Calculo de Porcentajes y Sumatorias Arvelo

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN Angel Francisco Arvelo Luján es un Profesor Universitario Venezolano en el área de Probabilidad y Estadística, con más de 40 años de experiencia en las más reconocidas universidades del área metropolitana de Caracas. Universidad Católica “Andrés Bello” : Profesor Titular Jubilado 1970 a 2003

Universidad Central de Venezuela: Profesor por Concurso de Oposición desde 1993 al presente Universidad Simón Bolívar: Profesor desde 2005 al presente Universidad Metropolitana: Profesor desde 1973 a 1987 Universidad Nacional Abierta: Revisor de contenidos, desde 1979 hasta 2004 Sus datos personales son : Lugar y Fecha de Nacimiento: Caracas, 16-02-1947 Correo electrónico: [email protected] Teléfono: 58 416 6357636 Estudios realizados: Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968 Máster en Estadística Matemática CIENES , Universidad de Chile 1972 Cursos de Especialización en Estadística No Paramétrica Universidad de Michigan 1982 Doctorado en Gestión Tecnológica: Universidad Politécnica de Madrid 2006 al Presente El Profesor Arvelo fue Director de la Escuela de Ingeniería Industrial de la Universidad Católica “Andrés Bello” (1974-1979) , Coordinador de los Laboratorios de esa misma Universidad especializados en ensayos de Calidad, Auditor de Calidad, y autor del libro “Capacidad de Procesos Industriales” UCAB 1998. En numerosas oportunidades, el Profesor Arvelo ha dictado cursos empresariales en el área de “Estadística General” y “Control Estadístico de Procesos”.

Estadística Básica Angel Francisco Arvelo L.

2

Razones , Proporciones Porcentajes y

Sumatorias.

Por: ANGEL FRANCISCO ARVELO La reducción de datos estadísticos requiere de ciertos conocimientos previos de

aritmética y álgebra , los cuales en la gran mayoría de los textos de Estadística

se dan por conocidos. Muchos de los problemas que confronta el estudiante al abordar un primer curso de Estadística son consecuencia o bien de no entender ciertas nomenclaturas matemáticas , como por ejemplo las notaciones con sumatorias, o bien por desconocimiento de algunos conceptos previos tales como interpolación en tablas, y el manejo de razones, proporciones y porcentajes. Es por ello, que el autor ha considerado conveniente, antes de comenzar el estudio de la Estadística Descriptiva, hacer un paréntesis , y dedicar este capítulo a la revisión de tales conceptos.

II.1 Definición de Razón . Propiedades *1 Una razón es la relación que

hay entre una magnitud con otra de la misma naturaleza, que se hace con el objeto de determinar cuantas veces más grande o más pequeña es una en comparación con la otra. La razón de A a B , se escribe usualmente A : B , representa simplemente la

fracción A

B , y representa en caso de ser mayor que 1 , cuantas veces mas

grande es “A” con relación a “B” ; y en caso de ser menor que 1 , la fracción que es “A” con relación a “B”. Así por ejemplo, si A : B es 3 , eso lo que significa es que “A” es 3 veces “B” , y si

A : B es 1

3 lo que significa es que “A” es la tercera parte de “B” .

El primer término de la razón , es decir “A” se llama el antecedente , y el segundo, es decir “B” , el consecuente. Toda razón tiene las siguientes propiedades:

Es un número real, abstracto, es decir sin unidades, pues compara magnitudes de la misma naturaleza.

Si se invierten el antecedente y el consecuente, la razón también se invierte.

Si el antecedente y el consecuente se multiplican ambos por un mismo factor distinto de cero , la razón no se altera.

La razón a : b es igual a la razón m a : m b , pues: a

b

m a

m b

1 Sólo se hace mención a razones geométricas o por cociente. También existen “Razones aritméticas” o por

diferencia .


3

Si el antecedente de una razón se multiplica o se divide por un número diferente de cero, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.

Si el consecuente de una razón se multiplica o se divide por un número diferente de cero, la razón queda en el primer caso dividida y en el segundo multiplicada por ese mismo número .

En muchas oportunidades una razón se puede extender a tres o más cantidades de la misma naturaleza, y así cuando decimos que A, B y C están en razón de 3 : 2 :1 , esto lo que significa es que A es el triple de C , mientras que B es el doble de C ; o lo que es lo mismo , por cada tres unidades de A , hay 2 de B y 1 de C . Este tipo de expresiones es muy frecuente en el manejo de variables cualitativas , cuando se quiere establecer la relación existente entre las distintas categorías . Ejemplo 2.1 : La razón entre el valor de un dólar y el de un bolívar, es 700 ; mientras que, la razón entre el valor de una peseta española y el de un bolívar es 5. ¿ Cual, la razón entre el valor de un dólar y el de una peseta española ? .

Solución: Dadas la relaciones tenemos que: 1$

1700

Bs 1 $ = 700 Bs.

De manera análoga tenemos que : 1

15

Pta

Bs

. 1 Pta. = 5 Bs.

Se tiene que : 1 Bs. = 1

700 $ , y 1 Bs. =

1

5 Pta.

Por lo tanto: 1

700 $ =

1

5 Pta. 5 $ = 700 Ptas.

1$

1

700

5140

Pta.

Concluimos entonces que la razón entre el valor de 1 dólar y el de 1 Pta. , es de 140 . Ejemplo 2.2 : En un curso de Estadística hay dos secciones “A” y “B” . La razón entre el número de alumnos en la sección “A” y la sección “B” es de 1.5 . Al tomar el examen , la razón entre el número de alumnos aprobados y aplazados es de 2 para la sección “A” , y de 1 para la sección “B”. ¿ Cual es la razón entre alumnos aprobados y aplazados, para las dos secciones en conjunto ? . Solución : Sea A = Numero de alumnos en la sección “A”.

B = Numero de alumnos en la sección “B”.

A

BA B15 15. .

Sean: A1 = Numero de alumnos aprobados en la sección “A”

A2 = Numero de alumnos aplazados en la sección “A”

A

AA A1

21 22 2

Como A1 +A2 = A 2 A2 + A2 = A 3 A2 = A A2 = 1

3 A =

1

3 1.5 B = 0.5 B

Análogamente: B1 = Numero de alumnos aprobados en la sección “B”


4

B2=Númerode alumnos aplazados en la sección “B”

B

BB B1

21 21

Como B1 + B2 = B B2 + B2 = B 2 B2 = B B2 = 1

2 B = 0.5 B

Expresando todas las cantidades en función de “B” , se tiene entonces: A1 = 2 A2 = 2 ( 0.5 B) = B ; A2 = 0.5 B ; B1 = B2 = 0.5 B El total de alumnos aprobados es: A1 + B1 = B + 0.5 B = 1.5 B El total de alumnos aplazados es: A2 + B2 = 0.5 B + 0.5 B = B

Por tanto la Razón Aprobados : Aplazados es : 15. B

B = 1. 5

2.2 Proporciones*2 Cuando dos razones son iguales , las cuatro cantidades

que la forman se dicen que son proporcionales .

Así , si la razón “a : b” es igual a la razón “c : d” , entonces a

b

c

d

La proporción se lee diciendo : “a” es a “b” como “c” es a “d” Los términos “a” y “d” se llaman extremos , y los términos “b” y “c” medios de la proporción . Las proporciones tienen las siguientes propiedades :

1. La inversión de los medios con los extremos no altera la proporción, es

decir: a : b = c : d b : a = d : c . 2. La inversión de los medios entre sí, o la inversión de los extremos entre

si, no altera la proporción, es decir :a b c d a c b d

a b c d d b c a

: : : :

: : : :

3. El producto de los medios es igual al producto de los extremos: a d = b c 4. Si a cada antecedente se le suma su consecuente , no se altera la

proporción. Es decir : a : b = c : d a + b : b = c + d : d 5. Si a cada antecedente se le resta su consecuente , no se altera la

proporción. Es decir : a : b = c : d a - b : b = c - d : d 6. Si a : b = c : d a+ b : a- b = c + d : c -d

Variación Directamente Proporcional : Una cantidad “A” se dice que varía directamente proporcional a otra “B”, cuando las dos dependen una de la otra , de tal manera que si cambia “A” , entonces cambia “B” en la misma razón . Lo anterior significa lo siguiente : Supongamos que en un momento dado , una cantidad “A” tiene el valor a1 y otra cantidad “B” un valor “b1 . Una variación directamente proporcional quiere decir , que si por algún motivo , la cantidad “A” cambia a otro valor a2 , entonces en ese mismo momento, la magnitud “B” debe

cambiar a un nuevo valor b2 , tal que: a

a

b

b

2

1

2

1

.

