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CAMADA LIMITE DE TEMPERATURA COM GRADIENTE DE PRESSÃO ADVERSO Márcio Valério Oliveira TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS RESQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OB- TENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIAS (M.Sc.) Aprovada por: / ,/ Prof~ ·Maftin Schmal (Presidente) Plof. Leopoldo E.G. Bastos RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JUNHO DE 1976

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CAMADA LIMITE DE TEMPERATURA COM GRADIENTE DE

PRESSÃO ADVERSO

Márcio Valério Oliveira

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS

DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO

DE JANEIRO COMO PARTE DOS RESQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OB­

TENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIAS (M.Sc.)

Aprovada por:

/

,/

Prof~ ·Maftin Schmal (Presidente)

Plof. Leopoldo E.G. Bastos

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

JUNHO DE 1976

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i

Para

Lucia

Eduardo e Isabel

nesta ordem.

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i i

AGRADECIMENTOS

O presente trabalho deve ao permanente apoio~ e cola-

boração do Prof. MARTIN SCHMAL a sua produção. Mais que um agr~

decimento especial ê aqui prestado um sincero reconhecimento a sua

engenhosidade, talento e intuição que nos permitiram desenvolver

este simples e singular trabalho.

São feitos agradecimentos ao Programa de Engenharia Me­

cânica da COPPE através de seus coordenadores, professores e col~

gas pelo interesse e estímulo. A CRUZEIRO, pelo apoio que nos Pºl

sibilitaram a realização do curso e deste trabalho.

Agradecemos, por fim, aos familiares a compreensao e p~

ciência que tiveram para conosco durante todo este tempo e ã BIA

pelo excelente trabalho de datilografia.

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i i i

RESUMO

A equaçao da energia da camada limite de Prandtl e re -

solvida pelo método integral com a utilização de um perfil deve­

locidades biparamétrico, polinomial e de grau variãvel sugerido

por Geropp e um perfil de temperatura baseado no perfil proposto

por Van Driest e corrigido para as considerações de existência de

gradientes de pressão.

A camada limite compressível laminar em presença de gr~

diente de pressão adverso é analisada utilizando as equações inte

grais da quantidade de movimento e da energia térmica.

Um método para o cãlculo da camada limite em função do

numero de Mach, temperatura uniforme da parede e determinada dis

tribuição de sucção é aqui desenvolvido.

Os resultados obtidos neste trabalho estão de acordo com

as soluções exatas existentes ou soluções aproximadas precisas que

utilizam uma diferente formulação da solução dos· próblemas ·de

transferência de calor e mostram que a solução da equação da ener

gia com a utilização de um parâmetro de correção para os efeitos

de gradiente de pressão e temperatura constituem um meio eficien­

te e de grande simplicidade matemãtica para a resolução destes p~

blemas.

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iv

ABSTRACT

The Prandtl 's boundary layer energy equation has been

solved by integral methods using a polinomial biparametric velo­

city profile with variable exponent as suggested by Geropp and a

temperature profile presented by Van Driest which is modified to

consider the presence of the pressure gradient.

The compressible laminar boundary layer in an adverse

pressure gradient is analyzed on the basis of the momentum and

thermal integral equations.

A method of calculating the boundary layer as function

of the Mach number, uniform wall temperature and finite suction

distribution is developed.

The results obtained agree with the availables exact

soluctions and the accurate approximate methods using different

approach to solve the heat transfer problem and show that the

solution of the thermal energy equation with the parametric cor­

rection of the pressure and temperature gradient are a mathemati­

cally simple and fast way to solve that problem.

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V

INDICE

Pâg.

CAPITULO I - Introdução ................................... l

I.l Definição do Problema .................... l

I.2 Caracterização do Flufdo ................ 5

I.3 Geometria da Interface .................. 7

I.4 Modelo Fi"sico ........................... 9

I. 5 O Campo de Temperaturas ................. 11

I.6 Revisão Bibliogrâfica ................... 12

CAPITULO II - Formulação Anali"tica ........................ 17

II.l As Equações de Navier-Stokes ............ 17

II.2 As Equações de Prandtl .................. 18

II.3 Condições de Contorno ...........•....... 20

II.4 Condição de Compatibilidade na Parede ... 20

II.5 Condição de Sucção ...................... 27

II.6 Equações Integrais ...................... 28

CAPITULO III - Perfil de Velocidades ......... .•......•...... 42

III.l Determinação do Perfil .................. 42

III.2 Coeficientes do Perfil de Velocidades .... 45

III.3 Coeficiente de Arraste e Dissipação ..... 46

III.4 Parâmetros do Perfil de Velocidades ....• 48

CAPITULO IV - Perfil de Temperaturas ....................... 51

IV.l Determinação do Perfil .................. 51

IV.2 Coeficientes e Parâmetros do Perfil ..... 52

CAPITULO V - Velocidade e Temperatura do Escoamento Externo .54

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vi

V. 1 Velocidade no Escoamento Externo ........ 54

V. 2 Temperatura no Escoamento Externo ....... 55

CAPfTULO VI - Determinação das Grandezas ................... 57

VI. 1 Coeficientes e parâmetros do Escoamento .. 57

VI.2 Transferência de calor e nümero de Nusselt. 67

CAPTTULO VII - Solução do Sistema de Equações ............... 70

VII.1 Sistema de Equações ..................... 70

VII.2 Método de Solução ....................... 74

CAPITULO VIII - Método Computacional ......................... 78

VIII. 1 Funções para Iteração .................. 78

VIII.2 Valores Iniciais ........................ 83

VIII.3 Condição Final .......................... 84

VIII.4 Processo de Iteração ................... 85

CAPfTULO IX - Conclusões ................................... 88

IX.1 Resultados e Discussão .....•............ 88

IX.2 Conclusões e Sugestões .................. 91

BIBLIOGRAFIA ................................................ 99

NOMENCLATURA ............................................... -102

APÊ'.NDICES

I - Perfil de Temperatura, de Velocidade e seus Cóefi'ci entes ................................. 109

II - Determinação dos Coeficientes de Arraste e Ois sipação ......................•............... 113

III - Solução das Equações Diferenciais ......•..... ]16

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vii

IV - Determinação das Equações Integrais ........... 119

V - Simbologia para Codificação ................... 123

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1

CAPTTULO I

INTRODUÇ~O

I.l - Definição do Problema.

Na resolução de problemas que envolvem transferência de

calor é fundamental a consideração da propriedade energia que é~

tilizada na Mecânica e na Termodinâmica para auxiliar a especifi­

cação do estado de um sistema. Como sabemos, a transferência de e

nergia através dos contornos de um sistema termodinâmico ê feita

em forma de calor ou de trabalho.

A transferência de calor e a expressao usada para in-

dicar a transferência de energia devido a uma diferença de tempe­

ratura. Define-se taxa de transferência de calor como a energia

térmica transferida na unidade de tempo e fluxo de calor com a ta

xa de transferência de calor por unidade de ãrea. O cálculo das

taxas de transferência de calor locais requer o conhecimento da

distribuição de temperatura local que provê justamente aquele PQ

tencial necessário ã transferência de calor.

A forma mais comum com que se apresentam os problemas de

transferência de calor ê aquela em que a transferência de energia

se faz através de uma superfície. A interface que forma a superff

cie pode vir a tomar as mais diversas formas sendo as mais comuns

as interfaces entre um sólido e um líquido ou um sólido e um gas.

No caso de interface sólido-sólido temos resistências de contato

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que afetam a transferência de calor entre os 2 sólidos. r de gra~

de interesse a interface entre um líquido e um gás no caso de co~

portamente bifásico como as associadas com evaporação, ebulição e

cavitação.

Na, matoria~cdas· ·vezes a análise da transferência de

calor através de uma interface deve considerar os três métodos de

transferência de calor, a saber: radiação, condução e convecçao ,

pois em geral, a temperatura de uma superfície e os gradientes de

temperatura da interface são controlados pelos efeitos combinados

dos 3 modos de transferência de energia, a saber: radiação, cond~

çao e convecção térmica. No presente trabalho, os efeitos devidos

ã radiação térmica nao são considerados.

•. • E ·sendo o ar o fl~ido do meio circundante, os mo­

dos condutivo e convectivo de transferência de calor serão consi­

derados em série e são estes dois modos a forma convectiva de ca­

lor. Isto porque no caso em questão, como em grande parte das si­

tuações, a velocidade do fluido relativa ã superfície da interfa­

ce e zero. Desta maneira, a condução molecular na interface deve

prover o mecanismo de transferência de energia para o fluido. A­

pós a condução desta energia para longe da superfície sólida, o mo

vimento convectivo do fluido provê um segundo mecanismo para a

transferência de energia.

Como sabemos, o movimento do fluido sobre uma superfí -

cie depende da geometria desta superfície, das propriedades do

fluido e da velocidade do escoamento. t devido ã geometria parti­

cular da superfície que gradientes de pressao são originários e

vão afetar diretamente a velocidade de escoamento do fluido.

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No presente trabalho nos restringiremos ã transferência

de calor em uma superfície sob condições permanentes, isto é, em

·que o perfil de temperaturas não serã função do tempo. Serã consl

derada apenas a convecção forçada, sendo o movimento do fluído cau

sado por uma fonte externa.

Deve ser assinalado que a consideração de um sistema te~

modinamicamente em equilíbrio permite definir propriedades como

temperatura, pressão, entalpia. A consideração da transferência CE

calor requer um gradiente de temperatura para prover o necessãrio

potencial. O que permite aplicar os conceitos de equilíbrio termo

dinâmico a processos que envolvem taxas de não equilíbrio como

transferência de calor e o conceito de equilíbrio termodinâmico lQ

cal. Para tal, teremos que considerar a matéria como um continuum

em que temos um grande numero de diferentes sub-sistemas compon­

do um sistema finito que pode ou não estar em equilíbrio termodi­

nâmico. Todas as propriedades termodinâmicas são definidas em ca­

da ponto (sub-sistema) dentro de um sistema finito em cada instan

te de tempo. Cada sub-sistema e tratado como um sistema em equil!

brio termodinâmico. Embora cada sub-sistema deva ser bastante p~

queno para ser aproximado por um sistema em equilíbrio, deve ser

bastante grande para ser descrito com precisão por conceitos ter­

modinâmicos macroscõpicos.

Na maioria dos casos estes conceitos sao apropriados d~

vendo ser feita uma anãlise mais detalhada no caso em que temos a

presença de ondas de choque, casos em que o processo se caracter!

za por ter o seu tempo igual ao tempo de relaxação (tempo neces­

sãrio para o sistema readquirir equilíbrio apõs súbita mudança em

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uma de suas propriedades). No presente trabalho os modelos de con

tinuum da matéria e equilíbrio termodinâmico local são considera

dos. Ele consiste fundamentalmente na solução da equação da ener­

gia com a aplicação dos métodos aproximados. Aqui, além das equa­

ções integrais da quantidade de movimento e de energia mecânica ,

na sua forma mais geral para os fluídos compressíveis, sera utili

zada a equação integral de energia térmica e a consideração dos

perfís de velocidade e de temperaturas que melhor parecem tradu -

zir os efeitos dos gradientes de pressão e de temperatura.

A pesquisa de literatura existente, conforme serã visto

adiante (1.6) nos levaram a verificar que, embora extensa, a uti­

lização dos métodos integrais na solução das equações do movimen­

to e da energia, sua aplicação aos casos em que estão presentes

gradientes de pressão adversos sao muito poucos, como sao: poucos

os casos em que se considera a transferência de energia na prese~

ça destes gradientes acrescido das variações de propriedades do

fluído em estudo. Isto porque as dificuldades que surgem, mesmo se

tratando de métodos aproximados, são muito grandes e conduzem, p~

ra a sua solução, a simplificações que chegam a descaracterizar o

problema a ser resolvido.

A utilização dos métodos integrais, como feita neste tr~

balho, bem como de perfís de velocidade e de temperaturas conveni-

entes~·permite reduzir estas simplificações a um mínimo. Devemos

assinalar, por fim, que no caso de fluídos compressíveis, os efei­

tos de aquecimento termodinâmico devido ao escoamento do fluído ,

devem ser observados. Para escoamentos transõnicos oú supersõnicos

o fenômeno do aparecimento de ondas de choque vão influenciar a ca

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mada limite com efeitos também no escoamento livre. No presente

trabalho estes efeitos não foram considerados, limitando-se ao es

coamento de baixa velocidade. Nestes, para pequenos valores do nu

mero de Mach, o escoamento de gases em um corpo isolado apresen­

ta transferência de calor desprezível. Isto se deve ao fato do t'!_

balho de cisalhamento viscoso ser pequeno. Jã para maiores nume -

ros de Mach, este efeito é importante e a anãlise do comportamen­

to da camada limite deve considerar não apenas as equaçoes da qua.!!_

tidade de movimento e da energia mecânica D] mas também a equa­

ção de energia térmica.

I.2 - Caracterização do Fluido.

t de fundamental importância para a correta caracteriza

çao do problema, a especificação do tipo de flui.do utilizado. Is

to porque o comportamento do escoamento ê diretamente influencia­

do pelas caracteristicas e propriedades do fluido utilizado.

Entre estas características, sobressai aqui inforrna·sQ·

bre !O comportamento do fluido real quando se desloca em determina

da direção, a saber, a sua natureza reolÕgica, definida pela sua

viscosidade. O primeiro modelo a descrever o comportamento reolõ­

gico de um fluido viscoso foi aquele proposto por Newton:

·as tensões normais e tangenciais experimentadas por um

elemento de fluido são diretamente proporcionais ãs taxas de de­

formação dos mesmos.

São os chamados fluidos newtonianos e neles é possível

estabelecer a relação entre a tensão de cisalharnento segundo urna

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determinada direção e o gradiente de velocidades perpendicular a

esta direção, a saber: ÕU

µ­õy

Aqui, 'yx e a tensão de cisalhamento segundo o eixo

dos~. µ a viscosidade dinâmica e u a velocidade do fluido na

direção x. A viscosidade e função da temperatura e numerosas sao

as relações propostas para descrever o seu comportamento com as

variações de temperatura.

Um outro modelo ê o chamado "Power-Law". Aplica-se nos

casos dos chamados fluidos não-newtonianos, nos quais não se veri

fica a proporcionalidade entre 'ix· e é) u - õy

Como exemplo temos a equaçao de Ostwald-de Waele,[3] bi

-paramêtrica, conforme abaixo:

ÕU n-i ÕU

'YX = -m • õy õy

No caso de n = 1 ela se reduz ao caso do fluido newto

niano com m = µ.

Valores de n inferiores â unidade caracterizam o com­

portamento pseudoplãstico e valores superiores a l o comportamen­

to dilatante. Experiências demonstraram que todos os gases se com

portam como fluidos newtonianos e tambêm lfquidos homogêneos nao

polimêricos. E que a viscosidade dos gases de baixa densidade au-

menta com o aumento da temperatura e a viscosidade dos

diminui com o aumento da temperatura.

lfquidos

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I.3 - Geometria da Interface.

Considera-se o escoamento de umnfluido newtoniano exter

namente· a üm "ci 1 indro de ·seção· circul~~; O fluido é consi

derado compressivel e se encontra a uma determinada temperatura .

·E~te cilindro tem sua superficie externa a uma temperatura

constante.

O estudo do escoamento externo a um cilindro circular é

um problema clássico, abordado inicialmente por Blasius em 1908,

sendo posteriormente estudado por Hiemenz e Goertler. Uma aprese~

tação interessante destes estudos e da bibliografia citada é fei

ta no trabalho de FIGUEIREDO [1], que aborda o escoamento para fll!!_

do incompressivel, não newtoniano. Com o intuito de facilitar o

acompanhamento deste trabalho, um breve resumo é aqui apresenta­

do.

Na consideração do escoamento externo a um cilindro cir

cular, deve ser observado que a influência do numero de Reynolds

é bastante grande. Baixos nümeros de Reynolds acarretam efeitos

viscosos até grandes distâncias da parede do cilindro. No caso de

altos valores do numero de Reynolds existe a formação de vórtices

na superficie do cilindro a uma determinada distância do ponto de

estagnação frontal.

Na faixa 10 2 < Re < 10 5 o escoamento é laminar até es

te ponto que permanece estacionãrio. Para Re >> 10 5 o escoamento

se torna completamente turbulento.

t de grande interesse a determinação do ponto em que se

inicia a formação dos vórtices, pois ele caracteriza o ponto de

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separaçao do escoamento laminar da parede. Sua determinação expe­

rimental e analítica foi feita por Hiemenz, em 1911, para o cilin

dro circular, a partir de uma distribuição de pressão obtida exp!

rimentalmente.

