UNIVERSIDAD ESTATAL DE BOLIVAR

FACULTAD DE CIENCIAS EDUCACION, SOCIALES, FILOSOFICAS Y HUMANISTICAS

Asignatura

Calculo III

Docente:

Geofre Pinos

Estudiante:

Toalombo Jhonatan Dario

Año lectivo

2013

INTEGRACIÓN

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, en un sistema de coordenadas cartesianas con signo positivo cuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

se interpreta como el área bajo la curva de f, entre a y b.

Dada una función de una variable real y un intervalo de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano limitada entre la gráfica de

, el eje , y las líneas verticales y , donde son negativas las

áreas por debajo del eje .

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada . En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Conceptos y aplicaciones

Este artículo o sección tiene un estilo difícil de entender para los lectores interesados en el tema.Si puedes, por favor edítalo y contribuye a hacerlo más accesible para el público general, sin eliminar los detalles técnicos que interesan a los especialistas.

Aproximaciones a la integral de entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo).

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (si se requiere saber su medida). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.

Para el cálculo integral de áreas se sigue el siguiente razonamiento:

1. Por ejemplo, consideremos la curva mostrada en la figura de arriba,

gráfica de la función , acotada entre y .

2. La respuesta a la pregunta ¿Cuál es el área bajo la curva de función , en el intervalo desde hasta ? es: que el área coincidirá con la integral de . La notación para esta integral será

.

Una primera aproximación,muy grosera por cierto, para obtener esta área, consiste en determinar el área del cuadrado unidad cuyo lado lo da la distancia desde x=0 hasta x=1 o también la longitud entre y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1x1 = 1. Tal como se puede inferir, el verdadero valor de la integral tendrá que ser más pequeño. Particionando la superficie en estudio, con trazos verticales, de tal manera que vamos obteniendo pequeños rectángulos, y reduciendo cada vez más el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación, se obtendrá un mejor resultado; por ejem. dividamos el intervalo en cinco partes, empleando los puntos 0, 1⁄5, 2⁄5,3⁄5,4⁄5 y, finalmente la abscisa 1. Se obtienen cinco rectángulitos cuyas alturas se determinan aplicando la función con las abscisas anteriormente descritas

(del lado derecho de cada pedazo de la curva), así , , … y así

hasta . Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una segunda aproximación de la integral que se está buscando,

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que las continuas aproximaciones continúan dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta. Si en vez de 5 subintervalos se toman doce y ahora tomamos las abscisas de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un estimado para el área, de 0,6203, que en este caso es de menor valor que el anteriormente determinado. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).

Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada,

se tiene que mirar la función relacionada y simplemente tomar

, donde y son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = xq, con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (xq+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como

Como se puede ver, la segunda aproximación de 0,7 (con cinco rectangulitos), arrojó un valor superior al valor exacto; en cambio la aproximación con 12 rectangulitos de 0,6203 es una estimación muy por debajo del valor exacto (que es de 0,666...).

Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más flexibles. Así, la notación

hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la función, donde μ mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aquí A indica la región de integración.) La geometría diferencial, con su "cálculo de variedades", proporciona otra interpretación a esta notación familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial, ω = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (más general) teorema de Stokes,

a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo.

Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como el análisis no estándar. Estos métodos no sólo reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevas matemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal.

A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será el mismo en todos los casos.

Integral de Riemann

Integral con el planteamiento de Riemann hace una suma basada en una partición etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el máximo en rojo). El verdadero valor es 3,76; la estimación obtenida es 3,648.

La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita

y

denotamos la partición como

Convergencia de sumatorios de Riemann a medida en que se parten los intervalos, cuando se muestrea a ■ la derecha, ■ el mínimo, ■ el máximo, o ■ la izquierda.

Esto divide al intervalo [a,b] en n subintervalos [xi−1, xi], cada uno de los cuales es "etiquetado" con un punto especificado ti de; [xi−1, xi]. Sea Δi = xi−xi−1 la anchura del subintervalo i; el paso de esta partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande obtenido por la partición, maxi=1…n Δi. Un sumatorio de Riemann de una función f respecto de esta partición etiquetada se define como

Así cada término del sumatorio es el área del rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una función f sobre el intervalo [a,b] es igual a S si:

Para todo ε > 0 existex δ > 0 tal que, para cualquier partición etiquetada [a,b] con paso más pequeño que δ, se tiene

, donde

Cuando las etiquetas escogidas dan el máximo (o mínimo) valor de cada intervalo, el sumatorio de Riemann pasa a ser un sumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexión que hay entre la integral de Riemann y la integral de Darboux.

Integral de Darboux

Artículo principal: Integral de Darboux

La Integral de Darboux se define en términos de sumas de los siguientes tipos:

Llamadas suma inferior y superior respectivamente, donde:

son las alturas de los rectángulos, y xi-xi-1 la longitud de la base de los rectángulos. La integral de Darboux está definida como el único número acotado entre las sumas inferior y superior, es decir,

La interpretación geométrica de la integral de Darboux sería el cálculo del área de la región en [a,b] por el Método exhaustivo. La integral de Darboux de una función f en [a,b] existe si y sólo si

Del Teorema de Caracterización que dice que si f es integrable en [a,b] entonces ∀ε>0 ∃ P partición de [a,b] : 0≤U(f,P)-L(f,P)≤ε, evidencia la equivalencia entre las definiciones de Integral de Riemman e Integral de Darboux pues se sigue que7

.

Integral de Lebesgue

Artículo principal: Integral de Lebesgue

Integración de Riemann-Darboux (azul) e integración de Lebesgue (rojo).

La integral de Riemann no está definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de importancia práctica (y de interés teórico). Por ejemplo, la integral de Riemann puede integrar fácilmente la densidad para obtener la masa de una viga de acero, pero no se puede adaptar a una bola de acero que se apoya encima. Esto motiva la creación de otras definiciones, bajo las cuales se puede integrar un surtido más amplio de funciones.8 La integral de Lebesgue, en particular, logra una gran flexibilidad a base de centrar la atención en los pesos de la suma ponderada.

Así, la definición de la integral de Lebesgue empieza con una medida, μ. En el caso más sencillo, la medida de Lebesgue μ(A) de un intervalo A = [a, b] es su ancho, b − a, así la integral de Lebesgue coincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. En casos más complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente fragmentados, sin continuidad y sin ningún parecido a intervalos.

Para explotar esta flexibilidad, la integral de Lebesgue invierte el enfoque de la suma ponderada. Como expresa Folland:9 "Para calcular la integral de Riemann de f, se particiona el dominio [a, b] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho lo que se está particionando es el recorrido de f".

Un enfoque habitual define primero la integral de la función característica de un conjunto medible A por:

.

Esto se extiende por linealidad a las funciones escalonadas simples, que sólo tienen un número finito n, de valores diferentes no negativos:

(donde la imagen de Ai al aplicarle la función escalonada s es el valor constante ai). Así, si E es un conjunto medible, se define

Entonces, para cualquier función medible no negativa f se define

Es decir, se establece que la integral de f es el supremo de todas las integrales de funciones escalonadas que son más pequeñas o iguales que f. Una función medible cualquiera f, se separa entre sus valores positivos y negativos a base de definir

Finalmente, f es Lebesgue integrable si

y entonces se define la integral por

Cuando el espacio métrico en el que están definidas las funciones es también un espacio topológico localmente compacto (como es el caso de los números reales R), las medidas compatibles con la topología en un sentido adecuado (medidas de Radon, de las cuales es un ejemplo la medida de Lebesgue) una integral respecto de ellas se puede definir de otra manera, se empieza a partir de las integrales de las funciones continuas con soporte compacto. De forma más precisa, las funciones compactamente soportadas forman un espacio vectorial que comporta una topología natural, y se puede definir una medida (Radon) como cualquier funcional lineal continuo de este espacio; entonces el valor de una medida en una función compactamente soportada, es también, por definición, la integral de la función. Entonces se continúa expandiendo la medida (la integral) a funciones más generales por continuidad, y se define la medida de un conjunto como la integral de su función característica. Este es el enfoque que toma Bourbaki10 y cierto número de otros autores. Para más detalles, véase medidas de Radon.

Propiedades de la integración

Linealidad

El conjunto de las funciones Riemann integrables en un intervalo cerrado [a, b] forman un espacio vectorial con las operaciones de suma (la función suma de otras dos es la función que a cada punto le hace corresponder la suma de las imágenes de este punto por cada una de las otras dos) y la multiplicación por un escalar. La operación integración

es un funcional lineal de este espacio vectorial. Así, en primer lugar, el conjunto de funciones integrables es cerrado con la combinación lineal, y en segundo lugar, la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales,

De forma parecida, el conjunto de las funciones reales Lebesgue integrables en un espacio métrico E dado, con la medida μ es cerrado respecto de las combinaciones lineales y por lo tanto forman un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue

es un funcional lineal de este espacio vectorial, de forma que

De forma más general, si se toma el espacio vectorial de todas las funciones medibles sobre un espacio métrico (E,μ), que toman valores en un espacio vectorial topológico completo localmente compacto V sobre un campo topológico localmente compacto K, f : E → V. Entonces se puede definir una aplicación integración abstracta que a cada función f le asigna un elemento de V o el símbolo ∞,

que es compatible con las combinaciones lineales. En esta situación, la linealidad se sostiene para el subespacio de las funciones, cuya integral es un elemento de V (es decir, las integrales "finitas"). Los casos más importantes surgen cuando K es R, C, o una extensión finita del campo Qp de números p-ádicos, y V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre K, y cuando K=C y V es un espacio de Hilbert complejo.

