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CAPITULO 4: CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DEmIR EN nIR

En este captulo se estudia la nocin de funcin diferenciable de varias variablesreales. Anlogamente, como en el caso de una variable, se estudia primero losconceptos de lmite y continuidad, recordando previamente nociones de AlgebraLineal, conjuntamente con algunas nociones topolgicas en nIR , con el fin depresentar un lenguaje consistente con las nociones a revisar en este curso decalculo en varias variables.Se presenta tambin el concepto de diferenciabilidad de una funcin, as como losteoremas que permiten operar con funciones diferenciables de varias variablesreales.Se presentan ejemplos y grficas construidas con el Software MAPLE 8 y al final decada tpico, un listado de ejercicios para ser desarrollados por el lector.

4.1 LMITE Y CONTINUIDAD

NOCIONES PREVIAS

El Espacio nIR

IRxxxxXIR inn /),...,,( 21 , es un espacio vectorial sobre IR. ),...,,( 21 nxxxX esun vector de nIR y recibe el nombre de n-upla.

Adicin: nnn IRxIRIR / YXYX ),( es suma de X e Y, donde),...,,( 2211 nn yxyxyxYX .

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Producto por Escalar: nn IRxIRIR / ),...,,(),( 21 nxxxXX ),,( nIRes un espacio vectorial con vector nulo )0,...,0,0( . Para nn IRxxxX ),...,,( 21 , elopuesto de X, -X, es el vector ),...,,( 21 nxxxX .

Producto Escalar en nIRSi ),...,,( 21 nxxxX , nn IRyyyY ),...,,( 21 . El producto escalar YX (tambindenotado por YX , ) es el nmero real definido por nn yxyxYX ...11

Propiedades del Producto EscalarPara todo nIRZYX ,, IR , ; se tiene:

1 XYYX 2 0 XX3 00 XXX4 )()()( ZXYXZYX

Norma EuclideanaPara nIRX se define 2/1)( XXX , y se llama la NORMA EUCLIDEANA delvector X.

Teorema 1: (Desigualdad de Schwarz)Para todo nn IRIRYX ),( se tiene: YXYX

Ejemplo 1: Sea IRIRf 3: tal que;

)0,0,0(),,(0

)0,0,0(),,()/()cos(),,(222

zyxsizyxsizyxxxyzzyxf

Determine IRk y INn tales que 3IRP : nPkpf )(Solucin: ,3 IRP PPPPxzyxPf 232 //)cos()( .

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As PPfIRP )(:3 . En efecto, basta entonces tomar k=1 y n=1.PROPIEDADES DE LA NORMA

TEOREMA 2: Cualesquiera que sean p, q nIR , :IR1 0p2 pp 03 pp 4 qpqp

Observaciones: Se puede probar (Ejercicio)a) qpqp b) qpqp

Distancia EuclideanaDEFINICION: Sean ., nIRYX Se llama Distancia Euclideana, d(X,Y), al nmero:

YXYXd ),(

PROPIEDADES DE LA DISTANCIACualesquiera que sean nIRZYX ,, :a) YXYXd 0),(b) 0),(),( XYdYXdc) ),(),(),( YZdZXdYXd (Desigualdad triangular)

Vectores OrtogonalesDEFINICIN: Sean ., nIRYX Se dice que X e Y son Ortogonales si 0YXTeorema 3: (Si n=2 o n=3). Para nIRYX , , )cos( YXYX , donde es elngulo que forman los vectores X e Y.

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Nociones Topolgicas en nIR

1. Bolas abiertas y Bolas cerradas en nIR

DEFINICIN:

1.1 Sea nIRP 0 y 0r . Se llama Bola Abierta de centro 0P y radio r, al conjuntodenotado por ),( 0 rPB y definido por rPPdIRPrPB n ),(:),( 00 .

1.2 Anlogamente se define por: rPPdIRPrPB n ),(:),( 00 la Bola Cerradade centro 0P y de radio r.

Ejemplos:En IR, rPrPrPB 000 ,),( es la Bola abierta de centro 0P y radio r.

rPrPrPB 000 ,),( es la Bola Cerrada de Centro 0P y radio r.

En 2IR , para ),( 000 yxP ; 2202020 )()(:),(),( ryyxxIRyxrPB es la BolaAbierta de centro 0P y radio r. 2202020 )()(:),(),( ryyxxIRyxrPB es laBola cerrada de centro 0P y radio r.

En 3IR , para ),,( 00,00 zyxP ; 220202020 )()()(:),(),( rzzyyxxIRyxrPB es la Bola Cerrada de Centro 0P y radio r.

2. Conjuntos Cerrados y Conjuntos Abiertos

DEFINICIN:2.1 Sea nIRA se dice que A es ABIERTO si 0, rAp tal que ArpB ),( .2.2 Sea nIRB se dice que B es Cerrado si BIRn es abierto.

Teorema 4: Toda Bola Abierta en nIR es un conjunto abierto.

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OBERVACIONES: Se puede probar que: La reunin de un nmero cualquiera de conjuntos es un conjunto abierto. La interseccin de un nmero de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. La reunin de un nmero finito de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. La interseccin de un nmero cualesquiera de conjuntos cerrados es un conjunto

cerrado.

Puntos adherentes, puntos de acumulacin, puntos interiores y puntosfrontera de un conjunto.

DEFINICIN: Sea nIRA y nIRP 0

1. Se dice que 0P es un PUNTO ADHERENTE de A, si para toda bola ),( 0 rPB secumple: ArPB ),( 0 .

Notacin: A = conjunto de todos los puntos adherentes de A, A se llama laADHERENCIA de A.

2. Se dice que 0P es un PUNTO DE ACUMULACIN de A si para toda bola),( 0 rPB se cumple: )(),( 00 PArPB

Notacin: A= conjunto de todos los puntos de acumulacin de A.

3. Se dice que 0P es un PUNTO INTERIOR de A si existe 0r tal que:ArPB ),( 0

Notacin: 0A= conjunto de todos los puntos interiores de A.

4. Se dice que 0P es un PUNTO FRONTERA de A si 0P es adherente a A y aAIRn .

Notacin: Fr(A) denota al conjunto de todos los puntos frontera de A.

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Es claro que: .;;0 AAAAAA

Ejemplo: Si 10:),( 2 yxIRyxA ; entonces 10:),( 2 yxIRyxA ; )0,0(1:),()( 2 yxIRyxAFr y AAA )0,0( .

Conjuntos Acotados, Conjuntos Compactos

DEFINICIN: Sea nIRB , se dice que es ACOTADO si existe IRN tal que:., NPBP

Se dice que B es COMPACTO si B es cerrado y acotado.

Ejemplos:

1. Si 3,1:),,( 223 zyxIRzyxB , es un conjunto compacto, porque escerrado y acotado.

2. Si 1:),,( 223 yxIRzyxC , entonces C no es acotado, luego no escompacto.

3. Si 41:),( 2 yxIRyxD , entonces D no es cerrado, luego no escompacto.

4.1.1 Funciones de en nIR

DEFINICIN: Sea nm IRIRAf : . Si n=1, se dice que f es una FUNCIN REAL(o escalar).Si m=n, diremos que nm IRIRAf : es un CAMPO VECTORIAL en .Si m=1 y A es un intervalo abierto de IR , diremos que f es una CURVAPARAMETRIZADA en nIR .

Se llama GRAFICO de f y se denota por fG al subconjunto de nm IRIR definido por:

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.)(:),( XfYIRIRYXG nmf Si n=1 y IRa al conjunto aXfIRXaN n )(:)( se llama CONJUNTO DENIVEL de f.Para n=1 y m=1 o 2, fG se puede representar geomtricamente.

Aplicacin 1: Si IRIRf 2: tal que 22),( yxhyxf . Es una funcin cuyasimgenes son valores reales y puede representarse geomtricamente en tresdimensiones, es decir en 3IR . Se define su grfico 222 ),(:),,( IRyxyxhyxG f .

fG se llama paraboloide de revolucin (se obtiene al hacer rotar la curva deecuacin 2xhz , en torno al eje y) . Es una superficie en 3IR y los conjuntos denivel de f son curvas (circunferencias) en 2IR .Para cNhc , . Para )0,0(, cNhc .

Para chyxIRyxNhc c 222 :),(, , son circunferencias de centro (0,0) y deradio ch .En las siguientes figuras se aprecia el paraboloide invertido y a la derecha las curvasde nivel de la funcin.

S M

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Aplicacin 2:Si IRIRf 2: , tal que yx

yxyxf )sen()sen(),( , es una funcin cuyas imgenes son

valores reales, y su grfico se asemeja a la reaccin de una superficie de agua, enun tiempo despus de recibir el impacto de una gota de agua.

Las imgenes adjuntas nos presentan la grfica de f, en el espacio tridimensional ylas curvas de nivel respectivas. Notamos adems que f no est definida en el punto(0,0), dado que f(0,0) implica la divisin por cero. Por eso que la grfica de lascurvas de nivel presenta un agujero.

Aplicacin 3: Si 2223 ),,(/: zyxzyxgIRIRg . Para 0c , el conjunto cN es lasuperficie de ecuacin cczyxczyx 222222 . cN se llama hiperboloidede una hoja. Despejando z en funcin de x e y, se tiene

cyxzcyxz 22222 . La siguiente superficie es el conjunto de nivel def. La superficie no posee proyecciones en el plano XY para cyx 22 . Al inducirplanos de corte paralelos al plano XY, se generan circunferencias de radio ck 2 .En efecto, ckyxkz 222

S

M

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Para czczczczyxc 22222 0,0 . cN es una superficie yse llama hiperboloide de dos hojas. En efecto, al despejar z en funcin de x e y se

tiene: cyxz 22 . Se puede apreciar que z existe para cualquier valor de x e y,dado que c es negativo. Es decir al inducir planos de corte paralelos al plano XY,cuando ckz , se generan circunferencias de radio ck 2 .

S P S P

X Y Z( )

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222222 0,0 zyxzyxc . cN es una superficie y se llama cono.

Aplicacin 4: Sea 2/3220

22)(

4),(/: yxjyixqyxEIRIRE

. Se trata de una

campo vectorial, cuyas imgenes son vectores en 2IR . E es el campo vectorial en elvaco, generado por una carga elctrica de intensidad q y 0 es la permitividad delvaco (propiedad fsica). Se puede demostrar que en las circunferencias concntricas

con centro en (0,0), la magnitud de E es constante. En efecto, a una distancia r delcentro, un punto

2/3

02/322

022222 ),(/),(4)/(4),( yxyx

qyxjyixqEryxPIRyxP

Por lo tanto la magnitud del campo (funcin) vectorial puede expresarse en trminosde la distancia del punto P del plano, donde se evala el campo, al origen (0,0),segn: 2

0

14 rqE , expresin conocida para la intensidad de campo elctrico

generada por una carga elctrica aislada en el vaco a una distancia r del origen.

M N( )

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Aplicacin 5: Sea ))sen(),(cos()(/: 2 tttRIRIRAR . Se trata de una hlicecircular, al construir fG , se tiene: 20:))sen(),cos(,( 3 tIRtttG f .

DEFINICIN 2: Sea nm IRIRAf : , definimos el dominio de una funcin segn, )(,:)( XfYIRYIRXfDom nm .

Aplicacin: Si ),1(),(/: 2222 yxyxyxfIRIRf , entonces el dominio de fser el conjunto de puntos en 2IR , tales que las imgenes de la primera componentey la segunda componente de f existan; esdecir: xyyxIRyxfDom ,1:),()( 222 . Este conjunto genera una regin enplano cuyos puntos son interior al circulo de radio uno y superior a la recta deecuacin xy , incluida la frontera que tambin pertenece al dominio de la funcin.

4.1.2 LIMITE DE UNA FUNCIN

DEFINICIN: Sean .,,:, 0 nnm IRLAPIRAfIRA Se dice que )(Pf TIENDE AL CUANDO P TIENDE A 0P , con P en A si 0,0 tal que:

.)(,0 0 LPfAPPP Se escribe: LPf )( cuando 0PP

X Y Z( )

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Notacin: Si LPf )( cuando 0PP , con AP , escribiremos:L

P0Pf P( )lim

DEFINICIN: Caso )1,2( nm . Sea IRIRAf 2: , y IRL . Se diceque ),( yxf tiende a L cuando ),( yx tiende a ),( 00 yx ; con ),( yx en A si 0 , existe

0 tal que: Lyxfyyxx ),()()(0 2020 . Se escribe Lyxf ),(cuando Ayxyx ),(),( 00 .

Ejemplo 1:

4 1( )x y( )3x 2y( )lim

14

Mostremos aplicando la definicin de lmite que este resultado es correcto. Notemosque )1,4(2)1,4(31243)1(2)4(31423 yxyxyxyxyx

22 )1()4(5)1,4(5 yxyx . Ahora bien, 0 , existe 5/ tal que: 5)1,4(5142314),()1,4()1,4(),(0 yxyxyxfyxyx

Pero como se esta considerando un 5/ , entonces se consigue mostrar que14),( yxf . En efecto, al aplicar la definicin de lmite se muestra lo propuesto.

