Calculo Vectorial Aplicado a La Optimización de Ingresos Por Ventas en Una Industria

7/25/2019 Calculo Vectorial Aplicado a La Optimizacin de Ingresos Por Ventas en Una Industria

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CALCULO VECTORIAL APLICADO A LA OPTIMIZACIN DE INGRESOPOR VENTAS EN UNA INDUSTRIA

Daniel Carvajal 1; Daniel Salas 2; Jacqueline Garca 3; Erus Orellanos 4; Angelis Chve ! ; Ana "ance #; Julie$h% &e'alver ( ;)a$hia *ele'o +

,niversi-a- -e la Cos$a .Cuc/Dcarvaja20cuc%e-u%co 1; Dsalas#0cuc%e-u%co 2; Jgarcia4(0cuc%e-u%co 3; Eorellan20cuc%e-u%co 4;Achave 10cuc%e-u%co! ; A ance40cuc%e-u%co #; j enalve10cuc%e-u%co ( ; ) ele'o30cuc%e-u%co +

RESUMEN: Para el desarrollo de este proyectoutilizamos los criterios de las segundas derivadas parahallar mximos y mnimos, aunque en este caso solonecesitbamos los mximos relativos. Para empezar utilizamos el mtodo anteriormente mencionado bajo lafunci n objetivo que se nos plante al principio del

problema realizamos el respectivo procedimiento paraas poder obtener los valores que hacen mximos losingresos de venta de los dos productos que dichaindustria ofrece al mercado, y para finalizar procedimosa graficarlo para hacer ms claro y evidente el resultadoque obtuvimos del ejercicio.! realizando estobeneficiamos sin lugar a dudas las ganancias de laindustria debido a que teniendo ya estos valoresgeneramos ingresos mucho mayores a los que seobtenan mucho antes de aplicar esto lo querespectivamente hizo que las finanzas y posteriormente"os ingresos y ganancias de la empresa fuesen exitosascomo lo son desde entonces hasta la actualidad.

PALABRAS CLAVE: Optimizacin, segundas derivadasparciales, productividad, ingresos

1. INTRODUCCINEn numerosas aplicaciones de la ingeniera sepresentan problemas de optimizacin, en los cuales sepretende determinar valores extremos de diversasfunciones, tales como superficies mnimas, utilidadesmximas, tiempos mnimos, volmenes mximos ycostos mnimos. eterminar los mximos ingresos !uepuede tener una industria depende de una ampliavariedad de m"todos para aplicar segn lascaractersticas del problema ob#eto de anlisis, laoptimizacin est dirigida a encontrar m"todos !uepermitan resolver problemas donde est presente algncriterio de optimizacin, !ue es fundamental y deimportante aplicacin para obtener los me#oresresultados esperados, y estos consisten bsicamente enmaximizar o minimizar una funcin. $as organizacionesde la industria alimenticia %oy en da debe crecer suportafolio de productos para contribuir a lacompetitividad con empresas del mismo sector nacionale internacional& el crecimiento de sus portafolios permiteun crecimiento en sus ventas !ue se traducen eningresos por la operacin realizada en este punto sedebe analizar cules son a!uellos productos !ue poseenun mayor margen de contribucin de rentabilidad en unlargo plazo. El presente proyecto tiene como ob#etivofundamental determinar los valores mximos de los

nuevos productos !ue %acen mximas las ganancias dela compa'a ($)(*+ -E+ OO , los productos sonuna lasagna precocida y una salsa, esta compa'a estbasada en productos alimenticios con altos niveles denutricin para el bienestar de los consumidores. Esteproyecto se desarrolla adems, con la finalidad deanalizar un modelo matemtico de la produccin de losproductos, para obtener la rentabilidad adecuada yexacta de la produccin, permitiendo a la empresamediante la aplicacin y el uso de los criterios de lassegundas derivadas parciales obtener el ob#etivo !ue lacompa'a necesita, !ue es %allar los valores de los dosproductos !ue %acen mximas las ganancias de dic%acompa'a, para ello se parte por analizar la funcinob#etivo, es decir el modelo matemtico !ue la empresa%a %ec%o de la produccin de los productos.

