1315
Camelia Petrescu ELECTROTEHNI

Camelia Petrescu2

Embed Size (px)

Citation preview

Camelia Petrescu

ELECTROTEH NIC

JP

TEHNOPRESS

1.1.1 1.2

NOIUNI INTRODUCTIVE Aproximaiile teoriei circuitelor electrice cu parametri concentrai

Circuite i semnale. Tipuri dc probleme ntlnite n studiul circuitelor electrice1.3 1.4 1.5 1.6

Mrimi fizice utilizate n studiul circuitelor electrice Clasificarea semnalelor electrice Clasificarea circuitelor electrice Regimuri de funcionare ale circuitelor electrice

2.

ELEMENTE DE CIRCUIT DIPOLARE 2.1 Elemente dc circuit pasive2.1.1 2.1.2 2.1.3

Rezistorul

BobinaCondensatorul

Ut

M

3Hfc^i.i 3TIM30'

2.2 Elemente de circuit active2.2.1 2.2.2

Generatoare independente Generatoare comandate

3.

TEOREMELE GENERALE ALE CIRCUITELOR ELECTRICE3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Teoremele lui Kirchhoff Teorema lui Joubert Teorema deplasrii generatoarelor Teorema superpoziiei Teorema reciprocitii Teoreme de transformare a schemelor circuitelor

3.6 electrice3.6.1

Gruparea elementelor pasive de circuit de acelai fel 3.6.2 Gruparea generatoarelor 3.7 Teorema conservrii puterii instantanee n reele izolate 4. ELEMENTE DE ANALIZ TOPOLOGIC A CIRCUITELOR ELECTRICE 4.1 Graful topologic. Arbore, coarbore. bucl, seciune

4.2 Matrici de inciden asociate grafului topologic. Forma matriceal a teoremelor lui FCirchhoff 5. CIRCUITE REZISTIVE LINIARE 5.1 Teoremele generale ale circuitelor electrice rezistive5.2

Analiza circuitelor rezistive cu ajutorul teoremelor lui FCirchhoff

i a teoremei lui Joubert 5.3 Analiza cu ajutorul metodei curenilor de bucl 5.4 Analiza cu ajutorul metodei tensiunilor nodale 5.5 Circuite rezistive duale 5.6 Liniaritatea, reciprocitatea i superpoziia n cazul circuitelor rezistive liniare 5.7 Circuite rezistive tip uniport (circuite dipolare)5.8

Teorema transferului puterii maxime ntre un uniport activ i unul

pasiv 6. CIRCUITE LINIARE N REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 6.1 Semnale periodice i semnale sinusoidale 6.2 Reprezentarea simbolic prin mrimi complexe a semnalelor sinusoidale6.3 6.4 6.5 6.6

Forma n complex a teoremelor lui FCirchhoff Forma n complex a teoremei lui Joubert Puteri n regim permanent sinusoidal

Circuite electrice simple n regim permanent sinusoidal 6.6.1 Dipolul RLC serie fr cuplaje magnetice 6.6.2 Dipolul FILC paralel fr cuplaje magnetice 6.7 Analiza circuitelor electrice liniare n reiim permanent sinusoidal6.7.1

Analiza cu ajutorul teoremelor lui FCirchhoff i a teoremei lui Forma matriceal a teoremelor lui Kirchhoff i a teoremei lui

Joubert6.7.2

Joubert

.7.3 Analiza cu ajutorul metodei curenilor de bucl .7.4 Analiza cu ajutorul metodei tensiunilor nodale .8 Teorema conservrii puterilor n regim permanent sinusoidal 7. CIRCUITE UNIPORT N REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 124 131 131 137 139 140 140 146 149 149 152 153 154

7.1 Unipori activi i unipori pasivi 7.2 Teorema transferului puterii active maxime de la un uniport liniar activ la un uniport liniar pasiv 7.3 Compensarea puterii reactive. mbuntirea factorului de putere 7.4 Circuite uniport funcionnd la rezonan7.4.1 7.4.2

Circuitul RLC serie la rezonan Circuitul RLC paralel la rezonan

7.5 Circuite uniport speciale utilizate n electrotehnic 7.5.1 Circuite uniport care furnizeaz curent invariabil n raport cu impedana de sarcin7.5.2 7.5.3 7.5.4

Circuite complet rezistive C i r c u i t e defazoare Circuite divizoare de tensiune i de curent

8.

CUADRIPOLI DIPORI N REGIM PERMANENT 157 SINUSOIDAL 8.1 Ecuaiile i parametrii cuadripolilor liniari, pasivi i

reciproci8.2 8.3 8.4

158 Determinarea parametrilor cuadripolilor Impedane caracteristice i impedane imagine Cuadripoli echivaleni i scheme echivalente 161 165 168 170 171 174 177

8.5 Matricile cuadripolilor. Forma matriceal a ecuaiilor caracteristice 8.6 Conexiunile cuadripolilor dipori 8.7 Exponentul de transfer 8.8 Lanuri de cuadripoli

8.9 Filtre electrice de frecven 8.9.1 Determinarea limitelor intervalelor de trecere pentru filtre simetrice nedisipative 9. CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE N REGIM 184 PERMANENT SINUSOIDAL9.1 9.2 9.2.1 9.2.2 9.3 9.4 9.5

1781

80

Sisteme trifazate simetrice de mrimi sinusoidale Conexiunile sistemelor trifazate

, 85 1 87 187 189 1 95 197 204

Conexiunile generatoarelor Conexiunile receptoarelor Circuite trifazate echilibrate cu cuplaje magnetice Circuite trifazate complexe Sisteme trifazate nesimetriee de mrimi sinusoidale. Teorema lui 205 10.

