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Resistência e Propulsão
Mestrado em Engenharia e Arquitectura Naval
Cálculo da Resistência de um Navio
• Resistência é obtida da soma da resistência
de atrito com a resistência de pressão
• Variáveis a determinar:
- Vector velocidade, (3)
- Pressão, p (1)
- Massa específica, ρ, é dada pela equação deestado
),,(),,( zyx uuuwvuV ==r
Vr
2
Resistência e Propulsão
Mestrado em Engenharia e Arquitectura Naval
Cálculo da Resistência de um Navio
• 4 equações para determinar as 4 incógnitas:
- Conservação da massa
- Balanço de quantidade movimento (Lei de Newton)
- Fluido Newtoniano, tensões de corte proporcionaisaos gradientes das componentes da velocidade
3
Resistência e Propulsão
Mestrado em Engenharia e Arquitectura Naval
Cálculo da Resistência de um Navio
• Conservação da massa
- Forma diferencial
- Forma integral
0
0
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
=⋅∇
z
w
y
v
x
u
Vrr
( ) 0=⋅∫oV
dSnVrr
4
Resistência e Propulsão
Mestrado em Engenharia e Arquitectura Naval
Cálculo da Resistência de um Navio
• Balanço de quantidade de movimento
(Equações de Navier-Stokes)
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
zy
w
z
v
yx
w
z
u
xz
p
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
gy
w
z
v
zy
v
yx
v
y
u
xy
p
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
x
w
z
u
zx
v
y
u
yx
u
xx
p
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
νννρ
νννρ
νννρ
21
21
21
Convecção Força Difusão Peso
de pressão Forças viscosasma &r
/
5
Resistência e Propulsão
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Cálculo da Resistência de um Navio
• Balanço de quantidade de movimento (ν=constante)(Equações de Navier-Stokes)
Convecção Força Difusão Peso
de pressão Forças viscosasma &r
/
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
z
w
y
w
x
w
z
p
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
gz
v
y
v
x
v
y
p
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
z
u
y
u
x
u
x
p
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
νρ
νρ
νρ
6
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Cálculo da Resistência de um Navio
• Escoamento em torno de navios tem
um número de Reynolds superior a 106 epode atingir 109
- Escoamento turbulento na maioria doscasos. Transição de laminar a turbulento depende
do número de Reynolds e da rugosidade da
superfície. A aproximação mais habitual é considerar o escoamento “todo turbulento”
(o modelo de turbulência deverá lidar também coma transição)
7
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime Turbulento
http://www.youtube.com/watch?v=XOLl2KeDiOg&feature=related
http://br.youtube.com/watch?v=7KKFtgx2anY
http://br.youtube.com/watch?v=vQHXIHpvcvU
8
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Escoamento em Regime Turbulento
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Escoamento em Regime Turbulento
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Escoamento em Regime Turbulento
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Escoamento em Regime Turbulento
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Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime Turbulento
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Escoamento em Regime Turbulento
1. Aleatório
2. Tri-dimensional
3. Grande difusão
4. Dissipativo
5. Propriedade do escoamento
6. Meio contínuo
7. Grandes números de Reynolds
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Escoamento em Regime Turbulento
Simulação Directa
(Direct Numerical Simulation, DNS)
• Equações de Navier-Stokes resolvidas
numericamente com um espaçamento típico da malha e um passo no tempo suficientemente
pequenos para resolver os turbilhões de maior frequência (menores período e comprimento de
onda)
• Precisão numérica da solução é muito importante
• Variáveis determinadas tem um carácter instantâneo
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Escoamento em Regime Turbulento
Simulação das Grandes Escalas(Large-Eddy Simulation, LES)
• Equações de Navier-Stokes filtradas no espaço.
Modelo matemático necessário para incluir o efeito
das escalas filtradas. Equações resolvidas no tempo
• Precisão numérica da solução é importante.
