CALCOLO SUBLIME “Tornare” alle basi storiche del calcolo infinitesimale con l’Analisi Non-Standard

Nicola Fusco

Liceo Scientifico “A. Scacchi”, Bari

Bari, 21-22 Aprile 2017 Convegno

Il 24° Problema della Matematica ‒ Comunicare: cosa, come, perché

MOTIVAZIONI

Diluire le difficoltà mnemoniche e concettuali dell’analisi, di solito concentrate al quinto

anno;

Ampliare il tempo al quinto anno per esercitazioni e complementi;

Amplificare la confidenza degli alunni con l’analisi, aumentando il tempo in cui ne fanno

uso;

Aggirare lo scoglio concettuale del limite e del suo bagaglio insiemistico.

POSSIBILE SOLUZIONE: L’ANALISI NON-STANDARD

L’Analisi Non-Standard costruisce gli strumenti dell’analisi senza la definizione

di limite.

Si parte dalle derivate collegando l’analisi

con problemi (tangenza e massimo/minimo).

Si introduce lo studio delle funzioni partendo dai polinomi, molto più semplici

rispetto alle altre funzioni.

RISULTATI OSSERVATI FINORA

Al quinto anno si parte da settembre (o al massimo da metà ottobre) con gli integrali!

Gli alunni arrivano all’esame sapendo svolgere correttamente gli esercizi base dell’analisi.

Le costruzioni fisiche che usano il concetto di infinitesimo (es. integrale di Clausius o formule dei campi di oggetti estesi) sono comprese più

facilmente.

Nessuna difficoltà ulteriore per chi studia

analisi standard in ambito accademico.

FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-1

Newton e Leibniz inventarono l’analisi a partire dall’uso di quantità “piccole” che venivano

considerate sia maggiori di zero sia uguali a zero.

Tale idea proveniva dal lavoro di matematici di tutte le epoche.

FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-2

Gli “indivisibili” con cui Cavalieri giustificò il suo principio per stabilire l’equivalenza tra aree e

volumi.

FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-3

Il metodo “euristico” con cui Fermat

determinava massimi, minimi e tangenti di una curva algebrica.

FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-4

I segmenti “spessi” (accostati in

numero infinito formano una superficie) con cui Archimede calcola l’area del settore

parabolico e collega lunghezza e area della circonferenza.

FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-5

Rigorosamente questa formulazione lasciava a desiderare…

«[…] E che cosa sono questi

incrementi evanescenti? Essi non sono né quantità finite, né quantità infinitamente piccole e

neppure niente. Non possiamo chiamarli i fantasmi di quantità estinte?» (Berkeley, 1734)

Ma l’Analisi di Newton e Leibniz si

era rivelata troppo efficace per abbandonarla.

FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-6 Per un secolo si attese una sistemazione formale che arrivò con

il limite.

Ma si paga un prezzo didattico alto: il limite è un concetto complesso,

anche a causa delle definizioni preliminari.

00 /

lim0

xJDxIxfxJlI

lxf

f

xx

Robinson (’60) e Keisler (’80) riformularono l’Analisi seguendo l’idea di Newton e Leibniz.

Partendo dagli IperReali, un’estensione dei Reali, formularono l’Analisi Non-Standard.

Le basi dell’ANS hanno lo stesso rigore dell’Analisi basata sul

limite.

FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-7

INSIEMI NON-STANDARD-1

Teorema di Compattezza di Goedel.

“Se un insieme infinito di proposizioni

ammette un modello per ogni suo sottoinsieme finito, allora esiste un modello per l’intero insieme infinito di proposizioni”.

Il modello per l’intero insieme di proposizioni è detto Modello Non-Standard.

INSIEMI NON-STANDARD-2

Consideriamo la proposizione “Dato n

naturale, esiste un numero positivo minore di 1/n”.

Al variare di n abbiamo un insieme infinito di proposizioni che singolarmente o a

gruppi finiti, sono sempre vere in R.

1/ rr R

21/ rr R

31/ rr R

...

INSIEMI NON-STANDARD-3

Esiste quindi un insieme in cui esse sono tutte vere contemporaneamente.

