Campo electrostático - xente.mundo-r.com · • Descripción escalar del campo electrostático: mediante la energía potencial y el potencial electrostático y su relación con el

Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar Campo electrostático S 1

CAMPO ELECTROSTÁTICO 2.3

En esta unidad, primera del Electromagnetismo, se hará una introducción a la física de las cargaseléctricas estacionarias, es decir, en reposo respecto al observador, en la que se estudiarán los siguientesaspectos:

• Carga eléctrica y sus propiedades. Distribuciones de carga. Aislantes y conductores y carga porcontacto y por inducción.

• Descripción vectorial del campo electrostático. El punto de partida lo constituye la ley deCoulomb de la interacción eléctrica para pasar a un concepto más amplio: el campo eléctrico.Se introducirán las líneas de campo eléctrico para intentar visualizarlo. Finalmente se obtendrála poderosa, tanto desde el punto de vista teórico como práctico, ley de Gauss del campoeléctrico.

• Descripción escalar del campo electrostático: mediante la energía potencial y el potencialelectrostático y su relación con el trabajo eléctrico. Se introducirán las equipotenciales como unaforma de visualización del potencial electrostático.

• Conexión entre las descripciones vectorial y escalar del campo electrostático.• Un breve análisis del movimiento de cargas puntuales en campos uniformes.• Algunas analogías y diferencias entre los campos gravitatorio y electrostático.

1. LA CARGA ELÉCTRICALas primeras observaciones sobre los fenómenos eléctricos fueron realizadas por los antiguos

griegos que ya sabían que el ámbar frotado con lana adquiría la propiedad de atraer cuerpos ligeros. Sedice que el ámbar está electrizado, o que tiene carga eléctrica, o que está cargado eléctricamente.Términos que derivan del vocablo griego elektron, que significa ámbar.

La carga eléctrica, representada por q, es una cualidad de algunas partículas con propiedades queforman parte de las bases en las que se asienta la física moderna y que se analizan a continuación:

1.1. Existe en dos variedades de carga eléctrica: positiva y negativaAlrededor de 1750, el científico y estadista norteamericano Benjamín Franklin (1706S1790)

introdujo el convenio de que el vidrio recibía carga positiva (+) cuando se frotaba con un paño de seda,adquiriendo ésta carga negativa (S).

Con el conocimiento actual de la estructura de la materia, sabemos que son los electrones losportadores de una de las dos variedades de carga y los protones los de la otra variedad; ambos con lamisma carga pero con signos opuestos. En el átomo neutro, el número de protones (en el núcleo) esigual al número de electrones (en la corteza), y puesto que la materia está formada por átomos, seráeléctricamente neutra en circunstancias normales, con una carga eléctrica neta nula.

Dicha materia puede adquirir carga neta no nula dependiendo de si se le agrega electrones o si sele quita electrones (a esta ganancia o pérdida de electrones se denomina ionización). Observar quenormalmente entran en juego los electrones: se requiere poca energía para agregar o quitar electronesde la corteza del átomo, mientras que acceder al núcleo para agregar o quitar protones requieremuchísima energía.

Cuando el vidrio se frota con el paño de seda, se transfieren electrones del vidrio a la seda a travésde las superficies en contacto, resultando la seda con más electrones que protones y el vidrio con menoselectrones que protones. Para ser consecuentes con el convenio de Franklin de que la carga neta delvidrio es positiva y la de la seda negativa, debemos asignar carga positiva al protón y carga negativaal electrón, siendo por tanto el signo de las cargas un mero convenio arbitrario.

La carga eléctrica la representaremos con el símbolo q, que engloba un valor numérico, un signoy unas determinadas unidades. Es un escalar con signo.


1.2. Las cargas eléctricas interaccionan entre síAunque los fenómenos eléctricos se conocían desde la antigüedad, fue en 1730 cuando el francés

Charles Du Fay demostró que los cuerpos cargados interaccionan entre sí. A esta fuerza a distancia entrecargas eléctricas estacionarias se denomina fuerza eléctrica, Fe, que puede ser de atracción o derepulsión, dependiendo de los signos relativos de las cargas que interaccionan:

Fe atractiva: qiAqj < 0 (dos cargas con signos opuestos)Fe repulsiva: qiAqj > 0 (dos cargas con el mismo signo)

Además de la fuerza eléctrica entre cargas eléctricas hay otras fuerzas que dependen de sumovimiento relativo y que son el origen de los fenómenos magnéticos que se tratarán en unidadesposteriores.

1.3. La carga eléctrica se conservaLa carga eléctrica neta en un sistema aislado permanece constante, en el sentido de que la carga

neta total no puede ser creada ni destruida y entendiendo por sistema aislado aquél cuyos límites nopueden ser atravesados por la materia. En el interior del sistema puede existir transferencia de cargaentre los cuerpos que forman dicho sistema. Es un principio de conservación que se cumple en todaslas observaciones realizadas y constituye una de las bases de las ecuaciones de los campos eléctricosy magnéticos.

Además la carga neta de un sistema es un invariante relativista (a diferencia de la masa, longitud,energía, etc), es decir, observadores en distintos sistemas de referencia miden la misma cantidad decarga neta, así como tampoco influye el movimiento de los portadores de carga, existiendo pruebasexperimentales, tales como la neutralidad eléctrica en átomos y moléculas en los cuales losmovimientos de sus portadores de carga (electrones y protones) no influyen en dicha neutralidad.

1.4. La carga eléctrica está cuantizadaLa cantidad más pequeña de carga eléctrica es la de un electrón (o de un protón). Como la carga neta

de un cuerpo se debe a un defecto o a un exceso de electrones, dicha carga neta es un múltiplo enterodel valor absoluto de la carga de un electrón, e:

q neta = ±n |e|Los hechos de que las cantidades de carga del electrón y del protón sean exactamente iguales con

signos opuestos y de que la carga de un cuerpo está cuantizada están apoyados por numerosas pruebasexperimentales.

Durante el siglo XIX y principios del XX se realizaron muchos trabajos experimentales paradeterminar la carga del electrón y su masa. Se pueden destacar a Michael Faraday (1833) con laelectrólisis; a J.J. Thomson con la medida directa del cociente e/m en 1897 a partir del estudio de lasdescargas eléctricas en gases y a Millikan en 1909 que con el famoso experimento de la gota de aceitedeterminó con precisión aceptable el valor y signo de e.

La unidad natural de carga es el electrón. Sin embargo, en el SI es el culombio, C, de tal forma que:qeS . S1,602A10

S19 Cqp+ . +1,602A10

S19 C

El culombio se define en el SI a partir del amperio a través de la expresión de tal formaiq

t=d

dque 1 culombio es la cantidad de carga que atraviesa la sección de un conductor por el que circula unacorriente de 1 amperio en un intervalo de 1 segundo. Como el culombio es una unidad de carganormalmente demasiado grande en electrostática, en su lugar se usa el microculombio (1 µC = 10S6 C),el nanoculombio (1 nC = 10S9 C) y el picoculombio (1 pC = 10S12 C), de acuerdo con las experienciasque se manejan en electrostática.


a bFig.1

2. CARGAS PUNTUALES Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA ELÉCTRICACuando se trabaja con partículas cargadas, como electrones, protones, iones, etc., se puede

considerar a dichas cargas como puntuales (carga concentrada en un punto geométrico del espacio).Pero también se pueden considerar puntuales aquellas para las que calculamos magnitudes eléctricasa distancias mucho mayores que las dimensiones del cuerpo con carga neta.

La carga de un electrón (o un protón) es tan pequeña (y el número de Avogadro tan grande) que sucuantización no se pone de manifiesto a nivel macroscópico: Así, un cuerpo con una carga neta de S100nC contiene unos 6,24A1011 electrones en exceso. Podemos, por tanto, considerar que las cargas netasmacroscópicas están distribuidas de forma continua (están muy cerca unas de otras en comparación conlas demás distancias de interés) y manejar elementos diferenciales de carga, dq, siempre que se cumpla

e n dq n qDicha carga neta puede estar repartida a lo largo de una dimensión (densidad lineal de carga), en

dos dimensiones (densidad superficial de carga) o en tres dimensiones (densidad volúmica de carga).

2.1. Densidad lineal de cargaSi la carga neta está repartida de forma continua a lo largo de un hilo, tendremos una densidad lineal

de carga que se simboliza por , representando la cantidad de carga por unidad de longitud. En unλelemento diferencial de longitud, dl, tendremos un elemento diferencial de carga, dq. Así:

[1]λ =d

d

q

lcon unidades de C/m en el SI.

La cantidad de carga neta a lo largo de un tramo del hilo se obtiene despejando dq de [1] eintegrando

[2]q q l= =∫ ∫d dλSi la carga está uniformemente repartida a lo largo del hilo, la densidad lineal de carga λ será

constante, facilitando la resolución de la integral [2].

2.2. Densidad superficial de cargaSe produce cuando la carga neta está distribuida de forma continua a lo largo de una lámina sin

espesor. Dicha densidad superficial se simboliza por σ que representa la cantidad de carga por unidadde superficie. Siendo dS un elemento de superficie, tendremos:

[3]σ =d

d

q

Scon unidades de C/m2 en el SI.

Si la carga neta está uniformemente repartida a lo largo de la lámina, la densidad superficial de carga será constante.σ

2.3. Densidad volúmica de cargaCuando la carga neta está distribuida en un volumen, se

introduce la densidad volúmica de carga, , como la carga porρunidad de volumen:

[4]ρ =d

d

q

Vcon unidades de C/m3 en el SI.

En la Fig.1 tenemos dos ejemplos de secciones transversalesde cuerpos esféricos con densidades volúmicas de carga. En el


a bFig.2

primero, la densidad es constante porque la carga está uniformemente distribuida por todo el volumen.En el segundo (a mayor nivel de gris, más carga), la densidad volúmica de carga es una función delradio de la esfera, , porque la densidad de carga aumenta con el radio. Tanto en un caso como enρ ( )rel otro (y en otros no mencionados), las dos esferas cargadas se comportan como cargas puntualesiguales a las cargas netas concentradas en el centro cuando calculamos magnitudes electrostáticas fueradel cuerpo (¡aunque dichos cálculos se refieran a puntos muy próximos al cuerpo!), como se demostraráal aplicar la ley de Gauss a dichas distribuciones de carga.

Para cualquier tipo de distribución continua de carga, el elemento de carga dq es tan pequeño quese comporta como carga puntual, para lo cual los elementos de línea (dl), de superficie (dS) o devolumen (dV) deben ser pequeños desde el punto de vista macroscópico, pero lo suficientementegrandes a escala microscópica para que puedan contener el número suficiente de cargas netas paracumplir con la condición de que dicha carga varíe de forma continua con respecto a la posición, porquede lo contrario habría mucho espacio vacío con fluctuaciones muy grandes en los valores de la densidadde carga, dejando de ser la densidad de carga un concepto útil.

3. AISLANTES Y CONDUCTORES Y CARGA POR CONTACTO Y POR INDUCCIÓNUna vez que un cuerpo ha adquirido carga eléctrica neta, lo que suceda después depende de si el

material es aislante o dieléctrico como el vidrio, plástico, madera, ebonita, etc. o conductor como losmetales.

3.1. AislantesLa diferencia está en la movilidad de los portadores de carga: los aislantes ideales no permiten la

movilidad de portadores de carga, por lo que la carga neta de un aislante permanece en la zona en la quese colocó inicialmente.

3.2. ConductoresLa evolución de la carga neta en un material conductor

es completamente diferente porque éstos permiten lamovilidad de la carga eléctrica por todo el cuerpo. En unperíodo de tiempo muy pequeño, la carga netasuministrada al conductor se moverá hacia la superficie delmismo, si inicialmente no estaba allí, debido a las fuerzaseléctricas repulsivas entre cargas del mismo signo y sedistribuirá por toda la superficie, cesando el movimientode las cargas, sean positivas o negativas. Es decir, en unconductor cargado en equilibrio electrostático (el equilibrio electrostático implica que las cargas tienenque estar en reposo), la carga neta se distribuye por la superficie, quedando eléctricamente neutro elinterior del cuerpo.

En la Fig.2a se supone que se puede depositar una cierta cantidad de carga negativa en el interiorde una esfera conductora (se representa su sección), que debido a la repulsión eléctrica, dichas cargasse desplazan para distribuirse a lo largo de la superficie (Fig.2b), distribución que será uniforme portener simetría esférica.

A lo largo de la unidad se profundizará más sobre la distribución de carga libre en conductores enequilibrio electrostático.


Barra deebonitacargada

Electroscopio

Fig.3

a b c d e

ebonita

Tierra

Fig.4

3.3. Carga por contactoEs posible comunicar carga eléctrica a cualquier sólido frotándolo

con otra substancia. El frotamiento sirve sólo para establecer un buencontacto entre muchos puntos de las superficies, pasando electronesde una a la otra. Así, al frotar una barra de ebonita con piel, la ebonitaadquiere carga neta negativa que permanece localizada por ser unmaterial aislante. Esta carga se detecta al hacer contacto con la esferadel electroscopio (Fig.3), formado por dos láminas delgadas unidasa una varilla que termina en esfera, todo ello metálico y dentro de unrecipiente aislante para que las corrientes de aire no afecten a lasláminas. Antes del contacto las láminas cuelgan juntas verticalmente.Después del contacto, parte de la carga negativa de la ebonita setransfiere a la esfera y se propagan por la varilla y las láminas,separándose éstas en virtud de la repulsión entre cargas del mismosigno.

3.4. Carga por inducciónEn el procedimiento anterior se ha cargado el electroscopio por

contacto, pasando parte de la carga eléctrica de la ebonita al electroscopio. Hay otro procedimiento paracargar un metal con la barra de ebonita sin hacer contacto en el cual el metal adquiere carga neta designo opuesto a la de la ebonita sin perder ésta carga. Este método se denomina carga por induccióno inducción electrostática.

Para ello analicemos el proceso de carga por inducción en una esfera metálica. Tengamos en cuentaque en el modelo clásico de la conducción eléctrica, un metal se describe como una disposición regulartridimensional de iones con un gran número de electrones libres formando una nube electrónica conlibertad de movimiento por todo el material.

En la Fig.4a se representa la sección transversal de una esfera metálica neutra. Cuando se leaproxima una barra de ebonita cargada negativamente provoca, por repulsión, que parte de la nubeelectrónica de la esfera se desplace a la superficie de la misma opuesta a la barra, existiendo un excesode carga negativa en dicha zona. Esto origina una pérdida de carga negativa (queda un exceso de cargapositiva) en la superficie de la esfera próxima a la barra (b). Tales excesos de carga se denominancargas inducidas. Obsérvese que no existió transferencia de carga de la barra de ebonita a la esfera yque ésta sigue siendo eléctricamente neutra. Las cargas inducidas permanecerán mientras mantengamoscerca la barra cargada.

En (c) se conecta a tierra (que significa poner en contacto el conductor con el suelo mediante unhilo metálico, la piel húmeda de una persona, etc., pues la propia Tierra constituye un conductor quepara muchos propósitos puede considerarse como infinitamente grande), pasando los electrones de laesfera a la Tierra. En (d) se ha eliminado la conexión a tierra y en (e) se aparta la barra de ebonita conlo que resulta una esfera metálica cargada por inducción con carga neta positiva (defecto de electrones)distribuida uniformemente por la superficie de la misma.

En la Fig.5 se describe un procedimiento para cargar por inducción con cargas de signos opuestos


b c d eaFig.5

+qi +qj

-qi -qj

-qi +qj

+qi -qj

a

b

c

d

rR

ij0

rRij

rFei jsobre

rR

ij0

rRij

rFei jsobre

rR

ij0

rRij

rFei jsobre

rR

ij0

rRij

rFei jsobre

Fig.6

dos esferas metálicas. En (a) y (b) las esferas están en contacto. En (e) las esferas están losuficientemente separadas para que no exista influencia mutua.

4. LEY DE COULOMBPuesto que la fuerza eléctrica es una fuerza a distancia entre cargas, cabe esperar que dependa del

inverso de la distancia al cuadrado como en la ley de Newton de la gravitación universal. Esta simetríafue sugerida por Daniel Bernoulli en 1760. También, por simetría, cabe esperar que la fuerza eléctricadependa del producto de las dos cargas que interaccionan, suposición que se complica con el signo delas cargas. La confirmación de estas hipótesis fue realizada por Charles Augustin de Coulomb queenunció la ley en 1786 después de medir, con una balanza de torsión, la fuerza entre pequeñas esferascargadas.

La ley de Coulomb para la fuerza eléctrica entre dos cargas estacionarias se expresa en formatovectorial como:

[5]r rF K

q q

RRe

i j

ij

oi j ijsobre= 2

que nos da la fuerza que ejerce la carga i sobre la carga j separadas por una distancia R que es el módulo

de , siendo éste el vector relativo de posición que se dirige de i a j, y su correspondiente vectorrRij

rR

ij0

unitario. Se supone que las cargas se mantienen en reposo por fuerzas mecánicas de algún tipo, fuerzasque no están contempladas en la Fig.6 en donde se presentan ejemplos en función del signo de lascargas que interaccionan.

4.1. Características de la fuerza eléctrica dada por la ley de Coulomba. Es directamente proporcional al producto de las dos cargas que interaccionan. Es aplicable a cargas

puntuales (lo que es una idealización, aunque válida si las dimensiones de los cuerpos cargados sonmuy pequeñas comparadas con la distancia entre ellos) y a cargas esféricas con distribución radialde carga.

b. Disminuye con el inverso de la distancia de separación entre cargas al cuadrado. Si las cargas sonesféricas con distribuciones radiales de carga, dicha distancia se toma de centro a centro. Es de largoalcance, aplicable para distancias mayores que unos 10S14 m, pues a distancias inferiores predominanlas fuerzas nucleares.


+qi +qjrRij

rFei sobre j

rFej sobre i

Fig.7

c. Tiene como dirección la recta que une a ambas cargas, con sentido que depende del signo delproducto escalar de las cargas: repulsiva si las dos cargas tienen el mismo signo, atractiva si tienendistinto signo. Su módulo está dado por la expresión

[6]F Kq q

Re

i j

iji jsobre

=| || |

2

d. Al tener la forma es una fuerza central , y al depender su módulo del inverso de lar rF f R R= ⋅( ) 0

distancia al cuadrado (es una fuerza newtoniana), es, por tanto, conservativa. Por ello, el trabajo querealiza la fuerza eléctrica se puede expresar como una disminución de la energía potencial eléctricaUe:

[7]W F R U U UA B eR

R

e e eA

B

A B→ = ⋅ = − = −∫r r

r

r

d ∆

e. Cumple la ley de acciónSreacción (Fig.7):

[8]r rF Fe ei j j isobre sobre

= −

En este punto pueden aparecer dificultadesde tipo teórico: ¿Cómo y en cuánto tiempo se transmite la información de la interacción “adistancia” de la primera a la segunda carga y, una vez que la segunda experimenta dicha interacción,cómo y en cuánto tiempo se transmite la información de la segunda a la primera?. Recordemos queexiste un límite para la velocidad de propagación de la información en el universo, que es lavelocidad de la luz en el vacío, c, por lo cual las fuerzas de acción y reacción en las interacciones“a distancia” no serán simultáneas. Pero esto puede llevarnos a que no se cumpla el principio deacciónSreacción. Pensemos en dos cargas separadas: Hagamos que la primera sufra un movimientorepentino, como una oscilación, por lo que se acelera. La segunda carga comenzará a oscilar, perocon cierto retraso. Debido a este retraso, la fuerza que ejerce la primera sobre la segunda no estaráacompañada por una fuerza igual y opuesta de la segunda sobre la primera, lo que parece violar laley de acciónSreacción. De alguna manera tiene que haber una solución a esta posibleincongruencia, teniendo en cuenta que la ley de acciónSreacción es una consecuencia del principiofundamental de la conservación de la cantidad de movimiento y de la manera en como se hadefinido la fuerza a partir de la cantidad de movimiento. La respuesta vendrá con la introduccióndel concepto de campo eléctrico.

f. Es mucho más intensa que la fuerza gravitatoria (unas 1036 veces), a pesar de que la primera nosparece menos familiar que la segunda. Pero no hay que olvidar que las fuerzas eléctricas son

responsables de la estructura atómica, de que no resbalemos deuna silla cuando estamos sentados, de que nuestro calzado no sedeslice en el suelo al caminar, etc.

g. La constante de la ley de Coulomb, K, a diferencia de laconstante de la gravitación (G), depende del medio en que seencuentren inmersas las cargas a través de un parámetroeléctrico de dicho medio llamado constante dieléctrica delmedio o permitividad del medio, , tal que:ε

[9]K =1

4πε

Substancia ggggr

Vacío 1

Aire (seco, sin CO2) 1,0005

Agua (a 20 ºC) 80,1

Vidrio para ventanas 7,0

Madera 2 S 8

Permitividad relativa de algunas

substancias


+q1

-q2 +qn

+q

rR1

rR2

rRn

rFn

rF1

rF2

Fig.8

En el caso de que el medio sea el vacío (o el aire, aproximadamente) se representa por ,ε0tomándola como referencia para definir la permitividad relativa (adimensional), , de otro medioε rdistinto del vacío:

[10]εεεr =0

Las permitividades dieléctricas se determinan experimentalmente, obteniendo para el vacío ε0= 8,854A10S12 C2 NS1 mS2, resultando que para nuestros propósitos es suficientemente exacto utilizarel siguiente valor de la constante de la ley de Coulomb en el vacío (al substituir en [9]):

K0 = 9A109 NAm2/C2 [11]

Teniendo en cuenta que , en los cálculos suele resultar más fácil utilizar la expresiónr

r

RR

R

ij

ij

0 =

[12]r rF K

q q

RRe

i j

ij

iji jsobre= 3

porque no hay que calcular el vector relativo unitario de posición, aunque la expresión [5] es másadecuada para el tratamiento teórico.

