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UNIDAD 2. FUNCIONES

2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCIN, DOMINIO, CODOMINIO Y

RECORRIDO DE UNA FUNCIN. VARIABLE.

Es una literal a la que se le pueden asignar, un nmero ilimitado de valores; las

cuales se designan usualmente con las ltimas letras del alfabeto las cuales son p, q, r,

s, t, u, w, x, y, z. y algunas letras del alfabeto griego.

CONSTANTE.Es una cantidad o literal que tiene valor fijo; se representa con las primera letras del

alfabeto son a, b, c, d y e. Tambin los nmeros

FUNCIN. Es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x de un conjunto llamado dominio

un valor nico ( ) del segundo conjunto.

DOMINIO: Es el conjunto de objetos a los que la funcin asigna valores. RANGO: Es el conjunto de valores obtenidos de la funcin.

NOTACIN DE FUNCIN. Es el que se denomina con la letra ( ) que se le f de x; designa el valor que f asigna a x. Por lo tanto, si ( ) ,

( )

( ) ( )

Funcin

f

x

Entrada

()

Salida . . . .

. . . .

Funcin A f

Domino Rango

f(x)

3

2

1

0

-1

10

5

2

1

F(x)= x2+1

Dominio

Rango o

Cotradominio

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( ) ( )

( ) ( ) DOMINIO NATURAL. Es cuando no se especifica dominio para una

funcin, siempre supondremos que es el mayor conjunto de nmeros reales para

los que la regla de la funcin tenga sentido y de valores de nmeros reales.

RECORRIDO DE UNA FUNCIN. Se define como el subconjunto de y

formado por todas las imgenes de los nmeros de x. IMAGEN. Se le denomina as al nmero y

2.2 FUNCIN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA FUNCIN INYECTIVA. Es cuando a cada elemento del conjunto X (dominio) le corresponde un solo valor distinto en el conjunto Y (imagen) de f tal que, en el conjunto X no puede haber dos o ms elementos que tengan la misma imagen. . En otras palabras, de todo los pares x, y pertenecen a la funci n, la y no se repiten. Por ejemplo

( )

FUNCIN SUPRAYECTIVA. Es cuando a cada elemento del codominio es imagen de algn

en

elemento del dominio. Es decir; es cuando en la funcin f(x) =y su recorrido es todo y FUNCIN BIYECTIVA. Es cuando una funcin es inyectiva y sobreyectiva simultneamente. Es una funcin f con dominio D y contradominio E, siempre que Dentonces ( ) ( ) en E

Dominio x

x Recorrido Y=f(x) y

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2.3 FUNCIN REAL DE VARIABLE REAL Y SU REPRESENTACIN

GRFICA.

FUNCIN REAL es una funcin matemtica cuyo dominio y codominio estn contenidos es es decir, es una funcin:En general se trata de funciones continuas, o bien discontinuas cuando

estn representadas por tramos, a diferencia de las funciones discretas,

que son siempre discontinuas.

GRAFICA DE UNA FUNCIN. Si f es una funcin, entonces la grfica de f es el

conjunto de todos los puntos (x, y) del plano para los cuales (x, y) es un par ordenado de f.

PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR UNA FUNCION.

Para hacer la grafica de una funcin seguimos un procedimiento simple de tres

pasos; los cuales son: 1.- Obtener las coordenadas de unos cuantos puntos que satisfagan la

ecuacin, es decir, una tabla en la que se le asignan valores a x y se obtiene y;

sustituyendo x en la ecuacin.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

2.- Construir la grfica de esos puntos en el plano coordenado rectangular.

3.- Unir los puntos y de esta manera se obtiene la funcin a graficar.

