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Campo eléctrico en presencia de aislantes.
Comportamiento de los aislantes en un campo electrostático (I). Si introducimos un dieléctrico entre las armaduras de un
condensador plano, la ddp entre las armaduras disminuye, aunque la carga en las armaduras no cambia.
Esto significa que el campo eléctrico entre las armaduras se debilita al introducir el dieléctrico.
0 = x d x =
σ + σ −
Ox
Oy Q + Q − E r
1 V 2 V
A
d
0 = x
σ + σ −
d x =
Ox
Oy Q + Q −
' E r
'1 V '2 V
A
d
o d V V E
ε σ
= −
= 2 1 E d V V E <
− = ' ' ' 2 1
Comportamiento de los aislantes en un campo electrostático (II).
σ + σ −
0 = x d x =
Ox
Oy
Si el campo entre las armaduras se reduce, el dieléctrico debe crear un campo que se oponga parcialmente al campo creado por la carga en las armaduras.
Pregunta: Si el dieléctrico no porta carga ¿de dónde surge el campo?
Respuesta: El campo creado por el dieléctrico se debe a que cada una de sus moléculas actúa como un dipolo.
d o
d E E E E − = − = ε σ '
'1 V '2 V
E r
d E r
Comportamiento de los aislantes en un campo electrostático (III).
Sin embargo, si sacamos el dieléctrico de entre las armaduras del condensador:
Conclusión: El campo eléctrico generado por un dieléctrico existe sólo mientras el dieléctrico se encuentra dentro de un campo eléctrico externo.
Se dice que el campo eléctrico externo polariza al dieléctrico.
•No seremos capaces de medir ningún campo eléctrico generado por el dieléctrico.
•La ddp y el campo entre las armaduras retornan a su valor cuando no estaba presente el dieléctrico.
Tipos de dieléctricos. Polarizabilidad inducida y orientacional.
Dependiendo del origen del momento dipolar de las moléculas del dieléctrico, hay dos mecanismos que causan la polarización.
•Polarizabilidad inducida o electrónica.
•Polarizabilidad orientacional.
Ø La presentan sólo los dieléctricos cuyas moléculas tienen un momento dipolar no nulo. Ejemplos H 2 O, NH 3 .
Ø Se debe al desplazamiento de la nube electrónica de las moléculas por la acción del campo eléctrico externo.
Ø Se debe al cambio de orientación de los dipolos permanentes de las moléculas.
Ø Se da en todos los dieléctricos.
Polarizabilidad inducida. Modelo simple de átomo (I).
Consideremos un átomo aislado con número atómico Z. Suponemos que:
•Cuando se aplica un campo eléctrico la nube electrónica se desplaza sin perder su forma esférica .
•La nube electrónica del átomo es esférica con radio R.
•La densidad de carga dentro de la nube electrónica es uniforme.
campo eléctrico dentro del dieléctrico m E
r
0 = E r
− Ze
R + Ze
0 ≠ E r
m E r − Ze
l r
R + Ze
Polarizabilidad inducida. Modelo simple de átomo (II).
0 ≠ E r
m E r
− Ze
• La densidad de carga de la nube electrónica es: 3 4
3 R Ze
π ρ − =
•El campo dentro de la nube electrónica es: r R
Ze r E o o
3 int 4 3 πε ε ρ
− = =
m E r
int E r
La nube electrónica se desplaza hasta que la fuerza eléctrica sobre el núcleo debida al campo externo iguala a al fuerza ejercida por el campo creado por la nube electrónica. Entonces:
l R
Ze l E E o
m 3 int 4 ) (
πε = = l
r
• Como el momento dipolar que aparece en el átomo es:
Zel p = m o E R p 3 4πε =
R + Ze
Polarizabilidad orientacional.
La polarizabilidad orientacional se debe a dos efectos competitivos:
• El momento dipolar permanente de las moléculas del dieléctrico tiende a alinearse con el campo debido a las fuerzas eléctricas.
• La agitación térmica de las moléculas tiende a desordenar los dipolos.
Usando mecánica estadística, se encuentra que:
m o E kT p p 3
2
= r
módulo del momento dipolar de las moléculas.
valor medio del vector momento dipolar.
Constante de Boltzmann.
Temperatura. T k p v o p
Vector polarización.
Llamamos vector polarización al campo vectorial P que da el momento dipolar por unidad de volumen dentro de un dieléctrico.
∑ ∆ =
j j p V
P r r 1 j p r
V ∆
dieléctrico
Susceptibilidad eléctrica.
El vector polarización P es proporcional al campo eléctrico aplicado. A la constante de proporcionalidad se le llama susceptibilidad eléctrica χ e .
m e o E P r r
χ ε =
Hemos visto que: ∑ ∆ =
j j p
V P r r 1
• Para la polarizabilidad electrónica:
• Para la polarizabilidad orientacional: m o E kT p p 3
2
= r
De estos resultados puede deducirse que:
m o E R p 3 4πε =
Notas:
ØEste resultado no es cierto para todos los dieléctricos, sólo para los dieléctricos isótropos.
ØLa constante ε o aparece para que la susceptibilidad no tenga dimensiones.
es el campo dentro del dieléctrico. m E r
Cargas de polarización. Origen.
