Calcul Des Deplacements d’Un Pieu Soumis a Des Charges Dynamiques

BADJI-MOKHTAR-ANNABA UNIVERSITY UNIVERSITE BADJI-MOKHTAR-ANNABA

Faculte des sciences de lingenieur Annee 2007

Departement de Genie Civil

THESE

Presente en vue de lobtention du diplome de DOCTORAT DETAT

CALCUL DES DEPLACEMENTS DUN PIEU SOUMIS A DES CHARGES DYNAMIQUES

Option

Geotechnique

Par

SALAH MESSAST

DEVANT LE JURY

PRESIDENT : B. REDJEL Professeur Universite de Annaba EXAMINATEURS : F. HABITA Professeur Universite de Annaba M. HAMAMI Professeur Universite de Skikda K. ABECHE M.C Universite de Bantna

ENCADREUR : AHMED BOUMEKIK Professeur Universite de Constantine

IV

Remerciements

Ce travail a t ralis sous la direction du Professeur A. Boumekik, quil trouve

ici le tmoignage de ma profonde reconnaissance pour ces encouragements incessants et son soutien moral durant les priodes les plus difficiles de la ralisation de ce travail.

Je remercie le Professeur B. Redjel davoir accept de prsider le jury de

soutenance de cette thse. Mes vifs remerciements sont adresss Messieurs F. Habita, M. Hamami et K.

Abbeche qui ont bien voulu examiner ce travail. Je remercie galement Messieurs E. Flavigny et M. Boulon respectivement

Professeur et Professeur Emrite lUniversit Joseph Fourier pour les critiques apportes ce travail et les moyens mis ma disposition lors de mes stages au sein de leur laboratoire (3S).

II

Rsum

Beaucoup douvrages sont fonds sur des pieux tels que les ponts, les structures

offshores, les centrales nuclaires, les grandes tours . etc. Ltude de la rponse dynamique des pieux constitue un lments important dans la scurit et la durabilit de ces ouvrages. Dans cette thse une mthode combine Elment Finis Elments Frontires est prsente pour ltude de la rponse des pieux sous diffrents schmas de chargement statique ou harmonique. Le pieu est plac dans un sol viscolastique linaire. La mthode utilise se base sur la technique de dcomposition du systme sol-pieu, qui permet de sparer les effets du sol et du pieu sur la rponse du systme, en imposant la fin la condition de compatibilit des dplacements. Le pieu est discrtis en lments poutres, sa matrice de rigidit sobtient par la superposition de la matrice caractrisant la rigidit dun pieu fictif et celle reprsentant la contribution du sol dans la rponse du systme. Cette dernire et la matrice de flexibilit du sol adjacent sobtiennent en utilisant la technique des lments frontires, combine avec la mthode des couches minces.

La comparaison des rsultats obtenus par la prsente mthode et ceux cits dans diffrentes rfrences bibliographiques, confirme la fiabilit de cette mthode et sa bonne adaptation la dtermination de la rponse des pieux sous charges statiques et dynamiques.

Pour tudier linfluence des diffrents paramtres sur la rponse dynamique des pieux, une tude paramtrique a t mene sur la rponse dun pieu flottant libre sa tte, plac dans un sol viscolastique, soumis une charge harmonique verticale. Mots cls : Pieu, Sol, Vibration harmonique, BEM, FEM, Dplacement.

III

Abstract Many structures are founded on pile foundation as bridges, offshore structures,

nuclear plants, higt buldings . etc. The study of the dynamic response of the piles constitutes an important element in the security and the durability of these structures. In this thesis a combined method Finite Elements Method Boundary Elements Method is presented for the study of the piles response under static or harmonic loading. The pile is emdidded in a viscoelastic soil. This method is based on the technique of the decomposition of the soil-pile system, which permits to separate the effects of soil and the pile on the response of the total system, while imposing the condition of compatibility of the displacements at the end. The pile is discrtized in elements of beams, its matrix of rigidity can be given by the superposition of the matrix characterizing the rigidity of the fictional pile and the one which representing the contribution of soil in the response of the system. This last and the matrix of flexibility of the adjacent soil can be given by using the technique of the Boundary Elements, combined with the thin layers method.

The comparison of the results gotten by the present method and those mentioned in different bibliographic references, confirm the reliability of this method and its good adaptation to the determination of the response of the piles under static and dynamic loads.

To study the influence of the different parameters on the dynamic response of the pile, a parametric survey has been led on the response of a free floating pile in its head, placed in a viscoelastic soil, the pile is submitted to a vertical harmonic load. Key words: Pile, Soil, Harmonic vibration, BEM, FEM, Displacement.

V

Tables

N Dsignation page 1.1 Facteur rhologique pour divers types de sols (daprs Fascicule 62 ,

1992)

17

1.2 Valeurs recommandes pour nh et pour les sables sous chargements

statiques et cycliques

26

1.3 valeurs recommandes pour , , ' dans la cas des argiles 27

4.1 Comparaison de limpdance verticale normalise par sa correspondante

85

4.2 Comparaison des compliances horizontales normalises

86

4.3 Comparaison des compliances normalises de couplage

86

4.4 Comparaison des compliances normalises de basculement

87

VI

Figures

N Dsignation Page 1.1 Dfinition dun pieu 6 1.2 Courbe typique de transfert de charge daprs Coyle et Reese 15 1.3 Discrtisation du pieu dans le sens vertical daprs Coyle et Reese 15 1.4 Courbe P-y dans le cas de sollicitations de courte dure en tte

dominantes 18

1.5 Courbe P-y dans le cas de sollicitations accidentelles trs brves en tte dominantes

19

1.6 Forme caractristique de la courbe p-y daprs Det Norske Veritas (1977)

23

1.7 Schmatisation dune fondation de Winkler 32 2.1 Modle de Voigt 42 3.1 Systme sol-pieu 47 3.2 Dcomposition du systme sol-pieu 49 3.3 discrtisation du sol et du pieu dans la direction verticale 50 3.4 Discrtisation horizontale de la poutre de sol 63 3.5 Degrs de libert dune section du pieu 66 3.6 Elment fini poutre 71 4.1 Systme sol-pieu 79 4.2 Dplacement vertical le long du pieu 83 4.3 Dplacement latral d une charge horizontale 84 4.4 Dplacement latral d un moment de basculement 84 4.5 Influence de la rigidit relative Partie relle du dplacement

horizontal 88

4.6 Influence de la rigidit relative Partie imaginaire du dplacement horizontal

89

4.7 Influence de la rigidit relative Partie relle du dplacement vertical 89 4.8 Influence de la rigidit relative Partie imaginaire du dplacement

vertical 90

4.9 Influence du coefficient damortissement Partie relle du dplacement horizontal

91

4.10 Influence du coefficient damortissement Partie imaginaire du dplacement horizontal

91

4.11 Influence du coefficient damortissement Partie relle du dplacement vertical

92

4.12 Influence du coefficient damortissement Partie imaginaire du dplacement vertical

92

4.13 Influence de la masse relative Partie relle du dplacement 93

VII

horizontal 4.14 Influence de la masse relative Partie imaginaire du dplacement

horizontal 94

4.15 Influence de la masse relative Partie relle du dplacement vertical 94 4.16 Influence de la masse relative Partie imaginaire du dplacement

vertical 95

4.17 Influence du coefficient de Poisson Partie relle du dplacement horizontal

96

4.18 Influence du coefficient de Poisson Partie imaginaire du dplacement horizontal

96

4.19 Influence du coefficient de Poisson Partie relle du dplacement vertical

97

4.20 Influence du coefficient de Poisson Partie imaginaire du dplacement vertical

97

4.21 Influence de llancement Partie relle du dplacement horizontal

98

4.22 Influence de llancement Partie imaginaire du dplacement horizontal

98

4.23 Influence de llancement Partie relle du dplacement vertical

99

4.24 Influence de llancement Partie imaginaire du dplacement vertical 99

VIII

Notations

Symbole Dsignation Masse volumique E Module dlasticit longitudinal G Module de cisaillement dformation u dplacement contrainte Coefficient de Poisson Constante de lam B Diamtre du pieu L Longueur du pieu D Profondeur du substratum Frquence dexcitation a Frquence adimensionnelle Cs Vitesse de propagation donde de cisaillement Ux Dplacement horizontal Uy Dplacement vertical Re Partie relle Im Partie imaginaire t Temps r Rayon dun disque P Vecteur charge U Vecteur dplacement K Matrice de rigidit totale du pieu F Matrice de flexibilit fij Fonction de Green Coefficient damortissement matriel Coefficient damortissement radiatif M Matrice de masse Lr Rapport dlancement du pieu hr Profondeur relative du substratum er Rigidit relative mr Masse relative ns Rapport de discrtisation verticale nd Rapport de discrtisation horizontale Qpl Charge limite de pointe qpl Rsistance unitaire du sol sous la pointe Ap Section droite de la pointe Qsl Charge limite par frottement qsli Rsistance unitaire du sol due au frottement latral

IX

Qc Charge de fluage qp Contrainte verticale effective due au poids des terres au niveau de la

pointe du pieu Nq Facteur de portance c La cohsion ou Angle de frottement interne

'vq Contrainte effective verticale moyenne

uC Cohsion non draine moyenne 'cq Pression de surconsolidation

s Tassement dun pieu ks module de raction du sol y Dplacement latral I Moment dinertie de la section du pieu z Transfert de charge la profondeur z EM Module pressiomtrique

