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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
CALIBRACIÓN DE ACELERÓMETROS PARA
LA MEDIDA DE MICROACELERACIONES EN
APLICACIONES ESPACIALES
Tesis Doctoral
Julián B. Santiago Prowald
Ingeniero Aeronáutico
Madrid, febrero de 2000
DEPARTAMENTO DE VEHÍCULOS AEROESPACIALES
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
CALIBRACIÓN DE ACELERÓMETROS PARA
LA MEDIDA DE MICROACELERACIONES EN
APLICACIONES ESPACIALES
Julián B. Santiago Prowald
Ingeniero Aeronáutico
Dirigida por
Ángel Pedro Sanz Andrés
Doctor Ingeniero Aeronáutico
José Manuel Perales Perales
Doctor Ingeniero Aeronáutico
Madrid, febrero de 2000
Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad
Politécnica de Madrid, el día ..... de .......................... de 2000.
Presidente D. .......................................................................................
Vocal D. .......................................................................................
Vocal D. .......................................................................................
Vocal D. .......................................................................................
Secretario D. .......................................................................................
Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el día .............
de ............................. de 2000.
en .............................................................................................................
Calificación .............................................................................................
EL PRESIDENTE LOS VOCALES
EL SECRETARIO
A Tania
Agradecimientos
Agradezco especialmente a Ángel Sanz y a José Manuel Perales la paciencia y el apoyo
prestados como directores durante la realización de esta Tesis.
Agradezco también la inestimable ayuda de Nikolai Bezdenejnykh y sus sabios consejos,
a Francisco Reina Barragán por su paciente colaboración. Asimismo, agradezco la
imprescindible intervención de Pedro López González, Alfredo Sanz Lopera, Pablo
Rodriguez de Francisco, Jesús Peláez, Luis Hernández Corporales y Luis Muñoz Sevilla.
Este trabajo ha sido posible gracias a las instalaciones, personal y alumnos del
Laboratorio de Aerodinámica de la E.T.S.I. Aeronáuticos y el apoyo prestado por el
personal de CASA División Espacio.
i
ÍNDICE
ÍNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
NOMENCLATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Principios de la microacelerometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Aplicaciones de la microacelerometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Tipos de acelerómetros para aplicaciones espaciales . . .. . . . . . . . 24 1.4 La técnica propuesta en esta Tesis: justificación y objetivos . . . . . 33
2. REVISIÓN DE TÉCNICAS DE CALIBRACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1 Calibración por inclinación (tilting test) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 36 2.2 Calibración sobre centrífugas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Calibración sobre vibradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Instrumentos ópticos aplicados a técnicas de alta resolución . . . . . 43 2.5 Calibración en vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6 Métodos gravimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.7 Torres de caída libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3. CARACTERIZACIÓN DEL PÉNDULO DE CALIBRACIÓN . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Análisis de la dinámica: el péndulo elemental . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 Modelo linealizado con coeficientes constantes:
Función de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Transmisibilidad de vibración en los apoyos . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4 Interpretación física de la antirresonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.5 Modelo con coeficientes periódicos:
Análisis de estabilidad en la antirresonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Solución en la antirresonancia por el método de las
escalas múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.7 Solución numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4. TÉCNICA DE CALIBRACIÓN DE ACELERÓMETROS PARA LA MEDIDA DE MICROVIBRACIONES ESTRUCTURALES . . . . . . . . . . . . . 81
4.1 Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.1.1 El péndulo: modelo y parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.1.2 Modelo del acelerómetro piezoeléctrico . . . . . . . . . . . . . 88
ii
4.1.3 Diseño del péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.4 Descripción de la instalación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 Ensayos de validación y determinación de parámetros . . . . . . . . . . 100 4.2.1 Ensayo de amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2.2 Ensayo de barrido en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2.3 Otros ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3 Análisis de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.4 Ensayos de calibración y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5. TÉCNICA DE CALIBRACIÓN DE ACELERÓMETROS PARA LA MEDIDA DEL AMBIENTE MICROGRAVITATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1 El péndulo de microgravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2 Modelo del servoacelerómetro pendular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.1 El servoacelerómetro pendular ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.2.2 Modelo generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.2.3 Respuesta sobre el péndulo de microgravedad . . . . . . . . . . . 124
5.3 La instalación de calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.4 Método de calibración . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.4.1 Procedimiento simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.4.2 Calibración completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.4.3 Incertidumbres de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5 Resultados experimentales y discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7. REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8. ANEXO: DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LOS MODELOS . . . . 167
CURRICULUM VITAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
iii
NOMENCLATURA
A, B, C Parámetros adimensionales de los péndulos, relacionados con la
frecuencia de antirresonancia, la amplitud de excitación y la segunda
frecuencia de aceleración nula, respectivamente.
gaA −= Aceleración neta (ms -2).
( )TA ,ω Aceleración neta proyectada en el eje sensible del instrumento (ms -2).
rA , θA Componentes radial y tangencial de la aceleración neta (m s-2).
0A , 0B Coeficientes de la solución de orden 0 para la oscilación (Cap. 3).
a , a Vector aceleración (m s-2) y su módulo.
a , b , d Dimensiones del péndulo de microgravedad (m), Cap. 5.
ia , ib Coeficientes de orden i en el método de dos escalas, Cap. 3.
BIAS Error sistemático del cero del instrumento por causas de funcionamiento
interno y resultante de la sensibilidad a campos externos (m s-2).
Ci Coeficiente de incertidumbre de la magnitud i en la expresión (4.3.3).
e Radio vector unitario del centro de la placa en el péndulo de
microgravedad.
G Ganancia externa al acelerómetro Q-Flex. Transformada de Fourier de la
excitación en Cap. 3.
g , g Vector aceleración local de la gravedad (m s-2) y su módulo.
( )TH ,ω Factor de escala global (V/g).
osH Sensibilidad del sensor óptico (V m-1).
ςH , ςH , ςφ Función de transferencia adimensional de la oscilación del péndulo
elemental respecto al parámetro 1ς , su amplitud y su fase.
i Inclinación del plano de referencia en el método de inclinación (rad).
i, j Vectores unitarios del sistema de referencia inercial en el acelerómetro
ideal biaxial.
iv
I Matriz identidad.
I Intensidad de la corriente generada por el acelerómetro Q-Flex (A).
0I Momento de inercia del péndulo excluyendo la masa m (kg m2).
K Matriz de rigidez del péndulo elemental (s-2).
GK Ganancia interna del servoacelerómetro.
θuuk ×= r Vector unitario orientado según el eje del péndulo de microgravedad.
θθ uek ×= Vector unitario normal a la placa del péndulo de microgravedad.
k Constante elástica del acelerómetro ideal (N/m) en capítulo 1. Constante
elástica del muelle ficticio en la excitación del péndulo elemental (N/m).
l Longitud natural del muelle del acelerómetro ideal (m). Longitud del
péndulo sísmico del acelerómetro pendular ideal (m).
L Función lagrangiana (kg m2 s-2).
L1 Longitud de la viga del péndulo de microvibraciones.
La Brazo de giro del acelerómetro sobre el péndulo de calibración (m).
Le Brazo de giro de la masa excitadora del péndulo elemental (m) .
LM Brazo de la masa principal de los péndulos (m) .
osL Longitud óptica, brazo de giro del punto de medida de oscilación (m).
M Matriz de masa del péndulo elemental. Adimensional.
M Masa principal de los péndulos, excluyendo la masa excitadora (kg).
m Masa sísmica del acelerómetro ideal (kg). Masa excitadora de los
péndulos (kg).
m1 , m2 , m3 Componentes del vector unitario s en el sistema de referencia e, uθ , kθ .
n Vector normal unitario al plano de referencia.
LR Resistencia de carga del acelerómetro Q-Flex (Ω).
r, r Vector posición relativa de la masa sísmica y su módulo (m).
pr Radio de giro de m respecto al eje del péndulo de microgravedad (m).
r1 , r2 , r3 Componentes del vector r en el sistema ur , uθ , k .
v
s Vector eje sensible unitario.
s1 , s2 , s3 Componentes del vector unitario s en el sistema de referencia ur , uθ , k .
SF, SF Factor de escala del acelerómetro y su módulo (V/g, mA/g o pC/g).
0SF , 0SF Primer término de SF en el desarrollo (5.2.2), correspondiente a entrada
normal nula.
T Energía cinética (kg m2 s-2). Temperatura (K) en Cap. 5.
etT Ω= Tiempo adimensional relativo a la antirresonancia del péndulo elemental.
TT ε=~
Tiempo lento en el método de dos escalas (Cap. 3).
ur , uθ Vectores unitarios polares.
u , u1 Grado de libertad de la masa excitadora y su amplitud de oscilación (m).
iu Incertidumbre de la magnitud i. Así, SFu es la incertidumbre de SF.
v , v Vector velocidad del punto de charnela del acelerómetro pendular ideal y
su módulo (m/s).
v r Vector velocidad relativa a referencia no inercial (m s-1).
V Energía potencial gravitatoria o elástica (kg m2 s-2). Energía potencial
gravitatoria por unidad de masa en el capítulo 1 (m2 s-2).
Va , Va , aV Salida acondicionada del acelerómetro, su amplitud y su valor medio (V).
Vos , Vos Salida del sensor óptico y su amplitud (V).
)(0 TV Tensión de desviavión (offset), inducida por los circuitos externos (V).
x Vector posición de la masa sísmica en el acelerómetro ideal (m).
0/Ω= ωx Frecuencia de excitación adimensional. En Cap. 5 Ω= /ωx en el modelo
del servoacelerómetro pendular.
0/ ΩΩ= eex Frecuencia de antirresonancia adimensional.
Hx , Hy Coordenadas del punto de charnela del péndulo elemental (m).
0/ ΩΩ= kkx Frecuencia adimensional del oscilador de excitación.
vi
1x , 2x Frecuencias propias adimensionales del péndulo elemental de dos grados
de libertad (Cap. 1).
Frecuencias de aceleración nula en el péndulo de microvibraciones.
0x , 0y , 0z Posición del acelerómetro sobre el péndulo de microgravedad (m).
( )ty Traslación del sistema de referencia del acelerómetro ideal (m).
eey ΩΩ= /0 Inverso de la frecuencia de antirresonancia adimensional.
20y , 2
1y , 22y Coeficientes de desarrollo en serie de 2
ey (Cap. 3).
α Matriz de receptancia del péndulo elemental (s-2).
α Ángulo de desalineamiento en el Método de Inclinación (rad). Ángulo de
inclinación del péndulo de microgravedad en Cap. 5 (rad).
0α , 0β Ángulos de orientación de s sobre el péndulo de microgravedad (rad).
θ , θ Oscilación del péndulo sísmico del acelerómetro ideal en Cap. 1 (rad).
Oscilación de los péndulos elemental y calibración y su amplitud (rad).
Giro azimutal sobre el plano en el Método de Inclinación (rad).
θ 0 , θ ∞ Límites de frecuencia cero y frecuencia alta de la amplitud de oscilación
del péndulo elemental (rad).
θ 0 , θ 1 , θ 2 ... Coeficientes de los desarrollos en serie de θ para análisis de estabilidad y
respuesta en la antirresonancia (Cap. 3).
α∆ , β∆ Giros incrementales en la calibración completa del Cap. 5 (rad).
δ Deflexión del acelerómetro ideal (m), lineal o pendular.
δα δβ, Desalineamientos del eje sensible respecto a ejes péndulo (rad).
δ a Descentramiento de la masa sísmica del acelerómetro (m).
Cδ Coeficiente de sensibilidad transversal del acelerómetro Q-Flex (s2/m).
δ m Descentramiento de la masa excitadora del péndulo elemental (m).
δ M Descentramiento de la masa M del péndulo de microvibraciones (m).
γ Coeficiente de amortiguamiento viscoso global del péndulo.
aγ Coeficiente de amortiguamiento viscoso del acelerómetro.
vii
ijΓ Tensor gradiente de gravedad (s-2).
ε Error de alineamiento del acelerómetro ideal biaxial (rad) en el Cap. 1.
21ξε = es el parámetro pequeño usado para desarrollos en serie (Cap. 1).
En capítulos 4 y 5, ángulo de desequilibrio del péndulo (rad).
λ Desplazamiento adimensional en i de la masa sísmica en el acelerómetro
ideal en el Cap. 1. Sensibilidad transversal del acelerómetro. Parámetro
adimensional de inercia en el péndulo elemental.
µ Desplazamiento adimensional en j de la masa sísmica en el acel. ideal.
eLu /=ς Parámetro adimensional de excitación en el péndulo elemental.
0ς , 1ς Término constante y amplitud de oscilación de ς . Adimensionales.
λςξ = Parámetro adimensional del péndulo elemental, combina la relación de
inercias y el parámetro de excitación.
1ξ Amplitud de oscilación de ξ .
Hξ , Hη Coordenadas adimensionales del punto de charnela del péndulo.
0Ω= tτ Tiempo adimensional relativo a la frecuencia propia del péndulo.
( )Tϕ , ( )Tψ Desalineamiento del eje sensible respecto a la carcasa del acel. (rad).
Φ Matriz de autovectores del péndulo elemental.
φ , 0φ Fase de SF y el primer término de su desarrollo en serie dado por (5.2.4).
ω Vector velocidad angular (rad/s).
ω Frecuencia de excitación (rad/s).
1ω , 2ω Frecuencias propias del péndulo elemental de dos grados de libertad.
Ω Frecuencia propia (rad/s) del acelerómetro ideal.
Ωe Frecuencia de antirresonancia del péndulo (rad/s).
Ωk Frecuencia propia (rad/s) del excitador en el péndulo elemental.
Ωp Contribución de la rigidez parásita a la frecuencia propia según (4.1.4).
Ω0 Frecuencia propia no amortiguada del péndulo (rad/s).
′Ω0 Frecuencia propia no amortiguada incluyendo la rigidez parásita (rad/s).
viii
LISTA DE FIGURAS
Fig. 1.1. Acelerómetro lineal con desplazamiento y gravedad alineados con el eje sensible.
Fig. 1.2. Ejemplo del acelerómetro biaxial.
Fig. 1.3. Acelerómetro pendular.
Fig. 2.1. Efecto de la inclinación i del plano de referencia.
Fig. 2.2. Efecto del desalineamiento en el bias.
Fig. 3.1. El péndulo elemental. Grados de libertad y parámetros cinéticos.
Fig. 3.2. Amplitud y fase de la función de transferencia del péndulo elemental.
Fig. 3.3. Relación de sensibilidad de la aceleración horizontal respecto a la excitación.
Fig. 3.4. Forma de los modos del péndulo elemental.
Fig. 3.5. Elementos de la matriz de receptancia del péndulo elemental.
Fig. 3.6. Diagrama de estabilidad del péndulo elemental en la antirresonancia.
Fig. 3.7. Comparación de la solución numérica con la analítica. Péndulo elemental.
Fig. 3.8. Trayectoria en el plano de las fases.
Fig. 3.9. Solución numérica con ye = +1 412ξ / , ξ1 0 25= . .
Fig. 3.10. Solución numérica con ye = +1 412ξ / , ξ1 0 45= . .
Fig. 3.11. Solución numérica sobre la curva de transición.
Fig. 3.12. Solución numérica para ye = 1, ξ1 1= .
Fig. 3.13. Trayectorias en el plano de las fases para ye = 1, ξ1 1= .
Fig. 4.1. Procedimiento de calibración.
Fig. 4.2. Parámetros del péndulo de microvibraciones.
Fig. 4.3. Efecto del parámetro A en la función de transferencia.
Fig. 4.4. Aceleración típica sobre el péndulo. Orientación tangencial.
Fig. 4.5. Vista general del péndulo sobre la mesa óptica.
Fig. 4.6. Vista general de los equipos.
ix
Fig. 4.7. Cadena de medida.
Fig. 4.8. Conexión del sistema de excitación.
Fig. 4.9. Ensayo de amortiguamiento típico.
Fig. 4.10. Ensayo de barrido en frecuencias.
Fig. 4.11. Ensayo de sensibilidad.
Fig.4.12. Espectros de salida: oscilación y aceleración del acelerómetro ISOSHEAR.
Fig. 5.1. El péndulo de microgravedad.
Fig. 5.2. Respuesta teórica no amortiguada con α como parámetro.
Fig. 5.3. Referencia ligada al péndulo.
Fig. 5.4. Esquema de la instalación.
Fig. 5.5. Esquema funcional del servo de control.
Fig. 5.6. Concepto del mecanismo de excitación.
Fig. 5.7. Tabla de la mesa de orientación.
Fig. 5.8. Tratamiento de la señal del acelerómetro.
Fig. 5.9. Circuito del servomecanismo de excitación.
Fig. 5.10. Giros sobre el péndulo.
Fig. 5.11. Calibración del sensor óptico FASOP, curva de regresión y residuos.
Fig. 5.12. Calibración del sistema de excitación.
Fig. 5.13. Respuestas teórica y experimental del péndulo.
Fig. 5.14. Calibración del acelerómetro Sundstrand QA-700.
Fig. 5.15. Detalle de la Fig. 5.14 en las bajas frecuencias.
Fig. 5.16. Residuos en g de la calibración de la figura 5.14.
Fig. A.VI.1. Cinemática de la masa sísmica.
Fig. A.VIII.1. Sistemas de referencia y esquema del servoacelerómetro pendular ideal.
Fig. A.VIII.2. Relación geométrica entre ejes.
1
RESUMEN
El tema de esta Tesis Doctoral es el desarrollo de técnicas de calibración de
acelerómetros. En particular, se trata de aplicaciones acelerométricas en el entorno
espacial, como la microgravedad y las microvibraciones estructurales, aunque también
tienen aplicaciones en otros campos, como la navegación inercial o técnicas geodésicas.
Se demuestra la necesidad de tratar correctamente la gravedad del lugar de medida
al obtener modelos matemáticos de los acelerómetros y equipos. Esta consideración no
suele estar recogida adecuadamente en las técnicas de calibración industriales,
destinadas en general a ambientes distintos del microgravitatorio o microvibratorio.
En primer lugar se exponen los principios de la microacelerometría y se describen
los acelerómetros más empleados, así como las aplicaciones típicas. La revisión de las
técnicas de calibración ya existentes permite verificar que no son realmente aptas para
los rangos necesarios, debido sobre todo a las limitaciones de los dispositivos que
generan la señal de referencia. Por este motivo se desarrolla un instrumento nuevo: el
péndulo de calibración. Su descripción se realiza sobre un modelo simplificado que
permite caracterizar los péndulos reales, diseñados y construidos específicamente para
cada aplicación. Se obtiene la función de transferencia, sus valores característicos, la
transmisibilidad de vibraciones y se analiza la estabilidad en la antirresonancia. La
técnica de calibración desarrollada para la medida de microvibraciones permite el
control de las incertidumbres de alineamiento y sensibilidad transversal, mientras que la
desarrollada para microgravedad es más compleja y requiere más ensayos para
desacoplar los efectos gravitatorios.
Las técnicas desarrolladas emplean instrumental estándar al alcance de laboratorios
de ensayos mecánicos, realizándose en tierra. Como demostración de viabilidad, se han
calibrado acelerómetros comerciales a niveles entre 1 µg y 1 mg y a frecuencias entre 0 y
100 Hz, analizando cuidadosamente las incertidumbres de la calibración.
2
ABSTRACT
The subject of this Doctoral Thesis is the development of calibration techniques
for accelerometers. More specifically, it deals with space applications, such as
microgravity and structural microvibrations, though these techniques may also be
applied in other fields, such as inertial navigation and geodesic measurements.
The need to properly treat the gravity of the calibration site while obtaining
mathematical models of the accelerometers and other equipment is demonstrated here.
This consideration is usually not adequately taken into account by industrial
calibration techniques, which are mostly geared toward environments other than
microgravity or microvibrations.
First of all, the principles of microaccelerometry are set forth and the most
commonly used accelerometers are described, along with the most typical
applications. A review of existing calibration techniques shows that they are not
completely suitable for the necessary ranges, largely due to the limitations of the
devices generating the reference signal. For this reason, a new instrument is
developed: the calibration pendulum. It is described based on a simplified model that
allows for characterisation of the real pendulums, which were specifically designed
and built for each application. The transfer function, its characteristic values and the
vibration transmissibility were obtained, and stability at anti-resonance was analysed.
The calibration technique developed for measuring microvibrations made it possible to
control alignment and transverse sensibility uncertainties, while the technique
developed for microgravity is more complex and requires more testing in order to
uncouple gravity effects.
The techniques developed use standard instrumentation for mechanical testing
laboratories, and are performed on earth. To prove their feasibility, commercial
accelerometers were calibrated at levels from 1 µg to 1 mg and frequencies between 0
and 100 Hz, with careful analysis of calibration uncertainties.
3
1. INTRODUCCIÓN
Este primer capítulo es una introducción a la microacelerometría y sirve de justificación
al objetivo propuesto. En primer lugar se exponen los principios de medida de
aceleraciones, analizando en particular algunos efectos no lineales y la influencia de los
desalineamientos como errores dominantes, con especial énfasis en el efecto de la
gravedad durante la calibración. A continuación se describe la microacelerometría por
sus aplicaciones fundamentales y los tipos de instrumentos sísmicos más utilizados.
Finalmente se define y acota el objetivo de la Tesis.
Antes de entrar en materia es preciso aclarar el uso de las unidades de aceleración. Está
muy extendido el “g” como unidad de medida de aceleración. Habitualmente se entiende
por 1 g la aceleración de referencia del campo de gravedad terrestre a nivel del mar y
vale por convenio g = 9.80665 ms-2. Sin embargo, dependiendo del contexto, g también
se puede referir a la aceleración de la gravedad local, que no es necesariamente la de
referencia. También se emplea como unidad el Gal, que equivale a 10-2 ms-2. En
gradiometría, las componentes del tensor gradiente de gravedad, Γij i j= ∂ ∂ ∂2V x x/ ( ) ,
tienen dimensión de s-2, pero se suele usar el Eötvös, equivalente a 10-9 s-2. Todas estas
formas de expresar aceleración y gravedad aparecen a lo largo de la exposición.
1.1 Principios de la microacelerometría
Conviene comenzar por introducir algunos de los principios de la medida de
aceleraciones en condiciones de microgravedad, así como el fundamento de los
4
instrumentos sísmicos. Se estudia en este apartado el acelerómetro lineal ideal y se va
complicando el modelo con los efectos de rotación, los efectos no lineales, los
desalineamientos y sobre todo la “infiltración” del campo de gravedad local en las
medidas.
Estrictamente hablando, por la simple existencia de masa en el Espacio es imposible
escapar a la acción de la gravedad. Sin embargo, se entiende comúnmente por
ingravidez el estado de movimiento de un sistema tal que, según el Principio de
Equivalencia generalizado por Einstein en la Teoría de la Relatividad General (Landau y
Lifschitz, 1989), las fuerzas de inercia equilibran a las gravitatorias, cualquiera que sea
la masa. Ocurre así en la caída libre. Aunque parezca paradójico, siguiendo esta
definición se deduce que para alcanzar la ingravidez total es necesario que la única
acción externa sobre el sistema sea la gravitatoria. Cualquier perturbación no
gravitatoria que altere el movimiento libre podría ser captada por un instrumento
transportado a bordo. Así, por ejemplo, un acelerómetro colocado verticalmente sobre
una mesa inmóvil mide 1 g, procedente de la fuerza de reacción de la mesa. Cuando las
perturbaciones son muy pequeñas comparadas con la propia gravedad se habla de
microgravedad.
Las ideas anteriores se pueden ilustrar colocando un acelerómetro ideal uniaxial en un
sistema de referencia acelerado respecto a uno inercial en un campo de gravedad
uniforme (Fig. 1.1). El acelerómetro ideal se representa mediante un sistema masa-
muelle lineal. Considérese en principio una aceleración de traslación y la acción de la
gravedad colineales con el desplazamiento de la masa sísmica.
5
Fig 1.1. Ejemplo del acelerómetro lineal con desplazamiento y gravedad
alineados con el eje sensible.
La función de Lagrange para el acelerómetro es:
L m y k mg y= + − − +12
12
2 2δ δ δd i b g ,
siendo δ tb g el desplazamiento de la masa sísmica respecto a la carcasa e y t( ) la
traslación del sistema de referencia ligado al acelerómetro respecto a uno inercial de ejes
paralelos. Por aplicación de las ecuaciones de Lagrange al único grado de libertad de la
masa sísmica:
ddt
L L∂∂ δ
∂∂ δ
FHGIKJ − = 0 ,
resulta la ley del movimiento:
δ δ+ = − −Ω2 g y ,
δ
m
k
y(t) g
6
donde Ω = k m/ es la pulsación natural del oscilador, que llamaremos frecuencia
circular propia o simplemente frecuencia propia. Generalizando lo anterior a una
orientación arbitraria del eje sensible s respecto al sistema de referencia no inercial se
tiene la conocida expresión:
δ δ+ = − ⋅Ω2 g a sb g ,
(1.1)
que expresa que el término forzante es la proyección de la fuerza específica sobre el eje
sensible del sensor. En el caso de caída libre la entrada al sistema es nula ( a g= ) y por
tanto también lo son la deflexión estacionaria de la masa sísmica y la salida. Para este
acelerómetro, el factor de escala entre la fuerza específica de entrada y la deflexión de
salida a frecuencias muy inferiores a la propia es precisamente Ω−2 y su ancho de banda
Ω.
Un acelerómetro ideal triaxial orientado según los ejes del sistema de referencia
respondería mediante la ley dinámica:
x x g a2+ = −Ω ,
siendo la matriz de pulsación Ω2 1= −m k con m la matriz de masas y k la
matriz de rigidez, todas diagonales en el caso ideal. Si se tiene en cuenta el efecto de la
rotación del sistema de referencia no inercial y considerando la masa sísmica puntual, no
es difícil comprobar que dada una velocidad angular ωωωω , una aceleración angular ωωωω y la
7
posición r y velocidad v r relativas de la masa sísmica respecto a la referencia móvil, la
ecuación de la respuesta dinámica triaxial sería:
x x g a r r v+ = − − × × − × − ×Ω2 2ωωωω ωωωω ωωωω ωωωωb g r .
Ya se aprecia que, incluso en el caso del acelerómetro lineal ideal es necesario plantear
hipótesis o conocer las condiciones del movimiento para poder medir una única
incógnita vectorial, ya sea la aceleración lineal, la velocidad angular o la gravedad local.
Para más detalles respecto a los términos de rotación véase el anexo A. VIII.
Un instrumento real presenta diferencias con el modelo simplificado anterior. Además
de la inercia y la fuerza recuperadora, representada por el muelle en el modelo ideal,
aparecen fuerzas parásitas. Entre ellas está la fricción, responsable de la mayor parte del
amortiguamiento en la respuesta dinámica. También están presentes las sensibilidades a
acciones ambientales, los errores de alineamiento, las no linealidades del sistema y los
efectos cruzados entre ejes sensibles, dando lugar a leyes de respuesta más complejas.
Se entiende por sensibilidad del cero (bias) cualquier respuesta espúrea del instrumento
con señal de entrada nula a una acción externa y que no esté incluida en el ajuste del
cero. Es un error sistemático que generalmente procede de una fuente conocida, de
manera que, en principio, se puede modelar o por lo menos acotar. No debe confundirse
con el error de cero denominado offset, que es ajustable electrónicamente o por
software. Es el caso de la sensibilidad a campos electromagnéticos intensos o las
sensibilidades térmicas de los parámetros internos del instrumento, entre otras. Los
acelerómetros, en particular, pueden presentar sensibilidad a la gravedad ambiental, no
sólo a través del término forzante de la respuesta dinámica, sino también en forma de
8
bias y sensibilidad en el factor de escala. La importancia del bias en aplicaciones
microacelerométricas radica en que puede enmascarar la información útil en el espectro
de bajas frecuencias. Además, su calibración se ve afectada por la gravedad local cuando
se emplean técnicas convencionales, como se verá en capítulos siguientes.
Las no linealidades y los efectos cruzados suelen manifestarse en la matriz de rigidez del
sistema. Considérese el siguiente ejemplo para ilustrarlo. Un acelerómetro biaxial
(fácilmente generalizable a triaxial) como el de la Fig. 1.2, con una masa sísmica
restringida por dos muelles lineales de longitud natural l, uno de ellos desalineado un
ángulo pequeño ε , la única imperfección considerada.
Fig. 1.2. Ejemplo del acelerómetro biaxial con una pequeña imperfección.
La dinámica queda descrita por la función de Lagrange:
L ml k l k l= + − + + −FH IK − + + + −FH IK12
12
1 1 12
1 12 2 2 2 2 22
2 2 22
λ µ λ µ µ λ εd i b g b g b g ,
mk, l
k, l
εl
i
j
9
donde los grados de libertad son los desplazamientos adimensionales respecto a la
posición de equilibrio, λ y µ . Con ε = 0 se puede estudiar el carácter no lineal (hasta
orden 2) de la respuesta dinámica a partir de la ecuación:
λµ
µ µλ λ
λµ
RSTUVW
++
+LNM
OQPRSTUVW =Ω2 1
10 .
No se ha tenido aquí en cuenta la gravedad ni la aceleración ya que se trata de ver los
efectos no lineales en la matriz de rigidez. Se aprecia que la no linealidad afecta tanto a
los términos de la diagonal, que son los que determinan los factores de escala de cada
eje, como a los de fuera de la diagonal, responsables de la sensibilidad transversal.
Además, se pierde la simetría. Linealizando se recuperaría el sistema dinámico del
acelerómetro ideal. En la práctica los términos no lineales se podrían hacer tan pequeños
como sea necesario aumentando la rigidez, si bien es conocido que aumentar el ancho de
banda, que es precisamente 2Ω , implica empeorar la resolución del instrumento en lazo
abierto (Merhav, 1996).
Usando ahora el parámetro ε ≠ 0 y después de linealizar con la condición
λ µ ε, << << 1 , lo cual es una situación típica sobre todo en servoacelerómetros,
resultaría el sistema dinámico:
λµ
ε λµ
RSTUVW
+LNMOQPRSTUVW =Ω2 1
0 10 .
10
Se observa el efecto del desalineamiento: aún habiendo linealizado la dinámica aparece
la sensibilidad cruzada y se pierde la simetría. Este sencillo ejemplo explica mediante un
desalineamiento la sensibilidad transversal, que es independiente de los términos no
lineales. Otros efectos asociados con no linealidades, como la rectificación de
vibraciones, están descritos en la literatura especializada (McLaren, 1975; Merhav,
1996), si bien, según se ha visto, no son las no linealidades las causantes de la
sensibilidad a la gravedad local. Más importantes son los errores de alineamiento en
instrumentos de precisión.
Otro modelo de gran interés práctico es el acelerómetro pendular ideal (Fig. 1.3). Es el
tipo de mecanismo empleado por ejemplo en los servoacelerómetros Quartz-Flexure,
muy extendidos en aplicaciones aeronáuticas. La rigidez a la deflexión angular se
representa mediante un muelle de torsión.
Fig. 1.3. Acelerómetro pendular ideal.
k
m
i
j
g
ur
uθθ l
11
La función de Lagrange, incluyendo gravedad y traslación, es:
L m l v l k l m l r= + + ⋅ − + ⋅12
2 12
2 2 2 2 2θ θ θθv u g ud i ,
donde v es la velocidad de traslación del punto de charnela y no se considera rotación
de la referencia móvil. Aplicando la ecuación de Lagrange a la variable δ θ= l resulta
de nuevo (1.1) pero con el eje sensible s u= θ . Linealizando y tomando por eje sensible
el i se tiene la ecuación dinámica:
δ δ+−
+FHG
IKJ = −
a gl
g ay yx xΩ2 .
