Cálculo Integral Agosto 2016 - fcfm.uanl.mx · Cálculo Integral Agosto 2016 Página 3 de 14 Laboratorio#3 Integral definida I.- Calcule la suma indicada, aplicando propiedades y

Cálculo Integral Agosto 2016

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Laboratorio #1 Antiderivadas

I.- Realice la antidiferenciación indicada

1) ∫(𝑥 − 2𝑥

3+ 7𝑥2/3)𝑑𝑥

10)∫ 4𝑤3 (√√𝑤4 + 13

) 𝑑𝑤

2)∫(𝑧1/2 + 2𝑧1/5 + 3)𝑑𝑧

11)∫𝑥3

√𝑥4+2𝑑𝑥

3)∫(𝑤3 + 𝑤)(2𝑤 + 1) 𝑑𝑤

12)∫𝑘3

(𝑘2+2)3/2𝑑𝑘

4)∫(𝑦3/2 + 2𝑦5/4)(𝑦 + 3)𝑑𝑦

13)∫ 𝑦

3

2 √𝑦4 (𝑦 − 1)𝑑𝑦

5)∫(3𝑥2 + 5𝑥)2(𝑥 + 1) 𝑑𝑥

14)∫(cos(5𝑥 − 3))𝑑𝑥

6)∫(5𝑤3/2 + 3𝑤1/3)√𝑤𝑑𝑤

15)∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛 (

𝑥2

3− 4) 𝑑𝑥

7)∫(3𝑧+2)(4𝑧2+9)

𝑧6 𝑑𝑧

16)∫ tan(𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥

8)∫𝑥5/3+3𝑥4/5

𝑥1/2 𝑑𝑥

17)∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑤

3) cos (

𝑤

3) 𝑑𝑤

9)∫ √(7𝑦 + 5)𝑑𝑦

18)∫ sec(𝑥)2 tan(𝑥)𝑑𝑥

II.-Realice las siguientes operaciones

1) 𝑑

𝑑𝑥(∫(𝑥−2 + 3𝑥 − 4)𝑑𝑥)

2) ∫ 𝐷𝑥(3 + √𝑥)𝑑𝑥


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Laboratorio #2 Aplicaciones de Antiderivadas

I.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.

1) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= sen(𝑥) cot(𝑥)

2) 3𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥= csc(𝑥) ctg (𝑥)

3) 𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥2/5 + 3𝑥1/2

4) 𝑦2

2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

3

5cot (

𝑋

2)

5) 3𝑦4 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

csc(𝑥

4)

2

II.- Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el

punto P.

1) 𝑓(𝑥) = √𝑥3

+ 2 𝑃(−8,0)

2) 𝑦 = 3

𝑥−1 𝑃(0, −3)


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Laboratorio#3 Integral definida

I.- Calcule la suma indicada, aplicando propiedades y formulas.

1) ∑ (5𝑖 − 1)17 𝑖=1

2) ∑ (4𝑖2 + 3𝑖)12𝑖=1

3) ∑ (𝑖2 + 1)(2𝑖 − 1)25𝑖=1

4) ∑ (11 + 2𝑖 − 3𝑖3)100𝑖=1

5) ∑ (𝑖 + 5)2𝑖210𝑖=2

II.- Calcule el límite indicado

1) lim𝑛→∞

∑ 3

𝑛[(

𝑖

2𝑛)

2

− 3 (𝑖

𝑛)]𝑛

𝑖=1

2) lim𝑛→∞

∑ 18𝑖

3𝑛2𝑛𝑖=1

III.- Halle el área por definición de la región acotada por la gráfica de las

ecuaciones dadas.

1) 𝑦 = 2𝑥 + 1, 𝑥 = 3, 𝑒𝑗𝑒 𝑥

2) 𝑥 + 𝑦 = 7, 𝑥 = −2, 𝑒𝑗𝑒 𝑥

3) 𝑦 + 𝑥2 = 5𝑥, 𝑒𝑗𝑒𝑥

4) 𝑦 = 𝑥3 − 1, 𝑥 = 2, 𝑒𝑗𝑒 𝑥

5) 𝑦 = |3𝑥 − 1|, 𝑥 = −2, 𝑥 = −4, 𝑒𝑗𝑒 𝑥

IV.- Calcule la integral indicada, utilizando definición.

