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Calculo Integral
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Estudios De Las Matematicas II
Matematicas IIMATEMATICASUJGH - 27 DE JULIO DE 2009 - 10:18 - ESTUDIOS DE LAS
MATEMATICAS II
Contenido Programático Encontrado en Matemática I
1. Diferenciales.
1.1 Definición de diferencial.
1.2 Incrementos y diferenciales, su interpretación geométrica.
1.3 Teoremas típicos de diferenciales
1.4 Cálculo de diferenciales.
1.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.
2. Integrales Indefinidas y Métodos de Integración.
2.1 Definición de Función Primitiva
2.2 Definición de Integral Indefinida
2.3 Propiedades de la Integral Indefinida
2.4 Cálculo de Integrales Indefinidas.
2.4.1 Directas.
2.4.2 Por cambio de variable.
2.4.3 Por Partes
2.4.4 Trigonométricas
2.4.5 Por sustitución trigonométrica
2.4.6 Por fracciones parciales
3. Integral definida.
3.1 Definición de integral definida.
3.2 Propiedades de la integral definida.
3.3 Teorema de existencia para integrales definidas.
3.4 Teorema fundamental del Cálculo
3.5 Cálculo de integrales definidas.
3.6 Teorema del valor medio para integrales
4. Aplicaciones de la integral.
4.1 Longitud de curvas.
4.2 Cálculo de áreas
4.3 Áreas entre curvas
4.4 Cálculo de volúmenes.
4.5 Volúmenes de sólidos de revolución
4.6 Cálculo de volúmenes por el método de los discos
4.7 Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo.
5 Integrales Impropias.
5.1 Definición de integral impropia.
5.2 Integral impropia de 1ra clase
5.3 Integral impropia de 2da clase.
Diferenciales Definicion
Concepto de diferencial
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos,
fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la
función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y
vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.
En particular, para una función y=f(x) para un valor inicial x0 se tiene la pendiente de la
línea recta tangente en las coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f’(x0). Cuya ecuación de
la línea recta tangente queda entonces definida como: y-f(x0)=m(x-x0)
Ante un cambio en la variable x podemos determinar el incremento x0 por x0+dx, donde el
incremento dx es comúnmente un incremento pequeño, pero no cero, llamado diferencial en
x.
Analizando el sistema función y línea recta tangente a dicha función entonces podemos
analizar que existen dos puntos importantes a analizar, los de la función y los de la recta
tangente:
1) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de f designaremos la notación dy.
2) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de y para la recta tangente utilizaremos
la notación dy.
Mas precisa se encuentra la siguiente definición:
Definición de diferencial (informal)
Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número x.
Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente de cero.
Se define a la diferencial de y como dy, dado por dy=f ‘(x) dx. ‘’‘Concepto de diferencial
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos,
fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la
función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y
vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.
En particular, para una función y=f(x) para un valor inicial x0 se tiene la pendiente de la
línea recta tangente en las coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f’(x0). Cuya ecuación de
la línea recta tangente queda entonces definida como:
y-f(x0)=m(x-x0)
Ante un cambio en la variable x podemos determinar el incremento x0 por x0+dx, donde el
incremento dx es comúnmente un incremento pequeño, pero no cero, llamado diferencial en
x.
Analizando el sistema función y línea recta tangente a dicha función entonces podemos
analizar que existen dos puntos importantes a analizar, los de la función y los de la recta
tangente:
1) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de f designaremos la notación dy.
2) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de y para la recta tangente utilizaremos
la notación dy.
Mas precisa se encuentra la siguiente definición:
Definición de diferencial (informal)
Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número x.
Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente de cero.
Se define a la diferencial de y como dy, dado por dy=f ‘(x) dx.
Incrementos Diferenciales Interpretacion Geometrica
Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entredos cantidades variables, entramos
en los dominios del Cálculo Diferencial.
Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre
la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento
determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos
puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta,
etc.
Incrementos: cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice
que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia
entre el valor final y el inicial.
Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo Dx, que se leee “delta x”.
El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o
disminuye al pasar de un valor a otro.
Por ejemploSi el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el
incremento Dx = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positivamente en 4
unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, Dx = x2 - x1 = 3 - 7 = −4: la
variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.
Derivada de una función:Sea f una función definida en todo número de algún intervalo I, la derivada de f es aquella
función, denotada por f ‘, tal que su valor en cualquier número x de I, está dado por:
Se dice que una función es diferenciable o derivable cuando es posible hallar su derivada.
Teoremas Tipicos Diferenciales
Teoremas típicos de diferenciales
Sea r una región rectangular en el plano xy definida por a < x <b, c < y < d que contiene al
punto (x0, y0) en su interior. Si f(x,y) y af/ay son continuas en r, entonces existe un
intervalo I con centro en x0 y única función y (x) definida en I que satisface el problema de
valor inicial el teorema precedente es uno de lo teoremas de existencial y unicidad mas
populares para ecuaciones diferenciales de primer orden porque los criterios de continuidad
de f(x,y) y af/ay son relativamente fáciles de verificar. En general, no siempre es posible
encontrar un intervalo especifico I en el cual se define una solución sin, de hecho, resolver
la ecuación diferencial
El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de
formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así
por George Gabriel Stokes (1819–1903). Sea M una variedad de dimensión n diferenciable
por trozos orientada compacta y sea ω una forma diferencial en M de grado n-1 y de clase
C¹. Si ∂ M denota el límite de M con su orientación inducida, entonces
aquí d es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructura de variedad. El
teorema debe ser considerado como generalización del teorema fundamental del cálculo y,
de hecho, se prueba fácilmente usando este teorema.
El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada
sumergida en una variedad más grande en la cual la forma ω se define.
El teorema se extiende fácilmente a las combinaciones lineales de las subvariedades
diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema de Stokes demuestra
entonces que las formas cerradas definidas módulo una forma exacta se pueden integrar
sobre las cadenas definidas módulo borde. Ésta es la base para el apareamiento entre los
grupos de homología y la cohomología de de Rham.
El clásico teorema de Kelvin-Stokes
que relaciona la integral de superficie del rotacional del campo vectorial sobre una
superficie Σ en el 3-espacio euclidiano a la integral de línea del campo vectorial sobre su
borde, es un caso especial del teorema de Stokes generalizado (con n = 2) una vez que
identifiquemos el campo vectorial con una 1-forma usando la métrica en el 3-espacio
euclidiano. La primera enunciación conocida del teorema es por William Thomson (lord
Kelvin) y aparece en su carta a Stokes.
Calculo De DiferencialesCalculo de diferenciales
• es una ecuación diferencial ordinaria, donde es la variable dependiente, la variable
independiente e es la derivada de con respecto a
• La expresión es una ecuación en derivadas parciales Una ecuación diferencial ecuación
diferencial es aquella en que la incógnita es una función y en la cual aparece una o más de
las derivadas de la función.
Algunas ecuaciones diferenciales
Las siguientes son ecuaciones diferenciales:
1. y’’ + y’ +y = 2x
2. = 2
3. xy’’ - x2y = y’
En todos los casos se supone que y es una función de x.
Todas las ecuaciones diferenciales que se dan en el ejemplo anterior se dice que son
ordinarias porque dependen de solo una variable independiente. La primera y la tercera son
de segundo orden porque la derivada de orden mayor que aparece es y’’ y la segunda es de
primer orden porque la derivada de mayor orden que aparece es y’.