5. UNA APLICACIÓN DE LA LEY DE COULOMB5.1. Fuerza que ejerce una distribución discreta de cargas sobre otra carga

Supongamos que tenemos un conjunto n de cargaspuntuales o que se puedan considerar puntuales: q1, q2,..., qn fijas (mediante algún tipo de fuerza no eléctrica)formando una distribución discreta de cargas. Ademástenemos, fuera de la distribución, una carga q puntual oque se puede considerar puntual (Fig.8). Cada una de lascargas de la distribución qi ejerce una fuerza eléctricasobre la carga q, cuya expresión está dada por la ley deCoulomb. Suponiendo que se cumple el principio desuperposición e independencia de las fuerzas, la fuerzaeléctrica total que ejercen las cargas de la distribución

sobre la carga q, , estará dada por la sumarFe qsobre

vectorial de las fuerzas individuales:

[13]r r r rF F F Fe e e eq q q q q qn qsobre sobre sobre sobre

= + + +1 2

....

es decir, teniendo en cuenta [5]:

[14]r r r rF K

q q

RR K

q q

RR K

q q

RRe

n

nsobre q n

= + + +1

12 0

2

22 0 2 01 2

....

que de forma resumida:

[15]r r rF K

q q

RR K

q q

RRe

i

ii

n

i

ii

n

iq isobre= =

= =∑ ∑21

0 31

siendo el vector relativo de posición que se dirige de la carga i a la carga q sobre la cual se calcularRi

la fuerza.


y

x

(0,1)

(-1,0)

(0,-1)

P(1,0)q1=2 nC

q2=4 nC

q3= -8 nC

q= -3 nCrR1

rR2

rR3

Fig.9

Ejemplo 1Sea una distribución de tres cargas

puntuales de 2, 4 y S8 nC situadas en lospuntos (S1, 0), (0, S1) y (0, 1) m del plano xSyrespectivamente. El medio es el vacío.Calcular la fuerza que ejerce dichadistribución sobre una carga de S3 nC cuandose sitúa en el punto P(1, 0) m.

Existiendo varios procedimientos parallegar al resultado, se utilizará la expresión

analítica , para lo cualr rF K

q q

RR

i

i

i= ∑0 3

procederemos en etapas:1. Se sitúan las cargas en los puntos

respectivos del plano xSy (Fig.9).2. Se dibujan los vectores relativos de

posición (se dirigen siempre de la carga fuente al punto P).3. Se expresan analíticamente los vectores de posición:

r rR i1 2= m

( )r r rR i j2 = + m

( )r r rR i j3 = − m

4. Se calculan los módulo de los vectores anteriores:

R1 = 2 m R R2 3 2= = m5. Se calcula la fuerza que cada carga de la distribución ejerce sobre la carga situada en P, utilizando

la expresión , substituyendo en ella los valores correspondientes (la carga ser rF K

q q

RRi

i

i

i= 0 3

substituye por su valor y signo):

r r rF i i1

99 9

399 10

2 10 3 10

22 13 50 10= ⋅

⋅ − ⋅= − ⋅

− −−( )

, N

( )( ) ( )

r r r r rF i j i j2

99 9

399 10

4 10 3 10

238 18 10= ⋅

⋅ − ⋅+ = − ⋅ +

− −−( )

, N

( )( ) ( )

r r r r rF i j i j3

99 9

399 10

8 10 3 10

276 37 10= ⋅

− ⋅ − ⋅− = ⋅ −

− −−( )

, N

6. La fuerza total ejercida sobre la carga de 5 nC estará dada por la suma vectorial de las fuerzasanteriores:

r r rF i j= − −( , )24 7 115 10 9 N


q qp

rR0

rR

rFeq sobre qpP

Fig.10

P

q

P

-q

P

a

b

rR0

rR0

rR

rR

rE

rE

Fig.11

6. CAMPO ELÉCTRICO. INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTROSTÁTICOExaminemos la fuerza eléctrica que ejerce una carga puntual q, que denominaremos carga fuente,

sobre una carga puntual qp, o carga de prueba, situada en el punto P. La ley de Coulomb nos dice quela fuerza que ejerce q sobre qp está dada por la expresión [5] (en el caso de que sean puntuales o sepuedan considerar como tales):

[16]r rF K

qq

RRe

p

q qpsobre= 2 0

Puesto que esta fuerza es directamente proporcional a lacarga de prueba, podemos dividir la fuerza entre la carga deprueba. A este cociente de la fuerza sobre la carga de prueba

por unidad de carga de prueba se denomina intensidad del campo eléctrico, representada por :rE

[17]r

r

EF

q

e

p

qp

=sobre

de donde obtenemos la ley de Coulomb de la intensidad del campo eléctrico producida por una cargafuente puntual (o que se pueda considerar como tal: en el exterior de distribuciones esféricas de cargasiendo R la distancia al centro de la distribución) a una distancia R de la misma:

[18]r rE K

q

RR= 2 0

o, más práctica para los cálculos:

[19]r rE K

q

RR= 3

Se obtiene así una magnitud eléctrica vectorial definida encada punto del espacio que rodea a la carga fuente y que dependeúnicamente de ésta (y del medio), con dirección radial y sentidoque depende del signo de la carga fuente (Fig.11). El módulo dela intensidad del campo eléctrico en cada punto es inversamenteproporcional a la distancia al cuadrado a la carga fuente, conunidades de N/C en el SI (o de V/m, como veremos más adelante).

A la región del espacio en la que está definida una intensidad de campo eléctrico en cada punto sele denomina campo eléctrico, que es un campo vectorial.

Si en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico colocamos una carga de prueba qp,ésta experimenta una fuerza eléctrica que se obtiene a partir de la definición de intensidad de campo(expresión [17]):

[20]r rF q Ee q ppsobre =

fuerza que tiene la misma dirección que la intensidad del campo eléctrico en el punto en el quecolocamos qp, con sentido dependiente del signo de qp. Tenemos así otra definición (operativa) decampo eléctrico: existirá campo eléctrico en un región del espacio si al colocar en ella una carga deprueba experimenta una fuerza.

A partir de la definición de (expresión [17]) obtenemos el procedimiento para medir larE

intensidad del campo eléctrico en un punto del espacio: situar una carga de prueba qp en reposo en elpunto en cuestión, medir la fuerza eléctrica que actúa sobre ella y obtener la intensidad de campo como

. Procedimiento con el cual se debe tener cuidado, pues la carga de prueba puede alterarr

r

EF

q

e

p

sobre q p=


+q1

-q2+qn

PrR1

rR2

rRn

rE1

rE2

rEn

Fig.12

la distribución de las cargas fuente que originan el campo: Por ejemplo, si el campo está producido poruna distribución de cargas situadas en la superficie de un conductor, existirá una redistribución dedichas cargas si en sus proximidades colocamos la carga fuente, con lo cual se ha alterado la intensidadde campo que queríamos medir.

Se ha sustituido el cálculo directo de la fuerza eléctrica de la ley de Coulomb entre una carga fuentey una carga de prueba por un procedimiento en dos etapas: primero se calcula la intensidad del campoeléctrico originado por la carga fuente, y segundo, se calcula la fuerza eléctrica que ejerce el campoeléctrico sobre la carga de prueba. Por ello, el conjunto de las ecuaciones de la intensidad del campoeléctrico [18] y la fuerza eléctrica en función de la intensidad del campo eléctrico [17], son totalmenteequivalentes a la expresión de la fuerza eléctrica de la ley de Coulomb [5].

Este procedimiento en dos etapas tiene ventajas de cálculo: Permite calcular distintas fuerzaseléctricas sobre distintas cargas de prueba que coloquemos en un punto dado del campo eléctrico, loque constituye un ahorro de cálculo frente a la ley de Coulomb. Además no es necesario conocer cómoes o en dónde está situada la carga (o cargas) fuente que originaron el campo eléctrico, sólo es necesarioconocer la intensidad del campo eléctrico en el punto en el que se coloca la carga de prueba.

Además tiene ventajas teóricas: El hecho de obtener expresiones que sólo dependen de las cargasfuente facilita la obtención y manejo de las expresiones de los campos electromagnéticos. Por otra parte,se resuelven las dificultades del concepto de “interacción a distancia” planteadas al analizar la ley deCoulomb: En el proceso en dos etapas que hemos introducido con el concepto de campo eléctrico, lacarga oscilante produce un campo eléctrico oscilante que actúa de medio de propagación de laoscilación, interactuando ésta con la segunda carga, que la hace oscilar. El campo transporta momentolineal de la primera a la segunda carga mediante los paquetes de radiación electromagnéticadenominados “fotones” emitidos por una carga y absorbidos por la otra, cumpliéndose la ley deacciónSreacción en cada interacción “fotón”Scarga. En este sentido, el campo eléctrico funciona comointermediario entre las dos cargas.

Parece que el campo eléctrico se ha introducido como una herramienta puramente formal (quefacilita el cálculo) o conceptual (que resuelve los inconvenientes planteados por la interacción adistancia). Pero el hecho de que se pueda calcular la intensidad del campo eléctrico producida porcargas fuente en un punto del espacio, exista o no carga en dicho punto, nos puede llevar a pensar queel campo eléctrico es una entidad física que se extiende en todo el espacio: en este sentido, la cargafuente modifica las propiedades del espacio que la rodea, siendo la intensidad de campo una medidade dicha perturbación. De hecho, existen campos eléctricos variables con el tiempo sin cargas fuente.

7. ALGUNAS APLICACIONES DE LA LEY DE COULOMB DE LA INTENSIDAD DECAMPO ELÉCTRICO

7.1. Intensidad de campo eléctrico originada por unadistribución discreta de cargas puntuales oequivalentes

Supongamos que tenemos un conjunto n de cargaspuntuales o que se puedan considerar puntuales: q1, q2,..., qn fijas (mediante algún tipo de fuerza no eléctrica)formando una distribución discreta de cargas. Cada unade estas cargas origina en el punto P una intensidad decampo eléctrico, independientemente de todas las otrascargas, siendo la intensidad de campo resultante en elpunto P la suma vectorial de las intensidades de campo


y

x

(0,1)

(-1,0)

(0,-1)

P(1,0)

q1=2 nC

q2=4 nC

q3= -8 nC

rR1

rR2

rR3

Fig.13

individuales (Fig.12); esto es el principio de superposición e independencia aplicado al campo eléctrico.Teniendo en cuenta la expresión de la intensidad de campo originada por cada carga [11], la intensidadtotal en el punto P será:

[21]r r r r rE E E E En i

i

n

= + + + ==∑1 21

...

[22]r r r rE K

q

RR K

q

RR K

q

RR

n

nn

= + + +1

12 0

2

22 0 2 01 2

...

que de forma resumida:

[23]r r rE K

q

RR K

q

RR

i

ii

ni

ii

n

ii= =

= =∑ ∑21

0 31

siendo el vector relativo de posición que se dirige de la carga i al punto P en el cual se calcula larRi

intensidad del campo.

Ejemplo 2Sea una distribución de tres cargas

puntuales de 2, 4 y S8 nC situadas en lospuntos (S1, 0), (0, S1) y (0, 1) m del planoxSy respectivamente. El medio es el vacío.Calcular:a. La intensidad del campo eléctrico que

origina esta distribución en el punto P(1,0) m.

b. La fuerza que ejerce dicha distribuciónsobre una carga de S3 nC cuando se sitúaen el punto P.

c. La fuerza que ejerce dicha distribuciónsobre una carga de 5 nC cuando se sitúaen el punto P.

a. Se utilizará la expresión analítica

, p a r a l o c u a lr rE K

q

RR

i

i

i= ∑0 3

procederemos en etapas:1. Se sitúan las cargas en los puntos respectivos del plano xSy (Fig.13).2. Se dibujan los vectores relativos de posición (se dirigen de la carga fuente al punto P).3. Se expresan analíticamente los vectores de posición:

r rR i1 2= m

( )r r rR i j2 = + m

( )r r rR i j3 = − m

4. Se calculan los módulo de los vectores anteriores:

R1 = 2 m R R2 3 2= = m5. Se calcula la intensidad de campo originada por cada carga en el punto P, utilizando la expresión


, substituyendo en ella los valores correspondientes (la carga se substituye porr rE K

q

RRi

i

i

i= 0 3

su valor y signo):

r r rE i i1

99

39 102 10

22 4 5= ⋅

⋅=

−

,N

C

( )( )

r r r r rE i j i j2

99

39 104 10

212 73= ⋅

⋅+ = +

−

, ( )N

C

( )( ) ( )

r r r r rE i j i j3

99

39 108 10

225 46= ⋅

− ⋅− = − −

−

,N

C

6. La intensidad total del campo eléctrico en el punto P vendrá dada por la suma vectorial de lasintensidades anteriores:

r r rE i jP

N

C= − +( , , )8 23 38 2

b. La fuerza que ejerce la distribución sobre una carga de S3 nC que se sitúa en P se puede calcular através de la fuerza que ejerce la intensidad del campo en P (originada por la distribución) sobre lacarga que se sitúa en dicho punto:

r r r rF qE i j= = − ⋅ − +−

P 3 10 8 23 38 29 ( , , )r r rF i j= − −( , )24 7 115 10 9 N

siendo, evidentemente, el mismo resultado que el del ejemplo 1.

c. De la misma forma que en el apartado anterior, se obtiene:r r r rF qE i j= = ⋅ − +−

P 5 10 8 23 38 29 ( , , )r r rF i j= − + −( , )42 1 191 10 9 N

Los dos últimos apartados resaltan la ventaja de calcular primero la intensidad de campo paradespués calcular la fuerza sobre una carga a partir de la interacción del campo con dicha carga.

7.2. Intensidad de campo eléctrico originada por una distribución continua y uniforme de cargaEs frecuente encontrar cargas fuentes que están distribuidas de forma continua. En estas situaciones,

se divide la distribución de carga en elementos infinitesimales dq, considerando a cada uno de estos

elementos como carga puntual que origina un elemento infinitesimal de intensidad de campo endrE

el punto P que está dada por la expresión

[24]ddr r

E Kq

RR= 2 0

que es la ley de Coulomb en forma diferencial de la intensidad del campo eléctrico [18], con módulo

[25]dd

E Kq

R= 2

La intensidad total de campo eléctrico en el punto P será la suma (al cumplirse los principios desuperposición e independencia) de las intensidades infinitesimales producidas por todos los elementosde carga; esto es, una integral


θθ

rR

x

y

dq

x

P

dy

-y

drEy d

rE

drE x

Fig.14

[26]r r

r

E E KR

Rq= =∫ ∫d d02

extendida a toda la distribución, que dependiendo del tipo, se substituye dq por , o .λdl σdS ρdVPuesto que es una integral de una expresión vectorial, puede ser difícil su evaluación, a menos que ladistribución de carga tenga un alto grado de simetría. Con la ley de Gauss, que se desarrollará másadelante, se pueden calcular intensidades de campo eléctrico en ciertas distribuciones simétricas de unaforma más fácil.

Ejemplo 3Calcular la intensidad del campo eléctrico a una distancia x medida perpendicularmente a una

distribución continua, lineal, infinita y uniforme de carga eléctrica situada a lo largo del eje y.

Supongamos que la carga se distribuye a lo largodel eje y, desde S hasta + , y que al ser uniforme,∞ ∞la densidad lineal de carga es constante:

. En la Fig.14 está representadoλ = = =d

d

d

dcte

q

l

q

y

el elemento infinitesimal de intensidad de campo en elpunto P, que está a una distancia x medidaperpendicularmente a la distribución lineal, originadopor el elemento infinitesimal de carga dq situado en laposición Sy. Este elemento de campo se descomponeen una componente sobre el eje x y otra sobre el eje y,

tal que .d d d d dr r r r rE E E E i E jx y x y= + = +

Teniendo en cuenta la Fig.14, , que al substituir dE pord d dr r rE E i E j= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅cos sinθ θ

, integrando y sacando las constantes fuera de la integral, se obtieneKq

RK

y

R

d d2 2=

λ

dd dr r r

E i Ky

RjK

y

R=

⋅+

⋅

−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫λθ

λθcos sin

2 2

Para resolver las integrales anteriores hay que reducir las tres variables (y, R, ) del integrando aθuna sola, siendo lo más conveniente dejar los integrandos en función del ángulo. A partir de la Fig.14

se tiene , de donde y derivando y respecto a (teniendo en cuenta que x estanθ =y

xy x= tanθ θ

constante): de donde despejamos que se substituye en losd

d

y x

θ θ=cos2

d dyx

=cos2 θ

θ

integrandos. También de la Fig.14 se obtiene , de donde que se substituyecosθ =x

RR

x22

2=cos θ

en los integrandos. Cambiando los límites de integración en función de la variable (cuandoθ

, y cuando , ) y con las substituciones anteriores se obtieney = −∞ θπ

= −2

y = +∞ θπ

= +2


rE

Fig.15

+qp-qp

rFe q psobre

rE

rFe qpsobre −

rE

a bFig.16

r r rE K

xi j= ⋅ + ⋅

−

+

−

+

∫ ∫λ

θ θ θ θπ

π

π

π

cos sind d

2

2

2

2

] ]r r rE K

xi j= ⋅ − ⋅

−

+

−

+λθ θπ

π

π

π

sin cos2

2

2

2

r r rE K

xi j= +2 0

λ

es decir:r rE K

xi= 2

λ

de donde se deduce que la intensidad de campo es inversamente proporcional a la distancia a ladistribución y es perpendicular a ella.

El que no exista componente en la dirección paralela a la distribución era de esperar porconsideraciones de simetría: todo elemento dq situado en Sy tiene otro elemento simétrico dq en +y, porlo cual las componentes en la dirección y de la intensidad de campo en P tienen el mismo módulo perosentidos opuestos por lo que se anulan.

8. UNA FORMA DE VISUALIZAR EL CAMPO ELÉCTRICO: LÍNEAS DE CAMPOELÉCTRICO

Puesto que el campo eléctrico es un campo vectorial, para visualizarlo se necesita representar unvector intensidad de campo eléctrico en cada punto del espacio (en donde exista un campo, pues puedenexistir puntos en los que no esté definido –por ejemplo, en la posición que ocupa una carga puntual–o porque es nulo –por ejemplo, el punto medio entre dos cargas iguales–), lo que exige unarepresentación tridimensional, una gran cantidad de trabajo y el resultado sería de difícil interpretación.

A Michael Faraday (1791S1867) se le debe la visualización del campo eléctrico en función de lasdenominadas líneas de campo eléctrico.

8.1. Propiedades de las líneas de campo eléctricoa. Son líneas imaginarias orientadas, continuas (excepto en

singularidades como en una carga puntual, o puntos en dondese anula el campo, etc.), cuyas tangentes, en cualquier punto,tienen la dirección de la intensidad del campo en dicho punto(Fig.15).

Las cargas de prueba qp que se coloquen en una región en laque existe un campo eléctrico experimentarán una fuerza eléctrica, de acuerdo con la expresión

, que tendrá el mismo sentido que el de la intensidad de campo en el caso der rF q Ee q ppsobre =

cargas de prueba positivas (Fig.16a) o el contrario en el caso de las negativas (Fig.16b).


