Par Clément (9 ans) en vacances sur la Côte d’Azur

Le 20 juillet 2011

1

Découverte Junior – Gérard Villemin

Carré des nombres en 10Carré des nombres en 10

2

10² = 100 11² = 121 12² = 144 13² = 169 14² = 196 15² = 225

1 3

9

Carré de l’unité

6

Deux fois l’unité

1

1 3x

Carré de la dizaine

J’ai un truc pour calculer les carrés très simplement.Ici, je pose 1, puis deux fois l’unité, puis le carré de l’unité.C’est expliqué sur la figure.

Je montre la méthode de calcul car il y a des retenues. 16² => 1 12 36 => 256 17² => 1 14 49 => 289 18² => 1 16 64 => 324 19² => 1 18 81 => 361

Carré des nombres en 20Carré des nombres en 20

3

20² = 400 21² = 4 4 1 = 441 22² = 4 8 4 = 484 23² = 4 12 9 = 529 24² = 4 16 16 = 576 25² = 4 20 25 = 625 26² = 4 24 36 = 676 27² = 4 28 49 = 729 28² = 4 32 64 = 784 29² = 4 36 81 = 841

2 3

9

Carré de l’unité

2

Quatre fois l’unité

4

2 3x

Carré de la dizaine

1

925

Pour les vingtaines, au centre, je prends quatre fois l’unité.

Carré des nombres en 30Carré des nombres en 30

4

30² = 90031² = 9 6 1 = 961 32² = 9 12 4 = 1024 33² = 9 18 9 = 1089 34² = 9 24 16 = 1156 35² = 9 30 25 = 122536² = 9 36 36 = 1296 37² = 9 42 49 = 1369 38² = 9 48 64 = 144439² = 9 54 81 = 1521

Règle générale: Six fois l’unité: c’est le double des dizaines

3 2

4

Carré de l’unité

2

Six fois l’unité

9

3 2x

Carré de la dizaine

1

4201

Pour les trentaines, au centre, je prends six fois l’unité.

Carré des nombres en 40Carré des nombres en 40

5

40² = 160041² = 16 8 4 = 1684

4 2

4

Carré de l’unité

6

huit fois l’unité

6

4 2x

Carré de la dizaine

1

46711

42² => 16 16 4 => 1764 43² => 16 24 9 => 184944² => 16 32 16 => 1936 45² => 16 40 25 => 2025 46² => 16 48 36 => 2116 47² => 16 56 49 => 2209 48² => 16 64 64 => 2304 49² => 16 72 81 => 2401

En fait, pour être complet, il faudrait écrire les nombres avec leurs 0:

41² = 1600 + 80 + 4 = 1684

Carré des nombres en 50Carré des nombres en 50

6

50² = 2 50051² = 25 10 1 = 2 601 52² = 2 70453² = 25 30 9 = 2 80954² = 25 40 16 = 2 91655² = 25 50 25 = 3 02556² = 25 60 36 = 3 136 57² = 25 70 49 = 3 24958² = 25 80 64 = 3 36459² = 25 90 81 = 3 481

5 2

4

Carré de l’unité

0

dix fois l’unité

5

5 2x

Carré de la dizaine

2

40722

Carré des nombres de 100 à 109Carré des nombres de 100 à 109

7

100² = 10 000101² = 10 201102² = 10 404103² = 10 609104² = 10 816105² = 11 025106² = 11 236107² = 11 449108² = 11 664109² = 11 881

4

Carré de l’unité

0

Double des dizaines fois l’unité

0

x

Carré de la dizaine

4

4040

x

11La règle s’applique toujours,

mais lorsque les dizaines sont à plusieurs chiffres, cela devient plus compliqué.

0 20 21

1

Je me souviens que dans 100, il a 10 dizaines

0

Pour calculer le carré suivant Pour calculer le carré suivant (1/2)(1/2)

8

4² = 165² = 25Différence: 25 – 16 = 9 C’est la somme de 4 et 5.Est-ce toujours vrai ?5² = 256² = 36Différence: 36 – 25 = 11 C’est la somme de 5 et 6.On peut montrer que cette relation

est effectivement toujours vraie.

144 + 12 + 13 = 169

Carré Carré12² + 12 + 13 = 13²

Pour trouver le carré suivant, il suffit d’ajouter la somme des deux nombres:

12² = 144 et lui en ajoutant 12 + 13 = 25, je trouve 169 qui est le carré de 13.

Je connais le carré d’un nombre; comment calculer le carré du nombre suivant ?

Exemples:Le carré de 40 est 1600; celui de 41 est 1600 + 40 + 41 = 1681Le carré de 100 est 10 000; celui de 1011 est 10 000 + 100 + 101 = 10 201

C’est magique, non?

