori riuscirono nellrsquoimpresa di trovare una tecnica riso-lutiva delle equazioni di terzo grado Scipione del Ferro (1465ndash1526) Nicolograve Tartaglia(c 1499ndash1557) Lodovico Ferrari (1522ndash1565) Girolamo Cardano (1501ndash1576) sono i nomiche compaiono nella famosa disputa sulla prioritagrave della scoperta con tanto di disfidee insulti

Questa egrave la tecnica risolutiva di Tartaglia che comparve nellrsquoArs Magna di CardanoConsideriamo lrsquoequazione

1199103 +1198861199102 +119887119910+ 119888 = 0

a cui si puograve ridurre ogni equazione di terzo grado Con la sostituzione

119910 = 119909minus 1198863

egrave un facile calcolo ridurla ancora allrsquoequazione

1199093 +119901119909+119902 = 0

Giagrave prima di Tartaglia si sapeva che minus1198863 egrave la media delle soluzioni dellrsquoequazionequindi la sostituzione non egrave altro che una traslazione per fare in modo che la mediadelle soluzioni sia 0

A questo punto Tartaglia propone la nuova sostituzione

119909 = 119906minus 1199013119906

che porta lrsquoequazione nella forma

1199063 minus119901119906+ 1199012

3119906 minus 1199013

271199063 +119901119906minus 1199012

3119906 + 119902 = 0

cioegrave1199063 minus 1199013

271199063 +119902 = 0

che puograve essere trattata come unrsquoequazione di secondo grado in 1199063

(1199063)2 +1199021199063 minus 1199013

27 = 0

il cui discriminante egrave

Δ = 4(1199013

27 + 1199022

4 )

Se il discriminante egrave positivo otteniamo un solo valore di 119909 se infatti 1205752 = Δ le duesoluzioni per 1199063 sono

12(minus119902+ 120575) 1

2(minus119902minus 120575)

e sostituendo le radici cubiche si ottiene lo stesso valore per 119909Tuttavia crsquoegrave un problema se consideriamo lrsquoequazione

1199093 minus 7119909+ 6 = 0

il discriminante che otteniamo egrave

Δ = 4(minus73

27 + 62

4 ) = 427(minus343+ 9 sdot 27) = minus400

27 lt 0

175

176 i numeri complessi

quando la nostra equazione ha tre soluzioni Egrave ovvio infatti che 1 egrave una soluzione econ la divisione si trovano le altre due cioegrave 2 e minus3

Un altro modo di affrontare la questione fu trovato dal francese Franccedilois Viegravete (1540ndash1603) La sua idea fu di introdurre una nuova incognita 119910 legata alla 119909 da

1199102 +119909119910 = 1199013

Se in 1199093 +119901119909+119902 = 0 sostituiamo 119909 = (119901minus 31199102)(3119910) otteniamo

271199106 minus271199021199103 minus1199013 = 0

Questa egrave una lsquobicubicarsquo il cui discriminante egrave 27(271199022+41199013) dove si riconosce la stessalimitazione di prima

Per uscire dal dilemma ci sono due strade Una di Viegravete che riportava in modo moltoastuto le equazioni di terzo grado con discriminante negativo alla formula di triplica-zione del coseno lrsquoaltra di Cardano e dei successori che non si spaventarono al pensierodi maneggiare radici quadrate di numeri negativi

La tecnica di Viegravete usa la formula di triplicazione del coseno cos(3120572) = 4 cos3 120572 minus 3 cos120572Cerchiamo dunque di scrivere lrsquoespressione 1199093 + 119901119909 in una forma simile ponendo 119909 = 119886 cos120572otteniamo

1199093 +119901119909 = 1198863 cos3 120572+119886119901 cos120572e quindi ci serve 1198863 = 4119887 119886119901 = minus3119887 cioegrave

1198863

4 = minus1198861199013

da cui 1198862 = minus41199013 che naturalmente egrave possibile solo quando 119901 lt 0 Con questo valore di 119886abbiamo lrsquoequazione

4119887 cos3 120572minus 3119887 cos120572+119902 = 0cioegrave

119887 cos(3120572) + 119902 = 0che ammette soluzione quando minus1 le 119902119887 le 1 cioegrave 1199022 le 1198872 che equivale a

1199022 le 11988621199012

9 = minus41199013

27cioegrave

1199013

27 + 1199022

4 le 0

che egrave esattamente la condizione che porta al problema delle radici quadrate di numeri negativiNel caso di 119901 = minus7 e 119902 = 6 abbiamo 1198862 = 283 e

119887 = 1198863

4 = 14283 radic

283 = 14

3 radic73

e quindi lrsquoequazione finale egrave

cos3120572 = minus119902119887 = minus9

7radic37 asymp minus08417

quindi3120572 asymp 257122 + 2119896120587 (0 le 119896 le 2)

e abbiamo le tre soluzioni (approssimate)

1205721 asymp 085707 1205722 asymp 295147 1205723 asymp 504586

Siccome 119886 asymp 305505 avremo

1199091 = 119886 cos1205721 asymp 2000001199092 = 119886 cos1205722 asymp minus3000001199093 = 119886 cos1205723 asymp 099999

che sono effettivamente i risultati attesi

91 operazioni sui numeri complessi 177

Decidiamo di non spaventarci neppure noi ignorando la connotazione peggiorativadellrsquoaggettivo immaginario che Descartes affibbiograve a questi ldquonumerirdquo Secondo lrsquousointrodotto da Euler indichiamo con 119894 un numero tale che 1198942 = minus1 non egrave tanto diversoda indicare con radic2 un numero che elevato al quadrato dia 2

