118
HANDOUT : KALKULUS DASAR Oleh : Tony Hartono Bagio 2010 FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer

Calculus 2010

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematika semester 1Jurusan Teknik Lingkungan

Citation preview

Page 1: Calculus 2010

HANDOUT :

KALKULUS DASAR

Oleh : Tony Hartono Bagio

2010

FAKULTAS ILMU KOMPUTER

Sistem Komputer & Sistem Informasi

Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer

Page 2: Calculus 2010

KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio

i

KATA PENGANTAR

Kalkulus Dasar adalah salah satu mata diskusi di Fakultas Ilmu Komputer Universitas Narotama, buku ini merupakan modul untuk menunjang mata kuliah tersebut, diharapkan buku ini menjadi buku pegangan bagi mahasiswa sebagai modul (hand out) untuk melengkapi isi dari modul ini, saya harap para mahasiswa membaca buku-buku lain yang sejenis, karena modul (hand out) ini sangat jauh dari sempurna.

Modul / hand out dari http://blog.uad.ac.id/aris_thobirin/files/2008/11/xxx.pdf, xxx.pdf : terdiri dari 7 files, yakni :

• kalkulus1-diktat1.pdf = Bab 1. Pendahuluan. • kalkulus1-diktat2.pdf = Bab 2. Fungsi dan Limit (Sub bab 2.1 s/d 2.3) • kalkulus1-diktat2a.pdf = Bab 2. Fungsi dan Limit (Sub bab 2.4 s/d 2.7) • kalkulus1-diktat3.pdf = Bab 3. Turunan Fungsi. • kalkulus2-diktat1.pdf = Bab 4. Integral • kalkulus2-diktat2.pdf = Bab 5. Integral Tertentu (Sub bab 5.1 s/d 5.2.5) • kalkulus2-diktat3.pdf = Bab 5. Integral Tertentu (Sub bab 5.2.6)

Dari ke 7 files diatas, digabung menjadi satu, dan dapat di download langsung dari http://tonyhartonobagio.blogspot.com/2010/11/modul-mata-kuliah.html, pilih Kalkulus Dasar, mudah-mudahan modul/hand out ini dapat berguna bagi semua mahasiswa,

Pembagian diskusi ini dibagi dalam 14 kali pertemuan, yang terdiri dari : I. PENDAHULUAN

• Sistem Bilangan Real • Operasi Bilangan • Urutan • Pertidaksamaan • Nilai Mutlak

II. FUNGSI dan LIMIT • Fungsi dan Grafik • Operasi pada Fungsi • Pengertian Limit

III. FUNGSI dan LIMIT • Teorema Limit • Limit Kiri dan :Limit Kanan • Limit Tak Hingga • Kekontinuan Fungsi

IV. TURUNAN FUNGSI • Pengertian Turunan Fungsi • Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat

V. TURUNAN FUNGSI

Page 3: Calculus 2010

KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio

ii

• Sifat - Sifat Turunan • Aturan Rantai

VI. TURUNAN FUNGSI • Turunan Fungsi Invers • Turunan Fungsi Implisit • Turunan Tingkat Tinggi

VII. TURUNAN FUNGSI • Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden • Turunan Fungsi Parameter

VIII. UJIAN TENGAH SEMESTER IX. INTEGRAL

• Rumus Dasar • Integral dengan Subsitusi

X. INTEGRAL • Integral Parsial • Integral Arcus Tangen dan Logaritma

XI. INTEGRAL Fungsi Pecah Rasional • Keadaan N(x) = D’(x) • Keadaan derajat N(x) ≥ derajat D(x) • Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x)

XII. INTEGRAL Fungsi Trigonometri • Rumus-rumus Sederhana • Bentuk ∫ R(sin x) cos x dx dan ∫ R(cos x) sin x dx • Integral dengan memperhatikan rumus-rumus

XIII. INTEGRAL Fungsi Trigonometri • Substitusi y = tan (x/2) • Integral R(tan x) • Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri

XIV. INTEGRAL Fungsi Irrasional • Rumus Penting • Bentuk Irrasional Satu Suku • Satu-satunya Bentuk Irrasional • Subsitusi Trigonometri

XV. INTEGRAL TERTENTU • Pengertian Integral Tertentu • Aplikasi Integral

XVI. UJIAN AKHIR SEMESTER

Page 4: Calculus 2010

KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio

iii

Angka Romawi diatas, merupakan jadwal pertemuan, termasuk jadwal Ujian, baik UTS (Ujian Tengah Semester) maupun UAS (Ujian Akhir Semester), sedang jadwal tugas tidak tercantum diatas, melainkan tergantung dari situasi.

Bila para pembaca sekalian ingin memberi tambahan, koreksi atau penyempurnaan, penulis menghaturkan terima kasih sebelumnya, karena modul ini pasti akan menjadi lebih bermanfaat.

Atas perhatiannya dalam membaca modul ini, penulis mengucapkan terima kasih.

Narotama, 20 November 2010

Tony Hartono Bagio

Dosen Fakultas Ilmu Komputer Universitas Narotama Surabaya

Page 5: Calculus 2010

KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio

  iv      

DAFTAR ISI Hal

Kata Pengantar ............................................................................................................ i

Daftar Isi ........................................................................................................................ iv

1. PENDAHULUAN ................................................................................................. 1 1.1 Sistem Bilangan Real ................................................................................ 1 1.2 Operasi Bilangan ....................................................................................... 3 1.3 Urutan .......................................................................................................... 3 1.4 Pertidaksamaan ......................................................................................... 4 1.5 Nilai Mutlak .............................................................................................. 7

2. FUNGSI dan LIMIT ............................................................................................... 12

2.1 Fungsi dan Grafik ...................................................................................... 12 2.2 Operasi pada Fungsi ................................................................................. 15 2.3 Pengertian Limit ........................................................................................ 16 2.4 Teorema Limit ........................................................................................... 23 2.5 Limit Kiri dan :Limit Kanan .................................................................... 31 2.6 Limit Tak Hingga ...................................................................................... 32 2.7 Kekontinuan Fungsi ................................................................................. 34

3. TURUNAN FUNGSI ............................................................................................ 38

3.1 Pengertian Turunan Fungsi ..................................................................... 38 3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat ..................................... 39 3.3 Sifat - Sifat Turunan .................................................................................. 40 3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi) ............................ 41 3.5 Turunan Fungsi Invers ............................................................................. 42 3.6 Turunan Fungsi Implisit .......................................................................... 42 3.7 Turunan Tingkat Tinggi ........................................................................... 43 3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden ............................... 44

3.8.1 Turunan Fungsi Rasional ............................................................... 44 3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional ............................................................. 44 3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri ....................................................... 45 3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri ............................................................ 46 3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma ............................................................ 47 3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial ....................................................... 49 3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik ........................................................... 50

Page 6: Calculus 2010

KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio

  v      

3.9 Turunan Fungsi Parameter ...................................................................... 50

4. INTEGRAL ............................................................................................................. 53 4.1 Rumus Dasar ............................................................................................. 54 4.2 Integral dengan Subsitusi ........................................................................ 55 4.3 Integral Parsial .......................................................................................... 57 4.4 Integral yang Menghasilkan Arcus Tangen dan Logaritma ............... 59 4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional ............................................................... 62

4.5.1 Keadaan N(x) = D’(x) ....................................................................... 62 4.5.2 Keadaan derajat N(x) ≥ derajat D(x) .............................................. 62 4.5.3 Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x) ............................................ 63

4.6 Integral Fungsi Trigonometri .................................................................... 70 4.6.1 Rumus-rumus Sederhana ................................................................ 70 4.6.2 Bentuk ∫ R(sin x) cos x dx dan ∫ R(cos x) sin x dx ........................ 70 4.6.3 Integral dengan memperhatikan rumus-rumus ......................... 71 4.6.4 Substitusi y = tan (x/2) .................................................................... 71 4.6.5 Integral R(tan x) ................................................................................ 73 4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri ............... 73

4.7 Integral Fungsi Irrasional ......................................................................... 74 4.7.1 Rumus yang perlu dihafal ............................................................. 74 4.7.2 Bentuk Irrasional Satu Suku .......................................................... 75 4.7.3 Satu-satunya Bentuk Irrasional ..................................................... 75 4.7.4 Subsitusi Trigonometri ................................................................... 75

5. INTEGRAL TERTENTU ...................................................................................... 77

5.1 Pengertian Integral Tertentu ................................................................... 77 5.2 Aplikasi Integral ........................................................................................ 83

5.2.1 Luas Daerah ..................................................................................... 83 5.2.2 Volume Benda Putar ....................................................................... 86 5.2.3 Panjang Kurva .................................................................................. 93 5.2.4 Luas Permukaan Benda Putar ....................................................... 97 5.2.5 Usaha atau Kerja .............................................................................. 101 5.2.6 Momen dan Pusat Massa (Titik Berat) ......................................... 104

Page 7: Calculus 2010

PENDAHULUAN

1

1.1 Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memahami bahasan tentang system bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, ... Dengan menggunakan bilangan asli kita dapat menghitung banyaknya buku yang kita miliki, kendaraan yang melalui suatu jalan, orang-orang yang berada dalam suatu ruang dan lain-lainnya. Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. Jadi

N = {1, 2, 3, 4, …} Jika di dalam himpunan semua bilangan asli kita tambahkan semua

negatifnya dan nol, maka diperoleh bilangan-bilangan bulat, yaitu …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. Jadi

Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} Selanjutnya untuk mengukur besaran-besaran seperti panjang, berat dan arus listrik maka bilangan bulat tidak memadai. Dalam hal ini bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup. Untuk keperluan ini maka dapat digunakan

bilangan-bilangan rasional, seperti 2

19,52,

43 − , dan

87 . Bilangan rasional

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan ba dengan a dan b

keduanya bilangan bulat dan b ≠ 0. Dengan demikian bilangan-bilangan bulat termasuk bilangan rasional juga. Bilangan bulat 3 merupakan bilangan rasional

sebab 3 dapat ditulis sebagai 26 . Himpunan semua bilangan rasional biasa

dinotasikan dengan Q. Jadi

Q = {ba⏐ a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}

Bilangan rasional yang dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang cukup ternyata masih tidak dapat menjadi ukuran semua besaran misalnya panjang sisi miring segitiga siku-siku berikut.

1

Page 8: Calculus 2010

1

1

Gambar 1 Dengan menggunakan bilangan irrasional maka hal tersebut di atas tidak menjadi

masalah. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah 2 . Bilangan

irrasional yang lain antara lain 3 7,5,3 , e dan π.

Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol bilangan-bilangan real (bilangan nyata). Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. Hubungan keempat himpunan N, Z, Q, dan R dapat dinyatakan dengan

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R dan digambarkan dengan diagram venn berikut.

NZ

Q

R

Gambar 2 Masih terdapat sistem bilangan yang lebih luas dari system bilangan real

yaitu bilangan yang secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk a + b 1− dengan

a dan b keduanya bilangan bulat, atau a + bi dengan i = 1− . Bilangan demikian dinamakan bilangan kompleks dan himpunan semua bilangan kompleks dinotasikan dengan C.

2

Page 9: Calculus 2010

Dalam buku ini bilangan kompleks tidak dibicarakan lebih lanjut. Jadi, apabila dalam buku ini disebutkan suatu bilangan tanpa keterangan apapun dimaksudkan adalah bilangan real. 1.2 Operasi Bilangan Pada R telah dikenal operasi penjumlahan dan perkalian. Misalkan x dan y bilangan real maka penjumlahan x dan y ditulis x + y dan perkalian x dan y ditulis x . y atau secara singkat ditulis xy. Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada R adalah sebagai berikut. 1) Hukum komutatif: x + y = y + x dan xy = yx. 2) Hukum asosiatif: x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z. 3) Hukum distributif: x(y + z) = xy + xz. 4) Elemen-elemen identitas:

Terhadap penjumlahan: 0 sebab x + 0 = x. Terhadap perkalian: 1 sebab x.1 = x.

5) Invers (balikan): Setiap bilangan real x mempunyai invers aditif (disebut juga negatif) –x yang memenuhi x + –x = 0 dan setiap bilangan real x yang tidak nol mempunyai invers multiplikatif (disebut juga balikan) yaitu x−1 yang memenuhi x. x−1 = 1.

Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan

x – y = x + (–y) dan

yx = x. y−1

1.3 Urutan Bilangan-bilangan real bukan nol dibedakan menjadi dua himpunan terpisah yaitu bilangan-bilangan real positif dan bilangan-bilangan real negatif. Berdasarkan fakta ini diperkenalkan relasi urutan < (dibaca “kurang dari”) yang didefinisikan dengan:

x < y jika dan hanya jika y – x positif. x < y mempunyai arti yang sama dengan y > x. 3

Page 10: Calculus 2010

Sifat-sifat urutan: 1) Trikotomi: Jika x dan y bilangan-bilangan real maka pasti berlaku salah satu di

antara yang berikut: x < y atau x = y atau x > y.

2) Transitif: jika x < y dan y < z maka x < z. 3) Penambahan: x < y ⇔ x + z < y + z 4) Perkalian:

Jika z positif maka x < y ⇔ xz < yz Jika z negatif maka x < y ⇔ xz > yz

Relasi urutan ≤ (dibaca “kurang dari atau sama dengan”) didefinisikan dengan:

x ≤ y jika dan hanya jika y – x positif atau nol. Sifat-sifat ini adalah: 1) Transitif: jika x ≤ y dan y ≤ z maka x ≤ z. 2) Penambahan: x ≤ y ⇔ x + z ≤ y + z 3) Perkalian:

Jika z positif maka x ≤ y ⇔ xz ≤ yz Jika z negatif maka x ≤ y ⇔ xz ≥ yz

1.4. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi <, >, ≤ atau ≥. Penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah semua bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut yang biasanya merupakan interval atau gabungan interval-interval. Mengenai interval dapat dijelaskan sebagai berikut.

Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari a dan kurang dari b. Jadi (a,b) = {x⏐ a < x < b}. Sedangkan interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a dan kurang atau sama dengan b. Jadi [a,b] = {x⏐ a ≤ x ≤ b}. Beberapa interval ditunjukkan dalam daftar berikut.

4

Page 11: Calculus 2010

Penulisan Interval Penulisan Himpunan Dalam Garis Bilangan

(a, b) {x⏐ a < x < b} a b

[a, b] {x⏐ a ≤ x ≤ b} a b

[a, b) {x⏐ a ≤ x < b} a b

(a, b] {x⏐ a < x ≤ b} a b

(−∞, b) {x⏐ x < b} a b

(−∞, b] {x⏐ x ≤ b} a b

(a, ∞) {x⏐ x > a} a b

[a, ∞) {x⏐ x ≥ a} a b

(−∞, ∞) R Contoh Pertidaksamaan

1) 2x – 7 < 4x – 2 2) –5 ≤ 2x + 6 < 4 3) x2 – x – 6 < 0 4) 3x2 – x – 2 > 0

5) 1252≤

−−

xx

Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x – 7 < 4x – 2. Penyelesaian: 2x – 7 < 4x – 2 ⇔ 2x < 4x + 5 ⇔ –2x < 5

⇔ x > 25−

Hp: interval ( 25− , ∞) = {x⏐ x > 2

5− }

5

Page 12: Calculus 2010

Contoh 2 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan –5 ≤ 2x + 6 < 4. Penyelesaian: –5 ≤ 2x + 6 < 4 ⇔ –11 ≤ 2x < –2

⇔ 211− ≤ x < –1

Hp: interval [ 211− , –1) = {x⏐ 2

11− ≤ x < –1}

Contoh 3 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x2 – x – 6 < 0. Penyelesaian: x2 – x – 6 < 0 ⇔ (x – 3)(x + 2) < 0 + + – – – + +

–2 3 Hp: interval (–2, 3) = {x⏐ –2 < x < 3} Contoh 4 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x2 – x – 2 > 0 Penyelesaian: 3x2 – x – 2 > 0 ⇔ (x – 1)(3x + 2) > 0 + + – – – + +

32− 1

Hp: interval (–∞, 32− ) ∪ (1, ∞) = {x⏐ x < 3

2− atau x > 1}

Contoh 5

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1252≤

−−

xx

Penyelesaian: 252

−−

xx ≤ 1

⇔ 252

−−

xx – 1 ≤ 0

⇔ 2

)2(52−

−−−x

xx ≤ 0

6

Page 13: Calculus 2010

⇔ 23

−−

xx ≤ 0

⇔ (x – 3)(x – 2) ≤ 0 dengan syarat x ≠ 2 (mengapa?)

+ + – – – + +

2 3 Hp: interval (2, 3] = {x⏐ 2 < x ≤ 3} 1.5 Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat diperlukan untuk mempelajari kalkulus. Oleh karena pembaca yang ingin memahami betul konsep-konsep dalam kalkulus disarankan mempunyai ketrampilan dalam bekerja menggunakan nilai mutlak. Definisi:

Nilai mutlak bilangan real x, ditulis x didefinisikan dengan

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

−=

0

0

xjika

xjika

x

xx

Misal: 55 = , 5)5(5 =−−=− , 00 =

Sifat-sifat nilai mutlak

1) baab =

2) ba

ba=

3) baba +≤+ (ketidaksamaan segitiga)

4) baba −≥− Pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak dapat digunakan teorema berikut.

7

Page 14: Calculus 2010

Teorema:

1. ax < ⇔ –a < x < a

2. ax > ⇔ x < –a atau x > a.

Secara fisis x dapat menyatakan jarak x ke 0, sehingga x yang memenuhi ax <

menyatakan x yang jaraknya ke 0 kurang dari a.

Secara fisis cx − dapat menyatakan jarak x ke c, sehingga x yang memenuhi

acx <− menyatakan x yang jaraknya ke c kurang dari a.

44 844 76 a 44 844 76 a

–a 0 a

44 844 76 a 44 844 76 a

–a c a Contoh 1

Tentukan penyelesaian 3<x .

