Campo elctrico y ley de Gauss

1. Introduccin

En esta primera parte del curso se estudia la carga elctrica como una propiedad fundamental de algunaspartculas elementales, se formula la ley de Coulomb, luego se introduce el concepto de campo elctrico y seestablece la ley de Gauss, a la vez que se desarrollan algunas de sus aplicaciones elementales.

2. Carga Elctrica.

Hasta el siglo XVI el conocimiento de los fenmenos elctricos se haba limitado al heccho de que algunoscuerpos como el mbar y el azabache al ser frotados, adquieren la propiedad de atrarer pequas cantidadesde materia.

En la actualidad esta atraccin la cual es una manifestacin, de la deniminada iteraccin elctrica, seevidencia mediante un experimento casero muy sencillo, que puede llevarse a cabo en un ambiente bastanteseco, si tamamos un peine, lo frotamos en nuestro cablle y luego lo acercamos a pequeos pedazos de papel.Notamos que estos son atraidos por el peine.

En el ao 1600, William Gilbert, en su libro De Magnete presenta un un instrumento para detectar laelectrizacin de los cuerpos (un electroscopio) y con la ayuda de este instrumento encontr que podanelectricarse muchas sustancias, exceptuando principalmente los metales.

En el siglo XVII los principales estudios sobre la electricidad los adelant Otto Von Guericke quien encontrque una esfera de azufre frotada adecuadamente, poda atraer objetos pequeos sin electricar, pero quesi los objetos hacan contacto con la esfera, sta los repela al cabo de un corto tiempo. Despus de serrepelidos por la esfera, los objetos podan atraer otros cuerpos no electricados y tamben podan perder laelectricacin al tocarlos. Se encuentra as que un cuerpo puede adquirir carga elctrica cuando se pone encontacto con otro cuerpo electrizado: carga por contacto Realmente Von Guericke decubri que laelectricidad poda ser transmitida por contacto!

2.1. Electrizacin por frotamiento

A principios del siglo XVIII Stephen Gray descubri que la electricidad puede transportarse a travs dehilos metlicos y cuerdas mojadas. El proceso no poda hacerse a travs de cualquier material: surge asla clasicacin de los materiales en conductores y aislantes elctricos, sin que haya una frontera biendenida entre ellos.

Charles F. Du Fay contina con los experimentos de Gray y encontr que los metales tambin se podianelectrizar en condiciones apropiadas: por ejemplo, una esfera metlica se puede cargar por frotamiento si sele sujeta mediante un mango aislante. Du Fay tambin descubri que la electrizacin producida enlos cuerpos slo es de dos tipos. Encontr que un cuerpo que estaba electrizado, era repelido por unavarilla de vidrio frotado con seda en tanto que, el mismo cuerpo era atrado por por una varilla de mbarpreviamente frotada con lana. A la electridad adquirida por el vidrio Du Fay la denomin vtreay a laadqurida por el mbar la llam resinosa. El nombre que se ha hecho ms usual para los dos tipos deelectricidad, es debido a Benjamin Frankin, quien denomin positiva a la eletricidad vtrea y negativa ala resinosa.

Actualmente se realizan experimentos snlogos a los de Von Guericke, para detectar los dos tipos de carga,como se explica acontinuacin.La gura 1 (a) representa dos esferas de caucho A y B, que han sido previamente frotadas con piel, las cualesse hallan suspendidas de dos hilos que estn jos por sus extremos a un punto comn. Se nota que las esferas

1

Figura 1: (a) Dos esferas de caucho frotadas con piel se repelen entre s. (b) Dos esferas de vidrio frotadascon seda se repelen entre s

se separan y se dice que se han electrizado o que han adquirido una carga electrica por frotamiento.Ms adelante se explicar que la seda y la piel tambin se electrizan..La gura 1 (b) representa dos esferas de vidrio C y D, que han sido previamente frotadas con seda y se hansupendidos de hilos coma las esferas A y B mencionadas en el prrafo anterior. Se observa que estas esferasse separan y tambin se dice que se han electrizado.

Que ocurre si se acecan entre si una esfera de caucho y una de vidrio frotadas? En la gura 2 se harepresentado el acercamiento de la esferas A (o B caucho frotado con piel) y C (o D vidrio frotado con seda)y se encuentra que estas esferas se artraen.

Figura 2: Una esfera de caucho frotada con piel y una de vidrio frotada con seda se atraen.

Esta situacin nos indica que la carga elctrica adaquirida por las esferas de vidrio es opuesta a la adquridapor las esde caucho, ya que los fenmenos de atraccin y repulsin tambin son opuestos entre s.

La carga que adquiere el vidrio frotado con seda y la que tenga cualquier cuerpo capaz de repeler al vidrioen estas condicciones, es positiva como ya se dijo antes, mientras la que adquiere el cacho, o la de cualquiercuerpo que repela al caucho frotado es negativa. Se concluye entonces que: cargas del mismo signo serepelen y cargas de signos opuestos se atraen

2.2. Atomos

Para los nes que persegimos en esta parte, basta un modelo prcticamente clsico y muy sencillo para eltomo.Segn este modelo, los tomos aislados en su estado normal, (base) estn constitudos por una parte centralllamada ncleo, casi puntual, rodeada de una distribucin de carga negativa (nube electrnica). El ncleo

2

est conformado por Z protnes cada uno de los cuales tiene una cantidad de carga positiva e: La nube estconformada por Z electrones y cada uno de ellos tiene carga e; resultando por tanto que la nube tiene unacarga de igual valor absoluto que la positiva del ncleo, pero tiene signo contrario. As, el tomo en suestado normal tiene una carga neta o total igual a cero.

2.3. Conductores y aislantes.

Provisonalmente diremos que los conductores son materiales que poseen partculas cargadas que se puedendesplazar en una muestra, con mayor o menor libertad, cuando acercamos a dicha muestra un cuerpo elec-trizado. Estas partculas se denominan portadores de carga del material. Ejemplo de conductores son losmetales como el cobre, el oro la plata etc. y las soluciones electrolticas y gases ionizados. En los metales losportadores de carga son los electrones externos y en las soluciones electrolticas son los iones, tanto positivoscomo negativos.

