Universidad Carlos III de Madrid

CALCULO I

GRADO en Ingenierıa Electrica

Control 1 – 20/10/2015

PROBLEMA 1 PROBLEMA 2 PROBLEMA 3 NOTA

Nombre y Apellidos:

INDICACIONES GENERALES:

1. El examen dura 45 minutos.

2. No se pueden utilizar libros, ni apuntes ni calculadoras de bolsillo. Tampoco esta permitido el uso de aparatoselectronicos (ordenadores, pdas, telefonos moviles, . . . ).

COMO RESPONDER Y ENTREGAR EL EXAMEN:

1. No se pueden separar las hojas de enunciados, hay que mantenerlas grapadas.

2. Las respuestas se contestaran en la misma hoja de enunciados.

3. En el espacio libre de la hoja de enunciados el alumno debera mostrar el razonamiento, completo o en parte, quele ha llevado a la respuesta obtenida. Hay una hoja en blanco al final por si hiciese falta para alguna justificacionmas compleja. Una respuesta correcta con un razonamiento erroneo, o inexistente, puede ser calificada comocero. El alumno puede usar hojas adicionales para hacer calculos que en ningun caso se entregaran.

1

Problema 1 (3.5 puntos) Dada la funcion

f(x) =

x2, x ∈ [0, 1],

1

4x+

3

4, x > 1.

1. Calcula L = lımx→1

f(x)

RESPUESTA:

lımx→1

f(x) = 1

JUSTIFICACION:

lımx→1−

f(x) = lımx→1−

x2 = 12 = 1

lımx→1+

f(x) = lımx→1+

1

4x+

3

4=

1

4+

3

4= 1.

Como los lımites laterales tienden al mismo valor, se tiene que lımx→1 f(x) = 1.

2. Dado ε = 0.1 encuentra el valor optimo de δ tal que |f(x)− L| ≤ 0.1 si 0 < |x− 1| < δ.

RESPUESTA:

δ = 1−√

0.9

JUSTIFICACION:

La grafica de la funcion f es

De la parte anterior tenemos que |f(x)− L| = |f(x)− 1|, entonces

|f(x)− 1| ≤ 0.1 ⇔ −0.1 ≤ f(x) + 1 ≤ 0.1 ⇔ 0.9 ≤ f(x) ≤ 1.1.

2

Por lo tanto, tenemos que encontrar x1 y x2 de tal forma que f(x) ∈ [0.9, 1.1], siempre que x ∈ [x1, x2].

De la grafica podemos afirmar que x1 < 1 < x2, luego para encontrar a x1 y a x2 tenemos que solucionar

f(x1) = x21 = 0.9 f(x2) =x24

+3

4= 1.1.

Es facil llegar a que x1 =√

0.9 y x2 = 1.4. Vamos a definir δ1 = |1−x1| = 1−√

0.9 y δ2 = |1−x2| = 0.4, porlo tanto si hacemos δ = mın{δ1, δ2} = δ1, esto implicarıa que, si x ∈ [1− δ, 1 + δ], entonces f(x) ∈ [0.9, 1.1].

3

Problema 2 (3.5 puntos) El Teorema del Valor Medio es un resultado fundamental del Calculo.

1. Enuncialo.

Si f es una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b),entonces existe un numero c en (a, b) tal que:

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

2. Calcula el valor de las constantes a, b, c y d para que se pueda aplicar el Teorema del Valor Medio a la funcion

f(x) =

a, x = −1,2, −1 < x ≤ 0,

b+ x3 sen

(1

x

), 0 < x <

1

π,

cx+ d,1

π≤ x ≤ 2.

a b c d

2 2 1π 2− 1

π2

JUSTIFICACION: Lo primero que debemos observar es que la funcion f esta definida en el intervalo cerrado[−1, 2], es decir, que para que se pueda aplicar el Teorema del Valor Medio, debemos encontrar las constantesa, b, c y d que hagan que f sea continua en [−1, 2] y derivable en (−1, 2).

Empecemos con la continuidad en el intervalo cerrado [−1, 2] (ver definicion en la seccion 1.4 del texto guıa).Para que f sea continua en el intervalo cerrado [−1, 2], la funcion debe ser continua en el intervalo abierto(−1, 2) y

I. lımx→−1+

f(x) = f(−1).

II. lımx→2−

f(x) = f(2).

De la condicion I. tenemos que:

f(−1) = a = lımx→−1+

f(x) = lımx→−1+

2 = 2.

