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GUÍA DIDÁCTICA Y MÓDULO
GABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZ
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,
ECONÓMICAS Y CONTABLES
Colombia, 2008
COMITÉ DIRECTIVO
Fray Marino Martínez PérezRector
Hernán Ospina AtehortúaVicerrector Administrativo y Financiero Director de Planeación
José Jaime Díaz OsorioVicerrector Académico
Francisco Javier Acosta GómezSecretario General
CÁLCULO Gabriel Jaime Posada Hernández
Decana Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables:María Victoria Agudelo Vargas
Corrección de estilo:SOMOS PROFESIONALES LTDA.
Diseño:Colectivo Docente Facultad de Administración
Impresión:Departamento de Publicaciones FUNLAM
www.funlam.edu.co
TODOS LOS DERECHOS RESERVADOSMedellín – Colombia2008
Cálculo 2
CONTENIDO
GUÍA DIDÁCTICA
Pág
PRESENTACIÓN 8
1. IDENTIFICACIÓN 10
2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS 11
2.1. Objetivo general 11
2.2. Objetivos complementarios 11
3. UNIDADES TEMÁTICAS 12
4. METODOLOGÍA GENERAL 13
5. EVALUACIÓN INTEGRAL 14
5.1. Sistema de evaluación 14
5.2. Actividades de reconocimiento 14
5.3. Actividades de profundización 15
CÁLCULO
INTRODUCCIÓN 17
JUSTIFICACIÓN 19
UNIDAD 1
1.LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES 21
1.1. Definición de límite 22
1.2. Propiedades de los límites 25
1.3. Formas indeterminadas y límites al infinito 27
1.3.1. Asíntotas horizontales de una función 30
1.3.2. Asíntotas verticales de una función 31
Cálculo 3
1.4. Continuidad de una función en un punto 32
UNIDAD 2
2. DERIVADA DE FUNCIONES REALES 34
2.1. Definición 35
2.2. Incrementos y tasas 36
2.3. Definición de la derivada 40
2.3.1. Interpretación geométrica de la derivada 43
2.3.2. Reglas de derivación 46
2.3.3. Regla de la cadena 50
2.4. Derivada de las funciones logarítmica y exponencial 52
2.5. Derivadas de orden superior 57
UNIDAD 3
3. ANÁLISIS MARGINAL 60
3.1. Costo marginal 61
3.2. Ingreso marginal 63
3.3. Utilidad marginal 66
UNIDAD 4
4. OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS 70
4.1. Crecimiento y decrecimiento de una función 71
4.2. Concavidad de una función 75
4.3. Máximos y mínimos 77
4.3.1. Criterio de la primera derivada para hallar extremos 80
4.3.2. Criterio de la segunda derivada para hallar extremos 83
4.4. Bosquejo de curvas polinomiales 90
4.4.1. Intervalos de crecimiento 93
4.4.2. Puntos de inflexión 94
4.4.3. Intervalos de concavidad 95Cálculo 4
4.4.4. Ubicación de puntos e intervalos 96
UNIDAD 5
5. INTEGRAL INDEFINIDA 98
5.1. Antiderivada 99
5.2. Reglas de integración 101
5.3. Métodos de integración 109
5.3.1. Integración por sustitución 109
5.3.2. Integración por partes 111
UNIDAD 6
6. INTEGRAL DEFINIDA 116
6.1. Áreas bajo curvas 117
6.2. Propiedades de la integral definida 120
6.3. Teorema fundamental del cálculo 126
6.4. Aplicaciones de la integral definida 130
6.4.1. Coeficientes de desigualdad para distribuciones de ingreso 130
6.4.2. Curvas de aprendizaje 134
6.4.3. Maximización de la utilidad con respecto al tiempo 137
6.4.4.valor presente de un ingreso continuo 142
6.4.5. Superávit del consumidor y del productor 144
UNIDAD 7
7. CÁLCULO MULTIVARIABLE 152
7.1. Funciones de varias variables 153
7.2. Derivadas parciales 159
7.3. Optimización de funciones de varias variables 170
7.4 multiplicadores de lagrange 180
Cálculo 5
UNIDAD 8
8. ÁLGEBRA DE MATRICES 191
8.1. Definición 192
8.2. Operaciones de matrices 195
8.2.1. Multiplicación de una matriz por un escalar 195
8.2.2. Adición y sustracción de matrices 197
8.2.3. Multiplicación de matrices 198
8.3. Solución de sistemas de ecuaciones lineales 203
8.3.1. Matrices aumentadas 205
8.3.2. Forma reducida por filas o renglones 207
8.4. Eliminación de gauss-jordan mediante matrices 209
ESTUDIOS DE CASOS 216
ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO 219
ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN 221
BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL 235
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 236
GLOSARIO 237
RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES 239
Cálculo 6
Cálculo 7
PRESENTACIÓN
Apreciado estudiante, bienvenido al programa de Administración de
Empresas con énfasis en Economía Solidaria de la Fundación Universitaria
Luis Amigó.
Este módulo ha sido escrito teniendo presente al estudiante que ingresa en
la metodología a distancia, la cual se constituye en uno de los nuevos retos y
alternativas para la formación de profesionales capaces de intervenir
problemáticas sociales contemporáneas, desde la aplicación de la ciencia y
la tecnología con criterios éticos y de calidad.
La educación a distancia responde a la necesidad de ofrecer un proceso de
formación que supere obstáculos representados en grandes distancias
geográficas y escasez de tiempo de personas deseosas de tener las
oportunidades de desarrollo humano que brinda la educación superior.
Dicha metodología exige a cada estudiante un esfuerzo investigativo,
creativo e innovador soportado por la voluntad del compromiso que demanda
nuestra sociedad.
Por esto, para el alcance de los objetivos en este proceso formativo, más que
construir un texto, se ha tratado de presentar un instrumento de
comunicación académica y dinámica entre la institución y el estudiante, en el
que se diferencian dos partes fundamentales: la guía de estudio y trabajo, el
módulo de aprendizaje. La guía considera las orientaciones sobre el
desarrollo del curso en cuanto define los elementos necesarios para la
interlocución entre estudiantes y asesor, describiendo en la metodología las
actividades a realizar para cada encuentro, bibliografía complementaria, Cálculo 8
proceso de evaluación y compromisos adquiridos por el estudiante. El
módulo desarrolla el contenido conceptual básico que permite al estudiante
la comprensión de los problemas potenciales en el campo administrativo.
Seguros de que en dicho material se encuentran los referentes necesarios
para el desarrollo de un proceso académico con calidad, le deseamos éxitos
en este nuevo ciclo de su formación profesional.
Cálculo 9
1. IDENTIFICACIÓN
Ficha técnica
CURSO CÁLCULO
AUTOR GABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZ
INSTITUCIÓN FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ
UNIDAD ACADÉMICA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS,
ECONÓMICAS Y CONTABLES
PROGRAMAS ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS,
CONTADURÍA PÚBLICA, NEGOCIOS
INTERNACIONALES
PALABRAS CLAVE MATEMÁTICAS, FUNCIÓN, TASA, DERIVADA,
INTEGRAL, ECUACIONES, MATRIZ
ÁREA DE CONOCIMIENTO BÁSICA
CRÉDITOS 3 (TRES)
CIUDAD MEDELLÍN
FECHA 20 DE JULIO DE 2007
ACTUALIZACIÓN
ADICIÓN DE TEMAS
APROBADA POR
2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS
2.1. Objetivo general
Cálculo 10
Familiarizar al estudiante con los conceptos generales del cálculo, en el
contexto de las disciplinas administrativa, económica y contable, para
utilizarlos como herramienta matemática en los procesos que impliquen toma
de decisiones en las diferentes organizaciones.
2.2. Objetivos específicos
Determinar el límite y la continuidad de una función real en un punto
determinado.
Calcular e interpretar la derivada de una función real para un valor
determinado.
Calcular y analizar las funciones marginales a partir de la derivada.
Aplicar los criterios de las derivadas en el bosquejo de curvas y
optimización de funciones.
Solucionar problemas utilizando la integral definida.
Optimizar funciones de varias variables.
Realizar operaciones matriciales que permitan tomar decisiones en el
campo administrativo.
3. UNIDADES TEMÁTICAS
UNIDAD 1
Límites y continuidad de funciones reales
Cálculo 11
UNIDAD 2
Derivada de funciones reales
UNIDAD 3
Análisis marginal
UNIDAD 4
Optimización y bosquejo de curvas
UNIDAD 5
Integral indefinida
UNIDAD 6
Integral definida
UNIDAD 7
Cálculo multivariable
UNIDAD 8
Álgebra de matrices
4. METODOLOGÍA GENERAL
Cálculo 12
Para garantizar el buen desarrollo del curso se establecerán los criterios
definidos en el Reglamento Estudiantil con relación a evaluación y
seguimiento del portafolio personal de desempeño, entre otros.
En los encuentros presenciales se hará claridad sobre aquellos conceptos
que han presentado alguna dificultad en los estudiantes; para ello se
utilizarán explicaciones precisas sobre el tema, ejemplos y aplicaciones.
Adicionalmente, se responderán inquietudes sobre los ejercicios propuestos
para ser desarrollados por los estudiantes en el tiempo destinado al trabajo
independiente.
El estudiante debe realizar las actividades de forma consecuente con los
encuentros presenciales, para garantizar el logro de los objetivos propuestos
en el curso.
5. EVALUACIÓN INTEGRAL
Cálculo 13
5.1. Sistema de evaluación
Para la Fundación Universitaria Luis Amigó la evaluación es definida como
“un proceso crítico, intencionado y sistemático de recolección, análisis,
comprensión e interpretación de información que permite a los actores
educativos valorar el estado en que se encuentra la formación integral de los
estudiantes”, por lo cual, la evaluación se caracteriza por ser pedagógica,
integral, continua, cooperativa, de perspectiva científica y de carácter ético.
El Portafolio Personal de Desempeño es el instrumento de evaluación del
estudiante; en él se debe llevar el registro y compendio de las diferentes
actividades evaluativas y de la reflexión permanente que realiza cada
estudiante sobre su proceso de formación; tiene en cuenta las
responsabilidades y compromisos acordados entre docentes y estudiantes,
los avances y dificultades encontradas en el proceso por cada estudiante y
las sugerencias de los docentes y compañeros para la obtención de los
logros propuestos.
5.2. Actividades de reconocimiento
Las actividades de reconocimiento están planteadas para que el estudiante
identifique los conceptos previos al desarrollo de la temática del módulo. Esto
le permitirá comprender de forma rápida los conocimientos presentados en
cada unidad.
5.3. Actividades de profundización
Las actividades de profundización permiten al estudiante reforzar los
conocimientos adquiridos en cada unidad. Estas actividades se presentan Cálculo 14
en forma de talleres, los cuales requieren de soluciones puntuales para los
ejercicios planteados y de interpretaciones para los resultados obtenidos.
Cálculo 15
INTRODUCCIÓN
Cálculo 16
Desde el punto de vista histórico, el cálculo diferencial se desarrolló como
respuesta al problema de hallar la recta tangente a una curva arbitraria. Pero
muy pronto fue claro que, al resolver este problema, los matemáticos
dispondrían de un método para resolver muchos problemas prácticos
relacionados con la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra.
La herramienta básica utilizada en el cálculo diferencial es la derivada de una
función. A su vez, el concepto de derivada se basa en una noción más
fundamental: la del límite de una función.
Posteriormente, se inicia el estudio de otra rama del cálculo, conocida como
el cálculo integral. En este caso hay que resolver el problema inverso: si se
conoce la razón de cambio de una variable en relación con otra, ¿se puede
hallar la relación entre ambas?
El módulo de cálculo se ha elaborado a partir de la compilación de conceptos
tratados por varios autores, entre ellos Arya y Lardner, S. T. Tan y Haeussler
y Paul. Está conformado por ocho unidades temáticas, a saber: límites y
continuidad, derivada de funciones reales, análisis marginal, optimización y
bosquejo de curvas, integral indefinida, integral definida, cálculo multivariable
y álgebra de matrices.
En cada unidad se presentan las actividades de reconocimiento como un
conjunto de elementos previos que el estudiante debe manejar, con el objeto
de lograr un mayor entendimiento de los conceptos compartidos en dicha
unidad.
La temática tratada en cada unidad está desarrollada de forma didáctica y
secuencial, a partir de la definición de los conceptos, presentación de
Cálculo 17
ecuaciones correspondientes, ejemplos y, finalmente, actividades de
profundización.
Al final, se presenta un estudio de caso en el cual se ilustra una de las tantas
maneras de la aplicación de matemáticas en el campo administrativo;
además, algunas preguntas frecuentes con su respectiva respuesta, que se
presentan al estudiar el cálculo.
JUSTIFICACIÓN
Cálculo 18
El desarrollo científico del siglo XXI exige una formación profesional íntegra,
que reúna conocimientos, experiencia y expectativas, que permita la
utilización adecuada de los recursos y herramientas del mundo actual.
El estudio de la Matemática presenta grandes alternativas para el profesional
de hoy, entre ellas la aplicación en el área administrativa, la cual permite
relacionar fenómenos de la organización con la construcción de modelos
matemáticos que den cuenta del comportamiento y las tendencias de las
variables que intervienen en ella.
En la actualidad, las áreas administrativas, contables y económicas requieren
de un profesional con conocimientos básicos de cálculo, de tal forma que lo
lleven a incursionar en el campo investigativo y en la toma de decisiones,
para generar nuevos conocimientos a partir de la integración de los
conceptos propios y de las diferentes áreas de estudio, que lo hagan más
competente en los retos del mundo moderno.
Siendo conscientes de las diferentes decisiones que se toman en la
organización, es preciso que los profesionales de la FUNLAM lo hagan de
manera acertada, con criterios lógicos y coherentes, apoyados en elementos
matemáticos que permitan establecer modelos para facilitar la toma de
decisiones en las diferentes organizaciones.
Cálculo 19
Cálculo 20
1. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
REALES
En esta sección se pretende estudiar los límites y continuidad de las
funciones reales. Para ello, se aborda desde la definición de límites,
propiedades de los límites, formas indeterminadas y límites al infinito y, por
último, la continuidad de una función en un punto.
OBJETIVOS
1. Comprender el concepto de Límite de funciones reales.
2. Aplicar las propiedades para el cálculo de límite de funciones
reales.
3. Hallar las asíntotas horizontales y verticales de una función.
4. Evaluar la continuidad de una función real.
Cálculo 21
1.1. Definición de límite
Tal vez ha estado usted en un estacionamiento en el que puede
“aproximarse” al automóvil de enfrente, pero no quiere golpearlo ni tocarlo.
Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy
importante en matemáticas, y está involucrada en el concepto de límite, en el
que descansa el fundamento del cálculo. Básicamente, haremos que una
variable “se aproxime” a un valor particular y examinaremos el efecto que
tiene sobre los valores de la función.
Examínese lo que sucede con la función ƒ(x) = x + 3 cuando x → 2 se
permite que x tome los valores 1.8, 1.9, 1.99, 1.999 y 1.9999 que, sin duda,
se acercan cada vez más a 2. Los valores correspondientes de ƒ(x) están
dados en la tabla 1.
TABLA 1. Valores correspondientes para ƒ(x) con x menor que 2.
x
1.8 1.9 1.99 1.999 1.9999
ƒ(x)
4.4 4.9 4.99 4.999 4.9999
A partir de esta tabla es claro que a medida que x se acerca a 2, ƒ(x) está
cada vez más cerca de 5. Se escribe, entonces ƒ(x) → 5 cuando x → 2.
Cálculo 22
Los valores de x considerados en la tabla 1 son menores que 2. En tal caso,
decimos que x se aproxima a 2 por debajo. Podemos considerar también el
caso alternativo en que x se aproxima a 2 por encima; es decir, x toma
valores que están cada vez más cerca de 2 pero siempre son mayores que
2. Estos valores se presentan en la tabla 2.
TABLA 2. Valores correspondientes para ƒ(x) con x mayores que 2.
x
2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001
ƒ(x)
5.5 5.1 5.01 5.001 5.0001
El comportamiento de la función cuando x toma valores próximos a 2, se
representa en la gráfica 1.
Gráfica 1
Cálculo 23
En consecuencia, cuando x se aproxima a 2 por debajo o por encima, ƒ(x) =
x + 3 se acerca a 5. Se dice que el límite (o valor límite) de ƒ(x) cuando x
tiende a 2 es igual a 5. Esto se denota así:
5)3(2
=+→
xlimx
Definición: el límite de ƒ(x) cuando x se acerca (o tiende) a c, es el número
L, escrito
LxfC
=→
)(límx
,
Siempre que ƒ(x) esté arbitrariamente cercana de L para toda x lo
suficientemente cerca, pero diferente de c.
Ejemplo:
Hallar el límite de la función ƒ(x) = 4x – 7 cuando x tiende a 2.
Solución:
límx 2→ (4x – 7) = 4(2) – 7 = 8 – 7 = 1.
1.2. Propiedades de los límites
Cálculo 24
Los límites pueden ser calculados mediante la aplicación de las siguientes
propiedades:
1. Si ƒ(x) = k, es una función constante, entonces,
límx C→ ƒ(x) = lím
x C→ k = k
Ejemplo:
límx 2→ 7 = 7; lím
x 3−→ 8 = 8
2. nn
CCx =
→)(lím
x , para cualquier entero positivo n.
Ejemplo:
límx 6→ x² = 6² = 36
si límx C→ ƒ(x) y lím
x C→ g(x) existe, entonces:
3. límx C→ [ƒ(x) ± g(x)] = lím
x C→ ƒ(x) ± límx C→ g(x)
Esto es, el límite de una suma o diferencia es la suma o diferencia,
respectivamente, de los límites.
Ejemplo:
límx 2→ (x² + x) = lím
x 2→ x² + límx 2→ x = 2² + 2 = 6
4. límx C→ [ƒ(x) . g(x)] = lím
x C→ ƒ(x) . límx C→ g(x)
Esto es, el límite de un producto es el producto de los límites.
Ejemplo: límx 2→ [(x + 1) (x – 3)] = lím
x 2→ (x + 1) . límx 2→ (x – 3)
Cálculo 25
= [ límx 2→ x + lím
x 2→ 1] . [ límx 2→ x - lím
x 2→ 3]
= (2 + 1) . (2 – 3)
= 3(-1) = -3
5. límx C→ )(
)(
xg
xf =
)(lim
)(lim
xg
xf
cx
cx
→
→, si 0)(lím ≠
→xg
cx
Esto es, el límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el
denominador no tenga un límite de 0.
Ejemplo: límx 1→
4 x³
3 - x 2x²
++
= 4 (1)³
3 - (1) 2(1)²
++
= 5
0 = 0
6. límx C→ [k ƒ(x)] = k [ lím
x C→ ƒ(x)], donde k es una constante.
Esto es, el límite de una constante por una función es la constante por el
límite de la función.
Ejemplo:
límx 2−→ 3x³ = 3 . lím
x 2−→ x³ = 3(-2)³ = -24
7. n
cxxf )(lím
→ = n
cxxf )(lím
→ , con )(lím xfcx→ positivo si n es par.
Ejemplo:
633)3(lím3lím33
=+=+=+→→
xxxx
1.3. Formas indeterminadas y límites al infinito
Cálculo 26
Con frecuencia se encuentran límites cuyo cálculo por sustitución directa dé
como resultado formas indeterminadas, tales como ∞−∞ , 0. ∞ , 0/0,
∞∞ , entre otras. Estos límites deben ser calculados mediante operaciones
algebraicas sobre ƒ(x), de modo que se obtenga una forma en la cual las
propiedades de los límites puedan aplicarse.
Ejemplo:
Determinar límx 1−→
1
1) (x²
+−
x
Solución:
Cuando x → -1, tanto el numerador como el denominador se aproximan a
cero. Ya que el límite del denominador es 0, no puede utilizarse la propiedad
5. Sin embargo, se puede simplificar la fracción:
1
1) (x²
+−
x =
1
1) (x 1) (x
++−
x = x – 1
Esta manipulación algebraica (factorización y cancelación), sobre la función
original, da lugar a una nueva función, que es igual a la función original. Por
tanto,
límx 1−→
1
1) (x²
+−
x = lím
x 1−→ 1
1) (x 1) (x
++−
x = lím
x 1−→ (x – 1) = -1 –1 = - 2
Observar que, aunque la función original no está definida en –1, tiene un
límite cuando x → -1.
Cálculo 27
Para el caso de fracciones con radicales, la indeterminación se evita
racionalizando el numerador y/o el denominador.
Otra forma indeterminada es límx 0→
x
1 , la cual toma valores de - ∞ cuando se
aproxima a x por la izquierda, y + ∞ cuando se aproxima por la derecha.
En muchos casos se desea saber qué pasa con los valores de f(x) cuando x
se hace cada vez mayor, lo cual se denota:límx ∞→ ƒ(x)
Al igual que en el caso en que x tiende a un número finito c, el límite de ƒ(x)
puede ser finito ( límx ∞→ ƒ(x) = L) o no puede ser finito ( lím
x ∞→ ƒ(x) = ∞ ). En
este último caso, la indeterminación ∞∞ se resuelve dividiendo numerador y
denominador de la función entre la potencia de mayor grado.
Ejemplo:
Calcular límx ∞→ 4 x²
1
++x
Se dividen todos los términos del numerador y denominador por x²
Cálculo 28
límx ∞→
x²
4
x²
x²x²
1
x²
+
+x
= límx ∞→
x²
4 1
x²
1
x
1
+
+ =
0 1
00
++ = 0.
1.3.1. Asíntotas horizontales de una función
Para determinar las asíntotas horizontales de una función hay que calcular,
cuando exista, el límite de )(xf cuando x tiende a ∞+ o a ∞− . Los
valores finitos de estos límites determinan las asíntotas horizontales.