Los dielctricos son sustancias donde las cargas que constituyen sus tomos o sus molculas, no tienenlibertad para moverse. En los dielctricos los electrones estn estrechamente ligados a sus molculas por lafuerza de Coulomb, de modo que no se pueden trasladar de una parte a otra de una muestra dada, sino encondiciones muy especiales. En la unidad 3 describiremos las propiedades de los dielctriocos y conductorespor medio del concepto de campo elctrico y veremos que slo es posible que electrones de un dielctricoabandonen una molcula, sometindolo a un campo exterior intenso. Los dielctricos tambin se les llamano conductores o aislantes elctricos.

2.4. Carga por induccin electrosttica

En la fa gura 3 se nuestra una varilla de vidrio frotada con seda, en la vecindad de una esfera metlica sujetapor un soporte aislante. En la esfera se presenta una separacin de cargas debido a que los electrones libres,atrados por la carga positiva de la varilla, se desplazan hacia la izquierda, acumulndose carga negativa enla parte izquierda de la esfera. En la parte derecha de la esfera quedan cargas positivas debida a las vacantesdejadas en los tomos cuyos electrones se desplazaron. Se dice que se han separado las cargas en elconductor por induccin electrosttica y hay una atraccin entre la esfera y la varilla debidano a una presencia de carga neta, sino a la separacin de cargas, (debido a la cercana de la varilla alas cargas negativas de la esfera), la fuerza de atraccin ejercida por la varilla sobre estas cargas, es mayorque la ejercida sobre las positivas.

Figura 3: Cuando un cuerpo crgado se acerca a un conductor descargado, las cargas een ste se separan.

El proceso descrito en el prrafo anterior puede usarse para lograr que un conductor adquiera una carga neta,como se describe enseguida. En la gura 4 (a) se ha representado el sistema de la gura 3, pero se ha conectadola esfera a la Tierra mediante un cable conductor. Esta vez, uirn electrones desde la tierra a travs delcable y los tomos de la esfera, recuperarn los electrones que se haban desplazado hacia la izquierda yla esfera quedar con un exceso de carga negativa, fenmeno conocido como carga de un cuerpopor induccin. Es muy importante aclarar que la transferencia de carga en estos procesosslo ocurre por ganacia o prdida de elctrones. Los cuerpos que se cargan positivamentelo hacen por prdida de electrones y los que se cargan negativamente ceden electrones. Enlos fenmenos relacionados con la adqisicin carga por frotamiento por un cuerpo, nunca se

3

transeren protones porque stos estn jos en el ncleo y slo lo pueden abandonar cuan stese desintegra!

Figura 4: (a) Un cuerpo cargado positivamente induce cargas negativas en una esfera conductora conectadaa tierra. (b) Cuando se elimina la conexin a tierra en presencia del conductor la esfera queda cargadanegativamente

Si se mantien la barra de vidrio cerca de la esfera, mientras elimina la conxin a Tierra, el exceso de carga dela esfera prevaleceer. y al retirar luego la barra, la ca carga de la esfera tratar de distriburise uniformementeen la supercie de sta.TAREA: Describir lo que ocurre si se repite el proceso descrito en en los prrafos anteriorescambiando la varilla de vidrio frotada con seda, por otra caucho frotada con piel.

2.4.1. Polarizacin dielctrica

Se describir el proceso por el cual un cuerpo cargado puede atraer a otro cuerpo aislante y descargado. Losdielctricos son materiales en donde la nube electrnica no siempre est simtricamente distribuida alrededorde los ncleos. Los centros de masa de la nube y de los ncleos no estn centrados. Por consiguiente, lascargas positivas y negativas de la molcula aparecen ligeramente separadas, como se muestra en la gura 5.

Figura 5: Una muestra dielctrica en la vecindad de un cuerpo cargado positivamente

Cuando un cuerpo cargado positivamente se acerca a una muestra dielctrica, las cargas negativas se orientanhacia el cuerpo cargado y ste las atrae con mayor fuerza que a las cargas nucleares, de tal forma que lamuestra es atrada por el cuerpo. La orientacin que experimentan las molculas del dielctrico, ante lapresencia de un conductor en su cercana, se denomina polarizacin dielctrica

Si los centros de carga elctronica y de los ncleos de una molcula coinciden, la presencia del cuerpo cargadopude distorsionar la nube elctronica y se induce una separacin de cargas en las molculas, y se repite elfenmeno de atraccin descrito en el prrafo enterior cuando ya exista la separacin inicial

2.5. Propiedades de la carga elctrica

Se puede armar que las principales propiedades fsicas y qumicas de la materia estn determinadas por lacarga elctrica. sta es una propiedad fundamental que tienen algunas partculas constituyentes

4

de la materia y es la responsable de la interaccin elctrica. La carga elctrica es de dos tipos:positiva y negativa. Se dice entonces que la carga elctrica tiene una manifestacin dual. Por esta razn lainteraccin elctrica entre dos partculas se maniesta por medio de una fuerza que puede ser atractiva orepulsiva, ya que cargas del mismo signo se repelen y cargas de signos opuestos se atraen.

Adems de su manifestacin dual, la carga elctrica tiene otras propiedades que describiremos a continuacin.

Conservacin: la carga total en un sistema aislado es constante, es decir, la carga no se crea ni sedestruye. Este es un hecho experimental, lo cual signica que no se ha encontrado proceso alguno que nocumpla esta ley.Cuando se frota la esfera de vidrio con seda se dice que aqulla adquiere una carga positiva. Si designamospor Q la carga adquirida por el vidrio, se considera nicamente la interaccin del vidrio y la seda, y sesupone que los cuerpos inicialmente estaban descargados (carga neta igual a cero), la seda debe adquirir unacantidad de carga Q; para que la carga neta siga siendo cero. Un proceso anlogo ocurre en el proceso defrotacin del caucho con lal piel y en cualquier fenmeno fsico que ocurra en un sistema aislado

Cuantizacin: la carga elctrica slamente existe en cantidades que son mltiplos enteros positivos o neg-ativos de la carga de un electrn.

Invariancia relativista: Experimentalmente se ha encontrado que la carga elctrica es independiente delsistema de referencia inercial desde el que se mide, o lo que es equivalente, la carga elctrica de una partculaes independiente de su velocidad.

