Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.A.M. Calculo. Integrales triples. Aplicaciones.

CALCULO

Hoja 12. Integrales triples. Algunas aplicaciones.

• Masa de un solido de densidad µ = µ(x, y, z)

M =∫ ∫ ∫

V µ(x, y, z)dxdydz

• Centro de masas (de gravedad o baricentro) de un solido de densidad µ = µ(x, y, z) :

x =

∫ ∫ ∫V xµ(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫V µ(x, y, z)dxdydz

y =

∫ ∫ ∫V yµ(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫V µ(x, y, z)dxdydz

z =

∫ ∫ ∫V zµ(x, y, z)dxdydz∫ ∫ ∫V µ(x, y, z)dxdydz

• Momentos de inercia de un solido respecto a los planos coordenados:

– Plano YZ: Iyz =∫ ∫ ∫ ∫

V x2µ(x, y, z)dxdydz

– Plano XZ: Ixz =∫ ∫ ∫

V y2µ(x, y, z)dxdydz

– Plano XY: Ixy =∫ ∫ ∫

V z2µ(x, y, z)dxdydz

• Momentos de inercia de un solido respecto a los ejes coordenados:

– Eje OX: Ix =∫ ∫ ∫

V (y2 + z2)µ(x, y, z)dxdydz

– Eje OY: Iy =∫ ∫ ∫

V (x2 + z2)µ(x, y, z)dxdydz

– Eje OZ: Iz =∫ ∫ ∫

V (x2 + y2)µ(x, y, z)dxdydz

• Momentos de inercia de un solido respecto al origen (Momento polar):

IO =∫ ∫ ∫

V (x2 + y2 + z2)µ(x, y, z)dxdydz

• Relaciones entre momentos:

Ix = Ixy + Ixz

Iy = Ixy + Iyz

Iz = Ixz + Iyz

IO = Ixy + Ixz + Iyz

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