Giagrave con questi nuovi numeri possiamo trovare radici quadrate di tutti i numeri realise 119886 gt 0 non crsquoegrave problema se 119886 lt 0 possiamo scrivere

(119894radicminus119886)2 = 1198942(minus119886) = 119886

Naturalmente una volta che abbiamo aggiunto questo numero dobbiamo aggiungereanche tutti quelli della forma

119886+ 119887119894

con 119886 e 119887 reali Siccome siamo giagrave abituati a maneggiare espressioni del tipo 3 + 2radic2non ci facciamo problemi e proviamo a supporre che 119886 + 119887119894 = 0 Allora anche (119886 +119887119894)(119886 minus 119887119894) = 0 cioegrave

0 = (119886+ 119887119894)(119886 minus 119887119894) = 1198862 minus (119887119894)2 = 1198862 minus (minus1)1198872 = 1198862 +1198872

Qui la faccenda egrave diversa 119886 e 119887 sono numeri reali e quellrsquouguaglianza significa che119886 = 119887 = 0 Dunque da 119886+119887119894 = 0 segue 119886 = 119887 = 0 Puograve succedere che 119886+119887119894 = 119888+119889119894Certo ma in tal caso

(119886 minus 119888) + (119887minus 119889)119894 = 0

e quindi 119886 = 119888 e 119887 = 119889

91 operazioni sui numeri complessi

Un numero complesso egrave unrsquoespressione della forma 119886 + 119887119894 dove 119886 e 119887 sono numerireali Per quanto visto prima 119886 e 119887 sono univocamente determinati e si chiamanorispettivamente parte reale e parte immaginaria del numero complesso Le operazionisi eseguono usando le note proprietagrave

(119886 + 119887119894) + (119888 + 119889119894) = (119886+ 119888) + (119887+ 119889)119894(119886 + 119887119894)(119888 + 119889119894) = 119886119888+ 119886119889119894 + 119887119888119894 + 1198871198891198942 = (119886119888minus 119887119889) + (119886119889+ 119887119888)119894

Non occorre memorizzare formule basta operare come al solito con le espressionialgebriche e ricordare che 1198942 = minus1 Esattamente come quando si deve razionalizzare3(radic2 minus 1) si moltiplica numeratore e denominatore per radic2 + 1 usando il fatto che(radic2)2 = 2

In particolare (119886+119887119894)2 = 1198862 minus1198872 +2119886119887119894 Tanto per esercizio cerchiamo di trovarei numeri complessi che elevati al quadrato danno 119894 dovremo avere

⎧⎨⎩

1198862 minus1198872 = 02119886119887 = 1

uguagliando la parte reale e quella immaginaria Dalla prima otteniamo 119886 = 119887 oppure119886 = minus119887 sostituendo nella seconda vediamo che 119886 = minus119887 porta a minus21198862 = 1 che non hasoluzioni Dunque abbiamo 119886 = 119887 e 21198862 = 1 quindi 119886 = 119887 = 1radic2 oppure 119886 = 119887 =minus1radic2

Piugrave in generale vediamo che ogni numero complesso diverso da 0 ha due radiciquadrate Se il numero egrave ℎ+ 119896119894 la tecnica di prima ci porta al sistema

⎧⎨⎩

1198862 minus1198872 = ℎ2119886119887 = 119896

178 i numeri complessi

che possiamo risolvere ricavando 119887 dalla seconda equazione almeno nel caso in cui119896 ne 0 ma se 119896 = 0 sappiamo giagrave trovare 119886 e 119887 Dunque possiamo scrivere 119887 = 119896(2119886)e sostituire nella prima equazione trovando una risolvente biquadratica

41198864 minus 4ℎ1198862 minus1198962 = 0

che dagrave

1198862 = radicℎ2 +1198962 +ℎ2

Lrsquoaltra ldquosoluzionerdquo egrave da scartare percheacute negativa Ogni valore trovato di 119886 egrave legato a unvalore di 119887 e quindi abbiamo dimostrato lrsquoasserzione fatta Si ha infatti 1198872 = 1198962(41198862)e quindi

1198872 = 1198962

42

radicℎ2 +1198962 +ℎ= 1198962

2radicℎ2 +1198962 minusℎ

1198962 = radicℎ2 +1198962 minusℎ2

Le soluzioni effettive si trovano scegliendo i valori positivi e negativi in modo che valga2119886119887 = 119896 Si noti che queste espressioni valgono anche per il caso prima escluso di119896 = 0

92 coniugato di un numero complesso

Se 119906 = 119886+119887119894 con 119886 e 119887 reali il coniugato di 119906 egrave il numero complesso

119906 = 119886minus119887119894

Si tratta di un ausilio molto importante infatti sommando e sottraendo si trova

2119886 = 119906+119906 2119887119894 = 119906minus119906

e quindi la conoscenza di 119906 ci permette di trovare la parte reale e la parte immaginariaLe proprietagrave del coniugato rispetto alle operazioni si verificano semplicemente

119906+119907 = 119906+119907 119906119907 = 119906119907

Particolarmente importante egrave lrsquoespressione 119906119906 = 1198862 +1198872 In effetti

(119906119907)(119906119907) = (119906119906)(119907119907)

e inoltre esiste un unico numero reale non negativo che elevato al quadrato dia 119906119906Questo numero si chiama modulo di 119906

|119906| = radic119906119906

Per esempio il modulo di 119894 egrave 1 il modulo di 2+119894 egrave radic5 Nel caso in cui 119906 sia reale cioegrave119906 = 119906 il modulo egrave esattamente quello usuale