X

Tables des matires

Rsum (Arab) ...I Rsum ..II Abstract..III Remerciement ....IV Tables ..........V Figures ...VI Notations .VIII Tables des matires ...........X Introduction Gnrale .1 Chapitre 1. Elments bibliographiques 5

1.1 Introduction ...5 1.2 Dimensionnement des pieux selon le D.T.R. BC 2.33.2 7

1.3 Mthodes bases sur les courbes de transfert de charge (modle de Coyle et Reese) 14 1.4 Modle de Davis-Poulos Midlin ..16 1.5 Courbe de raction P-Y ..16 1.6 Approches bases sur le principe de Winkler ..30 1.7 Approches bases sur la mthode des lments finis ..32 1.8 Approches bases sur les fonctions de Green ..33 1.9 Approche propose dans cette thse 35

Chapitre 2. Comportement dynamique des sols 37 2.1 Introduction.37 2.2 Charges dynamiques .. ...37 2.3 Actions dynamiques dans le sol.....38 2.4 Equation donde ..39 2.5 Ondes harmoniques ..40 2.6 Comportement des sols sous chargement dynamique ...41 2.6.1 Amortissement interne ou matriel ...42 2.6.2 Principe de correspondance 44 2.6.3 Amortissement radiatif ..44 2.6.4 Module de cisaillement ...44 Chapitre 3. Calcul des dplacements du pieu .47 3.1 Modle de calcul 47 3.1.1 Hypothses de la mthode ..48 3.1.2 Dcomposition du systme sol-pieu ...48 3.1.3 Discrtisation du systme sol-pieu 50

3.2 Calcul de la matrice de rigidit de al poutre de sol 51 3.2.1 Dtermination des fonctions de Green dans un sol multicouches Axisymtrique ..51 3.2.1.1 Procdure gnrale de calcul ...52

XI

3.2.1.2 Vibrations non axisymtriques dans un sol axisymtrique ..53 3.2.1.2.1 Formulation du problme dans le domaine frquentiel en coordonnes cylindriques ..54

3.2.1.2.2 Dcomposition en srie de Fourier dans la direction tangentielle ...56 3.2.1.2.3 Dcomposition en fonctions cylindriques dans la direction radiale 59 3.2.1.2.4 Equation du mouvement dans le domaine des nombres dondes 60

3.2.2 Reprsentation intgrale du champ de dplacements .62 3.2.3 Discrtisation des sections 63 3.2.4 Reprsentation discrte des dplacements .63 3.2.5 Calcul de la matrice de flexibilit du sol discrtis ...65 3.2.6 Conditions de rigidit et dquilibre des sections ..66 3.2.7 Matrice de rigidit de la poutre de sol .70 3.3 Matrice de rigidit et de masse du pieu fictif 70 3.3.1 Matrice de rigidit ..71 3.3.2 Matrice masse 72 3.3.3 Matrice de rigidit et de masse dans le repre globale ...72 3.4 Equation du mouvement du pieu ..73 3.5 Modle quivalent .75 3.5 Programme et procdure de calcul 75

Chapitre 4. Rsultats et analyse paramtrique 78 4.1 Dfinition des paramtres de lanalyse .79 4.2 Paramtres de convergence ...80 4.3 Validation des rsultats .81 4.3.1 Cas statique 82 4.3.2 Cas dynamique 85 4.3.2.1 Mode vertical ..85 4.3.2.2 Modes coupls de translation horizontale et de basculement ..86 4.4 Applications ..87 4.4.1 Influence de la rigidit relative ..88 4.4.2 Influence de lamortissement 90 4.4.3 Influence de la masse relative 93 4.4.4 Influence du coefficient de Poisson ...95 4.4.5 Influence de llancement du pieu 98 Conclusion 102 Rfrences ...106 Annexe ..114

Introduction

1

Introduction

Le mtier de lingnieur consiste dvelopper des techniques innovantes

permettant de repousser sans cesse la limite du constructible. Celui-ci cherche btir

plus haut (gratte-ciels) et plus important (centrales nuclaires), franchir des coupures

plus larges (ponts de grandes portes, tunnel sous la Manche) ou dans des conditions

toujours plus difficiles : dans des sols rputs de mauvaise qualit, sur des terrains

gagns sur la mer, dans des environnements hostiles (grands barrages de montagne).

La bonne conception et le bon dimensionnement des fondations constituent un

lment trs important dans la scurit et la durabilit des ouvrages. Il existe deux

grands types de fondations superficielles et profondes selon limportance de louvrage

et la portance du sol. Lorsque le sol de fondation en surface na pas les proprits

mcaniques suffisantes pour supporter les charges par lintermdiaire de fondations

superficielles, soit que sa rsistance soit trop faible, soit que les tassements prvus

soient prjudiciables la construction, on fait appel des fondations profondes.

Beaucoup douvrages importants sont gnralement fonds sur des pieux tels que les

ponts, les centrales nuclaires, les structures offshores, les tours grandes hauteurs, les

fondations pour machinesetc.

On distingue plusieurs types de pieux. Traditionnellement les pieux sont classs

(Frank 1999), soit suivant la nature du matriau constitutif (bois, mtal, bton,), soit

suivant le mode dintroduction dans le sol (pieux battus, pieux fors).

Jusqu un pass relativement rcent, la conception des pieux soumis des

charges dynamiques se faisait par les mthodes de calcul statique moyennant des

coefficients de majoration dynamiques. Au cours des dernires dcennies, les exigences

des structures modernes en terme de scurit et dconomie dune part et le

Introduction

2

dveloppement des moyens de calcul numrique dautre part ont donn de fortes

impulsions lanalyse rationnelle des vibrations des pieux.

Une conception destine fonctionner en conditions dynamiques doit satisfaire les

phases suivantes :

- Dfinition de la rupture ; cest mettre en vidence les critres de rupture. En

gnrale ils sont dcrits en termes de limitation des valeurs de lacclration, de

la vitesse ou du dplacement.

- Evaluation des charges dynamiques sollicitant le pieu qui peuvent tre gnres

soit par des sources naturelles telles que les sismes, le vent et les rez de marre,

ou des sources artificielles telles que les vibrations des machines, le trafic, les

explosions

- Etablissement des relations entre les charges appliques et les dformations

rsultantes.

- Dtermination du facteur de scurit appliquer aux rsultats obtenus, qui

dpend des caractristiques de louvrage et des approximations faites lors du

calcul.

La troisime phase ci-dessus constitue ltape cl dans le calcul dynamique des pieux et

prsente actuellement un sujet dintrt pour plusieurs chercheurs.

Lanalyse du comportement dynamique dun pieu revient fondamentalement

rsoudre les quations de propagation dondes dans un milieu htrogne sol-pieu. La

prise en considration de la flexibilit du pieu rend le problme si complexe que les

solutions analytiques ne sont pas faciles formuler. De ce fait le recours aux mthodes

de rsolution numriques est invitable. Nous citons particulirement la Mthode des

Elments Finis et la Mthode des Elments Frontires qui se gnralisent de plus en

plus pour tous les types de problmes en vertu des avantages quelles prsentent.

La mthode des lments finis a t le premier outil numrique utilis dans les

problmes dinteraction dynamique sol-pieu. Cette mthode tire sa puissance de son

adaptation facile aux problmes de gomtries complexes et de fortes htrognits. A

Introduction

3

cause de la nature infinie du sol, lapplication de la mthode dans le domaine

dinteraction dynamique sol-structure ncessite lutilisation de frontires appropries.

Ces dernires sont conues de manire liminer les rflexions dondes vers lintrieur

du modle discrtis. Ce problme a t le sujet dintrt de plusieurs chercheurs depuis

les annes 1970. Nous citons, Lysmer et kuhlmeyer, Wass, Smith et dautres.

La mthode des lments frontires est mieux adapte pour les problmes

dinteraction dynamique sol-structure du fait quelle est base sur des solutions

analytiques automatiquement satisfaisant les conditions de radiation linfini. Ainsi la

discrtisation se limite une partie de la frontire du milieu infini et le nombre

dlments utiliser se trouve fortement rduit, ce qui permet un gain de mmoire et de

temps de calcul. Cependant, cette mthode prsente certains inconvnients qui se

rsument en : son adaptation difficile aux problmes non-linaires, de fortes

htrognits matrielles et de gomtries complexes.

Une approche alternative a t dveloppe et consiste en la combinaison des deux

mthodes (lments finis, lments frontires) afin de pouvoir tirer profit de leurs

avantages et liminer leurs inconvnients individuels. Cette technique a t

intensivement utilise par plusieurs chercheurs, pour ltude des problmes complexes

dinteraction dynamique sol-structure. Dans cette approche la structure (fondation ou

pieu) est en gnral modlise par lments finis et le sol par lments frontires.

Dans ce travail une mthode combine lments finis lments frontires est

prsente pour ltablissement des relations charges dplacements pour un pieu

flexible plac dans un sol multicouche soumis trois modes de chargement

harmoniques : translation horizontale et verticale et un moment de basculement et ce

pour diffrentes frquences dexcitation. Cette mthode est base sur les solutions

fondamentales (fonctions de Green) obtenues partir de la mthode des couches minces

par Kausel et al.

