CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO DE UN PORTAFOLIO DE BONOS TES

Proyecto de grado presentado por: Camilo Serrano

Asesor: Héctor Fernando Beltrán

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL FACULTAD DE INGENIERÍA

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

Bogotá, COLOMBIA

Enero 2004

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INDICE INTRODUCCIÓN 1. METODOLOGÍA 1.1 División del trabajo

1.1.1 División horizontal: Tres maneras de estimar el VAR 1.1.2 División vertical: Conformación de portafolios y perfiles de riesgo

1.2 Escogencia de los instrumentos financieros

1.2.1 Características de los bonos y su medición 1.2.1.1 Liquidez 1.2.1.2 Volatilidad 1.2.1.3 Duración 1.2.1.4 Convexidad 1.2.1.5 Correlación

1.2.2 Conformación de los portafolios

2. MODELO 2.1 La técnica de “mapping”

2.1.1 Explicación y definición

2.1.2 Procedimiento y método inicial

2.1.3 Método mejorado

2.1.4 Datos de entrada 2.1.4.1 Tasas iniciales 2.1.4.2 Matriz de varianza-covarianza 2.2 La curva cero cupón

2.2.1 Definición

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2

2.2.2 Métodos de estimación

2.3 Análisis de componentes principales

2.3.1 Desarrollo y objetivo del método

2.3.2 Aplicación para las tasas 2.3.2.1 Datos iniciales y transformación

2.3.2.2 Matriz de varianza-covarianza inicial, valores y vectores propios 2.3.3 Aplicación para los precios 2.3.3.1 Datos iniciales y transformación 2.3.3.2 Matriz de varianza-covarianza inicial, valores y vectores propios 2.3.4 Reconstrucción de la matriz de varianza-covarianza

2.4 Modelo de varianza EWMA 2.4.1 Definición 2.4.2 Aplicación del modelo EWMA 2.4.2.1 Retornos y puntajes de componentes principales 2.4.2.2 Estimación del factor de decaimiento 2.4.2.3 Resultados 2.4.2.4 Regeneración de una nueva matriz de covarianza 2.5 Mapeo de los portafolios 2.5.1 Datos de entrada

2.5.2 Resultados 2.6 Cálculo del valor en riesgo 2.6.1 Valor en riesgo usando estimaciones a partir de EWMA 2.6.2 Valor en riesgo usando la varianza como estimador

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3. RESULTADOS 3.1 Análisis comparativo entre los modelos de varianza con promedios móviles 3.2 Replicación del método 3.2.1 Mapeo del portafolio 3.2.2 Estimaciones EWMA y matrices de varianza-covarianza 3.2.3 Estimaciones del VaR 3.2.4 Evaluación del modelo CONCLUSIONES ANEXOS BIBLIOGRAFÍA

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INTRODUCCIÓN

La intención de este trabajo de grado es aplicar un modelo matemático financiero que

utilice una gran cantidad de herramientas aprendidas durante la formación de ingeniero

industrial. El objetivo primordial es intentar desarrollar una serie de capacidades

matemáticas y analíticas aprendidas en el curso de la carrera para lograr un trabajo con

cierto nivel técnico. A lo largo del trabajo se trató de hacerlo lo más práctico posible y no

muy teórico con el fin de que no se vuelva un trabajo obsoleto y aburrido de leer, sino que

intente resolver un problema de la vida real. El problema aquí es calcular el Valor en

Riesgo de un portafolio de bonos TES, problema muy común con el cual se enfrenta con

frecuencia cualquier analista de riesgo.

No es la intención de este trabajo innovar ni desarrollar un nuevo método, sino

simplemente ejecutar un modelo inventado por otros pero aplicado a la realidad

colombiana, usando la información disponible y los instrumentos financieros con los

cuales se opera en el país.

Este trabajo corresponde a una parte de un mayor trabajo realizado junto con María

Teresa Camacho y Fabio Macías. Se encontró que para el cálculo del VaR se podía

realizar de varias maneras que se exponen más adelante. En total se analizaron tres

enfoques, y este trabajo corresponde a uno de ellos.

Por último y como más importante se quiere mostrar que para la realización de este

trabajo hubo un trabajo en equipo, que siguió un razonamiento lógico y un proceso de

análisis coherente digno del pensamiento de un ingeniero.

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1. METODOLOGÍA

El desarrollo de este trabajo de tesis está compuesto por tres trabajos que se

complementan e intentan mostrar diversas maneras de medir el valor en riesgo de varios

portafolios de bonos TES y asimismo lograr identificar perfiles de riesgo para dichos

portafolios.

1.1 División del trabajo

Para lograr este objetivo se dividió el trabajo de varias maneras que se van a presentar a

continuación. Se realizó lo que se va a llamar una división horizontal, correspondiente a

tres grandes métodos de estimación del valor en riesgo, y una división vertical que

corresponde a diferentes conformaciones de portafolios que se realizaron con base en

diferentes características que se expondrán más adelante.

Antes de comenzar a describir la metodología que se utilizará es necesario hablar sobre

los escenarios y los diferentes métodos relacionados con el VaR. Para ilustrar esto es

muy útil remitirse a una matriz, en la cual una coordenada correspondería a los diferentes

escenarios que se pueden crear en un portafolio de TES y la otra coordenada

correspondería a los métodos relacionados con el cálculo del VaR. Esto se podría

interpretar también como una división horizontal y vertical en la cual se presentan infinidad

de combinaciones de métodos estudiando diferentes portafolios.

En la anterior ilustración se pueden ver las combinaciones que se pueden generar de

métodos y portafolios formando una matriz bidimensional, dentro de la cual se encuentran

los resultados de la estimación del VaR.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nkkk

n

n

Métodok

MétodoMétodo

nEsEsEs

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

***

******

21

.21

L

MOMM

L

K

M

L

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1.1.1 División horizontal: Tres maneras de estimar el VAR

En una coordenada de la matriz están las diversas metodologías involucradas con la

estimación del VaR. Tales métodos van desde la formula más elemental para calcular el

VaR de un activo, bono u otro instrumento hasta los métodos mas elaborados y

computacionalmente más exigentes para calcularlo en un portafolio conformado por

múltiples instrumentos.

Los métodos de estimación del VAR que se utilizaron en este trabajo se diferencian

debido al enfoque que cada uno tiene. Los dos primeros tienen en común que parten de la

estimación de la matriz de varianza-covarianza para llegar al VAR. El primer método sin

embrago utiliza tanto los promedios móviles regulares (se podría decir sin peso) como el

promedio móvil con decaimiento exponencial, más conocido por sus siglas en inglés

EWMA, para la estimación de la matriz anteriormente mencionada. Por su lado, el

segundo método emplea modelos generalizados de autorregresión condicional

heteroscedástica. Estos modelos difieren de los modelos de promedios móviles entre

otras cosas debido a que intentan representar un comportamiento a largo plazo mediante

una reversión a la media. Por último el tercer método empleado se aparta del estudio de

la matriz de covarianza como instrumento para estimar el VAR y emplea otro método

también bastante conocido llamado Simulación de MonteCarlo y aproximaciones de

segundo orden. Este método se basa en la generación de variables aleatorias para

simular los movimientos de los factores de riesgo en un tiempo determinado. La diferencia

metodológica con los otros dos estudios es que anteriormente no se ha tratado, mientras

que los otros dos son la continuación de estudios que anteriormente se han llevado a

cabo y corresponden a una parte específica de un proceso completo de la estimación del

Valor en Riesgo.

1.1.2 División vertical: Conformación de portafolios y perfiles de riesgo

Los TES poseen diferentes características tales como duración, variabilidad o correlación

con otros bonos. Basado en estas características se pueden generar diferentes

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escenarios representados en portafolios con características que les permita diferenciarse

de otros. La idea principal de poder generar diferentes escenarios es la de ver la

incidencia que tiene la conformación de un portafolio en el Valor en Riesgo.

Para la conformación de los portafolios de trabajo se siguieron varios pasos descritos a

continuación. Primero que todo se buscó los TES que se estaban tranzando en el

mercado, los cuales son de tipo TFI – T, esto quiere decir que se negocia tanto el cupón

como el principal y cuyo plazo se registra en años. Para encontrar los datos históricos se

utilizó como fuente el Banco de la República y el sistema de información financiera

BLOOMBERG. Se identificaron 18 bonos TES en pesos con cupón a tasa fija. De estos se

determinó una población de 15 con la cual se va trabajar. Con la ayuda de las series de

precios encontradas en el Banco de la República y de Javier Gómez se obtuvo esta

población como base para realizar los cálculos de las características que se consideraron

pertinentes para el análisis. Los 15 bonos finalmente seleccionados como la “bolsa” de

posibilidades fueros escogidos de tal manera que todos tuvieran la misma cantidad de

datos, ya que algunos presentaban series incompletas debido a eran bonos que

empezaban o maduraban a mitad de camino entre enero de 2002 y septiembre de 2003.

Por otra parte se discutió con el grupo de trabajo y con personas cercanas o que trabajan

en el medio financiero y se llegó a la conclusión de que las características más

importantes serían las siguientes: Volatilidad, liquidez, duración, convexidad y correlación

entre bonos. Todas estas características son medidas a partir de las series de precios que

se obtuvieron de las fuentes anteriormente mencionadas. El cálculo, definición y

desarrollo de estas se presentarán más adelante.

Ya habiendo definido los métodos a utilizar y los escenarios a estudiar se proseguirá a

probar independientemente las diferencias en el Valor en Riesgo para diferentes

portafolios. Lo que se desea con esto es poder encontrar los factores de los TES que más

afectan el riesgo y que por consiguiente generan perdidas probables más altas. Pero

adicionalmente, abordar los problemas con diferentes metodologías aunque en los

mismos portafolios permite encontrar e identificar las propiedades de cada metodología

para poderlas entender mejor y más adecuadamente con respecto a sus respectivos

supuestos. El valor agregado de enfrentar estos problemas con la misma metodología de

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8

trabajo es la facilidad comparativa de los métodos, la definición de conclusiones con

respecto a los métodos y propiedades de los portafolios estará más sustentada en

resultados comparativos.

1.2 Escogencia de los instrumentos financieros

Para poder determinar los instrumentos que se iban a utilizar, hubo que definir una serie

de características que permitieran facilitar la escogencia de los títulos. Estas

características se presentan a continuación.

1.2.1 Características de los bonos y su medición

Los siguientes fueron los bonos que se utilizaron para conformar los portafolios:

NÚMERO MNEMOTÉCNICO No.

EMISIÓN DCV

FECHA INICIO

VIGENCIA

FECHA PAGO

PLAZO CUPÓN

1 TFIT02081003 44178 8/10/01 8/10/03 2 13

2 TFIT03171003 42857 17/10/00 17/10/03 3 15

3 TFIT03160404 43615 16/4/01 16/4/04 3 15

4 TFIT02060504 45003 6/5/02 6/5/04 2 12

5 TFIT03250604 43818 25/6/01 25/6/04 3 15

6 TFIT05040205 41987 4/2/00 4/2/05 5 15

7 TFIT03110305 44888 11/3/02 11/3/05 3 13

8 TFIT05081105 42980 8/11/00 8/11/05 5 15

9 TFIT05030506 43692 3/5/01 3/5/06 5 15

10 TFIT05250706 43968 25/7/01 25/7/06 5 15

11 TFIT05140307 44822 14/3/02 14/3/07 5 15

12 TFIT07220808 44013 22/8/01 22/8/08 7 15

13 TFIT07120209 44629 12/2/02 12/2/09 7 15

14 TFIT10250112 44577 25/1/02 25/1/12 10 15

15 TFIT10260412 44895 26/4/02 26/4/12 10 15

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De los 18 bonos que se tranzaban a la fecha del 9 de Septiembre de 2003 (fecha

escogido como referencia para todos los cálculos), se tomaron estos 15 bonos debido a

que se tenía la misma cantidad de información acerca de ellos. Todos estos bonos se

tranzaron desde Diciembre de 2002 y se conoce su precio día a día desde esa fecha.

A cada uno de estos bonos se le calcularon las características anteriormente

mencionadas. Cada una de ellas se explica a continuación:

1.2.1.1 Liquidez

Este es un indicador de la participación en volumen de un instrumento financiero que se

tranza en el mercado. Este indicador es importante debido a que muestra la facilidad con

que se puede negociar un título en el mercado. Un instrumento líquido quiere decir que se

tranza bastante en el mercado y es fácil de negociar. Para el cálculo de esta variable se

utilizó la fórmula propuesta por Corfinsura y Suvalor1:

∑=

= n

i

i

x

x

dQ

dQ

L

1

xL Es la liquidez del instrumento x.

xQ Es el volumen tranzado en pesos del instrumento x durante el periodo de tiempo

analizado.

d Es el número de días hábiles en el que se tranzó el instrumento para un horizonte de

tiempo que en este caso es de 3 meses.

n Es el número de instrumentos, para este caso 15.

Estos son los indicadores de liquidez calculados con base en los montos de transacción Q

promedio en pesos en el mercado.

1 “INDICE REPRESENTATIVO DEL MERCADO DE DEUDA PÚBLICA INTERNA (I- TES)”, Investigaciones Económicas Suvalor y Corfinsura.

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NÚMERO TÍTTULO Q PROMEDIO LIQUIDEZ %

1 TFIT02081003 408.333.333,33 0,000656 0,066

2 TFIT03171003 0,00 0,000000 0,000

3 TFIT03160404 1.908.333.333,33 0,003066 0,307

4 TFIT02060504 4.683.333.333,33 0,007524 0,752

5 TFIT03250604 4.950.000.000,00 0,007953 0,795

6 TFIT05040205 691.666.666,67 0,001111 0,111

7 TFIT03110305 49.079.166.666,67 0,078852 7,885

8 TFIT05081105 0,00 0,000000 0,000

9 TFIT05030506 150.000.000,00 0,000241 0,024

10 TFIT05250706 182.645.833.333,33 0,293444 29,344

11 TFIT05140307 195.325.000.000,00 0,313815 31,382

12 TFIT07220808 4.191.666.666,67 0,006734 0,673

13 TFIT07120209 1.900.000.000,00 0,003053 0,305

14 TFIT10250112 163.979.166.666,67 0,263454 26,345

15 TFIT10260412 12.508.333.333,33 0,020096 2,010

Total 622.420.833.333,33

1.2.1.2 Volatilidad

Esta es una medida de dispersión que en este caso corresponde a la desviación estándar

del precio del bono. Para el cálculo de esta se usó la siguiente fórmula:

( )1

1

2

−

−=

∑=

n

PPn

ii

kσ

kσ Es la desviación del instrumento k.

iP Es el precio del bono en el día i.

P Es el precio promedio del bono en el horizonte de tiempo determinado. En este caso

se tomó la serie histórica de precios desde diciembre de 2002.

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n Es el número datos en la serie de precios.

Las desviaciones estándar calculadas para los bonos son las siguientes:

DESVIACIÓN

NÚMERO TÍTTULO ESTÁNDAR

1 TFIT02081003 2,193

2 TFIT03171003 2,311

3 TFIT03160404 5,045

4 TFIT02060504 3,629

5 TFIT03250604 4,704

6 TFIT05040205 4,896

7 TFIT03110305 3,878

8 TFIT05081105 4,829

9 TFIT05030506 3,393

10 TFIT05250706 4,564

11 TFIT05140307 4,680

12 TFIT07220808 5,277

13 TFIT07120209 5,779

14 TFIT10250112 6,191

15 TFIT10260412 3,523

1.2.1.3 Duración

El precio de un bono esta definido como

La duración de un bono hace parte de la sensibilidad del precio frente a variaciones en el

rendimiento y se entiende como el momento del tiempo en el cual se podrían llevar todos

los flujos manteniendo el mismo valor presente neto.

T

Ti

ii r

lValorFaciar

lValorFaciaTasaCuponP)1()1(1 +

++×

= ∑=

=

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12

La tasa de descuento, r, corresponde a la TIR del bono.

