CALCUL SPINORIEL

7/26/2019 CALCUL SPINORIEL

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C LCUL SPINORIEL

COURS SUR LE CALCUL SPINORIEL

1. Spineur unitaire

2. Proprits gomtriques

2.1. Symtries planes

2.2. Rotations

2.3. Proprits des matrices de Pauli

Comme nous le verrons en premier en physique quantique relativiste, les spineursjouent un rle majeur dans la thorique quantique et en consquence dans toute la

physique contemporaine (thorique quantique des champs, modle standard, thorie des

cordes,...).

Ce fut partir de 1927 que les physiciens Pauli, puis Dirac introduisirent les spineurs pour

la reprsentation des fonctions d'onde (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste).

Cependant, sous leur forme mathmatique, les spineurs avaient t dcouverts par lie

Cartan ds 1913 lors de ses recherches sur les reprsentations des groupes en faisant suite

la thorie gnrale des espaces de Clifford (introduits par le mathmaticien W.K. Clifford

en 1876). Il montra, comme nous le verrons, que les spineurs fournissent au fait une

reprsentation linaire du groupe des rotations d'un espace un nombre quelconque de

dimensions. Ainsi, les spineurs sont donc troitement lis la gomtrie mais leur

prsentation est souvent faite de manire abstraite sans signification gomtrique intuitive.

Ainsi, nous allons nous efforcer (comme toujours sur ce site) dans ce chapitre d'introduire

de la manire la plus simple et intuitive possible les thories des spineurs.

Le formalisme spinoriel n'intresse pas seulement la physique quantique et ses travaux,

entre autres, de Roger Penrose ont montr que la thorie spinorielle tait une approche

extrmement fconde de la thorie de la relativit gnrale. Bien que le plus couramment

utilise pour le traitement de la relativit gnrale soit le calcul tensoriel, Penrose a montr

que dans le cas spcifique de l'espace quatre dimensions et la mtrique de Lorentz, le

formalisme des spineurs deux composantes est plus appropri.

La thorie des spineurs ou "gomtrie spinorielle" est extrmement vaste mais ce site ayant

plus pour objectif de s'adresser aux physiciens, nous nous limiterons aux spineurs utiles enphysique quantique ainsi que leurs proprits y relatives.
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Remarque:Nous conseillons vivement au lecteur d'avoir lu au pralable le sous-chapitre

sur les quaternions (cf. chapitre Nombres), le sous-chapitre sur les rotations dans

l'espace (cf. chapitre Gomtrie Euclidienne) et enfin, si possible pour avoir un exemple

pratique physique, le chapitre de physique quantique relativiste.

SPINEUR UNIT IRE

Nous allons donner ici une premire dfinition (ou exemple) particulire simplifie des

spineurs. Ainsi, nous allons montrer qu'il est possible partir d'un tel outil de reprsenter

un vecteur d'un espace trois composantes l'aide d'un spineur deux composantes.

La mthode est extrmement simple et celui qui a dj lu la partie du chapitre de PhysiqueQuantique Ondulatoire traitant de l'quation de Dirac ainsi que le chapitre d'Informatique

Quantique y verra une analogie assez grandiose.

Considrons pour commencer la sphre suivante d'quation (cf. chapitre de Gomtrique

Analytique)

(15.1)

Et considrons le schma suivant:

(15.2)

Considrons-y les coordonnes (x, y, z) d'un point Pde la sphre centre en Oet de rayon

unit et notons Net Sles points d'intersection de l'axe Ozavec la sphre.

Le point Saura par convention pour coordonnes:

(15.3)

Nous obtenons une projection dite "projection strographique" P' du point Pen traant la

droite SPqui traverse un plan quatorial xOy complexe au point P' de coordonnes(x', y', z').


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Les triangles semblables SP'Oet SPQ(avec Qtant la projection orthogonale sur l'axe Ozdu

point P) nous donnent les relations suivantes en appliquant simplement le thorme de

Thals:

(15.4)Remarque:Les deux dernires relations s'obtiennent par application du thorme de

Thals (cf. chapitre de Gomtrie) dans le plan quatorial complexe.