Penyelesaian:

Nilai x yang memenuhi –3 < x < 3 merupakan penyelesaian pertidaksamaan 3<x .

Gambarkan penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan. Contoh 2

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2−x < 3.

Penyelesaian:

2−x < 3 ⇔ –3 < x – 2 < 3

⇔ –3 + 2 < x < 3 + 2 ⇔ –1 < x < 5

Jadi, penyelesaiannya adalah x yang memenuhi –1 < x < 5. Gambarkan pada garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini.

8

Page 15: Calculus 2010

Contoh 3 Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 53 −x ≥ 1.

Penyelesaian:

53 −x ≥ 1 ⇔ 3x – 5 ≤ –1 atau 3x – 5 ≥ 1

⇔ 3x ≤ 4 atau 3x ≥ 6

⇔ x ≤ 34 atau x ≥ 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x yang memenuhi x ≤ 34 atau x ≥ 2. Gambarkan pada

garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan ini. Contoh 4 Andaikan ε (epsilon) adalah bilangan positif.

Tunjukkan bahwa 5

2 ε<−x ⇔ ε<−105x .

Penyelesaian:

5

2 ε<−x ⇔ ε<− 25 x

⇔ ε<− 25 x

⇔ ε<− )2(5 x

⇔ ε<−105x

Contoh 5 Andaikan ε (epsilon) adalah bilangan positif, carilah bilangan positif δ sedemikian

sehingga δ<− 3x ⇒ ε<−186x

Penyelesaian:

ε<−186x ⇔ ε<− )3(6 x

⇔ ε<− 36 x

⇔ ε<− )36 x

⇔ 6

3 ε<−x

Oleh karena itu dapat dipilih δ = 6ε .

9

Page 16: Calculus 2010

Secara mundur dapat dilihat bahwa δ<− 3x ⇒ ε<−186x .

Terkait dengan bilangan akar pangkat dua dapat dinyatakan bahwa

xx =2

SOAL 1 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut dan gambarkan himpunan penyelesaiannya pada garis bilangan. 1. 4x – 7 < 3x – 5 16. (x + 2)(2x – 1)(3x + 7) ≥ 0 2. 2x + 16 < x + 25 17. x3 – 5x2 – 6x < 0 3. 7x – 1 ≤ 10x + 4 18. (x + 5)(x + 2)2(2x – 1) > 0

4. 6x – 10 ≥ 5x – 16 19. 242<

+−

xx

5. 10x + 1 > 8x + 5 20. 1312≥

−−

xx

6. –6 < 2x + 3 < –1 21. 1+x < 4

7. –3 < 4x – 9 < 11 22. 43 +x < 8

8. 3x + 2 < 5x + 1 < 16 23. 23−

x ≤ 6

9. 2x – 4 ≤ 6 – 7x ≤ 3x + 6 24. 24 +x ≥ 10

10. x2 + x – 12 < 0 25. x42 − ≥ 10

11. x2 – 5x + 6 > 0 26. 15

3+

x ≤ 4

12. 3x2 – 11x – 4 ≤ 0 27. 72+

x > 2

13. 2x2 + 7x – 15 ≥ 0 28. 5

31 x− ≤ 4

14. 0125≤

−+

xx 29.

x52 + > 1

15. 0132>

+−

xx 30. 31

−x

> 6.

10

Page 17: Calculus 2010

Buktikan bahwa implikasi yang ditunjukkan adalah benar

31. 5,03 <−x ⇒ 5,2155 <−x .

32. 6

2 ε<−x ⇒ ε<−126x .

33. 2

4 ε<+x ⇒ ε<+ 82x .

Dalam soal berikut, jika ε bilangan positif, carilah bilangan positif δ sedemikian sehingga implikasi yang diberikan benar.

34. δ<− 5x ⇒ ε<−153x

35. δ<− 2x ⇒ ε<−− 3)54( x

11

Page 18: Calculus 2010

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

2

2.1 Fungsi dan Grafiknya

Definisi

Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B.

A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daerah kawan). Sedangkan himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range (daerah hasil). f

A B

Gambar 2.1 Fungsi

Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain. Domain dapat berupa himpunan yang beranggotakan orang atau yang lain, demikian pula kodomain. Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan bilangan real.

Untuk memberi nama fungsi digunakan huruf tunggal seperti f (atau g, atau F), maka f(x) menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika f(x) = x3 – 4, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 12

Page 19: Calculus 2010

f(2) = 23 – 4 = 4 f(–1) = (–1)3 – 4 = –5 f(a) = a3 – 4 f(a + h) = (a + h)3 – 4 = a3 + 3a2h + 3ah2 + h3 – 4

Contoh 1

Untuk f(x) = x2 – 2x, carilah dan sederhanakan: a. f(4) b. f(4 + h) c. f(4 + h) – f(4)

d. h

fhf )4()4( −+ dengan h ≠ 0.

Penyelesaian: Contoh 2

Untuk f(x) = x2 – 2x dengan daerah asal {–1, 0, 1, 2, 3}, carilah daerah hasil fungsi f.

Penyelesaian:

Fungsi dan Limit Fungsi 13

Page 20: Calculus 2010

Bilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak dirinci, maka dianggap daerah asal fungsi tersebut adalah himpunan bilangan real sehingga aturan fungsinya bermakna dan memberikan nilai bilangan real. Contoh 3

a. Daerah asal f(x) = 3

1−x

adalah {x ∈ R⏐ x ≠ 3}.

b. Daerah asal g(t) = 29 t− adalah {t ∈ R⏐ 9 – t2 ≥ 0}.

Apabila daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan himpunan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat, dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x). Contoh 4

Buatlah sketsa grafik dari: (a) f(x) = x2 – 4

(b) g(x) = x1

(c) h(x) = ⏐x⏐

Penyelesaian:

Fungsi dan Limit Fungsi 14

Page 21: Calculus 2010

2.2 Operasi pada Fungsi

Jika f dan g dua fungsi maka jumlah f + g, selisih f – g, hasil kali fg, hasil bagi f/g dan perpangkatan fn adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa irisan dari daerah asal f dan daerah asal g, dan dirumuskan sebagai berikut.

(f + g)(x) = f (x) + g(x) (f – g)(x) = f (x) – g(x) (f g)(x) = f (x) g(x)

(f / g)(x) = )()(

xgxf asalkan g(x) ≠ 0

Contoh 5

Jika f(x) = x2 – 2x dan g(x) = x – 1, tentukan f + g, f – g, fg, f/g dan f 3. Selanjutnya gambarlah sketsa grafiknya.

Penyelesaian:

Fungsi dan Limit Fungsi 15

Page 22: Calculus 2010

Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut.

Jika f dan g dua fungsi dengan daerah asal g merupakan daerah hasil f maka

komposisi g o f memenuhi (g o f)(x) = g (f(x))

Contoh 6

Jika f(x) = x2 – 2x dan g(x) = x – 1, tentukan g o f dan f o g. Selanjutnya gambarlah sketsa grafiknya.

Penyelesaian:

(g o f)(x) = g (f(x)) = g (x2 – 2x) = x2 – 2x – 1

(f o g)(x) = f (g(x)) = f (x – 1) = (x – 1)2 – 2(x – 1) = x2 – 2x + 1 – 2x + 2 = x2 – 4x + 3 Gambar grrafik dibiarkan untuk latihan. 2.3 Pengertian Limit Perkataan limit berarti mendekati, seperti “Saya sudah menahan sampai mendekati batas kesabaran saya,” atau “Janganlah kamu mendekati zina.” Untuk memahami pengertian limit fungsi kita awali dengan fungsi berikut.

f(x) = 113

−−

xx

Fungsi tersebut tidak terdefinisi di x = 1 sebab di titik ini f(x) berbentuk 00 . Tetapi

dapat diselidiki mengenai nilai f(x) di titik-titik yang dekat dengan 1 (x mendekati 1). Perhatikan nilai f(x) untuk beberapa x seperti terlihat pada daftar dan grafik y = f(x) dapat dilihat pada gambar berikut.

Fungsi dan Limit Fungsi 16

Page 23: Calculus 2010

x y = f(x)

1,25 3,813 1,1 3,310 1,01 3,030 1,001 3,003 ↓ ↓ 1 ? ↑ ↑ 0,999 2,997 0,99 2,970 0,9 2,710 0,75 2,313

Gambar 2.2 Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bahwa f(x) mendekati 3 apabila x mendekati 1. Secara matematis hal tersebut dituliskan dengan

11lim

3

1 −−

→ xx

x = 3

dan ini dibaca “limit (x3 – 1)/ (x – 1) untuk x mendekati 1 adalah 3.” Dalam contoh ini kita menghubungkan limit dengan perilaku fungsi dekat dengan 1, bukannya di 1. Contoh 1

Dengan menggunakan beberapa nilai pendekatan x tentukan x

xx

sinlim0→

Fungsi dan Limit Fungsi 17

Page 24: Calculus 2010

Penyelesaian:

x y = x

xsin

1 0,84147 0,5 0,95885 0,1 0,99833 0,01 0,99998 ↓ ↓ 0 ? ↑ ↑ –0,01 0,99998 –0,1 0,99833 –0,5 0,95885 –1 0,84147

Jadi, x

xx

sinlim = 1. 0→

Ingat kembali mengenai nila mutlak. Jika ε adalah sembarang bilangan positif,

maka jarak f(x) ke bilangan L kurang dari ε dapat dinyatakan dalam bentuk:

Lxf −)( < ε

dan ini ekuivalen dengan L – ε < f(x) < L + ε

yang menunjukkan bahwa f(x) terletak pada interval terbuka (L – ε, L + ε) seperti terlihat pada gambar 2.3 (a). Selanjutnya misalkan δ adalah suatu bilangan positif dan x cukup dekat dengan c sehingga jarak x ke c kurang dari δ, tetapi x ≠ c maka

0 < cx − < δ

dan ini ekuivalen dengan c – δ < x < c + δ

yang berarti x terletak dalam interval terbuka (c – δ, c + δ) dan dapat digambarkan seperti terlihat pada gambar 2.3 (b).

Fungsi dan Limit Fungsi 18

Page 25: Calculus 2010

f(x) L + ε L L – ε x

ε<− Lxf )(

(a)

f(x)

c – δ c c + δ x

δ<−< cx0

(b)

Gambar 2.3 Gambar-gambar dalam Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 diharapkan dapat memudahkan kita untuk memahami definisi formal dari limit sebagai berikut.

Definisi Limit f(x) untuk x mendekati c adalah L, ditulis

Lxfcx

=→

)(lim

jika dan hanya jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < cx − < δ berlaku Lxf −)( < ε.

Fungsi dan Limit Fungsi 19

Page 26: Calculus 2010

Untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga

apabila 0 < cx − < δ berlaku Lxf −)( < ε

Gambar 2.4 Contoh 2 Buktikan bahwa 5)73(lim

4=−

→x

x

Analisis pendahuluan: Misalkan ε > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian

sehingga apabila 0 < 4−x < δ berlaku 5)73( −−x < ε.

Perhatikan 5)73( −−x < ε ⇔ 123 −x < ε

⇔ )4(3 −x < ε

⇔ 43 −x < ε

⇔ 4−x < 3ε

Fungsi dan Limit Fungsi 20

Page 27: Calculus 2010

Oleh karena itu dapat dipilih δ = 3ε . Tentu saja dapat dipilih bilangan δ yang kurang

dari 3ε .

Bukti:

Ambil sembarang bilangan ε > 0. Kita pilih δ > 0, yaitu δ = 3ε . Apabila 0 < 4−x < δ

maka berlaku 5)73( −−x = 123 −x

= )4(3 −x

= 43 −x

= 3 4−x

< 3δ = 3.3ε = ε.

Jadi, terbukti . 5)73(lim4

=−→

xx

Contoh 3

Buktikan bahwa 52

232lim2

2=

−−−

→ xxx

x

Analisis pendahuluan: Misalkan ε > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian

sehingga apabila 0 < 2−x < δ berlaku 52

232 2

−−

−−x

xx < ε.

Perhatikan 52

232 2

−−

−−x

xx < ε ⇔ 52

)2)(12(−

−−+

xxx < ε

⇔ 5)12( −+x < ε

⇔ )2(2 −x < ε

⇔ 22 −x < ε

⇔ 2−x < 2ε

Oleh karena itu dapat dipilih δ = 2ε atau yang lebih kecil dari

2ε .

Fungsi dan Limit Fungsi 21

Page 28: Calculus 2010

Bukti:

Ambil sembarang ε > 0 dipilih δ = 2ε sehingga 0 < 2−x < δ berlaku

52

232 2

−−

−−x

xx = 52

)2)(12(−

−−+

xxx

= 5)12( −+x

= )2(2 −x

= 22 −x

= 2−x

< δ = 2ε < ε

Berarti terbukti bahwa 52

232lim2

2=

−−−

→ xxx

x.

Contoh 4 Buktikan bmcbmx

cx+=+

→)(lim

Analisis Pendahuluan:

Untuk setiap ε > 0, akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < ⏐x – c⏐ < δ berlaku ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ < ε. Perhatikan: ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ < ε ⇔ ⏐mx – mc⏐ < ε ⇔ ⏐m⏐⏐x – c⏐ < ε

⇔ ⏐x – c⏐ < mε asalkan m ≠ 0

Dapat dipilih δ = mε .

Bukti: Untuk m = 0, bukti cukup jelas.

Misal m ≠ 0. Untuk setiap ε > 0 dipilih δ = mε . Oleh karenanya jika 0 < ⏐x – c⏐ < δ

maka berlaku ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ = ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ = ⏐mx – mc⏐

Fungsi dan Limit Fungsi 22

Page 29: Calculus 2010

= ⏐m⏐⏐x – c⏐

< ⏐m⏐mε = ε.

Fungsi dan Limit Fungsi 23

Eugene
Note
Unmarked set by Eugene
Eugene
Note
Unmarked set by Eugene
Eugene
Cross-Out
Eugene
Replacement Text
22
Eugene
Note
Accepted set by Eugene
Eugene
Inserted Text
22
Eugene
Cross-Out
Page 30: Calculus 2010

Contoh 5 Buktikan, jika c > 0, maka cx

cx=

→lim

Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < ⏐x – c⏐ < δ berlaku

cx − < ε untuk setiap ε > 0.

Perhatikan:

cx − = cx

cxcx+

+− ))((

= cx

cx+−

= cx

cx+

≤ ccx −

Dapat dipilih δ = cε

Bukti:

Ambil sembarang ε > 0 dipilih δ = cε . Oleh karenanya jika 0 < ⏐x – c⏐ < δ maka

berlaku cx − ≤ ccx −

< ccε < ε.

2.4 Teorema Limit

Teorema 2.4.1 Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:

1) kkcx

=→

lim

2) cxcx

=→

lim

3) )(lim)(lim xfkxkfcxcx →→

=

Fungsi dan Limit Fungsi 23

Page 31: Calculus 2010

4) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf

cxcxcx →→→+=+

5) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfcxcxcx →→→

−=−

6) )(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxfcxcxcx →→→

=

7) )(lim

)(lim

)()(lim

xg

xf

xgxf

cx

cxcx

→→

= , asalkan ≠ 0 )(lim xgcx→

8) n

cxn

cxxfxf ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=→→

)(lim)]([lim

9) ncx

ncx

xfxf )(lim)(lim→→

= , asalkan untuk n bilangan genap. 0)(lim >→

xfcx

Bukti teorema 2.4.1 ini dibiarkan untuk latihan. Dengan menggunakan teorema ini maka penentuan nilai limit suatu fungsi akan menjadi lebih mudah. Contoh 6

Carilah 235lim x

x→

Penyelesaian: = 5 teorema 2.2.1 3) 235lim x

x→2

3lim xx→

= 5 teorema 2.2.1 8) 2

3lim ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡→

xx

= 5(3)2 teorema 2.2.1 2) = 45. Contoh 7

Carilah )205(lim 23

−→

xx

Penyelesaian: = teorema 2.2.1 5) )205(lim 23

−→

xx

20lim5lim3

23 →→

−xx

x

= 45 – 20 teorema 2.2.1 1)

Fungsi dan Limit Fungsi 24 = 25.

Page 32: Calculus 2010

Fungsi dan Limit Fungsi 25

ontoh 8

Carilah

C

xx

x

205lim2

3

−→

= x

x

x

x

3

23

lim

205lim

→−

x

xx

205lim2

3

−→

Penyelesaian: teorema 2.2.1 7)

= 3

205lim 23

−→

xx teorema 2.2.1 2) dan 9)

=325 dari contoh 7.

= 35

gat, bentuk disebut polinom dan hasil bagi

polinom

nn xaxaxaaxf ++++= ...)( 2

210

disebut fungsi rasional, mm

nxa+...

In

n

xb+....

eorema 2.4.2 ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema 2.4.1.

engan adanya teorma 2.4.2 maka penentuan nilai limit fungsi polinom atau fungsi

xbxbb

xaxaa

+++

+++2

210

2210

Teorema 2.4.2

olinom maka = f(c)

2) Jika f fungsi rasional maka = f(c) asalkan nilai penyebut di c tidak nol.

1) Jika f fungsi p )(lim xfcx→

)(lim xfcx→

T Drasional menjadi sangat mudah, tentunya asalkan syarat perlu pada teorema tersebut untuk fungsi rasional dipenuhi.

Page 33: Calculus 2010

Contoh 9

Tentukan 613107lim 452

+−−→

xxxx

Penyelesaian: = 7(2)5 – 10(2)4 – 13(2) + 6 = 44 613107lim 452

+−−→

xxxx

Contoh 10

Tentukan 863

613107lim 2

45

2 −−

+−−→ xx

xxxx

Penyelesaian: 863

613107lim 2

45

2 −−

+−−→ xx

xxxx

= 8)2(6)2(3

6)2(13)2(10)2(72

45

−−

+−− = 8

44−

= 2

11− .