Fortescue Puteri n reele trifazate PERMANENT 2089.6

CIRCUITE LINIARE N REGIM

PERIODIC NESINUSOIDAL 10.1 Analiza semnalelor periodice nesinusoidale 10.1.1 Dezvoltarea n serie Fourier a semnalelor nesinusoidale10.1.2 10.1.3 10.1.4 10.2 10.3 10.4 10.5

209 209 214 215 217 217 219 220 221 225

Seria Fourier complex Spectrul de frecven al unui semnal periodic Valori caracteristice ale semnalelor periodice Puteri n regim periodic nesinusoidal Toremele lui fCirchhoff n regim deformant Teorema conservrii puterilor n regim deformant

Circuite electrice liniare n regim permanent periodic nesinusoidal10.5.1 10.5.2

Elemente de circuit ideale pasive n regim deformant 221 Circuitul RLC serie in regim deformant

10.5.3 Analiza circuitelor liniare n regim periodic nesinusoidal utiliznd dezvoltarea n serie Fourier 11. 226 CIRCUITE LINIARE N REGIM TRANZITORIU 233 11.1 Determinarea condiiilor iniiale de funcionare. Teoremele de comutaie 234 11.2 Circuite liniare de ordinul unu n regim tranzitoriu 236 11.2.1 Circuitul RL serie 236 11.2.2 Circuitul RC serie 240 11.3 Circuite liniare de ordinul doi n regim tranzitoriu 11.3.1 Circuitul RLC serie 11.3.2 Circuitul RLC paralel11.4

243 244

Analiza reelelor electrice liniare cu ajuioru metodei variabilelor

de stare Analiza circuitelor liniare n regim tranzitoriu cu ajutorul transformatei Laplace11.5

11.5.1 Transformata Laplace. Funcii original i funcii imagine11.5.2 11.5.3 11.5.4

Transformatele Laplace ale unor funcii uzuale Proprietile transformatei Laplace Determinarea funciei original corespunztoare unei funcii Utilizarea transformatei Laplace n studiul unor regimuri Forma operaional a teoremelor Iui Kirchhoff i a teoremei lui Metoda operaional de analiz a circuitelor liniare n regim

imagine date11.5.5

tranzitorii11.5.6

Joubert11.5.7

tranzitoriu 11.6 Metoda rspunsului tranzitoriu 11.6.1 Rspunsul circuitelor simple Ia excitaie delta-unitate11.6.2 11.6.3

Metoda rspunsului tranzitoriu la excitaie delta-unitate Metoda rspunsului tranzitoriu la excitaie treapt unitate

11.6.4

Utilizarea metodei rspunsului tranzitoriu n cazul circuitelor 11.7 Funcii de circuit 11.7.1 Polii i zerourile funciilor de circuit11.7.2

cu condiii iniiale nenule

Funcii de circuit n regim permanent sinusoidal. Transmitana Utilizarea funciei operaionale de transfer n studiul

complex11.7.3

stabilitii circuitelor liniare 11.8 Metoda transformatei Fourier11.8.1 11.8.2

Transfonnata Fourier Transformatele Fourier ale unor funcii uzuale

1011.8.1 11.8.2

Proprietile transformatei Fourier Utilizarea transformatei Fourier n analiza regimului DE TEORIA CMPULUI

tranzitoriu li! ELEMENTE12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8

ELECTROMAGNETIC Regimurile cmpului electromagnetic Mrimi electrice Legile de stare ale cmpului electric M r i m i magnetice Legile de stare ale cmpului magnetic Legile de evoluie ale cmpului electromagnetic Ecuaiile Iui Maxwell Metode de calcul a cmpului electric i magnetic

B i b t i o s r a f i e

12.9 Capaciti electrice 12.9.1 Calculul capacitilor electrice 12.10 Inducti vitti

308 313 313 314 321 323 324 326 333 334 340 341 343 349

PARTEA I

CIRCUITE ELECTRICE CU PARAMETRI

CONCENTRAI

CAPITOLUL 1 NOIUNI INTRODUCTIVE

Circuitele electrice sunt sisteme fizice avnd rolul de a produce, transmite i prelucra semnale electrice. Ele fac pane dintr-o clas mai larga, cea a sistemelor electromagnetice capabile s produc, s transporte i s utilizeze energia electromagnetic. n timp ce sistemele electromagnetice se studiaz. n cazul cel mai general, utiliznd legile electromagnetismului, care permit determinarea mrimilor de stare ale sistemului ca funcii de punct i de timp. circuitele electrice, n spe cele cu parametri concentrai, se caracterizeaz prin variabile de stare (mrimi electrice) care depind numai de timp. Atributul "parametri concentrai" se refer la faptul c proprietile elementelor care compun circuitul (elemente de circuit) se presupun localizate, "concentrate". ntr-un punct, putnd astfel s se fac abstracie de forma i dimensiunile acestora. La polul opus se situeaz sistemele electromagnetice cu parametri distribuii, pentru care dependena mrimilor de stare de variabilele spaiale nu poate fi neglijat. n acest capitol se introduc mrimile fizice utilizate n studiul circuitelor electrice, se prezint criteriul ce permite distincia ntre sistemele electromagnetice cu parametri distribuii i cei cu parametri concentrai i se prezint o prim clasificare a circuitelor electrice.

