Calcolo legno DM 2008

Prof. Ing. Serio Francesco Docente di Costruzioni Istituto Giovanni XXIII Ribera Anno scolastico 2009-2010

1

CARATTERISTICHE MECCANICHE 3

LA CLASSIFICAZIONE 3

LE CARATTERISTICHE MECCANICHE 4

LE TENSIONI DI CALCOLO 6

METODO DI CALCOLO 9

AZIONI DI CALCOLO 9

FORMULE PER LA VERIFICA 11

PROGETTO A FLESSIONE (H>150) 12

CALCOLO DEI VALORI DI RESISTENZA 12

CALCOLO DELLE SOLLECITAZIONI 13

VERIFICA A FLESSIONE 13

VERIFICA A TAGLIO 14

PROGETTO A FLESSIONE (H<150) 14


ESEMPIO DI CALCOLO DI COLLAUDO A FLESSIONE 15

VERIFICA A FLESSIONE 17

ESEMPIO DI PROGETTO A FLESSIONE DEVIATA (H < 150 MM). 17

CALCOLO VALORI DI RESISTENZA 17


PROGETTO A FLESSIONE 19

VERIFICA A TAGLIO 20

COMPRESSIONE E CARICO DI PUNTA 21

PRESSOFLESSIONE 28


2

STATI LIMITE DI ESERCIZIO (DEFORMAZIONI) 28

ESEMPIO DI CALCOLO 30


3

Caratteristiche meccaniche

La classificazione

La classificazione del legname strutturale generalmente avviene a vista anche

se negli ultimi tempi sono stati introdotti dei metodi di classificazione a

macchina.

La classificazione a vista del legno italiano viene effettuata in base alle norme

UNI 11035-1 (terminologia e misurazione delle caratteristiche) e UNI 11035-2

(regole per la classificazione a vista secondo la resistenza e valori caratteristici

per i tipi strutturali di legname italiano).

Come primo passo viene individuata la specie arborea

CONIFERE

ABETE / NORD

ABETE / CENTRO

SUD

LARICE / NORD

DOUGLAS / ITALIA

LATIFOGLIE

CASTAGNO/ITALIA

QUERCE

CADUCIFOGLIE/ITALIA

ONTANO/ITALIA

PIOPPO/ITALIA

Ad ogni specie corrispondono una o più categorie contrassegnate dalla lettera

S seguita da un numero.

Ad es. alla sigla ABETE/NORD S1 corrisponde un legname di abete coltivato

nell’Italia del nord, di prima scelta.

L’assegnazione della categoria avviene esaminando alcune caratteristiche, tra

le quali

Nodi

Inclinazione della fibratura

Massa volumica

Velocità di accrescimento


4

Cipollatura

Smusso

Deformazioni

Attacchi pregressi di insetti

La classificazione a

macchina è utilizzata

soprattutto per le tavole

destinate all’incollaggio per

la formazione di legno

lamellare.

La tavola, fatta passare tra

dei rulli, viene deformata: il

grado di flessibilità rilevato

è assunto quale criterio di

classificazione.

In alternativa, possono essere utilizzate altre tecniche basate sulla

propagazione delle onde o su raggi X.

Le caratteristiche meccaniche

Per ogni categoria le norme UNI prevedono un profilo relativo alle

caratteristiche meccaniche.

Di seguito, a fini didattici, verrà riportato il profilo dell’ABETE/NORD S1,

utilizzato nei successivi esempi di calcolo. Per una raccolta completa

contenente anche gli altri profili occorrerà riferirsi direttamente alla norma,

acquistabile presso il sito della UNI http://www.uni.com/it/


5

Caratteristiche ABETE/NORD S1 secondo norma uni

Flessione (5-percentile), MPa fm,k 29

Trazione parallela alla fibratura (5-percentile), MPa ft,0,k 17

Trazione perpendicolare alla fibratura (5-percentile), MPa ft,90,k 0,4

Compressione parallela alla fibratura (5-percentile), MPa fc,0,k 23

Compressione perpendicolare alla fibratura (5-percentile), MPa fc,90,k 2,9

Taglio (5-percentile), MPa fv,k 3,0

Modulo di elasticità parallelo alla fibratura (medio), MPa E0,mean 12000

Modulo di elasticità parallelo alla fibratura (5-percentile), MPa E0,05 8000

Modulo di elasticità perpendicolare alla fibratura (medio), MPa E90,mean 400

Modulo di taglio (medio), MPa Gmean 750

Massa volumica (5-percentile), kg/m3 k 380

Massa volumica (media), kg/m3 mean 415

I valori delle caratteristiche di resistenza sono espressi in mega Pascal

(2

11

1

NMPa

mm ). Le caratteristiche meccaniche sono fortemente influenzate dalla

direzione degli sforzi (paralleli o perpendicolari alla fibratura) e dalla loro

natura (compressione, trazione, flessione, ecc.).