Ejemplo
Hallar las asíntotas horizontales de la función 36
)(2
2
−=
x
xxf
Solución:
Cálculo 29
La función )(xf tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación y = b
cuando existe al menos uno de los límites laterales de la función , tiende
a dicho punto y vale ∞+ o ∞− .
bxfbxfxx
=∨=−∞→+ ∞→
)(lím)(lím
−
Cuando x tiende a ∞+ , la función va tomando valores cada vez más
próximos a 1. Es decir,
136
lím2
2
=−
=+∞→ x
xx
En este caso, la recta de ecuación y = 1 es una asíntota horizontal de la
función.
1.3.2. Asíntotas verticales de una función
Ejemplo:
Hallar las asíntotas verticales de la función 36
)(2
2
−=
x
xxf
Observar que cuando x tiende a +6 la función tiende a ∞+ , y cuando x
tiende a −6 , la función tiende a ∞− .
En este caso, la recta de la ecuación x = 6 es una asíntota vertical de la
función.
Cuando x tiende a +−6 la función tiende a ∞− y cuando x tiende a −−6 la
función tiende a ∞+ , luego:
Cálculo 30
La función )(xf tiene por asíntota vertical la recta de ecuación ax =
cuando existe al menos uno de los límites laterales de la función ,
tiende a dicho punto y vale ∞+ ó ∞− .
± ∞=∨± ∞=−+ →→
)(lím)(lím xfxfaxax −
+∞=−
=+−→ 36
lím2
2
6 x
xx
−∞=−
=−−→ 36
lím2
2
6 x
xx
La recta de ecuación x = -6 es asíntota vertical.
1.4. Continuidad de una función en un punto
Muchas funciones tienen la propiedad de que no hay “cortes“ en sus gráficas.
A este tipo de funciones se les denomina funciones continuas.
Definición: una función ƒ(x) es continua en c si y sólo si cumple las tres
condiciones siguientes:
1. ƒ(x) está definida en x = c; esto es, c está en el dominio de ƒ(x).
2. límx C→ ƒ(x) existe.
3. límx C→ ƒ(x) = ƒ(c).
Si ƒ está definida en un intervalo abierto que contenga a c, excepto tal vez
en ella misma, y ƒ(x) no es continua en c, entonces, se dice que ƒ(x) es
discontinua en c, y c es llamado punto de discontinuidad.
Ejemplo:
Demostrar que ƒ(x) = x² - 3 es continua en – 4.
Solución:
1. La función ƒ(x) está definida en x = - 4 ( - 4 pertenece al dominio).
Cálculo 31
2. límx 4−→ ( x² - 3) = (- 4)² - 3 = 13 (existe).
3. ƒ(- 4) = (- 4)² - 3 = 13 (igual al límite).
Por tanto, ƒ(x) es continua en x = - 4.
Cálculo 32
Cálculo 33
2. DERIVADA DE FUNCIONES REALES
Uno de los problemas principales de que se ocupa el cálculo es el de
encontrar la pendiente de la recta tangente a un punto sobre una curva,
entendida ésta como la recta que toca la curva en un solo punto.
OBJETIVOS
1. Calcular el incremento, la tasa de cambio relativa a una función.
2. Interpretar la derivada de una función real.
3. Aplicar las reglas de derivación para el cálculo de la derivada de
una función real.
4. Calcular e interpretar la derivada de las funciones logarítmica y
exponencial.
5. Calcular las derivadas de orden superior de una función real.
Cálculo 34
2.1. Definición
La pendiente de una curva en un punto P es la pendiente, en caso de que
exista, de la recta tangente en P. De tal forma que:
Donde mPQ es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P,
como se visualiza en la gráfica 2.
Gráfica 2
Cálculo 35
x
xfxxfm
xPQ ∆
−∆+=→∆
)()(lím
0
2.2. Incrementos y tasas
Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces, el
cambio en el valor x, que es x2 - x1 , se denomina el incremento de x y se
denota por ∆x. De tal forma que ∆x = x2 - x1 (ver gráfica 3).
Se usa la letra griega ∆ (delta) para denotar un cambio o incremento de
cualquier variable.
Gráfica 3
Sea y una variable que depende de x tal que y = f(x) está definida por todo
valor de x entre x1 y x2 . Cuando x = x1 , y tiene el valor y1 = f(x1 ). De manera
similar, cuando x = x2 , y tiene el valor y2 = f(x2 ). Así, el incremento de y es:
∆y = y2 - y1
∆y = f(x2 ) - f(x1 )
Cálculo 36
Resolviendo la ecuación ∆x = x2 - x1 para x2 , se tiene x2 = x1 + ∆x. Usando
este valor de x2 en la definición de ∆y , se obtienen:
Dado que x1 puede ser cualquier valor de x, se puede suprimir el subíndice y
escribir:
En forma alternativa, dado que ƒ(x) = y, se puede escribir:
Ejemplo: Dada ƒ(x) = x² , calcular ∆y si x = 1 y ∆x = 0.2.
Solución: Sustituyendo los valores de x y ∆x en la fórmula de ∆y, se obtiene:
∆y = f(x + ∆x) - f(x )
= f(1 + 0.2) - f(1 )
= f(1.2) - f(1 )
= f(1.2)² - f(1 )²
= 1.44 – 1
= 0.44
Cálculo 37
∆ y = f(x + ∆x) - f(x )
y +∆y = f(x + ∆x)
∆y = f(x1 + ∆x) - f(x1 )
Así que, un cambio de 0.2 en el valor de x, da como resultado un cambio en
y de 0.44.
La tasa de cambio promedio de una función ƒ, sobre un intervalo de x a
(x + ∆x), se define por la razón )(
)(
xd
yd. Por tanto, la tasa de cambio
promedio de y con respecto a x es:
Ejemplo:
Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de
producir x toneladas de cierto fertilizante está dado por C(x) = 20.000 + 40x
pesos, y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas está dado por R(x) =
100x – 0.01 x². La compañía, actualmente, produce 3.100 toneladas por
semana, pero está considerando incrementar la producción a 3.200
toneladas por semana. Calcular los incrementos resultantes en el costo, el
ingreso y la utilidad. Determinar la tasa de cambio promedio de la utilidad
para las toneladas extra producidas.
Cálculo 38
x∆
∆y =
x
)()(
∆−∆+ xfxxf
Solución:
El primer valor de x es 3.100 y (x + ∆x) es 3.200
∆C = C(x + ∆x) - C(x)
= C(3200) - C(3.100)
= [20.000 + 40(3.200)] - [20.000 + 40(3.100)]
= 148.000 – 144.000 = 4.000
∆R = R(x + ∆x) - R(x)
= R(3.200) - R(3.100)
= [100(3.200) – 0.01(3.200)²] - [100(3.100) 0.01(3.100)²]
= 217.600 – 213.900 = 3.700
De modo que los costos se incrementan en $4.000, bajo el incremento dado
en la producción, mientras que los ingresos se incrementan en $3.700.
A partir de estos resultados, es claro que la utilidad debe decrecer en $300.
Se puede advertir esto con más detalle si se considera que las utilidades
obtenidas por la empresa son iguales a sus ingresos menos sus costos, de
modo que la utilidad P(x) por la venta de x toneladas de fertilizantes es:
P(x) = R(x) - C(x)
= 100x – 0.01x² - (20.000 + 40x)
= 60x – 0.01x² - 20.000
Cálculo 39
En consecuencia, el incremento en la utilidad cuando x cambia de 3.00 a
3.200 es:
∆P = P(3.200) - P(3.100)
= [60(3.200)–0.01(3.200)²-20.000] –[60(3.100)–01(3.100)²-20.000]
= 69.600 – 69.900 = -300
Así pues, la utilidad decrece en $300. La tasa de cambio promedio de la
utilidad por tonelada extra es:
x∆∆P
= 100
300− = -3
En donde ∆x = 3.200 – 3.100 = 100. De modo que la utilidad decrece en un
promedio de $3 por tonelada bajo el incremento dado en la producción.
2.3. Definición de la derivada
Sea y = ƒ(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada
por dy / dx, se define por:
A la derivada también se le llama coeficiente diferencial y la operación de
calcular la derivada de una función se denomina diferenciación.
Cálculo 40
dx
dy = lím
0x→Δ x∆
∆y ó bien
dx
dy = lím
0x→Δ x
)()(
∆−∆+ xfxxf
Si la derivada de una función existe en un punto en particular, se dice que f
es diferenciable en tal punto.
La derivada de y = f(x) con respecto a x también se denota por uno de los
símbolos siguientes:
)(
)(
xd
yd, )(
)(
xd
fd , y’ , ƒ’(x) , fDy xxD ,
Con el propósito de calcular la derivada dy/dx, se procede de la siguiente
manera:
1. Se calcula y = ƒ(x) y y + ∆y = ƒ(x + ∆x)
2. Se resta la primera cantidad de la segunda a fin de obtener ∆y y se
simplifica el resultado.
3. Se divide ∆y entre ∆x y se toma el límite de la expresión resultante
cuando
∆x → 0
El valor de dy / dx depende de la elección de x. Esto se enfatiza cuando se
utiliza la notación ƒ’(x), la cual indica que la derivada ƒ’(x) es una función de
x. El valor de la derivada en un punto particular, por ejemplo, x = 2, entonces
es ƒ’(2).
Ejemplo:
Cálculo 41
Durante un periodo de 10 años, de 1970 a 1980, se encontró que la
población de cierto país estaba dada por la fórmula:
ƒ(x) = 1 + 0.03x + 0.001x2
Donde y está en millones y x es el tiempo medido en años desde 1970.
Determinar y‘ (5).
Solución:
Sea y = ƒ(x) = 1 + 0.03x + 0.001x2. Entonces,
y + ∆y = ƒ(x + ∆x) = 1 + 0.03(x + ∆x) + 0.001(x + ∆x)2
= 1+0.03x + 0.03∆x + 0.001[ x2 + 2x∆x + (∆x)2]
=1+0.03x + 0.03∆x + 0.001x2 + 0.002x∆x + 0.001(∆x)2
Restando y de y + ∆y, se tiene:
∆y=1+0.03x + 0.03∆x + 0.001x2+0.002x∆x + 0.001(∆x)2 - [ 1+ 0.03x + 0.001x2]
∆y = 1+0.03x + 0.03∆x + 0.001x2+0.002x∆x + 0.001(∆x)2 - 1- 0.03x - 0.001x2
∆y = 0.03∆x + 0.002x∆x + 0.001(∆x)2
∆y = ∆x (0.03 + 0.002x + 0.001∆x)
Y así x∆
∆y = 0.03 + 0.002x + 0.001∆x
Por lo que )(
)(
xd
yd = lím
0x→Δ = lím0x→Δ (0.03 + 0.002x + 0.001∆x) = 0.03 + 0.002x
Esto es, ƒ’(x) = 0.03 + 0.002x
Cuando x = 5, ƒ’(5) = 0.03 + 0.002(5) = 0.04 millones de habitantes.Cálculo 42
2.3.1. Interpretación geométrica de la derivada
Como se mencionó, inicialmente, para la función y = ƒ(x) la derivada )(
)(
xd
yd
representa la tasa de cambio de y con respecto a x. Además de esta clase
de aplicación, la derivada también tiene una interpretación desde el punto de
vista geométrico.
Si P y Q son dos puntos (x, ƒ(x)) y (x +∆x , ƒ(x + ∆x)) sobre la gráfica y =
ƒ(x), entonces, la razón
x∆∆y
= x
)()(
∆−∆+ xfxxf
Representa la pendiente del segmento de recta PQ. A medida que ∆x se
hace más y más pequeño, el punto Q se aproxima cada vez más a P y el
segmento secante PQ está cada vez más cerca de ser tangente. Cuando ∆x
→ 0, la pendiente de la secante PQ se aproxima a la pendiente de la recta
tangente en P. Así que:
lím0x→Δ
x∆∆y
= dx
dy
Representa la pendiente de la recta tangente a y = ƒ(x) en el punto P(x,
ƒ(x)). Con tal de que la curva y = ƒ(x) sea “suave” en P; esto es, si se
puede dibujar una tangente que no sea vertical en P, el límite existirá.
Cálculo 43
Gráfica
4
En consecuencia, la derivada de una función será la pendiente de la recta
tangente a la función en un punto determinado.
Ejemplo:
Determinar la pendiente de la tangente y la ecuación de la recta tangente a la
gráfica y = ƒ(x) = x en el punto (4,2) y en el punto (¼,½).
Solución:
La pendiente de la recta tangente será la derivada de ƒ(x). Es decir,
Cálculo 44
ƒ’(x) = x2
1. Cuando x = 4, ƒ’(4) = 42
1 = 4
1. Lo cual significa que la
pendiente de la tangente en el punto (4,2) es 4
1.
Para obtener la ecuación de la recta tangente, se puede utilizar la fórmula
punto-pendiente:
Con pendiente m = ¼ y (x1,y1) = (4,2)
Cuando x = ¼, ƒ’(¼) = ¼ 2
1 = 1. Por lo cual la pendiente de la
tangente en (¼,½) es 1. Con base en la fórmula punto-pendiente, la
ecuación es:
2.3.2. Reglas de derivación
Hallar la derivada de una función aplicando la definición por medio de límite
no siempre es fácil; en ocasiones, y en especial en el campo administrativo,
se presentan funciones con algunos niveles de complejidad para obtener su Cálculo 45
y - y1 = m(x-x1)
y- ½ = 1. (x - ¼) ó y = x + ¼
derivada. Sin embargo, existen técnicas útiles para solucionar este tipo de
inconvenientes.
Teorema 1: “La derivada de cualquier potencia constante de x es la potencia
de x reducida en 1 y multiplicada por el exponente original”.
Ejemplo:
Hallar la derivada de:
1. y = ƒ(x) = x7
Solución: ƒ’(x) = 7x6
2. y = ƒ(t) = t
1
Solución: ƒ(t) = t -1/2 , ƒ’(x) = - 2
1t -1/2-1 = - 2
1t - 3/2
Teorema 2: “La derivada del producto de una constante por una función de x
es igual al producto de la constante por la derivada de la función”.
Cálculo 46
Si y = xn
, entonces xn
nxfdx
dy 1)('
−==
Si u(x) es una función diferenciable de x y c es una constante,
entonces dx
dc(u) = c
dx
du = cƒ’(u)
Ejemplo:
Hallar la derivada de y = ƒ(x) = 5x3
ƒ’(x) = 5.3x2 = 15 x2
Teorema 3: “La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de
las derivadas de las dos funciones”
Ejemplo:
Hallar la derivada de y = ƒ(x) = x2 + x
Solución: ƒ’(x) = dx
d(x2) + dx
d(x1/2) = 2x + 2
1x-1/2
Teorema 4: “La derivada del producto de dos funciones es igual a la
derivada de la primera función por la segunda más la primera función por la
derivada de la segunda”.
Cálculo 47
Si u(x) y v (x) son funciones diferenciables de x,
entonces dx
d(u+ v ) =
dx
du +
dx
dv= ƒ’(u) + ƒ’( v ).
Si u(x) y v (x) son funciones diferenciables de x, se sigue que
dx
d(u. v ) =
dx
du v + udx
dv = ƒ’(u).ƒ( v ) +ƒ(u).ƒ’( v )
Ejemplo:
Calcular la derivada si y = (5x2 - 3x)(2x³ + 8x + 7)
Solución:
La función dada y puede escribirse como un producto y = u v si hacemos.
u = 5x2 - 3x y v = 2x³ + 8x + 7
Calculando las derivadas se tiene que:
u' = 10x – 3 y v ' = 6 x2 + 8
Por consiguiente, y' = u' v + u v '
= (10x – 3)( 2x³ + 8x + 7) + (5x2 - 3x)( 6 x2 + 8)
= 50x4 – 24x³ + 120x2 + 22x – 21
Teorema 5: “La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada
del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del
denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador”.
Cálculo 48
Si u(x) y v (x) son funciones diferenciables de x, se sigue que
dx
d( v
u) =
vdx
dvuv
dx
du
2
− = v
vfuvuf2
)('.).(' −
Ejemplo:
Calcular la derivada de y = 4x³
1x²
++
Solución:
Inicialmente se seleccionan u y v , tales que y = u/ v .
En este caso U = x² + 1 y v = x³ + 4
Entonces, )(' uf = u' = 2x y )(' vf = v ' = 3x2
Finalmente, aplicando el teorema se tiene:
y' = 23
223
)4(
)3)(1()4)(2(
++−+
x
xxxx= 23
244
)4(
)33(82
++−+
x
xxxx = 23
24
)4(
83
++−−
x
xxx
2.3.3. Regla de la cadena
La regla de la cadena es una de las herramientas más útiles en derivación de
funciones, pues se utiliza cuando se deriva una función compuesta de dos o
más funciones simples.
Sea y = )(uf una función de u y u = )(xg una función de x. Entonces, se
puede escribir:
[ ])(xgfy =
Cálculo 49
Que representa a y como una función x, denominada la función
composición de f y g . Se denota por ))(( xgf
Teorema 6: “La derivada de una función compuesta es la derivada de la
función externa por la derivada de la función interna”.
Ejemplo:
Calcular la derivada de 52 )1( += xy
Solución:
Se define la parte externa de la función como 52 )1( +x y la parte interna
como 12 +x
En consecuencia, la derivada externa será 42 )1(5 +x y la derivada interna
será x2 .
Por lo tanto, dx
dy = (derivada externa)(derivada interna).
= [ ] )2()1(5 42 xx +Cálculo 50
Si [ ]nxuy )(= , entonces
dx
dy = 1−nnu
dx
du
2.4. Derivada de las funciones logarítmica y exponencial
Una función del tipo )1,0( ≠>= aaay x se denomina una función
exponencial. Cuando a >1, la función se conoce como una función
exponencial creciente, mientras que si a <1, se llama una función
exponencial decreciente.
El número a que aparece en la función exponencial xay = se conoce como
la base. Ésta puede ser cualquier número real positivo excepto 1 (por que se
convertiría en una función constante). Con frecuencia es útil usar como base
un número irracional denotado por e , el cual está dado hasta cinco cifras
decimales:
Cálculo 51
e = 2.71828. La función exponencial correspondiente se denota por xe y
se denomina la función exponencial natural.
Ejemplo:
Hallar la derivada de la función xxfy 35)( ==
Solución:
La función xxfy 35)( == presenta como base 5 y exponente 3x. Por tanto, la
derivada será:
)5ln(.5.33).5ln(.5' 33 xxy ==
Definición:
Ejemplo:
Cálculo 52
Sea la función uaxfy == )( , donde u es función de x, entonces
dx
duaay u ).ln(.'=
Sea la función uexfy == )( , donde u es función de x, entonces
dx
duey u .'=
Hallar la derivada de la función 23xey =
Solución:
La función 23xey = presenta como base e y exponente 23x . Por tanto, la
derivada será:
22 33 .66.' xx exxey ==
La inversa de una función )(xf se obtiene resolviendo la ecuación )(xfy =
para x, de modo que se exprese a x como función de )(: 1 yfxy −= . Se
puede considerar la posibilidad de construir la inversa de la función xa . Con
el propósito de lograrlo, se debe resolver la ecuación xay = para x. Tal
ecuación no puede resolverse en términos de las funciones que conocemos
hasta el momento. Se escribe la solución en la forma )(log yx a= , la cual
denominamos logaritmo de y con base a .
La función xa sólo está definida cuando a > 0. Además, cuando a = 1,
entonces 11 =x para todo x, en consecuencia, esta función no puede tener
una inversa. Por tanto, en estas definiciones a puede ser cualquier número
positivo excepto 1.
Cuando la base del logaritmo es 10, por convención, se denota loglog10 = .
Cálculo 53
)(log yx a= si y sólo si xay =
También se pueden formar logaritmos con base e . Éstos se denominan
logaritmos naturales (o logaritmos neperianos). Se denotan con el símbolo
ln y se definen como:
Esto es, la función )ln(yx = es la inversa de la función xey = .
Definición:
Ejemplo:
Hallar la derivada de la función 2log xy = .
Solución:
Cálculo 54
Sea la función )(log)( uxfy a== , donde u es función de x, entonces
dx
due
uy a ).(log.
1'=
)ln()(log, yyxey ex ===
Aplicando la definición, se encuentra que la derivada para la función es:
)log(2
2).log(.1
'2
ex
xex
y ==
Definición:
Ejemplo:
Hallar la derivada de la función )ln()( 3xxfy == .
Solución:
Aplicando la definición, se encuentra que la derivada para la función es:
xx
xy
33.
1' 2
3==
Cálculo 55
Sea la función )ln()( uxfy == , donde u es función de x, entonces
dx
du
uy .
1'=
2.5. Derivadas de orden superior
Sea )(xfy = una función dada con derivada )(' xfdx
dy = . A ésta, se le llama
la primera derivada de y con respecto a x. Si )(' xf es una función
diferenciable, su derivada se conoce como la segunda derivada de y con
respecto a x. Si la segunda derivada es una función diferenciable, su
derivada se conoce como la tercera derivada de y con respecto a x,
etcétera.
Ejemplo:
Cálculo 56
Si )(xfy = es una función derivable, entonces
La primera derivada será: dx
dyóxfóy )(''
La segunda derivada será: 2
2
)(''''dx
ydóxfóy
La tercera derivada será: 3
3
)(''''''dx
ydóxfóy
La enésima derivada será: n
nnn
dx
ydóxfóy )(
Calcular la primera derivada y las de orden superior de la función
1753)( 234 −+−== xxxxfy .