1.1

APROXIMAIILE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE CU PARAMETRI CONCENTRAI

Avnd n vedere faptul c circuitele electrice constituie o submulime n mulimea sistemelor electromagnetice, ele ar putea fi, n principiu, studiate, cu ajutorul legilor generale ale teoriei macroscopice clasice a electromagnetismului. Utilizarea acestor legi permite stabilirea

unor ecuaii difereniale cu derivate pariale, analiza sistemului necesitnd soluionarea acestora. Totui, o sene de ipote2e simplificatoare, perfect valabile n cazul c.rcu.telor cu parametri concentrai, permit o analiza mai simpla, prin soluionarea unor ecuaii difereniale ordinare. Aceste ipoteze, stabilite prin particularizarea legilor generale ale electromagnetismului pentru cazul regimului cvasistaionar. sunt prezentate n cele ce urmeaz. 1. Curentul de deplasare i p = , unde T reprezint fluxul electric, este neglijabil peste tot. cu excepia dielectricilor condensatoarelor; aceasta nseamn c circuitul nu radiaz energie electromagnetic n mediul nconjurtor. 2. Cmpul magnetic este localizat n miezul bobinelor, iar cmpul electric n dielectricul condensatoarelor: aceast ipotez conduce, de exemplu, la neglijarea capacitii parazite dintre spirele nvecinate ale unei bobine. 3. Intensitatea curentului electric. /(/). ce intr n una din bornele unui element de circuit, este egal cu intensitatea curentului ce iese din cealalt born la acelai moment f. Aceasta nseamn c nu exist efecte de propagare a curentului i a tensiunii n lungul conductoarelor. Absena propagrii este caracteristic, dup cum se demonstreaz riguros in cadrul teoriei cmpului electromagnetic. [24]. [14], circuitelor a cror dimensiune maxim, /, este mult mai mic dect cea mai mic lungime de und, L corespunztoare celei mai nalte frecvene la care poate s funcioneze circuitul: /X. (1.1) Pentru circuite de dimensiuni uzuale (centimetri sau zeci de centimetri) condiia (1.1) este ndeplinit pentru frecvene situate in domeniul audio, radio i TV (/ o pereche de borne de ieire, (c) i (d), unde se obine semnalul de ieire (sau semnalul rspuns), y ( t ) .-O ic )semnal de intrare

(a) O

*C0 semnalde ieire -O ( d ) Fig. 1 . 1

(b)O

n studiul unui circuit pot fi ntlnite dou tipuri de probleme: a) o problem de analiz a circuitului, n cazul n care se cunoate structura circuitului i semnalul de excitaie x ( t ) ; b) o problem de sintez a circuitului dac sunt cunoscute cele dou semnale x ( t ) i_v(f) i urmeaz s se stabileasc structura circuitului.

1.3

MRIMI FIZICE UTILIZATE CIRCUITELOR ELECTRICE

N

STUDIUL

Mrimile electrice care caracterizeaz funcionarea unui circuit sunt tensiunea electric i intensitatea curentului electric. Dup cum se cunoate curentul de conducie se caracterizeaz cu ajutorul mrimii scalare numit intensitatea curentului electric, /. Deoarece la nivel microscopic circulaia curentului este reprezentat de o deplasare a purttorilor de sarcin electric, se poate spune c intensitatea curentului

inir-un conductor este egal cu sarcina electric, q , ce traverseaz o seciune transversal a acestuia n unitatea de timp: in schemele circuitelor electrice se adopt in mod arbitrar un sens de referin pozitiv pentru intensitatea curentului electric, simbolizai nrintr-o sgeat ce indic sensul de deplasare al purttorilor pozitivi de sarcin electric (Fig.1.2). O valoare negativ pentru intensitatea curentului indic faptul c purttorii de sarcin electric pozitiv au sens opus fa de sensul de referin adoptat.

20

Capitolul 1

UD O

O (/,)Fig. 1.2

in sistemul internaional de uniti (SI) unitatea de msur pen intensitatea curentului electric este amperul (A). Acesta poate lua valori mulimea numerelor reale, gama de valori extinzndu-se de la pico-amper kilo-amperi. Tensiunea electric. //. intre dou puncte ale unui circuit reprez energia. W, pe care o sarcin electric pozitiv, q , egal cu IC, o primete o cedeaz dcplasndu-se ntre cele dou puncte. Se poate scrie astfel c: dW dq

(1

Tensiunea electric ntre dou puncte A i B se definete n m riguros n cadrul teoriei cmpului electromagnetic n funcie de intensita cmpului electric ( Fig. 1.3), cu ajutorul relaiei:

Fig. 1.3

"AB =

pB- t y p,n rc

B

J

B

-m

a n care acestea pot lua valon. Asfcl. semnalele care pol de valon se numesc semnale discr^ nu-ncc, Ce.c mai frecvent ntlnite semnale discrete m Sele binare, care pot lua numai doua valon, crora h se pot asocia valorile bg.ee OjM. ^ ^ ^ orice va,oarc inlervaI din mulimea numerelor reale se numesc semnale analogice. Circuitele in care toate semnalele sunt analogice se numesc circuite analogice, iar circuitele care proceseaz numai semnale digitale se numesc circuite digitale sau numerice.