I valori sono calcolati con provini di altezza pari a 150 mm.

Per il calcolo del peso specifico è necessario moltiplicare la massa volumica

per 9,81. Con qualche approssimazione si può assumere un peso specifico

medio pari a 4,15 KN/m3.


6

Le tensioni di calcolo

Le tensioni di calcolo sono ricavate da quelle caratteristiche moltiplicandone i

valori per un coefficiente di modello kmod (minore dell’unità) e dividendo il

risultato per un coefficiente parziale relativo al materiale M.

modkd

m

X KX

I valori del coefficiente di modello dipendono dalla Classe di servizio della

struttura (funzione dell’umidità relativa dell’aria), dal tipo di materiale e dalla

durata dell’applicazione del carico.

Classe di servizio 1

E’ caratterizzata da un’umidità del materiale in equilibrio con l’ambiente a una temperatura di 20°C e un’umidità relativa dell’aria circostante che non superi il 65% se non per poche settimane all’anno.

Classe di

servizio 2

E’ caratterizzata da un’umidità del materiale in equilibrio con

l’ambiente a una temperatura di 20°C e un’umidità relativa dell’aria

circostante che non superi l’85% solo per poche settimane all’anno.

Classe di servizio 3

E’ caratterizzata da umidità più elevata di quella della classe di servizio 2.

Valori di Kmod

Classe di durata del carico

Materiale

Classe

di

servizio Permanente Lunga Media Breve Istantanea

1 0,60 0,70 0,80 0,90 1,0

2 0,60 0,70 0,80 0,90 1,0

Legno massiccio

Legno lamellare incollato

Microlamellare (LVL) 3 0,50 0,55 0,65 0,70 0,90

Le classi di durata del carico si riferiscono a un carico costante attivo per un

certo periodo di tempo nella vita della struttura. Per un’azione variabile la

classe appropriata deve essere determinata in funzione dell’interazione fra la


7

variazione temporale tipica del carico nel tempo e le proprietà reologiche dei

materiali.

Ai fini del calcolo in genere si può assumere quanto segue:

- il peso proprio e i carichi non rimovibili durante il normale esercizio della

struttura, appartengono alla classe di durata permanente;

- i carichi permanenti suscettibili di cambiamenti durante il normale esercizio

della struttura e i carichi variabili relativi a magazzini e depositi, appartengono

alla classe di lunga durata;

- i carichi variabili degli edifici, ad eccezione di quelli relativi a magazzini e

depositi, appartengono alla classe di media durata;

- il sovraccarico da neve riferito al suolo qsk, calcolato in uno specifico sito ad

una certa altitudine, è da considerare in relazione alle caratteristiche del sito;

- l’azione del vento e le azioni eccezionali in genere, appartengono alla classe

di durata istantanea.

Se una combinazione di carico comprende azioni appartenenti a differenti classi

di durata del carico si dovrà scegliere un valore di kmod che corrisponde

all’azione di minor durata.

Analizzando, ad esempio, la SLU, nel caso in cui tutti i Q=0 allora ricadi nella

combinazione che prevede solo i G --> kmod=0.6, se (ad esempio, in

copertura) vi fosse G+Q=neve --> kmod=0.9 (per neve permanente, esempio

alta montagna, si consiglia un kmod inferiore), se vi fosse G+Q=vento -->

kmod=1.0, se vi fosse G+Q=neve+Q=vento --> kmod=1.0.

I valori del coefficiente parziale relativo al materiale valgono:


8

Per altezze della sezione minori di 150 mm la tensione di calcolo può essere aumentata

moltiplicandola per un coefficiente di altezza Kh. L’aumento è relativo ai soli casi di

flessione e trazione per i quali l’altezza h è rispettivamente l’altezza della sezione e la

maggiore delle due dimensioni.

0,2150

min ; 1,3hKh

In pratica il coefficiente di altezza può assumere i valori seguenti:

Per valori minori di 40 Kh vale 1,3;

Per valori maggiori di 150 Kh vale 1

Per valori compresi va calcolato con la formula

Ad esempio per una sezione rettangolare in legno massiccio di altezza pari a 13 cm si

vuole determinare la tensione di calcolo a flessione in condizioni costanti di umidità

relativa del 50% assoggettata a carichi di lunga durata.

