Ing. Luis Antonio Achoy BustamanteCALCULO INTEGRALUNIDAD I TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO

1.1 Medicin aproximada del rea de figuras no regularesLos fundamentos del Clculo Integral se encuentran en los problemas de clculo del rea bajo una curva y la obtencin de antiderivadas.Cuando se tienen regiones cuya rea se encuentra limitada por un polgono, basta dividirla en figuras regulares cuya suma de sus reas es el rea total.

En el caso de regiones limitadas por curvas se puede aproximar dividiendo la regin con figuras regulares y sumar sus reas, a este procedimiento se la conoce como Mtodo exhaustivo, los primeros que lo utilizaron fueron los griegos, su descripcin se debe a Arqumedes. Por ejemplo el rea de un crculo se aproxima por la suma de las reas de los tringulos.

rea bajo una curva

Consideremos la grfica de una funcin continua en un intervalo cerrado y en el intervalo, se quiere calcular el rea limitada por la grfica de la funcin y el eje horizontal, como se muestra en la figura:

Esta rea se puede aproximar al formar una serie de rectngulos, los cuales se obtienen al dividir el eje x en n partes cuya longitud es , se forma una particin del intervalo:

Tomando , , , , , ,, La altura de cada rectngulo se calcula al evaluar la funcin en algn valor dentro de cada subintervalo, que llamaremos la altura es , el area de cada rectngulo es

Los valores de se pueden seleccionar de tal manera de que los rectngulos queden por arriba o debajo de la grfica de la curva, como se muestra en las figuras:

Suma inferior

Suma superiorSi consideramos el lmite inferior de cada intervalo con Si se toma el lmite superior de cada intervalo donde Si se toma el punto medio

El rea aproximada bajo la curva se obtiene al sumar el rea de los tringulos:

Lo cual se representa:

Al aumentar el nmero de rectngulos se tiene una mejor aproximacin, el valor exacto se tendra cuando el nmero de rectngulo se hace infinito.

El valor al que se acerca el rea cuando el nmero de divisiones tiende al infinito se calcula con el siguiente lmite:

Donde tomando y A la suma anterior se le conoce como integral definida y se simboliza:

Ejemplo:Calcular el rea limitada por la funcin en el intervalo :a) En forma aproximada con n=8 tomando como el limite inferior de la particinb) El valor exacto del rea Solucin:Primero se calcula el valor a) Si se toma , como , entonces , los rectngulos que se forman se presentan en la figura:

Los clculos se pueden realizar usando la siguiente tabla:

1000

21/81/641/512

32/84/644/512

43/89/649/512

54/816/6416/512

65/825/6425/512

76/836/6436/512

87/849/6449/512

Suma140/512

Tenemos que el rea aproximada es 0.2734375

b) Para calcular el valor exacto se obtiene primero la expresin para el rea para n divisiones:

Como se sustituye en la funcin:

Desarrollando el binomio:

Sustituyendo en la suma:

Para desarrollar esta expresin usamos las propiedades de la sumatoria:

La expresin se transforma:

Usando las frmulas de sumatorias de los primeros n natural:

Sustituyendo en

Simplificando se tiene:

Tomando el lmite cuando

Se concluye que:

En algunos casos es posible hacer la particin con intervalos de longitudes diferentes consideremos el caso de la integral , tomando los intervalos se muestran en la figura:

Se tiene que Simplificando se obtiene

Entonces

Propiedades de la integral definida:La integral definida tiene las siguientes propiedades:a) b) Las cuales son consecuencia de las propiedades de la sumatoria y de los lmites

1.2 Sumas de Riemman

La suma anterior se puede generalizar al hacer que el tamao de lo los intervalos sea variable, se el tamao del intervalo, cuando , se tiene que , entonces la suma se puede escribir:

1.3 Teorema fundamental del clculo

El clculo de integrales definidas usando sumas es un proceso complicado, el siguiente teorema permite obtenerlas en forma ms sencilla: Teorema:Sea una funcin definida en un intervalo cerrado , entonces la integral definida se calcula:

Donde es la antiderivada de , la cual tiene la propiedad de que

Si calculamos la integral anterior debemos determinar una funcin cuya derivada sea , esta funcin es , entonces:

Se concluye que el problema para calcular integrales es obtener la antideriada de la funcin.Por ejemplo si se quiere calcular , se debe obtener la antiderivada de la funcin la cual por inspeccin es entonces:

Si se tienen funciones sencillas la obtencin de la antiderivada resulta sencillo, por ejemplo para la integral , la antiderivada de la funcin es , entonces:

Referencia del tema pag.291 a 328 del libro Clculo con Geometra Analtica de Larson.Ejercicios:1.- Cada una de las siguientes integrales definidas, calcular su valor en forma aproximada usando el valor central de cada intervalo con n=10. Usando las sumas de Riemman tomando el valor inicial de cada intervalo y usando el teorema fundamental del Clculo:a) b) c)

Para lograr una buena aproximacin de la integral usando un nmero finito de intervalos, se necesita un nmero grande de estos, un mtodo alternativo es el de Simpson que usa sectores parablicos para aproximar el valor de la integral, su frmula es la siguiente:

Donde y n debe ser un nmero par

Calcular la siguiente integral usando la regla de Simpson con n=10 y el valor exacto con el software integrator: