Calcolo integrale: integrale deﬁnito · Calcolo integrale: integrale deﬁnito Giulia Simi (Universita di Siena)` Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016

Calcolo integrale: integrale definito

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 1 / 41

Il problema dell’area

Determinare l’area della regione S di piano compresa tra il grafico diuna funzione continua f definita in [a,b], e con f (x) ≥ 0 per ognix ∈ [a,b], e le rette verticali x = a e x = b.

S = {(x , y) : a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x)}


NotaNon e affatto semplice determinare l’area di regioni delimitate dacontorni curvilinei.

Abbiamo tutti un’idea intuitiva di cosa sia l’area di una regione dipiano, ma parte del problema dell’area e proprio quello diprecisare l’idea intuitiva con una definizione esatta di area.

Per l’area si seguira una procedura simile a quella utilizzata perdefinire la pendenza della retta tangente ad una curva in unpunto: prima si era approssimato la pendenza della tangente conle pendenze di rette secanti e poi si era considerato il limite diqueste approssimazioni.










Per definire l’area della regione S, prima si approssimera S conrettangoli cioe semplici figure di cui e facile calcolare l’area e poi siconsiderera il limite delle aree di tali rettangoli.

A tale scopo, si divide la regione S in n strisce S1,S2, . . . ,Sn diuguale ampiezza ∆x = b−a

n .


Per definire l’area della regione S, prima si approssimera S conrettangoli cioe semplici figure di cui e facile calcolare l’area e poi siconsiderera il limite delle aree di tali rettangoli.

A tale scopo, si divide la regione S in n strisce S1,S2, . . . ,Sn diuguale ampiezza ∆x = b−a

n .


Si approssima la i-esima striscia Si , con un rettangolo di base ∆xe altezza, f (xi), dove xi e l’estremo destro dell’i-esimo intervallo[xi−1, xi ].

Il numero che pensiamo intuitivamente come area di S eapprossimato dalla somma Rn delle aree di questi rettangoli:

Rn = f (x1) ·∆x + f (x2) ·∆x + . . .+ f (xn) ·∆x .




Rn = f (x1) ·∆x + f (x2) ·∆x + . . .+ f (xn) ·∆x .




Rn = f (x1) ·∆x + f (x2) ·∆x + . . .+ f (xn) ·∆x .


Le approssimazioni sono migliori al crescere di n, cioe pern→ +∞.

n = 2, n = 4.

n = 8, n = 12.Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 6 / 41


n = 2, n = 4.



n = 2, n = 4.


Per tale ragione, e naturale definire l’area A della regione S come illimite della somma delle aree dei rettangoli approssimanti, ovvero:

A = limn→+∞

Rn = limn→+∞

[f (x1) ·∆x + . . .+ f (xn) ·∆x ].

Si puo dimostrare che:tale limite esiste sempre se f e continua;si ottiene lo stesso valore del limite se si considera l’estremosinistro degli intervalli:

A = limn→+∞

Ln = limn→+∞

[f (x0) ·∆x + . . .+ f (xn−1) ·∆x ].



A = limn→+∞

Rn = limn→+∞

[f (x1) ·∆x + . . .+ f (xn) ·∆x ].


A = limn→+∞

Ln = limn→+∞

[f (x0) ·∆x + . . .+ f (xn−1) ·∆x ].



A = limn→+∞

Rn = limn→+∞

[f (x1) ·∆x + . . .+ f (xn) ·∆x ].


A = limn→+∞

Ln = limn→+∞

[f (x0) ·∆x + . . .+ f (xn−1) ·∆x ].



A = limn→+∞

Rn = limn→+∞

[f (x1) ·∆x + . . .+ f (xn) ·∆x ].


A = limn→+∞

Ln = limn→+∞

[f (x0) ·∆x + . . .+ f (xn−1) ·∆x ].



A = limn→+∞

Rn = limn→+∞

[f (x1) ·∆x + . . .+ f (xn) ·∆x ].


A = limn→+∞

Ln = limn→+∞

[f (x0) ·∆x + . . .+ f (xn−1) ·∆x ].


Definizione di area

DefinizionePiu in generale, invece di usare gli estremi dei sottointervalli, si puoprendere come altezza dell’i-esimo rettangolo il valore f (x∗i ) che lafunzione f assume in un punto x∗i dell’intervallo [xi−1, xi ], scelto adarbitrio. I punti x∗1 , x

∗2 , . . . , x

∗n sono detti punti base.

