Calculus of variations

K.N. Toosi University of technology

Dr. Hasan Ghasemzadeh 1

Ghasemzadeh1

Calculus of variations

رات ساب

فهرست عناوين و فصول

توابع مختلط -1سري فوريه و انتگرال فوريه -2معادالت ديفرانسيل جزئي-3حساب تغييرات-4

2



فهرست عناوين و فصول

حساب تغييرات -1تابعنقاط اكسترمم يادآوري - اكسترمم هاي تابع چند متغيره - اكسترمم فانكشنال - معادله اولر - -

3

يادآوري نقاط اكسترمم تابعxfy)(اكسترمم تابع

0xf

ماكزيمم 0xxfمينيمم

0xxf

...)()!3

()()!2

()()()(32

xyx

xyx

xyxxyxxy

اكسترمم تابع يا نقاط با تغييرات ثابت032 xx )()()( xyxxyxxy

0xxfعطف

Calculus of variations حساب تغييراتيكي از روشهاي قدرتمند در محاسبه ديناميك جسم صلب،بهينه سازي مدارها و تئوري ارتعاشات

4



اكسترمم هاي تابع چند متغيره

,...),( 21 xxf اكسترمم تابع چند متغيره0df 0نقاط بحراني

ixf ni ,...,2,1

شرط فوق شرط الزم براي نقاط اكسترمم است

يا

zxxyzyxf 2222

022

02

012

zf

xyf

yxf

z

y

x

10

31

0

32

0

z

y

x

1,, 31

32

0 P

تعيين نقاط بحرانيمثال

5

اكسترمم هاي تابع چند متغيره ),( yxf اكسترمم تابع دو متغيره

0df 0نقاط بحراني yx ffيا ...)())(()(

!2

1

)()(),(),(

2000

20

0000

yyxyxx

yx

fyyfyyxxfxx

fyyfxxyxfyxf

0),( 00 yxf xx

0),( 00 yxf xx0),(),(),( 00

20000 yxfyxfyxf xyyyxx

0),(),(),( 002


0),(),(),( 002


0),(),(),( 002


مينيمم نسبيماكزيمم نسبي

اكسترمم نسبي نيستهيچ نتيجه اي نمي

توان گرفت6



اكسترمم هاي تابع چند متغيره

yxyxf 22 224

028 3 xxfx

2

1

0

0

0

x

x 1,21

1 P

تعيين نقاط بحرانيمثال

022 yf y 10 y 1,21

3 P

1,02P

224 2 xfxx2yyf

8),(),(),( 002


4),(),(),( 002


8),(),(),( 002


مينيمم نسبي

اكسترمم نسبي نيستمينيمم نسبي

1,21

1 P

1,21

3 P

1,02P 4),( 00 yxf xx

4),( 00 yxf xx

2),( 00 yxf xx

7

اكسترمم هاي تابع كوادراتيك

ji

n

ji jin dxdx

xx

xfdxdxdxdxA

1,

)0(2

321

)(,...,,,

ji

n

jiijn xxaxxxxAxA

1,

321 ,...,,,

0det2221

1211

aa

aa

0

....

.

.

...

...

...

.

.

.

.

.

....

...

det

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

01

....

.

.

...

...

...

.

.

.

.

.

....

...

det

21

22221

11211

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

011 a

0det2221

1211

aa

aa011 a

تابع كوادراتيك

a strict minimum point

a strict maximum point 0)(0xxidxA

0)(0xxidxA شرط كافي براي

نقاط اكسترمم

a strict minimum point

a strict maximum point

...

...

