Calculo Infinitesimal III´ - Laboratório de Matemática ...gregorio/ensino/c.pdf · Os Antigos conheciam apenas os numeros´ inteiros e racionais. Diz ... Os conjuntos dos inteiros

Calculo Infinitesimal III

Gregorio Malajovich

Departamento de Matematica AplicadaInstituto de Matematica da UFRJ

Marco 2003

Calculo Infinitesimal IIICopyright c© 1995,2003 Gregorio Malajovich

CAPıTULO 1

Revisao : Calculo de uma variavel.

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4 1. REVISAO : CALCULO DE UMA VARIAVEL.

1. Inteiros naturais, relativos, numeros racionais

Os inteiros naturais sao os numeros 0, 1, 2, 3 , 4, . . . , etc... Oconjunto dos numeros naturais e representado pelo sımbolo N . Umadefinicao mais formal dos numeros naturais seria :

• 0 e um inteiro natural.• Se n e um inteiro natural, entao n + 1 e um inteiro natural.

As operacoes + (soma) e × (multiplicacao) estao definidas no con-junto N. Dizemos que um inteiro natural b divide um inteiro naturala se existe um inteiro natural c tal que a = b × c. Um numero na-tural ≥ 2 e chamado de numero primo se so e divisıvel por 1 e porele mesmo. Convencionamos que 0 e 1 nao sao primos. Todo inteironatural diferente de zero se escreve de maneira unica como produto denumeros primos.

Exercıcio 1. O que aconteceria se considerassemos que 1 e primo ?

O conjunto dos numeros inteiros relativos e o conjunto de todos osnumeros da forma +a ou −a, onde a e um inteiro natural. O conjuntodos numeros inteiros relativos e representado pelo sımbolo Z. O con-junto Z tem definidas as operacoes + (soma) e × (multiplicacao). Alemdisso, para cada elemento a existe um elemento−a tal que a+(−a) = 0.

Os numeros racionais sao as expressoes da forma ab, onde a e um in-

teiro relativo, b e um inteiro natural diferente de zero, e onde adotamosa seguinte convencao :

a

b=

c

dSe e Somente se ad = bc

Numeros racionais podem ser somados, subtraidos, multiplicados,e divididos (e claro, o divisor deve ser diferente de zero !). Denotamospor Q o conjunto dos numeros racionais.

Os Antigos conheciam apenas os numeros inteiros e racionais. Diza lenda que Pitagoras (Sec. VI A.C.) pregava que todas as coisas saonumeros. Essa profissao de fe era motivada por varias descobertasinteressantes. Por exemplo, a relacao entre o comprimento de cordas, eos sons produzidos : As combinacoes de sons mais agradaveis ao ouvidopareciam associada a razoes racionais simples entre o comprimento dascordas.

1. INTEIROS NATURAIS, RELATIVOS, NUMEROS RACIONAIS 5

Os Gregos associavam os racionais aos comprimentos relativos desegmentos de reta. Essa associacao fazia sentido para eles, que ja co-nheciam o Teorema de Tales (VII A.C.).

O sistema dos Pitagoricos entrou em crise com a descoberta deque a hipotenusa do triangulo retangulo isoceles de lado 1 ... nao eraum numero (racional, mas eles nao conheciam outros). Hoje em dia,chamamos esse comprimento de

√2.

Exercıcio∗ 1. Prove que√

2 nao e racional.Se substituissemos os reais por racionais nos Teoremas do calculo,

os Teoremas seriam falsos. E impossivel fazer calculo so com numerosracionais.

Portanto, esses Teoremas devem estar baseados em alguma propri-edade dos numeros reais. Veremos a seguir qual delas.


2. Os numeros reais.

Para cada numero racional, nos sabemos calcular a sua expansaodecimal. Por exemplo,

1

3= 0.33333333333333 . . .

Tambem podemos calcular a sua expansao binaria (em zeros eums) :

1

11b

= 0.010101010101b . . .

Por simplicidade, utilizaremos nesta secao a notacao decimal. Tudoo que vamos fazer aqui pode ser feito usando numeros binarios (quecorrespondem a representacao mais usada em computadores digitais).

Exercıcio 2. Defina a soma de duas expansoes decimais.

Exercıcio 3. Defina a diferenca de duas expansoes decimais.

Exercıcio 4. Defina o produto de duas expansoes decimais.

Exercıcio 5. Defina a razao de duas expansoes decimais.

Vamos considerar o conjunto de todas as expressoes da forma a.b,onde a e um inteiro relativo, e b = b1b2b3 . . . e uma lista infinita dedıgitos bi escolhidos entre 0 e 9 .

Ao trabalhar com expansoes decimais (ou binarias), podem ocorreralguns fatos desagradaveis :

3× 1

3= 3× 0.3333 · · · = 0.9999 . . .

