Calculo y Dibujo de Una Triangulacion-logo-upn-felixgarcia

TOPOGRAFIA II-TRIANGULACIN

FACULTAD DE INGENIERIA Ing. Flix Garca Glvez

TRIANGULACIN

TOPOGRFICA



1.09. TRIANGULACIN TOPOGRFICA

GENERALIDADES.

Para efectuar el levantamiento de grandes extensiones de terreno, la tcnica que por su propia naturaleza ofrece las mejores ventajas, es la tcnica de la TRIANGULACION, mtodo mediante el cual es posible llevar el control y apoyo de todo el levantamiento planimtrico, no solamente de grandes extensiones, sino tambin de los terrenos de mediana extensin y en donde la poligonacin resultara antieconmica ya sea por lo accidentado del terreno como por la existencia de obstculos que dificultaran la medicin de los lados de la red u otro factor que hara casi impracticable las poligonaciones.

Para formar una poligonacin es necesario unir

convenientemente dos o ms tringulos y en la que uno o ms lados son lados comunes de los tringulos adyacentes, logrndose figuras que no necesariamente han de ser tringulos, sino tambin: cuadrilteros, polgonos con puntos centrales o redes conformadas por tales figuras, (Fig. N 34, 35).

En toda triangulacin basta con medir uno de los lados

de la figura (base de la triangulacin), calculndose el resto de ellos, por relacin trigonomtrica siempre y cuando se conozcan los ngulos que forman cada tringulo. Cuando la precisin por alcanzar debe ser considerable se tomar una base de comprobacin con el de determinar la bondad de la red.

Los conceptos que seguidamente se presentan, se refieren principalmente a las triangulaciones del tipo

topogrfico aun cuando existen conceptos muy comunes con las triangulaciones del tipo geodsico.

DEFINICION.

Toda triangulacin, es la red de apoyo de levantamiento planimetrito que se encuentra formada por una serie de tringulos en los cuales uno o ms lados de cada tringulo, lo son tambin de tringulos adyacentes, (Fig N 34, 35).

TRIANGULACION TOPOGRAFICA.

Es toda triangulacin en la que no se tiene en cuenta el efecto de la curvatura terrestre, tanto en la medicin de lados como en la medicin de los ngulos.

De modo general el alcance de los levantamientos por medio de las triangulaciones topogrficas, puede llegar a unos 400 o ms kilmetros cuadrados de extensin; siempre y cuando se lleve un adecuado control de la precisin requerida. PLANEAMIENTO DE UNA TRIANGULACION TOPOGRAFICA.

La conveniencia de una triangulacin como red de apoyo de levantamiento debe estimarse teniendo en consideracin los siguientes aspectos:

- La triangulacin es conveniente en terrenos de gran extensin. - La triangulacin resulta ventajosa ante la poligonacin, principalmente en regiones accidentadas y

montaosas, ya que de otro lado, la medicin directa de lados sera lenta, con serias dificultades y antieconmica.

- La triangulacin en toda extensin de terreno en donde la naturaleza de su topografa o la existencia de factores diversos hagan imposible o dificulten la tcnica de la poligonacin; tal como es el trfico de vehculos en las ciudades o en terrenos tales como: cauces de ros, lagunas, orillas de los mares en donde su propia naturaleza dificulta tremendamente la medicin de los lados.



ELEMENTOS DE UNA RED DE TRIANGULACION

FIG N 34

Sea la Fig. N 34, entonces:

ESTACIONES Es todo vrtice de las figuras que forman la triangulacin, ejemplo: estaciones: A, B, E, etc.

LADOS

Son las lneas que ligan o unen dos vrtices de la triangulacin, ejemplo: lados; AB, BC, AD, etc. ANGULOS

Es la figura formada por dos lados de una triangulacin y que se intersectan en un vrtice de la misma, (1), (2), (41), etc. BASE DE LA TRIANGULACION

Es el lado de la triangulacin cuya medicin de su longitud ha sido obtenida directamente en el campo, ejemplo Base AB.

Existen dos tipos de bases: la de inicio de la triangulacin (base de la triangulacin) y la base de comprobacin (base de cierre). FIGURAS:

Cada una de las figuras geomtricas que forman los tringulos llegando a formar la triangulacin total, ejemplo. Tringulo FGH, cuadriltero ABCD, polgono con punto central CDFG (E).

En base al tringulo, las triangulaciones pueden estar conformadas de las siguientes cadenas de figuras:

44

1

3

H

2

4 5 6 7

43 42

41

E F

3 8 2 1

4 5 6

7

3 2 1

8

D C

A B



CADENA DE TRIANGULOS CON BASE DE CIERRE CADENA DE CUADRILATEROS

CADENA DE POLIGONOS CON PUNTO CENTRAL MARAA DE TRIANGULOS

MARAA DE CUADRILATEROS CADENA DE DIVERSAS FIGURAS

Fig. N 35



ELECCION DE LA CADENA PARA UNA TRIANGULACION

Si bien en la prctica no es posible seguir o mantener una cadena de un solo tipo de figura, para la eleccin de la cadena que mejor conviene tomar, se tendr en cuenta los siguientes aspectos:

- La triangulacin formada por una cadena de tringulos es de las ms sencillas por cuanto que no requiere de una medida de un elevado nmero de ngulos pero en cambio requiere de la medida de bases de comprobacin muchas veces muy cercanas unas de otras, si es que se quiere lograr una buena precisin.

- La triangulacin formada por una cadena de cuadrilteros requiere de un mayor nmero de visuales pero brinda un mejor control del levantamiento, principalmente en lo que a precisin se refiere. Este tipo de cadenas es muy adecuado para zonas largas y relativamente.

- La triangulacin formada por una cadena de polgonos con punto central, requiere de un gran nmero de visuales y con las cadenas de cuadrilteros, son las adecuadas para levantamientos de gran precisin. Este tipo de cadenas es adecuado para levantamientos de zonas en que su anchura es considerable.

LABORES QUE IMPLICA UNA TRIANGULACION

Las labores que son necesarias realizar para ejecutar una red de apoyo de levantamiento formada por una triangulacin, en cuanto nicamente al control planimetrito se refiere, son: TRABAJO DE CAMPO

Comprende: - Reconocimiento del terreno. - Ubicacin del vrtice y seleccin de la ubicacin para la base(s). - Medicin de la base(s) de la triangulacin. - Medicin de los ngulos de la triangulacin. - Medicin del azimut de uno de los lados de la red.

TRABAJO DE GABINETE

Comprende: - Clculo de la longitud y precisin de la(s) base(s) de la triangulacin. - Compensacin de figuras. - Clculo de la resistencia de figura y seleccin del mejor camino de clculo. - Clculo de azimut y rumbos del mejor camino de clculo. - Clculo de lados de la triangulacin. - Clculo de las proyecciones de los lados. - Clculo de coordenadas. - Clasificacin general de la triangulacin ejecutada. - Dibujo de la triangulacin.