Posons maintenant:

(15.5)

Il vient, compte tenu de la relation prcdente que :

(15.6)

en prenant le module au carr (voir l'tude des nombres complexes dans le chapitres des

Nombres) :

(15.7)

et comme de l'quation de la sphre il dcoule:

(15.8)

nous avons finalement :

(15.9)

Mettons maintenant le nombre complexe sous la forme o sont deux

nombres complexes auxquels nous pouvons toujours imposer de vrifier la condition

d'unitarit (rien ne nous l'interdit mais en physique cela nous arrange bien):

(15.10)Remarque:Les nombres complexes suivants satisfont donc la relation prcdente :

(15.11)

Rappelons avant de continuer que nous avons dmontr lors de notre tude des nombres

complexes que :


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(15.12)

Ds lors il vient en injectant ces deux dernires relations dans l'quation dtermine plus

haut:

(15.13)

d'o finalement la coordonne verticale du point P:

(15.14)

Comme nous avons :

(15.15)

alors :

(15.16)

tenant compte des derniers dveloppements nous avons finalement :

(15.17)

Ainsi, tout point Psitu sur la sphre de rayon unit, nous pouvons faire correspondre un

couple de nombre complexes vrifiant la relation d'unitarit impose.

Soit sous forme complte et explicite nous avons finalement:


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(15.1

8)

Cette dernire relation nous indique donc que est l'angle entre Ozet (puisque

l'hypotnuse de l'angle du vecteur une norme unitaire) et donc par

dduction reprsente l'angle entre Oxet le plan (Oz,OP):


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(15.19)

Le couple de nombres complexes de la relation antprcdente constitue par dfinition un

"spineur unitaire". Ainsi, comme nous l'avons vu, un spineur unitaire peut se mettre sous la

forme :

(15.20)

de mme un spineur quelconque peut se mettre sous la forme un peu plus gnrale:

(15.21)

Le spin ainsi mesur l'est essentiellement partir d'un axe orient OZcomme nous venons

de le voir avec la figure prcdente.

La projection strographique conduit donc reprsenter certains vecteurs de l'espace

euclidien avec des lments d'un espace vectoriel complexe de dimension deux qui est

l'espace des spineurs.

Remarque:Cette reprsentation n'est pas unique car les arguments de nombres

complexes sont (sous forme trigonomtrique) dtermins qu' une constante prs.

Le lecteur qui aura dj tudi un peu la physique quantique ondulatoire (voir chapitre du

mme nom) aura certainement remarqu l'trange similarit non innocente de la condition

et des relations :

(15.22)


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par rapport la condition de normalisation de Broglie (l'intgrale sur tout l'espace de la

somme des produits des fonctions d'ondes complexes conjugues sont gales l'unit) et

des dveloppements dterminant l'quation de continuit en physique quantique

ondulatoire.

Voyons maintenant pour les besoins ultrieurs, que nous pouvons trouver deux nouveaux

vecteurs de l'espace euclidien , associs un spineur unitaire dtermin

sur la sphre unit. Ces vecteurs seront cherchs orthogonaux entre eux et de norme unit,

chacun tant orthogonal au vecteur .

Notons et , les composantes respectives des

vecteurs sont bien sr lies par le produit vectoriel :

(15.23)

d'o tenant compte de l'expression des composantes en fonction de celles du spineur

associ, ainsi que du fait , nous obtenons :

(15.24)

Ecrivant l'orthogonalit des vecteurs entre eux nous obtenons bien videmment six

quations supplmentaires. Cependant l'orientation des vecteurs n'tant pas fixe, il

existe une certaine indtermine sur les valeurs de leurs composantes. Choisissons des

valeurs telles que :

(15.25)

Prenant les quantits complexes conjugues des relations prcdentes, nous obtenons par

addition les composantes de :

(15.26)

Par soustraction, nous obtenons de mme les composantes du vecteur :

(15.27)


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Nous vrifions aisment que ces valeurs redonnent bien les relations du produit vectoriel. A

tout spineur unitaire nous pouvons donc associer trois vecteurs . Nous

pouvons vrifier directement que les vecteurs ainsi calculs sont bien orthogonaux entre

eux et de norme unit.

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