Calculo Vectorial

Mecnica Fsica ETSAM/ Curso 2011-12

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1.1. CLCULO VECTORIAL 1. 1. 1. INTRODUCCIN

La Mecnica es la parte de la Fsica que estudia el equilibrio y el movimiento de los cuerpos. Se divide en Cinemtica que se ocupa del movimiento de los cuerpos independientemente de las fuerzas que lo producen, en Dinmica que relaciona las fuerzas con los movimientos originados por ellas y Esttica o estudio del equilibrio.

En cualquiera de sus ramas, la Fsica busca una interpretacin de todos los fenmenos naturales,

siendo su objetivo descubrir y dar forma matemtica a las leyes universales que relacionan entre s las magnitudes que intervienen en aquello fenmenos. La Matemtica es, por tanto el lenguaje de la Fsica. En este sentido, la expresin de una propiedad fsica en trminos de nmeros requiere un buen conocimiento de las nociones matemticas. En este primer apartado, revisaremos las nociones de clculo vectorial necesarias para comprender los conceptos que veremos en el estudio de Mecnica General y que servirn para cursos sucesivos. 1. 1. 2. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Una magnitud fsica es todo aquello que se puede medir: masa, volumen, temperatura, velocidad... Hay magnitudes escalares que quedan completamente definidas por su valor numrico seguido de la

unidad en que se miden. Cuando un tcnico desea indicar la temperatura que en un momento dado posee un alto horno en una industria siderrgica, bastar nicamente que indique el valor numrico de tal magnitud y la unidad elegida para su medida. No necesita ningn dato complementario para conocer perfectamente lo que desea expresar. Lo mismo sucede con otras magnitudes fsicas como la masa, el volumen, el rea de una superficie, la energa. Por ejemplo, en Mecnica, la duracin de un fenmeno queda fijada conociendo el nmero que indica horas, minutos o segundos.

Otras magnitudes, sin embargo, no quedan definidas por el solo conocimiento de su medida seguida

de la unidad en que se miden. Adems es necesario conocer la direccin y el sentido en el que actan. Por ejemplo, cuando se desea estudiar el movimiento de un proyectil en un disparo no basta conocer su velocidad, sino que, adems es preciso concretar la direccin y el sentido de su movimiento. No es lo mismo dispara un proyectil a 100 m/s verticalmente hacia arriba, que verticalmente hacia abajo u horizontalmente. Magnitudes de este tipo son la velocidad, la fuerza, la aceleracin.... y estas magnitudes se llaman magnitudes vectoriales. Para expresar las magnitudes vectoriales se hace uso de los vectores y por tanto se hace imprescindible un repaso al lgebra de vectores.

1. 1. 3. DEFINICIN DE VECTOR

Desde un punto de vista geomtrico, un vector, que representaremos simblicamente por vr

es un segmento rectilneo AB orientado. Los elementos caractersticos de un vector son:

- su origen o punto de aplicacin (A) y extremo (B)


2

- direccin: la de la recta que contiene o soporta el vector (recibe el nombre de recta soporte o recta de accin)

- sentido: dirigido de A a B e indicado por la punta de flecha colocada en el extremo B

- mdulo: medida del segmento AB

1. 1. 4. CLASIFICACIN DE VECTORES

Los vectores se clasifican en libres, deslizantes y ligados. - Vectores libres: son aquellos que pueden suponerse aplicados en cualquier punto del espacio.

Ejemplo: velocidad de los puntos de un slido rgido animado de un movimiento de traslacin. - Vectores deslizantes: pueden suponerse aplicados en cualquier punto de su recta de accin. Si la

accin de un vector deslizante no cambia si tomamos como origen cualquier punto de la recta de accin se utilizarn para representar magnitudes fsicas invariantes a una traslacin sobre la recta de accin.