EJEMPLO: Encuentre la grafica de la siguiente funcin

x y

-3 -3

-2 -1

-1 1

0 3

1 5

2 7

3 9

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2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS: FUNCIN POLINOMIAL, RACIONAL E IRRACIONAL. FUNCION ALGEBRAICA. Es aquella en la que la dependencia puede expresarse

con las operaciones algebraicas: suma y resta con un nmero limitado de

trminos, multiplicacin con un nmero limitado de factores, divisin y potencia

con exponente, ya sea fraccionario, positivo o negativo. Por ejemplo:

.,...,,53

,,52

2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS: FUNCIN POLINOMIAL, RACIONAL E IRRACIONAL. FUNCION ALGEBRAICA. Es aquella en la que la dependencia puede expresarse

con las

operaciones algebraicas: suma y resta con un nmero limitado de

rminos, multiplicacin con un nmero limitado de factores, divisin y potencia

con exponente,

ya sea fraccionario, positivo o negativo. Por ejemplo: x

43

2

etcaxx

baxx

FUNCIN POLINOMIAL. Es toda funcin que se pueda expresar de la forma

x P(x) donde P es un polinomio en x, es decir, una suma finita de potencias de x

multiplicadas por ciertos coeficientes. En particular, las:

FUNCIONES LINEALES. Son los polinomios de primer grado o de grado cero que se representa mediante una recta del tipo y mx b . Donde m es la pendiente, b es el punto de interseccin con el eje y, es decir si x = 0 el punto de interseccin con el eje y es B (0, b) Ejemplos de funciones lineales: y 3; y 2x, y 4 2x,...,etc

representan mediante parbolas verticales del tipo y ax bx c2

. Ejemplos:

x, ...,etc2, y 2xy x , y x 222

FUNCIONES CUADRATICAS. Son las funciones de segundo grado que se

FUNCIONES POLINOMICAS. Son funciones de grado superior a dos. Ejemplos:

y x , y x , y x x343

Son aquellas funciones cuya expresin algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinmicas tienen como dominio de definicin todo el conjunto de los nmeros reales (R), puesto que a partir de una expresin polinmica y sustituyendo el valor de x por el nmero real que hayamos seleccionado, podemos calcular sin ningn problema el nmero real imagen. A continuacin se muestran algunos ejemplos de funciones polinmicas:

f (x) = 3x5 8x +10

f (x) = 2x + 3f (x) = 5

f (x) = 2x 2 5x + 8

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FUNCIONES RACIONALES. Son aquellos que no requieren extraccin de raz,

como, por ejemplo: . Las funciones racionales son funciones obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio diferente de cero.donde y(x) y z(x) son polinomios y x es una variable indeterminad; el dominio de f (valores que f puede tomar) consiste en todos los nmeros reales exepto los ceros del denominador z(x). Existe la posibilidad de encontrar valores de x tales que z(x) sea nulo. Por ese motivo las funciones racionales estn definidas en todos los nmeros que no anulan el polinomio denominador. Las funciones racionales tienen diversas.

aplicaciones en el campo del anlisis numrico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones ms complejas. Ejemplos:

una fraccin irreducible. Por ejemplo:

FUNCIONES IRRACIONALES O RAZ. Son las funciones en que el exponente es .

1 Dominio: todo nmero real de x excepto x = 2

Dominio: todo nmero real de x excepto x = 3

2)

=

xf (x

9) = 2

3xxf (x

48

2

3

+

xf (x) = x Dominio: todos los nmero reales de x

una funcion irracional es aquella donde la variable independiente "x" aparece dentro de un radical o bien elevada a un exponenete fraccionario. A continuacion se muestra algunos ejemplos de este tipo de funciones.

( 2)1f (x) = x 2 3 = x 2 32( )x

xx

xf (x3

93

9)3

13 2

==

)( 4)1

51

4

848)

2

3

4 2

5 3

+=

( +

=

xx

xxf (x

2.5 FUNCIONES TRASCENDENTES: FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y FUNCIONES EXPONENCIALES.

FUNCION TRASCENDENTE. Es una funcin que no puede ligarse a la variable independiente por medio de una de las cuatro operaciones algebraicas, efectuadas un nmero limitado de veces. Por ejemplo:

xx, sen xx ,...,, tan3 , log x, ln 12 etc

Funcin exponencial:

f(x)=ax; a > 0, a 1.

Funcin logartmica:

f(x)=loga(x); a > 0, a 1. Es inversa de la exponencial.