Dalla tabella delle caratteristiche meccaniche si ricava

fm,k= 29 N/mm2

Per un’umidità inferiore al 50% siamo in classe S1 e pertanto Kmod per lunga durata vale

0,7 e per il legno massiccio si ha m=1,3

Dunque il valore di calcolo risulta:

mod ,, 2

0,7 2913,53

1,5m k

m dm

K f Nf

mm


9

Essendo l’altezza inferire a 150 mm si deve anche considerare il coefficiente di altezza

0,2 0,2

150 150min ;1,3 min ;1,3 min 1,029;1,3 1,029

130hKh

Infine considerando anche il coefficiente Kh si ottiene il valore di calcolo

, , 130 , 2 21,03 13,53 13,94m d h h m d

N Nf K f

mm mm

Metodo di calcolo

Azioni di calcolo

Le azioni sulla costruzione devono essere cumulate in modo da determinare le condizioni

di carico più gravose ai fini delle singole verifiche, tenendo conto della probabilità ridotta

d’intervento simultaneo di tutte le azioni con i rispettivi valori più sfavorevoli.

La presenza di stati di precompressione deve essere considerata con cautela e, se

possibile, evitata a causa di fenomeni viscosi del materiale molto pronunciati per tali stati

di sollecitazione, sia nel caso di compressione parallela alla fibratura ma, soprattutto, per il

caso di compressione ortogonale alla fibratura.

Per gli stati limite ultimi si devono adottare combinazioni di azioni del tipo:

1 1 2 2 1 1 02

n

d g k g k q k qi i iki

F G G Q Q

Gk1 valore caratteristico dei carichi permanenti strutturali;

Gk2 valore caratteristico dei carichi permanenti non strutturali;

Q1k valore caratteristico dell’azione variabile considerata dominante;

Qik valori caratteristici delle azioni variabili tra loro indipendenti;

g1 = 1,3 (1,0 se il contributo dell’azione aumenta la sicurezza);

g2 = 1,5 (0 se il contributo dell’azione aumenta la sicurezza)1;

1 Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali (ad es. carichi permanenti portati) siano


10

q = 1,5 (0 se il contributo dell’azione aumenta la sicurezza);

= coefficiente di combinazione allo stato limite ultimo da determinarsi sulla base di

considerazioni statistiche.

Per gli stati limite di esercizio si devono prendere in esame le combinazioni rare, frequenti

e quasi permanenti, assumendo g = q =1 e applicando ai valori caratteristici delle azioni

variabili opportuni coefficienti di combinazione

In forma convenzionale, le combinazioni possono quindi essere espresse nel modo

seguente:

compiutamente definiti si potranno adottare per essi gli stessi coefficienti validi per le azioni permanenti.


11

Formule per la verifica

Compressione Tensoflessione

,0, ,0,sd

c d c d

Nf

A ,0, ,

,0, ,

1t d m d

t d m df f

Trazione Flessione Deviata

,0, ,0,sd

t d t d

Nf

A

Km=0,7 per sez. rettangolare

Km=1 per altre sezioni

, , , ,

, , , ,

1m y d m x dm

m y d m x d

Kf f

, , , ,

, , , ,

1m y d m x dm

m y d m x d

Kf f

Flessione Pressoflessione deviata

, ,sd

m d m deff

Mf

W



2

, ,,0, , ,

,0, , , , ,

1m y dc d m z dm

c d m y d m z d

Kf f f

2

, ,,0, , ,

,0, , , , ,

1m y dc d m z dm

c d m y d m z d

Kf f f

Taglio Tensoflessione deviata

,

3

2d

d v d d

Vf

A

Vd è lo sforzo

di taglio di progetto



, ,,0, , ,

,0, , , , ,

1m y dt d m z dm

t d m y d m z d

Kf f f


12

, ,,0, , ,

,0, , , , ,

1m y dt d m z dm

t d m y d m z d

Kf f f

Pressoflessione

2

,0, ,

,0, ,

1c d m d

c d m df f

y e z sono gli assi principali

d’inerzia della sezione

Progetto a flessione (h>150)

Calcolo dei valori di resistenza

Progettare una trave in legno di abete nord S1, Classe di servizio 1 sottoposta ad un

carico concentrato di lunga durata applicato in mezzeria di valore Q = 6 KN con luce pari a

3,2 m

Le azioni (carichi) vanno cumulate secondo la combinazione agli stati limite ultimi:

Nel nostro caso c’è un solo carico variabile e pertanto la combinazione di carico vale

Fd = 1,3 Gk + 1,5 Q

Il peso proprio è incognito a priori perché siamo in fase di progettazione per adesso lo

trascuro.

Dalla tabella delle caratteristiche meccaniche ricaviamo:

, ,2 229 3 m k v k

N Nf f

mm mm


13

Per lunga durata e classe di servizio 1: Kmod = 0,7

I valori di calcolo (pedice d) valgono dunque

,, mod 2

290,7 13,53

1,5m k

m dm

f Nf k

mm

,, mod 2

30,7 1,40

1,5v k

V dm

f Nf k

mm

Calcolo delle sollecitazioni

Trascurando in un primo momento il peso proprio:

nel caso di una forza concentrata applicata in mezzeria abbiamo:

61,5 1,5 4,5

2 2d

QV KN

6 3,21,5 1,5 7,2

4 4d

QlM KNm

Compreso già il coefficiente amplificato 1,5 della combinazione agli SLU.