La linealidad, junto con algunas propiedad naturales de continuidad y la normalización para ciertas clases de funciones "simples", se pueden usar para dar una definición alternativa de integral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones reales en un conjunto X, generalizado por Bourbaki a funciones que toman valores en un espacio vectorial topológicamente compacto. Véase Hildebrandt (1953)11 para una caracterización axiomática de la integral.

Desigualdades con integrales

Se verifican varias desigualdades generales para funciones Riemann integrables definidas en un intervalo cerrado y acotado [a, b] y se pueden generalizar a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).

Cotas superiores e inferiores. Una función f integrable en [a, b], es necesariamente acotada en el intervalo. Por lo tanto hay dos números reales m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para todo x de [a, b]. Dado que los sumatorios superior e inferior de f sobre [a, b] son también acotados para m(b − a) y M(b − a) respectivamente, de aquí resulta que

Desigualdades entre funciones. Si f(x) ≤ g(x) para todo x de [a, b] entonces cada uno de los sumatorios superior e inferior de f son acotados inferior y superiormente por los sumatorios superior e inferior de g respectivamente. Así

Esto es una generalización de las desigualdades anteriores, dado que M '(b − a) es la integral de la función constante con valor M en el intervalo [a, b].

Subintervalos. Si [c, d] es un subintervalo de [a, b] y f(x) es no negativa para todo x, entonces

Productos y valores absolutos de funciones. Si f y g son dos funciones, entonces podemos emplear su producto, potencias y valores absolutos:

Si f es Riemann integrable en [a, b] entonces lo mismo se cumple para |f|, y

Es más, si f y g son ambas Riemann integrables entonces f 2, g 2, y fg son también Riemann integrables, y

Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Cauchy-Schwarz, y desempeña un papel fundamental en la teoría de los espacios de Hilbert, donde el lado de la derecha se interpreta como el producto escalar de dos funciones integrables f y g en el intervalo [a, b].

Desigualdad de Hölder. Si p y q son dos números reales, 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1, y f y g son dos funciones Riemann integrables. Entonces las funciones |f|p y |g|q también son integrables y se cumple la desigualdad de Hölder:

Para el caso de p = q = 2, la desigualdad de Hölder pasa a ser la desigualdad de Cauchy–Schwarz.

Desigualdad de Minkowski. Si p ≥ 1 es un número real y f y g son funciones Riemann integrables. Entonces |f|p, |g|p y |f + g|p son también Riemann integrables y se cumple la desigualdad de Minkowski:

Una desigualdad análoga a ésta para la integral de Lebesgue se usa en la construcción de los espacios Lp.

Convenciones

En esta sección f es una función real Riemann integrable. La integral

sobre un intervalo [a, b] está definida si a < b. Esto significa que los sumatorios superiores e inferiores de la función f se evalúan sobre una partición a = x0 ≤ x1

≤ . . . ≤ xn = b cuyos valores xi son crecientes. Geométricamente significa que la integración tiene lugar "de izquierda a derecha", evaluando f dentro de intervalos [x i , x i +1] donde el intervalo con un índice más grande queda a la derecha del intervalo con un índice más pequeño. Los valores a y b, los puntos extremos del intervalo, se denominan límites de integración de f. Las integrales también se pueden definir si a > b:

Inversión de los límites de integración. si a > b entonces se define

Ello, con a = b, implica:

Integrales sobre intervalos de longitud cero. si a es un número real entonces

La primera convención es necesaria al calcular integrales sobre subintervalos de [a, b]; la segunda dice que una integral sobre un intervalo degenerado, o un punto, tiene que ser cero. Un motivo para la primera convención es que la integrabilidad de f sobre un intervalo [a, b] implica que f es integrable sobre cualquier subintervalo [c, d], pero en particular las integrales tienen la propiedad de que:

Aditividad de la integración sobre intervalos. si c es cualquier elemento de [a, b], entonces

Con la primera convención la relación resultante

queda bien definida para cualquier permutación cíclica de a, b, y c.

En lugar de ver lo anterior como convenciones, también se puede adoptar el punto de vista de que la integración se hace sólo sobre variedades orientadas. Si M es una tal forma m-dimensional orientada, y M' es la misma forma con orientación opuesta y ω es una m-forma, entonces se tiene (véase más abajo la integración de formas diferenciales):

Enunciado de los teoremas

Teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se define F para cada x de [a, b] por

entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b], entonces F es derivable en x, y F ′(x) = f(x).

Segundo teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real, integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si F es una función tal que F ′(x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es una primitiva de f), entonces

Corolario. Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definida por

es una primitiva de f en [a, b]. Además,

Integrales impropias

Artículo principal: Integral impropia

La integral impropia

tiene intervalos no acotados tanto en el dominio como en el recorrido.

Una integral de Riemann "propia" supone que el integrando está definido y es finito en un intervalo cerrado y acotado, cuyos extremos son los límites de integración. Una integral impropia aparece cuando una o más de estas condiciones no se satisface. En algunos casos, estas integrales se pueden definir tomando el límite de una sucesión de integrales de Riemann propias sobre intervalos sucesivamente más largos.

Si el intervalo no es acotado, por ejemplo en su extremo superior, entonces la integral impropia es el límite cuando el punto final tiende a infinito.

Si el integrando sólo está definido en un intervalo finito semiabierto, por ejemplo (a,b], entonces, otra vez el límite puede suministrar un resultado finito.

Esto es, la integral impropia es el límite de integrales propias cuando uno de los puntos extremos del intervalo de integración se aproxima, ya sea a un número real especificado, o ∞, o −∞. En casos más complicados, hacen falta límites en los dos puntos extremos o en puntos interiores.

Por ejemplo, la función integrada desde 0 a ∞ (imagen de la derecha). En el extremo inferior, a medida que x se acerca a 0 la función tiende a ∞, y el extremo superior es él mismo ∞, a pesar de que la función tiende a 0. Así, esta es una integral doblemente impropia. Integrada, por ejemplo, desde 1 hasta 3,

con un sumatorio de Riemann es suficiente para obtener un resultado de . Para integrar desde 1 hasta ∞, un sumatorio de Riemann no es posible. Ahora

bien, cualquier límite superior finito, por ejemplo t (con t > 1), da un resultado

bien definido, . Este resultado tiene un límite finito cuando t

tiende a infinito, que es . De forma parecida, la integral desde 1⁄3 hasta a 1

admite también un sumatorio de Riemann, que por casualidad da de nuevo . Sustituyendo 1⁄3 por un valor positivo arbitrario s (con s < 1) resulta igualmente

un resultado definido y da . Éste, también tiene un límite

finito cuando s tiende a cero, que es . Combinando los límites de los dos fragmentos, el resultado de esta integral impropia es

Este proceso no tiene el éxito garantizado; un límite puede no existir, o puede

ser infinito. Por ejemplo, sobre el intervalo cerrado de 0 a 1 la integral de no

converge; y sobre el intervalo abierto del 1 a ∞ la integral de no converge.

La integral impropia

no está acotada internamente, pero ambos límites (por la derecha y por la izquierda) existen.

También puede pasar que un integrando no esté acotado en un punto interior, en este caso la integral se ha de partir en este punto, y el límite de las integrales de los dos lados han de existir y han de ser acotados. Así

A la integral similar

no se le puede asignar un valor de esta forma, dado que las integrales por encima y por debajo de cero no convergen independientemente (en cambio, véase valor principal de Cauchy.)

Integración múltiple

Artículo principal: Integral múltiple

Integral doble como el volumen limitado por una superficie.

Las integrales se pueden calcular sobre regiones diferentes de los intervalos. En general, una integral sobre un conjunto E de una función f se escribe:

Aquí x no hace falta que sea necesariamente un número real, sino que puede ser cualquier otra cantidad apropiada, por ejemplo, un vector de R3. El teorema de Fubini demuestra que estas integrales pueden reescribirse como una integral iterada. En otras palabras, la integral se puede calcular a base de integrar las coordenadas una por una.

De la misma manera que la integral definida de una función positiva representa el área de la región encerrada entre la gráfica de la función y el eje x, la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región comprendida entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio. (El mismo volumen puede obtenerse a través de una integral triple — la integral de la función de tres variables — de la función constante f(x, y, z) = 1 sobre la región mencionada antes entre la superficie y el plano, lo mismo se puede hacer con una integral doble para calcular una superficie.) Si el número de variables es mayor, entonces la integral representa un hipervolumen, el volumen de un sólido de más de tres dimensiones que no se puede representar gráficamente.

Por ejemplo, el volumen del paralelepípedo de caras 4 × 6 × 5 se puede obtener de dos maneras:

Con la integral doble

de la función f(x, y) = 5 calculada en la región D del plano xy que es la base del paralelepípedo.

Con la integral triple

de la función constante 1 calculada sobre el mismo paralelepípedo (a pesar de que este segundo método también se puede interpretar como el hipervolumen de un hiperparalelepípedo de cuatro dimensiones que tiene como base el paralelepípedo en cuestión y una altura constante de 1, como la altura es 1 el volumen coincide con el área de la base).

Puesto que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable, no existen las integrales múltiples indefinidas: tales integrales son todas definidas.

Integrales de línea

Artículo principal: Integral de línea

Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva.