Para que dos vectores deslizantes sean iguales, adems de equipolentes, tienen que tener la misma

recta de accin. Ejemplo: fuerzas sobre un slido rgido. - Vectores ligados (o fijos): son aquellos en los que est determinado su punto de aplicacin A. Por

tanto, representarn magnitudes vectoriales cuyo valor cambia de un punto a otro, por ejemplo la velocidad o aceleracin de un punto material. 1. 1. 5. REPRESENTACIN ANALTICA Y OPERACIONES CON VECTORES LIBRES

Sean los vectores libres 1vr

, 2vr

y 3vr

cuya suma queremos determinar. Para ellos elegimos un

punto cualquiera O, y a partir de l llevamos uno a continuacin de otro vectores equipolentes (iguales) a los vectores libres dados. El vector que cierra el contorno poligonal as obtenido es por definicin el vector suma de los vectores componentes. Si slo hay dos vectores 1v

ry 2v

r, la regla anterior conocida

como regla del polgono se reduce a la llamada regla del paralelogramo, que establece que la suma de dos

A

B


3

vectores est representada por la diagonal del paralelogramo construido tomando los vectores 1vr

y

2vr

como lados.

Adems de la representacin grfica de un vector libre, necesitamos una representacin analtica

del mismo que nos permita realizar analticamente operaciones matemticas como suma, resta, producto escalar, producto vectorial.... Para especificar un vector libre se proporcionan las componentes del vector respecto a un sistema de ejes arbitrario.

Comenzamos viendo las componentes de un vector v

ren el plano. Elegimos el sistema de

referencia ortogonal y proyectamos el vector vr

sobre los ejes coordenados: yv

r v

r

xv

r

A partir del dibujo y de la regla del paralelogramo se deduce que:

yx vvvrrr +=

siendo xvr

y yvr

los vectores componentes.

1vr

1vr

2vr

2vr

3vr 3v

r

vr

1vr

2vr

2vr

1vr


4

Aplicando el Teorema de Pitgoras, el mdulo del vector vr

en funcin de sus vectores componentes:

22222yxyx vvvvvv +=+=

Este resultado se puede trasladar al caso de tres dimensiones: Si se proyecta el vector v

rsobre los

tres ejes cartesianos, dichas proyecciones son las aristas de un paraleleppedo cuya diagonal es el vector vr , por tanto:

zyx vvvvrrrr ++=

2222222zyxzyx vvvvvvvv ++=++=

Un vector unitario es un vector de mdulo la unidad. Dado cualquier vector vv , podemos definir un vector unitario en la misma direccin y sentido de vv simplemente dividiendo por su mdulo:

vvurr =

A partir de la definicin de vector unitario, cualquier vector vv se puede escribir de la siguiente manera: uvv

rr = donde u

rindica la direccin y sentido del vector vv .

Designamos con las letras ir

, jr

y kr

a los vectores unitarios en las direcciones de los ejes

cartesianos X, Y y Z. Segn la definicin de vector unitario, las proyecciones del vector vr

sobre los ejes cartesianos se pueden escribir de la siguiente manera:

ivv xxrr =

jvv yyrr =

kvv zzrr =

( )zyxzyxzyx vvvkvjvivvvvv ,,=++=++= rrrrrrr

siendo ( )zyx vvv ,, la componentes cartesianas del vector vv . Se llaman cosenos directores del vector v

ra los cosenos de lo angulos que forma el vector con

las direcciones que definen los ejes cartesianos. Las expresiones de los cosenos directores se obtienen considerando los tringulos rectngulos OAP, OBP y OCP, para los cuales v es a hipotenusa:


5

222

coszyx

x

vvv

v

++=

222cos

zyx

y

vvv

v

++=

222cos

zyx

z

vvv

v

++=

Al sumar los cuadrados de los cosenos directores se obtiene la unidad:

1coscoscos222

2

222

2

222

2222 =++++++++=++ zyx

z

zyx

y

zyx

x

vvv

v

vvv

v

vvv

v

En la prctica, las operaciones con vectores se realizan expresndolos en trminos de sus componentes cartesianas. Revisamos las operaciones bsicas que se pueden realizar con vectores libres:

Sean los vectores: kajaiaa zyxrrrr ++=

kbjbibb zyxrrrr ++=

1. Suma y diferencia de vectores

( ) ( ) ( )[ ]kbajbaibaba zzyyxx rrrrmr ++= La suma y diferencia de vectores verifica las propiedades conmutativa y asociativa. 2. Producto de un vector por un escalar

Es otro vector kajaiakajaiaa zyxzyxrrrrrrr ++=++= )( que tiene igual direccin que el

vector ar

y el mismo sentido o el opuesto segn que el escalar sea positivo o negativo. 3. Producto escalar

El producto escalar de dos vectores ar

y bv

es un escalar que resulta de multiplicar entre s los mdulos de los vectores por el coseno del ngulo comprendido entre ambos:

cos= baba rr La expresin analtica del producto escalar en funcin de las componentes cartesianas de los vectores:

zzyyxx babababa ++=rr


6

Algunas propiedades y aplicaciones del producto escalar: 1) La proyeccin de un vector sobre otro es igual al producto escalar de los dos vectores

dividido por el mdulo del vector sobre el que se hace la proyeccin. Este hecho se entiende claramente si se considera el producto escalar de a

r por uno de los vectores unitarios segn los ejes coordenados:

xaia =rr

. Donde se ve claramente que iarr es justamente la proyeccin de ar sobre el eje X.

2) El producto escalar es conmutativo: abba rrrr =

3) El producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo: babarrrr = 0

4) El producto escalar de un vector por s mismo es igual al cuadrado del mdulo de dicho

vector: 2aaa = rr , por tanto aaa rr = 5) ngulo de dos vectores:

baba=rr

cos 4. Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores ar

y bv

, denotado como barr es un vector con las siguientes

caractersticas: - Mdulo: senbav = - Direccin: perpendicular al plano determinado por los vectores ar y b

v

- Sentido: regla de Maxwell (avance del tornillo o sacacorchos en el supuesto de que el primer vector vaya hacia el segundo por el camino ms corto)

La expresin analtica del producto escalar en funcin de las componentes cartesianas de los

vectores coincide con el desarrollo del siguiente determinante:

zyx

zyx

bbbaaakji

ba

rrsrr =

Algunas propiedades del producto vectorial son las siguientes:

1) El producto vectorial es anticonmutativo: ( ) ( )abba rrrr = 2) El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo: baba

rrrr = 0

3) babasensenbaba

==

5. Derivada de un vector

Sea un vector cuyas componentes dependen de un cierto parmetro t: ktvjtvitvv zyxrrrr

)()()( ++= . Se define la derivada del vector v

rcon respecto al parmetro t como otro vector cuyas componentes son


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las derivadas de las componentes del vector con respecto al parmetro t:

++= k

dttdv

jdt

tdvi

dttdv

dtvd zyx rrrr )()()(

.

6. Ecuaciones vectoriales Co frecuencia las leyes fsicas o los teoremas que de ellas se derivan establecen relaciones entre

magnitudes vectoriales en trminos de ecuaciones vectoriales, por ejemplo amFrr = . Las ecuaciones

vectoriales no son ecuaciones entre nmeros reales. El procedimiento para resolverlas se base en transformarlas en sistemas de ecuaciones entre nmeros reales utilizando para ello el hecho de que dos

vectores ar

y br

sean iguales es equivalente a que lo sean cada una de sus componentes correspondientes. Por ejemplo:

=++=++=++

=++zzzz

yyyy

xxxx

baaabaaabaaa

baaa

321

321

321

321rrrr

Supongamos que en la ecuacin vectorial del ejemplo las incgnitas fueran xa1 , ya2 y zb .