2 Sólo se hace mención a proporciones geométricas. También existen “Proporciones aritméticas”.


5

Ejemplo 2.3 : Si la renta mensual de un apartamento de 70 m2 es de $1.400. ¿Cual debería ser la renta de otro apartamento de 105 m2, suponiendo que la renta mensual varía proporcionalmente con el área del apartamento ? . Solución : Si renta y área varían proporcionalmente , tenemos que cuando A= Area , toma el valor a1 = 70 , entonces B= Renta mensual , toma el valor

b1= 1.400. Cuando “A” tome el valor a2 = 105 , entonces el valor de “B” debe ser

“b2” tal que :105

70 1400

2b

. b2 =

105 1400

70

. = 2.100.

Este mismo problema pudiera ser resuelto mediante las muy conocidas reglas de

tres, diciendo : Por 70 m2 _________ $ 1.40

Por 105 m2 ________ X X

105 1400

702100

..

Este procedimiento por supuesto que es correcto , pero muy peligroso, pues existe una tendencia muy generalizada a creer que todas las reglas de tres son directas; y como veremos , también existen reglas de tres inversas . Observaciones:

El símbolo “ “ , se usa para indicar variación proporcional , de modo que

A B , se lee : “ A varia como B “ .

Cuando “A” varía como “B” , entonces “A” es igual a “B” , multiplicada por una cierta constante, llamada “constante de proporcionalidad” .

Es decir : A B A = k B , siendo “k” la constante de proporcionalidad . Variación Inversamente proporcional: Una cantidad “A” se dice que varía inversamente con otra “B” , cuando “A” varía directamente con el inverso de B .

Si “A” varía inversamente como “B” , entonces A= k

B ; siendo “k” una constante.

Ejemplo 2.4 : Si 6 pintores tardan 16 horas en pintar una pared . ¿ Cuanto tiempo deberían tardar 2 pintores en pintar esa misma pared ? . Solución : En este caso existe obviamente una relación inversa entre el número de pintores y el tiempo en pintar la pared , pues a menor numero de pintores mayor tiempo , y viceversa. Si N = número de pintores , y T = Tiempo en pintar la pared , al existir una

relación inversa tenemos que : T = k

N .

Cuando N= 6 , T=16 k = T N = 16 6 = 96 ; y por tanto T =96

N .


6

Para N = 2 : T=96

2 = 48 horas .

Si se resolviera este problema por regla de tres , es necesario tener en cuenta que la relación es inversa .

6 pintores _________ 18 horas

2 pintores ________ X X horas

18 6

248

El concepto de variación proporcional se puede generalizar , y llevarlo al caso de varias variables , y así :

Una cantidad “A” varía directamente proporcional a otras “B” y “C” , cuando:

A = k B C

Una cantidad “A” varía directamente proporcional a otra “B” e inversamente

proporcional a una tercera “C” , cuando: A kB

C

Ejemplo 2.5 : Dos hombres cobraron $ 3.500, por un trabajo realizado por ambos. El primero trabajó 20 días a razón de 9 horas diarias, y recibió $ 1.500. ¿ Cuantos días a razón de 6 horas diarias , trabajó el segundo ? . Solución : El segundo recibió: 3.500 - 1.500= 2.000

Tenemos 3 variables:

X Horas

Y Dias

Z Dinero

.

El dinero recibido “Z” debe ser directamente proporcional al número de días trabajados y a las horas trabajadas cada día.

Por lo tanto : Z = k X Y

Para el primero

X

Y

Z

9

20

1500.

1.500= k 9 20 k = 1500

9 20

. =

25

3

Para el segundo

X

Y

Z

6

2 000

?

.

2.000=25

3 6 Y Y =

2 000 3

25 6

. = 40 días

Repartos Proporcionales : En muchas oportunidades se plantea el problema , de que una cierta cantidad “T” , debe ser repartida entre los “n” elementos de una población, y la pregunta es “¿ cual es el monto que le corresponde a cada uno de los elementos de la población ?” .


7

Para resolver este problema , existen varios criterios: 0 Reparto aritmético o simple : Este criterio es el más sencillo, y consiste en

dividir el monto a repartir en partes iguales entre cada uno de los elementos de

la población, de manera que cada uno recibe una cuota igual XT

n .

1 Reparto directamente proporcional al valor de un cierto carácter : Cuando se aplica este criterio , cada uno de los elementos de la población puede recibir una cuota diferente , y para calcularla se conviene en seleccionar un cierto carácter , llamémoslo “A” . Cada elemento de la población recibe una mayor cuota en la medida en que él tenga un mayor valor del carácter “A” .

Supongamos que a1 , a2 , , an representan los diferentes valores del carácter seleccionado en cada uno de los “n” elementos presentes en la población.

El criterio a seguir para hacer un reparto proporcional, es que la cuota que le corresponde a cada elemento es al monto total a repartir, como el valor de su carácter es a la suma de todos los caracteres.

Lo anterior significa que si Xi es el monto que le corresponde al “i - ésimo” elemento de la población , entonces debe verificarse la siguiente proporción.

X

T

a

a a a

i i

n1 2 Xi =

a

a a aT

i

n1 2

Este tipo de reparto , se denomina en Estadística “reparto ponderado” . El inconveniente que presentan los repartos ponderados, al igual que como veremos más adelante los promedios ponderados, es que muchas veces no es clara la selección del carácter “A” , que va a ser utilizado para hacer el reparto proporcional. Ejemplo 2.6 : Un comerciante debe repartir un bono de utilidades de $ 30.000 entre sus cuatro empleados , pero quiere hacerlo en proporción directa a la antigüedad que tenga cada uno de ellos , de manera que los más antiguos reciban más , y los más nuevos menos . Si la antigüedad de cada uno de los empleados es de 6 , 5 , 3 y 1 año , ¿cuanto debe recibir cada uno ? . Solución: En este caso , el monto a repartir es T = $ 30.000 , y el carácter seleccionado para hacer el reparto es la antigüedad , siendo su valor para cada uno de los elementos de la población: a1= 6 , a2=5 , a3=3 , a4=1 , y su suma a1+ a2+ a3+ a4=15 . El monto a recibir por cada uno es:

Para el de 6 años de antigüedad : X1= 6

15 30.000 = Bs. 12.000


15 30.000 = Bs. 10.000


15 30.000 = Bs. 6.000

Para el de 1 año de antigüedad : X4= 1

15 30.000 = Bs. 2.000

c) Reparto inversamente proporcional al valor de un cierto carácter : Cuando se aplica este criterio , se selecciona al igual que antes un cierto carácter “A” , y


8

cada elemento de la población recibe una mayor cuota en la medida en que él tenga un menor valor del carácter “A” .

Sean a1 , a2 , , an los diferentes valores del carácter seleccionado en cada uno de los “n” elementos presentes en la población.

Hacer un reparto inversamente proporcional significa hacerlo directamente proporcional a los inversos de los valores del carácter .

Por lo tanto, si Xi es el monto que le corresponde al “i - ésimo” elemento de la población , entonces debe verificarse la siguiente proporción.

X

T

a

a a a

i i

n

1

1 1 1

1 2

Xi =

1

1 1 1

1 2

a

a a a

Ti

n

Este tipo de reparto , se denomina en Estadística “reparto armónico” Ejemplo 2.7 : Supongamos que un benefactor hace una donación de $ 50.000 entre los empleados de una institución , pero es su deseo que los que menos ganen reciban más , y viceversa. Si en esa institución hay 3 empleados , cuyos sueldos son de $ 400, $ 800 y $ 2.000, ¿ cuanto debe recibir cada uno ? . Solución: En este caso , el carácter utilizado para hacer el reparto es el sueldo de cada uno de los empleados , y el criterio de repartición es inversamente proporcional al valor del carácter . Los valores del carácter son : a1 = 400 , a2 = 800, a3= 2.000

El monto a recibir por cada uno de ellos será entonces:

X1=

1

4001

400

1

800

1

2000

50 000. = $ 29.411,77

X2=

1

8001

400

1

800

1

2000

50 000. = $ 14.705,88

X3=

1

20001

400

1

800

1

2000

50 000. = $ 5.882,35

d) Repartos mixtos : Esto tipos de reparto combinan los dos anteriores , y se

aplican cuando un monto “T” debe ser repartido en proporción directa a unos ciertos caracteres: A,B y C por ejemplo, y en proporción inversa a otros ciertos caracteres , D y F por ejemplo. En estos casos, el valor de los caracteres que se consideren directos se multiplican, y los que afecten en forma inversa dividen ; de manera que si a1 , a2

, , an representan los valores del carácter “A” para los diferentes elementos de

la población , b1 , b2 , , bn los del carácter “B” , y así sucesivamente, entonces


9

la cuota que le corresponde al i - ésimo elemento será: Xi

=

a b c

d f

a b c

d f

a b c

d f

a b c

d f

T

i i i

i i

n n n

n n

1 1 1

1 1

2 2 2

2 2

A este tipo de reparto se les conoce en Estadística como reparto armónico ponderado .