Calculo Aproximaciones Usando La Diferencial
3.8 LA DIFERENCIAL. APROXIMACIONES LINEALES
Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función “y” con respecto a “x”, la notación
de Leibnitz, dxdy, como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy (diferencial de la
variable y) entre dx (diferencial de la variable x).
Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la
derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función
alrededor de un punto. La definición esta motivada por el siguiente razonamiento
geométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (fig. (a)). fig. Tomando
el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes
dx y dyson paralelos a los ejes antiguos. En este nuevo sistema de coordenadas, la recta
tangente en el punto P pasa por el origen y en consecuencia, su ecuaci¨®n es bastante
simple, a saber: dy = mdx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo
sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ¡¯(x), se tiene entonces: dy = f ¡¯(x)
dx Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferencial. Definición: i. Se
llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al incremento x¦¤; esto es
xdx¦¤=. ii. Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y en el punto x,
denotada dy, se define como xxfdy¦¤)(‘=, o tambi¨¦n, . dxxfdy)(‘= Interpretación geométrica
de la diferencial Sea f una función derivable en x. En el triángulo P0RQ, se tiene:
xmRQ¦¤.=, en donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P0 (fig. (b)), y por
tanto, m = f ¡¯(x0). Así que: dyxxfRQ==¦¤)(‘0 (1) Además, ()()00xfxxfy−+=¦¤¦¤ (2) Se
puede observar entonces que: y¦¤: es el incremento en y medido sobre la curva; y, dy : es el
incremento en y medido sobre la recta tangente. Observaciones: i. Si la ecuaci¨®n y = f (x)
corresponde a una l¨ªnea recta, entonces ydy¦¤= para cualquier x del dominio. ii. Puesto que
, si dxxfdy)(‘=0¡Ùdx, entonces al dividir ambos miembros de la ¨ ltima igualdad por dx, se
tiene: )(‘xfdxdy= y se puede de esta forma interpretar la derivada de una funci¨®n como el
cociente de dos diferenciales. iii. De acuerdo con la observación ii. todas las reglas de
diferenciales se deducen de las reglas de derivaci¨®n (R.D.1.- R.D.16., sección ),
multiplicando ambos miembros de estas últimas por dx. En la tabla siguiente aparecen las
principales reglas de diferenciales deducidas de las correspondientes reglas de derivación.
Regla de la derivada Regla de la diferencial R.D.1 0)(=cdxd R.d.1. 0=dc )()(udxdccudxd=
cducud=)( R.D.9. 1)(−=nnnxxdxd R.d.9. dxnxdxnn1−= R.D.3.,4. dxdvdxduvudxd¡À=¡À)
( R.d.3.,4. dvduvud¡À=¡À)( R.D.5. dxduvdxdvuvudxd+⋅=).( R.d.5. duvdvuvud..).(+=
R.D.7. 2vdxdvudxduvvudxd⋅−= R.d.7. 2vudvvduvud−= R.D.10. dxduunudxdnn1.)(−= R.d.10. duunudnn1.)(−= Asi por ejemplo, si ()2/14545524524−+=−
+=xxxxy, entonces, la derivada dxdy viene dada por: ()()5244105248202145342/14534−+
+=−++=−xxxxxxxxdxdy Es decir, ()524252453−++=xxxxdxdy Multiplicando ambos
miembros de la ¨ ltima igualdad por , se obtiene finalmente: )0(¡Ùdxdx
()dxxxxxdy524252453−++= iv. Si y = f (x) y x = g (t), entonces la regla de la cadena en
forma de diferencial se expresa asi: dtdtdxdxdydy⋅⋅ = Aproximaciones: Las
diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para ello, supóngase
que la gráfica de y = f (x) corresponde a la de la fig. fig. Cuando se da a x un incremento
x¦¤, la variable y recibe un incremento y¦¤, que puede considerarse como un valor
aproximado de dy. Por lo tanto, el valor aproximado de )(xxf¦¤+ es: xxfxfdyxfxxf¦¤¦¤)(‘)()()
(+=+¡Ö+ (1) Asi por ejemplo, sup¨®ngase que se quiere calcular (usando diferenciales), un
valor aproximado de 3122. En primer lugar, n¨®tese que 3122 puede escribirse como
33125− y puesto que 51253=, se puede pensar en la funci¨®n: 3)(xxf= y hallar dy con x =
125 y 3−=x¦¤. Esto es, . )3)(125(‘−=fdy Pero, 323/23131)(‘xxxf==− 75112531)125(‘32==f,
con lo cual, 251753−=−=dy. En consecuencia, usando (1) se puede escribir: ()dyff+¡Ö−
+)125()3(125 2515)122(−¡Öf
INTEGRAL DEFINIDA
“Si en cualquier figura delimitada por rectas y por una curva; se inscriben y circunscriben
rectángulos en número arbitrario, y si la anchura de tales rectángulos se va disminuyendo a
la par que se aumenta su número hasta el infinito, afirmo que las razones entre las figuras
inscrita y circunscrita y la figura curvilínea acabarán siendo razones de igualdad”--- Isaac
Newton.
El área, es un concepto familiar para todos nosotros, por el estudio de figuras geométricas
sencillas como el triángulo, el cuadrado, el círculo y el rectángulo. La idea o el concepto
que manejamos de área, es la magnitud que mide de algún modo el tamaño de una región
acotada, es decir, cuanto mide una superficie. Ciertamente, para hallar el área de las figuras
geométricas sencillas que ya conocemos, disponemos de formulas matemáticas que
facilitan este cálculo.
Ahora, nuestro problema consiste en encontrar un método, que nos permita calcular el área
de cualquier región, sin importar la forma que esta tenga. Para lograr esto, es necesario
primero introducir el símbolo o la notación de Sumatoria. Para representar esto, se una la
letra griega mayúscula
“sigma”, para abreviar la sumatoria, y se usa de este modo:
y sus partes son:
a: representa los términos de la sumatoria
ak: representa el termino k-ésimo de la sumatoria
an: representa el termino n-ésimo y último de la sumatoria
k: es el índice de la sumatoria
1: es el límite inferior de la sumatoria
n: es el límite superior de la sumatoria
Gráfica 1.
Como habíamos mencionado anteriormente, nuestra preocupación ahora, es encontrar el
área de cualquier superficie sin importar su forma. Supongamos que queremos hallar el área
de la región comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la gráfica de la función
f(x) (Gráfica 1).
Gráfica 2.
Ahora, supongamos que tomamos la región y la dividimos en una serie de rectángulos de
base
x (Gráfica 2.). Si lográramos calcular el área de cada uno de esos rectángulos, y las sumáramos todas, obtendríamos una aproximación del área total de la región que deseamos.
Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola expresión, podríamos
hacerlo de modo que, tomemos un valor xi, dentro del intervalo [a,b], tal que exista
xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:
de esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo así:
,
Puesto que el área de un rectángulo, como todos sabemos, es base por altura. Debido a que
este rectángulo puede ser cualquier rectángulo dentro de la región, puesto que xi puede ser
cualquier valor, ya podemos sumar sus áreas para lograr la aproximación:
,
Donde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región que deseamos. Como
ya habíamos visto que
xi, representa cada una de las particiones de nuestra región, ahora definamos a P como la partición más grande de todas, es decir la base de rectángulo más grande de dotas las de la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que P se haga tan pequeño como pueda o que el número de particiones n, se haga lo más grande que pueda, hallamos una mejor aproximación del área que buscamos (Gráfica 3).
