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Calculo Integral Felícitas Morales Álvarez-FREELIBROS.org

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  • Clculo integral para cursos con enfoque

    por competencias

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    Felicitas Morales lvarez Doctora en Matemtica Educativa

    Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados-IPN (CINVESTAV-IPN) Tecnolgico de Estudios Superiores de Cuautltln lzcalll

    Revisin tcnica Mara del consuelo Macias Gonzlez

    Academia de Ciencias Bsicas Tecnolgico de Estudios Superiores de Cuautltln lzca/R (TESCIJ

    Enrique Martnez Negrete DlviSln de Ingeniera en Sistemas Computacionales

    Tecnolgico de Estudios Superiores de Cuautltln tzca/O (TESCI)

    Gabrlela lpez Ballesteros Maestra en Matemtica Educativa

    PEARSON www.freelibros.org

  • / Duosdecatalog:acinbibliogdfica

    MOllALl!S LVAllEZ, FECJTAS Oi/"1Jllo urr-J JltllTI ntl'WICOlf oif'.-1'0' "'*'JfdmdCI Airo.era cdki6o

    PBARSON IIDUCAOON, M6xico, 2014 ISBN:

    ti.tmlticu Rirm4to: 2 t x 27 cm

    Diroocin Ocncral: Oim:cin Eclucocio Superior:

    Edit0

  • Prlogo El contenido de este libro me hace recordar el pasado, cuando la autora era una sencilla estudiante de ingeniera fsica, quien dedicaba gran parte de su tiempo disponble a prepararse para obtener lo mejor de cada clase y aprender de la experiencia acadmica de sus profesores y compaJ\eros. Esto era cvi dente no solo en la disciplina que eUa mostraba para estudiar, sino en la ''OCacin con la cual impartfa asesoras. La aplicacin del conocimiento en su etapa de ingeniero y la experiencia en un posgrado de docencia se ven plasmadas en este libro por la peculiar manera de plantear, explicar, resolver y aplicar d conocimiento del clculo integral.

    El objetivo de los temas expuestos en las dos primeras unidades es que el alumno con conocimien tos bsicos de matemticas pueda comenzar la asimilacin de te0rcmas elementales, definiciones y propiedades del clculo integral. Ms adelante, en la tercera unidad, este material aterriza los conoci-mientos expuestos para motivar y guiar al lector en la aplicacin de las herramientas matemticas a la solucin de problemas reales de ingeniera, algo que eo muchos cursos de educacin superior se olvida. La ltima urdad complementa los temas de la parle integral para representar funciones matemticas, las cuales constituyen la base para la solucin de problemas complejos .

    . De esta manera, el esfuea.o y el compromiso manifestados en este trabajo definen un camino en d proceso de con el nimo de promover el inters de los estudiantes por las matemticas, particularmente en el estigmatizado tema del clculo.

    Doctor Ernesto Rodrigo V74uez Cern Coordinador de la Licenciatura en Ingeniera Fsica

    Universidad Autnoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco

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  • Presentacin

    La integracin de nuevas propuestas y enfoques educativos en Jos programas de esrudo del nivel su-perior, como es el caso del enfoque por competencias, implica un reto importante para los profesores: dscllar estrategias que ayuden a los estudantes a obtener conocimientos, habilidades, aptitudes y acti-tudes que fortalezcan sus procesos de aprendizaje. Ese dscfto de estrategias tiene el objetivo de ayudar a los alumnos para que, al tenninar sus estudios, puedan incorporarse en forma ms eficiente al sector iroductivo, contando con un nivel de desempeo que corresponda con las alias demandas competitivas de las organizaciones actuales.

    Para apoyar la practica docente y provocar la reflexin de los esrudantes en los cursos de clculo integral, cuyos programas adoptan el enfoque por competencias, hemos creado este libro, el cual cuenta con las herramientas requeridas por los planes de estudo actuales.

    Por sus caractersticas, el libro puede utili1.arse como texto en un curso de clculo integral basa do en este enfoque, porque cuenta con los siguientes elementos: actividades de trabajo; actividades integradoras para la prctica constante y la integracin de los conocimientos; referencias al uso de la tecnologa, cuyo propsito es lograr la comprensin de los conceptos matemticos; ejercicios resueltos y problemas de aplicacin en contextos reales. Asimismo, ofrece una secuencia apropiada de ejercicios para la conformacin de un portafolio que integrar las evidencias generadas durante el desarrollo de las competencias y permitir determinar el grado de avance de los esrudantes. Tambin presenta cues tionamieotos metacognitivos con los que el alumno podr Uevar pleno control de la forma en que est logrando el aprendizaje.

    Caractersticas del enfoque por competencias incorporadas en este libro La competencia profesional es un saber hacercomplejo que exige conocimientos, habilidades, aptitu-des y actitudes que garanticen un ejercicio profesional y responsable que se aproxime a la excelencia. Esta competencia, que se moviliza y desarrolla co.ntinuarnente, se encuentra en la estructura mental de cada indviduo; es parte de su acervo y de su capital como ser humano. Pero lo importante no es la posesin de una competencia, sino el uso que se haga de ella, ya que el estudante debe saber integrar, movili7.ar y transferir un conjunto de recursos en un contexto con la finalidad de realizar detenninada tarea o enfrentar problemas especfficos. Por eso, en cada unidad se proponen dfercotes ejercicios y actividades que permiten al alumno optimiz.ar sus recursos.

    Aunado a lo anterior, es necesario que el aprendzaje sea relevante, signillcativo, aplicable y que los medios que se utilicen para lograrlo sean atractivos. Por eso se proponen actividades destacadas y significativas que el estudiante podr aplicar tanto en su proceso de formacin cscolari1.ada como en la vida real.

    El enfoque por competencias pretende que el alumno transite desde los niveles receptivos hasta los autnomos, para crear una metodologa personal que le pennita alcan:rar el xito en su formacin. Por ello, se abordan los aspectos propios del clculo integral con una visin que permite al usuario incorpo rar los saberes a travs de la prctica constante. La finalidad es que, ante cualquier problema, sea capaz. de identificar, comprender y explicar su contexto para resolverlo con los conocimientos adquiridos. De esta forma, el estudante estar en condciones de proponer y enfrentar nuevos problemas. www.freelibros.org

  • .tll Presentacin

    En el enfoque por competencias se destaca la capacidad de aprender a aprender, lo cual se en-tiende como la capacidad pam reconocer los propios procesos de aprendizaje, 'aloror Ja necesidad de inlegrar permamm1emen1e concimienios y habilidades, y asf lograr auJonomfa en el desarrollo de nuevas compe1encias. Gracias a la capacidad de aprender a aprender, es posible actuali1.ar de manera continua los conocimientos y las habilidades. Por ello, en este libro se promueve el aprender a aprender con secuencias de ejercicios donde se integran los conocimientos previos; llegar el momento en que d alumno logre resolverlos de forma autnoma.

    Secciones del libro Este texto est estructurado CQn secciones que ofrecen elementos para el aprendimje tanto desde el punto de visra disciplinario del clculo integral como desde el enfoque por competencias. A continua-cin describiremos las ms sobresalientes.

    Competencias. Al inicio de cada unidad se dcscnl>co tanto las competencias por desarrollar como las actividades de aprendimje, las habilidades y las actitudes que pennitirn al estudiante incorpo-rarlas a su acervo. Se listan tambin las competencias con las que deber contar el estudiante antes del estudio de los temas de cada unidad.

    Organizador grifico. Es un diagrama donde se expresan las relaciones entre los conceptos que se tratarn en la unidad, de tal manera que se adquiera una visin global de los conceptos que se revisarn, para una mejor comprensin del contenido. Antecedentes. Al inicio de cada unidad se ofrecen algunos ejemplos reales de la aplicacin de los conceptos que se presentarn y que ponen de manifiesto la relevancia social, econmica o cient-fica del estudio de los temas.

    Desarrollo terico. En seguida se presenta el desarrollo de los ternas apoyados por una seleccin de ejemplos resueltos, grficas y otros recursos visuales; todos se seleccionaron con gran cuidado para lograr una mejor comprensin de los CQnceptos. Portafolio de evidencias. Consiste en una secuencia adecuada de ejercicios para la conformacin de un portafolio donde se integrarn las evidencias de los logros alcan1.ados durante el desarrollo de las competencias.

    Preguntas de reflexin. A lo largo del texto se incluyen interrogatorios mctaCQgnitivos (es decir, preguntas rcfcrcntcS al dominio y la regulacin que tiene el sujeto de sus propios procesos cognos-citivos), con la finalidad de que el usuario reconotta la forma como est logrando el aprendizaje.

    Actividades de aprendizaje. Son actividades desarrolladas con el objetivo de sealar alguna no-cin importante y necesaria para el desarrollo de los subsecuentes conceptos.

    Actividades de trabajo. En cada seccin se solicita la realizacin de actividades que refuerzan la incorporacin de los saberes con base en una prctica conslante.

    Actividades integradoras. Al final de cada unidad se presentan actividades de trabajo relaciona-dos CQn todas las secciones, con el propsito de que el alumno retome los conceptos estudiados y contine con la prctica de integracin de los conocimientos para reforzar lo aprendido.

    lijemplos de aplicacin. Es un conjunto de ejemplos que plantean situaciones reales de diferentes campos del conocimiento, cuya solucin requiere del dominio de las competencias por desarrollar. www.freelibros.org

  • Presentaci6n lx

    Autoevaluacin. Esui seccin se encuentra al final de cada unidad. Ofrece al estudiante la OpOr tunidad de identificar los aspectos qoe resuelve con facilidad y aquellos que requieren mayor atencin y estudio.

    Recursos en linea En la pgina web de este libro estn disp0nibles para descarga el Manual t soluciones para el profesor y las Sugerencias didcticas, ambos desarrollados por la autora para el uso exclusivo de profesores que adop1en el libro como texto en sus cursos de clculo integral.

    Tambin encontrar las respuesUIS de las actividades de trabajo e integradoras, y de las auroevalua-cioncs, del libro.

    Para tener acceso a estos recursos, visite la pgina:

    www.pearsonenespanol.com/morales

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  • Agradecimientos

    Oran parte de es1e libro fue escrita de manera paralela a mi labor como doccmc e investigadora del De-partamenlo de Investigacin y Desarrollo Tecnolgico, adscrila a la divisin de lngenieria en Sislemas Compuiacionales del Tecnolgico de Estudios Superiores de Cuautitln lzcalli; por eso, deseo agrade-cera la inslitucin por proporcioruume el ambien1e adecuado de trabajo y la fueme de inspiracin que hi7.o posible el desarrollo del presente libro.

    8 polencial de este trabajo depender en mucho de la efectividad en la prcscoiacin de sus 1emas y el desarrollo de sus ejercicios. La exposicin de muchos de ellos, y en especial el lema de slidos de revolucin, fue posible gracias a la discusin colaborativa y acertada verificacin de los ejercicios de aplicacin, reali2ada por J. Alfredo Lpcz Badillo.

    E'n esia obra se quiso hacer especial nfasis en la importancia de la visualizacin, es decir, en el papel que los aspectos grfico y geomll'ico desempean en la interiori1.acin de conceptos, teoremas y demosll'aciones; para lograrlo, usamos diversas 1tcnicas y software de graficacin que nos permitiera presentar la informacin adecuada y pnecisa por es1udiar. Ello fue posible gracias a la colaboracin permanente de Eric Y. Chavarrfa Rojas.

    Agradezco iambin a aquellas personas que, de manera incondicional, estuvieron al pendien1e de la elaboracin y evolucin de mi trabajo.

    P. Morales lvarez Cuautitln 17.calli, Esiado de Mxico

    \l::rano, 2013.