Em princípio, esta distribuição de pressoes nao e a do

escoamento potencial. O escoamento no caso de uma superfície cilín

drica apresenta características especiais como sejam, o seu reta!

damento na parede devido ao atrit~. seu impulsionamento pelas cam!

das mais externas devido ao efeito de viscosidade e seu retarda -

mento por gradientes de pressão adverso.

As considerações do atrito e da viscosidade sao feitas a

penas em uma estreita faixa prÕxima ã parede. Deve ser observado

que aí temos igualmente aplicadas as forças de inércia e de pre~

sao.

No caso de elevados valores do numero de Reynolds pode­

mos aplicar a teoria da camada limite ao escoamento.

Quando aplicamos a teoria potencial ao escoamento exter

no a um cilindro circular obtemos como ponto de pressão mínima, o

ponto correspondente a eº= 90°, isto é, a partir deste ponto o

escoamento passa a ter um gradiente de pressão adverso. Este fato

não é confirmado pela experiência com fluidos reais em escoamento

permanente, quando são considerados diversos valores do nümero de

Reynolds e de raios do cilindro [7]. Observamos jã a partir de

eº= 70° medido a partir do ponto de estagnação central um valor

mínimo para a pressão. Segue-se um aumento de pressao e entre eº=

80° e eº= 120°, hã uma estabilização quando permanece constante

até eº= 1so0•

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A variação da localização do ponto de pressao ~ . m1n1ma e

mais acentuada na faixa de número de Reynolds críticos, como se­

ja, 10 5 < Re < 2,5 x 10 7 [7], pois aqui hã uma grande instabili

dade no escoamento, o que ê característico da transição do escoa­

mento laminar para turbulento.

O trabalho experimental de HIEMENZ, GOERTLER, GEROPP ~],

[19], mostrou haver separação para eº= aoº, enquanto que a solu­

ção de Blasuis utilizando a distribuição de pressão da teoria p~

tencial apresenta o valor es = 108.8° [12], medidas a partir do

ponto de estagnação frontal.

Outro ponto a ser considerado no exame da utilização de

uma distribuição de pressões da experiência, ê que a teoria pote~

cial não considera que hã separação no escoamento.

I.4 - Modelo Físico.

Considera-se o escoamento de um fluido compressível ex

ternamente a um cilindro circular, escoamento este perpendicular

ao eixo do cilindro.

O problema sera tratado a duas dimensões e as trocas de

calor entre o fluido e a parede do cilindro são objeto de inve~

tigação sendo pesquisada a influência da sucção no comportamento

do perfil de velocidades e do campo de temperaturas.

Para a abordagem do problema no método integrél e utili

zando um perfil bi-paramêtrico para o perfil de velocidades e ne­

cessãrio considerar a parede do cilindro ã temperatura constante

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Ua,

Ta,

e v-

10

T,l

FIG. ( t. 1 ) - ESQUEMA REPRESENTATIVO

DO MODELO FÍSICO

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11

visto que a determinação dos parâmetros do perfil de velocidades

exigem que a condição de compatibilidade na parede seja utilizad~

conforme veremos no desenvolvimento da teoria.

O fluido considerado e um fluido newtoniano e a sucçao

aplicada na superfície do cilindro não afeta o escoamento externo.

Despreza-se a ação do campo gravitacional, pois temos:

F r = > g • R c

2.000

Segundo SCHMAL [13], para Fr<l, as forças de inercia

podem ser desprezadas e entre 1 e 2000 devemos considerar as

forças de inercia e as gravitacionais.

Neste trabalho as forças presentes sao as de inercia,de

pressao e viscosas e admitidas atuantes conforme a teoria da cama

da limite, a saber:

1. Efeitos viscosos limitados a uma estreita faixa adj~

cente ã interface.

2. A distribuição de pressões e a do escoamento externo.

3. As taxas de transporte normais ao escoamento sao mui­

to mais intensas do que as taxas tangenciais.

I.5 - O Campo de Temperaturas.

O objeto do presente trabalho e a determinação do campo de

temperaturas - do escóamento ·.àtra'{és da equação da energia total,

função dos perfis de temperatura dentro da camada limite e do per-

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l 2

fil de temperatura externa. Os efeitos de dissipação viscosa nao

serão considerados e as variações decorrentes da presença de for­

tes gradientes de pressão adversas serão levadas em consideração

no perfil de temperaturas dentro da camada limite.

Os efeitos devido â dissipação viscosa e ao trabalho rea

lizado contra a compressão do flufdo compressivil condutor de ca­

lor são despreziveis quando se verifica a relação abaixo [20]:

Pr x E c << l m . m

onde Pr e o numero de Prandtl médio do escoamento e definido por m

e Ecm e o numero de Eckert médio definido por

2 u

m

cpm x (T 0 -Tm)

I.6 - Revisão Bibliográfica.

Apesar do grande numero de trabalhos publicados na area

da mecânica dos fluidos com a utilização da teoria da camada limi

te, são relativamente poucos os trabalhos que abrangem o estudo

do comportamento dos fluidos quando em presença de gradientes de

pressão adversos ou gradientes de temperatura. Entre estes traba-

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13

lhos podemos destacar o de SPALDING [11], que analisa e classifi­

ca 15 métodos existentes para predição do coeficiente de transfe­

rência de calor em escoamento laminar. Estes métodos são, então ,

aplicados ao cálculo da distribuição do numero de Nusselt em tor­

no de um cilindro circular.

r interessante ressaltar que todos os métodos anal is a -

dos se mostram de duvidosa precisão próximo ao ponto de separaçao

que foi estimado_se situar entre x/L = 0.6 a 0.7, em que x e a

distância medida ao longo da parede do cilindro na direção does­

coamento e L e o diâmetro do cilindro.

O trabalho de PERKINS e LEPPERT [16] analisa a transfe­

rência de calor em uma camada limite laminar pelo método integral

com um perfil de velocidades de 4~ ordem e um perfil de temperat~

ra de 3~ ordem. Considera na equação da energia a espessura da e~

mada limite térmica menor que a espessura da camada limite de ve­

locidade o que restringe a análise para numero de Prandtl maior ou

igual ã unidade. E admite que para gases, o erro será pequeno vi~

to que neste caso teremos o numero de Prandtl Pr igual a 0.72.

Dentre os trabalhos experimentais analisados podemos ci

taro de FAND [14], .onde sao apresentados resultados para o

caso de transferência de calor por convecçao forçada de um cilin­

dro para a agua em escoamento perpendicular ã direção do seú eixo

na faixa do numero de Reynolds de 10.000 a 100.000. Os resultados

obtidos estão próximos dos propostos por Me ADAMS [14]. E o de

DOUGLAS e CHURCHILL [14], que ·analisaram a transferência de calor

de cilindros para o ar em escoamento perpendicular e propuseram u

ma correlação da forma:

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14

o • s o (Nu)f = a(Re)f + b(Re)f

Nesta correlação, a e b sao consideradas proporcio­

nais a (Pr)m, com m tendo valor entre 0,3 e 0,4.

Os efeitos da variação da viscosidade serão considera -

dos, no extenso trabalho de POOTS e RAGGETT [20] que, em virtude

das dificuldades computacionais apresentadas pela consideração da

variação das propriedades físicas, considera soluções similares

das equaçoes da quantidade de movimento e da energia térmica.

A consideração da transferência de calor de superfícies

a temperatura não uniforme jã havia sido feita por SPALDING [10]

quando da an.ãlise de estudo anterior de LIGHTHILL [10], que con

sidera o caso em que a camada limite térmica é muito m~is fina que

a camada limite de velocidade e pode ser considerada como estando

totalmente dentro de uma região de perfil de velocidade linear.

· f>ara o caso .de fluido compressível MERK [_17] anal isa e

desenvolve o chamado "wedge method" proposto por MEKSYN {17] .. Na

aplicação dà cãlcúlo da transferência de calor local a um perfil

eliptico considera o perfil de velocidade da extremidade da cama­

da limite dado pela teoria potencial, que não considera o efeito

da onda que se forma atrãs do cilindro e tem importante efeito na

velocidade da extremidade da camada limite. Por isto, para o caso

do cilindro circular, utiliza a fÕrmula advinda da experiência,d~

da por

uô X X 3 X • s = u (-) - u • (-) - u • (-)

u"' l L 3 L s L

em que L e o diâmetro do cilindro. Utiliza para as constantes u ' l

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1 5

U e U os valores dados por HIEMENZ [6], a saber: 2 3

U = 3.631 , 1

U = 2.171 , U = 1.514 3 S

para Re = 18.500, ou os valores dados por SCHMIOT e WENNER []7]

U = 3.631 1

para Re = 170.000.

U = 3.275 , U = 0.168 3 5

Os cãlculos feitos para os três perfis apresentam resul

tados precisos próximos ao ponto de estagnação, enquanto que prÕxj_

mo ao ponto de separaçao o método não é confiãvel.

Os resultados obtidos para o perfil dado pela teoria p~

tencial indicam que a separação ocorre para eº= 95.2º. A expan­

sao em série, devido a BLASIUS conduz a eº= 100°. As medidas de­

vido a SCHMIDT e WENNER dão eº= 72.4° e o valor dado pela experj_

ência é de aproximadamente aoº.

Entre os trabalhos que analisam os efeitos da sucçao

destacamos o de KOH e HARTNETT [ls], que incluem os casos de pare

de isotérmica e de temperatura variãvel para o escoamento laminar

de fluido incompressível. E o trabalho de MORDUCHOW e REYLE [}â],

que analisam a camada limite laminar compressível em gradiente de

pressão com sucção, utilizando as equações integrais da quantida­

de de movimento e da energia térmica em conexão com um perfil de

temperatura do sétimo grau e dois perfis de velocidade, um do se­

timo grau (para o ponto de separação) e outro do sexto grau. Coo:

sidera também, que as espessuras das camadas limite térmicas e

da quantidade de movimento são idênticas. Na solução das equações,

hã a necessidade de considerar o perfil de temperaturas da extre-

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16

midade da camada limite e admitir um escoamento isotrÕpico para a

extremidade da camada limite. Os coeficientes de calor específico

e o n~mero de Prandtl sao considerados constante e o de 0 Viscostda

de i- consid~rado ser· proporcional ã temperatura absoluta pe-

la relação proposta por CHAPMAN e RUBESIN [18]

com Kp escolhido de modo a atender ã conhecida fÕrmula de Sutter

land. Faz uso da variãvel t de Dorodnitsyn definida por

para obter as equaçoes integrais da quantidade de movimento e da

energia tirmica. Seu mitodo consiste igualmente em transformares

tas equações integrais em duas equações diferenciais ordinãrias •

Considera, finalmente, sucção homogênea (v0

= constante) e oca­

so em que

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17

CAP!TULO II

FORMULAÇAO ANAL!TICA

II.l - As Equações de Navier-Stokes

Quando são considerados flu-idos reais em que os efeitos

viscosos se apresentam como relevantes, o conjunto de equações m!

temãticas que parece melhor traduzir o comportamento destes flui­

dos são as Equações de Navier-Stokes.

Considera remos, ã maneira de STEWARTSON [2], estas equ!

çoes de forma axiomática, isto é, como um conjunto consistente de

equações diferenciais e relações constitutivas cuja importãncia -

na dinâmica dos fluidos - se justifica pela boa concordância en­

tre suas consequências e a experiência.

As simplificações para escoamento permanente de um flui

do newtoniano e bidimensional nos conduzem ã forma abaixo, onde

são consideradas coordenadas cartesianas (x,y), com as correspon­

dentes componentes da velocidade do fluido (u,v). O fluido possui

viscosidadeµ, pressão p, densidade p e temperatura absoluta T,

que são considerados função de x e y apenas pelas aproximações fei

tas de que o escoamento é bi-dimensional e permanente.

a -(pu) ax

a + -(pv) = O

ay (2.1.1)

Conservação de massa ou continuidade.

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18

élu élu élp 1 élt. a2 u él 2 u pu- + pv- = - - + - µ- + pX + µ (- + -) -

élx ély él X 3 él X élx 2 ély 2

2 élµ + 2~.~ + ~ ( ~ + élv) t.

3 él X élx élx ély élY ax

él V él V él p 1 d t. a 2 v a2 v pu- + pv- = + -t.µ- + pY + µ(- + -)-

ax ay ay 3 ély

2 aµ t. -+

3 ély

au av com t. = - +

ax ay

av 2-

ély

ax 2 ay 2

aµ ~(~ + ~) • - +

ély ax ay ax

Equações da conservaçao da quantidade de movimento.

e X e Y sao forças externas por unidade de massa do fluido.

(2.1.2)

(2.1.3)

a pu-(C T) +

ax P

a pv-(C

ély p

élp T) = u- +

ax

ap a ar) V-+ -(K - +

ay ax cay

a (. a T -{c-)+ µi ay ay

onde

II.2 - .As Equações de Prandtl.

Equação da conservaçao da energia.

(2.1.4)

(2.1.5)

Importante simplificação que reduz, em grande parte, as

dificuldades impostas pelas equações diferenciais elipticas conhe-

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l 9

cidas como Equações de Navier-Stokes, é aquela feita por Prandtl

no início deste século, quando no clássico trabalho apresentado em

1904 [4] estabelece as equações da camada limite que considera os

efeitos viscosos como relevantes em uma pequena região adjacente

ã superfície do corpo em torno do qual o fluido está se deslocan­

do. As considerações dai resultantes transformam as equações dif~

renciais elípticas em equações diferenciais parabÕlicas, mais si~

ples que as anteriores porém ainda de dificuldade matemática enor

me necessitando diversos métodos e processos que as transformemde

equações diferenciais de derivados parciais em equaçoes diferenci

ais ordinárias, de manuseio mais simples.

Um destes métodos, e que aqui será empregado, consiste

precisamente em considerar as equações de Prandtl na forma Inte­

gra 1 conforme proposto por Von KARMAN e POHLHAUSEN [12].

A definição de certas integrais permitirá transformar a

equaçao integral numa equaçao diferencial ordinária e a resolução

dos diferentes parâmetros que são importantes na consideração do

escoamento.

As equaçoes de Prandtl para a camada limite serao por

nos consideradas em forma simplificada, sendo desprezados os e­

feitos de dissipação viscosa e as forças do corpo.

Estas equações são conforme abaixo:

a a -(pu) + -( pv) = o (2.2.1) ax ay

au au ap a ~ au) pu- + pv- = ã; + ay µ ay (2.2.2) ax ay

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pu­ax

20

p(x,y) = p(x)

a pv-fc

cly \ p l 2) T + 2u

II.3 - Condições de Contorno.

y = o u = u = o o V = V = Cte T = T o o

y = ô V = V (X) T=Tô(x)

II.4 - Condição de Compatibilidade na Parede.

(2.2.3)

p = p0

(2.3. l)

p=pô(x) (2.3.2)

A equaçao de quantidade de movimento aplicada a condição

de contorno y = O nos dã:

[ au au

y=J

dUô dT p U -º + V·- = pôUô- + º º a x o ay dx ay y=o

(2.4.1)

considerando u· oi! o e uo

= const., obtemos: ou' uô

Vo~, -[-(~)2_+ Pôj dUô l dT -Uô- = . -

ay y=o uô p0

dx Po ay y=o (2.4.2)

No caso de um fluido "power-law" com T = tem-se:

au v­

ºay [

U 2

- -(-º ) + y=o Uô

,mc:r·::: 1,J (2.4.3)

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21

No caso de flui.do newtoniano temos m = µ, n = l

.,.o.:.'.'._ -[-(~ )2 + Pº]u ó dUó = _1 íl~ . .:.'.'._ ay u6 p dx p

0 ay ay y=o o

(2.4.4)

Para o caso de fluido incompressfvel e isotérmico temos (power-~w) • am _ 0 P, ay -

au -t(~ )2+1] dUó n~--(1.:..'.'.. )n-1

a2u ) V- Uó- = (2.4.5)

ºay y=o Uó dx P ay ay2 y=o

No caso de fluido newtoniano incompressfvel e isotérmico

(2.4.6)

No caso de fluido newtoniano, compressfvel e isotérmico temos:

Se µ = f(T) teremos

au V -

ºay

.. dU 6 _ l ( au

1

. ) u - - - µ-ó .

dx p 0 ay y=o

u6

du<'i __ 1 [,~-~ + dx p

0 ay ay

a2

u l µ-ª 2 Y y=o

(2.4. 7)

(2.4.4)

Neste caso, do escoamento compressfvel, a viscosidade varia com a

temperatura, devendo ser considerado o termo

aµ au -':

ay ay

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22

Considerando a relação entre a viscosidade e a Temperatura da for

ma

obtém-se:

l

ou

3µ =

3y

3µ = w

3y

ay

µº w- •

µ

µº •

µ •

= w •

w-1 3.l_

(;º )

To •

3u

( !_ )w-1

Tô u o •

a.L . T __ ô

ay

3u

3y

a2-To

3 u Uo

•µ

au . µ 3y

donde, com a consideração do perfil T (Apêndice I ) . To

ay

A expressao e então assim escrita:

au -[-(~) 2 + Po~

dU 0 1 [ 1 Tr° [(B+Kx) V - u- = - lw •-ºay y=o Uo Po

0 dx Po U o

u j 3u 2 a2u ,J + 2(C+Kx} - µ(-) + µ-·

u0 ay ay2

ou seja, aplicando-a ao ponto y = o' u = O, V 1 =-v , o y=o o

(2.4.8)

(2.4.9)

(2.4.10)

(2.4.11)

(2.4.12)

+

(2.4.13)

T = T o

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au [

l T ô au 2

w•-•-(B+Kx) µ(-) Uê To o ay ,J -v

o ély y=o y=o

(2.4.14)

Esta expressao traduz a condição de compatibilidade na

parede para o caso de um fluído com propriedades físicas variãveis.

