Calculo Integral

INSTITUTO TECNOLÓGICO

DE TIJUANA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICAY ELECTRÓNICA

INGENIERÍA BIOMÉDICA Y ELECTRÓNICA

“CÁLCULO INTEGRAL"

ELABORADO POR:

M.C. PAUL ANTONIO VALLE TRUJILLO

TIJUANA, B.C., MÉXICO

�

Contenido

Unidad Página

Cálculo integral 11. Teorema fundamental del cálculo 4

1.1. Notación sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Medición aproximada de figuras amorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1. Aproximación del área de una región plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2. Área de una región en un plano mediante la definición de límite . . . . . . . . . . . 18

1.3. Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4. Función primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5. Definición de integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6. Definición de integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7. Teorema fundamental del cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8. Cálculo de integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.10. Tarea - Práctica 1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.11. Tarea - Práctica 1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2. Integral indefinida y métodos de integración 452.1. Definición de integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2. Integrales directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1. Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.2. Funciones compuestas completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.3. Funciones compuestas incompletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3. Integrales por sustitución o cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4. Integrales por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5. Integrales trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.6. Integrales de potencias de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.7. Integrales por sustitución trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.8. Integrales por fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.8.1. Factores lineales distintos: (ax+ b) (cx+ d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.8.2. Factores lineales repetidos: (ax+ b)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.8.3. Factores cuadráticos y lineales distintos: ax2 + bx+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.8.4. Factores cuadráticos repetidos: (ax2 + bx+ c)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.9. Tarea - Práctica 2.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.10. Tarea - Práctica 2.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3. Aplicaciones de la integral 1003.1. Área entre las gráficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.2. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.3.1. El método de los discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.3.2. El método de las arandelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.3.3. El método de capas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.4. Cálculo de centroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.5. Tarea - Práctica 3.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

��

Contenido (Continuación)

Capítulo Página

3.6. Tarea - Práctica 3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394. Series 141

4.1. Definición de serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.2. Criterios para convergencia y divergencia de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.2.1. Criterio del término n−ésimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.2.2. Criterio de series geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.2.3. Criterio de las p−series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.2.4. Criterio de las series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.2.5. Criterio de la integral - Series telescópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.2.6. Criterio del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.2.7. Criterio de la raíz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.4. Representación de funciones mediante series Taylor y Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . 1634.5. Tarea - Práctica 4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.6. Tarea - Práctica 4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

1

Cálculo integral

Criterios para exámenes de regularización

Aprobar al menos 2 unidades en ordinario.

Competencias: Precálculo y Cálculo Diferencial

Propiedades de los números reales.

Jerarquía de los operadores matemáticos.

Factorización y despejes.

Leyes de los exponentes.

Propiedades de los logaritmos.

Identidades trigonométricas.

Identificar y graficar funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Determinar intersecciones entre gráficas de funciones.

Calcular las soluciones de una ecuación.

Calcular las raíces de polinomios de grado ≤ 4.

Calcular límites de funciones.

Calcular derivadas de funciones

Transcribir un problema al lenguaje matemático.

2

Calendarización de unidades y exámenes para el semestre A.

Unidad Clases Horas Período Examen Reg

1. Teorema fundamental del cálculo 11 19 20/Ene - 12/Feb 12 Feb 28 May

2. Integral indefinida 14 23 13/Feb - 17/Mar 17 Mar 01 Jun

3. Aplicaciones de la integral 12 20 19/Mar - 28/Abr 28 Abr 28 May

4. Series 10 16 30/Abr - 26/May 26 May 29 May

Calendarización de unidades y exámenes para el semestre B.


1. Teorema fundamental del cálculo 11 19 17/Ago - 10/Sep 10 Sep 04 Dic

2. Integral indefinida 14 23 11/Sep - 13/Oct 13 Oct 08 Dic

3. Aplicaciones de la integral 12 20 15/Oct - 10/Nov 10 Nov 10 Dic

4. Series 10 17 12/Nov - 03/Dic 03 Dic 11 Dic

Calendarización de unidades y exámenes para el Verano.


1. Teorema fundamental del cálculo 7 17.5 15/Jun - 23/Jun 23 Jun 23 Jul

2. Integral indefinida 9 22.5 24/Jun - 06/Jul 06 Jul 23 Jul

3. Aplicaciones de la integral 7 17.5 07/Jul - 15/Jul 15 Jul 23 Jul

4. Series 5 12.5 16/Jul - 22/Jul 22 Jul 23 Jul

3

Porcentajes de evaluación.

Criterio Semestres A y B Verano

Examen 40% 30%

Tareas 15% 20%

Práctica 15% 20%

Trabajo en clase 25% 30%

Asesorías 5%

Máximo 50 puntos extras para el examen.

Tareas y prácticas

Mandar en formato PDF al correo: [email protected] o [email protected] según

corresponda.

Nombre del archivo: Tarea x - Apellidos y Nombres, Fecha de entrega.

x : Unidad.

Ejemplo: Tarea 1 - Valle Trujillo Paul Antonio, 24 Junio 2015.pdf

Nombre del archivo: Práctica x - Nombre del equipo, Fecha de entrega.

x : Unidad.

Ejemplo: Práctica 1 - La viajera, 24 Junio 2015.pdf

¡Si no se respeta el nombre del archivo no se recibirán sustareas o prácticas!

Bibliografía

[1] Matemáticas 2, Cálculo Integral. Larson, Hostetler y Edwards. Ed. Mc Graw Hill, 2009.

[2] Cálculo Vol. 1 Sexta Edición. Larson, Hostetler y Edwards, Ed. Mc Graw Hill, 1999.

4

Capítulo 1

Teorema fundamental del cálculo

Duración de la unidad

11 Clases - 19 horas, (17 horas de clase, 2 horas de examen).

Temas

Introducción

1.1 Notación sigma (3 horas)

1.1.1 Determinar la suma

1.1.2 Utilizar la notación sigma para escribir la suma

1.1.3 Utilizar las propiedades de la notación sigma y el teorema 3.1

1.2 Medición aproximada de figuras amorfas (5 horas)

1.2.1 Aproximación del área de una región plana

1.2.2 Calcular el área de una región en un plano mediante la definición de límite

1.3 Sumas de Riemann (2 horas)

1.4 Cálculo de integrales definidas (4 horas)

1.4.1 Evaluar la integral definida mediante el Teorema fundamental del cálculo

1.4.2 Formular la integral definida que produce el área de una región

1.5 Integrales impropias (3 horas)

1.5.1 Determinar el valor de integrales impropias con límites de integración infinitos

5

1.1. Notación sigma

La suma de n términos a1, a2, a3, ..., an se escribe como

n�

i=1

ai = a1 + a2 + a3 + ... + an;

donde i es el índice, ai es el i-ésimo término y los límites superior e inferior de la suma son n y 1.

Propiedades de la notación sigma:

1.n�

i=1

kai = kn�

i=1

ai; 2.n�

i=1

(ai ± bi) =n�

i=1

ai ±n�

i=1

bi.

Fórmulas de suma empleando la notación sigma (Teorema 3.1 ):

1.n�

i=1

c = cn; 2.n�

i=1

i =n (n+ 1)

2;

3.n�

i=1

i2 =n (n+ 1) (2n+ 1)

6; 4.

n�

i=1

i3 =n2 (n+ 1)2

4.

6

Ejemplos.

1. Determinar la sumatoria indicada.

a)4�

i=2

(3i− 1) = 24

= (3 (2)− 1) + (3 (3)− 1) + (3 (4)− 1) = (6− 1) + (9− 1) + (12− 1) ;

= (5) + (8) + (11) = 24.

b)5�

i=0

2 (4− 2i)2 = 152

= 2 (4)2 + 2 (2)2 + 2 (0)2 + 2 (−2)2 + 2 (−4)2 + 2 (−6)2 ;

= 32 + 8 + 0 + 8 + 32 + 72 = 152.

c)5�

i=1

√2i+ 1 =

√3 +

√5 +

√7 +

√11 + 3

=√2 + 1 +

�2 (2) + 1 +

�2 (3) + 1 +

�2 (4) + 1 +

�2 (5) + 1;

=√3 +

√5 +

√7 +

√9 +

√11.

2. Utilizar la notación sigma para escribir la suma.

a)a

2 (2)− 2a

2 (3)+

3a

2 (4)− ...− 10a

2 (11)=

10�

i=1

(−1)i+1 ia2 (i+ 1)

.

b)

�

x2 −�1

1

�1�

+

�

x4 −�2

3

�2�

+ ...+

�

x10 −�5

9

�5�

=5�

i=1

�

x2i −�

i

2i− 1

�i�

.

c) −��

1

2n

�4− 3

2n

��2n

n+ 1

�− ...−

� n2n

4n− 3n

2n

��2n

n+ 1

�= − 2n

n+ 1

n�

i=1

��i

2n

�4i− 3i

2n

�

.

7

3. Utilizar las propiedades de la notación sigma y el Teorema 3.1 para calcular la sumatoria.

a)2

5

50�

i=1

i

�2i2 − 1 +

1

2i

�= 1300 000

=2

5

5�

i=1

�2i3 − i+ 1

2

�;

=2

5

�

2

5�

i=1

i3 −5�

i=1

i+5�

i=1

1

2

;

=2

5

�2�n2 (n+ 1)2

�

4− n (n+ 1)

2+n

2

;

=2

5

�n2 (n+ 1)2

2− n (n+ 1)

2+n

2

;

=1

5

�n2 (n+ 1)2 − n (n+ 1) + n

�;

=1

5

�n2 (n+ 1)2 − n2 − n+ n

�;

=n2

5

�(n+ 1)2 − 1

�, n = 50;

=(50)2

5

�(50 + 1)2 − 1

�;

= 500 (2601− 1) ;

= 500 (2600) ;

= 1300 000.

8

b)25�

k=1

(3k + 6)3 = 3857 625

=25�

k=1

(3)3 (k + 2)3 ;

= 2725�

k=1

(k + 2)3 ;

= 2725�

k=1

�k3 + 6k2 + 12k + 8

�;

= 27

�n2 (n+ 1)2

4+ 6

n (n+ 1) (2n+ 1)

6+ 12

n (n+ 1)

2+ 8n

;

= 27

�n2 (n+ 1)2

4+ n (n+ 1) (2n+ 1) + 6n (n+ 1) + 8n

, n = 25;

= 27

�(25)2 (26)2

4+ (25) (26) (51) + (6) (25) (26) + (8) (25)

;

= 27 (105 625 + 33 150 + 3900 + 200) ;

= 3857 625.

9

Ejercicios.

1. Determinar la sumatoria indicada.

a)5�

i=1

(2i+ 1)

b)6�

k=3

k (k − 2)

c)4�

k=0

1

k2 + 1

d)5�

j=3

1

j

e)4�

k=1

c

f )4�

i=1

�(i− 1)2 + (i+ 1)3

�

g)5�

n=0

1

n2 + 2

h)9�

k=5

2x

i)4�

i=1

i�(2i− 3)2 + (4i+ 1)3

�

j )10�

i=2

(−1)i−1i2

k)5�

y=0

(x− 1)2

l)6�

i=1

siniπ

2

10


a)1

3 (1)− 1

3 (2)+

1

3 (3)− ...+ 1

3 (9)=

b)5

1 + 1+

5

1 + 2+

5

1 + 3+ ...+

5

1 + 15=

c) −�5

�1

8

�+ 3

�+

�5

�2

8

�+ 3

�− ...+

�5

�8

8

�+ 3

�=

d)

�

1−�1

4

�2�

+

�

1−�2

4

�2�

+ ...+

�

1−�4

4

�2�

=

e)

��2

n

�3− 2

n

��2

n

�+ ... +

��2n

n

�3− 2n

n

��2

n

�=

f )

�

1−�2

n− 1

�2��2

n

�+ ... +

�

1−�2n

n− 1

�2��2

n

�=

g)

�

2

�1 +

3

n

�2��3

n

�+ ...+

�

2

�1 +

3n

n

�2��3

n

�=

h)�1

n

��

1−�0

n

�2+ ... +

�1

n

��

1−�n− 1

n

�2=

i)1

2+

1

6+

1

12+

1

20+

1

30=

j ) 1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− 1

6=

k) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =

l) 4− 4

5+

4

25− 4

125=

m) 10x =

11


a)20�

i=1

2i

b)15�

i=1

(2i− 3)

c)20�

i=1

(i− 1)2

d)10�

i=1

(i2 − 1)

e)15�

i=1

i (i− 1)2

f )10�

i=1

i (i2 + 1)

g)20�

i=1

(i2 + 3)

h)15�

i=1

(i3 − 2i)

i)10�

x=1

�1

5(x− 5)2 + 5

�

12

4. Utilizar las propiedades de la notación sigma y el Teorema 3.1 para calcular la sumatoria. Emplear

el resultado para determinar la suma correspondiente a n = 100, 1, 000 y 10, 000.

a)n�

i=1

(2i+ 1)

n2

b)n�

j=1

(4j + 3)

n2

c)n�

k=1

6k (k − 1)

n3

d)n�

i=1

4i2 (i− 1)

n4

13

1.2. Medición aproximada de figuras amorfas

1.2.1. Aproximación del área de una región plana

Para una función f (x) continua en un intervalo x ∈ [a, b] se emplean las siguientes fórmulas para

aproximar el área de una región por arriba del eje x :

Suma inferior:

s (n) =n�

i=1

f (mi)∆x;

Suma superior:

S (n) =n�

i=1

f (Mi)∆x;

donde

∆x =b− an

.

Para una función creciente mi y Mi están dados por:

Valor mínimo: Puntos terminales izquierdos mi = a+∆x (i− 1) Suma inferior

Valor máximo: Puntos terminales derechos Mi = a+∆x (i) Suma superior

Para una función decreciente mi y Mi están dados por:

Valor mínimo: Puntos terminales derechos mi = a+∆x (i) Suma inferior

Valor máximo: Puntos terminales izquierdos Mi = a+∆x (i− 1) Suma superior

Fórmulas de suma empleando la notación sigma (Teorema 3.1 ):

1.n�

i=1

c = cn; 2.n�

i=1

i =n (n+ 1)

2;

3.n�

i=1

i2 =n (n+ 1) (2n+ 1)

6; 4.

n�

i=1

i3 =n2 (n+ 1)2

4.

14

Ejemplos.

Utilizar sumas inferiores y superiores para aproximar el área de la región en el intervalo indicado

empleando el número dado de subintervalos. Graficar los resultados en el domnio y rango correspondientes.

Aproxime los resultados a tres decimales.

1. f (x) = 10 +√x, x ∈ [0, 5] , n = 5.

RiemannUpper: 58.39 Integral: 57.47

RiemannLower: 56.16Integral: 57.47

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

Datos:

∆x =b− an

=5

5= 1;

mi = a+∆x (i− 1) = i− 1;

Mi = a+∆x (i) = i;

Suma inferior:

s (n) =n�

i=1

f (mi)∆x =5�

i=1

f (i− 1) (1) =5�

i=1

10 +

√i− 1

=

5�

i=1

10 +5�

i=1

√i− 1;

= 10 (5) +�√

1− 1 +√2− 1 +

√3− 1 +

√4− 1 +

√5− 1

�;

= 50 +1 +

√2 +

√3 + 2

= 56. 146u2.

Suma superior:

S (n) =n�

i=1

f (Mi)∆x =5�

i=1

f (i) (1) =5�

i=1

10 +

√i=

5�

i=1

10 +5�

i=1

√i;

= 10 (5) +√

1 +√2 +

√3 +

√4 +

√5= 58. 382u2.

15

2. f (x) = −x2 + 5, x ∈ [0, 2] , n = 5.

RiemannUpper: 8.08 Integral: 7.33

RiemannLower: 6.48Integral: 7.33

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Datos:

∆x =b− an

=2

5;

mi = a+∆x (i) =2i

5;

Mi = a+∆x (i− 1) =2 (i− 1)

5=

2i− 2

5;

Suma inferior:

s (n) =n�

i=1

f (mi)∆x =5�

i=1

f

�2i

5

��2

5

�=

2

5

5�

i=1

�

−�2i

5

�2+ 5

=2

5

�

−5�

i=1

4

25i2 +

5�

i=1

5

;

= − 8

125

5�

i=1

i2 +2

5

5�

i=1

5 = − 8

125

n (n+ 1) (2n+ 1)

6+

2

5(25) = − 8

125

5 (6) (11)

6+ 10;

=162

25u2 = 6. 480u2.

16

Suma superior:

S (n) =n�

i=1

f (Mi)∆x =5�

i=1

f

�2 (i− 1)

5

��2

5

�=

2

5

5�

i=1

�

−�2i− 2

5

�2+ 5

;

=2

5

�

− 1

25

5�

i=1

(2i− 2)2 +5�

i=1

5

= − 2

125

5�

i=1

(2i− 2)2 +2

5

5�

i=1

5

= − 2

125[(0) + (4) + (16) + (36) + (64)] +

2

5(5) (5) ;

= − 2

125(120) + 10 =

202

25u2 = 8. 080u2.