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  • Contenido

    UNIDAD 1 Teorema fundamental del clculo 1

    Antecedentes 4 1.1 Medicin aproximada de figuras amorfas 5 1.2 Notacin sumatoria 8 1.3 Sumas de Riemann 13 1.4 Definicin de integral definida 17 1.5 Teorema de existencia 24 1.6 Propiedades de la integral definida 25 1.7 Funcin primitiva 29 1.8 Teorema fundamental del clculo 30 1.9 Clculo de integrales definidas 35 1.10 Integrales impropias 39

    Actividad integradora de la unidad t 47 Contexto histrico: Isaac Newton y Gottfried Leibniz 48 Autoevaluaci6n de la unidad 1 49

    UNIDAD 2 Integral indefinida y mtodos de integracin 51

    Antecedentes 54 2.1 Definicin de integrales indefinidas 55 2.2 Propiedades de la integral indefinida 59 2.3 Clculo de integrales indefinidas o tcnicas de integracin 61

    2.3.1 Directas (integrales directas) 61 2.3.2 Integrales con cambio de variable 65 2.3.3 Integracin indefinida por partes 72 2.3.4 Integrales de funciones trigonomtricas 76 2.3.S Jntegraci6n por sustitucin trigonomtrica 85 2.3.6 Integracin de funciones racionales por el mtodo

    de fracciones parciales 92 Actividad integradora de la unidad 2 104 Contexto histrico: Isaac Newton y la serie del binomio io7 Autoevaluacin de la unidad 2 io8 www.freelibros.org

  • xll Contenido

    UNIDAD 3 licaciones de la intefil:_al ____ 1-'-o _,,9_ Antecedentes

    3.1 reas 3.1.1 rea bajo la grfica de una funcin 3.1.2 Teorema del valor medio para integrales 3.1.3 rea entre grficas de funciones

    3.2 Longitud de curvas 3.3 Clculo de volmenes de slidos de revolucin

    3.3.1 Mtodo de discos 3.3 .2 Mtodo de anillos

    3.4 Clculo de centroides de regiones planas 3.5 Otras aplicaciones

    3.5.1 Integracin numrica 3.5.2 Circuitos electromagnticos 3.5.3 Decaimiento radiactivo 3.5.4 Crecimiento poblacional

    Actividad integradora de la urudad 3 Contexto histrico: Clculo de Newton del nmero ?T Autoevaluacin de la urudad 3

    112 u3 113 117 124 135 143 143 147

    153 161 161 164 166 168

    171 175 176

    UNIDAD 4 Series 177 Antecedentes

    4.1 Definicin de serie 4.1 .1 Serie infinita

    4.2 Serie numrica y convergencia 4.2.1 Prueba de la ra7.ll o criterio de D'Alembert 4.2 .2 Prueba de la raz o criterio de Cauchy

    4.3 Series de potencias 4.4 Radio de convergencia 4.5 Serie de Taylor

    180 181 184 186 187 188 191 193 196

    4.6 Representacin de funciones mediante la serie de Taylor 198 4.7 Clculo de integrales de funciones expresadas como

    series de potencia 202 Actividad integradora de la urudad 4 205 Contexto histrico: El clculo de Leibniz 207 Autoevaluacin de la unidad 4 208 Apndices 209 Respuestas de las actividades de trabajo e integradoras 225 indice anal!tico 253 www.freelibros.org

  • 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

    flundamental clculo

    E 1 problema esencial del clculo integral consiste en estimar, de mane-ra sencil la, reas de superficies debajo de la grfica de funciones. una gran variedad de conceptos se describen como el producto de dos variables, por ejemplo: trabajo como fuerza por distancia; fuel78 como el producto de la presin por el rea; masa como densidad por unidad de volumen. Si cada uno de los factores que componen el concepto se asocia con cada uno de los ejes coordenados, el producto se define en el plano como un rea susceptible de calcularse a travs de una inte-gral, y esto es posible gracias al estudio del teorema fundamental del clculo.

    Contenido Medicin aproximada de figuras amorfas 1.6 Propiedades de la Integral definida Notacin sumatoria 1.7 Funcin primitiva Sumas de Rlemann 1.8 Teorema fundamental del clculo Definicin de integral definida 1.9 Clculo de Integrales definidas Teorema de existencia 1..10 Integrales Impropias

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  • COMPETENCIAS POR DESARROLLAR

    COMPETENCIAS ESPECFICAS Contextualizar el concepto de integral definida. Visualizar la relacin entre clculo diferencial y clculo integral.

    ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

    Se propone realizar las prcticas sugeridas en cada Inciso. Para una coleccin de funciones simples, construir la primitiva a partir de la definicin. calcular integrales definidas diversas y asociar cada integral con su interpretacin

    geomtrica. Verificar el teorema fundamental del clculo con pares de funciones e igualdades. Realizar algunas de las lecturas recomendadas.

    HABILIDADES Y ACTITUDES

    Refuerzo de habilidades para graficar diferentes tipos de funciones. Desarrollo de habilidades para Interpretar gficas en trminos de reas. Desarrollo de habilidades para modelar problemas de ingeniea a travs del clculo integral.

    COMPETENCIAS PREVIAS

    Para un mejor aprovechamiento de este curso, es recomendable verificar que el estudiante cuente con las siguientes competencias:

    Uso eficiente de ta calculadora, respetando la jerarqua de operaciones. Evaluar funciones trascendentes. Despejar el argumento de una funcin. Dominar el lgebra de funciones racionales, as como de expresiones con potencias y

    radicales. Identificar, graficar y derivar funciones y sus Inversas. Manejar identidades trigonomtricas. Identificar, graficar y derivar funciones exponenciales y logatmicas. Uso de software para construir gficas de funciones (Winplot, Derive, Padoman, Grap, Origin,

    Mapte, etctera). www.freelibros.org

  • Teorema fundamental del

    ORGANIZADOR GRFICO DE LA UNIDAD 1

    Medicin 1 aproxlmada de figuras

    amorfas (reas)

    Definicin de Integral definida

    Propiedades de la integral

    definida

    Teorema fundamental del

    clculo

    Integrales impropias

    Clculo de reas limitadas por

    el plano

    Notacin sumatoria

    Teorema de existencia

    Funcin primitiva

    Clculo de la Integral definida

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  • Antecedentes

    A decir ''crdad, Leibniz y Newton, padres del clculo iofioitesimal, no fueron los primeros que aborda-ron los problemas que vamos a analizar, ya que veinte siglos antes los griegos. como Eudoxo y Arqu-medes, usaron mtodos muy parecidos a Jos actuales para el clculo de tangentes y s11perjicie,s. Incluso hay quienes piensan que no llegaron al descubrimiento del clculo debido a dos razones: su temor al infinito y a que no contaban con un lenguaje propio para el efecto, como Jo es el lgebra.

    No fue sino hasta el siglo xvo que se abordaron estos dos pro-blemas: por un lado se desarroll el mtodo general para obtener la derivada de cualquier funcin, y, por otro, se dio importancia a la relacin entre la derivada y la integral. A esta relacin hoy la cono-cemos como teorema fi1namenJol del clculo. Este teorema dice que derivar o calcular tangentes e integrar o calcular supcdicies son operaciones inversas una de la Gira.

    Newton se dio cuenta de esto utili7.ando una de las invenciones de Pierre de Fermat, quien habla desarrollado una frmula de solu-cin para el clculo de superficies de toda una familia uniparam-lrica de curvas.

    En concreto, lo que vio es que el rea bajo las curvas de la forma y=)(' desdex = Ohastax= a viene dada por la expresin: ,,....., . En la figura se puede apreciar un ejemplo. n + l

    El rea de la superficie sombreada es, segn la frmula obte nida por Fermat, a' / 3.

    Newton, en sus investigaciones acerca de cmo es el univel$0, concluy que es dinillnico, esto es, algo en constante cambio. Su pensamiento especul con variables que cambiaban con el tiempo. A las variables las llam ftuenies; a sus velocidades de cambio, fluxiones. Lo que Newton quena saber era el ritmo en el que cam-bian las variables fsicas a medida que pasa el tiempo.

    E'sta forma de pensar en cmo cambia el mundo le llev a

    1

    y=r

    a

    y s

    abordar los problemas desde dos puntos de vista distintos: desde el enfoque matemtico, vefa las curvas como relaciones entre las variables de una funcin; en cambio, desde el punto de vista fsico, observaba las curvas como expresiones de movmicntos. A travs de esias perspectivas descubri que el problema de la tangente y el problema de la velocidad eran en realidad uno mismo.

    Newton no solo abord el problema de la velocidad de cambio de una variable respecto de otra o, lo que es lo mismo, la derivada, sino que resolvi el problema inverso, pues calcul fluentes de fiwciones; es decir, calcul el comportamiento de una variable cuando se conoce su velocidad de cambio, lo que es equivalente a obtener una funcin primitiva.

    Newton consigui antidcdvar la familia de funciones y = X'. Averigu que las primitivas corrcs-x .. + 1

    pondientes son las funciones de la forma y = --. n+I www.freelibros.org

  • 1.1 Medicin aproximada de figuras amorfas 5

    Newton, al obtenerlas, las relacion inmediatamente con la solucin de Fermar para el clculo de superficies de curvas de la forma y = x". Al encontrar esta conexin y, aunque nunca dio una demostra-cin formal, se convenci de que calcular primitivas y superficies eran en realidad operaciones idnti-cas. Y dado que calcular una primitiva es lo inverso a obtener una funcin derivada, determin que el clculo de tangentes y superficies son problemas inversos.

    Esto fue muy importante para la poca, ya que Newton habla desarrolJado mtodos para derivar casi cualquier cosa; entonces, el problema de la superficie se pod!a resolver mediante clculos de pri-mitiva y no solo de un tipo en particular, sino de una inimaginable coleccin de ellas.

    La verdadera importancia del trabajo de Newton radica en el hecho de que se estableci una nueva conexin entre conceptos hasta entonces separados: la tangeme y la superficie.

    Conceptos previos En muchos problemas de clculo aplicados a la ingeniera, primero debemos encon-trar, a partir de algunos datos, las expresiones matemticas de las funciones cuyos valores ptimos se quieren conocer. Imagine la siguiente situacin bipottiea: desea construir una caja cuadrada abierta por arriba, del mayor volumen posible; para ello cuenta con una hoja cuadrada de metal a la cual deben cortarse cuadrados iguales de las esquinas y doblar hacia arriba el metal para formar las caras laterales. La pregunta es: cul debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados? (Vase figura l.l)

    l u

    1

    Observando la figura 1.1, vemos que a es cl valor de un lado del cuadrado y que x es la distancia que se debe calcular, por ello, la funcin que rep=ta al volumen en trminos de la distancia por encontrar ser:

    V(x) =(a -2r)2x Ecuacin ( l) o bien,

    V(x) = a2x - 4a.t2 + 4x3 Sabemos que una funcin encontrar su punto crtico, ya sea mximo o mnimo, cuando el valor de su primera derivada sea nulo, lo cual nos dicta la condicin de mximo volumen. As!, el valor crtico de V(x) se encontrar cuando V'(x) = O; es decir.

    V'(x) = a2 -Sax + 12r' www.freelibros.org

  • 6 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Preguntas de reflexin

    Entonces:

    al-8ax+J2x2 = 0 o bien (a - 6x)(a - 2x) = 0,

    locualsigni6caque:(a - 6x)=0 o (a - 2.r)=O;

    1 rf . a a p0r tanto, os puntos e neos son: x = ; y x = 2.

    En este punto la pregunta es: qu valor debemos elegir para encontrar el volu-men mximo? Para rcsolveda, observamos que de V(x) =(a - 2x)2x,

    si x =

    :. El valor que estamos buscando ser x = Es decir, la caja construida tendr un volumen mximo cuando las esquinas se corten a un sexto del lado del cuadrado y dicho \'O lumen ser igual a:

    27

    Conteste y debata con sus compaeros las siguientes preguntas y entreguen una con-dusin por escrito.

    Activ idad de a prend i zaje 1 .1 l. Cul es el significado fi'sico de elegir el valor dex como la mitad de la

    longitud del lado del cuadrado? 2. Cul esel papel que juega el clculo de la primera derivada en la solucin

    del problema? La actividad de aprendizaje 1.1 tiene como objetivo ser una prueba de diag-nstico que le permita al estudiante contestar los siguientes cuestionamientos:

    Soy capaz de ''traducir" un problema matemtico al lenguaje cotidiano? Soy capaz de reflexionar un problema con sllficieote profundidad para transformado en un modelo matemtico?