Verifica a flessione

Per la verifica a flessione dovrà essere:

, ,d

m d m deff

Mf

W dovrà dunque essere:

,

deff

m d

MW

f e imponendo al limite l’uguaglianza

si ottiene il modulo di resistenza necessario:

2 63

,

7, 2 10532150 mm

6 13,53d

m d

Mbh

f

ed imponendo un rapporto b/h pari a 5/7

33 3

5 42532150 mm 532150 165 16,5

7 6 5

hh mm cm che viene arrotondato

a 170 mm

170x5/7 = 121 mm. Si sceglie una trave 120x170 che ha un wx = 578.000 mm3.

Consideriamo adesso anche il peso proprio e facciamo la verifica.


14

Gk = mean x A = 415 x (0,12x0,17) = 8,47 Kg/m = 0,085 KN/m (approssimato leggermente

per eccesso)

Il carico dovuto al peso proprio, tenendo conto del coefficiente g = 1,3 risulta:

Fd= 1,3x0,08 = 0,11 KN/m.

Il momento massimo di un carico uniformemente distribuito si ha in mezzeria e vale:

2max

10,11 3,6 0,18

8M KNm che sommato con quello dovuto a Q:

Mmax,tot = 7,38 KNm

Verifica a taglio

Il taglio massimo all’appoggio vale:

max

3,60,11 0, 2

2T KN ; che sommato con quello dovuto a Q: Tmax,tot = 4,7 KN

6max,

, 2 2

7,38 1012,77 13,53

578000tot

m d

M N N

W mm mm

La verifica è OK!

Facciamo la verifica a taglio, dovrà essere:

,

3

2d

d v d

Vf

A

3

2 2

3 4,7 100,367 1,62

2 120 160d

N N

mm mm

La verifica è OK!

Progetto a flessione (h<150)

Se l’altezza è minore di 150 il valore di progetto di fm,d va aumentato con il coefficiente

0,2150

hKh

Consideriamo adesso una luce di 3,2 m dello stesso legno e con un carico variabile

Q = 2,8 KN.


15


Il momento dovuto al carico Q vale 2,8 3,2

1,5 1,5 3,364 4d

QlM KNm

Il modulo di resistenza necessario risulta:

63 3 35 3,36 10

=248.337 mm 2.086.031 128 mm42 13,53

h h

Poiché l’altezza è minore di 150 andrebbe fatta la correzione con Kh quindi ricalcolo:

6 33 2,8

0,2 0,2

0,2

5 3,36 10 5 91.163,97 =765.777,35 h=126 mm

15042 4213,53

hh h

hh

Scelgo una trave 90x130 con un W = 216 cm3 = 253.000 mm3 e verifico:

Peso proprio qg: 4,15x0,09x0,13 = 0,048 KN/m che da un momento massimo pari a: 1,3 x

1/8 qg l2 = 0,062 KNm

Il momento massimo totale risulta 3,36 + 0,062 = 3,422 KNm

6max,

, 2

3, 422 1013,526

253.000tot

m d

M N

W mm

0,2,

, mod 2

150 290,7 14,15

120 1,5m k

m d hm

f Nf k k

mm

> 13,526 VERIFICA!!

Inutile verificare il taglio visto che poco fa era venuto piccolissimo!!!

Esempio di calcolo di collaudo a flessione

Determinare il carico qk sopportabile dal listello in figura.

Noti: l = 2,5 m; b = 7 cm; h = 10 cm; legno Abete/Nord S1, Classe di servizio 1, carichi

variabili di lunga durata.


16

Poiché l’altezza è minore di 150 mm bisogna applicare il coefficiente Kh che per h = 100

mm vale 1,08

Senza ripetere quanto già fatto due volte si hanno i valori di calcolo:

,, mod 2

291,08 0,7 14,62

1,5m k

m d hm

f Nf k k

mm

Il carico dovuto al peso proprio risulta:

0,07 0,10 4,15 0,029 p

KNq

m

Il modulo di resistenza della sezione vale 2 31

70 100 116.667 mm6

W

Il massimo momento resistente vale:

, 16,86 116.667 1.968.172 1,97rd m dM f W Nmm KNm

Questo deve essere eguagliato dal momento generato dal peso proprio e dal carico qk

applicato, e ricordando la combinazione dei carichi agli SLU con il coefficiente 1,3 per il

peso proprio ed 1,5 per il primo (in questo caso unico) carico variabile, la trave sarebbe

sottoposta ad un:

qtot = 1,3 qp + 1,5 qk.