Dans ce travail on va traiter les points suivants :

- Prsentation du concept gnral de cette approche

Introduction

4

- Validation de la mthode prsente

- Etude paramtrique de la rponse statique et dynamique dun pieu plac dans un

sol homogne.

Le manuscrit de cette thse est organis comme suit :

Un premier chapitre consacr une recherche bibliographique concernant les mthodes

utilises dans le calcul de la rponse des pieux.

Un deuxime chapitre sur les notions et les dfinitions gnrales de la propagation

donde et le comportement dynamique des sols.

Un troisime chapitre qui prsente le modle de calcul et les quations de mouvement

du systme.

Un quatrime chapitre destin aux rsultats et applications.

Enfin on termine par une conclusion gnrale et quelques perspectives.

Chapitre 1 Elments bibliographiques

5

Chapitre 1

Elments bibliographiques 1.1 Introduction

Les pieux sont gnralement utiliss comme fondations profondes pour les

grands ouvrages tels que les centrales nuclaires, les ponts, les tours, les structures

offshores ou lorsque les couches de sol proches de la surface prsentent des

caractristiques mcaniques faibles.

Le dveloppement de solutions efficaces pour lanalyse de la rponse statique et

dynamique des pieux, est trs important pour la scurit et la stabilit des grandes

structures et surtout en situations accidentelles (sisme, explosion, choc, .)

Un pieu est une fondation lance qui reporte les charges de la structure sur des

couches de terrain de caractristiques mcaniques suffisantes pour viter la rupture du

sol et limiter les dplacements des valeurs trs faibles. Un pieu est compos de trois

parties essentielles ; la tte, la pointe et le ft compris entre la tte et la pointe. Daprs

le D.T.R. BC 2.33.2 (Mthodes de calcul des fondations profondes, 1994), une

fondation est considre comme profonde lorsque L/B 6 et L 3m (figure 1.1), avec

L : longueur du pieu et B : diamtre du pieu.


6

Les sollicitations sexerant sur une fondation profonde sont de deux types :

- Sollicitations statiques ou dynamiques dues louvrage support

- Sollicitations dues au sol en contact avec la fondation (frottement ngatif,

pousse horizontale des terres, sisme..)

Figure 1.1 Dfinition dun pieu

La capacit portante dun pieu est le minimum des deux valeurs suivantes

(Prakash et Sharma, 1990) :

- La charge admissible obtenue par division de la charge ultime de rupture par un

coefficient de scurit.

- La charge correspondant un dplacement admissible.

Les mthodes de calcul de la capacit portante des pieux dpendent de deux

facteurs importants : le type de sol o est plac le pieu et la nature de la charge

applique sur le pieu (verticale ou horizontale).

Lanalyse des pieux soumis des charges dynamiques tait aussi longtemps

limite la dtermination de la frquence propre de vibration du systme sol-pieu et ce

dans le but dviter la rsonance qui peut avoir lieu sous leffet des vibrations forces

B

Pieu

Couche de sol mdiocre

Couche de sol dancrage

L


7

(Richart et al 1970 et Buzdugan 1972). Pour les vibrations horizontales, la pulsation

propre est calcule aprs dtermination de ce qui est appel lquivalent cantilever, ceci

en supposant un encastrement total du pieu une certaine profondeur partir de la

surface (longueur du cantilever). Pour les vibrations verticales la technique nest

applique quaux pieux portants, en les considrant comme des barres encastres leurs

bases.

A la diffrence des fondations superficielles, la difficult essentielle du calcul de

la rponse dynamique des pieux rside en la ncessit de prise en compte de la

flexibilit longitudinale. Dautant plus, il est important de considrer la non

homognit mcanique du sol dans la direction verticale qui est due laugmentation

des pressions de confinement avec la profondeur.

Plusieurs solutions ont t tablies, en se basant sur des idalisations et des

hypothses permettant de simplifier le comportement complexe du systme sol-pieu.

D au fait que la pratique de fondation sous charges dynamiques est confronte

gnralement des frquences modres et que les pieux sont suffisamment lancs,

lhypothse de base commune pour la majorit des mthodes existantes est la

modlisation unidimensionnelle du pieu (Kuhlmeyer R. L, 1979 ; Rajapakse, 1988).

Les critres de rupture couramment utiliss imposent au pieu de faibles

amplitudes (dformation 410


8

- Pour les efforts transmis suivant laxe de la fondation, par le frottement latral dans les

couches rsistantes et leffort de pointe sexerant sous la base de la fondation.

- Pour tous les autres efforts, par la raction du sol dans les zones o le dplacement du

pieu dans le sens des efforts est suprieur celui du sol encaissant.

Lanalyse du comportement dune fondation profonde ncessite la connaissance de la

nature et des caractristiques du sol, des mthodes dexcution envisages pour la

ralisation de la fondation et la nature du comportement de la structure fonder.

1.2.1 Pieu isol sous charges axiales

Le D.T.R. BC 2.33.2 dfinie trois types de charge pour le dimensionnement des pieux :

-La charge limite

Cest la charge qui correspond la rupture du sol. Cette charge quilibre au moment de

la rupture par :

- la charge limite de pointe (Qpl)

Qpl = qpl.Ap (1.1)

O qpl est la rsistance unitaire du sol sous la pointe et Ap la section droite de la

pointe.

- la charge limite par frottement (Qsl)

=

=n

1isliisl qhpQ (1.2)


9

O qsli est la rsistance unitaire du sol due au frottement latral la traverse de

la couche (i).

P est le primtre du pieu.

n est le nombre de couches traverses par le pieu.

La charge limite dun pieu est la somme des deux composantes prcdentes :

Ql = Qpl + Qsl (1.3)

Conventionnellement, Ql pourrait tre dfinie comme la charge correspondante un

enfoncement de la tte du pieu gal B/10 lors dun essai de chargement.

-Charge de fluage

Charge au-del de laquelle, lenfoncement du pieu ne se stabilise plus dans le temps

sous charge constante. Qc est lie approximativement aux charges limites de pointe et de

frottement latral, selon les relations suivantes en fonction du mode de mise en place du

pieu dans le sol.

Pieu refoulant le sol :

5,1Q

5,1Q

5,1Q

Q lslplc =+= (1.4)

Pieu ne refoulant pas le sol :

5,1Q

2Q

Q slplc += (1.5)

Pieu travaillant larrachement :

,0Qpl = 5,1Q

Q slc = (1.6)


10

- Charge nominale

Cest la charge que peut supporter le pieu en demeurant stable vis--vis du sol.

1.2.1.1 Mthodes de calcul prvisionnelles de Ql

Le rglement prsente les mthodes qui font appel, soit des essais de laboratoire, soit

des essais en place : pntromtre statique, prssiomtre, SPT, Pntromtre

dynamique.

Les mthodes de calcul partir des essais de laboratoire reposent sur la dtermination

des caractristiques de cisaillement :

-Caractristiques effectives : (c et ) pour les sols pulvrulents (sables, gravier), les

argiles surconsolides et les marnes.

- Caractristiques apparentes : (cu et u=0) pour les argiles et limons saturs.

Ces caractristiques sont parfois difficilement mesurables en laboratoire et les valeurs

des rsistances latrales et de pointe dun pieu varient dans de trs fortes proportions

avec ces caractristiques. Dans ces conditions, les mthodes de calcul bases sur des

essais de laboratoires ne seront utilises que pour un prdimensionnement de louvrage.

Le dimensionnement dfinitif doit se faire partir des mthodes de calcul bases sur les

rsultats des essais en place.

1.2.1.2 Rsistance de pointe

Pieux ancrs dans des sols pulvrulents (sable, gravier)

qpl = qp Nq (1.7)


11

qp contrainte verticale effective due au poids des terres au niveau de la pointe du pieu.

Nq facteur de portance donne en fonction de (D.T.R. BC 2.33.2).

Pieux ancrs dans largile

Argile, limons sturs (u=0)

cupl NCq = (1.8)

Avec Nc =9 pour B4D

Cu est la cohsion non draine moyenne au niveau de la pointe du pieu.

Argile surconsolide, marne (C=0, )

qpl = qp Nq (1.9)

qpl ne doit pas dpasser 10 15 MN/m2 dans le cas des sables siliceux et 3 5 MN/m2

dans le cas des calcaires non ciments.

1.2.1.3 Rsistance due au frottement latral

Pieux ancrs dans les sols pulvrulents :

'vsl qq = (1.10)

qv contrainte verticale effective due au poids des terres au niveau de la pointe du pieu

est un facteur donne en fonction de (D.T.R. BC 2.33.2).


12

Pieux ancrs dans largile :

Mthode

)C2q(q u'vslmoy += (1.11)

est donn en fonction de la longueur du pieu (D.T.R. BC 2.33.2). 'vq contrainte effective verticale moyenne.

uC cohsion non draine moyenne

Mthode

usl Cq = (1.12)

Cu est la cohsion non draine

est un coefficient dadhsion pour les pieux fors ou battus de diamtres infrieur

80cm (voir D.T.R. BC 2.33.2).

=0,4 pour les pieux fors de diamtre suprieur 80cm.

