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CÁLCULO DE PRIMITIVAS
David Ariza-Ruiz
Departamento de Análisis Matemático
Seminario I
7 de noviembre de 2012
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 1 / 42
Definición y propiedades
Primitiva. Integral indefinida I
Definición 1.Sea f : S⊆ R→ R, con S abierto. Una primitiva de f es una funciónF : S⊆ R→ R tal que
F′(x) = f (x) para todo x ∈ S.
Propisición 2.Si S es un intervalo abierto y F es una primitiva de f , entonces todas lasprimitivas de f son de la forma F(x)+C, con C ∈ R.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 2 / 42
Definición y propiedades
Primitiva. Integral indefinida II
Definición 3.Se llama integral indefinida de f al conjunto de todas sus primitivas, y sedenota por ∫
f (x)dx.
Observación 4.Usando la proposición anterior, tenemos que∫
f (x)dx = F(x)+C con C ∈ R y siendo F′(x) = f (x).
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 3 / 42
Definición y propiedades
Primitiva. Integral indefinida III
Observación 5.De la definición de integral indefinida se deduce(∫
f (x)dx)′
= f (x),
es decir, la derivada de una primitiva cualquiera de la función integrando f esigual a la propia función f .
Ejemplo 6.
Demostrar que la función F(x) = 5− cotx es la primitiva de la funciónf (x) = 1
sen2 x en el intervalo (0,π).
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 4 / 42
Definición y propiedades
Propiedades
Integral del producto de un número por una función.∫α f (x)dx = α
∫f (x)dx para todo α ∈ R.
Integral de la suma o diferencia.∫ (f (x)±g(x)
)dx =
∫f (x)dx±
∫g(x)dx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 5 / 42
Integrales inmediatas
Integrales inmediatas
∫xn dx =
xn+1
n+1+C con n 6=−1.
∫ 1x
dx = log |x|+C.
∫ex dx = ex +C.
∫sen(x)dx =−cos(x)+C.
∫cos(x)dx = sen(x)+C.
∫ 1√a2− x2
dx = arcsen( x
a
)+C.
∫ 1a2 + x2 dx =
1a
arctan( x
a
)+C.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 6 / 42
Integrales inmediatas
Integrales inmediatas (Ejemplos)
1
∫ (5x4−3x3 +
√2x−π
)dx = x5− 3
4x4 +
1√2
x2−πx+C, con C ∈ R.
2
∫ ( 3x2 −4senx
)dx =−3
x+4cosx+C, con C ∈ R.
3
∫ √xdx =
23
√x3 +C, con C ∈ R.
4
∫ 52x2 +7
dx =5√
22√
7arctan
(√2x√7
)+C, con C ∈ R.
5 Hallar F(x) sabiendo que F′(x) = 6x+3 y F(−2) = 4.
Solución: F(x) = 3x2 +3x−2.
6 Hallar F(x) sabiendo que F′(x) = 9x2 +4x−10 y F(−1) = 10.
Solución: F(x) = 3x3 +2x2−10x+1.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 7 / 42
Métodos de integración
Métodos de integración
1 Cambio de variable.
2 Integración por partes.
3 Integración de funciones racionales.
1 Tipo p(x)q(x) , siendo p(x) y q(x) polinomios.
2 Tipo R(senx,cosx).
3 Tipo R[
x,(
ax+bcx+d
)mn,(
ax+bcx+d
) pq]
, con m,n,p,q ∈ Z, n,q 6= 0.
4 Tipo R(
x,√±a2±b2x2
).
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 8 / 42
Métodos de integración Cambio de variable
Cambio de variable
Este proceso se hace en tres pasos:
Paso 1. Hacemos un cambio de variable. Para ello, sustituimos lavariable x por t, teniendo en cuenta dx y dt.
Paso 2. Integración de la nueva función en t. Si la integral de la nuevafunción en t es más sencilla que la dada, se procede a sucálculo. en caso contrario hay que elegir otro cambio devariable u otro método de integración.
