Calcul de la forme des spectres bêta - SFRP · Transfert d’énergie linéaire des électrons • Mesures d’activité par Scintillation Liquide ... Potentiel coulombien ... Très

CEA Saclay – LNHB : M.-M. Bé, C. Bisch, X. Mougeot

Calcul de la forme des spectres bêta

Influence des électrons de basse énergie Calculs analytiques dans BetaShape Écrantage et effet d’échange atomique Résultats pour les spectres du 63Ni et du 241Pu

Comparaison systématique

Journées Codes de calcul 2014 | X. Mougeot et al. – Calcul de la forme des spectres bêta

Évaluation de la forme des spectres bêta

X. Mougeot M. Loidl C. Bisch

(doctorat)

But

Évaluer la forme des

spectres bêta

Calculs au LNHB

Courtes périodes,

décroissances multiples,

cascades, etc.

Mesures au LNHB

BetaShape + améliorations

Basse énergie

Jusqu’à 500 keV

Calorimètres

métalliques

magnétiques

Énergies

intermédiaires

100 keV – 3 MeV

Si PIPS, Si(Li)


Influence des électrons de basse énergie

A.I. Kassis, Int. J. Radiat. Biol. 80, 789 (2004)

Transfert d’énergie

linéaire des électrons • Mesures d’activité par

Scintillation Liquide

• Évaluation de la dose déposée

dans les cellules du patient

R. Broda, P. Cassette, K. Kossert,

Metrologia 44, S36-S52 (2007)

M. Bardiès, J.-F. Chatal, Phys.

Med. Biol. 39, 961-981 (1994)

e.g. 1 électron de 2 keV

2 électrons de 1 keV

Il est nécessaire de connaître précisément la

forme des spectres bêta à basse énergie


Calculs analytiques dans BetaShape

Transitions permises et interdites uniques

Transitions interdites non-uniques traitées selon l’approximation ξ

si 2𝜉 = 𝛼𝑍 𝑅 ≫ 𝐸0, non unique unique de même Δ𝐽

Écrantage : 𝑊 → 𝑊 − 𝑉0 𝛽− ou 𝑊 →𝑊 + 𝑉0 𝛽+ où 𝑉0 ne dépend que de 𝑍

Taille finie du noyau : 𝜆1 → 𝜆1 1 + Δ𝜆1

Corrections radiatives (photons virtuels, bremsstrahlung interne)

X. Mougeot et al., Proceedings of the LSC2010 International Conference, Paris, France, p. 249 (2010)

𝜆𝑘 =𝑔−𝑘2 𝑅 + 𝑓𝑘

2 𝑅

2𝑝22𝑘 − 1 ‼

𝑝𝑅 𝑘−1

2

Fonctions d’ondes radiales relativistes

et analytiques de l’électron

𝑆𝑛 𝑍,𝑊 = 𝜆𝑘𝑝2(𝑘−1) 𝑊0 −𝑊 2(𝑛−𝑘+1)

2𝑘 − 1 ! 2 𝑛 − 𝑘 + 1 + 1 !

𝑛+1

𝑘=1

ordre de la

transition (𝒏)

Spectre bêta

Espace des phases

Partie coulombienne

+ facteur de forme 𝑁(𝑊) ∝ 𝑝𝑊(𝑊0 −𝑊)²𝑆𝑛(𝑍,𝑊)

𝜆𝑘 = 1

?


63Ni et 241Pu

Transition 1ère interdite non-unique

calculable comme une permise

2𝜉 = 𝛼𝑍 𝑅 ≫ 𝐸0 = 20,8 keV ≪ 19,8 MeV

Les calculs analytiques usuels ne

parviennent pas à reproduire pas

ces spectres « simples »

C. Le-Bret, thèse de doctorat,

Université Paris 11 (2012)

M. Loidl et al., App. Radiat.

Isot. 68, 1460 (2010)


Nos améliorations

Évaluer les fonctions d’ondes à la surface du noyau ne donne pas un bon

résultat à cause de la faiblesse des potentiels d’écrantage dans cette région

Une nouvelle correction d’écrantage a été définie :

