Calculo 1 Derivada Parte II e III

7/22/2019 Calculo 1 Derivada Parte II e III

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NOTAS DE AULA

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

RON

SALVADOR BA2006


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CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 2

PARTE II

DERIVADA


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Aprender a nica coisa de que a mente

nunca se cansa,no tem medo

e nunca se arrepende.

Leonardo Da Vinci (1452-1519)

Homem Vitruviano


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SUMRIO

Derivada um pouco de histria

Derivada de uma funo num pontoDerivadas laterais

Funo derivada derivada das funes elementares

Teorema sobre derivada e continuidade

Propriedades das derivadas

Regras de derivao multiplicao por escalar, adio/subtrao

Regra do produto

Regra do quociente (aplicaes: derivada da tangente, cotangente, secante, cossecante, etc).

Regra da cadeia e suas aplicaes

Derivadas sucessivas

Derivada da funo inversa

Derivada das funes trigonomtricas inversa

Derivada de uma funo na forma implcita

Derivada de uma funo na forma paramtrica

Exerccios de Fixao

Tabela de derivadas

Resposta dos exerccios


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DERIVADA UM POUCO DE HISTRIA

A derivada tem dois aspectos bsicos, o geomtrico e o computacional. Alm disso, asaplicaes das derivadas so muitas: a derivada tem muitos papis importantes na matemtica

propriamente dita, tem aplicaes em fsica, qumica, engenharia, tecnologia, cincias, economia emuito mais, e novas aplicaes aparecem todos os dias.

A origem da derivada est nos problemas geomtricos clssicos de tangncia, por exemplo,para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um crculo em qualquer ponto P

perpendicular ao raio em P. Arquimedes (287-212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar atangente sua espiral e Apolnio (cerca de 262-190 a.C.) descreveu mtodos, todos um tantodiferentes, para determinar tangentes a parbolas, elipses e hiprboles. Mas estes eram apenas

problemas geomtricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; osgregos no perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.

Problemas de movimento e velocidade, tambm bsicos para nosso entendimento de derivadas

hoje em dia, tambm surgiram com os gregos antigos, embora estas questes tenham sidooriginalmente tratadas mais filosoficamente que matematicamente. Os quatro paradoxos de Zenon(cerca de 450 a.C.) se apiam sobre dificuldades para entender velocidade instantnea sem ter umanoo de derivada. Na Fsica de Aristteles (384-322 a.C.), os problemas de movimento estoassociados intimamente com noes de continuidade e do infinito (isto , quantidades infinitamente

pequenas e infinitamente grandes). Na poca medieval, Thomas Bradwardine (1295-1349) e seuscolegas em Merton College, Oxford, fizeram os primeiros esforos para transformar algumas dasidias de Aristteles sobre movimento em afirmaes quantitativas. Em particular, a noo develocidade instantnea tornou-se mensurvel, pelo menos em teoria; hoje, a derivada (ou a taxa devariao) da distncia em relao ao tempo.

Foi Galileu Galilei (1564-1642) quem estabeleceu o princpio que matemtica era a ferramentaindispensvel para estudar o movimento e, em geral, cincia: Filosofia [cincia e natureza] estescrita naquele grande livro o qual est diante de nossos olhos quero dizer o universo mas no

podemos entend-lo se no aprendermos primeiro a linguagem... O livro est escrito em linguagemmatemtica ... Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as propores clssicas deEuclides e propriedades das cnicas de Apolnio para estabelecer relaes entre distncia, velocidadee acelerao. Hoje, estas quantidades variveis so aplicaes bsicas das derivadas.

O interesse em tangentes a curvas reapareceu no sculo XVII como uma parte dodesenvolvimento da geometria analtica. Uma vez que equaes eram ento usadas para descrevercurvas, o nmero e variedade de curvas aumentou tremendamente naqueles estudos em pocasclssicas. Por exemplo, Pierre Fermat (1601-1665) foi o primeiro a considerar a idia de uma famliainteira de curvas de uma s vez. Ele as chamou deparbolas superiores,curvas da forma y = kxn,onde k constante e n= 2, 3, 4, A introduo de smbolos algbricos para estudar a geometria decurvas contribuiu significativamente para o desenvolvimento da derivada, da integral e do clculo. Poroutro lado, como concluses e resultados geomtricos poderiam ser obtidos mais facilmente usandoraciocnio algbrico que geomtrico, os padres de rigor lgico que tinham sido iniciados pelos gregosantigos foram relaxados em muitos problemas de clculo, e isto (entre outros fatores) levou acontrovrsias espirituosas e at amarguradas. Fermat desenvolveu um procedimento algbrico paradeterminar os pontos mais altos (mximos) e mais baixos (mnimos) sobre uma curva;geometricamente, ele estava encontrando os pontos onde a tangente curva tem inclinao zero.

Ren Descartes (1596-1650) teve o discernimento de prever a importncia da tangente quando,em sua Geometria, escreveu E eu ouso dizer isto [encontrar a normal, ou perpendicular a uma curva,a partir da qual podemos facilmente identificar a tangente] no apenas o problema mais til e geral


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da geometria que conheo, mas at aquele que sempre desejei conhecer. Descartes criou umprocedimento de dupla raiz para encontrar a normal e ento a tangente a uma curva. Como resultadoda traduo da Geometria de Descartes para o latim por Frans van Schooten (1615-1661) e asexplicaes abrangentes por Schooten, Florimonde de Beaune (1601-1652) e Johan Hudde (1628-1704), os princpios e benefcios da geometria analtica tornaram-se mais amplamente conhecidos.Em particular, Hudde simplificou a tcnica da dupla raiz de Descartes para determinar pontos

mximos e mnimos sobre uma curva; o procedimento da dupla raiz foi redescoberto por ChristiaanHuygens (1629-1695). Ento, modificando o processo da tangente de Fermat, Huygens inventou umaseqncia de etapas algbricas que produziu os pontos de inflexode uma curva; veremos que istorequer a derivada segunda. Ren Franois de Sluse (1622-1685) desenvolveu uma tcnica algbricaque levou inclinao da tangente a uma curva. No final da dcada de 1650, havia grandecorrespondncia entre Huygens, Hudde, van Schooten, Sluse e outros sobre tangentes de vrias curvasalgbricas; Hudde e Sluse especialmente procuraram mtodos algbricos mais simples e padronizadosque poderiam ser aplicados a uma variedade maior de curvas. Para Gilles Personne de Roberval (1602-1675), uma curva era o caminho de um ponto se movendo, e ele desenvolveu um mtodo mecnico

para encontrar a tangente para muitas curvas, incluindo a ciclide. Mas o mtodo de Roberval nopodia ser generalizado para incluir mais curvas.

Isaac Newton (1642-1727) comeou a desenvolver o seu clculo de flxions entre os seusprimeiro esforos cientficos em 1663. Para Newton, movimento era a base fundamental paracurvas, tangentes e fenmenos relacionados de clculo e ele desenvolveu seus flxions a partir daverso de Hudde do procedimento da dupla raiz. Newton estendeu esta tcnica como um mtodo paraencontrar a curvatura de uma curva, uma caracterstica que agora sabemos ser uma aplicao daderivada segunda. Em 1666, 1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seu trabalho de clculo e estesmanuscritos circularam entre um grande nmero de seus colegas e amigos. Ainda assim, embora tenhacontinuado a retornar a problemas de clculo em pocas diferentes de sua vida cientfica, os trabalhosde Newton sobre clculo no foram publicados at 1736 e 1745.

Com algum tutoramento e conselho de Huygens e outros, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) desenvolveu seu clculo diferencial e integral durante o perodo entre 1673 e 1676 enquantovivia como um diplomata em Paris. Em uma pequena viagem a Londres, onde participou de umencontro da Sociedade Real em 1673, Leibniz aprendeu o mtodo de Sluse para encontrar tangentes acurvas algbricas. Leibniz tinha pouca inclinao para desenvolver estas tcnicas e interesse aindamenor em fundamentaes matemticas (isto , limites) necessrias, mas ele aperfeioou as frmulasmodernas e a notao para derivada no seu famoso artigo "New methods for maximus and minimus, aswell as tangents, which is neither impeded by fractional nor irrational quantities, and a remarkablecalculus for them" (Novos mtodos para mximos e mnimos, assim como tangentes, os quais no soimpedidos por quantidades fracionrias e irracionais, e um clculo notvel para eles) de 1684.

Aqui est o primeiro trabalho publicado em clculo e de fato a primeira vez que a palavraclculo foi usada em termos modernos. Agora, qualquer um poderia resolver problemas de tangentessem ser especialista em geometria, algum poderia simplesmente usar as frmulas de clculo deLeibniz.