1) ∫ (2𝑥 − 5)𝑑𝑥1

−2

2) ∫ (3𝑥2 − 𝑥 + 1)𝑑𝑥0

−2

3) ∫ (𝑥3 − 1)𝑑𝑥2

0


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Laboratorio #4 Propiedades de la integral definida

I.- Dado que:

∫ 𝑥3𝑑𝑥 = 203

−1 , ∫ 𝑥3𝑑𝑥 =

28

3

3

−1, ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 4

3

−1, ∫ 𝑠𝑒𝑥𝑑𝑥 =

1

2

𝜋

30

, ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 =√3

2

𝜋

30

Calcule:

1) ∫ (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) 𝑑𝑥3

−6

2) ∫ 2𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥3

1

3) ∫ csc(𝑥) cot(𝑥) 𝑑𝑥𝜋

4−𝜋

4

4) ∫ (1

0𝑥2 − 9)(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) 𝑑𝑥

5) ∫ 2(𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥)) 𝑑𝑥𝜋

40

II.- Sin calcular las integrales, pruebe que:

1) ∫ sec(2𝑥) 𝑑𝑥 > ∫ cos(2𝑥) 𝑑𝑥𝜋

2𝜋

4

𝜋

2𝜋

4

2) ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥 > ∫ (𝑥2 − 6𝑥 + 7)𝑑𝑥4

2

4

2

III.- Halle un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral definida dada.

1) ∫ (−𝑥2 + 4𝑥 + 1) 𝑑𝑥4

1

2) ∫ (𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 + 8)6

2𝑑𝑥

3) ∫ ( |𝑥 − 9| − 5 )𝑑𝑥12

8


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Laboratorio #5 Teorema Fundamental del Cálculo

I.-Utilice el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular la integran definida

dada.

1) ∫ (3𝑥2 − 2𝑥 + 5)𝑑𝑥2

−1 8) ∫

𝑥

𝑥2+7𝑑𝑥

√7

0

2) ∫ (5𝑦 − 2)𝑑𝑦3

0 9) ∫ |𝑥 + 1|𝑑𝑥

3

−2

3) ∫ (𝑥1

2 + 𝑥3

2) 𝑑𝑥4

1 10) ∫ |𝑥2 − 1|𝑑𝑥

3

−2

4) ∫ (𝑥 + 1)(𝑥 + 6)𝑑𝑥1

−3 11) ∫ (|𝑥2 − 4| + 3)𝑑𝑥

3

−3

5) ∫ 𝑥2√𝑥3 + 8𝑑𝑥1

0 12) ∫ cos(𝑥)(𝑠𝑒𝑛(𝑥))2𝑑𝑥

𝜋

20

6) ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝜋

−𝜋

2

𝑑𝑥 13) ∫ 𝑐𝑠𝑐2(𝑥)𝜋

2𝜋

4

𝑑𝑥

7 )∫𝑥3+6𝑥2+3

𝑥2

2

1 14) ∫

𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

cot (𝑥)𝑑𝑥

𝜋

30

II.-Halle

1)𝑑

𝑑𝑥(∫ (2𝑡 + 3)𝑑𝑡 )

𝑥

4 3)

𝑑

𝑑𝑥(∫ √4 − 𝑡𝑑𝑡)

𝑥+1

𝑥

2)𝑑

𝑑𝑥(∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤)

𝑡

0


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Laboratorio # 6 Área y Volumen

I.-Determine el área de la región limitada por las curvas y rectas dadas.

1) 𝑦 = 2 − 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 4, 𝑥 = 4

2) 𝑦 = −𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 2

3) 𝑦 = |𝑥 − 1| + 1, 𝑒𝑗𝑒𝑥, 𝑥 = −1, 𝑥 = 4

4) 𝑦 = 𝑥3 + 5, 𝑦 = 𝑥3 + 1, 𝑥 = −1, 𝑥 = 0

5) 𝑦 = 𝑥3 + 1, 𝑦 = −𝑥3 − 4, 𝑒𝑗𝑒 𝑦

6) 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 = 3, 𝑒𝑗𝑒 𝑦

7) 𝑦 =1

𝑥2 , 𝑦 = 4 − 𝑥2

II.- Halle el volumen del solido de revolución generado al girar la región limitada

por las curvas y rectas dadas, alrededor del eje indicado, utilizando el método del

“disco”.