Contoh 11

Tentukan 1273lim 2

3

1 +−

++→ xx

xxx

= 2

3

1 )1(73lim

++→ x

xxx

Penyelesaian: Teorema 2.4.2 tidak dapat digunakan karena nilai penyebut di x = 1 adalah nol

dan teorema 2.4.1 bagian 7) juga tidak dapat dugunakan karena limit penyebut nol. Tetapi, karena limit pembilang 11, maka selama x mendekati 1 terjadi pembagian bilangan yang dekat 11 dengan bilangan positif dekat 0. Hasilnya adalah sebuah bilangan positif yang besar dan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan membiarkan x cukup dekat dengan 1. Dalam hal ini dikatakan limitnya tidak ada. Contoh seperti ini akan diuraikan lebih lanjut pada bagian lain. Contoh 12

Tentukan 6103lim 2

2

2 −+−+

→ xxxx

x

Penyelesaian: Sebelum mencoba mengambil limitnya terlebih dahulu diadakan

penyederhanaan pecahan dengan faktorisasi.

6103lim 2

2

2 −+−+

→ xxxx

x =

)3)(2()5)(2(lim

2 +−+−

→ xxxx

x

= 35lim

2 ++

→ xx

x

= 57

Fungsi dan Limit Fungsi 26

Page 34: Calculus 2010

Teorema 2.4.3 (Teorema Apit) Misalkan f, g dan h adalah fungsi-fungsi dengan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk setiap x di sekitar c, kecuali mungkin di c. Jika = = L, )(lim xf

cx→)(lim xh

cx→maka = L. )(lim xg

cx→

Bukti: Diberikan bilangan ε > 0 Karena = L, berarti terdapat bilangan δ1 > 0 sedemikian hingga )(lim xf

cx→

0 < ⏐x – c⏐ < δ1 ⇒ ⏐f(x) – L⏐ < ε ⇔ L – ε < f(x) < L + ε. Karena = L, berarti terdapat bilangan δ2 > 0 sedemikian hingga )(lim xh

cx→

0 < ⏐x – c⏐ < δ2 ⇒ ⏐h(x) – L⏐ < ε ⇔ L – ε < h(x) < L + ε Dipilih δ = min{δ1, δ2} Apabila 0 < ⏐x – c⏐ < δ maka berlaku

L – ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε ⇒ L – ε < g(x) < L + ε ⇔ ⏐g(x) – L⏐ < ε

Terbukti = L. )(lim xgcx→

Contoh 13

Dapat diselidiki bahwa 1 – 6

2x ≤ x

xsin ≤ 1 untuk semua x yang mendekati tetapi

tidak 0. Tunjukkan bahwa x

xx

sinlim0→

= 1.

Fungsi dan Limit Fungsi 27

Page 35: Calculus 2010

Penyelesaian:

Misalkan f(x) = 1 – 6

2x , g(x) = x

xsin , dan h(x) = 1, maka = )(lim0

xfx→ 6

1lim2

0

xx

−→

= 1

dan = 1, sehingga diperoleh )(lim0

xhx→

61lim

2

0

xx

−→

≤ x

xx

sinlim0→

≤ 1lim0→x

⇔ 1 ≤ x

xx

sinlim0→

≤ 1

Berdasarkan teorema 2.4.3 maka dapat disimpulkan x

xx

sinlim0→

= 1.

SOAL 2

1. Untuk fungsi f(x) = 3x3 + x, hitunglah masing-masing nilai a. f(1) c. f( 2

1 )

b. f(–6) d. f(x1 )

2. Untuk fungsi g(t) = 21 tt

+, hitunglah masing-masing nilai

a. f(1) c. f( 41 )

b. f(9) d. f(4

1

x)

3. Gambarlah grafik fungsi

a. b. ⎪⎩

⎪⎨

>

≤+−=

1,3

1,4)(

2

xx

xxxf

⎪⎩

⎪⎨

≥+<<

≤−=

2,120,1

0,1)(

2

xxx

xxxg

4. Jika f(x) = x2 + x dan g(x) = 3

2+x

, tentukan:

a. (f + g)(2) d. (f / g)(1)

b. (f – g)(2) e. (g o f)(1)

c. (f g)(1) f. (f o g)(1)

5. Jika f(x) = 12 −x dan g(x) = x2 , tentukan:

Fungsi dan Limit Fungsi 28

Page 36: Calculus 2010

a. (f g)(x) d. (f o g)(x)

Fungsi dan Limit Fungsi 29

+ g 4(x)

c. (g o f)(x)

alam soal nom it-limit tersebut.

b. (f / g)(x) e. f 4(x)

D or 6 – 10, buktikan lim

2)73(lim3

=−→

xx

6.

8)42(lim2

−=−−→

xx

7.

8. 10525lim

2

5=

−−

→ xx

x

71

65lim2

1=

−−+

→ xxx

x 9.

10. 22lim2

=→

xx

11. Buktikan bahwa jika )(lim xf

cx→ = L dan )(lim xf

cx→ = M, maka L = M.

Misalkan F dan G adalah fungsi-fungsi sedemikian sehingga 0 ≤ F(x) ≤ G(x) mua x dekat dengan c,

12.untuk se kecuali mungkin di c, buktikan bahwa jika

= 0 maka = 0.

k soal-soa erikut (no. 13 s.d. 20), tentukan nilai limit fungsi berikut 3.

4.

5.

6.

)(lim xGcx→

)(lim xFcx→

Untu l b

)47(lim3

−→

xx

1

)52(lim 3

1xx

x−

−→ 1

)27)(34(lim 32

0xxx

x+−

→ 1

2483lim 3

4

2 +−

−→ xx

x 1

17. 4

2lim 2

2

2 −−

→ uuu

u

18. 5477lim 2

2

1 −−++

−→ tttt

t

Page 37: Calculus 2010

Fungsi dan Limit Fungsi 30

9. 44

)6)(2(lim 2

2

2 ++−−+

−→ wwwww

w 1

20. 12

)32)(1(lim 2

2

1 +−−+−

→ yyyyy

y

Page 38: Calculus 2010

2.5 Limit Kiri dan Limit Kanan

Definisi

Limit f(x) untuk x mendekati c dari kiri adalah L, ditulis

)(lim xfcx −→

= L

jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0

sedemikian sehingga apabila 0 < c – x < δ , maka berlaku Lxf −)( < ε.

Limit f(x) untuk x mendekati c dari kanan adalah L, ditulis

)(lim xfcx +→

= L

jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < x – c < δ , maka berlaku Lxf −)( < ε.

Teorema 2.5.1

Lxfcx

=→

)(lim jika dan hanya jika = = L )(lim xfcx −→

)(lim xfcx +→

Contoh 14

f(x) = ⎪⎩

⎪⎨

<

≥−

1,

1,2

2 x

x

x

x

Tentukan , , dan , selanjutnya gambarkan grafik

fungsi f.

)(lim1

xfx −→

)(lim1

xfx +→

)(lim1

xfx→

Penyelesaian:

)(lim1

xfx −→

= 1lim 2

1=

→x

x

)(lim1

xfx +→

= 12lim1

=−→

xx

Karena = = 1 maka = 1. )(lim1

xfx −→

)(lim1

xfx +→

)(lim1

xfx→

Fungsi dan Limit Fungsi 31

Page 39: Calculus 2010

Contoh 15

g(x) = Tentukan , , dan , ⎪⎩

⎪⎨

<

≥−

1,

1,3

2 x

x

x

x)(lim

1xg

x −→)(lim

1xg

x +→)(lim

1xg

x→

selanjutnya gambarkan grafik fungsi g Tentukan , , dan , selanjutnya gambarkan grafik

fungsi f.

)(lim1

xgx −→

)(lim1

xgx +→

)(lim1

xgx→

Penyelesaian:

)(lim1

xgx −→

= 1lim 2

1=

→x

x

)(lim1

xgx +→

= 23lim1

=−→

xx

Fungsi dan Limit Fungsi 32

)Karena ≠ maka tidak ada. )(lim1

xgx −→

(lim1

xgx +→

)(lim1

xgx→

2.6 Limit Tak Hingga Contoh 16

Carilah 20

1limxx→

jika ada.

Penyelesaian:

x 2

1x

± 1 1 ± 0,5 4 ± 0,2 25 ± 0,1 100 ± 0,05 400 ± 0,01 10.000 ± 0,001 1.000.000 Untuk menunjukkan jenis perilaku seperti uang ditunjukkan dalam contoh ini kita gunakan notasi

Semakin x mendekati 0, x2 juga semakin dekat

dengan 0, dan nilai 2

1x

menjadi sangat besar

(lihat tabel di samping). Nampak dari grafik

fungsi f(x) = 2

1x

yang diperlihatkan pada

gambar 2.4 bahwa nilai f(x) dapat dibuat sangat besar dengan mengambil x cukup dekat ke 0. dengan demikian nilai f(x) tidak mendekati suatu

bilangan , sehingga 20

1limxx→

tidak ada.

Page 40: Calculus 2010

20

1limxx→

= ∞

Hal ini tidak berarti bahwa kita menganggap ∞ sebagai suatu bilangan. Tidak juga bermakna bahwa limit tersebut ada. Notasi tersebut hanyalah menyatakan cara khusus untuk menunjukkan bahwa limit tersebut tidak ada. Secara umum kita tuliskan

)(lim xfcx→

= ∞

untuk menunjukkan nilai f(x) menjadi semakin besar ketika x semakin mendekati c. Limit jenis serupa, untuk fungsi yang menjadi negatif tak berhingga ketika x mendekati c dituliskan dengan

)(lim xfcx→

= – ∞

Contoh 17

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

→ 20

1limxx

= – ∞

Hal ini juga dapat diberlakukan untuk limit kiri dan limit kanan

)(lim xfcx −→

= ∞ = ∞ )(lim xfcx +→

)(lim xfcx −→

= – ∞ = – ∞ )(lim xfcx +→

Sebuah garis x = c disebut asimtot tegak kurfa y = f(x) jika paling sedikit salah satu dari pernyataan berikut benar:

)(lim xfcx→

= ∞ = ∞ = ∞ )(lim xfcx −→

)(lim xfcx +→

)(lim xfcx→

= – ∞ = – ∞ = – ∞ )(lim xfcx −→

)(lim xfcx +→

Sebagai contoh, sumbu Y atau x = 0 merupakan asimtot tegak kurva y = 2

1x

karena

20

1limxx→

= ∞.

Fungsi dan Limit Fungsi 33

Page 41: Calculus 2010

Contoh 18 Hitunglah

( )x

xtanlim

2−

→ π dan

( )x

xtanlim

2+

→ π

Penyelesaian:

( )x

xtanlim

2−

→ π =

( ) xx

x cossinlim

2−

→ π =

( )

( )x

x

x

x

coslim

sinlim

2

2

π

π

= ∞

( )x

xtanlim

2+

→ π =

( ) xx

x cossinlim

2+

→ π =

( )

( )x

x

x

x

coslim

sinlim

2

2

+

+

π

π

= – ∞

2.7 Kekontinuan Fungsi

Definisi Misalkan f : A → R suatu fungsi, maka a. Fungsi f dikatakan kontinu di c ∈ A jika )()(lim cfxf

cx=

b. Fungsi f dikatakan kontinu pada himpunan A jika f kontinu disetiap anggota A.

Definisi a mengandung arti bahwa f dikatakan kontinu di c ∈ A jika dipenuhi ketiga syarat berikut:

1) ada )(lim xfcx→

2) Nilai f(c) ada 3) )()(lim cfxf

cx=

Fungsi dan Limit Fungsi 34

Page 42: Calculus 2010

Contoh 19

1. f(x) =

⎪⎪

⎪⎪

=

≠−−

2,

2,

1

242

x

xxx

Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian:

1) = )(lim2

xfx→ 2

4lim2

2 −−

→ xx

x =

2)2)(2(lim

2 −+−

→ xxx

x = )2(lim

2+

→x

x = 4 (ada)

2) f(2) = 1 (ada)

3) Karena ≠ f(2) maka f )(lim2

xfx→

tidak kontinu di x = 2.

Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca.

2. f(x) = 242

−−

xx

Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f. Penyelesaian:

1) = )(lim2

xfx→ 2

4lim2

2 −−

→ xx

x =

2)2)(2(lim

2 −+−

→ xxx

x = )2(lim

2+

→x

x = 4 (ada)

2) f(2) tidak ada

3) Karena f(2) tidak ada, maka f tidak kontinu di x = 2.

Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada pembaca.

3. f(x) =

⎪⎪

⎪⎪

=

≠−−

2,

2,

4

242

x

xxx

Apakah f kontinu di x = 2? Gambarkan grafik fungsi f.

Fungsi dan Limit Fungsi 35

Page 43: Calculus 2010

Penyelesaian:

1) = )(lim2

xfx→ 2

4lim2

2 −−

→ xx

x =

2)2)(2(lim

2 −+−

→ xxx

x = )2(lim

2+

→x

x = 4 (ada)

2) f(2) = 4 (ada)

3) Karena = f(2) maka f kontinu di x = 2. )(lim2

xfx→

Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa.

4. f(x) = ⎪⎩

⎪⎨

<

≥−

1,

1,2

2 x

x

x

x

Apakah f kontinu di x = 1? Gambarkan grafik fungsi f.

Penyelesaian:

1) = )(lim1

xfx −→

1lim 2

1=

→x

x

)(lim1

xfx +→

= 12lim1

=−→

xx

Karena = = 1 maka = 1 (ada) )(lim1

xfx −→

)(lim1

xfx +→

)(lim1

xfx→

Lihat kembali contoh 14.

2) f(1) = 2 – 1 = 1 (ada) 3) Karena = f(1), maka f kontinu di x = 1. )(lim

1xf

x→

Gambarkan grafik fungsi f diserahkan kepada mahasiswa.

5. g(x) = ⎪⎩

⎪⎨

<

≥−

1,

1,3

2 x

x

x

x

Apakah g kontinu di x = 1? Gambarkan grafik fungsi g.

Penyelesaian:

1) = )(lim1

xgx −→

1lim 2

1=

→x

x

= )(lim1

xgx +→

23lim1

=−→

xx

Fungsi dan Limit Fungsi 36

Page 44: Calculus 2010

Fungsi dan Limit Fungsi 37

) Karena ≠ maka tidak ada. )(lim1

xgx −→

(lim1

xgx +→

)(lim1

xgx→

(lihat kembali contoh 15) Karena tidak ada, maka g )(lim

1xg

x→tidak kontinu di x = 1

Teorema 2.7.1

1. Fungsi polinom (fungsi suku banyak) kontinu pada R. 2. Jika fungsi-fungsi f dan g keduanya kontinu di c dan k sembarang konstanta

maka fungsi f + g, f – g, kf , f /g (asal )(lim xgcx→

≠ 0) juga kontinu di c.

3. Jika g fungsi yang kontinu di c dan f fungsi kontinu di g(c) maka f o g kontinu di c.

SOAL 2

1. Tentukan limit (sepihak) berikut:

a. xx

x −→0lim

b. xx

x +→0lim

c. ,

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

>−

≤≤

<

=

1,2

10,

0,

)( 2

xx

xx

xx

xf

)(lim0

xfx −→

, , , dan )(lim0

xfx +→

)(lim1

xfx −→

)(lim1

xfx +→

2. Apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di 2?

a. h(t) =

⎪⎪

⎪⎪

=

≠−−

2,

2,

12

283

t

ttt

Page 45: Calculus 2010

b. h(t) =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

≠−−

2,

2,

2

284

t

ttt

c. g(x) = ⎪⎩

⎪⎨

<

+

+

2,

2,

1

3

2 x

x

x

x

d. f(x) = ⎪⎩

⎪⎨

>

+−

2,

2,

2

43

x

xx

3. f(x) =

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

>−

≤≤

<

1,2

10,

0,

2

xx

xx

xx

a. Apakah f kontinu di 0? b. Apakah f kontinu di 1?

4.

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

>

≤≤−

<

=

1,

10,

0,

)(

2

xx

xx

xx

xg

a. Apakah g kontinu di 0? b. Apakah g kontinu di 1?

Fungsi dan Limit Fungsi 38

Page 46: Calculus 2010

TURUNAN FUNGSI

3

3.1 Pengertian Turunan Fungsi

Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi f ’ yang nilainya di c adalah

f ’ (c) = h

cfhcfh

)()(lim0

−+→

asalkan limit ini ada.

Contoh 1 Jika f(x) = 3x2 + 2x +4, maka turunan f di x = 2 adalah

f ’ (2) = h

fhfh

)2()2(lim0

−+→

= h

hhh

)42.22.3(4)2(2)2(3lim22

0

++−++++→

= h

hhhh

)4412(424)44(3lim2

0

++−+++++→

= h

hhhh

2312lim2

0

++→

= h

hhh

)2312(lim0

++→

= )2312(lim0

++→

hh

= 14 Jika f mempunyai turunan di setiap x anggota domain maka

f ’ (x) = h

xfhxfh

)()(lim0

−+→

Jika y = f(x) turunan y atau turunan f dinotasikan dengan y ’, atau dxdy , atau f ’ (x), atau

dxxdf )(

Turunan Fungsi 38

Page 47: Calculus 2010

Contoh 2 Jika f(x) = 3x2 + 2x +4, maka turunan f di sembarang x adalah

f ’ (x) = h

xfhxfh

)()(lim0

−+→

= h

xxhxhxh

)423(4)(2)(3lim22

0

++−++++→

= h

xxhxhxhxh

)423(422)2(3lim222

0

++−+++++→

= h

hhxhh

236lim2

0

++→

= h

hxhh

)236(lim0

++→

= )236(lim0

++→

hxh

= 6x + 2

3.2 Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat 1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (f fungsi konstan), maka f ’(x) = 0.

