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UFBA SUPERINTENDNCIA ACADMICA

SECRETARIA GERAL DE CURSOS

PROGRAMA DEDISCIPLINA

2006.1

Cdigo: MAT Nome: Clculo E

Terica Prtica Total Unidade: Instituto de Matemtica

Carga horria 102 102 Departamento de Matemtica

Crditos Requisitos: Clculo B e lgebra Linear A.

Cursos: Engenharia Eltrica.

EMENTA:

As funes harmnicas (em 2) e as funes de uma varivel complexa. As transformaesdo plano complexo em si mesmo. O limite, a continuidade e a derivao de funes de umavarivel complexa. As funes holomorfas.

As seqncias e as sries com termos complexos. O critrio de Cauchy. As sries depotncias. As funes analticas. A adio, a multiplicao e a inverso de sries de potncia.

A integral de uma funo complexa ao longo de um caminho. Primitivas de funes contnuas.O teorema integral de Cauchy. Enunciao do teorema de Cauchy-Goursat. A frmula integral

de Cauchy. As derivadas de funes holomorfas. Analiticidade das funes holomorfas. A expanso de Laurent e as singularidades. Uso da expanso de Laurent no clculo de inte-

grais. Os resduos. O clculo, mediante resduos, de integrais de funes reais.

Funes vetoriais de varivel real. Curvas regulares no espao tridimensional. As integrais deprimeira e de segunda espcie ao longo de tais curvas.

A parametrizao de superfcies e as integrais de primeira e de segunda espcie sobre super-fcies.

As funes reais de varivel vetorial. Estudo dos mximos e mnimos. Estudo dos extremoscondicionados. As integrais triplas.

As funes vetoriais de varivel vetorial e os campos de vetores. Os campos conservativos devetores e os potenciais escalares. A divergncia de um campo de vetores e os campos solenoi-dais. O teorema de Ostrogradski-Gauss. O rotacional de um campo de vetores e os potenciaisvetoriais. O teorema de Stokes.

OBJETIVOS:Iniciar os estudantes nos aspectos elementares da teoria das funes de uma varivel

complexa e da anlise vetorial e fornecer-lhes uma introduo sucinta ao problema dos extreman-tes.

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METODOLOGIA:

Aulas expositivas e aulas de discusso.

BIBLIOGRAFIA:

VILA, Geraldo Severo de Souza (1990). Variveis complexas e aplicaes. Rio de Ja-neiro, Livros Tcnicos e Cientficos Editora.

BOYCE, WilliamE.; DIPRIMA, RichardC. (1969).Elementary differential equations andboundary value problems. New York, John Wiley and Sons.

CHURCHILL, Ruel V. (1975) Variveis complexas e suas aplicaes. So Paulo, McGraw-

Hill do Brasil e EDUSP. HAUSERJr., Arthur A. (1971) Complex variables with physical applications. New York,

Simon and Schuster.

HSU, Hwei.Anlise Vetorial, teoria e resoluo de 760 problemas. Rio de Janeiro, LivrosTcnicos e Cientficos, 1972.

KAPLAN, W. Clculo Avanado. So Paulo, Edgard Blucher, 1972.

KREYSZIG, Erwin (1981).Matemtica superior, tomo II e III. Rio de Janeiro, LivrosTcnicos e Cientficos Editora.

LANG, Serge. Clculo com lgebra Linear, vol.1 e 2, Rio, Livro Tcnico, 1969. PISKUNOV, Nikolai. (1978). Clculo Diferencial e Integral, vol. 1 e 2, 4 ed. Porto,

Ed.Lopes da Silva.

SOARES, Mrcio G. (2001). Clculo em uma varivel complexa.Rio de Janeiro, IMPA.

SPIEGEL, M.Anlise Vetorial, Rio de Janeiro. Livro Tcnico, 1961.

WILLIAMSON; CROWELL; TROTTER. Clculo de Funes Vetoriais, vol.I e II. Ao LivroTcnico, 1975.

CONTEDO PROGRAMTICO:

Transformaes diferenciveis de 2em 2 e a matriz jacobiana. A transformao de curvas planares.Primeira idia de transformaes conformes. A transformao de regies planares. A mudana de varivelna integral dupla e o determinante jacobiano.

Enunciao do teorema da curva de Jordan. As funes harmnicas (em 2).

Transformaes do corpo dos nmeros complexos em si mesmo. A funo afim. A inverso. A projeoestereogrfica. As transformaes lineares fracionrias. O grupo de Mbius. A funo z z2 e sua in-versa. Pontos de ramificao.

Os limites e a continuidade. A derivao de funes de uma varivel complexa e suas propriedades.

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A propriedade de encadeamento. As condies de Cauchy-Riemann. As funes holomorfas e as funesinteiras. A funo exponencial e o logaritmo. Potncias arbitrrias.

As seqncias e as sries numricas. O critrio de convergncia de Cauchy. As sries de potncias e o

raio de convergncia. O conceito de funes analticas. A adio, a multiplicao e a inverso de sries de potncia.

A integral de uma funo complexa ao longo de um caminho. Primitivas de funes contnuas. As primi-tivas de funes definidas por sries de potncia.

O teorema integral de Cauchy. Enunciao do teorema de Cauchy-Goursat. A existncia de primitivas defunes holomorfas. A frmula integral de Cauchy.

Derivadas de funes holomorfas. O princpio do mdulo mximo. O teorema de Liouville. O teoremafundamental da lgebra. Analiticidade das funes holomorfas. O teorema de Morera.

Notcia sobre a convergncia uniforme das sries de potncia e a analiticidade. A integrao e a derivaodas sries de potncia. A expanso de Laurent e as singularidades. Os quocientes de funes analticas e

os plos das funes meromorfas. Uso da expanso de Laurent no clculo de integrais. Os resduos. O clculo, mediante resduos, de integrais de funes reais.

Funes vetoriais de varivel real e curvas regulares no espao tridimensional. Os campos de vetores. Asintegrais de primeira e de segunda espcie ao longo de curvas no espao tridimensional. O conceito devalor mdio de uma funo real ao longo de um arco de curva regular e o correspondente teorema do valormdio.

As funes reais de varivel vetorial. O teorema de Lagrange. A derivao sob o sinal de integrao. Es-tudo dos mximos e mnimos. O teorema de Fermat, a matriz hessiana e o critrio de Sylvester. Os extremoscondicionados e os multiplicadores de Lagrange.

A parametrizao de superfcies. As integrais de primeira e de segunda espcie sobre superfcies. O con-ceito de valor mdio de uma funo real sobre uma superfcie regular e o correspondente teorema do valormdio.

As funes vetoriais de varivel vetorial. A matriz jacobiana. A mudana de varivel na integrao, odeterminante jacobiano e as integrais triplas. O conceito de valor mdio de uma funo real estendida a umcorpo e o correspondente teorema do valor mdio.

Os campos conservativos, os potenciais escalares e as superfcies equipotenciais. A divergncia de umcampo de vetores e os campos solenoidais. O teorema de Ostrogradski-Gauss. O rotacional de um campode vetores e os potenciais vetoriais. O teorema de Stokes.