Claramente la sensibilidad transversal se manifiesta como una perturbación de la
frecuencia propia y por tanto del factor de escala. Este efecto es una de las causas del
referido como sensibilidad del factor de escala a la gravedad ambiental en los apartados
siguientes. Aquí es donde se ve el posible efecto de la calibración del factor de escala en
un ambiente con gravedad 1 g cuando el ambiente de operación va a ser el
microgravitatorio. No debe olvidarse, además, que en el rango de las microaceleraciones
un error de orientación o un desalineamiento oscilatorio puede producir errores de
medida por infiltración de la gravedad local comparables a la propia señal a medir
(Norris et al., 1990; Santiago et al., 1996; Santiago et al., 1998).
Por otra parte, el ruido asociado a cada técnica de medida puede ser determinante hasta
el punto de definir la resolución del instrumento. El ruido de banda ancha está siempre
12
presente y se infiltra con facilidad en los sistemas de adquisición y registro, mientras que
el ruido 1/f de baja frecuencia puede impedir la medida de las señales típicas de la
microgravedad. Hay otros fenómenos que pueden determinar la resolución de medida,
como la histéresis, que dependen principalmente de los métodos de transducción y
detección. La casuística es muy amplia, cada diseño electromecánico tiene propiedades
distintas, con sus virtudes y defectos. Por tanto, el análisis detallado de las
características y la estimación de errores de medida debe realizarse considerando cada
aplicación particular.
En definitiva, la respuesta linealizada de un acelerómetro queda determinada mediante
cuatro parámetros por cada eje de medida, que son: el factor de escala, el error del cero y
los cosenos directores del eje sensible respecto a la carcasa. Todos ellos son sensibles a
la temperatura. Para determinarlos por calibración es necesario tener en cuenta la
gravedad local y su proyección, tanto en el eje sensible como en los transversales. Los
términos no lineales son de segundo orden, normalmente, pero pueden dar lugar a
efectos no deseados y difíciles de desacoplar, especialmente en instrumentos triaxiales.
1.2 Aplicaciones de la microacelerometría
En este apartado consideran las aplicaciones espaciales de la microacelerometría y
algunas de las aplicaciones convencionales relacionadas. En ambos casos cabe distinguir
los usos puramente científicos, aplicados a problemas básicos de la Física, así como los
usos de carácter más tecnológico e industrial, como las aplicaciones estructurales en
misiones espaciales, la navegación inercial o incluso el procesado de materiales en
microgravedad. Muchas de las aplicaciones siguientes son todavía temas candentes de
13
investigación y desarrollo, por lo que su progreso está relacionado con el de las técnicas
acelerométricas.
• Experimentos en microgravedad
Una parte importante de los experimentos en microgravedad está relacionada con la
Física de Fluidos y la Ciencia de los Materiales (Martinez et al., 1987). Se aprovechan
las condiciones de gravedad reducida para observar fenómenos encubiertos por la
gravedad terrestre en condiciones normales. Por otra parte, mediante técnicas como la
Zona Flotante y otras semejantes es posible procesar materiales hasta niveles de pureza
inimaginables en presencia de gravedad. Estos experimentos tienen por tanto
aplicabilidad directa en las industrias microelectrónica, metalúrgica y farmacéutica.
Las perturbaciones microgravitatorias se clasifican según su espectro, dado que su
efecto en los experimentos depende no sólo de la amplitud sino también del rango de
frecuencias (Perales et al., 1991; Meseguer y Perales, 1991). Se habla de gravedad
residual cuando la perturbación se encuentra en el intervalo entre 0 Hz y una frecuencia
pequeña suficientemente alejada del modo fundamental de la estructura. Típicamente, a
dichas frecuencias sólo intervienen las perturbaciones de origen aerodinámico, la
presión de radiación, el gradiente de gravedad y la rotación rígida de la plataforma. En
las perturbaciones de frecuencia mayor, denominadas g-jitter, intervienen las
resonancias estructurales, la transmisión de vibraciones por la estructura y los
transitorios procedentes de maquinaria, actividad humana y propulsión (Hamacher,
1995; Monti y Savino, 1996).
14
Uno de los puntos candentes en relación a los experimentos en microgravedad es la
calidad del ambiente microgravitatorio. En sistemas como el Shuttle se han detectado
niveles de vibración transitoria de hasta 10-2 g, muy por encima de lo permitido por
muchos experimentos (Rogers y Alexander, 1991; Rogers et al., 1993a; Rogers et al.,
1993b). En el plano de la frecuencia se han detectado picos de hasta 1 mg, sin contar las
aceleraciones propulsivas. Parece claro que para mejorar los niveles de calidad
microgravitatoria serán necesarios sistemas de aislamiento de vibraciones, tanto pasivos
como activos. En este sentido se está trabajando en el módulo Columbus de la Estación
Espacial: se ha estudiado incluir un sistema monitor con acelerómetros ASTRE (Nati et
al., 1994), derivados del GRADIO (Bernard et al. 1989), y se aislarán los experimentos
del resto del módulo.
La correcta calibración de los acelerómetros para el ambiente microgravitatorio se ha
identificado como uno de los puntos clave en la puesta a punto de la instrumentación
necesaria, ya que habitualmente se realiza en laboratorios sometidos a la acción de la
gravedad (Paik y Richard, 1986; Bernard et al., 1989; Kaczmarczik et al., 1992;
Santiago et al., 1996; Santiago et al., 1998).
• Control activo de estructuras flexibles y aislamiento de vibraciones
La dinámica y el control de grandes estructuras es un tema de trabajo desde el principio
de los años 70. El problema se acentúa en el espacio ya que se acopla con la estabilidad
y las actuaciones de los subsistemas de control de actitud, gestión de energía,
propulsión, comunicaciones y las cargas útiles. Los problemas técnicos asociados son el
apuntamiento de equipos y la transmisión de vibraciones, con importantes
15
consecuencias, por ejemplo, para la Estación Espacial Internacional, en cuanto a niveles
máximos de gravedad residual y g-jitter. También se ha propuesto el concepto de
estructura adaptativa, que incluye control activo, con el objeto de generalizar y
simplificar la técnicas de análisis y ensayo en tierra de las grandes estructuras (Wada et
al., 1991).
En ciertos casos es imprescindible la observación de los niveles de perturbación y el
aislamiento vibratorio, ya sea activo o pasivo. El aislamiento pasivo se ha venido
utilizando tradicionalmente en todos los campo de la ingeniería y es un tema clásico de
la teoría de vibraciones (Meirovich, 1975). Su aplicación en sistemas espaciales
tampoco es nueva, si bien se ha mostrado insuficiente por sí solo para alcanzar niveles
de microgravedad aceptables (Ellison et al., 1995). Como solución se propone el
aislamiento activo mediante técnicas de control. Un procedimiento consiste en el ajuste
del amortiguamiento de los anclajes según el nivel de perturbación, reduciendo así la
transmisibilidad. Otras técnicas más sofisticadas se basan en control óptimo (Knospe y
Allaire, 1990; Knospe y Allaire, 1991), aunque se han encontrado dificultades para
cumplir las especificaciones en bajas frecuencias. Estudios más recientes emplean
técnicas de control robusto (Hampton et al., 1996a,b,c) y prometen el cumplimiento de
los requisitos.
El módulo de la Estación Espacial Internacional denominado Columbus Orbital Facility
(COF), estará provisto de aislamiento activo de las vibraciones transmitidas a los
experimentos montados en los compartimentos ISPR (International Standard Payload
Rack). El nivel tolerado en el módulo Columbus es 10-5 g RMS por debajo de 1 Hz y
310− g RMS por encima de 100 Hz. El sistema de aislamiento se denomina Active
Equipment Vibration Isolation (AEVI) y se encuentra actualmente bajo desarrollo para
16
la ESA. Precursores del AEVI son el Microgravity Isolation Mount, MGIM (Owen et
al., 1993), el Microgravity Vibration Isolation Mount canadiense, MIM (Salcudean et
al., 1992; Hollis y Salcudean, 1993) y el ARIS de Boeing. Los dos primeros, MGIM y
MIM están basados en tecnologías de no contacto, tanto en sensores como en
actuadores. EL MGIM emplea detectores capacitivos, actuadores magnéticos y técnicas
tradicionales de control activo de la función de transmisibilidad entre la carga útil y el
ISPR, mientras el MIM está basado en acelerómetros que proporcionan una referencia
absoluta, captadores ópticos para evitar colisiones de la masa levitada en el tramo de
bajas frecuencias, así como actuadores magnéticos. Además de utilizar un concepto más
avanzado en cuanto a la referencia de aceleraciones, el MIM es superior al MGIM por
incorporar control óptimo entre las técnicas de control activo (Hampton et al.,
1996a,b,c) en los seis grados de libertad. Así lo ha demostrado la experiencia de vuelo
acumulada a bordo de la estación MIR y el STS-85 (Tryggvason et al., 1997). Por otra
parte, ARIS es el desarrollo de Boeing para la NASA y responde a una tecnología
diferente por prescindir del no contacto, si bien incorpora la referencia absoluta de
aceleraciones proporcionada por los acelerómetros sísmicos.
El control activo del apuntamiento presenta más dificultades, ya que se precisa un
modelo de la dinámica estructural completo pero manejable. Las ideas básicas se
sentaron entre finales de los 70 y principios de los 80 y la tendencia actual es introducir
en el bucle de control modelos de elementos finitos truncados (Legrain, 1991; Legrain y
Destuynder, 1991). Se aplican también las más diversas técnicas de control óptimo
(Collins et al., 1992). Una solución intermedia entre control activo y aislamiento pasivo
es el control en lazo cerrado con circuitos pasivos (Hagood et al., 1994). Está basado en
el empleo de redes de piezoeléctricos como detectores y actuadores, simultáneamente,
17
conectados mediante circuitos puramente pasivos, sin alimentación ni información
exterior.
Uno de los efectos de la gravedad a nivel del suelo es el deterioro de la respuesta de los
acelerómetros y de las técnicas de control activo. Es conocido que si no se considera la
proyección de la gravedad local sobre el eje sensible de un acelerómetro durante el
movimiento, la respuesta puede llegar a ser imprevisible, especialmente en el rango de
las microvibraciones (Norris et al., 1990, Santiago et al., 1996, Santiago et al., 1998).
Además, dicho efecto debe incluirse en los modelos estructurales y las técnicas de
control. Un procedimiento de desarrollo de control activo probado y aceptado consta de
las siguientes actividades (Glaese y Miller, 1996):
I. Generación de modelos de sensores y estructuras bajo 1 g.
II. Determinación de parámetros del sistema mediante ensayos y análisis.
III. Ensayos de calificación de los modelos 1 g en lazo abierto.
IV. Ensayos de calificación del control activo a 1 g.
V. Modelos de sensores y estructuras bajo 0 g.
VI. Ensayos en lazo abierto a 0 g.
VII. Ensayos del control activo a 0 g.
Como consecuencia se deduce la necesidad de modelar correctamente el efecto del
ambiente gravitatorio sobre la respuesta de los acelerómetros y los modelos
estructurales.
18
• Geodesia, Geofísica, Sismología y Astrofísica
Las principales actividades en Geodesia son la determinación del campo gravitatorio
terrestre y la forma del Geoide. Hasta la aparición de los satélites artificiales los datos
disponibles de mediciones terrestres eran insuficientes y los de instrumentos
embarcados estaban sometidos a errores de estabilización y navegación (Bomford,
1967). Las familias de modelos gravitatorios actuales (SAO, GEM, GRIM, etc.) están
basados en la determinación de las órbitas de cientos de satélites a partir de los datos de
seguimiento. De esta manera se han obtenido grandes series de armónicos esféricos del
potencial. Sin embargo, en el mejor caso se llega a una resolución espacial de 50 km con
más de 13000 coeficientes, todavía lejos de los requisitos de las principales aplicaciones
geofísicas, en particular las oceanográficas y climatológicas (Rapp, 1991). En este
contexto, la gradiometría embarcada en satélites permitiría llegar a la resolución espacial
y la precisión requeridas para las aplicaciones de la Geodesia. Un gradiómetro, en
principio, no es más que un acelerómetro diferencial. Mide por tanto los elementos del
tensor gradiente de gravedad, en condiciones ideales. Además de su uso gravimétrico,
también se emplean en sistemas de navegación y guiado de gran precisión.
La gradiometría experimentó un gran auge una vez que se desarrollaron las técnicas
necesarias para medir con la precisión requerida. Los gradiómetros convencionales
desarrollados por Bell Aerospace, Hughes y Draper Labs. durante los años 70 (Wells,
1984; Pelka y DeBra, 1979) con sensibilidades en el entorno de 1 Eötvös/√Hz, pronto se
vieron ampliamente superados por los instrumentos dotados de masas suspendidas
electrostáticamente, como el CACTUS (Bernard, 1982) y el GRADIO (Bernard et al.,
1989; Bernard y Touboul, 1991) desarrollados por ONERA para la ESA. El primero
19
voló en el satélite francés CASTOR-D5B, lanzado en 1975. El segundo es capaz de
resolver 10-2 Eötvös/√Hz en el rango 0.005-0.125 Hz (Meyer y Peyrot, 1991) en modo
diferencial o bien 10-13 g/√Hz en modo común. La misión conjunta ESA/NASA
ARISTOTELES, rebautizada recientemente GOCE, embarcará cuatro acelerómetros
GRADIO montados en un plano transversal a la trayectoria con la función de determinar
la ondulación del Geoide y la anomalía gravitatoria con incertidumbres menores que,
respectivamente, 10 cm y 5 mGal. En el tramo de frecuencias bajas se complementa la
medida gradiométrica con técnicas de GPS (Rummel, 1991).
Las técnicas criogénicas han permitido bajar más aún el umbral de medida. Se han
construido instrumentos de laboratorio dotados de dispositivos superconductores y
superfluidos capaces de resolver 0.1 Eötvös/√Hz y con posibilidad de llegar a 10-4
Eötvös/√Hz en el ambiente microgravitatorio (Moody et al., 1986; Paik y Richard,
1986). Mediante estas técnicas se ha conseguido eliminar el ruido, especialmente el de
baja frecuencia Flicker, uno de los grandes problemas de los instrumentos
electrostáticos tradicionales. La tendencia actual es el uso de gradiómetros con
dispositivos criogénicos superconductores y superfluidos, en particular detectores
SQUID (Superconducting Quantum Interference Device), y con masas sísmicas
suspendidas electrostáticamente. El objetivo es llegar a los 10-17 g/√Hz requeridos por
misiones como STEP (Satellite Test of the Equivalence Principle), cuyo objetivo es la
localización del límite de validez del Principio de Equivalencia de Einstein (Barlier et
al., 1991; Touboul et al., 1994a). Dos masas sísmicas iguales y concéntricas en
microgravedad perfecta, pero de materiales diferentes, sólo sufren aceleraciones
diferenciales en caso de violarse la equivalencia entre gravedad e inercia. También es el
caso de la misión LISA, donde se emplea interferometría láser entre masas sísmicas
20
distantes para medir la radiación gravitatoria de origen estelar (Touboul y Rüdiger,
1994b). Ambos, STEP y LISA pertenecen al Programa Científico de la ESA.
Los gradiómetros actuales, criogénicos o no, siguen sufriendo problemas técnicos de
carácter mecánico: errores de posición, alineamiento y dimensión de las masas sísmicas
(Heller y Jordan, 1976; Pelka y DeBra, 1979; Paik y Richard, 1986; Bernard et al.,
1989; Meyer y Peyrot, 1991; Nati et al., 1994), así como la necesidad de desarrollar
técnicas de calibración en laboratorio terrestre. Las instalaciones de calibración son
escasas; se basan en aisladores sísmicos pasivos y activos (Paik y Richard, 1986;
Bernard et al., 1989; Foulon et al., 1991), con capacidad en el mejor de los casos de
generar señales estáticas de referencia, pero no llegan a medir la respuesta en frecuencia
del instrumento.
• Navegación inercial, control de actitud y determinación de órbitas
El empleo de acelerómetros en navegación inercial y guiado es ya tradicional. En el
contexto que nos ocupa se trata de relacionar el efecto de los errores de medida de
aceleraciones con los de navegación. Típicamente, un error de calibración de 1 mg
podría dar lugar a un error de posición de 6 km al cabo de una hora. Dichos errores
destacan aún más cuando la señal a medir es de pequeña magnitud, como ocurre en el
entorno espacial. Este es uno de los motivos del limitado uso de acelerómetros para
navegación y guiado en el espacio, excepto cuando está relacionado con reentrada
atmosférica, control de maniobras o la determinación de órbitas.
21
Uno de los trabajos pioneros se remonta a principios de los años 70 con el satélite
Atmosphere Explorer C, lanzado en 1973. Disponía de acelerómetros electrostáticos
MESA de Bell Aerospace para el control de maniobras orbitales y la determinación de la
órbita en presencia de atmósfera residual (Fuchs y Velez, 1976). También de la misma
época son los primeros estudios sobre sistemas de navegación y determinación de
órbitas apoyados en gradiómetros de alta sensibilidad (Heller y Jordan, 1976; Zondek,
1979). El desarrollo de gradiómetros cobró gran auge pocos años después, pensando en
un principio en la Geodesia, si bien pronto se identificó la navegación inercial como la
aplicación potencial más prometedora.
Los instrumentos no gradiométricos se han venido utilizando intensamente durante la
reentrada atmosférica del Shuttle, empezando por el HIRAP (Blanchard y Rutherford,
1985) basado en acelerómetros pendulares convencionales y continuando con el OARE
(Blanchard et al., 1987), que dispone de acelerómetros electrostáticos. Ambos
instrumentos proporcionan duplicidad de datos con la unidad de medida inercial (IMU)
del Shuttle donde se solapan sus rangos de medida, pero sobre todo proporcionan datos
de vuelo sobre el comportamiento aerodinámico. De esta manera, se han puesto las
bases para el desarrollo de la IMU de un futuro vehículo de transferencia orbital.
También se ha adoptado el enfoque opuesto, es decir, a partir de los datos de navegación
y actitud determinar la aceleración debida a la resistencia aerodinámica y a partir de ella
los coeficientes aerodinámicos del vehículo o bien la densidad atmosférica.
El desarrollo de nuevos acelerómetros ha permitido el progreso de la navegación inercial
y el guiado. La tecnología más extendida en los últimos años ha sido la denominada
Quartz-Flexure, si bien se viene imponiendo la nueva generación de acelerómetros
denominados Vibrating Beam, de mayor rango dinámico y salida digital sin necesidad
22
de conversión (Merhav, 1996) e incluso diseños mixtos (Norling, 1987). Las técnicas de
fabricación tienden cada vez más a la micromecanización sobre obleas de silicio,
aprovechando la experiencia acumulada por la industria microelectrónica y los bajos
costes de producción (Warren, 1991; Rogers et al., 1993b; Hulsing y MacGugan, 1993).
Como consecuencia de la mejora de la precisión han reaparecido viejas ideas, entre ellas
el uso de acelerómetros para reemplazar girómetros (Reichle y Bradner, 1973). Se gana
así en fiabilidad, robustez y miniaturización de los sistemas de navegación inercial y
determinación de la actitud. Se han seguido dos aproximaciones de resultados
semejantes. La primera consiste en combinaciones de pares de acelerómetros opuestos
vibrando en contrafase para la medida de la aceleración de Coriolis en cada uno de los
tres ejes, permitiendo despejar la velocidad angular y la aceleración lineal (Hulsing,
1988; Hulsing y MacGugan, 1993). La segunda se basa en la hábil distribución de un
mínimo de 6 acelerómetros y las combinaciones lineales entre las señales que permiten
extraer las 6 incógnitas (Sundstrand Data Control, 1991; Chen, Lee y DeBra, 1994).
Cada técnica tiene sus ventajas e inconvenientes, pero ambas son extremadamente
sensibles a errores de posición y alineamiento. Hasta el momento sólo se divisa su
viabilidad gracias a los acelerómetros del tipo Vibrating Beam.
• Medida de propiedades aerodinámicas y estudio de la alta atmósfera
La medida directa de la resistencia aerodinámica debida a la atmósfera residual a la
altitud orbital se hizo posible gracias a la aparición de acelerómetros electrostáticos de
alta sensibilidad. Las misiones precursoras son el Atmosphere Explorer C, con
acelerómetros MESA (Fuchs y Velez, 1976) y el CASTOR-D5B, con el instrumento
23
CACTUS (Bernard, 1982). Dichas medidas permiten determinar la densidad atmosférica
si se conocen los coeficientes aerodinámicos o viceversa, suponiendo dadas las variables
de navegación y actitud.
La publicación de datos más abundante se debe a los resultados de operación de los
instrumentos High Resolution Acceleration Package (HIRAP) y Orbit Acceleration
Research Experiment (OARE). Ambos se desarrollaron en NASA Langley Research
Center con el fin principal de caracterizar las propiedades aerodinámicas de la reentrada
atmosférica del Shuttle. Son, por tanto, datos referentes exclusivamente a órbitas bajas
en régimen molecular libre y la transición al continuo hipersónico. El primer vuelo de
HIRAP en el STS-6 proporcionó los primeros datos de vuelo en los regímenes
mencionados para un cuerpo fuselado y con alas (Blanchard et al., 1985). Los resultados
condujeron a la reconsideración de los modelos aerodinámicos teóricos (M.M. Moe et
al., 1993; Blanchard et al., 1997; K. Moe et al., 1998), así como de las técnicas de
simulación numérica de tipo Monte Carlo (Blanchard et al., 1997). Como resultado
indirecto se han deducido variaciones de densidad respecto a la atmósfera estándar,
detectando la formación de ondas de densidad por la influencia de la actividad solar
(Blanchard et al., 1989). Es necesario haber establecido un completo modelo de
respuesta de los acelerómetros a las perturbaciones orbitales y la dinámica del vehículo
para poder aislar las aceleraciones de origen aerodinámico (Blanchard et al., 92;
Hamacher, 1995). Se han probado diferentes modelos atmosféricos además de los
estándares, entre ellos el modelo Hedin y el modelo Jacchia, que recogen la influencia
de la actividad solar. El instrumento OARE se desarrolló para extender la resolución de
medida del HIRAP, limitado por 1 µg, hasta 1 ng (Blanchard et al., 1987), y además
resolver los graves problemas de calibración detectados (Blanchard et al., 1993).
24
1.3 Tipos de acelerómetros para aplicaciones espaciales
Los acelerómetros disponibles para técnicas aeroespaciales se suelen clasificar por su
constitución y por el principio de detección. Cabe distinguir en primer lugar los
instrumentos sísmicos en lazo abierto y los servoacelerómetros. La operación en lazo
cerrado ha representado un salto en actuaciones respecto al tradicional sistema masa-
muelle sin realimentación. Sin embargo, las técnicas actuales de la industria
microelectrónica han permitido desarrollar dispositivos de alta estabilidad dimensional y
térmica con un alto grado de miniaturización e integración de la electrónica asociada al
elemento sensible, con el añadido de una mayor facilidad de producción en lugar de la
manufactura dedicada de cada elemento de la serie. De esta manera los acelerómetros
del tipo Vibrating Beam ya están desplazando a los Q-Flex en aplicaciones tan
específicas de la industria aeroespacial como son la navegación inercial, el guiado, el
control activo y los ensayos en vuelo. Estos nuevos instrumentos presentan ventajas en
cuanto a rango dinámico y compatibilidad con los sistemas de adquisición de datos, ya
que su salida es directamente digital.
En aplicaciones estructurales, tanto terrestres como embarcadas, y especialmente en
ensayos modales, están muy extendidos los acelerómetros piezoeléctricos. Gracias a los
grandes avances experimentados por los desarrollos de nuevos materiales más sensibles
y estables, su resolución ha bajado ya del µg. Dada su robustez y versatilidad están
desplazando a otros sensores tradicionales, como los piezoresistivos y extensiométricos,
cuando no se requiere respuesta en señal continua.
Las aplicaciones típicamente orbitales y en general la medida de microaceleraciones han
requerido normalmente el desarrollo de instrumentos dedicados. Ha sido así con los
25
acelerómetros electrostáticos, los gradiómetros y los criogénicos, cuyas aplicaciones se
han descrito en el apartado anterior. Sin entrar en detalles, a continuación se describen
someramente algunos de los acelerómetros mencionados con el objeto de desarrollar
modelos de su funcionamiento, necesarios para diseñar procedimientos de calibración.
• Servoacelerómetros
El principio de funcionamiento del servomecanismo se ha reconocido como un gran
avance en la resolución de medida, la precisión y la estabilidad (McLaren, 1975;
Merhav, 1996). Está basado en el equilibrado de la masa sísmica mediante una fuerza
restauradora directamente proporcional a la deflexión, de manera que la propia fuerza
restauradora proporciona la medida directa de la fuerza específica de entrada. El
actuador es normalmente electromagnético o electrostático y el detector suele ser óptico,
capacitivo o inductivo. Las principales virtudes son: la práctica eliminación de las no
linealidades del sistema sensor/detector en lazo abierto (ya que se reduce la deflexión
hasta valores infinitesimales), mejora del ancho de banda por medios electrónicos y
reducción de la sensibilidad a acciones ambientales en el factor de escala. Las
propiedades del instrumento dependen casi exclusivamente del circuito de
realimentación, por lo que cualquier mejora debe centrarse en él. Los problemas que no
se han resuelto son los debidos al límite de resolución del detector y la transmisión del
ruido de banda ancha, además del generado internamente. Estos dos factores son los que
limitan la resolución de este tipo de acelerómetros.
En particular, los acelerómetros Q-Flex desarrollados por Sundstrand, son
servoacelerómetros pendulares, mecanizados en cuarzo amorfo de gran estabilidad
26
termomecánica, con detector capacitivo y actuador electromagnético (Sundstrand Data
Control, 1986). La resolución en el mejor de los casos es de 1 µg y el rango dinámico
típico está en 106. Hasta la aparición de los Vibrating-Beam han sido la única elección
posible en el rango de señales pequeñas y bajas frecuencias, incluida la continua.
• Acelerómetros de viga resonante (Vibrating Beam)
Están basados en el conocido principio de variación de la frecuencia propia de un
sistema en función de la tensión aplicada, como ocurre por ejemplo en el afinado de una
cuerda de violín. El elemento sensible más extendido se denomina diapasón doble,
Double Ended Tuning Fork (DETF). Se trata de dos vigas paralelas, micromecanizadas
en cuarzo cristalino o silicio, unidas por los extremos. En condiciones normales, las dos
vigas resuenan en contrafase en su modo fundamental de flexión a una frecuencia bien
definida por las propiedades elásticas del material y la geometría. El hecho de vibrar en
contrafase implica la cancelación de los esfuerzos inducidos en las uniones, de manera
que no se transmiten vibraciones a los empotramientos del DETF. Así se prolonga la
vida del material, se reduce el gasto energético requerido para excitar la vibración y se
aumenta el factor de calidad Q de la resonancia, con lo que se favorece la resolución en
la medida de frecuencias (Merhav, 1996).
La relación entre la aceleración aplicada y la frecuencia de vibración es cuadrática. Por
tanto, la configuración habitual consistente en colgar una masa sísmica del DETF, de
manera que la fuerza específica aplicada traccione o comprima al resonador,
proporcionaría un instrumento intrínsecamente no lineal. La configuración que resuelve
este problema consiste en una masa sísmica confinada por dos DETF opuestos. Así,
27
restando las señales se linealiza la respuesta. Este concepto se ha probado con éxito
fusionando la tecnología Q-Flex para la construcción de la masa sísmica y dos DETF
opuestos en un acelerómetro Vibrating Beam (Norling, 1987).
Especial importancia tiene el tratamiento de las señales, que es completamente digital y
está basado en contadores. La frecuencia de resonancia típica es f0 = 35 kHz sin carga y
varía en ±10% con carga. Se cuentan las pulsaciones de cada oscilador en un periodo de
muestreo T. Este recuento es proporcional a la integral del desvío de frecuencia, luego
f f1 2− proporciona una medida de la velocidad inercial cada T segundos. Un reloj de
alta frecuencia, típicamente f clock = 10 MHz, sirve de Vernier para determinar la
resolución, luego a f f Tres clock∝ 0 / ( ) . Se ve que hay un compromiso entre la frecuencia
de muestreo 1/T y la resolución. Típicamente, con 1 s de periodo de muestreo se obtiene
una resolución de hasta 1 µg y un rango dinámico de 108, muy superior a otros
instrumentos más complejos y electrónica más delicada.
La ampliación del rango dinámico respecto a los Q-Flex hasta 108 ha permitido el
desarrollo de nuevas aplicaciones. La más destacada es la construcción de sistemas de
navegación inercial sin giróscopos, basados exclusivamente en acelerómetros. El
principio consiste en la medida simultánea de la aceleración de Coriolis y la de
traslación en cada eje mediante dos acelerómetros opuestos y vibrando en contrafase. El
instrumento se denomina Single Coriolis Inertial Rate and Acceleration Sensor,
SCIRAS (Hulsing, 1988). Cada sensor de Coriolis, con su mecanismo de oscilación y
los dos acelerómetros de viga resonante, cada uno con un DETF excitados mediante un
dispositivo electromagnético externo, se ha podido integrar en un único elemento
monolítico micromecanizado, denominado µSCIRAS (Hulsing y MacGugan, 1993). De
esta manera, tres sensores de Coriolis forman una unidad de medida inercial del tamaño
28
de una pelota de golf y con salida ya digitalizada y libre de ruido, en principio. Esta
nueva tecnología para el desarrollo de las IMU parece que lleva ventaja respecto a otras
técnicas recientes que reemplazan los instrumentos giroscópicos mediante acelerómetros
(Chen, Lee y DeBra, 1994), dada la sensibilidad a errores de posición y alineamiento,
especialmente en estructuras flexibles.
• Acelerómetros piezoeléctricos
Los sensores piezoeléctricos no son de desarrollo reciente, pero han experimentado
grandes avances gracias a los nuevos materiales y a técnicas de montaje del elemento
sensible que reducen la influencia ambiental. Los materiales actuales están
proporcionando sensibilidades del orden de 1000 pC/g, lo cual implica resoluciones que
bajan de 0.1 µg. El montaje original, en el que la propia carcasa es masa sísmica,
llamado de compresión básico, produce una salida espúrea con cualquier carga
ambiental como una presión o una dilatación térmica. Montajes en compresión más
sofisticados, como el SEC (Single Ended Compression) de Endevco, desacoplan la masa
de la carcasa, pero siguen siendo sensibles a aceleración transversal y a gradientes
térmicos por el efecto piroeléctrico. El montaje denominado “en cortadura” (shear)
consistente en colocar cristal y masa sísmica concéntricamente bajo pretensión, tiene la
gran ventaja de ser insensible a cargas transversales por producir esfuerzos
antisimétricos respecto al eje (por tanto generan cargas eléctricas que se anulan), así
como a gradientes térmicos longitudinales.