Mthode

'vsl qq = (1.13)

)q/q(tg)sin1( 'v'c

'' =

angle de frottement effectif sur argile remanie 'v

'c q/q rapport de surconsolidation

'cq pression de surconsolidation

'vq contrainte verticale effective


13

Charge limite dun pieu ancr dans un massif rocheux

pppll qAQQ == (1.14)

1.2.1.4 Essais en place :

Le D.T.R. BC 2.33.2 prsente les mthodes de calcul de la capacit portante des pieux

partir des essais in-situ suivants :

Pntromtre statique

Prssiomtre

Essai SPT (Standard Pntration Test)

Pntromtre dynamique

Essai de battage

1.2.1.5 Tassement dun pieu isol

Le D.T.R. BC 2.33.2 donne les expressions suivantes pour lestimation des

tassements des pieux ayant une longueur entre 6 et 45m et un diamtre entre 0,3m et

1,5m et reoivent une charge cQ7,0Q :

Pieux fors : s=0,006B (avec les valeurs extrmes de 0,003B 0,01B)

Pieux battus : s=0,009B (avec les valeurs extrmes de 0,008B 0,012B)

1.2.2 Pieu isol sous charges horizontales

La stabilit du pieu est assure par la mobilisation des efforts de raction latrale

(p) du sol sur le ft du pieu. Si ks est le module de raction du sol et y le dplacement

latral, le D.T.R. BC 2.33.2 propose la relation suivante selon le modle de Winkler :

ks=p/y (1.15)


14

0pdz/yEId 44 = (1.16)

0ykdz/yEId s44 = (1.17)

E , I module dlasticit et moment dinertie de la section du pieu de diamtre B et de

longueur D.

1.3 Mthodes bases sur les courbes de transfert de charge (modle de Coyle et

Reese)

Cette mthode propose par Coyle et Reese (1966), utilise les donnes de sol

mesures partir des essais in situ sur pieux et sur des modles rduits au laboratoire.

Les donnes du sol sont reprsent sous forme de courbes de transfert de charge (figure

1.2), reliant le rapport dadhsion transfert de charge par rapport la force de

cisaillement du sol au dplacement du pieu en fonction de la profondeur. Ces courbes

sont dtermines partir dessai sur site sur des pieux instruments par un rseau

lectronique, ou partir des essais sur modle rduit.

Par ailleurs Coyle et Reese dfinissent dune manire analytique la relation entre

le transfert de charge et le mouvement du pieu :

)Su

Su2(

00maxzz = (1.18)

z transfert de charge la profondeur z

zmax transfert de charge maximal qui peut se produire la profondeur z

u dplacement du pieu une profondeur z

S0= 2.B.m

B est le diamtre du pieu

m contrainte moyenne de rupture en pourcentage obtenue des courbes dessai de

contrainte non draine fait sur des chantillons du sol prs de la pointe du pieu.


15

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2

Dplacement (inch)

Tran

sfer

t de

char

ge /

inte

nsit

du

sica

illem

ent d

u so

l

Figure 1.2 Courbe typique de transfert de charge daprs Coyle et Reese

Figure 1.3 Discrtisation du pieu dans le sens vertical daprs Coyle et Reese

L

1

2

u1

L u2

u3


16

Le pieu est discrtis en n lments (figure 1.3). On suppose un dplacement

vertical de la pointe du pieu et la raction en pointe sera estime selon la thorie de

Boussinesq. La valeur du dplacement en pointe est suppose gale au dplacement du

dernier lment. A partir de la courbe de transfert de charge, le rapport dadhsion sera

dtermin en fonction du dplacement la profondeur considre. Ainsi le dplacement

du dernier lment du pieu sera calcul, sil y a convergence entre la valeur choisie et la

valeur calcule, un autre lment sera considr, si non le choix du dplacement sera

refait et le procd de calcul sera repris jusqu convergence.

1.4 Modle de Davis-Poulos

Dans cette approche le pieu est simul par un nombre dlments chargs

uniformment. La condition de compatibilit des dplacements est impose entre le pieu

et le sol adjacent pour chaque lment du pieu. Les dplacements du pieu sont obtenus

en considrant la compressibilit du pieu sous linfluence de la charge axiale, par contre

les dplacements du sol adjacent sont obtenus en utilisant les quations de Midlin donc

en considrant leffort lintrieur de la masse.

1.5 Courbe de raction P-Y

Ces courbes ont t labores et dveloppes par de nombreux chercheurs par diverses

approches : essais in situ, essais de laboratoires, modlisation physique ou modlisation

numrique. Certaines sont reconnues et adoptes dans des codes de dimensionnement

des pieux (Fascicule 62, A.I.P., P.H.R.I., ..)

1.5.1 Courbes P-Y standardises

Fascicule 62 (1993)

Les articles du fascicule 62 concernant les courbes P-Y ont t rdigs partir de

linterprtation faite des essais in-situ au pressiomtre. Mnard (1969) fait lanalogie


17

entre le tassement dune fondation superficielle uniformment charge et un pieu charg

latralement.

On dfinit un module Kf gale deux fois le module de raction du sol :

+

=

BB

65,2B

B.

34

E.12K00

Mf pour : 0BB (1.19)

+=

65,2.34

E.12K Mf pour : 0BB (1.20)

B0 = 0,6m

: coefficient rhologique caractrisant le sol

EM module pressiomtrique

Tableau 1.1 Facteur rhologique pour divers types de sols (daprs Fascicule 62,

1992)

argile limon Sable Gravier

Surconsolid ou trs

serr

1 2/3 1/2 1/3

Normalement consolid ou

normalement serr

2/3 1/2 1/3 1/4

Sous-consolid altr et

remani ou lche

1/2 1/2 1/3 -

On admet que le sol exerce en chaque section de llment une raction perpendiculaire

laxe de celui-ci, fonction du dplacement transversal de la section considre. Dans le


18

cas de pieux de sections carres ou circulaires, on considre que cette raction se

compose uniquement de pressions frontales. La pression frontale est modlise par une

pression uniforme sexerant sur la largeur de llment perpendiculairement au sens du

dplacement, note B.

La loi de mobilisation de la raction frontale en fonction du dplacement du pieu est

dfinie par :

- un segment de droite passant par lorigine et de pente Kf.

- un palier Pf gal B.pf avec pf est la pression de fluage.

Cette loi est illustre par la figure 1.4 dans le cas de sollicitations de courte dure en tte

dominantes.

Figure 1.4 Courbe P-y dans le cas de sollicitations de courte dure en tte dominantes

P

y Kf

pf.B


19

Figure 1.5 Courbe P-y dans le cas de sollicitations accidentelles trs brves en tte

dominantes

A.P.I. (American Petroleum Institute, 1993)

Ce code amricain regroupe un ensemble de rgles techniques de conception et de

calcul de fondations. Il est reconnu pour le dimensionnement de plates-formes

offshores.

Les courbes P-y dans les sables tablis dans ce code sont dtermines la base des

essais en grandeur nature Mustang Island, Texas (Cox et al., 1974 ; Reese et al.,

1974). Des modifications ont t apportes aprs les travaux de Murchison et al (1984).

A partir des essais de chargement latral dun pieu sur site, les relations semi-

empiriques tablies ont permis de donner lallure gnrale des courbes P-y. Celles-ci

sont ensuite calles sur une banque de donnes dessais sur sites.

P

y Kf

pl.B

pf.B 1/2Kf


20

La raction latrale du sol pour le sable est non linaire. En labsence dinformation

plus restrictive, elle est approche, la profondeur z par lexpression suivante :

)P.Ay.z.ktanh(.P.APu

u= (1.21)

O :

A : facteur pour la prise en compte dun chargement continu cyclique ou statique

A = 0,9 pour un chargement cyclique

9,0)Bz8,03,0(A = pour un chargement statique

Pu : raction ultime du sol la profondeur z [kN/m]

z)DCz.C(P 21u += proche de la surface

zDCP 3u = en profondeur

Avec C1, C2, C3 coefficients fonctions de langle de frottement interne ' et D : la

fiche du pieu dans le sol.

k : module initiale de raction du sol. Il est fonction de langle de frottement interne et

de la densit.

Pour les sols cohrents, linteraction sol pieu est base sur le modle tabli par Matlock

(1970). Celui-ci a ralis des essais sur un pieu de 0,32m de diamtre fonc dans des

argiles molles.

La seule modification apporte par lA.P.I. porte sur lexpression de la raction ultime

du sol Pu.

3/1

cu y

yP5,0P

= (1.22)


21

O :

Pu : raction ultime du sol la profondeur z

B5,2y cc =

Avec c , est la moiti de la dformation correspondant au maximum de la

contrainte dviatorique dans un essai triaxial non drain.

Pu varie de 3cu 9cu quand z varie de 0 zc dtermin de la manire suivante :

Bzc

Jzc3P uuu ++= pour z


22

5,0

szykP = pour un sable (1.25)

5,0

c ykP = pour une argile (1.26)

O :

ks : module de raction latrale du sable

kc : module de raction latrale de largile

Cette relation a t ensuite confirme par des travaux raliss la centrifugeuse du

P.H.R.I. portant sur un pieu isol charg latralement plac dans un sable (Terashi et al,

1989). Dans cette tude, diverses configurations de pieux ont t testes.

Det Norske Veritas (1977)

Cet organisme norvegien tablit des recommandations pour la construction de structures

offshore. Il se base sur linterprtation dessais in-situ.

La courbe de raction P-y caractrisant la relation effort- dplacement dun lment de

pieu de diamtre B est illustre par la figure 1.6.

