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A
B
C
AB
C
AB
C
Eje X
Eje υ (Deformada)
M f x
Eje X
Eje X
Eje υ1 (Deformada)
Eje υ2 (Deformada)
Ra Rb Rc
Rb
q
q
M f 1 x
M f 2x
=
+
L
2L
2L
LViga
Viga 1
Viga 2
=(superposición de)
+
Una viga continuas de dos vanos de luz L, cada uno, está sometida a una carga continua q. La viga se apoya en A, B y C siendo A un apoyo articulado y B y C apoyos articulados simples (móviles), como se muestra en las figuras. Se pide las reacciones en los apoyos.
qL qL
Rb2
Rb2
AEje X
Eje υ1 (Deformada)
x
Cálculo del momento flector Mf1(x) y deformada υ1(x) de Viga 1
qL
q M f 1 xqLx=q
x2
2⇒M f 1
x=q x2
2−Lx
De la ecuación diferencial de la elástica:
EI 1x ' '=−M f 1x =−q
x2
2−Lx ⇒1x '=1x=
1EI ∫ −q
x2
2−LxC 1
1x =qEI Lx2
2−
x3
6C 1⇔1x=L=0⇒
L3
2−
L3
6C1=0⇒C1=−
L3
3
1x=qEI Lx2
2−
x3
6−
L3
3 ⇒1x=qEI ∫ Lx2
2−
x3
6−
L3
3 C21x =
qEI Lx3
6−
x4
24−
xL3
3C2⇔1x=0=0⇒C 2=0
1x=qEI Lx3
6−
x4
24−
xL3
3
M f 1x
AEje X
Eje υ2 (Deformada)
x
Cálculo del momento flector Mf2(x) y deformada υ2(x) de Viga 2
Rb2
M f 2 x=
Rb2
x
De la ecuación diferencial de la elástica:
EI 2x ' '=−M f 2x =
Rb2
x⇒2x '=2x=1EI∫ Rb
2xC 1
2x=Rb2EI x
2
2C 1⇔2x=L=0⇒
L2
2C1=0⇒C 1=−
L2
2
2x =Rb4EI
x2−L2 ⇒2x =
Rb4EI
∫ x2−L2 C 2
2x =Rb4EI x
3
3−L2 xC2⇔2x=0=0⇒C 2=0
2x =Rb4EI x
3
3−L2 x
A C
A C
Eje X
Eje X
Eje υ1 (Deformada)
Eje υ2 (Deformada)
q
qL qL
Rb2
Rb2
x=L
x=L
υ1 (x=L)
υ2 (x=L)
Rb
La condición que tiene que cumplir la viga en el apoyo B es que la deformada debe ser cero. Dado que el monto flector total es la suma de los momentos flectores de las vigas parciales, lo mismo ocurrirá con la deformada.
1 x=L=qEI L
4
6−
L4
24−
L4
3 = Rb4EI L
3
3−L3=2x=L
−qEI
524
L4=−Rb4EI 2
3L3⇒Rb=
54
qL
Una vez obtenida esta condición ya es posible terminar de calcular el resto de reacciones:Ra + Rb + Rc =2qL (suma de fuerzas)2qL2 = Rb L + Rc 2L(suma de mementos).Rb = 5/4 qLObservad que las reacciones así calculadas coinciden con la suma de las reacciones de las vigas parciales:
Ra=Rb=qL−Rb2=qL−
54qL
2=qL−
58qL=
38
qL