Si ha allora la seguente definizione per l’area A di S:A = limn→+∞[f (x∗1 ) ·∆x + . . .+ f (x∗n ) ·∆x ] = limn→+∞

∑ni=1 f (x∗i ) ·∆x


Definizione di area

DefinizionePiu in generale, invece di usare gli estremi dei sottointervalli, si puoprendere come altezza dell’i-esimo rettangolo il valore f (x∗i ) che lafunzione f assume in un punto x∗i dell’intervallo [xi−1, xi ], scelto adarbitrio. I punti x∗1 , x

∗2 , . . . , x

∗n sono detti punti base.

Si ha allora la seguente definizione per l’area A di S:A = limn→+∞[f (x∗1 ) ·∆x + . . .+ f (x∗n ) ·∆x ] = limn→+∞

∑ni=1 f (x∗i ) ·∆x


Il tipo di limite che compare quando si definisce un’area si incontra inmolte altre situazioni, anche quando f non e necessariamente positiva.

Esempioper trovare la distanza percorsa da un oggetto in un certointervallo di tempo, conoscendo la sua velocita in ogni istante;per misurare lunghezze di curve;per determinare volumi di solidi;per definire il concetto fisico di lavoro compiuto da una forza peruno spostamento da un punto di ascissa x = a ad un punto diascissa x = b.

E allora naturale introdurre un nome ed una notazione specialeper questo tipo di limiti.


















Integrale definito

DefinizioneDefinizione secondo RiemannSia f una funzione continua definita in [a,b], non necessariamentepositiva. Dividiamo l’intervallo [a,b] in n sottointervalli di ugualeampiezza ∆x = b−a

n e siano x0 = a, x1, x2, . . . , xn = b gli estremi deisottointervalli.Considerati n punti x∗1 , x

∗2 , . . . , x

∗n in modo che, per ogni i, x∗i

appartenga all’i-esimo sottointervallo [xi−1, xi ], si definisce integraledefinito di f da a in b nel modo seguente:∫ b

af (x)dx = lim

n→+∞

n∑i=1

f (x∗i ) ·∆x


NotaPoiche f e continua, si puo dimostrare che l’integrale definitoesiste sempre ed il suo valore non dipende dalla scelta dei puntibase x∗1 , x

∗2 , . . . , x

∗n .

Il simbolo∫

e stato introdotto da Leibniz e si chiama segno diintegrale. Si presenta come una S allungata e fu scelto perche unintegrale e il limite di una somma.

Nella notazione∫ b

a f (x)dx f (x) e detta funzione integranda,mentre a e b sono detti estremi di integrazione: a e l’estremoinferiore e b e l’estremo superiore.

Il simbolo dx di per se non significa nulla: l’intera espressione eun unico simbolo.

La procedura di calcolo dell’integrale si chiama integrazione.



∗2 , . . . , x

∗n .

Il simbolo∫








∗2 , . . . , x

∗n .

Il simbolo∫








∗2 , . . . , x

∗n .

Il simbolo∫








∗2 , . . . , x

∗n .

Il simbolo∫







Nota

L’integrale definito∫ b

a f (x)dx e un numero e non dipende da x: sipuo usare una lettera qualunque al posto di x senza alterare ilvalore dell’integrale∫ b

af (x)dx =

∫ b

af (t)dt =

∫ b

af (u)du = . . .


Significato geometrico

Se f e una funzione positiva o nulla in [a,b],∫ b

a f (x)dx e ilnumero che esprime l’area della regione di piano sottesa allacurva tra a e b.

Se f e una funzione negativa in [a,b],∫ b

a f (x)dx e il numero cheesprime l’opposto dell’area della regione compresa tra l’asse dellex e il grafico della funzione tra a e b.

Se f assume valori sia positivi che negativi in [a,b],∫ b

a f (x)dx eil numero che esprime la somma delle aree delle regioni sopral’asse x , diminuita della somma delle aree delle regioni sottol’asse x .


















Proprieta dell’integrale definitoDalla definizione di integrale definito da a in b con a ≤ b segue:∫ b

af (x)dx = −

∫ a

bf (x)dx ,

invertendo a con b, ∆x cambia di segno poiche passa da b−an a

a−bn . ∫ a

af (x)dx = 0

Integrale di una costante:∫ b

a cdx = c · (b − a).