    Comprendo el concep10 de variables dependientes e independientes? Comprendo claramente Ja interpretacin geomtrica de Ja primera derivada de una funcin? Comprendo el concepto de optimizacin de una funcin? www.freelibros.org

  • 1.1 Medicin aproximada de figuras amorfas 7

    Actividad de aprendizaje 1.2 Mediante el mtodo que estime conveniente, calcule el rea aproximada de las figuras amoas, en a) cm2 y b) mm2.

    FP1.2b

    O!Mervacln: Copie las figuras I.2a y l.2b y dibujclas en una superficie indepen-diente. Despus, realice lo siguiente:

    e) Por equipos debatan y expliquen de manera exhaustiva los procedimientos usados en el clculo de las reas correspondientes.

    d) Proponga una cota superior y una inferior para las reas de ambas figuras.

    Estrategias para calcular el rea aproximada defiguras amorfas Las diferentes "tcnicas" usadas por los estudiantes para calcular el rea aproximada de uoa figura amorfa dan cuenta de sus concepciones y conocimientos previos. Oc esta manera, por experiencia observamos que en la solucin de la actividad de apren-dizaje 1.2 aparecen dos constantes: La figura l.2aevoca en el estudiante la necesidad de un marco referencial, ya que

    en general se tiende a dividir la superficie en figuras ya conocidas, tales como los cuadrados. Para ello, se usa, como punto de partida, la hoja de papel sobre la cual se dibuja la imagen, es decir, el alumno empica medios ffsicos para abstraer el concepto intangible que le ocupa. La figura l. 2b, cuyos bordes son a prop6siro lneas recias, induce constantemente en el estudiante la prctica de dividirla en la figura geomcca por excelencia: el tringulo. A partir de l, calcula el rea aproximada deseada. Eilta actividad permite al estudiante la heurstica, que lo induce a usar sus cono-

    cimientos intuitivos del clculo de reas y superficies, lo que a la postre lo estimula a reOexionar sobre los siguientes puntos: www.freelibros.org

  • 8 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Preguntas de reflexin

    Coaozco el concepto de .irca y sus unidades de medida? Recuerdo las frmulas bscas de clculo de .ircas, como cuadrados. trin gulos, rectngulos y circunfercocias7

    Reconozco los elementos geom6trlcos que caracterizan una figura geom-trica, como son permetro, apotema, bases, alturas, vnices. aristas y caras?

    Reconozco las relaciones algebraicas entre los diferentes elementos geom-tricos?

    sumatoria Act i vidad de aprendizaje 1.3

    Calcule, por el mtodo que estime conveniente, el llrea de la siguiente figura limitada por el plano canesiaoo.

    y y

    R ... 1.3o Fl!Pn 1.3b

    Deba111 con sus compailcros cul fue el mtodo ms adecuado para calcular el valor de las reas indicadas. Expliquen por qu fue el ms adecuado.

    Si intentamos definir el rea de regiones especiales, tales como las que se repre-sentan en las figuras l.3a y l.3b necesitaramos establecer algunas consideraciones de forma. As, dibujando nuevamente la 6gura l.3a, obtenemos la figura 1.4.

    J(x)

    (a,O) (b,0)

    Observarnos que est limitada por el eje x horizontal; las verticales por (a, O) y (b, 0) y por la grfica de una fuocinf(x) tal que:

    f(x) \lx E a, b)

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  • 1.2 Notacin sumatoria 9

    Conviene denotar esta regin como R(f, a, b ). Observemos tambin que esta regin contiene dentro de s( diferentes figuras

    geomlricas (como lringulos, rectngulos y otras figuras amorfas) o puede dividirse en esas figuras; sin embargo, por simplicidad dividiremos el intervalo [a, b] en algu-nos subintervalos.

    l'Qr ejemplo, si dividimos [a, b] en cuatro subintervalos, tendramos que definir-los (l'ase figura 1.5)

    "

    Jtr)

    Si quisiramos calcular IBs reas de estos cuatro rectngulos formados por la divi-sin, tambin tendrlamos necesariamente que obsen'llr que, sobre los subintervalos, Ja funcin presenta un valor mximo M y un valor mnimo m.

    M f',;x) m

    Si m1 es el valor mnimo del primer subintervalo y M1 el valor mximo del mismo (en consecuencia, m2 ser el valor mnimo del segundo subintcrvalo y M2 el mxin10, etctera) y si S1, s,. S:i y S4 representan las reas de los cuatro subinter-valos respectivos, existirn dos maneras de calcular el rea aproximada de R(f, a, b) mediante la frmula de rea ya conocida: usando el valor mnimo m o el valor mximo M. As,

    SM = m1(x1-x0)+ 111z(x2 -x1) +m3(x3 -x,)+ m.(x, -x3) www.freelibros.org

  • 10 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Definicin 1.

    Definicin 2.

    represeora el rea de los rectngulos que estn dcnlJO de R(, a ,b), en ranto que:

    Reprcscnra el llrca de los rectngulos que quedan fuera de R(f, a, b) Observemos que:

    S.,< RyR

  • U Notac.in sumatoria U

    Por tafo lio de ev i de nci as 1 Discuta con sus compalleros y concluya por escrito sobre los siguientes aspectos:

    a) Qu significado tiene para el clculo del valor del rea de la regin R(J, a, b) el hecho de quefest acotada en [a, b]?

    b) Si P1 y P, son dos particiones cualesquiera de [a, b] es posible que:

    Estime y S., para el rea de la regin R(f, O, 5) con: a) cinco rectngulos de aproxmacio, si f(x) = 25- x2

    b) diez. rectngulos de aproxmacin

    y

    Segn la definicin 2: M1 = /(0)=25 M2 = /(1) =24 M, =/(2)=21 M, = /(3)= 16 M, = /(4) = 9 rn1 = /(1) = 24 "'2 = /(2) = 21 m3 = /(3)= 16 m, = /(4) = 9 m, = /(5)= o

    s

    a) /(0) = 25 f(I)= 25 - 1=24 f(2) = 25-4 = 21 /(3) = 25-9 = 16 !(4)=25- 16=9 f(5) =0

    Particin de f para cinco subintcrvalos P = ( I, 2,3,4, 5)

    [O, I] [1, 2] [2, 3] ('3, 4) [4, 5]

    V(x; - x1_1) = 1 s., = 25 + 24 + 21 + 16 + 9 = 95

    V(x1 - x1_1) = 1 s .. =24 +21+ 16 +9 = 70

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  • 12 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    b) Para IOsubintervalos R(f, 0,S)con /(x) = 25-x1

    1

    /(

  • 1.3 Somas de Rlemann 13

    Obserwcio: P.n el ejacido para d caso a), oonsidcramos S., < S"' lo mismo que para clcasob);sioanb:ugo,paraelcasoa),S" - s.= 2.'iypu:aelcasob) s,, -s. = 12.5.

    Portafolio de evidencias 2 Debata con sus compa5eros la siguiente pregunta: qu suceder con la dife-rencia (S., -s. ) si se aumenta el mlmero de subintervalos?

    Sumas de Rlemann

    a) Entreguen su argumentacin y conclusin por escrito. b) Busquen y propongan una funcin y calculen s" -s,. para cinco y

    diez subintervalos.

    De las actividades anteriores observamos que tenernos una particin cualquiera P de n elementos p = {xo ... x. ) del intervalo (a , bJ y que para cada i elegimos un punto localizado entre [x,_, , x, J.

    s. 5 Lf(x, Xx, - x,_,) 5 S,v

    l I Ecuacin { 4)

    La suma L:1 - x,_,) Ecuacin (5)

    ,_,

    recibe el nombre de suma de Riemman de una funcin/por una particin P. La re-presentacin geomtrica de la ecuacin (4) puede verse en la figura 1.9.

    y

    .., ... 1.9

    La suma de Riernman (ecuacin 4} representara el ID-ca tO!al de los n rectngulos correspondientes a la particin P, que se encuentran contenidos por encima y por debajo de f (x). Otra conclusin que se deriva de la ecuacin (4) consiste en que, cuantos ms sean los elementos de la P, las bases de los rectngulos sern lo sufi-cientemente estrechas para que s. :::: S" y, a su vez, el valortotal de la ecuacin (4) arrojar el valor del rea de la regin R. www.freelibros.org

  • 14 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    La figura l.10 muestra la grfica de una funcinf, cuyos valores pueden ser dados a partir de la imagen. Utilice cinco rectngulos para encontrar un valor aproximado del rea debajo de f(.x) en el intervalo [0, 15].

    SOLUCIN Los subintervalos sern: [O, 3], (3, 6], [6, 9], (9, 12], (12. 15].

    ' x, = 1.5

    Si se elige: x2 = 4.5

    X)= 7.5

    x, = 10.5 x, = 13.5

    rea de la regin = L:J(x1 )(x1 - x,_,) ...

    \f(x, - x,_,) = 3

    A= 3(J(l.5) + !(4.5) + J(7.S)+ f(IO.S) + !(13.5)) A = 3(47.S] = 142.5

    CONCLUSIN

    X, x,_, E (0, 15]

    Suponiendo que una funcin f sea continua o est definida en todo punto de un inter-valo [a. b) dividido en n subi.ntervalos de la forma (x, - x1_,)

    F.cuacin (6)

    ser el rea de la regin limitada por dicha funcin J, sus correspondientes verticales co [a, b) y el eje horizontal. www.freelibros.org

  • 3

    1.3 Somas de Rlemann 15

    Derennine la suma de Riemann definida en el intervalo [-2, 2] para.f(x) =x'- - 4 para 11 muy grande (n - oo} SOLUCIN

    Se sabe que: lm l:JC

  • 18 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Preguntas de reflexin

    Act iv i dad de trabajo 1 . 1 1. Evale la suma de Ricmann paraf(x) = 3 - x2cn (0, 2] con cinco intervalos

    tomando los puntos de la derecha como puntos muestro y explique geom-tricamente su resultado.

    2. En la siguiente tabla se proporcionan los valores de una funcin obtenida por medos experimentales; utilcelos para estimar el valor del rea de la funcin f en [O, 6] tomando los puntos medios y teniendo como dato que la funcin es decreciente.

    X fl.x) o 9.3

    l 9.0

    2 8,3

    3 6.5 4 2.3

    5 -7.6 6 - I0.5

    3. Utilice un software para graficar la funcin f (x) = e,>, y:

    a) Estime el valor del rea debajo de esta grfica en [-2, 2] con cuatro rectngulos de aproximacin, y

    b) oon ocho rectngulos y romando los puntos medios. c) Esquematice la curva usando el software y los rectngulos de aproxi-

    macn.

    Comprendo el concepto de particin de un intervalo? Soy capaz de calcular a partir de partlciones de un subintcrvalo el rea bajo

    la curva de alguna funcin? Entiendo el significado geomtrico de que P. -+ oo?

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  • 1.4 Definici6n de integral definida 17

    Definicin de Integral _de_fl_n_ld_a _____________ _

    Si definimos llx1 = (x1 - x,_1}, la ecuacin (4) puede cxpn:sarsc como:

    cuya interpretacin geomtrica ser Ja de la suma de las medidas de las reas de Jos rectngulos que estn sobre el eje x y contenidas en la curva/(x).

    Notemos, en este caso, que dicha definicin no se restringe a UD valor necesaria-mente positivo de/(x). Asl,/(x) podra tener llllllbin valores negativos en la funcin.

    En este caso. la regin total debajo de la curva/(x) ser: 11-t R = s,+ s,+ s,

    Observamos, sin embargo, que f(x) toma valores positivos en S2 Es decir, se conside ra queS1 y S3 son regiones negativas que deben sustraerse debido a que no estn bajo la curva, sino sobre la curva de la funcin f(x}.