Egrave interessante notare che la disuguaglianza |119906+119907| le |119906|+|119907| vale anche nei numericomplessi Siccome si tratta di numeri reali non negativi la disuguaglianza puograve essereverificata elevando al quadrato siccome |119908|2 = 119908119908 dobbiamo verificare

(119906+ 119907)(119906+ 119907) le 119906119906+ 2|119906| |119907| + 119907119907

che equivale cancellando i termini uguali a

119907119906+119906119907 le 2|119906| |119907|

93 forma trigonometrica 179

Questa disuguaglianza egrave ovvia se il termine di sinistra egrave negativo Se il termine disinistra egrave non negativo possiamo di nuovo elevare al quadrato e la disuguaglianza daverificare egrave

11990721199062 + 2119906119906119907119907+11990621199072 le 4119906119906119907119907

che diventa(119907119906minus119906119907)2 le 0

Questa disuguaglianza egrave vera anche se ciograve sembra paradossale se poniamo 119908 = 119907119906 iltermine da elevare al quadrato egrave 119908minus119908 che ha parte reale nulla e quindi il suo quadratoegrave effettivamente le 0

Notiamo subito che non egrave possibile stabilire una relazione drsquoordine sui numeri com-plessi in modo che valgano proprietagrave analoghe a quelle sui numeri reali Non egrave unproblema in tutte le disuguaglianze che abbiamo scritto ambo i membri erano numerireali non egrave reale 119907119906minus119906119907 ma il suo quadrato sigrave

Che succede ai numeri complessi di modulo 1 Egrave evidente |119906| = 1 equivale a

119906119906 = 1

e quindi 119906 egrave lrsquoinverso di 119906 Come facciamo a trovare lrsquoinverso di un numero complessoqualsiasi diverso da 0 Semplice razionalizziamo

1119886+ 119887119894 = 119886minus 119887119894

1198862 +1198872 = 1198861198862 +1198872 + minus119887

1198862 +1198872 119894

e siccome 119886 + 119887119894 ne 0 lrsquoinverso esiste Se lo vogliamo scrivere senza far ricorso allaparte reale e alla parte immaginaria abbiamo

119906minus1 = |119906|minus2119906

Infatti119906(|119906|minus2119906) = |119906|minus2119906119906 = |119906|minus2|119906|2 = 1

Per ultimo osserviamo che| |119906|minus1119906| = 1

e quindi ogni numero complesso non nullo si puograve scrivere (in modo unico) come pro-dotto di un numero reale positivo il modulo per un numero complesso di modulo 1

93 forma trigonometrica

Vediamomeglio che cosa possiamo fare con i numeri complessi di modulo 1 se |119906| = 1con 119906 = 119886+ 119887119894 abbiamo evidentemente 1198862 + 1198872 = 1 e quindi sappiamo che esiste unnumero reale 120572 determinato a meno di multipli interi di 2120587 tale che

119886 = cos120572 119887 = sin120572

Quindi 119906 = cos120572+119894 sin120572 e questo numero 120572 si chiama argomento di 119906 Il fatto che nonsia determinato univocamente non dagrave problemi Proviamo a moltiplicare due numericomplessi di modulo 1

(cos120572+ 119894 sin120572)(cos120573+ 119894 sin120573) = (cos120572 cos120573minus sin120572 sin120573)+ 119894(sin120572 cos120573+ cos120572 sin120573)

= cos(120572+ 120573) + 119894 sin(120572+ 120573)

180 i numeri complessi

I numeri complessi di modulo 1 si moltiplicano semplicemente sommando gli argo-menti Se ci ricordiamo di questo fatto non occorre nemmeno ricordare le formule diaddizione di seno e coseno

Se 120573 = 120572 troviamo la formula di duplicazione o piugrave in generale la formula permultipli qualsiasi che si chiama formula di De Moivre

(cos120572+ 119894 sin120572)119899 = cos(119899120572) + 119894 sin(119899120572)

Per esempio possiamo sviluppare la potenza per 119899 = 3 e trovare la formula di triplica-zione

cos3120572+ 119894 sin3120572 = (cos120572+ 119894 sin120572)3

= cos3 120572+ 3119894 cos2 120572 sin120572+ 31198942 cos120572 sin2 120572+ 1198943 sin3 120572= (cos3 120572minus 3 cos120572 sin2 120572)+ 119894(3 cos2 120572 sin120572minus sin3 120572)

che possono anche essere lette come

cos3120572 = cos3 120572minus 3 cos120572 sin2 120572sin3120572 = 3 cos2 120572 sin120572minus sin3 120572

La forma trovata per i numeri di modulo 1 puograve essere estesa a tutti i numeri com-plessi diversi da 0 Infatti come abbiamo visto |119906|minus1119906 ha modulo 1 se 119906 ne 0 perciograve

119906 = |119906|(cos120572+ 119894 sin120572)

dove 120572 egrave determinato a meno di multipli interi di 2120587 Questa egrave la cosiddetta formatrigonometrica dei numeri complessi

Il classico problema di trovare le radici 119899-esime dei numeri complessi si risolve fa-cilmente dato 119906 = 120588(cos120572 + 119894 sin120572) dove 120588 = |119906| gt 0 vogliamo trovare i numericomplessi 119907 = 120590(cos120573 + 119894 sin120573) tali che 119907119899 = 119906 La formula di De Morgan dice allorache deve valere

120590119899(cos(119899120573) + 119894 sin(119899120573)) = 120588(cos120572+ 119894 sin120572)

cioegrave 120590 = 119899radic120588 e119899120573 = 120572+ 2119896120587 (119896 intero)