ZSZ

S S

1.5

CLASIFICAREA CIRCUITELOR ELECTRICE O prim modalitate de clasificare a circuitelor electrice are in

vedere numrul de borne de acces ale circuitului. Astfel, un circuit cu n borne de acces se numete multipol. Circuitul avnd rr^2 borne de acces se numete dipol sau uniport: cel cu n=4 borne de acces se numete cuadripol sau diport. Un circuit fr borne de acces se spune c este izolat galvanic fa de exterior. Un alt criteriu de clasificare are n vedere prezena sau absena generatoarelor (surselor dc energie electric) n structura circuitului. Astfel, un circuit care conine surse de energie se numete activ, un circuit fr surse este pasiv. Un circuit este fie generator de energie. n cazul n care furnizeaz energie pe la bornele de acces, fie receptor, cnd primete energie din exterior. n sfrit, circuitele electrice se pot clasifica dup relaia de dependen dintre semnalele rspuns i cele de excitaie. Astfel, considernd un element de circuit avnd semnalul de intrare x ( t ) i cel de

Noiuni introductive

26

ieire y ( t ) (Fig. 1.8). funcionarea acestuia este caracterizat de o relaie de forma: y(t) = y(x{t),t) .... (1.14) numit ecuaia caracteristic de yin > A(0 Element di' circuit funcionare a clementului de circuit. In cazul n care dependena ntre semnalele y(t) i .v(/) este liniar, cu o Fig. 1.8 constant de proporionalitate invariabil n timp. elementul de circuit este liniar i neparametric, avnd o caracteristic de funcionare de forma (Fig.l.9.a):

y(t)=c- x (t)

(i.i5)

Elementul de circuit este liniar i parametric (Fig.l.9.b) dac are ecuaia caracteristic dc funcionare de forma >>(/) = C(f)x(0, 0-16) neliniar (Fig.l.9.c) dac prezint o dependen neliniar ntre .v(/) i y ( f ) de forma: '

MO = >'')),respectiv neliniar i parametric (Fig. 1.9.d). n cazul unei ecuaii caracteristice neliniare de forma (1.14).

Noiuni introductive

27

Un circuit electric care are n structura sa numai elemente liniare

dc

circuit se numete circuit liniar. Un circuit care are cel puin un element neliniar este un circuit ncliniar. iar unul care are , n structura sa elemente liniare i cel puin unul parametric este un circuit parametric.

1.6

REGIMURI DE FUNCIONARE ALE CIRCUITELOR ELECTRICE

Dup modul dc variaie n timp a semnalelor ntr-un circuit electric regimul su de funcionare poate fi: a) regim staionar (sau de curent continuu) - este regimul n care toate semnalele sunt invariabile n timp: b) regim periodic sinusoidal - caracterizat dc faptul c toate semnalele din circuit sunt funcii sinusoidale de timp avnd aceeai pulsaie w; c) regim periodic nesinusoidal - toate semnalele sunt periodice, dar nesinusoidale, de aceeai perioad T; d) regimul genera) variabil - este regimul n care semnalele electrice au un mod dc variaie n timp oarecare;

Noiuni introductive

28

c) regimul tranzitoriu reprezint un caz particular al regimului general variabil, aprnd la nchiderea sau deschiderea comutatoarelor sau la apariia unor ntreruperi sau scurtcircuite accidentale. Regimurile rranzitorii fac trecerea de Ia un regim permanent (de curent continuu sau periodic) la un alt regim permanent.

CAPITOLUL 2 ELEMENTE DE CIRCUIT DI POLARE

In acest capitol sunt prezentate elementele dc circuit dipolarc pasive i active care intr n structura circuitelor cu parametri concentrai. Pentru fiecare element de circuit se prezint modelul su idealizat care ine seama numai dc caracteristica sa fundamental, neglijnd unele aspecte secundare ntlnite n cazul elementelor reale. Astfel, se neglijeaz dc exemplu rezistena nfurrii unei bobine i capacitatea dintre spirele ei, inductana rezistorului. rezistena dc pierderi a dielectricului condensatorului, etc.

2. 1

ELEMENTE DE CIRCUIT PASIVE

2 . 1 . 1 Rezistorul Rezistorul este un element de circuit a crui ecuaie caracteristic de funcionare se exprim fie sub forma dependenei tensiunii u ( t ) de curentul /(/): fie a curentului dc tensiune:

J

/(0='0 +k

~

+ G

""(,)

+

^

'

=v G u{t)(oPentru generatorul de curent echivalent (Fig.3.19.b) relaia curenttensiune este i ( t ) = G u { t ) + /(/) , astfel nct se deduc parametru schemei echivalente: (3.22)