Ejemplo 2: Mostrar que:

0 0( )x y( )x2 sen x2 y2

x2 y2lim

0

En efecto, al evaluar directamente la funcin 22222 )(),( yxyxsenxyxf

en el punto

(0,0), claramente notamos una indefinicin dado que implica la divisin por cero. Sinembargo; al aplicar la definicin de lmite podemos, observemos que:

),(),(1),(

),()(0)(

2222

22

222yxyx

yxyx

yxsenxyxyxsenx

. En efecto, tomando ,

se tiene que 0 , existe , tal que

2222

22222 ),()(0),(0 yxyxyx

yxsenxyxfyx . Por lo tanto

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el lmite existe y es cero. Por otra parte, al apreciar las grficas de f, una vista desdearriba (en la direccin el eje z), confirma que la funcin en las vecindades de (0,0)est definida; dado que no se presentan hoyos como imgenes del punto (0,0).

S S

Teorema 1: (Unicidad del Lmite) Si 1)( LPf cuando 0PP y 2)( LPf cuando0PP , con AP , entonces 21 LL

Aplicacin: Sea )/(2),( 22 yxxyyxf . Mostrar que el lmite de f no existe, cuando)0,0(),( yx . En efecto, sea )0,0(:),( xyyxA . Entonces tomando el lmite

de f, cuando )0,0(),( yx , pero con Ayx ),( , se tiene:

0 0( )x y( )f x y( )lim

0 0( )x y( )f x x lim

0 0( )x y( )2 x x

x2 2 x2lim

1 2

Este resultado, contradice la unicidad del lmite, dado que depende de la direccin (otrayectoria) con la cual el punto )0,0(),( yx . Por lo tanto el lmite de esta funcinno existe cuando )0,0(),( yx .

Teorema 2: Sean ),...,(,),...,(,,: 110 nnnnm ffFIRllLAPIRIRAF se tiene:L

P0PF P( )lim

P0Pfi P( )lim

li para todo i=1,n

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Aplicacin: Sea 22: IRIRAG tal que ),)((),( xyxxsenyxG . Por simple inspeccin:

0 0( )x y( )G x y( )lim

0xsen x( )

xlim 0 0( )x y( )x ylim

1 0( )

Por lo tanto, (1,0) es el limite de ),( yxG , cuando )0,0(),( yx .

Teorema 3: Sean IRIRAgIRLAPIRIRf mnnm :,,,: 0 . Si AP ,)()( PgLPf y si :

P0Pg P( )lim

0 entonces

P0Pf P( )lim

L

Aplicacin: Sea IRIRf 3: tal que )/()(),,( 222333 zyxzyxsenzyxf ; setiene:

PPP

PPPP

Pzyx

zyxzyxsenPf 33)()( 2

3

2

333

2

333

222333

Luego, 0)( Pf si )0,0,0(P , dado que 03 P .

LGEBRA DE LOS LMITESTeorema: Sean APIRIRAgf nm 0,:, , si:

P0Pf P( )lim

L1 y P0P

g P( )lim

L2

Entonces:1. 21))(( LLPgf cuando 0PP 2. 1))(( LPf cuando 0PP 3. Si f es real, 21)()( LLPgPf cuando 0PP .

4. Si f y g son reales )1( n y 02 L , entonces:21

)()(

LL

PgPf cuando 0PP

5. Si f es real, 0f y INk

P 0Pk f P( )lim

k L1

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De este teorema resulta que si f es una funcin polinmica de varias variables,entonces mIRP 0

P 0Pf P( )lim

f P 0

Ejemplo: Si 22),( yxyxyxf , entonces:

x0 y0 x y( ) f xy( )lim x0 y0 x y( ) x2 xy y2lim

x02 x0y0 y02

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Listado de Ejercicios N 4.1: LmiteI Curvas de Nivel

1. Bosqueje las siguientes superficies usando curvas de nivel:a) 11694

222 zyx b) 499 222 zyx

c) 499 222 zyx d) 023 22 zyx

e) 49422

2 zyx f) 022 zyx

II Topologa2. Represente grficamente los siguientes conjuntos e indique: interior, adherencia,frontera y puntos de acumulacin; diga adems si es un conjunto cerrado o niabierto ni cerrado.

a) 10:),( 2 yxIRyxAb) 1:),,( 223 zxIRzyxBc) 1:),,( 2223 zyxIRzyxCd) 10:),( 222 yxIRyxDe) 10:),( 222 yxIRyxEf) xyxIRyxF 22 :,g) 2:, 22 xxyIRyxGh) 1:,, 3 zyxIRzyxHi) 1,1,1:,, 3 zyxIRzyxIj) 0144:,, 2223 xzyxIRzyxJIII. Lmites

3. Calcule los siguientes lmites, si existen:

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a) 2232

)0,0(),(lim

yxyyx

yx

b) 422

)0,0(),(lim

yxxy

yx

c) 4423322

234

)0,0(),(lim

yxyyxyx

yx

d) )cos()1,1(),(lim xyeyx

x

e) yxyxyyxx

yx 222

)1,2(),(lim 223

f) 44222222 34

)0,0(),(lim

yxyxyxyx

yx

g) yxxyxyx

yx

323

)0,0(),(lim h) probar que x

yyx )0,0(),(lim no existe.

4. Analice los siguientes lmites.

a) 1)0,0(),(lim

22

22

yxyx

yx b) 2222 11

)0,0(),(lim

yxyx

yx

c) 22)0,0(),(lim

yxxy

yx d) xyxyx cos)0,0(),(

lim 3

e) 2233 )(

)0,0(),(lim

yxyxsen

yx

f) 222222

)()cos(1

)0,0(),(lim

yxyxyx

yx

g) 22333

)1()1(

)1,1(),(lim

yxyxxyx

yx

5. Si ,),()0,0(),(lim Lyxfyx y si existen los dos lmites

),(lim),(lim yxfbyyyxfax demostrar que:

Lyxfaxbyyxfbyax

),(limlim),(limlim

Los dos ltimos lmites se llaman lmites iterados; el ejercicio pone de manifiesto quela existencia del lmite bidimensional y la de los dos unidimensionales implica laexistencia e igualdad de los lmites iterados. (El recproco no siempre es cierto,encuentre un contraejemplo).

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4.1.3 CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

DEFINICIN: Sea .: 0 mnm IRyPIRIRAf Se dir f es CONTINUA en 0P si:AP 0 y

P 0Pf P( )lim

f P 0

Aplicacin: Sea IRIRf 2: tal que

)0,0(),(0)0,0(),()(),( 22

22

yxsiyxsiyx

yxxyyxf

Evaluando algebraicamente la funcin en el punto )0,0( , se tiene el problema de ladivisin por cero. Sin embargo la funcin define 0)0,0( f y adems, estudiando ellmite de f cuando )0,0(),( yx , se tiene:

0),(),(),()(0)( 22222

2222

yxyxyxyxyxyx

yxyxxy cuando )0,0(),( yx y

segn teorema 3, se tiene claramente que 0),( yxf si )0,0(),( yx . Enconsecuencia, la funcin es continua; es decir:

00( )xy( )fxy( )lim

f00( )

TEOREMA 1: (Composicin de funciones continuas)Sean .:,: , nnm IRBgIRBIRAf Si f es continua en 0P y g es continua en

)( 00 PfQ entonces fg es continua en 0P .

Ejemplo: Sean 22),( yxyxf y la funcin

01

0,)(xsi

xsixsenx

xg

f es continua en )0,0( porque es una funcin polinmica . Adems, g es continua en0)0,0( f , en efecto, fg es continua en )0,0( , es decir:

0 0( )x y( )g f x y( )( )lim

0 0( )x y( )sen x2 y2

x2 y2lim

1

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S

TEOREMA: (lgebra de las Funciones continuas).

Sean AAPIRIRAgf nm 0,:, , tales que f y g son continuas en 0P . Entonces:1. gf es continua en 0P2. f es continua en 0P3. Si gfn ,1 es continua en 0P .4. Anlogamente, si 0)( 0 Pg la funcin gf / es continua en 0P .

Aplicacin: )/(2),( 22 yxxyyxf es una funcin no continua en el punto)0,0( (Aplicacin teorema 1 de lmite de una funcin). Sin embargo, )0,0(),( yx es

una funcin racional cuyo numerador y denominador son polinomios y continuosrespectivamente, entonces ),( yxf es continuo )0,0(),( yx , es decir:

x 0 y 0 x y( ) f x y( )lim f x 0 y 0

DEFINICIN: Sea nm IRIRAf : y AB , se dice que f es continua sobre B si ellaes continua en todo punto de B.

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Ejercicio: Sea, 1),( 2222

yxyxyxf si 122 yx y 0),( yxf si 122 yx . Estudiar la

continuidad de f para todo 200 ),( IRyx .

Resolucin: Consideramos los siguientes casos:Caso 1: Si Ayx ),( 00 donde 1:),( 222 yxIRyxA , entonces existe 0r tal que

AIRryxB 200 )),,(( ., de modo talque )),,((),( 00 ryxByx : 1),( 2222

yxyxyxf .

Luego, f restringida al abierto )),,(( 00 ryxB , es el cuociente de dos funciones continuascuyo denominador no se anula en ),( 00 yx , por lo tanto, f es continua en ),( 00 yx .

Caso 2: Si Ayx )( 00 . Sea AyxP ),( 000 . Entonces se tienen los siguientessubcasos:

Caso 2.1: Sea ),(:),( 0002 yxyyIRyxL . Tomando el lmite a lo largo deesta trayectoria por la izquierda se tiene:

x 0 y 0 x y( ) f x y( )lim x 0x f x y 0 lim x 0xx2 y 02

x2 y 02 1lim

Cuando 0xx , (Por la izquierda) 1202 yx . Entonces 1202 yx es siemprenegativo y

120220

2

yxyx .

Caso 2.2: Tomando el lmite, con Lyx ),( , cuando 0xx , 1202 yx y

1202 yx siempre es positivo, y adems

120220

2

yxyx

En resumen, ),( yxf no es continua en A.

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Podemos apreciar en la imagen, la discontinuidad de f en las vecindades de lospuntos que pertenecen al conjunto A. Cuando ),(),( 00 yxyx , con AyxP ),( 000 ,el limite de f no existe.

FUNCIONES ACOTADAS:

DEFINICIN: Sea IRIRAf m : . Se dice que f es ACOTADA si el conjunto APPfAf :)()( est contenido en un intervalo cerrado de IR o

equivalentemente: 0M tal que MPfAP )(: .

Aplicacin: 2222 )cos(),( yxyxxyyxf

, si )0,0(),( 2 IRyx y 0)0,0( f . Mostremosque f es acotada sobre 2IR . En efecto,

1),(1),(),(

),(1)cos(),( 2

2

22222

yxfyx

yxyxyx

yxyxxyyxf

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Listado N 4.2: Continuidad de las Funciones de Varias Variables

1. Sea .0)0,0()0,0(,2),( 22 fyyxsiyxxyyxf Demostrar que:

a) Para cada x fija, ),( yxf es una funcin continua de y.b) Para cada y fija, ),( yxf es una funcin continua de x.c) f no es continua en .0,02. Analice la continuidad de f en 2IR donde IRIRf 2: est definida por:

a) 00,0);0,0(,2),( 2233

fyxsiyx

yxyxf

b) 00,0);0,0(,),( 22 fyxsiyxyxyxf

c) 00,0);0,0(,1)(),( 2222

fyxsiyxsenyxyxf

d) 10,;11),( 22222222

yxsiyxfyxsiyxyxyxf

e) 00,0;0,0,),( 22 fyxsiyxxysenyxf

f) 00,0;0,0,, 2222

fyxsiyxyxyxf

g) 0)0,0(;0,0,),( fyxsiyxyxyxf

h)

xysiyyxsixyxf ),(

i) 0)0,0();0,0(,),( 22 fyxsiyxyxyxf

3. Sea IRIRf n : definida por: )0,...,0(,...,......),...,( 122

22

121

1 n

nn

n xxsixxxxxxxxf

y .0)0,...,0( f Determinar si f es o no continua en el origen de .nIR

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4. Si ),0,0(),( yx consideremos la funcin )./()(),( 2222 yxyxyxf Encontrar ellmite de ),( yxf cuando )0,0(, yx a lo largo de la recta .mxy Es posibledefinir )0,0(f de modo que f sea continua en ?0,0

4.2 FUNCIONES DIFERENCIABLES

4.2.1 FUNCIONES DERIVABLES DE IR EN nIR

DEFINICIN: Sean nIRbaf ,: y bat ,0 . Se dice que f es derivable en 0t siexiste el lmite de h

tfhtf )()( 00 cuando h tiende a cero, y en tal caso este lmite es

un vector de nIR que se denota por )/ 0tf . Es decir:nIRh

tfhtfhtf

)()(0

lim)( 000 .

PROPOSICIN 1: Si nIRbaf ,: , bat ,0 y ),...( 1 nffF , entonces f esderivable en 0t si y solo si cada una de las componentes jf de F es derivable en 0t yen tal caso se tiene: ))(),...,(()( 0010 tftftf n .

Ejemplos:1. Si 2: IRIRf es tal que )),(cos()( ktettf , entonces para todo IRt :

)),(()( ktketsentf 2. Si )),cos/),(()()),(),(cos()(,: 3 ktkt kettsentgetsenttgIRIRg

Interpretacin Cinemtica: Si la curva )(tft representa el movimiento de unapartcula, entonces )( 0tf representa el vector velocidad en el instante 0t . Si f es dosveces derivable; entonces )()()( 00 tftf es el vector aceleracin.