Por otra parte, la robustez y rango de frecuencias típicos son excepcionales. La
consecuencia es que los acelerómetros piezoeléctricos han alcanzado tales niveles de
resolución y precisión que están desplazando a otros instrumentos más complejos. Sólo
29
tienen los inconvenientes de no proporcionar salida estacionaria y estar sometidos a un
complicado tratamiento de la señal. Sobre todo el primero es la causa de no poder
utilizar cristales piezoeléctricos en el ambiente microgravitatorio, si no es para
aplicaciones de tipo estructural (por encima de 1 Hz, normalmente).
• Acelerómetros micromecanizados
Las técnicas de fabricación propias de la microelectrónica se han estado adaptando con
éxito a la producción de microestructuras sensibles a la aceleración. Se tiende a la
máxima integración posible de los elementos sensibles, los detectores y la electrónica
asociada. Ventajas añadidas son la enorme miniaturización y la reducción de costes de
producción. Por desgracia, hasta el momento actual, aún no se han alcanzado los niveles
de precisión y resolución de los instrumentos convencionales, por lo que estos sensores
se han venido destinando a aplicaciones industriales. No se descarta, sin embargo, que
en el próximo futuro todos los acelerómetros comerciales acaben siendo de este tipo,
sobre todo si se tiene en cuenta la sofisticación que pueden alcanzar. Al ser éste un
campo en vertiginoso progreso y con fuertes intereses comerciales, es necesario tener en
cuenta los datos más recientes proporcionados por los fabricantes de circuitos integrados
y los centros de investigación y desarrollo asociados a ellos. Por tanto, una de las fuentes
de información, si bien un tanto volátil, es Internet, donde se han encontrado
descripciones del estado de las técnicas de micromecanizado.
En general, las técnicas de micromecanizado se pueden clasificar en masivas (bulk) y
superficiales. Ambas emplean la fotolitografía. Entre las masivas está el ataque químico
(wet etching), ya sea isótropo, anisótropo o selectivo por dopado. Se producen de esta
manera estructuras básicas como diafragmas para sensores de presión o puentes en
30
voladizo y vigas resonantes para acelerómetros. El tamaño característico del elemento
puede ser del orden de 5×5 mm2 o menor, por lo que en una oblea de silicio de 4
pulgadas caben varios cientos de sensores. Uno de los materiales clásicos en procesos
masivos es el cuarzo cristalino, que se presta especialmente a la fabricación de vigas
resonantes por su estabilidad dimensional frente a la temperatura y por sus propiedades
piezoeléctricas. El cuarzo amorfo se emplea en péndulos (Q-Flex) y puentes flexibles
por sus excelentes propiedades termoelásticas. El inconveniente del cuarzo, ya sea
cristalino o amorfo, es que obliga a la producción de circuitos híbridos. En consecuencia
se está reemplazando por el propio silicio, con lo que se puede mecanizar todo el
instrumento en un solo circuito integrado. Además, se han extendido las técnicas de
micromecanizado mediante el uso de ataque iónico y por láser (dry etching) y el
micromecanizado superficial. Éste está basado en la deposición de capas finas de otros
materiales, empleados para sacrificio o refuerzo, permitiendo estructuras más complejas
y pequeñas. Todos estos nuevos procedimientos han dado lugar a una nueva tecnología
denominada MEMS (Micro Electro Mechanical Systems), que permite producir
sensores, motores, turbinas, bombas y demás dispositivos, con la electrónica propia y de
interfaz integradas y en ocasiones hasta un microcontrolador para el tratamiento digital
de los datos.
Veamos algunos ejemplos relativos a la acelerometría. Los sensores de viga resonante se
empezaron produciendo mediante cuarzo cristalino, aprovechando la tecnología
disponible para los relojes. Así se desarrollaron acelerómetros (Norling, 1987), sensores
de Coriolis (Hulsing, 1988) y unidades inerciales (Stave, 1996), disponibles
comercialmente en algunos casos. En silicio ya están disponibles acelerómetros de
propósito general (Warren, 1991; Marco et al., 1993), así como alguno específico para
el entorno espacial (Rogers et al., 1993b) y unidades inerciales en circuito integrado
31
(Hulsing y McGugan, 1993). Un ejemplo destacable por su sofisticación es el sensor
STORM (Strain Transduction by Optomechanical Resonant Microbeams), un
instrumento de viga resonante micromecanizado en silicio, con excitación por láser y un
interferómetro Fabry-Perot por detector, todo ello encapsulado en un único componente
de 5×5×15 mm3 (Wilson, 1996).
• Instrumentos electrostáticos y gradiómetros
Los instrumentos de suspensión electrostática son en principio servoacelerómetros, pero
merecen una descripción separada por su mayor complejidad. A diferencia de todos los
acelerómetros anteriores, son instrumentos triaxiales, es decir, la suspensión afecta a los
seis grados de libertad de la masa sísmica. Las propias placas de los detectores
capacitivos de la posición y orientación de la masa hacen la función de actuador
electrostático. Se describe en este apartado el funcionamiento de los instrumentos
GRADIO y ASTRE (Bernard et al., 1989; Nati et al., 1994), que son derivados del
CACTUS (Bernard, 1982). Su desarrollo ha requerido varias décadas de puesta a punto
de las tecnologías implicadas y un coste astronómico, si bien no hay precedentes en
cuanto a la calidad esperada de las medidas en órbita. Son instrumentos que en su
configuración actual pueden resolver hasta 10-13g/√Hz con un rango dinámico de 107.
Especialmente delicada es la calibración en tierra, para la que se han empleado torres de
caída y dispositivos de aislamiento sísmico, debido a que las perturbaciones ambientales
pueden saturar los detectores o en el mejor de los casos enmascarar su resolución de
medida. Se ha desarrollado en ONERA un péndulo de calibración capaz de filtrar las
perturbaciones ambientales hasta niveles de 1 ng/√Hz en los ejes horizontales y generar
señales estáticas de referencia del mismo orden.
32
El elemento sensible es una masa sísmica suspendida electrostáticamente. Tiene forma
paralelepipédica con el objeto de controlar sus seis grados de libertad en posición y giro.
La masa del CACTUS era esférica, permitiendo un giro no controlable que inducía
deriva y ruido de origen mecánico. Típicamente se usan aleaciones de platino-rodio o
bien titanio por sus propiedades termomecánicas y magnéticas. Las superficies
conductoras se obtienen por deposición de películas de oro. La ranura de suspensión es
del orden de 50 µm, lo que permite aplicar en uno de los ejes la tensión de suspensión
necesaria para operar a ±1 g. De esta manera es posible realizar calibraciones en tierra.
Los otros dos ejes se saturan entre 10-5 y 10-3 g. Para la manufactura se ha recurrido a
técnicas no convencionales, entre las que cabe destacar el micromecanizado ultrasónico
de las masas sísmicas y los electrodos, así como la deposición por sublimación catódica
(sputtering) de las películas metálicas. Esto es debido a los fuertes requisitos en
paralelismo, perpendicularidad, planitud y rugosidad a los que están sometidos los
componentes mecánicos.
La introducción de detectores criogénicos dotados de propiedades superconductoras y
superfluidas ha permitido rebajar el nivel de ruido en varios órdenes de magnitud,
llegando a resoluciones cercanas a 10-4 Eötvös/√Hz en el caso de los gradiómetros. El
SQUID es un detector/amplificador inductivo superfluido utilizado con éxito en
gradiómetros de laboratorio (Moody et al., 1986; Paik y Richard, 1986) y probablemente
acabará embarcado en la futura misión conjunta ESA/NASA STEP. Las principales
fuentes de error en los gradiómetros, sin embargo, siguen siendo cuestiones mecánicas
tales como paralelismo, perpendicularidad y alineamiento de los ejes de las masas, todas
ellas ligadas a los procedimientos de fabricación y metrología dimensional. Por este
motivo, dado que es imposible eliminar los errores geométricos al nivel requerido, se
33
vuelve imprescindible la calibración en tierra para la determinación precisa de la
respuesta de los instrumentos. Los gradiómetros dotados de SQUID se han calibrado en
tierra mediante procedimientos semejantes al GRADIO: un péndulo de aislamiento
sísmico sometido a control diferencial estático. En la actualidad este tipo de
gradiómetros, a pesar de su demostrada superioridad respecto a los electrostáticos no
criogénicos, aún no han sido embarcados y todavía no se ha previsto su vuelo dado el
elevado coste de desarrollo y sobre todo los fuertes requisitos impuestos a la plataforma.
1.4 La técnica propuesta en esta Tesis: justificación y objetivos
A la luz de todo lo anterior, el ambiente gravitatorio local tiene una influencia clara en la
respuesta de un instrumento sísmico a la fuerza específica aplicada, no sólo a través del
propio término forzante sino también en la sensibilidad del cero (bias), la sensibilidad
del factor de escala y la sensibilidad transversal. Por tanto, las técnicas de calibración
convencionales llevadas a cabo en laboratorio están sometidas a error cuando el
ambiente de medida del instrumento va a ser el microgravitatorio o cualquier otro en
que el eje sensible oscile respecto al campo de gravedad local. Además, incluso cuando
la resolución es suficiente para la operación en microgravedad, las técnicas de
calibración existentes suelen ser estáticas, es decir, no determinan la respuesta en
frecuencia de los instrumentos. La alternativa tradicionalmente adoptada en aplicaciones
espaciales específicas es el desarrollo de costosos equipos de calibración en órbita.
En esta Tesis Doctoral se proponen técnicas de calibración de acelerómetros en
laboratorio para la operación en microgravedad (rango de frecuencias bajas) y para la
determinación de microvibraciones (rango de frecuencias altas). Se incluye en la
34
respuesta de los acelerómetros y los equipos de calibración los efectos de la gravedad
local y se determina la respuesta en frecuencia en los rangos requeridos. Para ello se han
desarrollado equipos de calibración basados en péndulos de una relativamente compleja
descripción dinámica, pero de operación sencilla y fácilmente medible, ya que se presta
especial atención al instrumental de laboratorio. Uno de los requisitos impuestos es la
exclusiva utilización de instrumentación típica en un laboratorio de integración y
ensayos. La reducción de los requisitos de instrumental exige, sin embargo, el cuidadoso
análisis de las incertidumbres de medida y la localización de las fuentes de error. Como
objetivo cuantitativo se propone la determinación de aceleraciones con una resolución
de1 µg en el intervalo de frecuencias de 0 a 100 Hz, que son requisitos típicos de la
experimentación en microgravedad y en los ensayos estructurales en aplicaciones
espaciales.
35
2. REVISIÓN DE LAS TÉCNICAS DE CALIBRACIÓN
Este capítulo es una revisión de los métodos y técnicas de calibración aplicables al
problema propuesto. Ninguna de las técnicas tradicionales está diseñada para llegar al
nivel de resolución y a los rangos de frecuencias requeridos en este trabajo. Existen
técnicas más específicas que sí cumplen los requisitos, pero a costa de un instrumental
muy sofisticado y a un coste prohibitivo. A continuación se describe el fundamento de
métodos de calibración convencionales y específicos, reseñando los trabajos más
relevantes en cuanto a la aplicabilidad a los regímenes de funcionamiento requeridos.
Desde el punto de vista metrológico, los métodos de calibración de acelerómetros se
clasifican según la referencia de aceleraciones (Sydenham, 1985):
• Calibración absoluta
• Calibración por comparación
• Calibración por reciprocidad
En la calibración absoluta se mide la excitación (por ejemplo la proyección de la
aceleración gravitatoria) mediante algún patrón de medida trazable. La entrada así
determinada se relaciona con la salida del espécimen para obtener la función de
respuesta con el nivel de entrada. La calibración por comparación se diferencia en que la
señal de referencia se mide con otro espécimen previamente calibrado y de calidad igual
o superior, en lugar de usar patrones directamente. Este procedimiento simplifica las
operaciones y reduce costes; es el preferido para la producción de instrumentos de
precisión media y alta. La calibración por reciprocidad, en esencia, consiste en calibrar
previamente el propio aparato y procedimiento que genera la señal de referencia, de
36
manera que una consigna se relaciona con la aceleración de referencia que entra en el
espécimen. Es vital en este caso el riguroso control de las condiciones ambientales para
garantizar la repetitividad de la referencia. Evidentemente, el método más preciso y
fiable es la calibración absoluta por estar sometido a menos fuentes de incertidumbre.
Desde un punto de vista más pragmático, las técnicas de calibración de acelerómetros se
clasifican según la forma de producir la señal de referencia, o bien según la forma de
medir la excitación. Por una parte están las técnicas convencionales, pensadas para
navegación inercial, guiado, sismología, prospección... y que, con modificaciones,
podrían adaptarse a los rangos requeridos aquí. Por otra parte, a la vista de la difícil
extensión de los convencionales, están los métodos desarrollados específicamente para
cada aplicación particular de la microacelerometría. Tanto unos como otros aprovechan
la equivalencia local entre gravedad y aceleración cinemática, de manera que hay
procedimientos basados en generar movimientos de espectro conocido y otros que se
valen de la gravedad terrestre u otra generada por masas calibradas. En general hay que
considerar el rango de frecuencias, los niveles de aceleración, la resolución y la
precisión.
2.1 Calibración por inclinación (tilting test)
Este es uno de los métodos más tradicionales y dada su simplicidad se puede aplicar
como procedimiento de comprobación rápida, así como comprobación preliminar. Está
descrito tanto en textos básicos (Beckwith y Marangoni, 1990), como en manuales
especializados (Ramboz, 1976b; McLaren, 1975; Sundstrand Data Control, 1986).
37
Se coloca el acelerómetro sobre una mesa inclinable en dos ejes. El plano de la mesa
sirve como soporte para un giro completo del acelerómetro, de manera que si no está
totalmente horizontal la aceleración de la gravedad se proyecta sobre el eje sensible
senoidalmente con el ángulo rotado. Véase la Fig. 2.1. La primera operación consiste,
por tanto, en buscar la horizontalidad del plano de la mesa, en cuyo caso la señal se
mantiene constante al rotar. Para ello se dispone de dos controles de inclinación,
normalmente realizados con tornillos micrométricos de alta precisión. Si el eje sensible
está también horizontal, la salida corresponde al bias, mientras que si está vertical,
estará midiendo el mismo bias superpuesto a ±1 g. Inclinando la mesa ángulos
conocidos a partir de la posición horizontal, se conoce también la gravedad que se
proyecta sobre el eje sensible, con lo que es posible calibrar entre –1 g y +1 g. En teoría,
una resolución de inclinación de 1 µrad serviría para medir 1 µg.
Fig. 2.1. Efecto de la inclinación i del plano de referencia. La gravedad se
proyecta en el eje sensible s de forma senoidal: g s⋅ = g isin cosθ .
Cuando i = 0 y no hay desalineamiento del eje, la medida es el bias.
i
θ
i
n
g
s
38
El principal inconveniente de este método está en que sólo puede producir señales
estáticas, luego no se puede estudiar la respuesta en frecuencia. Además, la situación
ideal anterior deja de serlo a la hora de medir microaceleraciones. En primer lugar, el
método es especialmente sensible al ruido sísmico horizontal, que es justamente la
posición de medida en los rangos de pequeñas señales. Incluso si se consigue aislar de
las vibraciones ambientales, la determinación del bias queda apantallada por el
desalineamiento del eje sensible respecto a la carcasa que se apoya en el plano de
referencia. La Fig. 2.2 aclara la situación con un ejemplo.
Fig. 2.2. Efecto del desalineamiento en el bias. Un ángulo de desalineamiento α
produce un error constante al girar el eje sensible s en torno a la
normal de referencia n, supuesta vertical, ya que g s⋅ = =g sinα cte.
Esta señal no se elimina al nivelar.
Por otra parte, el efecto de la sensibilidad transversal puede ser importante en este tipo
de ensayos, especialmente con acelerómetros pendulares. A medida que se inclina el
plano de referencia y se deflecta el péndulo sísmico cobra importancia el momento
ejercido por la componente transversal de la gravedad. Por este motivo, la salida en
α θθθθ
Mesa horizontal
n
s
g
39
función del ángulo de inclinación no es exactamente la esperada. Otra consecuencia de
la sensibilidad transversal, que aparece cuando el fondo vibratorio es intenso, es una
alteración del bias conocida por rectificación de vibración. Todos estos efectos están
descritos por McLaren (1975).
Como se puede comprobar, este método está cargado de problemas cuando se quiere
bajar el nivel de medida al entorno de las microaceleraciones, si bien como calibración
estática preliminar es irremplazable.
2.2 Calibración sobre centrífugas
La centrífuga es un soporte rotatorio sobre el que se fija el instrumento a calibrar
orientado radialmente. La velocidad angular suele ser constante. Cuando el plano de
rotación está perfectamente horizontal y el eje sensible perfectamente radial la señal de
referencia es constante y vale a f rr = 4 2 2π , siendo r el radio de giro del centro de masas
de la masa sísmica. En caso de inclinación del plano de giro respecto a la vertical local,
a la aceleración radial se le superpone la proyección senoidal de la gravedad con la
frecuencia de rotación, hasta un máximo de 1 g de amplitud cuando la rotación se
efectúa en un plano vertical (Beckwith y Marangoni, 1990).
Esta técnica se ha venido aplicando con éxito en los rangos de funcionamiento
convencionales hasta frecuencias de 10 Hz aproximadamente. Por ejemplo, resulta
relativamente fácil generar una aceleración constante de 10 g tomando r = 1 m y
f = 1.6 Hz. No es tan fácil producir 1 µg: para r = 0.01 m se necesitaría
40
f = ⋅ 5.0 10 -3 Hz, por ejemplo. Además de ser pequeña la frecuencia de rotación, un
radio de giro de tan solo 1 cm pone de manifiesto la distribución radial del campo de
aceleraciones, con lo que surgen errores relacionados con la geometría y alineamiento de
la masa sísmica. Por otra parte, el procedimiento está sometido a todos los problemas
descritos en el método de inclinación y alguno más, es decir: ruido sísmico, vibraciones
inducidas por los mecanismos y motores (que pueden llegar a varios órdenes de
magnitud por encima del µg), errores de alineamiento del eje sensible (responsable de la
variación del bias con la gravedad local), la sensibilidad transversal y la rectificación de
vibración.
Una modificación del método, debida a Marioli et al. (1997) consiste en modular la
frecuencia de rotación. De esta manera es posible obtener señales de aceleración
tangencial y radial en un abanico de frecuencias sin necesidad de inclinar el eje de giro y
sin el límite de 1 g de amplitud, en principio. Así, introduciendo:
ω ω π= +s dB f tsin 2b g ,
donde ω s es la frecuencia angular estacionaria, B la amplitud de modulación (que debe
ser menor que ω s para no producir inversión del sentido de giro) y fd es la frecuencia
de modulación, se obtienen las aceleraciones tangencial y radial:
a f Br f tt d d= +FHG
IKJ2 2
2π π πsin
a r r B Br f t r B f tr s s d d= +FHG
IKJ + + FHG
IKJ −FHG
IKJω ω π π π2 2 2
22 2
24
2b g b gsin sin .
41
Como se puede ver en la radial aparecen dos armónicos, además del término constante.
En esta aplicación se elige la orientación radial del eje sensible del espécimen con la
intención de reducir el efecto de la sensibilidad transversal λ en el armónico
fundamental, que es proporcional al factor:
12
+FHGIKJ
λ πω
fd
s
.
A la vista de este factor, un límite sensato para la frecuencia de modulación es
λ π ωfd s<< , motivo por el cual este método se ha aplicado exclusivamente en bajas
frecuencias, hasta aproximadamente 2 Hz. Este autor no considera en absoluto el efecto
de la gravedad local, es decir, la proyección de la aceleración de la gravedad por errores
de inclinación del eje de giro y desalineamiento del eje sensible, ni su contribución a la
sensibilidad transversal. El primero se manifestaría como una perturbación del armónico
fundamental, tanto más importante en términos relativos cuanto menor sea la amplitud
de la señal de calibración. El desalineamiento del eje sensible produce además la
alteración del bias descrita en la figura 2.2. Tampoco se ha considerado el nivel de ruido
mecánico en las medidas. Esta técnica, por tanto, no parece que sea fácilmente adaptable
a microaceleraciones. Efectivamente, el rango típico de las señales ensayadas va de 1 a
50 g.
42
2.3 Calibración sobre vibradores
Es uno de los procedimientos más tradicionales y disponibles en laboratorios de ensayos
mecánicos. Normalmente se dispone de un acelerómetro de referencia que sirve de
patrón para calibración por comparación. Según el rango de medida se empleará un
cierto tipo de vibrador. Las características de vibradores mecánicos, electrodinámicos e
hidráulicos se pueden encontrar en textos especializados (Unholtz, 1976). A grandes
rasgos los de espectro más amplio son los electrodinámicos, los que admiten mayor
carga son hidráulicos y los que funcionan mejor a bajas frecuencias suelen ser
mecánicos de accionamiento directo, con la ventaja adicional de la casi total
independencia de la amplitud respecto a la frecuencia de excitación. Generalmente los
vibradores se diseñan y construyen para el ensayo de estructuras, de manera que los
desarrollados específicamente para calibración son instrumentos de coste muy elevado.
Los problemas a tener en cuenta al utilizar vibradores para calibrar acelerómetros son,
principalmente: la distorsión de las señales de excitación (típicamente entre 1 y 3%),
rotaciones y movimientos laterales indeseados, elasticidad y holguras, ruidos mecánicos,
desalineamientos, calentamiento de componentes y perturbaciones electromagnéticas.
Como regla general, una oscilación angular de 1 µrad puede equivaler a 1 µg de error.
Todos estos problemas se combinan para producir incertidumbres de medida en
ocasiones excesivas al calibrar (Ramboz, 1976b; Unholtz, 1976; Seymour y Moore,
1992). Al medir pequeñas aceleraciones y frecuencias los vibradores no ofrecen
suficiente precisión, excepto cuando se construyen expresamente. Es el caso de algunos
vibradores de suspención neumática fabricados bajo encargo para organismos de
estandarización. Se han documentado desarrollos de equipos que generan aceleraciones
entre 10 mHz y 20 Hz con amplitud de oscilación mínima de 0.5 µm, distorsión máxima
43
del 1% y desplazamiento transversal máximo del 0.01% (von Martens y Taubner, 1994).
Estos vibradores se suelen utilizar en combinación con medida interferométrica en los
seis grados de libertad del movimiento.
Una alternativa al costoso procedimiento anterior consiste en asumir la imperfección del
vibrador y del instrumento a calibrar, determinando en el mismo ensayo la respuesta
transversal de ambos. No es necesario el acelerómetro de referencia. Estos métodos se
combinan con el método de inclinación en los tres ejes del acelerómetro con el objeto de
determinar la sensibilidad transversal y al mismo tiempo el movimiento transversal del
vibrador (Ramboz, 1968; Faure y Boutillon, 1994). Una variante del mismo método
permite determinar también la velocidad angular residual del vibrador y el efecto del
descentramiento en la dinámica (Boutillon y Faure, 1998; Faure y Boutillon, 1998). Sin
embargo, en ningún caso es posible calibrar la sensibilidad principal, que se supone
dada, ni el error del cero, por los mismos motivos expuestos para el método de
inclinación. Sólo se ha aplicado esta familia de métodos a acelerómetros piezoeléctricos
y a niveles de aceleración relativamente altos (por encima del mg). Además, requerirían
modificaciones para incluir la proyección de la gravedad.
2.4 Instrumentos ópticos aplicados a técnicas de alta resolución
El uso de técnicas interferométricas es un procedimiento estándar en la calibración
absoluta de vibradores y dispositivos de medida de desplazamiento, velocidad y
aceleración (Ramboz, 1976a). Normalmente se recurre a luz láser para la creación de
campos de interferencia, permitiendo llegar a una resolución del orden del nm con el
láser de helio-neón (λ = 632.8 nm), por ejemplo. El interferómetro más extendido es del
44
tipo Michelson por su simplicidad conceptual, aunque también son comunes los de tipo
Fizeau y Fabry-Perot. Dentro ya de los métodos específicos de medida con
interferometría, la técnica más precisa parece ser la denominada de recuento de franjas
(fringe counting), que consiste en el registro electrónico de picos luminosos dentro del
periodo de vibración, siendo la amplitud de oscilación proporcional al recuento. En el
organismo de estandarización alemán Physikalisch-Technische Bundesanstallt, se han
desarrollado interferómetros de tipo Michelson con la técnica de recuento de franjas
(von Martens, 1987), dedicados a la calibración de transductores lineales y angulares. Se
consigue una precisión lineal de 5 nm y angular de 10-7 rad, con un rango dinámico de
108 entre 0.01 Hz y 20 kHz (von Martens y Taubner, 1994). En otros laboratorios de
estandarización se ha llegado a resultados semejantes con la técnica de cuadratura de
fase (phase quadrature) también con un interferómetro de tipo Michelson (Gwo-Sheng
Peng, 1996). Sin embargo, el método más extendido se denomina desaparición de
franjas (fringe disappearance) o de Bessel. Consiste en la localización de la amplitud de
vibración que anula la iluminación media del campo de interferencia y que viene dada
por los ceros de las funciones de Bessel. Típicamente, este método es más sensible a
perturbaciones ambientales que el de recuento de franjas (Ramboz, 1976b) y está más
limitado en rango de frecuencias de vibración. Como ejemplo, Gabrielson (1997) ha
aplicado el método de Bessel sobre un interferómetro de Fabry-Perot para verificar un
procedimiento de calibración por reciprocidad electroacústica (Kinsler y Frey, 1950) en
el rango de 0.1 a 30 mg y entre 1 Hz y 1 kHz, aunque también están documentados
casos prácticos con mayor ancho de banda, del orden de 10 kHz, y resolución de hasta
10 nm (Lee, 1996). Otros procedimientos interferométricos han dado resultados menos
precisos (especialmente a bajas frecuencias), como es la interferometría láser-Doppler
(Tustin y Lin, 1995).
45
Las técnicas interferométricas descritas difícilmente están al alcance de un laboratorio
de ensayos convencional. Además, por sí solas no son suficientes para garantizar un
nivel de incertidumbre, ya que se requiere un dispositivo generador de aceleraciones con
una calidad igual o superior a la medida de desplazamientos. Por tanto, cuando se trate
de calibración al nivel requerido en este trabajo, los dispositivos de medida óptica serán
transductores optoelectrónicos comerciales que requieran, en el peor de los casos, un
montaje con calibración in situ sencilla. Hay disponibles métodos visuales capaces de
proporcionar precisiones suficientes en desplazamiento, como puede ser el método de la
cuña vibrante (vibrating wedge) y el método de microreflectores (Ramboz, 1976b). Sin
embargo, están limitados a frecuencias relativamente altas y son de difícil registro
electrónico. Es preferible el uso de detectores de desplazamiento optoelectrónicos
basados en la reflexión de un haz de luz sobre el punto móvil a seguir (Santiago et al.,
1996; Santiago et al., 1998). Un procedimiento es el siguiente: con un LED infrarrojo
convencional y un fototransistor se detecta el movimiento a partir de la intensidad de
radiación reflejada, que es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado. Otro
método más inmune a la radiación ambiental y más precisa es la medida del
desplazamiento de un haz oblicuo reflejado, preferiblemente láser, sobre un dispositivo
semejante a un CCD de alta resolución espacial. Ambos montajes optoelectrónicos están
disponibles comercialmente y con sencillos procedimientos de calibración permiten
medir con una precisión del orden de 1 µm, incluyendo el efecto de la rotación de las
superficies reflectantes móviles.
46
2.5 Calibración en vuelo
A la vista de las dificultades encontradas al calibrar en tierra los instrumentos destinados
a operar en órbita, la solución que se ha considerado más conveniente en aplicaciones de
alta resolución de medida ha sido la calibración a bordo asistida por equipos adicionales.
Ya en el Atmosphere Explorer C (Fuchs y Velez, 1976), equipado con acelerómetros
electrostáticos MESA, se previó la situación y se realizó la determinación en órbita del
bias mediante filtrado digital de las medidas en situación de reposo y baja perturbación
aerodinámica. El instrumento HIRAP, destinado a las medidas aerodinámicas y
atmosféricas a bordo del Shuttle, en contra de la experiencia previa, se desarrolló en
base a calibración en laboratorio (Blanchard et al., 1985). Como resultado se detectó
una variabilidad de los factores de calibración entre vuelos superior al 3%. En un
principio se atribuyó la desviación a efectos térmicos, tanto estáticos como dinámicos,
dando lugar a costosas campañas de recalibración en tierra, pero con pobres resultados.
Una solución aparente se obtuvo al aplicar procedimientos de calibración en vuelo
semejantes a los de los acelerómetros del Atmosphere Explorer C (Blanchard et al.,
1993).
En el caso del instrumento OARE, dados los requisitos de precisión, se optó por una
calibración completa en vuelo (Blanchard et al., 1987; McNally y Blanchard, 1994),
tanto para el factor de escala como el bias. Como resultado, la incertidumbre de medida
está en el entorno de 1 ng incluso en señal continua, a pesar de que persiste un salto
errático del cero en ciertas condiciones de operación (Blanchard, 1992). En cualquier
caso, para la calibración total en órbita se requiere un modelo detallado de las señales de
perturbación ambiental como el dado por el grupo del Langley Research Center
(Blanchard et al., 1992, Blanchard et al., 1995) o por Hamacher (1995). Sin embargo, en
47
este tipo de modelos de perturbación hay una fuerte variabilidad debida a los modelos
atmosféricos y el efecto de la actividad solar, principalmente, que no están totalmente
confirmados experimentalmente.
Las medidas diferenciales son especialmente sensibles a los errores de posicionamiento,
geometría y alineamiento de las masas sísmicas, como describen detalladamente
Bernard et al. (1989) y Paik y Richard (1986) en relación a gradiómetros, así como en
sensores de Coriolis para navegación inercial (Merhav, 1996) y otros sensores de
rotación basados en acelerómetros (Chen, Lee y DeBra, 1994). Por este motivo y con
objeto de evitar las dificultades asociadas a la calibración en tierra, se requiere
calibración en vuelo de los instrumentos GRADIO (Meyer y Peyrot, 1991).
Como crítica a la calibración en vuelo se puede empezar por el alto coste de desarrollo y
operación, pudiendo llegar a la inviabilidad de la mayoría de las aplicaciones de la
microacelerometría. Por otra parte, en ninguno de los procedimientos de calibración en
vuelo anteriores se ha identificado la diferencia de ambientes gravitatorios como una de
las posibles causas del fallo de la calibración en tierra.
2.6 Métodos gravimétricos
Se trata de relacionar salidas del sensor sísmico con la atracción gravitatoria de masas
calibradas. Estos métodos se ha aplicado especialmente sobre sismómetros y
gradiómetros. Implican una gran dificultad técnica ya que se trata de medir
perturbaciones del orden de 1 ng con masas de 500 kg de geometría esférica, siendo una
fuente de incertidumbre la tolerancia dimensional. En cuanto al rango de frecuencias es
48
especialmente difícil pasar de 0.1 Hz por culpa de la infiltración de las ondas sísmicas
longitudinales de baja frecuencia.
Sobre gradiómetros se suele realizar el ensayo conocido como ensayo de laplaciano
nulo, que consiste en la verificación del comportamiento del gradiómetro midiendo la
traza del tensor gradiente de gravedad, que debe ser nula para un campo gravitatorio que
responde a la ley cuadrática inversa (Paik y Richard, 1986). Es un ensayo estático que
sólo tiene fines de verificación del funcionamiento, aunque también proporciona datos
cuantitativos de los parámetros internos.
En el caso de sismómetros de largo periodo se han aplicado procedimientos semejantes.