Por isso, vamos introduzir a convencao seguinte : duas expansoesdecimais representam o mesmo numero real se e somente se a diferencaentre elas e 0.000 . . . . O conjunto R dos numeros reais e o conjuntodas expansoes decimais, com a convencao acima.

Em particular:

a.b1b2 . . . bnk9999999 · · · = a.b1b2 . . . bn(k + 1)0000000b . . .

e a.9999 · · · = a + 1. Vamos chamar esse conjunto de R+.Os conjuntos dos inteiros naturais, relativos, e dos numeros raci-

onais sao subconjuntos de R, da maneira obvia. Um numero real xe estritamente positivo (notacao x > 0) se e somente se x pode serrepresentado por uma expansao decimal a.b1b2 . . . onde a ≥ 0 e algumbi 6= 0. A relacao < (menor que) pode ser definida em R assim :

x < y Se e somente se existe n, com : y − x > 0

2. OS NUMEROS REAIS. 7

As relacoes > (maior), ≤ (menor ou igual), ≥ (maior ou igual), 6=(diferente) podem ser definidas a partir de < e =.

Nos ainda nao mostramos que as operacoes aritmeticas entre osnumeros reais estao bem definidas (ou seja: se utilizando representacoesdiferentes dos mesmos numeros, obtemos representacoes do mesmo re-sultado). Isso fica para mais tarde.

Vamos primeiro conferir uma das mais importantes propriedadesdos numeros reais :

Seja A um sub-conjunto de R. (Por exemplo, o conjunto dos x taisque x2 < 2). Uma cota superior de A e um real s, tal que para todo ade A, a ≤ s. No nosso exemplo, 1.5, 1.42 e 1.415 (notacao decimal) saocotas superiores de A. Existe uma cota superior de A que vai ser maisinteressante para nos. No exemplo, e

√2. Em geral, vai ser a menor

cota superior de A.

Definicao 1. Um real s e um supremo do conjunto A se e somentese :

• s e uma cota superior de A.• Se b < s, entao b nao e uma cota superior de A.

Exercıcio 6. Prove que o supremo (se existir) e unico.

Exercıcio 7. Rescreva a definicao do supremo usando apenas osseguintes simbolos : ∀ (Para todo), ≤, <, ˆ (e), ⇒ (implica), (, ), alemde A, s, b, sup.

Como existe (no maximo) um supremo, vamos falar no supremo, eescrever s = sup A.

Nem todo conjunto dos reais precisa ter um supremo. Por exemplo,N e um sub-conjunto de R. Mas N nao tem supremo, pois para qualquerreal s, existe um inteiro natural n maior do que s.

Vamos provar agora que todo conjunto dos reais que tem uma cotasuperior tem um supremo. Esse e que e o fato importantıssimo que nospermite fazer calculo com numeros reais. No nosso exemplo, esse fatoe suficiente para provar que

√2 e real ;

Exercıcio 8. Prove que (sup A)2 = 2

Vamos agora ao Teorema :

Teorema 1. Todo subconjunto A de R que admite uma cota supe-rior admite um supremo.

Prova : A e um conjunto de expressoes da forma a.b. Assumimosque nenhuma dessas expressoes acaba com uma sequencia infinita de


9. Tambem assumimos sem perda de generalidade que A contem umnumero real positivo.

Exercıcio 9. : Porque ?

De todas as expressoes a.b em A, existe um a que e o maior (Pois Atem uma cota superior ! Portanto, se escolhemos qualquer a.b, existeum numero finito de a′ > a, tal que existe alguma a′.b′ em A). Comoassumimos que A contem pelo menos um real positivo, segue-se quea ≥ 0).

Agora consideramos o conjunto A0 de todas as expressoes a.b emA, com a assim escolhido.

Olhando para todas as expressoes a.b1b2 . . . em A0, fixamos b1 comosendo o maior b1 que aparece em A0. Chamamos de A1 o conjunto detodos os a.b1b2 . . . em A0, onde a e b1 estao fixos.

Da mesma maneira, podemos considerar todas as expressoes a.b1b2b3 . . .em A1, e fixar b2 como sendo o maior b2 que aparece em A1. Chamamosde A2 o conjunto de todos os a.b1b2b3 . . . em A1, onde a, b1 e b2 estaofixos.

Desta maneira, continuando sempre, obtemos uma sequencia a.b1b2b3 . . .representando um certo numero real s. Vamos provar nos exercicios ques e o supremo de A.

Exercıcio 10. : Verifique que s cumpre a condicao 1 da definicao

Exercıcio 11. : Verifique que s cumpre a condicao 2 da definicao

Uma nocao analoga ao supremo e a do ınfimo.