Se vogliamo trovare le radici 119899-esime distinte ci basteragrave far variare 119896 tra 0 e 119899 minus 1percheacute le altre lsquosoluzionirsquo corrispondono ad angoli che differiscono da quelli giagrave trovatiper multipli interi di 2120587 e quindi avremo

120572119899 120572+ 2120587

119899 120572+ 4120587119899 hellip 120572+ 2(119899minus 1)120587

119899

dimostrando che ogni numero complesso diverso da 0 ha esattamente 119899 radici 119899-esimedistinte

La notazione cos120572 + 119894 sin120572 egrave pesante cosigrave spesso si abbrevia in cis120572 Si noti lasomiglianza non casuale di questa funzione con lrsquoesponenziale

cis(120572+ 120573) = cis120572 cis120573

Vogliamo risolvere il seguente problema trovare una formula per

119886119899 = sin120572+ sin(2120572) +⋯+ sin(119899120572)119887119899 = 1+ cos120572+ cos(2120572) +⋯+ cos(119899120572)

94 interpretazione geometrica 181

Se moltiplichiamo la prima per 119894 e sommiamo le due troviamo

119887119899 + 119894119886119899 = cis(0120572) + cis(1120572) +⋯+ cis(119899120572)

che egrave la somma di una progressione geometrica

119887119899 + 119894119886119899 = (cis120572)0 + (cis120572)1 + (cis120572)2 +⋯+ (cis120572)119899

= (cis120572)119899+1 minus 1cis120572minus 1

= cis((119899+ 1)120572) minus 1cis120572minus 1

naturalmente quando cis120572 ne 1 cioegrave 120572 ne 0 (o multipli interi di 2120587) ma in questo caso la sommada cercare egrave banale

Una forma molto interessante si trova raccogliendo cis((119899+ 1)1205722) al numeratore e cis(1205722)al denominatore per evitare notazioni pesanti poniamo 120573 = 1205722 e 120574 = (119899+ 1)120573

119887119899 + 119894119886119899 = cis120574cis120573

cis120574minus cis120574cis120573minus cis120573

Egrave facile dunque scrivere le espressioni per 119886119899 e 119887119899 ricordando che cis120575minus cis120575 = 2119894 sin120575

119887119899 = sin((119899+ 1)1205722)sin(1205722) cos 119899120572

2

119886119899 = sin((119899+ 1)1205722)sin(1205722) sin 119899120572

2

94 interpretazione geometrica

I numeri complessi rimasero unrsquoentitagrave vista con molto sospetto fino a che Argand eGauszlig ne diedero unrsquoevidente interpretazione geometrica se vediamo un numero com-plesso come un punto del piano adoperandone la parte reale e la parte immaginariacome coordinate in un sistema di riferimento cartesiano lrsquoaddizione corrisponde allanota regola del parallelogramma e la moltiplicazione a una rotazione attorno allrsquoorigineseguita da un allungamento o una contrazione

Supponiamo di voler calcolare le coordinate del punto simmetrico rispetto a un assedel punto di coordinate (119904 119905) Facciamo lrsquoipotesi semplificatrice che lrsquoasse passi perlrsquoorigine e che non sia lrsquoasse delle ordinate (in questo caso non crsquoegrave alcuna difficoltagrave)

Se la retta ha equazione 119910 = 119898119909 sappiamo che 119898 = tan120572 dove 120572 egrave lrsquoangolo for-mato con il semiasse positivo delle ascisse Possiamo allora ruotare il punto attornoallrsquoorigine di un angolo minus120572 calcolare il simmetrico rispetto allrsquoasse delle ascisse e ruo-tare di un angolo 120572 Siccome il simmetrico rispetto allrsquoasse delle ascisse egrave il coniugatole operazioni da eseguire sono ponendo 119906 = 119904+ 119905119894

119906 ↦ 119906 cis(minus120572) ↦ 119906 cis(minus120572) = 119906 cis120572 ↦ 119906 cis120572 cis120572 = 119906 cis(2120572)

Quindi il simmetrico egrave

(119904 minus 119905119894) cis(2120572) = 119904 cos(2120572) + 119905 sin(2120572) + 119894(119904 sin(2120572) minus 119905 cos(2120572))

Allora ricordando le note formule e che 119898 = tan120572

cos(2120572) = 1minus1198982

1 +1198982 sin(2120572) = 21198981+1198982

possiamo scrivere che il simmetrico di (119904 119905) ha coordinate

(119904(1 minus1198982) + 21198981199051+1198982 2119898119904minus 119905(1 minus1198982)

1 +1198982 )

182 i numeri complessi

formula decisamente piugrave complicataSe vogliamo calcolare la semidistanza 119889 tra un punto e il suo simmetrico ci basta

calcolare il modulo della differenza

2119889 = |119906minus119906 cis(2120572)|

Ricordando che |cis(minus120572)| = 1

2119889 = |119906minus119906 cis(2120572)| sdot |cis(minus120572)|= |119906 cis(minus120572) minus119906 cis120572|= |119906 cis(minus120572) minus119906 cis(minus120572)|

e il termine dentro il modulo egrave il doppio della parte immaginaria di

(119904 + 119905119894)(cos120572minus 119894 sin120572)

cioegrave

119889 = |minus119904 sin120572+ 119905 cos120572|= |cos120572| |119905 minus119898119904|

= |119905 minus119898119904|radic1+1198982

come ben noto dalla formula della distanza di un punto da una rettaIl caso generale in cui la retta ha equazione 119910 = 119898119909 + 119902 si tratta eseguendo una

traslazione iniziale (119906 ↦ 119906minus119902119894) che poi viene eseguita a rovescio alla fine

