CALCULO DE CAMPOS ELECTRICOS Y MAGNETICOS EN TRANSFORMADORES DE POTENCIA MEDIANTE EL

METODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA LA OPTIMIZACION DE LOS PARMETROS DE DISEO

Miguel Delgado Len Enrique Lujn Mendoza Jorge MendezGiron Diego Lucas Lucas DELCROSA S.A. DELCROSA S.A. DELCROSA S.A. DELCROSA S.A.

1. Resumen

El presente trabajo desarrolla el clculo de los campos elctricos y magnticos en transformadores de potencia mediante el Mtodo de Elementos Finitos utilizando programas propios desarrollados y diferentes programas comerciales. Los resultados obtenidos son importantes para la optimizacin en el diseo de transformadores, predice los resultados antes de la construccin. Los valores obtenidos son ms confiables que aquellos obtenidos con las frmulas convencionales de la literatura de transformadores y los errores respecto a las pruebas experimentales han resultado en promedio menores que el 1%.

2. Introduccin

El conocimiento de la distribucin del campo elctrico y del campo magntico en cualquier punto es de vital importancia para el diseo de transformadores. Cuando un sistema electromagntico es simple, es posible encontrar los campos electromagnticos mediante una solucin analtica. Cuando el sistema es complejo como es el caso de los transformadores de potencia, la obtencin analtica de los campos electromagnticos es muy difcil. Para llegar a una solucin razonable se hacen simplificaciones en el sistema [1] y estas simplificaciones incrementan el error. Cuando la potencia del transformador se incrementa, el costo del material aislante representa un valor significativo por tanto es necesario optimizar costos, para llegar a tal fin es necesario conocer con precisin

los campos electromagnticos. En estos ltimos aos es cada vez ms frecuente el empleo de mtodos numricos modernos y la computacin digital para la obtencin de los campos electromagnticos con alta precisin. Entre los mtodos ms utilizados, el Mtodo de Elementos Finitos (MEF)es uno de los ms precisos en los clculos y el ms popular en la actualidad en la aplicacin en diseo de transformadores [2, 3, 4]. Nuestra empresa, tiene experiencia en la utilizacin del Mtodo de Elementos Finitos para el diseo mecnico y electromagntico. En la parte elctrica, entre varias aplicaciones,se utiliza el MEF para la seleccin de los aislantes. En la parte magntica para la simulacin de la tensin de cortocircuito, el clculo de las perdidas parasitas y la fuerza de cortocircuito en los bobinados, entre otros temas. En el departamento de investigacin y desarrollo (DID) trabajamos en la programacin con el toolboxpdetool de Matlab ycon el programa Maxwell-Ansys. Para confirmar la exactitud de nuestros clculos comparamos los resultados de ambos programas con las pruebas, obteniendo errores menores que el 1%.

2.1 Mtodo de Elementos Finitos (MEF)

Est demostrado que la ecuacin diferencial de segundo orden, que es muy frecuente en electromagnetismo puede ser resuelto por el MEF [5]. Aqu la ecuacin general de segundo orden en coordenadas rectangulares:

En el tema de Electrosttica o conduccin se cumple la ecuacin diferencial de Laplace para el potencial escalar . As:

Comparando (1) y (2) se observa que , , y . El

campo Elctrico se obtiene como el menos

gradiente de , es decir . En el tema de magnetosttica se cumple la ecuacin diferencial de Poisson para el

potencial vectorial magntico . As:

Aqu es la permeabilidad del medio y es la densidad de corriente volumtrica. Comparando (1) y (3) se observa que

, y . El campo magntico se obtiene como el

rotacional del campo , es decir

. Se observa que ambas ecuaciones diferenciales son parecidas. Las condiciones de frontera pueden ser de Dirichlet o Neumman. El MEF consiste en dividir la regin donde se desea la solucin en elementos, en dos dimensiones casi siempre tringulos. En tres dimensiones los elementos podran ser tetraedros. Resolver la ecuacin diferencial (1) mediante el MEF de Ritz (para dos dimensiones) equivale a desarrollar un funcional en cada elemento triangular dado por:

(4)

Aqu es la funcin desconocida dentro del elemento (triangulo) Esta funcin se aproxima a una interpolacin lineal a veces

no lineal de los valores de en los vrtices del elemento triangular :

Aqu es la posible solucin en los vrtices del elemento triangular,

son los polinomios de interpolacin cuyas expresiones estn dadas en la referencia [5]. Reemplazamos (5) en (4) se evala las integrales. Como siguiente paso se suma todos los funcionales (ensamblamiento) para obtener el funcional global:

Segn el MEF de Ritz el mnimo del funcional global equivale a resolver la ecuacin diferencial (1). Para encontrar el

mnimo se deriva con respecto a los e igualamos a cero, de aqu se obtiene un sistema de ecuaciones. Luego de imponer las condiciones de frontera se resuelve el sistema de ecuaciones y se obtiene la

solucin de los en los vrtices de cada elemento triangular.

