Calcular 3A + B + C; 2B – C; 2C + A, donde

211

012A

843

210B

710

241C

633

036

2·31·3)1·(3

0·31·32·3A·3

3A + B + C =

710

241

843

210

633

036

2186

407

786143033

220413106

2B – C

976

261

7161806

24)4(210

710

241

8·24·2)3·(2

2·21·20·2

2C + A

1631

474

21412)1(0

041822

211

012

7·21·20·2

2·2)4·(21·2

Si A = y B = , calcula:

a) (-2A); b) 3(A+B); C) [(-7)+4] (B+A); d) La matriz opuesta de B.

01340

71321

34011

17532

02680

142642

0)·2()1)·(2(3)·2(4)·2(0)·2(

7)·2(1)·2()3)·(2(2)·2(1)·2(A·2)a

34011

17532

01340

71321·3)BA·(3)b

99993

18246159

)30·(3)41·(3)03·(3)14·(3)10·(3

)17·(3)71·(3)53·(3)32·(3)21·(3

99993

18246159)]BA·(3[)AB)·(3()AB]·(4)7[()c

d) La matriz opuesta de B es –B =

34011

17532

111

100

021

010

111

221

Calcular el producto de A = y B =

010

111

221

·

111

100

021

B·A

0·1)1·(12·11·11·1)2·(10·11·1)1·(1

0·1)1·(02·01·11·0)2·(00·11·0)1·(0

0·0)1·(22·11·01·2)2·(10·01·2)1·(1

100

010

001

115

003

102

011

121

101

Comprueba que (A·B)t = Bt·At, donde A = y B =

.

637

303

213

011

121

101

·

115

003

102

B·A

632

301

733

)B·A( t

632

301

733

101

100

532

·

011

120

111

A·B ttPor tanto: (A·B)t = Bt·At

20

11

41

32Dadas las matrices A = , y B = , calcula At, (A+B)t, (AB)t, AtBt

21

01A t

20

11

62

13

61

23

41

32

20

11)BA(

tt

t

81

21

82

11

41

32·

20

11)B·A(

tt

t

74

12

43

12·

21

01

41

32·

20

11B·A

tt

tt

DB·3A

CB·5A·3

18

21C

03

42D

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

donde: y

En principio, tratamos el sistema de ecuaciones con incógnitas A y B, como si fuera un sistema escalar. Aplicamos el método de reducción:

D·3B·9A·3

CB·5A·3

DB·3A

CB·5A·3 Sumamos las ecuaciones: 4·B = C + 3·D

Por tanto: B = ¼ ·C + ¾ ·D

Así pues: B =

117

107

4

1

4

1

4

174

10

4

7

03

42

4

3

18

21

4

1

Por otra parte, de la segunda ecuación, A + 3B = D 3B – D = A

Luego A =

339

1413

4

1

4

3

4

394

14

4

13

03

42

117

107

4

3

Dada la matriz A =

a)Demuestra que se verifica la igualdad A3 + I = 0, siendo I la matriz identidad y 0 la matriz nula.b)Calcula A-1 c) Halla razonadamente A10

431

541

430

431

541

430

331

441

101

431

541

430

431

541

430

431

541

430

A·A·AA3

100

010

001

Por tanto, es evidente que A3 + I = 0

a)

b) Puesto que A3 = -I, entonces (–A2)A = I. Por tanto A–1 = - A2 =

331

441

101

c) Puesto que A3 = – I, entonces (A3)2 = A6 =I. Y A9 = A6·A3 = – I. Por tanto A10 = –A

¿Es cierto en el cálculo matricial que “suma por diferencia es igual a la diferencia de cuadrados”?

Suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados:

(a + b)·(a – b) = a·a – a·b + b·a – b·b = a2 – b2

Esto es cierto siempre y cuando a·b = b·a, es decir, que el producto sea conmutativo.

Pero sabemos que, en general, si A y B son matrices, A·B B·A. Incluso, uno de los dos productos puede no ser posible.

Así pues, dicha afirmación NO es válida en el cálculo matricial.