+q -q

rE

rE

Fig.17

+q +2q

Fig.18

Las cargas de prueba positivas al abandonarlas en un campo eléctrico, semueven en el mismo sentido que las líneas de campo.

Las cargas de prueba negativas al abandonarlas en un campo eléctrico, semueven en sentido contrario a las líneas del campo.

b. Las líneas de campo eléctrico de una carga puntual son radiales y uniformemente distribuidasalrededor de la carga. Con sentido hacia fuera de la carga las originadas por cargas positivas y haciala carga las originadas por cargas negativas; sentido que es consecuencia de la expresión de la

intensidad de campo eléctrico . Las cargas positivas son manantiales de líneas der rE K

q

RR= 2 0

campo, las negativas son sumideros. Por ello, las líneas de campo eléctrico son abiertas por serconservativo el campo electrostático.

Las Fig.17 corresponden a la representación en el plano de las líneas de campo eléctrico decargas puntuales aisladas. En realidad, estas líneas abarcan todo el espacio tridimensional.

Se puede observar que la representación del campo eléctrico mediante líneas de campo nopermite obtener de una forma directa la intensidad del mismo en un punto dado del campo, aunqueda la información de la dirección y sentido de la intensidad del campo en un punto por el cual paseuna línea de campo.


-q

rEr

E−

rE+

+q

Fig.19

c. El número total de líneas de campo eléctrico de una carga puntual es proporcional a la cantidad decarga, escogiendo la constante de proporcionalidad de forma que suministre la mejor visualización.En la Fig.18 están representadas 8 líneas para la carga +q y 16 líneas para la carga +2q.

El que por un punto dado no pase una línea de campo no quiere decir que no exista allíintensidad de campo eléctrico. Normalmente sólo se representan unas pocas líneas, las suficientespara no complicar el gráfico y hacernos una idea de cómo es el campo eléctrico.

d. A mayor número de líneas de campo representadas en una región del campo eléctrico, mayorintensidad del mismo, consecuencia de un concepto más general llamado flujo de campo eléctrico,que se puede interpretar como la medida de la densidad de líneas de campo que atraviesan unasuperficie perpendicular a dicho campo, concepto que se profundizará más adelante.

En las gráficas anteriores en las que serepresentan líneas de campo eléctrico de cargaspuntuales aisladas se puede apreciar fácilmenteesta propiedad: las líneas de campo están máspróximas unas a las otras en las cercanías de lascargas, pues en esas regiones la intensidad decampo es alta; a medida que nos alejamos de lascargas, las líneas de campo se separan porque laintensidad de campo decrece.

Obsérvese que dos líneas de campo no se puedencruzar porque el campo eléctrico tiene una direcciónúnica en un punto particular, por lo que sólo unalínea de campo puede pasar por ese punto.

También tengamos en cuenta que, en general,una partícula cargada de prueba no se mueve a lolargo de una línea de campo, pues como se ve en la Fig.16, la aceleración de esa carga de prueba estangente a la línea de campo en ese punto y para poder seguir la trayectoria curvada de la línea decampo necesitaría además tener aceleración normal, que no tiene.

8.2. Dipolo eléctrico y momento dipolarEn la Fig.19 se muestran algunas líneas de campo eléctrico en las proximidades de un dipolo

eléctrico, formado éste por dos cargas iguales, de signos opuestos y separadas por una distancia d,pequeña en comparación con las distancias de las cargas a un observador.

En cada punto del espacio que rodea al dipolo existe una intensidad de campo eléctrico tangente ala línea de campo que pasa por dicho punto. Esta intensidad es la resultante de las intensidades decampo producidas por la carga positiva y por la carga negativa en el punto en cuestión, resultado de losprincipios de superposición e independencia aplicados al campo eléctrico.

Se define el momento dipolar eléctrico como un vector de módulo p = qAd y con sentido de larp

carga negativa a la positiva:

-q +qrp

d

Fig.20El momento dipolar eléctrico de una molécula, que es una medida de la asimetría de carga, se

obtiene experimentalmente y, junto con otros parámetros, contribuye a la determinación de la estructuramolecular: distancias y ángulos de enlace, coeficientes de las funciones de onda, etc. Según el momentodipolar, las moléculas se clasifican en apolares (no tienen momento dipolar) y polares (con momento


H O H H O

H

+ δ −δ − δ + δ + δ −δ − δ

+δ

rp

rp

rp

rpr

ptotal = 0rptotal ≠ 0

a bFig.21

+q+q +3q +q

A

B

A

B

Fig.22

dipolar).Así, en los enlaces HSO de la molécula de agua hay una separación parcial de la carga electrónica

en el enlace covalente, soportando el O una carga parcial negativa, , por tener una mayor− δelectronegatividad que el H, que soporta una carga parcial positiva, . Puesto que existen dos+ δenlaces HSO, cada H soporta una carga parcial y el O una carga parcial total . De este modo,+ δ − 2δen la molécula existen dos momentos dipolares de enlace, iguales en módulo, originados por los dosenlaces HSO. La molécula de agua tiene dos estructuras geométricas teóricamente posibles: lineal oangular,

siendo la angular la correcta, ya que la molécula de agua tiene momento dipolar resultante.

8.3. Otros ejemplos de representación del campo eléctrico mediante líneas de campoEn los ejemplos de la Fig.22 no se cumplen exactamente todas las propiedades enunciadas para las

representaciones mediante líneas de campo eléctrico, al menos en lo que se refiere a la propiedad d):del gráfico se deduce que el campo eléctrico es más intenso en las regiones A que en las B, por tenerla región A mayor densidad de líneas. Justamente ocurre lo contrario: el campo es más intenso en B queen A. Ello es debido a que el flujo del campo eléctrico es un concepto tridimensional, que no se puedeplasmar en una representación gráfica bidimensional. Aún las representaciones tridimensionales delíneas de campo eléctrico, tales como los anaglifos, requieren un elevado número de líneas para que ladensidad de las mismas represente, al menos de forma aproximada, la intensidad de campo eléctrico.


drS

Fig.23

dl

Rdθ

Fig.24

dS

RdΩ

Fig.25

9. LEY DE GAUSS DEL CAMPO ELÉCTRICOLa descripción cualitativa del campo eléctrico mediante líneas de campo está relacionada con la

ecuación matemática denominada ley de Gauss (Karl Friedrich Gauss, físico y matemático alemán,1775S1855), que relaciona la intensidad del campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carganeta incluida dentro de la superficie. Esta ley tiene ventajas significativas frente a la ley de Coulombde la intensidad del campo eléctrico, pues:a. Permite cálculos de intensidades de campo relativamente fáciles para ciertas distribuciones de carga.b. Suministra una visión particularmente clara de ciertas propiedades básicas del campo.c. Es aplicable a cualquier distribución de carga, independientemente de su estado de movimiento, lo

que sirve, a su vez, para definir la cantidad de carga neta en una región.

9.1. Vector superficie elementalToda superficie elemental dS se caracteriza, para su empleo en el cálculo

vectorial, por un vector , tal que su módulo dS es igual al área de la superficiedrS

(por definición) y su dirección es perpendicular a la superficie (Fig.23). El sentidoes arbitrario cuando se trata de una superficie plana, en otro caso se dirige de laparte cóncava a la convexa.

9.2. Ángulo plano y ángulo sólidoEl elemento de ángulo plano ordinario, (Fig.24), se define como eldθ

cociente (adimensional) entre el elemento de longitud de arco de circunferencia, dl, y el radio de lamisma:

[27]dd

θ =l

Rcon unidades de radianes (rad) en el SI. El ángulo plano total subtendido por

una circunferencia es . De otra forma,θπ

π= = =L

R

R

R

circunferencia rad2

2

la integral de línea cerrada de es rad: . Estedθ 2π θ θ π= =∫ d radlinea

2

ángulo total es independiente de la forma de la trayectoria cerrada escogida,siempre se obtendrá el mismo resultado: .2π rad

De forma semejante, en el espacio se define el elemento de

ángulo sólido, (Fig.25), como el cociente (adimensional)dΩentre el elemento de superficie sobre una superficie esférica(normal al radio), , y el radio de la esfera al cuadrado:dSn

[Su expresión general es ] [28]dd

Ω =S

R

n

2 ddS R

RΩ =

⋅r r

02

siendo su unidad el estereorradián (sr) en el SI, que es el ángulosólido total subtendido por una superficie de 1 m2 sobre una esferade radio 1 m. El ángulo sólido total subtendido por una esfera es

, es decir,Ω = = =S

R

R

R

esfera sr2

2

2

44

ππ

[29]Ω Ω= =∫ d srsuperficie

4π


θ

drS

drSn

rA

Fig.26

independientemente de la forma de la superficie cerrada.

El símbolo I corresponde a una integral abierta (a lo largo de una línea o superficie, según seespecifique en la parte inferior de dicho símbolo, o si no se especifica, basta con observar la variablerespecto a la que se integra). Por el contrario, el símbolo Š, con el círculo sobre el del integral,corresponde a una integral cerrada (a lo largo de una línea o superficie cerrada, según el caso).

9.3. Flujo elemental de un campo vectorial a través de unasuperficie elemental abierta

Supongamos que en una región del espacio existe un campo

vectorial , representado en la Fig.26 por sus líneas de campo,rA

y una superficie elemental . Se llama flujo elemental deldrS

campo a través de dicha superficie al producto escalar

[30]d dΦ = ⋅r rA S

es decir, igual al producto del módulo del campo por la proyección de la superficie sobre un planonormal a la dirección del campo:

[31]d d dΦ = ⋅ ⋅ = ⋅A S A SncosθPuesto que la densidad de líneas de campo es directamente proporcional al módulo del mismo, se

concluye que el flujo elemental representa el número de líneas de campo que atraviesan un elementode superficie normal al campo.

9.4. Flujo total de un campo vectorial a través de una superficie cerradaPara calcular el flujo total a través de una superficie cerrada (que encierra un volumen) S, se integra

el flujo elemental para toda la superficie cerrada:

[32]Φ super. cerradasuper. super.super.

d d d= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫∫r rA S A S A Sncosθ

obteniéndose el flujo neto, que en términos de líneas de campo significa el número de líneas de campoque salen de la superficie cerrada menos el número de líneas de campo que entran en dicha superficiecerrada. Teniendo en cuenta la definición de ángulo sólido (expresión [28]), la integral anterior se puedeescribir:

[33]Φ Ωsuper. cerradasuper.

d= ⋅ ⋅∫ A R2

para lo cual se necesita conocer la expresión del módulo A.

9.5. Flujo total a través de una superficie cerrada para un campo inversamente proporcional ala distancia al cuadrado

Es el caso de los campos gravitatorio y electrostático de masas y cargas puntuales, respectivamente,pues para ellos se puede expresar A como

[34]AR

= cte12

siendocte = SGAm en el campo gravitatoriocte = KAq en el campo electrostático

Substituyendo A en la integral del flujo total y teniendo en cuenta lo dicho para el ángulo sólido totalsubtendido:


+q +2q

S S

Fig.27

[35]Φ Ω Ωsuper. cerradasuper. super.

cte d cte d cte= = = ⋅∫ ∫1

422

RR π

9.6. Ley de GaussAsí, para el campo electrostático producido por una carga puntual interior a la superficie cerrada,

substituyendo la cte y teniendo en cuenta que , se obtiene:K =1

4 0π ε

[36]Φ super. cerradasuper.

d= ⋅ =∫r rE S

q

ε0que constituye una primera aproximación a la ley de Gauss del campo eléctrico.

El resultado anterior tiene una serie de propiedades interesantes que hacen de la ley de Gauss unaherramienta muy potente:

a. La ley de Gauss es consecuencia de que la intensidad del campo eléctrico debido a una carga puntualaislada varía exactamente con la inversa del cuadrado de la distancia desde la carga, dependenciaque es una propiedad de la naturaleza que se conoce con mucha precisión. Si la dependencia fuera

distinta no se podría escribir la expresión tan sencilla .Φ super. cerrada =q

ε 0b. El flujo neto es directamente proporcional a la carga interior a la superficie cerrada.

Ésta era una de las propiedades en las que se basaba la visualización del campo eléctrico a travésde las líneas de campo: cuánto mayor sea la carga puntual, mayor será el flujo neto a través de unasuperficie que encierre a la carga, y puesto que el flujo es una medida del número de líneas decampo que atraviesan la superficie cerrada, más líneas tendremos que dibujar para representar elcampo eléctrico.

En la Fig.27, la superficie cerrada escogida es esférica e igual en ambos casos. El flujo neto enel primero es de 8 unidades (8 líneas de campo que salen de la superficie cerrada). El flujo neto enel segundo es de 16 unidades. La razón está en que en el segundo la carga interior es doble que enel primero.


+q

S1

S2

Fig.28

+q

S3

Fig.29

c. El flujo neto no depende de la forma de la superficie cerrada.En la Fig.28 se tiene un campo eléctrico producido por

una carga puntual. Están dibujadas unas cuantas líneas decampo y dos superficies cerradas, una esférica, S1, y otrairregular, S2. El balance neto del flujo es el siguiente:

Superficie Líneas queentran

Líneas quesalen

Flujo neto

S1 0 8 +8

S2 2 10 +8

Esta independencia de la forma de la superficie cerradase deduce fácilmente si de la expresión [36] si escogemosel primero y el último término:

[37]Φ super. cerrada =q

ε 0en donde no aparece la integral de superficie cerrada.

d. El flujo neto no depende de como esté distribuida la carga dentro de la superficie cerrada.Se puede deducir cualitativamente a partir de la Fig.28: si se desplaza la carga +q dentro de los

volúmenes encerrados por S1 o S2, el flujo neto no se altera. También es consecuencia de la últimaexpresión [37].

e. Las cargas externas a una superficie cerrada no influyenen el flujo neto.

En la Fig.29 se ha escogido una superficie S3 tal que lacarga +q está fuera de dicha superficie. Haciendo unrecuento de las líneas de campo que salen y entran en S3

deducimos que el flujo es nulo, independientemente de laforma de la superficie.

Cuestión 1Si el flujo neto a través de una superficie cerrada es nulo

¿podemos afirmar que la intensidad del campo eléctrico esnula en todos los puntos de la superficie cerrada?

Se acaba de ver un caso ejemplificado en la Fig.29 endonde el flujo neto es nulo porque no hay carga en el interior de la superficie cerrada, existiendo no

obstante campo eléctrico a lo largo de dicha superficie. En este caso, la integral se anula.r rE S⋅∫ d

super.

Pero el que la integral se anule no significa que el integrando sea nulo, sino que la integral de laintensidad del campo eléctrico, no nula en este caso, a lo largo de la superficie cerrada se hace cero.

En este caso la ley de Gauss no permite obtener ninguna información sobre la intensidad del campoeléctrico a lo largo de la superficie cerrada.


+q+q

S

Fig.30

f. El flujo neto depende de la carga neta interior a la superficie cerrada.Hasta aquí sólo se hizo referencia a una carga puntual interior a la superficie cerrada, pero la ley

de Gauss se puede generalizar a la carga neta interior como consecuencia del cumplimiento delprincipio de superposición e independencia del campo eléctrico, sea cual sea la distribución de lascargas. Su cumplimiento se observa en la Fig.30 en donde el flujo neto se debe a la contribución delas dos cargas en el interior de la superficie cerrada S.

La última propiedad permite escribirfinalmente la forma integral definitiva de la leyde Gauss para el campo eléctrico:

[38]Φ netosuper.

neta interiorsuper. cerrada

= ⋅ =∫r rE dS

q

ε 0que aunque para su deducción se partió de la leyde Coulomb de la intensidad del campo eléctricode una carga puntual, es en cierto modo másgeneral que la ley de Coulomb, pues es aplicablea cualquier distribución de carga y tanto acampos electrostáticos como no electrostáticos.

En la expresión de la ley de Gauss, la carga esla total neta en el interior de la superficie cerradaimaginaria llamada superficie gaussiana; suelemento de superficie es el que aparece en el

integrando, . La intensidad de campo del integrando es la intensidad de campo total en losdrS

rE

puntos de la superficie gaussiana, el cual incluye las contribuciones de las cargas tanto interiorescomo exteriores a la superficie gaussiana. En la Fig.29 de la Cuestión 1 tenemos un ejemplo en elque la intensidad de campo a lo largo de la superficie gaussiana se debe a cargas externas a dichasuperficie, pues no existe carga neta en el interior de la misma.

La ley de Gauss para el campo eléctrico [38] expresa pues que el flujo eléctrico total a través de una

superficie gaussiana es igual a la carga eléctrica neta en el interior de dicha superficie dividida entre ε 0y también igual a la integral del campo eléctrico a lo largo de dicha superficie.

9.7. Elección de una superficie gaussiana adecuadaUna de las finalidades de la ley de Gauss consiste en calcular la intensidad del campo eléctrico

debida a la carga neta conociendo la distribución de dicha carga. Para ello es necesario resolver la

integral lo que exige escoger en primer lugar una superficie gaussiana que encierre a lar rE S⋅∫ d

super.

carga de interés. Pero no todas las superficies gaussianas son adecuadas, ya que muchas de ellas puedeque no faciliten la resolución de la integral anterior, o hacerla irresoluble. Por tanto es necesario escogeruna superficie gaussiana adecuada, es decir, que cumpla alguna de las siguientes condiciones parafacilitar la resolución de la integral:

a. Que la superficie esté orientada tal que en todas sus partes sea tangente a la superficie, es decirrE

que .r rE S⋅ =d 0

b. Que la superficie esté orientada tal que en todas sus partes sea normal a la superficie y que elrE


+q

P

rR

rE

S

Fig.31

módulo E sea constante en toda la superficie. Así tendremos que r rE S E S E S⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅d d dcosθ

y al ser E constante sale fuera de la integral, simplificándola al máximo:

[39]r rE S E S E S⋅ = = ⋅∫∫ d d

super.super.

Algunas veces es necesario escoger una superficie cerrada en la que no se cumpla ninguna de laspropiedades anteriores en toda la superficie. Como la integral de superficie cerrada se puede escribircomo suma de integrales de superficie abierta:

[40]r r r r r r r rE S E S E S E Sn n⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅∫∫ ∫ ∫d d d d

super.abierta 1

super.cerrada

super.abierta 2

super.abierta n

1 1 2 2 ...

puede ser útil para calcular la intensidad del campo eléctrico si en cada una de las superficies se cumplealguna de las dos propiedades anteriores.

10. ALGUNAS APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS

10.1. Intensidad del campo eléctrico originado por una carga puntualSe desea determinar la intensidad del campo eléctrico en el punto P a una distancia R de la carga

puntual +q (Fig.31). La superficie gaussiana adecuada es una esfera de radio R, superficie S y centradaen la carga: la intensidad de campo en todos los puntos de la superficie tendrá el mismo módulo porestar éstos a la misma distancia de la carga y además es normal a la superficie en cualquier punto deésta.

Aplicando la ley de Gauss:

[41]r rE S

q⋅ =∫ d

super.gaussiana

ε 0

[42]E Sq

⋅ ⋅ =∫ dsuper.gaussiana

cosθε0

siendo para cualquier punto de la superficie de la esfera por formar y un ángulo decosθ = 1rE d

rS

0º, y al tener en cuenta que el módulo de la intensidad de campo es constante a lo largo de la superficiede la esfera:

[43]E Sq

dsuper.gaussiana

=∫ ε0

teniendo en cuenta que la integral de superficie cerrada a lo largo de la superficie gaussiana es el áreade la esfera:

[44]E Sq

⋅ =super.gaussiana ε 0

al ser y despejando E:S Rsuper.gaussiana

= 4 2π

[45]Eq

R=

1

4 02π ε

se obtiene el módulo de la intensidad de campo a una distancia R de la carga puntual, que es la mismaexpresión que la del módulo de la intensidad de campo cuando se aplica la ley de Coulomb [18].


Re

Ri

R

SrEext

drS

Ri

RS

rE int

drS

a b cFig.32

10.2. Intensidad de campo eléctrico de una corteza esférica dieléctrica con distribución de carganeta con simetría esférica.