Integrale della somma o differenza:∫ b

a[f (x)± g(x)]dx =

∫ b

af (x)dx ±

∫ b

ag(x)dx .



af (x)dx = −

∫ a

bf (x)dx ,


a−bn . ∫ a

af (x)dx = 0


a cdx = c · (b − a).


a[f (x)± g(x)]dx =

∫ b

af (x)dx ±

∫ b

ag(x)dx .



af (x)dx = −

∫ a

bf (x)dx ,


a−bn . ∫ a

af (x)dx = 0


a cdx = c · (b − a).


a[f (x)± g(x)]dx =

∫ b

af (x)dx ±

∫ b

ag(x)dx .



af (x)dx = −

∫ a

bf (x)dx ,


a−bn . ∫ a

af (x)dx = 0


a cdx = c · (b − a).


a[f (x)± g(x)]dx =

∫ b

af (x)dx ±

∫ b

ag(x)dx .



af (x)dx = −

∫ a

bf (x)dx ,


a−bn . ∫ a

af (x)dx = 0


a cdx = c · (b − a).


a[f (x)± g(x)]dx =

∫ b

af (x)dx ±

∫ b

ag(x)dx .



af (x)dx = −

∫ a

bf (x)dx ,


a−bn . ∫ a

af (x)dx = 0


a cdx = c · (b − a).


a[f (x)± g(x)]dx =

∫ b

af (x)dx ±

∫ b

ag(x)dx .



af (x)dx = −

∫ a

bf (x)dx ,


a−bn . ∫ a

af (x)dx = 0


a cdx = c · (b − a).


a[f (x)± g(x)]dx =

∫ b

af (x)dx ±

∫ b

ag(x)dx .


Proprieta dell’integrale definito

Integrale di un multiplo:∫ b

a c · f (x)dx = c ·∫ b

a f (x)dx con c ∈ R.

Suddivisione dell’intervallo di integrazione:∫ ca f (x)dx +

∫ bc f (x)dx =

∫ ba f (x)dx per ogni c ∈ [a,b].

Confronto di integrali:Se f (x) ≥ g(x) per ogni x ∈ [a,b]∫ b

af (x)dx ≥

∫ b

ag(x)dx .




a c · f (x)dx = c ·∫ b



∫ bc f (x)dx =



af (x)dx ≥

∫ b

ag(x)dx .




a c · f (x)dx = c ·∫ b



∫ bc f (x)dx =



af (x)dx ≥

∫ b

ag(x)dx .




a c · f (x)dx = c ·∫ b



∫ bc f (x)dx =



af (x)dx ≥

∫ b

ag(x)dx .


Calcolo degli integrali definiti

Il calcolo di un integrale definito a partire dalla definizione e unaprocedura, in generale, molto laboriosa e difficile.

Newton scoprı un metodo molto piu semplice per il calcolo degliintegrali definiti e pochi anni dopo Leibniz, in modo indipendente,fece la stessa scoperta.

La loro scoperta costituisce una parte rilevante delteorema fondamentale del calcolo












Il Teorema fondamentale del calcolo merita questo nome proprioperche stabilisce un legame tra le due sezioni del calcolo: ilcalcolo differenziale e il calcolo integrale.

Il calcolo differenziale e stato sviluppato a partire dal problemadella tangente, mentre il calcolo integrale e stato introdotto apartire dal problema dell’area, a prima vista del tuttoindipendente dall’altro.

Utilizzando gli studi di Torricelli, Barrow scoprı che questi dueproblemi sono in realta strettamente correlati: egli capı chederivazione ed integrazione sono l’una il processo inversodell’altra.

Il Teorema fondamentale del calcolo esprime in modo precisola connessione tra derivata ed integrale definito.

















TeoremaTeorema fondamentale del calcolo integrale: I parte di

Torricelli-BorrowSia f : [a,b]→ R una funzione continua. Allora f ha primitiva.

Proof.(cenno)Si prova che la funzione F : [a,b]→ R definita da:

F (x) =

∫ x

af (t)dt

detta funzione integrale di f , e derivabile per ogni x ∈ [a,b] ed eF ′(x) = f (x).





F (x) =

∫ x

af (t)dt






F (x) =

∫ x

af (t)dt






F (x) =

∫ x

af (t)dt



NotaQuesto teorema puo essere cosı scritto: se f e continua, allora

D(∫ x

af (t)dt

)= f (x).