21

11

01

01

11

10Dadas las matrices A = , B = , y C = , resuelve la ecuación

matricial AX + B = C.

AX + B = C AX = C – B A–1AX = A–1(C – B) X = A–1(C – B)

10

11

01

01

11

10BC

11

12A1)Adet(

11

12)A(Adj 1t

Por tanto: X =

01

12

10

11

11

12

Para cualquier valor natural n, calcula An, donde A=

100

010

201

100

010

101

·

100

010

101

A2

100

010

101

100

010

301

100

010

101

·

100

010

201

A3 Parece obvio que An =

100

010

n01

Por hipótesis de inducción completa, supondremos que An =

100

010

n01

Entonces, An+1 = A·An =

100

010

1n01

100

010

n01

·

100

010

101

que confirma la hipótesis.

Calcular el rango de la matriz A =

1310

1012

36123

1241

1310

1012

36123

1241

(F2 – 3F1)(F3 – 2F1)

1310

3470

0000

1241

Suprimir F2

1310

3470

1241

Observamos que: 025

310

470

241

Por tanto r(A) = 3

542

171

830

510

042

314

Calcula los determinantes de las matrices A = y B =

542

171

830

0·7·(-5) + 3·1·2+ (-1)·8·4- 2·7·8 - (-1)·3·(-5) - 4·1·0 =

= 0 + 6 – 32 – 112 – 15 – 0 = -153

510

042

314

=

C3 + 5C2 010

2042

3514

202

354)·1(

= [ 4·20 ])35(2

80625 - 70.48

013

221

103

021

120

313

103

013

221

Si el determinante de la matriz A = es –11, ¿cuánto valen los

determinantes de las matrices B = y C = ?

B = At.

El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. Por tanto, det(B) = 11

Si en un determinante intercambiamos entre sí dos filas, el valor del determinante cambia de signo.

Observamos que C se obtiene de realizar dos cambios de filas entre sí. Por tanto, se producirían dos cambios de signo, con lo que el valor de det(C) = 11

Demuestra que el valor de no depende de

1cossencossen

0sencos

0cossen

Desarrollando por los adjuntos de la última columna:

sencos

cossen

1cossencossen

0sencos

0cossen

= sen2 + cos2 = 1

Donde hemos hecho uso de la ecuación fundamental de la trigonometría.

Como el resultado final es 1, no depende del valor de .

101

212

323

1301

512

724

Comprueba que |AB|=|A||B| para las matrices: A = y B =

623

45512

8813

1301

512

724

·

101

212

323

B·A

1301

512

724

B 101

212

323

A

=

C3 + C1 001

412

023

841

02 =

C3 – 13·C1

3211

452

001

2112

4524

623

45512

8813

B·A 13·5·(-6) + 8·45·3

+ 12·2·(-8) - 3·5·(-8) - 12·8·(-6) - 13·2·45 =

= – 390 + 1080 – 192 + 120 + 576 – 1170 = 24

Por tanto: |A·B| = 24 = 8·3 = |A|·|B|

ihg

fed

cba

cba

ihg

fed

i4h4g4

fed

c3b3a3

ihg

fed

ichbga

f4ie4hd4g

fed

c3b3a3

Dado que = 6, calcula:

a) b) c) d)

6

cba

ihg

fed

)a puesto que ha habido dos intercambios de filas.

Por cada uno, hay un cambio de signo.

72)6·(4)·1·(3

ihg

fed

cba

·4)·1·(3

i4h4g4

fed

cba

)·1·(3

i4h4g4

fed

cba

·3

i4h4g4

fed

c3b3a3

)b

606

ihg

fed

ihg

ihg

fed

cba

ihg

fed

ichbga

)c

(filas repetidas determinante cero)

f4e4d4

fed

cba

ihg

fed

cba

)·3(

f4ie4hd4g

fed

cba

)·3(

f4ie4hd4g

fed

c3b3a3

)d

6 0

(F2 y F3 proporcionales)