Solución:
La primera derivada de la función será:
xxxxfy 141512)('' 23 +−==
La segunda derivada será la derivada de la primera derivada:
143036)('''' 2 +−== xxxfy
La tercera derivada será la derivada de la segunda derivada:
3072)('''''' −== xxfy
La cuarta derivada será la derivada de la tercera derivada:
724
4
=dx
yd
La quinta derivada será la derivada de la cuarta derivada:
05
5
=dx
yd
Cálculo 57
Cálculo 58
3. ANÁLISIS MARGINAL
El análisis marginal es el estudio de la razón de cambio de cantidades
económicas; por ejemplo, un administrador no se preocupa sólo por el valor
del producto interno bruto (PIB) de una economía en un instante dado, sino
también por la razón por la que aumenta o disminuye. En el mismo sentido,
un fabricante no sólo se interesa en sus gastos totales correspondientes a
cierto nivel de producción de un artículo, sino también en la razón de cambio
de los gastos totales con respecto al nivel de producción.
OBJETIVOS
1. Calcular e interpretar la función de costo marginal.
2. Calcular e interpretar la función de costo promedio.
3. Calcular e interpretar la función de ingreso marginal.
4. Calcular e interpretar la función de utilidad marginal.
Cálculo 59
3.1. Costo marginal
El costo marginal se define como el valor límite del costo promedio por
artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero. Así, se
puede pensar el costo marginal como el casto promedio por artículo extra
cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. Es
decir, es el costo adicional al producir un artículo extra por encima de un
límite de producción. De tal forma que, si se define c(x) como el costo total
en función del número de artículos producidos x, el costo marginal se define
por:
Costo marginal = 0lím
→∆x x
c
∆∆
= x
xcxxcx ∆
−∆+→∆
)()(lím
0
Es claro que esta ecuación no es otra cosa que la derivada de la función de
costo con respecto a la cantidad producida.
El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto
al incremento de la cantidad producida.
Nota: para hallar el costo marginal se aplica los teoremas de derivación.
Cálculo 60
Costo marginal = dx
dc
Ejemplo:
Para el caso de la función de costo 1000403.0001.0)( 23 ++−= xxxxC
determinar el costo marginal como una función de x, y evaluarlo cuando la
producción está dada por 50 artículos.
Solución:
La función de costo marginal será la derivada de C(x).
Por tanto, Costo marginal = C’(x) = 040(1)0.3(2x))20.001(3x ++−
= 400.5x20.003x +−
El costo marginal cuando se han producido 50 unidades está dado por:
400.5(50)0.003(50)(50)C' 2 +−= = 7.5 – 30 + 40 = 17.5
Puede decirse que el costo adicional de producir el artículo 51 es de $ 17.5
Es importante no confundir el costo marginal con el costo promedio. Si )(xC
es la función de costo, el costo promedio de producir x artículos es el costo
total, )(xC , dividido entre el número de artículos producidos.
Ejemplo:
Cálculo 61
Costo promedio por artículo = )(xC = x
xC )(
Sea la ecuación de costo 21.0101000)( xxxc ++= , hallar el costo promedio
cuando se producen 100 artículos.
Solución:
El costo promedio de producir 100 artículos será:
30100
100010001000
100
)100(1.0)100(101000)100(
2
=++=++=C
Esto es, el costo promedio por artículo cuando se producen 100, es de $ 30.
3.2. Ingreso marginal
Considerando los ingresos derivados de la venta de los productos o servicios
de una empresa como R(x), se define el ingreso marginal como la derivada
R’(x).
Si el número de artículos vendidos se incrementa de x a xx ∆+ , entonces,
existe un incremento correspondiente en el ingreso dado por:Cálculo 62
Ingreso marginal = 0lím)('
→∆=
xxR
x
R
∆∆
R∆ = Nuevo ingreso – Ingreso original = )()( xRxxR −∆+
El incremento promedio en el ingreso por artículo adicional vendido, se
obtiene dividiendo R∆ entre el número de artículos adicionales, lo que da
xR
∆∆ . El valor límite de este promedio cuando ∆x → 0 da el ingreso
marginal. Así pues, el ingreso marginal representa las entradas adicionales
de una empresa por artículo adicional vendido cuando ocurre un incremento
muy pequeño en el número de artículos vendidos. Esto es, la tasa con la
que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas.
Ejemplo:
Si la función de ingreso está dada por 201.010)( xxxR −= , donde x es el
número de artículos vendidos, determinar el ingreso marginal y evaluarlo
cuando se venden 200 artículos.
Solución:
La función de ingreso marginal será la derivada de R(x). Por lo cual,
R’(x) = 10 –0.01(2x)
R’(200) = 10 – 0.02(x)
R’(200) = 10 – 0.02(200)
R’(200) = 10 – 4 = 6
Así que, producir el artículo 201 genera un ingreso adicional de $ 6.
Cálculo 63
Cálculo del ingreso marginal a partir de la ecuación de demanda
La función de ingreso puede escribirse como:
xpxR =)(
Donde p es el precio por artículo y x es el número de artículos vendidos. La
relación entre x y p está dada por la ecuación de demanda. Mientras más
artículos pueda vender la empresa, más bajo puede fijar el precio; entre más
alto se fije el precio, en general, menor será el volumen de las ventas.
Ejemplo:
Determinar el ingreso marginal cuando x = 300 si la ecuación de demanda
es:
X = 1000 - 100p.
Solución:
De la ecuación de demanda se debe expresar a p como una función de x.
Así, la función de ingreso está dada por:
xpxR =)( = x(10 –0.01x) = 10x – 0.01x²
Cálculo 64
100p = 1000 – x
p = 10 – 0.01x
Por lo cual, R’(x) = 10 –0.02(x)
Cuando el volumen de ventas es 300, el ingreso marginal está dado por:
R’(300) = 10 –0.02(300) = 10 – 6 = 4.
Así que, producir el artículo 301 genera un ingreso adicional de $4.
3.3. Utilidad marginal
La utilidad que una empresa obtiene está dada por la diferencia entre sus
ingresos y sus costos. Si la función de ingreso es R(x) cuando se venden x
artículos y la función de costo es C(x) al producirse esos mismos x artículos,
entonces la utilidad P(x) obtenida por producir y vender x artículos está dada
por:
La derivada P’(x) se denomina utilidad marginal. Representa la utilidad
adicional por artículo, si la producción sufre un pequeño incremento.
Ejemplo:
La ecuación de demanda de cierto artículo es:
p + 0.1x = 180
Y la función de costo es:
Cálculo 65
P(x) = R(x) - C(x)
C(x) = 5000 + 20x.
Calcular la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades.
Solución:
La función de ingreso está dada por:
R(x) =xp = x(80 – 1.0x) = 80x – 1.0x²
Por consiguiente, la utilidad generada por la producción y venta de x
artículos está dada por:
P(x) = R(x) - C(x)
= (80x - 1.0x²) – (5.000 + 20x)
= 60x – 0.10x² - 5.000
La utilidad marginal es la derivada P’(x).
P’(x) = 60 – 0.2x
Si x = 150, se obtiene P’(150) = 60 – 0.2(150) = 30
Cálculo 66
Así pues, cuando se producen y venden 150 artículos, la utilidad marginal, es
decir, la utilidad extra cuando se produce un artículo adicional por encima de
150 es de $30.
Cálculo 67
4. OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS
OBJETIVOS
Cálculo 68
1. Hallar los intervalos de crecimiento de una función real.
2. Hallar los intervalos de una concavidad de una función real.
3. Calcular los valores extremos de una función (máximo y
mínimo) a partir de la derivada.
4. Bosquejar la gráfica de una función a partir de la derivada.
4.1. Crecimiento y decrecimiento de una función
Una función )(xfy = se dice que es una función creciente sobre un intervalo
de valores de x si, y crece al incrementarse la x. Esto es, si x1 y x2 son dos
Cálculo 69
valores cualesquiera en un intervalo dado con x1 > x2, entonces, f (x2) > f
(x1).
Una función )(xfy = se dice que es una función decreciente sobre un
intervalo de valores de x, si y decrece al incrementarse la x. Es decir, si x2
> x1 son dos valores de x en un intervalo dado, entonces f ( x2) < f ( x1).
Definición:
El valor cx = se denomina punto crítico para una función continua )(xf si
)(cf está bien definida y si )(' cf = 0 ó )(' xf no existe en cx = .
El punto crítico es el punto en el cual existe cambio de crecimiento; es decir,
deja de ser creciente para convertirse en decreciente o viceversa.
Se calcula hallando los valores de x que hacen a )(' xf = 0.
Ejemplo:
Hallar los puntos críticos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función 22 )1()( −== xxfy .
Solución: Cálculo 70
Si )(xfy = es una función diferenciable en un intervalo dado, entonces,
)(xf es creciente en el intervalo en el cual 0)(' >xf , y es decreciente
en el intervalo en el cual 0)(' <xf .
Para hallar los puntos críticos e intervalos de crecimiento y decrecimiento se
debe iniciar con el cálculo de la primera derivada:
)1(4)(' 2 −= xxxf
Los puntos críticos son aquellos que hacen a )(' xf = 0, por tanto,
0)1(4 2 =−xx
0)1)(1(4 =+− xxx
Donde, x = 0, x = 1, x = -1
Luego, al reemplazar en la función los valores de x para los cuales )(' xf =
0, se obtiene:
1)10()0( 22 =−== fy
0)11()1( 22 =−== fy
[ ] 01)1()1(22 =−−=−= fy
En consecuencia, los puntos críticos serán (0, 1), (1, 0) y (-1, 0).
Los valores de la coordenada x de los puntos críticos dividen la recta real en
cuatro intervalos
Cálculo 71
(- ∞ , -1), (-1, 0), (0, 1) y (1, + ∞ ).
- ∞ -1 0 1 + ∞
En cada uno de estos intervalos, )(' xf tiene signo constante, sólo cambia
en los valores de x =-1, x = 0 y x = 1. Así, que sólo se selecciona un punto
de prueba en cada intervalo y se calcula el signo de )(' xf para cada
intervalo. Los resultados obtenidos son los siguientes:
Se observa que )(' xf > 0 en (-1, 0) y en ( 1, + ∞ ), así que la función es
creciente en estos intervalos. En (- ∞ , -1) y en (0, 1), )(' xf < 0, así que la
función es decreciente en estos intervalos.Cálculo
Intervalo
Punto de prueba
)1(4)(' 2 −= xxxf
)(xf
(- ∞ , -1) (-1, 0) (0, 1) (1, + ∞ )
-2 -0.5 0.5 2
[ ]12)2()2(4 −−− [ ]12)5.0()5.0(4 −−− [ ]12)5.0()5.0(4 −
[ ]12)2()2(4 −
< 0 > 0 < 0 > 0
Decrece Crece Decrece Crece
72
4.2. Concavidad de una función
La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la
gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo.
Definición:
Cálculo 73
si )(xf es una función cuya segunda derivada existe en un
intervalo dado, entonces:
si )('' xf > 0 para todo x en el intervalo dado, la función )(xf
es cóncava hacia arriba en dicho intervalo.
si )('' xf < 0 para todo x en el intervalo dado, la función )(xf
es cóncava hacia abajo en dicho intervalo.
El punto de inflexión de una curva es el punto en donde la curva cambia de
concavidad; es decir, cambia de ser cóncava hacia arriba para ser cóncava
hacia abajo o viceversa.
El punto de inflexión se calcula hallando los valores de x que hace a
0)('' =xf
Ejemplo:
Hallar puntos de inflexión y concavidad de la función
13)( 3 +−== xxxfy
Solución:
Los puntos de inflexión se hallan a partir de los valores de x que hacen
0)('' =xf , por tanto,
33)(' 2 −= xxf
xxf 6)('' =
06 =x
0=x
El valor de 0 corresponde a la coordenada x del punto de inflexión, y la
coordenada y será:
11)0(30)0( 3 =+−== fy
Luego, el punto de inflexión está representado por (0, 1)
Cálculo 74
Para obtener los intervalos de concavidad, se toma el valor de x del punto de
inflexión, el cual divide la recta numérica en dos intervalos (- ∞ , 0) y (0, +
∞ ). En cada uno de estos intervalos )('' xf tiene signo constante, así que
se elige un punto de prueba conveniente y se calcula el signo de )('' xf en
este punto. Esto determina el signo de )('' xf en todo el intervalo.
- ∞ 0 + ∞
Los resultados para la concavidad del ejercicio son los siguientes:
Intervalo
Punto de prueba
xxf 6)('' =
Concavidad
(- ∞ , 0) (0, + ∞ )
-3 4
6(-3) < 0 6(4) > 0
Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
4.3. Máximos y mínimos
Muchas de las aplicaciones importantes de derivadas consisten en encontrar
los valores máximo y mínimo de una función. Por ejemplo, la utilidad que
obtiene un fabricante depende del precio que cobra por el producto, y el
fabricante está interesado en conocer el precio que hace que su ganancia
sea máxima. El precio óptimo (o mejor precio) se obtiene por medio de un
proceso llamado maximización u optimización de la función de utilidad.
Cálculo 75
Definición:
Así, los puntos P y Q de las gráficas 5 y 6 corresponden a máximos locales
de las funciones correspondientes.
Así, los puntos A y B de las gráficas 7 y 8 corresponden a mínimos locales
de las funciones correspondientes.
Cálculo 76
Una función )(xf se dice que tiene un máximo local en cx = si
)()( xfcf > para todo x suficientemente cerca de c.
Una función )(xf se dice que tiene un mínimo local en cx = si
)()( xfcf < para todo x suficientemente cerca de c.
Gráfica 5
Gráfica 6
Cálculo 77
Gráfica 7
Gráfica 8
El término extremo se utiliza para denotar a un máximo local o bien a un
mínimo local. Una función puede tener más de un máximo local y más de un
mínimo local.
4.3.1. Criterio de la primera derivada para hallar extremos
Cálculo 78
Sea cx = un punto crítico de una función )(xf , entonces,
)(xf es máximo local si 0)(' >xf antes de c y 0)(' <xf después de c.
)(xf es mínimo local si 0)(' <xf antes de c y 0)(' >xf después de c.
Esto es, si cx = es punto crítico y )(xf cambia de creciente a decreciente,
entonces, cx = es un máximo y cuando )(xf cambia de decreciente a
creciente, entonces cx = es un mínimo.
Ejemplo:
Hallar los extremos de la función 74)( 34 +−== xxxfy bajo el criterio de la
primera derivada.
Solución:
Para determinar los extremos se deben calcular los puntos críticos de la
función, esto es:
)3(4124)(' 223 −=−= xxxxxf
En este caso los puntos críticos serían x = 0 ó x = 3. Estos puntos críticos
dividen la recta en tres intervalos (- ∞ , 0), (0, 3) y (3, ∞ ). Por tanto, los
resultados de crecimiento serán:
Cálculo 79
En x = 0, )(' xf es negativa en ambos intervalos, o sea que no es un
extremo, porque a pesar de ser punto crítico no existe cambio de crecimiento
de la función. Para x = 3, la función es decreciente antes de él y creciente
después de él, por tanto, x = 3 es un mínimo.
El valor mínimo (la coordenada y) se calcula reemplazando en la función:
74)( 34 +−== xxxfy
207)3(43)3( 34 −=+−== fy
Luego, el punto mínimo en la gráfica será (3, -20)
Resumen para determinar extremos bajo el criterio de la primera
derivada
Cálculo
Intervalo
Punto de prueba
)3(4)(' 2 −= xxxf
)(xf
(- ∞ , 0) (0, 3) (3, + ∞ )
-1 1 4
16)31(2)1(4 −=−−− 8)31(2)1(4 −=− 64)34(2)4(4 =−
< 0 < 0 > 0
Decrece Decrece Crece
80
Paso 1. Encuentre los puntos críticos de la función (valores de x en los
cuales 0)(' =xf )
Paso 2. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función (crece en 0)(' >xf y decrece en 0)(' <xf )
Paso 3. Analice el crecimiento y decrecimiento antes y después de los
puntos críticos (si crece antes del punto crítico y después de éste decrece, el
punto crítico es un máximo local. Si decrece antes del punto crítico y
después de éste crece, el punto crítico es un mínimo).
4.3.2. Criterio de la segunda derivada para hallar extremos
Esto es, si cx = es punto crítico y al reemplazarlo en la segunda derivada de
la función se obtiene un resultado negativo (< 0), entonces, la función es
cóncava hacia abajo; mientras que, si se obtiene un resultado positivo (> 0),
entonces la función es cóncava hacia arriba.
Ejemplo:
Cálculo 81
Sea cx = un punto crítico de una función )(xf , entonces
cx = es máximo local si 0)('' <cf
cx = es mínimo local si 0)('' >cf
Hallar los puntos extremos de la función 842)( 23 −−+== xxxxfy bajo el
criterio de la segunda derivada.
Solución:
Para determinar los extremos se deben calcular los puntos críticos de la
función, esto es:
443)(' 2 −+= xxxf
0443 2 =−+ xx
0)2)(23( =+− xx
Luego, los valores de x para los puntos críticos son 2,3
2 −== xx
La segunda derivada de la función es 46)('' += xxf
Reemplazando 3
2=x en la segunda derivada se obtiene:
084)3
2(6)
3
2('' >=+=f
Por tanto, al reemplazar en la segunda derivada el valor de 3
2=x se obtiene
un valor positivo (> 0), entonces la función en cóncava hacia arriba en ese
punto. En consecuencia, la función tiene un mínimo local cuando 3
2=x . El
valor mínimo local está dado por:
Cálculo 82
27
2568)
3
2(4)
3
2(2)
3
2()
3
2( 23 −=−−+== fy
Reemplazando 2−=x en la segunda derivada se obtiene:
084)2(6)2('' <−=+−=−f
Por tanto, al reemplazar en la segunda derivada el valor de 2−=x se
obtiene un valor negativo (< 0), entonces la función en cóncava hacia abajo
en ese punto. En consecuencia, la función tiene un máximo local cuando
2−=x . El valor máximo local está dado por:
08)2(4)2(2)2()2( 23 =−−−−+−=−= fy
Así, el único valor máximo local de )(xf es 0, y ocurre cuando 2−=x y el
único valor mínimo local es 27
256− y aparece cuando 3
2=x .
Resumen para determinar extremos bajo el criterio de la segunda
derivada
Paso 1: encuentre los puntos críticos de la función valores de x en los
cuales 0)(' =xf ).
Paso 2. Encontrar )('' xf y evaluarlo cuando cx =
Paso 3. 0)('' <cf , entonces la función tiene un máximo local en cx = .
Si 0)('' >cf , entonces la función tiene un mínimo local en cx = . Cálculo 83
Si 0)('' =cf ó )('' cf no está definida, entonces cx = no es mínimo ni
máximo local.
Optimización
Hay situaciones en Administración y Economía en las que aparece una
función que conviene optimizar. Así, por ejemplo, un empresario, teniendo en
cuenta que el costo por unidad y el precio de venta la público dependen del
número de unidades fabricadas, puede calcular este número para maximizar
la utilidad.
Para abordar este tipo de situaciones no existen normas fijas, pero sí se
sugieren algunos pasos que es conveniente seguir:
- Hallar la expresión algebraica de la función teniendo en cuenta los datos
del problema.
- Si la función depende de más de una variable, hay que buscar relaciones
entre ellas hasta poder dejar la función dependiendo de una sola.
- Calcular los extremos de la función (máximos y mínimos).
- Interpretar los resultados en el contexto del problema.
Ejemplo:
Se ha de construir un tanque con una base cuadrada horizontal y lados
verticales rectangulares. No tendrá tapa. El tanque debe tener una capacidad
de 4 metros cúbicos de agua. El material con que se construirá el tanque
Cálculo 84
tiene un costo de $10 por cada metro cuadrado. ¿Qué dimensiones del
tanque minimizan el costo del material?
Solución:
Paso 1. Determinación de los datos del problema.
Las variables en el problema son las dimensiones del tanque y el costo de
los materiales de construcción. El costo depende del área total de la base y
de los lados. Se denota con x la longitud de un lado de la base y, con y, la
altura del tanque, como lo ilustra la figura 1.
y
x
x
Figura 1
La cantidad que debe minimizarse es el costo total de materiales, denotada
por C, y es igual al área del tanque multiplicada por $10, que es el costo por
unidad de área. La base es un cuadrado con lado x, de modo que tiene un
área igual a x². Cada lado es un rectángulo con dimensiones x e y, y tiene
un área xy. El área total de la base más los cuatro lados es xyx 42 + .
En consecuencia, se escribe:
)4(10 2 xyxC +=
Paso 2. La cantidad a minimizar está expresada como una función de dos
variables, de modo que se necesita una relación entre x e y a fin de eliminar
Cálculo 85
una de éstas. Esta relación se obtiene del requerimiento de que el volumen
del tanque debe ser 4 metros cúbicos. El volumen es igual al área de la base
por la altura, esto es, yx2 , y así se tiene la condición:
42 =yx
Luego, 2
4
xy =
Así, la función de costo a minimizar será:
+=
+=
xx
xxxxC
1610)
4(410)( 2
22
Paso 3. Se deriva la función de costo para obtener los puntos críticos.
)8
(20)16
2(10)('22 x
xx
xxC −=−=
Para los puntos críticos se hace 0)(' =xC . Esto es:
0)8
(20
0)8
(20
2
3
2
=−
=−
x
x
xx
Donde 2808 33 ===− xxx
Se verifica si x = 2 es mínimo por medio del criterio de la segunda derivada.
Esto es:
33
320)
160(20)(''
xxxC =+=
Cálculo 86
0408
320
2
320320)2(''
33>====
xC
Al reemplazar el valor crítico x = 2 en la segunda derivada se obtiene un
valor positivo, lo cual implica que, en el punto x = 2 la función es cóncava
hacia arriba; en consecuencia, siendo x = 2 punto crítico y la función cóncava
hacia arriba, x = 2 es un mínimo.
