Clculo experimental de la constante equivalente de un sistema de
resortesCosta Alejo, Gonzalez Joel, Sidor Daz Jernimo, Trillo
[email protected]; [email protected];
[email protected]; [email protected] Maana - Curso de
Fsica Experimental I (2014) - Departamento de Fsica, Facultad de
Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata.
Resumen:Hicimos unos clculos locos utilizando tanto la Ley de
Hooke como el Movimiento Armnico Simple.Introduccin:La Ley de Hooke
define la fuerza ejercida por un resorte para retornar a su punto
de equilibrio en funcin de su constante de estiramiento (asociada a
la dificultad de comprimirlo/estirarlo) y la distancia que se
comprime/estira con respecto a la posicin donde deja de oscilar. Si
este resorte tiene asociada una masa, la posicin de equilibrio
estar determinada entonces por este agente. La frmula descripta es
la siguiente:
Donde FRES es la fuerza ejercida por el resorte, k es su
constante de estiramiento y x es la distancia de compresin/extensin
con respecto a su punto de equilibrio (la ecuacin est precedida por
un - por estar calculando la fuerza opuesta a la ejercida por la
masa).Con respecto a un sistema de resortes, esta ley sigue
valiendo, y se pueden calcular las caractersticas que tendr un
resorte equivalente a todos los resortes presentes en el sistema.
Si bien pueden calcularse todas las caractersticas de l, hemos
centrado nuestro estudio en la constante equivalente a las
constantes de cada resorte.
En un sistema en serie, la fuerza sobre cada resorte es la
misma, y el estiramiento total es la suma de cada estiramiento:
Para el clculo de sus constantes, utilizamos la siguiente
ecuacin:
En un sistema en paralelo, el estiramiento total es el mismo,
mientras que las fuerzas se suman:
La constante del resorte equivalente es, en este caso, la suma
de las constantes de los resortes utilizados:
Resultados: A continuacin se presentan, los grficos de posicin
en funcin del tiempo para 2 resortes y dos combinacin posibles,
ambos en paralelo y ambos en serie. Los resortes 1 y 2 y ambos en
paralelo se hicieron oscilar con una masa de 0,3043Kg, los resortes
en serie con una masa de 0,1542Kg.
Figura : Grfico de posicin en funcin del tiempo de resorte nmero
1.
Figura: Grfico de posicin en funcin del tiempo de resorte nmero
2.
Figura: Grfico de posicin en funcin del tiempo de resortes 1 y 2
en paralelo.
Figura: Grfico de posicin en funcin del tiempo de resortes 1 y 2
en serie.
Una vez obtenidos los grficos, para hallar la constante de los
resortes 1 y 2, y la constante equivalente para la combinacin en
serie y en paralelo fue necesario ajustar los grficos a una funcin
seno. Para esto se tom una parte representativa del grfico. A
continuacin se muestran los grficos con sus curvas de ajuste:
Figura: Grfico de posicin en funcin del tiempo con curva de
ajuste de resorte nmero 1.
Figura: Grfico de posicin en funcin del tiempo con curva de
ajuste de resorte nmero 2.
Figura: Grfico de posicin en funcin del tiempo con curva de
ajuste de resortes en paralelo..Figura: Grfico de posicin en funcin
del tiempo con curva de ajuste de resortes en serie.Las ecuaciones
de las curvas de ajuste son las siguientes:
Resorte 1: Resorte 2:
Resortes en paralelo:
Resortes en serie:
Adems, se realizaron comprobaciones de lso anlisis hechos para
sistemas con 2 resortes en serie acoplados en paralelo a un
resorte, y dos resortes en paralelo acoplados en serie a un
resorte. En ambos casos el resorte acoplado al sistema es el mismo.
Para todos los resortes y sistemas se realizaron dos medidas con
las cuales fueron calculadas las constantes, la constante utilizada
es un promedio de las halladas en las medidas. A continuacin se
muestran los grficos de posicin (y) en funcion del tiempo (t):
Figura: Grfico de y en funcin de t para resorte nmero 3(Primera
medida)
Figura: Grfico de y en funcion de t para resorte nmero 3
(Segunda medida)
Figura: Grfico de y en funcin de t para 2 resortes en serie
(Sistema a) (Primera medida)
Figura: Grfico de y en funcin de t para el sistema a (Segunda
medida).