Supongamos una corteza esférica aislante de radio externo Re y radio interno Ri (tiene espesor), conuna carga neta +q distribuida uniformemente en el volumen de la corteza, es decir, densidad volúmica

de carga constante: = cte.ρ =q

VSe obtendrá por separado la intensidad del campo eléctrico en el exterior y en el interior de la

corteza, con la observación de que el análisis y los resultados también son válidos para el caso de quela corteza no tenga espesor (la carga estaría distribuida uniformemente a lo largo de la superficie externade la esfera), dejando para el siguiente apartado el análisis del campo eléctrico en el volumen de lacorteza.

a. Puntos sobre la superficie externa de la corteza y puntos externos a la misma: R $ Re (Fig.32a. Todaslas representaciones de la Fig.32 son secciones transversales)

Como superficie gaussiana adecuada se escoge una esfera de radio R, de superficie S, exteriory concéntrica a la corteza esférica cargada. La intensidad de campo es normal a la superficie esféricagaussiana, como se puede deducir por simetría, y con módulo constante en todos sus puntos,encerrando la superficie gaussiana una carga total q. Aplicando la ley de Gauss de la misma formaque en el apartado anterior, se llega a:

[46]Eq

RK

q

RR Reext = = ≥

1

4 02 2πε

expresión idéntica a la intensidad de campo producida por una carga puntual: la intensidad decampo en el exterior de la corteza esférica con distribución simétrica de carga es la misma que laintensidad de campo producida por una carga puntual situada en el centro de la corteza y equivalentea la carga total de la distribución, que justifica lo que se viene diciendo en esta unidad sobre laequivalencia entre cargas puntuales y cargas con simetría esférica, consecuencia otra vez más de ladependencia del campo eléctrico (y de la fuerza eléctrica) con el inverso de la distancia al cuadrado.

b. Puntos internos a la corteza cargada: R < Ri

El interior de la corteza es una esfera en la que no existe carga, pero está rodeada por una capade carga. Tenemos que contestar a la siguiente pregunta: dicha capa esférica de carga (la de lacorteza), con distribución uniforme, ¿contribuye a la existencia de campo eléctrico en el interior dela corteza?. Para ello, supongamos que la carga de la corteza sí contribuye a la existencia de un


+q

+q

+q

+q

+q

+q

Fig.33

campo en el interior. Puesto que la distribución de carga en la corteza tiene simetría esférica,rEint

no queda otra solución para la dirección de dicho hipotético campo interno que ser normal a lasuperficie de la corteza (y dirigido hacia el centro de la esfera cuando la carga de la corteza espositiva), Fig.32b. Escojamos una superficie gaussiana de radio R (esfera concéntrica a la corteza)por dentro de la superficie interna de la corteza (Fig.32b, en la que también se representa unelemento de superficie gaussiana) y apliquemos la ley de Gauss:

[47]r rE S

qint

int⋅ =∫ dsuper. ε 0

en donde , pues cos θ = 1 por tener la intensidad der rE S E S E Sint int intcos⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅d d dθ

campo y el elemento de superficie la misma dirección a lo largo de toda la superficie gaussiana.Además, Eint es constante en módulo a lo largo de dicha superficie por lo que sale fuera de laintegral:

[48]E Sq

intintd

super.∫ =

ε 0en donde la integral de superficie a los largo de toda la superficie gaussiana es la superficie de laesfera S:

[49]E Sq

intint⋅ =ε 0

Puesto que en el interior de la corteza no existe carga, qint = 0, en consecuencia EintAS = 0 entodos los puntos de la superficie gaussiana y, al no ser nula la superficie S, se concluye que:

[50]rE R R

iint = <0

resultado que no es más que una consecuencia de la simetría del problema. Nótese que en este caso,la corteza cargada no ejercería fuerza eléctrica sobre una carga que se situara en cualquier puntointerno.

En la Fig.32c se representan algunaslíneas de campo (en el plano) originadas porla corteza con carga neta positiva. Si éstafuese negativa, la única diferencia es que laslíneas de campo tendrían sentido opuesto.

Ejemplo 4En la Fig.33 se representa la sección

transversal de la corteza del apartadoanterior. En el borde se dispusieron seiscargas positivas iguales e igualmenteespaciadas (en los vértices de un hexaedro).Trazando tres líneas de campo por cadacarga se trató de visualizar el campoeléctrico resultante. Aunque se partió demuy pocas cargas, se observa que el campoeléctrico tiende a ser nulo en el interior. Amedida que se utilicen más cargasdispuestas en el borde, menos penetrarán laslíneas de campo en el interior. Cuando elnúmero de cargas en el borde sea


rE

S

R0

R

+q

Fig.34

R0

R

qint

S

rEint

Fig.35

suficientemente grande como para considerar a la distribución continua, el campo eléctrico se hará nuloen el interior.

10.3. Intensidad de campo eléctrico de una esfera dieléctrica con densidad volúmica de cargaconstante

La distribución continua de carga se encuentra en el interior deuna esfera de radio R0 tal que su densidad volúmica de carga es

constante: , siendo q la carga total y V el volumen deρ = =q

Vcte

la esfera. Consideremos dos casos a efectos de cálculo de laintensidad de campo:

a. Puntos sobre la superficie de la esfera cargada y puntos externosa ella: R $ R0 (Fig.34)

Como superficie gaussiana adecuada se escoge una esfera deradio R, de superficie S, exterior y concéntrica a la esfera cargada.La intensidad de campo es normal a la superficie esférica gaussiana, como se puede deducir porsimetría, y con módulo constante en todos sus puntos, encerrando la superficie gaussiana una cargatotal q. Aplicando la ley de Gauss de la misma forma que en el apartado 10.1, se llega a:

[51]Eq

RK

q

RR Rext = = ≥

1

4 02 2 0πε

expresión idéntica a la intensidad de campo producida por una carga puntual y a la de una cortezaesférica cargada fuera de ella, tal como se analizó en el apartado anterior, con el mismo resultadoque en este último: la intensidad de campo en el exterior de la esfera con distribución simétrica decarga es la misma que la intensidad de campo producida por una carga puntual situada en el centrode la esfera y equivalente a la carga total de la distribución.

En este ejemplo se supuso que la distribución volúmica de carga es constante, pero también lasdistribuciones radiales y esféricas de carga, , cumplen con la condición de simetríaρ ρ= ( )resférica.

b. Puntos interiores a la esfera cargada: R < R0 (Fig.35)Se escoge como superficie gaussiana una superficie esférica de radio R, interior a la superficie

cargada. La carga interior a la superficie gaussiana, al ser la densidad volúmica constante, es

. Teniendo en cuenta que la intensidad de campo producido por esta cargaq V Rint int= ⋅ =ρ ρ π4

33

qint es normal a la superficie gaussiana, como se puede deducir también por simetría, y que la cargade la capa externa (entre R y R0) no contribuye al campo en el interior (resultado que se obtuvo enel apartado 10.2.b), la ley de Gauss queda:

[52]E SR

⋅ =ρ π

ε

4

33

0

siendo , el área de la superficie gaussiana interior a la esfera cargada.S R= 4 2πDespejando E se obtiene:

[53]E R R Rint = ≤ρε3 0

0


R

E

Eint

Esuperficie

Eext

R0

Kq

R02

Fig.36

rE

rE

Fig.37

aumentando linealmente el módulo de la intensidad de campo con la distancia al centro de la esfera.Este resultado se puede expresar en función de la carga total de la esfera cargada, al tener en

cuenta que , que al substituir en la expresión anterior:ρπ

= =q

V

q

R4

3 03

[54]ER

qR KqR

RR Rint = = ≤

1

4 0 03

03 0πε

permitiendo así la comparación con la expresióndel módulo del campo fuera de la esfera. Cuandonos situamos en la superficie de la esfera, se haceR=R0, que al substituir en esta última expresióndel módulo del campo en el interior se obtiene elmismo resultado que al substituir en la expresióndel módulo del campo en el exterior, indicativode que el campo es continuo a través de lasuperficie de la esfera cargada.

En la Fig.36 se resumen los módulos de lasintensidades de campo en los tres casos: en elinterior, en la superficie y en el exterior.

Los resultados anteriores se podrían obtenerintegrando la ley de Coulomb de la intensidad delcampo eléctrico para distribuciones (expresión [25]),pero como se puede intuir, sería un procedimientobastante más difícil que el que se ha utilizado aquí.

10.4. Campo eléctrico creado por una lámina dieléctrica cargada, plana e infinitaLa carga neta estará distribuida en ambas superficies de la lámina, y por ser ésta infinita, la densidad

superficial de carga será uniforme, siendo la carga neta contenida en una superficie S la que se obtienepor la expresión .q S= σ

Por simetría –recuérdese que la lámina es plana e infinita– (véaseel Ejemplo 3 en el que se deduce que no existe componente delcampo paralela a la distribución lineal de carga) sólo existecomponente del campo en la dirección perpendicular a la lámina.

En la Fig.37 se representa la lámina vista de perfil (supuestainfinita), con la carga neta supuesta positiva, distribuidauniformemente a lo largo de la superficie. Se origina un campoeléctrico, representado en dicha figura por unas cuantas líneas decampo, normales a la lámina, estando determinado así tanto la dirección como el sentido del campoeléctrico a ambos lados de la lámina, por lo que sólo queda por determinar su módulo.


σ

rE

rE

dSr

lateral

d basederecha

rS

d baseizquierda

rS

Fig.38

Nos basaremos enla ley de Gauss paradeterminar el módulodel campo eléctrico,para lo cual see s c o g e r á u n asuperficie gaussianaa d e c u a d a , p o rejemplo, un cilindrode base S, normal a lalámina, y tal que éstadivide al cilindro endos partes iguales(Fig.38). Puesto que las dos bases extremas del cilindro están a la misma distancia de la lámina, elmódulo de la intensidad de campo será igual para las dos bases.

Aplicando la ley de Gauss:

[55]r rE S

q⋅ =∫ d

super.cilindro

int

ε0siendo la carga neta de la superficie S cortada por el cilindro. Puesto que la superficieq Sint = σcerrada del cilindro está formada por una superficie lateral y por dos bases de los extremos, la integralde superficie cerrada a lo largo del cilindro de la ley de Gauss se descompondrá en tres integrales:

[56]r r r r r rE S E S E S

S⋅ + ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫d d dbase

izquierdabaseizquierda

basederechabase

derecha

laterallateral

σε0

La tercera integral de [56] es nula por ser la intensidad de campo perpendicular al elemento de

superficie lateral: . r rE S E S⋅ = ⋅ ⋅ =∫∫ d dlateral lateral

laterallateral

cos º90 0

En las dos primeras integrales de [56], la intensidad de campo y el elemento de superficie de la baseson paralelos y ambos tienen el mismo sentido. Además, como se vio antes, el módulo de la intensidaddel campo es constante en toda la superficie de la base, por lo cual cada una de las dos primerasintegrales de [56] se puede escribir como:

[57]r rE S E S E S E S⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅∫ ∫∫d d dbase

basebase base

basebase

cos º0

y como son dos las integrales con el mismo resultado, se tiene:

[58]20

ESS

=σε

de donde el módulo de la intensidad del campo eléctrico a ambos lados de la lámina está dado por

[59]E =σε2 0

Del resultado, que se utilizará en la unidad Capacidad y condensadores para calcular el campoeléctrico en el interior de un condensador plano (aunque allí se aplicará a una lámina conductora), sededuce que el módulo del campo eléctrico es constante: no depende de la distancia del punto en el quecalculamos el campo a la lámina.


rE

Fig.39

Fig.40

rEint. = 0

S

Fig.41

Se obtiene así una región del espacio de campo eléctrico uniforme,

en la cual , es decir, la intensidad de campo es constante enrE = cte

dirección, módulo y sentido. Estos campos eléctricos se visualizan,como era de esperar, por líneas de campo paralelas entre si (Fig.39).

En la práctica, las láminas son de extensión finitapor lo que la densidad de carga no será exactamenteuniforme y las líneas de campo, por tanto, no seránparalelas. De todas formas, el análisis anterior esaplicable en buena aproximación a estas láminasfinitas cuando se analiza el campo eléctrico en la zonacentral de la lámina y a distancias pequeñas de éstacomparada con las dimensiones de la misma. Así, enla Fig.40 se dispusieron 21 cargas positivas iguales enlínea y en equilibrio electrostático (las cargas de losextremos están fijas en los extremos de un segmentosoporte y las cargas interiores situadas de tal formaque la intensidad de campo en cada una de ellas es nula. En esta situación, la energía potencial eléctricadel sistema de cargas Sconcepto que se verá más adelanteS es mínima), y se representaron dos líneasde campo por carga para simular el comportamiento del campo eléctrico producido por una láminahorizontal finita, vista de perfil.

10.5. Campo eléctrico y distribución de carga en un conductor en equilibrio electrostáticoUn medio conductor permite la movilidad de portadores de carga, tanto de la carga libre (un electrón

como mínimo por átomo en metales, iones en disoluciones electrolíticas, etc.) como de la carga neta(exceso de carga). Un conductor se encuentra en equilibrio electrostático cuando no hay movimientoneto de la carga (tanto libre como neta) dentro del conductor.

Pues bien, un conductor en equilibrio electrostático tiene cuatro propiedades muy importantes. Eneste apartado se deducirán las tres primeras y en el apartado 14.3 la restante.

• La primera propiedad dice que el campo eléctrico es nulo en todo punto interior a un conductoren equilibrio electrostático, es decir:

[60]rEint = 0

pues si el campo interno no fuese nulo, ejercería una fuerza eléctrica sobre cualquier carga (tanto librecomo neta) del interior del conductor, contradiciendo la condición de equilibrio electrostático quehemos impuesto. Si el conductor sólo contiene carga libre (es neutro, no está cargado), dicha carga librese encontrará distribuida uniformemente por todo el volumen del conductor.

• La segunda propiedad se refiere a los conductores cargadosen equilibrio electrostático: la carga neta se encuentra en lasuperficie.

En la Fig.41 se representa la sección transversal de unconductor con carga neta de geometría arbitraria y unasuperficie gaussiana (línea a trazos) exactamente en el bordeinterno de la superficie del conductor. Puesto que el campointerno es nulo, también lo es en todos los puntos de lasuperficie gaussiana, pues ésta es interna al conductor. Así, en


dS

rE

rE

rEn

rEt

a bFig.43

qneta int.=0

Fig.42

cualquier parte de la superficie gaussiana tendremos , con un flujo neto nulo. Al aplicar lar rE S⋅ =d 0

ley de Gauss:

[61]r rE S

q

super.gaussiana

neta int.d∫ ⋅ = =

ε 00

por ser el integrando nulo, lo que exige que la carga neta interior al conductor sea nula,[62]qneta int. = 0

resultado que se puede deducir intuitivamente al considerar elhecho de que cargas iguales se repelen.

Si la carga neta no se encuentra en el volumen interno delconductor, la única solución es que se encuentre en lasuperficie del mismo (Fig.42), originando una densidadsuperficial de carga uniforme en conductores con simetríaσesférica, variable a lo largo de la superficie del conductor enotros casos tal que la carga tiende a concentrarse en regionesdonde la curvatura de la superficie es mayor.

• La tercera propiedad hace referencia a las propiedades del campo justo fuera de la superficie delconductor con carga neta en equilibrio electrostático: no existe componente tangencial del campo a lo

largo de la superficie, sólo existe componente normal con valor .σε 0

En el exterior del conductor existirá un campo eléctrico originado por la densidad superficial decarga neta. Ahora nos interesaremos por las características de dicho campo, fundamentalmente sobrela superficie externa del conductor.

En la Fig.43a se muestra una

intensidad de campo en un puntorE

cualquiera de la superficie externa yque forma un cierto ángulo con lamisma. Esta intensidad se puededescomponer en dos componentes:

una normal a la superficie, yrEn

otra tangente, . Esta últimarEt

componente representa unaintensidad de campo a lo largo de la superficie del conductor, es decir, que la carga neta de la superficieestaría sometida a una fuerza eléctrica a lo largo de la superficie, lo que representa una movilidad dedicha carga por la superficie, violando la condición de equilibrio electrostático. Se deduce así que laintensidad del campo eléctrico en la superficie externa del conductor tiene que ser normal a la misma,

no pudiendo existir componente tangencial: . Una vez conocida la dirección de la intensidadrEt = 0

de campo en la superficie, analicemos su módulo. En la Fig.43b se muestra una superficie gaussianacilíndrica que es atravesada por la superficie del conductor que contiene un elemento de carga neta

, cilindro con una base de superficie elemental lo suficientemente pequeña para qued dq S= ⋅σ drS

las líneas de campo sean paralelas y el módulo del campo constante. Aplicando la ley de Gauss enforma diferencial:


[63]E SS

n super. ext.dd

=⋅σε0

de donde se obtiene el módulo de la intensidad de campo en la superficie externa del conductor:

[64]En super. ext. =σε 0

siendo la intensidad de campo normal a la superficie del conductor y directamente proporcional a ladensidad de carga local neta (la densidad de carga neta no tiene porque ser constante a lo largo de todala superficie por lo que En tampoco).

En las proximidades del exterior de la superficie del conductor tendremos una densidad de líneasde campo que será tanto mayor cuanto más grande sea dicha densidad de carga.

Es interesante notar que se obtuvieron conclusiones importantes sobre la carga y el campo eléctricopara este ejemplo (más adelante se obtendrán las relativas al potencial eléctrico) aplicando la ley deGauss a un caso que carece completamente de simetría, conclusiones que no se pueden obteneraplicando la ley de Coulomb porque para aplicarla se necesita conocer cómo está distribuida la cargaeléctrica.

Dejaremos para el apartado 14.4 el análisis, también de un conductor con carga neta en equilibrioelectrostático, pero con una cavidad interna, pues se necesita el concepto de potencial eléctrico.


A B

qi

qj

rRA

rRB

rR

drR

rFei jsobre

rR0

Fig.44

11. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICAEn esta segunda parte de la unidad se hará un tratamiento escalar del campo electrostático que nos

dará un punto de vista complementario al tratamiento vectorial que se realizó hasta ahora. El enfoqueescalar, a través de los conceptos energía potencial eléctrica y potencial electrostático, aportará unamejor comprensión de los fenómenos relacionados con los campos electrostáticos y una nuevaherramienta para la resolución de determinados problemas utilizando las relaciones de energía.

11.1. Variación de la energía potencialeléctrica

Consideremos dos cargas eléctricas puntuales(Fig. 44, en la que qi y qj tienen el mismo signo):qi fija mediante algún tipo de fuerza norepresentada en la figura, y qj que se mueve desdela posición A hasta la posición B bajo la acciónúnicamente de la fuerza eléctrica de qi sobre qj.Puesto que qj experimenta un desplazamiento poracción de una fuerza eléctrica, ésta realiza trabajoeléctrico sobre qj. Este trabajo, al tener en cuentaque la fuerza eléctrica es conservativa, se puedeexpresar como una disminución de la energíapotencial eléctrica, Ue:

[65]W F R U U UF

q

e e e eR

R

e i j

j

i jque realizapara desplazardesde A hasta B

sobre A BA

B

dr r

rr r

= ⋅ = − = −∫ sobre∆

Nótese, tal como se indica en la expresión, que al moverse qj bajo la acción de una fuerza de campoconservativo, la energía potencial de qj disminuye (signo negativo delante de ∆Ue). Puesto que laenergía mecánica tiene que mantenerse constante cuando las únicas fuerzas que realizan trabajo sonconservativas, si disminuye la energía potencial de qj, su energía cinética aumentará.

La integral de la expresión anterior, semejante a la obtenida en el campo gravitatorio, al substituir

la expresión de la fuerza eléctrica dada por la ley de Coulomb y al tener en cuenta que r rR R R0 ⋅ =d d

(demostrado cuando se calculó la energía potencial gravitatoria), es:

[66]r r

rr

r

r

r

r

F R Kq qR

RR Kq q

R

RKq q

R ReR

R

i jR

R

i jR

R

i ji jsobreA

B

A

B

A

B

d dd

A B

⋅ = = = −

∫ ∫ ∫0

2 2

1 1

por lo que la disminución de energía potencial eléctrica queda:

[67]− = − = −

∆U U U Kq q

R Re e e i jA BA B

1 1

es decir, en función de las posiciones inicial y final de qj sin que importe el camino seguido por qj alpasar de A a B, tal como era de esperar por proceder de un campo conservativo.