Definicao 2. Um real s e o ınfimo do conjunto A (s = inf A) se esomente se :

3. SEQUENCIAS DE NUMEROS REAIS. LIMITES. 9

• s e uma cota inferior de A.• Se b > s, entao b nao e uma cota inferior de A.

Exercıcio 12. Prove o Teorema : Todo subconjunto A de R comcota inferior possui um ınfimo. Vale usar o Teorema do supremo naprova.

Vamos definir agora rigorosamente as operacoes aritmeticas sobre osreais. Para cada real x = a.b, consideramos as aproximacoes decimais :

xn = a.b1 . . . bn

Essas aproximacoes sao numeros racionais. Sabemos aplicar asoperacoes aritmeticas definidas sobre os racionais nos xn.

Sejam x e y dois numeros reais positivos. Definimos :

x + y = sup(xn + yn)

x× y = sup(xn × yn)

Seja x > 0. Entao definimos :

1

x= inf

1

xn

Exercıcio 13. Extenda essas definicoes a todos os reais

Exercıcio∗ 2. Prove que e impossivel enumerar os numeros reais.(i.e., que dada uma funcao f : N → R, existe um real x que e diferentede f(n) para todo n).

3. Sequencias de numeros reais. Limites.

Uma sequencia (xi)i∈N de numeros reais e uma lista x0, x1, x2, . . .de numeros reais. Tambem pode ser definida como uma funcao, que acada i ∈ N assocıa um numero de R .

Sequencias podem ser usadas para aproximar numeros reais pornumeros mais faceis de ser calculados ou escritos. Por exemplo, asequencia de aproximacoes decimais de

√2 :

x0 = 1, x1 = 1.4, x2 = 1.41, x3 = 1.414, . . .

pode ser usada para aproximar√

2. Se queremos aproximar√

2 comuma precisao 10−k, podemos escolher o k-esimo elemento da sequencia.

Essa sequencia se aproxima de√

2, no sentido seguinte : para cadaprecisao 10−k escolhida, a sub-sequencia xk, xk+1 so contem numeros adistancia menor do que 10−k de

√2.

Nem toda sequencia precisa aproximar um numero real. Podemosfazer essa definicao de aproximacao mais precisa :


Definicao 3. L e o limite de xi (quando i tende para o infinito)se e somente se, para todo real ε > 0, existe um inteiro natural n coma seguinte propriedade :

Se i ≥ n, entao |xi − L| < ε.

Tambem escrevemos assim :

L = limi→∞

xi

ou simplesmente :

L = limi

xi

Exercıcio 14. Se o limite de uma sequencia existir, entao ele eunico.

Se uma sequencia possui um limite, dizemos que a sequencia e con-vergente.

A definicao acima pode ser escrita de maneira mais compacta :

L = limi→∞

xi ⇔ ∀ε > 0 ∈ R,∃n ∈ N,∀i ≥ n ∈ N, |xi − L| < ε

O sımbolo ∀ pode ser lido : qualquer que seja. O sımbolo ∃ significaexiste. Uma parafrase da linha acima serıa : L e o limite de xi quandoi tende para o infinito se e somente se para todo real ε > 0, existe uminteiro natural n tal que, para todo inteiro natural i ≥ n, e verdadeque |xi − L| < ε. Precisamente a definicao anterior.

Quando nao existir ambiguidade, escreveremos tambem :

∀ε > 0,∃n,∀i ≥ n, |xi − L| < ε

entendendo, na formula acima, que ε representa um real e que i en representam inteiros.

Exercıcio 15. E possivel mudar a ordem de ∀ e ∃ ? Justifique.

Exercıcio 16. Escreva, usando ∀ and ∃, uma definicao para L 6=limi→∞ xi.

Exercıcio 17. Escreva uma parafrase para a seguinte definicao :

limi→∞

xi = ∞⇔ ∀M > 0 ∈ R,∃n ∈ N,∀i ≥ n ∈ N, xi > M

Exercıcio 18. Seja (xi) uma sequencia convergente, com xi ∈[a, b]. sera que lim xi ∈ [a, b] ? Justifique.

Exercıcio 19. Seja (xi) uma sequencia convergente, com xi ∈(a, b). sera que lim xi ∈ (a, b) ? Justifique.

4. CONTINUIDADE. 11

Exercıcio 20. Uma sequencia de Cauchy e uma sequencia (xi)com a seguinte propriedade :

∀δ > 0,∃n ∈ N,∀i, j ≥ n, |xi − xj| < δ

Prove que toda sequencia convergente e de Cauchy.

Exercıcio 21. Prove que a sequencia de aproximacoes decimaisde um real e uma sequencia de Cauchy.

Exercıcio∗ 3. Seja xi uma sequencia de Cauchy. Para todo inteironatural k, fazemos δ = 2−k na definicao da sequencia de Cauchy. Sejaentao o n da definicao. Escrevemos :

yk = xn − 2−k+1

Prove que yk+1 > yk.Prove que o conjunto dos yk admite uma cota superior.Seja s = sup yk. Mostre que s = lim yk.Prove que tambem : s = lim xi.Conclua que toda sequencia de Cauchy e convergente.