Bukti: f ’(x) = h

xfhxfh

)()(lim0

−+→

= h

kkh

−→0

lim

= 0

2. Jika f(x) = x untuk setiap x (f fungsi identitas), maka f ’(x) = 1.

Bukti: f ’(x) = h

xfhxfh

)()(lim0

−+→

= h

xhxh

−+→

)(lim0

= hh

h 0lim→

= 1.

3. Jika f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nxn–1.

Bukti: f ’(x) = h

xfhxfh

)()(lim0

−+→

= h

xhx nn

h

−+→

)(lim0

Turunan Fungsi 39

Page 48: Calculus 2010

= h

xhnxhhxnnhnxx nnnnnn

h

−+++−

++ −−−

1221

0

...2

)1(

lim

= h

hnxhhxnnnxh nnnn

h

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

−+ −−−−

1221

0

...2

)1(

lim

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

−+ −−−−

1221

0...

2)1(lim nnnn

hhnxhhxnnnx

= 1

0lim −

n

hnx

= 1−nnx

Contoh 3 Jika f(x) = x5, maka turunan f adalah f ’(x) = 5x4

3.3 Sifat-sifat Turunan Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi-fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku:

1. Jika y = ku maka y ’ = k(u’ )

2. Jika y = u + v maka y ’ = u ’ + v ’

3. Jika y = u – v maka y ’ = u ’ – v ’

4. Jika y = u v maka y ’ = u ’ v + u v ’

5. Jika y = vu maka y ’ = 2

''v

uvvu −

Contoh 4

1. Jika f(x) = 3x5, maka f ’(x) = 3.5x4 = 15x4

2. Jika f(x) = 3x5 + 2x, maka f ’(x) = 15x4 + 2

3. Jika f(x) = 3x5 – 2x, maka f ’(x) = 15x4 – 2

4. Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), maka f ’(x) = (15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4

5. Jika f(x) = 7423 5

++

xxx , maka f ’(x) = 2

54

)74(4)23()74)(215(

++−++

xxxxx

Turunan Fungsi 40

Page 49: Calculus 2010

6. Jika f(x) = x p dengan p bilangan bulat negatif maka f(x) = x –n dengan – n = p,

sehingga f(x) = nx1 . Dengan menggunakan turunan y =

vu diperoleh

f ’(x) = 2

1

)(.1.0

n

nn

xnxx −−

= n

n

xnx

2

1−−

= nn xnx 21 −−−

= 1−−− nnx

= 1−ppx

3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi)

Untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 dengan cara mengalikan bersama kesembilan faktor (3x4 + 7x – 8) kemudian mencari turunan polinom berderajat 36 tentulah sangat melelahkan. Cara yang mudah untuk menentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9 adalah dengan menggunakan aturan rantai.

dxdu

dudy

dxdy

=

Aturan Rantai Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposisi yang dirumuskan dengan y = f(g(x)) = (f o g)(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x) maka y = (f o g)(x) terdiferensialkan di x dan

y ’ = (f o g) ’ (x) = f ’(g(x)) g’(x)

atau

Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya.

Jika y = f(u) u = g(v) v = h(x)

yakni y = (f o g o h)(x)

maka dxdv

dvdu

dudy

dxdy

=

Turunan Fungsi 41

Page 50: Calculus 2010

Contoh 5 Tentukan turunan y = (3x4 + 7x – 8)9

Penyelesaian:

Misalkan u = 3x4 + 7x – 8 → dxdu =12x3 + 7

y = u9 → dudy = 9u8.

dxdu

dudy

dxdy

= = 9u8(12x3 + 7)

= 9(3x4 + 7x – 8)8(12x3 + 7) 3.5 Turunan Fungsi Invers

Misalkan y = f(x) dan f mempunyai invers f –1 sehingga x = f –1(y). Dengan menggunakan aturan rantai pada x = f –1(y) diperoleh

dxdy

dyydf

dxdx )(1−

=

⇔ 1 = dxdy

dydx

⇔ dydx =

dxdy1

3.6 Turunan Fungsi Implisit

Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(x, y) = 0 dengan y sebagai fungsí dalam x.

Contoh fungsi implisit: 1) y – 2x3 – 8 = 0

2) 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0 Contoh 6

1. Tentukan dxdy dari fungsí yang dirumuskan dengan y – 2x3 – 8 = 0

Penyelesaian: Apabila kedua ruas y – 2x3 – 8 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:

Turunan Fungsi 42

Page 51: Calculus 2010

dxdy – 6x2 = 0 ⇔

dxdy = 6x2

2. Tentukan dxdy dari fungsí yang dirumuskan dengan 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0

Penyelesaian: Apabila kedua ruas 2x3y – 7y – x2 + 1 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:

6x2y + 2x3

dxdy – 7

dxdy – 2x = 0

⇔ dxdy (2x3 – 7) = 2x – 6x2y

⇔ dxdy =

7262

3

2

−−x

yxx

3.7 Turunan Tingkat Tinggi Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ’ juga berupa fungsi sehingga boleh jadi f ’ mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh (f ’)’ = f ’’. Fungsi yang f ’’ baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f . Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y = f(x) sebagai

2

2

dxyd

dxdy

dxd

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Notasi lain adalah f ’’(x) = D2f(x) Contoh 7 Jika f(x) = 3x4 + 7x – 8, tentukan f ’’(x).

Penyelesaian:

f ’(x) = 12x3 + 7 untuk mencari f ’’(x) kita turunkan f ’(x):

f ’’(x) = )712( 3 +xdxd

= 36x2

Contoh 8

Jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), tentukan f ’’(x).

Turunan Fungsi 43

Page 52: Calculus 2010

Penyelesaian:

f ’(x) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + )23( 5 xx

dxd (4x + 7) + (3x5 + 2x) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + )74( x

dxd

= (15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4

f ’’(x) = dxd [(15x4 + 2) (4x + 7) + (3x5 + 2x)4]

= dxd [(15x4 + 2) (4x + 7)] +

dxd [(3x5 + 2x)4]

= +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + )74()215()74()215( 44 x

dxdxxx

dxd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 4)23(4)23( 55

dxdxxxx

dxd

= 60x3(4x + 7) + (15x4 + 2) 4 + (15x4 + 2) 4 + (3x5 + 2x).0 = 60x3(4x + 7) + (15x4 + 2) 4 + (15x4 + 2) 4

3.8 Turunan Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎩⎨⎧

HiperbolikFungsialEksponensiFungsi

LogaritmaFungsiSiklometriFungsi

riTrigonometFungsi

TransendenFungsi

IrrasionalFungsiRasionalFungsi

AljabarFungsi

Fungsi

3.8.1 Turunan Fungsi Rasional

Contoh-contoh tentang turunan yang diuraikan sebelumnya (contoh 3) adalah contoh-contoh turunan fungsi rasional. Jadi turunan fungsi rasional ini tidak perlu dibahas kembali.

3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional Fungsi Irrasional adalah akar dari fungsi-fungsi rasional

Turunan Fungsi 44

Page 53: Calculus 2010

Contoh 9

Tentukan turunan y = n x dengan n bilangan bulat positif

Penyelesaian: y = n x ⇔ x = y n sehingga dydx = ny n–1

dxdy =

dydx1 = 1

1−nny

= nyn

−11 = ( ) nn xn

−11 = ( ) nnx

n

−111 = 111 −nxn

Contoh 10

Tentukan turunan y = xx 43 +

Penyelesaian: y = xx 43 + = ( )21

43 xx +

Dengan aturan rantai diperoleh: y ’ = ( ) ( )43421 23 2

1

++− xxx

= xx

x

42

433

2

+

+

3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri

Akan dicari turunan fungsi kosinus sebagai berikut. Ingat: cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b.

Jika f(x) = cos x, maka

f ’(x) = h

xfhxfh

)()(lim0

−+→

= h

xhxh

cos)cos(lim0

−+→

= h

xhxhxh

cossinsincoscoslim0

−−→

= h

hxhxh

sinsin)1(coscoslim0

−−→

= h

hxh

)1(coscoslim0

−→

– h

hxh

sinsinlim0→

= xh

coslim0→ h

hh

)1(coslim0

−→

– xh

sinlim0→ h

hh

sinlim0→

= cos x . 0 – sin x . 1 = – sin x

Turunan Fungsi 45

Page 54: Calculus 2010

jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin x Jadi, Analog:

jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = cos x

jika f(x) = tg x, maka f ’(x) = sec2 x

jika f(x) = ctg x, maka f ’(x) = – cosec2 x

jika f(x) = sec x, maka f ’(x) = sec x tg x

jika f(x) = cosec x, maka f ’(x) = – cosec x ctg x

3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri

Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri. Akan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut. y = arc sin x → x = sin y → 1

x y

21 x−

dydx = cos y

dxdy =

ycos1 cos y = 21 x−

= 21

1

x−

jika y = arc sin x, maka y ’ = 21

1x−

Jadi,

Turunan Fungsi 46

Page 55: Calculus 2010

Analog:

jika y = arc cos x, maka y ’ = – 21

1x−

jika y = arc tg x, maka y ’ = 211x+

jika y = arc ctg x, maka y ’ = – 211x+

jika y = arc sec x, maka y ’ = 1

12 −xx

jika y = arc cosec x, maka y ’ = – 1

12 −xx

3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma Akan dicari turunan f(x) = ln x berikut.

f ’(x) = h

xfhxfh

)()(lim0

−+→

= h

xhxh

ln)ln(lim0

−+→

= hx

hx

h

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

lnlim

0

= h

xh

h

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1lnlim

0

= x

xh

xh

h.

1lnlim

0

⎝→

⎟⎠⎞

⎜⎛ +

= x

xh

hx

h

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1lnlim

0

Turunan Fungsi 47

Page 56: Calculus 2010

= x

xh h

x

h

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1lnlim

0

= x

xh

h

hx

h

0

0

lim

1lnlim

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Mengingat (1) = ln dan (2) )(lnlim0

xfh→

)(lim0

xfh→

exh h

x

h=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

→1lim

0

Sehingga diperoleh:

f ’(x) = x

xh

h

hx

h

0

0

lim

1lnlim

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= x

xh

h

hx

h

0

0

lim

1limln

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= xeln

= x1

jika f(x) = ln x, maka f ’(x) = x1

Jadi,

Selanjutnya jika y = a log x maka turunannya dapat dicari sebagai berikut.

y = a log x ⇔ y = ax

lnln

= aln

1 ln x

Sehingga y ’ = aln

1x1

= ax ln

1

Turunan Fungsi 48

Page 57: Calculus 2010

jika y = a log x , maka y ’ = ax ln

1 Jadi,

3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial

Akan dicari turunan y = a x sebagai berikut. y = a x ⇔ ln y = ln a x ⇔ ln y = x ln a

⇔ x = ay

lnln

⇔ x = aln

1 ln y

Sehingga dydx =

aln1

y1

Diperoleh dxdy = y ln a.

= a x ln a

jika y = a x , maka y ’ = a x ln a Jadi,

Khususnya untuk a = e, jika y = e x , maka y ’ = e x ln e

= e x

jika y = e x , maka y ’ = e x Jadi,

Turunan Fungsi 49

Page 58: Calculus 2010

3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik

Definisi

sinh x = 2

xx ee −− coth x = xtanh

1 = xx

xx

eeee−

−+

cosh x = 2

xx ee −+ sech x = xcosh

1 = xx ee −+2

tanh x = xx

coshsinh = xx

xx

eeee−

+− csch x =

xsinh1 = xx ee −−

2

Jika f(x) = sinh x, maka dengan menggunakan turunan fungsi eksponensial diperoleh

)(' xf = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − −

2

xx eedxd

= 2

)( xx ee −−−

= 2

xx ee −+

= cosh x.

Jadi, jika f(x) = sinh x, maka f ’(x) = cosh x

3.9 Turunan Fungsi Parameter

Apabila disajikan persamaan berbentuk: x = f(t) y = g(t)

maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut

parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dxdy dengan cara sebagai

berikut. Dari x = f(t) dibentuk t = h(x) dengan h fungsi invers dari f. Nampak bahwa y = g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi

y = g(t) = g(h(x))

Turunan Fungsi 50

Page 59: Calculus 2010

Diperoleh dxdy =

dtdy

dxdt atau

dxdy =

dtdy

dtdx1

dxdy =

dtdxdtdy

sehingga

SOAL

Carilah dxdy untuk yang berikut

1. y = (3x4 + 2x2 + x)(x2 + 7) 5. y = 934

12 +− xx

2. y = (x3 + 3x2)(4x2 + 2) 6. y = 11

+−

xx

3. y = 13

12 +x

7. y = 12

132 2

++−

xxx

4. y = 15

22 −x

Dengan aturan rantai tentukan dxdy untuk yang berikut

8. y = (2 – 9x)15

9. y = (5x2 + 2x – 8)5 15. y = sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

5213

xx

10. y = 92 )934(1

+− xx 16. y = cos ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+−412

xx

11. y = sin (3x2 + 11x) 17. y = arcsin (3x4 – 11x) 12. y = cos (3x4 – 11x) 18. y = arctg (3x4 – 11x)8 13. y = sin3 x 19. y = ln (5x2 + 2x – 8)

14. y = 4

11⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

xx 20. y = e (2 – 9x)

Tentukan turunan fungsí implisit berikut

21. x2 + y2 = 9 26. 4x3 + 11xy2 – 2y3= 0 22. 4x2 + 9y2 = 36 27. xy + 3y = 10x

23. x y = 4 28. xy + sin y = x2 24. xy2 – x + 16 = 0 29. cos (xy) = y2 + 2x 25. x3 – 3x2y+ 19xy = 0 30. 6x – xy2 + xy3 = y2

Turunan Fungsi 51

Page 60: Calculus 2010

Tentukan dxdy untuk fungís parameter berikut

31. y = 2 – 9t 34. x = ln (2t – 9) x = sin t y = (t2 + 7)3 32. y = 2 – 9t2 35. x = e (2t – 9) x = arc sin (t – 1) y = cosec t 33. x = ln (2 – 9t) 36. y = sec (t – 1) y = sin t x = tg (t – 1)

Turunan Fungsi 52

Page 61: Calculus 2010

Integral

INTEGRAL

4

Definisi 4.0.1

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika

F ’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ D.

Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan ∫ dxxf )( dan f (x) dinamakan integran.

Jadi dxd∫ dxxf )( = f (x).

Contoh 1

sin x, sin x + 5, sin x – 7 adalah fungsi-fungsi integral tak tentu dari cos x pada seluruh garis real, sebab derivatif mereka sama dengan cos x untuk semua x. Sifat 4.0.2:

Misalkan f dan g mempunyai anti turunan dan k suatu konstanta, maka

1. ∫ dxxkf )( =

[ =

∫ dxxfk )(

2. ∫ + dxxgxf )]()( ∫∫ + dxxgdxxf )()(

Teorema 4.0.3

Jika F dan G keduanya integral tak tentu dari f pada interval I, maka F(x) dan G(x) berselisih suatu konstanta pada I

Jadi F(x) – G(x) = C dengan C sembarang konstanta. Akibat 4.0.4

Jika F suatu fungsi integral tak tentu dari f , maka

∫ dxxf )( = F(x) + C.

dengan C konstanta sembarang.

Thobirin, Kalkulus Integral 53

Page 62: Calculus 2010

Integral

4.1 Rumus Dasar

1. ∫ = dxxn 1

11 +

+nx

n + C , n ≠ –1 11. dx

x∫ + 211 = arc tan x + C

2. ∫ dxx1 = ln x + C , x ≠ 0 = – arc cot x + C

3. ∫ = e x + C 12. dxe x dxx∫

− 211 = arc sin x + C

4. ∫ = dxa x xaaln

1 + C , a ≠ 1 = – arc cos x + C

a > 0

5. ∫ = – cos x + C 13. dxxsin dxxx∫ −112

= arc sec x + C

6. ∫ = sin x + C = – arc csc x + C dxxcos

7. ∫ = tan x + C 14. dxx2sec ∫ dxxsinh = cosh x + C

8. ∫ = – cot x + C 15. dxx2csc ∫ dxxcosh = sinh x + C

9. ∫ = sec x + C dxxx tansec

10. ∫ = – csc x + C dxxx cotcsc

SOAL Tentukan: 1. ∫ − dxx 2)2(

2. dxx

xx∫

++3

2 12

3. dxx

x∫

+1

4. ∫ − dxxx )(sin

5. ∫ dxx2

Thobirin, Kalkulus Integral 54

Page 63: Calculus 2010

Integral

4.2 Integral dengan Substitusi

Masalah: Tentukan ∫ + dxx 2006)52(

Untuk menyelesaikan permasalahan seperti ini dapat digunakan aturan seperti pada teorema berikut. Teorema 4.2.1

Jika u = g(x) yang didefinisikan pada interval I mempunyai invers x = g –1(u) dan fungsi-fungsi g dan g –1 keduanya mempunyai derivatif yang kontinu pada intervalnya masing-masing, dan f kontinu pada interval di mana g –1 didefinisikan, maka

∫ dxxgxgf )(')}({ = ∫ duuf )(

Contoh 2

Tentukan ∫ + dxx 2006)52(

Penyelesaian:

Substitusikan u = 2x + 5 → 2=dxdu

du = 2 dx

maka = ∫ + dxx 2006)52( ∫ + dxx 2)52(21 2006

= ∫ duu 2006

21

= 2007

20071

21 u + C

= 2007)52(4014

1+x + C

Contoh 3

Tentukan ∫ + dxxx 20062 )53(

Penyelesaian:

Substitusikan u = 3x2 + 5 → dxdu = 6x

du = 6x dx

Thobirin, Kalkulus Integral 55

Page 64: Calculus 2010

Integral

maka = ∫ + dxxx 20062 )53( ∫ + dxxx 6)53(61 20062

= ∫ duu 2006

61

= 2007

20071

61 u + C

= 20072 )53(12042

1+x + C

Contoh 4

Tentukan ∫ dxx21cos

Penyelesaian:

Substitusikan u = x21 →

21

=dxdu ⇔ du =

21 dx

maka ∫ dxx21

21cos2 = ∫ duucos2

= 2 sin u + C

= 2 sin x21 + C

SOAL Tentukan:

1. ∫ 6. − dxx 9)2(3 ∫−

dxx 24

1

2. ∫ 7. + dxxx 92 )25( ∫ ++ 2)1(4 xdx

3. ∫ +dx

x 4)3(8 8. ∫ − dxxx 12 2

4. ∫ dxxx ln

1 9. ∫ dxxe x cossin

5. ∫ dxx

x)sin(ln 10. ∫ dxe x4

Thobirin, Kalkulus Integral 56

Page 65: Calculus 2010

Integral

4.3 Integral Parsial

Masalah: Tentukan ∫ dxex x

Misalkan: u = f(x) → )(' xfdxdu

= → dxxfdu )('= → dxudu '=

v = g(x) → )(' xgdxdv

= → dxxgdv )('= → dxvdv '=

uv = f(x) g(x) → )(')()()(')( xgxfxgxfdxuvd

+=

dxxgxfdxxgxfuvd )(')()()(')( +=

= )(uvd dxuvdxvu '' +

= )(uvd dvuduv +

Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh

uv = ∫∫ + dvuduv

∫ dvu = uv – ∫ duv ⇔

Contoh 5

Tentukan ∫ dxex x

Penyelesaian: Misalkan u = x → du = dx

→ dxedv x= xx edxev == ∫

sehingga = ∫ dxex x ∫− dxeex xx

= ∫− dxeex xx

= Ceex xx +−

Contoh 6

Tentukan ∫ dxex x2

Penyelesaian:

Misalkan → du = 2x dx 2xu =

→ dxedv x= xx edxev == ∫

Thobirin, Kalkulus Integral 57

Page 66: Calculus 2010

Integral

sehingga = ∫ dxex x2 ∫− xdxeex xx 22

= ∫− dxxeex xx 22

= Ceexex xxx +−− )(22

= Ceexex xxx ++− 22

Contoh 7

Tentukan 5. ∫ dxxx cos

Penyelesaian: Misalkan u = x → du = dx

→ dxxdv cos= xdxxv sincos == ∫

sehingga = ∫ dxxx cos ∫− dxxxx sinsin

= Cxxx ++ cossin

Contoh 8

Tentukan ∫ dxxe x cos

Penyelesaian:

Misalkan → xeu = dxedu x=

→ dxxdv cos= xdxxv sincos == ∫

sehingga = ∫ dxxe x cos ∫− dxexxe xx sinsin

= ∫− dxxexe xx sinsin

misal → xeu = dxedu x=

dxxdv sin= → ∫= dxxv sin

xcos−=

= { }∫ −−−− dxexxexe xxx cos)cos(sin

= ∫−+ dxexxexe xxx coscossin

Diperoleh ∫ = dxxe x cos ∫−+ dxexxexe xxx coscossin

2 ∫ = dxxe x cos xexe xx cossin +

∫ = dxxe x cos xexe xx cos21sin

21

+ + C

Thobirin, Kalkulus Integral 58

Page 67: Calculus 2010

Integral

SOAL Tentukan: 1. ∫ 6. dxxx sin ∫ dxxe x sin

2. ∫ 7. dxxx 2sin ∫ dxxarcsin

3. ∫ 8. dxxln ∫ dxarctan

4. ∫ 9. − dxex x ∫ dxxx 2ln

5. ∫ 10. − dxex x2 ∫ dxx

xlnln

4.4 Integral yang Menghasilkan Arcus Tangen dan Logaritma

Ingat: dxx∫ + 21

1 = arc tan x + C

Berdasarkan rumus di atas dapat dibuktikan bahwa untuk konstanta a ≠ 0, maka berlaku:

dxxa∫ + 22

1 = a1 arc tan

ax + C (4.4.1)

Perhatikan penyebut dalam integran.

Selanjutnya akan dicari dxcbxx∫ ++ 2

12

Jika f(x) = x2 + 2bx + c dengan D = 4b2 – 4c < 0, maka f(x) definit positif dan selalu dapat dibawa ke bentuk

f(x) = (x + b)2 + p2 dengan p2 = c – b2 > 0

sehingga dxcbxx∫ ++ 2

12 = dx

pbx∫ ++ 22)(1 dan dengan menggunakan (4.4.1)

dapat diperoleh

dxcbxx∫ ++ 2

12 =

pbx

p+arctan1 + C (4.4.2)

dengan p = 2bc −

Thobirin, Kalkulus Integral 59

Page 68: Calculus 2010

Integral

Contoh 9

Tentukan ∫ +dx

x 231

Penyelesaian:

Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh ∫ +dx

x 231 =

31 arc tan

3x + C

Contoh 10

Tentukan ∫ +dx

x 91

2

Penyelesaian:

Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh ∫ +dx

x 231 = =

31 arc tan

3x + C

Contoh 11

Tentukan ∫ ++dx

xx 521

2

Penyelesaian: b = 1 c = 5

p = 2415 2 ==−

Dengan rumus (4.4.2) diperoleh ∫ ++dx

xx 521

2 = 21 arc tan

21+x + C

Atau secara langsung dengan cara berikut:

∫ ++dx

xx 521

2 = ∫ ++dx

x 4)1(1

2 = 21 arc tan

21+x + C

Selanjutnya ingat: ∫ dxx1 = ln x + C

Dengan rumus ini dapat ditunjukkan bahwa

∫ dxxgxg)()(' = ln )(xg + C (4.4.3)

Thobirin, Kalkulus Integral 60

Page 69: Calculus 2010

Integral

Contoh 11

Tentukan ∫ +++ dxxx

x42

222

Penyelesaian:

Dengan rumus (4.4.3) diperoleh ∫ +++ dxxx

x42

222 = 42ln 2 ++ xx + C

Contoh 12

Tentukan ∫ +++ dxxx

x136

52

Penyelesaian:

∫ +++ dxxx

x136

52 = ∫ ++

++dx

xxx

1362)62(

221

= ∫ +++

dxxx

x136)62(

221

+ ∫ ++dx

xx 1362

2

= 136ln21 2 ++ xx + ∫ ++

dxx 4)3(

12 2

= 136ln21 2 ++ xx +

21.2 arc tan

23+x + C

= 136ln21 2 ++ xx + arc tan

23+x + C

SOAL

Tentukan:

1. ∫ +++ dx

xxx

13105

2 5. ∫ +++ dxxx

x74

232

2. ∫ −++ dx

xxx

1155

3

2

6. ∫ +++ dxxx

x136

152

3. ∫∫ = dxxxdxx

cossintan 7. ∫ +−

+ dxxx

x136

142

4. ∫ ++dx

xx 745

2 8. ∫ +−− dxxx

x74

232

Thobirin, Kalkulus Integral 61

Page 70: Calculus 2010

Integral

4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional Pn(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn dengan an ≠ 0 dinamakan polinomial (fungsí

suku banyak) berderajat n. Fungsi konstan Po(x) = ao dapat dipandang sebagai polinomial berderajat nol.

Fungsi pecah rasional adalah fungsi berbentuk )()(

xDxN dengan N(x) dan D(x) polinomial-

polinomial. Uraian mengenai integral fungsi pecah rasional dapat diperinci untuk beberapa kasus sebagai berikut.

4.5.1 Keadaan N(x) = D’(x)

Jika N(x) = D’(x) maka berdasarkan rumus (4.4.3) diperoleh:

∫ dxxDxN)()( = ln )(xD + C

dan ini sudah dibahas pada bagian 4.4 sehingga tidak perlu diulang. 4.5.2 Keadaan derajat N(x) ≥ derajat D(x)

Lakukan pembagian N(x) oleh D(x) sehingga diperoleh bentuk

)()()(

)()(

xDxRxQ

xDxN

+= dengan derajat R(x) < derajat D(x)

Q(x) adalah polinom, sehingga integralnya sangat mudah.

Contoh 13

1. ∫ +dx

xx

12

3

= ∫ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+− dx

xxx

12 = ...

2. ∫ +++−− dx

xxxxx

136604819

2

24

= ∫ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++

++− dxxx

xxx136

8646 22 = ...

Kepada pembaca dipersilakan untuk melanjutkan penyelesaian kedua contoh dalam contoh 13 di atas. Dengan demikian yang perlu dipelajari lebih lanjut adalah keadaan dimana

derajat N(x) < derajat D(x) dan N(x) ≠ D’(x)

Thobirin, Kalkulus Integral 62

Page 71: Calculus 2010

Integral

4.5.3 Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x)

Pada pembahasan ini N(x) ≠ D’(x). Tanpa mengurangi umumnya pembicaraan, diambil koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu. Untuk

menghitung ∫ dxxDxN)()( , terlebih dahulu integran dipisah menjadi pecahan-

pecahan parsialnya. Contoh 14

6466

23

2

−+++

xxxx dapat dipecah menjadi pecahan-pecahan parsial berikut

315

210

11

6466

23

2

++

+−

−=

−+++

xxxxxxx

Jadi

∫ −+++ dx

xxxx

6466

23

2

= ∫∫∫ ++

+−

−dx

xdx

xdx

x 315

210

11

= ∫∫∫ ++

+−

−dx

xdx

xdx

x 3115

2110

11

= Cxxx ++++−− 3ln152ln101ln

Karena sebelum melakukan pengintegralan terlebih dahulu diadakan pemisahan

)()(

xDxN menjadi pecahan-pecahan parsialnya, maka sebelumnya perlu dipelajari

cara memisah )()(

xDxN menjadi pecahan-pecahan parsialnya tersebut.

Memisah Pecahan Menjadi Pecahan Parsial

Dalam pembicaraan ini tetap diasumsikan: 1) derajat N(x) < derajat D(x) 2) koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu 3) N(x) dan D(x) tidak lagi mempunyai faktor persekutuan

Thobirin, Kalkulus Integral 63

Page 72: Calculus 2010

Integral

Menurut keadaan faktor-faktor D(x), dalam memisahkan )()(

xDxN menjadi pecahan-

pecahan parsialnya dapat dibedakan menjadi 4 keadaan, yaitu: a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang) c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama.

a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x – a, x – b, x – c, dan x – d, maka D(x) = (x – a) (x – b) (x – c) (x – d).

Dibentuk )()(

xDxN =

dxD

cxC

bxB

axA

−+

−+

−+

− (1)

sebagai suatu identitas dalam x, sehingga untuk setiap nilai x yang diberikan maka nilai ruas kiri dan nilai ruas kanan dalam (1) sama. Konstanta A, B, C, dan D adalah konstanta-konstanta yang masih akan dicari nilainya.

Contoh 15

Pisahkan 64

6623

2

−+++

xxxx atas pecahan-pecahan parsialnya.

Penyelesaian:

64 23 −++ xxx = 0 ⇔ (x – 1) (x + 2) (x + 3) = 0

Dibentuk

32164

6623

2

++

++

−=

−+++

xC

xB

xA

xxxx (2)

⇔ )3)(2)(1(

)2)(1()3)(1()3)(2(64

6623

2

++−+−++−+++

=−++

+xxx

xxCxxBxxAxxx

x

⇔ )2)(1()3)(1()3)(2(66 2 +−++−+++=+ xxCxxBxxAx

untuk x = 1 → )4)(3(12 A= ⇔ A = 1

untuk x = – 2 → 30 = B(–3)(1) ⇔ B = –10 untuk x = – 3 → 60 = C(–4)(–1) ⇔ C = 15

Jika nilai A, B, dan C ini disubstitusikan ke dalam (2) maka diperoleh

315

210

11

6466

23

2

++

+−

−=

−+++

xxxxxxx

Thobirin, Kalkulus Integral 64

Page 73: Calculus 2010

Integral

sehingga

∫ −+++ dx

xxxx

6466

23

2

= ∫∫∫ ++

+−

−dx

xdx

xdx

x 315

210

11

= Cxxx ++++−− 3ln152ln101ln

Pada bagian ini dijumpai bentuk ∫ −dx

ax1

b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang)

Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x – a, x – b, x – c, x – c, x – d, x – d, dan x – d, maka D(x) = (x – a) (x – b) (x – c)2 (x – d)3. Selanjutnya dibentuk

)()(

xDxN = 322 )()()( dx

Gdx

Fdx

Ecx

Dcx

Cbx

Bax

A−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

(3)

Perhatikan suku-suku pecahan di ruas kanan terutama yang sesuai dengan akar sama c dan d.

Contoh 16

Pisahkan 3)1)(2( +− xxx atas pecahan-pecahan parsialnya.

Penyelesaian:

Dibentuk

323 )1()1(12)1)(2( ++

++

++

−=

+− xD

xC

xB

xA

xxx (4)

)2()1)(2()1)(2()1( 23 −++−++−++= xDxxCxxBxAx

untuk x = –1 ⎯→ –1 = –3D untuk x = 2 ⎯→ 2 = 27A untuk x = 0 ⎯→ 0 = A – 2B – 2C – 2D untuk x = 1 ⎯→ 1 = 8A – 4B – 2C – D Dari keempat persamaan tersebut diperoleh:

272

=A , 272

−=B , 276

−=C , 31

=D

Jadi 323 )1(31

)1(276

1272

2272

)1)(2( ++

+

−+

+

−+

−=

+− xxxxxxx

Thobirin, Kalkulus Integral 65

Page 74: Calculus 2010

Integral

Selanjutnya dapat dicari integral ∫ +−dx

xxx

3)1)(2(

∫ +−dx

xxx

3)1)(2( = ∫∫∫∫ +

++−

++

−+

−dx

xdx

xdx

xdx

x 331

2276

272

272

)1()1(12

= ...

Pada bagian ini dijumpai bentuk ∫ −dx

ax1 dan ∫ −

dxax n)(

1 n = 2, 3, ...

c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan

Ingat teorema dalam aljabar berikut. Teorema: Akar-akar tidak real persamaan derajat tinggi dengan koefisien real

sepasang-sepasang bersekawan, artinya jika a + bi suatu akar maka a – bi juga akar persamaan itu

Berdasarkan teorema tersebut maka apabila a + bi akar persamaan D(x) = 0 maka demikian juga a – bi, sehingga salah satu faktor D(x) adalah {x – (a + bi)}{ x – (a – bi)} = (x – a)2 + b2 yang definit positif. Misal D(x) = (x – p) (x – q) 2 {(x – a)2 + b2}{(x – c)2 + d2} maka perlu dibentuk

)()(

xDxN = 22222 )()()( dcx

GFxbax

EDxqx

Cqx

Bpx

A+−

++

+−+

+−

+−

+−

(5)

Contoh 17

Pisahkan 1

33 −x

x atas pecahan-pecahan parsialnya.

Penyelesaian:

133 −x

x = )1)(1(

32 ++− xxxx

Dibentuk 111

323 ++

++

−=

− xxCBx

xA

xx

)1)(()1(3 2 −++++= xCBxxxAx

untuk x = 1 ⎯→ 3 = 3A untuk x = 0 ⎯→ 0 = A – C untuk x = –1 ⎯→ –3 = A + 2B – 2C Setelah dicari nilai-nilai A, B, dan C diperoleh 1=A , 1−=B , dan , sehingga 1=C

Thobirin, Kalkulus Integral 66

Page 75: Calculus 2010

Integral

11

11

13

23 +++−

+−

=− xx

xxx

x

Jadi ∫∫∫ +++−

+−

=−

dxxx

xdxx

dxx

x1

11

11

323

= ... = ...

Pada bagian ini dijumpai bentuk ∫ −dx

ax1 , ∫ −

dxax n)(

1 n = 2, 3, ... , dan

∫ +−+ dx

baxBAX

22)(

d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama

Berdasarkan teorema dalam bagian c di atas maka apabila a + bi merupakan akar berlipat k dari persamaan D(x) = 0 maka demikian juga a – bi, dan faktor-faktor dari D(x) yang sesuai dengan akar-akar ini adalah {(x – a)2 + b2}k. Misal D(x) = (x – p) (x – q) 2 {(x – a)2 + b2}{(x – c)2 + d2}3 maka perlu dibentuk

)()(

xDxN = 22222222 }){()()()( dcx

JHxdcx

GFxbax

EDxqx

Cqx

Bpx

A+−+

++−

++

+−+

+−

+−

+−

322 }){( dcxLKx+−+

+

Contoh 18

Pisahkan 22

23

)1)(2(1523

+−−+−

xxxxx atas pecahan-pecahan parsialnya.

Penyelesaian:

Dengan cara seperti yang telah diberikan sebelumnya didapatkan

22

23

)1)(2(1523

+−−+−

xxxxx = 222 )1(1

12

1+

−+−

−− x

xxx

x

Thobirin, Kalkulus Integral 67

Page 76: Calculus 2010

Integral

Jadi ∫ +−−+− dx

xxxxx

22

23

)1)(2(1523 = ∫∫∫ +

−+−

−−

dxx

xdxxxdx

x 222 )1(11

21

Pada bagian ini dapat muncul bentuk ∫ +−+ dx

baxBAX

n}){( 22 , n = 2, 3, ... , dan

Dalam mencari ∫ dxxDxN)()( kita dihadapkan kepada empat jenis integral yang

berbentuk:

(1) ∫ −dx

ax1

(2) ∫ −dx

ax n)(1 n = 2, 3, ...

(3) ∫ +−+ dx

baxBAX

22)(

(4) ∫ +−+ dx

baxBAX

n}){( 22 , n = 2, 3, ...

Tiga bentuk yang pertama telah dapat diselesaikan menggunakan teori-teori yang sudah diberikan. Adapun integral bentuk keempat dapat diselesaikan dengan substitusi y = x – a sebagai berikut.