La llamada calibración G (G-calibration) es un método de calibración in situ que
consiste en la medida de la respuesta de sismómetros de altísima sensibilidad a la
atracción de masas rotatorias (P. Bernard et al., 1991). Se ha probado con sismómetros
del tipo Streckeisen de gran ancho de banda (Wieland y Streckeisen, 1982), dando
resultados mediocres (incertidumbre del 8% a 1 ng), debido a las microdeformaciones
inducidas por las masas descentradas sobre los apoyos de los instrumentos y la
infiltración de ruido sísmico. Una mejora de este método ha sido desarrollada por
Tarbeyev et al. (1994) generando campos de gravedad uniformes en el interior de masas
esféricas con cavidades descentradas. Se consigue medir con precisión suficiente entre
0.01 y 0.1 Hz niveles del orden de 10 ng. La gran ventaja de la calibración G es la
relativa facilidad de generación de señales de muy bajo nivel equivalentes a un
movimiento inercial y sin la incertidumbre asociada a las propiedades del movimiento.
Como inconvenientes están la poca versatilidad en rangos de amplitud y frecuencia,
además de las múltiples fuentes de incertidumbre, dando una baja precisión relativa.
49
2.7 Torres de caída libre
La medida de la sensibilidad del cero (bias) en condiciones de caída libre se ha llevado a
cabo preferentemente en torres de caída. Kaczmarczik et al. (1992) han desarrollado un
instrumento para la torre de caída de Bremen que permite determinar el bias hasta el
orden de magnitud del µg. Especial atención merece el tratamiento de las señales a muy
baja frecuencia y el efecto del ruido en el diseño de la primera etapa de amplificación.
En el caso de acelerómetros comerciales del tipo Q-Flex, que se comportan como
fuentes de corriente, es necesario llegar a una solución de compromiso entre la
resistencia de carga y la ganancia del preamplificador. Los filtros más indicados en esta
aplicación son activos, están integrados en el preamplificador y responden a la función
característica Butterworth para garantizar la máxima planitud de la función de
transferencia a baja frecuencia.
Krivotsyuk et al. (1993), emplean acelerómetros de referencia a bordo de la cápsula de
caída. De esta manera se conoce el nivel real de perturbación durante el vuelo. La
perturbación dominante suele ser el transitorio de la suelta, que puede saturar el
amplificador o el propio acelerómetro en los instantes iniciales. La siguiente en orden de
importancia es la resistencia aerodinámica, sobre todo en torres de gran dimensión, ya
que la fuerza de resistencia es proporcional al cuadrado del tiempo de caída. Esta
circunstancia se ha utilizado para medir el coeficiente de resistencia aerodinámica CD
de la cápsula en condiciones de baja presión (Santiago y Kaczmarczik, 1992).
El principal inconveniente de la técnica de calibración por caída libre es la difícil
determinación simultánea de factor de escala y bias, además de los problemas asociados
al corto tiempo de ensayo y al transitorio de suelta.
50
51
3. CARACTERIZACIÓN DEL PÉNDULO DE CALIBRACIÓN
En este capítulo se describe la dinámica y el diseño de los instrumentos empleados para
llevar a cabo las técnicas propuestas. Se trata de péndulos dotados de una serie de
propiedades que les convierte en herramientas especialmente indicadas para las
aplicaciones microvibratorias y microgravitatorias.
Se han diseñado, construido y ensayado péndulos para dos aplicaciones diferentes en
cuanto al rango de frecuencias. Con el objeto de centrar el estudio en las ideas
fundamentales, se propone en este capítulo un sistema simplificado que retiene el
comportamiento físico de los dos péndulos desarrollados, según se describe en los
capítulos siguientes. Se trata de unificar en un único modelo físico y matemático la
mayoría de las características dinámicas de los péndulos reales. A dicho sistema
simplificado se le llamará en lo que sigue péndulo elemental.
El péndulo elemental estudiado en este capítulo permite deducir las propiedades de los
péndulos reales en cuanto a su función de transferencia y puntos característicos,
destacando el valor asintótico que ésta alcanza a altas frecuencias. Asimismo, se puede
estimar con este modelo la sensibilidad a perturbaciones externas y cómo incluirla como
parámetro de diseño. Finalmente, se ha identificado la antirresonancia de la respuesta
como uno de los puntos más susceptibles de estudio, comprobándose que su
introducción en las técnicas de calibración propuestas en los capítulos siguientes daría
lugar a graves dificultades técnicas y, por tanto, se desaconseja su uso en las medidas,
aunque conviene conocer los fenómenos asociados.
52
3.1 Análisis de la dinámica: el péndulo elemental
Considérese un péndulo simple ideal, de masa M y longitud LM , con una masa
oscilatoria añadida m, como se indica en la Fig. 3.1. Éste es el denominado péndulo
elemental, en el que se han condensado las propiedades dinámicas de los péndulos de
calibración reales. La masa añadida m hace el papel de excitación a través de un muelle
de constante k, que se ajustará según las necesidades del análisis. La excitación actúa
con un brazo Le distinto de LM y un descentramiento δ m para el punto de equilibrio del
muelle.
Fig. 3.1. El péndulo elemental. Grados de libertad y parámetros cinéticos.
i
j
g
M m
kmδ
Le
LM
uθ
ur θ
u
53
Así descrito, el sistema posee, en principio, dos grados de libertad: u y θ. En la práctica,
el desplazamiento de la masa oscilatoria u se utiliza para introducir la excitación, de
manera que está dado por una ligadura geométrica de la forma:
u u t= ( ) .
Según la terminología de la Mecánica Analítica, se puede clasificar el sistema como
holónomo (sólo tiene ligaduras geométricas) y reónomo (porque el tiempo aparece
explícitamente en la ligadura), con un único grado de libertad. Sin embargo, se verá en
el apartado 3.4 que puede resultar clarificador mantener los dos grados de libertad y
variar la frecuencia propia asociada al muelle Ωk k m= / , con el objeto de entender
correctamente la respuesta dinámica del sistema forzado.
Para facilitar la presentación de los resultados obtenidos se ha decidido no incluir las
deducciones de las ecuaciones correspondientes, que aparecen en los Anexos I a VI.
3.2 Modelo linealizado con coeficientes constantes:
Función de transferencia
En el apartado A.I del Anexo se ha obtenido la ley de la dinámica del péndulo
linealizada (A.I.3), repetida aquí para el caso particular de excitación senoidal,
u u t= 1 sinω , con descentramiento nulo (δ m = 0):
54
sinθ γ θ θ ω λ ς ω+ + = −2 0 02 2 2 2
1Ω Ω Ωe td i , (3.2.1)
siendo:
Ω02
2 2= ++
ML mLML mL
gM e
M e
, Ωee
gL
2 = , λ22
2 2=+
mLML mL
e
M e
, ς 11= u
Le
y γ un coeficiente de amortiguamiento viscoso global. Esta ecuación lineal de
coeficientes constantes describe la respuesta linealizada del péndulo para pequeñas
amplitudes de oscilación (θ << 1) y excitación ( u Le/ << 1). No resulta difícil obtener
la amplitud de la función de transferencia de θ respecto a la excitación ς 1 :
H eς
λ ω
ω γ ω=
−
− +
2 2 2
02 2 2 2
02 24
Ω
Ω Ωc h (3.2.2)
y de forma análoga la fase ςφ . Ambas se representan en la Figura 3.2 para el caso
Ω Ωe < 0 , como sucede cuando L Le M> .
55
π
0
10-1
100
10110 -2
10 -1
10 0
10 1
0/ Ωω
Fig. 3.2. Amplitud Hς y fase ςφ de la función de transferencia del péndulo
elemental. λ = 0 9. , Ω Ωe / .0 0 25= , γ = 1.
Las frecuencias características Ω0 y Ωe son, respectivamente, la resonancia y la
antirresonancia, mientras que los límites característicos de la amplitud de oscilación
para frecuencias grandes, ∞θ , y pequeñas, 0θ , son:
θς
λ∞ =1
2 , θς
λ0
1
22
02= Ω
Ωe .
Hς
ςφ
56
Tienen especial interés en las curvas anteriores la frecuencia de antirresonancia eΩ y la
asíntota horizontal de la respuesta a frecuencias altas. La antirresonancia, o frecuencia
para la cual la amplitud de oscilación es nula aunque exista excitación, se presenta
típicamente en sistemas más complejos, con por lo menos dos grados de libertad
(Ewins, 1984). Véase el apartado 3.4 para un análisis más detallado. En cualquier caso,
su presencia es de gran interés práctico para las aplicaciones microacelerométricas y el
aislamiento de vibraciones.
Por otra parte, la asíntota horizontal distingue al péndulo elemental de otros sistemas de
segundo orden, cuya respuesta en amplitud decae como 1 2/ ω . Esta propiedad es de gran
utilidad, ya que al tender la amplitud de oscilación a una constante para frecuencias altas
se mantiene medible, al contrario de lo que ocurriría en ausencia de la asíntota. Además,
dicha amplitud es controlable a través de los parámetros geométricos y la amplitud de
excitación.
3.3 Transmisibilidad de vibración en los apoyos
El modelo del péndulo elemental linealizado permite analizar, además, la transmisión de
vibraciones en los apoyos. En particular, como se deduce de la ecuación (A.II.1),
domina la influencia de la vibración horizontal del punto de charnela. Mediante la
adimensionalización ξ H H ex L= / y para el caso particular sin descentramiento de la
masa excitadora ς 0 0= , la ecuación (A.II.2) es ahora con ς ς ω( ) sint t= 1 :
57
sinθ γ θ θ ω λ ς ω ξ+ + = − −2 0 02 2 2 2
102
2Ω Ω Ω ΩΩe
eHtd i ,
o bien, utilizando la transformada de Fourier (T.F.):
( ) ( ) ( )GZ h G hψω Θ ω ω ψ= − (3.3.1)
siendo
Θ = = =T.F. T.F. T.F.( ), ( ), ( )θ ς ψ ξG H
Z i( )ω ω γ ω= − +Ω Ω02 2
02c h
hG e( )ω λ ω= −2 2 2Ωc h
h e( ) /ψ ω = Ω Ω02 2 .
Las funciones de transferencia de Θ con respecto a los términos forzantes ς y ξ son,
por tanto:
GG
hH
Z= ,
hH
Zψ
ψ = .
Sin embargo, desde el punto de vista experimental resulta más útil la relación de
sensibilidad de la aceleración horizontal respecto a la excitación nominal, dada por:
2
/ 2 2 2 2GG e e
h xrh x x xψ
ψλ
= =−
,
58
siendo x = ω / Ω0 y xe e= Ω Ω/ 0 . Aquí cobra importancia la frecuencia Ωe . La
representación gráfica se encuentra en la Fig. 3.3. Por debajo de la frecuencia de
antirresonancia la relación crece 40 dB/dec., mientras que por encima tiende
asintóticamente al valor r xG eψ λ/d i b g∞
−= 2 . El pico a la frecuencia de antirresonancia
significa que, al ser nula la respuesta a la excitación nominal, cualquier perturbación en
los apoyos con componente horizontal hace que aumente enormemente el error relativo
al medir amplitudes de oscilación. En consecuencia, no conviene medir en el entorno del
punto de antirresonancia.
10-2
10-1
100
101
100
102
104
0/ Ωω
xe
Fig. 3.3. Relación de sensibilidad de la aceleración horizontal respecto a la
excitación nominal en el péndulo elemental. xe e= =Ω Ω/ .0 0 25 ,
λ = 0 9. .
r Gψ /
59
En caso de necesidad, la relación de sensibilidad r Gψ /d i∞ puede ser un parámetro de
diseño. Es decir, la influencia relativa de las perturbaciones exteriores, que merman la
calidad de la señal de entrada en la calibración, se puede estimar y controlar.
Si se tiene en cuenta la perturbación vertical mediante ς 0 0≠ , y sólo la parte oscilatoria,
se obtiene una relación de sensibilidades adicional para la componente vertical:
hh
xEe
ψ
ς λ= 04 2 ,
con ( )E H= T.F. η (véase el Anexo A.II), que resulta ser mucho menor que la unidad en
general. Se vuelve a comprobar así que no tienen influencia relevante las perturbaciones
verticales mientras no exista un descentramiento importante.
En la práctica, además, no todas las perturbaciones horizontales actúan de la misma
manera. Por ejemplo, un péndulo suspendido de una pared es más sensible a la vibración
tangencial a la pared que a la normal. Sin embargo, resulta que las vibraciones normales
suelen ser más intensas que las tangenciales, luego éste puede ser un buen
procedimiento de aislamiento pasivo.
60
3.4 Interpretación física de la antirresonancia
Ya se ha venido comentando en apartados previos una posible interpretación del punto
de amplitud nula de la función de transferencia (3.1.2). Una antirresonancia, como se
denomina tal punto, es típica en sistemas de por lo menos dos grados de libertad y se
sitúa entre frecuencias propias (Ewins, 1984).
Parece lógico suponer que la antirresonancia del péndulo elemental tiene relación con la
descripción del sistema mediante dos grados de libertad. Para comprobarlo se va a
comparar la respuesta forzada en un grado de libertad, ya descrita en 3.2, con la
respuesta no forzada en dos grados de libertad. Ésta última se puede determinar
mediante el modelo lineal obtenido en el anexo A.III., cuya ley dinámica se repite aquí:
1 11 1
02
02 2 2
2 2
/ /λ θς
λ θς
LNM
OQPRSTUVW
+LNM
OQPRSTUVW =
Ω ΩΩ Ω
e
e k
. (3.4.1)
En ella Ωk k m2 = / es una frecuencia característica nueva, que no aparecía en apartados
previos. Esto es así porque ya no actúa la ligadura cinemática sobre la variable u y por
tanto el muelle que une la masa m entra en la dinámica del sistema. En cualquier caso,
Ωk es un parámetro que se puede ajustar de forma arbitraria, ya que está relacionado
con la frecuencia ω de la excitación en el caso de un grado de libertad.
Los autovalores del sistema (3.4.1) vienen dados por la ecuación característica
Ω Ω Ω02 2 2 2 2 2 2 2
0− − − − =ω ω λ ωd id i d ik e . (3.4.2)
61
Sería posible representar gráficamente el lugar geométrico de las raíces de (3.4.2) en
función de xk k= Ω Ω/ 0 con λ y xe e= Ω Ω/ 0 como parámetros, dando lugar a una rica
discusión. Sin embargo, resulta especialmente clarificador el caso x xk e= , para el cual
las raíces son, en forma adimensional:
x xe12 2= , x xe
22
2 2
2
11
= −−λλ
.
Se puede comprobar fácilmente que λ <1 y λ xe <1 siempre, luego no existe parte
imaginaria en las raíces y el péndulo elemental descrito con este modelo es
incondicionalmente estable.
El primer autovector responde a:
1 00 0
02
1
1
−LNM
OQPRSTUVW =
xe θς
.
Siempre que xe ≠ 1 este primer autovector verifica θ1 0= . El segundo se obtiene de:
11 11 1
02 2
2
−LNMOQPRSTUVW =xed i θ
ς,
es decir, para xe ≠ 1, ς θ2 2= − . La forma de los modos queda recogida en la Fig. 3.4.
62
Fig. 3.4. Forma de los modos del péndulo elemental para Ω Ωk e= . El primer modo
corresponde a la antirresonancia del péndulo con la ligadura en u(t).
En el segundo modo, la masa m permanece inmóvil aunque el péndulo oscile y el muelle
se deforme, mientras que en el primero ocurre lo contrario, el péndulo permanece
inmóvil aunque oscile la masa m. Es este primer modo el que produce la antirresonancia
en la respuesta forzada con un grado de libertad. Cuando el muelle sintoniza con la
frecuencia Ωe , algo que equivale a excitar con una ligadura cinemática la variable u a
esa misma frecuencia, el péndulo responde con amplitud nula.
Además de las conclusiones anteriores acerca de la antirresonancia, también es
necesario describir completamente la respuesta forzada del péndulo elemental en sus dos
grados de libertad. Se va a obtener la función de respuesta en frecuencia mediante la
M
m
22 θς −=
M
m
01 =θ
63
matriz de receptancia. Para ello es necesario primero normalizar la matriz de
autovectores:
ΦΦΦΦ =−
LNM
OQP
0 2
1 2
θς θ
mediante las condiciones usuales:
ΦΦΦΦ ΜΦΜΦΜΦΜΦ ==== ΙΙΙΙΤΤΤΤ
ΦΦΦΦ ΚΦΚΦΚΦΚΦΤΤΤΤ =LNM
OQP
ωω
12
22
00
siendo M y K las matrices de masa y rigidez, respectivamente, de la ecuación (3.4.1).
Resulta:
ΦΦΦΦ = −−−
L
N
MMMM
O
Q
PPPP
01
11
2
2
λλ
λλ
La matriz de receptancia es entonces, para Ω Ωk e= :
αααα ΦΦΦΦ ΦΦΦΦ ΤΤΤΤ=−
−LNM
OQP
= − −−− −
−+
− −
L
N
MMMM
O
Q
PPPP
−ω ω
ω ω
λλ ω ω
λλ ω ω
ω ωλ
λ ω ω
12 2
22 2
1
2
222 2
2
222 2
12 2
2
222 2
00
11
11
11
1sim.
64
En la Fig. 3.5 se representan gráficamente los elementos de la matriz de receptancia αααα .
10-2
10-1
100
101
10-2
10-1
100
101
102
103
10-2
10-1
100
101
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
Fig. 3.5. Elementos de la matriz de receptancia del péndulo elemental.
En este caso, recíprocamente a lo que ocurría en el modelo de un grado de libertad, la
antirresonancia en la variable ς aparece a la frecuencia propia de aquél péndulo,
ω c = Ω0 , mientras que ω 1 = Ωe es ahora una resonancia.
La respuesta permanente, en cualquier caso, se obtiene fácilmente multiplicando la
matriz de receptancia por la transformada de Fourier del vector de excitación.
211211 ααα == 22α
x x
65
3.5 Modelo con coeficientes periódicos:
Análisis de estabilidad en la antirresonancia
El estudio de la estabilidad en la antirresonancia es necesario para conocer y controlar el
comportamiento del péndulo que puede presentar, bajo ciertas combinaciones de los
parámetros, características que se separan del modelo lineal de coeficientes constantes
utilizado hasta ahora. Este posible comportamiento anómalo es uno de los motivos para
descartar la antirresonancia en las técnicas de calibración de los capítulos siguientes.
Sea la ecuación (A.IV.1), donde ξ λς= y consideramos excitación senoidal
ξ ξ ω= 1 sin t :
1 212 2
0 02 2 2
1+ + + = −ξ ω θ γ θ θ ω λξ ωsin sint teΩ Ω Ωd i . (3.5.1)
Esta ecuación modela correctamente la respuesta linealizada en todo el rango de
frecuencias de excitación. En particular, el término periódico ξ ω12 2sin t tiene
importancia cerca de la antirresonancia (ω = Ωe ), donde el comportamiento de la
oscilación de θ sigue siendo lineal aunque no sea necesariamente tan pequeña la
excitación ξ .
La estabilidad de la oscilación depende de la ecuación homogénea, es decir, se estudia
con:
ω ξ2 2 0− =Ωe td i ( ) .
66
Si ξ( )t = 0 se recupera el oscilador simple no excitado, que es estable
incondicionalmente. La otra posibilidad es ξ( )t ≠ 0 pero ω = Ωe . En consecuencia es
necesario estudiar la estabilidad del oscilador con coeficientes periódicos excitado a la
frecuencia de antirresonancia. Para ello no hace falta, en principio, incluir el
amortiguamiento y la ecuación en cuestión es por tanto:
1 0202+ + =ε θ θsin Ω Ωet , (3.5.2)
donde se ha adoptado ε ξ= 12 . Conviene elegir la escala de tiempos de acuerdo con el
objetivo, de manera que la adimensionalización τ = Ω0t no es la más apropiada y en su
lugar se prefiere T te= Ω . Se define además y xe e e= =1 0/ /Ω Ω , resultando:
1 022
22+ + =ε θ θsin T d
dTye . (3.5.3)
El coeficiente másico de (3.5.3) tiene periodo mínimo π . Aplicando la bien conocida
teoría de Floquet (Coddington y Levinson, 1955; Jordan y Smith, 1987), se deduce que
existen curvas de transición en el plano ye ,εb g , a través de las cuales las soluciones
dejan de ser acotadas, que resultan coincidir con las curvas sobre las que existen
soluciones periódicas con periodo mínimo π o 2π . Véase el anexo A. IV para más
detalles.
Las curvas de transición se obtienen con relativa facilidad aplicando el método de
Lindstedt, también conocido como método Poincaré-Lighthill-Kuo o de las coordenadas
67
dilatadas (Kevorkian y Cole, 1981; Nayfeh, 1973). De esta manera, se desarrolla la
solución y el parámetro de frecuencia en serie de potencias respecto al parámetro
pequeño ε:
θ θ εθ ε θ ε= + + +0 12
24O( )
y y y y Oe2
02
12 2
22 4= + + +ε ε ε( ) .
Recuérdese que en la antirresonancia ω = Ωe , luego el desarrollo en serie de ye
representa en realidad una perturbación de la frecuencia e indirectamente de la escala de
tiempos. Introduciendo los desarrollos previos en (3.5.3) se obtienen las ecuaciones en
órdenes sucesivos:
′′ + =θ θ0 02
0 0y
′′+ = − ′′ +θ θ θ θ1 02
1 02
12
0y T y( sin )
′′ + = − ′′ + +θ θ θ θ θ2 02
2 12
12
1 22
0y T y y( sin )
La ecuación de orden 0 tiene solución de periodo mínimo π si y n n N0 2= ∈, , y 2π si
y n0 2 1= − . Ambos casos se engloban en:
y n n N0 = ∈, , (3.5.4)
para las curvas límite. Veamos a continuación cada caso.
68
• Caso n = 0: no da lugar a soluciones periódicas.
• Caso n = 1:
θ 0 0 0= +A T B Tcos sin ,
luego
′′+ = + − =
= −FHGIKJ −
LNM
OQP + −FHG
IKJ −
LNM
OQP
θ θ1 1 0 02
12
0 12
0 121
414
3 34
14
( cos sin )(sin )
cos cos sin sin
A T B T T y
A y T T B y T T
Es necesario cancelar los términos resonantes para que exista solución periódica. Por
tanto:
A y0 120 3
4= =, ,
o bien B y0 120 1
4= =, .
Sobre ambas curvas hay soluciones de periodo 2π , quedando encerrada entre ellas una
región donde la solución es no acotada.
• Caso n ≥ 2 :
θ 0 0 0= +A nT B nTcos sin
69
′′+ = + − =
= −FHG
IKJ − + − −
LNM
OQP
+
+ −FHG
IKJ − + − −
LNM
OQP
θ θ12
1 0 02
12
0
2
12
2 2
0
2
12
2 2
2 42
42
2 42
42
n A nT B nT T y
A n y nT n n T n n T
B n y nT n n T n n T
( cos sin )(sin )
cos cos( ) cos( )
sin sin( ) sin( )
Hay solución periódica sobre las curvas dobles y n12 2 2= / , con periodo mínimo π o 2π
si n es par o impar, respectivamente. Al ser curvas dobles y no encerrar un dominio
entre ellas no se produce paso a la inestabilidad.
En la Fig. 3.6 se representan las curvas de transición en el plano ( , )ye ξ1 , habiendo
tenido en cuenta que están definidas por:
y y yye ≈ +FHGIKJ0
12
0121
2ξ .
0 1 2 3 4-1
0
1
estable estable estable estable
inestable
ye
ξ1
Fig. 3.6. Diagrama de estabilidad del péndulo elemental en la antirresonancia.
70
Este diagrama de estabilidad proporciona los valores de los parámetros para los cuales
se produce la conocida resonancia paramétrica en el péndulo elemental. Este tipo de
resultados se encuentran ampliamente discutidos en la literatura para la ecuación de
Mathieu (Nayfeh, 1973; Kevorkian y Cole, 1981), semejante a la ecuación (3.5.3). De
hecho, es posible aproximar (3.5.3) a una ecuación de tipo Mathieu mediante cambios
de escala temporal y desarrollos en serie. Se ha preferido, sin embargo, rehacer el
análisis sobre la ecuación (3.5.3) aplicando los mismos métodos, dado que las
transformaciones que habría que aplicar no son tan directas y se pierde claridad.
La utilidad de este análisis está dirigida al diseño de los péndulos de calibración para las
aplicaciones de esta Tesis. Aunque no se utilice el punto de antirresonancia, es
preferible trabajar con parámetros que no conduzcan a la situación de inestabilidad,
manteniendo un margen de seguridad. De esta manera se evitarían comportamientos
extraños y fuentes de incertidumbre adicionales. Sin embargo, no es descartable que
para otras aplicaciones sí pueda interesar ese comportamiento inestable.
3.6 Solución en la antirresonancia por el método de escalas múltiples
A la frecuencia de antirresonancia el péndulo elemental responde a la ley dinámica
(3.5.3), repetida aquí por conveniencia:
1 022
22+ + =ε θ θsin T d
dTye ,
71
donde ya se ha elegido la escala temporal apropiada y no se ha considerado
amortiguamiento por simplicidad. Si se intenta resolver esta ecuación mediante un
método de perturbación regular directo con θ θ εθ ε θ ε= + + +0 12
24O( ) , se obtienen las
ecuaciones:
′′ + =θ θ02
0 0ye
′′+ = − ′′θ θ θ12
1 02y Te sin
dando lugar a:
θ 0 0 0= +A y T B y Te ecos sin
′′+ = − + − −LNM
OQP +
+ − + − −LNM
OQP
θ θ12
12
0
20
12
14
2 14
2
12
14
2 14
2
y y A y T y T y T
y B y T y T y T
e e e e e
e e e e
cos cos( ) cos( )
sin sin( ) sin( )
De esta manera aparecen términos seculares de la forma:
ε εT y T T y Te ecos , sin ,
luego el desarrollo no es uniformemente válido. Sin embargo, se advierte la presencia de
una escala de tiempo lenta de orden εT . Por aplicación del método de dos escalas a la
ecuación (3.5.3) con las escalas independientes T y ~T T T= =ε ξ12 , el operador
diferencial se transforma en:
72
ddT T T T
ddT
2
2
2
2
22
2
22= + +∂∂
ε ∂∂ ∂
ε~ ~ .
Desarrollando en serie tanto θ como la frecuencia:
θ θ εθ ε θ ε= + + +0 12
24( , ~) ( , ~) ( , ~) ( )T T T T T T O
y y y y Oe2
02
12 2
22 4= + + +ε ε ε( )
se obtiene, hasta orden 1:
∂ θ∂
θ2
02 0
20 0
Ty+ =
∂ θ∂
θ ∂ θ∂ ∂
∂ θ∂
θ2
12 0
21
20 2
20
2 12
02T
yT T
TT
y+ = − − −~ sin .
Para y02 1= , θ 0 0 0= +A T T B T T( ~) cos ( ~) sin ,
que al introducirla en la ecuación de orden 1 conduce a:
∂ θ∂
θ2
12 0
21
012
00
12
0
0 0
2 34
2 14
43
43
Ty dA
dTy B T dB
dTy A T
A T B T
+ = + −FHGIKJ
FHG
IKJ + − + −FHG
IKJ
FHG
IKJ
− −
~ sin ~ cos
cos sin
Así, los términos seculares se eliminan mediante:
73
2 34
0
2 14
0
012
0
012
0
dAdT
y B
dBdT
y A
~
~
+ −FHGIKJ =
− + −FHGIKJ =
UV||
W||
(3.6.1)
Este sistema de ecuaciones describe la evolución de los coeficientes que modulan la
respuesta con la escala lenta. Sin embargo, se puede ver que sus autovalores cambian de
signo cuando y12 1 4= / o y1
2 3 4= / , recuperando así los resultados del análisis de
estabilidad del apartado 3.5. Para 1 4 3 412/ /< <y la solución es no acotada y diverge
como exp( )ξ12T . Sobre las curvas y1
2 1 4= / e y12 3 4= / , la solución diverge
linealmente con ξ12T . En el dominio estable, la solución de (3.6.1) es armónica en la
escala lenta, luego la respuesta global presenta modulación en amplitud (beating).
Si no se desarrolla en serie la frecuencia, es decir y12 0= , lo cual equivale físicamente a
x Oe = +1 14( )ξ , se obtiene:
A a T b T0 0 03
83
8= +cos ~ sin ~
B b T a T00 0
33
8 33
8= −cos ~ sin ~ ,
y para la solución de orden unidad:
θ10 0
1 1323
323= + + +A T B T a T b Tcos sin cos sin .
Recopilando:
74
θ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
ξ ξ
=FHG
IKJ +
FHG
IKJ
LNMM
OQPP +LNM
OQP +
+FHG
IKJ −
FHG
IKJ
LNMM
OQPP +LNM
OQP +
+ + +
a T b T T T
b T a T T T
a T b T O
0 12
0 12 1
2
012 0
12 1
2
12
1 1 14
38
38 32
3
33
8 33
8 323
cos sin cos cos
cos sin sin sin
cos sin ( )b g
(3.6.2)
Además de la modulación de la amplitud con la escala lenta, se observan los términos de
frecuencia triple. La señal descrita por (3.6.2) contiene las frecuencias 1 3 812± ξ /e j .
Debe recordarse que esta solución sólo es válida para y02 1= e y1
2 0= , que en el
diagrama de estabilidad está próximo a una curva de transición, pero en el lado estable.
3.7 Solución numérica
La integración numérica de la ecuación (3.5.3) permite verificar el análisis de
estabilidad, así como la solución obtenida por perturbación en la antirresonancia. Sin
embargo, su verdadera utilidad reside en dar una solución cuando el parámetro ξ1 no es
pequeño. Se ha empleado una variante del método Runge-Kutta especialmente indicado
para problemas rígidos (stiff) en los que no conviene introducir disipación numérica
(Shampine, 1994). Esto es así por tener presentes dos escalas temporales muy distintas,
dando lugar a una cierta rigidez, y necesitar largos tiempos de integración para observar
la evolución en la escala lenta mientras se produce un gran número de oscilaciones en la
escala rápida. El código empleado está integrado en el sistema MATLAB y se denomina
ode23t (The MathWorks, 1998).
75
En primer lugar se compara la solución (3.6.2) con la numérica para el caso ye = 1,
ξ1 0 25= . , localizado en la región estable, con las condiciones iniciales θ(0) = 1,
(0)θ = 0 (que equivalen a a0 1= , b0 0= , a1 1 32= − / , b1 0= en la ecuación (3.6.2)).
Las figuras 3.7 y 3.8 son la evolución temporal de la oscilación del péndulo y la
trayectoria en el plano de las fases, respectivamente. En la primera se comparan ambas
soluciones. Se aprecia la buena correspondencia en cuanto a la amplitud de modulación
y sobre todo la frecuencia fundamental, que es 1 3 812− ξ /e j según se deduce de (3.6.2).
De existir discrepancia, su efecto secular sería notorio en la escala larga.
0 100 200 300
-1
0
1
Fig. 3.7. Comparación de la solución numérica (rojo) y analítica (azul) para
ye = 1, ξ1 0 25= . , θ(0) = 1, (0)θ = 0 .
76
77
-1 .5 -1 -0 .5 0 0 .5 1 1 .5-1
-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
Fig. 3.8. Trayectoria en el plano de las fases bajo las mismas condiciones que la
Fig. 3.7. Solución numérica.
