Campi elettromagnetici

Docente:SalvatoreSavasta Anno acc. 2006/2007

Perchè studiare i campi elettromagnetici ?

• Circuiti ad alta velocità – circuiti digitali ad alta velocità e a microonde

• Antenne e comunicazioni senza fili

• Comunicazioni ottiche – Propagazione di luce in fibra – optoelettronica e fotonica

• Macchine elettromeccaniche

• Interferenze elettromagnetiche e compatibilità

Elettrostatica

12 2 20 8.854 10 (F/m) C / N m

q

304

i i

i i

qq

r rF

r r 0limq q

F

E

Il campo elettrico è un campo vettoriale, ovvero l'associazione di un vettore E(P) ad ogni punto P dello spazio. Esso determina l'azione della forza elettrica su una particella carica eventualmente posta in quel punto.

Principio di sovrapposizione

Elettrostatica

D

0 D E P

0 e P E

0 1 e D E E

Per mezzi lineari ed isotropi

V S V

dV dV D D dSÑTeorema di Gauss 12

0 8.854 10 F/m

qF E

Potenziale elettrostatico

V E r r

B

A

V A V B d E r P

V P d

E r

QC

V

Potenziale di un conduttore

condensatori

Cavo coassiale q

-q

QC

V

ln2 2

B Bl l

A A

q q bV A V B d dr

r a E r

2lqEr

2

ln

Cbla

Magnetostatica

H J

s S

H dS H dl J dSÑ

Teorema di Stokes 0 B

H M

0r B H H7

0 4 10 H/m

03

d4

di

r

l rB

V V l

d dV dl F F J B i B Legge di Ampere-Laplace

Prodotto vettorialesinab a b

è perpendicolare al piano individuato dai due vettori

ha modulo uguale al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno dell’angolo convesso da questi formato

ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel punto O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore in senso antiorario dell’angolo perché si sovrapponga al vettore (regola della mano destra).

sinab a b n

1 2 3 1 2 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

a a a b b b

a b a b a b a b a b a b

a b i j k i j k

i j k

i j k

j k i

k i j

ijk j kia b a b

123

231 312 123

132 213 321

0 se , ,

1

1

1

ijk

ijk jik kji ikj

i j i k j k

rotore

1 2 31 2 3

3 2 1 3 2 12 3 3 1 1 2

A A Ax x x

A A A A A Ax x x x x x

A r i j k r i r j r k

r r i r r j r r k

1 2 3, ,x x xr

ijk kijk j

Ax

A r

Legge di Faraday

t

B

E

s St

E dS E dl B dSÑ

Per campi statici l’integrale di linea è indipendendente dal cammino ed è uguale alla differenza di potenziale tra due punti.In presenza di campi magnetici variabili ciò non è più vero.

La forza elettromotrice indotta lungo un cammino chiuso (ad es. una spira) è pari alla variazione di flusso attraverso il cammino (attraverso una qualunque superficie che si appoggia al cammino) del campo magnetico

Induttanza

ln2 2

b

S a

I I bl dr l LI

r a

B dS

ln2

L b

l a

2B

r I

S

H dl J dSÑ

La corrente di spostamento D0 B

t

B

E

H J

t

J

H J

= 0

?