El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales.

Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.

Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:

que tiene su paralelismo en la integral de línea

que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.

Integrales de superficie

La definición de las integrales de superficie descansa en la división de la superficie en pequeños elementos de superficie.

Una integral de superficie es una integral definida calculada sobre una superficie (que puede ser un conjunto curvado en el espacio; se puede entender como la integral doble análoga a la integral de línea. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral de superficie es la suma ponderada de los valores del campo en todos los puntos de la superficie. Esto se puede conseguir a base de dividir la superficie en elementos de superficie, los cuales proporcionan la partición para los sumatorios de Riemann.

Como ejemplo de las aplicaciones de las integrales de superficie, se puede considerar un campo vectorial v sobre una superficie S; es decir, para cada punto x de S, v(x) es un vector. Imagínese que se tiene un fluido fluyendo a través de S, de forma que v(x) determina la velocidad del fluido en el punto x. El caudal se define como la cantidad de fluido que fluye a través de S en la unidad de tiempo. Para hallar el caudal, hay que calcular el producto escalar de v por el vector unitario normal a la superficie S en cada punto, lo que nos dará un campo escalar, que integramos sobre la superficie:

.

El caudal de fluido de este ejemplo puede ser de un fluido físico como el agua o el aire, o de un flujo eléctrico o magnético. Así, las integrales de superficie tienen aplicaciones en la física, en particular en la teoría clásica del electromagnetismo.

Integrales de formas diferenciales

Artículo principal: Forma diferencial

Una forma diferencial es un concepto matemático en los campos del cálculo multivariable, topología diferencial y tensores. La notación moderna de las formas diferenciales, así como la idea de las formas diferenciales como el producto exterior de derivadas exteriores formando un álgebra exterior, fue presentada por Élie Cartan.

Se empieza trabajando en un conjunto abierto de Rn. Una 0-forma se define como una función infinitamente derivable f. Cuando se integra una función f sobre un subespacio de m-dimensional S de Rn, se escribe como

(Los superíndices no son exponentes.) Se puede considerar que dx1 hasta dxn

son objetos formales ellos mismos, más que etiquetas añadidas para hacer que la integral se asemeje a los sumatorios de Riemann. De forma alternativa se pueden ver como covectores, y por lo tanto como una medida de la "densidad" (integrable en un sentido general). A dx1, …,dxn se las denomina 1-formas básicas.

Se define el conjunto de todos estos productos como las 2-formas básicas, y de forma similar se define el conjunto de los productos de la forma dxa∧dxb∧dxc

como las 3-formas básicas. Una k-forma general es por lo tanto una suma ponderada de k-formas básicas, donde los pesos son las funciones infinitamente derivables f. Todas juntas forman un espacio vectorial, siendo las k-formas básicas los vectores base, y las 0-formas (funciones infinitamente derivables) el campo de escalares. El producto exterior se extiende a las k-formas de la forma natural. Sobre Rn como máximo n covectores pueden ser linealmente independientes, y así una k-forma con k > n será siempre cero por la propiedad alternante.

Además del producto exterior, también existe el operador derivada exterior d. Este operador hace corresponder a las k-formas (k+1)-formas. Para una k-forma ω = f dxa sobre Rn, se define la acción de d por:

con extensión a las k-formas generales que se dan linealmente.

Este planteamiento más general permite un enfoque de la integración sobre variedades libre de coordenadas. También permite una generalización natural del teorema fundamental del cálculo, denominada teorema de Stokes, que se puede establecer como

donde ω es una k-forma general, y ∂Ω indica la frontera de la región Ω. Así en el supuesto de que ω sea una 0-forma y Ω sea un intervalo cerrado de la recta real, el teorema de Stokes se reduce al teorema fundamental del cálculo. En el caso de que ω sea una 1-forma y Ω sea una región de dimensión 2 en el plano, el teorema se reduce al teorema de Green. De manera similar, empleando 2-formas, 3-formas y la dualidad de Hodge, se puede llegar al teorema de Stokes

y al teorema de la divergencia. De esta forma puede verse que las formas diferenciales suministran una potente visión unificadora de la integración.

Métodos y aplicaciones

La técnica más básica para calcular integrales de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo. Se procede de la siguiente forma:

1. Se escoge una función f(x) y un intervalo [a, b].2. Se halla una antiderivada de f, es decir, una función F tal que F' = f.3. Se emplea el teorema fundamental del cálculo, suponiendo que ni el

integrando ni la integral tienen singularidades en el camino de integración,

4. Por tanto, el valor de la integral es F(b) − F(a).

Nótese que la integral no es realmente la antiderivada, sino que el teorema fundamental permite emplear las antiderivadas para evaluar las integrales definidas.

A menudo, el paso difícil de este proceso es el de encontrar una primitiva de f. En raras ocasiones es posible echar un vistazo a una función y escribir directamente su primitiva. Muy a menudo, es necesario emplear una de las muchas técnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayoría de ellas transforman una integral en otra que se espera que sea más manejable. Entre estas técnicas destacan:

Integración por cambio de variable Integración por partes Integración por sustitución trigonométrica Integración de fracciones parciales

Incluso si estas técnicas fallan, aún puede ser posible evaluar una integral dada. La siguiente técnica más común es el cálculo del residuo, mientras que la serie de Taylor a veces se puede usar para hallar la primitiva de las integrales no elementales en lo que se conoce como el método de integración por series. También hay muchas formas menos habituales para calcular integrales definidas; por ejemplo, se puede emplear la identidad de Parseval para transformar una integral sobre una región rectangular en una suma infinita. En algunas ocasiones, se puede evaluar una integral empleando un truco; un ejemplo de este tipo se puede ver en la integral de Gauss.

Los cálculos de volúmenes de sólidos de revolución se pueden hacer normalmente con la integración por discos o la integración por capas.

Los resultados específicos que se han encontrado empleando las diferentes técnicas se recogen en la tabla de integrales.

Algoritmos simbólico

En muchos problemas de matemáticas, física, e ingeniería en los que participa la integración es deseable tener una fórmula explícita para la integral. Con esta finalidad, a lo largo de los años se han ido publicando extensas tablas de integrales. Con el desarrollo de los ordenadores, muchos profesionales, educadores y estudiantes han recurrido a los sistemas de cálculo algebraico por ordenador, que han sido diseñados específicamente para desarrollar tareas tediosas o difíciles, entre las cuales se encuentra la integración. La integración simbólica presenta un reto especial en el desarrollo de este tipo de sistemas.

Una dificultad matemática importante de la integración simbólica es que, en muchos casos, no existe ninguna fórmula cerrada para la primitiva de una función aparentemente inocente. Por ejemplo, se sabe que las primitivas de las funciones exp (x2), xx y sen x /x no se pueden expresar con una fórmula cerrada en las que participen sólo funciones racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, inversas de las funciones trigonométricas, y las operaciones de suma, multiplicación y composición. En otras palabras, ninguna de estas tres funciones dadas es integrable con funciones elementales. La teoría de Galois diferencial proporciona criterios generales para determinar cuándo la primitiva de una función elemental es a su vez elemental. Por desgracia, resulta que las funciones con expresiones cerradas para sus primitivas son la excepción en vez de ser la regla. En consecuencia, los sistemas de cálculo algebraico por ordenador, no pueden tener la seguridad de poder encontrar una primitiva para una función elemental cualquiera construida de forma aleatoria. En el lado positivo, si se fijan de antemano los "bloques constructivos" de las primitivas, aún es posible decidir si se puede expresar la primitiva de una función dada empleando estos bloques y las operaciones de multiplicación y composición, y hallar la respuesta simbólica en el caso de que exista. El algoritmo de Risch, implementado en Mathematica y en otros sistemas de cálculo algebraico por ordenador, hacen precisamente esto para funciones y primitivas construidas a partir de fracciones racionales, radicales, logaritmos y funciones exponenciales.

Algunos integrandos aparecen con la suficiente frecuencia como para merecer un estudio especial. En particular, puede ser útil tener, en el conjunto de las primitivas, las funciones especiales de la física (como las funciones de Legendre, la función hipergeométrica, la función gamma, etcétera). Es posible extender el algoritmo de Risch-Norman de forma que abarque estas funciones, pero se trata de todo un reto.

La mayoría de los humanos no son capaces de integrar estas fórmulas generales, por lo que en cierto sentido los ordenadores son más hábiles integrando fórmulas muy complicadas. Es poco probable que las fórmulas muy complejas tengan primitivas de forma cerrada, de modo que hasta qué punto esto es una ventaja es una cuestión filosófica abierta a debate.

Cuadratura numérica

Métodos numéricos de cuadratura: ■ Rectángulo, ■ Trapezoide, ■ Romberg, ■ Gauss.

Las integrales que se encuentran en los cursos básicos de cálculo han sido elegidas deliberadamente por su simplicidad, pero las que se encuentran en las aplicaciones reales no siempre son tan asequibles. Algunas integrales no se pueden hallar con exactitud, otras necesitan de funciones especiales que son muy complicadas de calcular, y otras son tan complejas que encontrar la respuesta exacta es demasiado lento. Esto motiva el estudio y la aplicación de métodos numéricos para aproximar integrales. Hoy en día se usan en la aritmética de coma flotante, en ordenadores electrónicos. Para los cálculos a mano surgieron muchas ideas mucho antes; pero la velocidad de los ordenadores de uso general como el ENIAC crearon la necesidad de mejoras.