Luego, 12
42
==y
Paso 4. Para obtener el mínimo costo del material, el tanque debe
construirse con una base de 2 metros de lado y una altura de un metro.
El costo total del tanque será [ ] [ ] 120$1210)1)(2(4210 2 ==+=C
4.4. Bosquejo de curvas polinomiales
En muchas ocasiones se requiere la gráfica de una función para visualizar su
comportamiento a medida que la variable independiente toma valores
específicos. En este caso, la primera y segunda derivadas son herramientas
efectivas para bosquejar la gráfica de una función.
En el siguiente cuadro se esquematizan las combinaciones de primera
y segunda derivada, compartidas en temas anteriores.
Signo de )(' xf y
)('' xf
Propiedades de la gráfica Forma de la gráfica
0)(' >xf
y 0)('' >xf
Creciente y cóncava hacia
arriba
Cálculo 87
0)(' >xf y 0)('' <xf Creciente y cóncava hacia
abajo
0)(' <xf y 0)('' >xf Decreciente y cóncava
hacia arriba
0)(' <xf y 0)('' <xf Decreciente y cóncava
hacia abajo
Los pasos necesarios para el bosquejo de la gráfica de una función
polinomial son los siguientes:
Paso 1: calcular )(' xf .
Determinar los puntos críticos, esto es valores de x para los cuales 0)(' =xf
; luego, calcular la coordenada y en la función )(xf .
Determinar los intervalos en que )(' xf es positiva (intervalos en que la
función )(xf crece) o negativa (intervalos en que la función )(xf decrece).
Paso 2: calcular )('' xf .
Determinar los puntos de inflexión, esto es valores de x para los cuales
0)('' =xf ; luego calcular a la coordenada y en la función )(xf .
Cálculo 88
Determinar los intervalos en que )('' xf es positiva (cóncava hacia arriba) o
negativa (cóncava hacia abajo).
Paso 3: ubicar puntos.
En lo posible, calcular los puntos de intercepto1 de la gráfica con los ejes de
coordenadas x y y. Esto es, intercepto con eje x (se hace y = 0 en la función
y se encuentran los valores de x), intercepto con eje y (se hace x = 0 en la
función y se encuentran los valores de y).
Localizar los interceptos con los ejes, los puntos críticos y de inflexión sobre
un plano cartesiano y trazar la curva, teniendo en cuenta los intervalos de
crecimiento, decrecimiento, concavidad hacia arriba y concavidad hacia
abajo. En este caso, puede apoyarse del cuadro de combinaciones de
primera y segunda derivada.
Ejemplo:
Bosquejar la gráfica de la función xxxfy 3)( 3 −== .
Solución:
Siguiendo los pasos para el bosquejo de gráficas, se tiene:
Intercepto con el eje x. Se hace y = 0 en la función y se obtienen los valores
para x, esto es:
033 =− xx
1 Intercepto: es el corte de una función con un eje de coordenadas.Intersección: es la ubicación simultánea de dos funciones en un plano determinado.
Cálculo 89
0)3)(3(0)3( 2 =+−=− xxxxx
Donde 3,3,0 −=== xxx
Por tanto, los interceptos para el eje x son )0,3(),0,3(),0,0( −
Para el intercepto con el eje y. Hacer x = 0 en la función y obtener los valores
para y, esto es:
0)0(303 =−=y
En consecuencia, el intercepto con el eje y es el punto (0, 0).
Puntos críticos. A partir de la primera derivada de la función se obtienen los
puntos críticos; éstos son los valores de x que hace cero a )(' xf .
)1)(1(3)1(333)(' 22 +−=−=−= xxxxxf . 0)1)(1(3 =+− xx
Luego, x = 1 y x = -1 son los valores de x para los puntos críticos.
Reemplazando estos valores en la función se obtienen las respectivas
coordenadas y.
231)1(3)1()1( 3 −=−=−== fy y 231)1(3)1()1( 3 =+−=−−−=−= fy
Luego, los puntos críticos son (-1, 2) y (1, -2)
4.4.1. Intervalos de crecimiento
Cálculo 90
Los valores de x de los puntos críticos dividen la recta real en tres intervalos:
(- ∞ , -1), (-1, 1) y (1, ∞ ). En cada uno de estos intervalos, )(' xf tiene
signo constante; luego, se selecciona un punto de prueba para cada uno y se
obtiene el signo del intervalo respectivo. Esto es:
4.4.2. Puntos de inflexión
Se hallan a partir de la segunda derivada de la función. Son aquellos valores
de x que hace cero la segunda derivada. Esto es:
xxf 6)('' =
0,06 == xx
Luego se reemplaza el valor x = 0 en la función para hallar la coordenada y:
0)0(3)0()0( 3 =−== fy
Cálculo
Intervalo
Punto de prueba
33)(' 2 −= xxf
)(xf
(- ∞ , -1) (-1, 1) (1, + ∞ )
-2 0 2
93)2(3 2 =−− 33)0(3 2 −=− 93)2(3 2 =−
> 0 < 0 > 0
Crece Decrece Crece
91
En consecuencia, la función tiene cambio de concavidad en el punto de
inflexión (0, 0).
4.4.3. Intervalos de concavidad
El valor x = 0 del punto de inflexión divide la recta real en dos intervalos (- ∞ ,
0) y (0, ∞ ). En cada uno de estos intervalos se selecciona un punto de
prueba para determinar el signo de )('' xf , y en consecuencia, la concavidad
de la función. Esto es:
Intervalo
Punto de
prueba
xxf 6)('' =
)(xf
(- ∞ , 0) (0, + ∞ )
-2 2
12)2(6 −=− 12)2(6 =
< 0 > 0
Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
Cálculo 92
4.4.4. Ubicación de puntos e intervalos
Sobre el plano cartesiano, se ubican los interceptos, los puntos críticos y de
inflexión, y se traza en cada intervalo el crecimiento y concavidad
respectivos.
Finalmente, la gráfica 9 visualiza el resultado.
Gráfica 9
Cálculo 93
Cálculo 94
5. INTEGRAL INDEFINIDA
OBJETIVOS
1. Calcular e interpretar la antiderivada de una función.
2. Aplicar las reglas para resolver integrales.
3. Aplicar los métodos para la solución de integrales.
Cálculo 95
5.1. Antiderivada
Hasta ahora se han estudiado los cambios que tiene una función a partir de
una variable independiente (más conocida como la derivada de una función),
a los cuales se les denomina cálculo diferencial. Además de éste, existe la
segunda parte del cálculo, denominado cálculo integral, y se ocupa del
proceso inverso a la derivada.
Por ejemplo, cuando se conoce el costo marginal de un proceso de
producción y se necesita calcular el costo total de la producción de un
número determinado de artículos, entonces, a partir de la función de costo
marginal (la derivada de la función de costos), se puede encontrar la función
de costo total para los artículos producidos.
El proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada se llama
integración, y la función a determinar se denomina la antiderivada o la
integral de la función dada.
Definición
Cálculo 96
Una función )(xF es una antiderivada de )(xf en un intervalo I si
)()(' xfxF = para todo x en I
Ejemplos:
1. Hallar la antiderivada de la función .2)( xxf =
La antiderivada será 2)( xxF = , porque )(2)(' xfxxF ==
2. Hallar la antiderivada de la función 23)( 2 += xxf
La antiderivada será 12)( 3 ++= xxxF , porque )(23)(' 2 xfxxF =+=
Definición
Para el ejemplo 2 se observa que puede existir una infinidad de antiderivadas
de la función 23)( 2 += xxf , cada una se obtiene especificando la constante
C en la función CxxxF ++= 2)( 3 .
Cálculo 97
Sea )(xG una antiderivada de la función )(xf . Entonces cada
antiderivada )(xF de )(xf debe ser de la forma CxGxF += )()( , donde
C es un constante.
El proceso de determinar todas las antiderivadas de una función se
denomina antiderivación o integración, y se representa de la siguiente
manera:
∫ += CxFdxxf )()(
Donde,
∫ : signo integral.
)(xf : integrando.
dx : diferencial de x .
)(xF : antiderivada.
C : constante de integración.
Lo cual se lee “ la integral indefinida de )(xf con respecto de x es igual a
)(xF más C ”. La integral indefinida de )(xf es la familia de funciones
dada por CxF +)( , donde )()(' xfxF = .
5.2. Reglas de integración
No todas las funciones presentan con facilidad el cálculo de su antiderivada;
por tanto, la Matemática ha generado algunas reglas básicas para facilitar
dicho cálculo.
Regla 1: Integral indefinida de una constante
Esto es, “la integral indefinida de una constante es igual a la constante por la
variable con potencia uno, más la constante de integración arbitraria”.
Cálculo 98
Ejemplo.
Evaluar las siguientes integrales indefinidas:
a) ∫ dx3 b) ∫ dt3π
Solución.
Aplicando la regla uno se tiene:
a) Cxdx +=∫ 33 b) Ctdt +=∫ 33 ππ
Regla 2: Regla de la potencia
Esto es, “la integral de cualquier potencia de x, con excepción de su
recíproca de la potencia uno, es igual a la potencia aumentada en una
unidad, dividida sobre el nuevo exponente, adicionando la constante de
integración arbitraria”.
Cálculo 99
La fórmula de la potencia para la función nxxfy == )( se define como
∫ ++
=+
Cn
xdxx
nn
1
1
, con 1−≠n
Sea la función kxfy == )( con k constante, entonces
∫ += Ckxkdx
Ejemplos
Resolver:
a) ∫ dxx4 b) ∫ dxx
1
Solución:
a) Cx
Cx
dxx +=++
=+
∫ 514
5144
b) ∫ ∫ +=++−
==+−
−CxC
xdxxdx
x2
12
11
121
21
Regla 3: Integral indefinida del producto de una constante
por una función
Esto es, “La integral indefinida de una constante por una función es igual a la
constante por la integral indefinida de la función”.
Cálculo 100∫ ∫= dxxfcdxxcf )()( , con c constante
Ejemplo:
Calcular cada una de las siguientes integrales.
a) ∫ dxx43 b) ∫ −− dtt 32
Solución:
Aplicando la regla 3 se obtiene
a) ∫∫ +=+=
+== CxKxK
xdxxdxx 55
544
5
33
5
3
5333 , con
b) Ct
CtCt
dttdtt +=+=+
−
−=−=− −−
−− ∫∫ 22
233 1
2222 , con C constante
arbitraria.
Se observa que C puede tomar cualquier valor diferente de cero; por tanto,
la constante c que multiplica la función )(xf sólo afecta la antiderivada de
)(xf , como lo muestra el ejemplo b.
Regla 4: Regla de la suma
Cálculo 101
Esto es, “La integral indefinida de una suma (o resta) de dos funciones
integrables es igual a la suma (o resta) de sus integrales indefinidas”.
Esta propiedad se puede extender a la suma o resta de un número
determinado de funciones.
Ejemplo: Evaluar las siguientes integrales.
a) ∫ + dxxx )2( 2 b ) ∫ −− dxxx )172( 35 4
Solución:
a) ∫ ∫∫ +=+ xdxdxxdxxx 2)2( 22
∫ ∫+= xdxdxx 22
Cxx ++
++
=++
11)2(
12
1112
Cxx ++=2
)2(3
23
Cxx ++= 2
3
3
b) ∫∫ −−=−− dxxxdxxx )172()172( 35/435 4
∫ ∫∫ −−= dxdxxdxx 172 35/4
∫ ∫∫ −−= dxdxxdxx35/4 72
Cálculo 102
[ ]∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
[ ]∫ ∫ ∫−=− dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Cxxx +−−=4
)7()2(4
59
5/9
Cxxx +−−= 45/9
4
7
9
10
Regla 5: Integral indefinida de la función exponencial
Esto es, “La integral indefinida de la función exponencial con base es
igual a la propia función”.
Ejemplo:
Evaluar la integral ∫ − dxxx )2( 2
Solución:
∫ ∫∫ −=− dxxdxdxx Xx 22 2)2(
∫ ∫−= dxxdxX 22
Cxx +−= 3
3
12
Regla 6: Integral indefinida de la función 1)( −= xxf
Cálculo 103
∫ += Cdx xx
Esta función es el único caso excepcional de la regla de la potencia.
Esto es, “La integral indefinida de la función 1)( −= xxf es igual al logaritmo
natural del valor absoluto de la función más la constante de integración”.
Ejemplo:
Evaluar la integral ∫ ++ dxxx
x )43
2(2
Solución:
∫∫ ∫ ∫ ++=++ dxx
dxx
xdxdxxx
x22
432)
432(
∫ ∫ ∫ −++= dxxdxx
xdx 241
32
Cxxx +−++
= −12 )1(4ln3
2
12
Cx
xx +−+= 4ln32
5.3. Métodos de integración
En algunas ocasiones, se requiere resolver integrales en las cuales las
propiedades o reglas mencionadas anteriormente no dan solución a la
integral. Para estos casos es necesario acudir a los métodos de integración
por sustitución o integración por partes.
Cálculo 104
∫ ∫ ≠+==− )0(ln11 xCxdxx
dxx
5.3.1. Integración por sustitución
Este método consiste en introducir una variable u que sustituye a una
expresión apropiada en función de x , de forma que la integral se transforme
en otra de variable u más fácil de integrar.
El método está basado en la regla de la cadena de la derivación, y se utilizan
los siguientes pasos:
Paso 1 Sea )(xgu = , donde )(xg es parte del integrando, que por lo
general es la función “interior” de la función compuesta
)).(( xgf
Paso 2 Se calcula dxxgdu )('= .
Paso 3 Se usa la sustitución )(xgu = y dxxgdu )('= para convertir
toda la integral en una que sólo utilice u .
Paso 4 Se evalúa la integral resultante.
Paso 5 Se reemplaza u con )(xg para obtener la solución final como
función de x .
Ejemplo:
Calcular ∫ −dx
x
x
3
22 .
Solución:
Paso 1 Se hace 32 −= xu .
Paso 2 Se calcula dxxgdu )('= , esto es dxxdu )2(= .
Paso 3 La nueva integral en función de u será ∫ u
du.
Paso 4 Se evalúa la nueva integral, esto es Cuu
du +=∫ ln .
Cálculo 105
Paso 5 Se reemplaza u por la función inicial 3)( 2 −= xxg , obteniendo
Cxdxx
x +−=−∫ 3ln
3
2 22 .
Ejemplo:
Evaluar dxxx∫ + 32 )4(2 .
Solución:
Paso 1 Se define 42 += xu .
Paso 2 Se calcula dxxdu )2(= .
Paso 3 Sustituyendo en la integral la nueva variable y ordenando el
integrado, Se obtiene
∫ ∫∫ =+=+ duuxdxxdxxx 33232 )2()4()4(2
Paso 4 Se evalúa la nueva integral, ∫ += Cuduu 43
4
1.
Paso 5 Se reemplaza por la función inicial, obteniendo
Cxdxxx ++=+∫ 4232 )4(4
1)4(2 .
5.3.2. Integración por partes
Este método se utiliza para evaluar algunas integrales cuyo integrando es un
producto de funciones y no es posible resolverse por el método de
integración por sustitución.
Cálculo 106
La integración por partes está basada en la propiedad de derivación del
producto de dos funciones.
La derivada de la función )().()( xvxuxf = es:
[ ] )(').()().('')().( xvxuxvxuxvxu +=
y calculando la integral de los dos miembros se tiene:
[ ] dxxvxudxxvxudxxvxu )(').()().('')().( ∫∫∫ +=
Es decir,
dxxvxudxxvxuxvxu )(').()().(')().( ∫∫ +=
De donde:
∫∫ −= dxxvxuxvxudxxvxu )().(')().()(').(
Si )(xuu = y )(xvv = , entonces dxxudu )('= y dxxvdv )('= , entonces la
expresión que se utiliza para la integración por partes es
Ejemplo:
Calcular ∫ dxx x
Solución:
Si se denomina xu = y dxdv x= , entonces dxdu = y xv = .
Cálculo 107
∫ ∫−= duvvudvu ...
Luego, la integral ∫∫ = dvudxx x . .
Aplicando la integración por partes, se obtiene
∫ ∫−= duvvudvu ...
∫∫ −= dxxdxx xxx
Cx xx +−=
Donde:
Cxdxx xx +−=∫ )1(
Ejemplo:
Calcular ∫ xdxln
Solución:
Determinando xu ln= y dxdv = , entonces dxx
du1= y xv = .
Luego, la integral ∫∫ = dvuxdx .ln .
Aplicando la integración por partes, se obtiene
Cálculo 108
∫ ∫−= duvvudvu ...
∫∫ −=x
dxxxxxdx ..lnln
Cxxxdxxx +−=−= ∫ lnln
Donde:
∫ +−=+−= CxxCxxxxdx )1(lnlnln
Cálculo 109
6. INTEGRAL DEFINIDA
OBJETIVOS
1. Calcular áreas bajo curvas a partir de la integral definida.
Cálculo 110
2. Aplicar e interpretar el teorema fundamental del cálculo.
3. Resolver problemas de administración y economía a partir de
la integral definida.
6.1. Áreas bajo curvas
Cálculo 111
Cuando la función f tiene una forma que corresponde a una figura
conocida, tal como una recta, una semicircunferencia, entre otras, el cálculo
del área limitada por la gráfica de f , el eje X y las rectas verticales ax = y
bx = es sencillo. Así es fácil calcular el área sombreada en la gráfica 1.
Gráfica 1
Definición
Dada una función continua f integrable, el área de la porción de plano
limitada por la gráfica de la función f , el eje X y las rectas ax = y bx = , se
denomina integral definida entre a y b de )(xf , se designa por
∫b
adxxf )( y se denota por
Cálculo 112
[ ]∫ −==b
a
ba aFbFxFdxxf )()()()(
Esto es, “La integral definida de )(xf de ax = a bx = es )(xF evaluada
en b menos )(xF evaluada en a ”.
Los números a y b se denominan límites de integración: a es el límite
inferior y b el límite superior.
La notación de paréntesis que aparece en medio significa que la función
debe evaluarse en los dos límites.
Al evaluar la integral definida se omite la constante de integración de la
antiderivada de )(xf , porque esta constante se cancela en la solución final,
esto es
[ ] [ ] [ ]∫ −=+−+=+=b
a
ba aFbFCaFCbFCxFdxxf )()()()()()(
Ejemplo:
Calcular ∫4
2
3dxx
Solución:
Aplicando la definición de la integral definida, se debe hallar la antiderivada
de la función y evaluarla en los límites establecidos, esto es
604644
2
4
4
4
444
2
44
2
3 =−=−=
=∫
xdxx
Ejemplo:
Evaluar ∫−1
12xdx
Cálculo 113
Solución:
Aplicando la definición se tiene
[ ] 819)1()3(2 223
1231
1=−=−−== −−∫ xxdx
6.2. Propiedades de la integral definida
Todas la reglas de la integral indefinida se aplican a la integral definida; sin
embargo, la definición que se ha dado para la integral definida permite
enunciar algunas propiedades adicionales; entre ellas están:
Propiedad 1. “Si el límite superior de la integral es igual al límite inferior,
entonces el valor de la integral es igual a cero”. Es decir, la base del espacio
geométrico es nulo, por tanto el área cubierta es cero, como lo muestra la
gráfica 2.
Cálculo 114
∫ =a
adxxf 0)(
Gráfica 2
Ejemplo: Evaluar ∫2
28xdx
Solución:
Aplicando la propiedad 1, la integral tiene los límites superior e inferior
iguales, por tanto,
082
2=∫ xdx
Propiedad 2. “Para todo valor de x que pertenezca a un intervalo cerrado
[ ]ba, y )(xf es positivo, entonces, el valor de la integral al evaluarla en los
Cálculo 115
límites del intervalo será positivo”. Esto significa que el área calculada está
en la parte superior del eje horizontal, la cual corresponde a valores positivos
del eje Y, como se ilustra en la gráfica 3.
Gráfica 3
Ejemplo:
Evaluar ∫4
2
23 dxx
Solución:
Aplicando la propiedad 2, se encuentra que para cualquier valor para x entre
2 y 4 la función es positiva, luego
372764)3()4(3
333 33
4
2
34
2
24
2
2 =−=−=
== ∫∫
xdxxdxx
Cálculo 116
[ ] 0)(, >∧∈∀ xfbax , entonces ∫ >b
adxxf 0)(
Propiedad 3. “Para todo valor de x que pertenezca a un intervalo cerrado
[ ]ba, y )(xf es negativo, entonces, el valor de la integral al evaluarla en los
límites del intervalo será negativo”. Esto significa que el área calculada está
en la parte inferior del eje horizontal, la cual corresponde a valores negativos
del eje Y, como se ilustra en la gráfica 4.
Gráfica 4
Ejemplo: Cálculo 117
[ ] 0)(, <∧∈∀ xfbax , entonces ∫ <b
adxxf 0)(
Evaluar ∫ −2
1
2 )5( dxx
Solución:
Aplicando la propiedad 3 se tiene
2
1
32
1
2 53
)5(
−=−∫ x
xdxx
=
−−
−=
−−
−= 5
3
110
3
8)1(5
3
1)2(5
3
2 33
3
8
3
14
3
22 −=+−=
Propiedad 4. “Si una función es integrable en un intervalo que contenga los
puntos a, b y c, tal que c esté entre a y b, entonces la función puede ser
integrada entre los puntos a y b y sumarle la integración entre los puntos b y
c”.
Esta propiedad permite el fraccionamiento del área en varias porciones,
como lo ilustra la gráfica 5.