Para calcular la duración es conveniente fijar desde ya la fecha del estudio del portafolio,

la cual es el 9 de septiembre de 2003. La tasa de descuento, r, es obtenida de la curva

cero cupón a la fecha de estudio del portafolio, dependiendo de la madurez del bono. Los

resultados de estos cálculos son los siguientes

Mnemotecnico Fecha actual

Fecha pago

Restante en días

Restante en años

Tasa de cupón

Tasa descuento

Duración

TFIT02081003 9/09/03 8/10/03 29 0.0795 13% 7.29% 0.0806

TFIT03171003 9/09/03 17/10/03 38 0.1041 15% 7.35% 0.1056

TFIT03160404 9/09/03 16/04/04 220 0.6027 15% 8.45% 0.6028

TFIT02060504 9/09/03 6/05/04 240 0.6575 12% 8.56% 0.6583

TFIT03250604 9/09/03 25/06/04 290 0.7945 15% 8.82% 0.7944

TFIT05040205 9/09/03 4/02/05 514 1.4082 15% 9.86% 1.2774

TFIT03110305 9/09/03 11/03/05 549 1.5041 13% 10.01% 1.3932

TFIT05081105 9/09/03 8/11/05 791 2.1671 15% 10.88% 1.8073

TFIT05030506 9/09/03 3/05/06 967 2.6493 15% 11.40% 2.2912

TFIT05250706 9/09/03 25/07/06 1050 2.8767 15% 11.62% 2.5180

TFIT05140307 9/09/03 14/03/07 1282 3.5123 15% 12.15% 2.8270

TFIT07220808 9/09/03 22/08/08 1809 4.9562 15% 13.03% 3.8466

TFIT07120209 9/09/03 12/02/09 1983 5.4329 15% 13.25% 3.8329

TFIT10250112 9/09/03 25/01/12 3060 8.3836 15% 14.10% 4.9378

TFIT10260412 9/09/03 26/04/12 3152 8.6356 15% 14.15% 5.1867

Pr

rP

rTlValorFacia

rilValorFaciaTasaCupon

PD T

Ti

ii

)1()1()1(

11

+∂∂

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

×+

+××

= ∑=

=

II.03(2)127

13

1.2.1.4 Convexidad

La convexidad es una medida de la curvatura relativa de la curva precio-rendimiento para

un precio y un rendimiento dados, la derivada de segundo orden.

La convexidad mide que tan arqueada es la curva de precio-rendimiento. Entre más

grande sea la convexidad de un bono mayores serán sus ganancias y menores sus

perdidas para cambios absolutos en el rendimiento.

1.2.1.5 Correlación

Es una medida estadística de la relación existente entre las series de retornos de los TES.

Una correlación positiva significa que los retornos se mueven generalmente en la misma

dirección, una correlación negativa significa variaciones inversas. Generalmente la

correlación se calcula como

D-1/2 es una matriz en cuya diagonal se encuentra el inverso de la desviación estándar de

la siguiente forma

2

2

12

1)1(

)1()1(

)1()1(

1rP

PrTTlValorFacia

riilValorFaciaTasaCupon

rPC T

Ti

ii ∂

∂−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+×+

++××

+= ∑

=

=

2/12/1

1)()'( −−

−−−

= Dn

XXDR µµ

II.03(2)127

14

De esto se puede reconocer que la también se puede expresar la correlación como

Por lo que se puede concluir que la correlación es una especie de estandarización de la

covarianza de los datos.

Según esto la matriz de covarianza seria igual a:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 4.84 5.08 -7.53 -4.41 -3.95 -1.60 -3.31 10.29 -3.28 3.41 -3.41 8.22 -0.90 1.28 -4.63

2 5.08 5.37 -8.04 -4.74 -4.11 -1.61 -3.46 10.84 -3.58 3.61 -3.56 8.68 -0.89 1.38 -4.98

3 -7.53 -8.04 25.59 13.20 3.19 -2.28 5.27 -17.98 11.70 -11.80 4.91 -19.06 -5.47 -9.89 12.86

4 -4.41 -4.74 13.20 13.24 4.38 -4.85 -0.08 -11.98 11.39 -7.76 -1.76 -13.38 -8.46 -11.52 7.68

5 -3.95 -4.11 3.19 4.38 22.24 -8.40 -6.15 -10.35 1.24 3.85 -7.97 -7.41 -12.00 -13.75 -1.45

6 -1.60 -1.61 -2.28 -4.85 -8.40 24.10 8.20 1.07 -2.76 -4.10 10.15 0.65 24.65 25.27 3.23

7 -3.31 -3.46 5.27 -0.08 -6.15 8.20 15.12 -5.21 0.74 -7.70 16.44 -6.30 11.40 8.69 4.45

8 10.29 10.84 -17.98 -11.98 -10.35 1.07 -5.21 23.45 -8.81 8.04 -4.40 19.28 4.06 9.04 -9.90

9 -3.28 -3.58 11.70 11.39 1.24 -2.76 0.74 -8.81 11.57 -7.63 -0.36 -11.44 -5.41 -7.73 8.12

10 3.41 3.61 -11.80 -7.76 3.85 -4.10 -7.70 8.04 -7.63 20.94 -7.37 13.95 -3.21 -0.61 -8.10

11 -3.41 -3.56 4.91 -1.76 -7.97 10.15 16.44 -4.40 -0.36 -7.37 22.02 -5.43 14.48 12.14 4.62

12 8.22 8.68 -19.06 -13.38 -7.41 0.65 -6.30 19.28 -11.44 13.95 -5.43 27.99 3.61 8.36 -11.30

13 -0.90 -0.89 -5.47 -8.46 -12.00 24.65 11.40 4.06 -5.41 -3.21 14.48 3.61 33.58 29.13 2.15

14 1.28 1.38 -9.89 -11.52 -13.75 25.27 8.69 9.04 -7.73 -0.61 12.14 8.36 29.13 38.53 0.73

15 -4.63 -4.98 12.86 7.68 -1.45 3.23 4.45 -9.90 8.12 -8.10 4.62 -11.30 2.15 0.73 12.48

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

n

D

σ

σσ

/100

0/1000/1

2

1

2/1

L

MOMM

L

K

2/12/1 )( −−= DXCovDR

II.03(2)127

15

Y la matriz de correlación

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1.00 1.00 -0.68 -0.55 -0.38 -0.15 -0.39 0.97 -0.44 0.34 -0.33 0.71 -0.07 0.09 -0.60

2 1.00 1.00 -0.69 -0.56 -0.38 -0.14 -0.38 0.97 -0.45 0.34 -0.33 0.71 -0.07 0.10 -0.61

3 -0.68 -0.69 1.00 0.72 0.13 -0.09 0.27 -0.73 0.68 -0.51 0.21 -0.71 -0.19 -0.32 0.72

4 -0.55 -0.56 0.72 1.00 0.26 -0.27 -0.01 -0.68 0.92 -0.47 -0.10 -0.70 -0.40 -0.51 0.60

5 -0.38 -0.38 0.13 0.26 1.00 -0.36 -0.34 -0.45 0.08 0.18 -0.36 -0.30 -0.44 -0.47 -0.09

6 -0.15 -0.14 -0.09 -0.27 -0.36 1.00 0.43 0.05 -0.17 -0.18 0.44 0.02 0.87 0.83 0.19

7 -0.39 -0.38 0.27 -0.01 -0.34 0.43 1.00 -0.28 0.06 -0.43 0.90 -0.31 0.51 0.36 0.32

8 0.97 0.97 -0.73 -0.68 -0.45 0.05 -0.28 1.00 -0.53 0.36 -0.19 0.75 0.14 0.30 -0.58

9 -0.44 -0.45 0.68 0.92 0.08 -0.17 0.06 -0.53 1.00 -0.49 -0.02 -0.64 -0.27 -0.37 0.68

10 0.34 0.34 -0.51 -0.47 0.18 -0.18 -0.43 0.36 -0.49 1.00 -0.34 0.58 -0.12 -0.02 -0.50

11 -0.33 -0.33 0.21 -0.10 -0.36 0.44 0.90 -0.19 -0.02 -0.34 1.00 -0.22 0.53 0.42 0.28

12 0.71 0.71 -0.71 -0.70 -0.30 0.02 -0.31 0.75 -0.64 0.58 -0.22 1.00 0.12 0.25 -0.60

13 -0.07 -0.07 -0.19 -0.40 -0.44 0.87 0.51 0.14 -0.27 -0.12 0.53 0.12 1.00 0.81 0.10

14 0.09 0.10 -0.32 -0.51 -0.47 0.83 0.36 0.30 -0.37 -0.02 0.42 0.25 0.81 1.00 0.03

15 -0.60 -0.61 0.72 0.60 -0.09 0.19 0.32 -0.58 0.68 -0.50 0.28 -0.60 0.10 0.03 1.00

1.2.2 Conformación de los portafolios

Una vez se tuvieron medidas las características se procedió a conformar los portafolios de

trabajo. Se decidió conformar 5 portafolios a los cuales se les va a medir el valor en riesgo

para diferentes horizontes de tiempo. Todos los portafolios tienen un valor nominal de

1000 y están compuestos por 5 o 4 bonos TES que participan cada uno en la misma

proporción dentro del portafolio.

II.03(2)127

16

El primer portafolio (Es 1) está compuesto por los 5 títulos más líquidos del mercado:

NÚMERO TÍTULO Liquidez %

11 TFIT05140307 0,313815 31,382

10 TFIT05250706 0,293444 29,344

14 TFIT10250112 0,263454 26,345

7 TFIT03110305 0,078852 7,885

15 TFIT10260412 0,020096 2,010

0,969661

Se puede observar que estos 5 títulos manejan más del 96% del volumen en pesos

transados.

El segundo portafolio (Es 2) está compuesto por lo bonos que tienen la desviación

estándar más alta, es decir que tienen la mayor dispersión con respecto a su precio

promedio:

DESVIACIÓN

NÚMERO TÍTTULO ESTÁNDAR

14 TFIT10250112 6,191

13 TFIT07120209 5,779

12 TFIT07220808 5,277

3 TFIT03160404 5,045

6 TFIT05040205 4,896

Este portafolio se podría decir que corresponde a un perfil de riesgo bastante alto ya que

es donde más se producen cambios en los precios de los instrumentos que lo conforman.

El tercer portafolio (Es 3) corresponde a un portafolio de bonos altamente

correlacionados, donde el coeficiente de correlación entre los bonos es mayor de 0.7.

II.03(2)127

17

Esta es otra manera de definir un portafolio con un perfil de riesgo elevado. Los bonos

que lo componen son los siguientes:

NÚMERO TÍTTULO 1 2 8 12

1 TFIT02081003 1

2 TFIT03171003 0,9975556 1

8 TFIT05081105 0,9660477 0,9661905 1

12 TFIT07220808 0,7060296 0,7075208 0,7524647 1

El cuarto portafolio (Es 4) tiene como objetivo lograr una alta madurez pero con la menor

volatilidad posible. Este tipo de portafolio se pensaría que una entidad como un fondo de

pensiones desea obtener este perfil de riesgo. Es decir, bajo riesgo a largo plazo para

lograr una rentabilidad pequeña pero segura.

DESVIACIÓN

NÚMERO TÍTTULO DURACIÓN ESTÁNDAR

7 TFIT03110305 1,3932 3,878

8 TFIT05081105 1,8073 4,829

9 TFIT05030506 2,2912 3,393

10 TFIT05250706 2,5180 4,564

11 TFIT05140307 2,8270 4,680

Se puede ver que para este caso el plazo más largo es de casi tres años, lo que en

realidad no representa un largo plazo, sino más bien un mediano plazo.

Por último, el portafolio (Es 5) que se decidió componer fue uno en donde los

instrumentos estuvieran lo menos correlacionados posibles, de tal manera que se lograr

una diversificación y se disminuyera el riesgo. Se intentó que los bonos tuvieran un bajo

coeficiente de correlación o si no que la correlación fuera negativa:

II.03(2)127

18

NÚMERO TÍTTULO 3 6 8 10

3 TFIT03160404 1

6 TFIT05040205 -0,091899 1

8 TFIT05081105 -0,734169 0,0451266 1

10 TFIT05250706 -0,509981 -0,182567 0,3628529 1

Por último para mayor comprensión se muestra una tabla que resume los títulos que

componen cada portafolio:

Portafolio 1 Portafolio 2 Portafolio 3 Portafolio 4 Portafolio 5

11 14 1 7 3

10 13 2 8 6

14 12 8 9 8

7 3 12 10 10

15 6 11

II.03(2)127

19

2. MODELO

En esta parte se presenta el modelo desarrollado. Se verá paso a paso como se llegó a

los resultados que se presentarán en la tercera parte del trabajo. Para empezar se

explicará la técnica utilizada para valorar los flujos futuros de los bonos que componen

cada portafolio. Luego se mostrará de dónde provienen las tasas de descuento, conocidas

como tasas cero cupón o tasas spot, utilizadas para poder descontar esos flujos. Luego

se presentará en qué consiste el análisis de componentes principales y cómo fue incluido

en el modelo. Finalmente se mostrará cómo se incluyó al análisis la varianza calculada a

partir de promedios móviles para lograr el objetivo final que es el cálculo del VAR de cada

portafolio.

2.1 La técnica de “mapping” 2

El objetivo de este trabajo es calcular el valor en riesgo de un portafolio de bonos TES

utilizando la técnica de mapeo propuesta por RiskMetrics. A continuación se presenta

cómo funciona el método, qué datos utiliza y para qué instrumentos financieros es

recomendable utilizarlo.

2.1.1 Explicación y definición

El mapping propuesto por RiskMetrics es una técnica que intenta facilitar el cálculo del

VAR para casi todos los instrumentos financieros. Este método parte de la base de que

todos los instrumentos financieros se pueden remplazar por una serie de flujos de efectivo

que ocurrirán en un futuro. Estos flujos se llevan a puntos estándar en el tiempo donde se

conocen las tasas de descuento, las volatilidades y correlaciones del caso. Todo esto con

2 En Return to RiskMetrics, capítulo 6 “Market Risk Methodology”, párrafo “Risk Modeling of Financial Instruments” , J.P. Morgan.

II.03(2)127

20

el fin de poder calcular el valor presente del activo financiero y poder así calcular su

variación en el precio cada vez que el horizonte de tiempo escogido lo indique.

En este caso particular se quiere implementar este método para bonos TES. Se escogió

este activo financiero debido a su gran versatilidad en el mercado colombiano. Estos

bonos son los activos financieros que más se transan en la Bolsa de Valores de Colombia

y por lo tanto existe una gran cantidad de información (series de precios, de retornos, etc.)

acerca de ellos.

Como se venía diciendo, este método intenta facilitar los cálculos requeridos para calcular

el VAR de un bono (en este caso) o de un portafolio de bonos y además capturar la

volatilidad y correlación que existe en los flujos de los títulos, lo cuál no es capturado en

un modelo de Duración- Convexidad. Por lo tanto en materia computacional no debería

ser un gran problema implementarlo ya que el método en sí no requiere grandes cálculos

matemáticos. Por esto este método es tan atractivo para que entidades financieras

decidan aplicarlo en los cálculos de VAR que ellas realizan día a día.

Nodos estándar

Los flujos de efectivo se quieren llevar a puntos futuros en el tiempo de los cuales se

conozca la información. Estos puntos llamados también nodos, son los siguientes:

1 día 1mes 3m 12m 2años 3años 4a 5a 7a 9a 10a 15a 20a 30años

Estos puntos tienen la característica de que están fijos en el tiempo y de que

supuestamente se conoce toda la información acerca de ellos. Se verá luego que esta

parte va a presentar un primer inconveniente en el desarrollo del mapeo. Por ejemplo el

mapeo de un flujo ocurrido en al año 8 se vería llevado al año 7 y al año 9 de la siguiente

manera:

II.03(2)127

21

Flujo de efectivo

7 8 9 Años

Flujos mapeados en nodos

Años

7 8 9

Al hacer esta operación se quiere mantener tres cosas:

• El valor del flujo original es conservado por los nuevos flujos.

• El riesgo de mercado también es conservado.

• Los nuevos flujos tienen el mismo signo que el flujo original.

Lo que se intenta saber es qué tanto del flujo original va en al año 7 y qué tanto va en el

año 9. La cantidad de dinero ubicada en el año 7 se llama α y la otra parte del flujo que

va en al año 9 se llama 1-α.

2.1.2 Procedimiento y método inicial

A continuación se muestra los pasos a seguir según la metodología propuesta por

RiskMetrics:

1. Calcular el yield del flujo actual

Para obtener el yield cero cupón en el año 8 llamado y8 se debe interpolar los

yields cero cupón de los años 7 y 9, usando la siguiente ecuación:

II.03(2)127

22

y8 = ay7 + (1-a) y9 [1] en este caso a = 0.5 debido a que 8 se encuentra a

igual distancia de 7 que de 9.