También es especialmente interesante mostrar la transición al régimen inestable
mediante la solución por integración numérica, verificando en cierto modo los análisis
de apartados previos. La figura 3.9 muestra la solución dentro del dominio de
inestabilidad, en particular ye = +1 412ξ / , con ξ1 0 25= . y las mismas condiciones
iniciales que en la Fig. 3.7. Obsérvese el débil aumento de la amplitud en tiempos muy
largos.
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
Fig. 3.9. Solución numérica con ye = +1 412ξ / , ξ1 0 25= . y las mismas
condiciones iniciales que en la Fig. 3.7.
78
La inestabilidad se vuelve más repentina para valores de ξ1 mayores, ya que es un
proceso asociado a la escala de tiempo lenta ξ12T . Esto queda reflejado en la figura 3.10,
obtenida en las mismas condiciones que la 3.9, pero con ξ1 0 45= . .
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
Fig. 3.10. Solución numérica con ye = +1 412ξ / , ξ1 0 45= . . Mismas condiciones
iniciales que para la Fig. 3.9.
Sobre el límite de estabilidad coexisten una solución periódica y otra no acotada, que
diverge linealmente con ξ12T . La Fig. 3.11 muestra una solución sobre la curva de
transición ye = +1 812ξ / para ξ1 0 45= . , con el objeto de compararla con la figura
previa. Se aprecia claramente la diferencia entre una divergencia exponencial y una
potencial.
79
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
Fig. 3.11. Solución numérica sobre la curva de transición ye = +1 812ξ / para
ξ1 0 45= . .
La verdadera utilidad de la integración numérica es la resolución para valores de ξ1
grandes, donde dejan de tener validez los desarrollos. De esta forma, se pueden estudiar
fenómenos relacionados con la dinámica del péndulo elemental fuertemente excitado en
la antirresonancia. Como ejemplo, en las figuras 3.12 y 3.13 se representa la solución
para ye = 1 y ξ1 1= . La trayectoria en el plano de las fases parece mostrar la presencia
de submúltiplos de la frecuencia fundamental, aunque las órbitas no son cerradas y
esperando el tiempo suficiente se obtendría una trayectoria semejante a la de la Fig. 3.8.
80
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0- 1
- 0 . 8
- 0 . 6
- 0 . 4
- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
Fig. 3.12. Solución numérica para excitación fuerte ( ye = 1, ξ1 1= ).
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fig. 3.13. Trayectorias en el plano de las fases correspondiente a la Fig. 3.12.
81
4. TÉCNICA DE CALIBRACIÓN DE ACELERÓMETROS PARA
LA MEDIDA DE MICROVIBRACIONES ESTRUCTURALES
En este capítulo se desarrolla una técnica de calibración de acelerómetros para la medida
de microvibraciones estructurales producidas tanto en un ambiente microgravitatorio
como en un entorno terrestre. Es una calibración de tipo absoluto, llevada a cabo en un
laboratorio terrestre con instrumentación estándar. El objetivo es la determinación
precisa de aceleraciones netas con una resolución del orden de 1 µg entre 0 y 100 Hz.
Es, por tanto, una calibración dinámica de alta resolución.
El acelerómetro típico en estas aplicaciones es el piezoeléctrico, luego los parámetros a
determinar son, en principio, la sensibilidad o factor de escala y la resolución de medida
del sensor, así como su dependencia con la temperatura. La sensibilidad, expresada en
C/g o V/g, representa el coeficiente de proporcionalidad entre la entrada y la salida. Los
piezoeléctricos con sus acondicionadores de señal no presentan respuesta a señal
estacionaria y, por tanto, no se habla de desviación del cero. En su lugar se considera el
fondo de ruido como el umbral de medida, si bien es necesaria la comprobación de la
linealidad bajando el nivel de medida hasta el del ruido.
Se ha desarrollado un péndulo de calibración, basado en los principios dinámicos
descritos en el capítulo 3. El péndulo al oscilar, permite determinar con precisión no
sólo la aceleración debida al movimiento, sino también la proyección variable de la
gravedad en el eje tangencial, que pueden llegar a ser del mismo orden de magnitud. De
esta manera, se dispone de un instrumento que proporciona una señal de referencia
fiable y trazable.
82
El análisis de incertidumbre presentado evalúa la calidad de la técnica, además de
identificar los elementos que tienen una mayor influencia en la incertidumbre de
medida. Los resultados experimentales muestran el grado de concordancia alcanzado y
la gran robustez de la calibración a incertidumbres en los parámetros del péndulo.
Los métodos, análisis y resultados que se presentan a continuación son una revisión y
ampliación de los expuestos en Santiago-Prowald et al., 1998.
4.1 Método
El acelerómetro se coloca sobre el péndulo de calibración orientado en la dirección
tangencial como se indica en la Fig. 4.1. Se excita mediante un dispositivo
piezoeléctrico de precisión y se mide la oscilación del péndulo y la salida del
acelerómetro.
El procedimiento de calibración consiste en:
1. Generación de la entrada de referencia al acelerómetro mediante el movimiento
excitado del péndulo. La amplitud de oscilación se mide mediante técnicas ópticas,
sin contacto físico, mientras la entrada de aceleración neta se determina usando leyes
básicas de la dinámica.
2. Medida simultánea de la amplitud de oscilación del péndulo y la salida del
acelerómetro.
3. Por comparación se obtiene el factor de escala, SF:
83
SFVA
a( )ωθ
= , (4.1.1)
definido como la relación entre la amplitud de la señal de salida aV y la amplitud de la
aceleración neta proyectada en el eje sensible θA , expresada en V/g. Se ha
considerado, en principio, la coincidencia del eje sensible con la dirección tangencial del
movimiento, aunque en apartados siguientes se introducirá el desalineamiento.
Exc.
Acel.Aθ
θ
AnalizadorEspectros
Controlador
SensorÓptico
VosVa
ωVe Excitación
Fig. 4.1. Procedimiento de calibración. La aceleración neta en dirección
tangencial, θA , es proporcional a la amplitud de oscilación, θ .
Ambas se determinan mediante las señales de salida aV y osV . El
sistema de excitación se controla por amplitud, eV , y frecuencia ω .
84
4.1.1 El péndulo: modelo y parámetros
El péndulo de microvibraciones deriva directamente del péndulo elemental, con la única
diferencia conceptual de reemplazar la masa puntual M por una viga. Se necesita la viga
para soportar los dispositivos, incluido el propio acelerómetro a calibrar. Además, su
longitud es un parámetro de diseño desde el punto de vista de la determinación del
movimiento, ya que la oscilación se mide en un extremo y conviene amplificarla
geométricamente todo lo posible.
Se muestra en la Fig. 4.2 la descripción geométrica del péndulo, sólo ligeramente más
compleja que la del péndulo elemental. Igual que éste, oscila en un plano vertical.
Consta de una viga colgada horizontalmente desde un punto de charnela H. Sobre la
viga se coloca el acelerómetro con su eje sensible orientado tangencialmente a una
distancia La del punto H. Se considera un descentramiento pequeño δ a de la masa
sísmica del acelerómetro repecto al plano de simetría. También de la viga cuelga el
sistema de excitación, un cristal piezoeléctrico con una masa de excitación m sujeta en
el extremo. Su posición está definida por Le y u t u tm( ) sin= +δ ω1 . El conjunto de viga
y elementos auxiliares, de masa M, incluyendo la masa del especimen a calibrar pero
excluyendo la masa m, tiene su centro de masas definido por LM y descentrado
ligeramente en δ M . Los parámetros δ M y δ m se utilizan para equilibrar el péndulo y el
δ a para controlar errores de medida.
85
H
LM L a
δM
u(t)
δa
L1
Acc.
Exc.
uθur
g θ
SensorÓptico
Le
Los
Fig. 4.2. Parámetros y grados de libertad del péndulo de microvibraciones. Respecto
al sistema de referencia ligado al péndulo (ur , uθ ), las coordenadas de M
son (δ M , LM ), las de m (δ m , Le ) y las del acelerómetro (δ a , La ).
Las ecuaciones del modelo dinámico se deducen en el anexo A. V. Aquí basta con
expresar su respuesta en frecuencia a partir del modelo linealizado con coeficientes
constantes (A.V.3), válida en general excepto quizá sobre la antirresonancia:
θγ
=−
− +
B Ax
x x
2
2 2 2 2
1
1 4c h, (4.1.2)
siendo:
86
x A Lg
B m u gI m L
e
e m
= ′ = ′ =+ + ′
ωδ
/ Ω ΩΩ
0 02 1
02 2
02
, , d i
, (4.1.3)
y γ un coeficiente de amortiguamiento viscoso global. El momento de inercia 0I
respecto al punto de charnela incluye la contribución del péndulo y el espécimen a
calibrar, pero excluye la masa de excitación m. En el péndulo elemental 0I valdría
MLM2 , mientras en este péndulo es una variable que depende de la configuración de
ensayo. La frecuencia propia ′Ω0 contiene la contribución de la rigidez parásita
introducida por el cableado eléctrico y el mecanismo de suspensión. Del anexo A. V se
deduce:
′ = + = ++
+ +Ω Ω Ω Ω0
2 20
2 2
02 2p p
M e
e m
ML mL gI m Lb g
( )δ. (4.1.4)
En consecuencia, el péndulo queda definido mediante tres parámetros adimensionales:
A, B y γ. El comportamiento dinámico, por tanto, es idéntico al descrito en el Capítulo 3
para el péndulo elemental. La única diferencia importante viene dada por la
incertidumbre de los parámetros, que puede llevar a una situación como la que se
observa en la Fig. 4.3. Aunque se diseñe el péndulo con la antirresonancia por encima de
la resonancia (A < 1), la dificultad de estimar correctamente la rigidez parásita y la
incertidumbre de 0I pueden provocar que en la práctica el péndulo se comporte de
forma contraria (A > 1). El salto de comportamiento se produce en A = 1.
87
0.01
0.1
1
10
100
0 2 4 6 8 10x
A = 0.25
A = 4.0
Fig. 4.3. Efecto del parámetro A en la función de transferencia. En ambos casos
B = 0.002, γ = 0.05.
Los valores característicos de esta función de transferencia para frecuencias altas y
cercanas a cero son, respectivamente:
θ ∞ = A B , θ 0 = B
y la frecuencia de antirresonancia está definida por:
x A1 1= / .
Estos valores característicos son los que realmente tienen importancia práctica en el
diseño y control del péndulo de calibración.
∞θθ /
88
4.1.2 Modelo del acelerómetro piezoeléctrico
En este estudio se considera el acelerómetro piezoeléctrico ideal, que responde a toda
aceleración neta en su eje sensible cuya frecuencia sea mayor que la de corte debida al
cristal y los circuitos de acondicionamiento. La aceleración neta es la diferencia entre la
inercial y la aceleración de la gravedad local, que es necesario retener cuando el eje
sensible oscila respecto a la vertical local, como ocurre sobre el péndulo. Con carácter
global, el acelerómetro se comporta de la forma descrita en el apartado 1.1, es decir, se
puede considerar que el cristal, sin entrar en más detalles, está actuando como un
conjunto masa-muelle, y así la carga eléctrica generada es proporcional a la
deformación. Este modelo global resulta ser preciso incluso cuando se considera la
geometría particular de la masa sísmica acoplada con el cristal piezoeléctrico y la
distribución de esfuerzos y generación de carga.
En el Anexo A. VI se deduce la respuesta de una masa sísmica de geometría típica en un
campo de aceleraciones como el producido por el péndulo. En particular, se demuestra
que basta la simetría de la masa sísmica respecto al plano perpendicular a ru para que
sólo el radio de rotación La y no el parámetro δ a aparezca en la expresión de la
aceleración neta en dirección tangencial:
A g L taθ ω θ ω ω= − 2d i b g sin (4.1.5)
89
Ésta es la aceleración neta en el eje cuando el acelerómetro está perfectamente alineado
con la dirección tangencial. En la figura 4.4 se representa la respuesta típica sobre el
péndulo. Se observa que aparece un nuevo punto de amplitud nula a la frecuencia:
x C2 1= / ,
siendo C L ga= ′Ω02 / . Para frecuencias altas la aceleración medida es cuadrática con x,
aproximándose asintóticamente a:
log / log( ) logA g ABC xθb g = + 2 .
Se producen saltos de 180° en la fase al pasar por x x= 1 , x = 1 y x x= 2 . En la
dirección radial, es el parámetro δ a el que gobierna la respuesta, ya que la relación de
aceleraciones radial-tangencial es:
AA g L
r a
aθ
δ ωω
=−
2
2, (4.1.6)
parámetro éste que permitirá estimar el efecto de sensibilidad transversal y el error de
alineamiento.
90
0.01
1
100
10000
0.01 0.1 1 10 100
40 dB/dec
x
Fig. 4.4. Aceleración típica sobre el péndulo de microvibraciones. Orientación
tangencial. A = 4, B = 0.002, γ = 0.05.
4.1.3 Diseño del péndulo
El diseño del péndulo consiste en el dimensionamiento de los parámetros dimensionales
( 1L , ML eL , aL , 1u , M, m) a partir de los adimensionales que aparecen en el modelo
matemático (A, B, C), verificando los requisitos derivados de la aplicación. Para
verificar el cumplimiento de los requisitos es preciso analizar las actuaciones del
péndulo y los procedimientos de operación. Se trata, sin embargo, de una labor
engorrosa y enrevesada, dada la imbricación de unos parámetros con otros, el gran
número de ellos y el carácter conflictivo de sus relaciones, aunque es imprescindible
para evaluar la viabilidad de la técnica y las tecnologías implicadas en los subsistemas.
gBAθ
91
• Requisitos
Se consideran tres requisitos fundamentales:
I. Observabilidad de las oscilaciones por resolución óptica. La detección de la
oscilación por sensores ópticos comerciales presenta, hasta el momento actual, una
resolución de medida del orden de 1 µm. Tomamos por seguridad una amplitud de
oscilación mínima de 5 µm. El brazo de amplificación es aproximadmente
L Los ≈ 1 2/ , luego el requisito de resolución óptica se traduce en:
L1
25θ µ≥ m . (4.1.7)
II. Rango de aceleraciones 10 -7÷10 -2 g. A la vista de la Fig. 4.4 y las consideraciones
del Capítulo 3, parece lógico en el péndulo de microvibraciones tomar sólo el tramo
de frecuencias superior, por encima de la resonancia, luego la aceleración es
prácticamente cuadrática con la frecuencia. Por tanto, resulta que el límite
dimensionante es la aceleración máxima, mientras la mínima se alcanzará en el
extremo inferior del rango de frecuencias, bien por control de la excitación o bien por
uso de la antirresonancia x2. La condición de aceleración máxima es:
Ag
Lg
aθ ω θ= − ≤ −2
21 10 . (4.1.8)
92
III. Intervalo de frecuencias lo más amplio posible y típicamente de 0÷100 Hz. En el
caso de acelerómetros piezoeléctricos el límite 0 Hz no tiene sentido, pero se pretende
alcanzar la frecuencia propia mínima posible para extender la utilidad del péndulo.
• Determinación de parámetros adimensionales y las frecuencias de actuación
En principio se parte de amortiguamiento nulo para simplificar el dimensionado. Faltan
por determinar A y B, aunque sólo es necesario su producto. Para obtenerlo, la condición
(4.1.7) a la frecuencia máxima, proporciona:
L L AB1 1
2 25θ ω µmax mb g ≈ = .
Cuanto más grande sea la longitud de la viga, menos restrictivo el límite de resolución
óptica. Sin embargo, el valor máximo de L1 está limitado por la frecuencia propia
mínima de flexión, que es proporcional a 1 12/ L y debe estar claramente por encima del
rango útil de frecuencias.
El valor máximo para L1 desde un punto de vista práctico es del orden de 1 m, luego
θ µ∞ = ≈AB 10 rad
y para la primera frecuencia de flexión del tubo disponible, con extremos libres, resulta
ω π12
124 7 2 170( ) , / /Hz Hz= ≈E I M Lb b e j (siendo bI y bM el momento de inercia
y la masa por unidad de longitud del tubo).
93
La frecuencia máxima que se puede alcanzar en estas condiciones se obtiene de (4.1.8)
mediante L gaθ ω∞−≈max
2 210/ . Maximizar la frecuencia máxima es equivalente a
minimizar el producto Laθ ∞ . Al estar ya fijada la amplitud por resolución óptica, sólo
queda el radio de giro del acelerómetro, que no puede ser menor a su tamaño. Tomando
Lab gmin= 2 cm, queda:
ω θmax /= ≈−∞10 2 g Lab g 110 Hz.
Se verifica así una frecuencia máxima por encima de 100 Hz, a la cual se alcanza una
aceleración en el eje del acelerómetro de 10 -2 g y que está por debajo de la primera
frecuencia de flexión de la viga. Por otro lado, la frecuencia mínima de utilidad, ω min ,
se obtiene en el entorno de la antirresonancia de la aceleración x2, luego:
ω min = ≈g La/ 3 Hz.
Aumentar La puede ser beneficioso para bajar la frecuencia mínima, pero penalizaría la
máxima.
• Determinación de parámetros dimensionales
Una vez determinado el producto AB y usando criterios prácticos, se pueden deducir
valores aproximados para los restantes parámetros dimensionales. En primera
aproximación se deduce de (4.1.3):
94
AB u LI
mL
e
e
≈+
≈1
021
10/ radµ . (4.1.9)
El momento de inercia está dominado por la viga, es decir, I ML0 12 12≈ / , donde se ha
incluido toda la masa del péndulo en la de la viga. En cuanto al dispositivo excitador
disponible, de tipo piezoeléctrico, tiene las siguientes limitaciones:
u1 20< mµ
m < 1 kg .
Con el objeto de disponer suficiente margen de actuación se diseña con la excitación en
un valor medio de su rango, es decir, u1 10= mµ y m = 0.75 kg. La masa total del
péndulo se estima en 1.5 kg. Con todo esto, entrando en (4.1.9) se obtiene:
L uAB
MLm
ABu
Mme = ± −
FHGIKJ
L
NMM
O
QPP ≈ ± −FHG
IKJ ≈1 1
2
1
2
21 1
312
1 13
m 0.20 m.
Se ha tomado el signo negativo por cuestiones prácticas. En la expresión anterior, se
observa además que existe un valor mínimo de la masa de punta del excitador para
alcanzar la amplitud de oscilación requerida cuando el discriminante es nulo.
La longitud LM se elige por razones constructivas de forma que L L La M e< < . Un valor
razonable es LM = 10 cm.
95
• Punto de diseño
El punto de diseño seleccionado para la construcción del péndulo está definido en la
Tabla 4.1. Obsérvense los intervalos de variación, que se deben a la incertidumbre de los
parámetros, márgenes de diseño o por el control de la excitación.
Tabla 4.1. Punto de diseño del péndulo de microvibraciones.
Parámetro Unidad Valor estimado Márgenes de variación
u1max m 20⋅10-6 0-20⋅10-6 (a)
L1 m 1.000 ±0.1 (b)
La m 0.022 ±0.002 (c)
LM m 0.100 ±0.05 (b)
Le m 0.20 ±0.01 (b)
m kg 0.75 0.5÷1.0 (b)
M kg 1.5 ±0.5 (b)
Ω0 rad/s 4.3 5÷12 (c)
A -- 0.6 0.5÷5.0 (b)
B -- 1.1⋅10-5 5⋅10-6÷5⋅10-5 (a)
γ -- 0 0.0÷0.5 (b)
(a) Parámetro de control. (b) Margen de diseño. (c) Incertidumbre.
96
Aunque pueda parecer que según estos datos A < 1 y por tanto la frecuencia de
antirresonancia es mayor que la de resonancia, el efecto de la rigidez parásita y la
incertidumbre de los parámetros es desviar el estado a A > 1, invirtiéndose la posición
de dichas frecuencias.
4.1.4 Descripción de la instalación
La instalación experimental está constituida por el péndulo y sus elementos de
excitación y medida, montado sobre una mesa óptica para aislar del ruido sísmico y
vibraciones de maquinaria cercana, el sistema de excitación, el sistema de medida de la
oscilación y el sistema de acondicionamiento del acelerómetro.
• Péndulo: construido mediante un perfil Bosch 45×45 de aluminio y piezas de
aluminio mecanizado. Uniones atornilladas. Dispositivo de articulación en base a
fijas ajustadas de 6 mm. Se presta especial atención al método de centrado de los dos
ejes.
• Sistema óptico: sensor Keyence PA-1810, resolución < 1 µm, factor de escala
(1.024 ± 0.001) V/mm obtenido por calibración in situ. Registro de la señal de salida
mediante analizador de espectros Spectral Dynamics 380.
• Sistema de excitación: construido en CASA, División Espacio, mediante a un cristal
piezoeléctrico con una masa de 0.750 kg en punta. Está alimentado por un
amplificador de alta tensión Philips al que le llega la señal de un generador de
funciones Hewlett-Packard 3325 B.
97
La Fig. 4.5 es una fotografía en la que se aprecia el péndulo montado sobre la mesa
óptica durante la calibración del sensor óptico. A la derecha se aprecia el micrómetro
digital empleado a tal efecto. Del péndulo cuelga el excitador (disco) y encima, pero
fuera del eje de oscilación, está montado el acelerómetro a calibrar, mientras el captador
óptico mide la oscilación en el extremo de la viga.
Fig. 4.5. Vista general del péndulo (1) sobre la mesa óptica (2). Sensor óptico (3),
excitador (4), acelerómetro (5), soportes (6), eje de oscilación (7).
La Fig. 4.6 muestra la disposición de los equipos de medida, registro, alimentación y
acondicionamiento de las señales. Para disponer de la mejor calidad posible de las
3
1
2
4
5
6
7
98
señales de medida, en la interconexión de los equipos se ha puesto especial cuidado en
evitar bucles de masa y conectar debidamente a tierra las carcasas metálicas que lo
requiren. En particular, la carcasa del acelerómetro denominado ISOSHEAR requiere
conexión a tierra, mientras el denominado ISOTRON ya la lleva conectada internamente
al retorno de señal y por tanto debe ir aislada del péndulo. En las figuras 4.7 y 4.8 se
esquematizan la cadena de medida y el sistema de excitación.
Fig. 4.6. Vista general de los equipos. Generador de funciones (1), amplificador de
alta tensión (2), analizador de espectros (3), voltímetro de precisión (4),
amplificador de carga (5), acondicionador del sensor óptico (6).
1
2
3
4
5
6
99
Fig. 4.7. Cadena de medida. Se grafica la transformada de Fourier y se mide la
amplitud.
Fig. 4.8. Conexión del sistema de excitación.
Acelerómetro ISOSHEAR
Captador óptico Keyence PA-1810
Alimentación y acondicionador de señal
Analizador de espectros o voltímetro de precisión
Amplificador de carga y acondicionador de señal
FFT(Va) FFT(Vco)
Carcasa aislada del retorno
∼ ∼
COAX
Generador de funciones( )ωeV
Alimentador de alto voltaje
Cristal piezoeléctrico y masa excitadora ∼ ∼
100
4.2 Ensayos de validación y determinación de parámetros
Es necesario validar el modelo matemático del péndulo mediante ensayos. El
procedimiento consiste en determinar aquellos parámetros sometidos a incertidumbre y
la consiguiente comparación del modelo con la respuesta en amplitud experimental. Los
parámetros que requieren determinación previa son A, B, γ y la frecuencia no
amortiguada ′Ω0 . Para ello, se realizarán dos ensayos preliminares: un ensayo de
amortiguamiento, del que se extrae ′Ω0 , γ y en consecuencia A, y un ensayo de respuesta
en frecuencia del que se extrae B.
Es importante destacar que algunos parámetros presentan una fuerte dependencia con la
configuración de cada ensayo, como es el caso de ′Ω0 , debido al efecto de la rigidez
parásita. Nótese, sin embargo, que la determinación de los parámetros no es esencial
para la calibración, sólo en parte para el control del péndulo. Lo que sí se ha observado
es una cierta invariabilidad del producto AB, la amplitud de oscilación a altas
frecuencias, luego éste es el parámetro de control del péndulo.
4.2.1 Ensayo de amortiguamiento
Se utiliza el clásico método del decremento logarítmico. Se registran oscilaciones no
forzadas desde unas condiciones iniciales no nulas. La respuesta temporal esperada es
θ γ γ ε= − ′ ′ − + +C t t C1 0 02
21exp( ) sinΩ Ωe j , donde las constantes dependen de las
condiciones de la suelta y ε es el descentramiento. Tomando amplitudes para eliminar
el descentramiento y restando el logaritmo de la expresión anterior evaluada en dos
101
instantes diferentes 1t y t t n2 1= + ∆ , donde n es un entero y ∆ Ω= ′ −2 102π γ/ e j el
periodo amortiguado, tenemos:
ln lnθ θ π γγ
t t n1 2 2
21
b g b g− =−
(4.2.1)
Así se obtiene γ , y medido ∆ se obtiene también ′Ω0 . Considerado conocido Le se
deduce A de (4.1.3).
Fig. 4.9. Ensayo de amortiguamiento típico. La señal superior es la oscilación y
la inferior la aceleración. Las discontinuidades iniciales se deben a la
saturación del captador óptico.
102
En la Fig. 4.9 se muestra la salida de un ensayo de amortiguamiento. La representación
gráfica de ln lnθ θt t1 2b g b g− respecto n se ajusta satisfactoriamente a una línea recta
según describe (4.2.1). Se obtiene en este ensayo ∆ = ±2 25 0 01. . s y de la pendiente de
la línea de regresión se deduce el valorγ = 0 17. , luego ′ =Ω0 180. Hz . Siendo Le = 17.5
cm, resulta A = 2.2.
4.2.2 Ensayo de barrido en frecuencia
Mediante un barrido en frecuencia se registra la amplitud de oscilación a excitación
constante. El parámetro B, proporcional al nivel de excitación 1u , resulta casi imposible
de obtener a baja frecuencia, debido a la gran incertidumbre de medida (véase el
apartado 4.3) y a perturbaciones de baja frecuencia. Sólo se puede extraer de la
información a alta frecuencia, donde la amplitud se aproxima asintóticamente al valor
AB. Dado que este producto, según se deduce de (4.1.3), no contiene a ′Ω0 ni γ, parece
razonable pensar que es bastante invariable entre ensayos con la misma configuración y
por tanto se puede extraer B usando A del ensayo de amortiguamiento.
En la Fig. 4.10 se muestra un ensayo de barrido, con θ ∞−= ≈ ⋅AB 2 0 10 6. . Después de
adimensionalizar se comprueba el buen ajuste con el modelo matemático recogido por la
ecuación (4.1.2). El ensayo de amortiguamiento previo proporcionó A = 4.38, γ = 0.06.
Se han representado también barras de error estimadas mediante los métodos del
apartado 4.3. Así se vuelve a comprobar el enorme error relativo al medir cerca de la
antirresonancia. En esta configuración, el rango de frecuencias de utilidad está por
encima de 3 Hz.
103
0.01
0.1
1
10
0 10 20 ω (Hz)
Fig. 4.10. Ensayo de barrido en frecuencias. AB ≈ ⋅ −2 0 10 6. , A = 4.38, γ = 0.06.
Linea continua para el modelo y rombos con barra de error para los
resultados experimentales.
4.2.3 Otros ensayos
Se han realizado otros ensayos para la determinación de parámetros, como el uso de las
frecuencias características de cambio de fase y el uso de la frecuencia de amplitud
máxima en la respuesta en frecuencia. Sin embargo, en ambos casos, se requieren
resoluciones de medida de frecuencia difíciles de alcanzar, por lo que estos métodos se
han descartado.
∞θθ /
104
4.3 Análisis de incertidumbre
El procedimiento empleado para la determinación de la incertidumbre en la calibración
del factor de escala (SF) está basado en los principios enunciados en la “Guía ISO para
la Expresión de la Incertidumbre” (ISO, 1995). Está establecido que la incertidumbre se
clasifica en dos categorías: tipo A, que se deduce objetivamente de las medidas y
procedimientos estadísticos, y tipo B, evaluada por juicio científico basado en
información disponible como datos previos, experiencia o conocimiento general. Al
estar la incertidumbre relacionada con la desviación típica, la incertidumbre combinada
para el factor de escala es u u uSF SF A SF B2 2 2= +, , . En este apartado sólo se trata la
incertidumbre de tipo B, que resulta ser la de análisis más complejo.
Introduciendo en la ecuación (4.1.1) la expresión de la respuesta del acelerómetro
(4.1.5) y usando la sensibilidad del sensor óptico osH , es decir, V H Los os os= θ , resulta:
SFVA
Vg L
H Lg L
VV
a a
a
os os
a
a
os
( )ωω θ ωθ
= =−
=−2 2
.
(4.3.1)
A la vista de esta ecuación, los errores de medida se deben a la incertidumbre de:
frecuencia de excitación ω , voltajes de salida aV y osV , radio de rotación del
acelerómetro aL y los parámetros ópticos osL y osH . Sin embargo, (4.3.1) no recoge el
efecto del desalineamiento del eje sensible y la sensibilidad transversal, que también
contribuyen decisivamente a la incertidumbre total. Los coeficientes de sensibilidad que
se calculen a partir de (4.3.1) corresponden a la situación ideal de alineamiento perfecto
105
y sensibilidad transversal nula. Se pueden calcular, por tanto, los siguientes coeficientes
de sensibilidad:
C SF Lg L
a
aω
ωω
= ⋅−
22
, C SFVaa
= , C SFVosos
= , C SFg LLa
a
= ⋅−
ωω
2
2, C SF
HHos
= , C SFLLosos
= .
(4.3.2)
Estos coeficientes contribuyen a la incertidumbre a través de la ley de propagación de
errores:
u C uSF i i2 2 2=∑ . (4.3.3)
La incertidumbre introducida por el desalineamiento del eje sensible respecto al péndulo
se puede estimar reemplazando en la ecuación (4.3.1) Aθ por A s⋅ , la proyección de la
aceleración neta A en la dirección del eje s, cuya orientación exacta es desconocida.
Usando la referencia intrínseca del péndulo.
A u u u u≈ − + + ⋅ ×g La a r rω θ δ ω θθ θ2 2 0d i (4.3.4)
s u u u ur r≈ + + ×θ θδα δβ , (4.3.5)
siendo δα y δβ los ángulos de desalineamiento del eje sensible respecto a la referencia
del péndulo, considerados pequeños. En consecuencia:
106
ΑΑΑΑ ⋅ ≈ +s A Arθ δα (4.3.6)
Al introducir esta aceleración neta en (4.1.1) y desarrollando en serie del ángulo δα ,
supuesto pequeño, se tendría:
SFVA
AA
a r≈ −FHG
IKJθ θ
δα1 , (4.3.7)
que permitiría estimar el efecto de desalineamiento de forma determinista, pero al ser
δα desconocido es preferible tratarlo como incertidumbre. De esta forma, usando
(4.1.6) del modelo del acelerómetro, se obtiene el coeficiente de sensibilidad:
C SF SFg L
Ca
aa Laα
∂∂ δα
δ ωω
δ= ≈ ⋅−
=2
2. (4.3.8)
Ligeramente más sutil es la evaluación del efecto de sensibilidad transversal, que
también se puede aproximar de forma estocástica. En las ecuaciones (4.1.1) y (4.3.7), la
tensión de salida del acelerómetro debe considerarse la superposición de dos
contribuciones, la axial y la transversal, que son aproximadamente tangencial y radial.