Los objetivos de la integración numérica son la exactitud, la fiabilidad, la eficiencia y la generalidad. Por ejemplo, la integral

que tiene el valor aproximado de 6.826 (en la práctica ordinaria no se conoce de antemano la respuesta, por lo que una tarea importante — que no se explora aquí — es decidir en qué momento una aproximación ya es bastante buena.) Un enfoque de "libro de cálculo" divide el intervalo de integración en, por ejemplo, 16 trozos iguales, y calcula los valores de la función.

Valores de la función en los puntosx −2,00 −1,50 −1,00 −0,50  0,00  0,50  1,00  1,50  2,00f(x)  2,22800  2,45663  2,67200 2,32475 0,64400−0,92575−0,94000−0,16963 0,83600

x −1.75 −1,25 −0,75 −0,25  0,25  0,75  1,25  1.75f(x)  2,33041 2,58562 2,62934 1,64019−0,32444−1,09159−0,60387 0,31734

Valor medio de una función

Para calcular el valor medio m de una función f en un intervalo [a,b] se usa la siguiente fórmula:

Nótese que, si la función f es una función escalonada con escalones de igual anchura, esta definición coincide con la media aritmética de los valores de la función. Si los escalones tienen anchuras diferentes, entonces coincide con la media aritmética ponderada donde el valor de la función en cada escalón se pondera con la anchura del escalón. Por lo tanto, esta definición se puede entender como la extensión natural de la media.

Aplicaciones en física

Muchas leyes de la física se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. En el caso más sencillo, estas ecuaciones diferenciales se resuelven con el cálculo de una primitiva y muchas veces el resultado final que se busca se encuentra con el cálculo de una integral.

Por ejemplo, la integral se aplica para resolver el problema de la caída libre de un cuerpo sometido a la gravedad de la tierra. En la Tierra, la aceleración de la gravedad es aproximadamente g = 9,81 m/s². Por lo tanto un cuerpo que cae libremente empezando su caída con velocidad nula tiene una velocidad que viene dada por la siguiente función:

El signo negativo es debido a que la gravedad es hacia el centro de la tierra y los sistemas de referencia normalmente se eligen de forma que la dirección positiva es hacia arriba.

Si se quiere saber la distancia que ha recorrido el cuerpo durante un tiempo dado T se puede razonar (empleando análisis no estándar) que en torno a cada instante t la velocidad es constante salvo variaciones infinitesimales, por lo tanto el espacio recorrido en este instante durante un periodo de tiempo infinitesimal dt es v(t)dt, la suma de todos los espacios recorridos durante todos los instantes desde t=0 hasta t=T (el momento en que se quiere saber la distancia recorrida) y se calcula con la integral:

.

El resultado de esta integral es:

Otros ejemplos de campos de la física donde se aplican las integrales:

La energía consumida en un periodo de tiempo es la integral de la potencia durante el tiempo.

La variación de la carga eléctrica en un condensador durante un periodo de tiempo es la integral de la corriente eléctrica que fluye hacia el condensador durante este tiempo.

La integración del caudal (metros cúbicos por segundo) que fluye por un conducto proporciona el volumen de fluido que ha pasado por el conducto durante el periodo de integración

CAMPOS VECTORIALES

Los campos vectoriales son uno de los conceptos fundamentales de la física.

Sin ellos es imposible entender el electromagnetismo, la óptica, o ramas más

avanzadas de la física como la gravitación o la mecánica cuántica.

Hasta ahora, hemos trabajado con campos escalares, recordemos que campo

escalar (o función escalar) es una función cuyo dominio son puntos del plano o

del espacio, y su conjunto imagen es un escalar. Un campo vectorial en

cambio, es una función  que asocia a cada punto del plano o del espacio un

vector. Un ejemplo de campo escalar sería la presión atmosférica sobre la

tierra, que si la designamos con la letra P, tenemos una función de tres

variables P(x,y,z). Para cada punto geográfico (identificado con una longitud,

latitud y altitud) existe un valor numérico de la presión expresado en Pascales.

En cambio, un ejemplo de campo vectorial sería la velocidad del viento en cada

punto de la tierra. Dicha velocidad se expresa no solo con su valor, sino con la

dirección en la que sopla el viento. Otros ejemplos de campos vectoriales:

1. Campo de velocidades de una rueda que gira

alrededor de un eje.

2. Campo de velocidades de un fluido dentro de un tubo.

3. Campos eléctricos.

4. Campos magnéticos

Definición:

Sea D un subconjunto de R2, un campo vectorial sobre R2 es una función que

asigna a cada punto (x,y) de D un vector de dos dimensiones F(x,y).

Sea D un subconjunto de R3, un campo vectorial sobre R3 es una función que

asigna a cada punto (x,y,z ) de D un vector de tres dimensiones F(x,y,z).

Notación funcional:

Campo escalar f :D→R

(x,y) z = f(x,y)

z es una función de dos variables independientes, y su representación gráfica es

una superficie en el espacio

Si la función es de tres variables independientes, la definimos como:

f :D→R (x,y,z) w = f(x,y,z)

Vemos que cuando el dominio está incluido en R2 o R3 a la función la llamamos

campo.

Campo vectorial F : D R2 donde D R2

(x,y) F(x,y) = M(x,y) i + N (x,y) j

Para D R3, tenemos F: D R3

(x,y,z) F(x,y,z) = M(x,y,z) i + N (x,y,z) j +

P(x,y,z) k

Donde F es la letra asignada al campo vectorial, las funciones M , N y P son

funciones escalares (campos escalares) de tres variables independientes, o de

dos variables independientes para el caso de R2.

Un campo vectorial F, es continuo si sus componentes M, N y P son continuas,

de la misma manera, será diferenciable, si lo son sus componentes.

Representación gráfica:

El conjunto imagen de un campo vectorial, es un conjunto de vectores del plano

o del espacio. Para su representación consideramos algunos vectores

representativos del campo.

Ejemplo 1: Ejemplo 2:

F(x,y) = x i + y j F(x,y) =

− yi+xj

(x2+ y2 )1/2

Se ha confeccionada una pequeña tabla de valores para cada ejemplo, para

graficar algunos vectores de campo. Vemos que el origen de cada vector, es el

punto (x,y). La dirección y sentido queda determinada por la función vectorial.

En el ejemplo 2, la función no esta definida en el origen.

Si comparamos las representaciones de los ejemplos 1 y 2, vemos que en el

segundo caso los vectores representativos del campo parecen ser tangentes a

una circunferencia con centro en el origen, para confirmarlo podemos hacer el

producto escalar de F con el vector posición, que para una circunferencia esta

dado por r(t) = x(t)i+y(t)j cuyo módulo es ‖r ( t )‖=√x2+ y2

F. r(t) = ( − y

(x2+ y2 )1/2 i+x

(x2+ y2 )1/2 j) . (xi+ yj )= − yx( x2+ y2)1 /2 + xy

(x2+ y2 )1/2=0

Este campo podría representar un campo de velocidades.

En el ejemplo 1, en cambio, los vectores parecen ser normales a una

circunferencia con centro en el origen. Para verificarlo, graficamos los vectores

que tienen igual módulo:

(x,y) F(x,y)

(0,1) j

(1,0) i

(0,2) 2j

(x,y) F(x,y)

(0,1) -i

(1,0) j

‖F‖=√x2+ y2 los vectores de igual módulo se encuentran sobre una

circunferencia con centro en el origen y radio c. Si estas circunferencias,

representan curvas de nivel de una función f(x,y), los vectores representativos

del campo corresponden al vector gradiente de la función en cada punto de la

curva c. En este caso podemos decir que F es un campo de gradientes.

Campo vectorial conservativo:

Un campo vectorial F se llama campo vectorial conservativo si es el

gradiente de alguna función escalar, es decir, si existe una función f tal que F =

f. En este caso, f recibe el nombre de función potencial de F.

Ejemplo:

Veremos que el campo gravitacional es un campo vectorial conservativo. Para

ello primero buscamos el vector F representativo del campo.

La Ley de gravitación de Newton establece que la magnitud de la fuerza

gravitacional entre dos objetos de masa m1 y m2 es: ‖F‖=

m1m2G

|r|2 donde r es

la distancia entre los dos objetos y G es la constante gravitacional.

Supongamos que el objeto de masa m1 esta ubicado en el origen de R3 (por

ejemplo podría ser la masa de la tierra y el origen de coordenadas su centro).

Para encontrar la fuerza de atracción debemos determinar la dirección y

sentido del vector F.

Sabemos que r es el vector posición, como la fuerza gravitacional ejercida

sobre el objeto de masa m2 actúa hacia el origen, el vector unitario en esta

dirección es: u→=−r

‖r‖ si tenemos en cuenta que el módulo de r es la distancia

del objeto al origen, y (x,y,z) son las coordenadas de dicho objeto tenemos:

‖r‖=√x2+ y2+z2

El vector u es :

u→=−( x

√ x2+ y2+z2i+

y

√ x2+ y2+ z2j+

z

√ x2+ y2+z2k )

Por lo tanto la fuerza que actúa sobre el objeto de masa m2 es: F(x,y,z) =m1m2G

‖r‖2u=

−m1m2G

‖r‖3r

En término de sus componentes:

F(x,y,z) =

(−m1m2Gx )

(x2+ y2+z2 )3

2

i+(−m1m2Gy )

(x2+ y2+z2 )3

2

j+(−m1m2Gz )

(x2+ y2+z2)3

2

k

Derivadas de un campo vectorial

Asociados a las derivadas de un campo vectorial, hay dos campos; uno escalar

y otro vectorial:

Divergencia de un campo vectorial:

Gráficamente vemos que los vectores equidistantes del origen tienen igual módulo.