3. Ley de Coulomb

Es la ley bsica experimental de la electrosttica y gobierna la interaccin entre las cargas elctricas puntualesen reposo o a bajas velocidades. Establece que la fuerza elctrica entre dos partculas con cargas q1 y q2separadas por una distancia r, acta a lo largo de la recta que las une, es proporcional al producto q1q2 einversamente proporcional al cuadrado de r. Segn se indica en la Figura 1(a), la fuerza que la partcula q1ejerce sobre q2 est dada por

F =kq1q2r2

br = kq1q2r3

r (1)

donde r es el vector dirigido de q1 a q2 y r^ es un vector unitario paralelo a r:

q1

q2

Po

P

(b)

F

q1

q2

Po

P

(a)

F

r

r

Figura 6: (a) La fuarza que q1 ejerce sobre q2 se dirige hacia la primera si las cargas tienen signos opuestos;(b) si los signos son igusles la primera repele a la segunda.

En el sistema internacional de unidades la carga se mide en coulumbios, abreviado por C y el valor de K esaproximadamente 9 109Nm2C2; K se relaciona con la permitividad elctrica del vaco "o, por medio dela expresin

"o =1

4K= 8;85 1012C2=Nm2: (1.2)

5

Cuando varias partculas con cargas q1; q2; :::; qn, interactan con otra partcula qo, como se muestra en lagura 2, para encontrar la fuerza resultante que acta sobre qo, se halla la fuerza Fi que cada carga qiproduce sobre qo; entonces la fuerza total ejercida sobre qo es la suma vectorial de las Fi; para i = 1; 2; :::; n.Es decir,

F =X

Fi = qoX Kqibri

r2i= qo

X Kqirir3i

(2)

q1

q2

q3

qo

F1

F2

F3

Este hecho experimental, conocido con el nombre de principio de superposicin para las fuerzas electrostticas,indica que la interaccin entre dos partculas cargadas no se modica por la presencia de otras partculascargadas en la vecindad.

4. El campo Elctrico

Si en un punto de cierta regin, cuyo vector de posicin es r, se coloca una carga puntual qo y sta experimentauna fuerza F; de origen elctrico, se dice que en tal punto hay un campo elctrico y se dene su intensidadE, como la fuerza por unidad de carga colocada en dicho punto, o sea:

E =F

qo(3)

donde E se expresa en N=CEs de anotar que la carga qo debe ser lo ms pequea posible, con el nimo de que no altere la distribucinde carga que da origen al campo. De esta manera se elimina considerablemente la perturbacin que la cargade prueba puede producir en el campo que se quiere medir.

q

qo

r

Po

P

Figura 7: Una carga q; localizada en el punto Po; origina un campo elctrico en un punto P ; r es el vectordirgido de Po a P

Supngase que se tiene una carga puntual q; ubicada en un punto Po; segn se muestra en la gura 3. Paraobtener la intensidad del campo elctrico originado por q en un punto P con vector de posicin r; se colocan

6

en este punto una carga qo y se calcula la fuerza que q ejerce sobre qo; utilizando la ley de Coulomb (ecuacin1); en esta forma resulta

E =F

qo=Kq

R3R (4)

Puede decirse tambin que r es el vector de posicin del punto P relativo a Po:

(a)

E

rq+ q-

(b)

Er

Figura 8: El campo de una carga puntual: a) positiva. b) negativa.

En la gura 4 se ilustra que el campo E tiene la misma direccin que r, si la carga es positiva, y direccincontraria a r; si la carga es negativa. As, el campo elctrico es un vector localizado en el punto donde semide, es decir se origina all, pero est dirigido hacia la carga que lo crea si sta es negativa, y apunta endireccin contraria si la carga es positiva.

Es importante notar que el campo de una carga puntual dado por la ecuacin (4), solamente dependede la carga y del vector r (depende del inverso del cuadrado de r) y, adems, que en cadapunto tiene un valor nico, por lo que constituye una funcin vectorial. Fsicamente, el campoelctrico en cualquier punto P; es equivalente al fuerza sobre una carga unitaria y positivacolocada en dicho punto. Aunque es reduntdante con lo que se hadicho, el campo es independiente de lacarga de prueba si sta se ha elegido muy pequea.

El campo de un conjunto de n cargas puntuales en un punto P; se obtiene calculando la fuerza total questas ejercen sobre una carga de prueba qo colocada en P; a partir de la ecuacin (2) y luego se divide elresultado entre qo; as:

E = F=q0 =1

qo

qoX Kqi

R2iR^i

=X Kqi

R3iRi (5)

En la ecuacin (5) se ve que Ei =KqiR2iR^i, es el campo de la i esima carga qi en el punto P ; por lo tanto,

(5) puede escribirse como sigue:E =

XEi (6)

La ecuacin (6) nos indica que los campos elctricos se suman vectorialmente, hecho conocido como principiode superposicin de los campos elctricos.

Si no se trata de cargas puntuales aisladas, si no de una distribucin continua de carga en un cuerpo dado,para calcular el campo se divide el cuerpo en pequeos elementos de volumen, cada uno con carga dq; secalcula el campo dE; de esta carga y luego por integracin, se calcula el campo de todo el cuerpo. Segn lagura 9, consideremos un elemento innitesimal de carga dq ubicado en un punto de vector de posicin r0;el campo de este elemento en otro punto con vector r; haciendo R = r r0; es:

dE = (Campo de dq) =Kdq=R3

R

y por consiguiente, el campo de todo el cuerpo es:

E = K

Zdq

R3R (7)

7

rR

r

dv

V

Figura 9: Muestra un elemento de volumen dv con una carga dq; que origina un campo elctrico en un puntor

A continuacin se indica como elegir el elemento de carga segn que la distribucin sea lineal, supercial ovolumtrica.