17

Ejercicios.

Utilizar sumas inferiores y superiores para aproximar el área de la región en el intervalo indicado

empleando el número dado de subintervalos. Graficar los resultados en el domnio y rango correspondientes.

Aproxime los resultados a tres decimales.

1. f (x) = (x− 1)2 + 2, x ∈ [1, 3] , n = 5.

2. y =√1− x2, x ∈ [0, 1] , n = 5.

3. y =1

x, x ∈ [1, 2] , n = 5.

4. f (x) =√x+ 2, x ∈ [0, 2] , n = 8.

5. f (x) = −3

2x+ 3, x ∈ [−2, 2] , n = 10.

6. f (x) =1

5(x− 5)2 + 5, x ∈ [0, 10] , n = 10.

7. y =√x, x ∈ [0, 1] , n = 4.

8. f (x) = −x3 + 10, x ∈ [0, 2] , n = 5.

18

1.2.2. Área de una región en un plano mediante la definición de límite

Sea f (x) es continua y no negativa en el intervalo x ∈ [a, b] . El área de la región limitada por la gráfica

de f (x), el eje x y las rectas verticales x = a y x = b está dada por:

Area = lımn→∞

n�

i=1

f (ci)∆x, xi−1 ≤ ci ≤ xi;

donde ∆x =(b− a)n

y ci = a+ i∆x.

Ejemplos.

Utilzar el proceso del limite para calcular el área de la región. Graficar la función en el domnio y rango

correspondientes. Aproxime los resultados a tres decimales.

1. f (x) = x3, x = 0 y x = 1.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.10.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

y

Datos:

[a, b] = [0, 1] ; ∆x =b− an

=1− 0

n=

1

n; ci = a+ i∆x =

i

n.

Cálculo del área:

A = lımn→∞

n�

i=1

f

�i

n

��1

n

�= lım

n→∞

n�

i=1

�i

n

�3�1

n

�= lım

n→∞

n�

i=1

i3

n4;

= lımn→∞

n2 (n+ 1)2

4n4= lım

n→∞

(n+ 1)2

4n2= lım

n→∞

n2 + 2n+ 1

4n2= lım

n→∞

�1

4+

1

2n+

1

4n2

�=

1

4u2 = 0.25u2.

19

2. f (x) = 4− x2, x = 1 y x = 2.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.20

1

2

3

4

5

x

y

Datos:

[a, b] = [1, 2] ; ∆x =b− an

=2− 1

n=

1

n; ci = a+ i∆x = 1 +

i

n.

Cálculo del área:

A = lımn→∞

n�

i=1

f

�1 +

i

n

��1

n

�= lım

n→∞

n�

i=1

�

4−�1 +

i

n

�2 �1

n

�;

= lımn→∞

n�

i=1

�4−

�1 +

2i

n+i2

n2

��1

n

�= lım

n→∞

n�

i=1

�3− 2i

n− i2

n2

��1

n

�;

= lımn→∞

�3n− 2

n

n (n+ 1)

2− 1

n2n (n+ 1) (2n+ 1)

6

��1

n

�

= lımn→∞

�3− n+ 1

n− 1

n2(n+ 1) (2n+ 1)

6

�= lım

n→∞

�3− n+ 1

n− 1

n2(2n2 + 3n+ 1)

6

�;

= lımn→∞

�3− 1− 1

n− 1

3− 1

2n− 1

6n2

�=

5

3u2 = 1. 667u2.

20

Ejercicios.

Utilzar el proceso del limite para calcular el área de la región. Graficar la función en el domnio y rango

correspondientes. Aproxime los resultados a tres decimales.

1. f (x) = 2x+ 1, x ∈ [1, 5] .

2. f (x) = 1− x2, x ∈ [−1, 1] .

3. f (x) =

�2, 0 ≤ x < 1

x+ 1, 1 ≤ x ≤ 4

�

.

4. y = −2x+ 3, x ∈ [0, 1] .

5. y = x2 + 2, x ∈ [0, 1] .

6. y = 16− x2, x ∈ [1, 3] .

7. y = 64− x3, x ∈ [1, 4] .

8. f (x) =1

5(x− 5)2 + 5, x ∈ [0, 10] .

9. y = x2 − x3, x ∈ [−1, 2].

10. g (y) = 3y2 en el intervalo cerrado 0 ≤ y ≤ 2.

21

1.3. Sumas de Riemann

Sea f (x) definida en el intervalo cerrado x ∈ [a, b], y sea ∆ una partición en [a, b] dada por

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b;

donde∆xi es el ancho del i−ésimo subintervalo. Si ci es cualquier punto en el i−ésimo subintervalo entonces

la suma

n�

i=1

f (x∗i )∆xi, xi−1 ≤ ci ≤ xi;

se denomina una suma de Riemann de f para la partición ∆.

Ejemplos.

Calcule la suma de Riemann para f (x) = x2 − 4 sobre el intervalo x ∈ [−2, 3] con cinco subintervalos

determinados por x0 = −2, x1 = −1

2, x2 = 0, x3 = 1, x4 =

7

4, x5 = 3 y x∗1 = −1, x∗2 = −1

4, x∗3 =

1

2,

x∗4 =3

2, x∗5 =

5

2, gráficar la función y señalar los subintervalos.

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Subintervalos: �−2,−1

2

� �−1

2, 0

�[0, 1]

�1,

7

4

� �7

4, 3

�

22

Altura y base:

f (x∗1) = f (−1) = (−1)2 − 4 = −3; ∆x1 = x1 − x0 = −12− (−2) = 3

2;

f (x∗2) = f�−14

�=�−14

�2 − 4 = −63

16= −3. 937 5; ∆x2 = x2 − x1 = 0−

�−12

�=

1

2;

f (x∗3) = f�12

�=�12

�2 − 4 = −15

4= −3. 75; ∆x3 = x3 − x2 = 1− 0 = 1;

f (x∗4) = f�32

�=�32

�2 − 4 = −7

4= −1. 75; ∆x4 = x4 − x3 = 7

4− 1 =

3

4= 0.75;

f (x∗5) = f�52

�=�52

�2 − 4 =9

4= 2. 25; ∆x5 = x5 − x4 = 3− 7

4=

5

4= 1. 25;

Suma de Riemann:

n�

k=1

f (x∗k)∆xk = f (x∗1)∆x1 + f (x∗2)∆x2 + f (x

∗3)∆x3 + f (x

∗4)∆x4 + f (x

∗5)∆x5;

= (−3)�3

2

�+

�−63

16

��1

2

�+

�−15

4

�(1) +

�−7

4

��3

4

�+

�9

4

��5

4

�;

= −279

32u2 = −8. 719 u2.

Área real: � 3

−2

�x2 − 4

�dx = −25

3u2 = −8. 333 u2.

23

Ejercicios.

Aproximar el área mediante la suma de Riemann para la función indicada sobre el intervalo establecido,

gráficar la función y señalar los subintervalos.

1. f (x) = x − 4 sobre el intervalo x ∈ [−2, 5] con cinco subintervalos determinados por x0 = −2,x1 = −1, x2 = −

1

2, x3 =

1

2, x4 = 3, x5 = 5 y x∗1 = −

3

2, x∗2 = −

1

2, x∗3 = 0, x∗4 = 2, x∗5 = 4.

2. f (x) = x2 sobre el intervalo x ∈ [−1, 1] con cuatro subintervalos determinados por x0 = −1, x1 = −1

4,

x2 =1

4, x3 =

3

4, x4 = 1 y x∗1 = −

3

4, x∗2 = 0, x∗3 =

1

2, x∗4 =

7

8.

3. f (x) =√4− x sobre el intervalo x ∈ [1, 3] con cuatro subintervalos determinados por x0 = 1, x1 =

3

2,

x2 = 2, x3 =5

2, x4 = 3 y x∗1 =

5

4, x∗2 =

7

4, x∗3 =

9

4, x∗4 =

11

4.

4. f (x) = cosx sobre el intervalo x ∈ [0, 2π] con tres subintervalos determinados por x0 = 0, x1 = π,

x2 =3π

2, x3 = 2π y x∗1 =

π

2, x∗2 =

7π

6, x∗3 =

7π

4. Nota: Utilizar ángulos notables para obtener el

resultado.

5. f (x) = 3x+ 1 sobre el intervalo x ∈ [0, 3] con cuatro subintervalos determinados por x0 = 0, x1 = 1,

x2 =5

3, x3 =

7

3, x4 = 3 y x∗1 =

1

2, x∗2 =

4

3, x∗3 = 2, x∗4 =

8

3.

6. f (x) = sinx sobre el intervalo x ∈ [0, 2π] con tres subintervalos determinados por x0 = 0, x1 = π,

x2 =3π

2, x3 = 2π y x∗1 =

π

2, x∗2 =

7π

6, x∗3 =

7π

4. Nota: Utilizar ángulos notables para obtener el

resultado.

7. f (x) =1

5(x− 5)2 + 5 sobre el intervalo x ∈ [0, 10]. Eligir los valores de xi y x∗i y el número de

subintervalos que considere adecuado.

8. Determinar el área de f (x) = − (x− 2)2 + 10 sobre el intervalo x ∈ [−1, 5]. Graficar la función.

a) Mediante la definición de límite.

b) Mediante una suma de Riemann con seis subintervalos (señalarlos en la gráfica). Eligir los

valores de xi y x∗i .

c) Mediante la integral definida.

24

1.4. Función primitiva

Se dice que una función F (x) es una antiderivada o primitiva de f (x), en un intervalo I si F ′ (x) = f (x)

para todo x en I.

Ejemplo.

Si f (x) = 3x2;

entonces la primitiva (F ) de f (x) es:

F (x) = x3;

ya que

F ′ (x) = f (x) .

1.5. Definición de integral indefinida

La expresión�f (x) dx se lee como integral indefinida o primitiva de f con respecto a x. De tal manera,

la diferencial de dx sirve para identificar a x como la variable de integración.

Primitiva de una función compuesta

Sea g una función cuyo recorrido es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es derivable

en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces�f (g (x)) g′ (x) dx = F (g (x)) ;

Si u = g (x), entonces du = g′ (x) dx y �f (u) du = F (u) .

25

1.6. Definición de integral definida

Si f se define en el intervalo cerrado [a, b] y el límite

lım�∆x�→0

n�

i=1

f (ci)∆xi;

existe, entonces f es integrable en [a, b] y el límite se denota por

lım�∆x�→0

n�

i=1

f (ci)∆xi =

� b

a

f (x) dx.

El límite recibe el nombre de integral definida de f de a a b. El número a es el límite inferior de

integración, y el número b es el límte superior de integración.

La continuidad implica integrabilidad

Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f es integrable en [a, b] .

La integral definida como área de una región

Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b] , entonces el área de la región acotada por

la gráfica de f , del eje x y las rectas verticales x = a y x = b está dada por

Area =

� b

a

f (x) dx.

1.7. Teorema fundamental del cálculo

Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de f en el intervalo

[a, b], entonces � b

a

f (x) dx = F (b)− F (a) .

26

1.8. Cálculo de integrales definidas

Fórmulas básicas de integración.

1.

�kf (u) du = k

�f (u) du 11.

�cscu du = − ln |cscu+ cot u|+ c

2.

�[f (u)± g (u)] du =

�f (u) du±

�g (u) du 12.

�secu du = ln |secu+ tanu|+ c

3.

�du = u+ c 13.

�cotu du = ln |sin u|+ c

4.

�audu =

au

ln a+ c 14.

�sec2 u du = tan u+ c

5.

�undu =

un+1

n+ 1+ c 15.

�csc2 u du = − cot u+ c

6.

�eudu = eu + c 16.

�secu tan u du = secu+ c

7.

�du

u= ln |u|+ c 17.

�cscu cotu du = − cscu+ c

8.

�sin u du = − cosu+ c 18.

�du√a2 − u2

= arcsinu

a+ c

9.

�cosu du = sin u+ c 19.

�du

a2 + u2=

1

aarctan

u

a+ c

10.

�tan u du = − ln |cosu|+ c 20.

�du

u√u2 − a2

=1

aarcsec

|u|a

+ c

27

Ejemplos.

Evaluar la integral definida mediante el teorema fundamental del cálculo.

1.� 2

1

5dx = 5

= 5x|21= 5 (2)− 5 (1) = 10− 5 = 5.

2.� 2

−1

1

2xdx =

3

4

u = x;

du = dx;

=1

4x2|2

−1=

1

4

�(2)2 − (1)2

�=

1

4(4− 1) =

3

4.

3.� 1

0

(x− 1)2 dx =1

3

u = x− 1;

du = dx;

� 1

0

(x− 1)2 dx =(x− 1)3

3|10=

(1− 1)3

3− (0− 1)3

3= −−1

3=

1

3.

u = x;

du = dx;

� 1

0

(x− 1)2 dx =

� 1

0

�x2 − 2x+ 1

�dx =

�1

3x3 − x2 + x

�|10=

�1

313 − 12 + 1

�=

1

3.

28

4.� 5

1

�x2/3 + 1

�2√x

dx = 21. 849

u = x;

du = dx;

=

� 5

1

x4

3 + 2x2

3 + 1√x

dx =

� 5

1

�x4

3

x1

2

+2x

2

3

x1

2

+1

x1

2

dx =

� 5

1

x5

6 + 2x1

6 + x−1

2

dx;

=

x11

6

11

6

+ 2x7

6

7

6

+x1

2

1

2

|5

1=

�6

11x11

6 +12

7x7

6 + 2x1

2

�|51;

=

�6

11(5)

11

6 +12

7(5)

7

6 + 2 (5)1

2

�−�

6

11(1)

11

6 +12

7(1)

7

6 + 2 (1)1

2

�;

= 26. 109− 4. 259 7 = 21. 849.

5.� π

2

0

(2− sinx) dx = π − 1

u = x;

du = dx;

= (2x+ cosx)|π20=2π2

+ cos

π

2

− (2 (0) + cos 0) = (π + 0)− (0 + 1) = π − 1.

29

6.� π

3

0

(3 cosx− secx tan x) dx = 1. 598 1

u = x;

du = dx;

= (3 sin x− secx)|π

3

0=3 sin

π

3− sec

π

3

− (3 sin 0− sec 0) =

�3

2

√3− 2

�− (−1) ;

=3

2

√3− 1 = 1. 598 1.

secx =1

cosx.

7.� π

3

π

4

(sec2 x+ 2 tan x) dx

u = x;

du = dx;

= (tan x− 2 ln |cosx|)|π3π

4

=tan

π

3− 2 ln

��cosπ

3

��−tan

π

4− 2 ln

��cosπ

4

��;

=

�√3− 2 ln

1

2

�−�

1− 2 ln

√2

2

= (3. 118 3)− (1. 693 1) = 1. 425 2.

8.� ln 5

ln 2

5exdx = 15

u = x;

du = dx;

= 5ex|ln 5ln 2

= 5eln 5 − 5eln 2 = 5 (5)− 5 (2) = 25− 10 = 15.

30

9.� e4

1

dx

3x=

4

3

u = x;

du = dx;

=1

3ln x|e4

1=

1

3

�ln e4 − ln 1

�=

1

3(4− 0) =

4

3.

10.� 0

−1

ex+1

ex+1 + 1dx = ln (e+ 1)− ln 2 = 0.620 11

u = ex+1 + 1;

du = ex+1dx;

= ln��ex+1 + 1

��|0−1

= ln��e0+1 + 1

��− ln��e−1+1 + 1

�� = ln��e1 + 1

��− ln��e0 + 1

�� ;

= (1. 313 3)− (0.693 15) = 0.620 15.

31

Ejercicios.

1.

� 7

2

3dx 12.

� π

2

π

4

(2− csc2 x) dx

2.

� 3

−2xdx 13.

� π

4

0

1− sin2 θ

cos2 θdθ

3.

� ln 7

ln 3

3exdx 14.

� ln 4

0

ex

1 + exdx

4. 4

� e4

e0

dx

x15.

� 4

0

(3x3 + 2x2 − x+ 1) dx

5.

� 3

−3x1

3dx 16.

� 3

1

(x+ 5)2 dx

6.

� 8

1

�2

xdx 17.

� 3

−1x (x2 + 1)

2dx

7.

� 5

2

dx

x+ 118.

� 3

1

(x+ 1)3

xdx

8.

� π

6

−π

6

sec2 xdx 19.

� −1

−8

x− x22 3√xdx

9.

� π

0

(1− sinx) dx 20.

� 3

1

(3x2 + 5x− 4) dt

10.

� π

3

−π

3

4 secx tan xdx 21.

� π

3

π

6

dθ

1− cos θ

11.

� π

2

−π

2

(cos t+ 2t) dt 22.

� 5

1

�x1/2 − x−1/4

�2√xdx

32

Ejercicios. Formular la integral definida y determinar el área de la región.

1. f (x) =?

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00

1

2

3

4

x

y

2. f (x) =?