∫ +−+ dx

baxBAX

n}){( 22 = ∫ +++ dy

byBaAAyn}{ 22

= ∫∫ ++

+++ dy

byBaA

bybydA

nn }{}{)(

2 2222

22

Integral untuk suku pertama pada ruas terakhir bukan masalah karena berbentuk

∫ nudu , n = 2, 3, ... Sedangkan integral pada suku keduanya dapat diubah menjadi

∫ ++ dybyBaA

n}{ 22 = ∫

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+nn

by

dyb

BaA22

1

= { }∫+

+− nn t

dtb

BaA212 1

dengan byt =

Untuk menghitung integral { }∫+

ntdt

21dapat digunakan rumus reduksi berikut

Thobirin, Kalkulus Integral 68

Page 77: Calculus 2010

Integral

{ }∫+

ntdt

21 =

{ }∫ −−+−

−+

+− 1212 12232

)1)(22( nn tdt

nn

tnt

Dalam tulisan ini tidak diberikan bukti rumus reduksi tersebut.

Contoh 19

Selesaikan ∫ +++ dxxx

x22 )134(

3 .

Penyelesaian:

∫ +++ dxxx

x22 )134(

3 = ∫ ++++

dxxx

x22

21

)134(1)42(

= ∫∫ +++

+++ dx

xxdx

xxx

222221

)134(1

)134(42

= ∫∫ +++

++++ dx

xxxxxd

2222

2

21

}9)2{(1

)134()134(

= ∫∫ +++

++++ dx

xxxxxd

2222

2

21

}9)2{(1

)134()134(

= [ ]{ }∫

+++

++− dx

xxx 22221

13/)2(9

1134

1

= [ ]{ }∫

+++

++− dx

xxx 22811

221

13/)2(

1134

1

Untuk [ ]{ }∫

++dx

x2281

1

13/)2(

1 substitusikan dxdtxt31,

32

=+

= sehingga

[ ]{ }∫++

dxx

22811

13/)2(

1 = { }∫

+dt

t 22271

11

= { } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−+

+− ∫ dttt

t1

122.232.2

)1)(22.2(271

2

= { } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++ ∫ dt

ttt

11

21

)1(2271

2

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+t

tt arctan

21

)1(2271

Thobirin, Kalkulus Integral 69

Page 78: Calculus 2010

Integral

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

++

+ 32arctan

21

)1(2.32

271

32

xxx

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+++

32arctan

21

)2(262

271 x

xx

= 3

2arctan541

1022

271 +

+++ x

xx

Jadi ∫ +++ dxxx

x22 )134(

3 = [ ]{ }∫

+++

++− dx

xxx 22811

221

13/)2(

1134

1

= 134

122

1

++−

xx +

32arctan

541

1022

271 +

+++ x

xx + C.

LATIHAN

1. ∫ −+dx

xxx

432 4. ∫ +−dx

xxx

)1()1( 222

2. ∫ +−+ dx

xxx

)4()1(3

2 5. ∫ −−+− dx

xxxxx

2

234 2322

3. ∫ +dx

xx

22 )1( 6. ∫ −

++ dxx

xx32

23

)2(14

4.6 Integral Fungsi Trigonometri

4.6.1 Rumus-rumus Sederhana

∫ dxxcos = sin x + C ∫ dxxtan = – ln ⏐cos x⏐+ C

∫ dxxsin = – cos x + C ∫ dxxcot = ln ⏐sin x⏐+ C

∫ dxx2sec = tan x + C ∫ dxxx tansec = sec x + C

∫ dxx2csc = – cot x + C ∫ dxxx cotcsc = – csc x + C

∫ dxxsec = ln ⏐sec x + tan x⏐ + C ∫ dxxcsc = – ln ⏐csc x + cot x⏐ + C

4.6.2 Bentuk ∫ dxxxR cos)(sin dan ∫ dxxxR sin)(cos

Jika R fungsi rasional maka ∫ dxxxR cos)(sin = ∫ )(sin)(sin xdxR

= ∫ dyyR )(

Thobirin, Kalkulus Integral 70

Page 79: Calculus 2010

Integral

∫ dxxxR sin)(cos = – ∫ )(cos)(cos xdxR

= – ∫ dttR )(

Dengan mengingat rumus cos2 x + sin2 x = 1, maka:

∫ dxxxxR cos)cos,(sin 2 = ∫ − dyyyR )1,( 2

∫ dxxxxR sin)sin,(cos 2 = – ∫ − dtttR )1,( 2

Contoh 20

1. ∫ +− dxxxx cos)7sincos2( 2

2. ∫ dxx3sin

4.6.3 Integral dengan memperhatikan rumus-rumus

sin x sin y = )}cos(){cos(21 yxyx +−−

sin x cos y = )}sin(){sin(21 yxyx −++

cos x cos y = )}cos(){cos(21 yxyx −++

sin2 x = }2cos1{21 x−

cos2 x = }2cos1{21 x+

Contoh 21 Carilah

1. ∫ dxxx 2sin3sin

2. ∫ dxxx 2cos3sin

3. ∫ dxxx 2cos3cos

4. ∫ dxx2sin

5. ∫ dxx4sin

4.6.4 Substitusi xy 2

1tan=

Jika R(sin x, cos x) fungsi rasional dalam sin x dan cos x, maka

dapat dibawa menjadi integral fungsi rasional dalam y dengan

menggunakan substitusi

∫ dxxxR )cos,(sin

xy 21tan= .

Thobirin, Kalkulus Integral 71

Page 80: Calculus 2010

Integral

xy 21tan= → x = 2 arc tan y → dy

ydx 21

2+

=

Selanjutnya perhatikan

21 y+

x21

y

1 Memperhatikan gambar di atas dapat dipahami bahwa

x21sin =

21 yy+

dan x21cos =

211

y+

sin x = ).2sin( 2

1 x

= xx 21

21 cossin2 = 2

21 yy+

21

1y+

= 212

yy

+

Jadi sin x = 212

yy

+.

Dengan menggunakan rumus cos x = ).2cos( 21 x diperoleh

cos x = 2

2

11

yy

+−

tan x = 212

yy

cot x = yy

21 2−

Contoh 22

Carilah: 1. ∫ + xdxsin1

2. ∫ + xxdx

cossin

3. ∫ + xdxcos1

4. ∫ dxxcsc

Thobirin, Kalkulus Integral 72

Page 81: Calculus 2010

Integral

4.6.5 Integral R(tan x) Jika integran fungsi rasional dalam tan x saja, maka dapat dijadikan integral fungsi rasional dalam y dengan substitusi y = tan x, sehingga x = arc tan y dan

21 ydydx+

= .

Jadi ∫ ∫ += dy

yyRdxxR 21)()(tan

Contoh 23

Carilah: 1. 2. ∫ dxxtan ∫ + xdxtan1

4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri Jika n bilangan bulat positif, maka:

∫ ∫ −−=+ dyydxx nn )1(sin 212 dengan y = cos x

∫ ∫ −=+ dttdxx nn )1(cos 212 dengan t = sin x

Untuk n bilangan genap positif dapat digunakan rumus:

∫ ∫ −− −

+= dxxn

nn

xxdxx nn

n 21

cos1cossincos

∫ ∫ −− −

+−

= dxxn

nn

xxdxx nn

n 21

sin1sincossin

∫ ∫ −−

+−

= dxxn

xdxx nn

n 21

tan1

tantan

∫ ∫ −−

−−

−= dxx

nxdxx n

nn 2

1

cot1

cotcot

∫ ∫ −−

−−

+−

= dxxnn

nxxdxx n

nn 2

1

sec12

1secsinsec

∫ ∫ −−

−−

+−

−= dxx

nn

nxxdxx n

nn 2

1

csc12

1csccoscsc

Bukti rumus-rumus di atas tidak diberikan dalam tulisan ini.

Thobirin, Kalkulus Integral 73

Page 82: Calculus 2010

Integral

LATIHAN

4.7 Integral Fungsi Irrasional

Dalam tulisan ini dibahas beberapa jenis integral fungsi irrasional. Pada dasarnya integral ini diselesaikan dengan mengubah integral irrasional menjadi integral rasional, baik rasional aljabar maupun trigonometri.

4.7.1 Rumus yang perlu dihafal

1) dxxa∫

− 22

1 = Cax+arcsin

2) dxaxx

a∫

− 22 = arc sec C

ax+

3) dxax∫

+ 22

1 = Caxx +++ 22ln

4) dxax∫

− 22

1 = Caxx +−+ 22ln

5) dxxa∫ − 22 = Caxaxax++− arcsin

22

222

6) dxax∫ + 22 = Caxxaaxx+++++ 22

222 ln

22

7) dxax∫ − 22 = Caxxaaxx+−++− 22

222 ln

22

Dua rumus pertama mudah dibawa ke bentuk rumus integral dasar dengan

substitusi axy = . Sedangkan rumus-rumus yang lain dapat dibuktikan dengan

menggunakan metode yang akan diterangkan pada bagian 4.7.4.

Thobirin, Kalkulus Integral 74

Page 83: Calculus 2010

Integral

4.7.2 Bentuk Irrasional Satu Suku

ntuk irrasional dari satu macam suku, misalnya x, Jika integran hanya memuat be

maka integral dapat dijadikan integral rasional dengan substitusi n xy = dimana n

kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar.

Contoh 24

∫ +dx

xx3

6 xy =1

diambil substitusi , sehingga dan

.7.3 Satu-satunya Bentuk Irrasional

6yx = dyydx 56=

cbxax ++2

Dalam hal ini

4

cbxax ++2 se tubagai satu-sa nya bentuk irrasional di dalam tegran dapat dintegran, maka in ijadikan rasional dengan substitusi

cbxax ++2 = yax + , jika a > 0

atau

cbx cxy +ax 2 ++ = , jika c ≥ 0

Dengan substitusi yang pertama diperoleh bay

cyx−−−

=2

)( 2

dan dx dapat dinyatakan

ke dalam bentuk rasional dalam y kali dy.

Contoh 25

∫+−−

dxxxx 26)3(

1 yxxx +=+− 262

2 diambil substitusi , sehingga

)3(2)2( 2

+−−

=yyx dan dy

yyydx 2

2

)3(26

21

+++

−= . Selanjutnya dapat diselesaikan seperti

integral raasional

.7.4 Substitusi Trigonometri mus trigonometri

+ tan2 x = sec2 x bentuk-bentuk irra rasional fungsi

4Dengan memperhatikan ru

cos2 x + sin2 x = 1 dan 1sional berikut dapat dijadikan bentuk

trigonometri.

Thobirin, Kalkulus Integral 75

Page 84: Calculus 2010

Integral

Thobirin, Kalkulus Integral 76

entuk Substitusi Diferensial B22 xa − x = a sin θ dx = a cosθ dθ 22 ax − x = a sec θ dx = a secθ tanθ dθ 22 xa + x = a tan θ dx = a sec2θ dθ

Contoh 26

= Caxaxax++− arcsin

22

222 dxxa∫ − 221. Buktikan

dxx∫

− 291 2. Gunakan substitusi x = a sin θ untuk menentukan

dxxxx∫ +−− 26)3(

12

3. Carilah

ATIHAN 4.7 L

1. d∫1 x

xx − 22 1

2. dxx

x∫

− 21

dxxxx∫ +−− 14)2(

12

3.

dxxxx∫ +−− 84)2(

12

4.

Page 85: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 77

INTEGRAL TERTENTU

5.1 Pengertian Integral Tertentu Definisi 5.1.1

Partisi P pada interval [a,b] adalah suatu subset berhingga P = {x0, x1, x2, …, xn} dari

[a,b] dengan a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b.

Jika P = {x0, x1, x2, …, xn} partisi pada [a,b] maka Norm P, ditulis P , didefinisikan

sebagai P = max{xi – xi-1⏐1 = 1, 2, 3, …, n}.

a = x0 x1 x2 … xn = b. Contoh 1:

Pada interval [–3, 3], suatu partisi P = {–3, – 211 , – 2

1 , 31 , 2, 3}mempunyai norm:

P = max{– 211 – (–3), – 2

1 – (– 211 ), 3

1 – (– 21 ), 2 – 3

1 , 3 – 2}

= max{ 23 , 1, 6

5 , 35 , 1}

= 35 .

Jika f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], P = {x0, x1, x2, …, xn} suatu partisi pada

[a,b], wi ∈ [xi-1, xi], dan Δxi = xi – xi-1, maka disebut Jumlah Riemann f pada

[a,b].

∑=

Δn

iii xwf

1

)(

w1 w2 w3 w4 wi wn x0 = a x1 x2 x3 x4 xi-1 xi xn-1 b = xn-1

y = f(x)

5

Page 86: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 78

Contoh 2: Fungsi f pada [–3, 3] didefinisikan dengan f(x) = x2 – 1 dan P = {–3, – 2

11 , – 21 , 3

1 , 2, 3} partisi

pada [–3, 3]. Dipilih titik-titik: w1 = –2, w2 = – 21 , w3 = 0, w4 = 2

11 , w5 = 322 .

w1 = –2 ⎯→ f(w1) = 3 Δx1 = 2

3 ⎯→ f(w1).Δx1 = 29

w2 = – 21 ⎯→ f(w2) = – 4

3 Δx2 = 1 ⎯→ f(w2).Δx2 = – 43

w3 = 0 ⎯→ f(w3) = –1 Δx3 = 65 ⎯→ f(w3).Δx3 = – 6

5

w4 = 211 ⎯→ f(w4) = 4

5 Δx4 = 35 ⎯→ f(w4).Δx4 = 12

25

w5 = 322 ⎯→ f(w5) = 9

55 Δx5 = 1 ⎯→ f(w5).Δx5 = 955

Jumlah Riemann fungsi f tersebut pada interval [–3, 3] bersesuaian dengan partisi P di atas

adalah ∑ = =

Δ5

1

)(i

ii xwf9

100 .

Jika P = {–3, – 2

11 , –1, – 21 , 3

1 , 2, 2 21 , 3} partisi pada [–3, 3] dan w1 = –2, w2 = –1, w3 –= 2

1 , w4 = 0, w5

= 2

11 , w6 = 31 , serta w7 =2 4

3 tentukan jumlah Riemann fungsi f pada [–3, 3] bersesuaian dengan partisi P ini.

2

Definisi 5.1.2

1. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] maka: Lxwfn

iiiP=Δ∑

=→ 10

)(lim jika dan hanya jika

untuk setiap bilangan positif ε terdapat bilangan positif δ sehingga untuk setiap partisi

P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b] dengan P < δ, berlaku ∑=

−Δn

iii Lxwf

1)( < ε.

2. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan ∑=

→Δ

n

iiiP

xwf10

)(lim ini ada, maka limit tersebut

dinamakan integral tertentu (Integral Riemann) fungsi f pada [a,b]. Selanjutnya f

dikatakan integrable pada [a,b] dan integralnya ditulis . ∫b

a

dxxf )(

Jadi = ∫b

a

dxxf )( ∑=

→Δ

n

iiiP

xwf10

)(lim

3. Jika f integrable pada [a,b] maka: a. = – ∫a

b

dxxf )( ∫b

a

dxxf )(

b. Jika a = b maka = = 0 ∫b

a

dxxf )( ∫a

a

dxxf )(

Page 87: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 79

Dari definisi 5.1.2 bagian 2 dapat dipahami bahwa jika , maka

=

0)( >xf

∫b

a

dxxf )( ∑=

→Δ

n

iiiP

xwf10

)(lim secara geometris menyatakan luas daerah di bawah kurva

, di atas sumbu X, di antara garis x = a dan x = b. )(xfy = Contoh 3:

Jika f(x) = x + 3, tentukan . ∫−

+3

2

)3( dxx

Penyelesaian: -3 -2 -1 0 1 2 3

Y f(x) = x + 3

3

Buat partisi pada [–2, 3] dengan menggunakan n interval bagian yang sama panjang. Jadi panjang

setiap interval bagian adalah Δx = n5 .

Dalam setiap interval bagian [xi-1,xi] partisi tersebut diambil wi = xi.

Akan dicari nilai ∑=

→Δ

n

iiiP

xwf10

)(lim .

X x0 = –2

x1 = –2 + Δx = –2 + n5

x2 = –2 + 2Δx = –2 + 2(n5 )

x3 = –2 + 3Δx = –2 + 3(n5 )

. :

xi = –2 + i.Δx = –2 + i(n5 )

. :

xn = –2 + n.Δx = –2 + n(n5 ) = 3

Karena untuk setiap i = 1, 2, 3, …, n dipilih wi = xi maka wi = –2 + i(n5 )= –2 +

ni5 , sehingga

Page 88: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 80

f(wi) = wi + 3

= (–2 + ni5 ) + 3

= 1 + ni5

Jadi jumlah Riemann fungsi f pada [–2, 3] bersesuaian dengan partisi P tersebut adalah

∑=

Δn

iii xwf

1

)( = ∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

n

i nni

1

551

= ∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

n

i ni

n 1

515

= ∑∑==

+n

i

n

i ni

nn 11

5515

= ∑∑==

+n

i

n

i

inn 1

21

2515

= )}1({25)(521

2 ++ nnn

nn

= 5 + ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

n11

225

Jika P → 0 maka n → ∞, sehingga:

∑=

→Δ

n

iiiP

xwf10

)(lim = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

∞→ nn

112255lim

= 2117

Jadi = ∫−

+3

2

)3( dxx 2117 .