Aplicada ao caso em µ e constante, isto ê, não varia

com a temperatura, teremos

µ = µ ô

w = o (2.4.15)

e a equaçao de compatibilidade se reduz ao caso incompressível.

aul _ ~ -vºay y=o Po ay2 y=o

(2.4.16)

A condição de compatibilidade serã utilizada para o cãl

culo do coeficiente A3 do perfil de velocidades (APÊNDICE.!).

Serã conveniente analisar a condição de compatibilidade

para verificar o comportamento do perfil de velocidades na inter­

face s~lido-fluido.

A partir da equaçao geral para o fluído newtoniano com-

( 2. 4 • 4 )

a consideração de fluido incompressível e isotérmico (T = Const.)

nos dã as condições

y=o, (2.4. 17)

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24

donde a equaçao

aul -v - -º a Y y=o

~ uô dUô = ~ ( a2u) p dx p ay 2

o o y=o (2.4.18)

Uma vez que aul e sempre maior que zero ou igual a zero no ay y=o

perfil de separação, podemos prever o comportamento do perfil de

velocidades. No caso de escoamento com sucção (v0<0) e sabendo que

o perfil ê assintõtico em relação ao escoamento externo ~f <O ay Y=ô

observa-se que:

lQ - No escoamento acelerado > o temos maiores

aul ay y=o

e maior arraste

2Q - No escoamento retardado temos maiores a2 u

ay2 I y=o e a curvatura na parede diminui.

A consideração da equação da compatibilidade na forma g~

ral para fluido newtoniano compressível nos conduz a analisar a e

quaçao

v0:U, -[-(~º )\ P5j dUô

_1 [Iaµ • au

a2

u J U- = + µ-1 (2.4. 4) ô dx ay ay2 y y=o ô Pa P0 ay y=

Para y=O u = u = o o

V = -vo 1- o (sucção)

(2.4.19)

No caso em que a viscosidade molecular ê constante, isto e, para

os fluidos incompressíveis e sem transferência de calor, o termo

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25

ay y=o

ê nulo, e a equaçao se simplifica para o caso jã analisado que e~

tabelece na parede (y=O) a derivada segunda do perfil de velocid~

de com relação ã distãncia y da parede proporcional ao gradi­

na dire-ente de pressão ~ dx ou ao gradiente de velocidade dUó ax

ção do fluxo (caso em que v0

= O, sem sucção).

Quando o f1 uxo externo U0(x) e retardado, isto dU 0

< o' temos que ~ > O, donde a2u 1 >O (caso que dx dx ay2 y=o a2ul sem sucção), ou valores de -- > o menores (caso Vo ay2 y=o

mas positivos.

e' com

v0=0,

= -vo)

Temos assim que a derivada segunda ê positiva e ao apr~ anu ximar-se de y= ó ela deve ser negativa (ordem n de e par) ayn

assim deverã ser zero em algum ponto entre y = O e y =ó.Adis

tância y da parede em que se localiza o ponto de inflexão depende

da prévia histõria da camada limite.

~<o ax negativo

e

Quando o fluxo externo ê acelerado

ª2u/ < O (caso que v =O

ay2 y=o º . em todo intervalo O< y < ó.

e v =-v ) o o

temos que

e assim

Analisando o caso em que

equaçao (2.4.19) como

aµ 1 I o ay y=o

podemos escrever a

au - p V -

o o ay y=o

(2.4.20)

Para gases e fluidos µ i função dã temperatura T, sendo cres­

cente nos gases para T crescente e decrescente nos líquidos pa-

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26

ra T crescente.

Assim, para Elj > O ay y=o ll!.I > º élY y=o'

gases e seu comportamento ê igual

(parede fria), élu ô

ao de ax para escoamento

para

ace

lerado e, no caso de sucçao (v =-v ) , o perfil se torna mais con o o

cavo, com é) 2 u

élY 2 mais negativo.

No caso de escoamento retardado é) u ô -- < o

é) X temos que o

perfil de velocidade se torna menos côncavo. As figuras 2-1 e 2-2 representam estes perfis.

II. 5 - Condição de sucção

II.5.1 - O número de Reynolds.

No desenvolvimento das equaçoes integrais para a camada

limite chega-se a um agrupamento adimensional denominado numero

de Reynolds para a espessura de perda de quantidade de movimento,

defjnido para o caso de fluido não newtoniano [l] como:

m u2-n. ,sn

2 (2.5.1.1)

No caso de fluidos newtonianos (n = 1) este grupo adimensional ê

dado por

(2.5.1.2)

II.5.2 - Parâmetro de Sucção .

. t conveniente definir um parâmetro de sucçao na forma Q]

(2.5.2.1)

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21

o 1 u Uê

FIG. (2-1) - ESCOAMENTO ACELERADO -

"l

o u

FIG. (2 - 2) - ESCOAMENTO RETARDADO -

dUS > O dx

dUó < O dx

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ou, pela definição de Re 0 , 2

28

P5Voó2 X =

]J o

onde 1/J5 e o numero de sucçao. 2

II.6 - Equações Integrais.

= 1/Jó ( 2.5.2.2) 2

Quando da consideração'dos fluidos reais, a aplicação

das Leis da Mecânica a um elemento infinitesimal de fluído noscon

duzem a um conjunto de equações conhecidas como Equações de Navier

-Stokes, que sao equações diferenciais de derivadas parciais. Es-

tas equações sao elípticas e nao se tem soluções analíticas

a nao ser em casos especiais como no chamado Couette Flow, etc.

A consideração de que os efeitos da viscosidade sao con

sideráveis apenas em uma estreita camada do fluido em movimento Pi

ra o cato de escoamento com nGmero de Rejnolds elevado conduzem a

formulação das Equações da Camada Limite (Prandtl) que sao equa­

çoes diferenciais de derivadas parciais parabólicas. Nestas equa­

çoes os efeitos sobre uma partícula não são determinadas pela "hiI

tõria" anterior e as considerações que deverão ser feitas para

compensar esta simplificação se traduzem num efeito de realimenta

çao e constituem a teoria da camada limite de 2~ ordem.

Se bem que mais simples que as equaçoes de Navier-Sto -

kes, as equaçoes de Prandtl apresentam também dificuldades consi­

deráveis. Para sua solução diversos métodos foram propostos, sen­

do que uma extensa faixa destas soluções é creditada ã chamada so

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29

lução similar ou por similaridade. O seu objetivo é o de reduzir

a equação diferencial parcial que rege o fenômeno analisado a u­

ma equação diferencial ordinária que tem solução mais simples.

Os estudos das chamadas soluções similares mostraram

que elas somente são possivel quando a velocidade ê uma potência

da distância ao ponto inicial do escoamento.

Neste caso os perfis de velocidade sao todos os simila

res e diferem apenas em escala um dos outros. Apenas escoamentos

continuamente acelerados ou continuamente retardados têm solução

similar, não podendo a mesma ocorrer um escoamento que apresen -

tem separação. Um outro tipo de solução para as equações difere~

ciais parciais da Camada Limite e a solução integral. Elas são SQ_

luções aproximadas que apresentam uma média das equações de quan

tidade de movimento e da energia para toda a espessura da camada

limite. Traduzem uma condição integral para o equilibrio de for

ças em uma seçao de controle de comprimento dx e altura ô.

o método integral foi proposto por Von KARMAN e POHLl-f\U

SEN D~, em 1921. O sistema de equaçoes sugerido é composto pe­

la equação da quantidade de movimento e pela condição de compatl

bilidade, que e a aplicação das condições da interface (sÕlido­

fl uído) ã equaçao da quantidade de movimento. As variãveis são um

parâmetro de forma para o perfil de velocidades e um parâmetro de

espessura para a camada limite.

Com a integração parcial da equaçao de quantidade de m~

vimento, WIEGHARDT [8], [19], em 1914, introduziu mais uma equa­

çao, a equação da energia mecânica, o que permitiu a utilizaçãode

mais um parâmetro de forma para o perfil de velocidade.

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30

Wleghardt mostrou igualmente que estas duas equaçoes in

tegrais, a da quantidade de movimento e da energia mecânica per -

tencem a um sistema de infinitas equações que são deduzidas das e

quações da continuidade e da quantidade de movimento. A escolha~

tas equações é feita baseada em justificativas físicas e GEROPP

[5], [19] demonstrou que as mesmas são de fato as mais importan -

tes.

A integração parcial da equaçao da energia nos

a obtenção da Equação Integral da Energia.

conduz

A determinação destas equações integrais sera feita de

acordo com um método indicado por Pohlhausen e aplicado por Wie -

ghardt que consiste em, partindo-se das equações diferenciais pa~

ciais da continuidade, da quantidade de movimento e da energia ob

ter as equações diferenciais ordinárias pela multiplicação dessas

equações por ''funções peso", e definir certos grupos de integrais,

obtendo um sistema de tantas equações quantas as condições em y=O

e y = ô satisfeitas pelos perfis de velocidade e de temperatura.

No caso de perfil hidrodinâmico, Wieghardt sugere utill

zar, como "função peso'', poténcias da velocidade. No caso do per­

fil de temperatura, serão utilizadas como "função peso" poténcias

da entalpia.

Para o perfil hidrodinâmico, a utilização das poténcias

de velocidade como feito por GEROPP [5] e SCHMAL [13] nos conduz UV+l

a multiplicar a equaçao da continuidade por "v+T" e a equação da

quantidade de movimento por dp

Uv e, considerando dU

dx = - p u -

ô ô dx

que

(2.6.1)

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31

deduzi da a partir da equaçao de Bernoui 11 i, e

1 dp 0 = _ _ 1 dU 0 dx U Ó d X

(2.6.2)

obtida da dinâmica dos gases, obtemos o sistema de quaçoes dife -

renciais ordinárias de 1~ ordem (APtNDICE IV).

com

d -(fv) dx

( g" 2 ) 1 dU 0 + fv v+2 - - - M - -- + e + h = O f

O U dx " "

" ó

as seguintes definições para os parâmetros:

~ · v+ 1

- 1] h = povo (~)

" póUó Uó

ó " ~(~ )dy e = (v+ 1) J ( ~)

" o uó a póUó

=Jº Pu ( 1 - ( ~ )\!+ 1 )dy f -·-

" póUó uó o r v-1 pu p0

u 1 ) dy g" = (v+l) -(-(-) -

o póUó P Uó

(2.6.3)

(2.6.4).

(2.6.5)

(2.6.6)

(2.6. 7)

A equaçao (2.6.3) ê a forma mais geral para o sistema de

condições integrais para a camada limite laminar, estando suj~ita.

as restrições impostas ãs relações (2.6. 1) e (2.6.2).

A consideração de v = O e v = 1 nos dão equaçoes com

significado ffsico conhecido. Obtêm-se assim as equações. a seguir:

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V = 0

d -(ó ) dx 2

V = ]

e = 1

e o

h o

= Já a

ay o

h 1

32

(2.6.8)

,: ,: o (-2)dy = u2 = - c f/ 2 (2.6.9)

póU6 pô ô

cf = Coeficiente de arraste

ô 2 = Espessura de perda de momentum

ô = espessura de perda de 1 velocidade

1 d U ô --- -

,: •du)

-------- =-2 • CD 3

(2.6.10)

(2.6.11)

(2.6.12)

(2.6.13)

pôUô (2.6.14)

CD= coeficiente de dissipação

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33

pu (2.6.15)

ô = espessura de perda 3 de energia

2 Jº pu

tpº -~ dy 91 = =2ô (2.6.16) pôUô 4

o

ô = espessura de perda 4 de massa específica

p V d l' ô M:]

1 dU 0 r~i ,] -(ô ) + ô 3-2-4 ---+ (-2C 0) + -º-º = o dx 3 3 ô uô dx pôUô uô

3 (2.6.17)

A consideração de escoamento laminar, permanente, com

gradiente de pressão arbitrãrio, sucção na parede, propriedadesfi

sicas variãveis de um fluido qualquer nos conduziram as equaçoes

dadas. No caso particular do escoamento de um fluido incompressí-

vel tem-se p = p0 = const. donde M = O ô e ô = O. A~sim, .as

4

equaçoes integrais da quantidade de movimento e da energia mecâ­

nica sao conforme abaixo, para os dois tipos de fluido considera­

dos:

incompressível:

dô + ô 2( 2 + ~ )-1 dU 0 _ cf ~( u

1) __ 2

+ -º - = o dx ó

2 U O dx 2 uô uô

(2.6.18)

compressível:

~+ô (2+~-M2)_1_ dUô _.:.f. dx 2 ô O U dx 2

2 Ô

(2._6.12)

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34

incompressível:

(2.6.19) dx 3

compressível:

da 3 ( º 2) -- + o 3-2-.!!. - M dx 3 o 0 (2.6.20)

3

A determinação de uma terceira equaçao para o caso hi -

drodinâmico é dada pela condição de compatibilidade na parede.

No caso da consideração da temperatura, a utilização de

potências de entalpia como feito por SCHMAL [13] e aqui por nõs ~

senvolvido, nos conduz a multiplicar a equação da continuidade por

h~+i - hv+i e a da energia por (v+l)hv obtendo-se:

a í. ( v+ 1 v+ 1)] a Í. ( v+ 1 v+ 1)] -;;0'u h0 -h + ay Lpv h0 -h = - (v+ 1) • v a [ ar] h - UT + KC-ay ay

(2.6.21)

Integrando esta equaçao com relação a y entre os limites y = O e

y = o obtém-se:

[ rº J Jº d + 1 v+ 1 v+ 1 v+ 1 a ar - pu(h~ -h )dy=pvrh 0 -h J-(v+l) hv-(Tu+K-)dy dx J

0 ° 0 L' 0 o ay cay

( 2. 6 • 22 )

Para o·valor v = O obtém-se a equação fisicamente interpretãvel

d [Jº J J O a ar - pu(hô-h)dy =p V (hô-ho)- -(UT+Kc-)dy

dx O O ay ay o o

( 2. 6 • 23 )

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35

Com a utilização da relação para a entalpia e energia interna

u2

Obtêm-se as relações

h = i + -2

i = C • T p

2 uô

h0 = 2 +CpTô

que aplicadas a equaçao nos fornecem

p V (u~ +C (T~-T ~~+ K. ar o o 2 p u o '} c ay

Utilizando a lei dos gases com a relação

T P.s =

Tô p

e com 2

uô 2 = (K-l)M 0

CpTô

c em que K = _Q_ e considerando as definições de ô

CV

1º pu u 2

ô3 =o pôUô (1--(-) ) dy

6 u ( p ) õ ~ = j - 1 - - dy

o U6 Pt5

3

(2.6.24)

(2.6.25)

(2.6.26)

( 2 . 6. 27 )

(2.6.28)

y=o

(2.6. 29)

(2.6. 30)

e ô abaixo ~

(2.6.15)

(2.6.16)

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36

Obtém-se a equaçao diferencial ordinária

ó 3 Esta equaçao pode ser expressa em função de

ó2 Apêndice!, por perfil de temperatura conforme

em que

T U = A + (B+Kx)- +

Tó Uó

u 2

(C-Kx) (-) uó

K-1 2 A=l+r• -M (l-8)

2 ó

K-1 2

B = r•-M •6 2 ó

K-1 2

e= -r • -M5 2

ó e possível escrever então a relação-!. como

ó

ó ~ = r • ô

2

K-1 2 (ô -M _3

2 ô ô 2

2

- e) + ô

Kx(1 2

A equaçao diferencial da energia e obtida então

aT K ca

Y y=o (2.6.31)

se considerarmos o

(2.6.32)

(2.6.33)

(2.6 .34)

(2.6.35)

(2.6.36)

(2.637)