La partie initiale, pour dpp et By est une hyperbole dexpression :

d1 py

k1

py

+= (1.27)

O :

pd : rsistance latrale de dimensionnement

: plim/pd = rapport de rupture, toujours suprieur 1

plim : valeur asymptotique de lhyperbole pour y

k1 : pente initiale de la courbe


23

: coefficient dpendant du sol et des conditions de chargement

Lhyperbole est limite By = et la rsistance latrale de conception pd dpend de la

valeur affecte au coefficient qui sexprime par la relation suivante :

Bkp

1

1

1

d

= (1.28)

Si 1d k/pB lhyperbole peut tre remplace par une droite de pente k1.

Dans le cas contraire, des effets spcifiques peuvent conduire une dtrioration de la

rsistance latrale. Une rsistance rsiduelle 'dp sera dfinie la base des essais de

laboratoire.

Figure 1.6 Forme caractristique de la courbe p-y daprs Det Norske Veritas (1977)

p

pd

pd

p'd

y B

k1 k

1 1


24

Pour les sables, la rsistance latrale du sol nest pas dgrade. Det Norske Veritas fait

lhypothse que, pour des grands dplacements ( )By , la rsistance latrale est

constante et gale la rsistance latrale rsiduelle : 'dd pp = .

Cette rsistance latrale dpend du type de chargement (statique ou cyclique).

Pour un chargement statique dsd pp = :

0pds pK4p = (1.29)

O :

d

dp sin1

sin1K

+

=

'0p : pression effective (aprs excavation)

: angle de frottement rel

d : angle de frottement de calcul dfini par : mfd /tanran =

mf : coefficient de scurit caractristique du matriau

Pour un chargement cyclique dcd pp = :

0pdc pK3p = (1.30)

Cette dernire formule est valable pour des profondeurs suprieures deux fois le

diamtre du pieu.


25

Pour des profondeurs infrieurs deux fois le diamtre du pieu, on aura :

0pdc pKB2z3p = (1.40)

Il est not que ces expressions sous-estiment la rsistance du pieu pour de grandes

profondeurs. Mais du fait quelles se places du cot de la scurit et que la mobilisation

des contraintes de cisaillement y est faible, elles peuvent tre conserves ces

profondeurs.

Linteraction sable-pieu est reprsente par la courbe p-y prcdemment dfinie avec :

'dd pp = (1.41)

Bznk h1 = (1.42)

O :

nh : coefficient de raction du sol (Tableau 1.2)

z : profondeur sous niveau du sol (aprs excavation ventuelle)

pour les argiles, la rsistance latrale de calcul dun pieu peut tre exprime par la

relation suivante :

mc

upd

cNp

= (1.43)

O :

uc : contrainte de cisaillement caractristique non draine reprsentative des conditions

de chargement considres.

mc : coefficient de scurit caractristique du matriau


26

pN : constante semi-empirique augmentant linairement de 1 en statique ou 0 en

cyclique au niveau du sol jusqu la profondeur z avec BNN rp =

rN = 10 pour les argiles normalement consolides.

= 5 pour les argiles surconsolides.

Linteraction argile-pieu est reprsente par la courbe p-y prcdemment dfinie avec

une pente initiale de :

25,0c

d1 )(B

pk

= (1.50)

O :

pd : est pds pour un chargement statique ou pdc pour un chargement cyclique.

: coefficient empirique (tableau 1.3)

c : dformation verticale correspondant au demi des contraintes principales dun essai

triaxial statique non drain sur un chantillon de sol non remani.

Tableau 1.2 Valeurs recommandes pour nh et pour les sables sous chargements

statiques et cycliques

Densit relative du sable

Lche Moyen Dense

nh 5,0 12,0 18,0

0,04 0,04 0,04


27

Tableau 1.3 valeurs recommandes pour , , ' dans la cas des argiles

Paramtres Type de

chargement

Argile normalement

consolide

Argile

surconsolide

Statique 10 30

Statique c20 c5

' Statique c80 c8

cyclique 10 30

cyclique c5,7 c5,2

' cyclique c20 c5

1.5.2 Autres expression de courbes de raction

Li Yan & Byrne (1992)

Li Yan et Byrne (1992) ont men une compagne dessais de chargement latral statique

sur un pieu isol dans le sable. Le but tait dtudier linteraction sol pieu en termes de

courbes de raction P-y. Comparant leurs rsultats aux rsultats du rglement A.P.I., ils

ont propos une nouvelle expression de lissage des courbes P-y en deux segments pour

une profondeur suprieure un diamtre du pieu.

Le premier segment est une droite passant par lorigine de pente Emax :

)1

1(

max By

BEP == (1.51)

O : )1(G2E maxmax +=

Gmax : est le module de cisaillement maximal dtermin exprimentalement.

: choisi gal 0,2


28

8,0r )D(5= , Dr tant la densit relative en pourcentage.

prend une valeur proche de 0,5

Le second segment est une courbe parabolique dexpression :

=

By

BEP

max (1.52)

Le diamtrte du pieu na pas dinfluence sur la pente initiale des courbes P-y. par

contre, pour de grands dplacements, le palier plastique est dpendant du diamtre.

Linfluence de lexcentricit du chargement est tudie pour diffrentes profondeurs.

Une augmentation de lexcentricit conduit des moments flchissants plus importants

et des courbes P-y moins raides. Ceci est surtout vrifi prs de la surface. En

profondeur, Li Yan et Byrne (1992) concluent quun mme jeu de courbes de raction

P-y peut tre utilis, en pratique, pour dimensionner un pieu avec diffrentes

configurations dexcentricits.

Georgiadis et al (1992)

Cette quipe a ralis deux tudes exprimentales sur des pieux chargs latralement.

La premire porte sur le comportement dun groupe de pieux dans largile. La

modlisation est faite sur modle rduit en gravit normale.

La seconde porte sur le comportement dun pieu isol plac dans le sable et charg

transversalement. La modlisation est ralise en centrifugeuse 50g dans du sable

compact manuellement une densit de 16,3kN.m-3.

A partir de ces deux tudes des conditions exprimentales trs diffrentes, Georgiadis

et al obtiennent les mmes conclusions concernant la forme des courbes P-y :


29

uPy

K1

yP+

= (1.53)

O K : raideur initiale de la courbe P-y

Pu : rsistance ultime du sol

Pour les sables, en se basant sur la thorie de Terzaghi (1955), les autaurs montrent que

K augmente proportionnellement avec la profondeur :

hznK = (1.54)

O : nh est un coefficient dpendant de la densit du sable.

La rsistance ultime est le minimum de Pu1 et Pu2 tablies par Reese et al (1974) :

+

+

+

=

BK)tansin(tantanzK

]tantanzB[)tan(

tancos)(gtan

sintanzK

zAP

00

0

1u (1.55)

[ ]+= 408a2u tantanK)1(tanKzBAP (1.56)

Avec : : poids volumique du sol

: angle de frottement interne du sable

K0 : coefficients de pression des terres au repos


30

Ka : coefficient des terres actives

2/=

2/45 +=

A : facteur de profondeur dpendant du rapport z/D, (A compris entre 1et 2)

Kouda et al (1998)

A la suite du tremblement de terre de Kobe en 1995, les auteurs ont ralis une srie

dessais sur modles en centrifugeuse. Les courbes de raction proposes par les auteurs

ont lexpression suivante :

Dy

Dnpnk

1

Dy.

nk

Dnp

max

h

h

+

=

(1.57)

O : kh : module initial de raction la profondeur z.

pmax : pression limite la profondeur z.

: poids volumique du sol

D : diamtre du pieu

n : acclration centrifuge.

1.6 Approches bases sur le principe de Winkler

Penzien et al (1964, 1970) ont utilis un modle simple qui reprsente le pieu

comme une fondation de Winkler avec des rigidits et des amortissements concentrs en

un certain nombre de masses. La rsistance du sol est value par la solution statique de

Midlin (1936). Plus tard, ce modle a t dvelopp par Prakash (1973), Matlock (1979)


31

et dautres chercheurs en introduisant des rigidits et des amortissements dpendant de

la frquence, rpartis le long du pieu et qui sont obtenus par des considrations

analytiques ou exprimentales. Cette approche reste jusqu prsent la plus convenable

pour la prise en compte de la non linarit du sol (Badoni et al 1996) et ce par un simple

changement des proprits dlasticit et damortissement. Les rsultats des travaux

prcits formaient pour longtemps la base des courbes charges dplacements (P-y) et

(P-z) utilises dans la conception des pieux sous charges dynamiques. Cependant cette

mthode reste assez approximative du fait quelle ne prend pas en compte

lamortissement radiatif (gomtrique).

Novak (1974) a obtenu les fonctions impdances dun pieu portant cylindrique

plac dans un sol viscolastique homogne, par la rsolution de lquation de

mouvement de pieu considr comme une poutre de Winkler. Les ractions latrales du

sol sur le pieu sont obtenues partir de la solution approximative des quations dondes

dans le sol. Celle-ci suppose que le sol est constitu de couches infinitsimales

indpendantes. Le cas dun pieu flottant a t trait dune faon similaire en estimant la

raction en pointe partir de la solution dun disque rigide sur un semi espace (Novak,

1977). En utilisant cette approche, de nombreuses investigations ont t conduites,

notamment par Novak et ses coauteurs en traitant les cas des pieux placs dans un sol

multicouche ou ayant un module dlasticit dpendant de la profondeur (Novak et al

1978, 1983). Ces travaux taient en fait les premires tentatives inclure leffet de

lamortissement gomtrique dans lanalyse dune manire consistante. Ainsi cette

approche a fourni une bonne perspicacit du comportement des pieux sous charges

dynamiques. On peut cit aussi les travaux de H. H. Catal 2006, H. Tahghighi et al

2006, Toyoaki 1983 et El Naggar et al 1994.

