CALCULO1

GUIA DE CALCULO I

I UNIDAD: FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD

SECCION 1: FUNCIONES

A.OBJETIVOS ESPECIFICOS

1. Calcular imágenes de una función.2. Determinar el dominio y rango de una función.3. Construir una función a partir de cierta información.4. Determinar si una función es par o impar y aprovechar esta propiedad para construir su gráfica.5. Reconocer y graficar las funciones lineales y cuadráticas.6. Resolver problemas de ajuste lineal y cuadrático.7. Reconocer las funciones polinómicas y racionales.8. Operar algebraicamente con funciones.9. Obtener la composición de dos o más funciones.10. Identificar las funciones que participan en una función compuesta.11. Calcular el dominio de una función compuesta.12. Determinar si una función es invertible y encontrar su inversa cuando exista.13. Reconocer y graficar las funciones exponenciales y logarítmicas.14. Aplicar las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas.15. Resolver problemas relacionados con las leyes de crecimiento y decrecimiento.16. Conocer la definición y propiedades de las funciones hiperbólicas.

B.CUESTIONARIO TEORICO

1. Elabore un "diccionario" que contenga las definiciones de los siguientes conceptos:

- Función.- Dominio, rango y gráfica de una función.- Funciones par e impar. Funciones crecientes y decrecientes.- Intercepciones con los ejes coordenados.- Función compuesta.- Funciones invertibles. Función Inyectiva.

2. Enuncie:

a) La Definición de la función escalonada unitaria, Ua( x ).

b) La Definición de la función valor absoluto de x , |x|.c) El Teorema del Algebra de funciones.d) El Teorema de las propiedades de una función invertible.e) Las Propiedades de la función exponencial.f) Las Propiedades de la función logarítmica.g) La Definición de las funciones hiperbólicas.

3. Caracterice a las siguientes funciones. Entregue un ejemplo y su gráfica en cada caso.

- Función constante, Función lineal, Función cuadrática, Función polinómica.

- Función racional, Función exponencial, Función logarítmica.

4. Para las siguientes afirmaciones, responda si son Verdaderas o Falsas. Justifique su respuesta:

a) Si el rango de una función consiste solamente de un elemento entonces su dominio también consiste solamente de un elemento.

b) Si y tienen el mismo dominio entonces f /g tienen ese dominio común.

c) El dominio de la composición f oges la intersección del dominio de f y el dominio de g .

d) El gráfico de una función invertible y=f ( x )es intersectado solamente una vez por cada recta horizontal.

e) La función constante es invertible.f) Las funciones periódicas son invertibles.

5. Considere f : R→R . Tal que f=P+ I

P( x )=12

[ f ( x )+ f (−x )] , I ( x )=12

[ f ( x )−f (−x ) ]

a) Probar que es par e es impar.b) Probar que la suma de dos funciones pares es par y la suma de dos

funciones impares es impar.c) ¿Qué puede decir del producto de dos funciones pares? ¿Dé dos

impares? ¿Dé una par y otra impar?.

6. Sean a ,b , c y d números reales fijos y sean f y g funciones lineales definidas por:

f ( x )=ax+b , g ( x )=cx+d

Encontrar condiciones necesarias y suficientes sobre los coeficientes a ,b , c y d de modo que:

f og= gof

7. Pruebe que si es una función lineal y es una función cuadrática entoncesf og y gof son funciones cuadráticas.

8. Sea f ( x )=(ax+b )/(cx+d )donde a ,b , c y d son constantes tales que c y d

no son cero. Demostrar que f es invertible ssi ad−bc≠ 0 .

9. Probar que si f y g son funciones invertibles entonces f og es una función invertible y .

C. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dada f ( x )=√ x+3 ,encontrar:

a) f (0)

b) f (−2 )

c) f (6 )

d) f (a )

e) f ( x+h)

2. Dada f ( x )=

|x|x , encontrar:

a) f (2)

b) f (−2 )

c) f ( x2)

d) f ( x+h)−f ( x )

3. Encontrar

f ( a+h )−f (a )h

, h≠0 y simplifique la expresión correspondiente

para las siguientes funciones:

a) f ( x )=x3

b)f ( x )= 1

√x

c)f ( x )= x

x+1

d) f ( x )=senx

4. Determinar el dominio y trazar la gráfica de las siguientes funciones:

a) f ( x )=√9−x2

b)f ( x )=1

2x3+2

c)f ( x )= x

x

d){ √−x , si x<0x , si 0≤x≤2

√x−2 , si x>2

5. Determinar si la función dada es par, impar o ninguna de las dos. En caso de existir simetría trace la gráfica de la función:

a) f ( x )=4−x2

b) g( x )=x3+1

c)f ( x )=1

x

d) h( x )=3 x2+2x2−5

6. Con una hoja rectangular de cartón cuyas dimensiones son 12 pulgadas ([pulg.] por 20 [pulg.] se va a construir una caja abierta recortando cuadrados iguales de lado en cada una de las esquinas y luego doblándolos bordes hacia arriba. Exprese el volumen de la caja en función de.

