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1
CAMPO ELÉCTRICO Modelo 2018. Pregunta 3A.- Considérese una carga puntual q = 5 nC situada en el centro de una esfera de radio R = 10 cm. Determine:
a) El flujo del campo eléctrico a través de la superficie de la esfera. b) El trabajo que es necesario realizar para traer una carga de 2 nC desde el infinito hasta una
distancia de 10 cm del centro de la esfera. Dato: Constante de Coulomb K=1/(4πεo) = 9·109 N m2 C ‒2.
Solución. a. Según el teorema de Gauss, el flujo de líneas de campo que atraviesan una superpie es directamente proporcional al Alor absoluto carga que encierra dicha superficie e inversamente proporcional a la permitividad del vacío o constante dielectrica.
oε
QΦ = 21212
9o mNC 1084,8109π4
1
Kπ4
1ε −−−⋅=
⋅⋅==
. mV 5,565mC
J 5,565
mNC 1084,8
C 105Φ
21212
9⋅=⋅=
⋅
⋅=
−−−
−
b. El trabajo realizado para trasladar una carga dentro de un campo eléctrico viene dado por la expresión:
V∆qW ⋅−=
Aplicando a las condiciones del problema:
( ) ( ) J1091010
1051091020
r
qKqVVqVVqW 7
2
999
rcm 10rof−
−
−−
∞== ⋅−=⋅
⋅⋅⋅⋅−=
−⋅′−=−⋅′−=−⋅′−=
El signo negativo nos indica que el trabajo se esta realizando en contra el campo por medio de una fuerza exterior. Septiembre 2017. Pregunta 3A.- Dos cargas de +5 nC están separadas una distancia de 4 cm de acuerdo a la figura adjunta. Calcule:
a) El campo eléctrico en el punto A y en el punto B creado por ambas cargas.
b) El potencial eléctrico en el punto A y en el punto B, y el trabajo que hay que realizar sobre una carga de +3 nC para desplazarla desde el punto A al punto B.
Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 N m2 C‒2.
Solución. a. Campo eléctrico en A. Aplicando el principio de superposición, el campo eléctrico en el punto A es la suma vectorial de los campos que generan cada una de las cargas. Como puede verse en la figura adjunta, y teniendo en cuenta que las cargas son iguales y están a igual distancia en direcciones simétricas, el campo eléctrico en el punto A es la suma de las componentes
yEr
de los campos eléctricos que crean cada una de las cargas ya que las
componentes xEr
se anulan entre ellas.
En la figura inicial, puede observarse que las cargas y el punto A forman un triángulo equilátero, por lo que α = 60º. El módulo del campo eléctrico que crea cualquiera de las cargas en el punto A es:
CN 125 28
04,0
105109
r
qKEE
2
99
2=
⋅⋅===
−r
En forma vectorial:
j 60sen 28125i 60cos28125j αsen Ei αcosEEEE
j 60sen 28125i 60cos28125 j αsen Ei αcosE EEE
22
11
yx2
yx1 rrrrrrr
rrrrrrr
⋅+⋅−=⋅+⋅−=+=
⋅+⋅=⋅+⋅=+=
2
El campo resultante es la suma vectorial de los campos que crea cada una de las cargas
CN j 714 48j 60sen 281252EEE 21A
rrrrr=⋅⋅=+=
Campo eléctrico en B. Aplicando el principio de superposición, el campo en el punto B es la suma de los campos que crean cada una de las cargas. Por geometría, los campos se anulan entre si resultando que el campo eléctrico total en B es nulo. No es necesario, pero si se quiere se puede hacer el calculo numérico y de esa forma no tener que dar explicaciones. Módulo del campo eléctrico creado por una cualquiera de las cargas en el punto B:
CN 500 112
02,0
105109
r
qKEE
2
99
2=
⋅⋅===
−r
Vectores:
0EEE:i 500 112i EEE
i 500 112 i E EE21B
x2
x1
2
1 =+=
−=−==
=== rrrrrrr
rrrr
b. Aplicando el principio de superposición y teniendo en cuenta que el potencial (V) es una magnitud escalar:
v225004,0
1051092
r
qK2
rrr
qqq
r
qK
r
qKVVV
99
AAA2A1
21
A2
2
A1
121A =
⋅⋅⋅=⋅=
==
===⋅+⋅=+=
−
v450002,0
1051092
r
qK2
rrr
qqq
r
qK
r
qKVVV
99
BBB2B1
21
B2
2
B1
121B =
⋅⋅⋅=⋅=
==
===⋅+⋅=+=
−
El trabajo para desplazar una carga Q desde A a B es:
( ) ( ) J 1075,622504500103VVQV∆QW 69ABBA
−−→ ⋅−=−⋅⋅−=−⋅−=⋅−=
El signo negativo indica que el trabajo hay que hacerlo en contra del campo, lo cuál confirma que las cargas positivas tienden a desplazarse hacia regiones de menor potencial, por lo que si queremos desplazarla hacia una zona de mayor potencial deberemos realizar un trabajo en contra del campo Septiembre 2016. Pregunta 3B.- Dos esferas pequeñas tienen carga positiva. Cuando se encuentran separadas una distancia de 10 cm, existe una fuerza repulsiva entre ellas de 0,20 N. Calcule la carga de cada esfera y el campo eléctrico creado en el punto medio del segmento que las une si:
a) Las cargas son iguales y positivas. b) Una esfera tiene cuatro veces más carga que la otra.
Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 N m2 C‒2.
Solución. a. La fuerza entre cargas viene descrita por la Ley de Coulomb:
ur
QQKF
2
rr ′⋅=
El módulo de la fuerza es: { }2
2
2 r
QKQQ
r
QQKF =′==
′⋅=
C1071,4109
1,020,0
K
rFQ 7
9
22−×=
×
⋅=
⋅=
Campo eléctrico ( )Er
. Teniendo en cuenta que las cargas son
iguales y el carácter vectorial de la magnitud, el campo eléctrico en el punto medio del segmento que une las cargas es nulo.
3
( ) ( ){ }
( ) ( )0i
2r
QKi
2r
QKQQi
2r
QKi
2r
QKEEE
2222=⋅−⋅=′==
′⋅−⋅=′+=
rrrrrrr
b. Aplicando la ley de Coulomb en módulo como en el apartado anterior:
{ }2
2
2 r
Q4KQ4Q
r
QQKF
′=′==
′⋅=
C1036,21094
1,020,0
K4
rFQ 7
9
22−×=
×⋅
⋅=
⋅=′ ⇒ C1044,91036,24Q 77 −− ×=×⋅=
( ) ( ){ }
( ) ( ) ( )i
2r
Q3Ki
2r
QKi
2r
Q4KQQi
2r
QKi
2r
QKEEE
22222
rrrrrrrr ′⋅=
′⋅−
′⋅=′==
′⋅−⋅=′+=
( ) C
N i1055,2i
21,0
1036,23109E 6
2
79
rrr×=
×⋅⋅×=
−
Junio 2016. Pregunta 3A.- Dos cargas puntuales, q1 = 3 µC y q2 = 9 µC, se encuentran situadas en los puntos (0,0) cm y (8,0) cm. Determine:
a) El potencial electrostático en el punto (8,6) cm. b) El punto del eje X, entre las dos cargas, en el que la intensidad del campo eléctrico es nula.
Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 N m
2 C‒2
. Solución. a. Según el principio de superposición, el potencial eléctrico creado por las cargas q1 y q2 en el punto C es:
2
2
1
1
i
i
r
qK
r
qK
r
qKV ⋅+⋅=⋅=∑
v1062,106,0
109
1,0
103109
r
q
r
qKV 6
669
2
2
1
1 ⋅=
⋅+
⋅⋅⋅=
+⋅=
−−
b. Se busca el punto donde se cumpla:
0EE 21 =+rr
21 EErr
−= 21 EErr
=
Aplicando la ley de Coulomb:
22
22
1
1
r
qK
r
qK ⋅=⋅
( )22
21
x8
q
x
q
−=
( )
1
22
2
q
q
x
x8=
− 3
103
109
q
q
x
x86
6
1
2 =⋅
⋅==
−−
−
Despejando: x = 2,93 cm Modelo 2016. Pregunta 3A.- Una carga puntual, q = 3 µC, se encuentra situada en el origen de coordenadas, tal y como se muestra en la figura. Una segunda carga q1 = 1 µC se encuentra inicialmente en el punto P1(1,0) m y, recorriendo la espiral de la figura, llega al punto P2(0,2) m. Determine:
a) La diferencia de potencial entre los puntos P1 y P2. b) El trabajo realizado para llevar la carga q1 del punto P1 al P2.
Datos: Constante de la Ley de Coulomb; K = 9·109 N m2 C‒2
Solución. a. En este apartado se debe entender que se pide la diferencia de potencial entre los puntos P1 y P2 es debido a la presencia de la carga q.
v 135002
1
1
1103109
r
1
r
1Kq
r
qK
r
qKVV 69
2121PP 21
=
−⋅×⋅×=
−⋅=⋅−⋅=− −
4
b. El trabajo realizado por una carga al desplazarse en el seno de un campo magnético, solo depende de las posiciones iniciales y finales de la carga, y no del camino recorrido.
( )211PP VVqW21
−⋅=→
0J 0135,0500 13101W 6PP 21
>=⋅×= −→
El trabajo lo realiza el campo sobre la carga Septiembre 2015. Pregunta 3A.- Tres cargas iguales, cada una de 1µC, están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 10 cm de lado. Calcule:
a) La energía potencial electrostática de cualquiera de las cargas. b) El potencial eléctrico en el punto medio de cualquier lado.
Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 N m
2 C‒2
.
Solución. a. La energía potencial electrostática (U) de una de las cargas es la carga por el potencial que generan las otras dos en el punto donde esta.
J 18,01,0
101
1,0
101109101
l
q
l
qKq
r
qK
r
qKqVqU
669632
1
lr32
11 =
⋅+
⋅⋅⋅⋅⋅=
+⋅=
+⋅=⋅=
−−−
=
b. Para calcular el potencial en el punto P, se calcula la distancia d mediante el teorema de Pitágoras
0075,005,01,0d 22 =−=
v1064,40075,0
10
05,0
10
05,0
10109
r
qK
r
qK
r
qKVV 5
6669
3
3
2
2
1
1iP ⋅=
++⋅=++==
−−−
∑
Junio 2015. Pregunta 3B.- Dos cargas de 2 nC se sitúan en los vértices de la base de un triángulo equilátero de lado 2 cm que se encuentra situada sobre el eje de abscisas. El punto medio de la base está en el origen de coordenadas y el vértice superior en el semieje positivo de ordenadas. Determine:
a) El campo eléctrico y el potencial eléctrico creado por las cargas en el vértice libre. b) La fuerza que las cargas positivas ejercerían sobre una carga de -2 nC situada en el vértice libre
del triangulo. Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·10
9 N m
2 C‒2
.
Solución. a. El campo eléctrico en el punto C se obtiene como suma vectorial de los campos que generan las cargas situadas en los puntos A y B. Por ser las cargas de igual intensidad y estar situadas a igual distancia, los módulos de los campos creados por ambas serán iguales.
( ) CN45000
102
102109
d
qKEEE
22
99
2BA =
×
×⋅×=⋅===
−
−rr
La disposición de las cargas y el punto, determinan ángulos de 60º para los vectores campo (triángulo equilátero).
