Całkowanie różniczkowego Całkowanie różniczkowego równania ruchu metodą równania ruchu metodą

NewmarkaNewmarka

Jacek PtasznyMB4, Mechanika komputerowa

Sem. VIII.

Katedra Wytrzymałości Materiałów

i Metod Komputerowych MechanikiWydział Mechaniczny Technologiczny

Politechnika Śląska

Cel pracy Cel pracy (1)(1)Dany jest układ składający się z trzech elementów: masy m, sprężyny k oraz tłumika c. Układ wymuszany jest siłą harmoniczną P=P0sinωt. Położenie masy w każdej chwili czasu

określone jest współrzędną x (jeden stopień swobody).

Cel pracy Cel pracy (2)(2)

Aby znaleźć funkcję x(t) określającą położenie masy należy rozwiązać równie różniczkowe ruchu, które dla danego układu przybiera postać

Celem pracy jest utworzenie programu całkującego równanie ruchu układu drgającego o jednym stopniu swobody, metodą Newmarka.

.sin0 tPkxxcxm

Rozwiązanie analityczneRozwiązanie analityczne

Rozwiązanie ogólne rozważanego równania jest następujące:

Pierwszy składnik sumy opisuje drgania swobodne (gasnące), natomiast drugi – drgania wymuszone.

).sin(

4)cos(

222220

000

t

nm

Puterx nt

Rozwiązanie analityczne. Rozwiązanie analityczne. Oznaczenia Oznaczenia (1)(1)

u – częstość drgań swobodnych tłumionych:

r0,, φ0 – stałe wyznaczone z warunków początkowych,

P0 – amplituda wymuszenia,

ω – częstość wymuszenia,

)sin(

4)cos(

222220

000

t

nm

Puterx nt

,220 nu

Rozwiązanie analityczne. Rozwiązanie analityczne. Oznaczenia Oznaczenia (2)(2)

n – współczynnik tłumienia:

ω0 – częstość własna drgań układ u:

δ – przesunięcie fazowe drgań względem wymuszenia:

)sin(

4)cos(

222220

000

t

nm

Puterx nt

,2m

cn

,0 m

k

.2

220

n

tg

Całkowanie numeryczne Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne polega na wyznaczeniu wartości funkcji będącej rozwiązaniem równania różniczkowego (np. równania ruchu).

Wartości funkcji są wyznaczane w dyskretnych chwilach czasu odpowiadających wielokrotności tzw. kroku całkowania Δt.

Wartości funkcji w kolejnych krokach wyznacza się na podstawie wartości tej funkcji w kroku poprzednim.

Metoda Newmarka. RównaniaMetoda Newmarka. Równania

W metodzie Newmarka równania określające prędkości oraz przemieszczenia układu w kolejnych krokach mają postać:

,1 11 txxxx iiii

.2

1 211 txxxtxx iiiii

Metoda Newmarka. ParametryMetoda Newmarka. Parametry

Parametry i  oznaczają wpływ przyspieszenia na prędkość

i przemieszczenie w każdym z kroków:

β = 1/2, α = 1/6 – liniowa zmiana przyspieszenia w każdym kroku (dokładniejsze wyniki),

β = 1/2, α = 1/4 – stała wartość przyspieszenia.

Metoda Newmarka. Metoda Newmarka. Algorytm Algorytm (1)(1)

1. Na podstawie znanych wartości przemieszczenia i prędkości początkowej (warunki początkowe) znajdujemy przyspieszenie początkowe:

2. Przyjmujemy odpowiednie wartości t, i .

.F 0001

0 xkxcmx

Metoda Newmarka. Metoda Newmarka. Algorytm Algorytm (2)(2)

3. Wyznaczamy przemieszczenie poczynając od i = 0:

.2

21

12

111

1

21

1

21

iii

iiii

i

xt

xxt

c

xxt

xt

mF

kct

mt

x

Metoda Newmarka. Metoda Newmarka. Algorytm Algorytm (3)(3)

4. Znajdujemy przyspieszenie oraz prędkość w chwili czasu ti+1:

5. Czynności wymienione w punktach 3 – 4 powtarzamy cyklicznie aż do otrzymania wszystkich wartości przemieszczeń w rozpatrywanym przedziale całkowania określonym wielkością kroku oraz liczbą kroków.

,1

2

111121 iiiii xx

txx

tx

.1 11 iiii xtxtxx

Program komputerowyProgram komputerowy

W ramach pracy powstał program Newmark (napisany w języku C++) wykorzystujący procedurę całkującą bazującą na metodzie Newmarka.

Uruchom program ‘Newmark’

Sprawdzenie poprawności Sprawdzenie poprawności działania programudziałania programu

W celu sprawdzenia poprawności wyników otrzymanych przy pomocy programu porównano je (lub pewne wielkości charakterystyczne) ze spodziewanymi wartościami dla znanych rozwiązań analitycznych.

Rozpatrzono trzy przypadki drgań: drgania swobodne bez tłumienia (oscylator harmoniczny), drgania swobodne tłumione, drgania wymuszone tłumione.

Drgania swobodne nietłumione Drgania swobodne nietłumione (1)(1)

Rozwiązanie równania ruchu ma w tym przypadku najprostszą postać dla następujących wartości parametrów układu: m = 1, k = 1, c = 0 (brak tłumienia), x(0) = 1, v(0) = 0,i przyjmuje postać funkcji cosinus:

x(t) = cos t.

Drgania swobodne nietłumione Drgania swobodne nietłumione (2)(2)

a) Przebieg rozwiązania analitycznego, b) Przebieg otrzymany przy pomocy programu ‘Newmark’.