Ejemplo 2.8 : Una herencia por $ 100.000 debe ser repartida entre tres hijos, y según la voluntad del padre, el reparto debe hacerse en proporción directa al número de nietos que le haya dado cada uno de sus hijos , y en proporción inversa a la edad de cada uno de sus hijos. Si el primero de los hijos tiene 60 años , y le dio 2 nietos a su padre ,el segundo tiene 54 años y le dio 3 nietos , y el tercero tiene 40 años y le dio sólo 1 nieto , ¿ qué monto de la herencia le corresponde a cada uno ? . Solución: Según la expresión anterior , el monto para cada uno es:

X1=

2

602

60

3

54

1

40

100 000. = $ 29.268,29

X2=

3

542

60

3

54

1

40

100 000. = $ 48.780,49

X3=

1

402

60

3

54

1

40

100 000. = $ 21.951,22

2.3 Porcentajes Un porcentaje es una razón del tipo A : B , pero multiplicada por el factor 100 ; de manera , que se define como porcentaje de “A” con relación a “B” al cociente

A

B100 . Al denominador “B” , se le suele llamar “la base del porcentaje” .

Un porcentaje expresa el número de unidades que le corresponden a “A” , por cada 100 unidades que le correspondan a “B” . El uso de porcentajes es universalmente aceptado como medida de comparación, y como herramienta para analizar y describir el comportamiento de un conjunto de datos ; es por ello que resulta muy importante al iniciar un curso de “Estadística”, el aclarar su significado , y su forma de cálculo. Según sea la base que utilicemos, existen cuatro tipos diferentes de porcentajes , con diferente interpretación, y diferente metodología de cálculo.

Los cuatro tipos de porcentajes son

Porcentajes de composición.

Porcentajes de variación.

Porcentajes de razón.

Porcentajes de error .

Porcentajes de Composición Este tipo de porcentajes se utiliza para comparar una parte con relación a un todo, y expresan cuantas partes le corresponden a un subconjunto por cada 100 partes del universo , total o población . La característica fundamental de un porcentaje de composición es que al calcular la

razón A

B100 , la cantidad “A” es una parte o subconjunto de “B” .

Un ejemplo típico de un porcentaje de composición , es el que se denomina en el comercio , como “porcentaje de utilidad sobre el precio de venta” , pues la utilidad es una parte del precio de venta , siendo la otra el costo de adquisición.

Porcentaje de utilidad sobre el Precio de Venta = Utilidad

eciodeVentaPr100%

Un porcentaje de composición tiene las siguientes propiedades: 1°) Resulta obvio, que un porcentaje de composición tiene que ser siempre un numero real comprendido entre 0 y 100 . 2°) Se dice que varios subconjuntos A1, A2 , ….,An constituyen una partición de la población ”B”, cuando no tienen elementos en común , y su unión resulta ser toda la población “B” . La suma de los porcentajes de composición en este caso resulta ser 100 . Ejemplo 2.9 : Un comerciante adquiere un producto en $1500 , y luego lo vende en $ 2.000 . ¿ Qué porcentaje de utilidad obtuvo sobre el precio de venta ? . Solución : Utilidad = Precio de Venta - Precio de adquisición = 2.000 - 1.500 = 500 .

Porcentaje de utilidad sobre el Precio de Venta = 500

2 000100%

.= 25 % .

Porcentajes de Variación Otra situación en la que se suelen utilizar los porcentajes, es para expresar la variación relativa de una cierta cantidad. Para calcular un porcentaje de variación, debemos conocer el valor inicial y el valor final de la cantidad . Siendo PO = Valor inicial y P1 = Valor Final , entonces :

Porcentaje de Variación = P P

P

1 0

0

100%

Con relación a este tipo de porcentajes, pueden hacerse los siguientes comentarios: 0 Un porcentaje de variación puede ser superior a 100. En efecto, basta que la variable duplique su valor para que ya el porcentaje de variación sea del 100% ; y si el nuevo valor es más del doble del valor inicial, entonces el porcentaje de variación será más del 100%. b) Un porcentaje de variación también puede ser negativo.


11

En efecto , si se produce una disminución en el valor de la cantidad, es decir si P1 < Po , entonces el porcentaje de variación será negativo.

No se acostumbra sin embargo, ponerle signo al porcentaje de variación; sino que cuando es positivo se dice que es un porcentaje de aumento, y cuando es negativo se dice que es un porcentaje de disminución. c) En el caso de un porcentaje de variación no se está estableciendo una relación entre un subconjunto y un conjunto que lo incluye . 0La base para el cálculo de un porcentaje de variación es siempre el valor inicial de la cantidad. 1Si “p” es un porcentaje de variación , el valor final puede ser calculado mediante la

expresión : P Pp

1 0 1100

( ) .

Esto significa que si una cantidad aumenta en un 20% , el nuevo valor puede ser

calculado multiplicando el valor inicial por 1 +20

100= 1,20 ; y si una cantidad

disminuye en un 25 % , entonces el nuevo valor se obtiene multiplicando el inicial

por el factor 1 - 25

100 = 0,75 .

Ejemplo 2.10: Un comerciante aumenta previamente sus precios en un 20%, y luego anuncia una oferta consistente en una rebaja del 20% sobre los nuevos precios. Con relación a los precios iniciales, calcule el verdadero porcentaje de descuento que está ofreciendo el comerciante. Solución: Tomemos como base para nuestro análisis un valor inicial de $ 100. Después del primer aumento, el precio pasará a ser de $120 ,como consecuencia del aumento anunciado del 20%. Al hacerse efectivo el descuento del 20% sobre los nuevos precios, obtendremos una rebaja de 0,20 x 120 = $ 24,00 ;con lo que el precio realmente pagado es de 120 - 24 = $ 96 . En consecuencia se tiene: P

O = Precio inicial = $ 100

P1 = Precio después del descuento = $ 96 .

% de descuento = 96 100

100100% = 4%

El signo negativo de la diferencia 96 - 100, queda sobreentendido , al decir que se trata de una reducción.

Ejemplo 2.11: Un comerciante compra una cierta mercancía en $160 y posteriormente la vende en $ 200. ¿ Cual ha sido su porcentaje de utilidad ?. Solución: Este ejemplo aunque parece muy sencillo, ha sido incluido dentro de esta sección como un caso típico de lo engañoso que puede resultar el cálculo de un porcentaje, cuando no se ha definido la base respecto a la cual se va a calcular. Hay dos posibles interpretaciones, respecto al precio de venta o respecto al precio de compra .


12

Si se calcula respecto al precio de venta, es un porcentaje de composición idéntico

al del Ejercicio 2.9 , y es : 200 160

200100 = 20% .

Si se calcula respecto al precio de compra, es un porcentaje de variación , y es:

200 160

160100 25%

Porcentajes de Razón

En muchas oportunidades, una razón del tipo A

B se suele multiplicar por 100 , para

expresar cuantas unidades de “A” hay por cada 100 de “ B”. En este caso, la cantidad “A” no necesariamente tiene que ser un subconjunto de la cantidad “B” , como en el caso de un porcentaje de composición. Así por ejemplo, cuando decimos que los precios de Maracaibo son el 80% de los de Caracas , lo que estamos diciendo es que por cada $100 que nos cuesta un artículo en Caracas , ese mismo artículo nos cuesta $ 80 en Maracaibo . Para calcular la razón porcentual de una cantidad P1 con relación a otra cantidad P2 de su misma naturaleza, aplicamos la siguiente expresión:

Razón porcentual de P1 con relación a P2 = P

P

1

2

100%

Ejemplo 2.12 : Un cierto producto en el año “1” cuesta $ 730 , y en el año “2” cuesta $ 850. 0¿ Cual ha sido el incremento porcentual en el precio de este producto , del año “1” al año “2” ? . 1¿ Cual es la razón porcentual entre el precio del año “2” con relación al precio del año “1” ? . Solución: a) En este caso se trata de un porcentaje de variación , y lo que expresa es cuanto más tenemos que pagar en el año 2 , por cada 100 que pagábamos en el año 1 .

El porcentaje de variación es: 850 730

730100% = 16.44% .

b) En este segundo caso , se trata de un porcentaje de razón , y lo que expresa es cuanto tenemos que pagar en total en el año “2” , por cada 100 que pagábamos en el año “1”.

Razón porcentual de precios del año “2” con relación al año “1” =850

730100% =

116.44%

Porcentajes de Error Una situación muy frecuente en Estadística consiste en tener que estimar mediante algún procedimiento, una cierta magnitud que se desconoce. Por supuesto, a la hora de realizar esta estimación, la cifra estimada no tiene porqué coincidir exactamente con la cifra verdadera, dando lugar así a un error de estimación, el cual viene dado por la diferencia en valor absoluto , entre estas dos cantidades.