F(x,y,z) = f

La función potencial es f(x,y,z) =

m1m2G

√x2+ y2+z2

Sea F(x,y,z) un campo vectorial definido en R3 para el que existen

∂M∂ x ,

∂N∂ y , y

∂P∂ z

Entonces Div.F =

∂M∂ x +

∂N∂ y +

∂P∂ z

Si el campo vectorial esta definido en R2: Div.F =

∂M∂ x +

∂N∂ y campo escalar

Una forma sencilla para obtener la divergencia, es expresarla como un

producto escalar de vectores, para ello tenemos en cuenta el operador nabla

∇= ∂∂ xi+ ∂

∂ yj+ ∂

∂ zk

Div.F = .F

Donde: .F = ( ∂∂ xi+ ∂

∂ yj+ ∂

∂ zk) .

( Mi + Nj +Pk)

Más adelante veremos una interpretación física de la divergencia.

Rotor de un campo vectorial:

Se define en R3 como:

rot. F= (∂P∂ y

−∂N∂ z )i+(∂M∂ z −∂P

∂ x ) j+(∂N∂ x −∂M∂ y )k

Podemos escribir el rotor como un producto vectorial:

rot. F = x F

Donde x F =

|

i j k∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

M N P

|

Condición de campo conservativo

Sea F = Mi + Nj + Pk un campo vectorial con : M, N, P y sus derivadas

primeras continuas en una región abierta y simplemente conexa R. Decimos

que F es conservativo si y solo si se cumple:

∂P∂ y =

∂N∂ z

∂M∂ z =

∂P∂ x y

∂N∂ x =

∂M∂ y

Si el campo vectorial, está definido en R2, las condiciones son:

F es conservativo

∂N∂ x =

∂M∂ y

Demostración de la condición necesaria:

Para R2:

Vamos a demostrar que F es conservativo

∂N∂ x =

∂M∂ y la igualdad de las

derivadas es una condición necesaria.

Partimos de : F = Mi + Nj es conservativo, esto quiere decir que F =

∇ f=∂ f∂ xi+ ∂ f

∂ yj

Por lo tanto M =

∂ f∂ x y N =

∂ f∂ y

Si derivamos M respecto de y:

∂M∂ y

= ∂2 f∂ y ∂ x

Derivamos N respecto de x:

∂N∂ x

= ∂2 f∂ x ∂ y

Como la condición establece la continuidad de las derivadas, tenemos en

cuenta el teorema de las derivadas cruzadas, por lo tanto si los segundos

miembros son iguales nos queda:

∂N∂ x =

∂M∂ y

La condición suficiente

∂N∂ x =

∂M∂ y F es conservativo, la demostraremos con el

teorema de Green en el plano.

Para R3:

Si tenemos en cuenta la condición de campo conservativo, la igualdad de las

derivads equivales a decir que el rotor de F es el vector nulo.

Si F es conservativo rot F = 0→

Partimos de x F =

|

i j k∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

M N P

|

Si F es conservativo: Mi + Nj +P k =

∂ f∂ xi+ ∂ f

∂ yj+∂ f

∂ zk

si reemplazamos M, N

y P en la expresión del rotor nos queda:

x F =

|

i j k∂∂ x

∂∂ y

∂∂ z

∂ f∂ x

∂ f∂ y

∂ f∂ z

|=( ∂2 f∂ y ∂ z

− ∂2 f∂ z∂ y )i+( ∂2 f

∂ x∂ z− ∂2 f

∂ z∂ x ) j+( ∂2 f∂ y ∂ x

− ∂2 f∂ x ∂ y )k

Nuevamente por la igualdad de las derivadas cruzadas tenemos rotF=0→

decimos entonces que los campos conservativos son irrotacionales.

La condición suficiente la demostraremos con el teorema de Stokes.

Obtención de la función potencial:

Ejemplo 1:

Dado un campo F(x,y), queremos determinar si es conservativo, si se cumple

la condición vamos a calcular la función potencial.

F(x,y) = (4x3+9x2y2)i + (6x3y+6y5)j

Para esta función M(x,y) = 4x3+9x2y2 y N(x,y) = 6x3y+6y5

Vemos si cumple la condición necesaria:

∂M∂ y = 18 x2 y

∂N∂ x = 18 x2 y

Si el campo es conservativo, M(x,y) =

∂ f∂ x N(x,y) =

∂ f∂ y

∂ f∂ x = 4x3+9x2y2 para despejar f(x,y), integramos respecto de x:

1 f(x,y) = ∫ ( 4x3+9x2 y2 )dx=x4+3x3 y 2+H ( y ) donde H(y) es una función arbitraria de integración

Se debe cumplir también:

∂ f∂ y = 6x3y+6y5 para despejar f(x,y), integramos respecto de y:

2 f(x,y) = ∫ ( 6x3 y+6 y5)dx=3 x3 y2+ y6+G( x ) donde H(y) es una función arbitraria de integración

Si comparamos 1 con 2 tenemos: 3x3y2 + y6 + G(x) = 3x3y2 + x4 + H(y)

Para que se cumpla la igualdad deberá ser G(x) = x4 y H(y) = y6

La función potencial es: f(x,y) = 3x3y2 + y6 + x4 +C C es la constante arbitraria de integración.

Ejemplo 2:

F(x,y,z) =

1yi− x

y2j+ (2 z−1 )k

Ahora: M(x,y,z) =

1y N(x,y,z) =

− x

y2 y P(x,y,z) = (2 z−1 )

Verificamos si cumple la condición necesaria en R3:

∂P∂ y =

∂N∂ z = 0

∂M∂ z =

∂P∂ x = 0 y

∂N∂ x =

∂M∂ y = -1/y2

Si el campo es conservativo

∂ f∂ x

=M

∂ f∂ y

=N y

∂ f∂ z

=P

Para hallar la función potencial cada una de estas derivadas respecto de la variable correspondiente:

∂ f∂ x

=1y 1 Integramos respecto de x: f(x,y,z) = x/y + H(y,z)

siendo H(y,z) una función arbitraria de integración

∂ f∂ y

=−xy2

2 Integramos respecto de y: f(x,y,z) = x/y + G(x,z) siendo G(x,z) una función arbitraria de integración

∂ f∂ x

=2 z−1 3 Integramos respecto de z: f(x,y,z) = z2 - z + Q(x,y)

siendo Q(x,y) una función arbitraria de integración

Si 1 = 2 = 3 x/y + H(y,z) = x/y + G(x,z) = z2 - z + Q(x,y) Comparando: G(x,z) = Q(x,y) = x/y H(y,z) = z2-z

La función potencial es: f(x,y,z) = x/y + z2 – z + C

------------------------------------------

Campos vectoriales y escalares

Campos vectoriales. Un campo vectorial es en Rn es una aplicación F:ARn → Rn que asigna a cada punto x de su dominio A un vector F (x). Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano, y si n = 3, F es un campo vectoriales del espacio.Visualizar F adhiriendo una flecha a cada punto (Fig. 4.3.1). En contraste, una aplicación f:A Rn → R que asigna un número a cada punto es un campo escalar. Un campo vectorial F (x,y,z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F1, F2 y F3, así queF(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)).De manera análoga, un campo vectorial Rn tiene n componentes F1, ..., Fn. Si cada componente es una función Ck, decimos que el campo vectorial F es de clase Ck. Se dará por hecho que los campos vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que se diga lo contrario.

Figura 4.3.1 Un campo vectorial F asigna un vector F (x) a cada punto x de su dominio.

Ejemplo 1Realizar la descripción del campo vectorial F dado por F (x, y) = -yi + xj.

SoluciónLa siguiente tabla muestra los sectores F (x, y) asociados a varios puntos (x, y) señalados en la figura 18.5.

(x, y) F(x, y)

(1,3) - 3i +j

(-3,1) -i – 3j

(-1, -3) 3i - j

(3,-1) i + 3j

(x, y) F(x, y)

(1,1) - i +j

(-1,1) -i - j

(-1, -1) i - j

(1,-1) i + j

Figura 18.5 Figura 18.6

Para llegar a una descripción de un campo vectorial F se considera un punto arbitrario K (x, y) y se define el vector de posición r = xi + yj de K (x, y) (véase la figura 18.6). Se ve que F (x, y) es ortogonal a r y por lo tanto, es tangente a la circunferencia de radio ||r|| con centro en el origen. Este hecho puede demostrarse probando que r . F (x, y) = 0, como sigue:

r . F (x, y) = (xi + yj) . (- yi +xj)

= -xy + yx = 0.

Además,

|| F (x, y) || = √y2 + x2 = || r ||

Por lo tanto, la magnitud de F (x, y) es igual al radio de la circunferencia. Esto implica que cuando el punto K (x, y) se aleja del origen, la magnitud de F (x, y) aumenta como sucede en el caso de la rueda giratoria de la figura 18.1

La siguiente definición presenta uno de los campos vectoriales más importantes de la física.Definición (18.2).Sea r = xi + yj + zk el vector posición de un punto K (x, y, z). Se dice que un campo vectorial F es un campo de variación inversa al cuadrado de la distancia si

F(x, y, z) = c_ u

|| r ||2

donde c es un escalar y u es un vector unitario que tiene la misma dirección que r y está dado por u = 1_ = r.

|| r ||

Ejemplo 2Describir el campo F (x, y, z) que cumple la definición (18.2) para c < 0.

