J.P. GIROUD I n g é n i e u r E.C.P.

L a b o r a t o i r e d e M é c a n i q u e d e s S o l s F a c u l t é d e s S c i e n c e s d e G r e n o b l e

calcul rapide des contraintes provoquées dans le sol par un remblai

1. But de cet article

Les tassements se calculent généralement en déter­minant les contraintes provoquées dans le sol par la charge appliquée. Cela permet ensuite, compte tenu des propriétés du sol, de calculer le tassement couche par couche, d'où le tassement total. Cette méthode est justifiée car les contraintes dépendent relativement peu de l'hétérogénéité du sol, contrai­rement aux tassements.

Nous proposons ici une méthode pour déterminer les contraintes provoquées dans le sol par un rem­blai routier. Cette méthode diffère de celle d'Oster-berg [9] par le choix des paramètres qui conduit, dans la plupart des cas pratiques, à une simplifica­tion des calculs. De plus, nous ne donnons pas seulement cz , mais aussi crx et a y (contraintes au point M), nécessaires pour le calcul du tassement si les propriétés du sol sont déterminées au triaxial au lieu de l'oedomètre.

2. Hypothèses

2.1. LE REMBLAI

a) Longueur du remblai

Les formules (1) et (2) (cf. paragraphe 3.1.) sont établies en supposant que le remblai est de section constante et de longueur infinie (déformation plane). En comparant les valeurs de crz ainsi obtenues à celles que l'on aurait si la longueur de la charge

était finie, nous avons montré que l'erreur (par A I z

excès) ainsi commise, , dépend de la posi-• o-z

tion du point : profondeur, z, et distance, e, à la plus proche extrémité du remblai. Le détail de cette étude n'est pas indiqué ici : seul le résultat est figuré par la courbe de la figure i qui est valable pour tout point tel que e soit supérieur à la largeur du remblai. Un exemple d'estimation de l'erreur sera donné au paragraphe 3.2.

Fig. 1 - Erreur par excès des valeurs de o z données dans le Tableau 1, si le remblai n'est pas de longueur infinie. (Signalons que cette courbe est également valable pour

«x mais seulement si v = 0,5.)

b) Distr ibution de la charge exercée par le remblai

Les contraintes exercées sur le sol par le remblai sont supposées normales et égales à y h (produit du poids volumique du remblai par sa hauteur au-dessus du point considéré). Cela est très voisin de la distribution réelle des contraintes normales, mais il existe, en plus, des composantes tangentielles. Toutefois, celles-ci peuvent être négligées car elles

8 3

B u l l . L i a i s o n L a b o . R o u t i e r s P. e t C h . r>° 35 - Dec 1968 - R é f . 607

s o n t r e l a t i v e m e n t p e t i t e s c o m m e ce la appa ra î t dans c e r t a i n s cas p a r t i c u l i e r s [1], [3], et, de p lus , n o u s a v o n s m o n t r é q u e leur I n f l uence su r le t a s s e m e n t es t b e a u c o u p m o i n s i m p o r t a n t e q u e ce l l e des c o m ­p o s a n t e s n o r m a l e s [6], [7].

2.2. LE SOL DE FONDATION

a) Propriétés mécaniques

Nous supposons que le sol obéit à la loi de Hooke (élasticité linéaire). Bien que cette hypothèse soit éloignée de la réalité, les valeurs ainsi obtenues pour les contraintes sont assez voisines des me­sures expérimentales [11] et des résultats de calculs faits sur certains cas particuliers pour tenir compte de la variation du module avec la contrainte moyenne [8],

b) Hétérogénéité du sol

Les propriétés du sol varient notamment avec la profondeur. Si cette variation est continue, des considération théoriques [5] et des calculs en cours

0 0,1 0,2 0,3 0,* 0,5

à Grenoble [2], [12] montrent que les contraintes provoquées dans un tel sol par une surcharge sont assez voisines de celles provoquées dans un milieu homogène. Par ailleurs, dans une couche compres­sible reposant sur un substratum rigide, les valeurs de cr2 sont légèrement supérieures à celles d'un milieu homogène et celles de 7X n'en diffèrent qu'au voisinage du substratum [10].

Ainsi, les valeurs proposées ci-après, qui ont été calculées pour un sol homogène, sont une bonne approximation pour la plupart des cas pratiques.

3. Etude théorique et pratique

3.1. EXPRESSION DES CONTRAINTES

Considérons la charge indiquée sur la figure <?. Les contraintes au point M à la profondeur z sont obtenues très simplement par intégration des for­mules de Flamant [4] :

(1) P [ 2 d

- I 21 + c 2 d + c

Arc tg 2 l

2 d — c A 2 d Arc tg

2 c 2 z

(2) * x = 2 d + c 2 d + c

Arc tg 2 c

2 d •— c 2 c Arc tg

c 9 ( 2 d

2 z

2 d — c 2 z

(2 d + c ) 2 + 4 z a

c)- + 4 z-

avec

Fig. 2 - Coefficients kz et kx pour le calcul de oz et "x provoqués en M par la charge trapézoïdale.

d : distance entre le point considéré et le milieu du talus (fig. 2)

c : largeur du talus (fig. 2)

De plus, la déformation plane donne :

(3) !7y = v (-z + CTX)

avec v : coefficient de Poisson du sol de fondation.