Distribucin lineal: Si la carga esta distribuda en un lamento, se dice que la distribucin es lineal y sedene la densidad lineal como carga por unidad de longitud. Si dq es la carga contenida en un segmento delongitud dl, la densidad lineal es, l = dq=dl, de donde se obtiene dq = ldl. Sustituyendo este valor de dqen (7), se tiene:

E = K

Z`

ldl

R3R (8)

Distribucin supercial: Si la carga esta distribuida en la supercie S de un cuerpo, la distribucin essupercial. Entonces, si en un elemento de supercie de rea ds hay una carga dq, se dene la densidadsupercial de carga como s = dq=ds; de donde dq = sds; con lo cual (7) toma la forma:

E = K

Zs

sds R

R3(9)

Distribucin volumtrica: Cuando la carga est distribuida en todo el volumen de un cuerpo, la distribucines volumtrica y se dene la densidad volumtrica de carga como carga por unidad de volumen. As si enun volumen dv hay una carga dq;la densidad volumtrica viene dada por v = dq=dv, por tanto dq = vdv;reemplazando esta expresin en (7) se llega a:

E = K

ZvRdv

R3(10)

Cuando se calcula E usando alguna de las tres expresiones (8), (9) u (10), se dice que se ha obtenido el

campo por integracin directa

5. La ley de Gauss

En esta parte queremos introducir el concepto de ujo en un contexto amplio, de manera que se puedaapreciar su importancia en la formacin de estudiantes de ciencias e ingenieras.Los uidos son agregados de tomos o molculas en donde las fuerzas entre estas partculas son dbiles, demodo que, las mismas pueden moverse aleatoriamente a travs de una muestra dada. Podemos suponer que,dado un uido, cada partcula tiene una masa m y se encuentra sujeta a una interaccin muy dbil con lasdems.Inicialmente, la nocin de ujo se asocia al movimiento de un uido, cuando ste, por la accin de unadiferencia de presin, se transporta a travs de un conducto o tubera. Es posible estudiar el movimientoideal de un uido, en donde la velocidad de cualquier partcula que pase por un determinado punto, tenga elmismo valor en cualquier instante. Se dice entonces que el ujo es estacionario. Por otra parte, podemos

8

P(x,y,z)

Lnea de corriente.

r

x

y

z

v

Figura 10: En el ujo estacionario de un uido la velocidad de las partculas tiene un valor nico en cadapunto (x,y,z).

pensar que el movimiento se analiza respecto de un sistema coordenado, y entonces a cada punto P de laregin donde se mueve el uido, le corresponde coordenadas (x; y; x),.o un vector de posicin r: As, a cadapunto, puede asocirsele un valor nico de la velocidad v(x; y; z), de las parculas, conformndose de estaforma un campo vectorial: el campo de velocidades. La situacin se ilustra en la gura 10.

5.1. Flujo volumtrico a travs de una supercie S:

En el movimiento de un uido, el ujo volumtrico a travs de una supercie S; corresponde al volumen deuido que pasa por ella durante la unidad de tiempo. Expresaremos esta denicin en forma operacional.

S Medio

li

Vi (a)

viAi

(b)

lih

li

vi

Ai

Figura 11: (a) Supercie S en un mediocon partculas en movimiento. (b) Elemento de volumen Vi:

En este sentido, calcularemos el ujo volumtrico a travs de una supercie S; obteniendo inicialmente, elujo en un elemento de rea Ai como se indica en la gura 11 (a). Para ello se observa que el volumen deuido que cruza por el rea Ai en un tiempo t; es el que est comprendido en la caja de lado li: Estevolumen se representado la 11 (b) y su valor es

Vi = (Ai)h = (Ai)li cos = li Ai (11)donde Ai es un vector de mdulo Ai y tiene direccin perpendicular a esta rea; mientras que li esotro vector paralelo al lado li y tiene la misma direccin que la velocidad vi de las partculas del uido enla vecindad del elemento Vi: El ujo a travs de Ai es

i =Vit

=li Ai

t= vi Ai (12)

donde

vi =lit

9

Para encontrar el ujo volumtrico en toda la supercie S; se supone que sta se ha dividido en un grannmero n de elementos de rea Ai; y se suman todos los ujos corerrespondientes a estas reas, obtenin-dose:

=Xn

i=1vi Ai: (13)

En el lmite cuando n tiende a innito, la suma dada por (13) dene la integral de supercie

=

ZS

v dA: (14)

Comunmente a la integral dada por (14) se le denomina ujo del vector velocidad, a travs de la supercieS; pero es muy importante que el estudiante se percate que dicha integral expresa el volumen de uidoque pasa por S durante la unidad de tiempo, y no mire dicha expresin como un ente meramentematemtico.Tambin pude denirse el ujo msico m; a travs de S; el cual corresponde a la cantidad de masa quepasa por S durante la unidad de tiempo. Para obtener el ujo msico basta recordar, que si dM es la masacontenida en el elemento de volumen dV; la densidad volumtrica de masa se dene por

=dM

dV

y puede probarse fcilmente que el ujo volumtrico sobre la supercie S se expresa por

M =

ZS

v dA:

Otro caso donde se usa el concepto de ujo es en los fenmenos relacionados con el movimiento de las cargaselctricas. En este caso a la cantidad de carga que pasa por una supercie S durante la unidad de tiempo sele denomina intensidad de corriente elctrica, y por lo general se representa por I.Ahora obtendremos una expresin para la intensidad de la corriente elctrica a travs de la supercie. Vamosa suponer que en el medio donde se encuentra la supercie S de la gura 11 (a), existen n partculas porunidad de volumen, cada una con carga q; que se pueden mover cuando a dicho medio se le aplica un campoelctrico. Estas partculas se denominan portadores de carga. Calculemos primero la intensidad de lacorriente en el rea Ai: Para ello notamos que los portadores de carga que pasan por Ai en un tiempot son los que estn contenidos el elemento de volumen Vi; el nmero de estos elementos es N = nViy la carga que ellos poseen es

Q = qN = qnVi = qnli Ai (15)La intensidad de la corriente en Ai es

Ii =Q

t=qnli Ai

t= qnvi Ai: (16)

La intensidad de la corriente en toda la supercie S es

I =

ZS

nqv dA: (17)

Se dene la densidad de corriente porJ = nqv (18)

con lo cual (17) puede escribirse como sigue

I =

ZS

J dA: (19)

La ecuacin anterior expresa que la intensidad de la corriente elctrica es igual al ujo del vector densidadde corriente J:

10

JdA

A

I

Figura 12: Un cable que transporta una corriente I

La intensidad de corriente es una variable macroscpica; ella est asociada a una supercie, como el reatransversal de un cable o la de un tubo de televisin. En cambio, la densidad de corriente J es una variablemicroscpica, porque est asociada con la velocidad de los portadores de carga, la cual constituye una funcinvectorial y puede tomar valores diferenetes en diferentes puntos.La variable I se mide en coulomb/segundos= C=s; unidad denominada amperio (abreviada por A) en honordel fsico francs Ampre; la densidad de corriente se expresa en A=m2:Una aplicacin muy sencilla de la ecuacin (19) ocurre cuando se transporta una corriente en un alambre deseccin transversal A y J es uniforme. La situacin se muestra en la gura 12, en donde puede apreciarseque J y dA son paralelos:, as que JdA = JdA cos 0o = JdA; y (19) se transforma en

I =

ZS

JdA = JA (20)

donde se sac J de la integral porque se supuso uniforme.La intensidad I de la corriente y el rea A del cable pueden medirse directamente y luego se calcula Jmediante (20), as puede estimarse la velocidad de los portadaores de carga del medio en estudio a partir de(7).Sera muy bueno que el estudiante consultase cual es la intensidad de la corriente que consume su residencia,el calibre del cable de la acometida elctrica, el nmero de portadores del cobre y con esta informacincalcular la densidad de corriente y la velocidad de los portadores en el cable en mencin.

5.2. Flujo en un contexto general

Podemos generalizar ahora el concepto de ujo. Supongamos que tenemos un campo vectorial F; que describealguna perturbacin en cierta regin del espacio vaco o de algn medio material. Sea S una supercie enesta regin. El ujo del campo F a travs de S se dene por

=

ZS

F dA: (21)

El elemento de supercie dA es perpendicular a la supercie S en cada punto y la funcin o campo vectorialF se sobreentiende que est denido en todos estos puntos.Si S es cerrada como una supercie esfrica o una cbica, el elemento de rea dA se dirige perpendicular-mente hacia afuera de la supercie y se le coloca un valo a la integral. El ujo se expresa como sigue:

=

IS

F dA: (22)

Un caso especial ocurre cuando el campo es uniforme y es perpendicular a S; de tal manera que F y dA sonparalelos. Bajo estas condiciones F dA = FdA cos 0o = FdA, se extrae F de la integral y (22) se reduce a

= FA

11

5.3. Flujo del campo elctrico y ley de Gauss

De la discusin hecha en la seccin anterior, el ujo del campo elctrico a travs de una supercie S; se denepor

=

ZS

E dA (23)

y se expresa en Nm2=C:En s, este ujo no tiene un signicado tangible como lo tiene el ujo de la velocidad de un uido, en elsentido en que ste representa el volumen de uido que pasa por S en la unidad de tiempo.

Figura 13: (a) Lneas de campo el ctrico originadas por dos cuerpos cargados. (b) Lineas de campo a travsuna supercie Ai:

Sin embargo, puede drsele al ujo del campo elctrico, un signicado en trminos de las lneas de campoelctrico, si stas se dibujan en forma apropiada.Las lneas de campo o lneas de fuerza se usan para representar el campo geomtricamente y se supone quedibujan de tal forma que cumplan las siguientes caractersticas:

a) salen de las cargas positivas y se dirigen hacia las cargas negativas. Por ejemplo en la gura 13 (a) sehan dibujado las leneas de fuerza para el campo originado por dos cuerpos cargados; como el cuerpo de laizquierda est cargado positivamente y el de la derecha negativamente, las lneas se dirigen de izquierda aderecha;

b) se orientan de tal manera que la tangente a ellas en cada punto, d la direccin del campo. Volviendo ala gura 13 (a), en el punto P se ha dibujado el campo elctrico, y como podemos apreciar, ste sigue ladireccin tangente a la lnea;

c) el nmero n de lneas por unidad de rea perpendicular al campo alrededor de cada punto, debe serproporcional a la intensidad E; del campo elctrico en dichopunto. (Supondremos n = E). En la gura 13(a), el campo es ms intenso en la regin de la izquierda que en la regin derecha, ello se puede notar porquelas lneas estn ms prximas entre s, en la primera regin que en la segunda;

d) Las lneas de campo no se pueden cortar : si as fuera, en un punto donde las lneas de campo se cortasen,el campo podra tener dos direcciones diferntes, lo cual no puede ocurrir porque el campo tiene un valornico en cada punto.

Comprobaremos ahora que el ujo del campo elctrico sobre una supercie S equivale al nmero de lneasque cortan a sta. Para este n, calculemos el nmero de lneas Ni que cortan la supercie Ai; la cualest representada en la gura (13) (b) y no necesariamente es perpendicular al campo. Notamos que laslneas cortan a Ai son las mismas que cortan al rea A0i que si es ortogonal al campo. Si ni es el nmerode lneas por unidad de rea perpendicular al campo, entonces

Ni = niA0i = niAi cos (24)

12

donde se remplaz A0i por su equivalente Ai cos ; como puede verse en la gura. Pero se dijo que porconstruccin, ni = Ei; de tal forma que (24) puede escribirse as:

Ni = niA0i = EiAi cos = Ei Ai: (25)

Para determinar el nmero toal de lneas N , sobre S; se puede pensar que sta se divide en un gran nmero deelementos de rea Ai y entonces N es igual a la suma de todas las lneas que cortan los distintos elementosAi; es decir

N =Xn

i=1Ei Ai =

ZS

E dA

expresin que muestra la equivalencia entre el ujo sobre S y el nmero de lneas que cortan a sta, con locual completamos la demostracin.

Cuando la supercie S es cerrada, 14 (a) el ujo del campo elctrico tiene un signicado muy importante,que constituye la ley de Gauss para el campo elctrico la cual expresa que:

E=0E=/o

E

dA

(a)(b)

Q

QS

Figura 14: (a) Una supercie cerrada que contien una carga neta Q en el interior. (b) Un conductor en equi-librio electrosttico: la carga neta reside en su supercie y el campo all tiene el valor =o y es perpendiculara esta supercie.

el ujo del campo elctrico a travs de cualquier supercie cerrada S que contiene una carga neta Q en suinterior, es igual a la carga dividida por o:Matemticamente esto es

=

IS

E dA =Qo: (26)

La ley de Gauss puede deducirse de la ley de Coulomb, ella expresa el hecho de que el campo de una cargapuntual es radial y en cualquier punto P depende del inverso del cuadrado de la distancia que hay desdeP hasta el punto donde est la carga. Esta ley constituye uno de los cuatro principios fundamentales delelectromagnetismo, conocidos como ecuaciones de Maxwell y la aplicaremos para determinar la intensidaddel campo elctrico de distribuciones de carga con simetra esfrica, cilndrica o plana.