Gráfica 5
Cálculo 118
Ejemplo:
Evaluar ∫5
1
22 dxx
Solución:
Aplicando la propiedad 4 es posible fraccionar los límites, obteniendo
∫ ∫∫ +=3
1
5
3
225
1
2 222 dxxdxxdxx
∫ ∫+=3
1
5
3
22 22 dxxdxx
5
3
33
1
3
32
32
+
= xx
−+
−=
3
3
3
52
3
1
3
32
3333
+
=
3
982
3
262
3
248
3
196
3
52 =+=
Cálculo 119
Sean los puntos cba ,, , tal que cba << , pertenecientes a un intervalo
en el cual la función )(xf es integrable, entonces
∫ ∫∫ +=b
a
c
b
c
adxxfdxxfdxxf )()()(
6.3. Teorema fundamental del cálculo
En lo que se lleva estudiado del cálculo, se han considerado separadamente
los procesos de la derivada de una función y el cálculo de la integral definida.
Si se juntan estos dos conceptos, se puede establecer la relación existente y
se logra evaluar las integrales definidas de forma más ágil.
Suponiendo que la función )(xf es continua en el intervalo [ ]ba, y que su
función integral ∫=x
adttfxF )()( , surge el interrogante si se cumple
siempre que )()(' xfxF = ?
A partir de las gráficas 6 y 7 se analiza que esta relación siempre se cumple.
Gráfica 6
Cálculo 120
Gráfica 7
Observando la gráfica 7 es posible ver que la expresión )()( xFhxF −+
corresponde al área del rectángulo sombreado, cuya base es h y la altura
es )(xf .
Luego )(.)()( xfhxFhxF ≈−+ ,
Donde )()()(
xfh
xFhxF ≈−+
La altura se acerca al valor de )(xf cuando la base h del rectángulo
sombreado tiende a cero. Es decir,
)()()(
lím0
xfh
xFhxFh
=−+→
Por definición de la derivada h
xFhxFxF
h
)()(lím)('
0
−+=→
, se tiene que
)()(' xfxF =
Cálculo 121
Esta ilustración es planteada en la primera parte del Teorema Fundamental
del Cálculo, el cual establece:
Basándose en el planteamiento anterior, el Teorema Fundamental del
Cálculo infinitesimal establece la siguiente definición:
Ejemplo:
Encontrar ∫− +−3
1
2 )63( dxxx
Solución:
Cálculo 122
Si )(xf es continua en [ ]ba, , entonces la función )(xF definida por
bxadttfxFx
a≤≤= ∫ ,)()(
es continua en [ ]ba, y diferenciable en ),( ba y
[ ]baxxfxF ,),()(' ∈∀=
Si )(xf es una función continua en [ ]ba, y )(xF la función
integral de )(xf , entonces
∫ −==b
a
b
aaFbFxFdxxf )()()()(
La antiderivada de 63 2 +− xx es xx
x 62
23 +−
Luego,3
1
233
1
2 62
)63(−
−
+−=+−∫ x
xxdxxx
−+−−−−
+−= )1(6
2
)1()1()3(6
2
33
23
23
482
15
2
81 =
−−
=
6.4. Aplicaciones de la integral definida
Las integrales tienen gran aplicación en la Administración y la Economía. A
continuación se describen algunas de ellas que han sido tomadas del texto
Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía, cuyos autores
son Arya y Lardner (pág. 677).
6.4.1. Coeficientes de desigualdad para distribuciones de ingreso
Sea y la proporción del ingreso total de cierta población que se recibe por la
proporción x de captadores de ingresos cuyo ingreso es mínimo. Por
ejemplo, supóngase que cuando 21=x entonces
41=y . Esto significa que al
50% de la población que recibe el ingreso más bajo corresponde el 25% del
ingreso total. O si 7.0=y cuando 9.0=x , entonces el 90% de la población
con los ingresos más bajos recibiría el 70% del ingreso total. En general,
dado que x y y son fracciones de un todo, están entre 0 y 1 (incluyéndolos
a ellos) y y es una función de x , esto es, )(xfy = .
Cálculo 123
Suponiendo que no hay personas que reciban un ingreso cero, de modo que
0)0( =f . Más aún, todo el ingreso es recibido por el 100% de los
captadores de ingresos, y así 1)1( =f . La gráfica de la función )(xf que
describe la distribución de ingreso real se denomina una curva de Lorentz.
En la gráfica 8 se ilustra una curva de Lorentz dada por la ecuación
xxy 1612
1615 +=
Cuando 2.0=x , se tiene
05.0)2.0()2.0( 1612
1615 =+=y
Esto significa que el 20% de las personas con los ingresos más bajos sólo
reciben el 5% del ingreso total. De manera similar, si 5.0=x , se obtiene,
2656.0)5.0()5.0( 1612
1615 =+=y
Esto es, que el 50% de las personas sólo recibe 26.56% del ingreso total.
La equidad perfecta de la distribución de ingreso está representada por la
línea xy = . Por ejemplo, de acuerdo con esto, el 10% de las personas
recibe el 10% del ingreso total, 20% de las personas recibe el 20% del
ingreso total, etc. La desviación de la distribución de ingreso real de la
equidad perfecta se mide por el grado en que la curva de Lorentz real se
aparta de la línea recta xy = . Si la curva de Lorentz está cerca de la línea
recta, el ingreso estará distribuido casi de manera uniforme, mientras que
Cálculo 124
una gran desviación de la línea indica una considerable desigualdad en la
distribución. Se define el coeficiente de desigualdad de la curva de
Lorentz como desigualdad.
xylínealabajoÁrea
xylínealaycurvalaentreÁreaL
===
Gráfica 8
Ahora bien, el área bajo la línea xy = corresponde a un triángulo rectángulo,
la cual está determinada por:
21
(base) X (altura) = 21
.1.1 = 21
Cálculo 125
En consecuencia, el coeficiente de desigualdad de una curva de Lorentz está
determinado por:
Donde )(xfy = es la ecuación de la curva de Lorentz.
Para el ejemplo anterior, el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz
dada por xxy 1612
1615 += es:
( )[ ]∫ +−=1
0 1612
16152 dxxxxL
( )∫ −=1
0
21615
16152 dxxx
( )1
0
321
0
2
328
15
16
15.2
−=−= ∫
xxdxxx
16
15
6
1.
8
1500
3
1
2
1
8
15 ==
+−−=
El coeficiente de desigualdad siempre está entre 0 y 1. Cuando el
coeficiente es 0, el ingreso está distribuido de manera uniforme perfecta;
entre más se acerca a 1, mayor será la desigualdad en la distribución del
ingreso.
Cálculo 126
L = 2(Área entre la curva de Lorentz y la línea xy =
[ ]dxxfx∫ −=1
0)(2
6.4.2. Curvas de aprendizaje
En producción industrial, la administración a menudo debe estimar el número
total de horas-hombre que requerirá a fin de producir un número
determinado de unidades de su producto. Para la predicción de este número
de horas se utiliza la curva de aprendizaje.
Se establece que una persona tiende a requerir menos tiempo en la
ejecución de una actividad si ya la ha realizado con anterioridad un número
de veces. Es decir, entre más repita una persona una actividad, será más
eficiente y empleará menos tiempo al realizarla de nuevo. Así, entre más
unidades se produzcan en una serie de producción, el tiempo de producir
cada unidad irá disminuyendo.
Sea )(xFT = el tiempo (por ejemplo, en horas-hombre) necesario en la
producción de las primeras x unidades. Un incremento x∆ en la
producción demanda un incremento T∆ en el tiempo, y la razón xT
∆∆ es
el tiempo promedio por unidad adicional producida cuando el número de
unidades producidas cambia de x a xx ∆+ . En el límite cuando 0→∆x ,
esta razón se aproxima a la derivada )(' xFdx
dT = , que es el tiempo
requerido por unidad adicional cuando ocurre un pequeño incremento en la
producción. Al igual que las otras tasas marginales, esta cantidad es casi
igual al tiempo requerido en la producción de la unidad siguiente; esto es, la
unidad número )1( +x .
Cálculo 127
Si se hace )()(' xfxF = , la función que por lo general se utiliza es de la
forma baxxf =)(
Donde a y b son constantes con 0>a y 01 <≤− b . La elección de bax
con 01 <≤− b asegura que el tiempo requerido por unidad disminuye a
medida que se producen más y más unidades. La gráfica 9 corresponde a la
función )(xf y se denomina una curva de aprendizaje. En la práctica, las
constantes a y b se determinan con base en series de producción
preliminar o por experiencias con productos similares.
Gráfica 9
Bajo la condición de que el mejoramiento en la eficiencia o aprendizaje sea
regular, la curva de aprendizaje puede ser utilizada en la predicción del
número total de horas-hombre requeridas en niveles de producción futuros.
El número total de horas-hombre T∆ requeridas a fin de producir unidades
numeradas 1+c hasta d está dado por:
T∆ = (horas-trabajo para unidades producidas d )
-(horas-trabajo para producir las primeras c de ellas)
)()( cFdF −= .Cálculo 128
Esto es,
Ejemplo:
Después de producir 1.000 televisores, una empresa determina que su
planta de ensamblado está siguiendo una curva de aprendizaje de la forma
152.020)( −= xxf
Donde )(xf es el número de horas-hombre requeridos para ensamblar el
televisor número )1( +x . Estimar el número total de horas-hombre
requeridas en el ensamblado de 4.000 televisores adicionales.
Solución:
El número total de horas-hombre requeridas en el ensamblado de 4.000
televisores adicionales después de los primeros 1.000 está dado por:
∫ ∫
+−
===∆+−
−5000
1000
5000
1000
5000
1000
1152.0152.0
1152.0.2020)(
xdxxdxxfT
[ ] ( ) 056.24350137059,2310005000848.0
20 848.0848.0 =−=−=
Cálculo 129
∫ ∫==∆d
c
d
c
bdxaxdxxfT )(
En consecuencia, el número de horas-hombre requeridas para ensamblar los
4.000 televisores adicionales es de 24.060
6.4.3. Maximización de la utilidad con respecto al tiempo
Muchas empresas dejan de ser rentables con el tiempo. En estos casos, la
tasa de ingreso )(' tR puede ser muy alta al inicio de la producción pero
puede decrecer a medida que transcurre el tiempo, debido al agotamiento de
algunos recursos, como es el caso de la explotación de minas o perforación
de pozos petroleros.
En tal situación, )(' tR se convierte en una función decreciente con respecto
al tiempo. Además, la tasa de costo )(' tC de producción es pequeña en un
principio pero con frecuencia se incrementa a medida que el tiempo
transcurre por el incremento en el mantenimiento u otros factores. Por ello,
la tasa de costo )(' tC a menudo es una función creciente con respecto al
tiempo. En estas producciones existe un tiempo en que los costos de
mantener la producción se hacen más altos que el ingreso, y la empresa
empieza a generar pérdidas. El administrador de dicha empresa afronta el
problema de seleccionar el tiempo en el cual tendrá la máxima utilidad para
cerrar la empresa.
Se utiliza la siguiente denotación:
)(tC : costo total hasta el tiempo t.
)(tR : ingreso total hasta el tiempo t.
)(tP : utilidad total hasta el tiempo t.
Todas ellas medidas desde el inicio de la producción.
Cálculo 130
Matemáticamente se tendrá que:
)()()( tCtRtP −= y así mismo )(')(')(' tCtRtP −=
La utilidad máxima total se tendrá cuando
0)(' =tP ó bien )(')(' tCtR =
En consecuencia, debe producirse hasta el tiempo 1t , en que
)(')(' 11 tCtR = ; Esto es, hasta el tiempo en el cual la tasa de ingreso y la
tasa de costo sean iguales, como lo ilustra la gráfica 10.
Gráfica 10
La utilidad total en el tiempo 1t está dada por:
[ ]∫ ∫ −== 1 1
0 01 )(')(')(')(t t
dttCtRdttPtP
Cálculo 131
Ésta será la máxima utilidad que puede obtenerse y puede interpretarse
como el área de la región acotada por las gráficas de )(' tR y )(' tC situada
entre 0=t y 1tt = .
Observación. Puesto que 0=t es el tiempo en que la empresa inicia la
producción, el ingreso total )0(R en ese tiempo es cero. En el análisis
anterior se supuso que el costo total )0(C era cero, lo cual no es cierto
porque incurrieron costos fijos antes de iniciar la producción. De tal forma
que, en la práctica, se deben restar los costos fijos de la expresión de )( 1tP
para obtener la utilidad máxima real.
Ejemplo:
Las tasas de costo e ingreso de una empresa dedicada a la explotación
minera están dadas por:
32
25)(' ttC += y 32
17)(' ttR −=
Donde C y R se miden en millones de pesos y t en años.
Determinar qué tanto deberá prolongarse la explotación y encontrar la
utilidad total que puede obtenerse durante este período.
Solución:
El tiempo óptimo 1t que dará como resultado la utilidad máxima es el tiempo
en que las tasas de costo y de ingreso son iguales. Es decir,
)(')(' tRtC =Cálculo 132
32
32
1725 tt −=+ 125173 3
2 =−=t
432 =t
84 23 ==t
En consecuencia, la explotación debe mantenerse por un tiempo 81 =t años.
La utilidad que puede obtenerse durante este período de 8 años está dada
por:
[ ]∫ −=8
0)(')(' dttCtRP
[ ]∫ +−−=8
0)25(17 3
23
2
dttt
∫
−=−=
8
0
8
035
35
32
312)312(t
tdtt
2.38)32(96 59 =−=
Finalmente, la utilidad que puede obtener durante ocho años será de $ 38.2
millones de pesos.
6.4.4. Valor presente de un ingreso continuo
En muchas empresas se presentan situaciones en las que el ingreso está
repartido a lo largo de un número de años futuros, y en la mayoría de las
ocasiones es necesario calcular el valor presente de este ingreso; es decir,
Cálculo 133
esos valores futuros traerlos a valores de hoy. El valor presente toma valor
cuando la empresa tiene que elegir entre tasas alternativas para explorar sus
recursos.
Como en estos casos el ingreso se obtiene continuamente sobre un período,
es necesario utilizar descuentos ( o tasas de descuento) continuos para
calcular el valor presente. De acuerdo con este método, el valor presente de
un ingreso I obtenido en t años futuros es rtIe− , donde 100Rr = y R es
la tasa de interés nominal (cuando el interés es capitalizado varias veces al
año).
Si )(tf es la tasa de utilidad en el tiempo t , entonces el valor presente de
la utilidad total obtenida entre 0=t y Tt = está dada por:
Otra aplicación de este tema es el caso de una anualidad que se paga sobre
un período desde 0=t hasta Tt = . Si la anualidad se paga
frecuentemente, se puede ver aproximadamente como si se pagara de forma
continua. El valor presente de la anualidad está dado por la expresión
anterior, donde )(tf es la tasa de la anualidad, en pesos por año.
Ejemplo:
Una compañía minera debe decidir entre dos estrategias para explotar sus
recursos. Invirtiendo $ 10 millones en maquinaria será capaz de producir Cálculo 134
una utilidad neta de $ 3 millones anuales, de manera que el recurso durará
10 años. Alternativamente, la compañía puede invertir $ 15 millones en una
maquinaria de mejor calidad, para obtener una utilidad neta de $ 5 millones
al año, por un periodo de 7 años. Suponiendo una tasa de descuento
nominal de 10%, ¿cuál estrategia deberá utilizar la compañía?
Solución:
La primera estrategia tiene una razón de utilidad de 3)( =tf , así que su valor
presente es ( 10,1.0 == Tr )
∫ −= −10
0
1.01 103 dteP t
[ ] 103010
01.0 −−= − te
964.810)1(30 1 =−−= −e
Obsérvese que para obtener el valor presente se le debe restar la inversión
inicial ($10 millones) al valor presente de la utilidad.
Luego, el valor presente de la utilidad para la primera estrategia es de $8.964
millones.
Similarmente, el valor de la segunda estrategia es:
171.1015)1(50155 7.07
0
1.02 =−−=−= −−∫ edteP t
El valor presente de la utilidad para la segunda estrategia es de $ 10.171
millones.
Cálculo 135
En consecuencia, la segunda estrategia es más recomendable que la
primera, debido a que la supera en $1.2 millones.
6.4.5. Superávit del consumidor y del productor
Sea )(xfp = la curva de demanda de cierto artículo y )(xgp = la curva de
la oferta del mismo artículo. Aquí x denota la cantidad del artículo que
puede venderse o suministrarse a un precio p por unidad. En general, la
función de demanda )(xf es una función decreciente, indicando que los
consumidores dejarán de comprar si el precio se incrementa. Por otro lado,
la función de oferta )(xg por lo regular es una función creciente, porque los
productores con todo gusto proveerán más si consiguen precios más altos.
El equilibrio del mercado ),( 00 px es el punto de intersección de las curvas
de demanda y de oferta, como lo ilustra la gráfica 11.
Gráfica 11
Cálculo 136
A partir de la gráfica de la curva de demanda, es claro que a medida que el
precio se incrementa, la demanda decrece. Esto implica que hay algunos
consumidores que estarían dispuestos a comprar el artículo a un precio más
alto que el precio en el equilibrio del mercado 0p que en realidad deberían
pagar. Por tanto, estos consumidores ahorran dinero como resultado de la
operación del mercado de libre competencia.
Considérese la cantidad x∆ de unidades entre 1x y xx ∆+1 . El área xp ∆1
del rectángulo ABCD de la figura anterior puede interpretarse como la
cantidad total de dinero que los consumidores pagarían por estas x∆
unidades si el precio fuera )( 11 xfp = por unidad. En el precio de equilibrio
del mercado 0p , la cantidad real gastada por los consumidores en estas x∆
unidades es xp ∆0 . En otras palabras, los consumidores ahorran una
cantidad igual a [ ] xpxfxpxp ∆−=∆−∆ 0101 )( en estas unidades. Este ahorro
es igual al área del rectángulo sombreado ABEF de la gráfica 11.
Si se divide el rango de 0=x a 0xx = en un gran número de intervalos de
longitud x∆ , se obtiene un resultado similar en cada intervalo: los ahorros
de los consumidores son iguales al área de un rectángulo como ABEF
situado entre la curva de demanda y la línea horizontal 0pp = . Sumando
todos estos ahorros entre 0=x y 0xx = , se obtiene el monto total (o ahorro)
de los consumidores, el cual se conoce como el superávit de los
consumidores (SC) y está dado por el área entre la curva de demanda
)(xfp = y la línea horizontal 0pp = , como se ilustra en la gráfica 12.
Cálculo 137
Gráfica 12
El superávit de los consumidores está representado por la integral definida
De manera similar, en un mercado de libre competencia existen también
productores que estarían dispuestos a vender el artículo a un precio menor
que el de equilibrio del mercado 0p que los consumidores en realidad
pagan. En tal situación, los productores también se benefician; este
beneficio de los productores se denomina el superávit de los productores
(SP).
Cálculo 138
SC = [ ]∫ ∫ −=−0 0
0 0 000 )()(x x
xpdxxfdxpxf
Usando un razonamiento similar al que se acaba de exponer, se puede
comprobar que la ganancia total de los productores o superávit de los
productores (SP) está dado por el área entre la curva de oferta y la recta
horizontal 0pp = , como se ilustra en la gráfica 12.
Esto es:
Donde )(xgp = es la relación de la oferta.
Ejemplo:
Las funciones de oferta y demanda de cierto producto están dadas por
xxgp 252)( +== y 2100)( xxfp −== , respectivamente.
Determinar el superávit del consumidor y del productor, suponiendo que se
ha establecido el equilibrio del mercado.
Solución:
Cálculo 139
SP = [ ]∫ ∫−=−0 0
0 0000 )()(x x
dxxgxpdxxgp
El punto de equilibrio ),( 00 px se obtiene resolviendo las ecuaciones de
oferta y demanda simultáneamente para x y p . Igualando las dos
expresiones de p de las ecuaciones de oferta y demanda, se tiene:
2100252 xx −=+
04822 =−+ xx
0)8)(6( =+− xx
Donde 6=x ó 8−=x . Dado que el valor negativo de x es inadmisible, se
toma 6=x . Sustituyendo este valor en la ecuación de oferta, se obtiene que
641252 =+=p . Por consiguiente, se tienen los valores de equilibrio 60 =x y
640 =p . El superávit del consumidor está dado ahora por:
SC = [ ]∫ −0
0 0)(x
dxpxf
[ ]∫ −−=6
0
2 64)100( dxx
1443
216216
336
6
0
3
=−=
−= x
x
Y el superávit de los productores es:
SP = [ ]∫ −0
0 0 )(x
dxxgp
[ ]∫ +−=6
0)252(64 dxx
[ ] 363672126
02 =−=−= xx
Cálculo 140
Cálculo 141
7. CÁLCULO MULTIVARIABLE
El cálculo multivariable es abordado a partir del análisis realizado en las
funciones de varias variables, derivadas parciales, optimización de funciones
de varias variables y la aplicación de éstas a la Economía por medio de los
multiplicadores de Lagrange.
OBJETIVOS
Cálculo 142
1. Reconocer las funciones de varias variables.
2. Calcular las derivadas parciales de una función de varias
variables.
3. Optimizar una función de varias variables.
4. Calcular valores extremos de una función de varias
variables utilizando multiplicadores de Lagrange.
7.1. Funciones de varias variables
Hasta el momento, el estudio del cálculo se ha restringido a funciones de una
variable; es decir, una variable dependiente )(y en función de una variable
independiente )(x . Pero, en muchas situaciones prácticas, la formulación
de un problema da como resultado un modelo matemático que comprende
una función de dos o más variables independientes. Por ejemplo, supóngase
que una empresa de productos manufactureros determina que las ganancias
por tres tipos de productos son $600, $500 y $400. Sean x , y y z la
cantidad de productos de tipo A, B y C que fabrica la empresa; entonces, las
ganancias están determinadas por:
Cálculo 143
zyxP 400500600 ++=
y P es una función de tres variables x , y y z .