En pratique, le calcul se fait à l'aide des formules suivantes :

(4) c z = p k z

(5) c x = p k z

(6) î y = p v (k z + k x )

84

avec p : valeur de la charge et k.y, k z : coefficients sans dimension.

Les valeurs de kz et k x sont données dans les tableaux i et 2 et la figure 2. On notera que, pour une valeur donnée de d, l'influence de la largeur du talus, c, sur les contraintes est très faible. Il en résulte pour l'ingénieur praticien une grande facilité de lecture et d'interpolation et c'est pour cela que nous avons choisi les paramètres c et d pour expri­mer s z et c r x .

3 . 2 . EXEMPLES D'UTILISATION

Nous examinons d'abord quelques cas de calcul des contraintes sous un remblai routier, avant de signaler certains cas particuliers.

a) Point situé sous la plate-forme (fig. 3)

C | / 2 I c 2 / 2

Fig. 3 - Calcul des contraintes en un point M situé entre les verticales de A et B.

Dans ce cas, on procède par addition :

TABLEAU 1

Valeurs de kz

\ c N \ d

z \

^ \ 0 0,5 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

0 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0,1 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.499 0.499 0.499 0.499 0.498 0.496 0.493 0.484 0,2 0.498 0.498 0.497 0.497 0.496 0.496 0.495 0.494 0.492 0.489 0.484 0.478 0.468

0,3 0.495 0.494 0.492 0.491 0.490 0.488 0.486 0.483 0.480 0.475 0.469 0.462 0.453 0,4 0.489 0.487 0.483 0.481 0.479 0.477 0.474 0.470 0.466 0.460 0.454 0.446 0.437 0,5 0.480 0.478 0.471 0.469 0.467 0.463 0.460 0.455 0.450 0.444 0.438 0.430 0.422

0,6 0.468 0.466 0.458 0.455 0.452 0.448 0.444 0.440 0.434 0.429 0.422 0.415 0.407 0,7 0.455 0.452 0.443 0.440 0.437 0.433 0.429 0.424 0.419 0.413 0.407 0.400 0.393 0,8 0.440 0.437 0.427 0.424 0.421 0.417 0.413 0.408 0.403 0.398 0.392 0.385 0.379

0,9 0.425 0.422 0.411 0.408 0.405 0.401 0.397 0.393 0.388 0.383 0.377 0.371 0.365 1 0.409 0.406 0.395 0.392 0.389 0.386 0.382 0.378 0.373 0.368 0.363 0.358 0.352 1,2 0.378 0.375 0.365 0.362 0.359 0.356 0.353 0.349 0.345 0.341 0.337 0.333 0.328

1,4 0.348 0.345 0.337 0.335 0.332 0.329 0.326 0.323 0.320 0.317 0.313 0.309 0.306 1,5 0.334 0.331 0.324 0.322 0.319 0.317 0.314 0.311 0.308 0.305 0.302 0.299 0.295 1,6 0.321 0.318 0.311 0.309 0.307 0.305 0.303 0.300 0.297 0.294 0.292 0.288 0.285

1,8 0.297 0.295 0.289 0.287 0.285 0.283 0.281 0.279 0.277 0.274 0.272 0.269 0,267 2 0.275 0.273 0.268 0.267 0.265 0.264 0.262 0.260 0.258 0.256 0.254 0.252 0.250 2,2 0.256 0.254 0.250 0.249 0.248 0.246 0.245 0.244 0.242 0.240 0.239 0.237 0.235

2,5 0.231 0.230 0.227 0.226 0.225 0.224 0.223 0.222 0.220 0.219 0.218 0.216 0.215 3 0.198 0.197 0.195 0.195 0.194 0.193 0.192 0.192 0.191 0.190 0.189 0.188 0.187 4 0.153 0.153 0.152 0.151 0.151 0.151 0.150 0.150 0.149 0.149 0.149 0.148 0.148

5 0.124 0.124 0.123 0.123 0.123 0.123 0.123 0.122 0.122 0.122 0.122 0.121 0.121 10 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 20 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032 0.032

85

TABLEAU 2 Valeurs de kx

\ c \ ~ r r

\ 0 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,5 1,6 1,8 2

0 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0,05 0.468 0.468 0.468 0.468 0.467 0.466 0.465 0.463 0.461 0.459 0.457 0.449 0.433 0,1 0.437 0.437 0.436 0.435 0.435 0.433 0.431 0.427 0.423 0.419 0.416 0.404 0.389