t

D

H J

t

H J D

La corrente di spostamento

0 cosc

dVI C CV t

dt

0 sinV V t

d

D EJ

t t

VE

d d dI AJ

0 cosd

AI V t

d

S St

H dl J dS D dSÑ

Equazioni di Maxwell

D

0 B

t

B

E

t

D

H J

q F E v B

V

dV F E J B

t

J

S V

dV D dSÑ

0S

B dSÑ

St

E dl B dSÑ

S St

H dl J dS D dSÑ

Equazioni di Maxwellforma integrale

S V

dVt

J dSÑ

Regime sinusoidale

1cosm

dIL RI Idt V tdt C

cos Re j tt e

cos Re j tm I cI I t I e Ij

c mI I e

1Re Re

j tc j t j t j t

c c m

d I eL RI e I e dt V e

dt C

1c mj L R I V

j C

Z

j t

j t j t j tcc c m

d e ILI RI e e dt V e

dt C

mc

VI

Z Re j tmVI e

Z

Regime sinusoidale

cos cosm mW t V t I t V I t t

cos cos 22m mV I

W t t

* 21Re

2j t

c c c cW t V I V I e 2*1 1Re R

2 2c c cP V I I

cosmI t I t cosmV t V t

cos 1 cos 2 sin sin 22 2m m m mV I V I

W t t t

*1

2c c cW V I2*1 1

Im2 2c c cQ V I X I

Z R jX

W

Una componente (quella in ) si mantiene sempre positiva e rappresenta quindi potenza assorbita dal bipolo (potenza attiva). L'altra componente (quella in ) invece oscilla attorno allo 0 e rappresenta quindi potenza alternativamente immagazzinata e ceduta dal bipolo (potenza reattiva).

Regime sinusoidale

c c D

0c B

c cj E B

c c cj H J D

Re j tct e

Re

cos sin

j tr i

r i

t j e

t t

Onde piane

0 D

0 B

t t

B H

E

t

D

H

0

0J

Propagazione lungo z

0

0

x

y

y xzE HE

y z t

yx z

HE E

z x t

XX

yx zEE H

y x t

XX

y xH E

z t

yxEH

z t

0 zE

t

,z tE

Onde pianeyx

HE

z t

22

2

yxHE

z z t

z

y xH E

z t

t

2 2

2

y xH E

t z t

2 2

2 2x xE E

z t

1 2,xE z t f t z v f t z v

0, cosxE z t E t z v

1v

Onde piane e fasori

yxHE

z t

y xH E

z t

xy

dEj H

dz

yx

dHj E

dz

22

2x

x

d EE

dz

1 2jkz jkz

xE c e c e k

1 2, Re Rej t jkz j t jkz j tx xE z t E e c e e c e e

1 2, cos cosx

z zE z t c t c t

v v 1 2,c c R

Onde piane e fasori

1 2 1 2

1 1 jkz jkz jkz jkzxy

dEH kc e kc e c e c e

j dz

1 2, Re cos cosj ty y

z zH z t H e c t c t

v v

L’equazione d’onda 3D

0 D0 B

t H

E

t

D

H

t

E H

2

22t

E

E E

22

20

t

E

E2

22

0t

H

H

2 2 0k E E2 2 0k H H

fasori nk

c

1 cv

n

r rn n jn

ijk klm mij l

Ax x

A r r

kij klm il jm im jl

2

ijk klm mij l

kij klm m il jm im jl mj l j l

m ii m j

Ax x

A Ax x x x

A Ax x x

A r r

r r

r r

L’equazione d’onda 3D

j E B1

Hj

E i E

0je k rE E2 2 0k E E

kk i0 j D k D

1H

i E

polarizazzionekk i Consideriamo il caso ˆi z

2 2 0k E E

2 2 0x xE k E 2 2 0y yE k E

1 2ˆ ˆ j jkzE E e e E x y

2 1

1ˆ ˆj jkzE e E e

H x y

I differenti tipi di polarizzazione dipendono dalla fase e dalle ampiezze relative

polarizazzione 1 2ˆ ˆ j jkzE E e e E x y

0 Polarizzazione lineare

Si ottiene un vettore campo elettrico lungo una direzione fissata Ovvero che non cambia al variare di z

x

y

1 2

1

tanE

E

polarizazzionecircolare

2

2 1E E

1 2ˆ ˆ j jkzE E e e E x y 1ˆ ˆ jkzj E e E x y

1

1

ˆ ˆ, Re

ˆ ˆcos sin

j j t jkzz t j e E e e

E t kz t kz

E x y

x ymLHC

2

2

LHC

RHC

±

Circolare

polarizazzioneellittica

1 2

1 2

ˆ ˆ, Re

ˆ ˆcos sin

j j t jkzz t E E e e e

E t kz E t kz

E x y

x y

1

2

, cos

, sin

x

y

E z t E t kz

E z t E t kz

1

2

, cos

, sin

x

y

E z t E

E z t E

Equazione parametrica dell’ellisse

polarizazzione

lineare Circolare LH ellittica

2 20 1 2

2 21 1 2

2 1 2

3 1 2

2 cos

2 sin

s a a

s a a

s a a

s a a

Parametri di Stokes

1 2 3 0s s s s