• elle évite le calcul complet des éléments de matrices nucléaires et leptoniques

• elle est valable uniquement pour les transitions permises, pour l’instant

Écrantage

Z Z+1 transition β-

Eβ - EX

M.R. Harston, N.C. Pyper,

Phys. Rev. A 45, 6282 (1992)

Effet d’échange atomique

Indiscernable de la désintégration directe vers un état final libre

Dépend du recouvrement des fonctions d’ondes libres et liées des électrons

Transitions permises : seules les orbitales ns sont atteignables par l’électron bêta

X. Mougeot et al., Phys. Rev.

A 86, 042506 (2012)


Fonctions d’ondes des électrons

Équations de Dirac développement en séries entières (solutions exactes)

𝑟 = 0 𝑟 = 𝑟0 𝑟 = ∞

𝑓(𝑟)𝑔(𝑟)

=(𝑝𝑟)𝑘−1

2𝑘 − 1 ‼

𝑎𝑛𝑏𝑛

∞

𝑛=0

𝑟𝑛

singulier régulier singulier irrégulier ordinaire

𝑟𝑓(𝑟)𝑟𝑔(𝑟)

= 𝑎𝑛𝑏𝑛

∞

𝑛=0

(𝑟 − 𝑟0)𝑛

𝑓∞𝑗(𝑟)

𝑔∞𝑗(𝑟)=

𝑟−1+𝑦𝑡0/𝑝

𝑊(𝑊 + 1)𝑒𝑡0𝑟

𝑎𝑛𝑏𝑛

∞

𝑛=0

𝑟−𝑛

H. Behrens, W. Bühring, Electron Radial Wave functions and Nuclear Beta Decay, Oxford Science Publications (1982)

Vérification

Bonne reproduction des paramètres tabulés de Behrens pour le calcul des

transitions bêta et des captures électroniques (spectres en énergie, polarisation des électrons, corrélations angulaires 𝛽 − 𝛾, etc.)

H. Behrens, J. Jänecke, Landolt-Börnstein, New Series, Group I, vol. 4, Springer Verlag, Berlin (1969)

Potentiel coulombien

généré par une sphère uniformément chargée → taille finie du noyau

inclus un potentiel d’écrantage

inclus un potentiel d’échange pour les électrons atomiques (corrélations)

F. Salvat et al., Phys. Rev. A 36, 467 (1987)


Spectre bêta du 63Ni

L’énergie

moyenne du

spectre est plus

faible de 1,8 % C. Le-Bret, thèse de doctorat,

Université Paris 11 (2012)

Transition permise

Spectre expérimental

Analytique : 𝐸 = 17,45 keV

Avec écrantage : 𝐸 = 17,40 keV

Avec écrantage et échange : 𝐸 = 17,14 keV


Spectre bêta du 63Ni

Erreur de modélisation 𝑒𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖𝑡ℎ

Qualité d’ajustement 𝑅² = 1 −var(𝑒𝑖 )

var(𝑦𝑖)

Ici, deux paramètres : énergie maximale

et normalisation sur le spectre mesuré

Résidus standardisés 𝑟𝑖 =𝑒𝑖

var(𝑒𝑖 )

Si à peu près équirépartis autour de zéro

𝜎𝑟𝑖 = var(𝑟𝑖)

est une estimation de l’incertitude globale

du spectre calculé

Entre 500 eV, 𝐸max

moyenne des résidus

désaccord théorie – expérience

incertitude globale

𝒓𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟑 %

𝟏 − 𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟖 %

𝝈𝒓𝒊 = 𝟏, 𝟎𝟑 %


L’énergie

moyenne du

spectre est plus

faible de 4 %

Analytique : 𝐸 = 5,24 keV

Avec écrantage : 𝐸 = 5,18 keV

Avec écrantage et échange : 𝐸 = 5,03 keV

Spectre bêta du 241Pu

Transition calculée

comme une permise

Spectre expérimental

M. Loidl et al., App. Radiat.

Isot. 68, 1460 (2010)