= 18

573

940

321

2

2

2

cc1

bb1

aa1

23102

0014

2022

5033

2314

14014

3300

6114Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los

adjuntos: A = B = C = D =

573

940

321

Desarrollamos por la primera columna, porque tiene un cero57

94·1 94

32·3 = 1·[4·5 – (-7)·9] + 3·[2·9 – 4·3] = 83 + 18 = 101

2

2

2

cc1

bb1

aa1Desarrollamos por la primera columna

2

2

cc

bb·1

2

2

cc

aa·1

= 1·[b·c2 – c·b2] 1·[a·c2 – c·a2] + 1·[a·b2 – b·a2] = bc2 – b2c + a2c – ac2 + ab2 – a2b =

2

2

bb

aa·1

= bc(c – b) + a2(c – b) – a(c2 – b2) = (c – b)(bc + a2 – ac – ab) = (c – b)[b(c – a) – a(c – a)] =

= (c – b)(c – a)(b – a)

¡SIN BUSCAR CEROS PREVIAMENTE!

573

940

321

2

2

2

cc1

bb1

aa1

23102

0014

2022

5033

2314

14014

3300

6114Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los

adjuntos: A = B = C = D =

23102

0014

2022

5033

Desarrollamos por la tercera columna porque tiene más ceros014

222

533

·3 Desarrollamos por la tercera fila

22

53·4·3

22

53·1

-3·{(4 – 1)·[3·(-2) – 2·5]} = -3·3·(-16) = 144

2314

14014

3300

6114

¡SIN BUSCAR CEROS PREVIAMENTE!

Desarrollamos por la segunda fila porque tiene más ceros214

1414

614

)·3(

314

014

114

·3

1514

4214

2114

914

014

314

614

4214

1814

Desarrollamos por la primera columna

151

421·4

151

211

421

211= 4·(-27 + 36 – 63) = – 216

573

940

321

2

2

2

cc1

bb1

aa1

23102

0014

2022

5033

2314

14014

3300

6114Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los

adjuntos: A = B = C = D =

573

940

321

2

2

2

cc1

bb1

aa1

¡BUSCANDO CEROS PREVIAMENTE!

=

F3 – 3F1 4130

940

321

413

94

= 4·(– 4) – (–13)·9 = –16 + 117 = 101

=F2 – F1F3 – F1

22

22

2

acac0

abab0

aa1

ac10

ab10

aa1

)ac)(ab(

2

= (b – a)(c – a)[c + a – (b + a)] = (b – a)(c – a)(c – b)

573

940

321

2

2

2

cc1

bb1

aa1

23102

0014

2022

5033

2314

14014

3300

6114Calcula los determinantes de las siguientes matrices desarrollando por los

adjuntos: A = B = C = D =

23102

0014

2022

5033

Desarrollamos por la tercera columna porque tiene más ceros014

222

533

·3

-3·3·[3·(-2) – 2·5] = -3·3·(-16) = 144

2314

14014

3300

6114

¡BUSCANDO CEROS PREVIAMENTE!

Desarrollamos por la segunda fila porque tiene más ceros 128

218·3

= 3·(8·12 – 8·21) = – 216

=

C1 – C2

013

220

530

·3

22

53·3)·3(

=

C3 + C4

2514

141414

3000

6714

514

1414

714

·3

=

F2 + F1F3 + F1

1208

2108

714

·3

512

200

963

510

272

963

3210

0120

1101

1312

11000

11200

10100

24072

35131

Calcula los siguientes determinantes triangularizándolos previamente:

a) b) c) d)

512

200

963

)a

=

F3 F2 200

512

963

=

F2 + (2/3)F1 200

150

963

= 3·5·(2) = 30

510

272

963

)b

=

F3 F1 963

272

510

=

C2 C1 936

227

501

=

F2 – 7F1F3 + 6F1

3930

3720

501

=

F3 + (3/2)F22

3300

3720

501

= 1·(2)· = 33

2

33

512

200

963

510

272

963

3210

0120

1101

1312

11000

11200

10100

24072

35131

Calcula los siguientes determinantes triangularizándolos previamente:

a) b) c) d)