SoluciónComo u = 1 r y r = xi + yj + zk,

||r||

F (x, y, z) = c_ r = c_____ (xi + yj + zk).

||r||3 (x2 + y2 + z2)3/2

Es más fácil analizar los sectores del campo usando la expresión en términos de r. Como F(x, y, z) es un múltiplo escalar negativo de r, la dirección de F(x, y, z) es hacia el origen O. Además,

||F(x, y, z)|| = | c |_ || u || = | c |_

||r||2 ||r||2

y por lo tanto, la magnitud de F (x, y, z) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto (x, y, z) al origen O. Esto significa que cuando el punto K(x, y, z) se aleja del origen, la longitud del vector asociado F (x, y, z) disminuye. En la figura 18.7 se indican algunos vectores típicos de un campo F del tipo de "variación inversa al cuadrado".

DefiniciónSe dice que un campo vectorial F es un campo vectorial conservativo si es el gradiente de una función escalar, es decir siF (x, y, z) = s f (x, y, z)para una función f.

TeoremaTodo campo vectorial del tipo de variación inversa al cuadrado (o de tipo gravitacional) es conservativo.Demostración. Si F es un campo de tipo gravitacional, entonces como en la solución del ejemplo 2,F(x, y, z) = cx____ i + cy____ j + cz____ k(x2 + y2 + z2)3/2 (x2 + y2 + z2)3/2 (x2 + y2 + z2)3/2para alguna constante c. Según la definición (18.3, si F es conservativo, existe una función escalar f tal que F (x, y, z) = s f (x, y, z), y las componentes de F

son iguales a fx (x, y, z), fy (x, y, z) y fz (x, y, z), respectivamente. Integrando parcialmente estas componentes con respecto a x, y y z, respectivamente, se ve quef(x, y, z) = – c_____(x2 + y2 + z2)1/2

Calculando las derivadas parciales se demuestra que esta función f es lo que se buscaba. Por tanto, se tiene lo siguiente:F(x, y, z) = s f (x, y, z) = s -c donde r = || r || (x2 + y2 + z2)1/2

r

En la física, la función de potencial de un campo vectorial conservativo F se define como una función p tal que F(x, y, z) = -s p (x, y, z). En este caso, tomando p = -f en la demostración del teorema (18.4), se obtiene F(x, y, z) = s (c/r). Más adelante en el capítulo se estudiarán más a fondo los campos vectoriales conservativos.El operador diferencial vectorial s en tres dimensiones es:s = i ∂_ + j ∂_ + k ∂_∂x ∂y ∂z

Si s actúa sobre una función escalar f, da como resultado el gradiente de f:grad f =s f = ∂f_ i + ∂f_ j + ∂f_ k∂x ∂y ∂z

Integrales de línea

Puede seguirse un procedimiento para definir las integrales de línea de funciones de varias variables sobre curvas en dos o tres dimensiones.Sea f una función de dos variables x y y que es continua en una región D, la cual contiene una curva regular C con una parametrización x = g (t), y = h (t); a ≤ t ≤ b. Se definirán tres integrales diferentes de f sobre C. Comenzamos dividiendo el intervalo del parámetro [a, b] escogiendoa = 10 < 11< 12 < ... < 1n = b.La norma de esta partición, es decir, la longitud del mayor subintervalo [tk-1, tk], se denota por ||∆||. Si P (xk, yk) es el punto de C correspondiente a tk, entonces los puntos P0, P1, P2, ..., Pn dividen a C en n subarcos Pk-1 Pk. Sean∆xk = xk – xk-1, ∆yk = yk – yk-1, ∆sk = longitud de Pk-1 Pk.Para cada k, sea Q(uk, vk) un punto del subarco Pk-1 Pk correspondiente a algún número en [tk-1, tk] (véase la figura 18.10). Consideremos ahora las tres sumas∑ f(uk, vk)∆sk, ∑ f(uk, vk) ∆xk, ∑ f(uk, vk)∆ykSi los límites de estas sumas existen cuando ||∆|| → 0, son entonces las integrales de línea def sobre C con respecto a s, x y y, respectivamente, y se denotan como sigue

El término "integral de líneas" se refiere a una integral sobre una línea curva, que podría ser en ciertos casos una línea recta. Se le podría llamar también genéricamente integral de curva.Si f es continua en D, entonces los límites que (18.8) existen y son los mismos para todas las parametrizaciones (siempre y cuando tengan la misma orientación). Además, las integrales se pueden evaluar sustituyendo x = g (t), y = h (t), o sea la parametrización de C y reemplazando las diferenciales por

ds = √(dx)2 + (dy)2 = √[g’(t)]2 + [h’(t)]2 dt

dx = g’(t)dt, dy = h’(t) dt

Observese que según la definición (13.6), la fórmula para ds es la diferencial de la longitud de arco. A continuación se enuncian estos hechos como referencia.

Teorema de evaluación para integrales de línea (18.9)Si una curva regular C está dada por x = g (t), y = h (t); a ≤ t ≤ b, y f (x, y) es continua en una región D que contiene a C, entonces

Independencia De La TrayectoriaA una curva regular parte por parte con extremos A y B se le llama a veces trayectoria de A a B. a continuación se obtienen condiciones bajo las cuales una integral de línea es independiente de la trayectoria en una región, en el sentido de que si A y B son puntos arbitrarios, entonces se obtiene el mismo valor para todas las trayectorias de A a B en esa región. Los resultados se demostrarán para integrales de línea en dos dimensiones. Las demostraciones para el caso de tres dimensiones son similares y se omiten.Si la integral de línea ∫c f (x, y) ds es independiente de la trayectoria, se denota a veces por ∫BA f (x, y)ds porque el valor de la integral depende sólo de los extremos A y B de la curva C. una anotación similar se usa para ∫c f (x, y)dx y ∫c f (x, y)dy y para las integrales de línea en tres dimensiones.El siguiente teorema, que es el resultado fundamental, dice que si un campo F

es continuo, entonces la integral de línea ∫c F . dr es independiente de la trayectoria si y sólo si F es conservativo.

Teorema (18.13)Si F (x, y) = M (x, y)i + N (x, y)j es continuo en una región D abierta y conexa, entonces la integral ∫c F . dr es independiente de la trayectoria si y sólo si F (x, y) = s f (x, y) para alguna función escalar f.

Teorema (18.14)Sea F (x, y) = M (x, y)i + N (x, y)j continuo en una región abierta y conexa D, y sea C una curva regular parte por parte en D con extremos A (x1, y1) y B (x2, y2). Si F(x,y) = s f (x, y), entonces

∫c M(x, y)dx + N(x, y)dy = ∫ F . dx

= f(x2, y2) – f (x1, y1) = f (x, y)]

Ejemplo 1Sea F el campo gravitacional producido por una partícula de masa M colocada el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Calcular el trabajo realizado cuando una partícula de masa m se mueve de A (2, 3, 4) a B (1, 0, 0).

SoluciónLa fuerza ejercida sobre una partícula de masa m colocada en K (x, y, z) es

F (x, y, z) = – G Mm r

|| r ||3

donde r = xi + yj + zk. Como en la demostración del teorema (18.4), F (x, y, z) = s f (x, y, z) donde

f (x, y, z) = GMm___

(x2 + y2 + z2)1/2

Entonces por el teorema en tres dimensiones análogo al teorema (18.14) (o al corolario (18.15)),

W = ∫ F . dr = GMm___ = GMm 1- 1

(x2 + y2 + z2)1/2 √29

Si la integral ∫c M(x, y)dx + N(x, y)dy es independiente de la trayectoria, entonces por el teorema (18.13) existe una función f tal que

M = ∂f_ y N = ∂f_

∂x ∂y

Por lo tanto,

∂M_ = ∂2f_ y ∂N_ = ∂2f_

∂y ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y

Si M y N tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces f tiene segundas derivadas parciales continuas y, por lo tanto, el orden de derivación no altera el resultado, es decir,

∂M_ = ∂N_

∂y ∂x

Teorema (18.16)Si M(x, y) y N(x, y) tienen primeras derivadas parciales continuas en una región simplemente conexa D, entonces la integral de línea

∫c M(x, y)dx + N(x, y)dy

es independiente de la trayectoria en D si y sólo si

∂M_ = ∂N_

∂y ∂x

Ejemplo 2Demostrar que si F (x, y) = (2x + y3 )i + (3xy2 + 4)j, entonces ∫c F . dr es independiente de la trayectoria y evaluar ∫ F . dr

Solución.La función vectorial F tienen primeras derivadas parciales continuas para todo (x, y) y por lo tanto se puede aplicar el teorema (18.16). Tomando M = 2x + y3 y N = 3xy2+4 vemos que

∂M_ = 3y2 = ∂N_

∂y ∂x

Por lo tanto, la integral de línea es independiente de la trayectoria. Según el teorema (18.13), existe una función (de potencial) f tal que

fx (x, y) = 2x + y3 y fy (x, y) = 3xy2 + 4.

Si integramos (parcialmente) fx (x, y) con respecto a x,

fx (x, y) = x2 + xy3 + k(y)

donde k es una función que depende sólo de y. (Hay que usar k (y) en lugar de una constante en la integración parcial para obtener la expresión más general de f (x,y) tal que fx (x, y) = 2x + y3 .)