Exercıcio∗ 4. Seja (xi) uma sequencia, com xi ∈ [0, 1]. Prove quexi tem uma sub-sequencia de Cauchy. Indicacao : divida o intervaloem duas partes iguais. Prove que pelo menos uma dessas partes possuiuma infinidade de xi’s. Escolha um desses xi, e chame de xi1 . Sub-divida esse sub-intervalo em dois, e continue o mesmo procedimento.Prove que a sub-sequencia xij e de Cauchy.

Conclua que toda sequencia definida em um intervalo fechado [a, b]possui uma sub-sequencia convergente para um ponto de [a, b].

Exercıcio∗ 5. Sera que toda sequencia definida em um intervaloaberto (a, b) tem uma sub-sequencia convergente para um ponto de(a, b) ? De [a, b] ? Justifique.

4. Continuidade.

Seja f uma funcao de R em R. A cada numero real, f assocıa umnumero real f(x). Vamos fixar um certo real x0, e escreveremos assim :

y = limx→x0

f(x) ⇔ ∀δ > 0,∃ε > 0,∀x 6= x0, |x− x0| < ε ⇒ |f(x)− y| < δ

No caso, y (se existir) e o limite de f(x) quando x tende a x0.

Exercıcio 22. Prove que se o limite existir, entao e unico.

Exercıcio 23. Defina limx→∞ f(x)


O dominio de uma funcao f pode nao ser toda a reta dos reais.Por exemplo, no caso f(x) = 1

x, o domınio e a reta menos o ponto 0.

Vamos escrever Domf para o domınio de f .

Exercıcio 24. As funcoes f(x) = 1 e f(x) = xx

sao iguais ?Justifique.

Podemos definir em geral :

Definicao 4.

y = limx→x0

f(x) ⇔ ∀δ > 0,∃ε > 0,∀x ∈ Domf−{x0}, |x−x0| < ε ⇒ |f(x)−y| < δ

Definicao 5. Dizemos que uma funcao f e contınua em x0 ∈Domf se e somente se limx→x0 f(x) existe, e e igual a f(x0).

Definicao 6. Uma funcao f e contınua em um sub-conjunto deseu domınio se e somente se para todo ponto x0 desse sub-conjunto, fe contınua em x0. Ela e contınua se e somente se ela e contınua emtodo o seu domınio.

Definicao 7. O domınio de continuidade de uma funcao f e oconjunto de pontos x0 ∈ Domf nos quais f e contınua.

Exercıcio 25. Prove que a funcao

f(x) =

{0 Se x = 0

sin( 1x) senao.

nao e contınua.

Exercıcio 26. Prove que a funcao

f(x) =

{0 Se x = 0

x sin( 1x) senao.

e contınua.

Exercıcio 27. Qual e o domınio de continuidade das seguintesfuncoes ? (nao precisa justificar) :

(1) cos x(2) senx(3) tan x(4) cotanx(5) log x(6) ex

(7) x5−4x4+13x3−12x2+17x+37x2−5x+4

5. O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIARIO. 13

Exercıcio 28. Seja f(x) uma funcao contınua definida na reta,com f(x) ≤ 0 para x < 0 e f(x) ≥ 0 para x > 0. Prove que f(0) = 0.

5. O Teorema do Valor Intermediario.

A cada funcao real f , podemos associar o grafico de f , que e oconjunto dos pontos do plano da forma (x, f(x)). Se a funcao f econtınua em toda a reta, entao o grafico de f e uma linha, que podeser tracada sem se levantar o lapis da folha (ou o giz do quadro). Se afuncao for contınua em um intervalo, entao a parte correspondente dografico tambem pode ser tracada sem levantar o lapis da folha.

Por isso, o seguinte Teorema e muito natural :

Teorema 2 (do valor intermediario). Seja f uma funcao contınuano intervalo fechado [a, b]. Se f(a) < y0 < f(b), entao existe x0 nointervalo aberto (a, b) tal que y0 = f(x0)

Prova : Seja A o sub-conjunto de [a, b] composto dos pontos x taisque f(x) < y0. Como f(a) < y, o conjunto A nao e vazıo. Alem disso,A admite uma cota superior (no caso, b e uma cota superior de A).

Portanto, A tem um supremo, que vamos chamar de x0. Vamosmostrar que f(x0) = y0.