)=sen(x); f(x)=cos(x); f(x)=tg(x); f(x)=cosec(x); f(x)=sec(x) y f(x)=cotg(x)

Funciones trigonomtricas: Tambin llamadas circulares f(x

las funciones transcendentales elementales son las siguientes:

FUNCIN TRIGONOMETRICA. Es tambin llamada circular, es aquella que se define por la aplicacin de una razn trigonomtrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonomtricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden tambin definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etctera. FUNCIN EXPONENCIAL. Es aquella en la cual la variable independiente

interviene como exponente; por ejemplo:

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2.6 FUNCION DEFINIDA POR MAS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA, FUNCION VALOR ABSOLUTOFuncin a trozos es un nombre ms general para una funcin que puede ser definida con la ayuda de mltiples funciones de correspondencia.Una funcin f: X Y es llama da una funcin a trozos si puede ser definida con la ayuda de varias funciones lineales. Podemos decir que tal funcin est definida en una serie de intervalos mltiples tal funcin es llamada de esta forma porque la definicin de esta funcin cambia dependiendo del valor de la variable de entrada. Aqu el uso de la palabra a trozos se hace para describir la propiedad de esa funcin, que es vlida para una ecuacin / pieza de la funcin pero no en todo el dominio de la funcin. La funcin a trozos tiene una serie de funciones en su cuerpo, el dominio de cada una de ellas se define por separado.

2.7 OPERACIONES CON FUNCIONES: ADICIN, MULTIPLICACIN,

COMPOSICIN.

ALGEBRA DE FUNCIONES. Si f y g estn definidos para todos los nmeros reales, entonces es posible realizar operaciones numricas como la suma, resta, multiplicacin y divisin, con las respectivas funciones ( ) ( ) . Estas operaciones estn definidas en la siguiente ilustracin:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

De las funciones anteriores estn todas y cada una de ellas en la interaccin de sus dominios excepto para los valores donde g(x) debe excluirse del dominio de la funcin cociente. COMPOSICIN DE FUNCIONES. Es una operacin de funciones que consiste en aplicar sucesivamente dos funciones en un orden determinado con lo cual se

obtiene una tercera funcin. as obtenida se le llama la composicin de la funcin f con la funcin g.

El smbolo ( ) se lee f compuesta con g, f seguida de g. De donde si entonces ( ) y ( ( ) )

A B C

f g

(g.f)(x)

Contiene dos piezas separadas para indicar dos ecuaciones diferentes, por lo tanto representa la funcin como un todo.Un caso especial de la funcin a trozos es la funcin piso que tiene un nmero infinito de piezas.

De lo anterior se tienen lo siguiente: ( )( ) ( ( ))

)( ) ( ( )) )( ) ( ( ))

( ( ( )( ) ( ( ))

Es posible sumar dos funciones, restar dos funciones, multiplicar dos funciones, dividir dos funciones y tambin hacer composiciones unas con las otras. La suma de dos funciones est denotada por g(x) y f(x) es g + f. Consideremos dos funciones: g(x)=x f(x)=x. La suma de las dos funciones producirn una sola funcin como:(g+f)(x)=g(x)+f(x).Ahora bien, el dominio de la funcin resultante ser la interseccin de los dominios de entrada de las funciones. Para simplificar la tarea de la suma de dos funciones, slo aada las salidas de estas dos funciones. Por ejemplo, considere las dos funciones siguientes:g(x) = x2 + 2y f(x) = 4x 1.

Las dos funciones se pueden sumar como:(g + f) (x) = (x2 + 2) + (4x 1) = x2 + 4x + 1

La suma de dos funciones puede entenderse como graficar una de las funciones y tomarla funcin de ese grfico como el eje x de la otra funcin. Al igual que se suman dos funciones, tambin es posible multiplicar dos funciones. Esto es similar a la suma de dos funciones, simplemente en lugar de ser una operacin de suma uno necesita realizar la funcin de multiplicacin. La salida de la multiplicacin de dos funciones producir: (g. f)(x)=g(x).f(x)El dominio de la funcin resultante ser la interseccin de los dominios de entrada de las funciones. Como la suma de dos funciones, para llevar a cabo la multiplicacin de dos funciones, unosimplemente tiene que multiplicar la salida de las dos funciones de entrada. Tomemos como ejemplo la multiplicacin de dos funciones: g(x) = 3 x y f(x) = x Entonces: (g. f) (x) = (3 x). (x)