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

$a compa'a ($)(*+ -E+ OO , lanza al mercadodos nuevos productos, el primero es lasagna precocida yel segundo es una salsa preparada a base de !uesoricota. $uego del lanzamiento de ambos productos al

mercado, los ingresos totales del primer producto/$asagna 0recocida1 y del segundo /+alsa -icota1,fueron sistematizados por el departamento deproduccin y cartera con el siguiente modelomatemtico:

R= 5 x12

8 x22

2 x1 x2 + 42 x1 + 102 x2

En la planta de produccin los contadores de unidadesde las bandas transportadoras sufrieron un da'o en elsoft2are, y como consecuencia se perdieron los datosde las cantidades !ue salieron de planta para ellanzamiento, y encadenado a esto no se pueden obtener los valores independientes de cada producto. Elpresidente de la compa'a solicita los valoresindependientes de los productos y cul de ellos generoel mximo ingreso.

3. JUSTIFICACION

ebido a la gran necesidad !ue existe en las empresasalcanzar el mayor beneficio monetario comocontraprestacin de su ob#eto social, %ace necesario !uelas empresas conozcan cuales son esos topes o puntosdonde este sea mayor o menor, las empresas no puedenarriesgarse a de#ar el futuro de su actividad comercial alazar, por esta razn se pretende dar solucin a este

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impase !ue tiene la empresa ($)(*+ -E+ OO , yde esta manera aplicar los m"todos de optimizacin delas segundas derivadas como una solucin optima aeste tipo de problemas.

4. REFERENTES TEORICOS

Deri !"!# $!r%i!&e# "e '(! )'(%i*( "e "+# !ri!,&e#

En las aplicaciones en !ue intervienen funciones devarias variables suele presentarse la cuestin de cmoresulta afectada la funcin por cambio en una de susvariables independientes. +e puede contestar estapregunta considerando por separado esa variableindependiente. por e#emplo para determinar el efecto deun catalizador en una experimento, un !umico puederealizar varias veces el experimento, con distintascantidades de ese catalizador cada vez, mientrasmantiene constantes todas las dems variables, talescomo temperatura y presin. 3n procedimiento anlogosirve para encontrar el ritmo de cambio de una funcin f con respecto a una de sus varias variablesindependientes. Este proceso se llama derivacinparcial y el resultado se llama derivada parcial de f respecto de esa variable independiente elegida.

N+-!%i*(:

D!"! #'# "eri !"!# $!r%i!&e##e "e(+-!( $+r:

L!# $ri/er!# "eri !"!# $!r%i!&e# e !&'!"!# e( e&

$'(-+ #e "e(+-!( $+r

Or"e( "e &!# "eri !"!# $!r%i!&e#:El orden de una ecuacin diferencial parcial es el de laderivada mayor de orden !ue aparezca en dic%aocasin.

E#emplo:

4.5.

Deri !"!# P!r%i!&e# "e Or"e( S'$eri+r

6omando la funcin derivada de una funcin es posible aveces volver a derivar a!uella. Esto es anlogo acalcular la segunda derivada de una funcin de unavariable cuando se deriva dos veces con respecto a lamisma variable& las derivadas obtenidas se llaman

derivadas parciales segundas.

+i f es una funcin de 5 variables entoncesson a su vez funciones, por lo !ue tiene sentidocalcularle sus derivadas parciales.

( las derivadas

A$&i%!%i+(e#:

En muc%as situaciones !ue implican funciones de dosvariables, y en especial en sus aplicaciones, lanaturaleza del problema dado es un indicador de si unpunto crtico es realmente un mximo relativo /oabsoluto1 o un mnimo relativo /o absoluto1. En talescasos, la prueba de la segunda derivada no se necesita.

( menudo, en estudios matemticos de problemas deaplicacin se supone !ue se satisfacen las condicionesapropiadas de segundo orden.

Pr+"'%-i i"!":

$a productividad se define como &! %!(-i"!" "e$r+"'%%i*( "e '(! '(i"!" "e $r+"'%-+ + #er i%i+$+r i(#'/+ "e %!"! )!%-+r '-i&i0!"+ $+r '(i"!" "e-ie/$+ .