Entonces V V Va a a r≈ +, ,θ . Típicamente, la parte transversal se suele especificar mediante
un coeficiente de sensibilidad transversal, λ , luego V A SFa r r, ≈ λ , resultando el
siguiente coeficiente de influencia debido a la sensibilidad transversal:
107
C SFAA
Cra Laλ
θ
δ≈ = , (4.3.9)
idéntico al de desalineamiento. Esto tiene sentido físico si se considera la sensibilidad
transversal como consecuencia de una asimetría o desalineamiento interno.
Recopilando todas las contribuciones, se tiene para la expresión de la incertidumbre:
uSF
Lg L
u uV
uV
Lg L
uL
uL
uH
g Lu u
SF a
a
a
a
os
os
a
a
La
a
Los
os
H
os
a
a
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
22 2
2=−FHG
IKJ + + +
−FHG
IKJ + +
+−FHG
IKJ +
ωω ω
ωω
δ ωω
ω
α λe j
(4.3.10)
Una consecuencia que se observa es la gran sensibilidad de la incertidumbre al medir
cerca de la antirresonancia ω = g La/ . Además, el parámetro δ a cobra aquí
importancia ya que sirve para controlar los errores de desalineamiento y sensibilidad
transversal, haciéndolos despreciables frente a otros. La tabla 4.2 recoge estimaciones de
las incertidumbres de tipo B según describe la ecuación (4.3.10). Los coeficientes
numéricos 1/√12 que aparecen en las estimaciones proceden de considerar una
distribución de probabilidad uniforme en el intervalo de resolución, en los casos en que
proceda.
108
Tabla 4.2. Incertidumbres de tipo B.
Denominación y valores típicos Coeficiente de
influencia
Incertidumbre Contribución
a u SFSF /b g2
Acel., resolución = 10-4 V
Va = 0.0279 V
1.0
uV Va
a a
= ≈resolución12
10-3
10-6
Oscilación, resolución = 10-5 V
Vos =0.00107 V
1.0
uV Vos
os os
= ≈resolución12
10-3
9⋅10-6
Frecuencia, resolución = 1 mHz
ω = 18 Hz ,
2 2 02
2
Lg L
a
a
ωω−
≈ .
uω
ω ω= ≈resolución
12 10-5
2⋅10-9
Radio de rotación del acel.
La = 94 mm, uLa ≤ 15. mm
Lg L
a
a
ωω
2
2 10−
≈ .
uLLa
a
≈ ⋅ −2 10 2
5⋅10-4
Longitud óptica
Los=471 mm,
uLos ≈ 1 mm / 12
1.0
uLLos
os
≈ ⋅ −6 10 4
4⋅10-8
Sensibilidad óptica Hos ≈ 1.02
V/mm, uH ≈ 0.01 V/mm
1.0
uHH
os
≈ −10 2
10-4
Desalineamiento
δ a ≈ 10 mm
δ ωω
a
ag L
2
2−≈ 0.1
uα ≈ ⋅ −2 10 122 /
3⋅10-7
Sensibilidad transversal
uλ ≈ 0 01.
δ ωω
a
ag L
2
2−≈ 0.1
uλ ≈ 0 01.
10-6
109
4.4 Ensayos de calibración y conclusiones
Se ha llevado a cabo la calibración de dos especímenes de acelerómetro piezoeléctrico
del tipo de cortadura y alta sensibilidad: ISOSHEAR 7703a-1000 e ISOTRON 7751-
500, ambos de Endevco. La sensibilidad nominal a 100 Hz es 1079 pC/g para el
ISOSHEAR y 485 mV/g para el ISOTRON, que incorpora circuitos de tratamiento
internos. El primero presenta una pendiente negativa con la frecuencia, mientras el
segundo tiene respuesta casi constante, excepto por la caida a frecuencia cero. Ambos
acelerómetros se calibran en sensibilidad y resolución a diferentes frecuencias. La
resolución se determina bajando el nivel de excitación conservando la linealidad
respecto a la amplitud de la salida.
En la Fig. 4.11 se recogen los espectros de un ensayo de sensibilidad. La excitación a
17.5 Hz produce un pico de la amplitud de oscilación de 5.1⋅10-4 V, que equivale a una
amplitud de 0.5 µm y a una aceleración de 25 µg. Aunque esta señal esté cerca de la
resolución indicada por el fabricante del sensor óptico, se puede observar en la figura
que aún quedaría margen hasta los 8⋅10-6 V, aproximadamente, para distinguir la señal
del ruido de fondo sin dificultad. Sin embargo se ha comprobado que por debajo de
5⋅10-5 V el sensor óptico pierde linealidad. El pico de 50 Hz en la misma figura es
espúreo, procede de la red y se ha infiltrado a través del analizador de espectros,
mientras el pico cerca de 2 Hz es la frecuencia propia del péndulo.
110
Fig. 4.11. Ensayo de sensibilidad. Espectro de la aceleración (superior, A) y la
oscilación (inferior, B). Acelerómetro Endevco ISOSHEAR
7703a-1000. La = 22 mm. Ganancia = 100.
En la figura 4.12 se aprecia la respuesta en frecuencia de ambos, sensor óptico y
acelerómetro. Para esta configuración particular han caido muy cerca unas de otras las
frecuencias de resonancia y antirresonancia, por lo que casi no se aprecian en la
respuesta del acelerómetro. Ello es debido a la colocación del acelerómetro que en este
caso corresponde a un radio de giro mayor de lo habitual ( La = 94 mm).
111
Fig.4.12. Espectros de salida: oscilación (SPEC A) y aceleración de ISOSHEAR
(SPEC B). u u1 1 4 5= ≈max / mµ . La = 94 mm. Puntero (⊗) a 1.475
Hz, Vos = ⋅101. 10 V-4 , Va = ⋅ −519 10 4. V . Resolución en frecuencia
∆f = 0 025. Hz .
La tabla 4.3 recoge los resultados de los ensayos de calibración del acelerómetro
ISOSHEAR a diferentes frecuencias. A cada frecuencia, los diferentes niveles de
excitación demuestran linealidad y repetitividad en la medida del factor de escala. Se
observa la pendiente negativa del factor de escala con la frecuencia, concordando con
los datos dados por el fabricante. La incertidumbre dominante procede del parámetro
La , siendo de tipo B y del orden u LLa a/ .≈ 0 02 . Esto se debe a las propiedades
constructivas del sistema de suspensión, que han resultado peores de lo esperado. La
incertidumbre de tipo A ha resultado ser despreciable, con lo que resulta finalmente para
112
estos ensayos u SFSF / .≈ 0 02 . Evidentemente, este dato se puede mejorar en el futuro
modificando el método de suspensión.
Tabla 4.3. Calibración del acelerómetro ISOSHEAR. Ganancia acel. = 100,
La = 94 1.5 mm± , Hos = 1.024 0.001 V / mm± , Los = ±471 2 mm , u SFSF / .= 0 02 .
f (Hz) Ve (V) Va (mV) Vos (mV) Aθ (10 g-6 ) SF (V/g) SF (pC/g)
25.5 1.0 54.2 1.090 556 0.975 1052
18.0 1.0 27.9 1.075 272 1.025 1106
18.0 2.0 59.9 2.310 585 1.024 1105
13.5 1.0 16.1 1.080 153 1.054 1137
13.5 2.0 34.6 2.315 328 1.056 1139
11.0 0.5 5.20 0.510 48 1.088 1173
11.0 1.0 10.9 1.080 100 1.083 1169
11.0 2.0 23.4 2.325 217 1.080 1165
El acelerómetro ISOTRON tiene una respuesta más ruidosa, luego la incertidumbre de
tipo A es mayor. La tabla 4.4 muestra los resultados de una calibración de sensibilidad a
diferentes frecuencias. En este caso u SFSF / .≈ 0 04 .
113
Tabla 4.4. Calibración del acelerómetro ISOTRON. Ganancia acel. = 1,
La = 94 1.5 mm± , Hos = 1.024 0.001 V / mm± , Los = ±471 2 mm , u SFSF / .= 0 04 .
f (Hz) Ve (V) Va (mV) Vos (mV) Aθ (10 g-6 ) SF (mV/g)
20.0 1.0 152 1.08 337 451
17.5 1.0 115 1.08 257 447
10.0 1.0 33 1.11 85 388
Los ensayos de medida de la resolución presentan niveles de incertidumbre mayores,
debido a que el sensor óptico tiene un comportamiento ligeramente no lineal y a la
mayor incertidumbre en la medida de osV , que en esta ocasión presenta una mayor
contribución de tipo A. En la tabla 4.5 se recoge un ensayo de resolución a niveles
cercanos a 1 µg observándose la variabilidad del factor de escala así determinado.
Aunque no esté reflejado en la tabla, se ha llegado hasta el nivel de 0.1 µg, aunque con
una incertidumbre más alta.
Tabla 4.5. Ensayo de resolución del acelerómetro ISOSHEAR. Ganancia acel. = 100,
La = 22 1.5 mm± , Hos = 1.024 0.001 V / mm± , Los = ±471 2 mm , u SFSF / .= 010 .
f (Hz) Ve (V) Va (mV) Vos (mV) Aθ (10 g-6 ) SF (103pC/g)
17.5 0.10 0.55 0.100 5.4 1.10
17.5 0.09 0.48 0.080 4.3 1.20
17.5 0.08 0.43 0.075 4.1 1.14
17.5 0.07 0.38 0.070 3.8 1.08
17.5 0.06 0.33 0.060 3.3 1.10
114
Como se ha podido observar en las figuras y tablas anteriores, los valores de aceleración
que se han obtenido, así como las incertidumbres asociadas a la calibración, no serían
alcanzables sin la excepcional respuesta del péndulo de calibración. Las técnicas
tradicionales, basadas en instrumental semejante, no permiten llegar a tales niveles,
debido principalmente a las imperfecciones de los dispositivos que generan la señal de
referencia. Estas imperfecciones suelen ir ligadas al desconocimiento de la proyección
de la gravedad durante el movimiento, algo que no ocurre en el péndulo de calibración
desarrollado. Así mismo, el estudio de incertidumbre ha permitido identificar
parámetros de control de las fuentes de incertidumbre, especialmete las relacionadas con
desalineamientos y sensibilidad transversal, a diferencia de otras técnicas.
En cualquier caso, no se ha alcanzado el límite de esta técnica, basta con pequeñas
mejoras en el mecanismo de suspensión para reducir a la mitad la incertidumbre, y más
todavía con un sensor óptico de mejor resolución y linealidad.
115
5. TÉCNICA DE CALIBRACIÓN DE ACELERÓMETROS PARA
LA MEDIDA DEL AMBIENTE MICROGRAVITATORIO
La calibración aplicada al ambiente microgravitatorio se diferencia de la técnica del
capítulo anterior en la presencia de la señal continua (frecuencia 0), principalmente,
complicando en gran medida el método expuesto en el capítulo anterior. Ello se debe
a que precisamente en la señal continua aparecen superpuestos los errores y derivas
del cero procedentes del propio sensor, la proyección de la gravedad local por
desalineamiento, la rectificación de las vibraciones y otros errores.
La forma de entender mejor las contribuciones al nivel de continua es comenzar
desarrollando el modelo de la respuesta del acelerómetro. El péndulo y la instalación
experimental se diseñan y construyen considerando dicho modelo, con el objeto de
limitar en lo posible las incertidumbres de medida y simplificar los procedimientos
experimentales.
Se describen dos métodos. El primero es un método simplificado y consiste en una
primera aproximación basada en el control de las incertidumbres, mientras que la
calibración completa, en la que se determina la orientación real del eje sensible y el
error de BIAS, requiere un instalación compleja y delicada. Los resultados que se
presentan corresponden al procedimiento simplificado.
5.1 El péndulo de microgravedad
El péndulo de microgravedad tiene una constitución totalmente distinta al péndulo
de microvibraciones, tanto en geometría y componentes, como sobre todo en el peso
116
y dimensiones. Físicamente es una plataforma de gran masa (unos 50 kg),
suspendida mediante cables de acero y dotada de una ligadura adicional: una barra
articulada en la pared y empotrada en la plataforma, como se aprecia en la figura 5.1.
El motivo de esta diferencia viene dado por el criterio de diseño, encaminado a
reproducir en lo posible la dinámica de una plataforma orbital como es el UPM Sat 1
(Santiago et al., 1996).
a
a
O O
HH
x
y
z
x
z
b
Go
Go
r
s1
Pu
M
Fig. 5.1. El péndulo de microgravedad. Componentes: placa cuadrada de
lado a y centro G0, varilla de longitud b, cables de suspensión
desde el punto H, partícula de excitación P desplazada una
distancia d desde el centro, masa m y amplitud de oscilación 1u .
Además, este péndulo cumple los requisitos funcionales, es decir, tiene una respuesta
en frecuencia aceptable y es relativamente inmune a las vibraciones sísmicas, el gran
problema de los dispositivos convencionales. Las vibraciones transmitidas a la
d
m
α α
117
plataforma desde el punto de suspensión H, se filtran mediante la elasticidad de los
cables y el dispositivo de enganche hasta hacerlas imperceptibles, mientras que las
vibraciones transmitidas por el punto de articulación son principalmente radiales y
no afectan a las medidas tangenciales. Se puede considerar, dentro del rango, que el
péndulo se comporta como un sólido rígido dotado de un único grado de libertad: el
giro alrededor del eje oblicuo OH. El hecho de tener un movimiento bien definido es
otra de las ventajas de este instrumento sobre las mesas orientables y los vibradores.
En cuanto a la respuesta dinámica del péndulo, resulta ser idéntica, en su forma
adimensional, al péndulo de microvibraciones y por tanto al péndulo elemental. La
ley dinámica deducida en el anexo A.VII. permite escribir la misma respuesta en
frecuencia, sin más que cambiar las definiciones de los parámetros:
θγ
=−
− +
B Ax
x x
2
2 2 2 2
1
1 4c h, (5.1.1)
siendo para este péndulo:
x A rg
B m u gI mr
P
P
= = =+
ωα
α/sin
sinΩ ΩΩ0 0
2 1
02
02 , , c h . (5.1.2)
La frecuencia propia y la de antirresonancia son, respectivamente:
Ω02 0
02
2=+
g qI mrP
sin( )α , ΩeP
gr
2 = sinα (5.1.3)
118
con los parámetros definidos en A.VII. Se observa que la altura del péndulo no
interviene directamente en la respuesta, sólo afecta al ángulo de inclinación α, que se
puede modificar fácilmente desplazando el punto H. La longitud de los cables sólo
modifica la transmisibilidad de vibraciones. El ángulo de inclinación es
preferiblemente pequeño, pero suficientemente grande para evitar desplazamientos
indeseados del punto de equilibrio.
La frecuencia de antirresonancia, al igual que para el péndulo elemental (capítulo 3),
viene dada por x Ae = 1/ , mientras que los límites de frecuencia cero e infinita
son, respectivamente, θ ω = =0 B y θ ω→∞ = A B .
La respuesta en función de la frecuencia y con el ángulo de inclinación α como
parámetro se representa en la Fig. 5.2. Se aprecia claramente el efecto de α, que
desplaza la frecuencia propia y el punto de amplitud nula a frecuencias mayores y
aumenta ligeramente las amplitudes de oscilación.
Amplitud de osc ilac ión: efec to de la inc linac ión
0 1 2 3 4 5
ω (rad / s)
0.1
0.2a = 0.25a = 0.1 a = 0.5
Fig. 5.2. Respuesta teórica no amortiguada con α como parámetro. m = 0.1 kg,
M = 35 kg, a = 0.35 m, b = 0.53 m, d = 0.1 m, 1u = 0.01 m.
θ
(mrad)
119
De la ecuación de respuesta (5.1.1), se puede deducir que, para una adecuada
combinación de los parámetros y amortiguamiento nulo se puede obtener una curva
de respuesta plana. Esto es así cuando A = 1, aunque resulte casi imposible de
obtener en la práctica debido al amortiguamiento, los efectos de segundo orden y
sobre todo a la gran sensibilidad que presenta la antirresonancia a la incertidumbre
de la frecuencia.
5.2 Modelo del servoacelerómetro pendular
Hasta la fecha, el tipo de acelerómetro comercial más apropiado para las técnicas
microgravitatorias con un coste accesible, es el denominado Q-Flex. Se trata de un
servoacelerómetro pendular de gran calidad y dotado de un nivel de integración
medio. El elemento sensible es un péndulo mecanizado sobre una oblea de cuarzo
amorfo, de gran estabilidad, controlado por captadores capacitivos y actuadores
electromagnéticos, en lazo cerrado. La resolución, en el mejor de los casos, es de 1
µg y el rango dinámico típico está en 106. Hasta la aparición de los Vibrating-Beam
este tipo de acelerómetros ha sido la única elección posible en el rango de señales
pequeñas y bajas frecuencias, incluida la frecuencia cero.
Los resultados que se presentan a continuación se pueden generalizar fácilmente a
otros tipos de acelerómetro, si bien está particularizado al servoacelerómetro
pendular. En el anexo A.VIII se deducen detalladamente las ecuaciones de los
modelos para permitir mayor fluidez en la exposición de los argumentos.
120
5.2.1 El servoacelerómetro pendular ideal
El modelo del acelerómetro pendular ideal ya se ha introducido en el capítulo 1. En
primera aproximación, el comportamiento se puede suponer parecido al del
acelerómetro lineal, para el que se dedujo la ecuación (1.1), repetida aquí:
δ δ+ = − ⋅Ω2 g a sb g .
Un modelo más detallado, pero todavía ideal, incluye el movimiento pendular de la
masa sísmica, considerada puntual. Así se ha deducido tanto en el capítulo 1
mediante la Mecánica Analítica, como en el anexo A.VIII mediante la ecuación de
conservación del momento cinético, resultando:
δ δ+ − +FHG
IKJ = −a g
lg an n
t tΩ2 , (5.2.1)
donde se ha empleado la terminología del apartado 1.1. La entrada normal al eje
sensible se acopla con el movimiento del péndulo sísmico y se manifiesta como una
perturbación de la frecuencia propia y por tanto del factor de escala. Este efecto es
una de las causas de la sensibilidad del factor de escala a la gravedad ambiental. En
el anexo A.VIII se deducen con detalle las ecuaciones de respuesta del acelerómetro
pendular ideal, incluyendo no sólo la aceleración transversal sino también los efectos
de rotación del sistema de referencia, que en general son despreciables.
La forma del factor de escala del acelerómetro ideal, definido como la relación entre
la intensidad de la corriente eléctrica generada y la aceleración en el eje sensible,
121
SF I a gt t= −/ ( ) , para el caso de gran rigidez del péndulo sísmico,
( ) / ( )a g ln n− <<Ω2 1 , es:
SFSF
x
x x
a gl
o a glo a
n n n n= − −
− +⋅ − + −F
HGIKJ1 1
1
2
2 2 2 2 2c h ( )γ Ω Ω (5.2.2)
donde x = ω / Ω , Ω2 = K m/ , γ a es el coeficiente de amortiguamiento viscoso
adimensional y:
SF Kx x
oG
a
= ⋅− +Ω2 2 2 2
11( ) ( )γ
(5.2.3)
es la conocida función de transferencia del sistema lineal de segundo orden, en la
que entra la ganancia del servo KG . La primera aproximación para la fase es:
cot cotφ φγ
= − ⋅ − + −FHG
IKJo
a
n n n n
xa g
lo a g
l1
2 2Ω Ω, (5.2.4)
con:
cotφγo
a
xx
= − −1 2
. (5.2.5)
La sensibilidad transversal se debe a la acción conjunta de una aceleración axial que
desplaza el péndulo sísmico de su punto de equilibrio y una aceleración transversal
que actúa simultáneamente y modifica la rigidez. Es, por tanto, proporcional al
producto de ambas aceleraciones, motivo por el que también se conoce como
sensibilidad cruzada. Se define el coeficiente de sensibilidad transversal (o cruzada)
δ C como el desplazamiento angular del péndulo sísmico por unidad de aceleración
122
axial en rad/g (McLaren, 1975). A partir de (5.2.1) y (5.2.2) y como primera
aproximación se puede tomar:
δ C l= 1
2Ω. (5.2.6)
Los servoacelerómetros pendulares reducen la sensibilidad transversal al aumentar la
ganancia y por tanto la rigidez y el ancho de banda Ω . Un valor típico para δ C suele
estar entre 10-6
y 10-4
rad/g, según la calidad del instrumento.
Una contribución a la sensibilidad transversal que no queda recogida por este
modelo ideal procede de los errores de alineamiento del eje sensible, que en cambio
se describen en los siguientes apartados y en el anexo A.VIII. Resulta que la
sensibilidad transversal de otros tipos de acelerómetros (no pendulares), se debe casi
exclusivamente a estos ángulos de desalineamiento.
Por otra parte, la rectificación por vibración aparece como consecuencia de la
sensibilidad transversal y la transmisibilidad de ruidos externos. Se manifiesta en un
error semejante al BIAS cuando el instrumento está sometido a vibraciones. Una
forma sencilla de interpretarlo es suponer que el acelerómetro está sometido a una
vibración senoidal formando un ángulo α con su eje sensible:
A A t A t
A t A t
C
C
medida = + =
= +
sin cos sin sin
sin cos sin ( ) sin( )
ω α δ ω α
ω α δ ω α
112
22 2
b g
El segundo término presenta un máximo en α = 45° y distorsiona la señal de salida.
Cuando se intenta medir una aceleración de baja frecuencia y bajo nivel y A
123
representa un ruido mecánico, un filtro pasabajos eliminaría el primer término, pero
no el segundo, cuyo valor medio es ( ) /A C2 2 4δ αsin y afectaría a la parte continua
de la señal de salida. Se dice que la vibración se rectifica. No conviene despreciar
este efecto sistemáticamente, sobre todo cuando se trabaja en ambientes ruidosos.
Baste observar que la amplitud de vibración entra al cuadrado, aunque esté mitigada
por δ C .
5.2.2 Modelo generalizado
Hasta ahora se han deducido ecuaciones que proporcionan la respuesta del
acelerómetro a partir de un modelo simplificado, que no es lo suficientemente
completo por no incluir los errores del cero ni los ángulos de desalineamiento.
Además, resulta difícil determinar con precisión los parámetros que intervienen en
cada ecuación, teniendo en cuenta que algunos son función de la temperatura. Es
necesario, por tanto, encontrar un modelo más general y práctico, como el que
proporcionan los fabricantes de estos instrumentos (Sundstrand Data Control, 1986).
El enfoque va a ser desde el exterior, se omite la constitución interna y nos
limitaremos a observar el funcionamiento real, pero teniendo en cuenta los principios
del instrumento ideal.
El servoacelerómetro pendular Q-Flex se comporta como una fuente de intensidad
eléctrica I proporcional a la aceleración neta proyectada en el eje sensible y al error
sistemático del cero (BIAS), como se ha deducido en el anexo A.VIII.:
I SF T A T BIAS T= +( , ) ( , ) ( )ω ω ,
124
siendo ( )TA ,ω dicha aceleración neta y T la temperatura. El circuito eléctrico de
realimentación se cierra externamente mediante una resistencia de carga en serie y la
lectura de la señal es la tensión de caída a través de la resistencia de carga,
convenientemente amplificada y filtrada. Resulta entonces un factor de escala global
H T( , )ω , además de una tensión de desviación (offset) debida a los circuitos de
tratamiento. La ecuación del modelo es finalmente:
V H T A T BIAS T V Ta = + +( , ) ( , ) ( ) ( )ω ω 0 (5.2.7)
Dentro de ( )TA ,ω están ocultos los ángulos de desalineamiento del eje sensible
definidos en el anexo A.VIII. En consecuencia, la calibración consiste en determinar
las siguientes funciones de la frecuencia y la temperatura de funcionamiento:
• H T( , )ω , factor de escala global medido en V/g.
• BIAS(T), error sistemático del cero debido al instrumento.
• V T0 ( ) , error del cero debido a los circuitos electrónicos externos.
• ψ ( )T y ϕ( )T , errores de alineamiento del eje sensible respecto a la carcasa.
5.2.3 Respuesta sobre el péndulo de microgravedad
A lo largo de la oscilación del péndulo de calibración, sobre el eje sensible se
proyecta la aceleración debida al movimiento y a la gravedad local por inclinación,
de manera que la aceleración neta está dada por:
A ddt
ωb g = ⋅ −s OP g( )2
2 , (5.2.8)
125
siendo s e u k u u k= + + = + +m m m s s sr1 2 3 1 2 3θ θ θ la orientación verdadera del eje
sensible respecto a la placa, expresada en dos sistemas de referencia ligados al
péndulo y que se utilizarán según convenga. Este vector incluye el desalineamiento
interno del acelerómetro y el error de montaje. Véase la figura 5.3 para la definición
de los sistemas de referencia sobre la placa.
O
H
e u
uGo
K1K
J
I
PGox0
yo
z0
e
u
k
Fig. 5.3. Referencia ligada al péndulo.
El vector de posición de la masa sísmica es OP OG G P u u ko o= + = + +r r rr1 2 3θ ,
estando los parámetros definidos en el anexo A.VIII. La gravedad es g k= − g 1 . La
aceleración del punto P, ( )ωA , resulta para ángulos pequeños y reteniendo términos
hasta de segundo orden en θ :
A r s r s r s r s g s g s g s sω θ θ θ α θ α α αb g b g= − − + + + + −( ) ( ) ( sin ) ( sin ) cos sin1 2 2 12
1 1 2 22
1 2 3 112
(5.2.9)
θu
ru e
k k1
j
i e
θu
θk
126
Ya se aprecia que surge un término constante que se va a acoplar con el BIAS y el
offset. Además, alguno de los términos del desarrollo de A puede resultar
despreciable frente a otros dependiendo del valor de los coeficientes. Es necesario
por tanto un análisis cuidadoso. En particular, el término en θ 2 sólo se presenta si
s s1 2 1/ />> θ , según se deduce de (5.2.9). Cada término tiene una interpretación
física sencilla:
− + ≡( )θ 21 1 2 2r s r s aceleración centrípeta .
( )θ r s r s1 2 2 1− ≡ aceleración tangencial .
− ≡g ssinα 1 término gravitatorio de orden 0 en ru .
θ α21 2g ssin / ≡ término gravitatorio de orden 2 en ru .
g scosα 3 ≡ término gravitatorio en k .
θ α θg ssin 2 ≡ término gravitatorio en u .
Se van a introducir las siguientes simplificaciones, debidas a la configuración de
ensayo:
1. El acelerómetro se coloca cerca del centro de la placa, alineado con OG0 ,
luego: x z b a0 0 2, /<< + , y0 0= .
2. El eje sensible se coloca casi tangencial, luego:
m m m1 2 31 1 1<< ≈ <<, , .
3. Ángulos pequeños: θ α<< << 1. Entonces:
r b a1 2
≈ + , r y2 0 0= = , s1 0≈ , s m2 2 1= ≈ .
127
Bajo estas condiciones y para un movimiento armónico de frecuencia angular ω y
amplitud θ , se obtienen las siguientes relaciones entre términos y sus órdenes de
magnitud:
ρθ1
1
1 1≡ ≈ >>acel. tangencialacel. centrípeta m
ρ ωαθ
2
2 2≡ ≈ +acel. tangencialterm. grav. u
( / )b ag
ρθθ
31 1≡ ≈ =term. gra.0
term. gra.ru
um O( )
ρ αθ αθ
43 1 1≡ ≈ + =term. gra.
term. gra.ku
m m O( )
ρθ
θ5
1
21≡ ≈ <<term. gra.2
term. gra.ru
um
En el caso de frecuencias altas, ω α>> +g b a/ ( / )2 , se verifica ρ2 1>> y el
término dominante es la aceleración tangencial. Para frecuencias bajas, sin embargo,
dominan los términos gravitatorios. Por tanto, reteniendo ambos términos, se obtiene
una expresión simplificada, válida en todo el rango de frecuencias, para la
aceleración neta:
A b a m g m gm= + + +( / ) sinθ θ α2 2 2 3 , (5.2.10)
expresión que al introducirla en la ecuación del modelo del acelerómetro permite
predecir la respuesta del acelerómetro sobre el péndulo:
V H T b a m g m gm BIAS T V Ta = + + + + +( , ) ( / ) sin ( ) ( )ω θ θ α2 2 2 3 0 . (5.2.11)
128
Con el péndulo en reposo y sin descentramiento, la salida es constante y vale:
V H T gm T BIAS T V Ta = + +( , ) ( ) ( ) ( )0 3 0 , (5.2.12)
donde se vuelve a observar cómo se acoplan términos gravitatorios y el error del
cero.
5.3 La instalación de calibración
La instalación de calibración consta de:
• Péndulo de calibración
• Sistema de excitación
• Sistema de medida de oscilación
• Sistema de nivelación y orientación de acelerómetros
• Circuitos de tratamiento y adquisición de señales
El péndulo se ha descrito en el apartado 5.1 y la respuesta del acelerómetro sobre el
mismo en el 5.2. La instalación se completa con la instrumentación del péndulo:
sistemas de excitación y medida de oscilación, así como el dispositivo de nivelación
y orientación del acelerómetro sobre la plataforma.
Dado que la campaña de ensayos formaba parte del desarrollo del satélite UPM Sat 1
y por no tener que calibrar independientemente su sistema de adquisición de datos se
utilizó el mismo sistema de tratamiento y adquisición, formado por una tarjeta
129
analógica y los conversores A/D y D/A del ordenador de a bordo. El siguiente
esquema clarifica la configuración de la instalación:
Servo velocidadMotor
Amplificadoresy Filtros
Acelerómetros
FiltrosFASOP
Tarjeta analógicaOrdenador
ConversorD/A
Conversor
A/D
V Bias
V consigna
V FASOP
V tempV acel
Fig. 5.4. Esquema de la instalación.
Para la correcta calibración del acelerómetro es necesario que todos los equipos
utilizados estén a su vez calibrados. Los equipos empleados son el captador óptico,
el sistema de excitación y los acelerómetros, todos ellos con sus circuitos asociados.
La calibración correcta del captador óptico es la base de la técnica, ya que mide el
desplazamiento del péndulo y por tanto la aceleración que entra por el eje sensible y
su frecuencia. Con la frecuencia de la señal generada por el captador óptico y la
tensión de consigna del servo de velocidad, se calibra el sistema de excitación. Con
la magnitud del desplazamiento, la frecuencia y la salida del acelerómetro, se
determina su función de respuesta.
130
Sistema de excitación
La excitación es armónica y de tipo mecánico. Se comunica un desplazamiento lineal
armónico a la masa m mediante un motor de corriente continua cuya velocidad se
controla mediante un servomecanismo construído con tal propósito. El control se
consigue gracias a una dinamo de precisión ligada al motor y que genera la señal de
error respecto a la tensión de consigna, como se representa en la figura.
Dinamo
Motor
+
-consigna
w
-+ Vs
Fig. 5.5. Esquema funcional del servo de control. Vs es la alimentación del
motor. Véase la Fig. 5.9 para más detalle.
El paso del movimiento rotatorio al lineal se realiza mediante dos ruedas dentadas
contrarrotatorias con dos masas excéntricas simétricas (Fig. 5.6). La transmisión del
motor al mecanismo es una junta Cardan, con lo que se evita la infiltración de
vibraciones del motor y el efecto negativo del desalineamiento de los ejes de
rotación. Entre motor y junta hay un reductor de relación 1:66. El motivo de utilizar
dos masas contrarrotatorias es anular el momento cinético y así evitar fuerzas de
reacción en los enganches del péndulo. El movimiento de excitación resulta estar
contenido en el eje vertical del esquema y equivale al desplazamiento lineal de una
masa m.