In pratica, il teorema ci dice che se prima integriamo f e poi deriviamoil risultato, ritroviamo la funzione di partenza f .



D(∫ x

af (t)dt

)= f (x).




D(∫ x

af (t)dt

)= f (x).



TeoremaTeorema fondamentale del calcolo integrale: II parte di

Newton-LeibnizSia f : [a,b]→ R una funzione continua e sia G una primitiva di f .Allora ∫ b

af (x)dx = G(b)−G(a) = [G(x)]ba.


Proof.Dal teorema di Torricelli-Barrow, la funzione integrale

F (x) =

∫ x

af (t)dt

e una primitiva di f . Poiche due qualunque primitive differiscono peruna costante, si ha G(x) = F (x) + c, con c ∈ R. Ma allora:G(b)−G(a) = [F (b) + c]− [F (a) + c] =

=

(∫ b

af (t)dt + c

)−(∫ a

af (t)dt + c

)=

∫ b

af (t)dt + c − c =

=

∫ b

af (t)dt =

∫ b

af (x)dx .



F (x) =

∫ x

af (t)dt


=

(∫ b

af (t)dt + c

)−(∫ a

af (t)dt + c

)=

∫ b

af (t)dt + c − c =

=

∫ b

af (t)dt =

∫ b

af (x)dx .



F (x) =

∫ x

af (t)dt


=

(∫ b

af (t)dt + c

)−(∫ a

af (t)dt + c

)=

∫ b

af (t)dt + c − c =

=

∫ b

af (t)dt =

∫ b

af (x)dx .



F (x) =

∫ x

af (t)dt


=

(∫ b

af (t)dt + c

)−(∫ a

af (t)dt + c

)=

∫ b

af (t)dt + c − c =

=

∫ b

af (t)dt =

∫ b

af (x)dx .



F (x) =

∫ x

af (t)dt


=

(∫ b

af (t)dt + c

)−(∫ a

af (t)dt + c

)=

∫ b

af (t)dt + c − c =

=

∫ b

af (t)dt =

∫ b

af (x)dx .


NotaDal teorema fondamentale del calcolo, se f e continua in [a,b] si ha∫ b

a f (x)dx = G(b)−G(a) dove G e tale che G′(x) = f (x). Ma allora sipuo anche scrivere: ∫ b

aG′(x)dx = G(b)−G(a).

In questa versione, il teorema ci dice che se prendiamo una funzioneG e prima la deriviamo e poi integriamo il risultato, otteniamo ancora lafunzione G di partenza, ma nella forma G(b)−G(a).

Prese insieme, le due parti del teorema fondamentale del calcoloaffermano che la derivazione e l’integrazione sono processiinversi: ciascuno annulla l’effetto dell’altro.




















Osservazione

Il teorema fondamentale e senza dubbio il piu importante teoremadel calcolo e certamente uno dei maggiori traguardi raggiunti dallamente umana.

Prima della sua scoperta, dai tempi di Eudosso ed Archimede aquelli di Galileo e Fermat, problemi di calcolo di aree, volumi elunghezze di curve erano cosı difficili che solo un genio potevaaffrontarne la sfida.

Grazie al metodo sistematico che Newton e Leibniz hanno creato,questi problemi sono diventati accessibili a tutti.


Osservazione





Osservazione





Applicazioni

L’uguaglianza ∫ b

aG′(x)dx = G(b)−G(a)

che deriva dal teorema fondamentale del calcolo, si puo applicare insvariate situazioni.

Vediamo alcuni esempi.


Applicazioni






Applicazioni






Applicazioni






Esempio1 Se V (t) e il volume dell’acqua contenuta in un serbatoio al tempo

t, la sua derivata V ′(t) e la velocita con cui l’acqua entra nelserbatoio al tempi t. Quindi∫ t2

t1V ′(t)dt = V (t2)− V (t1)

rappresenta la variazione della quantita d’acqua presente nelserbatoio tra t1 e t2.