ماتريس مشتقات

8



zxxyzyxf 2222

0211 a

0321

12det

2221

1211

aa

aa

06

200

021

012

det

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

The point is a strict minimum point

022

02

012

zf

xyf

yxf

z

y

x

10

31

0

32

0

z

y

x

1,, 31

32

0 P

200

021

012

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

fff

fff

fff

اكسترمم هاي تابع كوادراتيك

9

conditional extremum

),,( zyxfاكسترمم تابع با قيد

0),,( zyxgقيد يك متغير تابع دو متغير ديگر

0df 0

0

y

x

f

f

يا0zf 0 dzgdygdxgdg zyx

dygdxgg

dz yxz

1

dygfgfdxgfgfg

dzfdyfdxfdf yzzyxzzxz

zyx )()(1

0 xzzx ggff0 xzzx gfgf

0 yzzy gfgf 0 yzzy ggff

0 xx gf

0 yy gf gfF تابع جديد

10ضريب الگرانژ




),,( zyxf

اكسترمم تابع با قيد

0),,( zyxg0dF

182),( 22 yxyxyxf

0 xx gf 0 yy gf

yxyxyxgfF 2182 22

مثال

0 zz gf

0),,( zyxg0

0

0

0

F

F

F

F

z

y

x

02تحت محدوديتنقاط بحراني تابع yx

0

0

0

F

F

F

y

x

02

012

0284

yx

y

x

3

1

21

y

x

11


),...,,,( 321 nxxxxf

nm

0,...,,,

...................................

0,...,,,

0,...,,,

321

3212

3211

nm

n

n

xxxxg

xxxxg

xxxxg

اكسترمم تابع با قيود

i

m

ii gfF

1

تابع جديد

0dF

0

01

j

m

jxjjx

g

gfii

ni ,...,2,1

mj ,...,2,1 nm

jix ,

12



Extrema of functionals

تابعك-فانكشنال

dxyyxfIx

x

2

1

),,(

مينيمم باشد xكه سطح حاصل از دوران آن حول محور a,bمطلوب است منحني بين نقاط مساله

b

a

b

a

dxyyydsA 212 )1(22

a

b

xy

ds

(I)مفروض است اگر به هر تابع توسط رابطه اي يك عدد متناهي y(x)از توابع (M)كالسيناميده مي شود Mفانكشنال در كالس Iآن گاه نسبت داده شود

2dA yds

13


dxyyxfIشرط الزم براي اكسترمم شدن فانكشنالx

x

2

1

),,(

0

y

f

dx

d

y

f Euler- Lagrange equationاثبات

),( 11 yxa

),( 22 yxb

x

)(xy

)()( xxy

0)()(

)()(

21 xx

xxyy

تابع اكسترمم كننده:فرض

dxxxyxxyxfIx

x

2

1

))(),(),(),(,(

dxy

y

fy

y

fx

x

f

d

dI

d

dIx

x

2

1

0

)(

)(

0

xy

xy

x

dxxy

fx

y

f

d

dIx

x

2

1

)()(

استقالل

14




0

y

f

dx

d

y

f

انتگرال جز به جز

2

1

2

1

2

1

)()()(x

x

x

x

x

x

dxxy

f

dx

dx

y

fdxx

y

f

d

dI

0

0)(2

1

dxxy

f

dx

d

y

f

d

dIx

x

Euler- Lagrange equation

0 yy fdx

df

15

Calculus of variations حساب تغييرات

0 xy ffyfdx

d

فرم دوم

dx

yd

y

f

dx

dy

y

f

x

f

dx

df

),,( yyxff

yy

fy

y

f

x

f

dx

df

yy

ff

dx

dyfy

dx

dyy

از تفاضل دو رابطه

y

f

dx

d

y

fy

x

ffy

dx

d

dx

dfy

0 فرم اول

16




0 yyxyyyy fffxyfxy 0yyF

),,( yyxy

f

فرم سوم

dx

yd

ydx

dy

yxdx

d

y

f

dx

d

yy

f

ydx

dy

y

f

yy

f

x

2

222

y

fy

yy

fy

yx

f

02

222

y

fy

yy

fy

yx

f

y

f فرم سوم

يا17

Calculus of variations حساب تغييراتمثال

b

a

dxyyA 212 )1(2

212 )1(),,( yyyyxf

فرم سوم اولر الگرانژ

2/12 )1( yf y

0 yyxyyyy fffxyfxy

2/12 )1( yyyf y

2/12 )1( yyf yy

2/32 )1( yyf yy

جايگذاري درفرم سوم اولر الگرانژ 012 yxyy معادله ديفرانسيل معمولي مرتبه دو غير خطي18