7ide la eficiencia de produccin por factor utilizado, !uees por unidad de traba#o o capital utilizado.

$a forma ms simple de calcularlo es establecer laproductividad del empleo, tomando el 089, en t"rminosreales, dividido por el total de %oras traba#adas.

El ob#etivo es establecer la /e0%&! i"*(e! "e/! 'i(!ri! "e -r!,! !"+re# "e +-r+# re%'r#+# $!r!/! i/i0!r &! $r+"'%%i*( total de productos y servicios.

$a forma ms visible de incrementar la productividad es!ue el empresario invierta en una unidad de capital para%acer el traba#o ms eficiente, manteniendo el mismonivel de empleo o, incluso, reduciendo el empleo. Es

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decir, una m!uina ms produce ms de un producto oservicio con el mismo o menos empleo.

Esta forma es la ms visible y la ms criticada, ya !uelos traba#adores, y sus representantes, critican estosincrementos de productividad por!ue dicen !ue ponenen peligro sus puestos de traba#o.

Es verdad !ue %ay algunos empresarios /aun!ue notodos1 !ue buscan precisamente esto, ms produccin ymenos traba#adores.

En el sector de servicios tambi"n se ve el efecto de unam!uina ms, por e#emplo, con la inversin eninformtica, !ue %ace !ue el traba#o de cada traba#ador es muc%o ms eficiente y cada traba#ador puedeproducir muc%o ms !ue antes.

$a productividad es muc%o ms comple#a !ue tener unam!uina ms en tu lugar de traba#o, y se determina y es

impactado por muc%os factores, incluyendo lossiguientes:

la calidad y disponibilidad de los recursosnaturales, !ue impacta la produccin de productosy servicios !ue necesita de estos recursos.

la estructura de la industria y los cambios de lossectores, incluyendo si permite entradas denuevos competidores o no, ampliando lacompetitividad e incentivando la me#ora de laforma de traba#ar.

el nivel de capital total y su incremento, !ue

impacta su nivel y su coste y !ue facilita o no elnivel de inversin futuro.

el ritmo de progreso tecnolgico, ms y me#or tecnologa me#ora el nivel y la calidad detecnologa utilizada en la produccin.

la calidad de los recursos %umanos /laeducacin1, !ue impacta los resultados de laaportacin %umana.

el entorno macroeconmico, !ue puede facilitar o entorpecer la participacin en la economa de losdistintos actores, !ue son los empresarios y lostraba#adores.

el entorno microeconmico, !ue puede facilitar o entorpecer la forma de traba#ar diaria losdistintos actores, por e#emplo, !ue el gobiernoimponga muc%as regulaciones al funcionamientode la economa impacta la productividadnegativamente.

I(5re#+#

$os ingresos, en t"rminos econmicos, %acen referenciaa todas las entradas econmicas !ue recibe una

persona, una familia, una empresa, una organizacin, ungobierno, etc.

El tipo de ingreso !ue recibe una persona o unaempresa u organizacin depende del tipo de actividad!ue realice /un traba#o, un negocio, una venta, etc.1. Elingreso es una remuneracin !ue se obtiene por realizar

dic%a actividad.

0or e#emplo, el ingreso !ue recibe un traba#ador asalariado por su traba#o es el salario. +i "sta es la nicaactividad remunerada !ue %izo la persona durante unperiodo, el salario ser su ingreso total. 0or el contrario,si esta persona, adems de su salario, arrienda unapartamento de su propiedad a un amigo, el dinero !uele paga el amigo por el arriendo tambi"n es un ingreso.En este ltimo caso, el salario ms el dinero delarrendamiento constituyen el ingreso total. $os ingresospueden ser utilizados para satisfacer las necesidades.

uando una empresa vende su produccin o susservicios a un cliente, el valor de la compra, pagada por el cliente, es el ingreso percibido por la empresa. Estosingresos pueden ser utilizados por las empresas parapagar los salarios de los traba#adores, pagar los bienes!ue utilizaron para la produccin /insumos1, pagar loscr"ditos !ue %ayan obtenido, dar utilidades a los due'osde la empresa, a%orrar, realizar nuevas inversiones, etc.

uando el ingreso proviene de actividades productivas,se puede clasificar en varios tipos:

8ngreso marginal: ;enerado por el aumento de laproduccin en una unidad. 8ngreso medio: 8ngreso !uese obtiene, en promedio, por cada unidad de productovendida& es decir, es el ingreso total dividido en el total

de unidades vendidas.