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.20

1

2

3

4

5

x

y

3. f (x) =?

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00

1

2

3

4

x

y

33

4. f (x) =?

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

1

2

3

4

5

x

y

5. f (x) =?

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

y

6. f (x) =?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x

y

34

7. f (x) =?

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

8. f (x) =?

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

35

1.9. Integrales impropias

Las integrales impropias son en las que cualquiera de los dos límites de integración son infinitos o f

tiene una discontinuidad infinita en o entre los limítes de integración.

Definición de integrales impropias con límites de integración infinitos

1. Si f es continuo en un intervalo [a,∞) , entonces

� ∞

a

f (x) dx = lımb→∞

� b

a

f (x) dx.

2. Si f es continuo en un intervalo (−∞, b] , entonces� b

−∞f (x) dx = lım

a→−∞

� b

a

f (x) dx.

3. Si f es continuo en un intervalo (−∞,∞) , entonces

� ∞

−∞f (x) dx =

� c

−∞f (x) dx+

� ∞

c

f (x) dx;

donde c es cualquier número real.

36

Ejemplos.

Calcular el valor de las integrales impropias con límites de integración infinitos y determinar si convergen

o divergen.

1.� ∞

1

dx

x=∞

� ∞

1

dx

x= lım

b→∞

� b

1

dx

x= lım

b→∞ln x|b1 = lım

b→∞(ln b− ln 1) =∞.

Diverge.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

x

y

f (x) =1

x

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

x

y

f (x) = ln x

37

2.� ∞

0

e−xdx = 1

u = −x;

du = −dx;

� ∞

0

e−xdx = lımb→∞

(−)� b

0

e−x (−dx) = lımb→∞

�−e−x

�|b0 = lım

b→∞

�−e−b + e0

�= 1.

Converge.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

4

6

8

10

x

y

f (x) = e−x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10

-8

-6

-4

-2

x

y

f (x) = −e−x

38

3.� ∞

0

2

4x2 + 1dx =

1

2π

�du

a2 + u2=

1

aarctan

u

a+ C.

a2 = 1 → a = 1;

u2 = 4x2 → u = 2x → du = 2dx;� ∞

0

2dx

4x2 + 1= lım

b→∞

� b

0

2dx

4x2 + 1= lım

b→∞arctan 2x|b0 = lım

b→∞(arctan 2b− arctan 2 (0)) =

π

2.

Converge.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0.5

1.0

1.5

2.0

x

y

f (x) =2

4x2 + 1

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-2

-1

1

2

x

y

f (x) = arctan x

39

4.� ∞

−∞

ex

1 + e2xdx =

1

2π

a2 = 1 → a = 1;

u2 = e2x → u = ex → du = exdx;

� ∞

−∞

ex

1 + e2xdx =

� 0

−∞

ex

1 + e2xdx+

� ∞

0

ex

1 + e2xdx = lım

b→−∞

� 0

b

ex

1 + e2xdx+ lım

b→∞

� b

0

ex

1 + e2xdx;

= lımb→−∞

arctan ex|0b + lımb→∞

arctan ex|b0;

= lımb→−∞

�arctan e0 − arctan eb

�+ lımb→∞

�arctan eb − arctan e0

�;

=π4− 0+π2− π

4

=π

2. Converge.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

y

f (x) =ex

1 + e2x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

20

40

60

80

100

x

y

f (x) = ex

40

Ejercicios.

Calcular el valor de las integrales impropias con límites de integración infinitos y determinar si convergen

o divergen.

1.

� ∞

1

1

x2dx 11.

� ∞

e

3x�√

3x�2

ln xdx

2.

� ∞

1

33√xdx 12.

� ∞

0

1

ex + e−xdx

3.

� 0

−∞exdx 13.

� ∞

1

1

x+ 1

dx

2√x

4.

� 0

−∞e−xdx 14. −

� ∞

−∞2xe−x

2

dx

5.

� ∞

−∞

1

1 + x2dx

6.

� ∞

4

1

x (lnx)3dx

7.

� ∞

1

lnx

xdx

8.

� ∞

−∞

2

4 + x2dx

9.

� ∞

0

−ex

ex − 1

2

dx

10.

� ∞

2

π

sin 1x

x2dx

41

1.10. Tarea - Práctica 1.a

Instrucciones.

Todos los resultados deben estar escritos en fracción y con tres decimales.

La práctica y la tarea se deben enviar en formato PDF con portada.

Práctica con Scientific WorkPlace. Con el Software puede realizar lo siguiente:

a) Realizar operaciones aritméticas y/o algebraicas.

b) Calcular sumatorias.

c) Graficar funciones.

d) Evaluar funciones.

e) Calcular límites infinitos.

f ) Calcular integrales definidas.

g) Calcular integrales indefinidas.

h) Calcular integrales impropias.

Tarea a mano.

a) Los ejercicios se deben elaborar a mano con letra legible o no se revisará.

b) El procedimiento debe estar claro indicando cada problema y su solución.

c) Se deben simplificar los resultados.

d) No graficar, las gráficas solo se presentarán en la práctica.

42

1. Para la sumatorian�

i=1

2i (i− 1)2

n4calcular lo siguiente:

a) Calular la suma en función de n con las fórmulas del Teorema 3.1.

b) Calcular, con cuatro decimales, para n1 = 100.

c) Calcular, con cuatro decimales, para n2 = 1000.

d) Calcular, con cuatro decimales, para n3 = 10000.

e) Calcular cuando n→∞.

2. Para la función f (x) = (x− 4)2 + 10 definida en el intervalo x ∈ [0, 8] determinar lo siguiente:

a) Utilizar sumas inferiores y superiores para aproximar el área de la región con n = 6, 12, 24 (la

tarea es con n = 12, simplificar).

b) Utilizar el proceso de límite para encontrar el área de la región entre la gráfica de la función y

el eje x sobre el intervalo indicado.

c) Calcule la suma de Riemann con 6, 12 y 24 subintervalos (la tarea es con n = 6).

d) Formular y resolver la integral definida que produce el área de la región.

3. Calcular el valor de las integrales impropias con límites de integración infinitos y determinar si

convergen o divergen. Grafique el integrando de cada integral.

a.

� ∞

1

�1

x− 1

x+ e− 1

�dx b.

� ∞

−∞

x

(x2 + 1)3/2dx c.

� −1

−∞

13√xdx

d.

� ln 1

−∞

4

ex + e−xdx e.

� ∞

−∞e−x+1dx

43

1.11. Tarea - Práctica 1.b

Instrucciones.





b) Calcular sumatorias.

c) Graficar funciones.



f ) Calcular integrales definidas.

g) Calcular integrales indefinidas.

h) Calcular integrales impropias.

Tarea a mano.





44

Problemas a resolver.

1. Para la sumatoria10

n

n�

x=1

�

2

�10x

n− 3

�3+ 104

calcular lo siguiente:

a) Calular la suma en función de n con las fórmulas del Teorema 3.1.

b) Calcular para n1 = 100.

c) Calcular para n2 = 1000.

d) Calcular para n3 = 10000.

e) Calcular cuando n→∞.

2. Para la función f (x) = 2 (x− 3)3 + 104 definida en el intervalo cerrado x ∈ [0, 10] determinar lo

siguiente:

a) Utilizar sumas inferiores y superiores para aproximar el área de la región con n = 5, 10, 20 (la

tarea es con n = 10, simplificar).

b) Utilizar el proceso de límite para encontrar el área de la región entre la gráfica de la función y

el eje x sobre el intervalo indicado.

c) Calcule la suma de Riemann con 5, 10 y 20 subintervalos (la tarea es con n = 5).

d) Formular y resolver la integral definida que produce el área de la región.

3. Calcular el valor de las integrales impropias con límites de integración infinitos y determinar si

convergen o divergen. Grafique los integrandos de cada integral.

a.

� ∞

0

2x

x2 + 4dx b.

� − 4

π

−∞

cos 1x

x2dx c.

� ∞

1

1−√x√x

dx

d.

� ∞

−∞

x√x2 + 1

dx e.

� ∞

−∞

x2 − 1

x4 − 1dx

45

Capítulo 2

Integral indefinida y métodos de integración


14 clases - 23 horas, (21 horas de clase, 2 horas de examen).

Temas

2.1 Integrales directas (3 horas)

2.1.1 Funciones simples

2.1.2 Funciones compuestas completas

2.1.3 Funciones compuestas incompletas

2.2 Integrales por cambio de variable (2 horas)

2.3 Integrales por partes (5 horas)

2.4 Integrales trigonométricas inversas(2 horas)

2.5 Integrales de potencias de funciones trigonométricas (2 horas)

2.6 Integrales por sustitución trigonométrica (3 horas)

2.7 Integrales por fracciones parciales (4 horas)

46

2.1. Definición de integral indefinida

La expresión�f (x) dx se lee como integral indefinida o primitiva de f con respecto a x. De tal manera,

la diferencial de dx sirve para identificar a x como la variable de integración.

La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede verificarse sustituyendo F ′ (x) por f (x)

en la definición de integración indefinida para obtener

�F ′ (x) dx = F (x) + C. La integración indefinida es la inversa de la derivación.

Además, si�f (x) dx = F (x) + C entonces

d

dx

��f (x) dx

�= f (x) .

Primitiva de una función compuesta

Sea g una función cuyo recorrido es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es derivable

en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces

�f (g (x)) g′ (x) dx = F (g (x)) ;

Si u = g (x), entonces du = g′ (x) dx y �f (u) du = F (u) .

47

2.2. Integrales directas

2.2.1. Funciones simples

Ejemplos

1.�

3xdx

= 3

�xdx;

= 3

�x1+1

1 + 1+ c

�;

=3

2x2 + c.

2.�

1

x3dx

=

�x−3dx;

=x−3+1

−3 + 1+ c;

= −x−2

2+ c.

= − 1

2x2+ c.

48

3.� √

xdx

=

�x1/2dx;

=x1/2+1;

1

2+ 1

+ c;

= 2x3/2 + c.

= 2√x3 + c.

4.�

2 sin xdx

= 2

�sin xdx;

= 2 (− cosx+ c) ;

= −2 cosx+ c.

5.�

(x+ 1)2 dx

=(x+ 1)2+1

2 + 1+ c;

=(x+ 1)3

3+ c.

49

6.�

(3x4 − 5x2 + x) dx

= 3

�x4+1

4 + 1

�− 5

�x2+1

2 + 1

�+x1+1

1 + 1+ c;

= 3

�x5

5

�− 5

�x3

3

�+x2

2+ c;

=3

5x5 − 5

3x3 +

1

2x2 + c.

7.�x+ 1√xdx

=

� �x√x+

1√x

�dx;

=

� x1

2 + x−1

2

dx;

=x1

2+1

12+ 1

+x−

1

2+1

−12+ 1

+ c

=x3

2

32

+x1

2

12

+ c;

=2

3x3

2 + 2x1

2 + c.

8.�

sinx

cos2 xdx

=

�1

cosx

sin x

cosxdx;

=

�secx tan xdx;

= secx+ c.

50

9.�

3

2e−xdx

=3

2ex + c.

10.�

3dx

3x+ 6

=3

3

�dx

x+ 2;

= ln |x+ 2|+ c.

2.2.2. Funciones compuestas completas

Ejemplos

1.�

2x (x2 + 1)4dx

u = x2 + 1;

du = 2xdx;

=(x2 + 1)

4+1

4 + 1+ c;

=(x2 + 1)

5

5+ c.

51

2.�

8x3�

(x2 + 4) (x2 − 4)dx

=

�8x3√x4 − 16dx;

u = x4 − 16;

du = 4x3dx;

= 2

�4x3√x4 − 16dx;

= 2(x4 − 16)

1/2+1

1

2+ 1

+ c;

=4

3

�x4 − 16

�3/2+ c.

3. −�

6x2 sin 2x3dx

u = 2x3;

du = 6x2dx;

= −�− cos 2x3 + c

�;

= cos 2x3 + c.

52

4.�

3 cos x+ 12x

4 sin x+ 8x2dx

=3

4

�cosx+ 4x

sin x+ 2x2dx;

u = sin x+ 2x2;

du = (cosx+ 4x) dx;

=3

4ln��sin x+ 2x2

��+ c.

5. 2

�(2x+ 1)

e(2x

2+2x+3)dx

u = 2x2 + 2x+ 3;

du = 4x+ 2;

= e(2x2+2x+3) + c.

53

2.2.3. Funciones compuestas incompletas

Ejemplos

1.�x (x2 + 1)

2dx

u = x2 + 1;

du = 2xdx;

�x�x2 + 1

�2dx =

1

2

�2x�x2 + 1

�2dx;

=1

2

(x2 + 1)3

3+ c;

=(x2 + 1)

3

6+ c.

2.�x cos 2x2dx

u = 2x2;

du = 4xdx;

�x cos 2x2dx =

1

4

�4x cos 2x2dx;

=1

4sin 2x2 + c.

54

3.�

(x2 − 1)

(x3 − 3x)1

2

dx

u = x3 − 3x;

du = 3x2 − 3;

�(x2 − 1)

(x3 − 3x)1

2

dx =1

3

�(3x2 − 3)

(x3 − 3x)1

2

dx;

=1

3

(x3 − 3x)1

2

12

+ c;

=2

3

�x3 − 3x

� 12 + c.

4.�

xdx

10x2 − 2

u = 10x2 − 2;

du = 20xdx;

�xdx

10x2 − 2=

1

20

�20xdx

10x2 − 2;

=1

20ln��10x2 − 2

��+ c.

5.�

2xe4x2

dx

u = 4x2;

du = 8xdx;

�2xe4x

2

dx =1

4

�8xe4x

2

dx;

=1

4e4x

2

+ c.

55

Ejercicios

1.�

(x− 2) (x+ 2) dx

2.�

x3

(x2 + 4) (x2 − 4)dx

3.�

ln x

xdx

4.�

1

x ln xdx

5. −�

cos2 x sin xdx

6.�

(t2 + 1)2dt

7.�

3√x (x− 4) dx

8.�x2 + 2x− 3

x4dx

9.�x2 + x+ 1

x√x

dx

10.�

(2x+ 1) (x+ 2) e8

3x3+10x2+8xdx

11.�

1− sin x

cosx+ xdx

12.�

(sec2 x− 1) cosx

sin x tan2 xdx

13.�

(4x cos 2x2) esin 2x2

dx

14.�x cos (ln ((2x− 2) (2x+ 2)))

2x2 − 2dx

56

15.�

(x+ 2)

(2x2 + 8x)dx

16.�

3x2√x3 − 2dx

17.�

ex

x+2

(x+ 2)2dx

18.�

sin√x√xdx

19.�

ln (sin x)

tan xdx

20.�

x2 + 1

(x3 + 3x− 16)1/3dx

21.�xeln(sinx

2)

secx2dx

22.� �

x3 + 32x2 − 10

�4/5(4x2 + 4x) dx

23.�xeln(

√5x2+1)dx

24.� �

1 +1

t

�3�1

t2

�dt

25.�− 1

θ2cos

�1

θ

�dθ

26.�

5x− 20√x2 − 8x+ 1

dx

27.�

1√x (1 +

√x)2dx

28.�

x− 1

x+√xdx

57

29.�

(x2 + x)2+ 2x3 − 4x2 + 2x− 1

(x5 + 5x4 − 5x3 + 5x2 − 5x− 10)1/5dx

30.�

tan2 x sec2 xdx

31.�

sec (1− x) tan (1− x) dx

32.� √

tan x sec2 xdx

33.�

cot2 xdx

34.�

cos2 xdx

35.�

sin2 5xdx

36.�

sin 2x cos 2xdx

37.�

csc2 x

cot3 xdx

38.� ��

d

dtx

�2+

�d

dty

�2dt, x = cos t+ ln

�tan

t

2

�, y = sin t

58

2.3. Integrales por sustitución o cambio de variable

Ejemplos

1.�x√2x− 1dx

u = 2x− 1;

x =u+ 1

2;

du = 2dx;

dx =du

2;

�x√2x− 1dx =

� �u+ 1

2

��√u��du

2

�;

=1

4

� �u3/2 + u1/2

�du;

=1

4

�2

5u5/2 +

2

3u3/2

�+ c;

=1

10u5/2 +

1

6u3/2 + c;

�x√2x− 1dx =

1

10(2x− 1)5/2 +

1

6(2x− 1)3/2 + c.

59

2.�

(x3 − 2x)√1− x

dx

u = 1− x

x = 1− u

du = −dx

dx = −du

�(x3 − 2x)√

1− x dx = −�

(1− u)3 − 2 (1− u)√u

du;

= −� −u3 + 3u2 − 3u+ 1− 2 + 2u

u1

2

du;

= −� −u3 + 3u2 − u− 1

u1

2

du;

=

�u3 − 3u2 + u+ 1

u1

2

du;

=

� �u5/2 − 3u3/2 + u1/2 + u−1/2

�du;

=2

7u7/2 − 6

5u5/2 +

2

3u3/2 + 2u1/2 + c;

�(x3 − 2x)√

1− x dx =2

7(1− x)7/2 − 6

5(1− x)5/2 + 2

3(1− x)3/2 + 2 (1− x)1/2 + c.