El fin general de una red de triangulacin, no es exclusivamente contar con la red planimtrica, sino que

en base a ella se ejecuta el levantamiento de los detalles de toda la extensin que abarca la red. El levantamiento de detalles implica realizar la radiacin desde todas las estaciones principales (vrtices de la triangulacin) as como de estaciones auxiliares de levantamiento. Implica as mismo llevar el control de una red de apoyo de levantamiento altimtrico (red o redes de circuitos de nivelacin). RECONOCIMIENTO DEL TERRENO

Consiste en la inspeccin ocular del terreno a levantarse y tiene como objetivos: planteamiento general de la triangulacin estudindose las mejores posibles ubicaciones de los vrtices de la red, eleccin de las figuras a formar, posibles ubicaciones de las base(s). Asimismo, deber determinarse el personal y equipo necesario como el posible costo del levantamiento. Esta etapa debe ser realizada indispensablemente por el ingeniero o tipgrafo a cargo del levantamiento, ya que la precisin, costo econmico y el buen xito del trabajo depende en gran parte de las conclusiones a las que pudiera llegarse luego de un buen reconocimiento.

Toda triangulacin requiere de muchas visuales, por lo que se seleccionarn los lugres elevados para ubicacin de estaciones, as mismo las zonas descubiertas y que no impidan la visibilidad.



En extensiones limitadas y para redes de baja precisin, segn la experiencia del encargado del

levantamiento, la etapa de reconocimiento puede ejecutarse simultneamente con la etapa de ubicacin definitiva de las estaciones.

El equipo de ayuda para el reconocimiento comprender: podmetro, brjula, eclmetro (Nivel de Abney), jalones, wincha, binoculares y otros a fin de estimar en una primera aproximacin, tanto distancias como ngulo. De ser posible, resulta muy ventajoso contar con un mapa general de todos los accidentes fsicos ms notables. UBICACION DE VERTICES

Toda estacin o vrtice de triangulacin debe ubicarse en sitios difciles de remover y que no se presten a confusiones. Para la seleccin de un sitio como vrtice de triangulacin, deber tenerse en cuenta principalmente que la precisin de ngulo depende principalmente de la exactitud de la medicin de la base as como de la precisin en la medicin de los ngulos. Los lados de una triangulacin por ser calculados por la formula:

BSen

ASenba (1)

determina ciertas condiciones para lograr una precisin adecuada. As, el error que se cometer en el calculo de dicho lado, ser:

bASenBCotgBCodB

da)(sec (2)

sea que es directamente proporcional a la funcin Cosec B Cota B, funcin que tiene variacin muy

acentuada para ngulos prximos a 0 y 180; por lo que es recomendable que las estaciones se encuentren ubicadas de tal manera que en lo posible no formen ngulos ni muy agudos ni muy llanos. Demod general es adecuado tener ngulos no menores de 30 ni mayores de 120. La Fig N 36 aclara grficamente el concepto expuesto lneas arriba.

C : Posicin real del punto. C : Posicin errnea del punto, por un error determinado en la medicin del ngulo B.

FIG N 36

A B

C

C1

error

C1

C

B A

error



Para marcar una estacin o vrtice puede emplearse simples estacas de madera o dado de concreto, usndolos segn la importancia y jerarqua de la red. La Fig N 37, presenta algunos modelos.

FIG N 37

Las seales que se toman para visualizar las direcciones angulares, debern ser inconfundibles, perfectamente verticales en su posicin durante la operacin de medida de ngulo. Segn la distancia a la que se encuentren unas de otras, se utilizaran: jalones y balizas con o sin bandera, postes o las denominadas torres de observacin. El pintado que se empleen para identificar las seales puede ser por medio de franjas alternadas de color rojo y blanco u otro alguno que resalte sobre el cielo o fundo que se ve la seal.

Algunos modelos de seales se presentan el la Fig N 38, siendo el ancho mnimo de las seales el dado por la formula prctica:

I

La 0004.0 (3)

a: ancho de la seal. L: distancia entre estaciones. I : aumento del anteojo del instrumento.

FIG N 38

40cm 60cm

10cm 30cm

20cm

40cm



UBICACIN DE LA BASE DE TRIANGULACION.

Toda base de triangulacin se ubicara en terreno llano, abierto y con buena visibilidad, debiendo facilitar en todo momento la medicin de la misma.

Los terrenos dependiente menor al 10%, son mas adecuados pudiendo tomarse y cuando el caso lo requiere, terreno mas ligeramente mas accidentados. La longitud que debe tener una base, por razones de economa y de su misma ubicacin, pueden ser hasta del 20 al 30% la longitud promedio de los lados de la red. Para bases relativamente cortas y si el terreno lo permite es preferible tener bases cuta longitud sea aproximadamente igual al promedio de los lados.

L a Fig que se haya de formar para la salida de la base y ampliacin de la red, preferentemente debe ser un cuadriltero o un polgono y de lados relativamente equilibrados o aproximadamente iguales. MEDICION DE LA BASE DE TRIANGULACION

La ubicacin de una base depende fundamentalmente del equipo con que se cuente, as puede ser ejecutada mediante wincha de acero, barra invar. o electrnicamente. La medicin a wincha no requiere de equipo muy costoso, el segundo mtodo es de costo mediano y el tercero requiere de equipo cuyo costo es elevado emplendoselo mas bien en triangulaciones geodsicas.

En toda medicin de bases deber tomarse todas las precauciones para garantizar que las medidas no adolecen de errores groseros o equivocaciones personales. MEDICION CON WINCHA DE ACERO

La medicin de un base por medio de una wincha de acero, consiste en: - Colocar estacas perfectamente alineadas a espacios de unos 12.5 a 15 m. e intermedias entre las

estaciones extremas. Las estacas pueden ser de madera de unos 5 a 10 cm. de seccin recta y unos 60 cm de longitud, debiendo clavrselas hasta lograr una posicin fija.

- Sobre la cabeza de las estacas se colocara placas de latn o zinc, a fin de que sobre ellas se ejecuten las marcas referenciales de las mediciones. Tales marcas se aran con un punzn de metal.

- Ejecutar convenientemente la medicin de todos y cada uno de los tramos de la base, registrndose su longitud, temperatura del ambiente y la atencin que se tuviera en el instante de la medicin.

- Llevar acabo la nivelacin las cabezas de las estacas.

El personal necesario para la medicin puede ser: - Dos cadeneros, uno de ellos tomara las tensiones de medicin. - Dos lectores de las longitudes, uno de ellos colocara las marcas en las latas de zinc o latn. - Un registrador de las temperaturas de medicin. - Un libretista.