Resolviendo el sistema se tendra:

zzzz

yyyy

xxxx

aaabaabaaaba

321

312

321

++===

Y los vectores incgnita seran:

kajaiaaba zyxxxrrrr

11321 )( ++= kajaabiaa zyyyxrrrr

23122 )( ++= kaaajbibb zzzyxrrrr

)( 321 ++++=


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1. 1. 6. REPRESENTACIN ANALTICA Y OPERACIONES CON VECTORES DESLIZANTES a) Coordenadas o componentes de un vector deslizante Para especificar un vector deslizante se necesita proporcionar las componentes del vector y la recta de accin. En este sentido, una forma (no exclusiva) de describir un vector deslizante es dando las componentes del vector y las coordenadas de un punto de la recta de accin: [ ])();,,();( kajaiaPPPaP zyxzyx rrrr ++=

Dichos parmetros se denominan coordenadas o componentes de un vector deslizante. Con los

vectores deslizantes, podemos definir un conjunto anlogo de operaciones al definido anteriormente para vectores libres. La nica salvedad es que dos vectores deslizantes slo pueden sumarse si la recta de accin es la misma o si sus rectas soportes se cortan en un punto. b) Momento de un vector deslizante respecto a un punto

Consideremos un vector deslizante );( aP r y sea ),,( zyx OOOO un punto arbitrario del espacio. Se define el momento del vector a

rrespecto a P como el siguiente vector:

zyx

zzyyxxO

aaaOPOPOP

kjiaPOaM == rrrr )(

P ar

P

ar

)(aMOrr

O


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Propiedades:

1. El vector )(aMOrr

es un vector ligado o aplicado en P. Si consideramos otro punto, en general se tiene

que )()( aMaM OOrrrr . Por tanto, no tiene sentido hablar simplemente del momento de un vector sin

hacer mencin al punto respecto al que se calcula.

2. El vector )(aMOrr

es perpendicular al plano generado por los vectores POr

y ar

.

3. Sean O y O dos puntos arbitrarios del espacio. Los momentos del vector ar respecto a O y O estn relacionados mediante la expresin: aOOaMaM OO

rrrrrr += )()( . En efecto, se verifica que:

aOOaMaOOaPOaOOPOaPOaM OOrrrrrrrrrrrrrrr +=+=+== )()()(

donde hemos usado que OOPOPOrrr

+= .

4. Por la propia definicin de vector deslizante, el vector )(aMOrr

es independiente del punto P que

tomemos sobre la recta de accin. En efecto, consideremos otro punto P sobre la recta de accin y designemos por )( aM O

rral momento respecto al punto O:


10

)()()( aMaPOaPPaPOaPPPOaPOaM OOrrrrrrrrrrrrrrr ==+=+==

c) Momento de un vector deslizante respecto a un eje

Se define como la proyeccin sobre dicho eje del momento de ese vector respecto a un punto cualquiera del eje. Matemticamente dicha proyeccin (magnitud escalar) se calcula:

EOOE uaMaMoyMrrrrr == )()(Pr , siendo Eur un vector unitario a lo largo de la direccin del eje.

Por las caractersticas de un vector deslizante, el valor del momento respecto a un eje debe ser independiente del punto O que tomemos sobre el eje:

EOE uaMMrrr = )( EOE uaMMrrr = )(

P ar

O

)(aMOrr

ar

P

P

ar

)(aMOrr

EJE

O

Eur

EM


11

[ ] [ ] EEEEOO EOOEOEOEE MMuaOOuaMaMaOOuaMaMuaMuaMMM

===+==

0)()()()(

))()(())(())(( rrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrr

puesto que EuOOaOOrrrr ,)( .

Es esta una relacin importante que nos va a aparecer con cierta frecuencia y que nos indica que, si bien los vectores momentos respecto de puntos distintos no son iguales, estn relacionados de forma que las proyecciones de esos vectores sobre la recta que une los puntos son iguales. Es decir, que dado un vector deslizante y una recta cualquiera del espacio, las proyecciones sobre la recta de los vectores momento del vector deslizante respecto de los puntos de la recta son iguales. A esta caracterstica se le da a veces el nombre de equiproyectividad. 1. 1. 7. SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES a) Definicin Se define un sistema de vectores deslizantes como un conjunto de vectores deslizantes.