Para que qj realice el camino inverso (de B a A, en el supuesto dado en la Fig.44 en la cual qi y qj

tienen el mismo signo) tendremos que aplicar sobre qj una fuerza externa que compense a la fuerzaeléctrica (tardando por tanto un tiempo infinito en el proceso) que actúa sobre qj. En este casorealizamos un trabajo sobre qj en contra de la fuerza eléctrica del campo, incrementando la energíapotencial eléctrica de qj. Este trabajo externo sobre qj es:

[68] W W U U UF

q

F

q

e e eq j

j

ei j

j

B Aque realiza

para desplazar desdeB hasta A

que realiza

para desplazardesde A hasta B

externa sobre sobre

r r= = − = − −∆ ( )


Ue

qi·qj > 0

qi·qj < 0

Rijqi

Fig.45

11.2. Energía potencial eléctrica de un sistema de dos cargas puntuales (o equivalentes)Habitualmente se trabaja con energías potenciales U, en lugar de las variaciones de energía

potencial. Puesto que la física clásica a lo sumo permite calcular variaciones de energía potencial y nosus valores absolutos, lo que se hace es definir una energía potencial de referencia, siendo lo usualtomar energía potencial nula cuando la distancia de separación es infinita.

Así, hagamos que qj se desplace desde A hasta el infinito y hagamos U4 = 0 (podría tomar otro valorcualquiera, pero sería molesto arrastrar dicho valor en los cálculos). Para ello basta con substituir RB

por 4 en la expresión de la variación de la energía potencial:

[69]U Kq qRe i jAA

− = −∞

0

1 1

es decir:

[70]U Kq q

Re

i j

AA

=

expresión que podemos reescribir sin hacer referencia al punto concreto A como:

[71]U Kq q

RU Re

i j

ij

e= = = ∞tomando para0

siendo Rij la distancia (valor siempre positivo por ser un módulo) entre qi y qj. Esta expresión es válidapara cargas puntuales o distribuciones esféricas de carga en las condiciones señaladas para la ley deCoulomb de la fuerza eléctrica (apartado 4.1.a).

Téngase en cuenta que la Ue dada por laexpresión [71] es una energía potencial eléctricarelativa a la referencia energía potencial eléctricanula cuando las cargas están separadas unadistancia infinita, aunque a menudo no se expliciteel adjetivo “relativa”.

En cuanto al significado de Ue podemosinterpretarlo como el trabajo realizado por el campoeléctrico cuando la carga qj se desplaza desde laposición Rij hasta el infinito, manteniendo fija a qi:

[72]U W F Re F

q

R q

eRei j

j

ij i

i jij

= =

∞

∞

∫que realizapara desplazardesde de hasta el

sobre sobredr r

r r

Pero también admite la interpretación inversa respecto a la carga que se mueve: el trabajo realizadopor el campo eléctrico cuando la carga qi se desplaza desde la posición Rij hasta el infinito, manteniendofija a qj. En ambos casos, independientemente del camino seguido por la carga que en ese momento semueve.

La simetría anterior permite considerar a Ue como la energía potencial eléctrica relativa mutua delsistema formado por dos cargas, en vez de asignarla a una u otra carga, es decir, compartida por las doscargas. En este sentido, Ue representa el trabajo que realiza el campo eléctrico para deshacer ladistribución de cargas: desde una situación inicial en la que están separadas por una distancia Rij entreellas a una situación final en la que están separadas por una distancia infinita, en donde se ha tomadola referencia de energía potencial nula. Por tanto SUe representará el trabajo externo que tendremos querealizar sobre las dos cargas para aproximarlas (desde una situación inicial de no interacción Sdistanciade separación infinitaS hasta una distancia de separación Rij).


q1

q2

q3

R12

R23R13

Fig.46

En cuanto a los valores numéricos de Ue, pueden ser:• Positivos, cuando las cargas tienen el mismo signo: qiAqj > 0. En este caso Ue disminuye al

aumentar la separación entre cargas. Esto es coherente, pues las cargas se repelen y evolucionan,bajo la acción del campo, hacia energías potenciales menores.

• Nulos, cuando la distancia de separación entre cargas es infinita.• Negativos, si las cargas tienen distinto signo: qiAqj < 0. En este caso Ue disminuye (con valores

negativos) al aproximarse las cargas, ya que se atraen.

En la Fig.45 están representadas la características citadas anteriormente.

11.3. Energía potencial eléctrica de un sistema de n cargas puntuales (o equivalentes)Comenzaremos con un caso concreto: Reuniendo tres cargas puntuales (supongamos todas ellas

positivas) en varias etapas para configurar un sistema de dichas cargas (Fig.46), analizando en cada unade las etapas la energía potencial del sistema.

En primer lugar supongamos que tenemos una carga puntual fija q1. A continuación traemos la cargaq2 desde el infinito hasta la distancia R12 de q1 y fijamos q2 en esa posición. En este proceso se realizótrabajo externo sobre q2, pasando de ser nula la energía potencial inicial (q1 y q2 estaban separadas poruna distancia infinita), a adquirir el sistema una energía potencial (relativa) Ue12:

[73]U Kq q

Re12

1 2

12

=

En la siguiente etapa traemos q3 desde el infinito a lasproximidades de q1 y q2 y fijamos q3 en una posición tal que lasdistancias a q1 y q2 son respectivamente R13 y R23. En este procesose realizó trabajo externo sobre q3 para vencer la repulsión de q1y q2, por lo que la energía potencial del sistema aumenta en Ue13+ Ue23:

[74]U U Kq q

RKq q

Re e13 23

1 3

13

2 3

23

+ = +

La energía potencial eléctrica total del sistema formado por lastres cargas, queda finalmente:

[75]U U U U Kq q

RKq q

RKq q

Re e e e= + + = + +12 13 23

1 2

12

1 3

13

2 3

23

resultado que es independiente del orden seguido en la colocación de las cargas. En este caso el ordenfue 1, 2 y 3. El resultado sería el mismo si comenzáramos por la carga 3, después la 1 y finalmente la2. Se debe tener en cuenta, además, que el proceso de llevar cada una de las cargas desde el infinitohasta su posición en el sistema se debe realizar lentamente, de tal forma que siempre estén en equilibriolas fuerzas eléctricas y mecánicas. Así no existe aceleración y, por tanto, se prescinde de la variaciónen la energía cinética.

Generalizando el procedimiento, incluyendo a cargas de cualquier signo, la energía potencialeléctrica (relativa) de un sistema formado por n cargas puntuales (o equivalentes) es:

[76]U U Kq q

Re e

i j

ijij

= =∑ ∑todos lospares

todos lospares

que representa el trabajo externo que debemos realizar para formar el sistema de n cargas o el trabajoque realiza el campo eléctrico para romper (llevar las cargas desde sus posiciones en el sistema hastauna separación infinita entre ellas) el sistema de n cargas.


x

y

q1

q2

q4

q3

Fig.47

Otra forma equivalente a la expresión [76] es:

[77]U U Kq q

RK q

q

Re ejj i

n

i

ni j

ijjj i

n

i

n

i

j

ijjj i

n

i

n

ij= = =

=≠

= =≠

= =≠

=∑∑ ∑∑ ∑∑

1

2

1

2

1

211 11 11

en donde se ha introducido el factor porque las parejas están contabilizadas dos veces (una como1

2ij y la otra como ji).

Otra forma alternativa:

[78]U Kq q

Re

i j

ijj i

n

i

n

== +=

−

∑∑11

1

Ejemplo 5Calcular la energía potencial del sistema de cuatro cargas puntuales

q1 = 2 nC, q2 = 4 nC, q3 = S8 nC y q4 = S3 nC fijas en los puntos (S1,0), (0, S1), (0, 1) y (1, 0) m respectivamente del plano xSy. El medio esel vacío.

Aplicamos la expresión [76] a este caso, analizando el número detodas las posibles parejas (sin repetición), en este caso seis, siendo laenergía potencial relativa del sistema:

Ue = Ue12 + Ue13 + Ue14 + Ue23 + Ue24 + Ue34

U Kq q

R

q q

R

q q

R

q q

R

q q

R

q q

Re = + + + + +

1 2

12

1 3

13

1 4

14

2 3

23

2 4

24

3 4

34

siendo las distancias:

y R14 = R23 = 2R R R R12 13 24 34 2= = = =Substituyendo estas distancias y los valores de las cargas (incluyendo el signo) en la expresión de

Ue se obtiene:

U e = ⋅⋅

+⋅ −

+⋅ −

+⋅ −

+⋅ −

+− ⋅ −

⋅− −9 10

2 4

2

2 8

2

2 3

2

4 8

2

4 3

2

8 3

210 109 9 9( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ue = S145,5A10S9 J

que representa el trabajo que realizan las fuerzas del campo eléctrico para romper el sistema de cargas.Como el resultado es negativo, el sistema es más estable que el de referencia (separación infinita, enla cual se tomó energía potencial cero). Por ello, para romper el sistema tenemos que realizar trabajoexterno.

12. POTENCIAL ELECTROSTÁTICOLa descripción vectorial del campo eléctrico la realizábamos a través de dos magnitudes: una, la

fuerza eléctrica, que depende de dos cargas, y la otra, la intensidad del campo eléctrico, que dependede la carga fuente. Pues bien, en el tratamiento escalar realizado hasta aquí se ha encontrado la energíapotencial eléctrica, que depende de dos cargas, es decir, el equivalente a la fuerza eléctrica en ladescripción vectorial. Nos falta, entonces, la magnitud escalar que dependa de una sola carga, esto es,el potencial electrostático. Para deducirlo, seguiremos un camino similar al de la obtención de laintensidad de campo a partir de la fuerza: obteníamos la intensidad de campo dividiendo la fuerza sobrela carga de prueba entre la carga de prueba.


V

q R

q > 0

q < 0

Fig.48

+q -q

V > 0

V < 0

+qp

- qp

+qp

- qp

rE

rE

a bFig.49

12.1. Potencial electrostáticoHagamos lo mismo aquí: la energía potencial eléctrica (relativa) de un sistema formado por dos

cargas puntuales, q y qp, separadas una distancia R es:

[79]U Kqq

Re

p=

Definimos el potencial electrostático (o potencial escalar) V como la energía potencial eléctrica porunidad de carga de la carga de prueba:

[80]VU

q

e

p

=

por lo que al dividir [79] entre qp se obtiene

[81]V Kq

RV R= = = ∞tomando para0

que nos da el potencial electrostático relativooriginado por una carga puntual fuente q (o unadistribución esférica de carga en las mismascondiciones que para la intensidad de campo) a unadistancia R de la misma. Nótese que el potencialeléctrico depende únicamente de la carga fuente q (y elsigno de dicho potencial en un punto del espacio esigual al signo de la carga que lo crea) aun cuando lacarga de prueba qp intervino en la definición de V. Estotambién sucedía en la definición de la intensidad decampo eléctrico.

En la Fig.48 se representa la dependencia de V con el signo de la carga fuente q y la distancia R. Elpotencial se hace nulo a una distancia infinita de la carga fuente, pues así se ha definido la referencia.En cuanto al signo, cargas fuente positivas originan potenciales positivos y cargas fuente negativasoriginan potenciales negativos.


En los casos de la Fig.49 se indican los sentidos en los que se mueven cargas de prueba de distintossignos en presencia de una carga fuente fija también de distintos signos: sentido que se deducefácilmente analizando el tipo de fuerza (atractiva o repulsiva) que ejerce la carga fuente sobre la deprueba. Se obtiene:

Las cargas de prueba positivas al abandonarlas en un campo eléctrico, semueven hacia potenciales decrecientes (y en el mismo sentido que las líneas decampo).

Las cargas de prueba negativas al abandonarlas en un campo eléctrico, semueven hacia potenciales crecientes (y en sentido contrario a las líneas decampo).

conclusiones que son independientes del signo de la carga fuente q. En cualquier caso, las cargas deprueba (independientemente del signo) evolucionan libremente hacia energías potenciales menores.

Además:

Las líneas del campo eléctrico señalan en la dirección en la que disminuye elpotencial eléctrico.

conclusión a la que se volverá sobre ella cuando se analice la relación entre diferencia de potencial eintensidad de campo eléctrico.

Teniendo en cuenta la definición de V (expresión [80]) y la expresión [72] obtenemos lainterpretación del potencial eléctrico en un punto: representa el trabajo eléctrico por unidad de cargade prueba positiva que realiza el campo eléctrico sobre dicha carga para trasladarla desde el citadopunto hasta el infinito:

[82]V

W

q

U

q qF R

F

qR

p

e

p p

eR

e q p

p

q p

= = =∞ ∞

∫

que realiza

para desplazar desdela posicion hasta el

sobre

sobred

r

r

r r1

Así, el campo eléctrico originado por toda carga eléctrica se puede describir de forma vectorial através de la intensidad del campo eléctrico, o de forma escalar, a través del potencial electrostático conventajas de cálculo respecto al planteamiento vectorial en determinados problemas.

Si en un punto del espacio conocemos (bien porque lo calculamos a partir de las cargas fuente o bienporque ya es conocido) el valor del potencial eléctrico, podemos calcular fácilmente la energía potencialde una carga de prueba qp que coloquemos en dicho punto, simplemente (a partir de la definición depotencial, expresión [80]) multiplicando la carga de prueba por el potencial en el punto en cuestión:

[83]U q Ve p=

procedimiento en dos etapas similar al analizado en el planteamiento vectorial (calcular la fuerzaeléctrica sobre una carga a partir de la intensidad de campo en la posición de la carga) y con las ventajasya señaladas. Los signos de U y V no tienen porque ser el mismo, pues depende del signo de la cargade prueba.

La expresión diferencial equivalente a la [83], para carga constante, es[84]d dU q Ve p=

que nos da la variación infinitesimal en la energía potencial eléctrica experimentada por una carga deprueba cuando se mueve entre dos puntos con una variación infinitesimal del potencial eléctrico.

La unidad de potencial eléctrico en el S.I. es de julio por culombio (J/C, véase la expresión [80]),que se denomina voltio, en honor del físico italiano Alessandro Volta (1745S1827), inventor de la pila


voltaica y del precursor del voltímetro moderno, siendo su símbolo V.

12.2. Relación entre trabajo eléctrico y diferencia de potencial electrostáticoA partir de las expresiones [65] y [83] se obtiene fácilmente la relación entre ambas magnitudes:

Sea una carga de prueba qp que se mueve bajo la acción del campo eléctrico desde el punto A con unpotencial eléctrico relativo VA, hasta el punto B con un VB. Esta carga de prueba tendrá una energíapotencial eléctrica relativa en A que es (por la expresión [83]) . Cuando llega a B tendráU q Ve pA A=

en esa posición una energía potencial eléctrica relativa . Substituyendo estas energíasU q Ve pB B=potenciales en la expresión [65] se obtiene:

[85]( )W U U U q V q V q V VF

q

e e e p p pe q p

p

que realiza


A B A Bsobre A B

r = − = − = − = −∆

es decir, el trabajo eléctrico realizado por el campo eléctrico es, en función de la diferencia de potencial:

[86]( )W q V V q VF

q

p pe qp

p

que realiza

para desplazardesdeA hasta B

A Bsobre

r = − = − ∆

siendo su expresión diferencial[87]d d

que realiza


sobre

W q VF

q

pe q p

p

r = −

A la diferencia de potencial eléctrico (ddp) entre dos puntos también se le denomina, tensióneléctrica (o voltaje). Nótese que la física permite obtener diferencias de potencial, no potencialesabsolutos. Así, para una pila de 1,5 V, la diferencia de potencial eléctrico entre bornes es de 1,5 V. Nosabemos cuánto vale el potencial eléctrico en cada borne, auque podemos asignar 0 V al borne negativoy 1,5 V al positivo (el borne positivo tiene siempre potencial eléctrico más alto que el negativo), peroserían valores relativos: es decir, también podríamos asignar 12 V al negativo y 13,5 V (12 + 1,5) alpositivo.

Observemos, a partir de la expresión [86], que si una carga de prueba de 1 C se mueve entre dospuntos con una diferencia de potencial de 1 V, el trabajo realizado sobre dicha carga es de 1 J.

El trabajo a realizar por una fuerza externa que se oponga a la fuerza del campo será

[88]( )W q V V q VF

q

p pq p

p

que realizaparadesplazardesde A hasta B

B Aexterna sobre

r = − = ∆

Ejemplo 6La separación más probable entre el electrón y el núcleo del hidrógeno (un protón) es R = 5,29A10S11

m. La carga del electrón es S1,60A10S19 C.a. Calcular el potencial eléctrico V a una distancia R del protón.b. Calcular la energía potencial eléctrica Ue del átomo.

a. La carga del protón es qp+ = +e. El potencial eléctrico V originado por el protón a una distancia R es,empleando la expresión [81] por considerar al protón como carga puntual:


V Kq

R

p= =

+27 2, V

b. Ahora colocamos el electrón (carga de prueba) a una distancia R del protón y calculamos la energíapotencial eléctrica (relativa) del sistema protónSelectrón utilizando la expresión [83]:

Ue = qpAV = qeSAV = S1,60A10S19 CA27,2 V = S4,36A10S18 J

Este es un ejemplo en donde el potencial y la energía potencial tienen distinto signo. También sepone de manifiesto el procedimiento en dos etapas para calcular la energía potencial: primero se calculael potencial en un punto y después se coloca en dicho punto la carga de prueba para calcular su energíapotencial.

12.3. El electrónSSSSvoltio como unidad de energíaComo se deduce del ejemplo anterior, el julio es una unidad demasiado grande para expresar

energías típicas de sistemas atómicos. Por ello es conveniente utilizar otra unidad de energía en la físicay química atómica y nuclear, esto es, el electrónSvoltio (su símbolo es eV) tal que 1 eV es la energíade una carga positiva cuya magnitud es la carga de un electrón, en una posición donde el potencialeléctrico tiene el valor de 1 voltio (recordar la expresión [83]: ).U q Ve p=

La relación entre el eV y el J es fácil de calcular teniendo en cuenta dicha expresión [83] y la cargadel electrón:

1 eV = 1 eA1 V = 1,60A10S19 CA1 Vo

[89]1 eV = 1,60A10S19 J

Así, la energía potencial del resultado del ejemplo anterior corresponde a S27,2 eV.

13. RELACIÓN ENTRE MAGNITUDES VECTORIALES Y MAGNITUDES ESCALARES ENEL CAMPO ELÉCTRICO

Volviendo a la expresión [60] y reescribiéndola de una forma más simple tenemos:

[90]∆U F Re eR

R

= − ⋅∫r r

r

r

A

B

d

obteniendo su forma diferencial derivando:

[91]d dU F Re e= −

r r

que constituye la primera relación entre una magnitud escalar (Ue) y una magnitud vectorial ( ).rFe

Dividiendo ambos miembros entre la carga de prueba qp:

[92]d

dU

q

F

qR

e

p

e

p

= −

rr

Recordando la relación entre las variaciones infinitesimales de la energía potencial y el potencial(expresión [84]) y la definición de intensidad del campo electrostático (expresión [17]), se obtiene lasegunda relación:

[93]d dV E R= − ⋅r r

que nos da la variación infinitesimal del potencial eléctrico que ocurre en un desplazamientoinfinitesimal como el producto escalar de la intensidad del campo electrostático por el desplazamiento,cambiando de signo.

Algunos de los aspectos implícitos en esta última relación se analizarán a continuación:


a. Relaciona la descripción vectorial con la escalar de los campos electrostáticos.

b. Puesto que la variación en la energía potencial entre dos posiciones no dependía del camino (otrayectoria) seguido, tampoco dV dependerá del camino, puesto que dV fue definido a partir de dUe.Por ello, la integral de la expresión [93] es:

[94]∆V E RR

R

= − ⋅∫r r

r

r

A

B

d

llamada integral de línea o circulación de , que no dependerá del camino, sino de las posicionesrE

inicial y final. Esto es consecuencia de que el campo electrostático, cuya intensidad es , es unrE

campo conservativo. (Existen campos eléctricos cuyas integrales de línea no son independientes delcamino, por tanto son no conservativos. Estos campos están asociados normalmente a cargas quese mueven muy rápidamente).