Figura: Grfico de y en funcin de t para sistema a en paralelo
con resorte nmero 3 (Primera medida)
Figura: Grfico de y en funcin de t para sistema a en paralelo
con resorte nmero 3 (Segunda medida)
Figura: Grfico de y en funcin de t para 2 resortes en paralelo
(Sistema b) (Primera medida)
Figura: Grfico de y en funcin de t para sistema b (Segunda
medida)
Figura: Grfico de y en funcin de t para sistema b en serie con
resorte N3(Primer medida)
Figura: Grfico de y en funcion de t para sistema b en serie con
resorte N3 (Segunda medida)
Una vez obtenidos los grficos, para hallar la constante del
resorte N3 y los sistemas a y b, as como tambin la constante
equivalente para la combinacin en serie y en paralelo fue necesario
ajustar los grficos a una funcin seno, exceptuando a las figuras de
sist.a en paralelo con3 que fueron ajustados con una funcin seno
amortiguada, debido a la gran amortiguacin vista en estos grficos.
Esta amortiguacin se debe a que para poder realizar las medidas se
coloc un papel entre los resortes, ya que estos se enganchaban, la
adicin del papel separando a los resortes gener una fuerza de
friccin que amortigu considerablemente el movimiento. Para realizar
el ajuste se tom una parte representativa del grfico. A continuacin
se muestran los grficos con sus curvas de ajuste:
Figura: Grfico de resorte N3 con curva de ajuste (Primera
medida).
Figura: Grfico de resorte N3 con curva de ajuste (Segunda
medida).
Figura: Grfico de sistema a con curva de ajuste (Primera
medida)
Figura: Grfico de sistema a con curva de ajuste (Segunda
medida)
Figura: Grfico de sistema a en paralelo con el resorte N3 con
curva de ajuste (Primera medida)
Figura: Grfico de sistema a en paralelo con el resorte N3
(Segunda medida)
Figura: Grfico de sistema b con curva de ajuste (Primera
medida)
Figura: Grfico de sistema b con curva de ajuste (Segunda
medida)
Figura: Grfico de sistema b en serie con el resorte N3 con curva
de ajuste (Primera medida)
Figura: Grfico de sistema b en serie con el resorte N3 con curva
de ajuste (Segunda medida)Las ecuaciones de las curvas de ajuste
son las siguientes:Resorte N3(primera medida):
Resorte N3(Segunda medida):Sistema a(primera medida):
Sistema a(Segunda medida):
Sistema b(primera medida):
Sistema b(Segunda medida):
Sistema a en paralelo con resorte N3(primera medida):
Sistema a en paralelo con resorte N3(Segunda medida):
Sistema b en serie con resorte N3(primera medida):
Sistema b en serie con resorte N3(Segunda medida):
Discusin:Para hacer los ajustes de los grficos fue necesario
tomar una parte de los grficos, debido a que el movimiento se iba
amortiguando por el roce con el aire. Este tramo del grfico posee
una amplitud constante, adems, como las oscilaciones los ejes
restantes no pudieron ser eliminadas por completo, se observa que
los mximos y mnimos del grfico varan con cierta periodicidad,
debido a la superposicin de estos movimientos oscilatorios, el
tramo a ajustar en cada grfico posea una diferencia poco apreciable
en los picos respecto a este efecto.Las funciones de ajustes dadas
por el programa se encuentran presentadas de la siguiente
manera:
Siendo el termino igual a la frecuencia angular del sistema. A
su vez, la frecuencia angular es igual a la raiz cuadrada del
cociente entre la constante del resorte y la masa suspendida de l,
a partir de ah se calculo en el anexo la constante de cada resorte
y sistema. A continuacin se registran los datos de k para cada
sistema:Resorte 1:
Resorte 2:
Resortes en paralelo:
Resortes en serie:
Resorte 3:
Sistema a:
Sistema b:
Sistema a en paralelo con resorte 3:
Sistema b en serie con resorte 3:
Conclusin: Segn el anlisis terico de la constante equivalente a
un sistema de resortes en serie, ks debe ser igual a , lo cual
queda verificado a continuacin:
El valor de ks hallado experimentalmente es 15,94(0,03) como se
mencion anteriormente, por lo tanto la constante de un sistema de
resortes conectados en serie es igual a lo supuesto.