Algumas vezes se diz que Newton e Leibniz inventaram o clculo. Como podemos ver, isto simplificao exagerada. Em vez disso, como Richard Courant (1888-1972) observou, clculo temsido uma luta intelectual dramtica que durou 2500 anos. Depois de 1700, circunstncias levaram aum dos episdios mais tristes e deselegantes em toda a histria da cincia: a disputa entre Leibniz e

Newton, e mais ainda entre seus seguidores, sobre quem deveria receber os crditos do clculo. Cada

um fez contribuies importantes para derivada, integral, sries infinitas e, acima de tudo, para oTeorema Fundamental do Clculo. As acusaes de plgio e outros ataques eram irrelevantes frente matemtica feita por eles, mas as acusaes e contra-ataques escalaram para cises entre matemticos


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e cientistas na Inglaterra (leais a Newton) e no continente europeu (seguidores de Leibniz) os quaislevaram xenofobia nacionalista por mais de um sculo.

O primeiro livro sobre clculo diferencial foi Analysis of Infinitely Small Quantities for theUnderstanding of Curved Lines(Anlise de quantidades infinitamente pequenas para o entendimentode curvas,1696) pelo Marqus de lHospital (1661-1704). Muito de seu trabalho foi realmente devido

Johann Bernoulli (1667-1748) e seguiu o tratamento de Leibniz para derivadas, mximos, mnimos eoutras anlises de curvas. Mas o mtodo de lHospital para determinar o raio de curvatura era muitoparecido com aquele de Newton. Jakob Bernoulli (1654-1705) e seu irmo mais novo Johannlideraram o caminho para espalhar o conhecimento do poder das frmulas de clculo de Leibniz

propondo e resolvendo problemas desafiadores (o problema da catenria e da braquistcrona so doisexemplos) para os quais o clculo era necessrio. Leibniz, Newton e Huygens tambm resolveramestes problemas. Estes problemas e outros levaram ao desenvolvimento das equaes diferenciaise doclculo das variaes, novos campos da matemtica dependentes de clculo.

Na Inglaterra, o novo Treatise of Fluxions (Tratado de Flxions,1737) de Thomas Simpson(1710-1761) forneceu a primeira derivada da funo seno. Em 1734, o Bispo George Berkeley (1685-

1753) publicou The Analyst (O Analista), um ataque falta de fundamentos rigorosos para seusflxions. Berkeley reconheceu a preciso das frmulas de Newton e a exatido das suas aplicaesabrangentes em fsica e astronomia, mas criticou as "quantidades infinitamente pequenas" e os"incrementos imperceptveis" dos fundamentos das derivadas. Colin Maclaurin (1698-1746) tentoudefender Newton no seu Treatise of Fluxions(Tratado de Flxions) (1742) e desenvolveu derivadas

para funes logartmicas e exponenciais e expandiu as frmulas de Simpson para incluir as derivadasdas funes tangente e secante.

No continente, Maria Agnesi (1718-1799) seguiu Leibniz e L'Hospital no seu livro de clculoAnalytical Institutions (Instituies Analticas, 1748). Leonhard Euler (1707-1783) deu um passoimportante na direo de estabelecer uma fundamentao slida para o clculo no seuIntroduction tothe Analysis of the Infinite (Introduo Anlise do Infinito, 1748) quando introduziu funes (nolugar de curvas) como os objetos para os quais as derivadas e outras tcnicas de clculo seriamaplicadas. Porfuno, Euler queria dizer algum tipo de "expresso analtica"; sua concepo no erato abrangente como a nossa definio moderna. Na sua publicao, tambm introduziu o termoanlisecomo um nome moderno para clculo e a matemtica avanada relacionada. No seu Methodsof Differential Calculus (Mtodos de Clculo Diferencial, 1755), Euler definiu a derivada como "omtodo para determinar as razes entre os incrementos imperceptveis, as quais as funes recebem, eos incrementos imperceptveis das quantidades variveis, das quais elas so funes", que soa nomuito cientfico hoje em dia. Mesmo assim, Euler trabalhou com vrios casos especiais da regra dacadeia, introduziu equaes diferenciais e tratou mximos e mnimos sem usar quaisquer diagramas ougrficos. Em 1754, na famosa Encyclopdie francesa, Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) afirmouque a "definio mais precisa e elegante possvel do clculo diferencial" que a derivada o limite decertas razes quando os numeradores e denominadores se aproximam mais e mais de zero, e que estelimite produz certas expresses algbricas que chamamos de derivada.

No final do sculo 18, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) tentou reformar o clculo e torn-lomais rigoroso no seu Theory of Analytic Functions(Teoria das Funes Analticas, 1797). Lagrange

pretendia dar uma forma puramente algbrica para a derivada, sem recorrer intuio geomtrica, agrficos ou a diagramas e sem qualquer ajuda dos limites de d'Alembert. Lagrange desenvolveu a

principal notao que usamos agora para derivadas e o desenvolvimento lgico de seu clculo eraadmirvel em outros aspectos, mas seu esforo em prover uma base slida para o clculo falhou

porque sua concepo da derivada era baseada em certas propriedades de sries infinitas as quais,sabemos agora, no so verdadeiras.


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Finalmente, no incio do sculo 19, a definio moderna de derivada foi dada por AugustinLouis Cauchy (1789-1857) em suas aulas para seus alunos de engenharia. Em seu Rsum of Lessonsgiven at l'Ecole Polytechnique in the Infinitesimal Calculus (Resumo das Lies Dadas na EscolaPolitcnica Sobre o Clculo Infinitesimal, 1823), Cauchy afirmou que a derivada :

O limite de [f(x + i) - f(x)] / i quando ise aproxima de 0. A forma da funo que serve como o

limite da razo [f(x + i) - f(x)] / idepender da forma da funo proposta y = f(x). Para indicar suadependncia, d-se nova funo o nome defuno derivada.

Cauchy prosseguiu para encontrar derivadas de todas as funes elementares e dar a regra dacadeia. De igual importncia, Cauchy mostrou que o Teorema do Valor Mdio para derivadas, quetinha aparecido no trabalho de Lagrange, era realmente a pedra fundamental para provar vriosteoremas bsicos do clculo que foram assumidos como verdadeiros, isto , descries de funescrescentes e decrescentes. Derivadas e o clculo diferencial esto agora estabelecidos como uma parterigorosa e moderna do clculo.

Fonte: George B. Thomas Clculo vol I e II. Pearson Education.


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PARTE IIDERIVADAS

DERIVADA DE UMA FUNO NUM PONTO. Definio. Seja :f I onde I um conjuntoaberto e 0x I . A derivada defno ponto 0x dada por

0

00

0

( ) ( )( ) limx x

f x f xf x

x x =

quando este limite existe (este limite deve ser um nmero).

OBSERVAES:

1) Tradicionalmente, tambm se utiliza a notao 0 00 0( ) ( )

( ) limx

f x x f xf x

x

+ =

, ou ento

0 00

0

( ) ( )( ) limh

f x h f xf x

h+ = .

2) Vrias notaes so utilizadas para indicar a derivada (ou derivada primeira) em relao varivelx de uma funo dexnum certo ponto 0x . Assim,

0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdf dy

f x y x f x y x x x D f xdx dx

= = = = = = , ou ainda,0

0 0

xx x

x xx x

df dyD f

dx dx == == =

3) Dizemos que uma funo f derivvel (ou diferencivel) num conjunto I quando temderivada em todo ponto de I.

Exemplos

a) Obtenha a derivada de ( ) 3 5f x x= no ponto 0 1x = .

b) Dada 2( )g t t t = + , determine (3)g .

c) Verifique a existncia de (0)f quando ( )f x x= .

Exerccios

1 Utilize a definio de derivada num ponto para determinar o que se pede.

a) Considere ( ) 3 10F x x= + , determine o valor (5)F .

b)Calcular o valor de ( )dg

adt

, a uma constante, sabendo que 2( ) 3g t t t = + .

c) Determine (2)C quando 3 2( ) 2C x x x x= + .


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d) Verifique (0)dy

dxquando y x= .

2 Mostre que a funo

1sen se 0

( )

0 se 0

x xf x x

x

=

=

no derivvel em 0x= .

DERIVADAS LATERAIS.Seja f uma funo definida num intervalo do tipo 0[ , [x a (respect. 0] , ]a x ),

f derivvel direita (respect. esquerda) em 0x se existir

0

00

0

( ) ( )( ) lim

x x

f x f xf x

x x+ +

=

(respectivamente,

0

00

0

( ) ( )( ) lim

x x

f x f xf x

x x

=

)

Teorema de existncia da derivada.Considere :f I , I e 0x I . f derivvel em 0x se,

e somente se, existem as derivadas laterais 0( )f x+ , 0( )f x e 0 0( ) ( )f x f x+ = . Neste caso,

0 0 0( ) ( ) ( )f x f x f x+ = = .

Demonstrao. imediato verificar isto pelo Teorema de existncia do limite.

Exemplos:

a) ( )f x x= em 0 0x = . b)3( )g u u= em 0 0u = c) ................

Teorema.Se uma funo :f I derivvel em 0x I ento f contnua em 0x .