Contoh 4:

Tentukan . ∫b

a

dx

Penyelesaian:

Dalam hal ini f(x) = 1 untuk setiap x ∈ [a,b]. Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, …, xn}

pada [a,b] dan sembarang titik wi ∈ [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, …, n, maka

Page 89: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 81

∑=

Δn

iii xwf

1)( = dan Δxi = xi – xi-1 ∑

=

Δn

iix

1.1

= ∑=

−−n

iii xx

11 )(

= (x1 – x0) + (x2 – x1) + (x3 – x2) + … + (xn – xn-1)

= xn – x0

= b – a

Jadi ∑=

→Δ

n

iiiP

xwf10

)(lim = )(lim0

abP

−→

= b – a

Dengan demikian = b – a. ∫b

a

dx

Teorema 5.1.3 (Teorema Fundamental Kalkulus)

Jika f integrable pada [a,b] dan F suatu anti turunan dari f pada [a,b]

(atau F’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a,b]), maka : = F(b) – F(a) ∫b

a

dxxf )(

F(b) – F(a) biasa ditulis [ ]baxF )( Bukti:

Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Karena F’(x) = f(x) untuk setiap

x ∈ [a,b] maka F’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, …, n. Berdasarkan teorema

nilai rata-rata maka terdapat wi ∈ [xi-1, xi] sehingga

F(xi) – F (xi-1) = F’(wi) (xi – xi-1)

= f(wi) (xi – xi-1) i = 1, 2, 3, …, n

Diperoleh:

∑=

Δn

iii xwf

1)( = ∑

=−−

n

iiii xxwf

11 ))((

= ∑=

−−n

iii xFxF

11 )}()({

= {F(x1) – F(x0)} + {F(x2) – F(x1)} + {F(x3) – F(x2)} + … + {F(xn) – F(xn-1)}

= F(xn) – F(x0)

= F(b) – F(a)

Page 90: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 82

∑=

→Δ

n

iiiP

xwf10

)(lim = )}()({lim0

aFbFP

−→

= F(b) – F(a).

Jadi ∫ = F(b) – F(a) b

a

dxxf )(

Contoh 5

∫−

+3

2

)3( dxx = [ ]3 22

21 3 −+ xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 2

212

21 −+−−+ = 2

117 .

Contoh 6

Tentukan integral berikut.

1. ∫−

2

2

3dxx

2. ∫−

π

π

dxxsin

Teorema 5.1.4

Jika f integrable pada [a,b] dan c ∈ (a,b) maka = + ∫b

a

dxxf )( ∫c

a

dxxf )( ∫b

c

dxxf )(

Teorema 5.1.5

1. k konstanta ∫∫ =b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()(

2. ∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()}()({

3. Jika f(x) ≥ 0 untuk setiap x ∈ [a,b] maka ≥ 0. ∫b

a

dxxf )(

4. Jika f(x) ≤ g(x) untuk setiap x ∈ [a,b] maka ≤ ∫b

a

dxxf )( ∫b

a

dxxg )(

Page 91: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 83

5.2 Aplikasi Integral

5.2.1 Luas Daerah

Berdasarkan pengertian integral tertentu (Integral Riemann) pada definisi 5.1.2 dan

uraian di atas dapat dipahami bahwa jika , maka secara geometris

menyatakan luas daerah di antara kurva

0)( >xf

)(x

∫b

a

dxxf )(

fy = dan sumbu X serta dibatasi oleh garis-garis

x = a dan x = b. Jadi

∫=b

a

dxxfA )(

Contoh 7

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, sumbu X, garis x = –2 dan

garis x = 3.

Penyelesaian:

A = = ∫−

+3

2

)3( dxx [ ]3 22

21 3 −+ xx = )}2(3)2({)}3(3)3({ 2

212

21 −+−−+ = 2

117 .

Contoh 8

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva , sumbu X, garis x = –2 dan garis

x = 2.

3xy =

Penyelesaian:

Page 92: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 84

Y

)(xfy =

)(xgy =

a b X

Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(xfy = dan serta

garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di atas, maka luas daerahnya adalah sebagai berikut

)(xgy =

{ }∫ −=b

a

dxxgxfA )()(

b

Contoh 9

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan . 4xy = 22 xxy −=

Penyelesaian:

Menentukan batas-batas dicari dengan menentukan akar-akar persamaan

yang dapat kita temukan akar-akarnya adalah x = 0 dan x = 1.

24 2 xxx −=

sehingga luasnya adalah A = = ∫ −−1

0

42 )2( dxxxx1

0

532

51

31

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −− xxx =

157

51

311 =−− .

22 xxy −=

Y

4xy =

X 0

Page 93: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 85

Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(yx ϕ= dan )(yx ψ= serta

garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah ini, maka luas daerahnya adalah sebagai

berikut

{ }∫ −=d

c

dyyyA )()( ϕψ

Y

d x = ϕ(y) x = ψ (y)

c

X 0

Contoh 10

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan xy 42 = 434 =− yx .

Penyelesaian:

434 =− yx

Menentukan batas-batas dengan mencari akar-akar persamaan yang

diperoleh y = –1 dan y = 4.

432 += yy

xy 42 = ekuivalen dengan 2

41 yx = dan 434 =− yx ekuivalen dengan )43(

41

+= yx

Y

0

xy 42 =

X

Page 94: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 86

sehingga luasnya adalah A = ∫− ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧ −+

4

1

2

41)43(

41 dyyy = {∫

−+4

1

24341 dyyy } =

24125

.

5.2.2 Volume Benda Putar

a. Metode Cincin

Y

0

y = f(x)

a b

X 1−ix ix wi

f(wi)

Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, garis-garis x = a dan x = b diputar

mengelilingi sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari

sebagai berikut.

Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, …, n dipilih satu

titik wi ∈ [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan lebar

Δxi = xi – xi-1. Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbu X, maka diperoleh silinder

hampiran dengan volume

{ } iii xwfV Δ=Δ 2)(π

f(xi)

Δxi

Akibatnya diperoleh jumlahan Riemann

{ }∑∑==

Δ=Δn

iii

n

ii xwfV

1

2

1)(π

Apabila P → 0 maka diperoleh volume benda putar yang dimaksud, yaitu

Page 95: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 87

{ }∑=→

Δ=n

iiiPX xwfV

1

2

0)(limπ

= = { }∫b

a

dxxf 2)(π { }∫b

a

dxxf 2)(π

Jadi Jadi

{ }∫=b

aX dxxfV 2)(π { }∫=

b

aX dxxfV 2)(π

Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurva Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurva )(xfy )(xfy

π

= dan

serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di bawah ini diputar mengelilingi

sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah

)(xgy =

{ } { }[ ]∫ −=b

aX dxxgxfV 22 )()(π

0 Xa b

Y y = f(x)

y = g(x)

Dengan cara sama, jika daerah yang dibatasi kurva x = ϕ(y), sumbu Y, garis-garis y = c

dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang

terjadi adalah.

{ }∫=d

cY dyyV 2)(ϕπ

Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva )(yx ψ= dan )(yx ϕ=

serta garis-garis y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka

volume benda yang terjadi adalah

Page 96: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 88

{ } { }[ ]∫ −=d

cY dyyyV 22 )()( ϕψπ

Contoh 11

Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva

xy = , sumbu X dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu X.

Penyelesaian:

xy =

Y

X 0

4

{ }∫=4

0

2dxxVX π = πππ 8

21 4

0

24

0

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=∫ xdxx

Contoh 12

Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva

, sumbu Y dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu Y. 3xy =

Penyelesaian:

3 yx =

Y

X 0

3

Karena maka3xy = 3 yx = , sehingga

{ } ππππ5

9953 3

353

0

3

0

23 3

2

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=== ∫∫ ydyydyyVY

Page 97: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 89

Contoh 13

nda putar yang terjadi apabila daeTentukan volume be rah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva

diputar mengelilingi sumbu X.

Penyel

Dapat dicari bahwa perpotongan kedua kurva adalah di (0, 0) dan (2, 4). Jika

aka

2xy = dan y x82 =

esaian:

xy 82 =

xy 8=m . Perhatikan gambar berikut.

{ } { }[ ] [ ] ππππ 4814882

522

42

222=⎤⎡ −=−=−= ∫∫ xxdxxxdxxxV

entukan pula apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu Y.

benda pejal (ruang antara tabung besar dan kecil)

adalah

55 000⎥⎦⎢⎣

X

T

b. Metode Kulit Tabung

Perhatikan gambar di samping.

Volume

h)rrV ( 21

22 ππ −=

hrr )( 21

22 −= π

hrrrr ))(( 1212 −+= π

Page 98: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 90

hrrrr 12 −⎞⎛ += π )(

22 12⎟

⎠⎜⎝

Rumusan ini dapat ditulis sebagai

V rhr Δ= π2

dengan 2

12 rrr += dan 12 rrr −=Δ

Misalkan diketahui daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X serta garis-garis x = a

dan x = b. Apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putarnya,

maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari sebagai berikut.

titik

Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, …, n dipilih satu

21−+

= iii

xxw ∈ [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan

dan lebar Δxi = xi – xi-1. Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbu Y, maka diperoleh

tabung hampiran dengan volume

iiii xwfwV Δ=Δ )(2π

Akibatnya diperoleh jumlahan Riemann

Apabila

∑∑ Δ=Δnn

π == i

iiii

i xwfwV11

)(2

P → 0 maka diperoleh volume benda putar yang dim ksud, yaitu a

∑=→

Δ= fn

iiiiPY xwwV

10)(lim2π

Page 99: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 91

=

Jadi

a kurva

∫b

a

dxxfx )(2π

∫=Y dxxfxV )(2π b

a

Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh du )(xfy = dan

serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di bawah ini diputa

sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah

]

serta garis-garis y = c dan y = d i

sumbu putarnya, maka volume

)(xgy = r mengelilingi

[∫ −=b

Y dxxgxfxV )()(2π a

oleh kurva x = ψ(x), sumbu Y

Dengan cara sama, misalkan diketahui daerah dibatasi

Y

. Apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X sebaga

benda putar yang terjadi adalah

∫=d

cX dyyyV )(2 ψπ

y = f(x)

y = g(x)

0 Xa b Δxi

c

d

Y

X 0

y = ψ (x)

Page 100: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 92

Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva )(yx ψ= dan )(yx ϕ=

serta garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X

sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah

Tentukan volum dibatasi oleh kurva

[ ]∫ −=d

cX dyyyyV )()(2 ϕψπ

c

d

Y

0

x =

X

ϕ(y) x

Contoh 14

e benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang

xy 1= , sumbu X, dan garis x = 1 diputar mengelilingi sumbu Y.

Penyelesaian:

ππππ328

322212

4

1

234

1

214

1

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡=== ∫∫ xdxxdx

xxVY

Contoh 15

Diketahui suatu daerah tertutup dibatasi oleh kurva garis xt

Dalam hal ini 0>

ry = , sumbu X, dan garis x = t.

r dan 0>t . Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X, tentukan

olume benda yang terjadi dengan dua cara. v

= ψ (y)

Page 101: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 93

aian:

Dengan metode cincin

Penyeles

Cara I

∫ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

t

X dxxtrV

0

2

π

X

xtry =

Y

0 t

r ∫=t

dxxtr

0

22

2

π

t

xtr

0

32

2

31

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= π

tr 2

31π=

Cara II

Dengan metode kulit tabung. Karena xtry = y

rtx = , maka

∫ −=r

X dyyrttyV

0

)(2π

∫ −=r

dyyr

yt0

2 )1(2π

r

yr

yt0

32

31

212 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −= π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= 22

31

212 rrtπ

tr 2

31π=

5.2.3 P

n parameter x = f(t), y = g(t),

a ≤ t ≤ b. Panjang kurva tersebut dapat dicari sebagai berikut.

X

anjang Kurva

Misalkan suatu kurva mulus diberikan oleh persamaa

yrtx =

Y

0 t

r x = t

yt rt−

Page 102: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 94

Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, …, tn} pada [a,b] dengan a = t0 < t1 < t2 < … < tn = b, maka

kurva akan terbagi menjadi n bagian oleh titik-titik Q0, Q1, Q2, …, Qn-1, Qn. Perhatikan gambar

berikut.

Pada bagian ke i, panjang busur Qi-1Qi , yaitu isΔ dapat didekati oleh . Dengan Pythagoras

kita peroleh

iwΔ

iwΔ = 22 )()( ii yx Δ+Δ

[ ] [ ]212

1 )()()()( −− −+−= iiii tgtgtftf

Selanjutnya berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata pada Derivatif tentu terdapat ),( 1 ii ttt −∈ dan

demikian sehingga ),(ˆ 1 ii ttt −∈

))((')()( 11 −− −=− iiiii tttftftf

))(ˆ(')()( 11 −− −=− iiiii tttgtgtg

atau

iiii ttftftf Δ=− − )(')()( 1

iiii ttgtgtg Δ=− − )ˆ(')()( 1

dengan . 1−−=Δ iii ttt

Oleh karena itu diperoleh

[ ] [ ]22 )ˆ(')(' iiiii ttgttfw Δ+Δ=Δ

[ ] [ ] iii ttgtf Δ+= 22 )ˆ(')('

Page 103: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 95

dan panjang polygon dari segmen garis

[ ] [ ]∑∑==

Δ+=Δn

iiii

n

ii ttgtfw

1

22

1)ˆ(')('

Apabila P → 0 maka diperoleh panjang kurva seluruhnya adalah

[ ] [ ] [ ] [ ]∫∑ +=Δ+==→

b

a

n

iiiiP

dttgtfttgtfL 22

1

22

0)(')(')ˆ(')('lim

Jadi

[ ] [ ]∫ +=b

a

dttgtfL 22 )(')('

atau

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

b

a

dtdtdy

dtdxL

22

Jika persamaan kurvanya adalah y = f(x) dengan a ≤ x ≤ b, maka

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

b

a

dxdxdyL

2

1

dan jika persamaan kurvanya adalah x = ψ(y) dengan c ≤ y ≤ d, maka

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

d

c

dydydxL

2

1

Contoh 16

Hitunglah keliling lingkaran . 222 ryx =+

Penyelesaian:

Lingkaran tersebut dapat ditulis dalam persamaan parameter sebagai

x = r cos t, y = r sin t dengan π20 ≤≤ t , sehingga trdtdx sin−= dan tr

dtdy cos= .

Akibatnya [ ] rtrdtrdttπ2

0

2 = ∫rtrL πππ

2cossin 20

2

0

222 ==+= ∫

Contoh 17

Menggunakan integral hitunglah panjang ruas garis yang menghubungkan titik P(0, 1) dan

Q(5, 13).

Page 104: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 96

Penyelesaian:

Persamaan ruas garis PQ adalah 15

12+= xy , sehingga

512

=dxdy

. Oleh karena itu

135

135

135

1215

0

5

0

5

0

2

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= ∫∫ xdxdxL

Contoh 18

Menggunakan integral hitunglah panjang kurva 23

xy = dari (1, 1) dan (4, 8).

Penyelesaian:

23

xy = , maka 21

23 x

dxdy

= . Oleh karenanya

63,78

1310278

491

278

491

231

23

23

4

1

23

4

1

4

1

2

21

≈⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=

⎥⎥

⎢⎢

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫∫ xdxxdxxL

Diferensial Panjang Busur

Misalkan f suatu fungsi yang dapat didiferensialkan pada [a, b]. Untuk setiap ),( bax∈

didefinisikan s(x) sebagai

∫ +=x

a

duufxs 2)]('[1)(

maka s(x) adalah panjang kurva y = f(u) dari titik (a, f(a)) ke titik (x, f(x)), sehingga

22 1)]('[1)(' ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+==

dxdyxf

dxdsxs

a

Y

X 0

s(x)

x

(x, f(x))

(a, f(a))

Page 105: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 97

Oleh karenanya diferensial panjang kurva ds dapat ditulis sebagai

dxdxdyds

2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Selanjutnya hal ini dapat ditulis dalam bentuk-bentuk

dydydxds

2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= atau dt

dtdy

dtdxds

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Untuk keperluan mengingat, dapat pula ditulis dalam bentuk: 222 )()()( dydxds +=

5.2.4 Luas Permukaan Benda Putar

Kita mulai dengan mencari rumus untuk luas permukaan (selimut) kerucut terpancung.

Misalkan jari-jari lingkaran alas kerucut terpancung adalah r1 dan jari-jari lingkaran atasnya r2

sedangkan panjang ruas garis pada pembangun kerucut antara dua lingkaran itu (rusuk kerucut

terpancung) l, maka luas selimut kerucut terpancung itu adalah

lrrA ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=2

2 21π

Apabila sebuah kurva pada suatu bidang diputar mengelilingi sebuah garis pada bidang

itu, maka hasilnya berupa permukaan benda putar dengan luas permukaan dapat dicari sebagai

berikut.

Page 106: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 98

Pemutaran terhadap sumbu X

Misalkan suatu kurva mulus pada kuadran pertama diberikan oleh persamaan parameter

x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b. Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, …, tn} pada [a,b] dengan

a = t0 < t1 < t2 < … < tn = b, maka kurva terbagi menjadi n bagian. Misalkan panjang kurva

bagian ke i dan ordinat sebuah titik pada bagian ini. Apabila kurva itu diputar mengelilingi

sumbu X, maka ia akan membentuk suatu permukaan dan bagian ini akan membentuk

permukaan bagian. Luas permukaan bagian ini dapat dihampiri oleh luas kerucut terpancung,

yaitu

isΔ

iy

isΔ

ii sy Δπ2 .

Apabila kita jumlahkan luas-luas ini dan kemudian mengambil limitnya dengan membuat

0→P , kita akan memperoleh hasil yang kita definisikan sebagai luas permukaan benda

putar tersebut. Jadi luasnya adalah

∫∑ =Δ==→

**

*1022lim dsysyA

n

iiiP

ππ

Dengan menggunakan rumus A tersebut di atas, kita harus memberi arti yang tepat pada y, ds,

dan batas-batas pengintegralan * dan **.

Misalkan apabila permukaan itu terbentuk oleh kurva )(xfy = , a ≤ x ≤ b, yang diputar

mengelilingi sumbu X, maka kita peroleh untuk luasnya:

dxxfxfdsyAb

a∫∫ +== 2

**

*

)]('[1)(22 ππ

Contoh 19

Tentukan luas permukaan benda putar apabila kurva xy = , 0 ≤ x ≤ 4, diputar mengelilingi

sumbu X.