Para resortes en paralelo, la constante equivalente debe ser
igual a la suma de las constantes. La suma de k1 con k2 es igual
a:
El valor de kp hallado experimentalmente es de 63,64(0,08), por
lo tanto queda verificado que la constante equivalente a un sistema
de resortes en paralelo es la suma de las constantes.Se obtuvieron
experimentalmente las constantes de estiramiento de los sistemas a
y b, el resorte numero 3 y sus combinaciones. Segn el anlisis
terico los sistemas a y b actan como un resorte cuya constante es
la hallada experimentalmente, por lo tanto las combinaciones de los
sistemas con el resorte nmero 3 tendrn constantes que se podrn
hallar como dos resortes conectados en paralelo en el caso del
sistema a y el resorte N3 y como dos resortes conectados en serie
en el caso del sistema b y el resorte N3. Por lo tanto debe ocurrir
que:
La suma de k3 y ka es igual a:
y a su vez
Por lo tanto la diferencia entre la suma de k3 y ka y ka3 se
encuentra dentro del error en las medidas, comprobndose que el
anlisis hecho para dos resortes conectados en paralelo vale an
cuando uno de los resortes es un sistema de resortes y se utiliza
su constante equivalente.Cuando se trata al sistema b en serie con
el resorte 3 tenemos que:
y a su vez:
Por lo tanto se comprueba que la constante hallada mediante el
anlisis del sistema como si fueran dos resortes conectados en serie
se encuentra dentro del error de la constante hallada
experimentalmente.De este modo se concluye que un sistema de
resortes en paralelo acta como un resorte cuya constante de
estiramiento es igual a la suma de las constantes de estiramiento
de los resortes que actan, y un sistema de resortes conectados en
serie acta como un resorte cuya constante es la inversa de la suma
de las inversas de las constantes de los resortes que actan.AnexoSe
presentan en este anexo los clculos hechos para la obtencin de los
resultados presentados en el informe.Clculo de constantes de
resortes y propagacin de errores:Propagacin de error para las
constantes halladas de manera experimental: Sabemos que para cada
resorte se cumple que:
Como es el resultado de un cociente, su incertidumbre absoluta
puede ser calculada de la siguiente manera:
A su vez, para realizar los clculos se utiliza con un error en
la novena cifra decimal su error absoluto puede ser despreciado,
dejando:
Una vez obtenido el valor de con su error correspondiente es
necesario calcular la constante k de la siguiente manera:
Y como el error absoluto de k puede ser expresado como:
Tambin sabemos que , por lo tanto la ecuacin anterior puede ser
expresada como:
Esto vale an para la funciones ajustadas como una funcin seno
amortiguada.En los casos en los que se realizaron dos series de
datos se calcularon las constantes de ambas series y se realiz un
promedio de ambas. Para estos casos la incertidumbre queda
determinada de la siguiente manera:
Siendo k:
Por lo tanto la incertidumbre absoluta es igual a:
Entonces tenemos que:
Clculo de las constantes:Para :
Para k2:
Para kp
Para ks
Para k3:Primera medida:
Segunda medida:
Promedio:
Para ka:Primera medida:
Segunda medida:
Promedio:
Para kb:Primera medida:
Segunda medida:
Promedio:
Para ka3:Primera medida:
Segunda medida:
Promedio:
Para kb3:Primera medida:
Segunda medida:
Promedio:
Propagacin de error para las constantes halladas de manera
analtica:Al hacer la constante de un sistema en paralelo la suma de
las constantes de los resortes que interacten, la incertidumbre
absoluta es igual a la suma de las incertidumbres absolutas de los
resortes:En los casos de resortes en serie tenemos que la constante
del sistema es igual a la inversa de la suma de las inversas, por
lo que con las incertidumbres ocurre que:
El nmero uno resulta de realizar la inversa de la suma de las
inversas, por lo que no posee incertidumbre, la incertidumbre de la
suma de las inversas puede calcularse de la siguiente manera:
Reemplazando en la ecuacin para la incertidumbre de k
obtenemos:
Constantes de resortes en serie y en paralelo halladas de manera
analtica:Para k1 y k2 en serie:
Para k1 y k2 en paralelo:
Para ka y k3 en paralelo:
Para kb y k3 en serie:
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