Evidentemente, dicha integral de línea a lo largo de una trayectoria cerrada será cero, puesto que

en este caso ya que los puntos inicial y final coinciden y por tanto tienen el mismo∆V = 0potencial:

[95]d dV E R= − ⋅ =∫∫r r

0

De esta expresión y de la relación entre trabajo y potencial (expresión [86]) se deduce que uncampo eléctrico que actúe sobre una partícula cargada y ésta describa una trayectoria cerrada norealiza trabajo sobre dicha partícula, y por tanto no varía su energía potencial eléctrica.

c. Al desplazarnos a lo largo y en el sentido de la línea de campo, el potencial disminuye y su variación

es máxima. Esto es así porque cuando y son paralelos y tienen el mismo sentido, elrE d

rR

producto escalar de la expresión [93] toma el valor máximo. El potencial disminuye debido a lapresencia del signo negativo. A este resultado ya habíamos llegado anteriormente de una forma másintuitiva.

d. El potencial eléctrico no varía si nos desplazamos perpendicularmente a la línea de campo. En este

caso y son perpendiculares por lo cual su producto escalar será nulo, dV = 0 y enrE d

rR

consecuencia V = cte. Esto da lugar a la existencia de superficies equipotenciales (o

equipotenciales) en las cuales todos sus puntos tienen el mismo potencial eléctrico y en cada punto rE

(y la línea de campo) es perpendicular a la superficie. Sobre este aspecto se volverá más adelantecuando se representen equipotenciales.

e. La expresión [93] permite calcular potenciales eléctricos a partir del conocimiento de la intensidaddel campo eléctrico, aspecto que se aplicará en algún ejemplo. También permite el cálculo de laintensidad del campo eléctrico a partir del potencial.

f. Se deduce una nueva unidad para la intensidad del campo eléctrico: la de en el SI.V

m

14. ALGUNOS EJEMPLOS DE OBTENCIÓN Y APLICACIÓN DEL POTENCIALELECTROSTÁTICO

14.1. Potencial electrostático originado por una distribución discreta de cargas puntuales (oequivalentes)


A

B

x

y

q1

q2

q3

Fig.50

Supongamos una distribución de n cargas fuente: q1, q2, ..., qn fijas. Cada una de ellas origina en elpunto P un potencial eléctrico (así como una intensidad de campo eléctrico). El potencial eléctrico totalen el punto P es la suma escalar de los potenciales individuales (principio de superposición eindependencia aplicado al potencial eléctrico):

V = V1 + V2 + ... + Vn [96]es decir,

[97]V Vii

i n

==

=

∑1

Una justificación intuitiva de la aditividad de los potenciales eléctricos se fundamenta en laaditividad de las energías potenciales. Una justificación más formal se puede obtener a partir de laindependencia y superposición de las fuerzas eléctricas que originan distintas cargas sobre una cargade prueba y repetir todos los pasos desde la expresión [65].

Teniendo en cuenta que cada potencial eléctrico en P originado por qi está dado por la expresión

[81] ( ), el potencial total en P originado por una distribución finita de cargas fuenteV Kq

Ri

i

i

=

puntuales (o equivalentes) vendrá dado por:

[98]V V Kq

Ri

i

ii

i n

i

i n

= ==

=

=

=

∑∑11

siendo Ri la distancia desde la carga fuente qi al punto P.

Ejemplo 7Sea una distribución de tres cargas puntuales q1 = 2 nC,q2 = 4 nC y q3 = S8 nC fijas en los puntos (S1, 0), (0, S1)y (0, 1) m respectivamente del plano xSy. El medio es elvacío. Calcular:a. El potencial eléctrico en el punto A(1, 0) m.b. La energía potencial eléctrica de una carga de prueba

de S3 nC que colocamos en A.c. El trabajo que realiza el campo para llevar dicha carga

de prueba desde A hasta B(2, 1) m.

a. Aplicando la expresión [98] y teniendo en cuenta que

R1 = 2 m y , el potencial total en AR R2 3 2= = mes:

VA V= ⋅ + +−

⋅ = −−9 10

2

2

4

2

8

210 16 59 9 ,

b. La energía potencial de la carga de prueba de S3 nC que se coloca en el punto A se obtiene por laexpresión [83]:

U q Ve p= = − ⋅ ⋅ − = ⋅− −A J3 10 16 5 49 4 109 9( , ) ,

que representa el trabajo que realiza el campo eléctrico de la distribución sobre la carga de prueba parallevarla desde el punto A hasta el infinito.

Nótese que esta energía potencial eléctrica de una carga en un punto es distinta a la energía potencial


rE

R0

R

+q

Fig.51

eléctrica del sistema de cargas (comparar con el resultado del ejemplo 5). Esto es así porque la primerarepresenta el trabajo que realiza el campo para llevar la carga de prueba desde esa posición hasta elinfinito, mientras que la segunda representa el trabajo que realiza el campo para llevar todas las cargasdesde sus posiciones en el sistema hasta el infinito.

c. El trabajo que realiza el campo para llevar una carga de prueba desde A hasta B se puede obtenera partir de la expresión [86]:

W q V Vp= −( )A B

para lo cual se necesita calcular antes VB procediendo de la misma manera que en el primer apartadoen el cual se calculó VA:

VB V= ⋅ + +−

⋅ = −−9 10

2

10

4

8

8

210 17 69 9 ,

siendo entonces el trabajo realizado por el campo:

W = S3A10S9(S16,5 S (S17,6)) = S3,3A10S9 J

que al ser negativo, tendremos que aplicar una fuerza externa sobre la carga de prueba (negativa en estecaso) para llevarla desde A Spotencial altoS hasta B Spotencial bajoS (recordar que las cargas negativasse mueven, al abandonarlas en un campo eléctrico, de potencial bajo a potencial alto).

14.2. Potencial eléctrico originado por una esfera dieléctrica con densidad volúmica de cargaconstante

Aquí tenemos un caso de una distribución continua de carga eléctrica. Podemos considerar que cadaelemento de carga dq de la distribución contribuye con un elemento de potencial (a partir de la

expresión [81] en forma diferencial: ) al potencial total en un punto P. Entonces eldd

V Kq

R=

potencial total en dicho punto se obtendrá integrando para toda la distribución:

[99]V Kq

R= ∫

d

substituyendo dq por , o según el caso.λdl σdS ρdVTambién se puede obtener el potencial a partir de la intensidad del campo eléctrico, relación que

utilizaremos en esta aplicación, puesto que la intensidad de campo en el exterior y en el interior ya fuecalculada en el apartado 10.3 a partir de la ley de Gauss.

a. Puntos sobre la superficie de la esfera cargada y puntos externosa ella: R $ R0 (Fig.51).

La intensidad del campo eléctrico está dada por el resultado[51] que en forma vectorial es:

[100]r rE K

q

RR= 2 0

siendo q la carga total de la esfera y el vector unitario en larR0

dirección del radio. Substituyendo en [93]:

[101]d dV Kq

RR R= − 2 0

r r

y al tener en cuenta que , que q es constante e integrando en la región de validez der rR R R0d d=


R0

R

qint

rE int

Fig.52

la intensidad de campo (desde el infinito hasta una distancia R del centro de la esfera, tal que R $R0):

[102]dd

V KqR

R

RV

= −∞∞ ∫∫ 2

[103]V V KqR

Kq

R− = −

∞

=∞

1 1

y haciendo V4 = 0 se obtiene el potencial relativo para la superficie y el exterior de la esfera:

[104]V Kq

RR R= ≥para 0

expresión idéntica a la [81], tal como cabría esperar, pues, tanto a efectos de la intensidad de campocomo del potencial eléctricos en el exterior, la distribución esférica de carga se comporta como sitoda su carga se encontrase concentrada en el centro de la esfera.

b. Puntos interiores a la esfera cargada: R < R0 (Fig.52)A partir de la intensidad de campo en el interior de la esfera (resultado [54])

y procediendo de la misma forma que para el exterior se obtiene, integrandodesde la superficie hasta una distancia R del centro:

[105]d dVKq

RR R= − ⋅∫∫

03

R

R

V(R )

V

00

siendo el resultado un poco más complicado (téngase en cuenta que V(R0) es el potencial relativodado por [104] haciendo R = R0):

[106]VKq

R

R

RR R= −

≤

1

23

0

2

02 0para

Nótese que, a diferencia de la intensidad de campo, el potencial en el interior no depende sólode la carga de la esfera de radio R interna, sino que también influye la carga de la capa externa.

En la Fig.53 se representan los potenciales en las distintas regiones de esta aplicación (carga netapositiva):


V

RR0

3

2 0

Kq

R

Kq

R0

Fig.53

qneta int.=0

Vint = Vsuperficie = cte.

rE

rEint = 0

Fig.54

14.3. Potencial electrostático en un conductor cargado y en equilibrio electrostáticoEn el apartado 10.5, a partir de la necesidad de que el campo eléctrico en el interior de un conductor

en equilibrio electrostático debe ser nulo, se ha encontrado, aplicando la ley de Gauss, que la carga netase encuentra en la superficie y que la intensidad del campo en la superficie es perpendicular a la mismay está dada por la expresión [64].

• Finalizaremos con la cuarta propiedad: todo conductor con carga neta en equilibrio electrostáticoes una equipotencial.

Respecto al interior, al ser , al substituir en la expresión [93]:rEint. = 0

[107]d dV E Rint. int.= − ⋅ =r r

0de donde se deduce que no existe variación de potencial en el interior del conductor, o lo que es lomismo, el potencial electrostático es constante en el interior de un conductor en equilibrio electrostático.

Respecto a la superficie, en donde se encuentra la carga neta que está en reposo, el potencialelectrostático tiene que ser constante a lo largo de toda la superficie, pues en caso contrario la carga netase desplazaría de un punto a otro de la superficie como consecuencia de una variación en el potencial.A este resultado también se llega a partir de la expresión [93] escogiendo un desplazamientoinfinitesimal a lo largo de la superficie del conductor (tangente a la superficie) y teniendo en cuenta quela intensidad de campo es normal a dicha superficie:

[108]d dsuper. tangente a la superV E Rn= − ⋅ =r r

. 0siendo dVsuper. = 0 por ser nulo el producto escalar de dosvectores perpendiculares entre si.

Pero, además, el potencial en el interior tiene que ser igualal potencial en la superficie. Si no fuera así, otra vez más,existiría desplazamiento de carga neta de la superficie alinterior (o viceversa, dependiendo del signo de la carga neta)incumpliéndose la condición de equilibrio electrostático.

En resumen, un conductor en equilibrio electrostático


constituye un volumen equipotencial:

[109]Vint. = Vsuperficie = cte.

En la Fig.54 se resumen los resultados encontrados relativos a la localización (en la superficie) dela carga neta (supuesta positiva), a la intensidad de campo (nula en el interior, perpendicular a lasuperficie en el exterior) y al potencial electrostático.

Ejemplo 8: Intensidad de campo y potencial electrostáticos en una esfera conductora cargada

a. Intensidad de campo electrostático

Ya conocemos que .rEint. = 0

Para la superficie y el exterior se puede calcular la intensidad de campo electrostático aplicandola ley de Gauss tal como se hizo en el apartado 10.3. El resultado, es (expresión [51])

para R $ R0E Kq

Rext . = 2

con dirección radial, como era de esperar al tener en cuenta que la carga distribuida uniformementea lo largo de la superficie de la esfera se comporta como si fuese puntual y colocada en el centro dela esfera.

Nótese que la intensidad de campo en la superficie es (substituyendo R por R0)

, conclusión a la que también se puede llegar a partir de la expresión [64] teniendoE Kq

Rsuper. =

02

en cuenta que la densidad superficial de carga es constante (por tener el conductor simetría esférica)

y vale .σπ

= =q

S

q

R4 02

b. Potencial electrostáticoEl potencial en el exterior se puede calcular a partir de la intensidad de campo, tal como se

procedió en el apartado 14.2.a. El resultado, al que también se puede llegar al tener en cuenta laexpresión [81] en donde ya se indicaba que era válida para cargas puntuales y equivalentes(distribuciones esféricas de cargas), es por tanto:

para R $ R0 [110]V Kq

Rext. =

El potencial en la superficie y en el interior del conductor, dado que es el mismo en todos lospuntos, es:

[111]V V Kq

Rint. = =super.0

En la Fig.55 se resumen las conclusiones obtenidas respecto a la intensidad de campo y potencialelectrostáticos para un conductor esférico cargado y en equilibrio electrostático (con carga netapositiva).


E V

R RR0 R0

Kq

R02

Kq

R0

Fig.55

qneta int.=0

rE int = 0

S

V = cte

Fig.56

AB

drR

rE

Fig.57

14.4. Conductor con carga neta en equilibrio electrostático y con cavidadEn la Fig.56 se representa la sección de un conductor de

forma arbitraria con carga neta en equilibrio electrostático, alque se le practicó una cavidad (también de forma arbitraria) sincargas. Ya sabemos que la carga neta está repartida por lasuperficie externa y que el campo en el interior macizo delconductor es nulo. Ahora se trata de encontrar las propiedadeseléctricas del interior de la cavidad y de la pared de la misma.

Rodeemos la cavidad por una superficie gaussiana S(representada por línea a trazos en la figura) y apliquemos laley de Gauss: Puesto que la intensidad de campo es nula a lolargo de toda la superficie S, la carga neta encerrada por S tiene que ser nula. Como dicha superficie Spuede hacerse coincidir con la pared de la cavidad, se deduce que la carga neta en la pared de la mismaes nula.

Bien, ya sabemos que la parte interna maciza del conductor y la pared de la cavidad no contienencarga neta. Sin embargo, esto no prueba que toda la pared de la cavidad esté descargada: puede tenercarga positiva en unos puntos y negativa en otros tal que elbalance sea nulo. Vemos, pues, que la ley de Gauss noproporciona la solución completa del problema.

Pero aún podemos continuar: supongamos que sí existe unaseparación de cargas en la pared interna de la cavidad, almenos una zona con carga positiva en A y otra con negativa en

B, Fig.57, lo que originaría un campo eléctrico en elrE

interior de la cavidad, con lo cual la diferencia de potencialentre A y B sería, por la expresión [94]:

[112]V V E RB A A

B

d− = − ⋅∫r r

y puesto que siempre es posible encontrar una trayectoria a lo

largo de la dirección de entre A y B para la cual sea siempre positivo a lo largo de dicharE

r rE R⋅ d

trayectoria, la integral anterior sería positiva y en consecuencia existiría una diferencia de potencialdistinta de cero entre A y B, estando en contradicción con la propiedad ya obtenida en el apartadoanterior de que todo el conductor constituye un volumen equipotencial. La única salida para resolver


la contradicción es que la integral sea cero, cualquiera que sea la trayectoria, para lo cual es necesarioque el campo en el interior sea cero y no exista separación de cargas en la pared de la cavidad.

En resumen: la carga neta se encuentra en la pared exterior del conductor, no existiendo campoeléctrico en la cavidad (sin cargas en su interior) ni cargas en su pared.

14.5. Reparto de carga entre conductoresCuando dos conductores (al menos uno de ellos con carga neta) se ponen en contacto externo, la

carga total inicial se reparte entre ambos en un proceso muy rápido hasta que al final los dosconductores quedan al mismo potencial, condición necesaria para que exista equilibrio electrostático.

Respecto a la carga total inicial, ésta es la suma algebraica de las cargas de los conductores que seponen en contacto. Por ello, cuando inicialmente los conductores tienen cargas de distintos signos,existe una neutralización parcial (o total si la cantidad de carga positiva es igual a la cantidad de carganegativa).

Ejemplo 9. Reparto de carga entre conductoresUna esfera metálica A de radio 1,00 cm tiene una densidad superficial de carga de 3,98A10S4 C/m2.

Otra esfera B, muy alejada de la esfera A, de radio 1,50 cm tiene un potencial en su superficie deS1,80A105 V. Se ponen en contacto y después se separan lo suficiente para que no exista influenciaelectrostática. El medio es el vacío. Calcular la carga de cada esfera y el potencial electrostático en susuperficie.

La carga inicial de la esfera A, qAi, se calcula a partir de la densidad de carga superficial (la cargaestá situada en la superficie por ser un metal en equilibrio electrostático y la distribución de carga es

uniforme por tener simetría esférica), , de donde se obtiene qAi = +500 nC.σπA

Ai

A

Ai

A

q

S

q

R= =

4 2

La carga inicial de la esfera B, qBi, se obtiene a partir del potencial electrostático en la superficie de

dicha esfera (expresión [110]): , resultando qBi = S300 nC.V Kq

RB

Bi

Bsuperficie

=

Cuando se ponen en contacto existe movilidad de carga eléctrica a lo largo de la superficie delmetal, siendo la carga neta (por conservación de la carga eléctrica): qneta = qAi + qBi = +500 nC S300 nC= +200 nC (en este caso existe una neutralización parcial de la carga). Debido al traspaso de cargaeléctrica de una esfera a otra, el potencial electrostático de cada una de ellas se modifica tal que, porel apartado 14.3, las dos esferas metálicas adquieren el mismo potencial constituyendo toda la superficiemetálica de las dos esferas una superficie equipotencial.

Al separar las esferas, la carga neta se reparte tal que (conservación de la carga):qneta = qAf + qBf [113]

siendo qAf y qBf la carga final de cada una de las esferas, de tal forma que cada una de ellas conserva elpotencial en su superficie que existía cuando estaban en contacto (el mismo potencial para las dosesferas), por lo que se cumple también la siguiente igualdad para los potenciales finales en la superficiede cada esfera cuando están lo suficientemente separadas una de la otra como para que no existainfluencia electrostática y por tanto la carga esté distribuida uniformemente en la superficie:

VAf = VBf

es decir:

[114]Kq

RKq

R

Af

A

Bf

B

=

Se resuelve el sistema de dos ecuaciones [113] y [114] obteniendo los valores finales:


PP'

rE

drR

drS

Fig.58

qAf = 80 nCqBf = 120 nCVAf = VBf = 7,20A10

4 V

15. VISUALIZACIÓN DEL CAMPO ESCALAR DE POTENCIALES ELECTROSTÁTICOSEn el apartado 8 se analizó la representación de la descripción vectorial del campo eléctrico

mediante las líneas de campo. Se trata, ahora, de intentar representar el potencial electrostático.

15.1. Superficie equipotencialEn el apartado 13 que relaciona el potencial con la intensidad de campo

electrostáticos, concretamente en el punto d, se decía que al desplazarnosperpendicularmente a la línea de campo, el potencial no varía. Supongamos unasuperficie elemental dS orientada de tal forma que la intensidad del campoeléctrico en el punto P es perpendicular a ella (Fig.58). Al desplazarnos de P a P’

(también en la superficie) a lo largo de se obtiene una variación de potencialdrR

dV que está dada por la expresión [93], . Pero como esd dV E R= − ⋅r r

drR

perpendicular a , el producto escalar de ambos vectores es nulo. Se concluyerE

que el potencial V es constante sobre una superficie infinitesimal normal al campo eléctrico .rE

La superficie sobre la cual el potencial eléctrico V posee siempre el mismo valor se denomina

superficie equipotencial (o simplemente equipotencial).

Lo anterior no se cumple sólo para superficies elementales, sino que también se cumple parasuperficies no elementales, como veremos a continuación en algunos casos, extrayendo además algunasconclusiones importantes.

El suelo se extiende hasta una distancia infinita con respecto a un sistema de cargas por lo que sepuede considerar como una superficie equipotencial y por ello es habitual escoger la referencia V = 0en la superficie de la Tierra.

15.2. Carga puntual (o equivalente)Hemos visto que el potencial eléctrico relativo de una carga puntual (o equivalente) está dado por

la expresión . De ella se deduce que el potencial eléctrico tiene siempre el mismo valor aV Kq

R=

lo largo de la superficie de una esfera de radio R centrada en la carga fuente, siendo por tanto dichasuperficie una equipotencial. De hecho, todas las superficies esféricas centradas en la carga fuente sonsuperficies equipotenciales. Puesto que estas superficies tridimensionales no son representablesdirectamente en el plano, la visualización se hará representando secciones transversales de las mismas,obteniendo líneas equipotenciales. Así, en la Fig.59 están representadas varias líneas equipotenciales(circulares en este caso, y equidistantes en valores del potencial) y algunas líneas de campo eléctrico(terminan en punta de flecha) para una carga fuente puntual positiva de 1 nC en el vacío.


+1 nCV1

V2

V3

V4

V1 (1 cm) = 900 VV2 (1,29 cm) = 700 VV3 (1,8 cm) = 500 VV4 (3 cm) = 300 V

Fig.59

-q+q

Fig.60

De la figura se pueden extraerconclusiones generales, por otraparte deducibles a partir de laexpresión [93]:

a. La intensidad de campoeléctrico en un punto es siempreperpendicular a la equipotencialque pasa por dicho punto.

b. El sentido de la intensidad decampo en un punto nos da elsentido de máxima disminución(debido al signo negativo de laexpresión [93]) del potencialeléctrico.

c. El potencial eléctrico no varía a lo largo de una equipotencial (si seguimos el contorno de una curvade nivel alrededor de una colina, mantendremos siempre la misma altura). Por ello, el campoeléctrico no realiza trabajo sobre una carga de prueba cuando se desplaza a lo largo de laequipotencial, y, en consecuencia, la variación de la energía potencial eléctrica de dicha carga deprueba será nula (expresión [84]).

d. En las zonas con intensidad de campo eléctrico elevada (con mayor densidad de líneas de campo),las equipotenciales están más próximas cuando se trazan con una diferencia de potencial fija entreellas.