CN j 3,77942 j 345000EEE
j 2
345000i
2
145000j º60 senEi º60cosEE
j 2
345000i
2
145000j º60 senEi º60cosEE
BA
B
A
rrrrr
rrrrr
rrrrr
==+=
⋅+⋅−=⋅+⋅−=
⋅+⋅=⋅+⋅=
El potencial que generan las dos cargas en el punto C es la suma escalar de los potenciales que crean cada una de las cargas en el punto.
v1800102
102109
102
102109
d
qK
d
qKVVV
2
99
2
99BA
BAC =×
×⋅×+
×
×⋅×=+⋅=+=
−
−
−
−
b. Si sobre el punto C se coloca una carga, esta se vera sometida a una fuerza que viene dada por la expresión:
5
N j 1056,1 j 1039CN j 345000C 102EqF 459
rrrrr−−− ×−=×−=⋅⋅−=⋅=
Modelo 2015. Pregunta 3A.- Tres cargas puntuales, q1 = 3 µC, q2 = 1 µC y una tercera carga desconocida q3, se encuentran en el vacío colocadas en los puntos A (0,0), B(3,0) y C(0,4), respectivamente. El potencial que crean las tres cargas en el punto P(3,4) es V=10650 V. Calcule, teniendo en cuenta que las coordenadas vienen dadas en metros:
a) El valor de la carga q3. b) La fuerza que experimentaría una carga de ‒7 µC colocada en el punto P, debido a la presencia
de las otras tres. Datos: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9×109 N m2 C‒2 Solución. a. Dado el carácter escalar del potencial:
++=++=++=
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1321P r
q
r
q
r
qK
r
qK
r
qK
r
qKVVVV
543r 221 =+=
+
×+
××=
−−
3
q
4
101
5
10310910650 3
669 ; Cµ1C101q 6
3 =×= −
b. Lo mas sencillo en estos casos es calcular el campo eléctrico que crean las tres cargas (q1, q2 y q3) en el punto P, y a continuación calcular la fuerza que experimentaría una carga situada en ese punto
( )EqFrr
⋅= .
El modulo del campo eléctrico viene expresado por:
2d
qKE ⋅=
Mediante triángulos se pueden determinar las razones trigonométricas del ángulo α:
5
4
43
4
r
rα sen
221
2 =+
== 5
3
r
rαcos
1
3 ==
321T EEEErrrr
++=
• CN j 864i 648j
5
4
5
103109i
5
3
5
103109j α senEi αcosEE
2
69
2
69
111
rrrrrrr+=⋅
××+⋅
××=⋅+⋅=
−−
• CN j 5,562j
4
101109j EE
2
69
22
rrrr=
××==
−
• CN i 1000i
3
101109i EE
2
69
33
rrrr=
××==
−
j 6,1426i 1648i 1000j 5,562j 864i 648ET
rrrrrrr+=+++=
La fuerza que experimenta la carga es:
( ) j 1099,9i 1015,1j 6,1426i 1648107EqF 326rrrrrr
−−− ×−×−=+⋅×−=⋅=
Septiembre 2014. Pregunta 3B.- En el plano XY se sitúan tres cargas puntuales iguales de 2 μC en los puntos P1(1,-1) mm, P2(-1, -1) mm y P3(-1, 1) mm. Determine el valor que debe tener una carga situada en P4 (1, 1) mm para que:
a) El campo eléctrico se anule en el punto (0,0) mm. En esas condiciones, ¿cuál será el potencial eléctrico en dicho punto?
b) El potencial eléctrico se anule en el punto (0,0) mm. En esas condiciones, ¿cuál será el vector de campo eléctrico en dicho punto?
Dato: Constante de Coulomb, K=9×109 N m2C‒2
6
Solución. a. El campo eléctrico resultante en un punto debido a una distribución de cargas puntuales, es la suma vectorial de los campos eléctricos que crean cada una de las cargas en el punto.
321 EEEErrrr
++=
Para calcular el campo eléctrico en un punto, se supone en dicho punto la unidad de carga positiva, lo cual permite establecer la dirección y sentido de los campos que crean las diferentes cargas de la distribución. La geometría de la distribución y el hecho de que las cargas son iguales, permite observar en el esquema adjunto, que los campo creados por las cargas situadas en los puntos P1 y P2 en el origen de ordenadas, son iguales y de signos contrarios por lo que se anulan entre si. Por lo tanto el campo resultante debido a las tres cargas en dicho punto es
2Er
.
2321d
QKEEEE ⋅====
rrr ( ) ( ) 32323 102101101d −−− ×=×+×=
( ) C
N109
102
102109E 9
23
69 ×=
×
×⋅×=
−
−
2
1αcosα sen ==
j 2
1109i
2
1109EEEE
j 2
1109i
2
1109j α senEi αcosEE
j 2
1109i
2
1109j α senEi αcosEE
j 2
1109i
2
1109j α senEi αcosEE
99321T
993
992
991
rrrrrr
rrrrr
rrrrr
rrrrr
×+×=++=
×−×=⋅−⋅=
×+×=⋅+⋅=
×+×−=⋅+⋅−=
Para que el campo sea nulo, 0EE 4T =+rr
T4 EErr
−=
Para que el campo creado en P4 tenga sentido contrario al resultante de los otros tres, la carga en el punto 4 deberá ser positiva.
Si T4 EErr
−= ⇒ T4 EErr
=
( )9
2929
23
49 1092
109
2
109
102
Q109 ×=
×+
×=
×⋅×
− ; Cµ 2C102
109
102109Q 6
9
69
4 =×=×
×⋅×= −
−
Este apartado, se puede explicar por geometría sin necesidad de realizar cálculos, llegando a la conclusión que por simetría, los campo eléctricos que generan las cargas situadas en P1 y P3 en el origen se anulan, por lo tanto deberá pasar lo mismo entre las cargas situadas en P2 y P4 por lo que la carga en P4 deberá ser igual a la de P2. El potencial (escalar) creado por la distribución de cargas en el origen de coordenadas es la suma escalar de los potenciales que crea cada carga en el origen de coordenadas:
d
QK4
ddddd
QQQQQ
d
QK
d
QK
d
QK
d
QK
d
QKVV
4321
4321
4
4
3
3
2
2
1
1
i
ii ⋅=
====
=====⋅+⋅+⋅+⋅=⋅== ∑∑
v1009,5102
1021094V 7
3
69 ×=
×
×⋅×⋅=
−
−
b. 0d
QK
d
QK3
ddddd
QQQQ
d
QK
d
QK
d
QK
d
QKV 4
4321
321
4
4
3
3
2
2
1
1 =⋅+⋅=
====
====⋅+⋅+⋅+⋅=
d
QK3
d
QK 4 ⋅⋅−=⋅ Cµ 6C1061023Q3Q 66
4 −=×−=×⋅−=−= −−
7
Campo eléctrico: 4321 EEEEErrrrr
+++=
( ) C
N1027
102
106109
d
QKEE 9
23
69
24
44 ×=×
×⋅×=⋅==
−
−r
Suponiendo la unidad de carga positiva en el centro, se puede establecer la dirección y sentido del campo que crean cada carga.
j 10218i 10218j2
1036i
2
1036EEEEE
j2
11027i
2
11027j α senEi αcosEE
j 2
1109i
2
1109j α senEi αcosEE
j 2
1109i
2
1109j α senEi αcosEE
j 2
1109i
2
1109j α senEi αcosEE
9999
4321
99444
993
992
991
rrrrrrrrr
rrrrr
rrrrr
rrrrr
rrrrr
×+×=×
+×
=+++=
×+×=⋅+⋅=
×−×=⋅−⋅=
×+×=⋅+⋅=
×+×−=⋅+⋅−=
Junio 2014. Pregunta 3B.- Un electrón se propaga en el plano XY con velocidad vo constante de 100 m s‒1 en el sentido negativo del eje X. Cuando el electrón cruza el plano x = 0 se adentra en una región del espacio donde existe un campo eléctrico uniforme de 8×10‒9 N C‒1 en el sentido negativo del eje X, tal y como se indica en la figura.
a) Describa el tipo de movimiento que seguirá el electrón una vez se haya introducido en esa región del espacio. Discuta cual será la velocidad final del electrón.
b) Calcule la fuerza ejercida sobre el electrón así como la aceleración que éste experimenta.
Datos: Masa del electrón, me = 9,1×10‒31 kg ; Valor absoluto de la
carga del electrón, e = 1,60×10‒19 C Solución. a. Al entrar el electrón en la región donde existe el campo eléctrico, se vera sometido a una fuerza
en sentido opuesto al campo que proporcionará al electrón una aceleración en el sentido de ir
+ (negativa) hasta que lo pare, una vez parado, la fuerza seguirá actuando haciendo que el electrón se acelere en el
sentido positivo de ir
hasta salir de la región donde existe el campo eléctrico con la misma velocidad que entro pero con sentido opuesto, debido al carácter conservativo del campo eléctrico. El electrón describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, siendo su velocidad
final 1s m i 100v −=rr
.
b. EqFrr
⋅= ( ) N i 1028,1C N i 108C106,1F 271919rrr
−−−− ×=×−⋅×−=
amFrr
⋅= 231
27
s m i 6,1406kg 109,1
N i 1028,1
m
Fa −
−
−
=×
×==
rrr
r
Modelo 2014. Pregunta 3A. El campo electrostático creado por una carga puntual q, situada en el
origen de coordenadas, viene dado por la expresión: 1r2
C N ur
9E −=
rr, donde r se expresa en m y ru
res
un vector unitario dirigido en la dirección radial. Si el trabajo realizado para llevar una carga q´ desde un punto A a otro B, que distan del origen 5 y 10 m, respectivamente, es de − 9×10‒6 J, determine:
a) El valor de la carga puntual q que está situada en el origen de coordenadas. b) El valor de la carga q´ que se ha transportado desde A hasta B.
Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9×109 N m2 C‒2
8
Solución. a. Según la ley de Coulomb, el campo eléctrico viene dado por la expresión:
r2u
r
qKE
rr⋅=
Si se identifica con la expresión que se da en el enunciado
r2r2u
r
9u
r
qKE
rrr=⋅=
Se puede obtener el valor de la carga que genera el campo eléctrico.
9qK =⋅ nC 1C10109
9
K
9q 9
9==
×== −
b. El trabajo realizado para trasladar una carga ( )q′ dentro de un campo eléctrico cuya intensidad
varia con el radio, viene dado por la expresión:
10
q9
5
1
10
1q9
r
1q9dr
r
1q9dr
r
9qrdEqW
10
5
10
5 2
10
5 2
r
rBA
B
A
′=
−−
−⋅′=
−⋅′=⋅′=⋅′=⋅′= ∫∫∫→
ro
r
Igualando al valor del trabajo del enunciado, se despeja el valor de la carga que se traslada por el campo eléctrico.
610910
q9 −×−=′
Cµ 10C1010q 6 −=×−=′ −
Septiembre 2013. Pregunta 5A.- Se tiene un plano infinito con una densidad de carga superficial positiva σ.
a) Deduzca, utilizando el teorema de Gauss, el vector campo eléctrico generado por la distribución. b) Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, en el mismo semiespacio, separados
una distancia d en la dirección perpendicular al plano cargado. Justifique si cambiaría su respuesta si la dirección fuera paralela al plano cargado.
Solución. a. Según el teorema de Gauss, el flujo neto a través de una superficie cerrada cualquiera es igual a la suma algebraica de las cargas eléctricas encerradas en su interior dividida entre la constante dieléctrica del vacío.
oε
Q∑=Φ
Para un plano infinito, se toma como superficie gaussiana un paralelepípedo recto como el que muestra la figura. Sólo hay flujo a través de las caras S y S’ paralelas al plano. Las líneas de campo siempre salen de las cargas positivas, por lo que el campo creado por el plano será uniforme. El flujo a través de las superficies laterales es nulo (ninguna línea de campo las atraviesan). Aplicando el teorema de Gauss:
oSSε
QSE20cosSE0cosSESdESdE =⋅=⋅′⋅+⋅⋅=+=Φ ∫∫
′
ro
rro
r
Teniendo en cuenta la densidad superficial de carga ( )SσQ ⋅=
oε
SσSE2
⋅=⋅
oε2
σE =
b. La diferencia de potencial entre dos puntos viene dado por la expresión:
( ) dε2
σrr
ε2
σdr
ε2
σº0cosdrErdEVV
oAB
o
r
r o
r
r
r
rAB
B
A
B
A
B
A
⋅−=−−=−=⋅⋅−=⋅−=− ∫∫∫rr
Si la línea que une los puntos fuese paralela al plano, 0rr AB =− , y la diferencia de potencial
entre ellos seria cero
9
Junio 2013. Pregunta 1B.- Dos cargas puntuales q1 y q2 están situadas en el eje X separadas por una distancia de 20 cm y se repelen con una fuerza de 2 N. Si las suma de la dos cargas es igual a 6 µC, calcule:
a) El valor de las cargas q1 y q2. b) El vector campo eléctrico en el punto medio de la recta que une las cargas. Dato: Constante de la ley de Coulomb, K = 9×10
9 N m
2 C
‒2.