Consideremos la superficie de un dieléctrico polarizado entre las armaduras del condensador.
En los dipolos que están dentro del material la carga se neutraliza con la de los dipolos vecinos. No aparece carga neta.
Para los dipolos que están justo en la superficie, la carga queda sin compensar. Eso causa la aparición de una carga superficial que llamaremos carga de polarización σ p .
σ + σ +
Cargas de polarización. Magnitud (I).
Supongamos que la distancia que están separadas las cargas en un dipolo del material es δ.
Para un dipolo en la superficie del material, sólo la componente del momento dipolar que apunta hacia afuera de la superficie es la responsable de la aparición de carga de polarización, porque la componente paralela se cancela con la de los otros dipolos del material.
Cada dipolo p j en la superficie hace una contribución a la carga de polarización
n p q j j r r ⋅ =
δ 1
δ q p = r σ + σ + δ
Cargas de polarización. Magnitud (II).
La carga total que crean todos los dipolos en una superficie ∆S, es:
( ) ∑ ∑ ⋅ = = ∆ j
j j
j n p q Q r r δ 1 δ
δ δ S P n p n Q
j j ∆ ⋅ = ⋅ = ∆ ∑
r r r r 1 1
Con lo que la densidad de carga superficial de polarización es:
P n S Q
p v r ⋅ =
∆ ∆
= σ
Conclusión: donde el campo eléctrico tiene una componente normal a la superficie del dieléctrico aparecen cargas de polarización.
vector normal unitario dirigido hacia afuera del dieléctrico.
+
+
+ +
+
+ +
+ +
δ
+
+
+ +
+
+ +
+ +
+
+
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + + +
+ + S ∆
n r n r
Carga de polarización. Efecto sobre la capacidad de un condensador.
1.La carga libre sobre las armaduras crea un campo: x e E r r
0 ε σ
=
2.El campo dentro del condensador hace aparecer una polarización sobre el dieléctrico:
x e e e E E P r r r ' ' 0 0 χ ε χ ε = =
3.La polarización hace aparecer una carga superficial de polarización:
' E P e e o x p χ ε σ = ⋅ = r r
4.La carga de polarización crea un campo:
x p
d e E r r
0 ε σ
− =
σ + σ − p σ − p σ +
Ox
E r
' E r
Permitividad. Efecto sobre la capacidad de un condensador.
El campo total dentro del condensador es: d E E E r r r
+ = '
x p
x e e E r r r
0 0
' ε σ
ε σ − = ' E e o p χ ε σ = Pero:
x e x o
x e E e e E r r r ' ' χ ε σ
− =
Conclusión: ( ) x e
x e e E r r χ ε
σ +
= 1
' 0
A la magnitud ( ) e o χ ε ε + = 1 Se la llama permitividad del dieléctrico.
σ + σ − p σ − p σ +
Ox
E r
' E r
Permitividad. Teorema de Gauss en medios dieléctricos (I).
Consideremos una carga q sobre una esfera conductora S o inmersa en un medio dieléctrico de permitividad ε.
Las ecuaciones para el campo eléctrico en un medio dieléctrico de permitividad ε son idénticas a las obtenidad para el vacío sustituyendo la permitividad ε por la permitividad del vacío ε o .
Le aplicamos el Teorema de Gauss usando como superficie una esfera S.
Demostración:
dS n r θ
ϕ q
Ox
Oy
Oz
r O
P ε
S
o S
Permitividad. Teorema de Gauss en medios dieléctricos (II).
Hay que tener en cuenta que dentro de la esfera hay más cargas que la carga q, porque hay una densidad superficial de carga de polarización σ p en la interfase entre el conductor y el dieléctrico.
carga libre de la esfera
carga de polarización alrededor de la esfera
La carga de polarización Q p aparece porque el campo que crea la carga q es perpendicular a su interfase con el dieléctrico.
q
o S
S n r
E r
− − −
− − − −
− P σ
( ) ∫ + = ⋅ S
p o
Q q dS n E ε 1 r r
Permitividad. Teorema de Gauss en medios dieléctricos (II).
∫ ∫ ⋅ − = ⋅ − = o o S S
e p E n P n Q r r r r χ
Pero como entre S o y S no hay ninguna carga, el flujo eléctrico ha de conservarse
∫ ∫ ⋅ = ⋅ S S
E n E n o
r r r r
∫ ∫ ⋅ − = ⋅ S S
e o
dS n E q dS n E r r r r χ
ε Con lo que queda:
q
o S
S n r
E r
− − −
− − − −
− P σ
n r El signo menos delante de la integral aparece
porque hemos puesto el vector normal apuntando hacia adentro del dieléctrico.
Permitividad. Teorema de Gauss en medios dieléctricos (III).
( ) ε χ ε q q dS n E
S e o
= +
= ⋅ ∫ 1 r r
Y el teorema de Gauss en un medio dieléctrico queda:
Que es la misma expresión que en el vacío pero cambiando la permitividad del vacío por la del dieléctrico.
( ) ∫ = ⋅ + S o
e q dS n E ε
χ r r 1
dS n r θ
ϕ q
Ox
Oy
Oz
r O
P ε
S
o S