Tale insieme non è R: non esiste un reale

positivo minore di tutti gli inversi dei naturali.

È un insieme nuovo: gli IperReali.

I NUMERI IPERREALI-1

In IR valgono le proprietà algebriche e di

ordinamento dei reali (tranne quella archimedea).

IR contiene un numero, ʘ, caratterizzato da

Tutti gli IperReali con questa proprietà sono

detti numeri infinitesimi (indicati anche con

dx, dy, …).

ʘ è detta unità infinitesima o infinitesimo.

I NUMERI IPERREALI-2

Intuitivamente un infinitesimo si può

pensare come un granello di sabbia rispetto all’intera

spiaggia.

I NUMERI IPERREALI-3

In termini geometrici si può pensare ad un

infinitesimo come all’angolo che si forma

tra una circonferenza e la sua tangente.

Misurato con i numeri reali vale 0, ma intuitivamente la situazione appare diversa rispetto a due rette sovrapposte.

I NUMERI IPERREALI-4 In termini algebrici si può pensare alla

differenza tra 1 e

0.(9).

1‒0.(9)<10‒n per ogni

n naturale, ma non c’è modo di calcolare direttamente questa differenza.

Nei reali non può che

essere nulla, ma negli IperReali le cose cambiano.

I NUMERI IPERREALI-5

A partire da ʘ si costruiscono altri numeri

iperreali.

Un iperreale notevole è l’inverso di ʘ,

È un numero infinito: l’unità infinita o infinito

Tra gli infiniti ci sono gli IperNaturali che sono isomorfi agli ordinali transfiniti di Cantor.

I NUMERI IPERREALI-6 Un modo meno formale per introdurre gli IperReali sfrutta la geometria analitica.

I reali sono in corrispondenza biunivoca con le semirette orizzontali nel semipiano cartesiano destro

I NUMERI IPERREALI-7

Estendiamo ora l’insieme agli oggetti

geometrici descritti da equazioni del tipo

y=xrp(x) Ordiniamoli in modo che f >g se ciò è vero

per le ordinate delle curve da un qualche x in poi.

Questo insieme “contiene” i reali come

sottoinsieme, ma contiene anche altri elementi “esotici”.

I NUMERI IPERREALI-8

Gli oggetti e

sono rispettivamente più piccolo e più grande

di qualunque “reale” positivo

I NUMERI IPERREALI-9 Ogni monomio iperreale ha la sua Magnitudo.

M(r)=0 M(rʘn)= ‒n M(r∞n)=n

Il Termine Dominante (o Parte Standard se il TD è reale) è il monomio di magnitudo maggiore.

Dom[‒3∞2+4∞+2‒4ʘ]= ‒3∞2

Dom[5+ln2‒4ʘ+2ʘ2]=5+ln2

Dom[7ʘ+3ʘ2]=7ʘ

Il TD determina l’ordinamento degli IperReali (solo se il TD è uguale si confrontano gli altri

termini).

I NUMERI IPERREALI-10

Il TD di un prodotto o di un rapporto è uguale

al prodotto o al rapporto tra i TD

I NUMERI IPERREALI-11A Il TD di una somma va valutato caso per caso

TD di magnitudo diversa

TD con stessa magnitudo

I NUMERI IPERREALI-11B TD che si cancellano

Tecniche identiche a quelle per i limiti: imparando a calcolare i TD si impara anche a risolvere i limiti. Ma il quadro concettuale è più semplice.

Le funzioni elementari sono definite dalle operazioni sui reali.

Quindi sono automaticamente definite anche sugli iperreali con le stesse proprietà (quasi).

Il TD sostituisce molto più intuitivamente il

limite, senza perdita alcuna di rigore.

fxf

xfxf

x

xx

Domlim

Domlim 00

ANALISI NON-STANDARD-1A

ANALISI NON-STANDARD-1B

Ad esempio il limite , che deve essere risolto mediante una scomposizione, è sostituito dal calcolo

algebrico

(il calcolo relativo ai due segni può anche

essere svolto separatamente)

Una funzione è continua se il suo valore cambia

infinitesimamente per variazioni infinitesime della variabile indipendente.

