Cálculo Numérico

Aula 1 - Apresentação

1- Conteúdo Programático

- Conceitos iniciais e Princípios Gerais do Cálculo Numérico;

- Teoria dos Erros;

- Aritmética de Ponto Flutuante;

- Método do Meio Intervalo (MMI);

- Método da Falsa Posição (MFP);

- Método de Newton-Raphson (MNR);

- Método das Secantes (MS);

- Revisão e Exercícios;

1ª Avaliação

1- Conteúdo Programático

- Método da Eliminação Gaussiana;

- Método da Fatoração LU;

- Método de Gauss-Jacobi;

- Método de Gauss-Seidel;

- Método dos Mínimos Quadrados (MMQ);

- Interpolação Polinomial;

- Revisão e Exercícios;

2ª Avaliação.

2- Bibliografia

Básica

- SPERANDIO, Décio. MENDES, João Teixeira. MONKEN, Luiz Henry. Cálculo

Numérico:Características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. 1a

edição. Prentice Hall;

- RUGGIERO, Márcia A. Gomes. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e

Computacionais. 2a edição.Pearson Education, 1996;

- BARROSO, L., BARROSO, M.M.A, CAMPOS-FILHO, F.F. ET AL. Calculo numérico

com aplicações. Harbra, 367p. 1997.

Complementar

- SANTOS, José Dias dos. SILVA, Zanoni Carvalho da. Métodos Numéricos. 1a

edição. Editora Universitária.

4- OBJETIVO

- Propiciar ao estudante o conhecimento dos principais processos

numéricos utilizados pela análise numérica;

- Mesmo quando a solução analítica é difícil de ser obtida, as

técnicas numéricas podem ser empregadas sem maiores

dificuldades.

Ex1:

?

012 =−x

02 =− senxx

1±=x

Aula 1 - Conceitos Iniciais

1- OBJETIVO

- Propiciar ao estudante o conhecimento dos principais processos

numéricos utilizados pela análise numérica;

- Mesmo quando a solução analítica é difícil de ser obtida, as

técnicas numéricas podem ser empregadas sem maiores

dificuldades.

2 – PROBLEMA NUMÉRICO

Considera-se que um problema é numérico quando tanto os dados de

entrada como os resultados (dados de saída) são conjuntos numéricos

finitos.

Ex: Determinar as soluções da equação:

É um problema numérico, pois os dados de entrada e de saída

são conjuntos numéricos finitos.

01007055011020)( 23456 =−+−+−−= xxxxxxxf

3 – MÉTODO NUMÉRICO

É um conjunto de procedimentos utilizados para resolver um problema

numérico.

A escolha do método envolve:

a) Precisão desejada;

b) Capacidade do método em conduzir aos resultados desejados;

c) Esforço computacional.

3 – MÉTODO NUMÉRICO

Método A B

X = 2 X = 1,98 X = 1,999999

Qual é o melhor método? A ou B?

Método A B

- T = 15s T = 1 min

4 – ALGORÍTMO

É a descrição seqüencial dos passos que caracterizam um método

numérico.

5 – ITERAÇÃO

É a repetição de um processo numérico dentro do algorítmo. Envolve

os seguintes elementos:

a) Tentativa inicial;

b) Equação de recorrência;

c) Teste de parada.

a) Tentativa inicial: é a primeira aproximação para a solução desejada.

b) Equação de recorrência: é a equação característica de cada método, por

meio da qual, partindo-se da tentativa inicial, são realizadas as iterações.

c) Teste de parada: instrumento por meio do qual o procedimento iterativo é

finalizado. É uma verificação da convergência do método.

6 – ERROS

Procurando-se a solução do modelo matemático com o uso do cálculo

numérico, podem-se obter erros de diversas fontes, sendo as

principais:

a) Erros nos dados de entrada;

b) Erros no estabelecimento do modelo matemático;

c) Erros de arredondamento;

d) Erros de truncamento;

e) Erros humanos.

7 – ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Sistema utilizado pelas máquinas para representar os números. Um

número x, na base beta, pode ser representado por:

, ouβ)...,...( 21011 nmm bbbaaaax −=n

nm

mm

m bbbaaaax −−−−− ⋅++⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅= βββββββ ...... 2

21

10

01

11

1

miai ...2,1,0, =

njb j ...2,1, =

Exemplo:

Número Representação

(1995)10

(19,95)10

(0,1995)10

(10111)2

7 – ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

As máquinas utilizam a aritmética de ponto flutuante para representar

os números e executar as operações.

Um número real, na base beta, em aritmética de ponto flutuante de t

dígitos, tem a forma geral:

Onde:

é a mantissa ou significando

E é o expoente que está entre (m, M)

(m, M) são números inteiros que dependem da máquina utilizada

Etdddd β×⋅⋅± )...,0( 321

)...,0( 321 tdddd ⋅⋅

7 – ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Se d1 é diferente de zero, diz-se que o número está normalizado.