119906 ↦ (119906minus 119902119894) cis(2120572) + 119902119894

e il calcolo della distanza egrave molto simile Si puograve anche traslare rispetto a un qualsiasi119908che corrisponda a un punto della retta e cosigrave la formula funziona anche quando la rettaegrave parallela allrsquoasse delle ordinate se prendiamo la retta di equazione 119909 = 119886 abbiamo120572 = 1205872 e per esempio 119908 = 119886 allora il corrispondente di 119906 egrave il punto

(119906minus 119886) cis120587+119886 = minus(119906minus119886) + 119886 = minus119906+ 2119886

come ci si attendePer la simmetria centrale rispetto allrsquoorigine la trasformazione egrave 119906 ↦ minus119906 per la

simmetria centrale rispetto al punto di coordinate (119886119887) poniamo 119908 = 119886+119887119894 e quindila trasformazione egrave

119906 ↦ minus(119906minus119908)+119908 = minus119906+ 2119908Se vogliamo invece una rotazione di un angolo 120572 rispetto allrsquoorigine la trasformazio-ne egrave 119906 ↦ 119906 cis120572 che per la rotazione attorno a 119908 inteso come punto del piano latrasformazione egrave

119906 ↦ (119906minus119908) cis120572+119908Proviamo come semplice applicazione a calcolare la composizione di due simmetrie

assiali rispetto a due rette incidenti Se la prima ha coefficiente angolare 119898 = tan120572 laseconda coefficiente angolare 119899 = tan120573 e il punto di intersezione egrave 119908 il risultato finaledella composizione applicata al punto 119906 egrave

(119907 minus119908) cis2120573+119908 = 119907 cis2120573minus119908 cis2120573+119908

dove 119907 = (119906minus119908) cis2120572+119908 Quindi otteniamo

119906 ↦ (119906minus119908)cis2120572 cis2120573+119908 cis2120573minus119908 cis2120573+119908= (119906minus119908) cis(2120573 minus 2120572) +119908

che egrave evidentemente una rotazione con centro 119908 Si provi che invece la composizionedi due simmetrie assiali rispetto a due rette parallele egrave una traslazione

95 il teorema fondamentale 183

95 il teorema fondamentale

I numeri complessi sono importanti per una proprietagrave che fu intuita fin dal sedicesimosecolo e dimostrata seppure in modo incompleto da Jean-Baptiste Le Rond DrsquoAlembert(1717ndash1783) la prima dimostrazione rigorosa fu data da Carl Friedrich Gauszlig (1777ndash1855)nella sua tesi di laurea (1799)

Siccome nei complessi si puograve parlare di somme emoltiplicazioni ha senso il concettodi polinomio a coefficienti complessi una funzione del tipo

119911 ↦ 1198860 +1198861119911+⋯+119886119899119911119899

dove 1198860 1198861 hellip 119886119899 sono numeri complessi

t e o r ema f ondam en t a l e Ogni polinomio di grado maggiore di zero acoefficienti complessi ha una radice complessa

La dimostrazione richiede tecniche fuori dalla portata di queste note ne vediamosolo qualche conseguenza

La prima conseguenza egrave che ogni polinomio di grado 119899 gt 0 si scrive come

119886119899(119911 minus 1199061)(119911 minus 1199062)hellip(119911minus119906119899)

dove le radici 119906119895 possono anche essere ripetute Infatti il teorema fondamentale diceche una radice 1199061 esiste quindi il polinomio egrave divisibile per 119911 minus 1199061 con quoziente digrado 119899 minus 1 e si puograve ripetere il procedimento fino a che il grado del quoziente egrave 1In effetti egrave chiaro che la dimostrazione del cosiddetto teorema di Ruffini si estende apolinomi a coefficienti complessi

Seconda conseguenza se un polinomio a coefficienti reali egrave irriducibile allora hagrado 1 oppure 2

l e mma Se 119906 egrave una radice complessa del polinomio 119875(119911) = 1198860 +1198861119911+⋯+119886119899119911119899

a coefficienti reali allora anche 119906 egrave radice di 119875

Per ipotesi si ha 1198860 +1198861119906+⋯+119886119899119906119899 = 0 allora abbiamo

0 = 0 = 1198860 +1198861119906+⋯+119886119899119906119899 = 1198860 +1198861119906+⋯+119886119899119906119899

che egrave esattamente la tesi Si noti che abbiamo usato il fatto che 119886119895 = 119886119895 percheacute icoefficienti sono reali

t e o r ema Se 119875 egrave un polinomio irriducibile a coefficienti reali di grado maggioredi 1 allora 119875 ha grado 2 e discriminante negativo

Se 119875 ha una radice reale ed egrave irriducibile allora ha grado 1 per il teorema di RuffiniQuindi possiamo supporre che 119875 non abbia radici reali Ma siccome 119875 ha una radicecomplessa 119906 ha anche la radice 119906 e quindi egrave divisibile sia per 119909minus119906 (con 119909 indichiamola variabile del polinomio) sia per 119909minus119906 che sono polinomi irriducibili distinti quindi119875 egrave divisibile per

(119909 minus119906)(119909minus119906) = 1199092 minus (119906+119906)119909+119906119906che egrave a coefficienti reali Dunque il quoziente egrave un polinomio di grado 0 altrimenti 119875non sarebbe irriducibile Il discriminante di 119875 egrave negativo percheacute 119875 non ha radici realiDel resto a parte il quoziente di grado 0 il discriminante del polinomio appena scrittoegrave

1199062 + 2119906119906+1199062 minus 4119906119906 = (119906minus119906)2 lt 0

Questo naturalmente non significa che sappiamo calcolare la decomposizione in ognicaso egrave piugrave un risultato teorico che pratico che dice lrsquoimportanza di considerare i com-plessi come strumenti effettivi per la matematica e non solo come passaggi intermedida eliminare e nascondere

184 i numeri complessi

96 lrsquoesponenziale e il logaritmo complesso

Proviamo a calcolare la ldquoderivatardquo della funzione cis

cisprime 119905 = cosprime 119905 + 119894 sinprime 119905 = minus sin 119905 + 119894 cos 119905 = 119894(cos 119905 + 119894 sin 119905) = 119894 cis 119905

Si tratta solo di un calcolo formale che per ora non tenteremo di giustificare SeguendoEuler possiamo scrivere allora

cis 119905 = exp(119894119905)

percheacute sappiamo che se una funzione 119891 ha la proprietagrave che 119891prime = 119888119891 con 119888 costanteallora 119891(119909) = exp(119888119909) Euler allora definigrave la funzione esponenziale su un numerocomplesso come

exp(119909 +119910119894) = exp119909 cis119910

e osservograve che vale lrsquousuale proprietagrave

exp(119906+ 119907) = exp119906 exp119907

per numeri complessi qualsiasi 119906 e 119907 In particolare

cos119910 = 12(cis119910+ cis(minus119910)) = exp(119894119910) + exp(minus119894119910)

2

119894 sin119910 = 12(cis119910minus cis(minus119910)) = exp(119894119910) minus exp(minus119894119910)

2

Egrave molto utile definire due funzioni che hanno un comportamento molto simile allefunzioni trigonometriche

cosh 119905 = exp 119905 + exp(minus119905)2 sinh 119905 = exp 119905 minus exp(minus119905)

2

che si chiamano coseno iperbolico e seno iperbolico rispettivamente La relazione eule-riana dice che si possono definire coseno e seno su ogni complesso con

cos119906 = cosh(119894119906) sin119906 = 1119894 sinh(119894119906)

ottenendo funzioni che hanno le stesse proprietagrave formali per esempio le stesse formuledi addizione e periodo 2120587

La relazione che scrisse cioegrave exp(120587119894) = minus1 si puograve anche scrivere

119890120587119894 + 1 = 0

che egrave molto suggestiva Si puograve obiettare che non ha senso elevare 119890 a un lsquonumero im-maginariorsquo ma ha senso elevarlo a 120587 Egrave esattamente la stessa cosa fincheacute ci limitiamoa ubbidire alle definizioni non facciamo nulla di proibito e insensato

Ci poniamo il problema di trovare un numero complesso 119909+119910119894 con 119909 e 119910 reali taliche

exp(119909+119910119894) = 120588 cis120572

dove 119911 = 120588 cis120572 egrave un numero complesso non nullo fissato Lrsquoequazione diventa allora

exp119909 cis119910 = 120588 cis120572

che ha come soluzioni

119909 = log120588 119910 = 120572+ 2119896120587 (119896 intero)

97 serie di taylor 185

Quindi 119909 = log120588 e119910 egrave una qualsiasi delle determinazioni dellrsquoargomento di 119911 I numeriche hanno ldquologaritmo complessordquo puramente immaginario sono allora quelli per i quali119909 = 0 cioegrave 120588 = 1 i numeri complessi di modulo 1 Quelli che hanno (almeno un)ldquologaritmo complessordquo reale sono i numeri con 120572 = 0 cioegrave i numeri reali positivi Unnumero reale negativo ha come argomento120572 = 120587 se119909 egrave reale e119909 lt 0 un suo logaritmocomplesso egrave

log|119909| +120587119894

Il sogno di Johan Bernoulli che argomentava dicendo

log119909 = 12 log(1199092) = 1

2 log(|119909|2) = log|119909|

non si egrave avverato Purtroppo non si egrave avverato nemmeno il sogno di Euler che spe-rava di estendere le proprietagrave del logaritmo ai numeri complessi lrsquoindeterminazionedellrsquoargomento non permette di fare calcoli

Una potenza119886119887 puograve rappresentare un numero reale anche se119886 e 119887 non sono reali perdefinizione i valori assunti da 119886119887 sono quelli assunti da exp(119887 log119886) Occorre dunqueche 119887 log119886 assuma almeno un valore reale Per esempio i logaritmi complessi di minus1sono i numeri complessi della forma 119894(120587+2119896120587) quindi i valori di (minus1)minus119894 sono i numeridella forma 119890120587+2119896120587 Quanto fa 119894119894

97 serie di taylor

Supponiamo di avere una successione (119888119899) a valori complessi Siccome sappiamo scri-vere 119888119899 = 119886119899+119894119887119899 con 119886119899 e 119887119899 reali possiamo definire il limite della successione come119888 = 119886+ 119894119887 dove 119886 e 119887 sono i limiti delle due successioni trovate ammesso che esista-no La cosa interessante egrave che potremmo definire il limite in modo del tutto analogo aquanto fatto per le successioni a valori reali

t e o r ema Il limite della successione complessa (119888119899) vale 119888 se e solo se per ognitolleranza 120576 gt 0 esiste un 119896 tale che per ogni 119899 ge 119896 si abbia

|119888119899 minus 119888| lt 120576

Supponiamo che il limite valga 119888 = 119886 + 119894119887 secondo la definizione data e fissiamouna tolleranza 120576 gt 0 Allora sappiamo che esiste 119896 tale che per 119899 ge 119896 si abbia

|119886119899 minus119886| lt 1205762 e |119887119899 minus119887| lt 120576

2

Se 119911 = 119909+ 119894119910 sappiamo che

|119911| le |119909| + |119894119910| = |119909| + |119910|

e dunque per 119899 ge 119896 abbiamo

|119888119899 minus 119888| = |(119886119899 minus119886)+ 119894(119887119899 minus119887)| le |119886119899 minus119886| + |119887119899 minus119887| le 1205762 + 120576