2 Se n′(t) e il tasso di crescita di una popolazione, allora∫ t2

t1n′(t)dt = n(t2)− n(t1)

e l’accrescimento della popolazione nel periodo di tempo t1 e t2.




t1V ′(t)dt = V (t2)− V (t1)



t1n′(t)dt = n(t2)− n(t1)





t1V ′(t)dt = V (t2)− V (t1)



t1n′(t)dt = n(t2)− n(t1)





t1V ′(t)dt = V (t2)− V (t1)



t1n′(t)dt = n(t2)− n(t1)





t1V ′(t)dt = V (t2)− V (t1)



t1n′(t)dt = n(t2)− n(t1)





t1V ′(t)dt = V (t2)− V (t1)



t1n′(t)dt = n(t2)− n(t1)



Esempio1 Se un oggetto si muove lungo una traiettoria rettilinea con

funzione di posizione s(t), allora la sua velocita e v(t) = s′(t), equindi: ∫ t2

t1v(t)dt = s(t2)− s(t1)

e il cambiamento di posizione, o spostamento, dell’oggettonell’intervallo di tempo fra t1 e t2.

2 L’accelerazione di un oggetto e a(t) = v ′(t), quindi∫ t2

t1a(t)dt = v(t2)− v(t1)

e la variazione della velocita tra l’istante t1 e l’istante t2.




t1v(t)dt = s(t2)− s(t1)



t1a(t)dt = v(t2)− v(t1)





t1v(t)dt = s(t2)− s(t1)



t1a(t)dt = v(t2)− v(t1)





t1v(t)dt = s(t2)− s(t1)



t1a(t)dt = v(t2)− v(t1)





t1v(t)dt = s(t2)− s(t1)



t1a(t)dt = v(t2)− v(t1)





t1v(t)dt = s(t2)− s(t1)



t1a(t)dt = v(t2)− v(t1)



Approfondimenti sulle aree

Gli integrali definiti sono anche utilizzati per determinare l’area diregioni di piano piu generali, a partire da quelle regioni che sonocomprese tra i grafici di due funzioni.

Siano f e g funzioni continue con f (x) ≥ g(x) per ogni x ∈ [a,b],allora l’area A della regione S di piano delimitata dai grafici dellefunzioni y = f (x) e y = g(x) e dalle rette x = a e x = b, e data da:A =

∫ ba [f (x)− g(x)]dx .





∫ ba [f (x)− g(x)]dx .





∫ ba [f (x)− g(x)]dx .



Se la regione S di piano e delimitata dai grafici di piu funzioni, sisuddivide opportunamente con rette verticali la regione S, in modo checiascuna sottoregione sia delimitata dai grafici di due funzioni, cosı daricondursi al caso precedente per il calcolo della relativa area.


EsempioLa figura illustra il procedimento.

Posto A=area di S, A1=area di S1 e A2=area di S2 si ha

A = A1 + A2 =

∫ b

a[g(x)− f (x)]dx +

∫ c

b[h(x)− f (x)]dx .


EsempioLa figura illustra il procedimento.

Posto A=area di S, A1=area di S1 e A2=area di S2 si ha

A = A1 + A2 =

∫ b

a[g(x)− f (x)]dx +

∫ c

b[h(x)− f (x)]dx .


Esempio

Calcolare l’area compresa tra le funzioni f (x) = x2 e g(x) = xFacendo un disegno abbastanza preciso, possiamo schematizzare lasituazione cosı.

Area compresa fra f (x) e g(x)

A questo punto resta da calcolare:∫ 10 x − x2dx =

[x2

2 −x3

3

]1

0= 1

2 −13 = 1

6 .


Esempio




[x2

2 −x3

3

]1

0= 1

2 −13 = 1

6 .


Esempio




[x2

2 −x3

3

]1

0= 1

2 −13 = 1

6 .


Esempio

Calcolare l’area compresa tra le funzioni f (x) = x2 − 1 eg(x) = −x2 + 1.

Area compresa tra due curve f (x) e g(x)

Non c’e bisogno di fare il sistema per capire che gli estremi diintegrazione a e b sono a = −1 e b = 1. Si ha:


Esempio

Calcolare l’area compresa tra le funzioni f (x) = x2 − 1 eg(x) = −x2 + 1.


Non c’e bisogno di fare il sistema per capire che gli estremi diintegrazione a e b sono a = −1 e b = 1. Si ha:


Esempio


∫ 1

−1−x2 + 1− x2 + 1dx =

∫ 1

−1−2x2 + 2dx =

[−2

3x3 + 2x

]1

−1=

−23

+ 2− (23− 2) = 4− 4

3=

83.