7. Un globo de aire caliente se eleva en forma vertical a medida que una cuerda atada a su base se va soltando a razón de 5 mts/seg. La polea por la cual pasa la cuerda al soltarse está a 20 mts. de distancia de la plataforma donde los pasadores abordan el globo. Exprese la altura del globo en función del tiempo.

8. La magnitud M de un temblor en la escala de Richter es M=0 .67 log (0 .37 E )+1 . 46donde E es la energía de un temblor en kilowatt - horas . Encontrar la energía de un temblor de magnitud 7.

D.PROBLEMAS DE APLICACION

1. En los siguientes problemas, el alumno deberá realizar un esquema que represente gráficamente la situación planteada y a partir de él, determinar la función pedida.

a) Un cilindro circular recto de radio r y altura h está inscrito en un cono de altura 12 y radio de la base 4. Expresar: i) La altura h en función de r .

ii) El volumen V del cilindro en función de r .

b) Un hombre se encuentra en un bote a 2 km del punto más cercano A de la costa, que es recta, y desea llegar a una casa que se encuentra en un punto B de la citada costa, a 6 km. de A . El hombre piensa remar hasta un punto P entre A y B que se encuentra a x km. de la casa y luego caminar el resto. Suponiendo que puede remar a una velocidad de 3 km/h y caminar a 5 km/h, exprese el tiempo total t que le tomará llegar a la casa, en función de x .

2. Una flota de taxis cobra $ 500 por el primer kilómetro (o parte del kilómetro) y $ 50 por cada 100 metros (o fracción de él) sucesivo. Exprese el costo C (en pesos) de un viaje en función de la distancia recorrida x (en kilómetros) para 0 <x<5. Trace la gráfica de esta función.

3. Se lanza hacia arriba una pelota desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 96 pie/seg. La altura de la pelota medida desde el

suelo se determina por la función cuadrática s( t )=−16 t2+96 t .

a) ¿En qué instantes se encuentra la pelota en el suelo?.b) ¿En que instantes se encuentra la pelota a 80 pie sobre el suelo?.c) ¿A qué altura llega?.

4. Un muchacho lanza una piedra a la pileta del paseo Las Almejas, creando una onda circular que se propaga a una velocidad de 60 cm/seg. Exprese el área del círculo en función del tiempo t (en segundos).

5. Un cable de 30 m. de largo y 10 cm de diámetro está sumergido en el mar. Debido a la corrosión, el área de la superficie del cable disminuye a razón de 4685 cm2 por año. Exprese el diámetro del cable como una función del tiempo (desprecie la corrosión en los extremos del cable).

6. Cuando el aire seco se desplaza hacia arriba se dilata y se enfría a razón de aproximadamente 1º C por cada 100 m de elevación, hasta aproximadamente 12 km.

a) Si la temperatura a nivel del suelo es 20º C, obtenga una fórmula para la temperatura correspondiente a la altura h .b) ¿Qué gama de valores de la temperatura se puede esperar si un avión despega y alcanza una altura máxima de 5 km?.

7. La relación funcional entre grados Celsius (T C ) y grados Fahrenheit (T F ) es

lineal. Exprese T F en función de T C , si (0º C, 32º) y (60ºC,140º) están en

la gráfica de T F . Encontrar la temperatura de ebullición del agua en la escala de Fahrenheit.

8. El geólogo C.E.F.. Richter ideó la fórmula:a M=log10 (E/E0 )

que relaciona la magnitud M con la energía E de un terremoto.

Después de varios ajustes alcanzó en 1956 el resultado: a=1 .5 , E0=2,5⋅1011

ergios (E0 es la energía del movimiento de tierra más pequeño registrado de manera instrumental).

a) ¿Cuál es la razón entre la energía del terremoto de Antofagasta (M=7 .3 ) y el que afectó a Kobe (Japón) (M=6 . 9 ), ambos en1995?.

b) ¿Cuál es la magnitud según la escala de Richter de una bomba H de10 megatones, es decir, una bomba de hidrógeno cuya energía es equivalente a 10 millones de toneladas de TNT? (Una tonelada de TNT libera una energía de 4.2 · 106 ergios).