Per trovare il massimo carico qk è sufficiente imporre che il momento dovuto a questa

combinazione di carico sia pari al massimo a Mrd.

2 2 21 1 11,3 1,5 ; 1,3 0,029 2,5 1,5 2,5 1,97

8 8 8p k rd kq q l M q

0,03 1,172 1,97 da cui: 1,655k k

KNq q

m


17

Verifica a flessione

Effettuare la verifica della una sezione bxh =70x100 mm in legno di abete/nord S1 classe

di servizio 1 sottoposta ad un momento di 2 KNm (carichi variabili di breve durata).

La sezione ha una altezza minore di 150 mm e quindi è necessario adottare il coefficiente

Kh che vale (vedi sopra) 1,08. Il coefficiente Kmod per carichi di breve durata e classe di

servizio 1 vale 0,9.

,, mod 2

291,08 0,9 18,80

1,5m k

m d hm

f Nf k k

mm

2 3170 100 116.667 mm

6W

, 18,80 116.667 2.193.339 2,19rd m dM f W Nmm KNm >2 KNm Verifica!!

Esempio di progetto a flessione deviata (h < 150 mm).

Determinare le dimensioni dell’arcareccio da tetto in figura con luce l = 1,25 m ed = 25°.

L’arcareccio è sottoposto ad un carico permanente portato qp=0,13 KN/m e a due carichi

variabili Qk = 1 KN e q k2=0,23 KN/m. Legno Abete/Nord S1, Classe di servizio 2 (carichi

variabili di breve durata).

2

Qk q

pq

25°

hb

Calcolo valori di resistenza

La tensione caratteristica del materiale a flessione vale: fm,k = 29 N/mm2

Il peso specifico medio risulta pari a: m = 4,15 KN/m3


18

La tensione di calcolo a flessione del materiale per h > 150 mm risulta:

mod ,,

m km d

m

K ff

nella quale:

il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale (legno massiccio) vale m =1,50

il coefficiente correttivo di modello per la Classe di servizio 2, con carichi variabili di breve

durata vale kmod = 0,9

Valori di kmod

Classe di durata del carico Materiale

Classe di

servizio Permanente Lunga Media Breve Istantanea

1 0,60 0,70 0,80 0,90 1,10

2 0,60 0,70 0,80 0,90 1,10

Legno massiccio

Lamellare incollato

Microlamellare (LVL) 3 0,50 0,55 0,65 0,70 0,90

mod ,, 2

0,9 2917, 40

1,5m k

m dm

K f Nf

mm

La tensione di calcolo a taglio vale:

mod ,, 2

0,9 31,80

1,5v k

v dm

K f Nf

mm


Essendo una trave semplicemente appoggiata, la combinazione dei carichi più gravosa è

data dalla presenza di tutti i carichi:

Fd = 1,3 qp+1,5 q2+1,5 Q avendo considerato il carico qp come compiutamente

definito (vedi nota 1 a pag.7)


19

Per adesso trascuriamo il peso proprio e

pertanto devo risolvere una trave appoggiata

con un carico distribuito pari a (1,3 qp +1,5 q2)

ed un carico concentrato pari a 1,5 Qk, Il momento

massimo vale dunque:

2 2max 2

1 1 11,3 1,5 1,5

8 8 4p kM q l q l Q l

e sostituendo qp=0,13 KN/m Qk = 1 KN , q2=0,23 KN/m ed l =1,25 m si ottiene:

maxM 0,57 KNm.

L’arcareccio funziona a flessione deviata e pertanto il momento trovato va scomposto

lungo i due assi principale d’inerzia.

Mx = M cos()

My = M sen ()

Poiché scegliamo un arcareccio a sezione quadrata i due moduli di resistenza sono uguali

e pari a:

31

6l dove l è il lato della sezione.

Progetto a flessione

Le formula di verifica a flessione deviata sono:

s

s

M

x

x

y

y

Mx

My

A

B

C

D

E

F

G

H


20

, , , ,

, , , ,

1m y d m x dm

m y d m x d

Kf f

, ,, ,

, , , ,

1m y dm x dm

m x d m y d

Kf f

con , ,

, , , , e y d x dm y d m x d

M M

W W (W è uguale) Km=0,7

ed essendo fm,y,d = fm,x,d = fm,d = 20,08 N/mm2 (non considero il coefficiente Kh)

, ,,

10,7 1y d x d

m d

M Mf W

, ,,

10,7 1x d y d

m d

M Mf W

Poiché siamo in fase di progetto io devo valutare W per poi scegliere una trave che ha un

W immediatamente superiore.