Derivando f (x, y) con respecto a y, y comparando con la expresión fy (x, y) = 3xy2+4 obtenemos

fy (x, y) = 3xy2 + k’(y) = 3xy2 + 4.

Por lo tanto, k’(y) = 4 o bien k (y) = 4y + c para una constante c. Entonces

f (x, y) = x2 + xy3 + 4y + c

define una función del tipo deseado. Aplicando el teorema (18.14),

∫ (2x + y3) dx + (3xy2 + 4) dy = x2 + xy3 + 4y ]

= (4 + 54 + 12) – 4 = 66

No usamos la constante c porque para evaluar la integral puede usarse cualquier función de potencial f.

3. Teorema De Green

∫ f ’(x) dx = f(b) – f (a)

Dice que la integral de una función sobre un conjunto S = [a, b] es igual a una función relacionada (la antiderivada) evaluada de cierta manera sobre la frontera de S, en este caso consta sólo de dos puntos, a y b.

Teorema ASea C una curva cerrada simple, suave por partes, que forma la frontera de una región S plano xy. Si M (x,y) y N (x, y) son continuas y tienen derivadas continuas sobre y su frontera C, entonces

∂N_ – ∂M_ dA = M dx + N dy

∂x ∂y

s

Demostración. Probemos el teorema para el caso en el que S es tanto x-simple como y-simple y discutiremos después las ampliaciones al caso general. Puesto que S es y-simple, tiene la forma de la figura 1; es decir,

S = {(x, y): g(x) ≤ y ≤ f (x), a ≤ x ≤ b}

Figura 1Su frontera C consta de cuatro arcos C1, C2, C3, y C4 (C2 o C4 pueden ser degenerados)

M dx = ∫C1 M dx + ∫C2 M dx + ∫C3 M dx + ∫C4 M dx

Las integrales sobre C1 y C4 son cero, puesto que sobre estas curvas x es constante, por lo que dx = 0. En consecuencia,

M dx = ∫ M (x, g(x)) dx + ∫ M (x, f(x)) dx

= -∫ [M (x, f(x)) - M (x, g(x))] dx

= - ∫ ∫ ∂M(x, y) dy dx

∂y

= - ∫ ∫ ∂M dA

∂y

El teorema de Green se cumple aún para regiones S que tengan uno o más hoyos (figura 3), siempre que cada parte de la frontera esté orientada de modo que S quede siempre a la izquierda cuando se sigue la curva en su dirección positiva. Basta con descomponerla en regiones ordinarias, en la forma como se muestra en la figura 4.

Figura 3 Figura 4

Ejemplo 1.Sea C la frontera del triángulo de vértices (0, 0), (1, 2) y (0, 2) (figura 5). Calcule

4x2 y dx + 2y dy

Por el teorema de Green,

4x2 y dx + 2y dy = ∫ ∫ (0 – 4x2) dy dx

= ∫ [-4x2y] dx = ∫ (-8x2 + 8x3) dx

= -8x3 + 2x4 = -2

3 3

Ejemplo 2.Demuestre que si una región S del plano tiene como frontera a C, siendo ésta una curva simple suave por partes y cerrada, entonces el área de S está dada por

A(S) = ½ x dy – y dx

Solución.Sea M (x, y) = -y/2 y N (x, y) = x/2 y aplíquese el teorema de Green.

– y dx + x dy = ∫ ∫ 1 + 1 dA = A(S)

2 2 2 2

Ejemplo 3.Use el teorema de Green para evaluar la integral de línea

(x3 + 2y) dx + (4x – 3y2) dy

donde C es la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.

Solución.Sea M(x, y) = x3 + 2y, N(x, y) = 4x – 3y2 de modo que ∂M/∂y = 2y ∂N/∂x = 4. por el teorema de Green y el ejemplo 3,

(x3 + 2y) dx + (4x – 3y2) dy = ∫ ∫ (4-2) dA

= 2A(S) = 2πab

Existe otra forma vectorial del teorema de Green. Pero ahora como conjunto de un espacio de tres dimensiones. Si F = Mi + Nj + Ok, entonces el teorema de Green dice que

F . T ds = M dx + N dy = ∂N _ ∂M dA

∂x ∂y

Por otra parte,

i j k

∂ ∂ ∂

∂x ∂y ∂z

M N O

Por lo tanto, el teorema de Green toma la forma

F . T ds = (rot F) . k dA

que a veces se llama teorema de Stokes en el plano.

Integrales de superficie

g (x, y, z)dS = lim ∑ g (xk, yk, zk) ∆T k

|| ∆ ||→0 k

Si S es la unión de varias superficies del tipo adecuado, entonces la integral de superficie se define como la suma de las integrales de superficie individuales. Si g (x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) y la integral de superficie es igual al área de la superficie de S.Definición: Sea F un campo vectorial definido en S, imagen de una superficie parametrizada Φ. La integral de superficie de F sobre Φ, denotada por:∫∫ F*dS, se define por ∫∫ F*dS=∫∫ F*(TuxTv)du dv.Ejemplo: Sea D el rectαngulo en el plano θΦ definido por0≤θ≤2Π, 0≤Φ≤Π,Y sea la superficie S definida por la parametrizacion Φ: D→R³ dada porx=cos θ sen Ø, y=sen θ sen Ø, z=cos Ø.(Así, θ y Ø son los ángulos de coordenadas esféricas, y S es la esfera unitaria parametrizada por Φ.) Sea r el vector de posición r(x, y, z)=xi+yj+zk. Calcular ∫∫ r*dS.

Solución:Primero hallamosTθ= (-sen Ψ sen θ) i+ (sen Ψ cos θ) jTΨ= (cos θ cos Ψ) i+ (sen θ cos Ψ) j-(sen Ø) kY por lo tantoTθx TΨ= (-sen² Ψ cos θ) i-(sen² Ψ senθ) j-(senθ) k

Después evaluamosR*( TθxTΨ)=xi+yj+zk)* ( TθxTΨ)=[( cos θ sen Ψ)i+( sen θ sen Ψ)j+( sen Ψ)k]*( -sen Ø)[( sen Ø cos θ)i+( sen Ø sen θ)j+(cos Ø)k]=( -sen Ø)(sen² Ø cos² θ+ sen² Ø sen² θ+cos ² Ø)=-sen Ø.

Asi,∫∫ r*dS=∫∫-sen Ø dΦd θ=∫ (-2)d θ=-4Π.Se puede esbozar una analogνa entre la integral de superficie ∫∫ F*dS y la integral de línea ∫ F*dS. Recordemos que la integral de línea es una integral orientada.

Teorema De Evaluación Para Integrales De Superficie (18.23)

(i) g (x, y, z) dS

= g (x, y, f(x, y)) √[fx(x, y)]2 + [fy(x, y)]2 + 1 dA

(ii) g (x, y, z) dS

= g (x, h(x, z), z) √[hx(x, z)]2 + [hy(x, z)]2 + 1 dA

(iii) g (x, y, z) dS

= g (k(y, z), y, z) √[ky(y, z)]2 + [kz(y, z)]2 + 1 dA

EJEMPLO 1.Evaluar ∫∫S x2z dS suponiendo que S es la parte del cono circular z2 = x2 + y2 que se encuentra entre los planos z = 1 y z = 4.

Figura 18.39

Solución.Como se muestra en la figura 18.39, la proyección Rxy de S sobre el plano xy es la región anular acotada por las circunferencias de radios 1 y 4 con centro en el origen. Si escribimos la ecuación para S en la forma

z = (x2 + y2)1/2 = f(x, y),

entonces

fx(x, y) = x___ y fy(x, y) = y___.

(x2 +y2)1/2 (x2 +y2)1/2

Aplicando (18.23) (i) y observando que el radical se reduce a √2, obtenemos

∫ ∫ x2z dS = ∫ ∫ x2(x2 + y2)1/2 √2 dA.

Usando coordenadas polares para evaluar la integral doble,

Ejemplo 2.Evaluar ∫∫S (xz/y) dS, donde S es la parte del cilindro x = y2 que se encuentra en el primer octante entre los planos z = 0, z = 5, y = 1 y y = 4

Figura 18.40

Solución.La superficie S está en la figura 18.40 (con una escala diferente en el eje x). La proyección Ryz de S sobre el plano yz es el rectángulo con vértices (0, 1, 0), (0, 4, 0), (0, 4, 5) y (0, 1, 5). Entonces, por el teorema (18. 23) (iii) con k (y,z) = y2.

 Las fórmulas en el teorema (18. 23) presuponen de las funciones f, h y k tienen primeras derivadas parciales continuas sobre Rxy’ Rxz y Ryz, respectivamente. En algunos casos puede quitarse esta restricción usando una integral impropia.

Teorema De La Divergencia De Gauss

Sea S un sólido cerrado y limitado de tres dimensiones, que este encerrado por completo mediante una superficie suave por partes ∂S.

