Calculo II

Universidad José Carlos Mariátegui

4.- Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y2=x3 , y=4−4 x

y=4−x2 , y=4−4 x

4−x2=4−4 x

4−4=x2−4 x

0=x2−4 x

x (x−4 )=0

x=0 x=4

A=∫0

4

[4−x2−(4−4 x)]

A=∫0

4

[4−x2−4+4 x ]

A=∫0

4

[4 x−x2 ]

A=∫0

4 [2 x2− x33 ]A=[2 (4 )2−2(0)2 ]−[(4)33 −(0)3

3 ]A=[32−643 ]A=[ 96−643 ]A=32

3u2

Calculo II Lic. Elizabeth Ramos


14.- Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y=x2 , y= x2

2 y la recta y=2x

x2= x2

2

2 x2=x2

2 x2−x2=0

x=0

x2

2=2 x

x2=4 x

x2−4 x=0

x (x−4 )=0

x=0 x=4

A=∫2

4

2x+[∫02

x2−∫0

4 x2

3 ]A=∫

2

4

x2+¿ [∫02 x3

3−∫

0

4 x3

6 ]¿A=[ (4 )2−(2 )2 ]+[(2)3 −( (4)6 )]

A=12+[ 83−646 ]A=12−8A=4u2

24.- Hallar el área de la figura limitada por la línea en donde y2=x2−x4.



y2=x2−x4 Intersección con el eje Y=0

y=±√ x2−x4 x2−x4=0

x2 (1−x2)=0

Hallando el dominio x2(x2−1)=0

x2−x4≥0 x2(x−1)( x+1)=0

x2 (1−x2)≥0 x=0 x=1 x=−1

x2 (x2−1 )≤0

x2 ( x−1 ) ( x+1 )≤0

2 yy´=2 x−4 x3

y ´= 2 x−4 x3

2√x2−x4

y ´=2 x (1−2 x2)

y ´=2 x (1−√2 x)(1+√2x )

x= 1√2x=−1

√2

A=4∫0

1

√x2−x4dx



A=4∫0

1

x √1−x2dx

Simetria con:

El eje X En el eje Y

E(x,y)=E(x,-y) E(x,y)=E(-x,y)

y2=x2−x4 , y2=x2−x4

Del Origen

E(x, y)=E(-x,-y)

u=1−x2 A= 4−2∫ √u du

du=−2 xdx A=(−2 ) 2u3 /2

3

−du2

=x dx A=−43 ∫

0

1

(1−x2)3/2

A=−43 [0−(1)]

A=43u2



34.- Hallar el área limitada por las curvas y=x3+3 x2+2, y=x3+6 x2−25

Igualando:

x3+3x2+2=x3+6 x2−25

0=3 x2−27

0=3(x2−9)

x=3 x=−3

A=∫−3

3

[ x3+3 x2+2−(x3+6x2−25 ) ]

A=∫−3

3

[−3 x2+27 ]

A=∫−3

3 [−3 x33 +27 x ]A=2 [ (−3 )3+25(3)]

A=2 [54 ]

A=108u2



44.- Hallar el área que encierra la curva 9a y2=x (x−3a)2

9a y2=x (x−3a)2

x (x−3a )2=0

x=0 x−3a=0

x=3a

y2=x ¿¿

x=a y2=a (−2a)2

9a

y2=4 a3

9a=4 a

2

9

y2=49a2=± 2

3a



64.- Calcular el área de la región comprendida por las curvas x2+ y2=25 ,3 y2=16 x ,3 x2=18 y .

x2+ y2=25 ….. 1

3 y2=16 x ………. 2

3 x2=18 y……3

De 3 y= x2

6

En 2

3( x26 )2

=16 x

3x4

36=16x

x4

12=16x

x4=192x

x (x3−192 )=0

x=0 x=4 3√3

1 y 2 1 y 3

x2+ 16 x3

=256 x2+ y2−25=0

3 x2+16 x−75=0 y=√25−x2

x=−16±346



A=∫0

3

( 4√3 √ x− x2

6 )dx+∫3

4.12

(√25−x2− x26 )dx

A=∫0

3

( 4 (2)√3(x)3 /2

3− x3

3(6))+∫34.12

( x5 √25−x2+ 252 arcsen( x5 )− x3

18 )

A=∫0

3

( 83√3 √ x3− x

3

18 )+∫3

4.12

[( 4.125 √25−(4.12)2+ 252arcsen 4.12

5 )−( (4.12 )3

18−¿ 35

(4 )+252arcsen( 35 )−2718 )]¿

74.- Calcular el área de la región R limitada por las curvas y=x4−2|x|+3 , x2

2− y+3=0

y=x2−2|x|+3

x≥0 x<0

y=x2−2 x+3 y=x2+2 x+2

y=x2−2 x+1+2 y=x2+2 x+1+2

y= (x−1 )2+2 y= (x+1 )2+2

v (1,2)v (−1,2)

x2−2 x+3= x2

2+3 x2+2 x+2= x

2

2+3

x2−4 x=0 x2+4 x=0

x (x−4 )=0 x ( x+4 )=0

x=0 x=4 x=0 x=−4



A=2∫0

4 [ x22 +3−(x2−2 x+3)]dxA=2∫

0

4 [ x22 +3−x2+2x−3] dxA=2∫

0

4 [−x22 +2 x ]A=2∫

0

4 [−x36 + 2 x2

2 ]A=2( 326 )=646 u2



84.- Hallar el área de la región comprendida entre la línea. f ( x )={ x2,∧x≤0−x+6 ,∧x>0

y las rectas

x=0 , x=3

A=∫0

2

x2dx+∫2

3

(−x+6 )dx

A=∫0

2 x3

3+∫2

3

6 x− x2

2

A=83+[(18−92 )−(12−2 )]A=8

3+(272 −10)

A=97−606

=376u2


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