G

Fig. 3 . 1 9

c) Gruparea paralel a generatoarelor reale de tensiune Pentru a gsi generatorul echivalent a /; generatoare reale de tensiuni conectate in paralel (Fig.3.20.a) se utilizeaz teorema echivalenei dintre un generator real de tensiune i unul real de curent: schema din Fig.3.20.adevine astfel de tipul celei din Fig.3.19.a, unde

i K i ( t ) = Gtek(,t) =Rk

Fcnd apel la rezultatele obinute la punctul precedent, urmeaz c gruparea iniial se poate nlocui cu un singur generator real de curent (Fig.3.20.c), avnd parametrii:

respectiv cu unul real de tensiune (Fig.3.20.b), avnd parametrii:

G

I I

(c)

(b )

O

n seric (Fig.3.21 .a) i ne, se ajunge la schema cu un generator real dc

(3.25)

';

(3.2

(b)Fiu. 3. 2

0, sunt receptoare, iar altele, pentru care p k ( t ) < 0 9 sunt generatoare, astfel nct, n ansamblu, suma algebric a puterilor instantanee este nul. circuitul fiind izolat fa de exterior

^

(/)=0

-

stantanee re, ct i ncliniare sa PITOLUL 4

C A

UITELOR ELECTRICE

cum s-a menionat n valorii semnatelor dc eflectat, pc de o parte, de topologia reelei), i, ice de funcionare ale

4.1

GRAFUL TOPOLOGIC. ARBORE, COARBORE, BUCL, SECIUNE

Unui circuit electric avnd / laturi i n noduri i se poate asocia n mod unic un graf orientat numit graf topologic sau graf de inciden dup urmtorul procedeu: fiecrei laturi din circuit i se asociaz n graful topologic un arc orientat n sensul de referin al curentului din latur. Graful astfel obinut are de asemenea / laturi i n noduri reflectnd topologia circuitului, dar fcnd abstracie de natura elementelor de circuit care l compun. Considernd, spre exemplu, circuitele din Fig.4.1.a i 4.1.c, grafurile topologice asociate acestora sunt reprezentate n FigAl.b, respectiv Fig.4.1 .d. Se observ modul de numerotare a nodurilor ((I), (2), etc), precum i numerotarea laturilor cu cifre arabe (1, 2,etc.\ notaii care corespund, de regul, numerotrii laturilor din circuit i, implicit, indicilor curenilor i tensiunilor de latur. Se numete cale o curb deschis trasat de-a lungul laturilor ntre dou noduri ale grafului, astfel nct fiecare latur s fie parcurs o singur dat i

exemplu, n graful din

nodurile ( 2 ) i (4). (5 )

Fig. 4.1

afului o curb nchis, laturilor grafului astfel care nod de pe aceast

r-un graf conex, far a x. Laturile care aparin arborelui se numete umesc corzi. Alegerea nd graful din Fig .4.I.b.

elemente de analiz topologic a arcanelor electrice

coarbore sunt: coarbore 2 4 6 7 ; ''' - ^1,3,5,8 ! . i J'4'6'7 2,3,5,8 etc. In cazul unui graf neconex se alege cte un arbore pentru fiecare subgraf conex, reuniunea acestora formnd o pdure. De exemplu, pentru graful din FigAl.d cei doi arbori pot fi: laturile 2 i 5, 1 i 4, etc. Se numete seciune ntr-un graf subgraful format din laturile secionate de o suprafa nchis, I. care intersecteaz graful, astfel nct prin nlturarea laturilor secionate graful se reduce la dou subgrafuri conexe, distincte. Unul dintre subgrafuri se poate eventual reduce la u nod. In teoria grafurilor (care constituie o ramur de studiu matematicii) se stabilesc o serie de rezultate, dintre care se prezint i continuare cele ce urmeaz a fi utilizate n analiza circuitelor electric Aceste rezultate, ce formeaz mpreun teorema fundamental a teoriei grafurilor, sunt: a) ntre dou noduri ale arborelui exist o singur cale; b) arborele unui graf conex cu /; noduri i / laturi conine n-\ ramu coarbore le fiind format din f-n+1 corzi; c) fiecare ramur a arborelui mpreun cu corzi din coarbore formeaz seciune independent; d) fiecare coard a coarborelui mpreun cu ramuri din arbore formeaz o bucl independent. Teorema fundamental a teoriei grafurilor permite deci s stabileasc cu ajutorul arborelui i a coarborelui seciunile independent n numr de n - \ i buclele independente n numr de Att n czu seciunilor ct i al buclelor independente se stabilete un sens poziti relativ la seciune, respectiv bucl, astfel;arbore

se consider sens pozitiv relativ Ia suprafaa de seciune sensul d referin

din ramura secionat; - se consider sens pozitiv de parcurs al buclei sensul de referin din coarda inclus n bucl. De regul, ramurile arborelui se reprezint n graful topologic cu linii ngroate.

Fie de exemplu, graful topologic din Fig.4.2 avnd /=8 laturi i =5 noduri. Alegnd arborele format din laturile 2. 4. 6. 7 (coarborele [. 3, 5. 8), buclele independente, in numr de (5 ) /-;/+l=4. notate pe figur cu [B,]..........[B 4], conin cte o singur coard; sensul pozitv de parcurs al acestor bucle, dictat de sensul de referin din coarda inclus, este indicat pe figur printr-o sgeat. Seciunile independente, in numr de //-1=4, notate cu S S 4 , secioneaz cte o singur ramur, sensul pozitiv relativ Ia seciune, impus de sensul din ramura secionat, fiind marcat printr-o sgeat. Utilizarea sistemului arbore-coarborc permite o scriere sistematic i compact a ecuaiilor obinute prin aplicarea teoremei I i a Il-a a lui Kirchhoff pentru un circuit electric, dup cum se va vedea n paragraful urmtor.