2. Calcular el valor presente del flujo actual

Con y8 se puede calcular P8 que es el valor presente del flujo, esto es simplemente

descontar el valor del flujo con la tasa obtenida.

3. Calcular la desviación estándar del retorno del flujo actual

De la misma manera que se obtuvo el yield, ahora se quiere obtener la desviación

estándar en el año 8 llamada σ8. Se usa la misma ecuación de interpolación:

σ8 = aσ 7 + (1-a) σ9 [2] igualmente a = 0.5

Esto se puede realizar debido a que supuestamente se conoce toda la información

para los nodos estándar en el tiempo. Se verá más adelante que esto no es tan

fácil.

4. Calcular la ubicación α y 1-α usando la siguiente ecuación:

Varianza (retorno en 8) = Varianza (α retorno en 7 + (1- α) retorno en 9) lo que es

equivalente a:

σ 28 = α2 σ 2

7 + 2 α (1-α)ρ7,9 σ 7 σ

9 + (1-α)2 σ 29 [3]

La correlación ρ7,9 supuestamente también se conoce entre los vértices estándar,

pero esto no es así de simple como se mostrará más adelante.

II.03(2)127

23

La ecuación [3] es una ecuación cuadrática bastante sencilla de resolver para

encontrar α. Si bien se va a obtener dos soluciones solo se escoge aquella que

esté entre 0 y 1, debido a que no se puede tener un flujo con signo diferente al

original.

5. Distribuir el flujo actual

Simplemente se parte el flujo que se tenía en los nodos adyacentes según el

resultado que haya dado la resolución de [3].

6. Cálculo del VAR

Ya una vez con el bono o el portafolio de bonos se puede proceder a calcular el

VAR teniendo cuidado de aplicar correctamente ciertas reglas, que se hablarán

más adelante.

2.1.3 Método mejorado3

El procedimiento anterior fue la primera metodología que se inventó para mapear un flujo.

Es bastante interesante exponerla porque expone claramente la idea y se asimila

fácilmente el concepto detrás del modelo. Sin embargo posteriormente RiskMetrics

propuso una mejora al modelo debido a que el modelo inicial presentaba una serie de

falencias, si bien funcionaba en la mayoría de los casos. Como se mostró anteriormente el

mapeo inicial consistía en preservar el valor presente y la volatilidad interpolada del flujo

original. El problema que esto presentaba era que esta volatilidad interpolada no

correspondía a la volatilidad que se encontraba trabajando con simulación de MonteCarlo,

donde lo que se interpolaba era la tasa de interés a partir de los vértices vecinos en lugar

de la volatilidad. Por otra parte el mapeo original podía producir resultados incoherentes si

3 Mina, J., Yi, J., Return to RiskMetrics: The evolution of a Standard, Capítulo 5, RiskMetrics, (2001).

II.03(2)127

24

había poca correlación entre los nodos estándar. Este es un problema que trataron para el

caso de bonos australianos4.

El método mejorado es más fácil de implementar debido a que no se debe resolver

ninguna ecuación de segundo grado, fue programado en Visual Basic para que a partir de

las fechas de pagos y las tasas de los nodos, el programa diera las tasas interpoladas y

los resultados necesarios para el método.

El método mejorado parte de una interpolación lineal de las tasas de interés entre dos

nodos vecinos, de la misma manera como se empezaba en el método anterior:

zt = a*zL + (1-a)zR [4]

Donde Zt es la tasa interpolada a partir de la tasas ZL y ZR que son las tasas de los nodos

a la izquierda (L) y a la derecha (R), de la fecha del flujo. Es decir que si el flujo ocurre en

el año 8, ZL corresponde a la tasa del año 7 y ZR a la tasa del año 9. El coeficiente de

interpolación a se define de la siguiente manera:

a = (tR – t) / (tR – tL), donde t es la fecha del flujo en años, tL la fecha del nodo a la

izquierda y tR la fecha del nodo a la derecha del flujo.

Ahora bien, para mapear el flujo se necesita sabe su valor presente. Este valor presente

se va a distribuir en un valor en el nodo izquierdo, otro en el derecho y una posición en

efectivo en el día en que se hace la valoración. Si se usan tasas compuestas continuas se

llega a la siguiente ecuación:

CeWeWeV RRLLt tzR

tzL

tzt ++== ∗−∗−∗− ** [5]

Por otro lado, se quiere preservar la sensibilidad del valor presente a cambios en la tasa

cero cupón. Por esta razón se obtiene la siguiente ecuación:

4 Mina, Jorge, Improved Cashflow Map, RiskMterics Group.

II.03(2)127

25

LLt tzLL

tz

L

t etWtezV ∗−∗− −=−=

∂∂

α [6]

De la misma manera, derivando con respecto a ZR se obtiene la siguiente ecuación:

LLt tZtZ

LL ee

ttW ∗∗−= α

[7]

( ) RRt tztz

RR ee

ttW ∗∗−−= α1 [8]

Finalmente usando las tres ecuaciones anteriores se obtiene la posición en efectivo que

viene siendo:

( )( ) tz

LR

RL tett

ttttC ∗−−−

−= [9]

Todo el procedimiento anterior se realizó con un nominal de un peso. Cuando se trabaja

con otro nominal no es sino multiplicar por el valor del nominal. La posición C en efectivo

se considera para efectos del análisis como en el nodo de un día para facilitar los cálculos

a la hora del mapeo.

A continuación se va a mostrar los problemas que se han presentado y las dudas que han

surgido al tratar de implementar este método en el caso colombiano y especialmente para

bonos.

Si bien el modelo es bastante sencillo, es fundamental tener unos buenos datos de

entrada para que el modelo tenga un buen desempeño.

II.03(2)127

26

2.1.4 Datos de entrada Como se pudo apreciar en el apartado anterior el método es bastante simple de

implementar pero también es bastante sensible a los datos de entrada. En este caso en

particular es de vital importancia saber cómo se va a calcular las correlaciones entre los

nodos estándar y las volatilidades de los retornos de estos nodos.

2.1.4.1 Tasas iniciales

Las tasas de descuento (también llamadas yields) que va en cada uno de los nodos

estándar corresponden a las tasas spot que se tiene en el día de la valoración. Estas son

las tasas que se van a interpolar para poder encontrar la tasa adecuada para poder

descontar los flujos. Para este caso, se recolectó información hasta el 9 de Septiembre de

2003, es decir que se interpolan las tasas de ese día, se obtienen las tasas de los

diferentes flujos, y todos los cálculos de VAR se hacen a partir de la fecha anteriormente

indicada.

2.1.4.2 Matriz de varianza-covarianza En esta parte del procedimiento es en donde se centra gran parte del análisis que se va a

hacer en las partes posteriores de este trabajo. En este párrafo sólo se quiere decir que

este dato de entrada es vital e indispensable para el desarrollo del modelo. En esta matriz

se encuentra la información más importante para poder realizar de una parte el mapeo,

usando las varianzas o volatilidades de los nodos, y por otra parte las correlaciones entre

los nodos, que va a permitir calcular el VAR.

Para este trabajo se quiere realizar una estimación de las volatilidades haciendo uso de

diferentes promedios móviles. Esto va a permitir obtener diversas matrices de varianza-

covarianza que luego se van a emplear para calcular los VAR, para luego poder hacer

comparaciones entre los métodos. En la parte de Análisis de componentes principales se

mostrará cómo se llega a obtener las diferentes matrices.

II.03(2)127

27

2.2 La curva cero cupón

La curva cero cupón (también llamada curva spot o curva de rendimientos) es el resultado

de un método econométrico que permite reconocer los diferentes niveles de interés en el

tiempo. Esto se hace con el objetivo de obtener una herramienta adecuada para la

valoración de bonos TES.

2.2.1 Definición

Un bono es un instrumento de deuda en donde se intercambia un pago presente de

efectivo por pagos de flujos futuros en el tiempo. El pago presente viene siendo el precio

del bono el cual es equivalente al valor presente de los flujos futuros. Estos flujos futuros

se llaman cupones y por último en la fecha de maduración se obtiene el valor facial del

bono que generalmente se toma 100 como referencia.

El primer concepto importante que aparece aquí es el de la tasa interna de retorno

llamada TIR. Esta tasa de interés es aquella que hace que el precio del bono sea igual al

valor presente de los flujos futuros de efectivo. La relación entre precio P, TIR y cupones

C viene dada por:

( ) ( )TIRTIRC

ttP

Ni

N

i

i

+∑

++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

= 11100

1 [10]

Donde i es el día, N el número de días, tN el tiempo de maduración en años y ti los días de

pago hasta la fecha en años.

La TIR de un título como un bono TES es bastante fácil de hallar, sin embrago presenta

ciertos inconvenientes a la hora de valorar un título: El primero es que los flujos de

efectivo que ocurren en diferentes momentos del tiempo se están descontando todos a la

misma tasa, en este caso la TIR. Por ejemplo, para el caso que se está estudiando:

Cuando se tiene un bono con varios cupones pagaderos en el año 1, luego en el año 2, y

II.03(2)127

28

así sucesivamente hasta la fecha de maduración no se pueden descontar cada uno de

estos cupones a la misma tasa, ya que la tasa de interés cambia con la longitud del

vencimiento. Este factor se conoce como la estructura a plazos de las tasas de interés.

Otro inconveniente es que dos bonos con misma fecha de maduración pueden tener una

TIR diferente debido a que pagan cupones diferentes. Esto hace que no se pueda tener

una tasa de interés fija para un momento en el tiempo. Por ejemplo lo que se busca es

saber qué tasa de interés usar para descontar un flujo futuro sin importar la cantidad de

este flujo, esta tasa se mantiene fija para cualquier flujo que se quiera traer a valor

presente. Estos dos inconvenientes llevan a que se busque una manera de resolver estos

problemas, lo cual lleva a la aparición de las tasas cero cupón o tasas spot. La aparición

de este indicador es bastante reciente en el mercado financiero colombiano, o por lo

menos su información es pública desde hace aproximadamente dos años.

Un bono cero cupón es un bono que tiene un solo pago y este se realiza en la fecha de

maduración. La tasa con la cual se descuenta este flujo único es conocida como la tasa

spot s(t) que depende del tiempo. Un bono con varios cupones puede ser visto como

varios bonos cero cupón que tienen diferentes fechas de vencimiento. Esto hace que el

precio de un bono se defina de la siguiente manera:

( ) ( ))(1)(1100

1Ni

tP

tstsC

Nit

N

i

i

+∑

++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

=

[11]

Esta expresión se diferencia de la anterior en la tasa de descuento. Anteriormente se

usaba la TIR como factor de descuento, ahora se usa la tasa spot s(t) que varía en el

tiempo. Por lo tanto cada cupón que se tiene se descuenta a una tasa adecuada.

La curva cero cupón se construye usando las tasas spot s(t) para diferentes plazos de

vencimiento t. De tal manera que en el eje horizontal se tiene el tiempo y en el eje vertical

se encuentra los diferentes niveles de tasa de interés. Para cada día se hace una

estimación de toda la curva cero cupón hasta 10 años en adelante ya que para los TES

en pesos, el tiempo máximo de madurez que se tiene es de 10 años.

II.03(2)127

29

2.2.2 Métodos de estimación

El modelo econométrico que se implementa trata de especificar la función s(t), o la función

de descuento d(t) que viene dada por:

( ))(11)(

ts ttd+

= [12]

Se quiere encontrar unos parámetros β que permita estimar esta función, tal que ),( βtd

dependa de esos parámetros.

El objetivo de esta función es encontrar un factor de descuento adecuado para poder dar

un precio estimado al activo financiero, de tal manera que difiera en la menor cantidad

posible del precio observado en los mercados financieros. El precio observado PO viene

dado por:

( ) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= ∑

+=

N

i

i

TIRoC

tPO

i1 1 [13]

Aquí la TIRo es la TIR observada del bono. Por otro lado el precio estimado PE vendría

dado por:

∑ ⋅=t

tCtdPE ),( β [14]

De esta manera ya se puede ver que la diferencia que haya entre el precio observado y el

precio estimado va a ser el error que se va a querer minimizar. Si se quiere extender a un

mercado de M activos se obtiene lo siguiente:

iii PEPO −=ε

II.03(2)127

30

El problema sería:

( )∑ −=

M

iiiMin PEPO

1

2

β [15]

La especificación de la forma funcional de la función de descuento es lo que da origen a

diversos métodos econométricos. Existen varias maneras de llegar a ella, y para más

detalles ver el método de Nelson y Siegel5

2.3 Análisis de componentes principales

El análisis de componentes principales es un método de estadística multivariada que

permite transformar los datos para cumplir una serie de requisitos que permite que sean

más fáciles los cálculos. A continuación se presenta el desarrollo de este método de

trabajo, y cómo se aplicó para este trabajo.

2.3.1 Desarrollo y objetivo del método6

El objetivo de usar componentes principales es de extraer la mayor cantidad de

información de una serie de n observaciones de k de variables en un nuevo número de

variables m llamadas componentes principales que son combinación lineal de las

variables originales. Por lo general se quiere que m sea bastante inferior a k para que se

simplifique el análisis.

Antes de empezar el análisis, hay que decir que los datos con los que se va a trabajar

deben ser estacionarios. Por lo tanto se va a trabajar con los datos estandarizados. En la

siguiente sección, se muestra la aplicación para el caso aquí comentado.

5 BOLSA DE VALORES DE COLOMBIA, Métodos de Estimación de la Curva Cero Cupón para Títulos TES, Capítulo 5, Noviembre de 2002. 6 Alexander, C., A Primer on the Orthogonal GARCH model, Febrero de 2000.

II.03(2)127

31

Se llama Χ la matriz de variables y observaciones normalizada. Se aplica componentes

principales a la matriz de correlaciones que viene dada por ΧΧ' . Esta es una matriz

simétrica de k x k que tiene de 1x hasta kx columnas (que se puede llamar vectores

también). Cada componente principal va a ser una combinación lineal de estos vectores,

donde las coordenadas de cada vector son escogidas de tal manera que se satisfagan las

siguientes condiciones:

• El primer componente principal explique la mayor cantidad de la variabilidad total que

hay en la muestra Χ , el segundo componente explique la mayor cantidad de

variabilidad total restante y así sucesivamente;

• Los componentes principales no están correlacionados entre si.

Se ha demostrado que estas dos condiciones se cumplen al obtener los valores y

vectores propios (también conocidos como eigenvalores y eigenvectores) de la matriz de

correlaciones ΧΧ' mediante una descomposición espectral.

Se llama W a la matriz de vectores propios de la matriz de correlaciones, se tiene

entonces:

Λ=ΧΧ **' WW

En donde Λ es un matriz diagonal que contiene los valores propios de ΧΧ' . Se ordena

de tal manera que la primera columna de W corresponda al valor propio más grande, y

así sucesivamente.

Se define el m-ésimo componente principal de la siguiente manera:

kkmm XwXwPm

++= ....11 [16]

Lo que equivale en notación matricial:

XWP =

II.03(2)127

32

Para ver por qué se llega a tener componentes principales no correlacionados, se

demuestra lo siguiente:

Λ∗∗=∗∗∗=∗ WWWXXWPP ''''

Y como W es una matriz ortogonal se tiene que 1' −=WW y por lo tanto Λ=∗PP ' .

Esta es una matriz diagonal y por lo tanto las columnas de P no están correlacionadas y

la varianza del m-ésimo componente principal es mλ . Como se puede ver la varianza de

cada componente principal está determinada por el valor propio correspondiente. Por lo

tanto la porción de variabilidad explicada por el m-ésimo componente sería ∑=

k

iim

1/ λλ .

Pero como se sabe, la suma de todos los valores propios corresponde al número de

variables que se tiene, que en este caso es k.