5.4. Conductor en equlibrio electrostico.

Los conductores son materiales que poseen partculas cargadas que se pueden trasladar en una muestra,por la accin de cualquier campo elctrico aplicado. Estas partculas se denominan portadores de cargadel material.

Los dielctricos son sustancias donde las cargas que constituyen sus tomos o sus molculas, no tienenlibertad para moverse. En los dielctricos los electrones estn estrechamente ligados a sus molculas por lafuerza de Coulomb, de modo que no se pueden trasladar de una parte a otra de una muestra dada, por laaccin de un campo exterior dbil.

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Slo es posible que electrones de un dielctrico abandonen una molcula, sometindolo a un campo exteriorintenso. El menor campo que consigue este efecto para un medio se denomina resistencia dielctrica de ste.Los dielctricos tambin se les llama no conductores o aislantes elctricos.No existe una frontera bien denida entre conductores y aislantes, ya que las propiedades elctricas de unmaterial cambian con la temperatura. Existen materiales denominados semiconductores, como el silicio y elgermanio, que a cierta temperatura conducen la corriente elctrica y que se consideran como un intermedioentre aislantes y conductore.

Describiremos cual es la respuesta de un conductor cuando se le aplica un campo elctrico en condicionesestticas, esto es cuando, l y sus portadores de carga se encuentran en equlibrio. El conductor se representaen la gura 14 (b)

El campo en el interior del conductor es nulo. Veamos como explicarlo. Si el conductor est en equilibrio,sus portadores de carga y las cargas en exceso que l pueda tener, tambin lo estn y por lo tanto la fuerzaelctrica sobre estas cargas es nula y asi E = 0: ( Si el conductor adquiere una carga neta, sta inicialmentese mueve y se distribuye en el cuerpo hasta que llega al equlibrio; alcanzado ste las cargas quedan estticasy por consiguiente E = 0).El campo justo en la supercie del conductor es perpendiculr a sta. Si el campo no fuera perpendiculara la supercie, tendra una componente paralela a la misma, la cual acelerara a la carga alli existentes yrompera el equlibrio.La carga en exceso de un conductor se distribuye en la supercie. Para probar esto puede tomarse unasupercie cerrada S; incrustada en cualquier parte del conductor, que excluya la supercie de ste, comola mostrada en la gura 14 (b). Asi, el ujo en esta supercie sera cero ya que E = 0; puesto que el ujoa travs de S es igual a la carga Q que contiene S e su interior dividida por o; entonces Q = 0: Como Sencierra una regin cualquiera del interior del conductor, se concluye que no hay carga neta all, de modoque, si se ha colocado una carga neta en el conductor, ella deber residir en la supercie del mismo.Finalmente se propone como ejercicio al estudiante vericar que en cualquier punto P , de la supercie delconductor, el campo elctrico es perpendicular a dicha supercie y su intensidad est dada por

E =

o

donde es la densidad supercial de carga del conductor en P:

EJERCICIOS

1. . a) Explique las implicaciones fsicas de la ley de Coulomb y seale sus condiciones de validez. b) Comparelas fuerzas elctrica y gravitacional con que interactan un protn y un electrn separados una distanciacualquiera. Aprecie bien la diferencia en el orden de magnitud de estas fuerzas. c) Dos esferas metlicas muypequea con cargas iguales, se repelen con ua fuerza de 2;304N; cuando estn separadas por una distanciade 0;100m: Determine el nmero de electrones que le falta o tiene en exceso cada esfera. d) D las principalesdiferencias que presentan los procesos que ocurren en un dielctrico y un conductor cuando se les aplica uncampo elctrico.2. En la gura 15, q1 = 250nC; q2 = 160nC; q3 = 200nC y qo = 100nC: a) Dibuje la fuerza y calculela magnitud, que cada una de las tres primeras cargas ejercen sobre qo: b) Halle la resultante de estas tresfuerzas.3. Se tienen 4 partculas cargadas q; q; q y q colocadas respectivamente en los puntos (0; 0; 0), (0; l; 0);(l; l; 0) y (0; l; 0). a) Determine la magnitud de la fuerza sobre la carga que est colocada en el punto (l:l; 0):b)Si se colocara una carga 2q en el punto (l=2; l=2; 0); cu sera la amgnitud de la fuerza sobre ella?4. Un cubo de lado l tiene un vrtice en (0; 0; 0); otro en (l; l; l) y los dems estn sobre los ejes coordenados.En (0; 0; 0) hay un electrn y en cada uno de los dems vrtices hay un protn. a) Determine la fuerzaelctrica que acta sobre el protn colocado en (l; l; l). b) Si se quita el elctrn ubicado en (l; l; l); determinela intensidad del campo elctrico en este punto. c) Sustituya valores numricos si l = 3;00 .5. Dos pequeas esferas conductoras iguales, que estn separadas por una distancia de 1;00m; se atraenelctricamente con una fuerza de 1.728N. Las esferas se ponen en contacto y nuevamente se separan a la

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4cm

3cm

q1

q2

q3

qo

Figura 15: Ejercicio 2

distancia inicial. Se encuentra que ahora ambas tienen carga negativa y se repelen con una fuerza de 0;576N:Suponiendo que las esferas, en conjunto, conservan su carga total, calcule: a) las cargas inicial y nal decada una y b) cuantos electrones fueron cedidos o ganados por cada esfera cuando se pusieron en contacto.Sea explcito en su procedimiento.6. Dos partculas con cargas q1 = q2 = e; se colocan respectivamente en los puntos x = A; y = 0. Unapartcula se coloca en x = 0; y = 4 A. determine en que punto del eje y se ha de colocar un protn ( repitapara un electrn) para que la fuerza elctrica sobre la partcula sea cero7 a) Con referencia a las cuatro partculas aludidas en el ejercico 2, determine la intensidad el campo elctricoen el punto P correspondiente al centro de la gura. b) Explique en que direccin se acelerara una partcula colocada en P: c) Repita c) para un elctrn en vez de la partcula :8.Con referencia a la situacin descrita en el ejercicio 3, demuestre que la magitud de la intensidad del campoelctrico en el punto (l=2; l; 0), esta dada por

E =8k

l2

1

p5

25

!