W celu określenia wpływu parametrów całkowania na wyniki przeprowadzono orientacyjną analizę błędów.

Zdefiniowany został błąd bezwzględny określony wzorem:

Drgania swobodne nietłumione Drgania swobodne nietłumione (3)(3)

.cos iii xt

Drgania swobodne nietłumione Drgania swobodne nietłumione (4)(4)

Drgania swobodne nietłumione Drgania swobodne nietłumione (5)(5)

Analizując przedstawione wykresy można wyciągnąć następujące wnioski:

Wzrost amplitudy błędu zależy (przy danej wartości kroku całkowania) od parametru α i jest on dla wartości 1/6 dwa razy niższy niż dla wartości 1/4.

Wartość błędu zależy również od wielkości kroku całkowania. Przy zmniejszaniu kroku o połowę wzrost błędu stawał się ok. 4 razy mniejszy.

Drgania swobodne z tłumieniem Drgania swobodne z tłumieniem podkrytycznym podkrytycznym (1)(1)

Przypadek ten określony jest warunkiem

gdzie

,0n

.,2 0 m

k

m

cn

Drgania swobodne z tłumieniem Drgania swobodne z tłumieniem podkrytycznym podkrytycznym (2)(2)

Dla danych m = 1, k = 4, c = 0.5, x(0) = 1, v(0) = 0,otrzymano przebieg jak na rysunku.

Drgania swobodne z tłumieniem Drgania swobodne z tłumieniem podkrytycznym podkrytycznym (3)(3)

Tłumienie podkrytyczne charakteryzowane jest logarytmicznym dekrementem drgań określanym jako logarytm naturalny stosunku wartości bezwzględnych kolejnych amplitud:

W rozważanym przypadku teoretyczna wartość logarytmicznego dekrementu drgań wynosi δt = 0.3958.

.

12

ln

20

202

1

n

nTn

r

r

Drgania swobodne z tłumieniem Drgania swobodne z tłumieniem podkrytycznym podkrytycznym (4)(4)

Drgania wymuszone tłumione Drgania wymuszone tłumione (1)(1)

Dla tego przypadku drgań przeprowadzimy analizę widma amplitudowego otrzymanego przebiegu. Pozwoli to na zidentyfikowanie jego składowych w dziedzinie częstotliwości oraz porównanie ich z oczekiwanymi składowymi wynikającymi z zadanych parametrów układu i wymuszenia.

Podstawową transformacją sygnału z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości jest transformacja Fouriera zdefiniowana dla przebiegów ciągłych jako

Wielkość |X(f)| nazywa się widmem amplitudowym.

.)()( 2 dtetxfX fti

Drgania wymuszone tłumione Drgania wymuszone tłumione (2)(2)

Dla przebiegów spróbkowanych stosuje się dyskretną tansformację Fouriera:

gdzie: Ns – ilość próbek w badanej realizacji, n – kolejny numer próbki w przebiegu czasowym, k – kolejny numer prążka w widmie, Δt – okres próbkowania (krok całkowania), Δf – rozdzielczość częstotliwościowa (Δf = 1/T), T – długość próbki (czas całkowania).

,)(1

)( /21

0

S

sNnkj

N

kS

etnxN

fkX

Drgania wymuszone tłumione Drgania wymuszone tłumione (3)(3)

Analizę widma przeprowadzono dla sygnału będącego przebiegiem drgań układu o parametrach: masa ciała m = 1, sztywność sprężyny k = 1, tłumienie c = 0.5, amplituda wymuszenia P = 1, częstotliwość wymuszenia fP = 1, krok całkowania (okres próbkowania) Δt = 0.1, ilość próbek w realizacji (liczba kroków + 1) NS = 1024.

Drgania wymuszone tłumione Drgania wymuszone tłumione (4)(4)

Częstość drgań swobodnych tłumionych wynosi

gdzie

Częstotliwość drgań swobodnych tłumionych wynosi

Stąd

,220 nu

.4

1

2,10

m

cn

m

k

.9682.016

15u

.154.02

u

f

Drgania wymuszone tłumione Drgania wymuszone tłumione (5)(5)

Analizowany przebieg (400 początkowych wartości)

Drgania wymuszone tłumione Drgania wymuszone tłumione (6)(6)Do konstrukcji widma użyto polecenia FFT dostępnego w programie MATLAB.

0.154

WnioskiWnioski

Przedstawione wyniki wskazują na poprawność działania utworzonego programu. Niewielkie różnice w porównaniu z rozwiązaniami analitycznymi wynikają z faktu, że metoda Newmarka, jak każda inna metoda numeryczna, obarczona jest błędem. Na jego wielkość można wpływać poprzez zmianę parametrów metody. Jest on jednak w świetle zastosowań programu (głównie prezentacja różnych przebiegów drgań) pomijalny. Dokładniejsze wyniki uzyskać można stosując np. metodę Rungego-Kutty (metodę tą wykorzystuje program MATLAB który jest profesjonalnym programem inżynierskim).

[1] Awrejcewicz J.: Drgania deterministyczne układów dyskretnych. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1996

 [2] Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów. Tom II.

Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1997 [3] Misiak J.: Mechanika ogólna. Tom II. Dynamika. Wydawnictwa Naukowo-

Techniczne, Warszawa 1997 [4] Rao S. S.: Mechanical vibrations. Addison-Wesley Publishing Company, 1986  [5] Uhl T.: Wspomaganie komputerowe CAD/CAM. Komputerowo wspomagana

identyfikacja modeli konstrukcji mechanicznych. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1997

LiteraturaLiteratura