Solución. a. Por repelerse y sumar 6 µC, las cargas deben tener igual signo, y ser positivas. Aplicando la Ley de Coulomb:
t221 u
d
qqKF
rr ⋅= En módulo
221
d
qqKF
⋅=
( )22
219
1020
qq1092
−×
⋅×= 11
21 109
8qq −=⋅
( ) 111
6111
21
621
109
8q106q :
109
8qq
106qq−−
−
−
×=−×⋅
×=⋅
×=+
×=
×==×+×−
−
−
−−
61
6111
162
110
3
8q
103
10q
:0109
8q106q
Si se toma como C103
8qC10
3
10q 6
26
1−− ×=⇒×=
b. El campo eléctrico en el punto medio del segmento que une las cargas es la suma vectorial de los campos generan cada una de las cargas.
( ) i qqd
Ki
d
qKi
d
qKEEE 2122
221
21
rrrrrr−=−=+=
( ) C
N i106i 10
3
810
3
10
1010
109E 566
22
9 rrr×=
×−×
×
×= −−
−
Modelo 2013. Pregunta 3B.- Una esfera maciza no conductora, de radio R = 20 cm, está cargada uniformemente con una carga de Q = +1×10‒6 C.
a) Utilice el teorema de Gauss para calcular el campo eléctrico en el punto r = 2R y determine el potencial eléctrico en dicha posición.
b) Si se envía una partícula de masa m = 3×10‒12 kg, con la misma carga +Q y velocidad inicial vo = 1×105 m s‒1, dirigida al centro de la esfera, desde una posición muy lejana, determine la distancia del centro de la esfera a la que se parará dicha partícula.
Datos: K = 9×109 N m2 C‒2 Solución. a. Teorema de Gauss. “El flujo neto que atraviesa una superficie cerrada cualquiera es igual a la
suma algebraica de las cargas eléctricas encerradas en su interior dividida entre la constante
eléctrica del vacío
=Φ
oε
Q”
o
GAUSS .T2
SSSε
Qrπ4EdsEdsESdE =⋅==⋅==Φ ∫∫∫
ro
r
( ) m
V56250
10202
10109
r
QK
r
Q
πε4
1E
22
69
22
K
o=
×⋅
⋅×==⋅=−
−
321
*
V 2250010202
10109
r
QKV
2
69 =
×⋅⋅×=⋅=
−
−
* El campo eléctrico se puede expresar en V/m o en N/m.
10
b. La energía cinética que tiene la carga en un punto alejado (infinito) se transforma en trabajo que realiza para aproximarse a otra carga de igual signo.
( )( )
2o
2o
2o
2c
c
mv2
1VQ:
VQVVQVQW
mv2
1vvm
2
1E
EW
−=⋅−
⋅−=−⋅−=∆⋅−=
−=−=∆
∆=
∞
2mv2
1
r
QKQ =⋅
( )( )
cm 60m 6,010103
101092
mv
QK2r
2512
269
2
2==
⋅×
⋅×⋅=
⋅=
−
−
Septiembre 2012. Pregunta 3A.- Dos cargas puntuales q1 = 2 mC y q2 = ‒4 mC están colocadas en el plano XY en las posiciones (‒1,0) m y (3,0) m, respectivamente:
a) Determine en que punto de la línea que une las cargas el potencial eléctrico es cero. b) Es nulo el campo eléctrico creado por las cargas en ese punto? Determine su valor si procede.
Dato: Constante de la ley de Coulomb, K = 9×109 N m2 C‒2 Solución a. Se pide calcular la posición de punto A como indica la figura, de manera que el potencial creado por las dos cargas en el punto sea nulo.
Teniendo en cuenta la definición de potencial en un punto
=
d
qKV y su carácter escalar:
( )∑ = 0AVi ; 0VV 21 =+ ; 03x
qK
1x
qK 21 =
−+
+ ; 0
3x
q
1x
q 21 =−
−=+
3x
104
1x
102 33
−
×−−=
+
× −−
21x
3x±=
+
−
Resolviendo una vez con cada signo, se obtienen dos posibles posiciones.
21x
3x=
+
− ( )0 ,5A5x −⇒−=
21x
3x−=
+
−
′⇒= 0 ,
3
1A
3
1x
b. Dado el carácter vectorial del campo eléctrico, y los sentidos de los campos creados por cada carga en el punto A, el campo eléctrico en él no es nulo.
i d
q
d
qKi
d
qKi
d
qKiEiEEEE
22
221
122
221
12121A
rrrrrrrr
+−=+−=+−=+=
152
3
2
39
A Nm i 1063,5i 35
104
15
102109E −
−−
×−=
−−
×+
+−
×−×=
rrr
162
3
2
39
A Nm i 10178,15i 331
104
131
102109E −
−−
×=
−
×+
+
××=
rrr
11
Junio 2012. Pregunta 3A.-. Un electrón que se mueve .con una velocidad 16 msi102v −⋅×= penetra en una región en la que existe un campo eléctrico uniforme. Debido a la acción del campo, la velocidad del electrón se anula cuando éste ha recorrido 90 cm. Calcule, despreciando los efectos de la fuerza gravitatoria.
a) El modulo, la dirección y el sentido del campo eléctrico existente en dicha región b) El trabajo realizado por el campo eléctrico en el proceso de frenado del electrón.
Datos: Masa del electrón, kg1011,9m 31e
−×= ;
Valor absoluto de la carga del electrón, C1060,1e 19−×=
Solución. a. Cuando una carga eléctrica entre en una región donde existe un campo eléctrico, se ve sometida a una fuerza que es proporcional a la intensidad del campo y al valor de su carga. La dirección de la fuerza será paralela al campo eléctrico y el sentido será el mismo que el del campo si la carga es positiva y opuesto si es negativa.
EqFrr
⋅=
La fuerza a la que se ve sometida la carga se puede calcular teniendo en cuenta el segundo
principio de la dinámica ( )amFrr
⋅= y el tipo de movimiento que realiza la carga (M.R.U.A).
++=
+=
2oo
o
at2
1tvss
atvv:MRUA : ( )o
2o
2 ss a2vv −=−
Teniendo en cuenta que so = v = 0:
s a2v2o =−
s2
va
2o−= i
s2
va
2orr
−= is2
vmF
2orr
−=
Sustituyendo en la expresión del campo eléctrico:
is2
mvEq
2orr
−=⋅ ( )
( ) CNi65,12j
1060,19,02
1021011,9i
sq2
mvE
19
26312o
rrrr=
×−⋅⋅
×⋅×−=−=
−
−
b. El trabajo realizado por el desplazamiento de una carga en el seno de un campo eléctrico viene
dado por: ( )BABA VVqVqW −⋅=∆⋅−=→
El incremento de potencial (∆V) se puede obtener de la relación existente entre campo y potencial eléctrico.
dx
dVE −= : dx EdV −=
Teniendo en cuenta que el campo es uniforme: x·EV ∆−=∆
( ) x·E·qx·EqW:x·EV
VqWBA
BA∆=∆−⋅−=
∆−=∆
∆⋅−=→
→
J10-1,82m 9,0C
N65,12C106,1W 1819
BA−−
→ ×=⋅⋅×−=
También se puede resolver teniendo en cuenta que la carga se esta desplazando por un campo conservativo, y que por tanto UW ∆−= , siendo en este caso ∆U el incremento de energía potencial. Por ser conservativo, la energía mecánica permanece constante.
cPm EEE += 0EEE cPm =∆+∆=∆ Pc EE ∆−=∆
A medida que aumenta la energía cinética, disminuye la energía potencial
( ) ( ) J1082,110201011,92
1vvm
2
1EW:
EE
EW 1826312o
2c
cP
P −− ×−=
×−⋅×=−⋅=∆=
∆=∆−
∆−=
12
Modelo 2012. Pregunta 5A.- Se disponen tres cargas eléctricas puntuales en los vértices de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud L como
indica la figura (L = 1,2 m, q1= q2 = 5 nC, q3= −5 nC).
a) Calcule la fuerza total, Fr
, ejercida por las cargas q1 y q2 sobre la carga q3 , y dibuje el diagrama de fuerzas de la carga q3.
b) ¿Cuál sería el trabajo necesario para llevar la carga q3 desde su posición actual al punto P de coordenadas x = 1,2 m, y = 1,2 m?
Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9×109 N m2 C‒2. Solución. a. El módulo de la fuerza entre dos cargas se calcula mediante la Ley de Coulomb:
2d
qqKF
′⋅=
La dirección, la línea que une las cargas, y el sentido, por ser de signos contrarios, de atracción.
N 1056,12,1
105105109
L
qqKF 7
2
999
231
1−
−−
×=×⋅×
×=⋅
=
N j 1056,1F 71
rr−×−=
( )N 1081,7
2,1 2
105105109
L
qqKF 8
2
999
232
2−
−−
×=×⋅×
×=⋅
=
Por ser un triángulo isósceles rectángulo, el ángulo en valor absoluto es de 45º
N j 45ºsen 1081,7i 45ºsen 1081,7F 882
rrr−− ×−×=
La fuerza ( )Fr
a la que se ve sometida la carga q3 es la suma vectorial de 1Fr
y 2Fr
.
( )j 45ºsen 1081,7i 45ºsen 1081,7j 1056,1FFF 88721
rrrrrr−−− ×−×+×−=+=
( ) j 45ºsen 1081,71056,1i 45ºsen 1081,7F 878rrr
−−− ×−×−+×=
N j 1011,2i 1056,5F 78rrr
−− ×−×=
( ) ( ) N 1018,21011,21056,5F 72728 −−− ×=×−+×=
º751056,5
1011,2arctg
F
Farctgα
8
7
x
y−≈
×
×−==
−
−
b. Por ser un campo conservativo: ( )343P VVqV∆qE∆W −⋅−=⋅−=−=
Siendo V4 el potencial creado por q1 y q2 en el punto P y V3 el potencial creado por q1 y q2 en la posición inicial de q3.
d
qKV =
L 2
qK
L
qKV 21
3 += ; L
qK
L 2
qKV 21
4 +=
Teniendo en cuenta que q1 = q2 ⇒ V3 = V4, por lo tanto ∆V = 0 y el trabajo es nulo.
13
00qV∆qW 3 =⋅−=⋅−=
Septiembre 2011. Problema 2B.- En el punto de coordenadas (0, 3) se encuentra situada una carga, q1 = 7,11×l0−9 C y en el punto de coordenadas (4, 0) se encuentra situada otra carga, q2 = 3,0×10−9 C. Las coordenadas están expresadas en metros.
a) Calcule la expresión vectorial de la intensidad del campo eléctrico en el punto (4, 3). b) Calcule el valor del potencial eléctrico en el punto (4, 3). c) Indique el valor y el signo de la carga q3 que hay que situar en el origen para que el potencial
eléctrico en el punto (4, 3) se anule. d) Indique el valor y el signo de la carga q4 que hay que situar en el origen de coordenadas para que
la intensidad del campo en el punto de coordenadas (4, 3) sea 0. Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9×109 N m2 C−2 Aclaración: No es necesario, pero si se desea que en el punto (4, 3) el campo eléctrico en el apartado d) sea un cero exacto, hay que considerar el valor de q1 como un número periódico, q1= (64/9)×10−9 C. Solución. a. El campo eléctrico en el punto (4, 3) es la suma vectorial de los campos eléctricos que generan cada una de las cargas en ese punto.