1) 𝑦 = −𝑥2 + 𝑥 + 2, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑎) 𝑒𝑗𝑒 𝑥

2) 𝑦 = √𝑥 + 1, 𝑦 = 0, 𝑥 = 4, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑎) 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑏) 𝑦 = −2

3) 𝑦 = 𝑥2 − 1, 𝑦 = 2 − 2𝑥, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑎) 𝑦 = 2 𝑏) 𝑥 = 1

4) 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑎) 𝑦 = 1 𝑏) 𝑥 = 0

5) 𝑦 = (𝑥 − 1)2, 𝑦 = 𝑥 − 1, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑎) 𝑦 = −2 𝑏) 𝑥 = 3


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Laboratorio # 7 Volumen y Longitud de arco

I.- Halle el volumen del solido de revolución generado al girar la región limitada por

la curva y rectas dadas, alrededor del eje indicado, utilizando el método de la

corteza.

1) 4𝑥 + 5 − 𝑦 = 0, 𝑦 + 2𝑥 − 10 = 0; 𝑖) 𝑥 = 0; 𝑖𝑖) 𝑥 = 2

2) 𝑦 = −𝑥2 + 3, 𝑦 = 𝑥2 + 1; 𝑖) 𝑥 = −1; 𝑖𝑖) 𝑥 = 3

3) 𝑦 = 𝑥2(2 − 𝑥), 𝑦 = 0; 𝑖)𝑥 = 3; 𝑖𝑖)𝑥 = 0

4) 𝑦 = −𝑥3, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0; 𝑖)𝑦 = 1; 𝑖𝑖) 𝑦 = 0

5) 𝑦 = 𝑥3, 𝑥 + 𝑦 = 10, 𝑦 = 0: 𝑖) 𝑦 = 9; 𝑖𝑖)𝑦 = −2

II.- Halle la longitud del arco de una curva representada por la ecuación dada,

entre los puntos indicados.

1) 𝑦 =2𝑥3/2

3; 𝐴 (0,

19

17) ; 𝐵 (8,

34

19)

2) 𝑦 = ln|sec(𝑥)| ; 𝐴(0,7𝜋); 𝐵 (𝜋

3,

11𝜋

7)

3) 𝑥 = 19 − 2𝑦2

3; 𝐴(0,8); 𝐵(3,0)

4) 𝑥 =𝑦3

3+

1

4𝑦; 𝐴(7,2); 𝐵 (

37

15, 3)

5) 1

3(𝑥2 + 2)3/2; 𝐴 (5,

19

70) ; 𝐵 (2,

√17

5)


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Laboratorio # 8 Función inversa

I.-Demostrar que las funciones f y g son inversas. Trazar sus gráficas en el mismo

sistema de coordenadas.

1)𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3; 𝑔(𝑥) =1

2(𝑥 − 3)

2)𝑓(𝑥) =1

1+𝑥; 𝑔(𝑥) =

1−𝑥

𝑥; 𝑥 = 0

3)𝑓(𝑥) = 5 + 𝑥5

3⁄ ; 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 5)3

2⁄

II.-Sin obtener la inversa de f, encontrar su dominio y rango (contradominio).

1)𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1 3)𝑓(𝑥) = 𝑥2 −

1

𝑥; 𝑥 = 0

2)𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4 4)𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1

III.- Encontrar la inversa de la función dada señalando su dominio y rango.

1)𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5 3)𝑓(𝑥) =1

𝑥3+1

2)𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)3 + 2 4)𝑓(𝑥) =𝑥+2

𝑥+1

IV.- Calcular (𝑓−1)′(𝑑) 𝑆𝑖:

1)𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1; 𝑑 = 9 4)𝑓(𝑥) =𝑥+3

𝑥−1;x>1;d=3

2)𝑓(𝑥) = 1 + 2𝑥 − 𝑥3; 𝑑 = 4 5)𝑓(𝑥) = tan(𝑥) , −𝜋2⁄ < 𝑥 < 𝜋

2⁄ ; 𝑑 = √3

3)𝑓(𝑥) = 1 + 2√𝑥; 𝑥 > 0; 𝑑 = 8 6)𝑓(𝑋) = 3𝑥 −1

𝑥3 ; 𝑥 > 0; 𝑑 = 2


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Laboratorio # 9 Funciones trigonométricas inversas

I.-Obtener y simplificar la derivada de la función dada.