, , , ,, ,

1 1max 0,7 ; 0,7y d x d x d y d

m d m d

W M M M Mf f

fm,d = 17,40 N/mm2 =1740 N/cm2

Mx,d= 0,57 cos (25) = 52,00 KN·cm = 52000 N·cm

My,d= 0,57 sen (25) = 24,09 KN·cm = 24090 N·cm

52000 + 0,7·24090 = 68863 ; 24090 + 0,7·52000=60490 (il primo è più grande)

L’equazione diventa dunque:

W ≥ 68863/1740 = 39,58 cm3 ed essendo 31

6W l

3 6l W quindi l = 6,2 cm

Sceglierò dunque una sezione 6x6 cm.

Ho trascurato il peso proprio, a svantaggio di sicurezza, ma non ho considerato il

coefficiente Kh a vantaggio di sicurezza (poiché la sezione ha l’altezza minore di 150 mm),

pertanto la verifica è sicuramente soddisfatta.

Verifica a taglio

Il taglio massimo si ha in corrispondenza degli appoggi e vale:

max 21,3 1,5 1,5 1,072 2 2

kp

Ql lT q q KN da cui si ricava:


21

maxmax 2

3 3 10700,446

2 2 60 60

T N

A mm

.

Calcoliamo la tensione di taglio di calcolo:

,

, mod 2

30,9 1,80

1,5v m

v dm

f Nf K

mm che è maggiore di 0,446 quindi la verifica è

soddisfatta.

Compressione e carico di punta

Nel caso di asta soggetta solo a sforzo normale deve essere soddisfatta la seguente

condizione:

,0, ,0,c d c df

Nel caso in cui sia presente il fenomeno dell’instabilità a carico di punta bisognerà tenerne

conto tramite l’introduzione di un coefficiente Kcrit,c che riduce il valore della tensione di

calcolo secondo la formula seguente:

c,o,d tensione di compressione di calcolo per sforzo normale;

fc,o,d resistenza di calcolo a compressione;

Kcrit,c coefficiente riduttivo di tensione critica per instabilità di colonna valutato per il piano

in cui assume il valore minimo.

Il coefficiente riduttivo kcrit,c si calcola in funzione della snellezza relativa di colonna rel,c

che vale:


22

c coefficiente di imperfezione, che, se gli elementi rientrano nei limiti di rettilineità, può

assumere i seguenti valori:

- per legno massiccio 0,2

- per legno lamellare 0,1.

La snellezza relativa è un parametro che risulta indipendente dalle dimensioni della

sezione, ma dipende solamente dalle caratteristiche meccaniche del materiale: fc,0,k ed

E0,05.

,

,0, ,0,,

0,05crit c

c k c krel c

f f

E

. è la snellezza definita come

0

min

l

Il progetto di un elemento sottoposto a carico di punta non è immediato perché il valore

della snellezza dipende dalle dimensioni che, essendo in fase di progetto, non sono note,

ma devono essere scelte.

In teoria bisognerebbe procedere per tentativi, fissando le dimensioni, valutando il

coefficiente Kcrit,c e verificando il rispetto della:

, , , ,0,c o d crit c c dK f

E’ possibile fare riferimento alla formula di predimensionamento trovata sul Di pasquale,

che essendo valida per le tensioni ammissibili è stata modificata con l’aggiunta di 1,5

dentro la radice:

,0,

1,50,07

c d

NA H

f

Oppure è possibile utilizzare della tabelle in cui si entra con il rapporto

2

,crit cK

che dipende

solo da grandezze note.

Esempi di calcolo di instabilità di colonna.


23

Progettare il puntone a sezione circolare in figura incernierato alle due estremità, nelle seguenti ipotesi:

1) Puntone di sezione circolare

2) Puntone di sezione quadrata

3) puntone di sezione rettangolare con rapporto tra i lati c=1,4

Noti: l = 5 m; Qk = 53,2 KN; legno Abete/Nord S1, Classe di servizio 2 (carichi variabili di media durata).

La tensione caratteristica del materiale a compressione vale

2,0, 23c k

Nfmm

La tensione di calcolo a compressione del materiale risulta

mod ,0,,0,

c kc d

m

k ff

nella quale:

il coefficiente parziale di sicurezza relativo al materiale (legno massiccio) vale m= 1,5

il coefficiente correttivo di modello per la Classe di servizio 2, con carichi variabili di media durata vale Kmod=0,8

Valori di kmod

Classe di durata del carico Materiale

Classe di servizio Permanente Lunga Media Breve Istantanea

1 0,60 0,70 0,80 0,90 1,10

2 0,60 0,70 0,80 0,90 1,10

Legno massiccio lamellare incollato Microlamellare (LVL) 3 0,50 0,55 0,65 0,70 0,90

mod ,0,2,0,

0,8 2312, 27

1,5c k

c dm

k f Nfmm



24

Trascurando il peso proprio del puntone lo sforzo normale di progetto vale:

Nsd=1,3 Ng+1,5 Nq = 1,5x53,2=79,8 KN

Progetto del puntone

La lunghezza libera di inflessione per un’asta incernierata ai due estremi coincide con la sua altezza:

l0=l=5 m=5000 mm

Per il carico di punta deve essere soddisfatta la relazione:

Per progettare noi imponiamo il valore di tale rapporto uguale ad uno per qui conosciamo

,0,crit,c

,0,

σK c d

c df

Si utilizzano le tabelle in funzione del rapporto

2

,crit cK

che dipende solo da grandezze

note:

1) sezione circolare

Infatti

4

2 2 2,0,2 0 0

, ,0,2 2 2min ,0,

σ4; e σ4

c dcrit c c d

c d

Rl l I R Nsd

dove K doveI A R f RA

;

dopo tutte le semplificazioni ottengo: 2 2

2 0 02 2

4

4

l l

R R e , 2

,0,crit c

c d

NsdK

R f

1) Sezione circolare:

facendo, dunque, il rapporto queste due grandezze il raggio, che è incognito, si semplifica:


25

20

22 20 ,0,

,2

,0,

44 c d

sdcrit c sd

c d

ll fR

NK NR f

che nel nostro caso vale: 24 5000 12, 27

79800

=48.304

Dalla tabella per tale valore del rapporto si ricavano:

cr rel,c K Kc /Kc 2/Kc

110 6.5254 1.8774 2.4201 0.2533 434.2 47762

111 6.4083 1.8945 2.454 0.2491 445.53 49454

112 6.2944 1.9116 2.4882 0.245 457.07 51192

Kc = 0,2491 e = 111

Adesso che conosciamo la snellezza � ed il valore di Kc posso utilizzare la formula:

3

,0,,0,

, ,0,

, ,0,

79,8 10

0, 249 12, 27

1c d sdc d

crit c c d

sd

crit c c d

N

k f A

N

k f

2

ed essendo: ed imponendo l'uguaglianza,

si ottiene: A= = =26119 mm che è l'area minima affinchè verifichi.

,

Il diametro di progetto vale, quindi, D=4

182A

mm

, si sceglierà dunque un puntone con

diametro 19 cm.

2) sezione quadrata

Ne caso della sezione quadrata abbiamo:

4

2 2 2,0,2 0 0

, ,0,2 2 2minmin ,0,

σ12; e σI 12

c dcrit c c d

c d

ll l I l Nsd

dove K doveA l f l

A

;


26

dopo tutte le semplificazioni ottengo:

202

2,0,2

0

2,0,

12 12 c d

sd sd

c d

ll

fl

NKc Nl f

Nel nostro caso si verifica: 2 212 5000 12, 27

4612879800Kc

Dalla tabella sopra si ricava:

Kc = 0,253 e = 110,

Adesso che conosciamo la snellezza � ed il valore di Kc posso utilizzare la formula:

3

,0,,0,

, ,0,

, ,0,

79,8 10

0, 253 12, 27

1

2

imponendo l'uguaglianza, ed essendo: ,


,

c d sdc d

crit c c d

sd

crit c c d

N

k f A

N

k f

Da cui si ottiene il lato pari a: 160l A mm si sceglie dunque un lato immediatamente

superiore.

3) sezione rettangolo bxh con h=cxb e c=1,4

Ne caso della sezione rettangolare abbiamo:

3

2 2 2,0,2 0 0

, ,0,2minmin ,0,

σ12; e σI 12

c dcrit c c d

c d

hbl l I b Nsd

dove K doveA bh f bh

A


27

Semplificando si ottiene:

202

2

,0,

12sd

c d

lb

NKcbh f

ed imponendo h=bxc si ha:

202

220 ,0,

2,0,

1212 c d

sd sd

c d

lb

c l fNKc N

cb f

che nel nostro caso fa: 212 1, 4 5000 12, 27

6457979800

;

Dalla tabella:

cr rel,c K Kc /Kc 2/Kc

110 6.5254 1.8774 2.4201 0.2533 434.2 47762

111 6.4083 1.8945 2.454 0.2491 445.53 49454

112 6.2944 1.9116 2.4882 0.245 457.07 51192

114 6.0755 1.9457 2.5574 0.2371 480.76 54806

116 5.8678 1.9798 2.6278 0.2296 505.27 58612

118 5.6706 2.014 2.6994 0.2224 530.63 62614

119 5.5757 2.031 2.7356 0.2189 543.63 64692

Si ricava:

Kc = 0,2189 e = 119.