Il est signaler enfin quen utilisant le concept de Winkler, les deux approches

prcdentes ngligent linfluence mutuelle des dplacements aux diffrents points le

long du pieu.


32

Figure 1.7 Schmatisation dune fondation de Winkler

1.7 Approches bases sur la mthode des lments finis

Cette catgorie de solutions est base sur lapplication de la mthode des

lments finis couple avec des frontires spciales non rflectives dnergie. Les

solutions proposes ne traitent que des pieux de forme cylindrique afin de travailler en

modles axisymtriques et viter ainsi la discrtisation tridimensionnelle.

En utilisant le modle frontire transmettante dvelopp par Waas (1972) pour

les problmes axisymtriques, tendu plus tard par Kausel (1974) pour les problmes

gomtrie axisymtrique sous charges non-axisymtriques, Blaney et al (1976)ont

conduit une srie dinvestigations sur la rponse dun pieu portant soumis des charges

harmoniques horizontales (force ou moment), encastr dans un sol viscolastique

multicouche et limit par un substratum rigide. Dans le but de minimiser la

discrtisation le pieu est considr reposant directement sur le substratum et sa point est

suppose articule. Ce modle a t utilis par Velez et al (1983), qui ont men une

Pieu Ressort

Amortisseur


33

vaste analyse paramtrique sur les fonctions impdances de translation horizontale, de

balancement et de couplage (translation-basculement), pour un pieu plac dans un sol

module dlasticit et amortissement hystrtique dpendants de la profondeur.

Kuhlmeyer a prsent des solutions pour un pieu flottant dans un sol semi infini,

en utilisant le modle frontires absorbantes dvelopp pour les fondations encastres

dans le sol (Lysmer et al 1979). Pour les vibrations verticales (Kuhlmeyer, 1979), le

pieu est considr initialement rigide et infiniment long pour calculer les contraintes

visqueuses aux frontires verticales (propagation horizontales des ondes S). pour revenir

au pieu rel la pointe est suppose mettant dondes planes verticales P, ainsi les

contraintes visqueuses en appliquer peuvent tre calcules. Par des approximations

similaires sur la propagation donde, les vibrations horizontales ont t traites aussi

(Kuhlmeyer, 1979). On peut aussi citer les travaux de S. Karthingeyan et al 2006 et

Guoxi Wu and Liam Finn 1997.

Quoique les solutions obtenues par lapplication de la mthode des lments

finis, sont restreintes par des simplifications assez importantes imposes par la

limitation du volume discrtiser, elles reprsentent un pas considrable dans la

caractrisation du comportement dynamique des pieux.

1.8 Approches bases sur les fonctions de Green

Cette catgorie de solutions utilise des fonctions dinfluence de dplacements

appropries pour la modlisation du sol. Ces fonctions drivent de la thorie

tridimensionnelle de llastodynamique.

En utilisant cette approche, les premires tudes de la rponse dynamique des

pieux sont dues Kaynia et Kausel (1982), qui ont obtenu des solutions en

dplacements dun anneau de charge lintrieur dun sol multicouche, partir des

travaux dApsel (1979). Ces solutions fondamentales (fonctions de Green), sont ensuite

introduites dans une formulation lments frontires dune manire similaire celle

dcrite par Benerjee et Driscoll (1976), pour le cas statique. Dans cette mthode, seule


34

linterface verticale sol-pieu est discrtise en lments cylindriques, la base est

modlise par un disque sur lequel la rpartition des contraintes est uniforme. En

labsence du pieu, le champ de dplacements dans le sol est dfini partir des tractions

agissant sur les lments par lintermdiaire de la matrice de flexibilit du sol, dont les

lments sont obtenus par lintgration des fonctions de Green. La solution du problme

sobtient en imposant les conditions dquilibre et de compatibilit des dplacements du

sol avec ceux du pieu qui sont caractriss par une quation de mouvement

unidimensionnel.

Linconvnient majeur de cette solution, est limprcision du calcul des

fonctions de Green, du fait que les intgrales impropres dApsel sont trs difficiles

valuer par les mthodes numriques dune manire prcise, particulirement pour les

hautes frquences (Sen R et al 1985).

Pour palier ce problme, dautres tudes ont t dveloppes en se basant sur la

mme technique. Sen et al (1985) ont trait le cas des pieux placs dans un sol

homogne semi-infini, en utilisant les solutions fondamentales calcules partir du

travail de Kobayashi et Nishimura (1980). Ces dernires ont lavantage dtre faciles

calculer, ce qui rend la mthode trs efficace pour la dtermination de la rponse. Une

tude similaire a t mene pour le cas du sol multicouche (non homogne) (Sen et al

1985), en utilisant les fonctions de Green obtenus par la mthode des couches minces

(Kausel et Peek 1982).

Lapproximation de base de la formulation ci-dessus est lutilisation des

fonctions de Green pour un semi-espace. En effet pour que le modle soit prcis, il doit

tenir compte de la prsence de lexcavation dans le sol lors du calcul des flexibilits.

Cette approximation peut engendrer des erreurs en particulier sur la prise en compte des

forces dinertie, qui sont considres et dans la modlisation du sol et du pieu.

En prenant en compte les inconvnients de la formulation prcdente, Rajapakse

(1987, 1988, 1989) a propos un autre modle et en suivant la technique utilise par

Muki et Sternberg (1970) pour le problme statique de transfert de charge. Dans cette


35

approche, le systme sol pieu est dcompos en sol continu sans excavation et un pieu

fictif dont le module dlasticit et la masse volumique rsultent des diffrences entre

ceux du pieux rel et ceux du sol.

Afin dassurer une prise en compte raliste des forces dinertie, le volume du sol

que remplacerai le pieu ultrieurement est discrtis dans sa totalit en lments

torodaux. La compatibilit des dplacements du sol avec ceux du pieu est impose au

niveau de toutes les interfaces des lments.

Ces dernires dcennies, une autre approche qui consiste en la combinaison des

deux mthodes (BEM-FEM) a t dveloppe pour palier aux inconvnients de chacune

et profiter de leurs avantages. Nous citons les travaux de H. R. Masoumi et al 2006,

Mendoa et al 2003, Matos Filho et al 2005, Sami Benjama et al 2000, Mansouri 1998

et Cairo et al 2005. Dans cette approche le pieu est modlis comme un lment

unidimensionnel au moyen de la mthode des lments fini, et le sol par la mthode des

lments frontires en combinaison avec la mthode des couches minces.

1.9 Approche propose dans cette thse

La mthode prsente dan cette thse se base sur une modlisation diffrente des

mthodes prcites. Elle permet ltude de la rponse dynamique dun pieu de forme

arbitraire plac dans un sol multicouche ou ayant des proprits gotechniques variables

avec la profondeur. Cette mthode se base sur la technique de dcomposition du

systme sol-pieu utilise par Rajapakse et al (1988).

Cette dcomposition permet de sparer les effets du sol et du pieu sur la rponse

du systme tout en imposant la fin la condition de compatibilit des dplacements. En

consquence, si le pieu est discrtis en lments poutres, sa matrice de rigidit globale

sobtient par la superposition de deux matrices. Une caractrisant la rigidit du pieu

fictif et elle sobtient par assemblage des matrices lmentaires des lments poutres. La

seconde reprsente la contribution du sol dans la rponse du systme, elle sobtient en


36

utilisant la technique des lments frontires combine avec la mthode des couches

minces. Ceci conduit la discrtisation du sol en sous couches de faibles paisseurs puis

la discrtisation des interfaces lintrieur du volume quoccuperait le pieu aprs sa

mise en place en lments frontires. La matrice de flexibilit du sol discrtis peut tre

calcule partir des fonctions de Green.

Conclusion

Diffrentes mthodes ont t utilises pour le calcul de la rponse des pieux,

parmi ces mthodes on distingue deux grandes classes ; la mthode des lments finis et

celle des lments frontires combine avec la mthode des couches minces. La

premire ncessite la limitation du modle ce qui amne imposer des conditions aux

limites appropries. La deuxime a lavantage de la non limitation de modle

gomtrique mais elle prsente des difficults dans le cas des problmes non linaires et

gomtrie complexe. Cependant le couplage des deux mthodes permet de palier ses

inconvnients.

Chapitre 2 Comportement dynamique des sols

37

Chapitre 2

Comportement dynamique des sols

2.1 Introduction

Ltude rationnelle de la rponse du systme sol-pieu sous laction dun

chargement dynamique ncessite lanalyse du phnomne de propagation donde dans

le sol. Physiquement, la propagation donde mcanique est le processus de transmission

de mouvement dans le milieu continu dun point lautre. Cette transmission est

lorigine de deux proprits essentielles ; la dformabilit et linertie. Un tel phnomne

peut tre formul mathmatiquement travers la thorie de llastodynamique. En effet,

cette dernire conduit en gnral un systme dquations aux drives partielles avec

des conditions initiales. La recherche des solutions du dernier systme permet de dfinir

les inconnues du problme en fonction du temps et de la position.