3210

0120

1101

1312

)c =

F1 F2 3210

0120

1312

1101

=

F2 2F1 3210

0120

1110

1101

=

F3 – 2F2F4 – F2 4100

2100

1110

1101

=

F4 + F3

6000

2100

1110

1101

= 1·1·(1)·6 = 6

11000

11200

10100

24072

35131

)d

=

F2 + F111000

11200

10100

86210

35131

=

F4 2F311000

11000

10100

86210

35131

=

F5 F4

20000

11000

10100

86210

35131

= 1·(1)·1·1·2 = 2

100

210

321

250

141

231

k1k5

43k2

71k1kCalcula las matrices adjuntas de las siguientes:

A = B = C =

100

210

321

A Adj(A) =121

01

2

00

1

250

141

231

B Adj(B) =345

22

3

55

7

k1k5

43k2

71k1k

C Adj(C) = k2 k 4

k2 + 8k + 7

3k 25

20 2kk2 + k 35

10 4k

3k 13k2 + 3k 6

k2 + 2k + 5

Calcula: a) (AB)1; b) (A1)t, siendo A y B las del ejercicio anterior

(A·B) 1 = B 1·A 1 . Por tanto, calcularemos B 1 y A 1

det(A) = 1

100

210

121

)A(AdjA

1A t1

det(B) = 1

755

322

543

)B(AdjB

1B t1

8155

362

6103

100

210

121

·

755

322

543

A·B)B·A( 111

121

012

001

)A( t1

2106123

15241

124381

2456112

02070

21321

33141515917

011706013

1045231Calcula el rango de las matrices siguientes:

A = B = C =

A tiene sólo dos filas, no proporcionales r(A) = 2

4381

56112

2070

1321

124381

2456112

02070

21321

B =F3 – 2F1F4 – F1

0

3060

7070

2070

1321

12481

245112

0270

2121

=F3 – 2F1F4 – F1

01010

1036

2077

027

10360

20770

0270

2121

r(B) = 4

33141515917

011706013

1045231

C

15917

6013

231

= 99 r(C) = 3

¿Para qué valores de a y b tiene inversa la matriz A = ? Calcula A –1

baa2

bba

22 babaa2

bba

= 0 a = 0 = b Por tanto, A tiene inversa si a 0, o bien, b 0

baa2

bba

ba

1)A(Adj

A

1A

22t1

Calcula el determinante

3333

2222

5432

5432

5432

1111

Se trata de un Vandermonde, por lo que el resultado pedido es:

(2 – 3)·(2 – 4)·(2 – 5)·(3 – 4)·(3 – 5)·(4 – 5) = (–1)·(–2)·(–3)·(–1)·(–2)·(–1) = 12

21

32

32

11Halla la matriz X que verifica que AXA = B, donde A = y B =

A·X·A = B A–1·A·X·A = A–1·B X·A = A–1·B X·A·A–1 = A–1·B ·A–1 X = A–1·B ·A–1

|A| = 1

21

32)A(Adj

A

1A t1

Por tanto X =

11

21

21

32·

32

11·

21

32

Obtener la forma general de una matriz A de orden 2 que sea antisimétrica.

Calcula A2, A4 y A33.

Una matriz se llama antisimétrica si A = At. Por tanto, A =

0a

a0

(I = matriz unidad 2X2)

0a

a033

33

Así pues A4 = a4·I A32 = (A4)8 = a32·I A33 = A32·A = a32·I·A= a32·A =

01

10a

0a

a0A Ia

10

01a

01

10·

01

10aA 2222

Halla el rango de la siguiente matriz, según los valores de los parámetros a y b:

M =

a112

1bb2

a11a2

a112

1bb2

a11a2

a112

1bb2

0002a2 0

22

12

012

02a

1b

0b0)b1(b)2a(

112

bb2

002a2

Si a = 2, r(M) = 2 ya que el menor

Si a 2, el menor

F1 – F3

Por tanto r(M) 2

3)M(r0a2

a12

102

a1a

a112

1002

a11a

M

)2a)(1a(

a12

112

a1a

a112

1112

a11a

M

En resumen: a = 2, y cualquier b, r(M) = 2 a 2. y b = 0, r(M) = 3a = 1, y b = 1, r(M) = 2a 2. a 1, y cualquier b, r(M) = 3