Adesso che conosciamo la snellezza ed il valore di Kc posso utilizzare la formula:

3

,0,,0,

, ,0,

, ,0,

79,8 10

0, 2189 12, 27

1

2

imponendo l'uguaglianza, ed essendo: ,


,

c d sdc d

crit c c d

sd

crit c c d

N

k f A

N

k f

Quindi: 2 29711

29711 1461, 4

cb b mm =15mm


28

L’altezza sarà dunque 146x1,4=205 mm = 21 cm.

Pressoflessione

Per l’asta pressoinflessa, nel caso in cui il problema dell’instabilità di trave sia trascurabile

(cioè risulti, rel,m< 0,75), se rel,c< 0,3 si possono utilizzare le formule della presso

flessione classica altrimenti dovranno essere soddisfatte le condizioni seguenti:

Stati limite di esercizio (deformazioni)

La particolarità del materiale legno, fa si che esso subisca due tipi di deformazioni:

la prima è quella cosiddetta istantanea di tipo elastico e reversibile dovuta direttamente

alla applicazione dei carichi,

la seconda è quella differita dovuta, invece, al “creep” ossia alla viscosità del legno che si

manifesta con il passare del tempo ed è irreversibile.

La deformazione istantanea Uist è calcolata con riferimento alla combinazione di carico

rara, usando i valori medi del modulo di elasticità E0,mean

Per il calcolo della deformazione finale (ufin) occorre valutare la deformazione a lungo

termine per la combinazione di carico quasi permanente e sommare a quest’ultima la

deformazione istantanea dovuta alla sola aliquota mancante, nella combinazione quasi

permanente, del carico accidentale prevalente (da intendersi come il carico variabile di

base della combinazione rara). La deformazione finale ufin, si può pertanto valutare come:


29

Vedi CNR DT206/2007

Il primo termine è costituito dai carichi di natura permanente, ossia pesi propri e portati,

mentre gli altri termini sono dovuti ai carichi variabili. Particolarmente importante è la

scelta del carico variabile dominante allo scopo di ottenere la massima deformazione.

In via semplificata la deformazione finale ufin, relativa ad una certa condizione di carico, si

può valutare come segue:

(1)

Dove uin è valutata secondo la combinazione di carico rara ed udif è la deformazione

differita che può essere valutata come:

In cui u’in è la deformazione valutata nella combinazione di carico quasi permanente.

Questo approccio corrisponde con quello fornito dall’EC3 del 2005 e la formula di

calcolo risulta:

, , 1 21 , 0 22

1 1n

fin inst G def inst Q def inst Qi i i defi

u u k u k u k

Come si può notare dal confronto la differenza tra il DT 206/2007 e l’EC3 sta

nelle deformazioni causate dal secondo carico variabile in poi.

È possibile valutare la deformazioni finali come la somma di due combinazioni di carico:

quella rara + quella quasi permanente moltiplicata Kdef.

In pratica si può caricare la trave con la combinazione rara e ricavare la massima

deformazione e poi caricarla con quella quasi permanente e moltiplicare la freccia per Kdef

ed infine sommare le due frecce.

I valori di Kdef sono riportati nella normativa e dipendono dalla classe di servizio come

definito a pagina 4. Di seguito alcuni valori:


30

Esempio di calcolo

Problema. Verificare la trave in figura imponendo i seguenti limiti per gli abbassamenti:

; 300 150ist fin

l lu u

Noti: l = 3,8 m; a = 1,9 m; Q = 10,4 kN; legno Abete/Nord S1, Classe di servizio 2, carichi

variabili di lunga durata; Categoria A Ambienti ad uso residenziale.

Le dimensioni della trave sono 15x20.

Cominciamo col calcolare il carico dovuto al peso proprio:

0.15 0.20 4.15 0.1245 0.1245pp

KN Nq

m mm =0.1245

Calcoliamo adesso le deformazioni istantanee:

Il momento d’inerzia vale: 3 41

150 200 100 '000 '000 12

mm

La deformazione istantanea per effetto del peso proprio vale:

4 4

,0,

5 5 0,1245 38000.28

384 384 12000 100000000pp

ist ppmean

q lf mm

E I

La deformazione istantanea dovuta al peso variabile vale:

3 3

,0,

1 1 10400 38009.91

48 48 12000 100000000ist Qmean

Qlf mm

E I

Poiché nella combinazione di carica rara il carico permanente ed il carico variabile

predominante non hanno coefficienti di correlazione, è sufficiente sommare quanto

ottenuto.

La deformazione istantanea totale è dunque: 0.28+9.91=10.2 mm

380012,67 10.2

300 300

lmm la freccia istantanea è dunque verificata.

La freccia finale si calcola con la formula a pagina precedente


31

, , 2(1 ) (1 ) 0.28(1 0.8) 9.91(1 0.3 0.8) 12.80fin ist g def ist Q defu u k u k mm

380025.33 12.80

150 150

lmm Quindi la struttura risulta verificata.

Documents

Calcolo legno DM 2008