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37

C - p U T (-M • ô - ô r -M - 3 - a\ + Kx _i - 1 ) = dt K-1 2 [ K-1 2(ô . (ô ~)}

Pdx ô ô ô 2 ô 3 2 2 ô ô j ô 2 2

K-1 2J ôT -M +K-

2 Ô Côy y=o

Considerando as relações

- E

F = p V e [(Tô-T ) +Tô K-lM:J + K ar o o P o 2 cay

y=o

Obtemos a equaçao diferencial ordinãria da energia

d -(G dx

• E • ô ) = F 2

(2.6.38)

(2.6.39)

(2.6.40)

(2.6.41)

(2.6.42)

A partir desta equação é determinado o valor de E que, quando com

parado com o valor dado pela equação (2.6.40)

(2.6.40)

nos possibilitam obter o valor de Kx, correçao para o efeito do

gradiente de pressão no perfil de temperatura bem como para o e­

feito da variação da temperatura na parede.

de

Na equação da energia, definimos o parâmetro F em função

êl T K

ca Y y=o (2.6.43)

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38

que pode ser desenvolvido para o perfil de temperaturas u T=T(-) Uo

conforme abaixo: T

aT K ~, aul

a-To T To

K - - • - K _o (2.6.44) Cay 0 au· ay y=o ºµ a..l:!.. uo y=o u=o o Uo U=O

a consideração do perfil de temperaturas (2.6.32) nos darã

2 T u u

= A + ( B+ Kx) - + (C-Kx)(-) To uo uo

al u To = ( B+ Kx) + 2(C-Kx)(-J

aJ!... uo Uo

= B + Kx

com o valor de B dado por

obtemos

donde finalmente

aT K K =-º-• cay µ e

y=o o p

u=o

K-1 2

B=r-M •e 2 o

= r • K-1 2

-Mº 2 • 8 + Kx

K-1 2

-M 2 o

(2.6.32)

(2.6.45)

(2.6.46)

(2.6.47)

(2.6.48)

• 8 + Kx) (2.6.49)

que com as definições do numero de Prandtl e do coeficiente de ar

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39

raste, pode ser escrita

ar K­

cay = _1_ • .:f. G. (rK-lM 2

O Pr 2 . 2 ô

y= o

• a + Kx) (2.6 .. 50)

A equaçao diferencial da energia pode então ser escrita como:

d -(G•E•ó )= dx 2

· K-1 2 (r-2-M 6 • e+ Kx)

(2.6.51)

t conveniente adimensionalizar o Último termo desta expressao, ob

tendo

[ K-1 2]

p v C ( T r -T ) + T r-M r = o o p u·

0 u 2 u

xG --·

K-1 2 -M .

2 ô [r(l-e)-1] (2.6.52)

onde x e o parâmetro de sucção, definido em (2.5.2) e Re 0 e o 2

número de Reynolds definido em (2.5.1).

A equação diferencial da energia pode ser transformada,

considerando a relação deduzida no APtNDICE II:

(l

= (2.6.53)

obtemos, então:

d -(G•E•ó )= dx 2

G { a ( K-1 2 -- -- r--M ó Re 0 Pr

0 2

2

) ( K-1 2 ~ • e +Kx + x -

2-M 0 (r[1-e]-~

2.6.54)

desenvolvendo o primeiro membro da equaçao para resolvê-la em fun

ção de E temos

dó d dó dG dE GE-2 +ó -(G•E)=E(G-

2 +ô -)+o •G•-dx 2 dx dx 2 dx 2 dx

(2.6.55)

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40

A equaçao pode ser escrita então

dE (. dli 2 dG G {ª ~K-1 2 J [K-1 2 ~~ G·li2·-+ G-+li -)E=----· r-M .•e+Kx +x-M/r(l-8)-1 dx dx 2 dx Re

0 Pr

0· 2 li 2

2

ou, dividindo ambos os membros por

çao

obtemos

z. = J

G • li

• li 2

(2.6.56)

e considerando a defini 2

(2.6.57-)

1 dG) 1 tª [ K-1 2 J [K-1

2( )]~ - - ·E= - -- r-M •S+Kx +x -M r(l-e)-1

Gdx z.Pr0

2 li 2 li J

(2.6.58)

d li ~ é obtida da equaçao integral da quantidade de movimento (2.

6. 1 2 ) e ( 2 . 5. 2. 1 ) e ( 2 . 6 . 5 3) .

1 dô - __ 2 = li dx

2

(l X

Re • li Ô 2

2

(2.6.59)

G = pôUôTli•Cp nos permite obter apos diferenciar com relação a x

e utilizando a relação (2.6.2)

1 dG ( 1 dT li _1duli(i - M: )) - = -·- + G dx T ô d X U li d ,X

(2.6.60)

donde obtemos a equaçao na forma geral:

dE {a-x 1 dT li __ 1 dU ô (i + ~} • E + zj +~. =

dx d X U li dX li 2

l{a[K-12 l IK-12( )~} 2

j ;;:- . ~ 0-e+Kxj+x~0 \r(l-e)-1 ,J (2.6.61)

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41

que com a definição (2.6.40) nos permite escrever

= {K-lM2~ _ [ K-1 2( ó ) ó - 1 )]} E = ZH r-

2-M 6 -: -e + Kx(-:

2 °o 2 2 2

(2.6.62)

GH = t·x,_1 dT 0 __ 1 dU 0 (l+ :j Z j TO d X . U O dx (2.6.63)

ltcx ~K-1 2 J lK-1 2

]} F = - -- r-M •e+ Kx +x ---M r(l-6)-1 H Z. Pr 2 ó 2 ó

J o

(2.6.64)

obtemos, assim, uma equaçao diferencial ordinãria da forma

dZH - + G • Z - FH = O dx H H

(2.6.65)

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42

CAPfTULO III

PERFIL D E VELOCIDADES

III.l - Determinação do Perfil de Velocidade.

A resolução das equações da camada limite pelos métodos

aproximados empregam comumente, expressões polinomiais para o pe!

fil de velocidade. A expressão polinomial ê escolhida em função

das condições de contorno que ê possível atender e ê tanto mais e

xata, quanto maior o número de condições de contorno que satisfaz

bem como mais prõxima da solução exata, quando esta ê possível de

ser obtida, p. ex. no caso de escoamento do tipo m " X •

A utilização de parâmetros de forma no perfil de veloci

dade ajusta o perfil a diversas situações do escoamento nas re-

giões aceleradas e retardadas.

POHLAUSEN [12], [19] apresentou um perfil polinomial do

4Q grau com um parâmetro de forma y(x), a saber:

y n =

Ó (X)

a = 1 -l

e se define

y

6

(3.1.1)

(3.1.2)

(3.1.3)

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43

y (X) = (3.1.4)

y=o

Comparada com a solução de Hartree e a série de Blasius (até x ) ve li -

rifica-se que a solução aproximada de Pohlhausen é boa para valo-

res próximos do ponto de estagnação, escoamento externo acelerado,

mas que nao é precisa na região próxima ã separação, escoamento re

tardado.

A solução de Pohlhausen prevê ponto de separaçao a y(x)

= - 12. Se> 12, ..!!.. > l que, normalmente não apresenta significa­Uô

do ffsico, WALZ 0~ acrescenta restrições ã validade deste per-

fil com situações em que y(x) > 12

sucçao ou fortemente acelerado.

e u < l com escoamentos com uô

Uma tentativa de contornar esta deficiência do perfil P.9_

linomial do 49 grau foi feita por MEL'NIKOF [9], em 1942, ao man­

ter o perfil de Pohlhausen nas regiões aceleradas e utilizar aso

1 ução de HOWARTH [9] , u = C - C • x para regiões retardadas, O 1

acoplando as duas soluções no ponto de pressão mfnima.

SCHLICHTING e ULRICH Q2], em 1940, utilizaram um poli­

nômio do 69 grau mas não obtiveram resultados melhores que o dado

pelo polinômio do 49 grau.

Em 1937, SUTTON [12] aplicou um perfil de velocidades

bi-paramétrico para o caso da placa plana ( ~uxô = o). Em seguida, WIEGHARDT [19] aplicou um perfil bi-paramé­

trico do 119 grau dado por:

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44

u 8 2 3 u = 1 - (1-n) • (1 + A1 n + A2n + A3n) ó

(3.1.5)

em que os coeficientes A , A e A sao funções dos parâmetros a(x) 1 2 3

e f(x) assim definidos:

u

a(x) = f(x) = (3.1.6)

( y )2

ª6 2 1 y=o

Nós jã havíamos definido y(x) = f(n) e e: ( X ) = f(n) donde sao

válidas as relações:

= y(x)(óó2}

2 ó r(x) Cl (X) = e: ( X ) • 2 (3.1.7)

ó

O perfil de Wieghardt apresenta resultados satisfatórios

para prever o ponto de separação mas não ê tão preciso quanto o

perfil de Pohlhausen nas regiões próximas do ponto de estagnação.

Inijmeros estudos D] levaram a concluir que o polinÕmio

deve ter grau variável de maneira a atender as diferentes regiões

do escoamento.

Um perfil uni-paramétrico deste tipo jã havia sido pro­

posto por LOITSIANSKII [9], em 1942. Sua solução, contudo, não co!!.

sidera a equaçao da energia mecânica sendo por isto menos precisa

que a de Geropp.

Geropp propos o perfil bi-paramêtrico da forma:

(3.1.8)

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45

e baseado nas soluções de Hartree, relacionou ,(x) e e(x) na

forma:

,{x) = 7 + 1,7513

,{x) = 8 - 0,0235

E{X) - 0,7026

e{x) + 0,0722

E(X) 2

e{x) 2

O<e<l (3.1.9)

e>l (3.1.10)

Com o grau do polinômio variável, Geropp superou as dificuldades

de Wieghardt bem como estendeu as soluções integrais para os ca -

sos de escoamento compressível, com ou sem troca de calor, apre­

sentando excelentes resultados para soluções comparadas com aso­

lução exata de Goertler e experiência.

III.2 - Coeficientes do Perfil de Velocidade.

Os coeficientes A1 , A2 e A3 são determinados a partir

do perfil de velocidades de Geropp, utilizando as definições: u a-

e(x) = ~ (3.1.11) y a-ô y=o

32~

y(x) uô

= a(~)2

y=o

( 3 • 1 • 4 ·}

Oeri vando o perfi 1 de vel od r;lades com relação a · n obtemos (Apê.!)_

dice I)

(3.1.12)

Derivando outra vez com relação a n obtemos (Apêndice I)

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46

A = - T • E + (3.1.13) 1 2 2

Para determinação de A utilizaremos a condição de compatibilid! 3

de na parede que ê derivada em relação a Y e aplicada em Y = O.

o resultado ê adimensionalizado e igualado a derivada terceira do

perfil de velocidades em relação a n.

Obtemos (,caso de fluído newtoniano e isotêrmico)(Apêndj_

ce I)

A = ~(3T s 6

f -1/2 T2+ 2

+ x(-) )-E -y 2

+ (3.1.14) 6

e no. caso geral

B+KxJ T2 + T

2•w•E • -A-J-E 2

+ (3.1.15) 6

Uma vez que T = f(E) e vemos que os coeficientes

sao função dos parâmetros E, y ex (caso isotérmico) acrescidos

de w, A, B e Kx no caso geral.

Para o caso de escoamento sem sucçao (X= O) e de fluí

do newtoniano, os coeficientes foram calculados por Geropp e te­

mos um perfil bi-paramêtrico função de E e y.

III.3 - Coeficiente de Arraste e Dissipação.

Os coeficientes Cf e CD podem ser definidos em fun­

çao de a(x) e B, bem como do número de Reynolds com relação a

espessura de perda de momentum. São eles assim definidos:

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47

cf ,:

= (3.3.l} 2 pôUô

2

au uô a...!!.

uô µ-1 µ ·-cf ay y=o

o ô .L = 2 Õ2 y=o (3.3.2) =

2 2 pôUô2 pôUô

a~ uô

cf a..L a

= ô2 y=o

= (3.3.3) -2

pôUô ô2 Reô 2

µ o

Da definição do coeficiente de dissipação (2.6.14) obtemos

(3.3.4)

que no caso do fluído viscoso nos permite escrever, apos adimen­

sionalizar (Apêndice II} u 2

1

. e:: l· 2 ô

· I :º 2·C = 2 dn D Reô ô

2

(3.3.5)

ou

2 2 CD = • 13

Reô (3.3.6)

2

Em que

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48

(3.3.7)

A consideração do perfil de velocidades (Cap. III) e de temperat~

ra (Cap. IV) e da relação (2.4.8) obtemos

µ µ = (3.3.8)

e, considerando o perfil de temperatura aplicado no ponto· y=O nos

darã

obtemos T w

!_=(_!__)w· _1 =(rê) µo Tê Aw A

Aplicado ã equaçao (3.3.7) obtemos

B=êê2(1[1+ ~o

B+Kx A

U 2JW { ·(~) • (1-n)2(,-1).

III.4 - Parâmetros do Perfil de Velocidade.

(3.3.9)

(3.3.10)

,(1-EK)-A + 1

(3.3.11)

O perfil de velocidade tem a seguinte representação ana

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lítica:

u(x,y)

U Ó {X)

49

y = f(~. E(x), y(x), x)

ó{x)

em que os parâmetros têm as definições:

ó{x) = parâmetro de espessura da camada limite

E(X) = parâmetro de forma

y(x) = parâmetro de forma

(3.4. l)

x = parâmetro de sucçao, considerado constante mas p~ de ser variãvel.

Neste trabalho utilizou-se para parâmetro de espessura

da camada limite, a espessura de perda de momentum ó2

definida co

mo

º2 = Jº o

pu

Foram utilizados como parâmetros de forma f{x)

dos como ó 2

f(x) = y(x) • (-:)

ó H = _3

3 2 ó 2

(2.6.10)

e H defini-32

(3.4.2)

{3.4.3)

t conveniente reproduzir os diversos parâmetros e suas definições,

o que fazemos abaixo:

a {X) =

u

a.1.... º2 y=o

(3.4.4)

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y( X) =

2 U · a -uó

a(:J y=o

2

a(x) = e:(x) • ô ô

50

r(x) =

r(x) =

u a2-

uó (3. 1.6)

a(!_ Y ó2 y=o

ô2 2

Y(x)( 5 ) (3.1.7)

A utilização dos parâmetros ê feita no Apêndice I, para dedução dos coeficientes do perfil de velocidade.

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51

CAPITULO IV

PERFIL DE TEMPERATURAS

IV. 1 - Determinação do Perfil de Temperatura.

Baseado nos estudos de Van Driest para a placa plana,e

numero de Prandtl variâvel é possível escrever um perfil de tem­

peratura da forma

(4.1.1)

onde A, B e C sao os coeficientes de equaçao determinados para o

caso ~=O

tante.

e dT = O dx ' placa plana e temperatura de parede con~

Vârios autores [19] concluiram que fortes gradientes de

pressao têm pouca influência sobre a transferência de calor, PQ

rém fortes gradientes de temperatura podem influir de maneira con

siderâvel. A correção dos gradientes de pressão é feita na equa­

ção de Van Direst modificando o coeficiente!, e a correçao para

o gradiente de temperatura é feita no coeficiente C. WALZ [19]

propôs introduzir um coeficiente Kx como parâmetro de correção

a ser determinado. Este parâmetro corrige também o termo~ I O.

Para que as condições de contorno do perfil sejam válidas, é ne­

cessário corrigir o coeficiente C pelo termo [C-Kx]. O perfil

obtido é do tipo

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52

T = A+ [B+Kx]f + [C-Kx]f

1 2 (4.l.2)

A determinação de Kx é feita através da utilização da Equação d!

Energia Térmica. Este perfil é geral e vãlido para escoamento la­

minar, turbulento, compressfvel e incompressfvel com gradientes~

pressão e fortes gradientes de temperatura na parede.

IV.2 - Coeficientes e Parâmetros do Perfil.

A consideração do perfil de temperaturas

= A + ( B + Kx) • f 1

+ ( C - Kx) • f 2

(4.2.1)

nos levam a adimitir, visto que no ar (Pr =0.72) se tem um pequeno

afastamento do numero de Prandtl da unidade, que podemos conside-

rar [19] as relações abaixo

u f "' (4.2.2)

1 u cS

f "'(~f 2 u cS

(4.2.3)

com K-1

A l 2

= + r-M (1-e) 2 cS

(4.2.4)

K-1 B = e . r . --M2

2 cS (4.2.5)

K-1 e = - r --M2

2 cS (4.2.6)

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53

(4.2.7)

O parâmetro Kx serã calculado através da Equação de E

nergia Térmica como veremos adiante neste trabalho.