Demonstrao.Sendo f derivvel em 0x I , existe0

00

0

( ) ( )( ) lim

x x

f x f xf x

x x

=

. Assim,

[ ]0 0 0 0

0 00 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( ) lim ( ) lim lim ( ) 0

x x x x x x x x

f x f x f x f xf x f x x x x x

x x x x

= = =

.

Ou seja, [ ]0 0

0 0lim ( ) ( ) 0 lim ( ) ( )x x x x

f x f x f x f x

= = .

Exemplos: Verifique a continuidade das funes nos pontos indicados atravs da derivada.

Observao.Note que ( )f x x= no possui derivada em 0 mas uma funo contnua em .


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FUNO DERIVADA.Seja :f I , onde I , uma funo ( )y f x= . Se para cada valor de x I podemos calcular a derivada de f em x, temos a funo derivada de f em I: ( )y f x = . Podemos,assim, exibir uma tabela que nos d a funo derivada de algumas funes elementares.

Derivada da funo constante: f(x) = k , k . A derivada desta funo num ponto qualquer 0x

dada por0 0

00 0

0( ) lim lim 0x x x x

k kf x

x x x x = = =

, o que significa que a derivada de uma funo

constante num ponto qualquer 0x nula. Logo, se ( )f x k= ento '( ) 0f x = .

Exemplos: a) ( ) 2f x = b)6

5y= c) 0,7y=

Derivada da funo potncia: nf(x) = x com n .

( )( )0 0 0 0 000 0

0 00 0

1 2 3 2 2 11( ) lim lim

n n n n nn nn

x x x x

x x x x x x x xx xx xf x nx

x x x x

+ + + + + = = =

.

Portanto, se ( ) nf x x= ento 1( ) nf x nx = . Veremos depois que este resultado se generaliza paran .

Exemplos: a) 3( )f x x= b) 32( )z y y= c) y x= d)5

1( )u t

t= e) 4 3( )g x x=

Derivada da funo exponencial xa . Considere ( ) xf x a= , 0 1a< . Ento

( )000

00

00

1( ) lim lim ln

hxxxx

x x h

a aa af x a a

x x h

= = =

Portanto, se ( ) xf x a= temos ( ) lnxf x a a = . Disso, sabemos que se xy e= temos xy e = .

Exemplos: a) 2xy= b)4

5

u

z =

Derivada da funo logaritmo:axf(x)= log , 0 1a< .

( )0

0

00 0

0 0 00

log log 1 1( ) lim lim lim

ln11 hha a

x x h h

xxh h

f xx x x x aax a

= = = =

, neste limite, usamos a

substituio 00

logahx h x x a

x

= =

. Portanto,1

( ) log ( )lna

xf x f xx a

= = .

Exemplos: a) 5logy x= b) lny x= c) logs t=


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Derivada funo f(x)= senx .

0 0 0 0 0 00 0

0 00 0

sen sen sen( ) sen sen cos sen cos sen( ) lim lim lim cos

x x h h

x x x h x x h h x xf x x

x x h h

+ + = = = =

Da, se ( ) senf x x= , temos ( ) cosf x x = .

Derivada funo f(x) = cosx .

0 0 0 0 0 00 0

0 00 0

cos cos cos( ) cos cos cos sen en cos( ) lim lim lim sen

x x h h

x x x h x x h hs x xf x x

x x h h

+ = = = =

Assim sendo, ( ) cos ( ) senf x x f x x= = .

REGRAS DE DERIVAO

Derivada de uma funo multiplicada por uma constante (Regra da multiplicao por escalar)

( ) ' '( ) , cy c f x y c f x= = R1.

Exemplos Calcular a derivada de:

a) 35y x= b) ( ) 8f x x= c) 7 lny t= d) ( ) 5 cos( )F t t=

Derivada da soma e subtrao de funes (Regra da soma e subtrao)

( ) ( ) ' '( ) '( )y f x g x y f x g x= = R2.

Esta propriedade pode ser aplicada a um nmero finito de funes derivveis que se somam ou

subtraem. Logo, 1 2 1 2 'n ny f f f y f f f = =


a) 2 2,3 1y x x= + b) 4 3 7xy x= c) ( ) 3log 4sen( ) tf t t t e= +

Derivada do produto de funes (Regra do produto)

( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) '( )y f x g x y f x g x f x g x= = + R3.



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a) 6 ( 3 12)C p p= + b) lny x x= c) 3 2(5 4 ) tz t t e=

Derivada do quociente de funes (Regra do quociente)

[ ]2( ) ( ) ( ) ( ) '( )

'( ) ( )

f x f x g x f x g x

y yg x g x

= =R4.


a)2

1 5

xy

x=

b)

3

log

4

qR

q=

+ c) tgy = d) cotgy x= e) secy x=

Derivada da composio de funes (Regra da cadeia).Seja h f g= , se g derivvel em 0x e

f derivvel em 0( )g x ento h derivvel em 0x e, alm disso, 0 0' '( ( )) ( )h f g x g x= .

Demonstrao.0 0

0 0 00

0 0 0

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( )( ) lim lim

( ) ( )x x x xf g x f g x f g x f g x g x g x

h xx x x x g x g x

= =

0 0

0 00 0

0 0

( ( )) ( ( )) ( ) ( )lim lim ( ( )) ( )

( ) ( )x x x xf g x f g x g x g x

f g x g xg x g x x x

= =

.

Podemos ento simplificar esta regra, dizendo que

( ) ( ) ( ( )) ' '( ( )) ( )y f g x f g x y f g x g x= = = R5.

Observao. Uma outra forma de escrevermos a regra da cadeia a seguinte: Suponha ( )h f u= onde

( )u u x= entodh df du

dx du dx= .

Exerccios: 1 Calcular a derivada de:

a) 3 1y x= b) 2( ) ln( 6)z u u= c)34( ) tF t e= d) ( )cos tg 3 1,6y x =

e) 2sen( 2 )y x x= f)

34

4( )t

tF t e += g) 3 7 cos( 15 )y x x= h) ( )4 32sec log 2y x =

2 Mostre que se ny x= com n ento 1' ny n x = .

3 Determine (3)f , sabendo que 2 2(1 2 ) (2 1) 4 4 2f x f x x x+ + + = + + , x .

4 Mostre que: a) Se f uma funo par, ento ( ) ( )f x f x = .

b) Se f uma funo mpar, ento ( ) ( )f x f x = .


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DERIVADA DE FUNES HIPERBLICAS

cosh2

x xe ey x

+= = , temos que senh

2 2

x x x xe e e ey x

+ = = =

senh 2

x x

e ey x

= = , temos que cosh2 2

x x x x

e e e ey x

+ = = =

Exerccio Determine a derivada de: a) tghy x= b) cotghy x= c) sechy x=

DERIVADAS SUCESSIVAS.Seja f a derivada de uma funo fnum intervalo aberto I . Se f ederivvel em I podemos considerar ''f a derivada de f em I. Tal funo recebe o nome dederivada segunda defem I. De modo anlogo podemos definir as derivadas terceira, quarta, etc., def

em I. Estas derivadas sero indicadas por uma das notaes:

df dyf y

dx dx = = = - derivada de primeira (ou derivada de primeira ordem).

2 2(2 )

2 2

d f d yf f y

dx dx = = = = - derivada segunda (ou derivada de segunda ordem).

3 3(3)

3 3

d f d yf f y

dx dx = = = = - derivada terceira (ou derivada de terceira ordem).

Assim, temos a generalizao dada por

( ) ( )n n

n n

n n

d f d yf y

dx dx= = = - derivada de ordem n(ou n-sima derivada) .

Exerccios:1 Calcular , ey y y para cada funo dada:

a)7

1,53

y x

= b) 6 32y p p= c) ln(1 2 )y x=

d)

1 2

5

n

y n

= e)

2

9

z

y z e= f) cosh(2 )y t=

2 Seja cosxy xe= . Verifique que '' 2 ' 2 0y y y + = .

3 Obtenha o polinmio do 2. Grau ( )P x tal que (2) 5P = , '(2) 3P = e ''(2) 2P = .

4 Considere ( )y y x= ,2

20d y dy y

dxdx+ + = e (0) 1y = . Obtenha o valor de ( )

3

30d y

dx.

5 Seja ( ) n

g x x= e 0 k n ; mostre que( ) !

( ) ( )!k n kn

g x xn k

= .


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FUNO INVERSA. Dizemos que uma funo ( )y f x= inversvel se existe uma funo g tal que

f g g f Id= = , onde Dom( ) Im( )f g= e Dom( ) Im( )g f= . Temos o seguintef g

g f

x y x

y x y

Assim,( ) ( )

( ) ( ) ( )f g y f g y f x y= = = e( ) ( )

( ) ( ) ( )g f x g f x g y x= = = .

Notao: Indicamos a inversa de uma funo f por 1f .