Por último, lo interesante de esto es que se puede generar otra vez los datos iniciales a

partir de los componentes principales, ya que se sabe que 1' −=WW se puede escribir

que 'WP ∗=Χ lo que quiere decir que:

kikii PwPw ∗++∗=Χ ....11 [17]

Esto quiere decir que cada vector de Χ es una combinación lineal de los componentes

principales. Esta parte es muy importante, porque se puede volver a generar los datos de

la muestra usando un menor número de componentes principales que de variables, claro

que habiendo un error de estimación. Si se usaran todos los componentes principales, la

estimación sería perfecta. Está claro que lo ideal es representar la mayor cantidad de

información, y por lo tanto la mayor variabilidad posible en el menor número de variables o

componentes principales en este caso. En la siguiente sección se verá cuántos

componentes principales se usaron para la estimación.

II.03(2)127

33

2.3.2 Aplicación para las tasas

Para entender cómo se fue usando el método de componentes principales, se muestra

primero los datos que se usaron, cómo se transformaron y cómo se llega a la matriz de

varianza-covarianza de la cual se obtienen los componentes principales. Para este caso

se usaron las tasas de la curva cero cupón para intentar explicar su comportamiento para

el caso colombiano con relación a otros países desarrollados. Hay que aclarar que se

usaron las tasas para efectuar los cálculos de tal manera que se pueda comparar los

resultados con los obtenidos para el caso de EEUU y poder compararlos.

2.3.2.1 Datos iniciales y transformación

Inicialmente se parte de 200 observaciones diarias de la curva spot7 entre el 15 de

Noviembre de 2002 y el 9 de Septiembre de 2003. Realmente los datos que se tenía era

los estimadores Beta´s para calcular las tasas spot día a día:

FECHA β0 β1 β2 τ

15-Nov-02 12,668304 -6,575788 13,011075 2,240834

18-Nov-02 13,241268 -8,613855 11,256388 1,616178

19-Nov-02 12,392805 -6,338521 12,671025 2,192553

, , , , ,

, , , , ,

8-Sep-03 15,99217 -8,755929 0,671778 1,900832

9-Sep-03 15,676688 -8,586163 3,075345 2,327292

Luego mediante la aplicación de las formulas de la curva de Nelson y Siegel y la

utilización de un macro en Excel se buscó obtener las tasas spot para esos días para los

diferentes horizontes de tiempo utilizados:

7 Esta información fue obtenido por dos fuentes independientes. Por un lado Javier Gómez proporcionó una parte de estas observaciones y por el otro lado Camilo Santos completó la muestra que se utilizó.

II.03(2)127

34

1 día 1 mes 3 m 6 m 1 año 2 a 3 a 4 a 5 a 7 a 9 a

15-Nov-02 6,29 6,66 7,37 8,33 10,00 12,29 13,66 14,44 14,85 15,10 15,04

18-Nov-02 4,75 5,25 6,21 7,49 9,58 12,18 13,52 14,19 14,51 14,68 14,65

19-Nov-02 6,25 6,61 7,31 8,27 9,91 12,14 13,45 14,18 14,56 14,77 14,68

Todos estos datos ya son las tasas spot en porcentaje, con las cuales se va a empezar a

hacer los cálculos.

Para aplicar componentes principales, se debe llegar primero a una matriz de datos

estacionarios, la cual se va a llamar la matriz Χ . Para esto se usa la variación absoluta

de los datos, es decir una observación menos la observación anterior. Luego se

estandariza estos nuevos datos para cada variable, es decir se resta la media y se divide

por la desviación estándar.

2.3.2.2 Matriz de varianza-covarianza inicial, valores y vectores propios

Una vez se tiene la matriz Χ se procede a obtener la matriz de varianza-covarianza. Para

hacer esto se aplica sencillamente la fórmula para esto que viene dada por: 1/ −ΧΧ nt ,

donde n es el número de observaciones de Χ , que en este caso es 199.

Se obtiene la siguiente matriz:

1 día 1 mes 3 m 6 m 1 año 2 a 3 a 4 a 5 a 7 a 9 a

1 día 1,000 0,995 0,975 0,879 0,382 -0,285 -0,224 -0,092 -0,018 -0,003 -0,097

1 mes 0,995 1,000 0,989 0,909 0,436 -0,259 -0,231 -0,111 -0,038 -0,012 -0,090

3 m 0,975 0,989 1,000 0,961 0,559 -0,178 -0,230 -0,142 -0,075 -0,027 -0,065

6 m 0,879 0,909 0,961 1,000 0,762 0,006 -0,188 -0,169 -0,120 -0,038 -0,005

1 año 0,382 0,436 0,559 0,762 1,000 0,547 0,122 -0,033 -0,058 0,036 0,180

2 a -0,285 -0,259 -0,178 0,006 0,547 1,000 0,824 0,627 0,518 0,445 0,401

3 a -0,224 -0,231 -0,230 -0,188 0,122 0,824 1,000 0,950 0,877 0,718 0,449

4 a -0,092 -0,111 -0,142 -0,169 -0,033 0,627 0,950 1,000 0,979 0,838 0,493

5 a -0,018 -0,038 -0,075 -0,120 -0,058 0,518 0,877 0,979 1,000 0,916 0,577

7 a -0,003 -0,012 -0,027 -0,038 0,036 0,445 0,718 0,838 0,916 1,000 0,832

9 a -0,097 -0,090 -0,065 -0,005 0,180 0,401 0,449 0,493 0,577 0,832 1,000

II.03(2)127

35

Hay que decir que cuando los datos están estandarizados se obtiene una matriz de

correlaciones, la cual es un caso especial de la matriz de varianza-covarianza.

Es interesante ver cómo las correlaciones entre los plazos cortos son bastante altas así

como entre los plazos largos, pero las correlaciones de los plazos cortos con los largos

son bastante bajas. Esto tiene sentido con lo que aparece en la literatura de estructura de

plazos de tasas de interés.

El siguiente paso es obtener los valores propios de esta matriz como se había explicado

anteriormente en la parte de desarrollo y objetivo del método. Para lograr esto se usó un

macro de Excel que se llama Matrix Functions and Linear Algebra8. Este pequeño

software es de gran utilidad ya que permita obtener directamente los valores y vectores

propios de una matriz sin tener que pasar por las operaciones matriciales que se deben

hacer. Además permite realizar los cálculos con diferentes métodos, de tal manera que se

pudieron verificar los resultados obtenidos. Por otra parte, se realizaron los mismos

cálculos en el paquete estadístico SAS y se llegaba a los mismos resultados.

Los resultados que se obtienen en este macro son solamente los valores propios

presentados a continuación y la matriz de componentes principales que se presenta más

adelante. Los otros resultados presentados son cálculos hechos para mostrar la cantidad

de la variabilidad total de la información que logran explicar los componentes principales:

8 Programa elaborado en Visual Basic para Excel por Foxes Team, que permite utilizar una gran variedad de funciones con operaciones matriciales que no están incluidas en la versión corriente de Excel.

II.03(2)127

36

Proporción

Valores Propios proporción acumulada

lambda 1 4,8751821 0,4431984 44,320%

lambda 2 3,94939982 0,3590363 80,223%

lambda 3 1,32018316 0,1200167 92,225%

lambda 4 0,78532182 0,0713929 99,364%

lambda 5 0,06403049 0,0058210 99,947%

lambda 6 0,00429869 0,0003908 99,986%

lambda 7 0,00156391 0,0001422 100,000%

lambda 8 1,9812E-05 0,0000018 100,000%

lambda 9 1,9931E-07 0,0000000 100,000%

lambda 10 4,3425E-09 0,0000000 100,000%

lambda 11 3,1313E-11 0,0000000 100,000%

Varianza

total 11

Como se puede apreciar en la tabla anterior, los tres primeros componentes principales

logran explicar un 92.2% del total de la información. Esto quiere decir que si solo se

utilizara tres componentes principales para intentar representar toda la información en la

muestra, solamente se estaría incurriendo en un error del 8.3% lo cual es bastante

aceptable. Si bien con cuatro componentes principales se lograría capturar 99.4% de la

información, solo se escogen tres ya que estos tres componentes principales tiene una

supuesta explicación teórica, y además facilita más los cálculos que toca hacer más

adelante para predecir los estimados de volatilidad.

En la siguiente tabla se presenta los 11 componentes principales que se obtiene de los

datos (este es el número máximo de componentes debido a que se tienen solo 10

variables). En gris se tiene los tres primeros componentes que corresponden a los tres

primeros valores propios. Estos componentes son aquellos que se van a usar para luego

replicar la información.

II.03(2)127

37

prin 1 prin 2 prin 3 prin 4 prin 5 prin 6 prin 7 prin 8 prin 9 prin 10 prin 11

-0,274 0,368 -0,246 -0,122 -0,295 0,752 -0,248 -0,001 0,000 0,000 0,000

-0,279 0,375 -0,199 -0,098 -0,190 -0,292 0,451 0,343 0,393 -0,244 -0,275

-0,283 0,389 -0,085 -0,044 -0,033 -0,293 0,146 -0,090 -0,252 0,387 0,655

-0,265 0,399 0,140 0,044 0,194 -0,233 -0,214 -0,397 -0,408 -0,106 -0,526

-0,091 0,331 0,617 0,145 0,362 0,089 -0,251 0,175 0,439 -0,094 0,216

0,295 0,186 0,561 -0,146 -0,271 0,210 0,425 0,210 -0,347 0,224 -0,171

0,388 0,197 0,101 -0,342 -0,335 -0,124 -0,041 -0,491 0,152 -0,477 0,249

0,376 0,227 -0,158 -0,306 -0,002 -0,188 -0,339 0,025 0,321 0,608 -0,255

0,359 0,251 -0,266 -0,164 0,325 -0,040 -0,191 0,523 -0,399 -0,344 0,124

0,333 0,270 -0,261 0,289 0,460 0,289 0,479 -0,342 0,132 0,065 -0,019

0,263 0,206 -0,063 0,780 -0,451 -0,143 -0,204 0,099 -0,029 -0,011 0,003

Para el caso colombiano, la interpretación de estos componentes principales difiere de lo

que usualmente se obtiene para información de países más desarrollados como sería el

caso de EEUU9. Generalmente el primer componente principal tiene todos sus pesos

positivos, lo cual induce un desplazamiento paralelo hacia arriba o hacia abajo en la

curva, a este componente se le conoce en inglés como trend lo que se traduce al español

como tendencia. Esto quiere decir que la mayoría de la información (que usualmente es

alrededor del 80% de la información total) expresada en el primer componente induce a

cambios paralelos en la curva. Ya se verá que no es lo mismo para el caso colombiano.

Por otra parte, continuando con el caso de países desarrollados, el segundo componente

principal, parte de tener unos valores positivos y poco a poco va disminuyendo hacia

valores negativos, es decir que opone los plazos cortos con los largos. Esto implica que la

mayor cantidad de información restante, que es aproximadamente un 10% y está

expresada en el segundo componente principal induce a cambios en la pendiente de la

curva, se le conoce en inglés como tilt y correspondería en español a un entoldamiento de

la curva. Ahora bien, lo interesante para el caso colombiano es que este comportamiento

parece estar invertido. Como se puede apreciar en la tabla presentada anteriormente el

9 Alexander, C., A Primer on the Orthogonal GARCH model, Febrero de 2000.

II.03(2)127

38

primer componente principal pareciera tener más un comportamiento que describe la

pendiente de la curva mientras que el segundo componente principal trata de describir los

cambios paralelos que puede haber en ésta. Por otra parte, el primer componente

principal solo cubre aproximadamente el 47% de la información, y el segundo cubre el

33%. Esto quiere decir que se reparte más la información entre los dos componentes, a

diferencia de casos como el de las tasas de EEUU.

Es interesante notar esto, y puede haber muchas explicaciones al respecto. Una posible

explicación al respecto es que la poca información que se tiene respecto a la curva. En

Colombia, la curva cero cupón apareció hace poco tiempo, aproximadamente 2 años,

mientras que en países desarrollados, la información que se tiene es hasta de 10 años

atrás. También se verá más adelante que las primeras estimaciones que se hace son

bastante volátiles, y a medida que se avanza en el tiempo, el método se va a adaptando

mejor y tiende a estabilizarse. Por lo tanto puede haber varias razones por las cuales esta

curva sigue un comportamiento un poco diferente a la de algún país desarrollado, pero se

tendería a pensar que es en gran parte a la novedad y poca profundidad de la

información.

Por último hay que decir que el tercer componente principal tiene un comportamiento

similar en los dos casos, tanto en Colombia como en EEUU. Los pesos empiezan

negativos para los cortos plazos, luego se vuelven positivos para los medianos plazos, y

por último se vuelven negativos para los plazos largos. A este componente se le conoce

como convexity es decir convexidad. Es bastante claro, ya que tiende a provocar un

arqueamiento de la curva dándole mayor peso a los medianos plazos y menor peso a los

plazos largos y cortos.

2.3.3 Aplicación para los precios

Como bien se sabe el VAR de un portafolio se calcula en dinero, por lo tanto cuando hay

que hacer los cálculos para llegar a un VAR en pesos, hay que trabajar con los precios de

los bonos cero cupón y no con las tasas.

II.03(2)127

39

2.3.3.1 Datos iniciales y transformación

Ahora bien hay que decir que estas dos variables están íntimamente relacionadas la una

con la otra. Para llegar de la tasa cero cupón al precio de un bono cero cupón solo hay

que hacer la siguiente transformación:

ttsP

))(1(100

+=

Donde P es el precio del bono, s(t) es la tasa cero cupón en el tiempo t y, t es el tiempo en

años para la madurez del bono cero cupón. De esta manera se obtuvieron los datos de

los precios de los bonos en base 100 para todos los datos para los cuales se tenía una

tasa spot.

1 día 1 mes 3 m 6 m 1 año 2 a 3 a 4 a 5 a 7 a 9 a

15-Nov-02 99,98 99,47 98,26 96,13 90,91 79,30 68,11 58,31 50,04 37,36 28,35

18-Nov-02 99,99 99,58 98,52 96,50 91,26 79,47 68,35 58,81 50,80 38,34 29,22

19-Nov-02 99,98 99,48 98,27 96,16 90,99 79,52 68,49 58,84 50,69 38,13 29,14

Estos son los precios de los bonos cero cupón para esos tiempos de maduración (nodos

estándar) y en esas fechas. Estos datos se obtienen hasta el día 9 de octubre de 2003

que es la fecha que se establece como límite para empezar a hacer los cálculos. Sin

embargo se verá más adelante que se usará información posterior a esa fecha para

replicar el método.

Una vez se obtienen todas las observaciones se procede a transformar los datos para

luego poder aplicar componentes principales.

Primero que todo se debe establecer una matriz de retornos sobre los precios, para esto

se aplica la siguiente fórmula recursiva:

II.03(2)127

40

1

1

−

−−=

i

iii P

PPR [18]

De esta manera se obtienen los retornos sobre los precios para todas las observaciones.

Hay que aclarar que se pierde solo una observación. Una vez se tiene esta matriz de

datos, se procede a estandarizarlos como se hizo para el caso de las tasas, es decir se

resta la media de los retornos para cada nodo y se divide por la desviación estándar de

los retornos de ese nodo.

2.3.3.2 Matriz de varianza-covarianza inicial, valores y vectores propios

De la misma manera que en el numeral 2.3.2.2, la matriz Χ va a ser en este caso la

matriz de observaciones para los datos de los retornos estandarizados sobre los precios.

Para obtener la matriz de covarianza inicial, y pues en este caso de correlaciones porque

los datos están estandarizados, se calcula 1/ −ΧΧ nt . Se obtiene la siguiente matriz:

1 día 1 mes 3 m 6 m 1 año 2 a 3 a 4 a 5 a 7 a 9 a

1 día 1,000 0,998 0,977 0,880 0,381 -0,284 -0,224 -0,092 -0,018 -0,002 -0,096

1 mes 0,998 1,000 0,989 0,908 0,434 -0,255 -0,228 -0,109 -0,036 -0,010 -0,087

3 m 0,977 0,989 1,000 0,961 0,558 -0,174 -0,227 -0,140 -0,074 -0,024 -0,062

6 m 0,880 0,908 0,961 1,000 0,762 0,011 -0,185 -0,167 -0,118 -0,036 -0,003

1 año 0,381 0,434 0,558 0,762 1,000 0,550 0,124 -0,032 -0,058 0,036 0,180

2 a -0,284 -0,255 -0,174 0,011 0,550 1,000 0,823 0,626 0,517 0,442 0,398

3 a -0,224 -0,228 -0,227 -0,185 0,124 0,823 1,000 0,950 0,877 0,717 0,447

4 a -0,092 -0,109 -0,140 -0,167 -0,032 0,626 0,950 1,000 0,979 0,837 0,491

5 a -0,018 -0,036 -0,074 -0,118 -0,058 0,517 0,877 0,979 1,000 0,915 0,575

7 a -0,002 -0,010 -0,024 -0,036 0,036 0,442 0,717 0,837 0,915 1,000 0,831

9 a -0,096 -0,087 -0,062 -0,003 0,180 0,398 0,447 0,491 0,575 0,831 1,000

Lo primero que se puede decir es que es una matriz muy parecida a la matriz de

correlaciones encontrada cuando se trabaja con tasas, por lo tanto es de esperarse que

II.03(2)127

41

cuando se obtengan vectores y valores propios, también se llegue a resultados muy

parecidos.