1) 𝑦 = 2𝑥3/2 tan−1(𝑥3/2)

2) 𝑦 = 𝑥 + 4 tan−1 (𝑥

2)

3) 𝑦 = sin−1(𝑥) cos(𝑥)

4) 𝑦 =cos(𝑥)

cos−1(𝑥)

II. Resolver las siguientes integrales

1) ∫𝑑𝑥

𝑥√𝑥10−9

2) ∫ 𝑦2−1

1+𝑦2 𝑑𝑦

3) ∫ 2 cos(𝑥) 𝑑𝑥

6𝑠𝑒𝑛2(𝑥)−24𝑠𝑒𝑛(𝑥)+35

4) ∫ 𝑥4−16

𝑥2+6 𝑑𝑥

√6

0

III.-Resuelva los siguientes problemas

1) Halle el área de la región acotada por las gráficas de 𝑦 =1

√12𝑥−𝑥2 , x=1, x=4,

eje x.

2) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica 𝑦 = cos−1(𝑥

3) en el punto

cuya abscisa es 1.


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Laboratorio # 10 Función Logaritmo natural

I.- Halle Dxy y simplifique.

1) 𝑦 = 𝑙𝑛(3𝑥2 + 6)11 4 )𝑦 = 𝑙𝑛(4𝑥 + 2) 𝑙𝑛 (5𝑥)

2) 𝑦 = 𝑙𝑛2(2𝑥 − 5) 5) 𝑦2 = ln (3𝑥5)

3) 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑙𝑛(𝑥 + 1)) 6) 𝑦 = 6𝑙𝑛 (𝑡𝑎𝑛−1(𝑥))

II.- Utilice diferenciación logarítmica para calcular 𝑑𝑦

𝑑𝑥

1)𝑦 = (3𝑥+1)

6𝑥(2−𝑥) 2)𝑦 =

√7𝑥+2

𝑥−3

III.- Resuelva los siguientes problemas.

1) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = ln(2𝑥2 − 3) en

el punto cuya abscisa es 2

2) Grafique las siguientes funciones

a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛|𝑥 + 4|

b) 𝑓(𝑥) = −ln (3𝑥)

IV.- Calcule las siguientes integrales.

1) ∫(6𝑥 − 1)−1𝑑𝑥 5) ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥

2) ∫(𝑥+3)

𝑥2+7𝑥+12𝑑𝑥

6) ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑑𝑥

3) ∫√𝑥

7+𝑥√𝑥𝑑𝑥

7) ∫(1 + csc(𝑥))2𝑑𝑥

4) ∫√32+ln (𝑥)

5

𝑥𝑑𝑥

8) ∫ 𝑥(1 − cot(𝑥2))𝑑𝑥

V. Resuelva.

1) Halle el área de la región acotada po 𝑦 =1

𝑥+2, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑥 = −1, 𝑥 = 4

2) Halle el volumen del sólido generado al girar la región acotada alrededor del eje indicado.

𝑦 =1

𝑥2+4, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦 = 0


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Laboratorio # 11 Función exponencial natural

I.- Halle Dxy, simplifique.

1) 𝑦 = sen(𝑒2𝑥 + 1) 3) 𝑦 = ln(𝑒2𝑥+2

𝑒2𝑥−2)

2) 𝑦 = 𝑒−3𝑥tan (𝑒𝑥 + 1) 4) 𝑦 =𝑒5𝑥+3

𝑒5𝑥−3

II.- Calcule las siguientes integrales.

1) ∫(𝑒5𝑥 + 1)𝑑𝑥 6) ∫𝑒tan (𝑥)

𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 𝑑𝑥

2) ∫𝑒𝑥

𝑒𝑥+3 𝑑𝑥 7) ∫(1 − 𝑒2𝑦)2𝑑𝑦

3) ∫ 𝑒3𝑧√𝑒3𝑧 + 4 𝑑𝑧 8) ∫ (2𝑒𝑦 + 2)𝑑𝑦2

−2

4) ∫𝑒4𝑦

𝑒2𝑦+1𝑑𝑦 9) ∫ 𝑢2𝑒𝑢3

𝑑𝑢√2

3

0

5) ∫ 𝑒3𝑢+3𝑑𝑢2

0 10) ∫

𝑒2𝑦+𝑒3𝑦

𝑒𝑦+1 𝑑𝑦

III.-

1) Trace la gráfica de las funciones siguientes.