0,15 0.406 0.406 0.405 0.404 0.403 0.401 0.398 0.393 0.387 0.383 0.378 0.366 0.352 0,2 0.376 0.376 0.374 0.374 0.373 0.370 0.366 0.360 0.353 0.349 0.344 0.333 0.321 0,25 0.347 0.347 0.345 0.344 0.343 0.340 0.336 0.330 0.323 0.318 0.314 0.304 0.294

0,3 0.320 0.319 0.318 0.317 0.315 0.312 0.308 0.302 0.295 0.291 0.286 0.278 0.270 0,35 0.294 0.293 0.292 0.291 0.289 0.286 0.281 0.276 0.269 0.266 0.262 0.255 0.249 0,4 0.269 0.269 0.267 0.266 0.265 0.262 0.257 0.252 0.246 0.243 0.240 0.235 0.230

0,45 0.246 0.246 0.245 0.244 0.242 0.239 0.235 0.231 0.226 0.223 0.221 0.216 0.212 0,5 0.225 0.225 0.223 0.223 0.221 0.219 0.215 0.211 0.207 0.205 0.203 0.199 0.197 0,55 0.206 0.205 0.204 0.203 0.202 0.200 0.197 0.193 0.190 0.188 0.187 0.184 0.182

0,6 0.188 0.187 0.186 0.186 0.185 0.183 0.180 0.177 0.175 0.173 0.172 0.170 0.169 0,65 0.171 0.171 0.170 0.169 0.169 0.167 0.165 0.163 0.161 0.160 0.159 0.158 0.157 0,7 0.156 0.156 0.155 0.155 0.154 0.153 0.151 0.150 0.148 0.147 0.147 0.146 0.146

0,75 0.142 0.142 0.142 0.141 0.141 0.140 0.139 0.137 0.136 0.136 0.136 0.136 0.136 0,8 0.130 0.130 0.129 0.129 0,129 0.128 0.127 0.127 0.126 0.126 0.126 0.126 0.127 0,9 0.108 0.108 0.108 0.108 0,108 0.108 0.108 0.108 0.108 0.108 0.108 0.109 0.110

1 0.091 0.091 0.091 0.091 0,091 0.091 0.091 0.092 0.092 0.093 0.093 0.095 0.096 1,2 0.065 0.065 0.065 0.065 0.065 0.066 0.067 0.068 0.069 0.070 0.071 0.072 0.074 1,5 0.040 0.040 0.041 0.041 0.041 0.042 0.043 0.044 0.046 0.047 0.048 0.049 0.051

2 0.020 0.020 0.021 0.021 0,021 0.022 0.023 0.024 0.025 0.026 0.026 0.028 0.029 3 0.007 0.007 0.007 0.007 0.007 0.008 0.008 0.009 0.009 0.010 0.010 0.011 0.012

10 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Exemple :

Soit un remblai routier de poids volumique y = 1,97 g/cm : i et dont la section est définie par la figure 4. On demande de calculer c z aux points M, et M...

En premier lieu, calculons la contraintes p exercée par le remblai :

p = Y h — p gh = 1 970 x 9,81 x 6 = 116 000 Pa

p = 1,16 bar

avec p : masse volumique du sol en remblai.

3 4 m

Ensuite, appliquons la formule (7) :

2 6 m

" I T

M 2

1 6 m 2 3 m

6 0 m

18m

Fig. 4 - Exemple de remblai routier : calcul des contraintes aux points M i , M», M :, et M,

12 m d, — 20 m

c, 12 m d. ----- 26 m

z

z d,

c, ~d7

z d~~

z d,

0,6

0,8 k z

0.46 '

/

0,61 k 2

2,3 k ?

16 m

60 m

0,436

0.197

16 m

60 m

0,465

0.248

86

4

Soit, pour z = 16 m :

<7Z = 1,16 (0,436 + 0,465) = 1,045 bar

et, pour z = 60 m :

o z = 1,16 (0,197 + 0,248) 0,516 bar.

Les valeurs obtenues pour az ne sont qu'approchées puisque le calcul suppose que la longueur du rem­blai est infinie. Examinons par exemple le cas où les points Mj et M, se trouvent à une distance e = 60 m de l'extrémité du remblai. L'erreur par excès commise peut être évaluée à l'aide de la figure 1 :

pour z = 16 m

pour z = 60 m

z

e

A o-z

0,27 et = 1 %

— — 1 e et

Oz

A <7Z

= 1 5 %

Même dans ce dernier cas, l'erreur est acceptable.

c) Point situé à la verticale d'un talus (fig. 6) Deux cas sont alors possibles selon la position du point par rapport à la mi-pente :

Premier cas : addition (fig. 6a) :

I p k z d, + q k ^ ' d / d ;

P k; V d , d , l

avec q : charge intervenant dans le cas d'un point situé sous la pente.