Ahora estudiemos la continuidad en x = 0, que es el primer posible punto de discontinuidad. Para que lafuncion sea continua en x = 0 se debe cumplir

2 = f(0) = lımx→0−

f(x) = lımx→0+

f(x),

es decir

2 = lımx→0−

2 = lımx→0+

b+ x3sen(

1

x

),

4

pero gracias a que, 0 ≤ |x3sen(1x

)| ≤ x3 y al teorema del encaje, tenemos que

2 = lımx→0+

b+ x3sen(

1

x

)= b.

El segundo posible punto de discontinuidad es x = 1π . Para que la funcion sea continua en x = 1

π se debecumplir

f

(1

π

)=c

π+ d = lım

x→ 1π

−b+ x3sen

(1

x

)= lım

x→ 1π

+cx+ d,

es decirc

π+ d = lım

x→ 1π

−b+ x3sen

(1

x

)= b+

1

π3sen(π) = b = 2.

Por el momento, para que la funcion sea continua se debe cumplir que a = 2 = b y cπ + d = 2. Vamos a

estudiar la segunda condicion para que se pueda aplicar el Teorema del Valor Medio, esto es, que la funcion seaderivable en (−1, 2).

Verifiquemos la derivabilidad en x = 0, para ello comprobemos que la derivada por izquierda y por derechacoinciden.

lımx→0−

f(x)− f(0)

x− 0= lım

x→0−

2− 2

x− 0= 0.

lımx→0+

f(x)− f(0)

x− 0= lım

x→0+

2 + x3sen(1x

)− 2

x− 0= lım

x→0+

x3sen(1x

)x

= lımx→0+

x2sen(

1

x

)= 0.

Este ultimo lımite es cero, por el teorema del encaje y 0 ≤ |x2sen(1x

)| ≤ x2. Esto nos comprueba que cuando

b = 2 ademas de que f es continua, tambien es derivable en x = 0. Finalmente analicemos la derivabilidad enx = 1

π . Si consideramos 0 < x < 1π , tenemos que

f(x) = 2 + x3sen(

1

x

),

entonces

f ′(x) = 3x2sen(

1

x

)+ x3cos

(1

x

)(−1

x2

)= 3x2sen

(1

x

)− xcos

(1

x

).

Gracias a que ya hemos comprobado la continuidad de f en x = 1π , podemos calcular la derivada por izquierda

como sigue

lımx→ 1

π

−f ′(x) = lım

x→ 1π

−3x2sen

(1

x

)− xcos

(1

x

)=

1

π.

Analogamente, la derivada por derecha es

lımx→ 1

π

+f ′(x) = lım

x→ 1π

+c.

Con lo que finalmente tendrıamos que

c =1

π,

d = 2− c

π= 2− 1

π2.

La grafica de f queda ası

5

Problema 3 (3 puntos) Dada la curvay√x− x√y = 2

1. ¿Cual es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto (x0, y0) situado sobre la curva?

RESPUESTA:

m =

√y0− y0

2√x0√

x0− x02√y0

JUSTIFICACION: Sabemos de lo visto en clase que la derivada de una funcion en un punto (x0, y0) representa lapendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Por tanto, si nos piden la pendiente en el punto (x0, y0)debemos calcular y′. Para esto derivamos implıcitamente la funcion del enunciado, como vemos

y′√x+

1

2√xy −√y − 1

2√yy′x = 0.

Despejando y′ obtenemos

y′ =

√y − y

2√x√

x− x2√y

.

Luego la pendiente m de la recta tangente a la curva en el punto (x0, y0) viene dada por

m =

√y0 − y0

2√x0√

x0 − x02√y0

2. Escribe la ecuacion de la recta tangente a la curva que pasa por el punto (1,4).

RESPUESTA:

y = 4

JUSTIFICACION:

Justificacion:

Para calcular la ecuacion general de una recta y = mx + b necesitamos solo dos valores: la pendiente y unpunto por donde pasa. En el apartado anterior, hemos calculado la pendiente de la recta tangente a la curva en

6

el punto (x0, y0). Por tanto si queremos hallar ahora la pendiente en el punto (1, 4) simplemente sustituimos(x0, y0) = (1, 4). Esto es,

y′ =2− 4

2·11− 1

2·2= 0.

Hasta ahora la ecuacion de la recta es y = b, pero y = 4 (por el punto dado), luego b = 4 y por tanto la ecuacionde la recta tangente a la curva en el punto (1, 4) para la curva dada es

y = 4

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