2.2 Charges dynamiques

Les sources de vibrations dans les sols sont multiples. On distingue des sources

naturelles tel que le vent, le dferlement des vagues sur les rivages, les chutes des

rivires, les orages et les sismes. En plus de ces sources naturelles, la circulation des

trains, des vhicules, le battage des pieux, lemploi des explosifs pour les terrassements

et les fondations pour machines vibrantes provoquent galement des vibrations.


38

Les pieux reoivent les vibrations par lun des deux modes suivants :

Mode o le sol est actif : cest le cas des vibrations vhicules par le sol. Il sagit dun

problme de transmission de vibrations au pieu. Cest le cas des sismes, les explosions

importants ou dautres excitations qui nest pas applique directement sur le pieu.

Mode o le sol est passif : cest le cas o lexcitation vibratoire est applique

directement sur le pieu et la transmettre au sol. Cest le cas des vibrations dues au

battage des pieux ou des installations fondes directement sur des pieux (fondations

pour machines vibrantes).

2.3 Actions dynamiques dans le sol

Le passage dune onde quelconque (surtout sismique) dans un sol engendre des

dformations qui consistent en raccourcissement ou dilatations de compression-

extension et en glissements de cisaillement, et elles se traduisent par des courbures

imposes au sol, plusieurs points initialement aligns se retrouvant disposs sur une

gauche dans une phase ultrieure du mouvement.

Les dformations de cisaillement jouent un rle prpondrant dans la plupart des

phnomnes. Les effets des dformations longitudinales ne sauraient cependant tre

sous-estims pour autant : laccumulation des raccourcissements dans certains zones

peut se traduire par des ruptures de cohsion ou des ouvertures de fissures dans les sols ;

elles se manifestent aussi par les dommages subis par les ouvrages longilignes :

refoulements de canalisation ; flambement des voies ferres, des dallages et autres

revtements.

Les vibrations ont aussi tendance faire voluer les milieux non cohrents ou

faiblement cohrents initialement peu compacts vers des tats plus denses. Il en rsulte

des tassements dautant plus importantes que ltat initial est plus lche.


39

Les phnomnes de liqufaction se produisent dans certains sols saturs. Ils

correspondent une perte totale de la rsistance au cisaillement et par consquent de la

capacit portante, suite llvation des pressions interstitielles par un processus

cumulatif. Indpendamment du danger quils prsentent pour les ouvrages, ils peuvent

donner lieu des glissements de terrain extrmement importants si la couche liqufie

est incline.

2.4 Equation donde

Considrons un milieu linairement lastique, de masse volumique et de

modules dlasticit longitudinal E et transversal G. Soit un systme de coordonnes

cartsiennes daxes X, Y, Z. En notation indicielle les quations dquilibre dynamique

et les relations contraintes-dformations et dformations-dplacements scrivent :

iij,ij u.f =+ (2.1)

ijijkkij G2 += (2.2)

)uu(21

i,jj,iij += (2.3)

i=1, 2, 3 j=1, 2, 3 k=1, 2, 3

Les indices 1, 2, 3 correspondent aux trois directions respectives X, Y, Z.

fi sont les forces statiques de volume elle ne seront pas considres dans le formalisme

qui suit.

La combinaison des quations (2.1), (2.2) et (2.3) donne :

ijj,iji,j uGuu)G( =++ (2.4)


40

O est la constante de Lam.

)21)(1(E

+

= (2.5)

Lquation (2.4) reprsente un systme de trois quations diffrentielles (i=1, 2,

3) qui caractrisent la propagation des ondes respectivement dans les directions X, Y et

Z. sous forme vectorielle, elle scrit :

uuG)u.()G( 2 =++ (2.6)

O :

T

z

y

x

= est le vecteur gradient.

22

2

2

2

22

zyx

+

+

= est loprateur Laplacien.

T

zyx u u uu =

2.5 Ondes harmoniques

Ltude de ce type donde est dune importance particulire du fait que tout type

de mouvement dans un milieu lastique linaire peut tre exprim en terme dondes

harmoniques travers les sries ou les intgrales de Fourier.


41

En effet, considrons lexpression du dplacement dans un milieu

unidimensionnel de forme :

= )

cxt(cosA)t,x(u (2.7)

A est lamplitude indpendante de x et de t, est la frquence circulaire, c est la

vitesse de propagation du mouvement. Largument (t-x/c) est dit la phase de londe.

En plus de lamplitude, les paramtres essentiels caractrisants ce type donde sont :

La longueur donde

=c2 (2.8)

La priode

=2T (2.9)

Le nombre donde

=2k (2.10)

A tout instant t le dplacement u(x,t) est une fonction priodique de . De mme toute

position x le dplacement u(x,t) est une fonction priodique en T.

Pour des raisons de commodit, les ondes harmoniques sont gnralement reprsentes

par lexpression suivante :

[ ])xct(ikexpA)t,x(u = (2.11)

Avec 1i2 =

2.6 Comportement des sols sous chargement dynamique

Ltape critique dans lanalyse dinteraction dynamique sol-structure est la

modlisation du comportement du sol. En effet, en plus des facteurs caractrisant le

comportement statique, le comportement dynamique du sol est trs influenc par

lamortissement et le module de cisaillement. Physiquement, lamortissement


42

caractrise la dissipation de lnergie au cours du mouvement, il est de deux types :

amortissement interne et amortissement radiatif.

2.6.1 Amortissement interne ou matriel

Il est d la dissipation dnergie lintrieur du matriau par frottement,

plastification, .etc. Pour les sols, des expriences ont montrs (Peek, 1984) que

lnergie dissipe par cycle varie avec la frquence et peut mme tre considre

constante.

La prise en compte de lamortissement dans lquation de mouvement ncessite

lutilisation dun modle appropri. Ce dernier peut tre dduit partir du modle de

Voigt (ou modle viscolastique linaire) (fig. 2.1), en tablissant une quivalence entre

les nergies dissipes par cycle de chargement.

Fig. 2.1 Modle de Voigt

Pour le modle viscolastique linaire, la relation contrainte- dformation

(charge-dplacement) pour un mouvement harmonique scrit en notation complexe :

=+= *G)...iG( (2.12)

Le facteur tie est implicite dans cette relation, et sont des grandeurs complexes.

G


43

G* est connu par le module complexe il est dfini par :

)i1(G)G

i1(GG* +=+= (2.13)

Avec G

= (2.14)

dsigne le coefficient de perte.

On peut montrer que la dissipation dnergie par cycle de chargement est

proportionnelle au coefficient de perte. Ainsi la relation (2.14) indique que lnergie

dissipe est fonction de la frquence.

Considrons le cas o la dissipation dnergie est indpendante de la frquence.

La relation (2.13) reste valable en maintenant le coefficient de perte constant

indpendamment de la frquence.

.=constante, nous dfinissons la constante :

2

= (2.15)

. est une proprit intrinsque du matriau, elle est indpendante de la frquence pour

les sols (Pal, 1998), il est connu par le facteur damortissement interne ou

lamortissement hystrtique.

Le module complexe devient ainsi :

)i21(GG* += (2.16)

Exprimentalement, lamortissement hystrtique sobtient par la mesure de lnergie

dissipe par cycle de chargement.


44

2.6.2 Principe de correspondance

Lorsquon travaille dans le domaine frquentiel, la solution amortie sobtient

partir de la solution lastique en remplaant les constantes lastiques par leurs

quivalentes complexes (Wolf, 1985).

Dans le cas du sol les amortissements des dformations volumiques et de

cisaillement sont en gnral pris gaux. Ainsi pour obtenir la solution amortie, les

modules dlasticit doivent tre multiplis par le facteur (1+2i).

Les valeurs recommandes pour lamortissement daprs veletsos et al, 1973 sont :

5 10% pour les dformations modres (fondations de machines)

15 20% pour les dformations leves (sisme)

2.6.3 Amortissement radiatif

Une autre source damortissement prend naissance par la transmission des

vibrations des distances plus ou moins grandes dans le sol. En effet une partie

importante de lnergie de mouvement se fait vacuer lextrieur du systme

(structures et sol entourant) travers les ondes en propagation vers linfini. Ce type

damortissement est connu par lamortissement radiatif (ou gomtrique). Sa prise en

compte dune manire rigoureuse en interaction dynamique, ncessite une analyse

rationnelle de la propagation donde dans le sol. Il est noter enfin que lamortissement

radiatif est fonction de la frquence de vibration (Wolf, 1985).

2.6.4 Module de cisaillement

Le module de cisaillement est une caractristique intrinsque du sol qui dpend

des paramtres suivants :

La compacit du sol, gnralement traduite par lindice des vides.

Ltat de contrainte actuel auquel est soumis le matriau.


45

Lhistoire des contraintes antrieures subies par le sol. Cette histoire est

habituellement reflte par le rapport de surconsolidation (OCR), gal au

rapport de la plus grande contrainte verticale supporte par le sol dans

son histoire gologique la contrainte verticale actuelle.

Dans le cas dynamique, sajoute aux paramtres prcdents la frquence

des vibrations.