Gráfica 3.
De aquí podemos deducir que si hallamos el Límite cuando el número de rectángulos sea
muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectángulos sean muy pequeñas,
lograremos la mejor y más exacta aproximación del área que tanto hemos buscado. Y esto
se representa así:
,
que es equivalente a,
,
con esto ya encontramos la mejor aproximación del área. Ahora si, podemos definir la
integral definida ya que,
Por lo tanto podemos deducir que la integral definida es una suma y así la hemos definido.
Y de esta manera, también hemos mostrado la primera aplicación de la integración
definida, hallar el área bajo una curva.
Ya que definimos la integral definida, identifiquemos cual es su notación y las partes que la
componen.
Toda la expresión se lee, integradle f(x), desde a hasta b; a y b, son los límites de
integración, donde a es el límite inferior y b es el límite superior. El símbolo”, es una s
mayúscula alargada, que significa suma y se llama símbolo de integración. La función f(x),
es el integrando y el dx, se llama diferencial y es el que lleva la variable de integración que
en este caso es x.
ÁREA ENTRE CURVAS
Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como
se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se
hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos
curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones.
El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado.
La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para
calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que
la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos
funciones involucradas.
Gráfica 4.
Como podemos ver en la Gráfica 4, el intervalo de la región esta definido por los puntos de
corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado,
si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo
mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos
el intervalo en la aplicación anterior.
Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que
cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así:
Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos
mostrado y definido otra aplicación de la integral definida
96.4251242515122==−¡Ö3. Si se usa una calculadora puede observarse que . 12296.43=
Integrales IndefinidasLa integral Indefinida o antiderivada es el nombre que recibe la operación inversa a la
derivada. Es decir, dada una función F aquella consiste en encontrar una función f tal que
Df = F. Antes de desarrollar este tema debemos dejar en claro ciertos parámetros y
definiciones.
Diferencial de una función
Si f es derivable, definimos al diferencial de una función (df), como el producto de la
derivada de f por un incremento de la variable (Δx).
Ejemplos:
dx = 1. Delta x
d sen x = cos x Delta x
d mathcal (e^x) = mathcal (e^x). Delta x
De la demostración y ejemplos anteriores podemos deducir la siguiente expresión:
df = f’ (x). Delta x = f’ (x). dx Leftrightarrow f’ (x) = frac{df}{dx}
Metodos De Integracion Definicion Funcion Primitivafuncion primitiva
una funcion primitiva es aquella que despues de haber sido derivada pasando por su
diferencial y por el proceso de integracion no vuelve exactamente a su funcion original
ej:
y=3x”+2x+18
dy/dx=6x+2
dy=6x+2 (dx)
Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c
Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano.
Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran
los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base
del cálculo integral. Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más
generalmente, dominio). F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.
Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la
primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier
constante real. Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla
(escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas
primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y
luego aplicar la linealidad de la integral:
Aquí están las principales funciones primitivas: Función F: primitiva de f función f:
derivada de F
Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2–3x). Como no se conoce primitivas de
un producto, desarollemos la expresión: x(2–3x)= 2x - 3×2. 2x es la derivada de x2, 3×2 es
la de x3, por lo tanto 2x - 3×2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la
primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial
cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente
determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7. Al diferir
las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia
F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico
notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:
Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto
en el campo de la geometría: es el área entre la curva de f, el eje de los x, y dos rectas
verticales x = a y x = b: éste es el teorema fundamental del análisis.
Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el
área de la que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es
alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y
negativas entre la curva de f y el eje de los x.
La relación de Chasles:
cuya prueba es elemental, tanto si se recurre a argumentos geométricos (con a < b <
c )como analíticos, tiene como consecuencia:
y
La segunda fórmula se interpreta fácilmente: el área entre las rectas x = a y .. x = a de
nuevo es nula, pues la rectas están pegadas. La primera se puede justificar así: cuando se
recorre un segmento de la derecha a la izquierda, el área correspondiente cambia de signo.
Esto sucede porque la noción de área está muy relacionada con el producto vectorial de dos
vectores (y con el determinante), y tal producto cambia de signo si un vector lo hace. Otras
propiedades
Las primitivas de una función impar es siempre par. En efecto, como se ve en la figura
siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral
entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f,
impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.
La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0. En efecto,
según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la
siguiente igualdad de integrales:
Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar. La primitiva de
una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica
Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre
las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura
siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidiad y la
relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas
de color). En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se
puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En
efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x).
Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.
Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para
simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces
tenemos la relación:
El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f −1, y la suma es el rectángulo
cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos). Se pasa de la primera curva, la de f, a
la segunda, la de f −1 aplicando la simetría axial al rededor de la diagonal y = x. El interés
de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f −1 sin conocer una primitiva; de
hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca.
PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN
Primera propiedad
Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función F(x) +
C es otra primitiva de f(x).
Demostración:
Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas
de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.
(F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x) + 0 = f(x)
Encontrar tres primitivas de la función cos x.Ejercicio:
Resolución:
• Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.
• Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,
Segunda propiedad Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.
Demostración:
Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva
según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar a C.
Tercera propiedad Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante.
Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte.
Demostración:
Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada
cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f’(x) = 0,
entonces f(x) = C.
Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F’(x) = f(x);
si G(x) es otra primitiva de f(x), G’(x) = f(x).
Restando miembro a miembro, F’(x) - G’(x) = (F(x) - G(x))’ = f(x) - f(x) = 0, de donde se
deduce que F(x) - G(x) = C.
Definicion Integral Indefinida
Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración
por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones racionales e
irracionales.
Definición 1 Se dice que una función es una primitiva de otra función sobre un intervalo si
para todo de se tiene que .
Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en . Entonces, para todo de , . Es decir dada
una función sus primitivas difieren en una constante (en adelante denotaremos por a una
constante cualquiera).
Definición 2 El conjunto de todas las primitivas de una función definida en se denomina
integral indefinida de y se denota por . De manera que, si es una primitiva de ,
DEFINICIÓN.
Es el proceso contrario a la derivación.
Dada una función f(x), se trata de calcular otra F(x) tal que F’(x)=f(x). Por ejemplo:
la derivada de y=5x es y’=5, la derivada de y=5x+3 es y’=5, la derivada de y=5x-2 es y’=5.
Según la anterior definición, podemos decir que la integral de 5 es 5x+3, ó 5x-2 o bien 5.
Por ello se abrevia diciendo que la integral de 5 es 5x+cte. El conjunto de todas las
primitivas de una función se denomina integral indefinida, y se representa:
. En nuestro ejemplo, en donde dx indica cual es la variable (en este caso sólo existe una
posible) y c es la cte.
Cualquier tabla de derivadas, leída al contrario, se convierte en una tabla de integrales.
PROPIEDADES.