Na definição do parâmetro de transferência de calor e

temos Te, "recovery temperature'' definido por

( 1 K-1 2

T = T + r--M) e 00 2 ó (4.2.8)

que, no ponto de estagnação vale

(1 K-1 2 )

Tst = T + --M 00 ' 2 ó

(4.2.9)

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54

CAP TTULO V

VELOCIDADE E TEMPERATURA DO ESCOAMENTO EXTERNO

V. l - Velocidade do Escoamento Externo

O mais comum para a sua expressao e utilizar fórmulas a

partir da teoria potencial. Blasius, em 1908, apresentou uma solu

ção deste tipo que foi desenvolvida por Howarth em 1935. Nela a

velocidade do escoamento externo é representada por uma série de

potências de x, a partir do ponto de estagnação, SCHLlCHIING

[l 2] .

A solução de Blasius exige muitos termos, sobretudo na

região próxima do ponto de estagnação. HIEMENZ [6], [8], [12] ve­

rificou-a experimentalmente e nos pontos próximos da estagnação a

presentou bons resultados, mas que não era satisfatória próximo a

separaçao.

Para o caso do cilindro, a teoria potencial permite de­

terminar uma distribuição senusoidal. Como jã observado, ela nao

prediz o ponto de separação. Evidencia-se a necessidade de utili­

zar uma representação originária da experiência.

Segundo HIEMENZ [6], [8], pode ser representado o cam­

po de velocidades na.extremidade da camada limite como

Uô(x) = 7,15lx - 0,04497x 3 - 0,0003300x 5 (5.1.1)

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55

com as seguintes condições:

onde

R = 4,87 cm

U"' = 19 , 2 cm / s

Re00

= 18 500

A adimensionalização conduz ã forma

* * *3 *s U = X - 0,006282963x - 0,00004647x

* uô u =

K • u "'

* X X =

L

L = 1 cm

(5.1.2)

(5.1.3)

(5.1.4)

(5.1.5)

(5.1.6)

(5.1 . .7)

(5. 1. 8)

Esta representação formal introduzida por GOERTLER [5] é

a utilizada por GEROPP [5] e SCHMAL [13]. Ela concorda com os re­

sultados experimentais na faixa em que o escoamento é laminar.

Sua utilização no trabalho de FIGUEIREDO [1] foi feita

com sucesso, levando a previsão do ponto de separação a uma boa

concordância com os resultados experimentais.

Este perfil de velocidades da extremidade da camada li­

mite sera por nõs considerado.

V.2 - Temperatura do Escoamento Externo.

No tratamento que é dado neste trabalho a equaçao da e-

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56

nergia, faz-se necessãrio a utilização do perfil de temperaturas

do escoamento externo.

Até o presente, nenhum trabalho experimental traduziu o

comportamento da temperatura da extremidade da camada limite em

função da distância x ao ponto de estagnação.

Todos os trabalhos pesquisados se resumiram em expres -

sara variação da temperatura de um modo global pela transferên -

eia de calor do cilindro para o fluido circundante ou vice-versa,

apresentando os resultados em função do Numero de Nusselt, este

como um produto de Numero de Prandtl e Numero de Reynolds.

No presente trabalho foi considerado que o perfil de

temperaturas externas Tó(x) tinha comportamento semelhante aodo

perfil de velocidade externa, sendo calculado pela relação do nu­

mero de Mach para os escoamentos da camada limite externa e o es­

coamento livre, a saber

Uó(x) 2

2 U ó ( x) Mó = Mó =

IKRT ó (X) KRTó(x)

(5.2.1)

u 2 u2

M o, M

o,

= = o,

ÍKRT o,

KRT o, o,

(5.2.2)

donde 2 2

Tó(x) (Uó(x)) ( M"') = T

o, u"' Mó ( 5. 2 . 3)

Este perfil, nao definido para o ponto de estagnação, relaciona a

temperatura externa com a velocidade externa.

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57

CAP!TULO VI

DETERMINAÇAO DAS GRANDEZAS

VI. l - Coeficientes e Parâmetros do escoamento.

Uma vez obtida as soluções das equações diferenciais [l]

(6.1.l)

e

(6.1.2)

diversos parâmetros podem ser calculados, tais como:

1. Coeficiente de arraste ( e f l

2. Coeficiente de dissipação (CD)

3. Tensão de cisalhamento na parede ( ,: ) o

Os parâmetros de forma tal)lbêm sao obtidos, a saber:

ó ZE H = _3 =

3 ó z. 2 J

(6.1.3)

u 32_

r = uó

a (: )2 (6.1.4)

2 y=o

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58

e o parâmetro de sucçao (x) calculado em função do nível de sue

çao (V) como utilizado por FIGUEIREDO [l] e SCHMAL [13].

Com a solução de Equação diferencial

dZH ~ + GHZH - F = O

dx H (2.6.65)

obtém-se o fator de

dP., O e dT., O ãx r dx r '

correçao (Kx) para as considerações de

fator este que nos permite calcular o fluxo

de calor local (qx).

Um importante parâmetro do escoamento e que sera consi­

derado no cálculo da transferência de calor é a tensão de cisalha

mento na parede T ' o definida como

T = µ~I o ay y=o

(6.1.5)

na consideração do fluído newtoniano. Como visto anteriormente, p~

demos definir este parâmetro na forma geral

( 6 • l .6 )

que adimensionalizado nos dará

u n

m(' d- u n u:) ô n

T = = m -- • a o ô n

ô a- 2

(6.1.7)

2 ô 2 y"'-o

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T = o

Como definimos

obtemos finalmente

59

=

=

ºn 2

(6.1.8)

(2.5.1.l)

( 6. l . 9 )

E conveniente considerar que no caso de fluido newtoniano

m = µ (6.1.10)

que aplicado no ponto y = O nos fornecerã

m = µ o o

(6.1.11)

donde a definição da tensão de cisalhamento no caso de fluido new

toniano compressível

T a _.L_ =

2 Re 0 poUo (6.1.12)

2

Re 0 = PoUôºz

(2.5.1.2) 2 µo

desta maneira, T pode ser escrito como função do parâmetro do o

escoamento e do número de Reynolds definido como acima. Verifica-

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60

se assim, que o coeficiente de viscosidade (µ) deve ser conside

rado o da parede ( µ ) • o

Da definição do coeficiente de arraste (Cf) obtemos

CL

(6.1.13}

para fluído newtoniano, ou, no caso geral (n # 1)

( 6.1.14)

(6.1.15) m

o

t conveniente representar o coeficiente de arraste na forma abai­

xo para fluído newtoniano,

cf =

2

ou na forma geral

'o

A relação

T o Re 2

póUó

l • Ren+1 =

"'

1/2

"' =

l n+1

Re "'

CL

(6.l.16) Re

º2 1 / 2

Re. "'

( 6. 1 . l 7 )

pode ser obtida a partir da definição dos

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61

numeros de Reynolds no escoamento externo e na camada limite, a

saber:

u2-nln p"' "' Re = ----

"'

que aplicado ao fluido newtoniano compressível nos darã:

Re = p U L a, a,

a,

Por conveniência, escreveremos

Re 0 = pcSUcScS 2 µ cS

2 µ cS µo

donde a relação

Re 0 p cS u cS cS µa, • ( µº) 2 --1. =

Re"' p"' u L µ cS a, µo

ou' na forma geral

Re 0 2-n n

p cS . ( ~) (~) . m"' m cS __ 2 =

Re pa, u L m cS m a, a, o

considerando a definição

zj = Re 0 • cS

2 2

(6.1.15)

(6.1.18)

( 6. 1 • 1 9. )

(6.1.20)

( 6 . 1 • 21 )

(6.1.22)

( 6.1.23)

(6.1.24)

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62

obtém-se

Reô n+1 U z-n __ 2 = Pô • ( _uô )

Re00

p co co

n

( zLj) m co ( 6 • 1 • 25 )

No caso de f1 uido newtoniano compressivel, e possivel representar PÔ µco

as relações e em função da temperatura na camada limite Pco µôµô T

externa e a relação ~ em função do perfil de temperatura µo Tô

=

u f(A,B,C,-) uô

no ponto y=O, T=T , U=O. o

Estas relações são conforme abaixo:

µô 1 =

1 1 = --- =

µo µo

µô

T w

( T :)

(6,1;26)

( 6. 1. 2 7 )

( 6. 1 • 2 8.)

A nossa relação Re i / 2

vale pois, para fluidos newtonianos com-

.. . press1ve1s co

(6.1.29.)

Re co

Uma extensão desse resultado, de interesse apenas teõrico, e aqu~

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63

leem que consideramos os fluidos nao newtonianos, donde

R. 1/n+1

e· O) ~

1 2-n n n-1

• (~) • ( Z j ) • m.,, • mó U L m6 m

"' D

( 6 . 1 . 30 )

que no caso real de fluidos nao newtonianos e incompressíveis iso

térmicos nos darã

(6.l.31)

o coeficiente de dissipação c0

pode ser obtido da seguinte ma­

neira:

13 2•C = 2

D Reé (3.3.6)

2

ou

(6.1.32)

Podemos agora, calcular o parâmetro de sucçao (x) em função do

nível de sucção. Este nível, no caso de fluido incompressível e

representado por uma relação entre o numero de sucção no infinito

t"' e o numero de Reynolds no infinito Re"' a saber [1], (13],

'í/ = (6.l.33)

O parâmetro de sucçao e então definido por:

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64

1 (6.1.34)

No caso de fluídos compressíveis devemos considerar a partir das

definições.dos parâmetros de sucção, números de sução e numero de

Reynolds, conforme abaixo:

(6.1.35)

Pcc •(-v )•L

o

pô = -(-v ) • ô

µ O 2 (6.1.36)

o

• u • ô Ô 2

(6.1.37)

Obtendo a relação

mero de Reynolds

das definições do numero de sucçao e do nu

(6.1.38)

temos que o parâmetro de sucção x sera dado por:

1/Jô X = Reô • __ 2 = 1/Jô

2 Reô 2

( 6. 1 • 3 9)

2

Observando que temos a relação abaixo para os numeros de sucçao

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65

1/J,s P,s µ00 ô __ 2

= • 2 ( 6. 1. 40) ljJ 00 poo µ L

o

e z. J

foi definido como variável auxiliar, donde

z . ô

2 = __J_

Re 6 (6.1.41)

2

obtém-se para o numero de sucçao com relação a espessura ô 2

1 0 (: ô) ( :00) 0 ( z: ) ljJÔ = 1/J 00 .

2 Re6 00 o

(6.1.42)

2

e , finalmente, para o parâmetro de sucçao:

X =

ou

X =

A relação

de nivel

da perda

1/J 00 1 ( 2) . ( µ00 :ô) . (ZLj) • • l / 2 Re 6 Re Poo µô o 00 2

(6.1.43)

Re 1/2

00

1 l<=T-w

ljJ 00 1 [(~ )K- 1 . ( z})] 1/ 2 Re Re 6 T "°

Aw (6.1.44)

.. 2

Re 1/2

00

pode ser fixada arbitrariamente e e denominada Re 1/2

de "°sucção <;J •

t igualmente conveniente definir o parâmetro espessura

de quantidade de movimento da camada limite como função

da relação Re 6 a saber

Re l / 2 00

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66

ô t··] { :: x~: )}-1 _2 =

2 pô (µ"' L Re.,, • ( P.,,) µ"' (6.1.45)

donde

ô 1/2 Re0 . ~~)(µ"'µº)(~1-1 2 Re 2

= L

a, 1/2 Re P.,, µó µo U.,,

a,

(6.1.46)

ou

~ 1 J Re 0 K-T-w - 1

ô 1/2 ~ :) - . 1 uô 2 Re

00

·2 • • = L Re

1/2 Aw u.,, a,

(6.1.47)

Os coeficientes de dissipação e arraste sao então definidos como

a

e

13 =

e a Tensão de cisalhamento na parede é dada por

ou T

-º-p u2

a, a,

1/2 Re

a,

a =

(6.1.48)

(6.1.49)

(6.1.50)

(6.1.51)

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67

VI.2 - Transferência de Calor e Número de Nusselt.

O fluxo de calor local qx e obtida da forma a

baixo: aT

qx = - K­élY y=o

. ~I ay y=o

A consideração do perfil de temperatura

nos darã

T u u 2

= A + (B+Kx)- + (C-Kx)(-) To Uó Uó

u (B+Kx) + 2(C-Kx)-

que aplicada a y = O se torna

Obtemos assim

u a­uº

= B + Kx

y=o

TO • (B+Kx)( ~, ) uº ay y=o

(6.2.1)

(6.2.2)

(6.2.3)

(6.2.4)

(6.2.5)

(6.2.6)

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68

Posterior transformação desta equaçao nos darã

K -º- aul • e ·µ -

P ºay y=o

T ~(B+Kx) uó

que, com a aplicação da relação (6.1. 13) se transforma em

1 cf + K8x) q X = - • . C •T •p •U •B(l

Pr 2 p ó ó ó o

com a definição de

2 K-1 2 uó

B = r . -M . e = r . . e 2 ó 2Cp T 0

obtemos

1 cf r 3

(1 Kx) q = • póUó . e • +-

X Pr 2 2 B

(6.2.7)

(6.2.8)

(6.2.9)

(6.2.10)

Assim, em termos do fator de analogia de Reynolds, pode ser escrita

[19]

q = -X

r •

2 • e • (1 +

Kx)

B

A consideração do numero de Stanton (St) nos darã a forma

St =

donde a forma adimensional de transferência de calor

r Kx) 2 . st. e. (1 +

8

(6.2.11)

(6.2.12)

(6.2.13)

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69

O numero de Nusselt e definido como

Nu= qx•L

Kc • llT (6.2.14)

e o numer~ de-Nusselt local seri funçio do comprimento x na su-~

perffcie do cilindro

( 6. 2. 1 5)

A obtenção de Cf _ em função de

xo para a transferência de calor:

1/ 2 Re® nos darão as formas abai

1 / 2 Re® =

r

2 • e •

f •

Com a consideração de qx em função de

para o numero de Nusselt:

1 ( K

8

x) • e • 1 + 2•S

1/2 e Re

®

(6.2.16)

obtemos

(6.2.17)

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70

CAPfTULO VII

SOLUÇÃO DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES

VII.l - Sistema de Equações.

No trabalho referente ã camada limite de velocidade [l}

foram consideradas as seguintes características:

1. Escoamento permanente

2. Escoamento laminar

3. Fluido incompressível

4. Sem trocas de calor

O mêtodo de solução utilizado foi o desenvolvido por Gl

ROPP [5}, [13], [19], sendo aplicado tanto ao escoamento com pro-

priedades físicas variáveis como constantes, com troca de calor

ou não, escoamento laminar com gradiente de pressão arbitrário. No

presente trabalho estamos considerando o caso mais geral de flui­

do compressível e trocas de calor, escoamento permanente e lami -

nar com gradiente de pressão.

Serão utilizadas as equaçoes integrais para a quantida­

de de movimento

~º + o G dx 2 2 C

(2.6.12)

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para a energia mecânica

d ~ o 2J l dU 0 -o + o 3-2-~ - M -•-d X 3 3 o o U dx

3 O

e para a

71

- 2C + D (2.6.17)

+ Kx(:: -1)]) =

aT

a condição de compatibilidade na parede

au V -ºay y=o

+ K ca Y y=o

y=o

+ J.l o a z Y y.=o

a condição de sucçao

X = - Reô 2

um perfil de velocidade tri-param~trico de foima

u - = 1 uó

T 2 3 - (1 - n) • (1 - EK + A n + A n + A n)

1 2 3

e um perfil de temperatura da forma

T u u 2

- =A+ (B+Kx)- + (C-Kx)(-) Tó Uó Uó

(2.6.38)

(2.4.14)

(2.5.2.1)

(3.1.8)

( 2 ,li . 3 2 )

A substitução nas equaçoes integrais da quantidade de movimento e

da energia mecânica dos valores de Cf e c0 bem como as consi-

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72

derações de fluido viscoso (U = O) nos fornecem as equaçoes: o

dx

dó3 - + dx

A definição de

permite apos a

ó + _1 -

ó 2

ó + 2~ -

ó 3

zj

ZE

= Re 0 2

= Re 0 2

consideração de

dZj d Re 0 = 2

dx dx

dZ d Rer E v

= dx dx

•ó 2

•ó 3

que

dó 2

ó + Re 0 -2 2 dx

dó 3

ó + Rer -3 "2 dx

(7.1.1)

(7.1.2)

(7 . 1 .. 3 )

(7.1.4)

(7.1.5.)