15.3. Dipolo eléctricoEn la Fig.60 se representan algunas líneas de

campo (trazo grueso terminando en punta de flecha)y algunas líneas equipotenciales (de trazo fino). Laequipotencial rectilínea equidistante a las cargas(que corresponde a una superficie equipotencialplana perpendicular al plano del papel) tiene unpotencial electrostático nulo, ya que todos suspuntos son equidistantes a las cargas,contribuyendo la carga positiva con potencialpositivo y la carga negativa con potencial negativo.

Las equipotenciales situadas a la izquierda de laequipotencial rectilínea tienen potencialespositivos. Las equipotenciales de la derecha tienenpotenciales negativos.

En la Fig.61a se muestra el potencial a lo largode la dirección que une a ambas cargas. En la Fig.61b se representa el potencial a lo largo del plano quecontiene a las cargas, estando truncado en las inmediaciones de dichas cargas.


V

+q -q

a b

A

Fig.61

V

+q +q

1

+q+q

a b

A

Fig.62

Notar que en el punto A (señalado en la Fig.61a, equidistante a las dos cargas y en la dirección quelas une) se anula el potencial eléctrico, pero no así la intensidad del campo eléctrico.

15.4. Dos cargas iguales

En la Fig.62a se representan algunas líneas de campo y algunas equipotenciales para un sistema dedos cargas puntuales iguales. En la Fig.62b se representa el potencial a lo largo de la dirección que unea ambas cargas. Observar que el potencial no se anula en el punto A (señalado en la Fig.62b,equidistante a las dos cargas y en la dirección que las une), sin embargo, la intensidad del campo

eléctrico si es nula en dicho punto, , y por la expresión [93], dVA = 0, por lo que VA

rEA = 0

corresponde a un máximo o un mínimo, en este caso a un mínimo.


A

B

U(x)

x

Fcx Fcx

Fcx Fcx

Fig.63

16. MÁS CONSIDERACIONES SOBRE EL EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICOAunque el equilibrio electrostático (cargas eléctricas en reposo) ya se abordó al estudiar la

localización de la carga en un conductor, así como sus implicaciones en el campo y potencialelectrostáticos, en este apartado se tratará desde el punto de vista energético.

16.1. Energía potencial y equilibrio.

Toda fuerza conservativa (tal como la eléctrica, gravitatoria, elástica, etc), , se relaciona con larFc

energía potencial U a través de la expresión ([91]):

[115]r rFc R U⋅ = −d d

Supongamos un caso unidimensional, en la dirección x. La expresión anterior se convierte, ya enformato escalar, en:

FcxAdx = SdU(x) [116]de donde

[117]FcU x

xx = −d

d

( )

(que constituye un procedimiento para calcular la fuerza a partir de la energía potencial en el casounidimensional).

Una partícula, cuyo movimiento está limitado a la dirección x, estará en equilibrio cuando la fuerzasobre ella sea nula, Fcx = 0, lo que significa según la expresión [117] que U(x) es un máximo o unmínimo para una posición x de equilibrio.

En la Fig.63 se representa una energía potencialarbitraria U(x) de la partícula en función de laposición de ésta a lo largo de la dirección x. Lasposiciones A y B corresponden a posiciones deequilibrio de la partícula, pues corresponden a unmínimo y a un máximo, respectivamente, de U(x),siendo Fcx = 0 tanto en A como en B.

El punto A corresponde a una posición deequilibrio estable, pues si estando inicialmente lapartícula en A la desplazamos ligeramente hacia laizquierda o hacia la derecha, la fuerza la devuelve ala posición inicial, A.

El punto B corresponde a una posición de equilibrio inestable, pues si estando inicialmente lapartícula en B la desplazamos ligeramente hacia la izquierda o hacia la derecha, la fuerza la aleja de laposición inicial, no retornando a ella.

16.2. Aplicación a la energía potencial electrostáticaUna carga, o varias cargas, en un sistema de cargas, estará en equilibrio electrostático cuando la

energía potencial electrostática del sistema sea mínima.Teniendo en cuenta que, a partir del último término de la expresión [77] que da la energía potencial

electrostática de un sistema de cargas, ésta se puede expresar en función del potencial electrostáticocomo

[118]U K q Ve i ii

n

==∑

1

2 1

siendo Vi el potencial electrostático en la posición de qi debido a todas las demás cargas. Para que Ue

sea mínima, el potencial Vi debido a todas las demás cargas en la posición de qi debe ser mínimo, y por


A B

d

x (d-x)

+q +q +2q x

Fig.64

la expresión [93], la intensidad del campo eléctrico debida a todas las demás cargas debe ser cerorEi

y, en consecuencia, la fuerza eléctrica que ejercen todas las demás cargas sobre qi debe ser cero, siendoestas últimas conclusiones evidentes puesto que la carga debe estar en reposo.

Resumiendo, cuando una carga sobre la cual actúan únicamente fuerzas eléctricas está en equilibrio,se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

S La fuerza eléctrica total sobre dicha carga es cero.S La intensidad del campo eléctrico en el punto en el que está la carga es cero.S El potencial electrostático debido a las demás cargas en el punto en el que se encuentra la carga

debe ser mínimo.

Si sobre la carga actúan además fuerzas no eléctricas, alcanzará el equilibrio cuando la resultantede las fuerzas eléctricas y no eléctricas sea nula.

Ejemplo 10Una carga +q se fija en la posición A(0, 0). Una segunda carga +2q se fija en la posición B(1, 0).a. Obtener la posición entre A y B que debe ocupar una tercera carga +q para que se encuentre en

equilibrio. Realizar el análisis desde el punto de vista de la energía potencial, del potencial y de laintensidad de campo.

b. Calcular la fuerza mecánica a aplicar sobre la carga +2q para mantenerla fija en su posición.Suponer que las distancias están dadas en metros, la unidad de carga q = 1 nC y están en el vacío.

a.1. Análisis a partir de la energía potencialelectrostática del sistema.

Situemos en un principio la tercera carga +q enla posición x (Fig.64). La energía potencial delsistema quedará por tanto en función de lacoordenada x:

U Kq q

x

q q

d

q q

d xKq

x d d xe =

⋅+

⋅+

⋅

−

= + +

−

2 2 1 2 22

Derivando Ue respecto a x y haciendo igual a cero para obtener la posición x de mínima energía:

d

d

U

xKq

d x xKq

x d x

d x xKq

x dx d

d x x

e =−

−

=

− −

−

=

+ −

−

=2

2 22

2 2

2 22

2 2

2 2

2 1 2 20

( )

( )

( ) ( )

para lo cual se debe anular el numerador: , que substituyendo d = 1 yx dx d2 22 0+ − =

resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene x = 0,414 (la otra solución x = S2,41 no es válida porestar fuera de los límites impuestos).

a.2. Análisis a partir del potencial electrostático.El potencial electrostático en la posición x debido a las cargas de los extremos es:

V Kq

x

q

d xKq

x d xx = +

−

= +

−

2 1 2

Derivando Vx respecto a x, igualando a cero y resolviendo la ecuación respecto a x se obtiene elmismo resultado que en el apartado anterior.

a.3. Análisis a partir de la intensidad de campo.


V(x)

Ex(x)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 x

Fig.65

La intensidad de campo electrostático en la posición x debida a las cargas de los extremos estádada por:

r r r r rE E i K

q

xi

q

d xi Kq

x d xix= = +

−−

= −

−

2 2 2 2

2 1 2

( )( )

( )La carga +q a colocar en la posición x

estará en equilibrio electrostático si laintensidad del campo debido a las otras cargasen la posición x se hace nulo, para lo cual debeser nulo el término entre corchetes de laexpresión anterior

1 202 2x d x

−−

=( )

de donde se obtiene la solución válida x =0,414.

En la Fig.65 están representados V(x) y Ex(x). La posición de equilibrio para la tercera cargacorresponde al mínimo de V(x) y al punto en el cual Ex se hace nulo y cambia de sentido.

b. Cálculo de la fuerza mecánica necesaria para mantener fija a la carga +2q.La intensidad de campo en la posición de la carga +2q debida a la carga +q en la posición A y

a la carga +q en la posición x calculada es:

r r r rE K

q

di

q

d xi Kq

d d xiB = +

−

= +

−

2 2 2 2

1 1

( ) ( )que teniendo en cuenta los valores de K, q, d y x:

r rE iB = 35 2,

N

Cde donde la fuerza eléctrica sobre la carga +2q es:

r r rF q E , ie Bqsobre

N+

= + ⋅ = ⋅ −

22 70 4 10 9

Para que la carga +2q se mantenga fija en B se tiene que ejercer una fuerza mecánica sobre dichacarga que compense a la fuerza eléctrica, es decir:

r rF im qsobre

N+

= − ⋅ −

270 4 10 9,

17. MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CARGADAS EN CAMPOS UNIFORMESEn este apartado se analizará el comportamiento de una partícula cargada sometida a interacciones

para obtener sus parámetros cinemáticos (velocidad, posición, tiempo, etc.), energéticos, etc. ensituaciones sencillas.

Toda partícula, por tener masa m, experimentará fuerza gravitatoria si existe campo gravitatorio .rg

Además, si la partícula tiene carga neta q, experimentará fuerza eléctrica si existe campo eléctrico .rE

Por el momento no se considerará la existencia de otras interacciones. Por ello la fuerza neta a la queestá sometida la partícula es

[119]r r r r rF F F mg qEg e= + = +

Puede suceder que una de las fuerzas anteriores sea mucho menor que la otra. En este caso se puede


despreciar la fuerza más débil y trabajar únicamente con la restante. También puede suceder que noexista alguno de los campos por lo que tampoco existirá la interacción correspondiente.

Se limitará el análisis a la presencia de campos uniformes ( = cte., =cte), a velocidadesrE

rg

pequeñas y observador inercial. En estas condiciones, la aceleración de la partícula es constante

[120]r

r

aF

m=

por ser constantes la masa y la fuerza. La cinemática de la partícula corresponderá, por tanto, almovimiento de cuerpos con aceleración constante y la trayectoria será rectilínea (velocidad inicial nulao misma dirección para la velocidad y la aceleración) o parabólica (dirección de la velocidad distintaa la de la aceleración). En las regiones en las que no exista interacción (porque no existe campoeléctrico y la fuerza gravitatoria es demasiado débil), la fuerza resultante será nula y en consecuenciala partícula se mantendrá en reposo o seguirá una trayectoria rectilínea si tiene velocidad cuando entraen dicha región.

En cuanto a la energética, tener en cuenta que las fuerzas que estamos considerando sonconservativas permaneciendo entonces la energía mecánica de la partícula constante por lo cual sepueden utilizar las relaciones de energía de forma muy fácil.

Al ser pequeña la velocidad (comparada con la velocidad de la luz) de la partícula cargada, no setendrán en cuenta consideraciones relativistas por lo que la masa de la partícula será constante.Tampoco se considerará el campo magnético originado por el movimiento de la partícula respecto alobservador y que pudiera dar lugar a interacciones magnéticas con otras partículas cargadas,interacciones muy débiles frente a la eléctrica cuando la velocidad es pequeña. Finalmente, tampocose tendrá en cuenta la energía radiada en forma de onda electromagnética originada por toda carga conaceleración.

Ejemplo 11Un campo eléctrico uniforme de valor E = 200 N/C está dispuesto horizontalmente en la dirección deleje x. Se deja en libertad en el origen O, y partiendo del reposo, una partícula cargada con q = 3,00 µCy m = 0,120 g. También existe un campo gravitatorio uniforme vertical con g = 9,80 m/s2.a. ¿Se puede despreciar alguna de las fuerzas a las que está sometida la partícula?b. Calcular el desplazamiento vertical, yA, que experimentó la partícula sabiendo que xA = 4,00 m.c. Calcular el módulo de la velocidad de la partícula cuando pasa por A.d. Calcular la variación de la energía potencial en el mismo recorridoe. Calcular la diferencia de potencial eléctrico entre la posición final e inicial de la partícula.

a. Para responder a la pregunta comparemos los módulos de las dos fueras a las que está sometida lapartícula. La fuerza eléctrica vale Fe = qAE = 6,00A10

S4 N. La fuerza gravitatoria vale Fg = mAg =1,176A10S3 N. De los resultados se deduce que son del mismo orden por lo que no se puededespreciar ninguna de las fuerzas.

b. La fuerza total a la que está sometida la partícula es . Puesto que lar r r r rF F F qEi mgje g= + = +

fuerza resultante es constante y que la velocidad inicial es nula, la trayectoria será rectilínea con lamisma dirección y sentido que la fuerza resultante (movimiento rectilíneo uniformemente


x

yA

O

yA

xA

mq

rE

rg

rFe

rFg

rF

θ

Fig.66

acelerado). De la Fig.66 se deduce que

tanθ = =F

F

y

x

g

e

A

A

que substituyendo Fg, Fe y xA se obtiene yA = 7,84 m.

c. La velocidad en A se puede calcular fácilmente porcinemática, o ya que nos piden el módulo se puedeobtener a partir del teorema de la energía cinéticacalculando antes el incremento de energía cinéticaque experimenta la partícula, camino queseguiremos:

Por el teorema de la energía cinética:

W F R E E E EF c c c cr

r r= ⋅ = = − =∫ d A O A∆

por ser nula la energía cinética en el origen.Entonces

( )( )E F R

qEi mgj xi yj

qE x mg y

c

x y

A d

d d

d d

J

A A

= ⋅ =

= + + =

= + =

= ⋅

∫∫

∫ ∫−

r r

r r r r

0 0

2116 10,La velocidad de la partícula en A estará dada por

vE

m

c

AA m/ s= =

213 9,

d. La energía mecánica es la suma de la energía cinética de la partícula y de las energías potenciales,es decir:

Em = Ec + Usiendo U = Ue + Ug la energía potencial total.

Al ser conservativas las fuerzas que realizan trabajo sobre la partícula, no existe variación en laenergía mecánica:

∆Em = ∆Ec + ∆U = 0de donde se obtiene la variación en la energía potencial:

∆U = S ∆Ec = S(EcA S EcO) = S(EcA S 0) = SEcA = S1,16A10S2 J

habiéndose calculado el incremento de energía cinética en el apartado anterior.

e. La variación en el potencial eléctrico se calcula, puesto que conocemos el campo eléctrico,integrando la expresión [93]:

∆V V V E R Ei xi E xx

= − = − ⋅ = − ⋅ = − = −∫∫ ∫A O d d d VAr r r r

0800


18. ALGUNAS ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE LOS CAMPOS GRAVITATORIO YELECTROSTÁTICO

18.1. AnalogíasLas analogías entre ambos campos provienen de que formalmente tienen expresiones idénticas, SG

y m en el campo gravitatorio, K y q en el campo electrostático:

a. Ambos son newtonianos: la intensidad de campo es función, en cada punto, inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia. Con un alcance, por tanto, infinito.

b. La interacción en cada caso es directamente proporcional al producto de las magnitudes activas queinteraccionan (masas en un caso, cargas en el otro).

c. Son campos vectoriales que cumplen el principio de superposición.

d. Son campos centrales (en la dirección de la magnitud activa). Por ser centrales y depender sólo dela distancia, son conservativos. Por ello se puede definir una energía potencial y un potencial escalaren cada caso.

En la siguiente tabla se resumen las expresiones para ambos campos, tanto desde el punto de vistavectorial como escalar (valores relativos al valor nulo en el infinito), para magnitudes activas puntuales(o equivalentes):

CAMPO GRAVITATORIO CAMPO ELECTROSTÁTICO

Descripciónvectorial

Descripciónescalar

Descripciónvectorial

Descripciónescalar

Inter-acción

r rF G

mm

RRg

i j

iji j ijsobre

= − 2 0 U Gmm

Rg

i j

ij

= −r rF K

q q

RRe

i j

iji j ijsobre

= 2 0 U Kq q

Re

i j

ij

=

Magnituddelcampo

r rg G

m

RR= − 2 0 V G

m

Rg = −r rE K

q

RR= 2 0 V K

q

Re =

18.2. Diferenciasa. Las masas se presentan siempre con el mismo signo, por ello las interacciones gravitatorias son

siempre atractivas mientras que las cargas se presentan con dos signos por lo que las interaccioneselectrostáticas pueden ser atractivas o repulsivas. También por ello existen los dipolos eléctricos,pero no se conocen los dipolos gravitatorios.

b. El campo gravitatorio es universal: existe para todos los cuerpos. El campo eléctrico sólo existecuando los cuerpos contienen carga neta.

c. La intensidad del campo gravitatorio no depende del medio (G, para un sistema de unidades, tieneun valor universal). Sin embargo el medio influye en el campo electrostático a través de lapermitividad dieléctrica del medio.

d. El campo gravitatorio cruza las substancias. El campo eléctrico puede apantallarse (el campo


eléctrico externo no penetra en la substancia), aspecto muy útil, por ejemplo, en los aparatos demedida para evitar las influencias de campos eléctricos externos.

e. La intensidad del campo eléctrico es mucho mayor que la intensidad del campo gravitatorio (K esunas 1020 veces mayor que G). De esta forma, en la mayoría de los fenómenos eléctricos podemosdespreciar las interacciones gravitatorias.

f. Se pueden obtener regiones de campo eléctrico nulo como sucede en el interior de un conductorcargado en equilibrio electrostático o en el exterior de un condensador (en este caso debido a quehay dos clases de cargas). Es muy difícil, o prácticamente imposible, obtener regiones de camponulo con masas.

g. El campo gravitatorio puede ser uniforme en grandes regiones del espacio debido a que la masapuede acumularse. No así el campo eléctrico uniforme que se reduce a pequeñas regiones delespacio (tal como la región comprendida entre dos placas metálicas con cargas opuestas) porque lacarga del mismo signo es muy difícil acumular por la repulsión que aparece.

h. Hay conductores eléctricos en los cuales los portadores de carga se pueden desplazar bajo un campoeléctrico. No hay conductores másicos.

i. Se puede aumentar (dentro de unos límites) la carga de un cuerpo mediante el fenómeno de lainducción eléctrica. Por contra no existe la inducción gravitatoria.

j. Una masa, esté en reposo o en movimiento siempre crea un campo gravitatorio. Una carga eléctricaen reposo crea un campo eléctrico y cuando está en movimiento, además del eléctrico crea un campomagnético.


19. CUESTIONES Y PROBLEMAS

19.1. Carga eléctrica y distribuciones de carga1. Razonar si un cuerpo puede tener una carga de 2,0A10S19 C. qe = 1,602A10

S19 C.

2. Calcular la constante de Faraday en C/mol teniendo en cuenta que representa la cantidad de cargaeléctrica contenida en un mol de electrones. qe = 1,602A10

S19 C. NA = 6,022A1023 molS1.1 F . 96 500 C/mol

3. Calcular el número de electrones que entran y salen en un segundo por la resistencia de una bombillade 2,5 V y 0,75 W que funciona con corriente continua. ¿Qué conclusión se puede extraer sobre laobservación de la cuantización de la carga eléctrica a nivel macroscópico?. qe = 1,602A10

S19 C.. 1,9A1018 electrones

4. Una esfera conductora de 3,50 cm de radio se carga con 240 µC. Una segunda esfera de 4,20 cm deradio del mismo material que la primera se carga con 180 µC. Las dos esferas se funden en una solaesfera. Calcular la densidad superficial de carga de la esfera resultante. Tener en cuenta que la cargaeléctrica se conserva y se supone que el volumen de la esfera resultante es la suma de los volúmenesde las dos esferas iniciales.

1,40 µC/cm2

5. Un hilo rectilíneo de 2,30 m de longitud situado en la dirección x tiene una hipotética densidad linealde carga neta que está dada por la expresión 5x2, en unidades del SI. Determinar la carga neta total quecontiene el hilo.

20,3 C19.2. Fuerza eléctrica: Ley de Coulomb

6. El hecho de que se pueda utilizar la expresión ¿significa que el módulo der rF K

q q

RRe

i j

ij

iji sobre j= 3

la fuerza eléctrica depende del inverso de la distancia entre cargas al cubo?