1. La integral de la derivada de una función es la función.
2. La integral de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de las integrales
de las funciones:
3. La integral del producto de dos funciones es el producto de las integrales de las
funciones:
4. La integral del producto de una constante por una función es el producto de la cte por la
integral de la función:
TIPOS DE INTEGRALES. 1. TIPO POTENCIAL
siendo n<>−1
Ejemplos:
si en vez de ser x es una función de x:
Ejemplo:
En el caso de ser n=−1, tenemos una integral de tipo logarítmico, como veremos
posteriormente. 2. TIPO EXPONENCIAL.
y en el caso de tratarse de una función:
Ejemplos: 3. TIPO LOGARÍTMICO.
Es el caso comentado en las de tipo potencial cuando n=−1.
Ejemplos:
4. TIPO SENO.
5. TIPO COSENO.
6. TIPO TANGENTE.
y por lo tanto: 7. TIPO COTANGENTE.
8. TIPO ARCOSENO.
9. TIPO ARCOTANGENTE
Propiedades Integral IndefinidaPROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que
ayudarán a evaluarlas con más facilidad.
1) donde c es una constante
2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades
son verdaderas:
(se pueden generalizar para más de dos funciones)
3) Si x está definida para x = a entonces = 0
4) Si f es integrable en [a, b] entonces
5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados
definidos por a, b y c entonces f es mayo que 0 pero
si r>0 entionces f= 3
Calculo Integrales IndefinidasUna función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F’(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;… Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.
Calculo Integrales Directas
Calculo Integrales Por Cambio De Variable
Es el método más frecuente. Consiste en hacer una expresión (elegirla es lo difícil) igual a
una nueva variable (por ejemplo t), calcular la derivada de esta nueva variable y sustituir
estos datos en la expresión que queremos integrar. En muchas ocasiones la integral que se
obtiene es más sencilla que la original y asi podemos integrarla.
Evidentemente despues tenemos que deshacer el cambio de variable.
Trucos para elegir el cambio de variable:
Observa la expresión que tienes que integrar con detenimiento. Este es el mejor consejo.
Si ves que la expresión se puede descomponer en dos partes y una de ellas es la derivada de
la otra, iguala esta última expresión a t, a continuación deriva esta expresión y sustituyes
todo en la integral.
Si la expresión a integrar tiene una raiz cuadrada con dos términos (si son cuadrados
perfectos es probable que sea el método más adecuado) sumados, dibuja un triángulo
rectángulo y pon la raíz en la hipotenusa y en los catetos la raiz cuadrada de cada uno de los
sumandos. A continuación llama t a uno de los ángulos agudos del triángulo y utiliza las
relaciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) para hacer las sustituciones.
Si la expresión a integrar tiene una raiz cuadrada con dos términos (si son cuadrados
perfectos es probable que sea el método más adecuado) restados, dibuja un triángulo
rectángulo y pon la raíz cuadrada del término positivo en la hipotenusa y en los catetos la
raiz cuadrada de cada uno de los sumandos. A continuación llama t a uno de los ángulos
agudos del triángulo y utiliza las relaciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) para
hacer las sustituciones.
Calculo Integrales Por Partes
INTEGRACION POR PARTES.
Toda regla de derivacion tiene una regla de integracion correspondiente; por ejemplo, la
regla de sustitucion para integrar corresponde a la regla de la cadena para derivar. La regla
que corresponde a la del producto para la derivacion se llama regla de integracion por
partes.
La regla del producto establece que si “f” y “g” son funciones derivables.
d/dx(f(x)g(x))=f(x)g´(x)+g(x)f´(x).
En la notacion en las integrales, esta ecuacion se convierte en.
S=a la integral
S(f(x)g´(x)+g(x)f´(x))dx=f(x)g(x)
o sea
Sf(x)g´(x)dx+Sg(x)f´(x)dx=f(x)g(x)
Podemos reordenar esta ecuacion como sigue:
Formula 1
Sf(x)g´(x)dx=f(x)g(x)-Sg(x)f´(x)dx
La formula (1) se demonima formula de integracion por partes. Quisa sea mas facil
recorlarlo con la siguiente notacion: sean u=f(x) y v=g(x). Entonces, tenemos du=f´(x)dx y
dv=g´(x)dx, asi que, segun la regla de sustitucion, la formula de integracion por partes se
transforma en:
Sudv=uv-Svdu
ES LA FORMA DE INTEGRACION POR PARTES..
Calculo Integrales TrigonometricasSi la integral es trigonométrica hay que tener en cuenta las siguientes identidades:
sen2x + cos2x = 1
1 + tag2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x
sen2x = 1/2(1 - cos2x)
cos2x = 1/2(1 + cos2x)
senx cosx = 1/2sen2x
senx cosy = 1/2[sen(x - y) + sen(x + y)]
senx seny = 1/2[cos(x - y) - cos(x + y)]
cosx cosy = 1/2[cos(x - y) + cos(x + y)]
1 - cosx = 2sen21/2x
1 + cosx = 2cos21/2x
1 + sen x = 1 + cos(1/2p - x)
1 - sen x = 1 - cos(1/2p - x)
Especialmente importantes son estas dos identidades:
sen x = (2 tan(x/2))/(1 + tan2(x/2))
cos x = (1 - tan2(x/2))/(1 + tan2(x/2))
Haciendo t = tan x/2, nos queda:
sen x = 2t/(1 + t2)
cos x = (1 - t2)/(1 + t2)
dx = 2 dt/(1 + t2)
Calculo Integrales Por Sustitucion Trigonometrica
Calculo Integrales Por Fracciones Parciales
Integración Mediante Fracciones Parciales
La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración mas
fácil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios.
Definición: Se llama función racional a toda función del tipo
En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado
Ejemplo:
¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales? Veamos los siguientes
casos: CASO 1: Factores Lineales Distintos.
A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el
denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma , siendo A
una constante a determinar. Ejemplo:
luego nos queda la siguiente igualdad
o también lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B
Haciendo un Sistema. A + B = 0 2A - 2B = 1 , las soluciones son : Quedando de esta
manera: con lo cual
CASO 2: Factores Lineales Iguales. A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el
denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de
la forma
EJEMPLO: Calculemos la siguiente integral
Pero: Tendremos
Amplificando por
Las Soluciones son:
Nos queda:
CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos. A cada factor cuadrático reducible, que figure en
el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma
siendo A y B constantes a determinar. Ejemplo: Calcular:
Con lo que se obtiene
de donde
luego los valores a encontrar son. A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0
CASO 4: Factores cuadráticos Iguales A cada factor cuadrático irreducible, que se repita n
veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n
fracciones de la forma
Siendo los valores de A y B constantes reales. Ejemplo: Calcular la siguiente integral
tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el mínimo común
denominador tenemos
Donde los valores de las constantes son A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1 De donde
remplazando e integrando a primitivas se obtiene.
ITPN
Integral Definida
Propiedades Integral Definida Diremos que una función f(x) es integrable en el intervalo [a,b] si los límites del apartado anterior existen y son iguales. La función f es el integrando y los extremos de integración a y b se llaman límites inferior y superior de la integral respectivamente. Esta es la definición de integral definida según Riemann.
Teorema Existencia Integrales Definidas
Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede
afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se
verifica:
El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].
Quizá sea interesante hacer varias observaciones:
1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto
con esa propiedad.
2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el
intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.
3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el
cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que
se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos
numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones
de integración sencilla.
2. EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIÓN DETERMINADA Vamos a estudiar la
aplicación del teorema a una función concreta. Para una primera aproximación vamos a
escoger una función que sea continua en cualquier intervalo de la recta real, para que
tengamos la seguridad de que se cumple la hipótesis de nuestro teorema.
La función objeto de nuestro estudio va a ser la siguiente:
Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores se puede observar como varía el
valor medio de la función y el punto, o puntos, en que se alcanza dicho valor. La función con la que estamos
trabajando es simétrica y eso provoca que en algunos intervalos el punto c no sea único.
El trazo azul indica el conjunto de valores que toma la función en el intervalo [a,b], cuyo
valor medio queremos calcular. Ten en cuenta que el extremo del intervalo a debe ser más
pequeño que el extremo b. En cualquier caso, si te equivocases, aparecería un mensaje de
error.
3. EL TEOREMA APLICADO A UN TIPO DIFERENTE DE FUNCIONES
Vamos a considerar ahora la aplicación del teorema a un tipo diferente de funciones. Aquí
el punto en el que se alcanza el valor medio es único ya que la familia de funciones
exponenciales que estudiamos, también con dominio en todos los números reales y
fácilmente integrables, se caracteriza por su monotonía. El conjunto de funciones que
representamos responde a la ecuación general
en la que k puede tomar diversos valores reales en el intervalo [−0.5 , 0.5], lo que hace que
la función pueda ser una exponencial creciente o decreciente. En el caso K = 0, al tratarse
de una función constante el teorema carece de interés.
En la escena anterior la función era definida positiva y por tanto también lo era su valor
medio. Ahora las funciones pueden tomar valores positivos y negativos según los
intervalos, lo que afecta al valor medio obtenido.
El control k permite variar la función exponencial considerada. Los controles a y b
representan, como en la escena anterior, los extremos del intervalo. Puedes estudiar
diferentes intervalos en cada función que representes
Teorema Fundamental Del Calculo
El Teorema Fundamental del Cálculo
Dada una función integrable podemos definir una nueva función por para todo . Nuestro
próximo objetivo va a ser estudiar dicha función. Recuerda que . Por supuesto, si f es una
positiva entonces es el área de la región del plano limitada por la gráfica de f , el eje de
abscisas y las rectas y=a, y=x. No debes olvidar en lo que sigue que se ha definido en
términos de áreas.
El comando “Area Func[f[x], {x, a, b}, n, {ymin, ymax}]” da como salida n gráficas y en
cada una de ellas representa la gráfica de f, la región en azul, y la gráfica de , en rojo, en el
intervalo [a,a+k(b-a)/n], para 1<= k <= n. Además, en cada caso da el valor de . Para usar el
comando tienes que fijar los valores “ymin” e “ymax” que determinan el intervalo del eje
de ordenadas en que se representarán las funciones. Experimenta con distintas funciones y
fíjate si la función te resulta conocida en algunos casos.
A veces puede ser conveniente considerar funciones de la forma en donde a < c < b y por lo
que es necesario precisar lo que se entiende por cuando . El convenio que se hace es que
cualquiera sean los números u y v. La justificación de este convenio es que, con él, la
igualdad se cumple cualesquiera sean los puntos x, y, z del intervalo [a,b]. Compruébalo.
Nuestro próximo objetivo va a consistir en invertir el proceso que nos ha llevado de f a .
Nuestro problema es: ¿Cómo podemos recuperar la función f a partir del conocimiento de
la función área de f, es decir, de la función ? Piensa un poco en las operaciones que hay que
realizar sobre f para obtener su función área. Dichas operaciones son: evaluar f en algunos
puntos del intervalo, multiplicar dichos valores por las longitudes de subintervalos
apropiados, sumar todos estos números y pasar al límite. Todo ello queda reflejado en la
igualdad que expresa la convergencia de las sumas de Riemann a la integral:
Parece razonable que para invertir el proceso anterior, evaluemos F en puntos x, y del
intervalo, hagamos la diferencia F(x) - F(y), dividamos por la longitud del intervalo, , y
tomemos límites. Como puedes ver, este proceso nos conduce de forma natural a estudiar la
derivada de la función área, F. El resultado que sigue, uno de los más útiles del Cálculo,
establece una relación entre dos conceptos aparentemente lejanos entre sí: el concepto de
área y el de tangente a una curva.
Teorema Fundamental del Cálculo
Sea una función integrable y definamos por para todo x en [a,b]. Entonces:
i) F es continua en [a,b].
ii) En todo punto c de [a,b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho
punto siendo . En particular, si f es continua en [a,b], entonces F es derivable en [a,b] y para
todo x en [a,b].
Demostración.
i) Como f es integrable debe estar acotada. Sea tal que para todo x en [a,b]. Entonces, si x <
y son puntos de [a,b] tenemos que:
Por la misma razón, si suponemos que y < x, tendremos que . Estas dos desigualdades nos
dicen que para todo par de puntos x, y de [a, b]. De esta desigualdad se sigue
inmediatamente la continuidad de F en [a, b].
ii) Pongamos
Dado, e>0, la continuidad de f en c nos dice que hay un δ>0 tal que para todo t ε [a,b] tal
que se tiene que . Tomemos ahora un punto cualquiera x ε [a,b] tal que . Entonces es claro
que para todo t comprendido entre x y c se tendrá que y, por tanto, por lo que . Deducimos
que para todo x ε [a,b] tal que , x ¹ c, se verifica que:
Hemos probado así que , esto es, F es derivable en c y .
Regla de Barrow
Sea integrable y supongamos que h es una primitiva de f en [a,b]. Entonces .
Fíjate que en el resultado anterior no se supone que f sea continua sino tan sólo que es
integrable y que, además, tiene una primitiva. La idea de la demostración es como sigue.
Tomemos una partición del intervalo [a,b]. Entonces podemos escribir: donde hemos usado
el teorema del valor medio.
Calculo Integrales Definidas
Ya hemos visto cómo efectuar el cálculo de integrales indefinidas. Pero planteamos algunos
ejemplos del calculo de una integral indefinida dependientes de parámetros, que en algunas
ocasiones DERIVE no es capaz de resolver de forma automática.
EJEMPLO 6.2.
Calcular la siguiente integral indefinida
∫ + dx x x n 1 2 (arctg )
Solución:
En este caso el parámetro es el valor n.
Para resolver la integral bastará que editemos la expresión “(atan x)^n/(1+x^2)” y
aplicamos sobre la misma Cálculo-Integrar, marcando la opción Integral-Indefinida y al
simplificar resulta (señalando como constante 0) Recuérdese que este resultado nos da una
de las primitivas; para obtener la integral indefinida habría que añadir la constante de
integración. Evidentemente, n≠−1. Sin embargo, no siempre resulta tan automático el
cálculo de este tipo de integrales indefinidas: EJEMPLO 6.3. Demostrar para los distintos
valores de n∈N y b∈R que se verifica la siguiente igualdad ∫ ∫ + = − + − dx x b b x n dx x x
b xn n n 1 Solución. Cálculo Integral 91 En primer lugar debemos definir las variables n
como entera y b como variable real. Esto se realiza utilizando la secuencia Definir-
Dominiodeuna Variable y definiendo para n el Dominio-Enteros y el Intervalo-Positivos.