Calculus of variations حساب تغييرات 012 yxyy

uy تغيير متغيرdy

duu

dx

dy

dy

du

dx

duuy

12 udy

duyu

y

dy

u

udu

12yu ln)1ln( 2/12

2/121 )1( ucy

2/121 )1( ycy

2/12

1

2

)1( c

yy

21

21 cy

dy

c

dx )/(cosh 11

21

cycc

x

)/cosh( 211 ccxcy 19

Calculus of variations حساب تغييرات0 حالت هاي خاص معادله اولر الگرانژ yy f

dx

df

1 - f مستقل ازx),( yyff 0xf

0 xy ffyfdx

d فرم دوم

ctefyf y 2 - f مستقل ازy

0فرم اول yy fdx

df

),( yxff 0yf

0 yfdx

d

ctef y 20



Calculus of variations حساب تغييرات حالت هاي خاص معادله اولر الگرانژ

4 - f مستقل ازy,x)(yff 0 yx ff

فرم سوم0 yyyx ff

0 yyxyyyy fffxyfxy 0 yyfxy

baxyxyfif yy 00

كوتاهترين فاصله بين دو نقطه ؟: مثالخط مستقيم

b

a

b

a

dxydsl 212 )1(

3 - f مستقل ازy’

0فرم اول yy fdx

df

),( yxff 0yf

0 yf

baxy 21


شرط الزم براي اكسترمم شدن فانكشنالبا مقادير نامشخص در مرزها

dxyyxfIx

x

2

1

),,(

0)()(

)()(

21 xx

xxyy

تابع اكسترمم كننده:فرض

dxy

y

fy

y

fx

x

f

d

dI

d

dIx

x

2

1

0

)(

)(

0

xy

xy

x

dxxy

fx

y

f

d

dIx

x

2

1

)()(

استقالل1xx

x)(xy

)()( xxy

2xx

0

0

0

2

1

x

x

y

f

y

f

y

f

dx

d

y

f

2

1

2

1

2

1

)()()(x

x

x

x

x

x

dxxy

f

dx

dx

y

fdxx

y

f

d

dI

0)()(2

1

2

1

x

x

x

x

xy

fdxx

y

f

dx

d

y

f

d

dI

22



Calculus of variations حساب تغييراتتابع اكسترمم كننده؟مثال

dxyxyI )sin2(0

2

0)0( y

2sin2 yxyf xf y sin2 yf y 2

0 yy fdx

df 0)2(sin2 y

dx

dx 0sin yx

02

xy

f02

2

xy 0)( y

1cos cxy

11 c

1cos xy 2sin cxxy 0)0( y 02 c

xxy sin

23

Calculus of variations حساب تغييراتشرط الزم براي اكسترمم شدن فانكشنال

با چند متغيرتابعdxyyxfI

x

x

2

1

)~,~,(

0

ii y

f

dx

d

y

fE- L equation

nT yyyyy ,...,,,~

321

nT yyyyy ,...,,,~

321

0شرايط مرزي~)(~ yay

1~)(~ yby

24




با چند متغير مستقل

dxdydzuuuuzyxfuI zyx

v ),,,,,,()(

E- L 0

cteyctexz

ctezctexy

ctezcteyx u

f

zu

f

yu

f

xu

f

),,( zyxuu

25


E- L 0

ctexy

cteyx u

f

yu

f

xu

f

dxdyPuuuuIA

yx )2(2

1)( 22

رويه حاصل از باد نمودن غشا مثال؟ Cالستيكي محدود به مرز

),,,,( yx uuuyxf

0222

ctex

ycteyx uy

ux

P Puu yyxx

C

x

y

26



Calculus of variations حساب تغييراتاصل هاميلتون

2

1

2

1

)(t

t

t

tLdtdtVTI

انتگرال زماني اختالف انرژي جنبشي و پتانسيل براي يك سيستم مكانيكي اكسترمم مي باشداين انتگرال جايگزين معادالت حركت مي باشد

VTL

انرژي جنبشيانرژي پتانسيل تابع الگرانژ

TVLmمثال

1k x1

m2k 1k

x2

22

21 2

1

2

1xmxmT

2212

221

211 )(

2

1

2

1

2

1xxkxkxkV

2

1

2

1

),,,,()(2

1)(

2

12121

2212

221

211

22

21

t

t

t

tdtxxxxtLdtxxkxkxkxxmI

27

Calculus of variations حساب تغييراتادامه

از اصل هاميلتون معادالت حركت بدست مي آيدمعادالت حركت كيهاني بر اين اساس نوشته مي شود

)طبيعت حالت بهينه را براي حركت انتخاب مي كند(قوانين حركت نيوتن حالت خاص از اصل هاميلتون است

011 xx L

dt

dL

022 xx L

dt

dL

0)(222

1121211 xm

dt

dxxkxk

0)(222

1221221 xm

dt

dxxkxk

0)(

0)(

212122

112121

xkxxkxm

xkxxkxm

E- L

28




با مشتقات مرتبه باالتر( )( , , , ,..., )

bn

a

I f x y y y y dx

0)1()(

)(

ii

in

y

f

dx

d

y

f E- L equation

0

1

2

( 1)1

( )

( )

( )

.