60

Ejercicios

1.�x√x+ 2dx

2.�x 3√x− 4dx

3.�x√2x+ 1dx

4.�x2√1− xdx

5.�

(x+ 1)√2− xdx

6.�

2x+ 1√x+ 4

dx

7.�

2x2 − x(x− 3)1/3

dx

8.�x3√x− 1dx

9.�

(x2 + x)√1− xdx

10.�

x2 − 1√2x− 1

dx

11.� −x

(x+ 1)−√x+ 1

dx

61

2.4. Integrales por partes

Se parte de la derivada de una multiplicación de funciones:

d

dx[uv] ,

donde u y v son funciones de x, es decir

u = u (x) y v = v (x) ,

al derivar se obtiened

dx[uv] = vdu+ udv,

ahora al integrar en ambos lados �d

dx[uv] =

�vdu+

�udv,

se tiene

uv =

�vdu+

�udv,

por lo tanto, si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas, entonces

�udv = uv −

�vdu.

Regla LIATE

El método de LIATE ayuda a definir quién tiene prioridad de ser u y por lo tanto saber quién es dv.

�LIATE :

L : Funciones logarítmicas.

I : Funciones inversas.

A : Funciones algebraicas.

T : Funciones trigonométricas.

E : Funciones exponenciales.

La función que aparezca primero de acuerdo a la lista anterior debe ser tomada como u. La función

que debe ser tomada como dv es la que aparezca al final de acuerdo a la lista ya que tienen antiderivadas

más fáciles que las funciones por encima de ellas. Una alternativa común es considerar la regla en el orden

“ILATE”.

62

Ejemplos

1.�

(x2 + 1)2ln xdx

De acuerdo a la regla se toma u = ln x (función logarítmica) y dv = (x2 + 1)2 (función algebraica):

u = ln x; du =dx

x;

dv =�x2 + 1

�2dx; v =

1

5x5 +

2

3x3 + x;

� �x2 + 1

�2ln xdx =

�1

5x5 +

2

3x3 + x

�ln x−

� �1

5x4 +

2

3x2 + 1

�dx;

=

�1

5x5 +

2

3x3 + x

�ln x− 1

25x5 − 2

9x3 − x+ c.

2.�xexdx

u = x; du = dx;

dv = exdx; v = ex;

�xexdx = xex −

�exdx;

= xex − ex + c.

63

3.�x2 lnxdx

u = ln x; du =1

xdx;

dv = x2dx; v =x3

3;

�x2 ln xdx =

x3

3lnx−

�x3

3

1

xdx;

= ln xx3

3− 1

3

�x2dx;

=x3

3lnx− x3

9+ c.

4.�

arcsin xdx

u = arcsinx; du =1√

1− x2dx;

dv = dx; v = x;

�arcsinxdx = x arcsinx−

�x√

1− x2dx;

= x arcsinx−�x�1− x2

�−1/2dx;

= x arcsinx+1

2

(1− x2)1/212

+ c;

= x arcsinx+�1− x2

�1/2+ c.

64

5.�

sec3 xdx

�sec3 xdx =

�secx sec2 xdx;

u = secx; du = secx tanxdx;

dv = sec2 xdx; v = tan x;

�sec3 xdx = secx tan x−

�secx tan2 xdx;

= secx tan x−�

secx�sec2 x− 1

�dx;

= secx tan x−�

sec3 xdx+

�secxdx;

2

�sec3 xdx = secx tan x+ ln |secx+ tan x|+ c;

�sec3 xdx =

1

2secx tanx+

1

2ln |secx+ tan x|+ c.

65

6.�x2 sin 4xdx

u = x2; du = 2xdx;

dv = sin 4xdx; v = −1

4cos 4x;

�x2 sin 4xdx = −x

2

4cos 4x+

1

2

�x cos 4x;

u = x; du = dx;

dv = cos 4xdx; v =1

4sin 4x;

�x2 sin 4xdx = −x

2

4cos 4x+

1

2

�x

4sin 4x− 1

4

�sin 4xdx

�;

= −x2

4cos 4x+

x

8sin 4x+

1

32cos 4x+ c.

Método tabular. Funciona bien para las integrales del tipo�xn sin axdx,

�xn cos axdx y

�xnexdx.

Signos alternados u y du dv y v

+ x2 sin 4x

− 2x −14cos 4x

+ 2 − 116sin 4x

− 0 164cos 4x

�x2 sin 4x = −x

2

4cos 4x+

x

8sin 4x+

1

32cos 4x+ c.

66

Ejercicios

1.�x sinxdx

2.�xe2xdx

3.�x sec2 xdx

4.�x2exdx

5.�x3 cos 3xdx

6.�

(lnx)2 dx

7.�

2x

ex

2

dx

8.�x√x− 1dx

9.�x arcsinx2dx

10.�x ln (x+ 1) dx

11.�1 + tan2

x

2

sin

x

2

sinx

4cos

x

4cos

x

2

dx

12.�x4 lnxdx

13.�

xe2x

(2x+ 1)2dx

67

14.�

(x2 − 1) exdx

15.�

x3ex2

(x2 + 1)2dx

16.�ex cosxdx

17.�e2x sinxdx

18.�e−2x sin 3xdx

19.�

2x3 cosx2dx

20.�

cos (ln x) dx

21.�

sin√xdx

22.�e√2xdx

23.� ln x

x2dx

24.�x cscx cot xdx

25.�

x√2 + 3x

dx

26.�

arctan xdx

27.�

lnxdx

28.�

ln3 xdx

68

2.5. Integrales trigonométricas inversas

Ejemplos

1.�

dx√4− x2

�du√a2 − u2

= arcsinu

a+ c;

u2 = x2; a2 = 4;

u = x; a = 2;

du = dx;

�dx√4− x2

= arcsinx

2+ c.

2.�

dx

2 + 9x2

�du

a2 + u2=

1

aarctan

u

a+ c;

u2 = 9x2; a2 = 2;

u = 3x; a =√2;

du = 3dx;

�dx

2 + 9x2=

1

3

�3dx

2 + 9x2=

1

3√2arctan

3x√2+ c.

3.�

dx

x√4x2 − 9

�du

u√u2 − a2

=1

aarcsec

|u|a

+ c;

u2 = 4x2; a2 = 9;

u = 2x; a = 3;

du = 2dx;

�dx

x√4x2 − 9

=

�2dx

2x√4x2 − 9

=1

3arcsec

|2x|3

+ c.

69

4.�

dx√e2x − 1

Cambio de variable :

u = ex; a2 = 1;

du = exdx; a = 1;

dx =du

ex=du

u;

�dx

�(ex)2 − 1

=

� duu�

(u)2 − a2=

�du

u√u2 − a2

;

=1

aarcsec

|u|a

+ c = arcsec ex + c.

5.�

x+ 2√4− x2

dx

�x+ 2√4− x2

dx =

�x√

4− x2dx+

�2√

4− x2dx;

Integral 1 :

�x√

4− x2dx = −

�4− x2

�1/2+ c;

Integral 2 :

u2 = x2; a2 = 4;

u = x; a = 2;

du = dx;

�2√

4− x2dx = 2arcsin

x

2+ c;

Resultado :

�x+ 2√4− x2

dx = −�4− x2

�1/2+ 2arcsin

x

2+ c.

70

6.�

dx

x2 − 4x+ 7

Completar el cuadrado : ax2 + bx+ c = a

�x+

b

2a

�2− b2

4a+ c;

x2 − 4x+ 7 = (1)

�x− 4

2 (1)

�2− (4)2

4 (1)+ 7 = (x− 2)2 + 3 = u2 + a2;

�dx

x2 − 4x+ 7=

�dx

(x− 2)2 + 3;

u2 = (x− 2)2 ; a2 = 3;

u = x− 2; a =√3;

du = dx;

�dx

(x− 2)2 + 3=

1√3arctan

x− 2√3

+ c.

71

Ejercicios

1.�

4

1 + 9x2dx

2.�

3√1− 4x2

dx

3.�x2 − 1

x4 − 1dx

4.�

1

x√4x2 − 1

dx

5.�

e2x

4 + e4xdx

6.�

1

(x− 1)√x2 − 2x

dx

7.� −x3 + 2x√

9− x4dx

8.�

1

x2 + 4x+ 13dx

9.�

2√−x2 + 4x

dx

10.�

1√x√1− xdx

11.�

x√9− 8x2 − x4

dx

12.�

1

x√x4 − 4

dx

13.�

x3 + 2x

x4 + 2x2 + 2dx

14.�

5x+ 4x3√1− x4

dx

15.�

x− 2

x2 + 2x+ 5dx

72

2.6. Integrales de potencias de funciones trigonométricas

�sinm cosn dx y

�secm tann dx

donde m o n es cualquier entero positivo.

sin2 u+ cos2 u = 1;

sin2 u =1− cos 2u

2;

cos2 u =1 + cos 2u

2;

sec2 x = 1 + tan2 x.

Ejemplos

1.�

sin3 x cos4 xdx

�sin3 x cos4 xdx =

�sin2 x cos4 x sin xdx;

=

� �1− cos2 x

�cos4 x sin xdx;

=

� �1− cos2 x

�cos4 x sin xdx;

=

� �cos4 x sin x− cos6 x sin x

�dx;

= −cos5 x

5+

cos7 x

7+ c.

73

2.�

cos3 x√sinx

dx

�cos3 x√sin x

dx =

�cos2 x√sin x

cosxdx;

=

� �1− sin2 x

�√sin x

cosxdx;

=

� (sin x)−1/2 − sin3/2 x

cosxdx;

= 2 sin1/2 x− 2

5sin5/2 x+ c.

3.�

cos4 xdx

�cos4 xdx =

� �cos2 x

�2dx;

=

� �cos2 x

�2dx;

=

� �1 + cos 2x

2

�2dx;

=

� �1

4+

cos 2x

2+

cos2 2x

4

�dx;

=

� �1

4+

cos 2x

2+

1 + cos 4x

8

�dx;

=

� �1

4+

cos 2x

2+

1

8+

cos 4x

8

�dx;

=x

4+

sin 2x

4+x

8+

sin 4x

32+ c;

=3x

8+

sin 2x

4+

sin 4x

32+ c.

74

4.�

tan3 x√secx

dx

�tan3 x√secx

dx =

�tan3 x secx

secx√secx

dx;

�tan2 x (secx tanx)

(secx)3/2dx;

=

�(secx)−3/2 tan2 x (secx tan x) dx;

=

�(secx)−3/2

�sec2 x− 1

�(secx tan x) dx;

=

� �sec1/2 x− sec−3/2 x

�(secx tan x) dx;

=2

3sec3/2 x+ 2 sec−1/2 x+ c.

5.�

sec4 3x tan3 3xdx

�sec4 3x tan3 3xdx =

�sec2 3x tan3 3x

�sec2 3xdx

�;

=

� �1 + tan2 3x

�tan3 3x

�sec2 3xdx

�;

=

� �tan3 3x+ tan5 3x

� �sec2 3xdx

�;

=1

12tan4 3x+

1

18tan6 3x+ c.

75

6.�

tan4 xdx

�tan4 xdx =

�tan2 x

�tan2 x

�dx;

=

�tan2 x

�sec2 x− 1

�dx;

=

� �tan2 x sec2 x− tan2 x

�dx;

=

� �tan2 x sec2 x− sec2 x+ 1

�dx;

=tan3 x

3− tanx+ x+ c.

7.�

secx

tan2 xdx

�secx

tan2 xdx =

�1

cosx

cosxsin x

2dx;

=

�cosx

sin2 xdx;

= − sin−1 x+ c.

= − 1

cscx+ c.

76

Ejercicios

1.�

cos3 x sin4 xdx

2.�

sin3 xdx

3.�

sec3 x tanxdx

4.�

cos3x

3dx

5.�

sec4 5xdx

6.�

cos3 x√sin xdx

7.�

sec6 4x tan 4xdx

8.�x2 sin2 xdx

9.�

sin5 x cos2 xdx

10.�

sec6 3xdx

11.�

tan2 x

sec5 xdx

12.�

sin5 x√cosx

dx

13.�

tan3 2x sec3 2xdx

14.�

sin2 x cos2 xdx

77

15.�

sec3 xdx

16.�

cos7 xdx

17.�

sin7 xdx

18.�

sin4 5x cos4 5xdx

78

2.7. Integrales por sustitución trigonométrica

sin θ = opuestohipotenusa

; tan θ = opuestoadyacente

; sec θ = hipotenusaadyacente

;

cos θ = adyacentehipotenusa

; csc θ = hipotenusaopuesto

; cot θ = adyacenteopuesto

;

79

�1√

a2 − u2du :

a2 − u2 > 0→ (a− u) (a+ u) > 0→ u ∈ (−a, a) ;√a2 − u2 =

�

a2�1− u2

a2

�;

=

�

a2�1− a2 sin2 θ

a2

�=�a2�1− sin2 θ

�=√a2 cos2 θ = a cos θ;

sin2 θ + cos2 θ = 1;

1− sin2 θ = cos2 θ;

u2

a2= sin2 θ → u2 = a2 sin2 θ;

u = a sin θ;

du = a cos θdθ;

θ = arcsinu

a→ −a ≤ x ≤ a→ −π

2≤ θ ≤ π

2;

�1√

a2 − u2du =

�a cos θdθ

a cos θ=

�dθ = θ = arcsin x+ c.

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-2

-1

1

2

x

y

80

�1√

a2 − u2du :

a2 − u2 > 0→ (a− u) (a+ u) > 0→ u ∈ (−a, a) ;√a2 − u2 =

�

a2�1− u2

a2

�

=

�

a2�1− a2 cos2 θ

a2

�=�a2 (1− cos2 θ) =

�a2 sin2 θ = a sin θ;

sin2 θ + cos2 θ = 1;

1− cos2 θ = sin2 θ;

u2

a2= cos2 θ → u2 = a2 cos2 θ;

u = a cos θ;

du = −a sin θdθ;

θ = arc cosu

a;

�1√

a2 − u2du =

� −a sin θdθa sin θ

= −�dθ = −θ = − arc cosx+ c.

arcsin1

2− arcsin

�−1

2

�= − arc cos

1

2+ arc cos

�−1

2

�: istrue.

81

Ejemplos

1.�

dx

x2√9− 4x2

= − 1

9x

√9− 4x2

Deducción:

Se parte de : sin2 θ + cos2 θ = 1,

: 1− sin2 θ = cos2 θ,

√9− 4x2 =

√a2 − u2,

a2 = 9,

u2 = b2x2,

9− 4x2 = 9

�1− 4

9x2�,

x =a

bsin θ =

3

2sin θ → sin θ =

2x

3,

√9− 4x2 =

�

9− 4

�3

2sin θ

�2=�

9− 9 sin2 θ =�

9�1− sin2 θ

�;

=�

9�1− sin2 θ

�=√9 cos2 θ = 3 cos θ,

dx =3

2cos θdθ,

�dx

x2√9− 4x2

=

� 3

2cos θdθ

�3

2sin θ

�23 cos θ

=2

9

�dθ

sin2 θ=

2

9

�csc2 θdθ

= −2

9cot θ = −2

9

√9− x22x

= −√9− x29x

+ c.

82

u = 2x;

a = 3;

2x = 3 sin θ;

x =3

2sin θ;

dx =3

2cos θdθ;

√9− 4x2 = 3 cos θ;

�dx

x2√9− 4x2

=

� 3

2cos θdθ

�3

2sin θ

�2(3 cos θ)

;

=

�2dθ

9 sin2 θ;

=2

9

�csc2 θdθ;

= −2

9cot θ;

= −2

9

√9− x22x

;

= −√9− x29x

+ c.

83

2.�

dx√4x2 + 1

=1

2ln�2x+

√4x2 + 1

�

u = 2x;

a = 1;

2x = tan θ;

dx =sec2 θ

2dθ;

√4x2 + 1 = sec θ;

�dx√

4x2 + 1=

�sec2 θ

2 sec θdθ;

=1

2

�sec θdθ;

=1

2ln |sec θ + tan θ|+ c;

=1

2ln |sec θ + tan θ|+ c;

=1

2ln��√4x2 + 1 + 2x

��+ c.

84

3.�

dx

(x2 − 9)3/2= −1

9

x√x2 − 9

�dx

(x2 − 9)3/2=

�dx

�√x2 − 9

�3 ;

u = x;

a = 3;

x = 3 sec θ;

dx = 3 sec θ tan θdθ;√x2 − 9 = 3 tan θ;

�dx

�√x2 − 9

�3 =

�3 sec θ tan θdθ

(3 tan θ)3

=1

9

�sec θdθ

tan2 θ

=1

9

�1

cos θ

1

sin2 θ

cos2 θ

dθ;

=1

9

�cos θ

sin2 θdθ;

= −1

9(sin θ)−1 + c;

= −1

9

x√x2 − 9

+ c.