Paso 3. Deshacemos el cambio de variable, sustituyendo la variable tpor x en la primitiva hallada en el paso 2.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 9 / 42
Métodos de integración Cambio de variable
Cambio de variable (Ejemplos)
1
∫(2x+1)5 dx
2
∫x√
1+ x2 dx
3
∫tan(x)dx
4
∫ log3(x)x
dx
5
∫ 1x log4(x)
dx
6
∫ √7+2tan(x)cos2(x)
dx
7
∫ cos(6x)sen(6x)+4
dx
8
∫ cos√
x√x
dx
9
∫ cosx1+ sen2 x
dx
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 10 / 42
Métodos de integración Integración por partes
Integración por partes
∫u(x) · v′(x)dx = u(x) · v(x)−
∫v(x) ·u′(x)dx.
Formalmente, ∫u dv = uv−
∫v du.
un día vi una vaca sin rabo vestida de uniforme.
La elección de u se hace usando la regla ALPES.
A tipo Arcotan, Arcsen, Arccos,. . .
L funciones Logarítmicas.
P tipo Polinomios.
E tipo Exponencial.
S tipo Seno, coseno, tangente (trigonométricas).
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 11 / 42
Métodos de integración Integración por partes
Integración por partes (Ejemplos) I
1
∫xex dx
2
∫x cos(x)dx
3
∫x2 log(x)dx
4
∫log(x)dx
5
∫arctan(x)dx
6
∫x2 sen(x)dx
7
∫ex cos(x)dx
8
∫e−x cos(x)dx
9
∫x arctan(x)dx
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 12 / 42
Métodos de integración Integración por partes
Integración por partes (Ejemplos) II
A veces no está claro que una integral se resuelva integrando por partes.
∫ √a2− x2 dx=
{u =
√a2− x2 → du = −x√
a2−x2dx
dv = dx→ v = x
}= x√
a2− x2−∫ −x2√
a2− x2dx
= x√
a2− x2−∫ [ −a2√
a2− x2+
a2− x2√
a2− x2
]dx
= x√
a2− x2 +a2∫ 1√
a2− x2dx−
∫ √x2 +a2 dx
= x√
a2− x2 +a2 arcsen( x
a
)−∫ √
x2 +a2 dx
Luego,∫ √a2− x2 dx =
x2
√a2− x2 +
a2
2arcsen
( xa
)+C, con C ∈ R.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 13 / 42
Métodos de integración Funciones racionales I
Tipo p(x)q(x) , con p(x),q(x) polinomios I
Ejemplo 7.∫ 1ex−1
dx ={
t = ex−1⇐⇒ ex = t+1
dt = exdx⇐⇒ dx = 1t+1 dt
}=∫ 1
t(t+1)dt =?
MÉTODO: Descomponer p(x)q(x) en fracciones simples.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 14 / 42
Métodos de integración Funciones racionales I
Tipo p(x)q(x) , con p(x),q(x) polinomios II
Si el grado de p(x) es mayor que el de q(x), efectuamos la división de polinomios.
x2 + x2 x5 - x3 + 4 x + 1
2 x5 + 2 x4-
-2 x4 - x3 + 4 x + 1
2 x3 - 2 x2 + x - 1
-2 x4 - 2 x3-
x3 + 4 x + 1
x3 + x2-
-x2 + 4 x + 1
-x2 - x-
5 x + 1
dHxL
cHxL
DHxL
rHxLEn este caso, si c(x) es el cociente, y r(x) el resto, entonces∫ p(x)
q(x)dx =
∫c(x)dx+
∫ r(x)q(x)
dx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 15 / 42
Métodos de integración Funciones racionales I
Tipo p(x)q(x) , con p(x),q(x) polinomios III
Sea pues el grado de p(x) estrictamente menor que el de q(x). En este caso,podemos descomponer p(x)
q(x) en fracciones simples.
Llamamos fracciones simples a aquellas que son de la forma
A(x−α)n ó
Mx+N(ax2 +bx+ c)m ,
donde A,α,M,N,a,b,c ∈ R y n,m ∈ N con n,m≥ 1 y b2−4ac < 0.
¿Cómo descomponer p(x)q(x) en fracciones simples? Hay que fijarse en las raíces
de q(x).
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 16 / 42
Métodos de integración Funciones racionales I
Tipo p(x)q(x) , con p(x),q(x) polinomios IV
Distinguimos 4 casos:
Caso 1. q(x) sólo tiene raíces reales simples.
Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples (repetidas).