Exemplos:

a) ( ) xf x e= e 1( ) lnf x x = b) 2( )g x x= e 1( )g x x =

x

y

0

1

1

xy e=

lny x=

x

y

2y x=

y x=

c) ( ) cosh x x= e 1( ) arccosh x x = d) ( ) tgF x x= e 1( ) arctgF x x =

x

y

cos

y x=

arccosy x=

1

1

0

x

y

2

2

2

2

tgy x=

arctgy x=

TEOREMA (DERIVADA DA INVERSA). Sejam ( )y f x= uma funo definida num intervalo ( , )a b e

( )x g y= sua inversa nesse intervalo. Se existe '( ) 0f x , ( , )x a b , ento g derivvel e, alm

disso, sua derivada satisfaz relao1

'( )'( )

g yf x

= , ou seja, ( )11

( )'( )

f yf x

= .

Demonstrao.Da propriedade que envolve uma funo e sua inversa temos que

( ) ( )1 1( ) ( )f f x f f x x = = Derivando esta igualdade em relao a x e aplicando a regra da cadeia;

( ) ( )( ) ( )( )1 1 11

( ) ( ) ' ( ) '( ) 1

'( )

f f x x f f x f x f y

f x

= = = .


16/47


Exerccios

1 Seja 3 2( ) 9 18 12 5f x x x x= + . Obtenha ( )( )1 5f .

2 Calcular ( )( )1 0f y no ponto em que 0 0x = sabendo que ( ) 3 ln(1 2 )f x x= + .

3 Determine 1( ) '( 2)f , sendo [,4[com,41)( ++= xxxf .

Derivada das funes trigonomtricas inversas. Por exemplo,

2

1arccos '

1y x y

x

= =

.

Basta ver que1

cos 1 ( sen )sen

x y y y yy

= = = .

Observe que2 2 2 2 2cos cos 1 sen sen 1x y x y x y y x= = = = .

Note que, como 0 y temos que sen 0y , por isso

2sen 1y x= . Assim,2

1'

1y

x

=

.

x

y

cos

y x=

arccosy x=

Do mesmo modo, podemos

determinar que a derivadade arctg( )y x= dada por

2

1'

1y

x=

+.

x

y

2

2

x

y

2

2

E assim, tambm, determinamos as derivadas:2

1 arcsen '

1y x y

x= =

2

1arccotg '

1y x y

x= =

+

2

1arcsec , 1 '

1y x x y

x x= =

2

1arccos ec , 1 '

1y x x y

x x= =

Exerccio Determinar a derivada de cada uma das funes:

a)1

arctgy x

= b) ( )2

arccos 1y x= c) ( )arccotg lny x=


17/47


EQUAO DE CURVAS (NA FORMA IMPLCITA)

Equaes na forma2 2

2 21

x y

a b+ = representam curvas (ou lugares geomtricos) que chamamos de

elipse. Quando a b= temos 2 2 2x y a+ = um crculode centro na origem (0,0) e raio a= .

x

y

aa

b

b

0

x

y

0a a

a

a

Elipses:

2 2

2 2 1x y

a b+ = Crculos: 2 2 2x y a+ =

Se tivermos2 2

2 21

x y

a b = (ou

2 2

2 21

y x

a b = ) temos uma curva

(com dois ramos) chamadaHiprbole.

x

y

0 aa

b

b

Observe que no possvel escrever a equao dessas curvas como uma (nica) funo do tipo( )y f x= que fornea a curva completa.

Por exemplo, no crculo 2 2 2x y a+ = podemos isolar y fazendo 2 2y a x= mas assim, temos a

curva em duas partes 2 2y a x= e 2 2y a x= .

2 2y a x= 2 2y a x=

x

y

0a a

a

x

y

0a a

a

Poderamos, tambm, ter isolado x como uma funo de y : ( )x f y= . Assim, 2 2x a y= . Da,

2 2x a y= 2 2x a y=


18/47


x

y

0

a

a

a

x

y

0a

a

a

Abaixo, temos alguns exemplos de curvas, consideradas famosas, que tem equaes dadas na formaimplcita:

x

y

3 3

Flium de Descartes

4x y xy+ =

x

y

( )2

2 2 2 2

Cardiide

x y x x y+ + = +

x

y

( )2

2 2 2 2

Lemniscata de Bernoulli

x y x y+ =

x

y

2 23 3

Astride

1x y+ =

DERIVADA IMPLCITA.Uma funo ( )y f x= est escrita na forma explcita, se escrevemos a mesmafuno como uma expresso ( , ) ( , ( )) 0F x y F x f x= = , dizemos que a funo est naforma implcita.

Exemplos:

a) 22 xy += (forma explcita) 02 2 =+ xy (forma implcita).

b) 422 =+yx (forma implcita) 24 xy = (forma explcita).

c) 0cos2 =+ yxxy (forma implcita) no h como explicitar (isolar) y nem x .

Admitindo que a funo ( )y f x= definida implicitamente pela equao ( , ) ( , ( )) 0F x y F x f x= = seja

derivvel, podemos calcular a derivada ' dy

ydx

= sem ser necessrio resolver primeiro a equao

( , ) 0F x y = para y . O processo consiste em utilizar a regra da cadeia para derivar ambos os ladosdesta equao, considerandoxcomo a varivel independente e y , sempre que esta varivel aparecer,


19/47


como uma funo dex. Resolvemos, ento, a equao resultante em relao derivada ' dy

ydx

= . Este

processo chamado de derivao implcita.

Exerccios: 1) Determine o que se pede em cada caso:

a) Considere 12 3 = xy . Determinar a derivada 'y no ponto onde 0y= .

b) 2 6y x ye + = ' 2 6 'y y x ye + = 2

'6y

xy

e=

.

Observao: neste caso, para determinar um valor numrico de 'y precisamos de dois valores: x e y .

c) 2 cos( ) 0 ; ( )uz u uz z z u+ = = . d)2

33ln( ) arctg +1

vv t

t + = , onde ( )v v t= .

2) Mostre que se

2 2

2 2 2 0ax bxy cy gx fy h+ + + + + = , onde , , , , ,a b c f g h

so constantes, tem-se:

a)dy ax by g

dx bx cy f

+ +=

+ +

b)( )

2

2 2

d y A

dx bx cy f =

+ +, onde A uma constante que no depende de x e y .

Derivadas de ordem superior na forma implcita. O mtodo descrito para determinar a derivada de1. ordem de uma funo na forma implcita tambm se aplica para o clculo de derivadas de ordemsuperior de funes definidas implicitamente. Para ilustrar o procedimento adotado nestes casos,vamos calcular a derivada segunda da funo ( )y f x= definida implicitamente.

Exemplos Determinar a derivada de 2. ordem em cada caso:

a) 3 3 4x y xy+ = b) 2 6y x ye + =

EQUAO DE CURVAS NA FORMA PARAMTRICA. Consideremos o sistema de equaes( )

: ;( )

x u tS t I

y v t

=

= . A varivel t chamado de parmetro e cada valor de test associado um

nico valor de x e um nico valor de y , ou seja, a cada valor de test associado um nico ponto

( ),x y do plano. Assim, quando tvaria em I os pontos obtidos descrevem uma curva do plano.

O sistema( )

:( )

x u tS

y v t

=

= ento chamado de sistema de equaes paramtricas da curva S quando

t I . s vezes possvel obter uma relao ( )y f x= a partir das equaes do sistema, mas nem

sempre isto fcil ou possvel.

Exemplos de curvas dadas na forma paramtrica:


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Segmento de reta [ ]: ; 2,11 2

x tS t

y t

=

= .

Observe que, do sistema de equaes acima, temos:1 2y x= com 2 1x .

x

y

Arco de parbola2

: ; ( 1,2]1

x tC t

y t

=

= +.

Esse arco pode ser dado pela seguinte equao:2 1 ; 1 2y x x= + < .

x

y

1 0 2

5

2

As curvas clssicas da geometria analtica tambm podem ser postas em equaes paramtricas:

Crculo: 2 2 2cos

; 0 2sen

x a tx y a t

y a t

=+ =


21/47


DERIVADA PARAMTRICA.Considere um sistema de equaes paramtricas( )

: ;( )

x u tS t I

y v t

=

= .

Queremos estabelecer uma regra para determinardy

ydx

= utilizando S.

Suponhamos que ( )x u t= seja uma funo inversvel em I. Ento,1

( )t u x

= . Temos o seguinte:( )1 1( ) ( )y v u x v u x = = . Pela regra da cadeia e derivada da inversa,

1 1 ( )( ) ( )( )

v ty v u x u x

u t

= = . Assim,

dydtdxdt

dy

dx= .

Exemplos Suponha que, para sistema de equaes implcitas, exista uma relao ( )y f x= .