85

Ejercicios

1.�

1

(25− x2)3/2dx

2.�

1√x2 − 4

dx

3.�

1

x√4x2 + 16

dx

4.�

dx

(x2 − 4)3/2

5.� √

1 + x2dx

6.�

9x3√1 + x2

dx

7.� √

2x2 − 1dx

8.� √

25− 4x2dx

9.�

1

(1 + x2)2dx

10.�

x2√25− x2

dx

11.�x3√x2 − 4dx

86

2.8. Integrales por fracciones parciales

2.8.1. Factores lineales distintos: (ax+ b) (cx+ d)

Ejemplo

1.�

4x2 + 2x− 1

x3 − 4xdx = 1

4ln x+ 19

8ln (x− 2) + 11

8ln (x+ 2) + c.

x3 − 4x = x�x2 − 4

�= x (x+ 2) (x− 2) ;

�4x2 + 2x− 1

x3 − 4xdx =

� �A

x+

B

x+ 2+

C

x− 2

�dx;

�4x2 + 2x− 1

x3 − 4xdx =

�A (x+ 2) (x− 2) +Bx (x− 2) + Cx (x+ 2)

x (x+ 2) (x− 2);

4x2 + 2x− 1 = A�x2 − 4

�+Bx (x− 2) + Cx (x+ 2) ;

Para obtener A, x = 0 :

−1 = A (−4) ;

A =1

4;

Para obtener B, x = −2 :

16− 4− 1 = B (8) ;

B =11

8;

Para obtener C, x = 2 :

16 + 4− 1 = C (8) ;

C =19

8;

� �A

x+

B

x+ 2+

C

x− 2

�dx =

� �1

4x+

11

8 (x+ 2)+

19

8 (x− 2)

�dx;

=1

4lnx+

11

8ln (x+ 2) +

19

8ln (x− 2) + c.

87

Ejercicios

1.�

5

x2 − 10xdx

2.�

x+ 2

x2 − 4xdx

3.�

1

x2 − 1dx

4.�

1

4x2 − 9dx

5.�

1

x2 − 5x+ 6dx

6.�

5− x2x2 + x− 1

dx

7.�

5x2 − 12x− 12

x3 − 9xdx

8.�

3x2 + x+ 5

4x3 − 16xdx

88

2.8.2. Factores lineales repetidos: (ax+ b)n

Ejemplo

1.�

5x2 + 20x+ 6

x4 + 2x3 + x2dx = 8 ln x− 6

x− 8 ln (x+ 1) + 9

x+1+ c.

x4 + 2x3 + x2 = x2�x2 + 2x+ 1

�= x2 (x+ 1)2 ;

�5x2 + 20x+ 6

x4 + 2x3 + x2dx =

� �A

x+B

x2+

C

x+ 1+

D

(x+ 1)2

�dx;

5x2 + 20x+ 6 = Ax (x+ 1)2 +B (x+ 1)2 + Cx2 (x+ 1) +Dx2;

Para obtener B, x = 0; Para obtener D, x = −1;6 = B (1) ; 5− 20 + 6 = D;

B = 6; D = −9;

Para obtener A y C, Sistema de ecuaciones:

5x2 + 20x+ 6 = x3 (A+ C) + x2 (2A+B + C +D) + x (A+ 2B) +B;

0 = A+ C;

5 = 2A+B + C +D;

20 = A+ 2B;

6 = B;

A = 20− 2B = 20− 12 = 8;

C = −A = −8;

� �A

x+B

x2+

C

x+ 1+

D

(x+ 1)2

�dx =

� �8

x+

6

x2− 8

x+ 1− 9

(x+ 1)2

�dx;

= 8 ln x− 6

x− 8 ln (x+ 1) +

9

x+ 1+ c.

89

Ejercicios

1.�

4x2 + 2x− 1

x3 + x2dx

2.�

x2 + 3x− 4

x3 − 4x2 + 4xdx

3.�

x (2x− 9)

x3 − 6x2 + 12x− 8dx

4.�

4x2

x3 + x2 − x− 1dx

5.�x3 + 3x2 − 2x+ 7

x4 + 4x3 + 4x2dx

90

2.8.3. Factores cuadráticos y lineales distintos: ax2 + bx + c

Ejemplo

1.�

2x3 − 4x− 8

x4 − x3 + 4x2 − 4xdx = 2 ln x− 2 ln (x− 1) + 2 arctan 1

2x+ ln (x2 + 4) + c.

x4 − x3 + 4x2 − 4x = x�x3 − x2 + 4x− 4

�;

= x�x2 (x− 1) + 4 (x− 1)

�;

= x (x− 1)�x2 + 4

�;

�2x3 − 4x− 8

x4 − x3 + 4x2 − 4xdx =

� �A

x+

B

x− 1+Cx+D

x2 + 4

�dx;

2x3 − 4x− 8 = A (x− 1)�x2 + 4

�+Bx

�x2 + 4

�+ (Cx+D) (x) (x− 1) ;

Para obtener A, x = 0 : Para obtener B, x = 1 :

−8 = A (−4) ; 2− 4− 8 = B (5) ;

A = 2; B = −2;Para obtener C y D, Sistema de ecuaciones:

A (x− 1)�x2 + 4

�= Ax3 − Ax2 + 4Ax− 4A;

Bx�x2 + 4

�= Bx3 + 4Bx;

(Cx+D)x (x− 1) = Cx3 − Cx2 −Dx+Dx2;

2x3 − 4x− 8 = x3 (A+B + C) + x2 (−A− C +D) + x (4A+ 4B −D)− 4A;

2 = A+B + C; 0 = −A− C +D;

C = 2− 2− (−2) = 2; D = 2 + 2 = 4;

� �A

x+

B

x− 1+Cx+D

x2 + 4

�dx =

� �2

x− 2

x− 1+

2x

x2 + 4+

4

x2 + 4

�dx

= 2 ln x− 2 ln (x− 1) + ln�x2 + 4

�+ 2 arctan

x

2+ c.

91

Ejercicios

1.�

x2 − x+ 2

x3 − x2 + x− 1dx

2.�

6x

x3 − 8dx

3.�

x2 + 5

x3 − x2 + x+ 3dx

4.�

x2

x4 − 2x2 − 8dx

5.�

x3 − 3x2 + 2x+ 5

2x4 − 2x3 + 5x2 − 5xdx

92

2.8.4. Factores cuadráticos repetidos:�ax2 + bx+ c

�n

Ejemplos

1.�

8x3 + 12x

(x2 + 2)2dx = 4 ln (x2 + 2) + 2

x2+2+ c.

�8x3 + 12x

(x2 + 2)2dx =

� �Ax+B

x2 + 2+Cx+D

(x2 + 2)2

�dx;

8x3 + 12x = (Ax+B)�x2 + 2

�+ Cx+D;

8x3 + 12x = Ax3 +Bx2 + x (2A+ C) + 2B +D;

A = 8;

B = 0;

12 = 2A+ C;

0 = 2B +D;

C = 12− 2A = 12− 16 = −4;

D = 0;

� �Ax+B

x2 + 2+Cx+D

(x2 + 2)2

�dx =

� �8x

x2 + 2dx− 4x

(x2 + 2)2dx

�dx;

= 4 ln�x2 + 2

�+

2

x2 + 2+ c.

93

Ejercicios

1.�x2 − x+ 9

(x2 + 9)2dx

2.�x3 + 2x2 − x+ 3

x4 + 6x2 + 9dx

3.�

x4 + 10x2 − x+ 15

(2x+ 1) (x4 + 8x2 + 16)dx

94


Instrucciones.

Los problemas deben estar resuletos paso a paso y se debe indicar el (los) método(s) de integración

utilizado(s).

La práctica se debe enviar en formato PDF con portada.



b) Calcular integrales indefinidas.

c) Comprobar sus resultados.


1.�

6x5 + 3x3 − 9x7

x 3√27x

dx

2. −� sin

lnx

3

3xdx

3.�

sin2�eln 4x

�dx

4.�

10x4 ln (sin x5)

tan x5dx

5.� cos2

x

4sin2

x

41− csc−2

x

4

tan

x

4

dx (4 Respuestas)

6.�

sin2 x

1−��

cot x

cscx

�4dx

95

7.�

sin 5x cos 3xdx

8.�x√x− 1dx

9.�x5√x− 1dx

10.�

dx√ex − 1

11.�

sec5 θdθ

12.�e−3x cos 5xdx

13.�

ln3 xdx

14.�e√xdx

15.� �

2− xx+ 1

dx

16.�

2x

4 + 4xdx

17.�

ex

(ex − 5)√e2x − 10ex

dx

18.�

sin3 x

cosxdx

19.�

dx

csc4 x sec4 x

20.�x3 cos4

x

8dx

96

21.�

tan5 2x

sec1/3 2xdx

22.�

x2 − x√1− x2

dx

23.� −x2√

8x− x2dx

24.�

x2√x2 + 2x− 3

dx

25.�

6x2 + 1

x7 − 8x6 + 24x5 − 32x4 + 16x3dx

26.�x4 + x3 − x2 + 2x+ 1

(x2 + 1) (x2 + 2)2dx

27.�e2x + 1

e2x − 1dx

28.�x3 cos4

x

12dx

29.�

(25x2 + 10x+ 6)3/2dx

30.�

2x5 + 5x4 + 7x3 + 9x2 + 11x+ 1

x6 + 2x4 + x2dx

97


Instrucciones.

Los problemas deben estar resuletos paso a paso y se debe indicar el (los) método(s) de integración

utilizado(s).

La práctica se debe enviar en formato PDF con portada.



b) Calcular integrales indefinidas.

c) Comprobar sus resultados.


1.� �

x

5−√20

2

�x

5+

√20

2

dx

2.�

cosx

1− cos2 xdx

3.�

cos2�ln ex/2

�dx

4.�

(8x+ 4) (3x− 2) e4x3−x2−4xdx

5.� cos2

x

4sin2

x

41− csc−2

x

4

tan

x

4

dx (4 Respuestas)

6.�

x3�x2 +

5

x

��x2 − 5

x

�dx

7.�x2eln(cosx

2)

secx2 tan x2dy

98

8.�

1

sin2 2x cos2 2xdx

9.�x3 + 2x2 − 3x+ 1√

4x+ 2dx

10.�

5x

5x + 1dx

11.�x sin (x+ 1) dx

12.�x4 sin

x

2dx

13.�x5 cos2

x

2dx

14.�

sin (ln 2x) dx

15.�e√xdx

16.� �

x+ 2

x− 1dx

17.� �

x+ 5

5− xdx

18.�

8x√−4x4 + 12x2 + 27

dx

19.�

x5 + 2x2

x6 + 2x3 + 5dx

20.�

cos7 5x 5√sin 5xdx

21.�

46 sin6x

6cos6

x

6dx

99

22.�x cos2

�x

4dx

23.�

2x+ 1

(−4x2 + 4x+ 3)3/2dx

24.�

1

x√9x4 − 81x2

dx

25.�

x3�

1

25x2 − 2

5x+ 2

�3/2dx

26.�

2x2 − 2x+ 3

x3 + 2x2 + 2x+ 1dx

27.�

dx√1 + ex

28.�

x3 + 5√5x+ 3

dx

29.�

30x+ x2 + 20x3 − 4

4x4 + 2x3 + 16x2 + 8xdx

30.�x3 − 2x2 + 3x− 4

x4 + 10x2 + 25dx

100

Capítulo 3

Aplicaciones de la integral



Temas

3.1 Área entre las gráficas de funciones (3 horas)

3.2 Longitud de arco (3 horas)

3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución

3.3.1 El método de los discos (3 horas)

3.3.2 El método de las arandelas (3 horas)

3.3.3 El método de las capas (3 horas)

3.4 Cálculo de centroides (3 horas)

101

3.1. Área entre las gráficas de funciones

Si f y g son funciones continuas en [a, b] y g (x) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b], entonces el área de la

región acotada por las gráficas de f y g y las rectas verticales de x = a y x = b es

A =

� b

a

[f (x)− g (x)] dx.

Coloquialmente, la ecuación anterior indica que el área entre dos funciones se determina calculando la

integral de la “función de arriba” menos la “función de abajo” en un intervalo cerrado.

Para ejemplos y ejercicios complementarios vea la sección 4.1 del libro Matemáticas 2, Cálculo Integral

de Ron Larson, Robert P. Hostetler y Bruce H. Edwards. Ed. Mc Graw Hill, 2009.

Ejemplos

1. Calcular el área de una región entre dos curvas. f (x) = x2+2 y g (x) = −x en el intervalo x ∈ [0, 1].

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Integral a calcular:

A =

� 1

0

�x2 + 2− (−x)

�dx =

�1

3x3 + 2x+

1

2x2�|10 =

1

3+ 2 +

1

2;

=17

6u2 = 2. 833u2.

102

2. Calcular el área de una región entre dos curvas que se intersectan. f (x) = −x2 + 2 y g (x) = x.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Puntos de intersección : Se igualan las funciones

−x2 + 2 = x;

−x2 − x+ 2 = 0;

−�x2 + x− 2

�= 0;

− (x+ 2) (x− 1) = 0;

Raíces : Determinan la intersección en el eje x

x1 = −2, x2 = 1.


A =

� 1

−2

�−x2 + 2− (x)

�dx =

�−1

3x3 + 2x+−1

2x2�|1−2;

= −1

3+ 2− 1

2−�8

3− 4− 2

�=

9

2u2 = 4. 5u2.

103

3. Calcular el área de una región entre dos curvas que se intersectan. f (y) = 3− y2 y g (y) = y + 1.

-2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

En el caso en que las funciones dependan de la variable ‘y’, el área se determina al calcular la integral

de la “función de la derecha” menos la “función de la izquierda” en un intervalo cerrado.


3− y2 = y + 1;

−y2 − y + 2 = 0;

−�y2 + y − 2

�= 0;

− (y + 2) (y − 1) = 0;

Raíces : Determinan la intersección en el eje y

y1 = −2, y2 = 1.


A =

� 1

−2

�3− y2 − (y + 1)

�dy =

� 1

−2

�2− y2 − y

�dy =

�2y − 1

3y3 − 1

2y2�|1−2;

=

�2− 1

3− 1

2

�−�−4 + 8

3− 2

�=

9

2u2 = 4.5u2.

104

4. Encontrar el área de una región entre dos curvas que se intersectan en dos o más puntos.

f (x) = 3x3 − x2 − 10x y g (x) = −x2 + 2x.

-3 -2 -1 1 2 3

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y


3x3 − x2 − 10x = −x2 + 2x;

3x3 − 12x = 0;

3x�x2 − 4

�= 0;

3x (x+ 2) (x− 2) = 0;

Raíces : Determinan la intersección en el eje x

x1 = 0, x2 = 2, x3 = −2.

Se calculan dos integrales debido a que las funciones cambian de posición:

A =

� 0

−2

�3x3 − x2 − 10x−

�−x2 + 2x

��dx+

� 2

0

�−x2 + 2x−

�3x3 − x2 − 10x

��dx;

=

� 0

−2

�3x3 − 12x

�dx+

� 2

0

�−3x3 + 12x

�dx =

�3

4x4 − 6x2

�|0−2 +

�−3

4x4 + 6x2

�|20;

= (−12 + 24) + (−12 + 24) = 24u2.

105

Ejercicios

Graficar, formular la integral definida y calcular el área entre las funciones indicadas en el intervalo

correspondiente. Escribir los resultados en fracción y con tres decimales.

1. f (x) = x3 − x+ 2, g (x) = 0, x ∈ [−1, 2]

2. f (x) =1

2x3 + 2, g (x) = x+ 1, x ∈ [0, 2]

3. f (x) = x2 + 2x+ 1, g (x) = 2x+ 5

4. f (y) = 4− y2, g (y) = y − 2

5. f (x) = x2, g (x) = x3

6. f (x) =√3x+ 1, g (x) = x+ 1

7. f (x) = 3 (x3 − x) , g (x) = 0

8. f (x) = x (x2 − 3x+ 3) , g (x) = x2

9. f (x) = x2 − 4x+ 3, g (x) = 2x2

10. f (x) = x4 − 2x2, g (x) = 2x2

11. f (x) = x4 − 4x2, g (x) = x2 − 4

12. y2 + x− 6y + 3 = 0, x− 4y + 11 = 0, 2x+ y − 5 = 0, y ∈ [1, 4]

13. f (y) = y2 + 1, g (y) = 0, y ∈ [−1, 2]

14. f (y) =y

�16− y2

, g (y) = 0, y = 3

106

15. f (x) = −x4 + 3x2, g (x) = −x2

16. y = − (x− 3)2 + 9, y = x, y = −x+ 6, x ∈ [0, 6]

17. y = x4 − 4x2, y = x3 − 4x

18. y = x2 − 4x+ 5, y = 2x, y = −x+ 5, x ∈ [0, 5]

19. f (x) = −x2 + 10, g (x) = x2 − 6x

20. y =√1 + x3, y =

1

2x+ 2, x = 0 (Resuelva la integral definida con un programa, ej. Scientific o

Wolfram Alpha)

21. La superficie de una parte de una máquina es la región entre las gráficas de y1 = |x| y y2 = 0.08x2+k.

a) Encontrar k si la parábola es tangente a la gráfica de y1.

b) Determinar el área de la superficie de la máquina.

c) Utilice Scientific Workplace para graficar la superficie de la máquina.