Caso 3. q(x) tiene raíces complejas (no reales) simples.
Caso 4. q(x) tiene raíces complejas (no reales) múltiples (repetidas).[ESTE CASO NO LO ESTUDIAREMOS]
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 17 / 42
Métodos de integración Funciones racionales I
Caso 1. q(x) sólo tiene raíces reales simples
Si q(x) = (x−α1)(x−α2) · · ·(x−αn), tenemos que
p(x)q(x)
=A1
x−α1+
A2
x−α2+ · · ·+ An
x−αn,
donde A1,A2, . . . ,An son constantes a determinar. En tal caso, obtenemos que∫ p(x)q(x)
=∫ [ A1
x−α1+
A2
x−α2+ · · ·+ An
x−αn
]dx
= A1
∫ 1x−α1
dx+A2
∫ 1x−α2
dx+ · · ·+An
∫ 1x−αn
dx
= A1 log |x−α1|+A2 log |x−α2|+ · · ·+An log |x−αn|+C,
con C ∈ R.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 18 / 42
Métodos de integración Funciones racionales I
Caso 1. q(x) sólo tiene raíces reales simples (Ejemplo)
Ejemplo 8.
Calcular I =∫ 3x3−15x2−4x+4
x4− x3−4x2 +4xdx.
Como3x3−15x2−4x+4x4− x3−4x2 +4x
=3
x+2+
1x+
4x−1
− 5x−2
,
deducimos que
I = 3log |x+2|+ log |x|+4log |x−1|−5log |x−2|+C, con C ∈ R.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 19 / 42
Métodos de integración Funciones racionales I
Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples I
Si, por ejemplo, α1 es una raíz de q(x) con multiplicidad k. Es decir,q(x) = (x−α1)
k(x−α2) · · ·(x−αn), tenemos que
p(x)q(x)
=A1,1
x−α1+
A1,2
(x−α1)2 + · · ·+A1,k
(x−α1)k︸ ︷︷ ︸corresponden al factor (x−α1)k
+A2
x−α2+ · · ·+ An
x−αn,
donde A1,1,A1,2, . . . ,A1,k,A2, . . . ,An son constantes a determinar.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 20 / 42
Métodos de integración Funciones racionales I
Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples II
En tal caso, obtenemos que∫ p(x)q(x)
= A1,1
∫ 1x−α1
dx+A1,2
∫ 1(x−α1)2 dx+ · · ·+A1,k
∫ 1(x−α1)k dx+
+A2
∫ 1x−α2
dx+ · · ·+An
∫ 1x−αn
dx
= A1,1 log |x−α1|−A1,2
x−α1−·· ·−
A1,k
(k−1)(x−α1)k−1+
+A2 log |x−α2|+ · · ·+An log |x−αn|+C, con C ∈ R.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 21 / 42
Métodos de integración Funciones racionales I
Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples (Ejemplo)
Ejemplo 9.
Calcular I =∫ 8x2−20x+13
x3−4x2 +5x−2dx.
Como8x2−20x+13
x3−4x2 +5x−2=
3x−1
− 1(x−1)2 +
5x−2
,
deducimos que
I = 3log |x−1|+ 1x−1
+5log |x−2|+C, con C ∈ R.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 22 / 42
Métodos de integración Funciones racionales I
Caso 3. q(x) tiene raíces complejas (no reales) simples. I
Al hacer la factorización de q(x) nos sale un factor irreducible del tipo
ax2 +bx+ c, con b2−4ac < 0.
En este caso en la descomposición de p(x)q(x) en fracciones simples, le
corresponde el sumandoMx+N
ax2 +bx+ cdonde M,N son constantes a determinar.
Así pues, tendremos que hallar (entre otras) la integral∫ Mx+Nax2 +bx+ c
dx,
la cual se reduce a una tipo logarítmica y otra tipo arcotangente.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 23 / 42
Métodos de integración Funciones racionales I
Caso 3. q(x) tiene raíces complejas (no reales) simples. II
Ejemplo 10.
Calcular I =∫ x
x2 +2x+17dx.