Funciones de dos variables
Aunque este componente se refiere a las funciones de varias variables, la
mayoría de las definiciones y resultados se enuncian en términos de una
función de dos variables. Una razón para adoptar este punto de vista es que
existe una interpretación geométrica especial, en la cual intervienen varias
dimensiones del espacio. En consecuencia, la experiencia obtenida al
estudiar el caso de dos variables puede ayudar a comprender los conceptos
y resultados relacionados de forma general.
Una función real de dos variables f consta de los siguientes elementos:
Cálculo 144
1. Un conjunto A de pares ordenados de números reales ),( yx ,
llamado dominio de la función.
2. Una regla que relaciona con cada par ordenado en el dominio de f
uno y sólo un número real, denominado ),( yxfz = .
Las variables x y y se denominan variables independientes, y la variable z, que depende de los valores de x y y , se conoce como variable
dependiente.
Al igual que en el caso de una función de una variable real, el número
),( yxfz = es el valor de f en el punto ),( yx . Y a menos que se indique lo
contrario, el dominio de la función f será el mayor conjunto posible para el
cual tiene sentido la regla que define a f .
Ejemplo:
Sea f la función definida por 2),( 2 +++= yxyxyxf .
Calcular )0,0(f , )2,1(f y )1,2(f .
Solución:
220)0)(0(0)0,0( 2 =+++=f
922)2)(1(1)2,1( 2 =+++=f
721)1)(2(2)1,2( 2 =+++=f
Definición
Cálculo 145
El dominio de una función de dos variables ),( yxf es un conjunto de
pares ordenados de números reales, por lo que puede considerarse
como un subconjunto del plano xy .
Ejemplo:
Hallar el dominio de la función 22),( yxyxf += .
Solución:
),( yxf está definida para todos los valores reales de x y y , de modo que
el dominio de la función de f es el conjunto de todos los puntos ),( yx en el
plano xy .
Ejemplo:
Hallar el dominio de la función yxyxg
−= 2
),( .
Solución:
),( yxg está definida para toda yx ≠ (debido a que el denominador debe
ser diferente de cero), de tal manera que el dominio de la función g es el
conjunto de todos los puntos ),( yx en el plano xy , excepto los que están
en la recta xy = , como lo ilustra la gráfica 13.
Ejemplo: Hallar el dominio de la función 221),( yxyxh −−= .
Solución:
Para hallar el dominio de la función, se requiere que 221 yx −− sea positivo.
Esto es:Cálculo 146
01 22 ≥−− yx
221 yx +≥
122 ≤+ yx
Que es el conjunto de todos los puntos ),( yx que están sobre y dentro del
círculo de radio 1, con centro en el origen, como lo muestra la gráfica 14.
Gráfica 13
Cálculo 147
Gráfica 14
Gráfica de funciones de dos variables
Para graficar una función de dos variables, se necesita un sistema de
coordenadas de tres dimensiones. Esto se constituye añadiendo un tercer
eje al sistema de coordenadas cartesianas en el plano, de modo que los tres
ejes resultantes sean perpendiculares entre sí y se intersequen en O.
Obsérvese que, por construcción, los ceros de las tres escalas numéricas
coinciden en el origen del sistema de coordenadas cartesianas de tercera
dimensión.
De esta forma, se puede representar un punto del espacio tridimensional de
manera única en este sistema de coordenadas mediante una tercia ordenada
de números ),,( zyx y recíprocamente, toda tercia ordenada de números
reales ),,( zyx representa un punto del espacio tridimensional.
Ejemplo:
(1,-2,-2), C(2,4,0).
Solución:
La ubicación de los puntos sobre el plano cartesiano se observa en la gráfica
15.
Cálculo 148
Gráfica 15
7.2. Derivadas parciales
Al abordar la derivada de funciones de varias variables, Arya y Lardner, en el
texto Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía, plantean
que no sólo interesa la parte mecánica de la diferenciación, sino también la
interpretación y aplicación de las derivadas resultantes.
Sea ),( yxfz = una función de dos variables independientes. Si la variable
y se mantiene fija en el valor 0yy = , entonces la relación ),( 0yxfz =
expresa a z como una función de la variable x . Esta función tendrá como
gráfica una curva en el plano xz , la cual en realidad es la sección vertical de
la gráfica ),( yxfz = definida por el plano 0yy = .
Cálculo 149
La gráfica 16 muestra una sección típica ),( 0yxfz = . En un punto general
de esta curva se puede construir la recta tangente y su pendiente puede
calcularse derivando a z respecto a x a partir de la relación ),( 0yxfz = .
Esta derivada se calcula mediante un límite de la siguiente manera:
x
yxfyxxfyxf
dx
dx ∆
−∆+=→∆
),(),(lím),( 00
00
Se denomina la derivada parcial de z con respecto a x . Por lo general, se
denota por xz∂
∂ ó xf .
Definición
Esto es, la derivada parcial de z con respecto a x se obtiene derivando la
variable x y manteniendo constante la variable y .
Análogamente, la derivada parcial de z con respecto de y se denota por
yz∂
∂ ó yf .
Cálculo 150
Sea ),( yxfz = una función de x y y . Entonces la derivada parcial
de z con respecto a x se define por:
x
yxfyxxff
dx
dzx
x ∆−∆+==
→∆
),(),(lím
0
Definición
Esto es, la derivada parcial de z con respecto a y se obtiene derivando la
variable y y manteniendo constante la variable x .
Las derivadas parciales pueden calcularse usando las mismas propiedades
(o teoremas) utilizadas en la evaluación de las derivadas de funciones
ordinarias, es decir, de una variable independiente y otra dependiente. Sólo
se debe recordar que al derivar parcialmente la función con respecto a una
variable, se debe mantener constante el resto de variables independientes.
Cálculo 151
Sea ),( yxfz = una función de x y y . Entonces la derivada parcial
de z con respecto a y se define por:
y
yxfyyxff
dy
dzy
y ∆−∆+==
→∆
),(),(lím
0
Gráfica 16
Ejemplo:
Calcular las derivadas parciales xf y yf de la función
323 25),( yxyxyxfz ++== .
Solución:
Para hallar la derivada parcial de z con respecto de x se mantiene
constante la variable y . Esto es:
2222 530)1(5)(3 yxyxf x +=++=Cálculo 152
Para hallar la derivada parcial de z con respecto de y se mantiene
constante la variable x . Esto es:
22 610)3(2)2(50 yxyyyxf y +=++=
Ejemplo:
Calcular las derivadas parciales xf y yf de la función 22),( yxyxfz +==
Solución:
Para derivar funciones que presentan variables con radicales, se recomienda
llevar estos radicales de las variables a potencias, en consecuencia,
21
)(),( 2222 yxyxyxfz +=+==
Para hallar la derivada parcial de z con respecto de x se mantiene
constante la variable y . Esto es:
21
)( 22 yxxx
z +∂∂=
∂∂
)()(2
1 2222 21
yxx
yx +∂∂+= −
)02()(2
12
122 ++= −xyx
22
22 21
)(yx
xyxx
+=+= −
Cálculo 153
Para hallar la derivada parcial de z con respecto de y se mantiene
constante la variable x . Esto es:
21
)( 22 yxyy
z +∂∂=
∂∂
)()(2
1 2222 21
yxy
yx +∂∂+= −
)20()(2
12
122 yyx ++= −
22
22 21
)(yx
yyxy
+=+= −
Ejemplo:
Calcular las derivadas parciales xf y yf de la función x
yxyxfz
ln
)(),(
22 +==
Solución:
Para calcular la derivada parcial xf se utiliza la fórmula de la derivada de un
cociente, obteniendo:
2
2222
)(ln
)(ln)()()(ln
x
xx
yxyxx
x
x
zf x
∂∂+−+
∂∂
=∂∂=
2
22
)(ln
1)(2).(ln
xx
yxxx +−=
Cálculo 154
2
22
)(ln
)(2).(ln
xx
yxxxx +−
=
2
222
)(ln
)()(ln2
xx
yxxx +−=
Para calcular la derivada parcial yf no se requiere aplicar la fórmula del
cociente, dado que el denominador es sólo función de x , la cual es
constante. Esto es:
)(ln
1),( 22 yx
xyxfz +==
)(.ln
1 22 yxyxy
zf y +
∂∂=
∂∂=
x
yy
x ln
2)20(
ln
1 =+=
Derivadas parciales de segundo orden
La derivada parcial xf ó x
z
∂∂
es, en sí misma, una función de x y y ; por
tanto, se pueden calcular de nuevo sus derivadas parciales con respecto a
x y a y . Éstas se denominan derivas parciales de segundo orden de z , y
tienen la siguiente notación:
Cálculo 155
Segunda derivada parcial de z con respecto a x :
2
2
x
z
x
z
x ∂∂=
∂∂
∂∂
ó xxf
Esto es, derivar parcialmente la función z con respecto a x y luego
derivarla de nuevo con respecto a x .
Esto es, derivar parcialmente la función z con respecto a y y luego
derivarla de nuevo con respecto a y .
Las derivadas parciales mixtas de segundo orden son aquellas que se
obtienen derivando la función con respecto de x y luego con respecto de y
, o viceversa.
Cálculo 156
Segunda derivada parcial de z con respecto a y :
2
2
y
z
y
z
y ∂∂=
∂∂
∂∂
ó yyf
Las segundas derivadas parciales mixtas de z son:
xyfyx
z
y
z
x=
∂∂∂=
∂∂
∂∂ 2
ó yxfxy
z
x
z
y=
∂∂∂=
∂∂
∂∂ 2
Cuando las derivadas parciales mixtas son funciones continuas de x y y ,
éstas son iguales entre sí. Es decir,
yx
z
∂∂∂2
= xy
z
∂∂∂2
ó yxxy ff =
Ejemplo:
Calcular las segundas derivadas parciales de la función 43 yxz = .
Solución:
Para calcular las segundas derivadas parciales, se deben hallar las primeras
derivadas parciales, esto es:
423 yxf x = y 3333 44. yxyxf y ==
La segunda derivada parcial de z con respecto a x es: 44 62.3 xyxyfxx == .
La segunda derivada parcial de z con respecto a y es:
2323 123.4 yxyxf yy == .
Las segundas derivadas parciales mixtas de z son: 3232 124.3 yxyxf xy == y
3232 123.4 yxyxf yx == , lo cual comprueba que son iguales.
De forma similar, es posible calcular otras derivadas parciales de orden
superior, como son las de tercer nivel, cuarto nivel, quinto nivel, etc. Este
ejercicio no es abordado en este curso debido a que no es útil en las
aplicaciones de la Matemática a la Administración y a la Economía.Cálculo 157
7.3. Optimización de funciones de varias variables
En el cálculo diferencial se observó que uno de los usos más importantes y
de mayor aplicación a la Administración y a la Economía es la determinación
de los valores máximos y mínimos de una función. Esta importancia persiste
para las funciones de varias variables, en especial, para las funciones de dos
variables independientes.
Definición
La función ),( yxf tiene un máximo local en el punto ),( 00 yx si
),(),( 00 yxfyxf < para todos los puntos ),( yx lo suficientemente cercanos
a ),( 00 yx con excepción de ),( 00 yx mismo.
La función ),( yxf tiene un mínimo local en el punto ),( 00 yx si
),(),( 00 yxfyxf > para todos los puntos ),( yx lo suficientemente cercanos
a ),( 00 yx con excepción de ),( 00 yx mismo.
Al reemplazar el punto ),( 00 yx en la función ),( yxf , es decir ),( 00 yxf , se
obtiene el valor máximo local o mínimo local de la función ),( yxf . Con el
objeto de abreviar, suele referirse siempre a máximos y mínimos como
extremos.
Sea la función ),( yxfz = con un máximo local en ),( 00 yx . Construyendo la
sección vertical de la gráfica determinada por 0yy = , es decir, la sección a
Cálculo 158
través del punto máximo, se obtiene la ecuación ),( 0yxfz = , la cual puede
representarse por un gráfica en el plano xz ; puesto que la superficie
),( yxfz = presenta un máximo si 0xx = y 0yy = , esta sección debe tener
un máximo local en 0xx = , como lo ilustra la gráfica 17.
Gráfica 17
En consecuencia, la pendiente a esta sección, que está dada por la derivada
),( 0yxfx
zx=
∂∂
, debe ser cero si 0xx = .
En forma similar, se considera la sección correspondiente a 0xx = , que
consta de una curva en el plano yz con ecuación ),( 0 yxfz = . Esta curva
tiene un máximo cuando 0yy = , y así la pendiente ),( 0 yxfy
zy=
∂∂
debe ser
igual a cero si 0yy = , como lo ilustra la gráfica 18.
Cálculo 159
Gráfica 18
Definición
Esto es, un punto crítico es aquel que hace la primera derivada parcial de la
función ),( yxf con respecto a x y y igual a cero.
Ejemplo:
Hallar los puntos críticos de la función yxyxxyxf −++= 23),( .
Solución:
Cálculo 160
Un punto crítico de una función ),( yxfz = es un punto
),( 00 yx tal que 0),(),( 0000 == yxfyxf yx
Para hallar los puntos críticos se deben calcular las derivadas parciales xf y
yf e igualarlas a cero:
(1) 0123 2 =++= xyxfx
(2) 012 =−= xf y
De la ecuación (2) se tiene que:
012 =−x
0)1)(1( =+− xx
Donde 1=x ó 1−=x .
Reemplazando estos valores de 1=x y 1−=x en la ecuación (1), se
obtiene:
Para 1=x : 01)1(2)1(3 2 =++ y
22
31 −=−−=y
Para 1−=x : 01)1(2)1(3 2 =+−+− y
0123 =+− y
22
4
2
13 =−−=
−−−=y
Por tanto, la función tiene dos puntos críticos, los cuales son: (1,-2) y (-1,2).
Si ),( yxf tiene un máximo local en ),( 00 yx , entonces es necesario que la
sección determinada por 0yy = también deba tener un máximo local en
0xx = . Esto se garantiza, si 0),( 00 =yxf x y 0),( 00 <yxf xx , por la prueba de
la segunda derivada. De forma similar, si 0),( 00 =yxf y y 0),( 00 <yxf yy ,
Cálculo 161
entonces la sección de la gráfica, en la que 0xx = es constante, debe ser
cóncava hacia abajo y por tanto tiene un máximo local en ),( 00 yx .
Dado que las condiciones 0<xxf y 0<yyf en ),( 00 yx no son suficientes
para garantizar que la superficie misma tenga un máximo local en ),( 00 yx ,
es necesaria una condición extra con objeto de completar el criterio para
calcular máximos o mínimos. Esto se logra mediante el siguiente teorema:
Teorema
Cálculo 162
Sea ),( 00 yx un punto crítico de la función ),( yxf para la cual 0),(),( 0000 == yxfyxf yx . Sea [ ]2),(),(),(),( yxfyxfyxfyx xyyyxx −=∆ .
a) Si 0),( 00 >∆ yx y 0),( 00 <yxf xx y 0),( 00 <yxf yy , entonces ),( yxf tiene un máximo local en ),( 00 yx .
b) Si 0),( 00 >∆ yx y 0),( 00 >yxf xx y 0),( 00 >yxf yy , entonces ),( yxf tiene un mínimo local en ),( 00 yx .
c) Si 0),( 00 <∆ yx , entonces ),( yxf no es extremo local de ),( yxf , sino un punto silla.
d) Si 0),( 00 =∆ yx , entonces el teorema no puede aplicarse para
decidir sobre máximos y mínimos.
Ejemplo:
Hallar los valores extremos locales de la función
yxyxyxyxf 2222),( 22 −+++= .
Solución:
Inicialmente se deben hallar los puntos críticos:
(1) 0222 =++= yxf x
(2) 0242 =−+= yxf y
Resolviendo este par de ecuaciones simultáneas se tiene:
De la ecuación (1): xx
y −−=−−= 12
22 (3).
Reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (2) se obtiene:
02)1(42 =−−−+ xx
02442 =−−− xx
062 =−− x
32
6 −=−
=x
Reemplazando 3−=x en la ecuación (3) se obtiene:
2)3(11 =−−−=−−= xy .
Luego, el punto crítico es (-3,2).
Cálculo 163
Para aplicar el teorema de valores extremos se deben hallar las segundas
derivadas parciales, esto es:
2=xxf , 4=yyf y 2=xyf .
Por tanto,
[ ] 4482)4)(2(),(),(),(),( 22 =−=−=−=∆ yxfyxfyxfyx xyyyxx
En consecuencia,
0)2,3( >−∆ , 0)2,3( >−xxf y 0)2,3( >−yyf , por tanto (-3, 2) es un mínimo
local de la función. El valor mínimo local se calcula reemplazando
(-3, 2) en la función ),( yxf . Esto es:
5468129)2(2)3(2)2(2)2)(3(2)3()2,3( 22 −=−−+−=−−++−+−=−f
Ejemplo:
Los ingresos semanales totales (en millones de pesos) de una empresa
productora de sistemas de sonido están dados por:
yxxyyxyxR 2403004
1
8
3
4
1),( 22 ++−−= ,
Donde x denota el número de unidades ensambladas y y indica el número
de paquetes producidos y vendidos por semana. El costo total por semana
que se puede atribuir a la producción de estos sistemas es
5000140180),( ++= yxyxC millones de pesos. Determinar el número de
unidades ensambladas y de paquetes que la empresa debe producir cada
semana para maximizar la utilidad.Cálculo 164
Solución:
La utilidad semanal de la empresa está dada por:
),(),(),( yxCyxRyxP −=
( )50001401802403004
1
8
3
4
1 22 ++−
++−−= yxyxxyyx
50001001204
1
8
3
4
1 22 −++−−= yxxyyx
Para hallar el máximo de la función de utilidad ),( yxP , se deben calcular
los puntos críticos haciendo xP y yP igual a cero. Esto es:
(1) 01204
1
2
1 =+−−= yxPx
(2) 01004
1
4
3 =+−−= xyPy
Despejando y en la ecuación (1) se obtiene:
(3) 4802 +−= xy
Reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (2) se obtiene:
01004
1)4802(
4
3 =+−+−− xx
01004
1
4
1440
4
6 =+−− xx
Cálculo 165
04
40014406 =+−− xx
010405 =−x
2085
1040 ==x
Sustituyendo 208=x en la ecuación (3) se obtiene: 64480)208(2 =+−=y .
Por tanto, la función ),( yxP tiene como punto crítico (208, 64).
Para mostrar que este punto crítico es un máximo se requiere el cálculo de
las segundas derivadas parciales, esto es:
2
1−=xxP , 4
3−=yyP y 4
1−=xyP
De modo que,
[ ]16
5
16
1
8
3
4
1
4
3
2
1),(),(),(),(
22 =−=
−−
−
−=−=∆ yxPyxPyxPyx xyyyxx
Dado que 0>∆P , 0<xxP y 0<yyP , el punto (208, 64) es un máximo. Por lo
cual se concluye que la empresa maximiza la utilidad fabricando 208
unidades y 64 paquetes y la utilidad máxima será:
680.10000.5)64(100)208(120)64)(208(4
1)64(
8
3)208(
4
1)64,208( 22 =−++−−=P
millones de pesos.
7.4. Multiplicadores de Lagrange
Cálculo 166
En muchas ocasiones, en Administración y en Economía, se presentan
problemas en los cuales se requiere maximizar o minimizar una función que
está sujeta a alguna restricción de las variables que la conforman.
Un método para resolver este tipo de problemas es el propuesto por el
matemático francés J.L. Lagrange (1736 – 1813), el cual se conoce como el
método de multiplicadores de Lagrange. Suponiendo que se requiere
encontrar el valor extremo de la función ),,( zyxf sujeta a la restricción
0),,( =zyxg , entonces se construye una función auxiliar ),,,( λzyxF
definida por:
),,(),,(),,,( zyxgzyxfzyxF λλ −=
La nueva variable λ (lambda) se denomina multiplicador de Lagrange.
Según el método de multiplicadores de Lagrange, si ),,,( 0000 λzyx es un
punto crítico de ),,,( λzyxF , entonces ),,( 000 zyx es un punto crítico de la
función ),,( zyxf sujeta a la restricción 0),,( =zyxg , y recíprocamente.
Así, con el objeto de encontrar los puntos críticos de la función ),,( zyxf
sujeta a la restricción 0),,( =zyxg , se puede, en lugar de ello, hallar los
puntos críticos de la función auxiliar ),,,( λzyxF . Estos puntos críticos
están determinados por las siguientes condiciones:
0=−= xxx gfF λ
0=−= yyy gfF λ
0=−= zzz gfF λ
0=−= gFλ
La última ecuación es la restricción, la cual está dada por 0),,( =zyxg .
Cálculo 167
El método de multiplicadores de Lagrange no indica directamente si la
función ),,( zyxf tendrá un máximo, un mínimo o un punto silla en el punto
crítico, por lo cual es necesario verificar a través de las segundas derivadas
parciales si dicho punto corresponde a un extremo.
Ejemplo:
Una empresa desea construir un tanque rectangular con capacidad de 1.500
pies cúbicos de agua. La base y las paredes verticales deberán ser de
concreto y la tapa de acero. Si el costo del acero es el doble por unidad de
área que el del concreto, determinar las dimensiones del tanque que
minimizan el costo total de la construcción.
Solución:
Sean x , y y z el largo, el ancho y la altura del tanque (en pies),
respectivamente, como lo ilustra la figura 1.
Figura 1
Área de la base = Área de la tapa = xy
Área de la cuatro paredes = yzxzyzxzyzxz 22 +=+++ .
Cálculo 168
Si p es el costo del concreto por pie cuadrado, entonces el costo del acero
por pie cuadrado es p2 .
El costo de construir la base y las cuatro paredes en concreto a p pesos por
unidad de área es )22( yzxzxyp ++ .