Deuxième cas: soustraction (fig. 6b)

0 z p k z

J x — p k x

d, ' d , )

z c,

q k z d, /

b) Point situé à l'extérieur du remblai (fig. 5)

Dans ce cas, on procède par soustraction :

- k x

\ d 3 d

Exemple :

Cas intermédiaire : le point où l'on calcule les contraintes est à la verticale de la mi-pente du talus (fig. 6c). La formule est alors très simple :

(a) • M

Considérons le point M 3 sur la figure 4. Calculons j x , <fy et crz. Le coefficient de Poisson du sol est v = 0,3.

Sans indiquer le détail des calculs, on pourra véri­fier que :

sz = 1,16 (0,494 — 0,324) = 0,197 bar T x = 1,16 (0,314 — 0,043) = 0,314 bar 7 Y = 0,3 (0,197 + 0,314) = 0,153 bar

r

• M

Fig. 5 - Calcul des contraintes en un point M qui n'est pas situé sous le remblai.

0\

( c )

Fig. 6 - Calcul des contraintes en un point M situé sous un talus. (a) La verticale de M passe plus près du talus. (b) La verticale de M passe plus près de la base. (c) La verticale de M passe à égale distance de la base et du sommet.

87

( a ) ( b )

Fig. 7 - Cas particuliers, (a) Charge normale uniforme, fb) Charge normale triangulaire.

Exemple :

Considérons le point M 4 sur la f igure 4 et calculons

c = 12 m d = 46 m C = 0,26 - z ~ = 0,5 d d

oz = 1,16 x 0,479 = 0,555 bar.

d) Cas particuliers

Les formules précédentes permettent de traiter aisé­ment le cas d'une charge normale uniforme (fig. ja) ou triangulaire (fig. yb). Nous avons vérifié la concordance des résultats ainsi obtenus avec ceux que fournit la littérature pour ces cas particuliers bien connus.

BIBLIOGRAPHIE

|1J A . W . B I S H O P , « The Stability of Earth Dams», P h . D . Thèse, Université de Londres (mai 1952).

[2] M . B O U L O N , «Etude de problèmes axisymétriques d'élastoplasticité et d'élasticité en milieu hétérogène », Thèse de Doctorat de Spécialité, Faculté des Sciences de Grenoble (1968).

[3] C . B . C H R I S T E N S E N , « Geostatic Investigations with Especial Reference to Embankment Sections », Ingenior videnskabelige Skrifer , 3 (Kobenhaven, 1950).

[4 J M . F L A M A N T , « Sur la répartition des pressions dans un solide rectangulaire chargé transversalement », Comptes Rendus à l 'Académie des Sciences, 114 (Paris, 1892), p. 1465-1468.

[5] R . E . G I B S O N , « Some Results Concerning Displacements and Stresses in a Non-Homogeneous Elastic Half-Space », Géotechnique, Londres , 17 (1967) p. 58-67.

[6] J . - P . G I R O U D , « Tassement de la surface d'un massif élastique semi-infini supportant une charge tangentielle linéairement répartie sur une aire rectangulaire », Comptes Rendus à l 'Académie des Sciences, 266, série A (11-3-1968), p. 588-590.

17] J . - P . G I H O U D , «Seulement of a linearly loaded rectan­

gular area » , J o u r n a l of the Soil Mechanics and F o u n ­dation D i v i s i o n , A S C E , v o l . 94, n " S M 4 (juillet 1968), p. 18-35.

18J Y . H . H U A N G , « Stresses and displacements in nonlinear soil média », J o u r n a l of the Soi] Mechanics and F o u n ­dation D i v i s i o n , A S C E , v o l . 94, n " - S M 1 (janvier 1968), p. 1-19.

[9] J . O . O S T E R B E R C , « Ligne d'influence des contraintes dans un massif semi-infini chargé par un remblai ». C . R . 4" C o n g . Int. Méc. Sols. T r a v . F o n d . 1 (Londres 1957) p. 393-394.

[10J M . RouCET, «Intégration numérique des champs de contraintes et de déformations élastiques par la mé­thode de la double grille », Thèse de Doctorat de Spé­cialité (Grenoble, 1967).

[11] W J . T U R N B U L L , A . A . M A X W E L L et R . G . A H L V I N ,

« Contraintes et déformations dans des masses de sols homogènes ». C . R . 5" C o n g . Int. Méc. Sols. T r a v . F o n d . 2 (Paris 1961), p. 337-345.

[12] H . W A T I S S E E , « Problèmes d'élasticité linéaire et non linéaire bidimensionnels traités par le calcul numéri­que», Thèse de Doctorat de Spécialité, Faculté des Sciences de Grenoble (1968).

88