13

El error cometido puede ser por exceso, cuando lo estimado es superior a lo verdadero, o por defecto cuando es menor que lo verdadero. Como ambos casos reflejan por igual una imprecisión en la estimación, se toma como error al valor absoluto de la diferencia entre el valor estimado y el valor verdadero. La información del error absoluto es poco útil para medir la precisión de la estimación, ya que por ejemplo, no es lo mismo cometer un error de 2 unidades cuando el verdadero valor es 10, que cuando es 1000. Por este motivo, en lugar de utilizar el error absoluto, se utiliza al “porcentaje de error”, o también conocido bajo el nombre de “error relativo” , como medida de la precisión de una estimación.

Un porcentaje de error se calcula por la siguiente expresión:

100%

Donde : = Valor verdadero de un parámetro .

= Valor estimado de ese mismo parámetro .

Ejemplo 2.13 : En una primera balanza cuando se coloca un objeto cuyo peso verdadero es de 53 gramos, se registra un peso de 51 gramos ; mientras que en una segunda balanza, cuando se coloca un objeto cuyo peso verdadero es de 86 gramos, se obtiene una lectura de 89 gramos. ¿ Cual de las dos balanzas es más precisa ? . Solución: En la primera balanza, el error cometido fue de 2 gramos (por defecto) frente a un valor verdadero de 53 gramos; por tanto, el error relativo en la medición

es de 2

53 100% = 3,77%.

En la segunda balanza, el error cometido fue de 3 gramos (por exceso) frente a un

valor verdadero de 86 gramos. El error relativo es entonces de 3

86 100% = 3,49 %

Se concluye entonces que la segunda balanza es más precisa que la primera, por presentar un menor error relativo.

2.4 Interpolación Lineal : Un problema muy común que se presenta no sólo

en Estadística , sino también otras ramas de la Matemática y Ciencias Aplicadas , es el de tener que buscar en una tabla un valor que no aparece en ella, y por lo tanto tener que interpolarlo entre los dos más cercanos . Para analizar este problema , supongamos que tenemos que buscar en una tabla, el valor de una función F(x) , para un cierto valor de la variable “x”, digamos para x = xo ,y que dicho valor no se encuentra en la tabla . Solamente aparecen en ella, el valor de F(x) , para los dos valores más cercano a xo , digamos x1 y x2 , siendo x1 el que más se aproxima a xo por la izquierda , y x2 el que más se aproxima a xo por la derecha , de forma que x1 < xo< x2 . Al leer en la tabla , encontraremos el valor de la función para x1 y para x2 ; sean F(x1) y F(x2) respectivamente los valores leídos ,y el que queremos realmente encontrar es F(xo) . El punto xo es interior al intervalo [x1 ; x2], y no sabemos en realidad como es el comportamiento de la función dentro del intervalo [x1 ; x2] . Pueden ocurrir dentro


14

de él , fluctuaciones bruscas de la función, y ser creciente en unas zonas y decreciente en otras, tal como se muestra en la figura:

Figura N°2.1 : Comportamiento de una función dentro de un intervalo Sin embargo si los valores x1 y x2 están muy próximos , y en consecuencia el intervalo [x1 ; x2] es muy pequeño , es de suponer que estos cambios bruscos no tendrán oportunidad de producirse. Una interpolación lineal , es en realidad una aproximación, y consiste en suponer que dentro del intervalo [x1 ; x2] , la variación de la función es lineal, tal como se muestra en la figura:

Figura N° 2.2 : Interpolación lineal Evidentemente , al hacer esta suposición de que la variación de la función dentro del intervalo [x1 ; x2] es lineal , se comete un error , que viene dado por la diferencia entre el verdadero valor de F(xo) dado por la curva , y el valor de aproximado de F(xo) obtenido por la recta ; sin embargo , cuánto más próximos estén los puntos x1 y x2 , menor será este error de aproximación. Lo anterior significa que una interpolación lineal será más precisa , cuanto más pequeño sea el intervalo donde se realice. Bajo este supuesto de variación lineal de la función dentro del intervalo, se pueden presentar tres casos:

Caso I : F(x1) < F(x2) La función lineal es creciente.


15

Figura N° 2.3 : Interpolación lineal creciente

Por semejanza de triángulos se tiene : ADE ABC DE

BC

AD

AB DE

AD

ABBC

Pero: AD = x0 - x1 ; AB = x2 - x1 ; BC = F(x2) - F(x1) .

Por lo tanto : F(x0) = F(x1) + DE = F(x1) + x x

x xF x F x

0 1

2 1

2 1( ( ) ( ))

En consecuencia , la fórmula para obtener el valor aproximado de F(x0) , por interpolación lineal , en el caso creciente es :

Ejemplo 2.14: En trigonometría , es sabido que sen 30°= 1

2 y que sen 45°=

2

2 =

0.7071 . En base a esta información , obtener un valor aproximado , por interpolación lineal , para sen 36° . Solución : x1 = 30° , x2 = 45° , xo = 36° , F(x1) = 0.5 , F (x2) = 0.7071 , F (x0) = ?.

En consecuencia : sen 36° 0.5 + 36 30

45 300 7071 05000( . . ) = 0.5828

El valor exacto de sen 36° es 0.5878 , lo que significa que la interpolación lineal cometió un error de 0.0050.

Caso II : F(x1) > F(x2) La función lineal es decreciente .

Por semejanza de triángulos:

ABC EDC ED

AB

DC

BC

Por lo tanto : EDDC

BCAB

Pero: F(xo)= F(x2) + ED

Figura N°2.4 : Interpolación lineal decreciente


16

y teniendo en cuenta que : DC = x2 - x0 ; BC = x2 - x1 ; AB = F(x1) - F(x2) , se llega a la fórmula de interpolación lineal para el caso decreciente, que es :

Ejemplo 2.15:. En trigonometría , es sabido que cos 30°= 3

2 = 0.8660 y que

cos 45°= 2

2 = 0.7071 . En base a esta información , obtener un valor aproximado

, por interpolación lineal , para cos 36° . Solución : x1 = 30° , x2 = 45° , xo = 36° , F(x1) = 0.8660 , F (x2) = 0.7071 , F (x0) = ?.

En consecuencia : cos 36° 0.7071 + 45 36

45 3008660 0 7071( . . ) = 0.8024

El valor exacto de cos 36° es 0.8090 .

Caso III : F(x1) = F(x2) La función lineal es constante . En este caso resulta obvio que la recta es horizontal , y en consecuencia el valor de F(x0) obtenido por interpolación lineal es ese mismo valor constante .

F(x0) F(x1) = F(x2) .

2.5 Sumatorias : El uso del símbolo “ ” que corresponde a la letra griega

“sigma” en mayúscula, y que se lee como “sumatoria” , es muy frecuente en la escritura de muchas fórmulas estadísticas ; y por lo tanto , es muy importante al iniciar un curso de “Estadística” , que el lector se familiarice con su significado , y con sus propiedades .

Si se tiene un conjunto de valores numéricos { x1,x2 , ….,xn } , se designa por xii

i n

1

a la suma de todos ellos , es decir : xii

i n

1

= x1+x2 + ….+xn , y se lee “ sumatoria

desde i =1 hasta i =n , de los xi “ .

El índice que se coloca abajo y el que se coloca encima del símbolo “ ” se

utilizan para indicar el límite inferior y superior respectivamente, de la sumatoria. El índice de la sumatoria representa un valor variable, que solamente puede tomar los valores enteros comprendidos entre el límite inferior y el límite superior, ambos inclusive .

Así por ejemplo xii

i

3

8

representa la suma de los valores que ocupan desde la

tercera hasta la octava posición en el conjunto de datos ,es decir:

xii

i

3

8

= x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8


17

Como índices generalmente se utilizan las letras intermedias del alfabeto “i” , “j” , “k” , “n” , etc., y resulta indiferente utilizar cualquiera de ellas. En otras oportunidades , los términos “xi” están dados mediante una fórmula , o sucesión de números naturales, y en ese caso , la sumatoria representa la suma de ciertos términos de esa sucesión.

Por ejemplo, ( )i ii

i2

3

5

3 ;representa que deben ser sumados desde el tercero

hasta el quinto, los términos de la sucesión { xi = i2 -3i ; i N }.

Por lo tanto : ( )i ii

i2

3

5

3 = (32 - 3.3) + (42 - 3.4) + (52 - 3.5) = 0 + 4 + 10 = 14 .

Propiedades de la sumatoria 1°) La sumatoria de una sucesión constante es igual al número de términos de la sumatoria multiplicada por la constante.

Si “C” es una constante : Ci

i n

1

= n C .

2°) La sumatoria de una constante multiplicada por una sucesión , es igual a la constante multiplicada por la sumatoria de la sucesión.