(7.1.6)

obter-se as equaçoes seguintes, equaçoes diferenciais lineares de

primeira ordem [1] a que se acrescenta a Equação diferencial li­

near de primeira ordem da Energia Total (Apêndice IV).

dZ. _J + G .z. - Fj = o dx J J

(6.1.1)

dZE GEZE FE o -+ - =

dx (6.1.2)

dZH GHZH FH o -+ - =

dx (2.6.65)

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73

Aqui, a aplicação ao fluído newtoniano (n=l) nos permite as se9Ji~

tes definições: l dUô

Gj = 4 . ---uô dx

(7.1. 7)

l dUô ô 2

1) f. = 2cx - 2X - Z.- • ( 21 2Mô -J Ju dx ô 2

(7.1. 8)

l dUô GE = 4 • •

uô dx (7.1. 9)

FE = 26 -(:3

+1) ·x+ :3

~ cx-Zjulô ddU/)·(:1+2:· -2M~~

2 2 2 3

(7.1.10)

GH cx - X l dT0 _l dUô (1 + ~) = + ---

zj Tô dx u ô dx ô 2

(7.1.ll)

1 1 a [ K-1 , • B •K} xt;'.;(,(l-B)-1~1 FH = - -- r-M Z . Pr 2 ô

J o

(7.1.12)

Com a consideração da condição de compatibilidade (2.4) e do par~

metro de sucção (2.5) e, com as definições de cx(x), r(x) e Zj,

obtemos desprezando (cx(x)) 2 •w. r(x) = x •cx(x) + Zj

que, junto com (6.1.l) , (6.1.2)

l ·- . U ô dx

e (2.6.65)

(7.1.13)

constituem o sistema

de equações a ser resolvido, pois a obtenção de ZH implica no

cãlculo de Zj e a verificação do resultado é feita com a rela -

çao ZE/Zj.

As equaçoes em Z sao equaçoes diferenciais ordinãrias

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74

de 1 ~ ordem do tipo equaçao Bernoui 11 i, para o caso gera 1 de f1 ui

do nao newtoniano (1.2), de expressão algébrica

dy

dx + f(x) • y

Vll.2 - Método de Solução.

= g(x) y" (7.1.14)

A equação de Bernouilli aplicãvel ao caso hidrodinâmico

tem forma

dz

dx + b • z •

l dU 0 ----a=O U0 d X

com solução geral (Apêndice 111)

(7.l.15)

(7.l.1.6)

Z(x) pode, então, ser calculado como função da distância X a um

ponto em que seu valor é conhecido como é por exemplo, o ponto de

estagnação, para um escoamento externo arbitrãrio U.s(x)" Comba

se na solução geral é possfvel desenvolver um processo iterativo

com a seguinte relação de recorrência, em que os valores com ~ ,n

dice (i) são os valores conhecidos e os valores com fndice

( i + l ) sao os calculados.

l~i+l [uº(x)]bdx 2i+l

[; ua r a

Uoi:l + 1 (7.l.17) =

zi zi Uoi+l

Na consideração da solução geral da Equação de Bernouilli, os coe-

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75

ficientes a e b devem ser constantes. Para aplicação, devemos

pois obter valores médios de F . J

e pois estes valores sao

os valores de a nas duas equações dadas.

Utilizando a definição de r(x) dada em (7.1.13) pode -

mos escrever os valores de Fj ó

Fj = 2a - 2x - ( r - ax)(21 2

ó FE = 2S - (-: + 1)x

2

e FE como

2

1) - 2M 0 -

ó (r-axl(t +

2

abaixo:

ó 2__!!_

ó 2

(7.1.18)

Estas funções sao universais e dependem do perfil deve

locidades.

A escolha do intervalo xi+,- xi pode ser tão pequena

quanto necessãrio e o trabalho de FIGUEIREDO [1] mostrou ser boa

a aproximação sugerida por WALZ [19] de se escolher tal intervalo

que

0.97 1. 03

A estimativa inicial dos valores

ve ser feita e apôs cãlculo do valor para o

rificado pela relação

ó z Ei+1 _3 =

ó z. 2 J i + 1

ó _3

ó 2

ponto

(7.1.20)

f(x) e x

X;+ 1 e 1 e ê

de-

ve

(7.1.21)

Aplicado ao caso da Energia Total, a equaçao tem a for-

ma

(2.6-65)

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76

com a soluçio geral (Apindice III)

(7.l.22)

Nela, temos as seguintes definições:

X e (7.l.23)

_ l tª K- l 2 K- l 21 FH = z:- ;-(r-2-Mô •e+ Kx) + x (((1-e) • r-1) -2-Mô)

. J r

(7.l.24)

(7.l.25)

• dx (7.1.26)

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77

O conhecimento de z . J

dado pela equaçao da quantidade

de movimento permite o cãlculo de FH e a resolução da equaçao

(7.1.22).

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78

CAPITULO VIII

MtTODO COMPUTACIONAL

VIIl.l - Funçiies para Iteração.

Para a resolução do problema do perfil de velocidade do

flui do incompressível [1] , foram escolhidos como parâmetros de for

ma do perfil as quantidades H r 3 2

e X

A cada incrementos t,x os mesmos sao calculados itera

tivamente. Os resultados obtidos por FIGUEIREDO QJ, confirmam as

sugestiies de WALZ [19] de que a convergência era garantida para

t,x tal que

(8.1.1)

Valores médios dos parâmetros de forma sao considerados

apos cada incremento. Conforme verificado na determinação dos va-

lores ô , ô e ô , eles são funçiies de relaçiies designadas 1 2 3

por F , F e F , relaçiies estas funçiies de e, y, r, e X· 1 2 3

Obtém-se, então:

ô 1 F =

ô 3 (8.1.2)

ô 2 = F - F

ô 3 1 (8.1.3)

ô 3 = 2F - 3F + F

ô 3 1 2 (8.1.4)

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79

ô ô e da consideração dos valores de _3 e obtém-se a relação

ô ô

ô 2F - 3F - F H

3 2 = 3 = 3 1 2

F - F (8.1.5)

ô 2 3 1

a determinação de E(x) e y(x) exige a formação de um sistema

de equações nao lineares a saber

p = F - F + 2

e

Q = F - F 3 1

Resolvendo o sistema

p =

Q =

obtemos E(x) e y(x).

( 2 - H a 2 )

o _2 = o ô

f (E, y)

f (E, y)

ô ~ = ô

o (8.1.6)

(8. 1.7)

(8.1.8)

(8.1.9)

No caso do escoamento de fluído compressível com troca

de calor, os valores de

fi l de velocidades como

ô , ô , ô e ô são função do per-1 2 3 lt

no caso incompressível mas também função

do perfil de temperatura pela relação

p T u u 2

ô = - = A + (B+Kx)(-) + (C-Kx)(-) P T ô Uô Uô

(8.1.10)

Quando considerados nas integrais de definição dases -

pessuras de perda de momentum, de energ.i a, etc, estas integrais

não apresentam solução analítica como no caso incompressível D]. Neste caso, a sua resolução foi feita por quadratura utilizando-se

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80

a fórmula de Simpson.

Para manter o mesmo encaminhamento do problema incom -

pressivel e tornã-lo um caso particular do nosso trabalho, desen-

volvemos ô, ô, ô e ô conforme segue: 1 2 3 4

ô , espessura de perda de velocidade: 1

ô , espessura de perda de momentum: 2

u

U U 2

~ - (~) ô = Jô pu u Jl _2 (1 - - ) dn=

ô pôUó u ó o o

Ô', espessura de perda de energia: 3

T

dn

= Jó = II u ( uuô) ó 2 pu

( 1 - ~) uô _l. dn ô póU ó uó o o

ô , espessura de perda de densidade: 4

T

(8.1.11)

(8.1.12)

3

dn (8.l.13)

(8.1.14)

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81

Estes valores sao função das relações que designamos por:

~ = F ó 3

(8.1.15)

o 2 = F -.F + F o 3 o

(8.1.16)

o _3 = 2 . F - 3 • F + F + 2F ó 3 1 2 o

(8.1.17)

o • = F o • (8.1.18)

sendo estas relações definidas conforme abaixo; tendo em vista ma.!!

ter o caso incompressível como um caso particular do presente:

1

= f (, -Fc8\n) Fc7(n))

F + dn 3 Fc8(n)

o

(8.1.19)

1 Fc7(n) 3

=J F <ln 2 Fc8(n)

o

(8. 1. 20)

1 2

=f Fc7(n)

F dn 1 Fc8(n)

o

(8';1.21)

1

F = f ( Fc8\n)

- 1) dn o (8.1.22)

o

1

=J (1 - F c 7 ( n) -1 Fc7(n))

F + dn • Fc8(n) Fc8(n) o

(8.1.23)

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82

em que

Fc7(n) = ( 1-n) T ( l - E K + A n + A n 2 + A n 3 ) 1 2 3

(8.1.24)

Fc8(n) = A+ (B+Kx) L1 - Fc7(n)] + (C-Kx) [i -Fc7(nu 2

(8.1.25)

ô Da consideração dos valores de

ô _3 e -

2 obtim-se a r~lação ô ô

32

ô = _j_ =

ô

2(F -F +F ) - F 3 1 O 1

+ F 2 (8.l.26) H

F - F + F 3 1 O

ô que, com a consideração de

çoes nao lineares

2 nos fornecerá o sistema de equa -ô

ô p = F - F + (2 - H

3 2) ---2.. = o

2 1 ô (8.1.27)

ô Q = F - F + F - J

3 1 o ô (8.1.28)

Neste sistema de equaçoes temos que

6 r ,12 J = ( -)

ô ô (8.1.29)

e

H = (~\ 3 2 Ô /

(8.l.30)

2

sao os valores definidos para o caso do perfil de velocidades no

escoamento incompressfvel QJ e que serão corrigidos para o caso

do flufdo compressfvel segundo correção sugerida por vlALZ [19], a

saber:

r = r • cp

H = H • ijJ 3 2 3 2

(8.1.31)

(8.1.32)

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,P=l/1+ K-1 2

r--M 2 ô

83

($12

- l) Mô $ = l +

$' o

,,. - a - be "'12 -

H 3 2

1 0 , 8

$0

= 0.0144(2 - H )(2 - 8) 32

a= 1.18

b = l. 08

(8.l.33)

(8.l.34)

(8.l.35)

(8.l.36)

(8. 1.37)

(8.l.38)

Deste modo podemos determinar o sistema de Equações nao lineares

P = f (E, Y) = 0 (8.l.39)

Q=f(E,y)=O (8. l .40)

sendo os valores E e y, como no caso incompressivel, obtidos

a partir dos valores iniciais da solução de Hartree e determina -

dos iterativamente na resolução do sistema de equações não linea

res P = O e Q = O.

VIII. 2 - Valores Iniciais.

O método de resolução pressupoe: o conhecimento de um

valor imediatamente anterior para cãlculo do valor seguinte. t

possivel iniciar o problema com o conhecimento de valores no po~

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84

to de estagnação, onde Zj(o)= O

do dado por:

= - Kx • ( H - 1 ) 3 2

(8.2.1)

O valor de temperatura no ponto de estagnação ê previsto, função

da velocidade do fluído e da temperatura do mesmo.

Os valores dos parâmetros do perfil de velocidade sao

os considerados no trabalho incompressível [1] com a correção men

ci onada (8. 1).

VIII.3 - Condição Final.

A condição final sera aquela em que o perfil nao mais

pode ser considerado como de um escoamento laminar. Ela ê dada por

u d-

(l = uô

< o (8.3.1)

a(:) 2 y=o

ou ô

(l = E: ·(-:)5-0 (8.3.2)

quando o perfil ê perpendicular ã parede, a partir do qual começa

a existir um fluxo no sentido inverso e o descolamento da camada.

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85

VIII.4 - Processo de Iteração.

Para fins de computação do problema, foram considerados

pequenos intervalos da variável x sobre a superfície do cilin -

dro e dentro destes intervalos, foram calculados valores

dos diversos parâmetros do escoamento e da temperatura.

médios

As equações foram resolvidas com a consideração do co -

nhecimento do valor imediatamente anterior e foi verificado, den

tro de cada intervalo da variável x, qual o valor de Kx que i

gualava as duas equações da Energia (ZH), a obtida da relação

algébrica (2.6.62) e a da equação diferencial (2.6.65) denominadas

Ec e Eb respectivamente.

Aqui, a exemplo do parâmetro

a aproximação

H 3 2

IE - E 1 < 0,001

Ci+I bi+I

verificou-se ser boa

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X

u T

86

INÍCIO

VALORES INICIAIS H3 ZJ EPS

GA ZE DAM

AK ZH TETA

Mach'

DO I = 1,800 >--~----~

X(I+I): X(I) + LIX

T~

DO K = 1,100 >-------~

DOJ=l,10

CALL CRIS ( t, 1")

2 3 4

1

~

FUNÇOES UNIVERSAIS

FJ

FE FH

EQUAÇÕES

z J

ZE

ZH

s

5

FIG. ( 8 · t - A ) - ESQUEMA DO PROCESSO DE ITERAÇÃO

N

N

6 7

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5

Z J ( I l =ZJ(I+t)

Z E ( I ) = ZE(I+1)

Z H ( I ) =ZH(It1)

H 3 ( I ) =H3(I+1)

K X ( I ) = KX(I+t)

o/. #- o

s

ll. X = ll. X'

4

N

87

CF,CO,TO

RD2,Q,NU

H 3J ( I t 1) = H 3 ( I + 1 )

GAJ ( I + 1 ) = GA ( I + 1 )

2

6

( Ec - Eb) 1 O

s

Kx = Kx ± ll.Kx

FIG. ( 8 · i - B) - ESQUEMA 00 PROCESSO OE #

ITERAÇAO

5

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ªª

CAPfTULO IX

CONCLUSÕES

IX.l - Resultados e Discussão.

O presente trabalho consistiu na solução da equaçao da

energia térmica para a camada limite pelos métodos integrais e a

sua aplicação ao cálculo da transferência de calor e outras gran­

dezas do escoamento no caso em que se acham presentes gradientes

de pressão adverso. Para tal foram arbitrados numeras de Mach p~

ra o escoamento compressível e escolhidas faixas para o parãmetro

de transferência de calor e dentro das inúmeras possibilidades

que o caso real apresenta. Foram selecionadas duas faixas de valo

res para e e verificado o comportamento da transferência de ca­

lor e demais grandezas para estas faixas. Os resultados se encon­

tram nos gráficos que se seguem. Verificou-se que a convergência~

solução se torna difícil para maiores valores de Mach sendo neces

sário inúmeras iterações para o estabelecimento dos valores cor­

retos de E e y que resolvam as equações com determinado Kx que

preencha a precisão requerida. Estes valores estão relacionados na

Tabela 9. l.

Foram utilizados os perfis de velocidade externa dado

pela experiência e perfil de temperaturas externa função da velo­

cidade externa, sendo usado como fator de proporcionalidade os va

lares c = l para Mach = 0.2 e os decorrentes da consideração

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89

NQ de Mach Interação e: y e

l 7.3220 35.7220

2 7.3250 35.5224 0.2 o. 17350

3 7.3494 35.6724

4 7.3494 35.6724

l 7.6355 38.0724

2 7.0709 34.0224

0.4 3 8.2099 44.9724 0.17005

4 7.4348 37.4224

5 7.4347 37.2724

l 8.7599 49.7224

2 6. l 07 4 27.2724 0.6 0.16460

3 8.7599 50.4224

4 8.7599 51.1224

TABELA 9-1 - Parâmetros e:, y iniciais

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E90

de escoamento externo isentrõpico, função do numero de Mach. O

perfil de velocidade externa e crescente e apresenta valor mãximo

nas proximidades de eº=70º sendo decrescente a partir deste va­

lor e se interrompendo em torno de eº=BOº visto que ai o pe:rfil

nao mais e laminar e as equações não mais representam o problema

estudado. O perfil de temperatura externa e de representação sem~

lhante com representações distintas em função do fator de propor­

cionalidade utilizado. As figuras (9-1) e (9-2) apresentam estes

* perfis em função do ângulo eº ou de X =X/L. A diferença de tem

peratura AT utilizada foi de AT=l89°C numa suposição·e AT=40°C

em outra. A tensão de cisalhamento na parede

sível e função de U0/U00

e de p0/p00

, esta

(To/Too)1/K-1.