8ngreso del producto marginal: 8ngreso generado por lautilizacin de una unidad adicional de algn actor deproduccin /traba#o, capital1, por e#emplo, la utilizacinde un traba#ador ms, etc.

En general, las personas, las familias, las empresas,etc., buscan aumentar sus ingresos. +i "stos se elevan,su consumo y su a%orro pueden aumentar, llevando, enmuc%os casos, a un me#or nivel de vida y de bienestar.

$os Estados tambi"n reciben ingresos, llamadosingresos pblicos. El Estado recibe ingresos por el cobro

de impuestos, por la venta de bienes producidos por empresas pblicas, por utilidades !ue generan "stasmismas, por ventas o al!uileres de propiedades, por multas impuestas, por emisin de bonos u obtencin decr"ditos, entre otros. uando los ingresos provienen deimpuestos se denominan ingresos tributarios, por elcontrario, cuando provienen de fuentes distintas a losimpuestos se denominan ingresos no tributarios. on losingresos, los gobiernos pueden realizar sus gastos, susinversiones, etc.

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$os ingresos tambi"n pueden clasificarse en ordinarios yextraordinarios. $os ingresos ordinarios son a!uellos!ue se obtienen de forma %abitual y consuetudinaria& por e#emplo el salario de un traba#ador !ue se ocupa en untraba#o estable, o las ventas de una empresa a uncliente !ue compra peridicamente o de forma %abitual.$os ingresos extraordinarios son a!uellos !ue provienen

de acontecimientos especiales& por e#emplo un negocioinesperado por parte de una persona o una emisin debonos por parte de un gobierno.

P&!(e!%i*( %+(-r+& "e #i#-e/!# "e $r+"'%%i*(:

0ara e#ecutar las actividades de produccin en unaorganizacin es de vital importancia trazar planes deaccin !ue permitan conseguir las metas trazadas acorto, mediano, y largo plazo, y as lograr de ciertaforma una planificacin y control del plan de produccin,la planeacin es un proceso !ue busca prever posibilidades o condiciones futuras y tomar una serie dedecisiones para llegar a ellas, re!uiere delestablecimiento de ob#etivos y polticas, as como lafi#acin de programas y la determinacin de m"todosespecficos los sistemas de planificacin y control de laproduccin estn organizados #err!uicamente,contemplan tanto los planes agregados, los planesmaestros, la gestin de materiales, as como, los nivelesde e#ecucin o gestin de taller en los ltimos a'os se%a estado produciendo un notable incremento de laimportancia !ue tiene el subsistema de produccin en eldesarrollo de la actividad empresarial, los +istemas degestin de la produccin integran las diferentesfunciones de planificacin y mando de la produccin& apartir de la utilizacin de t"cnicas, diagramas, grficos ysoft2are, !ue facilitan los clculos y decisiones en tornoa la seleccin de las me#ores variantes de produccin,cuando se %abla de planificacin y control de laproduccin, se suele %acer referencia a m"todos yt"cnicas !ue se pueden subdividir en a!uellas dirigidas aplanificar y controlar operaciones de procesos yoperaciones de proyecto.

0laneacin de -e!uerimientos de 7ateriales /7-013na %erramienta computarizada para programar yordenar materiales, es un mecanismo de coordinacinadems, determina cundo inicia la produccin y cuntose debe producir, embarcar la cantidad correcta, en elmomento correcto, al lugar correcto, funciona ensistemas de produccin de fabricar para almacenar sus ob#etivos son la disminucin de inventarios,Obligaciones realista, 8ncremento en la eficiencia.7-088: $os sistemas actuales de 7-088 consisten deaproximadamente 5< mdulos para controlar el sistemacompleto.