    En general si existe UD nmero infinito de particiones para UD intervalo cualquicr:a [a, b] y si/est definida en dicho intervalo, podemos definir a la ecuacin (6) como:

    Ecuacin (7)

    A la ecuacin (7) se le conoce como integral definida de la funcin en el intervalo [a, b ], donde el lmite del lado derecho existe y /es contina en el intervalo definido.

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  • 18 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Ejemplo 4

    E.o la ecuacin (7) a f (x)dx se le conoce como integrando o argumento de la in-tegral, mientras que a y b son el lmite superior y el lmite inferior, respectivamente, y al smbolo "f" se le conoce como el smbolo de integracin, el cual es scmcjanl.e a una "s" muy alargada que mantiene presente el origen del concepto observado en las ecuaciones (1) y (2).

    Si / (x) es integrable, 11 scgn la definicin de la ecuacin (6) Sm :$ f. f(c)dx :$ s,, V P E (a.,b]

    y entonces J. f (x)dx ser una propiedad y tendr un valor nico.

    Suponga que f(x) = C V x E' (a,b) ,. Si P = {x0 ,x1, ... x. ) es una particin cualquiera de [a,b]

    de manera que:

    m1 = M 1 = C

    = E C(x, - .. ,_,) = C(b - a) ,...

    s,. = tc", - x,_,)= C(b - a) ,_,

    F.cuacin (8)

    Para este caso particular, !odas las sumas inferiores y superiores son iguales

    s,. = s., = C(b - a) Usando la ecuacin (7) podemos decir que:

    si f(x) = C 11111t /es integrable sobre [a, b)

    y que J. f = C(b - a) Observacin: Esta integral asigna al rectngulo el valor del rea ya conocida tal y como se observa en la figura 1.12. www.freelibros.org

  • Criterio

    y

    o =xo .. , .,

    1.4 Definici6n de integral definida 19

    ,._,

    Jlx) s e

    i

    :

    b= X

    X.

    Esta observacin nos permite Cllpresar el siguiente criterio de integrabilidad.

    Si f esro aeotada sobre [a, b ], entonces f es integrable sobre (a, b] - 'h >O otisteuna particin Pde [a,b]tal que s,.. - Sm 0. Si P = lx.,x,, ... x. lcn la pruticin do [0,b] 1 m1 =x1. , y M1 =x1

    Sm = x,_,(x; - .t;.1) -

    S,, = 2:x1(x1 - x1 1)

    ,.

    = x1(r1-xo)+x2(Xi-X1)+ +x.(x. -x-1) .f.x)

    o 1-1 JC b

    Para particiones P. = fx0 ,x1, ... x.J en n subintervalos iguales, la longitud de cada intervalo (x, - x1 1) ser siempre -, de manera que:

    n www.freelibros.org

  • 20 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Xo = 0 b

    x1= -n

    2b ib x2 = - ... en general,x1 = -

    n n

    $"" = L:xi-1 (X - X;-1)

    ,_,

    (i - l)b b b2 = I:--- =2I:(i - l)

    ;.1 n n n ;.1

    Sabemos que ta sumatoria tj = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n: I) se puede rccsctlbir JI

    como S,. si hacemos (i - 1) = j S,. = b2 (n - IXn) _ b2 n - 1

    n2 2 2 n

    Tambi6n

    ib b n(fl + 1) b2 n + J b2 s., = I:x1G>-1 -x1_ 1)= I:- - = -;= - -

    1. 1 '-' n n 2 n n 2

    b2 2 b2 Observacin: Sin es muy grande (n -+ oo), S,. = Su -- y S,,-S,. - -b' 2 n 2

    = - , lo cual significa que cuanio mayor sea n, ms pequea ser In diferencia; o " bien, S,, = S,. puede ser tan pequea como se quiera, pero siempre existir soto un

    ,aJor por cada propiedad.

    Asl, 'In: bl

    s_ < -

  • y

    o b ; A=-

    2 Rgon1.1A

    1.4 Definici6n de integral definida 2j.

    Por tatollo de evidencias 4

    Debatan en equipos la comprobacin de la expresin anterior J: f = li' a' --- para a,. O. 2 2

    Ejemplo 6

    Analicemos un tercer caso aumentando el grado de la variable. Sea /(,r) = x2 y sea P = {x0 ,x1 ... x,)unapa11icindel intervalo [O,b).

    = f(x, _,) = C>-1-1)2

    y

    y M1 = /(r1) = x'f

    Eligiendo una particin P (n pa11es igua-les), de forma tal que:

    j b X;= -

    n

    CalculandoSm = :t(x,_,)2(x, -x,_,) lI

    "" b' b b3 ..... = _,(i-1)2 2- = 3 _,(i-I)'

    1_. nnn ;,..1

    Haciendo (i - IJ' = j2 y recordando que 12 + + k2 = .!. k(k + IX2k + 1) 6 www.freelibros.org

  • 22 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Calculamos: t>2b IJ' b3 1

    s.,= ;x,2 (x1 - .r,_1)= ;;2 2 . - =-, ;; =- n(n + 1)(2n+ 1) iI l'-.t tJ n n ,. 1 n 6 Observemos que sin tiende a un valor muy grande (n -+ oo) 1

    b3 s'" =-3

    Usando nuevamente la ecuacin (7) tenemos que:

    J. b3 0 1 = 3.donde [0, b]esel intervalo [a,b]cona = O. J. b' .1=3.

    I!ll>I!! .. 1. ............ ....... .... ................. .... ........... ............... ...... .... ........... ......... .. ... Rxlemos resumir los resultados de los tres ejemplos anteriores como sigue:

    J.1 = C(b-a) s 1(x)=C'Vx

    f 1 -- b' - a' si' 2 2 1(x) = x'lx f 1 -- b' - a' si 3 3 1(x) = x' 'Vx

    Notamos o concluimos a partir de la tabla resullante que

    As,

    Es decir, tiene el mismo significado de esta forma tambin:

    Adems, s 1 = 1(x), puede utili;mrsc cual quier letra para denotar a la variable x, ya que el smbolodxcarece de significado por s solo.

    J. 1(x)dx = J: 1(y)dy =J. 1(w) dw P.cuacin (9) www.freelibros.org

  • Preguntas de reflex in

    1.4 Definici6n de integral definida 23

    Lo anterior seala que la manera de simbolizar la variable dentro de la funcin es simplemente una ooiacin o una manera de decir quef(x) tomar ese valor Vx.

    1 Ejemplo de apllcac ln U11a empresa a111omotriz. despus de observar 400 unidades tk prod11cci11, de1em1i ro que el tiempo de mano de obro req11erido despus de ensamblar la unidad (x + 1) es de:

    f(x) = 500x- 1'2 Con base en esa informacin, calcule las horas requeridas para producir 500 unidades adicionales.

    SOLUCIN Como la ecuacin fl,r) = 5oox-"1 determina el tiempo de mano de obra de ensam-ble de la unidad (x + 1), se tcndr que resolver Ja integral de f(x) y definirla de 400 hasta 900 unidades, ya que se solicitan las horas para producir 500 unidades adicio-nales. Por ello: J:: 5oox-"2dx = 500 J:: 500 ... -ndx Aplicamos la antiderivada y tenemos

    HJ+ 500 T =

    2

    = 1000(;/900)- ;/400 = 10000 horas

    Portafolio de evidencias 5 a) Ilscutan grupalmente para encolllrar una expresin equivalente a:

    J.., f(x -c)dx +< b) Por equipos de trabajo, demuestren que J. x' dx = b' 14 consideran

    don particiones del intervalo [O, b) 0 c) De la misma manera demuestren que J

    0 x dx = b5 15

    Soy ca>ll de generalizar un resuliado a partir de las observaciones? Soy ca>ll de inducir un resultado una vez que he entendido el comporta

    miento y las caractersticas del mismo? Soy ca>ll de concluir matemticamente a panir de la observacin y el

    registro de datos alfanumricos y de definiciones y teoremas? www.freelibros.org

  • 24 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    mll.!_eorema de existencia

    Teorema

    En la exposicin previa a esta seccin pudimos observar que para el clculo de las reas correspondientes bajo la curva necesitamos conocer, primero, la funcin que genera dicha curva, esto es, un determinado intervalo [a, b] que se trabaja sobre una particin P = (4 ... x.}. y que cuanto mayor sea la partidn (n .... oo) podemos aproximamos ms a un nmero comn. Dicho nmero recibe el nombre de integral de la funcin f. EstaS condiciones permiten establecer el siguiente:

    Si fes acotada sobre [a, b]-> fes integrable sobre [a O 3 una par-ticin P de [a, b] tal que: S.,(f,P)-S.(f, P) ], ser tambin integrable en el intervalo?

    Para que esto sucediera, necesitara existir una particin P de [a, b] V E > O tal que s.,(/, P)-Sm(f, P) < e; tambin como suponemos que/es continua en [a,b], existe un mmero 6 > O tal que

    Vx ,yE [a, b], si lx- y1

  • 1.6 Propiedades de la integral definida 25

    Portafolio de evidencias 6 IXsarrolle adecuadamente las siguientes actividades e intgrelas a su portafo-lio de evidencias. l. ReaHce un mapa cognitivo que muestre los elementos geomtricos y alge-

    braicos que permitieron establecer la definicin de integral definida como:

    J. . tdx = lm L:tcx,.>a, a 11-co;.1 2. Bo la definicin anterior se usa J.' f(x) en lugar de y se usa

    dx en lugar de t.x1 Organice en un mapa comparativo las caroctedsticas e implicaciones de esta nueva notacin.

    3. Por dltimo, organice y relacione en una matriz de i.nduccin los siguientes elementos:

    Mtodo de clculo de una figura sin forma definda Clculo de reas con forma definida Clculo del rea bajo la curva de una funcin cualquiera Swna de reas rectangulares SwnasdcRicmann Definicin de integral

    Propiedades de la Integral definida Considerando la notacin usada en el teorema de existencia y el resumen de nuestros hallazgos concentrados en la tabla 1, podemos concluir algunos aspectos o propieda-des de la integral, como son los siguienres:

    a) J.' f = C(b - o) si IV:>= e V x E [a, bJ, es decir, J.' e dx = C(b-a)

    Esto nos dice que la integral de una funcin constante f(x) = e es igual a la cons-tante multiplicada por la longitud del intervalo, esta interpretacin geomtrica se puede ver en la figura 1.12. Con C > O y a< b obtenemos Ja frmula para el clcu-lo del rea de un rectngulo.

    b) La integral de/est definida como lmtf(x,Xx,-x,_,) , J'+g se escriblr como: .. -oo tt 0

    J.'t +g www.freelibros.org

  • 28 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    =J.. [f(x) + g(,r)]dx " 11 b b

    = lm [Lf(x, )(.K, -x,_,)+ LKe como: J :lf

  • 1.6 Propiedades de la integral definida 21

    e) Sea b E [a,c] de la forma a < b

  • 28 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Tambin:

    Si Oen [a,b) *J. f(x')dx Si J(;r) en [a,b] * J.' J(;

  • Preguntas de reflexin

    1.7 fUncln prlmltlva 29

    2. Pruebe que J. xdx = (bl - a l)/2. 3. Pruebe que J: x 2dx = (b3 - a3)/3. 4. SJ sabemos que J.' x'312>dx = 843., cunto vale r y 312dy?

    5 J. 5, Si J

    2

    8 f(x)dx = 1.7 y ,l f(x)dx = 2.5, encuentre J.' f(x)dx. 6. Verifique las siguientes desigualdades sin evaluar las incegrales (explique y

    justifique su respuesta):

    J." J.'" a) 0 sen' x dx 5 0 sen2 x dx

    Entiendo las propiedades de la integral definida de una funcin, corno aquellas que me permitirn las manipulaciones algebraicas de la integral?

    Reconozco la integral definida como un operador lineal? Conozco el significado de operador lineal?