La multiplicacin de una funcin consigo misma se denota como:f2(x) = f(x). f(x) Tambin es posible multiplicar una funcin con cualquier cantidad escalar. Esto es fcil de realizar, slo multiplique cada una de las salidas con esa cantidad escalar. La insercin de una de las funciones con otra funcin es llamada composicin de la funcin. De este modo, el rango de la funcin insertada se convertir en el dominio de la funcin en la cual se insert. Tambin se conoce como la aplicacin de una funcin sobre el resultado de otra funcin.

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2.8 FUNCIN INVERSA. FUNCIN LOGARTMICA, FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS. FUNCIONES INVERSAS. Son dos funciones tales que a todo punto de la grfica de la primera funcin corresponde un punto de la grfica de la segunda, de tal manera que la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de la otra y viceversa; es decir, a todo punto de la primera curva corresponde, en la segunda, otro punto simtrico con respecto a la bisectriz del ngulo XOY. FUNCIN LOGARITMICA. Es aquella que est afectada por un logaritmo; como:

.Puede decirse tambin que la funcin logartmica es la inversa de la funcin exponencial. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS. En trigonometra, cuando el ngulo se expresa en radianes (dado que un radin es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco,

, y es igual al seno de x, la funcin inversa: , x es el arco cuyo seno vale y, o tambin x es el arcoseno de y. Por ejemplo:

EL RADIN. Es la unidad de ngulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ngulo central en una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su smbolo es rad.

FIG. ARCO FIG. RADIANES

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2.10 FUNCIN IMPLCITA. FUNCIN IMPLCITA. Es una funcin de la variable independiente, cuando su dependencia con respecto a la variable independiente no se expresa en forma de ecuacin ya resuelta (funcin explicita). As, en , es funcin implcita de x; en la funcin , es tambin funcin implcita de x. FUNCIN EXPLICITA. Es una funcin de la variable independiente, cuando esta directamente indicadas las operaciones que deben efectuarse con dicha variable para obtener el valor o valores de la funcin, as, en , es funcin explicita de x.

2.9 FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUMEROS NATURALES Y RECORRIENDO EN LOS NUMEROS REALES: LAS SUCESIONES INFINITAS

Considere un conjunto N, una funcin f: X Y de la secuencia de nmeros de N esta es conocida como funcin de sucesiones. El dominio de tales funciones se limita slo a los nmeros naturales. Una secuencia infinita puede ser definida como un conjunto ordenado o una lista de elementos distintos que pueden ser formados como pares teniendo correspondencia uno a uno respecto al conjunto entero positivo. Los elementos son por lo general nmeros. Un conjunto de nmeros naturales es un buen ejemplo de sucesin infinita, N ={0, 1, 2, 3, 4}.

En trminos de la notacin matemtica, una secuencia puede ser definida como una funcin sobre F U {0} ya que la funcin g (x) tiene una asociacin uno a uno de F en F U {0}.

Una secuencia decreciente infinita es opuesta a la sucesin creciente infinita lo que significa que en el caso de una secuencia decreciente infinita el elemento subsecuente de la secuencia es ms pequeo que el elemento que estaba ocurriendo antes que este en la secuencia, esto es un an+1 < an para todos los valores de n. Mientras que una secuencia infinita montona puede ser una que est creciendo o decreciendo.

Supongamos una funcin f: {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} define una secuencia A donde cada ai = f (i). Tal secuencia se denominara multiplicativa cuando, f(x y) = f(x) f(y), para todos los valores de x e y, donde x e y son co-primos.Una serie es la sumatoria de la suma de todos los elementos de una secuencia. La suma de todos los elementos de una secuencia infinita se denomina serie infinita.