El costo de construir la tapa con acero a p2 por unidad de área es pxy2 .
Por tanto, la función a minimizar es la del costo total de la construcción, la
cual es:
pxyyzxzxypCzyxf 2)22(),,( +++==
)223(),,( yzxzxypzyxf ++=
La restricción está determinada por el volumen del tanque, el cual debe
contener 1.500 pies cúbicos de agua. Esto es:
500.1=xyz
0500.1),,( =−= xyzzyxg
La función auxiliar está dada por:
),,(),,(),,,( zyxgzyxfzyxF λλ −=
)500.1()223( −−++= xyzyzxzxyp λ
Los puntos críticos de la función auxiliar están determinados por:
0)23( =−+= yzzypFx λ
0)23( =−+= xzzxpFy λ
0)22( =−+= xyyxpFz λ
Cálculo 169
0500.1 =+−= xyzFλ
Este sistema de ecuaciones se puede resolver por cualquier método. Para
efectos de simplificación, se expresan de la siguiente manera:
(1) yzyz
zy
p
2323 +=+=λ
(2) xzxz
zx
p
2323 +=+=λ
(3) yxxy
yx
p
2222 +=+=λ
(4) 0500.1 =+−xyz
Igualando las ecuaciones (1) y (2), se tiene:
xzyz
2323 +=+ ó bien xy
22 = ,
Donde yx = (5)
Igualando las ecuaciones (2) y (3), se tiene:
yxxz
2223 +=+ ó bien yz
23 = ,
Donde 2
3yz = (6)
Sustituyendo las ecuaciones (5) y (6) en la ecuación (4), se obtiene:
Cálculo 170
0500.12
3))(( =+
− y
yy
0500.12
3 3
=+− y
1000)3(
)2)(500.1(3 =−
−=y ,
Donde 10=y
Por tanto, en la ecuación (5): 10== yx
En la ecuación (6): 152
)10(3
2
3 === yz
Finalmente, el punto crítico de Cxyxf =),,( sujeto a la restricción
500.1=xyz está dado por 10=x , 10=y y 15=z .
Si se verifica por medio de las segundas derivadas parciales, se encuentra
que el punto crítico (10,10,15) sí es un mínimo; por consiguiente, el tanque
debe tener un largo de 10 pies, un ancho de 10 pies y una altura de 15 pies
para que los costos de construcción sean mínimos.
Ejemplo:
Empleando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una
empresa puede elaborar P unidades de su producto, con
31
32
50),( KLKLP = .
Le cuesta a la empresa $100 por cada unidad de mano de obra y $300 por
cada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de
$45.000 para propósitos de producción. Mediante el método de
multiplicadores de Lagrange, determine las unidades de mano de obra y de Cálculo 171
capital que la empresa debería utilizar con objeto de maximizar su
producción.
Solución:
La función a maximizar es 31
32
50),( KLKLP = y la restricción está
determinada por la inversión total para la producción, la cual es de $45.000,
por tanto,
000.45300100 =+ KL
0000.45300100),( =−+= KLKLg
La función auxiliar es:
)000.45300100(50),( 31
32 −+−= KLKLKLF λ
los puntos críticos son:
(1) 01003
250 3
13
1 =−
= − λKLFL
ó
01003
1003
13
1 =−= − λKLFL
(2) 03003
150 3
23
2 =−
= − λKLFK
Cálculo 172
ó
03003
503
23
2 =−= − λKLFK
(3) 0)000.45300100( =−+−= KLFλ
ó
0)000.45300100 =+−−= KLFλ
Despejando λde la ecuación (1) se tiene:
(4) 31
31
3
1KL
−=λ
Sustituyendo la ecuación (4) en la ecuación (2) se obtiene:
03
1300
3
503
13
13
23
2 =
− −−
KLKL
31
31
32
32
30050
L
K
K
L =
32
31
31
32
30050 KKLL = KL 30050 =
50
300KL =
(5) KL 6=
Cálculo 173
Sustituyendo (5) en (3), se obtiene:
0000.45300)6(100 =+−− KK
0000.45900 =+− K
50=K
Reemplazando en (5): 300)50(66 === KL
En consecuencia, la empresa maximiza su producción si emplea 300
unidades de mano de obra y 50 unidades de capital.
Cálculo 174
8. ÁLGEBRA DE MATRICES
El álgebra de matrices es un tema relacionado con la Administración y la
Economía, especialmente en la toma de decisiones. En este componente se
abordan los temas de definición de matrices, operaciones de matrices,
solución de sistemas de ecuaciones lineales y eliminación, de Gauss-Jordan,
mediante matrices.
Cálculo 175
OBJETIVOS
1. Relacionar la matriz con un sistema de ecuaciones lineales.
2. Realizar operaciones básicas con matrices.
3. Solucionar sistemas de ecuaciones lineales utilizando la
eliminación de Gauss – Jordan.
8.1. Definición
Una matriz es un arreglo rectangular de números reales, encerrado en
grandes paréntesis rectangulares. Generalmente, se denotan con letras
mayúsculas como A, B ó C.
Ejemplo:
A =
40
73 B = [ ]145 C =
14
32
58
Cálculo 176
Los números reales que conforman el arreglo se denominan entradas o
elementos de la matriz. Los elementos en cualquier línea horizontal forman
un renglón o fila y aquellos que se encuentran en cualquier línea vertical
forman una columna de la matriz. Para el ejemplo anterior, la matriz C tiene
tres filas y dos columnas.
Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que su tamaño es nm ×
y se lee “ m por n ”. Una matriz de tamaño n×1 sólo tiene una fila y una
matriz de tamaño 1×m sólo tiene una columna. Una matriz que sólo tiene
una fila o renglón se conoce como matriz fila o vector fila. De manera similar,
una matriz que sólo tiene una columna se denomina matriz columna ó vector
columna.
Con frecuencia se usa una notación de dobles subíndices para los elementos
de una matriz. En esta notación, por ejemplo ija denota el elemento de la
matriz A que está en la i -ésima fila y en la j -ésima columna. Así pues 25a
indica el elemento localizado en la segunda fila y en la quinta columna de A.
Si A es la matriz de 2 X 3
A =
−401
732
Entonces 211 =a , 312 −=a , 713 =a , 121 =a , 022 =a y 423 =a
En general, si A es una matriz nm × , se puede escribir como:
Cálculo 177
A =
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
...
...............
...............
...
...
321
2232221
1131211
Si todos los elementos de la matriz son cero, se denomina matriz cero y se
denota por 0. La siguiente matriz es un ejemplo de matriz cero de tamaño 2
X 3:
0 =
000
000
Una matriz con el mismo número de filas que de columnas se conoce como
matriz cuadrada. Las matrices siguientes son ejemplos de matrices
cuadradas:
P =
43
21 Q =
−
403
124
312
Definición
Cálculo 178
Dos matrices A y B son iguales sí:
a) Son del mismo tamaño y
b) Sus elementos correspondientes son iguales.
Ejemplo:
Sean las matrices
A =
− 41
32
y
x y B =
40
35
b
a
A y B son del mismo tamaño (2 X 3) y A = B si y sólo si 2=a , 5=x , 0=y
y 1−=b .
8.2. Operaciones de matrices
8.2.1. Multiplicación de una matriz por un escalar
La multiplicación de una matriz por un escalar se refiere a la operación de
multiplicar la matriz por un número real. Si A = [ ]ija es una matriz nm × y
c es cualquier número real, el producto c A es una matriz nm × obtenida
multiplicando cada elemento de A por la constante c . Es decir, c A =
[ ]ijca .
Ejemplo:
Si A =
−
−420
101, entonces
2A =
−
−=
−
−=
−
−840
202
)4(2)2(2)0(2
)1(2)0(2)1(2
420
1012
Cálculo 179
Ejemplo:
Una cadena de almacenes de electrodomésticos tiene dos distribuidores en
una región. En mayo las ventas de televisores, videocaseteras y estéreos en
los dos almacenes estuvieron dados por los siguientes datos:
TELEVISORESTELEVISORES VIDEOCASETERASVIDEOCASETERAS ESTÉREOSESTÉREOSDistribuido
r
1
22 34 16
Distribuido
r
2
14 40 20
Si la dirección establece ventas objetivo para junio de un 50% de aumento
sobre las ventas de mayo, expresar la matriz que represente las ventas
proyectadas para junio.
Solución:
Representando estos datos en una matriz se tendría:
A =
204014
163422
Cálculo 180
Cada elemento de la matriz anterior debe aumentarse en 50%, esto es,
multiplicarse por 1,5. Por tanto, la matriz para junio es (1,5)A, obteniendo:
(1,5) A =
=
=
306021
245133
204014
1634225,1
204014
163422
8.2.2. Adición y sustracción de matrices
Dos matrices A y B del mismo tamaño pueden sumarse (o restarse)
sumando (o restando) sus elementos correspondientes.
Esto es, si A = [ ]ija y B = [ ]ijb son dos matrices del mismo tamaño,
entonces:
A + B = [ ]ijij ba + y A - B = [ ]ijij ba − .
En consecuencia,
−=
−++−+−++++−++
=
−−+
−
−
104
245
115
)4(32231
)3(50423
211032
423
302
213
321
543
102
Así mismo
−−−
=
−−
−421
112
162
214
543
102
Cálculo 181
8.2.3. Multiplicación de matrices
Definición
Sea A una matriz nm × y B una matriz pn× . El producto AB es la matriz
C de pm× cuyo elemento ijc , en la fila i y la columna j , se obtiene de la
siguiente manera: se suma los productos formados al multiplicar, en orden,
cada elemento de la fila i de A por el correspondiente elemento de la
columna j de B.
Dada la definición anterior, la multiplicación de matrices debe cumplir las
siguientes condiciones:
a) A debe ser una matriz nm × y B una matriz pn× . Es decir, el
número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B.
b) El producto será una matriz de orden pm× y tendrá tantas filas como
A y tantas columnas como B.
c) La definición se refiere al producto AB, en ese orden; A es el factor
izquierdo y B el factor derecho.
Cálculo 182
Ejemplo:
Encontrar el producto AB de
A =
−
−231
612 B =
−
−
112
240
301
Solución:
La matriz A tiene tamaño 2 X 3 y la matriz B tiene tamaño 3 X 3. El número
de columnas de A es igual al número de filas de B. De modo que el producto
C está definido y será una matriz de tamaño 2 X 3; esto es
C = AB =
232221
131211
ccc
ccc
El elemento 11c se obtiene sumando los productos de cada elemento de la
fila 1 de A por el correspondiente elemento de la columna 1 de B, así:
11c = (2)(1) + (1)(0) + (-6)(-2) = 14
Cálculo 183
De manera similar, para 12c se toman los elementos de la fila 1 de A y los
elementos de la columna 2 de B:
12c = (2)(0) + (1)(4) + (-6)(1) = -2
Para los restantes elementos de AB, se tiene:
13c = (2)(-3) + (1)(2) + (-6)(1) = -10
21c = (1)(1) + (-3)(0) + (2)(-21) = -3
22c = (1)(0) + (-3)(4) + (2)(1) = -10
23c = (1)(-3) + (-3)(2) + (2)(1) = -7
Así,
AB =
−
−231
612
−
−
112
240
301
=
−−−
−−7103
10214
Obsérvese que si se invierte el orden de los factores en el producto por BA,
éste no está definido, ya que el número de columnas de B no es igual al
número de columnas de A. Esto muestra que la multiplicación de matrices
no es conmutativa; es decir AB ≠ BA.
Ejemplo:
Dadas las siguientes matrices:
K = [ ]52 L = [ ]2321 −− M =
−2
3 N =
−4
3
5
2
Cálculo 184
Al realizar el producto de matrices, sólo es posible realizar KM y LN, debido
a la correspondencia entre el número de filas y columnas entre sí. Esto es:
KM = [ ]52
−2
3 = 2(-3) + 5(2) = -6 + 10 = 4
Así mismo, LN = [ ]2321 −−
−4
3
5
2
=1(2) + (-2)5 + (-3)(-3) + 2(4)= 9
Definición
La matriz identidad de mn × , denotada por nΙ , es la matriz diagonal cuyos
elementos en la diagonal principal son números uno y los demás son cero.
La matriz identidad es una matriz cuadrada, es decir , el número de filas es
igual al número de columnas; por esa razón sólo se representa con el
subíndice n .
Las siguientes son matrices identidad
=Ι
100
010
001
3 y
=Ι
1000
0100
0010
0001
4
La matriz identidad desempeña la misma función en la multiplicación de
matrices, que el número 1 en la multiplicación de números reales. Esto es,
así como el producto de un número real por 1 es igual al mismo número, el
producto de una matriz y la matriz identidad son la misma matriz.Cálculo 185
Ejemplo:
Multiplicar la matriz A por la matriz identidad.
A =
51
42
Solución:
La matriz A tiene tamaño 2 X 2, por tanto la matriz identidad debe
corresponder a ese mismo tamaño:
=
=Ι
51
42
10
01
51
42
51
42 y
=
=
Ι
51
42
51
42
10
01
51
42
En general, si Ι es de tamaño nn × y A tiene n columnas, entonces AΙ =
A. Si B tiene n filas, entonces ΙB = B. Además, si A es de tamaño nn × ,
entonces,
AΙ = ΙA = A
8.3. Solución de sistemas de ecuaciones lineales
Una técnica adecuada para resolver sistemas de ecuaciones lineales de
cualquier tamaño es el método de eliminación de Gauss-Jordan, el cual
comprende una serie de operaciones sobre un sistema de ecuaciones
lineales para obtener en cada paso un sistema equivalente; es decir, un
sistema con la misma solución que el sistema original. La reducción Cálculo 186
concluye cuando el sistema original ha sido transformado de modo que
aparezca en cierta forma canónica de la que puede leerse la solución con
facilidad.
Las operaciones del método de eliminación de Gauss-Jordan son:
a. intercambiar dos ecuaciones cualesquiera.
b. Reemplazar una ecuación con un múltiplo constante (distinto de cero)
de ella misma.
c. Reemplazar una ecuación con la suma de dicha ecuación y un
múltiplo constante de cualquier otra ecuación.
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de eliminación de
Gauss-Jordan:
423
842
=−=+
yx
yx
Solución:
Se inicia con la primera columna de las x . Primero se transforma el sistema
en otro equivalente, donde el coeficiente de x en la primera ecuación sea 1:
(1) 423
842
=−=+
yx
yx
Cálculo 187
(2) 423
42
=−=+
yx
yx (se multiplica la primera ecuación de (1) por
21
)
A continuación se elimina x de la segunda ecuación.
(3) 88
42
−=−=+
y
yx (se multiplica la primera ecuación por –3 y se le suma a la
segunda , el resultado reemplaza la segunda ecuación en (2))
Entonces se obtiene el siguiente sistema equivalente, en donde el coeficiente
de y en la segunda ecuación es 1.
(4) 1
42
==+
y
yx ( se multiplica la segunda ecuación de (3) por
81− )
Luego se elimina y de la primera ecuación.
(5) 1
2
==
y
x ( se multiplica la segunda ecuación por –2 y se le suma la primera,
sustituyendo la primera ecuación de (4))
Ahora el sistema está en forma canónica y es fácil deducir que la solución de
(1) es 2=x y 1=y . También se puede expresar esta solución como (2, 1)
e interpretarla geométricamente como el punto de intersección de las dos
rectas representadas por las dos ecuaciones lineales que conforman el
sistema de ecuaciones.
8.3.1. Matrices aumentadas
La matriz aumentada es aquella que une, a la matriz de los coeficientes de
las variables del sistema de ecuaciones, una columna de las constantes o
términos independientes. Por ejemplo, para el sistema de ecuaciones Cálculo 188
22
27583
22642
=++−=++=++
zyx
zyx
zyx
La matriz aumentada está representada por:
− 2211
27583
22642
Las tres primeras columnas conforman la submatriz denominada matriz de
coeficientes.
Ejemplo:
Construir la matriz aumentada de los sistemas de ecuaciones dados.
Solución:
Sistema equivalente Matriz aumentada
22
27583
1132
=++−=++
=++
zyx
zyx
zyx
− 2211
27583
11321
22
642
1132
=++−−=−=++
zyx
zy
zyx
−−−2211
6420
11321
Cálculo 189
8.3.2. Forma reducida por filas o renglones
Una matriz aumentada con m filas o renglones y n columnas está en forma
reducida por filas o renglones si satisface las siguientes condiciones:
a. Cada fila que sólo tenga ceros está debajo de todas las filas que
tienen entradas o elementos distintos de cero.
b. La primera entrada o elemento distinto de cero en cada fila es 1
(llamado 1 principal).
c. En cualesquiera dos filas sucesivas (distintas de cero), el 1 principal
de la fila inferior queda en la derecha del 1 principal de la fila superior.
d. Si una columna contiene un 1 principal, las demás entradas de esa
columna son ceros.
Ejemplo:
Determinar cuáles de las siguientes matrices están en forma reducida por
filas.
a)
3100
0010
0001
b)
0000
3010
4001
c)
1000
0100
0021
Cálculo 190
d)
−
2100
3001
2210
e)
1200
3100
0021
f)
000
030
401
g)
2010
3001
0000
Solución:
Las matrices a), b) y c) están en forma reducida por filas.
La matriz d) no está en forma reducida. No se cumplen las condiciones 3 y
4: el 1 principal de la segunda fila está en la izquierda del 1 principal de la
primera fila; además, la columna 3 tiene un 1 principal en la fila 3 y un
elemento distinto de cero arriba de él.
La matriz e) no está en forma reducida. No se cumplen las condiciones 2 y
4: el primer elemento distinto de cero en la fila 3 es un 2, no un 1; además,
la columna 3 contiene un 1 principal y tiene un elemento distinto de cero
debajo de éste.
La matriz f) no está en forma reducida. No se cumple la condición 2: el
primer elemento distinto de cero en la fila 2 no es un 1 principal.
La matriz g) no está en forma reducida. No se cumple la condición 1: la fila
uno consta sólo de ceros y no está debajo de todas las filas distintas de cero.
8.4. Eliminación de Gauss-Jordan mediante matrices
Cálculo 191
Para describir el método de eliminación de Gauss-Jordan mediante matrices
es necesario tener en cuenta algunos conceptos previos.
Una columna de la matriz de coeficientes está en forma Columna unitaria si
uno de los elementos de la columna es un 1 y los demás son cero.
La notación para las operaciones de fila o renglón es la siguiente:
Si iR es la i -ésima fila de una matriz, se escribe:
Operación 1 ji RR ↔ significa intercambiar la fila i por la fila j
Operación 2 icR significa reemplazar la fila i con c por la fila i
Operación 3 ji aRR + significa reemplazar la fila i con la suma de la fila i
y a veces la fila j .
Los siguientes son los pasos que se deben seguir para la aplicación del
método de eliminación de Gauss-Jordan:
Paso 1. Se parte de la matriz aumentada y se realizan operaciones entre
filas, con el objeto de tener un elemento superior igual a 1 en la primera
columna.
Paso 2. Se suman o restan los múltiplos apropiados de la primera fila a las
otras filas, de modo que los elementos restantes de la primera columna sean
cero.
Paso 3. Sin alterar la primera columna, se realizan operaciones entre filas,
con el propósito de hacer el segundo elemento de la segunda columna igual
Cálculo 192
a 1. Después se suman o restan múltiplos adecuados de la segunda fila a
las otras, a fin de obtener ceros en el resto de la segunda columna.
Paso 4. Sin alterar las primeras dos columnas, se hace que el tercer
elemento de la tercera columna sea igual a 1. Luego se usa la tercera fila
con objeto de obtener ceros en el resto de la tercera columna.
Paso 5. Se continúa el proceso columna por columna hasta que se obtenga
la forma reducida. Esto es, hasta que la matriz adopte la forma ΙC, con
una matriz identidad Ι a la izquierda de la línea vertical. Las soluciones de
las variables están dadas entonces por los elementos de la última columna,
C.
Ejemplo:
Resolver el sistema de ecuaciones lineales dado por:
832
322
9823
=−+=++−
=+−
zyx
zyx
zyx
Solución:
Al utilizar el método de eliminación de Gauss-Jordan, se deben mantener los
coeficientes de la variables en su respectivo orden y se obtiene la siguiente
serie de matrices equivalentes:
Cálculo 193
−− →
−−
−+
8321
3122
12901
8321
3122
982321 RR
−− → −
+
41220
271920
1290113
12 2RR
RR
−− → ↔
271920
41220
1290132 RR
−−→271920
2610
1290122
1 R
−− → −
313100
2610
1290123 2RR
−−→
1100
2610
12901331
1 R
→ +
−
1100
4010
300132
3169
RRRR
La solución del sistema de ecuaciones está dada por 3=x , 4=y y 1=z
y se puede comprobar sustituyendo en el sistema inicial, así:
Cálculo 194
3(3) – 2(4) + 8(1) = 9
-2(3) + 2(4) + 1 = 3
3 + 2(4) – 3(1) = 8
Ejemplo:
Una compañía de novedades quiere producir tres tipos de recordatorios: los
tipos A, B, y C. Para fabricar un recordatorio tipo A se necesitan dos minutos
en la máquina I, un minuto en la máquina II y dos minutos en la máquina III;
un recordatorio tipo B, requiere un minuto en la máquina I, tres en la II y uno
en la III; y un recordatorio tipo C, un minuto en la máquina I y dos minutos en
cada una de las máquinas II y III. Hay tres horas disponibles en la máquina I,
cinco horas disponibles en la máquina II y cuatro horas en la máquina III para
procesar el pedido. ¿Cuántos recordatorios de cada tipo debe fabricar la
compañía para utilizar todo el tiempo disponible?