107

3.2. Longitud de arco

Sea la función dada por y = f (x) que represente una curva suave en el intervalo x ∈ [a, b] . La longitud

del arco de f entre a y b es

s =

� b

a

�1 + [f ′ (x)]2dx.

Similarmente, para una curva suave dada por x = g (y) , la longitud de arco de g entre c y d es

s =

� d

c

�1 + [g′ (y)]2dy.

Para ejemplos y ejercicios complementarios vea la sección 4.2 del libro Matemáticas 2, Cálculo Integral

de Ron Larson, Robert P. Hostetler y Bruce H. Edwards. Ed. Mc Graw Hill, 2009.

Ejemplos

1. Longitud de un segmento de recta. Calcular la longitud de arco de (x1, y1) a (x2, y2) en la gráfica

de f (x) = mx+ b, como se muestra en la Figura.

f ′ (x) = m → m =y2 − y1x2 − x1

;

s =

� x2

x1

�1 + [f ′ (x)]2dx =

� x2

x1

�

1 +

�y2 − y1x2 − x1

�2dx =

�(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

(x2 − x1)2(x) |x2x1;

=

�(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

(x2 − x1)2(x2 − x1) =

�(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2;

que es la fórmula para la distancia entre dos puntos.

108

2. Determinar la longitud del arco de la función y =x3

6+

1

2xen el intervalo x ∈

�1

2, 2

�.

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4

1

2

3

x

y

f ′ (x) =dy

dx=

1

2x2 − 1

2x2=

1

2

�x2 − 1

x2

�;

s =

� 2

1/2

�

1 +

�1

2

�x2 − 1

x2

��2dx =

� 2

1/2

�

1 +1

4

�x4 − 2− 1

x4

�dx;

=

� 2

1/2

�1

4x4 +

1

2+

1

4x4dx =

� 2

1/2

�1

4

�x4 + 2 +

1

x4

�dx;

=1

2

� 2

1/2

��x2 +

1

x2

�2dx =

1

2

� 2

1/2

�x2 +

1

x2

�dx;

=1

2

�1

3x3 − 1

x

�|21/2 =

1

2

��8

3− 1

2

�−�

1

24− 2

��;

=33

16u = 2. 063u.

109

3. Calcular la longitud de arco de la función (y − 1)3 = x2 en el intervalo x ∈ [0, 8].

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

x

y

a) Despejando x :

x2 = (y − 1)3 ;

x = (y − 1)3/2 ;

Intervalo en y :

x = 0, 0 = (y − 1)3 → y = 1;

x = 8, 641/3 = (y − 1)3 → y = 5;

g′ (y) =dx

dy=

3

2(y − 1)1/2 ;

s =

� 5

1

�

1 +

�3

2(y − 1)1/2

�2dy =

� 5

1

�

1 +

�9

4y − 9

4

�dy =

� 5

1

�9

4y − 5

4dy;

=1

2

� 5

1

�9y − 5dy =

1

27(9y − 5)3/2 |51 =

1

27

(45− 5)3/2 − (9− 5)3/2

;

= 9. 073u.

110

b) Despejando y :

x2 = (y − 1)3 ;

y = x2/3 + 1;

f ′ (x) =dy

dx=

2

3x−1/3;

s =

� 8

0

�

1 +

�2

3x−1/3

�2dx =

� 8

0

�1 +

4

9x2/3dx =

� 8

0

�9x2/3 + 4

9x2/3dx;

=

� 8

0

1

3x1/3

�9x2/3 + 4dx =

1

18

� 8

0

6

x1/3

�9x2/3 + 4dx→ u = 9x2/3 + 4, du =

6dx

x1/3;

s =1

18

2

3

�9x2/3 + 4

�3/2 |80 =1

27

�9 (8)2/3 + 4

3/2−9 (0)2/3 + 43/2

�=

1

27(252. 98− 8) ;

= 9. 073u.

111

4. Determinar la longitud de arco de la función y = ln (cosx) de x = 0 a x =π

4.

-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

x

y

f ′ (x) =dy

dx= − sin x

cosx= − tanx;

s =

� π/4

0

�1 + (− tan x)2dx =

� π/4

0

�1 + tan2 xdx =

� π/4

0

√sec2 xdx;

=

� π/4

0

secxdx = (ln |secx+ tanx|) |π/40 = ln��sec

π

4+ tan

π

4

��− ln |sec 0 + tan 0| ;

= 0.881u.

112

5. Longitud de un cable. Un cable electrico cuelga entre dos torres que están a 200 pies de distancia.

El cable toma la forma de una catenaria cuya ecuación es y = 150 cosh x

150

. Encontrar la longitud

de arco del cable entre las dos torres.

sinhu =eu − e−u

2; coshu =

eu + e−u

2. y = 75

�ex/150 + e−x/150

�.

f ′ (x) =dy

dx= 75

�1

150ex/150 − 1

150e−x/150

�=

1

2

�ex/150 − e−x/150

�;

(y′)2

=1

4

�ex/75 − 2 + e−x/75

�=

1

4ex/75 − 1

2+

1

4e−x/75;

1 + (y′)2

=1

4ex/75 +

1

2+

1

4e−x/75 =

1

4

�ex/75 + 2 + e−x/75

�=

1

4

�ex/150 + e−x/150

�2;

s =

� b

a

�1 + (y′)2dx =

� 100

−100

�1

4(ex/150 + e−x/150)

2dx =

1

2

� 100

−100

�ex/150 + e−x/150

�dx;

=1

2

�150ex/150 − 150e−x/150

�|100−100 = 75

�ex/150 − e−x/150

�|100−100;

= 75��e100/150 − e−100/150

�−�e−100/150 − e100/150

��;

= 75��e2/3 − e−2/3

�−�e−2/3 − e2/3

��= 75

�2e2/3 − 2e−2/3

�= 150

�e2/3 − e−2/3

�;

= 215. 15 pies.

113

Ejercicios

Graficar y determinar la longitud de arco para las funciones indicadas en el intervalo correspondiente.

Escribir los resultados en fracción y con tres decimales.

1. y =2

3x3/2 + 1, x ∈ [0, 1]

2. y =3

2x2/3, x ∈ [1, 8]

3. y =x4

8+

1

4x2, x ∈ [1, 2]

4. x =1

3(y2 + 2)

3/2, 0 ≤ y ≤ 4

5. y = ln (sin x) , x ∈�π

4,3π

4

�

6. y =1

2(ex + e−x) , x ∈ [0, 2]

7. Encontrar la longitud de arco de (−3, 4) en el sentido de las manecillas del reloj en (4, 3) a lo largo

de la circunferencia x2 + y2 = 25. Mostrar que el resultado es una cuarta parte de la circunferencia.

8. Encontrar el perímetro del astroide cuya función está dada por x2/3 + y2/3 = 4.

9. Los cables alambres electricos suspendidos entre dos torres forman una catenaria modelada por la

ecuación y = 20 cosh x20

, −20 ≤ x ≤ 20 donde x y y son medidos en metros. Encontrar la longitud

del cable suspendido entre las dos torres.

10. Un granero tiene 100 pies de largo y 40 de ancho. Una sección transversal del tejado es una catenaria

invertida y = 31− 10�ex/20 + e−x/20

�. Encontrar el número de pies cuadrados de techo del granero.

11. Determine el área de la superficie de una esfera de radio r que se genera al girar la región acotada

por la gráfica de y =√r2 − x2 alrededor del eje x.

114

12. Una bombilla ornamental se diseña al girar la gráfica y =1

3x1/2 − x3/2 alrededor del eje x en el

intervalo 0 ≤ x ≤ 1

3, x y y son medidos en pies.

a) Encontrar el área de la superficie de la bombilla.

b) Utilizar el resultado anterior para aproximar la cantidad de vidrio necesario para hacer la

bombilla, (asumir que el vidrio es de 0.015 pulgadas de espesor).

c) Utilice Scientific Workplace para realizar un modelo bidimensional de la bombilla.

d) Utilice Matlab para realizar un modelo tridimensional de la bombilla.

13. Encontrar la longitud de arco de (−6, 8) en el sentido de las manecillas del reloj en (8,−6) a lo largode la circunferencia x2 + y2 = 100. Grafique la circunferencia y señale al arco a calcular. (Radianes).

14. Los cables alambres electricos suspendidos entre dos torres forman una catenaria modelada por la

ecuación y = 50 cosh x50

, −50 ≤ x ≤ 50 donde x y y son medidos en metros. Encontrar la longitud

del cable suspendido entre las dos torres. Grafique y determine la longitud de arco de la función en

el intervalo indicado.

15. El arco Gateway en St. Louis, Missouri, se modela por y = 693.8597 − 68.7672 cosh (0.0100333x) ,

−299.2239 ≤ x ≤ 299.2239.

a) Graficar la curva.

b) Encontrar la longitud de arco de la curva (Realizar el cálculo de la integral definida con un

programa).

16. Un cable para un puente suspendido tiene la forma de una párabola con la ecuación y = kx2. Sea

h para representar la altura del cable de su punto más bajo a su punto más alto y sea 2w para

representar la anchura total del puente. Determine la integral definida que representa la longitud del

cable C.

115

17. El Humber Bridge, tiene una anchura principal de aproximadamente 1400 metros. Cada una de

sus torres tiene una altura de aproximadamente 155 metros. Usar estas dimensiones y la integral

del ejercicio anterior para determinar la longitud de un cable parábolico a lo largo de la anchura

principal.

18. Grafique y determine la longitud de arco de la función y = ln

�ex + 1

ex − 1

�en el intervalo x ∈ [ln 2, ln 3].

Nota. El área de una superficie de revolución es: S = 2π

� b

a

r (x)�

1 + [f ′ (x)]2dx, donde r (x) es la

distancia entre la gráfica de f (x), y el eje de revolución.

116

3.3. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución

3.3.1. El método de los discos

Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de discos, usar una de las siguientes

fórmulas

Eje de revolución horizontal : V = π

� b

a

[R (x)]2 dx

Eje de revolución vertical : V = π

� d

c

[R (y)]2 dy

117

Ejemplo

Calcular el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica: f (x) =√sin x y la

recta y = 0 en el intervalo 0 ≤ x ≤ π, cuando gira con respecto al eje x.

Calcular el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica: f (x) =√sin x y la recta

y = 0 en el intervalo 0 ≤ x ≤ π, cuando gira con respecto al eje x.

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1−1

−0.5

0

0.5

1

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

y

π

� b

a

[R (x)]2 dx = π

� π

0

√sin x

2dx = π

� π

0

sin xdx = −π (cos x) |π0 ;

= π (− cosπ + cos 0) = π (1 + 1) = 2π u3.

Código en Matlab

clc; clear all; close all;

figure(1)

set(figure(1),’Color’,’w’);

x=0:pi/20:pi;

y=sqrt(sin(x));

[X,Y,Z]=cylinder(y);

surf(Z,X,Y); hold on;

118

x0=1;y0=5;width=3.5;height=4;

set(gcf,’units’,’inches’,’position’,[x0,y0,width,height]);

119

Ejercicios

Calcular el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráficas dadas en el intervalo

indicado. Graficar el modelo en 2D y 3D. Escribir los resultados en fracción y con tres decimales. No

aproximar π.

1. y =√x, en el intervalo 0 ≤ x ≤ 4 cuando gira alrededor del eje x.

2. y = x2 + 1, y el eje x en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2, alrededor del eje x.

3. y = x3 y el eje x en el intervalo 0 ≤ x ≤ 3, alrededor del eje x.

4. y =1

xy el eje x en el intervalo 2 ≤ x ≤ 4, alrededor del eje x.

5. y =√9− x2 y el eje x en el intervalo −2 ≤ x ≤ 3, alrededor del eje x.

6. x = 2√y y el eje y en el intervalo 0 ≤ y ≤ 4, alrededor del eje y.

7. y = x2/3 y el eje x en el intervalo 1 ≤ x ≤ 27, alrededor del eje x.

8. x = y3/2 y el eje y en el intervalo 0 ≤ y ≤ 9, alrededor del eje y.

9. x2 + y = 4, acotada en el primer cuadrante. Calcular el volumen al girar la región a) con respecto al

eje x y b) con respecto al eje y.

10. y =√x y las rectas y = 1 y x = 4, alrededor de la recta y = 1.

11. y =√a2 − x2, alrededor del eje x.

12. Un tanque en el ala de una avión de motor de reacción tiene la forma de un solido de revolución

generado al girar la región acotada por la gráfica y = 18x2√2− x y la recta y = 0 alrededor del eje x,

donde x y y son medidos en metros. Determinar los puntos de intersección con el eje x y encontrar

el volumen del tanque.

120

13. Un cono se forma al girar una linea recta alrededor de alguno de los ejes coordenados. Determine la

fómula para calcular el volumen de un cono de altura h y radio r. Grafique el modelo en 2D y 3D

utilizando h = 8cm y r = 2cm.

14. y =√x y la recta x = 4, alrededor de la recta y = 1.

121

3.3.2. El método de las arandelas

Considerar una región acotada por un radio exterior R (x) y un radio interior r (x). Si la región se gira

alrededor de su eje de revolución, el volumen del sólido resultante esta dado por

V = π

� b

a

�[R (x)]2 − [r (x)]2

�dx.

observar que la integral que contiene el radio interior representa el volumen del hueco y se resta de la

integral que contiene el radio exterior.

122

Ejemplo

Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de y =√x y y = x2

alrededor del eje x.

00.5

1−10

1

−1

−0.5

0

0.5

1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

√x = x2;

x4 − x = x�x3 − 1

�= 0;

x1 = 0, x2 = 1.

V = π

� 1

0

�√x�2 −

�x2�2

dx;

= π

� 1

0

�x− x4

�dx = π

�1

2x2 − 1

5x5�|10;

= π

�1

2− 1

5

�=

3

10π u3 = 0.3π u3.

123

Código en Matlab

clc; clear all; close all;

figure(1)


x=0:1/10:1;

y=sqrt(x);


surf(Z,X,Y);

hold on;

z=x.^2;

[X,Y,Z]=cylinder(z);

surf(Z,X,Y);



Ejercicios



aproximar π.

1. y = 6x y y = 6x2 alrededor del eje x.

2. x− 2y = 0 y y2 = 4x alrededor del eje x.

3. y = x2 y y = 4x− x2, alrededor del eje x.

4. y = 6− 2x− x2 y y = x+ 6 alrededor del eje x.

5. y =√x, y = −1

2x+ 4, x = 0 y x = 8 alrededor del eje x.

6. y = x2 + 1, y = −x2 + 2x+ 5, x = 0, x = 3 alrededor del eje x.

124

7. f (x) = 6 y g (x) = x2 + 2 alrededor del eje x.

8. Un fabricante taladra un orificio a través del centro de un esfera de metal de 7 pulgadas de radio. El

orificio tiene un diámetro de 7 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del objeto de metal resultante?

9. Demostrar mediante el método de Arandelas o de Capas que le volumen de un toroide está dado por:

2Rπ2r2u3. Grafique el toroide al utilizar R = 3m y r = 1m en 2D y 3D. Calcule el volumen con los

datos indicados.

10. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica: f (x) = −x2 + 2 y

la recta y = 1.

a) Por los métodos de discos y capas cuando gira alrededor de y = 1.

b) Por los métodos de arandelas y capas cuando gira alrededor del eje x.

11. Encontrar el volumen generado por la intersección de la función y =√x con las rectas y = 0 y

x = 4, cuando gira alrededor del eje y.

a) Por el método de arandelas.

b) Por el método de capas.

12. Calcular el volumen generado por el triangulo con vertices (1, 1) , (1, 2) , (2.2) :

a) Al girar alrededor del eje x por los métodos de arandelas y capas.

b) Al girar alrededor del eje y por los métodos de arandelas y capas.

125

3.3.3. El método de capas

Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de capas, usar alguna de las

siguientes fórmulas

Eje de revolución horizontal (x) : V = 2π

� d

c

p (y) h (y) dy

Eje de revolución vertical (y) : V = 2π

� b

a

p (x) h (x) dx

126

Ejemplos

1. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de x = e−y2

y el

eje y en el intervalo 0 ≤ y ≤ 1, alrededor del eje x.

00.5

1

−1

0

1−1

−0.5

0

0.5

1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

V = 2π

� 1

0

ye−y2

dy =−πe−y2

|10 = π

−e−(1)

2+e−(0)

2

= π�−e−1 + 1

�= 0.632π u3.