Utilizando el macro Matrix 1.3 citado anteriormente, se hicieron los cálculos de vectores y

valores propios y se obtuvieron los siguientes resultados:

Proporción

Valores Propios Proporción acumulada

lambda 1 4,86255545 0,442050495 44,205%

lambda 2 3,95738887 0,359762625 80,181%

lambda 3 1,32471973 0,120429066 92,224%

lambda 4 0,78843527 0,071675934 99,392%

lambda 5 0,06462503 0,005875003 99,979%

lambda 6 0,00224296 0,000203906 100,000%

lambda 7 3,1991E-05 2,90828E-06 100,000%

lambda 8 6,4038E-07 5,82166E-08 100,000%

lambda 9 5,7284E-08 5,20762E-09 100,000%

lambda 10 2,5557E-09 2,32339E-10 100,000%

lambda 11 2,0746E-12 1,88601E-13 100,000%

Varianza

Total 11

II.03(2)127

42

prin 1 prin 2 prin 3 prin 4 prin 5 prin 6 prin 7 Prin 8 prin 9 prin 10 prin 11

-0,274 0,369 -0,245 -0,123 -0,279 0,301 0,315 0,366 -0,301 0,329 -0,336

-0,279 0,376 -0,199 -0,099 -0,202 0,163 0,099 -0,009 0,204 -0,336 0,707

-0,283 0,390 -0,084 -0,044 -0,038 -0,086 -0,230 -0,374 0,356 -0,326 -0,570

-0,264 0,399 0,140 0,045 0,196 -0,326 -0,383 -0,227 -0,301 0,508 0,240

-0,090 0,330 0,616 0,148 0,364 -0,125 0,273 0,425 0,028 -0,272 -0,054

0,295 0,187 0,561 -0,144 -0,272 0,458 0,120 -0,407 0,139 0,243 0,025

0,388 0,198 0,102 -0,341 -0,335 -0,113 -0,459 0,243 -0,401 -0,356 -0,027

0,377 0,226 -0,156 -0,306 -0,003 -0,377 0,066 0,278 0,582 0,355 0,023

0,360 0,251 -0,265 -0,165 0,325 -0,170 0,502 -0,412 -0,355 -0,167 -0,009

0,334 0,270 -0,263 0,288 0,462 0,547 -0,353 0,144 0,073 0,024 0,001

0,262 0,206 -0,066 0,780 -0,452 -0,245 0,104 -0,032 -0,013 -0,003 0,000

Efectivamente, se puede ver que los resultados son muy parecidos a los resultados

obtenidos por medio de las tasas, por lo tanto se puede decir que se puede partir de

cualquiera de los dos resultados, tanto precios como tasas, para aplicar la técnica de

componentes principales. Sin embargo, en la parte que sigue, se hace uso de unos

resultados encontrados para los precios, los cuales son importantes para poder

reconstruir la matriz de covarianza a partir de solamente 3 componentes principales.

2.3.4 Reconstrucción de la matriz de varianza-covarianza

Como se había explicado en el numeral 2.3.1, aquí se retoma una parte de lo dicho ahí

para mostrar cómo se genera una nueva matriz de varianza-covarianza a partir de

solamente tres componentes principales.

Se había dicho que se podía regenerar dicha matriz de la siguiente manera (usando la

ecuación 16 modificada):

ikikii PwPw ε+∗++∗=Χ ....11 [19]

II.03(2)127

43

Donde k es el número de componentes principales que se quiere usar, que para efectos

de este trabajo va a ser 3, debido a que con tres componentes principales se puede

explicar el 92% de la información, lo cual es bastante aceptable.

Sin embargo hay que tener en cuenta que los datos, es decir los iX están

estandarizados: ( )

i

iiii

RrX

σµ−

== donde Ri es el retorno calculado sin estandarizar.

Por lo tanto cuando se quiera generar una matriz de varianza covarianza hay que

transformar los datos, o mejor dicho devolver a su estado normal. Por lo tanto la ecuación

anterior se puede rescribir de la siguiente manera:

iiiiii PwPwPwR εµ +∗+∗+∗+= ∗∗∗332211 [20]

Donde ir es el retorno para el día i, iµ es la media de los retornos para ese nodo

estándar, y iijij ww σ∗=∗ es el peso del vector propio, el cual está multiplicado por la

desviación estándar de las observaciones para dicho nodo.

Todo esto de tal manera que para regenerar la matriz de covarianza se hace la siguiente

operación:

εVADAV T += [21]

Donde )( ∗= ijwA es la matriz compuesta por los tres componentes principales pero

multiplicados por sus respectivas desviaciones estándar,

))(),(),(( 321 PVarPVarPVardiagD = es la matriz con varianzas de los componentes

principales en su diagonal y por último εV es el error que se genera por usar solo 3 de los

11 vectores propios.

Es decir que inicialmente si se quiere generar la matriz de covarianzas con solo tres

componentes principales sin hacer inferencias en la estimación de la volatilidad, en la

diagonal de D irían los valores propios correspondientes a los primeros 3 vectores propios

II.03(2)127

44

(Como se explicó anteriormente la varianza explicada por cada vector propio corresponde

al valor propio correspondiente). Sin embargo como se mostrará en la siguiente sección,

lo que se trata es de hacer estimaciones de la varianza de las observaciones que se

obtendrían en las variables generadas por estos vectores propios.

A continuación se muestra los resultados obtenidos para la matriz A, usando solamente

tres vectores propios:

prin 1 prin 2 prin 3

-0,2742 0,3685 -0,2453

-0,2787 0,3759 -0,1995

-0,2825 0,3896 -0,0844

-0,2644 0,3989 0,1404

-0,0901 0,3303 0,6162

0,2950 0,1867 0,5613

0,3882 0,1975 0,1021

0,3769 0,2265 -0,1563

0,3600 0,2506 -0,2651

0,3335 0,2697 -0,2626

0,2622 0,2055 -0,0661

desviación retornos

2,0408E-05 0,000533 0,0012057

II.03(2)127

45

Matriz A

-0,000006 0,000008 -0,000005

-0,000149 0,000200 -0,000106

-0,000341 0,000470 -0,000102

-0,000431 0,000650 0,000229

-0,000175 0,000641 0,001195

0,000938 0,000594 0,001784

0,002087 0,001062 0,000549

0,003040 0,001827 -0,001261

0,003759 0,002616 -0,002769

0,004531 0,003663 -0,003567

0,004580 0,003590 -0,001155

Ahora se muestra cómo se obtuvo una nueva matriz de covarianza pero sin hacer

inferencias sobre la volatilidad. Es decir que se generó una matriz usando como se había

dicho anteriormente sólo 3 componentes principales:

Matriz D

4,86255545 0 0

0 3,95738887 0

0 0 1,32471973

Esta matriz tiene en su diagonal los valores propios obtenidos en la sección 2.3.3.2, los

cuales corresponden a la varianza de los puntajes obtenidos a partir de regenerar las

observaciones utilizando solamente tres componentes principales. Si inicialmente se

tenían 11 variables con 199 observaciones de precios para cada nodo estándar, lo que se

hizo fue regenerar 199 observaciones para 3 de esas 11 variables, usando tres

componentes principales. Al calcular la varianza de estas nuevas tres variables, se va a

obtener los tres valores propios mostrado en la diagonal de la matriz D.

La nueva matriz de covarianza sería:

II.03(2)127

46

Nueva matriz de covarianza V A*D*A'

1 día 1 mes 3 m 6 m 1 año 2 a 3 a 4 a 5 a 7 a 9 a

4E-10 1E-08 2E-08 3E-08 2E-08 -2E-08 -3E-08 -2E-08 -6E-09 9E-09 -1E-08

1E-08 3E-07 6E-07 8E-07 5E-07 -5E-07 -7E-07 -6E-07 -3E-07 1E-07 -3E-07

2E-08 6E-07 1E-06 2E-06 1E-06 -7E-07 -2E-06 -1E-06 -1E-06 -2E-07 -8E-07

3E-08 8E-07 2E-06 3E-06 2E-06 1E-07 -1E-06 -2E-06 -2E-06 -1E-06 -7E-07

2E-08 5E-07 1E-06 2E-06 4E-06 4E-06 2E-06 5E-08 -9E-07 -2E-07 3E-06

-2E-08 -5E-07 -7E-07 1E-07 4E-06 1E-05 1E-05 2E-05 2E-05 2E-05 3E-05

-3E-08 -7E-07 -2E-06 -1E-06 2E-06 1E-05 3E-05 4E-05 5E-05 6E-05 6E-05

-2E-08 -6E-07 -1E-06 -2E-06 5E-08 2E-05 4E-05 6E-05 8E-05 1E-04 1E-04

-6E-09 -3E-07 -1E-06 -2E-06 0,000 2E-05 5E-05 8E-05 0,0001 0,0001 0,0001

9E-09 1E-07 -2E-07 -1E-06 0,000 2E-05 6E-05 1E-04 0,0001 0,0002 0,0002

-1E-08 -3E-07 -8E-07 -7E-07 3E-06 3E-05 6E-05 1E-04 0,0001 0,0002 0,0002

Se puede ver que los valores son bastante pequeños, pero aparentemente son

consistentes con los resultados que se tendrán más adelante. Una vez presentado el

método de cómo regenerar matrices de covarianza, ya se puede proceder a los pasos

finales del estudio que corresponden a hacer estimaciones de volatilidad por medio de

EWMA y a calcular el VAR de cada portafolio.

2.4 Modelo de varianza EWMA10

Gran parte de la importancia de la aplicación de cualquier modelo financiero aplicado para

calcular riesgo, reposa sobre cómo se calcula y cómo se estima la volatilidad de la

variable en juego. Con cualquier instrumento financiero que se esté manejando, es

indispensable hacer unas buenas estimaciones de de la volatilidad del factor de riesgo

involucrado. Hay muchos factores que pueden afectar el comportamiento de un 10 J.P. Morgan, RiskMetricsTM- Technical Document, Capítulo 5, Estimation and Forecast. Fourth Edition,

New York, (1996).

II.03(2)127

47

instrumento financiero, como por ejemplo la tasa de cambio o la tasa de interés, y por lo

tanto es indispensable realizar unas buenas estimaciones de su volatilidad, para intentar

predecir con el mayor nivel de confianza posible su comportamiento futuro. Para el caso

aquí presentado, se quiere estimar la volatilidad en precio de los bonos cero cupón,

usando el método presentado por J.P. Morgan conocido como exponential weighted

moving average o en español como promedios móviles exponenciales.

2.4.1 Definición

Inicialmente, cuando se hicieron los cálculos anteriormente en la sección 2.3.4., se estimó

la varianza de manera tradicional, es decir que se usó el siguiente estimador:

( )2

1

2 1 ∑=

−=T

tt rr

Tσ Es decir que la volatilidad sería ( ) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑

=

T

tt rr

T 1

21σ

Donde T es el número de observaciones, tr es el retorno en el día t y r es el promedio de

los retornos para la muestra que se tiene. Como se puede apreciar estos estimadores le

dan el mismo peso a todas las observaciones, el cual es 1/ T. Esto quiere decir que en la

estimación final de la varianza, cada dispersión de la observación con respecto a la media

se le va a dar el mismo peso, por lo tanto es tan importante lo que pasó hace un año o

hace un día. Obviamente después de observar las series de volatilidad de varios

instrumentos financieros, lo primero que se constata es que las series de volatilidades

tienen agrupamientos de alta volatilidad y de baja volatilidad11. Esto quiere decir que

cuando se tiene una alta volatilidad es más factible tener una alta volatilidad el día de

mañana que una baja volatilidad. Y lo mismo pasa cuando se tiene un periodo de baja

volatilidad.

Ahora bien, lo que hicieron los analistas de J.P. Morgan fue buscar un nuevo estimador de

la varianza, más precisamente de la volatilidad, que le diera más importancia a las

11 Best, P., Implementing Value At Risk, Capítulo 4, John Wyley & Sons, (1998).

II.03(2)127

48

observaciones recientes y que este peso fuera decayendo a medida que la observación

fuera quedando más en el pasado. Se llegó al siguiente estimador de la volatilidad:

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−= ∑

=

−T

tt

t rr1

211 λλσ [22]

Lo primero que se puede decir comparando la ecuación de este estimador con la del

estimador anterior, es que ahora hay un nuevo parámetro λ que aparece. Este parámetro

se llama factor de decaimiento y está situado entre 0 y 1. Este parámetro determina los

pesos que se le va a dar a cada observación. El modelo se llama exponencial porque este

factor al estar situado entre 0 y 1 y al elevarlo a diferentes potencias cada vez mayores,

cada vez va ir siendo más pequeño y se leva a ir dando menor peso a las observaciones

más lejanas.

La pregunta que surge es cómo se estima el parámetro λ . La literatura empírica ha

determinado diferentes valores apropiados para el factor de decaimiento, dependiendo del

mercado en el cual uno se sitúe y dependiendo del horizonte para el cual se estén

haciendo las estimaciones. Sin embargo, como se mostrará más adelante, se hicieron

unas estimaciones de λ tal que se cumpliera ciertas condiciones que se enunciarán en

las siguientes secciones.

2.4.2 Aplicación del modelo EWMA

La aplicación del modelo EWMA para el problema aquí estudiado es bastante más

sencilla de lo que inicialmente se podría pensar debido a que no hay que hacer

estimaciones de correlaciones. Esto se debe a que se resolvió el problema de mirar las

correlaciones cuando se aplicó el método componentes principales, ya que este hace que

se creen nuevas variables que son independientes entre sí y por lo tanto su correlación es

cero.

II.03(2)127

49

2.4.2.1 Retornos y puntajes de componentes principales

En el numeral anterior se presentó la ecuación [21] fundamental para establecer la

volatilidad en un modelo EWMA. Se puede llegar a una fórmula recursiva12, después de

hacer ciertas manipulaciones, que calcula la varianza con base en los estimados del día

anterior:

21

21

2 )1( −− −+= nnn rλλσσ [23]

Donde el estimado de 2σ para el día n depende de λ , del estimado de 2σ del día

anterior y del retorno r del día anterior.

Para poder encontrar los estimados EWMA de la varianza para el día siguiente a la fecha

que se tenía como límite, es decir encontrar los estimados para el día 10 de Septiembre

de 2003 a partir de la información que se tenía desde el 15 de Noviembre de 2003 hasta

el 9 de Septiembre de 2003, se procedió de la siguiente manera:

• Se tomaron los puntajes de los tres componentes principales que se han venido

usando, los cuales son retornos (esto se debe a que las variables originales antes

de aplicar componentes principales también eran retornos, por lo tanto los

componentes principales, que vienen siendo combinación lineal de las variables

originales, también son retornos).

• Para inicializar la estimación, es decir calcular 21σ , se tomó el primer puntaje

principal como retorno 0r y como estimador de varianza para el día 0 es

decir 20

20 r=σ . Lo que da como resultado 2

02

021 )1( rr λλσ −+= . Una vez ya se

obtiene el primer estimado para 21σ , ya se puede proceder aplicando directamente

la ecuación [22].

• Esto se realizó para los tres componentes principales tomados para hacer todo el

estudio. Es decir solo estimaron tres futuras varianzas, cada una correspondiente

a cada componente principal. 12 Hull, J. C., Options, Futures and Other Derivatives, Capítulo 17. Fifth Edition, Prentice Hall.