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UNIDAD 3. LMITES Y CONTINUIDAD 3.1 Lmite de una sucesin. El nmero a recibe el nombre de lmite de la sucesi n :

Si para cualquier existe un nmero ( ) tal, que | | para

3.2 Lmite de una funcin de variable real. Se dice que la funcin ( ) cuando ( son unos nmeros), o que

( )

Si para cualquier existe un nmero ( ) tal, que | ( ) | para | | Anlogamente

Una funcin f: X y es llamada funcin implcita, si la variable dependiente no se produce de forma explcita, en un lado de la ecuacin, en trminos de la variable independiente. En una funcin implcita, el valor de y puede ser obtenido resolviendo la ecuacin en trminos de x. La ecuacin polinmica, conteniendo los trminos tanto de x e y son muy difciles de resolver. Si la ecuacin no se resuelve para y, entonces y se llama una funcin implcita en trminos de x, y tal ecuacin se denomina funcin implcita.

Una funcin implcita tambin se conoce como un conjunto de nivel de cualquier funcin en trminos de dos variables. Fuera de esas dos variables, una de ellas se puede determinar con la ayuda de otra variable. Pero no existe ninguna frmula especfica para determinar una variable en trminos de otra variable. Las funciones implcitas y las funciones explcitas estn relacionadas entre s con la ayuda del teorema de la funcin implcita. Segn este teorema, si la funcin implcita satisface algunas de las condiciones, aunque levemente, sobre sus derivadas parciales entonces es posible resolver esta funcin para determinar el valor de y, al menos para un rango pequeo. Si nos fijamos en la grfica de una funcin implcita, nos encontraramos con que su grfica se superpone con la grfica de la funcin f(x) = y, localmente.

Una manera ms simple y conveniente para resolver tal funcin es utilizar el mtodo de diferenciacin. Primeramente, diferencie la funcin dada que producir la derivada d y/dx o dx/d y, dependiendo de la variable que se considere implcita.

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numerador y/o denominador segn corresponda. Esto consiste en completar la expresin

como si se tratara de binomios conjugados; es decir completando con el conjugado de

esta expresin cambiando el signo de la funcin, multiplicando y dividiendo por esta. Por

ejemplo:

( )

( )

) ( ) ( ) (

3.3 Clculo de lmites. LIMITES PARA FORMAS INDETERMINADAS.

FORMA INDETERMINADA. Es cuando la sustitucin directa conduce a una

expresin indefinida 0/0, por cuanto no podemos a partir de esa expresin calcular

el lmite.

{

TCNICA DE CANCELACIN. Es cuando la sustitucin directa nos conduce a la

forma indeterminada. Se intenta evaluar el lmite y uno se da cuenta que con est

forma debe modificarse la fraccin de tal manera que el nuevo denominador y/o

numerador no tengan lmite cero. Una manera de lograrlo es cancelando factores

iguales. Esto se realiza factorizando las expresiones que son factorizables

dependiendo del tipo de factorizacin que se presente en el problema a resolver.

TCNICA DE RACIONALIZACIN. Es cuando la sustitucin directa nos conduce a la

forma indeterminada. En este caso cambiamos la forma de la fraccin racionalizando el

( )

Si | ( ) | para | | ( ) Tambin se emplea la notacin convencional

( )

para | | ( ) , donde E es un nmero positivo Que indica, que | ( )|arbitrario.

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3.4 Propiedades de los lmites LMITE. Es una especie de cota que a veces puede ser alcanzable y otras no slo alcanzable sino superable. COTA. (Del lat. quota, t. f. de quotus, cuantos; cf. coto). Mat. Elemento de un conjunto que limita, inferior o superiormente, los elementos de la sucesin de un subconjunto.

NOTACION MATEMATICA DE LMITE. Se representa matemticamente ?)(

xflmcx

Qu se lee: El lmite de la funci n de x cuando x tiende a c es igual? TEOREMA A. LIMITES PARA FUNCIONES ALGEBRAICAS.