Aplicação junto a paredes é complicada
• Variáveis determinadas variam com o tempo,
mas estão filtradas no espaço
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Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime Turbulento
Aproximações de Reynolds
(Reynolds-averaged equations)
• Equações e variáveis são tratadas estatisticamente. Diferentes tipos de estatística podem ser utilizados:
1. Média espacial (Spatial averaging)
2. Média temporal (Time averaging)
3. Média de conjunto (Ensemble averaging)
• Decomposição da velocidade(variáveis
dependentes) instantânea, , em valor “médio”, ,
e flutuação em torno do valor “médio”, iu~
iii uUu +=~
iU
iu
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Escoamento em Regime Turbulento
Aproximações de Reynolds(Reynolds-averaged equations)
1. Média espacial (Spatial averaging)
Turbulência homogénea(Homogeneous turbulence)
( )
n
zyxu
U
n
i
iiij
nj
∑=
∞→= 1
,,~
lim
18
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Escoamento em Regime Turbulento
Aproximações de Reynolds(Reynolds-averaged equations)
2. Média temporal (Time averaging)
T
dtuU
To
o
t
ti
Ti
∫+
∞→=
~
lim
Escoamento éestatisticamente
permanente/estacionário
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Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime Turbulento
Aproximações de Reynolds(Reynolds-averaged equations)
3. Média de conjunto (Ensemble averaging)
( )
n
tu
U
n
iij
nj
∑=
∞→= 1
)(~
lim
Propriedades médiasvariam com o tempo.
Estatística requer
soluções periódicas
20
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Média temporal aplicada às variáveis
dependentes e aos princípios de “conservação”
representa qualquer uma das variáveis dependentes(escoamento incompressível u,v,w,p)
i
t
ti
Ti
T
dtTo
o Φ==∫
+
∞→
φφ
~
lim~
__
iφ~
21
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Decomposição das variáveis instantâneas
→
→Φ
→
+Φ=
i
i
ii
φ
φ
φφ
~
~
Variável instantânea
Valor médio
Flutuação em torno do valor médio
22
Resistência e Propulsão
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0
0
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
z
W
y
V
x
U
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Equação da continuidade
- Flutuações de velocidade também satisfazem
23
Resistência e Propulsão
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−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−
−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
wwz
W
xwv
y
W
ywu
x
W
xz
P
z
WW
y
WV
x
WU
gvwz
W
zvv
y
V
yvu
x
V
xy
P
z
VW
y
VV
x
VU
uwz
U
xuv
y
U
yuu
x
U
xx
P
z
UW
y
UV
x
UU
νννρ
νννρ
νννρ
1
1
1
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Equações de transporte de quantidade de movimento
__ __ __
__ __ __
__ __
• Tensões de Reynolds• O número de equações é inferior ao número de
incógnitas
jiuuρ−
__
__
24
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jiuuρ−
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Equações de transporte de
__ __ ____
___________
____ __ __
__ ____
• Sistema continua com menos equações do que
incógnitas
__
( )
k
j
k
i
i
ji
j
i
i
j
kji
k
i
j
j
i
k
j
ki
k
iji
k
ji
k
jiji
x
u
x
u
x
uu
x
pu
x
puuuu
x
x
u
x
up
x
Uuu
x
Uuu
x
uuU
t
uu
Dt
uDu
∂
∂
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂=
νν
ρ
ρ
2
1
2
2
25
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de tensões de Reynolds
- 6 equações de transporte adicionais
- A maioria dos termos das equações de transporte
das tensões de Reynolds tem de ser modelado,
incluindo as flutuações de pressão
- Existem modelos que determinam as tensões de
Reynolds a partir de equações algébricas
- Anisotropia da turbulência está incluida no modelo
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Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Hipótese de Boussinesq: as tensões de Reynoldssão proporcionais aos gradientes de velocidade
média
- A constante de proporcionalidade é designadapor viscosidade turbulenta
- Anisotropia da turbulência é dífícil de modelar.