El equipo necesario es: - Teodolito con su respectivo trpode. - Wincha de acero. - Termmetro. - Tensiometro. - Jalones, estacas, comba, placas de latn, punzn, clavos, tiradores, martillo, etc. - Nivel de ingeniero, con su respectivo trpode y mira.

Un modelo para llevar el registro de la medicin propiamente dicha, es:

DESCRIPCION PRIMERA MEDICION Tramo Apoyos Desnivel Longitud m. T C P Kg . . . . . . . .

El numero de mnimo de mediciones debe ser de cuatro (4), dos de ida y dos de regreso; llegando hasta 16 en las triangulaciones de alta preedicin.



La precisin de medida de una base, deber ser la adecuada para la triangulacin que se trata de plantear. Como referencia debe tomarse los valores:

CLASE DE ERROR ORDEN DE LA TRIANGULACION A PLATENAR

1 2 3 4

Error probable, inferior a: Error real, inferior a: Cierre de la base, despus del ajuste angular

1/1000000 1/300000 1/25000

1/500000 1/150000 1/10000

1/200000 1/25000 1/5000

1/20000 1/6000 1/3000

MEDICION DE LOS ANGULOS DE LA TRIANGULACION

Las visuales que se dirijan para la medida de los ngulos debern ser a seales perfectamente visibles, verticales e inconfundibles.

Entre los mtodos mas comunes puede optarse por el mtodo de repeticin o el mtodo de reiteracin u otro alguno y de precisin con que este mas acostumbrado el operador.

Los ngulos a medirse no solamente ha de ser los ngulos interior de las figuras, sino tambin los ngulos interiores de las figuras, sino tambin los ngulos exteriores en cada vrtice, para que posteriormente pueda ejecutarse la compensacin por ecuacin de vrtice o cierre del horizonte.

La precisin a alcanzar, segn las exigencias del levantamiento estar en concordancia con la tabla:

CLASE DE ERROR ORDEN DE LA TRIANGULACION

1 2 3 4

Cierre promedio en ngulo: Mximo error angular en cada tringulo:

1 3

3 5

6 10

15 30

El nmero de repeticiones en la medida de ngulos, ser de cuatro para las triangulaciones de menor jerarqua, llegando hasta 16 en las de primer orden. Si la medicin es por series se tomaran los mismos valores. MEDICIN DE UNO DE LOS AZIMUT DE LOS LADOS

La medicin del azimut de un lado de triangulacin puede ser ejecutada con brjula de teodolito para las de 3 y 4 orden, para los de 1 y 2 orden debe ser por medio del azimut verdadero o geogrfico. De ser posible se medir el azimut de la base de la triangulacin. CALCULO DE LA LONGITUD Y PRECISION DE UNA BASE DE TRIANGULACION.

Los datos de medicin debern estar exentos de toda posibilidad de errores groseros o equivocaciones

vulgares.

Los errores sistemticos en una medicin con wincha de acero son: error por dilatacin de la wincha error por catenaria, error por falta de horizontalidad, error por deformaciones por tencin y error por calibramiento de la wincha y que compara con un patrn que generalmente es una wincha de hilo invar.. A cada uno de estos tipos de error sistemticos, corresponde su correccin, siendo: Correccin por temperatura:

)( 0TTKLCt ( 4 )

Ct: correccin por temperatura. K: coeficiente de dilatacin de la wincha. L: longitud del tramo medido. T: temperatura del ambiente en el instante de la medicin. To: temperatura de calibramiento.



Correccin por catenaria:

2)(

24 P

lwLCc

( 5 )

Cc: correccin por catenaria. L: longitud del tramo medido. W: peso lineal de la wincha. l : longitud entre apoyos. P: tensin de medicin.

FIG N 39 Correccin por horizontalidad.

3

42

82 l

h

l

hCh ( 6 )

Ch: correccin por horizontalidad. H: desnivel entre estacas de apoyo. L: longitud entre apoyos.

Generalmente se toma el primer termino de la formula anteriormente escrita, ya que para desniveles pequeos, a partir del segundo trmino, las serie va tomando valores ms pequeos.

El signo de la correccin por falta de horizontalidad a aplicarse a toda medicin, siempre es negativo, sea el desnivel positivo o no. Correccin por tensin.

ES

PPLCp

)( ( 7 )

Cp: correccin por tencin. L: longitud del tramo medido. P: tencin de medicin. Po: tencin de calibramiento. S: seccin recta de la wincha. E: modulo de elasticidad del acero.

Correccin por calibramiento:

Este tipo de correccin se lleva acabo luego de haber efectuado las correcciones anteriores y consiste bsicamente en una regla de tres simple entre las mediciones ejecutadas, la medida de la wincha patrn y la medida de la wincha utilizada en la medicin en campo.

L

l

P P



Ejemplo:

Se ha realizado la medicin de una base de triangulacin AB. Si las caractersticas de la wincha usada son K = 0.000012/C, To = 20C, W = 15.6 gr/m, Po = 5kg, S = 0.02 cm2, E = 2.1 x 106 kg/cm2, y si al ser contrastada con una wincha patrn invar. Se observa que 49.998m de la wincha corresponden a 50 m de la wincha patrn invar.; calcular la longitud medida, corregida y calibrada para los valores de la siguiente libreta:

Los valores de los desniveles y las longitudes se encuentran en metros. Aplicando las formulas anteriores

es posible calcular el siguiente cuadro: Cuadro de correcciones sistemticas:

TRAMO APOYOS PRIMERA MEDICION

Longitud m. Ct mm Cc mm Ch mm Cp mm

A - 2 A 1 1 2

49.967 -1.5 -4.6 -2.2 -1.3

3.9

2 4 2 3 3 4

49.980 -1.5 -6.3 -1.6 -3.2

2.5

4 6 4 5 5 6

49.863 -1.4 -7.4 -2.7 -1.9

1.8

6 8 6 7 7 8

49.972 -1.4 -4.7 -1.4 -0.6

3.8

8 10 8 9 9 10

49.963 -1.2 -4.9 -1.2 -2.6

3.6

10 12 10 11 11 12

49.876 -1.1 -4.7 -2.3 1.1

3.8

12 14 12 13 13 14

49.903 -1.2 -5.6 -3.2 -1.6

3.0

14 - B 14 - B 17.673 -0.4 -1.4 -2.4 0.6

TOTALES 367.197 -9.7 -39.6 -29.3 23.0

En consecuencia: Longitud media = 367.197 m. Correcciones sistemticas = -9.7 -39.6 -29.3 + 23.0 = - 56.6 mm. Longitud corregida = 367.197 - 0.056 = 367.141 m.