I =12
∫ 2x+2−2x2 +2x+17
dx Buscamos la derivada del denominador
I =12
∫ 2x+2x2 +2x+17
dx−∫ 1
x2 +2x+17dx Separamos integrales (Logaritmo+Arcotangente)
I =12
log∣∣x2 +2x+17
∣∣−∫ 1(x+1)2 +42 dx La 1o integral inmediata y la 2o completamos cuadrados
I =12
log∣∣x2 +2x+17
∣∣− 14
arctan(
x+14
)+C Es una integral tipo arcotangente
con C ∈ R.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 24 / 42
Métodos de integración Funciones racionales I
Ejemplos
1
∫ x2
x2 +1dx
2
∫ x2−5x+4x+1
dx
3
∫ x3−3x2 +1x2−1
dx
4
∫ 4x2−4
dx
5
∫ 1x(x+1)(x2−4)
dx
6
∫ 3x−5x3− x2− x+1
dx
7
∫ xx2−3x−4
dx
8
∫ 1x3 + x2 + x+1
dx
9
∫ 1x3 + x
dx
10
∫ 5x3 +2x2 +3x+1x4− x2 +2x+2
dx
11
∫ 5x3−9x2 +14x−104x4−4x3 +10x2 dx
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 25 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo II
Tipo R(senx,cosx)
Sea R una función racional en sus argumentos.
Si R es impar en seno, hacemos el cambio t = cosx.
Si R es impar en coseno, hacemos el cambio t = senx.
Si R es par en seno y coseno, hacemos el cambio t = tanx.
Si no se da ninguno de los casos anteriores, hacemos t = tan( x2).
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 26 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo II
Tipo R(senx,cosx), con impar en seno
Que R(senx,cosx) sea impar en seno significa que
R(−senx,cosx) =−R(senx,cosx).
En este caso hacemos el cambio
t = cosx⇐⇒ x = arccos(t)
observando que
dx =−1√1− t2
dt.
Ejemplo 11.
Calcular I =∫
sen3 x cos4 xdx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 27 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo II
Tipo R(senx,cosx), con impar en seno (Ejemplos)
Ejemplo 12.Calcular las siguientes integrales
1
∫ 1senx
dx.
2
∫ senx(cos2 x+5cosx)(sen2 x−1)(cosx+1)
dx.
3
∫ 2+ sen2 xsenx(2− cosx)
dx.
4
∫ tanxcosx+5
dx.
5
∫ senxcos2 x+2sen2 x
dx.
6
∫cos4 x sen7 xdx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 28 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo II
Tipo R(senx,cosx), con impar en coseno
Que R(senx,cosx) sea impar en coseno significa que
R(senx,−cosx) =−R(senx,cosx).
En este caso hacemos el cambio
t = senx⇐⇒ x = arcsen(t)
observando que
dx =1√
1− t2dt.
Ejemplo 13.
Calcular I =∫
sen4 x cos7 xdx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 29 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo II
Tipo R(senx,cosx), con impar en coseno (Ejemplos)
Ejemplo 14.Calcular las siguientes integrales
1
∫ 1cosx
dx.
2
∫ cosx1−2sen2 x
dx.
3
∫ 4− cos2 xcosx(1+ senx)
dx.
4
∫ cos3
(2− senx)(senx−1)2 dx.
5
∫ sen2 x cosx2sen2 x+ cos2 x−5
dx.
6
∫cos3 x sen10 xdx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 30 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo II
Tipo R(senx,cosx), con par en seno y coseno
Que R(senx,cosx) sea par en seno y coseno significa que
R(−senx,−cosx) = R(senx,cosx).
En este caso hacemos el cambio
t = tanx
observando que
dt =1
cos2 xdx = (1+ tan2 x)dx.
Ejemplo 15.
Calcular I =∫ 1
9− sen2 xdx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 31 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo II
Tipo R(senx,cosx), con par en seno y coseno (Ejemplos)
Ejemplo 16.Calcular las siguientes integrales
1
∫ 1+ tanxsenx cosx
dx.
2
∫ senx cosxsen4 x+ cos4 x
dx.
3
∫ 1sen4 x+ cos4 x
dx.
4
∫ 14sen2 x+ cos2 x
dx.
5
∫ cos2 x4sen2 x+ cos2 x
dx.