- 24 -

PROPOSICIN 2: Si nIRbaf ,: es derivable en 0t , entonces existe una funcinlineal nIRIRL : y una funcin nIRIRJ : definida en una vecindad del 0tal que:(1) h , suficientemente pequeo: ),()()()( 00 hhhLtfhtf y (2)

0h h( )lim

0

OBSERVACIN: La aplicacin lineal L se llama DIFERENCIAL DE f en 0t . L esnica y se denota por )( 0tdfL . Bajo esta forma puede generalizarse el conceptode funcin diferenciable para funciones nm IRIR .

4.2.2 DERIVADAS PARCIALES

DEFINICIN: Sean APIRIRAf m ,: . Se llama DERIVADA PARCIAL de f enel punto P, con respecto a la variable jx , y se denota por )(Px

fJ

, al lmite, si existe,

de:

hxxfxxhxxxf mmjjj ),...,(),...,,,,...,( 1111 cuando 0t , donde ),...,( 1 mxxP ; Es

decir:

hxxfxxhxxxf

hPxf mmjjjj

),...,(),...,,,...,(0

lim)( 1111 .

EJEMPLO 1: Sea 2222 )(),( yx

yxxyyxf , para todo )0,0(),( yx y 0)0,0( f .

Determinar las derivadas parciales de f en 2IR .Solucin:Caso 1 : Para todo )0,0(),( yx , 22

332222 )(),( yx

xyyxyxyxxyyxf

, es una funcin

racional cuyo numerador y denominador son polinomios continuos. Entonces:

- 25 -

2225324

222332232

)(4

)(2)())(3(),( yx

yyxyxyx

xxyyxyxyyxyxxf

2224235

222332223

)(4

)()())(3(),( yx

xyyxxyx

xyyxyxxyxyxyf

Caso 2: Para )0,0(),( yx , se debe aplicar la definicin de derivada parcial en unpunto, es decir:

000lim)0,(

0lim)0,0()0,(

0lim)0,0())0,1()0,0((

0lim)0,0(

hhh

hfhh

fhfhh

fhfhx

f

000lim),0(

0lim)0,0(),0(

0lim)0,0())1,0()0,0((

0lim)0,0(

hhh

hfhh

fhfhh

fhfhy

f

Ejemplo 2: Sea )cos(),( 2222 yxeyxh yx . Calcular las derivadas parciales deprimer orden de la funcin.

)(2)cos(2),( 2222 2222 yxsenexyxexyxxh yxyx

)(2)cos(2),( 2222 2222 yxseneyyxeyyxyh yxyx

Ejemplo 3: Estudiar continuidad de las derivadas parciales de 2222 )(),( yx

yxxyyxf ,

para todo )0,0(),( yx y 0)0,0( f .

Solucin:Caso 1: Para todo )0,0(),( yx , ),( yxx

f y ),( yxy

f son funciones racionales con

numerador y denominador, polinomios continuos, luego la divisin de polinomioscontinuos es una funcin continua.Caso 2: Sea )),0,0((),( rByx , entonces:

- 26 -

0),(6),(),(6

),(4

)(40),( 4

5

4

5324

2225324

yxyxyx

yxyyxyx

yxyyxyxyxx

f , cuando

)0,0(),( yx . Por lo tanto segn teorema mostrado

)0,0(0),()0,0(),(lim

xfyxx

fyx

;

Anlogamente:

0),(6),(),(6

),(4

)(40),( 4

5

4

4235

2224235

yxyxyx

yxyxyxx

yxxyyxxyxy

f y por

consiguiente; )0,0(0),()0,0(),(lim

yfyxy

fyx

En efecto, las derivadas parciales de primer orden de f, son funciones continuas entodo el dominio de f.

Ejemplo 4: Estudiar la continuidad de las derivadas parciales de)cos(),( 2222 yxeyxh yx .

Solucin: En efecto, sea 2),( IRyxP , entonces claramente,),( yxx

h y ),( yxy

h , son producto de funciones compuestas y continuas en funcin

de P , es decir:

),()(2)cos(2),( 002222 yxx

hPsenexPexyxxh PP

, cuando

),(),( 00 yxyx . Por lo tanto, ),( yxxh es una funcin continua en 2IR . La

continuidad de ),( yxyh se muestra anlogamente al caso ),( yxx

h .

Notaciones: fDxf

1 fDy

f2

- 27 -

PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS PARCIALESSean IRIRAgf m :, , si

ii xgyx

f

existen en un punto P de A, se tiene:

1. )()())(( PxgPx

fPgfx iii

2. )()()()())(( PxgPfPgPx

fPfgx iii

3. )()())(( 1 PxfPmfPfx i

mmi

4. 2))(()()()()(

))(( PgPx

gPfPxfPg

Pgf

xii

i

4.2.3 INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Si ),(,: 0002 yxPIRIRAf entonces )( 0Pxf es la pendiente de la recta tangente

a la curva ),( 0yxfx en el punto 0xx . Anlogamente para )( 0Pyf .

Por otra parte, si IRIRAf : , entonces la ecuacin de la recta tangente a lacurva representada por la ecuacin )(xfy en un punto ),( 00 yx de ella es:

))(( 000 xxxdxdyyy .

Ahora bien, para funciones ),(,: 0002 yxPIRIRAf , el conjunto fG representauna superficie en 2IR definida por ),( yxfz . Consideremos un punto

fGzyx ),,( 000 , y cortemos dicha superficie por el plano 0yy , la interseccin entrela superficie y el plano es la curva de ecuacin ),( 0yxfz que tiene como pendiente

en 0P la derivada parcial de f respecto a x y evaluado en 0x ; es decir ),( 00 yxxf .

- 28 -

Anlogamente, )( 0Pyf representa la pendiente de la curva ),( 0 yxfz en el punto

0P . Entonces: ))(,())(,(),(),( 00000000 yyyxyfxxyxx

fyxfyxf

Representa la ecuacin del plano tangente a la superficie ),( yxfz en el punto 0P .Aplicacin: Sea 22 1098),( yxyxf . Se pide determinar la ecuacin del planotangente a f en el punto )1,1(0 P .Solucin: Calculando las derivadas parciales de f se tiene:

20)1,1(20),(;18)1,1(18),(

yfyyxy

fxfxyxx

f . Por lo tanto, la

ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin ),( yxfz , en el punto)1,1(0 P es:

)1(20)1(1811)1()1,1()1()1,1()1,1(),(

yxzyyfxx

ffyxf

Luego, la ecuacin general del plano tangente es 272018 yxz . En la siguientefigura se aprecia la grfica de ),( yxfz con el plano tangente en el punto )1,1(0 P .

S G

- 29 -

DERIVADAS PARCIALES SEGUNDAS

Sea IRIRAf m : existe )(Pxfj

y si existe )(ji xf

x

en un punto P de A, se

denota por )(2

Pxxf

ji y se llama DERIVADA PARCIAL SEGUNDA de f con respecto

a las variables ij xx , en el punto P. En forma anloga se definen las derivadasparciales de orden superior.

Ejemplo: Sea 2222 )(),( yx

yxxyyxf , para todo )0,0(),( yx y 0)0,0( f . Calcular las

derivadas parciales segundas.Solucin: Conocidas las derivadas parciales de primer orden, entonces, para todo

)0,0(),( yx ,

322335

2225324

22

)(412

)(4)),((),( yx

yxxyyx

yyxyxxyxx

fxyxx

f

322335

2224235

22

)(412

)(4)),((),( yx

yxyxyx

xyyxxyyxy

fyyxy

f

322642246

22242352

)(99

)(4)),((),( yx

yyxyxxyx

xyyxxxyxy

fxyxyx

f

Anlogamente,

322642246

22253242

)(99

)(4)),((),( yx

yyxyxxyx

yyxyxyyxx

fyyxxy

f

Por otra parte, para conocer las derivadas parciales de segundo orden de f en elpunto )0,0(),( yx , se aplica la definicin, es decir:

0000lim)0,0()0,(

0lim))0,0(()0,0(2

2

hhh

xfhx

f

hxf

xxf

- 30 -

0000lim)0,0(),0(

0lim))0,0(()0,0(2

2

hhh

yfhy

f

hyf

yyf

10

0lim)0,0()0,(

0lim))0,0(()0,0( 4

52

h

hh

hhyfhy

f

hyf

xyxf

10

0lim)0,0(),0(

0lim))0,0(()0,0( 4

52

h

hh

hhxfhx

f

hxf

yxyf

Observamos que )0,0()0,0(22

xyf

yxf

.

TEOREMA DE SCHWARZ: Si IRIRAf m : es tal que en una vecindad del punto

P de A, ,ixf

ijjij xxfyxx

fxf

22, existen y son continuas, entonces se verifica:

).()(22

PxxfPxx

fijji

En efecto, no es cierto que ).()(22

PxxfPxx

fijji

Un claro ejemplo sera la funcin

definida anteriormente, donde se presenta el caso )0,0()0,0(22

xyf

yxf

.

4.3 FUNCIONES DIFERENCIABLES DE nm IRIR

DEFINICIN 1: Sean A un abierto de nm IRAfIR :, y AP 0 . Se dice que f esDIFERENCIABLE en AP 0 , si existen nm IRIRL : lineal y ,: nm IRIRV Donde V es una vecindad de mIR tales que:1) Para todo ,/ 0 AHPIRH m se tiene: ).()()()( 00 HHHLPfHPf

2) )(lim Hh

- 31 -

Proposicin 1: f es diferenciable en AP 0 si y solo si existe nm IRIRL : lineal tal

que: 0)()()(lim 00 HHLPfHPf

H

Proposicin 2: (Unicidad de la Diferencial). La aplicacin L de la definicin anterior, siexiste, es nica.Notacin: )( 0PdfL

CONCEPTO DE BUENA APROXIMACIN

DEFINICIN 1: Sean nm IRIRf : una aplicacin continua en mIRP 0 . Se dice queuna funcin continua en nm IRIRgP :,0 es una BUENA APROXIMACIN de f en

una vecindad de mIRP 0 si:

00)()(lim

PPPgPf

PP

OBSERVACIN 1: Otra manera de expresar esto es decir que f y g son tangentesen 0P .

Teorema 1: Si nm IRIRf : es diferenciable en 0P , entonces f es continua en 0P .

OBSERVACIN 2:1. f es diferenciable f continua.2. f continua no implica f diferenciable.

DEFINICIN 2: Se dice que una aplicacin nm IRIRT : es APLICACIN AFN siexiste nm IRIRL : lineal y un vector nIRv tales que para todo mIRP ,

vPLPT )()( : Es decir T es afn T es la suma de una aplicacin lineal y de unaaplicacin constante.La aplicacin lineal L es nica y se llama la APLICACIN AFIN ACOTADA a T.

- 32 -

PROPOSICIN 1: Si nm IRIRf : es diferenciabe en 0P , entonces f tiene unabuena aproximacin afn en T en las vecindades de 0P , dada por:

)()()()( 000 PPPdfPfPT (*)

Aplicacin 1: Sea 0)0,0();0,0(),(,),(/: 6232

2 fyxsiyxyxyxfIRIRAf

a) Analizar continuidad de f en )0,0(),( yxb) Analizar diferenciabilidad de f en )0,0(),( yxc) Determinar )0,0(dfSolucin: a) )),0,0((),( rByx , se tiene

)0,0(),(,0),(0),( 33232

6232

yxcuandoyxyxyx

yxyxyxf , por lo

tanto, se puede afirmar que 0)0,0()0,0().(lim

6232

fyxyx

yx .

b) Calculamos las derivadas parciales de f en )0,0(),( yx . En efecto:

0000lim)0,0()0,(

0lim)0,0(

hhh

fhfhx

f

0000lim)0,0(),0(

0lim)0,0(

hhh

fhfhy

f

Por lo tanto las derivadas parciales de f existen. Ahora bien, sea:yy

fxxfyxy

fxfyxdfyxLIRIRL

)0,0()0,0(),())0,0(),0,0((),)(0,0(),(/: 2

Una aplicacin lineal y es tal que: ,0),( yxL entonces estudiemos el siguientelmite:

2262

32

)()0,0(),(lim

),(),(

)0,0(),(lim

),(),()0,0())0,0(),((

)0,0(),(lim

yxyxyx

yxyxyxf

yxyxyxLfyxf

yx

En efecto:

)0,0(),(,,0),(),(),(

),(0)( 23

2

32

2262

32 yxcuandoyxyx

yxyxx

yxyxyx

yx

- 33 -

Por lo tanto, )0,0(0),(),(

)0,0(),(lim enblediferenciaesfyx

yxfyx

Conclusin inmediata: f es continua en )0,0(),( yx . En efecto, se puede analizardirectamente la diferenciabilidad de f en un punto para saber sobre la continuidadde f en el punto respectivo.c) La diferencial de f en el punto )0,0(),( yx , es por lo tanto:

0)0,0()0,0(),())0,0(),0,0((),()0,0(

yy

fxxfyxy

fxfyxdf

OBSERVACIN 3: Se puede probar que la proposicin ltima admite una recproca en el sentido

que si f admite una buena aproximacin T afn en las vecindades al ,0Pentonces f es diferenciable en 0P y T est dado por (*).

Para una funcin IRIRAf 2: diferenciable en 0P ; el grfico de la buenaaproximacin afn de f en 0P corresponde al plano tangente a la superficiede ecuacin ),( yxfz en 300 ))(,( IRPfP .

PROPIEDADES DE LAS APLICACIONES DIFERENCIABLES

1) Si ,: nm IRIRf es constante, es decir ,,)( mIRPkPf donde nIRk es unvector fijo, entonces f es diferenciable en todo punto 0P de mIR y se cumple que

0)( 0 Pdf (aplicacin lineal nula).2) Si ,: nm IRIRf es afn, es decir, vPLPf )()( , entonces f es diferenciable entodo punto 0P de mIR y .)( 0 LPdf

Teorema 2: (Regla de la cadena o diferencial de la funcin compuesta)Si nm IRIRf : es diferenciable en 0P y pn IRIRg : es diferenciable en ),(Pf

- 34 -

Entonces pm IRIRfg : es diferenciable en P y se tiene que:)())(())(( PdfPfdgPfgd

Teorema 3: Si nm IRIRf : , ),...,( 1 nfff y ,0 mIRP entonces f es diferenciableen 0P si y solo si cada if es diferenciable en 0P . En tal caso se tiene: ,mIRX ))(,...,)(())(( 0010 XPdfXPdfXPdf nTeorema 4: (lgebra de las funciones diferenciables)Sean IRIRPIRIRgf mnm ,,:, 0 . Si f y g son diferenciables en ,0P entonces:1) gf es diferenciable en 0P y )()())(( 000 PdgPdfPgfd 2) f es diferenciable en 0P y )())(( 00 PdfPfd 3) Si ,1n entonces gf es diferenciable en ,0P y )()())(( 000 PdgfPdfgPfgd 4) Si ,1n entonces 20000 )(/))()(())(/( PgPdgfPdfgPgfd

Teorema 5: Si mIRIRbaf ,: es derivable en ,0t entonces f es diferenciableen ,0t y se cumple ).())(( 00 tftttdf

MATRIZ JACOBIANA

DEFINICIN 1: Si nm IRIRf : es una aplicacin diferenciable en un punto,0 mIRP se llama matriz JACOBIANA de f en 0P , a la matriz de la aplicacin lineal

,:)( 0 nm IRIRPdf con respecto a las bases cannicas de nm yIRIR . Es decir, a la

matriz ijPdf )( 0 tal que:

n

jjjiiePdf

1))(( ; donde )( j y )( ie son las bases

cannicas de nm yIRIR respectivamente. En efecto, )( 0Pxfji

ij es la derivada

parcial de la componente if de f con respecto a la variable jx .

- 35 -

Aplicacin 1: Sea

),(

),(132/

1211

32/112),(/: 22 yxv

yxuyx

yxyxyxfIRIRf

Luego, las derivadas parciales de ),(),,(),( yxvyxuyxf existen y son:32/11;2

yv

xv

yu

xu

Por lo tanto;

32/112

),( 00 yxdf Es la matriz Jacobiana de f en un punto ,20 IRP y

la diferencial de f en 20 IRP , ser entonces:

yx

yxyxyxdf yx 32/

232/112),(),( 00 . Ntese que se cumple la propiedad (2) de

las aplicaciones diferenciables.

Aplicacin 2: Determinar la ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin22 yxz en el punto fG)1,1,2( .

Solucin: Las derivadas parciales de la funcin 22),( yxyxfz existen y son:.2),(;2),( yyxy

zxyxxz

Luego yyxxyxyxyxdf yx 0000),( 22),()2,2(),(00 )1,2()1,2(),( ),( 00 yxdfzyxz yx es decir, la ecuacin del plano tangente a

22),( yxyxfz en el punto fG)1,1,2( es:

)1(2)2(221)1()1,2()2()1,2()1,2(

yxzyyfxx

ffz

Por lo tanto: .1222 zyx (Ecuacin Plano tangente)La aproximacin a fin de f en )1,2( es:

)1,2(1

2)2,22(),()1,2()1,2(),( )1,2( fyxyxTyxdffyxT

1222),( yxyxT (Es la ecuacin del plano tangente, en la forma de unaaplicacin lineal).

- 36 -

S ZEn esta figura se aprecia la tangencia del plano a la superficie (silla de montar) en elpunto fG)1,1,2( . En las vecindades del punto )1,2( , T es una buena aproximacin afin a la funcin IRIRf 2: .

Teorema 6: Si IRIRAf 2: es diferenciable en un punto 0P de A, entonces:

)()()(0lim))(( 0000 Px

ft

PftePftePdf i

ii

Si IRIRAf m : es diferenciable es un punto 0P , entonces sus derivadas parcialesde primer orden )(),...( 001 PfDPfD m existen, y se cumple: ),)(()( 00 ii ePdfPfD para

mi ,...,1 .La recproca de esta propiedad es falsa.

Contra Ejemplo: Sea IRIRAf 2: , definida por ,),( 22 yxxyyxf si )0,0(),( yx y

0)0,0( f . En efecto,

000lim0)0,(

0lim)0,0())0,1()0,0((

0lim)0,0(

hhh

hfhh

fhfhx

f

000lim0),0(

0lim)0,0())1,0()0,0((

0lim)0,0(

hhh

hfhh

fhfhy

f , luego las

derivadas parciales existen. Por otra parte:

- 37 -

2/322)0,0(

)()0,0(),(lim

),(),(

)0,0(),(lim

),()0,0()0,0(),(

)0,0(),(lim

yxxy

yxyxyxf

yxyxyxdffyxf

yx

Tomando el lmite con puntos )0,0(:),(),( 22 xyIRyxLyx , entonces

.)1(0lim

)(0lim

),(),(

)0,0(),(lim

2/3222/34223

22

xxxx

xxxx

xxfyx

En efecto, el lmite anterior no existe, dado que contradice la unicidad al tomar lasdistintas trayectorias propuestas. Por lo tanto IRIRf 2: no es diferenciable en

)0,0(),( yx . Se ven distintas imgenes que muestran la no existencia de )0,0(df .

Corolario 1: Si nm IRIRAf : es diferenciable en un punto 0P de A y ),,...,( 1 mfff entonces para todo njmi ,...,1,,...,1 se cumple:

)()()(0lim))(( 0 Px

fh

PftePfhePdf i

jjjij

Corolario 2: Si nmm IRIRffff :),,...,( 1 , es diferenciable en 0P , y si )( 0Pdf indica lamatriz Jacobiana de f en 0P , entonces:

)(.......)()(.................

)(........)()()(.......)()(

)(

002

01

02

022

012

01

021

011

0

PxfPx

fPxf

PxfPx

fPxf

PxfPx

fPxf

Pdf

mnnn

m

m

Notacin: )()( 00 PJPdf f

Aplicacin 3: Sea )/,/()),(),,((),(/: 22 xyyxyxvyxuyxfIRIRf . Determinar lamatriz )()( 00 PJPdf f , en cualquier punto ).0,0(),( yx

- 38 -

Solucin:

0

200

2000

),(

00 /1///1),(

00

xxyyxy

yv

xv

yu

xu

yxJyx

f

FUNCIONES DE CLASE CCC ,...,, 21

DEFINICIN:(a) Sea .: nm IRIRAf Se dice que f es de CLASE 1C si para todo ,,...,1 mj ypara todo ,,...,1 ni

jixf

existe sobre A y es continua.

(b) Se dice que f es de clase 2C en A si f es de clase 1C en A y si todas lasderivadas de segundo orden existen y son continuas en A.

(c) Anlogamente se definen las funciones de clase ,..., 43 CC(d) Se dice que f es de clase C si para todo k en IN, f es de clase kC

Teorema: f de clase fC 1 diferenciable

Aplicacin: Considere la funcin IRIRf 2: definida por:

2222 1)(),( yxsenyxyxf , si )0,0(),( yx y ,0)0,0( f entonces:

a) Mostrar que f es diferenciable en )0,0(),( yxb) Mostrar que yx fyf no son continuas en )0,0(),( yxc) Determinar )1,1(dfSolucin:a) Determinamos las derivadas parciales de f en; en efecto:

0/1)/1(

0lim)/1(

0lim)0,0()0,(

0lim)0,0(

2

hhsen

hhhsenh

hhfhf

hxf

- 39 -

0/1)/1(

0lim)/1(

0lim)0,0(),0(

0lim)0,0(

2

hhsen

hhhsenh

hhfhf

hyf

Notar que xxsenx 0)/1( . Por lo tanto tomando se prueba que

0/1)/1(

0lim x

xsenx .

Supongamos 00,000))0,0(),0,0(()0,0()0,0(

y

xyx

yf

xfyxdf

Entonces estudiamos:

22

22)0,0(

/1)/1(

)0,0(),(lim

),(),(

)0,0(),(lim

),()0,0()0,0(),(

)0,0(),(lim

yxyxsen

yxyxyxf

yxyxyxdffyxf

yx

Luego: ,0),(0/1( 2222 yxyxsenyx si )0,0(),( yx . Por lo tanto el lmiteanterior existe y vale cero; lo que implica que la funcin es diferenciable en )0,0(),( yxy 0),()0,0( yxdf (La diferencial en este caso es la aplicacin nula).

b) Sea )0,0(),( yx , entonces derivando y simplificando se tiene:

22

2222 )/1cos()/1(2),( yx

yxxyxsenxyxxf

22

2222 )/1cos()/1(2),( yx

yxyyxsenyyxyf

Convidemos el lmite de yf

xf

, por la trayectoria xy :

2

)21cos(

2120

lim),(0lim),()0,0(),(

lim xxsenxxxxx

fxyxx

fyx

El segundo trmino de este lmite no existe, dado que su argumento tiende a infinito y elcoseno de infinito no existe. En efecto, x

f no es continua en )0,0(),( yx dado que

),()0,0(),(lim yxx

fyx

No existe.

- 40 -

Anlogamente,

2

)21cos(

2120

lim),(0lim),()0,0(),(

lim yysenyyyyx

fyyxy

fyx

Y se tiene el mismo caso anterior, dado que su argumento tiende a infinito y el cosenode infinito no existe. En efecto, y

f no es continua en )0,0(),( yx dado que

),()0,0(),(lim yxy

fyx

No existe.

c) Determinamos las derivadas parciales de f en )1,1(),( yx evaluando directamente:

2)2/1cos()2/1(2)1,1(

senxf

2)2/1cos()2/1(2)1,1(

senyf

yf

xf

, Son una composicin de funciones continuas en las vecindades del punto

)1,1(),( yx , en efecto; si )()()()(,)/1cos()/1()( xgPhPxfxxgP

PPsenPh

Y )()()( ygPhPyf , donde tanto h y g son continuas en la vecindad de )1,1(),( yx .

Esto prueba, segn ltimo teorema, que f es de clase 1C y entonces es diferenciable en)1,1(),( yx , donde:

y

xsensenyxJy

xyf

xfyxdf f 2

)2/1cos()2/1(22)2/1cos()2/1(2)1,1()1,1(),1,1(),()1,1(

ysenxsenyxdf )2)2/1cos()2/1(2()2

)2/1cos()2/1(2(),()1,1(

Las imgenes siguientes explican tal vez la no continuidad de las derivadas parciales dela funcin en el origen de coordenadas, dado que en las vecindades de este origen, lagrfica de f oscila agudamente, fuera de esta vecindad, se comporta como unparaboloide suave.

- 41 -

4.4 DERIVADAS CON RESPECTO A UN VECTOR Y DERIVADAS DIRECCIONALES

DEFINICIN: Sea .: IRIRAf n Si ,nIRx llamaremos DERIVADA DE f en 0PSEGN EL VECTOR x , a la derivada, si existe, de la funcin ),( 0 xtPft en 0tY en tal caso la denotaremos por ).( 0PfDx Es decir:

tPfxtPf

tPfDx)()(

0lim)( 000

Teorema: Si f es diferenciable en ,0P entonces para todo ,mIRx existe )( 0PfDx y se

cumple que: ,)())(()( 000 xPfxPdfPfDx donde

)(),...,()( 00

10 Px

fPxfPf

mes el

gradiente de f en 0P .