Sean b y c nmeros reales, n un entero positivo, sean f, g funciones con los siguientes lmites; que tienen lmite cuando x tiende a c, son ciertas las siguientes propiedades: 1.- De la constante.

bblmcx

Se lee: El lmite de la constante cuando x tiende a c es igual a la constante. 2.- De la variable

cxlmcx

Se lee: El lmite de la variable cuando x tiende a c es igual a c. 3.- De la variable elevada a la potencia

nn

cxcxlm

Se lee: El lmite de la variable elevada a la potencia cuando x tiende a c es igual a c elevada a la potencia 4.- Del mltiplo escalar (b x, bx2,,)

n

cx

n

cxxlmbbxlm

Se lee: El lmite del mltiplo escalar cuando x tiende a c es igual a la constante por el limite de la variable. 5.- De la suma o diferencia

)()()()( xglmxflmxgxflmcxcxcx

Se lee: El lmite de la suma o diferencia cuando x tiende a c es igual a al limite de cada trmino de la suma o diferencia. 6.- Del producto o multiplicacin

)()()().( xglmxflmxgxflmcxcxcx

Se lee:El lmite del producto o multiplicacin cuando x tiende a c es igual al lmite de cada factor del producto. 7.- Del cociente o divisin.

)(

)(

)(

)(

xglm

xflm

xg

xflm

cx

cx

cx

Se lee: El lmite de cociente o divisi n cuando x tiende a c es igual al limite de dividendo y del divisor del cociente 8.- De la potencia de una funcin

ncx

n

cxxflmxflm )()(

Se lee: El lmite de la potencia de una funci n cuando x tiende a c es igual a limite de la funci n cuando x tiende a c elevado a la potencia.

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3.5 Lmites laterales. Si y , se escribe convencionalmente ; anlogamente,

si y , se escribir as: .Los nmeros ( )

( ) ( )

( )

Se llama, respectivamente, limite a la izquierda de la funcin ( ) en el punto y limite a la derecha de la funcin ( ) en el punto (si es que dichos nmeros existen).

Para que exista el lmite de la funcin ( ) cuando , es necesario y suficiente que se verifique la igualdad

( ) ( )

3.6 Lmites infinitos y lmites al infinito. Definicin de lmites infinitos

Sea una funcin definida en todo nmero real de un intervalo abierto que contiene a c, salvo, posiblemente, en el propio c. La expresin

( )

Significa que para todo existe un tal que ( ) siempre que | | . Para definir el lmite infinito por la izquierda, basta sustituir | | por . Y para definir el lmite infinito por la derecha, basta sustituir | | por PROPIEDADES DE LOS LIMITES INFINITOS

Sean c y L nmeros reales, y sean funciones tales que

( )

( )

1. Suma o diferencia

( ) ( )]

2. Producto

( ) ( )]

3. Cociente:

( )

( )

Propiedades anlogas son validas para lmites laterales y para funciones cuyo

lmite cuando tiende a c es -

Para resolver la indeterminacin

1. Divdase todos los trminos del numerador y del denominador entre unapotencia de la variable tal que, el dividendo o en ambos a la vez, el primertrmino sea independiente de ella

2. Atribyase a la variable el valor particular indicado en el problema; es decirse divide el numerador y el denominador por la mayor potencia de lavariable que entre en la fraccin.Ciertos lmites particulares que se presentan frecuentemente se dan a

continuacin. La constante c no es cero. Escrito en forma de limite forma abreviada, frecuentemente usado

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( )

3.7 Asntotas. ASNTOTAS. Es una recta vertical a la grfica de DEFINICION DE ASNTOTA VERTICAL Si ( ) tiende a infito( o menos infinito) cuando x tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta es una asntota vertical de la grafica de TEOREMA: ASINTOTAS VERTICALES

Sean funciones continuas en un intervalo abierto que contiene c. Si ( ) ( ) , y existe un intervalo abierto que contiene tal que ( )

para todo del intervalo, entonces la grafica de la funcin ( ) ( )

( ) posee

una asntota vertical en

Hallar las asntotas verticales de la grfica de

( )

3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un

intervalo. FUNCION CONTINUA. Es cuando una funcin es continua en ; es decir que no hay

interrupcin de la grfica en f (c), esto es que no tiene en c ageros, saltos no aberturas

La continuidad en puede destruirse por cualquiera de las siguientes condiciones.