6
∫ 1(senx+ cosx)2 dx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 32 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo II
Tipo R(senx,cosx) y el C.V. t = tan( x
2
)Siempre se puede hacer el cambio
t = tan( x
2
),
que nos dará una integral racional en t. En este caso:
dx =2
1+ t2 dt senx =2t
1+ t2 cosx =1− t2
1+ t2 tanx =2t
1− t2 .
Las tres últimas fórmulas se recuerdan fácilmente con el triángulo de la figura,
considerando que el seno de un ángulo de un triángulo rectángulo es igual al cateto
puesto partido por la hipotenusa, el coseno es igual al cateto adyacente/contiguo por
la hipotenusa, y la tangente es igual al cateto opuesto partido por el cateto adyacente.
1 +t2
1 - t2
2 t
x
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 33 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo II
Tipo R(senx,cosx) y el C.V. t = tan( x
2
)[Ejemplos]
Ejemplo 17.
1
∫ 12+ cosx+ senx
dx.
2
∫ 1senx
dx.
3
∫ 1cosx
dx.
4
∫ 23+ cosx
dx.
5
∫ senx1+ senx
dx.
6
∫ cosx1+ cosx
dx.
7
∫ 11− senx
dx.
8
∫ 11− cosx
dx.
9
∫ 14senx+3cosx
dx.
10
∫ 11+ senx+ cosx
dx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 34 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo III
Tipo R[
x,(
ax+bcx+d
)mn,(
ax+bcx+d
) pq]
, con m,n,p,q ∈ Z, n,q 6= 0.
Hacemos el cambio de variable
tα =ax+bcx+d
donde α = m.c.m.(n,q).
Ejemplo 18.
Calcular I =∫ 1−
√x+3x+2
1+√
x+3x+2
dx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 35 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo III
Tipo R[
x,(
ax+bcx+d
)mn,(
ax+bcx+d
) pq]
, con m,n,p,q ∈ Z, n,q 6= 0. [Ejemplos]
Ejemplo 19.Calcular las siguientes integrales
1
∫ 1x2
√1− x1+ x
dx.
2
∫ √x+2 6√
x5
6√
x5(1+ 3√
x) dx.
3
∫ 1+√
1+ x1−√
1+ xdx.
4
∫ √x+1− 3√
x+1√x+1+ 3
√x+1
dx.
5
∫ 15√(x+3)6(x−2)4
dx.
6
∫3
√1+ x1− x
1(1− x)2 dx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 36 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo IV
Tipo R(
x,√
a2−b2x2)
Para resolver∫
R(
x,√
a2−b2x2)
dx hacemos el cambio de variable
bx = a cos t,
o el otro cambio de variablebx = a sen t.
Ejemplo 20.
Calcular I =∫ 1
x2√
25−9x2dx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 37 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo IV
Tipo R(
x,√
a2−b2x2)
[Ejemplos]
Ejemplo 21.Calcular las siguientes integrales
1
∫ 1√25−9x2
dx.
2
∫ x2√
9−4x2dx.
3
∫ 1√(1− x2)3
dx.
4
∫ √9− (x−2)2 dx.
5
∫ √4−9x2
x3 dx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 38 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo IV
Tipo R(
x,√
a2 +b2x2)
Para resolver∫
R(
x,√
a2 +b2x2)
dx hacemos el cambio de variable
bx = a tan t.
Recordar que
sen2α + cos2
α = 1 y 1+ tan2 x =1
cos2 x.
Ejemplo 22.
Calcular I =∫ 1
x2√
25+9x2dx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 39 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo IV
Tipo R(
x,√
a2 +b2x2)
[Ejemplos]
Ejemplo 23.Calcular las siguientes integrales
1
∫ 1√25+9x2
dx.
2
∫ x2√
9+4x2dx.
3
∫ 1√(1+ x2)3
dx.
4
∫ √9+(x−2)2 dx.
5
∫ √4+9x2
x3 dx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 40 / 42
Métodos de integración Funciones racionales tipo IV
Tipo R(
x,√−a2 +b2x2
)Para resolver
∫R(
x,√−a2 +b2x2
)dx hacemos el cambio de variable
bx = a sec t.
Entonces,dx =
ab
sec t tan t dt.
Recordar que
secα =1
cosαy 1+ tan2
α = sec2α.
Ejemplo 24.
Calcular I =∫ 1
x2√−25+9x2
dx.
(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 41 / 42