( )nn

y a A

y a A

y a A

y a A

0

1

2

( 1)1

( )

( )

( )

.

( )nn

y b B

y b B

y b B

y b B

شرايط مرزي

0...)3(3

3

2

2

y

f

dx

d

y

f

dx

d

y

f

dx

d

y

f

29


dxwwwxfIl

0

),,,(

E- L equation02

2

w

f

dx

d

w

f

dx

d

w

f

انرژي كل ذخيره شده در تير مقابل برابر است با مثال

dxxqwdx

xwdEII

l

0

2

2

2

)()(

2

002

2

wEIdx

dq

EI

qw )4(

l

)(xq

w

x

30




با چند متغير مستقل و وابسته

E- L 0

cteyctexz

ctezctexy

ctezcteyx u

f

zu

f

yu

f

xu

f

),,( zyxuu ),,( zyxvv

0

cteyctexz

ctezctexy

ctezcteyx v

f

zv

f

yv

f

xv

f

dvvvvuuuvuzyxfvuI zyxzyx

v ),,,,,,,,,,(),(

به تعداد متغير هاي وابسته معادله اولر الگرانژ نوشته مي شود31

Calculus of variations حساب تغييراتمسايل ايزوپارامتريك

شرط الزم براي اكسترمم شدن فانكشنال با قيد

E- L

معادله مرتبه دو داراي دو ثابت انتگرال گيري با ضريب الگرانژداراي سه مجهول استدو معادله شرط مرزي ويك معادله همان قيد است

dxyyxfIx

x

2

1

),,(

Bby

Aay

)(

شرايط مرزي)(

قيد ctedxyyxgJb

a

),,(

gfF 0 yy Fdx

dF

32



Calculus of variations حساب تغييراتشرط الزم براي اكسترمم شدن فانكشنال با چند قيد

E- L

n+2مجهوالت n+2معادالت

dxyyxfIx

x

2

1

),,(

Bby

Aay

)(

شرايط مرزي)(

قيد nictedxyyxgJb

a

ii ,...3,2,1 ),,(

ii

n

i

gfF 0 yy Fdx

dF

33

Calculus of variations حساب تغييراتتعيين منحني با طول ثابت و داري بيشترين سطحمثال

C

x

y

a b

y =y(x)

Bby

Aay

)(

)(

ydxxdyA2

1

ctedxyLx

x

2

1

2/12 )1( قيد

)(

)(

tyy

txxdtyxyxtfdtxyyxA

t

t),,,,()(

2

1 2

1

dtyxdtdt

dy

dt

dxL

t

t

t

t

2

1

2

1

2/122

2/122

2/122)(2

1yxxyyxgfF

34




E- L 0

y

F

dt

d

y

F

معادله دايره

)(

)(

tyy

txx

0

x

F

dt

d

x

F

0)(

2/(2

1

0)2(

2

12/(

2

1

2/122

2/122

yx

yx

dt

dx

yx

xy

dt

dy

22/122

12/122

)(c

yx

yx

cyx

xy

222

21 )()( cxcy

35

معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتحل تقريبي مسايل مقدار مرزي با استفاده از بهينه سازي فانكشنال به جاي حل مستقيم

