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5/23/2018 CALCULO DEFORMADAS
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Calculo de la deformada
Para el clculo de la deformada es necesario recurrir a
procedimientos diferentes a los
habituales debido a que estos procedimientos se basan en un
modulo de elasticidad constante
y para nuestro caso al tener un diagrama de esfuerzo deformacin
del concreto Tipo
ParbolaRectngulo, se tiene un modulo de elasticidad tangencial
diferente para cada nivelde deformacin en la seccin. El
procedimiento que se explica a continuacin se basa en la
curvatura de las secciones en las cuales se discretiza la viga y
para poder compararla con el
mtodo de la seccin transformada, el cual se utiliza comnmente
para este tipo de clculos,
se asumir un modulo de elasticidad constante para los dos mtodos
por lo que se debern
obtener resultados prcticamente iguales.
Como ejemplo utilizaremos una viga reforzada de diez metros de
longitud, simplemente
apoyada con seccin b x h = 0.30m x 0.60m con un refuerzo a lo
largo de la viga de 1550mm2
(4N7) ubicado a 550 mm desde la parte superior de la viga, el
concreto tiene un modulo de
elasticidad de Ec = 25000MPa y el acero es de fy = 420MPa con un
modulo de elasticidad Es =
200000MPa y una relacin modular n de 8.0(ver figura XXXXX)
Figura XXXXXX.
Mtodo de la seccin transformada
Este mtodo consiste en homogenizar la seccin a un solo material
por lo que los diferentes
materiales se transforman en uno solo, en este caso se
transforma el acero en concreto y esto
se hace mediante la relacin modular n de tal forma que el rea de
la seccin transformada
(AS.T.) es:
Donde n es la relacin modular del acero con respecto al
concreto.
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Por lo que el rea de la seccin transformada AS.T. es:
Ahora calculamos el centroide de la seccin: Por lo que el
centroide es:
Ahora debemos calcular la inercia con respecto al centroide de
la seccin transformada.
Con el modulo de elasticidad del concreto de 25000MPa se tiene
un factor EI de:
La deflexin en el centro de la viga debido al peso propio de la
misma es:
Donde el w es la carga distribuida que por peso propio es:
Por lo que la deflexin en el centro de la luz es:
Mtodo de la curvatura
Para calcular los giros y las deflexiones de la viga debemos
calcular las curvaturas (i) de cada
una de las secciones en las que se dividi la viga. Por simetra
geomtrica y de cargas solo esnecesario calcular las curvaturas para
media viga ya que las otras son las mismas.
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Para una condicin de deformacin como la mostrada en la figura
xxxxx, la deformacin a
cualquier profundidad ya partir de la fibra superior es:
Figura xxxx.
Por lo que es esfuerzo para cualquier profundidad y es:
Ahora el axial en la seccin seria:
Para el momento de manera similar se tiene:
Donde:
De la seccin transformada con respecto a la parte superior de la
viga.
Despejando i y 0ise obtiene:
Para cada seccin como el refuerzo se coloco a lo largo de la
viga en la misma posicin, los
valores A, B e I son iguales, lo nico que cambia es el momento
flector.
El rea de la seccin transformada es:
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El primer momento de inercia (B) con respecto a la fibra
superior es:
El segundo momento de inercia (I) con respecto a la fibra
superior es:
Ahora el momento a cualquier distancia x del extremo de la viga
es:
Con estos valores se calcula la curvatura para cada seccin.
Los giros en funcin de la curvatura se define como:
Y la deformacin como:
Entonces iniciamos con el clculo de los giros ( para lo cual se
aproxima la integral a una
sumatoria de reas teniendo en cuenta la discretizacion hecha a
la viga y que el giro en el
centro de la viga es igual a cero, debido a la simetra geomtrica
y de cargas.
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Entonces el giro para la seccin S9 (ver figura xxx) es:
( )
Ahora para cada una de las secciones se procede de la misma
forma, con lo que se obtienen
los siguientes resultados para el giro:
Para el clculo de la deflexin se procede de manera similar pero
se inicia el clculo desde el
apoyo ya que en este punto se conoce la deflexin. Por lo tanto
la deflexin en la seccin S1
es:
( )
Para cada una de las secciones se hace el mismo procedimiento y
se obtiene los siguientes
resultados:
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|Si comparamos la deflexin calculada con el mtodo de la seccin
transformada y el de la
curvatura se observa que el error es de solo 0.40% y esta
diferencia no es propia del mtodosino de la forma en que se
aproximamo la integral. Adems este mtodo funciona tanto para
materiales elsticos como para materiales inelsticos, simplemente
se debe utilizar algn
mtodo para calcular la curvatura (i) teniendo en cuenta las
propiedades del material.