2 = 120576

Viceversa supponiamo che la condizione dellrsquoenunciato valga Qui usiamo il fattoquasi ovvio che |119909| le |119911| e |119910| le |119911| per 119911 = 119909+ 119894119910 Allora da |119888119899 minus 119888| lt 120576 seguonole disuguaglianze richieste

|119886119899 minus119886| lt 120576 e |119887119899 minus119887| lt 120576

che provano la tesi

186 i numeri complessi

Una volta che sappiamo dare un senso al limite di una successione possiamo ancheparlare di serie Si puograve anche definire la convergenza assoluta allo stesso modo diprima la serie di termine generale (119888119899) converge assolutamente quando la serie ditermine generale (|119888119899|) converge Egrave un facile esercizio dimostrare che la convergenzaassoluta implica la convergenza

In particolare possiamo asserire che la serie di potenze sum119899ge0 119911119899119899 converge perogni 119911 complesso e quindi definire lrsquoesponenziale come

exp119911 = sum119899ge0

119911119899

119899

Se 119911 = 119894119910 abbiamo

exp(119894119910) = sum119899ge0

(119894119910)119899119899

= sum119899ge0

(minus1)119899 1199102119899

(2119899) + 119894 sum119899ge0

(minus1)119899 1199102119899+1

(2119899+ 1)

= cos119910+ 119894 sin119910 = cis119910

separando parte reale e parte immaginaria Si puograve anche dimostrare la relazione fon-damentale

exp(1199111 +1199112) = exp1199111 exp1199112

che perograve richiede alcuni calcoli piuttosto complicati sebbene non difficili

La regola dello sviluppo del binomio vale anche per i numeri complessi essendo basata solosulle regole formali delle operazioni

(119886 + 119887)119899 =119899

sum119896=0

(119899119896)119886119896119887119899minus119896

Possiamo dimostrarla considerando la funzione

119891(119909) = (119909+ 119887)119899 minus119899

sum119896=0

(119899119896)119909119896119887119899minus119896

che ha come derivata

119891prime(119909) = 119899(119909+ 119887)119899minus1 minus119899

sum119896=1

119896(119899119896)119909119896minus1119887119899minus119896

(il termine per 119896 = 0 sparisce) Nella somma cambiamo lrsquoindice 119896 ponendo 119896 = 119895+ 1

119891prime(119909) = 119899(119909+ 119887)119899minus1 minus119899minus1

sum119895=0

(119895 + 1)( 119899119895+ 1)119909

119895119887119899minus1minus119895

Ora consideriamo

(119895 + 1)( 119899119895+ 1) = (119895 + 1) 119899

(119895 + 1) (119899 minus 1minus 119895) = 119899 (119899minus 1)119895 (119899 minus 1minus 119895) = 119899(119899minus 1

119895 )

e dunque

119891prime(119909) = 119899(119909+ 119887)119899minus1 minus119899119899minus1

sum119895=0

(119899minus 1119895 )119909119895119887119899minus1minus119895

e per ipotesi induttiva possiamo supporre che

119899minus1

sum119895=0

(119899minus 1119895 )119909119895119887119899minus1minus119895 = (119909+ 119887)119899minus1

Dunque 119891prime(119909) = 0 cioegrave 119891 egrave costante Siccome 119891(0) = 119887119899 minus 119887119899 = 0 abbiamo lrsquouguaglianzarichiesta Il passo base dellrsquoinduzione cioegrave il caso di 119899 = 0 egrave ovvio

97 serie di taylor 187

Estendiamo la definizione del coefficiente binomiale (119899119896) anche per 119896 gt 119899 ponendo (119899119896) = 0 Inquesto modo possiamo scrivere (119886+119887)119899 = sum119896ge0 (119899119896)119886119896119887119899minus119896 come se fosse una serie almeno nelcaso di 119887 ne 0 Siccome vogliamo provare che exp(119886 + 119887) = exp119886 exp119887 il caso di 119887 = 0 non ci dagraveproblemi e quindi non egrave restrittivo assumere 119887 ne 0 Consideriamo dunque

119898

sum119899=0

(119886 + 119887)119899119899 =

119898

sum119899=0

1119899 sum119896ge0

(119899119896)119886119896119887119899minus119896 = sum

119896ge0119886119896

119898

sum119899=0

1119899 (

119899119896)119887

119899minus119896

La somma interna puograve essere scritta come

119898

sum119899=119896

1119899

119899119896 (119899 minus 119896)119887

119899minus119896 = 1119896

119898

sum119899=119896

1(119899minus 119896)119887

119899minus119896 = 1119896

119898minus119896

sum119897=0

119887119897

119897

La convenzione che funziona egrave che una somma in cui lrsquoindice inferiore egrave maggiore dellrsquoindicesuperiore vale 0 Dunque otteniamo

119898

sum119899=0

(119886 + 119887)119899119899 = sum

119896ge0

119886119896

119896 (119898minus119896

sum119897=0

119887119897

119897 )

Se ora calcoliamo il limite per 119898 rarr +infin la parentesi interna diventa exp119887 e quindi abbiamoesattamente lrsquouguaglianza richiesta In alcuni passaggi occorrerebbe maggiore cautela ma ciaccontentiamo

Questa nuova definizione dellrsquoesponenziale egrave del tutto equivalente a quella dataprima visto che per le proprietagrave appena esaminate si ottiene

exp(119909 + 119894119910) = exp119909 cis119910

Si usa definire tramite questa funzione anche le funzioni trigonometriche

cos119911 = exp(119894119911) + exp(minus119894119911)2 sin119911 = exp(119894119911) minus exp(minus119894119911)