Primeiro vamos mostrar que f(x0) ≤ y0. Para isso, podemos assu-

mir que f(x0) > y0. Nesse caso, seja δ = f(x0)−y0

2. Pela continuidade

de f em x0, existe ε tal que |x−x0| < ε implica que |f(x)−f(x0)| < δ.Em particular, |x − x0| < ε implica que f(x) > y0. Mas entao, oponto x0 − ε

2e uma cota superior de A. Isso contradiz a condicao 2

da definicao do supremo. Segue-se que f(x0) ≤ y0, como haviamosanunciado.


Agora vamos mostrar que f(x0) ≥ y0. Vamos supor o contrario :

f(x) < y0. Entao fazemos δ = y0−f(x0)2

. De novo, por causa dacontinuidade de f em x0, existe ε tal que |x − x0| < ε implica que|f(x)− f(x0)| < δ. Em particular, |x− x0| < ε implica que f(x) < y0.Mas entao, o ponto x0 + ε

2nao pertence a A, e x0 nao e uma cota

superior para A. Isso contradiz a condicao 1 da definicao do supremo.Portanto, f(x0) ≥ y0.

Assim, so podemos ter : f(x0) = y0. Isso prova o Teorema.

Exercıcio 29. Seja f uma funcao contınua na reta, tal que f(x)tende a infinito quando x tende a infinito e f(x) tende a menos infinitoquando x tende a menos infinito. Prove que para todo real y, existe xtal que f(x) = y.

Exercıcio∗ 6. Seja f uma funcao contınua em [a, b], e seja s =supx∈[a,b] f(x). Prove que existe x ∈ [a, b] tal que f(x) = s. Indicacao :Mostre que existe uma sequencia xi em [a, b] tal que lim f(xi) = s. Veri-fique que xi tem uma sub-sequencia convergente xij , com lim f(xij) = s.Seja x = lim f(xij). Conclua.

6. A derivada.

Seja f uma funcao contınua em um ponto x0, e definida em umintervalo contendo x0. Escrevemos :

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

quando esse limite existir. Tambem podemos escrever, de maneiraequivalente :

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

6. A DERIVADA. 15

O valor f ′(x0) e chamada de derivada de f em x0. A derivadae tambem o coeficiente diretor da reta tangente a grafico de f em(x0, f(x0)). A equacao da reta tangente e :

y − f(x0) = (x− x0)f′(x0)

O domınio de derivabilidade de f e o conjunto de pontos x dodomınio de f onde f ′(x) esta definida.

A derivada pode ser considerada como uma funcao de x, que a cadax associa o valor f ′(x). Assim, podemos falar da continuidade de f ′,da derivada de f ′ (que chamamos de derivada segunda, e escrevemosf ′′), etc...

Exercıcio 30. Calcule, da definicao, as derivadas das seguintesfuncoes :

(1) 1 (funcao constante)(2) x(3) x2

(4) xn

Exercıcio 31. Calcule a funcao derivada de 5x7 − 3x3 + x− 1

Exercıcio 32. Calcule a derivada da funcao :

f(x) =

{x2 Se x ≥ 0

−x2 Se x ≤ 0

A funcao f ′ e contınua ? Ela e derivavel ? Justifique.

Existem outras notacoes para a derivada. Podemos escrever, porexemplo, para f ′(x0) :

d

dx|x=x0f

ou :d

dxf(x0)

A notacao ddx

significa que se esta derivando em relacao a variavel x.Por exemplo, consideremos a funcao f(x, y) = x2 + 3xy + 2y− 4. Essafuncao associa um numero a cada par de reais (x, y). Mas podemosfixar um valor de y, e considerar que f e uma funcao de x. Nesse caso :

d

dxf(x, y) = 2x + 3y

Mas tambem podemos fixar x e considerar que f e uma funcao dey :

d

dyf(x, y) = 3x + 2


De qualquer maneira, a notacao ddx

f so faz sentido se primeiro con-vencionarmos que f e funcao de uma certa variavel x ; Ja a notacaof ′(x) so faz sentido se f e uma funcao de uma variavel, ou se esta claroem relacao a que variavel estamos derivando.

Existe ainda outra notacao. Esta notacao nao e muito util quandose trabaha com uma variavel apenas. Mas e a que melhor pode sergeneralizada para o caso de dimensao mais alta.

A ideia e a seguinte : a cada ponto x0, associamos uma funcaolinear Dfx0 :

Dfx0(h) = f ′(x0)h

Podemos associar h a x− x0 na equacao da reta tangente. E pode-mos ver Dfx0(h) como y − f(x0) na equacao da reta tangente.

A funcao Dfx0 e uma funcao linear da reta na reta. Mas de qual

reta em qual reta ? E so trocarmos coordenadas. A funcao Dfx0 estadefinida na reta dos x, com a origem deslocada para x0. Os seusvalores sao elementos da reta dos y, mas com a origem da reta emy0 = f(x0).

No caso de funcoes da reta na reta, funcoes lineares sao caracteri-zadas por um so numero. No nosso caso, por f(x0).