Aplicacin 1: Sea )cos(),( )( 22 xeyxf yx y el vector jix . Determinar )1,0(fDx .Solucin: f propuesta es diferenciable en )1,0(0 P dado que el producto de dosfunciones diferenciables; luego:

)cos(2),()cos(2),(),,(),( 222222 xyexsenexxeyxyfyxxfyxf yxyxyx 111 2)1,1()2,0()1,1()1,0()1,0(2,0)1,0( eeffDef x

- 42 -

OBSERVACIN: Si mIRx tiene norma 1, es decir ,1x entonces )( 0PfDx se llama laderivada direccional de f en 0P , en la direccin del vector x ; en tal caso usaremos la

notacin: )()( 00 PxfPfDx

Aplicacin 2: Sea )0,0()0,0(),0,0(),(2),( 242

fyyxsiyxyxyxf .

a) Mostrar que f no es diferenciable en )0,0(),( yxb) Determinar la derivada direccional de f en )0,0(),( yx , para cualquier direccin.Solucin: Calculando las derivadas parciales de f en )0,0(),( yx :

;0000lim)0,0()0,(

0lim)0,0(

hhh

fhfhx

f

;0000lim)0,0(),0(

0lim)0,0(

hhh

fhfhy

f

Entonces estudiamos el lmite:

2224

2)0,0()(

2)0,0(),(

lim),(),(

)0,0(),(lim

),()0,0()0,0(),(

)0,0(),(lim

yxyxyx

yxyxyxf

yxyxyxdffyxf

yx

Tomando lmite por la trayectoria )0,0(:),( xyyxL se tiene:

2222243

22

)(22

0lim

2)(2

0lim

),(),(

)0,0(),(lim

xxxxx

xxxx

xxfyx por lo tanto el

lmite depende de la trayectoria que se escoja, lo cual, contradice la unicidad. Por lotanto, la funcin no es diferenciable en )0,0(),( yx .b) Sea ),(cos sen una direccin a tomar para calcular la derivada direccional de fen )0,0(),( yx ; entonces aplicando la definicin:

)cos(

cos20

lim),cos(0

lim)0,0(),(cos)0,0(0

lim)0,0( 224422

senttttsent

tttsentf

ttfsentf

tf

0,cos2)cos(cos2

0lim)0,0(

2242

2

sensentsen

tf

- 43 -

Aplicacin 3: Determinar el gradiente de la funcin potencial generada por una cargaelctrica en el vaco.Solucin: ,14),,( 2220 zyx

qzyxV La teora electromagntica define

),,(),,( zyxVzyxE ; relacin entre el campo elctrico generado por una carga en elvaco y el potencial elctrico. Luego:

2/32220

2/32220

2/32220 )(4;)(4;)(4 zyx

zqZV

zyxyq

yV

zyxxq

xV

Por lo tanto;

202/32222/32222/32220 4)(4,,),,( rrqkzyx

zjzyxyizyx

xqzV

yV

xVzyxE

Donde kzjyixr . La siguiente sera la grfica en 3D del campo vectorialgenerado por la carga elctrica en el vaco (Sin considerar el orden de magnitud).

- 44 -

4.5 REGLA DE LA CADENA PARA DERIVADAS PARCIALES

Teorema: Si ),...,(),...,,...,( 1111 nmmn xxfuxxfu con m funciones difenciables if de nvariables .,...,1 nxx Si ),,...,(),...,,...,( 1111 nnnn ttgxttgx donde ngg ,...,1 son diferenciables

y si consideramos )),,...,(),...,,...(( 111 nnnii ttgttgfu se tiene:

jk

ki

ji

tx

xu

tu

Donde

jish denota la matriz jacobiana.

En efecto:jn

ni

ji

ji

ji

tu

xu

tx

xu

tx

xu

tu

...22

11

Ejemplo 1: Sea ),(ufz con .22 yxu Probar que: 0

yzxx

zy

Solucin: 02222

ufxyu

fxyyzxx

zyufyy

uuf

yzyu

fxxu

uf

xz

Ejemplo 2: Sea IRIRf 2: una funcin diferenciable en todo 2IR y ),( yxfw dondesenteytex ss ,cos . Suponiendo que las segundas derivadas parciales de f existen,

probar que:

2

22

22

22

22

tw

swey

wxw s

Solucin: Usamos el siguiente rbol de derivacin; es decir:

w

x y

s ts t

- 45 -

senteywtex

wsy

yw

sx

xw

sw ss

cos

teywsentex

wty

yw

tx

xw

tw ss cos

Aplicando las segundas derivadas parciales:

yw

ssenteywsentex

wstex

wtesw

ssw ssss coscos2

2

yw

tteywsentex

wtsentex

wtetw

ttw ssss coscos2

2

Por otra parte:

xywsentex

wteywsentex

wtesw ssxsxsx

2

22

coscos

222

coscos ywsenteyx

wteywsentex

wtesw ssysysy

xywtex

wsenteywtex

wsentetw ssxsxsx

2

22

coscos

222

coscos ywteyx

wsenteywtex

wsentetw ssysysy

Luego:

22

222

22

222

22

cos2coscos ywtseney

wsentexywtsentex

wtexwtes

w sssss

22

222

22

222

22

coscos2cos ywtey

wsentexywtsentex

wtsenexwtet

w sssss

2

22

22

22

22

22

22

22

22

22

tw

swey

wxw

ywex

wetw

sw sss

Ejemplo 3: La masa de un cohete lanzado desde la tierra al espacio es de 5000kilogramos y est disminuyendo debido al consumo de combustible a razn de

./40 sKg Con qu rapidez la fuerza de gravedad F disminuye cuando el cohete

- 46 -

est a 6400 kilmetros del centro de la tierra y est alejndose a una velocidad de100 kilmetros por segundo? Por la Ley de Gravitacin de NEWTON, 2r

MmGF

donde G: Constante de gravitacin universal; .1067259.6 23

11sKg

mG M es la masa

de la tierra y .109660.5 24KgM

Solucin: Para F, las variables seran m y r, dado que la masa del cohete estdisminuyendo por el consumo de combustible y el cohete se estara alejando de latierra; luego, la variacin de la fuerza gravitatoria se determina aplicando la regla dela cadena al derivar la expresin de la Ley de Gravitacin universal de NEWTON:

tr

rF

tm

mF

tFrmFF

),(En efecto:

sKm

tr

sKg

tm 100;40

tr

rGMm

tm

rGM

tF

32 2

Evaluando esta ltima expresin en el sistema internacional (SI); .1130 sN

tF Es

decir, la variacin de la fuerza gravitatoria es de 1130 N/S en disminucin.

El teorema siguiente dar sentido a la frmula:

m

ii

idxx

fdf1

Teorema: Si IRIRAf m : es diferenciable, entonces, :AP

m

ii

idxPx

fPdf1

)()(

La expresin de la derecha se llama a menudo diferencial total de f

Ejemplo 1: Determine la diferencial total de f s 2),,( xyzzyxf

- 47 -

Solucin: cxyzbxzayzcbazyxdfdzxyzdyxzdxyzzyxdf 2),,)(,,(2),,( 2222

Ejemplo 2: (Aplicacin) Un slido rectangular tiene longitud, altura y espesor de 6,5 y4 pulgadas respectivamente. Utilice la diferencial para estimar el error en el volumensi cada una de estas dimensiones est sujeta a un error de 0.01 pulgadas.

Solucin: Si x, y, z denotan la longitud, altura y espesor, respectivamente, elvolumen xyzV entonces si )4,5,6(),,( 0 XyzyxX y tomando

000 ;; zzdzyydyxxdx entonces la diferencia )()( 0XVXV se aproximapor:

dzyxdyzxdxzyzzyyxx

yxzxzyXXXJV 000000000

00000000 )()()(

Donde 01.0 dzdydx y en efecto:74.001.03001.02401.020))(( 00 XXXJV

Por lo tanto, el error en el volumen es 0.74.

DERIVADA DIRECCIONAL MXIMA

DEFINICIN: Recordemos que si uIRIRAf m ,: es un vector unitario y ,0 AP se llama derivada direccional de f en el punto 0P en la direccin del vector ,u a laderivada de la funcin )( 0 utPft en el punto 0t y se denota por ).( 0 PfDu Es

decir: tPftuPf

tPuf )()(

0lim)(

000

Si ).()(, 00 PxfPfDentonceseui

ei i

Si f es diferenciable en ,0P entonces ).())(( 00 PfDuPdf u

Ejemplo: Sea 0)0,0()0,0(),(,)(),( 22 fyyxsiyxyxsenxyyxf

- 48 -

a) Mostrar que f es continua en )0,0(b) Mostrar que f no es diferenciable en )0,0(c) Mostrar que )2/1,2/1(,2/1)0,0(

udondeuf

Solucin:a) Para todo

),(2),()),(),((),(

),()(0),()),0,0((),( 2

2

222 yxyxyxyxyx

yxyxyx

yxyxxyyxfrByx

tomando 2/ se tiene:)0,0(0),()0,0(),(

lim2),(20),(0)0,0(),(0 fyxfyxyxyxfyx b) Estudiamos el lmite:

),()0,0()0,0),(

)0,0(),(lim )0,0(

yxyxdffyxf

yx

donde:

000lim)0,(

0lim)0,0()0,(

0lim)0,0(

hhh

hfhh

fhfhx

f

000lim),0(

0lim)0,0(),0(

0lim)0,0(

hhh

hfhh

fhfhy

f , por lo tanto si existe,

entonces .0),()0,0( yxdf En efecto:

2/322)0,0(

)()(

)0,0(),(lim

),(),(

)0,0(),(lim

),()0,0()0,0(),(

)0,0(),(lim

yxyxsenxy

yxyxyxf

yxyxyxdffyxf

yx

Tomando el lmite por la trayectoria ,)0,0(:),( xyyxL es decir:02

12

)2(22

0lim

2)2(

0lim

),(),(

)0,0(),(lim

2/332/32

xxsen

xxxsenx

xxxxxf

yxEn efecto, el lmite anterior es distinto de cero, lo que muestra que ),()0,0( yxdf noexiste.

c) Aplicando la definicin de derivada direccional en un punto,

)2/2(2)2/2(

0lim

)2/2/()2/2(2

0lim)2/,2/(

0lim)0,0())2/1,2/1()0,0((

0lim)0,0( 22

2

ttsen

tttttsent

ttttf

ttftf

tuf

- 49 -

2/12/2)2/2(

0lim

21)0,0(

ttsen

tuf

Teorema: La derivada direccional es mxima en la direccin del vector gradiente, es

decir, si para ,)(),...,()()()( 00

10

00

PxfPx

fPfdondePfPfu

mes distinto del vector

nulo.

Ejemplo 1: Sea .0)0,0(),0,0(),(,)(),( 2222

fyyxsiyxyxsenxyxf Calcular la

derivada direccional mxima. Determinar en qu direccin es mxima la derivadadireccional.Solucin:

1)(0lim)(

0lim)0,0()0,(

0lim)0,0( 2

23

2

hhsen

hhhsenh

hhfhf

hxf

0000lim)0,0(),0(

0lim)0,0(

hhh

fhfhy

f

Por lo tanto 0,1)0,0(),0,0()0,0(

y

fxffu es la direccin en la cual la

derivada es mxima y: 101)0,0()0,0(22

fuf

S S S

- 50 -

Ejemplo 2: Sea ,),( 222 yxayxg calcular la derivada direccional mxima en el

punto .2,2),(

aayx

Solucin: Calculando las derivadas parciales de g se tiene:

222222 ),(),( yxayyxy

gyyxaxyxx

g

Luego la direccin en la cual la derivada direccional es mxima ser:

22,2

22/

2/,2/2/

4/4/2/,4/4/

2/)2/,2/( 22222222 aa

aa

aaaa

aaaaaagu

Por lo tanto, el valor mximo de la derivada direccional ser:

122

22)2/,2/()2/,2/(

22

aagaaug

- 51 -

Listado N 4.3Derivadas Parciales, diferenciabilidad, derivada direccional y regla de la cadena

1. Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en 0,0 de las siguientes funciones de 2IR en IR :a) .0)0,0(;0,0),(2),( 22

2 fyxsixyx

xyyxf

Respuesta: es continua en 0,0 , ,0)0,0()0,0( yx ff es diferenciable en 0,0b) .0)0,0(;0,0),(),( 22

33

fyxsiyxyxyxf

Respuesta: es continua en 0,0 , ,1)0,0()0,0( yx ff no es diferenciable en 0,0c) .0)0,0(;0,0),(3),( 24

2 fyxsiyx

yxyxf

Respuesta: No es continua en 0,0 , ,0)0,0()0,0( yx ff no es diferenciable en 0,0d) .0)0,0(;0,0),(4),( 22 fyxsiyx

yxyxf

Respuesta: es continua en 0,0 , ,0)0,0()0,0( yx ff no es diferenciable en 0,0e) yxsiyxfyxsiyx

ysenxsenyxf 0),(;)()(),(

Respuesta: es continua en 0,0 , )0,0()0,0( yx fyf no existen, no es diferenciable en .0,0f) 0),(;0)(),(

3 xsiyyxfxsiyx

xsenyxf

Respuesta: es continua en 0,0 , ,1)0,0(,0)0,0( yx ff es diferenciable en 0,0

2. Considere la funcin IRIRf 2: definida por:

0)0,0(;0,0,1),( 2222

fyxsiyxsenyxyxf

Pruebe que:

- 52 -

a) f es diferenciable en 0,0b) yx fyf no son continuas en 0,0

3. En cada uno de los siguientes casos: (a) Estudie la continuidad de f en .2IR (b)Determine yx fyf en .2IR (c) Determine si f es o no diferenciable sobre 2IR (d)Estudie la continuidad de yx fyf en .2IR

3.1) 0)1,0(;1,0,)1(),( 22 fyxsiyxxxyyxf

Respuesta: (a) f es continua en 1,02 IR ; (c) f es diferenciable en 1,02 IR ;(d) yx fyf son continuas en 1,02 IR3.2) .0),(;1),( 2 yxsiyxfyxsiyxsenyxyxf

Respuesta: (a) f es continua en todo 2IR ; (c) f es diferenciable en todo 2IR ; (d)yx fyf son continuas en ;2 DIR donde IRxxxD :),(