9. La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta bajo la influencia de fuerzas de viscosidad es:

v (t )=c e−kt

en donde c y k son constantes positivas. ¿En qué momento la velocidad es igual a la mitad de la velocidad inicial?.

10. El ruido del sonido se mide en dB : decibeles (en honor a A.G.Bell,1847 - 1922, inventor del teléfono). Un sonido tan débil que apenas puede

escucharse, tiene una intensidad I 0=102 w /m2, a una frecuencia de 1000

herts. La sonoridad en dB , de un sonido con intensidad I se define como:

I=10 log ( I / I 0)

Encontrar la intensidad del sonido de la banda Rockera Deep Purple si su concierto en Santiago tuvo una magnitud de 120 dB .

11.La razón de cambio de la presión atmosférica P con respecto a la altitud h es proporcional a P , siempre que la temperatura sea constante. Esta relación implica que:

P (h )=P0 ekh

donde P0 es la presión a nivel del mar y k es la constante de proporcionalidad. A una temperatura de 15º C la presión es de 101.3 kPa

a nivel del mar y de 87.14 kPa a una altitud h=1000 m . ¿Cuál es la presión atmosférica a la que trabajan los mineros de Chuquicamata?.

SECCION 2: LIMITES


1. Determinar la existencia de límites mediante límites laterales.2. Calcular el límite de una función usando los Teoremas de límites.3. Calcular el límite de una función en el infinito.4. Precisar cuando el límite de una función es infinito.5. Conocer los " límites especiales" y calcular el límite de otras funciones a

partir de ellos.


1. Enuncie y compare las Definiciones Informal y Formal de:

a) límites de una función, esto es:lim f (x )=L¿ x→a

b) límites laterales, esto es:

lim f (x )=Lx→a+

y

lim f (x )=Lx→ a−

c) límites en el infinito, esto es:

lim f (x )=Lx→+∞

y

lim f (x )=Lx→−∞

d) límites infinito, esto es:

lim f (x )=∞x→a

y

lim f (x )=−∞x→a

2. Enuncie los siguientes Teoremas:

a) De unicidad.

b) De existencia.c) Algebra de límites.d) Del encaje.e) Regla de sustitución.


1. En los siguientes casos, comprobar si f ( x ) tiende a ∞ o a −∞ cuando x tiende a −3 por la izquierda y por la derecha.

a)f ( x )= 1

x2−9

b)f ( x )= x

x2−9

c)f ( x )= x3

x2−9

d)f ( x )= x2

x2−9


1. En la Teoría de la Relatividad, la fórmula de Lorentz para la contracción:

L=L0 √1−v2

c2

da la relación entre la longitud L de un objeto que se mueve con

velocidad v respecto de uno observador, y la longitud L0 en reposo, donde c es la velocidad de la luz. Esta fórmula indica que un objeto es más corto cuando se está moviendo que cuando se halla en reposo.

Calcular e interpretar

lim Lv→c−

y explicar por qué se requiere un límite por la izquierda.

2. La ley de Charles para los gases afirma que si la presión permanece constante entonces la relación entre el volumen V que un gas ocupa y su temperatura T (en grados C) está dada por:

V=V 0(1+ 1273

T )La temperatura T=−273 ºC es el cero absoluto.

a) Calcule

lim VT→−273+

b) ¿Por qué se necesita un límite por la derecha?.

3. El costo en dólares para reducir en un p% la contaminación producida por una central termoeléctrica por la quema de carboncillo está dado por:

C ( p )=80 .000 p100 p

, 0≤p<100

a) Calcular el costo de reducción de un 50%.

b) Calcular el costo C para p→100−.

4. Si se invierte una cantidad A0 de dinero a una tasa de interés anual i

capitalizado n veces al año, el monto A ( t ) al cabo de t años está dado por:

A (t )=A0 (1+ in )nt

cuando el interés es capitalizado continuamente, el monto se define como:

A (t )=A0⋅¿ ¿limn→∞ (1+ i

n )nt

a) Probar que en el caso de interés capitalizado continuamente entonces A (t )=A0 e

it.

b) Compare el monto cuando se inviertan 300.000 dólares al 10% de interés anual capitalizado trimestralmente por 3 años, con el monto que resulta cuando se aplica interés capitalizado continuamente.

E. PROBLEMAS MISCELANEOS

1. En la I UNIDAD se definió la función parte entera de x , que se denotó por [ x ] . Revise esta definición y además la gráfica de esta función para responder:

a) Si n es entero, calcule:

i)

lim [ x ]x→n

−

ii)

lim [ x ]x→n

+

b) ¿Para qué valores de a existe

lim [ x ]x→ a

?.