131
Fig. 5.6. Concepto del mecanismo de excitación.
Las ventajas de este sistema son su sencillez y la precisión en el rango de las bajas
frecuencias, como se ha podido comprobar experimentalmente. Entre los
inconvenientes están el ruido mecánico generado por el motor y los mecanismos a
frecuencias altas, pero sobre todo la ligadura entre la aceleración de excitación y la
frecuencia.
Sistema de medida de oscilación
Para la medida de la oscilación del péndulo se ha utilizado el captador óptico marca
FASOP con su amplificador asociado CLSK-10. Se trata de un detector
optoelectrónico, basado en radiometría, de gran sensibilidad. Está constituido por el
amplificador, que incluye el sistema emisor-receptor, el módulo de alimentación
pulsante y sincronización y los circuitos de tratamiento; y por otra parte por el
sistema de transmisión óptica, formado por conector, fibras ópticas y cabezal de
detección. El emisor es un diodo infrarrojo IRED (880 nm) y el detector un
fototransistor.
u(t)
m / 2 m / 2
132
Es necesario calibrar el captador antes de cada ensayo con el péndulo debido a la
respuesta no lineal y a la deriva del cero. Conviene adelantar que es este captador la
principal fuente de error en la técnica de calibración de acelerómetros descrita en
este capítulo. Como mejora se propone el uso del sensor Keyence PA-1810,
empleado en el capítulo 4 para la medida de microvibraciones, en lugar del captador
FASOP.
Sistema de nivelación y orientación
La sujeción de acelerómetros de precisión es un problema delicado. Por una parte es
necesario un alineamiento lo más perfecto posible entre el eje sensible del
acelerómetro y el eje geométrico del soporte, lo que implica tolerancias de forma y
acabados especiales en las superficies de referencia de acelerómetro y soporte. Por
otra parte, la unión debe ser firme, pero sin deformar las superficies de referencia.
Cada modelo de acelerómetro lleva especificaciones de tolerancias, acabados
superficiales, tipos de tornillos y par de apriete, todo ello compatible con el error de
alineamiento interno. En el montaje hay que prestar especial atención a las
herramientas utilizadas, se procurará no golpear la superficie del acelerómetro con
elementos puntiagudos para evitar rayaduras y daños internos, y se aplicará el par de
apriete indicado.
Durante los ensayos es necesario poder orientar el eje sensible del acelerómetro en
un plano horizontal respecto a la gravedad local. Para ello se ha construido una mesa
de orientación que permite nivelar la superficie de referencia mediante giros sobre
dos ejes ortogonales, según el método que se describe en el capítulo 2. La mesa
consta de una tabla que contiene la superficie de referencia y tres puntos de apoyo
situados en los vértices de un triángulo rectángulo. Uno de los puntos es fijo,
133
mientras que los otros dos son de altura variable. La altura de los puntos de apoyo se
regula mediante tornillos micrométricos Mitutoyo de 0.1 µm de precisión, con lo que
se resuelve un ángulo de inclinación de 0.5 µrad, que equivale a 0.5 µg al
proyectarse la gravedad en el eje sensible. El proceso de nivelación es una operación
delicada, puede durar del orden de horas hasta alcanzar un desnivel que produzca
una señal inferior a 1 µg.
Superficie circular de referencia rectificadaPieza: tabla de la mesa de calibración.Material: acero.
Fig. 5.7. Tabla de la mesa de orientación. Diseño y fabricación: Laboratorio
de Fabricación, ETSIA.
70
134
Circuitos de medida y tratamiento de señales
Las cinco señales representadas en la Fig. 5.4 son las que se registran en la
calibración. La señal llamada V Bias es la autocorrección de BIAS realizada por el
ordenador para prevenir la saturación de los amplificadores de los acelerómetros.
Conviene mantener V Bias = 0 V durante los ensayos de calibración para comprobar
el comportamiento del offset y del BIAS.
A continuación se describen con más detalle los circuitos de la tarjeta analógica:
LT1014+
+LTC1052--
--
V+
V+
V--
V--
V Bias
V OutI Acel
1 K
101 K
330 nF
22 K
220 K
330 nF
150 K15 nF
220 K
1ª Etapa 2ª Etapa
Fig. 5.8. Tratamiento de la señal del acelerómetro (Hernández, 1992).
Los circuitos de tratamiento de la señal de cada acelerómetro constan de dos etapas.
La primera etapa tiene las siguientes características:
135
• Resistencia de carga del acelerómetro de 1 kΩ.
• Filtro pasabajos de primer orden de 4.8 Hz.
• Amplificador LTC1052 con autocompensación de offset por
conmutación e intensidad de polarización de 5 pA, equivalente a 3 ng.
• Ganancia de la etapa de 101 mV/µA.
La segunda etapa es un filtro Butterworth de 2º orden y 7 Hz. En esta etapa entra la
corrección del Bias, procedente del conversor D/A. Tiene una ganancia adicional de
10 V/V.
Todo el conjunto tiene una ganancia de 1010 mV/µA sobre 1 kΩ de carga. La salida
está en el rango de ± 12 V, es decir, la aceleración máxima medible será ± 8 mg. En
estas condiciones un escalón del conversor A/D equivale a 0.99 µg, con lo que la
resolución teórica del equipo es del orden de 1 12/ µg. En la práctica esta cifra es
inalcanzable y se estima en varios escalones del conversor.
En cuanto al servo de velocidad, el circuito corresponde a un sistema de control
proporcional-integral, que en estado estacionario responde a la ecuación VDinamo
/220 + VConsigna /680= 0. El amplificador operacional, con ganancia 47/5, gobierna
el circuito de potencia que ataca al motor. Los diodos protegen al motor en caso de
sobretensión.
136
V+
V+
V-- V--47 K
1 uF
1 K
330 pF
TL082 L149 M--
+
5 K
220 KV Dinamo
V Consigna 680 K
Fig. 5.9. Circuito del servomecanismo de excitación (Hernández, 1992).
El captador óptico ya dispone de sus propios circuitos de tratamiento de señal en la
tarjeta denominada CLS-K10. Sólo se añade un filtro RC pasabajos de 33 Hz.
5.4 Método de calibración
El método de calibración está basado en las mismos principios que el del apartado
4.1. En este caso se centra la exposición en las diferencias debidas al propio
acelerómetro, es decir, el error de BIAS y la orientación.
La cadena de medida se ha descrito detalladamente en el apartado 5.3. Aquí nos
interesan sus características funcionales, que son:
1. Resistencia de carga RL = 1 kΩ
2. Tensión de offset V0 = 1,5 mV ≅ 1 µg
3. Ganancia G = 1010 V/V
4. Rango de salida ±12 V ≅ ± 8 mg
137
5. Factor de escala del acel. (aproximado) SF ≈ 1,4 mA/g
6. Factor de escala total (estimado) H ≈ 1.4 V/mg
Estas características pueden variar en los montajes reales y son sólo estimaciones
preliminares. El objeto mismo de la calibración es determinarlas con precisión.
La ecuación que determina la salida del acelerómetro para una cierta entrada en la
calibración es la (5.2.11) del modelo generalizado, repetida aquí por conveniencia:
V H T b a m g m gm BIAS T V Ta = + + + + +( , ) ( / ) sin ( ) ( )ω θ θ α2 2 2 3 0 ,
en la que está incluída la función de transferencia de los circuitos de tratamiento
(filtros + amplificador), luego:
H T SF T R T G TL( , ) ( , ) ( ) ( , )ω ω ω= ⋅ ⋅ .
Las incógnitas de la calibración son por tanto:
H(ω,T), BIAS(T), m2(T) y m3(T),
habiendo supuesto V T0 ( ) conocido por medida previa (y despreciable). Se observa
que la parte continua de la señal procede de BIAS + gm3.
138
5.4.1 Procedimiento simplificado
El acelerómetro se orienta tangencialmente con m2 ≈ 1, sin determinarlo, e
imponiendo y0 = 0. Esta calibración simplificada es dinámica, lo cual significa que H
es una función de la frecuencia, pero no se determinan los cosenos directores.
Al igual que para el acelerómetro piezoeléctrico, se utiliza la calibración del sensor
óptico, de manera que la amplitud de la señal registrada es:
V H Los os os= θ . (5.4.1)
No se considera el error de nivelación porque una operación previa es precisamente
la nivelación por el procedimiento descrito en el capítulo 2 y conocida en la
literatura especializada por tilting test. Para ello se utiliza el dispositivo descrito en
5.3.
Al introducir (5.4.1) en (5.2.11) se obtiene la expresión buscada:
H m H Lg b a
VV
os os a
os
⋅ =− +2 22sin /α ωb g , (5.4.2)
que como se puede comprobar es totalmente análoga a la (4.3.1). En este caso, sin
embargo, permanece acoplado el coseno director m2. Un ensayo de calibración
típico, por tanto, consiste en excitar el péndulo armónicamente y medir las
amplitudes de salida del captador óptico y el acelerómetro, a cada frecuencia y
temperatura.
139
Por otro lado, la parte continua de la señal de salida Vac h no permite determinar el
BIAS ni los cosenos directores, pero en primera aproximación dice:
BIAS gm V VH ma+ ≈ −
⋅30
2
.
5.4.2 Calibración completa
En base al procedimiento simplificado, se puede separar m2 de ( )TH ,ω y determinar
la orientación del eje sensible sobre la plataforma del péndulo. Será necesario
modificar la orientación del acelerómetro utilizando la mesa orientable, como se
representa en la Fig. 5.11. Los giros que se imponen, ∆α y ∆β , son muy pequeños,
por lo que se puede seguir considerando que la orientación es tangencial.
Fig. 5.10. Giros sobre el péndulo en la calibración completa.
0α0β
s
θu
e
θk
α∆
β∆
140
El procedimiento consiste en aplicar el método simplificado tres veces consecutivas
con orientaciones diferentes, de manera que se obtienen tres medidas de H·m2:
H m H
H m H
H m H
⋅ =
⋅ = +
⋅ = + +
2 0 0
2 0 0
2 0 0
cos cos
cos( ) cos
cos( ) cos( )
'
''
α βα α βα α β β
∆
∆ ∆
Se miden ∆α y ∆β , para determinar H·m2 después de cada giro. La solución del
sistema anterior es:
tansin
cos
tansin
cos
'
''
'
αα
α
ββ
β
02
2
02
2
1
1
= −LNM
OQP
= −LNM
OQP
∆∆
∆∆
HmHm
HmHm
(5.4.3)
H Hm= 2
0 0cos cosα β (5.4.4)
De forma análoga también se determina el coseno director m3 y por tanto el BIAS.
141
5.4.3 Incertidumbres de medida
Se procede en este apartado de forma análoga al 4.3, es decir, se calculan los
coeficientes de sensibilidad de la expresión utilizada para determinar el factor de
escala y se aplican los principios de la “Guía ISO para la Expresión de la
Incertidumbre” (ISO, 1995). En primer lugar se trata el procedimiento simplificado y
depués al completo. A diferencia del acelerómetro piezoeléctico y dada su
importancia en las aplicaciones de microgravedad, los errores de alineamiento y
sensibilidad transversal no se tratan en este caso de forma estocástica, sino
determinista.
Incertidumbres en el procedimiento simplificado
En la expresión (5.4.2), las magnitudes sometidas a incertidumbre son las mismas
que para la expresión equivalente del acelerómetro piezoeléctrico, (4.3.1), pero
además entra el ángulo de inclinación del péndulo, α. De esta manera, la
incertidumbre viene dada por la expresión:
u C uHm i i2
2 2 2=∑ ,
siendo:
C Hm Lg L
a
aω
ωα ω
=−
22
2sin
, C Hmg LLa
a
=−
22
2
ωα ωsin
, C Hm gg La
αα
α ω=
−2
2
cossin
,
C HmVa
a
= 2 , C HmVos
os
= 2 , C HmHH
osos
= 2 , C HmLLos
os
= 2 .
142
Se ha utilizado L b aa = + / 2 por semejanza con el piezoeléctrico. En este método se
podría introducir el alineamiento y la sensibilidad transversal como incertidumbres,
pero es algo que se reserva para determinarlos por el procedimiento completo. Se
tiene por tanto:
uHm
Lg L
u gg L
u Lg L
uL
uV
uV
uL
uH
Hm a
a a
a
a
La
a
a
a
os
os
Los
os
H
os
os
2
2
22
2
2
2 2
2 2
22
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2=−
FHG
IKJ +
−FHG
IKJ +
−FHG
IKJ
+ + + +
ωα ω ω
αα ω
ωα ω
ωαsin
cossin sin
(5.4.5)
En la tabla 5.1 se resume la estimación de los términos de incertidumbre de tipo B en
la ecuación anterior. Como se puede apreciar domina la incertidumbre del ángulo de
inclinación, resultando la incertidumbre total en torno al 1%.
Incertidumbres en la calibración completa
Las expresiones (5.4.3) y (5.4.4) permiten deducir la siguiente expresión de la
incertidumbre de H:
uH
uHm
u uH Hm2
20 0
2 2
22 0
2 202 21 2 2 2≈ + +
FHG
IKJ + +α
αββ
α βα β∆ ∆ ∆ ∆ , (5.4.6)
luego, al ser despreciables los coeficientes de los giros, la incertidumbre en la
calibración completa está gobernada por la del procedimiento simplificado y por
tanto todo esfuerzo de análisis y mejora debe centrarse en él.
143
Tabla 5.1. Incertidumbres de tipo B típicas que entran en la ecuación (5.4.5)
Denominación y aclaraciones Coeficiente de
influencia
Incertidumbre Contribución
a
u HmHm2 2
2/d i
Resolución en acel.= 10-3 V
Va = 0.10 V
1
uV V
a
a a
= ≈resolution12
3⋅10-3
8⋅10-6
Res. en oscilación = 10-3 V
Vos =0.10 V
1
uV V
os
os os
= ≈resolution12
3⋅10-3
8⋅10-6
Res. en frecuencia= 10 mrad/s
ω = 6 rad / s 2 22
2
ωα ωg
La
sin −≈
uω
ω ω= ≈resolution
125⋅10-4
10-6
Radio de rotación del acel.
La = 705 mm, uLa ≤ 5 mm ωα ω
2
21g
La
sin −≈
uL
La
a
≈ ⋅ −7 10 3
5⋅10-5
Longitud óptica
Los = 870 mm, res. mm≈ 5
1
uL L
Los
os os
= ≈resolución/ 12
2⋅10-3
3⋅10-6
Sensibilidad óptica
Hos ≈ 4 V/mm, uH ≈ 0.02
V/mm
1
uH
H
os
≈ 5⋅10-3
2⋅10-6
Ángulo de inclinación
α ≈ 0 2. rad , uα ≈ 0.005 rad
gg La
cossin
αα ω−
≈2 0.4
uα
α≈ 0.025
10-4
144
La determinación precisa de los ángulos es más delicada, como se deduce de:
u uu
HmHm
α αα α0
222
22
2
22
2 2≈ +∆ ∆∆b g b g b g
u uu
HmHm
β ββ β0
222
22
2
22
2 2≈ +∆ ∆∆b g b g b g
donde se ha considerado que los ensayos para la determinación de Hm2 son
estadísticamente independientes. Se observa que la incertidumbre de los ángulos está
mal condicionada, al contrario de lo que ocurre con H.
Compensación de la sensibilidad transversal
Una vez determinado el factor de escala H o su aproximación Hm2, se obtiene el
factor de escala interno del acelerómetro, SF, siempre que sean conocidos todos los
factores de transferencia de la electrónica y su dependencia con la frecuencia y la
temperatura. Basta aplicar entonces:
SF T H TR T G TL
( , ) ( , )( ) ( , )
ω ωω
= .
Aún más, por aplicación del modelo ideal de 5.2.1, se puede compensar el efecto de
sensibilidad transversal, es decir, se obteniene el factor de escala en ausencia de
aceleración y gravedad transversales. Mediante las expresiones (5.2.2) y (5.2.6) del
modelo ideal, se deduce:
145
SF SF x T x
x xa go
a
C n n= ⋅ + −
− +⋅ −
L
NMM
O
QPP( , )
( )1 1
1
2
2 2 2c hb g
γδ (5.4.7)
donde x = ω / Ω y δ C es el factor de sensibilidad cruzada, que suele proporcionar el
fabricante, así como la frecuencia propia Ω y el amortiguamiento γ a .
5.5 Resultados experimentales y discusión
A continuación se representan gráficamente los resultados de una calibración típica
por el procedimiento simplificado. En primer lugar se calibran el sensor óptico y el
excitador, dada la necesidad de obtener estimaciones correctas de las incertidumbres
de medida descritas en el apartado 5.4.
El sensor óptico FASOP no tiene un respuesta lineal, como se deduce de la figura
5.11. Obsérvese que la escala vertical es logarítmica. La curva de ajuste utilizada es
cuadrática, aunque la respuesta real es inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia. Se usa este procedimiento para obtener un factor de escala fiable al aplicar
el método de mínimos cuadrados. De la curva de residuos se deduce la conveniencia
de trabajar en el entorno de 4.3 mm como punto central, resultando así una
sensibilidad de 1.8 V/mm, aproximadamente. En la práctica habitual sobre el
péndulo, sin embargo, se han relizado calibraciones más finas en torno al punto
central.
146
Calibración de FASOP
1
10
3 4 5 6 7 8 9 10
X (mm)
Vsalida exp. (V)
F(x)=10,14751-1,83374·x+0,094096·x 2
Residuos de cal. FASOP
-0.1
0
0.1
3 4 5 6 7 8 9 10
x (mm)
V
Fig. 5.11. Calibración del sensor óptico FASOP, curva de regresión y residuos.
Tensión de salida V en función de la distancia x.
La Fig. 5.12 representa la curva de respuesta del mecanismo de excitación,
demostrando su excelente linealidad y precisión.
147
Calibración del sistema de excitación
V = 0,3948 w + 0,0017R2 = 0,9999
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6 7
(rad/s)
V
ω
Fig. 5.12. Calibración del sistema de excitación. Tensión aplicada frente a
frecuencia de respuesta, recta de regresión y coeficiente de
correlación.
La respuesta del péndulo construido comparada con la teórica se representa en la Fig.
5.13, habiendo calculado los parámetros desconocidos por ajuste. Se ha seguido un
procedimiento semejante al capítulo 4 en el ensayo de barrido en frecuencia. La
diferencia entre el modelo y la respuesta medida, fuera de la resonancia y la
antirresonancia, se debe a la dificultad de estimar los coeficientes adimensionales.
Sin embargo, desde el punto de vista de la calibración de acelerómetros, como ya se
estudió en el capítulo 4, dichos parámetros no son esenciales más que para el control
del péndulo y no intervienen en el proceso de calibración.
148
Respuesta del péndulo
0 1 2 3 4 5 6 7(rad/s)
(rad) exp.modelo
10
10
-5
-4
ω
Fig. 5.13. Amplitud de las respuestas teórica y experimental del péndulo en
función de la frecuencia angular de excitación para α = 0.172 y
M = 35 kg. Parámetros adimensionales: A = 1.8, B = 5⋅10-5, γ = 0.1.
Por aplicación del método simplificado, se obtiene la calibración del acelerómetro
Q-Flex del tipo Sundstrand QA-700, representada en la figura 5.14. Especialmente
destacable es la corrección por gravedad. La curva de aceleración tangencial, que no
incluye la proyección de la gravedad durante la oscilación del péndulo, no reproduce
bien la respuesta del acelerómetro, mientras que la aceleración neta sí se ajusta
fielmente a la aceleración medida.
Como variante de la técnica, se ha calculado un factor de escala Hm H2 ≈ ajustado
por mínimos cuadrados en todo el rango de frecuencias. Este procedimiento es
obviamente impreciso, pero permite obtener un valor único para H cuyo error
cuadrático es mínimo. Se ha comprobado que las variaciones del factor de escala así
calculado son despreciables por encima de la resonancia, aunque no tanto a
θ
149
frecuencias bajas, como se observa en la Fig. 5.15. Se puede comprobar que a bajas
frecuencias el factor de escala global parece ser ligeramente mayor, si bien las
incertidumbres de medida están influyendo en las cercanías de la antirresonancia.
Calibración del acelerómetro Q-Flex
0 2 4 6(rad/s)
aceleración neta en gaceleración medida H=1542,6 V/gaceleracion tangencial en g
100
200
µg
ω
Fig. 5.14. Calibración del acelerómetro Sundstrand QA-700 sobre el péndulo
de microgravedad. Se compara la aceleración tangencial sin
corregir por gravedad, la aceleración neta y la señal medida por el
acelerómetro.
150
Calibración del acelerómetro Q-Flex
0 1 2(rad/s)
aceleración neta en gaceleración medida H=1542,6 V/gaceleracion tangencial en g
µ g
0.1
10
1000
ω
Fig. 5.15. Detalle de la Fig. 5.14 en las bajas frecuencias.
En la Fig. 5.16 se ve que el residuo de calibración al aplicar este método de
calibración puede ser aceptable, sobre todo si se tiene en cuenta que está en torno a
las incertidumbres de medida, excepto quizá cerca de la antirresonancia. Sin
embargo, se detecta una cierta tendencia del residuo a un valor constante por debajo
de la antirresonancia, lo cual implica un peor ajuste de la sensibilidad global en el
rango de bajas frecuencias.
Calibración: residuos
0 2 4 6
µg
(rad/s)
0
4
-4
-8
w
Fig. 5.16. Residuos en g de la calibración de la figura 5.14.
151
Obviamente, la aproximación del factor de escala constante en todo el rango de
frecuencias no es un procedemiento ideal. Se debería calcular el factor de escala H
de la misma manera que en el capítulo 4 para cada frecuencia. Además, en todo
rigor, se debería expresar un incertidumbre asociada a cada medida, que debe estar
en torno al 1%, en lugar de un residuo de calibración. Sin embargo, se ha mostrado
aquí este procedimiento para comprobar la necesidad de medir independientemente a
cada frecuencia y de esta manera incluir las variaciones del comportamiento del
propio acelerómetro y de los circuitos asociados en todo el rango de frecuencias.
152
153
6. CONCLUSIONES
El trabajo presentado en esta Tesis ha consistido en el desarrollo de técnicas de
calibración de acelerómetros específicas para los ambientes microgravitatorio y
microvibratorio. Las técnicas tradicionales, como la calibración sobre vibradores, no
permiten alcanzar los niveles de aceleración ni los rangos de frecuencias requeridos
sin la utilización de costosos sistemas de excitación y medida, además de no
incorporar adecuadamente la gravedad local en los modelos de respuesta de
acelerómetros e instrumentos de referencia.
Las aportaciones originales se centran en el instrumento generador de señales de
referencia y en la inclusión de la gravedad local en los modelos, además de efectos
colaterales como son la sensibilidad transversal y los errores de alineamiento. Sobre
todo se trata de calibraciones en tierra, basadas en procedimientos sencillos e
instrumental estándar, capaces de alcanzar niveles del orden de 1 µg en el intervalo
de frecuencias entre 0 y 100 Hz con una incertidumbre en torno al 2%.
El instrumento que permite realizar las calibraciones es un péndulo. Las técnicas de
calibración existentes anteriormente están basadas en otros dispositivos, como
vibradores, mecanismos giratorios o plataformas inclinables. La dinámica y el
control de estos otros dispositivos son bastante más complejos y se ha comprobado
que los resultados que ofrecen no son satisfactorios en las aplicaciones mencionadas.
A diferencia de ellos, los péndulos de calibración aquí desarrollados son fácilmente
controlables y responden a leyes dinámicas simples, alcanzando los requisitos con un
coste muy reducido. Conviene destacar las siguientes características:
154
• Los péndulos construidos responden todos a un modelo adimensional unificado,
el denominado péndulo elemental. A partir de él se pueden materializar los
péndulos de microgravedad y microvibraciones, que corresponden en realidad a
límites opuestos en el rango de frecuencias y tienen parámetros dimensionales
muy diferentes.
• La función de transferencia entre la excitación del péndulo y la amplitud de
oscilación se caracteriza principalmente por la asíntota horizontal a altas
frecuencias, lejos de la resonancia. El valor constante y finito al que tiende la
amplitud de oscilación es su principal virtud, ya que permite obtener niveles de
aceleración controlables a cada frecuencia y sin bajar necesariamente de la
resolución en la medida de la oscilación. Otros dispositivos presentan respuestas
de oscilación que caen con la frecuencia hasta niveles casi indetectables.
• La antirresonancia, que es la respuesta nula del péndulo a una frecuencia
determianada, obedece a un comportamiento muy particular. La ley dinámica a la
frecuencia de antirresonancia es semejante a la ecuación de Mathieu, dando lugar
a un estudio acerca de la estabilidad del péndulo elemental. La solución analítica
se ha obtenido por el método de perturbaciones (escalas múltiples), reteniendo
correctamente los efectos de modulación (beating) y perturbación de la pulsación.
Los límites de estabilidad se han obtenido aplicando la teoría de Floquet y el
método de coordenadas dilatadas, mientras que la solución numérica ha permitido
complementar la solución analítica en el rango no lineal. El resultado de este
análisis de la antirresonancia en cuanto a la dinámica es la posibilidad que
presentan los péndulos de microgravedad y microvibraciones de responder con
oscilaciones no acotadas y entrar en el régimen no lineal. Este fenómeno,
155
conocido por resonancia paramétrica, sólo es posible para ciertas combinaciones
de los parámetros definidas por los límites de estabilidad. En la práctica, sin
embargo, se ha comprobado que los péndulos construidos están dentro de la
región estable del plano de los parámetros.
• Otro hecho importante es el enorme aumento de la incertidumbre de medida en
las antirresonancias, lo cual inhabilita estos puntos para los procedimientos de
calibración.
El fundamento de la calibración es la determinación de la función de transferencia
del acelerómetro a la oscilación del péndulo. A partir de la oscilación medida se
deduce la aceleración neta, diferencia entre la aceleración cinemática captada por la
masa sísmica y la aceleración de la gravedad local, proyectada en el eje sensible. Las
características de mayor importancia son las siguientes:
• Uno de los principios de la calibración es la independencia del procedimiento
respecto a los parámetros del péndulo (A, B y γ), siempre que su diseño permita el
control dentro del rango de interés.
• El límite tecnológico más importante viene dado por el sensor óptico, que define
la resolución en la medida de oscilaciones. Típicamente se han obtenido
resoluciones en oscilación de 0.1 µm. Sin embargo, en la práctica se presentan
fuentes de incertidumbre adicionales, como ocurre por ejemplo con el radio de
giro del acelerómetro.
156
• Se ha prestado especial atención al aislamiento de vibraciones exteriores, de
origen sísmico fundamentalmente. Esto se ha llevado a cabo por análisis,
obteniendo la función de transmisibilidad, y por medios experimentales,
ajustando convenientemente las frecuencias propias de los mecanismos de
suspensión.
La calibración de acelerómetros piezoeléctricos para la medida de microvibraciones
se ha llevado a cabo en el intervalo entre 1 y 100 Hz y a niveles comprendidos entre
1 µg y 1 mg, aproximadamente. Como resultados se tiene:
• La incertidumbre en estas calibraciones es del orden del 4%, asociada al
mecanismo de suspensión. Una mejora de dicho dispositivo podría conducir a una
incertidumbre del 2%, que representa el límite del sensor óptico.
• En cuanto a la medida de la resolución de los acelerómetros, se ha podido bajar
hasta el nivel de 0.1 µg, pero con incertidumbres superiores al 10%.
• La principal virtud de esta técnica de calibración es la eliminación de la influencia
de sensibilidad transversal y desalineamientos. Ambos se han tratado como
incertidumbres de medida y se ha demostrado que su coeficiente de sensibilidad
se puede hacer tan pequeño como sea necesario controlando un parámetro
geométrico, el descentramiento del acelerómetro, de manera que su contribución a
la incertidumbre se vuelve irrelevante.
157
Al contrario que en el caso de microvibraciones, la calibración sobre el péndulo de
microgravedad incluye la determinación de la sensibilidad transversal y el
desalineamiento del eje sensible. Se obtienen ambos, además del factor de escala y el
error del cero (BIAS), mediante la técnica llamada calibración completa. Los
resultados experimentales hasta la fecha, sin embargo, se limitan a un procedimiento
simplificado que contempla el factor de escala únicamente. En resumen:
• Se ha determinado por el método simplificado el factor de escala de varios
acelerómetros Q-Flex a frecuencias entre 0 y 1 Hz y a niveles entre 10 µg y 10
mg, aproximadamente, con una incertidumbre del 1%.
• Nuevamente se debe esta incertidumbre a parámetros geométricos cuya
determinación es poco fiable, si bien una mejora de la instalación proporcionaría
un 0.5% de incertidumbre, en el mejor de los casos.
• La calibración completa, que permite la determinación de todos los parámetros
del modelo, no se ha llevado a cabo por el grado de complicación técnica respecto
al método simplificado.
Los trabajos futuros, como ya se ha venido indicando, deben centrarse
necesariamente en:
• Mejora del mecanismo de suspensión para reducir la incertidumbre en la
calibración para microvibraciones.
158
• Aplicación de la calibración completa para el entorno microgravitatorio.
• Continuación del análisis no lineal del péndulo elemental respecto a la
antirresonancia.
El segundo punto es de especial relevancia, ya que permitiría calibrar completamente
en tierra los acelerómetros necesarios en la aplicaciones típicas de las tecnologías
espaciales. De esta manera se podría reducir en gran medida el coste de desarrollo y
operación de instrumentos y sistemas espaciales.
159
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167
8. ANEXO: DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES
DE LOS MODELOS
Este anexo contiene el desarrollo de las ecuaciones de los modelos físicos utilizados en
la exposición de los capítulos previos. Se han separado los desarrollos matemáticos
involucrados en la dedución de las ecuaciones con el objeto de facilitar la exposición del
contenido y la discusión de los argumentos.
A.I El péndulo elemental
Este péndulo, descrito en el apartado 3.1 mediante la figura 3.1.1, se utiliza como punto
de partida en la descripción dinámica de los péndulos de calibración. En él se sintetizan
todas las propiedades de los péndulos de calibración en un único modelo de gran
simplicidad. Aquí se expone la deducción de los modelos matemáticos, utilizando la
notación del apartado 3.1.
A partir de las expresiones de la energía cinética T y potencial V, dadas por las
expresiones:
T M L m L u uM e= + + +LNM
OQP
12
12
2 2 2θ θ θd i d i d i ,
V MgL mg L u k uM e m= − − − + −cos cos sin ( )θ θ θ δb g 12
2 ,
se obtiene la función Lagrangiana L = T - V. En principio L depende de u y θ . También
se puede analizar la respuesta a una excitación senoidal en u:
168
u t u tm( ) sin= +δ ω1 ,
y en este caso la dinámica queda descrita por la ecuación de Lagrange:
ddt
L L∂∂ θ
∂∂ θ
FHGIKJ − = 0 ,
donde ya se puede anticipar que al introducir la ligadura geométrica en la variable u,
ésta deja de intervenir en la dinámica más que por su dependencia temporal y la
constante elástica del muelle desaparece.