    - Funcin prfmltlva

    Teorema'

    Por las conclusiones dadas en los apartados anteriores y el debate de la prctica, sa-bemos que si f(x)dx es integrable, entonces la funcin continua F(x) =J. f (x)dx representa el valor de dicha integral en el intervalo [a. b] y aderM.s F (x) ser deriva-ble. Dicho de otra forma:

    Si/es continua en [a, b1 la funcin F(x) definida como:

    F(x) = J.' f(x)dx V x E (a, b] es continua y derivable en (a, b) y adems F'(x) = f(x).

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  • 30 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Definicin 3 .

    Este rcsulmdo se conoce como el primer teorema fundamcnUll del clculo. o bien, como Ja primer parte del teorema fundamenUll del clculo.2

    En general, no es sencillo expresar cundo una funcin es derivada de otra expre-sin; sin embargo, cuando fes continua.fes la derivada de alguna funcin.

    F(x) =J.' f Como corolario a este problema, y atendiendo a la tabla 1 de resulmdos, si fes

    continua en [a ,b]yf = g1,para alguna funcin g :!> J. f = g(b)-g(a). De la primera parte del teorema fundamental del clculo, tenemos que:

    F(x) = J: f F' = f = g' sobre [a, b]

    En general, cuando una funcin/satisface que F' =,recibe el nombre de pri-mitiva dc/; cn estc caso F(x) =J.' f.

    mD_ Teorema fundamental del clculo Actividad de aprend i zaje 1 . 4

    Grafique las funciones y = x 2 , y' = 2x alineadas y siguiendo el patrn que se muestra.

    2

    A partir del anlisis de la grfica propuesta, complete las siguientes mblas:

    ' este lccren:'ll se IXlnoce como turd:lm.:iul debido qui:

  • 1.8 Teorema fundamenral del clculo 31

    y

    6 --------- -------- ---

    4 -------------

    2

    2 3

    X rea debajo de y' = 2.r, donde ....... o

    y(x)

    o

    1

    2

    3

    4

    5

    a) Escriba lo que se concluye a partir de las observaciones de los resulta-dos obtenidos.

    Repita el ejercicio considerando ahora las funciones y = 2x, y' = 2. b} Intercambie puntos de vista con su compallero aocrca de las semejan-

    zas o diferencias en las conclusiones de ambos ejercicios. c) En caso de que la respuesta sea afirmativa, aplique la conclusin u otro

    par de funciones.

    d} !!$criba un enunciado general usando f(x); f'(x).

    Analizando el corolario de la se

  • 32 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    7

    As, F(x) = g(x)-g(a)

    lo cual se cumple para x = b m

    f. J = F(b) = g(b) - g(a) F.ste resuhado se conoce como segundo teorema fundamental del clculo o segunda pane del teorema fundamental.

    Turnando nuevamente como referencia la tabla (1) de concentrado de algunas reas, vemos lo que ya antes habamos obtenido:

    o

    J: xdx como= b; -a; bl a'

    como =---3 3

    Si n es un nmero N, anlogamente podramos decir que si x-+

    g(x) = (n + I) g'(x) = x de forma que:

    f b b"+I a"'+l x"dx=----- n+I n+I con n "'-1 y a, b positivos Finalmente podemos resumir o unir las dos panes del teorema fundamental del

    clculo como:

    Seafcontinua en [a, b]

    l. Si F(x) = J: f(t)dt F '(x) = f(x) 2. J.' f(x)dx = F(b) - F(a), con Fcualquicrantidcrivada de f:es decir,

    F' =J

    Reescribiendo la pane 1, tenemos que:

    d d f ' -F(x) = - f(t)dt = f(x) dx dx www.freelibros.org

  • Ejemplo 8

    1.8 Teorema fundamenral del clculo 33

    Esto es, si integramos fy luego derivamos el resultado, obtenemos nuevamente la funcin original f.

    Como F'(x) = f(x) I'* podemos reescribir la parte 2 como:

    f. F 1(x')dx = F(b)- F(a) lo cual afirma que si tomamos una funcin P, la derivamos y luego integramos el resultado, regresamos a la funcin original F, pero F(b)- F (a), la cual ya habamos comprobado con la tabla 1.

    Obserncin: Lo anterior afirma que la derivacin y la integracin son procesos fundamentales inversos entre sf.

    Encuentre una funcinfy un nmero a tales que:

    6+ f ' dJ = 2,/X r

    usando la derivada y la integral como operadores inversos.

    SOLUCIN

    Derivamos:

    J, f(t) -dt = 2JX-6 ,2

    !!....[J ' f(t) dr] = !!....2.JX - 6] dx 12 dx

    Usando la primera parte del teorema fundamental y derivando el lado derecho: f(x) 1 7 = .JX 11 f(x) = x31'

    Como J. F(x)dx = F(b)-F(a), segn la partc2 del teorema, 3

    J, ,2 6+ -,dr = 2./X 1 o J: ,-1n d1 = 2-[X -6, la cual podemos expresar como:

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  • 34 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Preguntas de reflexln

    1

    :. ' = 3

    P.lra que la expresin dada sea una igualdad, debemos escribirla como:

    6 + J: ,-112d, = 2.JX Activ idad de t r abajo 1.3

    a = 9

    l . Realice un esquema del rea que representan las siguientes funciones y en-cuentre g' aplicando la primera parte del teorema fundamental del clculo.

    a) g(y) =J.' 11 dt e)

    b) g(x) = J: (! +cos 2J)d1 d) J, 1 g(x) = --dy

    - 1y+ y'

    2. Evale las siguientes integrales usando la primera parte del teorema funda-mental del clculo.

    a) J, 1 - dx 1 2x b) f 3 -x f' 5 e) Jo x> dx

    3. Encuentre un intervalo en el cual la curva sea cncava hacia arriba en:

    F(x) = J: sen t dt 4. Una empresa que vende tecnologa compra un software cuyo valor es V.

    El sistema se depreciar a razn de f(t) y acumular costos en un tiempo t medido en meses. La empresa desea dctcaninar el tiempo ptimo de vida del sistema.

    Obtenga una funcin c(t) que represente los costos al tiempo 1.

    Reconozco que la derivada y la integral son procesos inversos uno del otro? Reconozco de qut manera el teorema fundamental del cleulo diferencial

    se relaciona con el clculo integral? Puedo hacer el ejercicio de abstraccin necesario para pasar de una pane

    del teorema fundamental a la otra?

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  • L9 Cilculo de integrales definidas 35

    de Integrales definidas El teorema fundameotal del clculo muestra todo un potencial, en especial cuando aplica a modelos fsicos; sin embargo, se hace necesaria una notacin ms conve nientc para la segunda parte del teorema si deseamos aplicarlo a modelos flsicos o de ingeniera.

    Tradicionalmente una J fdx denota una antiderivada de/; esto es: J f (x)dx = F(x) significa que F'(x) = f(x) .

    Asf, por ejemplo, si F'(x) = x 2 , escribimos

    Sin embargo, observamos que:

    Con base en este patrn, podemos considerar que una integral es una familia completa de funciones \fe e R; es decir. habr una antideri vada para cada constante.

    Observacin: As, habr que distinguir entre la notacin J: f(x)dx, que denota una integral definida entre dos valores o definida en un intcnalo (a, b], y cuyo resultado ser un valor nico o especifico y ...

    J f(x)dx = F(x), que denota la antiderivada de f. la que comfuuneme se conoce como inugral indefinida para remarcar su generalidad.

    Una convencin importante que debe subrayarse en la notacin de integral es que la letra que aparece despus de la d (diferencial) debe ser la misma con la que se expresa la variable.

    Por ejemplo:

    las dos partes del teorema fundamental del clculo y la propiedad de la integral y la derivada de ser operadores invcl$-Os nos permiten comprobar algunas frmulas derivando simplemente las funciones indicadas en el argumento, como las que se muestran en la siguiente tabla. www.freelibros.org

  • 38 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    !!-ll!!1' .. .... ..... .......... ................ ..... ...... .... ........... .......... ........... ........................ .

    Ejemplo 9

    J adx = ax J x "'+' x"dx = --,n ; 1 n +I

    J sen xdx = - cosx J e'dx =e'

    J e-0sxdx =-senx J seclxdx=tgx J secx tgx dx = secx ! __!!!.___ = arctgx l +x2 J = arcser 1- x2

    1. Utilice la parte dos del teorema fundamental del clculo para ene-0ntrar la deriva-da de la funcin g() = J."-1- 2 dx 1 l+x

    SOLUCIN g'(,) = .!!..[J.- 1- dxl dx 1 1 +x2

    I 1 , .. g(,)= l +l V I' "" - 1

    Ejemplo 10 Evale las siguientes integrales usando el teorema fundamental del clculo y las pro piedades de la integral descritas en el inciso 1.6 y la tabla 2.

    a) J' xdx _,

    I s x' 3' (- 1)' 243 1 SOLUCIN x'dx= - 1:, =----=- +-_, 5 5 5 5 5

    244 4 =-= 48-

    5 5

    b) J.'o +3y-y2 )dy. Usando propiedades,

    = ;dy+ J;3ydy-J.'1dy = J.'dy+3J.'ydy-J.'y2dy www.freelibros.org

  • L9 Cilculo de integrales definidas 37

    =[4 - 0J +i [42 - 0J - t[4'-0] = 2jl = 6,66667

    Ejemplo 11

    Calcule la integral de f(x) = x' -4 sobre [-2, 2], utilizando el teorema fundamco-lal de clculo.

    SOLUCIN Una antiderivada de f(x) = x2 - 4 es F(x) = ; - 4x; luego, pore.I segundo teore-ma fundamental del clculo, tenemos

    f 2 (

  • 38 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Observacin: En el ejercicio anterior se consider leos 2xl = cos 2x porque x E [O,:.. y en este dominio Ja funcin cos 2x es positiva, pero eso no sera posible si los lnites de integracin fueran O y":. Ja funcin cos 2x tomada valores positivos y negativos.

    Po rtafol io de ev idencias 8

    Demuestre que: J: f(x)dx =J. f(a+b-x)dx argumentando algebraica-mente y haciendo una interpretacin goomrrica. Discutan por equipos el pro-cedmicnto de comprobacin.

    Activ idad de trabajo 1.4 l. Utilizando la tabla 2 de esta seccin y el teorema fundamental del clculo,

    evale las siguientes integrales:

    a) J: cos4x dx b) J.'x4 + x')' )dx e) J.' 2x((x2 + 3)2)c d) J' (2 - x)'dt

    -3 e) J,:t sen I di f) J.' COS 1f X C' g) J.3 C'

    o 2x + 3 h) J. J3 + 2x dx

    2. Fncuentre el rea de la superficie acotada por las siguientes curvas y rectas:

    a) y = tg IJ en [ O, ,Y.; 1f] l,

    b) y= e 2 en ,Vi"'] e) y =scclJ+ tglJen [o. ,Y.; "J d) y = C, sen O+ C1cos IJen [o, ,Vi "]

    3. Utilice un software de graficacin que le permita evaluar geomtricamente el rea total lintltada por las curvas; justifique y expLique sus resultados. a) y = a [sen 20+cos 20) b) y = 3+cos30 c) y = cos30-2 coso www.freelibros.org

  • Preguntas de reflexin

    1.10 Integrales impropias 39

    Entiendo el papel que juega la geometra en la evolucin del clcul.o inte-gral como una herramienta?

    Razono respecto a la infonnacio que la grfica de una funcin me puede proporcionar?

    Portafolio de ev idencias 9 Realice e integre adecuadamente las siguientes actividades a su portafolio de evidencias: J. Organice en un mapa cognitivo las propiedades y caractedsticas de la inte-

    gral definida de acuerdo con sus implicaciones geomtricas.

    2 Relacione en un mapa conceptual los orgenes histricos del clculo inte-gral, as como los elementos que subsisten en la matemtica y que llevaron al establecimiento del teorema fundamental del clculo.

    Observacin: Puede incluir en este mapa conceptual aquellos elementos que crea evidentes, pero tambin trate de incluir los elementos o las conclusiones que considcce implcitos. Para ello puede ayudarse de algunas de las siguientes lecturas sugeridas o elaborar previamente un ejercicio de indagacin histrica que le pcnnita argumentar los elementos del mapa conceptual.