Teorema A.(Teorema de Gauss). Sea F = Mi + Nj + Pk un campo vectorial tal que M, N y Q tienen derivadas parciales continuas de primer orden sobre S y su frontera ∂S. Si n denota la normal unitaria exterior para a ∂S, entonces

F . n dS = iv F dV

En otras palabras, el flujo de F a través de la frontera de una región cerrada de tres dimensiones es la integral triple de su divergencia sobre esa región. Resulta útil tanto para algunas aplicaciones como para demostración de la conclusión del teorema de Gauss en su forma cartesiana (no vectorial). Podemos escribir

n = cos αi + cosβj + cosγk

donde α, β y γ son los αngulos directores de n. y entonces la fσrmula de Gauss se transforma en

Demostración del teorema de Gauss.Consideremos primero el caso en el que la región S es x-simple, g-simple y z-simple. Bastará con demostrar que

Ejemplo 1.Verifique el teorema de Gauss para F = xi + yj + zk y S = {(x, y, z): x2 + y2 + z2 ≤ a2} calculando independientes (a)

F . n dS y (b) div F dV

Solución.(a) En ∂S, n = (xi + yj + zk)/a, y así F . n = (x2 + y2 + z2)/a =a. Por lo tanto,

F . n dS = a dS = (4πa2) = 4πa3

(b) Como div F = 3,

div F dV = 3 dV = 3 4πa3 = 4πa3

3

Ejemplo 2.Calcule el flujo del campo vectorial F = x2yi + 2xzj + yz3k a través de la superficie del sólido rectangular S determinado por (figura 3)

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3

(a) mediante el método directo; (b) mediante el teorema de Gauss.

  Figura 3

Solución.

Cara n F . n ∫∫ F . n dS

x = 1 i y 6

x = 0 -i 0 0

y = 2 j 2xz 18

y = 0 -j -2xz -18

z = 3 k 27y 54

z = 0 -k 0 0

(a) Para calcular ∫∫ F . n dS directamente, evaluamos esta integral sobre las seis caras y sumemos los resultados. Sobre la cara x = 1, n = i y F . n = x2y = 12y = y, por lo que ∫∫ F . n dS = y dy dz = 6. Mediante cálculos semejantes podremos construir la siguiente tabla:

En consecuencia,

F . n dS = 6 +0 + 18 – 18 + 54 + 0 = 60

(b) por el teorema de Gauss,

F . n dS = (2xy + 0 + 3yz2) dV

Ejemplo 3.Sea S el sólido cilíndrico limitado por x2 + y2 = 4, z = 0 y z = 3, y sea n la normal unitaria exterior a la frontera ∂S (figura 4). Si F = (x3 + tan yz)i + (y3 – exz)j + (3z + x3)k, encuentra el flujo de F a través de ∂S.

  Figura 4

Solución.Imagine las dificultades al tratar de evaluar en forma directa ∫∫ F . n Ds. No obstante,div F = 3x2 + 3y2 + 3 = 3 (x2 + y2 + 1)y por lo tanto, por el teorema de Gauss y el cambio de coordenadas cilíndricas,

Teorema de Stokes

F . T ds = (rot F) . n dS

El teorema de Stokes se puede enunciar como sigue: la integral de línea de la componente tangencial de F a lo largo de C recorrida una vez en la orientación positiva es igual a la integral de superficie sobre S de la componente normal de rot F. Si F es un campo de fuerza, el teorema afirma que el trabajo realizado por F a lo largo de C es igual al flujo de rot F a través de S. La integral de línea en (18. 28) también se puede expresar como

F . dr

donde r es el vector de posición del punto (x, y, z) de C. para analizar situaciones más generales que la ilustrada en la figura 18. 55, hay que considerar una superficie orientada S y definir un sentido positivo a lo largo de C de manera adecuada. (La demostración del teorema de Stokes se puede encontrar en libros de cálculo más avanzados.)Figura 18.55

Ejemplo 1.Sea S la parte del paraboloide z = 9 – x2 – y2 para z ≥ 0, y sea C la traza de S en el plano XY. Verificar el teorema de Stokes (18. 28) para el campo vectorial F = 3zi + 4xj + 2yk.

Solución.Queremos demostrar que las dos integrales en el teorema (18. 28) tienen el mismo valor. La superficie es la misma que consideramos en el ejemplo 4 de la sección 18.5 donde obtuvimos que

n = 2xi + 2yj + k

√4x2 + 4y2 + 1

 Según (18.6),

i j k

∂ ∂ ∂

∂x ∂y ∂z

3z 4x 2y

Por lo tanto,

(rot F) . n dS = 4x + 6y + 4_ = dS.

√4x2 + 4y2 + 1

Usando (18.23) (i) para evaluar esta integral de superficie, resulta que

(rot F) . n dS= (4x + 6y + 4) dA

donde R es la región del plano xy acotada por la circunferencia de radio 3 con centro en el origen. Cambiando a coordenadas polares, obtenemos

La integral de línea en el teorema de Stokes (18.28) se puede escribir

donde C es la circunferencia en el plano xy con ecuación x2 + y2 = 9. Como z = 0 en C, esto se reduce a

Ejemplo 2Verifique el teorema de Stokes para F = yi – xj + yzk si S es el paraboloide z = x2 + y2 = 1, z = 1 y su frontera (figura 2).

Figura 2

Solución.Podemos describir mediante ∂S las ecuaciones paramétricasx = cos t, y = sen t, z = 1Entonces, dz = 0 y (sea la sección 17.2)

Por otra parte, para calcular ∫∫ (rot F) . n dS, deberemos obtener primero

i j k

∂ ∂ ∂

∂x ∂y ∂z

y -x yz

Entonces, por el teorema 17.5B,

Ejemplo 3.

Use el teorema de Stokes para evaluar F .T ds, donde F = 2zi + (8x – 3y)j + (3x + y)k y C es la curva triangular de la figura 3.

Figura 3

Solución.Podemos hacer que S sea cualquier superficie, con C como frontera orientada, pero nuestra ventaja consiste en escoger la más simple de dichas superficies (el triángulo plano T). Para determinar n en esta superficie, observé que los vectores

A = (0 - 1)i + (0 - 0)j + (2 - 0)k = -i + 2k

B = (0 - 1)i + (1 - 0)j + (0 - 0)k = -i + j

pertenecen a esta superficie y que por lo tanto

i j k

-1 0 2

-1 1 0

es perpendicular a él. En consecuencia, la normal unitaria exterior es

También

i j k

∂ ∂ ∂

∂x ∂y ∂z

2z 8x-3y 3x+y

y rot F . n = 8/3. Concluimos que

 

Flujo y divergencia

El flujo de un campo vectorial A se define como la cantidad de líneas de fuerza que atraviesa la superficie y es una cantidad escalar. Para cuantificarlo, se toma solamente la componente normal de las líneas que inciden sobre la superficie.

La componente normal se obtiene como la proyección del vector de campo sobre un vector unitario perpendicular a la superficie, el cual fue definido en el capítulo anterior.

Figura 24 Flujo de un campo vectorial A a través de una superficie

 

Para las superficies cerradas se define también el flujo de salida como el flujo que atraviesa la superficie cuando el vector de superficie apunta siempre hacia fuera de la superficie cerrada .

Figura 25 Flujo de salida de una superficie cerrada en presencia de una fuente, un sumidero o ninguno de ellos.

Cuando el flujo de salida es positivo, significa que en el interior de la superficie se encuentra una fuente de campo, es decir, que el número de líneas de fuerza que abandona la superficie es superior al número de líneas de fuerza que ingresan a ella.

Cuando el flujo de salida tiene signo negativo significa que en interior de la superficie se encuentra un sumidero, es decir el caso contrario a una fuente.

En general, las líneas de fuerza nacen en las fuentes y terminan en los sumideros.

El flujo de salida por unidad de volumen encerrado puede tomarse como una medida de la presencia de fuentes o sumideros en la región delimitada por la superficie.

Se denomina Divergencia de un campo vectorial al flujo de salida por unidad de volumen cuando la unidad de volumen se hace infinitesimal.

La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar dada la naturaleza escalar del flujo y la naturaleza puntual de la divergencia.

El operador divergencia en coordenadas generalizadas es:

Ecuación 26 Divergencia en coordenadas generalizadas

La divergencia en los demás sistemas de coordenadas se encuentra en la sección de anexos.

 

 

Teorema de la divergencia

De la definición de Divergencia, se desprende una identidad conocida como el teorema de la divergencia:

Dado que la divergencia de un campo vectorial es una especie de derivada volumétrica del flujo de salida del campo, es lógico pensar que la integral de volumen de la divergencia, corresponda al flujo total de salida del campo de donde se desprende la Ecuación 27 .

Ecuación 27 Teorema de la divergencia.

 

El flujo de salida de un campo vectorial a través de cualquier superficie cerrada es igual a la integral de volumen de la divergencia del campo sobre el volumen encerrado por la superficie.

Cuando se desea calcular el flujo de salida de un campo a través de una determinada superficie cerrada, se hace evidente la simplicidad introducida mediante el teorema de la divergencia, como en el siguiente ejemplo:

 

BibliografíaApostol, T. M. (1967). wikipedia.org. Recuperado el 23 de 04 de 2014, de

http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n

Bourbaki, N. (2004). wikipedia. Recuperado el 23 de 04 de 2014, de http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n

david. (s.f.). math2.org. Recuperado el 23 de 04 de 2014, de http://math2.org/math/integrals/es-tableof.htm

vititor. (2003). inetor. Recuperado el 23 de 04 de 2014, de http://www.inetor.com/

vitutor. (1996). matematicas integrales. Recuperado el 23 de 04 de 2014, de http://www.aulafacil.com/matematicas-integrales/curso/Temario.htm

wolfram. (2014). integral.wolfram. Recuperado el 23 de 04 de 2014, de http://integrals.wolfram.com/index.jsp