metroscalibradaycoregidalongitud 156.367998.49

00.50141.367

DESCRIPCIN PRIMERA MEDICIN

TRAMO APOYOS DESNIVEL LONGITUD TEMP C P Kg

A - 2 0.33

0.25 49.967 17.5 8.3

2 - 4 2 3 3 - 4

0.28 0.40

49.980 17.5 7.1

4 - 6 4 5 5 - 6

0.37 0.31

49.863 17.6 6.5

6 - 8 6 7 7 - 8

0.26 0.18

49.972 17.7 8.2

8 - 10 8 9

9 - 10 0.24 0.36

49.963 18.0 8.0

10 - 12 10 11 11 - 12

0.34 0.23

49.876 18.1 8.2

12 - 14 12 13 13 - 14

0.40 0.28

49.903 18.0 7.5

14 - B 14 - B 0.29 17.673 18.2 6.3

TOTAL: 367.197



De igual modo se procede con todas y cada una de las restantes mediciones de toda la base de la triangulacin y con la cual se tendr cada una de las mediciones corregidas y calibradas, estando en condiciones de poder llevar la evaluacin de la precisin de la medicin. PRECISION DE UNA BASE DE TRIANGULACION

La mayor o menor incidencia de errores accidentales o fortuitos en una medicin d la menor o mayor precisin de medicin.

La estimacin de los errores accidentales, en conjunto y que inciden en una medicin, se realiza por formulas obtenidas por probabilidades, presentndose las que interesan a nuestro estudio.

Sean: n1 , n2 , n3 , .nn , los valores de las longitudes medidas corregidas y calibradas de una base de triangulacin, entonces. VALORES MS PROBABLE DE LA BASE

Para igualdad de condiciones de medicin est dado por la frmula:

n

mmmmM n

....321 ( 8 )

n: nmero de mediciones

ERRORES RESIDUALES O DESVIACIONES

Es la diferencia entre los valores de las mediciones y de la media aritmtica, as:

Mmv 11 Mmv 33

Mmv 22 Mmv nn ( 9 )

MEDIA DE LOS ERRORES

Es la media aritmtica de los errores residuales, sin tener en cuenta, su signo

n

vt

( 10 )

ERROR CUADRATICO DE UNA MEDICION

Esta dado por la expresin

1

2

n

vem ( 11 )

ERROR MEDIO CUADRATICO DE LA MEDIA ARITMETICA

Esta dado por la expresin

)1(

2

nn

veM ( 12 )

ERROR MAXIMO ADMISIBLE O TOLERANCIA

Denominado tambin error temible, esta dado por la expresin:

)(5.2max mee ( 13 )



ERROR PROBABLE

Se calcular por:

)(6745.0 mpm ee ( 14 ) pme : Error medio cuadrtico probable de una medicin cualquiera

)(6745.0 MpM ee (15 ) pMe : Error medio cuadrtico probable de la media aritmtica

ERROR RELATIVO

Existen diversos criterios en cuanto a la frmula especfica a utilizar, as:

M

ee mr ;

M

ee Mr ;

M

ee

pm

r ; M

ee

pM

r ( 16 )

A fin de despejar posibles confusiones, se especifica la frmula usada.

Ejemplo:

La medicin de una base de triangulacin, ha dado las siguientes mediciones corregidas calibradas: 526.178 , 526.202 , 526.194 , 526.170 , 526.199 , 526.169 y 526.165. Calcular el valor ms probable de la base as como los diferentes tipos de errores accidentales, (valores). Solucin:

Medicin Longitud m + v. mm -v. mm V mm

1 526.178 2 4

2 526.202 22 484

3 526.163 17 289

4 526.194 14 196

5 526.170 10 100

6 526.199 19 361

7 526.169 11 121

8 526.165 15 225

N = 8 4,209.440 55 55 1,780

M = 4,209.440 / 8 = 526.180 m.

7/1780me = .16 mm

.40)16(5.2max mme

Valor mximo aceptable = 526.180 + 0.040 = 526.220 m. Valor mnimo aceptable = 526.180 0.040 = 526.140 m.

Dado que los valores de las mediciones se encuentran comprendidos entre los valores mximos y mnimo

aceptables, proseguimos con el clculo, caso contrario debera procederse a la depuracin de los valores que no se encuentran en el rango. t = 110 / 8 = 14 mm.

.16 mmem .11mmepm

56/1780Me = .6 mm mmepM 4

Para los errores relativos tenemos:



ERROR REAL.

886,32

1

180.526

016.0re , se te4ndr 1 / 30000

ERROR PROBABLE:

47834

1

180.526

014.0e , se tendr 1/45000

COMPENSACIN DE FIGURAS DE UNA TRIANGULACIN Antes de procederse al calculo de los lados de la red, los ngulos deben ser compensados por

ecuaciones de condiciones geomtricas y trigonomtricas y que son propias del tipo de figura que forman toda compensacin se realiza a los valores de los ngulos compensados por ecuacin de vrtice siempre y cuando los errores en cada triangulo, sean menores a los mximo admisibles. ECUACIONES DE NGULO

En toda figura geomtrica cerrada, el numero de ecuacin de Angulo que deben cumplir los ngulos de la

misma, es:

10 LnCA (17)

Donde: CA : nmero de ecuaciones de ngulo n : nmero de ngulos medidos. L : nmero de lneas o lados. Ejemplos: Caso del tringulo:

1133 AC

Siendo la ecuacin: (1) + (2) + (3) = 180 (I)

Caso del cuadriltero:

3168 AC

Siendo las siguientes ecuaciones

(1)+ (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) + (8) = 360 (I) (1) + (2) = (5) + (6) (II) (3) + (4) = (7) + (8) (III)

8

4 5 7 6

3 2 1

1 2

3



Caso de un polgono con punto central: (para uno de cuatro lados exteriores)

51812 AC

Siendo las siguientes ecuaciones:

(41)+ (42) + (43) + (44) = 360 ( I ) (1) + (2) + (41) = 180 ( II ) (3) + (4) + (42) = 180 ( III ) (5) + (6) + (43) = 180 ( IV ) (7) + (8) + (44) = 180 ( V )

ECUACIONES DE CONDICON DE LADO

En toda figura geomtrica cerrada, el nmero de ecuaciones de condicin de lado que deben cumplir los ngulos de la misma, es:

32 SLCL (18)

Donde: CL : nmero de ecuaciones de lado L : nmero de lneas o lados S : nmero de estaciones o vrtices. Ejemplo: Tringulo:

0363 LC

Es decir no tiene, siempre y cuando sea un tringulo independiente, por esta razn cuando se plantea triangulaciones formadas exclusivamente por cadenas de tringulos, para llevar un adecuado control de levantamiento debe tomarse una base de comprobacin y con la cual es posible plantear la ecuacin de lado (condicin trigonomtrica).