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑒3𝑥 − 3

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥

2) Halle la ecuación de la recta tangente a la grafica 𝑦 = 𝑒2𝑥 + 𝑒𝑥, en el punto

cuya abscisa es: ln(4)

3) Halle el área de la región limitada por 𝑦 = 𝑒2𝑥, 𝑦 = 2𝑒−𝑥, 𝑥 = ln (1

3) , 𝑥 =

ln(3) y el eje x

4) Halle el volumen del solido generado al girar la región acotada por 𝑦 = 𝑒−2𝑥,

y el eje y alrededor del eje x.


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Laboratorio #12 Funciones Exponenciales de otras bases

I.- Halle 𝐷𝑥𝑦 , simplifique

1. 𝑦 = 32𝑥

2. 𝑦 = 23𝑥 3ln(𝑥)

3. 𝑦 = 7𝑠𝑒𝑛(𝑥2)

4. 𝑦 = √𝑙𝑜𝑔3𝑥

II.- Calcule las siguientes integrales

1) ∫ 3𝑥𝑑𝑥

2) ∫(𝑥3 + 3−𝑥)𝑑𝑥

3) ∫𝑙𝑜𝑔2𝑥3

𝑥 𝑑𝑥

4) ∫ 2−𝑥 𝑑𝑥

5) ∫ 𝑥 10−𝑥2𝑑𝑥

6) ∫𝑙𝑜𝑔5𝑥

𝑥 𝑑𝑥

7) 𝑙𝑜𝑔5(𝑥) ln(𝑥) 𝑑𝑥


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Laboratorio # 13 Funciones hiperbólicas

I.-Halle y simplifique la derivada de las siguientes funciones

1- 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥2)

2- 𝑦 = cosh (𝑥 + 𝑎)

3- 𝑦 =𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)

𝑥

4- 𝑦 = 𝑒𝑥[cosh(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)]

5- 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛ℎ2(𝑥)

6- 𝑦 =sech (𝑥)

1+cosh (𝑥)

7- 𝑦 = tanh[ln(𝑥)]

8- 𝑦 = ln [sech (𝑥)]

II.-Evaluar la integral dada

1-∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑥)𝑑𝑦

2-∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥2 + 3)𝑑𝑥

3-∫cosh(𝑥)

𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)

4-∫𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)

𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑥)𝑑𝑥

5-∫ sech (𝑥)ln [cosh (𝑥)]𝑑𝑥


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Laboratorio # 14 Métodos de Integración

I.-Calcula las siguientes integrales

1) ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

2) ∫ 𝑒𝑥𝑥2 𝑑𝑥

3) ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑠𝑒𝑛 4(𝑥) 𝑑𝑥

4) ∫ 𝑐𝑜𝑠5(2 + 3𝑥)𝑑𝑥

5) ∫ 𝑥2𝑙𝑛(𝑥) 𝑑𝑥

6) ∫ 𝑥𝑡𝑔−1(𝑥) 𝑑𝑥

7) ∫ 𝑐𝑡𝑔6(3 − 𝑥)𝑐𝑠𝑐4(3 − 𝑥) 𝑑𝑥

8) ∫6𝑑𝑥

(2−𝑥)√𝑥2−4𝑥+3

9) ∫𝑑𝑥

3𝑥2−2𝑥+5

10) 𝑥2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥

11) ∫ 𝑡𝑔5(5𝑥)𝑠𝑒𝑐3(5𝑥)𝑑𝑥

12) ∫(2𝑥+7)

𝑥2+2𝑥+5 𝑑𝑥

13) ∫𝑥

√12−𝑥4 𝑑𝑥

14) ∫𝑠𝑒𝑛5(1−𝑥) 𝑑𝑥

[𝑐𝑜𝑠(1−𝑥)]1/3

15) ∫𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 𝑑𝑥

1+9 𝑡𝑎𝑛2(𝑥)

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