't' o

no ç:aso compre~

últjma· 0 flinção de

A presença do gradiente de pressao adverso afeta a ten-

sao de cisalhamento acentuando a declividade da curva para

valores superiores a 8°=70°. Para valores de AT=l89°C e a con

sideração de p0/P00

dado pelo perfil de temperatura externa com

fator de proporcionalidade c=l obtemos valores máximos de T 0 em

torno de eº=62° a partir do qual se acentua a declividade da cur

va. Verifica-se um deslocamento deste mãximo para maiores valores

de eº quando comparado~com o caso incompressível. Na represent~

* çao da figura (9-3) temos a curva para T o

em função de T" de-

monstrando que para os valores iniciais de eº temos Tst/T00

pr~

ximo de T0/T00

sendo esta diferença Proporei onal ã relação p -'p IS oo

considerada. Os coeficientes de arraste e de dissipação são fort~

mente decrescentes no início, obtendo-se estabilização para maio -

res valores de e 0 • Eles se acham representados na figura (9-3)

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91

para valores de 6T=l89°C. Deve ser observado que estes valores i/ 2

são função da relação Re 6 /Re00

que ê proporcional ã correçao 2

de variação de massa específica e de viscosidade dinãmica, ambas

funções da relação de temperatura considerada. A influência do,nüC

mero de Mach pode ser vista na figura (9-5), onde se considera a

diferença de temperatura 6T=40ºC para diferentes .. numeros de

Mach.

o fluxo de calor apresenta rãpida variação pa-

ra valores de eº menor que 50° devido a espessura da camada

limite térmica ser muito pequena. os valores obtidos, bem como

o do nümero de Nusselt para 6T=l89°C e Mach=0.2 se encontram

representados na figura (9-4). Valores para outros nümeros '-. de

Mach e 6T=40°C são representados na figura (9-6). Aqui utili -

zou-se o perfil de escoamento externo isentrõpico.

IX.2 - Conclusões e Sugestões.

A solução da equação da energia térmica pelos métodos

integrais com a utilização de um perfil de velocidades polinomial

de grau variãvel e um perfil de temperatura função1do perfil de

velocidades do tipo empregado por Van Driest para a placa plana

e considerando por correção de seus coeficientes a influência

dos gradientes de pressão adverso e de temperatura, revelou- se

satisfatória para diferentes faixas de fl~xo .de calor e

diferentes nümeros de Mach do escoamento compressível. A aproxi­

mação obtida estã dentro dos valores aceitãveis para os proble -

mas usuais em que a utilização de um mêtodo aproximado se reve-

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92

la de grande utilidade.

Como sugestão, recomenda-se a continuação do estudo com

a aplicação do método aqui desenvolvido ao caso de maiores valo­

res do numero de Mach do escoamento do fluido compressível, sendo

pesquisada a correção necessária para a consideração da existênc~

de ondas de choque e sua iteração com as camadas li~~s laminar~

velocidade e de temperatura. De grande importãncia é a pesquisa ca

influência d~ dissfpação viscosa nas equaçoes. A sua con

sideração e apresentada como sugestão no prosseguimento do traba­

lho.

Sugere-se, igualmente, a aplicação do princípio dos me­

todos integrais como aqui desenvolvido ao caso do escoamento biff

sico, considerando-se a C.L. de concentração de massa e condições

de contorno para a interface. Isto feito, acreditamos que se te­

ria abrangido os três diferentes ramos da mecânica dos flufdos ~e

estudam os fenômenos de transporte pelos métodos integrais.

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Uc! Uoo

U6 --t X L

--------- - -+-- .. -- -+-----.------i-r1c ,-------, ~ -

·-+----- - -t---+--+--+-e· ;w::

--- - -+--·- -- - +- - - -· -t-~· -- ----j--. ' 5.0 -t-----+--------1 J

>----------+- 1

1 --+---·- --+- - --- -+

4.0 - -~ --kttl-Ltttt ---11----- - - --+------__._----!- --+--___;:..---_/

3·0 1 1 -i 1 7:r/ 1 1 11111 11 1

/

2·º 1 1 - ~~-1 1 --~-_,

1.0 - ---r-

10º

o

- - ---+-----' 1

20°

2

- ·-- -+-- - -··

----j---------- ·--+- -

300 40º

3

+-- - --·- -- +··--'- - +- +-+-·-'-->-+--.. -t· -+-+--+-t-+--+--+--+-

' ... -~ -- --t- --·f- -

----t--+--t--t-+--~ +-- +-+---+--

+- -·t· -+-

50° 60° 70º 80º

4 5 6 7

FIG. { 9-1) - VELOCIDADE NA EXTREMIDADE DA CAMADA LIMITE .U e!/ U.., = f ( ~ )

x*

<D w

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Tst-Tó Too

20.0

18.0

16.0

14.0

12.0

10.0

e.o

6.0

4.0

2.0

::::::::::::::

10°

o

Te!

Too

, L -~ X

u~ , . ..

-

r

J 1

-r:::... ~ , .

-L /

L L

L L

L. /

L /

L L

L /'

/' -

L__.

l .

20º 30º 40º 50º 60º 70º 80º

2 3 4 5 6 7

FIG. ( 9 - 2) TEMPERATURA NA EXTREMIDADE DA CAMADA LIMITE

* X

~ ...

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\ ~ 1 1 T foRam 2 /Ts.-Tó)'x-1 112 \

PóU"'• ~ T ó Cf · R,."' \

( • 10 2 ) - - -

- \ e / ,, , - 1 \º / \.,z-;

300 40 1 \ / ·- \, o

1 \ / 210 \ e, \ / - \

-, \ J \

240 \ \ / \

-30 \ \ / \

210 \ - \ / \

• \ \./ \ 1

180, e; 0.82~5 ~ o.8951 \ 'x \ , T =e.(-) - c=1 \ / '\. \

150t20 1 Uo 1 ·-: / '\. - \

\ J '\ \

\.. / ' \ 120------+-

90 y, -~ - \ e- 10 .. - - ...

/ '- --......___ 60 •. .. ·-, ~~

-~ --·-- ·--- -· - . .. ----. ----. / --30 --· -• - - /'- --- - . - -r-··

10º 20º 30º 40º !50º 60º 70º

o 2 3 4 5 6

80º

CD x Rl. 1/2

Q)

( x 10 2 )

4.0

3.0

2.0

l·O

7

* X

FIG. ( 9-3) - COEFICIENTES DE ARRASTE E DISSIPAÇÃO E TENSÃO DE CIZALHAMENTO

u:,

"'

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,.

.,. qx·R.oo

Íd uó' ( X 10 a)

.

40 \ \ \ ~ \ \

\

"" '

30

\ "\ -~e= 0.825 a 0.895

\ ·~q. • ( u ) '

-- T = C, Ud \Nu

""' 20

~ \. 10

~ -

' "' 5

~ -10º 20º 30º 40º 50º 60º

' o 2 3 4 !5

, FIG. ( 9 - 4) - FLUXO DE CALOR E NUMERO DE NUSSELT

NL f&u ( X 1(

"

30

20

10

.............. 5

~

"' 70º 80º

6 7

MACH=0.2

- ,, ó' R.oo •

')

...

* X

"' "'

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~

1o Rta, • ~ 'f\ --t'ooUoo 2 1 '\\ 1 M= 0.4t-- -~ - -

.- ·r---·

4.0 IÔO - ·-· '.J. ~ +-·· --· +------! 100

1-------+.\------+--~-------3.0 t 75 75

·- -Co· ~ '1•

(X)

( X 102)

2.0 [: __ 50

1.0 25 25

-- 1 ::::-:-.. 1 ........ -

10° 20° 30º 40º 50º 60º 70º BOº

o 2 3 4 5 6 7

1 Ct . R,. 1

• (X)

( X 10 2 )

8° 9

x*

N N

FIG. ( 9-5) - COEFICIENTE DE ARRASTE E DISSIPAÇAO E TENSAO DE CIZALHAMENTO

"' '-J

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800

q •. cl• .)(o· uó" 750

( • 10 4 )

700

650

600

550

500

450

400

350

300

250

/ /

/ / ./ " / / \ / -- -

J \ -- ,--, .,. . .,,.

M_=0.6,' / / .,,.

\ -q. M = 0.4, ,____

,,. \ .,,. ,,. \

M=0.2 ~~ / -.,,. \ \ ., \ -- 1

.- M= 0.4 • ,

/--::\-, Nu

/M= 0.6 - -

. - ··-e-;:; o-. <- -! ...... - .....

" . - ,-

" '· . "

"\ \ -

200

10º 20º 30º 40º 50º 60º 70º

o 2 3 4 5 6

I FIG. (9-6) - FLUXO DE CALOR E NUMERO DE NUSSELT

25.0

22.5

20.0

17.5

15.0

12.5

10.0

7.5

5.0

2.5

ªºº 7

NU·d•

)(o"U.! 2

x*

.,, 00

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99

BIBLIOGRAFIA

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A

1 02

NOMENCLATURA

Parâmetro na equaçao do perfil de temperaturas defini do por (2.6.33)

A1 ,A 2 ,A 3 - Coeficientes do perfil de velocidades

B

c

e V

E

f V

Parâmetro na equaçao do perfil de temperatura defini­do por (2.6.34)

Parâmetro na equação do perfil de temperatura defini­do por (2.6.35)

Coeficiente de dissipação definido pela eq. (2.6.14)

Coeficiente de arraste definido pela eq. (2.6.9)

Coeficiente de calor específico a pressao constante

(Cpm = valor médio)

Coeficiente de calor específico a volume constante

Numero de Eckert (E = valor médio) . cm

Parâmetro da equaçao diferencial ordinária definido por (2.6.5)

Definido pela eq. (2.6.40)

Equação da comparaçao

Equação básica

Numero de Froude

Parâmetro da equação diferencial ordinária, definido

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F

f ,f 1 2

F . J

g

G

H 32

h \)

h

i

1 03

por (2.6.6)

Definido pela equaçao (2.6.41)

Definido pela equaçao (2.6.63)

Funções no perfil de temperatura

Parâmetro da equação diferencial ordinária da quanti­dade de movimento (7.1.1)

Parâmetro da equação diferencial ordinária da energia mecânica (7.1.10)

Constante gravitacional

Parâmetro da equaçao diferencial ordinária, definido por (2.6.7)

Definido pela equaçao (2.6.39)

Definido pela equaçao (2.6.62)

Parâmetro da equação diferencial ordinária da quanti­dade de movimento (7 .1 . 7)

Parâmetro da equação diferencial ordinária da Energia mecânica (7.1. 9)

Parâmetro de forma do perfil de velocidade

Parâmetro da equaçao diferencial ordinária, definido por (2.6.4)

Entalpia definida pela equaçao (2.6.24)

Energia interna, definido pela equaçao (2.6.25)

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K

Kx

L

m

M

n

Pr

p

Re

p

Q

r

104

Relação entre os calores específicos e

Coeficiente de condutividade térmica (Kcm=valor medio)

Parâmetro de correçao das influências de~ f. O e ~f.O

Diâmetro do cilindro

Coeficiente de viscosidade para fluidos não-newtonia­nos (newtoniano m=µ)

Número de Mach

Expoente da taxa de variação da velocidade para flui­dos não newtonianos (newtoniano n=l)

Número de Nusselt

Número de Prandtl (Prm = valor medio)

Pressão estãtica

Fluxo de calor local definido pela eq. (6.2.1)

Número de Reynolds

Número de Reynolds local relativo a espessura de per­da de momentum (o )

2

Função para iteração

Função para iteração

''Recovery factor"

Raio do cilindro

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R

s

T

u

u

* u

V

w

X

* X

X

y

105

Constante universal dos gases

Fator de Analogia

Número de Stanton

Temperatura absoluta do fluido (Tm = valor médio)

"Recovery temperature"

Velocidade do fluido na direção x

Velocidade livre do fluido

Adimensionalização do perfil de velocidades na extre­midade da camada limite

Velocidade do fluido na direção y

Expoente na fÕrmula de correlação entre a massa espe­cífica e a temperatura

Coordenada ao longo da parede do cilindro, na direção do escoamento.

Adimensionalização do comprimento sobre a superfície do cilindro

Componente na direção x da força externa por unidade de massa

Coordenada perpendicular a parede do cilindro, dirigi da para fora

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V

z

106

Componente na direção y da força externa por unidade de massa

Parâmetro de espessura

Definido pela equaçao (2.6.61)

Variável da equaçao diferencial ordinária da quantid! de de movimento

Variável da equaçao diferencial ordinária da energia mecânica.

Símbolos Gregos:

a.

e

y

r

ó

Parâmetro do perfil de velocidade definido pela equa­ção (3.1.4-a)

Definido pela equaçao (3.3.11)

Parâmetro do perfil de velocidades definido pela equ! ção (3.1.2)

Parâmetro do perfil de velocidades, definido pela e­quação (3.1.4-b)

Espessura da camada limite

Espessura de perda de velocidade, definido pela equa­ção (2.6.11)

Espessura de perda de momentum definida pela equaçao (2.6.10)

Espessura de perda de energia definida pela eq.(2.6.15)

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f. T

)J

n

p

e

1 07

Espessura de perda de massa .es~ecífica definida pela equação (2.6. 18).

Divergente

Diferença entre a temperatura da parede do cilindro e a temperatura externa.

Parâmetro do perfil de velocidades, definido pela eq.

(3.2.1)

Viscosidade dinâmica

Adimensionalização da ordenada y(n= f) Massa específica

Ângulo central subentendido pelo comprimento x

Parâmetro da transferência de calor definido pela e­quaçao (2.6.36)

'xy Tensão de cisalhamento segundo o eixo dos x

, Expoente variável do perfil de velocidades

Termo de dissipação nas equaçoes de Navier-Stokes

X Parâmetro de sucçao definido pela equaçao (2.5.2.1)

\) Expoente da "função peso"

Numero de sucçao definido pela equaçao (2.5.2.2)

Nível de sucçao definido pela equaçao (6.1.3)

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Indices

ó

s

o

i

*

J

E

H

108

Valor local na extremidade da camada limite

Valor relativo ã espessura da perda de momentum (ó2

)

Valor em um ponto de referência fora da camada limite

Valor no ponto de separaçao

Valor na parede do cilindro

fndice de interação

Valor adimensionalizado

Valor na lei da quantidade de movimento

Valor na lei da energia mecânica

Valor na lei da energia têrmica

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109

APt'.NOICE I

PERFIL.DE TEMPERATURA, DE VELOC!OAD~· E. SEUS

COEFICIENTES

O perfil de temperatura· utilizad~ ida forma

2 T U U

= A + (!3+Kx)-' . + (C-Kx) (-) . T ô Uô . Uô

com as definições:

A= 1 + r·K-lM 2 (1-9) 2 ô

o. perfil: de velocidades i.definido por

U T - = 1 - (1-n) (1-EK+A n+A n2 +A n3

) U 1 2 3

ô

obtemos apõs derivar com relação a n:

que, aplicada ao ponto y=O (n=O), se torna:

= T - A 1

(AI-1)

(AI-2)

(AI-3)

(AI-4)

(AI-5)

(AI-6)

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11 O

ou, pela definição de E: dada em (3.1.11)

A =T-E: l

(Al-7)

Derivando novamente com relação a n e aplicando are-

lação anterior para A ' l

obtemos no ponto y=O (n= O)

- 2A 2

(Al-8)

que, pela definição de y dada em (3.1.12), nos fornece

u a2-

A = 2

y

2 -T•E:+

2

Partindo da derivada segunda do perfil

(AI-9)

u o T-2 2 3 T-1 ..2)+ --=-(T-l)·T·(l-n) (l+A n+A n +A n )+T(l-n) (A +2A n+3A ,, 1 2 3 l 2 3

+ (1-n)T-l(A +2A n+3A n 2 )-(l-n)T(2A +6A n) l 2 3 2 3

(AI-10)

e derivando novamente com relação a n e aplicando as relações p~

ra A l

e A obtidas anteriormente, temos, no ponto y=O (n=O) 2

=T 3 + 3T 2 + 2T - 3 • E:(T 2 +T) + 3T • y - 6A 3

(AI-11)

n=o Considerando a condição de compatibilidade na forma ge-

ral (2.4.15) e derivando esta expressão com relação a Y, temos:

v a2u 1 = ~ ~_.:::_. ~( B+Kx) 0 ay 2 p U, T y=o o u o

(AI-12)

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1 1 1

que adimensionalizada nos fornece: u a-

uó µ w TO

· U0

U0 -v -· = -º -•-•(B+Kx)•2•-•-

ou

ou

002 y 2

a(-) o· y=o

P o Uo To o aL

+

o

u a 3_

uo uo -·--3 3

y=o

º a('í...) o y=o

u a2-

• uo

+ uo

u a3-uo

a(;) 2

( º) 3 a( f / y=o y=o

Utilizando as definições de e e y obtemos:

p V o3 U0 -º-º ·-·-2. (-y) = µ o2 u

o o

u ª3_ u ó

p V o ó T0 =y( 0 0 2·-

2 -2•w-·(B+Kx)•c)

µ o T 0 y=o o

y=o

+

y=o

(AI-13)

(AI-14)

(AI-15)

(AI-16)

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112

donde finalmente

r -1/2 T = y (-x·(-) -2,w·_j_· (B+Kx) ·e:)

y To (AI-17)

y=o

A obtenção de A é feita utilizando esta condição de 3

compatibilidade na parede e a derivada terceira do perfil de velo

cidades.