Cul es la direccin de este campo?9. Una carga de q1 = 10nC se coloca en en el origen de coordenadas y otra q2 = 20nC se ubica en (2cm; 0):Determine en que punto del eje x se anula el campo elctrico. Repita la pregunta con q1 = 10nC:10. Se tienen dos partculas cada una con carga q; localizadas en los puntos (a; 0) y (0; a): Halle el valor dela carga puntual Q que debe colocar en el oorigen de coordenadas para que se anule el campo elctrico totalen (a; a) de carga11. Un hexgono regular, de lado 3;00 , tiene dos de sus vrtices sobre el eje x:y est centrado en (0; 0)En cada uno de los vrtices que tienen abscisa negativa, hay un protn y en cada uno de los dems vrtices,excepto en el que est sobre el eje x positivo, hay un electrn. Dibuje el campo elctrico de cada partculaen el vrtice que no tiene carga y encuentre la intensidad del campo total all. Explique en que direccin seacelerara un electrn que se deje en reposo en el vrtice sin carga y repita esta pregunta para una partculaalfa.12. Un semiaro muy delgado est denido por x2 + y2 = a; z = 0; tiene una densidad lineal de carga .Determine la intensidad del campo elctrico debido a este aro en en el punto (; 0; 0; a): D su respuesta enfuncin de y a:13 Una supercie en forma de corona circular de radio menor a y radio mayor 2a que se encuentra sobre elplano xy y est centrada en el origen de coordenadas, tiene una densidad supercial de carga uniforme, s:Determine E(0,0,z)14. La supercie = a; a z a tiene una densidad supercial de carga uniforme, s: Determine E(0,0,z).15. La supercie x2 + y2 + z2 = a2; z 1 0; tiene una densidad supercial de carga uniforme, s: Halle laintensidad de campo elctrico en el origen de coordenadas. D su respuesta en funcin de s y a:16 Un disco no conductor tiene radio R;tiene un oricio central de radio R=2, est centrado en el origen decoordenadas, se encuentra en el plano xy y lleva una densidad supercial de carga uniforme : Calcule laintensidad del campo elctrico en el punto (0; 0; z): Repita para un disco conductor.

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17. Un cable coaxial consta de un lamento central no conductor de radio a que tiene una densidad volumtri-ca de carga uniforme v y, de una cubierta cilndrica de radio b con espesor despreciable, colocada coax-ialmente con el conductor, la cual tiene una densidad supercial de carga uniforme, s: Halle E(r) en lasregiones: a) 0 < < a; b) a < < b y c) b: Suponga que la regines a < < b y > b estn llenas deaire y que la permitividad relativa del lamento central es 1:18. a) Un cilindro circular de radio a tiene su eje longitudinal sobre el eje z y lleva una densidad volumtricade carga uniforme . Explique si este cilindro es aislante o conductor y halle la intensidad de campo elctricodentro y fuera de l, en funcin de la distancia r al eje de simetra. b) Suponga que el cilindro tuvieranicamente una densidad supercial de carga uniforme . Pruebe que la intensidad de campo elctrico a unadistancia r del eje es. Respuesta: a) dentro r=2o; fuera a2=2or b) a=or:19. Una esfera hueca de radio menor a y radio mayor 2a; tiene una densidad volumtrica de carga ; uniforme.Obtenga la expresin para el campo elctrico en cualquier punto P; situado una distancia r del centro. Dsu rerspuesta en funcin de r y considere los casos r < a; a < r < 2a y r > 2a.20. Una distribucin de carga de forma esfrica de radio a; tiene una densidad volumtrica v(r): Se sabeque el campo elctrico en el interior de la esfera tiene direccin radial y una magnitud uniforme de 1000N=C:Exprese en funcin de r y determine la expresin para la intensidad del campo elctrico en cualquier puntoP; fuera de la esfera en funcin de la distancia desde P al centro de la distribucin. Respuesta (17;7=r)nC=m2:21 Halle la intensidad del campo elctrico en cualquier punto alrededor de un tomo de H; si se supone queel ncleo est constituido por un protn, (carga e) que se comporta como una carga puntual y el elctrngenera una distribucin uniforme y esfrica de carga de radio a y es concntrica co el ncleo.22. La intesidad del campo elctrico en la atmsfera y justo en la supercie terrestre es aproximadamentede 200N=C dirigido verticalmente hacia abajo. A 1400m por encima de la supercie terrestre la intensidaddel campo es slamente de 20N=C; dirigido hacia abajo tambin. Determine la densidad media de carga dela atmsfera por debajo de 1400m y explique si est constituida predominantemente por iones positivos onegativos.23. Una supercie esfrica, de radio R; tiene una carga Q distribuida uniformemente. Determine la intensidaddel campo elctrico en cualquier punto P; en funcin de la distancia r desde P al centro de la supercie.Cosidere las dos posibilidades r > R y r < R: Suponga que Q es conocida.24. Dos cscaras esfricas muy delgadas, son conductoras, estn colocadas concntricamente y sus radios sona y b; b > a. La cscara interna tiene carga Q y la externa est conectada a tierra. Dibuje las lneas de campoelctrico y determine la intensidad del campo elctrico en cualquier punto P; en funcin de la distancia rdesde P al centro de las cscaras. (Ver gura 16 a)

Filamentoconductor(a)

a b

Cubiertametlica

Aislanteab

Q

(b)

-(c)

Figura 16: (a) Ejercicio 24. (b) Ejercicio 26. (c) Ejercicio 27.