21T EEErrr
+=
i4i4
10964
109ir
qKiEE
2
99
21
111
rrrrr=
×⋅×=⋅==
−
i3j3
103109j
r
qKiEE
2
99
22
222
rrrrr=
×⋅×=⋅==
−
j3i4EEE 21
rrrrr+=+=
b. El potencial eléctrico en el punto (4, 3) es la suma algebraica de los potenciales que generan cada una de las cargas en el punto
21T VVV +=
V253
103
4
10964
109r
q
r
qK
r
qK
r
qKVV
999
2
2
1
1
2
2
1
1iT =
×
+×
⋅×=
+⋅=⋅+⋅==
−−
∑
c. 0r
qK
r
qK
r
qKVV
3
3
2
2
1
1iT =⋅+⋅+⋅==∑
Simplificando la constante.
0r
q
r
q
r
q
3
3
2
2
1
1 =++ ; 2
2
1
1
3
3
r
q
r
q
r
q−−= ;
+−=
2
2
1
133 r
q
r
qrq
C109
125
3
103
4
10964
5q 999
3−
−−
×−=
×
+×
⋅−=
d. Para que el campo eléctrico en el punto (4, 3) sea nulo, la carga 3 situada sobre el punto (0, 0) deberá generar un campo eléctrico de igual modulo y dirección que el generado por las cargas 1 y 2 pero de sentido opuesto. Para que el campo generado por la carga 2 este dirigido hacia el punto (0, 0), la carga ha de se negativa.
0EEEE 321T =++=rrrr
( ) j3i4EEEEE 21213
rrrrrrr−−=+−=−−=
14
( ) ( )5
r
qK:
r
qKE
534E
23
3
23
33
223
=⋅
⋅=
=−+−=
r
r
; K
r5q
23
3 −=
534r 223 =+=
C109
125
109
55q 9
9
2
3−×−=
×
⋅−=
Junio 2011. Problema 2B.- Considérese un conductor esférico de radio R = 10 cm, cargado con una carga q = 5 nC.
a) Calcule el campo electrostático creado en los puntos situados a una distancia del centro de la esfera de 5 y 15 cm.
b) ¿A qué potencial se encuentran los puntos situados a 10 cm del centro de la esfera? c) ¿Y los situados a 15 cm del centro de la esfera? d) ¿Qué trabajo es necesario realizar para traer una carga de 2 nC desde el infinito a una distancia
de 10 cm del centro de la esfera? Dato: Constante de Coulomb K = 1/(4π εo) = 9×109 N m2 C2.
Solución. a. El campo eléctrico creado por un conductor esférico se calcula mediante el teorema de Gauss. Teniendo en cuenta que la dirección del campo eléctrico es radial y que la dirección del campo es perpendicular a la superficie esférica y su módulo es constante en toda la superficie, el flujo a través de la superficie es:
2
SRπ4EdSEdS ESdE ⋅===•=Φ ∫∫∫
rr
Según el teorema de Gauss el flujo es igual a la carga encerrada dividida por oε .
oε
q=Φ
Igualando
2
o
Rπ4Eε
q⋅= ;
2o R
q
ε π4
1E ⋅=
En un conductor esférico, la carga se encuentra en la superficie y por tanto la carga en el interior de una esfera de radio menor al de la esfera conductora es cero, por lo que el campo será nulo.
• Para r = 5 cm: q = 0; E = 0
• Para r = 15 cm: q= 5×10‒9 C; C
N2000
15,0
105109E
2
99 =
×⋅×=
−
b. Para r = 10 cm: V 4501,0
105109
R
qKV
99 =
×⋅×=⋅=
−
c. Para r = 15 cm: V 30015,0
105109
R
qKV
99 =
×⋅×=⋅=
−
d. Por ser un campo conservativo:
( ) ( )( ) ( ) J1090450102rV1,0rVqVqEW 79p
−×−=−⋅×−=∞=−=⋅−=∆⋅−=∆−=
Se deberá hacer un trabajo de 9×10‒7 J para trasladar la carga. Modelo 2011. Problema 2A.- Se disponen dos cargas eléctricas sobre el eje X: una de valor Q1 en la posición (1,0) y otra de valor Q2 en (‒1,0). Sabiendo que todas las coordenadas están expresadas en metros, determine en los casos siguientes:
15
a) Los valores de las cargas Q1 y Q2 para que el campo eléctrico en el punto (0,1) sea
C/N j 102E 5rr
×= siendo jr
el vector unitario en el sentido positivo del eje Y.
b) La relación entre las cargas Q1 y Q2 para que el potencial eléctrico en el punto (2,0) sea 0. Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9×109 N m2 C‒2. Solución a. El campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto (1, 0) es la suma vectorial de los campos que generan cada una de las cargas en el punto. Las dos cargas han de ser iguales para que se anulen las componentes x de los campo que crean cada una de las cargas, además, deben ser positivas para que el campo
resultante tenga la dirección y sentido de jr
+ .
Teniendo en cuenta que las dos cargas tienen el mismo valor y están a igual distancia del punto, los módulos de los campos creados por ambas son iguales.
( )Q105,4
2
Q109E:
211r
r
QKEEE 9
29
22
221×=⋅×=
=+=
⋅===
j θsenE2j θsenEi θcosEj θsenEi θcosEEEEEEEE y2x2y1x121T
rrrrrrrrrrr⋅=⋅+⋅+⋅+⋅−=+++=+=
j 2
1Q105,42j 102 95
rr⋅×⋅=×
C1014,3105,42
2102Q 5
9
5−⋅=
×⋅
⋅×=
b. El potencial en un punto debido a una distribución de cargas puntuales, es la suma algebraica de los potenciales que crean cada una de las cargas en el punto.
0r
QK
r
QKVVVV
2
2
1
121iT =⋅+⋅=+==∑
0r
Q
r
Q
2
2
1
1 =+ ; 3
1
r
r
Q
Q
2
1
2
1 −=−=
Septiembre 2010 F.G. Cuestión 2A.- Dos cargas puntuales iguales, de valor 2×10‒6 C, están situadas respectivamente en los puntos (0, 8) y (6,0). Si las coordenadas están expresadas en metros, determine:
a) La intensidad del campo eléctrico en el origen de coordenadas (0, 0). b) El trabajo que es necesario realizar, para llevar una carga q = 3×10−6 C desde el punto P (3, 4),
punto medio del segmento que une ambas cargas, hasta el origen de coordenadas. Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9×109 N m2 C2 Solución.
C102qq 621
−×==
a. jEiEjEiEEEE 212121T
rrrrrrr−−=−−=+=
j5,281i500j8
102109i
6
102109j
r
qKi
r
qKE
2
69
2
69
21
122
2T
rrrrrrr−−=
×⋅×−
×⋅×−=⋅−⋅−=
−−
( ) ( )C
N67,5735,281500EE 22
TT =−+−==r
b. El trabajo necesario para desplazar una carga entre dos puntos de un campo eléctrico es el producto de la carga por la diferencia de potencial entre los dos puntos.
16
( )ABBA VVqW −⋅−=−
=
=
===⋅+⋅=+=
A.2A.1
21
A.2
2
A.1
12.A1.AA rr
qqq
r
qK
r
qKVVV
=
×⋅×⋅=⋅=
−
C
JV 7200
5
1021092
r
qK2
69
A.1
1
{ } =
+⋅====⋅+⋅=+=
B.2B.221
B.2
2
B.1
12.B1.BB r
1
r
1qKqqq
r
qK
r
qKVVV
=
+×⋅×= −
C
JV 5250
6
1
8
1102109 69
( ) J1085,572005250103W 36BA
−−− ×=−⋅×−=
Junio 2010 F.M. Cuestión 2B.-
a) Enuncie y exprese matemáticamente el teorema de Gauss. b) Deduzca la expresión del módulo del campo eléctrico creado por una lámina plana, infinita,
uniformemente cargada con una densidad superficial de carga σ. Solución. a. Teorema de Gauss. El flujo neto que atraviesa una superficie cerrada cualquiera es igual a la suma algebraica de las cargas eléctricas encerradas en su interior dividida entre la constante dieléctrica del vacío.
oS
QS dE
ε==φ ∫
ro
r
b. En un plano infinito de carga constante la superficie gaussiana elegida tiene forma de un paralelepípedo como el que muestra la figura, y por lo tanto habrá flujo a través de las superficies S y S’(S = S’) paralelas al plano cargado. Aplicando el teorema de Gauss y teniendo en cuenta que el campo es constante y paralelo al vector de superficie:
o'SSSS
QS E2'S ES EdSEdSEdS ES dE
ε==+=+===φ ∫∫∫∫
ro
r
oo 2S
Q
S2
QE
ε
σ=
σ==ε
=
Expresión de la que se deduce que el campo e un punto del plano cargado es independiente de la distancia. Junio 2010 F.G. Problema 2B.- Tres cargas puntuales q1 = +3 nC, q2 = −5 nC y q3 = +4 nC están situadas, respectivamente, en los puntos de coordenadas (0, 3), (4, 3) y (4, 0) del plano XY. Si las coordenadas están expresadas en metros, determine:
a) La intensidad de campo eléctrico resultante en el origen de coordenadas. b) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas. c) La fuerza ejercida sobre una carga q = 1 nC que se sitúa en el origen de coordenadas. d) La energía potencial electrostática del sistema formado por las tres cargas q1, q2 y q3.
Dato. Constante de la ley de Colulomb K = 9 × 109 N m2 C−2 Solución. En una distribución de cargas puntuales, como la que se pide, lo primero que hay que hacer es suponer la carga unidad positiva en el punto donde se pide calcular el campo eléctrico y establecer los vectores de campo eléctrico que genera cada una de las cargas en ese punto.
17
a. La intensidad de campo eléctrico generado por la distribución de cargas en el origen de ordenadas es el módulo del campo eléctrico generado por ellas.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )jEEiEEiEjEiEjEEEEEE 1y23x23y2x21321i
rrrrrrrrrrr−+−=−+++−=++==∑
El módulo del campo eléctrico generado por una carga q a una distancia r viene dado por la expresión:
2r
qKE =
Aplicando a la distribución propuesta:
CN3
3
103109
r
qKE
2
99
21
11 =
××==
−
=⋅=α=
=⋅=α==
××==
−
25
27
5
3
5
9 senEE
25
36
5
4
5
9cosEE
:CN
5
9
5
105109
r
qKE
2y2
2x2
2
99
22
22
CN
4
9
4
104109
r
qKE
2
99
23
33 =
××==
−
Sustituyendo en la expresión del campo eléctrico:
( ) ( ) j25
48i
100
81j3
25
27i
4
9
25
36jEEiEEE 1y23x2
rrrrrrr−−=
−+
−=−+−=
C
N1,2
20
1933
400
1737
25
48
100
81E
22
≈==
−+
−=
b. El potencial en un punto debido a una distribución de cargas es la suma (escalar) de los potenciales de cada carga en el punto.
( ) v911194
104
5
105
3
103109
r
q
r
q
r
qK
r
qKV
9999
3
3
2
2
1
1
i
i =+−⋅=
×+
×−+
×⋅×=
++⋅=⋅=
−−−
∑
c. j1092,1i101,8j25
48i
100
81101EqF 9109
rrrrrr−−− ×−×−=
−−×=⋅=
( ) ( ) N 101,21092,1101,8F 929210 −−− ×≈×−+×−= d.
( ) ( )J 102,7
4
45
5
43
4
53101109
r
r
r
qqKU 8189
3.2
32
3.1
31
2.1
21 −− ×−=
⋅−+
⋅+
−⋅×⋅×=
⋅+
⋅+
⋅⋅=
Modelo 2010. Problema 2A.- Se disponen dos cargas eléctricas sobre el eje X: una de valor Q1 en la posición (1,0), y otra de valor Q2 en (−1,0). Sabiendo que todas las coordenadas están expresadas en metros, determine en los dos casos siguientes:
a) Los valores de las cargas Q1 y Q2 para que el campo eléctrico en el punto (0,1) sea el vector 5102E ×=
rjr
N/C, siendo jr
el vector unitario en el sentido positivo del eje Y.