.2 MATR1C1 DE INCIDEN ASOCIATE GRAFULUI TOPOLOGIC. FORMA MATRICEAL A TEOREMELOR LUI KIRCHHOFF Unui graf topologic cu n noduri i / laturi i se pot asocia matrici re reflect incidena laturilor la noduri, bucle sau seciuni. Matricea complet de inc ideii f a laturilor la noduri

Ml

avnd elementul generic ag, i = l,n,j \ J , Se definete astfel: I. daca latura j este incidena la nodul i si sensul de referina din latura iese din acest nod; -1. daca latura j este incidena la nodul i. sensul de referina fiind orientat ctre nod; [0, daca latura j nu este incidena nodului i Pentru graful topologic din Fig.4.2 matricea de inciden [A] este:

Elemente de analiza topologic a circuitelor electrice

55

O

l o" 0 - 1 0 - 1 0 1 1 0 0 1 1 [Alea = 0 0 o o O 0 - 1 0 - 1 1 0 - 1 0 0 - 1 0 - 1 -1 1 1 0 0 0 0 0

0

Se observ c numrul elementelor ncnule de pe o linie, 7, este egal cu numrul laturilor incidente nodului j i in Fiecare coloan, j . se gsete un element egal cu 1 i unul egal cu -1; acest ultim aspect se datoreaz faptului c orice latur, j, este dipolar. fiind conectat ntre dou noduri, sensul de referin fiind orientat de la un nod ctre cellalt. Graful topologic se poate trasa pe baza cunoaterii matricii [A] c . In sfrit, se poate face observaia c elementele din oricare linie a matricii [A] c se pot obine ca o combinaie liniar a elmcnielor din celelalte n - \ linii. Astfel, pentru exemplul considerat, clementul din linia 5 se obin ca suma cu semn schimbat a elementelor din liniile 1 . 2. 3, 4 (L5=-L1-L2-L3-L4). * Matricea de inciden a laturilor la noduri permite scrierea sub o form compact, matriceal, a ecuaiilor obinute prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff. Astfel, dac se definete matricea coloan a curenilor de latur: 'i

l'ki =

teorema dc cureni aplicat n cele /; noduri ale circuitului se scrie sub forma:' . [A]c-U]=0 (4.1)

Deoarece n analiza circuitului se utilizeaz ecuaii independente ntre ele, este necesar s se defineasc matricea redus de inciden, [A],,,.,*/ obinut prin suprimarea unei linii k a matricii [A] c . Aceasta corespunde alegerii nodului k drept nod de referin n circuit, nod notat cu (0) n

circuitului, celelalte noduri fiind considerate independente. e referin se alege n mod arbitrar. Din punct de vedere practic, nodului dc referin i se atribuie potenialul zero, el poate de punctului de legtur la pmnt, dac acesta exist.

82

c 'apitolul 4

Sternul de n - l ecuaii independente obinut prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff se scrie sub forma:[A]-[/] =

0.

(4.2)

n exemplul considerat dac se alege nodul (I) ca nod de referin matricea [AJ-ux este:

1 0 0

0

0

i

1

0

0-l

0 0I

0

0 -l

0

- 0 [A] = 0 o - l 0 - l 1 I 0 0 -l0 0 0 iar ecuaiile obinute prin utilizarea relaiei (4.2) sunt:

f;

I+

,4+/5=0+'s =

-15-/7 - '1+

+' j =

0

Matricea de inciden a laturilor la buclele independente, [B], avnd l-n+\ linii i / coloane are elementul generic bg definit astfel: I. daca latura j este incidena buclei i si sensul dc referina din latura coincide cu sensul de parcurs al buclei; by = < -1 . daca latura j este incidena buclei i si sensul de referina este opus sensului de parcurs al buclei; 0 . daca latura j nu este incidena buclei i. Pentru graful topologic din Fig.4.2 matricea de incidena [B] este: "1 1 0 - 1 0 0 0 0' 0 - l I

1 0 0

0

0 0

0 0 - 1 1 0 0 0 -1

0

0 -

0 - 1 0 1 1

Se observ c n fiecare linie a matricii [B] exist un numr de elemente nenule egal cu numrul laturilor incidente buclei. Dac se numeroteaz mai nti, n sens cresctor, laturile I arborelui i apoi cele din coarbore. matricea [B] admite o partiionare de forma: t BW.)./=[B l/ B f ], unde [B a J r/ ., U x M ,e

(4.3)

ste submatricea corespunztoare arborelui, iar (BcWiw/.^,,

este submatricea corespunztoare coarborelui. innd

84

c 'apitolul 4

seama de modul dc stabilire a buclelor independente i a sensului pozitiv de parcurs al buclei rezult c submatricea [B c ] este o matrice unitate [Bc]=[l]. Notnd cu [ u ] matricea coloan a tensiunilor de latur

teorema a doua a lui Kirchhoff se poate scrie compact, sub form matriceal cu ajutorul relaiei: [B]-[w] = 0. Ecuaiile obinute prin utilizarea relaiei (4.4) pentru exemplul considerat sunt: ' u x + M 2 - W 4 =0 (4.4)