Determinedy

ydx

= em cada caso:

a)sen

; ,sen(2 ) 2 2

x tt

y t

= =

, no ponto6

t = .

b)( )

( )

12

12 2

6 1 ; 0 1

6 1

x t tt

y t t

= +

= +

, no ponto de abscissa12

5.

Derivada de ordem superior na forma paramtrica. Considere um sistema de equaesparamtricas

( ): ;

( )

x u tS t I

y v t

=

= . Queremos estabelecer uma regra para determinar

2

2

d yy

dx = .

Supomos, mais uma vez, que 1( )t u x= . J sabemos que '

dydtdxdt

dyy

dx= = . Assim,

2

2

''

dy dydt dt dx dxdt dt

d y d d dt y

dx dt dxdx

= = =

(*)

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

2 2

dydtdxdt

d y d xd d dydy dy dxdx dxdt dt dt dt dt dt d dt dt dt dt

dt dx dxdt dt

= =

e1dtdxdx

dt

= .

Substituindo essas duas igualdades em (*), temos:

( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2 3

1 '' ' '' '

'

d y d x dydxdt dt d y v u u vdt dt

dxdx dx u

dt dt

= = .

Da mesma forma, podemos obter as derivadas:3 4

3 4, , ...

d y d y

dx dx.


22/47


Exemplos Determinar a derivada paramtrica de segunda ordem em cada caso:

a)sen

; 02

ln

x t tt

y t t

= + >

= +

, no ponto em que 8t= .

b)( )2

arctg

ln 1

x t

y t

=

= +no ponto de ordenada 0 .

Curvas de Lissajous.Em meados de 1850, o fsico francs Jules Antoine Lissajous (1822-1880) ficou

interessado em equaes paramtricas da forma:cos( )

sen( )

x at

y at

=

=. Ao estudar vibraes que combinam

dois movimentos senoidais perpendiculares. A primeira equao descreve uma oscilao senoidal na

direo x com freqncia / 2a , enquanto que a segunda na direo y, com freqncia / 2b . Se/a b for um nmero racional, ento o efeito combinado das oscilaes um movimento peridicochamado curva de Lissajous.

cos( )

sen( )

x at

y at

=

=

x

y 1, 2a b= =

x

y 3, 4a b= =

Ciclide.A ciclide de interesse por fornecer a soluo de dois problemas famosos em matemtica o problema da braquistcrona(em grego significa o menor tempo) e o problema tautcrono (emgrego significa tempos iguais). O problema da braquistcrona consiste em determinar a forma de umfio ao longo do qual uma conta pode deslizar de um ponto P a Q, no diretamente abaixo, no menortempo. O problema tautcrono consiste em determinar a forma de um fio ligando P a Q de tal formaque uma conta chega a Q num mesmo intervalo de tempo, qualquer que seja o ponto de partida entre Pe Q. A soluo de ambos os problemas vem a ser uma ciclide invertida.

sen

cos

x a a

y a a

= +

=

x

y

a0

a

Em junho de 1696, Johann Bernoulli props o problema da braquistcrona na forma de desafio paraoutros matemticos. A princpio, algum poderia conjecturar que a forma do fio deveria ser o de umalinha reta, uma vez que esta forma resulta na menor distncia de P a Q. Porm, a ciclide invertida

permite que a conta caia mais rapidamente no comeo, adquirindo velocidade inicial suficiente paraatingir Q no menor tempo, mesmo que percorrendo uma distncia maior. O problema foi resolvido por

Newton, Leibniz, Johann e Jacob Bernoulli. Este problema foi formulado incorretamente anos antespor Galileu, que pensou a resposta ser um arco de crculo.


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EXERCCIOS DE FIXAO DERIVADAS

1. Usando a definio, verifique se as funes a seguir so derivveis em 0x e, em caso afirmativo,

determine ( )0'f x :

a) ( ) ( )3 5 2of x x x= + =

b) ( ) ( )2

3 4of x x x= + = c) ( ) ( )3

0of x x x= = d) ( ) ( )32 2 2of x x x= + = e) ( ) ( )

2 0of x x x x= = f) ( ) ( )03 , 2

28, 2

x xf x x

x x

= =

>

2. Seja ( ) 2 , 0f x x x= . Usando a definio, mostre ( )0 032f x x = , onde *0x .

3. Esboce o grfico de 'f sabendo quef dada pelo grfico:a) b)

Obs: No intervalo [ ] 22,2 , ( )f x x = .

4. Determine a constante ade modo que ( )' 1 9f = , sendo ( ) 2 1f x ax x= + + .

5. Usando as regras operacionais, determine as derivadas das funes a seguir:a) 4 22 3 3y x x x= +

b)( )2 2 1

3

xy

=

c) ( )3 23 324y x xx x= + + d)5

7

xy

x

+=

e) 33

55

6 1y x

x

= +

f) ( )2 3 1 32 1y x x=

6. Considere 3

23

+= xxy , determine todos os valores de x que anulam a derivada dey.

7. Calcule a derivada das funes abaixo:

a) ( ) ( )332 5 8f x x x= + f) ( )

23 6 7( ) 2

x xf x e

+ += k) ( ) ( ) ( )22sen cos 1f x x x= +

b)4

3 3( )

2 5

xf x

x

= +

g) ( ) ( )352

xf x

= l) ( )

3senf x x=

c) ( ) ( ) ( )3 23 25 2f x x x x x= + h) ( ) ( )3 5 xf x x x e= m) ( ) ( ) ( )3tg 5 9 cotgf x x x=

d) ( ) 45 3 5 1f x x x= + + i) ( ) ( )sen3 xf x e= n) ( )2 2

sen cosf x x x= +


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8. Calcule a derivada das funes abaixo nos pontos indicados, isto , calcule ( )0'f x :

a) ( ) ( )sen , 1x of x e x= = b) ( ) ( )cos 3 , 0x of x x xe= = c) ( ) ( )( ) 0

2sen 3 3, 0

3 2cos 2

xf x x

x

+= =

+

d) ( ) 1 , 4of x x x= + = e)( ) 2

2 3

tan , 0oxx x

f x xe

+= =

f)

( )

3 3

3 3

2 2, 0

2 2

x x

ox xf x x

= =

+

9. Determine a funo gsabendo que ( ) ( ) ( ) ( )216 12, 2 2 e 2f g x x f x x g x = + = + = .

10. Determine ( )' 3f , sabendo que f e g so derivveis, e que ( ) ( )2 21f x x g x= e

( )1

1

xg x

x

+=

.

11. Para cada uma das funes seguintes, determine a derivada indicada:

a) (0)f sabendo que ( ) ( )tg 3 4 3 cosf x f x x = .

b) (0)f , sendo 32 2(8 ) ( 9 8)x f x f x x x = + + e8

(0)3

f = .

c) (1)f , sendo [ ]( ) 2 cos , 1,12

xf x g x

=

, com :g uma funo derivvel e

(2) 1g = .

d) (0),w sendo ( )( ) ( ) , (0) 0, (0) 3u x v w x w v= = = e (0) 2.u =

12. Calcule a derivada das funes abaixo:

a) ( )52log x

y= b) ( )4 2ln 3 2 1y x x= + + c) lnx xy e =

d)( )

2

sen 2

ln

xy

x= e)

( )5tg 2ln

x xy

x

=

f) ( ) ( )2cos 5 ln 3y x x=

13. Determine ( )1 ( )f y nos pontos indicados, nos casos a seguir:

a) ( ) [ [2 4 2, 2, ; 10f x x x x y= + + = b) ( )3 2

; 22

xf x y

x

= =

+

c) ( ) 3 cos(2 ) , 0 2 ; 3f x x x y= + = d) ( ) ( ) 2 22

sen ln , ;2

f x x e x e y = =

14. Determine o que se pede em cada caso:

a) Encontre ( )1 ( )f y , sendo sen(2 )( ) , ,2 cos(2 ) 4 4xf x xx = + .


25/47


b) Calcule ( )(1)g f , sendo 2( ) 2xf x x= e g a inversa de f .

c) Determine a derivada da funo 1f no ponto de abscissa 5, sabendo que ( )Dom( ) , 1f = e f

est definida pela equao 3( ) 4 5f x x x= + .

d) Determine ( )1 (1)f , sendo2( 2) /( ) x xf x e += .

15. Calcule as derivadas sucessivas at a ordem n indicada.

a) 43 2 9, 4y x x n= = b) 3 2 , 3y ax bx cx d n= + + + = c)1

, 31

y nx

= =

d) ( )sen 5 , 5y x n= = e) ( )2ln 1 , 2y x n= = f) 2 1 3xy , ne += =

16. Encontre a derivada de ordem 100 das funes:

a) seny x= b) cosy x=

17. Mostre que a derivada de ordem nda funo1

yx

= dada por ( ) ( )

1

1 !n

n

n

ny

x +

= .

Obs.: Suponha n ento o fatorial de n definido por ! 1 2 3 4n n= , onde 0! 1= e 1! 1= .

