Caminho mais curto e o algoritmo de Dijkstracerioli/cursos/algra/Dijkstra.pdf · Caminho mais curto e o algoritmo de Dijkstra Problema do Caminho mais Curto CaminhosmínimostemaProp

Caminho mais curto e o algoritmo de Dijkstra

Caminho mais curto eo algoritmo de Dijkstra

Márcia R. Cerioli

Departamento de Ciência da Computação - IMe PESC - COPPE

UFRJ

Algoritmos e Grafos

Dezembro de 2015


Problema do Caminho mais Curto

Problema a ser resolvido a cada consulta do tipo:

Qual o caminho mais curto do DCC ao Pão de Açúcar?



O Problema

Qual o caminho mais curto do DCC ao Pão de Açúcar?

Objetivo: Caminho com o menor:I custoI distânciaI trânsitoI tempo



Modelagem em grafos

Mundo real Modelagem Matemática

pontos importantes vértices V (G )esquinas

ruas arestas E (G )

custo custo da aresta c : E (G )→ Q+



Modelagem em grafos

Mundo real Modelagem Matemática

pontos importantes vértices V (G )esquinas

ruas arestas E (G )

custo custo da aresta c : E (G )→ Q+



Modelagem em grafos

a

2

4

b

1

4

3

c 1

d

2

e

3

1

f



a

2

4

b

1

4

3

c 1

d

2

e

3

1

f

Vértice a é a origem do caminho



a

2

4

b

1

4

3

c 1

d

2

e

3

1

f

e queremos encontrar o menor caminho de a até f .



Propriedades dos caminhosv0-vk-caminho:Sequência de vértices P = v0v1 . . . vk , tal que vi−1vi ∈ E (G )

Custo de P :

Custo(P) =k∑

i=1

c(vi−1vi )

Distância entre u e v :

dist(u, v) = min{Custo(P) : P é u-v -caminho}



a

2

4

b

1

4

3

c 1

d

2

e

3

1

f

Custo(P) = 2+ 3+ 1 = 6



a

2

4

b

1

4

3

c 1

d

2

e

3

1

f

Custo(Q) = 2+ 1+ 1+ 1 = 5dist(a,f) = 5

Q é caminho mínimo de a até f



Propriedade dos caminhos mínimos

a • v• f•

Se P é um a-f -caminho mínimo e v ∈ P ,então P ′, a parte de P que vai de a até v , é um a-v -caminhomínimo.



Caminhos mínimos tem a Prop. da Subestrutura Ótima

a • v• f•

Se P é um a-f -caminho mínimo e v ∈ P,então a parte de P que vai de a até v é um a-v-caminho mínimo.

Pois caso contrário, existiria Q um a-v -caminho mínimo, e Qconcatenado com P ′′, a parte de P que vai de v até f , seria uma-f -caminho menor que P (que é mínimo)... um absurdo!


A solução de Dijkstra

E.W. Dijkstra

Edsger Wybe Dijkstra, em 1956

Holanda

(1930 – 2002)



A motivação de Dijkstra – 1956

Trabalhando como programadorno Centro de Matemática da Holanda – atual CWITarefa de divulgação ao público leigo sobre a capacidade do novocomputador - ARMAC



A ideia de Dijkstra – 1956

Menor caminho de Amsterdã a uma cidade escolhida pelo público.

Mas... era necessário ter um programa para determinar talcaminho...

e os algoritmos até então existentes não funcionavam no ARMAC...

Calcular e Manterd(v) = tamanho do menor caminho até então encontrado

de a até v

Conjunto S dos vértices resolvidos








de a até v









de a até v









de a até v




O algoritmo

Entrada: Grafo G = (V ,E ), c : E → Q+ e a ∈ VSaída: d : V → Q+, onde d é a distância de a até v , ∀v ∈ V

1. d(a)← 0; π(a)← a2. Para cada v ∈ V \ {a}, d(v)←∞3. Q ← V Q é dos ainda a resolver4. S ← ∅ S é o dos resolvidos

Q é uma fila de prioridades.



O algoritmo

Entrada: Grafo G = (V ,E ), c : E → Q+ e a ∈ VSaída: d : V → Q+, onde d é a distância de a até v , ∀v ∈ V

1. d(a)← 0; π(a)← a2. Para cada v ∈ V \ {a}, d(v)←∞3. Q ← V Q é dos ainda a resolver4. S ← ∅ S é o dos resolvidos

Q é uma fila de prioridades.



O algoritmo

5. Enquanto Q 6= ∅6. u ← Extraimin(Q, d)7. Para cada v ∈ Adj(u) ∩ Q,8. Se d(u) + c(uv) < d(v),8. então d(v)← d(u) + c(uv)8. π(v)← u9. S ← S ∪ {u}



O algoritmo

5. Enquanto Q 6= ∅6. u ← Extraimin(Q, d)7. Para cada v ∈ Adj(u) ∩ Q,8. Se d(u) + c(uv) < d(v),8. então d(v)← d(u) + c(uv)8. π(v)← u9. S ← S ∪ {u}



Um exemplo

a

2

4

b

1

4

3

c 1

d

2

e

3

1

f

Execute o algoritmo de Dijkstra, com o mesmo estilo de tabela queusamos para a execução do algoritmo de Prim.



Um exemplo

a

2

4

b

1

4

3

c 1

d

2

e

3

1

f

Execute o algoritmo de Dijkstra, com o mesmo estilo de tabela queusamos para a execução do algoritmo de Prim.


E.W. Dijkstra

Prêmio Turing

Edsger W. Dijkstra, em 2002Prêmio Turing, em 1972


Outros problemas

O algoritmo de Dijkstra é amplamento usado

I Roteamento de msg em rede de computadores

I Na determinação de caminhos em aplicativos

I e em muitas outras aplicações, de forma indiretas

Estima-se que seja o algoritmo que mais vezes é executado porminuto, no mundo.

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