4. Sea IRIRf 2: la funcin definida por: senxyyxyxf 2/1,cos2/1),( a) Es f diferenciable sobre 2IR ? Respuesta: Sib) Calcule la matriz Jacobiana de f en ba, , 2),( IRba Respuesta:

1cos2/1

2/11),( asenbbaJ f

5. Sea IRIRf 2: la funcin definida por:00),(;0),( 232323 yxsiyxfyxsiyx

xyyxf

a) Es f diferenciable en 0,0 ? Respuesta: Nob) Es f diferenciable en 2,1 ? Respuesta: Sic) Calcular, si existe, la diferencial de f en 2,1 . Respuesta: yxyxdf 25

3254),()2,1(

6. Sea IRIRf 2: definida por: 0)0,0();0,0(),()(),(3

fyxsiyxyxyxf

- 53 -

a) Es f continua en 0,0 ? Respuesta: Sb) Encuentre )0,0(),0,0( yx ff si existenc) Es f diferenciable en 0,0 ?d) Determine la matriz Jacobiana de f en )1,1( e) Determine la ecuacin del plano tangente a la grfica de f en ).4,1,1( 7. Sea IRIRf 2: la funcin definida por:

0)0,0(;0,0,, 222

fyxsiyxyxyxyxf

a) Determine la matriz Jacobiana de f en )1,1( Respuesta: 16/116/5)1,1( fJb) Calcular la derivada direccional de f en el punto )1,1( en la direccin del vector

.1,1u Respuesta: 2411,1

uf

8. Sea IRIRf 2: la funcin definida por: 0)0,0(;0,0,, 6232

fyxsiyxyxyxf

a) Es f continua en 0,0 ? Respuesta: Sb) Es f diferenciable en 0,0 ? Respuesta: Sc) Determine la matriz Jacobiana de f en 3,2 .Respuesta: 1457.01465.0)3,2( fJd) Calcule la derivada direccional de f en el punto 3,2 en la direccin del vector

.3,4u Respuesta: 0.0297896.9. Sea IRIRf 2: la funcin definida por:

0)0,0();0,0(),(),( 22 fyxsiyxsenxxyyxf

a) Calcular, si existen, 2,10,0

ufyu

f donde 5/4,5/3ub) En qu direccin es mxima la derivada direccional de f en el punto 2,1 ?c) Cul es el valor de ese mximo?10. Sea ;2),( 2 ysenyyxxyxf y sea ),( bau un vector unitario.

- 54 -

a) Exprese 0,1uf en trminos de a y b.

b) Usando (a), encontrar los valores de a y b para los cuales 0,1uf es mximo.

11. Sea ;)()cos(2),(33

ysenxyxyxf

encuentre una buena aproximacin afn de f

en una vecindad del punto )1,1( .12. Considere la funcin IRIRf 2: del problema (1.a) Determinar, si existe, laaproximacin afn de f en una vecindad del punto )1,1( .13. En cada caso, utilizando la regla de la cadena, encontrar .v

wyuw

a) vu uezvuyvexxzyw ,,);ln( 42

b) uzuvyvuxzyxw 3,,1; 2232 c) .,,; 22222 vuzvyuxxyx

yzw

14. Sean .,;ln 2222 vuyvuxyxz Calcular .vzyuz 15. Sean: );3cos()2( vusenz .; 22 srvsru Calcular: .s

zyrz

16. En cada caso encontrar :dtdz

a) teytxyxz 232 ,;32 b) .1,);cos( 2 ytxxysenxzc) .31,ln;42 3tytxyxz

17. Sean: .2,,;222 tzeyexzyxw tt Calcular .dtdw

18. Sea ).,,( xzzyyxfw Probar que: .0

zw

yw

xw

19. Sea IRIRf 2: una funcin diferenciable en todo 2IR y ),,( yxfw con

.,cos usenvyvux Probar que;2

2

222 1

vw

uuw

yw

xw

- 55 -

20. Sea .0),()( aaxyfaxyfz Probar que z satisface la ecuacin de la

onda: 22

22

2

yzax

z

21. Pruebe que:

xy

yxfxyz es una solucin de la ecuacin diferencial:

zyxyzyx

zx )(22

22. Un tronco de rbol puede ser considerado como un cilindro circular. Supongaque el dimetro del tronco aumenta 1 pulgada por ao y que la altura del troncoaumenta 6 pulgadas por ao. Con qu rapidez est aumentando el volumen demadera en el tronco, cuando ste tiene 100 pulgadas de altura y 5 pulgadas dedimetro? Respuesta: 2/575 pulgadas cbicas por ao.23. Un auto se mueve a una velocidad de 20 millas por hora, se aproxima a unainterseccin con una lnea de tren, a lo largo de un camino perpendicular a la lneade tren. Si un tren se aproxima a la interseccin a 100 millas por hora; a qu ritmoest cambiando la distancia entre el auto y el tren, cuando el auto est a 0.5 millasde la interseccin? Respuesta: La distancia entre el auto y el tren est decreciendo auna razn de 100 millas por hora.24. En cada caso, encuentre una ecuacin del plano tangente al grfico de f en elpunto indicado:a) 7,2,0;5),( yxxyyxf Respuesta: 5 zyxb) )1,3,2(;),( 2yxeyxf Respuesta: 0/2/ ezexc) )1,3,2(;1

2),( y

xyxf Respuesta: 54 zyx

d) )0,0,0(.0)0,0();0,0(),(),( 2233

Pfyxsiyxyxyxf

Respuesta: 0 zyx

25. Hallar la derivada direccional de ,: 3 IRIRf definida por:zxxyzyxzyxf 222),,( en el punto 3,2,1 segn la direccin del vector

.0,1,1 En qu direccin es mxima la derivada direccional? Cul es el valor delmximo? Respuesta: 579)3,2,1();11,13,17()3,2,1(;2/4)3,2,1(

ffuf

- 56 -

26. Sea IRIRf 2: una funcin que tiene derivadas parciales de primer y segundo

orden en todo 2IR y tal que: 1)1,1()1,1()1,1()1,1( 22

22

vf

uf

vf

uf

3)1,1(2)1,1(22

uvf

vuf y sean ).,(),(),( 2 xyxyvufyxF Calcule en trminos

de f o sus derivadas parciales en )1,1( : ).1,1(),1,1(),1,1(),1,1(22

xyF

yxF

yF

xF

Es F

de clase 1C ?

- 57 -

CAPTULO 5: LOS TEOREMAS DE LA FUNCIN INVERSA,DE LA FUNCIN IMPLCITA Y EL ESPACIO TANGENTE A

UNA SUPERFICIE DE NIVEL

5.1 EL TEOREMA DE LA FUNCIN INVERSA

Este teorema permite, mediante el clculo diferencial, deducir la existencia local dela inversa de una funcin diferenciable, permite adems, calcular una aproximacinafn de la inversa sin tener que calcular sta ltima explcitamente.

En el caso :1m

Teorema 1: Si ,0)(,,: 0 xfIRbaf entonces existe una vecindad V de ,0x y unavecindad W de )( 00 xfy tal que:1) WVf : es biyectiva.2) la inversa g de VW es derivable, con derivada continua.3) ,)()( 1 xfyg para todo )(xfy de W.

Ejemplo: Si ),()(,: xtgxfIRIRDf sobre todo punto de ,2/,2/ Dentonces ,0)(sec)( 2 xxf

,11

1)(1

)(sec1

)(1)(),()(,2/,2/,: 222 yxtgxxfygyarctgygg

dado que .)( yxtg

(b) En el caso :1m

Teorema 2: Sea 1: CclasedeIRIRAf mm sobre A, es decir f tiene derivadasparciales: IRAx

fji

: continuas. Si en un punto 0P de A, la matriz jacobiana de f

- 58 -

en ,0P

)()( 00 PxfPJji

f es invertible, es decir, si .0)(det 0

Pxfji Entonces existe

una vecindad abierta V de 0P en ,mIR una vecindad abierta W de )( 00 PfQ en mIRtales que:

(1) WVf : es biyectiva.(2) la inversa g de f de VW es de clase ,1C luego diferenciable y(3) WPfQPdfQdg )(,)()( 1

Ejemplo 1: Sea ).,cos(),(),(,: 22 rsenryxrfquetalIRIRf En efecto, f es declase ,1C (las derivadas parciales de primer orden son continuas) y

rrsenrrJrsen rsenyry

xrx

rJ ff

22cos),(detcos

cos),(

Luego podemos afirmar que si 200 ),( IRr es tal que ,00 r entonces, por elteorema de Funcin Inversa existe 0a tal que:(1) la funcin )),),,((()),,((: 0000 arBfarBf donde )),,(( 00 arB es la bola abiertade centro ),( 00 r y radio a es biyectiva.(2) La funcin inversa ),(),(: ryxg es diferenciable.(3) .),(),( 1000 rdfyxdgComo

acbd

cbaddcba 11 , entonces

00

0000

000 cos

cos1),(

sensenrr

ryxdg .

Ejemplo 2: Sea 22: IRIRf la transformacin dada por ),,(),( tsyxf donde

)(2/1)(2/1

xArctgytyArctgxs

a) Calcule la matriz jacobiana, ),( 0PJ f de f en un punto .),( 2000 IRyxP b) Pruebe que 0)(det 0 PJ f

- 59 -

c) Enuncie el teorema de la funcin inversa y deduzca que f admite una inversa g declase 1C en una vecindad de .,);( 00000 tsQPfQ

d) Determine una aproximacin afn T, si existe, de g en una vecindad de .1,0, 00 fts

Solucin:a) Por simple inspeccin tys son funciones de clase 1C luego, calculando lasderivadas parciales de primer orden:

11

121

11

211

),(2

0

2000

x

yyxJ f

b) 0114 3444114 111411 141111 1211

1211

,det 20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

20

202

0

2000

xyyxyx

xyxy

xyx

yyxJ f

Dado que el numerador de esta razn es un polinomio cuadrtico, siempre positivo.c) En efecto, 1Cf y .,0)(det 200 IRPPJ f Es decir, se satisfacen las hiptesisdel teorema de la funcin inversa; por la tanto:

Existe una vecindad abierta V de 0P Existe una vecindad abierta W de ),( 00 PfQ

Donde: WVf : es biyectiva f admite inversa VWg : de clase 1C

d) 08/78/1112/14/11

12/14/11)1,0(

yJ f por lo tanto:

7/87/47/27/8

12/14/11

78

12/14/11)1,0(

11

fJSi consideramos 1,8/1,01,0 00 fQyP entonces la aproximacin afn de gen una vecindad de 000 , tsQ es:

- 60 -

00

0000 ),(),(),( ttsstsdgtsgtsT donde ,,)1,0(),( 000100 PtsgyJtsdg f entonces:

7/114/7

874

7/7/272

78

17/88/7/417/28/7/8

10

18/

7/87/47/27/8

10),(

tsts

tsts

tstsT

5.2 EL TEOREMA DE LA FUNCIN IMPLCITAEste Teorema permite mediante el clculo diferencial determinar que una ecuacinde la forma ),( YXF define a una de las variables en funcin de la otra como unafuncin diferenciable, en la vecindad de un punto 00 , yx tal que: .),( 00 yxF

Teorema: Sea mmnmn IRIRIRIRF : de clase )1( rC r en un abierto S de ),...,,,...,(),(:);( 11 mnmnmn uuxxUXIRIRUXIRIR y ),,( 000 UXP un punto S

tal que:(i) ),( 00 UXF

(ii) ,0),...,(),...,(det

011

Pmm

UUFF donde

mkmjk

j

mm

UF

UUFF

...1

...111

),...,(),...,(

Entonces existe: Una vecindad abierta M de ),( 00 UX contenida en S Una vecindad abierta N de 0X en ,nIR Una nica funcin mIRNG : de clase rC

Tales que:1. .))(,(, MXGXNX 2. )(,),(,),( XGUNXUXFMUX 3. En particular, )( 00 XGU y adems:

4. ,)(,)(,)( 1

XGXX

FXGXUFXdG donde

.,),,(,

UXU

FUXXFUXdF Es decir: ,

i

jXF

XF .

k

jUF

UF

- 61 -

Ejemplo 1: dado el sistema de ecuaciones 0213

322

32

yxvyuxyvxyu

a) Pruebe que en una vecindad del punto )2,1,1,0(),,,( 0000 yxvu puede resolverse uy v en trminos de x e y.b) Determinar )2,1(

2

yxu

Solucin: Definamos 222: IRIRIRDF por la transformacin yxvyuxyvxyuvuyxF 32232 2,13),,,( y consideremos ).1,0()2,1( bya

Claramente F es de clase 1C dado que las componentes de F son funcionespolinomios con derivadas parciales continuas. Adems:

1. )0,0()1,0,2,1(),( FbaF

2. 08),(),(),(det40

42),(),(),( 21

),(22

1121

bavu

FF

vF

uF v

FuF

bavuFF

ba

Por lo tanto, segn el teorema de la funcin implcita; se tiene que, existe una nicafuncin ,: WVf con aV vecindad de a y bW vecindad de b, de clase 1C en U talque:1) )1,0()2,1( f2) ),(),()0,0(),,,(,,,, yxfvuvuyxFWVvuyx b) Derivamos las ecuaciones respecto a x y luego respecto a y; es decir:

0342

0922

2

yxxvvx

uyu

xxvyvx

uxyyuAnlogamente

042

0232

2

xyvvy

uyuuyvyvvy

uxyxu

En efecto se generan los siguientes sistemas de ecuaciones:

23

22

2

422;3

9422

uxxuv

yvyu

vyuyvxy

yxyux

xvxu

vyuyvxy

- 62 -

Aplicamos regla de Cramer para su resolucin:

uyxyyxyux

uvyxyvvyxyuvvx

vyuyvxy

vyxyvyux

xu

2222

22222

2

223218

446436

422

4329

yuvxvyuuxyx

uvyxyvuyyuxyx

vyuyvxyyxyuyuxxy

xv

442183

442183

422

329

2232

2222322

uyxyyuyxxuv

uvyxyvyvuyvxvxuv

vyuyvxyvuxyvxuv

yu

2232

223323

2

2222

442244

42242

uyxyxuuvxux

uvyxyvxyuyuvxyuyx

vyuyvxyuxyuxuvxy

yv

22224

2222423

2

2222

4422

422

2

Evaluando xvyx

u

para ),1,0(),();2,1(),( vubyxa se tiene:

2/3)2,1(,2/3)2,1(

xv

xu

Ahora podemos calcular y evaluar:

uyxy

yuyxxuvxy

uxyx

u2

2322

2222

22

223222

2222222223224

uyxyxuyyyuyxxuvuyxyx

uyuyxxuxux

vv

2223222

0222122/32222012012021201232/3202/34)2,1(

yxu

423)2,1(

2

yxu

- 63 -

Ejemplo 2: Considere la ecuacin 01453 2223 zyxxyzza) Pruebe que en una vecindad del punto )2,1,1( ella determina una funcin

derivable z de las variables x e y. Pongamos ),( yxgz b) Determine una aproximacin afn de g en una vecindad de )1,1(

Solucin:a) Basta probar que se puede aplicar el teorema de la funcin implcita (T.F.I).

Sea 1453),,(),,(,: 2223112 zyxxyzzzyxFzyxIRIRFEs claro que:

F es de clase 1C dado que es un polinomio y por lo tanto de clase C 01410128142)1(15211322),1,1( 2223 F 222 563 yxxyzzz

F

05512432),1,1( zF

Luego por el T. F. I. existe: M vecindad de 2),1,1( N vecindad de )1,1( Una nica funcin ,: 2 IRIRNg de clase 1C

Tal que: ),(,),(0),,(),,( yxgzNyxzyxFMzyx

b) Adems se tiene: )(,))(,()( 1 XgXFXgXFXdg XU para ,NX donde:

z

FyF

xFFFUXJ UXF ,, con zUyxX ),,(

Una aproximacin afn de IRIRNg 2: en una vecindad V del punto )1,1( es lafuncin ,: 2 IRIRNVT talque: 1,1)1,1()1,1(),( yxdggyxTAhora bien:

2222222 563103103),( yxxyzzyzxxzzxyyzUXJ F as: 532325121220122012),( UXJ F

Por lo tanto: 5/325/3232325)1,1( 1 dg

- 64 -

As: 574)(5

32)1(532)1(5

322115/325/322),(

xyyxy

xyxT

5.3 EL ESPACIO TANGENTE A UNA SUPERFICIE DE NIVEL

Sea IRIRf n : una funcin de clase 1C en una vecindad V de un punto ,0 nIRP ysea S el conjunto de nivel definido por .0)(: PfIRPS n

Definicin: Se llama ESPACIO VECTORIAL TANGENTE a S en el punto 0P alconjunto de todos los vectores velocidades en 0P de las curvas diferenciablescontenidas en S y que pasan por .0P

Teorema: .0)(:)( 00 XPfIRXSV nPDefinicin: Se llama ESPACIO TANGENTE a S en 0P al traslado de SVP0 por elvector .0P Es decir, .)()( 000 PSVST PP Se tiene:

0)()()()(,)( 000101 000 PPPfSVPPSVPdondePPPSTP PPP

Ejemplo: Sea .:),,( 22223 azyxIRzyxS Determinar la ecuacin del planotangente a S en el punto ),,,( 0000 zyxP (Espacio tangente SVP0 ).Solucin: .0)()(),,( 000 PPPfSVzyxP PSea: 0,,2,2,2)2,2,2()(),,( 00000000002222 zzyyxxzyxzyxPfazyxzyxf

2000000000 0)(2)(2)(2 azzyyxxzzzyyyxxx

En efecto: 20003 :),,()(0 azzyyxxIRzyxSVP

- 65 -

Listado N 4.4Teoremas de la Funcin Inversa e Implcita

1. Sea 33: IRIRf definida por )),(,(),,( zx eyxsenezyxf a) Probar que f es localmente invertible en )0,0,0(b) Probar que existen puntos en 3IR donde no se cumplen las hiptesis del Teoremade la Funcin Inversa.2. Sea 22: IRIRf definida por xyyxyxf 3,),( 44 a) Demuestre que para todo punto ),0,0(),( 00 yx la restriccin de f a algnconjunto abierto que contiene a ),( 00 yx tiene una inversa.b) Demuestre que si no se restringe su dominio, f no tiene inversa.c) Si 1f es la inversa de f en una vecindad del punto ,3,2 calcule latransformacin afn que aproxima a 1f cerca de ).3,2(f3. Sea 22: IRIRf definida por: .,),( 3333 yxyxyxf Pruebe que la matrizJacobiana fJ en 0,0 es la matriz nula. Muestre que, sin embargo, f esglobalmente invertible en 2IR . Saque conclusiones.4. Considere la funcin de una variable IRIRf : definida por

.0)0(,0)/1(2/)( 2 fxsixsenxxxf Demuestre que 2/1)0( f y que f notiene inversa en una vecindad de 0. Contradice esto el Teorema de la FuncinInversa?5. Sea 33: IRIRh definida por: yxeeeezyxh zxzy ,,),,( 2222a) Probar que h es diferenciable en todo 3IR y posee funcin inversa diferenciableen un entorno de cada punto de .3IRb) Probar que h no slo es inyectiva localmente, sino que lo es globalmente.6. Dado el sistema de ecuaciones

0213

322

32

yxvyuxyvxyu

a) Pruebe que en una vecindad del punto )2,1,1,0(),,,( 0000 yxvu puede resolverse uy v en trminos de x e y.

- 66 -

b) Determinar ).2,1(2

yxu

7. Dado el sistema de ecuaciones: 22222

yxuv

yxvu

a) Pruebe que en una vecindad del punto )1,1,1,1(),,,( 0000 vuyx puedendespejarse u y v en trminos de x e y.b) Calcule los valores de yyyx uvu ,, en el punto )1,1(),( 00 yxc) Sean ),(),,( yxvvyxuu las funciones implcitamente definidas por el sistema.Muestre que ),(),,(),( yxvyxuyxf admite una funcin inversa diferenciable enuna vecindad del punto ).1,1()1,1( fd) Encuentre una aproximacin afn de 1f en el punto )1,1,1,1(),,,( 0000 vuyx

8. Pruebe que el sistema: 021

23

323

zuxyuyxz define a x e y como funciones implcitas

diferenciables de z y u en una vecindad del punto .1,0,1,0,,, 00000 uzyxP Sean),();,( uzgyuzhx las funciones implcitas cuya existencia se prob. Demuestre

que )),(,,(),( uzguzhuzf admite una funcin inversa diferenciable en unavecindad del punto .1,09. Dado el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

1)cos()(1)(

2 tzeexsen

eeyzsenezy

ztx

a) Pruebe que el sistema define a x e y como funciones implcitas diferenciables de zy t en una vecindad del punto .0,0,0,0Pb) Sean ),(),( tzgyetzhx las funciones implcitas cuya existencia se prob en(a). Demuestre que )),(,,(),( tzgtzhtzf admite funcin inversa diferenciable enuna vecindad del punto .0,010. Sea IRIRf 2: de clase 1C y tal que 0),(

vuvf 2),( IRvu

a) Pruebe que

xz

xy

vf

xxz

xy

zf ,1, para 0x

- 67 -

b) Sea 00 , yx tal que: .0,00

00

xz

xyf Pruebe que la ecuacin 00,

xx

zxyf

define a z implcitamente como a una funcin de x e y en una vecindad de ., 00 yxc) Pruebe que ),,( yxgy

gyxgx

donde ),( yxgz es la funcin definida

implcitamente en (b).

- 68 -

CAPITULO 6: EXTREMOS DE FUNCIONES REALES

6.1 DEFINICIONES DE MXIMOS, MINIMOS, PUNTOS CRITICOS. CONDICIONNECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE PUNTOS DE MXIMO O DE MINIMO.

DEFINICIONES:(a) Sea .: APyIRIRAf m Se dice que P es un PUNTO DE MXIMO LOCALde f, o que )(Pf es un valor mximo local de f si existe una vecindad(d) V de P, tal que: )()(: PfXfVAX (b) Anlogamente se define la nocin de MINIMO LOCAL de .f Es decir, )(Pf esun MINIMO LOCAL de f si existe una vecindad V de P, tal que:

)()(: PfXfVAX (c) Se dice que P e un punto de MXIMO ABSOLUTO de f si

)()(: PfXfAX (d) Anlogamente se define la nocin de MINIMO ABSOLUTO de f si:

)()(: PfXfAX

Ejemplo: Sea ,: 2 IRIRf tal que 1:),(,),( 22222 yxIRyxAeyxf yxCules son los extremos de f sobre A?, Sobre 2IR ?Solucin: Analizando los extremos de f sobre A, observamos segn las grficas ysegn la naturaleza de la funcin 2)( PePf , f diminuye de valor para cualquierpunto P , en efecto,

)0,0(10)),0,0((),( 0222 222222 feeeeeayxaByx yxaayx Por lo tanto )0,0( es un punto de mximo absoluto de f .

),(1),( 0011202000 20202020 yxfeeeeyxAyx yxyx

Adems ),(),()(),( 2210000 yxfeeyxfAFryx yx por lo tanto los punto quepertenecen a 1:),()( 22 yxyxAFr son puntos de mnimo local.

- 69 -

Sobre )0,0()0,0(0),(, 0),(2 2 feeyxIR yx es un punto de mximo absolutoy f no posee mnimos locales. Segn la figura, cuando

0),(),( 2),( yxeyxfyx

S S S

S S S

Teorema: (De los valores extremos)Si IRIRKf m : es continua y K es cerrado y acotado, entonces KPP 21, talesque: )()()(: 21 PfXfPfKX

Ejemplo 1: En el ejemplo anterior, A es un conjunto compacto y se tiene:)0,0(),())((1221 fyxfAFrfee yx

Ejemplo 2: Sea .21:),(),ln(),( 2222 yxyxKyxyxf K es un cerrado yacotado (compacto) y para )1,1(),0,1( 21 PP claramente pertenece a

)(KFr adems: KyxPfyxPf ),(),()2ln()ln()1ln()( 2221

- 70 -

6.2 VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DIFERENCIABLES

Teorema: Sea mIRA abierto, IRAf : diferenciable en el punto P de A. Si P esun punto de mximo (o de mnimo) local de f entonces: miparaPx

fi

,...,1,0)(

PUNTOS CRITICOS DE FUNCIONES DIFERENCIABLES.

DEFINICIN: Sea IRIRAf m : diferenciable. Se dice que un punto P de A es unPUNTO CRITICO de f si: .,...,1,0)( miparaPx

fi

OBSERVACIN: Para funciones diferenciables se verifica: P mximo o mnimo local P punto crtico. La recproca es falsa.

Ejemplo: Sean 332 ),(,: yxyxfIRIRf

003

0032

2

yyyf

xxxf

Por lo tanto )0,0(0 P es un punto crtico de f y no es de mximo ni de mnimo def dado que en cada vecindad de )0,0(0 P existen puntos donde f es mayor que 0y puntos donde f es menor que 0.

- 71 -

S S

PUNTOS DE SILLA

DEFINICIN: Sea IRIRAf m : una funcin diferenciable. Se dice que un puntoP de A es un PUNTO DE SILLA si:

P es un punto crtico de f P no es ni mximo ni mnimo de f , es decir en toda vecindad V de P, existen

VPP 21, tales que: ).()()()( 21 PfPfyPfPf

Ejemplo: Sea 22),( yxyxf (silla de montar); claramente:

002

002

yyyf

xxxf

Luego, el punto )0,0(0 P es un punto crtico de .f Adems, en la vecindad de)0,0(0 P existen );/1,0(),0,/1( 21 PP tales que:

)(/1)()(/1)( 022021 PfPfyPfPf En la siguiente figura si visualiza la silla de montar con sus curvas de nivel,mostrando porqu el punto )0,0(0 P no es ni de mximo ni de mnimo.