En estas condiciones se obtiene la ley dinámica:
ML m L u t mu t u t ML mL g mgu t mL u tM e M e e2 2 2 2+ + + + + = − −( ) ( ) ( ) sin ( ) cos ( )d i b gθ θ θ θ ,
(A.I.1)
que resulta ser no lineal en θ por el término sinθ . En este modelo no se ha incluido
disipación. Se puede introducir en la ecuación de la dinámica sustituyendo el coeficiente
de θ por un amortiguamiento viscoso cuyo coeficiente va a ser de orden mayor al que
aparece en (A.I.1). Por tanto, con los siguientes coeficientes adimensionales y
frecuencias características:
ς δ0 = m
eL, ς 1
1= uLe
, λ22
2 2=+
mLmL ML
e
e M
,
169
Ω02
2 2= ++
mL MLmL ML
ge M
e M
, Ωee
gL
2 = ,
reemplazando 22 2
muumL MLe M+
por 2 0γ Ω y linealizando para θ << 1, se obtiene:
1 220 1
20 0
2 21
2 2 2 20+ + + + = − −λ ς ς ω θ γ θ θ λ ς ω ω λ ςsin sint te eb g d iΩ Ω Ω Ω .
(A.I.2)
Esta ecuación representa el modelo lineal con coeficientes periódicos. Nótese que la
ecuación es casi adimensional a falta de fijar una escala de tiempos. Si se adopta como
tal la frecuencia propia, es decir, introduciendo el tiempo adimensional τ = Ω0 t , queda
la misma ecuación en forma totalmente adimensional:
1 220 1
2 21
2 2 20
2+ + ′′ + ′ + = − −λ ς ς ω θ γ θ θ λ ς τ λ ςsin sin( )t x x x xe eb g d i
(A.I.2a)
donde las primas representan las derivadas respecto al tiempo adimensional y
x = ω / Ω0 .
En general, los péndulos de interés práctico están débilmente excitados, es decir
ς ς0 1 1, << . Además, en cualquier caso λ2 1< , luego no es una mala aproximación
despreciar los términos periódicos de los coeficientes. La ecuación:
sinθ γ θ θ λ ς ω ω λ ς+ + = − −2 0 02 2
12 2 2 2
0Ω Ω Ω Ωe etd i (A.I.3)
170
es el modelo linealizado con coeficientes constantes, que se puede escribir también en
forma totalmente adimensional:
′′ + ′ + = − −θ γ θ θ λ ς τ λ ς2 21
2 2 20
2x x x xe ed isin( ) (A.I.3a)
Estas dos ecuaciones, (A.I.3) y (A.I.3a), representan el punto de partida del análisis de la
dinámica del péndulo elemental. Los términos periódicos de las ecuaciones (A.I.2) y
(A.I.2a) pueden tener importancia en ciertos casos en los que, aunque la respuesta sea
linealizable, haya que considerar la resonancia paramétrica. La respuesta no lineal
descrita mediante (A.I.1) no se considera de utilidad en las aplicaciones
microacelerométricas.
A.II El péndulo elemental sometido a vibración en los apoyos
Siguiendo nuevamente la notación del apartado 3.1, ahora se introduce el movimiento
del punto de charnela (H), mediante una ligadura cinemática de la forma:
r i jH = +x t y tH H( ) ( ) .
Resultan así las energías cinética y potencial:
T T M m x y m L u ML x y
mu x y
r H H e M H H
H H
H= + + + + + + + −
− −
=02 21
2( ) cos sin
sin cos
c h d i b gb g
θ θ θ θ
θ θ θ
171
V V M m g yr HH= + +=0 ( )
donde TrH =0 y VrH =0 son las energías cinética y potencial sin movimiento del punto de
charnela.
Se procede igual que en el apartado A.I introduciendo la ligadura cinemática u u t= ( ) ,
con lo que el sistema queda reducido a uno de un único grado de libertad y el muelle
deja de intervenir en la dinámica, se podría eliminar del modelo. Para pequeños
movimientos, es decir:
θ << 1, uLe
<< 1, xL
H
e
<< 1, yL
H
e
<< 1,
se obtiene la ley dinámica:
ML mL mu t u t ML mL g
m g u t L u t ML mL x t mu t y tM e M e
e M e H H
2 2 2+ + + + =
= − + − + −
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
θ θ θb gb g b g (A.II.1)
que es la forma dimensional en la que se deben introducir x tH ( ) , y tH ( ) y u(t) como
ligaduras. El último término de esta ecuación no es consistente en orden de magnitud
con el resto, pero se ha retenido con el objeto de mostrar que las perturbaciones
verticales no tienen influencia al compararlas con las horizontales. Esta conclusión sería
distinta si la masa M no estuviera centrada o si δ m no fuera tan despreciable, como
realmente ocurre en la práctica. Se podría mostrar, sin embargo, que el efecto de un
172
descentramiento pequeño sigue siendo despreciable. En lo que sigue, el término ( )y tH
se va a seguir reteniendo acoplado sólo con el término u m= δ .
Teniendo en cuenta los parámetros adimensionales de A.I y dos adicionales:
ξ HH
e
xL
= , ηHH
e
yL
= ,
ambos dependientes del tiempo, y considerando además un amortiguamiento viscoso
global, se obtiene la ecuación:
sinθ γ θ θ λ ς ω ω ς η ξ+ + = − − + −2 0 02 2
12 2
02 0
2
2Ω Ω Ω Ω ΩΩe e H
eHtd i d i
(A.II.2)
Recuérdese que la gravedad local entra en la ley dinámica a través de Ωe eg L2 = / . En
forma adimensional tendríamos:
′′ + ′ + = − − + ′′ − ′′θ γ θ θ λ ς τ ς η ξ2 121
2 20
22x x x x
xe e He
Hd i d isin (A.II.2a)
Obsérvese que para analizar las perturbaciones que se infiltran por los apoyos se han
despreciado de partida los términos periódicos de los coeficientes.
173
A.III El péndulo elemental con dos grados de libertad
Mediante la misma función Lagrangiana que en el apartado A.I, pero sin imponer
ligadura alguna a la variable u, el sistema requiere dos leyes dinámicas de la forma:
ddt
L L∂∂ θ
∂∂ θ
FHGIKJ − = 0
ddt
Lu
Lu
∂∂
∂∂
FHGIKJ − = 0 .
La primera ecuación ya se obtuvo en A.I y la segunda se deduce de manera análoga.
Linealizando ambas para pequeños movimientos, tanto de oscilación del péndulo como
de desplazamiento de la masa m, y utilizando los parámetros adimensionales y las
frecuencias características de A.I, resulta el sistema:
( )θ θ λ ς ς+ + + =Ω Ω02 2 2 0e
ς θ θ ς+ + + =Ω Ωe k2 2 0 ,
siendo ς = u Le/ . En forma matricial:
1 1
1 10
202 2 2
2 2
/ /λ θς
λ θς
LNM
OQPRSTUVW
+LNM
OQPRSTUVW
=Ω Ω
Ω Ωe
e k
, (A.III.1)
donde Ωk k m2 = / . En este caso sí interviene la constante elástica del muelle, como era
de esperar.
174
A.IV Ecuación de coeficientes periódicos del péndulo elemental.
Método de Hill
Sea la ecuación (A.I.2) con ς ς= ( )t periódica. Llamando ξ λς= se tiene:
1 220 0
2 2 2+ + + = −ξ θ γ θ θ ω λξΩ Ω Ωed i . (A.IV.1)
Esta ecuación se emplea para estudiar la respuesta del péndulo elemental en el entorno
de la antirresonancia. Considerando excitación senoidal, ξ ξ ω= 1 sin t , tomando el
tiempo adimensional T te= Ω y con la notación de los apartados previos:
1 2 1 112 2
2
2 2
2
1+FHGIKJ
LNM
OQP
+ + =FHGIKJ −
FHG
IKJ
FHGIKJξ θ γ θ θ λξsin sinx
xT d
dT xddT x
xx
xx
Te e e e e
. (A.IV.2)
Adoptando la variable ϕ θ= d dT/ , se puede escribir esta ecuación en el plano de las
fases para amortiguamiento nulo:
′
′
RS|T|UV|W|
= −+
LNMM
OQPPRS|T|UV|W|
+−
FHGIKJ +
RS|T|
UV|W|
θ
ϕ ξ
θ
ϕλξ
ξ
0 11
10
0
11
2
2
2 2xxe
. (A.IV.3)
En ambas formas de la ecuación el término:
ξ ξ ξ212 2
121 2 2= = −sin / cos / /xT x xT xe eb g b g ,
175
tiene periodo mínimo π x xe / en la escala de tiempos de T. En lo que sigue se aplica la
teoría de Floquet de los sistemas linales con coeficientes periódicos, utilizando
resultados conocidos como el método de Hill (Jordan y Smith, 1987; Coddington y
Levinson, 1955). La fórmula de Jacobi proporciona:
λ λ φ1 20
= = zdet ( ) exp ( ( ))P A T dTP
tr , (A.IV.4)
siendo λ i los multiplicadores de Floquet, es decir, los autovalores de la matriz
fundamental φ( )T que verifica φ(0) = I , particularizada en el periodo mínimo
P x xe= π / . En nuestro caso la traza de la matriz del sistema es nula, tr( ( ))A T = 0 ,
luego λ λ1 2 1= y se verifica la ecuación:
λ λ2 1 0− + =B , (A.IV.5)
donde B P= tr( ( ))φ . No se conoce a priori la matriz fundamental, pero se pueden
extraer conclusiones relevantes a partir de la ecuación característica anterior. Las raíces
son:
λ1 221
24, = ± −B Be j
• En caso de ser B > 2 , λ1 y λ 2 son reales, uno de ellos excede la unidad en valor
absoluto y por tanto la solución es no acotada.
176
• Para B < 2 , λ1 y λ 2 son complejos conjugados, luego la solución es acotada.
• Si B = 2, λ λ1 2 1= = . Hay una solución de periodo π x xe / y la otra es no acotada.
• Si B = -2, λ λ1 2 1= = − . Hay una solución de periodo 2π x xe / y la otra es no
acotada.
Las curvas B = 2 representan límites de estabilidad. Este proceso de transición se
conoce como resonancia paramétrica.
A.V El péndulo de microvibraciones
Sin más que reemplazar en la ecuación del péndulo elemental el término MLM2 por el
momento de inercia del péndulo respecto el punto de charnela 0I se obtiene:
I m L u muu mL u ML mL g M mu ge e M e M02 2 2 0+ + + + + + + + =d i b g b gsin cosθ θ θ δ θ .
(A.V.1)
Para pequeñas amplitudes de oscilación e imponiendo la ligadura u u tm= +δ ω1 sin( ) :
I m L u t mu u t t MgL mgL
L g mu t M m g
e m m M e
e M m
02
12
1 1
21
2+ + + + + + + =
− − +
δ ω θ ω δ ω ω θ θ
ω ω δ δ
sin( ) sin( ) cos( )
sin( )
b g b gc h
177
Simplificando mediante u Le<< y usando un amortiguamiento viscoso global en lugar
del término periódico, que es despreciable frente al amortiguamiento real, resulta un
sistema lineal de segundo orden con la frecuencia propia no amortiguada:
Ω00
2 2=+
+ +ML mL g
I m LM e
e m
b g( )δ
. (A.V.2)
Esta frecuencia propia se ve alterada por la rigidez parásita debida a los cables de
conexión y al mecanismo de suspensión. Por tanto, Ω0 se sustituye por ′Ω0 , a
determinar por ensayo. En realidad, la rigidez parásita se puede modelar mediante un
muelle ficticio introduciendo la frecuencia propia Ω p y por tanto ′ = +Ω Ω Ω02 2
02
p .
El término M mM mδ δ+ procede del error de equilibrado, ya que el centro de masas del
sistema está localizado en ML mL M m M mM e r M m+ + + +b g b gc h b gu uδ δ θ / y tiene su
posición de equilibrio en reposo sobre la vertical local del punto de charnela. Se produce
así un ángulo de desequilibrio ε δ δ= − + +M m ML mLM m M eb g b g/ , supuesto pequeño.
Este error ε aparece en la respuesta temporal como un desplazamiento constante, luego
no tiene relevancia si se miden amplitudes.
Finalmente, resulta la siguiente ecuación a emplear en los modelos dinámicos:
( )sin( )θ γ θ θ
ωδ
ω ε+ ′ + ′ =−
+ ++ ′2 0 0
22
02 2 1 0
2Ω Ω ΩL g
I m Lmu te
e m
c h. (A.V.3)
178
La respuesta en frecuencia se puede expresar en términos de los parámetros
adimensionales:
, A Lg
B m u gI m L
e
e m
= ′ =+ + ′
ΩΩ
02 1
02 2
02δd i
,
y del coeficiente de amortiguemiento, γ, resultando la ecuación (4.1.2).
El efecto de un amortiguamiento moderado no modifica significativamente la respuesta.
Dado que los coeficientes A y B no dependen de γ, sólo se aprecia efecto en el entorno
de la resonancia. La frecuencia de máxima amplitud, obtenida maximizando la amplitud
responde a:
ΩΩ
max2
′= − −
− +02
2
2
1 21 2
AA A
γγ
. (A.V.4)
Dependiendo de si A > 1 o A < 1, Ωmax crecerá o decrecerá con el amortiguamiento,
respecto a la frecuencia propia no amortiguada.
A.VI El acelerómetro piezoeléctrico sobre el péndulo
de microvibraciones
La producción de carga eléctrica en el material del acelerómetro ideal es proporcional a
la proyección sobre el eje sensible de la aceleración neta experimentada por la masa
179
sísmica. Esta aceleración neta se debe a la suma de las contribuciones de los elementos
de masa, es decir:
A a g a g= − = −zzz zzz1 1m
dmV
dVs
ss
sb g b g
Considérese la figura A.VI.1, donde se definen los sistemas de referencia apropiados. En
el caso ideal el eje sensible está alineado con la dirección tangencial t.
Fig. A.VI.1. Cinemática de la masa sísmica del acelerómetro sobre el péndulo.
Un elemento diferencial de masa, dms, queda localizado mediante coordenadas
Cartesianas o polares, relacionadas por:
r ϕu
ru
2θr−
θr
dms
g
La
aδ
θ
dms ϕ
r
n
t
y
x
180
r x L ya a2 2 2= + + −δb g b g
cos /
sin /
ϕϕ δ
= −
= +
L y r
x ra
a
b gb g
(A.VI.1a)
y los ejes locales del elemento están definidos por:
u t nu t n
r = −= +
sin coscos sin
ϕ ϕϕ ϕϕ
(A.VI.1b)
El elemento diferencial experimenta la aceleración:
a u u t n= − = − + +r r r r r rr cos sin sin cosθ θ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕϕ2 2 2d i d i
(A.VI.2a)
Suponiendo el movimiento armónico, θ θ ω ω= ( ) sin t y despreciando los efectos del
error de equilibrado del péndulo ε, se puede reescribir (A.VI.2a):
a t n= − + + −r t t t tω θ ω ϕ ω θ ω ϕ ω ϕ ω θ ω ϕ ω2 2 2b g b gc h b gc hcos sin sin cos sin sin cos cos
(A.VI.2b)
La aceleración tangencial a t⋅ es la única que realmente se necesita para evaluar la
sensibilidad del acelerómetro, mientras que la normal sólo se requiere para estimar el
efecto del desalineamiento y la sensibilidad transversal.
181
Para oscilaciones de pequeña amplitud, θ ω( ) << 1, y por consideraciones prácticas
acerca del montaje del acelerómetro sobre el péndulo que permiten suponer
δ a ax L y+ ≈ − , y por tanto sin cosϕ ϕ≈ , se pueden eliminar términos de segundo
orden. La tangencial resulta:
a t⋅ = −r tω θ ω ϕ ω2 b gcos sin (A.VI.3)
que también es válida para el caso ϕ << 1. El término despreciado debería retenerse para
estudiar oscilaciones no pequeñas, ya que contiene una constante de rectificación y un
término de frecuencia 2ω :
cos cos2 12
1 2ω ωt t= +b g
El término de rectificación no puede ser medido por acelerómetros piezoeléctricos
debido a su insensibilidad a componentes de baja frecuencia, pero el término 2ω
aparecerá sin duda en la salida.
Debido al movimiento, la gravedad se proyecta en el eje sensible según:
g t n t n= − − = − − − +g g g g Osin cos ( / ) ( )θ θ θ θ θ1 22 3 , (A.VI.4)
donde ya se han supuesto pequeñas amplitudes. Usando (A.VI.3) y (A.VI.4), la
aceleración neta total en dirección tangencial es:
182
AV
t g r dV g tt
Vr dVt
ss
ss= − = −zzz zzz1 2
2
θ ω ω ϕ θ ωω θ ω
ϕsin cos sinsin
cosc h
(A.VI.5)
La última integral, usando (A.VI.1), es:
r dV L y dV L Vs a s a scos ( )ϕ = − =zzzzzz
si suponemos simetría de la masa sísmica respecto al plano y = 0. Este resultado
implica que la distribución lineal de la aceleración tangencial contribuye sólo con su
valor medio sobre la masa, es decir:
A g L tt a= − ω θ ω ω2c h b gsin (A.VI.6)
Evidentemente, otra consecuencia relevante de este resultado es que no interviene, en la
primera aproximación, el parámetro δ a . La técnica experimental, es en consecuencia
más simple de lo esperado, ya que sólo se necesita un parámetro La para determinar la
entrada de aceleración.
En lo que concierne a la componente normal, necesaria para estimar errores debidos a
desalineamiento o sensibilidad transversal, se puede obtener, bajo las mismas
condiciones que en el caso anterior ( θ ω( ) << 1, sin cosϕ ϕ≈ ):
AV
g r t dVns
s= −zzz1 2sin sinϕ ω θ ωc h .
183
Dado que el sensor piezoeléctrico no responde a entradas estacionarias y suponiendo
además simetría respecto x = 0 :
A tn a= −δ ω θ ω ω2 b gsin (A.VI.7)
El cociente de ambas aceleraciones:
AA g L
n
t
a
a
=−δ ω
ω
2
2, (A.VI.8)
es el parámetro que sirve para controlar las contribuciones de desalineamiento y
sensibilidad transversal a la incertidumbre de la calibración. Para frecuencias altas
A A Ln t a a/ /≈ δ y para bajas A A gn t a/ /≈ δ ω 2 . En la antiresonancia ω = g La/ ,
dicho cociente es no acotado, igual que los errores de medida, luego un valor lo más
pequeño posible para δ a es muy recomendable.
A.VII El péndulo de microgravedad
Las energías cinética y potencial del péndulo descrito en el apartado 5.1 son:
T m r u u r u IP P= + + + +12
2 12
2 2 2 20
2c hθ θ θ (A.VII.1)
V g q mg u k uo= − + +sin( ) ( cos ) sin sin2 1 12
2α θ α θ , (A.VII.2)
184
donde:
r b a dP = + +FHG
IKJ2
cosα (A.VII.3)
es el radio de giro de la partícula de masa m respecto al eje del péndulo y
q b a M m mdo = +FHGIKJ + +L
NMOQP
12 2
( ) (A.VII.4)
es un momento estático que se introduce para hacer más compacta la notación. El
término k u2 2/ es la energía elástica de un muelle ficticio que liga la masa móvil, igual
al utilizado para el péndulo elemental. Al reducir el sistema a un único grado de libertad,
el ángulo θ , introduciendo la ligadura cinemática u u t= 1 sin ω , dicho muelle deja de
contribuir a la dinámica del sistema.
Mediante la ecuación de Lagrange, procediendo igual que en los anexos previos, resulta
la ecuación no lineal:
I m r u t g q mgu t
mr u tP o
P
02
12 2
1
12
2+ + + + =
=
sin sin( ) sin sin sin cos
sin
ω θ α θ ω α θ
ω ω
c h
(A.VII.5)
Análogamente, esta ecuación se puede linealizar en θ , quedando:
185
I m r u t g q
r g mu t
P o
P
02
12 2
21
2+ + + =
= −
sin sin( )
sin sin
ω θ α θ
ω α ω
c h
(A.VII.6)
Nuevamente, la simplificación lógica es despreciar u1 frente (b+a/2+d)cosα y la
ecuación queda de coeficientes constantes. Obtenemos así la frecuencia propia no
amortiguada y la de antirresonancia:
Ω02
02
2=+
g qI mr
o
P
sin( )α , Ωep
gr
2 = sinα . (A.VII.7)
La respuesta estacionaria del modelo linealizado con coeficientes constantes se puede
escribir de la forma:
θ
ω
ωα
αω=
FHGIKJ −
−FHGIKJ
Ω
Ω
e
o
o
m uq
t
2
21
1
12
sinsin( )
sin , (A.VII.8)
que, obviamente, conduce a la forma adimensional de la ecuación (5.1.1), en la que se
ha incluido además un amortiguamiento viscoso.
A.VIII El acelerómetro pendular sobre el péndulo de microgravedad
En este anexo se deduce de forma rigurosa la respuesta dinámica del servoacelerómetro
pendular ideal, incluyendo el efecto de la sensibilidad transversal en el factor de escala y
186
la rotación. A continuación se describe el modelo generalizado, más práctico y realista,
así como la respuesta esperada sobre el péndulo de microgravedad.
Modelo dinámico ideal
Considérese el acelerómetro pendular ideal descrito en el apartado 1.1 y representado en
la figura 1.3. En él, a diferencia del caso del piezoeléctrico sobre el péndulo de
microvibraciones, la masa sísmica se considera puntual. Véase la figura A.VIII.1 para
una descripción del servo y los sistemas de referencia. El péndulo sísmico puede girar
según el eje X ligado al encapsulado y permanece en todo momento en el plano YZ. Se
supone que la articulación es perfecta y la posición de equilibrio para aceleración nula es
θ = 0 . Se introduce la gravedad con el objeto de analizar sus efectos longitudinal y
transversal.
y1
x1
z1
o1
y
x
z
o
PKG
P
Fig. A.VIII.1. Sistemas de referencia y esquema del servoacelerómetro pendular
ideal. El detector de posición proporciona la entrada al amplificador
que alimenta al dispositivo electromagnético, de manera que la fuerza
restauradora es proporcional a la corriente inyectada.
θ
187
Teniendo en cuenta que el punto O no está fijo ni coincide con el centro de masas del
acelerómetro, la ecuación del momento cinético de P respecto O proyectada en el eje X
es:
ddt
mOP
eO
PPH i OP F v v i⋅ = ∧ − ∧ ⋅∑ 01 1d i
Supóngase en primer lugar que la referencia (0; X, Y, Z) no gira respecto a la inercial, es
decir, ωωωω 01 0= . Como el versor i no cambia con el tiempo, podemos escribir:
ddt
ddt
OP
OPΗΗΗΗ ΗΗΗΗ⋅ = ⋅i i( ) .
La suma de fuerzas exteriores Fe que actúan sobre la masa sísmica P viene dada por el
peso m m g g gx y zg = ( , , ) , la fuerza magnética restauradora F jr kl= − θ y la fricción
−blθ θu . Dentro de la constante K de la fuerza restauradora está la ganancia del
amplificador KG y la función de transferencia electromagnética (Merhav, 1996).
Teniendo en cuenta la expresión de la velocidad,
v v v u i j kPP
PP P
x y zl v v v1 0 01= + = + + +θ θ , el momento cinético es
H i OP v iOP
PP
z ym ml l v v⋅ = ∧ ⋅ = + +( ) ( sin cos )1 θ θ θ , luego:
ddt
ml l v v a aOP
z y z y( ) ( cos sin ) sin cosH i⋅ = + − + +θ θ θ θ θ θ
188
El término corrector debido al movimiento de O es
( ) ( sin cos )v v i01 1o
PP
y zm ml v v∧ ⋅ = −θ θ θ , y después de introducir la ecuación del
servomecanismo, la ecuación linealizada resultante es:
l blm
a g klm
a gz z y y( )θ θ θ+ + − +FHG
IKJ = − − , (A.VIII.1)
idéntica a la deducida en 1.1 por otro camino y poniendo de manifiesto el efecto de la
aceleración de la gravedad y la aceleración transversal.
Supóngase ahora que la referencia (O; X, Y, Z), ligada al acelerómetro, gira respecto a
la inercial con velocidad angular ωωωω 01 = + +P Q Ri j k . Repitiendo el proceso de
operaciones con la precauciones debidas, tenemos la ecuación buscada:
l blm
a g Q R l Pv Qv klm
a g Pv Rv QRlz z y x y y z x( ) ( )θ θ θ+ + − + − + − +LNM
OQP = − − + + −2 2 ,
(A.VIII.2)
que describe la respuesta completa del servoacelerómetro pendular ideal.
Evidentemente, los términos debidos a la rotación son, en general, despreciables y por
tanto la ecuación a considerar es la (A.VIII.1) para la mayoría de las aplicaciones.
189
Modelo generalizado
En general, la salida del acelerómetro es una corriente de intensidad I, función de la
aceleración absoluta a y la gravedad local g, de la orientación real del eje sensible
respecto al eje geométrico de montaje (ψ,ϕ) y de la temperatura de funcionamiento T:
I f T= −( , , , , )a g ω ψ ϕ
Los ángulos ψ y ϕ definen la posición de eje sensible y eje del péndulo sísmico,
perpendiculares entre sí, respecto al sistema de referencia geométrico ligado al
encapsulado o al montaje. Por otra parte, la respuesta del acelerómetro presenta simetría
axial respecto al eje sensible iac cuando la aceleración axial es nula, es decir, cualquier
aceleración contenida en el plano jac kac produce salida constante e igual al BIAS.
Como consecuencia, no tiene sentido hablar de un tercer ángulo de desalineamiento. Lo
que sí es importante considerar es la dependencia con la temperatura de estos dos
ángulos. La siguiente relación geométrica va a ser de utilidad:
ijk
ijk
ac
ac
ac
b
b
b
RS|T|UV|W|
=−
−L
NMMM
O
QPPP
RS|T|UV|W|
cos cos cos sin sinsin cos
sin cos sin sin cos
ϕ ψ ϕ ψ ϕψ ψ
ϕ ψ ϕ ψ ϕ0
i
i j
j
kkac b
ac
bac
b
Fig. A.VIII.2. Relación geométrica entre ejes.
190
El instrumento está diseñado para detectar aceleraciones según su eje iac. Sean Ax, Ay,
Az las componentes de la aceleración neta A = a - g según la referencia geométrica, que
coincide con la (O; X, Y, Z). La proyección sobre iac es:
A s⋅ = = + −A T A T T A T T A Tx y z( , , , ) ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) cos ( ) sin ( ) ( ) sin ( )ω ψ ϕ ω ϕ ψ ω ϕ ψ ω ϕ
En esta expresión se han detallado las dependencias funcionales. La frecuencia
interviene a través de la frecuencia de la aceleración absoluta y la temperatura a través
de la orientación del eje sensible. A partir de la aceleración que el instrumento ve por su
eje sensible, se genera una salida proporcional a la misma. El factor de escala es una
función de la frecuencia y la temperatura exclusivamente. Su linealidad para ω / Ω <<1
se justifica fácilmente mediante la ecuación (A.VIII.1), que describe la respuesta de un
sistema de segundo orden. Se tendrá en cuenta, sin embargo, la respuesta en frecuencia
del factor de escala. Por otra parte, ningún sensor es perfecto, la salida para aceleración
proyectada nula no tiene por qué ser nula. Se define así el error de cero o BIAS, que es
dependiente de la temperatura. Llegamos por tanto a una respuesta de la forma:
I SF T A T BIAS T= +( , ) ( , ) ( )ω ω (A.VIII.3)
Calibrar significa determinar SF(ω,T), BIAS(T), ψ(T) y ϕ(T). Es necesario además
conectar a la salida del acelerómetro una resistencia de carga RL y dispositivos de
tratamiento de señal, en cuyo caso el factor de escala se ve afectado por una ganancia G(
ω,T) y lo que interesa determinar es el factor de escala global
H T G T R SF TL( , ) = ( , ) ( , )ω ω ω⋅ ⋅ . Además, los circuitos de tratamiento introducirán
191
una tensión de offset, 0V , que habrá que diferenciar claramente del BIAS y que se
determinará por separado.
Modelo de la respuesta sobre el péndulo de microgravedad
Es necesario prever la respuesta del acelerómetro sobre el péndulo con el objeto de
calibrarlo correctamente, analizando cuáles son los términos de aceleración y gravedad
que se deben tener en cuenta en cada circunstancia. El péndulo de calibración tiene un
defecto inevitable: está sometido a la gravedad terrestre y la transmite al acelerómetro en
su movimiento. Así, la gravedad local se proyecta en el eje sensible por inclinación de la
plataforma, acoplándose con la propia aceleración del péndulo.
La orientación de la placa del péndulo y por tanto la del eje geométrico del acelerómetro
viene determinada por los versores e y uθ, según se puede ver en la figura 5.4. Los
siguientes vectores serán de utilidad en el desarrollo:
u i jr = +cos sinθ θ , u i jθ θ θ= − +sin cos ,
e OG u k= + = +0 2/ ( ) cos sinb a
rα α ,
k e u u kθ θ α α= ∧ = − +sin cosr .
Considerando el punto O fijo, determinamos la aceleración de P derivando dos veces su
vector posición OP OG G P u u ko o= + = + +r r rr1 2 3θ , siendo:
r b a x z1 0 02= + + −( ) cos sinα α , r y2 0= , r b a x z3 0 02
= + + +( ) sin cosα α .
192
El efecto de la gravedad es una aceleración de valor g y dirección opuesta al peso,
g g g grk u u k1 = − + +sin cos sin sin cosα θ α θ αθ .
La aceleración del punto P y la de la gravedad se proyectan en el eje sensible, cuya
dirección se considera fija a la placa del péndulo y es una incógnita de la calibración.
Sea dicha dirección:
s e u k u u k= + + = + +m m m s s sr1 2 3 1 2 3θ θ θ
donde:
s m m1 1 3= −cos sinα α , s m2 2= , s m m3 3 1= +cos sinα α ,
m s s1 1 3= +cos sinα α , m s2 2= , m s s3 3 1= −cos sinα α .
Se verifica s s s m m m12
22
32
12
22
32 1+ + = + + = . Mediante las expresiones previas,
se puede calcular la proyección de la aceleración neta sobre el eje sensible, que hemos
llamado A:
A ddt
r r g s r r g s g s= ⋅ − = − + + + − + +s OP g( ) ( sin cos ) ( sin sin ) cos2
2 2 12
1 1 22
2 3θ θ α θ θ θ α θ α
(A.VIII.4)
La amplitud de oscilación del péndulo θ es extremadamente pequeña, del orden de
microrradianes a milirradianes, con lo que podemos desarrollar en serie el seno y el
coseno, y reteniendo términos de segundo orden:
193
sin , cosθ θ θ θ≈ ≈ −12
2
,
tenemos para A la expresión desarrollada:
A r s r s r s r s g s
g s g s s
= − − + + +
+ + −
( ) ( ) ( sin )
( sin ) (cos sin )
θ θ θ α
θ α α α
1 2 2 12
1 1 2 22
1
2 3 1
12
(A.VIII.5)
en la que:
r s r s b a x mz m b a x m z m y m
1 1 2 2 0 12
0 32
0 3 0 1 0 2
22
+ = + + +
+ − + + − +
( / ) cossin ( / ) cos sin
αα α α
r s r s b a x z m y m m1 2 2 1 0 0 2 0 1 32− = + + − − −/ cos sin cos sinb g b gα α α α
La discusión acerca de los diferentes casos, la interpretación de los términos y su
importancia relativa se exponen en el apartado 5.2.3.
194