Entrada de pedidos /rdenes1

ompras

0rogramacin

ontrol de 8nventarios

ontabilidad, etc.

$a nueva generacin de sistemas 7-088 se llamansistemas de 0laneacin de recursos de empresa /E-01.P&!(e!%i*( !5re5!"!

$a planeacin agregada denominada tambi"n

planeacin combinada, se encuentra ubicada en el niveltctico del proceso #err!uico de planeacin y tienecomo misin fundamental, la de establecer los nivelesde produccin en unidades agregadas a lo largo de un%orizonte de tiempo, de tal forma !ue se logre cumplir con las necesidades establecidas en el plan a largoplazo, manteniendo a la vez niveles mnimos de costos yun buen nivel de servicio al cliente.

El t"rmino agregado, en este nivel de planeacin,implica !ue las cantidades a producir se debenestablecer de manera global o para una medida generalde produccin o cuando muc%o para algunas pocascategoras de productos acumulados. Es aconse#ableutilizar unidades agregadas tales como familias de

productos, unidad de peso, unidad de volumen, tiempode uso de la fuerza de traba#o o valor en dinero. etodas maneras, cual!uier unidad agregada !ue seesco#a debe ser significativa, fcilmente mane#able ycomprensible dentro del plan.El ob#etivo de la planeacin agregada se establece en eleslabn entre las decisiones sobre las instalaciones y laprogramacin. $a decisin de la planeacin agregadaestablece niveles de produccin generales a medianoplazo, es por ello !ue se %ace necesario !ue en laempresa se implemente dic%os procesos, tomandodecisiones y polticas !ue se relacionen con el tiempoextra, contrataciones, despidos, subcontrataciones yniveles de inventario. El conocimiento de estos factorespermitir determinar los niveles de produccin !ue seplantean y la mezcla de los recursos a utilizar.

A#$e%-+# "e &! $&!(e!%i*( !5re5!"!:

$os tres aspectos ms importantes de la planeacinagregada son la capacidad, las unidades agregadas ylos costos.

C!$!%i"!":

$a capacidad se define como cunto puede fabricar unsistema de produccin. $a definicin de la capacidaddepende del sistema: la capacidad de una universidades distinta de la capacidad de una planta de produccinde automviles, pero ambas indican cunto puedeproducir el sistema. $a capacidad se mide de muc%asformas diferentes& pero por lo general %ay una medidanatural. 0ara la planta de produccin de automviles,puede ser el nmero de automviles producidos por %ora. 0ara una universidad, podra ser el nmero deestudiantes !ue se gradan por perodo. El nivel dedetalle necesario puede dictar la medida usada. $acapacidad de fabricacin de un taller puede ser unapreocupacin mayor !ue toda la planta o de la unidad demercadotecnia. omo !uiera !ue se midan, la capacidady la demanda deben estar en las mismas unidades.

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0ara satisfacer la demanda, la capacidad del sistemadebe excederla, al menos en el largo plazo. +inembargo, el exceso de capacidad es costoso. 3naplanta, !ue puede producir 4


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Pr+,&e/! A#i5(!"+ Re#'e&-+ %+( M!-&!,

eclarar variables>>syms x y

uncin ob#etivo>> -? @A=.BxC5&AD.ByC5&A5.Bx.By& F5.Bx& 4> -? @A=.BxC5&AD.ByC5&A5.Bx.By& F5.Bx& 4


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Gr!)i%! "e &! #e5'("! "eri !"! e( @x,yG?mes%grid/A5:.=:51& r?A4


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trav"s de un problema planteado !ue los m"todosde optimizacin son muy importantes en diversasreas, especficamente en las reas !ue involucrala ingeniera, ya !ue como futuros ingenieros,civiles, industriales, etc., estamos ante lanecesidad de ofrecer las me#ores soluciones parasatisfacer las necesidades de las personas,adems de permitir el e!uilibrio de funcionamientoya sea minimizando costos, tiempo, personal,recursos y alcanzar mximo ndice de efectividad.

BIBLIOGRAFIA

9iblioteca $uis (ngel (rango. /s.f.1. 9iblioteca virtual $uis (ngel (rango. -ecuperado el

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