C x ii

i n

1

= C . x ii

i n

1

( Propiedad homogénea)

3°) La sumatoria de una suma de dos sucesiones , es igual a la suma de las dos

sumatorias: ( )x y x yii

n

i ii

i n

ii

i n

1

1

1 1

( Propiedad aditiva)

4°) De las tres propiedades anteriores se deducen algunas otras tales como:

4.a) ( )a x b a x nbii

i n

ii

i n

1 1

; siendo “a” y “b” constantes .

4.b) ( )a x b y a x b yii

n

i ii

i n

ii

i n

1

1

1 1

5°) Propiedad telescópica: ( )a akk

k n

k11

1

= an - a1.

Sumatorias notables : En algunas oportunidades , es posible conocer el valor de una sumatoria , sin necesidad de tener que sumar los diferentes términos indicados en ella . Muchas de estas sumatorias pueden ser demostradas por el “Principio de inducción matemática” , y su conocimiento es útil , pues permite simplificar ciertas expresiones. Algunas de estas sumatorias notables son las siguientes. 1°) Suma de los primeros “n” números naturales.

ii

i n

1

= 1 + 2 + 3 + ….. +n = n n( )1

2


18

2°) Suma de los cuadrados de los primeros “n” números naturales.

ii

i n2

1

= 12 + 22 + 32+ ….. +n2 = n n n( ) ( )1 2 1

6

3°) Suma de los cubos de los primeros “n” números naturales:

ii

i n3

1

= 13 + 23 + 33+ ….. +n3 = n n

2 21

4

( )

4°) Suma de las cuartas potencias de los primeros “n” números naturales :

ii

i n4

1

= 14 + 24 + 34+ ….. +n4 = n n n n n( ) ( ) ( )1 2 1 3 3 1

30

2

5°) Suma de los primeros “n” términos de una progresión geométrica:

a ri

i

i n1

1

= a + a. r + a.r2 + a.r3 + ……+ a . rn-1 = a a r

r

n

1 ; r 1

Sumatorias infinitas:*3 Cuando una sumatoria se extiende sobre todo el conjunto de los números naturales , se convierte en infinita y recibe el nombre de “serie” . Existen muchas “series” que tienden hacia un valor finito , y se denominan “convergentes” ; caso contrario se dice que la serie es “divergente” . Entre las muchas series convergentes que existen, hay algunas de especial interés en “Estadística” ,y que conviene conocer , tales como:

1°) La serie geométrica: a rn

n

1

1

= a + a. r + a.r2 + a.r3 + a . r4 + …….

Esta serie converge sólo cuando: -1< r < 1 , y su límite de convergencia es :a

r1

Por tanto: a rn

n

1

1

= a

r1 ; - 1 < r < 1

2°) El desarrollo en serie de la función exponencial : f(x) = ex .

ex =x

n

n

n !0

= 1 +x

1+

x x x2 3 4

2 3 4! ! !+…….

Esta serie permite calcular el valor exacto del número “e” , base de los logaritmos naturales o neperianos , el cual se obtiene para x=1 , y resulta :

e =1

0 nn ! = 1 +1 +

1

2

1

3

1

4! ! !+…… 2,71828

Dobles sumatorias: En “Estadística” es frecuente que un conjunto de datos tenga que ser dispuesto en una tabla con filas y columnas. En estos casos , se utiliza la notación xi,j para referirse al término que ocupa la posición fila “i” , columna “j” . La notación con doble sumatoria aparece cuando sobre los términos contenidos en una tabla de este tipo, hay que efectuar algún tipo de suma .

3 Una mayor información sobre este punto puede encontrarse en los textos de “Cálculo Diferencial e Integral”.


19

Así por ejemplo , una expresión del tipo : x i jj

j

i

i

,3

6

2

4

indica que deben ser sumados

todos los términos comprendidos entre la segunda y cuarta fila , y entre la tercera y sexta columna .

x i jj

j

i

i

,3

6

2

4

= x2,3 + x2,4 + x2,5+ x2,6 + x3,3+ x3,4 + x3,5+ x3,6 + x4,3+ x4,4 + x4,5+ x4,6

Una doble sumatoria se efectúa en orden inverso al que aparece escrita , es decir

que la segunda sumatoria es la primera en ser calculada , x i jj

j

i

i

,3

6

2

4

= ( ( ),x i jj

j

i

i

3

6

2

4

).

También es posible invertir los ordenes , sumando primeros los elementos de una misma fila , y luego los totales de cada fila, o sumando primero los elementos de una misma columna , y luego sumando los totales de cada columna.

x i jj

j

i

i

,3

6

2

4

= x i ji

i

j

j

,2

4

3

6

.

Cuando al efectuar la primera sumatoria, aparece algún término que no depende del índice respecto del cual se esta efectuando , ese término puede ser tratado como una constante, y aplicarle las propiedades de una sumatoria simple.

Ejemplo 2.16: Calcular la siguiente doble sumatoria ( )i kki

i2

1

5

1

10

Solución: La primera sumatoria que hay que calcular es ( )i kk

2

1

5

.

Por la propiedad aditiva de las sumatorias se tiene: ( )i kk

2

1

5

= ik

k2

1

5

+ kk

k

1

5

.

En la sumatoria ik

k2

1

5

, el índice “i” no depende de “k” , y por lo tanto puede ser

tratado como una constante. En consecuencia : ik

k2

1

5

= 5 i2 .

Por ser la suma de los cinco primeros números naturales : kk

k

1

5

= 5 6

2 = 15 .

Por tanto : ( )i kk

2

1

5

= 5 i2 + 15 , y la segunda sumatoria resulta entonces :

(5 )ii

i2

1

10

15 = 5 ii

i2

1

10

+ 10 . 15 = 5 ii

i2

1

10

+ 150 .

ii

i2

1

10

representa la suma de los cuadrados de los primeros diez números

naturales, y por tanto : ii

i2

1

10

=( ) ( ) ( )10 10 1 2 10 1

6 = 385 .

( )i kki

i2

1

5

1

10

= 5 . 385 + 150 = 2075


20

EJERCICIOS DIVERSOS RESUELTOS Ejemplo 2.17: Una cuadrilla de 15 pintores se compromete a pintar un edificio de 70.000 m2 en 14 días . Al cabo de 9 días sólo han pintado 30.000 m2 . ¿ Cuantos pintores adicionales habrá que contratar , para terminar el trabajo en el plazo previsto ? . Solución: Sea Y= Número de m2 pintados , X= Número de pintores utilizados, y T = Número de días empleados . .

“Y” es directamente proporcional a “X” y a “T” Y = k . X . T

Cuando X=15 y T = 9, Y= 30.000 k = Y

X T

30 000

15 9

. =

2 000

9

.

Aún restan por pintar: Y= 70.000 - 30.000 = 40.000 m2 , en T=14 - 9 = 5 días .

El número de pintores necesarios es : X = Y

k T

40 000

2 000

95

.

. = 36

Por lo tanto, será necesario contratar 36 - 15 = 21 pintores adicionales . Ejemplo 2.18: Sobre el precio de venta de un producto, un 20% es debido al costo de una componente A, otro 45% al costo de otra componente B, otro 10% al costo de una tercera componente C, mientras que el 25% restante es de utilidad. Si se produce una variación en los precios de las componentes, de la siguiente manera: "A" sube de precio en un 30% , "B" baja de precio en un 10% ,mientras que "C" mantiene su precio. ¿En qué porcentaje debe modificarse el precio del producto, si se quiere seguir manteniendo el mismo 25% de utilidad, sobre el precio de venta ?. Solución: Tomemos como base un precio inicial de $ 100 para nuestro producto. De acuerdo a la estructura de costos, tenemos que $ 20 se deben a la componente "A", $ 45 al "B" , $ 10 al "C" , y $ 25 son de utilidad. Al producirse la modificación de precios en los componentes, tenemos que los $20 de la componente "A" pasarán a costar: 20 + el 30% de 20,es decir $ 26. En lo que respecta a la componente "B", su contribución al precio del producto será de $ 45 - el 10% de 45,o sea, 45,00 - 4,50 = $ 40,50. El producto "C" al no modificar su precio, seguirá contribuyendo en $10. Por tanto, las nuevas contribuciones para cada componente serán: Para "A" ................ $ 26,00 Para "B" ................ $ 40,50 Para "C" ................ $ 10,00 Total Costo ........ $ 76,50 Nuestra incógnita es el nuevo precio del producto, que permite mantener el mismo margen de utilidad del 25% sobre el precio. Para encontrarlo, escribamos la siguiente ecuación: Sea "X" el nuevo precio de venta del producto. 0,25 X será el nuevo beneficio, puesto que se quiere mantener el mismo margen de utilidad del 25% sobre el precio de venta.