    Lecturas sugeridas

    Smith, O.E. ( 1959). A Sourr:< of Book in Mothematics (vol. 2). New York: D. Smith Do\ler. Boyer, Carl ( 1959). Th< Hist0ry of The Calculus and its Cone

  • 40 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Definicin 4.

    Definicin 5.

    Una integral que tiene la forma:

    f .. .

  • 1.10 Integrales impropias 41

    15

    Detel1lline si J."' existe y en su caso obtenga el valor. SOLUCIN

    J,., dx J.. - - e ,-; = lm e 2 dx = IJm [- :U ') O " tr-c:o Q e-oo ... b -o -

    = lfm[- 2e > - (-:U >)]= lm(- 2e >-(- 2)]=0+2=2 b-oo

    Ejemplo 16

    Evable la siguiente integral: J."' 1 X 2x2 - I

    SOLUCIN

    J,00 dx J.. dx 1 xJzx2 - 1 - xJ2x2 -1 lm J. J'fi {2dx = lm [are sec( .J2x )JI: ._., 1 2xJ2x1 -I .....,

    = lfm arc9'c..J2 b-srcsec(..J2}= ..,2 lm = = .:'.: ..... ....., 4 2 4 4

    Ejemplo 17

    De . . J 1 . b al tenrune s1 -;r.:- dx CJUSte y o tenga su v or. SOLUCIN

    Jo 1 J 1 1 J - 1 - e --dx = llm --dx= - lfm e dx =- lfm (- 4e ) -oo ilse> --00 iJs.,x .__,., .__,., - 4 - 4

    =- Um (1 - e ] =-(1 - oo)=oo Ejemplo 18

    Evahle la siguiente integral: J' 2 x 2 dx -

  • 42 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Ejemplo 19

    Detennine la convergencia o divergencia de la siguiente integral: J.2 - 1- dx x-2

    SOLUCIN

    J.' 1 J.' 1 --dx = Um --dx o x-2 .._, o x-2 = 11m[tnlx- 21t = llm[lnlb - 2j - lnl0 - 2j) = - oo - ln 2= - oo

    b-2 0-2

    La integral diverge.

    Ejemplo 20

    Considere J.' dx , ., y determine la convergencia en el intervalo correspondiente. o (x - 1)-

    SOLUCIN

    J.3_tJx _ _ J.' dx + J.3 dx - UmJ,. dx + UmJ,' dx o (x - 1)23 1 (x - 1)"1 ....,, o (x - 1)2> - (x - 1)'> La integral converge en 3(1 + Vi.) .

    Po r tafolio de ev idencias 10 Debamn grupalmenle el significado geomltico (vase figura 1.18) de que J. .. 1 - dx ;! (no existe). 1 X

    Escriba su conclusin y ejemplifique con otra funcin de comportamiento similar. www.freelibros.org

  • Oefl nlcln 6.

    Definicin 7 .

    1.10 Integrales impropias 43

    Existe otro tipo de integrales impropias que abarcan los casos donde la funcin por integrar es discontinua en valores especficos de la ''3riable dentro de los llmites de integracin.

    Consideramos en esta secdn dos casos por definir.

    Si a < b ye> O, cuando la funcin est definida o es continua \/los valores de x excepto x = a, entonces,

    J.

  • 44 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    Ejemplo Ilustrativo 2

    J.,. dx Calcule ( )' o x-a SOLUCIN Se observa que ( )' es una funcin continua, 'r/x excepto x = a. Expresamos:

    x-a

    r' dx Jo (x - a)'

    lm r-< dx +um r'" dx (x - a)'

    [ -1 1-< [ -1 J' = lm - - +lm--1--0 x-a o r-0 x - a o..-, = lm( -1 .!.)+1fm( -1 1 )

    ,_. (a-e-a) a (2a -a) a+ r-a

    = lm(.!._.!.J+ lm(.=!._.!_) 1--0 e a r-Oa r

    Nuevamente se observa que cuando e _, O y r _, O los IJmites no existen y, por mnto, la integral no existe.

    Ejemplo 22 Con la ayuda del software obtenga la grfica de la funcin y= sen(x) I oos(x) y mencione todas sus caractersticas geomtricas.

    SOLUCIN Con la ayuda de un software para graficar, se obtiene lo siguiente:

    !I!!'--------

    . . . . . . .. "

    F .... 1.18

    CONCLUSIN Se observa una funcin de tipo espejo con eje asimtrico en el origen, con peciodos de indeterminacin de dos en dos que van en el dominio del lado negativo de la fun-cin hasta el origen de -oo a oo y de manera contraria al lado dcrcclio de la funcin a partir del origen y cuyos periodos van de -oo a oo. www.freelibros.org

  • 1.10 Integrales impropias 45

    Porta f olio de evidencias 11

    1 1. Elija un software que le permita graficar la funcin f(x) = (x _ a)2

    Interprete cl resultado del ejemplo anterior geomtricamente; discutan gru-palmente su argumento.

    Es importante que el estudiante renga experiencia en la utilizacin de soft-ware para construir grficas y poder hacer un anli.sis ms especfico sobre ellas. Para esto se recomiendan los siguientes paquetes de software: Win-plot, Derive, Padowan Grap, Origin, Maple, etctera.

    2. Se tiene una plataforma para saltos acrobticos de estructura de acero, como se muestra en la figura 1.19a. Si se sabe que las curvas son del tipo y = x2 y que en la parte superior tiene un metro de calle y cuatro metros de alto, realice lo que se indica en cada situacin:

    a) Intercambie puntos de vista con sus compalleros sobre cmo debera ser la curva en la plataforma si se desea que los acrbatas adquieran mayor aceleracin en el descenso.

    b) Con la curva sugerida calcule el rea de los muros que soportarn la plataforma si se quieren construir de concreto bidrulico (vase figura l. 19b).

    e) Cul ser el rea de los muros si se desea construir una rplica exacta de la de estructura de acero en concreto hidrulico (con y = x2)7 (Vase figura l.l 9c ).

    d) Analice sus resultados y reflexione acerca de lo observado y discutido en ambos incisos.

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  • 46 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    - tm

    4m A

    8 11

    Activ idad de trabajo 1.5 1. Verifique cada uoa de las siguientes integrales usando al mismo tiempo

    alguna herramienta geomtrica:

    J... dx ?r a) o a2 + t>2x2 - 2ab b) f .... -...

    J.2.. x l

    e) dx = 2.39 a2 o ..fx l -al

    2. Supoaiendo que /(x) 00 f(x)dx exisre,

    demuestre que si O $ g(x) $/(x) para toda x

  • Actividad integradora unidad 1 47

    Actividad integradora de la unidad 1

    1. Oetermine la ecuacin de la recta tangente a

    f(X) = 2+ QOSX J: i 2dl 2. Determine si la funcin y es o no solucin de la ecuacin y' + 2xY = 1

    3. Calcule los lmites siguientes

    a) b) lfm e' +x

    .r-oo X+ Jnx 4. Encuentre g(x) si

    t d J 3X g(0)= - 2 y g(x)= - --d.x dx x 2 + 1

    5. Encuentre f'(O) paraf(x) = J.' (1+scn(scn1)) dt 6. Calcule la integral siguiente

    J. ... e'd.x o 1 + " l

    7. Calcule e l lmite siguiente: lm (1 + x); ........

    8. Derive f(I) = J0'csenx)"""' ' +tan[ In;) 9. Calcule la integral

    1 O. Calcule los lmites

    a) lm aretan x2 ... -oo x sen x

    b) lm ln(x +e') ,__, X

    J..( J3i +x r dx 1 X

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  • 48 UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

    11. Resuelva la ecuacin: 2 ln 2 + ln(x2 -1) = ln(4x- l)

    ' 12. Calcule el lmite siguiente: limx- - 13. Calcule las siguientes integrales

    a) J.' Ji+ 4.JX dx ' .JX

    J.' 4x2 -5 b) (2x+J5)dx 14. Calcule J:'scn24xdx 15. Encuentre el rea de la regin bordeada por las grficas de /{.;e) = x2, x = O, x = 2 y el eje x

    mediante el clculo del lmite de las sumas de Riemann. 16. Encuentre el rea de la regin bordeada por las grficas de /(.;e) = (x - 1 )2 + 2, x = - 1, x = 2 y

    d eje x mediante la b

  • Autoevaluacin de la unidad 1 49

    Autoevaluacin de la unidad 1 l. Responda correctamente las siguientes preguntas:

    a) J!.n qu consiste y cmo se expresa el teorema fundamental del clculo? b) Cul es el significado de que el teorema fundamental del clculo se exprese eo dos panes? c) Es correcto afumar que el teorema fundamental del clculo determina la manera de encon-

    trar antiderivadas de una funcin? Il. Utilice la parte del teorema que considere pertinente para encontrar las derivadas de las siguien-

    tes funciones:

    a) P(x) = J."' sen3 1 dt b) F(x) = sen(J

    0' scn(J

    0' scn3 t dt)dy)

    e) F(x)= J. x dt (1 + 12 + sen2r)

    DI. Para cada una de las siguiemes funciones f si F(x) = J.' f, se11ale en qu puntos x es F(x) =f(x). a) f(x) = 0 six 51,f(x) = 1, six= 1

    b) f(x) =0 six l ,f(x) = 1, six= 1

    lV. Encuentre la func.in continua f. tal que:

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  • Las dos partes del teorema fundamental del clculo y la propiedad que presenta la integral y la derivada como operadores inversos son las herramientas matemticas ms poderosas que se crearon en el slgJo xv1. El estudio de las Integrales requiere, sin embargo, una largi prepara cin que proveer al estudiante de un instrumento de gran valor para construir nuevas funciones.

    El mayor mrito del clculo de Integrales es el de ser un algoritmo general aplicable a todas las expresiones analiticas, el cual se basa en que los procesos del clculo de tangentes (derivada) y cuadraturas (integrales) son inversos uno del otro.

    Contenido 2.1 Definicin de Integrales Indefinidas 2.2 Propiedades de la integral indefinida 2.3 Clculo de Integrales Indefinidas o

    2.3.4 Integrales de funciones trigonomtricas

    2.3.5 Integracin por sustitucin trigonomtrica tcnicas de Integracin

    2.3.1 Directas (integrales directas) 2.3.2 Integrales con cambio de

    variable 2.3.3 Integracin indefinida por partes

    2.3.6 Integracin de funciones racionales por el mtodo de tracciones parciales

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  • COMPETENCIAS POR DESARROLLAR

    COMPETENCIAS ESPECFICAS Discernir cul mtodo puede ser ms adecuado para resolver una integral dada y emplearlo. Determinar una funcin primitiva.

    ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

    Utilizar las propiedades de linealidad de la Integral indefinida para obtener la primitiva de otras funciones.

    Resolver integrales que requieran modificacin o interpretacin para adecuarlas a una frmula .

    Ante un grupo de integrales por resolver, seleccionar el mtodo ms adecuado segtln la funcin integrando y resolver la Integral aplicando el mtodo.

    HABILIDADES Y ACTITUDES

    Encontrar una funcin f(x) cuya diferencial se conoce. Reconocer y usar la diferencial y la integral como operadores inversos. Dada una funcin, encontrar una familia primitiva.

    COMPETENCIAS PREVIAS

    Para un mejor aprovechamiento de este curso, es recomendable verificar que el estudiante cuente con las siguientes competencias: Conocimiento y manejo de operaciones mutuamente Inversas como suma y resta,

    multiplicacin y divisin, o elevar a una potencia y extraer raz. Dada una funcin encontrar su diferencial. Reconocimiento de que la integral y la diferencial son operadores Inversos. Conocimiento y manejo de relaciones elementales entre funciones trigonomtricas. Conocimiento y manejo de las propiedades de logaritmos naturales y de base 10. Habilidad para integrar formas elementales y ordinarias de funciones.

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  • Clculo algebraico de integrales Indefinidas

    Directas

    Con cambio de variable

    Trigonomtricas 1

    Por partes

    ORGANIZADOR GRFICO DE LA UNIDAD 2

    Definicin

    1ntecra1 definida

    Clculo numrico de integrales indefinidas

    1

    .