3. Planteamiento del problema 01 (campo elctrico)

Se requiere conocer la magnitud del campo elctrico para dimensionar y optimizar el aislamiento cuando se disea el transformador.

3.1. Caractersticas del modelo 01

El primer modelo considerado en este estudio es un transformador que fue fabricado, cuyos datos son: potencia 5 MVA, tensin primario secundario (69/13.8) KV, grupo de conexin Dyn5 trifsico.

Fig. 1 Disposicin de las bobinas y aislantes.

La figura 1 muestra las dimensiones reales de las bobinas y aislantes de una fase del transformador. El anlisis realizado se enfoca en calcular los esfuerzos de campo elctrico a los que estn sometidos los aislamientos internos del transformador durante la prueba de tensin aplicada. Teniendo en cuenta las propiedades fsicas del aislante y su rigidez dielctrica podemos optimizar las distancias elctricas en base a los resultados obtenidos.

Fig.2 Vista corte longitudinal bobinas-aislamientos

La figura 2 muestra la disposicin de los bobinados, los aislamientos y el aceite. Para analizar la resistencia de los aislamientos se realiza la prueba de tensin aplicada que consiste en aplicar una tensin de (nivel de aislamiento) al devanado del primario, el secundario y ncleo se conectan a tierra.

3.2. Solucin del problema

La figura 3 muestra el devanado de alta tensin, baja tensin, los aislantes y la malla (elementos triangulares) desarrollado con el programa Matlab. La condicin de frontera para el potencial electrosttico es de Neumman.

AT BT

Aceite

Aislamiento slido

Fig.3 Malla obtenido con Matlab

La figura 4 muestra la distribucin del campo elctrico en mdulo con unidades

de (colores) y direccin (flechas) obtenido con el programa Matlab.

Fig.4 Distribucin del campo elctrico en la prueba de tensin aplicada.

Como se observa en la figura 4 el mayor campo elctrico en el aceite es de a

. Estos valores estn por debajo de la rigidez dielctrica del aceite y aislante [7].

Un anlisis similar se realiz con el programa Ansys Maxwell con el fin de comparar los resultados obtenidos con Matlab. La figura 5 muestra el mallado adaptativo.

Fig.5 Mallado adaptativo obtenido en Ansys Maxwell.

Fig. 6 Distribucin del campo elctrico (enmdulo) de la prueba de tensin

aplicada

La figura 6 muestra la distribucin del campo elctrico en modulo, se observa que

AT BT

los resultados son similares a los obtenidos con Matlab. Conociendo los valores de la rigidez dielctrica del aceite y de los aislamientos de papel [7] y si los valores obtenidos del campo elctrico estn muy por debajo de la rigidez, podemos optimizar las dimensiones reduciendo la distancia entre bobinas o la distancia entre bobina de AT y ncleo o bobina de BT y ncleo con el fin de disminuir el tamao del transformador por ende el peso del fierro a utilizar as como el volumen de aceite. Una frmula simplificada [1] deducido de la teora electrosttica, tambin calcula el campo elctrico con:

Aqu es el campo elctrico, la diferencia de potencial, d la distancia entre conductores y una constante que involucra las propiedades del aceite, aislantes y forma de electrodo. En esta frmula simplificada se supone (que no es as) que las bobinas son cilindros concntricos infinitos al igual que los aislantes, esta simplificacin reduce la precisin. Con esta frmula es imposible calcular el campo elctrico en puntos cercanos al inicio y fin de los devanados (efectos punta). La siguiente tabla muestra el campo elctrico en la regin (aceite) entre los conductores obtenido con [1], Matlab y Maxwell-Ansys.