Cuadriltero:

1386 LC

Siendo lo siguiente:

Log Sen (1) + Log Sen (3) +Log Sen (5) +

Log Sen (7) Log Sen (2) Log Sen (4) - LogSen(6) LogSen(8) = 0

5 7

2 8

4

3 1

4311 44

11 41

11

4211

6

1 2

3

8 2

3

4 5 6 7

1



Polgono con punto central (caso de uno de cuatro lados)

13108 LC

Siendo lo siguiente

Log Sen (1) + Log Sen (3) +Log Sen(5) +

Log Sen (7) Log Sen (2) Log Sen (4) - Log Sen (6) Log Sen(8) = 0

Para un cuadrado de tringulos con base de comprobacin:

AB = b Base de triangulacin

GH = b1 Base de comprobacin.

Log b + Log Sen (B1) + Log Sen (B2) + Log Sen (B3) + Log Sen (B4) + Log Sen (B5) + Log Sen (B6) -

Log b`- Log Sen (A1) - Log Sen (A2) - Log Sen (A3) - Log Sen (A4) - Log Sen (A5) - Log Sen (A6) = 0 METODO DE COMPENSACION DE LOS ANGULOS DE LAS FIGURAS DE UNA TRIANGULACION

Entre los mtodos se tiene: Mtodo aproximado o mtodo de aproximaciones sucesivas. Mtodo de los mnimos cuadrados

De los dos mtodos, estudiaremos con detalle el de las aproximaciones sucesivas y que es el que se emplea para las triangulaciones topogrficas, el mtodo de los mnimos cuadrados se emplea con ms propiedad para las triangulaciones geodsicas (1 y 2 orden). METODO APROXIMADO DE COMPESACION

Es el mtodo ms empleado para la compensacin de triangulaciones topogrficas ( 3 y 4 orden ), ya que por su sencillez no requiere de mucho clculos. Una de las ventajas es su rapidez de clculo, as como que los valores de los resultados dan la precisin deseada para este tipo de triangulaciones sin entrar en mtodos de compensacin muy refinados. Los principios en los que se basa son: 1- De modo general, las correcciones deben ser de signo contrario al error 2- Las correcciones parciales por aplicar a los valores de los ngulos que intervienen en una determinada

ecuacin, se logra por un reparto equitativo de la correccin total. 3- Toda correccin que se ejecute deber realizarse sin desequilibrar las compensaciones ejecutadas

anteriormente. 4- La correccin de los ngulos por ecuacin de lado se realiza luego de haber compensado por ecuaciones

de ngulo.

2

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

+

L

o

g

S

e

3

4 5 6 7

1 8

42 43

44 41

A

B D

F

H

G E C

B6

A6

C6

C5

A5 B5

A4

B4

C4

C3

A3 B3

C2

A2 B2 C1

A1 B1

b b1



Ejemplo

Habindose medido los ngulos de la triangulacin de la Fig. N 40, si los ngulos compensados por ecuaciones de vrtice son los que se indican, ejecutar la compensacin de los ngulos por el mtodo de las aproximaciones. Determinar las coordenadas de las estaciones, azimut AB = 103 20`14; AB = 356.503 m. ngulos del cuadriltero A B C D

(1) = 4512`10 (2) = 37 51`08 (3) = 51 04`06 (4) = 45 52`50 (5) = 36 19`21 (6) = 46 44`05 (7) = 45 50`20 (8) = 49 06`24

ngulos del polgono C D E F ( G )

(1) = 33 43`58 (2) = 36 40`10 (3) = 49 23`08 (4) = 41 28`04 (5) = 55 17`38 (6) = 56 00`03 (7) = 42 11`57 (8) = 45 15`26 (41) = 109 35`57 (42) = 89 08`50 (43) = 68 42`06 (44) = 92 32`51 FIG N 40

ngulos del tringulo E F H

(1) = 62 27`15 (2) = 57 31`42 (3) = 60 00`48

Solucin El procedimiento de compensacin de un cuadriltero por el mtodo de las aproximaciones es

Compensacin de cuadriltero A B C D

El procedimiento de compensacin de un cuadriltero por el mtodo de las aproximaciones es. Compensacin por ecuaciones de ngulo: son tres: 1- Se compensan los ngulos del cuadriltero de modo que su suma de todos ellos de el valor 360. La compensacin total se reparte por igual entre los 8 ngulos de la figura, en caso de que la divisin no fuera exacta, se toma valores lo ms aproximadamente posible. 2- Con los valores compensados con el paso anterior, se encuentra la diferencia entre la suma de los ngulos: (1) + (2) y (5) + (6), dividindola luego entre 4, que ser la correccin para cada uno de estos ngulos, siendo positiva para aquellos cuya suma fue de menor valor numrico y negativa para los ngulos cuya suma fue mayor. 3- Con los valores de los ngulos: (3) , (4) y (7) , (8) , se procede de manera similar al paso anterior. 4- Se calcula los valores de los ngulos compensados por ecuaciones de condicin de ngulo.

H

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

+

Lo

g

S

e

n

(

F

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

+

L

o

g

E

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

+

L

o

g

D

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

C

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

B

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

A

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

G

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

+

3

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

+

L

o

g

S

e

n

1

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

+

Lo

g

2

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

+

L

o

g

5

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

+

L

o

g

6

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

+

L

o

g

7

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

+

L

o

g

4

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

+

L

o

g

43

Lo

g

Se

n

(1)

+

Lo

g

Se

n

(3)

+L

og

Se

n(

5)

+

Lo

g

Se

n

(7)

Lo

g

Se

n

(2)

Lo

g

Se

n

(4)

-

Lo

g

Se

n(

6)

Lo

44

Log

Sen

(1)

+

Log

Sen

(3)

+Lo

g

Sen(

5) +

Log

Sen

(7) Log

Sen

(2) Log

Sen

(4) -

Log

Sen(

6) Log

Sen(

8) =

0

42

41

1

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

8

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

2

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

3

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

6

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

7

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

1

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

8

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

2

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

3

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

5

L

o

g

S

e

n

(

1

)

+

L

o

g

S

e

n

(

3

)

+

L

o

g

S

e

n

(

5

)

4



Cuadro de clculo para el ejemplo

ANGULO VALOR

COMPENSACION POR ECUACION DE ANGULO

C I Angulo

corregido C II C III

Angulo compensado

1 45 12`10 - 3 45 12`07 + 2 45 12`09 2 37 51`08 - 3 37 51`05 +2 37 51`07 3 51 04`06 - 3 51 04`03 - 3 51 04`00 4 45 52`50 - 3 45 52`47 - 3 45 52`44 5 36 19`21 - 3 36 19`18 - 2 36 19`16 6 46 44`05 - 3 46 44`02 - 2 46 44`00 7 47 50`20 - 3 47 50`17 + 3 47 50`20 8 49 06`24 - 3 49 06`21 + 3 49 06`24