Código en Matlab

figure(1)


x=exp(-1):(1-exp(-1))/15:1;

y=sqrt(-log(x));


surf(Z,X,Y); hold on;



127

2. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de y = x3+x+1,

y = 1 y x = 1 alrededor de la recta x = 2.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

x

y

128

V = 2π

� 1

0

(2− x)�x3 + x+ 1− 1

�dx;

= 2π

� 1

0

(2− x)�x3 + x

�dx;

= 2π

� 1

0

�−x4 + 2x3 − x2 + 2x

�dx;

= 2π

�−1

5x5 +

1

2x4 − 1

3x3 + x2

�|10;

= 2π

�−1

5(1)5 +

1

2(1)4 − 1

3(1)3 + (1)2

�;

= 2π

�29

30

�;

=29

15π u3 = 1. 933π u3.

129

Ejercicios



aproximar π.

*Graficar solamente el modelo en 2D.

1. y = x− x3 y el eje x, en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1, alrededor del eje y.∗

2. y =√x y y = x2 alrededor del eje x.

3. y =√x y las rectas y = 1 y x = 4, alrededor de la recta y = 1.

4. y = x2 + 1 y las rectas y = 0, x = 0 y x = 1, alrededor del eje y.∗

5. y =4

3x, el eje x, la recta x = 3, alrededor del eje y.

6. y =1

xy las rectas x = 1, x = 4 y y = 0, alrededor del eje y.∗

7. y = x, x = 2, y = 0, alrededor del eje x.

8. y =1

x, x = 1, x = 2, y = 0, alrededor del eje x.

9. x+ y = 4, y = x y la recta y = 0, alrededor del eje x.∗

10. y =√x y las rectas x = 5 y y = 0, alrededor de la recta x = 5.

11. y =√x y las rectas x = 3, y = 0 y x = 3 alrededor del eje y.

12. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de y =1

9(x+ 6)3 + x+ 8, y = 1, y = 8, x = −6, x = −2 alrededor de la recta x = −1.∗

130

13. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de y =1

9x3+x+2,

y = 1, y = 8, x = 0, x = 4 alrededor de la recta x = 5.∗

14. x = y − y3 acotada en el primer cuadrante cuando gira alrededor del eje x.∗

15. Un pontón se diseña al girar la región y = 2− x2

18al rededor de la recta y = 0. Las medidas del sólido

están dadas en metros.

a) Determinar el volumen del pontón utilizando el método de discos.

b) Determinar el volumen del pontón utilizando el método de capas.

c) Utilice Scientific Workplace para realizar un modelo bidimensional del pontón.

d) Utilice Matlab para realizar un modelo tridimensional del pontón.

131

3.4. Cálculo de centroides

Momentos y centros de masa de una lámina plana

Sean f y g funciones continuas tal que f (x) ≥ g (x) en [a, b] , y considerar la lámina plana de densidad

uniforme ρ limitada por las gráficas

y = f (x) , y = g (x) , y a ≤ x ≤ b.

1. Los momentos respecto al eje x y y son

Mx = ρ

� b

a

�f (x) + g (x)

2

�[f (x)− g (x)] dx;

My = ρ

� b

a

x [f (x)− g (x)] .

2. El centro de masa (x, y) está dado por

x =My

m;

y =Mx

m;

donde

m = ρ

� b

a

[f (x)− g (x)] dx = ρA;

es la masa de la lámina y ρ la densidad de la lámina.

Si f y g son funciones de y en [a, b] , entonces, los momentos respecto al eje x y y son:

Mx = ρ

� b

a

y [f (y)− g (y)] dy;

My = ρ

� b

a

�f (y) + g (y)

2

�[f (y)− g (y)] dy.

132

Ejemplo

Calcular el centroide de la región limitada por las gráficas de f (x) = 4 − x2 y g (x) = x + 2, y de

densidad uniforme ρ.

-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

-1

1

2

3

4

5

x

y

Intersecciones de las funciones f (x) y g (x):

f (x) = g (x) ;

4− x2 = x+ 2;

x2 + x− 2 = 0;

(x+ 2) (x− 1) = 0;

x1 = −2, x2 = 1.

133

Los momentos respecto al eje x y y son:

Mx =ρ

2

� 1

−2

�4− x2 + (x+ 2)

� �4− x2 − (x+ 2)

�dx;

=ρ

2

� 1

−2

�−x2 + x+ 6

� �−x2 − x+ 2

�dx;

=ρ

2

� 1

−2

�x4 − 9x2 − 4x+ 12

�dx;

=ρ

2

�1

5x5 − 3x3 − 2x2 + 12x

�|1−2;

=ρ

2

��1

5(1)5 − 3 (1)3 − 2 (1)2 + 12 (1)

�−�1

5(−2)5 − 3 (−2)3 − 2 (−2)2 + 12 (−2)

��;

=ρ

2

�36

5+

72

5

�;

=54

5ρ.

My = ρ

� 1

−2x�4− x2 − (x+ 2)

�dx;

= ρ

� 1

−2

�−x3 − x2 + 2x

�dx;

= ρ

�−1

4x4 − 1

3x3 + x2

�|1−2;

= ρ

��−1

4(1)4 − 1

3(1)3 + (1)2

�−�−1

4(−2)4 − 1

3(−2)3 + (−2)2

��;

= ρ

�5

12− 8

3

�;

= −9

4ρ.

134

Masa de la lámina:

m = ρ

� 1

−2

�4− x2 − (x+ 2)

�dx;

= ρ

� 1

−2

�−x2 − x+ 2

�dx;

= ρ

�−1

3x3 − 1

2x2 + 2x

�|1−2;

= ρ

��−1

3(1)3 − 1

2(1)2 + 2 (1)

�−�−1

3(−2)3 − 1

2(−2)2 + 2 (−2)

��;

= ρ

�7

6+

10

3

�;

=9

2ρ.

El centro de masa de la lámina es:

x =My

m=−94ρ

92ρ

= −1

2;

y =Mx

m=

545ρ

92ρ

=12

5;

(x, y) =

�−1

2,12

5

�= (−0.5, 2. 4) .

135

Ejercicios

Graficar y encontrar el centroide para las láminas de densidad uniforme ρ acotadas por las gráficas de las

ecuaciones dadas. Escribir los resultados en fracción y con tres decimales.

1. f (x) = 4− x2 y el eje x.

2. y =√x, y = 0, x = 4.

3. y = x2, y = x3.

4. y = x2, y − x = 2.

5. y = −x2 + 4x+ 2, y = x+ 2.

6. y2 + x = 1, y + x = −1.

7. x = −y, x = 2y − y2.

8. y = x3, y = x1/5 y el primer cuadrante.

9. f (x) =1

4x2, g (x) =

√4x.

10. y = x2/3, y = 0, x = 8.

11. y = x2, y = 0, x = 1.

12. y = x3, y = 0, x = 3.

13. y =√x, y = 0, x = 1, x = 4.

14. x = 4− y2, x = 0.

136

15. y = 1/x2 y y = x/4, y las rectas x = 1/2, x = 6/5.

16. y = 2x+ 4, y las rectas y = 0, x = 0 y x = 2.

17. f (x) = x y g (x) = x2.

18. y = 1/x3 y las rectas y = 0, x = 1, x = 3.

19. y = x3 y y = x1/3 en el primer cuadrante.

20. Para la región acotada por las rectas x = −2, x = 2, y = 0 y la curva definida por la función

correspondiente a la ecuación cartesiana de la “Bruja de Agnesi” tomando el valor a = 1.

a) Determine el centroide de la región.

b) Determine la ecuación de la circunferencia correspondiente a la “Bruja de Agnesi”.

c) Utilice Scientific Workplace para graficar: la región, la circunferencia correspondiente e indicar

el centroide.

137


Instrucciones.





b) Graficar funciones.

c) Evaluar funciones.

d) Calcular integrales definidas.

e) Calcular integrales indefinidas.

f ) Graficar el modelo en 2D.

g) Indicar el centroide.

Práctica con Matlab.

a) Realizar el modelo del sólido de revolución en tres dimensiones.

Tarea a mano.





138

Sea f (x) la línea recta y g (x) la parábola con vértice V (0, 4), como se muestra en la siguiente figura:

-1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

2

4

6

8

10

12

14

x

y

Realice lo siguiente:

a) Obtenga el área entre las curvas f (x) y g (x).

b) Calcule la longitud de arco de la funciones f (x) y g (x) en el intervalo x ∈�−3

2,1

2

�.

c) Determine el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la intersección de las

funciones con respecto al eje x mediante los métodos de arandelas y capas.

d) Localice el centroide de la lámina formada por la intersección de las funciones f (x) y g (x).

139


Instrucciones.





b) Graficar funciones.

c) Evaluar funciones.

d) Calcular integrales definidas.

e) Calcular integrales indefinidas.

f ) Graficar el modelo en 2D.

g) Indicar el centroide.

Práctica con Matlab.

a) Realizar el modelo del sólido de revolución en tres dimensiones.

Tarea a mano.





140

Sea f (x) la curva suave y g (x) la línea recta, como se muestra en la siguiente figura:

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

y

Realice lo siguiente:

a) Obtenga el área entre las curvas f (x) y g (x).

b) Calcule la longitud de arco de la funciones f (x) y g (x) en el intervalo x ∈ [0, 1].

c) Determine el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la intersección de las

funciones con respecto al eje x mediante los métodos de arandelas y capas.

d) Localice el centroide de la lámina formada por la intersección de las funciones f (x) y g (x).

141

Capítulo 4

Series



Temas

4.1 Definición de serie

4.2 Criterios para convergencia y divergencia de series (6 horas)

4.2.1 Criterio del término n−ésimo

4.2.2 Criterio de series geométricas

4.2.3 Criterio de las p−series4.2.4 Criterio de las series alternadas

4.2.5 Criterio de la integral - Series telescópicas

4.2.6 Criterio del cociente

4.2.7 Criterio de la raíz

4.2.8 Ejercicios

4.4 Series de potencias. (4 horas)

4.5 Representación de funciones mediante series de Taylor y Maclaurin. (5 horas)

Bibliografía: Larson, Hostetler, Edwards. Cálculo, Sexta edición Vol. 1. Ed. Mc Graw Hill. 1999.

142

4.1. Definición de serie

Si {an} es la sucesión a1, a2, a3, ..., an, ..., entonces la suma de los términos

a1 + a2 + a3+, ...+ an + ...

se llama serie infinita. Las an, n = 1, 2, 3, ..., se denominan los términos de la serie y an se llama el

término general. De manera compacta se puede escribir la serie como

∞�

n=1

an.

Sucesión: Es un conjunto ordenado de términos en el cual el orden en que aparecen es relevante.

Series convergentes y divergentes

La n− esima suma parcial de la serie Σan viene dada por

Sn = a1 + a2 + a3+, ...+ an.

Si la sucesión de sumas parciales {Sn} converge a S, se dice que la serie Σan converge, de lo contrario se

dice que la serie diverge. El límite S se llama suma de la serie.

143

4.2. Criterios para convergencia y divergencia de series

4.2.1. Criterio del término n−ésimo

Si la sucesión {an} no converge a 0, la serie Σan es divergente.

Nota. Este teorema no dice que si {an} converge a 0, la serie Σan tenga que ser necesariamente

convergente. (Si converge a cero no se puede asegurar que la serie sea convergente o divergente).

Ejemplos

Determinar si la serie converge o diverge, si converge calcular el valor de la serie.

1.∞�

n=1

1

2n= 1

Criterio del término n− ésimo :

lımn→∞

1

2n= 0;

No se puede determinar divergencia.

Sumas parciales :

S1 =1

2;

S2 =1

2+

1

4=

3

4;

S3 =1

2+

1

4+

1

8=

7

8;

Sn =1

2+

1

4+

1

8+ ... +

1

2n=

2n − 1

2n;

Cálculo de la serie :∞�

n=1

1

2n= lım

n→∞

2n − 1

2n= 1;

La serie converge;

144

2.∞�

n=1

1 =∞


lımn→∞

1 = 1;

La serie diverge.

Sumas parciales :

S1 = 1;

S2 = 1 + 1 = 2;

S3 = 1 + 1 + 1 = 3;

Sn = 1 + 1 + 1 + ...+ 1 = n;


n=1

1 lımn→∞

n = ∞;

3.∞�

n=1

n!

2n! + 1= undecidable


lımn→∞

n!

2n! + 1= lım

n→∞

n!n!

2n!n!+ 1

n!

= lımn→∞

1

2 + 1n!

=1

2;

La serie diverge.

4.∞�

n=1

1

n=∞


lımn→∞

1

n= 0;

No se puede determinar divergencia.

145

4.2.2. Criterio de series geométricas

Una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece

constante. En general, la serie dada por

∞�

n=0

arn = a+ ar + ar2+, ...,+arn+, ..., a �= 0;

es una serie geométrica de razón r. Una serie geométrica de razón r diverge si |r| ≥ 1. Si 0 < |r| < 1,

entonces la serie converge a la suma

∞�

n=0

arn =a

1− r , 0 < |r| < 1.

Ejemplos


1.∞�

n=1

1

2n= 1

Criterio de series geométricas :∞�

n=1

1

2n=

∞�

n=1

�1

2

�n;

a = 1;

r =1

2;

0 < |r| < 1, La serie converge;


n=1

1

2n=

a

1− r −1

2n |n=0=

1

1− 12

− 1

20= 2− 1 = 1.

146

2.∞�

n=0

3

2n= 6


n=0

3

2n=

∞�

n=0

3

�1

2

�n;

a = 3;

r =1

2;

0 < |r| < 1, La serie converge;


n=0

3

2n=

a

1− r =3

1− 1

2

= 6.

3.∞�

n=0

3n

2n=∞


n=0

3n

2n=

∞�

n=0

�3

2

�n;

a = 1;

r =3

2;

|r| ≥ 1, La serie diverge;

Cálculo de la serie :

∞�

n=0

3n

2n= ∞.


lımn→∞

�3

2

�n= ∞, La serie diverge.

147

4.2.3. Criterio de las p−series

La p− serie∞�

n=1

1

np=

1

1p+

1

2p+

1

3p+

1

4p+ ...

Coverge si p > 1 y Diverge si 0 < p ≤ 1.

Ejemplos

Determine si la siguiente serie converge o diverge.

1.∞�

n=1

1

n=∞

Criterio de las p− series :

p = 1, 0 < p ≤ 1;

La serie diverge.

2.∞�

n=1

(n2 + 1)2

n6=

1

6π2 +

1

45π4 +

1

945π6

∞�

n=1

(n2 + 1)2

n6=

∞�

n=1

�1

n2+

2

n4+

1

n6

�

Criterio de las p− series :

p = 2, 4, 6 p > 1;

La serie converge.

148

4.2.4. Criterio de las series alternadas

Sea an > 0. Las series alternadas

∞�

n=1

(−1)n an y∞�

n=1

(−1)n+1 an

convergen siempre que se satisfagan estas dos condiciones

1. lımn→∞

an = 0 2. 0 < an+1 ≤ an, para todo n.

Ejemplos

1.∞�

n=1

(−1)n+1 1n= ln 2

Criterio de las series alternadas :

an =1

ny an+1 =

1

n+ 1;

Para n = 1 : 0 < an+1 ≤ an

0 <1

2≤ 1

1;

lımn→∞

an = lımn→∞

1

n= 0;

La serie converge.

149

2.∞�

n=1

(−1)n+1 (n+ 1)

n= undefined

Criterio de las series alternadas :

an =n+ 1

ny an+1 =

n+ 2

n+ 1;

Para n = 1 : 0 < an+1 ≤ an

0 <3

2≤ 2

1;

lımn→∞

an = lımn→∞

n+ 1

n= 1;

El criterio no concluye.


n=1

(−1)n+1 (n+ 1)

n= −

∞�

n=1

(−1)n (n+ 1)

n

a = 1;

r = 1;

|r| ≥ 1,

La serie diverge;


lımn→∞

n+ 1

n= 1;

La serie diverge.

150

4.2.5. Criterio de la integral - Series telescópicas

Si f es positiva, continua y decreciente para x ≥ 1 y an = f (n) , entonces

∞�

n=1

an y� ∞

1

f (x) dx;

convergen o divergen ambas simultáneamente.

Una serie telescópica es de la forma

(b1 − b2) + (b2 − b3) + (b3 − b4) + (b4 − b5) + ... (bn − bn+1) + ...

y converge si y sólo si bn tiende a un número finito cuando n→∞.

Ejemplos


1.1

2+

1

6+

1

12+

1

20+

1

30+ ...