7. Supongamos que tenemos dos cargas de 1 C separadas por una distancia de 1 m. ¿Cuánto debe valerla masa de un cuerpo situada en la superficie de la Tierra para que sea atraído por la gravedad terrestrecon una fuerza semejante a la fuerza eléctrica entre dichas cargas? ¿Qué conclusión se puede extraersobre la unidad culombio?. g = 9,81 m/s2.

. 9A108 kg8. Calcular la razón de la fuerza eléctrica a la fuerza gravitatoria entre dos protones situados en el vacío(observar que esta razón es independiente de la distancia de separación). qe = 1,602A10

S19 C, mp+ enreposo = 1,673A10S27 kg, G = 6,672A10S11 NAm2/kg2.

Fe . 1036 Fg

9. Determinar en cuánto disminuye la fuerza entre dos cargas separadas por una distancia fija cuandoinicialmente están en el vacío y después, con la misma configuración, se introducen en agua (gr agua= 80,1). Los cristales iónicos se encuentran en estado sólido a temperatura ambiente formando una redcristalina, siendo la fuerza eléctrica neta entre iones atractiva. Teniendo en cuenta el resultado obtenidoal principio, explicar porqué dicha estructura cristalina se desmorona al introducirla en agua.

Fagua = 0,0125AFvacío

10. De un punto del techo cuelgan dos hilos inextensibles y sin masa de 87,0 cm de longitud cada unoen cuyos extremos hay dos esferas de 1 g cada una, con la misma carga eléctrica. Debido a la repulsióneléctrica, las masas se separan hasta que sus hilos forman entre si un ángulo de 60º. Calcular el valorde la carga de cada esfera. g = 9,81 m/s2.

±740 nC


m q

rE

α

Fig.PS17

11. Tres cargas puntuales de 2 nC, 4 n C y S6 nC se encuentran en las posiciones (x = 0, y = 1), (0, 0)y (1, 0) m respectivamente. Calcular la fuerza que ejerce dicha distribución sobre una cuarta cargapuntual de 3 nC situada en la posición (1, 1) m. Considerar que el medio es el vacío.

( , )92 2 124 10 9r ri j− − N

12. En el modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno, el electrón describe una órbita circular de radio5,29A10S11 m. Calcular el período del electrón. qe = 1,602A10

S19 C, meS en reposo = 0,911A10S30 kg.1,5A10S16 s

19.3. Intensidad del campo eléctrico13. El principio de superposición de campos hace referencia a vectores. ¿Es posible entonces utilizarloen la forma escalar E = E1 + E2 + ... + En?

14. ¿El campo electrostático es un campo central? ¿Será un campo conservativo?

15. En el cálculo de la intensidad de campo producida por una distribución discreta de carga, ¿laexpresión de dicho vector intensidad resultante dependerá del sistema de ejes elegidos?. ¿Y el módulode la intensidad?. Realizar el análisis tanto para la traslación como para la rotación de los ejes.

16. En una región del espacio existe un campo gravitatorio uniforme, vertical y dirigido hacia abajo deintensidad g = 9,81 mAsS2. También existe un campo eléctrico uniforme de intensidad 2,50A105 N/C. Enun punto de esa región se sitúa una gota de aceite de 4,67A10S3 kg de masa y con carga neta negativa,permaneciendo en reposo en dicho punto.a. Representar los campos gravitatorio y eléctrico.b. Calcular la carga de la gota.c. La magnitud de la fuerza electrostática que se ejerce sobre la gota.

b) S0,183 µC; c) 4,58A10–5 N17. Una pequeña esfera de 0,5 g y carga q, colgada de un hilo de masa despreciable,está colocada dentro de un campo eléctrico uniforme y horizontal de 400 N/C(Fig.PS17). g = 9,81 m/s2.a. Sabiendo que en la posición de equilibrio, α=15º, calcular el valor de q de la

esfera.b. Si duplicamos el campo eléctrico, calcular el nuevo ángulo de equilibrio.

a) q=+3,29 µC; b) α=28,2º18. Una partícula de carga S2q se sitúa en el origen del eje x. A un metro de distanciay en la parte positiva del eje se sitúa otra partícula de carga +q.a. Calcular el punto (o puntos) sobre el eje x en el que se anula el campo eléctrico.b. ¿En qué situación estaría una carga de prueba que se coloque en dicho punto?

a. 3,41 m; b. equilibrio inestable19. En tres esquinas consecutivas de un cuadrado se fijan tres cargas puntuales de+2q, Sq y +2q, respectivamente. ¿Qué carga hay que colocar en el cuarto vértice para que la intensidadde campo eléctrico en el centro del cuadrado sea nula?

Sq

20. Un sistema de tres cargas puntuales de 2 nC, 4 nC y –6 nC se sitúan respectivamente en los puntos(–1, 0) m, (0, –1) m y (2, 0) m. El medio es el vacío. Calcular:a. El vector intensidad de campo eléctrico, debido al sistema de tres cargas, en el punto A(1, 0) m.b. El módulo de la fuerza que ejerce el sistema de las tres cargas sobre una carga de 3 nC que se coloca

en el punto A.

a) ; b) 217A10S9 N( , , )712 12 7r ri j+

N

C


x

y

q1 q2

q3

Fig.PS21

21. En los vértices de un triángulo equilátero de 2 m de lado sesitúan las cargas q1 = 2 nC, q2 = 1 nC y q3 = S2 nC, de acuerdocon la Fig.PS21. Teniendo en cuenta que el medio es el vacío,calcular la intensidad del campo eléctrico en el centro deltriángulo, punto en el que se sitúa el origen de coordenadas.

(5, , )85 23 6r ri j+

N

C22. Calcular la intensidad del campo eléctrico en la posición (x =d, 0) originada por una distribución lineal, uniforme y continua decarga que se extiende a lo largo del eje y desde y = Sd/2 hastaλy = d/2.

0 894, Kdi

λ r

19.4. Líneas de campo eléctrico23. Razonar si dos o más líneas de campo eléctrico se pueden cruzar.

24. ¿Es constante el módulo del campo eléctrico a lo largo de una línea de campo?En general no. Una excepción se encuentra en los campos uniformes

25. En el apartado 8.1 se dijo que en general una línea de campo no es la trayectoria seguida por unacarga de prueba que se abandona en él. Poner algunos ejemplos y analizar en que condiciones latrayectoria sí coincide con la línea de campo.

26. Visualizar en el plano mediante líneas de campo eléctrico el producido por una distribución discretade dos cargas puntuales formada por Sq y S3q, separadas una cierta distancia.

27. Visualizar en el plano mediante líneas de campo eléctrico el producido por una distribución discretade dos cargas puntuales formada por Sq y +3q, separadas una cierta distancia.

19.5. Momento dipolar eléctrico28. Analizar la polaridad del enlace CO en la molécula de dióxido de carbono. ¿Cómo será el momentodipolar de enlace? Sabiendo que el momento dipolar de la molécula es nulo, ¿cómo será la disposicióngeométrica de los átomos?

29. Estimar el momento dipolar de enlace HSO en la molécula de agua sabiendo que el ángulo de enlaceHOH es 105º y el momento dipolar de la molécula vale 1,85 D. [1 D SdebyeS = 3,3A10S30 CAm]

1,52 D19.6. Ley de Gauss30. ¿Sería válida la ley de Gauss si la ley de Coulomb no fuera una ley del inverso del cuadrado de ladistancia?

31. Si el flujo neto a través de una superficie cerrada es nulo, ¿implica que no existen cargas eléctricasen el interior de dicha superficie?

32. Dibujar una superficie que encierre un dipolo eléctrico. Analizar la carga neta, el flujo neto y lasconsecuencias que se pueden extraer para el campo eléctrico al aplicar la ley de Gauss a dicha superficiecerrada.

33. Si la intensidad del campo eléctrico es nula en cualquier punto de una superficie cerrada, ¿quéconclusiones se pueden extraer sobre el flujo neto y la carga neta en su interior?


34. Una superficie esférica S1 encierra una carga neta q1. Otra carga neta q2 está encerrada en un cubo

con una superficie S2. Determinar la relación entre cargas sabiendo que .r r r rE S E S1 1 2 2

1

4⋅ = ⋅∫ ∫d d

q2 = 4Aq135. Calcular la intensidad del campo eléctrico, utilizando la ley de Gauss, a una distancia x medidaperpendicularmente a una distribución continua, lineal, infinita y uniforme de carga eléctrica situadaa lo largo del eje y. Como superficie gaussiana tomar un cilindro coaxial con la línea de carga.Visualizar el campo eléctrico mediante líneas de campo alrededor de la distribución de carga.

E Kx

= 2λ

36. Una carga eléctrica puntual de +2 µC se sitúa en el centro geométrico de un cubo de 2 m de arista.El medio es el vacío. Calcular:a. La intensidad de campo en el centro de una de las caras.b. El flujo eléctrico a través de la superficie cúbica.c. El flujo eléctrico a través de una de las caras.

a) 1,8A104 N/C; b) 2,26A105 VAm; c) 3,77A104 VAm19.7. Energía potencial y potencial electrostáticos37. Una carga negativa se mueve libremente en una zona en donde existe un campo eléctrico uniforme.¿Cómo varían el potencial y la energía potencial de la carga negativa?

38. La diferencia de potencial electrostático entre dos puntos ¿dependerá del camino que los conecte?

39. ¿En qué dirección podremos movernos respecto a un campo eléctrico de modo que el potencialeléctrico no varíe? ¿Y para que la variación de potencial sea máxima?

40. ¿Puede existir potencial eléctrico en un punto de una región en la que el campo eléctrico tenga unvalor nulo? ¿Puede ser nulo el potencial en un lugar en el que la intensidad de campo no sea nula?Poner un ejemplo de cada caso.

41. ¿Es correcta la expresión E = V/R ?

42. Calcular la intensidad del campo eléctrico en una región del espacio en la que existe un potencialeléctrico dado por la expresión V(x) = 23 S 5x (en unidades del SI). ¿Depende la intensidad de campode la elección del cero del potencial eléctrico?

r rE i= 5

V

m43. Un plano de gran extensión tiene una densidad superficial de carga de +6,02 nC/m2. Calcular ladiferencia de potencial entre la superficie del plano y un punto distante 50,0 cm medidosperpendicularmente a dicho plano. Razonar que punto tiene el potencial más alto. Dibujarequipotenciales en las proximidades del plano.

170 V44. Una partícula de carga –2q se situa en el origen del eje x. A un metro de distancia y en la partepositiva del eje, se situa otra partícula de carga +q. Calcular los puntos del eje x en los que:a. Se anula el potencial electrostáticob. Se anula el campo electrostático

a) 2/3 y 2 m; b) 3,41 m45. Dos cargas están situadas en el plano xy: q1 = 1 nC en (0, 1) m y q2 = –1nC en (0, –1) m. Obtener:a. La intensidad del campo electrostático en cualquier punto del eje x.


b. El potencial electrostático en cualquier punto del eje x. Comentar el resultado.

a) ; b) V(x,0) = 0 V

( )

r rE x

x

j( , )0 181

123

2

= −

+

N

C

46. Calcular el trabajo externo que tenemos que subministrar a cuatro cargas puntuales de +1 nC,inicialmente aisladas, para situarlas en las esquinas de un cuadrado de 1 m de lado.

4,87A10S8 J47. Dos cargas puntuales de +2 y +3 nC están situadas en las posiciones (0, 1) y (0, S1) m,respectivamente. El medio es el vacío. Calcular:a. El potencial electrostático en el punto A(0, 0) m.b. El potencial electrostático en el punto B(2,0) m.c. El trabajo eléctrico a subministrar a una carga de S0,3 nC para llevarla de A a B. ¿Qué agente

subministra dicho trabajo?a) 45,0 V; b) 20,1 V; c) S7,47A10S9 J

48. Cuatro cargas puntuales de S1, +1, S1 y +1 nC se fijan en las posiciones (1, 1) m, (1, S1) m, (S1,S1) m y (S1, 1) m respectivamente. El medio es el vacío. Calcular:a. La intensidad del campo electrostático en el punto A(0, 0) m.b. El potencial electrostático relativo en el punto A.c. La energía potencial electrostática relativa del sistema de cargas. Interpretar el resultado.d. Las cargas se cambian a las nuevas posiciones (0.5, 0.5) m, (0.5, S0.5) m, (S0.5, S0.5) m y (S0.5,

0.5) m respectivamente. Calcular la nueva energía potencial del sistema y comparar con el resultadodel apartado anterior. ¿Se podría aplicar la conclusión a la formación de una red iónicabidimensional?

a) 0; b) 0; c) S1,16A10S8 J; d) S2,33A10S8 J49. Un sistema de tres cargas puntuales está formado por +1, S2 y +2 nC en las posiciones (0, 1), (0,S1) y (S1, 0) m respectivamente. El medio es el vacío. Calcular:a. La intensidad del campo electrostático en el punto A(0, 0) m.b. El potencial electrostático en el punto A.c. La energía potencial electrostática del sistema de tres cargas.d. El trabajo necesario para llevar una cuarta carga de 0,5 nC desde el infinito al punto A. ¿Qué agente

debe realizar el trabajo?e. La energía potencial electrostática de la cuarta carga en el campo originado por el sistema de tres

cargas.f. La energía potencial electrostática del sistema de cuatro cargas. ¿Qué relación existe entre este

resultado y los obtenidos en los apartados c) y e)?.

a) ; b) 9 V; c) S2,17A10S8 J; d) S4,5A10S9 J; e) 4,5A10S9 J; f) S1,72A10S8 J( )18 27r ri j−

N

C50. Un conductor metálico neutro, es decir, sin carga neta, se puede considerar como una red cristalinaformada por iones positivos del metal y electrones de valencia libres. Cuando dicho conductor seencuentra en equilibrio electrostático, ¿se le podrá aplicar los resultados obtenidos (distribución decarga libre, intensidad de campo y potencial en el interior y en la superficie) para los conductorescargados y en equilibrio electrostático?

51. Una lámina metálica, con cierto espesor, plana, e infinita se carga positivamente. Obtener, aplicandola ley de Gauss, el campo eléctrico tanto en el interior de la lámina como a ambos lados. Téngase encuenta que al ser de extensión infinita, la carga se distribuirá uniformemente a lo largo de ambas caras,con una densidad superficial de carga constante en cada cara.

Eint = 0; Eext = σ/g0 siendo uniforme y normal a la lámina52. Una esfera conductora en equilibrio posee una carga superficial de densidad conocida. Se sabeσ


que a una distancia L de su centro, el potencial es 1/10 del potencial de dicha esfera. Calcular en funciónde L (y de , si procede):σa. El radio de la esfera conductora.b. La carga eléctrica de la esfera.c. El potencial eléctrico de la esfera.d. La intensidad del campo eléctrico en un punto de su superficie.

a) 0,1AL; b) 4A10S2πσL2; c) 0,4πKσL; d) 4πKσ53. Se carga una esfera metálica de 6 cm de radio con una carga neta de 3 nC y se hace contacto conuna segunda esfera metálica descargada y de 10 cm de radio. Después las separamos y aislamos una dela otra. Calcular:a. La carga neta que adquiere cada esfera.b. El potencial electrostático en la superficie de cada esfera.c. La intensidad del campo eléctrico a 8 cm del centro de cada esfera.

a) q1 = 1,125 nC; q2 = 1,875 nC; b) V1 = V2 = 168,75 V; c) E1 = 2,81A103 N/C; E2 = 0

54. Una esfera metálica de 6 cm de radio tiene una carga neta de 3 nC. Una segunda esfera tambiénmetálica con radio de 10 cm tiene y carga neta de S5 nC se pone en contacto con la primera y despuésse separan lo suficiente para que no exista influencia electrostática. Calcular:a. El potencial electrostático de cada esfera antes de ponerlas en contacto.a. La carga neta que adquiere cada esfera después del contacto.b. El potencial electrostático de cada esfera después del contacto y suficientemente separadas.

a) V1i = 450 V; V2i = S450 V; b) q1 = S0,75 nC; q2 = S1,25 nC; c) V1f = V2f = S112,5 V55. ¿Qué movimiento tendría una carga de prueba negativa que se abandona en un punto de laequipotencial debida a dos cargas positivas iguales separadas una cierta distancia? ¿Y si la carga deprueba fuese positiva?

56. En un conductor neutro rectilíneo y muy delgado que comienza en la posición A(x = 0) m y terminaen la posición B(x = 1) m se depositan inicialmente dos cargas, siendo cada una de ellas +q. Debido ala repulsión y a que el soporte es conductor, estas cargas ocuparán las posiciones extremas delconductor. A continuación se depositan otras dos cargas, siendo también cada una de ellas +q, queocuparán posiciones para las cuales la energía potencial electrostática total del sistema sea mínima.a. Escribir la función energía potencial U(x). Téngase en cuenta que dos cargas están en los extremos

y de las otras dos, una estará en la posición x y, por simetría, la otra estará en la posición 1Sx.b. Representar U(x) entre x = 0 y x = 1.c. Calcular las posiciones que ocuparán las dos cargas intermedias.d. Comparar las posiciones finales que ocupan las cargas con unas hipotéticas posiciones en las que

estuviesen uniformemente distribuidas. Explicar la diferencia.e. ¿Cómo será el potencial y cuánto valdrá la intensidad de campo eléctricos en las posiciones que

ocupan las cargas intermedias?f. ¿Por qué la intensidad de campo eléctrico en los extremos no es nula?

a) ; c) 0,319 y 0,681 m; e) 0U xx x x

( ) = + +−

+−

12 2

1

1

1 219.8. Movimiento de cargas en campos uniformes57. Demostrar que la velocidad final de una partícula con carga neta y masa constante que es acelerada

(partiendo del reposo) por un campo eléctrico está dada por . ¿Es necesario que elvq V

mf =

2 1 2∆ /

campo eléctrico sea uniforme en la región en la que se mueve la partícula?


A BFig.PS58

A

B

x

y

d1

d2

y1

y2

rv0

Fig.P–59

58. Sea un sistema formado por dos electrodos (conductores metálicos)planos, paralelos y supuestos infinitos sometidos a una diferencia depotencial constante (VA S VB = cte), Fig.PS58.a. Dibujar las líneas de campo entre los electrodos (suponer que los

electrodos tienen una extensión infinita). ¿Qué características tendríadicho campo eléctrico, tanto entre los electrodos como fuera de ellos?

b. En el mismo instante se abandona un protón en el electrodo A (en lasuperficie interna) y un electrón en el electrodo B. ¿Alcanzarán elelectrodo contrario en el mismo instante? Considerar que el protón y elelectrón están lo suficientemente alejados como para no interaccionar.Suponer además que las únicas fuerzas a tener en cuenta son laseléctricas.

c. Obtener la relación entre las velocidades del protón y electrón una vez que llegan a los electrodos.mp+ en reposo = 1,673A10

S27 kg, meS en reposo = 0,911A10S30 kg.

b) No; c) ve/vp = 42,959. Un electrón entra en la dirección x con unavelocidad de 1,00A103 m/s por el origen de coordenadasen una región A con un campo eléctrico uniforme de4,04A10S5 N/C, saliendo de dicha región con una alturay1 respecto al eje x. Entra en la región B en la que noexiste campo eléctrico, impactando con una pantalla auna altura y2. Sabiendo que d1 = 15,0 cm, d2 = 50,0 cm,qe = 1,602A10

S19 C, meS en reposo = 0,911A10S30 kg y que

no se considera ninguna otra interacción distinta a laeléctrica (Fig.PS59):a. Razonar porque la trayectoria es parabólica en la

región A y rectilínea en la región B.b. Calcular y1 e y2.

b) y1 = 7,99 cm; y2 = 61,3 cm60. Un péndulo (simple) eléctrico de 1,00 m delongitud tiene una esfera de masa 10,0 g con una cargaeléctrica de 200 nC. Este péndulo está situado en un campo gravitatorio uniforme vertical y descendentede intensidad 9,81 mAs–2 y un campo electrostático uniforme vertical y ascendente de intensidad E. Alseparar el péndulo de su posición de equilibrio y soltarlo tarda 211,8 s en dar 100 oscilaciones si sucarga es positiva y 191,2 s si es negativa.a. Obtener la expresión del período del péndulo simple cuando la carga es positiva.b. Calcular E.

a) ; b) E = 5,00A104 N/CTml

mg qE=

−2π

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Campo electrostático - xente.mundo-r.com · • Descripción escalar del campo electrostático: mediante la energía potencial y el potencial electrostático y su relación con el