25. Repita el problema anterior si la cscara interna tiene una carga Q de 160nC y la otra una carga 2Q;(no hay conexin a tierra). Si la cscara externa se conectara a tierra, calcule la cantidad de carga quepasarade dicha cscara a la Tierra.26. Un cable coaxial o capacitor cilndrico, consta de un lamento conductor de radio a y de una cubierta de

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radio b; colocada coaxialmente con el lamento (gura 16 b). Ambos cuerpos son conductores, se suponenmuy largos y la cubierta se conecta a tierra. Si el lamento central tiene una carga por unidad de longitud,dibuje las llineas de campo y determine la intensidad del campo elctrico en cualquier punto P; en funcinde la distancia r desde P al eje del cable. Suponer que es conocido.27. Se tienen dos planos conductores colocados paralelamente, cuyas densidades superciales de carga sonuniformes y de valores y : Dibuje las lneas de campo elctrico y determine su intensidad E encualquierpunto P; considerando: a) P ubicado en la regin comprendida entre los planos y b) P fuera de esta regin.(Ver gura 16 c). D sus respuestas en funcin de y dibuje las lneas de campo elctrico.28. a) En el caso de los dos planos aludidos en el ejercicio 5, suponga que = 88;5nC=m2 y halle el valordel campo elctrico entre las placas. b) Si la distancia entre stas es de 0.02m, determine la rapidez con quellegar al plano positivo, un elctrn que se desprende del plano negativo, a partir del reposo.29. Se tienen dos cscaras circulares colocadas concntricamente. La corona interior tiene radios a y 2a;(a = 5;0cm) es no conductora y tiene una carga neta Q de 80C; distribuida uniformemente; la otra esconductora, sus radios son 3a y 4a y tiene una carga 40C: a) Halle la densidad volumtrica de carga dela primera corona; b) determine la densidad supercial de carga en cada una de las supercies de la coronaexterior. c) Halle la intensidad del campo elctrico en cualquier punto P , en funcin de la distancia r quehay desde P hasta el centro de simetra. Cosidere todas las regiones: r < a, a < r < 2a, 2a < r < 3a,3a < r < 4a y r > 4a.30. Una esfera de radio 0;10m est centrada en el origen de coordenadas y tiene una carga de 10C: Lafuerza elctrica que esta esfera ejerce sobre una partcula colocada en (0; 0; 0;3m) y que tiene una cargade 1C; es de 1;2N: a) Calcule la intensidad del campo elctrico originado por la esfera en (0; 0; 0;3m): b)Determine si la carga de la esfera est distribuida simtricamente. Justique su respuesta.

Bibliografa consultada:Rodrguez lara Jaime. Notas de fsica Terica. Universidad Nacional de Colombia, 1993Sears, Zemansky, Youn y Freedman. Fisica Universitaria. Addison-Wesley Iberoamericana,1986Alonso- Finn, Fsica. Addison-Wesley Iberoamericana, 1995Berkeley physics course-vol II Electricidad y magnetismo. Revert, 1973.

EJERCICIOS DE FISICA II

1.Tres pequeas esferas A; B y C, no conductoras estn centradas en los vrtices de un tringulo equilterode lado 5;0cm; el cual se encuentra en un plano vertical. Ver la gura (a). Se puede suponer que las esferasse comportan como partculas y cada una de ellas tiene una carga Q: Si A y B estn jas, C tiene una masade 0;50g y se mantiene en eqilibrio bajo la accin de su peso y de las fuerza elctrica que sobre ellas ejercenA y B; determine el valor de Q

A B

C

(a) (b)

d d

D E F

m, q

(c)

:2. Tres pequeas esferas D; E y F se colocan como se muestra en la gura (b). Cada esfera tiene una masade 0;50g y una carga de 100nC: Si el sistema se deja en reposo cuando d = 0;10m, calcule la aceleracininicial de cada esfera.3. Un ncleo radiactivo z = 92 se encuentra a 20 A de una partcula alfa. Estime la aceleracin de cadapartcula si se admite que ellas slo se encuentran sometidas a la fuerza columbiana mutua. Puede suponer

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que: la carga del ncleo es ze, su masa es 185 uma; la carga de la apartcula alfa es 2e y la masa 4uma:1uma = 1;66 1027Kg:4. Una partcula que tiene una carga elctrica de 4;0C est ja en el origen de coordenadas. Determineen que punto se debe colocar otra partcula que tiene una carga de 1;0C para que el campo elctricoresultante debido a las dos partculas se anule en el punto (3; 4; 0): Suponga que las coordenadas se expresanen centmetros.5. Una pequea esfera no conductora que tiene una masa de 1;0g y una carga de 100nC; se sujeta por mediode un hilo de masa despreciable como se muestra en la gura (c). Debido a que existe un campo elctrico deintensidad E en la regin donde est la esfera, el hilo se desva hasta cuando forma un ngulo = 30o con lavertical. En esta posicin, la tensin que soporta la cuerda es de 1500 dinas y la esfera queda en equilibrio:Encuentre el valor de E:6. Determine la intensidad del campo elctrico que permite que una partcula alfa permanezca en equilibriobajo la accin de su peso y de la fuerza elctrica generada por dicho campo.7. Dos partculas con cargas q1 = q2 = 7q; estn jas en los puntos (0;a

p3) y otras dos, cuyas cargas son

q3 = q4 = 8q, estn localizadas en (0;ap15): Determine la magnitud del campo elctrico en el punto (a; 0):

8. Tres partculas con cargas q1 = 16nC; q2 = 25nC y q3 = 9;0nC; estn localizadas respectivamente, enlos puntos (0; 3); (0; 0) y (4; 0); donde x e y se expresan en cm: Determine la intensidad el campo elctricodebido a estas 3 partculas en el punto (4; 3): Luego encuentre la fuerza elctrica que se ejerera sobre unapartcula de carga qo = 1;0nC ubicada en (4; 3):9. Hay una partcula con carga q en cada uno de los vrtices de un tringulo equiltero, y cada una de lascuales se encuentra en equilibrio debido a la presencia de una cuarta partcula de carga Q; que tambin esten equilibrio en el centro del tringulo. Hallle la relacin entre Q y q.10. Repita el ejercicio anterior cuando se ubica una carga q en cada vrtice de un cuadrado de lado l; y Qen el centro de este paralelogramo.11. Cuatro partculas cada una con una con carga q; estn ubicadas en los puntos (l

p3; 0; 0); (0; l

p3; 0);

(lp3; 0; 0); (0;lp3; 0): Determine el valor de la carga de una partcula que se debe ubicar en el origen decoordenadas para que el campo de las cinco partculas se anule en (0; 0; l):

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