Se tivermos que lidar com mais variaveis, funcoes lineares sao re-presentadas por matrizes. Por isso, veremos mais tarde que uma boamaneira de se pensar em derivadas e mesmo dessa forma, como matri-zes.

Exercıcio 33. Seja g uma funcao derivavel em x, e tal que x e omaximo de f no intervalo (x− ε, x + ε). Prove que g′(x) = 0.

7. REGRAS DE DERIVACAO 17

7. Regras de derivacao

Existem varios teoremas que tornam muito mais facil o calculo dederivadas.

Teorema 3 (Regra da Cadeia). Seja f derivavel em x e seja gderivavel em f(x). Entao a funcao composta h(x) = (g ◦ f)(x) =g(f(x)) e derivavel em x, e a sua derivada e :

h′(x) = g′(f(x))f ′(x)

Prova : Por definicao,

h′(x) = limh→0

g(f(x + h))− g(f(x))

h

Pela definicao da derivada de f , para todo δ > 0, se h for suficien-temente pequeno,

|f(x + h)− f(x)− hf ′(x)| < hδ

Escrevemos ε = f(x+h)−f(x)−hf ′(x)h

. ε depende de h, mas sempreε ≤ δ. Agora escrevemos :

h′(x) = limh→0

g(f(x) + hf ′(x) + hε)− g(f(x))

h

Isso e equivalente a :

h′(x) = limh→0

g(f(x) + hf ′(x) + hε)− g(f(x))

hf ′(x) + hε

hf ′(x) + hε

h

Quando h tende a zero, hf ′(x)+hε tambem tende a zero. Por isso,

escrevendo h = hf ′(x) + hε, temos :

h′(x) = limh→0

g(f(x) + h)− g(f(x))

hf ′(x) + ε = g′(f(x)) lim

h→0f ′(x) + ε

Pela definicao, ε depende de h. Mas |ε| < δ, e δ e arbitrariamentepequeno. Por isso,

h′(x) == g′(f(x))f ′(x)

Que era o que queriamos provar.

Na outra notacao, a regra da cadeia se escreve de maneira um poucomais elegante :

Dhx = Dgf(x)Dfx

Esta notacao tem a vantagem de que pode ser generalizada paradimensao mais alta, com formulas mais compactas.

Teorema 4. Se f e g sao derivaveis em x, entao :


• −f e derivavel em x, e a derivada e −f ′(x)• f + g e derivavel em x, e a derivada e f ′(x) + g′(x)• f × g e derivavel em x, e a derivada e f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

• Se f(x) 6= 0, 1f

e derivavel em x, e a derivada e −f ′(x)(f(x))2

Exercıcio 34. Prove o Teorema acima.

Outras derivadas :Funcao Derivada Domınio de derivabilidade

xk, k ∈ R, k 6= 0 kxk−1 R ou R− {0}, caso x < 0log(x) 1

xx > 0

ex ex Rcos(x) −sen(x) Rsen(x) cos(x) R

8. Teorema do Valor Medio.

O teorema do valor medio e um dos teoremas mais importantes docalculo de uma variavel. Mais tarde, veremos a generalizacao ao casode varias variaveis.

O teorema do valor medio pode ser interpretado da seguinte ma-neira. Seja um ponto x(t) andando na reta, para a ≤ t ≤ b. Segundo oteorema, existe t ∈ (a, b) tal que a velocidade instantanea f ′(t) e igual

a velocidade media f(b)−f(a)b−a

.Para provar esse teorema, vamos primeiro provar um teorema mais

simples, caso particular deste. Nosso ponto sai do ponto 0 e acaba omovimento no ponto 0. Vamos provar que em algum momento t, nossoponto precisou parar (i.e. f ′(t) = 0).

8. TEOREMA DO VALOR MEDIO. 19

Teorema 5 (Rolle). Seja g uma funcao contınua em [a, b] , de-rivavel em (a, b) , e tal que g(a) = g(b) = 0. Entao existe x ∈ (a, b),com g′(x) = 0.

Prova : Se g e constante, entao nao temos mais nada a provar.Vamos considerar que existe um x ∈ (a, b) tal que g(x) > 0. Podemosfazer isso sem perda de generalidade, pois do caso contrario considera-mos a funcao −g.

Seja s = supx∈(a,b) g(x). Pelo que foi convencionado acima, s > 0.Como g e contınua em [a, b], existe x ∈ [a, b] com g(x) = s.Ja que g(a) = g(b) = 0, x ∈ (a, b). Portanto, g e derivavel em x.Ja que g atinge o seu maximo em x, g′(x) = 0. Era o que queriamos

demonstrar.