18
b) La relación entre las cargas Q1 y Q2 para que el potencial eléctrico en el punto (2,0) sea cero. Datos: Constante de la ley de Coulomb k = 9 × 109 N m2 C−2 Solución. a. POR SIMETRÍA: Para que el campo resultante sea en la dirección del eje OY, las dos cargas han de ser de igual signo y módulo, por ser en la dirección positiva del eje, las cargas serán positivas.
y2y1x21x
21T EEEE
simetria PorEEE
rrrr
rrr+=
−==+=
Por definición:
=
=
=
45ºsen 2
QkE
45ºsen 2
QkE
:r
QkE
22
y2
21
y1
2
{ } j 45ºsen 2
Qk2QQj 45ºsen
2
Qkj 45ºsen
2
QkEEj EE
22122
21
y2y1TT
rrrrrrr===+=+==
45sen Qk 45ºsen 2
Qk2 E
2T ==
C 101'3
2
2109
102
45ºsen k
EQ 5
9
5T −×=
×
×==
b. El potencial eléctrico en el punto P, es la suma escalar de los potenciales que genera cada una de las cargas en dicho punto.
0VVV 21P =+=
Por definición: r
QkV =
2
2
1
121P r
Qk
r
QkVVV +=+=
1
Qk
3
Qk0 21 +=
1
Qk
3
Qk 21 −=
21 Q3Q −=
Tienen que ser de distinto signo, y Q2 de triple valor que Q1. Septiembre 2009. Cuestión 4.- Una superficie esférica de radio R tiene una carga eléctrica Q distribuida uniformemente en ella.
a) Deduzca la expresión del módulo del vector campo eléctrico en un punto situado en el exterior a dicha superficie haciendo uso del teorema de Gauss.
b) ¿Cuál es la razón entre los módulos de los vectores campo eléctrico en dos puntos situados a las distancias del centro de la esfera r1 = 2 R y r2 = 3 R?
Solución. a. Según la ley de Columb, el campo eléctrico creado por un carga Q en un punto de una superficie
esférica vale 2r
QKE = , y es perpendicular a la superficie.
El flujo a través de esta superficie será: o
22S2S ε
Qrπ4
r
QKdS
r
QKSdE ====Φ ∫∫
ro
r
Si aplicamos el teorema de Gauss a dicha superficie esférica, el flujo a través de la superficie será:
2SSS
r π4 EdSEdS EdSE ====Φ ∫∫∫ or
19
Teniendo en cuenta que el flujo según el teorema de Gauss es: oε
Q=Φ
2
or π4 E
ε
Q= :
22o r
QK
r
Q
ε π4
1E ==
Resultado que es idéntico al encontrado por la Ley de Coulomb para una carga puntual. b. Según la expresión deducida en el apartado a:
( ) 2211R4
QK
R2
QKE:R2r === :
( ) 2222R9
QK
R3
QKE:R3r ===
Comparando los módulos de los campos eléctricos:
4
9
R9
QK
R4
QK
E
E
2
2
2
1 == : 4
9
E
E
2
1 =
Junio 2009. Problema 2A.- Dos cargas puntuales de −3 µC y +3 µC se encuentran situadas en el plano XY, en los puntos (−1,0) y (1,0) respectivamente. Determine el vector campo eléctrico:
a) En el punto de coordenadas (10,0). b) En el punto de coordenadas (0,10).
Nota: Todas las coordenadas están expresadas en metros. Dato: Constante de la ley de Coulomb K=9×109 N m2 C‒2 Solución.
Según el principio de superposición, el campo eléctrico creado por una distribución de cargas puntuales en un punto de espacio, es la suma vectorial de los campos eléctricos creados por cada carga de la distribución en ese punto.
∑= iT EE
El campo eléctrico (E) creado por una carga en un punto viene dado por la expresión:
r2u
r
QKE =
r
Donde K es la constante eléctrica, Q es la carga (C), r es la distancia (m) y ru es un vector
unitario en la dirección de la recta que une la carga al punto, y sentido hacia la carga si es negativa, y en sentido opuesto si es positiva. a. En este apartado la distribución de cargas y los campos creados por ambas en el punto O(10, 0), ofrece una geometría unidimensional, tal como muestra la figura.
C
Ni 1,223i
11
103109i
r
qKE
2
69
21
11 −=
⋅−×==
−
C
Ni 3,333i
9
103109i
r
qKE
2
69
22
22 =
⋅×==
−
C
Ni 110,2i 333,3i 1,223EEEE 21iT =+−=+==∑
b. La figura representa la distribución de cargas y los campos creados por ambas en el punto O(0, 10). Para que la representación quede más clara se ha tomado distinta escala en los ejes. Como el valor absoluto de las cargas y las distancias que las separan al
20
punto O son iguales, el módulo del campo creado por ambas cargas en O también lo es.
( ) C
N7,267
101
103109E:
r
qKE
2
69
2=
××==
−
Como en el apartado a, teniendo en cuenta el principio de superposición:
21iT EEEE +==∑
Teniendo en cuenta las componentes trigonométricas de α y el cuadrante de cada ángulo:
( ) ( ) j sen Ei cosEj sen Ei cosEjEiEE y1x11 α−α−=α−⋅+α−⋅=+=
( ) j sen Ei cosEj sen Ei cosEjEiEE y2x22 α+α−=α⋅+α−⋅=+=
Sumando los vectores se obtiene el campo en O.
C
N i 3,53i
101
17,2662i cosE2EEE 21T −=⋅−=α−=+=
Nota: Por simetría se podría haber determinado que las componentes “y” de los campos se anulaban
entre si.
Modelo 2009. Problema 1B.- En el plano x = 0 existe una distribución superficial infinita de carga
cuya densidad superficial de carga es 261 m/C10−+=σ
a) Empleando el teorema de Gauss determine el campo eléctrico generado por esta distribución de carga en los puntos del espacio de coordenadas (1, 0, 0) y (−1, 0, 0).
Una segunda distribución superficial infinita de carga de densidad superficial 2σ se sitúa en el plano
x = 3. b) Empleando el teorema de Gauss determine el valor de 2σ para que el campo eléctrico resultante
de ambas distribuciones superficiales de carga en el punto (−2, 0, 0) sea i10E 4rr
+= N/C Nota: Todas las coordenadas están expresadas en unidades del SI
Dato: Permisividad eléctrica del vacío 21212
0 mNC1085.8ε −−−×=
Solución. a. Teorema de Gauss. El flujo neto que atraviesa una superficie cerrada cualquiera es igual a la suma algebraica de las cargas eléctricas encerradas en su interior dividida entre la constante dieléctrica del vacío.
oS
QS dE
ε==φ ∫
ro
r
En un plano infinito de carga constante la superficie gaussiana
elegida tiene forma de un paralelepípedo como el que muestra la figura, y por lo tanto habrá flujo a través de las superficies S y S’(S = S’) paralelas al plano cargado. Aplicando el teorema de Gauss y teniendo en cuenta que el campo es constante y paralelo al vector de superficie:
o'SSSS
QS E2'S ES EdSEdSEdS ES dE
ε==+=+===φ ∫∫∫∫
ro
r
oo 2S
Q
S2
QE
ε
σ=
σ==ε
=
Expresión de la que se deduce que el campo e un punto del plano cargado es independiente de la distancia.. Aplicando al caso que se propone:
CN1065.5
1085.82
10
ε2
σE 4
12
6
o×=
⋅⋅==
−
−
b. Según el principio de superposición, el campo en un punto es la suma vectorial de los campos generados por cada una de las distribuciones
21
21 EEErrr
+=
( ) CNi1065,6i1064.5i10EEE 444
12
rrrrrr×=×−−=−=
Aplicando la expresión obtenida en el apartado a:
( ) 26124
o22o
22 m
C1018,11085.81065,62ε E2σε2
σE −− ×−=×⋅×⋅−=−=⇒=
Septiembre 2008. Cuestión 3. Se disponen tres cargas de 10 nC en tres de los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Determine en el centro del cuadrado:
a) El módulo, la dirección y el sentido del vector campo eléctrico. b) El potencial eléctrico.
Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9 × 109 N m2 C−2 Solución. a. La representación del sistema puede hacerse en la orientación que más nos interese, en este caso como aparece en la figura adjunta.
La distancia entre el centro y cualquier vértice (R) es:
222 dRR =+ : 22 dR2 = : 2
dR =
El módulo del campo eléctrico creado por una carga a una distancia r es:
2r
qkE ⋅=
En el centro del cuadrado, por ser las tres cargas iguales y las distancias a los vértices iguales, los módulos de los tres campos son iguales:
( ) C
N180
21
1010109
R
qkEEE
2
99
2321 =×
⋅×=⋅===−
El vector intensidad del campo eléctrico total es la suma vectorial de los vectores intensidad de campo creados por cada una de las cargas.
C
N j 180j 180i 180i 180EEEE 321T
rrrrrrrr+=++−=++=
b. El potencial eléctrico es la suma escalar de los potenciales creados por cada una de las cargas, que son también iguales:
Voltios 3,12721
1010109
r
qkVVV
99
321 =×
⋅×=⋅===−
Voltios 9,3813,1273VVVV 321T =⋅=++=
Septiembre 2008. Problema 1B.- Una carga de +10 nC se distribuye homogéneamente en la región que delimitan dos esferas concéntricas de radios rl = 2 cm y r2 = 4 cm. Utilizando el teorema de Gauss, calcule:
a) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 6 cm del centro de las esferas. b) El módulo del campo eléctrico en un punto situado a 1 cm del centro de las esferas.
Dato: Permitividad eléctrica del vacío εo = 8,85×10−12 N−1 m−2 C2 . Solución.
Teorema de Gauss: El flujo neto que atraviesa una superficie cerrada cualquiera es igual a la suma algebraica de las cargas eléctricas encerradas en su interior dividida entre la constante dieléctrica del vacío.
Dada la simetría del sistema, en todos los puntos que equidistan del centro el campo eléctrico será radial y del mismo valor, por lo que interesa coger como superficie de integración una esfera centrada en el origen.
22
o
22S2
2SS
QQK 4r 4
r
QKdS
r
QK
r
QKE
Coulomb deLey dS E
10cos
Sd paralelo ESdE
ε=π=π⋅==
===
===Φ ∫∫∫
rrr
or
a. El flujo a través de una superficie esférica es:
2SSS
r 4EdSEdS ESdE π⋅====Φ ∫∫∫r
or
Según el teorema de Gauss, el flujo tiene un valor:
o
Q
ε=Φ
De ambas expresiones se deduce:
o
2 Qr 4E
ε=π⋅ :
2o r
Q
4
1E
επ=
Utilizando los datos del enunciado:
r = 0,06 m. C1010q 9encerrada
−×=
C
N24977
06,0
1010
10,858 4
1E
2
9
12=
×
×π=
−
−
b. El procedimiento es idéntico al del apartado anterior pero ahora la superficie gaussiana es una superficie esférica de 1 cm de radio, esta superficie no encierra ninguna carga y por tanto el flujo es nulo y el campo eléctrico también es nulo.
r = 0,02 m 0q encerrada =
C
N0
06,0
0
10,858 4
1E
212=
×π=
−
Junio 2008. Problema 1A.- Dos cargas fijas Q1 = +12,5 nC y Q2 = -2,7 nC se encuentran situadas en los puntos del plano XY de coordenadas (2,0) y (-2,0) respectivamente. Si todas las coordenadas están expresadas en metros, calcule:
a) El potencial eléctrico que crean estas cargas en el punto A (-2,3). b) El campo eléctrico creado por Q1 y Q2 en el punto A. c) El trabajo necesario para trasladar un ión de carga negativa igual a -2e del punto A al punto B,
siendo B (2,3), indicando si es a favor o en contra del campo. d) La aceleración que experimenta el ión cuando se encuentra en el punto A.
Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e = 1,6×10-19
C
Constante de la ley de Coulomb K = 9×109
N m2
C -2
Masa del ión M = 3,15×10-26
kg Solución. a. Según el principio de superposición, el potencial en un punto del campo creado por varias cargas puntuales es la suma algebraica de los potenciales debidos a cada una de las cargas puntuales. Para calcular el potencial en un punto hay que tener en cuenta que es un escalar, depende de la carga que crea el campo, de la distancia del punto a la carga y el signo será el de la carga.