- M 6 +w 7 +// 8

-

0

Se observ c prin combinarea celor /;-l ecuaii independente obinute din prima teorema a lui Kirchhoff cu cele ecuaii independente obinute cu a doua teorem a lui Kirchhoff se obine un sistem de / ecuaii cu 21 necunoscute, valorile instantanee ale curenilor i tensiunilor de latur. A treia matrice asociat unui graf topologic este matricea de inciden a laturilor la seciunile independente, lQ] ( -i>x/. Elementul generic qij, i = 1./; -1, j = 1,/ al matricii este definit astfel: 1, daca latura j este incidena seciunii S s si sensul de referina din latura coincide cu sensul pozitiv relativ la seciune; qH = \ - i, daca latura j este incidena seciunii S^ si sensul de referina este opus sensului pozitiv relativ la seciune; 0 , daca latura j nu este incidena seciunii Sj.

Pentru graftil topologic din Fig.4.2 matricea de inciden [ Q ] este:

86

Capitolul 4

1 [Qh* =

O

O

1

1 0 0 0 0 1

0

0 0 0 1 0 I

1 0 o o - i o o o o o-l 1

-! O - l

Dac laturile arborelui se numeroteaz primele n ordine cresctoare i apoi se numeroteaz corzile, rezult c matricea [Q] admite o partiionare de forma:[QW=W.Qc]

(4.5) [QJcn-iw /iHi) corespunde

unde

[QJot-iWif-j)

corespunde

arborelui,

iar

coarborelui. De asemenea, avnd n vedere modul de stabilire a seciunilor i a sensului pozitiv relativ la o seciune rezulta c submatricea [Q.J este o matrice unitate [Q a ]=[l]. n sens mai larg prima teorem a lui Kirchhoff (3.1 ) sc poate scrie pentru orice suprafa nchis, I, deci i pentru o suprafa dc seciune, exprimnd faptul c suma cureni/or care intr n suprafaa de seciune este egal cu suma curenilor care ies din suprafa. Ecuaiile obinute prin aplicarea teoremei de cureni pentru cele n - \ seciuni independente se pot scrie compact sub form matriceal, cu ajutorul relaiei: [Q][/] = 0 Fig.4.2 sunt:h+

(4.6)

Relaiile obinute prin utilizarea ecuaiei (4.6) n cazul grafului opologic dink +'5= 0

! +/', + / 3 = 0 -'3+'6-'8= 0 -

87 Se poate arta

Capitolul 4

-/5-/7+/8=0

[7] c ntre roatricile [A], [ B ]

i [Q] exist relaiile: (4.7)(48)

[A][B ] T = 0 ; [B]-[A ] T = 0

[QHB ] T = 0 ; [BHQ]T=0.

88

Capitolul 5 CAPITOLUL 5 CIRCUITE REZISTIVE LINIARE

Circuitele rezistive liniare conin n structura lor rezistene liniare i generatoare independente sau comandate cu comand liniar, variabile sau invariabile n timp. Studiul acestor circuite prezint importan att clin punct de vedere teoretic, deoarece analiza lor comport un grad de dificultate redus, ct i din punct de vedere practic, unele sisteme utilizate in electrotehnic putnd fi modelate, cel puin n anumite domenii de funcionare, prin astfel de circuite.

5.1

TEOREMELE

GENERALE

ALE

CIRCUITELOR

ELECTRICE REZISTIVE Forma general a teoremelor lui Kirchhoff rmne neschimbat, ea Fiind aceeai pentru orice circuit electric. Prin urmare prima teorem a lui Kirchhoff are expresia: /4 = 0 sau, matriceal, [A][/] = 0 . A doua teorem a lui Kirchhoff se scrie sub forma: (5.1)

^JUk = 0 sau matriceal [ B]-[ M] = 0.Relaiile

(5.2)

(5 .1)

i

(5.2)

formeaz un sistem de / ecuaii independente cu 21

necunoscute: /,,..., //, "i,-, ''/< unde / reprezint numrul de laturi al circuitului. Teorema lui Joubert pentru o latur activ rezistiv avnd structura din Fig.5.1 se scrie sub forma:

sau, n final:

(53) ut = R k i k - R k i g t - * ' A = Dac se exprim curentul din latura, h. n funcie de tensiunea de

latur. *. se obine:ik=Gtuk+

_ 's,+ k k *G e

'

(5.4)

unde GirifRk este conductana laturii.nlocuind relaia (5.3) n teorema de tensiuni se obine o alt form a acestei teoreme:

= Z**+

2>*.