Dado un sistema de vectores deslizantes { }naaaaa rrrrr ,......,,, 4321 , se define la resultante de dicho

sistema como el vector libre calculado de la siguiente manera:


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=

=n

iiaR

1

rr

Se define momento resultante del sistema respecto a un punto O al vector ligado resultado de sumar los momentos, respecto a dicho punto, de los vectores del sistema:

)(1

i

n

iOO aMM

rrr =

= Para obtener el momento resultante de un sistema de vectores deslizantes, respecto a un punto

O, conociendo su momento OMr

respecto a un punto O, basta sumar a OMr

el momento respecto a O de

la resultante supuesta aplicada en el punto O. Lo demostramos:

[ ] [ ] [ ] )()()()(1111111

i

n

nO

n

ni

n

ni

n

ni

n

nii

n

ii

n

iOO aMaOOaPOaOOaPOOOaPOaMM

rrrrrrrrrrrrrrrr =======

+=+=+===

OO MROOMrrrr +=

b) Invariantes de un sistema de vectores deslizantes Dado un sistema de vectores deslizantes, el conjunto de todos los vectores momentos definidos en todos y cada uno de los puntos del espacio se denomina campo de momentos. Conocida la resultante

Rr

y el momento en un punto O, OMr

queda completamente definido el campo de momentos generado

por el sistema. Se llama invariante de un sistema de vectores deslizantes a aquella magnitud que permanece constante (invariante) independientemente del punto O escogido. Los dos invariantes bsicos de un sistema de vectores deslizantes son:

1. La resultante Rr

. En su definicin no aparece el centro de momentos. Este invariante se denomina invariante vectorial.

2. El producto escalar RMOrr . Sean O y O dos puntos arbitrarios, entonces:

RMRROORMRROOMRM OOOOrrrrrrrrrrrrr =+=+= )()(

por tanto RMRM OOrrrr = ya que 0)( = RROO

rrr puesto que RROO

rrr )( . A este invariante se le denomina invariante escalar y tambin recibe el nombre de automomento.


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A partir de estos dos invariantes se pueden definir otros. Uno de ellos es la proyeccin de

OMr

sobre la resultante Rr

. Si llamamos m a dicha proyeccin, entonces:

R

RMRRMuMm OORO r

rrrrrrr ===

de donde se deduce que m es un invariante ya que lo son el numerador y el denominador. El escalar m se denomina momento mnimo del sistema de vectores deslizantes. Tambin suele definirse el vector momento mnimo, mr que es un vector cuyo mdulo es m y cuya direccin y sentido coinciden con los de la resultante. Matemticamente se expresa como Rumm

rr = , siendo Rur un vector unitario en la direccin de R

r. El mdulo del vector momento mnimo es menor (o igual) que el mdulo de cualquiera de los

vectores del campo de momentos del sistema de vectores deslizantes:

OOOO

R MMRRM

R

RMmmumm ===== coscosr

rrrrr

O

siendo cos el ngulo formado por los vectores OMr

y Rr

. c) Eje Central Acabamos de ver que el vector momento vara de un punto a otro. Se denomina eje central de un sistema de vectores deslizantes al lugar geomtrico de los puntos del espacio en los que el vector

momento resulta ser el vector momento mnimo Rummrr = . El momento mnimo tiene la direccin de Rr ,

por tanto, el eje central es el lugar geomtrico de los puntos en los que el vector momento OMr

es paralelo

a Rr

. Vamos a comprobar que el eje central es una recta:

Supongamos que C es un punto del eje central, entonces RC ummMrrr == . Sea Q un punto

arbitrario. El momento respecto a Q vendr dado por RCQMM CQrrrr += . Para que Q pertenezca al

eje central debe cumplirse que mMM CQrrr == , de manera que RCQRCQ rrrr = 0 . Por tanto, el

eje central es una recta paralela a Rr

.