21A VVV +=
V5,22m5
C105,12CNm109
r
QKV
9229
1
11 =
××==
−−
V1,8m3
C107,2CNm109
r
QKV
9229
2
22 −=
×−×==
−−
( ) V4,141,85,22VA =−+=
23
b. El campo eléctrico creado por varias cargas puntuales en un punto, es la suma vectorial de los campos que creados por cada una de las cargas en ese punto. El módulo el campo eléctrico se puede obtener del potencial.
r
VErEV:
r
Q KE
r
Q KV
2
=⇒⋅=
=
=
r
C
N5,4
m5
V5,22
r
VE
1
11 ===
C
N7,2
m3
V1,8
r
VE
2
22 ===
Las componentes vectoriales se obtienen de las razones trigonométricas de los ángulos que forman los vectores.
( ) j7,2i6,3j5
3i
5
45,4j sen i cosEE 11 +−=
+
−⋅=α+α⋅=
( )( ) ( ) j7,2ji07,2j 1i 0EE 22 −=−⋅=−+⋅=
( ) ( ) i6,3j7,2j7,2i6,3EEE 21T −=−++−=+=
C
N6,3ET =
c. ( )ABBA VVqW −⋅−=→
Potencial en B:
B.2B.1B VVV +=
V5,37m3
C105,12CNm109
r
QKV
9229
B.1
1B.1 =
××==
−−
V86,4m5
C107,2CNm109
r
QKV
9229
B.2
2B.2 −=
×−×==
−−
( ) V6,3286,45,37VA =−+=
Sustituyendo en la expresión del trabajo:
( ) ( ) J1082,54,146,32106,12W 1919BA
−−→ ×+=−⋅×⋅−−=
Por ser positivo el trabajo es a favor del campo. d. Aplicando el segundo principio de la dinámica:
F = m a La fuerza a la que se ve sometido el ión en un punto del campo es:
EqF ión
rr⋅=
Igualando y se despeja la aceleración:
amEq ióniónrr
=⋅ m
Eqa ión
rr
=
27
26
19
smi 1066,3
1015,3
i 6,3106,12a
rr
×=×
⋅×⋅=
−
Modelo 2008. Cuestión 4.-
a) Enuncie el teorema de Gauss y escriba su expresión matemática. b) Utilice dicho teorema para deducir la expresión matemática del campo eléctrico en un punto del
espacio debido a una carga puntual. Solución. a. El flujo neto que atraviesa una superficie cerrada cualquiera es igual a la suma algebraica de las cargas eléctricas encerradas en su interior dividida entre la constante dieléctrica del vacío.
24
∫∑
⋅=ε
=φco
SdEQ rr
b. Para facilitar el cálculo del flujo, suponemos una superficie que encierre a la carga puntual con
una simetría sencilla y adecuada, en este caso una esfera como la de la figura, de modo que el campo ( )E en cualquier punto de la superficie es un vector con
dirección radial y de módulo constante
== esfera la de radioR:
R
QE
2, y Sd
r es
el vector representativo de la superficie diferencial a estudio, perpendicular a ella. El flujo a través de todo la esfera vendar dado por la expresión:
∫∫ ⋅⋅==cc
αcosdSESdEφr
or
α es el ángulo que forman Er
y Sdr
, que es 0º por ser vectores paralelos.
o
22
oc2cc
QR4
R
Q
4
1Sd
R
QkSdEº0cosSdE
ε=π⋅
επ=⋅=⋅=⋅⋅=φ ∫∫∫
rrrrr
o
Q
ε=φ
Septiembre 2007. Problema 2B.- Se disponen dos cargas eléctricas sobre el eje X: una de valor Q1 en la posición (1, 0), y otra de valor Q2 en (−1, 0). Sabiendo que todas las distancias están expresadas en metros, determine en los dos casos siguientes:
a) Los valores de las cargas Q1 y Q2 para que el campo eléctrico en el punto (1, 0) sea el vector
j 102E 5rr
×= N/C, siendo jr
el vector unitario en el sentido positivo del eje Y.
b) La relación entre las cargas Q1 y Q2 para que el potencial eléctrico en el punto (2, 0) sea cero. Datos: Constante de la ley de Coulomb k = 9 × 109 N m2 C−2 Solución. a. POR SIMETRÍA: Para que el campo resultante sea en la dirección del eje OY, las dos cargas han de ser de igual signo y módulo, por ser en la dirección positiva del eje, las cargas serán positivas.
y2y1x21x
21T EEEE
simetria PorEEE
rrrr
rrr+=
−==+=
Por definición:
=
=
=
45ºsen 2
QkE
45ºsen 2
QkE
:r
QkE
22
y2
21
y1
2
{ } j 45ºsen 2
Qk2QQj 45ºsen
2
Qkj 45ºsen
2
QkEEj EE
22122
21
y2y1TT
rrrrrrr===+=+==
45sen Qk 45ºsen 2
Qk2 E
2T ==
C 101'3
2
2109
102
45ºsen k
EQ 5
9
5T −×=
×
×==
25
b. El potencial eléctrico en el punto P, es la suma escalar de los potenciales que generan cada una de las cargas en dicho punto.
0VVV 21P =+=
Por definición: r
QkV =
2
2
1
121P r
Qk
r
QkVVV +=+=
3
Qk
1
Qk0 21 +=
3
Qk
1
Qk 21 −=
3
1
Q
Q
2
1 −=
Tienen que ser de distinto signo, y Q2 de triple valor que Q1. Junio 2007. Problema 2B.- Dos partículas con cargas de + 1 µC y de −1 µC están situadas en los puntos del plano XY de coordenadas (−1,0) y (1,0) respectivamente. Sabiendo que las coordenadas están expresadas en metros, calcule:
a) El campo eléctrico en el punto (0,3). b) El potencial eléctrico en los puntos del eje Y. c) El campo eléctrico en el punto (3,0). d) El potencial eléctrico en el punto (3,0).
Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9×109 N m2 C−2 Solución.
a. Por el principio de superposición: ( ) ( ) ( )3,0E3,0E3,0E 21
rrr+=
Teniendo en cuenta el signo de las cargas:
jαsenEiαcosEjαsenEiαcosEEEEEE 2211y2x2y1x1
rrrrrrrrr−++=+++=
( ) ( ) jα senEα senEiαcosEαcosEE 2121
rrr−++=
1031rr 2221 =+==
10
3αsen =
10
1αcos =
( ) CN109
10
101109
r
qKE 2
2
69
21
11 ×=
×⋅×=⋅=
−
( ) CN109
10
101109
r
qKE 2
2
69
22
22 ×=
×⋅×=⋅=
−
j 10
3109
10
3109i
10
1109
10
1109E 2222
rrr
⋅×−⋅×+
⋅×+⋅×=
( ) CN i 2,5693,0E
rr=
b. El potencial en un punto es la suma escalar de los potenciales que crean cada una de las cargas en ese punto.
( ) ( ) ( )2
69
1
69
2
2
1
121i r
101109
r
101109
r
qK
r
qKy,0Vy,0VVy,0V
−− ×−⋅×+
×⋅×=⋅+⋅=+==∑
Teniendo en cuenta que en cualquier punto del eje de ordenadas r1 = r2 = r
( ) 0r
109
r
109y,0V
33=
×−
×=
c. Al igual que en el apartado a, el campo eléctrico en el punto (3, 0) se calcula como suma vectorial de los campos eléctricos que generan cada una de las cargas. Dada la geometría del problema,
solo existe campo eléctrico en la componente ir
.
26
( ) ( ) ( )0,3E0,3E0,3E 21
rrr+=
Teniendo en cuenta el signo de las cargas:
( ) CN i 5,1687i
2
101109i
4
101109j
r
qKi
r
qK0,3E
2
69
2
69
22
22
1
1rrrrrr
−=×
⋅×−×
⋅×=⋅−⋅=−−
d. ( ) ( ) ( )
+=+⋅=+=
2
2
1
1
2
2
1
121 r
q
r
qK
r
qK
r
qK0,3V0,3V0,3V
( ) V22502
101
4
1011090,3V
669 −=
×−+
×⋅×=
−−
Modelo 2007. Problema 1B.- Una carga positiva de 2 µ C se encuentra situada inmóvil en el origen
de coordenadas. Un protón moviéndose por el semieje positivo de las X se dirige hacia el origen de coordenadas. Cuando el protón se encuentra en el punto A, a una distancia del origen de x = 10 m lleva una velocidad de 1000 m/s. Calcule:
a) El campo eléctrico que crea la carga situada en el origen de coordenadas en el punto A. b) El potencial y la energía potencial del protón en el punto A. c) La energía cinética del protón en el punto A d) El cambio de momento lineal experimentado por el protón desde que parte de A y por efecto de
la repulsión vuelve al mismo punto A.
Datos: Constante de la ley de Coulomb 229 Cm N109K −×=
Masa del protón ;kg1067,1m 27p
−×= Carga del protón C106,1q 19p
−×=
Solución.
a) Campo eléctrico es la región del espacio que se ve afectada por la presencia de una carga eléctrica. Según la Ley de Coulomb:
i CN 180
m10
C102CNm109i
r
QKE
22
6229
2A
A
rrr=
×⋅×=⋅=
−−
. b) El potencial en un punto de un campo eléctrico, es el trabajo necesario para desplazar la
carga unidad positiva desde ese punto al infinito.
( )CJV 1800
m 10
C102CNm109
r
QKdrF
q
1V
6229
r=
×⋅×=⋅=⋅=
−−∞
∫r
El potencial en un punto se puede expresar en función de la energía potencial en ese punto.
J1088'2C106'1CJ1800qVE
q
EV 1619
ppp −− ×=×⋅=⋅=⇒= +
c) ( ) J1035'8sm10kg1067'1
2
1vm
2
1E 2223272
c−− ×=⋅×⋅=⋅=
d) ( )
oo AApApApif vvmvmvmppprrrrrrr
−=−=−=∆ +++
( ) ( )( )ism1000is
m1000kg1067'1vvmp 27AAp o
rrrrr−−⋅×=−=∆ −
+
124 s m kg1034'3p −−×=∆r
27
Septiembre 2006. Problema 2B.- Dos cargas eléctricas positivas e iguales de valor 6103 −× C están situadas en los puntos A (0,2) y B (0,-2) del plano XY. Otras dos cargas iguales Q están localizadas en los puntos C (4,2) Y D (4,-2). Sabiendo que el campo eléctrico en, el origen de coordenadas es
CNi104E 3rr
×= , siendo ir
el vector unitario en el sentido positivo del eje X, y que todas las
coordenadas están expresadas en metros, determine: a) El valor numérico y el signo de las cargas Q. b) El potencial eléctrico en el origen de coordenadas debido a esta configuración de cargas.
Datos: Constante de la ley de Coulomb 229 Cm N109K −×= Solución.
a. Por el principio de superposición, el campo eléctrico ( )Er
es la suma vectorial de los campos que
generan todas las cargas en ese punto. Los campos eléctricos 1Er
y 2Er
creados por las cargas q1 y q2
respectivamente en el origen se anulan por simetría.
Teniendo en cuenta que el TEr
en el origen tiene dirección y sentido ir
+ , las cargas Q3 y Q4 han
de ser iguales en módulo y signo (negativas), para que e esta forma, las componentes jr
de ambos
vectores se anulen por simetría y las componentes ir
se sumen, tal y como se observa en la figura.
El campo eléctrico creado por una carga según la ley de Coulomb es:
ur
qKE
2
rr=
Siendo ur
un vector unitario en la dirección que une el punto a la carga que crea el campo.
( ) ( ) ( )( )
i5
2
20
Q1092i αcos
r
QK2
20rrr
QQQQEQE0,0E
29
243
434x3x
rrrrr×⋅=⋅=
===
===+=
( ) i104i Q1005,80,0E 38rrr
×=×= Cµ97,4C1097,4Q 6 =×= −
Cµ 97,4Q −=
b. El potencial en un punto debido a una distribución de cargas es la suma escalar del potencial que genera cada una de las cargas en ese punto.