Sumas 360 00`24 - 24 360 0000 00 00 360 00`00

(1) = 45 12`07 (5) = 36 19`18 Diferencia = 20 12 = 8 (2) = 37 51`05 (6) = 46 44`02 83 03`12 83 03`20 C II = 8/4 = 2 (3) = 51 04`03 (7) = 47 50`17 Diferencia = 50 38 = 12 (4) = 45 52`47 (8) = 49 06`21 96 56`50 96 56`38 C III = 12/4 = 3 Compensacin por ecuacin de lado: Solo una ecuacin 1.- Con los valores de los ngulos compensados por las ecuaciones de ngulo se calcula los valores de los Logaritmos Senos de los ngulos, obtenindose luego de suma de ellos, de acuerdo a la condicin de lado. 2.- Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente encontrada. 3.- Recalcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno 1 para los valores de los ngulos. 4.- La correccin se obtiene por divisin del valor de la diferencia de las sumas de longitud seno, entre el valor de la diferencias tabulares; siendo positiva para los ngulos cuya suma de logaritmos seno fue menor y siendo negativa para los ngulos cuya suma de logaritmo fue mayor.

Cuadro de clculo para el ejemplo:

ANGULOS VALOR LOGARITMOS SENOS

D 1 C IV ANGULOS

COMENSADOS + -

( 1 ) 45 12`09 - 1.851014 2.08 + 13 45 12`22 ( 2 ) 37 51`07 - 1.787902 2.70 - 13 37 50`54 ( 3 ) 51 04`00 -1.890911 1.70 + 13 51 04`13 ( 4 ) 45 52`44 - 1.856046 2.03 - 13 45 52`31 ( 5 ) 36 19`16 - 1.772549 2.87 + 13 36 19`29 ( 6 ) 46 44`00 - 1.862234 1.98 - 13 46 43`47 ( 7 ) 47 50`20 - 1.869971 1.90 + 13 47 50`33 ( 8 ) 49 06`24 - 1.878481 1.82 - 13 49 06`11

SUMAS 360 00`00 -1.384445 - 1.384663 17.08 0 360 00`00

Diferencia en sumas Log Sen = 663 445 = 218 (unidades del 6 orden decimal) C IV = 218 / 17.08 = 12.8 , adoptaremos 13, los que deben ser positivos en los ngulos: (1), (3) , (5) , (7) y negativos en los ngulos: (2) , (4) , (6) , (8).



Compensacin del polgono C D E F (G): Cinco Ecuaciones.

El procedimiento de compensacin de un polgono con punto Central es el siguiente: 1.- Se chequea si los ngulos en el punto central cumplen la ecuacin de condicin de vrtice, de no ser ello, se compensa los ngulos repartiendo la correccin total entre el nmero de ngulos en el punto central, valor que ser la correccin por ecuacin de vrtice. 2.- Con los valores corregidos por el paso anterior y los valores los restantes ngulos de cada uno de los tringulos que conforman el polgono, se determina el valor de la correccin total que corresponde aplicar en cada triangulo. 3.- Se procede a calcular la correccin para los ngulos en el punto central en su primer tanteo. Para ello se divide la correccin total de cada triangulo entre 3, obtenindose luego la sumatoria algebraica de estas correcciones. Si la sumatoria algebraicas de las correcciones centrales en su primer tanteo no da un valor cero (0), se procede a corregir estos valores. 4.- Para efectuar la correccin al primer tanteo, el valor de la suma anteriormente hallada se divide entre el nmero de ngulos en el punto central luego de haberse ejecutado el cambio de signo. 5.- Se obtiene la suma algebraica de las correcciones obtenidas por los dos ltimos pasos, valor que ser la correccin para los ngulos en el punto central y por condicin de ngulos. 6.- Se calcula las correcciones para los restantes ngulos de cada tringulo, dividiendo la correccin que falta completar entre dos (2). 7.- Se obtiene los ngulos compensados por ecuaciones de ngulo.

Clculos para el ejemplo en desarrollo.

(41) = 109 35`57 + 4 = 109 36`01 (42) = 89 08`50 + 4 = 89 08`54 (43) = 68 42`06 + 4 = 68 48`10 (44) = 92 32`51 + 4 = 92 32`55

359 59`44 +16 = 360 00`00

Correccin total = - 9

(1) = 33 43`58 - 4 = 33 43`54 (2) = 36 40`10 - 4 = 36 40`06 (41) = 109 59`44 - 1 = 109 36`00 180 00`09 180 00`00

Correccin total = - 6

(3) = 49 23`08 - 3 = 49 23`05 (4) = 41 28`04 - 3 = 41 28`01 (42) = 89 08`54 0 = 89 08`542 180 00`06 180 00`00

Correccin total = + 9

(5) = 55 17`38 + 2 = 55 17`40 (6) = 56 00`03 + 2 = 56 00`05 (43) = 68 42`10 + 5 = 68 42`15 179 59`09 180 00`00

Correccin total = - 18 (7) = 42 11`57 - 7 = 42 11`50 (8) = 45 15`26 - 7 = 45 15` 19 (44) = 92 32`55 - 4 = 92 32` 51 180 00`18 180 00`00



Correccin total en

tringulo

Correccin central 1

tanteo

Compensacin al 1 tanteo

CORRECCION FINAL POR ECUACIONES DE ANGULO

TI

- 9 41:

- 3 41:

+ 2 41:

- 1 1:

- 4 2:

- 4

TII

- 6 42:

- 2 42:

+ 2 42:

0 3:

- 3 4:

- 3

TIII

+ 9 43:

+ 3 43:

+ 2 43:

+ 5 5:

+ 2 6:

+ 2

TIV

- 18 44:

- 6 44:

+ 2 44:

- 4 7:

- 7 8:

- 7 Sumas - 8 + 8 0

Estas correcciones finales se suman algebraicamente a los valores de los ngulos con lo que se tendr los ngulos compensados por ecuaciones de condicin de ngulo. Compensacin por ecuacin de lado: Una ecuacin.

Esta compensacin se ejecuta por el mismo procedimiento empleado para el caso de la compensacin

por ecuacin de lado para un cuadriltero. Clculos para el ejemplo.