En el DID uno de los programas de computadora desarrollados de nombre "campoelec.m" que se basa en el MEF, calcula el valor preciso del campo elctrico en cualquier punto. Por ejemplo, en el punto superior de la bobina (0.274 m, 0.940 m) el valor del campo elctrico obtenido es

4. Planteamiento del problema 02 (campo magntico)

Se requiere conocer la magnitud del campo magntico para calcular parmetros de diseo como la tensin de cortocircuito, aumento de prdidas en los conductores debido al flujo de dispersin, fuerzas en los bobinados cuando ocurre un cortocircuito.

4.1. Caractersticas del modelo 02

El modelo 02 considerado en este estudio es un transformador que fue fabricado, cuyos datos son: potencia 5 MVA, tensin primario secundario (69/13.8) KV, grupo de conexin Dyn5 trifsico, 198 vueltas en el lado de LV (baja tensin) y 1716 vueltas en el lado de HV (alta tensin). La reactancia de dispersin por unidad de los protocolos de prueba es XPU=0.068, que fue obtenido mediante la prueba de cortocircuito.

Cuadro comparativo de resultados Campo Elctrico en el aceite E(KV/mm)

Carrer [1] 4.5 Matlab 3.5-4.5

Maxwell-Ansys 3.5-4.5

Fig. 7 Vista de planta y de corte de una fase

Fig. 8 Dimensiones de una fase del transformador

La figura 7 muestra la vista de planta y de frente de una fase del transformador. Debido a que el ncleo es casi circular, se podra abordar el problema en tres dimensiones en coordenadas cilndricas

con simetra axial [2].

La figura 8 muestra las dimensiones y el modelo en dos dimensiones de una fase del transformador en estudio, debido a esta consideracin, se podra abordar el

problema tambin en dos dimensiones, en coordenadas rectangulares [9].

El lado izquierdo, superior e inferior de la ventana es la superficie del ncleo ferromagntico, el lado derecho podra ser otra columna del ncleo o el tanque del transformador [9]

4.2. Solucin del problema

Con la finalidad de ahorro del tiempo computacional se divide en dos la regin de la figura 8 y se trabaja con la mitad de la fase. La figura 9 muestra el dibujo en el ambiente de Matlab de la mitad de la fase, se indica las regiones de aceite, bobinas y ncleo. El espacio que rodea al ncleo es la ventana numrica. Se impone las condiciones de frontera para el campo potencial vectorial magntico , las lneas (flechas) rojas deben cumplir con las condiciones de frontera de Dirichlet. Las lneas azules (flechas) deben cumplir con las condiciones de frontera de Neumman.

Fig. 9 Mitad de la fase de un transformador

El siguiente procedimiento en MATLAB es indicar las propiedades de cada regin de la figura 9, proporcionando como datos la densidad de corriente en BT y AT, la

permeabilidad del aceite y del ncleo. Luego se procede a dividir la regin, generalmente en elementos triangulares. La figura 10 muestra los elementos triangulares (mallas)

Fig. 10 Malla en elementos triangulares

Finalmente, se resuelve el sistema de ecuaciones que determina el potencial vectorial magntico en los vrtices de los elementos triangulares. Matlab permite exportar los datos necesarios, con estos nosotros desarrollamos programas para clculos especficos. El procedimiento con MAXWELL-ANSYS es similar, excepto la exportacin de datos.

4.2.1. Impedancia de Cortocircuito

Basado en la metodologa presentada, se ha calculado la impedancia de cortocircuito utilizando MATLAB y MAXWELL-ANSYSobtenindose los mismos resultados.

La figura 11 muestra las lneas equipotenciales del campo potencial vectorial magntico y las lneas de campo magntico (flechas) desarrollado con

MATLAB, como se mencion anteriormente, solamente en la mitad de la fase. Una ventaja de MATLAB es que permite exportar los datos necesarios para programar como son coordenadas de los nodos de los elementos triangulares, numeracin de los tringulos, de los nodos y el valor del potencial vectorial en el nodo de cada tringulo. Utilizando estos datos, otro programa desarrollado por nosotros (DID) de nombre "reactancia.m" calcula la impedancia de cortocircuito primero calculando la energa magntica. A partir de la energa se obtiene la inductancia, luego la reactancia. Este procedimiento se resume en la siguiente frmula:

Fig. 11 Lneas del potencial vectorial magntico y campo magntico.

DrAJVA

fX CCPU =2

Aqu, es la frecuencia, es la potencia por fase, es potencial vectorial en el baricentro de cada elemento triangular, es la distancia desde el eje hasta el baricentro y es el rea de cada triangulo.La desventaja de MATLAB es que es ms complicada la programacin para resolver los problemas en coordenadas cilndricas en tres dimensiones con simetra axial.