4321iT VVVVVV +++==∑
+++=+++=
4
4
3
3
2
2
1
1
4
4
3
3
2
2
1
1T r
Q
r
Q
r
q
r
qK
r
QK
r
QK
r
qK
r
qKV
V 699620
1097,4
20
1097,4
2
103
2
103109V
66669
T =
×−+
×−+
×+
×⋅×=
−−−−
28
Junio 2006. Cuestión 3.- Una carga puntual de valor Q ocupa la posición (0,0) del plano XY en el vacío.
En un punto A del eje X el potencial es V = ‒120 V y el campo eléctrico es i 80Err
−= N/C siendo ir
el
vector unitario en el sentido positivo del eje X. Si las coordenadas están dadas en metros, calcule: a) La posición del punto A y el valor de Q. b) El trabajo necesario para llevar un electrón desde el punto B (2,2) hasta el punto A.
Datos: Valor absoluto de la carga del electrón C106,1e 19−×=
Constante de la ley de Coulomb en el vacío 229 Cm N109K −×= Solución. a. El campo creado por una carga Q a una distancia d sobre el eje X
es id
qkE
2= y el potencial en ese punto es
d
QkV =
Por tanto aplicando a cada uno de los datos tenemos:
a. E: Qkd80id
Qki 80 2
2⋅=⋅−⇒=−
b. V: kQd120d
Qk120 =−⇒=−
Igualando las expresiones:
d120d80 2 −=− Simplificado y ordenando se calculan las posibles soluciones
( )
==−
==−⋅
m 5'1d:0120d8
0d:0120d80d
La solución 0d = no tiene sentido porque en ese caso, ∞=∞= Vy Er
, por lo tanto, solo
queda la solución m 5'1d =
Sabiendo que 2
29
CNm109k ×= y sustituyendo en la ecuación del potencial se despeja la
carga.
C102k
d120Q 8−×−=−=
b. El trabajo para llevar una carga q desde B hasta A es igual al producto de la carga q por la diferencia de potencial entre los puntos A y B
( )ABp VVqEW −=∆−=
El potencial en B con la expresión:
B
qB d
QkV =
Expresión de la que lo único que desconocemos es la distancia al punto B que se calcula por el teorema de Pitágoras
Conocida la distancia B se calcula el potencial.
V6,63m 22
C102
C
Nm109V
8
2
29
B −=×−
××=−
y con el potencial en A y en B y el valor de la carga que se desplaza se calcula el trabajo.
( )( ) J1002,9 v120 v6'63C106,1W 1819 −− ×−=−−−⋅×−=
29
Junio 2005. Problema 2A.- Tres partículas cargadas Q1 = +2 µC, Q2 = +2 µC y Q3 de valor desconocido están situadas en el plano XY. Las coordenadas de los puntos en los que se encuentran las cargas son Q1: (1, 0), Q2: (−1, 0) y Q3: (0, 2). Si todas las coordenadas están expresadas en metros:
a) ¿Qué valor debe tener la carga Q3 para que una carga situada en el punto (0,1) no experimente ninguna fuerza neta?
b) En el caso anterior, ¿cuánto vale el potencial eléctrico resu1tante en el punto (0,1) debido a las cargas Q1, Q2 y Q3 ?
Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9×109 N m
2 C
−2
Solución. a. Para que una carga situada en el punto (0, 1) no experimente fuerza neta, el campo E creado por las tres cargas en (0, 1) debe ser nulo. En el punto (0, 1) el campo creado por las cargas Q1 y Q2 es:
21T EEErrr
+=
( ) ( )
( ) ( )
+=+=
+−=+−=
j 2
2i
2
2
r
Qkj 45 seni 45cos
r
Qk1,0E
j2
2i
2
2
r
Qkj 45 seni 45cos
r
Qk1,0E
22
22
2
21
21
1
rrr
rrrrr
El campo total es la suma vectorial de los campos creados por ambas cargas.
( ) ( ) j 2r
Qkj
2
2i
2
2
r
Qkj
2
2i
2
2
r
Qk1,0E1,0EE
21
22
21
21T
rrrrrrrr=
++
+−=+=
( ) mvj 1029j 2
2
102109j 2
r
QkE 3
2
69
21
2.1T
rrrr×=
⋅×==
−
El campo generado Q3 2n 2l punto (0, 1) será:
( ) rr
Qk1 ,0E
23
3)r
=
≡r)
Vector unitario en la dirección del campo
( ) ( ) ( )jr:
j1 ,02 0,1 0,r
r
rr v)
vr
r
r)
−=
−=−=−=
=
r = 1 m sustituyendo en la expresión del campo
( ) j Q109j Qk1 ,0E 39
33
vvr×−=⋅−=
Para que el campo creado por las tres cardas en (0, 1) sea nulo se debe cumplir:
0EE 32.1T =+rr
( ) 0j Q109j 1029 393 =×−+×
vr
expresión de la que se puede despejar la carga Q3.
30
C 2C102Q 63 µ=×= −
b. El potencial
=
r
qkV creado por las tres cargas en el punto (0, 1) es la suma de los potenciales
creados por cada carga.
( )v102
18
2
102109
r
QkV 3
691
1 ×=×
×==−
( )v102
18
2
102109
r
QkV 3
692
2 ×=×
×==−
( )v10291
102109
r
QkV 3
693
3 ×=×
×==−
( )v102
541029
2
18
2
18VVVV 33
321T ×=×
++=++=
Modelo 2005. Cuestión 3.- Dos cargas puntuales de C6-y C6 µµ+ están situadas en el eje X, en
dos puntos A y B distantes entre sí 12 cm. Determine: a) El vector campo eléctrico en el punto P de la línea AB, si AP = 4 cm. y PB = 8 cm. b) El potencial eléctrico en el punto C perteneciente a la mediatriz del segmento AB y distante 8
cm. de dicho segmento. Datos: Constante de la ley de Coulomb K = 9×109 Nm2 C‒2 Solución. a. El campo eléctrico en P, es la suma vectorial de los campos que generan cada una de las cargas en dicho punto:
( )i
04'0
106109U
r
q·kE
EEE
2
69
r2A
)A(p
)B(p)A(pp
−×⋅×==
+=
( ) i cN1038'3E 7)A(p ×=
r2B
)B(p U r
qkE ⋅=
sustituyendo por los valores:
( )( ) i CN1084'0i
08'0
C106109E 7
2
69
)B(p ×=×
⋅×=−
El campo total en P, es la suma vectorial de dos vectores de la misma dirección y sentido:
i C
N1022'41084'01038'3E 777
p
rr
×=×+×=
La dirección de los vectores unitarios rur
se deduce suponiendo en el punto P, la unidad de carga
positiva. b. El potencial, a deferencia del campo eléctrico, se trata de una magnitud escalar, por tanto sumamos escalarmente los potenciales producidos por ambas cargas en ese punto C:
31
V 000 541'0
10·6·10·9
r
q·kV
VVV
69A
)A(C
)B(C)A(CC
===
+=
−
Aplicando la misma expresión para la carga B:
( )V 000 54
1'0
10·6·10·9
r
q·kV
69B
cB −=−
==−
Por tanto:
( ) 0V5400054000V cc =⇒−+=
El potencial eléctrico en C es nulo. Septiembre 2004. Problema 2B. Dos cargas eléctricas en reposo de valores
,C2qy C2q 21 µ−=µ= están situadas en los puntos (0, 2) y (0, −2) respectivamente, estando las
distancias en metros. Determine:
a) El campo eléctrico creado por esta distribución de cargas en el punto A de coordenadas (3 ,0) b) El potencial en el citado punto A y el trabajo necesario para llevar una carga de C3µ desde
dicho punto hasta el origen de coordenadas. Solución. a. El campo eléctrico creado por una carga puntual q en un punto a distancia R de la carga viene dado por el vector:
r2U
R
qKE
rr⋅=
en donde K es constante de Culomb y rU es un vector unitario en la dirección de la recta que une la carga q con el punto en el que se quiere calcular el campo, dependiendo el sentido del signo de la carga, repulsivo si es positiva y atractivo si fuese negativo. El campo creado por una distribución de cargas, es la suma vectorial de los campos creados por cada carga.
21 EEErrr
+=
descomponiendo los campos creados por las cargas en sus componentes cartesianas:
+=
+=
jEiEE
jEiEE
y2x22
y1x11 rrr
rrr
sustituyendo
( ) ( )jEEiEEjEiEjEiEE y2y1x2x1y2x2y1x1
rrrrrrr+++=+++=
Teniendo en cuenta la geometría de la distribución
=
−=
y1y2
x1x2
EE
EE
la expresión del campo se reduce a:
jR
qK2j senE2jE2E
21
1y1
rrrr=α=⋅=
El sen α se calcula por triángulos rectángulos
( ) 13
2
23
2 sen
22
−=
−+
−=α
sustituyendo todos los datos en la expresión:
32
C
N 1536j
13
2
13
1021092E
2
69 −=
−⋅
××⋅=
− rr
b. El potencial eléctrico creado por una carga puntual q en un punto a distancia R de la carga viene dado por:
R
q KV =
en donde K es la constante de Culomb. El potencial eléctrico es una magnitud escalar. Para un sistema de cargas el potencial eléctrico del sistema se calcula como la suma algebraica
de los potenciales creados por cada una de las cargas en el punto. En nuestro caso, el potencial en el punto A será:
R
qK
R
qKVVV 21
21T +=+=
Teniendo en cuenta que 12 qq −= , el potencial en el punto A es nulo
v0R
qK
R
qKVT =−=
El trabajo necesario para llevar la carga desde el punto A al origen de ordenadas viene expresado por:
( ) ( )( )AV0 ,0VqVqEW p −⋅−=∆⋅−=∆−=
El potencial en el origen de ordenadas es:
( ) ( ) ( ) { } 0qq2
qK
2
qK0,0V0,0V0,0V 12
2121T =−==+=+=
sustituyendo en el trabajo ( ) 000qW =−⋅−=
El trabajo necesario para desplazar una carga entre dos puntos con igual potencial es nulo Modelo 2004. Cuestión 3.- Se crea un campo eléctrico uniforme de intensidad 6x104 N/C entre dos láminas metálicas planas y paralelas que distan entre si 2’5 cm. Calcule:
a) La aceleración a la que esta sometido un electrón situado en dicho campo. b) Si el electrón parte del reposo de la lamina negativa, ¿con que velocidad llegara a la lamina
positiva? Nota: Se desprecia la fuerza gravitatoria. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón e = 1’6×10−19C
Masa del electrón m = 9’1×10−31kg Solución.
Se crea un campo eléctrico ( )CN106E 4×=r
entre dos placas paralelas:
a. La aceleración de un electrón situado entre las placas, sí despreciamos la fuerza gravitatoria, será la producida por la única fuerza que actúa sobre el e− que es la fuerza electromagnética:
EqF ⋅=
que será de sentido contrario a la dirección del campo E, ya que la carga es negativa. Igualamos esta fuerza, a la expresión de la fuerza según la segunda ley de Newton:
amEqF ⋅=⋅=
Despejando la aceleración:m
E·qa = y sustituyendo valores numéricos:
216 s/m10·055'1a = b. Si parte del reposo desde la lámina negativa, la trayectoria será recta y con MRUA. Aplicando la ecuación de este movimiento:
t055'1 v tavv f0f ⋅=⋅+=
33
Puesto que se conoce la distancia entre placas cm5'2d = y utilizando la ecuación:
sa2vv 2o
2f ⋅⋅=−
teniendo en cuenta que la velocidad inicial es nula, se obtiene, sustituyendo los valores numéricos:
sm103'2105'210055'12 v sa2v 7216
f2f ×=×⋅×⋅=⇒⋅⋅= −
El vector velocidad: j103'2v 7f ×−= (ya que solo existe movimiento en este eje)
Septiembre 2003. Cuestión 1.
a) Defina las superficies equipotenciales en un campo de fuerza conservativo. b) ¿Cómo son las superficies equipotenciales del campo eléctrico creado por una carga puntual? c) ¿Qué relación geométrica existe entre las líneas de fuerza de un campo conservativo y las
superficies equipotenciales? d) Indique un ejemplo de campo de fuerzas no conservativo.