Agora podemos provar o :

Teorema 6 (do Valor Medio). Seja f uma funcao contınua em[a, b], derivavel em (a, b). Entao existe x0 ∈ (a, b), com :

f ′(x0) =f(b)− f(a)

b− a

Prova : Considere o Teorema de Rolle, aplicado a funcao :

g(x) = f(x)− f(a)− x− a

b− a(f(b)− f(a))

Entao existe x0 com g′(x0) = 0. Mas :

g′(x0) = f ′(x0)−f(b)− f(a)

b− a

Portanto, f ′(x0) = f(b)−f(a)b−a

, que era o que queriamos provar.


9. A integral

A integral de uma funcao f e a area contida embaixo do grafico def . Escrevemos : ∫ b

a

f(x)dx

A area contida entre o eixo dos x e o grafico de f , na faixa a ≤ x ≤ b.Tambem escrevemos : ∫

[a,b]

f(x)dx

Mas nos ainda nao definimos o que seriıa uma area. De fato, adefinicao correta de area e pela integral. Entao precisamos definir aintegral de outra maneira...

Uma particao P de [a, b] e um conjunto de segmentos Pα, contidosem [a, b], tal que :

• A uniao de todos esses segmentos e o segmento [a, b]• A intersecao de dois desses segmentos e vazia ou e um ponto.

O raio dessa particao e o tamanho sup |Pα| do maior dos segmentosdessa particao P .

A cada particao P , associamos a soma superior :

S(P, f) =∑

Pα∈P

|Pα| supx∈Pα

f(x)

A soma superior e a area de um polıgono contendo a regiao dospontos (x, y) com a ≤ x ≤ b, y ∈ [0, f(x)]. Esse polıgono e uma uniaode retangulos.

Tambem podemos definir a area inferior :

9. A INTEGRAL 21

s(P, f) =∑

Pα∈P

|Pα| infx∈Pα

f(x)

Podemos tambem considerar (se existir) S(ε, f) o supremo de todasas S(P, f) para particoes de raio ε. Podemos considerar o infimo s(ε, f)das somas inferores s(P, f) para particoes de raio ε (se existir).

Se esses numeros S(ε, f) e s(ε, f) existirem para ε suficientementepequeno. E se limε→0 S(ε, f) e limε→0 s(ε, f) existirem, e forem iguais,nesse caso, dizemos que f e integravel em [a, b]. A integral e definidapor : ∫

[a,b]

f(x)dx = limε→0

S(ε, f) = limε→0

s(ε, f)


Existem definicoes mais gerais da integral. Neste texto, conside-raremos apenas a definicao acima, que sera extendida para o caso devarias variaveis.

10. Teorema Fundamental do Calculo.

O Teorema Fundamental do Calculo nos da a relacao entre integrale derivada. Primeiro, comecamos com uma observacao. Se F e umafuncao derivavel, definida em um intervalo [a, b], entao F ′ e unica.

Quais as funcoes G tais que G′ = F ′ = f ? F certamente cumpreessa condicao . Mas se c e uma constante, F (x) + c tambem cumpre acondicao.

Se G verifica G′ = F ′, entao G′ − F ′ e zero, e portanto G − F econstante.

Acabamos de provar que o conjunto das solucoes de G′ = F ′ e oconjunto das fncoes F + c, onde c e uma constante.

Essas funcoes sao chamadas de primitivas de f = F ′.

Vamos mostrar agora que

Teorema 7 (Fundamental do Calculo). Se f e uma funcao in-tegravel no intervalo [a, b], e se F e uma primitiva de f , entao :∫

[a,b]

f(x)dx = F (b)− F (a)

Prova : Vamos usar a definicao da integral. Seja P uma particaode [a, b], em intervalos [Pi, Pi+1]. Podemos escrever F (b)−F (a) como :

F (b)− F (a) =∑

i

F (Pi+1)− F (Pi)

Pelo Teorema do Valor Medio (ja que F e derivavel !) existemxi ∈ (Pi, Pi+1) com :

F (Pi+1)− F (Pi) = (Pi+1 − Pi)F′(xi) = (Pi+1 − Pi)f(xi)

Portanto,

F (b)− F (a) =∑

i

(Pi+1 − Pi)f(xi)

Sejam S(f, P ) e s(f, P ) as somas superior e inferior de f subor-dinadas a particao P .. Entao, usando infx∈[Pi,Pi+1] f(x) ≤ f(xi) ≤supx∈[Pi,Pi+1] f(x), obtemos :

s(f, P ) ≤ F (b)− F (a) ≤ S(f, P )

11. REGRAS DE INTEGRACAO 23

Portanto, para cada ε > 0 :

s(f, ε) ≤ F (b)− F (a) ≤ S(f, ε)

Como f e integravel,

limε→0

s(f, ε) = limε→0

S(f, ε)

e esse limite so pode ser igual a F (b)−F (a), o que prova o Teorema.

11. Regras de integracao

Nao existem.