Nota : En algunas calculadoras la tecla INT corresponde a la función parte entera, esto es:

INT x=[ x ]

Sin embargo es conveniente advertir que en algunas calculadoras, esto solamente funciona para x≥0 , ya que en estos casos:

INT x=−[−x ] para x<0

resultando, por ejemplo, que INT (−4 .5 )=−4 mientras que [−4 .5 ]=−5.

2. Dos personas discuten acerca de:

limx→∞

( 3 x2+2xx+5

−3 x)El primero sostiene que: "Para x grande, 2 x es pequeña comparado con

3 x2 y 5es pequeño comparado con x . Así, el cuociente (3 x2+2 x )/ ( x+5 )se

comporta como 3 x2/3 x . Por lo tanto, el límite en cuestión es 0 ".

El segundo replica: "No, porque

3x2+2xx+5

= 3 x+2

1+( 5x ) lo cual de manera

evidente se comporta como 3 x+2 para x grande. Así, el límite en cuestión es 2 y no 0 ". Aclare Ud. esta discrepancia.

3. Seaf ( x )={ x si es racional

−x si es irracional

Encontrar cada valor, si es posible:

a)

limx→1 f ( x )

b)

limx→0 f ( x )

SECCION 3: CONTINUIDAD


1. Analizar la continuidad de una función en un punto, en un intervalo y en un conjunto.

2. Distinguir los diferentes tipos de discontinuidades.


1. Enuncie las Definiciones de:

a) Continuidad de una función f en un punto x=a .

b) Continuidad de una función f en un intervalo [a ,b ] .

2. Indique las 3 condiciones que debe cumplir una función f para ser continua en x=a . Muestre ejemplos en que no se cumpla cada una de estas condiciones y tipifique la correspondiente discontinuidad.

3. Enuncie los siguientes Teoremas:a) Teorema del límite continuo.b) Teorema del valor extremo.c) Teorema del valor intermedio.


1. Indique en que puntos son discontinuas las funciones ¿Cuáles son evitables?.

a)f ( x )= 2 x+3

x2−x−6 b) f ( x )=|x2−2 x+5|

c)g ( x )= 1

√x−1 d)g ( x )= x−1

x2+ x−2

e)

h ( x )={ x si x<0x2 si 0≤x≤1

2−x si x>1 f)

h ( x )={ x si x<12 si x=1

2x−1 si x>1

2. Usar el Teorema 3.5 para aproximar el cero de la función dada en el

intervalo [ 0,1 ] .

i) Empezar localizando el cero en un intervalo de longitud 0.1.ii) Refinar la aproximación del cero en un intervalo de longitud 0.01.

a) f ( x )=x3+x−1 b) f ( x )=x3+3 x−2

c) f ( x )=Lnx+x d) f ( x )=ex−x2+3 x−2


1. La cuota de estacionamiento para automóviles es de $500 por la primera media hora y $250 por cada media hora o fracción adicional, hasta un

máximo de $2.500. Encuentre una función f que relacione el valor de la cuota con el tiempo que se deja un automóvil en el estacionamiento.

Trace la gráfica de f y discuta la continuidad de f .

2. La temperatura T (en ºC) a la que hierve el agua está dada aproximadamente por la fórmula:

T=100 . 862−0 . 0415 √h+431 ,03

donde hes la altura sobre el nivel del mar (en metros). Use el Teorema del Valor Intermedio para demostrar que entre los 4.000 y los 4.500 metros sobre el nivel del mar hay una altitud a la cual el agua hierve a 98º C.

3. El número de unidades en el almacén de una pequeña empresa está dado por:

N ( t )=25 (2 [ t+22 ]−t)

,donde el tiempo t se mide en meses. Esbozar una gráfica de la función y discutir la continuidad ¿Cada cuanto tiempo debe reponer su mercadería la empresa?.

E. PROBLEMAS MISCELANEOS

1. Seaf ( x )={ x si x es racional

−x si x es irracional

Trace la gráfica de esta función lo mejor que pueda y decida donde ésta función es continua.

2. Probar que si f es continua en [ 0,1 ] y además satisface 0≤f ( x )≤1 para todo x∈ [ 0,1 ] entonces f tiene un punto fijo (esto es, existe un número c∈ [ 0,1 ] tal que f ( c )=c ). Indicación: Aplicar el Teorema del Valor Intermedio a:

g ( x )=x−f ( x )

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