Si para un punto C del eje central, RMCrr

y cuando dos vectores son paralelos sus componentes

son proporcionales, se sigue que la ecuacin del eje central es:

z

z

y

y

x

xzyxzyxC R

MRM

RMRRRMMMRM ==== ),,(),,( rr


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A partir de la definicin de eje central se pueden deducir algunas propiedades de simetra del campo de momentos de un sistema de vectores deslizantes: 1. El momento resultante de un sistema de vectores deslizantes presenta igual mdulo en puntos situados a igual distancia del eje central.

El momento resultante OMr

de un sistema de vectores deslizantes respecto a un punto arbitrario

O puede escribirse en funcin del momento mnimo de un punto del eje central como

RCOmMOrrrr += . Dado que Rr es un vector libre, el ngulo formado por los vectores CO r y Rr y la

distancia OC son magnitudes constantes para puntos situados a igual distancia del eje central por lo que

en todos estos puntos cteMO =r

, aunque no la direccin y sentido de dicho vector ya que cambia el

plano definido por COr

y Rr

. El mdulo del momento resultante es constante en todos los puntos situados sobre una superficie cilndrica coaxial con el eje central. Esto es, el campo de momentos presenta simetra cilndrica respecto al eje central.

2. El momento resultante de un sistema de vectores deslizantes es igual (mdulo, direccin y sentido) en puntos de una recta paralela al eje central. En tales puntos, adems de las condiciones descritas en el apartado anterior se verifica que es el mismo el plano, por tanto el vector producto

vectorial, definido por los vectores COr

y Rr

.

d) Momento de un sistema de vectores deslizantes respecto a un eje Se define como la proyeccin sobre el eje del momento resultante de un sistema de vectores deslizantes respecto a un punto cualquiera del eje. Coincide con la suma de los momentos de cada uno de los vectores deslizantes respecto al eje:

)())(())((111

i

n

iOEi

n

iOEi

n

iOEOE aMuaMuaMuMM

rrrrrrrrr ===

====


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Todo lo visto hasta ahora o lo que se describe a continuacin es vlido igualmente para un sistema de vectores fijos. En ese caso los vectores fijos vendrn especificados por los vectores libres asociados y los puntos de aplicacin. 1. 1. 8. REDUCCIN DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES Dos sistemas de vectores deslizantes son iguales si contienen exactamente los mismos vectores. Sin embarbo, en muchas ocasiones la relevancia de un sistema de vectores no est tanto en los detalles de los vectores que lo componen sino en los momentos que producen en los distintos puntos del espacio. Si dos sistemas producen los mismos momentos respecto de cualquier punto los llamamos sistemas equivalentes. Una reduccin de un sistema de vectores es otro sistema de vectores que sea equivalente y resulte ms sencillo de manejar. Conviene ahora encontrar un criterio que nos permita determinar fcilmente cuando dos sistemas son equivalentes. El criterio nos lo proporciona el siguiente teorema: La condicin necesaria y suficiente para que dos sistemas sean equivalentes es que tengan la misma resultante y el mismo momento respecto de un punto dado. Aplicando este teorema se obtiene que la reduccin ms general consiste en tres vectores, uno de ellos coincide con la resultante pasando por un punto cualquiera O del espacio y los otros dos forman un par de vectores de momento igual al momento resultante del sistema respecto al punto O.

Cuando el punto O es un punto del eje central se denomina reduccin cannica del sistema de

vectores deslizantes. En el caso en el que 0= RMOrr

siendo 0Rr la reduccin ms sencilla es la resultante aplicada en un punto del eje central. Si tenemos el caso en que 0=Rr y 0OM

r, la reduccin

ms sencilla es un par que proporcione ese momento.