Resulta en la ventana de álgebra la expresión Para b consideramos todos los reales,
Definamos a continuación la expresión del integrando editando Si intentamos calcular
directamente la integral indefinida se obtiene DERIVE no la ha calculado correctamente, ya
que existen dos parámetros. Por tanto tenemos que utilizar otro procedimiento. Una
posibilidad sería ensayar para diversos valores de n. Esto se puede realizar editando la
expresión VECTOR(INT(x^n/(x + b), x), n, 0, 3) Al simplificar obtenemos las soluciones
de dicha integral para los valores de n=0,1,2,3. De aquí podríamos plantear una conjetura.
Parece que cada elemento se obtiene a partir del anterior multiplicando éste por −b y
sumando al resultado n xn . Es decir que la conjetura que deberemos probar es ∫ ∫+ = − + −
dx x b b x n dx x x b xn n n 1 igualdad que es equivalente a . 1 n dx x x b b x x b xn n n = + + ∫ + − Por tanto tendremos que probar la igualdad anterior. Si editamos el
integrando de la igualdad anterior y calculamos la integral indefinida Prácticas de
Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 92 se obtiene la igualdad deseada, situación
que confirma la validez de nuestra conjetura.
Teorema Valor Medio Integrales
Teorema del Valor Medio para integrales
Valor promedio de una función
Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de números dados, . ¿Cómo calculamos
lasólo debemos realizar el siguiente cálculo yprom temperatura promedio durante un día si
se puede tener numerosas lecturas de temperaturas? ¿Qué pasa si queremos hallar el
promedio de un número infinito de x3 en elvalores? ¿Cómo calculamos el valor promedio
de la función f(x) intervalo [1, 2]? ¿Cómo calculamos el promedio de cualquier función
aunque no sea positiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio “continuo”.
f(x), aSe propone calcular el valor promedio de la función y b. Dividimos el intervalo [a,
b] en n subintervalos iguales, cada uno con x . Si ti es un punto cualquiera del i-ésimo
subintervalo, entonces xlongitud el promedio aritmético o medio de los valores de la
función en los ci viene dado por:
a) y resulta:Multiplicamos y dividimos por (b
La expresión es una suma de Riemann para f en [a, b]. Podemos asegurar que el promedio
de los n valores es veces la suma de Riemann de f en 0, n x [a, b]. A medida que
incrementamos la cantidad de subintervalos ( ) se obtiene, teniendo en cuenta la definición
de integral definida: .
El valor promedio de f sobre el intervalo [a, b] resulta fprom .
El concepto del valor promedio de una función en un intervalo es solamente uno de los
muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos de suma.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo
cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
• Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que
a) f©(b
Demostración:
Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede
ser cualquier punto.
Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como x M f(x) el menor y
mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m [a, b] por el teorema de conservación
de desigualdades.Aplicando propiedades:
a) entonces m M.a) M(b m(b
Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor
entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor en
algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda .demostrado que existe algún c tal que f©
Interpretación gráfica del teorema para una función positiva:
rectángulo inscripto (área menor que la de la región)
rectángulo del valor medio (área igual que la de la región)
rectángulo circunscripto (área mayor que la de la región)
El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo determinar c.
Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo. Permite una
interpretación interesante para el caso en que f es no negativa en [a, b]. En este caso es el
área bajo la gráfica de f entre a y b. El teorema asegura que existe un valor c del intervalo al
que está asociado a) yf© que corresponde a la altura del rectángulo de longitud de la base
(b su área coincide con la de la región.
a) f©(b A
El valor de f© hallado según el teorema del valor medio para integrales coincide con el
valor promedio o medio de una función por eso a f© se lo llama valor medio de f en el
intervalo [a, b].
2x en el 3×2 Ejemplo: halle el valor promedio de f(x) intervalo [1, 4].
Calculamos:
161 + 1) 16 (64 fprom
Sabemos que el área de la región es igual al área del rectángulo cuya altura es el valor
promedio. Se puede observar gráficamente.
Problema
Suponga que la población mundial actual es de 5 mil millones y que la población dentro de
t años está dada por la ley de crecimiento e0,023t.exponencial p(t)
Encuentre, la población promedio de la tierra en los próximos 30 años.
Es importante tener en cuenta este valor dado que permite hacer planes a largo plazo de las
necesidades de producción y en la distribución de bienes y servicios.
Para resolver este problema debemos hallar el valor promedio de 30 0 hasta t la
población P(t) desde t
Valor promedio
Valor promedio
7,2 miles de millonesValor promedio
Problema
Se inyecta una dosis de 2 miligramos de cierta droga en el torrente sanguíneo de una
persona. La cantidad de droga que queda en la sangre 0.32t. Encuentre la cantidad 2
edespués de t horas está dada por f(t) promedio de la droga en el torrente sanguíneo
durante la segunda hora.
Para responder este problema debemos encontrar el valor promedio 2. 1 a t de f(T) en el
intervalo desde t
Valor promedio
1,24Valor promedio
La cantidad promedio de la droga en el torrente sanguíneo es de aproximadamente 1,24
miligramos.
Aplicaciones De La Integral
Longitud De CurvasLongitud de curvas planas
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta
que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y
a la vez sean lo más pequeño posible.
Definición:
Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica
es una curva suave.
Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede
calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando
todos los diferenciales resulta:
Definición:
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:
Calculo De Areas
Areas Entre Curvas
Si f y g son dos funciones continuas en [a, b] y g(x) £ f(x) “ x Î [a, b], entonces el área de la
región limitada por las gráficas de f y g y las rectas verticales x = a y x = b es
Demostración: Subdividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos cada uno de ancho D x y
dibujamos un rectángulo representativo de alto f(xi) - g(xi) donde x está en el i-ésimo
intervalo.
Área del rectángulo i = [f(xi) - g(xi)] D x
Calculo De Volumenes
Înter%Cálculo de volúmenes
Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones
de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el
volumen de un sólido tridimensional.
Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una
región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor
de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer
frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de
revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro
paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos
que no son de revolución.
Volumenes Solidos De Revolucion
Cálculo de volúmenes
Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones
de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el
volumen de un sólido tridimensional.
Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una
región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor
de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer
frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de
revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro
paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos
que no son de revolución.
1. Volúmenes de revolución: El Método de los discos
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El
más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo
alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco
de radio R y de anchura
es:
Volumen del disco =
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de
revolución general, consideremos una función continua f (x ) definida en el intervalo [a,b],
cuya gráfica determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este
recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido de revolución.
Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un
proceso similar al realizado en la definición de integral definida.
Elegimos una partición regular de [a, b]:
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del
mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a
la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:
siendo:
, la altura (anchura) de los cilindros parciales
el radio de los cilindros parciales
Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen
del sólido; es decir:
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
Además, si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:
2. Volúmenes de revolución: El Método de las arandelas
El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución con
un agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela representativa. La
arandela se obtiene girando un rectángulo alrededor de un eje. Si R y r son los radios
externos e internos de la arandela, y
es la anchura de la arandela, entonces el volumen viene dado por:
Volumen de la arandela = s
Entonces, generalizando de forma análoga como se hizo en el método de los discos, si
tenemos dos funciones continuas f (x) y g (x) definidas en un intervalo cerrado [a,b] con 0″
g(x) “ f(x), y las rectas x = a, y x = b, el volumen engendrado se calcula restando los sólidos
de revolución engendrados por los recintos de ambas funciones, es decir:
Si las funciones se cortan, habrá que calcular los volúmenes de los sólidos engendrados en
cada uno de los subintervalos donde se puede aplicar el método anterior.