Solución. a. Son aquellas superficies cuya característica principal es el valor constante del potencial creado por un campo conservativo en cualquier punto de dicha superficie.
b. En el caso del campo eléctrico creado por una carga puntual, el potencial tiene la forma: r
1V ∝ .
Es decir, su valor solo depende del radio r (distancia de la carga al punto del campo), por tanto las superficies equipotenciales son superficies esféricas de radio r, con la carga en el centro de todas ellas. c. Las líneas de fuerza de un campo conservativo, son las trayectorias que seguiría una partícula (con carga, si es un campo eléctrico), abandonada en un punto del campo conservativo. Dicha línea de fuerza, siguen la dirección del gradiente del potencial, de modo que deben ser perpendiculares a las superficies equipotenciales, ya que esa dirección es la de máxima variación del potencial. Constituye un campo radial, de la forma:
d. Un ejemplo seria el campo gravitatorio terrestre, si tuviéramos en cuenta el rozamiento con el aire, como no despreciable. En este caso, la energía de un cuerpo en este campo, ya no dependería sólo de la posición (campo conservativo), sino de la trayectoria seguida en un movimiento por dicho campo. Junio 2002. Problema 2B. Se tiene tres cargas situadas en los vértices de un triangulo equilátero cuyas coordenadas (expresadas en cm) son:
( ) ( ) ( )1,3C,1,3B,2,0A −−−
Sabiendo que las cargas situadas en los puntos B y C son idénticas e iguales a 2µC y que el campo eléctrico en el origen de coordenadas (centro del triángulo) es nulo, determine:
a) El valor y el signo de la carga situada en el punto A. b) El potencial en el origen de coordenadas.
Datos: Constante de la ley de Coulomb K = 9x109N m2/C2 Solución. a. Para hallar el valor de Q, se tendrá en cuenta que E (0,0)=0. el campo creado en el centro del triángulo por la carga EA viene expresado por:
2A2
·kEα
=
34
El campo creado en el mismo punto por la carga B(EB) es:
{ } C3
2
69
2B EC
N10·2
9
2
102109213r
r
QkE ==
×⋅×==+==⋅=
−
Si sumamos vectorialmente estos dos campos, solo nos queda componente “y”, ya que las
componentes “x” se anulan por simétrica.
La componente “y” es la suma de yBE y
yCE , que son del mismo modulo, y de valor:
α== sen·EEE BCB yy
Sumamos las dos componentes “y”:
cN10·
2
9º30sen10·
2
9º30sen·10·
2
9EE 333
CB yy=+=+
La carga en el punto A, tiene que generar un campo en (0,0) de modo que el campo resultante
sea nulo. Por tanto, el campo producido por la carga A, debe ser:
j CN10·
2
9E 3
A −=
A partir del valor del campo, hallamos la carga:
23
Ar
Q·k10·5'4E ==
C2·10Q 10·9
4·10·5'4Q 6
9
3−==
el signo tiene que ser positivo. Es decir, una carga igual a la que tenemos en B y C. b. Se calcula el potencial creado por cada carga en (0,0) y se suma escalarmente.
v10·27v10·9v10·9v10·9VVVV:
V10·92
10·2·10·9V
V10·92
10·2·10·9V
V10·92
10·2·10·9V
:r
Q·kV 3333
CBAT
36
9c
36
9B
36
9A
ii =++=++=
==
==
==
=
−
−
−
Septiembre 2001. Problema 2B.- Se tienen dos cargas puntuales sobre el eje X, q1 = −0’2 µC está situada a la derecha del origen y dista de él 1 m; q2 = +0,4 µC está a la izquierda del origen y dista de él 2 m.
35
a. ¿En qué puntos del eje X el potencial creado por las cargas es nulo? b. Si se coloca en el origen una carga q = +0,4 µC determine la fuerza ejercida sobre ella por las
cargas q1 y q2. Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vacio K = 9×109 N m2C−2 Solución. a. Para que el potencial en un punto del eje x se anule tiene que ocurrir que:
( ) ( ) 0VVpp 21 =+
Situando el punto P a la derecha de q2:
1
22
1
11 x3
qkV
x
q·kV
+==
sustituyendo en la condición de potencial nulo
0x3
C104'0k
x
C10'20k 0
x3
q·k
x
q·k
1
6
1
6
1
2
1
1 =+
×⋅−=
×−⋅=
++
−−
Operando y simplificando la expresión anterior:
( ) ( ) ( )61
61 10·4'0x10·2'0x3 −− ⋅=⋅+
resolviendo la ecuación de 1º grado x1 = 3 m
Si suponemos que el punto P se encuentra entre las cargas:
0x3
104'0·k
x
102'0k
1
6
1
6=
−
×−=
×−⋅
−−
resolviendo x = 1 m
coincide con el origen de coordenadas, P (0, 0) Repetimos el mismo procedimiento imponiendo un punto a la izquierda de la carga positiva:
1
6
1
6
x3
C102'0k
x
C104'0k
+
×−⋅−=
×⋅
−−
resolviendo la ecuación
36
x1 = −6 m
No valido ya que x1 es una distancia y no puede ser negativa. No hay ningún punto a la izquierda de la q2 donde VT = 0. b. Si colocamos una carga q = +0’4µc en (0, 0) calcular la fuerza sobre ella.
Calculamos el campo total E en el origen de coordenadas:
CN10·8'1E 102'0109E
1
102'0·kE
r
q·kE 3
169
12
6
121 =×⋅×=×
== −−
La dirección y sentido es i+ (suponemos colocada en el origen una unidad de carga positiva)
i CN1800E1 =
Calculamos el campo creado por la carga 2:
i CN900E 109'0E
2
104'0109E
r
q·kE 2
322
69
222 =×=×⋅×
==−
Puesto que ambos vectores tienen la misma dirección y sentido numeramos sus módulos:
i CN2700EEE 21T =+=
La fuerza sobre la :c104'0q 6−×+=
i 2700104'0F EqF 6 ⋅×=⋅= −
i N101,1F 3−×= Junio 2001. Problema 2B. Tres cargas positivas e iguales de valor q = 2 ηC cada una se encuentran situadas en tres de los vértices de un cuadrado de lado 10 cm. Determine:
a) El campo eléctrico en el centro del cuadrado, efectuando un esquema gráfico en su explicación. b) Los potenciales en los puntos medios de los lados del cuadrado que unen las cargas y el trabajo
realizado al desplazarse la unidad de carga entre dichos puntos. Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vacío K = 9×109 Nm2C2 Solución. a. Como se observa en la figura, el campo resultante en el centro del cuadrado es el generado por la carga A ( )AE ya que por simetría los campos generados por las carga B y C se anulan entre si.
La distancia de cualquier vértice al centro del cuadrado se calcula por teorema de Pitágoras
m 205'005'005'0r 22 =+= Los módulos de los campos creados por B y por C son iguales ya que están creados por la misma carga y están a igual distancia del centro.
( )C
62
69
2B E
C
N106'3
205'0
102·109
r
Q·kE =×=
⋅
××==
−
Los vectores de campo generados por las cargas B y C ( )CB E , E tienen igual módulo,
dirección y sentido contrario, por lo que se anulan.
El campo resultante es por tanto el generado por la carga A. Módulo:
( ) C
N106'3
205'0
102·109
r
Q·kE 6
2
69
2A ×=
⋅
××==
−
El ángulo que forma el con la horizontal es:
37
45º 1 tg 05'0
05'0 tg =α=α=α
Proyecciones del vector campo sobre los ejes coordenados:
α=α= senEE ·cosEE AAAA yx
el campo resultante es:
( ) j 1028'1i 1028'105'0 ,05'0E 66T ×+×=
b. El potencial en los puntos medios:
V102'7r
Qk2
r
Qk
r
Q·kV
V102'7r
Qk2
r
Qk
r
Q·kV
5AB
5CA
×==+=
×==+=
los potenciales son los mismos yq que están creados por la mismas carga y a igual distancia. Por tanto : ( ) 0VV·qW fi =−=
ya que ambos puntos tienen el mismo potencial Septiembre 2000. Problema 2A.- Los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo equilátero de 2 m de lado. Dos cargas iguales positivas de 2 mC están en A y B.
a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el punto C? b) ¿Cuál es el potencial en el punto C? c) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una carga positiva de 5 mC desde el infinito hasta el
punto C si se mantienen fijas las otras cargas? d) Responder al apartado anterior c) si la carga situada en B se sustituye por una carga de −2 mC.
Datos: Permitividad del vacío εo = 8,85×10−12 N−1m−2C2 Solución. a. Se calcula el módulo del campo creado por cada carga en C, y se suman vectorialmente:
CN 105'4
2
102
1085'8π4
1
R
q
επ4
1
R
q·kE
2
6
122A
o2
AAC
×=×
⋅×⋅
=⋅⋅
==−
−
r
CN 105'4
2
102
1085'8π4
1
R
q
επ4
1
R
q·kE
2
6
122A
o2
ABC
×=×
⋅×⋅
=⋅⋅
==−
−
r
Por simétrica, y puesto que los módulos de ambos campos son
iguales, las componentes x se anulan, quedando únicamente las componente y:
yCy BAA Eº60 senEErrr
=⋅=
CN j 109E j º60 senE2E 3
TAT cCc
rrrr×=⋅=
b. Se calcula el potencial creado por cada carga en C y se suman escalarmente
( )vCJ 108'1
2
102·
1085'84
12
R
qk2
R
qk
R
qkV 4
6
12ABA
T ×=×
×⋅π=⋅=⋅+⋅=
−
−
c. El W para llevar una carga desde el infinito hasta el punto C se calcula como:
( )CVVqW −= ∞
Sí q = 5×10−6, V∞ = 0 , VC = 1’8×104, sustituyendo en la ecuación anterior
( ) J 109108'10105W 246 −− ×−=×−⋅×=
Trabajo que se realiza contra el campo.
d. Si la carga en B fuera C10·2q 6B
−−= , el potencial en C será:
( )0
2
10·2
1085'84
1
2
c10·2
1085'84
1
2
qk
2
qkV
6
12
6
12BA
c =−
×⋅π⋅+⋅
×⋅π=+=
−
−
−
−
Por tanto, el W necesario para traer del infinito la carga en este caso, será nulo:
38
( ) 0W VV·qW c =−= ∞
Junio 2000. Cuestión 3. Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 mC cada una, se encuentran situadas en el plano XY en los puntos (0, 5) y (0, −5), respectivamente, estando las distancias expresadas en metros.
a) ¿En qué punto del plano el campo eléctrico es nulo? b) ¿Cuál es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desde el punto (l, 0) al punto (‒1, 0)?
Solución. a. El campo es función de la carga que lo genera y de la distancia entre la carga que lo genera y el punto donde se calcula. Entre dos cargas iguales, el campo es nulo en el punto medio del segmento que une ambas cargas. El campo
E es nulo en el origen, ya que 21 Ey E son dos vectores
en la misma dirección y sentidos contrarios, y de módulos iguales, de valor:
25
c10·2·10·9
r
q·kEE
39
221
−
===
( ) 0E CN720000EE 0,0T21 ===
b. ( ) ( )BAAB VVqVVqVqW −⋅=−⋅−=∆⋅−=
Hay que calcular el potencial
⋅=
r
qKV en los puntos (1,0) y (-1,0)
( ) { }26
qk2qqq
26
q·k
26
q·kV 21
210,1 ⋅====+=
( ) CJ
26
10·36
26
1021092V
639
0,1 =×
×⋅=−
repitiendo el cálculo para el punto (−1, 0)
( ) CJ
26
10·36
26
qk2
26
qk
26
qkV
621
0,1 =⋅⋅=⋅+⋅=−
para la unidad de carga(q =1): { } 0 WVV VVW BABA ==−=
Lo que implica que se puede mover la carga q del punto (1, 0) al punto (−1, 0) sin realizar
ningún tipo de trabajo, ya que ambos puntos tienen el mismo potencial.