{ } { }FFRFFFTeorema n rrrrrr ,,........,: 21


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NOTA. Caractersticas del campo de momentos creado por un par de vectores:

El par de vectores produce el mismo momento respecto de cualquier punto del espacio. Excepcionalmente podramos pues prescindir del punto respecto del cual estamos considerando el momento y hablar solo del momento del 1.1.9. SISTEMAS DE VECTORES CONCURRENTES

Si el sistema de vectores deslizantes es concurrente, esto es, si las rectas de accin de todos los

vectores se cortan en un punto comn Q, el momento respecto a dicho punto de interseccin QMr

es

nulo. En este caso, la expresin del clculo de momentos se reduce a:

RQPM Prrr =

que constituye el denominado teorema de Varignon que dice que el momento de un sistema de vectores deslizantes concurrentes en Q respecto a un punto arbitrario P es igual al momento de la resultante, aplicada en Q, respecto al punto P. En cualquier punto P, es fcil comprobar que el automomento es cero

0= RM Prr

ya que segn el teorema de Varignon se tiene que RM Prr . Si el momento mnimo es

nulo, la reduccin cannica del sistema se reduce a Rr

aplicada en un punto del eje central, esto es en Q.

FPQFQOFPOM Orrrrrrr =+= )(


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1. 1. 10. SISTEMAS DE VECTORES FIJOS PARALELOS Un sistema de vectores paralelos es aquel en el que sus rectas de accin son paralelas entre s.

Sea ur

un vector unitario en la direccin de las rectas de accin. Los vectores paralelos se pueden expresar como: ua ii

rr = siendo iii aa == r donde el signo indica que iar tiene el mismo sentido o sentido opuesto que ur .Y

por tanto, la resultante: =

=n

iiuR

1

rr .

Algunas propiedades:

- En cualquier punto O, el automomento es cero: RMRM OOrrrr = 0 . Es fcil

comprobarlo:

===

===n

iOii

n

iii

n

iiiO uMuPOuPOaPOM

111

)()()( rrrrrrrrr

Si RMuR Orrrr

- El momento mnimo es nulo, por tanto la reduccin cannica del sistema de vectores paralelos

se reduce a Rr

aplicada en un punto del eje central

- Consideremos ahora los vectores naaaarrrr .............,, 321 ligados a puntos P1, P2, P3........Pn de

sus rectas de accin.


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Se escoge un sistema de referencia de origen O y sean nrrrrrrrr

.........,, 321 los vectores de posicin

de los vectores (dirigidos desde O hasta Pi). Denominamos rr

al vector de posicin respecto de O

de un punto cualquiera del eje central C en el que suponemos aplicada la resultante Rr

a la que

se reduce el sistema. Por ser Rr

equivalente al sistema de vectores paralelos, su momento respecto al origen O del sistema de referencia debe coincidir con el momento resultante del sistema respecto a este punto, esto es:

ururRrMn

iiii

n

iiO

rrrrrrr === == 11

011111

=

==

=====urrururur

n

iii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

rrrrrrrrr

Expresin que solo se verificar si el vector diferencia del parntesis es paralelo a ur :

umr

rukrrurrn

ii

n

iiin

iii

n

ii

n

iii

n

ii

rr

rrrrrrr +==

=

=====

1

1

1111

siendo m un nmero arbitrario, y para cuyos diversos valores obtendremos puntos de una recta, una recta que es el eje central. El vector de posicin de unos de los puntos del eje central viene dado por la expresin:

R

rrCO

n

iii

n

ii

n

iii

=

=

= == 1

1

1

rrr

a este punto se le llama centro de momentos del sistema de vectores paralelos.

En resumen, el centro de momentos de un sistema de vectores paralelos aplicados tiene dos

propiedades importantes:


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1. Est contenido en el eje central del sistema de vectores 2. El momento del sistema de vectores paralelos respecto a un punto Q se puede escribir de la siguiente manera:

RCQMRCQM CQrrrrrr =+=

puesto que si el punto C pertenece al eje central .0== mM C rr

Si el parmetro i representa la masa im de las partculas de un sistema material, C es el

denominado centro de masas.

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