ANALISI NON-STANDARD-2

00Dom xfxf

Gli asintoti sono rette con distanza infinitesima dal grafico in punti con almeno una coordinata infinita.

x=x0 è A.V. se Dom[f(x0±ʘ)] è un infinito

y=k è A.Or. se Dom[f(±∞)]=k (un infinitesimo se k=0)

y=mx+q è A.Ob. se

ANALISI NON-STANDARD-3

La tangente è una retta che interseca la funzione

in due punti infinitesimamente vicini.

ANALISI NON-STANDARD-4

t è la tangente “vera”

s è una secante con incremento reale

u è una tangente non-standard (angolo

infinitesimo con t)

L’integrale definito è una somma infinita di aree di

rettangoli di base infinitesima:

Si divide [a,b] in infinitesimi dx con un IperNaturale,

ANALISI NON-STANDARD-5A

Si generano quindi infiniti rettangoli

di area f(x)dx,

La loro somma costituisce l’area

cercata.

Il volume dei solidi di rotazione è una somma infinita di volumi di “fettine” di spessore

infinitesimo:

Si divide [a,b] in infinitesimi dx con un IperNaturale,

ANALISI NON-STANDARD-5B

Si generano quindi infiniti cilindri

di volume pf(x)2dx,

La loro somma costituisce il volume cercato.

Alcune dimostrazioni diventano banali grazie alle proprietà di ordinamento degli IperReali

L’integrale è l’area di uno dei rettangolini

infinitesimi, se f è continua e crescente in x

ANALISI NON-STANDARD-6

ANALISI NON-STANDARD-7

Tutto ciò che nell’Analisi Standard non

coinvolge direttamente i limiti (calcolo e uso delle derivate, problemi di tangenza, problemi di massimo e minimo, integrazione definita e indefinita) si affronta nell’Analisi Non-

Standard in modo identico, sia in termini metodologici sia in termini formali.

SCANSIONE ARGOMENTI: III ANNO (PROPOSTA)

Geom. analitica fino alla circonferenza,

Eq. e dis. con VA e irrazionali,

Numeri IperReali,

Derivate (definizione, formule per potenza, prodotto, rapporto, composta)

Crescenza, convessità, studio di polinomi,

Problemi di massimo e minimo, Continuità e asintoti,

Frazioni algebriche, funzioni irrazionali.

SCANSIONE ARGOMENTI: IV ANNO (PROPOSTA)

Ellisse e Iperbole (sia tradizionalmente sia come casi particolari di funzioni),

Esponenziali e Logaritmi (e in parallelo le formule relative di analisi),

Trigonometria (e in parallelo le formule relative di analisi),

Funzioni goniometriche inverse.

SCANSIONE ARGOMENTI: V ANNO (PROPOSTA)

Integrali,

Definizione di limite e traduzione del formalismo standard in quello non-standard e viceversa,

Complementi,

Esercitazione per l’esame.

Abraham Robinson, Non-Standard Analisys, Princeton University Press. [non per la didattica]

Howard Jerome Keisler, Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, Dover Books (www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html).

Howard Jerome Keisler, Foundations Of Infinitesimal Calculus (www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html).

In rete si trovano molte altre risorse gratuite, anche in italiano, con diversi livelli di approfondimento. Parole chiave: infinitesimi, iperreali, analisi non-standard.

BIBLIOGRAFIA

RINGRAZIAMENTI

Il Prof. Sicolo, la Mathesis e il L. S. “Salvemini” per l’opportunità di parlarVi della mia esperienza;

Il DS G. Magistrale e il Dip. di Matematica e Fisica del L. S. “A. Scacchi” di Bari per il sostegno in questo esperimento didattico;

Il Prof. Sicolo, la Prof.ssa Bianca Fanti e la Prof.ssa Marina Muscarella per i consigli su questa presentazione (ma se non vi è piaciuta non è colpa loro);

I miei alunni, mie consapevoli “cavie”;

Voi tutti per la cortese attenzione.