Page 107: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 99

Penyelesaian:

Misalkan xxf =)( maka x

xf2

1)(' = , sehingga

18,36)117(6

)14(32

4114

2112 2

34

0

234

0

4

0

2

≈−=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+=+=⎟

⎞⎜⎝

⎛+= ∫∫ππππ xdxxdx

xxA

Apabila persamaan kurva yang bersangkutan diketahui dalam bentuk persamaan

parameter x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b, maka rumus untuk luas permukaan menjadi:

dttgtftgdsyAb

a∫∫ +== 22

**

*

)]('[)]('[)(22 ππ

Contoh 20

Tentukan luas permukaan benda yang terbentuk apabila suatu busur dari sikloid

π20),cos1(),sin( ≤≤−=−= ttayttax diputar mengelilingi sumbu X.

Penyelesaian:

Y

0 X 2

Misalkan dan )sin()( ttatf −= )cos1()( tatg −= , maka )cos1()(' tatf −= dan

, sehingga: tatg sin)(' =

dttatataA ∫ +−−=π

π2

0

2222 sin)cos1()cos1(2

dttta ∫ −−=π

π2

0

2 cos22)cos1(2

dtta ∫ −=π

π2

0

23

2 )cos1(22

Page 108: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 100

dtta ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

π

π2

0

32

2sin8

dttta ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

π

π2

0

22

2sin

2cos18

Dengan substitusi ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2cos tu maka dttdu ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2sin

21

Untuk t = 0 → u = 1

Untuk t = 2π → u = –1

Jadi 21

1

321

1

22

364

3116)1(16 auuaduuaA πππ =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−=−−=

−−

Pemutaran terhadap sumbu Y

Analog:

Apabila sebuah kurva pada suatu bidang diputar mengelilingi sumbu Y, maka hasilnya

berupa permukaan benda putar dengan luas permukaannya adalah:

∫=**

*

2 dsxA π

Contoh 21

Tentukan luas permukaan benda yang terbentuk apabila kurva ayayax ≤≤−−= ,22

diputar mengelilingi sumbu Y.

Penyelesaian:

Misalkan 22)( yaygx −== maka 22

)('ya

yyg−

−= a

− a

X

X 0 sehingga ∫∫

− −+−==

a

a

dyya

yyadsxA 22

222

**

*

122 ππ

[ ]∫−

− ===a

a

aa ayadya 2422 πππ

Dengan demikian luas permukaan bola dengan jari-jari a adalah 4πa2.

Page 109: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 101

5.2.5 Usaha atau Kerja

Dalam fisika kita tahu bahwa apabila ada gaya F yang konstan menggerakkan suatu

benda sehingga bergerak sejauh d sepanjang suatu garis dengan arah gaya dan gerakan benda

sama, maka kerja W yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah

W = F . d

Apabila satuan untuk F adalah pond an satuan jarak adalah kaki maka satuan kerja

adalah kaki pond. Apabila gaya diukur dengan satuan dyne dan jarak dengan satuan sentimeter

maka satuan kerja adalah dyne cm atau erg. Apabila gaya diukur dengan satuan Newton dan

jarak dengan satuan meter maka satuan kerja adalah Newton meter atau joule.

Pada kenyataannya biasanya gaya itu tidak konstan. Misalkan sebuah benda digerakkan

sepanjang sumbu X dari titik x = a ke titik x = b. Misalkan gaya yang menggerakkan benda

tersebut pada jarak x adalah F(x) dengan F suatu fungsi kontinu. Untuk menentukan kerja yang

dilakukan gaya tersebut dapat dicari sebagai berikut.

Interval [a,b] dibagi dengan menggunakan partisi P = {x0, x1, x2, …, xn}. Pada setiap

interval bagian [xi-1, xi] gaya F dapat dihampiri oleh gaya konstan F(wi), dengan wi ∈ [xi-1, xi]

untuk setiap i = 1, 2, …, n. Jika Δxi = xi – xi-1, maka kerja yang dilakuka gaya F pada interval

bagian [xi-1, xi] adalah

ΔWi = F(wi) Δxi.

Jika dijumlahkan kemudian dicari limitnya untuk 0→P maka diperoleh kerja yang

dilakukan gaya F pada interval [a, b], yaitu

∫∑ =Δ==→

b

a

n

iiiP

dxxFxwFW )()(lim10

Jadi

∫=b

a

dxxFW )(

a. Aplikasi pada Pegas

Dengan menggunakan hokum Hooke yang berlaku dalam fisika, gaya F(x) yang

diperlukan untuk menarik (atau menekan) pegas sejauh x satuan dari keadaan alami adalah

F(x) = k.x

Di sini, k adalah konstanta dan disebut konstanta pegas yang nilainya positif dan tergantung

pada sifat fisis pegas. Semakin keras pegas, maka semakin besar nilai k.

Page 110: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 102

Contoh 22

Apabila panjang alami sebuah pegas adalah 10 inci. Untuk menarik dan menahan pegas sejauh

2 inci diperlukan gaya 3 pon. Tentukan kerja yang dilakukan gaya untuk menarik pegas itu

sehingga panjang pegas 15 inci.

Penyelesaian:

Menurut hokum Hooke gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x inci

adalah F(x) = k.x. Dari sini dapat dicari nilai konstanta k. Diketahui bahwa F(2) = 3, sehingga

3 = k.2 atau 23

=k . Oleh karena itu xxF23)( = .

Apabila pegas dalam keadaan alami sepanjang 10 inci menyatakan x = 0, maka pegas dengan

panjang 15 inci menyatakan bahwa x = 5, sehingga

75,18475

235

0

=== ∫ dxxW

Jadi, kerja untuk menarik pegas itu adalah 18,75 inci pond.

b. Aplikasi pada Pemompaan Cairan

Dengan menggunakan prinsip-prinsip yang sama dapat dihitung kerja yang dilakukan

pada pemompaan cairan.

Contoh 23

Sebuah tangki berbentuk kerucut lingkaran tegak penuh dengan air. Apabila tinggi tangki 10

kaki dan jari-jari lingkaran atasnya 4 kaki,

a. tentukan kerja untuk memompa air sehingga sampai tepi tangki

b. tentukan kerja untuk memompa air sehingga mencapai 10 kaki di atas tepi tangki.

10 – y

y

X

Y Y

Δy

10 – y

y

Δy

(4, 10)

y104

xy 104=

X

Page 111: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 103

Penyelesaian:

a. Letakkan tangki dalam system koordinat seperti tampak dlam gambar. Buatlah sketsa

yang berdimensi tiga dan juga sketsa penampang dimensi dua. Misalkan air dimasukkan ke

dalam kerucut-kerucut terpancung (horizontal),

Air ini harus diangkat sehingga mencapai tepi tangki. Perhatikan sebuah kerucut terpancung ke

i dengan tinggi yang berjarak y dari puncak kerucut (puncak kerucut berada di bawah),

memiliki jari-jari

y104

, maka ia mempunyai volume hampiran yyV Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Δ

2

104π dan

beratnya (gaya berat) yyF Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

104πδ , dengan δ = 62,4 adalah kepadatan air dalam satuan

pon/kaki kubik. Gaya yang diperlukan untuk mengangkat air tersebut adalah sama dengan

beratnya dan harus diangkat sejauh 10 – y. Jadi kerja WΔ adalah

)10(104 2

yyyW −Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Δ πδ

Karenanya, apabila dijumlahkan kemudian dicari limitnya diperoleh

138,2641

310

254)10(

254 10

0

4310

0

32 ≈⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=−= ∫ yydyyyW πδπδ

Jadi kerja untuk memompa air sehingga sampai ke tepi tangki adalah 26,138 kaki pond.

b. Seperti dalam a, sekarang air dalam kerucut terpancung harus diangkat 20 – y,

sehingga

69,13041

320

254)20(

254)20(

104 10

0

4310

0

3210

0

2

≈⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=−=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫ yydyyydyyyW πδπδπδ

Jadi kerja untuk memompa air sehingga sampai ke tepi tangki adalah 130,690 kaki pond.

Page 112: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 104

5.2.6 Momen dan Pusat Massa (Titik Berat)

Misalkan ada dua benda masing-masing memiliki massa sebasar m1 dan m2 yang

diletakkan pada papan berimbang dengan jarak berturut-turut d1 dan d2 dari titik penyangga

pada bagian-bagian yang berbeda. Keadaan tersebut akan seimbang jika dipenuhi

d1 m1 = d2 m2.

d1 d2 m1 m2

Suatu model amtematis yang baik diperoleh apabila papan tersebut kita letakkan pada

suatu system bandmil yang titik asalnya kita impitkan dengan titik penyangga papan, maka

koordinat x1 dari massa m1 adalah x1 = –d1 dan dari massa m2 adalah x2 = –d2. Jadi syarat

keseimbangan adalah

x1 m1 + x2 m2 = 0

m1 m2

x1 x1 0

Hasil kali massa m dan jarak berarah dari suatu titik tertentu dinamakan momen

partikel (benda) terhadap titik tersebut. Momen ini mengukur kecenderungan massa yang

menghasilkan suatu putaran pada titik tersebut. Syarat supaya dua massa pada sebuah garis

berimbang adalah jumlah momen-momen terhadap titik itu sama dengan nol.

Keadaan tersebut dapat diperluas untuk sejumlah n benda (partikel). Jumlah momen M

(terhadap titik asal) suatu system yang terdiri atas n massa, yaitu m1, m2, …, mn yang berbeda

pada x1, x2, …, xn pada sumbu X adalah jumlah momen masing-masing massa, yaitu

M = x1 m1 + x2 m2 + … + xn mn = ∑=

n

iii mx

1

Syarat keseimbangan di titik asal adalah M = 0. Tentunya titik asal tedak selalu menjadi titik

seimbang system tersebut, kecuali dalam hal khusus. Akan tetapi pasti terdapat titik seimbang

dalam suatu system tersebut. Misalkan x merupakan koordinat titik seimbang system pada

sumbu X, maka momen terhadap titik tersebut harus nol. Jadi berlaku

Page 113: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 105

0)(...)()( 2211 =−++−+− nn mxxmxxmxx

atau

0...222111 =−++−+− nnn mxmxmxmxmxmx

nnn mxmxmxmxmxmx +++=+++ ...... 212211

sehingga diperoleh

mM

m

mxx n

ii

n

iii

==

=

=

1

1

Titik dengan koordinat x dinamakan pusat massa, titik ini adalah titik seimbang. Perhatikan

bahwa x diperoleh sebagai hasil bagi momen system terhadap titik asal dan jumlah massa.

a. Distribusi massa yang kontinu pada suatu garis

Perhatikan sepotong kawat lurus dengan kepadatan massa (massa tiap satuan panjang)

yang berlainan. Kita ingin mengetahui kedudukan titik berat kawat itu. Untuk ini kita letakkan

kawat itu sepanjang system koordinat (dengan batas-batas x = a dan x = b) dan andaikan

kepadatan di x adalah δ(x). Dengan menggunakan prosedur yang sudah kita lakukan untuk

berbagai macam fenomena di depan, dibuat partisi, metode hampiran dan dicari limitnya,

dengan memperhatika bagian sepanjang xΔ , sehingga xxm Δ≈Δ )(δ berakibat

xxxM Δ≈Δ )(δ , diperoleh

∫=b

a

dxxm )(δ dan ∫=b

a

dxxxM )(δ

Akhirnya maka diperoleh

∫== b

a

b

a

dxx

dxxx

mMx

)(

)(

δ

δ

Contoh 24

Kepadatan δ(x) sepotong kawat di sebuah titik yang terletak x cm dari salah satu ujungnya

adalah δ(x) = 3x2 g/cm. Tentukan pusat massa kawat antara x = 0 dan x = 10.

Page 114: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 106

Penyelesaian:

0 10

Dengan memperhatika δ(x) jelas bahwa kawat dibagian x = 10 lebih berat dari pada di bagian

x = 0, sehingga pusat massanya akan lebih dekat ke x = 10. Secara pasti bahwa pusat massanya

adalah

[ ][ ] 5,7

3

3

100

3

10

04

43

10

0

2

10

0

2

===

x

x

dxx

dxxxx

b. Distribusi massa yang kontinu pada bidang

Perhatika n partikel yang masing-masing memiliki massa m1, m2, …, mn yang terletak

pada bidang koordinat berturut-turut di , , …, . ),( 11 yx ),( 22 yx ),( nn yx

m1 • (x1, y1)

m3 • (x3

m4 • (x4, y4)

mn • (xn, yn)

m2 • (x2, y2)

, y3)

Jumlah momen n partikel terhadap sumbu Y adalah

∑=

=+++=n

iiinnY mxmxmxmxM

12211 ...

Sedangkan jumlah momen n partikel terhadap sumbu X adalah

∑=

=+++=n

iiinnX mymymymyM

12211 ...

Koordinat pusat massa system tersebut adalah ),( yx dengan

Page 115: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 107

=

=== n

ii

n

iii

Y

m

mx

mMx

1

1 dan

=

=== n

ii

n

iii

X

m

my

mMy

1

1

Persoalan yang kita hadapi sekarang adalah menentukan pusat massa lamina, yaitu

sepotong lempeng tipis yang rata.

Misalkan lamina ini homogen, yang berarti kepadatan δ adalah konstan. Untuk suatu

lempeng homogen yang berbentuk persegi panjang, pusat massanya terletak pada perpotongan

kedua diagonalnya.

Jika diketahui lamina homogen berbentuk persegi panjang L mempunyai kepadatan

massa δ konstan dan garis lurus terletak pada bidang yang memuat lamina tersebut, maka

momen lamina L terhadap garis adalah

l

l

mdLM =)(l

dengan d : jarak pusat massa lamina L ke garis l

m : massa lamina yang dapat dihitung dari m = δ A (disini A adalah luas lamina L)

ilustrasi ini dapat dilihat pada gambar berikut.

d

l

L

Selanjutnya perhatikan lamina homogen L dengan kepadatan massa δ dibatasi oleh

kurva , , x = a, dan x = b dengan )(xfy = )(xgy = )()( xfxg ≤ .

Page 116: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 108

Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, …, n dipilih satu titik

],[ 1 iii xxx −∈ yang merupaka titik tengah sub interval [xi-1, xi], maka 2/)( 1−+= iii xxx .

Selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang )]()([ ii xgxf − dan lebar 1−−=Δ iii xxx

sebagai lamina hampiran . Tentu pusat massa lamina berada di garis iL iL ixx = , tepatnya

berada pada koordinat ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2)()(,ix ii xgxf

. Oleh karena itu momen terhadap sumbu Y

adalah

iL

iiiY mxLM =)(

ii Ax δ=

iiii xxgxfx Δ−= )]()([δ

Kita peroleh jumlahan

∑∑==

Δ−=n

iiiii

n

iiY xxgxfxLM

11)]()([)( δ

Apabila P → 0, maka diperoleh momen lamina L terhadap sumbu Y, yaitu

∑=→

=n

iiYPY LMLM

10)(lim)(

∑=→

Δ−=n

iiiiiP

xxgxfx10

)]()([limδ

∫ −=b

a

dxxgxfx )]()([δ

Jadi

∫ −=b

aY dxxgxfxLM )]()([)( δ

Selanjutnya perhatikan bahwa momen terhadap sumbu X adalah iL

iii

iX mxgxfLM2

)()()( +=

iii Axgxfδ

2)()( +

=

iiiii xxgxfxgxf

Δ−+

= )]()([2

)()(δ

Page 117: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 109

iii xxgxf Δ−= ])}({)}([{2

22δ

Kita peroleh jumlahan

∑∑==

Δ−=n

iiii

n

iiX xxgxfLM

1

22

1])}({)}([{

2)( δ

Apabila P → 0, maka diperoleh momen lamina L terhadap sumbu X, yaitu

∑=→

=n

iiXPX LMLM

10)(lim)(

∑=→

Δ−=n

iiiiP

xxgxf1

22

0])}({)}([{lim

∫ −=b

a

dxxgxf ])}({)}([{2

22δ

Jadi

∫ −=b

aX dxxgxfLM ])}({)}([{

2)( 22δ

Selanjutnya massa lamina L adalah m(L) = δ A

Jadi

∫ −=b

a

dxxgxfLm )]()([)( δ

Oleh karena itu diperoleh koordinat pusat massa lamina L adalah ),( yx dengan

−=

−== b

a

b

ab

a

b

aY

dxxgxf

dxxgxfx

dxxgxf

dxxgxfx

LmLMx

)]()([

)]()([

)]()([

)]()([

)()(

δ

δ

−=

−== b

a

b

ab

a

b

aX

dxxgxf

dxxgxf

dxxgxf

dxxgxf

LmLMy

)]()([

])}({)}([{21

)]()([

])}({)}([{2

)()(

2222

δ

δ

Page 118: Calculus 2010

Integral Tertentu

Thobirin, Kalkulus Integral 110

Contoh 25

Diketahui suatu lamina homogen L dengan kepadatan massa δ konstan, yang merupakan

daerah tertutup yang dibatasi kurva dan 3xy = xy = . Tentukan

a. momen L terhadap sumbu Y

b. momen L terhadap sumbu X

c. massa lamina L

d. pusat massa lamina L.

Penyelesaian:

Dapat dicari bahwa perpotongan kedua kurva adalah (0, 0) dan (1, 1), sehingga batas-

batas x adalah 0 dan 1.

a. δδδ51

51

52][)(

1

0

5251

0

3 =⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−=−= ∫ xxdxxxxLM Y

b. { } { }[ ] δδδ285

71

21

22)(

1

0

721

0

232=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=−= ∫ xxdxxxLM X

c. δδδ125

41

32][)(

1

0

4231

0

3 =⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−=−= ∫ xxdxxxLm

d. 2512

12551

)()(

===δ

δ

LmLMx Y dan

73

125285

)()(

===δ

δ

LmLMy X

Jadi koordinat pusat massa lamina L adalah ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

73,

2512),( yx