18. Mostre que a n-zima derivada da funo axy e= ( )n n axy a e= , onde a constantediferentede zero.

19. Sejam ( ) e ( )f x g x funes derivveis at 3aordem. Mostre que:

a) ( ) '' '' 2 ' ' ''f g g f f g f g = + + b) ( ) ''' ''' 3 '' ' 3 ' '' '''f g g f f g f g f g = + + +

20. Mostre que ( )cosx A t = + , ondeA, e so constantes, satisfaz a equao 2'' 0x x+ = .

21. Mostre que a funo 22x xy e e= + satisfaz a equao diferencial 6 11 6y y y y + = .

22. Determine a derivada 'y das curvas dadas implicitamentepor:

a) 2 2 4x y+ = b) 2 32 2xy y x y+ = c) 2 2 sen 0x y x y+ =

d) 3

xy

x ye = + e)3

0x y

y x y

=+

f) tg 1y xy=


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23. Para cada um dos seguintes itens, determine a derivada indicada:

a)dx

dy, sendo )(xfy= dada implicitamente pela equao ln( 1) 3yx ye + = .

b)dydx , sendo )(yfx= dada implicitamente pela equao 3 3 3x xy y+ + = .

c)dx

dy, sabendo que 2 2sen 1x y y+ = .

d) Py , sendo (0,0)P e ( )y f x= uma funo que satisfaz a equao:

arccos(3 ) ln(1 2 ) tan sen( ) 0x x x y y x+ + + = .

24. Determine:

a)dy

dxem funo de te

2

2

d y

dxpara t= 0, quando

sen

cos

x t t

y t t

= +

= , ,

2 2t

.

b)2

2

dx

yd, sendo

3

t

t

x

y

e

e

=

=. c)

2

2

dx

yd, dadas equaes

cos

sen

t

t

x t

y t

e

e

=

=, t .

25. Verifique se as seguintes funes, dadas na forma paramtrica, satisfazem as equaesdiferenciais indicadas:

a) )(xfy= , sendosec

ln(cos )

x t

y t

=

=, ,

2 2t

;2

2

2

1yd y dy

xdxdx

e

+ =

.

b) )(xfy= , sendo2

arcsen

1

x t

y t

=

= , [ ]1,1t ;

2

2sen 0

d y dyx y

dxdx = .


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Tabela de derivadasNesta tabela,fe gso funes derivveis dex. c, e aso constantes reais.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2

1

1 ' 0

2 ' 1

3 . ' . '

4 ' ' '

5 . ' '. . '

'. . '6 '

7 , 0 ' . . '

8 , 0 e 1 ' .ln . '

9 ' . '

'10 log , 0 '

.ln

11 ln , 0 '

f f

f f

fa

y c y

y x y

y c f y c f

y f g y f g

y f g y f g f g

f f g f gy yg g

y f y f f

y a a a y a a f

y e y e f

fy f y

f a

y f f y

= =

= =

= =

= =

= = +

= =

= =

= > =

= =

= > =

= > =

( ) ( ) (

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2

'

12 ' . . ' .ln . ',

13 sen ' cos . '

14 cos ' sen . '

15 tg ' sec . '

g g g

f

f

y f y g f f f f g f

y f y f f

y f y f f

y f y f f

= = +

= =

= =

= =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

2

2

2

16 cotg ' cosec . '

17 sec ' sec .tg . '

18 cosec ' cosec .cotg . '

'19 arcsen '

1

'20 arccos '

1

'21 arctg '

1

'22 arccotg '

1

'23 arcsec , 1 ' ,1

y f y f f

y f y f f f

y f y f f f

fy f y

f

fy f y

f

fy f y

f

fy f y

f

fy f f y ff f

= =

= =

= =

= =

= =

= =+

= = +

= =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

2

2

2

'24 arccosec , 1 '

1

25 senh ' cosh . '

26 cosh ' senh . '

27 tgh ' sech . '

28 cotgh ' sech . '

29 sech ' sech . . '

30 cosech ' sech . tgh

fy f f y

f f

y f y f f

y f y f f

y f y f f

y f y co f f

y f y f tgh f f

y f y co f co f

= =

= =

= =

= =

= =

= =

= =


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RESPOSTAS DOS EXERCCIOS DE FIXAO

1. a) 3 b) 8 c) no existe ( + ). d) 24 e) 0 f) no existe (derivadas laterais distintas)

3. a) b)

4. 5a =

5. a) 168 3 += xx'y b)4

'3

y = c) ( )3

3 22

2

3

3

10

4

3

xx

x'y +=

d) ( )2712

= x'y e) ( )

2

223

90' 15

6 1

xy x

x= +

f) 33

2

2 x'y =

6.2

0,3

x=

7. a) ( ) ( ) ( )5x68x5x23x'f 223 ++= b) ( ) ( )( )5

3

5x2

3x384x'f

+

=

c) ( ) ( ) ( )( )x10x14x55x65xxx2x5x'f 234223 +++= d) ( ) ( )1x5x32

25x60x'f

4

3

++

+=

e) ( ) ( ) ( )( )3

2

x35

x6123x2x'f

= f) ( ) ( )

( )7x6x3 2e12x12x'f +++=

g) ( ) ( ) ( )( )2x5 x32ln2x'f3

= h) ( ) ( )

+

= 5x3

x2

x5xex'f 2

3x

i) ( ) ( ) ( )xsenexcos3x'f = j) ( ) ( )1esenex'f xx +=

k) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1xsenxsen21xcosxcosx4x'f 22 ++= l) ( ) ( ) ( )xcosxsen3x'f 2=

m) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32232 xeccos9x5tgx3x9x5sec5x'f = cotg n) ( ) 0x'f =

8. ( ) ) ( )2f)e)d)5c)b)a) ln3338161ecose

9. ( )2

3x2xg += . 10.

( )24

3144+.

11. a)14

3)0(' =f b)

5

1)0(' =f c)

2)1('f

= d)3

2)0(' =w .

12. a) ( )2lnx1'y = b)

1x2x3x4x12'y

24

3

+++= c) ( )( )

( )xlnx

exln1'y +=


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PARTE IIIDERIVADA:ALGUMAS APLICAES

INTERPRETAO GEOMTRICA DA DERIVADA. Se

0 0( , )P x y um ponto no grfico de uma funo f ,

ento a reta tangente ao grfico de f em P ,

tambm chamada reta tangente ao grfico de f em0x , definida como sendo a reta que passa por P e

tem inclinao

0 00tg

0

( ) ( )( ) lim

h

f x h f xm f x

h

+ = =

quando este limite existe.

A equao da reta tangenteem um ponto 0 0( , )P x y

do grfico de uma funo ( )f x dada por

0 0 0( ) ( )y y f x x x = onde )( 00 xfy = .

Observao: Se = )( 0xf ento a reta tangente vertical, ou seja, tem equao dada por 0x x= .

Exemplos:

a) Determinar a equao da reta tangente ao grfico de 2 1y x= no ponto de abcissa 0 2x = .

b) Em que ponto da curva 22 xy += a reta tangente tem inclinao3

?

c) Determine a equao da reta tangente ao crculo de equao 2 2 4x y+ = no ponto ( )1, 3P .

d) Encontre a equao da reta tangente ao grfico de 2y x= que seja paralela reta 4 2 0x y+ = .

e) Encontre a equao da reta normal ao grfico de 2y x= , sabendo-se que ela perpendicular reta2 4 0y x = .

Observao.A equao da reta tangente ao grfico de f

no ponto ( )0 0, ( )x f x a reta vertical 0x x= , se

( ) ( )00 0

limx x

f x f x

x x

for infinito.


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4 Determine a equao das retas tangente e normal ao grfico da curva dada implicitamente por=+ 2)(sen2 yyx no ponto )2,1( P .

5 Obtenha o coeficiente angular da reta tangente ao grfico de 1f no ponto (1,0)P , sabendo quearctg(2 ) 2( ) 3 xf x x= + .

6 Determinar a equao das retas tangente e normal curva de equaosen

cos

x t t

y t t

= +

= , ,

2 2t

no ponto em que 0t= .

ngulo entre curvas. Define-se ngulo entre as curvas 1( )y f x= e 2( )y f x= no ponto de interseco

0 0( , )M x y , ao menor ngulo compreendido entre as tangentes respectivas no pontoM. Este ngulo

determinado pela frmula seguinte: 2 1

2 1

( ) ( )tan

1 ( ) ( )

f x f x

f x f x

=

+

.

a) Determine o ngulo quem forma com o eixo das abcissas a tangente curva3

52

3 9

xy x= .

b) Determine o ngulo compreendido entre as parbolas 28y x= e 2y x= .

Taxa mdia de variao. Considere duas grandezas x e y relacionadas por uma expresso( )y f x= , a taxa mdia de variao de y em relao a x quando a x b dada por:

( ) ( )y f b f aTMV

x b a

= =

.