Esempio


∫ 1

−1−x2 + 1− x2 + 1dx =

∫ 1

−1−2x2 + 2dx =

[−2

3x3 + 2x

]1

−1=

−23

+ 2− (23− 2) = 4− 4

3=

83.


EsempioSi consideri la curva f (x) = cos x. Determinare, se esiste, almeno unnumero reale b > −3

2π, per il quale sia∫ b− 3

2πf (x)dx = 0.

Significato geometrico dell’integrale


EsempioSi consideri la curva f (x) = cos x. Determinare, se esiste, almeno unnumero reale b > −3

2π, per il quale sia∫ b− 3

2πf (x)dx = 0.



Esempio


Si puo rispondere a questo quesito sfruttando ancora una volta solo edesclusivamente le conoscenze delle funzioni elementari. Per quantoriguarda l’interpretazione geometrica dell’integrale sappiamo che unintegrale definito vale 0 o quando stiamo integrando una funzione nullao quando stiamo integrando una funzione in un intervallo nel qualel’area presa in considerazione nella parte positiva della funzione eesattamente uguale a quella negativa. Vedi figura. Quindi, partendoda a = −3

2π il primo valore di b che soddisfa tale requesito e b = π2 .


Esercizi1 Se w ′(t) e il tasso di crescita di un bambino in etti all’anno, cosa

rappresenta∫ 105 w ′(t)dt =?

2 Una popolazione di 100 api cresce alla velocita di n′(t) unita asettimana. Cosa rappresenta100 +

∫ 150 n′(t)dt =?

3 Trovare l’intervallo in cui la funzioneF (x) =

∫ x0

11+t+t2 dt ha concavita verso l’alto.

4 Una particella si muove lungo una retta con velocitav(t) = t2 + 2t − 3 (misurata in metri al secondo). Determinare lospostamento della particella nel periodo di tempo 1 ≤ t ≤ 3.





∫ 150 n′(t)dt =?


∫ x0







∫ 150 n′(t)dt =?


∫ x0







∫ 150 n′(t)dt =?


∫ x0




EserciziL’area chiamata B e tre volte area di A. Esprimere b in termini di a.


EserciziCalcolare l’area della regione colorata in ciascuna figura:


Esercizi1 Trovare il numero reale a per cui la retta di equazione x = a

suddivide la regione individuata dall’asse x e dalla curvay = x3 − x, nell’intervallo [1,3], in due parti di uguale area(rappresentare la situazione nel piano cartesiano).

2 Calcolare il seguente integrale definito ed interpretarlogeometricamente dopo aver rappresentato nel piano cartesiano ilgrafico della funzione integranda:∫ 2

12

1−xx2 dx .

3 Calcolare l’area della regione di piano delimitata dall’asse x, dallacurva y = ln x e dalle rette di equazione x = 1

e ed x = e.Rappresentare nel piano cartesiano la regione considerata.

4 Determinare l’area della regione di piano limitata dalla parabolay = x2, dalla tangente alla parabola in (1,1) e dall’asse x.Rappresentare nel piano cartesiano la regione considerata.





12

1−xx2 dx .








12

1−xx2 dx .








12

1−xx2 dx .





EserciziDato il grafico di f , valutare ciascun integrale interpretandolo in terminidi aree.


EserciziSia g(x) =

∫ x0 f (t)dt dove f e la funzione avente il grafico sotto

riportato.

a) Calcolare g(0), g(1), g(2), g(3) e g(6).

b) Su quali intervalli g e crescente?

c) Per quale valore di x, g assume il valore massimo?


EserciziSia g(x) =


riportato.





EserciziSia g(x) =


riportato.





EserciziSia g(x) =


riportato.





EserciziDue auto A e B partono affiancate e da ferme. La figura mostra igrafici delle loro funzioni velocita.

a) Quale delle due auto e in testa dopo un minuto?Spiegare.

b) Qual e il significato dell’area della regione colorata?


EserciziDue auto A e B partono affiancate e da ferme. La figura mostra igrafici delle loro funzioni velocita.

a) Quale delle due auto e in testa dopo un minuto?Spiegare.

b) Qual e il significato dell’area della regione colorata?


Documents

Calcolo integrale: integrale deﬁnito · Calcolo integrale: integrale deﬁnito Giulia Simi (Universita di Siena)` Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016