ANGULOS VALOR LOGARITMOS SENOS

D 1 CORRECCION ANGULOS

COMPENSADOS + -

(1) 33 43`54 - 1.744531 3.15 + 9 33 44`03 (2) 36 40`06 - 1.776107 2.82 - 9 36 39`57

(41) 109 36`00 109 36`00 (3) 49 23`05 - 1.880298 1.80 + 9 49 23`14 (4) 41 28`01 - 1.820981 2.38 - 9 41 27`52

(42) 89 08`54 89 08`54 (5) 55 17`40 - 1.914919 1.47 + 9 55 17`49 (6) 56 00`05 - 1.918581 1.42 - 9 55 59`56

(43) 68 42`15 68 42`15 (7) 42 11`50 - 1.827166 2.33 + 9 42 11`59 (8) 45 15`19 - 1.851411 2.08 - 9 45 15`10

Sumas - 1.366914 - 1.367080 0

Diferencia de Log Sen: 1.366914 1.367080 = 166 Correccin 166/18.05 = 9.19 = 9 (+) (1), (3), (5), (7) (-) (2), (4), (6), (8)

Ecuacin de ngulo = uno (1) lado = 0 Compensacin del tringulo E F H :

La compensacin de u tringulo independiente, se realiza repartiendo por igual la correccin total por aplicarse entre los tres (3) ngulos que forman el triangulo.

Entonces, para el ejemplo.

(1) = 62 27`15 + 5 = 62 27`20 (2) = 57 31`42 + 5 = 57 31`47 (3) = 60 00`48 + 5 = 60 00`53 179 59`45 180 00`00



RESISTENCIA O CONSISTENCIA DE FIGURAS:

El parmetro que valora la bondad de precisin de las figuras de una triangulacin es el coeficiente

denominado Resistencia de Figura, cuanto menor sea el valor de la resistencia, la figura es de mejor precisin.

La frmula para calcular la resistencia de figura es:

)( 22 BBAA ddddD

CDR

( 19 )

En donde:

R: Resistencia de figura D: Nmero de nuevas direcciones observadas en la figura o red. C. Nmero total de ecuaciones de condicin ( C = CA + C1) dA: Diferencia tabular de logaritmo seno 1 del ngulo opuesto al lado conocido, expresada en unidades

de 6 orden decimal. dB: Diferencia tabular del logaritmo seno 1 del ngulo opuesto al lado por calcular, expresada en

unidade4s de 6 orden decimal.

El factor: )( 22 BBAA dddd , Sirve adems para realizar la seleccin del mejor camino de calculo de la triangulacin, tomndose aquel cuyo valor es el menor.

VALORES MAXIMOS RECOMENDADOS PARA LA RESISTENCIA DE FIGURAS

DESCRIPCION 1 ORDEN 2 ORDEN 3 ORDEN

Figura simple independiente

Deseable 15 25 25

Mximo 25 40 50

Red entre bases

Deseable 80 100 125

Mximo 110 130 175

Ejemplo:

Para la triangulacin Fig N 40, llevar a cabo la evaluacin de resistencia de figuras, as como indicar cual

debe ser el camino de clculo de lados y proyecciones. Solucin:

Clculo de los factores: D

CD

Cuadriltero:

D = 5 x 2 = 10 : 60.0

D

CD

C = 3 + 1 = 4 Polgono:

D = 7 x 2 = 14 : 57.0

D

CD

C = 5 + 1 = 6 Tringulo:

D = 2 x 2 = 4 : 75.0

D

CD

C = 1 = 1



Triangulacin total:

D = 14 x 2 = 28 : 61.0

D

CD

C = 4 + 6 + 1 = 11 Clculo de los factores:

)( 22 BBAA dddd Cuadriltero:

En todo cuadriltero con dos diagonales, existe la posibilidad de ejecutar el clculo de los lados mediante cuatro (4) caminos de clculo, siendo: Camino I

2 "07`5585`5588`53452

`5345 dddd

( 2.03 )2 + ( 2.03 x 0.03 ) + ( 0.03)2 = 4.18

2 "11`0649`0649`34942

"20`3494 dddd

( - 0.17 )2 ( 0.17 x 1.82 ) + ( 1.82 )2 = 3.03 7.21 Camino II

2 `1994`199451472

`5147 dddd

( 1.90 )2 ( 1.90 x 0.15 ) + ( 0.15)2 = 3.35

2 `0451`0451`12822

`1282 dddd

( 0.28)2 + ( 0.28 x 1.70 ) + ( 1.70 )2 = 3.44 6.79 Camino III

2 `1245`1245`53452

`5345 dddd

( 2.03 )2 + ( 2.03 x 2.08 ) + ( 2.08)2 = 12.65

2 `0451`0451`44462

``4446 dddd

( 1.98 )2 + ( 1.98 x 1.70 ) + ( 1.70)2 = 10.18 22.83 Camino IV

2 `5137`5137`51472

``5147 dddd

( 1.90 )2 + ( 1.90 x 2.70 ) + ( 2.70)2 = 16.03

2 `0649`0649`19362

`1936 dddd

( 2.87 )2 ( 2.87 x 1.82 ) + ( 1.82)2 = 16.77 32.80

A

C

B A

D

3 + 2

4

8

6 + 7

C

A B

D 4+5

3

7

1+8

C

A

D

B

3

4

6

1

B 2

C

A

D 5

7

8



En consecuencia el mejor camino de clculo en el cuadriltero A B C D, ser el camino II. AB AD - CD

El camino IV, es el camino mas desfavorable para el clculo de los lados.

Polgono:

En todo polgono con punto central existe la posibilidad de clculo por dos caminos, en uno y otro sentido respecto del vrtice central, para el caso que nos ocupa se tiene: Camino I:

2 `4433`4433`361092

`36109 dddd

( - 0.75 )2 ( 0.75 x 3.15 ) + ( 3.15)2 = 8.12

2 `2141`2841`23492

`2349 dddd

( 1.80 )2 + ( 1.80 x 2.38 ) + ( 2.38)2 = 13.19

2 `0056`0056`42682

`4268 dddd

( 0.82 )2 + ( 0.82 x 1.42 ) + ( 1.42)2 = 3.85 25.16 Camino II:

2 `4036`4036`361062

`36109 dddd

( - 0.75 )2 ( 0.75 x 2.82 ) + ( 2.82)2 = 6.40

2 `1545`1545`12422

`1242 dddd

( 2.33 )2 + ( 2.33 x 2.08 ) + ( 2.08)2 = 14.60

2 `4268`4268`18552

`1855 dddd

( 1.47)2 + ( 1.47 x 0.82 ) + ( 0.82)2 = 4.04 25.04

En conclusin el camino II, es el mejor camino de clculo, aunque el camino I podra ser como camino de clculo ya que los valores no difieren sustancialmente en nada. Tringulo: Camino I:

2 `0160`0160`27622

`2762 dddd

(1.10)2 + (1.10 x 1.22) + (1.22)2 = 4.04

E

F

C D

G

1 3

41

4 6

43

E F

C

G

5

43

41

2 D

8

7

3

1 F

H

E



Camino II

2 `3257`3257`01602

`0160 dddd

(1.22)2 + (1.22 x 1.33) + (1.33)2 = 4.88

El mejor camino es el I. Triangulacin total:

87.3504.404.2579.6)( 22 mnimoBBAA dddd

84.6288.416.2580.32)( 22 mximoBBAA dddd

En conclusin los valores mnimos y mximos de la resistencia de figuras, es: Cuadriltero A B C D:

10.479.660.0 mnimoR

70.1980.3260.0 mximoR

Polgono C D E F (G):

30.1404.2557.0 mnimoR

30.1416.2557.0 mximoR Tringulo E F H:

00.304.475.0 mnimoR

70.388.475.0 mximoR Triangulacin total:

50.2187.3561.0 mnimoR

30.3884.6261.0 mximoR El mejor camino de clculo es:

AB , AD , DC , DG , GF , FE , EH. CALCULO DE AZINUT Y RUMBOS DEL MEJOR CAMINO DE CLCULO DE LA TRINGULACIN.