Maioria dos modelos são isotrópicos
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• Equações de Reynolds
tef
efefef
efefef
efefef
z
W
zy
W
z
V
yx
W
z
U
xz
P
z
WW
y
WV
x
WU
gy
W
z
V
zy
V
yx
V
y
U
xy
P
z
VW
y
VV
x
VU
x
W
z
U
zx
V
y
U
yx
U
xx
P
z
UW
y
UV
x
UU
ννν
νννρ
νννρ
νννρ
+=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
21
21
21
28
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Equações de Reynolds
−νt é a viscosidade turbulenta
- Escala de velocidade vezes escala de comprimentoda turbulência
- Diferentes tipos de modelos disponíveis
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Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelos algébricos
- Escala de comprimento da turbulência
- Escala de velocidade da turbulência
ωωrr
→l
Comprimento de mistura
é o vector vorticidade
→= yl κ
ωνr2
lt =
30
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelos algébricos
- Escala de comprimento da turbulência é multiplicadapor uma função de amortecimento na vizinhança
da parede. Tem também de ser alterado para a
região exterior da camada limite e para jactos
-Modelo simples, mas com muitas limitações. Implementação numérica pode ser complicada em
escoamentos complexos
31
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelos de 1 equação (antigos)
- Escala de comprimento da turbulência é o comprimento de mistura dos modelos algébricos
- Escala de velocidade é obtida da equação dede transporte de energia cinética da turbulência
222
2
1wvuk ++=
________
32
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Energia cinética da turbulência, k
- Equação de transporte(balanço)
2
2
2
2
11
∂
∂−
∂
∂+
+
∂
∂−
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂=
j
i
j
jiij
jj
iji
j
j
x
u
x
k
uuupuxx
Uuu
x
kU
t
k
Dt
Dk
νν
ρ
_____
__
__
33
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
→
+
∂
∂−
→
∂
∂−
→∂
∂
jiij
j
j
iji
j
j
uuupux
x
Uuu
x
kU
2
11
ρ
___
__
__
Convecção
Produção de k
Difusão turbulenta
34
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
→
∂
∂−
→∂
∂
2
2
2
j
i
j
x
u
x
k
ν
ν
__Difusão viscosa
Taxa de dissipação, ε
• Maioria dos termos tem de ser modelada como veremos à frente para os modelos de 2 equações
35
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelos de uma equação
Spalart & Allmaras
( ) ( )[ ]
→→
−∇⋅∇+∇+⋅∇+=
∂
∂+
∂
∂
wvwbb
wwb
s
b
ffccc
dfccSc
yV
xU
,,,
~~~~~1~~
~~
1121
2
121
νννννν
σν
νν
νν ~1vt f=
FunçõesConstantes
36
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelo de uma equação de Spalart & Allmaras
- Aplicável junto à parede
- Viscosidade turbulenta proporcional à variável
dependente
- Necessita da distância à parede,d, e na versão original da localização da transição
37
Resistência e Propulsão
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• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelos de 2 equações: escala de velocidade é k
- Modelo k-ε
→
−
∇
+⋅∇+=
∂
∂+
∂
∂
−
∇
+⋅∇+=
∂
∂+
∂
∂
εµ
ε
σσ
εε
σ
ννν
εεε
εσ
ννν
,,,, 21
2
2
2
1
2
k
tt
k
tt
CCC
kCS
kC
yV
xU
kSy
kV
x
kU
εν µ
2k
Ct =
Constantes
38
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelo k-ε
- Muito popular no cálculo de jactos e em escoamentoscom transmissão de calor
- Pouco adaptado a escoamentos com gradiente de pressão adverso
39
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelo k-ε
- Não é válido junto a paredes
- Pode ser combinado com um modelo de 1 equação
junto a paredes (modelo de 2 camadas)
- Existem variadas formulações de baixos números deReynolds para se poder aplicar junto a paredes
40
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelo k-ω
( )
→→
−∇⋅∇−
∇
+⋅∇+=
∂
∂+
∂
∂
−
∇
+⋅∇+=
∂
∂+
∂
∂
ωω
ω
ω
σσαββ
βωωω
ωσ
ννα
ωω
ωβσ
ννν
F
kF
Sy
Vx
U
kkSy
kV
x
kU
k
t
k
tt
,,,,*
22
*2
ων
kt =
Constantes Função
41
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelo k-ω
- Pode-se aplicar junto a paredes
- ω tende para infinito na parede
- Existem várias formulações sendo a mais popular
a SST (shear-stress transport) que inclui um limitadorpara a viscosidade turbulenta
42
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelo k-ω
- Muito popular no cálculo de escoamentos em gradiente de pressão adverso
- Implementação numérica não é trivial e em algumasversões (SST por exemplo) requer a distância à
parede
43
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Condições de fronteira
- Paredes sólidas
a) Condição de não escorregamento aplicada directamente
b) Leis da paredeρ
τ
ντ
τ wuyu
yy ==< ++ ,,1
?,5030 <−> ++yy
44
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Condições de fronteira
- Fronteira “exterior”
a) Escoamento não perturbado
b) Escoamento potencial
45
Resistência e Propulsão
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Condições de fronteira
- Superfície livre
a) “Surface tracking”: domínio ajusta-se à forma dasuperfície livre onde a pressão iguala a pressão
atmosférica. Velocidade normal à superfície é nula
e tensão de corte dos dois lados é idêntica
b) “Surface capturing”: domínio inclui ar e água
“Volume of fluid” ou “Level Set”
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