Taxa de variao instantnea. A taxa de variao instantnea em 0x (taxa em cada ponto do

intervalo a x b ) dada pela derivada de y em relao a x em 0x , ou seja,

0 00

0 0

( ) ( )lim lim ( )x x

f x x f xyTVI f x

x x

+ = = =

INTERPRETAO CINEMTICA DA DERIVADA. Seja ( )s s t= a funo posio de uma partcula

movendo-se sobre o eixo sno intervalo de tempo [ ],t a b ento:

A velocidade mdia(taxa de variao mdia de s em relao a tno intervalo [ ],a b ) dada por( ) ( )

m

s s b s av

t b a

= =

A velocidade instantnea (taxa de variao instantnea de s em relao a t num instante 0t )

definida por: 00 00 0

( ) ( )( ) lim ( )

t t

s t s t dsv t t

t t dt

= =

A acelerao instantnea(taxa de variao instantnea de v em relao a tnum instante 0t ) dada

por : 00 00 0

( ) ( )( ) lim ( )t t

v t v t dva t tt t dt

= =

, ou alternativamente, 22

( ) ( ) d sa t s t dt

= = [j que )()( tstv = ].


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Exerccios:

1 Considere uma partcula se deslocando sobre uma reta, tem sua posio s (em metros)

determinada pela funo3

2( ) 6 35 803

ts t t t = + + onde t significa o tempo (em segundos).

Determine:

a) A taxa de variao mdia da posio em relao ao tempo quando 1 3t ;b) A velocidade inicial da partcula;c) Os momentos em que a partcula pra.d) A acelerao quando 3t s= .

2 Considere uma partcula movendo-se com equao horria 2( ) 2 1s t t t = , determine avelocidade escalar e a acelerao escalar da partcula em qualquer instante t.

3 Um ponto P em movimento sobre uma reta coordenada l tem a posio s dada por

( ) 2coss t t t = + . Determine quando sua velocidade nula.

PROBLEMAS ENVOLVENDO TAXAS RELACIONADAS.Nesta seo, procuramos resolver problemas queenvolvem outras taxas de variao diferentes da velocidade e acelerao. Problemas que envolvemvrias taxas de variao taxas relacionadas.

Uma estratgia para resolver problemas de taxas relacionadas

Passo 1: Desenhe uma figura e classifique as quantidades que variam;Passo 2: Identifique as taxas de variao que so conhecidas e a taxa de variao que deve serencontrada;Passo 3: Determine uma equao que relacione a quantidade, cuja a taxa de variao deve serencontrada com as quantidades cujas taxas de variao so conhecidas;Passo 4: Diferencie ambos os lados da equao obtida no Passo 3 em relao varivel definida no

problema;Passo 5: Calcule num ponto apropriado todas as grandezas e taxas envolvidas no problema.

Exerccios

1 Admita nos itens a seguir que todas as variveis so funes de t:

a) Se 2 23 2 10x y y+ + = e 2=dt

dx, quando 3x= e 1y= , determine

dy

dt.

b) Se 23 2ln 5cosx y x z+ = , 4dy

dt= e 2

dz

dt= quando 2x= , 3y= e 0z= , determine

dx

dt.

2 SejaAa rea de um quadrado cujos lados tem comprimentox e suponha que xvarie com o tempot.

a) Faa uma figura ilustrativa desse problema; b) Escreva a equao que relaciona Ae x;


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c) Use a equao da parte (b) para determinar uma equao que relacionadA

dte

dx

dt;

d) Em certo instante, os lados medem 3,0 cm e crescem a uma taxa de 2,0 cm/min. Com que rapidez area est crescendo naquele instante ?

3 Seja V o volume de um cilindro tendo altura he raio re suponha que he rvariam com o tempo.

a) Como esto relacionadasdV

dt,

dh

dte

dr

dt?

b) Em certo instante, a altura de 6,0 cm e est crescendo a 1,0 cm/s, enquanto que o raio de 10 cm eest decrescendo a 1,0 cm/s.

Com que rapidez o volume est variando naquele instante ? O volume est crescendo ou decrescendo ?

4 Seja (em radianos) um ngulo agudo de um tringulo retngulo, e sejamxe y, respectivamente,os comprimentos dos lados adjacente e oposto a . Suponha tambm quexeyvariam com o tempo.

a) Como se relacionamd

dt

,

dx

dte

dy

dt?

b) Em um certo instante 2x= unid e est crescendo a 1 unid/seg, enquanto 2y= unid e est

decrescendo em 14

unid/seg.

c) Com que rapidez est variando naquele instante ?

d) est crescendo ou decrescendo naquele instante ?

5 Areia cai de uma calha de escoamento formando uma pilha cnica cuja altura sempre igual aodimetro. Suponha que a altura cresce a uma taxa constante de 1,5 m/min. Com que taxa a areia estarescoando quando a pilha for de 9 metros de altura ?

6 Um balo esfrico est sendo inflado. Ache, usando a definio, a taxa instantnea de variao darea Sda superfcie do balo em relao ao raio r.

a) Para um raio rarbitrrio; b) Para 1r= metro.

DIFERENCIAL E APROXIMAO LINEAR.Podemos observar, utilizando um computador por exemplo,que quanto mais ampliamos o grfico de uma funo prximo a um ponto onde a funo derivvel,mais reto o grfico se torna e mais ele se assemelha sua tangente.

Queremos interpretardy

dx como quociente de dois acrscimos (diferenciais)


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Definio.Se existe erro na medida de um experimento que descreve uma funo ( )y f x= , define-se:

erro na medidaErro relativo

valor mdio ( )

dy

f a= =

O erro percentual o erro relativo multiplicado por 100, isto , 100 %( )

dy

f a

.

Por exemplo, se a medida de um comprimento dada por 25 cm. Com possvel erro de 0,1cm, ento o

erro relativo 0,1

0,00425

= . O significado deste nmero que o erro , em mdia, de 0,004 cm por

centmetro.

Exemplo: A altura do paraleleppedo de base quadrada de 15 cm. Se o lado da base muda de 10 para10,02 cm, usando diferenciais calcular o aumento, aproximado, em seu volume.

Soluo.O volume do paraleleppedo de lado da base e altura h dado por 2V h= , onde h=15 constante e varivel. Ento, 215V= e 30dV d= . Para este caso, 10= e 0,02d = . Logo,

36dV cm= . O volume cresce aproximadamente 36 cm . O erro relativo de2

300,004

15

dV d

V

= =

e o erro percentual de 0,4% .

Exerccios1 O dimetro de uma esfera 9 cm. Ao medi-lo, introduz-se um possvel erro de 0,05 cm . Qual oerro percentual possvel no clculo do volume ?

2 Calcular um valor aproximado para as seguintes expresses:

a) 4 233

1(8,01) (8,01)

8,01+ b) 4 82 82+ c)

3

13 63

2 63+

REGRA DE LHOSPITAL.Considere f e g funes derivveis tais que ( ) ( ) 0f a g a= = e ( )lim ( )x af xg x

,

ento( ) '( )

lim lim( ) '( )x a x a

f x f x

g x g x = .

Demonstrao.( ) ( ) ( ) ( ) ( )

lim lim lim( ) ( ) ( ) ( ) ( )x a x a x a

f x f x f a x a f x f a x a

g x g x g a x a x a g x g a

= =

( ) ( ) ( ) ( )lim( ) '( )

lim lim lim( ) ( ) ( ) ( )( ) '( )lim

x a

x a x a x a

x a

f x f a f x f a

f x f xx a x a

g x g a g x g ag x g x

x a x a

= = =

.


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EXERCCIOS DE FIXAO APLICAES DA DERIVADA

Problemas envolvendo reta tangente e reta normal

1. Determine a rea do tringulo retngulo ABC na figura abaixo,sabendo que a retar normal curva 2( ) 1f x x= no ponto de abscissa

0 1x = .

2. Determine as equaes das retas tangente e normal ao grfico def no ponto de abscissa 0x :

a) ( ) ( )032 3 1, 1f x x x x= + = b) ( ) ( )( ) ( )02 1 1 , 2f x x x x= + = c) ( ) ( )0

3

2, 1

1

x xf x x

x

+= =

+

3. Determine as abscissas dos pontos do grfico de y x x x= + 3 22 4 nos quais a reta tangente :

a) Horizontal. b) Paralela a reta 2 8 5 0y x+ = .

4. Em que ponto(s) da curva ( ) 123 = xxxf a reta tangente tem ngulo de inclinao 4 ?

5. Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva1

( )f xx

= , no qual a reta tangente paralela :

a) 1abissetriz, isto , y x= . b) 2abissetriz, isto , y x= .

6. Seja4

( )16

xf x B= . Determine a constanteBde modo que a reta que passa pelos pontos ( )0,5M e

5,0

2N

seja tangente ao grfico de f .