Pour calculer le carré suivant Pour calculer le carré suivant (2/2)(2/2)

9

Pour bien comprendre, je peux illustrer la méthode comme indiqué sur cette figure

Pour trouver le carré suivant, il suffit d’ajouter la somme des deux nombres:

25 + 5 + 6 = 36, 36 + 6 + 7 = 49 …

Différence entre les carrés de deux nombres successifs (n) et (n+1) = somme des deux nombres.(n+1)² – n² = 2n + 1 = (n+1) + n

12² = 14413² = ?

12 + 13 = 2525

+ 144= 169

13² = 169Pour les experts:

Carré des nombres de 110 à 119Carré des nombres de 110 à 119

10

110² = 12 100 221111² = 12 321 223112² = 12 544 225113² = 12 769 227114² = 12 996 229115² = 13 225 231116² = 13 456 233117² = 13 689 235118² = 13 924 237119² = 14 161 239

Pour m’amuser à calculer les carrés, j’utilise la méthode des différencesLe carré de (n+1) est égal au carré de n et j’ajoute les deux nombres n et n+1

Je remarque que le nombre dans la colonne de droite augmente de 2 à chaque fois.

Ce nombre est la somme de 110 et 111.Je l’ajoute à 12 100 et j’obtiens le carré de 111. 12 100 + 110 + 111 = 12 321

Les carrés des nombres de 0 à 99Les carrés des nombres de 0 à 99

11

Cette courbe s’appelle une parabole

Nombre n

Son carré n²

Tables des carrés des nombres jusqu’à 129²Tables des carrés des nombres jusqu’à 129²

12

En rouge, quelques nombres à noter. En particulier 1024 = 32 x 32 = 2 x 2 x … 10 fois le nombre 2 = 210

C’est le kilo des ordinateurs, comme dans kilooctets.

Pour lire 23², je prends la dizaine sur la colonne de gauche (2-) et l’unité sur la ligne en haut (3) et, je trouve 23² = 529.

Pour trouver le nombre quand je connais le carréPour trouver le nombre quand je connais le carré

13

Si on me donne le carré 25, je connais immédiatement le nombre qui donne ce carré. C’est 5, car 5 x 5 = 25.

25 est le carré de 5, et 5 est la racine carrée de 25.Comment calculer la racine carrée d’un nombre?

Méthode 1: je consulte la table de la diapositive précédente:1024 est le carré de quel nombre? Je regarde la table: c’est 32.1000 est le carré de quel nombre? C’est un nombre plus grand que 31 (31² = 961)

et plus petit que 32 (32² = 1024).La racine carrée de 1000 est un nombre compris entre 31 et 32.

Méthode 2: j’utilise une calculette et sa fonction racine carrée (√):Je tape 1000 et j’appuie sur √; la calculette me donne 31,622776.

Méthode 3: je calcule par essais successifs:Je calcule 31,5² = 992,25, c’est pas assez.Je calcule 31,7² = 1004,89, c’est trop.Je calcule 31,6² = 998,56, c’est pas assez.Je calcule 31,65² = 1001,72, c’est trop.Etc.

Calcul mental des carrés: règle généraleCalcul mental des carrés: règle générale

14

Pour les experts, je découvre un peu d’algèbre:

Exemple 1: 5 (3 + 2) = 5 x 3 + 5 x 2 = 15 + 10 = 25 Je reproduis la même chose mais avec des lettres: a (b + c) = a x b + a x c = a.b + a .c

On met un point pour la multiplication pour ne pas confondre le signe x avec la lettre x.

Exemple 2: (5 + 4) (3 + 2) = 5 (3 + 2) + 4 (3 + 2) = 5 x 3 + 5 x 2 + 4 x 3 + 4 x 2 (a + b)(c + d) = a (c + d) + b (c+d) = a.c + a.d + b.c + b.d On passe enfin au carré avec le prochain exemple

Exemple 3: (10 + 2)² = (10 + 2) (10 + 2) = 10 x 10 + 10 x 2 + 2 x 10 + 2 x 2 = 10 x 10 + 4 x 10 + 4 (10 + a)² = (10 + a) (10 + a) = 100 + 10a + 10a + a² = 100 + 20a + a²

(10 + a)² = 100 + 20a + a²

Calcul mental des carrés: règle généraleCalcul mental des carrés: règle générale

15

(10 + a)² = 100 + 20a + a² Ex: 17² = (10 + 7)² = 100 + 20 x 7 + 49 = 100 + 140 + 49 = 289(20 + a)² = 400 + 40a + a² Ex: 27² = (20 + 7)² = 400 + 40 x 7 + 49 = 400 + 280 + 49 = 729

Carré de l’unité

Double des dizaines

Carré de la dizaine

Et voici notre fameuse règle de calcul mental des carrés:

Unité

Dizaines

FINFIN

Découverte Junior – Gérard Villemin

Découverte Junior – Gérard Villemin