II.03(2)127

50

2.4.2.2 Estimación del factor de decaimiento

Todo lo establecido anteriormente permite ir calculando los estimadores de varianza día

por día, sin embargo hay que determinar qué factor de decaimiento λ se va a usar. Lo

más interesante es que al haber aplicado componentes principales se puede usar un

factor diferente para cada estimación de varianza para cada componente principal. Esto

permite hacer una estimación que se adecue más al comportamiento de cada

componente principal, y por lo tanto se logra hacer el método más efectivo.

Para encontrar el factor de decaimiento para la estimación de cada componente principal

se utilizó la herramienta Solver de Excel, ya que se quería resolver un problema de

minimización.

Para cada componente se resolvió el siguiente problema de optimización:

( )∑ −=

n

i iiMin r1

222σλ

as. 10 ≤≤ λ

Al correr Solver para estas tres series que se tenían, se obtuvieron tres soluciones que

cumplían las restricciones que se había planteado. Los resultados obtenidos fueron los

siguientes:

833587.01 =λ ; 718237.02 =λ ; 811162.03 =λ

Estos valores obtenidos para λ son un poco bajos comparados con los valores que

propone RiskMetrics, los cual generalmente recomienda valores entre 0.94 y 0.97,

dependiendo el mercado y los horizontes de tiempo. Sin embargo estos estimados

encontrados se aplican más a la realidad colombiana debido a que fueron calculados

II.03(2)127

51

explícitamente para este caso, mientras que RiskMetrics trata de estandarizar esos

valores para mercado que generalmente son más profundos y más desarrollados que el

mercado colombiano.

El valor del factor de decaimiento es el encargado de qué tan acentuada es la respuesta

de la volatilidad antes cambios porcentuales en los datos. Estos valores al ser

relativamente bajos la dan más peso a 2r en las estimaciones de la volatilidad. Por lo

tanto si se está en un época de grandes cambios, con bajos factores de decaimiento se

va a reforzar estos cambios y la respuesta de la estimación va a ser mayor. Mientras que

más grande sea el factor de decaimiento, más lenta va a ser la respuesta en la estimación

de la volatilidad por aportes de nueva información.

2.4.2.3 Resultados

Con los tres factores de decaimiento obtenidos anteriormente se hicieron los cálculos de

los estimadores de la varianza día por día para cada puntaje principal. Luego se

graficaron los estimadores de la varianza y los retornos al cuadrado para cada día en un

mismo cuadro. Estas son las curvas obtenidas para cada uno de los puntajes principales,

en azul se tienen los retornos al cuadrado y en rojo los estimadores de la varianza:

Primer componente principal: 833587.01 =λ

0

20

40

60

80

100

120

1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122 133 144 155 166 177 188 199

II.03(2)127

52

Segundo componente principal: 718237.02 =λ

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122 133 144 155 166 177 188 199

Tercer componente principal: 811162.03 =λ

0

5

10

15

20

25

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191

Lo primero que resalta a la vista es que la curva de estimación por EWMA para la

varianza (curva en rojo) casi siempre está por debajo de la curva de los retornos al

cuadrado (curva en azul). Hacia el final de las observaciones, donde la volatilidad de las

dos curvas disminuye, la estimación por EWMA está mucho más estable que la curva de

los retornos. Sin embargo hay casos en donde la curva roja sobre reacciona a los

II.03(2)127

53

cambios que se producen en los retornos y está por encima de ésta. Estos resultados

pueden tener varias explicaciones: Como se había dicho anteriormente, al tener unos

factores de decaimiento relativamente bajos comparados a los que se generalmente se

usan, se sabe que la estimación de la varianza va a sobre reaccionar a cambios

porcentuales en los retornos. Esto se puede ver claramente en las tres primeras partes de

la serie para los tres componentes principales, donde la serie de los retornos es bastante

volátil. La volatilidad de esta serie podría tener como explicación el hecho de que es

bastante nuevo el método. La información que se tiene sobre los precios y las tasas cero

cupón existe desde hace aproximadamente hace dos años. Es normal que cuando se

empieza a medir una variable, no se tenga mucho conocimiento sobre el comportamiento

de ésta, y por lo tanto sea bastante volátil. Al final de la muestra sobre las observaciones

que se tiene, se puede ver que tanto los retornos y las estimaciones se calman, y tiene un

comportamiento más regular, esto hace que las estimaciones no sobrepasen los retornos

y se vuelvan un poco más confiables. Esto muestra que entre más información se tenga,

mayor va a ser la capacidad de predicción correcta del modelo.

Por último, lo más importante y lo que se va a usar para calcular el valor en riesgo de los

portafolios, son las estimaciones para el día siguiente, es decir para el día 10 de

Septiembre de 2003. Los resultados obtenidos para estas estimaciones son coherentes

con las gráficas presentadas anteriormente ya que mantienen un comportamiento de baja

volatilidad y son valores bastante pequeños, lo que va en acorde con lo observado al final

de las series en la gráfica. Los valores obtenidos fueron los siguientes:

σ1 = 0.548557, σ2 = 0.948590, σ3 = 0.117582

Estos valores son los que van a remplazar a las varianzas o valores propios que iban en

la diagonal de la matriz D, para poder generar una nueva matriz de covarianza.

II.03(2)127

54

2.4.2.4 Regeneración de una nueva matriz de covarianza

Como se dijo anteriormente, ahora se tiene una nueva matriz diagonal que ya no tiene

valores propios en la diagonal, sino estimadores de varianza de los puntajes principales

obtenidos aplicando el modelo EWMA a las series de observaciones de los puntajes de

los componentes principales.

La nueva matriz diagonal sería la siguiente:

Matriz D

0,548557592 0 0

0 0,948590391 0

0 0 0,117582502

La matriz A seguiría siendo la misma, ya que esta no depende de ninguna de las

estimaciones que se hagan por medio de modelos EWMA. La matriz A es simplemente

vectores propios multiplicados por desviaciones estándar de los datos originales, los

cuales no cambian en el transcurso del problema.

Por lo tanto la nueva matriz de covarianza que se utiliza para calcular el valor en riesgo

sería la siguiente:

1 día 1 mes 3 m 6 m 1 año 2 a 3 a 4 a 5 a 7 a 9 a

7E-11 2E-09 4E-09 6E-09 4E-09 3E-10 8E-10 4E-09 9E-09 1E-08 1E-08

2E-09 5E-08 1E-07 2E-07 1E-07 1E-08 2E-08 1E-07 2E-07 4E-07 3E-07

4E-09 1E-07 3E-07 4E-07 3E-07 7E-08 8E-08 3E-07 5E-07 8E-07 8E-07

6E-09 2E-07 4E-07 5E-07 5E-07 2E-07 2E-07 4E-07 6E-07 1E-06 1E-06

4E-09 1E-07 3E-07 5E-07 6E-07 5E-07 5E-07 6E-07 8E-07 1E-06 2E-06

3E-10 1E-08 7E-08 2E-07 5E-07 1E-06 2E-06 2E-06 3E-06 4E-06 4E-06

8E-10 2E-08 8E-08 2E-07 5E-07 2E-06 3E-06 5E-06 7E-06 9E-06 9E-06

4E-09 1E-07 3E-07 4E-07 6E-07 2E-06 5E-06 8E-06 1E-05 1E-05 1E-05

9E-09 2E-07 5E-07 6E-07 8E-07 3E-06 7E-06 1E-05 2E-05 2E-05 2E-05

1E-08 4E-07 8E-07 1E-06 1E-06 4E-06 9E-06 1E-05 2E-05 3E-05 2E-05

1E-08 3E-07 8E-07 1E-06 2E-06 4E-06 9E-06 1E-05 2E-05 2E-05 2E-05

II.03(2)127

55

Se puede observar que esta matriz difiere de la matriz presentada anteriormente en que

no hay términos negativos. Por otro lado, se mantiene la magnitud de los valores, los

cuales siguen siendo bastante pequeños. Esta matriz va a ser a la que se va a emplear a

la hora de calcular el valor en riesgo.

2.5 Mapeo de los portafolios

Aplicando el método mejorado descrito en la sección 2.1.3 se mapearon los portafolios.

Una parte se hizo programando en Visual Basic13. Se daba como datos de entrada las

fechas organizadas con los pagos, y luego el programa calculaba las interpolaciones y

ubicaba los flujos entre los nodos correspondientes, es decir su nodo izquierdo y su nodo

derecho respectivo. Además daba las tasas interpoladas y daba las tasas de los nodos a

la izquierda y los nodos a la derecha. Por último se calculaba con fórmulas en Excel el

valor que iba en cada nodo.

2.5.1 Datos de entrada

A continuación se presenta como era la hoja de entrada para el programa, de tal manera

que este daba los resultados. Por ejemplo para el portafolio 5, así eran los datos de

entrada:

Nodos 1 mes 3 m 6 m 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 7 años 9 años

10 0,082 0,247 0,493 1 2 3 4 5 7 9

Tasa

Cero cupón 7,57 7,98 8,57 9,63 11,27 12,45 13,31 13,94 14,78 15,28

13 Ver anexo 1 y 2 .

II.03(2)127

56

fecha inicio fecha cupón pagos

9-Sep-03 8-Nov-03 15000

4-Feb-04 15000

16-Abr-04 115000

25-Jul-04 15000

8-Nov-04 15000

4-Feb-05 115000

25-Jul-05 15000

8-Nov-05 115000

25-Jul-06 115000

En azul se tienen los datos correspondientes a la fechad e valoración que es el 9 de

Septiembre de 2003. Por ejemplo debajo de los nodos aparecen las tasas (que son

porcentajes) que se tenían ese día para esos horizontes de tiempo. Y por otra parte se

tiene la fecha de los pagos que se realizan según los diferentes bonos. A todos los bonos

se les dio un valor nominal de 100 000 y luego se calcularon sus cupones respectivos.

Las fechas en rojo corresponde a la fecha de maduración del algún bono que conformaba

ese portafolio, y por lo tanto el valor en rojo corresponde al valor nominal más el valor del

cupón en la fecha de maduración.

2.5.2 Resultados

Para mirar los resultados, se presenta primero el caso del portafolio 5, el cual es un

portafolio con pocos flujos, y se muestra la metodología seguida y aplicada para todos los

portafolios. Los resultados que daba el programa eran los siguientes:

II.03(2)127

57

fecha cupón pagos Tiempo â Tasa

InterpoladaVP flujo

8-Nov-03 15000 0,1643836 0,500 7,7751434 14809,504

4-Feb-04 15000 0,4054795 0,356 8,3617582 14499,947

16-Abr-04 115000 0,6027397 0,784 8,7996049 109059,48

25-Jul-04 15000 0,8767123 0,243 9,3736113 13816,598

8-Nov-04 15000 1,1671233 0,833 9,9053431 13362,371

4-Feb-05 115000 1,4082192 0,592 10,299798 99473,214

25-Jul-05 15000 1,8767123 0,123 11,066296 12186,974

8-Nov-05 115000 2,1671233 0,833 11,465227 89699,618

25-Jul-06 115000 2,8767123 0,123 12,302612 80722,824

Nodo

izquierdo

Nodo

derecho Tasa izq. Tasa der. Valor izq. Valor der. C

0,08219 0,24658 7,566 7,984 14809,5 4936,5014 -4936,501

0,246575 0,49315 7,984 8,570 8477,994 7683,1818 -1661,228

0,493151 1 8,570 9,632 104474,4 14212,861 -9627,777

0,493151 1 8,570 9,632 5974,745 9166,7319 -1324,879

1 2 9,632 11,268 12989,16 1303,1885 -929,9749

1 2 9,632 11,268 82896,71 28591,689 -12015,18

1 2 9,632 11,268 2819,767 10025,839 -658,6317

2 3 11,268 12,448 80951,51 10829,039 -2080,928

2 3 11,268 12,448 14314,71 67862,311 -1454,192

NODOS

1 día 1 mes 3 meses 6 meses 1 año 2 años 3 años

-34689,3 14809,504 13414,5 118132,32 122085,23 135186,9 78691,3

Cada color se refiere a un solo nodo (los colores se ponen simplemente para facilidad del

lector para entender como se opera en el mapeo). Por ejemplo el primer flujo cae entre el

nodo de un mes (verde oscuro) y el nodo de tres meses (nodo rosado). Luego se calcula

el valor que iría en cada nodo (nodo izquierdo y nodo derecho) por medio de las fórmulas

II.03(2)127

58

presentadas anteriormente, y la posición en efectivo C corresponde siempre al nodo de un

día. Finalmente se suman todos los valores que tengan el mismo color y se ponen en el

nodo que les corresponde. De esta manera se obtiene el mapeo de los bonos. Para

verificación del lector, se puede ver por renglón que la suma de C, valor izquierdo y valor

derecho es igual al valor presente del flujo cuando se toman las tasas como compuestas

continuas.

Los resultados para todos los portafolios se presentan a continuación, pero solamente se

muestra el resultado final:

Portafolio 1

1 día 1 mes 3 m 6 m 1 año 2 a 3 a 4 a 5 a 7 a 9 a

-23570 12121 15340 39493 54069 139860 146042 50385 22444 37646 47243

Portafolio 2

1 día 1 mes 3 m 6 m 1 año 2 a 3 a 4 a 5 a 7 a 9 a

-34028 0 25568 129731 131741 64102 30729 29028 114489 29960 21642

Portafolio 3

1 día 1 mes 3 m 6 m 1 año 2 a 3 a 4 a 5 a 7 a 9 a

-18999 246747 11359 2433 25944 94195 21138 11500 54690 0 0

Portafolio 4

1 día 1 mes 3 m 6 m 1 año 2 a 3 a 4 a 5 a 7 a 9 a

-33625 14810 4937 45670 116955 200551 173162 32899 0 0 0

II.03(2)127

59

Portafolio 5

1 día 1 mes 3 m 6 m 1 año 2 a 3 a 4 a 5 a 7 a 9 a

-34689 14810 13414 118132 122085 135187 78691 0 0 0 0

Todos los resultados obtenidos anteriormente, son en pesos. Para cada bono se tomó un

valor nominal de 100000 pesos, y los resultados presentados corresponden a la cantidad

de dinero que iría en cada nodo. Ahora el paso final es calcular el valor en riesgo para

cada portafolio.

2.6 Cálculo del valor en riesgo

Para calcular el valor en riesgo de los portafolios de bonos presentados anteriormente, se

procede como si se tuviera un portafolio de acciones. Al haber mapeado los portafolios, el

cálculo del VaR se vuelve muy sencillo. Se toma cada nodo en el tiempo como si fuera

una acción. Como se tiene tanto dinero en cada nodo y se tiene la matriz de covarianza

entre los nodos, se puede calcular directamente el VaR con la siguiente fórmula:

ΣΧΧ∗= TZVaR α [24]

Donde αZ es el valor del estadístico normal estándar con α nivel de confianza (para

efectos de los cálculos, se va a hacer con 95% y 99% de nivel de confianza). En este

caso se llama Χ el vector de dinero invertido, por decirlo así, en cada nodo. Por último Σ

es la matriz de covarianza entre los nodos.

II.03(2)127

60

2.6.1 Valor en riesgo usando estimaciones a partir de EWMA

Los resultados que se presentan a continuación tienen en cuenta los dos niveles de

confianza propuestos anteriormente, el 95% y el 99%, con sus respectivos estadísticos

96.195.0 =Z y 58.299.0 =Z . El VaR es la pérdida máxima probable con un nivel de

confianza dado en un horizonte de tiempo. En este caso el horizonte es un día, y la

pérdida está dada en dinero. Sin embargo es interesante dar la pérdida como porcentaje

del valor presente del activo, lo cual corresponde a los datos en las columnas de

porcentajes.

VaR

Portafolios 95% % 99% %

1 2089,23 0,386% 2750,11 0,508%

2 1900,03 0,350% 2501,06 0,461%

3 766,62 0,171% 1009,12 0,225%

4 1314,66 0,237% 1730,52 0,312%

5 761,35 0,170% 1002,19 0,224%

Claramente es siempre es más alto el VaR al 99% que al 95% debido a que se requiere

mayor precisión y esto lo refleja el estadístico αZ que tiene un valor más grande. Los

valores para el VaR son bastante bajos con respecto al valor del portafolio, lo cual

indicaría que invertir en bonos del tesoro colombiano no es muy riesgoso. A partir de

estos resultados se podría ver que el portafolio más riesgoso sería el portafolio 1, el cual

tiene el VaR más alto de todos.