7. Determine a equao da reta tangente ao grfico de ( ) 2 3f x x x= e que sejaperpendicular reta2 3y x+ = .

8. Determine a equao da reta que passa pelo ponto ( )P 0 2, e tangente ao grfico de 3y x= . Ilustre

a interseo construindo o grfico. (observe que o ponto Pno pertence ao grfico da funo 3y x= )

9. Determine a equao da reta tangente comum aos grficos de ( )f x x= 2 e de ( ) ( )g x x= +2 1 2 .

10. Determine uma equao da reta tangente e da reta normal ao grfico de cada funo abaixo, nospontos indicados.

( )2

) arctana y x= , no ponto de abscissa 3x0 = .


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2 2) 6 13 19b x y+ = , (elipse), nos pontos onde a normal paralela reta 26 12 7 0x y = . (Ver nowinplot)

( ) 2) lnc y x y= + no ponto ( )1,1P .

11. Seja Ca circunferncia dada implicitamentepor 1yx 22 =+ e t a

reta tangente Cno ponto de abscissa 22xo= , como mostra a figura

abaixo. Calcule o valor da rea sombreada.

12. Resolva cada problema:

a) Uma equao da reta tangente ao grfico de 1f no ponto de abscissa (3)a f= , sendo

3

1( )

2f x

x=

com 2x> .

b) Uma equao da reta normal curva 332 22 =++ yxyx no ponto do 2 quadrante, onde a retatangente perpendicular reta 1=+yxr: .

13. Determine uma equao da reta tangente e da reta normal ao grfico de cada funo abaixo, nospontos indicados.

a) sen , ,sen(2 ) 2 2

x t ty t

= = , no ponto

6t = .

b)( )

( )

12

12 2

6 1 , 0 1

6 1

x t tt

y t t

= +

= +

, no ponto de abscissa12

5.

c) Uma equao da reta tangente ao grfico da curva Cno ponto de abscissa 0 1/ 4x = , sendo C

definida parametricamente pelas equaes3

3

2cos

2sen

x t

y t

=

=

, [ ]0,t .

14. Problemas de cinemtica

1 Considere que num instante de tempo t(em segundos) um corpo tem equao de posio dada por2( ) 2 3 5s t t t = + (em metros).

a) Determine o instante em que o corpo atinge altura mxima;

b) Quando o corpo se encontra na posio 4s= metros, qual acelerao ?


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est subindo razo de 1 mm/min, com que velocidade a gua estar escoando quando esta estiver a 16cmdo fundo?

7) Uma calha horizontal possui 20 mde comprimento e tem uma seo transversal triangular isscelesde 8 cmde base no topo e 10 cmde profundidade (altura referida base na parte superior). Devido a

uma tempestade a gua em seu interior est se elevando a uma razo de cm/minno instante em queest a 5 cmde profundidade. Com que velocidade o volume de gua est crescendo nesse instante?

8) Um lado de retngulo est crescendo a uma taxa de 17 cm/mine o outro lado est decrescendo auma taxa de 5 cm/min. Num certo instante, os comprimentos desses lados so 10 cm e 7 cm,respectivamente. A rea do retngulo est crescendo ou decrescendo nesse instante? A quevelocidade?

9) Dois resistores variveis 1 2eR R so ligados em paralelo. A resistncia total R calculada pela

equao1 2

1 1 1R R R

= + . Se 1 2eR R esto aumentando s taxas de 0 01ohm s, e 0 02ohm s,

respectivamente, a que taxa varia R no instante em que 1 30 ohmsR = e 2 90 ohmsR = ?

10) Certo estudo ambiental em uma comunidade suburbana indicou que o nvel mdio dirio de CO2

no ar ser de 2( ) 0,5 17C p p= + partes por milho quando a populao for de p milhares de

habitantes. Calcula-se que daqui a tanos a populao ser de 2( ) 3,1 0,1p t t= + milhares de habitantes.

Qual ser a taxa de variao em relao ao tempo do CO2daqui a trs anos?

11) A freqncia da vibrao da corda de um violino dada por1

2

Tf

L = , onde L o

comprimento da corda, T a tenso sobre a corda e a densidade linear de massa da corda.Determine,a) a taxa de variao de f em relao a L (com Te constantes);

b) a taxa de variao de f em relao a T(com L e constantes);c) a taxa de variao de f em relao a (com L e Tconstantes).

Interprete estes resultados.

12) Uma bola de neve esfrica formada de tal maneira que seu volume aumenta razo de 38 cm /min . Como est variando o raio no instante em que a bola tem 4 cm de dimetro?

13) Um tringulo issceles tem os lados iguais com cm15 cada um. Se o ngulo entre eles varia razo de 2 por minuto, determine a variao da rea do tringulo quando 30= .

16. Calcule os seguintes limites usando a regra deLHospital:


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a)2

3 21

1 2lim

1

x

x

x

x x x+

+ +

b)( )

2

senlim

2x

x

x

c) ( )2

lim secx

x tgx

d)

0

2 3lim

x x

x x

e)21

1sen arctg( )

2 4lim

2 3x

xx

x

x x

+

+

f) 2

1lim 1

x

x x+

+

g) ( )2

0lim 1 sen

x

xx

++

h)( )

( )0sen 1

limln 1

x

x

e x

x

+

+

Diferencial17. Encontre dyy e para os valores dados nas funes abaixo e compare os resultados ( )dyy :

a) .0x;02,0x;x6x5y 2 === b) .1x;1,0x;1x

1x2y ==

+=

18. Usando diferencial, calcule um valoraproximadopara: a) 212,5 . b) 34,1 . c) 13 .

19. Use diferenciais para obter o aumento aproximadodo volume da esfera quando o raio varia de 3cma 3,1 cm.

Obs. Use 3 . O volume da esfera dado por 3r3

4V = .

20. Uma caixa em forma de cubo deve ter um revestimento externo com espessura de cm. Se o ladoda caixa de 2m, usando diferencial, encontre a quantidade de revestimento necessria.

21. Um material est sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cnica cuja altura sempre

igual ao raio da base. Se em dado instante o raio 12 cm, use diferenciais para obter a variao do raioque origina um aumento de 32cm no volume da pilha.

22. Um terreno em desapropriao para reforma agrria, tem a forma de um quadrado. Estima-se quecada um de seus lados mede 1200 m, com um erro mximo de 10 m. Usando diferencial, determinar o

possvel erro no clculo da rea do terreno.

23. Um pintor contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas com 40 cm de lado.Depois que recebeu as placas verificou que os lados das placas tinham cm a mais. Usandodiferencial, encontrar o aumento aproximado da percentagem de tinta a ser usada.


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RESPOSTAS DOS EXERCCIOS DE FIXAO

1. 25/16.

2. a) tangente : 9 5 0 e normal : 9 37 0x y x y = + = .

b)

17

tangente: 15 29 e normal : 15 15

x

y x y= = + .

c) tangente: e normal: 2y x y x= = .

3. a) x x= =2 2 3, . b) x x= = 0 4 3, .

4. 1x= e 31x = .

5. a) no existe. b) ( ) ( )1,1 , 1, 1 .6. 2B= .

7. ( )tangente : 2 25 4y x= .8. tangente : 3 2y x= + .

9.1 1

tangentes : e4 4

y x y x= + = + .

10. a) reta tangente: ( )3x69

y2

=

. reta normal: ( )3x6

9y

2

=

b) retas tangentes: ( )( )

=+

=++

1,1Q019y13x6

1,1P019y13x6

em

em.

retas normais:( )( )

=+

=

1,1Q07x13y6

1,1P07x13y6

em

em

c) reta tangente: xy = . reta normal: 2xy +=

11. rea 1 . .4

u a

=

12. a)250 1

: 327 5

t y x

=

; ( )3 3

12

2 ( 2)( )

3

xf y

x

= .

b) : 1 0n y x+ + = ; ' 3

x yy x y

+= + e

'

1Py = .

13. a) reta tangente: 01y32x4 =+ . reta normal: 033y4x32 =+ .

b) reta tangente:

=

5

12x

3

4

5

6y . reta normal:

=

5

12x

4

3

5

6y .

c)3 3 1

: 34 4

t y x

= +

; tgdy

tdx

= .

14.

15.1) 2)


47/47

3) No instante em que j foram liberados 38 m de corda, a pipa est sendo se movendo com uma

velocidade de 175

105191,11 m/s.

4)5

6m/sse aproximando do solo. 5)

469

4369 m/s . 6)

( )8 5

53 cm /min .

7) 40003

cm /min . 8) A rea est crescendo 69 cm2

/min. 9) 10) 11)12) 13)

16. ( ) 2a)+ b) c) 0 d)ln 2 3 e)1/8 f) 1 g) h) 2e

17. a) 0,118 e 0,12 b) 0,078 e 0,075y dy y dy = = = =

18. ,625c)8,8b)56a) 361

19. 310,8cm 20. 360000cm 21. 0,0044209 22. 224000m 23. 2,5%

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Calculo 1 Derivada Parte II e III