Con los valore de los ngulos corregidos por ecuaciones de condicin de ngulo y lado y segn el mejor camino de clculo para la triangulacin, se procede al clculo de los azimut y rumbos de dicho camino. Ejemplo:

Calcular los azimut y rumbos del mejor camino de clculo para la triangulacin de la figura N 40, si el azimut del lado AB = 103 20` 14.

E

H

F

3

2



Solucin Z AB = 103 20` 14 + R AB = S 76 39` 46 E.

Con el valor de Z AB y los ngulos compensados se tendr que ejecutar el clculo segn el mejor camino de clculo.

Z A B = 103 20 14 - R A B = S 76 39 46 E (2) = 37 50 54 Z A D = 65 29 20 + R A D = N 65 29 20 E 180 Z D A = 245 29 20 + (6) = 46 43 47 Z D C = 292 13 07 + R D C = N 67 46 53 O (1) = 33 44 03 Z D G = 325 57 10 - R D G = N 34 02 50 O

180 145 57 10 -

(44) = 92 32 51 Z G F = 53 24 19 + R G F = N 53 24 19 E

180 233 24 19 +

(6) = 55 59 56 Z F E = 289 24 15 - R F E = N 70 35 45 O

180 109 24 15 -

(2) = 57 31 47 Z E H = 51 52 28 R E H = N 51 52 28 E

CLCULO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL MEJOR CAMINO DE CLCULO.

El clculo las longitudes se realiza aplicando la formuela de la ley de senos para un tringulo.

Ejemplo:

Calcular los lados del mejor camino de clculo en la triangulacin en estudio.

A B = 356.503 m. A D = 356.503 (Sen 94 18`33 / Sen 47 50` 33) = 479.555 m. D C = 479.555 (Sen 51 04`13 / Sen 82 12` 00) = 376.538 m. D G = 376.538 (Sen 36 39`57 / Sen 109 36`00) = 238.678 m. G F = 238.678 (Sen 45 1510 / Sen 42 11`59) = 252.359 m. F E = 252.359 (Sen 68 42`06 / Sen 55 17`49) = 285.998 m. E H = 285.998 (Sen 62 27`20 / Sen 60 00`53 ) = 292.766 m.

CALCULOS DE LAS PROYECCIONES DE LOS LADOS DE LA TRIANGULACION.

Conocidos los valores de las longitudes de los lados, as como los valores de los rumbos de cada uno de ellos se procede al clculo de proyecciones emplendose la formula conocida:

Proyeccin en eje X = Lado x Seno Rumbo. Proyeccin en eje Y = Lado x Coseno Rumbo.



Lado Longitud (m.) Rumbo Lado Proyeccin X Proyeccin Y

A B 356.503 S 76 39`46 E + 346.888 - 82.239 A D 479.555 N 65 29`20 E + 436.338 + 198.953 D C 376.538 N 67 46`53 O - 348.579 + 142.385 D G 328.678 N 3402`50 O - 133.630 + 197.763 G F 252.359 N 53 24`19 E + 202.612 + 150.444 F E 285.992 N 70 35`45 O - 269.753 + 95.017 E H 292.766 N 51 52`28 E + 230.307 + 180.750

CALCULO DE LAS CORDENAS DE LOS VERTICES DE LA TRIANGULACION.

El clculo de las coordenadas de los vrtices se obtienen por la suma algebraica de las proyecciones, as para nuestro caso es: Vrtice Abscisa (m) Ordenada (m)

A 8 134.601 + 7 267.924 - (Datos) 346.888 82.239 B 8 481.489 7 185.685 A 8 134.601 + 7 267.924 + 436.338 198.953 D 8 570.939 - 7 466.877 + 348.579 142.385 C 8 222.360 7 609.262 D 8 570.939 - 7 466.877 + 133.630 197.763 G 8 437.309 + 7 664.640 + 202.612 150.444 F 8 639.921 - 7 815.084 + 269.753 95.017 E 8 370.168 + 7 910.101 + 230.307 180.750 H 8 600.475 8 090.851

CLASIFICACION GENERAL DE LA TRIANGULACION.

De acuerdo a las precisiones obtenidas y sus respectivas clasificaciones, tanto para la medicin de la

base, medicin de los ngulos y resistencia de figura, se procede a la clasificacin general de la triangulacin, clasificacin que en todo momento debe encontrarse acorde con las exigencias del trabajo para el cual se ejecuta la red. DIBUJO DE LA TRIANGULACION.

El dibujo de los vrtices de la red se realiza con los valores de las coordenadas calculadas. Previa seleccin adecuada de la escala del plano.



RECOMENDACIONES ATENERSE PRESENTE EN EL CLCULO DE TRIANGULACIONES 1.- Siempre que sea posible, cheque los clculos realizados. 2.- Los clculos deben realizarse hasta mismo orden o agrado de precisin con que se midieron los datos de campo. En caso que se estimo calcular una cifra decimal inferior, siempre deber de efectuarse el redondeamiento de cifras en el momento de consolidar valores. 3.- En el clculo de azimuts, realizo la comprobacin de los clculos. 4.- Siga siempre un proceso adecuado de clculo as como un orden lgico. 5.- Siempre que sea posible, emplee tablas o cuadro de clculos que vaya realizando. 6.- Si es necesario chequear ntegramente el clculo de una triangulacin, ejecute por separado otro clculo y luego proceda a comparar valores y conclusiones. RECOMENDACIONES A TENERSE PRESENTE PARA EL DIBUJO DE LA TRIANGULACION 1.- Seleccione una escala adecuada de dibujo para el plano. 2.- Trace correctamente el sistema de coordenadas. 3.- No es necesario ejecutar el trazo de toda la cuadricula del sistema de coordenadas, basta con que se sealen las intersecciones de la cuadricula mediante unas pequeas cruces. 4.- Enumere correctamente los valores del sistema de coordenadas, tal enumeracin slo debe realizarse en la parte perimtrica de la lmina de dibujo. 5.- Empleo la simbologa especfica para cada caso. 6.- Todo plano debe llevar indicando, tanto la escala numrica como la grfica, las mismas que debern encontrarse juntas.

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