(5 5)

-

Relaiile (5.3), (5.4) pot fi scrise compact sub form matriceal dac se definesc n prealabil urmtoarele matrici: - matricea diagonal a rezistenelor de latur:

90

Capitolul 5

R} 0 0 &

.. *

o o

0 ... 0 R , matricea diagonal a conductanelor de latur: G] 0 0 G-,

[3= o

(5.12:)

^[G][u) + [G][e] + [ig] Dac se urmrete, n principal, determinarea curenilor n laturi se va solupona sistemul (5.12,) n care se substituie ultima ecuaie matriceal

( ircuitc rezistive liniare

94

in cea dc a doua obinndu-sc:

**

[M1W = 0

'

\[B][R][i) = [B][R][it] + [B][ey

Vv

:J

( 5 l 3 )

Analog, dac se urmrete, n principal, analiza n raport cu tensiunile, se rezolv sistemul (5.12 2 ) n care ultima ecuaie matriceal se nlocuiete n prima obinndu-se: '[B][M] = 0 [h][G){u] = -\A][i K ) - [ A ) [ G ] [ e y(M4)

In oricare variant sistemul obinut are / ecuaii i / necunoscute. Dac s-au determinat mai nti curenii, tensiunile de latur pot fi ulterior calculate cu ajutorul relaiei (5.6). n mod analog, dac s-au determinat iniial tensiunile, curenii n laturi pot fi calculai utiliznd relaia (5.7). Sistemul de tensiuni i cureni de latur obinui trebuie s satisfac teorema conservrii puterilor (relaia (5.8)). Pentru circuite cu o structur simpl scrierea teoremelor lui Kirchhoff i a teoremei Iui Joubert se poate face direct, prin examinarea reelei, (ar a se recurge la formele matriceale ale acestor teoreme. Exemplul 5.1 S se analizeze circuitul clin Fig.5.2 utiliznd teoremele lui Kirchhoff i teorema lui Joubert. Se cunosc: R/=40/3 Q, R : =2Q, R 3 =40Q, igi=7,5t e3=!80 V. Circuitul are /=3 laturi i n=2 noduri. Teorema de cureni se va scrie de /7-I = l ori, n nodul (I), iar teorema dc tensiuni dc /-/; (l) +l=2 ori pentru cele dou bucle independente. Alegnd sensurile de referin pentru cureni i sensul dc parcurs al buclelor ca n figur se obine:"i

f

fj [ 0 j H

(0) Fig. 5.2

Rj\ * R-ih = *t'gt'nlocuind valorile numerice i rezolvnd sistemul se obine: ii=6 A, i 2=10 A, i3=4 A. Tensiunile de latur au expresiile: ui = R1i1 ^ 20 V Bilanul puterilor este: w,/,+w 2 /2 + W 3/3 = -20-6 + 20-10-20-4 = 0. Laturile 1 i 3 furnizeaz putere laturii 2. n cazul circuitelor care conin generatoare ideale analiza comport aceleai clape, cu urmtoarele observaii:-

dac n circuit de gsesc /z c generatoare ideale de tensiune sunt cunoscute

de la nceputul analizei nc tensiuni de latur (// ( = et); dac n circuit sunt prezente tt\ surse ideale dc curent sunt cunoscui de la nceput nx cureni de latur (z 4 = i);-

deoarece pentru laturile care conin generatoare ideale nu se poate scrie o relaie de legtur direct ntre tensiune i curent, rezult c teorema lui Joubert se poate scrie de l-ne-n\ ori; completnd cu cele / ecuaii obinute prin utilizarea teoremelor lui Kirchhoff rezult c sistemul algebric va avea n acest caz 2 /-/; -Wi necunoscute (/-/7 tensiuni de latur i /-/;, cureni de latur).c c

5.3

ANALIZA CU AJUTORUL METODEI CURENILOR DE BUCL

In cazul circuitelor cu un numr mare de laturi sistemul de ecuaii obinut prin utilizarea teoremelor lui Kirchhoff i a teoremei lui Joubert este de dimensiuni mari, implicnd un volum important de calcule. Pentru simplificarea analizei s-au conceput metode capabile s genereze sisteme de ecuaii de dimensiuni mai mici, prima dintre aceste metode fiind prezentat n cele ce urmeaz. Metoda curenilor de bucl (sau a curenilor independeni) realizeaz o schimbare dc variabil considernd drept necunoscute un numr de /-/;+l cureni fictivi ataai buclelor independente ale circuitului, care strbat numai laturile incidente unei bucle. In cazul unui circuit liniar este valabil teorema superpoziiei, astfel nct fiecare curent de latur poate fi exprimat ca sum algebric a curenilor dc bucl care ating latura respectiv. Astfel, presupunnd situaia din Fig.5.3, n care latura A' este inciden numai buclelor p i q, strbtute de curenii de bucl /'b i /bq, avnd sensurile indicate n figur, se poate scrie c:P

hP ~ ibq Deoarece incidena laturilor la bucle este reflectat de elementele matricii de inciden [B], se poate scrie c:

f* ~

'* = Vbp + Vbqsau, n general.=1 7

< V =1 %(5 15)

SV '* 'Hajutorul relaiei:

-

Relaiile de forma (5.15) pot fi exprimate compact, sub forma matriceal, cu [/],,,= [Btf ,,,W''bWiH unde prin [i b ] s-a notat matricea coloan a curenilor dc bucl:(5-16>

'bl'b2

'b/--.|

Metoda curenilor de bucl se bazeaz pe teorema de tensiuni i pe teorema lui Joubert. Astfel. nlocuind (5.16) n (5.6) i rezultatul ob.nut

Capitolul 5

in (5.2) obine:

se

[BP][B] T[/ b] = [BW/g ] + [ B]W

(5-17)

Notnd matricea de coeficieni cu:(5.18)

i matricea termenilor liberi cu:

[eb]{l.M=meMB][R)[iB),sistemul algebric (5.17) se scrie sub forma:

(5.19)

iA]['b] = K ] -