Existem apenas alguns truques. Por exemplo, conhecemos primiti-vas de algumas funcoes...

Exercıcio 35. Calcule primitivas das seguintes funcoes :

(1) 1(2) x(3) x2

(4) x7

(5) cos x(6) senx(7) sen3x(8) 1 + x + x2 + x7 + cos x + senx + sen3x

Conhecendo as primitivas, e possivel calcular as integrais pelo Teo-rema Fundamental do Calculo.

Exercıcio 36. Calcule as integrais :

(1)∫ 1

01dx

(2)∫ 2

0x

(3)∫ 1

0x2

(4)∫ 2

1x7

(5)∫ π

0cos x

(6)∫ π

0senx

(7)∫ π

0sen3x

(8)∫ 1

−11 + x + x2 + x7 + cos x + senx + sen3x

Nao existe regra da cadeia para integracao. Mas e possıvel, emcertos casos, reconhecer a derivada de uma funcao composta pela regrada cadeia : onde for possıvel reconhecer algo da forma f ′(x)g(f(x)),pode dar para integrar :

Exercıcio 37. Calcule as integrais :


(1)∫ 0

−4(6x + 15) cos(x2 + 5x + 4)

(2)∫ e

1sen(log x)

x

Outro truque e a mudanca de variavel de integracao :

Teorema 8. ∫ g(b)

g(a)

f(x)dx =

∫ b

a

f(g(y))g′(y)dy

Exercıcio∗ 7. Prove o Teorema, usando a definicao da integral.

Exercıcio 38. Calcule :∫ e

1

cos log x− sen log xdx

Existem outros truques. Lamentavelmente, nao existe regra do pro-duto para integrais. O que ha de mais proximo e :

Exercıcio 39. Integracao por partes : Prove que :∫ b

a

f ′gdx +

∫ b

a

fg′dx = f(b)g(b)− f(a)g(a)

Use esse resultado para calcular :∫ e

1

x2 log xdx

12. Teorema de Taylor

Teorema 9 (Taylor). Seja f uma funcao k vezes derivavel em umavizinhanca do ponto a. Entao :

f(a+h) = f(a)+hf ′(a)+h2

2f ′′(a)+

h3

3!f ′′′(a)+ · · ·+ hk

k!f (k)(a)+hkr(h)

Onde : limh→0 r(h) = 0.

Prova : Pelo Teorema do Valor Medio, o Teorema e verdade parak = 1. Vamos provar que se ele e verdade para um certo k, entao ele everdade para k + 1.

De fato, seja f uma funcao k+1 vezes derivavel. Entao f ′ e k vezesderivavel, e por inducao :

f ′(a+h) = f ′(a)+hf ′′(a)+h2

2f ′′′(a)+

h3

3!f (4)(a)+· · ·+hk

k!f (k+1)(a)+hkr(h)

12. TEOREMA DE TAYLOR 25

Agora escrevemos, usando o Teorema Fundamental do Calculo :

f(a + h) = f(a) +

∫ h

0

f ′(a + h)dh

E facil calcular :∫ h

0

f ′(a) + hf ′′(a) +h2

2f ′′′(a) +

h3

3!f (4)(a) + · · ·+ hk

k!f (k+1)(a)dh =

= hf ′(a) +h2

2f ′′(a) +

h3

3!f ′′′(a) + · · ·+ hk+1

k + 1!f (k+1)(a)

Tambem temos :

|∫ h

0

hkr(h)dh| ≤ |h|k+1 suph∈[−h,h]

|r(h)|

Definimos portanto :

r(h) = suph∈[−h,h]

|r(h)|

Como r(h) tende a 0, lim r(h) = 0. E portanto, podemos escrever :

f(a+h) = f(a)+hf ′(a)+h2

2f ′′(a)+

h3

3!f ′′′(a)+· · ·+hk

k!f (k)(a)+hk+1r(h)

O que prova que o Teorema de Taylor vale para k + 1. Assim,concluımos que o Teorema vale para todo k.

Exercıcio 40. Prove que se f e k vezes derivavel em a, e f ′(a) =f ′′(a) = · · · = f (k−1)(a) = 0, mas f (k)(a) 6= 0, entao :

(1) Se k e par, e f (k)(a) > 0, entao a e um mınimo local de f .(2) Se k e par, e f (k)(a) < 0, entao a e um maximo local de f .(3) O que acontece se k e ımpar ?

Exercıcio 41. Estude e trace os graficos das seguintes funcoes :

(1) cos x(2) senx(3) tan x(4) log x(5) ex

(6) 2x3 − 15x2 + 24x− 6

Justifique.

Exercıcio 42. : Ache os maximos e mınimos locais de (x−1)2x3(x+1)4. Existe um ponto de inflexao ? O que acontece quando x vai para+∞ ? Para −∞ ? Desenhe o grafico de f .

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