21

Al ser $ 76,50 el nuevo costo de las componentes, se tiene: 0,25 X + 76,50 = X

0,75 X = 76,50 X = 102 El porcentaje de variación es de incremento, por ser el precio inicial P0= 100

menor que el final P1= 102 , y la variación porcentual: 102 100

100100% = 2 %

Ejemplo 2.19 : Un comerciante compra artículos con un descuento del 25 % sobre el precio de lista, y los vende a un 25 % por encima el precio de lista. ¿ Cual es su porcentaje de utilidad, calculado sobre: a) la inversión? . b) el precio de venta ? . Solución: Tomemos como referencia un artículo cuyo precio de lista sea de $100. ( También puede hacerse un razonamiento general, tomando un artículo de un precio cualquiera "P" ) . Según la estrategia del comerciante, este producto sería comprado por el comerciante a un precio de $ 75, y vendido a $ 125 ,ya que obtiene $ 25 de descuento sobre el precio de lista, y lo vende a $ 25 por encima del precio de lista. a) Para calcular el porcentaje de utilidad sobre la inversión, debemos considerar que el comerciante invirtió $ 75 , para obtener una utilidad de $125 - $ 75 = $ 50 . En este caso se trata de un porcentaje de variación , donde P0= 75 , P1= 125 , y el

el porcentaje de utilidad sobre la inversión es de 50

75100% = 66.67 % .

b) Para calcular el porcentaje de utilidad sobre el precio de venta, debemos considerar que el comerciante lo vendió a $ 125 , y realizó una utilidad de $50. En esta segunda situación se trata de un porcentaje de composición , por ser la utilidad un subconjunto del precio de venta , y el porcentaje de utilidad sobre el

precio de venta es de 50

125100% = 40.00 % .

Ejemplo 2.20 : En una encuesta electoral, un estadístico estimó que un cierto candidato "A" obtendría 206.000 votos, y que otro candidato "B" obtendría 308.000 votos . Posteriormente, cuando se realizó la elección, el candidato "A" obtuvo en realidad 215.000 votos, mientras que el candidato "B" 298.000 . ¿Cual de las dos estimaciones fue mas precisa ? . Solución: En este caso, se trata de un porcentaje de error , pues lo que se quiere comparar es la precisión de las dos estimaciones. El error relativo cometido en cada una de las dos estimaciones es:

Para el candidato “A” = 206 000 215000

215000100%

. .

. = 4.19 %

Para el candidato “B” = 308 000 298 000

298 000100%

. .

. = 3.36%

Se concluye entonces que, fue más precisa la estimación hecha sobre el candidato “B” , por presentar un menor error relativo


22

Ejemplo 2.21 : Del personal de una Industria ,el 70 % son empleados y el 30 % restante son obreros. De los empleados, el 65 % son mujeres y 35 % hombres , mientras que de los obreros, el 20 % son mujeres y 80 % hombres. ¿Cual es el porcentaje de mujeres y cual el de hombres, en esa Industria ? . Solución: Consideremos que el personal de esta Industria está constituido por "N" personas. El 70% de esas "N" personas son empleados, y el 30% obreros; y al ser estos porcentajes de composición, se tiene que número total de empleados es "0,70 N" y el de obreros "0,30 N" . El 65 % de esos "0,70 N " empleados son mujeres, por tanto el número total de mujeres empleadas es 0,65 ( 0,70 N) = 0,4550 N, y el 35 % de esos "0,70 N" empleados son hombres, por tanto, el número total de hombres empleados es 0,35 (0,70N) = 0,2450 N. El 20 % de los "0,30 N" obreros son mujeres, de donde se deduce que el número total de mujeres obreras es: 0,20 (0,30 N) = 0,06 N ; y como el 80% de esos "0,30N" obreros son hombres, el número total de hombres obreros es: 0,80 (0,30N) = 0,24 N. El total de mujeres es entonces: 0,4550 N + 0,06 N = 0,5150 N ; y el número total de hombres: 0,2450 N + 0,24 N = 0,4850 N . Como los porcentajes pedidos, tanto el de mujeres como el de hombres, tienen como base el total del personal “N” de esta Industria, son ambos de composición; y para calcularlos hace falta dividir entre “N” , y multiplicar por el 100% , obteniendo como respuesta que el porcentaje de mujeres dentro de la Industria es de 51,50% , y el de hombres de 48,50 % . Ejemplo 2.22: En un grupo de 20 estudiantes, se encuentran 5 de Ingeniería y 15 de otras carreras. ¿Cuantos estudiantes de Ingeniería habría que añadir al grupo, para que el 40 % sea de Ingeniería ? . Solución: Sea "X", el número de estudiantes de Ingeniería que hay que añadir. El número total de estudiantes de Ingeniería va a ser "5+X",y el número total de estudiantes en el grupo va a ser "20+X" . El porcentaje de estudiantes de Ingeniería dentro del grupo , es un porcentaje de composición , y se quiere que alcance el 40% .

5

20100%

X

X = 40%

5

20

X

X = 0,40 5 + X = 0,40 ( 20 + X) = 8 + 0,40 X .

Resolviendo la ecuación : 0,60 X = 3 X = 3

0 60,= 5

Hay que incorporar 5 nuevos estudiantes de Ingeniería , para alcanzar un 40% de estudiantes de esta carrera dentro del grupo. Ejercicio 2.23 : En una investigación, se clasificó a un grupo de personas adultas por edad, y por estado civil. Los resultados se dan en la siguiente tabla : POBLACION ADULTA Estado Civil Joven Maduros Ancianos

Soltero 26 8 1 Casado 32 28 13

Divorciado 16 32 6 Viudo 0 6 12


23

Calcular en base al resultado de esa muestra: a)El porcentaje de solteros dentro de la población adulta .

b) El porcentaje de divorciados dentro de la población joven . c)El porcentaje de ancianos dentro de la población de personas divorciadas .

Solución: Hay que comenzar totalizando las filas y las columnas. Estado Civil Joven Madura Anciana Total

Soltero 26 8 1 35 Casado 32 28 13 73

Divorciado 16 32 6 54 Viudo 0 6 12 18 Total 74 74 32 180

Todos los porcentajes que se piden son de composición , pero referidos a diferentes bases.

a) De un total de 180 adultos encuestados,35 de ellos resultaron ser solteros. El porcentaje de solteros dentro de la población adulta, en base a esa muestra es

de: 35

180100% = 19,44%.

b)Con relación al porcentaje de divorciados dentro de la población joven, se tiene que de un total de 74 jóvenes encontrados en la muestra, 16 de ellos estaban divorciados.

El porcentaje es entonces 16

74100% = 21.62 % .

c) Análogamente, con relación al porcentaje de ancianos dentro del grupo de personas divorciadas, encontramos en la muestra que de un total de 54 personas divorciados, 6 de ellas fueron ancianos, de donde se deduce que el porcentaje

pedido es 6

54100% = 11,11% .

Ejercicio 2.24: En un estudio, se analizó el número de unidades vendidas de un cierto producto durante los últimos tres años, clasificándolas por trimestres. Los resultados obtenidos fueron:

Año 1 2 3

1° Trimestre 1.200 1.600 1.700 2° Trimestre 1.500 1.700 2.000 3° Trimestre 2.100 2.200 2.400 4° Trimestre 3.000 3.600 4.100

a) ¿Qué porcentaje de las ventas totales corresponde a cada uno de los trimestres? . b) ¿En qué porcentaje aumentaron los ventas en el año 2 en comparación con el año 1; y en el año 3 en comparación con el 2 ?.

Solución: Para poder calcular los porcentajes pedidos, debemos comenzar hallando los totales de filas y columnas:

Año 1 2 3 Total

1° Trimestre 1.200 1.600 1.700 4.500 2° Trimestre 1.500 1.700 2.000 5.200 3° Trimestre 2.100 2.200 2.400 6.700 4° Trimestre 3.000 3.600 4.100 10.700

Total 7.800 9.100 10.200 27.100

a) Para calcular el porcentaje de las ventas correspondiente a cada trimestre, debemos compararlo con el total de los tres años, obteniendo:

Para el Primer Trimestre: 4 500

27100100%

.

.= 16,61%

Para el Segundo Trimestre: 5200

27100100%

.

.= 19,19%

Para el Tercer Trimestre: 6 700

27100100%

.

.= 24,72%

Para el Cuarto Trimestre: 10 700

27100100%

.

.= 39,48%

b) El porcentaje de incremento de las ventas en el año 2 con relación al 1,asi como el de año 3 con relación al 2,son porcentajes de variación, Para el caso del porcentaje de incremento en el año 2 con relación al 1,tenemos que el valor inicial de la variable es P0= 7.800 , en tanto que P1 = 9.100.

El incremento buscado es : 9100 7 800

7 800100%

. .

.= 16,67 % .

Análogamente, en lo que se refiere al porcentaje de incremento del año 3 con relación al 2, P0 =9.100 y P1= 10.200 ; y la variación porcentual es:

10 200 9100

9100100%

. .

. = 12,09% .