Obtemos, então:

ou

e, finalmente:

A = 3

y ' r - 1 / 2 B+Kx T3+3T 2 +2T T2 + T x(-) +2•W•--•e:+3T + - e:•---

6 y A 6 2 (AI-20)

No caso de µ=µ temos w=O, e o coeficiente para o o

caso incompressível serã:

- e: • (AI-21) 2

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11 3

APtNDICE II

DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DE

ARRASTE E DE DISSIPAÇÃO

O parâmetro Cf da equaçao da quantidade de movimento

e calculada a partir de sua definição

Aplicada ao fluido newtoniano (n=l) obtemos

=

au µ ºay

que, adimensionalizada se torna

uô a..!!... uô

µo ô a.L

cf 2 ô 2 y=o - = = 2

pô u2

ô

ou, utilizando a definição de (l

cf (l

= 2 Re 6

y=o

a_!!_ ~ uô a.L

ô 2 y=o 2

pô•Uô•ô2

µo

e de Re 6 2

2

(AII-1)

(AII-2)

(AII-3)

(AII-4)

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114

O parâmetro c0 , da Equação da Energia mecânica, e cal

culado a partir da sua definição

2 (AII-5)

para o fluido viscoso (µ =O) e newtoniano (n=l), obtemos: o

2 uó

ó au au ·f ,•du= 2

2C 0 = --3 3 . J (µ-)(-)(dy) póUó póUô ay ay

a o

(AII-6)

2

2 Jó (u ó • .~) µ Uo 2C 0 - --3 -ª • µ • dy póUó µ aL a o ó2 ó

(AI I-7)

2

2

Jó c~,y 2•U µ µ 2C 0

ó -ª • a / .. dy - --3

pó u ô ó µ 2 a o ó2

(AII-8)

Utilizando a definição de Re 6 e mudando os limites 2

da integração: 2

2 _1 Jl µ ·C (u',l)- ,(). 2C 0 - ó Reô º2 µ ô 0Y ô

o o o.. -2 2 Ô

(AII-9)

1 / u '2

2 ô ô2 ·J ~ ·( ª~; )· 2C 0 = _2 an Re 0 º2

ô2 o µo 2

(AII-10)

2 ô . Jl µ (\":• )' . 2C 0 = _2 n Reô ô µo

2 o '

(AII-11)

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ou, em forma resumida

2C = D

115

2 • B (AII-12)

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116

APtNDICE III

SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

No caso de fluído newtoniano (n=l), as equaçoes diferen

ciais sao da forma

ay - + p{x) · y = g(x) ôx

e tem para solução

l

[

X X p(t)dt J J , g(s) , dsl y =

X J p(t)dt e

Jxp(t)dt e

(AIII-1)

(AIII-2)

A aplicação a equaçao da quantidade de movimento e feita como se­

gue:

dZ. l dUô __,1.+4·---· dx U ô dx

(AIII-3)

. (AIII-4)

(AIII-5)

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117

(AIII-6)

X = X o (AIII-7)

zJ. = z. J o

(AIII-8)

A aplicação a equaçao da energia mecânica e semelhante.

Vamos, agora, aplicar a equaçao da energia térmica:

dE {ª-X -+ --+ dx Z j

Considerando valores mêdios para os integrantes do Ülti

mo termo temos:

(AIII-10)

e a equaçao

dE { a-x - +E • (-) dx zj

(AIII-11) U dx

tem solução

(~~!) E =E .• e J

X x 0 4> (AIII-12)

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118

em que

4> = IX Tôx (~)·x

(1 + ô 1 )

• e Zj

X

• dx

Q

Uôx Ô2

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119

APtND ICE IV

DETERMINAÇÃO DAS EQUAÇÕES INTEGRAIS

Partindo das equaçoes da continuidade e da quantidadede

movimento

a a -(pu) + -( pv) = o (AIV-1) ax ay

au au dp a, pu- + pv- = - - + (AIV-2)

ax ay dx ay

Multiplicando a equaçao da continuidade por e a

da quantidade de movimento por Uv e adicionando as duas equações

obtemos:

1 { a v+ 2 - .-(pu ) v+ 1 ax

a v+ 1 } + -(pvu ) ay

= uv{- ~ + ~} dx ay

(AIV-3)

Integrando com relação a y entre os limites y = O e

y = ô e adimensionalizando pela multiplicação por

tém-se

1

V'+ l

v+l ob-

(AIV-4)

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1 20

Considerando que, pela simplificação da camada limite

~ e constante ao longo de y,e que temos a relação

dp dUô = - p u -

dx ô ô dx (AIV-5)

A equaçao da continuidade nos dã

ô

-J ~(pu}dy ax o

(AIV-6)

e a fórmula de Leibnitz nos fornece

= d Jô (puv+2)dy - dô dx o dx

(AIV-7)

Obtém-se, então, a forma

=

1 dU Jâ u v ô u v a T

(v+l)- _ô (-) dy+(v+l)r (-) -(-2)dy u ô d x º U ô 'Jº u ô a Y P ô u ô

(AIV-8)

A consideração de

1 d Jº pu v+2dy = __ , __

dx U v+• o p li ô

e

1 (AIV-10)

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l 21

bem como a relação

l d pó --- = (AIV-11)

permite obter a forma

d ó ~ uv+2 j l dU ó ~ uv+1j J ~ 1- dy-(v+2-M

2

)

pu -- 1- dy --- 1 pºUº uºv:1 dx U U v+ 1 ó U

O dx o pó ó ó

pOVl ~ "" J l dU ó pu tº uv-1 ~ o -1 = - __ ó (v+l )1 - ---1 dy +

póUó U v+ 1 U O

dx 0

póUó u \)""l

ó p ó

(AIV-12)

que, com as definições (2.6.4), (2.6.5), (2.6.6) e (2.6.7) nos da

rao o sistema de equações diferenciais de 1~ ordem

d gv 2 l dU 0 fv + fv(v+2 - 1v - M0} - -- + ev + hv = O dx Uó dx

(AIV-13)

Partindo da equaçao da continuidade multiplicada por

~;r l - h v- ~ e da equação da energia, coloca da sob a forma de

entalpia, multiplicada por (v+l)•hv obtêm-se, por subtração des

ta equação da primeira e da consideração de que 2

h uó

+ - = const. ( AIV-14) 2

a forma abaixo

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122

Integrando com relaçio a y nos limites y=O e y - o

obtemos o .

J~[ u(hv+1_hv+1)Jd { U [hv+1_hv+1]- v ~hv+1_hv+1J} = . p o y+ p o o o o p o o o o ax o

o - ( v+ 1 ) J h \}.

o

ou, pela utilizaçio da fórmula de Leibnitz,

-(v+l)

donde

aT a( U'l" + K -)

cay

que e a equaçao integral da Energia Térmica (2.6.22).

(AIV-16)

(AIV-17)

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123

APtNDICE V

SIMBOLOGIA PARA CODIFICAÇKO

Subprogramas FUNCTION:

FCl calcula o integrando de BJ(velocidade externa na Eq. da Energia)

FC2 calcula o integrando de BE{velocidade externa na Eq. da Energia)

FC3 calcula o integrando de 8 (coeficiente de dissip~ ção)

FC4 calcula a função Temperatura externa T

FCE calcula o integrando de cp (ria'.equação,da·

térmica)

FCS

FC6

FC7

FC8

calcula o integrando do perfil ·de

calcula o integrando do perfi 1 de

calcula o integrando do perfi 1 de

calcula o perfil de temperatura

FC9 calcula o integrando de F3

FClO - calcula o integrando de Fl

FCll - calcula o integrando de F2

FC12 - calcula o integrando de F4

FCO calcula o integrando de FO

velocidade

velocidade

velocidade

{T/T 0 )

energia

(U/Uõ)2

(U/Uõ)l

(U/U 0 )

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124

lTO calcula o expoente t do perfil de velocidade.

ADI calcula os coeficientes do perfil de velocidade

FCI calcula as funções FO, P e Q

Subprogramas SUBROUTINE:

Símbolos

FIP calcula as integrais

QATR - calcula as integrais

CRIS - cal cu.la a solução do

AUXFCN- subprograma auxiliar

BACK - subprograma auxiliar·

NLSYS 1- calcula a solução do

para codificação FORTRAN:

ALFA

AK

AKZ

AP

A

A2

AH

AE

BETA

BET

a

X

a-x Zj a

Pr

A

A2

AH

AE

13

13

pela Regra de Simpson

de B J , BE e 13

sistema nao linear P=O

de NLSYSl

de NLSYSl

sistema nao linear P=O e

ALF a

AKM X

AKZM - ( ;-_x) . J

APM

Al

A3

AJ

B

BB

(Pªr)

Al

A3

A.

B

B

J

e Q=O

Q=O

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1 25

BE

CPCV K (Cp/Cv) CK12 - (K-1)/2 1/1+n

c c CF Cf•Re.,

CD c0-Re., 1/ i+n

CMAC - r*;(u*i2

CP CP CR R (const.univ. gases)

1 --w CET (T*)K-1 CAH 1/Aw

Cl C1 C2 C2

DELX t:,x DELKX- t:,Kx

* ~ 1/1+n

DU dU DZ Re -* dx L "'

D2D Ô2 D2DM - ( º,s2) 6

DlD ô 1 DAM y T

DELT Te - T o DEQ Ec - Eb

FH FH FA FJ

FB FE FJ FJ

FE FE FRKM - K-1 2 r • -2- • M0

FI </) F4 04 T

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126

F:H FHM

GA r GAM r

H3 Hi2 H3M ( H i 2)

Hl2 H12 HH12M - ( H 1 2 )

H43 ~ ó 3

I i

PR Pr PSI 1/J

Q qx QP ,,;(l+:1) ( u ) 2

(~)- X 1 * z. QR T • e J

R L RECF - r

RNU Nu RKT2 K-1 - r, -2

RKX Kx REK Kx

Re 0 RD2 .. 2

R 1 / n+ 1 e,,,

SI í/

T n (Funções e Subrotinas) T - r*

TR TINF - T,,,

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TETA e

T TO o

TW To

* u u

UINF u "'

VMAC M li

VKX Kx

w w

X

ZT

ZJ

* X

T

1 27

R i / n+ i e"'

p u 2

"' "'

TET

TT

uu

VSON

XX

ZE

ZJM

eº (ângulo)

* * T;/Ti+l

* * U;/Ui+l

x (Funções e Sub­rotinas)

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FILE FILE e e e e

EóTOC/87700 FORTRA~ COMP!LAT!ON M A R ~

8:UR C ,U N l T=REA OER 5=I~P~ESS,Ul!T:PR!NT[, UMAOA LIMITE FLUIDO ~EHTONIANO co~. G~AOIENTE OE FRESSAO

GEOMETRIA co MODELO: cILI~o,o CIRCLLA, HCR!ZO~TAL

C•*•············· START or fUNCTIC~ rc1~rc2,rc~ ···~············ FUNCT!ON FCl(XXl C(M~O• c1.c2~A1,A2,A3,EN,EK,ZT,H3~.GA~.A~M.02c~.r.A.B,C,RKX FCQ•XX-Cl•XX••3-C2•XX••5 FCl= FCQ .. (4.oENl R E TUR ~ HO

2. 7.481) ~f(

coog1Ccr coo 2ccc COOO 300C C00040Cíl C0<105CCC CQ(l060CC ro<JOTOCO (0001CCf. (00090Çr. C0010CcC COOltCGC (0012cnr, tOOUOOC

rSiH8~2 C0016CH C0017C(C CQOlHCC C00190CC

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B88H8~8 c01:.22ccr, 00ü2JGCC, C0024CCC C002SOCC (0026(:CC COQ27COO 0002SOCC CC029CCC COCJOCOO COOllCCf C00320CC 0003JOCC C0034CQC COOl5CCC OOOJr,C(C OOOHCCC OOOJdCCC

888U2H CüC4 ICCC. (004 2HC OOC4 lOCC CC044CCG COOt+SGVO C00460CC

E 8fl 8888 8 e ocs or.cc e e oc5 0002 J C 0(5 OCC4 C e oc5 0005 J C CC5 OCC7 l e oc5 oooa 5 C CC5 OOCA 0 e cc5 occa ! e oc5 oooc 5 C OC5 OCl6 5 C 0(5 0Cl9 1 C 0(5 OOlC C e oc5 001E s e OC5 oc,o s e oc5 oni 1 C 0(5 OC.:A S e OC5 ocrn 2

E 8f ~l88c& 8 e ocG:ooco o e cci;:ocoo o e oc& :c·cco e C CC6:CCC4 S e ocs:ooos s e ocs:occr 2

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f~•fli9~ fEl!ffl . C(MMO~ c1.c2,At,AZ,~J.EN,[K,ZT,H3M,GA~,A~~~o20~.I.A,8,C,RKl,A~Z~.

1 HH12~,TO,UO,BT,RN,XI,OELX: PJ=íC4<XO P~:::EXPCAr(Zf":•XX:) P:=xx-Ct•XX••3-C2•XX••S It- <P J-f~. 000 lJ 1, 1,2

1, P!=C.GCOI GC TO 3

< p' =Pi 3 CCNT iUE

P~=P3••Ct.•HHt2M) íCE=Pl•P2/P4 Y=íCE RHURN HC

EB8HSE8 00049CCC C0050CCC C0051CCC C0052CCú C0CS3CCC COOS4CCC COCS5CCO COOS&OCO COOS70CO cocs~ccc OOOS9CCC C00600GC C0061CCC 00062000 COC63úCC

888g%822 C.G061íCrCC ()00670CC OOC68CC( C00ó9CCC GCC7tJCCe C0071CCC

E e~f seEs ~ e OH 0000 o e 0(7 occo o e 0(7 0000 o e 0(7 occ 1 4 e 0(7 OOC4 o e oc 7 occ 6 e e OC 7 OC(A ~ e 0(7 oooc l e OC7 onco o e CC7 occo e e oc 7 º~ºº 5 e CC7 OC!O 4 e 0(7 0012 3 e 0(7 O•H 3 o e 0(7 0013 !

E gg 82~8 8. e ocs occo e e OC9 oe.co o C 0(9 OCC& 5

.C OC9 OOCA 1 C OC9 0008 ! C OC9 OOOC O

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.[l~,51º!1~E5~1l,1z,jJ,EN,EK,ZT,HJM,GA~,A••,020,.1,A,B,C,RK• P 1=< 1.-EK+.&l•f +A2• T••2+A3• h• 3) P2 =< 1.-T J *•ZT H7•Pl•PZ R E TUR ~ 00

l:S2H8ti C0074CCC COC75CCC C00760CC C0077CCC C00780CC

E e e e e e

f8Ba38H E ~88B8H ~ C008lCCO C 001)84<.'CC C oooasooc e

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srn i8888 a ocs :o eco o 0(8:00(6 3 0GB :ooC9 Z oce,oco ~ OCB :OOOB 1

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C*•***fl;lffa~*fc~lfl! Of fUNCTIG~S fCe,FC9,fC10,fCll•FC12 •••••****** EnER~AL fC7 ClM~O~ C1,C2,At.A2,A3,EN,EK,ZT,~3~,GA~,A~M,020~,!,A,B,C,RKX F(8:A+CB+RKXJ•<t.-fC7CT))+(C-R~X>•Ct.-fC7CT)l••2 ~ETURh. 00

E88~~8E8 E 81~ 88J3 8 CC0880Cr C cíc o~co o occ occo e

CCC 0000 C OCC OOC~ 1 CCC 0008 4

cooa9ccc e C00900CG C coo910(( e C0092CtC C

883H~2~ COC95GCr. COC96CCC 0009 70( O co e,9 ~oc-c 00C99CCC 001goeco (Cl lCCC

E 8m 8888 8 e eco ooco o e oco ooco e e c,co 0001 4 e eco OGCJ 2 e oco ooos s e oco ooü& 2 e oco ooo& s

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f8l81€H CO 104CCC CCTl05CCC 001060CC CC1070C0 h"<109CC':: O'Jl09CCC CüllOCCC

68lH8~8 OOllJOOC C0114GCC C0115G('; C0116CC(: ·CO!HCCC CO!l.SCCC CO!l9CC•J

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E e e e e e e e

8H 8888 8 gg 88~8 ~ OCf OC<l 4 ÇCF OOC3 2 O(f 0((5 2 OCF OCC5 5 Q(f 0006 2

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e

E8 !HEEE C0122GCC C0!23CCC Ci; l 24C-C-G C0125CCC OC 12&GÇC r·.,12,c,c C0128CCC

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E e e e e e e e

E e e e e e e e

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