    Propiedades de la integral

    indefinida

    Aplicaciones de las Integrales indefinidas

    Simpson J

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  • Antecedentes

    Entre los trabajos ms importantes de Newton, destacan los desarrollos en serie de potencias, en parti-cular el desarrollo del binomio, los algoritmos para encontrar rafees de ecuaciones, la relacin inversa aitre diferaiciacin e inl.egracin, y d concepto de ftueorcs y fluxiones como variables que cambian en el tiempo.

    Por su parte, Leibniz se centr en el desarrollo de un lenguaje metdico para representar conceptos fundamentales del pensamiento humano y la manera de cambiar estos smbolos para llegar a concep-tos ms elaborados. El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los artculos que public en el Acta Entditor11m y algunos manuscritos donde estudia la cuadratura de curvas y desarrolla el clculo diferencial e integral desde su perspectiva. Una de las caractedsticas fundamentales de sus escritos es el establecimiento de las reglas para la manipulacin de los sCmbolos f y "tf', Jo cual refleja su idea y bsqueda de una simbologa que representara conceptos e ideas del pensamiento de forma que los razonamientos y argumentos se pudieran escribir y seguir mediante frmulas.

    El cJc.ulo de Leibniz es, en gran medida, un algoribno para describir los mtodos geomtricos de cuadraturas y tangentes mediante frmulas. Por otro lado, las ideas fundamentales que maneja son la relacin entre las sumas de sucesiones con las diferencias de sus consecutivos (vase captulo 4) y el llamado tringulo caracterstico.

    Dos artculos del Acta de Ernditorum escritos por Leibniz; los de 1684 y 1686, fueron ledos por los hermanos Bernoulli (Jakob y Johan). Ambos entendieron e interpretaron los sCmbolos y conceptos de Leibniz y publicaron algunos artfeulos al respecto, en los cuales resolvan problemas con el nuevo clculo de Leibniz, el cual probaba todo su potencial. Entre los problemas ms destacados est el de la iscrona, la catenaria, la tractriz, la iscrona paracntrica, tambin llamada braquistocrona.

    Jakon Bemoulli lanz el desaffo en 1690 de hallar la curva que formarla una cadena suspendida por sus extremos.

    Re ... :u. Grabado origiool de la poblicacio de Leibni ( 1961), El tuUaz.go re enoomar cs:ta curva (auc:rwia) fue uno de los prime.ros xi1os p.00.doo del cillculo. www.freelibros.org

  • 2.1 Definicin de integrales indefinidas 55

    de Integrales Indefinidas

    Definicin 1

    La definicin de integrales indefinidas se analiz en el inciso 1.4 de este libro aJ sealar que el teorema fundamental del clculo (TFC) muestra todo su potencial aplicado a problemas f!sicos; sin embargo, es ncccsarlo introducir una notacin ms con\eniente.

    Asl, por ejemplo, si una J f(x) denota una antiderivada de/; es decir: J f(x')dx = F(x) significa que F1(x ) = f(x)

    El problema sera que, dada una diferencial de una funcin, se halledieha funcin. La funcin as encontrada se llama integral de la expresin dada y aJ procedimiento de encontrarla se Je conocer como integracin. Esta operacin se indica con el smbolo f y se Ice: "integral de" y la diferencial "d" indica a la variable de integracin en:

    J f(x)dx = F(x) 11

    d J f(x')dx = dF(x) f(x) = F '(x),

    puesto que la diferenciacin y la integracin son operaciones inversas. Asl, por ejemplo, observbamos que si f(x) = x' 1 J x1 d (x') x 1dx = 3 ya que dx 3 = x1 ("tase tabla l) Pero tambin veramos que

    +) =x2 +2)=x2 +c)=x'

    CONCLUSIN La integral no solo nos da la primitiva de una funcin, sino que se puede considerar como una familia com-pleta de primitivas o funciones que fueron derivadas \ICeR. Esto nos dice que existe una antiderivada o in-1egral para cada constante e, a la cual llamaremos en adelante constante de integracin.

    Debido a que C E R, si una funcin diferencial tiene integral, cuenta tambin onn una infinidad de integrales

    J d(F(x)dx) = F{x)+c.Comoesdcsconocidaoindcnidaa F(x)+C,selc denomina la integral indefinida de/(;

  • 56 UNIDAD 2 Integral indefinkla y mtodos de integracin

    Esta definicin y el anlisis anterior nos llevan dir:ccto al siguiente resultado: si dos funciones difteo:cn entre si por una constante m tienen la misma derivada. Esw funcionessonalgunaf(x) y g(x)cuyaderivadacomn es 0(x), y F(x) = f(x) - g(x).

    F'(x) = .!!.[J(x) - g(x)) = 0(x) - 0(x) =O dx

    Pero segn el teorema del valor med.io,

    F'(x + t. x) = F(x + Ax) - F(x) O [Por hiptesis en este caso) Ax

    F(x + Ax)-F(x) = O,

    F(x + t.x) = F(x) , lo cual significa que la funcin de diferenciaf(x) - g(x) no cambia al incrementar x 121 solo una constante; es decir, f(x) - g(x) difieren en una constante C.

    Esto '1nicamente podra determinarse si conociramos las expresiones para f(x) - g(x) e integramos en algn intervalo. De esta forma, el criterio que se debe seguir para verificar una integral es que: la diferencial de la integral ser igual a la expresin diferencial dada.

    Observacin: Calcular una derivada de alguna funcin dada proporcionar siempre una frmula para integrar.

    Por ejemplo:

    Si F(x) = lo J l-x1 ; F1(x)=+-1 X -

    J_ x _ dx=ln J l - x2 +e x 2 -l Es decir, podramos calcular la integral de alguna funcin F si sabemos que tal F' = f, ya que una funcin continua siempre tiene primitiva. Pero en esta unidad se

    intentar encontrar primitivas o integrales de funciones que puedan expresarse en tr-minos de funciones ya conocidas, tales como funciones trigonomtricas, logarftmicas o exponenciales. Una funcin como esta recibe el nombre de funcin elemental, la cual puede observarse mediante suma, o:csta, multiplicacin. divisin o composicin a partir de las funciones racionales, trigonomtricas y sus inversas.

    Cabe aclarar que no siempre es posible encontrar primitivas clcrncntalcs y que no existe una regla general que pueda aplicarse aun cuando se sepa que la integral de una expresin diferencial dada existe, ya que tal vez resulte difcil obtenerla en trminos de funciones elementales.

    As pues. la integracin ser un procedimiemo basado en ensayos, notaciones. abre-viaciones y conv121ciones destinados a fucilitar el proceso o clculo de primitivas. En ttnninos de las funciones elementales, tal esfuerm se imensifica si consideramos que al-gunas funciones que precisamos integrar modelarn algn fenmeno f!sicoen pnrticular.

    Por esa razn los mtodos para integrar ms plausfles son, o se convienen en, teoremas muy imponantes, por lo que es recomendable tenedos siempre presentes, sobre todo, partiendo de los mtodos bsicos que permiten expresar las integrales en trminos de otras funciones. As, un buen comienzo seria contar con una lista de las integrales inmediataS (aquellas que obtenemos siniplemente derivando). www.freelibros.org

  • Ejemplo 1

    2.1 Definicin de integrales indefinidas 5 7

    I!!!Ji!! .. .......................................................................................................... . f dx =x+C J x"'+I x"dx=--+c n+l f f e'dx=e'+C J senx dx = -cosx +e Jcosx dx=senx+C

    J a' dx = a' +e lna J sec2xdx=tgx+c

    J csc'xdx =-ctgx+c J secx tgx dx = secx +e

    J cscxctgx dx=-cscx+C

    J1gx dx= - lncosx + c

    J ctgx dx = lo scnx+C J secx dx = ln(SOCX +tg X)+ C J cscx dr=ln(cscx - ctgx)+C

    1 X - arc1g-+c a a

    J dx 1 x-a - , - = - ln--+c. conx' > a2 x --a' 2a x+a 1 a+x

    - ln--+c.oonx2 < a1 2a a-x

    = are sen !!.. +e Ja2 -x1 a J J dx - ln(x+ Jx'a')+c x2a2

    Por supuesto, el estudiante debe ser capaz de comprobar sin ningn problema los resultados anteriores.

    !(x+Jx'+a'} F'(x) =

    x + Jx' +a2 Jx' +a' + x

    Tal como lo expresa la tabla:

    J+ X x2 +a'

    x+,/x'+a'

    J dx - ln(x+.Jx'+a')+c Jx' +a' www.freelibros.org

  • 58 UNIDAD 2 Integral indefullila y mtodos de integracin

    Portalollo de evidencias 1 y

    Rcin2.2

    La interior es la grfica de una funcin! cuya antiderivada es F; como sabemos que F(O) = 3 dibuje una grfica aproximada de F.

    Demuestre que J dx = lnx+c, pero puede expresarse como: lncx. X

    La antiderivada o integral se verifica al calcular la derivada de la respuesta; pero tambin puede apoyarse grficamente. Obtenga la grfica de la fun-cin f(x) = .!. y su antiderivada F(x) = lnx + C F(x) =In ex.

    X

    Describa el comportamiento de ambos grficos en su intervalo dado y anote las conclusiones que le pennitan realiU1r dicha comprobacin.

    Actividad de trabajo 2 . 1 1. Verifique las frmulas de la tabla 1 usando derivacin.

    2. Encuentre por integracin el rea de la rcg!_n limitada por la recta y = l, el eje de las ordenadas y la curva y= .Jx usando el siguiente mtodo: escribiendo x como funcin de y. Explique su resultado.

    3. La velocidad de una partcula (dada en 'is) y que se mueve en lnea recta est dada por la funcin:

    v(1) = 2t-6 en [0,3]

    Encuentre el desplazamiento y la distancia recorrida por la partcula en el intervalo dado.

    4. La aceleracin ca '%2 y la velocidad inicial de una partlcula que se mueve m lnca recta se da a continuacin:

    0(1)=1 + 6 v(o)=3 re[0,10]

    Encuentre la velocidad en el instante t y la distancia recorri.da durante [ll, 10]. www.freelibros.org

  • Preguntas de reflexin

    2.2 Propiedades de la integral indefinida 59

    s. Encuentre la integral indefinida, en su caso, de las siguientes funciones:

    a) J Jx' dx g) f l/X dx b) J Jzx+ldx h) ,Y;.csc2 0d0 e) J x/idx J.'( fr - Jr )dr i) d) Jssdx

    j) J. 3x2 +2x+l dx

    e) j cscO tg(I d(J 1 X t) f

    Entiendo la derencia que existe entre integral deflllida e indefinida 1 Entiendo la integral como un operador inverso a un operador dercncial? Comprendo la importancia del uso de la notacin en el clculo integral? Al obtener la primitiva de una funcin. soy capaz de distinguir qu parte

    del teorema fundamental del clculo estoy aplicando? Entiendo el concepto y la funcin de la constante de integracin? Soy capaz de obtener una constante cualquiera de integracin a partir de la

    ootiderivada de una funcin?

    _,;- Propiedades de la Integral Indefinida Como hemos remarcado, las dos partes del teorema fundamental establecen una co-nexin entre las antiderivadas y las integrales definidas. Debido a esra relacin, la notacin J f(x) dx se usa para denotar una integral indefinida. As!, el smbolo J f o J f(x) dx significa una primitiva de/oel conjunto de todas ellas.

    f J(c) dx = F(x) significa F'(;c) = f (x) la utilidad del teorema fundamemal puede verse mejor si contamos coa una lista de las antiderivadas ms generales. A estas las llamamos integrales inmediatas y son aquellas que ya listamos ea la rabia 1, las cuales pueden verificarse por simple deri-vacin. www.freelibros.org

  • 60 UNIDAD 2 Integral indefinkla y mtodos de integracin

    Es importante resolver en este punto dos fnnulas generales, en algunos casos Uamadas tambin teoremas, y que surgen como consecuencia de la derivacin.

    j(f(x)+ g(.x))d:c= J f(x)d:c + J g(x)dx J c /(x)dx= e J f(x)dx

    EstaS nos dicen que primero hay que encontrar la antiderivada o primiti"11 de una suma de funcionesf{x) y luego sumarla a la antiderivada deg(x). Dicho de otra manera:

    la integral (primitiva) de una suma ser igual a la suma de las integrales o (primitivas).