Ejercicio 2.25 : En las tablas de logaritmos naturales , se encuentra que ln 0,50 = -0.6931 , y se sabe que ln 1 = 0 . Con esta información , obtenga por interpolación lineal, un valor aproximado para ln 0.83 . Solución : La función logaritmo natural es creciente , y según lo explicado en la sección 2.4 , se tiene :

Aquí: x1= 0.50 ; x2= 0 ; x0= 0.83 ; F(0.50) = ln 0.50 = - 0.6931 ; F(1) = ln 1 = 0 .

F(0.83) = ln 0.83 -0.6931 + 083 050

1 0500 0 6931

. .

.( ( . ))= -0.6931+0.4574= -

0.2357

Estadística Básica Francisco Arvelo L.

59

Ejercicio 2.26: Una persona se propone ahorrar $ 50 el primer mes , y luego $10 más cada mes, durante 30 meses . ¿ Cuanto habrá ahorrado al final de estos 30 meses ? . Solución : El total ahorrado es : T = 50 + 60 + 70 + …..+ (30 - 1) . 10 Esta suma se puede escribir con la notación de sumatoria , de la siguiente

manera: T = 50 1 101

30

( )ii

i

.

Aplicando propiedades de la sumatoria se tiene :

T = (50 )10 101

30

ii

i

= ( )40 101

30

ii

i

= 30 40 101

30

ii

i

= 1.200 + 10 . 30 31

2

= 1.200 + 4.650 = $ 5.850 Ejercicio 2.27 : En la siguiente tabla de 5 filas y 9 columnas, donde xi,j representa el dato que ocupa la posición fila “i” , columna “j” : Calcule las siguientes dobles sumatorias:

a) x i jj

j

i

i

,4

7

3

5

, b) x i jj

j i

i

i

,11

5

, c) ( ) ,i j x i jj

j i

i

i2

2

1

1

3

, d) i j x ji ji

i j

j

j

( ),11

3

Columna 1 Columna 2 Columna 3 Columna 4 Columna 5 Columna 6 Columna 7 Columna 8 Columna 9

Fila 1 3.1 5.8 6.9 2.9 0.6 3.7 4.2 6.8 1.7 Fila 2 4.6 2.8 5.1 6.3 7.3 2.9 1.6 2.4 0.5 Fila 3 3.6 2.8 9.1 2.6 1.5 0.5 3.7 2.3 1.8 Fila 4 1.7 6.0 2.6 3.8 9.1 6.3 1.0 6.3 7.1 Fila 5 2,4 2.8 5.1 4.0 8.3 9.0 1.6 3.4 6.3

Solución: a) x i jj

j

i

i

,4

7

3

5

representa la suma de todos los datos comprendidos entre

la tercera fila cuarta columna , y la quinta fila séptima columna.

x i jj

j

i

i

,4

7

3

5

= 2.6 + 1.5 + 0.5 + 3.7 + 3.8 +9.1 +6.3 +1.0 + 4.0 +8.3 + 9.0 + 1.6 =

51.4

b) En x i jj

j i

i

i

,11

5

*4 , los límites del índice “j” dependen del índice “i” pues varia

desde j=1 hasta j =i, por tanto cuando i=1 , “j” sólo puede tomar el valor j=1 , mientras que cuando i=2 , j=1 ó 2 , cuando i=3 , J= 1 , 2 ó 3 , y así sucesivamente.

x i jj

j i

i

i

,11

5

= x1,1 + x2,1 + x2,2 + x3,1 + x3,2 + x3,3 +….+ x5,5

4 Algunos textos utilizan como notación equivalente x i j

j ii

i

,1

5


60

x i jj

j i

i

i

,11

5

= 3.1 + 4.6 + 2.8 +3.6 +2.8 + 9.1 +1.7 + 6.0 + 2.6 + 3.8 + 2.4 + 2.8 + 5.1 + 4.0 + 8.3 = 62.70

c) ( ) ,i j x i jj

j i

i

i2

2

1

1

3

= (1+2). x1 2

2

, + (2+2)

. x2 2

2

,+ (2+3)

. x2 3

2

,+ (3+2)

. x3 2

2

,+ (3+3)

. x3 3

2

,+(3+4)

. x3 4

2

,

= 3 . (5.8)2 + 4 . (2.8)2

+ 5 . (5.1)2 + 5 . (2.8)2

+ 6 . (9.1)2 + 7 . (2.6)2

= 845.71

d) i j x ji ji

i j

j

j

( ),11

3

= j i x i ji ji

i j

j

j

( ),11

3

= j i x j ii ji

i j

j

j

i

i j

j

j

,11

3

2

11

3

=

j i x jj j

i ji

i j

j

j

j

j

,

( )

11

3

2

1

3 1

2= j i x i j

i

i j

j

j

,11

3

+1

2

1

2

4

1

3

3

1

3

j jj

j

j

j

=

j i x i ji

i j

j

j

,11

3

+ 3 3 1 2 3 1 3 3 3 3 1

2 30

2( ) ( ) ( )

+ 3 3 1

2 4

2 2( )

=

j i x i ji

i j

j

j

,11

3

+ 49 +18 = j i x i ji

i j

j

j

,11

3

+ 67

Falta evaluar j i x i ji

i j

j

j

,11

3

=1. 1 x1,1 + 2

. 1 x1,2 + 3

. 1 x1,3 +2

. 2 x2,,2 + 3

. 2 x2,3+ 3

. 3 x3,3 =

(3.1) + 2. (5.8) +3

. (6.9) + 4

. (2.8) + 6

. (5.1) + 9

. (9.1) = 159.10

En conclusión : i j x ji ji

i j

j

j

( ),11

3

= 159.10 + 67 = 226.10

PROBLEMAS PROPUESTOS I- Nivel Elemental 2.28 Por la venta de un libro que se vende a $ 50 ,el autor cobra el 30% de comisión. ¿Cuanto recibe el autor por cada libro ? . Respuesta: $ 15 2.29 Una mercancía cuesta $ 15 como valor de adquisición. ¿ A que precio debe venderlo el comerciante para ganar el 20% sobre la inversión ?. Respuesta: $ 18 2.30 Un agente cobra el 15% de comisión por cada operación que realice. Si en una determinada operación, el agente recibió $ 690 de comisión. ¿Cual fue el monto de la operación ? . Respuesta: $ 4.600 2.31 Si una persona logra que un artículo cuyo precio era de $ 4.500,se lo rebajen a $ 3.600 . ¿Cual fue el porcentaje de descuento que le hicieron ? . Respuesta: 20%


61

2.32 La altura de un rectángulo se incrementa en un 30 % , y el ancho disminuye en 35 % . ¿En qué porcentaje varía su área?. Solución : Disminuye en 14,50 % . 2.33 Si una mercancía costó $ 238 de adquisición . ¿ A que precio debe venderla un comerciante para ganar el 15% sobre el precio de venta ? . Respuesta: $ 280 2.34 Una persona vende dos carros en $ 7.200 cada uno. En uno pierde el 25% del precio de venta, y en el otro gana el 25% del costo. ¿ Cuanto ganó o perdió en la operación ? . Respuesta: Perdió $360 2.35 En una encuesta electoral, se encuestó a un grupo de personas, y se clasificaron los resultados según la zona de residencia del encuestado y según su preferencia por los candidatos presidenciales. Los resultados de la encuesta se muestran a continuación : Zona de residencia Candidato Urbana Rural A 10 20 B 20 10 C 30 10 a)¿Qué porcentaje de la población urbana prefiere al Candidato "A"? b)¿Cual es el porcentaje de los votantes del Candidato "B", que residen en zona rural ? . c)¿Cual es el porcentaje de votantes en la muestra, a favor del Candidato "C" ?. d) ¿Cual es el porcentaje de electores que residen en zona urbana?. Respuestas: a) 16.67% b) 33.33% c) 40% d) 60% 2.36 En una oferta se anuncia que los artículos han sido rebajados en un 30%. Si el precio de un artículo en esa oferta es de $ 63. ¿Cual era el precio del artículo antes de la oferta ? . Respuesta: $ 90 2.37 Un artículo después de haber sido aumentado en un 20%, cuesta $ 138 ¿Cuanto costaba inicialmente ? . Respuesta : $ 115 2.38 Una rifa reparte $ 1.000.000 en dos premios. Al primer premio le corresponde un 60%,y al segundo premio el 40% restante. Si el billete cuesta $500, y lo compran entre tres personas, de las cuales, la primera aporta $ 300,la segunda $150, y la tercera $50. ¿Como deberían repartirse entre ellas cada uno de los premios, en caso de que el billete resultara premiado ?. Respuesta: Si se sacan el primer premio $360.000 , $180.000 y $ 60.000 ; y si se sacan el segundo premio $ 240.000 , $ 120.000 y $ 40.000


62

2.39 Ocho hombres han cavado en 20 días una zanja de 50 m. de largo , 4 m. de ancho y 2 m. de profundidad . ¿ En cuanto tiempo hubieran cavado la zanja, seis hombres menos ? . Respuesta : 80 días 2.40 En las tablas trigonométricas se encuentra que tg 45° = 1, y tg 60° = 1,7321. Obtenga por interpolación lineal, un valor aproximado para tg 50° .