Spectre bêta du 241Pu

Erreur de modélisation 𝑒𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖𝑡ℎ

Qualité d’ajustement 𝑅² = 1 −var(𝑒𝑖 )

var(𝑦𝑖)

Ici, deux paramètres : énergie maximale

et normalisation sur le spectre mesuré

Résidus standardisés 𝑟𝑖 =𝑒𝑖

var(𝑒𝑖 )

Si à peu près équirépartis autour de zéro

𝜎𝑟𝑖 = var(𝑟𝑖)

est une estimation de l’incertitude globale

du spectre calculé

Entre 500 eV, 𝐸max

moyenne des résidus

désaccord théorie – expérience

incertitude globale

𝒓𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟗 %

𝟏 − 𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟎 %

𝝈𝒓𝒊 = 𝟎, 𝟗𝟗 %


Comparaison systématique

Petite base de données de 130 facteurs de formes expérimentaux

• Permises : 36

• Interdites uniques : 25 (1ère), 4 (2nde), 1 (3ème)

• Interdites non-uniques : 53 (1ère), 9 (2nde), 1 (3ème), 1(4ème)

Comparaison systématique avec les calculs

Très peu de mesures sous 50 keV

Très peu de transitions de haut degré d’interdiction

𝜆𝑘 = 1 est en général une mauvaise approximation

Les spectres des transitions permises et interdites uniques sont en général

bien reproduits

L’approximation 𝜉 n’est correcte que pour seulement ~ 50 % des transitions

1ères interdites non-uniques, et fausse dans tous les autres cas

De nouvelles mesures sont nécessaires pour tester les prédictions théoriques

mais presque

exhaustive !


L’approximation 𝝀𝒌 = 𝟏

Écart de 3,6 % sur l’énergie moyenne

Impact important à basse énergie

Écart de 4,6 % sur l’énergie moyenne

Impact important à basse énergie et sur

l’ensemble du spectre


L’approximation 𝝃

Calculée comme une permise, cette

transition n’est pas reproduite

Écart de 20 % (!) sur l’énergie moyenne

Calculée comme une 1ère interdite unique,

cette transition n’est pas reproduite

Écart de 14 % (!) sur l’énergie moyenne

C’est mieux comme une 3ème interdite unique

(seulement 3,4 % d’écart) → justification ??


Conclusion

Les effets atomiques d’écrantage et d’échange ont une influence majeure sur la forme

des spectres bêta à basse énergie.

Un très bon accord est obtenu avec les spectres expérimentaux si ces effets sont pris

en compte dans les modèles.

La partie atomique est sous contrôle dans les transitions permises. Nous devrons

généraliser ces corrections aux transitions interdites.

L’approximation usuelle 𝝀𝒌 = 𝟏 est en général une mauvaise approximation.

L’approximation 𝝃 n’est valable que pour ~ 50 % des transitions 1ères interdites non-

uniques, et fausse dans tous les autres cas.

Nous prévoyons d’évaluer l’influence des éléments de matrices nucléaires afin de

calculer spécifiquement les transitions interdites non-uniques.

→ Des comparaisons seront menées avec de nouvelles mesures effectuées au LNHB

Nous prévoyons également de nous intéresser aux transitions par capture électronique.


Workshop

Dans le cadre du projet européen MetroMRT (Metrology for Molecular

Radiation Therapy), un workshop est organisé les 21 et 22 mai prochains

sur Paris sur les codes de calculs :

Spectres bêta

Reconstruction d’images (imagerie quantitative)

Simulations Monte-Carlo

L’accent sera mis sur la confiance que l’on peut avoir dans ces codes.

Le workshop est ouvert à tous (nombre de places limité).

Programme et inscriptions :

http://www.nucleide.org/MetroMRT-2014/

Documents

Calcul de la forme des spectres bêta - SFRP · Transfert d’énergie linéaire des électrons • Mesures d’activité par Scintillation Liquide ... Potentiel coulombien ... Très