Cálculo de la serie :

1

2+

1

6+

1

12+

1

20+

1

30+ ... =

∞�

n=1

1

n2 + n;

Criterio de la integral : Fracciones parciales� ∞

1

f (x) dx =

� ∞

1

1

x2 + xdx =

� ∞

1

1

x (x+ 1)dx =

� ∞

1

�1

x− 1

x+ 1

�dx;

= lımb→∞

� b

1

�1

x− 1

x+ 1

�dx = lım

b→∞(ln x− ln (x+ 1))b1 = lım

b→∞

�ln

x

x+ 1

�b

1

;

= lımb→∞

�ln

b

b+ 1− ln

1

2

�= ln 1− ln

1

2= − ln

1

2= ln 2;

La serie converge;

151

Criterio de series telescópicas :∞�

n=1

�1

n− 1

n+ 1

�=

∞�

n=1

(bn − bn+1) ;

lımn→∞

bn = lımn→∞

1

n= 0 = L;

La serie converge;

Cálculo de la suma : Por el criterio∞�

n=1

�1

n− 1

n+ 1

�= b1 − L =

1

n |n=1− 0 = 1.

Cálculo de la suma : Sumas parciales∞�

n=1

1

n2 + n=

∞�

n=1

�1

n− 1

n+ 1

�= Sa − Sb;

Sa = 1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5;

Sb = −1

2− 1

3− 1

4− 1

5;

∞�

n=1

1

n2 + n=

∞�

n=1

�1

n− 1

n+ 1

�=

�1− 1

2

�+

�1

2− 1

3

�+

�1

3− 1

4

�... = 1.

152

4.2.6. Criterio del cociente

Sea Σan una serie con término no nulos.

1. Σan es absolutamente convergente si lımn→∞

��an+1an

�� < 1.

2. Σan es divergente si lımn→∞

��an+1an

�� > 1 o si lımn→∞

��an+1an

�� =∞.

3. El criterio del cociente no es concluyente si lımn→∞

��an+1an

�� = 1.

Ejemplos

Determine si las siguientes series convergen o divergen.

1.∞�

n=0

2n

n!= e2

Criterio del cociente :

lımn→∞

��an+1an

�� = lımn→∞

�2n+1

(n+ 1)!÷ 2n

n!

�= lım

n→∞

�2n+1

(n+ 1)!· n!2n

�= lım

n→∞

2

(n+ 1)= 0 < 1;

n!

(n+ 1)!=

n!

(n+ 1)n!=

1

n+ 1;

La serie converge.

2.∞�

n=1

nn

n!=∞

Criterio del cociente :

lımn→∞

��an+1an

�� = lımn→∞

�(n+ 1)n+1

(n+ 1)!÷ nn

n!

�

= lımn→∞

�(n+ 1)n+1

(n+ 1)!· n!nn

�

;

= lımn→∞

�(n+ 1)n (n+ 1)

(n+ 1)· 1

nn

�= lım

n→∞

�(n+ 1)n

nn

�;

= lımn→∞

�n+ 1

n

�n= lım

n→∞

�1 +

1

n

�n= e ≈ 2. 718 3 > 1;

La serie diverge.

153

4.2.7. Criterio de la raíz

Sea Σan una serie con término no nulos.

1. Σan es absolutamente convergente si lımn→∞

n

�|an| < 1.

2. Σan es divergente si lımn→∞

n

�|an| > 1 o si lım

n→∞n

�|an| =∞.

3. El criterio de la raíz no es concluyente cuando lımn→∞

n

�|an| = 1.

Ejemplos

Determine si las siguientes series convergen o divergen.

1.∞�

n=1

e2n

nn= 60. 386

Criterio de la raíz :

lımn→∞

n

�|an| = lım

n→∞n

��e2n

nn

�� = lımn→∞

e2n/n

nn/n= lım

n→∞

e2

n= 0 < 1;

La serie converge.

2.∞�

n=1

�6n2

2n2 + 1

�n=∞

Criterio de la raíz :

lımn→∞

n

�|an| = lım

n→∞n

��

�6n2

2n2 + 1

�n�� = lımn→∞

�6n2

2n2 + 1

�n/n;

= lımn→∞

6n2

2n2 + 1= lım

n→∞

�6

2 + 1n2

�= 3 > 1;

La serie diverge.

154

Ejercicios

Determinar si la serie dada es convergente o divergente, si converge, calcular el valor de la serie. Indicar

el criterio utilizado.

1.∞�

n=1

n

n+ 1

2.∞�

n=1

2

�−1

2

�n

3.∞�

n=1

n

2n+ 3

4.∞�

n=0

n22n+1

3n

5.∞�

n=1

(2 n√n+ 1)

n

6. 1 +13√4+

13√9+

13√16

+1

3√25

+ ...

7. 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ...

8.∞�

n=1

2n + 1

2n+1

9.∞�

n=1

2n

n2

10.∞�

n=2

(−1)n(lnn)n

11.∞�

n=2

1

n2 − 1

155

12.∞�

n=0

23n

4n

13.∞�

n=1

� −2n3n+ 1

�3n

14.∞�

n=1

n√n2 + 1

15.∞�

n=0

3n

(n+ 1)n

16.∞�

n=0

(0.9)n

17.∞�

n=0

�1

2n− 1

3n

�

18.∞�

n=1

n

n2 + 1

19.1

(ln 3)3+

1

(ln 4)4+

1

(ln 5)5+

1

(ln 6)6+ ...

20. 3− 1 +1

3− 1

9+ ...

21. 2− 2

5+

2

25− 2

125+ ...

22.∞�

n=1

�n

2n+ 1

�n

23.∞�

n=1

1

n (n+ 2)

24.ln 2

2+

ln 3

3+

ln 4

4+

ln 5

5+

ln 6

6+ ...

156

25.∞�

n=0

n!

3n

26.∞�

n=0

e−n

27.∞�

n=0

(−0.6)n

28.∞�

n=1

1

(2n+ 1) (2n+ 3)

29.∞�

n=0

3n

n!

30. 1 +2

3+

3

32+

4

33+

5

34+

6

35+ ...

31.∞�

n=1

n

�2

3

�n

32.∞�

n=1

((0.7)n + (0.9)n)

33.∞�

n=1

�2n

n+ 1

�n

34.∞�

n=0

1 (1.055)n

35.∞�

n=1

n2

n2 + 1

36.∞�

n=1

(−1)n+1 (n+ 2)

n (n+ 1)

37.∞�

n=1

(−1)n√nn+ 1

157

4.3. Series de potencias

Si x es una variable, una serie de potencias es cualquier serie de la forma

∞�

n=0

anxn = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + ...+ anx

n + ...

Más en general, en cualquier serie de la forma

∞�

n=0

an (x− c)n = a0 + a1 (x− c) + a2 (x− c)2 + a3 (x− c)3 + ...+ an (x− c)n + ...

se dice que es una serie de potencias centrada en c, donde c es una constante.

Teorema. Convergencia de una serie de potencias

Para una serie de potencias centrada en c, exactamente una de estas tres afirmaciones es verdadera.

1. La serie converge sólo en c.

2. Existe un número real R > 0, tal que la serie es absolutamente convergente cuando |x− c| < R, y

diverge para |x− c| > R.

3. La serie es abosolutamente convergente para todo x real.

El número R es el radio de convergencia de la serie de potencias. Si la serie converge sólo en c, el

radio de convergencia es R = 0, y si converge en toda la recta real, el radio de convergencia es R =∞. El

conjunto de todos los valores de x en los que la serie de potencias es convergente constituye el intervalo

de convergencia de esa serie de potencias.

158

Ejemplos

Determinar el centro de la serie y cacular el radio de convergencia.

Nota: Utilizar el criterio del cociente.

1.∞�

n=0

n!xn

f (0) =∞�

n=0

n!0n = 1.

lımn→∞

��an+1an

�� = lımn→∞

��(n+ 1)!xn+1 · 1

n!xn

�� = lımn→∞

|x (n+ 1)| =∞;

Centro : c = 0;

Converge en su centro : |x| = 0;

Diverge si : |x| > 0;

Radio de convergencia : R = 0.

2.∞�

n=0

3 (x− 2)n

lımn→∞

��an+1an

�� = lımn→∞

��3 (x− 2)n+1 · 1

3 (x− 2)n

�� = lımn→∞

|x− 2| = |x− 2| ;

Centro : c = 2;

Converge si : |x− 2| < 1;

Diverge si : |x− 2| > 1;


159

3.∞�

n=1

�1

5x

�n

n3

lımn→∞

��an+1an

�� = lımn→∞

��

�1

5x

�n+1

(n+ 1)3· n3�1

5x

�n

��

= lımn→∞

��1

5x

n3

(n+ 1)3

�� =��1

5x

�� =1

5|x| ;

Centro : c = 0;

Converge si :1

5|x| < 1, |x| < 5;

Diverge si :1

5|x| > 1, |x| > 5;


4.∞�

n=0

(−1)n x2n+1(2n+ 1)!

lımn→∞

��an+1an

�� = lımn→∞

��(−1)n+1 x2n+3

(2n+ 3)!· (2n+ 1)!

(−1)n x2n+1

��;

= lımn→∞

��x2 (2n+ 1)!

(2n+ 3)!

�� =��

x2

(2n+ 3) (2n+ 2)

�� = 0;

n = 1 :3!

5!=

3 ∗ 2 ∗ 15 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 =

1

5 ∗ 4;

n = 2 :5!

7!=

5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 17 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 =

1

7 ∗ 6;

n = 3 :7!

9!=

7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 19 ∗ 8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 =

1

9 ∗ 8;

(2n+ 1)!

(2n+ 3)!=

1

(2n+ 3) (2n+ 2);

Centro : c = 0;

Converge para todo : x;

Radio de convergencia : R =∞.

160

Ejercicios

Determinar el centro de la serie y cacular el radio de convergencia.

1.∞�

n=0

(−1)n xn

n+ 1

2.∞�

n=1

(2x)n

n2

3.∞�

n=0

(2x)n

n!

4.∞�

n=0

4 (x− 1)2n

5.∞�

n=0

(2n)!xn

n!

6.∞�

n=0

(2x− 3)n (Reescribir)

161

Ejemplo

Cálcular radio de convergencia, intervalo de convergencia y definir el valor en que se centra la serie.

1.∞�

n=1

xn

n

lımn→∞

��an+1an

�� = lımn→∞

��xn+1

n+ 1· nxn

�� = lımn→∞

��xn

n+ 1

�� = |x| ;

Converge si : |x| < 1;

Diverge si : |x| > 1;

Radio de convergencia : R = 1;

Serie centrada en : c = 0;

Intervalo de convergencia : ?− 1, 1?;

Analizar los puntos terminales : −1, 1

f (1) =∞�

n=1

1

n; Diverge por criterio de las p− series.

f (−1) =∞�

n=1

(−1)nn

; Converge por criterio de las series alternadas.

Criterio : 0 < an+1 ≤ an y lımn→∞

an = 0; an =1

n;

: 0 <1

n+ 1≤ 1

ny lım

n→∞

1

n= 0;

Intervalo de convergencia : x ∈ [−1, 1) .

162

Ejercicios

Cálcular radio de convergencia, intervalo de convergencia y definir el valor en que se centra la serie.

1.∞�

n=0

x2

n

2.∞�

n=1

(−1)n xnn

3.∞�

n=0

xn

n!

4.∞�

n=0

(−1)n n! (x− 4)n

3n

5.∞�

n=1

(−1)n+1 xn4n

6.∞�

n=1

(−1)n+1 (x− 5)n

n5n

7.∞�

n=1

n

n+ 1(−2x)n−1

8.∞�

n=0

(x− 2)n+1

(n+ 1) 3n+1

163

4.4. Representación de funciones mediante series Taylor y

Maclaurin

Definición de polinomios y series de Taylor y MacLaurin

Si f tiene n derivadas de c, el polinomio

Pn (x) = f (c) + f ′ (c) (x− c) + f ′′ (c)

2!(x− c)2 + ...+ f (n) (c)

n!(x− c)n ;

se llama polinomio de Taylor de grado n de f en c. Si c = 0, entonces

Pn (x) = f (0) + f ′ (0) x+f ′′ (0)

2!x2 + ...+

f (n) (0)

n!xn;

se llama polinomio de Maclaurin de grado n.

Entonces,

∞�

n=0

f (n) (c)

n!(x− c)n y

∞�

n=0

f (n) (0)

n!xn;

se denominan series de Taylor y Maclaurin respectivamente.

164

Ejemplos

1. Calcular la serie de Maclaurin y el Polinomio de grado 4 de f (x) = ex.

Derivadas y evaluaciones:f (x) = ex f (0) = 1

d1

dx1(ex) = ex f ′ (0) = 1

d2

dx2(ex) = ex f ′′ (0) = 1

d3

dx3(ex) = ex f ′′′ (0) = 1

d4

dx4(ex) = ex f (4) (0) = 1

Polinomio de Maclaurin de grado 4:

P4 = 1 + x+1

2x2 +

1

3!x3 +

1

4!x4.

Serie de Maclaurin:∞�

n=0

1

n!xn.

Gráfica:

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

165

2. Calcular la serie de Taylor y el Polinomio de grado 4 de f (x) = ln x centrada en c = 1.

Derivadas y evaluaciones:

f (x) = ln x f (1) = 0

d1

dx1(ln x) =

1

xf ′ (1) = 1

d2

dx2(ln x) = − 1

x2f ′′ (1) = −1

d3

dx3(ln x) =

2

x3f ′′′ (1) = 2

d4

dx4(ln x) = − 6

x4f (4) (1) = −6

Polinomio de Taylor de grado 4:

P4 = (x− 1)− 1

2!(x− 1)2 +

2

3!(x− 1)3 − 6

4!(x− 1)4 ;

P4 = (x− 1)− 1

2(x− 1)2 +

1

3(x− 1)3 − 1

4(x− 1)4 ;

Serie de Taylor:∞�

n=1

(−1)n−1n

(x− 1)n =∞�

n=0

(−1)nn+ 1

(x− 1)n+1 .

Gráfica:

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

-3

-2

-1

1

2

x

y

166

Ejercicios - Series de Maclaurin y Taylor

1. Calcular la serie de Maclaurin y el Polinomio de grado 6 de f (x) = cosx.

2. Calcular la serie de Maclaurin y el Polinomio de grado 4 de f (x) = e2x.

3. Calcular la serie de Maclaurin y el Polinomio de grado 4 de f (x) =1

x+ 1.

4. Calcular la serie de Maclaurin f (x) = ln (1 + x) .

5. Calcular la serie de Taylor de f (x) = e−2x centrado en c =1

2.

6. Calcular la serie de Maclaurin f (x) = ln

�1 + x

1− x

�.

Ejercicios - Intervalo de convergencia en series de Maclaurin y Taylor

1. Calcular la serie de Maclaurin con los primeros 4 términos no nulos de f (x) = x sin x, el radio de

convergencia y el intervalo de convergencia.

2. Calcular la serie de Taylor de f (x) =1

1 + xcentrado en c = 4, el radio de convergencia y el intervalo

de convergencia.

3. Calcular la serie de Maclaurin con los primeros 4 términos no nulos de la función f (x) = x cos x y

determinar su intervalo de convergencia.

4. Calcular el polinomio de grado 5 y la serie de Maclaurin de f (x) =1

3x+ 1. Determine el intervalo

de convergencia.

5. Calcular la serie de Maclaurin de f (x) = x2e−x, el radio de convergencia y el intervalo de convergencia.

6. Calcular la serie de Taylor de f (x) = ln x centrado en c = 2, el radio de convergencia y el intervalo

de convergencia.

167


Instrucciones.

Todos los resultados deben estar escritos en fracción.




b) Simplificaciones.

c) Calcular derivadas.



f ) Calcular integrales indefinidas.

g) Calcular las sumatorias en los puntos de frontera.

h) Graficar la función y el polinomio de cada problema.

i) Indicar el centro de la serie y el intervalo de convergencia en la gráfica.

j ) Comprobar la serie mediante la opción “Power Series...” del menu Compute.

Nota: undefined = ±∞.

Tarea a mano.





168


1. Calcular el polinomio de grado 7, la serie de Taylor de la función f (x) = sinx centrada en c = π y


2. Calcular el polinomio de grado 8, la serie de Maclaurin de la función f (x) =1

x2 + 2y determinar su

intervalo de convergencia.

3. Calcular el polinomio de grado 5, la serie de Taylor de la función f (x) = ln x centrada en c = e y


169


Instrucciones.

Todos los resultados deben estar escritos en fracción.




b) Simplificaciones.

c) Calcular derivadas.



f ) Calcular integrales indefinidas.

g) Calcular las sumatorias en los puntos de frontera.

h) Graficar la función y el polinomio de cada problema.

i) Indicar el centro de la serie y el intervalo de convergencia en la gráfica.

j ) Comprobar la serie mediante la opción “Power Series...” del menu Compute.

Nota: undefined = ±∞.

Tarea a mano.





170


1. Calcular la serie de Maclaurin con los primeros 3 términos no nulos de la función f (x) = arctan x y


Nota: Factorice los resultados de la derivada para facilitar los cálculos.

2. Calcular el polinomio de grado 6, la serie de Taylor de f (x) = cosx centrado en c =π

3y determinar

su intervalo de convergencia.

3. Calcular el polinomio de grado 5 y la serie de Maclaurin de f (x) = ln (2x+ 1). Determine el intervalo

de convergencia.

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Calculo Integral