2.6.2 Valor en riesgo usando la varianza como estimador

Para el cálculo del VaR usando la varianza como estimador se obtuvieron los siguientes

resultados (se mantuvieron lo mismos estadísticos que para el caso anterior):

II.03(2)127

61

VaR

Portafolios 95% % 99% %

1 5353,85 0,989% 7047,41 1,302%

2 4618,36 0,851% 6079,27 1,120%

3 1873,54 0,417% 2466,19 0,549%

4 3441,02 0,620% 4529,51 0,816%

5 1877,62 0,419% 2471,56 0,552%

Los resultados aquí obtenidos son bastante más altos que cuando se estima la varianza a

partir de EWMA. Sin embargo los porcentajes del VaR con respecto al valor del portafolio

siguen siendo bastante bajos, donde el más alto es 1.3%. Sin embargo el análisis de los

resultados se presenta en el siguiente capítulo.

II.03(2)127

62

3. RESULTADOS

En este capítulo se piensa tanto concluir el análisis de los resultados obtenidos en el

modelo propuesto en este trabajo, como los análisis de los resultados y las

comparaciones con los trabajos hechos por Fabio Macías y Maria Teresa Camacho, ya

que ellos trabajaron en el mismo tema pero aplicando otros modelos de desarrollo. El

primer trabajo tiene que ver con la estimación del VaR para los mismos portafolios pero

usando simulación de MonteCarlo, y el segundo utiliza la misma técnica aquí presentada

pero utilizando diferentes estimaciones para la varianza, es decir emplea el método

GARCH. Así mismo, se mostrará la replicación del método aquí presentado solamente

para el primer portafolio, para lograr estimar el VaR pero incluyendo nueva información,

es decir estimar el VaR para días después del 10 de Septiembre de 2003 y ver como

evoluciona éste en el tiempo.

3.1 Análisis comparativo entre los modelos de varianza con promedios móviles

Como se dijo anteriormente, lo más impactante de cuando se estima el VaR usando las

estimaciones de la varianza a partir del método EWMA con respecto a las estimaciones

de varianza tradicionales (en este caso sería un promedio móvil con una longitud de 199

días), es que los resultados obtenidos con el primero son muchos más bajos que los

resultados obtenidos con el segundo. Esto tiene bastante sentido, debido a que la

estimación de un promedio móvil le da igual peso a todas las observaciones. Por lo tanto

el estimado de la varianza va a ser más alto. En este caso, como se pudo apreciar en las

gráficas presentadas en la sección 2.4.2.3, se ve que las series de los retornos tiene una

alta volatilidad al principio de la muestra. Esto hace que para las estimaciones

tradicionales de la varianza, se le de igual peso a esos cambios bruscos que hubo al

principio que a los pequeños cambios que hubo al final. En cambio cuando se estima la

varianza usando EWMA, las observaciones recientes reciben más peso que las

observaciones pasadas. Es por esto que los cambios iniciales en los retornos no aportan

tanto en la estimación de la varianza, mientras que los pequeños cambios, y la poca

II.03(2)127

63

volatilidad de la serie hacia el final de la muestra son más importantes en cuanto al peso

que se le da en la estimación. Esto hace que las estimaciones usando el método EWMA

sean más pequeñas y por lo tanto al calcular el VaR se obtengan menores resultados.

Se puede observar en los resultados calculados anteriormente que cuando se hacen

estimaciones al 95%, por lo general el VaR calculado usando promedio móvil como

estimador de la varianza es casi 3 veces mayor que el VaR estimado usando el estimador

EWMA. Cuando se hacen las estimaciones con un 99% de confianza, esta proporción

disminuye un poco y es aproximadamente de 2.5 a 1.

Cuando se examina cada portafolio según sus características y se compara con los

resultados obtenidos en el VaR, hay ciertas constataciones que hacer. El VaR más alto

corresponde al portafolio 1 el cual se caracteriza por ser el de mayor liquidez. Esto puede

tener sentido si se piensa que los títulos de mayor liquidez son aquellos que se transan

con mayor frecuencia en el mercado, y por lo tanto son los que tienen mayor movimiento

en sus características. Esto quiere decir que su precio está sujeto a muchos cambios

debido a que hay mucha oferta y demanda de estos títulos. En este sentido se entiende

que este portafolio tenga el VaR más alto. Sin embargo hay resultados un poco

cuestionables, como por ejemplo el VaR más bajo es el del portafolio 5 el cual

corresponde al portafolio con los títulos más correlacionados entre sí. Este resultado no

se esperaba, ya que un portafolio de este tipo se asume de alto riesgo, y por lo tanto se

espera que tenga un VaR muy alto que corrobore la hipótesis inicial. Curiosamente el

portafolio 4 con los títulos menos correlacionados tiene el segundo VaR más bajo, este es

un resultado totalmente esperado. Por ejemplo otro resultado que tiene sentido es el VaR

del portafolio 2 cuya característica es tener los títulos con mayor volatilidad. Este

portafolio posee el segundo VaR más alto, y va en acorde con las expectativas.

Los resultados inesperados que a veces ocurren en estos cálculos se cree que se deben

a la irregularidad del mercado, es decir a su poca profundidad y a la reciente

implementación de la curva cero cupón, lo que hace que todavía no se tenga suficiente

información como para poder hacer inferencias confiables sobre el comportamiento de las

variables.

II.03(2)127

64

3.2 Replicación del método

Las replicaciones del método consisten obtener nueva información sobre las tasas y los

precios cero cupón e ir actualizando la matriz de varianza-covarianza. De la misma

manera los estimadores de EWMA van cambiando debido a la nueva información, y lo

mismo sucede con el mapeo del portafolio. Hay que decir que la replicación del método

solo se hizo para el primer portafolio, debido a que el procedimiento a realizar era muy

dispendioso y bastante complicado de programar.

Inicialmente se tenían 199 observaciones de datos estandarizados, que correspondían a

200 observaciones de los precios cero cupón para los bonos. Estas observaciones

correspondían a datos desde el 15 de Noviembre de 2002 hasta el 9 de Septiembre de

2003. Para ir introduciendo nueva información se fue corriendo la ventana de observación,

de tal manera que siempre se mantuvieron 200 datos como muestra. Esto quiere decir

que para recalcular la matriz de varianza-covarianza para el día 10 de Septiembre se

utilizaron datos desde el 18 de Noviembre de 2002 (siguiente fecha hábil en las

observaciones) hasta el día 10 de Septiembre, y se fue repitiendo el proceso hasta el día

7 de Octubre, cuando ya se tenían 20 nuevas estimaciones que pudieran dar indicaciones

sobre el comportamiento del VaR.

3.2.1 Mapeo del portafolio

Con el programa utilizado para mapear los portafolios, se fue introduciendo nueva

información, es decir las tasas para los nodos estándar para cada día desde el 10 de

Septiembre hasta el 7 de Octubre, y se fue mapeando el portafolio para cada día hábil

entre esas fechas. Los resultados en pesos para el mapeo fueron los siguientes:

II.03(2)127

65

1 día 1 mes 3 m 6 m 1 año 2 a 3 a 4 a 5 a 7 a 9 a

10/09/03 -23552 12373 15288 39485 54010 139986 145397 50056 22413 37836 47352

11/09/03 -23544 12610 15235 39472 53965 140286 145091 49886 22485 38225 47711

12/09/03 -23547 12834 15188 39487 54037 141051 145224 49815 22492 38177 47372

15/09/03 -23406 13423 15050 39494 54053 142356 144492 49253 22501 38499 47163

16/09/03 -23351 13599 15023 39562 54179 143013 144299 49028 22425 38349 46731

17/09/03 -23404 13747 15291 39303 54245 143766 144547 49029 22494 38430 46562

18/09/03 -23385 13886 15563 39059 54243 143946 143925 48679 22382 38225 46064

19/09/03 -23333 14009 15827 38794 54174 143868 143044 48256 22278 38220 45901

22/09/03 -23216 14307 16647 38167 54377 145002 141741 47384 22013 37861 44827

23/09/03 -23078 14366 16886 37859 54224 144803 140863 46981 21896 37657 44346

24/09/03 -23003 14418 17143 37620 54223 145096 140566 46812 21971 38102 44774

25/09/03 -22942 14464 17416 37443 54340 145632 140382 46647 22019 38486 45130

26/09/03 -22807 14485 17661 37191 54319 145863 139922 46374 21951 38389 44796

29/09/03 -22292 14471 18400 36486 54240 146158 138031 45383 21699 38151 43917

30/09/03 -22145 14440 18653 36294 54353 146833 138021 45257 21687 38105 43629

01/10/03 -21908 14393 18891 36053 54248 146550 137028 44832 21624 38310 43769

02/10/03 -21761 14331 19134 35855 54379 147438 137362 44857 21739 38663 44008

03/10/03 -21581 14253 19367 35631 54412 148000 137484 44857 21919 39316 44650

06/10/03 -20838 13938 20062 35000 54538 149327 136812 44282 21811 39084 43693

07/10/03 -20535 13810 20311 34828 54552 149306 135997 43890 21717 39088 43540

Se puede apreciar que aparentemente los resultados son coherentes ya que los nodos

mantienen por lo general una misma cantidad de dinero en el tiempo. Esto sugiere que los

resultados siguen un orden que pareciera ser el correcto. Ahora para cada uno de estos

resultados se recalculó su matriz de covarianza correspondiente y se obtuvieron los VaR

para cada uno de estos días.

3.2.2 Estimaciones EWMA y matrices de varianza-covarianza

Como se explicó en la introducción de este capítulo, para ir obteniendo las nuevas

matrices de covarianza se fue moviendo la ventana de observación con el fin de mantener

siempre el mismo número de observaciones. En Excel, se tenía en fórmulas los

resultados, de tal manera que al introducir una nueva observación, se obtenía

II.03(2)127

66

directamente una matriz de correlaciones. Sin embargo a esta matriz había que aplicarle

todo el desarrollo de componentes principales, con el fin de obtener los puntajes de

componentes principales para poder estimar las varianzas por EWMA. Claro está que

cada vez que se obtenían estos puntajes y se procedía a calcular las varianzas, había que

usar Solver para minimizar las sumas cuadradas del error y obtener los factores de

decaimiento adecuados. Los estimados obtenidos para la varianza de un día se

introducían en la matriz diagonal y se procedía finalmente a obtener la matriz de varianza-

covarianza que se iba a usar con el fin de poder estimar el VaR para el día

correspondiente. A continuación se muestran los resultados obtenidos para los estimados

por EWMA y los factores de decaimiento para cada uno de estos días:

λ 1 λ 2 λ 3 σ 1 σ 2 σ 3

10/09/03 0,841 0,910 0,811 0,4800 0,7500 0,1641

11/09/03 0,842 0,954 0,815 0,4291 0,9122 0,2052

12/09/03 0,831 0,939 0,817 0,3571 0,7390 0,2671

15/09/03 0,837 0,938 0,818 0,3094 0,6954 0,2183

16/09/03 0,835 0,952 0,815 0,4963 0,8611 0,3438

17/09/03 0,830 0,948 0,818 0,5832 0,7730 0,3046

18/09/03 0,833 0,937 0,835 0,6084 0,6897 0,2527

19/09/03 0,833 0,959 0,835 0,5959 0,9315 0,3239

22/09/03 0,837 0,939 0,776 1,6758 0,7180 0,4302

23/09/03 0,842 0,942 0,798 1,3933 1,0638 0,5828

24/09/03 0,845 0,956 0,807 1,2371 1,0738 0,5470

25/09/03 0,826 0,945 0,792 1,0850 1,0760 0,4571

26/09/03 0,846 0,957 0,794 0,9104 1,1230 0,3710

29/09/03 0,831 0,939 0,857 1,3892 1,3695 0,5216

30/09/03 0,827 0,951 0,798 1,2447 1,2737 0,5617

01/10/03 0,816 0,935 0,838 1,1641 1,3175 0,7372

02/10/03 0,835 0,935 0,787 1,1644 1,2850 0,7402

03/10/03 0,833 0,948 0,791 1,3007 1,1951 0,6305

06/10/03 0,822 0,947 0,788 1,1079 1,1871 0,5837

07/10/03 0,825 0,721 0,857 1,4250 0,7832 0,5313

II.03(2)127

67

Factores de decaimiento

0,700

0,750

0,800

0,850

0,900

0,950

1,000

10/0

9/03

12/0

9/03

14/0

9/03

16/0

9/03

18/0

9/03

20/0

9/03

22/0

9/03

24/0

9/03

26/0

9/03

28/0

9/03

30/0

9/03

02/1

0/03

04/1

0/03

06/1

0/03

lambda 1lambda 2lambda 3

Es interesante observar que el factor de decaimiento para el segundo puntaje principal

siempre se mantiene en valores superiores con respecto a los otros dos factores. Este

factor pareciera ser el único que tiene un comportamiento similar al que se describe en la

literatura cuando se analizan casos para países desarrollados, donde se recomienda

utilizar un lambda entre 0.94 y 0.97. No hay que olvidar que el segundo componente

principal describe para el caso colombiano los cambios paralelos en la curva cero cupón.

Estos cambios paralelos explican aproximadamente 30% del comportamiento de la curva.

En los países como EEUU, los cambios paralelos en la curva corresponden al primer

componente principal y explican el 80% del comportamiento de la curva. Por lo tanto en

este caso se puede observar una similitud en el caso colombiano con los casos de países

donde se posee una mayor profundidad del mercado, los factores de decaimiento que

explican los mismos movimientos en la curva cero cupón son parecidos. En cuanto a los

otros dos factores de decaimiento, los dos tienen un comportamiento muy parecido,

aunque lambda 3 es un poco menos estable que lambda 1. Sin embargo estos dos

factores parecen ser más característicos de la curva cero cupón colombiana y se

mantienen en valores alrededor de 0.8 y 0.85.

II.03(2)127

68

Estimaciones EWMA de la varianza

0,00000,20000,40000,60000,80001,00001,20001,40001,60001,8000

10/0

9/03

12/0

9/03

14/0

9/03

16/0

9/03

18/0

9/03

20/0

9/03

22/0

9/03

24/0

9/03

26/0

9/03

28/0

9/03

30/0

9/03

02/1

0/03

04/1

0/03

06/1

0/03

EWMA 1EWMA 2EWMA 3

La tendencia observada en estas estimaciones por medio de EWMA es que a partir de la

mitad hacia el final de la replicación, los estimados van aumentando. Esto se va a ver

reflejado en los cálculos del VaR que se presentarán más adelante. Hay que decir que los

factores de decaimiento influyen en cómo se comporten estos estimados de varianza a

través del tiempo. Para el caso del primer estimado EWMA, este corresponde a un factor

de decaimiento alrededor de 0.8, lo que se considera un poco bajo. Es por esta razón que

su comportamiento es poco volátil y por ejemplo presenta un pico hacia la mitad de la

ventana de observación. Aunque hay que decir que esta explicación pareciera describir el

comportamiento de los otros dos estimados EWMA. Pero en conclusión, la observación

más importante que hay que hacer es que la subida de estos estimados va a hacer que el

valor en riesgo aumente y esto se verá reflejado en los siguientes resultados.