- 72 -

S S

EL TEOREMA DE TAYLOR

Teorema: Sea IRIRAf m : de clase mk IRHPC ,,1 tales que AHPP ,(donde AHPP , denota al segmento de extremos ).HPyP Entonces

),()(!1...)(2

1))(()()( 2 HRHPfdkHPfdHPdfPfHPf kk

donde: 0)(0lim K

KHHR

H

s

s siii

m

iiii ii

ss

kjim

kji kji

m

jiji

ji

hhhPxxfHPfd

hhhPxxxPfHPfd

hhPxxfHPfd

...)(...)(

)()()(

)()(

21321 11,...,,

1,,

33

1,

22

Observacin: Si IRIRAf 2: es de clase 201 IRXyC k entonces en una

vecindad del punto ),( 000 yxX : ))((!1),( 0

0 00XXfdmyxf

mX

n

mX

es el desarrollo en un

polinomio de Taylor de la funcin en cuestin, donde:

)()()(0

0 000 fyyyxxxXXfdm

X

mX

Ejemplo 1: Escriba el polinomio de Taylor para 2),( xyyxf en una vecindad delpunto )1,1(0 X .

- 73 -

Solucin: 2)1,1(,2)1,1(,2)1,1(,0)1,1(,2)1,1(,1)1,1( 23

222

22

yxf

yf

yxf

xf

yf

xf

Todas las dems derivadas parciales de tercer orden y de orden mayor se anulan, ypor consiguiente:

22

220

0)1,1(2

)1)(1()1()1)(1(2)1(2)1(1)1)(1(236

1)1(2)1)(1(421)1(2)1(1),( 0

yxyyxyx

yxyyxyxXXfdyxpxy nm

mX

Ejemplo 2: Determine el polinomio de Taylor de )(),( 2yxsenyxf hasta lostrminos de segundo orden en una vecindad del punto )0,0(0 X

Solucin:

)(2)(4)cos(2)(

)cos(2)cos(2

2222

22

22

2

22

yxysenyxfyxsenyyxy

fyxsenxf

yxyyfyxx

f

Por lo tanto:

222

222

22

2

0)0,0()0,0(

221)0)(0,0()0)(0)(0,0(2)0)(0,0(2

1)0)(0,0()0)(0,0()0,0()(!

1),(

yxyyfyxyx

fxxf

yyfxx

ffXfdkyxp km

es el polinomio de Taylor de segundo orden, de la funcin .f

FORMAS CUADRTICAS

DEFINICIONES:

(a) Una funcin IRIRq m : se llama una FORMA CUADRTICA si

;)(,),...,(1,

1 jim

jiij

mm hhaHqIRhhH

donde los ija son nmeros reales fijos.

- 74 -

En forma matricial se escribe: ).(),...,(,)( 1 ijmTT aAyhhHdondeAHHHq A sellama la matriz de la forma cuadrtica q.

Ejemplo:

32/1

2/12,3232/2/2

32/12/12)( 222121

2121

2121

21 Axxxxxxxxxxx

xxxXQ

(b) Se dice que q es SIMTRICA si jiij aa Se dice que q es DEFINIDA POSITIVA SI Hhq ,0)(Se dice que q es DEFINIDA NEGATIVA si Hhq ,0)(Se dice que q es NO DEFINIDA si existen mIRHH 21, tales que:

).(0)( 21 HqHq

CRITERIOS PARA QUE UNA FORMA CUADRTICA SEA DEFINIDA POSITIVA,DEFINIDA NEGATIVA, O NO DEFINIDA

Teorema 1: (Criterio de los Valores Propios)Sea IRIRq m : una forma Cuadrtica:(a) q es definida positiva si todos los valores propios de la matriz asociada sonpositivos.(b) q es definida negativa si todos los valores propios de la matriz asociada sonnegativos.(c) q es no definida si existen valores propios positivos y valores propios negativos.

Teorema 2: (Criterio de RUTH HURWICZ).Si ).(),...,(,)( 1 ijmTT aAyhhHdondeAHHHq es una forma cuadrtica sobre

mIR tal que 0)det( A entonces q es:(a) definida positiva si:

- 75 -

0...

......

.........

....,,0,021

11211

22211211

11 mmmm

m

aaa

aaa

aaaaa

(b) definida negativa si:

....,0,0,0333231232221131211

22211211

11 aaaaaaaaa

aaaaa

Es decir, mkkk ,...,2,1,0)1( dondekkkk

k

k

aaa

aaa

...............

...

21

11211

(c) q es no definida si ninguna de las dos condiciones precedentes se cumple.

Observacin: si 0A el criterio precedente no entrega informacin.LA MATRIZ HESSIANA

DEFINICIN: Sea IRIRAf m : de clase ,3C y sea )(Pq f la forma cuadrtica

m

jiji

jif hhPxx

fHPq1,

2)())((

A la matriz simtrica

)(

2Pxx

fji

se llama MATRIZ HESSIANA de f en P.

Ejemplo: Sea 22 32),( yxyxyxq entonces la matriz HESSIANA de q es:

6114)(

222

22

2

yf

xyf

yxf

xf

fHess

- 76 -

CRITERIO SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE MAXIMOS O MINIMOSLOCALES ESTRICTOS.

Teorema 3: Sea ,: IRIRAf m de clase ,3C P un punto crtico de .f1. Si la Hessiana de )(Pq f es definida positiva entonces P es un mnimo localestricto.2. Si la Hessiana de )(Pq f es definida negativa entonces P es un mximo localestricto.3. Si la Hessiana de )(Pq f es no definida entonces P es un punto de silla.

OBSERVACIN: El criterio exige que 0)(det2

Pxx

fji

APLICACIN AL CASO DE 2 VARIABLES

Si IRIRAf 2: de clase ,3C si 0)()(

PyfPx

f se tiene:

1. Si 0)()()(0)(22

22

22

22

PyxfPy

fPxfyPx

f entonces P es un mnimo

local estricto.2. Si ,00)(2

2

yPxf entonces es un mximo local estricto.

3. Si ,0 P no es ni mximo ni mnimo, es un punto de silla.

Ejemplo 1: Sea ,: 2 IRIRAq tal que yxxyxyxq 12153),( 23 . Determinar lospuntos crticos de q y su naturaleza.

Solucin: Ayx ),( es punto crtico de )0,0(),( yxqqEn efecto:

- 77 -

2)2(0126

5)1(01533 2222

xyxyyq

yxyxxq

En efecto, la (2) implica que ,00 yex por lo tanto reemplazando en la (1)

21235

2162550450542 2122422 xxxxxxxxy

Por lo tanto se generan los siguientes puntos crticos:)1,2();1,2();2,1();2,1( 4321 PPPP

La matriz HESSIANA es: )(363636)),(det(6666),( 2222 yxyxyxxyyxyx

Aplicando el Criterio definido en el Teorema 3 para cada punto encontrado se tiene:1. Punto ).2,1(1P )2,1(0336)41(36)2,1( 1P es punto de silla.2. Punto ).2,1(2 P )2,1(0336)41(36)2,1( 1 P es punto de silla.

3. Punto ).1,2(3P )1,2(026)1,2(0336)14(36)1,2( 322

Pxqy

es punto demnimo local.4. Punto ).1,2(4 P )1,2(026)1,2(0336)14(36)1,2( 32

2Px

qy es

punto de mximo local.

6.3 MTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PARA LADETERMINACIN DE CANDIDATOS A EXTREMOS LOCALESCONDICIONADOS.

Nuestro objetivo es el estudio de mximos y mnimos de una funcin sobre conjuntosdel tipo:

0)z,y,x(hy0)z,y,x(g/)z,y,x(y0)z,y,x(g/)z,y,x(,0)y,x(g/)y,x(

- 78 -

Teorema 4: Sea )y,x(f una funcin diferenciable en el abierto A y sea 0)y,x(g/A)y,x(B , donde g es una funcin de clase 1C en A y

B)y,x(para)0,0()y,x(g . Una condicin necesaria para que B)y,x( 00 sea un extremo local de f en B es que exista un real 0 tal que:

)y,x(g)y,x(f 00000

Observacin:1. Como f es diferenciable en el abierto A y 0)y,x(g/A)y,x(B , donde g sesupone de clase 1C en A y Ben)0,0()y,x(g ,entonces los candidatos aextremos locales de f en B son los A)y,x( que tornan compatible el sistema:

0)y,x(g

)y,x(g)y,x(f

2. Se establece as una condicin necesaria para que un punto )y,x( 00 sea unextremo local de f en B. Trabajando directamente con la funcin el alumno deberdecidir cuales de los candidatos encontrados son realmente extremos locales.

Ejemplo 1: Determine los extremos de la funcin y2x3)y,x(f con la restriccin.1yx 22

Solucin: Sea 1yx)y,x(g 22 ; queremos encontrar los extremos de f en 0)y,x(g/)y,x(B 2 . Como g es de clase 1C y )0,0()y2,x2()y,x(g

en B, resulta que los candidatos a extremos locales son los (x , y) que tornancompatible el sistema :

0)y,x(g

)y,x(g)y,x(f , o bien

1yx)y2,x2()2,3(

22 ,

el cual es equivalente a:

- 79 -

1yxy22x23

22

Como 0 de las dos primeras ecuaciones resulta que 1ye2

3x .

Sustituyendo estos valores en 1yx 22 , obtenemos 1149

22 , o bien

231 .

Sigue que

2

132,13133Qy13

132,13133P son los candidatos a

extremos locales. Como B es compacto y )Q(f)P(f , resulta que P es punto demximo y Q es punto de mnimo de f en B.

Ejemplo 2: Un consumidor tiene 600 u.m. (unidades monetarias) para gastar en dosartculos, el primero de los cuales cuesta 20 u.m. por unidad y el segundo 30 u.m.por unidad. Suponga que la utilidad derivada por el consumidor de x unidades delprimer artculo y de y unidades del segundo esta dado por la funcin de utilidad deCobb Douglas 4,06,010),( yxyxU .Cuntas unidades de cada artculo deberacomprar el consumidor para maximizar la utilidad ?

Solucin: La funcin a maximizar es 4,06,010),( yxyxU sujeta a la restriccin600y30x20 . Usando Lagrange se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones :

,600y30x230yx420yx6

6,06,04,04,0

- 80 -

De las ecuaciones 1 y 2 eliminando el parmetro sigue que:

6,06,04,04,0 yx4yx9 x94ybienox4y9

Sustituyendo en la tercera ecuacin obtenemos x = 18 e y = 8. Luego paramaximizar la utilidad el consumidor debera comprar 18 unidades del primer artculoy 8 unidades del segundo.

Teorema 5: Sea )z,y,x(f una funcin diferencible en el abierto 3A y sea 0)z,y,x(g/A)z,y,x(B , donde g es una funcin de clase 1C en A y

)0,0,0()z,y,x(g en B. Una condicin necesaria para que B)z,y,x( 000 sea unextremo local de f en B es que exista un real 0 , tal que:

)z,y,x(g)z,y,x(f 0000000

Observacin: De forma anloga a teorema 4, los candidatos a extremos locales de fen B son los A)z,y,x( que tornan compatible el sistema:

0)z,y,x(g)z,y,x(g)z,y,x(f

Ejemplo 3: Determine un punto sobre el elipsoide 1z3y2x 222 de modo quela suma de sus coordenadas sea mxima.

Solucin: Queremos maximizar zyx)z,y,x(f con la restriccin1z3y2x 222 . Usando teo. 5 se tiene que:

- 81 -

0)z,y,x(g)z,y,x(g)z,y,x(f

01z3y2x)z6,y4,x2()1,1,1(

222

Como 0 , entonces de la primera ecuacin se obtiene:

61zy4

1y,21x

Sustituyendo en la ultima ecuacin sigue que:

2411bieno,136

3162

41

222

As, los candidatos a extremos locales son :

11

2461,11

2441,11

2421Qy11

2461,11

2441,11

2421P

De la compacidad de B, de la continuidad de f, y como )Q(f)P(f , sigue que elpunto buscado es:

11

2461,11

2441,11

2421P

Observacin: El siguiente teorema nos entrega una condicin necesaria para que unpunto )z,y,x( 000 sea un extremo local de )z,y,x(f con las restricciones

0)z,y,x(hy0)z,y,x(g .

Teorema 6: Sea )z,y,x(f una funcin diferenciable en el abierto 3A y sea 0)z,y,x(hy0)z,y,x(g/A)z,y,x(B , donde g y h son funciones de

clase 1C en A y 0)z,y,x(h)z,y,x(g en B. En estas condiciones, una

- 82 -

condicin necesaria para que el punto B)z,y,x( 000 sea un extremo local de f enB es que existan reales 21 y tales que:

)z,y,x(h)z,y,x(g)z,y,x(f 00020001000 .

Ejemplo 4: Determine los puntos del espacio mas alejados del origen cuyascoordenadas estn sujetas a las restricciones 1zyxy4zy4x 222 .

Solucin: En esta situacin intentaremos determinar los puntos que maximizan lafuncin 222 zyx)z,y,x(f . Note que f es el cuadrado de la distancia de )z,y,x(a (0,0,0) con las restricciones 0)z,y,x(hy0)z,y,x(g , donde

4zy4x)z,y,x(hy1zyx)z,y,x(g 222 . Tenemos:

Ben0z2y8x2111kji

)z,y,x(h)z,y,x(g

(verifique),

donde 4zy4xy1zyx/)z,y,x(B 222 . Observe que B escompacto. As, los candidatos a extremos locales son los (x, y, z) que tornancompatible el sistema:

0)z,y,x(h0)z,y,x(g

)z,y,x(h)z,y,