Respuesta: tg 50° 1.2440 2. 41 En un lingote de 2 Kgs. de peso hecho con una aleación de plata y cobre , la razón entre el contenido de cobre y el de plata es 7 . Hallar el contenido de plata en el lingote . Respuesta : 250 gramos . II. Nivel Intermedio 2.42 En una primera caja, el porcentaje de piezas defectuosas es del 1%, mientras que en una segunda caja, es del 10% . Si el número total de piezas en la segunda caja representa el 150% del número total de piezas en la primera. ¿Cual sería el porcentaje de piezas defectuosas, si se unieran los contenidos de las dos cajas ?. Respuesta: 6.40 % 2.43 En una cesta que contiene 130 frutas en total, hay 25 de ellas, que aún están verdes. ¿Cuantas frutas verdes hay que sacar, para que el porcentaje de frutas verdes en la cesta sea del 12,50% ?. Respuesta: 10 2.44 En un curso de Estadística, el 30% de los alumnos presentaron un examen tipo "A" mientras que, el 70% restante otro examen tipo "B". En el examen tipo "A", los alumnos reprobados están a los aprobados en proporción de 1:3; mientras que en el examen tipo "B" están en proporción de 2:5 . ¿ Cual es el porcentaje de alumnos reprobados en el curso ? . Respuesta: 27.50 % 2.45 Suponga que en un colegio, los estudiantes de primaria están con los de secundaria en proporción de 1:2 . Si en primaria, la proporción de niños a niñas es de 3:2, y en secundaria la proporción de muchachos a muchachas es de 4:5 . ¿Cual es el porcentaje de varones en el liceo ? Respuesta: 49.63% 2.46 ¿En que porcentaje debe ser incrementado el precio de una mercancía, para que después de una rebaja del 20% sobre su nuevo precio, resulte con un aumento del 10% sobre su precio inicial ?. Respuesta: 37,50 % 2.47 Un producto, después de sufrir dos aumentos, el primero del 20%,y el segundo del 25%, cuesta $ 195 . ¿Cual era su valor inicial ?. Respuesta: $ 130


63

2.48 Un comerciante adquiere una mercancía con un 20% de descuento sobre el precio de lista. ¿Con qué porcentaje de recargo sobre el precio de lista, tendría que vender la mercancía, si él aspira ganar un 40% sobre el precio de venta ? . Respuesta : 33.33 % . 2.49 Una primera máquina fabrica el 10% de piezas defectuosas, mientras que una segunda máquina fabrica el 5% de piezas defectuosas. ¿En que proporción hay que tomar piezas de cada máquina, para que el porcentaje resultante de piezas defectuosas sea de 7% ? . Respuesta: En proporción 2 : 3 . 2.50 Tres personas A,B y C se han repartido una cierta cantidad de dinero, de modo que las partes que reciben son proporcionales a los números 4,5 y 6 respectivamente. Si la parte de "A" es de $20 . ¿Cuales son las partes de "B" y "C" ?. Respuesta : $ 25 y $ 30 2.51 La razón entre dos números es de 2,5. Hallar los números sabiendo que su suma es 49. Respuesta: 35 y 14 . 2.52 Dos hombres alquilan un garaje por $ 3.200 en total. El primero ha guardado en él,4 automóviles durante 6 meses; y el segundo 5 automóviles durante 8 meses. ¿Cuanto debe pagar cada uno?. Respuesta : $ 1.200 y $ 2.000 2.53 Tres cuadrillas de obreros han realizado un trabajo por el que se ha pagado $ 51.600 . La primera cuadrilla constaba de 10 hombres y trabajó durante 12 días, la segunda cuadrilla era de 6 hombres y trabajó 8 días, mientras que la tercera era de 5 hombres y trabajó 18 días. ¿Como debe repartirse el dinero entre las cuadrillas? Respuesta : $ 24.000 , $ 9.600 y $ 18.000 respectivamente . 2.54 En la actualidad, el producto A cuesta 30% más que el producto B . Si el precio del producto A sufre un incremento del 15% . ¿ En qué porcentaje debe aumentar el precio del producto B , para que ahora el precio del producto A sea sólo 20% más que el del producto B ? . Respuesta : 24.58 % 2.55 Un comerciante desea subir sus precios en un 10%, pero para hacer atractiva la venta, desea incrementarlos primero en un cierto porcentaje, y luego ofrecer un descuento del 25%. ¿En qué porcentaje es necesario subir primero los precios? Respuesta : 46.67 % 2.56 El agua de mar contiene 5% en peso de sal . ¿ Cuantos kilos de agua pura deben ser añadidos a 40 kilos de agua de mar , para que sólo tenga un 2% de sal? . Respuesta : 60 Kilos


64

2.57 En las tablas para la función f(x)= e-x , se encuentra que para x= 2 , f(2)=0.1353 , y para x=3 , f(3) = 0.0498 . Obtenga por interpolación lineal , un valor aproximado para e-2.7 . Respuesta : 0.0755 2.58 Un obrero emplea 9 días de 6 horas en hacer 270 m. de una obra . ¿Cuantas horas deberá trabajar ese obrero para hacer otra obra de 300 m., si la dificultad de la primera obra y la segunda obra están en relación de 3 a 4 ? . Respuesta : 80 horas .

2.59 Calcule las siguientes sumatorias : a) ( )ii

i

32

3

7

, b) j jj

( )11

500

c) ( )n nn

n2

1

10

3 1 . Respuestas: a) 30 b) 41.917.000 c) 230

2.60 La población de una ciudad en un cierto año era de 590.490 habitantes ,y cinco años después de 1.000.000 de habitantes. Suponiendo que la población crece en progresión geométrica, ¿ cual es la razón de crecimiento por año ?.

Respuesta : 10

9

2.61 El grifo izquierdo tarda 30 minutos en llenar un tanque, y el derecho 150 minutos . ¿ Cuanto tiempo tardarían los dos juntos ? . Respuesta : 25 minutos 2.62 Durante un mes de 30 días , una persona va a recibir $ 1 el primer día , $2 el segundo , $ 4 el tercero , $ 8 el cuarto , y así sucesivamente, cada el día el doble del anterior . ¿ Cuanto habrá recibido en total al final del mes ? . Respuesta: $ 1.073.741.823 2.63 Según las estadísticas de la O.N.U , la población de la República Popular China , representa el 22% de la población mundial .

Según las estadísticas de ese país, 1

5 de su población es analfabeta, y por otra

parte, según las estadísticas de la UNESCO, de cada cuatro analfabetos que hay en el mundo, uno es chino . En base a estas cifras , ¿ cual es el porcentaje mundial de analfabetos ? . Respuesta: 17.6 % . III. Nivel Avanzado 2.64 Dos tractores distintos, trabajando juntos , aran una finca en 8 días. Si hubiera empezado un tractor arando la mitad de la finca , y hubieran continuado los dos juntos arando la mitad restante , se hubiera hecho el trabajo completo en 10 días. ¿ Cuantos días tardaría cada tractor en arar la finca entera individualmente ? . Respuesta : 12 y 24 días .


65

2.65 Calcule la suma de los cuadrados de los primeros “n” números impares ,

es decir : 12 + 32 + 52 + …..+ (2n-1)2 . Respuesta : n n n( ) ( )2 1 2 1

3

2.66 Si cuatro números cumplen la proporción: a

b

c

d , demuestre que entonces

se verifica la proporción: 2 3

4 5

2 3

4 5

a b

a b

c d

c d.

2.67 Calcule la siguientes sumatorias : a) n nn

n

( )2 32

100

200

b) i

i(i 1)i 1

i n

Respuestas: a) 1.508.611.750 b) n

n 1

2.68 Una pelota cae desde una altura de 10 m., y cada vez que rebota alcanza una altura mitad de la anterior. Calcule la distancia total recorrida por la pelota. Respuesta : 30 m.

2.69 Calcule la doble sumatoria: i jj

j i

i

i n

11

Respuesta:n n n n( ) ( )1 3 7 2

24

2

2.70 Con referencia a la tabla del Ejercicio 2.27 , calcule las siguientes dobles

sumatorias : a) x i jj i

j

i

i

,

9

1

5

b) x xi ij i

j i

i

i

i j, ,

4

1

5

c) ( ) ,i j x i ji j

i

j

j

4

5

5

8

Respuestas: a) 148.30 b) 624.57 . c) 608.30

Documents

Calculo de Porcentajes y Sumatorias Arvelo