3. Método de secciones conocidas
En este apartado veremos cómo se calcula el volumen de algunos cuerpos geométricos
cuando conocemos el área de las bases de los cilindros parciales en que hemos dividido el
sólido. Con el método de discos, podemos hallar el volumen de un sólido que tenga una
sección circular cuya área sea
A =
R2. Podemos generalizar este método a sólidos de cualquier forma siempre y cuando sepamos la fórmula del área de una sección arbitraria, como cuadrados, rectángulos, triángulos, semicírculos y trapecios.
Consideremos un sólido que tiene la propiedad de que la sección transversal a una recta
dada tiene área conocida. Esto equivale a decir intuitivamente que en cada corte que
hacemos, conocemos el área de la sección correspondiente.
En particular, supongamos que la recta es el eje OX y que el área de la sección transversal
está dada por la función A(x), definida y continua en [a,b]. La sección A(x) está producida
por el plano a perpendicular a OX .
Siguiendo un proceso similar al realizado en la definición de la integral de Riemann:
Elegimos una partición regular de [a,b]:
Estas divisiones determinan en el sólido n secciones o rodajas cuya suma se aproxima al
volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un cilindro es
R2
, la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:
siendo:
Siendo ci un punto intermedio del intervalo [xi-1,xi]
= xi -xi-1, la altura de los cilindros parciales
R2 = A(ci) el área de la base de los cilindros parciales
Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen
del sólido; es decir:
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
Para hallar el volumen de un sólido por el método de las secciones, se procede como se
indica a continuación:
1. Esbozar la figura, incluyendo un eje perpendicular a las secciones de área conocida (es
decir, un eje OX)
2. Escoger una sección perpendicular al eje OX.
3. Expresar el área A (x) de la base de la sección en términos de su posición x sobre el eje
OX.
4. Integrar entre los límites apropiados.
4. Volúmenes de revolución: Método de capas
En esta sección estudiamos un método alternativo para el cálculo de un volumen de un
sólido de revolución,
un método que emplea capas cilíndricas.
Para introducir el método de capas, consideramos un rectángulo representativo, donde:
= anchura del rectángulo (espesor).
h = altura del rectángulo.
p = distancia del centro del rectángulo al eje del giro (radio medio).
Cuando este rectángulo gira en torno al eje de revolución, engendra una capa cilíndrica (o
tubo) de anchura
. Para calcular el volumen de esta capa consideramos dos cilindros. El radio del mayor corresponde al radio externo de la capa, y el radio del menor al radio interno de la capa. Puesto que p es el radio medio de la capa, sabemos que el radio externo es p + (
/2), y el radio interno es p-(
/2). Por tanto, el volumen de
la capa, viene dado por la diferencia:
Volumen de la capa = volumen del cilindro - volumen del agujero=
= 2
ph
= 2
(radio medio)(altura)(espesor)
Usamos esta fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución como sigue.
Suponemos que la región plana gira sobre una recta y engendra así dicho sólido. Si
colocamos un rectángulo de anchura
y paralelamente al eje de revolución, entonces al hacer girar la región plana en torno al eje de revolución, el rectángulo genera una capa de volumen:
V = 2
[p(y)h(y)]
y
Si aproximamos el volumen del sólido por n de tales capas de anchura
y, altura h( yi), y radio medio p( yi ), tenemos:
volumen del sólido =
Tomando el límite cuando n!”, tenemos que:
Volumen del sólido =
Por tanto, podemos enunciar el método de capas de la siguiente forma:
Para calcular el volumen de un sólido de revolución con el método de capas, se usa una de
las dos siguientes opciones:
Eje horizontal de revolución:
Eje vertical de revolución:
Para hallar el volumen de un sólido por el método de capas, se procede como se indica a
continuación.
1. Esbozar la región plana que va a ser girada, hallando los puntos de intersección de las
curvas que la limitan.
2. Sobre el dibujo hallar un rectángulo paralelo al eje de revolución.
3. Teniendo como base el boceto, escribir el volumen de la capa.
4. Integrar entre los límites apropiados.
Observación: Los método de discos y de capas se distinguen porque en el de discos el
rectángulo representativo es siempre perpendicular al eje de giro, mientras que en el de
capas es paralelo.
Con frecuencia uno de los dos métodos es preferible al otro.
Cálculo de longitudes:
longitud de revolución =
longitud de revolución entre funciones =
Calculo Volumenes Metodo Discos
Parte Volumen método de discos
Otra aplicación importante de la integral, la tenemos en el uso para calcular el volumen de
un sólido tridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos
suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de
sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el sólido resultante es conocido
como sólido de revolución y la línea como eje de revolución. El más simple de ellos es el
cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje
adyacente a uno de los lados del rectángulo como se muestra en la figura. El volumen de
este disco es
Volumen del disco = R2w
Donde R es el radio del disco y w es la anchura.
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de
revolución general, considérese el sólido de revolución obtenido al girar la región plana de
la figura alrededor del eje indicado. Para calcular el volumen de este sólido, consideremos
un rectángulo representativo en la región plana. Cuando se gira este rectángulo alrededor
del eje de revolución, genera un disco representativo cuyo volumen es
V = R2 x
Si aproximamos el volumen de un sólido por n de tales discos de anchura x y de radio
R(xi), tenemos
n n
Volumen del sólido “ “ [R(xi)]2 x = “[R(xi)]2 x i=1 i=1
Tomando el límite |||| ! 0 (n! “), tenemos n
Volumen de un sólido = lim “ [R(xi)]2 x =
[R(x)]2 dx
n =“ i=1
Esquemáticamente, representamos el método de discos:
Fórmula vista Elemento Nueva fórmula
En precálculo Representativo de integración
Ejemplo 2.1
Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por la gráfica de f(x) = y el
eje x(0 “ x “ ) alrededor del eje x.
Solución: Se observa que el radio de este sólido viene dado por:
R(x) = f(x) =
Y se sigue que su volumen es:
V= [R(x)]2 dx = dx = dx = - cos x = (1+1) =2
. Volúmenes de revolución: El Método de los discos
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El
más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo
alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco
de radio R y de anchura ω es:
Volumen del disco =
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de
revolución general, consideremos una función continua f (x ) definida en el intervalo [a,b],
cuya gráfica determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este
recinto alrededor del eje OX , obtenemos un sólido de revolución.
Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un
proceso similar al realizado en la definición de integral definida.
Elegimos una partición regular de [a, b]:
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del
mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a
la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:
siendo:
• • , la altura (anchura) de los cilindros parciales
• el radio de los cilindros parciales
Si el número de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez más al volumen
del sólido; es decir:
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
Además, si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:
Calculo De Momentos Centros De Masa Y Trabajo
• Momentos de inercia de áreas planas y sólidos de revolución
El momento de inercia IL de un área plana A con respecto a una recta L en su plano se
puede hallar como sigue:
1. Dibujar el área, mostrando una franja representativa paralela a la recta y el rectángulo
aproximante.
2. Hacer el producto del área del rectángulo por el cuadrado de la distancia de su centroide
a la recta y sumar para todos los rectángulos.
3. Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema
fundamental.
El momento de inercia de un sólido de volumen V generado al girar un área plana en torno
a una recta L en su plano, con respecto a la recta L, se puede calcular así:
1. Dibujar una franja representativa paralela al eje x y mostrar el rectángulo aproximante.
2. Hacer el producto del volumen generado al girar el rectángulo en torno al eje (una capa)
por el cuadrado de la distancia del centroide al eje y sumar para todos los rectángulos.
3. Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema
fundamental.
RADIO DE GIRO
El número positivo R definido por la relación IL = AR2 en el caso de un área plana A, y
por IL = VR2 en el caso de un sólido de revolución, se llama radio de giro del área o
volumen con respecto a L.
Ejemplo 6.1
Hallar el momento de inercia de un área rectangular A de dimensiones a y b con respecto a
uno de sus lados. Tomamos el rectángulo como en la siguiente gráfico, con el lado en
cuestión sobre el eje y. y
O x x
x y centroide (x,½b).El rectángulo aproximante tiene área = b x.Por tanto, su elemento
de momento es x2b
Iy=
Así pues, el momento de inercia de un área rectangular con respecto a un lados es un tercio
del producto del área por el cuadrado de la longitud del otro lado.
• Centroides de áreas planas y sólidos de revolución
La masa de un cuerpo físico es una medida de la cantidad de materia en él, mientras que su
volumen mide el espacio que ocupa. Si la masa por unidad de volumen es la misma en todo
él, se dice que el cuerpo es homogéneo o de densidad constante.
Es muy conveniente en la Física y Mecánica considerar la masa de un cuerpo como
concentrada en un punto, llamado su centro de masa ( o centro de gravedad). Para un
cuerpo homogéneo, ese punto coincide con su centro geométrico o centroide. Por ejemplo,
el centro de masa de una bola homogénea coincide con el centroide(su centro) de la bola
como sólido geométrico (una esfera).
El centroide de una hoja rectangular de papel está a medio camino entre sus dos superficies
y en la intersección de sus diagonales. EL centro de masa de una lámina muy delgada
coincide con su centroide considerada como área plana.
El primer momento ML de un área plana con respecto a una recta L es el producto del área
por la distancia dirigida de su centroide a esa recta.
El momento de un área compuesta con respecto a una recta es la suma de los momentos de
las áreas individuales.
El momento de un área plana con respecto a un eje de coordenadas
se calcula de la siguiente manera:
1. Dibujar el área, mostrando una franja representativa y el rectángulo aproximante,
2. Multiplicar el área del rectángulo por la distancia de su centroide al eje y sumar para
todos los rectángulos.
3. Suponer que el número de los rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema
fundamental.
Para un área plana A con centroide ( ) y momentos Mz y My con respecto a los ejes x e y,
A = My y A = Mx
El (primer) momento de un sólido de volumen V, generado al girar un área plana en torno a
un eje de coordenadas, con respecto al plano que pasa por el origen y es perpendicular al
eje, puede calcularse como sigue:
1. Dibujar el área mostrando una franja representativa y el rectángulo aproximante.
2. Multiplicar el volumen, disco o capa generado al girar el rectángulo en torno al eje por la
distancia del centroide del rectángulo al plano y sumar para todos los rectángulos.
3. Suponer que el número de los rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema
fundamental.
Cuando el área se gira en torno al eje x, el centroide ( ) está en el eje x. Si My z denota el
momento del sólido con respecto al plano por el origen y es perpendicular al eje x,
entonces:
V = My z y = 0
Análogamente, cuando el área se hace girar en torno al eje y, el centroide ( ) está en el eje
y. Si Mx z es el momento del sólido con respecto al plano por el origen perpendicular al eje
y, entonces:
V = Mx z y = 0
Ejemplo 6.2
Hallar el volumen del toro generado al girar el círculo x2 + y2=4 en torno a la recta x=3.
X=3
• Centroides y momentos de inercia de arcos y superficies de revolución
Centroide de un arco
Las coordenadas ( ) del centroide de un arco AB de una curva plana de ecuación F(x,y) = 0
o’ x = f(u), y = g(u) satisfacen las relaciones :
Momentos de inercia de un arco
Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados de un arco AB de una curva (un
fragmento de hilo fino homogéneo, por ejemplo) vienen dados por:
Ix = y2 ds e Iy = x2 ds
• Centroides de una superficie de revolución
La coordenada del centroide de una superficie de revolución generada al girar un arco AB
de una curva en torno al eje x satisface la relación: xy dsSx = 2
• Momentos de inercia de una superficie de revolución
El momento de inercia con respecto al eje de rotación de la superficie generada al girar el
arco AB de una curva en torno al eje x viene dado por:
y3 ds y2(y ds) = 2Ix = 2
Ejemplo 6.3
Calcular el área de la superficie de revolución generada al girar el rectángulo de
dimensiones a, b en torno a un eje que está a c unidades del centroide (c> ,b).
El perímetro del rectángulo es 2(a + b) y el centroide describe (a + b)c por el
segundoc)=4un círculo de radio c. Entonces S = 2(a + b)(2 teorema de Pappus.
Integrales ImpropiasINTEGRAL IMPROPIA
En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos
extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞.
“Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la
forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral
Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:
En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de
la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite
puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas “integrales impropias”, es decir,
aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.
La integral
puede interpretarse como
pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal
manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞).
Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque
no sea como forma de calcular su valor.
En contraste al caso anterior,
no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que
Ésta es una “verdadera” integral impropia, cuyo valor está dado por
Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de
números reales en los cuales debemos utilizar límites.
Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una
integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que
“ocultar” el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más
avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces
evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido,
tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o
menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso
extensivo de integrales sobre el total de la recta real.
Definicion Integral Impropia
Integrales impropias
Una integral es impropia si:
Uno o los dos límites de integración son infinito (impropia de 1ª especie)
La función f(x) no está acotada en el intervalo [a,b] (impropia de 2ª especie)
Estas integrales se resuelven utilizando límites y por lo tanto nos podemos encontrar dos
situaciones:
o Que el límite sea finito: entonces la integral es CONVERGENTE y su valor corresponde
con el valor del límite (ejemplo superior).
o Que el límite no exista o sea infinito: entonces la integral es DIVERGENTE y su valor
queda indeterminado.
En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos
extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞.
Integrales impropias
· Integrales impropias de primera especie (función continua en una semirrecta): Definición
de integral convergente, divergente u oscilante; Teorema sobre la aditividad respecto del
intervalo; Condición necesaria para la convergencia; Teorema sobre la linealidad; No
oscilación de integrales con integrando no negativo; Criterios de comparación; Criterio de
convergencia dominada; Criterio de convergencia absoluta y la integral de Poisson.
· Integrales impropias de segunda especie (funciones continuas en un intervalo acotado,
salvo en uno de los extremos del intervalo): Definición de integral convergente, divergente
u oscilante; Teorema sobre la relación entre las integrales impropias de segunda especie y
las de primera especie.
· Integrales impropias mixtas (funciones continuas en un intervalo, acotado o no acotado,
salvo en un número finito de puntos del intervalo): Definición de integral convergente, o no
convergente; Las funciones Beta y Gama de Euler y Generalización del teorema
fundamental