Solución:
La información suministrada en el problema se puede tabular de la siguiente
forma:
Tipo ATipo A Tipo BTipo B Tipo CTipo C Tiempo (min)Tiempo (min)Máquina I 2 1 1 180Máquina II 1 3 2 300
Cálculo 195
Máquina III 2 1 2 240
Se denominan las cantidades de los tres tipos de recordatorios como x , y
y z para A, B, y C, respectivamente.
La cantidad total de tiempo de uso de la máquina I está dada por zyx ++2
minutos y debe ser igual a 180 minutos. Para la máquina II será zyx 23 ++
minutos y debe ser igual a 300 minutos, y para la máquina III será zyx 22 ++
minutos y debe ser igual a 240 minutos.
Puesto que las variables x , y y z deben satisfacer simultáneamente las
tres ecuaciones, la solución del problema corresponde a solucionar el
sistema de ecuaciones lineales:
1802 =++ zyx
30023 =++ zyx
24022 =++ zyx
Al utilizar el método de eliminación de Gauss-Jordan, se deben mantener los
coeficientes de la variables en su respectivo orden y se obtiene la siguiente
serie de matrices equivalentes:
Cálculo 196
→
↔
240212
180112
300231
240212
300231
18011221 RR
−−−−−− → −
−
360250
420350
30023113
1222
RRRR
−−− → −
360250
8410
300231
5325
1 R
→ +
−
60100
8410
4801
5351
53
23
21RRRR
→ −
−
60100
48010
3600135
32
351
1
RR
RR
Así, 36=x , 48=y y 60=z . Es decir, la compañía debe fabricar 36
recordatorios tipo A, 48 tipo B y 60 tipo C, para utilizar todo el tiempo
disponible.
Cálculo 197
ESTUDIOS DE CASOS
Caso 1
Una empresa manufacturera ha realizado análisis de algunas variables
económicas para estimar niveles de producción y tomar decisiones con
respecto del mercado en el cual compite.
La empresa ha determinado que la función de costo para sus productos es:
100403.0001.0)( 23 ++−= xxxxC
El mercado le demanda a la empresa, de forma secuencial, 50, 100 y 150
artículos. Sin embargo, el gerente analiza, en función de los costos, qué
implicaciones tiene cubrir dichos pedidos.
Para tomar decisiones, el gerente realiza el análisis bajo el costo marginal de
la siguiente manera:
406.0003.0)(' 2 +−= xxxC
Al valorar los costos adicionales de las producciones solicitadas obtuvo:
5.1740)50(6.0)50(003.0)50(' 2 =+−=C
1040)100(6.0)100(003.0)100(' 2 =+−=C
5.1740)150(6.0)150(003.0)150(' 2 =+−=C
Cálculo 198
Informalmente, el gerente decide que el costo de producir el artículo número
51 es de $17.5, el artículo número 101 tiene un costo de $10 y el artículo
número 151 cuesta $17.5.
El gerente observó que el costo marginal decrece a medida que la
producción se incrementa de 50 a 100 unidades y luego se incrementa de
nuevo cuando la producción aumenta de 100 a 150. La razón de esto se
debió a la economía de escala a la cual pertenece la empresa, lo cual
provocó que la fabricación de pequeñas cantidades de productos fuese
relativamente más cara que la producción de grandes cantidades. Sin
embargo, cuando el número de artículos se hacía muy grande, los costos
empezaron a aumentar a medida que la capacidad productiva de la empresa
llegaba a desgastarse.
En consecuencia, el gerente consideró que era necesario empezar a invertir
en una nueva planta o maquinaria, en ampliar el espacio físico de la empresa
o aumentar el número de trabajadores.
Caso 2
En un estudio realizado por el Comité de Desarrollo Económico en una
región del país, para analizar la distribución del ingreso de algunos
segmentos de la fuerza de trabajo, se observó que las curvas de Lorentz
para la distribución del ingreso de los médicos y de los gerentes
profesionales estaban dadas mediante las siguientes ecuaciones:
xxxf15
1
15
14)( 2 += y xxxg
8
3
8
5)( 4 +=
Cálculo 199
Respectivamente. Se desea conocer cuál profesión tiene una distribución de
ingreso más equitativa.
Solución:
Las curvas de Lorentz permiten calcular coeficientes de desigualdad, los
cuales permiten dar solución al problema planteado. Esto es:
Para los médicos:
dxxxdxxxxLM ∫∫
−=
+−=
1
0
21
0
2
15
14
15
142
15
1
15
142
( ) 311.045
14
3
1
2
1
15
28
15
281
0
321
0
2 ==
−=−= ∫ xxdxxx
Para los gerentes profesionales:
dxxxdxxxxLM ∫∫
−=
+−=
1
0
41
0
4
8
5
8
52
8
3
8
52
( ) 375.040
15
5
1
2
1
4
5
4
51
0
521
0
4 ==
−=−= ∫ xxdxxx
Se concluye, entonces, que en esa región del país, los ingresos de los
médicos se distribuyen de manera más uniforme que los ingresos de los
gerentes profesionales.
Cálculo 200
ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO
Las actividades de reconocimiento son especificadas para cada uno de los
temas centrales del cálculo.
Límites y continuidad de funciones
Para lograr un mejor entendimiento de los temas de límite y continuidad, el
estudiante debe tener claridad en los conceptos relacionados con funciones
reales, operaciones entre funciones, gráfica de funciones lineales, y
operaciones algebraicas relacionadas con potenciación, radicación,
factorización, productos notables y fracciones.
Derivada de funciones reales
La derivada de funciones reales es uno de los temas más importantes en el
cálculo diferencial. Es necesario, entonces, que el estudiante tenga un
manejo pleno de los conceptos de: funciones, operaciones con exponentes,
potenciación y límite de funciones.
Análisis marginal
Para desarrollar la unidad de análisis marginal, el estudiante debe manejar
adecuadamente los conceptos de potenciación y derivación; así como
también, la aplicación de los teoremas de la derivada, para lograr realizar
cálculos adecuados en las tasas marginales.
Cálculo 201
Optimización y bosquejo de curvas
Para lograr una buena comprensión de los temas de optimización y gráfica
de funciones, el estudiante debe manejar adecuadamente los teoremas de
derivación, ecuaciones, inecuaciones y factorización.
La integral y sus aplicaciones
Para entender el proceso de integración, es preciso que el estudiante tenga
claridad sobre los conceptos de función, derivada de funciones reales y
propiedades de la derivación. Esto garantizará el logro exitoso de los
objetivos propuestos.
ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN
Las actividades de profundización están conformadas por una serie de
ejercicios propuestos para cada una de las unidades temáticas. Se sugiere
desarrollarlos secuencialmente, partiendo de la primera unidad temática
hasta la última, debido a que en este mismo sentido aumenta en nivel de
exigencia.
UNIDAD 1. Límites y continuidad de funciones
Cálculo 202
Calcular los siguientes límites, si éstos existen:
1. límx 1−→ (2x² + 6x – 1)
2. límx 2−→ 2²
1
−+
x
x
3. límx 4−→ 82²
²4³
−++
xx
xx
4. límx ∞→ 2²
14
+−
x
x
5. límx ∞→ ( xx +² - x)
6. límx 0→ x
x 22 −+
7. Relación materia prima utilizada-operario
Para la relación particular materia prima utilizada-operario en la empresa “Mil
adornos”, se determinó que y representa el número de prendas con botones
adheridos por un operario a lo largo de un periodo, y que x representa el
número de botones adheridos en las prendas. Suponer que:
y = ƒ(x) = x
x
1.01
10
+
Si el número de botones adheridos en las prendas, aumentara sin cota, ¿a
qué valor se aproximaría y?
Cálculo 203
UNIDAD 2. Derivada de funciones reales
1. Hallar la derivada de las siguientes funciones:
a. 3)1( ++= xxy
b.3
2
2
4
1
++=
x
xy
c. 222 )1()53( +−= xxy
d. )ln()73( xxy +=
e.22 xexy =
f.
+
=53
2ln
xy
x
2. Determinar la ecuación de la recta tangente a las gráficas de las
funciones siguientes en el punto determinado.
a. 92
2
+=
x
xy en x = 0
b. x
xy
)ln(= en x = 1
c. 2+
=x
xy en x = 2
Cálculo 204
3. Determinar la segunda derivada de las funciones siguientes:
a. 3 3 8+= xy
b. 46 )1()73( +−= xxy
UNIDAD 3. Análisis marginal
1. La demanda semanal de videograbadoras en cierta ciudad está dada por
la ecuación de demanda
p + 0.02x = 300
Donde p denota el precio unitario al por mayor en miles de pesos, y x la
cantidad demandada por los habitantes de la ciudad.
La función de costo total semanal, en miles de pesos, relacionada con la
fabricación de estas videograbadoras es:
C(x) = 0.000003x³ - 0.04x² + 200x + 70.000
a. Hallar la función de ingreso R(x) y la función de utilidad P(x).
b. Hallar la función de costo marginal C’(x), la función de ingreso
marginal R’(x) y la función de utilidad marginal P’(x).
c. Encontrar la función de costo promedio )(xC
Cálculo 205
d. Calcular C’(3000), R’(3000) y P’(3000) e interpretar los resultados.
2. Cuando una peluquera fija una cuota de $4 por corte de cabello, advierte
que el número de clientes que atiende en una semana es de 100, en
promedio. Al elevar la tarifa a $5, el número de clientes por semana baja a
80. Suponiendo una ecuación de demanda lineal entre el precio y el número
de clientes, determine:
a. La función de ingreso marginal.
b. Encuentre el precio que produce un ingreso marginal igual a cero.
c. Interpretar los resultados.
3. El editor de una revista descubre que si fija un precio del a su revista,
vende 20.000 ejemplares al mes; sin embargo, si el precio fijado es de
$1.50, sus ventas sólo serán por 15.000 ejemplares. El costo de producir
cada ejemplar es de $0.80 y tiene costos fijos de $10.000 al mes.
Suponiendo una ecuación de demanda lineal, calcule su función de
utilidad marginal y determine el precio de la revista que haga la utilidad
marginal igual a cero. Evalúe la utilidad misma cuando el precio es:
a. $1.80
b. $1.90
c. $2
d. Interpretar los resultados.
UNIDAD 4. Optimización y bosquejo de curvas
Cálculo 206
1. Para las siguientes funciones determinar:
- Puntos críticos, si existen.
- Intervalos de crecimiento (crecimiento y decrecimiento).
- Puntos de inflexión, si existen.
- Intervalos de concavidad (concavidad hacia arriba y concavidad
hacia abajo).
a. 2153)( 2 +−== xxxfy
b. 7156)( 23 +−−== xxxxfy
c. 34 4)( xxxfy −==
d. 5/1)1()( −== xxfy
2. Utilizar el criterio de la segunda derivada para determinar los valores
extremos (máximo y mínimo) de las siguientes funciones. Si no es posible
utilizar el criterio de la segunda derivada, utilice el criterio de la primera
derivada:
a. 310)( 2 +−== xxxfy
b. 527)( 3 +−== xxxfy
c. 73632)( 23 +−−== xxxxfy
d. 527)( 4 +−== xxxfy
Cálculo 207
3. Bosquejar la gráfica de las siguientes funciones:
a. 21292)( 23 −+−== xxxxfy
b. 76)( 2 +−== xxxfy
c. 1012)( 3 +−== xxxfy
d. 15)( 45 +−== xxxfy
Unidad 5. Integral indefinida
1. Hallar la integral indefinida de los siguientes ejercicios:
a) ∫ dx6
b) ∫ −dxx 4
c) ∫ − dxx 45
d) ∫ dxx2
2
e) ∫ − dtt 73
f) dxx
x∫
−− 1
24
23
g) ∫
+ dx
xx
3
Cálculo 208
2. Calcular las siguientes integrales usando el método de integración por
sustitución.
a) ∫ + dxx 4)34(4
b) ∫ + dxxx 72 )12(4
c) ∫ −− dxxxx )23()2( 223
d) ∫ +dx
x
x32 )32(
4
e) ∫ ++
dxxx
x23
2
)2(
23
3. Calcular las siguientes integrales usando el método de integración por
partes.
a) ∫ − dxx )12ln(
b) ∫ xdxx ln
c) ∫ xdxx ln3
d) ∫ dxx
x2
2 )ln(
e) ∫ dxx
xln
Unidad 6. Integral definida
1. Una compañía fabrica relojes para diferentes joyerías de la región. La
función de costos marginales diarios que intervienen en la producción es
Cálculo 209
4006.0000006.0)(' 2 +−= xxxC
Donde )(' xC se mide en miles por unidad y x denota el número de
unidades producidas. La gerencia ha determinado que los costos fijos
diarios por la producción de estos relojes son de $120. Calcule los costos
totales de la producción de los primeros 500 relojes fabricados por día.
2. La gerencia de la compañía del ejercicio anterior ha determinado que la
función de ingresos marginales diarios relacionados con la producción y
venta de relojes está dada por:
12009.0)(' +−= xxR
Donde x denota el número de unidades producidas y vendidas y )(' xR se
mide en miles de pesos por unidad. Determine la función de ingresos )(xR
de la producción y venta de estos relojes y calcule los ingresos para los
primeros 500 relojes vendidos.
Unidad 7. Cálculo multivariable
1. Mediante el método de multiplicadores de Lagrange, determine los puntos
críticos de f sujetos a las restricciones dadas.
a) yxyxf += 2),( , restricción: 732 =+ yx
b) xyyxyxf 3),( 22 −+= , restricción: 3132 =+ yx
c) 22 32),( yxyxf += , restricción: 6=xy
Cálculo 210
d) 222),,( zyxzyxf ++= , restricción: 29432 =++ zyx
2. El costo de producir x modelos regulares y y modelos de lujo del
producto de una empresa está dado por la función conjunta de costo
3005.1),( 22 ++= yxyxC . ¿Cuántas unidades de cada tipo deben
producirse a fin de minimizar los costos totales si la empresa decide
producir un total de 200 unidades?
3. Una empresa puede elaborar su producto en dos de sus plantas. El costo
de producir x unidades en su primera planta y y unidades en la se-
gunda planta está dado por la función conjunta de costo
70052),( 22 +++= xyyxyxC . Si la empresa tiene una orden de suministrar
500 unidades, ¿cuántas unidades debe producir en cada planta con
objeto de minimizar el costo total?
4. La función de producción de una empresa es 41
43
80),( KLKLP = , donde
L y K representan el número de unidades de mano de obra y de capital
utilizadas y P es el número de unidades elaboradas del producto. Cada
unidad de mano de obra tiene un costo de $60 y cada unidad de capital
cuesta $200 y la empresa dispone de $40.000 destinados a producción.
Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange, determinar el número
de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear a
fin de obtener una producción máxima.
5. Repita el ejercicio 4 en el caso de 22 5.13800),( KLKLP += y los costos
unitarios de la mano de obra y del capital son de $250 y $50 y la empresa Cálculo 211
dispone de $6.750 para gastar en producción.
6. Repita el ejercicio 4 si 22 2315113),( KLLKKLKLP −−++= y los
costos unitarios de la mano de obra y del capital son de $60 y $100,
respectivamente. La empresa dispone de un presupuesto restringido de
$7.200 para producción.
7.Repita el ejercicio 4 en el caso de que
22 3253072),( KLLKKLKLP −−++= y los costos unitarios de la mano
de obra y del capital son de $80 y $150, respectivamente. El presupuesto
está restringido a $5.640.
Unidad 8. Álgebra de matrices
1. Realizar las operaciones indicadas:
a)
−−
−+
−−
−
2119
561
432
561
041
302
b)
−−
−
01
27
16
96
72
41
c) [ ] [ ] [ ]472041621313 −−−+−
Cálculo 212
d)
−
−31
04
23
42
e)
−
7
4
1
541
302
f) [ ]
−−
−−
2131
1340
2113
321
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de
eliminación de Gauss-Jordan:
a)1
52
132
=+=+
−=+
yx
yx
yx
b)012
372
0642
=−++=+
=−++
zyx
z
zyx
c) 023
0152
=−++=−++
zyx
zyx
3. Resolver los siguientes problemas utilizando el método de reducción de
matrices o eliminación de Gauss-Jordan:
a) Un fabricante elabora dos productos, A y B. Por cada unidad que
vende de A la utilidad es de $8 y por cada unidad que vende de B
Cálculo 213
la utilidad es de $11. De la experiencia se ha encontrado que
puede venderse 25% más de A que de B. Para el año siguiente el
fabricante desea una utilidad total de $42.000. ¿Cuántas unidades
de cada producto debe vender?
b) La compañía Escritorios Nacionales tiene plantas para la
producción de escritorios en la costa atlántica y en la costa
pacífica. En la planta de la costa atlántica, los costos fijos son de
$16.000 por año y el costo de producción de cada escritorio es de
$90. En la planta del Pacífico, los costos fijos son de 20.000 por
año y el costo de producción de cada escritorio es de $80. Al año
siguiente la compañía quiere producir un total de 800 escritorios.
Determinar la producción de cada planta para el próximo año si el
costo total de cada planta debe ser el mismo.
Cálculo 214
BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL
ARYA, Jagdish y LARDNER, Robin. Matemáticas aplicadas a la
Administración y a la Economía. 4° edición. México: Pearson Educación,
2002. 842 p.
HAEUSSLER, Ernest y RICHARD, Paul. Matemáticas para Administración y
Economía. Décima edición. México: Pearson Educación, 2003. 825 p.
TAN, S.T. Matemáticas para Administración y Economía. Segunda edición.
México: Thomson Learning, 2002. 992 p.
Cálculo 215
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
LARSON H., Edwar. Cálculo. Sexta edición. Mexico: Mc Graw Hill, 1998.
SWOKOWSKI, Earl. Cálculo con geometría analítica. Cuarta edición.
México: Grupo editorial Iberoamericana, 1988.
Cálculo 216
GLOSARIO
Continuidad: Forma que adquiere una función cuando no es fraccionada o
partida en su recorrido.
Derivada: Cambios que toma una variable dependiente, atribuidos a los
cambios de la variable independiente. También se define como la pendiente
de la recta tangente a un punto de una función.
Derivada parcial: Es el análisis del cambio de una función con respecto a
una variable, manteniendo constantes las demás variables que intervienen
en la función.
Integración: Proceso mediante el cual se construye una función real, a
partir del conocimiento de sus cambios, causados por otra variable.
Límite de una función: Valor al cual se aproxima una función cuando la
variable independiente tiende a una cantidad específica.
Matriz: Es un arreglo de elementos que se estructura en filas o renglones y
columnas. Normalmente, representa un sistema de ecuaciones por lo cual
es susceptible de operaciones matemáticas.
Optimización: Utilización racional de recursos en una actividad; está
relacionada con la obtención de valores extremos (mínimos y máximos).
Punto crítico: Punto en el cual existe cambio de crecimiento de una función.
Cálculo 217
Punto de inflexión: Punto en el cual existe cambio de concavidad de una
función.
Tasa marginal: Valor adicional de una variable cuando tiene un pequeño
incremento con respecto de un límite o umbral determinado.
Cálculo 218
RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES
1. ¿En qué consiste el principio de sustitución en la teoría de límites?
El principio de sustitución en la teoría de límites consiste en evaluar o
sustituir directamente en la función el valor al cual tiende la variable.
2. ¿Por qué en la función x
1, cuando x tiende a infinito, es igual a cero?
Cuando x tiende a infinito, esta función es igual a cero porque intenta
distribuir la unidad entre una cantidad muy grande (indeterminada), lo cual
genera la posibilidad de que el resultado sea una cantidad sumamente
pequeña o casi despreciable, como lo es el cero.
3. ¿Qué significa continuidad en una función?
La continuidad en una función significa que se parte o fracciona durante su
recorrido.
4. ¿Por qué la derivada de una función es una tasa de cambio?
La derivada de una función es una tasa de cambio porque estima la variación
de una variable (la dependiente) con respecto de otra (la independiente).
Cálculo 219
5. ¿Cuándo se define, en Economía, a una función como marginal?
En Economía se define una función como marginal cuando determina los
cambios de una variable en función de otra, representando cantidades
adicionales por encima de un umbral determinado.
6. ¿Por qué la derivada de una función constante es igual a cero?
La derivada de una función constante es igual a cero porque no determinan
ninguna variación respecto de otra variable.
7. ¿Cuál es la importancia de los valores extremos de una función para la
Administración?
La importancia de los valores extremos de una función para la
Administración radica en poder optimizar recursos a partir del cálculo de
valores mínimos o máximos en los procesos productivos de la organización.
8. ¿Cuál es la importancia de la gráfica de una función?
La gráfica de una función es importante porque permite visualizar el
comportamiento de una variable dependiente a partir de los cambios
ocurridos en la variable independiente. Esto ofrece elementos de análisis
para tomar decisiones en el área administrativa, respecto a la optimización
de los recursos.
9. ¿Cuál es la función de la constante de integración?
Cálculo 220
La constante de integración tiene una función de limitar la integral indefinida
bajo una cantidad independiente para la función que se desea construir.
10. ¿Cuál es el aporte de la integración para las disciplinas Administrativas?
La integración es fundamental para la toma de decisiones en la
Administración, debido a que permite realizar cálculos de las funciones a
partir de su dinámica o sus cambios generados por otras variables.
11. ¿Para qué se optimizan funciones de varias variables?
Se optimizan funciones de varias variables para lograr una distribución
razonable de los recursos procurando lograr, con elementos mínimos, los
máximos resultados.
12. ¿Por qué es más recomendable solucionar un sistema de ecuaciones
lineales por matrices?
Es más recomendable solucionar un sistema de ecuaciones lineales por
matrices debido a que el método de reducción de Gauss-Jordan puede ser
extendido a múltiples variables e incluso llevarlo a un sistema de
programación lineal.
Cálculo 221