3.2.3 Estimaciones del VaR

Estos son los resultados que se obtuvieron para el VaR de este portafolio durante los

veinte días que se hizo la replicación. Se calculó tanto al 95% como al 99% de confianza:

II.03(2)127

69

VaR

95% % 99% %

10/09/03 1915,69 0,354% 2521,67 0,466%

11/09/03 1968,69 0,364% 2591,43 0,479%

12/09/03 1789,70 0,330% 2355,83 0,435%

15/09/03 1704,31 0,314% 2243,42 0,413%

16/09/03 2002,67 0,369% 2636,16 0,486%

17/09/03 2034,91 0,374% 2678,61 0,492%

18/09/03 1994,04 0,368% 2624,81 0,484%

19/09/03 2118,89 0,392% 2789,16 0,516%

22/09/03 2784,38 0,516% 3665,15 0,680%

23/09/03 2740,08 0,510% 3606,84 0,672%

24/09/03 2652,14 0,493% 3491,08 0,649%

25/09/03 2559,40 0,475% 3369,00 0,625%

26/09/03 2444,41 0,454% 3217,64 0,598%

29/09/03 2848,53 0,533% 3749,59 0,701%

30/09/03 2714,25 0,507% 3572,84 0,668%

01/10/03 2667,07 0,500% 3510,73 0,658%

02/10/03 2666,91 0,498% 3510,53 0,655%

03/10/03 2751,88 0,511% 3622,37 0,673%

06/10/03 2587,75 0,481% 3406,32 0,633%

07/10/03 2646,18 0,493% 3483,23 0,649%

II.03(2)127

70

VaR diario en pesos

0,00500,00

1000,001500,002000,002500,003000,003500,004000,00

10/0

9/03

12/0

9/03

14/0

9/03

16/0

9/03

18/0

9/03

20/0

9/03

22/0

9/03

24/0

9/03

26/0

9/03

28/0

9/03

30/0

9/03

02/1

0/03

04/1

0/03

06/1

0/03

VaR al 95%VaR al 99%

VaR diario porcentual

0,000%0,100%0,200%0,300%0,400%0,500%0,600%0,700%0,800%

10/09

/03

12/09

/03

14/09

/03

16/09

/03

18/09

/03

20/09

/03

22/09

/03

24/09/0

3

26/09/0

3

28/09

/03

30/09/0

3

02/10

/03

04/10

/03

06/10

/03

VaR al 95%VaR al 99%

La evolución del valor en riesgo en estos días muestra una tendencia al alza, que se vio

sobre todo entre el 18 y 22 de Septiembre donde el VaR al 99% alcanzó 0.7% del valor

total del portafolio. Sin embargo, para después de estas fechas se observa una tendencia

a la estabilidad. De hecho los resultados son coherentes y generalmente no se observan

irregularidades. Este comportamiento del VaR sugeriría que la inversión en este portafolio

es de bajo riesgo, y no se pronosticaban grandes pérdidas para estos días. Lo máximo

que se llegaría a perder de un día para otro con un nivel de confianza del 99% sería 0.7%

II.03(2)127

71

del valor del portafolio. Ahora bien, si el valor del portafolio es de 1000 millones, la

máxima pérdida sería de 7 millones, lo cual es un valor razonable para una inversión de

esta magnitud.

3.2.4 Evaluación del modelo

Una de las mejores maneras de corroborar el modelo presentado para la replicación del

método en el caso del portafolio 1, es comprar lo que se predijo con los resultados

realmente observados. Como ya se sabe los precios que tuvieron los bonos TES durante

los días de la replicación, se puede mirar si el VaR si fue un indicador adecuado para

medir el riesgo. A continuación se presentan los precios de los bonos TES que conforman

el portafolio 1 desde el 9 de Septiembre hasta el 7 de Octubre de 2003.

BONOS VALOR 7 10 11 14 15 PORTAFOLIO 09/09/03 109553,42 108825,62 112739,65 112956,45 107604,77 551679,91 10/09/03 109546,48 108887,41 112607,51 112820,25 107751,97 551613,61 11/09/03 109576,54 108887,78 112740,46 112938,01 108379,17 552521,97 12/09/03 109548,64 108906,49 112712,67 112780,73 108347,62 552296,15 15/09/03 109669,70 109167,47 112982,40 112875,97 108783,42 553478,96 16/09/03 109947,11 109290,63 112835,85 112522,62 108614,86 553211,07 17/09/03 110183,38 109561,24 113026,21 112482,10 108737,25 553990,18 18/09/03 110039,87 109384,46 112873,70 112167,83 108365,29 552831,13 19/09/03 109990,40 109142,20 112630,97 112256,36 107754,12 551774,04 22/09/03 109938,08 108611,58 112002,60 111252,32 107168,02 548972,59 23/09/03 109930,77 108519,56 111875,88 110757,24 107118,58 548202,04 24/09/03 109994,63 108673,49 111923,62 110915,37 107384,94 548892,06 25/09/03 110015,55 108761,80 111904,78 111351,72 107415,72 549449,57 26/09/03 110002,00 108653,91 111694,28 111099,68 107077,15 548527,03 29/09/03 109834,75 107928,64 111076,96 110330,98 106664,72 545836,05 30/09/03 109813,53 107874,99 111150,72 110266,59 106368,26 545474,09 01/10/03 109870,80 107378,04 110718,88 110273,01 106323,47 544564,20 02/10/03 109952,41 107753,85 111098,72 110754,72 107100,37 546660,07 03/10/03 110084,93 108290,97 111704,39 111538,06 107882,04 549500,38 06/10/03 110178,17 108337,23 111704,33 111055,82 107545,02 548820,57 07/10/03 110121,95 107975,02 111538,61 110887,99 107208,62 547732,19

II.03(2)127

72

Una vez teniendo estos precios, se puede calcular la variación del valor del portafolio día

a día y saber cómo fueron evolucionando las pérdidas o ganancias día tras día, para

compararlas con los valores obtenidos para el VaR.

Variación VAR 95% VAR 99% 09/09/03 10/09/03 -66,30 -1915,69 -2521,67 11/09/03 908,36 -1968,69 -2591,43 12/09/03 -225,82 -1789,70 -2355,83 15/09/03 1182,82 -1704,31 -2243,42 16/09/03 -267,89 -2002,67 -2636,16 17/09/03 779,11 -2034,91 -2678,61 18/09/03 -1159,05 -1994,04 -2624,81 19/09/03 -1057,09 -2118,89 -2789,16 22/09/03 -2801,45 -2784,38 -3665,15 23/09/03 -770,56 -2740,08 -3606,84 24/09/03 690,02 -2652,14 -3491,08 25/09/03 557,51 -2559,40 -3369,00 26/09/03 -922,54 -2444,41 -3217,64 29/09/03 -2690,98 -2848,53 -3749,59 30/09/03 -361,96 -2714,25 -3572,84 01/10/03 -909,90 -2667,07 -3510,73 02/10/03 2095,87 -2666,91 -3510,53 03/10/03 2840,31 -2751,88 -3622,37 06/10/03 -679,81 -2587,75 -3406,32 07/10/03 -1088,38 -2646,18 -3483,23

II.03(2)127

73

P&G Portafolio 1

-5000-4000-3000-2000-1000

01000200030004000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

TIEMPO

PESO

S Variación realVAR 95%VAR 99%

La gráfica anterior muestra la variación del valor del portafolio y muestra el VaR calculado

para ese portafolio (en este caso se dejó negativo, ya que se quiere hablar del VaR como

una pérdida). Se puede observar que el VaR estimado al 95% siempre está por debajo de

la mayor pérdida que tuvo el portafolio durante el periodo observado. Esto muestra que

las estimaciones de varianza usando el método EWMA fueron adecuadas ya que nunca

se obtuvieron pérdidas que superaran el VaR estimado. Claro está que hay veces que se

sobre estima el VaR, y se piensa que se va a tener mayores pérdidas que las que se

obtuvieron, y esto acarrea un costo de oportunidad. Sin embargo es bueno tomar

precauciones y mantener siempre una reserva adecuada de dinero con la cual se pueda

responder a cualquier eventualidad.

Si se obtuviera una mayor cantidad de información y se dispusiera del tiempo, se podría

hacer un seguimiento del VaR desde que se empezó a utilizar la curva cero cupón en el

año 2002. Esto sería bastante interesante saberlo debido a que los bonos en Colombia

representan la mayoría de las transacciones que se efectúan en el mercado financiero, y

por lo tanto hay un gran interés por parte de los tenedores de los títulos en saber cómo se

comportan y cómo caracterizar su riesgo.

II.03(2)127

74

CONCLUSIONES

La importancia de la realización de este trabajo radica en la exposición y desarrollo de

una metodología de trabajo que ayudó a caracterizar un problema muy usual en el sector

financiero, el cual es calcular el valor en riesgo de un portafolio de bonos TES.

La aplicación de la técnica de “mapping” para los bonos, el uso de técnicas multivariadas

como lo son los componentes principales y el desarrollo del modelo EWMA para el cálculo

de la volatilidad, hicieron que este trabajo cumpliera su primer objetivo que correspondía a

lograr cierto nivel técnico que un ingeniero debe ser capaz de manejar. Así mismo el uso

de algún lenguaje de programación, como le fue en este caso Visual Basic, muestran la

gran variedad y el alcance de las herramientas de trabajo de las cual uno se puede

ayudar en su futuro profesional.

Por otra parte es importante resaltar el trabajo en equipo que se realizó junto con Fabio

María Teresa. Estos otros dos trabajos complementan el presente trabajo ya que

globalmente tratan de enmarcar el tema del cálculo del valor en riesgo para bonos TES

usando los métodos más importantes pero enfocado en la estimación de la matriz de

varianza-covarianza. Si bien los resultados pueden diferir de un método al otro, o también

es posible que se hayan cometido errores, lo que importa fue que se estableció una

manera de trabajar en equipo que fue bastante eficiente a la hora de resolver un

problema. En lugar de que cada uno hubiera trabajado por su lado y por ende hubiera una

alta probabilidad de que se repitieran los trabajos, lo que se decidió hacer fue una división

de los métodos que aportara más al objetivo final.

Los caminos a seguir son bastante diversos, sin embargo en cuanto a este tema se

pueden realizar varias cosas. Por ejemplo existe la posibilidad de optimizar primero el

portafolio sujeto a diversos criterios para luego hacerle seguimiento al comportamiento del

VaR con diferentes horizontes de tiempo y replicar el método para ventanas de tiempo

más prolongadas que veinte días. Otra manera interesante de ver el problema es por

medio de optimización dinámica, y por ejemplo sería ir modificando el portafolio día a día

con el objetivo de ver cómo se comporta el VaR, o por ejemplo con el fin de minimizar el

VaR.

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75

Por último quisiera agradecer tanto a mis compañeros, como a mi asesor Fernando

Beltrán, y a Javier Gómez que me guiaron e hicieron posible la realización de este trabajo.

II.03(2)127

76

ANEXOS

Anexo 1: Código en Visual Basic del programa elaborado

Option Base 1 Sub mapeo() Dim num_pagos, num_nodos, i As Integer Dim a() As Variant Dim pagos() As Variant Dim tiempo_nodos() As Variant Dim tiempo_pagos() As Variant Dim tasas() As Variant Dim tasa_inter() As Variant Dim VP() As Variant Dim VV As Variant 'rutina para borrar la basura 'Sheets("mapeo").Rows("3:65").Select 'Selection.ClearContents 'ciclo para copiar los datos del problema y llenar columnas j = 3 Do While Not IsEmpty(Sheets("Datos de entrada").Cells(j, 2)) Sheets("mapeo").Cells(j, 2) = Sheets("Datos de entrada").Cells(j, 2).Value Sheets("mapeo").Cells(j, 3) = Sheets("Datos de entrada").Cells(j, 3).Value 'llenado columna de tiempo Sheets("mapeo").Cells(j, 4) = (Sheets("Datos de entrada").Cells(j, 2).Value - Sheets("Datos de entrada").Cells(3, 1).Value) / 365 num_pagos = j - 2 j = j + 1 Loop 'llenado de los pagos ReDim pagos(1 To num_pagos) For i = 1 To num_pagos pagos(i) = Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 3).Value Next i 'llenado tiempo_pagos ReDim tiempo_pagos(1 To num_pagos) For i = 1 To num_pagos tiempo_pagos(i) = Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 4).Value Next i

II.03(2)127

77

'llenado columna de tiempo_nodos num_nodos = Sheets("Datos de entrada").Cells(2, 6).Value ReDim tiempo_nodos(0 To num_nodos) tiempo_nodos(0) = 0 For i = 1 To num_nodos tiempo_nodos(i) = Sheets("Datos de entrada").Cells(2, 7 + i).Value Next i 'llenado columna de tasas ReDim tasas(0 To num_nodos) tasas(0) = Sheets("Datos de entrada").Cells(4, 7).Value For i = 1 To num_nodos tasas(i) = Sheets("Datos de entrada").Cells(4, 7 + i).Value Next i 'llenado columna de coeficientes de interpolación y volatilidades interpoladas ReDim a(1 To num_pagos) ReDim tasa_inter(1 To num_pagos) j = 1 i = 1 Do While (j < (num_nodos + 1) And i < (num_pagos + 1)) If tiempo_pagos(i) < tiempo_nodos(j) Then a(i) = (tiempo_nodos(j) - tiempo_pagos(i)) / (tiempo_nodos(j) - tiempo_nodos(j - 1)) Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 8).Value = tiempo_nodos(j - 1) Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 9).Value = tiempo_nodos(j) tasa_inter(i) = (a(i) * tasas(j - 1)) + ((1 - a(i)) * tasas(j)) Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 10).Value = tasas(j - 1) Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 11).Value = tasas(j) Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 12).Value = pagos(i) * a(i) * (tiempo_pagos(i) / (tiempo_nodos(j - 1)) * Exp(-(tasa_inter(i) / 100) * tiempo_pagos(i))) Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 13).Value = pagos(i) * (1 - a(i)) * (tiempo_pagos(i) / (tiempo_nodos(j)) * Exp(-(tasa_inter(i) / 100) * tiempo_pagos(i))) Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 14).Value = pagos(i) * Exp(-(tasa_inter(i) * tiempo_pagos(i) / 100)) * (-(tiempo_pagos(i) - tiempo_nodos(j - 1)) * (tiempo_nodos(j) - tiempo_pagos(i)) / (tiempo_nodos(j - 1) * tiempo_nodos(j))) i = i + 1 Else j = j + 1 End If Loop

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78

'impresión coeficientes de interpolación For i = 1 To num_pagos Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 5).Value = a(i) Next i 'impresion de tasas interpoladas For i = 1 To num_pagos Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 6).Value = tasa_inter(i) Next i 'llenado de la columna del valor presente del flujo ReDim VP(1 To num_pagos) For i = 1 To num_pagos VP(i) = pagos(i) * Exp(-(tasa_inter(i) / 100) * tiempo_pagos(i)) Next i For i = 1 To num_pagos Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 7).Value = VP(i) Next i 'MAPEADO DE LOS BONOS 'posición en efectivo C C = 0 For i = 1 To num_pagos C = Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 14).Value Sheets("mapeo").Cells(5, 15).Value = Sheets("mapeo").Cells(5, 15).Value + C Next i 'mapeado izquierdo i = 1 j = 1 Do While (j < (num_nodos + 1) And i < (num_pagos + 1)) If Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 8).Value = Sheets("mapeo").Cells(2, 15 + j) Then VV = Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 12).Value Sheets("mapeo").Cells(3, 15 + j).Value = Sheets("mapeo").Cells(3, 15 + j).Value + VV i = i + 1

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79

Else j = j + 1 End If Loop 'mapeado derecho i = 1 j = 1 Do While (j < (num_nodos + 1) And i < (num_pagos + 1)) If Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 9).Value = Sheets("mapeo").Cells(2, 15 + j) Then VV = Sheets("mapeo").Cells(2 + i, 13).Value Sheets("mapeo").Cells(4, 15 + j).Value = Sheets("mapeo").Cells(4, 15 + j).Value + VV i = i + 1 Else j = j + 1 End If Loop 'mapeado total For j = 1 To num_nodos Sheets("mapeo").Cells(5, 15 + j).Value = Sheets("mapeo").Cells(3, 15 + j).Value + Sheets("mapeo").Cells(4, 15 + j).Value Next j End Sub

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80

Anexo 2: Pantalla en Excel para ejecutar el programa elaborado (este es el caso del

portafolio 5)

II.03(2)127

81

BIBILIOGRAFÍA

Alexander, C., A Primer on the Orthogonal GARCH model, Febrero de 2000.

Alexander, C., Market Models: A guide to Financial Data Analysis. John Wyley & Sons,

(2001).

Best, P., Implementing Value at Risk. John Wyley & Sons, (1998).

BOLSA DE VALORES DE COLOMBIA, Métodos de Estimación de la Curva Cero Cupón para Títulos TES, Noviembre de 2002.

Fabozzi, F., Modigliani, F., Capital Markets: Institutions and instruments. Prentice Hall,

(2002).

Hull, J.C., Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall, Fifth Edition, (2003).

J.P. Morgan, RiskMetricsTM- Technical Document. Fourth Edition, New York, (1996).

Johnson, R., Wichern, D., Applied Multivariate Statistical Analysis. Prentice Hall, Fifth

Edition (2002).

Jorion, P., Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. McGraw-Hill,

second edition, (2000).

Mina, J., Yi, J., Return to Riskmetrics: The Evolution of a Standard. RiskMetrics, (2001).