2119894

per ogni 119911 complesso Quando 119911 egrave reale infatti si hanno proprio le identitagrave chederivano da exp(119894119910) = cis119910 Si definisce di solito anche

cosh119911 = exp(119911) + exp(minus119911)2 sinh119911 = exp(119911) minus exp(minus119911)

2

cosiccheacutecos119911 = cosh(119894119911) sin119911 = 1

119894 sinh(119894119911)

IND ICE DE I NOMI

Archimede 111

Barrow Isaac 114Bernoulli Daniel 41Bernoulli Jakob 41Bernoulli Jakob II 41Bernoulli Johann 41Bernoulli Johann II 41Bernoulli Johann III 41Bernoulli Nicolaus 41Bernoulli Nicolaus II 41Bolzano Bernard 41

Cantor Georg 167Cardano Girolamo 175Cartesio vedi DescartesCauchy Augustin-Louis 27Cavalieri Bonaventura 113

DrsquoAlembert Jean-Baptiste Le Rond 183Dedekind Richard 167del Ferro Scipione 175Descartes Reacuteneacute 111Dirichlet Peter Gustav Lejeune 24

Eudosso 111Euler Leonhard 41

Fermat Pierre de 13Ferrari Lodovico 175Fontana Nicolograve vedi Tartaglia

Galilei Galileo 113Gauszlig Carl Friedrich 183Gregory James 152

Hadamard Jacques 161Heine Heinrich Eduard 27Hocircpital Guillaume Franccedilois Antoine

de lrsquo 57

Kauffmann Nikolaus 150

lrsquoHocircpital vedi HocircpitalLagrange Giuseppe Luigi

(Joseph-Louis) 41Lambert Johann Heinrich 80Lebesgue Henri 115Legendre Adrien-Marie 145Leibniz Gottfried Wilhelm von 17Lindemann Ferdinand von 111Liouville Joseph 167

Mascheroni Lorenzo 166Mengoli Pietro 135Mercator vedi Kauffmann

Newton Isaac 113

Pitagora 150

Riemann Bernhard 114Rolle Michel 52

Tartaglia Nicolograve 175Torricelli Evangelista 113

Viegravete Franccedilois 176

Wantzel Pierre 111Weierstraszlig Karl 27

189

• Indice
• Elenco delle figure
• Elenco delle tabelle
• 0 Nozioni di base
• • 01 Numeri reali
  • 02 Funzioni
  • 03 Induzione
  • • 1 Curve e tangenti
    • • 11 Il metodo di Fermat
      • 12 Come giustificare il metodo di Fermat
      • 13 Il logaritmo e lesponenziale
      • 14 Derivata e tangente
      • 15 Curve algebriche
      • 16 Seno e coseno
      • 17 Problemi
      • • 2 Continuitagrave
        • • 21 Teoremi sulla continuitagrave
          • 22 Limiti
          • 23 Il teorema di Bolzano sugli zeri
          • 24 Tecniche di calcolo dei limiti
          • 25 Funzioni composte
          • • 3 Funzioni derivabili
            • • 31 I teoremi sulle funzioni derivabili
              • 32 I teoremi di Cauchy e di lHocircpital
              • 33 Derivata della funzione inversa
              • • 4 Limiti
                • • 41 Limiti infiniti
                  • 42 Limiti allinfinito
                  • 43 Forme indeterminate
                  • 44 Ordini di infinitesimo
                  • • 5 Studi di funzione
                    • • 51 Equazioni non algebriche
                      • 52 Procedura per lo studio di una funzione
                      • 53 Asintoti
                      • 54 Esempi
                      • 55 Unapplicazione
                      • 56 Convessitagrave e derivata seconda
                      • 57 Successioni
                      • 58 La formula di Taylor
                      • 59 Calcolo di limiti con gli sviluppi di Taylor
                      • 510 Curvatura
                      • • 6 Integrali
                        • • 61 Calcolo delle aree
                          • 62 Integrazione
                          • 63 Il logaritmo e lesponenziale
                          • 64 Tecniche di integrazione
                          • 65 Le funzioni iperboliche
                          • 66 Esistenza delloperatore integrale
                          • 67 Disuguaglianze
                          • 68 Frazioni algebriche e integrali
                          • 69 Integrali e aree
                          • 610 Integrali impropri
                          • 611 La funzione Gamma
                          • 612 Integrazione numerica
                          • • 7 Serie
                            • • 71 Integrali e successioni
                              • 72 Altre successioni
                              • 73 Definizione di serie
                              • 74 Criteri di convergenza
                              • 75 Serie a termini positivi
                              • 76 Convergenza assoluta
                              • 77 Serie di potenze
                              • 78 La serie binomiale
                              • 79 Una serie migliore per il calcolo del logaritmo
                              • 710 La serie armonica e i logaritmi
                              • • 8 I numeri reali
                                • • 81 Gli assiomi
                                  • 82 Lassioma di continuitagrave
                                  • 83 Il teorema di unicitagrave
                                  • 84 La costruzione di Dedekind
                                  • 85 La costruzione di Weierstrass
                                  • 86 La costruzione di Cantor
                                  • • 9 I numeri complessi
                                    • • 91 Operazioni sui numeri complessi
                                      • 92 Coniugato di un numero complesso
                                      • 93 Forma trigonometrica
                                      • 94 Interpretazione geometrica
                                      • 95 Il teorema fondamentale
                                      • 96 Lesponenziale e il logaritmo complesso
                                      • 97 Serie di Taylor
                                      • • Indice dei nomi