1. La funcin no est definida en

2. No existe el lmite de ( ) en

3. El lmite de ( ) en existe, pero no es iguala ( )

DEFINICIOM XS CONTINUIDAD

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CONCLUSION

La funcin es una expresin matemtica que indica la relacin o correspondencia entre dos o ms cantidades o variables tambien Las funciones pueden ser racionales e irracionales a las que tambin se les llama funciones algebraicas; asimismo, existen las funciones trascendentes dentro de las cuales se ubican las funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas. la funcion esta ligada con el dominio que son los valores que pueden llevar "X" y el contradominio son todos los valores que pueden llevar "Y".en las funciones algebraicas en hacer o desarrollarar operaciones en las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adicion, sustraccion, multiplicacion, divicion, potenciacion y radiacion.

limite es una cercania entre un valor y un punto por ejemplo si es una funcion (F) tiene un limite (X) en un punto (t) quiere desir que el valor de (F) puede ser tan cercano a (X) que se desee con puntos suficinetes cercanos a (t). No solamente existe limite siino limites de funciones que es analisis matematico es un caso de limite aplicado a las funciones. Existen propiedades de los limite que establece que en ellas permitiran calcular y establecer limites sin usar la definicion formal estas dos primeras son propiedad de la funcion consante y propiedad de la identidad.

FUENTES DE INFORMACIN

1. Larson, Ron. Matemticas 1 (Clculo Diferencial), McGraw-Hill, 2009.2. Purcell, Edwin J. Clculo, Editorial Pearson, 2007.3. Ayres, Frank. Clculo, McGraw-Hill, 2005.

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4. htpp//ensayobuenastareas/calculo-diferencial/unidad-2/2012.html

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INTRODUCCION

En esta unidad veremos funciones generalmente se hace uso de las funciones en el manejo de cifras numricas debido a que se usan subconjuntos de los nmeros reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, economa, estadstica, ingeniera, medicina, qumica, fsica, astronoma, geologa y cualquier rea social donde haya que relacionar variables.

Ahora hablaremos de los limites y continuidad en esta pequea unidad desarrollaremos temas que hablen mas o menos de la unidad anterior, limites con funiones o limites de una funcion, limites de sucesiones, como se pueden aser calculos de limites, algunas propiedades, tambien limites infinitos y finitos.

Los limites nos ayuda a saber la cercania de un valor un punto

Veremos clasificacion de las funciones algebraicas, transcendentes y exponenciales, algunos conceptos de variables dominios y contradominios de una funcion, como se comporta una linea o una funcion en una grafica, algunas operaciones con funciones, funciones rracionales e irracionales, podemos aprender como se grafica una funcion o mas bien como tabulamos una funcion las funciones son simplemente variables que nos ayuda a saber entre dos cantidades su varibles sea (x,y).

UNIDAD 2. FUNCIONES

2.1 Concepto de variable, funcin, dominio, condominio y recorrido de una funcin .....2.2 Funcin inyectiva, suprayectiva y biyectiva .............................................................2.3 Funcin real de variable real y su representacin grfica .........................................2.4 Funciones algebraicas: funcin polinomial, racional e irracional ............................... 2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonomtricas y funciones exponenciales.......2.6 Funcin definida por ms de una regla de correspondencia, funcin valor absoluto .2.7 Operaciones con funciones: adicin, multiplicacin,composicin .............................2.8 Funcin inversa. Funcin logartmica. Funciones trigonomtricas inversas .............2.9 Funciones con dominio en los nmeros naturales y recorrido en los nmeros reales: las sucesiones infinitas ........................................................................................2.10 Funcin implcita ......................................................................................................

UNIDAD 3. LMITES Y CONTINUIDAD

3.1 Lmite de una sucesin ..........................................................................................................3.2 Lmite de una funcin de variable real ..................................................................................3.3 Clculo de lmites. ..................................................................................................................3.4 Propiedades de los lmites .....................................................................................................3.5 Lmites laterales. ....................................................................................................................3.6 Lmites infinitos y lmites al infinito. ........................................................................................3.7 Asntotas. ...............................................................................................................................3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo. ......................................3.9 Tipos de discontinuidades. ..................................................................................................

CONTENIDO

2,3345,6

788,9

11,12

11

10

Pag.

1212,1313141515,161616,17

Introduccion ....................................................................................................................... 1

Conclusion .................................................................................................................18Fuentes de informacion .............................................................................................................19