    Thmbin la antiderivada de una funcin /(x) multiplicada por una constante ser equivalente a encontrar la primitiva de la funcin y despus multiplicarla por dicha consiaotc. En resumen:

    la integral de una constante multiplicada por una funcin es igual a Ja constante por la integral de la funcin.

    Estas dos formulaciones se conocen como las propiedades ms importantes de la integral indefinida y le asignan a esta el carcter de un operador lineal, al igual que su operador inverso, la derivada.

    las formulaciones anteriores se cumplirn siempre y cuando /(x) y g(x) sean integrables, o bien, teog;m una primitiva propiamente dicha. Pero en esta unidad nuestro objetivo es convertir el proceso de bsqueda de primiti\'llS en algo tan mec nico para el estudiante como sea posible. Esto, en el contexto del clculo integral, se lograr recurriendo principalmente a algunos procedimientos de integracin que los matemticos han ido acumulando a travs del desarrollo de esta herramienta podero-sa y que se conoce tambin como "tcnicas de integracin".

    Portafol io de ev idencias 2

    2cx-x' l. sea /(x ) 3 para toda e > O. Grafique para algunos valores de e, e f(x) y observe las reas encerradas entre las funciones y el eje x. Debatan en equipos y reporten por escrito sus observaciones y conclusiones acerca de cmo estn relacionadas las rcspecti"11S reas gralicadas y la forma de la grfica.

    1

    2. Calcule el siguiente lfmite: Um,_0 .!.J.'{1-tg 21i d1. Escriba cada paso y X O mtodo que utiliz para resolverlo. www.freelibros.org

  • Pregunta s de refl exln

    2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o tcnicas de integ...,i6n 61

    Entiendo el concepto de p:imitiva de una funcin? Entiendo el proceso de integral como un operador? Puedo decir cules son las dos principales propiedades de la integral inde-

    finida? Entiendo el significado de que la integral sea un operador lineal?

    --Clculo de Integrales Indefinidas o tcnicas de Integracin Hemos decidido llamar a este inciso "tcnicas de integracin'', debido a que a con-tinuacin desarrollamos un conjunto de saberes y anificios (procedimientos o tcni-cas) que nos permitan obtener las primitlvas deseadas en de funciones. Esto, al igual que en cualquier tcnica, requiere destreza algebraica e ingenio. Algunas de las tcnicas desarrolladas han nacido de la prueba y el error, y han mejorado con la prctica; adems, cada estudiante le imprimir su acervo personal o partlcular.

    2.3.1 Directas (integrales directas) La ntegracin se considerar entonces a partlr de este punto como un procedimiento esencialmente de ensayos. Por ello, para facilitar el trabajo, es conveniente que el alumno elabore o adquiera una tabla de integrales ya conocidas (como las que se presentan en la tabla 2 de esta unidad). Esta tabla de integrales inmediatas permitir realizar alguna integracin nicameote de la comparacin de la expresin diferencial que se desea obtener, con alguna en la tabla. Si se encuentra escrita. entonces ya conocemos la integral. Si no es as!, probaremos algunas manipulaciones algebraicas pira reducirla a una de las frmulas de las tablas.

    La tabla 2 se elabor reescribiendo la 1, pero incluyendo las propiedades o fr-mulas de la ntegral indefinida y algunas otras nmediatas.

    Ja.!>la. .. 2. .. -J die +dy+dg= J tlx + J dy+ J dg (1) J cf(x) dx =e J f(x) tlx {2) J dx = x+c (3) J x"+' x"dx = --+c

    n+ I (4)

    J (5) J e'dx =e'+c (6)

    J seo x tlx = -

  • 62 UNIDAD 2 Integral indefinkla y mtodos de integracin

    J cscxctgxdx= - cscx+c {12) J tg.rd< = - In cosx +e (13) J ctgxdt = - In sen x+c (14) J sec1:dt= ln {secx+ tgx)+c (15) J cscxdt=ln(cscx - ctgx)+c (16)

    Ejemplo 2

    l. Encuentre J x1 d d'-

    conx1 < a1

    Usando las entradas (2) y (4) de la tabla, con n= 7, se obtieoe:

    J1x1 dx=1 J x1 d

  • Ejemplo 3

    SOLUCIN

    2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o tcnicas de integ...,i6n 63

    f(ax" +bxm)dx =a J xdx+b J xmdx a.t11+1 bx+

    =--+- -+e n+I m+I

    En algunos casos hay que hacer previamente manipulaciones algebraicas en el argu mento de Ja integral para que coincida con alguna de las entradas de la tabla.

    I d/ l. Calcule if. SOLUCIN R.eexpresando el argumento de la integral

    J t:.= J !!;,.= f 1-Y.. d1 "'' ."J

    Ja cual se puede comparar con la entrada {4) de la tabla con n = - YJ 111 J 1J;= Jr-Y.. dt=ir'h +c

    2. Calcule J ..{y(5y- 4}dy. SOLUCIN Reexpresando J ./Y(5y - 4)dy= J (syY>- 4yY. )dy

    Jx' +3x +2 3. Encuentre x dx. SOLUCIN

    =5 J yY. dy-4f yY. dy =2yY> -! yr, +c

    3

    Simplificando el argumento de la integral o integr:mdo.

    x = - + 3x+2lnx+C

    4 Esta integral se obtu\'O ucilizando simultneamente las entradas ( 1 ), (2), (3), ( 4) y (5) de la tabla. www.freelibros.org

  • 64 UNIDAD 2 Integral indefinkla y mtodos de integracin

    l. Obtenga J +1%)' dt SOLUCIN

    cona=Cte.

    Se desarrolla primero el cuadrado del binomio:

    (a!3+1%)' =a%+2a>'>1Ys +1Y> "'* F.sta forma del binomio permitir usar la entrada ( 1 ):

    f x' 2. Obtenga --dx. x+2 SOLUCIN

    -2x2 +4x-8+___!!_ (Realizando la divsin) x+2 x+2

    J J x't1x-2J x1 d.x+4J xdx-8J dx+16J x!2 =x'

    4 3

    3. Obtenga J dO . l+cosO

    SOLUCIN Multiplicar por una unidad (mis-mo valor en el numerador que en d denominador) es un truco alge-braico muy recurrente

    1-cosO 1-cosO l+cosO {l+coso)(l-cosO) 1- cos'O

    =

    1-a;s O (usando la identidad trigonomtrica sen20 + cos21J = 1) sen O

    scn20 cosO O O (separando el argumento) sen sen

    = csc20 - ese O cot O.

    Entonces,

    f dO Jcsc20d0 -JcscOcotOdO=-ctgO+csco+c l+cosO (usando las entradas (10) y (13) de Ja tabla). www.freelibros.org

  • Ejemplo 5

    2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o tcnicas de integ...,i6n 65

    4. Obtenga J SOLUCIN Por simple observacin se tiene que ldx es la diferencial de x, pero tambin la de x + 5; de manera tal que si toda la expresin (x + 5) fuera una nueva variable, por ejemplo 11 = x + S,

    1u J..!!=_ podra expresarse como: J du. x+5 u sencillo cambio de variable permite usar de manera directa la entrada (5) de

    la tabla. Entonces,

    Jd1' -=lnu+c; pero u=x+5 "

    J..!!=_= In(x+5)+c x+S 2.3.2 Integrales con cambio de variable El cambio de variable reali7.ado en el ejemplo 4 es, como veremos a continuacin, muy til y susceptible de repetirse en algunas otras expresiones del integrando.

    = J z(a2 +b2z2)U 2b dz 2b

    (Se utiliza aqul la multiplicacin por una unidad 211 que, a su vez, permitir compar ,).{ 2b

    tir la diferencial] d(a1 + b2z2 r . = 2bz dz)

    Si a1 +b2z2 fueraunanuevavariableu 11

    las operaciones principales en este ejemplo se realizaron con el objetivo de com-plew el valor de la diferencial del argumento de la integral, lo que fue posible gracias a que este contena ya la variable z multiplicando el radical. Es importante resaltar que la manipulac.in algebraica solo agreg valores constantes.

    El uso de esta tcnica puede sistematizarse como una frmula que se basa prin cipalmeote en el siguiente teorema: www.freelibros.org

  • 68 UNIDAD 2 Integral indefinkla y mtodos de integracin

    Teorema

    Ejemplo 6

    Sify g son funciones continuas 111 F(g(x)) = J [F(g(x)) g'(x))d.:c.

    Ese teorema, a su vez, se deriva de la regla de la cadena para derivacin. A este caso se Uama regla de la cadena para integracin, la cual nos dice que si F'(g(.:c)) es una funcin compuesta en g(.:c),

    (Jg)(.:c) 111 F'(g(.:c))=J(g(.:c)) scgnd T.F.C. Scgn la regla de la cadena,

    ! [F(g(.:c))j = F'(g(.:c))g'(x) n f(g(x))= F'(g(.:c))g'(x)

    = J(g(.:c))g'(.:c)

    Como F(g(.:c))= J f (g(.:c))d.:c 111 F(g(.:c)) = J J(g(.:c)) g'(.:c)d.:c Como dice el teorema, la principal dificullad de aplicar la regla de la cadena por in-tegracin consiste en poder reconocer dentro del integrando tanto a J(g(.:c)) como a g' (x) , y esta habilidad se logra con la prctica.

    l. Encuentre J z(a' dz. SOLUCIN De hecho se ba retomado el ejemplo anterior, donde es posible reconocer que

    d J(g(z))= a2 + b'z2 y, por tanto, g'(z)=- (a2 + b2z2 }= 2b2z; como en el argu-dz mento ya existe z, solo se completa la diferencial pero si se altera el valor de Ja ex-presin. De esta forma, se multiplica por 1 la expresin y se multiplica f(g(z)) = 111 ..

    b:2 J b2z2(a2 dz = J f(g(z))g'(z)dz = -

    1- ff (u)d11 = - 1-JuY> du

    b22 2b2

    u'1 j+c 2b' 4 = .2...a2 + b'z' J" +e

    8b2 www.freelibros.org

  • Ejemplo 7

    2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o tcnicas de integ...,i6n 67

    Uaa manera abreviada de aplicar la regla de la cadena para la integracin con siste en susttur g(x) por una nueva variable u (o cualquer otra) y susttur g'(;

  • 68 UNIDAD 2 Integral indefinkla y mtodos de integracin

    Ejemplo 8

    SOLUCIN Sea u= (J - Ji )=(a}1_,Y, )

    d11= - .!.1Yz d1 2

    dt= - 21Yz du

    Sustituyendo en el integrando:

    J 5r(-z ;X'du}=-2Ju3du

    3. Obtenga J (sen x )'cosxdx. SOLUCIN

    Sea u=seox du = cosxdx

    dx = _!!!!_ cosx

    4. Obtenga J baJ dz, SOLUCIN

    Sea u=3z

    du =3z du dz =-3

    =-.!. u'+c =-1-(J- Ji)' +e 2 -2

    J u'd11

    =.!!..+e 4

    sen'x =--+e 4

    J ba'' dz = f; J a"du b a

    =- - +C (Segn la entrada 3 In 11 (6) de la tabla 2). ba3

    =--+e 3 lna

    Observacin: El mlodo de sustitucin es muy til siempre y cuando se tenga presente la derivada de las funciones bsicas; esto facilita al reconocimiento de g(x) y g' (,

  • Ejemplo 9

    2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o tcnicas de integ...,i6n 69

    SOLUCIN En este caso, conviene elegir todo el denominador para sustituirlo por otra variable. Por !arito,

    Sea u = J 1-e2 u2 = 1-e21

    e l.r = 1-ul