روش ريلي ريتز

)(

)(

xgy

FyL مساله مقدار مرزيدرون ناحيه

روي مرز

بهينه سازي فانكشنال زير جواب مساله را مي دهد

dxyyxfIR ),,(

تابع بهينه سازي فانكشنال: فرض

:با جايگذاري در فانكشنال تابعي از ضرايب خواهيم داشت براي بهينه سازي

niA

I

i

,...,2,1 ,0 با حل اين معادالت ضرايب بدست مي آيند

)()()( 0 xAxyxy ii )()(0 xgxy تابع پايه

36



معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتروش گلركين

)(

)(

xgy

FyL مساله مقدار مرزيدرون ناحيه

روي مرز

بهينه سازي فانكشنال زير جواب مساله را مي دهد

0))(( dxFyLR

با حل اين انتگرال ضرايب بدست مي آيند كه از روش ريلي ريتز ساده تر بوده و كاربرد زيادي دارد

تابع پايه

0)( FyL

اگرتابع پايه جواب مساله باشد انتگرال ذيل صفر خواهد بود

0)())(( dxxAFyLR

ii

تابع پايه شزايط مرزي را بايد ارضا نمايد: تذكر

)()( xAxy ii

37

معادله ديفرانسيل -حساب تغييرات

0)1()0(

0

yy

xyyمثال

روش ريلي ريتز

تابع پايه

10 x

2210)( xAxAAxy

1 1 2 2

0 00 extremum (2 )y y x I Fdx xy y y dx

0)1(

0)0(

y

y

12

0 0

AA

A)1()( 1 xxAxy

2 2 2 0 0y y

df f x y y or y y x

dx زيرا

1 12 2 2 3 2 2 2 2 21 1 10 0

(2 ) (2 ( ) (1 ) (1 2 ) )I xy y y dx A x x A x x A x dx 2

11

1

0

22

30

11

6

1)2( AAdxyyxyI 22

50

15

11

6

10 11

1

AAA

I

)1(22

5)( xxxy

38



معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتروش گلركينمثال

0)( xyyfyL

تابع پايه )1()( 1 xxAxy

جواب دقيق 0

12

1)

5

1

2

1

3

1(

3

111 AA

22

51 A )1(

22

5)( xxxy

1 1

2 2 21 1 1

0 0

( ) 2 0y y x A x x dx A A x x x x x dx

xyD 12 xececy xx 21 112

10)1()0(

ee

ccyy

1

ee

eexy

xx

x جواب دقيق جواب تقريبي0.25 0.035 0.043

0.5 0.057 0.057

0.75 0.05 0.04339

معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتحل معادله پواسون

قضيه انرژي مينيمم

براي مساله مقدار مقابل uتابع جواب

در مرزها برابر صفر باشد uبرابر تابع مينيمم ساز فانكشنال انرژي زير است بطوريكه

0

2

uBC

fuPDE

dxdyufuuuJD

yx )2()( 22

fuuoruuffy

fx

f yyxxyyxxuuu yx

0222 زيرا

40



معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتمطلوبست حل معادله ديفرانسيل ذيل با استفاده از روش ريلي ريتزمثال

0

2

uBC

fuPDE

1

0

1

0

22 )2()( dxdyufuuuJ yx

),(...),(),(),( 2211 yxayxayxayxu nnn

1,0 yx

1, 0, yxyx

فانكشنال انرژي

را با تابع تقريب ساز جايگزين مي كنيم u: روش ريلي ريتز

nبطوريكه ,...,, ارائه داده و روي مرز صفر باشند uمقادير مناسب جهت تقريب تابع 21)1)(1(1 yxxy

),(12 yxx ),(13 yxy

),(12

4 yxx ),(1

25 yxy

),(16 yxxy ...

41

معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتبا جايگذاري در فانكشنال

1

0

1

01

2

1

2

1

2)( dxdyafy

ax

auJn

jjj

n

j

jj

n

j

jjn

براي يافتن مينيمم فانكشنال انرژي مشتقات جزيي را برابر صفر قرار مي دهيم

...

02)( 1

0

1

0 111

11

1

dxdyfayyxxa

uJ n

j

jjn

02)( 1

0

1

01

dxdyfayyxxa

uJnn

n

j

njnj

n

n

bAaبصورت ماتريسي 42



معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتدستگاه معادالت

1

0

1

0),(),( dxdyyxyxfb ii

1

0

1

0dxdy

yyxxA ijij

ij

با حل دستگاه معادالت ضرايب بدست آمده وتابع جواب تقريبي بدست مي آيد

bAa

Tnaaaa ,...,, 21

43

پايان درس رياضيات مهندسي پيشرفته

موفق باشيد

44

Documents

Calculus of variations