A petites dformations le module de cisaillement peut tre valu grce la

mesure de la vitesse de propagation des ondes dans un essai dimpulsion ou dans un

essai de colonne rsonante. Il peut galement tre dtermin grce des mesures de

contraintes-dformations dans des phnomnes de cisaillement provoqus par des essais

de torsion dprouvettes cylindriques creuses ou en anneau ou de simples essais de

cisaillement sur prouvettes cylindriques. Dans chacun de ces essais, la mesure de la

dformation de glissement permet de calculer le module.

Le principe de la colonne rsonante consiste mettre lchantillon en vibration

force et ajuster la frquence dexcitation jusqu lobtention de la rsonance de

lprouvette. La connaissance de la frquence de rsonance et des dimensions

gomtriques de lprouvette permet de dterminer le module de Young dans le cas de

vibrations longitudinales, ou de cisaillement dans le cas de vibrations de torsion. Lors

de larrt de la sollicitation lchantillon revient au repos en vibrations libres, ce qui

permet la mesure de lamortissement matriel. Les essais de colonnes rsonantes

permettent la mesure des caractristiques de dformabilit des sols dans une gamme de

dformation comprise entre 10-6 et 10-4.

Pour les dformations plus leves (5.10-5 10-2), on a usuellement recours

lappareil triaxial cyclique qui permet lenregistrement direct des boucles dhystrsis

du sol.


46

Conclusion

Ltude de la rponse du systme sol-pieu sous leffet dun chargement

dynamique dpend de la rsolution de lquation de propagation donde dans le sol et

des caractristiques dynamiques du sol. Les ondes harmoniques ont un grand intrt

dans lanalyse dynamique car elles prsentent une forme analytique rgulire, et on peut

par des superpositions les utiliser pour caractriser des excitations plus complexes.

Chapitre 4 Rsultats et analyse paramtrique

78

Chapitre 4

Rsultats et analyse paramtrique

La mthode prsente dans cette thse est une mthode semi analytique assez

gnrale. Elle permet la dtermination de la rponse dun pieu flottant ou portant plac

dans un sol viscolastique monocouche ou multicouche ayant des proprits

mcaniques et gomtriques qui peuvent tre variables dune couche lautre.

Cependant pour ne pas encombrer la prsentation, cette analyse sera limite au cas dun

pieu flottant plac dans un sol monocouche viscolastique et isotrope ayant un module

dlasticit constant avec la profondeur.

Dans ce chapitre on prsente dans une premire partie sur les dfinitions des

paramtres de calcul. Lanalyse sera faite en terme de paramtres adimensionnels pour

rendre ltude plus gnrale. Une deuxime partie prsente la validation de la mthode

propose dans le cas statique et dynamique en comparant les rsultats obtenus par la

prsente mthode dautres simulations et rsultas exprimentaux. Une troisime partie

est consacre lanalyse paramtrique. Cette analyse porte essentiellement sur

linfluence des diffrents paramtres mcaniques et gomtriques du systme sol-pieu

sur la rponse du pieu sous une charge harmonique verticale applique la tte du pieu.

Dans cette tude la rponse du pieu est caractrise par les parties relle et imaginaire

des dplacements relatifs horizontaux et verticaux la tte du pieu.


79

4.1 Dfinition des paramtres de lanalyse

Figure 4.1 Systme sol-pieu

La figure 4.1 montre un pieu de longueur L et de section carr de cot B de manire que

B


80

La profondeur relative du substratum : hr=D/B

La rigidit relative du pieu : er=Ep/Es

La densit relative du pieu : mr=p/s

Les coefficients de Poisson du sol et du pieu ainsi que le taux damortissement du sol

restent inchangs car eux mmes sont sans dimension.

Comme notre tude porte sur un pieu de section carr et la plus part des cas

prsents dans la littrature sont en forme circulaire, il sera ncessaire de donner

lquivalence dimensionnelle entre le cot dun carr et le diamtre dun cercle, qui sera

dfini par les relations suivantes (daprs Boumekik, 1985) :

Pour les modes de translation : ( ) 0 rB= Pour les modes de rotation : ( ) 04 3 rB= Avec r0 tant le rayon du pieu circulaire.

4.2 Paramtres de convergence

Dans cette partie on cherche dfinir les limites dimensionnelles du modle et

les rapports de la discrtisation dans les deux sens (horizontale et verticale) qui

permettent davoir la convergence des rsultats. Les solutions du problme dinteraction

sol-pieu dpendent de la matrice de rigidit dynamique totale du systme sol-pieu

discrtis. En consquence, leur convergence vers les solutions exactes dpend des

termes de cette dernire matrice.

La matrice de rigidit totale du systme sol-pieu rsulte de la superposition de

deux matrices : celle du pieu fictif et celle du sol. Cest cette dernire qui affecte

beaucoup plus lexactitude des rsultas car elle fait appel un volume de discrtisation

plus important.


81

A cet effet, dans cette tude on ne sintressera qu lanalyse de linfluence des

deux discrtisation du sol (verticale et horizontale) sur les termes de la matrice de

rigidit dynamique du sol. Ces termes ne sont en fait que les rigidits des sections. Les

rapports de discrtisation verticale et horizontale sont dfinis par les expressions

suivantes (Mansouri, 1989) :

Rapport de discrtisation verticale :ns=hi/B

Rapport de discrtisation horizontale :nd=2r/B

O hi est lpaisseur de la sous-couche i. r est le rayon du disque utilis dans la

discrtisation horizontale.

Il a t conclu que les rapports correspondant une discrtisation optimale

sont :

Pour les modes horizontaux : ns=1,5, nd=0,5

Pour le mode verticale : ns=1,5, nd=0,333

Il est noter que linfluence des paisseurs des sous-couches profondes

(relativement lointaines de la pointe du pieu) est pratiquement ngligeable. De ce fait

lpaisseur des sous-couches dfinie ci-dessus sera maintenue jusqu une profondeur

gale au double de la longueur du pieu, au-del de cette limite la discrtisation sera

largie graduellement, tout en restant au dessous de la limite impose par la longueur

donde de cisaillement his/4 (R. Sen et al 1985).

4.3 Validation des rsultats

Pour vrifier la validit de la mthode prsente dans ce travail, on procde la

comparaison des simulations faites par cette mthode et les rsultats obtenus par

dautres mthodes ou mesures exprimentales cits dans la littrature.


82

4.3.1 Cas statique

Plusieurs exemples ont t traits pour vrifier la fiabilit de la mthode

prsente. La comparaison est faite en terme de dplacement horizontal et vertical.

Le premier exemple et celui trait par R. Matos Filho et al (2005) consiste un

pieu de 12.2m de longueur et de 0.61m de diamtre soumis une charge verticale de

1100kN, qui a t test par Whitker et Cooke (1966). Le module dlasticit

longitudinal du pieu tait 27p m/kN10x067.2E = et celui du sol 2s m/kN72400E = et son

coefficient de poisson de 0.5.

Le dplacement vertical mesur la tte du pieu tait de 0.284cm, et celui

calcul par la mthode propose par R. Matos Filho et al tait 0.2867cm. La mthode

prsente dans cette thse donne un dplacement de 0.285cm.

Le deuxime exemple est celui trait par Vilabhan et Sivakumar (1986) et puis

par R. Matos Filho et al (2005) qui consiste un pieu de longueur de 6.096m et de

diamtre 0.6096m soumis une charge verticale de 726.40kN, Le module dlasticit

longitudinal du pieu tait 2p m/kN21111000E = et celui du sol dfini par 100EE

s

p = et son

coefficient de poisson est de 0.2.

Daprs le rsultat du premier exemple et La figure 4.2 qui montre la variation

du dplacement vertical en fonction de la profondeur, on constate un bon accord entre la

mthode prsente et les travaux su cits.


83

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

00 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Dplacement vertical (mm)

Pro

fond

eur (

m)

Vallabhan et al

R. Matos Filho et al

La mthodeprsente

Figure 4.2 Dplacement vertical le long du pieu

Un troisime exemple consiste un pieu de longueur de 6.096m et de diamtre

0.6096m soumis une charge horizontale de 181.60kN et un moment de basculement

de 95.826kN.m, Le module dlasticit longitudinal du pieu tait 2p m/kN21111000E = et

celui du sol dfini par 100EE

s

p = et son coefficient de poisson est de 0.2.

Daprs les figures 4.3 et 4.4 qui montrent la variation du dplacement

horizontal en fonction de la profondeur, on constate un bon accord entre la mthode

prsente et les travaux de Vallabhan et al ainsi que ceux de R. Matos Filho et al.


84

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Dplacement latral (mm)

Pro

fond

eur (

m)

Vallabhan et al

R, Matos Filho et al

Mthode prsente

Figure 4.3 Dplacement latral d une charge horizontale

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0-0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Dplacement horizontal E-02 (cm)

Pro

fond

eur (

m)

Vllabhan

R, Matos Filho

MethodePrsente

Figure 4.4 Dplacement latral d un moment de basculement


85

4.3.2 Cas dynamique

4.3.2.1 Mode vertical

Le tableau 4.1 prsente une comparaison de limpdance verticale normalise

par sa correspondante statique obtenue par la prsente approche utilise dans cette thse

et par Mansouri (1998) avec celles donnes par Rajapakse et al 1989 ( mthode

variationnelle), et Kuhlmeyer 1979 (mthode des lments finis), pour des frquences

adimensionnelles a=0.1, 0.2, 0.3, scB=a , oest la frquence circulaire de lexcitation ,

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Calcul Des Deplacements d’Un Pieu Soumis a Des Charges Dynamiques