El mismo problema, hemos abordado con el programa MAXWELL-ANSYS. La figura 12 muestra las lneas de del potencial vectorial magntico. A diferencia de MATLAB, MAXWELL tiene la opcin de trabajar en rectangulares y cilndricas con simetra axial, se ha decido por la ltima opcin, adems considerando todas las espiras del primario y secundario. Para el ahorro en el tiempo computacional tambin se ha aplicado simetra considerando solo la mitad de la fase del transformador. Puede observarse que las grficas son idnticas.

Fig. 12 Grafica de las lneas equipotenciales del campo potencial

vectorial magntico.

La desventaja de MAXWELL-ANSYS es que es muy difcil exportar los datos de la malla para programar. La impedancia de cortocircuito se determina mediante la energa magntica que proporciona MAXWELL-ANSYS. El procedimiento es el siguiente, primero se determina la inductancia y reactancia mediante

2

2IWmL = fLX 2=

Donde, es la inductancia, la energa magntica (proporcionado por MAXWELL-ANSYS), es la corriente que puede ser del primario o secundario, es la reactancia y es la frecuencia. La impedancia de cortocircuito se obtiene primero determinando la impedancia de base, luego, dividiendo la reactancia entre la impedancia base,as:

MVAKVZ B

2

=B

PU ZXX =

La siguiente tabla muestra los resultados del clculo de la impedancia de cortocircuito.

4.2.2. Prdidas parasitas en los devanados

No es difcil demostrar que las prdidas axial y radial en cada conductor por corrientes Eddy (parasitas) y por unidad de volumen [2, 6], est dado por:

(7)

Cuadro comparativo de resultados Mtodo

Reactancia (p.u.)

Error (%)

Prueba de Cort. Cir. 0.0668 0% Matlab 0.06717 0.55%

Maxwell-Ansys 0.06581 1.48%

Aqu es la conductividad de los bobinados de cobre, es la frecuencia, y son el ancho y alto de la seccin transversal de cada conductor, datos conocidos. El campo magntico , tanto la componente radial como la axial se ha obtenido a partir del potencial vectorial magntico que se obtienen mediante el MEF (ver fig. 11). Otro programa desarrollado por el DID de nombre "perdbob.m" realiza la funcin de ubicar las coordenadas de cada espira conductora y determina el campo magntico radial y axial en dichas coordenadas. Aplicando (7) se calcula las prdidas en cada espira. Finalmente se suma las prdidas en todas las espiras de los devanados.

Estas mismas prdidas fueron calculadas con el programa MAXWELL-ANSYS. La diferencia con MATLAB es que aqu no se necesita programar. MAXWELL tiene una opcin Eddy Current y proporciona las perdidas seleccionado el devanado ya sea de alta baja u otro. La siguiente tabla muestra las prdidas totales en el devanado de alta y de baja tensin para el modelo 2. El clculo de estas prdidas es imposible en configuraciones complicadas

por los mtodos analticos [2].

4.2.3. Fuerza de Cortocircuito

La fuerza magntica sobre un diferencial de volumen es [2, 7]:

Realizando una integracin numrica en (8) sobre el volumen de los devanados se obtiene la fuerza radial y axial sobre las bobinas. Transformando (8) llegamos a:

, (9)

Aqu es la densidad de corriente volumtrica en el elemento (tringulo).

y son la componente del campo magntico (en el baricentro del elemento

) en la direccin radial y axial, respectivamente, es la distancia radial del eje de los devanados hasta el baricentro del elemento y es el rea del elemento (tringulo) . En el DID hemos desarrollado otro programa en MATLAB de nombre "fuerbob.m" que evala la formula (9). Con el programa MAXWELL-ANSYS no es necesario programar. La siguiente tabla muestra los resultados.

Perdidas Eddy en los devanados

Devanado de AT BT

Matlab 93.2115 W. 154.7492 W.

Maxwell-Ansys 92.2488 W. 159.6518 W.

Cuadro comparativo de resultados Fuerza de C.C.

(Newton) Devanado AT

Devanado BT

Matlab

radial 1538300 -1167940

axial 73438 -198476

Maxwell Ansys

radial 1536198 -1161500

axial 52804 -219231

Watters[8]

radial 1118617 -781599

axial 96819 -241496

Fig. 13 Fuerza radial y axial sobre las bobinas

La figura 13 muestra la direccin de las fuerzas. El conocimiento de estas fuerzas es importante para disear los soportes mecnicos.