Um número não poderá ser representado na máquina se o expoente E

estiver fora dos limites m e M.

Um sistema de ponto flutuante depende das seguintes variáveis:

),,,( MmtF β

Exemplo:

Número Representação

-279,15

10,093

0,000007

718235,82

)4,4,3,10( −F

Aula 2 – Raízes de FunçõesMétodo do Meio Intervalo

Método da Falsa Posição

Solução de Equações Polinomiais, Algébricas e Transcendentais

Uma equação desse tipo é representada por:

(1)

Tipos de equações:

(a)

(b)

(c)

(polinomial)

(transcendental)

(algébrica)

0)( =xf

0100104 35 =−+− xxx

01)( =−⋅ xtgx

0202

13

=−+

xx

As soluções da Equação (1) são chamadas de raízes ou zeros da

função.

“É o ponto onde a função f(x) intercepta o eixo x”

Métodos Numéricos para o cálculo de Raízes Reais e Simples

Considere

(a) Esboçando o gráfico da função f.

(b) Obtendo valores da função f verificando se para dois valores

consecutivos os seus sinais são opostos.

uma raíz real. Como podemos localizar ?

Ex:

Intervalos

α α

2][2,010)( 4 =−−= xxxf

2][1,75;

1,5]-[-1,75;

1- MÉTODO DO MEIO INTERVALO (MMI)

É um método para localização de raízes.

Consiste em obter um intervalo que contém a raiz

Algoritmo

1) Determina-se o ponto médio mk do intervalo:

da equação (1),

dividi-lo ao meio sucessivamente, mantendo a raiz enquadrada, até

aproximar-se suficientemente dela.

2

)( 11 −− += kkk

bam

α

1- MÉTODO DO MEIO INTERVALO (MMI)

Algoritmo

2) Calcula-se f(mk). Se f(mk) = 0 então mk é a raíz.

Caso contrário, toma-se novo valor (ak, bk).

3) O processo é repetido até que a raiz seja encontrada tomando

como referência um erro previamente estabelecido.

),( kk ba

0)()( 1 <⋅ −kk afmf

0)()( 1 >⋅ −kk afmf

),( 1 kk ma −

),( 1−kk bm

2- MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO (MFP)

O MFP toma a média aritmética ponderada entre a e b com pesos

módulo de f(b) e de f(a), ao invés de tomar a média aritmética.

)()(

)()(

)()(

)()(

afbf

afbbfa

afbf

afbbfaxk −

⋅−⋅=+

⋅+⋅=

Aula 3 – Raízes de FunçõesMétodo de Newton-Raphson

Método das Secantes

3- MÉTODO DE NEWTON RAPHSON (MNR)

Dada a equação f(x)=0, e partindo-se da forma geral para ,

queremos obter A(x), tal que

O que esse método faz, na tentativa de garantir e acelerar a

convergência, é escolher para a equação de recorrência a função

tal que . )(xφ )(xφ ′)(xφ

0)( =′ αφ)()()( xfxAxx ⋅+=φ

)()()()(1)( xfxAxfxAx ′⋅+⋅′+=′φ

3- MÉTODO DE NEWTON RAPHSON (MNR)

, como

, como

)()()( xfxAxx ⋅+=φ

)()()()(1)( xfxAxfxAx ′⋅+⋅′+=′φ

)()()()(1)( αααααφ fAfA ′⋅+⋅′+=′

)()(1)( αααφ fA ′⋅+=′

0)( =αf

0)( =′ αφ

0)()(1)( =′⋅+=′ αααφ fA

)(

1)(

αα

fA

′−=

)(

1)(

xfxA

′−=

3- MÉTODO DE NEWTON RAPHSON (MNR)

Então, dada uma função f(x), a equação de recorrência será:

A raiz pode ser determinada por:

Neste método há a garantia de convergência, desde que a

aproximação inicial for suficientemente próxima da raiz.

)(

)()(

xf

xfxx

′−=φ

)(

)(1

k

kkk xf

xfxx

′−=+

4- MÉTODO DAS SECANTES (MS)

Podemos substituir a derivada da função pelo coeficiente das

diferenças:

Baseia-se no MNR, entretanto, não é necessário o cálculo da

derivada da função.

Onde:

são duas aproximações para a raiz.

1

1)()()(

−

−

−−≅′

kk

kk

xx

xfxfxf

1−− kk xx

4- MÉTODO DAS SECANTES (MS)

Nese caso, a equação de recorrência fica:

1

1)()()(

)(

−

−

−−−=

kk

kk

kkk

xxxfxf

xfxxφ

)()()(

)()( 1

1−

−

−×−

−= kkkk

kkk xx

xfxf

xfxxφ

)()(

)()()(

1

111

−

−−+ −

⋅−⋅==kk

kkkkkk xfxf

xfxxfxxxφ