5. Planteamiento del problema 03 (campo magntico)

Se requiere conocer la magnitud del campo magntico cuando exista un transformador con bobinas de AT, MT y BT adems tienen diferencias de alturas (asimtrico). Al considerar este tipo de problema las formulas convencionales no son adecuadas, por tanto es necesario aplicar el MEF para calcular parmetros de diseo (tensin de cortocircuito, aumento de prdidas en los conductores debido al flujo de dispersin, fuerzas en los bobinados cuando ocurre un cortocircuito, otros).

5.1. Caractersticas del modelo 03

El problema 03 considerado en este estudio es un transformador que fue fabricado, cuyos datos son: potencia 36/36/12 MVA, tensin altamedia baja(138/23/10) kV, grupo de conexin YNyn0d5 trifsico, 73 vueltas en el lado de BT (baja tensin), 97 vueltas en el lado de MT (media tensin) y 582 vueltas en el lado de AT (alta tensin). La reactancia de dispersin por unidad de los protocolos de prueba es XPU=0.053

5.2. Solucin del problema

La figura 14 muestra la grfica de los resultados desarrollado con MATLAB de la distribucin de los campos potencial vectorial magntico y campo magntico (flechas) cuando los devanados de BT y AT estn activos. El devanado de MT no interviene por eso no es necesario dibujar en Matlab y se localiza entre las de BT y AT.

Fig. 14 Lneas de campo A y campo B

La figura 15 muestra los resultados desarrollado con MAXWELL de la grfica de la distribucin del campo potencial vectorial magntico. Puede observarse que las grficas son idnticas.

Cuadro comparativo de resultados Mtodo Reactancia

(p.u.) Error (%)

Prueba de Cort. Cir. 0.053 0% Matlab 0.05331 0.56 % Maxwell-Ansys 0.0545 2.76%

Fig. 15 Lneas de campo A con MAXWELL

5.2.1. Impedancia de Corto circuito

Procediendo en forma similar que en el caso anterior, se ha determinado la impedancia de cortocircuito. La siguiente tabla muestra la impedancia de cortocircuito.

5.2.2. Perdidas parasitas en los devanados

Las prdidas parasitas en los devanados se determinaron en forma similar que el caso anterior. Mediante el procedimiento con MATLAB se ha ejecutado el programa perdbob.m. Mediante el procedimiento con

MAXWELL se ha utilizado la opcin Eddy Current. La siguiente figura muestra el campo magntico de dispersin en los devanados de BT, MT y AT.

Fig. 16 Grfica del campo magntico

Como se observa en la figura, donde se muestra los tres devanados BT, MT y AT, que el campo magntico es ms intenso en el devanado de MT, es de suponer que en este devanado las perdidas parasitas sern altas. La siguiente tabla muestra los resultados de la simulacin de las perdidas parasitas en los tres devanados. El clculo de las perdidas parasitas en la bobina de MT es imposible por los mtodos analticos [2].

La fuerza de cortocircuito tambin se calcula de forma similar que en la solucin 02.

Conclusiones y Recomendaciones:

Perdidas Eddy en los devanados (W.) Devanado de AT MT BT

Matlab 512.9 1209.0 78.8 Maxwell-Ansys 527.8 1208.5 77.4

Los resultados del clculo de los campos elctricos y magnticos en transformadores de potencia mediante el Mtodo de Elementos Finitos, sugieren que el mtodo es excelente para la optimizacin de los parmetros de diseo. Es una herramienta imprescindible en la actualidad para los ingenieros dedicados al estudio y fabricacin de transformadores. Este mtodo es apropiado para predecir, antes de la construccin de los transformadores de potencia, el esfuerzo elctrico mximo en las aislantes y el aceite, la reactancia de cortocircuito, la fuerza magntica y las prdidas por corrientes parasitas en las bobinas con mejor aproximacin que otros mtodos y con errores menor que el 1 %. La metodologa presentada del Mtodo de Elementos Finitos, ofrece las siguientes ventajas: es rpido, seguro, flexible, se puede trabajar en dos dimensiones y tres dimensiones. Se recomienda conceptualizar bien el problema para evitar detalles innecesarios que perjudican el funcionamiento del hardware y software del computador.

Bibliografia

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